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I Hackathon Somos NLP: PLN en Español 185

Possibility of Gapless Spin Liquid State by One-dimensionalization

arXiv:0704.0313v1 [cond-mat.str-el] 3 Abr 2007 Tipo de letra con jpsj2.cls <ver.1.2> Posibilidad de Estado Líquido de Giro Inalcanzable por Unidimensionalización Yuta Hayashi* y Masao Ogata Departamento de Física, Universidad de Tokio, Hongo, Bunkyo-ku, Tokio, 113-0033 Motivado por la observación de un estado líquido de giro sin huecos en.-(BEDT-TTF)2Cu2(CN)3, nosotros analizar la celosía triangular anisotrópica S = modelo de 1/2 Heisenberg con la valencia resonante la aproximación de la media del campo de enlace. Prestando atención a la pequeña anisotropía cuasi-unidimensional del material, tomamos un enfoque de las cadenas unidimensionales (1D) junto con frustrante bonos zig-zag. Calculando espectros de excitación de una partícula cambiando el parámetro anisotropía J ′/J de las cadenas 1D desacopladas a la celosía triangular isotrópica, nos encontramos casi sin espacio excitaciones en el amplio rango desde el límite 1D. Esta unidimensionalización por frustración es se considera un candidato para el mecanismo del estado líquido de giro sin huecos. PALABRAS CLAVE: líquido spin-less gap liquid (BEDT-TTF)2Cu2(CN)3, celosía triangular anisotrópica, frustración, unidimensionalización Los conductores orgánicos son uno de los fascinantes Als que tienen baja dimensionalidad y relativamente fuerte correlaciones de electrones. Hasta ahora, varios estados físicos se han observado e investigado intensamente1. ellos, magnetismo en la fase aislante Mott junto a la superconductividad no convencional ha sido atraída- • la mejora de las condiciones de vida y de trabajo de los trabajadores; Esta fase se observa en el familia de Ł-(BEDT-TTF)2X, donde BEDT-TTF (ET) denota bis(etileneditio)-tetratiafulvaleno y X- le molesta un anión monovalente. Similitudes con la de la alta- Las tazas Tc son dignas de nota. Otro estimulante El problema del magnetismo es el estado del suelo propiamente dicho. ataduras de sistemas geométricamente frustrados de giro como un tri- retícula angular y una retícula Kagomé. Estos dos intrigu- Las cuestiones que se plantean se recogen en un documento de la Comisión (EET)2Cu2(CN)3), que: es un aislador Mott que tiene un triángulo casi isotrópico celosía, y ha estado en el centro de atención últimamente. De acuerdo con las mediciones NMR de 1H en Seguro,2-(ET)2Cu2(CN)3 no muestra ninguna indicación de larga duración. orden magnético de rango (LRMO) hasta 32mK. Esto es 4 órdenes de magnitud por debajo de la constante de intercambio J + 250K estimados a partir de la dependencia de temperatura de susceptibilidad. Últimamente, un resultado similar ha sido mantenidos por mediciones de relajación de los giros de muones de campo cero, que no han observado LRMO hasta 20mK.3 los resultados sugieren que un estado líquido de giro cuántico es real- en el estado de la tierra. Por otro lado, la estática La susceptibilidad sigue siendo finita hasta 1.9K, y spin- velocidad de relajación de celosía 1/T1 muestra la temperatura de la ley de energía dependencia por debajo de 1K. Esto implica que casi sin diferencia Excitación de giro existe. Este hecho es una característica significativa de la fase líquida de giro observada en este material. Desde la propuesta de Anderson de una valencia resonante Estado de enlace (RVB),5 un enorme número de estudios se ha hecho en el sistema de rotación de celosía triangular. Lo es. ahora una opinión general de que el estado del suelo del isótropo Enrejado triangular modelo Heisenberg tiene LRMO, tales como la estructura de 120o.6–9 Por otro lado, si una ne- glects el LRMO y asume un estado del suelo desordenado, la teoría de campo medio del estado RVB da un giro-brecha * Dirección de correo electrónico: yhayashi@hosi.phys.s.u-tokyo.ac.jp Cuadro I. Anisotropía de las integrales de transferencia efectivas en Ł-(ET)2X. La definición de t y t′ no es la habitual (véase el texto). Anión X t′/t Cu2(CN)3 0,94 Cu(NCS)2 1.19 Cu[N(CN)2]Br 1,33 Cu[N(CN)2]Cl 1.47 Cu(CN)[N(CN)2] 1.47 Ag(CN)2·H2O 1,67 I3 1,72 estado con la simetría dx2−y2+idxy-wave, que se llama “d+id state”.10–12 Este estado RVB, describiendo un estado insu- sistema de centrifugado laminado, corresponde a un estado de BCS proyectado a mitad de llenado en el que los Estados doblemente ocupados son ex- Suprimida. Por lo tanto, las teorías existentes muestran que el terreno estado tiene LRMO en general, y si el orden magnético se destruye en alguna razón, el estado d+id fullgap Aparecer. Si consideramos la fase aislante de Mott de (ET)2Cu2(CN)3 a bajas temperaturas como tri- sistema de giro de celosía angular, los resultados de NMR y sus- mediciones de la sensibilidad, que no sugieren ni LRMO ni spin gap, no se puede explicar. En esta carta, prestamos atención a la pequeña anisotropía de El Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, en su sesión de los días 12 y 12 de diciembre, adoptó una posición común sobre la propuesta de directiva del Consejo relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios. derstanding su estado líquido de giro sin huecos. Como se muestra en Ta- ble I, sólo Ł-(ET)2Cu2(CN)3 tiene una anisotropía opuesta entre la familia de Ł-(ET)2X estudiado en el pasado. Aquí, las integrales de transferencia efectivas t y t′ se definen en estrofamente a la manera convencional; t = 0 corresponde a la celosía cuadrada, y t′ = 0 las cadenas desacopladas. Por lo tanto, en el caso de que el valor de referencia de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de referencia de la sustancia problema, el valor de referencia de la sustancia problema será el valor de referencia de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema, el valor de referencia de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema. (Q1D) anisotropía en lugar de un lat triangular isotrópico Tice. Teniendo en cuenta que el sistema de giro puro 1D no tiene LRMO y excitación de giro sin espacio, es probable que este Q1D anisotropía se refiere a la formación de la el estado líquido de la rotación sin espacio en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa en el estado de la masa en Sobre la base de la consideración anterior, estudiamos la Modelo Heisenberg en una celosía triangular anisótropa, que equivale a cadenas 1D acopladas con zig-zag http://arxiv.org/abs/0704.0313v1 2 J. Phys. Soc. Jpn. Nombre del autor de la carta los bonos como se muestra en la Fig. 1. El Hamiltoniano es dado por <i,i JSi · Si′ + <i,j> J ′Si · Sj, (1) donde <i, i y <i, j> representan la suma sobre intracadena e intercadena pares vecinos más cercanos con un- constante de acoplamiento tiferromagnético J y J ′, respectivamente (véase la Fig. 1). Investigamos el parámetro anisotropía rango J ′/J = 0,0-1,0, en el que el modelo interpola entre las cadenas desconectadas (J ′ = 0) y la isotrópica Enrejado triangular (J ′ = J). En lo siguiente, consideramos un estado de BCS proyectado definido como â € TM p-BCS , (2) donde PG es el operador de proyección de Gutzwiller que ex- incluye ocupación doble y es un campo medio de BCS función de onda. Dado que es difícil de tratar el Gutzwiller Proyección analíticamente, aplicamos una media de campo RVB ap- proximación al Hamiltoniano (1) y calcular el espectros de excitación de una partícula. Para ponerlo más en contra... En concreto, introducimos campos mezquinos ci↑cj↓ ............................................. y obtener su espectro de excitación por diagonalizando el Hamiltoniano de campo medio. Este ap- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- mación es equivalente a la «aproximación de Gutzwiller» que sustituye el efecto de la proyección de Gutzwiller op- con el peso estadístico gs como p-BCS Si ·Sj â € TM p-BCS Si ·Sj . 3) En la aproximación más simple de Gutzwiller, el estatisti- peso cal se da como gs = 4/(1 + ) 2 donde está la densidad de agujeros,15 y, en el caso de semilleno (­ = 0), gs = 4. Aunque la ocupación doble ya no está excluida de las funciones de onda en esta aproximación, se conoce en la investigación de la superconductividad de alta Tc que la RVB media campo (Gutzwiller) aproximación da quali- Los resultados son muy buenos. Los operadores de spin Si ·Sj en el Hamiltonian (1) pueden ser reescrito por los operadores del fermión como Si · Sj = ci↑ − c†i↓ci↓ cj↑ − c†j↓cj↓ cj↑ + c . 4) Fig. 1. La celosía triangular anisotrópica modelo Heisenberg con acoplamiento intracadena J y acoplamiento en zig-zag entre cadenas J ′. Los vectores de las retículas son los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas y los vectores de las retículas. Al introducir los campos medios, podemos reescribir el Hamiltoniano como HMF = ck c + h.c. excepto por términos constantes. Aquí, K y K son dados por -3J1cos(k) − 3J ′ 2cos(k · 2) + 3cos(k · 3) , (6) 3J1cos(k) + 3J ′ 2cos(k · 2) + 3cos(k · 3) , (7) en los que  1 = (1, 0),  2 = (1/2), 3/2),  3 = (1/2,− como se muestra en la Fig. 1, y ......................................... ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ . (8) En la analogía de la teoría BCS, obtenemos auto-consistentes ecuaciones a temperatura cero i = − eik i i = e-ik i con un espectro de excitación de cuasipartículas + k2. (10) Determinamos los parámetros de orden i, i (i = 1, 2, 3) resolviendo ecuaciones auto-consistentes (9) numéricamente, y obtener el espectro de excitación de una partícula Ek. En primer lugar, verificamos nuestro método en el límite 1D (J ′/J = 0). De acuerdo con la solución exacta, el estado del suelo es un spin desordenado y el espectro de excitación es “des Modo Cloizeaux-Pearson” con S = 1.16 En el presente La teoría del campo medio de RVB, la especificación de excitación de una partícula... trum se convierte en Ek = 3J + 1 2 cos kx (11) en el límite 1D. Esto claramente realiza excitaciones sin brecha at kx = /2. Tenga en cuenta que esta excitación de una sola partícula describe una ruptura de spin singlet, es decir. S = 1/2 spinon excitación, mientras que el modo des Cloizeaux-Pearson de- escribas S = 1 spin-wave (magnon) excitación. Así, dos... spinon excitaciones con kx = γ/2 y kx = /2 forman un S = 1 magnon con kx = 0. Esto significa que el presente espectro de excitación sin diferencia obtenido en la media de RVB- La teoría del campo es consistente con la exacta des Cloizeaux- Modo Pearson. A continuación, mostramos los resultados de 0 ≤ J ′/J ≤ 1 caso, centrándose en los siguientes parámetros: + 1 D23 فارسى + 2 + 3 Debido a la degeneración SU(2) a mitad de llenado,10, 15 estos los parámetros se determinan de forma única independientemente de la de- generar estados terrestres. En realidad, el espectro de excitación J. Phys. Soc. Jpn. Nombre de autor de la carta 3 puede ser escrito como = 9J2D21 cos + 9J ′2D223 + cos2 Por lo tanto, D1, D23 determinan las relaciones de dispersión a lo largo de las cadenas (el 1) y entre las cadenas (el 2), respectivamente. Su dependencia J ′/J calculada en el El tamaño del sistema L = 1200 (N = L2) se representa en la Fig. 2. Una característica notable es que D23 sigue siendo muy pequeño com- a D1, a pesar de la comparativamente grande J a J ′/J + 0,25. Cuando D23 = 0 el sistema es un 1D puro cadena. En efecto, cuando J ′/J = 0, el lado derecho de la ecuaciones auto-consistentes de 2, 3, 2, 3 se convierten todos iguales a cero. Como mostraremos más adelante, D23 es muy pequeño. para J ′/J. 0.25 y desaparece cuando J ′/J → 0. Esto en... dicase que apenas hay correlaciones entre giros de diferentes cadenas, y prácticamente el estado 1D es real- izaciÃ3n. A medida que J ′/J se acerca a la unidad, D23 aumenta gradualmente y se convierte en igual a D1. Finalmente, mostramos en la Fig. 3 la dependencia J ′/J de la espectro de excitación de una partícula Ek en (12). Nos encontramos con que la estructura de los espectros de excitación en 0 ≤ J ′/J. 0,25 tiene poca diferencia con la de las cadenas desacopladas (J ′/J = 0,0). Como resultado, las excitaciones casi sin diferencia son realizado en este amplio rango de parámetros. Esto significa que prácticamente el estado 1D se realiza, que también se espera del comportamiento de D23 en la Fig. 2. Cuando J ′/J supera 0,25, la brecha de excitación aumenta gradualmente a nivel mundial en la primera zona de Brillouin (1BZ). Sin embargo, la forma de la todo el espectro está casi inalterado hasta que el J ′/J sea- viene tan grande como alrededor de 0.6. Por otra parte, la atención se centra en la Excitaciones de energía más bajas (áreas oscuras en el diagrama de contorno se muestra en la Fig. 3), sus ubicaciones en la 1BZ no se desvían de los que figuran en el límite 1D (kx = /2 ) para J ′/J. 0,8. Además, cuando kx = /2, el espectro de excitación Ek es independiente de ky, es decir, Ek = 3J ′D23. Esto es... causa la frustración de dos acoplamientos entre cadenas (corre- sponding al vector de celosía 2 y 3) cancelar el ky dependencia. Este hecho es bastante importante, ya que es indi- cates que las cuasipartículas excitadas a lo largo del kx = /2 las líneas se sienten libres de moverse a lo largo de la dirección ky. Esta es la la misma condición que en el límite 1D, excepto en el caso de los exis- Fig. 2. Dependencia de anisotropía de D1 y D23 para L = 1200. Nota que D23 es muy pequeño en comparación con D1 en un amplio rango 0 ≤ J ′/J.0.25. tence de una brecha de energía finita. La figura 4 muestra la diferencia mínima de energía en el 1BZ en función de la anisotropía J ′/J, cambiando el sistema tamaño L. Podemos ver las excitaciones casi sin espacio en el amplio rango de parámetros 0 ≤ J ′/J. 0.25, al igual que ya está esperada. Es bastante natural que este comportamiento sea simi- Fig. 3. La dependencia de la anisotropía de la excitación de una partícula espectros. Las parcelas de contorno de los espectros están a la izquierda, y secciones a lo largo de la línea ky = 0 están a la derecha. Los hexágonos con rotos líneas representan 1BZ de la celosía triangular. Hasta J ′/J + 0,25, los espectros de cada anisotropía son difícilmente distinguibles, y la unidimensionalidad permanece fuertemente para la gran J ′/J. 4 J. Phys. Soc. Jpn. Nombre del autor de la carta lar a la de D23, teniendo en cuenta que la energía mínima las excitaciones se encuentran a lo largo de kx = /2 para J ′/J. 0.6. Al trazar los mismos datos para varios tamaño del sistema, L, en una escala semi-log (Fig. 4), podemos ver un discontinuo saltar para todos los tamaños. Encontramos que este valor crítico J ′c/J desaparece muy lentamente como (lnL)-1. Por lo tanto, el discontinu- ity es un artefacto de cálculo de tamaño finito. También encontramos que la energía de la brecha mínima es finita cuando infinitesimal Se introduce J ′. En realidad, podemos encajar la dependencia de J ′ como aJ ′ exp(−bJ/J ′)17 para J ′/J. 0.6 como se muestra en la Fig. 4. Considerando que la diferencia mínima de energía ya es alrededor de 3 órdenes de magnitud por debajo de J en J ′/J 0,25, se puede decir que casi sin espacio excitación se realiza en 0 ≤ J ′/J. 0,25. Este resultado es bastante sugestivo. con la expansión anterior de la serie18 y lineal spin wave19, 20 estudios, todos los cuales sugieren un spin di- estado ordenado en el rango de parámetros J ′/J. 0,25. A partir de los resultados anteriores, llegamos a la conclusión de que existe un fuerte tendencia a formar un espectro de excitación 1D-como para el sistema de centrifugado de celosía triangular con anisotropía 0 ≤ J ′/J. 0.6. Además, incluso si la anisotropía es tan grande como 0,6. J ′/J. 0.8, todavía podemos esperar 1D- comportamiento similar para cuasipartículas excepto por la existencia de la brecha de excitación. Discutamos aquí la relación con la (ET)2Cu2(CN)3. La anisotropía del intercambio de giros inter- las acciones de este material se pueden estimar a partir de J = 4t2/U (U siendo la repulsión de Coulomb in situ) como J ′/J 0,89. En esta anisotropía, existe una gran brecha de excitación como se muestra en la Fig. 4. Consideramos dos posibilidades de sub- Sostener la falta de espacio. Una es que la pequeña región de la brecha en Fig. 4 se expande a grandes valores de J ′/J por algunos factores no considerado en el presente modelo. Por ejemplo, si larga... interacciones de intercambio de distancia, fluctuación cuántica o efecto de intercambio de giro múltiple14 (términos de orden superior de el modelo Heisenberg) suprimir no sólo LRMO, sino también la brecha de giro, podemos reproducir el líquido de giro sin espacio en general J ′/J. Estas posibilidades siguen siendo el futuro problemas. Otra posibilidad es que la anisotropía J ′/J de 2Cu2(CN)3 se desvía de la estimación anterior Fig. 4. (Color Online) Anisotropía dependencia del mínimo energía de vacío en el 1BZ (eje derecho) para L=60(diamante), 120(más), 300(cuadrado), 600(cruz) y 1200(triángulo). Las parcelas semi-log de la misma cantidad se muestra también (eje izquierdo). La línea sólida es un función exponencial ajustada aJ ′ exp(−bJ/J ′), donde a = 3,50 y b = 1,61. Encontramos que el comportamiento crítico observado es un artefacto de cálculo de tamaño finito (ver el texto). debido, por ejemplo, a un efecto U finito.21 Si está en la rango J ′/J < 0,25, el intervalo de excitación es suficientemente pequeño y el comportamiento de susceptibilidad (finito en 1.9K, mientras que J + 250K) se puede explicar. En resumen, analizamos un lat triangular anisótropo. modelo Heisenberg utilizando RVB medio-campo aproxima- sión para investigar el origen físico de la brecha. menos spin liquid state observado en el subartículo -(ET)2Cu2(CN)3. Nosotros prestó atención a la anisotropía Q1D de este material, y tomó un enfoque desde el límite 1D. Como resultado de cálculos, encontramos que un estado prácticamente 1D con casi sin huecos excitaciones se realiza en la amplia gama de el parámetro anisotropía 0 ≤ J ′/J. 0,25. Además, la unidimensionalidad permaneció fuertemente incluso en J ′/J > 0,25 debido a la frustración geométrica de la cou- Plings. Consideramos que esta “unidimensionalización por frus- como candidato para el mecanismo de los spin liquid state, aunque la comprensión completa no tiene aún no se ha logrado. Este trabajo fue apoyado en parte por un Grant-in-Aid para la Investigación Científica en Áreas Prioritarias de la Molecular Conductores (No. 15073210) del Ministerio de Edu- catión, Cultura, Deportes, Ciencia y Tecnología, Japón, y también por un Proyecto de Supercomputación de Next Generation, Programa de Nanociencias, MEXT, Japón. 1) Para una revisión, véase T.Ishiguro, K.Yamaji y G.Saito: Organic Superconductores (Springer-Verlag, Berlín, 1998), 2a ed. 2) Y. Shimizu, K. Miyagawa, K. Kanoda, M. Maesato y G. Saito: Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 107001. 3) S.Ohira, Y.Shimizu, K.Kanoda y G.Saito: J. Baja temperatura. Phys. 142 (2006) 153. 4) T.Komatsu, N.Matsukawa, T.Inoue y G.Saito: J. Phys. Soc. Jpn 65 (1996) 1340. 5) P.W.Anderson: Mater. Res. Bull. 8 (1973) 153. 6) B.Bernu, P.Lecheminant, C.Lhuillier y L.Pierre: Phys. Rev. B 50 (1994) 10048. 7) N.Elstner, R.R.P.Singh y A.P.Young: Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1629. 8) P.Lecheminant, B.Bernu, C.Lhuillier y L.Pierre: Phys. Rev. B 52 (1995) 9162. 9) L.Capriotti, A.E.Trumper y S.Sorella: Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 3899. 10) M.Ogata: J. Phys. Soc. Jpn. 72 (2003) 1839. 11) G.Baskaran: Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 097003. 12) T.Watanabe, H.Yokoyama, Y.Tanaka, J.Inoue y M.Ogata: J. Phys. Soc. Jpn 73 (2004) 3404. 13) Y. Shimizu, K. Miyagawa, K. Kanoda, M. Maesato y G. Saito: Prog. Teor. Phys. Suppl. 159 (2005) 52. 14) G.Misguich, C.Lhuillier, B.Bernu y C.Waldtmann: Phys. Rev. B 60 (1999) 1064. 15) F.C.Zhang, C.Gros, T.M.Rice y H.Shiba: Supercond. Sci. Technol. 1 (1988) 36. 16) J.des Cloizeaux y J.J.Pearson: Phys. Rev. 128 (1962) 2131. 17) Queremos agradecer a T.Misawa por señalar esta posi- bilidad. 18) W.Zheng, R.H.McKenzie y R.R.P.Singh: Phys. Rev. B 59 (1999) 14367. 19) J.Merino, R.H.McKenzie, J.B.Marston y C.H.Chung: J. Phys. Condens. Materia 11 (1999) 2965. 20) A.E.Trumper: Phys. Rev. B 60 (1999) 2987. 21) H.Otsuka: Phys. Rev. B 57 (1998) 14658.

Motivado por la observación de un estado líquido de rotación sin espacio en $\kappa$-(BEDT-TTF)$_2$Cu$_2$(CN)$_3$, analizamos el triangular anisotrópico Enrejado $S=1/2$ Modelo Heisenberg con el enlace de valencia resonante campo medio aproximación. Prestando atención a la pequeña anisotropía cuasi-unidimensional del material, tomamos un enfoque de las cadenas unidimensionales (1D) acopladas con lazos frustrantes en zig-zag. Calculando espectros de excitación de una partícula cambiar el parámetro anisotropía $J'/J$ de las cadenas 1D disociadas a la Enrejado triangular isotrópico, encontramos excitaciones casi sin huecos en el ancho rango desde el límite 1D. Esta unidimensionalización por frustración es considerado un candidato para el mecanismo del líquido de giro sin huecos Estado.

arXiv:0704.0313v1 [cond-mat.str-el] 3 Abr 2007 Tipo de letra con jpsj2.cls <ver.1.2> Posibilidad de Estado Líquido de Giro Inalcanzable por Unidimensionalización Yuta Hayashi* y Masao Ogata Departamento de Física, Universidad de Tokio, Hongo, Bunkyo-ku, Tokio, 113-0033 Motivado por la observación de un estado líquido de giro sin huecos en.-(BEDT-TTF)2Cu2(CN)3, nosotros analizar la celosía triangular anisotrópica S = modelo de 1/2 Heisenberg con la valencia resonante la aproximación de la media del campo de enlace. Prestando atención a la pequeña anisotropía cuasi-unidimensional del material, tomamos un enfoque de las cadenas unidimensionales (1D) junto con frustrante bonos zig-zag. Calculando espectros de excitación de una partícula cambiando el parámetro anisotropía J ′/J de las cadenas 1D desacopladas a la celosía triangular isotrópica, nos encontramos casi sin espacio excitaciones en el amplio rango desde el límite 1D. Esta unidimensionalización por frustración es se considera un candidato para el mecanismo del estado líquido de giro sin huecos. PALABRAS CLAVE: líquido spin-less gap liquid (BEDT-TTF)2Cu2(CN)3, celosía triangular anisotrópica, frustración, unidimensionalización Los conductores orgánicos son uno de los fascinantes Als que tienen baja dimensionalidad y relativamente fuerte correlaciones de electrones. Hasta ahora, varios estados físicos se han observado e investigado intensamente1. ellos, magnetismo en la fase aislante Mott junto a la superconductividad no convencional ha sido atraída- • la mejora de las condiciones de vida y de trabajo de los trabajadores; Esta fase se observa en el familia de Ł-(BEDT-TTF)2X, donde BEDT-TTF (ET) denota bis(etileneditio)-tetratiafulvaleno y X- le molesta un anión monovalente. Similitudes con la de la alta- Las tazas Tc son dignas de nota. Otro estimulante El problema del magnetismo es el estado del suelo propiamente dicho. ataduras de sistemas geométricamente frustrados de giro como un tri- retícula angular y una retícula Kagomé. Estos dos intrigu- Las cuestiones que se plantean se recogen en un documento de la Comisión (EET)2Cu2(CN)3), que: es un aislador Mott que tiene un triángulo casi isotrópico celosía, y ha estado en el centro de atención últimamente. De acuerdo con las mediciones NMR de 1H en Seguro,2-(ET)2Cu2(CN)3 no muestra ninguna indicación de larga duración. orden magnético de rango (LRMO) hasta 32mK. Esto es 4 órdenes de magnitud por debajo de la constante de intercambio J + 250K estimados a partir de la dependencia de temperatura de susceptibilidad. Últimamente, un resultado similar ha sido mantenidos por mediciones de relajación de los giros de muones de campo cero, que no han observado LRMO hasta 20mK.3 los resultados sugieren que un estado líquido de giro cuántico es real- en el estado de la tierra. Por otro lado, la estática La susceptibilidad sigue siendo finita hasta 1.9K, y spin- velocidad de relajación de celosía 1/T1 muestra la temperatura de la ley de energía dependencia por debajo de 1K. Esto implica que casi sin diferencia Excitación de giro existe. Este hecho es una característica significativa de la fase líquida de giro observada en este material. Desde la propuesta de Anderson de una valencia resonante Estado de enlace (RVB),5 un enorme número de estudios se ha hecho en el sistema de rotación de celosía triangular. Lo es. ahora una opinión general de que el estado del suelo del isótropo Enrejado triangular modelo Heisenberg tiene LRMO, tales como la estructura de 120o.6–9 Por otro lado, si una ne- glects el LRMO y asume un estado del suelo desordenado, la teoría de campo medio del estado RVB da un giro-brecha * Dirección de correo electrónico: yhayashi@hosi.phys.s.u-tokyo.ac.jp Cuadro I. Anisotropía de las integrales de transferencia efectivas en Ł-(ET)2X. La definición de t y t′ no es la habitual (véase el texto). Anión X t′/t Cu2(CN)3 0,94 Cu(NCS)2 1.19 Cu[N(CN)2]Br 1,33 Cu[N(CN)2]Cl 1.47 Cu(CN)[N(CN)2] 1.47 Ag(CN)2·H2O 1,67 I3 1,72 estado con la simetría dx2−y2+idxy-wave, que se llama “d+id state”.10–12 Este estado RVB, describiendo un estado insu- sistema de centrifugado laminado, corresponde a un estado de BCS proyectado a mitad de llenado en el que los Estados doblemente ocupados son ex- Suprimida. Por lo tanto, las teorías existentes muestran que el terreno estado tiene LRMO en general, y si el orden magnético se destruye en alguna razón, el estado d+id fullgap Aparecer. Si consideramos la fase aislante de Mott de (ET)2Cu2(CN)3 a bajas temperaturas como tri- sistema de giro de celosía angular, los resultados de NMR y sus- mediciones de la sensibilidad, que no sugieren ni LRMO ni spin gap, no se puede explicar. En esta carta, prestamos atención a la pequeña anisotropía de El Consejo de Ministros de Asuntos Exteriores de la Unión Europea, en su sesión de los días 12 y 12 de diciembre, adoptó una posición común sobre la propuesta de directiva del Consejo relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios. derstanding su estado líquido de giro sin huecos. Como se muestra en Ta- ble I, sólo Ł-(ET)2Cu2(CN)3 tiene una anisotropía opuesta entre la familia de Ł-(ET)2X estudiado en el pasado. Aquí, las integrales de transferencia efectivas t y t′ se definen en estrofamente a la manera convencional; t = 0 corresponde a la celosía cuadrada, y t′ = 0 las cadenas desacopladas. Por lo tanto, en el caso de que el valor de referencia de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de referencia de la sustancia problema, el valor de referencia de la sustancia problema será el valor de referencia de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema, el valor de referencia de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema de la sustancia problema. (Q1D) anisotropía en lugar de un lat triangular isotrópico Tice. Teniendo en cuenta que el sistema de giro puro 1D no tiene LRMO y excitación de giro sin espacio, es probable que este Q1D anisotropía se refiere a la formación de la el estado líquido de la rotación sin espacio en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa en el estado de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa de la masa en el estado de la masa en Sobre la base de la consideración anterior, estudiamos la Modelo Heisenberg en una celosía triangular anisótropa, que equivale a cadenas 1D acopladas con zig-zag http://arxiv.org/abs/0704.0313v1 2 J. Phys. Soc. Jpn. Nombre del autor de la carta los bonos como se muestra en la Fig. 1. El Hamiltoniano es dado por <i,i JSi · Si′ + <i,j> J ′Si · Sj, (1) donde <i, i y <i, j> representan la suma sobre intracadena e intercadena pares vecinos más cercanos con un- constante de acoplamiento tiferromagnético J y J ′, respectivamente (véase la Fig. 1). Investigamos el parámetro anisotropía rango J ′/J = 0,0-1,0, en el que el modelo interpola entre las cadenas desconectadas (J ′ = 0) y la isotrópica Enrejado triangular (J ′ = J). En lo siguiente, consideramos un estado de BCS proyectado definido como â € TM p-BCS , (2) donde PG es el operador de proyección de Gutzwiller que ex- incluye ocupación doble y es un campo medio de BCS función de onda. Dado que es difícil de tratar el Gutzwiller Proyección analíticamente, aplicamos una media de campo RVB ap- proximación al Hamiltoniano (1) y calcular el espectros de excitación de una partícula. Para ponerlo más en contra... En concreto, introducimos campos mezquinos ci↑cj↓ ............................................. y obtener su espectro de excitación por diagonalizando el Hamiltoniano de campo medio. Este ap- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- mación es equivalente a la «aproximación de Gutzwiller» que sustituye el efecto de la proyección de Gutzwiller op- con el peso estadístico gs como p-BCS Si ·Sj â € TM p-BCS Si ·Sj . 3) En la aproximación más simple de Gutzwiller, el estatisti- peso cal se da como gs = 4/(1 + ) 2 donde está la densidad de agujeros,15 y, en el caso de semilleno (­ = 0), gs = 4. Aunque la ocupación doble ya no está excluida de las funciones de onda en esta aproximación, se conoce en la investigación de la superconductividad de alta Tc que la RVB media campo (Gutzwiller) aproximación da quali- Los resultados son muy buenos. Los operadores de spin Si ·Sj en el Hamiltonian (1) pueden ser reescrito por los operadores del fermión como Si · Sj = ci↑ − c†i↓ci↓ cj↑ − c†j↓cj↓ cj↑ + c . 4) Fig. 1. La celosía triangular anisotrópica modelo Heisenberg con acoplamiento intracadena J y acoplamiento en zig-zag entre cadenas J ′. Los vectores de las retículas son los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas, los vectores de las retículas y los vectores de las retículas. Al introducir los campos medios, podemos reescribir el Hamiltoniano como HMF = ck c + h.c. excepto por términos constantes. Aquí, K y K son dados por -3J1cos(k) − 3J ′ 2cos(k · 2) + 3cos(k · 3) , (6) 3J1cos(k) + 3J ′ 2cos(k · 2) + 3cos(k · 3) , (7) en los que  1 = (1, 0),  2 = (1/2), 3/2),  3 = (1/2,− como se muestra en la Fig. 1, y ......................................... ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ . (8) En la analogía de la teoría BCS, obtenemos auto-consistentes ecuaciones a temperatura cero i = − eik i i = e-ik i con un espectro de excitación de cuasipartículas + k2. (10) Determinamos los parámetros de orden i, i (i = 1, 2, 3) resolviendo ecuaciones auto-consistentes (9) numéricamente, y obtener el espectro de excitación de una partícula Ek. En primer lugar, verificamos nuestro método en el límite 1D (J ′/J = 0). De acuerdo con la solución exacta, el estado del suelo es un spin desordenado y el espectro de excitación es “des Modo Cloizeaux-Pearson” con S = 1.16 En el presente La teoría del campo medio de RVB, la especificación de excitación de una partícula... trum se convierte en Ek = 3J + 1 2 cos kx (11) en el límite 1D. Esto claramente realiza excitaciones sin brecha at kx = /2. Tenga en cuenta que esta excitación de una sola partícula describe una ruptura de spin singlet, es decir. S = 1/2 spinon excitación, mientras que el modo des Cloizeaux-Pearson de- escribas S = 1 spin-wave (magnon) excitación. Así, dos... spinon excitaciones con kx = γ/2 y kx = /2 forman un S = 1 magnon con kx = 0. Esto significa que el presente espectro de excitación sin diferencia obtenido en la media de RVB- La teoría del campo es consistente con la exacta des Cloizeaux- Modo Pearson. A continuación, mostramos los resultados de 0 ≤ J ′/J ≤ 1 caso, centrándose en los siguientes parámetros: + 1 D23 فارسى + 2 + 3 Debido a la degeneración SU(2) a mitad de llenado,10, 15 estos los parámetros se determinan de forma única independientemente de la de- generar estados terrestres. En realidad, el espectro de excitación J. Phys. Soc. Jpn. Nombre de autor de la carta 3 puede ser escrito como = 9J2D21 cos + 9J ′2D223 + cos2 Por lo tanto, D1, D23 determinan las relaciones de dispersión a lo largo de las cadenas (el 1) y entre las cadenas (el 2), respectivamente. Su dependencia J ′/J calculada en el El tamaño del sistema L = 1200 (N = L2) se representa en la Fig. 2. Una característica notable es que D23 sigue siendo muy pequeño com- a D1, a pesar de la comparativamente grande J a J ′/J + 0,25. Cuando D23 = 0 el sistema es un 1D puro cadena. En efecto, cuando J ′/J = 0, el lado derecho de la ecuaciones auto-consistentes de 2, 3, 2, 3 se convierten todos iguales a cero. Como mostraremos más adelante, D23 es muy pequeño. para J ′/J. 0.25 y desaparece cuando J ′/J → 0. Esto en... dicase que apenas hay correlaciones entre giros de diferentes cadenas, y prácticamente el estado 1D es real- izaciÃ3n. A medida que J ′/J se acerca a la unidad, D23 aumenta gradualmente y se convierte en igual a D1. Finalmente, mostramos en la Fig. 3 la dependencia J ′/J de la espectro de excitación de una partícula Ek en (12). Nos encontramos con que la estructura de los espectros de excitación en 0 ≤ J ′/J. 0,25 tiene poca diferencia con la de las cadenas desacopladas (J ′/J = 0,0). Como resultado, las excitaciones casi sin diferencia son realizado en este amplio rango de parámetros. Esto significa que prácticamente el estado 1D se realiza, que también se espera del comportamiento de D23 en la Fig. 2. Cuando J ′/J supera 0,25, la brecha de excitación aumenta gradualmente a nivel mundial en la primera zona de Brillouin (1BZ). Sin embargo, la forma de la todo el espectro está casi inalterado hasta que el J ′/J sea- viene tan grande como alrededor de 0.6. Por otra parte, la atención se centra en la Excitaciones de energía más bajas (áreas oscuras en el diagrama de contorno se muestra en la Fig. 3), sus ubicaciones en la 1BZ no se desvían de los que figuran en el límite 1D (kx = /2 ) para J ′/J. 0,8. Además, cuando kx = /2, el espectro de excitación Ek es independiente de ky, es decir, Ek = 3J ′D23. Esto es... causa la frustración de dos acoplamientos entre cadenas (corre- sponding al vector de celosía 2 y 3) cancelar el ky dependencia. Este hecho es bastante importante, ya que es indi- cates que las cuasipartículas excitadas a lo largo del kx = /2 las líneas se sienten libres de moverse a lo largo de la dirección ky. Esta es la la misma condición que en el límite 1D, excepto en el caso de los exis- Fig. 2. Dependencia de anisotropía de D1 y D23 para L = 1200. Nota que D23 es muy pequeño en comparación con D1 en un amplio rango 0 ≤ J ′/J.0.25. tence de una brecha de energía finita. La figura 4 muestra la diferencia mínima de energía en el 1BZ en función de la anisotropía J ′/J, cambiando el sistema tamaño L. Podemos ver las excitaciones casi sin espacio en el amplio rango de parámetros 0 ≤ J ′/J. 0.25, al igual que ya está esperada. Es bastante natural que este comportamiento sea simi- Fig. 3. La dependencia de la anisotropía de la excitación de una partícula espectros. Las parcelas de contorno de los espectros están a la izquierda, y secciones a lo largo de la línea ky = 0 están a la derecha. Los hexágonos con rotos líneas representan 1BZ de la celosía triangular. Hasta J ′/J + 0,25, los espectros de cada anisotropía son difícilmente distinguibles, y la unidimensionalidad permanece fuertemente para la gran J ′/J. 4 J. Phys. Soc. Jpn. Nombre del autor de la carta lar a la de D23, teniendo en cuenta que la energía mínima las excitaciones se encuentran a lo largo de kx = /2 para J ′/J. 0.6. Al trazar los mismos datos para varios tamaño del sistema, L, en una escala semi-log (Fig. 4), podemos ver un discontinuo saltar para todos los tamaños. Encontramos que este valor crítico J ′c/J desaparece muy lentamente como (lnL)-1. Por lo tanto, el discontinu- ity es un artefacto de cálculo de tamaño finito. También encontramos que la energía de la brecha mínima es finita cuando infinitesimal Se introduce J ′. En realidad, podemos encajar la dependencia de J ′ como aJ ′ exp(−bJ/J ′)17 para J ′/J. 0.6 como se muestra en la Fig. 4. Considerando que la diferencia mínima de energía ya es alrededor de 3 órdenes de magnitud por debajo de J en J ′/J 0,25, se puede decir que casi sin espacio excitación se realiza en 0 ≤ J ′/J. 0,25. Este resultado es bastante sugestivo. con la expansión anterior de la serie18 y lineal spin wave19, 20 estudios, todos los cuales sugieren un spin di- estado ordenado en el rango de parámetros J ′/J. 0,25. A partir de los resultados anteriores, llegamos a la conclusión de que existe un fuerte tendencia a formar un espectro de excitación 1D-como para el sistema de centrifugado de celosía triangular con anisotropía 0 ≤ J ′/J. 0.6. Además, incluso si la anisotropía es tan grande como 0,6. J ′/J. 0.8, todavía podemos esperar 1D- comportamiento similar para cuasipartículas excepto por la existencia de la brecha de excitación. Discutamos aquí la relación con la (ET)2Cu2(CN)3. La anisotropía del intercambio de giros inter- las acciones de este material se pueden estimar a partir de J = 4t2/U (U siendo la repulsión de Coulomb in situ) como J ′/J 0,89. En esta anisotropía, existe una gran brecha de excitación como se muestra en la Fig. 4. Consideramos dos posibilidades de sub- Sostener la falta de espacio. Una es que la pequeña región de la brecha en Fig. 4 se expande a grandes valores de J ′/J por algunos factores no considerado en el presente modelo. Por ejemplo, si larga... interacciones de intercambio de distancia, fluctuación cuántica o efecto de intercambio de giro múltiple14 (términos de orden superior de el modelo Heisenberg) suprimir no sólo LRMO, sino también la brecha de giro, podemos reproducir el líquido de giro sin espacio en general J ′/J. Estas posibilidades siguen siendo el futuro problemas. Otra posibilidad es que la anisotropía J ′/J de 2Cu2(CN)3 se desvía de la estimación anterior Fig. 4. (Color Online) Anisotropía dependencia del mínimo energía de vacío en el 1BZ (eje derecho) para L=60(diamante), 120(más), 300(cuadrado), 600(cruz) y 1200(triángulo). Las parcelas semi-log de la misma cantidad se muestra también (eje izquierdo). La línea sólida es un función exponencial ajustada aJ ′ exp(−bJ/J ′), donde a = 3,50 y b = 1,61. Encontramos que el comportamiento crítico observado es un artefacto de cálculo de tamaño finito (ver el texto). debido, por ejemplo, a un efecto U finito.21 Si está en la rango J ′/J < 0,25, el intervalo de excitación es suficientemente pequeño y el comportamiento de susceptibilidad (finito en 1.9K, mientras que J + 250K) se puede explicar. En resumen, analizamos un lat triangular anisótropo. modelo Heisenberg utilizando RVB medio-campo aproxima- sión para investigar el origen físico de la brecha. menos spin liquid state observado en el subartículo -(ET)2Cu2(CN)3. Nosotros prestó atención a la anisotropía Q1D de este material, y tomó un enfoque desde el límite 1D. Como resultado de cálculos, encontramos que un estado prácticamente 1D con casi sin huecos excitaciones se realiza en la amplia gama de el parámetro anisotropía 0 ≤ J ′/J. 0,25. Además, la unidimensionalidad permaneció fuertemente incluso en J ′/J > 0,25 debido a la frustración geométrica de la cou- Plings. Consideramos que esta “unidimensionalización por frus- como candidato para el mecanismo de los spin liquid state, aunque la comprensión completa no tiene aún no se ha logrado. Este trabajo fue apoyado en parte por un Grant-in-Aid para la Investigación Científica en Áreas Prioritarias de la Molecular Conductores (No. 15073210) del Ministerio de Edu- catión, Cultura, Deportes, Ciencia y Tecnología, Japón, y también por un Proyecto de Supercomputación de Next Generation, Programa de Nanociencias, MEXT, Japón. 1) Para una revisión, véase T.Ishiguro, K.Yamaji y G.Saito: Organic Superconductores (Springer-Verlag, Berlín, 1998), 2a ed. 2) Y. Shimizu, K. Miyagawa, K. Kanoda, M. Maesato y G. Saito: Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 107001. 3) S.Ohira, Y.Shimizu, K.Kanoda y G.Saito: J. Baja temperatura. Phys. 142 (2006) 153. 4) T.Komatsu, N.Matsukawa, T.Inoue y G.Saito: J. Phys. Soc. Jpn 65 (1996) 1340. 5) P.W.Anderson: Mater. Res. Bull. 8 (1973) 153. 6) B.Bernu, P.Lecheminant, C.Lhuillier y L.Pierre: Phys. Rev. B 50 (1994) 10048. 7) N.Elstner, R.R.P.Singh y A.P.Young: Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1629. 8) P.Lecheminant, B.Bernu, C.Lhuillier y L.Pierre: Phys. Rev. B 52 (1995) 9162. 9) L.Capriotti, A.E.Trumper y S.Sorella: Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 3899. 10) M.Ogata: J. Phys. Soc. Jpn. 72 (2003) 1839. 11) G.Baskaran: Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 097003. 12) T.Watanabe, H.Yokoyama, Y.Tanaka, J.Inoue y M.Ogata: J. Phys. Soc. Jpn 73 (2004) 3404. 13) Y. Shimizu, K. Miyagawa, K. Kanoda, M. Maesato y G. Saito: Prog. Teor. Phys. Suppl. 159 (2005) 52. 14) G.Misguich, C.Lhuillier, B.Bernu y C.Waldtmann: Phys. Rev. B 60 (1999) 1064. 15) F.C.Zhang, C.Gros, T.M.Rice y H.Shiba: Supercond. Sci. Technol. 1 (1988) 36. 16) J.des Cloizeaux y J.J.Pearson: Phys. Rev. 128 (1962) 2131. 17) Queremos agradecer a T.Misawa por señalar esta posi- bilidad. 18) W.Zheng, R.H.McKenzie y R.R.P.Singh: Phys. Rev. B 59 (1999) 14367. 19) J.Merino, R.H.McKenzie, J.B.Marston y C.H.Chung: J. Phys. Condens. Materia 11 (1999) 2965. 20) A.E.Trumper: Phys. Rev. B 60 (1999) 2987. 21) H.Otsuka: Phys. Rev. B 57 (1998) 14658.

Extra dimensions and Lorentz invariance violation

Dimensiones adicionales y violación de la invarianza de Lorentz Viktor Baukh* y Alexander Zhuk† Departamento de Física Teórica y Observatorio Astronómico, Universidad Nacional de Odessa, 2 Dvoryanskaya St., Odessa 65026, Ucrania Tina Kahniashvili‡ CPCP, Universidad de Nueva York, 4 Washington Place, Nueva York, NY 10003, EE.UU. Observatorio Astrofísico Nacional Abastumani, 2A Kazbegi Ave, Tbilisi, GE-0160 Georgia Consideramos modelo eficaz donde los fotones interactúan con el campo escalar correspondiente a la conformación excitaciones del espacio interno (modulos geométricos/gravexcitones). Demostramos que esto interacción resulta en una relación de dispersión modificada para los fotones, y en consecuencia, el grupo de fotones la velocidad depende de la energía que implica el efecto de retardo del tiempo de propagación. Sugerimos utilizar el límites experimentales del tiempo de retraso de las ráfagas de rayos gamma (GRBs) propagación de fotones como un restricción adicional para los parámetros del gravexciton. Números PACS: 04.50.+h, 11.25.Mj, 98.80.-k La invarianza de Lorentz (LI) de las leyes físicas es una de las piedra angular de la física moderna. Hay un número de ex- Perimentos que confirman esta simetría en energías que podemos Acércate ahora. Por ejemplo, en un nivel clásico, el ro- La invarianza de la tensión se ha probado en Michelson-Morley experimentos, y el aumento de la invarianza se ha probado en experimentos Kennedy-Torhndike [1]. Aunque, arriba Hasta ahora, LI está bien establecido experimentalmente, podemos... no decir con seguridad que a las energías superiores sigue siendo válido. Además, los datos astrofísicos y cosmológicos modernos (por ejemplo: UHECR, materia oscura, energía oscura, etc) indican en caso de posible violación de las normas de LIC (LV). Para resolver estos problemas... Lenges, hay un número de intentos de crear nuevos phys- ica, como la teoría de las cuerdas M, Kaluza-Klein mod- Els, Brane-world modelos, etc. [1]. En este artículo investigamos la prueba de LV relacionada con el fotón medida de dispersión (FhDM). Esta prueba se basa en el Efecto LV de una velocidad fenomenológica dependiente de la energía de fotón [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], para estudios recientes véase Ref. [9] y sus referencias. El formalismo que usamos se basa en la analogía con propagación de ondas electromagnéticas en un magnetizado medio, y extiende las obras anteriores [8, 10, 11]. En nuestro modelo, en lugar de propagación en un medio magnetizado, las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío lleno de un campo escalar. El LV se produce a causa de un in- Término de la transacción f()F 2 donde F es una amplitud de la Campo electromagnético. Tal interacción podría tener diferentes orígenes. En la teoría de cuerdas podría ser un dila- campo de toneladas [12, 13]. El campo puede ser asociado con modulo geométrico. En brane-world modelos el similar término describe una interacción entre el dilato a granel y los campos Modelo Estándar en el salvado [14]. In Ref. [15], tal interacción se obtuvo en N = 4 * Dirección electrónica: bauch vGR@ukr.net †Dirección electrónica: zhuk@paco.net ‡Dirección electrónica: tinatin@phys.ksu.edu supergravedad en cuatro dimensiones. En Kaluza-Klein mod- els el término f()F 2 tiene el origen geométrico puro, y aparece en el efectivo, dimensionalmente reducido, cuatro acción dimensional (véase, por ejemplo, [16, 17]). En particular, en reducción de las teorías Einstein-Yang-Mills, la función f() coincide (hasta un prefactor numérico) con el volumen del espacio interno. Fenomenológico (exactamente solv- se consideraron modelos con simetrías esféricas en Refs. [18]. Para ser más específicos, consideramos el modelo que se basa en la reducción de Einstein-Yang-Mills el- ory [17], donde el término â € € ¢ F 2 describe la interacción entre las excitaciones conformales del espacio interno (gravexcitons) y fotones. Es evidente que la El efecto VI existe para todos los tipos de interacciones de la forma f) F 2 antes mencionado. Obviamente, el término de interacción f()F 2 modifica el Maxwell ecuaciones, y, en consecuencia, resulta en un mod- relación de dispersión condicionada para los fotones. Demostramos que esta modificación tiene una forma más bien específica. Por ejemplo, demostramos que los índices de refracción para la izquierda y las ondas polarizadas circularmente coinciden entre sí. Así, se preserva la invarianza rotacional. Sin embargo, el velocidad de propagación de la onda electromagnética en vac- uum difiere de la velocidad de la luz c. Esta diferencia implica el efecto de retardo del tiempo que se puede medir a través de Se propagan fotones GRB de alta energía sobre cosmológicos distancias (véase, por ejemplo, Ref. [9]). Está claro que los Gravexcitons no debe sobrecercar el Universo y no debe resultar en variaciones de la constante de la estructura fina. Estos de- las mands conducen a ciertas restricciones para los gravexcitones (ver Refs. [17, 19]). Utilizamos el efecto de retardo de tiempo, causado por la interacción entre fotones y gravexcitones, para obtener límites adicionales en los parámetros de los gravexcitones. El punto de partida de nuestra investigación es el Abelian parte de la acción D-dimensional de los Einstein-Yang-Mills teoría: SEM = − gFMNFMN, (1) http://arxiv.org/abs/0704.0314v4 mailto:bauch_vGR@ukr.net mailto:zhuk@paco.net mailto:tinatin@phys.ksu.edu donde la métrica D-dimensional, g = gMN (X)dX dXN = g(0)(x) μ dx v + a21(x)g(1), se define en el colector del producto M = M0 × M1. Aquí, M0 es el espacio externo (D0 = d0 + 1)-dimensional. El d1- espacio interno dimensional M1 tiene una curvatura constante con el factor de escala a1(x) فارسى LPl expβ1(x). Dimensional La reducción de la acción (1) da lugar a los siguientes efectos: tiva D0-dimensional acción [17] S̄EM = − [(1 - D-0-F-F-], (2) que está escrito en el marco de Einstein con el D0- métrica dimensional, g (exp. d1) 1)−2/(D0−2)g Aquí, #0 # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (D0 - 2)/d1 (D - 2) - 1 y 1 - β1 − β10 son pequeñas fluctuaciones de la escala de espacio interna factor sobre el fondo estable β10 (0 subíndice de- señala el valor actual). Estas escalas de espacio interno... factor pequeñas fluctuaciones/oscilaciones tienen la forma de un campo escalar (llamado gravexciton [20]) con una masa m® definido por la curvatura del potencial efectivo (véase el detalle [20]). La acción (2) se define en el Aproximación 0 < 1 que, obviamente, se mantiene para el condición1 ≤ < MPl. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 = 8η/M Pl es de cuatro dimensiones... constante gravitacional sional, MPl es la masa de la Planca, D = 2 d1/[(D0 − 1)(D − 1)] es un modelo Stant. La densidad lagrangiana para el campo escalar dice: gś(0)(−g,m2)/2. Para la simplicidad nosotros Asumir que gœ0 es el piso Friedman-Lemaitre-Robertson- métrica de Walker (FLRW) con el factor de escala a(t). Consideremos Eq. 2). Cabe señalar que el El tensor de fuerza de campo D0-dimensional, F.O., es de calibre en- Variante 2 En segundo lugar, la acción (2) es conforme invariante en el caso cuando D0 = 4. La transformación al Einstein el marco no rompe la invariabilidad del ancho de banda de la acción (2), y el campo electromagnético es antisimétrico como de costumbre, ...................................................................................... Variando (2) con respecto a la potencial vector electromagnético, -g (1 - D-0-F-) = 0. 3) El segundo mandato que figura entre corchetes la interacción entre los fotones y el campo escalar, y como mostramos a continuación, es responsable de LV. En par- ticular, acoplamiento entre fotones y el campo escalar hace que la velocidad de los fotones sea diferente de la estándar velocidad de la luz. Eq. (3) junto con la identidad Bianchi (que se conserva en el modelo considerado debido a la invarianza del tensor, F. [17]) define un conjunto completo 1 En el modelo brane-world el prefactor ­0 en la expresión para Se sustituye el valor de 0 % por el parámetro proporcional a M. [14]. Por lo tanto, la condición de pequeñez se mantiene para • < MEW. 2 Eq. (2) puede ser reescrita en la forma más familiar S̄EM = −(1/2) g?(0)F F̄ * [17]. El tensor de fuerza de campo F no es indicador invariante aquí. de las ecuaciones generalizadas de Maxwell. Como hemos señalado, ac- tion (2) es conformalmente invariante en la dimensión 4D espacio-tiempo. Por lo tanto, es conveniente presentar el plano FLRW métrica g­0 en forma plana conforme: g­0­ = a 2, donde es la métrica de Minkowski. Utilizando la definición estándar de la electromagnética tensor de campo, F.O., obtenemos el conjunto completo de la Maxwell ecuaciones en el vacío, • ·B = 0, (4) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O ( ·E), (5) B = E − D.O.A. 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O [ ×B], (6) E = B , (7) donde todas las operaciones se realizan en el Minkowski espacio-tiempo, η denota tiempo conforme relacionado con la fis- tiempo cal t como dt = a(η)dη, y un overdot representa un derivado con respecto al tiempo de conformidad η. Eqs. (4) y (7) corresponden a la identidad Bianchi, y ya que se conserva, Eqs. 4) y 7) mantener su habitual formas. Eqs. 5) y 6) se modifican debido a las interacciones entre fotones y gravexcitones. Estos mod- las especificaciones tienen un significado físico simple: la interacción entre los fotones y el campo escalar actúa como un eficaz carga eléctrica eeff. Esta carga efectiva es proporcional para el producto escalar del gradiente de campo y el E campo, y desaparece para un campo homogéneo. Los modificación de Eq. (6) corresponde a un efecto alquiler Jeff, que depende de ambos eléctricos y magnéticos campos. Esta corriente efectiva está determinada por variaciones del campo de a lo largo del tiempo () y del espacio (). Por el caso de un campo homogéneo la corriente efectiva es todavía presente y se lleva a cabo LV. El Maxwell modificado Las ecuaciones son conformalmente invariantes. Para dar cuenta de la expansión del Universo reescalamos los componentes de campo asB,E → B,E a2 [21]. Para obtener una relación de dispersión para fotones, utilizamos la transformación de Fourier entre la posición y el número de onda espacios como, F(k, ­) = dη d3x e−i(k·x)F(x, η), F(x, η) = (2η)4 • d3kei(k·x)F(k, فارسى). (8) Aquí, F es una función vectorial que describe bien el elec- tric o el campo magnético, es la frecuencia angular de la onda electromagnética medida hoy, y k es la Ventor de ondas. Asumimos que el campo es una oscila- campo tory con la frecuencia y el impulso q, por lo que (x, η) = Cei(q·x), C = const. Eq. 4) implica B k. Sin pérdida de la generalidad, y para la simplicidad ity de la descripción asumimos que el vector de onda k es orientado a lo largo del eje z. Usando Eq. (7) obtenemos E B. Una onda polarizada linealmente puede expresarse como una super- posición de izquierda (L, −) y derecha (R, +) (LCP y RCP) ondas. Utilización de la base de polarización de Sec. 1.1.3 de Ref. [22], derivamos E± = (Ex± iEy)/ Reescribiendo Eqs. (4) - (7) en los componentes,3 para LCP y las ondas RCP que tenemos, (1 − n2+)E+ = 0, (1− n2(−)E − = 0, (9) donde n+ y n− son índices de refracción para PCR y PCL ondas electromagnéticas n2+ = k2 [1 - D-0-(1 + qz/k)] [1-D-0-(1 + /)] = n2−. (10) En el caso de que se preserve el LI electromagnético las ondas que se propagan en el vacío tienen n+ = n− = n = n/ ñ/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n Para la propagación de ondas electromagnéticas en el plasma magnetizado, k/• 6= 1, y la diferencia sea- entre los índices de refracción LCP y RCP describe la Efecto de rotación de Faraday, α (n+ − n−) [23]. En el modelo considerado, ya que n+ = n− el efecto de rotación es ausencia, pero la velocidad de las ondas electromagnéticas propaga- en el vacío difiere de la velocidad de la luz c (véase también Ref. [24] para el VI inducido por el campo electromagnético cou- a otros campos genéricos). Esta diferencia implica la efecto de retardo del tiempo de propagación, una distancia de propagación), es la diferencia entre la tiempo de viaje del fotón y que para un “fotón” que viaja a la velocidad de la luz c. Aquí, t es síncrono físico Tiempo. Esta fórmula no tiene en cuenta el evo- la contaminación del Universo. Sin embargo, es fácil demostrar que el efecto de la expansión del Universo es insignificantemente pequeño. Resolviendo la relación de dispersión como una ecuación cuadrada, Obtenemos *2* − q2z (D­0­)2 , (11) donde ± signos corresponden a fotones hacia adelante y hacia atrás- dirección de la sala, respectivamente. La velocidad del grupo inverso modificado (11) muestra que el efecto LV se puede medir si conocemos el gravexciton frecuencia, componente z del impulso qz y su Amplitud. Para nuestras estimaciones, suponemos que......................................................................................................................................................... el campo oscilatorio, satisfactorio (en el marco local de Lorentz) la relación de dispersión, â € ¢ 2â = m # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q # 2, donde más es el masa de Gravexcitons4. Desafortunadamente, no tenemos 3 Hemos definido el sistema de 6 ecuaciones con respecto a 6 componentes de los vectores E y B. Este sistema tiene no trivial soluciones sólo si su determinante no es cero. De esta condición Obtenemos la relación de dispersión. El efecto de rotación Faraday es ausente si la matriz tiene una forma diagonal. 4 Para obtener los valores físicos de los parámetros correspondientes debemos reescalarlos por el factor de escala a. cualquier información relativa a los parámetros de los gravexcitones (algunas estimaciones se pueden encontrar en [17, 19]). Por lo tanto, nosotros tener la intención de utilizar los posibles efectos del VI (suponiendo que se cause por interacción entre fotones y gravexcitones) a establecer límites de los parámetros de gravexciton. Por ejemplo, podemos obtener fácilmente la siguiente estimación para el límite superior de la amplitud de las oscilaciones de gravexciton: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * MPl, (12) donde podemos usar sus valores físicos para........................................................................................................................................................................................................................................................... En el caso de los GRB con un valor de 1021 a 1022 Hz de 10 a 4 Hz de 10 a 4 Hz 10-3GeV y 3-o 5 × 109y 1017seg el típico el límite superior para el tiempo de retraso es de 10 a 4 segundos [9]. Por estos valores el límite superior de la amplitud de Gravexciton de oscilaciones es5 # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 10-13GeV . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta estimación muestra que nuestra aproximación es inferior a 1 obras para las masas de Gravexciton −13GeV. Futuro mediciones del efecto de demora en el tiempo para los BGR en que las relaciones entre mujeres y hombres aumentarían significativamente el límite de hasta más > 10 −9GeV. Por otra parte, Experimentos de tipo cavendish [26, 27]) no incluyen la quinta fuerza Partículas con masas mÃ3s. 1/(10) −2cm) • 10−12GeV que está bastante cerca de nuestro límite inferior para el campo masas. Respetivamente cambiamos ligeramente la consideración masa límite inferior que debe ser ≥ 10-12GeV. Estas masas considerablemente más alta que la masa correspondiente a la igualdad entre las densidades energéticas de la materia y radiación (igualdad entre la materia y la radiación), meq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq. 10-37GeV, donde Heq es el Hubble “constante” ter/igualdad de radiación. Significa que tales -partículas empezar a oscilar durante la época dominada por la radiación (véase el apéndice). Otro atado a las masas de las partículas viene de la condición de su estabilidad. Con re- la vida-tiempo de las partículas-es (MPl/mó)3tPl [17], y las condiciones de estabilidad re- pregunta que el tiempo de decadencia debe ser mayor que la edad del Universo. De acuerdo con esto, consideramos que la luz gravex... citonas con masas m ≤ 10−21MPl ≤ 10−2GeV ≤ 20me (donde yo es la masa de electrones). Como una restricción adicional surge de la condición que tales gravesxcitones cosmológicos no deben sobrecerrar el Universo observable. Esto dice más. meq(MPl/in) 4 que implica la siguiente restricción: para la amplitud de las oscilaciones iniciales: (meq/mÃ3) MPL • MPl [19]. Por lo tanto, para el rango de masas 10 - 12GeV ≤ m ≤ 10 - 2GeV, obtenemos respec- En particular, en el Reino Unido. 10 −6MPl y en. 10 −9MPl. De acuerdo con 5 Damos las gracias a R. Lehnert para señalar que además del tiempo de- efecto laico el efecto Cherenkov podría ser utilizado para limitar el el campo electromagnético y la fuerza de acoplamiento del campo [25]. Eq. (A.3), también podemos obtener la estimación de la amplitud de oscilaciones del gravexciton considerado en el presente Tiempo. Junto con la condición de no-extremidad, obtenemos de esta expresión que 0 10−43 para 10 - 12GeV y en 10 - 6MPl y en 10 - 53 para más de 10-2GeV y más de 10-9MPl. Obviamente, es mucho menos que el límite superior (13). Nota, como los hombres... cionados arriba, gravexcitons con masas mÃ3 & 10 −2GeV puede comenzar a decaer en la época actual. Sin embargo, tomando en cuenta la estimación 0 10−53, podemos fácilmente obtener que su densidad de energía (02/8 10-55g/cm3 es mucho menor que la densidad de energía actual de la radiación 10-34g/cm3. Por lo tanto, contribuye Negligiblemente en . De lo contrario, los Gravexcitons con masas mÃ3s & 10 − 2GeV debe observarse en la actualidad, que, obviamente, no es el caso. Además, se deriva de Eq. (42) in Ref. [17] que para evitar el problema de la estructura fina constante variación, la amplitud de las oscilaciones iniciales debe satisfacer la condición: in. 10 −5MPl que, obviamente, completamente de acuerdo con nuestro límite superior. 10 -6GeV. En resumen, hemos demostrado que los efectos LV pueden dar adi- restricciones de los parámetros de los gravexcitones. En primer lugar, Descubrimos que los Gravexcitons no deben ser más ligeros que 10-13GeV. Está muy cerca del límite que sigue desde el experimento de la quinta fuerza. Por otra parte, los experimentos para GRB a las frecuencias • > 1GeV puede dar lugar a un cambio significativo de Este límite inferior lo hace mucho más fuerte que el quinto- Estimaciones de fuerza. Junto con la no-extremidad con- dad, esta estimación conduce al límite superior en la am- plitud de las oscilaciones iniciales de Gravexciton. Debería que no excedan de los límites establecidos en el artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. 10 -6GeV. Por lo tanto, el atado en el ini- amplitud tial obtenida de la constante de la estructura fina variación es una magnitud más débil que la nuestra, incluso para el caso limitante de las masas de Gravexciton. Aumento la masa de Gravexcitons hace que nuestro límite sea más fuerte. Nuestro estimaciones para la amplitud actual de la gravexci- oscilaciones de toneladas, a partir de las itaciones, demostrar que no podemos utilizar el efecto LV para el Detecciones directas de los Gravexcitons. Sin embargo, el los límites obtenidos pueden ser útiles para la astrofísica y cos- aplicaciones mológicas. Por ejemplo, supongamos que Gravexcitons con masas más > 10 - Se producen 2GeV durante las últimas etapas de la expansión del Universo en algunas re- gions y los fotones GRB viajan a nosotros a través de estos re- gions. Entonces, Eq. (A.3) no es válido para tales gravexcitones de origen astrofísico y el único límite superior la amplitud de sus oscilaciones (en estas regiones) bajos de Eq. (13). En el caso de las masas de TeV tenemos 10-16. Si los fotones GRB tienen frecuencias hasta 1 TeV, 1TeV, entonces esta estimación se incrementa en 6 órdenes de magnitud. Agradecimientos Agradecemos a G. Dvali, G. Gabadadze, A. Gruzinov, G. Melikidze, B. Ratra, y A. Starobinsky para estimular debates. T. K. y A. Zh. Reconozca que el hospital... ity del Centro Internacional Abdus Salam para Teoreti- cal Física (ICTP) donde se ha iniciado este trabajo. A.Zh. quisiera dar las gracias a la División de Teoría del CERN por su amable hospitalidad durante la etapa final de este trabajo. T.K. reconoce el apoyo parcial de INTAS 061000017-9258 y Georgian NSF ST06/4-096 subvenciones. A. Apéndice: Dinámica de los Gravexcitones de Luz En este apéndice se resumen brevemente los principales elementos de los gravescitones de luz necesarios para nuestras inves... Tigaciones. La descripción más detallada se puede encontrar en Refs. [17, 19]. La ecuación efectiva del movimiento para el cosmólogo masivo- ical gravexciton6 es • + (3H + •) • +m2 = 0, (A.1) donde H • 1/t y • m3 •/M2Pl son el Hubble pa- rómetro y tasa de desintegración ( → ) correspondiente. Esto ecuación muestra que a veces cuando el Hubble parame- ter es inferior a la masa de Gravexciton: H. má el escalar campo comienza a oscilar (es decir. tiempo de estaño H-1in 1/m indica aproximadamente el comienzo de las oscilaciones: * * CB(t) cos(mÃ3t+ ♥). (A.2) Consideramos a los gravexcitones cosmológicos con masas 10−12GeV ≤ m≤ ≤ 10−2GeV. La unión inferior de fol- baja tanto de los experimentos de la quinta fuerza y Eq. (13). El límite superior se deriva de la demanda de que la vida- tiempo de estas partículas (con respecto a la descomposición • → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • es más grande que la era del Universo: (MPl/m®) tPl ≥ 1019 seg > tuniv + 4 × 1017 seg. Por lo tanto, podemos descuidar los procesos de decaimiento de estas tumbas. toneladas. Además, se puede ver fácilmente que estos par- los ticles comienzan a oscilar antes del teq H−1eq cuando el en- las densidades ergy de la materia y la radiación se vuelven iguales el uno al otro (igualdad de materia/radiación). De acuerdo con los datos actuales de WMAP para el modelo CDM que tiene 10-56MPl 10-28eV. Por lo tanto, considerado Las partículas tienen masas de meq y comienzan a oscil- tarde durante la etapa dominada por la radiación. No lo harán. overclose el Universo observable si el siguiente condi- ión está satisfecho: meq(MPl/in) 4, donde se encuentra la amplitud de las oscilaciones iniciales en el estaño actual (véase Eq. (18) in Ref. [19]). Prefactores C y B(t) en Eq. (A.2) los gravexcitones ligeros sidered, respectivamente, deben decir: (en/MPl) (MPl/m®) y B(t) • MPl (MPlt)−3s/2. Aquí, s = 1/2, 2/3 para oscilaciones durante la radiación 6 Hemos visto que la interacción entre los gravexcitones y o- materia dinaria (en nuestro caso es 4D-fotones) es suprimido por el Escala de Planck. Por lo tanto, los Gravexcitons están débilmente interactuando masivamente Partículas (WIMPs). las etapas dominadas y la materia dominada, corresponde- Ingly. Estamos interesados en las oscilaciones de Gravexciton en el momento actual t = tuniv. En este caso s = 2/3 y para B(tuniv) obtenemos: B(tuniv) • t−1univ • 10−61MPl. Por lo tanto, la amplitud de las oscilaciones de Gravexciton luz En la actualidad, el texto es el siguiente: 0 10−60 . (A.3) [1] V. A. Kostelecký, Tercera reunión sobre el CPT y Lorentz Simetría (World Scientific, Singapur, 2005); G. M. Shore, Nucl. Phys. B 717, 86 (2005). D. Mattingly, Liv... ing Rev. Rel. 8, 5 (2005); T. Jacobson, S. Liberati, y D. Mattingly, Ann. Phys. 321, 150 (2006). [2] G. Amelino-Camelia, et al., Nature, 393, 763, (1998). [3] J. R. Ellis, K. Farakos, N. E. Mavromatos, V. A. Mit- Sou y D. V. Nanopoulos, Astrophys. J. 535, 139 (2000); J. R. Ellis, N. E. Mavromatos, D. V. Nanopoulos, A. S. Sakharov y E. K. G. Sarkisyan, Astropart. Phys. 25, 402 (2006). [4] V. A. Kostelecký y M. Mewes, Phys. Rev. Lett. 87, 251304 (2001); G. Amelino-Camelia y T. Piran, Phys. Rev. D 64, 036005 (2001). [5] S. Sarkar, Mod. Phys. Lett. A 17, 1025 (2002) [6] R. C. Myers y M. Pospelov, Phys. Rev. Lett. 90, 211001 (2003). [7] T. Piran, en Efectos de Escalas de Planck en Astrofísica y Cosmología, eds. J. Kowalski-Glikman y G. Amelino- Camelia (Springer, Berlín, 2005), pág. 351. [8] T. Jacobson, S. Liberati, y D. Mattingly, Nature 424, 1019 (2003). [9] M. Rodguez Martenez y T. Piran, J. Cosmo. Como... Tropart. Phys. 4, 006 (2006). [10] S. M. Carroll, G. B. Field, y R. Jackiw, Phys. Rev. D 41, 141601 (1990). [11] T. Kahniashvili, G. Gogoberidze, y B. Ratra, Phys. Lett. B 643, 81 (2006). [12] M.B. Green, J.H. Schwarz y E. Witten, 1987 Teoría de cuerdas, (Cambridge: Cambridge Univ. Prensa). [13] T. Damour y A.M. Polyakov, Nucl. Phys. B 423, 532 (1994). [14] A. Zhuk, Int. J. Mod. Phys. D 11, 1399 (2002). [15] V.A. Kostelsky, R. Lehnert y M. Perry, Phys.Rev. D 68, 123511 (2003). [16] P. Loren-Aguilar, E. García-Berro, J. Isern y Yu.A. Kubyshin, Class.Quant.Grav. 20, 3885, (2003). [17] U. Günther, A. Starobinsky y A. Zhuk, Phys. Rev. D69, 044003 (2004). [18] K.P. Stanyukovich y V.N. Melnikov, 1983 namics, campos y constantes en la teoría de la gravedad, (en Rus- Sian); U. Bleyer, K.A.Bronnikov, S.B.Fadeev y V.N. Melnikov, gr-qc/9405021. [19] U. Günther y A. Zhuk, Int. J. Mod. Phys. D 13, 1167 (2004). [20] U. Günther y A. Zhuk, Phys. Rev. D 56, 6391 (1997). [21] B. Ratra, Astrophys. J. Lett. 391, L1 (1992); D. Grasso y H. R. Rubinstein, Phys. Rept. 348, 163 (2001); Sr. Giovannini, clase. Quant. Grav. 22, 363 (2005). [22] D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, y V. K. Kher- sonskii, Teoría Cuántica del Momentum Angular (Mundo Científico, Singapur, 1988). [23] N. A. Krall y A. W. Trivelpiece, Principios del plasma Física (McGraw-Hill, Nueva York, 1973). [24] M. B. Cantcheff, Eur. Phys. J. C 46, 247 (2006). [25] R. Lehnert y R. Potting, Phys. Rev. Lett. 93, 110402 (2004), Phys. Rev. D 70, 125010 (2004). [26] G. R. Dvali y M. Zaldarriaga, Phys. Rev. Lett. 88, 091303 (2002). [27] E.G. Adelberger, B.R. Heckel, A.E. Nelson, Ann.Rev.Nucl.Part.Sci. 53, 77 (2003). http://arxiv.org/abs/gr-qc/9405021

Consideramos modelo eficaz donde los fotones interactúan con el campo escalar correspondientes a las excitaciones conformales del espacio interno (geométricas) modulis/gravexcitons). Demostramos que esta interacción resulta en un relación de dispersión modificada para los fotones, y en consecuencia, el grupo de fotones la velocidad depende de la energía que implica el efecto de retardo del tiempo de propagación. Nosotros Sugiere utilizar los límites experimentales del retraso temporal de las ráfagas de rayos gamma Propagación de fotones (GRB) como restricción adicional para el gravexciton parámetros.

Dimensiones adicionales y violación de la invarianza de Lorentz Viktor Baukh* y Alexander Zhuk† Departamento de Física Teórica y Observatorio Astronómico, Universidad Nacional de Odessa, 2 Dvoryanskaya St., Odessa 65026, Ucrania Tina Kahniashvili‡ CPCP, Universidad de Nueva York, 4 Washington Place, Nueva York, NY 10003, EE.UU. Observatorio Astrofísico Nacional Abastumani, 2A Kazbegi Ave, Tbilisi, GE-0160 Georgia Consideramos modelo eficaz donde los fotones interactúan con el campo escalar correspondiente a la conformación excitaciones del espacio interno (modulos geométricos/gravexcitones). Demostramos que esto interacción resulta en una relación de dispersión modificada para los fotones, y en consecuencia, el grupo de fotones la velocidad depende de la energía que implica el efecto de retardo del tiempo de propagación. Sugerimos utilizar el límites experimentales del tiempo de retraso de las ráfagas de rayos gamma (GRBs) propagación de fotones como un restricción adicional para los parámetros del gravexciton. Números PACS: 04.50.+h, 11.25.Mj, 98.80.-k La invarianza de Lorentz (LI) de las leyes físicas es una de las piedra angular de la física moderna. Hay un número de ex- Perimentos que confirman esta simetría en energías que podemos Acércate ahora. Por ejemplo, en un nivel clásico, el ro- La invarianza de la tensión se ha probado en Michelson-Morley experimentos, y el aumento de la invarianza se ha probado en experimentos Kennedy-Torhndike [1]. Aunque, arriba Hasta ahora, LI está bien establecido experimentalmente, podemos... no decir con seguridad que a las energías superiores sigue siendo válido. Además, los datos astrofísicos y cosmológicos modernos (por ejemplo: UHECR, materia oscura, energía oscura, etc) indican en caso de posible violación de las normas de LIC (LV). Para resolver estos problemas... Lenges, hay un número de intentos de crear nuevos phys- ica, como la teoría de las cuerdas M, Kaluza-Klein mod- Els, Brane-world modelos, etc. [1]. En este artículo investigamos la prueba de LV relacionada con el fotón medida de dispersión (FhDM). Esta prueba se basa en el Efecto LV de una velocidad fenomenológica dependiente de la energía de fotón [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], para estudios recientes véase Ref. [9] y sus referencias. El formalismo que usamos se basa en la analogía con propagación de ondas electromagnéticas en un magnetizado medio, y extiende las obras anteriores [8, 10, 11]. En nuestro modelo, en lugar de propagación en un medio magnetizado, las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío lleno de un campo escalar. El LV se produce a causa de un in- Término de la transacción f()F 2 donde F es una amplitud de la Campo electromagnético. Tal interacción podría tener diferentes orígenes. En la teoría de cuerdas podría ser un dila- campo de toneladas [12, 13]. El campo puede ser asociado con modulo geométrico. En brane-world modelos el similar término describe una interacción entre el dilato a granel y los campos Modelo Estándar en el salvado [14]. In Ref. [15], tal interacción se obtuvo en N = 4 * Dirección electrónica: bauch vGR@ukr.net †Dirección electrónica: zhuk@paco.net ‡Dirección electrónica: tinatin@phys.ksu.edu supergravedad en cuatro dimensiones. En Kaluza-Klein mod- els el término f()F 2 tiene el origen geométrico puro, y aparece en el efectivo, dimensionalmente reducido, cuatro acción dimensional (véase, por ejemplo, [16, 17]). En particular, en reducción de las teorías Einstein-Yang-Mills, la función f() coincide (hasta un prefactor numérico) con el volumen del espacio interno. Fenomenológico (exactamente solv- se consideraron modelos con simetrías esféricas en Refs. [18]. Para ser más específicos, consideramos el modelo que se basa en la reducción de Einstein-Yang-Mills el- ory [17], donde el término â € € ¢ F 2 describe la interacción entre las excitaciones conformales del espacio interno (gravexcitons) y fotones. Es evidente que la El efecto VI existe para todos los tipos de interacciones de la forma f) F 2 antes mencionado. Obviamente, el término de interacción f()F 2 modifica el Maxwell ecuaciones, y, en consecuencia, resulta en un mod- relación de dispersión condicionada para los fotones. Demostramos que esta modificación tiene una forma más bien específica. Por ejemplo, demostramos que los índices de refracción para la izquierda y las ondas polarizadas circularmente coinciden entre sí. Así, se preserva la invarianza rotacional. Sin embargo, el velocidad de propagación de la onda electromagnética en vac- uum difiere de la velocidad de la luz c. Esta diferencia implica el efecto de retardo del tiempo que se puede medir a través de Se propagan fotones GRB de alta energía sobre cosmológicos distancias (véase, por ejemplo, Ref. [9]). Está claro que los Gravexcitons no debe sobrecercar el Universo y no debe resultar en variaciones de la constante de la estructura fina. Estos de- las mands conducen a ciertas restricciones para los gravexcitones (ver Refs. [17, 19]). Utilizamos el efecto de retardo de tiempo, causado por la interacción entre fotones y gravexcitones, para obtener límites adicionales en los parámetros de los gravexcitones. El punto de partida de nuestra investigación es el Abelian parte de la acción D-dimensional de los Einstein-Yang-Mills teoría: SEM = − gFMNFMN, (1) http://arxiv.org/abs/0704.0314v4 mailto:bauch_vGR@ukr.net mailto:zhuk@paco.net mailto:tinatin@phys.ksu.edu donde la métrica D-dimensional, g = gMN (X)dX dXN = g(0)(x) μ dx v + a21(x)g(1), se define en el colector del producto M = M0 × M1. Aquí, M0 es el espacio externo (D0 = d0 + 1)-dimensional. El d1- espacio interno dimensional M1 tiene una curvatura constante con el factor de escala a1(x) فارسى LPl expβ1(x). Dimensional La reducción de la acción (1) da lugar a los siguientes efectos: tiva D0-dimensional acción [17] S̄EM = − [(1 - D-0-F-F-], (2) que está escrito en el marco de Einstein con el D0- métrica dimensional, g (exp. d1) 1)−2/(D0−2)g Aquí, #0 # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # Aquí, # # # # # # # Aquí, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (D0 - 2)/d1 (D - 2) - 1 y 1 - β1 − β10 son pequeñas fluctuaciones de la escala de espacio interna factor sobre el fondo estable β10 (0 subíndice de- señala el valor actual). Estas escalas de espacio interno... factor pequeñas fluctuaciones/oscilaciones tienen la forma de un campo escalar (llamado gravexciton [20]) con una masa m® definido por la curvatura del potencial efectivo (véase el detalle [20]). La acción (2) se define en el Aproximación 0 < 1 que, obviamente, se mantiene para el condición1 ≤ < MPl. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 = 8η/M Pl es de cuatro dimensiones... constante gravitacional sional, MPl es la masa de la Planca, D = 2 d1/[(D0 − 1)(D − 1)] es un modelo Stant. La densidad lagrangiana para el campo escalar dice: gś(0)(−g,m2)/2. Para la simplicidad nosotros Asumir que gœ0 es el piso Friedman-Lemaitre-Robertson- métrica de Walker (FLRW) con el factor de escala a(t). Consideremos Eq. 2). Cabe señalar que el El tensor de fuerza de campo D0-dimensional, F.O., es de calibre en- Variante 2 En segundo lugar, la acción (2) es conforme invariante en el caso cuando D0 = 4. La transformación al Einstein el marco no rompe la invariabilidad del ancho de banda de la acción (2), y el campo electromagnético es antisimétrico como de costumbre, ...................................................................................... Variando (2) con respecto a la potencial vector electromagnético, -g (1 - D-0-F-) = 0. 3) El segundo mandato que figura entre corchetes la interacción entre los fotones y el campo escalar, y como mostramos a continuación, es responsable de LV. En par- ticular, acoplamiento entre fotones y el campo escalar hace que la velocidad de los fotones sea diferente de la estándar velocidad de la luz. Eq. (3) junto con la identidad Bianchi (que se conserva en el modelo considerado debido a la invarianza del tensor, F. [17]) define un conjunto completo 1 En el modelo brane-world el prefactor ­0 en la expresión para Se sustituye el valor de 0 % por el parámetro proporcional a M. [14]. Por lo tanto, la condición de pequeñez se mantiene para • < MEW. 2 Eq. (2) puede ser reescrita en la forma más familiar S̄EM = −(1/2) g?(0)F F̄ * [17]. El tensor de fuerza de campo F no es indicador invariante aquí. de las ecuaciones generalizadas de Maxwell. Como hemos señalado, ac- tion (2) es conformalmente invariante en la dimensión 4D espacio-tiempo. Por lo tanto, es conveniente presentar el plano FLRW métrica g­0 en forma plana conforme: g­0­ = a 2, donde es la métrica de Minkowski. Utilizando la definición estándar de la electromagnética tensor de campo, F.O., obtenemos el conjunto completo de la Maxwell ecuaciones en el vacío, • ·B = 0, (4) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O ( ·E), (5) B = E − D.O.A. 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O 1 - D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-0- D-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O [ ×B], (6) E = B , (7) donde todas las operaciones se realizan en el Minkowski espacio-tiempo, η denota tiempo conforme relacionado con la fis- tiempo cal t como dt = a(η)dη, y un overdot representa un derivado con respecto al tiempo de conformidad η. Eqs. (4) y (7) corresponden a la identidad Bianchi, y ya que se conserva, Eqs. 4) y 7) mantener su habitual formas. Eqs. 5) y 6) se modifican debido a las interacciones entre fotones y gravexcitones. Estos mod- las especificaciones tienen un significado físico simple: la interacción entre los fotones y el campo escalar actúa como un eficaz carga eléctrica eeff. Esta carga efectiva es proporcional para el producto escalar del gradiente de campo y el E campo, y desaparece para un campo homogéneo. Los modificación de Eq. (6) corresponde a un efecto alquiler Jeff, que depende de ambos eléctricos y magnéticos campos. Esta corriente efectiva está determinada por variaciones del campo de a lo largo del tiempo () y del espacio (). Por el caso de un campo homogéneo la corriente efectiva es todavía presente y se lleva a cabo LV. El Maxwell modificado Las ecuaciones son conformalmente invariantes. Para dar cuenta de la expansión del Universo reescalamos los componentes de campo asB,E → B,E a2 [21]. Para obtener una relación de dispersión para fotones, utilizamos la transformación de Fourier entre la posición y el número de onda espacios como, F(k, ­) = dη d3x e−i(k·x)F(x, η), F(x, η) = (2η)4 • d3kei(k·x)F(k, فارسى). (8) Aquí, F es una función vectorial que describe bien el elec- tric o el campo magnético, es la frecuencia angular de la onda electromagnética medida hoy, y k es la Ventor de ondas. Asumimos que el campo es una oscila- campo tory con la frecuencia y el impulso q, por lo que (x, η) = Cei(q·x), C = const. Eq. 4) implica B k. Sin pérdida de la generalidad, y para la simplicidad ity de la descripción asumimos que el vector de onda k es orientado a lo largo del eje z. Usando Eq. (7) obtenemos E B. Una onda polarizada linealmente puede expresarse como una super- posición de izquierda (L, −) y derecha (R, +) (LCP y RCP) ondas. Utilización de la base de polarización de Sec. 1.1.3 de Ref. [22], derivamos E± = (Ex± iEy)/ Reescribiendo Eqs. (4) - (7) en los componentes,3 para LCP y las ondas RCP que tenemos, (1 − n2+)E+ = 0, (1− n2(−)E − = 0, (9) donde n+ y n− son índices de refracción para PCR y PCL ondas electromagnéticas n2+ = k2 [1 - D-0-(1 + qz/k)] [1-D-0-(1 + /)] = n2−. (10) En el caso de que se preserve el LI electromagnético las ondas que se propagan en el vacío tienen n+ = n− = n = n/ ñ/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n/ n Para la propagación de ondas electromagnéticas en el plasma magnetizado, k/• 6= 1, y la diferencia sea- entre los índices de refracción LCP y RCP describe la Efecto de rotación de Faraday, α (n+ − n−) [23]. En el modelo considerado, ya que n+ = n− el efecto de rotación es ausencia, pero la velocidad de las ondas electromagnéticas propaga- en el vacío difiere de la velocidad de la luz c (véase también Ref. [24] para el VI inducido por el campo electromagnético cou- a otros campos genéricos). Esta diferencia implica la efecto de retardo del tiempo de propagación, una distancia de propagación), es la diferencia entre la tiempo de viaje del fotón y que para un “fotón” que viaja a la velocidad de la luz c. Aquí, t es síncrono físico Tiempo. Esta fórmula no tiene en cuenta el evo- la contaminación del Universo. Sin embargo, es fácil demostrar que el efecto de la expansión del Universo es insignificantemente pequeño. Resolviendo la relación de dispersión como una ecuación cuadrada, Obtenemos *2* − q2z (D­0­)2 , (11) donde ± signos corresponden a fotones hacia adelante y hacia atrás- dirección de la sala, respectivamente. La velocidad del grupo inverso modificado (11) muestra que el efecto LV se puede medir si conocemos el gravexciton frecuencia, componente z del impulso qz y su Amplitud. Para nuestras estimaciones, suponemos que......................................................................................................................................................... el campo oscilatorio, satisfactorio (en el marco local de Lorentz) la relación de dispersión, â € ¢ 2â = m # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q # 2, donde más es el masa de Gravexcitons4. Desafortunadamente, no tenemos 3 Hemos definido el sistema de 6 ecuaciones con respecto a 6 componentes de los vectores E y B. Este sistema tiene no trivial soluciones sólo si su determinante no es cero. De esta condición Obtenemos la relación de dispersión. El efecto de rotación Faraday es ausente si la matriz tiene una forma diagonal. 4 Para obtener los valores físicos de los parámetros correspondientes debemos reescalarlos por el factor de escala a. cualquier información relativa a los parámetros de los gravexcitones (algunas estimaciones se pueden encontrar en [17, 19]). Por lo tanto, nosotros tener la intención de utilizar los posibles efectos del VI (suponiendo que se cause por interacción entre fotones y gravexcitones) a establecer límites de los parámetros de gravexciton. Por ejemplo, podemos obtener fácilmente la siguiente estimación para el límite superior de la amplitud de las oscilaciones de gravexciton: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * MPl, (12) donde podemos usar sus valores físicos para........................................................................................................................................................................................................................................................... En el caso de los GRB con un valor de 1021 a 1022 Hz de 10 a 4 Hz de 10 a 4 Hz 10-3GeV y 3-o 5 × 109y 1017seg el típico el límite superior para el tiempo de retraso es de 10 a 4 segundos [9]. Por estos valores el límite superior de la amplitud de Gravexciton de oscilaciones es5 # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 10-13GeV . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta estimación muestra que nuestra aproximación es inferior a 1 obras para las masas de Gravexciton −13GeV. Futuro mediciones del efecto de demora en el tiempo para los BGR en que las relaciones entre mujeres y hombres aumentarían significativamente el límite de hasta más > 10 −9GeV. Por otra parte, Experimentos de tipo cavendish [26, 27]) no incluyen la quinta fuerza Partículas con masas mÃ3s. 1/(10) −2cm) • 10−12GeV que está bastante cerca de nuestro límite inferior para el campo masas. Respetivamente cambiamos ligeramente la consideración masa límite inferior que debe ser ≥ 10-12GeV. Estas masas considerablemente más alta que la masa correspondiente a la igualdad entre las densidades energéticas de la materia y radiación (igualdad entre la materia y la radiación), meq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq-Heq. 10-37GeV, donde Heq es el Hubble “constante” ter/igualdad de radiación. Significa que tales -partículas empezar a oscilar durante la época dominada por la radiación (véase el apéndice). Otro atado a las masas de las partículas viene de la condición de su estabilidad. Con re- la vida-tiempo de las partículas-es (MPl/mó)3tPl [17], y las condiciones de estabilidad re- pregunta que el tiempo de decadencia debe ser mayor que la edad del Universo. De acuerdo con esto, consideramos que la luz gravex... citonas con masas m ≤ 10−21MPl ≤ 10−2GeV ≤ 20me (donde yo es la masa de electrones). Como una restricción adicional surge de la condición que tales gravesxcitones cosmológicos no deben sobrecerrar el Universo observable. Esto dice más. meq(MPl/in) 4 que implica la siguiente restricción: para la amplitud de las oscilaciones iniciales: (meq/mÃ3) MPL • MPl [19]. Por lo tanto, para el rango de masas 10 - 12GeV ≤ m ≤ 10 - 2GeV, obtenemos respec- En particular, en el Reino Unido. 10 −6MPl y en. 10 −9MPl. De acuerdo con 5 Damos las gracias a R. Lehnert para señalar que además del tiempo de- efecto laico el efecto Cherenkov podría ser utilizado para limitar el el campo electromagnético y la fuerza de acoplamiento del campo [25]. Eq. (A.3), también podemos obtener la estimación de la amplitud de oscilaciones del gravexciton considerado en el presente Tiempo. Junto con la condición de no-extremidad, obtenemos de esta expresión que 0 10−43 para 10 - 12GeV y en 10 - 6MPl y en 10 - 53 para más de 10-2GeV y más de 10-9MPl. Obviamente, es mucho menos que el límite superior (13). Nota, como los hombres... cionados arriba, gravexcitons con masas mÃ3 & 10 −2GeV puede comenzar a decaer en la época actual. Sin embargo, tomando en cuenta la estimación 0 10−53, podemos fácilmente obtener que su densidad de energía (02/8 10-55g/cm3 es mucho menor que la densidad de energía actual de la radiación 10-34g/cm3. Por lo tanto, contribuye Negligiblemente en . De lo contrario, los Gravexcitons con masas mÃ3s & 10 − 2GeV debe observarse en la actualidad, que, obviamente, no es el caso. Además, se deriva de Eq. (42) in Ref. [17] que para evitar el problema de la estructura fina constante variación, la amplitud de las oscilaciones iniciales debe satisfacer la condición: in. 10 −5MPl que, obviamente, completamente de acuerdo con nuestro límite superior. 10 -6GeV. En resumen, hemos demostrado que los efectos LV pueden dar adi- restricciones de los parámetros de los gravexcitones. En primer lugar, Descubrimos que los Gravexcitons no deben ser más ligeros que 10-13GeV. Está muy cerca del límite que sigue desde el experimento de la quinta fuerza. Por otra parte, los experimentos para GRB a las frecuencias • > 1GeV puede dar lugar a un cambio significativo de Este límite inferior lo hace mucho más fuerte que el quinto- Estimaciones de fuerza. Junto con la no-extremidad con- dad, esta estimación conduce al límite superior en la am- plitud de las oscilaciones iniciales de Gravexciton. Debería que no excedan de los límites establecidos en el artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. 10 -6GeV. Por lo tanto, el atado en el ini- amplitud tial obtenida de la constante de la estructura fina variación es una magnitud más débil que la nuestra, incluso para el caso limitante de las masas de Gravexciton. Aumento la masa de Gravexcitons hace que nuestro límite sea más fuerte. Nuestro estimaciones para la amplitud actual de la gravexci- oscilaciones de toneladas, a partir de las itaciones, demostrar que no podemos utilizar el efecto LV para el Detecciones directas de los Gravexcitons. Sin embargo, el los límites obtenidos pueden ser útiles para la astrofísica y cos- aplicaciones mológicas. Por ejemplo, supongamos que Gravexcitons con masas más > 10 - Se producen 2GeV durante las últimas etapas de la expansión del Universo en algunas re- gions y los fotones GRB viajan a nosotros a través de estos re- gions. Entonces, Eq. (A.3) no es válido para tales gravexcitones de origen astrofísico y el único límite superior la amplitud de sus oscilaciones (en estas regiones) bajos de Eq. (13). En el caso de las masas de TeV tenemos 10-16. Si los fotones GRB tienen frecuencias hasta 1 TeV, 1TeV, entonces esta estimación se incrementa en 6 órdenes de magnitud. Agradecimientos Agradecemos a G. Dvali, G. Gabadadze, A. Gruzinov, G. Melikidze, B. Ratra, y A. Starobinsky para estimular debates. T. K. y A. Zh. Reconozca que el hospital... ity del Centro Internacional Abdus Salam para Teoreti- cal Física (ICTP) donde se ha iniciado este trabajo. A.Zh. quisiera dar las gracias a la División de Teoría del CERN por su amable hospitalidad durante la etapa final de este trabajo. T.K. reconoce el apoyo parcial de INTAS 061000017-9258 y Georgian NSF ST06/4-096 subvenciones. A. Apéndice: Dinámica de los Gravexcitones de Luz En este apéndice se resumen brevemente los principales elementos de los gravescitones de luz necesarios para nuestras inves... Tigaciones. La descripción más detallada se puede encontrar en Refs. [17, 19]. La ecuación efectiva del movimiento para el cosmólogo masivo- ical gravexciton6 es • + (3H + •) • +m2 = 0, (A.1) donde H • 1/t y • m3 •/M2Pl son el Hubble pa- rómetro y tasa de desintegración ( → ) correspondiente. Esto ecuación muestra que a veces cuando el Hubble parame- ter es inferior a la masa de Gravexciton: H. má el escalar campo comienza a oscilar (es decir. tiempo de estaño H-1in 1/m indica aproximadamente el comienzo de las oscilaciones: * * CB(t) cos(mÃ3t+ ♥). (A.2) Consideramos a los gravexcitones cosmológicos con masas 10−12GeV ≤ m≤ ≤ 10−2GeV. La unión inferior de fol- baja tanto de los experimentos de la quinta fuerza y Eq. (13). El límite superior se deriva de la demanda de que la vida- tiempo de estas partículas (con respecto a la descomposición • → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • es más grande que la era del Universo: (MPl/m®) tPl ≥ 1019 seg > tuniv + 4 × 1017 seg. Por lo tanto, podemos descuidar los procesos de decaimiento de estas tumbas. toneladas. Además, se puede ver fácilmente que estos par- los ticles comienzan a oscilar antes del teq H−1eq cuando el en- las densidades ergy de la materia y la radiación se vuelven iguales el uno al otro (igualdad de materia/radiación). De acuerdo con los datos actuales de WMAP para el modelo CDM que tiene 10-56MPl 10-28eV. Por lo tanto, considerado Las partículas tienen masas de meq y comienzan a oscil- tarde durante la etapa dominada por la radiación. No lo harán. overclose el Universo observable si el siguiente condi- ión está satisfecho: meq(MPl/in) 4, donde se encuentra la amplitud de las oscilaciones iniciales en el estaño actual (véase Eq. (18) in Ref. [19]). Prefactores C y B(t) en Eq. (A.2) los gravexcitones ligeros sidered, respectivamente, deben decir: (en/MPl) (MPl/m®) y B(t) • MPl (MPlt)−3s/2. Aquí, s = 1/2, 2/3 para oscilaciones durante la radiación 6 Hemos visto que la interacción entre los gravexcitones y o- materia dinaria (en nuestro caso es 4D-fotones) es suprimido por el Escala de Planck. Por lo tanto, los Gravexcitons están débilmente interactuando masivamente Partículas (WIMPs). las etapas dominadas y la materia dominada, corresponde- Ingly. Estamos interesados en las oscilaciones de Gravexciton en el momento actual t = tuniv. En este caso s = 2/3 y para B(tuniv) obtenemos: B(tuniv) • t−1univ • 10−61MPl. Por lo tanto, la amplitud de las oscilaciones de Gravexciton luz En la actualidad, el texto es el siguiente: 0 10−60 . (A.3) [1] V. A. Kostelecký, Tercera reunión sobre el CPT y Lorentz Simetría (World Scientific, Singapur, 2005); G. M. Shore, Nucl. Phys. B 717, 86 (2005). D. Mattingly, Liv... ing Rev. Rel. 8, 5 (2005); T. Jacobson, S. Liberati, y D. Mattingly, Ann. Phys. 321, 150 (2006). [2] G. Amelino-Camelia, et al., Nature, 393, 763, (1998). [3] J. R. Ellis, K. Farakos, N. E. Mavromatos, V. A. Mit- Sou y D. V. Nanopoulos, Astrophys. J. 535, 139 (2000); J. R. Ellis, N. E. Mavromatos, D. V. Nanopoulos, A. S. Sakharov y E. K. G. Sarkisyan, Astropart. Phys. 25, 402 (2006). [4] V. A. Kostelecký y M. Mewes, Phys. Rev. Lett. 87, 251304 (2001); G. Amelino-Camelia y T. Piran, Phys. Rev. D 64, 036005 (2001). [5] S. Sarkar, Mod. Phys. Lett. A 17, 1025 (2002) [6] R. C. Myers y M. Pospelov, Phys. Rev. Lett. 90, 211001 (2003). [7] T. Piran, en Efectos de Escalas de Planck en Astrofísica y Cosmología, eds. J. Kowalski-Glikman y G. Amelino- Camelia (Springer, Berlín, 2005), pág. 351. [8] T. Jacobson, S. Liberati, y D. Mattingly, Nature 424, 1019 (2003). [9] M. Rodguez Martenez y T. Piran, J. Cosmo. Como... Tropart. Phys. 4, 006 (2006). [10] S. M. Carroll, G. B. Field, y R. Jackiw, Phys. Rev. D 41, 141601 (1990). [11] T. Kahniashvili, G. Gogoberidze, y B. Ratra, Phys. Lett. B 643, 81 (2006). [12] M.B. Green, J.H. Schwarz y E. Witten, 1987 Teoría de cuerdas, (Cambridge: Cambridge Univ. Prensa). [13] T. Damour y A.M. Polyakov, Nucl. Phys. B 423, 532 (1994). [14] A. Zhuk, Int. J. Mod. Phys. D 11, 1399 (2002). [15] V.A. Kostelsky, R. Lehnert y M. Perry, Phys.Rev. D 68, 123511 (2003). [16] P. Loren-Aguilar, E. García-Berro, J. Isern y Yu.A. Kubyshin, Class.Quant.Grav. 20, 3885, (2003). [17] U. Günther, A. Starobinsky y A. Zhuk, Phys. Rev. D69, 044003 (2004). [18] K.P. Stanyukovich y V.N. Melnikov, 1983 namics, campos y constantes en la teoría de la gravedad, (en Rus- Sian); U. Bleyer, K.A.Bronnikov, S.B.Fadeev y V.N. Melnikov, gr-qc/9405021. [19] U. Günther y A. Zhuk, Int. J. Mod. Phys. D 13, 1167 (2004). [20] U. Günther y A. Zhuk, Phys. Rev. D 56, 6391 (1997). [21] B. Ratra, Astrophys. J. Lett. 391, L1 (1992); D. Grasso y H. R. Rubinstein, Phys. Rept. 348, 163 (2001); Sr. Giovannini, clase. Quant. Grav. 22, 363 (2005). [22] D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, y V. K. Kher- sonskii, Teoría Cuántica del Momentum Angular (Mundo Científico, Singapur, 1988). [23] N. A. Krall y A. W. Trivelpiece, Principios del plasma Física (McGraw-Hill, Nueva York, 1973). [24] M. B. Cantcheff, Eur. Phys. J. C 46, 247 (2006). [25] R. Lehnert y R. Potting, Phys. Rev. Lett. 93, 110402 (2004), Phys. Rev. D 70, 125010 (2004). [26] G. R. Dvali y M. Zaldarriaga, Phys. Rev. Lett. 88, 091303 (2002). [27] E.G. Adelberger, B.R. Heckel, A.E. Nelson, Ann.Rev.Nucl.Part.Sci. 53, 77 (2003). http://arxiv.org/abs/gr-qc/9405021

The small deviations of many-dimensional diffusion processes and rarefaction by boundaries

arXiv:0704.0315v1 [math.PR] 3 Abr 2007 LAS PEQUEÑAS DISPOSICIONES DE MUCHAS DIFERENCIAS DIMENSIONALES PROCESOS Y RAREFACCIÓN DE LOS BOLIVARIOS Vitalii A. Gasanenko Resumen. Lideramos el algoritmo de expansión de la probabilidad de residencia de muchas dimensiones procesos de difusión en un dominio pequeño. El miembro principal de esta expansión no define ni- coeficiente de malización para los teoremas límite especiales. Introducción. Dejemos que sea un proceso aleatorio con espacio de fase mensurable (X,•(X)). Considerar la dominio conectado mensurable D • • (X) y parámetro pequeño •. Las investigaciones de asintóticas de probabilidad de estancia (pequeñas desviaciones) D, t [0, T ]) (1) se une con muchos problemas prácticos y teóricos [1-4]. En la literatura, era investigación tanto áspera asintótica del miembro principal de (1)log de ella)[5] y exacta asintótica de los procesos de difusión de (1)[6-8]. En las obras [9,10] fue probado de algo- ritmos de expansiones de asintóticas exactas de pequeña desviación para la difusión y por pieza procesos aleatorios deterministas para el caso unidimensional. El propósito de este artículo es presentar el algoritmo de expansión de la pequeña desviación para procesos de difusión multidimensional y definir todas las constantes del miembro principal. En la Sección 1 nuestro resultado principal es declarado y probado. En la sección 2 consideramos los límites Teoremas sobre el número de partículas de difusión no absorbidas por límites de dominio pequeño. I. La expansión. Investigaremos la asintutota de la probabilidad siguiente P (+, x) = P (+, t + D, 0 ≤ t ≤ T ), • → 0, donde Rd es la solución de la ecuación diferencial estocástica siguiente (t) = a(t, (t))dt+ bi((t))dwi(t), (0) = x D. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. donde las funciones 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 60 J 65. Palabras y frases clave. problema parabólico, pequeño dominio, algoritmo de expansión, número de unab- procesos de sorbed. Tipografiado por AMS-TEX http://arxiv.org/abs/0704.0315v1 2 VITALII A. GASANENKO bi(x), a(t, x): R d → Rd y R+ ×R d → Rd. son diferenciables. Conjunto ij(x) = bik(x)b k(x). Se sabe que P (-, x) = u-0 (-, x). Aquí u 0(t, x) es la solución de la siguiente parabólica problema de contorno a 0 ≤ t ≤ T (t, x) i,j=1 ▼ij(x) (t, x) Łxilxj ai(T − t, x) (t, x) , x â € ¬ Dâ € ¬; u(t, x)t=0 = 1; x â € Dâ €; u(t, x) = 0 x â € Dâ €, 0 ≤ t ≤ T. (3) donde Dâ = â € D. Se asume que D es un dominio limitado conectado desde R m; la límite ♥Q es la superficie de Lyapunov C(1,♥) y 0 D. Intereses de la asintótica Expansión • → 0 de la solución de este problema u •0(t, x) en • → 0. Definimos el operador diferencial A : 1 1≤i,j≤d ij(0) Łxilxj . Dejar  ser una matriz con la siguiente propiedad 1≤i,j≤d ▼ij(0)zizj ≥ z Aquí μ, hay un número positivo fijo, y ~z = (z1, · · ·, zd) es un real arbitrario vector. Este operador actúa en el siguiente espacio: HA = {u : u â € L2(D) â € Au â € L2(D) â € u € {D) = 0} con producto interior (u, v)A = (Au, v). Aquí (, ) es el producto interno en L2(Q). La ópera... tor A es un operador positivo[11]. Se sabe que el siguiente problema de valor propio Au = u, u(D) = 0 tiene un conjunto infinito de valores propios reales...................................................................................................................................................... 2 < · · · · · < 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Las funciones propias correspondientes f11,. .., f1n1, · · ·, fs1,. ................................................ forma el sistema completo de funciones tanto en HA como en L 2(Q) := {u : u â € L2(Q) â € u(­Q) = 0}. Aquí el número nk es igual a la multiplicidad de valor propio. A menudo es conveniente presentar el sistema de funciones propias por un índice: {fn(z)}. El sistema correspondiente de valores propios n} será con recurrencias. Lo usaremos. Introducimos la función espectral e(x, y, ) = fj(x)fj(y). Necesitaremos el siguiente teorema de la monografía [12]. LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 3 Teorema 1 ([12].Th.17.5.3).. Existe tal constante Cα que x,yâ € ~ D Dαx,ye(x, y, ) ≤ C (n)/2 Aquí α es multi-índice. Teorema 2. Si la superficie D es la superficie de Lyapunov y (t,z)[0,T]×D,1≤i,j≤d (t, z) bi(z) (T − t, z) entonces la siguiente relación se lleva a cabo en → 0 P (+, z+) = exp μ(t)dt c1mf1m(z) (1 +O()), a z D, donde μ(t) = ♥ij(0)ai(t, 0)aj(t, 0)− đijai(t, 0)aj(t, 0) y c1m = f1m(z)dz. Prueba. Hacer el cambio de variables y función xi = zi, u 1 = u 0 exp ak(T − t, 0)zk Ahora obtenemos el siguiente problema parabólico para la función u+1 1(t, z) i,j=1 ij(z) 1(t, z) ŁziŁzj ai(T − t, z)− (T − t, 0) 1(t, z) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (T − t, 0) uâ € 1, z â € D; 1(t, z)t=0 = exp ak(T, 0)zk ; z â € D; uâ € 1(t, z) = 0 z â € D, 0 ≤ t ≤ T. Construiremos la expansión asintótica de la solución para este límite inicial problema en la forma siguiente uâ € 1(t, z) = vk(t, z) k. (5) Tenga en cuenta que la famosa expansión 4 VITALII A. GASANENKO ak(T, 0)zk = 1 + • ak(T, 0)zk + ak(T, 0)zk + · · ·, define las condiciones iniciales para vk, k ≥ 0: v0(0, z) = 1, v1(0, z) = ak(T, 0)zk, v2(0, z) = ak(T, 0)zk · · · ·. Usando el primer fragmento de la serie Taylor en cero punto bajo condiciones de teorema puede obtener las siguientes representaciones En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. ij(z), ai(T − t, z) = ai(T − t, 0) + a i(T − t, z), 1 ≤ i, j ≤ d (6) donde [0,1],1≤i,j≤d ij(z) <, sup [0,T],[0,1],1≤i≤d ai(T − t, z) < Ahora, después de la sustitución de (5),(6) a (4) concluimos que el v0 satisface el problema i,j=1 ij(0) ŁziŁzj v0 + μ(t)v0 (7) v0D = 0; v0(0, z) = 1, z â € D. μ(t) = ♥ij(0)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− đijai(T − t, 0)aj(T − t, 0) Además, vamos a denotar por el operador C (t, z) 2(D) → C(D), para f • C2(D) es definido como sigue: (t, z)f = i,j=1 ij(z) ŁziŁzj ai(T − t, z)− (T − t, 0) i,j=1 ij(z)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− Łijai(T − t, 0)a j(T − t, z)− (T − t, 0) i,j=1 ij(z) ŁziŁzj Aâ > 1(t, z)f + â € A 2 t, z). LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 5 Ahora, formalmente las funciones vk, k ≥ 1 se definen por el siguiente sistema de recurrencia problemas i,j=1 ij(0) ŁziŁzj vk +B®(t, z)vk−1 (8) v0D = 0; vk(0, z) = ak(T − t, 0)zk , z â € D. Solucionaremos los problemas de (7),(8) por método de separación de variables. De acuerdo a este método las soluciones se definen en la forma vk(t, z) = qk,n(t)fn(z). (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Para la definición de número principal basta con construir de la v0. Si sustituimos (9) en k = 0 a (7) entonces obtenemos −qár0,n(t)− q0,n(t) + μ(t)q0,n(t) fn(z) = 0. Conjunto c0,n = fn(z)dz (coeficiente de expansión del indicador del conjunto D). El informe inicial condición de v0 tiene la siguiente indicación v0(0, z) = q0,n(0)fn(z) = c0,nfn(z) = c0,lmflm(z), z â € D. Por definición de sistema de funciones {fn(z)}, ahora tenemos el sistema de ordinario ecuaciones diferenciales qâ € 0,n(t) + − μ(t) q0,n(t) = 0,q0,n(0) = c0,n. De la última que tenemos q0,n(t) = c0,n exp μ(s)ds A0 = sup 1,zÃ3D;i,j ij(z), L0 = l≥1,1≤m≤nl (c0,ml) A1 = sup [0,T];i,j ai(T − t, z)− (T − t, 0) = sup [0,T];i,j ij(z)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− Łijai(T − t, 0)a j(T − t, z)− (T − t, 0) Tenemos las siguientes relaciones para valores propios. 6 VITALII A. GASANENKO 2/d ≤ l ≤ k2l 2/d, máx(k1, k2) < Aplicando la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii, el Teorema 1 y el último, obtenemos ai,j(z) ŁziŁzj μ(s)ds c0,ml ai,j(z) 2fml(z) ŁziŁzj ≤ A0d μ(s)ds (c0,ml) 2fml(z) ŁziŁzj ≤ A0dC2,2L0 μ(s)ds l ≤ exp K0. (10) Aquí K0 < Ł. Razonando de manera similar nos convencemos de que para otras partes de Bâr(t, z)v0 el fol- Se realizan estimaciones de la reducción de las emisiones A1(t, z)v0 ≤ A1dC1,1L0 μ(s)ds l ≤ exp K0,1; (11) A2(t, z)v0 ≤ A2dC0,0L0 μ(s)ds l ≤ exp K0,2, (12) donde máx{K0,1,K0,2} <. Ahora vamos a estimar los coeficientes n(t) de la expansión de B (t, z)v0 por sistema {fn}n≥1. Aplicando (10)-(12) y la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii, obtenemos n(t) = ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 (Bâr(t, z)v0) n(z)dz ≤ exp(1t K0 + K01,1 + K0,2 Este último ahora da n(s)ds ≤ (t), (13) LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 7 donde [0,T] (t) < فارسى. Finalmente, vamos a estimar la diferencia rÃ3(t, z) = uÃ1(t, z)−v0(t, z). Por definición, r (t, z) es la solución del siguiente problema: i,j=1 ij(0) ŁziŁzj rÃ3 +BÃ3(T − t, z)v0 z â € D; (14) (t, z)t=0 = exp ak(T, 0)zk − 1; z â € D; râ (t, z) = 0 z â € D, 0 ≤ t ≤ T. Está claro que podemos presentar râ râ râ râ râ râ râ râ râ râ, z, donde r 1(0), z) tiene un límite uniforme función de variables â € ¬ [0, 1] y z â € D. Por lo tanto, los coeficientes de expansión de esta función por sistema {fn(z)} tienen las siguientes formas ró(0, z)fn(z)dz = n, donde sup 01 (n) = M < فارسى. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Ahora tenemos la solución de (14) en la forma siguiente r¡(t, z) = n expnt n(s)ds}fn(z) Aplicando último uno, (13), (15), Teorema 1 y la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii obtenemos en t > 0 r(t, z)1 ≤ (n) expÃ3ntá n(s)ds n } ≤ ≤ MC0,0,0 exp1t −2}K0,3, donde K0,3 <. La prueba del teorema está completada. Observación 1. De acuerdo con el anterior sistema de problemas para la definición de las funciones vk, k ≥ 1, esbozamos la construcción de coeficientes qk,n(t) para la serie (8): qk,n(t) = + + k−1,n(t) qk,n(t), qk,n(0) = vk(0, z)fn(z)dz = am(T, 0)zm fn(z)dz Aquí k−1,n(t) = fn(z)B *(t, z)vk−1(t, z)dz. 8 VITALII A. GASANENKO Observación 2. Teorema 2 se coordina con los resultados de las obras [6-8] donde el principal miembro de pequeñas desviaciones en la bola se investigan para una SDE más simple. II. La rarefacción de un conjunto de procesos de difusión por límites de dominios. El siguiente problema fue investigado en obras[13,14]. Deje que un conjunto de difusión idéntica procesos aleatorios comienzan en el momento inicial desde los diferentes puntos del dominio D. Estos los procesos son procesos de difusión con absorción en el límite D. Estamos interesados en la distribución del número todavía absorbido en el momento T. El número inicial y la posición inicial de los procesos de difusión se definen o bien una medida aleatoria de Poisson[14] o medida determinista [13]. Los límites probados teoremas describen la situación cuando T → y el número inicial de procesos de difusión dependían de T y aumentó en el aumento de T. El papel de la normalización de la función jugó el miembro principal de la asintutota de solución de de acuerdo problema parabólico en T → فارسى. A partir de ahora asumiremos que los procesos de difusión considerados satisfacen la DEE (2) con diferentes puntos iniciales. Ahora consideramos la situación cuando el número inicial de procesos de difusión absorbentes en el dominio pequeño La D depende de la → 0 y aumenta bajo la condición de disminución de los Países Bajos. No es difícil de demostrar, que ahora la función de normalización es el miembro principal de problema parabólico (3) en • → 0. Las pruebas de los teoremas indicados a continuación repiten las pruebas de los teoremas de acuerdo a [13,14] casi palabra por palabra. Vamos a denotar por η(, T ) el número de procesos restantes en la región D en el momento T. También asumiremos que la medida additiva / / se da en los conjuntos de -álgebra de D, /(D) < فارسى. Todas las funciones propias fij : D → R 1 son (,Y ) medibles. Aquí está Y. sistema de Borel sets de R1. Dejar ♥ denotar la débil convergencia de valores aleatorios o medidas. Al principio suponemos que el número inicial y la posición de los procesos de difusión son definido por la medida determinista N(­B, •), B • D. Por lo tanto, N(­B, •) es igual al número de puntos de partida en el set â € € TM B. Vamos a denotar por (·) la medida (B) = exp N(­B, ­). donde B . Por definición de la medida (·), tenemos d(x) = , si x = xk, k = 1, · · ·, N(+D, +) 0, de lo contrario. Teorema 3. Bajo las suposiciones del teorema 2 dejar que el N(, ) satisface el con- dicciÃ3n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * El Tribunal de Primera Instancia decidió: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · EL PEQUEÑO DISPOSICIONAMIENTO DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUNCIONES DIFUSIONALES 9 Entonces η(, T )  η(T ) if → 0 donde η(T ) tiene la función de distribución de Poisson con parámetro a(T ) = exp μ(s)ds F (z)d(z), donde F (z) = f1i(z)c1i, c1i = f1i(z)dz y μ(t) es la función del Teorema 2. Ahora consideramos el caso cuando el número inicial y las posiciones de los procesos son definido por la medida aleatoria de Poisson μ(·, ) en D: P (μ(+A, +) = k) = mk(â € A, â € TM ) − m(â € A,â € TM ) donde m(, ) es una medida positiva finitamente aditiva en la D para la fija. Asignamos g() = exp Teorema 4. Bajo las suposiciones del Teorema 2 suponemos que m(, ) sostiene la condición m(­B, ­)g(­) = /(B), B(­) . Entonces η(, T ) η(T ) if → 0 donde η(T ) tiene la función de distribución de Poisson con el parámetro a(T ) de Teorema 3. Bibliografía 1. GrahamR., Formulación integral del camino de los procesos de difusión general, Z. Phys.(1979),B 26, p. 281-290. 2. Onsager L. y Machlup S. Fluctuación y procesos irreversibles, I,II, Phys.Rev.(1953) 91,pp.1505-1512,1512-1515. 3. Li W. V.,Shao Q.-M., Procesos gaussianos: desigualdades, probabilidades de bola pequeña y aplicaciones, en : Procesos estocásticos: Teoría y métodos, en : Manual de estadísticas, vol.19, 2001, pp. 533-597. 4. Lifshits M.A., Comportamiento asintótico de probabilidades de bola pequeña, en Probab. Teoría y Math.Statist., Proc. VII Conferencia Internacional de Vilna (1998), pp. 453-468. 5. Lifshits M., Simon T., Pequeñas desviaciones para procesos fraccionarios estables, Ann. I. H. Poincare - PR 41 (2005) pp. 725-752. 6. Mogulskii A.A, El método de Fourier para la determinación de las asintóticas de los pequeños desviaciones del proceso Wiener, matemáticas siberianas. Journ. (1982),v.22,no.3,pp.161-174. 7. Fujita T. y Kotani S., La función Onsager - Machlup para los procesos de difusión, J.Math.Kyoto Uneversity.- 1982.-vol.22,no22.pp.131-153. 8. Zeitoni O., En el Onsager-Machlup funcional de los procesos de difusión alrededor de non Curvas C2, Ann. Probando.(1989), vol.17, no.3, pp.1037-1054. 10 VITALII A. GASANENKO 9. Gasanenko V.A., La expansión asintótica total de la probabilidad de residencia de difusión proceso en dominio delgado con límites móviles, Ucrania Matemáticas. Journ. (1999), v.51, no. 9, pp.1155-1164. 10. Gasanenko V.A., El salto como procesos en el dominio delgado, Cuestiones analíticas de Sistema estocástico, Kiev:Instituto de Matemáticas (1992), pp. 4-9. 11. Mihlin S.G. Ecuaciones lineales diferenciales parciales (1977), Vyshaij shkola, Moskow, 12.L.Hörmander, El análisis de los operadores diferenciales parciales lineales III (1985), Spinger-Verlag. 13.Fedullo A., Gasanenko V.A., Limite los teoremas para la rarefacción del conjunto de difusión procesos por límites, Teoría de los procesos estocásticos vol. 11(27), no.1-2,2005, pp. 23- 14.Fedullo A., Gasanenko V.A.,Limita los teoremas para el número de procesos de difusión, que no absorbió por límites, Revista Centroeuropea de Matemáticas 4(4), 2006, pp.624-634. Instituto de Matemáticas, Academia Nacional de Ciencias de Ucrania, Tereshchenkivska 3, 252601, Kiev, Ucrania Dirección de correo electrónico: gs@imath.kiev.ua o gsn@ckc.com.ua

Lideramos el algoritmo de expansión de la probabilidad de residencia de muchas dimensiones procesos de difusión en un dominio pequeño. El miembro principal de esta expansión define el coeficiente de normalización para los teoremas límite especiales.

Introducción. Dejemos que sea un proceso aleatorio con espacio de fase mensurable (X,•(X)). Considerar la dominio conectado mensurable D • • (X) y parámetro pequeño •. Las investigaciones de asintóticas de probabilidad de estancia (pequeñas desviaciones) D, t [0, T ]) (1) se une con muchos problemas prácticos y teóricos [1-4]. En la literatura, era investigación tanto áspera asintótica del miembro principal de (1)log de ella)[5] y exacta asintótica de los procesos de difusión de (1)[6-8]. En las obras [9,10] fue probado de algo- ritmos de expansiones de asintóticas exactas de pequeña desviación para la difusión y por pieza procesos aleatorios deterministas para el caso unidimensional. El propósito de este artículo es presentar el algoritmo de expansión de la pequeña desviación para procesos de difusión multidimensional y definir todas las constantes del miembro principal. En la Sección 1 nuestro resultado principal es declarado y probado. En la sección 2 consideramos los límites Teoremas sobre el número de partículas de difusión no absorbidas por límites de dominio pequeño. I. La expansión. Investigaremos la asintutota de la probabilidad siguiente P (+, x) = P (+, t + D, 0 ≤ t ≤ T ), • → 0, donde Rd es la solución de la ecuación diferencial estocástica siguiente (t) = a(t, (t))dt+ bi((t))dwi(t), (0) = x D. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. donde las funciones 1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 60 J 65. Palabras y frases clave. problema parabólico, pequeño dominio, algoritmo de expansión, número de unab- procesos de sorbed. Tipografiado por AMS-TEX http://arxiv.org/abs/0704.0315v1 2 VITALII A. GASANENKO bi(x), a(t, x): R d → Rd y R+ ×R d → Rd. son diferenciables. Conjunto ij(x) = bik(x)b k(x). Se sabe que P (-, x) = u-0 (-, x). Aquí u 0(t, x) es la solución de la siguiente parabólica problema de contorno a 0 ≤ t ≤ T (t, x) i,j=1 ▼ij(x) (t, x) Łxilxj ai(T − t, x) (t, x) , x â € ¬ Dâ € ¬; u(t, x)t=0 = 1; x â € Dâ €; u(t, x) = 0 x â € Dâ €, 0 ≤ t ≤ T. (3) donde Dâ = â € D. Se asume que D es un dominio limitado conectado desde R m; la límite ♥Q es la superficie de Lyapunov C(1,♥) y 0 D. Intereses de la asintótica Expansión • → 0 de la solución de este problema u •0(t, x) en • → 0. Definimos el operador diferencial A : 1 1≤i,j≤d ij(0) Łxilxj . Dejar  ser una matriz con la siguiente propiedad 1≤i,j≤d ▼ij(0)zizj ≥ z Aquí μ, hay un número positivo fijo, y ~z = (z1, · · ·, zd) es un real arbitrario vector. Este operador actúa en el siguiente espacio: HA = {u : u â € L2(D) â € Au â € L2(D) â € u € {D) = 0} con producto interior (u, v)A = (Au, v). Aquí (, ) es el producto interno en L2(Q). La ópera... tor A es un operador positivo[11]. Se sabe que el siguiente problema de valor propio Au = u, u(D) = 0 tiene un conjunto infinito de valores propios reales...................................................................................................................................................... 2 < · · · · · < 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Las funciones propias correspondientes f11,. .., f1n1, · · ·, fs1,. ................................................ forma el sistema completo de funciones tanto en HA como en L 2(Q) := {u : u â € L2(Q) â € u(­Q) = 0}. Aquí el número nk es igual a la multiplicidad de valor propio. A menudo es conveniente presentar el sistema de funciones propias por un índice: {fn(z)}. El sistema correspondiente de valores propios n} será con recurrencias. Lo usaremos. Introducimos la función espectral e(x, y, ) = fj(x)fj(y). Necesitaremos el siguiente teorema de la monografía [12]. LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 3 Teorema 1 ([12].Th.17.5.3).. Existe tal constante Cα que x,yâ € ~ D Dαx,ye(x, y, ) ≤ C (n)/2 Aquí α es multi-índice. Teorema 2. Si la superficie D es la superficie de Lyapunov y (t,z)[0,T]×D,1≤i,j≤d (t, z) bi(z) (T − t, z) entonces la siguiente relación se lleva a cabo en → 0 P (+, z+) = exp μ(t)dt c1mf1m(z) (1 +O()), a z D, donde μ(t) = ♥ij(0)ai(t, 0)aj(t, 0)− đijai(t, 0)aj(t, 0) y c1m = f1m(z)dz. Prueba. Hacer el cambio de variables y función xi = zi, u 1 = u 0 exp ak(T − t, 0)zk Ahora obtenemos el siguiente problema parabólico para la función u+1 1(t, z) i,j=1 ij(z) 1(t, z) ŁziŁzj ai(T − t, z)− (T − t, 0) 1(t, z) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (T − t, 0) uâ € 1, z â € D; 1(t, z)t=0 = exp ak(T, 0)zk ; z â € D; uâ € 1(t, z) = 0 z â € D, 0 ≤ t ≤ T. Construiremos la expansión asintótica de la solución para este límite inicial problema en la forma siguiente uâ € 1(t, z) = vk(t, z) k. (5) Tenga en cuenta que la famosa expansión 4 VITALII A. GASANENKO ak(T, 0)zk = 1 + • ak(T, 0)zk + ak(T, 0)zk + · · ·, define las condiciones iniciales para vk, k ≥ 0: v0(0, z) = 1, v1(0, z) = ak(T, 0)zk, v2(0, z) = ak(T, 0)zk · · · ·. Usando el primer fragmento de la serie Taylor en cero punto bajo condiciones de teorema puede obtener las siguientes representaciones En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. ij(z), ai(T − t, z) = ai(T − t, 0) + a i(T − t, z), 1 ≤ i, j ≤ d (6) donde [0,1],1≤i,j≤d ij(z) <, sup [0,T],[0,1],1≤i≤d ai(T − t, z) < Ahora, después de la sustitución de (5),(6) a (4) concluimos que el v0 satisface el problema i,j=1 ij(0) ŁziŁzj v0 + μ(t)v0 (7) v0D = 0; v0(0, z) = 1, z â € D. μ(t) = ♥ij(0)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− đijai(T − t, 0)aj(T − t, 0) Además, vamos a denotar por el operador C (t, z) 2(D) → C(D), para f • C2(D) es definido como sigue: (t, z)f = i,j=1 ij(z) ŁziŁzj ai(T − t, z)− (T − t, 0) i,j=1 ij(z)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− Łijai(T − t, 0)a j(T − t, z)− (T − t, 0) i,j=1 ij(z) ŁziŁzj Aâ > 1(t, z)f + â € A 2 t, z). LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 5 Ahora, formalmente las funciones vk, k ≥ 1 se definen por el siguiente sistema de recurrencia problemas i,j=1 ij(0) ŁziŁzj vk +B®(t, z)vk−1 (8) v0D = 0; vk(0, z) = ak(T − t, 0)zk , z â € D. Solucionaremos los problemas de (7),(8) por método de separación de variables. De acuerdo a este método las soluciones se definen en la forma vk(t, z) = qk,n(t)fn(z). (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Para la definición de número principal basta con construir de la v0. Si sustituimos (9) en k = 0 a (7) entonces obtenemos −qár0,n(t)− q0,n(t) + μ(t)q0,n(t) fn(z) = 0. Conjunto c0,n = fn(z)dz (coeficiente de expansión del indicador del conjunto D). El informe inicial condición de v0 tiene la siguiente indicación v0(0, z) = q0,n(0)fn(z) = c0,nfn(z) = c0,lmflm(z), z â € D. Por definición de sistema de funciones {fn(z)}, ahora tenemos el sistema de ordinario ecuaciones diferenciales qâ € 0,n(t) + − μ(t) q0,n(t) = 0,q0,n(0) = c0,n. De la última que tenemos q0,n(t) = c0,n exp μ(s)ds A0 = sup 1,zÃ3D;i,j ij(z), L0 = l≥1,1≤m≤nl (c0,ml) A1 = sup [0,T];i,j ai(T − t, z)− (T − t, 0) = sup [0,T];i,j ij(z)ai(T − t, 0)aj(T − t, 0)− Łijai(T − t, 0)a j(T − t, z)− (T − t, 0) Tenemos las siguientes relaciones para valores propios. 6 VITALII A. GASANENKO 2/d ≤ l ≤ k2l 2/d, máx(k1, k2) < Aplicando la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii, el Teorema 1 y el último, obtenemos ai,j(z) ŁziŁzj μ(s)ds c0,ml ai,j(z) 2fml(z) ŁziŁzj ≤ A0d μ(s)ds (c0,ml) 2fml(z) ŁziŁzj ≤ A0dC2,2L0 μ(s)ds l ≤ exp K0. (10) Aquí K0 < Ł. Razonando de manera similar nos convencemos de que para otras partes de Bâr(t, z)v0 el fol- Se realizan estimaciones de la reducción de las emisiones A1(t, z)v0 ≤ A1dC1,1L0 μ(s)ds l ≤ exp K0,1; (11) A2(t, z)v0 ≤ A2dC0,0L0 μ(s)ds l ≤ exp K0,2, (12) donde máx{K0,1,K0,2} <. Ahora vamos a estimar los coeficientes n(t) de la expansión de B (t, z)v0 por sistema {fn}n≥1. Aplicando (10)-(12) y la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii, obtenemos n(t) = ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 (Bâr(t, z)v0) n(z)dz ≤ exp(1t K0 + K01,1 + K0,2 Este último ahora da n(s)ds ≤ (t), (13) LA PEQUEÑA DEVIACIÓN DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUSIÓN DIFUSIONALES 7 donde [0,T] (t) < فارسى. Finalmente, vamos a estimar la diferencia rÃ3(t, z) = uÃ1(t, z)−v0(t, z). Por definición, r (t, z) es la solución del siguiente problema: i,j=1 ij(0) ŁziŁzj rÃ3 +BÃ3(T − t, z)v0 z â € D; (14) (t, z)t=0 = exp ak(T, 0)zk − 1; z â € D; râ (t, z) = 0 z â € D, 0 ≤ t ≤ T. Está claro que podemos presentar râ râ râ râ râ râ râ râ râ râ, z, donde r 1(0), z) tiene un límite uniforme función de variables â € ¬ [0, 1] y z â € D. Por lo tanto, los coeficientes de expansión de esta función por sistema {fn(z)} tienen las siguientes formas ró(0, z)fn(z)dz = n, donde sup 01 (n) = M < فارسى. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Ahora tenemos la solución de (14) en la forma siguiente r¡(t, z) = n expnt n(s)ds}fn(z) Aplicando último uno, (13), (15), Teorema 1 y la desigualdad Cauchy-Bunyakovskii obtenemos en t > 0 r(t, z)1 ≤ (n) expÃ3ntá n(s)ds n } ≤ ≤ MC0,0,0 exp1t −2}K0,3, donde K0,3 <. La prueba del teorema está completada. Observación 1. De acuerdo con el anterior sistema de problemas para la definición de las funciones vk, k ≥ 1, esbozamos la construcción de coeficientes qk,n(t) para la serie (8): qk,n(t) = + + k−1,n(t) qk,n(t), qk,n(0) = vk(0, z)fn(z)dz = am(T, 0)zm fn(z)dz Aquí k−1,n(t) = fn(z)B *(t, z)vk−1(t, z)dz. 8 VITALII A. GASANENKO Observación 2. Teorema 2 se coordina con los resultados de las obras [6-8] donde el principal miembro de pequeñas desviaciones en la bola se investigan para una SDE más simple. II. La rarefacción de un conjunto de procesos de difusión por límites de dominios. El siguiente problema fue investigado en obras[13,14]. Deje que un conjunto de difusión idéntica procesos aleatorios comienzan en el momento inicial desde los diferentes puntos del dominio D. Estos los procesos son procesos de difusión con absorción en el límite D. Estamos interesados en la distribución del número todavía absorbido en el momento T. El número inicial y la posición inicial de los procesos de difusión se definen o bien una medida aleatoria de Poisson[14] o medida determinista [13]. Los límites probados teoremas describen la situación cuando T → y el número inicial de procesos de difusión dependían de T y aumentó en el aumento de T. El papel de la normalización de la función jugó el miembro principal de la asintutota de solución de de acuerdo problema parabólico en T → فارسى. A partir de ahora asumiremos que los procesos de difusión considerados satisfacen la DEE (2) con diferentes puntos iniciales. Ahora consideramos la situación cuando el número inicial de procesos de difusión absorbentes en el dominio pequeño La D depende de la → 0 y aumenta bajo la condición de disminución de los Países Bajos. No es difícil de demostrar, que ahora la función de normalización es el miembro principal de problema parabólico (3) en • → 0. Las pruebas de los teoremas indicados a continuación repiten las pruebas de los teoremas de acuerdo a [13,14] casi palabra por palabra. Vamos a denotar por η(, T ) el número de procesos restantes en la región D en el momento T. También asumiremos que la medida additiva / / se da en los conjuntos de -álgebra de D, /(D) < فارسى. Todas las funciones propias fij : D → R 1 son (,Y ) medibles. Aquí está Y. sistema de Borel sets de R1. Dejar ♥ denotar la débil convergencia de valores aleatorios o medidas. Al principio suponemos que el número inicial y la posición de los procesos de difusión son definido por la medida determinista N(­B, •), B • D. Por lo tanto, N(­B, •) es igual al número de puntos de partida en el set â € € TM B. Vamos a denotar por (·) la medida (B) = exp N(­B, ­). donde B . Por definición de la medida (·), tenemos d(x) = , si x = xk, k = 1, · · ·, N(+D, +) 0, de lo contrario. Teorema 3. Bajo las suposiciones del teorema 2 dejar que el N(, ) satisface el con- dicciÃ3n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * El Tribunal de Primera Instancia decidió: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · EL PEQUEÑO DISPOSICIONAMIENTO DE MUCHOS PROCESOS DE DIFUNCIONES DIFUSIONALES 9 Entonces η(, T )  η(T ) if → 0 donde η(T ) tiene la función de distribución de Poisson con parámetro a(T ) = exp μ(s)ds F (z)d(z), donde F (z) = f1i(z)c1i, c1i = f1i(z)dz y μ(t) es la función del Teorema 2. Ahora consideramos el caso cuando el número inicial y las posiciones de los procesos son definido por la medida aleatoria de Poisson μ(·, ) en D: P (μ(+A, +) = k) = mk(â € A, â € TM ) − m(â € A,â € TM ) donde m(, ) es una medida positiva finitamente aditiva en la D para la fija. Asignamos g() = exp Teorema 4. Bajo las suposiciones del Teorema 2 suponemos que m(, ) sostiene la condición m(­B, ­)g(­) = /(B), B(­) . Entonces η(, T ) η(T ) if → 0 donde η(T ) tiene la función de distribución de Poisson con el parámetro a(T ) de Teorema 3. Bibliografía 1. GrahamR., Formulación integral del camino de los procesos de difusión general, Z. Phys.(1979),B 26, p. 281-290. 2. Onsager L. y Machlup S. Fluctuación y procesos irreversibles, I,II, Phys.Rev.(1953) 91,pp.1505-1512,1512-1515. 3. Li W. V.,Shao Q.-M., Procesos gaussianos: desigualdades, probabilidades de bola pequeña y aplicaciones, en : Procesos estocásticos: Teoría y métodos, en : Manual de estadísticas, vol.19, 2001, pp. 533-597. 4. 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Spin-orbit coupling effect on the persistent currents in mesoscopic ring with an Anderson impurity

Efecto de acoplamiento Spin-Órbita sobre las corrientes persistentes en la mesoscópica anillo con una impureza Anderson Guo-Hui Ding y Bing Dong Departamento de Física, Universidad de Shanghai Jiao Tong, Shanghai, 200240, China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Resumen Basados en el método de bosón de esclavos finito U, hemos investigado el efecto de Rashba spin- Acoplamiento orbital (SO) en la carga persistente y las corrientes de giro en anillo mesoscópico con un Anderson impureza. Se muestra que el efecto Kondo disminuirá la magnitud de la carga persistente y girar las corrientes en este caso de impureza de Anderson acoplado lateralmente. En presencia del acoplamiento SO, las corrientes persistentes cambian drásticamente y oscilan con la fuerza del acoplamiento SO. El SO el acoplamiento suprimirá el efecto Kondo y restaurará los saltos bruscos de las corrientes persistentes. Lo siento. También se encuentra que una corriente de giro persistente que circula el anillo puede existir incluso sin la carga actual en este sistema. Números PACS: 73.23.Ra, 71.70.Ej, 72.25.-b http://arxiv.org/abs/0704.0319v1 I. INTRODUCCIÓN Recientemente la interacción spin-orbita (SO) en el sistema semiconductor mesoscópico ha atraído mucho interés[1]. Debido al acoplamiento del movimiento orbital electrónico con el grado de giro de libertad, es posible manipular y controlar el giro electrónico en el sistema de acoplamiento SO por aplicar un campo eléctrico externo o una tensión de puerta, y se cree que el efecto SO desempeñará un papel importante en la futura aplicación spintronic. En realidad, varios interesantes efectos resultantes del acoplamiento SO ya se han predicho, como el giro Datta-Das Transistor de campo basado en la interacción de Rashba SO[2] y el efecto Hall de giro intrínseco[3]. En este documento vamos a centrar nuestra atención en la persistente corriente de carga y giro cur- alquiler en anillo semiconductor mesoscópico con interacción SO. La existencia de una corriente de carga en un anillo mesoscópico roscado por un flujo magnético se ha predicho décadas ago[4], y ha sido ampliamente estudiado en teoría[5, 6, 7, 8, 9] y también observado en varios experimentos[10, 11, 12]. La razón por la que existe una corriente de carga persistente puede ser pretendido como que el flujo magnético encerrado por el anillo introduce una asimetría entre electrones con impulso en el sentido de las agujas del reloj y antihorario, lo que conduce a un estado termodinámico con una corriente de carga sin disipación. Para un anillo mesoscópico con una textura como inho- campo magnético mogéneo, D. Loss et al.[13] predijo que además de la corriente de carga allí son también una corriente de giro persistente. El origen de la corriente de giro persistente puede estar relacionado a la fase de Berry adquirida cuando el electrón precede al giro durante su movimiento orbital. Los También se ha estudiado la corriente de giro persistente en sistemas semiconductores con Rashba SO cou- pling [14, 15, 16]. Recientemente se ha demostrado que un anillo semiconductor con acoplamiento SO puede mantener una corriente de giro persistente incluso en ausencia de flujo magnético externo[17]. Para el sistema de un anillo mesoscópico con impureza magnética, la carga persistente corriente ha sido investigado en el contexto de un anillo mesoscópico junto con un punto[18, 19, 20, 21, 22, 23, 24], donde el punto cuántico actúa como un nivel de impureza y introducir fluctuaciones de carga o giro a los electrones en el anillo. El efecto Kondo que surge de un giro electrónico localizado interactuando con una banda de electrones será esencial en el carga transporte en el ring. Pero a nuestro conocimiento en estos sistemas el efecto SO no ha Se ha considerado la posibilidad de adoptar una decisión al respecto. Cabe esperar que la interacción entre el efecto Kondo y el acoplamiento SO en el anillo puede dar nuevas características en las corrientes persistentes. En este artículo abordaremos este problema e investigaremos el efecto SO sobre la carga persistente y el giro corrientes en el sistema de anillos con una impureza Anderson. La impureza Anderson puede actuar como una impureza magnética cuando el nivel de impureza está en un solo estado de ocupación de electrones y también como barrera potencial en un régimen ocupado vacío. El esbozo de este documento es el siguiente. En la sección II presentamos el modelo Hamiltoniano del sistema y también del método de cálculo por bosón de esclavos finito-U[25, 26, 27, 28]. En la sección III se presentan los resultados de la corriente de carga persistente y la corriente de giro y discutido. En la sección IV damos el resumen. II. ANILLO MESOSCÓPICO CON UNA IMPURIDAD ANDERSON Los electrones en un anillo cerrado con el acoplamiento SO del término Rashba pueden ser descritos por siguiendo a Hamiltoniano en las coordenadas polares[14, 29] Hring = (−i) [(lx cos ) + h.c.], (1) donde • = h̄2/(2mea) 2), a es el radio del anillo. αR caracterizará la fuerza de Interacción con Rashba SO. Φ es el flujo magnético externo encerrado por el anillo, y Φ0 = 2ηh̄c/e es el flujo cuántico. Podemos escribir lo anterior Hamiltonian en términos de creación y aniquilación operadores de electrones en el espacio de impulso, Hring = mÔcm + 1/2 [tm(c) m+1↓cm↑ + c m−1↑cm↓) + h.c.], (2) en los que m = (m) 2, tm = αR(m),(m = 0,±1, · · ·,±M) con  = Φ/Φ0. Uno puede ver que la interacción SO causa los electrones del modo m acoplados con m + 1 y m − 1 modo electrones y proceso spin-flip. Consideramos el sistema con una impureza acoplada que puede ser descrito por el modelo de impureza Anderson, d + Und↑nd↓. 3) El túnel entre el nivel de impureza y el anillo son dados por Hd-ring = tD (dcm + h.c). 4) Entonces el total Hamiltoniano para el sistema debe ser H = Anillo +Hd +Hd−ring. 5) Con el fin de tratar la fuerte interacción de Coulomb in situ en el nivel de impureza. adoptamos el bosón de esclavos finito-U[25, 26]. Se introduce un conjunto de bosones auxiliares e, p, d para el nivel de impurezas, que actúan como operadores de proyección sobre el vacío, girar hacia arriba y girar hacia abajo), y doblemente ocupado estados de electrones en la impureza, respectivamente. A continuación, los operadores de fermiones d.o. se sustituyen por d.o. → f.o.z., con z.o. = e.o. †p + p * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En orden Para eliminar los estados no físicos, se imponen las siguientes condiciones de restricción: p + e†e+ d†d = 1, y f f = p p + d †d( =↑, ↓). Por lo tanto, el Hamiltoniano puede ser reescrito como el Hamiltoniano efectivo siguiente en términos del bosón auxiliar e, p, d y el pesudo- operadores de fermiones Heff = mÔcm + 1/2 [tm(c) m+1↓cm↑ + c m−1↑cm↓) + h.c.] f + Ud cm + h.c.) +  pp + e †e+ d†d− 1) (f) P-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p-p D-D-N-N-N-N-O-N-O-N-O-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O †d), (6) donde las restricciones se incorporan por los multiplicadores Lagrange La primera restricción puede interpretarse como una relación completa del espacio Hilbert en la impureza nivel, y el segundo equipara las dos formas de contar la ocupación del fermión para un determinado Gira. En el marco de la teoría de campo del bosón de esclavos finito-U[25, 26], el bosón de esclavos los operadores e, p, d y el parámetro z se sustituyen por los números c reales. Por lo tanto, la eficacia Hamiltonian se da como HMFeff = mÔcm + 1/2 [tm(c) m+1↓cm↑ + c m−1↑cm↓) + h.c.] dÔf f + (t­D­f (+ + h.c.) + Eg, (7) en el que t­D­= t­Dz­ representa el enganche de túnel renormalizado entre la impureza y el anillo mesoscópico. zÔ puede ser considerado como el factor de renormalización de la función de onda. d = Es el nivel de impurezas renormalizado y Eg = 2+d2−1)− d2) + Ud2 es una constante de energía. En esta aproximación de campo media el Hamiltoniano es esencialmente el de un no-interactuante sistema, por lo tanto, los niveles de energía de partículas individuales se pueden calcular por diagonalización numérica de la matriz Hamiltoniana. Entonces el estado del suelo de este sistema 0 > se puede construir mediante la adición de electrones a los niveles de energía desocupados más bajos consecutivamente. Al reducir al mínimo la energía del estado del suelo con respecto a los parámetros variacionales un conjunto de auto-consistentes las ecuaciones se pueden obtener como en Ref.[27,28], y se pueden aplicar para determinar la parámetros variacionales en el Hamiltoniano efectivo. III. LA CARGA PERSISTENTE ACTUAL Y ESPIRAR ACTUAL En esta sección vamos a presentar los resultados de nuestro cálculo de la corriente de carga persistente y girar la corriente circulando el anillo mesoscópico. Puesto que todavía hay algunos controvertidos en el literatura para la definición del operador de corriente de giro en el sistema de anillo con acoplamiento SO término[30]. Damos tanto la fórmula de carga como las corrientes de giro utilizadas explícitamente en este documento. Es fácil de obtener que el componente del operador de velocidad de electrones en este SO acoplado anillo es [2](−i + ♥) + αR( (8) Por lo tanto, el operador actual de la carga se define como Î = −evl, y en términos de creación y operador de aniquilación puede ser escrito como Î = − c†mÔcmÔ(m+ ) + αR m+1↓cm↑ + c m−1↑cm↓)]. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. A temperatura cero, la corriente de carga persistente viene dada por el valor de expectativa de la por encima del operador de corriente de carga en el estado del suelo, I = 1 < 00 >, y también puede ser calculado a partir de la expresión I = −c < 0 0 >, (10) donde Egs es la energía del estado del suelo. En la figura 1 se traza la corriente de carga persistente frente al flujo magnético cerrado para una conjunto de valores para la resistencia de acoplamiento SO. Aquí hemos tomado los parámetros del modelo • = 0,01, tD = 0,3, U = 2,0 y el número total de electrones N es de alrededor de 100. En este caso se puede obtener la energía Fermi del sistema EF = 6,25 y el espaciamiento de nivel  = 0,5 alrededor de la superficie de Fermi. Consideramos que el nivel de energía de la impureza Anderson está bien. por debajo de la energía de Fermi (con d − EF = −1.0), por lo tanto la impureza de Anderson está en el Régimen de Kondo. En la figura 1 se puede ver que las características de la carga persistente corriente depende de la paridad del número total de electrones (N), y se puede distinguir por dos casos con N impar y N par. Esto se atribuye a los diferentes patrones de ocupación del nivel más alto ocupado de energía de partículas en el campo medio efectivo Hamiltoniano. La corriente de carga persistente para el sistema con N +2 electrones es diferente de la con N electrones por un cambio de fase En el caso (I) donde el número de electrones es impar(N = 4n− 1 y N = 4n + 1), un electrón está casi localizado en el nivel de impureza y formando un singlet con nube de electrones en el anillo conductor. Este fenómeno lleva a el conocido efecto Kondo. Fig.1 muestra que el efecto Kondo disminuye la magnitud de la corriente de carga persistente, y también hace que su forma de curva se parezca a sinusoidal. En el presencia de acoplamiento de SO finito (αR < فارسى), los electrones spin-up y spin-down están acoplados y causa la división de los dos niveles de energía degenerada en el Hamiltoniano efectivo. Resulta que el efecto Kondo se suprime y los saltos bruscos de la persistencia corriente de carga con similitud a la de la caja de anillo ideal aparece. Se explica en Ref.[14] que los saltos de la corriente de carga persistente en el caso de número impar de electrones son debido a un cruce de niveles con giro opuesto. En el caso (II), donde N es par (N = 4n y N = 4n+2), El efecto Kondo se manifiesta que la magnitud de la corriente de carga persistente se suprime significativamente en comparación con la caja de anillo ideal y el redondeo de los saltos de corriente de carga persistente debido al cruce de nivel. En presencia del acoplamiento finito SO, el la corriente de carga persistente disminuye con el aumento de la fuerza de acoplamiento del SO cuando αR < فارسى. Fig.2 muestra la corriente de carga persistente en función de la resistencia de acoplamiento SO αR en diferente flujo magnético cerrado. La corriente de carga persistente presenta oscilaciones con el aumento del valor de αR para ambos sistemas con número par o impar de electrones. Por lo tanto, al sintonizar la fuerza de acoplamiento SO, la respuesta magnética de este sistema puede cambio del paramagnético al diamagnético y viceversa. Indica que el acoplamiento SO puede jugar un papel importante en el transporte de electrones en este anillo mesoscópico. La curva de la corriente de carga persistente para número impar de electrones muestra discontinuidad en su derivación, Esto se puede atribuir al cruce de nivel en el espectro energético cambiando αR. También lo es. observó que la posición de esta discontinuidad para impar N también corresponde al pico o valle incluso en el caso N. Puesto que el electrón tiene el grado de giro de la libertad, así como la carga, el electrón movimiento en el anillo puede dar lugar a una corriente de giro además de la corriente de carga. Ahora giramos. para estudiar la corriente de giro persistente en el estado del suelo. Se define el operador de corriente de giro por «v» = (v) v + vv 2), que puede ser escrito explícitamente como v = {2•(−i) + )v + [(lx cos ♥y sinel]]}, (11) Por lo tanto, el tres componente del operador de corriente de giro en términos de creación y annihi- Los operadores de la ración son dados por z = m↑cm↑ − c m↓cm↓(m+ فارسى)], (12) x = m↑cm↓ + c m↓cm↑)(m+ ) + m+1 + c m−1)cm/23370/], (13) # Sí # # # # # Sí # # # Sí # # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # # Sí # Sí # # Sí # Sí # # Sí # Sí # [−2i m↑cm↓ − c m↓cm↑)(m+ )− i m+1 − c m−1)cm/23370/], (14) El valor de expectativa de la corriente de giro Jv = ................................................................................... En nuestro cálculo encontramos que sólo el componente z de la corriente de giro no es cero en el Estado del suelo. Fig.3 muestra la corriente de giro persistente Jz vs. flujo magnético en diferentes SO fuerza de acoplamiento. La corriente de giro persistente es una función periódica del flujo magnético ♥, que tiene la simetría paritaria Jz() = Jz(♥) y también una simetría adicional Jz() = Jz(). Se observa que la corriente de giro persistente tiene una dependencia bastante diferente comportamiento del flujo magnético en comparación con la corriente de carga persistente en la figura 1. En el presencia de acoplamiento de SO finito, la corriente de giro persistente no es cero tanto para los sistemas con impar N e incluso N en flujo magnético cero, indica que una corriente de giro persistente puede ser inducido únicamente por la interacción de SO sin acompañar una corriente de carga. Este fenómeno también se muestra en Ref.[17] donde se consideró un acoplamiento SO/anillo híbrido normal. En la figura 4 se traza la corriente de giro persistente Jz en función de la resistencia de acoplamiento SO. En ausencia del acoplamiento SO αR = 0, la corriente de giro persistente es exactamente cero para ambos par y número impar sistema de electrones. En presencia del acoplamiento SO, el giro persistente corriente se convierte en no cero y muestra oscilaciones con el aumento de αR. Puede cambiar de valores positivos a negativos o viceversa afinando la resistencia de acoplamiento del SO. El signo de la corriente de giro persistente también muestra dependencia del flujo magnético cerrado. Para el sistema con impar N, hay saltos bruscos en la curva de la corriente de giro persistente a cierto valor de αR, la razón del salto es la misma que en la corriente de carga, y se debe al nivel cruzar en el espectro energético. Se observa que la posición del salto coincide con la de la corriente de carga persistente. Este tipo de característica de la persistencia corrientes pueden ser una forma útil de detectar los efectos de acoplamiento SO en el anillo semiconductor sistema. IV. CONCLUSIONES En resumen, hemos investigado el efecto de acoplamiento Rashba SO sobre la carga persistente corriente y corriente de giro en un anillo mesoscópico con una impureza Anderson. El Anderson impureza conduce al efecto Kondo y disminuye la amplitud de la carga persistente y girar la corriente en el anillo. En el anillo semiconductor con interacción SO, el la corriente de carga cambia significativamente al ajustar la resistencia del acoplamiento SO, por ejemplo. desde el corriente paramagnética a diamagnética. Además de la persistente corriente de carga, también hay existe una corriente de giro persistente, que también oscila con la fuerza de acoplamiento SO. Lo es. demostrado que a cero flujo magnético una corriente de giro persistente puede existir incluso sin la carga actual. Puesto que la corriente de giro persistente puede generar un campo eléctrico[31], se podría esperar que los experimentos en anillo semiconductor con acoplamiento de Rashba SO pueden detectar la persistencia spin current. Agradecimientos Este proyecto cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China, Programa de Shanghai Pujiang, y programa para talentos excelentes del nuevo siglo en la universidad (NCET). [1] I. Zutic, J. Fabian, y S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 76, 323 (2004). [2] S. Datta y B. Das, Appl. Phys. Lett. 56, 665 (1990). [3] S. Murakami, N. Nagaosa, y S. C. Zhang, Science 301, 1348 (2003); J. Sinova, D. Culcer, Q. Niu, N.A. Sinitsyn, T.Jungwirth, y A.H. MacDonald, Phys. Rev. Lett., 92, 126603(2004). [4] M. Büttiker, Y. Imry, y R. Landauer, Phys. Lett.96A, 365 (1983). [5] H. F. Cheung, Y. Gefen, E. K. Riedel, y W. H. Shih, Phys. Rev. B 37, 6050 (1988). [6] D. Pérdida y P. Goldbart, Phys. Rev. B 43, 13762 (1991). [7] G. Montambaux, H. Bouchiat, D. 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Lett. 90, 167204 (2003). http://arxiv.org/abs/cond-mat/0605748 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 d) b) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 FIG. 1: La corriente de carga persistente vs. flujo magnético para un conjunto de valores para la órbita de giro Resistencia de acoplamiento(αR/Karabaj = 0,0 (línea sólida),0,5 (línea de alimentación), 0,7 (línea punteada),1,0 (línea punteada con dash)). Número total de electrones N = 99 (a), 100 (b), 101 (c), 102 (d). Tomamos los otros parámetros • = 0,01, td = 0,3, • • − EF = − 1,0, U = 2,0 en el cálculo. La corriente de carga persistente es medida en unidades de I0 = eN. 0 1 2 3 4 -0.15 -0.10 -0,05 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 c) a) 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 FIG. 2: La corriente de carga persistente en función de la fuerza de acoplamiento de giro-órbita. Los flujo magnético (Φ/Φ0 = 0,125(línea sólida), 0,25 (línea de calado), 0,375 (línea punteada)). 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0.15 -0.10 -0,05 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0.10 -0,05 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0,05 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0,05 FIG. 3: FIG.3: La corriente de giro persistente Jz vs. flujo magnético para un conjunto de valores para el giro- fuerza de acoplamiento orbital(con αR/Karabaj = 0,5(línea sólida),0,7(línea de alimentación), 1,0(línea punteada)). El panel a), b), c) y d) corresponde al sistema con el número total de electrones N = 99, 100, 101, 102, respectivamente. La corriente de giro persistente se mide en unidades de J0 = N otros valores de parámetro son los mismos que en la Fig.1. 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 0 1 2 3 4 -0.10 -0,05 FIG. 4: FIG.4: La persistente corriente de giro Jz en función de la fuerza de acoplamiento de giro-órbita. El flujo magnético toma el valor (Φ/Φ0 = 0,0 (línea sólida), 0,125 (línea pegada), 0,25 (línea punteada), 0.5 (línea punteada con dash)). Introducción Anillo mesoscópico con impureza Anderson la corriente de carga persistente y la corriente de giro Conclusiones Agradecimientos Bibliografía

Basados en el método de bosón de esclavos finito de $U$, hemos investigado el efecto del acoplamiento Rashba spin-orbit(SO) sobre la carga persistente y las corrientes de giro en anillo mesoscópico con una impureza Anderson. Se demuestra que el efecto Kondo disminuirá la magnitud de la carga persistente y las corrientes de giro en este El caso de impureza de Anderson acoplado lateralmente. En presencia del acoplamiento SO, el las corrientes persistentes cambian drásticamente y oscilan con la fuerza de SO acoplamiento. El acoplamiento SO suprimirá el efecto Kondo y restaurará el abrupto saltos de las corrientes persistentes. También se encuentra que un giro persistente corriente circulando el anillo puede existir incluso sin la corriente de carga en este sistema.

Introducción Anillo mesoscópico con impureza Anderson la corriente de carga persistente y la corriente de giro Conclusiones Agradecimientos Bibliografía

Probability distributions generated by fractional diffusion equations

FRACALMO PRE-PRINT www.fracalmo.org Distribuciones de probabilidad generadas por ecuaciones de difusión fraccionaria1 Francesco MAINARDI(1), Paolo PARADISI(2) y Rudolf GORENFLO(3) (1) Departamento de Física, Universidad de Bolonia, y INFN, Via Irnerio 46, I-40126 Bolonia, Italia. francesco.mainardi@unibo.it francesco.mainardi@bo.infn.it (2) ISAC: Istituto per le Scienze dell’Atmosfera e del Clima del CNR, Strada Provinciale Lecce-Monteroni Km 1.200, I-73100 Lecce, Italia. p.paradisi@isac.cnr.ir 3) Departamento de Matemáticas e Informática, Freie Universität Berlin, Arnimallee 3, D-14195 Berlín, Alemania. greenflo@mi.fu-berlin.de Sumario Resumen..................... p. 2 1. Introducción.................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Ecuación estándar de la difusión.............................................................................................. 4 3. La Ecuación de Difusión Tiempo-Fraccional. ........................................................................ 4. El problema de Cauchy para la Ecuación de Difusión del Tiempo-Fraccional p.10 5. El Problema de Señalización para la Ecuación de Difusión Tiempo-Fraccional p.13 6. El problema Cauchy para el espacio-fraccional simétrico Ecuación de la difusión.................. p.15 7. Conclusiones .................. p. 21 A. El cálculo fraccional de Riemann-Liouville. ..................................................................................................................................................................... B. Distribución estable de la probabilidad............................................................................................. Referencias. ................... p. 41 1Este artículo se basa en una charla invitada dada por Francesco Mainardi en el International Seminario sobre Econofísica celebrado en el Colegio Bolyai de la Universidad de Eötvös, Budapest, sobre Del 21 al 27 de julio de 1997. El artículo fue originalmente editado como una contribución para el libro J. Kertesz e I. Kondor (Editors), Econophysics: a Emerging Science, Kluwer Editores Académicos, Dordrecht (NL) que deben contener trabajos seleccionados presentados en y debería haber aparecido en 1998 o 1999. Desafortunadamente el libro era no se ha publicado. La presente versión electrónica es una versión revisada (con anotaciones actualizadas y referencias) de esa contribución inédita, pero esencialmente representa nuestro conocimiento de Esa era la primera vez. http://arXiv.org/abs/0704.0320v1 Resumen El cálculo fraccional permite generalizar lo lineal, unidimensional, ecuación de difusión mediante la sustitución de la primera vez derivada o la segunda espacio derivado por un derivado de orden fraccionario. Lo fundamental soluciones de estas ecuaciones de difusión generalizada se muestran para proporcionar función de densidad de probabilidad, evolucionando en el tiempo o variable en el espacio, que están relacionados con la clase peculiar de distribuciones estables. Esta propiedad es una notable generalización de lo que sucede para la difusión estándar ecuación y puede ser relevante en el tratamiento de problemas financieros y económicos donde se sabe que las distribuciones de probabilidad estables desempeñan un papel clave. 1 Introducción Las distribuciones de probabilidad no-Gaussiana son cada vez más comunes a medida que los datos modelos, especialmente en la economía, donde se esperan grandes fluctuaciones. In de hecho, las distribuciones de probabilidad con colas pesadas a menudo se cumplen en la economía y las finanzas, lo que sugiere ampliar el arsenal de posibles estocásticos modelos por procesos no gaussianos. Esta convicción comenzó en los primeros tiempos. años sesenta después de la aparición de una serie de documentos de Mandelbrot y sus asociados, que señalan la importancia de la probabilidad no-Gaussian distribuciones, anteriormente introducidas por Pareto y Lévy, y escalas conexas propiedades, para analizar variables económicas y financieras, como se indica en el reciente libro de Mandelbrot (1997). Algunos ejemplos de tales variables son variaciones de los precios comunes de las acciones, cambios en otros precios especulativos, y cambios en la tasa de interés. En este sentido, muchas obras de diferentes autores han Apareció recientemente, véase, por ejemplo, los libros recientes de Bouchaud & Potter (1997), Mantegna & Stanley (1998) y las referencias allí citadas. Es bien sabido que la solución fundamental (o función verde) de el problema de Cauchy para la ecuación de difusión lineal estándar proporciona en cualquier tiempo la función de densidad de probabilidad (pdf) en el espacio del Gauss (o normal) la ley. Esta ley exhibe todos los momentos finitos gracias a su exponencial Caída en el infinito. En particular, la varianza de espacio de la función verde es proporcional a la primera potencia del tiempo, una propiedad notable que puede ser entendido por medio de un modelo de paseo aleatorio imparcial para el Movimiento browniano, véase, por ejemplo. Feller (1957). Menos conocida es la propiedad para que la solución fundamental del problema de Signalling para el mismo ecuación de difusión, proporciona en cualquier posición un pdf unilateral en el tiempo, conocido como ley Lévy, utilizando la terminología de Feller (1966-1973). Debido a su decaimiento algebraico en el infinito como t-3/2, esta ley tiene todos los momentos de entero orden divergente, y en consecuencia su valor de expectativa y varianza son infinito. Tanto las leyes Gauss como Lévy pertenecen a la clase general de probabilidad estable distribuciones, que se caracterizan por un índice α (0 < α ≤ 2), llamado índice de estabilidad o exponente característico. En particular, el índice de la Gauss ley es 2, mientras que la de la ley Lévy es 1/2. En este trabajo consideramos dos generalizaciones diferentes de la difusión ecuación por medio de cálculo fraccionario, que nos permite reemplazar o bien el Derivado por primera vez o segundo derivado espacial por un fraccionario adecuado derivado. Correspondientemente, la ecuación generalizada se referirá a como la ecuación de difusión tiempo-fraccional o la simétrica, espacio-fraccional Ecuación de difusión. Aquí mostramos cómo las soluciones fundamentales de esto ecuación para los problemas de Cauchy y Signalling proporcionan densidad de probabilidad funciones relacionadas con ciertas distribuciones estables, proporcionando así un generalización de lo que ocurre para la ecuación de difusión estándar. El plan del documento es el siguiente. En primer lugar, por el bien de la comodidad y la integridad, proporcionamos las nociones esenciales de Riemann-Liouville Cálculo fraccional y distribución de probabilidad estable de Lévy en el apéndice A y B, respectivamente. En la Sección 2, recordamos los resultados básicos para la difusión estándar ecuación relativa a las soluciones fundamentales del Cauchy y Signalling problemas. En particular, proporcionamos la derivación de estas soluciones por el Fourier y Laplace transforman y la interpretación en términos de Gauss y Lévy pdf estable, respectivamente. En la Sección 3, consideramos la ecuación de difusión tiempo-fraccional y nosotros formular para ello los problemas básicos de Cauchy y Signalling a tratar en el subsecuentes dos secciones. Aquí adoptamos el enfoque de Riemann-Liouville para Cálculo fraccional, y la definición relacionada para el tiempo fraccional de Caputo derivado de una función causal del tiempo. En la Sección 4, resolvemos el problema de Cauchy para la difusión fraccional del tiempo ecuación mediante el uso de la técnica de transformación de Fourier y derivamos la solución fundamental correspondiente en términos de una función especial de Wright tipo en la variable de similitud. En este caso la solución puede ser interpretada como un notable pdf simétrico en el espacio con todos los momentos finitos, en evolución con el tiempo. En particular, su varianza de espacio resulta ser proporcional a un potencia del tiempo igual al orden de la derivada tiempo-fraccional. En la sección 5, derivamos la solución fundamental para el problema de señalización de la ecuación de difusión tiempo-fraccional mediante el uso de la técnica de Laplace transformar. En este caso la solución, aún expresada en términos de función de tipo Wright, se puede interpretar como un pdf estable unilateral en tiempo, dependiendo de la posición, con índice de estabilidad dado por la mitad de la orden de la derivada tiempo-fraccional. En la Sección 6, consideramos la ecuación simétrica de difusión espacio-fraccional. Aquí adoptamos el enfoque Riesz de cálculo fraccional, y el relacionado definición para el derivado simétrico espacio-fraccional de una función de un Variable de espacio único. Aquí tratamos el problema de Cauchy por técnica de la transformación de Fourier y derivamos la representación de la serie de la función verde correspondiente. En este caso, la solución fundamental es interpretado en términos de un pdf simétrico estable en el espacio, evolucionando en el tiempo, con índice de estabilidad dado por el orden del derivado espacio-fraccional. Para aproximarnos a tal evolución proponemos un modelo de caminata aleatoria, discreto en el espacio y el tiempo, que se basa en la aproximación de Grünwald-Letnikov del derivado fraccionario. Por último, la sección 7 está dedicada a las conclusiones y observaciones sobre los trabajos conexos. 2 La ecuación de difusión estándar Para la ecuación de difusión estándar nos referimos al diferencial parcial lineal ecuación u(x, t) = D u(x, t), u = u(x, t), (2.1) donde D denota una constante positiva con las dimensiones L2 T−1, x y t son las variables espacio-tiempo, y u = u(x, t) es la variable de campo, que es Se supone que es una función causal del tiempo, es decir. desapareciendo para t < 0. El fenómeno físico típico relacionado con tal ecuación es el calor conducción en una barra sólida delgada extendida a lo largo de x, por lo que la variable de campo u es la temperatura. Para garantizar la existencia y la singularidad de la solución, debemos equipar (1.1) con datos adecuados sobre el límite del espacio-tiempo dominio. Los problemas básicos de valor límite para la difusión son los llamados Problemas de Cauchy y Signalling. En el problema de Cauchy, que se refiere a el dominio espacio-tiempo â > < x < â >, t ≥ 0, los datos se asignan a t = 0+ en todo el eje espacial (datos iniciales). En el problema de señalización, que se refiere al dominio espacio-tiempo x ≥ 0, t ≥ 0, se asignan los datos tanto en t = 0+ en el eje espacial semiinfinito x > 0 (datos iniciales) como en x = 0+ en el eje de tiempo semi-infinito t > 0 (datos de fronteras); aquí, en su mayoría Normalmente, se supone que los datos iniciales están desapareciendo. Denotando por g(x) y h(t) dos funciones dadas, suficientemente bien, el Así pues, los problemas básicos se formulan de la siguiente manera: a) El problema de Cauchy u(x, 0+) = g(x), â € < x < â € ; u(, t) = 0, t > 0 ; (2.2a) b) Problema de señalización u(x, 0+) = 0, x > 0 ; u(0+, t) = h(t), u(, t) = 0, t > 0. (2.2b) A partir de ahora, para ambos problemas, derivamos los resultados clásicos que serán adecuadamente generalizado para la ecuación de difusión fraccionaria en el subsecuente secciones. Empecemos con el problema de Cauchy. Es bien sabido que este valor inicial problema se puede resolver fácilmente haciendo uso de la transformación de Fourier y su solución fundamental se puede interpretar como un pdf gaussiano en x. Adopción la notación g(x) (+) = F [g(x)] = e+iÃ3x g(x) dx, g(x) = F−1 [­(­)] = 1 e-iÃ3x Ã3(l) dÃ3, la solución transformada satisface la ecuación diferencial ordinaria de la primer orden ( + 2 D û(, t) = 0, û(, 0+) = (), (2.3) y, en consecuencia, resulta ser û(l, t) = (l) e 2 D t. (2.4) A continuación, la introducción Gdc (x, t) 2 D t, (2,5) donde el índice superior d se refiere a la difusión (estándar), la solución requerida, obtenido por inversión de (2.4), puede expresarse en términos del espacio convolution u(x, t) = Gdc (, t) g(x −) d®, donde Gcc (x, t) = t−1/2 e−x 2/(4D t). (2.6) Aquí Gdc (x, t) representa la solución fundamental (o función verde) de el problema de Cauchy, ya que corresponde a g(x) = ♥(x). Resulta que... ser una función en x, uniforme y normalizado, es decir. Gdc (x, t) = Gdc (x, t) y Gdc (x, t) dx = 1. También tomamos nota de la identidad x Gdc (x, t) = Md(Ł), (2.7) en la que se indica el número de identificación de la persona o de la persona a la que se refiere el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. D t1/2) es la conocida variable de similitud y Md(­) = 2/4. (2.8) Observamos que Md(­) satisface la condición de normalización d) d) d) = 1. La interpretación de la función verde (2.6) en la teoría de la probabilidad es sencillo ya que reconocemos fácilmente Gdc (x, t) = pG(x; 2/(2/2), 2 = 2D t, (2.9) donde pG(x;) denota el conocido Gauss o el pdf normal extendido hacia fuera sobre todo real x (la variable de espacio), cuyo momento del segundo orden, el varianza, es 2. La función de distribución acumulativa asociada (cdf) es de los que se sabe que PG(x;) := ′;) dx′ = 1 + erf , (2.10) donde erf (z) := (2/ 0 exp (−u2) du denota la función de error. Además, los momentos de orden uniforme del Gauss pdf resultan ser 2n pG(x;) dx = (2n − 1)!!? 2n, así que x2n Gdc (x, t) dx = (2n − 1)!! (2D t)n, n = 1, 2,... (2.11) Consideremos ahora el problema de la señalización. Este valor de referencia inicial problema se puede resolver fácilmente haciendo uso de la transformación de Laplace. Adopción de la notación h(t) hū(s) = L [h(t)] = e-st h(t) dt, h(t) = L−1 hś(t) est hś(s) d(s), donde Br denota el camino Bromwich, la solución transformada de la ecuación de difusión satisface la ecuación diferencial ordinaria de la segunda orden *(x, s) = 0, *(0+, s) = hū(s), *(, s) = 0. (2.12) y, en consecuencia, resulta ser (x, s) = hū(s) e−(x/ D) s1/2. (2.13) A continuación, la introducción Gds (x, t) (x, s) = e−(x/ D) s1/2, (2.14) la solución requerida, obtenida por inversión de (2.13), puede expresarse en términos de la convolución temporal, u(x, t) = 0 Gds (x, Gds (x, t) = t−3/2 e−x 2/(4D t). (2.15) Aquí Gds (x, t) representa la solución fundamental (o función verde) de la Problema de señalización, ya que corresponde a h(t) = (t). Tomamos nota de que Gds (x, t) = pLS(t;μ) := 2η t3/2 e/(2t), t ≥ 0, μ = x , (2.16) donde pLS(t;μ) denota el pdf unidireccional Lévy-Smirnov repartido por todos t no negativo (la variable de tiempo). El cdf asociado es, ver por ejemplo. Feller (1966-1971) y Prüss (1993), PL(t;μ) := ′;μ) dt′ = erfc = erfc , (2.17) donde erfc (z) := 1 − erf (z) denota la función de error complementario. El Lévy-Smirnov pdf tiene todos los momentos de orden entero infinito, ya que decae en el infinito como t−3/2. Sin embargo, observamos que los momentos absolutos de El orden real sólo es finito si 0 ≤ ν < 1/2. En particular, para este pdf la media es infinito, para lo cual podemos tomar la mediana como valor de expectativa. Desde PLs(tmed;μ) = 1/2, resulta que tmed 2μ, ya que el complemento función de error obtiene el valor 1/2 ya que su argumento es aproximadamente 1/2. Observamos que en el dominio común x > 0, t > 0 las funciones verdes de los dos problemas básicos satisfacen la identidad xGdc (x, t) = tGds (x, t), (2.18) que nos referimos como la relación de reciprocidad entre los dos fundamentales soluciones de la ecuación de difusión. Además, teniendo en cuenta los puntos 2.7 y 2.18. reconocemos el papel de la función de la variable de similitud, Md(­), en el suministro de las dos soluciones fundamentales; nos referiremos a ella en cuanto a la función auxiliar normalizada de la ecuación de difusión tanto para el Cauchy y problemas de señalización. 3 La ecuación de difusión tiempo-fraccional Por la ecuación de difusión tiempo-fraccional nos referimos a la evolución lineal ecuación obtenida de la ecuación de difusión clásica mediante la sustitución de la primera orden derivada de tiempo por un derivado fraccionario (en el sentido de Caputo) de orden α con 0 < α ≤ 2. En nuestra notación se lee , u = u(x, t), 0 < α ≤ 2, (3.1) donde D denota una constante positiva con las dimensiones L2 T». Desde Apéndice A recordamos la definición del derivado fraccionario de Caputo de orden α > 0 para una función causal (suficientemente bien comportada) f(t), véase (A.9), D f(t) := (m − α) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • donde m = 1, 2,.... y 0 ≤ m − 1 < α ≤ m. necesidad de distinguir los casos 0 < α ≤ 1 y 1 < α ≤ 2. En este último caso (3.1) puede ser visto como una especie de interpolación entre la difusión estándar ecuación y la ecuación de onda estándar. Introducción (t) := t1+ ,  > 0, (3.3) donde el sufijo + sólo denota que la función está desapareciendo para t < 0, fácilmente reconocemos que la ecuación (3.1) asume las formas explícitas : si 0 < α ≤ 1, Φ1°(t)* *(1 − α) (t − فارسى) d. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. ; (3.4) si 1 < α ≤ 2, Φ2°(t)* *(2 − α) (t − )1 d. = D. . (3.5) Extender el análisis clásico para la ecuación de difusión estándar (2.1) a las ecuaciones integro-diferenciales anteriores (3.4-5), el Cauchy y Signalling los problemas se formulan así como en las ecuaciones (2.2), es decir, a) El problema de Cauchy u(x, 0+) = g(x), â < x < â € ; u(, t) = 0, t > 0 ; (3.6a) b) Problema de señalización u(x, 0+) = 0, x > 0 ; u(0+, t) = h(t), u(, t) = 0, t > 0. (3.6b) Sin embargo, si 1 < α ≤ 2, la presencia en (3,5) del tiempo de segundo orden derivado de la variable campo requiere especificar el valor inicial de la primera orden tiempo derivado ut(x, 0 +), ya que en este caso dos linealmente independientes Hay que determinar las soluciones. Para asegurar la dependencia continua de nuestra solución sobre el parámetro α también en la transición de α = 1− a α = 1+, acordamos asumir ut(x, 0 +) = 0. Reconocemos que nuestra ecuación de difusión fraccionaria (3.1), cuando está sujeta a las condiciones (3.6), es equivalente a la ecuación integro-diferencial u(x, t) = g(x) + (t − ♥)1 dl, (3.7) donde 0 < α ≤ 2. Tal ecuación integro-diferencial ha sido investigada de varios autores, entre ellos Schneider & Wyss (1989), Fujita (1990), Prüss (1993) y Engler (1997). En vista de nuestro análisis posterior nos parece conveniente poner , 0 < / < 1. (3.8) De hecho, el análisis de la ecuación de difusión tiempo-fraccional resulta a ser más fácil si adoptamos como parámetro clave la mitad del orden de la derivado tiempo-fraccional. En el futuro proporcionaremos el símbolo α con otros significados relevantes, como el índice de estabilidad de una probabilidad estable distribución o el orden del derivado espacial en el espacio-fraccional Ecuación de difusión. A partir de ahora, estamos de acuerdo en insertar el parámetro v en la variable de campo, es decir. u = u(x, t; v). Al denotar las funciones verdes del Cauchy y Signalling problemas de Gc(x, t; v) y Gs(x, t; v), respectivamente, las soluciones de los dos los problemas básicos se obtienen por una convolución del espacio o del tiempo, u(x, t; v) = Gc(), t; v) g(x) dá r, u(x, t; v) = 0 Gs(x,  ; ν)h(t) d Debe tenerse en cuenta que Gc(x, t; v) = Gc(x, t; v), puesto que la función verde resulta ser una función par de x. En las dos secciones siguientes vamos a calcular las dos soluciones fundamentales con las mismas técnicas (basadas en transformadas de Fourier y Laplace) utilizadas para la ecuación de difusión estándar y proporcionaremos su interpretación en términos de distribuciones de probabilidad. La mayoría de los resultados presentados se basan en sobre los trabajos de Mainardi (1994), (1995), (1996) y (1997) y de Mainardi & Tomirotti (1995), (1997). 4 El problema de Cauchy para el tiempo fraccional ecuación de difusión Para la ecuación de difusión fraccional (3.1) sujeta a (3.6a) la aplicación de la transformación de Fourier conduce a la ecuación diferencial ordinaria de orden α = 2 /, + 2 D û(l), t; v) = 0, û(l), 0+; v) = (l), (4.1) Utilizando los resultados del Apéndice A, véase (A.22-30), la solución transformada es û(l), t; v) = (l) E2 2 D t 2 / , (4.2) donde E2/(·) designa la función Mittag-Leffler del orden 2/, y conse- quently para la función verde que tenemos Gc(x, t; v) = Gc(x, t; v) 2D t2/ . (4.3) Puesto que la función verde es una función real y uniforme de x, su (exponencial) La transformación de Fourier se puede expresar en términos de la transformación coseno de Fourier y por lo tanto está relacionado con su transformada espacial de Laplace como sigue c(k, t; v) = 2 Gc(x, t; v) cos ­x dx = El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001. s=+ik + G­c(s), t; / s=−ik (4.4) De hecho, una división se produce también en (4.3) de acuerdo con la fórmula de duplicación para la función Mittag-Leffler, véase (A.26), C(k, t; /) = E2 v(2 D t2 v) = [E/(+i D t//) + E/(-i D t contra )]/2. (4.5) Cuando la inversión de la transformación de Fourier en (4.5) no puede ser obtenido mediante el uso de una tabla estándar de pares de transformación de Fourier; sin embargo, para cualquier • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • transformar el par (A.37) con r = x, y s = ±iŁ. De hecho, teniendo en cuenta cuenta la propiedad de escala de la transformada de Laplace, obtenemos de (4.5) y (A.37) Gc(x, t; v) = ( x , (4.6) en el que M.; v. es la función especial del tipo Wright, definida por (A.31-33), , (4.7) la variable de similitud. Tomamos nota de la identidad x Gc(x, t; v) = Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Italiana que generaliza a la ecuación de difusión tiempo-fraccional la identidad (2.7) de la ecuación de difusión estándar. Desde 1 (A.40), la función M (­) es la función auxiliar normalizada del fraccionario Ecuación de difusión. Observamos que para la ecuación de difusión tiempo-fraccional la fundamental solución del problema de Cauchy sigue siendo un pdf simétrico bilateral en x (con dos ramas, para x > 0 y x < 0, obtenidas una de la otra por reflexión), pero ya no es de tipo gaussiano si v 6= 1/2. De hecho, para grandes x cada rama exhibe una decadencia exponencial en la variable “estirada” x1/(1) como puede derivarse de la representación asintótica (A.36) de la función auxiliar M(·; v). De hecho, al usar (4.7-8) y (A.36), obtenemos Gc(x, t; /) a*(t) x(1/2)/(1) exp −b*(t)x1/(1) , (4.9) , donde a*(t) y b*(t) son ciertas funciones positivas del tiempo. Además, la decadencia exponencial en x proporcionada por (4.9) asegura que todos los momentos absolutos de orden positivo de Gc(x, t; v) son finitos. En particular, usando (4.8) y (A.39) resulta que los momentos (de orden uniforme) son x2n Gc(x, t; v) dx = (2n + 1) (2 vn + 1) (Dt2 v )n, n = 0, 1, 2,. (4.10) La fórmula (4.10) proporciona una generalización de la fórmula correspondiente (2.11) válida para la ecuación de difusión estándar, v = 1/2. Además, nosotros reconocer que la varianza asociada al pdf es ahora proporcional a Dt2 v, que para el caso 6 = 1/2 implica un fenómeno de difusión anómala. De acuerdo a una terminología habitual en la mecánica estadística, la difusión anómala es se dice que es lento si 0 < < 1/2 y rápido si 1/2 < < 1. En la Figura 1, como un ejemplo, comparamos versus x, en fijo t, el Las soluciones fundamentales del problema de Cauchy con diferen­tes 1/4, 1/2, 3/4 ). Consideramos el rango 0 ≤ x ≤ 4 y asumir D = t = 1. 0 1 2 3 4 Figura 1: El problema de Cauchy para la ecuación de difusión tiempo-fraccional. Las soluciones fundamentales versus x con a) v = 1/4, b) v = 1/2, c) / = 3/4. Observamos el comportamiento diferente del pdf en los casos de difusión lenta ( v = 1/4 ) y difusión rápida ( v = 3/4 ) con respecto al comportamiento gaussiano de la difusión estándar ( v = 1/2). En los casos de limitación ν = 0 y ν = 1 Tenemos Gc(x, t; 0) = Ex , Gc(x, t; 1) = * (x − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + D t) + (x + . (4.11) También reconocemos en el apéndice B que para 1/2 ≤ ν < 1 cualquier rama de la solución fundamental es proporcional a la correspondiente positiva rama de un pdf extremal estable con índice de estabilidad α = 1/ v, que exhibe una decadencia exponencial en el infinito. De hecho, aplicando (B.29) con α = 1/ v e y = فارسى = x/( Dt v), a partir de (4.7-8) obtenemos Gc(x, t; v) = x/( D / ; − (2 - 1/ / ) · p1/ / (x; +1, 1, 0), 1 < 1// ≤ 2. (4.12) También observamos que la distribución estable en (4.12) satisface la condición p1/ v. (x; +1, 1, 0) dx = v., 1 < 1/ v. ≤ 2. (4.13) 5 El problema de señalización para el tiempo-fraccional ecuación de difusión Para la ecuación de difusión fraccional (3.1) sujeta a (3.6b) la aplicación de la transformación de Laplace conduce a la ecuación diferencial ordinaria de orden (x, s; ν), (0+, s; ν) = hū(s), (­) (­) (­) (­) (­) = 0. (5.1) Así se lee la solución transformada (x, s; v) = h­(s) e­(x/ D) s/, (5.2) así que para la función verde que tenemos Gs(x, t; v) Gūs(x, s; v) = e−(x/ D) s/......................................................................... (5.3) Cuando ν 6= 1/2 la inversión de esta transformación de Laplace no puede ser obtenida por buscando en una tabla estándar de Laplace transformar pares. También aquí apelamos a un par de transformación de Laplace relacionado con la función de tipo Wright M(l; v). In fact, utilizando (A.40) con r = t, y teniendo en cuenta la propiedad de escalado de la transformación de Laplace, obtenemos Gs(x, t; v) = / D t1 . (5.4) Introduciendo la variable de similitud • = x/( Dtv), reconocemos la identidad tGs(x, t; v.) = contra M.; v., (5.5) que es la contraparte para el problema de señalización de la identidad (4.8) válida para el problema de Cauchy. Comparando (5.5) con (4.8) obtenemos la relación de reciprocidad entre el dos soluciones fundamentales de la ecuación de difusión tiempo-fraccional, en el dominio común x > 0, t > 0, 2 / xGc(x, t; v) = tGs(x, t; v). (5.6) La interpretación de Gs(x, t; v) como un pdf estable unilateral en el tiempo es simple: a este respecto tenemos que aplicar (B.28), con índice de estabilidad α = v y variable y = 1/ v = t ( D/x)1//, en (5.5). Obtenemos Gs(x, t; v) = • — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — = p/ (t; −1, 1, 0). (5.7) En la Figura 2, como un ejemplo, comparamos versus t, en fijo x, el fundamental las soluciones del problema de señalización con diferentes ν ( v = 1/4, 1/2, 3/4 ). Nosotros considerar el rango 0 ≤ t ≤ 3 y asumir D = x = 1. Observamos el comportamiento diferente del pdf en los casos de difusión lenta ( v = 1/4 ) y difusión rápida ( v = 3/4 ) con respecto al pdf de Lévy para el difusión estándar ( v = 1/2). En los casos límite ν = 0, 1, tenemos Gs(x, t; 0) = (t), Gs(x, t; 1) = (t − x/ D). (5.8) 0 1 2 3 Figura 2: El problema de señalización para la ecuación de difusión tiempo-fraccional. Las soluciones fundamentales versus t con a) v = 1/4, b) v = 1/2, c) / = 3/4. 6 El problema Cauchy para el espacio simétrico- ecuación de difusión fraccional La ecuación simétrica espacio-fracción de difusión se obtiene de la ecuación de difusión clásica sustituyendo el derivado espacial de segundo orden por un derivado simétrico espacio-fraccional (explicado a continuación) de orden α con 0 < α ≤ 2. En nuestra notación escribimos esta ecuación como x , u = u(x, t;α), x â € R, t â € R+0, 0 < α ≤ 2, (6.1) donde D es un coeficiente positivo con las dimensiones Lα T−1. Los solución fundamental para el problema de Cauchy, Gc(x, t;α) es la solución de (6.1), sujeto a la condición inicial u(x, 0+;α) = (x). El derivado simétrico espacio-fraccional de cualquier orden α > 0 de un La función de buen comportamiento, x R, puede definirse como la pseudo- operador diferencial caracterizado en su representación de Fourier por # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * (x) * ( ) *, x, k * R, α > 0. (6.2) De acuerdo con una terminología habitual, se refiere como el símbolo de nuestra operador pseudo-diferencial, el derivado simétrico espacio-fraccional, de orden α. Aquí, hemos adoptado la notación introducida por Zaslavski, ver e.g. Saichev & Zaslavski (1997). Con el fin de introducir correctamente este tipo de derivados fraccionarios que necesitamos considerar un enfoque peculiar del cálculo fraccionario diferente de la Riemann-Liouville uno, ya tratado en el Apéndice A. Este enfoque es el siguiente: de hecho basado en los llamados potenciales Riesz (o integrales), que preferimos a considerar más tarde. Al principio, veamos cómo las cosas se vuelven altamente transparentes utilizando un argumento heurístico, originalmente debido a Feller (1952). La idea es empezar del operador diferencial definido positivo A := − 2 = 2, (6.3) cuyo símbolo es 2, y formar poderes positivos de este operador como pseudo- operadores diferenciales por su acción en el espacio de imagen de Fourier, es decir Aα/2 := = α > 0. (6.4) Por lo tanto, el operador −Aα/2 puede ser interpretado como el fraccionario requerido derivado, es decir, Aα/2-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-)- (-)- (-)-)- (--)------ (--------)------------------------------------------------------------- # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. , α > 0. (6.5) Observamos que el operador que acaba de definir no debe confundirse con una potencia del operador diferencial de primer orden d para el cual el símbolo es −iŁ. Después de las consideraciones anteriores es sencillo obtener el Fourier imagen de la función Verde del problema Cauchy para el espacio-fraccional Ecuación de difusión. De hecho, la aplicación de la transformación de Fourier a la ecuación (6.1), sujeto a la condición inicial u(x, 0+;α) = (6.2), obtenemos Gc(x, t;α) = Gc(x, t;α) , 0 < α ≤ 2. (6.6) Reconocemos fácilmente que la transformación de Fourier de la función verde corresponde a la forma canónica de una distribución estable simétrica del índice de estabilidad α y factor de escala γ = (Dt)1/α, véase (B.8). Por lo tanto tenemos Gc(x, t;α) = pα(x; 0, γ, 0), γ = (Dt)1/α. (6.7) Para α = 1 y α = 2 obtenemos fácilmente las expresiones explícitas de la funciones verdes correspondientes ya que en estos casos corresponden a la Distribución de Cauchy y Gauss, Gc(x, t; 1) = x2 + (D t)2 , (6.8) Véase (B.5), y Gc(x, t; 2)) = 2/(4D t), (6.9) de acuerdo con (2.6). Reconozcamos fácilmente que (D t)1/α (6.10) es la variable de similitud para la ecuación de difusión espacio-fraccional, en términos de los cuales podemos expresar la función verde para cualquier α â € (0, 2]. De hecho, nosotros reconocer que Gc(x, t;α) = (D t)1/α qα(η; 0), (6.11) donde qα(η; 0) denota la distribución estable simétrica del orden α con Función característica del tipo Feller, véase (B.14-15). Ahora podemos expresar el Función verde usando las expansiones de la serie Feller (B.21-22) con  = 0. Nosotros obtener: para 0 < α < 1, qα(η; 0) = − (nα + 1) , (6.12a) para 1 < α ≤ 2, qα(η; 0) = (−1)m *[(2m + 1)/α] (2m)! η2m. (6.12b) En el caso limitador α = 1 la serie anterior se reduce a serie geométrica y por lo tanto, ya no son convergentes en todo C. En particular, representan las expansiones de la función q1(η; 0) = 1/[ 2)], convergente para η > 1 y 0 < η < 1, respectivamente. También notamos que para cualquier α (0, 2] las funciones qα(η; 0) exhiben en el origen el valor qα(0; 0) = فارسى(1/α)/( α), y en las colas, con exclusión del Caso gaussiano α = 2, el comportamiento asintótico algebraico, como η → qα(η; 0) (α + 1) pecado (1), 0 < α < 2. (6.13) En la Figura 3, como un ejemplo, comparamos versus x, en fijo t, el fundamental soluciones del problema de Cauchy con diferentes α (α = 1/2, 1, 3/2, 2 ). Nosotros considerar el rango −6 ≤ x ≤ +6 y asumir D = t = 1. -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 3: El problema Cauchy para la difusión simétrica espacio-fraccional ecuación. Las soluciones fundamentales versus x : placa a) α = 1/2 (línea continua), α = 1 (línea contagiada); placa b) α = 3/4 (línea continua), α = 2 (línea de sujeción). Ahora expresemos más correctamente a nuestro operador (6.4) (con el símbolo ) como inversa de un operador integral adecuado Iα cuyo símbolo es. Esto operador se puede encontrar en el enfoque de Marcel Riesz a Fractional Cálculo, véase, por ejemplo, Samko, Kilbas & Marichev (1987-1993) y Rubin (1996). Recordamos que para cualquier α > 0, α 6 = 1, 3, 5,. ... y para un lo suficientemente bien- función comportada فارسى(x), x R, la integral Riesz o Riesz potencial Iα y su imagen en el dominio de Fourier leer Iα (x) := 2-(α) cos(/2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (6.14) A su vez, el potencial Riesz se puede escribir en términos de dos integrales Weyl I según Iα (x) = 2 cos(+/2) I(x) + I (x) , (6.15) donde (x) := (x − ) 1 () d, I (x) := ( − x)1 () d. (6.16) Entonces, al menos de una manera formal, el derivado espacio-fraccional (6.2) gira a definirse como lo contrario de la inversa (izquierda) del fraccionario Riesz integral, es decir, # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * (x) := − (l) (x) = − 2 cos(+/2) I (x) + I - (x) . (6.17) Nótese que (6.14) y (6.17) se vuelven sin sentido cuando α es un número entero impar número. Sin embargo, para nuestro rango de interés 0 < α ≤ 2, el caso particular α = 1 se puede seleccionar ya que la función verde correspondiente ya está conocido, véase (6.8). Por lo tanto, excluyendo el caso α = 1, nuestro espacio-fraccional la ecuación de difusión (6.1) puede ser reescrita, x â € R, t â € R+0, como = −D I+i u, u = u(x, t;α), 0 < α ≤ 2, α 6 = 1, (6,18) donde el operador Io se define por (6.16-17). Aquí, para evaluar la solución fundamental del problema Cauchy, interpretado como una densidad de probabilidad, proponemos un enfoque numérico, original hasta donde sabemos, basado en un modelo (simétrico) de caminata aleatoria, discreto en espacio y tiempo, véase también Gorenflo & Mainardi (1998a), Gorenflo & Mainardi (1998b) y Gorenflo, De Fabritiis & Mainardi (1999). Lo haremos. ver cómo las cosas se vuelven altamente transparentes, en que generalizamos adecuadamente el argumento clásico al azar-camina de la ecuación de difusión estándar a nuestra ecuación de difusión espacio-fraccional (6.18). Así que haciendo estamos en posición para proporcionar una simulación numérica de la estabilidad relacionada (simétrica) distribuciones de una manera análoga a la norma para la ley gaussiana. La idea esencial es aproximar los operadores inversos izquierdos I por el Grünwald-Letnikov esquema, sobre el cual el lector puede informarse en el los tratados sobre cálculo fraccional, véase, por ejemplo, Oldham & Spanier (1974), Samko, Kilbas & Marichev (1987-1993), Miller & Ross (1993), o en el reciente examen artículo de Gorenflo (1997). Si h denota un paso de longitud “pequeño” positivo, estos aproximadamente los operadores deben leer ± (x) := (−1)k *(x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) (6.19) Asumir, para simplicidad, D = 1, e introducir puntos de cuadrícula xj = j h con h > 0, j â € Z, y las instancias de tiempo tn = n â € > 0, n â € N0. Dejalo ahí. se le indicarán probabilidades pj,k ≥ 0 de saltar del punto xj al instante tn a punto xk al instante tn+1 y definir probabilidades yj(tn) del ser caminante en el punto xj al instante tn. Entonces, por yk(tn+1) = pj,k uj(tn), pj,k = pj,k = 1, (6,20) con pj,k = pk,j, una caminata simétrica aleatoria (más exactamente una simétrica salto aleatorio) modelo se describe. Con la aproximación yj(tn) ∫ (xj+h/2) (xj−h/2) u(x, tn) dx  hu(xj, tn), (6.21) e introducir el “parámetro de escalado” 2 cos(/2) , (6.22) hemos resuelto yj(tn+1) − yj(tn) = − i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) para yj(tn+1). Así que hemos demostrado tener una consistente (para h → 0) simétrica aproximación de caminata aleatoria a (6.18) tomando i) para 0 < α < 1, 0 < μ ≤ 1/2, • yj(tn) = μ + yj(tn) + hI − yj(tn) pj,j = 1 − 2μ, pj,j±k = μ ), k ≥ 1 ; (6.24) ii) para 1 < α ≤ 2, 0 < μ ≤ 1/(2α), * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * • yj(tn) = μ + yj+1(tn) + hI − yj−1(tn) pj,j = 1 − 2μ α, pj,j±1 = μ pj,j±k = μ ), k ≥ 2. (6.25) Observamos que nuestro modelo de caminata al azar no sólo es simétrico, sino también homogéneas, las probabilidades de transición pj,j±k no dependiendo del índice En el caso especial α = 2 nos recuperamos de (6.25) el conocido tres puntos aproximación de la ecuación de calor, porque pj,j±k = 0 para k ≥ 2. Esto significa que para la aproximación de la difusión común sólo saltos de un paso a la derecha o uno a la izquierda o saltos de anchura cero ocurren, mientras que para 0 < α < 2 (α 6= 1) saltos grandes arbitrarios ocurren con el poder-como decaimiento probabilidad, como resulta del análisis asintótico para la transición probabilidades dadas en (6.24-25). De hecho, como k → فارسى, se encuentra pj,j+k (/hα) (α + 1) pecado k−(+1), 0 < α < 2. (6.26) Este resultado proporciona así la contraparte discreta de la asintótica comportamiento de las largas colas power-law de las distribuciones simétricas estables, según lo previsto en (6,13) cuando 0 < α < 2. 7 Conclusiones Hemos tratado dos generalizaciones del estándar, unidimensional, la ecuación de difusión, a saber, la ecuación de difusión tiempo-fraccional y la ecuación simétrica de difusión espacio-fraccional. Para estas ecuaciones tenemos deriva las soluciones fundamentales utilizando los métodos de transformación de Fourier y Laplace, y exhibieron sus conexiones al extremo y simétrico densidades de probabilidad estables, evolucionando en el tiempo o variable en el espacio. Por la Comisión Ecuación de difusión espacio-fraccional simétrica que hemos presentado una estacionaria (en el tiempo), modelo de caminata simétrico aleatorio homogéneo (en el espacio), discreto en el espacio y el tiempo, la longitud de paso de la red espacial y los lapsos de tiempo entre transiciones correctamente escalonadas. En el límite de la multa infinitesimal discretización de este modelo (basado en la aproximación de Grünwald-Letnikov a derivados fraccionarios) es coherente con el proceso de difusión continua, i.e. convergente si se interpreta como un esquema de diferencia en el sentido numérico análisis2. Desde el punto de vista matemático el campo de tales "fraccionales" generales- izaciones es fascinante ya que hay varias disciplinas matemáticas se reúnen y llegar a una interacción fructífera: por ejemplo. teoría de probabilidad y procesos estocásticos, 2Otras generalizaciones han sido consideradas por nosotros y nuestros colaboradores en otros documentos, en los que hemos dado una derivación de los modelos aleatorios discretos relacionados con Ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-tiempo más generales. Para un análisis exhaustivo, véase Gorenflo et al. (2002). Lectores interesados en las soluciones fundamentales de estos fraccionarios Las ecuaciones de difusión son referidas al artículo por Mainardi et al. (2001) en los que se analizan se encuentran expresiones y gráficos numéricos. ecuaciones integro-diferenciales, teoría de la transformación, funciones especiales, numéricas análisis. Como uno puede tomar de nuestras referencias, uno puede observar que desde hay un interés cada vez mayor en el uso de los conceptos de cálculo fraccional entre físicos y economistas. Entre los economistas como para remitir al lector a una colección de artículos sobre el tema de ”Fraccional Differencing and Long Memory Processes”, editado por Baillie & King (1996). Apéndice A: El fraccional de Riemann-Liouville Cálculo El cálculo fraccional es el campo de análisis matemático que se ocupa de la investigación y aplicaciones de integrales y derivados de orden arbitrario. El término fraccionario es un nombre erróneo, pero se mantiene después de la prevaleciente uso. Este apéndice se basa principalmente en el reciente examen realizado por Gorenflo & Mainardi (1997). Para más detalles sobre el tratamiento clásico de los fraccionarios cálculo el lector se refiere a Erdélyi (1954), Oldham & Spanier (1974), Samko et al. (1987-1993) y Miller & Ross (1993). Según el enfoque de Riemann-Liouville al cálculo fraccional, el la noción de Fraccional Integral de orden α (α > 0) es una consecuencia natural de la fórmula bien conocida (normalmente atribuida a Cauchy), que reduce la cálculo de la n-fold primitiva de una función f(t) a una sola integral de Tipo de convolución. En nuestra notación la fórmula de Cauchy lee Jnf(t) := fn(t) = (n − 1)! (t − ­)n−1 f(­) d/23370/, t > 0, n+ N, (A.1) donde N es el conjunto de números enteros positivos. De esta definición observamos que fn(t) desaparece en t = 0 con sus derivados del orden 1, 2,....................................................................................... Por convención requerimos que f(t) y en adelante fn(t) sea una función causal, i.e. desapareciendo idénticamente para t < 0. De una manera natural uno es llevado a extender la fórmula anterior de valores enteros positivos del índice a cualquier positivo valores reales mediante el uso de la función Gamma. De hecho, notando que (n − 1)! = (n), e introduciendo el número real positivo arbitrario α, se define el Fraccionamiento integral del orden α > 0 : Jα f(t) := (t − )1 f(l) dl, t > 0, α R+, (A.2) donde R+ es el conjunto de números reales positivos. Para la complementación definimos J0 := I (operador de identidad), es decir, Nos referimos a J0 f(t) = f(t). Además, por Jαf(0+) nos referimos al límite (si existe) de Jαf(t) para t → 0+; este límite puede ser infinito. Notamos la propiedad del semigrupo JαJβ = J®, α, β ≥ 0, lo que implica la propiedad conmutativa JβJα = JαJβ, y el efecto de nuestros operadores Jα en las funciones de potencia Jαtγ = (γ + 1) (γ + 1 + α) t, α ≥ 0, γ > −1, t > 0. (A.3) Estas propiedades son, por supuesto, una generalización natural de las conocidas cuando el orden es un entero positivo. Presentando la transformación de Laplace por la notación L {f(t)} := −st f(t) dt = fœ(s), s(s) C, y utilizando el signo ♥ para denotar un Laplace transformar el par, es decir, f(t) ♥ fœ(s), observamos la siguiente regla para el Laplace: transformación de la integral fraccional, Jα f(t) , α ≥ 0, (A.4) que es la generalización del caso con una integral repetida n-fold. Después de la noción de integral fraccional, la de derivado fraccional de orden α (α > 0) se convierte en un requisito natural y se intenta sustituir α con â € en las fórmulas anteriores. Sin embargo, esta generalización necesita algunos atención con el fin de garantizar la convergencia de las integrales y preservar el bien conocidas propiedades de la derivada ordinaria del orden entero. Denotando por Dn con n+N, el operador del derivado del orden n, primero notamos que Dn Jn = I, Jn Dn 6 = I, n â N, es decir, Dn es inverso izquierdo (y no inversamente a la derecha) al operador integral correspondiente Jn. De hecho fácilmente reconocemos de (A.1) que Jn Dn f(t) = f(t) − f k) 0+) , t > 0. (A.5) Como consecuencia esperamos que Dα se define como inversa izquierda a Jα. Por este propósito, introduciendo el entero positivo m tal que m − 1 < α ≤ m, se define el Derivativo Fraccional del orden α > 0 : Dα f(t) := Dm Jm® f(t), m − 1 < α ≤ m, m N, (A.6) a saber: Dα f(t)= (m − α) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , m − 1 < α < m, f(t), α = m. (A.6′) Definir para la complementación D0 = J0 = I, entonces reconocemos fácilmente que Dα Jα = I, α ≥ 0, y Dα tγ = (γ + 1) (γ + 1 − α) t, α ≥ 0, γ > −1, t > 0. (A.7) Por supuesto, estas propiedades son una generalización natural de las conocidas cuando el orden es un entero positivo. Note el hecho notable de que la derivada fraccionaria Dα f no es cero para la función constante f(t) • 1 si α 6 • N. De hecho, (A.7) con γ = 0 enseña nosotros que Dα1 = *(1 − α) , α ≥ 0, t > 0. (A.8) Esto, por supuesto, es 0 para N, debido a los polos de la función gamma en los puntos 0,−1,−2,.... Ahora observamos que una definición alternativa de derivado fraccionario, introducido originalmente por Caputo (1967) (1969) en el de finales de los años sesenta y adoptado por Caputo y Mainardi (1971) en el marco de la teoría de la viscoelasticidad lineal, es D f(t) := J mó Dm f(t) m − 1 < α ≤ m, m • N, (A.9) a saber: D f(t) = (m − α) f m) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • dl, m − 1 < α < m, f(t), α = m. (A.9′) Esta definición es, por supuesto, más restrictiva que (A.6), ya que requiere la integrabilidad absoluta de la derivada del orden m. Siempre que utilizamos el operador D nosotros (tácitamente) suponemos que esta condición se cumple. Nosotros fácilmente. reconocer que en general Dα f(t) := Dm Jmó f(t) 6= Jmó Dm f(t) := D f(t), (A.10) a menos que la función f(t) junto con sus primeros m − 1 derivados desaparezca en t = 0+. De hecho, suponiendo que el paso de la m-derivada bajo el integral es legítimo, se reconoce que, para m − 1 < α < m y t > 0, Dα f(t) = D f(t) + (k − α + 1) f k) 0+, (A.11) y por lo tanto, recordando el derivado fraccionario de las funciones de potencia (A.7), f t) − f k) 0+) = D f(t). (A.12) La definición alternativa (A.9) para el derivado fraccionario tasa los valores iniciales de la función y de sus derivados enteros de menor Orden. La resta del polinomio Taylor de grado m − 1 en t = 0+ a partir de f(t) significa una especie de regularización del derivado fraccionario. In particular, de acuerdo con esta definición, los bienes pertinentes para los que la derivado fraccionario de una constante es todavía cero puede ser fácilmente reconocido, es decir. D 1 0. α > 0......................................................................................................... (A.13) Ahora exploramos las diferencias más relevantes entre los dos fraccionarios derivados (A.6) y (A.9). Estamos de acuerdo en denotar (A.9) como el Caputo derivado fraccionario para distinguirlo de la norma Riemann-Liouville derivado fraccional (A.6). Observamos, de nuevo mirando (A.7), que Dαt1 0, α > 0, t > 0. Desde arriba reconocemos así las siguientes declaraciones sobre las funciones que para t > 0 admitir el mismo derivado fraccionario de orden α, con m − 1 < α ≤ m, m + N, Dα f(t) = Dα g(t) f(t) = g(t) + j, (A.14) D f(t) = D * g(t) f(t) = g(t) + m−j. (A.15) En estas fórmulas los coeficientes cj son constantes arbitrarias. Por lo que respecta a las dos definiciones, también observamos una diferencia con respecto al procedimiento formal. límite como α → (m − 1)+; a partir de (A.6) y (A.9) obtenemos respectivamente, Dα f(t) → Dm J f(t) = Dm−1 f(t) ; (A.16) D f(t) → J Dm f(t) = Dm−1 f(t) − f (m−1)(0+). (A.17) Ahora consideramos la transformación de Laplace de los dos derivados fraccionarios. Para el derivado fraccionario estándar Dα la transformación de Laplace, asumido a existe, requiere el conocimiento de los valores iniciales (limitados) de los fraccionarios enteros de orden k = 1, 2,....,m−1. Los la regla correspondiente lee, en nuestra notación, Dα f(t)  sα fœ(s) − Dk J (m) f(0+) sm−1−k, (A.18) donde m − 1 < α ≤ m. El derivado fraccionario de Caputo parece más adecuado para ser tratado por la técnica de transformación de Laplace en que requiere el conocimiento de la (encuadernado) valores iniciales de la función y de sus derivados enteros de orden k = 1, 2,....,m− 1, en analogía con el caso cuando α = m. utilizando (A.4) y observando que Jα D f(t) = J α Dm f(t) = Jm Dm f(t) = f(t) − f k) 0+) (A.19) fácilmente probamos la siguiente regla para la transformación de Laplace, D f(t)  sα fœ(s) − f (k)(0+) s1−k, m − 1 < α ≤ m. (A.20) De hecho, el resultado (A.20), declarado por primera vez por Caputo (1969) mediante el uso de la Fubini-Tonelli teorema, aparece como la generalización más "natural" de la resultado correspondiente bien conocido para α = m. Gorenflo y Mainardi (1997) han señalado la gran utilidad de la Derivado fraccionario de Caputo en el tratamiento de ecuaciones diferenciales de orden fraccional para aplicaciones físicas. De hecho, en los problemas físicos, las condiciones iniciales se expresan generalmente en términos de un número dado de valores consolidados asumidos por la variable de campo y sus derivados de orden entero, no importa si la ecuación de evolución gobernante puede ser un Ecuación integro-diferencial genérica y, por lo tanto, en particular, una fracción Ecuación diferencial3. Ahora analizamos las ecuaciones diferenciales más simples del orden fraccionario, incluyendo aquellos que, por medio de derivados fraccionarios, generalizan el ecuaciones diferenciales ordinarias conocidas relacionadas con la relajación y la oscilación 3Notamos que la derivada fraccionaria de Caputo fue nombrada así por el libro de Podlubny (1999). Coincide con lo introducido, independientemente y unos pocos más tarde, por Dzherbashian y Nersesyan (1968) como regularización del Riemann-Liouville derivado fraccionario. Hoy en día, algunos autores se refieren a ella como el Caputo-Dzherbashyan derivado fraccionario. El papel prominente de este derivado fraccionario en el tratamiento inicial En documentos interesantes de Kochubei (1989), (1990), se reconocieron los problemas de valor. fenómenos. En términos generales, consideramos el siguiente diferencial: ecuación de orden fraccional α > 0, D u(t) = D u(t) − u(k)(0+) = −u(t) + q(t), t > 0, (A.21) donde u = u(t) es la variable de campo y q(t) es una función dada. Aquí está. un entero positivo único definido por m − 1 < α ≤ m, que proporciona la número de los valores iniciales prescritos u(k)(0+) = ck, k = 0, 1, 2,...,m−1. Implícito en la forma de (A.21) es nuestro deseo de obtener soluciones u(t) para el que los u(k)(t) son continuos. En particular, los casos de relajación fraccional y la oscilación fraccional se obtiene para 0 < α < 1 y 1 < α < 2, respectivamente La aplicación de la transformación de Laplace a través de la fórmula Caputo (A.20) rendimientos * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = sk−1 sα + 1 sα + 1 qū(s). (A.22) Ahora, para obtener la inversión de Laplace (A.22), tenemos que recordar la función Mittag-Leffler de orden α > 0, Eα(z). Esta función, así llamada del gran matemático sueco que lo introdujo al principio de este siglo, se define por la serie siguiente y la representación integral, válida en todo el plano complejo, Eα(z) = (αn + 1) 1 e) • − z d................................................................................................... (A.23) Aquí Ha denota el camino Hankel, es decir. un bucle que comienza y termina en â € ¢ y rodea el disco circular ≤ z1/α en el sentido positivo. Resulta que... que Eα(z) es una función entera de orden ♥ = 1/α y tipo 1. La función Mittag-Leffler proporciona una simple generalización de la expo- función nential, a la que se reduce para α = 1. Casos particulares de los que funciones elementales se recuperan, son = cosh z, E2 = cos z, z • C, (A.24) E1/2(±z1/2) = ez 1 + erf (±z1/2) = ez erfc (z1/2), z â € C, (A.25) donde erf (erfc) denota la función de error (complementario). definido como erf (z) := du, erfc (z) := 1 − erf (z), z • C. Una propiedad notable de la función Mittag-Leffler se basa en el después de la fórmula de duplicación Eα(z) = Eα/2(+z 1/2) + Eα/2(−z1/2) . (A.26) En (A.25-26) estamos de acuerdo en denotar por z1/2 la rama principal del complejo raíz de z. La función Mittag-Leffler está conectada a la integral de Laplace a través de la Ecuación e-u Eα (u α z) du = 1 − z α > 0. (A.27) La integral en el L.H.S. fue evaluado por Mittag-Leffler que mostró que la región de su convergencia contiene el círculo unitario y está limitada por el línea Re z1/α = 1. Lo anterior es fundamental en la evaluación de la Transformación de Laplace de Eα ( tα) con α > 0 y C. De hecho, poner en (A.27) u = st y uα z = tα con t ≥ 0 y transformar par Eα ( tα) sα +  , Re s > 1/α. (A.28) Entonces, usando (A.28), ponemos para k = 0, 1,...,m − 1, uk(t) := J keα(t) sk−1 sα + 1 , eα(t) := Eα(−tα), (A.29) y, de la inversión de la Laplace se transforma en (A.22), encontramos u(t) = ck uk(t) − q(t − (A.30) En particular, la fórmula (A.30) abarca las soluciones para α = 1, 2, desde e1(t) = exp(−t), e2(t) = cos t. Cuando α no es entero, es decir, para m − 1 < α < m, observamos que m − 1 representa la parte entera de α (generalmente denotado por [α]) y m el número de condiciones iniciales necesarias y suficiente para garantizar la singularidad de la solución u(t). Por lo tanto, la m funciones uk(t) = J keα(t) con k = 0, 1,...,m−1 representan los particulares soluciones de la ecuación homogénea que cumplen las condiciones iniciales +) = k h, h, k = 0, 1,...,m − 1, y por lo tanto representan la soluciones fundamentales de la ecuación fraccionaria (A.21), en analogía con el caso α = m. Además, la función u♥(t) = −u′0(t) = −e®(t) representa la solución impulso-respuesta. La función Mittag-Leffler de orden menos de uno resulta estar relacionada a través de la integral de Laplace a otra función especial de tipo Wright, denotado por M(z, /) con 0 < / < 1, después de la anotación introducida por Mainardi (1994, 1995). Puesto que esta función resulta ser relevante en el marco general del cálculo fraccionario, con especial atención a la estabilidad distribuciones de probabilidad, vamos a resumir sus propiedades de base. Para más detalles sobre esta función, véase Mainardi (1997), apéndice A. Recordemos en primer lugar la función Wright más general W., μ(z), z C, con  > −1 y μ > 0. Esta función, así nombrado por el matemático británico que la introdujo entre 1933 y 1941, se define por la serie siguiente representación integral, válida en todo el plano complejo, Wl,μ(z) = ¡N! En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. e + z , (A.31) donde Ha denota el camino Hankel. Es posible probar que el Wright función es entera de orden 1/(1), por lo tanto de tipo exponencial si  ≥ 0. Los El caso  = 0 es trivial desde W0,μ(z) = e z/­(μ). En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia se pronunció sobre la compatibilidad de la Decisión de incoación con el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Decisión de incoación») y, en particular, con el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Decisión de incoación»). con 0 < / < 1 proporciona la función M(z, /) de especial interés para nosotros. Específicamente, tenemos M(z; v) := W,1(−z) = W,0(−z), 0 < / < 1, (A.32) y, por lo tanto, de (A.31-32) M(z; v) = (-z)n−1 (n − 1)! El Tribunal de Primera Instancia decidió: e................................................................................................... , 0 < / < 1. (A.33) En la representación de la serie hemos utilizado la fórmula de reflexión para el Función Gamma, (x) (1−x) = η/ sin ηx. Expresiones explícitas de M(z; /) en términos de funciones conocidas más simples se esperan en casos particulares cuando Es un número racional. Los casos pertinentes son = 1/2, 1/3 para los cuales M(z; 1/2) = − z2/4 , (A.34) M(z; 1/3) = 32/3 Ai z/31/3 , (A.35) donde Ai denota la función Airy. Cuando el argumento es real y positivo, es decir. z = r > 0, la existencia de la transformación de Laplace de M(r; v) está garantizada por el comportamiento asintótico, como se deriva de Mainardi & Tomirotti (1995), como r → â €, El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la decisión de la Comisión de incoar el procedimiento previsto en el apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. − b/) r1/(1 - ) , (A.36) donde a( v) = 1/ 2η (1 − /, b(/) = (1 − /)//. Es un ejercicio instructivo derivar la transformación de Laplace intercambiando la integral de Laplace con la integral de Hankel en (A.33) y recordando la representación integral (A.23) de la función Mittag-Leffler. Obtenemos el Par de transformación de Laplace M(r) / / E(­s), 0 < < 1. (A.37) Para ν = 1/2, (A.37) con (A.25) y (A.34) proporciona el resultado, véase por ejemplo. Doetsch (1974), M(r; 1/2) := − r2/4 E1/2(−s) := exp erfc (s). (A.38) Debe señalarse que, puesto que M(r, /) no es de orden exponencial, la transformación a plazo por término de la serie Taylor de M(r) produce una serie de poderes negativos de s, que representa la expansión asintótica de E/(−s) como s → • en un determinado sector alrededor del eje real. También observamos que (A.37) con (A.23) nos permite calcular los momentos de cualquier orden real  ≥ 0 de M(r; v) en el eje real positivo. Obtenemos r M(r; v) dr = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( + 1) ,  ≥ 0. (A.39) Cuando es entero notamos que los momentos son proporcionados por los derivados de la función Mittag-Leffler en el origen, es decir, rn M(r; v) dr = lim (−1)n E/(−s) = (n + 1) (en contra + 1) , (A.40) donde n = 0, 1, 2,.... La condición de normalización 0 M(r; v) dr = E/(0) = 1 se recupera para n = 0. La relación con el Mittag-Leffler función indicada en (A.40) se puede extender a los momentos de no entero orden si reemplazamos la derivada ordinaria, de orden n, con la correspondiente derivado fraccionario, de orden 6= n, en el sentido de Caputo. Otro ejercicio sobre la función M se refiere a la inversión de la Laplace transformar exp(−s v), ya sea por la fórmula integral compleja o por el formal método de serie. Obtenemos el par de transformación de Laplace M (1/r/; / /) exp (−s/), 0 < / < 1. (A.41) Para ν = 1/2, (A.41) con (A.34) proporciona el resultado conocido, véase por ejemplo. Doetsch (1974), 2 r3/2 M(1/r1/2; 1/2) := η r3/2 exp [− 1/(4r)] − s1/2 . (A.42) Recordamos que una prueba rigurosa de (A.41) fue dada anteriormente por Pollard (1946), basado en un resultado formal de Humbert (1945). La transformación de Laplace par también fue obtenido por Mikusiński (1959) y, aunque ignorando el resultados anteriores, de Buchen & Mainardi (1975) de forma formal. Apéndice B: Las distribuciones estables de probabilidad Las distribuciones estables son un área de investigación fascinante y fructífera en la teoría de la probabilidad; además, hoy en día, proporcionan modelos valiosos en física, astronomía, economía y teoría de la comunicación. Se introdujo la clase general de distribuciones estables y se le dio este nombre por el matemático francés Paul Lévy en la década de 1920, ver Lévy (1924, 1925). La inspiración para Lévy fue el deseo de generalizar el célebre Teorema del límite central, según el cual cualquier distribución de probabilidad con varianza finita pertenece al dominio de la atracción del gaussiano distribución. Anteriormente, el tema sólo atrajo una atención moderada por parte de los líderes expertos, aunque también había entusiastas, de los cuales el ruso el matemático Alexander Yakovlevich Khintchine debe ser mencionado primero de todos. El concepto de distribuciones estables tomó forma en 1937 con el aparición de la monografía de Lévy, véase Lévy (1937-1954), seguida pronto por La monografía de Khintchine, véase Khintchine (1938). La teoría y las propiedades de las distribuciones estables se discuten en algunos libros clásicos sobre la teoría de la probabilidad, incluyendo Gnedenko y Kolmogorov (1949-1954), Lukacs (1960-1970), Feller (1966-1971), Breiman (1968-1992), Chung (1968-1974) y Laha & Rohatgi (1979). También tratados sobre fractales dedicar especial atención a las distribuciones estables en vista de sus propiedades de la invariabilidad de la escala, véase, por ejemplo, Mandelbrot (1982) y Takayasu (1990). Conjuntos de tablas y gráficos han sido proporcionados por Mandelbrot & Zarnfaller (1959), Fama & Roll (1968), Bo’lshev & Al. (1968) y Holt & Crow (1973). Sólo recientemente, monografías dedicadas exclusivamente a distribuciones estables y relacionadas Han aparecido procesos estocásticos, es decir: Zolotarev (1983-1986), Janicki & Weron (1994), Samorodnitsky & Taqqu (1994), Uchaikin & Zolotarev (1999). Ahora podemos citar el documento de Mainardi, Luchko & Pagnini (2001) donde el lector puede encontrar representaciones (convergentes y asintóticas) y parcelas de las densidades estables simétricas y no simétricas generadas por Ecuaciones de difusión fraccionaria. Las distribuciones estables tienen tres propiedades exclusivas, que pueden ser brevemente resumen indicando que 1) son invariantes en adición, 2) poseen su propio dominio de atracción, y 3) admitir una característica canónica función. Ahora vamos a ilustrar las propiedades anteriores que, proporcionando necesarios y condiciones suficientes, pueden asumirse como definiciones equivalentes para un distribución. Recordamos los resultados básicos sin pruebas. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución estable P (x) = Prob {X ≤ x} si para cualquier n ≥ 2, hay un número positivo cn y un número real dn tal X1 + X2 +. ........................................................................ = cn X + dn, (B.1) donde X1,X2,. .. Xn denota variables aleatorias mutuamente independientes con distribución común P (x) con X. Aquí la notación = denota igualdad en la distribución, es decir, significa que las variables aleatorias en ambos lados tienen la distribución de la misma probabilidad. Cuando las variables aleatorias mutuamente independientes tienen una distribución común [compartido con una variable aleatoria X dada], también nos referimos a ellos como independientes, distribuidas idénticamente (i.d.) variables aleatorias [independientes copias de X]. En general, la suma de i.i.d. variables aleatorias se convierten en una variable aleatoria con una distribución de forma diferente. Sin embargo, para variables aleatorias independientes con una distribución estable común, la suma obedece a una distribución del mismo tipo, que difiere del original uno solo para una escala (cn) y posiblemente para un desplazamiento (dn). Cuando en (B.1) la dn = 0 la distribución se llama estrictamente estable. Se sabe, ver Feller (1966-1971), que las constantes de normación en (B.1) son del formulario cn = n 1/α con 0 < α ≤ 2. (B.2) El parámetro α se llama el exponente característico o el índice de estabilidad de la distribución estable. Estamos de acuerdo en utilizar la notación X Pα(x) para denotar que la variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad estable con exponente característico α. Nosotros simplemente refiérase a P (x), p(x) := dP/dx (función de densidad de probabilidad = pdf) y X como distribución α-estable, densidad, variable aleatoria, respectivamente. La definición (B.1) con el teorema (B.2) puede expresarse en una alternativa versión que sólo necesita dos i.i.d. variables aleatorias. , véase también Lukacs (1960- 1970). Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución estable si para cualquier números positivos A y B, hay un número positivo C y un número real D de tal manera que AX1 + B X2 = C X + D, (B.3) donde X1 y X2 son copias independientes de X. Entonces hay un número. α (0, 2] de tal manera que el número C en (B.3) satisface Cα = Aα + Bα. Para una distribución estrictamente estable (B.3) se mantiene con D = 0. Esto implica que todas las combinaciones lineales de i.i.d. variables aleatorias obedeciendo a un estrictamente estable distribución es una variable aleatoria con el mismo tipo de distribución. Una distribución estable se llama simétrica si la variable aleatoria −X tiene la la misma distribución. Por supuesto, una distribución estable simétrica es necesariamente Estrictamente estable. Ejemplos notables de distribuciones estables son proporcionados por el Gaussian (o normal) la ley (con α = 2) y por la ley de Cauchy-Lorentz (α = 1). Los los pdf correspondientes son conocidos por ser pG(x;, μ) := e−(x − μ) 2/(2/2), x + R, (B.4) donde 2 denota la varianza y μ la media, y pC(x; γ, ) := (x − )2 + γ2 , x â € R, (B.5) donde γ denota el rango semi-intercuartil y el “shift”. Otra definición (equivalente) establece que las distribuciones estables son las únicas distribuciones que pueden obtenerse como límites de las sumas normalizadas de i.i.d. variables aleatorias. Una variable aleatoria X se dice que tiene un dominio de atracción, es decir. si hay una secuencia de i.i.d. variables aleatorias Y1, Y2,... y secuencias de números positivos n} y números reales n}, tales que Y1 + Y2 +. .. Yn d/23370/X. (B.6) La notación denota convergencia en la distribución. Está claro que la definición anterior (B.1) produce (B.6), por ejemplo. , tomando la Tiene que ser independiente y distribuido como X. Lo contrario es fácil de mostrar, Véase Gnedenko & Kolmogorov (1949-1954). Por lo tanto, podemos alternativamente establecer que una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución estable si tiene un dominio de atracción. Cuando X es gaussiano y el Yis son i.i.d. con varianza finita, entonces (B.6) es la declaración del Teorema del Límite Central ordinario. El dominio de atracción de X se dice normal cuando γn = n 1/α ; en general, γn = n1/α h(n) donde h(x), x > 0, es una función de variación lenta en el infinito, que es, lim h(ux)/h(x) = 1 para todos los u > 0, véase Feller (1971). La función h(x) = log x, por ejemplo, varía lentamente en el infinito. Otra definición especifica la forma canónica que la función característica (cf) de una distribución estable del índice α debe tener. Recordando que el cf es la transformación de Fourier de la pdf, utilizamos la notación p(­) := exp (i­°X)­  pα(x). Primero notamos que una distribución estable también es infinitamente divisible, es decir. para cada entero positivo n su cf se puede expresar como la n o potencia de algunos cf. De hecho, usando la función característica, la relación (B.1) es transformado en [p()] n = p(cn) e idnó. (B.7) La ecuación funcional (B.7) se puede resolver completamente y la solución es de los que se sabe que [1 + i (señal ­)β (, α)]}, (B.8) donde (, α) = tan (α η/2), si α 6 = 1, -(2/π) log , si α = 1. (B.9) En consecuencia, se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución estable si hay cuatro parámetros reales α, β, γ,  con 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ +1, γ > 0, de tal manera que su función característica tenga la forma canónica (B.8-9). Luego escribimos pα(x;β, γ, tras la notación de Holt & Crow (1973) y Samorodnitsky & Taqqu (1994). Observamos en (B.8-9) que β aparece con diferentes signos para α 6= 1 y α = 1. Este punto menor ha sido la fuente de gran confusión en la literatura, véase Salón (1980) para una discusión. La presencia del logaritmo para α = 1 es la fuente de muchas dificultades, por lo que este caso a menudo tiene que tratarse por separado. El cf (B.8-9) resulta ser una herramienta útil para el estudio de α-stable distri- y para proporcionar una interpretación de los parámetros adicionales, β (parametro de skewness), γ (parametro de escala) y  (parametro de desplazamiento), véase Samorodnitsky & Taqqu (1994). Cuando α = 2 el cf se refiere al gaussiano distribución con varianza 2 = 2 γ2 y media μ =  ; en este caso el valor del parámetro de sesgo β no se especifica porque tan η = 0, y uno convencionalmente toma β = 0. Se reconoce fácilmente que una distribución estable es simétrica si y sólo si β =  = 0 y es simétrico alrededor de  si y sólo si β = 0. Distribuciones estables con valores extremos del parámetro sesgo se llaman extremal. Uno puede demostrar que todas las distribuciones extremas estables con 0 < α < 1 son un lado, el soporte es R+0 si β = −1, y R 0 si β = +1. Para las distribuciones estables Pα(x;β, γ, ) ahora consideramos la asintótica Comportamiento de las probabilidades de la cola, T+(l) := Prob {X > y T−(l) := Prob {X < , as Para el caso Gaussian α = 2 el resultado es bueno conocidos, véase, por ejemplo, Feller (1957), α = 2 : T±( 2/(4γ2) ............................................................... (B.10) Debido a la decaimiento exponencial antedicho todos los momentos de la correspondiente pdf resultan ser finitos, que es una propiedad exclusiva de este estable distribución. Para todas las otras distribuciones estables la singularidad de la función característica en el origen es responsable de la decadencia algebraica de las probabilidades de cola que se indican a continuación, véase, por ejemplo, Samorodnitsky & Taqqu (1994), 0 < α < 2 : lim T±() = Cα γ α (1 β)/2, (B.11) donde # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # 1 − α (a) cos (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) ()) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) ()) (a) (a) ()) () () ()) () () ()) () ()) () () ()) () () () () ()) () () ()))) () () () () () () () () ()))) ()) () () ()) () () ())) () () ()) () () () () () () () () ())) ()))))) () () ())) ()))))) () () () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () , si α 6= 1, 2/η, si α = 1. (B.12) Observamos que para las distribuciones extremas (β = ±1) la desintegración algebraica anterior se mantiene verdadero sólo para una cola, el izquierdo si β = +1, el derecho si β = −1. La otra cola es idénticamente cero si 0 < α < 1 (la distribución es ¡Un lado!), o presenta una descomposición exponencial si 1 ≤ α < 2. Debido a la Caída algebraica reconocemos que 0 < α < 2 : x pα(x;β, γ, •), (B.13) por lo que los momentos absolutos de un pdf estable no-Gaussian resultan ser finitos si su orden es 0 ≤ < α e infinita si es ≥ α. Ahora estamos convencidos que la distribución gaussiana es la distribución estable única con finito varianza. Además, cuando α ≤ 1, el primer momento absoluto X es infinita también, por lo que necesitamos utilizar la mediana para caracterizar la esperada valor. Sin embargo, hay una propiedad fundamental compartida por todos los distribuciones que nos gusta señalar: para cualquier α el pdf estable son unimodal y, de hecho, con forma de campana, es decir. su derivada n-th tiene exactamente n ceros, ver Gawronski (1964). Ahora volvemos al cf. de una distribución estable, con el fin de α 6= 1 y  = 0 una forma canónica más simple que nos permite derivar convergente y series de potencia asintótica para el pdf correspondiente. En primer lugar, tomamos nota de que los dos parámetros γ y  en (B.8), que están relacionados con una transformación de escala y una traducción, no son tan esenciales ya que no cambian la forma de distribuciones. Si tomamos γ = 1 y  = 0, obtenemos el llamado forma estandarizada de la distribución estable y X-Pα(x;β, 1, 0) se refiere a como la variable aleatoria estandarizada α-estable. Además, podemos elegir el parámetro escala γ de tal manera de obtener de (B.8-9) el canónico simplificado forma utilizada por Feller (1952, 1966-1971) y Takayasu (1990) para distribuciones (­ = 0) con α 6 = 1, que se lee en una notación ad hoc, q(; Ł) := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • e±i , (B.14) donde el símbolo ± toma el signo de فارسى. Esta forma canónica, a la que nos referimos como la forma canónica de Feller, se deriva de (B.8-9) si además de α 6= 1 y ♥ = 0 que requerimos = cos , bronceado = β tan . (B.15) Aquí es el parámetro de sesgo en lugar de β y su dominio está restringido en la siguiente región (dependiendo de α) ≤ α, si 0 < α < 1, 2 − α, si 1 < α < 2. (B.16) Así, cuando usamos la forma canónica de Feller para distribuciones estrictamente estables con el índice α 6= 1 y el sesgo فارسى, seleccionamos implícitamente el parámetro escala γ (0 < γ ≤ 1), que está relacionado con α, β y  por (B.15). Específicamente, el Variable aleatoria Y â € € TM Qα(y; â € TM ) resulta estar relacionado con la estandarizada variable aleatoria X • Pα(x;β, 1, 0) por las siguientes relaciones Y = X/γ, pα(x;β, 1, 0) = γ qα(y = γx; ), (B.17) con γ = [cos (/2)]1/α,  = (2/η) arctan [β tan (/2)], tan (/2) tan (/2) (B.18) Reconocemos que qα(y, فارسى) = qα(−y,), por lo que el estable simétrico las distribuciones se obtienen si y sólo si.......................................................................................................... Tomamos nota de que para el distribuciones estables simétricas obtenemos la identidad entre el estandarizado y las formas canónicas Lévy, ya que en (B.18) β =  = 0 implica γ = 1. Un caso particular pero digno de mención es el de p2(x; 0, 1, 0) = q2(y; 0), correspondiente a la distribución gaussiana con varianza 2 = 2. Las distribuciones extremas estables, correspondientes a β = ±1, son ahora obtenido para  = si 0 < α < 1, y para  = (2 − α) si 1 < α < 2 ; para el parámetro de escalado resulta ser γ = [cos (/2)]1/α. Puede ser un ejercicio instructivo para llevar a cabo la inversión de la transformación de Fourier cuando α = 1/2 y فارسى = −1/2. En este caso obtenemos la expresión analítica para el correspondiente pdf estable extremal, conocido como el (un lado) Lévy- Densidad de Smirnov, q1/2(y;−1/2) = y−3/2 e−1/(4y), y ≥ 0. (B.19) El formulario estandarizado para esta distribución se puede obtener fácilmente de (B.19) utilizando (B.17-18) con α = 1/2 y فارسى = −1/2. Obtenemos γ = [cos (/4)]2 = 1/2, β = −1, así que p1/2(x;−1, 1, 0) = q1/2(x/2;−1/2) = x−3/2 e−1/(2x), (B.20) donde x ≥ 0, de acuerdo con Holt & Crow (1973) [§2.13, p. 147]. Feller (1952) ha obtenido de (B.14) las siguientes representaciones de serie de potencia convergente para las distribuciones estables válidas para y > 0, con 0 < α < 1 (poderes negativos), qα(y; ) = (-y)n Ł(nα + 1) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) , (B.21) 1 < α ≤ 2 (potencias positivas), qα(y; ) = (−y)n (n/α + 1) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) . (B.22) Los valores para y < 0 se pueden obtener de (B.21-22) utilizando la identidad qα(−y; فارسى) = qα(y;), y > 0. Como consecuencia de la convergencia en todos los C de la serie en (B.21-22) reconocemos que las restricciones de las funciones y qα(y; ) en los dos semi-ejes reales resultan ser iguales a ciertos enteros funciones del argumento 1/y para 0 < α < 1 y argumento y para 1 < α ≤ 2. Se ha mostrado, por ejemplo. Bergström (1952), Chao Chung-Jeh (1953), que el dos series en (B.21-22) proporcionan también las expansiones asintóticas (divergentes) a el pdf estable con los rangos de α intercambiados de los de convergencia. A partir de (B.21-22) una relación entre pdf estable con índice α y 1/α puede ser derivado como se indica en Feller (1966-1971). Suponiendo 1/2 < α < 1 e y > 0, Obtenemos q1/α(y *; *) = qα(y; * * ), = α(l+1) − 1. (B.23) Una comprobación rápida muestra que cae dentro del rango prescrito, ≤ α, siempre que ≤ 2 − 1/α. Ahora consideramos dos casos particulares de la serie Feller (B.21-22), de particular interés para nosotros, que resultan estar relacionados con toda la función de tipo Wright, M(z; /) con 0 < / < 1, indicado en el apéndice A. Estos los casos corresponden a las siguientes distribuciones extremales Φ1(y) := qα(y), y > 0, 0 < α < 1, (B.24) Φ2(y) := qα(y;α − 2), y > 0, 1 < α ≤ 2, (B.25) para los cuales la serie Feller (B.21-22) se reduce a Φ1(y) = (−1)n−1 yn−1 (nα + 1) sin (n), y > 0, (B.26) Φ2(y) = (−1)n−1 yn−1 (n/α + 1) , y > 0. (B.27) De hecho, recordando la representación en serie de la función general Wright, (A.31), y la definición de la función (A32-33), reconocemos que Φ1(y) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M(y;α), y > 0, (B.28) Φ2(y) = W-1/α,0(−y) = M(y; 1/α), y > 0. (B.29) Nos gustaría señalar que las relaciones anteriores con las funciones de Wright han sido observados también por Engler (1997). Cabe señalar que, mientras que Φ1(y) representa en su totalidad la pdf estable lateral qα(y;), 0 < α < 1, con soporte en R+0, Φ2(y) es la restricción en el eje positivo de qα(y; 2), 1 < α ≤ 2, cuyo soporte es todo R. Puesto que la función M(z; ν) resulta ser normalizado en R+0, véase (A.39-40), también señalamos Φ1(y) dy = 1 ; Φ2(y) dy = 1/α. (B.30) Utilizando los resultados (A.41) y (A.37) podemos evaluar fácilmente el Laplace Transformaciones de Φ1(y) y Φ2(y), respectivamente. Obtenemos L[Φ1(y)] = 1(s) = exp (−sα), 0 < α < 1, (B.31) L[Φ2(y)] = 2(s) = E1/α (−s), 1 < α ≤ 2, (B.32) donde E1/α(·) denota la función Mittag-Leffler del orden 1/α, véase (A.23). Es un ejercicio instructivo para derivar los comportamientos asintóticos de Φ1(y) y Φ2(y) como y → 0+ e y → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Usando las expresiones (B.28-29) en términos de la función M y recordando la serie y las representaciones asintóticas de esta función, ver (A.33) y (A.36), obtenemos Φ1(y) = y-(2°)/[2°)] e-c1 y */(1} , as y → 0+, *(1 − α) y1 [1 + O (y)], as y → â €, (B.33) Φ2(y) = (1 − 1/α) [1 + O (y)], as y → 0+, y(2)/[2(1)] e−c2 y α/(1) , as y → (B.34) donde c1, c2 son constantes positivas dependiendo de α. Tomamos nota de que la decaimiento exponencial se encuentra para Φ1(y) como y → 0+ pero como y → • para Φ2(y). Expresiones explícitas para pdf estable se pueden derivar de aquellos para la función M(z; v) cuando v = 1/2 y v = 1/3, que figura en el apéndice A, véase (A.34- 35). Por supuesto, la ν = 1/2 expresión se puede utilizar para recuperar el pozo- distribución gaussiana conocida (simétrica) q2(y; 0) contabilizada (B.29), y la distribución (unilateral) de Lévy q1/2(y;−1/2), véase (B.19), (B.28). La expresión / = 1/3 prevé, contabilizando (B.28), q1/3(y;−1/3) = 3−1/3 y−4/3 Ai (3y)−1/3 y-3/2 K1/3 (B.35) donde Ai denota la función Airy y K1/3 la función Bessel modificada de el segundo tipo de orden 1/3. La equivalencia entre las dos expresiones en (B.35) se puede probar en vista de la relación, véase Abramowitz & Stegun (1965-1972) [(10.4.14)], Ai (z) = . (B.36) El caso α = 1/3 también ha sido discutido por Zolotarev (1983-1986), quien ha citado la expresión correspondiente del pdf en términos de K1/3. Una representación general de todas las distribuciones estables (incluyendo las distribuciones extremas antes consideradas) en términos de funciones especiales recientemente conseguido por Schneider (1986). En su notable (pero casi ignorado) artículo, Schneider ha establecido que todo el estable las distribuciones se pueden caracterizar en términos de una clase general de funciones, las llamadas funciones de Fox H, llamado así por Charles Fox (1961). Para más detalles sobre las funciones de Fox H, véase, por ejemplo. los libros Mathai & Saxena (1978), Srivastava & Al. (1982) y el más reciente trabajo de Kilbas y Saigo (1999). Estas funciones se expresan en términos de integrales especiales en el complejo-plano, las integrales Mellin-Barnes4. 4Los nombres se refieren a los dos autores, que en la primera década de 1910 desarrollaron la teoría de estas integrales que las utilizan para una integración completa del diferencial hipergeométrico ecuación. Sin embargo, como se señala en el Manual del Proyecto Bateman sobre Funciones Trascendentales, véase Erdelyi (1953), estas integrales fueron utilizadas por primera vez por S. Pincherle en 1888. Para un análisis revisado de la labor pionera de Pincherle (1853-1936, profesor) de Matemáticas en la Universidad de Bolonia de 1880 a 1928) nos referimos al artículo por Mainardi y Pagnini (2003). Bibliografía [1] Abramowitz, M. y Stegun, I.A. (Editores) : Manual de Matemáticas Funciones, Dover, Nueva York 1965. [reimpresión, 1972] [2] Baillie, R.T. y King, M.L. (Editores) : Diferencias fraccionales y Long Memory Processes, Journal of Econometrics, 73 1-324 (1996). 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El cálculo fraccional permite generalizar lo lineal, unidimensional, ecuación de difusión mediante la sustitución de la primera vez derivada o la segunda espacio derivado por un derivado de orden fraccionario. Las soluciones fundamentales de estas ecuaciones proporcionan funciones de densidad de probabilidad, evolucionando a tiempo o variable en el espacio, que están relacionados con la clase de distribuciones estables. Esto propiedad es una generalización notable de lo que sucede para el estándar ecuación de difusión y puede ser relevante en el tratamiento financiero y económico problemas en los que las distribuciones de probabilidad estables desempeñan un papel clave.

Introducción.................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Ecuación estándar de la difusión.............................................................................................. 4 3. La Ecuación de Difusión Tiempo-Fraccional. ........................................................................ 4. El problema de Cauchy para la Ecuación de Difusión del Tiempo-Fraccional p.10 5. El Problema de Señalización para la Ecuación de Difusión Tiempo-Fraccional p.13 6. El problema Cauchy para el espacio-fraccional simétrico Ecuación de la difusión.................. p.15 7. Conclusiones .................. p. 21 A. El cálculo fraccional de Riemann-Liouville. ..................................................................................................................................................................... B. Distribución estable de la probabilidad............................................................................................. Referencias. ................... p. 41 1Este artículo se basa en una charla invitada dada por Francesco Mainardi en el International Seminario sobre Econofísica celebrado en el Colegio Bolyai de la Universidad de Eötvös, Budapest, sobre Del 21 al 27 de julio de 1997. El artículo fue originalmente editado como una contribución para el libro J. Kertesz e I. Kondor (Editors), Econophysics: a Emerging Science, Kluwer Editores Académicos, Dordrecht (NL) que deben contener trabajos seleccionados presentados en y debería haber aparecido en 1998 o 1999. Desafortunadamente el libro era no se ha publicado. La presente versión electrónica es una versión revisada (con anotaciones actualizadas y referencias) de esa contribución inédita, pero esencialmente representa nuestro conocimiento de Esa era la primera vez. http://arXiv.org/abs/0704.0320v1 Resumen El cálculo fraccional permite generalizar lo lineal, unidimensional, ecuación de difusión mediante la sustitución de la primera vez derivada o la segunda espacio derivado por un derivado de orden fraccionario. Lo fundamental soluciones de estas ecuaciones de difusión generalizada se muestran para proporcionar función de densidad de probabilidad, evolucionando en el tiempo o variable en el espacio, que están relacionados con la clase peculiar de distribuciones estables. Esta propiedad es una notable generalización de lo que sucede para la difusión estándar ecuación y puede ser relevante en el tratamiento de problemas financieros y económicos donde se sabe que las distribuciones de probabilidad estables desempeñan un papel clave. 1 Introducción Las distribuciones de probabilidad no-Gaussiana son cada vez más comunes a medida que los datos modelos, especialmente en la economía, donde se esperan grandes fluctuaciones. In de hecho, las distribuciones de probabilidad con colas pesadas a menudo se cumplen en la economía y las finanzas, lo que sugiere ampliar el arsenal de posibles estocásticos modelos por procesos no gaussianos. Esta convicción comenzó en los primeros tiempos. años sesenta después de la aparición de una serie de documentos de Mandelbrot y sus asociados, que señalan la importancia de la probabilidad no-Gaussian distribuciones, anteriormente introducidas por Pareto y Lévy, y escalas conexas propiedades, para analizar variables económicas y financieras, como se indica en el reciente libro de Mandelbrot (1997). Algunos ejemplos de tales variables son variaciones de los precios comunes de las acciones, cambios en otros precios especulativos, y cambios en la tasa de interés. En este sentido, muchas obras de diferentes autores han Apareció recientemente, véase, por ejemplo, los libros recientes de Bouchaud & Potter (1997), Mantegna & Stanley (1998) y las referencias allí citadas. Es bien sabido que la solución fundamental (o función verde) de el problema de Cauchy para la ecuación de difusión lineal estándar proporciona en cualquier tiempo la función de densidad de probabilidad (pdf) en el espacio del Gauss (o normal) la ley. Esta ley exhibe todos los momentos finitos gracias a su exponencial Caída en el infinito. En particular, la varianza de espacio de la función verde es proporcional a la primera potencia del tiempo, una propiedad notable que puede ser entendido por medio de un modelo de paseo aleatorio imparcial para el Movimiento browniano, véase, por ejemplo. Feller (1957). Menos conocida es la propiedad para que la solución fundamental del problema de Signalling para el mismo ecuación de difusión, proporciona en cualquier posición un pdf unilateral en el tiempo, conocido como ley Lévy, utilizando la terminología de Feller (1966-1973). Debido a su decaimiento algebraico en el infinito como t-3/2, esta ley tiene todos los momentos de entero orden divergente, y en consecuencia su valor de expectativa y varianza son infinito. Tanto las leyes Gauss como Lévy pertenecen a la clase general de probabilidad estable distribuciones, que se caracterizan por un índice α (0 < α ≤ 2), llamado índice de estabilidad o exponente característico. En particular, el índice de la Gauss ley es 2, mientras que la de la ley Lévy es 1/2. En este trabajo consideramos dos generalizaciones diferentes de la difusión ecuación por medio de cálculo fraccionario, que nos permite reemplazar o bien el Derivado por primera vez o segundo derivado espacial por un fraccionario adecuado derivado. Correspondientemente, la ecuación generalizada se referirá a como la ecuación de difusión tiempo-fraccional o la simétrica, espacio-fraccional Ecuación de difusión. Aquí mostramos cómo las soluciones fundamentales de esto ecuación para los problemas de Cauchy y Signalling proporcionan densidad de probabilidad funciones relacionadas con ciertas distribuciones estables, proporcionando así un generalización de lo que ocurre para la ecuación de difusión estándar. El plan del documento es el siguiente. En primer lugar, por el bien de la comodidad y la integridad, proporcionamos las nociones esenciales de Riemann-Liouville Cálculo fraccional y distribución de probabilidad estable de Lévy en el apéndice A y B, respectivamente. En la Sección 2, recordamos los resultados básicos para la difusión estándar ecuación relativa a las soluciones fundamentales del Cauchy y Signalling problemas. En particular, proporcionamos la derivación de estas soluciones por el Fourier y Laplace transforman y la interpretación en términos de Gauss y Lévy pdf estable, respectivamente. En la Sección 3, consideramos la ecuación de difusión tiempo-fraccional y nosotros formular para ello los problemas básicos de Cauchy y Signalling a tratar en el subsecuentes dos secciones. Aquí adoptamos el enfoque de Riemann-Liouville para Cálculo fraccional, y la definición relacionada para el tiempo fraccional de Caputo derivado de una función causal del tiempo. En la Sección 4, resolvemos el problema de Cauchy para la difusión fraccional del tiempo ecuación mediante el uso de la técnica de transformación de Fourier y derivamos la solución fundamental correspondiente en términos de una función especial de Wright tipo en la variable de similitud. En este caso la solución puede ser interpretada como un notable pdf simétrico en el espacio con todos los momentos finitos, en evolución con el tiempo. En particular, su varianza de espacio resulta ser proporcional a un potencia del tiempo igual al orden de la derivada tiempo-fraccional. En la sección 5, derivamos la solución fundamental para el problema de señalización de la ecuación de difusión tiempo-fraccional mediante el uso de la técnica de Laplace transformar. En este caso la solución, aún expresada en términos de función de tipo Wright, se puede interpretar como un pdf estable unilateral en tiempo, dependiendo de la posición, con índice de estabilidad dado por la mitad de la orden de la derivada tiempo-fraccional. En la Sección 6, consideramos la ecuación simétrica de difusión espacio-fraccional. Aquí adoptamos el enfoque Riesz de cálculo fraccional, y el relacionado definición para el derivado simétrico espacio-fraccional de una función de un Variable de espacio único. Aquí tratamos el problema de Cauchy por técnica de la transformación de Fourier y derivamos la representación de la serie de la función verde correspondiente. En este caso, la solución fundamental es interpretado en términos de un pdf simétrico estable en el espacio, evolucionando en el tiempo, con índice de estabilidad dado por el orden del derivado espacio-fraccional. Para aproximarnos a tal evolución proponemos un modelo de caminata aleatoria, discreto en el espacio y el tiempo, que se basa en la aproximación de Grünwald-Letnikov del derivado fraccionario. Por último, la sección 7 está dedicada a las conclusiones y observaciones sobre los trabajos conexos. 2 La ecuación de difusión estándar Para la ecuación de difusión estándar nos referimos al diferencial parcial lineal ecuación u(x, t) = D u(x, t), u = u(x, t), (2.1) donde D denota una constante positiva con las dimensiones L2 T−1, x y t son las variables espacio-tiempo, y u = u(x, t) es la variable de campo, que es Se supone que es una función causal del tiempo, es decir. desapareciendo para t < 0. El fenómeno físico típico relacionado con tal ecuación es el calor conducción en una barra sólida delgada extendida a lo largo de x, por lo que la variable de campo u es la temperatura. Para garantizar la existencia y la singularidad de la solución, debemos equipar (1.1) con datos adecuados sobre el límite del espacio-tiempo dominio. Los problemas básicos de valor límite para la difusión son los llamados Problemas de Cauchy y Signalling. En el problema de Cauchy, que se refiere a el dominio espacio-tiempo â > < x < â >, t ≥ 0, los datos se asignan a t = 0+ en todo el eje espacial (datos iniciales). En el problema de señalización, que se refiere al dominio espacio-tiempo x ≥ 0, t ≥ 0, se asignan los datos tanto en t = 0+ en el eje espacial semiinfinito x > 0 (datos iniciales) como en x = 0+ en el eje de tiempo semi-infinito t > 0 (datos de fronteras); aquí, en su mayoría Normalmente, se supone que los datos iniciales están desapareciendo. Denotando por g(x) y h(t) dos funciones dadas, suficientemente bien, el Así pues, los problemas básicos se formulan de la siguiente manera: a) El problema de Cauchy u(x, 0+) = g(x), â € < x < â € ; u(, t) = 0, t > 0 ; (2.2a) b) Problema de señalización u(x, 0+) = 0, x > 0 ; u(0+, t) = h(t), u(, t) = 0, t > 0. (2.2b) A partir de ahora, para ambos problemas, derivamos los resultados clásicos que serán adecuadamente generalizado para la ecuación de difusión fraccionaria en el subsecuente secciones. Empecemos con el problema de Cauchy. Es bien sabido que este valor inicial problema se puede resolver fácilmente haciendo uso de la transformación de Fourier y su solución fundamental se puede interpretar como un pdf gaussiano en x. Adopción la notación g(x) (+) = F [g(x)] = e+iÃ3x g(x) dx, g(x) = F−1 [­(­)] = 1 e-iÃ3x Ã3(l) dÃ3, la solución transformada satisface la ecuación diferencial ordinaria de la primer orden ( + 2 D û(, t) = 0, û(, 0+) = (), (2.3) y, en consecuencia, resulta ser û(l, t) = (l) e 2 D t. (2.4) A continuación, la introducción Gdc (x, t) 2 D t, (2,5) donde el índice superior d se refiere a la difusión (estándar), la solución requerida, obtenido por inversión de (2.4), puede expresarse en términos del espacio convolution u(x, t) = Gdc (, t) g(x −) d®, donde Gcc (x, t) = t−1/2 e−x 2/(4D t). (2.6) Aquí Gdc (x, t) representa la solución fundamental (o función verde) de el problema de Cauchy, ya que corresponde a g(x) = ♥(x). Resulta que... ser una función en x, uniforme y normalizado, es decir. Gdc (x, t) = Gdc (x, t) y Gdc (x, t) dx = 1. También tomamos nota de la identidad x Gdc (x, t) = Md(Ł), (2.7) en la que se indica el número de identificación de la persona o de la persona a la que se refiere el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013. D t1/2) es la conocida variable de similitud y Md(­) = 2/4. (2.8) Observamos que Md(­) satisface la condición de normalización d) d) d) = 1. La interpretación de la función verde (2.6) en la teoría de la probabilidad es sencillo ya que reconocemos fácilmente Gdc (x, t) = pG(x; 2/(2/2), 2 = 2D t, (2.9) donde pG(x;) denota el conocido Gauss o el pdf normal extendido hacia fuera sobre todo real x (la variable de espacio), cuyo momento del segundo orden, el varianza, es 2. La función de distribución acumulativa asociada (cdf) es de los que se sabe que PG(x;) := ′;) dx′ = 1 + erf , (2.10) donde erf (z) := (2/ 0 exp (−u2) du denota la función de error. Además, los momentos de orden uniforme del Gauss pdf resultan ser 2n pG(x;) dx = (2n − 1)!!? 2n, así que x2n Gdc (x, t) dx = (2n − 1)!! (2D t)n, n = 1, 2,... (2.11) Consideremos ahora el problema de la señalización. Este valor de referencia inicial problema se puede resolver fácilmente haciendo uso de la transformación de Laplace. Adopción de la notación h(t) hū(s) = L [h(t)] = e-st h(t) dt, h(t) = L−1 hś(t) est hś(s) d(s), donde Br denota el camino Bromwich, la solución transformada de la ecuación de difusión satisface la ecuación diferencial ordinaria de la segunda orden *(x, s) = 0, *(0+, s) = hū(s), *(, s) = 0. (2.12) y, en consecuencia, resulta ser (x, s) = hū(s) e−(x/ D) s1/2. (2.13) A continuación, la introducción Gds (x, t) (x, s) = e−(x/ D) s1/2, (2.14) la solución requerida, obtenida por inversión de (2.13), puede expresarse en términos de la convolución temporal, u(x, t) = 0 Gds (x, Gds (x, t) = t−3/2 e−x 2/(4D t). (2.15) Aquí Gds (x, t) representa la solución fundamental (o función verde) de la Problema de señalización, ya que corresponde a h(t) = (t). Tomamos nota de que Gds (x, t) = pLS(t;μ) := 2η t3/2 e/(2t), t ≥ 0, μ = x , (2.16) donde pLS(t;μ) denota el pdf unidireccional Lévy-Smirnov repartido por todos t no negativo (la variable de tiempo). El cdf asociado es, ver por ejemplo. Feller (1966-1971) y Prüss (1993), PL(t;μ) := ′;μ) dt′ = erfc = erfc , (2.17) donde erfc (z) := 1 − erf (z) denota la función de error complementario. El Lévy-Smirnov pdf tiene todos los momentos de orden entero infinito, ya que decae en el infinito como t−3/2. Sin embargo, observamos que los momentos absolutos de El orden real sólo es finito si 0 ≤ ν < 1/2. En particular, para este pdf la media es infinito, para lo cual podemos tomar la mediana como valor de expectativa. Desde PLs(tmed;μ) = 1/2, resulta que tmed 2μ, ya que el complemento función de error obtiene el valor 1/2 ya que su argumento es aproximadamente 1/2. Observamos que en el dominio común x > 0, t > 0 las funciones verdes de los dos problemas básicos satisfacen la identidad xGdc (x, t) = tGds (x, t), (2.18) que nos referimos como la relación de reciprocidad entre los dos fundamentales soluciones de la ecuación de difusión. Además, teniendo en cuenta los puntos 2.7 y 2.18. reconocemos el papel de la función de la variable de similitud, Md(­), en el suministro de las dos soluciones fundamentales; nos referiremos a ella en cuanto a la función auxiliar normalizada de la ecuación de difusión tanto para el Cauchy y problemas de señalización. 3 La ecuación de difusión tiempo-fraccional Por la ecuación de difusión tiempo-fraccional nos referimos a la evolución lineal ecuación obtenida de la ecuación de difusión clásica mediante la sustitución de la primera orden derivada de tiempo por un derivado fraccionario (en el sentido de Caputo) de orden α con 0 < α ≤ 2. En nuestra notación se lee , u = u(x, t), 0 < α ≤ 2, (3.1) donde D denota una constante positiva con las dimensiones L2 T». Desde Apéndice A recordamos la definición del derivado fraccionario de Caputo de orden α > 0 para una función causal (suficientemente bien comportada) f(t), véase (A.9), D f(t) := (m − α) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • donde m = 1, 2,.... y 0 ≤ m − 1 < α ≤ m. necesidad de distinguir los casos 0 < α ≤ 1 y 1 < α ≤ 2. En este último caso (3.1) puede ser visto como una especie de interpolación entre la difusión estándar ecuación y la ecuación de onda estándar. Introducción (t) := t1+ ,  > 0, (3.3) donde el sufijo + sólo denota que la función está desapareciendo para t < 0, fácilmente reconocemos que la ecuación (3.1) asume las formas explícitas : si 0 < α ≤ 1, Φ1°(t)* *(1 − α) (t − فارسى) d. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. = D. ; (3.4) si 1 < α ≤ 2, Φ2°(t)* *(2 − α) (t − )1 d. = D. . (3.5) Extender el análisis clásico para la ecuación de difusión estándar (2.1) a las ecuaciones integro-diferenciales anteriores (3.4-5), el Cauchy y Signalling los problemas se formulan así como en las ecuaciones (2.2), es decir, a) El problema de Cauchy u(x, 0+) = g(x), â < x < â € ; u(, t) = 0, t > 0 ; (3.6a) b) Problema de señalización u(x, 0+) = 0, x > 0 ; u(0+, t) = h(t), u(, t) = 0, t > 0. (3.6b) Sin embargo, si 1 < α ≤ 2, la presencia en (3,5) del tiempo de segundo orden derivado de la variable campo requiere especificar el valor inicial de la primera orden tiempo derivado ut(x, 0 +), ya que en este caso dos linealmente independientes Hay que determinar las soluciones. Para asegurar la dependencia continua de nuestra solución sobre el parámetro α también en la transición de α = 1− a α = 1+, acordamos asumir ut(x, 0 +) = 0. Reconocemos que nuestra ecuación de difusión fraccionaria (3.1), cuando está sujeta a las condiciones (3.6), es equivalente a la ecuación integro-diferencial u(x, t) = g(x) + (t − ♥)1 dl, (3.7) donde 0 < α ≤ 2. Tal ecuación integro-diferencial ha sido investigada de varios autores, entre ellos Schneider & Wyss (1989), Fujita (1990), Prüss (1993) y Engler (1997). En vista de nuestro análisis posterior nos parece conveniente poner , 0 < / < 1. (3.8) De hecho, el análisis de la ecuación de difusión tiempo-fraccional resulta a ser más fácil si adoptamos como parámetro clave la mitad del orden de la derivado tiempo-fraccional. En el futuro proporcionaremos el símbolo α con otros significados relevantes, como el índice de estabilidad de una probabilidad estable distribución o el orden del derivado espacial en el espacio-fraccional Ecuación de difusión. A partir de ahora, estamos de acuerdo en insertar el parámetro v en la variable de campo, es decir. u = u(x, t; v). Al denotar las funciones verdes del Cauchy y Signalling problemas de Gc(x, t; v) y Gs(x, t; v), respectivamente, las soluciones de los dos los problemas básicos se obtienen por una convolución del espacio o del tiempo, u(x, t; v) = Gc(), t; v) g(x) dá r, u(x, t; v) = 0 Gs(x,  ; ν)h(t) d Debe tenerse en cuenta que Gc(x, t; v) = Gc(x, t; v), puesto que la función verde resulta ser una función par de x. En las dos secciones siguientes vamos a calcular las dos soluciones fundamentales con las mismas técnicas (basadas en transformadas de Fourier y Laplace) utilizadas para la ecuación de difusión estándar y proporcionaremos su interpretación en términos de distribuciones de probabilidad. La mayoría de los resultados presentados se basan en sobre los trabajos de Mainardi (1994), (1995), (1996) y (1997) y de Mainardi & Tomirotti (1995), (1997). 4 El problema de Cauchy para el tiempo fraccional ecuación de difusión Para la ecuación de difusión fraccional (3.1) sujeta a (3.6a) la aplicación de la transformación de Fourier conduce a la ecuación diferencial ordinaria de orden α = 2 /, + 2 D û(l), t; v) = 0, û(l), 0+; v) = (l), (4.1) Utilizando los resultados del Apéndice A, véase (A.22-30), la solución transformada es û(l), t; v) = (l) E2 2 D t 2 / , (4.2) donde E2/(·) designa la función Mittag-Leffler del orden 2/, y conse- quently para la función verde que tenemos Gc(x, t; v) = Gc(x, t; v) 2D t2/ . (4.3) Puesto que la función verde es una función real y uniforme de x, su (exponencial) La transformación de Fourier se puede expresar en términos de la transformación coseno de Fourier y por lo tanto está relacionado con su transformada espacial de Laplace como sigue c(k, t; v) = 2 Gc(x, t; v) cos ­x dx = El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001. s=+ik + G­c(s), t; / s=−ik (4.4) De hecho, una división se produce también en (4.3) de acuerdo con la fórmula de duplicación para la función Mittag-Leffler, véase (A.26), C(k, t; /) = E2 v(2 D t2 v) = [E/(+i D t//) + E/(-i D t contra )]/2. (4.5) Cuando la inversión de la transformación de Fourier en (4.5) no puede ser obtenido mediante el uso de una tabla estándar de pares de transformación de Fourier; sin embargo, para cualquier • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • transformar el par (A.37) con r = x, y s = ±iŁ. De hecho, teniendo en cuenta cuenta la propiedad de escala de la transformada de Laplace, obtenemos de (4.5) y (A.37) Gc(x, t; v) = ( x , (4.6) en el que M.; v. es la función especial del tipo Wright, definida por (A.31-33), , (4.7) la variable de similitud. Tomamos nota de la identidad x Gc(x, t; v) = Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Italiana que generaliza a la ecuación de difusión tiempo-fraccional la identidad (2.7) de la ecuación de difusión estándar. Desde 1 (A.40), la función M (­) es la función auxiliar normalizada del fraccionario Ecuación de difusión. Observamos que para la ecuación de difusión tiempo-fraccional la fundamental solución del problema de Cauchy sigue siendo un pdf simétrico bilateral en x (con dos ramas, para x > 0 y x < 0, obtenidas una de la otra por reflexión), pero ya no es de tipo gaussiano si v 6= 1/2. De hecho, para grandes x cada rama exhibe una decadencia exponencial en la variable “estirada” x1/(1) como puede derivarse de la representación asintótica (A.36) de la función auxiliar M(·; v). De hecho, al usar (4.7-8) y (A.36), obtenemos Gc(x, t; /) a*(t) x(1/2)/(1) exp −b*(t)x1/(1) , (4.9) , donde a*(t) y b*(t) son ciertas funciones positivas del tiempo. Además, la decadencia exponencial en x proporcionada por (4.9) asegura que todos los momentos absolutos de orden positivo de Gc(x, t; v) son finitos. En particular, usando (4.8) y (A.39) resulta que los momentos (de orden uniforme) son x2n Gc(x, t; v) dx = (2n + 1) (2 vn + 1) (Dt2 v )n, n = 0, 1, 2,. (4.10) La fórmula (4.10) proporciona una generalización de la fórmula correspondiente (2.11) válida para la ecuación de difusión estándar, v = 1/2. Además, nosotros reconocer que la varianza asociada al pdf es ahora proporcional a Dt2 v, que para el caso 6 = 1/2 implica un fenómeno de difusión anómala. De acuerdo a una terminología habitual en la mecánica estadística, la difusión anómala es se dice que es lento si 0 < < 1/2 y rápido si 1/2 < < 1. En la Figura 1, como un ejemplo, comparamos versus x, en fijo t, el Las soluciones fundamentales del problema de Cauchy con diferen­tes 1/4, 1/2, 3/4 ). Consideramos el rango 0 ≤ x ≤ 4 y asumir D = t = 1. 0 1 2 3 4 Figura 1: El problema de Cauchy para la ecuación de difusión tiempo-fraccional. Las soluciones fundamentales versus x con a) v = 1/4, b) v = 1/2, c) / = 3/4. Observamos el comportamiento diferente del pdf en los casos de difusión lenta ( v = 1/4 ) y difusión rápida ( v = 3/4 ) con respecto al comportamiento gaussiano de la difusión estándar ( v = 1/2). En los casos de limitación ν = 0 y ν = 1 Tenemos Gc(x, t; 0) = Ex , Gc(x, t; 1) = * (x − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + D t) + (x + . (4.11) También reconocemos en el apéndice B que para 1/2 ≤ ν < 1 cualquier rama de la solución fundamental es proporcional a la correspondiente positiva rama de un pdf extremal estable con índice de estabilidad α = 1/ v, que exhibe una decadencia exponencial en el infinito. De hecho, aplicando (B.29) con α = 1/ v e y = فارسى = x/( Dt v), a partir de (4.7-8) obtenemos Gc(x, t; v) = x/( D / ; − (2 - 1/ / ) · p1/ / (x; +1, 1, 0), 1 < 1// ≤ 2. (4.12) También observamos que la distribución estable en (4.12) satisface la condición p1/ v. (x; +1, 1, 0) dx = v., 1 < 1/ v. ≤ 2. (4.13) 5 El problema de señalización para el tiempo-fraccional ecuación de difusión Para la ecuación de difusión fraccional (3.1) sujeta a (3.6b) la aplicación de la transformación de Laplace conduce a la ecuación diferencial ordinaria de orden (x, s; ν), (0+, s; ν) = hū(s), (­) (­) (­) (­) (­) = 0. (5.1) Así se lee la solución transformada (x, s; v) = h­(s) e­(x/ D) s/, (5.2) así que para la función verde que tenemos Gs(x, t; v) Gūs(x, s; v) = e−(x/ D) s/......................................................................... (5.3) Cuando ν 6= 1/2 la inversión de esta transformación de Laplace no puede ser obtenida por buscando en una tabla estándar de Laplace transformar pares. También aquí apelamos a un par de transformación de Laplace relacionado con la función de tipo Wright M(l; v). In fact, utilizando (A.40) con r = t, y teniendo en cuenta la propiedad de escalado de la transformación de Laplace, obtenemos Gs(x, t; v) = / D t1 . (5.4) Introduciendo la variable de similitud • = x/( Dtv), reconocemos la identidad tGs(x, t; v.) = contra M.; v., (5.5) que es la contraparte para el problema de señalización de la identidad (4.8) válida para el problema de Cauchy. Comparando (5.5) con (4.8) obtenemos la relación de reciprocidad entre el dos soluciones fundamentales de la ecuación de difusión tiempo-fraccional, en el dominio común x > 0, t > 0, 2 / xGc(x, t; v) = tGs(x, t; v). (5.6) La interpretación de Gs(x, t; v) como un pdf estable unilateral en el tiempo es simple: a este respecto tenemos que aplicar (B.28), con índice de estabilidad α = v y variable y = 1/ v = t ( D/x)1//, en (5.5). Obtenemos Gs(x, t; v) = • — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — = p/ (t; −1, 1, 0). (5.7) En la Figura 2, como un ejemplo, comparamos versus t, en fijo x, el fundamental las soluciones del problema de señalización con diferentes ν ( v = 1/4, 1/2, 3/4 ). Nosotros considerar el rango 0 ≤ t ≤ 3 y asumir D = x = 1. Observamos el comportamiento diferente del pdf en los casos de difusión lenta ( v = 1/4 ) y difusión rápida ( v = 3/4 ) con respecto al pdf de Lévy para el difusión estándar ( v = 1/2). En los casos límite ν = 0, 1, tenemos Gs(x, t; 0) = (t), Gs(x, t; 1) = (t − x/ D). (5.8) 0 1 2 3 Figura 2: El problema de señalización para la ecuación de difusión tiempo-fraccional. Las soluciones fundamentales versus t con a) v = 1/4, b) v = 1/2, c) / = 3/4. 6 El problema Cauchy para el espacio simétrico- ecuación de difusión fraccional La ecuación simétrica espacio-fracción de difusión se obtiene de la ecuación de difusión clásica sustituyendo el derivado espacial de segundo orden por un derivado simétrico espacio-fraccional (explicado a continuación) de orden α con 0 < α ≤ 2. En nuestra notación escribimos esta ecuación como x , u = u(x, t;α), x â € R, t â € R+0, 0 < α ≤ 2, (6.1) donde D es un coeficiente positivo con las dimensiones Lα T−1. Los solución fundamental para el problema de Cauchy, Gc(x, t;α) es la solución de (6.1), sujeto a la condición inicial u(x, 0+;α) = (x). El derivado simétrico espacio-fraccional de cualquier orden α > 0 de un La función de buen comportamiento, x R, puede definirse como la pseudo- operador diferencial caracterizado en su representación de Fourier por # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * (x) * ( ) *, x, k * R, α > 0. (6.2) De acuerdo con una terminología habitual, se refiere como el símbolo de nuestra operador pseudo-diferencial, el derivado simétrico espacio-fraccional, de orden α. Aquí, hemos adoptado la notación introducida por Zaslavski, ver e.g. Saichev & Zaslavski (1997). Con el fin de introducir correctamente este tipo de derivados fraccionarios que necesitamos considerar un enfoque peculiar del cálculo fraccionario diferente de la Riemann-Liouville uno, ya tratado en el Apéndice A. Este enfoque es el siguiente: de hecho basado en los llamados potenciales Riesz (o integrales), que preferimos a considerar más tarde. Al principio, veamos cómo las cosas se vuelven altamente transparentes utilizando un argumento heurístico, originalmente debido a Feller (1952). La idea es empezar del operador diferencial definido positivo A := − 2 = 2, (6.3) cuyo símbolo es 2, y formar poderes positivos de este operador como pseudo- operadores diferenciales por su acción en el espacio de imagen de Fourier, es decir Aα/2 := = α > 0. (6.4) Por lo tanto, el operador −Aα/2 puede ser interpretado como el fraccionario requerido derivado, es decir, Aα/2-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-)- (-)- (-)-)- (--)------ (--------)------------------------------------------------------------- # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. , α > 0. (6.5) Observamos que el operador que acaba de definir no debe confundirse con una potencia del operador diferencial de primer orden d para el cual el símbolo es −iŁ. Después de las consideraciones anteriores es sencillo obtener el Fourier imagen de la función Verde del problema Cauchy para el espacio-fraccional Ecuación de difusión. De hecho, la aplicación de la transformación de Fourier a la ecuación (6.1), sujeto a la condición inicial u(x, 0+;α) = (6.2), obtenemos Gc(x, t;α) = Gc(x, t;α) , 0 < α ≤ 2. (6.6) Reconocemos fácilmente que la transformación de Fourier de la función verde corresponde a la forma canónica de una distribución estable simétrica del índice de estabilidad α y factor de escala γ = (Dt)1/α, véase (B.8). Por lo tanto tenemos Gc(x, t;α) = pα(x; 0, γ, 0), γ = (Dt)1/α. (6.7) Para α = 1 y α = 2 obtenemos fácilmente las expresiones explícitas de la funciones verdes correspondientes ya que en estos casos corresponden a la Distribución de Cauchy y Gauss, Gc(x, t; 1) = x2 + (D t)2 , (6.8) Véase (B.5), y Gc(x, t; 2)) = 2/(4D t), (6.9) de acuerdo con (2.6). Reconozcamos fácilmente que (D t)1/α (6.10) es la variable de similitud para la ecuación de difusión espacio-fraccional, en términos de los cuales podemos expresar la función verde para cualquier α â € (0, 2]. De hecho, nosotros reconocer que Gc(x, t;α) = (D t)1/α qα(η; 0), (6.11) donde qα(η; 0) denota la distribución estable simétrica del orden α con Función característica del tipo Feller, véase (B.14-15). Ahora podemos expresar el Función verde usando las expansiones de la serie Feller (B.21-22) con  = 0. Nosotros obtener: para 0 < α < 1, qα(η; 0) = − (nα + 1) , (6.12a) para 1 < α ≤ 2, qα(η; 0) = (−1)m *[(2m + 1)/α] (2m)! η2m. (6.12b) En el caso limitador α = 1 la serie anterior se reduce a serie geométrica y por lo tanto, ya no son convergentes en todo C. En particular, representan las expansiones de la función q1(η; 0) = 1/[ 2)], convergente para η > 1 y 0 < η < 1, respectivamente. También notamos que para cualquier α (0, 2] las funciones qα(η; 0) exhiben en el origen el valor qα(0; 0) = فارسى(1/α)/( α), y en las colas, con exclusión del Caso gaussiano α = 2, el comportamiento asintótico algebraico, como η → qα(η; 0) (α + 1) pecado (1), 0 < α < 2. (6.13) En la Figura 3, como un ejemplo, comparamos versus x, en fijo t, el fundamental soluciones del problema de Cauchy con diferentes α (α = 1/2, 1, 3/2, 2 ). Nosotros considerar el rango −6 ≤ x ≤ +6 y asumir D = t = 1. -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 3: El problema Cauchy para la difusión simétrica espacio-fraccional ecuación. Las soluciones fundamentales versus x : placa a) α = 1/2 (línea continua), α = 1 (línea contagiada); placa b) α = 3/4 (línea continua), α = 2 (línea de sujeción). Ahora expresemos más correctamente a nuestro operador (6.4) (con el símbolo ) como inversa de un operador integral adecuado Iα cuyo símbolo es. Esto operador se puede encontrar en el enfoque de Marcel Riesz a Fractional Cálculo, véase, por ejemplo, Samko, Kilbas & Marichev (1987-1993) y Rubin (1996). Recordamos que para cualquier α > 0, α 6 = 1, 3, 5,. ... y para un lo suficientemente bien- función comportada فارسى(x), x R, la integral Riesz o Riesz potencial Iα y su imagen en el dominio de Fourier leer Iα (x) := 2-(α) cos(/2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (6.14) A su vez, el potencial Riesz se puede escribir en términos de dos integrales Weyl I según Iα (x) = 2 cos(+/2) I(x) + I (x) , (6.15) donde (x) := (x − ) 1 () d, I (x) := ( − x)1 () d. (6.16) Entonces, al menos de una manera formal, el derivado espacio-fraccional (6.2) gira a definirse como lo contrario de la inversa (izquierda) del fraccionario Riesz integral, es decir, # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * (x) := − (l) (x) = − 2 cos(+/2) I (x) + I - (x) . (6.17) Nótese que (6.14) y (6.17) se vuelven sin sentido cuando α es un número entero impar número. Sin embargo, para nuestro rango de interés 0 < α ≤ 2, el caso particular α = 1 se puede seleccionar ya que la función verde correspondiente ya está conocido, véase (6.8). Por lo tanto, excluyendo el caso α = 1, nuestro espacio-fraccional la ecuación de difusión (6.1) puede ser reescrita, x â € R, t â € R+0, como = −D I+i u, u = u(x, t;α), 0 < α ≤ 2, α 6 = 1, (6,18) donde el operador Io se define por (6.16-17). Aquí, para evaluar la solución fundamental del problema Cauchy, interpretado como una densidad de probabilidad, proponemos un enfoque numérico, original hasta donde sabemos, basado en un modelo (simétrico) de caminata aleatoria, discreto en espacio y tiempo, véase también Gorenflo & Mainardi (1998a), Gorenflo & Mainardi (1998b) y Gorenflo, De Fabritiis & Mainardi (1999). Lo haremos. ver cómo las cosas se vuelven altamente transparentes, en que generalizamos adecuadamente el argumento clásico al azar-camina de la ecuación de difusión estándar a nuestra ecuación de difusión espacio-fraccional (6.18). Así que haciendo estamos en posición para proporcionar una simulación numérica de la estabilidad relacionada (simétrica) distribuciones de una manera análoga a la norma para la ley gaussiana. La idea esencial es aproximar los operadores inversos izquierdos I por el Grünwald-Letnikov esquema, sobre el cual el lector puede informarse en el los tratados sobre cálculo fraccional, véase, por ejemplo, Oldham & Spanier (1974), Samko, Kilbas & Marichev (1987-1993), Miller & Ross (1993), o en el reciente examen artículo de Gorenflo (1997). Si h denota un paso de longitud “pequeño” positivo, estos aproximadamente los operadores deben leer ± (x) := (−1)k *(x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) * (x kh) (6.19) Asumir, para simplicidad, D = 1, e introducir puntos de cuadrícula xj = j h con h > 0, j â € Z, y las instancias de tiempo tn = n â € > 0, n â € N0. Dejalo ahí. se le indicarán probabilidades pj,k ≥ 0 de saltar del punto xj al instante tn a punto xk al instante tn+1 y definir probabilidades yj(tn) del ser caminante en el punto xj al instante tn. Entonces, por yk(tn+1) = pj,k uj(tn), pj,k = pj,k = 1, (6,20) con pj,k = pk,j, una caminata simétrica aleatoria (más exactamente una simétrica salto aleatorio) modelo se describe. Con la aproximación yj(tn) ∫ (xj+h/2) (xj−h/2) u(x, tn) dx  hu(xj, tn), (6.21) e introducir el “parámetro de escalado” 2 cos(/2) , (6.22) hemos resuelto yj(tn+1) − yj(tn) = − i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) i) para yj(tn+1). Así que hemos demostrado tener una consistente (para h → 0) simétrica aproximación de caminata aleatoria a (6.18) tomando i) para 0 < α < 1, 0 < μ ≤ 1/2, • yj(tn) = μ + yj(tn) + hI − yj(tn) pj,j = 1 − 2μ, pj,j±k = μ ), k ≥ 1 ; (6.24) ii) para 1 < α ≤ 2, 0 < μ ≤ 1/(2α), * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * • yj(tn) = μ + yj+1(tn) + hI − yj−1(tn) pj,j = 1 − 2μ α, pj,j±1 = μ pj,j±k = μ ), k ≥ 2. (6.25) Observamos que nuestro modelo de caminata al azar no sólo es simétrico, sino también homogéneas, las probabilidades de transición pj,j±k no dependiendo del índice En el caso especial α = 2 nos recuperamos de (6.25) el conocido tres puntos aproximación de la ecuación de calor, porque pj,j±k = 0 para k ≥ 2. Esto significa que para la aproximación de la difusión común sólo saltos de un paso a la derecha o uno a la izquierda o saltos de anchura cero ocurren, mientras que para 0 < α < 2 (α 6= 1) saltos grandes arbitrarios ocurren con el poder-como decaimiento probabilidad, como resulta del análisis asintótico para la transición probabilidades dadas en (6.24-25). De hecho, como k → فارسى, se encuentra pj,j+k (/hα) (α + 1) pecado k−(+1), 0 < α < 2. (6.26) Este resultado proporciona así la contraparte discreta de la asintótica comportamiento de las largas colas power-law de las distribuciones simétricas estables, según lo previsto en (6,13) cuando 0 < α < 2. 7 Conclusiones Hemos tratado dos generalizaciones del estándar, unidimensional, la ecuación de difusión, a saber, la ecuación de difusión tiempo-fraccional y la ecuación simétrica de difusión espacio-fraccional. Para estas ecuaciones tenemos deriva las soluciones fundamentales utilizando los métodos de transformación de Fourier y Laplace, y exhibieron sus conexiones al extremo y simétrico densidades de probabilidad estables, evolucionando en el tiempo o variable en el espacio. Por la Comisión Ecuación de difusión espacio-fraccional simétrica que hemos presentado una estacionaria (en el tiempo), modelo de caminata simétrico aleatorio homogéneo (en el espacio), discreto en el espacio y el tiempo, la longitud de paso de la red espacial y los lapsos de tiempo entre transiciones correctamente escalonadas. En el límite de la multa infinitesimal discretización de este modelo (basado en la aproximación de Grünwald-Letnikov a derivados fraccionarios) es coherente con el proceso de difusión continua, i.e. convergente si se interpreta como un esquema de diferencia en el sentido numérico análisis2. Desde el punto de vista matemático el campo de tales "fraccionales" generales- izaciones es fascinante ya que hay varias disciplinas matemáticas se reúnen y llegar a una interacción fructífera: por ejemplo. teoría de probabilidad y procesos estocásticos, 2Otras generalizaciones han sido consideradas por nosotros y nuestros colaboradores en otros documentos, en los que hemos dado una derivación de los modelos aleatorios discretos relacionados con Ecuaciones de difusión fraccionaria espacio-tiempo más generales. Para un análisis exhaustivo, véase Gorenflo et al. (2002). Lectores interesados en las soluciones fundamentales de estos fraccionarios Las ecuaciones de difusión son referidas al artículo por Mainardi et al. (2001) en los que se analizan se encuentran expresiones y gráficos numéricos. ecuaciones integro-diferenciales, teoría de la transformación, funciones especiales, numéricas análisis. Como uno puede tomar de nuestras referencias, uno puede observar que desde hay un interés cada vez mayor en el uso de los conceptos de cálculo fraccional entre físicos y economistas. Entre los economistas como para remitir al lector a una colección de artículos sobre el tema de ”Fraccional Differencing and Long Memory Processes”, editado por Baillie & King (1996). Apéndice A: El fraccional de Riemann-Liouville Cálculo El cálculo fraccional es el campo de análisis matemático que se ocupa de la investigación y aplicaciones de integrales y derivados de orden arbitrario. El término fraccionario es un nombre erróneo, pero se mantiene después de la prevaleciente uso. Este apéndice se basa principalmente en el reciente examen realizado por Gorenflo & Mainardi (1997). Para más detalles sobre el tratamiento clásico de los fraccionarios cálculo el lector se refiere a Erdélyi (1954), Oldham & Spanier (1974), Samko et al. (1987-1993) y Miller & Ross (1993). Según el enfoque de Riemann-Liouville al cálculo fraccional, el la noción de Fraccional Integral de orden α (α > 0) es una consecuencia natural de la fórmula bien conocida (normalmente atribuida a Cauchy), que reduce la cálculo de la n-fold primitiva de una función f(t) a una sola integral de Tipo de convolución. En nuestra notación la fórmula de Cauchy lee Jnf(t) := fn(t) = (n − 1)! (t − ­)n−1 f(­) d/23370/, t > 0, n+ N, (A.1) donde N es el conjunto de números enteros positivos. De esta definición observamos que fn(t) desaparece en t = 0 con sus derivados del orden 1, 2,....................................................................................... Por convención requerimos que f(t) y en adelante fn(t) sea una función causal, i.e. desapareciendo idénticamente para t < 0. De una manera natural uno es llevado a extender la fórmula anterior de valores enteros positivos del índice a cualquier positivo valores reales mediante el uso de la función Gamma. De hecho, notando que (n − 1)! = (n), e introduciendo el número real positivo arbitrario α, se define el Fraccionamiento integral del orden α > 0 : Jα f(t) := (t − )1 f(l) dl, t > 0, α R+, (A.2) donde R+ es el conjunto de números reales positivos. Para la complementación definimos J0 := I (operador de identidad), es decir, Nos referimos a J0 f(t) = f(t). Además, por Jαf(0+) nos referimos al límite (si existe) de Jαf(t) para t → 0+; este límite puede ser infinito. Notamos la propiedad del semigrupo JαJβ = J®, α, β ≥ 0, lo que implica la propiedad conmutativa JβJα = JαJβ, y el efecto de nuestros operadores Jα en las funciones de potencia Jαtγ = (γ + 1) (γ + 1 + α) t, α ≥ 0, γ > −1, t > 0. (A.3) Estas propiedades son, por supuesto, una generalización natural de las conocidas cuando el orden es un entero positivo. Presentando la transformación de Laplace por la notación L {f(t)} := −st f(t) dt = fœ(s), s(s) C, y utilizando el signo ♥ para denotar un Laplace transformar el par, es decir, f(t) ♥ fœ(s), observamos la siguiente regla para el Laplace: transformación de la integral fraccional, Jα f(t) , α ≥ 0, (A.4) que es la generalización del caso con una integral repetida n-fold. Después de la noción de integral fraccional, la de derivado fraccional de orden α (α > 0) se convierte en un requisito natural y se intenta sustituir α con â € en las fórmulas anteriores. Sin embargo, esta generalización necesita algunos atención con el fin de garantizar la convergencia de las integrales y preservar el bien conocidas propiedades de la derivada ordinaria del orden entero. Denotando por Dn con n+N, el operador del derivado del orden n, primero notamos que Dn Jn = I, Jn Dn 6 = I, n â N, es decir, Dn es inverso izquierdo (y no inversamente a la derecha) al operador integral correspondiente Jn. De hecho fácilmente reconocemos de (A.1) que Jn Dn f(t) = f(t) − f k) 0+) , t > 0. (A.5) Como consecuencia esperamos que Dα se define como inversa izquierda a Jα. Por este propósito, introduciendo el entero positivo m tal que m − 1 < α ≤ m, se define el Derivativo Fraccional del orden α > 0 : Dα f(t) := Dm Jm® f(t), m − 1 < α ≤ m, m N, (A.6) a saber: Dα f(t)= (m − α) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , m − 1 < α < m, f(t), α = m. (A.6′) Definir para la complementación D0 = J0 = I, entonces reconocemos fácilmente que Dα Jα = I, α ≥ 0, y Dα tγ = (γ + 1) (γ + 1 − α) t, α ≥ 0, γ > −1, t > 0. (A.7) Por supuesto, estas propiedades son una generalización natural de las conocidas cuando el orden es un entero positivo. Note el hecho notable de que la derivada fraccionaria Dα f no es cero para la función constante f(t) • 1 si α 6 • N. De hecho, (A.7) con γ = 0 enseña nosotros que Dα1 = *(1 − α) , α ≥ 0, t > 0. (A.8) Esto, por supuesto, es 0 para N, debido a los polos de la función gamma en los puntos 0,−1,−2,.... Ahora observamos que una definición alternativa de derivado fraccionario, introducido originalmente por Caputo (1967) (1969) en el de finales de los años sesenta y adoptado por Caputo y Mainardi (1971) en el marco de la teoría de la viscoelasticidad lineal, es D f(t) := J mó Dm f(t) m − 1 < α ≤ m, m • N, (A.9) a saber: D f(t) = (m − α) f m) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • dl, m − 1 < α < m, f(t), α = m. (A.9′) Esta definición es, por supuesto, más restrictiva que (A.6), ya que requiere la integrabilidad absoluta de la derivada del orden m. Siempre que utilizamos el operador D nosotros (tácitamente) suponemos que esta condición se cumple. Nosotros fácilmente. reconocer que en general Dα f(t) := Dm Jmó f(t) 6= Jmó Dm f(t) := D f(t), (A.10) a menos que la función f(t) junto con sus primeros m − 1 derivados desaparezca en t = 0+. De hecho, suponiendo que el paso de la m-derivada bajo el integral es legítimo, se reconoce que, para m − 1 < α < m y t > 0, Dα f(t) = D f(t) + (k − α + 1) f k) 0+, (A.11) y por lo tanto, recordando el derivado fraccionario de las funciones de potencia (A.7), f t) − f k) 0+) = D f(t). (A.12) La definición alternativa (A.9) para el derivado fraccionario tasa los valores iniciales de la función y de sus derivados enteros de menor Orden. La resta del polinomio Taylor de grado m − 1 en t = 0+ a partir de f(t) significa una especie de regularización del derivado fraccionario. In particular, de acuerdo con esta definición, los bienes pertinentes para los que la derivado fraccionario de una constante es todavía cero puede ser fácilmente reconocido, es decir. D 1 0. α > 0......................................................................................................... (A.13) Ahora exploramos las diferencias más relevantes entre los dos fraccionarios derivados (A.6) y (A.9). Estamos de acuerdo en denotar (A.9) como el Caputo derivado fraccionario para distinguirlo de la norma Riemann-Liouville derivado fraccional (A.6). Observamos, de nuevo mirando (A.7), que Dαt1 0, α > 0, t > 0. Desde arriba reconocemos así las siguientes declaraciones sobre las funciones que para t > 0 admitir el mismo derivado fraccionario de orden α, con m − 1 < α ≤ m, m + N, Dα f(t) = Dα g(t) f(t) = g(t) + j, (A.14) D f(t) = D * g(t) f(t) = g(t) + m−j. (A.15) En estas fórmulas los coeficientes cj son constantes arbitrarias. Por lo que respecta a las dos definiciones, también observamos una diferencia con respecto al procedimiento formal. límite como α → (m − 1)+; a partir de (A.6) y (A.9) obtenemos respectivamente, Dα f(t) → Dm J f(t) = Dm−1 f(t) ; (A.16) D f(t) → J Dm f(t) = Dm−1 f(t) − f (m−1)(0+). (A.17) Ahora consideramos la transformación de Laplace de los dos derivados fraccionarios. Para el derivado fraccionario estándar Dα la transformación de Laplace, asumido a existe, requiere el conocimiento de los valores iniciales (limitados) de los fraccionarios enteros de orden k = 1, 2,....,m−1. Los la regla correspondiente lee, en nuestra notación, Dα f(t)  sα fœ(s) − Dk J (m) f(0+) sm−1−k, (A.18) donde m − 1 < α ≤ m. El derivado fraccionario de Caputo parece más adecuado para ser tratado por la técnica de transformación de Laplace en que requiere el conocimiento de la (encuadernado) valores iniciales de la función y de sus derivados enteros de orden k = 1, 2,....,m− 1, en analogía con el caso cuando α = m. utilizando (A.4) y observando que Jα D f(t) = J α Dm f(t) = Jm Dm f(t) = f(t) − f k) 0+) (A.19) fácilmente probamos la siguiente regla para la transformación de Laplace, D f(t)  sα fœ(s) − f (k)(0+) s1−k, m − 1 < α ≤ m. (A.20) De hecho, el resultado (A.20), declarado por primera vez por Caputo (1969) mediante el uso de la Fubini-Tonelli teorema, aparece como la generalización más "natural" de la resultado correspondiente bien conocido para α = m. Gorenflo y Mainardi (1997) han señalado la gran utilidad de la Derivado fraccionario de Caputo en el tratamiento de ecuaciones diferenciales de orden fraccional para aplicaciones físicas. De hecho, en los problemas físicos, las condiciones iniciales se expresan generalmente en términos de un número dado de valores consolidados asumidos por la variable de campo y sus derivados de orden entero, no importa si la ecuación de evolución gobernante puede ser un Ecuación integro-diferencial genérica y, por lo tanto, en particular, una fracción Ecuación diferencial3. Ahora analizamos las ecuaciones diferenciales más simples del orden fraccionario, incluyendo aquellos que, por medio de derivados fraccionarios, generalizan el ecuaciones diferenciales ordinarias conocidas relacionadas con la relajación y la oscilación 3Notamos que la derivada fraccionaria de Caputo fue nombrada así por el libro de Podlubny (1999). Coincide con lo introducido, independientemente y unos pocos más tarde, por Dzherbashian y Nersesyan (1968) como regularización del Riemann-Liouville derivado fraccionario. Hoy en día, algunos autores se refieren a ella como el Caputo-Dzherbashyan derivado fraccionario. El papel prominente de este derivado fraccionario en el tratamiento inicial En documentos interesantes de Kochubei (1989), (1990), se reconocieron los problemas de valor. fenómenos. En términos generales, consideramos el siguiente diferencial: ecuación de orden fraccional α > 0, D u(t) = D u(t) − u(k)(0+) = −u(t) + q(t), t > 0, (A.21) donde u = u(t) es la variable de campo y q(t) es una función dada. Aquí está. un entero positivo único definido por m − 1 < α ≤ m, que proporciona la número de los valores iniciales prescritos u(k)(0+) = ck, k = 0, 1, 2,...,m−1. Implícito en la forma de (A.21) es nuestro deseo de obtener soluciones u(t) para el que los u(k)(t) son continuos. En particular, los casos de relajación fraccional y la oscilación fraccional se obtiene para 0 < α < 1 y 1 < α < 2, respectivamente La aplicación de la transformación de Laplace a través de la fórmula Caputo (A.20) rendimientos * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = sk−1 sα + 1 sα + 1 qū(s). (A.22) Ahora, para obtener la inversión de Laplace (A.22), tenemos que recordar la función Mittag-Leffler de orden α > 0, Eα(z). Esta función, así llamada del gran matemático sueco que lo introdujo al principio de este siglo, se define por la serie siguiente y la representación integral, válida en todo el plano complejo, Eα(z) = (αn + 1) 1 e) • − z d................................................................................................... (A.23) Aquí Ha denota el camino Hankel, es decir. un bucle que comienza y termina en â € ¢ y rodea el disco circular ≤ z1/α en el sentido positivo. Resulta que... que Eα(z) es una función entera de orden ♥ = 1/α y tipo 1. La función Mittag-Leffler proporciona una simple generalización de la expo- función nential, a la que se reduce para α = 1. Casos particulares de los que funciones elementales se recuperan, son = cosh z, E2 = cos z, z • C, (A.24) E1/2(±z1/2) = ez 1 + erf (±z1/2) = ez erfc (z1/2), z â € C, (A.25) donde erf (erfc) denota la función de error (complementario). definido como erf (z) := du, erfc (z) := 1 − erf (z), z • C. Una propiedad notable de la función Mittag-Leffler se basa en el después de la fórmula de duplicación Eα(z) = Eα/2(+z 1/2) + Eα/2(−z1/2) . (A.26) En (A.25-26) estamos de acuerdo en denotar por z1/2 la rama principal del complejo raíz de z. La función Mittag-Leffler está conectada a la integral de Laplace a través de la Ecuación e-u Eα (u α z) du = 1 − z α > 0. (A.27) La integral en el L.H.S. fue evaluado por Mittag-Leffler que mostró que la región de su convergencia contiene el círculo unitario y está limitada por el línea Re z1/α = 1. Lo anterior es fundamental en la evaluación de la Transformación de Laplace de Eα ( tα) con α > 0 y C. De hecho, poner en (A.27) u = st y uα z = tα con t ≥ 0 y transformar par Eα ( tα) sα +  , Re s > 1/α. (A.28) Entonces, usando (A.28), ponemos para k = 0, 1,...,m − 1, uk(t) := J keα(t) sk−1 sα + 1 , eα(t) := Eα(−tα), (A.29) y, de la inversión de la Laplace se transforma en (A.22), encontramos u(t) = ck uk(t) − q(t − (A.30) En particular, la fórmula (A.30) abarca las soluciones para α = 1, 2, desde e1(t) = exp(−t), e2(t) = cos t. Cuando α no es entero, es decir, para m − 1 < α < m, observamos que m − 1 representa la parte entera de α (generalmente denotado por [α]) y m el número de condiciones iniciales necesarias y suficiente para garantizar la singularidad de la solución u(t). Por lo tanto, la m funciones uk(t) = J keα(t) con k = 0, 1,...,m−1 representan los particulares soluciones de la ecuación homogénea que cumplen las condiciones iniciales +) = k h, h, k = 0, 1,...,m − 1, y por lo tanto representan la soluciones fundamentales de la ecuación fraccionaria (A.21), en analogía con el caso α = m. Además, la función u♥(t) = −u′0(t) = −e®(t) representa la solución impulso-respuesta. La función Mittag-Leffler de orden menos de uno resulta estar relacionada a través de la integral de Laplace a otra función especial de tipo Wright, denotado por M(z, /) con 0 < / < 1, después de la anotación introducida por Mainardi (1994, 1995). Puesto que esta función resulta ser relevante en el marco general del cálculo fraccionario, con especial atención a la estabilidad distribuciones de probabilidad, vamos a resumir sus propiedades de base. Para más detalles sobre esta función, véase Mainardi (1997), apéndice A. Recordemos en primer lugar la función Wright más general W., μ(z), z C, con  > −1 y μ > 0. Esta función, así nombrado por el matemático británico que la introdujo entre 1933 y 1941, se define por la serie siguiente representación integral, válida en todo el plano complejo, Wl,μ(z) = ¡N! En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. e + z , (A.31) donde Ha denota el camino Hankel. Es posible probar que el Wright función es entera de orden 1/(1), por lo tanto de tipo exponencial si  ≥ 0. Los El caso  = 0 es trivial desde W0,μ(z) = e z/­(μ). En el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia consideró que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia se pronunció sobre la compatibilidad de la Decisión de incoación con el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Decisión de incoación») y, en particular, con el artículo 107, apartado 1, letra c), del Tratado CE (en lo sucesivo, «la Decisión de incoación»). con 0 < / < 1 proporciona la función M(z, /) de especial interés para nosotros. Específicamente, tenemos M(z; v) := W,1(−z) = W,0(−z), 0 < / < 1, (A.32) y, por lo tanto, de (A.31-32) M(z; v) = (-z)n−1 (n − 1)! El Tribunal de Primera Instancia decidió: e................................................................................................... , 0 < / < 1. (A.33) En la representación de la serie hemos utilizado la fórmula de reflexión para el Función Gamma, (x) (1−x) = η/ sin ηx. Expresiones explícitas de M(z; /) en términos de funciones conocidas más simples se esperan en casos particulares cuando Es un número racional. Los casos pertinentes son = 1/2, 1/3 para los cuales M(z; 1/2) = − z2/4 , (A.34) M(z; 1/3) = 32/3 Ai z/31/3 , (A.35) donde Ai denota la función Airy. Cuando el argumento es real y positivo, es decir. z = r > 0, la existencia de la transformación de Laplace de M(r; v) está garantizada por el comportamiento asintótico, como se deriva de Mainardi & Tomirotti (1995), como r → â €, El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la decisión de la Comisión de incoar el procedimiento previsto en el apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. − b/) r1/(1 - ) , (A.36) donde a( v) = 1/ 2η (1 − /, b(/) = (1 − /)//. Es un ejercicio instructivo derivar la transformación de Laplace intercambiando la integral de Laplace con la integral de Hankel en (A.33) y recordando la representación integral (A.23) de la función Mittag-Leffler. Obtenemos el Par de transformación de Laplace M(r) / / E(­s), 0 < < 1. (A.37) Para ν = 1/2, (A.37) con (A.25) y (A.34) proporciona el resultado, véase por ejemplo. Doetsch (1974), M(r; 1/2) := − r2/4 E1/2(−s) := exp erfc (s). (A.38) Debe señalarse que, puesto que M(r, /) no es de orden exponencial, la transformación a plazo por término de la serie Taylor de M(r) produce una serie de poderes negativos de s, que representa la expansión asintótica de E/(−s) como s → • en un determinado sector alrededor del eje real. También observamos que (A.37) con (A.23) nos permite calcular los momentos de cualquier orden real  ≥ 0 de M(r; v) en el eje real positivo. Obtenemos r M(r; v) dr = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( + 1) ,  ≥ 0. (A.39) Cuando es entero notamos que los momentos son proporcionados por los derivados de la función Mittag-Leffler en el origen, es decir, rn M(r; v) dr = lim (−1)n E/(−s) = (n + 1) (en contra + 1) , (A.40) donde n = 0, 1, 2,.... La condición de normalización 0 M(r; v) dr = E/(0) = 1 se recupera para n = 0. La relación con el Mittag-Leffler función indicada en (A.40) se puede extender a los momentos de no entero orden si reemplazamos la derivada ordinaria, de orden n, con la correspondiente derivado fraccionario, de orden 6= n, en el sentido de Caputo. Otro ejercicio sobre la función M se refiere a la inversión de la Laplace transformar exp(−s v), ya sea por la fórmula integral compleja o por el formal método de serie. Obtenemos el par de transformación de Laplace M (1/r/; / /) exp (−s/), 0 < / < 1. (A.41) Para ν = 1/2, (A.41) con (A.34) proporciona el resultado conocido, véase por ejemplo. Doetsch (1974), 2 r3/2 M(1/r1/2; 1/2) := η r3/2 exp [− 1/(4r)] − s1/2 . (A.42) Recordamos que una prueba rigurosa de (A.41) fue dada anteriormente por Pollard (1946), basado en un resultado formal de Humbert (1945). La transformación de Laplace par también fue obtenido por Mikusiński (1959) y, aunque ignorando el resultados anteriores, de Buchen & Mainardi (1975) de forma formal. Apéndice B: Las distribuciones estables de probabilidad Las distribuciones estables son un área de investigación fascinante y fructífera en la teoría de la probabilidad; además, hoy en día, proporcionan modelos valiosos en física, astronomía, economía y teoría de la comunicación. Se introdujo la clase general de distribuciones estables y se le dio este nombre por el matemático francés Paul Lévy en la década de 1920, ver Lévy (1924, 1925). La inspiración para Lévy fue el deseo de generalizar el célebre Teorema del límite central, según el cual cualquier distribución de probabilidad con varianza finita pertenece al dominio de la atracción del gaussiano distribución. Anteriormente, el tema sólo atrajo una atención moderada por parte de los líderes expertos, aunque también había entusiastas, de los cuales el ruso el matemático Alexander Yakovlevich Khintchine debe ser mencionado primero de todos. El concepto de distribuciones estables tomó forma en 1937 con el aparición de la monografía de Lévy, véase Lévy (1937-1954), seguida pronto por La monografía de Khintchine, véase Khintchine (1938). La teoría y las propiedades de las distribuciones estables se discuten en algunos libros clásicos sobre la teoría de la probabilidad, incluyendo Gnedenko y Kolmogorov (1949-1954), Lukacs (1960-1970), Feller (1966-1971), Breiman (1968-1992), Chung (1968-1974) y Laha & Rohatgi (1979). También tratados sobre fractales dedicar especial atención a las distribuciones estables en vista de sus propiedades de la invariabilidad de la escala, véase, por ejemplo, Mandelbrot (1982) y Takayasu (1990). Conjuntos de tablas y gráficos han sido proporcionados por Mandelbrot & Zarnfaller (1959), Fama & Roll (1968), Bo’lshev & Al. (1968) y Holt & Crow (1973). Sólo recientemente, monografías dedicadas exclusivamente a distribuciones estables y relacionadas Han aparecido procesos estocásticos, es decir: Zolotarev (1983-1986), Janicki & Weron (1994), Samorodnitsky & Taqqu (1994), Uchaikin & Zolotarev (1999). Ahora podemos citar el documento de Mainardi, Luchko & Pagnini (2001) donde el lector puede encontrar representaciones (convergentes y asintóticas) y parcelas de las densidades estables simétricas y no simétricas generadas por Ecuaciones de difusión fraccionaria. Las distribuciones estables tienen tres propiedades exclusivas, que pueden ser brevemente resumen indicando que 1) son invariantes en adición, 2) poseen su propio dominio de atracción, y 3) admitir una característica canónica función. Ahora vamos a ilustrar las propiedades anteriores que, proporcionando necesarios y condiciones suficientes, pueden asumirse como definiciones equivalentes para un distribución. Recordamos los resultados básicos sin pruebas. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución estable P (x) = Prob {X ≤ x} si para cualquier n ≥ 2, hay un número positivo cn y un número real dn tal X1 + X2 +. ........................................................................ = cn X + dn, (B.1) donde X1,X2,. .. Xn denota variables aleatorias mutuamente independientes con distribución común P (x) con X. Aquí la notación = denota igualdad en la distribución, es decir, significa que las variables aleatorias en ambos lados tienen la distribución de la misma probabilidad. Cuando las variables aleatorias mutuamente independientes tienen una distribución común [compartido con una variable aleatoria X dada], también nos referimos a ellos como independientes, distribuidas idénticamente (i.d.) variables aleatorias [independientes copias de X]. En general, la suma de i.i.d. variables aleatorias se convierten en una variable aleatoria con una distribución de forma diferente. Sin embargo, para variables aleatorias independientes con una distribución estable común, la suma obedece a una distribución del mismo tipo, que difiere del original uno solo para una escala (cn) y posiblemente para un desplazamiento (dn). Cuando en (B.1) la dn = 0 la distribución se llama estrictamente estable. Se sabe, ver Feller (1966-1971), que las constantes de normación en (B.1) son del formulario cn = n 1/α con 0 < α ≤ 2. (B.2) El parámetro α se llama el exponente característico o el índice de estabilidad de la distribución estable. Estamos de acuerdo en utilizar la notación X Pα(x) para denotar que la variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad estable con exponente característico α. Nosotros simplemente refiérase a P (x), p(x) := dP/dx (función de densidad de probabilidad = pdf) y X como distribución α-estable, densidad, variable aleatoria, respectivamente. La definición (B.1) con el teorema (B.2) puede expresarse en una alternativa versión que sólo necesita dos i.i.d. variables aleatorias. , véase también Lukacs (1960- 1970). Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución estable si para cualquier números positivos A y B, hay un número positivo C y un número real D de tal manera que AX1 + B X2 = C X + D, (B.3) donde X1 y X2 son copias independientes de X. Entonces hay un número. α (0, 2] de tal manera que el número C en (B.3) satisface Cα = Aα + Bα. Para una distribución estrictamente estable (B.3) se mantiene con D = 0. Esto implica que todas las combinaciones lineales de i.i.d. variables aleatorias obedeciendo a un estrictamente estable distribución es una variable aleatoria con el mismo tipo de distribución. Una distribución estable se llama simétrica si la variable aleatoria −X tiene la la misma distribución. Por supuesto, una distribución estable simétrica es necesariamente Estrictamente estable. Ejemplos notables de distribuciones estables son proporcionados por el Gaussian (o normal) la ley (con α = 2) y por la ley de Cauchy-Lorentz (α = 1). Los los pdf correspondientes son conocidos por ser pG(x;, μ) := e−(x − μ) 2/(2/2), x + R, (B.4) donde 2 denota la varianza y μ la media, y pC(x; γ, ) := (x − )2 + γ2 , x â € R, (B.5) donde γ denota el rango semi-intercuartil y el “shift”. Otra definición (equivalente) establece que las distribuciones estables son las únicas distribuciones que pueden obtenerse como límites de las sumas normalizadas de i.i.d. variables aleatorias. Una variable aleatoria X se dice que tiene un dominio de atracción, es decir. si hay una secuencia de i.i.d. variables aleatorias Y1, Y2,... y secuencias de números positivos n} y números reales n}, tales que Y1 + Y2 +. .. Yn d/23370/X. (B.6) La notación denota convergencia en la distribución. Está claro que la definición anterior (B.1) produce (B.6), por ejemplo. , tomando la Tiene que ser independiente y distribuido como X. Lo contrario es fácil de mostrar, Véase Gnedenko & Kolmogorov (1949-1954). Por lo tanto, podemos alternativamente establecer que una variable aleatoria X se dice que tiene una distribución estable si tiene un dominio de atracción. Cuando X es gaussiano y el Yis son i.i.d. con varianza finita, entonces (B.6) es la declaración del Teorema del Límite Central ordinario. El dominio de atracción de X se dice normal cuando γn = n 1/α ; en general, γn = n1/α h(n) donde h(x), x > 0, es una función de variación lenta en el infinito, que es, lim h(ux)/h(x) = 1 para todos los u > 0, véase Feller (1971). La función h(x) = log x, por ejemplo, varía lentamente en el infinito. Otra definición especifica la forma canónica que la función característica (cf) de una distribución estable del índice α debe tener. Recordando que el cf es la transformación de Fourier de la pdf, utilizamos la notación p(­) := exp (i­°X)­  pα(x). Primero notamos que una distribución estable también es infinitamente divisible, es decir. para cada entero positivo n su cf se puede expresar como la n o potencia de algunos cf. De hecho, usando la función característica, la relación (B.1) es transformado en [p()] n = p(cn) e idnó. (B.7) La ecuación funcional (B.7) se puede resolver completamente y la solución es de los que se sabe que [1 + i (señal ­)β (, α)]}, (B.8) donde (, α) = tan (α η/2), si α 6 = 1, -(2/π) log , si α = 1. (B.9) En consecuencia, se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución estable si hay cuatro parámetros reales α, β, γ,  con 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ +1, γ > 0, de tal manera que su función característica tenga la forma canónica (B.8-9). Luego escribimos pα(x;β, γ, tras la notación de Holt & Crow (1973) y Samorodnitsky & Taqqu (1994). Observamos en (B.8-9) que β aparece con diferentes signos para α 6= 1 y α = 1. Este punto menor ha sido la fuente de gran confusión en la literatura, véase Salón (1980) para una discusión. La presencia del logaritmo para α = 1 es la fuente de muchas dificultades, por lo que este caso a menudo tiene que tratarse por separado. El cf (B.8-9) resulta ser una herramienta útil para el estudio de α-stable distri- y para proporcionar una interpretación de los parámetros adicionales, β (parametro de skewness), γ (parametro de escala) y  (parametro de desplazamiento), véase Samorodnitsky & Taqqu (1994). Cuando α = 2 el cf se refiere al gaussiano distribución con varianza 2 = 2 γ2 y media μ =  ; en este caso el valor del parámetro de sesgo β no se especifica porque tan η = 0, y uno convencionalmente toma β = 0. Se reconoce fácilmente que una distribución estable es simétrica si y sólo si β =  = 0 y es simétrico alrededor de  si y sólo si β = 0. Distribuciones estables con valores extremos del parámetro sesgo se llaman extremal. Uno puede demostrar que todas las distribuciones extremas estables con 0 < α < 1 son un lado, el soporte es R+0 si β = −1, y R 0 si β = +1. Para las distribuciones estables Pα(x;β, γ, ) ahora consideramos la asintótica Comportamiento de las probabilidades de la cola, T+(l) := Prob {X > y T−(l) := Prob {X < , as Para el caso Gaussian α = 2 el resultado es bueno conocidos, véase, por ejemplo, Feller (1957), α = 2 : T±( 2/(4γ2) ............................................................... (B.10) Debido a la decaimiento exponencial antedicho todos los momentos de la correspondiente pdf resultan ser finitos, que es una propiedad exclusiva de este estable distribución. Para todas las otras distribuciones estables la singularidad de la función característica en el origen es responsable de la decadencia algebraica de las probabilidades de cola que se indican a continuación, véase, por ejemplo, Samorodnitsky & Taqqu (1994), 0 < α < 2 : lim T±() = Cα γ α (1 β)/2, (B.11) donde # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # # Sin # 1 − α (a) cos (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) ()) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) ()) (a) (a) ()) () () ()) () () ()) () ()) () () ()) () () () () ()) () () ()))) () () () () () () () () ()))) ()) () () ()) () () ())) () () ()) () () () () () () () () ())) ()))))) () () ())) ()))))) () () () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () , si α 6= 1, 2/η, si α = 1. (B.12) Observamos que para las distribuciones extremas (β = ±1) la desintegración algebraica anterior se mantiene verdadero sólo para una cola, el izquierdo si β = +1, el derecho si β = −1. La otra cola es idénticamente cero si 0 < α < 1 (la distribución es ¡Un lado!), o presenta una descomposición exponencial si 1 ≤ α < 2. Debido a la Caída algebraica reconocemos que 0 < α < 2 : x pα(x;β, γ, •), (B.13) por lo que los momentos absolutos de un pdf estable no-Gaussian resultan ser finitos si su orden es 0 ≤ < α e infinita si es ≥ α. Ahora estamos convencidos que la distribución gaussiana es la distribución estable única con finito varianza. Además, cuando α ≤ 1, el primer momento absoluto X es infinita también, por lo que necesitamos utilizar la mediana para caracterizar la esperada valor. Sin embargo, hay una propiedad fundamental compartida por todos los distribuciones que nos gusta señalar: para cualquier α el pdf estable son unimodal y, de hecho, con forma de campana, es decir. su derivada n-th tiene exactamente n ceros, ver Gawronski (1964). Ahora volvemos al cf. de una distribución estable, con el fin de α 6= 1 y  = 0 una forma canónica más simple que nos permite derivar convergente y series de potencia asintótica para el pdf correspondiente. En primer lugar, tomamos nota de que los dos parámetros γ y  en (B.8), que están relacionados con una transformación de escala y una traducción, no son tan esenciales ya que no cambian la forma de distribuciones. Si tomamos γ = 1 y  = 0, obtenemos el llamado forma estandarizada de la distribución estable y X-Pα(x;β, 1, 0) se refiere a como la variable aleatoria estandarizada α-estable. Además, podemos elegir el parámetro escala γ de tal manera de obtener de (B.8-9) el canónico simplificado forma utilizada por Feller (1952, 1966-1971) y Takayasu (1990) para distribuciones (­ = 0) con α 6 = 1, que se lee en una notación ad hoc, q(; Ł) := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • e±i , (B.14) donde el símbolo ± toma el signo de فارسى. Esta forma canónica, a la que nos referimos como la forma canónica de Feller, se deriva de (B.8-9) si además de α 6= 1 y ♥ = 0 que requerimos = cos , bronceado = β tan . (B.15) Aquí es el parámetro de sesgo en lugar de β y su dominio está restringido en la siguiente región (dependiendo de α) ≤ α, si 0 < α < 1, 2 − α, si 1 < α < 2. (B.16) Así, cuando usamos la forma canónica de Feller para distribuciones estrictamente estables con el índice α 6= 1 y el sesgo فارسى, seleccionamos implícitamente el parámetro escala γ (0 < γ ≤ 1), que está relacionado con α, β y  por (B.15). Específicamente, el Variable aleatoria Y â € € TM Qα(y; â € TM ) resulta estar relacionado con la estandarizada variable aleatoria X • Pα(x;β, 1, 0) por las siguientes relaciones Y = X/γ, pα(x;β, 1, 0) = γ qα(y = γx; ), (B.17) con γ = [cos (/2)]1/α,  = (2/η) arctan [β tan (/2)], tan (/2) tan (/2) (B.18) Reconocemos que qα(y, فارسى) = qα(−y,), por lo que el estable simétrico las distribuciones se obtienen si y sólo si.......................................................................................................... Tomamos nota de que para el distribuciones estables simétricas obtenemos la identidad entre el estandarizado y las formas canónicas Lévy, ya que en (B.18) β =  = 0 implica γ = 1. Un caso particular pero digno de mención es el de p2(x; 0, 1, 0) = q2(y; 0), correspondiente a la distribución gaussiana con varianza 2 = 2. Las distribuciones extremas estables, correspondientes a β = ±1, son ahora obtenido para  = si 0 < α < 1, y para  = (2 − α) si 1 < α < 2 ; para el parámetro de escalado resulta ser γ = [cos (/2)]1/α. Puede ser un ejercicio instructivo para llevar a cabo la inversión de la transformación de Fourier cuando α = 1/2 y فارسى = −1/2. En este caso obtenemos la expresión analítica para el correspondiente pdf estable extremal, conocido como el (un lado) Lévy- Densidad de Smirnov, q1/2(y;−1/2) = y−3/2 e−1/(4y), y ≥ 0. (B.19) El formulario estandarizado para esta distribución se puede obtener fácilmente de (B.19) utilizando (B.17-18) con α = 1/2 y فارسى = −1/2. Obtenemos γ = [cos (/4)]2 = 1/2, β = −1, así que p1/2(x;−1, 1, 0) = q1/2(x/2;−1/2) = x−3/2 e−1/(2x), (B.20) donde x ≥ 0, de acuerdo con Holt & Crow (1973) [§2.13, p. 147]. Feller (1952) ha obtenido de (B.14) las siguientes representaciones de serie de potencia convergente para las distribuciones estables válidas para y > 0, con 0 < α < 1 (poderes negativos), qα(y; ) = (-y)n Ł(nα + 1) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) , (B.21) 1 < α ≤ 2 (potencias positivas), qα(y; ) = (−y)n (n/α + 1) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) . (B.22) Los valores para y < 0 se pueden obtener de (B.21-22) utilizando la identidad qα(−y; فارسى) = qα(y;), y > 0. Como consecuencia de la convergencia en todos los C de la serie en (B.21-22) reconocemos que las restricciones de las funciones y qα(y; ) en los dos semi-ejes reales resultan ser iguales a ciertos enteros funciones del argumento 1/y para 0 < α < 1 y argumento y para 1 < α ≤ 2. Se ha mostrado, por ejemplo. Bergström (1952), Chao Chung-Jeh (1953), que el dos series en (B.21-22) proporcionan también las expansiones asintóticas (divergentes) a el pdf estable con los rangos de α intercambiados de los de convergencia. A partir de (B.21-22) una relación entre pdf estable con índice α y 1/α puede ser derivado como se indica en Feller (1966-1971). Suponiendo 1/2 < α < 1 e y > 0, Obtenemos q1/α(y *; *) = qα(y; * * ), = α(l+1) − 1. (B.23) Una comprobación rápida muestra que cae dentro del rango prescrito, ≤ α, siempre que ≤ 2 − 1/α. Ahora consideramos dos casos particulares de la serie Feller (B.21-22), de particular interés para nosotros, que resultan estar relacionados con toda la función de tipo Wright, M(z; /) con 0 < / < 1, indicado en el apéndice A. Estos los casos corresponden a las siguientes distribuciones extremales Φ1(y) := qα(y), y > 0, 0 < α < 1, (B.24) Φ2(y) := qα(y;α − 2), y > 0, 1 < α ≤ 2, (B.25) para los cuales la serie Feller (B.21-22) se reduce a Φ1(y) = (−1)n−1 yn−1 (nα + 1) sin (n), y > 0, (B.26) Φ2(y) = (−1)n−1 yn−1 (n/α + 1) , y > 0. (B.27) De hecho, recordando la representación en serie de la función general Wright, (A.31), y la definición de la función (A32-33), reconocemos que Φ1(y) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M(y;α), y > 0, (B.28) Φ2(y) = W-1/α,0(−y) = M(y; 1/α), y > 0. (B.29) Nos gustaría señalar que las relaciones anteriores con las funciones de Wright han sido observados también por Engler (1997). Cabe señalar que, mientras que Φ1(y) representa en su totalidad la pdf estable lateral qα(y;), 0 < α < 1, con soporte en R+0, Φ2(y) es la restricción en el eje positivo de qα(y; 2), 1 < α ≤ 2, cuyo soporte es todo R. Puesto que la función M(z; ν) resulta ser normalizado en R+0, véase (A.39-40), también señalamos Φ1(y) dy = 1 ; Φ2(y) dy = 1/α. (B.30) Utilizando los resultados (A.41) y (A.37) podemos evaluar fácilmente el Laplace Transformaciones de Φ1(y) y Φ2(y), respectivamente. Obtenemos L[Φ1(y)] = 1(s) = exp (−sα), 0 < α < 1, (B.31) L[Φ2(y)] = 2(s) = E1/α (−s), 1 < α ≤ 2, (B.32) donde E1/α(·) denota la función Mittag-Leffler del orden 1/α, véase (A.23). Es un ejercicio instructivo para derivar los comportamientos asintóticos de Φ1(y) y Φ2(y) como y → 0+ e y → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Usando las expresiones (B.28-29) en términos de la función M y recordando la serie y las representaciones asintóticas de esta función, ver (A.33) y (A.36), obtenemos Φ1(y) = y-(2°)/[2°)] e-c1 y */(1} , as y → 0+, *(1 − α) y1 [1 + O (y)], as y → â €, (B.33) Φ2(y) = (1 − 1/α) [1 + O (y)], as y → 0+, y(2)/[2(1)] e−c2 y α/(1) , as y → (B.34) donde c1, c2 son constantes positivas dependiendo de α. Tomamos nota de que la decaimiento exponencial se encuentra para Φ1(y) como y → 0+ pero como y → • para Φ2(y). Expresiones explícitas para pdf estable se pueden derivar de aquellos para la función M(z; v) cuando v = 1/2 y v = 1/3, que figura en el apéndice A, véase (A.34- 35). Por supuesto, la ν = 1/2 expresión se puede utilizar para recuperar el pozo- distribución gaussiana conocida (simétrica) q2(y; 0) contabilizada (B.29), y la distribución (unilateral) de Lévy q1/2(y;−1/2), véase (B.19), (B.28). La expresión / = 1/3 prevé, contabilizando (B.28), q1/3(y;−1/3) = 3−1/3 y−4/3 Ai (3y)−1/3 y-3/2 K1/3 (B.35) donde Ai denota la función Airy y K1/3 la función Bessel modificada de el segundo tipo de orden 1/3. La equivalencia entre las dos expresiones en (B.35) se puede probar en vista de la relación, véase Abramowitz & Stegun (1965-1972) [(10.4.14)], Ai (z) = . (B.36) El caso α = 1/3 también ha sido discutido por Zolotarev (1983-1986), quien ha citado la expresión correspondiente del pdf en términos de K1/3. Una representación general de todas las distribuciones estables (incluyendo las distribuciones extremas antes consideradas) en términos de funciones especiales recientemente conseguido por Schneider (1986). En su notable (pero casi ignorado) artículo, Schneider ha establecido que todo el estable las distribuciones se pueden caracterizar en términos de una clase general de funciones, las llamadas funciones de Fox H, llamado así por Charles Fox (1961). Para más detalles sobre las funciones de Fox H, véase, por ejemplo. los libros Mathai & Saxena (1978), Srivastava & Al. (1982) y el más reciente trabajo de Kilbas y Saigo (1999). Estas funciones se expresan en términos de integrales especiales en el complejo-plano, las integrales Mellin-Barnes4. 4Los nombres se refieren a los dos autores, que en la primera década de 1910 desarrollaron la teoría de estas integrales que las utilizan para una integración completa del diferencial hipergeométrico ecuación. Sin embargo, como se señala en el Manual del Proyecto Bateman sobre Funciones Trascendentales, véase Erdelyi (1953), estas integrales fueron utilizadas por primera vez por S. Pincherle en 1888. Para un análisis revisado de la labor pionera de Pincherle (1853-1936, profesor) de Matemáticas en la Universidad de Bolonia de 1880 a 1928) nos referimos al artículo por Mainardi y Pagnini (2003). Bibliografía [1] Abramowitz, M. y Stegun, I.A. (Editores) : Manual de Matemáticas Funciones, Dover, Nueva York 1965. [reimpresión, 1972] [2] Baillie, R.T. y King, M.L. (Editores) : Diferencias fraccionales y Long Memory Processes, Journal of Econometrics, 73 1-324 (1996). 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Fabrication of half metallicity in a ferromagnetic metal

Fabricación de media metalicidad en metal ferromagnético Kalobaran Maiti* Departamento de Física de Materia Condensada y Ciencia de Materiales, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Homi Bhabha Road, Colaba, Mumbai - 400 005, INDIA (Fecha: 15 de agosto de 2021) Investigamos el crecimiento de la mitad de la fase metálica en un material ferromagnético utilizando el estado de la técnica total potencial linealizado método de onda plana aumentada. Para abordar el problema, hemos sustituido a Ti en los sitios Ru-sites en SrRuO3, donde SrRuO3 es un material ferromagnético. Se establecen los resultados calculados Los estados de valencia Ti4+ (similar a SrTiO3), que fue predicho experimentalmente. Por lo tanto, la sustitución de Ti diluye la conectividad Ru-O-Ru, que se manifiesta en los resultados calculados en forma de estrechamiento significativo de la banda que conduce a una brecha finita entre las bandas t2g y eg. Con una sustitución del 75%, a gran brecha (> 2eV) aparece en el nivel de Fermi, F en la densidad de giro hacia arriba de los estados, mientras que el giro hacia abajo los estados contribuyen a â € ¢F caracterizando el sistema de una ferromagnet semimetálica. El espacio t2g − eg puede se adaptan juiciosamente afinando las concentraciones de Ti para minimizar los efectos térmicos, que a menudo es el gran cuello de botella para lograr una alta polarización de giro a temperaturas elevadas en otros materiales. Esto estudio, por lo tanto, proporciona una forma novedosa pero simple de fabricar la semimetalicidad en materiales ferromagnéticos, que son candidatos potenciales para la tecnología basada en giros. Números PACS: 85.70.Ay, 75.30.-m, 71.70.Ch, 71.15.Ap La búsqueda de medios materiales ferromagnéticos metálicos tiene ha visto un crecimiento explosivo en los últimos tiempos debido a su aplicaciones tecnológicas potenciales. En estos materiales, la densidad electrónica de los estados (DOS) a nivel de Fermi, F corresponde a un solo tipo de giro, mientras que el otro densidad de rotación de los estados muestran una brecha de energía en F. Por lo tanto, en la condición polarizada, conducción electrónica fuertemente depende del giro de los portadores de carga; el material es aislante para un tipo de giro y metálico para el otro. Esta propiedad única los hace candidatos ideales para el desarrollo de la electrónica basada en giros. Varios estudios teóricos predijeron la mitad de metalicidad en Heusler aleaciones [1], perovskites dobles [2], manganatos [3], CrO2 [4], nanoribbones de grafeno [5], etc. Sin embargo, experimen- estudios sobre muy pocos materiales como los manganatos [3] y CrO2 [4], etc. exhiben la mitad de metalicidad a baja temperatura. Atures. Las fluctuaciones térmicas a menudo conducen a una reducción de polarización de giro a temperaturas elevadas [6] lo que la hace difícil para aplicaciones tecnológicas. En este estudio, investigamos la evolución de los elec- densidad trónica de los estados en SrRu1−xTixO3 como función de x. SrRuO3 es un metal ferromagnético con la peratura de 165 K. La polarización de la vuelta en negativo en estado de suelo ferromagnético [7, 8]. SrTiO3, Por otro lado, es un aislador de banda. Varios experi- estudios mentales [9, 10] sugieren el estado de valencia de Ti (4+) en las composiciones intermedias (similares a SrTiO3), que corresponde a la configuración electrónica 3d0. Por lo tanto, en ad- sión al efecto del trastorno, la sustitución de Ti lleva a un dilu- de la conectividad Ru-O-Ru. Mediciones de transporte en SrRu1−xTixO3 exhiben una gama de nuevas fases tran- Situaciones que implican trastorno inducido por metal correlacionado, An- Aisladores derson, aisladores correlacionados y aisladores de bandas [11] para diferentes valores de x. Usando cálculos ab initio, encontramos que Ti substitu- sión en Ru-sites en el ferromagnético SrRuO3 conduce a la mitad FIG. 1: (color online) Estructura cristalina de SrRu0.25Ti0.75O3. Con el fin de obtener la estructura de SrRuTiO3, se sustituyó Ti2 por Ru, y todos los sitios de Ti y Ru se hacen equivalentes. metalicidad. Aquí, reducción de la conectividad Ru-O-Ru debido a La sustitución de ti lleva a una reducción significativa de Ru 4d banda y por lo tanto, la banda de spin up se mueve por debajo de F. In- terestingly, la brecha de energía entre las bandas t2g y eg puede estar sintonizado por la concentración de Ti. 75% de muestra sustituida presenta una brecha de hasta 2 eV. Realización experimental de este método en diferentes sistemas proporcionaría un nuevo dirección en la búsqueda de HMFs para la tecnología basada en spin- La densidad electrónica de los estados de SrRu1−xTixO3 para x = 0,0, 0,5, 0,75 y 1,0 se calcularon utilizando de-el-art completo potencial linealizado ondas planas aumentadas método (FLAPW) dentro de la densidad de giro local mations (LSDA) utilizando el software WIEN2K [12]. El cristal estructura de SrTiO3 es cúbica con la constante de celosía, a = 3.905 Å. SrRuO3 posee cerca de la estructura cúbica con distorsión ortornómbica pequeña. Esto se manifiesta claramente por la densidad similar de los estados (DOS) de SrRuO3 en real estructura vis-a-vis en la estructura cúbica equivalente [7]. La sustitución de Ti en SrRuO3 lleva el sistema hacia cu- http://arxiv.org/abs/0704.0321v1 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ /0 12 34 5 6 7 8 9 : ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪@A BCDE ^_« ab cd efg lmn op qr stu ~ z } ~ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. § a FIG. 2: (color en línea) (a) TDOS, (b) Ti 3d PDOS, (c) Ru 4d PDOS, d) O 2p PDOS y e) Sr 4d PDOS de SrRu1−xTixO3. Líneas sólidas delgadas y gruesas representan DOS correspondientes a x = 0,5 y 0,75, respectivamente. estructura bic. Por lo tanto, hemos considerado la estructura cúbica para todos los cálculos de este estudio. Una unidad de celda típica para SrRu0.25Ti0.75O3 se muestra en la Fig. 1. Hay 8 para... unidades de mula en la celda de la unidad construida duplicando el constante de celosía de SrTiO3. Con el fin de preservar cúbica simetría, tres tipos de Ti se consideran ocupando esquinas (Ti1), centros de borde (Ti2) y ciones (Ti3). La posición centrada en el cuerpo está ocupada por Ru. Hay tres oxígenos no equivalentes; formas O1 la octaedra alrededor de Ti1-sitios, O2 forma la octaedra alrededor de Ru-sites y el resto de las posiciones de oxígeno son ocupado por O3. Así, la conectividad entre Ru-sites se produce a través de enlaces Ru-O2. Los radios de muffin-tin (RMT ) para Sr, Ru, Ti y O se fijaron en 1,16 Å 0,95 Å 0,95 Å y 0,74 Å, respectivamente. La convergencia para los diferentes calcu- las laciones se lograron teniendo en cuenta 512 k puntos dentro de la Primera zona de Brillouin. La barra de error para la energía conver- gence se estableció en < 0,25 meV por unidad de fórmula. En cada En el caso de autos, la convergencia de las cargas fue inferior a la 10 a 3 carga electrónica. In Fig. 2, Mostramos el total de DOS calculado para SrRu1−xTixO3 (x = 0,5 y 0,75) y el DOS parcial obtenido proyectando los estados propios en el Ti 3d, Ru 4d, O 2p y Sr 4d estados. La cifra muestra 5 características claramente separables. La región de la energía -1,5 eV a -5 eV es contribuido principalmente por O 2p DOS parcial con contribuciones insignificantes de otros estados electrónicos. Por lo tanto, estas contribuciones se caracterizan debido a la estados de O 2p sin vinculación. Sr 4d parcial DOS mostrado en Fig. 2 e) aparecen por encima de 5 eV. El pico parece cambiar. hacia una energía más alta con el aumento de x. Esto puede ser · 1o » 1⁄4 1⁄23⁄4 ¿ À Á Ã Ã * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * í - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 89:;< FIG. 3: (color en línea) (a) TDOS, (b) Ti 3d y Ru 4d PDOS, c) O 2p PDOS y d) Sr 4d PDOS de SrTiO3 y SrRuO3. La línea Dashed representa el Sr 4d PDOS redistribuido por 20 veces. entendida comparando lo mismo en los miembros finales, SrTiO3 y SrRuO3 como se demostró en la Fig. 3. Sr 4d estados aparecen en energías mucho más altas en SrTiO3 com- a eso en SrRuO3. Una razón para tan grande el cambio puede estar relacionado con el cambio del nivel de Fermi a la parte superior de la banda O 2p en SrTiO3. Sin embargo, el cambio de la banda Sr 4d en las composiciones intermedias, donde el nivel de Fermi se fija por la ocupación de la Ru 4d banda, indica que el potencial de Madelung en Sr-sites aumenta con el aumento de las concentraciones de Ti. Ti 3d DOS parcial aparece 2 eV por encima del nivel de Fermi. Esto demuestra claramente que la ocupación de Ti 3d estados es esencialmente cero y por lo tanto corresponden a Ti4+ valencia. Tales estados de valencia fueron predichos en la radiografía espectros de fotoemisión [9]. Este estudio proporciona evidencia de este efecto teóricamente dentro de la Ticle se acerca a sí mismo. El ancho de la banda Ti 3d t2g es significativamente pequeño en x = 0,5 muestra (+ 0,65 eV), que aumenta a 1,5 eV en x = 0,75 muestra y 2,5 eV en x = 1,0 (véase la Fig. 3). Ru 4d parcial DOS exhibe tres regiones. El estrecho e intensa característica entre el rango de energía -1.6 a 0.5 eV corresponden a los estados electrónicos que tienen t2g sym- metría. Los estados electrónicos por encima de 1,8 eV parecen debidos a los estados de Ru 4d que tienen simetría por ejemplo. En particular, la O 2p estados también contribuyen en las tres regiones energéticas. Por lo tanto, DOS que aparece a continuación -5 eV se puede atribuir a los estados de unión Ru 4d - O 2p que tienen un O 2p grande y la región de energía por encima de -1.5 eV son la Estados anti-bonos que tienen principalmente carácter Ru 4d. Lo más interesante es que ambos compuestos presentan propiedades metálicas. Estado del suelo. Sin embargo, el ancho de banda t2g, W reduce significativamente con el aumento en x. Mientras que W está cerca de 2.6 eV en SrRuO3, es de aproximadamente 1,7 eV para x = 0,5 y 0,54 eV para x = 0,75. Tal reducción en W es comprensible. como substitución de ti conduce a una reducción significativa en la fuerza de interacción de salto debido a la reducción grado de conectividad Ru-O-Ru. Esto es claramente evidente. en Fig. 1; si se asume la distribución homogénea de Ru y los átomos de Ti en el sólido, todos los RuO6 octaedra son separado por TiO6 octaedra a x = 0,5. A x = 0,75, el número de conectividad Ru-[O-Ti-O]-Ru se reduce a la mitad de eso en x = 0,5. Posteriormente, U/W (U = local) La fuerza de las interacciones Coulomb) aumentará significativamente y, presumiblemente, desempeñar un papel en las propiedades de transporte en estas composiciones [11]. Con el fin de entender la vinculación de Ru 4d electrónica estados con varios estados O 2p, comparamos el Ru 4d t2g y por ejemplo bandas con las bandas de 2p correspondientes a O1, O2 y O3 para x = 0,75 y 0,5 muestra en la Fig. 4 a) y 4 b), respectivamente. Todos los oxígenos son equivalentes en la x = 0,5 Muestra. La distribución de energía de O2 2p DOS parcial es casi idéntico en la Fig. 4 a) a la observada en Ru 4d DOS parcial. Esto se espera ya que la octaedra RuO6 es formados únicamente por átomos de O2. El ancho de la banda O2 2p es significativamente mayor que la de O1 y O3. El más interesante observación es que las bandas t2g y eg son separado por una diferencia de energía distinta. Esta brecha ya es visible en Ru 4d DOS parcial de x = 0,5 muestra en la Fig. 4(b) y está ausente en SrRuO3 como se muestra en la Fig. 3 y en la literatura también [7, 13]. Calculamos la división de campo de cristal de la Ru 4d banda midiendo la separación del centro de gravedad de las bandas Ru 4d t2g y eg como se muestra en la Fig. 4 por cerrado círculos en ambas composiciones. Es evidente que el cristal la división del campo, • sigue siendo casi la misma (­ > 2.1 eV) en tanto las composiciones y está muy cerca de 2 eV encontrado en SrRuO3. Por lo tanto, la gran brecha de energía entre el t2g y por ejemplo las bandas aparecen puramente debido al estrechamiento de la banda. Tal efecto tiene una fuerte implicación en la fase magnética como se describe a continuación. Ya está bien establecido que el suelo magnético estado puede ser descrito exactamente por esta estructura de banda cálculos [7, 14, 15, 16]. Por lo tanto, hemos calculado el energía del estado del suelo para la disposición ferromagnética de momentos de los constituyentes utilizando ap- Proximaciones. Curiosamente, la energía propia para el fer- estado del suelo magnético en x = 0,5 muestra es 5,67 meV/fu menor que la energía eigen más baja para el no magnético solución. Esto es superior a 1,2 meV/fu observado en SrRuO3 en estructura real y significativamente más pequeño que 30,4 meV/fu observado en la estructura cúbica equivalente de SrRuO3. Esta diferencia de energía entre el Las soluciones no magnéticas y magnéticas aumentan a 33.95 meV/fu en x = 0,75. Todos estos resultados sugieren que el la estabilidad del estado del suelo ferromagnético aumenta con la disminución en el grado de deslocalización de la carga CD EF GH I J K L M TU VW XY Z [ \ ] ^ bcd ef gh ij kl mn op qrs tu vwxyz 23 ́ · 1o 1⁄4 1⁄23⁄4 FIG. 4: (color en línea) Ru 4d parcial DOS con t2g y por ejemplo la simetría se compara con el DOS parcial de O 2p en (a) SrRu0.25Ti0.75O3 y (b) SrRu0.5Ti0.5O3. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * î ï ð ñ ò ó ô õ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. «()* +,-. 23 4567 [\]^_ `abc ghij kl mnop qr st - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Energía (eV) a- ® FIG. 5: (color en línea) Arriba y abajo densidad de giro de declarado correspondiente a a (a) Ru 4d en SrRu0.5Ti0.5O3, (b) O 2p en SrRu0.5Ti0.5O3, (c) Ru 4d in SrRu0.25Ti0.75O3, y (d) O 2p en SrRu0.25Ti0.75O3. Esta cifra demuestra que la banda estrechamiento en la banda Ru 4d conduce a una brecha en el canal de giro hacia arriba conduce a la mitad de metalicidad. electrones de valencia. El momento magnético de giro centrado en Ru-sites es se encontró que era de aproximadamente 0,6 μB en x = 0,5 muestra. Inter- momento magnético en la electrónica intersticial los estados son significativamente grandes (± 0,36 μB). El momento en los sitios de O es de aproximadamente 0,05 μB. Los sitios Ti también ex- hibir un momento muy pequeño (-0,03 μB). Por lo tanto, el total momento magnético del sólido se convierte en 1,24 μB por Ru- átomo. Esto es muy similar a lo observado (1,2 μB) en SrRuO3. Los momentos magnéticos aumentan significativamente con el aumento en x. Los momentos en Ru sitio se convierte 0,88 μB en x = 0,75 muestra. Los momentos de la intersti- Los estados tial y 2p en los sitios de O2 también aumentan a 0,66 μB y 0,066 μB, respectivamente. Por lo tanto, el momento total resulta ser de 1,99 μB, que está muy cerca de la vuelta solo valor de 2 μB correspondiente a Ru 4t 2g electrónica configuración. Es para notar aquí que aunque el local momento de los estados 4d altamente extendidos es significativamente menor que el valor spin sólo en comparación con el caso en óxidos metálicos de transición 3d [15], el momento Ru 4d induce un gran grado de polarización en el intersticial y O 2p electrones. Estos resultados sugieren evidentemente la aplicabilidad de Stoner descripción para capturar las propiedades magnéticas de estos sistemas. Con el fin de investigar la división de intercambio y el carácter de densidad de los estados en las proximidades de F, tramamos el DOS de giro resuelto correspondiente a Ru 4d y O 2p DOS parcial en la Fig. 5. En la muestra x = 0.5, ambos el arriba y los estados de giro hacia abajo contribuyen en â € ¢F y el intercambio la división se encuentra alrededor de 0.47 eV. Esto es otra vez muy similar al caso de SrRuO3 [7]. La división del intercambio aumenta a 0,65 eV en x = 0,75 muestra como se muestra en el Figura. Curiosamente, la banda de spin se mueve significativamente. por debajo de la letra F) y las contribuciones en la letra F) sólo se adeudan a los estados de giro hacia abajo que indican un behav semimetálico- ior. No se ha observado ninguna contribución de los estados ascendentes de giro en la densidad total de los estados (no se muestra aquí). Considerando la escasez de materiales semimetálicos para diversas tecnologías aplicaciones nológicas, logrando la mitad de metalicidad en el El SrRuO3 ferromagnético de Ti-sustitución es notable. Se cree que la mitad de la metalicidad se puede lograr a través de la hibridación fuerte d − d en aleaciones Heusler involv- ing dos elementos metálicos de transición en el compuesto [17]. En los óxidos metálicos de transición, a menudo dopaje de gran cantidad de electrones u agujeros conduce a un cambio del nivel de Fermi hacia la brecha energética de un canal de giro que conduce a media metalicidad [3]. La principal dificultad para utilizar estos sistemas en aplicaciones tecnológicas es la pérdida de la mitad metalicidad a temperaturas elevadas, donde la temperatura ex- las citas conduce a una mezcla significativa de varios spin chan- nels debido a un pequeño desfase energético en F [6]. En el presente caso, mecanismo para lograr la mitad de metalicidad es simple y fácilmente alcanzable experimentalmente. El más importante aspecto es que la brecha de energía entre las bandas t2g y eg se puede adaptar juiciosamente afinando la composición a minimizar los efectos térmicos. En resumen, investigamos la posibilidad de fabricar... ing media metalicidad por la sustitución de Ti en los sitios de Ru-sites en un material ferromagnético, SrRuO3. El cálculo de la re- sults utilizando el método FLAPW dentro de la densidad de giro local las aproximaciones revelan tetravalencia de Ti en todos los com- posiciones consistentes con las predicciones experimentales. La banda Ru 4d exhibe un estrechamiento significativo con el aumento de la sustitución de Ti; la división del campo de cristal re- mains casi lo mismo a lo largo de toda la serie. Por lo tanto, una brecha energética se desarrolla entre las bandas t2g y eg, que crece gradualmente con el aumento de x. Conse- Quently, la densidad de giro hacia arriba de los estados exhiben una energía brecha en el nivel de Fermi, mientras que los estados de giro hacia abajo todavía contribuir a la mitad de metalicidad. Lo más interesante es que... el espacio t2g − eg se puede diseñar afinando x y por lo tanto efectos de mezcla de spin debido a excitaciones térmicas pueden ser min- imizado. Así pues, este estudio ofrece una forma novedosa pero sencilla fabricar media metalicidad en materiales ferromagnéticos, que son candidatos potenciales para la tecnología basada en Ogy. La realización experimental de este método ayudaría tanto químicos como físicos para cultivar nuevos materiales. Además, este estudio demuestra que el gle enfoques de partículas proporcionan una descripción notable de las propiedades electrónicas de estos sistemas, que son predicho experimentalmente. * Correo electrónico: kbmaiti@tifr.res.in [1] R.A. de Groot, F.M. Mueller, P.G. van Engen, y K.H.J. Buschow, Phys. Rev. Lett. 50, 2024-2027 (1983), [2] K.-I. Kobayashi, T. Kimura, H. Sawada, K. Terakura, e Y. Tokura, Nature 395, 677-680 (1998). [3] J.H. Park et al., Nature 392, 794-796 (1998). [4] R.S. Keizer, S.T.B. Goennenwein, T.M. Klapwijk, G. Miao, G. Xiao, y A. Gupta, Nature 439, 825-827 (2006). [5] Y.-W. Hijo, M.L. Cohen, y S.G. Louie, Nature 444, 347-349 (2006). [6] M. Ležaić, Ph. Mavropoulos, J. Enkovaara, G. Bihlmayer, y S. Blügel, Phys. Rev. Lett. 97, 026404 (2006). [7] K. Maiti, Phys. Rev. B 73, 235110 (2006). [8] D.C. Worledge y T.H. Geballe, Phys. Rev. Lett. 85, 5182 (2000). [9] J. Kim, J.-Y. Kim, B.-G. Park, y S.-J. Oh, Phys. Rev. B 73, 235109 (2006). [10] S. Ray, D.D. Sarma, y R. Vijayaraghavan, Phys. Rev. B 73, 165105 (2006). [11] K.W. Kim, J.S. Lee, T.W. Noh, S.R. Lee, y K. Char, Phys. Rev. B 71, 125104 (2005). [12] P. Blaha, K. Schwarz, G.K.H. Madsen, D. Kvasnicka, y J. 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Investigamos el crecimiento de la mitad de la fase metálica en un material ferromagnético utilizando el método de onda plana aumentada linealizada de potencial completo de última generación. Para abordar el problema, hemos sustituido a Ti en los sitios Ru-sites en SrRuO3, donde SrRuO3 es un material ferromagnético. Los resultados calculados establecen la valencia Ti4+ estados (similar a SrTiO3), que fue predicho experimentalmente. Por lo tanto, Ti sustitución diluye la conectividad Ru-O-Ru, que se manifiesta en el resultados calculados en forma de estrechamiento significativo de banda que conduce a finitos brecha entre las bandas t2g y eg. Con una sustitución del 75%, aparece una gran brecha (> 2 eV) en el nivel de Fermi, e_F en la densidad de giro hacia arriba de los estados, mientras que el giro hacia abajo los estados contribuyen a e_F caracterizando el sistema medio-metálico Ferromagnet. La brecha t2g - eg se puede adaptar juiciosamente afinando Ti concentraciones para minimizar los efectos térmicos, que a menudo es el principal cuello de botella lograr una alta polarización de giro a temperaturas elevadas en otros materiales. Este estudio, por lo tanto, proporciona una manera novedosa pero simple de fabricar la semimetalurgia en materiales ferromagnéticos, que son candidatos potenciales a utilizar tecnología.

Fabricación de media metalicidad en metal ferromagnético Kalobaran Maiti* Departamento de Física de Materia Condensada y Ciencia de Materiales, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Homi Bhabha Road, Colaba, Mumbai - 400 005, INDIA (Fecha: 15 de agosto de 2021) Investigamos el crecimiento de la mitad de la fase metálica en un material ferromagnético utilizando el estado de la técnica total potencial linealizado método de onda plana aumentada. Para abordar el problema, hemos sustituido a Ti en los sitios Ru-sites en SrRuO3, donde SrRuO3 es un material ferromagnético. Se establecen los resultados calculados Los estados de valencia Ti4+ (similar a SrTiO3), que fue predicho experimentalmente. Por lo tanto, la sustitución de Ti diluye la conectividad Ru-O-Ru, que se manifiesta en los resultados calculados en forma de estrechamiento significativo de la banda que conduce a una brecha finita entre las bandas t2g y eg. Con una sustitución del 75%, a gran brecha (> 2eV) aparece en el nivel de Fermi, F en la densidad de giro hacia arriba de los estados, mientras que el giro hacia abajo los estados contribuyen a â € ¢F caracterizando el sistema de una ferromagnet semimetálica. El espacio t2g − eg puede se adaptan juiciosamente afinando las concentraciones de Ti para minimizar los efectos térmicos, que a menudo es el gran cuello de botella para lograr una alta polarización de giro a temperaturas elevadas en otros materiales. Esto estudio, por lo tanto, proporciona una forma novedosa pero simple de fabricar la semimetalicidad en materiales ferromagnéticos, que son candidatos potenciales para la tecnología basada en giros. Números PACS: 85.70.Ay, 75.30.-m, 71.70.Ch, 71.15.Ap La búsqueda de medios materiales ferromagnéticos metálicos tiene ha visto un crecimiento explosivo en los últimos tiempos debido a su aplicaciones tecnológicas potenciales. En estos materiales, la densidad electrónica de los estados (DOS) a nivel de Fermi, F corresponde a un solo tipo de giro, mientras que el otro densidad de rotación de los estados muestran una brecha de energía en F. Por lo tanto, en la condición polarizada, conducción electrónica fuertemente depende del giro de los portadores de carga; el material es aislante para un tipo de giro y metálico para el otro. Esta propiedad única los hace candidatos ideales para el desarrollo de la electrónica basada en giros. Varios estudios teóricos predijeron la mitad de metalicidad en Heusler aleaciones [1], perovskites dobles [2], manganatos [3], CrO2 [4], nanoribbones de grafeno [5], etc. Sin embargo, experimen- estudios sobre muy pocos materiales como los manganatos [3] y CrO2 [4], etc. exhiben la mitad de metalicidad a baja temperatura. Atures. Las fluctuaciones térmicas a menudo conducen a una reducción de polarización de giro a temperaturas elevadas [6] lo que la hace difícil para aplicaciones tecnológicas. En este estudio, investigamos la evolución de los elec- densidad trónica de los estados en SrRu1−xTixO3 como función de x. SrRuO3 es un metal ferromagnético con la peratura de 165 K. La polarización de la vuelta en negativo en estado de suelo ferromagnético [7, 8]. SrTiO3, Por otro lado, es un aislador de banda. Varios experi- estudios mentales [9, 10] sugieren el estado de valencia de Ti (4+) en las composiciones intermedias (similares a SrTiO3), que corresponde a la configuración electrónica 3d0. Por lo tanto, en ad- sión al efecto del trastorno, la sustitución de Ti lleva a un dilu- de la conectividad Ru-O-Ru. Mediciones de transporte en SrRu1−xTixO3 exhiben una gama de nuevas fases tran- Situaciones que implican trastorno inducido por metal correlacionado, An- Aisladores derson, aisladores correlacionados y aisladores de bandas [11] para diferentes valores de x. Usando cálculos ab initio, encontramos que Ti substitu- sión en Ru-sites en el ferromagnético SrRuO3 conduce a la mitad FIG. 1: (color online) Estructura cristalina de SrRu0.25Ti0.75O3. Con el fin de obtener la estructura de SrRuTiO3, se sustituyó Ti2 por Ru, y todos los sitios de Ti y Ru se hacen equivalentes. metalicidad. Aquí, reducción de la conectividad Ru-O-Ru debido a La sustitución de ti lleva a una reducción significativa de Ru 4d banda y por lo tanto, la banda de spin up se mueve por debajo de F. In- terestingly, la brecha de energía entre las bandas t2g y eg puede estar sintonizado por la concentración de Ti. 75% de muestra sustituida presenta una brecha de hasta 2 eV. Realización experimental de este método en diferentes sistemas proporcionaría un nuevo dirección en la búsqueda de HMFs para la tecnología basada en spin- La densidad electrónica de los estados de SrRu1−xTixO3 para x = 0,0, 0,5, 0,75 y 1,0 se calcularon utilizando de-el-art completo potencial linealizado ondas planas aumentadas método (FLAPW) dentro de la densidad de giro local mations (LSDA) utilizando el software WIEN2K [12]. El cristal estructura de SrTiO3 es cúbica con la constante de celosía, a = 3.905 Å. SrRuO3 posee cerca de la estructura cúbica con distorsión ortornómbica pequeña. Esto se manifiesta claramente por la densidad similar de los estados (DOS) de SrRuO3 en real estructura vis-a-vis en la estructura cúbica equivalente [7]. La sustitución de Ti en SrRuO3 lleva el sistema hacia cu- http://arxiv.org/abs/0704.0321v1 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ /0 12 34 5 6 7 8 9 : ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪@A BCDE ^_« ab cd efg lmn op qr stu ~ z } ~ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. § a FIG. 2: (color en línea) (a) TDOS, (b) Ti 3d PDOS, (c) Ru 4d PDOS, d) O 2p PDOS y e) Sr 4d PDOS de SrRu1−xTixO3. Líneas sólidas delgadas y gruesas representan DOS correspondientes a x = 0,5 y 0,75, respectivamente. estructura bic. Por lo tanto, hemos considerado la estructura cúbica para todos los cálculos de este estudio. Una unidad de celda típica para SrRu0.25Ti0.75O3 se muestra en la Fig. 1. Hay 8 para... unidades de mula en la celda de la unidad construida duplicando el constante de celosía de SrTiO3. Con el fin de preservar cúbica simetría, tres tipos de Ti se consideran ocupando esquinas (Ti1), centros de borde (Ti2) y ciones (Ti3). La posición centrada en el cuerpo está ocupada por Ru. Hay tres oxígenos no equivalentes; formas O1 la octaedra alrededor de Ti1-sitios, O2 forma la octaedra alrededor de Ru-sites y el resto de las posiciones de oxígeno son ocupado por O3. Así, la conectividad entre Ru-sites se produce a través de enlaces Ru-O2. Los radios de muffin-tin (RMT ) para Sr, Ru, Ti y O se fijaron en 1,16 Å 0,95 Å 0,95 Å y 0,74 Å, respectivamente. La convergencia para los diferentes calcu- las laciones se lograron teniendo en cuenta 512 k puntos dentro de la Primera zona de Brillouin. La barra de error para la energía conver- gence se estableció en < 0,25 meV por unidad de fórmula. En cada En el caso de autos, la convergencia de las cargas fue inferior a la 10 a 3 carga electrónica. In Fig. 2, Mostramos el total de DOS calculado para SrRu1−xTixO3 (x = 0,5 y 0,75) y el DOS parcial obtenido proyectando los estados propios en el Ti 3d, Ru 4d, O 2p y Sr 4d estados. La cifra muestra 5 características claramente separables. La región de la energía -1,5 eV a -5 eV es contribuido principalmente por O 2p DOS parcial con contribuciones insignificantes de otros estados electrónicos. Por lo tanto, estas contribuciones se caracterizan debido a la estados de O 2p sin vinculación. Sr 4d parcial DOS mostrado en Fig. 2 e) aparecen por encima de 5 eV. El pico parece cambiar. hacia una energía más alta con el aumento de x. Esto puede ser · 1o » 1⁄4 1⁄23⁄4 ¿ À Á Ã Ã * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * í - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 89:;< FIG. 3: (color en línea) (a) TDOS, (b) Ti 3d y Ru 4d PDOS, c) O 2p PDOS y d) Sr 4d PDOS de SrTiO3 y SrRuO3. La línea Dashed representa el Sr 4d PDOS redistribuido por 20 veces. entendida comparando lo mismo en los miembros finales, SrTiO3 y SrRuO3 como se demostró en la Fig. 3. Sr 4d estados aparecen en energías mucho más altas en SrTiO3 com- a eso en SrRuO3. Una razón para tan grande el cambio puede estar relacionado con el cambio del nivel de Fermi a la parte superior de la banda O 2p en SrTiO3. Sin embargo, el cambio de la banda Sr 4d en las composiciones intermedias, donde el nivel de Fermi se fija por la ocupación de la Ru 4d banda, indica que el potencial de Madelung en Sr-sites aumenta con el aumento de las concentraciones de Ti. Ti 3d DOS parcial aparece 2 eV por encima del nivel de Fermi. Esto demuestra claramente que la ocupación de Ti 3d estados es esencialmente cero y por lo tanto corresponden a Ti4+ valencia. Tales estados de valencia fueron predichos en la radiografía espectros de fotoemisión [9]. Este estudio proporciona evidencia de este efecto teóricamente dentro de la Ticle se acerca a sí mismo. El ancho de la banda Ti 3d t2g es significativamente pequeño en x = 0,5 muestra (+ 0,65 eV), que aumenta a 1,5 eV en x = 0,75 muestra y 2,5 eV en x = 1,0 (véase la Fig. 3). Ru 4d parcial DOS exhibe tres regiones. El estrecho e intensa característica entre el rango de energía -1.6 a 0.5 eV corresponden a los estados electrónicos que tienen t2g sym- metría. Los estados electrónicos por encima de 1,8 eV parecen debidos a los estados de Ru 4d que tienen simetría por ejemplo. En particular, la O 2p estados también contribuyen en las tres regiones energéticas. Por lo tanto, DOS que aparece a continuación -5 eV se puede atribuir a los estados de unión Ru 4d - O 2p que tienen un O 2p grande y la región de energía por encima de -1.5 eV son la Estados anti-bonos que tienen principalmente carácter Ru 4d. Lo más interesante es que ambos compuestos presentan propiedades metálicas. Estado del suelo. Sin embargo, el ancho de banda t2g, W reduce significativamente con el aumento en x. Mientras que W está cerca de 2.6 eV en SrRuO3, es de aproximadamente 1,7 eV para x = 0,5 y 0,54 eV para x = 0,75. Tal reducción en W es comprensible. como substitución de ti conduce a una reducción significativa en la fuerza de interacción de salto debido a la reducción grado de conectividad Ru-O-Ru. Esto es claramente evidente. en Fig. 1; si se asume la distribución homogénea de Ru y los átomos de Ti en el sólido, todos los RuO6 octaedra son separado por TiO6 octaedra a x = 0,5. A x = 0,75, el número de conectividad Ru-[O-Ti-O]-Ru se reduce a la mitad de eso en x = 0,5. Posteriormente, U/W (U = local) La fuerza de las interacciones Coulomb) aumentará significativamente y, presumiblemente, desempeñar un papel en las propiedades de transporte en estas composiciones [11]. Con el fin de entender la vinculación de Ru 4d electrónica estados con varios estados O 2p, comparamos el Ru 4d t2g y por ejemplo bandas con las bandas de 2p correspondientes a O1, O2 y O3 para x = 0,75 y 0,5 muestra en la Fig. 4 a) y 4 b), respectivamente. Todos los oxígenos son equivalentes en la x = 0,5 Muestra. La distribución de energía de O2 2p DOS parcial es casi idéntico en la Fig. 4 a) a la observada en Ru 4d DOS parcial. Esto se espera ya que la octaedra RuO6 es formados únicamente por átomos de O2. El ancho de la banda O2 2p es significativamente mayor que la de O1 y O3. El más interesante observación es que las bandas t2g y eg son separado por una diferencia de energía distinta. Esta brecha ya es visible en Ru 4d DOS parcial de x = 0,5 muestra en la Fig. 4(b) y está ausente en SrRuO3 como se muestra en la Fig. 3 y en la literatura también [7, 13]. Calculamos la división de campo de cristal de la Ru 4d banda midiendo la separación del centro de gravedad de las bandas Ru 4d t2g y eg como se muestra en la Fig. 4 por cerrado círculos en ambas composiciones. Es evidente que el cristal la división del campo, • sigue siendo casi la misma (­ > 2.1 eV) en tanto las composiciones y está muy cerca de 2 eV encontrado en SrRuO3. Por lo tanto, la gran brecha de energía entre el t2g y por ejemplo las bandas aparecen puramente debido al estrechamiento de la banda. Tal efecto tiene una fuerte implicación en la fase magnética como se describe a continuación. Ya está bien establecido que el suelo magnético estado puede ser descrito exactamente por esta estructura de banda cálculos [7, 14, 15, 16]. Por lo tanto, hemos calculado el energía del estado del suelo para la disposición ferromagnética de momentos de los constituyentes utilizando ap- Proximaciones. Curiosamente, la energía propia para el fer- estado del suelo magnético en x = 0,5 muestra es 5,67 meV/fu menor que la energía eigen más baja para el no magnético solución. Esto es superior a 1,2 meV/fu observado en SrRuO3 en estructura real y significativamente más pequeño que 30,4 meV/fu observado en la estructura cúbica equivalente de SrRuO3. Esta diferencia de energía entre el Las soluciones no magnéticas y magnéticas aumentan a 33.95 meV/fu en x = 0,75. Todos estos resultados sugieren que el la estabilidad del estado del suelo ferromagnético aumenta con la disminución en el grado de deslocalización de la carga CD EF GH I J K L M TU VW XY Z [ \ ] ^ bcd ef gh ij kl mn op qrs tu vwxyz 23 ́ · 1o 1⁄4 1⁄23⁄4 FIG. 4: (color en línea) Ru 4d parcial DOS con t2g y por ejemplo la simetría se compara con el DOS parcial de O 2p en (a) SrRu0.25Ti0.75O3 y (b) SrRu0.5Ti0.5O3. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * î ï ð ñ ò ó ô õ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. «()* +,-. 23 4567 [\]^_ `abc ghij kl mnop qr st - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Energía (eV) a- ® FIG. 5: (color en línea) Arriba y abajo densidad de giro de declarado correspondiente a a (a) Ru 4d en SrRu0.5Ti0.5O3, (b) O 2p en SrRu0.5Ti0.5O3, (c) Ru 4d in SrRu0.25Ti0.75O3, y (d) O 2p en SrRu0.25Ti0.75O3. Esta cifra demuestra que la banda estrechamiento en la banda Ru 4d conduce a una brecha en el canal de giro hacia arriba conduce a la mitad de metalicidad. electrones de valencia. El momento magnético de giro centrado en Ru-sites es se encontró que era de aproximadamente 0,6 μB en x = 0,5 muestra. Inter- momento magnético en la electrónica intersticial los estados son significativamente grandes (± 0,36 μB). El momento en los sitios de O es de aproximadamente 0,05 μB. Los sitios Ti también ex- hibir un momento muy pequeño (-0,03 μB). Por lo tanto, el total momento magnético del sólido se convierte en 1,24 μB por Ru- átomo. Esto es muy similar a lo observado (1,2 μB) en SrRuO3. Los momentos magnéticos aumentan significativamente con el aumento en x. Los momentos en Ru sitio se convierte 0,88 μB en x = 0,75 muestra. Los momentos de la intersti- Los estados tial y 2p en los sitios de O2 también aumentan a 0,66 μB y 0,066 μB, respectivamente. Por lo tanto, el momento total resulta ser de 1,99 μB, que está muy cerca de la vuelta solo valor de 2 μB correspondiente a Ru 4t 2g electrónica configuración. Es para notar aquí que aunque el local momento de los estados 4d altamente extendidos es significativamente menor que el valor spin sólo en comparación con el caso en óxidos metálicos de transición 3d [15], el momento Ru 4d induce un gran grado de polarización en el intersticial y O 2p electrones. Estos resultados sugieren evidentemente la aplicabilidad de Stoner descripción para capturar las propiedades magnéticas de estos sistemas. Con el fin de investigar la división de intercambio y el carácter de densidad de los estados en las proximidades de F, tramamos el DOS de giro resuelto correspondiente a Ru 4d y O 2p DOS parcial en la Fig. 5. En la muestra x = 0.5, ambos el arriba y los estados de giro hacia abajo contribuyen en â € ¢F y el intercambio la división se encuentra alrededor de 0.47 eV. Esto es otra vez muy similar al caso de SrRuO3 [7]. La división del intercambio aumenta a 0,65 eV en x = 0,75 muestra como se muestra en el Figura. Curiosamente, la banda de spin se mueve significativamente. por debajo de la letra F) y las contribuciones en la letra F) sólo se adeudan a los estados de giro hacia abajo que indican un behav semimetálico- ior. No se ha observado ninguna contribución de los estados ascendentes de giro en la densidad total de los estados (no se muestra aquí). Considerando la escasez de materiales semimetálicos para diversas tecnologías aplicaciones nológicas, logrando la mitad de metalicidad en el El SrRuO3 ferromagnético de Ti-sustitución es notable. Se cree que la mitad de la metalicidad se puede lograr a través de la hibridación fuerte d − d en aleaciones Heusler involv- ing dos elementos metálicos de transición en el compuesto [17]. En los óxidos metálicos de transición, a menudo dopaje de gran cantidad de electrones u agujeros conduce a un cambio del nivel de Fermi hacia la brecha energética de un canal de giro que conduce a media metalicidad [3]. La principal dificultad para utilizar estos sistemas en aplicaciones tecnológicas es la pérdida de la mitad metalicidad a temperaturas elevadas, donde la temperatura ex- las citas conduce a una mezcla significativa de varios spin chan- nels debido a un pequeño desfase energético en F [6]. En el presente caso, mecanismo para lograr la mitad de metalicidad es simple y fácilmente alcanzable experimentalmente. El más importante aspecto es que la brecha de energía entre las bandas t2g y eg se puede adaptar juiciosamente afinando la composición a minimizar los efectos térmicos. En resumen, investigamos la posibilidad de fabricar... ing media metalicidad por la sustitución de Ti en los sitios de Ru-sites en un material ferromagnético, SrRuO3. El cálculo de la re- sults utilizando el método FLAPW dentro de la densidad de giro local las aproximaciones revelan tetravalencia de Ti en todos los com- posiciones consistentes con las predicciones experimentales. La banda Ru 4d exhibe un estrechamiento significativo con el aumento de la sustitución de Ti; la división del campo de cristal re- mains casi lo mismo a lo largo de toda la serie. Por lo tanto, una brecha energética se desarrolla entre las bandas t2g y eg, que crece gradualmente con el aumento de x. Conse- Quently, la densidad de giro hacia arriba de los estados exhiben una energía brecha en el nivel de Fermi, mientras que los estados de giro hacia abajo todavía contribuir a la mitad de metalicidad. Lo más interesante es que... el espacio t2g − eg se puede diseñar afinando x y por lo tanto efectos de mezcla de spin debido a excitaciones térmicas pueden ser min- imizado. Así pues, este estudio ofrece una forma novedosa pero sencilla fabricar media metalicidad en materiales ferromagnéticos, que son candidatos potenciales para la tecnología basada en Ogy. La realización experimental de este método ayudaría tanto químicos como físicos para cultivar nuevos materiales. Además, este estudio demuestra que el gle enfoques de partículas proporcionan una descripción notable de las propiedades electrónicas de estos sistemas, que son predicho experimentalmente. * Correo electrónico: kbmaiti@tifr.res.in [1] R.A. de Groot, F.M. Mueller, P.G. van Engen, y K.H.J. Buschow, Phys. Rev. Lett. 50, 2024-2027 (1983), [2] K.-I. Kobayashi, T. Kimura, H. Sawada, K. Terakura, e Y. Tokura, Nature 395, 677-680 (1998). [3] J.H. Park et al., Nature 392, 794-796 (1998). [4] R.S. Keizer, S.T.B. Goennenwein, T.M. Klapwijk, G. Miao, G. Xiao, y A. Gupta, Nature 439, 825-827 (2006). [5] Y.-W. Hijo, M.L. Cohen, y S.G. Louie, Nature 444, 347-349 (2006). [6] M. Ležaić, Ph. Mavropoulos, J. Enkovaara, G. Bihlmayer, y S. Blügel, Phys. Rev. Lett. 97, 026404 (2006). [7] K. Maiti, Phys. Rev. B 73, 235110 (2006). [8] D.C. Worledge y T.H. Geballe, Phys. Rev. Lett. 85, 5182 (2000). [9] J. Kim, J.-Y. Kim, B.-G. Park, y S.-J. Oh, Phys. Rev. B 73, 235109 (2006). [10] S. Ray, D.D. Sarma, y R. Vijayaraghavan, Phys. Rev. B 73, 165105 (2006). [11] K.W. Kim, J.S. Lee, T.W. Noh, S.R. Lee, y K. Char, Phys. Rev. B 71, 125104 (2005). [12] P. Blaha, K. Schwarz, G.K.H. Madsen, D. Kvasnicka, y J. Luitz, WIEN2k, Una Ola de Avión Aumentada + Lo- Cal Programa Orbitales para Calcular Propiedades de Cristal (Karlheinz Schwarz, Techn. Universität Wien (Austria), 2001. ISBN 3-950131-1-2. [13] D.J. Singh, J. Appl. Phys. 79, 4818-4820 (1996). [14] N. Hamada, H. Sawada, I. Solovyev, y K. Terakura, Physica B 237-238, 11-13 (1997). [15] D.D. Sarma, N. Shanthi, S.R. Barman, N. Hamada, H. Sawada, y K. Terakura, Phys. Rev. Lett. 75, 1126 (1995). [16] K. Maiti, Phys. Rev. B 73, 115119 (2006). [17] I. Galanakis, P.H. Dederichs, y N. Papanikolaou, Phys. Rev. B 66, 134428 (2002); ibíd, 66, 174429 (2002).

Emergence of spatiotemporal chaos driven by far-field breakup of spiral waves in the plankton ecological systems

Surgimiento del caos espaciotemporal impulsado por la ruptura de las ondas espirales en el campo lejano sistemas ecológicos plancton Quan-Xing Liu,1 Gui-Quan Sun,1 Bai-Lian Li,2 y Zhen Jin1,* Departamento de Matemáticas, Universidad del Norte de China, Taiyuan, Shan’xi 030051, República Popular China Laboratorio de Complejidad Ecológica y Modelado, Departamento de Botánica y Ciencias Vegetales, Universidad de California, Riverside, CA 92521-0124, EE.UU. (Fecha: 25 de octubre de 2018) Alexander B. Medvinsky et al [A. B. Medvinsky, I. A. Tikhonova, R. R. Aliev, B.-L. Li, Z.-S. Lin, y H. Malchow, Phys. Rev. E 64, 021915 (2001)] y Marcus R. Garvie et al [M. R. Garvie y C. Trenchea, SIAM J. Control. Optim. 46, 775-791 (2007)] mostró que la extensión espacial mínima modelo de reacción-difusión de fitoplancton-zooplancton puede exhibir tanto regular, comportamiento caótico, y patrones espaciotemporales en un ambiente irregular. Basado en eso, el modelo de plancton espacial se investiga además por medio de simulaciones informáticas y análisis teórico en el presente el papel cuando se esperan sus parámetros en el caso de la región de bifurcación de Turing-Hopf mixta. Nuestros resultados muestran que las ondas espirales existen en esa región y el caos espaciotemporal emerge, que surgen de la ruptura de campo lejano de las ondas espirales sobre grandes rangos de coeficientes de difusión de fitoplancton y zooplancton. Por otra parte, el caos espaciotemporal que surge del campo lejano La ruptura de las ondas espirales no implica gradualmente todo el espacio dentro de esa región. Nuestros resultados se confirman mediante espectros de cálculo y bifurcación no lineal de trenes de onda. Por último, Damos algunas explicaciones sobre los patrones geoespacialmente estructurados desde el nivel de la comunidad. Números PACS: 87.23.Cc, 82.40.Ck, 82.40.Bj, 92.20.jm Palabras Clave: Ondas espirales; Patrón espacio-temporal; Dinámica del plancton; Sistema de difusión de reacciones I. INTRODUCCIÓN Hay un creciente interés en el patrón espacial dy- namics de sistemas ecológicos [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Sin embargo, muchos mecanismos del espacio variabilidad temporal de las poblaciones de plancton natural aún no se conoce. Patrones físicos anunciados como... moclines, upwelling, frentes y remolinos a menudo establecen el marco para el proceso biológico. Mediciones de los subwa- ter campo de luz se hacen con instrumentos de última generación y utilizados para calcular las concentraciones de fitoplancton biomasa (como clorofila), así como otras formas de materia. Muy alta difusión del medio marino evitaría la formación de cualquier parche espacial estable distribución con mucho más tiempo de vida que el típico tiempo de biodinámica. Mientras tanto, además de muy patrones espaciales transitorios cambiantes, también existen otros patrones espaciales en el medio marino, mucho más Estructura espacial estable asociada a frentes oceánicos, spa- caos tiotemporal [10, 11, 14], anillos ciclónicos, y así llamados meddies [15]. De hecho, es significativo crear la base biológica para comprender los patrones espaciales de plancton [16]. Por ejemplo, el impacto del espacio en se demostró la persistencia de sistemas ecológicos enriquecidos en experimentos de laboratorio [17]. Últimamente, ha sido se muestran tanto en experimentos de laboratorio [18] como en teoreti- [14, 19, 20, 21] que la existencia de una estructura espacial tura hace que un sistema predador-presa sea menos propenso a extin- * Autor para correspondencia; Dirección electrónica: jinzhn@263.net tion. Esto se debe a las variaciones temporales de la densidad de diferentes subpoblaciones pueden llegar a ser asíncronas y los acontecimientos de la extinción local pueden ser compensados debido a la recolonización de otros sitios en el espacio [22]. Durante un largo período de tiempo, todas las ondas espirales tienen se ha observado ampliamente en diversos aspectos físicos, químicos, y sistemas biológicos [23, 24, 25, 26]. Sin embargo, un poco... número de documentos [11, 12, 27, 28, 29] el patrón de la ola espiral y su ruptura en el sistemas. La investigación de la transición de las pautas regulares a la dinámica espacialmente caótica en el espacio ex- sistemas no lineales siguen siendo un reto en la ciencia y la ence [14, 23, 30, 31]. En un sistema de ecología no lineal, el dos patrones más comúnmente vistos son ondas espirales y turbulencia (caos espacio-temporal) para el nivel de la comunidad [32]. Últimamente se ha demostrado que esponta- neous espatiatemoporal formación del patrón es un instrínseco propiedad de un sistema predador-presa [11, 14, 33, 34, 35, 36] y las estructuras espaciotemporales desempeñan un papel importante en sistemas ecológicos. Por ejemplo, especi- la extinción de la presa-predador mod- els [11, 12, 37]. Hasta ahora, el plancton patchiness ha sido ob- servido en una amplia gama de escalas temporales espaciales [38, 39]. Existen varias, a menudo heurísticas explicaciones de la fenómeno de patrones espaciales para estos sistemas. Debería se tenga en cuenta que, aunque las pruebas concluyentes de el caos todavía está por ser encontrado, hay un número creciente de indicaciones de caos en los ecosistemas reales [40, 41, 42, 43]. Los modelos recientemente desarrollados muestran que el auto-espacial la estructuración en sistemas multiespecies puede satisfacer teria y proporcionar un sustrato rico para el nivel comunitario http://arxiv.org/abs/0704.0322v3 mailto:jinzhn@263.net y una importante transición en la evolución. En la actualidad papel, el escenario en el plancton espacialmente extendido sistema ecológico se observa por medio de los numeri- Simulación de cal. Se ha demostrado que el sistema presentar regular o caótica, dependiendo de la con- las dimensiones y los valores del parámetro [10, 29]. Nos encontramos con que la ruptura de campo lejano de la ola espiral conduce a complejos espaciotemporal caos (o un estado turbulento) en el spa- modelo de plancton alargado (1). Nuestros resultados muestran que el patrón de onda espiral regular se mueve en espaciotempo- patrón de caos ral mediante la modulación de los coeficientes de difusión de la especie. II. MODELO En este trabajo estudiamos el nutriente espacialmente extendido. fitoplancton-zooplancton-fish reacción-difusión sys- Tem. Siguiendo el enfoque mínimo de Scheffer [44], que fue formulado originalmente como un sistema de dif- Ecuación esencial (ODE) y modelos desarrollados posteriormente [10, 11, 29, 45, 46], como una investigación adicional, estudiamos un modelo de fitoplancton y zooplancton de dos variantes en el nivel de la comunidad para describir la formación de patrones con la difusión. El modelo adimensional está escrito = rp(1 − p)− 1 + bp h+ dp® 2p, (1a) 1 + bp h−mh− f n2 + h2 + dh 2h, (1b) donde los parámetros son r, a, b, m, n, dp, dh, y f que se refieren al trabajo en Refs. [10, 11]. La explanada... el modelo (1) se refiere a los nutrientes-fitoplancton- sistema ecológico zooplancton-pescado [véase Refs. [10, 29, 44] para más detalles]. Las dinámicas locales son dadas por g1(p, h) = rp(1− p)− 1 + bp h, (2a) g2(p, h) = 1 + bp h−mh− f n2 + h2 . (2 b) De los resultados anteriores [45] sobre el sistema no espacial del modelo (1) mediante el análisis numérico de la bifurcación mostrar que la bifurcación y la bistabilidad se pueden encontrar en el sistema (1) cuando los parámetros se varían dentro de un Rango realista. Para los parámetros fijos (ver el título de Fig. 1 y 2), podemos ver que la f controla el dis- de la bifurcación de Hopf. Para mayor f, existe Sólo un estado estable. Como f se reduce aún más, el estado estacionario homogéneo se somete a un nodo de silla de montar bifurcación (SN), es decir, fSN = 0,658. En este caso, una estable y un estado estacionario inestable se convierten en existencia. Por otra parte, la bistabilidad surgirá cuando el parame- ter f se encuentra el intervalo fSN > f > fc = 0,445 (este valor es más que el inicio de Hopf, fH = 0,3397). Hay tres. estados estacionarios: con estas cinéticas A y C son linealmente estable mientras que B es inestable. Fuera de este intervalo, el sys- tem (1) tiene un equilibrio no trivial único. Reciente semental... ios [11, 29] demostraron que los sistemas (1) pueden desarrollarse bien las ondas espirales en el régimen de oscilación, pero donde el los autores sólo consideran el caso especial, es decir, dp = dh. A pocas cuestiones importantes aún no han sido abordadas adecuadamente como el patrón espacial si dp 6= dh. A este respecto, informamos del resultado de la aparición del espacio aéreo. caos poral debido a la ruptura en el sistema bajo el dh 6 = caso dp. Ahora podemos usar la f y la difusión relación, ν = dh/dp, como parámetros de control para evaluar la región para la ola espiral. Inestabilidad de las turberas en reacción-difusión puede ser refundido en términos de matriz sta- bilidad [47, 48]. Tales con la ayuda del software de Maple asistencia álgebra computación, obtenemos los parámetros espacio f, v) diagramas de bifurcación de las ondas espirales como mostrando Fig. 2, en el que dos líneas se trazan, Hopf línea (sólido) y líneas de Turing (puntos) respectivamente. En el dominio I, situado sobre las tres líneas de bifurcación, el homo- los estados estacionarios genéticos es la única solución estable de la sistema. Dominio II son regiones de oscila homogéneas ciones en espacios bidimensionales [49]. En el dominio III, ambos Se producen inestabilidades Hopf y Turing (es decir, turing mixtos). Los modos Hopf surgen), en el que el sistema generalmente pro- produce las ondas de fase. Nuestros resultados muestran que el sistema tiene una ola espiral en estas regiones. Uno puede ver que un Hopf bifurcación puede ocurrir en la constante cuando el parámetro f pasa a través de un valor crítico fH mientras que la difusión coeficientes dp = dh = 0 y la bifurcación periódica así- Las luciones están estables. De nuestro análisis (ver Fig. 2), uno también podría ver que la difusión puede inducir el tipo de Turing inestabilidad para la homogeneidad espacial estable periódica soluciones y el modelo espacialmente extendido (1) exhibir Patrones de caos espacio-temporal. Estos patrones espaciales la formación surgen de la interacción entre Hopf y Tur- y sus subarmónicas cerca de la codimensión. Dos puntos de bifucación Hopf-Turing. Especial, es interés... que la ola espiral y la ola itinerante aparecerán cuando los parámetros corresponden a la bifurca de Turing-Hopf- región III en el modelo espacialmente ampliado (1), es decir, la inestabilidad de Turing y la bifurcación de Hopf ocurren simultáneamente Taneamente. III. RESULTADOS NUMERICOS La simulación se realiza en una bidimensional (2D) Sistema de coordenadas cartesianas con un tamaño de rejilla de 600×600. El cuarto método de integración Runger-Kutta es se aplica con un paso de tiempo ­t = 0,005 unidad de tiempo y un paso de espacio x = y = 0,20 longitud unidad. Resultados permanecer igual cuando las ecuaciones de reacción-difusión se resolvieron numéricamente en una y dos dimensiones espaciales: iones utilizando una aproximación de diferencia finita para el spa- Derivados tiales y un método explícito de Euler para el tiempo integración. Neumann (flujo cero) condiciones de frontera FIG. 1: El mapa del boceto para la bistabilidad y la bi- Hopf furcación en el sistema (2) con r = 5,0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6 y n = 0,4. La curva negra es la g1(p, h). Los curvas de color son g2(p, h) con diferentes valores de f. curva: f = 0,3; el azul: f = 0,445; el verde: f = 0,5; y el cian: f = 0,658. 5 10 15 Inestabilidad de las turberas FIG. 2: El mapa del espacio de parámetros (f, v) bifurcación diagramas para el sistema espacialmente extendido (1) con r = 5.0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6, dp = 0,05 y n = 0,4. fueron empleados en nuestra simulación. Los términos de difusión en Eqs. (1a) y (1b) describen a menudo la mezcla espacial de especies debido a la auto-moción del organismo. El typi- coeficiente de difusión cal de patrones de plancton dp se trata de 0,05, basado en los parámetros estimatie de Refs [50, 51] uso de la relación entre la difusión turbulenta y la escala del espacio en el mar. En el semental anterior... e [10, 11, 29, 45, 46], los autores aportaron un valor conocimiento del papel del patrón espacial para el sistema (1) si dp = dh. Desde el significado biológico, la difusión los coeficientes deben satisfacer dh ≥ dp. Sin embargo, en la naturaleza aguas es la difusión turbulenta que se supone que domi- mezcla de plancton nate [52], cuando se permite dh < dp. Los otra razón para elegir tal parámetro es que está bien- nuevos patrones conocidos, como los patrones de Turing, pueden emerger en sistemas de reacción-difusión en los que hay un la diferencia entre los coeficientes de difusión dp y dh [23, 53]. Por lo tanto, establecemos \ = dh/dp, e investigamos si un La onda espiral se dividiría en espacio temporal complejo caos cuando la relación de difusión fue variada. A lo largo Este papel, fijamos dp = 0.05 y dh es un parámetro de control. En el siguiente, vamos a mostrar que la dinámica behav- ior de la onda espiral cambia cualitativamente como el control parámetro dh aumenta de cero, es decir, la difusión ra- rio aumenta de cero, a más de uno. Para grandes El Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. completamente estable en todas partes, y llena el espacio cuando el se seleccionan los parámetros adecuados, como se muestra en la Fig. 3 A). Fig- ure 3(A) muestra una serie de instantáneas de un onda espiral única formada espontáneamente para la variable p en el sistema (1). La espiral se inicia en una cuadrícula de 600×600 por el protocolo transversal (la distribución inicial elegida) en forma de perturbación “constant-gradient” asignada del estado estacionario de coexistencia) y el límite cero con- se emplean para simulaciones en las dos dimensiones Sions. De Fig. 3(A) podemos ver que el bien desarrollado Las ondas espirales se forman primero por la evolución. Adentro el dominio, nuevas ondas emergen, pero son evolucionados por el Ola espiral que crece desde el centro. La ola espiral puede crecer constantemente y finalmente prevalecer sobre todo el do- principal (una película que ilustra la evolución dinámica de este caso [54] [parcialmente película−1, película−2, y película−3 para dh = 0,2]). Fig. 3(B) muestra que la onda espiral primer rompimiento lejos del centro central e incluso... los fragmentos espirales relativamente grandes están rodeados por un baño ‘turbulento’ permanece. El tamaño de la supervivencia... parte de la espiral no se encoge cuando dh está más lejos disminuir hasta que finalmente dh es igual a 0, que es diferente del fenómeno que se observa anteriormente en los dos espacio dimensional Belousov-Zhabotinsky y FitzHugn- Sistema oscilatorio Nagumo [30, 31, 55, 56, 57], en el que la ruptura invadió gradualmente la región estable cerca de la centro central, y finalmente la ola espiral se rompió en el Mediana entera. Figura 3(C) son las secuencias de tiempo (ar- bitrary units) de las variables p y h en un arbitrario punto espacial dentro de la región de la onda espiral, de la que podemos ver que las ondas espirales son causadas por el ac- ceptado como “ondas de fase” con ity, velocidad de fase y oscilación sinusoidal en lugar de la oscilación relajante con gran amplitud. Esto Escenario de ruptura es similar a la ruptura de la rotación ondas espirales observadas en la simulación numérica en chemi- sistemas cal [30, 31, 55, 56, 57], y experimentos en BZ sistemas [58, 59], que muestra la ruptura de la onda espiral en estos sistemas estaba relacionado con la inestabilidad de Eckhaus y más importante, la inestabilidad absoluta. Las trayectorias correspondientes del núcleo espiral y el brazo espiral (lejos del centro del núcleo) en y = 300 se muestran en la Fig. 4, respectivamente. De Fig. 4, podemos ver que el núcleo espiral no está completamente fijo, pero oscil- con una gran amplitud. Sin embargo, a medida que disminuye dh a un valor crítico, una modulación inestable se desarrolla en 200 220 240 260 280 300 (D) t (arb. unidades) FIG. 3: ondas espirales bien desarrolladas y algunas propiedades de Ellos. Las cifras muestran simulaciones del sistema (1) con r = 5, a = 5, b = 5, m = 0,6, n = 0,4, dp = 0,05, y f = 0,3. (A) Las ondas espirales bien desarrolladas se muestran en las subsecuentes instantánea en el tiempo, dh = 0,2. (B) Desintegración de la espiral en el campo lejano ondas mostradas en la instantánea posterior en el tiempo, dh = 0,002. Las zonas blancas (negras) corresponden al máximo (mínimo) valores de p [Formato de película adicional disponible en Ref. [54]]. (C) Oscilaciones de la variable p y h en un espacio arbitrario punto dentro de la región de ondas espirales regulares para ambos escenarios. Cada figura se ejecuta el largo tiempo hasta que los patrones espaciales son sin cambios. regiones alejadas del núcleo espiral (cf. la Columna media de la Fig. 4). Estas oscilaciones eventu- Ally crece lo suficientemente grande como para hacer que el brazo espiral esté lejos desde el núcleo hasta la ruptura en espiral múltiple compleja las olas, mientras que la región central se mantiene estable (el corre- sponding película se puede ver en el en línea supplemen- tal en Ref. [54] [parcialmente película−1 y película−2, y para dh = 0,02]). Las figuras 3(B) y 4(B) muestran la dinámica Comportamiento para dh = 0.02, es decir, v = 0.4. El tra- jectories lejos del núcleo son ahora lo mismo que el región del caos espacial (cf. la columna central de la Fig. 4). Se muestra que una disminución en la difusión que provoca oscilaciones de la población en aumento amplitud (cf. la columna izquierda de la Fig. 4). En el la tradición explican que el valor mínimo de la población- disminución de la densidad de la población y la extinción de la población más probable debido a la perturbación ambiental estocástica- ciones. Sin embargo, a partir de la evolución espacial del sistema (1) (véase la Fig. 3), las variaciones temporales de la densidad de diferentes subpoblaciones pueden convertirse en asíncronas y los acontecimientos de la extinción local pueden ser compensados debido a recolonización (o difusión) de otros sitios. FIG. 4: Las trayectorias correspondientes (de izquierda a derecha) para los emplazamientos (300, 300), (250, 300) y (50, 300), respectivamente. Los parámetros en (A) y (B) fueron los mismos que en Fig. 3 A) y B), respectivamente. Además, es bien sabido que los argumentos básicos en el análisis de estabilidad espiral se puede llevar a cabo mediante la reducción el sistema a un espacio dimensional [30, 31, 55, 56, 57]. Aquí mostramos algunas propiedades esenciales de la espiral ruptura resultante de la simulación numérica. En el siguiente sección vamos a dar el cálculo teórico por utilizando los espectros de valor propio. En este modelo, vale la pena no dejar de lado la oscilación de la dy- namics en el núcleo, como se muestra en la Fig. 4 debido al sistema exhibiendo trenes espaciales de onda periódica cuando el modelo se simula en el espacio unidimensional. Se produce una ruptura primero lejos del núcleo (la fuente de las olas). Los la onda espiral se rompe hacia el núcleo hasta que llega a algunos distancia constante y luego la parte superviviente de la spi- La onda ral se mantiene estable. Estas longitudes de onda mínimas estables se llaman ♥min. Así que la familia de un parámetro puede ser descrita por una curva de dispersión (dh) (véase la Fig. 5). Los longitud de onda mínima estable min de la onda espiral son se muestra en la Fig. 5 procedentes de la simulación en dos di- espacio mensional. Los resultados de la Fig. 5 puede ser interpretado como sigue: las longitudes de onda mínimas estables disminuyen con respeto a la disminución de dh, pero finalmente permanecer en un valor constante relativo, que es que la espiral estable las ondas siempre existen para una región más grande valores de dh. Las parcelas espacio-tiempo en diferentes momentos se muestran en la Fig. 6 para dos dh diferentes, es decir, diferentes /, que muestran el evolución del tiempo de la onda espiral a lo largo de la sección transversal en las imágenes bidimensionales de la Fig. 3 A) y B). As se muestra en la Fig. 6(A) y (B) para dh = 0,2 y dh = 0,02 respectivamente, las ondas lejos de la pantalla del núcleo Perturbación modulada inestable debido a la convectiva in- estabilidad [30, 31, 55, 56, 57], pero esta perturbación es poco a poco se advirtió a los lados izquierdo y derecho, y finalmente desaparece. La inestabilidad se manifiesta para producir el tren de olas rompe varias olas del campo lejano, como se muestra en las Figs. 6 B). FIG. 5: La dependencia de la longitud de onda min en el parámetro dh para el sistema (1) con r = 5,0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6, dp = 0,05, y n = 0,4. Note la escala de registro para dh. IV. SPECTRA Y NO LINEAR BIFURCACIÓN DE LA OLA ESPIRAL En esta sección, nos concentramos en la estabilidad lineal- ity análisis de la onda espiral mediante el uso del espectro el- ory [56, 60, 61, 62, 63]. De los resultados en Refs. [56, 62] sabemos que el espectro absoluto debe ser computado numéricamente para cualquier sistema de reacción-difusión dado. In la práctica, tales cálculos sólo requieren discretización en un espacio unidimensional y comparar con la computación eigenvalores del problema de estabilidad total en un gran do- principal debido a la onda espiral que exhibe ondas itinerantes en el plano (véase Fig. 6 sobre los gráficos espacio-tiempo). Para las ondas espirales en el plano sin límite, lo esencial FIG. 6: Parcelas espacio-tiempo de la variable p para diferentes tiempos y dh. Los parámetros en (A) y (B) son los mismos que en Fig. 3 A) y B), respectivamente. espectro también se requiere para calcular, ya que determinó sólo por los trenes de onda de campo lejano de la espiral. El lin... espectro de estabilidad del oído consiste en valores propios de punto y el espectro esencial que es un espectro continuo para ondas espirales. Por el bien de la simplicidad, los Eqs. (1a) y (1b) por escrito como sigue = dp 2p+ g1(p, h), (3a) = dh............................................................................................ 2h+ g2(p, h). (3b) Suponga que (p*, h*) son una solución y remítase a ellas como espirales estables de Eq. (3) que giran rígidamente con una velocidad angular constante, y que son asintóticamente periódica a lo largo de los rayos en el plano. En un coordi- nate frame, utilizando el método de análisis estandarizado para las ondas espirales [62, 63], el Eq. (3) está dada por = dp ................................................................................................... + g1(p ∗, h*), (4a) = dh............................................................................................ ............................................................................ + g2(p ∗, h*), (4b) donde se designan coordenadas polares, las ondas espirales son Equilibrios relativos, entonces las soluciones de la estatianry p*( y h*(l, l) ambas son funciones 2η-periódicas con = t. En Eqs. (4a) y (4b) el operador(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s). A. Computación de espectros espirales A continuación, computamos la parte principal de su estabilidad lineal- espectro ity para el sistema (4). Considerar el linealizado ecuación de evolución en el marco giratorio, el valor propio problema de Eqs. (4a) y (4b) asociados con el planar Las soluciones espirales p*(l, l) y h*(l, l) están dadas por ................................................................................................... *, h*)p+ gh1 (p *, h*)h = p, (5a) ............................................................................ *, h*)p+ gh2 (p *, h*)h = h, (5b) donde g 1, · · ·, g 2 denotan los derivados de la nonlin- funciones de oído y g 1 p, h) = r(1 − p) − rp − (1+bp)2 , gh1 (p, h) = − 2 p, h) = − abph (1+bp)2 , y gh2 (p, h) = −m− 2fnh n2+h2 + 2fnh (n2+h2)2 . Ignoraremos. valores propios aislados que pertenecen al espectro de puntos, Las inestabilidades causadas por los valores propios puntuales llevan a la media- ondas a la deriva, o a un movimiento inestable de la punta en medios excitables y medios de oscilación [56, 64, 65, 66]. Este fenómeno no se muestra en el presente documento. In- En lugar de eso, nos centramos en el espectro continuo que es re- esponsible para la ruptura de la onda espiral en el campo lejano (ver Fig. 3 b)). Por los resultados en Ref. [62], resulta que el límite del espectro continuo depende únicamente sobre la ecuación limitante para.......................................................................................................................................... Por lo tanto, tenemos que  es el límite del espectro continuo si, y sólo si la ecuación limitante ....................................................................................................... *, h*)p+ gh1 (p ∗, h*)h = p, (6a) ....................................................................................................... *, h*)p+ gh2 (p ∗, h*)h = h, (6b) tener soluciones p(l, l) y h(l, l) para (l, l) R [0, 2η], que están delimitados pero no se deterioran como............................................................................................................................................. Desde ondas espirales son ondas giratorias en el plano, la onda las soluciones de tren tienen la forma como u(t, x, y) = u( para un número de onda adecuado k y fre- temporal quency, donde suponemos que u es 2η-periódico en su argumento de modo que u(­) = u(­) + 2η) para todos u = (p, h)T. Las ondas espirales convergen a los trenes de onda • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • son correspondientes a asintóticamente Arquímedes en el espacio bidimensional. Asumir que k 6= 0 y 6= 0, y en este caso, podemos pasar del marco teórico al marco de comovimiento • = kt (• • R) en el que la ecuación del valor propio (6) se convierte 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 1 (uwt())p+g 1 (uwt())h = p, (7a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + + 2 + + + 2 + + + 2 + + 2 + + + + 2 + + + 2 + + 2 + + 2 + + + + + 2 + + + + + 2 + 2 + + + + + 2 + + + + + 2 + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + p + g 2 (uwt())h = ♥h.(7b) En efecto, cualquier solución no trivial u(­) = (p(­), h(­))) T responder al problema del valor propio de la linealización (7) dar una solución U(l, ·) del problema de valor propio para el mapa del período temporal de (3) en el marco de rotación a través de U(­, ·) = e­tu(k ­t), U(­, T ) = e­Tu(­) 2η). Escribimos las ecuaciones (7) como los sistemas de primer orden = p1, = h1, = k−2d−1p μp− فارسىp1 − g 1/uwt(­))p− g 1 (uwt())h = k−2d−1 μh− فارسىh1 − g 2 (uwt())p− g 2 (uwt())h en la variable radial A continuación, los valores propios espaciales o los exponentes espaciales de Floquet son determinined como las raíces de el Wronskian A(l, k) := 0 0 1 0 0 0 0 1 ( g 1 (uwt())) − gh1 (uwt()) − 2(uwt()) ( gh2 (uwt())) 0 − donde k R. La función U(­, ·) = e­teik­u0(k ­t) satisface la ecuación (3) cuando el espacio y temporal los exponentes ik y  satisfacen la dispersión compleja rela- tion det(A(l, k) − ik) = 0 para l, C. Llamamos al ik en el espectro de A(, k) como valores propios espaciales o espaciales Los exponentes del floquet. La estabilidad del estado de las ondas espirales (p*, h*) en el plano está determinado por el espectro esencial dado por * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ahora, calculamos el espectro continuo con el ecuación (9) que son parametrizados por la onda num- ber k. Para cada uno, hay infinitamente muchos estables y valores propios espaciales inestables. Conspiramos en el complejo plano espectro espacial asociado, véase Fig. 7. Por el ex- la alisación de Sandstede et al [60], uno sabría que si la parte real de los espectros de essentail es positiva, entonces los eigenmodes asociados crecen exponencialmente hacia el límite, es decir, corresponden a una inestabilidad de campo lejano. Tenga en cuenta que encontramos que los espectros essentail no son sensibles a la frecuencia temporal. Re(l) K30 K20 K10 0 Im(l) Re(l) K0,8 K0,6 K0,4 K0,2 0 0,2 Im(l) FIG. 7: Los espectros de essentail de los trenes de onda se obtienen por utilizando los algoritmos descritos en Refs. [60, 61]. El param- eters de (A) y (B) corresponden a los valores utilizados en las simulaciones de la Fig. 3 A) y B). B. Existencia y propiedades de los trenes de onda Supongamos que un sistema de reacción-difusión en el uno- espacio dimensional de tal manera que las variables igual a un solución estacionaria homogénea. Si la homogeneidad El estado estacionario se desestabiliza, luego su linealización accommo- fechas ondas de la forma ei(kxt) para ciertos valores k y - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo general, cerca de la transición a la inestabilidad, pequeño spa- las ondas de viaje regulares surgen para cualquier número de onda cerca de kc, que es el número de onda crítico. Su ola velocidad es aproximadamente igual a Łc , donde está corre- brincando a kc. En este documento, nos centramos exclusivamente en la situación en la que ­c = 0 y kc 6= 0. La bifurcación se conoce como el bifur de Turing. catión, y la bifurcación espacial periódica constante pat- a menudo se les conoce como patrones de Turing. Otro clase de patrones movidos aparecerá cuando las inestabilidades modulada por la bifurcación Hopf-Turing, que es resem- ble unas olas itinerantes. Por otra parte, la característica común de las ondas espirales en el espacio unidimensional mencionado arriba está la presencia de trenes de onda que son espacialmente ondas de desplazamiento periódicas de la forma pwt(kxt; k) y hwt(kx − Łt; k), donde pwt(l; k) y hwt(l; k) son 2η- periódico acerca de Ł. Normalmente, el número de onda espacial k y la frecuencia temporal se relacionan a través de la non- relación de dispersión lineal ­ = ­(k) de modo que la fase velocidad es dada por . (12) Una segunda cantidad relacionada con la dispersión no lineal relación es la velocidad del grupo, cg = , de la ola tren que también desempeñan un papel central en las ondas espirales. La velocidad de grupo cg da la velocidad de propagación de pequeñas perturbaciones localizadas del paquete de ondas de la ola tren [67]. Aquí, sólo nos preocupa la existencia de solución para ondas itinerantes. De hecho, las ondas espirales se mueven a una velocidad constante hacia el exterior desde el núcleo (véase Fig. 6), para que tengan la forma matemática p(x, t) = P (z), y h(x, t) = H(z) donde z = x−cpt. Sustitución de estos la solución se forma en Eq. (3) da las ODEs + g1(P,H) = 0, (13a) + g2(P,H) = 0. (13b) Aquí, investigamos numéricamente la existencia, la velocidad y longitud de onda de los patrones de onda de viaje. Nuestro ap- proach es utilizar el envase de bifurcación Matcont 2.4 [68] para estudiar el patrón de EOD (13). Para hacer esto, la mayoría los parámetros naturales de bifurcación son la velocidad de onda cp y f, pero no dan información sobre la estabilidad de ola itinerante como soluciones de los modelos PDE (3). Nuestro punto de partida es el estado estacionario homogéneo de Eq. (13) en el dominio III de la Fig. 2. La típica bi- Los diagramas de furcación se ilustran en la Fig. 8, que muestra que las constantes ondas de desplazamiento espacialmente peroídicas existen para los valores más grandes de la velocidad cp, pero es inestable para valores pequeños de cp. Los cambios en la estabilidad se producen a través de Bifurcación Hopf, de la cual una rama de órbitas periódicas emanar. Tenga en cuenta que aquí utilizamos los términos “estable” y “inestable” como referencia al sistema ODE (13) más bien que el modelo PDEs. Fig. 8(B) ilustra el máx. longitud de onda estable imun contra el parámetro de bifucación- ter, cp de velocidad, y las pequeñas amplitudes tienen muy largo longitud de onda. Se sabe que cp = , de ahí el tavelling la solución de onda existe cuando la cp 6= 0, es decir, k 6= 0, 6= 0. Utilizando el paquete Matcont 2.4, es posible realizar un seguimiento de cus de los puntos de bifurcación Hopf y el punto límite (doble) bifurcación en un plano de parámetros, y un amplio de esto para el plano cp-f y cp-dh se ilustran en Fig. 9. Las soluciones de ondas itinerantes existen para los valores de cp y f a la izquierda del locus de la bifurcación de Hopf (véase Fig. 9 A)). La misma estructura sobre el plano cp-dh se muestra en la Fig. 9 B). Estos reuslts confirman nuestra previ- análisis ous procedentes del cálculo del álgebra (ver Fig. 2) y los resultados numéricos (véase Fig. 6). V. CONCLUSIONES Y DEBATE Hemos investigado una tabla espacialmente extendida... ton sistema ecológico dentro de un espacio bidimensional y 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Velocidad, c Punto de bifurcación Hopf FIG. 8: Diagramas típicos de bifurcación para el patrón ODE (13). (A) Las ondas itinerantes espacialmente periódicas de sistema (3) es existencia. Los cambios en la estabilidad se producen a través de Bifurcación Hopf, de la que una rama de órbitas periódicas em- Anate. Así aparecen olas de viaje inestables. (B) Maxi- longitud de onda estable a lo largo del parámetro de bifurcacióncp, Es decir, k 6 = 0, • 6 = 0. Los valores de los parámetros en (A) y (B) son: lo mismo que Fig. 3 A). encontró que sus patrones espaciales exhiben ondas espirales dy- Namics y patrones de caos espacial. En especial, el sce- nario de los patrones de caos espaciotemporal que surgen de se observa la ruptura de los campos lejanos. Nuestra investigación se basa en sobre el análisis numérico de una cinemática que imita la dif- fusión en la dinámica de los organismos marinos, acoplado a un dos componentes modelo de plancton en el nivel de la com- CE países, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar. Incrementando (disminuyendo) la relación de difusión de las dos variables, el brazo espiral primero se rompió en una estado de turbulencia como lejos del centro central, pero que no invaden todo el espacio. Del anterior estudios en la reacción de Belousov-Zhabotinsky, sabemos la razón que causa este fenómeno puede ser iluminado teóricamente por el M. Bär y L. Brusch [30, 31], como así como mediante el uso de la teoría del espectro que plantea B. Sandstede, A. Scheel et al [56, 60, 61, 69]. El campo lejano la ruptura se puede verificar en la observación de campo y es útil entender la dinámica poblacional de los ecosistemas oceánicos ical systems. Por ejemplo, en determinadas condiciones la la interacción entre las estructuras del estela (o del océano) y la bio- crecimiento lógico conduce a las flores de plancton dentro de la mesoescala vórtices hidrodinámicos que actúan como incubadoras de producción. De Fig. 3 y las películas correspondientes, vemos que la floración perídica espacial aparece en el fito- las poblaciones de plancton, y los detalles de la evolución espacial de la distribución de la población de fitoplancton dur- ing un ciclo de floración, respectivamente. In Ref. [70], los autores estudian el control óptimo de el modelo (1) del caos espaciotemporal a la espiral ondas por los parámetros para la depredación de peces tratados como un variable de control multiplicativa. El orden espacial emerge en un gama de modelos espaciales de interacciones multiespecies. Un- sorprendentemente, los modelos espaciales de sistemas multiespecies a menudo 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Velocidad, c Locus de puntos de bifurcación Hopf 0,5 1 1,5 2 Velocidad, c Locus de puntos de bifurcación Hopf FIG. 9: Una ilustración de las variaciones en el espacio de parámetros de el patrón ODEs (13). Trazamos el loci de la bifurcación Hopf puntos. (A) f − aviones cp; (B) dh − aviones cp. El parámetro los valores de (A) y (B) son los mismos que los de la Fig. 3 A). manifiesta comportamientos muy diferentes de su campo medio homólogas. Dos características generales importantes del espacio modelos de sistemas multiespecies son que permiten la la posibilidad de una persistencia global a pesar de las extin- ciones y por lo tanto son generalmente más estables que su campo medio y tienen una tendencia a la auto-organizaciÃ3n spa- patrones espaciotemporales regulares o regulares [70, 71]. Los estructuras espaciales producen patrones espaciales no aleatorios como ondas espirales y caos espaciotemporal a escalas mucho más grande que la escala de interacción entre nivel de uals. Estas estructuras no están codificadas explícitamente, pero de la interacción local entre las personas y difusión de cal. Como sabemos, el plancton desempeña un papel importante en el ecosistema marino y el clima, debido a su participación en el ciclo mundial del carbono y el nitrógeno en la base de la cadena alimentaria [72]. De la revisión [73], a El modelo de ecosistema recientemente desarrollado incorpora ent fitoplancton grupos funcionales y sus ciones para la luz y múltiples nutrientes. Simulación de estos modelos en sitios específicos para explorar escenarios futuros sug- que el cambio del medio ambiente mundial, cambio inducido por el calentamiento, alterará el fitoplancton com- estructura comunitaria y, por lo tanto, alterar la biogeoquímica mundial ciclos [74]. El acoplamiento del modelo de ecosistema espacial a El clima mundial plantea de nuevo una serie de cuestiones abiertas sobre la complejidad del modelo y las escalas espaciales pertinentes. Así que el estudio del modelo espacial con gran escala es más impor- en el sistema ecológico. Basado en un simulacro numérico. dad en el modelo espacial, podemos redactar que el océano oceánico sistemas ecológicos muestran ondas espirales permanentes y spa- el caos temporal en gran escala sobre una gama de parame- valores ter dh, lo que indica que se mantiene periódicamente plancton florece en el área local. Al igual que con todas las áreas de biología evolutiva, avances en el desarrollo teórico más rápido que la evidencia empírica. El más potente enfoque empírico es llevar a cabo experimentos en el que el patrón espacial puede medirse directamente, pero esto es una dificultad en el diseño. Sin embargo, podemos... directamente medidos estos fenómenosa por la simulación y comparado con las imágenes del satélite. Por ejemplo, los patrones de caos espaciotemporal concuerdan con el observación de la Fig. 3 in Ref. [73]. Además, algunos imágenes por satélite [http://oceancolor.gsfc.nasa.gov] muestra patrones espirales que representan la fitoplanca- ton [la clorofila] biomasa y, por lo tanto, demostró que patrones de plancton en el océano ocurren en mucho más amplio escalas y, por lo tanto, mecanismos de difusión de ideas deberían Se considerará la posibilidad de adoptar una decisión al respecto. Agradecimientos Este trabajo cuenta con el apoyo de la National Natural Sci- En consecuencia, la Fundación de China en virtud de la subvención No. 10471040 y la Fundación de Ciencias Naturales de la provincia de Shan’xi Grant No. 2006011009. [1] R. E. Amritkar y Govindan Rangarajan. Espacialmente Extinción sincrónica de especies bajo forzamiento externo. Phys. Rev. Lett., 96(25):258102, 2006. [2] Andrzej Pekalski y Michel Droz. Paquetes autoorganizados selección en los ecosistemas depredador-presa. Phys. Rev. E, 73(2):021913, 2006. [3] Y.-Y. H. Sayama, M. A. M. de Aguiar y M. Baranger. 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Alexander B. Medvinsky \emph{et al} [A. B. Medvinsky, I. A. Tikhonova, R. R. Aliev, B.-L. Li, Z.-S. Lin, y H. Malchow, Phys. Rev. E \textbf{64}, 021915 (2001)] y Marcus R. Garvie \emph{et al} [M. R. Garvie y C. Trenchea, SIAM J. Control. Optim. \textbf{46}, 775-791 (2007)] mostró que el mínimo modelo espacialmente extendido de reacción-difusión de fitoplancton-zooplancton can mostrar tanto el comportamiento regular, caótico, y patrones espaciotemporales en un parche medio ambiente. En base a eso, el modelo de plancton espacial es aún más investigados por medio de simulaciones por ordenador y análisis teórico en el en el presente documento cuando se esperan sus parámetros en el caso de Región de bifurcación Turing-Hopf. Nuestros resultados muestran que las ondas espirales existen en esa región y el caos espaciotemporal emergen, que surgen del campo lejano ruptura de las ondas espirales en grandes rangos de coeficientes de difusión de fitoplancton y zooplancton. Por otra parte, el caos espaciotemporal que surge de la ruptura de lejano campo de las ondas espirales no implica gradualmente el conjunto espacio dentro de esa región. Nuestros resultados son confirmados por medio de la computación espectro y bifurcación no lineal de los trenes de onda. Por último, damos algunos explicaciones sobre los patrones geoespacialmente estructurados desde el nivel de la comunidad.

Surgimiento del caos espaciotemporal impulsado por la ruptura de las ondas espirales en el campo lejano sistemas ecológicos plancton Quan-Xing Liu,1 Gui-Quan Sun,1 Bai-Lian Li,2 y Zhen Jin1,* Departamento de Matemáticas, Universidad del Norte de China, Taiyuan, Shan’xi 030051, República Popular China Laboratorio de Complejidad Ecológica y Modelado, Departamento de Botánica y Ciencias Vegetales, Universidad de California, Riverside, CA 92521-0124, EE.UU. (Fecha: 25 de octubre de 2018) Alexander B. Medvinsky et al [A. B. Medvinsky, I. A. Tikhonova, R. R. Aliev, B.-L. Li, Z.-S. Lin, y H. Malchow, Phys. Rev. E 64, 021915 (2001)] y Marcus R. Garvie et al [M. R. Garvie y C. Trenchea, SIAM J. Control. Optim. 46, 775-791 (2007)] mostró que la extensión espacial mínima modelo de reacción-difusión de fitoplancton-zooplancton puede exhibir tanto regular, comportamiento caótico, y patrones espaciotemporales en un ambiente irregular. Basado en eso, el modelo de plancton espacial se investiga además por medio de simulaciones informáticas y análisis teórico en el presente el papel cuando se esperan sus parámetros en el caso de la región de bifurcación de Turing-Hopf mixta. Nuestros resultados muestran que las ondas espirales existen en esa región y el caos espaciotemporal emerge, que surgen de la ruptura de campo lejano de las ondas espirales sobre grandes rangos de coeficientes de difusión de fitoplancton y zooplancton. Por otra parte, el caos espaciotemporal que surge del campo lejano La ruptura de las ondas espirales no implica gradualmente todo el espacio dentro de esa región. Nuestros resultados se confirman mediante espectros de cálculo y bifurcación no lineal de trenes de onda. Por último, Damos algunas explicaciones sobre los patrones geoespacialmente estructurados desde el nivel de la comunidad. Números PACS: 87.23.Cc, 82.40.Ck, 82.40.Bj, 92.20.jm Palabras Clave: Ondas espirales; Patrón espacio-temporal; Dinámica del plancton; Sistema de difusión de reacciones I. INTRODUCCIÓN Hay un creciente interés en el patrón espacial dy- namics de sistemas ecológicos [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Sin embargo, muchos mecanismos del espacio variabilidad temporal de las poblaciones de plancton natural aún no se conoce. Patrones físicos anunciados como... moclines, upwelling, frentes y remolinos a menudo establecen el marco para el proceso biológico. Mediciones de los subwa- ter campo de luz se hacen con instrumentos de última generación y utilizados para calcular las concentraciones de fitoplancton biomasa (como clorofila), así como otras formas de materia. Muy alta difusión del medio marino evitaría la formación de cualquier parche espacial estable distribución con mucho más tiempo de vida que el típico tiempo de biodinámica. Mientras tanto, además de muy patrones espaciales transitorios cambiantes, también existen otros patrones espaciales en el medio marino, mucho más Estructura espacial estable asociada a frentes oceánicos, spa- caos tiotemporal [10, 11, 14], anillos ciclónicos, y así llamados meddies [15]. De hecho, es significativo crear la base biológica para comprender los patrones espaciales de plancton [16]. Por ejemplo, el impacto del espacio en se demostró la persistencia de sistemas ecológicos enriquecidos en experimentos de laboratorio [17]. Últimamente, ha sido se muestran tanto en experimentos de laboratorio [18] como en teoreti- [14, 19, 20, 21] que la existencia de una estructura espacial tura hace que un sistema predador-presa sea menos propenso a extin- * Autor para correspondencia; Dirección electrónica: jinzhn@263.net tion. Esto se debe a las variaciones temporales de la densidad de diferentes subpoblaciones pueden llegar a ser asíncronas y los acontecimientos de la extinción local pueden ser compensados debido a la recolonización de otros sitios en el espacio [22]. Durante un largo período de tiempo, todas las ondas espirales tienen se ha observado ampliamente en diversos aspectos físicos, químicos, y sistemas biológicos [23, 24, 25, 26]. Sin embargo, un poco... número de documentos [11, 12, 27, 28, 29] el patrón de la ola espiral y su ruptura en el sistemas. La investigación de la transición de las pautas regulares a la dinámica espacialmente caótica en el espacio ex- sistemas no lineales siguen siendo un reto en la ciencia y la ence [14, 23, 30, 31]. En un sistema de ecología no lineal, el dos patrones más comúnmente vistos son ondas espirales y turbulencia (caos espacio-temporal) para el nivel de la comunidad [32]. Últimamente se ha demostrado que esponta- neous espatiatemoporal formación del patrón es un instrínseco propiedad de un sistema predador-presa [11, 14, 33, 34, 35, 36] y las estructuras espaciotemporales desempeñan un papel importante en sistemas ecológicos. Por ejemplo, especi- la extinción de la presa-predador mod- els [11, 12, 37]. Hasta ahora, el plancton patchiness ha sido ob- servido en una amplia gama de escalas temporales espaciales [38, 39]. Existen varias, a menudo heurísticas explicaciones de la fenómeno de patrones espaciales para estos sistemas. Debería se tenga en cuenta que, aunque las pruebas concluyentes de el caos todavía está por ser encontrado, hay un número creciente de indicaciones de caos en los ecosistemas reales [40, 41, 42, 43]. Los modelos recientemente desarrollados muestran que el auto-espacial la estructuración en sistemas multiespecies puede satisfacer teria y proporcionar un sustrato rico para el nivel comunitario http://arxiv.org/abs/0704.0322v3 mailto:jinzhn@263.net y una importante transición en la evolución. En la actualidad papel, el escenario en el plancton espacialmente extendido sistema ecológico se observa por medio de los numeri- Simulación de cal. Se ha demostrado que el sistema presentar regular o caótica, dependiendo de la con- las dimensiones y los valores del parámetro [10, 29]. Nos encontramos con que la ruptura de campo lejano de la ola espiral conduce a complejos espaciotemporal caos (o un estado turbulento) en el spa- modelo de plancton alargado (1). Nuestros resultados muestran que el patrón de onda espiral regular se mueve en espaciotempo- patrón de caos ral mediante la modulación de los coeficientes de difusión de la especie. II. MODELO En este trabajo estudiamos el nutriente espacialmente extendido. fitoplancton-zooplancton-fish reacción-difusión sys- Tem. Siguiendo el enfoque mínimo de Scheffer [44], que fue formulado originalmente como un sistema de dif- Ecuación esencial (ODE) y modelos desarrollados posteriormente [10, 11, 29, 45, 46], como una investigación adicional, estudiamos un modelo de fitoplancton y zooplancton de dos variantes en el nivel de la comunidad para describir la formación de patrones con la difusión. El modelo adimensional está escrito = rp(1 − p)− 1 + bp h+ dp® 2p, (1a) 1 + bp h−mh− f n2 + h2 + dh 2h, (1b) donde los parámetros son r, a, b, m, n, dp, dh, y f que se refieren al trabajo en Refs. [10, 11]. La explanada... el modelo (1) se refiere a los nutrientes-fitoplancton- sistema ecológico zooplancton-pescado [véase Refs. [10, 29, 44] para más detalles]. Las dinámicas locales son dadas por g1(p, h) = rp(1− p)− 1 + bp h, (2a) g2(p, h) = 1 + bp h−mh− f n2 + h2 . (2 b) De los resultados anteriores [45] sobre el sistema no espacial del modelo (1) mediante el análisis numérico de la bifurcación mostrar que la bifurcación y la bistabilidad se pueden encontrar en el sistema (1) cuando los parámetros se varían dentro de un Rango realista. Para los parámetros fijos (ver el título de Fig. 1 y 2), podemos ver que la f controla el dis- de la bifurcación de Hopf. Para mayor f, existe Sólo un estado estable. Como f se reduce aún más, el estado estacionario homogéneo se somete a un nodo de silla de montar bifurcación (SN), es decir, fSN = 0,658. En este caso, una estable y un estado estacionario inestable se convierten en existencia. Por otra parte, la bistabilidad surgirá cuando el parame- ter f se encuentra el intervalo fSN > f > fc = 0,445 (este valor es más que el inicio de Hopf, fH = 0,3397). Hay tres. estados estacionarios: con estas cinéticas A y C son linealmente estable mientras que B es inestable. Fuera de este intervalo, el sys- tem (1) tiene un equilibrio no trivial único. Reciente semental... ios [11, 29] demostraron que los sistemas (1) pueden desarrollarse bien las ondas espirales en el régimen de oscilación, pero donde el los autores sólo consideran el caso especial, es decir, dp = dh. A pocas cuestiones importantes aún no han sido abordadas adecuadamente como el patrón espacial si dp 6= dh. A este respecto, informamos del resultado de la aparición del espacio aéreo. caos poral debido a la ruptura en el sistema bajo el dh 6 = caso dp. Ahora podemos usar la f y la difusión relación, ν = dh/dp, como parámetros de control para evaluar la región para la ola espiral. Inestabilidad de las turberas en reacción-difusión puede ser refundido en términos de matriz sta- bilidad [47, 48]. Tales con la ayuda del software de Maple asistencia álgebra computación, obtenemos los parámetros espacio f, v) diagramas de bifurcación de las ondas espirales como mostrando Fig. 2, en el que dos líneas se trazan, Hopf línea (sólido) y líneas de Turing (puntos) respectivamente. En el dominio I, situado sobre las tres líneas de bifurcación, el homo- los estados estacionarios genéticos es la única solución estable de la sistema. Dominio II son regiones de oscila homogéneas ciones en espacios bidimensionales [49]. En el dominio III, ambos Se producen inestabilidades Hopf y Turing (es decir, turing mixtos). Los modos Hopf surgen), en el que el sistema generalmente pro- produce las ondas de fase. Nuestros resultados muestran que el sistema tiene una ola espiral en estas regiones. Uno puede ver que un Hopf bifurcación puede ocurrir en la constante cuando el parámetro f pasa a través de un valor crítico fH mientras que la difusión coeficientes dp = dh = 0 y la bifurcación periódica así- Las luciones están estables. De nuestro análisis (ver Fig. 2), uno también podría ver que la difusión puede inducir el tipo de Turing inestabilidad para la homogeneidad espacial estable periódica soluciones y el modelo espacialmente extendido (1) exhibir Patrones de caos espacio-temporal. Estos patrones espaciales la formación surgen de la interacción entre Hopf y Tur- y sus subarmónicas cerca de la codimensión. Dos puntos de bifucación Hopf-Turing. Especial, es interés... que la ola espiral y la ola itinerante aparecerán cuando los parámetros corresponden a la bifurca de Turing-Hopf- región III en el modelo espacialmente ampliado (1), es decir, la inestabilidad de Turing y la bifurcación de Hopf ocurren simultáneamente Taneamente. III. RESULTADOS NUMERICOS La simulación se realiza en una bidimensional (2D) Sistema de coordenadas cartesianas con un tamaño de rejilla de 600×600. El cuarto método de integración Runger-Kutta es se aplica con un paso de tiempo ­t = 0,005 unidad de tiempo y un paso de espacio x = y = 0,20 longitud unidad. Resultados permanecer igual cuando las ecuaciones de reacción-difusión se resolvieron numéricamente en una y dos dimensiones espaciales: iones utilizando una aproximación de diferencia finita para el spa- Derivados tiales y un método explícito de Euler para el tiempo integración. Neumann (flujo cero) condiciones de frontera FIG. 1: El mapa del boceto para la bistabilidad y la bi- Hopf furcación en el sistema (2) con r = 5,0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6 y n = 0,4. La curva negra es la g1(p, h). Los curvas de color son g2(p, h) con diferentes valores de f. curva: f = 0,3; el azul: f = 0,445; el verde: f = 0,5; y el cian: f = 0,658. 5 10 15 Inestabilidad de las turberas FIG. 2: El mapa del espacio de parámetros (f, v) bifurcación diagramas para el sistema espacialmente extendido (1) con r = 5.0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6, dp = 0,05 y n = 0,4. fueron empleados en nuestra simulación. Los términos de difusión en Eqs. (1a) y (1b) describen a menudo la mezcla espacial de especies debido a la auto-moción del organismo. El typi- coeficiente de difusión cal de patrones de plancton dp se trata de 0,05, basado en los parámetros estimatie de Refs [50, 51] uso de la relación entre la difusión turbulenta y la escala del espacio en el mar. En el semental anterior... e [10, 11, 29, 45, 46], los autores aportaron un valor conocimiento del papel del patrón espacial para el sistema (1) si dp = dh. Desde el significado biológico, la difusión los coeficientes deben satisfacer dh ≥ dp. Sin embargo, en la naturaleza aguas es la difusión turbulenta que se supone que domi- mezcla de plancton nate [52], cuando se permite dh < dp. Los otra razón para elegir tal parámetro es que está bien- nuevos patrones conocidos, como los patrones de Turing, pueden emerger en sistemas de reacción-difusión en los que hay un la diferencia entre los coeficientes de difusión dp y dh [23, 53]. Por lo tanto, establecemos \ = dh/dp, e investigamos si un La onda espiral se dividiría en espacio temporal complejo caos cuando la relación de difusión fue variada. A lo largo Este papel, fijamos dp = 0.05 y dh es un parámetro de control. En el siguiente, vamos a mostrar que la dinámica behav- ior de la onda espiral cambia cualitativamente como el control parámetro dh aumenta de cero, es decir, la difusión ra- rio aumenta de cero, a más de uno. Para grandes El Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. completamente estable en todas partes, y llena el espacio cuando el se seleccionan los parámetros adecuados, como se muestra en la Fig. 3 A). Fig- ure 3(A) muestra una serie de instantáneas de un onda espiral única formada espontáneamente para la variable p en el sistema (1). La espiral se inicia en una cuadrícula de 600×600 por el protocolo transversal (la distribución inicial elegida) en forma de perturbación “constant-gradient” asignada del estado estacionario de coexistencia) y el límite cero con- se emplean para simulaciones en las dos dimensiones Sions. De Fig. 3(A) podemos ver que el bien desarrollado Las ondas espirales se forman primero por la evolución. Adentro el dominio, nuevas ondas emergen, pero son evolucionados por el Ola espiral que crece desde el centro. La ola espiral puede crecer constantemente y finalmente prevalecer sobre todo el do- principal (una película que ilustra la evolución dinámica de este caso [54] [parcialmente película−1, película−2, y película−3 para dh = 0,2]). Fig. 3(B) muestra que la onda espiral primer rompimiento lejos del centro central e incluso... los fragmentos espirales relativamente grandes están rodeados por un baño ‘turbulento’ permanece. El tamaño de la supervivencia... parte de la espiral no se encoge cuando dh está más lejos disminuir hasta que finalmente dh es igual a 0, que es diferente del fenómeno que se observa anteriormente en los dos espacio dimensional Belousov-Zhabotinsky y FitzHugn- Sistema oscilatorio Nagumo [30, 31, 55, 56, 57], en el que la ruptura invadió gradualmente la región estable cerca de la centro central, y finalmente la ola espiral se rompió en el Mediana entera. Figura 3(C) son las secuencias de tiempo (ar- bitrary units) de las variables p y h en un arbitrario punto espacial dentro de la región de la onda espiral, de la que podemos ver que las ondas espirales son causadas por el ac- ceptado como “ondas de fase” con ity, velocidad de fase y oscilación sinusoidal en lugar de la oscilación relajante con gran amplitud. Esto Escenario de ruptura es similar a la ruptura de la rotación ondas espirales observadas en la simulación numérica en chemi- sistemas cal [30, 31, 55, 56, 57], y experimentos en BZ sistemas [58, 59], que muestra la ruptura de la onda espiral en estos sistemas estaba relacionado con la inestabilidad de Eckhaus y más importante, la inestabilidad absoluta. Las trayectorias correspondientes del núcleo espiral y el brazo espiral (lejos del centro del núcleo) en y = 300 se muestran en la Fig. 4, respectivamente. De Fig. 4, podemos ver que el núcleo espiral no está completamente fijo, pero oscil- con una gran amplitud. Sin embargo, a medida que disminuye dh a un valor crítico, una modulación inestable se desarrolla en 200 220 240 260 280 300 (D) t (arb. unidades) FIG. 3: ondas espirales bien desarrolladas y algunas propiedades de Ellos. Las cifras muestran simulaciones del sistema (1) con r = 5, a = 5, b = 5, m = 0,6, n = 0,4, dp = 0,05, y f = 0,3. (A) Las ondas espirales bien desarrolladas se muestran en las subsecuentes instantánea en el tiempo, dh = 0,2. (B) Desintegración de la espiral en el campo lejano ondas mostradas en la instantánea posterior en el tiempo, dh = 0,002. Las zonas blancas (negras) corresponden al máximo (mínimo) valores de p [Formato de película adicional disponible en Ref. [54]]. (C) Oscilaciones de la variable p y h en un espacio arbitrario punto dentro de la región de ondas espirales regulares para ambos escenarios. Cada figura se ejecuta el largo tiempo hasta que los patrones espaciales son sin cambios. regiones alejadas del núcleo espiral (cf. la Columna media de la Fig. 4). Estas oscilaciones eventu- Ally crece lo suficientemente grande como para hacer que el brazo espiral esté lejos desde el núcleo hasta la ruptura en espiral múltiple compleja las olas, mientras que la región central se mantiene estable (el corre- sponding película se puede ver en el en línea supplemen- tal en Ref. [54] [parcialmente película−1 y película−2, y para dh = 0,02]). Las figuras 3(B) y 4(B) muestran la dinámica Comportamiento para dh = 0.02, es decir, v = 0.4. El tra- jectories lejos del núcleo son ahora lo mismo que el región del caos espacial (cf. la columna central de la Fig. 4). Se muestra que una disminución en la difusión que provoca oscilaciones de la población en aumento amplitud (cf. la columna izquierda de la Fig. 4). En el la tradición explican que el valor mínimo de la población- disminución de la densidad de la población y la extinción de la población más probable debido a la perturbación ambiental estocástica- ciones. Sin embargo, a partir de la evolución espacial del sistema (1) (véase la Fig. 3), las variaciones temporales de la densidad de diferentes subpoblaciones pueden convertirse en asíncronas y los acontecimientos de la extinción local pueden ser compensados debido a recolonización (o difusión) de otros sitios. FIG. 4: Las trayectorias correspondientes (de izquierda a derecha) para los emplazamientos (300, 300), (250, 300) y (50, 300), respectivamente. Los parámetros en (A) y (B) fueron los mismos que en Fig. 3 A) y B), respectivamente. Además, es bien sabido que los argumentos básicos en el análisis de estabilidad espiral se puede llevar a cabo mediante la reducción el sistema a un espacio dimensional [30, 31, 55, 56, 57]. Aquí mostramos algunas propiedades esenciales de la espiral ruptura resultante de la simulación numérica. En el siguiente sección vamos a dar el cálculo teórico por utilizando los espectros de valor propio. En este modelo, vale la pena no dejar de lado la oscilación de la dy- namics en el núcleo, como se muestra en la Fig. 4 debido al sistema exhibiendo trenes espaciales de onda periódica cuando el modelo se simula en el espacio unidimensional. Se produce una ruptura primero lejos del núcleo (la fuente de las olas). Los la onda espiral se rompe hacia el núcleo hasta que llega a algunos distancia constante y luego la parte superviviente de la spi- La onda ral se mantiene estable. Estas longitudes de onda mínimas estables se llaman ♥min. Así que la familia de un parámetro puede ser descrita por una curva de dispersión (dh) (véase la Fig. 5). Los longitud de onda mínima estable min de la onda espiral son se muestra en la Fig. 5 procedentes de la simulación en dos di- espacio mensional. Los resultados de la Fig. 5 puede ser interpretado como sigue: las longitudes de onda mínimas estables disminuyen con respeto a la disminución de dh, pero finalmente permanecer en un valor constante relativo, que es que la espiral estable las ondas siempre existen para una región más grande valores de dh. Las parcelas espacio-tiempo en diferentes momentos se muestran en la Fig. 6 para dos dh diferentes, es decir, diferentes /, que muestran el evolución del tiempo de la onda espiral a lo largo de la sección transversal en las imágenes bidimensionales de la Fig. 3 A) y B). As se muestra en la Fig. 6(A) y (B) para dh = 0,2 y dh = 0,02 respectivamente, las ondas lejos de la pantalla del núcleo Perturbación modulada inestable debido a la convectiva in- estabilidad [30, 31, 55, 56, 57], pero esta perturbación es poco a poco se advirtió a los lados izquierdo y derecho, y finalmente desaparece. La inestabilidad se manifiesta para producir el tren de olas rompe varias olas del campo lejano, como se muestra en las Figs. 6 B). FIG. 5: La dependencia de la longitud de onda min en el parámetro dh para el sistema (1) con r = 5,0, a = 5,0, b = 5,0, m = 0,6, dp = 0,05, y n = 0,4. Note la escala de registro para dh. IV. SPECTRA Y NO LINEAR BIFURCACIÓN DE LA OLA ESPIRAL En esta sección, nos concentramos en la estabilidad lineal- ity análisis de la onda espiral mediante el uso del espectro el- ory [56, 60, 61, 62, 63]. De los resultados en Refs. [56, 62] sabemos que el espectro absoluto debe ser computado numéricamente para cualquier sistema de reacción-difusión dado. In la práctica, tales cálculos sólo requieren discretización en un espacio unidimensional y comparar con la computación eigenvalores del problema de estabilidad total en un gran do- principal debido a la onda espiral que exhibe ondas itinerantes en el plano (véase Fig. 6 sobre los gráficos espacio-tiempo). Para las ondas espirales en el plano sin límite, lo esencial FIG. 6: Parcelas espacio-tiempo de la variable p para diferentes tiempos y dh. Los parámetros en (A) y (B) son los mismos que en Fig. 3 A) y B), respectivamente. espectro también se requiere para calcular, ya que determinó sólo por los trenes de onda de campo lejano de la espiral. El lin... espectro de estabilidad del oído consiste en valores propios de punto y el espectro esencial que es un espectro continuo para ondas espirales. Por el bien de la simplicidad, los Eqs. (1a) y (1b) por escrito como sigue = dp 2p+ g1(p, h), (3a) = dh............................................................................................ 2h+ g2(p, h). (3b) Suponga que (p*, h*) son una solución y remítase a ellas como espirales estables de Eq. (3) que giran rígidamente con una velocidad angular constante, y que son asintóticamente periódica a lo largo de los rayos en el plano. En un coordi- nate frame, utilizando el método de análisis estandarizado para las ondas espirales [62, 63], el Eq. (3) está dada por = dp ................................................................................................... + g1(p ∗, h*), (4a) = dh............................................................................................ ............................................................................ + g2(p ∗, h*), (4b) donde se designan coordenadas polares, las ondas espirales son Equilibrios relativos, entonces las soluciones de la estatianry p*( y h*(l, l) ambas son funciones 2η-periódicas con = t. En Eqs. (4a) y (4b) el operador(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s). A. Computación de espectros espirales A continuación, computamos la parte principal de su estabilidad lineal- espectro ity para el sistema (4). Considerar el linealizado ecuación de evolución en el marco giratorio, el valor propio problema de Eqs. (4a) y (4b) asociados con el planar Las soluciones espirales p*(l, l) y h*(l, l) están dadas por ................................................................................................... *, h*)p+ gh1 (p *, h*)h = p, (5a) ............................................................................ *, h*)p+ gh2 (p *, h*)h = h, (5b) donde g 1, · · ·, g 2 denotan los derivados de la nonlin- funciones de oído y g 1 p, h) = r(1 − p) − rp − (1+bp)2 , gh1 (p, h) = − 2 p, h) = − abph (1+bp)2 , y gh2 (p, h) = −m− 2fnh n2+h2 + 2fnh (n2+h2)2 . Ignoraremos. valores propios aislados que pertenecen al espectro de puntos, Las inestabilidades causadas por los valores propios puntuales llevan a la media- ondas a la deriva, o a un movimiento inestable de la punta en medios excitables y medios de oscilación [56, 64, 65, 66]. Este fenómeno no se muestra en el presente documento. In- En lugar de eso, nos centramos en el espectro continuo que es re- esponsible para la ruptura de la onda espiral en el campo lejano (ver Fig. 3 b)). Por los resultados en Ref. [62], resulta que el límite del espectro continuo depende únicamente sobre la ecuación limitante para.......................................................................................................................................... Por lo tanto, tenemos que  es el límite del espectro continuo si, y sólo si la ecuación limitante ....................................................................................................... *, h*)p+ gh1 (p ∗, h*)h = p, (6a) ....................................................................................................... *, h*)p+ gh2 (p ∗, h*)h = h, (6b) tener soluciones p(l, l) y h(l, l) para (l, l) R [0, 2η], que están delimitados pero no se deterioran como............................................................................................................................................. Desde ondas espirales son ondas giratorias en el plano, la onda las soluciones de tren tienen la forma como u(t, x, y) = u( para un número de onda adecuado k y fre- temporal quency, donde suponemos que u es 2η-periódico en su argumento de modo que u(­) = u(­) + 2η) para todos u = (p, h)T. Las ondas espirales convergen a los trenes de onda • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • son correspondientes a asintóticamente Arquímedes en el espacio bidimensional. Asumir que k 6= 0 y 6= 0, y en este caso, podemos pasar del marco teórico al marco de comovimiento • = kt (• • R) en el que la ecuación del valor propio (6) se convierte 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 1 (uwt())p+g 1 (uwt())h = p, (7a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + + 2 + + + 2 + + + 2 + + 2 + + + + 2 + + + 2 + + 2 + + 2 + + + + + 2 + + + + + 2 + 2 + + + + + 2 + + + + + 2 + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + p + g 2 (uwt())h = ♥h.(7b) En efecto, cualquier solución no trivial u(­) = (p(­), h(­))) T responder al problema del valor propio de la linealización (7) dar una solución U(l, ·) del problema de valor propio para el mapa del período temporal de (3) en el marco de rotación a través de U(­, ·) = e­tu(k ­t), U(­, T ) = e­Tu(­) 2η). Escribimos las ecuaciones (7) como los sistemas de primer orden = p1, = h1, = k−2d−1p μp− فارسىp1 − g 1/uwt(­))p− g 1 (uwt())h = k−2d−1 μh− فارسىh1 − g 2 (uwt())p− g 2 (uwt())h en la variable radial A continuación, los valores propios espaciales o los exponentes espaciales de Floquet son determinined como las raíces de el Wronskian A(l, k) := 0 0 1 0 0 0 0 1 ( g 1 (uwt())) − gh1 (uwt()) − 2(uwt()) ( gh2 (uwt())) 0 − donde k R. La función U(­, ·) = e­teik­u0(k ­t) satisface la ecuación (3) cuando el espacio y temporal los exponentes ik y  satisfacen la dispersión compleja rela- tion det(A(l, k) − ik) = 0 para l, C. Llamamos al ik en el espectro de A(, k) como valores propios espaciales o espaciales Los exponentes del floquet. La estabilidad del estado de las ondas espirales (p*, h*) en el plano está determinado por el espectro esencial dado por * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ahora, calculamos el espectro continuo con el ecuación (9) que son parametrizados por la onda num- ber k. Para cada uno, hay infinitamente muchos estables y valores propios espaciales inestables. Conspiramos en el complejo plano espectro espacial asociado, véase Fig. 7. Por el ex- la alisación de Sandstede et al [60], uno sabría que si la parte real de los espectros de essentail es positiva, entonces los eigenmodes asociados crecen exponencialmente hacia el límite, es decir, corresponden a una inestabilidad de campo lejano. Tenga en cuenta que encontramos que los espectros essentail no son sensibles a la frecuencia temporal. Re(l) K30 K20 K10 0 Im(l) Re(l) K0,8 K0,6 K0,4 K0,2 0 0,2 Im(l) FIG. 7: Los espectros de essentail de los trenes de onda se obtienen por utilizando los algoritmos descritos en Refs. [60, 61]. El param- eters de (A) y (B) corresponden a los valores utilizados en las simulaciones de la Fig. 3 A) y B). B. Existencia y propiedades de los trenes de onda Supongamos que un sistema de reacción-difusión en el uno- espacio dimensional de tal manera que las variables igual a un solución estacionaria homogénea. Si la homogeneidad El estado estacionario se desestabiliza, luego su linealización accommo- fechas ondas de la forma ei(kxt) para ciertos valores k y - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo general, cerca de la transición a la inestabilidad, pequeño spa- las ondas de viaje regulares surgen para cualquier número de onda cerca de kc, que es el número de onda crítico. Su ola velocidad es aproximadamente igual a Łc , donde está corre- brincando a kc. En este documento, nos centramos exclusivamente en la situación en la que ­c = 0 y kc 6= 0. La bifurcación se conoce como el bifur de Turing. catión, y la bifurcación espacial periódica constante pat- a menudo se les conoce como patrones de Turing. Otro clase de patrones movidos aparecerá cuando las inestabilidades modulada por la bifurcación Hopf-Turing, que es resem- ble unas olas itinerantes. Por otra parte, la característica común de las ondas espirales en el espacio unidimensional mencionado arriba está la presencia de trenes de onda que son espacialmente ondas de desplazamiento periódicas de la forma pwt(kxt; k) y hwt(kx − Łt; k), donde pwt(l; k) y hwt(l; k) son 2η- periódico acerca de Ł. Normalmente, el número de onda espacial k y la frecuencia temporal se relacionan a través de la non- relación de dispersión lineal ­ = ­(k) de modo que la fase velocidad es dada por . (12) Una segunda cantidad relacionada con la dispersión no lineal relación es la velocidad del grupo, cg = , de la ola tren que también desempeñan un papel central en las ondas espirales. La velocidad de grupo cg da la velocidad de propagación de pequeñas perturbaciones localizadas del paquete de ondas de la ola tren [67]. Aquí, sólo nos preocupa la existencia de solución para ondas itinerantes. De hecho, las ondas espirales se mueven a una velocidad constante hacia el exterior desde el núcleo (véase Fig. 6), para que tengan la forma matemática p(x, t) = P (z), y h(x, t) = H(z) donde z = x−cpt. Sustitución de estos la solución se forma en Eq. (3) da las ODEs + g1(P,H) = 0, (13a) + g2(P,H) = 0. (13b) Aquí, investigamos numéricamente la existencia, la velocidad y longitud de onda de los patrones de onda de viaje. Nuestro ap- proach es utilizar el envase de bifurcación Matcont 2.4 [68] para estudiar el patrón de EOD (13). Para hacer esto, la mayoría los parámetros naturales de bifurcación son la velocidad de onda cp y f, pero no dan información sobre la estabilidad de ola itinerante como soluciones de los modelos PDE (3). Nuestro punto de partida es el estado estacionario homogéneo de Eq. (13) en el dominio III de la Fig. 2. La típica bi- Los diagramas de furcación se ilustran en la Fig. 8, que muestra que las constantes ondas de desplazamiento espacialmente peroídicas existen para los valores más grandes de la velocidad cp, pero es inestable para valores pequeños de cp. Los cambios en la estabilidad se producen a través de Bifurcación Hopf, de la cual una rama de órbitas periódicas emanar. Tenga en cuenta que aquí utilizamos los términos “estable” y “inestable” como referencia al sistema ODE (13) más bien que el modelo PDEs. Fig. 8(B) ilustra el máx. longitud de onda estable imun contra el parámetro de bifucación- ter, cp de velocidad, y las pequeñas amplitudes tienen muy largo longitud de onda. Se sabe que cp = , de ahí el tavelling la solución de onda existe cuando la cp 6= 0, es decir, k 6= 0, 6= 0. Utilizando el paquete Matcont 2.4, es posible realizar un seguimiento de cus de los puntos de bifurcación Hopf y el punto límite (doble) bifurcación en un plano de parámetros, y un amplio de esto para el plano cp-f y cp-dh se ilustran en Fig. 9. Las soluciones de ondas itinerantes existen para los valores de cp y f a la izquierda del locus de la bifurcación de Hopf (véase Fig. 9 A)). La misma estructura sobre el plano cp-dh se muestra en la Fig. 9 B). Estos reuslts confirman nuestra previ- análisis ous procedentes del cálculo del álgebra (ver Fig. 2) y los resultados numéricos (véase Fig. 6). V. CONCLUSIONES Y DEBATE Hemos investigado una tabla espacialmente extendida... ton sistema ecológico dentro de un espacio bidimensional y 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Velocidad, c Punto de bifurcación Hopf FIG. 8: Diagramas típicos de bifurcación para el patrón ODE (13). (A) Las ondas itinerantes espacialmente periódicas de sistema (3) es existencia. Los cambios en la estabilidad se producen a través de Bifurcación Hopf, de la que una rama de órbitas periódicas em- Anate. Así aparecen olas de viaje inestables. (B) Maxi- longitud de onda estable a lo largo del parámetro de bifurcacióncp, Es decir, k 6 = 0, • 6 = 0. Los valores de los parámetros en (A) y (B) son: lo mismo que Fig. 3 A). encontró que sus patrones espaciales exhiben ondas espirales dy- Namics y patrones de caos espacial. En especial, el sce- nario de los patrones de caos espaciotemporal que surgen de se observa la ruptura de los campos lejanos. Nuestra investigación se basa en sobre el análisis numérico de una cinemática que imita la dif- fusión en la dinámica de los organismos marinos, acoplado a un dos componentes modelo de plancton en el nivel de la com- CE países, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar, países y territorios de ultramar. Incrementando (disminuyendo) la relación de difusión de las dos variables, el brazo espiral primero se rompió en una estado de turbulencia como lejos del centro central, pero que no invaden todo el espacio. Del anterior estudios en la reacción de Belousov-Zhabotinsky, sabemos la razón que causa este fenómeno puede ser iluminado teóricamente por el M. Bär y L. Brusch [30, 31], como así como mediante el uso de la teoría del espectro que plantea B. Sandstede, A. Scheel et al [56, 60, 61, 69]. El campo lejano la ruptura se puede verificar en la observación de campo y es útil entender la dinámica poblacional de los ecosistemas oceánicos ical systems. Por ejemplo, en determinadas condiciones la la interacción entre las estructuras del estela (o del océano) y la bio- crecimiento lógico conduce a las flores de plancton dentro de la mesoescala vórtices hidrodinámicos que actúan como incubadoras de producción. De Fig. 3 y las películas correspondientes, vemos que la floración perídica espacial aparece en el fito- las poblaciones de plancton, y los detalles de la evolución espacial de la distribución de la población de fitoplancton dur- ing un ciclo de floración, respectivamente. In Ref. [70], los autores estudian el control óptimo de el modelo (1) del caos espaciotemporal a la espiral ondas por los parámetros para la depredación de peces tratados como un variable de control multiplicativa. El orden espacial emerge en un gama de modelos espaciales de interacciones multiespecies. Un- sorprendentemente, los modelos espaciales de sistemas multiespecies a menudo 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Velocidad, c Locus de puntos de bifurcación Hopf 0,5 1 1,5 2 Velocidad, c Locus de puntos de bifurcación Hopf FIG. 9: Una ilustración de las variaciones en el espacio de parámetros de el patrón ODEs (13). Trazamos el loci de la bifurcación Hopf puntos. (A) f − aviones cp; (B) dh − aviones cp. El parámetro los valores de (A) y (B) son los mismos que los de la Fig. 3 A). manifiesta comportamientos muy diferentes de su campo medio homólogas. Dos características generales importantes del espacio modelos de sistemas multiespecies son que permiten la la posibilidad de una persistencia global a pesar de las extin- ciones y por lo tanto son generalmente más estables que su campo medio y tienen una tendencia a la auto-organizaciÃ3n spa- patrones espaciotemporales regulares o regulares [70, 71]. Los estructuras espaciales producen patrones espaciales no aleatorios como ondas espirales y caos espaciotemporal a escalas mucho más grande que la escala de interacción entre nivel de uals. Estas estructuras no están codificadas explícitamente, pero de la interacción local entre las personas y difusión de cal. Como sabemos, el plancton desempeña un papel importante en el ecosistema marino y el clima, debido a su participación en el ciclo mundial del carbono y el nitrógeno en la base de la cadena alimentaria [72]. De la revisión [73], a El modelo de ecosistema recientemente desarrollado incorpora ent fitoplancton grupos funcionales y sus ciones para la luz y múltiples nutrientes. Simulación de estos modelos en sitios específicos para explorar escenarios futuros sug- que el cambio del medio ambiente mundial, cambio inducido por el calentamiento, alterará el fitoplancton com- estructura comunitaria y, por lo tanto, alterar la biogeoquímica mundial ciclos [74]. El acoplamiento del modelo de ecosistema espacial a El clima mundial plantea de nuevo una serie de cuestiones abiertas sobre la complejidad del modelo y las escalas espaciales pertinentes. Así que el estudio del modelo espacial con gran escala es más impor- en el sistema ecológico. Basado en un simulacro numérico. dad en el modelo espacial, podemos redactar que el océano oceánico sistemas ecológicos muestran ondas espirales permanentes y spa- el caos temporal en gran escala sobre una gama de parame- valores ter dh, lo que indica que se mantiene periódicamente plancton florece en el área local. Al igual que con todas las áreas de biología evolutiva, avances en el desarrollo teórico más rápido que la evidencia empírica. El más potente enfoque empírico es llevar a cabo experimentos en el que el patrón espacial puede medirse directamente, pero esto es una dificultad en el diseño. Sin embargo, podemos... directamente medidos estos fenómenosa por la simulación y comparado con las imágenes del satélite. Por ejemplo, los patrones de caos espaciotemporal concuerdan con el observación de la Fig. 3 in Ref. [73]. Además, algunos imágenes por satélite [http://oceancolor.gsfc.nasa.gov] muestra patrones espirales que representan la fitoplanca- ton [la clorofila] biomasa y, por lo tanto, demostró que patrones de plancton en el océano ocurren en mucho más amplio escalas y, por lo tanto, mecanismos de difusión de ideas deberían Se considerará la posibilidad de adoptar una decisión al respecto. Agradecimientos Este trabajo cuenta con el apoyo de la National Natural Sci- En consecuencia, la Fundación de China en virtud de la subvención No. 10471040 y la Fundación de Ciencias Naturales de la provincia de Shan’xi Grant No. 2006011009. [1] R. E. Amritkar y Govindan Rangarajan. Espacialmente Extinción sincrónica de especies bajo forzamiento externo. Phys. Rev. Lett., 96(25):258102, 2006. [2] Andrzej Pekalski y Michel Droz. Paquetes autoorganizados selección en los ecosistemas depredador-presa. Phys. Rev. E, 73(2):021913, 2006. [3] Y.-Y. H. Sayama, M. A. M. de Aguiar y M. Baranger. 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General sequential quantum cloning

Clonación cuántica secuencial general Gui-Fang Dang y Heng Fan Instituto de Física, Academia China de Ciencias, Beijing 100080, China. (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Algunos estados cuánticos multipartitos pueden ser generados de una manera secuencial que puede ser im- implementada por varias configuraciones físicas como microondas y cavidad óptica QED, iones atrapados, y puntos cuánticos, etc. Analizamos los qubits generales N a M (N ≤ M) Clonación Cuántica Universal Máquina (UQCM) dentro de un esquema de generación secuencial. Demostramos que la secuencia de N a M UQCM está disponible. También se presenta el caso de la clonación secuencial de estados cuánticos a nivel d. Números PACS: 03.67.Mn, 03.65.Ud, 52.50.Dv El enredo cuántico juega un papel clave en el proceso cuántico computación e información cuántica [1]. Multipartito Los estados entrelazados surgen como un recurso para infor- tareas de procesamiento de la radiación, tales como el cuántico bien conocido teletransportación[2], comunicación cuántica [3, 4], reloj Sincronización [5], etc. En general, es extremadamente dif- ficulto para generar experimentalmente multipartito enredado los estados a través de operaciones unitarias globales únicas. En este sentido, la generación secuencial de los estados enredados Parece ser prometedor. En realidad, la mayor parte de la cuántica Las redes de computación están diseñadas para implementar las puertas lógicas de tum a través de un procedimiento secuencial [6]. Re- puesta en práctica cently secuencial de la información cuántica las tareas de procesamiento han atraído mucha atención. Lo siento. se señala que los estados multiqubit fotónicos pueden ser generado dejando que una fuente emita qubits fotónicos en una forma secuencial [7]. La generación secuencial general de estados multiqubit enredados en el reino de la cavidad QED se estudió sistemáticamente en Refs.[8, 9]. También se muestra que la clase de estados generados secuencialmente es idéntica a la matriz-producto-estado (MPS) que es muy útil en el estudio de las cadenas de hilado de la física de la materia condensada [10]. Por otro lado, ya se ha avanzado mucho. en los últimos años en el estudio de la clonación cuántica Chinas, para comentarios ver, por ejemplo, Refs.[11, 12, 13]. Y varias máquinas de clonación cuántica han sido im- implementada experimentalmente por polarización de fotones [14, 15, 16, 17, 18],los giros nucleares en Nuclear Magnetic Reso- nance [19, 20], etc. Sin embargo, estos experimentos son para 1 a 2 (una entrada de qubit y dos salidas de qubit) o 1 a 3 máquinas de clonación. El caso más general será mucho Difícil. Se han propuesto algunos planes para la Las máquinas de clonación cuántica eral que no se encuentran en una secuencia til, véase, por ejemplo, [21, 22]. Recientemente un 1 a M Se propone la clonación cuántica universal secuencial [23] por utilizando la transformación de clonación presentada en Ref.[24]. Puesto que se encuentra en un procedimiento secuencial, potencialmente re- produce las dificultades en la aplicación de esta clonación cuántica máquina. Sin embargo, como es bien sabido, el la máquina de clonación de tum (los N estados de entrada idénticos son clonado colectivamente a las copias M) es mejor que el quan- la máquina de clonación que sólo puede tratar con el in- entrada dividida (sólo una entrada se copia a varias copias cada vez). Sabemos que la clonación general de N a M la transformación también está disponible en Refs.[24, 25]. Entonces un natural se plantea la cuestión de si la N general a La máquina de clonación secuencial M es posible. En esta carta, vamos a presentar el cuántico universal secuencial general máquina de clonación. Las transformaciones de clonación de 1 a M utilizadas en Ref.[23] fue propuesto por Gisin y Massar en Ref.[24]. Y el N toM UQCM también se presentó en Ref.[24]. Sin embargo, utilizar el método propuesto en Refs.[8, 23] para encontrar el se- quential clonation machine, el estado de entrada N debe ser expandido en base computacional 0, 1. El ex- transformaciones cuánticas lícitas de la clonación con este tipo de la entrada fue propuesta por Fan et al en Ref.[25]. En este Let- ter, basado en el resultado de Ref.[25], la secuencia general Se presentará el UQCM. Tal como se presenta en Refs.[8, 23], la generación secuencial de un estado multiqubit es como el siguiente. Dejad en paz a Ha. un espacio D-dimensional Hilbert que actúa como el ancil- sistema de lary, y un único qubit (por ejemplo, un qubit de time-bin) está en un espacio HB de Hilbert bidimensional. En cada paso de la generación secuencial de un estado multiqubit, un uni- la evolución del tiempo tary actuará en el sistema conjunto HA HB. Asumimos que cada qubit está inicialmente en el Estado 0 que es como un estado vacío o en blanco y no se escribirá en las fórmulas. Así que el unitario la evolución del tiempo está escrita en forma de isometría V: HA → HAHB, donde V = i,α,β V α,β, i, cada V es una matriz D×D, y la condición isométrica toma la i=0 V i†V i = 1. Mediante la aplicación suce- aciones de V (no necesariamente la misma) en un ancil inicial lary state I HA, obtenemos = V [n]...V [2]V [1]I. Los n qubits generados son en general un estado enredado, pero el último paso de interacción qubit-ancilla se puede elegir para desacoplar el estado de enredo final multiqubit del sistema auxiliar, por lo que la secuencial generada el estado es = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 i1...in=0 F V [n]in...V [1]i1 Iin,...,i1, (1) donde F es el estado final de la ancilla. Esta es la MPS. Se demostró que cualquier MPS puede ser secuencialmente generado [8]. http://arxiv.org/abs/0704.0323v2 Supongamos que hay N estados cuánticos puros idénticos N = (x00x11)N necesita ser clonado a las copias M, donde x02 + x12 = 1. Sabemos que el estado de entrada puede ser representado por una base en el subespacio simétrico. N = xN−m0 x CmN (N −m)0,m1®, (2) donde (N − m)0,m1® denota la simetría y ni- estado malizado con (N −m) qubits en el estado 0 y m qubits en el estado 1, y tenemos CmN = N!/(N−m)!m! en notación estándar. Así que si encontramos la clonación cuántica transformaciones para todos los estados en el subespacio simétrico, nosotros puede clonar N estados puros a copias M. El UQCM con la entrada en el subespacio simétrico puede escribirse como [25], (N −m)0,m1 → mM, (3) donde mM = βmj (M −m− j)0, (m+ j)1 Rj,(4) βmj = M−N−j M−m−jC (m+j) /CN+1M+1, (5) donde Rj son los estados auxiliares de la máquina de clonación y son ortogonales el uno con el otro para j diferente. Por una máquina de clonación cuántica secuencial en esta Carta, nosotros elegir una realización Rj (M −N − j)1, j0® para la e- Los estados de Cilla. Este UQCM es óptimo en el sentido de que la fidelidad entre el estado de salida de un único qubit reducido el operador de la densidad se reduce y la entrada única es op- Timal. La fidelidad óptima es F = outreduced = (MN +M + N)/M(N + 2), véase Refs.[11, 12, 13] puntos de vista y las referencias que contiene. Una realización de esto UQCM con emisión de fotón estimulado se puede encontrar en Ref.[22] que no está en forma secuencial. Nosotros a continuación. mostrar que este general N a M UQCM se puede generar a través de un procedimiento secuencial. La idea básica es mostrar que el estado final de la la clonación, mM en (4), puede expresarse en su forma MPS. Como se muestra en Ref.[8], cualquier MPS puede ser secuencialmente gen- Engrasado. Seguiremos el método, por ejemplo, como en Refs.[23, 26]. Por la descomposición de Schmidt, nosotros primero ex- presionar el estado cuántico mM como un estado bipartito a través de 1 : 2... corte, mM # = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 1 0 [2...(2M−N)] 1 ♥ 2 1 [2...(2M−N)] *[1]i1α1 * i1[2...(2M−N)]α1, (6) donde فارسى α1 = 1,1; α1 = 1,2, y α1 son eigen- valores del primer operador de densidad reducida de qubit, y nos encontramos con......................................................................................................................................................... •M−m−1 k=−m β M−1/C M,  •M−m−1 k=−m β mk+1C M−1/C m+k+1 M. Corresponder con el MPS en (1), podemos definir V [1]i1 α1 =  [1]i1 α1. Suc- por la descomposición de Schmidt, el estado cuántico En (4) se divide en un estado bipartito con el primero n qubits como una parte, y el resto como otra parte, donde 1 < n ≤ M − 1. Encontramos mM = j+1(n− j)0, j1 [(n+1)...(2M−N)] j+1 â € ¬, (7) cuando 1 < n ≤ M−N+m,n′ = n; cuando M−N+m< n ≤ M − 1, n′ =M −N +m, [n]j+1 son valores propios de los primeros n qubits reducido el operador de la densidad de mM. De acuerdo con los resultados en Eqs.(4,5), podemos obtener, j+1 = M−m−n m(j+k) Cm+kM−n m+j+k . (8) Y también tenemos [(n+1)...(2M−N)]j+1 = M−m−n β2m(j+k) × (m+k) m+j+k (M − n−m− k)0, (m+ k)1 Rj+k. Por inducción y una fórmula concisa, tenemos n...(2M−N)]j+1 αn,in [n]in (j+1)αn [n]αn in [(n+1)...(2M−N)] [n−1] 0[(n+1)...(2M−N)]j+1 1[(n+1)...(2M−N)]j+2 , (9) donde denotamos (j+1)αn = (j+1)αn n−1/(l) [n−1] n), (10) (j+1)αn = (j+2)αn n−1/(l) [n−1] n ). (11) Aún así lo definimos. V [n]inαnαn−1 = [n]in αn−1αn [n]αn. (12) Por lo tanto, está en la representación del MPS. Podemos seguir estafando... Otros casos, incluido el estado de ancilla de la clonación máquina representada como Rj (Nota que no es el estado de la ancilla en la representación del MPS). Podemos encontrar que la salida... estado puesto del UQCM general se puede expresar como MPS como en la forma (1). Así que se puede crear secuencialmente. Los Los resultados explícitos se resumen en el apéndice. Hemos demostrado que los estados de salida de la general UQCM en (4,5) son MPS y por lo tanto se puede generar secuencialmente. Las matrices secuenciales V [n] por supuesto de- pend en la entrada (N-m)0,0,m1 que son estados similares a W y son generalmente multiqubit enredado. Para más tarde con- venience, denotamos V (m) para expresar que depende en estado de entrada para diferentes m. Por un sencillo método, la operación de clonación secuencial, es decir, la iso- métricas, dependiendo de diferentes entradas pueden tomar la forma m (N − m)0,m(N − m)0,m1 V (m). Sin embargo, Esta operación puede necesitar una única ópera unitaria global. que implica N -qubit estados entrelazados, excepto para m = 0,m = N. Esto contradice con nuestro objetivo de que cada uno la operación debe dividirse en operaciones unitarias secuenciales ators in a quDit (estado cuántico en el espacio D-dimensional) veces el sistema de qubit. Aquí podemos usar un esquema como el a continuación: el estado auxiliar interactúa con cada qubit según las isometrías (N + 1) × D-dimensionales CmN 00N−m11mV (m) secuencialmente, Aquí se omite todo un factor de normalización. Lo sabemos. que la operación 00N−m 11m actúa sobre cada uno qubit individualmente. Por lo tanto, este sistema reduce la com- plexidad de la operación. Esto acaba con nuestro... quential UQCM para el caso de qubit. En el caso N = 1, recuperamos el resultado de Ref.[23] para la clonación de 1 a M. Debemos señalar que, como en el caso de la secuela, tial 1 a M UQCM en Ref.[23], para la secuencia general UQCM, la dimensión mínima D del estado auxiliar crece linealmente como máximo con M −N/2 + 1 para incluso N o M − (N − 1)/2 para impar N. A continuación vamos a considerar un caso más general que el se- La máquina de clonación cuántica es sobre el estado cuántico en d- Espacio de Hilbert dimensional. Usaremos el d-dimensional UQCM propuesto por Fan et al en Ref. [25]. Este UQCM es una generalización de la máquina de clonación propuesta en Ref.[24] y podemos utilizar este UQCM para estudiar su secuencia- forma tial para el caso d-dimensional. Un estado puro d-dimensional arbitrario toma la forma = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 i=0 xii con i=0 xi2 = 1. N puros idénticos los estados pueden ser ampliados en términos de estado en ric subespacio N = ¡M1! xm10...x d−1mÃ3, donde mÃ3 m1,...,mdÃ3 es un estado simétrico con mi estados de i − 1, y también mi debe satisfacer una relación i=1mi = N. Las transformaciones de clonación con estados en subespacio simétrico se puede escribir como * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 C mi+ji CM−NM+d−1 donde ~j debe satisfacer i ji = M − N. Esta clonación la máquina es óptima y la fidelidad correspondiente de un estado cuántico único entre entrada y salida es F = (N(d+M) +M −N) /(d+N)M. En cuanto al sistema qubit, a continuación mostramos que la salida estados para todos los estados simétricos pueden ser expresados como la forma secuencial. Consideramos el caso 1 < n ≤ M − 1, y el estado mM es un estado bipartito a través de 1...n : (n+1)... cortar, mM = j[(n+1)...(M+1)] • (15) donde ~m(~jmk) i=1 C ji+ki , (16) [(n+1)...(M+1)] ~m(~jmk) i=1 C ji+ki kj − ~m+ ~kà à s[n] . (17) Por el mismo procedimiento que el del caso qubit, podemos obtener lo siguiente: [n...(M+1)] [n]in [n]αn in (n+1)...(M+1)] - Sí. (18) Entonces tenemos [n]in = n(~jein+1) jin+1 + 1 [n−1] . (19) Aún así podemos definir V [n]in αnαn−1 = [n]in αn−1αn αn, y por lo tanto nosotros puede encontrar que cada estado mM es un MPS y por lo tanto puede ser Generado secuencialmente. El resultado detallado de esta parte se presentará en otra parte [27]. En conclusión, demostramos que el general N to M univer- la máquina de clonación cuántica puede ser implementada De una manera quencial. Desde la generación secuencial de mul- el estado de tipartita se puede implementar en Tups como microondas y cavidad óptica QED, atrapados iones y puntos cuánticos, etc. Este número secuencial general... la máquina de clonación puede ser implementada mucho más fácil que el único sistema de aplicación global. Esta re- la complejidad de la aplicación de la General UQCM. También mostramos que para d-dimensional estado cuántico, el UQCM secuencial también está disponible. Además de la máquina de clonación universal, la fase 1 a M- La máquina de clonación cuántica covariante también puede ser secuencial. De hecho, se ha puesto en práctica con regularidad. Será interesante considerar sim- la clonación covariante en fase N a M y la la clonación en fase covariante económica. La asimetría secuencial... La máquina de clonación cuántica métrica también puede ser una tópico de esteing. Agradecimientos: HF fue apoyado por “Bairen” programa, NSFC y programa “973” (2006CB921107). Apéndice.–La forma explícita de las matrices V son pre- enviado como: V [n]0αnαn−1 = nαn−1 × •M−m−n k=-m X mn−1−1+k •M−m−n+1 k=-m X M−n+1 mn−1−1+k V [n]0αnαn−1 = nαn−1+1 × •M−m−n k=-m X mn−1+k •M−m−n+1 k=-m X M−n+1 mn−1−1+k donde las anotaciones X = β2m(αn−1−1+k), X ′ = β2m(αn−1+k) se utilizan. En el caso 1 < n ≤ M − N + m,αn−1 = 1,..., n;αn = 1,..., (n+1), y para las mayúsculas M−N+m < n ≤ M − 1, αn−1, αn = 1,..., (M −N +m+1). Podemos comprobarlo. que el V definido anteriormente satisface la condición de isometría V [n]in V [n]in = 1. Similarmente tenemos V [M]0αMαM−1 = MαM−1 × M−1−1−m) M−1−1−m) M−1−1 M−1−m) V [M]1αMαM−1 = M (αM−1+1) × M−1−m) M−1−1−m) M−1−1 M−1−m) donde 0 ≤ m ≤ N −m,αM−1, αM = 1, 2,..., (M − N + m+ 1). Para el caso relativo al estado de ancilla de la UQCM, asumir 1 ≤ l ≤ M −N, tenemos V [M+l]0αM+lαM+l−1 = M+l(αM+l−1−1) × αM+l−1 −m− 1 M −N − l + 1 V [M+l]1αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 × M −N − l − αM+l−1 +m + 1 M −N − l + 1 (1) Para (m+ 1) ≤ αM+l ≤ (M −N +m− l+1), (m+ 2) ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m− l+2), [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+l(αM+l−1−1) αM+l−1−m−1 M−N−l+1. Para αM+l = (M −N +m−l + 2), 1 ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m + 1), V [M+l]0αM+lαM+l−1 = 0. De lo contrario [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 (2) Para (m+ 1) ≤ αM+l, αM+l−1 ≤ (M −N +m− l + 1), V [M+l]1αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 M-N-l-l-l-l-1+m+2 M−N−l+1. Para αM+l = (M −N +m− l + 2), 1 ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m+1), [M+l]0 αM+lαM+l−1 = 0. De lo contrario V [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 [1] C. H. Bennett y D. P. DiVincenzo, Nature 404, 247 (2000). [2] C. H. Bennett, G.Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, y W. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993). [3] D. Gottesman e I. Chuang, Nature 402, 390 (1999). [4] R. Raussendorf y Hans J. Briegel, Phys. Rev. Lett. 86, 5188 (2000). [5] V. Giovannetti, S. Lloyd, L. Maccone, Nature 412, 417 (2001). [6] A. Barenco, et al, Phys. Rev. A 52, 3457 (1995). [7] C. Saavedra, K. M. Gheri, T. Torma, J. I. Cirac, y P. Zoller, Phys. Rev. A 61, 062311 (2000). [8] C. Schon, E. Solano, F. Verstraete, J. I. Cirac, y M. M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 95, 110503 (2005). [9] C. Schon, K. Hammerer, M. M. Wolf, J. I. Cirac, y E. Solano, quant-ph/0612101, [10] A. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, y H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987). [11] V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin, A. Acin, Rev. Mod. Phys. 77, 1225 (2005). [12] N. J. Cerf, J. Fiurasek, Progreso de la Óptica 49, 455 (Else- vier 2006). [13] H. Fan, Temas de Física Aplicada 102, 63 (2006). [14] A. Lamas-Linares, C. Simon, J. C. Howell, y D. Bouwmeester, Science 296, 712 (2002). [15] F. De Martini, V. Bužek, F. Sciarrino, y C. Sias, Na- 419 815 (2002). [16] D. Pelliccia, V. Schettini, F. Sciarrino, C. Sias, y F. De Martini, Phys. Rev. A 68, 042306 (2003). [17] M. T. M. Irvine, A. Lamas Linares, M. J. A. de Dood, y D. Bouwmeester, Phys. Rev. Lett. 92, 047902 (2004). [18] M. Ricci, F. Sciarrino, C. Sias, y F. De Martini, Phys. Rev. Lett. 92, 047901 (2004). [19] H. K. Cummins, C. Jones, A. Furze, N. F. Soffe, M. Mosca, J. M. Peach y J. A. Jones, Phys. Rev. Lett. 88, 187901 (2002). [20] J. F. Du, et al, Phys. Rev. Lett. 94, 040505 (2005). [21] C. Simon, G. Weihs, y A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 84, 2993 (2000). [22] H. Fan, G. Weihs, K. Matsumoto, y X. B. Wang, Phys. Rev. A 67, 022317 (2003). [23] Y. Delgado, L. Lamata, J. Leon, D. Salgado, y E. Solano, Phys. Rev. Lett. , quant-ph/0607105. [24] N. Gisin, y S. Massar, Phys. Rev. Lett. 79, 2153 (1997). [25] H. Fan, K. Matsumoto, y M. Wadati, Phys. Rev. A 64, 064301 (2001). [26] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003). [27] G. F. Dang y H. Fan, en preparación. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0612101 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0607105

Algunos estados cuánticos multipartitos se pueden generar de manera secuencial que puede ser implementado por varias configuraciones físicas como microondas y óptica cavidad QED, iones atrapados, y puntos cuánticos, etc. Analizamos el general N a M qubits Universal Quantum Cloning Machine (UQCM) dentro de una generación secuencial esquema. Demostramos que el UQCM secuencial de N a M está disponible. El caso de También se presenta la clonación secuencial de estados cuánticos a nivel d.

Clonación cuántica secuencial general Gui-Fang Dang y Heng Fan Instituto de Física, Academia China de Ciencias, Beijing 100080, China. (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Algunos estados cuánticos multipartitos pueden ser generados de una manera secuencial que puede ser im- implementada por varias configuraciones físicas como microondas y cavidad óptica QED, iones atrapados, y puntos cuánticos, etc. Analizamos los qubits generales N a M (N ≤ M) Clonación Cuántica Universal Máquina (UQCM) dentro de un esquema de generación secuencial. Demostramos que la secuencia de N a M UQCM está disponible. También se presenta el caso de la clonación secuencial de estados cuánticos a nivel d. Números PACS: 03.67.Mn, 03.65.Ud, 52.50.Dv El enredo cuántico juega un papel clave en el proceso cuántico computación e información cuántica [1]. Multipartito Los estados entrelazados surgen como un recurso para infor- tareas de procesamiento de la radiación, tales como el cuántico bien conocido teletransportación[2], comunicación cuántica [3, 4], reloj Sincronización [5], etc. En general, es extremadamente dif- ficulto para generar experimentalmente multipartito enredado los estados a través de operaciones unitarias globales únicas. En este sentido, la generación secuencial de los estados enredados Parece ser prometedor. En realidad, la mayor parte de la cuántica Las redes de computación están diseñadas para implementar las puertas lógicas de tum a través de un procedimiento secuencial [6]. Re- puesta en práctica cently secuencial de la información cuántica las tareas de procesamiento han atraído mucha atención. Lo siento. se señala que los estados multiqubit fotónicos pueden ser generado dejando que una fuente emita qubits fotónicos en una forma secuencial [7]. La generación secuencial general de estados multiqubit enredados en el reino de la cavidad QED se estudió sistemáticamente en Refs.[8, 9]. También se muestra que la clase de estados generados secuencialmente es idéntica a la matriz-producto-estado (MPS) que es muy útil en el estudio de las cadenas de hilado de la física de la materia condensada [10]. Por otro lado, ya se ha avanzado mucho. en los últimos años en el estudio de la clonación cuántica Chinas, para comentarios ver, por ejemplo, Refs.[11, 12, 13]. Y varias máquinas de clonación cuántica han sido im- implementada experimentalmente por polarización de fotones [14, 15, 16, 17, 18],los giros nucleares en Nuclear Magnetic Reso- nance [19, 20], etc. Sin embargo, estos experimentos son para 1 a 2 (una entrada de qubit y dos salidas de qubit) o 1 a 3 máquinas de clonación. El caso más general será mucho Difícil. Se han propuesto algunos planes para la Las máquinas de clonación cuántica eral que no se encuentran en una secuencia til, véase, por ejemplo, [21, 22]. Recientemente un 1 a M Se propone la clonación cuántica universal secuencial [23] por utilizando la transformación de clonación presentada en Ref.[24]. Puesto que se encuentra en un procedimiento secuencial, potencialmente re- produce las dificultades en la aplicación de esta clonación cuántica máquina. Sin embargo, como es bien sabido, el la máquina de clonación de tum (los N estados de entrada idénticos son clonado colectivamente a las copias M) es mejor que el quan- la máquina de clonación que sólo puede tratar con el in- entrada dividida (sólo una entrada se copia a varias copias cada vez). Sabemos que la clonación general de N a M la transformación también está disponible en Refs.[24, 25]. Entonces un natural se plantea la cuestión de si la N general a La máquina de clonación secuencial M es posible. En esta carta, vamos a presentar el cuántico universal secuencial general máquina de clonación. Las transformaciones de clonación de 1 a M utilizadas en Ref.[23] fue propuesto por Gisin y Massar en Ref.[24]. Y el N toM UQCM también se presentó en Ref.[24]. Sin embargo, utilizar el método propuesto en Refs.[8, 23] para encontrar el se- quential clonation machine, el estado de entrada N debe ser expandido en base computacional 0, 1. El ex- transformaciones cuánticas lícitas de la clonación con este tipo de la entrada fue propuesta por Fan et al en Ref.[25]. En este Let- ter, basado en el resultado de Ref.[25], la secuencia general Se presentará el UQCM. Tal como se presenta en Refs.[8, 23], la generación secuencial de un estado multiqubit es como el siguiente. Dejad en paz a Ha. un espacio D-dimensional Hilbert que actúa como el ancil- sistema de lary, y un único qubit (por ejemplo, un qubit de time-bin) está en un espacio HB de Hilbert bidimensional. En cada paso de la generación secuencial de un estado multiqubit, un uni- la evolución del tiempo tary actuará en el sistema conjunto HA HB. Asumimos que cada qubit está inicialmente en el Estado 0 que es como un estado vacío o en blanco y no se escribirá en las fórmulas. Así que el unitario la evolución del tiempo está escrita en forma de isometría V: HA → HAHB, donde V = i,α,β V α,β, i, cada V es una matriz D×D, y la condición isométrica toma la i=0 V i†V i = 1. Mediante la aplicación suce- aciones de V (no necesariamente la misma) en un ancil inicial lary state I HA, obtenemos = V [n]...V [2]V [1]I. Los n qubits generados son en general un estado enredado, pero el último paso de interacción qubit-ancilla se puede elegir para desacoplar el estado de enredo final multiqubit del sistema auxiliar, por lo que la secuencial generada el estado es = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 i1...in=0 F V [n]in...V [1]i1 Iin,...,i1, (1) donde F es el estado final de la ancilla. Esta es la MPS. Se demostró que cualquier MPS puede ser secuencialmente generado [8]. http://arxiv.org/abs/0704.0323v2 Supongamos que hay N estados cuánticos puros idénticos N = (x00x11)N necesita ser clonado a las copias M, donde x02 + x12 = 1. Sabemos que el estado de entrada puede ser representado por una base en el subespacio simétrico. N = xN−m0 x CmN (N −m)0,m1®, (2) donde (N − m)0,m1® denota la simetría y ni- estado malizado con (N −m) qubits en el estado 0 y m qubits en el estado 1, y tenemos CmN = N!/(N−m)!m! en notación estándar. Así que si encontramos la clonación cuántica transformaciones para todos los estados en el subespacio simétrico, nosotros puede clonar N estados puros a copias M. El UQCM con la entrada en el subespacio simétrico puede escribirse como [25], (N −m)0,m1 → mM, (3) donde mM = βmj (M −m− j)0, (m+ j)1 Rj,(4) βmj = M−N−j M−m−jC (m+j) /CN+1M+1, (5) donde Rj son los estados auxiliares de la máquina de clonación y son ortogonales el uno con el otro para j diferente. Por una máquina de clonación cuántica secuencial en esta Carta, nosotros elegir una realización Rj (M −N − j)1, j0® para la e- Los estados de Cilla. Este UQCM es óptimo en el sentido de que la fidelidad entre el estado de salida de un único qubit reducido el operador de la densidad se reduce y la entrada única es op- Timal. La fidelidad óptima es F = outreduced = (MN +M + N)/M(N + 2), véase Refs.[11, 12, 13] puntos de vista y las referencias que contiene. Una realización de esto UQCM con emisión de fotón estimulado se puede encontrar en Ref.[22] que no está en forma secuencial. Nosotros a continuación. mostrar que este general N a M UQCM se puede generar a través de un procedimiento secuencial. La idea básica es mostrar que el estado final de la la clonación, mM en (4), puede expresarse en su forma MPS. Como se muestra en Ref.[8], cualquier MPS puede ser secuencialmente gen- Engrasado. Seguiremos el método, por ejemplo, como en Refs.[23, 26]. Por la descomposición de Schmidt, nosotros primero ex- presionar el estado cuántico mM como un estado bipartito a través de 1 : 2... corte, mM # = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 1 0 [2...(2M−N)] 1 ♥ 2 1 [2...(2M−N)] *[1]i1α1 * i1[2...(2M−N)]α1, (6) donde فارسى α1 = 1,1; α1 = 1,2, y α1 son eigen- valores del primer operador de densidad reducida de qubit, y nos encontramos con......................................................................................................................................................... •M−m−1 k=−m β M−1/C M,  •M−m−1 k=−m β mk+1C M−1/C m+k+1 M. Corresponder con el MPS en (1), podemos definir V [1]i1 α1 =  [1]i1 α1. Suc- por la descomposición de Schmidt, el estado cuántico En (4) se divide en un estado bipartito con el primero n qubits como una parte, y el resto como otra parte, donde 1 < n ≤ M − 1. Encontramos mM = j+1(n− j)0, j1 [(n+1)...(2M−N)] j+1 â € ¬, (7) cuando 1 < n ≤ M−N+m,n′ = n; cuando M−N+m< n ≤ M − 1, n′ =M −N +m, [n]j+1 son valores propios de los primeros n qubits reducido el operador de la densidad de mM. De acuerdo con los resultados en Eqs.(4,5), podemos obtener, j+1 = M−m−n m(j+k) Cm+kM−n m+j+k . (8) Y también tenemos [(n+1)...(2M−N)]j+1 = M−m−n β2m(j+k) × (m+k) m+j+k (M − n−m− k)0, (m+ k)1 Rj+k. Por inducción y una fórmula concisa, tenemos n...(2M−N)]j+1 αn,in [n]in (j+1)αn [n]αn in [(n+1)...(2M−N)] [n−1] 0[(n+1)...(2M−N)]j+1 1[(n+1)...(2M−N)]j+2 , (9) donde denotamos (j+1)αn = (j+1)αn n−1/(l) [n−1] n), (10) (j+1)αn = (j+2)αn n−1/(l) [n−1] n ). (11) Aún así lo definimos. V [n]inαnαn−1 = [n]in αn−1αn [n]αn. (12) Por lo tanto, está en la representación del MPS. Podemos seguir estafando... Otros casos, incluido el estado de ancilla de la clonación máquina representada como Rj (Nota que no es el estado de la ancilla en la representación del MPS). Podemos encontrar que la salida... estado puesto del UQCM general se puede expresar como MPS como en la forma (1). Así que se puede crear secuencialmente. Los Los resultados explícitos se resumen en el apéndice. Hemos demostrado que los estados de salida de la general UQCM en (4,5) son MPS y por lo tanto se puede generar secuencialmente. Las matrices secuenciales V [n] por supuesto de- pend en la entrada (N-m)0,0,m1 que son estados similares a W y son generalmente multiqubit enredado. Para más tarde con- venience, denotamos V (m) para expresar que depende en estado de entrada para diferentes m. Por un sencillo método, la operación de clonación secuencial, es decir, la iso- métricas, dependiendo de diferentes entradas pueden tomar la forma m (N − m)0,m(N − m)0,m1 V (m). Sin embargo, Esta operación puede necesitar una única ópera unitaria global. que implica N -qubit estados entrelazados, excepto para m = 0,m = N. Esto contradice con nuestro objetivo de que cada uno la operación debe dividirse en operaciones unitarias secuenciales ators in a quDit (estado cuántico en el espacio D-dimensional) veces el sistema de qubit. Aquí podemos usar un esquema como el a continuación: el estado auxiliar interactúa con cada qubit según las isometrías (N + 1) × D-dimensionales CmN 00N−m11mV (m) secuencialmente, Aquí se omite todo un factor de normalización. Lo sabemos. que la operación 00N−m 11m actúa sobre cada uno qubit individualmente. Por lo tanto, este sistema reduce la com- plexidad de la operación. Esto acaba con nuestro... quential UQCM para el caso de qubit. En el caso N = 1, recuperamos el resultado de Ref.[23] para la clonación de 1 a M. Debemos señalar que, como en el caso de la secuela, tial 1 a M UQCM en Ref.[23], para la secuencia general UQCM, la dimensión mínima D del estado auxiliar crece linealmente como máximo con M −N/2 + 1 para incluso N o M − (N − 1)/2 para impar N. A continuación vamos a considerar un caso más general que el se- La máquina de clonación cuántica es sobre el estado cuántico en d- Espacio de Hilbert dimensional. Usaremos el d-dimensional UQCM propuesto por Fan et al en Ref. [25]. Este UQCM es una generalización de la máquina de clonación propuesta en Ref.[24] y podemos utilizar este UQCM para estudiar su secuencia- forma tial para el caso d-dimensional. Un estado puro d-dimensional arbitrario toma la forma = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 i=0 xii con i=0 xi2 = 1. N puros idénticos los estados pueden ser ampliados en términos de estado en ric subespacio N = ¡M1! xm10...x d−1mÃ3, donde mÃ3 m1,...,mdÃ3 es un estado simétrico con mi estados de i − 1, y también mi debe satisfacer una relación i=1mi = N. Las transformaciones de clonación con estados en subespacio simétrico se puede escribir como * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=1 C mi+ji CM−NM+d−1 donde ~j debe satisfacer i ji = M − N. Esta clonación la máquina es óptima y la fidelidad correspondiente de un estado cuántico único entre entrada y salida es F = (N(d+M) +M −N) /(d+N)M. En cuanto al sistema qubit, a continuación mostramos que la salida estados para todos los estados simétricos pueden ser expresados como la forma secuencial. Consideramos el caso 1 < n ≤ M − 1, y el estado mM es un estado bipartito a través de 1...n : (n+1)... cortar, mM = j[(n+1)...(M+1)] • (15) donde ~m(~jmk) i=1 C ji+ki , (16) [(n+1)...(M+1)] ~m(~jmk) i=1 C ji+ki kj − ~m+ ~kà à s[n] . (17) Por el mismo procedimiento que el del caso qubit, podemos obtener lo siguiente: [n...(M+1)] [n]in [n]αn in (n+1)...(M+1)] - Sí. (18) Entonces tenemos [n]in = n(~jein+1) jin+1 + 1 [n−1] . (19) Aún así podemos definir V [n]in αnαn−1 = [n]in αn−1αn αn, y por lo tanto nosotros puede encontrar que cada estado mM es un MPS y por lo tanto puede ser Generado secuencialmente. El resultado detallado de esta parte se presentará en otra parte [27]. En conclusión, demostramos que el general N to M univer- la máquina de clonación cuántica puede ser implementada De una manera quencial. Desde la generación secuencial de mul- el estado de tipartita se puede implementar en Tups como microondas y cavidad óptica QED, atrapados iones y puntos cuánticos, etc. Este número secuencial general... la máquina de clonación puede ser implementada mucho más fácil que el único sistema de aplicación global. Esta re- la complejidad de la aplicación de la General UQCM. También mostramos que para d-dimensional estado cuántico, el UQCM secuencial también está disponible. Además de la máquina de clonación universal, la fase 1 a M- La máquina de clonación cuántica covariante también puede ser secuencial. De hecho, se ha puesto en práctica con regularidad. Será interesante considerar sim- la clonación covariante en fase N a M y la la clonación en fase covariante económica. La asimetría secuencial... La máquina de clonación cuántica métrica también puede ser una tópico de esteing. Agradecimientos: HF fue apoyado por “Bairen” programa, NSFC y programa “973” (2006CB921107). Apéndice.–La forma explícita de las matrices V son pre- enviado como: V [n]0αnαn−1 = nαn−1 × •M−m−n k=-m X mn−1−1+k •M−m−n+1 k=-m X M−n+1 mn−1−1+k V [n]0αnαn−1 = nαn−1+1 × •M−m−n k=-m X mn−1+k •M−m−n+1 k=-m X M−n+1 mn−1−1+k donde las anotaciones X = β2m(αn−1−1+k), X ′ = β2m(αn−1+k) se utilizan. En el caso 1 < n ≤ M − N + m,αn−1 = 1,..., n;αn = 1,..., (n+1), y para las mayúsculas M−N+m < n ≤ M − 1, αn−1, αn = 1,..., (M −N +m+1). Podemos comprobarlo. que el V definido anteriormente satisface la condición de isometría V [n]in V [n]in = 1. Similarmente tenemos V [M]0αMαM−1 = MαM−1 × M−1−1−m) M−1−1−m) M−1−1 M−1−m) V [M]1αMαM−1 = M (αM−1+1) × M−1−m) M−1−1−m) M−1−1 M−1−m) donde 0 ≤ m ≤ N −m,αM−1, αM = 1, 2,..., (M − N + m+ 1). Para el caso relativo al estado de ancilla de la UQCM, asumir 1 ≤ l ≤ M −N, tenemos V [M+l]0αM+lαM+l−1 = M+l(αM+l−1−1) × αM+l−1 −m− 1 M −N − l + 1 V [M+l]1αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 × M −N − l − αM+l−1 +m + 1 M −N − l + 1 (1) Para (m+ 1) ≤ αM+l ≤ (M −N +m− l+1), (m+ 2) ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m− l+2), [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+l(αM+l−1−1) αM+l−1−m−1 M−N−l+1. Para αM+l = (M −N +m−l + 2), 1 ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m + 1), V [M+l]0αM+lαM+l−1 = 0. De lo contrario [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 (2) Para (m+ 1) ≤ αM+l, αM+l−1 ≤ (M −N +m− l + 1), V [M+l]1αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 M-N-l-l-l-l-1+m+2 M−N−l+1. Para αM+l = (M −N +m− l + 2), 1 ≤ αM+l−1 ≤ (M −N +m+1), [M+l]0 αM+lαM+l−1 = 0. De lo contrario V [M+l]0 αM+lαM+l−1 = M+lαM+l−1 [1] C. H. Bennett y D. P. DiVincenzo, Nature 404, 247 (2000). [2] C. H. Bennett, G.Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, y W. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993). [3] D. Gottesman e I. Chuang, Nature 402, 390 (1999). [4] R. Raussendorf y Hans J. Briegel, Phys. Rev. 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[17] M. T. M. Irvine, A. Lamas Linares, M. J. A. de Dood, y D. Bouwmeester, Phys. Rev. Lett. 92, 047902 (2004). [18] M. Ricci, F. Sciarrino, C. Sias, y F. De Martini, Phys. Rev. Lett. 92, 047901 (2004). [19] H. K. Cummins, C. Jones, A. Furze, N. F. Soffe, M. Mosca, J. M. Peach y J. A. Jones, Phys. Rev. Lett. 88, 187901 (2002). [20] J. F. Du, et al, Phys. Rev. Lett. 94, 040505 (2005). [21] C. Simon, G. Weihs, y A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 84, 2993 (2000). [22] H. Fan, G. Weihs, K. Matsumoto, y X. B. Wang, Phys. Rev. A 67, 022317 (2003). [23] Y. Delgado, L. Lamata, J. Leon, D. Salgado, y E. Solano, Phys. Rev. Lett. , quant-ph/0607105. [24] N. Gisin, y S. Massar, Phys. Rev. Lett. 79, 2153 (1997). [25] H. Fan, K. Matsumoto, y M. Wadati, Phys. Rev. A 64, 064301 (2001). [26] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003). [27] G. F. Dang y H. Fan, en preparación. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0612101 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0607105

On the pseudospectrum of elliptic quadratic differential operators

SOBRE EL PSEUDOSPECTRUM DEL CUADRÁTICO ELÍPTICO OPERADORES DIFERENCIALES Karel Pravda-Starov Universidad de California, Berkeley Resumen. Estudiamos el pseudoespectro de una clase de diferencial no autoadjunto operadores. Nuestro trabajo consiste en un estudio detallado de las propiedades microlocales, que la estabilidad espectral o los fenómenos de inestabilidad que aparecen bajo bations para operadores diferenciales elípticos cuadráticos. La clase de elíptica cuadrática los operadores diferenciales representan la clase de operadores definida en el ciones por símbolos cuadráticos elípticos de valor complejo. Establecemos en este documento un simple condición necesaria y suficiente sobre el símbolo Weyl de estos operadores, que asegura la estabilidad de sus espectros. Cuando se viola esta condición, demostramos que se producen algunas fuertes inestabilidades espectrales para las altas energías de estos operadores, en algunas regiones que pueden estar lejos de sus espectros. Damos un geo preciso... descripción métrica de los mismos, lo que explica los resultados obtenidos para estos operadores en algunas simulaciones numéricas que dan el cálculo de “falsos valores propios” lejos de sus espectros por algoritmos para la computación de valores propios. Palabras clave. Inestabilidad espectral, pseudoespectro, cuasimodos semiclásicos, no- los operadores autoadjuntos, los operadores no normales, la condición (­), la subelectricidad. 2000 Clasificación de sujetos de la AMS. 35P05, 35S05. 1. Introducción 1.1. Hechos diversos sobre el pseudoespectro. En los últimos años, ha habido mucho interés en estudiar el pseudoespectro de los operadores no autónomos. Los El estudio de esta noción se ha iniciado notando que para ciertos problemas de Por otra parte, en el marco de la política de investigación y desarrollo tecnológico, la Comisión adoptó una serie de medidas destinadas a mejorar la calidad de los servicios de investigación y desarrollo en el ámbito de las tecnologías de la información y de la comunicación en el ámbito de las tecnologías de la información y de la comunicación. El análisis espectral no coincide con las simulaciones numéricas. Este hecho deja pensar que en algunos casos el único conocimiento del espectro de un operador no es suficiente para entender suficientemente su acción. Para complementar esta falta de información contenida en el espectro, algunos nuevos subconjuntos del plano complejo llamado pseudoespectra tienen se ha definido. La idea principal sobre la definición de estos nuevos subconjuntos es que es interesante para estudiar no sólo los puntos en los que la resolución de un operador no es de- multado, es decir. su espectro, pero también donde este resueltor es grande en la norma. Esto explica la siguiente definición de la matriz o del operador A, •(A) = z • C, • (zI −A)−1 • ≥ 1 si escribimos por convención que (zI − A)−1• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • que pertenezcan al espectro A) del operador. Mencionemos que existe una abundante literatura sobre esta noción de pseu- Dospectrum. Nos referimos aquí a la definición y algunas propiedades generales de pseu- dospectra al periódico [15] de L.N. Trefethen. También vamos a señalar el más reciente libro publicado [16], que elabora una amplia visión general de este tema y da un muchas ilustraciones. Según la definición anterior, el estudio de la pseudoespectra de un operador es estudiar exactamente las líneas de nivel de la norma de su resuelto. Lo que es interesante en estudiar tales líneas de nivel es que da alguna información sobre la estabilidad espectral http://arxiv.org/abs/0704.0324v1 del operador. De hecho, pseudoespectra se puede definir de una manera equivalente en términos de espectros de perturbaciones del operador. Por ejemplo, tenemos para cualquier A Mn(C), (A) = {z • C, z • • (A + B) para algunos B • Mn(C) con • B ≤. De ello se deduce que un número complejo z pertenece al Ł-pseudoespectro de una matriz A si y sólo si pertenece al espectro de una de sus perturbaciones A + B con B ≤. Más generalmente, si A es un operador lineal cerrado sin límites con un dominio denso en un complejo Hilbert espacio H, el resultado de Roch y Silbermann en [13] da que •(A) = BÓL(H), BÓL(H) (A + B), donde L(H) representa el conjunto de operadores lineales limitados en H. A partir de este segundo descripción, entendemos el interés en estudiar tales subconjuntos si queremos, por ejemplo Para calcular numéricamente algunos valores propios de un operador. De hecho, empezamos a hacer Discretizando a este operador. Esta discretización y los inevitables errores de redondeo generará algunas perturbaciones del operador inicial. Eventualmente, algoritmos para eigenvalues computing determinará los valores propios de una perturbación de la inicial operador, es decir, un valor en un Ł-pseudoespectro del operador inicial, pero no necesariamente uno espectral. Esto explica por qué es importante en tales cálculos numéricos para Entender si la Pseudoespectra de los operarios estudiados contiene más o menos profundamente sus espectros. Vamos a notar primero que este estudio es a priori no trivial sólo para no-autoadjunto los operadores, o más precisamente para los operadores no normales. De hecho, tenemos para un normal operador Una expresión exacta de la norma de su resueltor dada por la siguiente fórmula clásica (véase, por ejemplo, (V.3.31) en [8]), (1.1.1) 6° (A), (zI −A)−1° = 1 z, (A) donde d z, (A) representa la distancia entre z y el espectro del operador, cuando A es un operador lineal cerrado sin límites con un dominio denso en un complejo Espacio Hilbert. Esta fórmula demuestra que la resolución de un operador normal no puede Explotar lejos de su espectro. Garantiza la estabilidad de su espectro bajo pequeño las perturbaciones debido a que el Pseudoespectro es exactamente igual en este caso a la Pseudoespectro barrio del espectro 1.1.2) (A) = z â € C : d z, (A) Sin embargo, es bien sabido que esta fórmula (1.1.1) no es más cierto para los no-normales operadores. Para estos operadores, puede ocurrir que sus resueltos son muy grandes en norma lejos de sus espectros. Esto induce a que los espectros de estos operadores pueden ser muy inestable bajo pequeñas perturbaciones. Para ilustrar este hecho, consideremos la el caso del oscilador armónico rotado y el siguiente cálculo numérico de su espectro. El oscilador armónico girado es un simple ejemplo de elíptica cuadrática operador diferencial Hc = D x + cx 2, Dx = i -1 ° x, con c = eiň/4. El cálculo numérico se realiza en la discretización de la matriz (Hcéi,JJ)L2(R) 1≤i,j≤N donde N es un número entero tomado igual a 100 y (­j)jÃ3n* significa la base de L compuesta por funciones de Hermite. Los puntos negros que aparecen en este soporte de computación para los valores propios calculados numéricamente. Podemos notar en esta simulación numérica que las bajas energías computadas están muy cerca de las teóricas desde el espectro Gráfico 1 Computación de algunas líneas de nivel de la norma de la resolución ventilación (Hc− z)−1 = 1 para el oscilador armónico rotado Hc con c = eiň/4. La columna de la derecha da los valores correspondientes de log10. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 dim = 100 del oscilador armónico rotado sólo se compone de valores propios regularmente espaciados en la semilínea eiň/8R, (Hc) = {eiη/8(2n+1): n {N}. Sin embargo, notamos que ya no es verdad para las altas energías. Ocurre para ellos. algunas fuertes inestabilidades espectrales, que conducen al cálculo de “falsos valores propios” lejos de la mitad de la línea eiň/8R. Mencionemos que algunos cálculos comparables se puede encontrar en [3]. En este artículo, estamos interesados en estudiar cuándo y cómo tipo de fenómenos ocurre en la clase de operadores diferenciales cuadráticos elípticos. 1.2. Operadores diferenciales cuadráticos elípticos. Estudiamos aquí la clase de elíptica Operadores diferenciales cuadráticos. Es la clase de operadores pseudodiferenciales definidos en la cuantificación de Weyl (1.2.1) q(x, )wu(x) = (2η)n ei(x-y). (x+ y u(y)dydÃ3, por algunos símbolos q(x, #), donde (x, #) # Rn×Rn y n # N*, que son algunos complejos formas elípticas cuadráticas valoradas, es decir, Formularios cuadráticos complejos verificados (1.2.2) (x, â € € ¬ Rn × Rn, q(x, â € € = 0 ¬ (x, â €) = (0, 0). Primero observemos que ya que los símbolos de estos operadores son algunas formas cuadráticas, Estos son sólo algunos operadores diferenciales, que son a priori no autónomos porque sus símbolos de Weyl son de valor complejo. Como se mencionó anteriormente, el armónico rotado oscilador es un ejemplo de tal operador ya que tenemos D2x + e (+)x2 = (+)x2 °C, 0 < 1 °C < 1 °C, si Dx = i - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. Este operador es un ejemplo muy simple de operador no autónomo para que hemos notado en la simulación numérica anterior que se produce algunos fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones por sus altas energías. Estos fenómenos han sido estudiados en varios trabajos recientes. Podemos mencionar en particular las obras de L.S. Boulton [1], E.B. Davies [3], K. Pravda-Starov [10] y M. Zworski [18], que han dado una buena comprensión de estos fenómenos. Una pregunta, que ha sido el origen de este trabajo, ha sido estudiar si estos fenómenos propios del oscilador armónico rotado son representativos, o no, de lo que ocurre más generalmente en la clase de operadores diferenciales cuadráticos elípticos en todas las dimensiones. Hemos intentado responder a las siguientes preguntas: - ¿Siempre se producen fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones? ciones para las altas energías de estos operadores? - Si no es el caso, ¿es posible dar una condición necesaria y suficiente a los símbolos Weyl de estos operadores, que garantiza su estabilidad espectral? - ¿Podemos describir con precisión la geometría, que separa las regiones de la sets de resolución donde los resueltos de estos operadores explotan en la norma de los que mantienen un control en sus tamaños? Para entender estos fenómenos de estabilidad espectral o inestabilidad, necesitamos estudiar las propiedades microlocales, que gobiernan estos fenómenos en la clase de elíptica cuadrática operadores diferenciales. Mencionemos que es M. Zworski quien subrayó por primera vez en [18] el estrecho vínculo entre estas cuestiones de inestabilidades espectrales y algunos resultados de análisis microlocal sobre la solvabilidad de los operadores pseudodiferenciales. 1.3. Seudoespectro semiclásico. Para responder a estas preguntas anteriores, es interesante utilizar un entorno semiclásico y estudiar una noción de pseudoespectro en este nuevo entorno. Definimos para una familia semiclásica (Ph)0<h≤1 de operadores en L2(Rn), con un dominio D, las siguientes nociones de pseudoespectra semiclásica. Definición 1.3.1. Para todos los μ ≥ 0, el conjunto Łscμ (Ph) = c > 0, c > 0, h0 > 0, c > 0 < h < h0, c > (Ph − z)−1 ≥ Ch se llama pseudoespectro semiclásico del índice μ de la familia semiclásica (Ph)0<h≤1. El pseudoespectro semiclásico del índice infinito está definido por (Ph) =............................................................................................................................................................................................................................................................ Łscμ (Ph). Con esta definición, los puntos en el complemento del pseudoespectro semiclásico de índice μ son los puntos del plano complejo donde tenemos el siguiente control de la norma del resueltor para valores suficientemente pequeños del parámetro semiclásico h, 1.3.1) C > 0, H0 > 0, H0 0 < h < h0, H(Ph − z)−1 < Ch. Para demostrar la existencia de pseudoespectro semiclásico de índice μ, vamos a estudiar la Cuestión de la existencia de cuasimodos semiclásicos (1.3.2) C > 0, H0 > 0, H > 0, H < h0, D, L2(Rn) = 1 y Phuh − zuhâL2(Rn) ≤ Chμ, en algunos puntos z del conjunto de resueltor, que se puede considerar como algunos “casi eigen- valores” en O(hμ) en el límite semiclásico. Observemos que la definición elegida aquí para las nociones de pseudoespectra semiclásica difieren de la dada en [5] para un operador semiclásico pseudodiferencial. De hecho, hemos elegido una definición para pseudoespectativas semiclásicas inspiradas en la observación hecha p.388 en [5], porque este la definición sólo depende de las propiedades del operador semiclásico en lugar de su símbolo. El interés de trabajar en un entorno semiclásico es una cuestión de geometría. Podemos explicar esta elección por el hecho de que es más fácil para una elíptica diferencial cuadrático oper- ator q(x)w para describir la geometría de pseudoespectro semiclásico de su asociado operador semiclásico (q(x, hÃ3r)w)0<h≤1, que para describir directamente la geometría de su Seudoespectra. El entorno semiclásico está especialmente bien adaptado para el estudio de operadores diferenciales elípticos cuadráticos porque existe un simple vínculo entre este escenario semiclásico y el cuántico. De hecho, el uso de que los símbolos de estos operadores son algunas formas cuadráticas q, obtenemos del cambio de variables, y = h1/2x con h > 0, la siguiente identidad entre el operador cuántico q(x, )w y su operador semiclásico asociado (q(x, hÃ3)w)0<h≤1, 1.3.3) q(x, )w − z q(y, hη)w − z esta identidad permite obtener alguna información acerca de la norma del resueltor comportamiento del operador cuántico q(x, )w − z si tenemos alguna información sobre pseudoespectro semiclásico para su semi- Operador clásico. Mencionemos, por ejemplo, que si un número complejo no cero z pertenece al pseudoespectro semiclásico del índice infinito del operador (q(x, h)w)0<h≤1, la identidad (1.3.3) induce a que la norma del operador cuántico hacia arriba a lo largo de la semilínea zR+ con una velocidad más rápida que cualquier polinomio 1.3.4) N N N, C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − zη ) -1 ≥ CηN, y esto, incluso si esta media línea zR+ no intersecta el espectro de la ópera- a la inversa, en el caso de z 6° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° q(y, hη)w , z 6= 0 y 0 ≤ μ ≤ 1, la identidad (1.3.3) muestra que podemos encontrar algunas constantes positivas C1 y C2 tales que la resolución del operador q(x, )w permanece limitada en la norma en algunas regiones del conjunto de resolución de la forma (1.3.5) C : u ≥ C1, d(, u) ≤ C2proju1 # C # # # # C # # # C # # # # C # # # # # C # # # # # C # # # # # # C # # # # # C # # # # # C # # # # # # # C # # # # # C # # # # # # C # # # # # # # # C # # # # # # # # # # # C # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q(x, )w donde = zR+ y projóu representa la proyección ortogonal de u sobre el cerrado Semilínea. De hecho, obtenemos de (1.3.1) y (1.3.3) que °C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − ηeiargz < C1, que induce a que para todos v â € D q(x, )w y η ≥ η0, q(x, )w − ηeiargz L2(Rn) ≥ C−1η1vÃ3l2(Rn), q(x, )w significa el dominio del operador q(x, )w. A continuación, podemos encontrar un constante 0 ≥ 1 tal que si z ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w projeiargzR+ z ≥ η0. Esto induce a utilizar las estimaciones anteriores y la desigualdad triangular que si z pertenece a ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w tenemos para todos v. D. q(x, )w q(x, )w − z q(x, )w − projeiargzR+ z eiargzR+, z â € â € TM € TM TM L2 ≥ 2−1C−1projeiargzR+ z 1vÃ3l2 ≥ 2−1C−1η10 porque μ ≤ 1. Esta última estimación muestra que el resueltor del operador q(x, )w es limitada en la norma por 2Cη 0 en el set ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w Notamos que dependiendo directamente del valor del índice μ, 0 ≤ μ < 1, el anterior set contiene más o menos profundamente en su interior la media línea {u C : u ≥ 0, u zR®. Este hecho explica por qué en el siguiente vamos a precisar cuidadosamente el índice de la pseudoespectro semiclásico al que no pertenece un punto cuando no hay pseudoespectro semiclásico de índice infinito en ese punto. 2. Declaración de los resultados 2.1. Algunas anotaciones y algunos hechos preliminares sobre elíptica cuadrática operadores diferenciales. Comencemos dando algunas anotaciones y recordando conocidos resultados sobre operadores diferenciales elípticos cuadráticos. Dejar q ser un valor complejo forma elíptica cuadrática q : Rnx × Rn® → C (x, â € € ¢) 7→ q(x, â € € ·), con n.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N. una forma cuadrática de valor complejo que verifica (1.2.2). El número rango de فارسى(q) de q se define por el subconjunto en el plano complejo de todos los valores tomados por este símbolo 2.1.1) فارسى(q) = q(Rnx × Rn® ), y el mapa de Hamilton F M2n(C) asociado a la forma cuadrática q es única definida por la identidad 2.1.2) q (x, ); (y, η) (x, ), F (y, η) , (x, â € € ~ R2n, (y, η) ~ R2n, donde q significa la forma polar asociada a la forma cuadrática q y forma simpléctica en R2n, 2.1.3) (x, ), (y, η) = •.y − x.η, (x, •) • R2n, (y, η) • R2n. Primero observemos que este mapa de Hamilton F es simétrico con respecto a . Esto es sólo una consecuencia de las propiedades de sesgo-simetría de la forma simplética y simetría de la forma polar 2.1.4) X, Y, R2n, (X, FY ) = q(X ;Y ) = q(Y ;X) = (Y, FX) = (FX, Y ). Bajo esta suposición de elipticity, el rango numérico de una forma cuadrática puede Sólo tomar algunas formas muy particulares. Es una consecuencia del siguiente resultado: probado por J. Sjöstrand (Lemma 3.1 en [14]), Proposición 2.1.1. Let q : Rnx × Rn® → C una forma cuadrática elíptica de valor complejo. Si n ≥ 2, entonces existe z C* tal que Re(zq) es un positivo definido cuadrático forma. Si n = 1, el mismo resultado se cumple si asumimos que además de eso 6= C. Esta proposición muestra que el rango numérico de una forma cuadrática elíptica sólo puede Toma dos formas. La primera forma posible es cuando Ł(q) es igual a todo el complejo avión. Este caso sólo puede ocurrir en la dimensión n = 1. La segunda forma posible es cuando فارسى(q) es igual a un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura estrictamente inferior a η. Gráfico 2 Forma del rango numérico فارسى(q) cuando فارسى(q) 6= C. فارسى(zq) De hecho, si فارسى(q) 6= C, usando que el conjunto فارسى(q) es un semi-cono tq(x, ) = q( n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, porque q es una forma cuadrática, tenemos (q) = R+z si z es el número complejo no cero dado por la proposición 2.1.1 y I es el compacto intervalo I = 1 + i Im(zq)(K), donde K es el siguiente subconjunto compacto de R2n, (x, â € € ¢ R2n : Re(zq)(x, â €) = 1 La compacidad de K es una consecuencia directa del hecho de que Re(zq) es un positivo forma cuadrática definida. Los operadores diferenciales cuadráticos elípticos definen algunos operadores Fredholm (ver Lemma 3.1 en [6] o Teorema 3.5 en [14]), (2.1.1) q(x, )w + z : B → L2(Rn), donde B es el espacio Hilbert (2.1.6) u L2(Rn) : xαDβxu L2(Rn) si ≤ 2 con la norma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 *xαDβxu*2L2(Rn). El índice Fredholm del operador q(x, )w + z es independiente de z y es igual a 0 si n ≥ 2. En el caso donde n = 1, este índice puede tomar los valores −2, 0 o 2. Más precisamente, este índice es siempre igual a 0 si فارسى(q) 6= C. En lo siguiente, siempre vamos a asumir que فارسى(q) 6= C. Bajo esta suposición, J. Sjöstrand ha demostrado en el teorema 3.5 en [14] (véase también Lemma 3.2 y Teorema 3.3 en [6]) que el espectro de un operador diferencial cuadrático elíptico q(x)w : B → L2(Rn), sólo se compone de valores propios con multiplicidad finita (2.1.7) q(x, )w (F), −i(q)0} r + 2kl (-i.o.p.) : k.o.p. donde F es el mapa Hamilton asociado a la forma cuadrática q y r sión del espacio de autovectores generalizados de F en C2n pertenecientes al valor propio C. Tengamos en cuenta que los espectros de estos operadores están siempre incluidos en el rango numérico de sus símbolos Weyl. Para terminar esta revisión de las propiedades preliminares del diferencial elíptico cuadrático oper- ators, vamos a subrayar que la propiedad de la normalidad en esta clase de operadores puede ser fácil de controlar computando el soporte de Poisson de la parte real y el imaginario parte de sus símbolos 2.1.8) {Re q, Im q} = *Re q* • Im q *Re q* • Im q Proposición 2.1.2. Un operador diferencial cuadrático elíptico q(x, â € ¢)w : B → L2(Rn), n â € N*, es normal si y sólo si la forma cuadrática definida por el soporte de Poisson de la real parte y la parte imaginaria de su símbolo es igual a cero 2.1.9) (x, •) • R2n, {Re q, Im q}(x, •) = 0. Prueba de la Proposición 2.1.2. Esta proposición es una consecuencia directa de la composición fórmula en el cálculo de Weyl (ver Teorema 18.5.4 en [7]), que induce que el Weyl símbolo del conmutador [qw, (qw)*] = [qw, qw] = −2i[(Re q)w, (Im q)w], es igual a −2i(Re q • Im q − Im q • Re q) = −2{Re q, Im q}, porque Re q e Im q son algunas formas cuadráticas. La notación Re q Im q stands para el símbolo Weyl del operador obtenido por composición (Req)w(Imq)w. Observación. Notemos que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson (ver (21.1.4) en [7]), 2.1.10) {(Re q) • χ, (Im q) • = {Re q, Im q} • χ, si χ representa una transformación simpléctica lineal de R2n, implica que la condición 2.1.9) es simplécticamente invariante. 2.2. Declaración de los principales resultados. Consideremos una diferencia cuadrática elíptica. operador neural q(x)w : B → L2(Rn). Sabemos de (2.1.7) que el espectro de este operador está contenido en el número rango de su símbolo فارسى(q). La siguiente proposición da una primera localización de la regiones donde el resueltor puede explotar en la norma y donde las inestabilidades espectrales pueden Ocurran. Proposición 2.2.1. Let q : Rn × Rn → C, n • N*, ser una elíptica de valor complejo Forma cuadrática. Tenemos 6° ° ° ° ° (q), q(x, )w − z ≤ 1 z.(q) donde d z.(q) representa la distancia desde z hasta el rango numérico فارسى(q). Este resultado muestra que la resolución de un operador diferencial cuadrático elíptico no puede estallar en norma lejos del rango numérico de su símbolo. Ahora sí. va a estudiar qué tipo de fenómenos pueden ocurrir en este conjunto en particular. Hay dos casos a separar según la propiedad de la normalidad o no-normalidad de la Operadora. 2.2.1. Caso de un operador normal. Consideremos una diferencia cuadrática elíptica normal. operador neural q(x)w : B → L2(Rn). Recordemos que según la proposición 2.1.2 esta propiedad de la normalidad es exactamente equivalente al hecho de que * (x, ) * R2n, {Re q, Im q}(x, ) = 0. En este caso, tenemos la fórmula clásica (1.1.1) para la norma de su resueltor (2.2.1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q(x, )w q(x, )w − z z, (q(x, )w) que induce que el Ł-pseudoespectro de este operador es exactamente igual a la Vecindad de su espectro q(x, )w z â € C : d z, (q(x, )w) ............................................................... Esta fórmula clásica (2.2.1) asegura que el resueltor no puede explotar en la norma lejos del espectro e induce a que el espectro de dicho operador sea estable en pequeñas perturbaciones. Ejemplo 1. El operador (2.2.2) q1(x, ) w = −(1 + i) + 4(−1 + i)x1ox1 + 2(−1 + i)x2ox1 + 6ix2ox2 + 2ix1°x2 + (6 + 5i)x 1 + (11 + i)x 2 + (10 + 4i)x1x2 − 2 + 5i, es un ejemplo de un operador diferencial cuadrático elíptico normal. Su espectro se da q1(x, ) (2k1 + 1) + (2k2 + 1) 4 : (k1, k2) N2 Gráfico 3 Espectro y un seudoespectro del operador q1(x, ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * فارسى(q1) Ejemplo 2. Tengamos en cuenta que cuando el rango numérico se reduce a un semilínea, el operador diferencial cuadrático elíptico q(x, )w es siempre normal desde {Re q, Im q} = z2{Re(z−1q), Im(z−1q)} = 0, si z • C* es elegido de tal manera que Im(z−1q) = 0. De hecho, el operador q(x, )w puede en este caso particular se reducirá después de una conjugación por un operador unitario en L2(Rn) a la operador + x2j), en la que j > 0 para todos los j = 1,..., n. Gráfico 4 Ejemplo de un operador diferencial cuadrático elíptico normal. 2.2.2. Caso de un operador no normal. Consideremos una elíptica no normal cuadrática operador diferencial q(x, )w : B → L2(Rn), n • N*. Suponemos en el siguiente que el rango numérico es distinto de la totalidad plano complejo 2.2.3) (q) 6= C. Como se menciona en la sección 2.1, este supuesto adicional siempre se cumple en dimensión n ≥ 2. Sólo excluye una elíptica unidimensional muy particular los operadores diferenciales cuadráticos (véase la observación que sigue a la propuesta 2.2.2 para más precisión sobre estos operadores). Bajo esta suposición adicional, el rango numérico فارسى(q) es siempre un cerrado sector angular con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a . 2.2.2.a. En el pseudoespectro en el interior del rango numérico. Consideremos el operador diferencial elíptico cuadrático semiclásico asociado (q(x, h)w)0<h≤1. Podemos construir en cada punto del interior del rango numérico (q) algunos semi- Los cuasimodos clásicos. Teorema 2.2.1. Si el operador diferencial cuadrático elíptico q(x, â € ¢)w : B → L2(Rn), n â € N*, es no-normal y verifica 6 = C entonces para todos z (q) y N N, existen H0 > 0 y una familia semiclásica (uh)0<h≤h0 L2(Rn) = 1 y â € € TMq(x, hâ €)wuh − zuhâ € L2(Rn) = O(hN ) cuando h → 0+. Este resultado induce la existencia de pseudoespectro semiclásico de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico (q). De acuerdo con (1.3.4), este resultado en el entorno semiclásico induce que el resol- norma de ventilación del operador cuántico q(x, )w explota rápidamente a lo largo de todas las medias líneas perteneciente al interior del rango numérico (q), 2.2.4) lz (q), N+N+N, C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − zη )-1 ≥ CηN. Deducimos de (2.1.7) que tan pronto como un operador diferencial cuadrático elíptico es no normal su resolución explota en norma en algunas regiones de la resolución establecida lejos de su espectro. Este hecho induce que las altas energías de tal operador son muy inestable bajo pequeñas perturbaciones como ya hemos notado en el número cálculo realizado para el oscilador armónico rotado. De ello se deduce que en la clase de los operadores diferenciales elípticos cuadráticos1 la propiedad de la estabilidad espectral es exactamente equivalente a la propiedad de la normalidad: (q(x, )w) es estable por debajo de q(x, )w es un normal {Re q, Im q} = 0. Operador de pequeñas perturbaciones Por estabilidad espectral, queremos decir aquí que la resolución de estos operadores no puede soplar en la norma lejos de sus espectros. Agreguemos que no es muy sorprendente tener esta propiedad de la estabilidad espectral bajo el supuesto de la normalidad, pero vale la pena 1Si excluimos los casos particulares unidimensionales mencionados anteriormente. notando que tan pronto como esta propiedad es violada, ocurre en esta clase de operadores algunas fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones por sus altas energías. Ejemplos. Los dos operadores siguientes: (2.2.5) q2(x, ) w = 2x1 − 2 + 4ix2°x2 + 2x 1 + (4 + i)x 2 + 4x1x2 + 2i (2.2.6) q3(x, ) w = −(1 + i) + 4(−1 + i)x1ox1 + 2(1− i)x2ox1 − 4ix1ox2 + (9 + 4i)x21 + (2 + i)x 2 − 4(1 + i)x1x2 − 2 + 2i, son algunos ejemplos de operadores diferenciales cuadráticos elípticos no normales. 2.2.2.b. En el pseudoespectro en el límite del rango numérico. Vamos ahora. estudiar lo que ocurre en el límite del rango numérico (q) para un no-normal Operador diferencial cuadrático elíptico q(x)w : B → L2(Rn). Mencionemos que nosotros siempre asumimos que 6= C. Bajo estas suposiciones, el límite de la gama numérica se compone de la unión del origen 0 y dos Semilíneas 1 y 2, (2.2.7) (q) = {0} 1 2, que podemos escribir (2.2.8) •1 = z1R + y +2 = z2R + con z1, z2 (q) \ {0}. Tenemos que definir una noción de orden para el símbolo q(x, ) en estas dos medias líneas. j = 1, 2. Comencemos recordando la definición clásica del orden k(x0, +0) de una Signatura p(x, •) en un punto (x0, •0) • R2n (véase la sección 27.2, capítulo 27 en [7]). Esto orden k(x0, â € ¢ 0) es un elemento del conjunto N â € € € definido por (2.2.9) k(x0, +0) = sup j Z: pI(x0, +0) = 0, +1 ≤ I ≤ j donde I = (i1, i2,..., ik) {1, 2}k, I = k y pI significa el Poisson iterado paréntesis pI = Hpi1Hpi2...Hpik−1 pik, donde p1 y p2 son respectivamente la parte real y la parte imaginaria del símbolo p, p = p1 + ip2. El orden de un símbolo q en un punto z se define entonces como el máximo orden del símbolo p = q − z en cada punto (x0, â € € TM = R2n verificar p(x0, +0) = q(x0, +0)− z = 0. Subrayamos que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson (2.1.10) induce la misma propiedad para el orden de un símbolo en un punto. Puesto que aquí el símbolo q es una forma cuadrática, todos los soportes Poisson iterados son también algunas formas cuadráticas. Esta propiedad de grado dos homogeneidad de estos Poisson los paréntesis inducen que el símbolo q tiene el mismo orden en cada punto de cada media línea *j, j = 1, 2. Esto permite definir el orden del símbolo q en la semi-línea definir este orden por este valor común. Mencionemos que este orden puede ser finito o infinito. Ejemplos. Uno puede comprobar fácilmente que el símbolo de Weyl 2 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C °C + 1 °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C °C °C °C + 1 °C °C °C °C °C del oscilador armónico rotado tiene un orden igual a 2 sobre las dos medias líneas R y eiR, que compone el límite de su rango numérico. El símbolo q2 de el operador definido en (2.2.5) tiene un orden igual a 2 en iR y a 6 en R C : Re z ≥ 0, Im z ≥ 0}. Por otro lado, podemos verificar que el símbolo q3 del operador definido en (2.2.6) es de orden infinito en la mitad de línea R y tiene un orden igual a 2 en e iη/4R, C*: 0 ≤ arg z ≤ η/4}. En el caso en que el símbolo es de orden finito en una media línea, j = 1, 2, tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.2.2. Si el símbolo de Weyl q(x, ) de un cuadrático elíptico no normal difiera- el operador ential es de orden finito kj en la media línea * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * entonces este orden es necesario incluso y no hay pseudoespectro semiclásico de Índice kj/(kj + 1) en Łj para el operador semiclásico asociado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * q(x, h)w Observación. Mencionemos que podemos establecer con mayor precisión que en la dimensión n ≥ 1, el orden kj es un entero uniforme de verificación 2 ≤ kj ≤ 4n− 2. Este resultado se demuestra en [12]. Al refrasear este resultado en un ajuste cuántico, se deriva de (1.3.5) y (2.1.7) que cuando el símbolo q de un operador diferencial cuadrático elíptico no normal q(x, )w es de orden finito kj en la media línea * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * entonces el resueltor de este operador permanece limitado en norma en un conjunto de los siguientes 2.2.10) C: u ≥ C1, d(j, u) ≤ C2projju donde C1 y C2 son algunas constantes positivas. Como veremos en su prueba, esta ausencia de pseudoespectro semiclásico está vinculada a algunas propiedades de la subelectricidad. Sólo subrayemos por el momento que el índice kj/(kj + 1), que aparece en este resultado es exactamente igual a la pérdida que aparece en la estimación subelíptica oculta detrás de este resultado. Sobre el caso del orden infinito, la situación es mucho más complicada. Nunca... sin embargo, podemos notar primero en este caso que no podemos esperar para probar un resultado más fuerte que una ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1. De hecho, podemos fácilmente verifique el ejemplo del operador q3(x, ) w definido en (2.2.6) que su espectro es dado por q3(x, ) (2k1 + 1) 2 + (2k2 + 1)3 8 : (k1, k2) N2 Recordamos que el espectro de este operador sólo está compuesto de valores propios y que su símbolo es de orden infinito en R. Se deriva de la estructura del espectro y (1.3.5) que si no hay pseudoespectro semiclásico de índice infinito en un punto de la media línea R, no es necesario pseudoespectro semiclásico de índice μ con un índice μ ≥ 1. De hecho, podemos probar usando un resultado de la decadencia exponencial en el tiempo para la norma de semigrupos de contracción generados por diferencial cuadrático elíptico operadores (véase [12]) que nunca hay algún pseudoespectro semiclásico del índice 1 en todas estas medias líneas de orden infinito. Mencionemos que este resultado de la la decadencia no se probará aquí, pero se explicará en el siguiente cómo induce la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1. 2.2.3. Acerca de la geometría de la ópera diferencial cuadrática elíptica-pseudoespectra Tors. Ahora vamos a explicar cuáles son las consecuencias de estos resultados en la geometría para los operadores diferenciales cuadráticos elípticos. Comencemos por la con- al lado del caso unidimensional que es un poco particular. En la dimensión n = 1, an El operador diferencial cuadrático elíptico se puede reducir después de una similitud y un conju- gation por un operador unitario al oscilador armónico o al armónico girado oscilador. Proposición 2.2.2. Consideremos q : R×R → C una cuadrática elíptica de valor complejo forma de tal manera que فارسى(q) 6= C. Para todos h > 0, existe un operador unitario (más precisamente un operador metapléctico) Uh en L 2(R), que es un automorfismo de los espacios S(R) y B, z â ° C* y â ° ° [0, η[ de modo que: h > 0, q(x, h)w = zUh (hDx) 2 + eiŁx2 U−1h. Observación. En el caso de un operador diferencial cuadrático elíptico, en el que el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia y el valor de la diferencia y el valor de la diferencia de la diferencia y el valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor del valor de la diferencia del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del q(x, )w se puede reducir después de una similitud y una conjugación por un operador unitario en L2(Rn) al operador definido en la cuantificación de Weyl por el símbolo (+ ix)(+ ηx) con η ° C, Im η > 0, • ix) • + ηx) con η • C, im η < 0, dependiendo del valor de su índice de Fredholm, que es igual a −2 en el primer caso y a 2 en el segundo. Como veremos en lo siguiente, esta propuesta nos permite reducir el estudio de un unidimensional no normal del operador diferencial cuadrático elíptico verificar (q) 6 = C, a la del oscilador armónico rotado H. = D. x + e i-x2, 0 <  < η. Mencionemos que los resultados anteriores (Teorema 2.2.1 y Teorema 2.2.2) fueron: ya conocido en el caso particular del oscilador armónico rotado. De hecho, la existencia de cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de pseu- dospectrum de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico para el operador semiclásico asociado, es una consecuencia directa de un resultado demostrado por E.B. Davies en [4] (Teorema 1). Sobre la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 2/3 sobre el límite del rango numérico, este resultado se ha demostrado para el oscilador armónico girado en [10]2. Como se demostró en [10], esta ausencia de pseudoespectro semiclásico permite dar un prueba de una conjetura declarada por L.S. Boulton en [1]. Se trata de la geometría de........................................................................................................................................................ pseudoespectra para el oscilador armónico rotado. Recordemos ahora algunos hechos sobre Esta conjetura y algunos resultados probados por L.S. Boulton en [1]. 2 Recordemos que el valor de la orden es igual a 2 en este caso. L.S. Boulton ha demostrado por primera vez (Teorema 3.3 en [1]) que el resueltor de la rotación oscilador armónico explota en norma a lo largo de toda una familia de curvas de la siguiente forma η 7→ bη + eip, donde b y p son algunas constantes positivas verificando 1/3 < p < 3, 2.2.11) - (bη + eip) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por otra parte, también demostró que la resolución de este operador sigue estando limitada en norma sobre dos medias rayas paralelas a las medias líneas R+ o e i.R.......................................................................................................................................................................................... Más precisamente, él ha demostrado que existen algunas constantes positivas d y Md tales que (2.2.12) sup , 0≤b≤d - (η + ib) ≤ Md, (2.2.13) sup , 0≤b≤d • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ Md. Estos límites proporcionan alguna información acerca de la forma de la Pseudoespectra de la El operador H. H. De hecho, L.S. Boulton ha demostrado utilizando estos resultados que para todos los suffi- El valor del parámetro positivo es muy pequeño, la pseudoespectra de la rotación. oscilador armónico está contenido en el conjunto sombreado que aparece en la siguiente figura. Los valores propios aparecen en esta figura marcada por algunos. Gráfico 5 Una primera localización de la Ł-pseudoespectra de la rotada oscilador armónico. Más precisamente, L.S. Boulton demostró que para todos los 0 < una constante positiva de tal manera que, para todos los casos, sea igual o superior a 0, 2.2.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.3) (H.3) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.14) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H. {z # C : # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # m+1 − donde n = e i-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1) C*: 0 ≤ arg z ≤ {0}. De hecho, en vista de algunos cálculos numéricos realizados por E.B. Davies en [3], L.S. Boulton ha conjeturado que el índice p = 1/3 que aparece en (2.2.11) es el uno crítico en el siguiente sentido: Consideremos 0 < p < 1/3, 0 < constantes de verificación bm,pE + e ep = m y > E, arg zη < ♥/2, donde zη = bm,pη + e ip, vamos a establecer m,p = zeiα C: η ≥ E, arg zη ≤ α ≤ arg(zηei) L.S. Boulton ha conjeturado el siguiente resultado. La conjetura de Boulton. Existen 0 > 0 tales que para todos los 0 <............................................................................................................................................. (2.2.15) {z # C : # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # C: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 2/3 en el límite de la rango numérico para el oscilador armónico rotado3 dado por el teorema 2.2.2 muestra que este índice 1/3 es realmente el crítico. De hecho, podemos deducir (2.2.15) a partir de (2.2.10) (véase [10] para más detalles) ya que aquí kj = 2, j {1, 2}. As Este teorema 2.2.2 es una consecuencia de una estimación subelíptica para la operadores semiclásicos pseudodiferenciales probados por N. Dencker, J. Sjöstrand y M. Zworski en [5] (Teorema 1.4). En el caso particular del oscil armónico rotado lator, una prueba más elemental de este resultado utilizando sólo una localización no trivial esquema en la variable de frecuencia se indica en [10]. Tengamos en cuenta que esta inclusión (2.2.15) permite dar una descripción clara de la pseudoespectro del oscilador armónico rotado, que es óptimo a la vista de (2.2.11). Gráfico 6 Forma de la seudoespectra del oscilador armónico rotado. Volviendo al caso de una dimensión arbitraria n ≥ 1, vamos a subrayar finalmente que usando el teorema 2.2.2, podemos dar descripciones similares de la فارسى-pseudoespectra para los operadores diferenciales elípticos cuadráticos no normales, al dado por L.S. Boul... ton para el oscilador armónico girado, cuando los símbolos de estos operadores son de orden finito en las dos medias líneas abiertas, que componen el límite de su numérica rangos. La única diferencia con el caso particular del oscilador armónico rotado es que los índices críticos, que aparecen en esta descripción pueden ser diferentes. De hecho, 3El orden del símbolo del oscilador armónico girado es igual a 2 en (q) \ {0}. estos índices críticos dependen directamente según (2.2.10) del orden de los símbolos en las dos semilíneas que componen el límite de sus rangos numéricos. Nos referimos a la lector a [10] para más detalles sobre la manera de obtener de (2.2.10) tales descripciones de Ł-pseudoespectra. 3. Las pruebas de los resultados Antes de dar las pruebas de los resultados indicados en la sección anterior, comencemos por recordando la propiedad de la invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl (ver Teorema 18.5.9 in [7]). Esta invarianza simpléctica es en realidad la propiedad más importante de la cuantificación de Weyl. Por cada transformación simpléctica afín χ de R2n, existe un trans- formación U sobre L2(Rn), determinada de forma única aparte de un factor constante de módulo 1, tal que U es un automorfismo de los espacios S(Rn), B y S′(Rn), donde B es el espacio Hilbert definido en (2.1.6), y (3.0.1) (a) (a) (x), (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () () () () () () () ()) () () () () () ())))) () ()))) ())))))) () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( para todos los tipos de S′(R2n). El operador U es un operador metapléjico asociado a la afina transformación simpléctica χ. Esta invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl induce la misma propiedad para la pseudoespectra semiclásica de operadores diferenciales cuadráticos elípticos en el sentido que si q : Rnx × Rn® → C, es una forma cuadrática elíptica de valor complejo y χ es una transformación simpléctica lineal de R2n, tenemos para todos los μ â € [0,â € ], (3.0.2) Íscμ (q) (x) (h) (x) (h) (h) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) = Łscμ q(x, h)w Para probar este hecho, comencemos notando que para todos un â € ¬ S ′(R2n) y h > 0, nosotros U−1h a(x, ) wUh = a(h −1/2x, h1/2®)w, donde Uhf(x) = h n/4f(h1/2x), ya que según la prueba de Teorema 18.5.9 en [7], Uh es un operador metapléctico asociado a la transformación simpléctica lineal 7→ (h-1/2x, h1/2». Consideremos ahora el caso donde el símbolo a es una forma cuadrática. La homogeneidad propiedad de tal símbolo implica que h > 0, a(h-1/2x, h1/2+) = 1 a(x, h®), h > 0, U−1h a(x, •) wUh = a(x, h)w. Si q : Rnx × Rn® → C es una forma cuadrática elíptica de valor complejo y χ es una lineal transformación simpléctica de R2n, podemos notar que (q) χ) x, h)w, h > 0, es realmente un operador diferencial cuadrático elíptico ya que el símbolo q es una elíptica Forma cuadrática. Deja que z C y U sean un operador metapléctico asociado a la lineal transformación simpléctica χ. Usando que U y Uh son algunos automorfismos de la Hilbert espacio B y 3.0.3) U−1h U −1Uhq(x, h®) wU−1h UUh = U −1hq(x, )wUUh = hU−1h (q • χ) (x, •) wUh = (q χ)(x, h)w, Obtenemos eso. U−1h U q(x, h)w − z U−1h UUh = (q • χ) (x, h • )w − z Usando finalmente ese U−1h U −1Uh es una transformación unitaria de L 2 (Rn), esta identidad implica que (q • χ) (x, h • )w − z q(x, h)w − z que prueba (3.0.2). En la siguiente, esta propiedad de la invarianza simpléctica nos permiten reducir ciertos símbolos a algunas formas normales mediante la elección de nuevo simplés coordenadas. Ahora podemos empezar a probar los resultados indicados en la sección anterior. Empecemos por la prueba de la proposición 2.2.1. Prueba de la Propuesta 2.2.1. Si el rango numérico es igual a todo el plano complejo, No hay nada que probar. Si 6= C, hemos visto en la sección anterior que la rango numérico es necesario un sector angular cerrado con un tope en 0 y una abertura Estrictamente más bajo que η. Consideremos z 6o (q) y denotemos por z0 su proyección ortogonal en el non- conjunto convexo cerrado vacío فارسى(q). De acuerdo con la forma del rango numérico, sigue que z0 pertenece a su límite y que podemos encontrar un número complejo z1 C*, z1 = 1 tal que * (z1q) * z C : Re z ≥ 0 3.0.4) z1z z C : Re z < 0 z.(q) = d(z1z, iR). Usando ahora que el operador i[Im(z1q)] w es formalmente sesgada-selfadjunta, obtenemos que para todos los u â € S(Rn), z1q(x, ) wu− z1zu, u L2(Rn) = d(z1z, iR)â € € 2L2(Rn) + z1q(x, ) L2(Rn) .(3.0,5) Entonces, puesto que la forma cuadrática Re(z1q) no es negativa, deducimos del simplés invarianza de la cuantificación de Weyl y el teorema 21.5.3 en [7] que existe un Operador metapléjico U de tal manera que z1q(x, ) = U−1 + x2j) + j=k+1 con k, l-N y 0 para todos j = 1,..., k. Mediante el uso de esa U es un operador unitario en L2(Rn), obtenemos que la cantidad z1q(x, ) L2(Rn) «DxjUu»2L2(Rn) + «xjUu» L2(Rn) j=k+1 «xjUu»2L2(Rn), no es negativo. Entonces, podemos deducir de la desigualdad Cauchy-Schwarz, (3.0.4) y (3.0.5) que para todos los u â € S(Rn), z.(q) «L2(Rn) ≤ z1 q(x, )wu− zuÃ3L2(Rn). Finalmente, usando la densidad del espacio de Schwartz S(Rn) en B y el hecho de que z1 = 1, Obtenemos eso. 6° ° ° ° ° (q), q(x, )w − z ≤ 1 z.(q) ya que de acuerdo con (2.1.7), q(x, )w • • • (q). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora consideramos el caso unidimensional, que es un poco particular. 3.1. El caso unidimensional. En dimensión n = 1, podemos reducir el estudio de formas cuadráticas elípticas de valor complejo a exactamente tres formas normales después de un simili- Tude y una verdadera transformación simpléctica lineal. Lemma 3.1.1. Let q : Rx × R. → C ser una forma cuadrática elíptica de valor complejo en dimensión 1. Entonces, existe una transformación simpléctica lineal χ de R2 tal que el símbolo q • χ es igual a una de las formas normales siguientes: i) α(­2 + eiüx2) con α ­ C*, 0 ≤ ­ η. (ii) α( + ix)( + ηx) con α C*, η C, Im η > 0. iii) α(­ ix)(­ + ηx) con α • C*, η • C, Im η < 0. En los dos últimos casos (ii) y (iii), el rango numérico (eq) es igual a la totalidad plano complejo, فارسى(q) = C. Prueba de Lemma 3.1.1. Let q : R2 → C ser una forma cuadrática elíptica de valor complejo. Consideremos en primer lugar el caso en el que el punto 6=C. Deducimos de la proposición 2.1.1 que podemos reducir nuestro estudio al caso donde Re q es un positivo definido cuadrático forma. Entonces, usando Lemma 18.6.4 en [7], podemos encontrar un verdadero trans- para reducir la forma cuadrática Re q a la forma normal Con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso Se deduce que existen algunas constantes reales a, b y c tales que q(x, •) = • x2 + â € TM 2 + i(ax2 + 2bxâ + câ € 2) Entonces, podemos elegir una matriz ortogonal P • O(2,R) diagonalizando el verdadero sim- matriz métrica asociada a la forma cuadrática ax2 + 2bx® + c®2, con.............................................................................................................................................................................................................................................................. si la matriz con determinante es igual a −1, y P = PΔ0. Se deduce que siempre podemos diagonalizar la matriz simétrica real asociado a la forma cuadrática 1Im q al conjugarlo por un elemento de SO(2,R). Dado que el grupo simplés es igual en dimensión 1 al grupo SL(2,R), podemos una transformación simpléctica lineal de R2 reducir la forma cuadrática q a x2 + 2 + i(γ1x 2 + γ2 = α(­2 + reiüx2), donde γ1, γ2 â € ¬ R, α â € C*, r > 0 y â € € â € ¬ ¬ η, η[. Notemos que la elíptica... ity de q implica en realidad que Por último, utilizando el simplético lineal real transformación (x, â € ¢) 7→ (r-1/4x, r1/4â € € ), obtenemos un símbolo de tipo (i), αr1/2(α2 + eiŁx2), en el caso de los vehículos de motor de la categoría M1 y de los vehículos de motor de la categoría M1, el valor de los vehículos de motor de la categoría M2 no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Si <  < 0, tenemos que utilizar además de la real lineal simplectic transformación (x, ) 7→ (,−x) para obtener un símbolo de tipo (i), 2 ei. (+2 + e-i.x2). Asumamos ahora que, puesto que la dimensión es igual a 1, podemos factorizar la símbolo q en C como una función polinómica de grado 2 en la variable. Por lo tanto, según a la dependencia en la variable x de los coeficientes de la función polinómica, podemos encontrar algunos números complejos............................................................................................................................................................................................................................................................. q(x, •) = α(• • • 1x)(• • • 2x). La suposición de elipticidad para la forma cuadrática q induce que Im j 6= 0, si j = 1, 2. Usando ahora la transformación simpléctica lineal (x, ) 7→ (x, + Re Ł1x), Podemos asumir que (3.1.1) q(x, ­) = α(­) − irx (­)(­ + bx), con R* e Im b 6= 0. Ahora comprobemos que la suposición (q) = C induce que r Im b < 0. Desde • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • la condición فارسى(q) = C implica que para todos (v, w) R2, existe una solución (x0, â € ~ 0) â € R2 del sistema 3.1.2) 2 + Re b x + r Im b x 2 = v (Im b− r) − r Re b x2 = w. Vamos a notar primero que la segunda ecuación de (3.1.2) se cumple para todos w R sólo si Im b 6= r. Si w 6= 0, se deduce de la segunda ecuación de (3.1.2) que x0 6= 0 y 3.1.3) 0-0 = w + r Re b x20 (Im b– r)x0 Consideremos el caso donde v = 0. Usando (3.1.3) y la primera ecuación de (3.1.2), Obtenemos eso. (w + r Re b x20) 2 + Re b (Im b− r)x20(w + r Re b x20) + r Im b (Im b− r)2x40 = 0. Podemos reescribir esta ecuación como fw(X0) = 0 si establecemos X0 = x 0 y 3.1.4) fw(X) = r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 X2 + w Re b (Im b+ r)X + w2. Por lo tanto, la condición فارسى(q) = C implica que existe para todos w 6= 0, un no negativo solución X0 de la ecuación fw(X0) = 0. Puesto que la cantidad r Im b se supone que es no-cero, primero estudiamos el caso donde r Im b > 0. En este caso, desde (3.1.5) f ′w(X) = 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 X + w Re b (Im b + r) 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 porque Im b 6= r, tenemos (3.1.6) X R+, fw(X) ≥ fw(0) = w2 > 0, si w 6= 0 y − w Re b (Im b+ r) 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 ) ≤ 0. La estimación (3.1.6) muestra que si r Im b > 0, la ecuación fw(X) = 0 no tiene solución negativa para todo el valor del parámetro w 6= 0. Esto demuestra que la condición *(q) = C induce que r Im b < 0. Usando la transformación simpléctica lineal (x, ) 7→ (r1/2x, r1/2®), Obtenemos las formas normales (ii) y (iii), r( + ix)) + ηx) con Im η > 0 y r( − ix))+ ηx) con Im η < 0, donde η = r1b. Por último, podemos comprobar fácilmente que los rangos numéricos de la normal las formas (ii) y (iii) son realmente iguales a todo el plano complejo C. Observemos que la propuesta 2.2.2 y la observación que sigue a su declaración son: algunas consecuencias directas de la propiedad de la invarianza simpléctica de la Weyl quanti- zation (véase (3.0.3)) y el lema anterior. Podemos añadir que como se demostró después de la lemma 3.1 en [6], los índices de Fredholm de la dif cuadrática elíptica unidimensional los operadores ferenciales con símbolos de tipo (i), (ii) y (iii) son respectivamente iguales a 0, -2 y 2. Como hemos mencionado en la sección anterior, los resultados del Teorema 2.2.1 y Teorema 2.2.2 ya se conocen en el caso particular del oscil armónico rotado Lator. La existencia de cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de semiclásicos pseudoespectro de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico para el operador semiclásico asociado, es una consecuencia directa de un resultado probado por E.B. Davies en [4] (Teorema 1) y; la ausencia de pseudoespectro semiclásico de 2/3 en el límite del rango numérico se ha demostrado para el ro- oscilador armónico tated en [10]4. Como hemos mencionado anteriormente (véase 2.1.10) y (3.0.2)), la propiedad de la no normalidad, el orden de los símbolos y el semiclásico pseudoespectro de los operadores diferenciales cuadráticos elípticos son simplécticamente invariantes. Estas propiedades nos permiten reducir por cualquier transformaciones simplécticas lineales reales el símbolos de los operadores diferenciales cuadráticos elípticos que consideramos en nuestra prueba de el teorema 2.2.1 y el teorema 2.2.2. Usando el lema 3.1.1, deducimos de los resultados del teorema 2.2.1 y del teorema 2.2.2 probados para el armónico girado oscilador que por lo tanto también se cumplen por todos los no-normales unidimensional el- operadores diferenciales cuadráticos lípticos con un rango numérico diferente del conjunto avión complejo. Ahora consideramos el caso multidimensional. Como veremos en el siguiente, hay un verdadero salto de complejidad entre el caso unidimensional y el multidimensional Uno. Este salto es, entre otras cosas, una consecuencia del aumento de la complejidad de geometría simpléctica en dimensión n ≥ 2 y la mayor diversidad que aparece en la clase de operadores diferenciales elípticos cuadráticos. 4 Recordemos que el valor de la orden es igual a 2 en este caso. 3.2. Caso de dimensión n ≥ 2. Sólo necesitamos estudiar el caso de un no normal. Operador diferencial cuadrático elíptico (3.2.1) q(x, )w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 2. Recordemos que en este caso, el rango numérico de sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a , y que la propuesta 2.1.2 da que (3.2.2) •(x0, •0) • R2n, {Re q, Im q}(x0, •0) 6= 0. Comencemos por estudiar lo que ocurre en el interior del rango numérico (q). 3.2.1. En el pseudoespectro en el interior del rango numérico. Para probar el existencia de cuasimodos semiclásicos para el operador semiclásico asociado dado por el teorema 2.2.1, necesitamos un primer paso puramente algebraico para caracterizar los puntos perteneciente al interior de la gama numérica. Consideremos la siguiente descomposición del rango numérico (3.2.3) Ł(q) = à B donde (3.2.4) à = z (x0, +0) R2n, z = q(x0, +0), {Re q, Im q}(x0, +0) 6= 0 (3.2.5) B z (q) : z = q(x0, â € € {Re q, Im q}(x0, â € 0) = 0 La siguiente sección está dedicada a dar una descripción geométrica de estos dos conjuntos. Nosotros establecer utilizando argumentos puramente algebraicos que (3.2.6) à = (q) y B = (q). Este resultado es una consecuencia de la geometría inducida por la configuración cuadrática a la que los símbolos estudiados pertenecen. Comencemos por notar que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson 2.1.10) induce la misma propiedad para los sets à y B Por lo tanto, podemos utilizar algunos transformación simpléctica lineal real para reducir el símbolo q. Desde {Re(zq), Im(zq)} = z2{Re q, Im q}, deducir de esta invarianza simpléctica, de la proposición 2.1.1 y del lema 18.6.4 en [7] que después de una similitud, podemos reducir nuestro estudio al caso donde (3.2.7) Re q(x, ) = j + x con j > 0 para todos los j = 1,..., n. 3.2.1.a. Descripción geométrica de los conjuntos à y B Comenzamos por probar el fol- reducción de la inclusión (3.2.8) (q) Consideremos z (q) y (x0, 0) R2n de tal manera que z = q(x0, 0). Esto es posible porque el rango numérico es un sector angular cerrado. Si z = 0, la elipticidad propiedad de q implica que (x0, +0) = (0, 0) y {Re q, Im q}(x0, +0) = 0, porque este soporte Poisson es también una forma cuadrática. Esto demuestra que z â € B¬. Si z (q) \ {0}, consideremos la solución global Y del problema lineal de Cauchy (3.2.9) Y ′(t) = HRe q Y (t) Y (0) = (x0, +0), asociado al campo vectorial Hamilton del símbolo Re q, HRe q = (­ > > r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r s r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r − Re q En realidad es un problema lineal de Cauchy ya que Re q es una forma cuadrática. Ajuste f(t) = Im q Y (t) un cálculo directo da que f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, ­0). Si f ′(0) 6= 0, podríamos encontrar t0 6= 0 tal que f(t0) > f(0) = Im z. Puesto que Y es el flujo asociado al campo vectorial Hamilton de Re q, la forma cuadrática Re q es constante debajo de él. De ello se deduce que para todos los Estados miembros, Y (t) = Re q Y (0) = Re z y proporciona una contradicción porque, puesto que z (q) \ {0}, esto implicaría a la vista de la forma de la gama numérica فارسى(q) (véase la figura 7) que Y (t0) 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, q, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, De ello se deduce que el soporte de Poisson {Re q, Im q}(x0, +0) es necesario igual a 0 y Gráfico 7 q(Y (t que z â € ¢ B¬. Esto termina con la prueba de la inclusión (3.2.8). Asumamos ahora que (3.2.10) (q) B., (q) 6= B. En este caso, podríamos encontrar (3.2.11) z â € € \ (q). Primero notemos que z es necesario no-cero desde 0 (q), y que Re z > 0, desde el (3.2.7), (3.2.12) (q) \ {0} {z) {z) C* : Re z > 0}. El hecho de que z pertenece al conjunto B (3.2.13) Re q(x, ) = Re z Im q(x, ) = Im z =. {Re q, Im q}(x, ) = 0. También sabemos que existe al menos una solución para el sistema que aparece en el lado izquierdo de (3.2.13). Desde (3.2.7), la forma cuadrática Re q es positiva definido, podemos reducir simultáneamente las formas cuadráticas Re q e Im q encontrando un isomorfismo P de R2n de tal manera que en las nuevas coordenadas y = P−1(x, ), (3.2.14) Re q(Py) = y2j e Im q(Py) = j con α1 ≤... ≤ αn. Consideremos ahora la siguiente forma cuadrática (3.2.15) p(y) = {Re q, Im q}(Py). Obtenemos de (3.2.13) y (3.2.14) que (3.2.16) j=1 y j = Re z j=1 αjy j = Im z * p(y) = 0. Subrayamos que el isomorfismo P no es a priori una transformación simpléctica y que no conserva el soporte Poisson {Re q, Im q}. Consideramos los dos conjuntos siguientes: (3.2.17) E1 = y R2n : r(y) = 0 donde (3.2.18) r(y) = (3.2.19) E2 = y R2n : p(y) = 0 El siguiente lema da una primera inclusión entre estos dos conjuntos E1 y E2. Lemma 3.2.1. Tenemos (3.2.20) E1+E2. Prueba de Lemma 3.2.1. Let y â € ¢ E1. Si y = 0 entonces y pertenece a E2 desde (3.2.15), p es una forma cuadrática en la variable y. Si y 6= 0, establecemos y2j > 0 y lj = 1,..., 2n, lj = Recordamos de (3.2.12) que z â ¬ B¬ \ (q) implica que Re z > 0. Entonces, desde entonces, una mano 2j = Re z, y que, por otra parte, tenemos de (3.2.17) y (3.2.18) que αj y2j = Im z, porque y E1, deducimos de (3.2.16) y la homogeneidad del grado 2 de la forma cuadrática p que = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = p(y) = 0. De acuerdo con (3.2.19), esto prueba que y â € E2 y termina la prueba del lema 3.2.1. Entonces, podemos notar de (3.2.14) que el límite del rango numérico (q) es dada por (3.2.21) (1 + iα1)R+ + (1 + iαn)R+. Puesto que el rango numérico فارسى(q) es un conjunto cerrado, la suposición b \ (q) (q) \ (q) \ (q) = (q), induce a partir de (3.2.21) que ]α1, αn[. Esto implica que la firma (r1, s1) de la forma cuadrática r definida en (3.2.18) cumple (3.2.22) (r1, s1) N* × N* y r1 + s1 ≤ 2n. Por lo tanto, podemos asumir después de un nuevo etiquetado que (3.2.23) r(y) = a1y 1 +...+ ar1y − ar1+1y2r1+1 −...− ar1+s1y r1+s1 con aj > 0 para todos j = 1,..., r1+ s1. De los puntos (3.2.17) y (3.2.23) se desprende que en estos puntos nuevas coordenadas, el conjunto E1 es el producto directo de un cono C adecuado de R r1+s1 y R2n−r1−s1, (3.2.24) E1 = C × R2n−r1−s1. Gráfico 8 Ahora vamos a probar que los dos conjuntos E1 y E2 son iguales (3.2.25) E1 = E2. Vamos a razonar por el absurdo al asumir que no es el caso. Entonces, podríamos encontrar del lema 3.2.1, (3.2.26) y0 E2 \ E1, y0 = (y′0, y′′0 ) con y′0 Rr1+s1, y′′0 R2n−r1−s1. Deducimos a partir de (3.2.24) que y′0 6° C. Recordemos ahora una geometría elemental hecho de que vamos a utilizar varias veces. Este hecho es que la intersección de una línea real y una superficie cuadrática real se reduce a 0, 1 o 2 puntos, o la línea es completamente contenido en la superficie cuadrática. Primero empezamos por probar que (3.2.27) Rr1+s1 × {y′′ = y′′0} E2. De hecho, consideremos el subespacio afín F = {y + R2n : y = (y′, y′′) • Rr1+s1 × R2n−r1−s1, y′′ = y′′0}. Para mayor simplicidad identificamos el espacio F al espacio Rr1+s1. Estamos de acuerdo en decir que un punto x′0 de R r1+s1 pertenece al conjunto E2 para significar que el punto (x 0 ) pertenece a el conjunto E2. Con este convenio, basta con probar la inclusión (3.2.27) considerar algunas líneas particulares de Rr1+s1, que contienen el punto y′0 definido en (3.2.26) y, que tienen una intersección con el cono C en al menos otros dos puntos diferentes u′0 y v 0 (véase la figura 9). Estas líneas son necesarias contenidas en la superficie cuadrática E2 porque del lema 3.2.1, E1 â € ¢ E2, y que hay al menos tres diferentes puntos de intersección entre estas líneas y la superficie cuadrática E2, (u′0, y 0 ) • C × R2n−r1−s1 = E1 • E2, (v′0, y′′0 ) • C × R2n−r1−s1 = E1 • E2, y (y′0, y 0 ) E2. Así, demostramos que el disco sombreado aparece en la figura 10 está completamente contenido en el conjunto E2. Usando la estructura del cono del conjunto E2, podemos deducir que todo el interior del cono C (ver Figura 11) está contenido en E2. Luego, usando de nuevo otras intersecciones particulares con algunas líneas como en la figura 12, deducimos de nuestra identificación del espacio F a Rr1+s1 que la inclusión (3.2.27) se cumple. Gráfico 9 Ahora demostramos que bajo estas condiciones, tenemos la identidad (3.228) E2 = R De hecho, vamos a considerar (0, 0 ) R2n = Rr1+s1 × R2n−r1−s1. Si 0 C, entonces (0, 0 ) E2, Gráfico 10 Estos tres puntos pertenecen a E2. La línea D está contenida en E2. Gráfico 11 porque a partir de (3.2.20) y (3.2.24), 0 ) E1 y E1 E2. Si, por otro lado 6o C, podemos elegir un punto u Rr1+s1 diferente de 0 tal que u 6o C, y tal que la línea que contiene 0 y u en R r1+s1, tiene una intersección con C en al menos dos otros diferentes puntos v y w (véase la figura 13). Por lo tanto, podemos encontrar algunos real Números t1, t2 R \ {0, 1} tales que v = (1− t1)0 + t1u C y w = (1− t2)0 + t2u C. Considerando ahora la línea (1− t)(0, 0 ) + t(u, y′′0 ) : t R podemos notar que esta línea real contiene al menos tres puntos diferentes de E2: (v, (1 − t1)0 + t1y′′0 ), (w, (1 − t2)0 + t2y′′0 ) y (u, y′′0 ). De hecho, esto es una consecuencia del hecho de que v y w pertenecen a C, y de (3.2.20), (3.2.24) y (3.2.27). Así, la línea D está contenida en la superficie cuadrática E2. Esto implica que (0, 0 ) D • E2. En resumen, hemos demostrado que si los dos conjuntos E1 y E2 son diferentes entonces la conjunto E2 es igual a R 2n. Este hecho induce en vista de (3.2.19) que la forma cuadrática p es idénticamente igual a cero. Volviendo a las primeras coordenadas (x, ) = Py, it Gráfico 12 Gráfico 13 sigue de (3.2.15) que la forma cuadrática {Re q, Im q} también es idénticamente igual a cero, que contradice (3.2.2). Esto demuestra la identidad (3.2.25), E1 = E2. Con este hecho, podemos retomar nuestro primer razonamiento por el absurdo, que asume en (3.2.11) la existencia de un punto z. Consideremos ahora y0 6o E1 = E2. Esto es posible según (3.2.2), (3.2.15) y (3.2.19). Deducimos a partir de (3.2.17) y (3.2.19) que r(y0) y p(y0) no son cero. Al considerar la posibilidad de que se produzca un cambio en la situación actual, la Comisión considera que, en el caso de que se produzca un cambio en la situación actual, no es posible que se produzca un cambio en la situación actual de la industria de la Unión. p(y0) = r(y0) (3.2.29) r‡(y) = p(y)− r(y), de los puntos (3.2.17), (3.2.19), (3.2.25) y (3.2.29) se desprende que (3.2.30) E1 • {y • R2n : rû(y) = 0}. Esta inclusión (3.2.30) es estricta desde rì(y0) = 0 y y0 6o E1. Usando ahora exactamente el mismo razonamiento que el descrito anteriormente para probar (3.2.25), sobre las intersecciones de líneas reales y superficies cuadráticas, demostramos que el forma cuadrática es necesaria idénticamente igual a cero. Luego, se deriva de (3.2.29) (3.2.31) p = r. Volviendo a las primeras coordenadas (x, ) = Py, obtenemos usando (3.2.14), (3.2.15), (3.2.18) y (3.2.31) que para todos (x, (3.2.32) {Re q, Im q}(x, •) = • Im q(x, )− Im z Re q(x, ) Consideremos ahora (x0, 0) R2n tal que q(x0, 0) (q) \ {0}. Esto es posible. ya que el rango numérico فارسى(q) es un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y un positivo apertura. Deducimos de (3.2.5) y (3.2.8) que necesariamente tenemos {Re q, Im q}(x0, +0) = 0. Esto induce de (3.2.32) que (3.2.33) Im q(x0, +0) = Re q(x0, +0), - Porque... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Puesto que de acuerdo con la forma del rango numérico فارسى(q) y (3.2.12), q(x0, â € € € € € € € € {0} € € € {z € C : Re z > 0}, la identidad (3.2.33) prueba que el punto z también pertenece al conjunto (q), pero contradice la hipótesis inicial z â € € € \ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Finalmente, esto termina nuestro razonamiento por lo absurdo y prueba (3.2.6). 3.2.1.b. Existencia de cuasimodos semiclásicos en el interior del rango numérico. Demostrar la existencia de cuasimodos semiclásicos para el semiclásico asociado operador (q(x, h)w)0<h≤1, en cada punto del interior del rango numérico (Teorema 2.2.1), utilizamos una existencia resultado de cuasimodos semiclásicos para operadores pseudodiferenciales generales que violan la condición (­)5. Mencionemos que este resultado generaliza la existencia de dos resultados de cuasimodos semiclásicos dados por E.B. Davies, en el caso de Schrödinger operadores (Teorema 1 en [4]), y por M. Zworski en [17] y [18], para la pseudodiferencial operadores. Esta existencia resultante de cuasimodos semiclásicos se puede afirmar de la siguiente manera. Déjanos considerar un símbolo semiclásico P (x, ;h) en S((x, )m, dx2 + d2) con m R+, 2 = 1 + x2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + + + + 5La definición de la condición se recuerda a continuación. donde S((x, )m, dx2 + d2) representa la siguiente clase de símbolo: S((x, )m, dx2 + d2) = a(x, â € € € € € TM Câ € TM (Rnx × Rnâ, C) : N2n, sup 0<h≤1 (x, )mx,a(x, ;h)L(R2n) < con una expansión semiclásica (3.2.34) P (x, â € ¢;h) â € € hjpj(x, ), donde pj es un símbolo de la clase S((x, )m, dx2 + d2) independiente del parámetro semiclásico h. Vamos a z C, asumimos que existe una función q0 C.b (R2n,C), donde C.B. (R.) 2n,C) representa el conjunto de funciones de valor complejo limitada en R2n con todos los derivados consolidados, y una curva bicaracterística, t [a, b] 7→ γ(t), de la parte real Re(q0(p0 − z)) del símbolo q0(p0 − z), con a < b, de manera que (3.2.35) t [a, b], q0 6= 0 y q0(γ(a)) p0(γ(a)− z > 0 > Im q0(γ(b)) p0(γ(b))− z Teorema 3.2.1. Bajo estos supuestos (3.2.34) y (3.2.35), para todos los vecinos bourhood V del conjunto compacto γ([a, b]) en R2n y para todos los N+N, existen h0 > 0 y (uh)0<h≤h0 una familia semiclásica en S(Rn) de forma que L2(Rn) = 1, FS (uh)0<h≤h0 «V» y «P» (x, hÃ3;h)wuh − zuhÃ3L2(Rn) = O(hN), cuando h → 0+. La notación FS (uh)0<h≤h0 representa el conjunto de frecuencias de la familia semiclásica- ily (uh)0<h≤h0 definido como el complemento en R 2n del conjunto compuesto por los puntos (x0, +0) R2n, para el cual existe un símbolo χ0(x, +;h) S(1, dx2 + d+2) de tal manera que χ0(x0, +0;h) = 1 y 0(x, hÃ3;h)wuhÃ3L2(Rn) = O(hí), cuando h → 0+. Esta existencia resultante de cuasimodos semiclásicos es una adaptación en un semiclásico establecimiento de la prueba aportada por L. Hörmander en [7] para demostrar que la condición condición necesaria para la solvabilidad de un operador pseudodiferencial (Teorema 26.4.7) en [7]). La existencia de este resultado se ha mencionado por primera vez en [5]. Una prueba completa de esta adaptación en un entorno semiclásico se da en [11]. Este resultado muestra que cuando el símbolo principal p0-z del símbolo P-z viola la condición (­), existe en este punto z algunos cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de semiclásico pseudoespectro del índice infinito para el operador semiclásico P (x, h;h)w. Condición. Una función de valor complejo p (R2n,C) cumple la condición (­) si no hay una función de valor complejo q.» C.» (R2n,C) de tal manera que la parte imaginaria Im(qp) de la función qp cambia el signo de valores positivos a negativos a lo largo una bicaracterística orientada del símbolo Re(qp) en el que la función q no Desaparece. Utilizando la caracterización dada en la sección anterior para el interior del rango numérico (q) (véase (3.2.4) y (3.2.6)), ahora vamos a probar que el símbolo principal q(x, ) − z del operador semiclásico q(x, h)w − z, viola la condición para todos z en (q). Esta violación de la condición inducir en vista del teorema 3.2.1 que para todos z (q) y N N, podemos encontrar un semiclásico cuasimodo (uh)0<h≤h0 S(Rn), con h0 > 0, verificando L2(Rn) = 1 y â € € TMq(x, hâ €)wuh − zuhâ € L2(Rn) = O(hN ) cuando h → 0+, que pondrá fin a la prueba del Teorema 2.2.1. Consideremos z (q). Ahora vamos a demostrar que en realidad hay un violación de la condición para el símbolo q − z. Según (3.2.4) y (3.2.6), Hay dos casos para separar. Caso 1. Asumamos que existe (x0, â € ~ 0) â € ~ R2n tal que (3.2.36) z = q(x0, +0), {Re(q − z), Im(q − z)}(x0, +0) = {Re q, Im q}(x0, +0) < 0. Al considerar la solución del siguiente problema de Cauchy (3.2.37) Y ′(t) = HRe q Y (t) Y (0) = (x0, +0), definimos la siguiente función (3.2.38) f(t) = Im q Y (t) − Im q(x0, ­0). Como se mencionó anteriormente, (3.2.37) es un problema lineal de Cauchy. De ello se deduce que su solución Y es global y que la función f está bien definida en R. Un cálculo directo utilizando (3.2.37) y (3.2.38) da que para todos los t â € R, (3.2.39) f ′(t) = {Re q, Im q} Y (t) Desde (3.2.36), (3.2.37), (3.2.38) y (3.2.39), f(0) = 0, f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, ≤0) < 0 y HRe q−Re z = HRe q, deducimos en este primer caso que la parte imaginaria de la función q − z cambia el signo, en el primer orden, de valores positivos a negativos a lo largo de la Y bicaracterística orientada del símbolo Re q-Re z. Esto demuestra que el símbolo q − z realmente viola la condición. Caso 2. Asumamos ahora que existe (x0, â € TM = 0) â € ~ R2n tal que (3.2.40) z = q(x0, +0), {Re(q − z), Im(q − z)}(x0, +0) = {Re q, Im q}(x0, +0) > 0. Consideramos, como en el caso anterior, la solución global Y del problema Cauchy (3.2.37) y la función f definida en (3.2.38). Desde (3.2.37), (3.2.38), (3.2.39) y (3.2.40), (3.2.41) f(0) = 0, f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, +0) > 0, deducimos esta vez que la parte imaginaria de la función q − z también cambia el signo, en el primer orden, a lo largo de la orientación bicaracterística Y del símbolo Re q − Re z. Sin embargo, este cambio de signo se hace de la manera “equivocada”. Es un cambio de señal. de valores negativos a positivos, lo que no induce directamente una violación de la condición. Para comprobar que realmente hay una violación de la condición () en este segundo caso, necesitamos estudiar con más precisión el comportamiento de la función Im q − Im z a lo largo de esta Y bicaracterística. Deducimos a partir de (3.2.41) que existe فارسى > 0 tal que El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 8401.b. que induce a que (3.2.42) f(l) > 0 y f(l) < 0, desde (3.2.41), f(0) = 0. Al utilizar el siguiente lema, obtenemos que para todos  > 0, existe un tiempo t0() > • tal que (3.2.43) Y t0(l) − Y () < ♥. Gráfico 14 q(Y ( ")) z = q(Y (0)) q(Y (")) Lemma 3.2.2. Si Y (t) = (x(t), (t)) es la función de resolución de la línea sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Y ′(t) = HRe q Y (t) donde Re q es el símbolo definido en (3.2.7), entonces tenemos M, M, T2 > M, Y (t0) - Y (t0 + T1) - Y (t0 + T2) - Y (t0 − T2) - Y (t0 + T2) - Y (t0 + T1) Prueba de Lemma 3.2.2. Si Y (t0) = (a1,..., an, b1,..., bn) R2n, deducimos de (3.2.7) que la función Y (t) = (x(t), •(t)) resuelve el siguiente problema de Cauchy j = 1,..., n, x′j(t) = 2 j(t) = −2đjxj(t) xj(t0) = aj j(t0) = bj. De ello se desprende que para todos los j = 1,..., n y t â € R, (3.2.44) xj(t) = bj sin 2 t− t0) + aj cos 2 t− t0) * j(t) = bj cos 2 t− t0) − aj sin 2 t− t0) Ajustando βj = j/ para todos j = 1,..., n, necesitamos estudiar dos casos diferentes. Caso 1:................................................................................................................................................... En este caso, la función Y es periódica y la el resultado de Lemma 3.2.2 es obvio. Caso 2: (β1,..., βn) 6o Qn. En este segundo caso, utilizamos el siguiente resultado clásico de Aproximación racional: > 0, l, l,..., n) Rn \Qn, p1,..., pn â ° Z, â € € ° N* tales 0 < sup j=1,...,n Si 0 < فارسى1 < 1/2, podemos encontrar por lo tanto algunos enteros p1,1,..., p1,n â € € € € €. de tal manera que 0 < sup j=1,...,n qŁ1βj − p1,j < فارسى1. j=1,...,n qŁ1βj − p1,j > 0, usando de nuevo este resultado de aproximación racional, podemos encontrar algunos otros enteros p2,1,..., p2,n â € € € ~ Z y qâ € 2 â € ~ N* tales que 0 < sup j=1,...,n qŁ2βj − p2,j < Ł2. Utilizando este proceso, construimos algunas secuencias (pm,j)mÃ3n* de Z para j = 1,..., n, (­m)m*N* de R + y (m)m*n* de N * De manera que para todos los m ≥ 2, (3.2.45) 0 < sup j=1,...,n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j=1,...,n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.2.46) 0 < Łm < Los elementos de la secuencia son necesarios dos por dos diferentes. De hecho, En caso de que se trate de k < l, esto implicaría de acuerdo con (3.2.45) y (3.2.46) que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. porque 0 < Ł1 < 1/2, lo que induciría que ♥j = 1,..., n, pk,j = pl,j porque pk,j y pl,j son algunos enteros; y contradiría (3.2.45) porque 0 < sup j=1,...,n qlβj − pl,j < ♥l ≤ j=1,...,n q­kβj − pk,j. Puesto que la secuencia (q.m.)m.m.N.* se compone de enteros dos por dos diferentes, podemos Asumir después de una posible extracción que q.m. →......................................................................................... Deducimos de: (3.2.44), (3.2.45) y (3.2.46) que Y (t0 + qŁm) → Y (t0) cuando m →. Entonces, considerando (1,..., n) = (1,...,n), obtenemos utilizando el mismo método una secuencia (qm)mÃ3n* de números enteros tales que qm → y Y (t0 − qm) → Y (t0) cuando m →. Esto termina la prueba de Lemma 3.2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde (3.2.42), f() < 0, deducimos de (3.2.38) y (3.2.43) que allí existe t0 > Ł de tal manera que f(t0) es arbitrariamente cercano a f(). De ello se desprende, en particular, que podemos encontrar t0 > Ł de tal manera que f(t0) < 0. Desde a partir de (3.2.42), f() > 0 y f(t0) < 0, deducir de (3.2.38) y (3.2.40) que la función t 7→ Im q Y (t) − Im z, cambia el signo de los valores positivos a los negativos en el intervalo [­, t0]. Esto prueba que la parte imaginaria de la función q−z cambia realmente el signo de valores positivos a los negativos a lo largo de la Y bicaracterística orientada del símbolo Re q-Re z; y que el símbolo q − z también viola en este segundo caso la condición (­). Esto termina. la prueba del teorema 2.2.1. 3.2.1.c. Otra prueba de la existencia de cuasimodos semiclásicos. En lo siguiente: líneas, damos otra prueba de la existencia de cuasimodos semiclásicos en algunos puntos del interior del rango numérico. El resultado demostrado en esta sección es más débil que la dada por el teorema 2.2.1, ya que probamos la existencia de semiclásicos cuasimodos en cada punto del interior del rango numérico sin un número finito de líneas medias particulares. Consideremos un operador diferencial cuadrático elíptico no normal (3.2.47) q(x, )w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 2. Asumimos, como antes, que (3.2.7) se cumple. Usando eso. la forma cuadrática Re q es positiva definida, podemos simultáneamente reducir los dos formas cuadráticas Re q e Im q eligiendo un isomorfismo P de R2n tal que en las nuevas coordenadas y = P−1(x, ), (3.2.48) r1(y) = Re q(Py) = y2j, r2(y) = Im q(Py) = con α1 ≤... ≤ αn. Estudiemos cuando las formas diferenciales dr1(y) y dr2(y) son depende linealmente de R i.e. cuando existan (­, μ) R2 \ {(0, 0)} de tal manera que (3.2.49) dr1(y) + μdr2(y) = 0. Se deduce de (3.2.48) y (3.2.49) que para todos j = 1,..., 2n, (3.2.50) ( j)yj = 0. Si y 6= 0, entonces existe j0 {1,..., 2n} de tal manera que yj0 6= 0. Esto implica que (3.2.51) j0 = 0. Deducimos de (3.2.50) y (3.2.51) que yj = 0 si αj 6= αj0. Por lo tanto, obtenemos que si * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R entonces las formas diferenciales dRe q y dImq son linealmente independientes en R en cada punto del conjunto q−1(z). Gráfico 15 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) Consideremos tal punto. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R Dado que la dimensión n ≥ 2, podemos aplicar el lema 3.1 en [5] (véase también el lema 8.1 en [9]). De ello se deduce que para cualquier componente compacto, conectado de q−1(z), tenemos (3.2.52) {Re q, Im q}( En el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de Liouville, en el de Liouville, en el caso de Liouville. −1(z), * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * El conjunto q−1(z) es un submanifold no vacío de codimensión 2 en R2n. Deducimos de: (3.2.4) y (3.2.6) que existen (x0, â € ~ 0) â € ~ q−1(z) de tal manera que (3.2.53) {Re q, Im q}(x0, +0) 6= 0. Entonces, se deduce de (3.2.52) y (3.2.53) que existe la existencia necesaria (x?0, 0) q−1(z) de tal manera que (3.2.54) {Re q, Im q}(x̃0, 0) < 0. Bajo esta condición (3.2.54), podemos utilizar el razonamiento dado en el primer caso estudiado. (véase (3.2.36)) para demostrar que la parte imaginaria de la función q-z cambia el signo, en el primer orden, de valores positivos a negativos a lo largo de una bicaracterística orientada de el símbolo Re q-Re z. Esto induce que el símbolo q-z viole la condición (-); y podemos concluir usando el teorema 3.2.1. Mencionemos que también podemos utilizar directamente el resultado de la existencia de cuasimodos semiclásicos dado por M. Zworski en [17] y [18]. Esta segunda prueba da la existencia de cuasimodos semiclásicos en cada punto perteneciente al conjunto (q) \ (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R 3.2.2. En el pseudoespectro en el límite del rango numérico. En esta sección, Damos una prueba del teorema 2.2.2. Consideremos una elíptica no normal cuadrática operador diferencial q(x)w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 1. Suponemos que el símbolo de Weyl q(x) es de 6 = C, y que el símbolo de Weyl q(x) es de 6 = C. orden finito kj en una media línea j, j {1, 2} (Véase la definición dada en (2.2.9), que compone el límite de su rango numérico (3.2.55) (q) = {0} 1 2. Como ya hemos hecho varias veces, podemos reducir nuestro estudio a un caso en el que (3.2.7) se cumple. Prueba del teorema 2.2.2. Consideremos el siguiente símbolo que pertenece a la C.B. (R.) 2n,C) espacio, compuesto de funciones de valor complejo limitada en R2n con todos derivados consolidados (3.2.56) r(x, ) = q(x, ) − z 1 + x2 + â € ~ 2 con z â € ¬ ¬ ¬ j. Setting (r) = r(R2n), podemos notar primero que z • (q) \ {0} • 0 • (r). Observemos también que el símbolo r cumple la condición principal-tipo en 0. De hecho, si (x0, +0) R2n fuera tal que r(x0, +0) = 0 y dr(x0, +0) = 0, obtendremos de (3.2.56) que (3.2.57) dq(x0, +0) = 0. Desde (3.2.7) y (3.2.57), tenemos dRe q(x0, +0) = 2 (x0)jdxj + (â € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Esto implicaría que (x0, +0) = (0, 0), q(x0, +0) = 0, porque q es una forma cuadrática y que j > 0 para todos j = 1,..., n. Por otro lado, desde r(x0, +0) = 0, obtenemos de (3.2.56) que q(x0, +0) = z 6= 0 porque z â € € TM â € € TM € {0}, que induce una contradicción. Se deduce que el símbolo r cumple realmente el condición de tipo principal en 0. Notemos que, ya que el símbolo q es de orden finito kj en z, esto induce en vista de (3.2.56) que el símbolo r es también de orden finito kj en 0. Por otro lado, deducimos de (3.2.7) y (3.2.56) que el conjunto {(x, ) R2n : r(x, ) = 0} = {(x, ) R2n : q(x, ) = z}, es compacto. Bajo estas condiciones, podemos aplicar el teorema 1.4 en [5], lo que demuestra que el entero kj es par y da la existencia de constantes positivas h0 y C1 de tal manera que (3.2.58) siguientes: 0 < h < h0, l/s(Rn), l/s(x, h-)wu-L2(Rn) ≥ C1h kj+1 «u» L2 (Rn). Observación. No comprobamos la condición dinámica (1.7) en [5], porque este assump- no es necesario para la prueba de Teorema 1.4. De hecho, esta prueba sólo utiliza una parte de la prueba del lema 4.1 en [5] (una parte del segundo párrafo), cuando esta condición (1.7) no es necesario. Utilizando algunos resultados de cálculo simbólico dados por Teorema 18.5.4 en [7] y (3.2.56), Podemos escribir (3.2.59) r(x, hÃ3r)w(1 + x2 + h2Ã3r2)w = q(x, hÃ3r)w − z + hr1(x, hÃ3r)w + h2r2(x, hà r)w, (3.2.60) r1(x, ) = −ix (x, •) + i • (x, ) (3.2.61) r2(x, ) = − (x, ) − 1 (x, ). Podemos comprobar fácilmente desde (3.2.56) que estas funciones r1 y r2 pertenecen al espacio C.B. (R.) 2n,C), y deducimos del teorema Calderón-Vaillancourt que existe una constante positiva C2 de tal manera que para todos los u S(Rn) y 0 < h ≤ 1, (3.2.62) â € € TM r1(x, hà r)wuâ € L2 ≤ C2â € € TM ° L2 y â € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Se deriva de (3.2.58), (3.2.59), (3.2.62) y la desigualdad triangular que para todos u S(Rn) y 0 < h < h0, kj+1 â € (1 + x2 + h2â €)wuâ € L2(Rn) ≤ r(x, h)w(1 + x2 + h22)wu®L2(Rn) ≤ C2h(1 + h) Desde la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos para todos u S(Rn) y 0 < h ≤ 1, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (1 + x2 + h2+2)wu, u L2(Rn) ≤ ≤ (1 + x2 + h2­2)wu­l2(Rn)­u­l2(Rn), lo obtenemos para todos los u-S(Rn) y 0 < h < h0, (3.2.63) C1h kj+1 â € € € L2(Rn) ≤ â € € TMq(x, hâ €)wu− zuâ € L2(Rn) + C2h(1 + h)â € € L2(Rn). Desde kj ≥ 1, deducimos de (3.2.63) que existen algunas constantes positivas h′0 y C3 de tal manera que para todos los 0 < h < h 0 y U S(Rn), •q(x, há)wu− zuÃ3L2(Rn) ≥ C3h kj+1 «u» L2 (Rn). Usando que el espacio Schwartz S(Rn) es denso en B y que el operador q(x, h)w + z, es un operador Fredholm del índice 0, obtenemos que para todos los 0 < h < h′0, q(x, h)w − z ≤ C−13 h kj+1, que termina la prueba del Teorema 2.2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sobre el caso del orden infinito, la situación es mucho más complicada. As no podemos esperar demostrar un resultado más fuerte que la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1, pero en realidad podemos probar que nunca hay algunos pseudoespectro semiclásico del índice 1 en cada media línea de orden infinito, por utilización de un resultado de decaimiento exponencial en el tiempo para la norma de semigrupos de contracción generado por operadores diferenciales elípticos cuadráticos probados en [12]. El resultado demostrado en [12] muestra que la norma de un semigrupo de contracción * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * L(L2), t ≥ 0, generado por un operador diferencial cuadrático elíptico q(x, )w con un símbolo de Weyl verificar Re q ≤ 0, â € (x0, â € € > 0) R2n, Re q(x0, â € > 0) 6= 0, disminuye exponencialmente en el tiempo (3.2.64) M,a > 0, ­t ≥ 0, ·etq(x,­) L(L2) ≤ Me−at. Consideremos un operador diferencial cuadrático elíptico no normal q(x)w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 1 de tal manera que 6= C. Explicamos en las siguientes líneas cómo (3.2.64) permite demostrar que nunca hay un pseudoespectro semiclásico del índice 1 en cualquier media línea abierta que componga el límite del rango numérico (q) \ {0}. Que z â € € TM € TM TM (q) € ~ 0}. Debido a que el rango numérico es un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a (3.2.65) Re(­iz­−1q) ≤ 0, ≤ (­0,­0) R2n, Re­iz­-1q) (­0,­0) 6= 0. Utilizando el teorema 2.8 en [2], obtenemos que para todos η R, q(x, )w − ηz = − iz−1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = − iz−1 e-isesŁiz −1q(x)wds.(3.2.66) De los puntos (3.2.64) y (3.2.65) se deduce que, para todos los puntos, q(x, )w − ηz ≤ z1 # # # Es # # # # Es # # # # # Es # # # # Es # # # # # Es # # # # Es # # # Es # # −1q(x)w°L(L2)ds ≤ z1 Me-asds = z1M > > >, que demuestra la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1 en la semilínea zR. En realidad podemos utilizar el teorema 2.8 en [2] porque iR • C \ • * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, si no fuera así, deduciríamos de (2.1.7) que existe B \ {0} y - 1q(x, )wu0 = iŁ0u0. Dado que desde (3.2.65), la forma cuadrática −Re(?iz−1q) no es negativa, deducimos de la invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl y el teorema 21.5.3 en [7] que existe un operador metapléctico U tal que (3.2.67) − * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = U−1 + x2j ) + j=k+1 con k, l-N y 0 para todos j = 1,..., k. Mediante el uso de esa U es un operador unitario en L2(Rn), obtenemos que 0 = − Re(iü0u0, u0)L2 = − Re * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * U0, u0 • DxjUu0­2L2 + • xjUu0­2L2 j=k+1 «xjUu0»2L2, que induce que u0 = 0, porque a partir de (3.2.65) y (3.2.67), k + l ≥ 1. De ello se desprende: a partir de (2.1.7) que existe.......................................................................................................................................................................................................................................................... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * C: Re z ≤ 0}. Bibliografía [1] L.S.Boulton, semigrupos de osciladores armónicos no autoadjuntos y pseudoespectra, J. Operador Teoría, 47, 413-429 (2002). [2] E.B.Davies, Semigrupos de un parámetro, Academic Press, Londres (1980). [3] E.B.Davies, Pseudoespectra, el oscilador armónico y resonancias complejas, Proc. R. Soc. Lond. A, 455, 585-599 (1999). [4] E.B.Davies, Estados semiclásicos para operadores Schrödinger no autónomos, Comm. Matemáticas. Phys., 200, 35-41 (1999). [5] N.Dencker, J.Sjöstrand, M.Zworski, Pseudoespectra de Semiclásica (Pseudo-)Diferente Op- Erators, Comm. Pura Appl. Math., 57, 384-415 (2004). [6] L.Hörmander, una clase de operadores pseudodiferenciales hipoelípticos de doble carácter, Matemáticas. Ann., 217, 165-188 (1975). [7] L.Hörmander, El análisis de los operadores diferenciales parciales lineales (vol. I, II, III, IV), Springer Verlag (1985). [8] T.Kato, Teoría de la Perturbación para Operadores Lineales, Springer-Verlag, Berlín (1980). 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Caso de la dimensión n 2 Bibliografía

Estudiamos el pseudoespectro de una clase de diferencial no autoadjunto operadores. Nuestro trabajo consiste en un estudio detallado de las propiedades microlocales, que rigen los fenómenos de estabilidad espectral o inestabilidad que aparecen bajo pequeñas perturbaciones para los operadores diferenciales cuadráticos elípticos. La clase de Los operadores diferenciales cuadráticos elípticos representan la clase de operadores definido en la cuantificación de Weyl por símbolos cuadráticos elípticos de valor complejo. En este documento establecemos una condición simple, necesaria y suficiente sobre el Símbolo Weyl de estos operadores, que garantiza la estabilidad de sus espectros. Cuando se viola esta condición, demostramos que ocurre algo fuerte espectral la inestabilidad de las altas energías de estos operadores, en algunas regiones que puede estar lejos de sus espectros. Damos una descripción geométrica precisa de ellos, lo que explica los resultados obtenidos para estos operadores en algunos simulaciones numéricas que dan el cálculo de valores propios falsos lejos de sus espectros por algoritmos para la computación de valores propios.

Introducción 1.1. Hechos diversos sobre el pseudoespectro. En los últimos años, ha habido mucho interés en estudiar el pseudoespectro de los operadores no autónomos. Los El estudio de esta noción se ha iniciado notando que para ciertos problemas de Por otra parte, en el marco de la política de investigación y desarrollo tecnológico, la Comisión adoptó una serie de medidas destinadas a mejorar la calidad de los servicios de investigación y desarrollo en el ámbito de las tecnologías de la información y de la comunicación en el ámbito de las tecnologías de la información y de la comunicación. El análisis espectral no coincide con las simulaciones numéricas. Este hecho deja pensar que en algunos casos el único conocimiento del espectro de un operador no es suficiente para entender suficientemente su acción. Para complementar esta falta de información contenida en el espectro, algunos nuevos subconjuntos del plano complejo llamado pseudoespectra tienen se ha definido. La idea principal sobre la definición de estos nuevos subconjuntos es que es interesante para estudiar no sólo los puntos en los que la resolución de un operador no es de- multado, es decir. su espectro, pero también donde este resueltor es grande en la norma. Esto explica la siguiente definición de la matriz o del operador A, •(A) = z • C, • (zI −A)−1 • ≥ 1 si escribimos por convención que (zI − A)−1• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • que pertenezcan al espectro A) del operador. Mencionemos que existe una abundante literatura sobre esta noción de pseu- Dospectrum. Nos referimos aquí a la definición y algunas propiedades generales de pseu- dospectra al periódico [15] de L.N. Trefethen. También vamos a señalar el más reciente libro publicado [16], que elabora una amplia visión general de este tema y da un muchas ilustraciones. Según la definición anterior, el estudio de la pseudoespectra de un operador es estudiar exactamente las líneas de nivel de la norma de su resuelto. Lo que es interesante en estudiar tales líneas de nivel es que da alguna información sobre la estabilidad espectral http://arxiv.org/abs/0704.0324v1 del operador. De hecho, pseudoespectra se puede definir de una manera equivalente en términos de espectros de perturbaciones del operador. Por ejemplo, tenemos para cualquier A Mn(C), (A) = {z • C, z • • (A + B) para algunos B • Mn(C) con • B ≤. De ello se deduce que un número complejo z pertenece al Ł-pseudoespectro de una matriz A si y sólo si pertenece al espectro de una de sus perturbaciones A + B con B ≤. Más generalmente, si A es un operador lineal cerrado sin límites con un dominio denso en un complejo Hilbert espacio H, el resultado de Roch y Silbermann en [13] da que •(A) = BÓL(H), BÓL(H) (A + B), donde L(H) representa el conjunto de operadores lineales limitados en H. A partir de este segundo descripción, entendemos el interés en estudiar tales subconjuntos si queremos, por ejemplo Para calcular numéricamente algunos valores propios de un operador. De hecho, empezamos a hacer Discretizando a este operador. Esta discretización y los inevitables errores de redondeo generará algunas perturbaciones del operador inicial. Eventualmente, algoritmos para eigenvalues computing determinará los valores propios de una perturbación de la inicial operador, es decir, un valor en un Ł-pseudoespectro del operador inicial, pero no necesariamente uno espectral. Esto explica por qué es importante en tales cálculos numéricos para Entender si la Pseudoespectra de los operarios estudiados contiene más o menos profundamente sus espectros. Vamos a notar primero que este estudio es a priori no trivial sólo para no-autoadjunto los operadores, o más precisamente para los operadores no normales. De hecho, tenemos para un normal operador Una expresión exacta de la norma de su resueltor dada por la siguiente fórmula clásica (véase, por ejemplo, (V.3.31) en [8]), (1.1.1) 6° (A), (zI −A)−1° = 1 z, (A) donde d z, (A) representa la distancia entre z y el espectro del operador, cuando A es un operador lineal cerrado sin límites con un dominio denso en un complejo Espacio Hilbert. Esta fórmula demuestra que la resolución de un operador normal no puede Explotar lejos de su espectro. Garantiza la estabilidad de su espectro bajo pequeño las perturbaciones debido a que el Pseudoespectro es exactamente igual en este caso a la Pseudoespectro barrio del espectro 1.1.2) (A) = z â € C : d z, (A) Sin embargo, es bien sabido que esta fórmula (1.1.1) no es más cierto para los no-normales operadores. Para estos operadores, puede ocurrir que sus resueltos son muy grandes en norma lejos de sus espectros. Esto induce a que los espectros de estos operadores pueden ser muy inestable bajo pequeñas perturbaciones. Para ilustrar este hecho, consideremos la el caso del oscilador armónico rotado y el siguiente cálculo numérico de su espectro. El oscilador armónico girado es un simple ejemplo de elíptica cuadrática operador diferencial Hc = D x + cx 2, Dx = i -1 ° x, con c = eiň/4. El cálculo numérico se realiza en la discretización de la matriz (Hcéi,JJ)L2(R) 1≤i,j≤N donde N es un número entero tomado igual a 100 y (­j)jÃ3n* significa la base de L compuesta por funciones de Hermite. Los puntos negros que aparecen en este soporte de computación para los valores propios calculados numéricamente. Podemos notar en esta simulación numérica que las bajas energías computadas están muy cerca de las teóricas desde el espectro Gráfico 1 Computación de algunas líneas de nivel de la norma de la resolución ventilación (Hc− z)−1 = 1 para el oscilador armónico rotado Hc con c = eiň/4. La columna de la derecha da los valores correspondientes de log10. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 dim = 100 del oscilador armónico rotado sólo se compone de valores propios regularmente espaciados en la semilínea eiň/8R, (Hc) = {eiη/8(2n+1): n {N}. Sin embargo, notamos que ya no es verdad para las altas energías. Ocurre para ellos. algunas fuertes inestabilidades espectrales, que conducen al cálculo de “falsos valores propios” lejos de la mitad de la línea eiň/8R. Mencionemos que algunos cálculos comparables se puede encontrar en [3]. En este artículo, estamos interesados en estudiar cuándo y cómo tipo de fenómenos ocurre en la clase de operadores diferenciales cuadráticos elípticos. 1.2. Operadores diferenciales cuadráticos elípticos. Estudiamos aquí la clase de elíptica Operadores diferenciales cuadráticos. Es la clase de operadores pseudodiferenciales definidos en la cuantificación de Weyl (1.2.1) q(x, )wu(x) = (2η)n ei(x-y). (x+ y u(y)dydÃ3, por algunos símbolos q(x, #), donde (x, #) # Rn×Rn y n # N*, que son algunos complejos formas elípticas cuadráticas valoradas, es decir, Formularios cuadráticos complejos verificados (1.2.2) (x, â € € ¬ Rn × Rn, q(x, â € € = 0 ¬ (x, â €) = (0, 0). Primero observemos que ya que los símbolos de estos operadores son algunas formas cuadráticas, Estos son sólo algunos operadores diferenciales, que son a priori no autónomos porque sus símbolos de Weyl son de valor complejo. Como se mencionó anteriormente, el armónico rotado oscilador es un ejemplo de tal operador ya que tenemos D2x + e (+)x2 = (+)x2 °C, 0 < 1 °C < 1 °C, si Dx = i - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. - 1o x. Este operador es un ejemplo muy simple de operador no autónomo para que hemos notado en la simulación numérica anterior que se produce algunos fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones por sus altas energías. Estos fenómenos han sido estudiados en varios trabajos recientes. Podemos mencionar en particular las obras de L.S. Boulton [1], E.B. Davies [3], K. Pravda-Starov [10] y M. Zworski [18], que han dado una buena comprensión de estos fenómenos. Una pregunta, que ha sido el origen de este trabajo, ha sido estudiar si estos fenómenos propios del oscilador armónico rotado son representativos, o no, de lo que ocurre más generalmente en la clase de operadores diferenciales cuadráticos elípticos en todas las dimensiones. Hemos intentado responder a las siguientes preguntas: - ¿Siempre se producen fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones? ciones para las altas energías de estos operadores? - Si no es el caso, ¿es posible dar una condición necesaria y suficiente a los símbolos Weyl de estos operadores, que garantiza su estabilidad espectral? - ¿Podemos describir con precisión la geometría, que separa las regiones de la sets de resolución donde los resueltos de estos operadores explotan en la norma de los que mantienen un control en sus tamaños? Para entender estos fenómenos de estabilidad espectral o inestabilidad, necesitamos estudiar las propiedades microlocales, que gobiernan estos fenómenos en la clase de elíptica cuadrática operadores diferenciales. Mencionemos que es M. Zworski quien subrayó por primera vez en [18] el estrecho vínculo entre estas cuestiones de inestabilidades espectrales y algunos resultados de análisis microlocal sobre la solvabilidad de los operadores pseudodiferenciales. 1.3. Seudoespectro semiclásico. Para responder a estas preguntas anteriores, es interesante utilizar un entorno semiclásico y estudiar una noción de pseudoespectro en este nuevo entorno. Definimos para una familia semiclásica (Ph)0<h≤1 de operadores en L2(Rn), con un dominio D, las siguientes nociones de pseudoespectra semiclásica. Definición 1.3.1. Para todos los μ ≥ 0, el conjunto Łscμ (Ph) = c > 0, c > 0, h0 > 0, c > 0 < h < h0, c > (Ph − z)−1 ≥ Ch se llama pseudoespectro semiclásico del índice μ de la familia semiclásica (Ph)0<h≤1. El pseudoespectro semiclásico del índice infinito está definido por (Ph) =............................................................................................................................................................................................................................................................ Łscμ (Ph). Con esta definición, los puntos en el complemento del pseudoespectro semiclásico de índice μ son los puntos del plano complejo donde tenemos el siguiente control de la norma del resueltor para valores suficientemente pequeños del parámetro semiclásico h, 1.3.1) C > 0, H0 > 0, H0 0 < h < h0, H(Ph − z)−1 < Ch. Para demostrar la existencia de pseudoespectro semiclásico de índice μ, vamos a estudiar la Cuestión de la existencia de cuasimodos semiclásicos (1.3.2) C > 0, H0 > 0, H > 0, H < h0, D, L2(Rn) = 1 y Phuh − zuhâL2(Rn) ≤ Chμ, en algunos puntos z del conjunto de resueltor, que se puede considerar como algunos “casi eigen- valores” en O(hμ) en el límite semiclásico. Observemos que la definición elegida aquí para las nociones de pseudoespectra semiclásica difieren de la dada en [5] para un operador semiclásico pseudodiferencial. De hecho, hemos elegido una definición para pseudoespectativas semiclásicas inspiradas en la observación hecha p.388 en [5], porque este la definición sólo depende de las propiedades del operador semiclásico en lugar de su símbolo. El interés de trabajar en un entorno semiclásico es una cuestión de geometría. Podemos explicar esta elección por el hecho de que es más fácil para una elíptica diferencial cuadrático oper- ator q(x)w para describir la geometría de pseudoespectro semiclásico de su asociado operador semiclásico (q(x, hÃ3r)w)0<h≤1, que para describir directamente la geometría de su Seudoespectra. El entorno semiclásico está especialmente bien adaptado para el estudio de operadores diferenciales elípticos cuadráticos porque existe un simple vínculo entre este escenario semiclásico y el cuántico. De hecho, el uso de que los símbolos de estos operadores son algunas formas cuadráticas q, obtenemos del cambio de variables, y = h1/2x con h > 0, la siguiente identidad entre el operador cuántico q(x, )w y su operador semiclásico asociado (q(x, hÃ3)w)0<h≤1, 1.3.3) q(x, )w − z q(y, hη)w − z esta identidad permite obtener alguna información acerca de la norma del resueltor comportamiento del operador cuántico q(x, )w − z si tenemos alguna información sobre pseudoespectro semiclásico para su semi- Operador clásico. Mencionemos, por ejemplo, que si un número complejo no cero z pertenece al pseudoespectro semiclásico del índice infinito del operador (q(x, h)w)0<h≤1, la identidad (1.3.3) induce a que la norma del operador cuántico hacia arriba a lo largo de la semilínea zR+ con una velocidad más rápida que cualquier polinomio 1.3.4) N N N, C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − zη ) -1 ≥ CηN, y esto, incluso si esta media línea zR+ no intersecta el espectro de la ópera- a la inversa, en el caso de z 6° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° q(y, hη)w , z 6= 0 y 0 ≤ μ ≤ 1, la identidad (1.3.3) muestra que podemos encontrar algunas constantes positivas C1 y C2 tales que la resolución del operador q(x, )w permanece limitada en la norma en algunas regiones del conjunto de resolución de la forma (1.3.5) C : u ≥ C1, d(, u) ≤ C2proju1 # C # # # # C # # # C # # # # C # # # # # C # # # # # C # # # # # # C # # # # # C # # # # # C # # # # # # # C # # # # # C # # # # # # C # # # # # # # # C # # # # # # # # # # # C # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q(x, )w donde = zR+ y projóu representa la proyección ortogonal de u sobre el cerrado Semilínea. De hecho, obtenemos de (1.3.1) y (1.3.3) que °C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − ηeiargz < C1, que induce a que para todos v â € D q(x, )w y η ≥ η0, q(x, )w − ηeiargz L2(Rn) ≥ C−1η1vÃ3l2(Rn), q(x, )w significa el dominio del operador q(x, )w. A continuación, podemos encontrar un constante 0 ≥ 1 tal que si z ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w projeiargzR+ z ≥ η0. Esto induce a utilizar las estimaciones anteriores y la desigualdad triangular que si z pertenece a ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w tenemos para todos v. D. q(x, )w q(x, )w − z q(x, )w − projeiargzR+ z eiargzR+, z â € â € TM € TM TM L2 ≥ 2−1C−1projeiargzR+ z 1vÃ3l2 ≥ 2−1C−1η10 porque μ ≤ 1. Esta última estimación muestra que el resueltor del operador q(x, )w es limitada en la norma por 2Cη 0 en el set ≥ 0, d(eiargzR+, u) ≤ 2−1C−1projeiargzR+u # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # # C # q(x, )w Notamos que dependiendo directamente del valor del índice μ, 0 ≤ μ < 1, el anterior set contiene más o menos profundamente en su interior la media línea {u C : u ≥ 0, u zR®. Este hecho explica por qué en el siguiente vamos a precisar cuidadosamente el índice de la pseudoespectro semiclásico al que no pertenece un punto cuando no hay pseudoespectro semiclásico de índice infinito en ese punto. 2. Declaración de los resultados 2.1. Algunas anotaciones y algunos hechos preliminares sobre elíptica cuadrática operadores diferenciales. Comencemos dando algunas anotaciones y recordando conocidos resultados sobre operadores diferenciales elípticos cuadráticos. Dejar q ser un valor complejo forma elíptica cuadrática q : Rnx × Rn® → C (x, â € € ¢) 7→ q(x, â € € ·), con n.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N.o N. una forma cuadrática de valor complejo que verifica (1.2.2). El número rango de فارسى(q) de q se define por el subconjunto en el plano complejo de todos los valores tomados por este símbolo 2.1.1) فارسى(q) = q(Rnx × Rn® ), y el mapa de Hamilton F M2n(C) asociado a la forma cuadrática q es única definida por la identidad 2.1.2) q (x, ); (y, η) (x, ), F (y, η) , (x, â € € ~ R2n, (y, η) ~ R2n, donde q significa la forma polar asociada a la forma cuadrática q y forma simpléctica en R2n, 2.1.3) (x, ), (y, η) = •.y − x.η, (x, •) • R2n, (y, η) • R2n. Primero observemos que este mapa de Hamilton F es simétrico con respecto a . Esto es sólo una consecuencia de las propiedades de sesgo-simetría de la forma simplética y simetría de la forma polar 2.1.4) X, Y, R2n, (X, FY ) = q(X ;Y ) = q(Y ;X) = (Y, FX) = (FX, Y ). Bajo esta suposición de elipticity, el rango numérico de una forma cuadrática puede Sólo tomar algunas formas muy particulares. Es una consecuencia del siguiente resultado: probado por J. Sjöstrand (Lemma 3.1 en [14]), Proposición 2.1.1. Let q : Rnx × Rn® → C una forma cuadrática elíptica de valor complejo. Si n ≥ 2, entonces existe z C* tal que Re(zq) es un positivo definido cuadrático forma. Si n = 1, el mismo resultado se cumple si asumimos que además de eso 6= C. Esta proposición muestra que el rango numérico de una forma cuadrática elíptica sólo puede Toma dos formas. La primera forma posible es cuando Ł(q) es igual a todo el complejo avión. Este caso sólo puede ocurrir en la dimensión n = 1. La segunda forma posible es cuando فارسى(q) es igual a un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura estrictamente inferior a η. Gráfico 2 Forma del rango numérico فارسى(q) cuando فارسى(q) 6= C. فارسى(zq) De hecho, si فارسى(q) 6= C, usando que el conjunto فارسى(q) es un semi-cono tq(x, ) = q( n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, porque q es una forma cuadrática, tenemos (q) = R+z si z es el número complejo no cero dado por la proposición 2.1.1 y I es el compacto intervalo I = 1 + i Im(zq)(K), donde K es el siguiente subconjunto compacto de R2n, (x, â € € ¢ R2n : Re(zq)(x, â €) = 1 La compacidad de K es una consecuencia directa del hecho de que Re(zq) es un positivo forma cuadrática definida. Los operadores diferenciales cuadráticos elípticos definen algunos operadores Fredholm (ver Lemma 3.1 en [6] o Teorema 3.5 en [14]), (2.1.1) q(x, )w + z : B → L2(Rn), donde B es el espacio Hilbert (2.1.6) u L2(Rn) : xαDβxu L2(Rn) si ≤ 2 con la norma # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 *xαDβxu*2L2(Rn). El índice Fredholm del operador q(x, )w + z es independiente de z y es igual a 0 si n ≥ 2. En el caso donde n = 1, este índice puede tomar los valores −2, 0 o 2. Más precisamente, este índice es siempre igual a 0 si فارسى(q) 6= C. En lo siguiente, siempre vamos a asumir que فارسى(q) 6= C. Bajo esta suposición, J. Sjöstrand ha demostrado en el teorema 3.5 en [14] (véase también Lemma 3.2 y Teorema 3.3 en [6]) que el espectro de un operador diferencial cuadrático elíptico q(x)w : B → L2(Rn), sólo se compone de valores propios con multiplicidad finita (2.1.7) q(x, )w (F), −i(q)0} r + 2kl (-i.o.p.) : k.o.p. donde F es el mapa Hamilton asociado a la forma cuadrática q y r sión del espacio de autovectores generalizados de F en C2n pertenecientes al valor propio C. Tengamos en cuenta que los espectros de estos operadores están siempre incluidos en el rango numérico de sus símbolos Weyl. Para terminar esta revisión de las propiedades preliminares del diferencial elíptico cuadrático oper- ators, vamos a subrayar que la propiedad de la normalidad en esta clase de operadores puede ser fácil de controlar computando el soporte de Poisson de la parte real y el imaginario parte de sus símbolos 2.1.8) {Re q, Im q} = *Re q* • Im q *Re q* • Im q Proposición 2.1.2. Un operador diferencial cuadrático elíptico q(x, â € ¢)w : B → L2(Rn), n â € N*, es normal si y sólo si la forma cuadrática definida por el soporte de Poisson de la real parte y la parte imaginaria de su símbolo es igual a cero 2.1.9) (x, •) • R2n, {Re q, Im q}(x, •) = 0. Prueba de la Proposición 2.1.2. Esta proposición es una consecuencia directa de la composición fórmula en el cálculo de Weyl (ver Teorema 18.5.4 en [7]), que induce que el Weyl símbolo del conmutador [qw, (qw)*] = [qw, qw] = −2i[(Re q)w, (Im q)w], es igual a −2i(Re q • Im q − Im q • Re q) = −2{Re q, Im q}, porque Re q e Im q son algunas formas cuadráticas. La notación Re q Im q stands para el símbolo Weyl del operador obtenido por composición (Req)w(Imq)w. Observación. Notemos que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson (ver (21.1.4) en [7]), 2.1.10) {(Re q) • χ, (Im q) • = {Re q, Im q} • χ, si χ representa una transformación simpléctica lineal de R2n, implica que la condición 2.1.9) es simplécticamente invariante. 2.2. Declaración de los principales resultados. Consideremos una diferencia cuadrática elíptica. operador neural q(x)w : B → L2(Rn). Sabemos de (2.1.7) que el espectro de este operador está contenido en el número rango de su símbolo فارسى(q). La siguiente proposición da una primera localización de la regiones donde el resueltor puede explotar en la norma y donde las inestabilidades espectrales pueden Ocurran. Proposición 2.2.1. Let q : Rn × Rn → C, n • N*, ser una elíptica de valor complejo Forma cuadrática. Tenemos 6° ° ° ° ° (q), q(x, )w − z ≤ 1 z.(q) donde d z.(q) representa la distancia desde z hasta el rango numérico فارسى(q). Este resultado muestra que la resolución de un operador diferencial cuadrático elíptico no puede estallar en norma lejos del rango numérico de su símbolo. Ahora sí. va a estudiar qué tipo de fenómenos pueden ocurrir en este conjunto en particular. Hay dos casos a separar según la propiedad de la normalidad o no-normalidad de la Operadora. 2.2.1. Caso de un operador normal. Consideremos una diferencia cuadrática elíptica normal. operador neural q(x)w : B → L2(Rn). Recordemos que según la proposición 2.1.2 esta propiedad de la normalidad es exactamente equivalente al hecho de que * (x, ) * R2n, {Re q, Im q}(x, ) = 0. En este caso, tenemos la fórmula clásica (1.1.1) para la norma de su resueltor (2.2.1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q(x, )w q(x, )w − z z, (q(x, )w) que induce que el Ł-pseudoespectro de este operador es exactamente igual a la Vecindad de su espectro q(x, )w z â € C : d z, (q(x, )w) ............................................................... Esta fórmula clásica (2.2.1) asegura que el resueltor no puede explotar en la norma lejos del espectro e induce a que el espectro de dicho operador sea estable en pequeñas perturbaciones. Ejemplo 1. El operador (2.2.2) q1(x, ) w = −(1 + i) + 4(−1 + i)x1ox1 + 2(−1 + i)x2ox1 + 6ix2ox2 + 2ix1°x2 + (6 + 5i)x 1 + (11 + i)x 2 + (10 + 4i)x1x2 − 2 + 5i, es un ejemplo de un operador diferencial cuadrático elíptico normal. Su espectro se da q1(x, ) (2k1 + 1) + (2k2 + 1) 4 : (k1, k2) N2 Gráfico 3 Espectro y un seudoespectro del operador q1(x, ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * فارسى(q1) Ejemplo 2. Tengamos en cuenta que cuando el rango numérico se reduce a un semilínea, el operador diferencial cuadrático elíptico q(x, )w es siempre normal desde {Re q, Im q} = z2{Re(z−1q), Im(z−1q)} = 0, si z • C* es elegido de tal manera que Im(z−1q) = 0. De hecho, el operador q(x, )w puede en este caso particular se reducirá después de una conjugación por un operador unitario en L2(Rn) a la operador + x2j), en la que j > 0 para todos los j = 1,..., n. Gráfico 4 Ejemplo de un operador diferencial cuadrático elíptico normal. 2.2.2. Caso de un operador no normal. Consideremos una elíptica no normal cuadrática operador diferencial q(x, )w : B → L2(Rn), n • N*. Suponemos en el siguiente que el rango numérico es distinto de la totalidad plano complejo 2.2.3) (q) 6= C. Como se menciona en la sección 2.1, este supuesto adicional siempre se cumple en dimensión n ≥ 2. Sólo excluye una elíptica unidimensional muy particular los operadores diferenciales cuadráticos (véase la observación que sigue a la propuesta 2.2.2 para más precisión sobre estos operadores). Bajo esta suposición adicional, el rango numérico فارسى(q) es siempre un cerrado sector angular con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a . 2.2.2.a. En el pseudoespectro en el interior del rango numérico. Consideremos el operador diferencial elíptico cuadrático semiclásico asociado (q(x, h)w)0<h≤1. Podemos construir en cada punto del interior del rango numérico (q) algunos semi- Los cuasimodos clásicos. Teorema 2.2.1. Si el operador diferencial cuadrático elíptico q(x, â € ¢)w : B → L2(Rn), n â € N*, es no-normal y verifica 6 = C entonces para todos z (q) y N N, existen H0 > 0 y una familia semiclásica (uh)0<h≤h0 L2(Rn) = 1 y â € € TMq(x, hâ €)wuh − zuhâ € L2(Rn) = O(hN ) cuando h → 0+. Este resultado induce la existencia de pseudoespectro semiclásico de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico (q). De acuerdo con (1.3.4), este resultado en el entorno semiclásico induce que el resol- norma de ventilación del operador cuántico q(x, )w explota rápidamente a lo largo de todas las medias líneas perteneciente al interior del rango numérico (q), 2.2.4) lz (q), N+N+N, C > 0, 0 ≥ 1, ≥ η0, q(x, )w − zη )-1 ≥ CηN. Deducimos de (2.1.7) que tan pronto como un operador diferencial cuadrático elíptico es no normal su resolución explota en norma en algunas regiones de la resolución establecida lejos de su espectro. Este hecho induce que las altas energías de tal operador son muy inestable bajo pequeñas perturbaciones como ya hemos notado en el número cálculo realizado para el oscilador armónico rotado. De ello se deduce que en la clase de los operadores diferenciales elípticos cuadráticos1 la propiedad de la estabilidad espectral es exactamente equivalente a la propiedad de la normalidad: (q(x, )w) es estable por debajo de q(x, )w es un normal {Re q, Im q} = 0. Operador de pequeñas perturbaciones Por estabilidad espectral, queremos decir aquí que la resolución de estos operadores no puede soplar en la norma lejos de sus espectros. Agreguemos que no es muy sorprendente tener esta propiedad de la estabilidad espectral bajo el supuesto de la normalidad, pero vale la pena 1Si excluimos los casos particulares unidimensionales mencionados anteriormente. notando que tan pronto como esta propiedad es violada, ocurre en esta clase de operadores algunas fuertes inestabilidades espectrales bajo pequeñas perturbaciones por sus altas energías. Ejemplos. Los dos operadores siguientes: (2.2.5) q2(x, ) w = 2x1 − 2 + 4ix2°x2 + 2x 1 + (4 + i)x 2 + 4x1x2 + 2i (2.2.6) q3(x, ) w = −(1 + i) + 4(−1 + i)x1ox1 + 2(1− i)x2ox1 − 4ix1ox2 + (9 + 4i)x21 + (2 + i)x 2 − 4(1 + i)x1x2 − 2 + 2i, son algunos ejemplos de operadores diferenciales cuadráticos elípticos no normales. 2.2.2.b. En el pseudoespectro en el límite del rango numérico. Vamos ahora. estudiar lo que ocurre en el límite del rango numérico (q) para un no-normal Operador diferencial cuadrático elíptico q(x)w : B → L2(Rn). Mencionemos que nosotros siempre asumimos que 6= C. Bajo estas suposiciones, el límite de la gama numérica se compone de la unión del origen 0 y dos Semilíneas 1 y 2, (2.2.7) (q) = {0} 1 2, que podemos escribir (2.2.8) •1 = z1R + y +2 = z2R + con z1, z2 (q) \ {0}. Tenemos que definir una noción de orden para el símbolo q(x, ) en estas dos medias líneas. j = 1, 2. Comencemos recordando la definición clásica del orden k(x0, +0) de una Signatura p(x, •) en un punto (x0, •0) • R2n (véase la sección 27.2, capítulo 27 en [7]). Esto orden k(x0, â € ¢ 0) es un elemento del conjunto N â € € € definido por (2.2.9) k(x0, +0) = sup j Z: pI(x0, +0) = 0, +1 ≤ I ≤ j donde I = (i1, i2,..., ik) {1, 2}k, I = k y pI significa el Poisson iterado paréntesis pI = Hpi1Hpi2...Hpik−1 pik, donde p1 y p2 son respectivamente la parte real y la parte imaginaria del símbolo p, p = p1 + ip2. El orden de un símbolo q en un punto z se define entonces como el máximo orden del símbolo p = q − z en cada punto (x0, â € € TM = R2n verificar p(x0, +0) = q(x0, +0)− z = 0. Subrayamos que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson (2.1.10) induce la misma propiedad para el orden de un símbolo en un punto. Puesto que aquí el símbolo q es una forma cuadrática, todos los soportes Poisson iterados son también algunas formas cuadráticas. Esta propiedad de grado dos homogeneidad de estos Poisson los paréntesis inducen que el símbolo q tiene el mismo orden en cada punto de cada media línea *j, j = 1, 2. Esto permite definir el orden del símbolo q en la semi-línea definir este orden por este valor común. Mencionemos que este orden puede ser finito o infinito. Ejemplos. Uno puede comprobar fácilmente que el símbolo de Weyl 2 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C °C + 1 °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C °C + 1 °C °C + 1 °C °C °C °C °C + 1 °C °C °C °C °C del oscilador armónico rotado tiene un orden igual a 2 sobre las dos medias líneas R y eiR, que compone el límite de su rango numérico. El símbolo q2 de el operador definido en (2.2.5) tiene un orden igual a 2 en iR y a 6 en R C : Re z ≥ 0, Im z ≥ 0}. Por otro lado, podemos verificar que el símbolo q3 del operador definido en (2.2.6) es de orden infinito en la mitad de línea R y tiene un orden igual a 2 en e iη/4R, C*: 0 ≤ arg z ≤ η/4}. En el caso en que el símbolo es de orden finito en una media línea, j = 1, 2, tenemos el siguiente resultado. Teorema 2.2.2. Si el símbolo de Weyl q(x, ) de un cuadrático elíptico no normal difiera- el operador ential es de orden finito kj en la media línea * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * entonces este orden es necesario incluso y no hay pseudoespectro semiclásico de Índice kj/(kj + 1) en Łj para el operador semiclásico asociado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * q(x, h)w Observación. Mencionemos que podemos establecer con mayor precisión que en la dimensión n ≥ 1, el orden kj es un entero uniforme de verificación 2 ≤ kj ≤ 4n− 2. Este resultado se demuestra en [12]. Al refrasear este resultado en un ajuste cuántico, se deriva de (1.3.5) y (2.1.7) que cuando el símbolo q de un operador diferencial cuadrático elíptico no normal q(x, )w es de orden finito kj en la media línea * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * entonces el resueltor de este operador permanece limitado en norma en un conjunto de los siguientes 2.2.10) C: u ≥ C1, d(j, u) ≤ C2projju donde C1 y C2 son algunas constantes positivas. Como veremos en su prueba, esta ausencia de pseudoespectro semiclásico está vinculada a algunas propiedades de la subelectricidad. Sólo subrayemos por el momento que el índice kj/(kj + 1), que aparece en este resultado es exactamente igual a la pérdida que aparece en la estimación subelíptica oculta detrás de este resultado. Sobre el caso del orden infinito, la situación es mucho más complicada. Nunca... sin embargo, podemos notar primero en este caso que no podemos esperar para probar un resultado más fuerte que una ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1. De hecho, podemos fácilmente verifique el ejemplo del operador q3(x, ) w definido en (2.2.6) que su espectro es dado por q3(x, ) (2k1 + 1) 2 + (2k2 + 1)3 8 : (k1, k2) N2 Recordamos que el espectro de este operador sólo está compuesto de valores propios y que su símbolo es de orden infinito en R. Se deriva de la estructura del espectro y (1.3.5) que si no hay pseudoespectro semiclásico de índice infinito en un punto de la media línea R, no es necesario pseudoespectro semiclásico de índice μ con un índice μ ≥ 1. De hecho, podemos probar usando un resultado de la decadencia exponencial en el tiempo para la norma de semigrupos de contracción generados por diferencial cuadrático elíptico operadores (véase [12]) que nunca hay algún pseudoespectro semiclásico del índice 1 en todas estas medias líneas de orden infinito. Mencionemos que este resultado de la la decadencia no se probará aquí, pero se explicará en el siguiente cómo induce la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1. 2.2.3. Acerca de la geometría de la ópera diferencial cuadrática elíptica-pseudoespectra Tors. Ahora vamos a explicar cuáles son las consecuencias de estos resultados en la geometría para los operadores diferenciales cuadráticos elípticos. Comencemos por la con- al lado del caso unidimensional que es un poco particular. En la dimensión n = 1, an El operador diferencial cuadrático elíptico se puede reducir después de una similitud y un conju- gation por un operador unitario al oscilador armónico o al armónico girado oscilador. Proposición 2.2.2. Consideremos q : R×R → C una cuadrática elíptica de valor complejo forma de tal manera que فارسى(q) 6= C. Para todos h > 0, existe un operador unitario (más precisamente un operador metapléctico) Uh en L 2(R), que es un automorfismo de los espacios S(R) y B, z â ° C* y â ° ° [0, η[ de modo que: h > 0, q(x, h)w = zUh (hDx) 2 + eiŁx2 U−1h. Observación. En el caso de un operador diferencial cuadrático elíptico, en el que el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre elíptica y el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia de la diferencia entre el valor de la diferencia entre el valor de la diferencia y el valor de la diferencia y el valor de la diferencia de la diferencia y el valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor de la diferencia del valor del valor de la diferencia del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del q(x, )w se puede reducir después de una similitud y una conjugación por un operador unitario en L2(Rn) al operador definido en la cuantificación de Weyl por el símbolo (+ ix)(+ ηx) con η ° C, Im η > 0, • ix) • + ηx) con η • C, im η < 0, dependiendo del valor de su índice de Fredholm, que es igual a −2 en el primer caso y a 2 en el segundo. Como veremos en lo siguiente, esta propuesta nos permite reducir el estudio de un unidimensional no normal del operador diferencial cuadrático elíptico verificar (q) 6 = C, a la del oscilador armónico rotado H. = D. x + e i-x2, 0 <  < η. Mencionemos que los resultados anteriores (Teorema 2.2.1 y Teorema 2.2.2) fueron: ya conocido en el caso particular del oscilador armónico rotado. De hecho, la existencia de cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de pseu- dospectrum de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico para el operador semiclásico asociado, es una consecuencia directa de un resultado demostrado por E.B. Davies en [4] (Teorema 1). Sobre la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 2/3 sobre el límite del rango numérico, este resultado se ha demostrado para el oscilador armónico girado en [10]2. Como se demostró en [10], esta ausencia de pseudoespectro semiclásico permite dar un prueba de una conjetura declarada por L.S. Boulton en [1]. Se trata de la geometría de........................................................................................................................................................ pseudoespectra para el oscilador armónico rotado. Recordemos ahora algunos hechos sobre Esta conjetura y algunos resultados probados por L.S. Boulton en [1]. 2 Recordemos que el valor de la orden es igual a 2 en este caso. L.S. Boulton ha demostrado por primera vez (Teorema 3.3 en [1]) que el resueltor de la rotación oscilador armónico explota en norma a lo largo de toda una familia de curvas de la siguiente forma η 7→ bη + eip, donde b y p son algunas constantes positivas verificando 1/3 < p < 3, 2.2.11) - (bη + eip) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por otra parte, también demostró que la resolución de este operador sigue estando limitada en norma sobre dos medias rayas paralelas a las medias líneas R+ o e i.R.......................................................................................................................................................................................... Más precisamente, él ha demostrado que existen algunas constantes positivas d y Md tales que (2.2.12) sup , 0≤b≤d - (η + ib) ≤ Md, (2.2.13) sup , 0≤b≤d • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ Md. Estos límites proporcionan alguna información acerca de la forma de la Pseudoespectra de la El operador H. H. De hecho, L.S. Boulton ha demostrado utilizando estos resultados que para todos los suffi- El valor del parámetro positivo es muy pequeño, la pseudoespectra de la rotación. oscilador armónico está contenido en el conjunto sombreado que aparece en la siguiente figura. Los valores propios aparecen en esta figura marcada por algunos. Gráfico 5 Una primera localización de la Ł-pseudoespectra de la rotada oscilador armónico. Más precisamente, L.S. Boulton demostró que para todos los 0 < una constante positiva de tal manera que, para todos los casos, sea igual o superior a 0, 2.2.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.3) (H.3) (H.14) (H.14) (H.14) (H.14) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.14) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H.3) (H. {z # C : # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # m+1 − donde n = e i-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1), n-(2n + 1) C*: 0 ≤ arg z ≤ {0}. De hecho, en vista de algunos cálculos numéricos realizados por E.B. Davies en [3], L.S. Boulton ha conjeturado que el índice p = 1/3 que aparece en (2.2.11) es el uno crítico en el siguiente sentido: Consideremos 0 < p < 1/3, 0 < constantes de verificación bm,pE + e ep = m y > E, arg zη < ♥/2, donde zη = bm,pη + e ip, vamos a establecer m,p = zeiα C: η ≥ E, arg zη ≤ α ≤ arg(zηei) L.S. Boulton ha conjeturado el siguiente resultado. La conjetura de Boulton. Existen 0 > 0 tales que para todos los 0 <............................................................................................................................................. (2.2.15) {z # C : # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # C: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 2/3 en el límite de la rango numérico para el oscilador armónico rotado3 dado por el teorema 2.2.2 muestra que este índice 1/3 es realmente el crítico. De hecho, podemos deducir (2.2.15) a partir de (2.2.10) (véase [10] para más detalles) ya que aquí kj = 2, j {1, 2}. As Este teorema 2.2.2 es una consecuencia de una estimación subelíptica para la operadores semiclásicos pseudodiferenciales probados por N. Dencker, J. Sjöstrand y M. Zworski en [5] (Teorema 1.4). En el caso particular del oscil armónico rotado lator, una prueba más elemental de este resultado utilizando sólo una localización no trivial esquema en la variable de frecuencia se indica en [10]. Tengamos en cuenta que esta inclusión (2.2.15) permite dar una descripción clara de la pseudoespectro del oscilador armónico rotado, que es óptimo a la vista de (2.2.11). Gráfico 6 Forma de la seudoespectra del oscilador armónico rotado. Volviendo al caso de una dimensión arbitraria n ≥ 1, vamos a subrayar finalmente que usando el teorema 2.2.2, podemos dar descripciones similares de la فارسى-pseudoespectra para los operadores diferenciales elípticos cuadráticos no normales, al dado por L.S. Boul... ton para el oscilador armónico girado, cuando los símbolos de estos operadores son de orden finito en las dos medias líneas abiertas, que componen el límite de su numérica rangos. La única diferencia con el caso particular del oscilador armónico rotado es que los índices críticos, que aparecen en esta descripción pueden ser diferentes. De hecho, 3El orden del símbolo del oscilador armónico girado es igual a 2 en (q) \ {0}. estos índices críticos dependen directamente según (2.2.10) del orden de los símbolos en las dos semilíneas que componen el límite de sus rangos numéricos. Nos referimos a la lector a [10] para más detalles sobre la manera de obtener de (2.2.10) tales descripciones de Ł-pseudoespectra. 3. Las pruebas de los resultados Antes de dar las pruebas de los resultados indicados en la sección anterior, comencemos por recordando la propiedad de la invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl (ver Teorema 18.5.9 in [7]). Esta invarianza simpléctica es en realidad la propiedad más importante de la cuantificación de Weyl. Por cada transformación simpléctica afín χ de R2n, existe un trans- formación U sobre L2(Rn), determinada de forma única aparte de un factor constante de módulo 1, tal que U es un automorfismo de los espacios S(Rn), B y S′(Rn), donde B es el espacio Hilbert definido en (2.1.6), y (3.0.1) (a) (a) (x), (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () () () () () () () ()) () () () () () ())))) () ()))) ())))))) () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( para todos los tipos de S′(R2n). El operador U es un operador metapléjico asociado a la afina transformación simpléctica χ. Esta invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl induce la misma propiedad para la pseudoespectra semiclásica de operadores diferenciales cuadráticos elípticos en el sentido que si q : Rnx × Rn® → C, es una forma cuadrática elíptica de valor complejo y χ es una transformación simpléctica lineal de R2n, tenemos para todos los μ â € [0,â € ], (3.0.2) Íscμ (q) (x) (h) (x) (h) (h) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) = Łscμ q(x, h)w Para probar este hecho, comencemos notando que para todos un â € ¬ S ′(R2n) y h > 0, nosotros U−1h a(x, ) wUh = a(h −1/2x, h1/2®)w, donde Uhf(x) = h n/4f(h1/2x), ya que según la prueba de Teorema 18.5.9 en [7], Uh es un operador metapléctico asociado a la transformación simpléctica lineal 7→ (h-1/2x, h1/2». Consideremos ahora el caso donde el símbolo a es una forma cuadrática. La homogeneidad propiedad de tal símbolo implica que h > 0, a(h-1/2x, h1/2+) = 1 a(x, h®), h > 0, U−1h a(x, •) wUh = a(x, h)w. Si q : Rnx × Rn® → C es una forma cuadrática elíptica de valor complejo y χ es una lineal transformación simpléctica de R2n, podemos notar que (q) χ) x, h)w, h > 0, es realmente un operador diferencial cuadrático elíptico ya que el símbolo q es una elíptica Forma cuadrática. Deja que z C y U sean un operador metapléctico asociado a la lineal transformación simpléctica χ. Usando que U y Uh son algunos automorfismos de la Hilbert espacio B y 3.0.3) U−1h U −1Uhq(x, h®) wU−1h UUh = U −1hq(x, )wUUh = hU−1h (q • χ) (x, •) wUh = (q χ)(x, h)w, Obtenemos eso. U−1h U q(x, h)w − z U−1h UUh = (q • χ) (x, h • )w − z Usando finalmente ese U−1h U −1Uh es una transformación unitaria de L 2 (Rn), esta identidad implica que (q • χ) (x, h • )w − z q(x, h)w − z que prueba (3.0.2). En la siguiente, esta propiedad de la invarianza simpléctica nos permiten reducir ciertos símbolos a algunas formas normales mediante la elección de nuevo simplés coordenadas. Ahora podemos empezar a probar los resultados indicados en la sección anterior. Empecemos por la prueba de la proposición 2.2.1. Prueba de la Propuesta 2.2.1. Si el rango numérico es igual a todo el plano complejo, No hay nada que probar. Si 6= C, hemos visto en la sección anterior que la rango numérico es necesario un sector angular cerrado con un tope en 0 y una abertura Estrictamente más bajo que η. Consideremos z 6o (q) y denotemos por z0 su proyección ortogonal en el non- conjunto convexo cerrado vacío فارسى(q). De acuerdo con la forma del rango numérico, sigue que z0 pertenece a su límite y que podemos encontrar un número complejo z1 C*, z1 = 1 tal que * (z1q) * z C : Re z ≥ 0 3.0.4) z1z z C : Re z < 0 z.(q) = d(z1z, iR). Usando ahora que el operador i[Im(z1q)] w es formalmente sesgada-selfadjunta, obtenemos que para todos los u â € S(Rn), z1q(x, ) wu− z1zu, u L2(Rn) = d(z1z, iR)â € € 2L2(Rn) + z1q(x, ) L2(Rn) .(3.0,5) Entonces, puesto que la forma cuadrática Re(z1q) no es negativa, deducimos del simplés invarianza de la cuantificación de Weyl y el teorema 21.5.3 en [7] que existe un Operador metapléjico U de tal manera que z1q(x, ) = U−1 + x2j) + j=k+1 con k, l-N y 0 para todos j = 1,..., k. Mediante el uso de esa U es un operador unitario en L2(Rn), obtenemos que la cantidad z1q(x, ) L2(Rn) «DxjUu»2L2(Rn) + «xjUu» L2(Rn) j=k+1 «xjUu»2L2(Rn), no es negativo. Entonces, podemos deducir de la desigualdad Cauchy-Schwarz, (3.0.4) y (3.0.5) que para todos los u â € S(Rn), z.(q) «L2(Rn) ≤ z1 q(x, )wu− zuÃ3L2(Rn). Finalmente, usando la densidad del espacio de Schwartz S(Rn) en B y el hecho de que z1 = 1, Obtenemos eso. 6° ° ° ° ° (q), q(x, )w − z ≤ 1 z.(q) ya que de acuerdo con (2.1.7), q(x, )w • • • (q). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora consideramos el caso unidimensional, que es un poco particular. 3.1. El caso unidimensional. En dimensión n = 1, podemos reducir el estudio de formas cuadráticas elípticas de valor complejo a exactamente tres formas normales después de un simili- Tude y una verdadera transformación simpléctica lineal. Lemma 3.1.1. Let q : Rx × R. → C ser una forma cuadrática elíptica de valor complejo en dimensión 1. Entonces, existe una transformación simpléctica lineal χ de R2 tal que el símbolo q • χ es igual a una de las formas normales siguientes: i) α(­2 + eiüx2) con α ­ C*, 0 ≤ ­ η. (ii) α( + ix)( + ηx) con α C*, η C, Im η > 0. iii) α(­ ix)(­ + ηx) con α • C*, η • C, Im η < 0. En los dos últimos casos (ii) y (iii), el rango numérico (eq) es igual a la totalidad plano complejo, فارسى(q) = C. Prueba de Lemma 3.1.1. Let q : R2 → C ser una forma cuadrática elíptica de valor complejo. Consideremos en primer lugar el caso en el que el punto 6=C. Deducimos de la proposición 2.1.1 que podemos reducir nuestro estudio al caso donde Re q es un positivo definido cuadrático forma. Entonces, usando Lemma 18.6.4 en [7], podemos encontrar un verdadero trans- para reducir la forma cuadrática Re q a la forma normal Con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso Se deduce que existen algunas constantes reales a, b y c tales que q(x, •) = • x2 + â € TM 2 + i(ax2 + 2bxâ + câ € 2) Entonces, podemos elegir una matriz ortogonal P • O(2,R) diagonalizando el verdadero sim- matriz métrica asociada a la forma cuadrática ax2 + 2bx® + c®2, con.............................................................................................................................................................................................................................................................. si la matriz con determinante es igual a −1, y P = PΔ0. Se deduce que siempre podemos diagonalizar la matriz simétrica real asociado a la forma cuadrática 1Im q al conjugarlo por un elemento de SO(2,R). Dado que el grupo simplés es igual en dimensión 1 al grupo SL(2,R), podemos una transformación simpléctica lineal de R2 reducir la forma cuadrática q a x2 + 2 + i(γ1x 2 + γ2 = α(­2 + reiüx2), donde γ1, γ2 â € ¬ R, α â € C*, r > 0 y â € € â € ¬ ¬ η, η[. Notemos que la elíptica... ity de q implica en realidad que Por último, utilizando el simplético lineal real transformación (x, â € ¢) 7→ (r-1/4x, r1/4â € € ), obtenemos un símbolo de tipo (i), αr1/2(α2 + eiŁx2), en el caso de los vehículos de motor de la categoría M1 y de los vehículos de motor de la categoría M1, el valor de los vehículos de motor de la categoría M2 no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Si <  < 0, tenemos que utilizar además de la real lineal simplectic transformación (x, ) 7→ (,−x) para obtener un símbolo de tipo (i), 2 ei. (+2 + e-i.x2). Asumamos ahora que, puesto que la dimensión es igual a 1, podemos factorizar la símbolo q en C como una función polinómica de grado 2 en la variable. Por lo tanto, según a la dependencia en la variable x de los coeficientes de la función polinómica, podemos encontrar algunos números complejos............................................................................................................................................................................................................................................................. q(x, •) = α(• • • 1x)(• • • 2x). La suposición de elipticidad para la forma cuadrática q induce que Im j 6= 0, si j = 1, 2. Usando ahora la transformación simpléctica lineal (x, ) 7→ (x, + Re Ł1x), Podemos asumir que (3.1.1) q(x, ­) = α(­) − irx (­)(­ + bx), con R* e Im b 6= 0. Ahora comprobemos que la suposición (q) = C induce que r Im b < 0. Desde • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • la condición فارسى(q) = C implica que para todos (v, w) R2, existe una solución (x0, â € ~ 0) â € R2 del sistema 3.1.2) 2 + Re b x + r Im b x 2 = v (Im b− r) − r Re b x2 = w. Vamos a notar primero que la segunda ecuación de (3.1.2) se cumple para todos w R sólo si Im b 6= r. Si w 6= 0, se deduce de la segunda ecuación de (3.1.2) que x0 6= 0 y 3.1.3) 0-0 = w + r Re b x20 (Im b– r)x0 Consideremos el caso donde v = 0. Usando (3.1.3) y la primera ecuación de (3.1.2), Obtenemos eso. (w + r Re b x20) 2 + Re b (Im b− r)x20(w + r Re b x20) + r Im b (Im b− r)2x40 = 0. Podemos reescribir esta ecuación como fw(X0) = 0 si establecemos X0 = x 0 y 3.1.4) fw(X) = r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 X2 + w Re b (Im b+ r)X + w2. Por lo tanto, la condición فارسى(q) = C implica que existe para todos w 6= 0, un no negativo solución X0 de la ecuación fw(X0) = 0. Puesto que la cantidad r Im b se supone que es no-cero, primero estudiamos el caso donde r Im b > 0. En este caso, desde (3.1.5) f ′w(X) = 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 X + w Re b (Im b + r) 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 porque Im b 6= r, tenemos (3.1.6) X R+, fw(X) ≥ fw(0) = w2 > 0, si w 6= 0 y − w Re b (Im b+ r) 2r Im b (Re b)2 + (Im b− r)2 ) ≤ 0. La estimación (3.1.6) muestra que si r Im b > 0, la ecuación fw(X) = 0 no tiene solución negativa para todo el valor del parámetro w 6= 0. Esto demuestra que la condición *(q) = C induce que r Im b < 0. Usando la transformación simpléctica lineal (x, ) 7→ (r1/2x, r1/2®), Obtenemos las formas normales (ii) y (iii), r( + ix)) + ηx) con Im η > 0 y r( − ix))+ ηx) con Im η < 0, donde η = r1b. Por último, podemos comprobar fácilmente que los rangos numéricos de la normal las formas (ii) y (iii) son realmente iguales a todo el plano complejo C. Observemos que la propuesta 2.2.2 y la observación que sigue a su declaración son: algunas consecuencias directas de la propiedad de la invarianza simpléctica de la Weyl quanti- zation (véase (3.0.3)) y el lema anterior. Podemos añadir que como se demostró después de la lemma 3.1 en [6], los índices de Fredholm de la dif cuadrática elíptica unidimensional los operadores ferenciales con símbolos de tipo (i), (ii) y (iii) son respectivamente iguales a 0, -2 y 2. Como hemos mencionado en la sección anterior, los resultados del Teorema 2.2.1 y Teorema 2.2.2 ya se conocen en el caso particular del oscil armónico rotado Lator. La existencia de cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de semiclásicos pseudoespectro de índice infinito en cada punto del interior del rango numérico para el operador semiclásico asociado, es una consecuencia directa de un resultado probado por E.B. Davies en [4] (Teorema 1) y; la ausencia de pseudoespectro semiclásico de 2/3 en el límite del rango numérico se ha demostrado para el ro- oscilador armónico tated en [10]4. Como hemos mencionado anteriormente (véase 2.1.10) y (3.0.2)), la propiedad de la no normalidad, el orden de los símbolos y el semiclásico pseudoespectro de los operadores diferenciales cuadráticos elípticos son simplécticamente invariantes. Estas propiedades nos permiten reducir por cualquier transformaciones simplécticas lineales reales el símbolos de los operadores diferenciales cuadráticos elípticos que consideramos en nuestra prueba de el teorema 2.2.1 y el teorema 2.2.2. Usando el lema 3.1.1, deducimos de los resultados del teorema 2.2.1 y del teorema 2.2.2 probados para el armónico girado oscilador que por lo tanto también se cumplen por todos los no-normales unidimensional el- operadores diferenciales cuadráticos lípticos con un rango numérico diferente del conjunto avión complejo. Ahora consideramos el caso multidimensional. Como veremos en el siguiente, hay un verdadero salto de complejidad entre el caso unidimensional y el multidimensional Uno. Este salto es, entre otras cosas, una consecuencia del aumento de la complejidad de geometría simpléctica en dimensión n ≥ 2 y la mayor diversidad que aparece en la clase de operadores diferenciales elípticos cuadráticos. 4 Recordemos que el valor de la orden es igual a 2 en este caso. 3.2. Caso de dimensión n ≥ 2. Sólo necesitamos estudiar el caso de un no normal. Operador diferencial cuadrático elíptico (3.2.1) q(x, )w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 2. Recordemos que en este caso, el rango numérico de sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a , y que la propuesta 2.1.2 da que (3.2.2) •(x0, •0) • R2n, {Re q, Im q}(x0, •0) 6= 0. Comencemos por estudiar lo que ocurre en el interior del rango numérico (q). 3.2.1. En el pseudoespectro en el interior del rango numérico. Para probar el existencia de cuasimodos semiclásicos para el operador semiclásico asociado dado por el teorema 2.2.1, necesitamos un primer paso puramente algebraico para caracterizar los puntos perteneciente al interior de la gama numérica. Consideremos la siguiente descomposición del rango numérico (3.2.3) Ł(q) = à B donde (3.2.4) à = z (x0, +0) R2n, z = q(x0, +0), {Re q, Im q}(x0, +0) 6= 0 (3.2.5) B z (q) : z = q(x0, â € € {Re q, Im q}(x0, â € 0) = 0 La siguiente sección está dedicada a dar una descripción geométrica de estos dos conjuntos. Nosotros establecer utilizando argumentos puramente algebraicos que (3.2.6) à = (q) y B = (q). Este resultado es una consecuencia de la geometría inducida por la configuración cuadrática a la que los símbolos estudiados pertenecen. Comencemos por notar que la invarianza simpléctica del soporte de Poisson 2.1.10) induce la misma propiedad para los sets à y B Por lo tanto, podemos utilizar algunos transformación simpléctica lineal real para reducir el símbolo q. Desde {Re(zq), Im(zq)} = z2{Re q, Im q}, deducir de esta invarianza simpléctica, de la proposición 2.1.1 y del lema 18.6.4 en [7] que después de una similitud, podemos reducir nuestro estudio al caso donde (3.2.7) Re q(x, ) = j + x con j > 0 para todos los j = 1,..., n. 3.2.1.a. Descripción geométrica de los conjuntos à y B Comenzamos por probar el fol- reducción de la inclusión (3.2.8) (q) Consideremos z (q) y (x0, 0) R2n de tal manera que z = q(x0, 0). Esto es posible porque el rango numérico es un sector angular cerrado. Si z = 0, la elipticidad propiedad de q implica que (x0, +0) = (0, 0) y {Re q, Im q}(x0, +0) = 0, porque este soporte Poisson es también una forma cuadrática. Esto demuestra que z â € B¬. Si z (q) \ {0}, consideremos la solución global Y del problema lineal de Cauchy (3.2.9) Y ′(t) = HRe q Y (t) Y (0) = (x0, +0), asociado al campo vectorial Hamilton del símbolo Re q, HRe q = (­ > > r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r s r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r − Re q En realidad es un problema lineal de Cauchy ya que Re q es una forma cuadrática. Ajuste f(t) = Im q Y (t) un cálculo directo da que f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, ­0). Si f ′(0) 6= 0, podríamos encontrar t0 6= 0 tal que f(t0) > f(0) = Im z. Puesto que Y es el flujo asociado al campo vectorial Hamilton de Re q, la forma cuadrática Re q es constante debajo de él. De ello se deduce que para todos los Estados miembros, Y (t) = Re q Y (0) = Re z y proporciona una contradicción porque, puesto que z (q) \ {0}, esto implicaría a la vista de la forma de la gama numérica فارسى(q) (véase la figura 7) que Y (t0) 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 4o, 6o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 7o, 6o, 6o, 6o, 6o, q, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, De ello se deduce que el soporte de Poisson {Re q, Im q}(x0, +0) es necesario igual a 0 y Gráfico 7 q(Y (t que z â € ¢ B¬. Esto termina con la prueba de la inclusión (3.2.8). Asumamos ahora que (3.2.10) (q) B., (q) 6= B. En este caso, podríamos encontrar (3.2.11) z â € € \ (q). Primero notemos que z es necesario no-cero desde 0 (q), y que Re z > 0, desde el (3.2.7), (3.2.12) (q) \ {0} {z) {z) C* : Re z > 0}. El hecho de que z pertenece al conjunto B (3.2.13) Re q(x, ) = Re z Im q(x, ) = Im z =. {Re q, Im q}(x, ) = 0. También sabemos que existe al menos una solución para el sistema que aparece en el lado izquierdo de (3.2.13). Desde (3.2.7), la forma cuadrática Re q es positiva definido, podemos reducir simultáneamente las formas cuadráticas Re q e Im q encontrando un isomorfismo P de R2n de tal manera que en las nuevas coordenadas y = P−1(x, ), (3.2.14) Re q(Py) = y2j e Im q(Py) = j con α1 ≤... ≤ αn. Consideremos ahora la siguiente forma cuadrática (3.2.15) p(y) = {Re q, Im q}(Py). Obtenemos de (3.2.13) y (3.2.14) que (3.2.16) j=1 y j = Re z j=1 αjy j = Im z * p(y) = 0. Subrayamos que el isomorfismo P no es a priori una transformación simpléctica y que no conserva el soporte Poisson {Re q, Im q}. Consideramos los dos conjuntos siguientes: (3.2.17) E1 = y R2n : r(y) = 0 donde (3.2.18) r(y) = (3.2.19) E2 = y R2n : p(y) = 0 El siguiente lema da una primera inclusión entre estos dos conjuntos E1 y E2. Lemma 3.2.1. Tenemos (3.2.20) E1+E2. Prueba de Lemma 3.2.1. Let y â € ¢ E1. Si y = 0 entonces y pertenece a E2 desde (3.2.15), p es una forma cuadrática en la variable y. Si y 6= 0, establecemos y2j > 0 y lj = 1,..., 2n, lj = Recordamos de (3.2.12) que z â ¬ B¬ \ (q) implica que Re z > 0. Entonces, desde entonces, una mano 2j = Re z, y que, por otra parte, tenemos de (3.2.17) y (3.2.18) que αj y2j = Im z, porque y E1, deducimos de (3.2.16) y la homogeneidad del grado 2 de la forma cuadrática p que = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = p(y) = 0. De acuerdo con (3.2.19), esto prueba que y â € E2 y termina la prueba del lema 3.2.1. Entonces, podemos notar de (3.2.14) que el límite del rango numérico (q) es dada por (3.2.21) (1 + iα1)R+ + (1 + iαn)R+. Puesto que el rango numérico فارسى(q) es un conjunto cerrado, la suposición b \ (q) (q) \ (q) \ (q) = (q), induce a partir de (3.2.21) que ]α1, αn[. Esto implica que la firma (r1, s1) de la forma cuadrática r definida en (3.2.18) cumple (3.2.22) (r1, s1) N* × N* y r1 + s1 ≤ 2n. Por lo tanto, podemos asumir después de un nuevo etiquetado que (3.2.23) r(y) = a1y 1 +...+ ar1y − ar1+1y2r1+1 −...− ar1+s1y r1+s1 con aj > 0 para todos j = 1,..., r1+ s1. De los puntos (3.2.17) y (3.2.23) se desprende que en estos puntos nuevas coordenadas, el conjunto E1 es el producto directo de un cono C adecuado de R r1+s1 y R2n−r1−s1, (3.2.24) E1 = C × R2n−r1−s1. Gráfico 8 Ahora vamos a probar que los dos conjuntos E1 y E2 son iguales (3.2.25) E1 = E2. Vamos a razonar por el absurdo al asumir que no es el caso. Entonces, podríamos encontrar del lema 3.2.1, (3.2.26) y0 E2 \ E1, y0 = (y′0, y′′0 ) con y′0 Rr1+s1, y′′0 R2n−r1−s1. Deducimos a partir de (3.2.24) que y′0 6° C. Recordemos ahora una geometría elemental hecho de que vamos a utilizar varias veces. Este hecho es que la intersección de una línea real y una superficie cuadrática real se reduce a 0, 1 o 2 puntos, o la línea es completamente contenido en la superficie cuadrática. Primero empezamos por probar que (3.2.27) Rr1+s1 × {y′′ = y′′0} E2. De hecho, consideremos el subespacio afín F = {y + R2n : y = (y′, y′′) • Rr1+s1 × R2n−r1−s1, y′′ = y′′0}. Para mayor simplicidad identificamos el espacio F al espacio Rr1+s1. Estamos de acuerdo en decir que un punto x′0 de R r1+s1 pertenece al conjunto E2 para significar que el punto (x 0 ) pertenece a el conjunto E2. Con este convenio, basta con probar la inclusión (3.2.27) considerar algunas líneas particulares de Rr1+s1, que contienen el punto y′0 definido en (3.2.26) y, que tienen una intersección con el cono C en al menos otros dos puntos diferentes u′0 y v 0 (véase la figura 9). Estas líneas son necesarias contenidas en la superficie cuadrática E2 porque del lema 3.2.1, E1 â € ¢ E2, y que hay al menos tres diferentes puntos de intersección entre estas líneas y la superficie cuadrática E2, (u′0, y 0 ) • C × R2n−r1−s1 = E1 • E2, (v′0, y′′0 ) • C × R2n−r1−s1 = E1 • E2, y (y′0, y 0 ) E2. Así, demostramos que el disco sombreado aparece en la figura 10 está completamente contenido en el conjunto E2. Usando la estructura del cono del conjunto E2, podemos deducir que todo el interior del cono C (ver Figura 11) está contenido en E2. Luego, usando de nuevo otras intersecciones particulares con algunas líneas como en la figura 12, deducimos de nuestra identificación del espacio F a Rr1+s1 que la inclusión (3.2.27) se cumple. Gráfico 9 Ahora demostramos que bajo estas condiciones, tenemos la identidad (3.228) E2 = R De hecho, vamos a considerar (0, 0 ) R2n = Rr1+s1 × R2n−r1−s1. Si 0 C, entonces (0, 0 ) E2, Gráfico 10 Estos tres puntos pertenecen a E2. La línea D está contenida en E2. Gráfico 11 porque a partir de (3.2.20) y (3.2.24), 0 ) E1 y E1 E2. Si, por otro lado 6o C, podemos elegir un punto u Rr1+s1 diferente de 0 tal que u 6o C, y tal que la línea que contiene 0 y u en R r1+s1, tiene una intersección con C en al menos dos otros diferentes puntos v y w (véase la figura 13). Por lo tanto, podemos encontrar algunos real Números t1, t2 R \ {0, 1} tales que v = (1− t1)0 + t1u C y w = (1− t2)0 + t2u C. Considerando ahora la línea (1− t)(0, 0 ) + t(u, y′′0 ) : t R podemos notar que esta línea real contiene al menos tres puntos diferentes de E2: (v, (1 − t1)0 + t1y′′0 ), (w, (1 − t2)0 + t2y′′0 ) y (u, y′′0 ). De hecho, esto es una consecuencia del hecho de que v y w pertenecen a C, y de (3.2.20), (3.2.24) y (3.2.27). Así, la línea D está contenida en la superficie cuadrática E2. Esto implica que (0, 0 ) D • E2. En resumen, hemos demostrado que si los dos conjuntos E1 y E2 son diferentes entonces la conjunto E2 es igual a R 2n. Este hecho induce en vista de (3.2.19) que la forma cuadrática p es idénticamente igual a cero. Volviendo a las primeras coordenadas (x, ) = Py, it Gráfico 12 Gráfico 13 sigue de (3.2.15) que la forma cuadrática {Re q, Im q} también es idénticamente igual a cero, que contradice (3.2.2). Esto demuestra la identidad (3.2.25), E1 = E2. Con este hecho, podemos retomar nuestro primer razonamiento por el absurdo, que asume en (3.2.11) la existencia de un punto z. Consideremos ahora y0 6o E1 = E2. Esto es posible según (3.2.2), (3.2.15) y (3.2.19). Deducimos a partir de (3.2.17) y (3.2.19) que r(y0) y p(y0) no son cero. Al considerar la posibilidad de que se produzca un cambio en la situación actual, la Comisión considera que, en el caso de que se produzca un cambio en la situación actual, no es posible que se produzca un cambio en la situación actual de la industria de la Unión. p(y0) = r(y0) (3.2.29) r‡(y) = p(y)− r(y), de los puntos (3.2.17), (3.2.19), (3.2.25) y (3.2.29) se desprende que (3.2.30) E1 • {y • R2n : rû(y) = 0}. Esta inclusión (3.2.30) es estricta desde rì(y0) = 0 y y0 6o E1. Usando ahora exactamente el mismo razonamiento que el descrito anteriormente para probar (3.2.25), sobre las intersecciones de líneas reales y superficies cuadráticas, demostramos que el forma cuadrática es necesaria idénticamente igual a cero. Luego, se deriva de (3.2.29) (3.2.31) p = r. Volviendo a las primeras coordenadas (x, ) = Py, obtenemos usando (3.2.14), (3.2.15), (3.2.18) y (3.2.31) que para todos (x, (3.2.32) {Re q, Im q}(x, •) = • Im q(x, )− Im z Re q(x, ) Consideremos ahora (x0, 0) R2n tal que q(x0, 0) (q) \ {0}. Esto es posible. ya que el rango numérico فارسى(q) es un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y un positivo apertura. Deducimos de (3.2.5) y (3.2.8) que necesariamente tenemos {Re q, Im q}(x0, +0) = 0. Esto induce de (3.2.32) que (3.2.33) Im q(x0, +0) = Re q(x0, +0), - Porque... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Puesto que de acuerdo con la forma del rango numérico فارسى(q) y (3.2.12), q(x0, â € € € € € € € € {0} € € € {z € C : Re z > 0}, la identidad (3.2.33) prueba que el punto z también pertenece al conjunto (q), pero contradice la hipótesis inicial z â € € € \ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Finalmente, esto termina nuestro razonamiento por lo absurdo y prueba (3.2.6). 3.2.1.b. Existencia de cuasimodos semiclásicos en el interior del rango numérico. Demostrar la existencia de cuasimodos semiclásicos para el semiclásico asociado operador (q(x, h)w)0<h≤1, en cada punto del interior del rango numérico (Teorema 2.2.1), utilizamos una existencia resultado de cuasimodos semiclásicos para operadores pseudodiferenciales generales que violan la condición (­)5. Mencionemos que este resultado generaliza la existencia de dos resultados de cuasimodos semiclásicos dados por E.B. Davies, en el caso de Schrödinger operadores (Teorema 1 en [4]), y por M. Zworski en [17] y [18], para la pseudodiferencial operadores. Esta existencia resultante de cuasimodos semiclásicos se puede afirmar de la siguiente manera. Déjanos considerar un símbolo semiclásico P (x, ;h) en S((x, )m, dx2 + d2) con m R+, 2 = 1 + x2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + + + + 5La definición de la condición se recuerda a continuación. donde S((x, )m, dx2 + d2) representa la siguiente clase de símbolo: S((x, )m, dx2 + d2) = a(x, â € € € € € TM Câ € TM (Rnx × Rnâ, C) : N2n, sup 0<h≤1 (x, )mx,a(x, ;h)L(R2n) < con una expansión semiclásica (3.2.34) P (x, â € ¢;h) â € € hjpj(x, ), donde pj es un símbolo de la clase S((x, )m, dx2 + d2) independiente del parámetro semiclásico h. Vamos a z C, asumimos que existe una función q0 C.b (R2n,C), donde C.B. (R.) 2n,C) representa el conjunto de funciones de valor complejo limitada en R2n con todos los derivados consolidados, y una curva bicaracterística, t [a, b] 7→ γ(t), de la parte real Re(q0(p0 − z)) del símbolo q0(p0 − z), con a < b, de manera que (3.2.35) t [a, b], q0 6= 0 y q0(γ(a)) p0(γ(a)− z > 0 > Im q0(γ(b)) p0(γ(b))− z Teorema 3.2.1. Bajo estos supuestos (3.2.34) y (3.2.35), para todos los vecinos bourhood V del conjunto compacto γ([a, b]) en R2n y para todos los N+N, existen h0 > 0 y (uh)0<h≤h0 una familia semiclásica en S(Rn) de forma que L2(Rn) = 1, FS (uh)0<h≤h0 «V» y «P» (x, hÃ3;h)wuh − zuhÃ3L2(Rn) = O(hN), cuando h → 0+. La notación FS (uh)0<h≤h0 representa el conjunto de frecuencias de la familia semiclásica- ily (uh)0<h≤h0 definido como el complemento en R 2n del conjunto compuesto por los puntos (x0, +0) R2n, para el cual existe un símbolo χ0(x, +;h) S(1, dx2 + d+2) de tal manera que χ0(x0, +0;h) = 1 y 0(x, hÃ3;h)wuhÃ3L2(Rn) = O(hí), cuando h → 0+. Esta existencia resultante de cuasimodos semiclásicos es una adaptación en un semiclásico establecimiento de la prueba aportada por L. Hörmander en [7] para demostrar que la condición condición necesaria para la solvabilidad de un operador pseudodiferencial (Teorema 26.4.7) en [7]). La existencia de este resultado se ha mencionado por primera vez en [5]. Una prueba completa de esta adaptación en un entorno semiclásico se da en [11]. Este resultado muestra que cuando el símbolo principal p0-z del símbolo P-z viola la condición (­), existe en este punto z algunos cuasimodos semiclásicos que inducen la presencia de semiclásico pseudoespectro del índice infinito para el operador semiclásico P (x, h;h)w. Condición. Una función de valor complejo p (R2n,C) cumple la condición (­) si no hay una función de valor complejo q.» C.» (R2n,C) de tal manera que la parte imaginaria Im(qp) de la función qp cambia el signo de valores positivos a negativos a lo largo una bicaracterística orientada del símbolo Re(qp) en el que la función q no Desaparece. Utilizando la caracterización dada en la sección anterior para el interior del rango numérico (q) (véase (3.2.4) y (3.2.6)), ahora vamos a probar que el símbolo principal q(x, ) − z del operador semiclásico q(x, h)w − z, viola la condición para todos z en (q). Esta violación de la condición inducir en vista del teorema 3.2.1 que para todos z (q) y N N, podemos encontrar un semiclásico cuasimodo (uh)0<h≤h0 S(Rn), con h0 > 0, verificando L2(Rn) = 1 y â € € TMq(x, hâ €)wuh − zuhâ € L2(Rn) = O(hN ) cuando h → 0+, que pondrá fin a la prueba del Teorema 2.2.1. Consideremos z (q). Ahora vamos a demostrar que en realidad hay un violación de la condición para el símbolo q − z. Según (3.2.4) y (3.2.6), Hay dos casos para separar. Caso 1. Asumamos que existe (x0, â € ~ 0) â € ~ R2n tal que (3.2.36) z = q(x0, +0), {Re(q − z), Im(q − z)}(x0, +0) = {Re q, Im q}(x0, +0) < 0. Al considerar la solución del siguiente problema de Cauchy (3.2.37) Y ′(t) = HRe q Y (t) Y (0) = (x0, +0), definimos la siguiente función (3.2.38) f(t) = Im q Y (t) − Im q(x0, ­0). Como se mencionó anteriormente, (3.2.37) es un problema lineal de Cauchy. De ello se deduce que su solución Y es global y que la función f está bien definida en R. Un cálculo directo utilizando (3.2.37) y (3.2.38) da que para todos los t â € R, (3.2.39) f ′(t) = {Re q, Im q} Y (t) Desde (3.2.36), (3.2.37), (3.2.38) y (3.2.39), f(0) = 0, f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, ≤0) < 0 y HRe q−Re z = HRe q, deducimos en este primer caso que la parte imaginaria de la función q − z cambia el signo, en el primer orden, de valores positivos a negativos a lo largo de la Y bicaracterística orientada del símbolo Re q-Re z. Esto demuestra que el símbolo q − z realmente viola la condición. Caso 2. Asumamos ahora que existe (x0, â € TM = 0) â € ~ R2n tal que (3.2.40) z = q(x0, +0), {Re(q − z), Im(q − z)}(x0, +0) = {Re q, Im q}(x0, +0) > 0. Consideramos, como en el caso anterior, la solución global Y del problema Cauchy (3.2.37) y la función f definida en (3.2.38). Desde (3.2.37), (3.2.38), (3.2.39) y (3.2.40), (3.2.41) f(0) = 0, f ′(0) = {Re q, Im q}(x0, +0) > 0, deducimos esta vez que la parte imaginaria de la función q − z también cambia el signo, en el primer orden, a lo largo de la orientación bicaracterística Y del símbolo Re q − Re z. Sin embargo, este cambio de signo se hace de la manera “equivocada”. Es un cambio de señal. de valores negativos a positivos, lo que no induce directamente una violación de la condición. Para comprobar que realmente hay una violación de la condición () en este segundo caso, necesitamos estudiar con más precisión el comportamiento de la función Im q − Im z a lo largo de esta Y bicaracterística. Deducimos a partir de (3.2.41) que existe فارسى > 0 tal que El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 8401.b. que induce a que (3.2.42) f(l) > 0 y f(l) < 0, desde (3.2.41), f(0) = 0. Al utilizar el siguiente lema, obtenemos que para todos  > 0, existe un tiempo t0() > • tal que (3.2.43) Y t0(l) − Y () < ♥. Gráfico 14 q(Y ( ")) z = q(Y (0)) q(Y (")) Lemma 3.2.2. Si Y (t) = (x(t), (t)) es la función de resolución de la línea sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Y ′(t) = HRe q Y (t) donde Re q es el símbolo definido en (3.2.7), entonces tenemos M, M, T2 > M, Y (t0) - Y (t0 + T1) - Y (t0 + T2) - Y (t0 − T2) - Y (t0 + T2) - Y (t0 + T1) Prueba de Lemma 3.2.2. Si Y (t0) = (a1,..., an, b1,..., bn) R2n, deducimos de (3.2.7) que la función Y (t) = (x(t), •(t)) resuelve el siguiente problema de Cauchy j = 1,..., n, x′j(t) = 2 j(t) = −2đjxj(t) xj(t0) = aj j(t0) = bj. De ello se desprende que para todos los j = 1,..., n y t â € R, (3.2.44) xj(t) = bj sin 2 t− t0) + aj cos 2 t− t0) * j(t) = bj cos 2 t− t0) − aj sin 2 t− t0) Ajustando βj = j/ para todos j = 1,..., n, necesitamos estudiar dos casos diferentes. Caso 1:................................................................................................................................................... En este caso, la función Y es periódica y la el resultado de Lemma 3.2.2 es obvio. Caso 2: (β1,..., βn) 6o Qn. En este segundo caso, utilizamos el siguiente resultado clásico de Aproximación racional: > 0, l, l,..., n) Rn \Qn, p1,..., pn â ° Z, â € € ° N* tales 0 < sup j=1,...,n Si 0 < فارسى1 < 1/2, podemos encontrar por lo tanto algunos enteros p1,1,..., p1,n â € € € € €. de tal manera que 0 < sup j=1,...,n qŁ1βj − p1,j < فارسى1. j=1,...,n qŁ1βj − p1,j > 0, usando de nuevo este resultado de aproximación racional, podemos encontrar algunos otros enteros p2,1,..., p2,n â € € € ~ Z y qâ € 2 â € ~ N* tales que 0 < sup j=1,...,n qŁ2βj − p2,j < Ł2. Utilizando este proceso, construimos algunas secuencias (pm,j)mÃ3n* de Z para j = 1,..., n, (­m)m*N* de R + y (m)m*n* de N * De manera que para todos los m ≥ 2, (3.2.45) 0 < sup j=1,...,n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j=1,...,n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (3.2.46) 0 < Łm < Los elementos de la secuencia son necesarios dos por dos diferentes. De hecho, En caso de que se trate de k < l, esto implicaría de acuerdo con (3.2.45) y (3.2.46) que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. porque 0 < Ł1 < 1/2, lo que induciría que ♥j = 1,..., n, pk,j = pl,j porque pk,j y pl,j son algunos enteros; y contradiría (3.2.45) porque 0 < sup j=1,...,n qlβj − pl,j < ♥l ≤ j=1,...,n q­kβj − pk,j. Puesto que la secuencia (q.m.)m.m.N.* se compone de enteros dos por dos diferentes, podemos Asumir después de una posible extracción que q.m. →......................................................................................... Deducimos de: (3.2.44), (3.2.45) y (3.2.46) que Y (t0 + qŁm) → Y (t0) cuando m →. Entonces, considerando (1,..., n) = (1,...,n), obtenemos utilizando el mismo método una secuencia (qm)mÃ3n* de números enteros tales que qm → y Y (t0 − qm) → Y (t0) cuando m →. Esto termina la prueba de Lemma 3.2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde (3.2.42), f() < 0, deducimos de (3.2.38) y (3.2.43) que allí existe t0 > Ł de tal manera que f(t0) es arbitrariamente cercano a f(). De ello se desprende, en particular, que podemos encontrar t0 > Ł de tal manera que f(t0) < 0. Desde a partir de (3.2.42), f() > 0 y f(t0) < 0, deducir de (3.2.38) y (3.2.40) que la función t 7→ Im q Y (t) − Im z, cambia el signo de los valores positivos a los negativos en el intervalo [­, t0]. Esto prueba que la parte imaginaria de la función q−z cambia realmente el signo de valores positivos a los negativos a lo largo de la Y bicaracterística orientada del símbolo Re q-Re z; y que el símbolo q − z también viola en este segundo caso la condición (­). Esto termina. la prueba del teorema 2.2.1. 3.2.1.c. Otra prueba de la existencia de cuasimodos semiclásicos. En lo siguiente: líneas, damos otra prueba de la existencia de cuasimodos semiclásicos en algunos puntos del interior del rango numérico. El resultado demostrado en esta sección es más débil que la dada por el teorema 2.2.1, ya que probamos la existencia de semiclásicos cuasimodos en cada punto del interior del rango numérico sin un número finito de líneas medias particulares. Consideremos un operador diferencial cuadrático elíptico no normal (3.2.47) q(x, )w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 2. Asumimos, como antes, que (3.2.7) se cumple. Usando eso. la forma cuadrática Re q es positiva definida, podemos simultáneamente reducir los dos formas cuadráticas Re q e Im q eligiendo un isomorfismo P de R2n tal que en las nuevas coordenadas y = P−1(x, ), (3.2.48) r1(y) = Re q(Py) = y2j, r2(y) = Im q(Py) = con α1 ≤... ≤ αn. Estudiemos cuando las formas diferenciales dr1(y) y dr2(y) son depende linealmente de R i.e. cuando existan (­, μ) R2 \ {(0, 0)} de tal manera que (3.2.49) dr1(y) + μdr2(y) = 0. Se deduce de (3.2.48) y (3.2.49) que para todos j = 1,..., 2n, (3.2.50) ( j)yj = 0. Si y 6= 0, entonces existe j0 {1,..., 2n} de tal manera que yj0 6= 0. Esto implica que (3.2.51) j0 = 0. Deducimos de (3.2.50) y (3.2.51) que yj = 0 si αj 6= αj0. Por lo tanto, obtenemos que si * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R entonces las formas diferenciales dRe q y dImq son linealmente independientes en R en cada punto del conjunto q−1(z). Gráfico 15 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) Consideremos tal punto. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R Dado que la dimensión n ≥ 2, podemos aplicar el lema 3.1 en [5] (véase también el lema 8.1 en [9]). De ello se deduce que para cualquier componente compacto, conectado de q−1(z), tenemos (3.2.52) {Re q, Im q}( En el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de la medida de Liouville, en el caso de Liouville, en el de Liouville, en el caso de Liouville. −1(z), * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * El conjunto q−1(z) es un submanifold no vacío de codimensión 2 en R2n. Deducimos de: (3.2.4) y (3.2.6) que existen (x0, â € ~ 0) â € ~ q−1(z) de tal manera que (3.2.53) {Re q, Im q}(x0, +0) 6= 0. Entonces, se deduce de (3.2.52) y (3.2.53) que existe la existencia necesaria (x?0, 0) q−1(z) de tal manera que (3.2.54) {Re q, Im q}(x̃0, 0) < 0. Bajo esta condición (3.2.54), podemos utilizar el razonamiento dado en el primer caso estudiado. (véase (3.2.36)) para demostrar que la parte imaginaria de la función q-z cambia el signo, en el primer orden, de valores positivos a negativos a lo largo de una bicaracterística orientada de el símbolo Re q-Re z. Esto induce que el símbolo q-z viole la condición (-); y podemos concluir usando el teorema 3.2.1. Mencionemos que también podemos utilizar directamente el resultado de la existencia de cuasimodos semiclásicos dado por M. Zworski en [17] y [18]. Esta segunda prueba da la existencia de cuasimodos semiclásicos en cada punto perteneciente al conjunto (q) \ (1 + iα1)R + •... • (1 + iαn)R 3.2.2. En el pseudoespectro en el límite del rango numérico. En esta sección, Damos una prueba del teorema 2.2.2. Consideremos una elíptica no normal cuadrática operador diferencial q(x)w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 1. Suponemos que el símbolo de Weyl q(x) es de 6 = C, y que el símbolo de Weyl q(x) es de 6 = C. orden finito kj en una media línea j, j {1, 2} (Véase la definición dada en (2.2.9), que compone el límite de su rango numérico (3.2.55) (q) = {0} 1 2. Como ya hemos hecho varias veces, podemos reducir nuestro estudio a un caso en el que (3.2.7) se cumple. Prueba del teorema 2.2.2. Consideremos el siguiente símbolo que pertenece a la C.B. (R.) 2n,C) espacio, compuesto de funciones de valor complejo limitada en R2n con todos derivados consolidados (3.2.56) r(x, ) = q(x, ) − z 1 + x2 + â € ~ 2 con z â € ¬ ¬ ¬ j. Setting (r) = r(R2n), podemos notar primero que z • (q) \ {0} • 0 • (r). Observemos también que el símbolo r cumple la condición principal-tipo en 0. De hecho, si (x0, +0) R2n fuera tal que r(x0, +0) = 0 y dr(x0, +0) = 0, obtendremos de (3.2.56) que (3.2.57) dq(x0, +0) = 0. Desde (3.2.7) y (3.2.57), tenemos dRe q(x0, +0) = 2 (x0)jdxj + (â € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Esto implicaría que (x0, +0) = (0, 0), q(x0, +0) = 0, porque q es una forma cuadrática y que j > 0 para todos j = 1,..., n. Por otro lado, desde r(x0, +0) = 0, obtenemos de (3.2.56) que q(x0, +0) = z 6= 0 porque z â € € TM â € € TM € {0}, que induce una contradicción. Se deduce que el símbolo r cumple realmente el condición de tipo principal en 0. Notemos que, ya que el símbolo q es de orden finito kj en z, esto induce en vista de (3.2.56) que el símbolo r es también de orden finito kj en 0. Por otro lado, deducimos de (3.2.7) y (3.2.56) que el conjunto {(x, ) R2n : r(x, ) = 0} = {(x, ) R2n : q(x, ) = z}, es compacto. Bajo estas condiciones, podemos aplicar el teorema 1.4 en [5], lo que demuestra que el entero kj es par y da la existencia de constantes positivas h0 y C1 de tal manera que (3.2.58) siguientes: 0 < h < h0, l/s(Rn), l/s(x, h-)wu-L2(Rn) ≥ C1h kj+1 «u» L2 (Rn). Observación. No comprobamos la condición dinámica (1.7) en [5], porque este assump- no es necesario para la prueba de Teorema 1.4. De hecho, esta prueba sólo utiliza una parte de la prueba del lema 4.1 en [5] (una parte del segundo párrafo), cuando esta condición (1.7) no es necesario. Utilizando algunos resultados de cálculo simbólico dados por Teorema 18.5.4 en [7] y (3.2.56), Podemos escribir (3.2.59) r(x, hÃ3r)w(1 + x2 + h2Ã3r2)w = q(x, hÃ3r)w − z + hr1(x, hÃ3r)w + h2r2(x, hà r)w, (3.2.60) r1(x, ) = −ix (x, •) + i • (x, ) (3.2.61) r2(x, ) = − (x, ) − 1 (x, ). Podemos comprobar fácilmente desde (3.2.56) que estas funciones r1 y r2 pertenecen al espacio C.B. (R.) 2n,C), y deducimos del teorema Calderón-Vaillancourt que existe una constante positiva C2 de tal manera que para todos los u S(Rn) y 0 < h ≤ 1, (3.2.62) â € € TM r1(x, hà r)wuâ € L2 ≤ C2â € € TM ° L2 y â € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Se deriva de (3.2.58), (3.2.59), (3.2.62) y la desigualdad triangular que para todos u S(Rn) y 0 < h < h0, kj+1 â € (1 + x2 + h2â €)wuâ € L2(Rn) ≤ r(x, h)w(1 + x2 + h22)wu®L2(Rn) ≤ C2h(1 + h) Desde la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos para todos u S(Rn) y 0 < h ≤ 1, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (1 + x2 + h2+2)wu, u L2(Rn) ≤ ≤ (1 + x2 + h2­2)wu­l2(Rn)­u­l2(Rn), lo obtenemos para todos los u-S(Rn) y 0 < h < h0, (3.2.63) C1h kj+1 â € € € L2(Rn) ≤ â € € TMq(x, hâ €)wu− zuâ € L2(Rn) + C2h(1 + h)â € € L2(Rn). Desde kj ≥ 1, deducimos de (3.2.63) que existen algunas constantes positivas h′0 y C3 de tal manera que para todos los 0 < h < h 0 y U S(Rn), •q(x, há)wu− zuÃ3L2(Rn) ≥ C3h kj+1 «u» L2 (Rn). Usando que el espacio Schwartz S(Rn) es denso en B y que el operador q(x, h)w + z, es un operador Fredholm del índice 0, obtenemos que para todos los 0 < h < h′0, q(x, h)w − z ≤ C−13 h kj+1, que termina la prueba del Teorema 2.2.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sobre el caso del orden infinito, la situación es mucho más complicada. As no podemos esperar demostrar un resultado más fuerte que la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1, pero en realidad podemos probar que nunca hay algunos pseudoespectro semiclásico del índice 1 en cada media línea de orden infinito, por utilización de un resultado de decaimiento exponencial en el tiempo para la norma de semigrupos de contracción generado por operadores diferenciales elípticos cuadráticos probados en [12]. El resultado demostrado en [12] muestra que la norma de un semigrupo de contracción * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * L(L2), t ≥ 0, generado por un operador diferencial cuadrático elíptico q(x, )w con un símbolo de Weyl verificar Re q ≤ 0, â € (x0, â € € > 0) R2n, Re q(x0, â € > 0) 6= 0, disminuye exponencialmente en el tiempo (3.2.64) M,a > 0, ­t ≥ 0, ·etq(x,­) L(L2) ≤ Me−at. Consideremos un operador diferencial cuadrático elíptico no normal q(x)w : B → L2(Rn), en la dimensión n ≥ 1 de tal manera que 6= C. Explicamos en las siguientes líneas cómo (3.2.64) permite demostrar que nunca hay un pseudoespectro semiclásico del índice 1 en cualquier media línea abierta que componga el límite del rango numérico (q) \ {0}. Que z â € € TM € TM TM (q) € ~ 0}. Debido a que el rango numérico es un sector angular cerrado con una parte superior en 0 y una apertura positiva estrictamente inferior a (3.2.65) Re(­iz­−1q) ≤ 0, ≤ (­0,­0) R2n, Re­iz­-1q) (­0,­0) 6= 0. Utilizando el teorema 2.8 en [2], obtenemos que para todos η R, q(x, )w − ηz = − iz−1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = − iz−1 e-isesŁiz −1q(x)wds.(3.2.66) De los puntos (3.2.64) y (3.2.65) se deduce que, para todos los puntos, q(x, )w − ηz ≤ z1 # # # Es # # # # Es # # # # # Es # # # # Es # # # # # Es # # # # Es # # # Es # # −1q(x)w°L(L2)ds ≤ z1 Me-asds = z1M > > >, que demuestra la ausencia de pseudoespectro semiclásico del índice 1 en la semilínea zR. En realidad podemos utilizar el teorema 2.8 en [2] porque iR • C \ • * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, si no fuera así, deduciríamos de (2.1.7) que existe B \ {0} y - 1q(x, )wu0 = iŁ0u0. Dado que desde (3.2.65), la forma cuadrática −Re(?iz−1q) no es negativa, deducimos de la invarianza simpléctica de la cuantificación de Weyl y el teorema 21.5.3 en [7] que existe un operador metapléctico U tal que (3.2.67) − * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = U−1 + x2j ) + j=k+1 con k, l-N y 0 para todos j = 1,..., k. Mediante el uso de esa U es un operador unitario en L2(Rn), obtenemos que 0 = − Re(iü0u0, u0)L2 = − Re * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * U0, u0 • DxjUu0­2L2 + • xjUu0­2L2 j=k+1 «xjUu0»2L2, que induce que u0 = 0, porque a partir de (3.2.65) y (3.2.67), k + l ≥ 1. De ello se desprende: a partir de (2.1.7) que existe.......................................................................................................................................................................................................................................................... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * C: Re z ≤ 0}. Bibliografía [1] L.S.Boulton, semigrupos de osciladores armónicos no autoadjuntos y pseudoespectra, J. Operador Teoría, 47, 413-429 (2002). [2] E.B.Davies, Semigrupos de un parámetro, Academic Press, Londres (1980). [3] E.B.Davies, Pseudoespectra, el oscilador armónico y resonancias complejas, Proc. R. Soc. Lond. A, 455, 585-599 (1999). [4] E.B.Davies, Estados semiclásicos para operadores Schrödinger no autónomos, Comm. Matemáticas. Phys., 200, 35-41 (1999). [5] N.Dencker, J.Sjöstrand, M.Zworski, Pseudoespectra de Semiclásica (Pseudo-)Diferente Op- Erators, Comm. Pura Appl. Math., 57, 384-415 (2004). [6] L.Hörmander, una clase de operadores pseudodiferenciales hipoelípticos de doble carácter, Matemáticas. Ann., 217, 165-188 (1975). [7] L.Hörmander, El análisis de los operadores diferenciales parciales lineales (vol. I, II, III, IV), Springer Verlag (1985). [8] T.Kato, Teoría de la Perturbación para Operadores Lineales, Springer-Verlag, Berlín (1980). 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Caso de la dimensión n 2 Bibliografía

Fluctuation-dissipation relation on a Melde string in a turbulent flow, considerations on a "dynamical temperature"

8 La relación fluctuación-disipación en una cadena Melde en un flujo turbulento, consideraciones sobre una “dinámica temperatura”. V Grenard, NB Garnier y A Naert. Université de Lyon, Laboratoire de Physique, École Normale Supérieure de Lyon, 46 Allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, Francia. Correo electrónico: Antoine.Naert@ens-lyon.fr Números PACS: 05.70.Ln Números PACS: 05.40.-a Números PACS: 05.20.Jj Resumen. Informamos sobre las mediciones de las fluctuaciones transversales de una cuerda en un turbulento chorro de aire. Los modos armónicos son excitados por la fluctuación fuerza de arrastre, en diferentes números de onda. Esta simple sonda mecánica hace es posible medir las excitaciones del flujo a escalas específicas, promediadas sobre espacio y tiempo: se trata de una medición global y a escala resuelta. También medimos la disipación asociada al movimiento de la cadena, y consideramos la relación de la las fluctuaciones sobre la disipación (FDR). En un enfoque exploratorio, investigamos el concepto de temperatura efectiva definido a través del FDR. Comparamos nuestro observaciones con otras definiciones de temperatura en turbulencia. De la teoría de Kolmogorov (1941), derivamos el exponente −11/3 esperado para el espectro de las fluctuaciones. Este modelo simple y nuestros resultados experimentales son buenos acuerdo, sobre el rango de números de onda, y Reynolds número accesible (74000 ≤ Re ≤ 170000). 1. Introducción Los flujos turbulentos exhiben una dinámica notoriamente compleja e impredecible: presentan un gran número de grados de libertad, y sus dinámicas están lejos de equilibrio y disipación [1, 2, 3]. La energía cinética inyectada a gran escala por la cizalla Los mecanismos de inestabilidad se disipan en el calor por la viscosidad molecular a pequeña escala. Es decir, las escamas de disipación e inyección son distintas. Por lo tanto, un proceso de transporte a través de escamas es necesario para que el flujo sea estacionario. Se sospecha que la inestabilidad los mecanismos asociados con las no linealidades generan armónicos, por lo tanto la transferencia energía a escalas más pequeñas casi sin disipación. Una imagen equivalente sería consisten en vórtices que se estiran entre sí de tal manera que una transferencia de energía no cero ocurre hacia escalas más pequeñas. Esta imagen del proceso en cascada fue propuesta por primera vez por Richardson [4]. La cascada se detiene aproximadamente en el rango de escalas donde la la viscosidad se vuelve eficiente a los gradientes de velocidad húmeda. A finales de los años treinta, Kolmogorov se deriva de esta idea una teoría fenomenológica que tiene en cuenta las fluctuaciones de varios observables en turbulencias plenamente desarrolladas [5]. En el presente trabajo, estamos http://arxiv.org/abs/0704.0325v3 Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 2 ni preocupado por las escamas grandes (inyección de energía), ni por las pequeñas (disipación) escalas, pero por el rango intermedio. En este rango inercial intermedio, estudiamos el proceso de transporte a través de escalas, que se espera que sea universal. En lugar de escala l, uno a menudo se refiere al número de onda k = 2η/l. El parámetro de control del flujo es el número de Reynolds: Re = V L , donde L es el escala macroscópica del flujo (escala integradora, o longitud de correlación), V es una característica velocidad de corte a gran escala, y ν es la viscosidad cinemática del fluido. También lo es. la relación media del inercial por la contribución disipativa del forzamiento sobre un fluido partícula. Interesantes predicciones fueron derivadas por Kolmogorov (1941), que utilizamos en el siguiente. Especialmente, el rango de escalas sobre las cuales se producen fluctuaciones escalas como Re3/4. La predicción para el exponente de la densidad espectral de potencia como 2 k−5/3 es entre los éxitos más famosos de esta teoría [1, 2, 3]. Nuestro sistema experimental se describe en detalle en la siguiente sección. Es una cuerda delgada. sostenido por sus extremos en tensión constante a través de un flujo turbulento. Para formalizar brevemente, es un oscilador con resonancias múltiples, acoplado a un ‘termostat’ particular: el flujo turbulento. Esta cadena se utiliza para sondear el rango inercial de un flujo lo suficientemente alto Números de Reynolds. El dispositivo se ’calibra’ midiendo el promedio (complejo) respuesta a una perturbación externa, y luego se utiliza para medir las fluctuaciones libres causada solo por turbulencias. Medición del desplazamiento r(t) causado por el El forzamiento turbulento f(t) se realiza con pequeños transductores piezoeléctricos. Medimos la respuesta media, es decir, el desplazamiento en un extremo causado por una banda ancha conocida forzando en el otro extremo. Luego, las mediciones del desplazamiento en un solo extremo proporcionar información sobre las fluctuaciones del forzamiento. Nuestro estudio da un paso adelante, en un Una forma exploratoria. Conocer la función de respuesta media de la cadena y la medición r(t), invocamos una versión del Teorema de Fluctuación-Disipación extendida fuera de equilibrio, para definir una temperatura efectiva del flujo turbulento. Esto es efectivo. la temperatura pasa a ser dependiente de la escala. En este trabajo, la turbulencia plenamente desarrollada se aborda desde el punto de vista de Mecánica estadística. En primer lugar, recordamos un avance importante: la declaración de el Teorema de Fluctuación-Disipación (FDT). Considere un par de variables conjugadas (desplazamiento r y fuerza f) de un pequeño sistema en contacto térmico con un gran depósito de calor. En el presente caso, el pequeño sistema es la cadena, acoplada a la flujo turbulento que es el embalse. Desplazamiento r y fuerza f se conjugan en la sensación de que su producto es el trabajo ejercido por el flujo en la cuerda. Los teorema se origina de la idea de que las fluctuaciones espontáneas r(t) debe tener la las mismas propiedades estadísticas que la relajación de r(t) después de la eliminación de un forzando la perturbación. La hipótesis principal necesaria para derivar este teorema son: – respuesta lineal entre f y r, – equilibrio térmico entre el sistema bajo consideración y el termostato, – equilibrio térmico del propio termostato. Los función de respuesta Hr,f es tal que: r(t) = Hx,f (t − t ′)f(t′)dt′. Equivalentemente. se puede escribir en el espacio de Fourier como: r Bajo alguna hipótesis, el fluctuaciones de r (su función de correlación de 2 veces) están vinculadas por una relación muy simple con la respuesta disipativa del sistema a una perturbación de la variable conjugada f (parte imaginaria de la función de respuesta media). Es simplemente proporcional, y el coeficiente no es más que la temperatura multiplicada por la constante Boltzman: kBT [6]. La validez de la hipótesis debe ser discutida en cada caso. Si lo son satisfecho, la función de correlación de las fluctuaciones espontáneas es proporcional a la función de respuesta, es decir, el factor es único y constante. Además, este factor Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 3 es el mismo para todas las parejas de variables conjugadas, y este factor es kBT, donde T es la temperatura del sistema. La constante de Boltzman kB 1,38 10 −23JK−1 es un constante universal. Esta relación puede expresarse en variables espectrales: r?()2 = 2 kBT Im[Hśr,f (­)]. 1).......................................................................................................................................................... En esta expresión de la FDT, r del desplazamiento r, como Hūr,f(­) es la función de respuesta en r al conjugado variable f. Debido a que la cadena es muy delgada, el arrastre es puramente viscoso. Es, por lo tanto, proporcional a la velocidad, que está en cuadratura con el desplazamiento. Los Por lo tanto, la disipación es proporcional a la parte imaginaria de la respuesta media función: Im[Hś]. En la perspectiva de la construcción de una termodinámica no-equilibrio, el FDT tiene fue reconsiderado por L. Cugliandolo y J. Kurchan, mientras investigaba los materiales que se relajan después de un enfriamiento térmico a través de la transición del vidrio [7, 8]. Presentamos en el siguiente enfoque exploratorio de la cuestión de la turbulenta las fluctuaciones utilizando su formalismo extendido. La relación fluctuación-disipación (FDR) puede ser reescrito: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Im[Hśr,f(Ł)] = 2 kBTeff.(l), (2) cuando la temperatura sea sustituida por una temperatura ‘efectiva’ Teff., función de frecuencia. La dependencia de frecuencia de Teff. expresa el hecho de que diferentes grados la libertad no están en equilibrio entre sí, lo que da lugar a flujos de energía internos. En otras palabras, en nuestro sistema, cada modo (independiente) de las parejas de cuerda a (no independiente) escala del flujo. Como el flujo es estacionario, promediamos nuestro mediciones a tiempo, y finalmente obtener la dependencia de frecuencia de Teff. según se define por la ecuación 2. Las mediciones de las fluctuaciones de la cadena dan los componentes de Fourier de la excitación del flujo. Medimos independientemente las fluctuaciones, y el función de respuesta media compleja a una excitación especificada, de una manera discutida a continuación. Proponemos analizar estas mediciones con los criterios discutidos anteriormente. El documento se organiza de la siguiente manera. La siguiente sección describe la configuración experimental, propiedades de flujo turbulentas, y el ajuste de la cadena. Propiedades generales de una También se discute la cuerda de Melde vibrante. Las mediciones se muestran en la sección 3: respuesta, fluctuaciones y la relación de disipación de fluctuación de este sistema. En la sección 4, derivamos de la teoría de Kolmogorov un modelo de escala simple para las fluctuaciones de el arrastre, y por lo tanto el FDR, que da cuenta del exponente observado en el toda la gama de accesible Re. La sección 5 está dedicada a una discusión de nuestros resultados, especialmente en comparación con varias definiciones de temperatura en turbulencias propuestas en la literatura. 2. La cadena Melde y la configuración experimental La configuración experimental se bosqueja en la Fig. 1. Un chorro de aire turbulento se origina de una boquilla de diámetro 5 cm. La instalación de flujo que usamos se describe a fondo en [9]. Una delgada cadena de acero inoxidable de longitud 60 cm se encuentra a 2 m aguas abajo de la boquilla, perpendicular al eje del flujo. A esta distancia, la longitud de la cuerda es sobre el diámetro del chorro turbulento. El desplazamiento de la cadena es medida utilizando cerámica piezoeléctrica multicapa en cada extremo de la cuerda. A piezo Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 4 está deformado por un voltaje. Recíprocamente, si la cerámica en comprimido, una tensión es generado. La relación entre tensión y deformación es lineal, y la frecuencia la respuesta es casi plana en el rango de frecuencia que consideramos aquí. Puede ser utilizado como actuador o sensor. Tenemos dos piezos, uno en cada extremo de la cuerda. Los dos diferentes medidas que realizamos son las siguientes. 1) función de respuesta compleja: un piezo (de entrada) se alimenta con un voltaje de ruido blanco a través de un amplificador de potencia. Los fuente es la de un analizador de señales HP3562A. Las ondas transversales de pie aparecen en la cuerda, débilmente perturbada por las fluctuaciones turbulentas. Desplazamiento mecánico en el otro extremo se transforma en un voltaje por el otro (salida) piezo. Debe se amplifican, y las tensiones de entrada y salida se registran sincrónicamente con una Convertidor A/D de 24 bits. La frecuencia de adquisición es de 50 kHz. Llamamos a la respuesta relación media de tiempo de las amplitudes de tensión en piezos de entrada y salida, registrada Simultáneamente. Las tensiones de entrada y salida son proporcionales al desplazamiento, respectivamente. y la restricción (en los piezos). La dimensión de la respuesta real es la inversa de una rigidez, como lo que medimos es la relación de voltajes. Los prefactores diminutivos son: omited para la simplicidad, ya que son constantes para la misma configuración (cadena y transductores). El diámetro de la cadena es de 100 μm, menos que la escala viscosa del flujo que es aproximadamente η 170 μm en el Re más grande accesible. La ecuación de movimiento de la PIEZOS Stand Gráfico 1 Configuración eperimental: el alambre de acero delgado se arrastra a través de un aire turbulento chorro por un peso de 4 Kg sobre un soporte rígido. Los transductores piezoeléctricos son en mecanica contacto con el cable en cada extremo. unamped y unanforced string es una ecuación de onda lineal. Sus soluciones con puntas fijas son ondas de pie r(x, t) = A cos(­n t − knx), donde A es la amplitud, t es el tiempo y x es la posición a lo largo del cable. Los números de onda discreta son kn = n , donde L Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 5 es la longitud de la cadena y n es un entero positivo. En una primera aproximación, la las ondas no son dispersivas: ­n = c kn, donde c es la velocidad de fase. T es la tensión de la cadena y μ su masa por unidad de longitud, c = T/μ 300 m/s. Con un peso de 4 kg en un extremo, la frecuencia fundamental de la cadena es f0 = 344 Hz. La disipación se debe principalmente a la fricción en el aire, y causa poca dispersión. Más preciso tratamiento requeriría términos de disipación en el propio alambre y en el piezoeléctrico transductores que fijan los extremos. Nosotros descuidamos esto, ya que la amplitud sigue siendo pequeña (a pocas decenas de micrómetros) en comparación con la longitud de la pila de cerámica (3 mm), o incluso el diámetro del alambre (100μm). El posible acoplamiento con la onda de compresión no es relevante, ya que el rango de frecuencia es distinto. (velocidad de onda de compresión en acero es un pocos miles de m/s, más grande que lo que consideramos aquí: c 300 m/s.) Cuando esto alambre se sumerge en el flujo turbulento, los modos de resonancia son excitados por el arrastre forzando. Las cantidades medidas se promedian a lo largo del alambre. Por lo tanto, son global en el espacio pero local en escala, o más precisamente en el espacio de Fourier. Los vórtices a escala l se espera excitar modos de onda-número k = 2η/l. En ese sentido, la cuerda está actuando como un espectrómetro mecánico, casi exactamente como un Fabry-Perot interferómetro. 3. Medición El módulo de la función de respuesta está trazado en la Fig. 2. Muestra que la resonancia los picos son realmente muy estrechos, asegurando una selección muy precisa de los números de onda: el factor de calidad es aproximadamente Q 4000. La parte imaginaria de la respuesta función es dar la disipación. La anchura de los picos en el módulo es también Gráfico 2 Módulo de la función de respuesta versus el número armónico, en Re = 154000. La abscisa se da en coordenadas no-dimensionales, normalizado por la frecuencia fundamental. vinculado a la disipación, así como el tiempo de amortiguación después de una perturbación. Solíamos en la siguiente medición de la parte imaginaria de la respuesta, pero que estos diferentes métodos coinciden. Sólo se consideran las frecuencias resonantes en este estudio, ya que son mucho más sensibles a las fluctuaciones de velocidad. Esto es Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 6 especialmente importante en grande k, ya que la energía cinética del flujo es pequeña. Espectro de la fluctuación excitada por el arrastre turbulento se muestra en la Fig. 3. Fluctuaciones Los picos de resonancia están claramente identificados. Vibraciones esporádicas son visibles, principalmente causadas por las vibraciones del stand. Porque los picos son muy delgados, adquisiciones largas son necesarios, así como grandes ventanas para los cálculos de FFT (150000 puntos), en para lograr una resolución suficiente (0.33Hz). El protocolo que usamos para encontrar el frecuencias de resonancia, el valor de la amplitud de las fluctuaciones, y parte imaginaria de la respuesta, es el siguiente. La frecuencia de resonancia se obtiene mediante alisado de la espira cada pico alrededor de la amplitud máxima de la respuesta. Entonces, la parte imaginaria es medida después de ser alisada también. La amplitud de las fluctuaciones picos son recogida en el espectro, después de suavizar local alrededor de los máximos. Uno puede ver el Gráfico 3 Espectro de los modos de resonancia de la cuerda excitado por turbulentos fluctuaciones de arrastre, en Re = 154000. FDR en Fig. 4, llamado kBteff., para varios valores de Re. Incertidumbres sobre esta proporción orígenes múltiples. Los errores indicados por el tamaño de los símbolos son los que vienen de la determinación de las frecuencias de resonancia. Vibraciones esporádicas del soporte son difícil de manejar: realizamos mediciones de respuesta y fluctuaciones en la misma condiciones, para reducir su influencia en la relación. Creemos que la dispersión de los puntos en Fig. 4 proviene principalmente del debilitamiento de la relación señal/ruido para las grandes frecuencias, simplemente porque hay menos energía en el flujo en k grande, especialmente en Re pequeño. La única salida posible en este punto es mejorar el acoplamiento entre la cadena y los sensores. El número de onda se ha vuelto a escalar con la escala viscosa interna η • Re−3/4. Las coordenadas han sido redimensionadas por un número estimado de grados de la libertad: (L/η)3 • Re9/4. Estas escalas de Re son las consecuencias habituales de La teoría de Kolmogorov. En otras palabras, la “energía térmica” kBTeff. que el FDR es representa en el marco de la teoría de Cugliandolo et al, se da por grado de libertad. Suponiendo que el número de grados de libertad es el número total de partículas del tamaño η en el volumen total es habitual, pero crudo. Una descripción más realista debería implican correlaciones entre ellos, reduciendo este número. Sin embargo, todas las curvas colapsar a una sola ley de poder con esta escala. El exponente se discute en el Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 7 Gráfico 4 Espectro del FDR, etiquetado como agitación térmica por grado de libertad. Eje se redimensionan con la adecuada dependencia de números Reynolds, entre 74000 y 170000. El tamaño de los símbolos representa la incertidumbre en el determinación de los máximos de los picos. La línea sólida es una ley de poder k−11/3 como guía visual. sección siguiente. Tenga en cuenta que la dotación de energía en equilibrio requeriría este espectro ser constante. No hay equilibrio entre los modos de Fourier, debido a el flujo de energía a través de escalas. Además, no son independientes, y probablemente No Gaussian. No hay razón para esperar equipo. Considerando una kinematik temperatura como poportivo a la energía cinética, como en la teoría cinética de los gases, sería: T â € TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Y, debido a la teoría de Kolmogorov se escalaría como k-5/3. La dependencia que observamos con nuestra definición es mucho más pronunciada. 4. Ley de escalas Debido a que la susceptibilidad de la cuerda es muy alta en resonancia, la longitud de media onda los modos n/23370//2 coinciden con las estructuras de velocidad de la escala l (n es un entero). Por lo tanto, el número de onda de la onda de pie en la cadena k = n 2 La condición necesaria para este emparejamiento es la resonancia. También garantiza que las velocidades de la cadena y el fluido igualar, que es crucial para el siguiente argumento. Desplazamiento es proporcional al forzamiento de arrastre, en sí mismo proporcional a la velocidad, como arrastrar es viscoso: el número Reynolds basado en el diámetro de la cadena es pequeño (alrededor de 10). La cadena Melde no es dispersiva: • = 2ηf = ck, siendo c la velocidad de onda. Por lo tanto, el desplazamiento es r = v = v/(ck), y su espectro de potencia es: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Porque la disipación viscosa en cada uno La resonancia es proporcional a la frecuencia, el FDR de Eq. 2 es simplemente proporcional a c k â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € · k â € € € € € € €. Siguiendo a Eq. 2, una "agitación térmica" efectiva definida por el FDR sería: kBteff. k −11/3, en la gama inercial de turbulencias totalmente desarrolladas. Este exponente es compatible con el espectro que medimos, como se puede ver en la Fig. Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 8 5. Discusión La caracterización teórica de la turbulencia en términos de temperatura se propuso en el pasado de varios autores. Las temperaturas definidas por T. M. Brown [10] y B. El Castating [11] no depende de k a lo largo de la gama inercial. La calidad idea es que el proceso de transporte en cascada es lo suficientemente eficiente para igualar una cantidad Llaman temperatura. En otro modelo invocando un principio extremo, B. Castaing propuso una definición de temperatura, que podría depender de la escala [12]. En cualquier caso, ninguna de estas teorías invoca el FDR. Sobre una base diferente, R. Robert y J. Sommeria propuso una definición de temperatura [13], válida únicamente para turbulencias 2D. No lo es. se espera que se aplique en un flujo 3D. Ahora, consideremos nuestros resultados experimentales desde la perspectiva de los tres puntos de la reflexión que propusimos en la primera sección, en relación con la FDT. 1- Respuesta lineal: Como hemos mencionado, el acoplamiento entre la cuerda y el flujo es puramente viscoso. Por lo tanto, la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad: f(t) = γ v(t), siendo γ una fricción Coeficiente. También es la derivada del tiempo de la posición f(t) = γ Ł r(t). La respuesta es lineal en r, pero el coeficiente depende de la frecuencia. 2- Son fluctuaciones y disipación ¿Proporcional? Como hemos visto, las mediciones del FDR son consistentes con un escalar k−11/3, definitivamente no es constante con respecto a k. Como nuestro sistema está fuera del equilibrio pero estacionario, no hay evolución del tiempo como la relajación de las gafas. 3- Establecer una cuerda en un flujo turbulento permite realizar mediciones en una pareja de las variables conjugadas fuerza-desplazamiento. No tenemos otro conjunto de observables para comparar con, por ahora. Podemos preguntarnos si lo que medimos es realmente una temperatura, en una dinámica sentido común. Si uno asume que cada modo de la cadena es un oscilador armónico, y que un oscilador armónico en equilibrio con el baño da la temperatura de este baño a través del FDR, luego el equilibrio entre los modos de la cadena y los modos del flujo significa que la temperatura es igual: las mediciones dan la temperatura del flujo en este escala correspondiente. Esta interpretación sigue basándose en el supuesto de que el oscilador da la temperatura del oscilar: esta es nuestra hipótesis de trabajo. Por equilibrio entre los modos de la cadena y el flujo, nos referimos a una condición ‘no-flujo’ sobre la energía. Esto está garantizado por la alta susceptibilidad de la cuerda a la resonancia. In otras palabras, la sonda y el depósito están en equilibrio entre sí para cada uno k, pero obviamente no se espera equilibrio entre una escala y otra. Hemos realizado mediciones sobre un flujo turbulento, acoplando a él un conjunto de armónicos osciladores: una cuerda Melde. En equilibrio con el flujo, en el sentido de que cada modo de las parejas de cuerdas con el fluido en la escala l = Da mucha información como un espectrómetro, a pesar de que el flujo en sí está fuertemente fuera de equilibrio. Esto es cierto, por supuesto, siempre y cuando la respuesta de la cadena es lo suficientemente rápida en comparación con las frecuencias de las fluctuaciones de velocidad. Los espectros de desplazamiento se registran en diferentes valores de Re, así como la respuesta compleja de la cadena sobre una excitación (contribuciones de todas las olas de pie). La coincidencia de los modos de la cadena y las estructuras hidrodinámicas, lo que llamamos equilibrio entre la cadena y el flujo, sigue siendo una hipótesis de trabajo cuestionable. Sin embargo, inspirándose en la teoría del no equilibrio de Cugliandolo et al. temperatura basada en el FDR, se midió la fluctuación sobre la relación de disipación de nuestra cuerda en un flujo turbulento, para diferentes valores de Re. El FDR, multiplicado por un poder apropiado del número Reynolds exhibe una ley de poder única, cuando El número de Reynolds está entre 74000 y 170000. El exponente es consistente con un Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 9 valor −11/3 dado por un modelo muy simple derivado de la teoría de Kolmogorov 1941. Agradecimientos Reconocemos a B. Castaing, E. Leveque, P. Borgnat, F. Delduc, S. Ciliberto, E. Bertin, y K. Gawedzki para muchas discusiones. También agradecemos a V. Bergeron, T. Divoux, y V. Vidal para correcciones en el manuscrito y para muchas discusiones. Gracias a F. Dumas por su ayuda en la construcción de dispositivos de posicionamiento. Como esto sistema se convirtió en un experimento de enseñanza, varios estudiantes contribuyeron a este estudio como parte de su curso de posgrado en el laboratorio. Se les agradece: A. Louvet, G. Bordes, I. Dossmann, J. Perret, C. Cohen y M. Mathieu. También damos las gracias a la fabricante de guitarra D. Teyssot, de Lyon, que suavemente nos dio sus cuerdas más delgadas E. [1] L.D. Landau y E.M. Lifshitz. Curso de Física Teórica: Mecánica de Fluidos. Mir, 1971. [2] A.S. Monin y A.M. Yaglom. Mecánica estadística de fluidos. MIT Press, Cambridge, 1975. [3] U. Frisch. Turbulencia: el legado de A.N. Kolmogorov. Cambridge Univ. Press., 1995. [4] L.F. Richardson. Predicción meteorológica por proceso numérico. Cambridge Univ. Prensa, 1922. [5] A.N. Kolmogorov. C. R. Acad. Sci. U.S.S.R., 30, 1941. [6] M. Toda R. Kubo y N. Hashitsume. Física Estadística II: No Equilibrio Estadístico Mecánica, volumen II. Springer, 1985. [7] L. Cugliandolo y J. Kurchan. Phys. Rev. Lett., 71, 1993. [8] J. Kurchan L. Cugliandolo y L. Peliti. Phys. Rev. E, 55, 1997. [9] P. Marcq y A. Naert. Phys. de Fluidos, 13, 2001. [10] T.M. Marrón. J. Phys. I, 15, 1982. [11] B. Castaing. J. Phys. II, 6, 1996. [12] B. Castaing. J. Phys. II, 50, 1989. [13] J. Sommeria y R. Robert. J. Fluid Mech., 229, 1991. Introducción La cadena Melde y la configuración experimental Medición Ley de escalas Discusión

Informamos sobre las mediciones de las fluctuaciones transversales de una cuerda en una flujo turbulento del chorro de aire. Los modos armónicos son excitados por el arrastre fluctuante fuerza, en diferentes números de onda. Esta simple sonda mecánica lo hace posible medir las excitaciones del flujo a escalas específicas, promediadas sobre espacio y tiempo: se trata de una medición global y a escala resuelta. También medimos la disipación asociada al movimiento de la cadena, y consideramos la relación de la las fluctuaciones sobre la disipación (FDR). En un enfoque exploratorio, investigamos el concepto de "temperatura efectiva" definido a través del FDR. Comparamos nuestras observaciones con otras definiciones de temperatura en turbulencia. Del teoría de Kolmogorov (1941), derivamos el exponente -11/3 esperado para el espectro de las fluctuaciones. Este modelo sencillo y nuestros resultados experimentales están de acuerdo, sobre el rango de números de onda, y número de Reynolds accesible (74000 \leq Re \leq 170000$).

Introducción Los flujos turbulentos exhiben una dinámica notoriamente compleja e impredecible: presentan un gran número de grados de libertad, y sus dinámicas están lejos de equilibrio y disipación [1, 2, 3]. La energía cinética inyectada a gran escala por la cizalla Los mecanismos de inestabilidad se disipan en el calor por la viscosidad molecular a pequeña escala. Es decir, las escamas de disipación e inyección son distintas. Por lo tanto, un proceso de transporte a través de escamas es necesario para que el flujo sea estacionario. Se sospecha que la inestabilidad los mecanismos asociados con las no linealidades generan armónicos, por lo tanto la transferencia energía a escalas más pequeñas casi sin disipación. Una imagen equivalente sería consisten en vórtices que se estiran entre sí de tal manera que una transferencia de energía no cero ocurre hacia escalas más pequeñas. Esta imagen del proceso en cascada fue propuesta por primera vez por Richardson [4]. La cascada se detiene aproximadamente en el rango de escalas donde la la viscosidad se vuelve eficiente a los gradientes de velocidad húmeda. A finales de los años treinta, Kolmogorov se deriva de esta idea una teoría fenomenológica que tiene en cuenta las fluctuaciones de varios observables en turbulencias plenamente desarrolladas [5]. En el presente trabajo, estamos http://arxiv.org/abs/0704.0325v3 Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 2 ni preocupado por las escamas grandes (inyección de energía), ni por las pequeñas (disipación) escalas, pero por el rango intermedio. En este rango inercial intermedio, estudiamos el proceso de transporte a través de escalas, que se espera que sea universal. En lugar de escala l, uno a menudo se refiere al número de onda k = 2η/l. El parámetro de control del flujo es el número de Reynolds: Re = V L , donde L es el escala macroscópica del flujo (escala integradora, o longitud de correlación), V es una característica velocidad de corte a gran escala, y ν es la viscosidad cinemática del fluido. También lo es. la relación media del inercial por la contribución disipativa del forzamiento sobre un fluido partícula. Interesantes predicciones fueron derivadas por Kolmogorov (1941), que utilizamos en el siguiente. Especialmente, el rango de escalas sobre las cuales se producen fluctuaciones escalas como Re3/4. La predicción para el exponente de la densidad espectral de potencia como 2 k−5/3 es entre los éxitos más famosos de esta teoría [1, 2, 3]. Nuestro sistema experimental se describe en detalle en la siguiente sección. Es una cuerda delgada. sostenido por sus extremos en tensión constante a través de un flujo turbulento. Para formalizar brevemente, es un oscilador con resonancias múltiples, acoplado a un ‘termostat’ particular: el flujo turbulento. Esta cadena se utiliza para sondear el rango inercial de un flujo lo suficientemente alto Números de Reynolds. El dispositivo se ’calibra’ midiendo el promedio (complejo) respuesta a una perturbación externa, y luego se utiliza para medir las fluctuaciones libres causada solo por turbulencias. Medición del desplazamiento r(t) causado por el El forzamiento turbulento f(t) se realiza con pequeños transductores piezoeléctricos. Medimos la respuesta media, es decir, el desplazamiento en un extremo causado por una banda ancha conocida forzando en el otro extremo. Luego, las mediciones del desplazamiento en un solo extremo proporcionar información sobre las fluctuaciones del forzamiento. Nuestro estudio da un paso adelante, en un Una forma exploratoria. Conocer la función de respuesta media de la cadena y la medición r(t), invocamos una versión del Teorema de Fluctuación-Disipación extendida fuera de equilibrio, para definir una temperatura efectiva del flujo turbulento. Esto es efectivo. la temperatura pasa a ser dependiente de la escala. En este trabajo, la turbulencia plenamente desarrollada se aborda desde el punto de vista de Mecánica estadística. En primer lugar, recordamos un avance importante: la declaración de el Teorema de Fluctuación-Disipación (FDT). Considere un par de variables conjugadas (desplazamiento r y fuerza f) de un pequeño sistema en contacto térmico con un gran depósito de calor. En el presente caso, el pequeño sistema es la cadena, acoplada a la flujo turbulento que es el embalse. Desplazamiento r y fuerza f se conjugan en la sensación de que su producto es el trabajo ejercido por el flujo en la cuerda. Los teorema se origina de la idea de que las fluctuaciones espontáneas r(t) debe tener la las mismas propiedades estadísticas que la relajación de r(t) después de la eliminación de un forzando la perturbación. La hipótesis principal necesaria para derivar este teorema son: – respuesta lineal entre f y r, – equilibrio térmico entre el sistema bajo consideración y el termostato, – equilibrio térmico del propio termostato. Los función de respuesta Hr,f es tal que: r(t) = Hx,f (t − t ′)f(t′)dt′. Equivalentemente. se puede escribir en el espacio de Fourier como: r Bajo alguna hipótesis, el fluctuaciones de r (su función de correlación de 2 veces) están vinculadas por una relación muy simple con la respuesta disipativa del sistema a una perturbación de la variable conjugada f (parte imaginaria de la función de respuesta media). Es simplemente proporcional, y el coeficiente no es más que la temperatura multiplicada por la constante Boltzman: kBT [6]. La validez de la hipótesis debe ser discutida en cada caso. Si lo son satisfecho, la función de correlación de las fluctuaciones espontáneas es proporcional a la función de respuesta, es decir, el factor es único y constante. Además, este factor Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 3 es el mismo para todas las parejas de variables conjugadas, y este factor es kBT, donde T es la temperatura del sistema. La constante de Boltzman kB 1,38 10 −23JK−1 es un constante universal. Esta relación puede expresarse en variables espectrales: r?()2 = 2 kBT Im[Hśr,f (­)]. 1).......................................................................................................................................................... En esta expresión de la FDT, r del desplazamiento r, como Hūr,f(­) es la función de respuesta en r al conjugado variable f. Debido a que la cadena es muy delgada, el arrastre es puramente viscoso. Es, por lo tanto, proporcional a la velocidad, que está en cuadratura con el desplazamiento. Los Por lo tanto, la disipación es proporcional a la parte imaginaria de la respuesta media función: Im[Hś]. En la perspectiva de la construcción de una termodinámica no-equilibrio, el FDT tiene fue reconsiderado por L. Cugliandolo y J. Kurchan, mientras investigaba los materiales que se relajan después de un enfriamiento térmico a través de la transición del vidrio [7, 8]. Presentamos en el siguiente enfoque exploratorio de la cuestión de la turbulenta las fluctuaciones utilizando su formalismo extendido. La relación fluctuación-disipación (FDR) puede ser reescrito: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Im[Hśr,f(Ł)] = 2 kBTeff.(l), (2) cuando la temperatura sea sustituida por una temperatura ‘efectiva’ Teff., función de frecuencia. La dependencia de frecuencia de Teff. expresa el hecho de que diferentes grados la libertad no están en equilibrio entre sí, lo que da lugar a flujos de energía internos. En otras palabras, en nuestro sistema, cada modo (independiente) de las parejas de cuerda a (no independiente) escala del flujo. Como el flujo es estacionario, promediamos nuestro mediciones a tiempo, y finalmente obtener la dependencia de frecuencia de Teff. según se define por la ecuación 2. Las mediciones de las fluctuaciones de la cadena dan los componentes de Fourier de la excitación del flujo. Medimos independientemente las fluctuaciones, y el función de respuesta media compleja a una excitación especificada, de una manera discutida a continuación. Proponemos analizar estas mediciones con los criterios discutidos anteriormente. El documento se organiza de la siguiente manera. La siguiente sección describe la configuración experimental, propiedades de flujo turbulentas, y el ajuste de la cadena. Propiedades generales de una También se discute la cuerda de Melde vibrante. Las mediciones se muestran en la sección 3: respuesta, fluctuaciones y la relación de disipación de fluctuación de este sistema. En la sección 4, derivamos de la teoría de Kolmogorov un modelo de escala simple para las fluctuaciones de el arrastre, y por lo tanto el FDR, que da cuenta del exponente observado en el toda la gama de accesible Re. La sección 5 está dedicada a una discusión de nuestros resultados, especialmente en comparación con varias definiciones de temperatura en turbulencias propuestas en la literatura. 2. La cadena Melde y la configuración experimental La configuración experimental se bosqueja en la Fig. 1. Un chorro de aire turbulento se origina de una boquilla de diámetro 5 cm. La instalación de flujo que usamos se describe a fondo en [9]. Una delgada cadena de acero inoxidable de longitud 60 cm se encuentra a 2 m aguas abajo de la boquilla, perpendicular al eje del flujo. A esta distancia, la longitud de la cuerda es sobre el diámetro del chorro turbulento. El desplazamiento de la cadena es medida utilizando cerámica piezoeléctrica multicapa en cada extremo de la cuerda. A piezo Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 4 está deformado por un voltaje. Recíprocamente, si la cerámica en comprimido, una tensión es generado. La relación entre tensión y deformación es lineal, y la frecuencia la respuesta es casi plana en el rango de frecuencia que consideramos aquí. Puede ser utilizado como actuador o sensor. Tenemos dos piezos, uno en cada extremo de la cuerda. Los dos diferentes medidas que realizamos son las siguientes. 1) función de respuesta compleja: un piezo (de entrada) se alimenta con un voltaje de ruido blanco a través de un amplificador de potencia. Los fuente es la de un analizador de señales HP3562A. Las ondas transversales de pie aparecen en la cuerda, débilmente perturbada por las fluctuaciones turbulentas. Desplazamiento mecánico en el otro extremo se transforma en un voltaje por el otro (salida) piezo. Debe se amplifican, y las tensiones de entrada y salida se registran sincrónicamente con una Convertidor A/D de 24 bits. La frecuencia de adquisición es de 50 kHz. Llamamos a la respuesta relación media de tiempo de las amplitudes de tensión en piezos de entrada y salida, registrada Simultáneamente. Las tensiones de entrada y salida son proporcionales al desplazamiento, respectivamente. y la restricción (en los piezos). La dimensión de la respuesta real es la inversa de una rigidez, como lo que medimos es la relación de voltajes. Los prefactores diminutivos son: omited para la simplicidad, ya que son constantes para la misma configuración (cadena y transductores). El diámetro de la cadena es de 100 μm, menos que la escala viscosa del flujo que es aproximadamente η 170 μm en el Re más grande accesible. La ecuación de movimiento de la PIEZOS Stand Gráfico 1 Configuración eperimental: el alambre de acero delgado se arrastra a través de un aire turbulento chorro por un peso de 4 Kg sobre un soporte rígido. Los transductores piezoeléctricos son en mecanica contacto con el cable en cada extremo. unamped y unanforced string es una ecuación de onda lineal. Sus soluciones con puntas fijas son ondas de pie r(x, t) = A cos(­n t − knx), donde A es la amplitud, t es el tiempo y x es la posición a lo largo del cable. Los números de onda discreta son kn = n , donde L Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 5 es la longitud de la cadena y n es un entero positivo. En una primera aproximación, la las ondas no son dispersivas: ­n = c kn, donde c es la velocidad de fase. T es la tensión de la cadena y μ su masa por unidad de longitud, c = T/μ 300 m/s. Con un peso de 4 kg en un extremo, la frecuencia fundamental de la cadena es f0 = 344 Hz. La disipación se debe principalmente a la fricción en el aire, y causa poca dispersión. Más preciso tratamiento requeriría términos de disipación en el propio alambre y en el piezoeléctrico transductores que fijan los extremos. Nosotros descuidamos esto, ya que la amplitud sigue siendo pequeña (a pocas decenas de micrómetros) en comparación con la longitud de la pila de cerámica (3 mm), o incluso el diámetro del alambre (100μm). El posible acoplamiento con la onda de compresión no es relevante, ya que el rango de frecuencia es distinto. (velocidad de onda de compresión en acero es un pocos miles de m/s, más grande que lo que consideramos aquí: c 300 m/s.) Cuando esto alambre se sumerge en el flujo turbulento, los modos de resonancia son excitados por el arrastre forzando. Las cantidades medidas se promedian a lo largo del alambre. Por lo tanto, son global en el espacio pero local en escala, o más precisamente en el espacio de Fourier. Los vórtices a escala l se espera excitar modos de onda-número k = 2η/l. En ese sentido, la cuerda está actuando como un espectrómetro mecánico, casi exactamente como un Fabry-Perot interferómetro. 3. Medición El módulo de la función de respuesta está trazado en la Fig. 2. Muestra que la resonancia los picos son realmente muy estrechos, asegurando una selección muy precisa de los números de onda: el factor de calidad es aproximadamente Q 4000. La parte imaginaria de la respuesta función es dar la disipación. La anchura de los picos en el módulo es también Gráfico 2 Módulo de la función de respuesta versus el número armónico, en Re = 154000. La abscisa se da en coordenadas no-dimensionales, normalizado por la frecuencia fundamental. vinculado a la disipación, así como el tiempo de amortiguación después de una perturbación. Solíamos en la siguiente medición de la parte imaginaria de la respuesta, pero que estos diferentes métodos coinciden. Sólo se consideran las frecuencias resonantes en este estudio, ya que son mucho más sensibles a las fluctuaciones de velocidad. Esto es Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 6 especialmente importante en grande k, ya que la energía cinética del flujo es pequeña. Espectro de la fluctuación excitada por el arrastre turbulento se muestra en la Fig. 3. Fluctuaciones Los picos de resonancia están claramente identificados. Vibraciones esporádicas son visibles, principalmente causadas por las vibraciones del stand. Porque los picos son muy delgados, adquisiciones largas son necesarios, así como grandes ventanas para los cálculos de FFT (150000 puntos), en para lograr una resolución suficiente (0.33Hz). El protocolo que usamos para encontrar el frecuencias de resonancia, el valor de la amplitud de las fluctuaciones, y parte imaginaria de la respuesta, es el siguiente. La frecuencia de resonancia se obtiene mediante alisado de la espira cada pico alrededor de la amplitud máxima de la respuesta. Entonces, la parte imaginaria es medida después de ser alisada también. La amplitud de las fluctuaciones picos son recogida en el espectro, después de suavizar local alrededor de los máximos. Uno puede ver el Gráfico 3 Espectro de los modos de resonancia de la cuerda excitado por turbulentos fluctuaciones de arrastre, en Re = 154000. FDR en Fig. 4, llamado kBteff., para varios valores de Re. Incertidumbres sobre esta proporción orígenes múltiples. Los errores indicados por el tamaño de los símbolos son los que vienen de la determinación de las frecuencias de resonancia. Vibraciones esporádicas del soporte son difícil de manejar: realizamos mediciones de respuesta y fluctuaciones en la misma condiciones, para reducir su influencia en la relación. Creemos que la dispersión de los puntos en Fig. 4 proviene principalmente del debilitamiento de la relación señal/ruido para las grandes frecuencias, simplemente porque hay menos energía en el flujo en k grande, especialmente en Re pequeño. La única salida posible en este punto es mejorar el acoplamiento entre la cadena y los sensores. El número de onda se ha vuelto a escalar con la escala viscosa interna η • Re−3/4. Las coordenadas han sido redimensionadas por un número estimado de grados de la libertad: (L/η)3 • Re9/4. Estas escalas de Re son las consecuencias habituales de La teoría de Kolmogorov. En otras palabras, la “energía térmica” kBTeff. que el FDR es representa en el marco de la teoría de Cugliandolo et al, se da por grado de libertad. Suponiendo que el número de grados de libertad es el número total de partículas del tamaño η en el volumen total es habitual, pero crudo. Una descripción más realista debería implican correlaciones entre ellos, reduciendo este número. Sin embargo, todas las curvas colapsar a una sola ley de poder con esta escala. El exponente se discute en el Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 7 Gráfico 4 Espectro del FDR, etiquetado como agitación térmica por grado de libertad. Eje se redimensionan con la adecuada dependencia de números Reynolds, entre 74000 y 170000. El tamaño de los símbolos representa la incertidumbre en el determinación de los máximos de los picos. La línea sólida es una ley de poder k−11/3 como guía visual. sección siguiente. Tenga en cuenta que la dotación de energía en equilibrio requeriría este espectro ser constante. No hay equilibrio entre los modos de Fourier, debido a el flujo de energía a través de escalas. Además, no son independientes, y probablemente No Gaussian. No hay razón para esperar equipo. Considerando una kinematik temperatura como poportivo a la energía cinética, como en la teoría cinética de los gases, sería: T â € TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Y, debido a la teoría de Kolmogorov se escalaría como k-5/3. La dependencia que observamos con nuestra definición es mucho más pronunciada. 4. Ley de escalas Debido a que la susceptibilidad de la cuerda es muy alta en resonancia, la longitud de media onda los modos n/23370//2 coinciden con las estructuras de velocidad de la escala l (n es un entero). Por lo tanto, el número de onda de la onda de pie en la cadena k = n 2 La condición necesaria para este emparejamiento es la resonancia. También garantiza que las velocidades de la cadena y el fluido igualar, que es crucial para el siguiente argumento. Desplazamiento es proporcional al forzamiento de arrastre, en sí mismo proporcional a la velocidad, como arrastrar es viscoso: el número Reynolds basado en el diámetro de la cadena es pequeño (alrededor de 10). La cadena Melde no es dispersiva: • = 2ηf = ck, siendo c la velocidad de onda. Por lo tanto, el desplazamiento es r = v = v/(ck), y su espectro de potencia es: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Porque la disipación viscosa en cada uno La resonancia es proporcional a la frecuencia, el FDR de Eq. 2 es simplemente proporcional a c k â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € · k â € € € € € € €. Siguiendo a Eq. 2, una "agitación térmica" efectiva definida por el FDR sería: kBteff. k −11/3, en la gama inercial de turbulencias totalmente desarrolladas. Este exponente es compatible con el espectro que medimos, como se puede ver en la Fig. Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 8 5. Discusión La caracterización teórica de la turbulencia en términos de temperatura se propuso en el pasado de varios autores. Las temperaturas definidas por T. M. Brown [10] y B. El Castating [11] no depende de k a lo largo de la gama inercial. La calidad idea es que el proceso de transporte en cascada es lo suficientemente eficiente para igualar una cantidad Llaman temperatura. En otro modelo invocando un principio extremo, B. Castaing propuso una definición de temperatura, que podría depender de la escala [12]. En cualquier caso, ninguna de estas teorías invoca el FDR. Sobre una base diferente, R. Robert y J. Sommeria propuso una definición de temperatura [13], válida únicamente para turbulencias 2D. No lo es. se espera que se aplique en un flujo 3D. Ahora, consideremos nuestros resultados experimentales desde la perspectiva de los tres puntos de la reflexión que propusimos en la primera sección, en relación con la FDT. 1- Respuesta lineal: Como hemos mencionado, el acoplamiento entre la cuerda y el flujo es puramente viscoso. Por lo tanto, la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad: f(t) = γ v(t), siendo γ una fricción Coeficiente. También es la derivada del tiempo de la posición f(t) = γ Ł r(t). La respuesta es lineal en r, pero el coeficiente depende de la frecuencia. 2- Son fluctuaciones y disipación ¿Proporcional? Como hemos visto, las mediciones del FDR son consistentes con un escalar k−11/3, definitivamente no es constante con respecto a k. Como nuestro sistema está fuera del equilibrio pero estacionario, no hay evolución del tiempo como la relajación de las gafas. 3- Establecer una cuerda en un flujo turbulento permite realizar mediciones en una pareja de las variables conjugadas fuerza-desplazamiento. No tenemos otro conjunto de observables para comparar con, por ahora. Podemos preguntarnos si lo que medimos es realmente una temperatura, en una dinámica sentido común. Si uno asume que cada modo de la cadena es un oscilador armónico, y que un oscilador armónico en equilibrio con el baño da la temperatura de este baño a través del FDR, luego el equilibrio entre los modos de la cadena y los modos del flujo significa que la temperatura es igual: las mediciones dan la temperatura del flujo en este escala correspondiente. Esta interpretación sigue basándose en el supuesto de que el oscilador da la temperatura del oscilar: esta es nuestra hipótesis de trabajo. Por equilibrio entre los modos de la cadena y el flujo, nos referimos a una condición ‘no-flujo’ sobre la energía. Esto está garantizado por la alta susceptibilidad de la cuerda a la resonancia. In otras palabras, la sonda y el depósito están en equilibrio entre sí para cada uno k, pero obviamente no se espera equilibrio entre una escala y otra. Hemos realizado mediciones sobre un flujo turbulento, acoplando a él un conjunto de armónicos osciladores: una cuerda Melde. En equilibrio con el flujo, en el sentido de que cada modo de las parejas de cuerdas con el fluido en la escala l = Da mucha información como un espectrómetro, a pesar de que el flujo en sí está fuertemente fuera de equilibrio. Esto es cierto, por supuesto, siempre y cuando la respuesta de la cadena es lo suficientemente rápida en comparación con las frecuencias de las fluctuaciones de velocidad. Los espectros de desplazamiento se registran en diferentes valores de Re, así como la respuesta compleja de la cadena sobre una excitación (contribuciones de todas las olas de pie). La coincidencia de los modos de la cadena y las estructuras hidrodinámicas, lo que llamamos equilibrio entre la cadena y el flujo, sigue siendo una hipótesis de trabajo cuestionable. Sin embargo, inspirándose en la teoría del no equilibrio de Cugliandolo et al. temperatura basada en el FDR, se midió la fluctuación sobre la relación de disipación de nuestra cuerda en un flujo turbulento, para diferentes valores de Re. El FDR, multiplicado por un poder apropiado del número Reynolds exhibe una ley de poder única, cuando El número de Reynolds está entre 74000 y 170000. El exponente es consistente con un Medición de una temperatura dinámica en turbulencia. 9 valor −11/3 dado por un modelo muy simple derivado de la teoría de Kolmogorov 1941. Agradecimientos Reconocemos a B. Castaing, E. Leveque, P. Borgnat, F. Delduc, S. Ciliberto, E. Bertin, y K. Gawedzki para muchas discusiones. También agradecemos a V. Bergeron, T. Divoux, y V. Vidal para correcciones en el manuscrito y para muchas discusiones. Gracias a F. Dumas por su ayuda en la construcción de dispositivos de posicionamiento. Como esto sistema se convirtió en un experimento de enseñanza, varios estudiantes contribuyeron a este estudio como parte de su curso de posgrado en el laboratorio. Se les agradece: A. Louvet, G. Bordes, I. Dossmann, J. Perret, C. Cohen y M. Mathieu. También damos las gracias a la fabricante de guitarra D. Teyssot, de Lyon, que suavemente nos dio sus cuerdas más delgadas E. [1] L.D. Landau y E.M. Lifshitz. Curso de Física Teórica: Mecánica de Fluidos. Mir, 1971. [2] A.S. Monin y A.M. Yaglom. Mecánica estadística de fluidos. MIT Press, Cambridge, 1975. [3] U. Frisch. Turbulencia: el legado de A.N. Kolmogorov. Cambridge Univ. Press., 1995. [4] L.F. Richardson. Predicción meteorológica por proceso numérico. Cambridge Univ. Prensa, 1922. [5] A.N. Kolmogorov. C. R. Acad. Sci. U.S.S.R., 30, 1941. [6] M. Toda R. Kubo y N. Hashitsume. Física Estadística II: No Equilibrio Estadístico Mecánica, volumen II. Springer, 1985. [7] L. Cugliandolo y J. Kurchan. Phys. Rev. Lett., 71, 1993. [8] J. Kurchan L. Cugliandolo y L. Peliti. Phys. Rev. E, 55, 1997. [9] P. Marcq y A. Naert. Phys. de Fluidos, 13, 2001. [10] T.M. Marrón. J. Phys. I, 15, 1982. [11] B. Castaing. J. Phys. II, 6, 1996. [12] B. Castaing. J. Phys. II, 50, 1989. [13] J. Sommeria y R. Robert. J. Fluid Mech., 229, 1991. Introducción La cadena Melde y la configuración experimental Medición Ley de escalas Discusión

On generalized entropy measures and pathways

SOBRE MEDIDAS DE INTROPÍA GENERALIZADAS Y CAMINOS A.M. MATHAI Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad McGill, Montreal, Canadá H3A 2K6, y Centro de Ciencias Matemáticas, Campus Pala, Arunapuram P.O., Pala-686 574, Kerala (India) H.J. HAUBOLD Oficina de Asuntos del Espacio Ultraterrestre, Naciones Unidas, Centro Internacional de Viena, P.O. Box 500, A-1400 Viena, Austria y Centro de Ciencias Matemáticas, Campus Pala, Arunapuram P.O., Pala-686 574, Kerala (India) Resumen. Propiedad de probabilidad de producto, conocida en la literatura como estadística la independencia, se examina en primer lugar. Luego se introducen entropías generalizadas, todas de los cuales dan generalizaciones a la entropía Shannon. Se demuestra que la naturaleza del postulado de recursividad determina automáticamente la función logarítmica formulario para la entropía Shannon. Debido a la naturaleza logarítmica, Shannon entropía naturalmente da lugar a la aditividad, cuando se aplica a situaciones con producto propiedad de probabilidad. Se argumenta que el proceso natural es la no additividad, importante, por ejemplo, en la mecánica estadística (Tsallis 2004, Cohen 2005), incluso en situaciones de propiedad de probabilidad de producto y la aditividad puede mantener debido a la implicación de un postulado de recursividad que conduzca a una función logarítmica. Se introducen entropías generalizadas y algunas de sus propiedades son examen- ined. Las situaciones se examinan donde una entropía generalizada de orden α conduce a modelos de trayectoria, comportamiento exponencial y de la ley de poder y diferencial relacionado ecuaciones. La conexión de esta entropía a la medida de Kerridge de “inexactitud” es también explorado. 1. Introducción Mathai y Rathie (1975) consideran diversas generalizaciones de Shannon en- tropy (Shannon, 1948), llamado entropías de orden α, y dar varias propiedades, incluyendo propiedad de aditividad, y teoremas de caracterización. Recientemente, Mathai y Haubold (2006, 2006a) exploraron una entropía generalizada de orden α, que está conectado a una medida de incertidumbre en un esquema de probabilidad, Kerridge’s (Kerridge, 1961) concepto de inexactitud en un esquema, y modelos de trayectoria que se consideran en este documento. Como se define en Mathai y Haubold (2006, 2006a) la entropía Mk,α(P) es un La entropía no additiva y su medida M*k,α(P) es una entropía aditiva. También lo es. muestra que la maximización del análogo continuo de Mk,α(P ), denotado por Mα(f), da lugar a varias formas funcionales para f, dependiendo de los tipos de restricciones sobre f. http://arxiv.org/abs/0704.0326v2 Ocasionalmente, se hace hincapié en el hecho de que la entropía Shannon satisface la propiedad de la aditividad, que conduce a la extensividad. Se demostrará que cuando la propiedad de probabilidad del producto (PPP) tiene entonces una función logarítmica puede dar una suma y una función logarítmica entra en la entropía Shannon debido a la suposición introducida a través de un cierto tipo de postulado de recursividad. Los el concepto de independencia estadística se examinará en la sección 1 para ilustrar que simplemente debido a la PPP uno no tiene que esperar que la aditividad se mantenga o que no se debe esperar que este PPP conduzca a la extensividad. Los tipos de no- extensividad, asociada a una serie de entropías generalizadas, se señalan incluso cuando el PPP se mantiene. La naturaleza de la no-extensividad que se puede esperar de una distribución multivariada, cuando la PPP se mantiene o cuando hay estadísticas independencia de las variables aleatorias, se ilustra tomando un caso trivariado. El principio de la entropía máxima se examina en la sección 2. Se muestra que optimización de medidas de entropías, en las poblaciones continuas, bajo restricciones seleccionadas, conduce a varios tipos de modelos. Se demuestra que el Entropía generalizada de orden α es conveniente para obtener varias probabilidades modelos. Sección 3 examina los tipos de ecuaciones diferenciales satisfechos por los diversos casos especiales del modelo de vía. 1.1. Propiedad de probabilidad de producto (PPP) o independencia estadística de los acontecimientos Que P (A) denote la probabilidad del evento A. Si la definición P (A+B) = P (A)P (B) se toma como la definición de independencia de los acontecimientos A y B entonces cualquier evento A + S, y S el evento seguro son independientes. Pero A está contenida en S y entonces la definición de independencia se convierte en inconsistente con el común la visión del hombre de la independencia. Incluso si los casos triviales del evento seguro S y el evento imposible se eliminan, sin embargo esta definición se convierte en un resultado de algunas propiedades de números positivos. Considerar un espacio de muestra de n distinto eventos elementales. Si la simetría en los resultados se asume entonces vamos a asignar igual probabilidad 1 cada uno a los eventos elementales. Let C = A â € B. Si A y B son independientes entonces P (C) = P (A)P (B). Vamos. P (A) = , P (B) = , P (C) = Nz = xy, x, y, z = 1, 2,..., n− 1, z < x, y (1) borrando S y S. No hay solución para x, y, z para un gran número de n, para ejemplo, n = 3, 5, 7. Esto significa que no hay eventos independientes en tales y suena extraño desde el punto de vista de un hombre común. El término “independencia” de los acontecimientos es un nombre erróneo. Esta propiedad debe se han llamado propiedad de probabilidad de producto o PPP de eventos. No hay razón para esperar que la información o la entropía en una distribución conjunta sea la suma del contenido de información de las distribuciones marginales cuando la PPP tenga para las distribuciones, es decir, cuando la función de densidad o probabilidad conjunta es un producto de las densidades marginales o funciones de probabilidad. Puede que esperemos un término debido a la probabilidad del producto de entrar en la expresión para la entropía en la distribución conjunta en tales casos. Pero si la información o la entropía es definido en términos de logaritmo, entonces naturalmente, logaritmo del producto que es la suma de logaritmos, podemos esperar una suma que viene en tales situaciones. Esto es no debido a la independencia o debido al PPP de las densidades, sino debido al hecho que un funcional que implica logaritmo se toma por lo tanto un producto se ha convertido en una suma. Por lo tanto, no se debe dar demasiada importancia a si el entropía en la distribución conjunta se convierte en suma de las entropías en marginal distribuciones o propiedad de aditividad cuando PPP mantiene. 1.2. ¿Cómo está llegando el logaritmo en la entropía de Shannon? Varios teoremas de caracterización para la entropía Shannon y sus diversos gen- Las borraciones se dan en Mathai y Rathie (1975). Versiones modificadas y refinadas de los propios postulados de Shannon se dan como postulados para el primer teorema charac- Entropía Shannon en Mathai y Rathie (1975). Aparte de la continuidad, La simetría, la indiferencia cero y la normalización postulan el postulado principal en el teorema es un postulado recursividad, que en esencia dice que cuando el PPP sostiene entonces la entropía será una suma ponderada de las entropías, así en efecto, asumiendo una forma funcional logarítmica. Se afirma el postulado crucial Aquí. Considerar una población multinomio P = (p1,..., pm), pi > 0, i = 1,...,m, p1 +... + pm = 1, es decir, pi = P (Ai), i = 1,...,m, A1 â €... â € Am = S, Ai Aj = Ł, i 6= j. Si cualquier pi puede tomar un valor cero también entonces cero-indiferente postulado, a saber, que la entropía sigue siendo el mismo cuando un acontecimiento imposible se incorpora al régimen, debe añadirse. Que Hn(p1,..., pn) denote el entropía a definir. Entonces el postulado de recursividad crucial dice que Hn(p1,..., pm−1, pmq1,.., pmqn−m+1) = Hm(p1,..., pm) + pmHn−m+1(q1,..., qn−m+1) (2) i=1 pi = 1, N-m+1 i=1 qi = 1. Esto dice que si el evento m-th Am es par- = P (Am)P (Bj) = pmqj, j = 1,..., n − m + 1 de modo que pm = pmq1 +... + pmqn−m+1 luego la entropía Hn(·) se convierte en una suma ponderada. Naturalmente, el resultado será una función logarítmica para la medida de la entropía. Hay varias modificaciones en este postulado crucial de recursividad. Uno sugerido por Tverberg es que n−m+1 = 2 y q1 = q, q2 = 1− q, 0 < q < 1 y se supone que H2(q, 1 − q) es Lebesgue integrable en 0 ≤ q ≤ 1. Otra vez. se obtiene una caracterización de la entropía Shannon. En toda la caracterización teoremas para Shannon entropía esta propiedad recursividad entra en una forma o la otro como postulado, que en efecto implica una forma logarítmica para la entropía medida. Shannon entropy Sk tiene el siguiente formulario: Sk = −A pi ln pi, pi > 0, i = 1,..., k, p1 +...+ pk = 1, (3) donde A es una constante. Si se supone que cualquier pi es cero entonces 0 ln 0 es ser interpretado como cero. Dado que la constante A está presente, el logaritmo puede ser llevado a cualquier base. Por lo general, el logaritmo se lleva a la base 2 para la aplicación lista para sistemas binarios. Llevaremos el logaritmo a la base e. 1.3. Generalización de la entropía Shannon Considerar de nuevo una población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1 +... + pk = 1. Las siguientes son algunas de las generalizaciones de Shannon entropy Sk. Rk,α(P ) = i=1 p , α 6= 1, α > 0, (4) (Rényi entropía del orden α de 1961) Hk,α(P ) = i=1 p i − 1 21 − 1 , α 6= 1, α > 0 (5) (Havrda-Charvát entropía de orden α de 1967) Tk,α(P ) = i=1 p i − 1 , α 6= 1, α > 0 (6) (Entropía Tsallis de 1988) Mk,α(P ) = i=1 p i − 1 , α 6 = 1 < α < 2 (7) (forma entrópica del orden α) M*k,α(P) = i=1 p , α 6= 1, â € < α < 2, (8) (forma entrópica additiva de orden α). Cuando α → 1 todas las entropías de orden α descrito anteriormente en (4) a (7) ir a Shannon entropy Sk. Rk,α(P ) = lim Hk,α(P ) = lim Tk,α(P ) = lim Mk,α(P ) = lim M*k,α(P) = Sk. Por lo tanto, todas las medidas anteriores se llaman entropías generalizadas de orden α. Examinemos para ver lo que sucede a las entropías anteriores en el caso de un distribución conjunta. Dejar pij > 0, i = 1,...,m, j = 1,..., n tal que j=1 pij = 1. Esta es una situación bivariada de una distribución discreta. Entonces la entropía en la distribución conjunta, por ejemplo, Mm,n,α(P,Q) = j=1 p ij − 1 . (10) Si la PPP se mantiene y si pij = piqj, p1 +... + pm = 1, q1 +... + qn = 1, pi > 0, i = 1,...,m, qj > 0, j = 1,..., n y si P = (p1,..., pm), Q = (q1,..., qn) ( 1)Mm,α (P )Mn,α(Q) = i − 1 j − 1 j + 1 = Mm,n,α(P,Q) −Mm,α(P)−Mn,α(Q). Por lo tanto Mm,n,α(P,Q) = Mm,α(P) +Mn,α(Q) + ( 1)Mm,α(P)Mn,α(Q). (11) Si se escribe alguna de las entropías generalizadas mencionadas en (4) a (8) como Fm,n,α(P,Q) entonces tenemos la relación Fm,n,α(P,Q) = Fm,α(P) + Fn,α(Q) + a(α)Fm,α(P)Fn,α(Q). (12) donde a(α) = 0 (Rényi entropy Rk,α(P)) = 21 − 1 (Havrda-Charvát entropy Hk,α(P)) = 1− α (Tsallis entropy Tk,α(P)) = 1 (forma entrópica del orden α, es decir, Mk,α(P)) = 0 (forma entrópica additiva de orden α, es decir, M*k,α(P)). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Cuando a(α) = 0 la entropía se llama aditivo y cuando a(α) 6= 0 la entropía se llama no additivo. Como se puede esperar, cuando una función logarítmica es implicado, como en los casos de Sk(P), Rk,α(P),M k,α(P ), la entropía es aditiva y a(α) = 0. 1.4. Extensiones a distribuciones de articulaciones dimensionales superiores Considerar una población trivariada o una distribución discreta trivariada pijk > 0, i = 1,...,m, j = 1,..., n, k = 1,..., r k=1 pijk = 1. Si el PPP se sostiene mutuamente, es decir, en el sentido del par, así como conjuntamente, que entonces se implica que pijk = piqjsk, pi = 1, qj = 1, sk = 1, P = (p1,..., pm), Q = (q1,..., qn), S = (s1,..., sr). A continuación, siguiendo como antes, tenemos para cualquiera de las medidas descritas anteriormente en (4) a (8), llamándolo F (·), Fm,n,r,α(P,Q,S) = Fm,α(P) + Fn,α(Q) + Fr,α(S) + a(α)[Fm,α(P)Fn,α(Q) +Fm,α(P)Fr,α(S) +Fn,α(Q)Fr,α(S)] +[a(α)]2Fm,α(P)Fn,α(Q)Fr,α(S) (14) donde a(α) es el mismo que en (13). El mismo procedimiento puede ampliarse a cualquier situación multivariable. Si a(α) = 0 podemos llamar el aditivo de la entropía y si a(α) 6= 0 entonces la entropía no es additiva. 1.5. Postulado de recursividad crucial Considerar la población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1+ ... + pk = 1. Que la medida de entropía se determine a través de la medida apropiada Los postulados deben describirse por Hk(P) = Hk(p1,..., pk). Para k = 2 let f(x) = H2(x, 1− x), 0 ≤ x ≤ 1 o x ≤ [0, 1]. (15) Si otro parámetro α va a estar involucrado en H2(x, 1−x) entonces denotaremos f(x) por fα(x). De (5) a (7) se puede ver que las entropías generalizadas del orden α de la entropía de Havrda-Charvát (1967), Tsallis (1988, 2004) y Shannon (1948) satisfacer la ecuación funcional fα(x) + bα(x)fα = fα(y) + bα(x)f para x, y [0, ) con x+ y [0, 1], con la condición de límite fα(0) = fα(1) (17) donde bα(x) = 1− x (Shannon entropy Sk(P)) = (1- x)α (Harvda-Charvát entropy Hk,α(P)) = (1− x)α (Tsallis entropy Tk,α(P)) = (1- x)2 + (forma entrópica del orden α, es decir, Mk,α(P)). (18) Observe que la constante de normalización en x = 1 es igual a 1 para Hk,α(P) y es diferente para otras entropías. Por lo tanto, las ecuaciones (6),(7),(8), con el apropiado constantes de normalización fα( ), puede dar teoremas de caracterización para los diversos medidas de entropía. La forma de bα(x) viene de la recursividad crucial postulado, asumido como una propiedad deseable para las medidas. 1.6. Análogos continuos En el caso continuo dejar que f(x) sea la función de densidad de un verdadero azar variable x. A continuación, las diversas medidas de entropía, correspondientes a las de (4) a 8) son los siguientes: Rα(f) = [f(x)]αdx , α 6= 1, α > 0 (19) (Rényi entropía de orden α) Hα(f) = 21 − 1 [f(x)]αdx− 1 , α 6= 1, α > 0 (20) (Havrda-Charvát entropía de orden α) Tα(f) = [f(x)]αdx− 1 , α 6= 1, α > 0, (21) (Entropía Tsallis de orden α) Mα(f) = [f(x)]2°dx− 1 , α 6= 1, α < 2 (22) (forma entrópica del orden α) M(f) = [f(x)]2°dx , α 6= 1, α < 2 (23) (forma entrópica additiva de orden α). Como era de esperar, la entropía Shannon en este caso está dada por S(f) = −A f(x) ln f(x)dx (24) donde A es una constante. Tenga en cuenta que cuando PPP (propiedad de probabilidad de producto) o estadística indepen- dence se mantiene entonces en el caso continuo también tenemos la propiedad en (12) y (14) y, a continuación, la no additividad sostiene para las medidas análogas a las de (3),(5),(6) y(7) con a(α) siendo el mismo. Dado que los pasos son paralelos a derivación separada no se da aquí. 2. Principio de entropía máxima Si tenemos una población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1+ ...+ pk = 1 o el esquema P (Ai) = pi, A1 â €... â € Ak = S, P (S) = 1, Ai â € Aj = Por lo tanto, sabemos que la incertidumbre máxima en el esquema o la información mínima del sistema se obtiene cuando no podemos dar ninguna preferencia a la ocurrencia de cualquier evento en particular o cuando los eventos son igual de probable o cuando p1 = p2 =... = pk = . En este caso, Shannon entropy se convierte en, Sk(P) = Sk( ,..., ) = −A = A ln k (25) y esta es la máxima incertidumbre o la máxima entropía Shannon en este esquema. Si la f funcional arbitraria se debe fijar maximizando la entropía entonces en (19) a (21) tenemos que optimizar [f(x)]αdx para α fijo, sobre todo funcional f, sujeto a la condición f(x)dx = 1 y f(x) ≥ 0 para todas las x. Para la aplicación de cálculo de procedimiento de variación consideramos el funcionamiento U = [f(x)]α − [f(x)] donde ♥ es un multiplicador lagrangiano. Entonces la ecuación de Euler es la siguiente: = 0  αf1 −  = 0  f = = constante. 26) Por lo tanto f es la densidad uniforme en este caso, análogo a la igualmente probable situación en el caso multinomio. Si el primer momento E(x) = xf(x)dx se supone que es una cantidad dada para todos funcional f entonces U se convertirá en el a continuación para (19) a (21). U = [f(x)]α − 1[f(x)]− 2xf(x) y la ecuación de Euler lleva a la ley de poder. Es decir, = 0  αf1 − 1 − 2x = 0  f = c1 . (27) Si seleccionamos c1, c1, c2, podemos crear una densidad de (27). Por α > 1 y 2 > 0 el lado derecho en (27) aumenta exponencialmente. Si α = q > 1 y = q − 1 entonces tenemos la función q-exponencial de Tsallis desde el lado derecho de (27). Si α > 1 y 2 = −(1) entonces (27) puede producir una densidad en la categoría de un tipo 1 beta. De (27) se ve que la forma de las entropías de Havrda- CharvátHk,α(P) y Tsallis Tk,α(P) necesitan especial atención para producir densidades (Ferri et al. 2005). Sin embargo, Tsallis ha considerado una restricción diferente sobre E(x). Si la densidad f(x) se sustituye por su densidad de escolta, a saber, μ[f(x)]α donde 1 = [f(x)]αdx y si el valor esperado de x en esta densidad de escolta se supone que se fija para todas las funciones f entonces la U de (26) se convierte en U = fα − 1f + 2xf = 0  αf1[1 + 2x] = (13x) f = 1[1 + 3x] donde ♥3 es una constante y  1 es la constante de normalización. En caso de que se tome la dosis de 3 °C, se considerará que la dosis de 3 °C es igual a la de 3 °C. En ese caso, el valor de la sustancia problema será el valor de la sustancia problema. f = 1[1 + ( 1)x] 1. (28) Entonces (28) para α > 1 es la estadística de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005). Entonces para α < 1 también escribiendo α − 1 = − (1 − α) se obtiene el caso de las estadísticas de Tsallis para α < 1 (Ferri et al. 2005). Estas modificaciones y el examen de distribución de escolta no son necesarios si tomamos la entropía generalizada de orden α. Por lo tanto, si consideramos Mα(f) y si suponemos que el primer momento en f(x) se fija para todo funcional f entonces la ecuación de Euler da (2- α)f1o − (-)1o + (-)2x = 0 (-)f = (-) y en relación con el párrafo 2 del artículo 2 = 1− α tenemos estadísticas de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005) f = [1− (1− α)x] 1° (29) viene directamente, donde es la constante de normalización. Empecemos con Mα(f) de (20) bajo los supuestos de que f(x) ≥ 0 para todos f(x)dx = 1, xl(x)dx se fija para todas las funciones f y para un especificado * > 0, f(a) es el mismo para todas las funciones f, f(b) es el mismo para todas las funciones f, para algunos límites a y b, entonces la ecuación de Euler se convierte (2 − α)f1® − 1 − 2x  = 0  f = c1[1 + c 1o................................................................................................ (30) Si c*1 está escrito como −s(1− α), s > 0 entonces tenemos, escribiendo f1 para f, f1 = c1[1− s(1 − α)x 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > [s(1− α)] donde 1 − s(1 − α)x Para α < 1 o ≤ < α < 1 el lado derecho de (31) sigue siendo un modelo beta de tipo 1 generalizado con la correspondiente normalización constante c1. Para α > 1, escribir 1 − α = − (α − 1) el modelo en (31) va a un forma beta de tipo 2 generalizada, a saber, f2 = c2[1 + s( 1)x 1. (32) Cuando α → 1 en (31) o en (32) tenemos un exponencial extendido o estirado forma, f3 = c3e . 33) Si c*1 en (30) se toma como positivo entonces (30) para α < 1, α > 1, α → 1 será Incrementando exponencialmente. Por lo tanto, todos los formularios posibles están disponibles a partir de (30). Los modelo en (31) es un caso especial del modelo de vía de distribución y para un discusión del modelo de vía matriz-variada véase Mathai (2005). Casos especiales de (31) y de (32) en el caso de las estadísticas Tsallis = 1 (Gell-Mann y Tsallis, 2004); Ferri et al. 2005). En lugar de optimizar Mα(f) de (22) en las condiciones que f(x) ≥ 0 para todas las x, f(x)dx = 1 y x-(x)dx es fijo, optimicemos bajo el las siguientes condiciones: f(x) ≥ 0 para todas las x, f(x)dx < فارسى y los dos siguientes las expresiones momentáneas son cantidades fijas para todas las funciones f, x(1)(1)f(x)dx = fijo, x(1)(1»),f(x)dx = fijo. Entonces la ecuación de Euler se convierte en (2- α)f1 1x (1)(1) − 2x (1)(1) = 0 ♥ f = c x1[1 + c*x y para c* = −s(1 − α), s > 0, tenemos el modelo de vía de distribución para el verdadero caso escalar, a saber: f(x) = c x1[1− s(1− α)x 1 °C, °C > 0, s > 0 (34) donde c es la constante de normalización. Para α < 1, (34) da un tipo generalizado-1 forma beta, para α > 1 da una forma beta de tipo 2 generalizada y para α → 1 Tenemos una forma gamma generalizada. Para α > 1, (34) da la superestadística de Beck (2006) y Beck y Cohen (2003). Para γ = 1,  = 1, (34) da Estadísticas de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005). Densidades que aparecen en un número de los problemas físicos se consideran casos especiales de (34), una discusión de los cuales puede ser visto desde Mathai y Haubold (2006a). Por ejemplo, (34) para  = 2, γ = 3, α → 1, x > 0 es la densidad de Maxwell-Boltzmann; para  = 2, γ = 1, α → 1, es la densidad gaussiana; para γ = ♥, α → 1 es la densidad de Weibull. Para γ = 1,  = 2, 1 < q < 3 tenemos la función W W (p) dando el atómico distribución del momento en el marco de la ecuación de Fokker-Planck, véase Douglas, Bergamini, y Renzoni (2006) donde W (p) = z−1q [1− β(1 − q)p 1-q, 1 < q < 3. (35) Antes de cerrar esta sección podemos observar una propiedad más para Mα(f). As un valor esperado Mα(f) = E[f(x)]1 − 1 . (36) Pero la medida de Kerridge (Kerridge, 1961) de “inexactitud” al asignar q(x) para la densidad verdadera f(x), en la forma generalizada es Hα(f : q) = (21o − 1) E[q(x)]1 − 1 , (37) que también está conectado a la medida de divergencia dirigida entre q(x) y f (x). En (37) la constante de normalización es 211, el mismo factor que aparece en Entropía de Havrda-Charvt. Con diferentes constantes de normalización, como se ha visto antes, (36) y (37) tienen las mismas formas que un valor esperado con q(x) sustituido por f(x) en (36). Por lo tanto Mα(f) también puede ser visto como un tipo de dirección divergencia o medida de “inexactitud”. 3. Ecuaciones diferenciales La parte funcional en (34), para un exponente más general, a saber: g(x) = = x1[1− s(1 − α)x 1 °C, α 6 = 1 °C > 0, β > 0, s > 0 (38) se ve para satisfacer la siguiente ecuación diferencial para γ 6= 1 que define la vía diferencial. g(x) = (γ − 1)x1[1− s(1− α)x − sx1[1− s(1− α)x] (1° ° ° ° ° ° ) . (39) A continuación, para ♥ = (1)(1) , γ 6= 1, α > 1 tenemos g(x) = (γ − 1)g(x)− s®[g(x)]1− (1° ° ° ° ° ° ) β (40) = (γ − 1)g(x)− s[g(x)]α (41) para β = 1, γ 6 = 1,  = (γ − 1)( 1), α > 1. Para γ = 1,  = 1 en (38) tenemos g(x) = −s[g(x)]η, η = 1− (1 − α) = −s[g(x)]α para β = 1. (43) Aquí (43) está la ley del poder que viene de las estadísticas de Tsallis (Gell-Mann y Tsallis, 2004). Agradecimientos Los autores agradecen al Departamento de Ciencia y Tecnología, Gobierno de la India, Nueva Delhi, para la asistencia financiera esta labor en el marco del proyecto No. SR/S4/MS:287/05 que permitió esta colaboración Es posible. 4. Bibliografía Beck, C. (2006). Estirado exponencial de la superestadística. Physica A, 365, 96 a 101. Beck, C. y Cohen, E.G.D. (2003). Superestadística. Physica A, 322, 267-275. Cohen, E.G.D. (2005). Boltzmann y Einstein: Estadísticas y dinámicas - Un Un problema sin resolver. Pramana, 64, 635-643. Douglas, P., Bergamini, S., y Renzoni, F. (2006). Distribución tunable de Tsallis en celosías ópticas disipativas. Cartas de Revisión Física, 96, 110601-1-4. Ferri, G.L., Martinez, S., y Plastino, A. (2005). Equivalencia de los cuatro versiones de las estadísticas de Tsallis. Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento, PO4009. Gell-Mann, M. y Tsallis, C. (Eds.) (2004). Mecán Estadístico No Extensivo ics: Aplicaciones interdisciplinarias. 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Propiedad de probabilidad de producto, conocida en la literatura como estadística la independencia, se examina en primer lugar. Luego se introducen entropías generalizadas, todas de los cuales dan generalizaciones a la entropía Shannon. Se demuestra que la naturaleza del postulado de recursividad determina automáticamente el logarítmico forma funcional para Shannon entropy. Debido a la naturaleza logarítmica, Shannon Entropía naturalmente da lugar a la aditividad, cuando se aplica a situaciones que tienen propiedad de probabilidad de producto. Se argumenta que el proceso natural es no additividad, importante, por ejemplo, en la mecánica estadística, incluso en las situaciones de propiedad de probabilidad del producto y la aditividad pueden mantener debido a la implicación de un postulado de recursividad que conduce a una función logarítmica. Generalizaciones, incluyendo la entropía generalizada de Mathai se introducen y algunos se examinan las propiedades. Las situaciones son examinadas donde la entropía de Mathai conduce a modelos de trayectoria, exponencial y el comportamiento de la ley de poder y relacionados ecuaciones diferenciales. Conexión de la entropía de Mathai a la medida de Kerridge de También se explora la "inexactitud".

Introducción Mathai y Rathie (1975) consideran diversas generalizaciones de Shannon en- tropy (Shannon, 1948), llamado entropías de orden α, y dar varias propiedades, incluyendo propiedad de aditividad, y teoremas de caracterización. Recientemente, Mathai y Haubold (2006, 2006a) exploraron una entropía generalizada de orden α, que está conectado a una medida de incertidumbre en un esquema de probabilidad, Kerridge’s (Kerridge, 1961) concepto de inexactitud en un esquema, y modelos de trayectoria que se consideran en este documento. Como se define en Mathai y Haubold (2006, 2006a) la entropía Mk,α(P) es un La entropía no additiva y su medida M*k,α(P) es una entropía aditiva. También lo es. muestra que la maximización del análogo continuo de Mk,α(P ), denotado por Mα(f), da lugar a varias formas funcionales para f, dependiendo de los tipos de restricciones sobre f. http://arxiv.org/abs/0704.0326v2 Ocasionalmente, se hace hincapié en el hecho de que la entropía Shannon satisface la propiedad de la aditividad, que conduce a la extensividad. Se demostrará que cuando la propiedad de probabilidad del producto (PPP) tiene entonces una función logarítmica puede dar una suma y una función logarítmica entra en la entropía Shannon debido a la suposición introducida a través de un cierto tipo de postulado de recursividad. Los el concepto de independencia estadística se examinará en la sección 1 para ilustrar que simplemente debido a la PPP uno no tiene que esperar que la aditividad se mantenga o que no se debe esperar que este PPP conduzca a la extensividad. Los tipos de no- extensividad, asociada a una serie de entropías generalizadas, se señalan incluso cuando el PPP se mantiene. La naturaleza de la no-extensividad que se puede esperar de una distribución multivariada, cuando la PPP se mantiene o cuando hay estadísticas independencia de las variables aleatorias, se ilustra tomando un caso trivariado. El principio de la entropía máxima se examina en la sección 2. Se muestra que optimización de medidas de entropías, en las poblaciones continuas, bajo restricciones seleccionadas, conduce a varios tipos de modelos. Se demuestra que el Entropía generalizada de orden α es conveniente para obtener varias probabilidades modelos. Sección 3 examina los tipos de ecuaciones diferenciales satisfechos por los diversos casos especiales del modelo de vía. 1.1. Propiedad de probabilidad de producto (PPP) o independencia estadística de los acontecimientos Que P (A) denote la probabilidad del evento A. Si la definición P (A+B) = P (A)P (B) se toma como la definición de independencia de los acontecimientos A y B entonces cualquier evento A + S, y S el evento seguro son independientes. Pero A está contenida en S y entonces la definición de independencia se convierte en inconsistente con el común la visión del hombre de la independencia. Incluso si los casos triviales del evento seguro S y el evento imposible se eliminan, sin embargo esta definición se convierte en un resultado de algunas propiedades de números positivos. Considerar un espacio de muestra de n distinto eventos elementales. Si la simetría en los resultados se asume entonces vamos a asignar igual probabilidad 1 cada uno a los eventos elementales. Let C = A â € B. Si A y B son independientes entonces P (C) = P (A)P (B). Vamos. P (A) = , P (B) = , P (C) = Nz = xy, x, y, z = 1, 2,..., n− 1, z < x, y (1) borrando S y S. No hay solución para x, y, z para un gran número de n, para ejemplo, n = 3, 5, 7. Esto significa que no hay eventos independientes en tales y suena extraño desde el punto de vista de un hombre común. El término “independencia” de los acontecimientos es un nombre erróneo. Esta propiedad debe se han llamado propiedad de probabilidad de producto o PPP de eventos. No hay razón para esperar que la información o la entropía en una distribución conjunta sea la suma del contenido de información de las distribuciones marginales cuando la PPP tenga para las distribuciones, es decir, cuando la función de densidad o probabilidad conjunta es un producto de las densidades marginales o funciones de probabilidad. Puede que esperemos un término debido a la probabilidad del producto de entrar en la expresión para la entropía en la distribución conjunta en tales casos. Pero si la información o la entropía es definido en términos de logaritmo, entonces naturalmente, logaritmo del producto que es la suma de logaritmos, podemos esperar una suma que viene en tales situaciones. Esto es no debido a la independencia o debido al PPP de las densidades, sino debido al hecho que un funcional que implica logaritmo se toma por lo tanto un producto se ha convertido en una suma. Por lo tanto, no se debe dar demasiada importancia a si el entropía en la distribución conjunta se convierte en suma de las entropías en marginal distribuciones o propiedad de aditividad cuando PPP mantiene. 1.2. ¿Cómo está llegando el logaritmo en la entropía de Shannon? Varios teoremas de caracterización para la entropía Shannon y sus diversos gen- Las borraciones se dan en Mathai y Rathie (1975). Versiones modificadas y refinadas de los propios postulados de Shannon se dan como postulados para el primer teorema charac- Entropía Shannon en Mathai y Rathie (1975). Aparte de la continuidad, La simetría, la indiferencia cero y la normalización postulan el postulado principal en el teorema es un postulado recursividad, que en esencia dice que cuando el PPP sostiene entonces la entropía será una suma ponderada de las entropías, así en efecto, asumiendo una forma funcional logarítmica. Se afirma el postulado crucial Aquí. Considerar una población multinomio P = (p1,..., pm), pi > 0, i = 1,...,m, p1 +... + pm = 1, es decir, pi = P (Ai), i = 1,...,m, A1 â €... â € Am = S, Ai Aj = Ł, i 6= j. Si cualquier pi puede tomar un valor cero también entonces cero-indiferente postulado, a saber, que la entropía sigue siendo el mismo cuando un acontecimiento imposible se incorpora al régimen, debe añadirse. Que Hn(p1,..., pn) denote el entropía a definir. Entonces el postulado de recursividad crucial dice que Hn(p1,..., pm−1, pmq1,.., pmqn−m+1) = Hm(p1,..., pm) + pmHn−m+1(q1,..., qn−m+1) (2) i=1 pi = 1, N-m+1 i=1 qi = 1. Esto dice que si el evento m-th Am es par- = P (Am)P (Bj) = pmqj, j = 1,..., n − m + 1 de modo que pm = pmq1 +... + pmqn−m+1 luego la entropía Hn(·) se convierte en una suma ponderada. Naturalmente, el resultado será una función logarítmica para la medida de la entropía. Hay varias modificaciones en este postulado crucial de recursividad. Uno sugerido por Tverberg es que n−m+1 = 2 y q1 = q, q2 = 1− q, 0 < q < 1 y se supone que H2(q, 1 − q) es Lebesgue integrable en 0 ≤ q ≤ 1. Otra vez. se obtiene una caracterización de la entropía Shannon. En toda la caracterización teoremas para Shannon entropía esta propiedad recursividad entra en una forma o la otro como postulado, que en efecto implica una forma logarítmica para la entropía medida. Shannon entropy Sk tiene el siguiente formulario: Sk = −A pi ln pi, pi > 0, i = 1,..., k, p1 +...+ pk = 1, (3) donde A es una constante. Si se supone que cualquier pi es cero entonces 0 ln 0 es ser interpretado como cero. Dado que la constante A está presente, el logaritmo puede ser llevado a cualquier base. Por lo general, el logaritmo se lleva a la base 2 para la aplicación lista para sistemas binarios. Llevaremos el logaritmo a la base e. 1.3. Generalización de la entropía Shannon Considerar de nuevo una población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1 +... + pk = 1. Las siguientes son algunas de las generalizaciones de Shannon entropy Sk. Rk,α(P ) = i=1 p , α 6= 1, α > 0, (4) (Rényi entropía del orden α de 1961) Hk,α(P ) = i=1 p i − 1 21 − 1 , α 6= 1, α > 0 (5) (Havrda-Charvát entropía de orden α de 1967) Tk,α(P ) = i=1 p i − 1 , α 6= 1, α > 0 (6) (Entropía Tsallis de 1988) Mk,α(P ) = i=1 p i − 1 , α 6 = 1 < α < 2 (7) (forma entrópica del orden α) M*k,α(P) = i=1 p , α 6= 1, â € < α < 2, (8) (forma entrópica additiva de orden α). Cuando α → 1 todas las entropías de orden α descrito anteriormente en (4) a (7) ir a Shannon entropy Sk. Rk,α(P ) = lim Hk,α(P ) = lim Tk,α(P ) = lim Mk,α(P ) = lim M*k,α(P) = Sk. Por lo tanto, todas las medidas anteriores se llaman entropías generalizadas de orden α. Examinemos para ver lo que sucede a las entropías anteriores en el caso de un distribución conjunta. Dejar pij > 0, i = 1,...,m, j = 1,..., n tal que j=1 pij = 1. Esta es una situación bivariada de una distribución discreta. Entonces la entropía en la distribución conjunta, por ejemplo, Mm,n,α(P,Q) = j=1 p ij − 1 . (10) Si la PPP se mantiene y si pij = piqj, p1 +... + pm = 1, q1 +... + qn = 1, pi > 0, i = 1,...,m, qj > 0, j = 1,..., n y si P = (p1,..., pm), Q = (q1,..., qn) ( 1)Mm,α (P )Mn,α(Q) = i − 1 j − 1 j + 1 = Mm,n,α(P,Q) −Mm,α(P)−Mn,α(Q). Por lo tanto Mm,n,α(P,Q) = Mm,α(P) +Mn,α(Q) + ( 1)Mm,α(P)Mn,α(Q). (11) Si se escribe alguna de las entropías generalizadas mencionadas en (4) a (8) como Fm,n,α(P,Q) entonces tenemos la relación Fm,n,α(P,Q) = Fm,α(P) + Fn,α(Q) + a(α)Fm,α(P)Fn,α(Q). (12) donde a(α) = 0 (Rényi entropy Rk,α(P)) = 21 − 1 (Havrda-Charvát entropy Hk,α(P)) = 1− α (Tsallis entropy Tk,α(P)) = 1 (forma entrópica del orden α, es decir, Mk,α(P)) = 0 (forma entrópica additiva de orden α, es decir, M*k,α(P)). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Cuando a(α) = 0 la entropía se llama aditivo y cuando a(α) 6= 0 la entropía se llama no additivo. Como se puede esperar, cuando una función logarítmica es implicado, como en los casos de Sk(P), Rk,α(P),M k,α(P ), la entropía es aditiva y a(α) = 0. 1.4. Extensiones a distribuciones de articulaciones dimensionales superiores Considerar una población trivariada o una distribución discreta trivariada pijk > 0, i = 1,...,m, j = 1,..., n, k = 1,..., r k=1 pijk = 1. Si el PPP se sostiene mutuamente, es decir, en el sentido del par, así como conjuntamente, que entonces se implica que pijk = piqjsk, pi = 1, qj = 1, sk = 1, P = (p1,..., pm), Q = (q1,..., qn), S = (s1,..., sr). A continuación, siguiendo como antes, tenemos para cualquiera de las medidas descritas anteriormente en (4) a (8), llamándolo F (·), Fm,n,r,α(P,Q,S) = Fm,α(P) + Fn,α(Q) + Fr,α(S) + a(α)[Fm,α(P)Fn,α(Q) +Fm,α(P)Fr,α(S) +Fn,α(Q)Fr,α(S)] +[a(α)]2Fm,α(P)Fn,α(Q)Fr,α(S) (14) donde a(α) es el mismo que en (13). El mismo procedimiento puede ampliarse a cualquier situación multivariable. Si a(α) = 0 podemos llamar el aditivo de la entropía y si a(α) 6= 0 entonces la entropía no es additiva. 1.5. Postulado de recursividad crucial Considerar la población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1+ ... + pk = 1. Que la medida de entropía se determine a través de la medida apropiada Los postulados deben describirse por Hk(P) = Hk(p1,..., pk). Para k = 2 let f(x) = H2(x, 1− x), 0 ≤ x ≤ 1 o x ≤ [0, 1]. (15) Si otro parámetro α va a estar involucrado en H2(x, 1−x) entonces denotaremos f(x) por fα(x). De (5) a (7) se puede ver que las entropías generalizadas del orden α de la entropía de Havrda-Charvát (1967), Tsallis (1988, 2004) y Shannon (1948) satisfacer la ecuación funcional fα(x) + bα(x)fα = fα(y) + bα(x)f para x, y [0, ) con x+ y [0, 1], con la condición de límite fα(0) = fα(1) (17) donde bα(x) = 1− x (Shannon entropy Sk(P)) = (1- x)α (Harvda-Charvát entropy Hk,α(P)) = (1− x)α (Tsallis entropy Tk,α(P)) = (1- x)2 + (forma entrópica del orden α, es decir, Mk,α(P)). (18) Observe que la constante de normalización en x = 1 es igual a 1 para Hk,α(P) y es diferente para otras entropías. Por lo tanto, las ecuaciones (6),(7),(8), con el apropiado constantes de normalización fα( ), puede dar teoremas de caracterización para los diversos medidas de entropía. La forma de bα(x) viene de la recursividad crucial postulado, asumido como una propiedad deseable para las medidas. 1.6. Análogos continuos En el caso continuo dejar que f(x) sea la función de densidad de un verdadero azar variable x. A continuación, las diversas medidas de entropía, correspondientes a las de (4) a 8) son los siguientes: Rα(f) = [f(x)]αdx , α 6= 1, α > 0 (19) (Rényi entropía de orden α) Hα(f) = 21 − 1 [f(x)]αdx− 1 , α 6= 1, α > 0 (20) (Havrda-Charvát entropía de orden α) Tα(f) = [f(x)]αdx− 1 , α 6= 1, α > 0, (21) (Entropía Tsallis de orden α) Mα(f) = [f(x)]2°dx− 1 , α 6= 1, α < 2 (22) (forma entrópica del orden α) M(f) = [f(x)]2°dx , α 6= 1, α < 2 (23) (forma entrópica additiva de orden α). Como era de esperar, la entropía Shannon en este caso está dada por S(f) = −A f(x) ln f(x)dx (24) donde A es una constante. Tenga en cuenta que cuando PPP (propiedad de probabilidad de producto) o estadística indepen- dence se mantiene entonces en el caso continuo también tenemos la propiedad en (12) y (14) y, a continuación, la no additividad sostiene para las medidas análogas a las de (3),(5),(6) y(7) con a(α) siendo el mismo. Dado que los pasos son paralelos a derivación separada no se da aquí. 2. Principio de entropía máxima Si tenemos una población multinomio P = (p1,..., pk), pi > 0, i = 1,..., k, p1+ ...+ pk = 1 o el esquema P (Ai) = pi, A1 â €... â € Ak = S, P (S) = 1, Ai â € Aj = Por lo tanto, sabemos que la incertidumbre máxima en el esquema o la información mínima del sistema se obtiene cuando no podemos dar ninguna preferencia a la ocurrencia de cualquier evento en particular o cuando los eventos son igual de probable o cuando p1 = p2 =... = pk = . En este caso, Shannon entropy se convierte en, Sk(P) = Sk( ,..., ) = −A = A ln k (25) y esta es la máxima incertidumbre o la máxima entropía Shannon en este esquema. Si la f funcional arbitraria se debe fijar maximizando la entropía entonces en (19) a (21) tenemos que optimizar [f(x)]αdx para α fijo, sobre todo funcional f, sujeto a la condición f(x)dx = 1 y f(x) ≥ 0 para todas las x. Para la aplicación de cálculo de procedimiento de variación consideramos el funcionamiento U = [f(x)]α − [f(x)] donde ♥ es un multiplicador lagrangiano. Entonces la ecuación de Euler es la siguiente: = 0  αf1 −  = 0  f = = constante. 26) Por lo tanto f es la densidad uniforme en este caso, análogo a la igualmente probable situación en el caso multinomio. Si el primer momento E(x) = xf(x)dx se supone que es una cantidad dada para todos funcional f entonces U se convertirá en el a continuación para (19) a (21). U = [f(x)]α − 1[f(x)]− 2xf(x) y la ecuación de Euler lleva a la ley de poder. Es decir, = 0  αf1 − 1 − 2x = 0  f = c1 . (27) Si seleccionamos c1, c1, c2, podemos crear una densidad de (27). Por α > 1 y 2 > 0 el lado derecho en (27) aumenta exponencialmente. Si α = q > 1 y = q − 1 entonces tenemos la función q-exponencial de Tsallis desde el lado derecho de (27). Si α > 1 y 2 = −(1) entonces (27) puede producir una densidad en la categoría de un tipo 1 beta. De (27) se ve que la forma de las entropías de Havrda- CharvátHk,α(P) y Tsallis Tk,α(P) necesitan especial atención para producir densidades (Ferri et al. 2005). Sin embargo, Tsallis ha considerado una restricción diferente sobre E(x). Si la densidad f(x) se sustituye por su densidad de escolta, a saber, μ[f(x)]α donde 1 = [f(x)]αdx y si el valor esperado de x en esta densidad de escolta se supone que se fija para todas las funciones f entonces la U de (26) se convierte en U = fα − 1f + 2xf = 0  αf1[1 + 2x] = (13x) f = 1[1 + 3x] donde ♥3 es una constante y  1 es la constante de normalización. En caso de que se tome la dosis de 3 °C, se considerará que la dosis de 3 °C es igual a la de 3 °C. En ese caso, el valor de la sustancia problema será el valor de la sustancia problema. f = 1[1 + ( 1)x] 1. (28) Entonces (28) para α > 1 es la estadística de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005). Entonces para α < 1 también escribiendo α − 1 = − (1 − α) se obtiene el caso de las estadísticas de Tsallis para α < 1 (Ferri et al. 2005). Estas modificaciones y el examen de distribución de escolta no son necesarios si tomamos la entropía generalizada de orden α. Por lo tanto, si consideramos Mα(f) y si suponemos que el primer momento en f(x) se fija para todo funcional f entonces la ecuación de Euler da (2- α)f1o − (-)1o + (-)2x = 0 (-)f = (-) y en relación con el párrafo 2 del artículo 2 = 1− α tenemos estadísticas de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005) f = [1− (1− α)x] 1° (29) viene directamente, donde es la constante de normalización. Empecemos con Mα(f) de (20) bajo los supuestos de que f(x) ≥ 0 para todos f(x)dx = 1, xl(x)dx se fija para todas las funciones f y para un especificado * > 0, f(a) es el mismo para todas las funciones f, f(b) es el mismo para todas las funciones f, para algunos límites a y b, entonces la ecuación de Euler se convierte (2 − α)f1® − 1 − 2x  = 0  f = c1[1 + c 1o................................................................................................ (30) Si c*1 está escrito como −s(1− α), s > 0 entonces tenemos, escribiendo f1 para f, f1 = c1[1− s(1 − α)x 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > [s(1− α)] donde 1 − s(1 − α)x Para α < 1 o ≤ < α < 1 el lado derecho de (31) sigue siendo un modelo beta de tipo 1 generalizado con la correspondiente normalización constante c1. Para α > 1, escribir 1 − α = − (α − 1) el modelo en (31) va a un forma beta de tipo 2 generalizada, a saber, f2 = c2[1 + s( 1)x 1. (32) Cuando α → 1 en (31) o en (32) tenemos un exponencial extendido o estirado forma, f3 = c3e . 33) Si c*1 en (30) se toma como positivo entonces (30) para α < 1, α > 1, α → 1 será Incrementando exponencialmente. Por lo tanto, todos los formularios posibles están disponibles a partir de (30). Los modelo en (31) es un caso especial del modelo de vía de distribución y para un discusión del modelo de vía matriz-variada véase Mathai (2005). Casos especiales de (31) y de (32) en el caso de las estadísticas Tsallis = 1 (Gell-Mann y Tsallis, 2004); Ferri et al. 2005). En lugar de optimizar Mα(f) de (22) en las condiciones que f(x) ≥ 0 para todas las x, f(x)dx = 1 y x-(x)dx es fijo, optimicemos bajo el las siguientes condiciones: f(x) ≥ 0 para todas las x, f(x)dx < فارسى y los dos siguientes las expresiones momentáneas son cantidades fijas para todas las funciones f, x(1)(1)f(x)dx = fijo, x(1)(1»),f(x)dx = fijo. Entonces la ecuación de Euler se convierte en (2- α)f1 1x (1)(1) − 2x (1)(1) = 0 ♥ f = c x1[1 + c*x y para c* = −s(1 − α), s > 0, tenemos el modelo de vía de distribución para el verdadero caso escalar, a saber: f(x) = c x1[1− s(1− α)x 1 °C, °C > 0, s > 0 (34) donde c es la constante de normalización. Para α < 1, (34) da un tipo generalizado-1 forma beta, para α > 1 da una forma beta de tipo 2 generalizada y para α → 1 Tenemos una forma gamma generalizada. Para α > 1, (34) da la superestadística de Beck (2006) y Beck y Cohen (2003). Para γ = 1,  = 1, (34) da Estadísticas de Tsallis (Tsallis 2004, Cohen 2005). Densidades que aparecen en un número de los problemas físicos se consideran casos especiales de (34), una discusión de los cuales puede ser visto desde Mathai y Haubold (2006a). Por ejemplo, (34) para  = 2, γ = 3, α → 1, x > 0 es la densidad de Maxwell-Boltzmann; para  = 2, γ = 1, α → 1, es la densidad gaussiana; para γ = ♥, α → 1 es la densidad de Weibull. Para γ = 1,  = 2, 1 < q < 3 tenemos la función W W (p) dando el atómico distribución del momento en el marco de la ecuación de Fokker-Planck, véase Douglas, Bergamini, y Renzoni (2006) donde W (p) = z−1q [1− β(1 − q)p 1-q, 1 < q < 3. (35) Antes de cerrar esta sección podemos observar una propiedad más para Mα(f). As un valor esperado Mα(f) = E[f(x)]1 − 1 . (36) Pero la medida de Kerridge (Kerridge, 1961) de “inexactitud” al asignar q(x) para la densidad verdadera f(x), en la forma generalizada es Hα(f : q) = (21o − 1) E[q(x)]1 − 1 , (37) que también está conectado a la medida de divergencia dirigida entre q(x) y f (x). En (37) la constante de normalización es 211, el mismo factor que aparece en Entropía de Havrda-Charvt. Con diferentes constantes de normalización, como se ha visto antes, (36) y (37) tienen las mismas formas que un valor esperado con q(x) sustituido por f(x) en (36). Por lo tanto Mα(f) también puede ser visto como un tipo de dirección divergencia o medida de “inexactitud”. 3. Ecuaciones diferenciales La parte funcional en (34), para un exponente más general, a saber: g(x) = = x1[1− s(1 − α)x 1 °C, α 6 = 1 °C > 0, β > 0, s > 0 (38) se ve para satisfacer la siguiente ecuación diferencial para γ 6= 1 que define la vía diferencial. g(x) = (γ − 1)x1[1− s(1− α)x − sx1[1− s(1− α)x] (1° ° ° ° ° ° ) . (39) A continuación, para ♥ = (1)(1) , γ 6= 1, α > 1 tenemos g(x) = (γ − 1)g(x)− s®[g(x)]1− (1° ° ° ° ° ° ) β (40) = (γ − 1)g(x)− s[g(x)]α (41) para β = 1, γ 6 = 1,  = (γ − 1)( 1), α > 1. Para γ = 1,  = 1 en (38) tenemos g(x) = −s[g(x)]η, η = 1− (1 − α) = −s[g(x)]α para β = 1. (43) Aquí (43) está la ley del poder que viene de las estadísticas de Tsallis (Gell-Mann y Tsallis, 2004). Agradecimientos Los autores agradecen al Departamento de Ciencia y Tecnología, Gobierno de la India, Nueva Delhi, para la asistencia financiera esta labor en el marco del proyecto No. SR/S4/MS:287/05 que permitió esta colaboración Es posible. 4. Bibliografía Beck, C. (2006). Estirado exponencial de la superestadística. Physica A, 365, 96 a 101. Beck, C. y Cohen, E.G.D. (2003). Superestadística. Physica A, 322, 267-275. Cohen, E.G.D. (2005). Boltzmann y Einstein: Estadísticas y dinámicas - Un Un problema sin resolver. Pramana, 64, 635-643. Douglas, P., Bergamini, S., y Renzoni, F. (2006). Distribución tunable de Tsallis en celosías ópticas disipativas. Cartas de Revisión Física, 96, 110601-1-4. Ferri, G.L., Martinez, S., y Plastino, A. (2005). Equivalencia de los cuatro versiones de las estadísticas de Tsallis. Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento, PO4009. Gell-Mann, M. y Tsallis, C. (Eds.) (2004). Mecán Estadístico No Extensivo ics: Aplicaciones interdisciplinarias. 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Evolution of a band insulating phase from a correlated metallic phase

Evolución de una fase aislante de banda a partir de una fase metálica correlacionada Kalobaran Maiti,* Ravi Shankar Singh, y V.R.R. Medicherla Departamento de Física de Materia Condensada y Ciencia de Materiales, Instituto Tata de Investigación Fundamental, Homi Bhabha Road, Colaba, Mumbai - 400 005, INDIA (Fecha: 30 de octubre de 2018) Investigamos la evolución de la estructura electrónica en SrRu1−xTixO3 en función de x utilizando espectroscopia de fotoemisión de alta resolución, donde SrRuO3 es un metal débilmente correlacionado y SrTiO3 es un aislador de banda. Los espectros de superficie presentan una transición metal-isulador a x = 0,5 por apertura en un hueco suave. Una brecha dura aparece en valores x más altos consistentes con las propiedades de transporte. In contraste, los espectros a granel revelan un pseudogap a nivel de Fermi, y la evolución inusual que muestra una aparente ampliación de la característica coherente y posterior disminución de la intensidad de la menor Banda de Hubbard con el aumento en x. Curiosamente, los primeros enfoques de principio se encuentran para ser suficiente para capturar las evoluciones anómalas a gran escala energética. Análisis de la forma de línea espectral indica una fuerte interacción entre el trastorno y la correlación de electrones en las propiedades electrónicas de Este sistema. Números PACS: 71.10.Hf, 71.20.-b, 71.30.+h La investigación del papel de la correlación de electrones en varias propiedades electrónicas es un problema paradigmático en física de estado sólido. Numerosos experimentos y los... se están realizando estudios oréticos sobre elec- sistemas de tron que revelan fenómenos exóticos tales como alta superconductividad de temperatura, magnetorestancia gigante etc. La correlación electrónica esencialmente localiza la valencia electrones que conducen el sistema hacia la fase aislante. Aisladores inducidos por correlación, conocidos como aisladores Mott se caracterizan por una brecha de excitaciones electrónicas en un sistema en el que los enfoques eficaces de una sola partícula un estado de suelo metálico. Los aisladores de banda representan Fase aislante descrita dentro de la única partícula ap- Proaches. Asombrosamente, algunos estudios teóricos recientes re- ternera una correlación inducida por el estado del suelo metálico en una banda Aislador que utiliza el modelo iónico Hubbard [1, 2, 3, 4]. ¡Qué...! transición habitual se ha observado en dos dimensiones por afinación de la fuerza de correlación electrónica efectiva, U/W (U = fuerza de repulsión del coulombio electrón-electrón, W = ancho de banda) y el potencial local, Con el fin de realizar tal efecto experimentalmente, nosotros en vestigar la evolución de la estructura electrónica en SrRu1−xTixO3 en función de x, donde el bers, SrRuO3 y SrTiO3 son ferromagnéticos correlacionados Aislador de banda y metal, respectivamente. Ti permanece en estado tetravalente en todo el intervalo de composición que ningún electrón en la banda 3d[5, 6]. Por lo tanto, además de la introducción del trastorno en el sublattic de Ru-O, Ti- sustitución en el Ru-sites diluido Ru-O-Ru connectiv- ity conduce a una reducción en el ancho de banda Ru 4d, W y por lo tanto, U / W aumentará. Mediciones del transporte[7] muestra una plétora de fases novedosas como el metal correlacionado (x < 0,0 ), metal desordenado (x > 0,3), Anderson insu- lator (x + 0,5), aislante suave de la brecha de Coulomb (x + 0,6), Aislador correlacionado desordenado (x + 0,8), e insu- lator (x = 1,0). En este estudio, hemos utilizado fotoemis de alta resolución. espectroscopía de sión para sondear la función de densidad en la cercanías del nivel de Fermi, F y a una escala de energía más alta También. Teniendo en cuenta el hecho de que escapar de la profundidad de la fotoelectrones es pequeño, hemos extraído la superficie y espectros a granel en todos los casos, variando la superficie sensibilidad de la técnica. La exposición de espectros de superficie firma del trastorno a valores de x más bajos en SrRu1−xTixO3, una transición metal-aislante que exhibe un hueco suave en â € ¢F para x = 0,5 y un espacio duro para x más alto. Las especificaciones a granel... tra, por otro lado, revelan un peso espectral inusual transferencia y firma de un pseudogap en F a mayor x. Las mediciones de la fotoemisión se realizaron utilizando Gammadata Scienta analizador, SES2002 y monochro- fuentes de fotones matizados. La resolución de energía para x- fotoemisión de rayos (XP) y He II fotoemisión mea- las garantías se fijaron en 300 meV y 4 meV, respectivamente. Muestras de alta calidad de SrRu1-xTixO3 con grano grande el tamaño se preparó siguiendo la vía de reacción de estado sólido usando ingredientes de alta pureza[8] seguido de un largo pecado- (durante unas 72 horas) en la preparación final Peratura. Los agudos patrones de difracción de rayos X revelan una sola fase en cada composición sin firma de impureza función. Mediciones magnéticas con un alto nivel de sensibilidad. ity el magnetómetro de muestra vibratorio muestra transición magnética en cada x hasta x = 0,6 estudiada, como también lo demuestra el Curie-Weiss encaja en el param- Región gnética. Los ajustes proporcionan una estimación de la eficacia momento magnético activo (μ = 2,8 μB, 2,54 μB, 2,45 μB, 2,18 μB, 2,19 μB, 1,95 μB y 1,93 μB) y Curie tem- peratura (­P = 164 K, 156,6 K, 155,6 K, 145,3 K, 139 K, 138,6 K y 100 K) para x = 0,0, 0,15, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5 y 0,6, respectivamente. Los valores de μ y P para SrRuO3 se observa que es el mayor de los disponibles en la literatura y corresponde al pecado bien caracterizado- gle materiales cristalinos[9]. In Fig. 1(a), mostramos los espectros de la banda XP valencia exhibiendo 4 características distintas marcadas por A, B, C y D. Las características C y D aparecen más allá de 2,5 eV y tienen un gran carácter de O 2p como confirmado experimentalmente http://arxiv.org/abs/0704.0327v1 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. α ()*+,- :;< = >? @ A BCD RSTUVWX YZ[\]^ _`ab cd ef gh ij p q rst α - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. FIG. 1: (color en línea) (a) XP valencia banda espectros de SrRu1−xTixO3 para varios valores de x. La línea sólida representa la parte O 2p para x = 0,6. b) Espectros 4d después de los subconjuntos tracción de las contribuciones O 2p, como se muestra en la letra a). c) Ru 4d banda obtenida de He II espectros. mediante el cambio de secciones transversales de fotoemisión [10] y reticamente por cálculos de estructura de banda [11]. Los picos A y B aparecen principalmente debido a la fotoemisión de estados electrónicos con carácter Ru 4d. La parte O 2p sigue siendo casi el mismo en todo el rango de composición como se esperaba. Mientras que la intensidad Ru 4d disminuye gradualmente con la disminución de las concentraciones de Ru, la forma de línea de La banda Ru 4d muestra una redistribución significativa en inten- sity. Con el fin de sacar a la luz la claridad, delineamos el Ru 4d banda restando O 2p contribuciones. El sub- espectros tratados, normalizados por intensidad integrada un- der la curva, muestran dos características distintas como evidentes en Fig. 1 b). La característica A corresponde a la deslocalizada densidad electrónica de los estados (DOS) observada en ab initio resultados y se denomina como característica coherente. La característica B, ausencia en los resultados ab initio[11], se atribuye a menudo a la firma de correlación inducida electrónica localizada estados que forman la banda inferior de Hubbard y es conocido como característica incoherente. El aumento en x conduce a un de- aumento de la intensidad de A y, posteriormente, la intensidad de B crece gradualmente. Desde la sensibilidad a granel de valencia electrones a 1486.6 eV la energía del fotón es alta (+ 60%), la evolución espectral en la Fig. 1 b) Manifiestos principalmente los cambios en la estructura electrónica a granel. Con el fin de discutir el efecto debido a la superficie elec- estructura tronica, mostramos las contribuciones de Ru 4d ex- extraídos de los espectros de He II en la Fig. 1, letra c), en los casos en que: la sensibilidad superficial es de alrededor del 80%. Curiosamente, todos los Los espectros están dominados por el pico en la unión superior en- ergies (> 1 eV) correspondientes a la superficie electrónica # # # # # # # # # # # # # # # # # # 23 ́ Ł1o Ö × Ø èéê - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ( ) *+, -. /01 23 45 GHIJKLM NOPQRS TUVW X Y Z[\ ^ ^ a b cde - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! ~ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #  ¡Oh, Dios mío! ° ±23 â â â â â ç è é Íí - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. & '()* FIG. 2: (color en línea) S(­) obtenido de (a) He II y (b) Espectros XP de SrRu1−xTixO3. b) Las letras a) y b) se consignarán como sigue: una función de c) 0.5 d) y F 1,25. S(­) obtenido de e) XP y f) He II espectros de Ca1-xSrxRuO3. estructura tal como se informó en el caso de SrRuO3 y la co- la intensidad de las características herentes corresponde esencialmente a la Estructura electrónica a granel[10, 12]. La característica coherente intensidad se reduce drásticamente con el aumento en x y se vuelve casi insignificante a x = 0,6. Esto puede ser vi- Sualizada claramente en la densidad espectral de los estados (SDOS) obtenido por simetría (S(­) = I(­) + I(); I(­) = espectros de fotoemisión, = energía de unión) el He II y Espectros XP. El SDOS correspondiente al espectro He II de SrRuO3 se muestra en la Fig. 2 a) presenta una fuerte caída en F, que aumenta gradualmente con el aumento en x. Los SDOS correspondiente a los espectros XP en la Fig. 2 b), ¿cómo...? nunca, exhibe un pico en SrRuO3 presumiblemente debido a grandes ampliación de la resolución e intensa característica coherente. Esto pico pierde su intensidad y se vuelve casi plano para x = 0,15 y 0,2. Más aumento en x conduce a un pseudogap en F, que aumenta gradualmente con el aumento en x. Estos dos resultados indican claramente el agotamiento gradual de SDOS en F, con el aumento de la sustitución de Ti. El efecto de la ampliación de la resolución de 4 meV en el He Los espectros II no son significativos en la escala de energía que se muestra en la figura. El electrón y el agujero de la vida de ampliación es también insignificante en las proximidades de F. Así, en la Fig. 2 a) proporcionar un buen campo de pruebas para investigar el evolu- ión de la forma de línea espectral en F. La forma de línea de S() en la Fig. 2 a) presenta modificaciones significativas con el aumento en x. Nosotros, por lo tanto, replot S() como una función de − F α para varios valores de α. Dos casos extremos α = 0,5 y 1,25 se muestran en la Fig. 2 c) y 2 d), respectivamente. Es evidente que S() de SrRuO3 ex- hibir un comportamiento en línea recta en la Fig. 2 c) Sugerencia de sig- papel nificante del desorden en la estructura electrónica. Los influencia del trastorno también se puede verificar mediante sustituciones en los sitios A en la estructura ABO3. Esto ha sido ver- SDOS obtenido de la XP y He II espectros de Ca1−xSrxRuO3 en la Fig. 2 e) y 2 f), respec- Tily. Aquí, las propiedades electrónicas de la mem- bers, SrRuO3 y CaRuO3 son conocidos por estar fluenced por el trastorno[13]. Sustitución del Sr. Se espera que los sitios de Ca mejoren el efecto del trastorno. Los lineshape de S() en ambos fig. 2 e) y 2 f) siguen siendo lo mismo en todo el rango de composición. Semejante la dependencia espectral inducida por el trastorno es consistente con las observaciones en otros sistemas[14, 15] también. Curiosamente, la forma de línea modifica significativamente con el aumento en x y se convierte en 1,25 en el 60% Ti substi- Una muestra afinada. La sustitución de ti introduce defectos en el Red Ru-O, donde Ti4+ no tiene d-electrón, hace no contribuir en la banda de valencia. Por lo tanto, además de los efectos del trastorno, el grado reducido de Ru-O-Ru con- nectividad conduce a una disminución en el ancho de banda, W, que en turn aumenta U/W. En sistemas que consisten en localizados estados electrónicos en las proximidades de F, una brecha suave Coulomb se abre debido a la repulsión de Coulomb electrón-electrón; en una situación de este tipo, el estado del suelo es estable con respecto a Excitaciones de una sola partícula, cuando se caracteriza SDOS por (--) 2-dependencia [16, 17]. Aquí, aumento gradual en α con el aumento en x en la composición intermedia Situaciones es curioso e indica fuerte interacción entre efecto de correlación y trastorno en este sistema. La extracción de espectros de superficie y a granel requiere tanto el XP y He II espectros recogidos en forma significativa diferentes sensibilidades superficiales. Así, ampliamos el He II espectros hasta 300 meV y extraer la superficie y a granel espectros analíticos utilizando los mismos parámetros utilizados antes para el sistema CaSrRuO3[10]. Los espectros de superficie se muestra en la Fig. 3 b) muestran una disminución gradual de la coherencia intensidad de la característica con el aumento en x y posteriormente, la característica alrededor de 1,5 eV se vuelve intensa, más estrecha y ligeramente desplazado hacia energías de unión más altas. El de- El aumento de la intensidad en F es claramente visible en el sym- espectros metrizados, S() mostrados en la Fig. 3 d). Curiosamente, La muestra de S(+) de x = 0,5 muestra un espacio suave en +F y una brecha dura aparece en S(+) correspondiente a x superior. Esta evolución espectral es notablemente consistente con el propiedades de transporte[7]. Estos resultados corresponden a 2- Los estados de superficie dimensionales presumiblemente tienen una fuerte impli- cation en la realización de predicciones teóricas recientes[1, 2, 3, 4] y las propiedades a granel de este sistema. La imagen es sorprendentemente diferente en los espectros a granel donde la estructura electrónica es tridimensional. Las vracs el espectro de SrRuO3 exhibe un ent característica en las proximidades de la F y la incoherente fea- Aparece alrededor de 2 eV. La mejora de U / W debido a la sustitución de Ti se espera que aumente el incoherente intensidad de la característica. En contraste agudo, la intensidad de la +, -. / 0 1 2 345 678 9:; <=>? OPQ RST UVW XYZ[ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * FIG. 3: (color en línea) Extraído (a) a granel y (b) superficie espectros de SrRu1−xTixO3 para varios valores de x. El SDOS los productos obtenidos a partir de espectros a granel y de superficie se indican en la letra c) y d), respectivamente. 2 eV característica reduce significativamente y la fea- tura se vuelve amplia. Además, los espectros a granel de todos los las composiciones intermedias parecen muy similares. Los espectros a granel simetrizados mostrados en la Fig. 3 c) exposición a pequeña disminución de la intensidad a â € ¢ F con el aumento en x. Desde entonces, U es débil en estos 4d altamente extendidos sistemas[10, 12], puede utilizarse un enfoque para entender el papel de la correlación de electrones en el Forma de línea espectral. Hemos calculado la densidad desnuda de los estados (DOS) para SrRuO3 y SrRu0.5Ti0.5O3 utilizando plano aumentado linealizado de potencial completo de última generación método de onda[11, 18]. La autoenergía y el func espectral... ciones se calcularon utilizando este DOS parcial de t2g tal como se hizo antes[19]. Las partes reales e imaginarias del yo en- ergy se muestran en la Fig. 4 a) y 4 b), y el espectral Las funciones para diferentes valores de U se muestran en la Fig. 4 c) y 4 d) para SrRuO3 y SrRu0.5Ti0.5O3, respectivamente. Los aumento en U conduce a una transferencia de peso espectral fuera el ancho de LDA DOS creando el hub inferior y superior- Bandas de bardos. Posteriormente, la anchura total de la LDA La DSS disminuye gradualmente. Mientras que estos resultados muestran un escenario similar al observado en los más sofisti- cálculos de cated utilizando la teoría de campo media dinámica, el separación entre las bandas inferior y superior de Hubbard es significativamente mayor que los valores correspondientes de U. Es importante señalar aquí que la estructura de la banda culaciones incluyen el término de interacción electrón-electrón dentro de las aproximaciones de densidad local. La perturba... En el caso de autos, los cálculos efectuados en el presente asunto se refieren esencialmente a: una estimación de la corrección en U ya incluida en la única partícula eficaz Hamiltonian. Con el fin de comparar con los espectros experimentales, la - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ # # % &'( )* +,-. / 0 12 34 5 6 7 89 :; < = >? CDEFG H I JKL abcdefg hijklm nopq - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * μ ¶ · 1 O»1⁄41⁄23⁄4 á â é í * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. &'()*+, -./012 3456 FIG. 4: (color online) Partes reales e imaginarias del yo energía de a) SrRuO3 y b) SrRu0.5Ti0.5O3 obtenida por segundo orden método de perturbación siguiendo el método de Treglia et al.[19]. Funciones espectrales para diversos valores de U de c) SrRuO3 y d) SrRu0.5Ti0.5O3. Experimen calculado- Espectros para diferentes valores de U de (e) SrRuO3 y (f) SrRu0.5Ti0.5O3. Las funciones espectrales calculadas son complicadas por Fermi- Dirac función de distribución y el gaussiano que representa la ampliación de la resolución de 300 meV. La comparación es se muestra en Figs. 4 e) y 4 f). Curiosamente, el espectral forma correspondiente a U = 0,6 ± 0,1 muestra observación- representación capaz de los espectros de vracs experimentales en ambos casos. Estos resultados establecen claramente que los enfoques turbativos y la descripción local de la corre- Los efectos de la ración son suficientes para captar la estructura electrónica de estos sistemas débilmente correlacionados. En general, la estrecha- de la banda de valencia observada en la libras son esencialmente un efecto de una sola partícula y puede ser atribuyó al grado reducido de Ru-O-Ru connectiv- ity en estos sistemas. Mientras que las características de la alta escala de energía se reproducen notablemente bien dentro de esta imagen, el la aparición de un pseudogap en F con el aumento de x (no en la figura 4 debido a la gran escala de energía) sugiere papel creciente del trastorno. En resumen, los espectros de alta resolución de SrRuO3 ex- prohibir la firma del trastorno en las proximidades del Fermi nivel. Introducción de la sublattice Ti4+ dentro de la Ru4+ sublattice proporciona un ejemplo paradigmático, donde la densidad de carga cerca de sitios Ti4+ está cerca de cero y cada El sitio Ru4+ aporta 4 electrones en la banda de valencia. Esta gran fluctuación de la carga conduce a un cambio significativo en forma de línea espectral y una dip aparece en F (pseudo- desfase). Curiosamente, los efectos son mucho más fuertes en el estructura electrónica bidimensional (superficie) que conduce a una brecha suave en la sustitución del 50% y eventualmente una brecha dura Aparece. Estructura electrónica a granel (3-dimensional), cómo- siempre, sigue siendo menos influenciado. Un entendimiento teórico... ión de estos efectos requiere la consideración de un trastorno fuerte además de los efectos de correlación de electrones. * Autor para correspondencia: kbmaiti@tifr.res.in [1] A. Fuhrmann, D. Heilmann, y H. Monien, Phys. Rev. B 73, 245118 (2006). [2] S.S. Kancharla y E. Dagotto, Phys. Rev. Lett. 98, 016402 (2007). [3] Arti Garg, HR. Krishnamurthy, y Mohit Randeria, Phys. Rev. Lett. 97, 046403 (2006). [4] N. Paris, K. Bouadim, F. Hebert, G.G. Batrouni, y R.T. Scaletttar, Phys. Rev. Lett. 98, 046403 (2007). [5] J. Kim, J.-Y. Kim, B.-G. Park, y S.-J. Oh, Phys. Rev. B 73, 235109 (2006), M. Abbate, J.A. Guevara, S.L. Cuffini, Y.P. Mascarenhas, y E. Morikawa, Eur. Phys. J. B 25, 203 (2002). [6] S. Ray, D.D. Sarma, y R. Vijayaraghavan, Phys. Rev. B 73, 165105 (2006). [7] K.W. Kim, J.S. Lee, T.W. Noh, S.R. Lee, y K. Char, Phys. Rev. B 71, 125104 (2005). [8] R.S. Singh y K. Maiti, Solid State Commun, 140, 188 (2006). [9] G. Cao, S. McCall, M. Shepard, J.E. Crow, y R.P. Guertin, Phys. Rev. B 56, 321 (1997). [10] K. Maiti y R.S. Singh, Phys. Rev. B 71, 161102(R) (2005). [11] K. Maiti, Phys. Rev. B 73, 235110 (2006). [12] M. Takizawa, D. Toyota, H. Wadati, A. Chikamatsu, H. Kumigashira, A. Fujimori, M. Oshima, Z. Fang, M. Lipp- maa, M. Kawasaki, y H. Koinuma, Phys. Rev. B 72, 060404(R) (2005). [13] K. Maiti, R.S. Singh, y V.R.R. Medicherla, Europhys. Lett. (en imprenta); Condmat/0604648. [14] B.L. Altshuler y A.G. Aronov, Solid State Commun. 30, 115 (1979). [15] D.D. Sarma et al., Phys. Rev. Lett. 80, 4004 (1998). [16] A.L. Efros y B.I. Shklovskii, J. Phys. C: Estado sólido Phys. 8, L49 (1975). [17] J.G. Massey y M. Lee, Phys. Rev. Lett. 75, 4266 (1995). [18] P. Blaha, K. Schwarz, G.K.H. Madsen, D. Kvasnicka, y J. Luitz, WIEN2k, Una Ola de Avión Aumentada + Lo- Cal Programa Orbitales para Calcular Propiedades de Cristal (Karlheinz Schwarz, Techn. Universität Wien (Austria), 2001. ISBN 3-950131-1-2. [19] G. Treglia et. al., J. Physique 41, 281 (1980); ibíd., Phys. Rev. B 21, 3729 (1980); D.D. Sarma et al., Phys. Rev. Lett. 57, 2215 (1986).

Investigamos la evolución de la estructura electrónica en SrRu_(1-x)Ti_xO_3 como función de x utilizando espectroscopia de fotoemisión de alta resolución, donde SrRuO3 es un metal débilmente correlacionado y SrTiO3 es un aislante de banda. La superficie los espectros exhiben una transición metal-isulador a x = 0,5 abriendo un suave brecha. Una brecha dura aparece en valores x más altos consistentes con el transporte propiedades. En contraste, los espectros a granel revelan un pseudogap en el Fermi nivel, y la evolución inusual que muestra una aparente ampliación de la función y posterior disminución de la intensidad de la banda inferior de Hubbard con el aumento en x. Curiosamente, los primeros enfoques de principio se encuentran para ser suficiente para capturar las evoluciones anómalas a gran escala energética. Análisis de la forma de línea espectral indica fuerte interacción entre el trastorno y el electrón correlación en las propiedades electrónicas de este sistema.

Introducción de la sublattice Ti4+ dentro de la Ru4+ sublattice proporciona un ejemplo paradigmático, donde la densidad de carga cerca de sitios Ti4+ está cerca de cero y cada El sitio Ru4+ aporta 4 electrones en la banda de valencia. Esta gran fluctuación de la carga conduce a un cambio significativo en forma de línea espectral y una dip aparece en F (pseudo- desfase). Curiosamente, los efectos son mucho más fuertes en el estructura electrónica bidimensional (superficie) que conduce a una brecha suave en la sustitución del 50% y eventualmente una brecha dura Aparece. Estructura electrónica a granel (3-dimensional), cómo- siempre, sigue siendo menos influenciado. Un entendimiento teórico... ión de estos efectos requiere la consideración de un trastorno fuerte además de los efectos de correlación de electrones. * Autor para correspondencia: kbmaiti@tifr.res.in [1] A. Fuhrmann, D. Heilmann, y H. Monien, Phys. Rev. B 73, 245118 (2006). [2] S.S. Kancharla y E. Dagotto, Phys. Rev. Lett. 98, 016402 (2007). [3] Arti Garg, HR. Krishnamurthy, y Mohit Randeria, Phys. Rev. Lett. 97, 046403 (2006). [4] N. Paris, K. Bouadim, F. Hebert, G.G. Batrouni, y R.T. Scaletttar, Phys. Rev. Lett. 98, 046403 (2007). [5] J. Kim, J.-Y. Kim, B.-G. Park, y S.-J. Oh, Phys. Rev. B 73, 235109 (2006), M. Abbate, J.A. Guevara, S.L. Cuffini, Y.P. Mascarenhas, y E. Morikawa, Eur. Phys. J. B 25, 203 (2002). [6] S. Ray, D.D. Sarma, y R. Vijayaraghavan, Phys. Rev. B 73, 165105 (2006). [7] K.W. Kim, J.S. Lee, T.W. Noh, S.R. Lee, y K. Char, Phys. Rev. B 71, 125104 (2005). [8] R.S. Singh y K. Maiti, Solid State Commun, 140, 188 (2006). [9] G. Cao, S. McCall, M. Shepard, J.E. Crow, y R.P. Guertin, Phys. Rev. B 56, 321 (1997). [10] K. Maiti y R.S. Singh, Phys. Rev. B 71, 161102(R) (2005). [11] K. Maiti, Phys. Rev. B 73, 235110 (2006). [12] M. Takizawa, D. Toyota, H. Wadati, A. Chikamatsu, H. Kumigashira, A. Fujimori, M. Oshima, Z. Fang, M. Lipp- maa, M. Kawasaki, y H. Koinuma, Phys. Rev. B 72, 060404(R) (2005). [13] K. Maiti, R.S. Singh, y V.R.R. Medicherla, Europhys. Lett. (en imprenta); Condmat/0604648. [14] B.L. Altshuler y A.G. Aronov, Solid State Commun. 30, 115 (1979). [15] D.D. Sarma et al., Phys. Rev. Lett. 80, 4004 (1998). [16] A.L. Efros y B.I. Shklovskii, J. Phys. C: Estado sólido Phys. 8, L49 (1975). [17] J.G. Massey y M. Lee, Phys. Rev. Lett. 75, 4266 (1995). [18] P. Blaha, K. Schwarz, G.K.H. Madsen, D. Kvasnicka, y J. Luitz, WIEN2k, Una Ola de Avión Aumentada + Lo- Cal Programa Orbitales para Calcular Propiedades de Cristal (Karlheinz Schwarz, Techn. Universität Wien (Austria), 2001. ISBN 3-950131-1-2. [19] G. Treglia et. al., J. Physique 41, 281 (1980); ibíd., Phys. Rev. B 21, 3729 (1980); D.D. Sarma et al., Phys. Rev. Lett. 57, 2215 (1986).

Electroweak phase transitions in the MSSM with an extra $U(1)'$

Transiciones de fase electrodébil en el MSSM con una U adicional (1)′ S.W. Ham(1), E.J. Yoo(2), y S.K. Oh(1,2) (1) Centro de Física de Alta Energía, Universidad Nacional de Kyungpook, Daegu 702-701, Corea (2) Departamento de Física, Universidad de Konkuk, Seúl 143-701, Corea Resumen Investigamos la posibilidad de transición de fase electrodébil en el mínimo Modelo estándar supersimétrico (MSSM) con un U(1)′ adicional. Este modelo tiene dos Higgs doublets y un singlet, además de un quark exótico singlet superfield. Nosotros encontrar que en el nivel de un bucle este modelo puede acomodar la fase electrodébil transiciones que son fuertemente de primer orden en una región razonablemente grande del parámetro espacio. En la región de parámetros donde tienen lugar las transiciones de fase, observamos que el bosón escalar más ligero de Higgs tiene una masa más pequeña cuando la fuerza de la la transición de fase se debilita. Además, los otros tres bosones neutros más pesados de Higgs obtener más grandes masas cuando la fuerza de la transición de fase se debilita. http://arxiv.org/abs/0704.0328v1 I. INTRODUCCIÓN La asimetría bariónica del universo puede ser generada dinámicamente durante la evolución del universo, si el mecanismo de la baryogénesis satisface las tres condiciones de Sajarov [1]. Las tres condiciones de Sajarov son: la presencia de violación del número de baryon, el violación tanto de C y CP, y una desviación del equilibrio térmico. Se sabe que el universo puede escapar del equilibrio térmico por medio de la fase electrodébil transición, que debe ser de primer orden con el fin de garantizar una desviación suficiente de equilibrio térmico para generar la asimetría bariónica que se observa hoy en día. Sin embargo, ya se ha reconocido que el Modelo Estándar (SM) tiene algunas dificultades para realizar la transición de fase electrodébil deseada. El actual límite inferior experimental en el masa del bosón SM Higgs no permite que la transición de fase electrodébil sea fuerte primer orden [2, 3]. La transición de fase electrodébil es débil primer orden o superior en el SM. Por lo tanto, el SM es inadecuado para generar suficiente asimetría bariónica. Además, la cantidad de PC violatoria en la matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) es demasiado pequeña para explicar la asimetría bariónica del universo observado [4]. Consecuentemente, nuevos modelos físicos más allá del SM han sido ampliamente estudiados para la posibilidad de una explicación razonable de la asimetría bariónica del universo. Espe- cialmente, los modelos supersimétricos de baja energía se han estudiado ampliamente en el contexto de baryogénesis electrodébil [5-7]. El modelo supersimétrico más simple que incluye el SM es el modelo estándar supersimétrico mínimo (MSSM), que posee en su perpotencial el término μ que explica la mezcla entre dos dobles Higgs. Los μ parámetro, que tiene la dimensión de masa, causa algún problema con respecto a su báscula de energía [8]. Varias posibilidades han sido investigadas en la literatura para resolver la el llamado problema μ [9-12]. La introducción de un U(1)′ adicional al MSSM es uno de los explicaciones plausibles para el problema μ del MSSM. El MSSM con un U adicional(1)′ no sólo puede resolver el problema de μ, pero vamos a mostrar que también puede superar las dificultades que el SM encuentra cuando el SM trata de satisfacer las condiciones de Sajarov. Este modelo puede acomodar suficiente violación de PC, porque posee otras fuentes de violación de PC además de la matriz CKM. Es posible realizar la violación explícita de la PC en este modelo por medio de complejas fases de CP de los términos blandos de ruptura SUSY [12]. Entonces, es el propósito de este documento para mostrar que este modelo de hecho permite el transiciones de fase electrodébil de primer orden de tal manera que pueda explicar con éxito el baryo- génesis. Las características de las transiciones de fase electrodébil se determinan essen- por la parte dependiente de la temperatura del potencial de Higgs. Nosotros construimos el pleno potencial de Higgs dependiente de la temperatura en el nivel de un bucle, y examinar si el elec- La transición en fase troweak puede ser de primer orden. Dos métodos se emplean para la construcción del potencial de Higgs dependiente de la temperatura. Un método supone que la temperatura crítica a la que se produce la transición de fase electrodébil es relativamente alto, por lo que el potencial efectivo dependiente de la temperatura se aproxima mediante la retención sólo términos proporcionales a T 2, mientras que el otro método lleva a cabo numéricamente exacta integración del potencial efectivo dependiente de la temperatura. Los efectos térmicos de par- ticles cuyas masas son comparativamente más pequeñas que la temperatura crítica se incluyen en el nivel de un bucle en el método anterior, mientras que el contenido de partículas es diferente en el último método. De cualquier manera, obtenemos casi los mismos resultados físicos. A diferencia del MSSM, este modelo permite una transición de fase electrodébil de primer orden en una amplia región del parame- espacio ter, y la transición de fase electrodébil de primer orden puede ser lo suficientemente fuerte sin Requeriendo un quark de parada de luz. Un comportamiento interesante de este modelo con respecto a la transición de fase electrodébil de primer orden es que la masa de la más ligera neutral El bosón de Higgs se hace más grande cuando la transición de fase se hace más fuerte. Por otra parte, Las masas de los otros tres bosones neutros de Higgs se vuelven más pequeñas cuando la fase trans- La postura se hace más fuerte. II. CERO TEMPERATURA El MSSM con un U(1)′ adicional acomoda en su sector Higgs dos dobles Higgs H1 = (H 1, H 1 ), H2 = (H 2, H 2 ), y un singlet de Higgs, S. En términos de estos campos de Higgs, la parte pertinente del superpotencial de este modelo podrá escribirse como W  htQH2t R + hbQH1b R + hkSDLD̄R − ♥SH •H2, (1) donde tenemos en cuenta sólo la tercera generación: tcR y b R son, respectivamente, el supercampos de quarks singlet y singlet, DR es el singlet con la mano derecha exótico quark (un vector-como abajo quark) superfield, Q es el zurdo SU(2) doblet quark superfield de la tercera generación, y DL es el zurdo singlet quark exótico Superfield. Además, ht, hb y hk son, respectivamente, el acoplamiento adimensional Yukawa coeficientes de supercampos superiores, inferiores y exóticos quarks, y es un 2×2 antisimétrico matriz con â € 12 = 1. Desde el superpotencial, a cero temperatura, podemos construir el potencial de Higgs a nivel del árbol, que puede leerse como V0 = VF + VD + VS, (2) donde VF = 2[(H1 2 + H2 2) S2 + HT 1H1 +H 2H2) (H1 2 − H2 (Q‡1H1 2 + Qû2H2 2 + Qś3S 2)2, VS = m 2 +m2 2 +m2 S2 − (H) [H2)S +H.c.] , (3) donde denota las tres matrices Pauli, g1, g2, y g son el U(1), SU(2), y el U(1)′ Las constantes de acoplamiento de calibre, respectivamente, Q­1, Q­2 y Q­3 son las U(1) ′ hipercargas de H1, H2, y S, respectivamente, y m i (i = 1, 2, 3) son las masas de rotura de SUSY blandas. En el En general, el potencial de Higgs puede ser un número complejo. Sin embargo, serán se supone que es real en las discusiones posteriores, ya que no consideramos la violación de la el sector de Higgs. También se supone que las masas blandas son reales, sin pérdida de generalidad, y finalmente se eliminan mediante la imposición de condiciones mínimas con respecto a la campos neutros de Higgs, La invariabilidad del indicador del superpotencial bajo U(1)′ requiere que las tres hipercargas U(1)′ deben satisfacer Q̃1 + Qû2 + Qû3 = 0. El potencial de Higgs arriba a nivel de árbol permitiría los tres campos neutros de Higgs , y S para desarrollar los valores de expectativa de vacío (VEVs) v1(0), v2(0), y s(0), respectivamente. Tenga en cuenta que estos VEVs se obtienen a temperatura cero. Sin embargo, para simplicidad, omitimos la dependencia de la temperatura de estos VEVs hasta la siguiente sección donde tenemos en cuenta el efecto de temperatura finito. El potencial de Higgs a nivel de árbol ahora debe ser corregido por los efectos radiativos de un bucle. En los modelos SUSY, las correcciones radiativas debidas a los quarks superiores y de parada contribuyen más dominantemente en el sector de Higgs a nivel de árboles. Además, si tanβ = v2/v1 es muy grande, también deben incluirse las correcciones radiativas debidas a los quarks de fondo y de fondo ya que ya no son insignificantes. Además, las correcciones radiativas debidas a la quark exótico y squark puede ser importante desde el acoplamiento Yukawa del quark exótico al campo singlet S puede ser grande en la escala electrodébil [11]. Por lo tanto, tomamos en cuenta todas las contribuciones del sector superior, inferior, exótico quark al nivel de los árboles Potencial de Higgs. Las correcciones radiativas de un bucle se evalúan mediante el método potencial eficaz [13]. Asumimos que las masas de squark son degeneradas. Ignorando las mezclas en las masas de los squarks [14], el potencial efectivo de un bucle es dado por l=t,b,k + log mû2 +M2l , (4) donde t, b, y k, respectivamente son campos de quark superior, inferior y exótico, incluyendo el campos de squark correspondientes, Mt = htH2, Mb = hbH1, Mk = hkS son el campo- masa de quark dependiente, y mс es la masa de rotura suave SUSY, que se supone que m‡ = 1000 GeV mq (q= t, b, o k). El sector Higgs del presente modelo consta de seis bosones de Higgs físicos: un par de bosón de Higgs cargado, un bosón de pseudoescalar neutro de Higgs, y tres escalar neutro Higgs bosons. La masa a nivel de árbol del bosón de Higgs cargado es dada por m2C± = m W −  2v2 + 2-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A) sin 2β , (5) donde v = v21 + v 2 = 175 GeV y m W = g 2/2 es la masa cuadrada del bosón W. A nivel del árbol, la masa del bosón cargado de Higgs podría ser más pequeña o más grande. que la masa del bosón W. La masa a nivel de árbol del bosón pseudoescalar neutro de Higgs es dada por m2A = 2-A-V-A-V-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O sin 2α , (6) donde tanα = (v/2s) sin 2β implica la división entre la ruptura de la simetría electrodébil- escala de ing y la escala de rotura de simetría adicional U(1)′. Tenga en cuenta que estas masas a nivel de árbol tanto del pseudoescalar neutro como de los bosones de Higgs cargados no reciben ningún radiativo correcciones, porque las masas de squark son degeneradas. Las masas cuadradas a nivel de árbol de los tres bosones escalares neutros de Higgs son considerablemente afectados por las correcciones radiativas. Sus masas cuadradas en el nivel de un bucle se dan como los valores propios de la matriz de masa de un solo bucle 3×3, cuyos elementos pueden ser escritos M11 = m Z cos 2 β + 2g v2 cos2 β +m2A sin 2 β cos2 α + fa(m) M22 = m Z pecado 2 β + 2g v2 sin2 β +m2A cos 2 β cos2 α + fa(m) t ), M33 = 2g 2 +m2A pecado 2 α + fa(m) M12 = g Q­1Q­2v 2 sin 2β + (2v2 −m2Z/2) sin 2β −m A cos β sin β cos 2 α, M13 = 2g 1 Q­1Q­3vs cos β + 2­ 2vs cosβ −m2A sin β cosα sinα, M23 = 2g Q­2Q­3vs sin β + 2­ 2vs sinβ −m2A cos β cosα sinα, (7) donde m2Z = (g )v2/2 es la masa cuadrada del bosón Z, y la función fa(m se define como 3h2qm mû2 +m2q 4h2qm mû2 +m2q (mû2 +m2q) . (8) Asumimos que las masas de tres bosones escalares Higgs Si están ordenados de tal manera que mS1 ≤ mS2 ≤ mS3. III. TEMPERATURA FINAL Ahora, estudiemos la dependencia de la temperatura del potencial de Higgs para inves- tigate la naturaleza de la transición de fase electrodébil en el MSSM con un U(1)′ adicional. Evaluamos VT, la parte dependiente de la temperatura del potencial de Higgs en el bucle único nivel, utilizando el método potencial eficaz. Se da como [15] l=B,F dx x2 log 1± exp x2 +m2l (­i)/T , (9) donde B y F significan bosones (tū, bū y kū) y fermiones (t, b y k), y nt = nb = nk = −12 y nt El signo negativo es para los bosones y el signo positivo es para fermiones. Por lo tanto, todo el potencial de Higgs a temperatura finita en el nivel de un bucle es dada por V (T ) = V0 + V1 + VT (10) Para el análisis numérico, necesitamos establecer los valores de los parámetros relevantes de la modelo. Al igual que en la sección anterior, la masa de rotura suave SUSY se establece como m = 1000 GeV. Las masas de quark se establecen como mt = 175 GeV, mb = 4 GeV, y mk = 400 GeV. Desde estos valores, mq mû2 +m2q (q = t, b, k) producen las masas de cucharillas como mtû = 1015 GeV, = 1000 GeV, y m = 1077 GeV. Se debe tener cierta precaución para establecer los valores de Q‡i (i=1, 2, 3), el U(1) hipercargas de los dobles de Higgs y el singlet de Higgs. En el MSSM con un extra U(1)′, la masa de bosón de calibre neutro adicional (mZ′) y el ángulo de mezcla (αZZ′) entre el dos bosones de calibre neutro (Z,Z ′) pueden imponer fuertes restricciones a los valores de los parámetros. Para nuestro análisis numérico, se estima que mZ′ es mayor de 600 GeV, y αZZ′ menor de 2 × 10−3, para tan β = 3 y s(T = 0) = 500 GeV. Además, como se ha hecho recientemente en la investigación Sugerido [10], se impone la restricción de Q. 1Q. 2 > 0. Además, el U(1) ′ invarianza del gálibo la condición requiere que Q­3 = −(Q­1 + Q­2). En este artículo, definimos nuevas cargas Qi = g 1Q?i desde Q?i aparecen siempre junto con . Entonces, uno puede establecer el área permitida en el (Q1, Q2)-plano imponiendo el arriba limitaciones. Para tanβ = 3 y s(T = 0) = 500 GeV, el resultado se muestra en la Fig. 1, donde el área pequeña cerca del punto (Q1, Q2) = (-1, 0) y la esquina superior derecha de la Fig. 1 son las zonas permitidas. La región incubada es la zona excluida. Hay dos específicos puntos en la Fig. 1, marcada por una estrella (*) y una cruz (+). Los valores de Q1 y Q2 en el punto marcado por la estrella corresponde al modelo de realización de grupos de calibre E6 [11]. Nosotros tomaría los valores de Q1 y Q2 en el punto marcado, a saber, (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. Con estos valores de parámetro a la mano, investigaríamos la posibilidad de transición de fase electrodébil de primer orden utilizando dos formas diferentes. La primera método es retener sólo la parte dominante T 2-proporcional de la alta temperatura aproximación de la TV, y para tener en cuenta sólo las partículas cuyas masas son relativamente pequeño [6]. El segundo método es realizar la integración en VT de forma numéricamente exacta, y considerar sólo las contribuciones de los quarks y squarks superiores, inferiores y exóticos. 1. Método A Empecemos con la aproximación de alta temperatura de VT, que se expresa como [3] VT - − i=t,b,k T 2m2i m4i (Łi) m2i (Łi) cFT 2 i=t....,b.k.... T 2m2i Tm3i (eli) m4i (Łi) m2i (Łi) cBT 2 , (11) donde log cF = 2,64 y log cB = 5,41. Se sabe que en el SM la alta temperatura la aproximación es coherente con la integración exacta de VT dentro del 5 % a temperatura T para mF/T < 1,6 y mB/T < 2.2, donde mF y mB son respectivamente la masa de fermión y la masa de bosón que participan en el potencial. Seleccionamos los términos que son proporcionales a T 2 en la expresión anterior, que llegar a ser más dominante a alta temperatura. Por lo tanto, suponemos que la temperatura en que la transición de la fase electrodébil tiene lugar es suficientemente alta. También asumimos que el U(1) y el SU(2) de las masas gaugino M1 y M2 en el chargino y neutralino los sectores son mucho más grandes que los demás parámetros de masa. Tenemos en cuenta la efectos térmicos debidos a los bosones de Higgs, W, Z, y el bosón de calibre adicional U(1) en el sector de bosón, y t, b, k quarks, el chargino más ligero, y los tres neutros luz en el sector del fermión, porque sus masas son relativamente pequeñas en comparación con la temperatura, similar a los análisis de artículos anteriores [6]. Explícitamente, los términos T 2 en el alto la aproximación de la temperatura de VT puede expresarse como + 4m2 + 2m2 + (2g2 + 6g2 + 6o2)(H1o 2 + H2 2) + 12o 2o 2o 2o + 12g 2 + Qś2 2 + Qś2 S2) + 2g Q?1Q?2(H1 2 + H2 Q­2Q­3(H2 2 + S2) + 2g Q?1Q?3(H1 2 + S2) 1 (Q­01 + Q­02) (Q­01 H1 2 + Qû2H2 2 + Qś3S +6(h2t H2 2 + h2b H1 2 + h2kS . (12) Ahora, los campos escalares neutros de Higgs desarrollan los VEVs dependientes de la temperatura, v1(T), v2(T), y s(T), que simplemente denotaremos v1, v2 y s, respectivamente. En términos de estos VEVs dependientes de la temperatura, el vacío a temperatura finita se define como el Mínimo de V (T ) como V (v1, v2, s, T ) donde «V0» = m g21 + g )2 + 2(v2 s2 + v2 - 2o Av1v2s+ (Q‡1v) + Q‡2v + Qś3s 2)2, V1 = fb(m t ) + fb(m b) + fb(m) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # + 4m2 + 2m2 + (2g2 + 6g2 + 6o2)(v2 ) + 12­2s2 + 12g + Qś2 + Qś2 s2) + 2g Q­1Q­2(v) 1 Q­2Q­3(v) 2 + s 2) + 2g 1 Q­01Q­03(v) 1 + s 1 (Q­01 + Q­02)(Q­01v) 1 + Qû2v 2 + Qś3s 2) + 6(h2tv 2 + h 1 + k . (14) En las expresiones anteriores, la función fb se define como + log mû2 +m2q , (15) y las masas de rotura suave SUSY en el nivel de un bucle se dan como cos 2β − 2(s(0)2 + v(0)2 sin2 β) + 1(0) tanβ Q­1(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m b(0)) cos 2β − 2(s(0)2 + v(0)2 cos2 β) + Q­2(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m t (0)) = − 2v(0)2 + 2s(0) v(0)2A/23370/ sin 2β Q­3(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m k(0), (16) donde v1(0), v2(0) y s(0) son los VEV evaluados a temperatura cero en el anterior sección, tan β = v2(0)/v1(0), v(0) = v1(0)2 + v2(0)2 = 175 GeV, y la función fc es definido como 3h2qm 2 + 2 log mû2 +m2q mû2 +m2q . (17) Ahora, vamos a determinar la temperatura crítica a la que la fase electrodébil tran- Situación tiene lugar. En nuestro análisis, la temperatura crítica se define por una temperatura en el que â € ¢ V (T )â € tiene dos mínimos distintos con igual valor, es decir, un par de degenerado Vacua. Para tener un par de vacuas degeneradas, el potencial V (T) debe satisfacer la condición mínima de 0 = 2m2 s− 2­A­v1v2 + 2­ 1 Q­3s(Q­1v) 1 + Qû2v 2 + Qś3s 2) + 2h2kmkfc(m s[24♥2 + 24g + 20g Q­3(Q­01 + Q­02) + 12k 2], (18) que se obtiene calculando el primer derivado del pleno potencial efectivo en el temperatura finita con respecto a s. Para valores de parámetros dados a una temperatura dada, se puede resolver el mínimo anterior condición para expresar s en términos de los otros dos VEVs, v1 y v2. Entonces, sustituyéndolo s en V (v1, v2, s, T )®, se puede obtener V (v1, v2, T )® que depende sólo de v1 y v2. Inspeccionando la forma de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2) para valores de parámetros dados a una temperatura determinada, podemos determinar si posee un par de vacua degenerada o In Fig. 2, los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T ) se trazan en el (v1, v2)- plano, donde los valores del parámetro se establecen como tanβ = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad el temperatura crítica Tc. Uno puede detectar fácilmente dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), a saber, uno en (0, 0) y el otro en (275, 640) GeV. La fase de el estado es simétrico en el punto mínimo (0, 0) en el plano (v1, v2), mientras que es roto en (275, 640) GeV. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia en el plano (v1, v2) entre los dos mínimos de V (v1, v2, T) se define como vc, determina la fuerza de la transición de fase electrodébil. La fase de electrodebilidad transición se dice que es fuerte si vc/Tc > 1, y débil de lo contrario. In Fig. 2, la distancia es calculadas para ser (275− 0)2 + (640− 0)2 = 696 (GeV). (19) In Fig. 2, la fuerza de la transición de fase electrodébil es de aproximadamente vc/Tc = 6,9, que Definitivamente dice que la transición de fase electrodébil es fuerte. Por lo tanto, el valores de parámetros particulares establecidos para Fig. 2 produce una transición de fase electrodébil que es de primer orden, así como fuerte. Tenga en cuenta que vc no depende de s, es decir, no necesitamos conocer los valores de s en los dos mínimos para calcular vc. En realidad, vc es el VEV en la fase rota. Las masas de los bosones escalares neutros de Higgs a temperatura cero para los valores de parámetro de la Fig. 2 se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 GeV. Repetimos el trabajo de análisis anterior, variando los valores de los parámetros relevantes. Nosotros encontrar que hay un gran número de conjuntos de valores de parámetros que permiten un primer orden transiciones de fase electrodébil. Por lo tanto, el MSSM con un U(1)′ adicional puede acomodar CUADRO 1: Algunos conjuntos de  y mA que permiten una fase electrodébil de primer orden transiciones en el MSSM con una U(1)′ adicional, obtenida mediante el método A. Los valores de otros los parámetros se fijan como tanβ = 3, s(0) = 500 GeV, m = 1000 GeV, y Tc = 100 GeV. El par de números en la tercera columna son las coordenadas de la fase rota Mínimo de V (v1, v2, T ) Las coordenadas de su mínimo de fase simétrica son (0, 0) para todos los conjuntos. Los tres números en la cuarta columna son las masas de S1, S2 y S3, respectivamente. El número en la última columna es la fuerza del electrodébil de primer orden transición de fase.  mA (GeV) (v1, v2) (GeV) mS1, mS2, mS3 (GeV) vc/Tc 0,1 478 (1750, 1650) 120, 524, 792 26 0,2 675 (1400, 1500) 118, 674, 796 23 0,3 900 (1200, 1400) 112, 786, 908 18 0,4 1109 (870, 1200) 104, 792, 1112 15 0,5 1306 (600, 1000) 93, 796, 1307 12 0,6 1486 (430, 850) 82, 800, 1485 8 0,7 1660 (340, 700) 70, 803, 1658 7 0,8 1830 (275, 640) 56, 807, 1827 6,9 las transiciones de fase deseadas para una amplia región en su espacio de parámetros. Algunos de los resultados se enumeran en el cuadro 1, donde tanβ = 3, s(0) = 500 GeV, y T = 100 GeV se fijan como los valores establecidos en la Fig. 2, mientras que ♥ y mA tienen valores diferentes. El conjunto de números en la última fila de la Tabla 1 es el resultado numérico de la Fig. 2. Cada conjunto de números en cada fila de la Tabla 1 da V (v1, v2, T )+ un par de degenerados mínimo, el mínimo de fase simétrica en (0, 0) en el plano (v1, v2), y el de fase rota en un punto diferente en el plano (v1, v2) como se indica en la Tabla 1. El electrodébil transición de fase es fuertemente de primer orden. Uno puede observar fácilmente en la Tabla 1 que, como el el valor de  aumenta, un valor mayor de mA permite las transiciones de fase deseadas. Por otro lado mano, la fuerza de la transición de fase se refuerza si el valor de  disminuye. Las masas de los bosones escalares neutros de Higgs exhiben algún comportamiento interesante. Por una mayor valor de mA, tanto S2 como S3 tienen también masas más grandes, mientras que S1 tiene una masa más pequeña. La tendencia es que la fuerza de la transición de fase se refuerza si aumenta mS1 y si mA, mS2 y mS3 disminuyen. En el SM, la fuerza del electrodebil de primer orden la transición de fase disminuye si aumenta su masa de bosón único de Higgs. Además, en el MSSM, tenemos una transición de fase más débil si el más ligero de sus dos bosones escalares Higgs tiene un masa más grande. En este sentido, la tendencia de nuestro modelo es opuesta a la del SM o el MSSM. Se puede ver que este extraño comportamiento también ocurre en alguna región de parámetros de un modelo SUSY no mínimo, como se muestra en la Fig. 3 de Ref. [7]. 2. Método B El segundo método evalúa la VT por integración exacta para obtener la temperatura dependiente potencial completo V (T ) a nivel de un bucle, donde los efectos térmicos de la parte superior, inferior y exótico Se tienen en cuenta los quarks y los squarks. Los efectos térmicos de los bosones de calibre pueden ser una ayuda para fortalecer la transición de la fase electrodébil de primer orden, pero nos gustaría omitirlos, ya que la fuerza de la transición de fase ya es lo suficientemente fuerte. Este método comienza con la expresión integral exacta para â € ¢ VT â € ~ después de reemplazar el campos neutros de Higgs por sus VEVs como # VT # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # l=t,b,k dx x2 log 1− exp m2l (v1, v2, s) l=t.o,b.o,k.o dx x2 log 1 + exp mû2 +m2l (v1, v2, s) ,(20) que es diferente de VT del método A, mientras que VT y V1 son los mismos que los de Método A. De la V completa (T) = V0+ V1+ VT, obtenemos una condición mínima para la vacua degenerada como 0 = 2m2 s− 2­A­v1v2 + 2­ )s+ 2g Q3s(Q‡1v + Q‡2v + Qś3s + 2h2kmkfc(m dx x2 2h2ks exp(− x2 +m2k/T x2 +m2k/T 1 + exp(− x2 +m2k/T dx x2 2h2ks exp(− x2 + (mû2 +m2k)/T x2 + (mû2 +m2k)/T 1 + exp(− x2 + (mû2 +m2k)/T ], (21) donde mk depende sólo de s y es independiente de v1 y v2. Resolver la condición mínima antes mencionada es más difícil que resolver la mini- condición de la madre del método A. Sin embargo, podemos resolverlo utilizando el método de la bisección expresar s en términos de los otros parámetros. Entonces, eliminando s de V (T ), podemos obtener la expresión «V» (v1, v2, T)« que depende únicamente de v1 y v2. Acontecimientos posteriores los pasos del análisis numérico son los mismos que el método anterior. In Fig. 3, contornos equipotenciales de V (v1, v2, T ) trazado en el plano (v1, v2), donde los valores del parámetro se establecen ligeramente diferentes de el método anterior: tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y T = 100 GeV. La forma de los contornos equipotenciales de la Fig. 3 es casi lo mismo que el de Fig. 2. Se puede ver que hay dos mínimos distintos en la Fig. 3, al igual que Fig. 2: uno en (0, 0), y el otro en (165, 440) GeV en el (v1, v2)-plano, indicando que el transición de fase es el primer orden. La fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte, desde vc/Tc = 4.7. Las masas de los tres bosones escalares de Higgs se evalúan en cero temperatura como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. CUADRO 2: Algunos conjuntos de  y mA que permiten una fase electrodébil de primer orden transiciones en el MSSM con una U(1)′ adicional, obtenida mediante el método B. Otras descripciones son los mismos que el cuadro 1.  mA GeV (v1B, v2B) GeV mSi GeV vc/Tc 0,1 462 (1600, 1600) 121, 468, 791 22 0,2 663 (1400, 1400) 118, 662, 795 19 0,3 885 (1100, 1100) 113, 785, 894 15 0,4 1095 (800, 1200) 106, 792, 1098 14 0,5 1287 (680, 990) 97, 796, 1288 12 0,6 1457 (400, 750) 91, 799, 1456 8 0,7 1620 (300, 600) 86, 801, 1618 6 0,8 1780 (165, 440) 82, 804, 1777 4,7 Comparando la Fig. 3 con Fig. 2, se puede señalar con seguridad que el método A y el método B lleva cualitativamente los mismos resultados. Cualquiera de los dos métodos, si â € TM VT â € € es calculado por integración directa o está simplificada por aproximación de alta temperatura, y si la las partículas participantes en el nivel de un bucle son algo exhaustivas o selectivas, nosotros encontrar que el MSSM con y adicional U(1)′ permite la fase electrodébil de primer orden transiciones para cierta región en su espacio de parámetros. Repetimos el análisis numérico variando los valores de los parámetros. y algunos de los los resultados se enumeran en la Tabla 2. Como en el cuadro 1, tan β = 3, s(0) = 500 GeV, y T = 100 El GeV es fijo, mientras que el ♥ y el mA son variados. El conjunto de números en la última fila de la tabla 2 es el resultado numérico de la Fig. 3. Al comparar el cuadro 2 con el cuadro 1, se puede observar que los números son ligeramente diferentes entre sí pero el comportamiento general de los dos tablas es exactamente lo mismo. IV. DEBATE Y CONCLUSIONES Investigamos el MSSM con un U(1)′ adicional si pudiera acomodar fuertemente primero- ordenar transiciones de fase electrodébil para proporcionar suficiente asimetría bariónica, para una masas de bosones escalares de Higgs. Para ello, necesitamos la parte dependiente de la temperatura de el potencial de Higgs en el nivel de un bucle. Explícitamente, su expresión se obtiene por dos métodos complementarios: método A emplea la aproximación de alta temperatura y retiene sólo los términos T 2 más dominantes, y tiene en cuenta los efectos térmicos en el nivel de bucle de varias partículas participantes. Por otro lado, el método B realiza integraciones numéricas, y los efectos térmicos de los quarks superiores, inferiores y exóticos y Los squarks se contabilizan. Ambos métodos nos llevan esencialmente a la misma conclusión: el primer orden transición de fase electrodébil es posible en el MSSM con una U(1)′ adicional, para una amplia región en su espacio de parámetros. Las masas de los bosones escalares de Higgs se obtienen dentro rangos razonablemente aceptables. En consecuencia, podemos esperar que el MSSM con un extra U(1)′ puede explicar la asimetría bariónica del universo. Observamos que el MSSM con un adicional U(1)′ exhibe un comportamiento interesante con respeto a la correlación entre la fuerza de la transición de fase y el Higgs Masas de bosón. El MSSM con un U(1)′ adicional es opuesto al SM o al MSSM en el sentido de que la masa del bosón de Higgs escalar más ligero aumenta cuando la fuerza de la transición de fase electrodébil de primer orden se hace más fuerte. En el SM, su bosón único de Higgs tiene una masa más grande cuando la fuerza del electrodebil de primer orden disminución de la transición de fase. En el MSSM, también tenemos una masa más grande para el más ligero de sus dos bosones escalares Higgs cuando la transición de fase se debilita. AGRADECIMIENTOS Esta investigación cuenta con el apoyo de KOSEF a través de CHEP. Los autores desean: agradecer el apoyo de KISTI (Instituto Coreano de Ciencia y Tecnología ) bajo “El Programa Estratégico de Apoyo a la Supercomputación” con el Dr. Kihyeon Cho como soporte técnico. El uso del sistema informático de la Supercomputación El centro también es muy apreciado. [1] A.D. Sakharov, JETP Lett. 5, 24 (1967). [2] V.A. Kuzmin, V.A. Rubakov, y M.E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 155, 36 (1985); M.E. Shaposhnikov, JETP Lett. 44, 465 (1986); Nucl. Phys. B 287, 757 (1987); Nucl. Phys. B 299, 797 (1988); L. McLerran, Phys. Rev. Lett. 62, 1075 (1989); N. Turok y J. Zadrozny, Phys. Rev. Lett. 65, 2331 (1990); Nucl. Phys. B 358, 471 (1991); L. McLerran, M.E. Shaposhnikov, N. Turok, y M. Voloshin, Phys. Lett. B 256, 451 (1991); M. Dine, P. Huet, R. S. Singleton Jr., y L. Susskind, Phys. Lett. B 257, 351 (1991); A. I. Bochkarev, S. V. Kuzmin, y M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 244, 257 (1990); Mod. Phys. Lett. A 2, 417 (1987); P. Arnold y O. Espinosa, Phys. Rev. D 47, 3546 (1993); Z. Fodor y A. Hebecker, Nucl. Phys. B 432, 127 (1994); K. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, y M. Shaposhnikov, Phys. Rev. Lett. 77, 2887 (1996); A. G. Cohen, D. B. Kaplan, y A. E. 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Los valores de Q1 y Q2 en el punto de marcado cruzado son (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. En nuestras discusiones, Elegimos este punto. FIG. 2. : La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), obtenido por el método A. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad la temperatura crítica Tc. Note dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2): (0, 0) donde la fase del estado es simétrica, y (275, 640) GeV, donde la fase del estado está roto. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia entre los dos mínimos es vc = 696 GeV, lo que indica que la la fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte (vc/Tc > 1). Las masas de los tres Los bosones escalares de Higgs se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 FIG. 3. : La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en (v1, v2)-plano, ob- en el método B................................................................................................................................................. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y Tc = 100 GeV. Las coordenadas de dos mínimos son: (0, 0) y (165, 440) GeV. La distancia entre los dos mínimos es vc = 470 GeV, por lo tanto la transición de fase electrodébil entre los dos mínimos es fuertemente de primer orden. Las masas de los tres bosones escalares Higgs se obtienen como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 FIG. 1: El área permitida en el (Q1, Q2)-plano. Para tanβ = 3 y s(T = 0) = 500 GeV, el área pequeña cerca del punto (Q1, Q2) = (-1, 0) y la esquina superior derecha son los zonas permitidas, mientras que la región incubada es la zona excluida. Hay dos específicos puntos marcados por una estrella (*) y una cruz (+). Los valores de Q1 y Q2 en la estrella marcada punto corresponden a la v-modelo de las realizaciones de grupos de calibre E6. Los valores de Q1 y Q2 en el punto de marcado cruzado son (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. En nuestras discusiones, Elegimos este punto. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 V1 (GeV) V2 (GeV) FIG. 2: La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), obtenido por el método A. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad la temperatura crítica Tc. Note dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2): (0, 0) donde la fase del estado es simétrica, y (275, 640) GeV, donde la fase del estado está roto. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia entre los dos mínimos es vc = 696 GeV, lo que indica que la la fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte (vc/Tc > 1). Las masas de los tres Los bosones escalares de Higgs se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 V1 (GeV) V2 (GeV) FIG. 3: La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en (v1, v2)-plano, obtenido por el método B. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y Tc = 100 GeV. Las coordenadas de dos mínimos son: (0, 0) y (165, 440) GeV. La distancia entre los dos mínimos es vc = 470 GeV, por lo que la fase electrodébil la transición entre los dos mínimos es fuertemente de primer orden. Las masas de los tres escalares Los bosones de Higgs se obtienen como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. INTRODUCCIÓN CERO TEMPERATURA TEMPERATURA FINAL Método A Método B DEBATE Y CONCLUSIONES

Investigamos la posibilidad de transición de fase electrodébil en el mínimo modelo estándar supersimétrico (MSSM) con un extra de $U(1)'$. Este modelo tiene dos Higgs doublets y un singlet, además de un quark exótico singlet superfield. Encontramos que en el nivel de un bucle este modelo puede acomodar el electrodebil las transiciones de fase que son fuertemente de primer orden en una región razonablemente grande de el espacio del parámetro. En la región del parámetro donde las transiciones de fase toman lugar, observamos que el bosón de Higgs escalar más ligero tiene una masa más pequeña cuando la fuerza de la transición de fase se debilita. Además, los otros tres más pesados bosones neutros Higgs consiguen más grandes masas cuando la fuerza de la la transición de fase se debilita.

Transiciones de fase electrodébil en el MSSM con una U adicional (1)′ S.W. Ham(1), E.J. Yoo(2), y S.K. Oh(1,2) (1) Centro de Física de Alta Energía, Universidad Nacional de Kyungpook, Daegu 702-701, Corea (2) Departamento de Física, Universidad de Konkuk, Seúl 143-701, Corea Resumen Investigamos la posibilidad de transición de fase electrodébil en el mínimo Modelo estándar supersimétrico (MSSM) con un U(1)′ adicional. Este modelo tiene dos Higgs doublets y un singlet, además de un quark exótico singlet superfield. Nosotros encontrar que en el nivel de un bucle este modelo puede acomodar la fase electrodébil transiciones que son fuertemente de primer orden en una región razonablemente grande del parámetro espacio. En la región de parámetros donde tienen lugar las transiciones de fase, observamos que el bosón escalar más ligero de Higgs tiene una masa más pequeña cuando la fuerza de la la transición de fase se debilita. Además, los otros tres bosones neutros más pesados de Higgs obtener más grandes masas cuando la fuerza de la transición de fase se debilita. http://arxiv.org/abs/0704.0328v1 I. INTRODUCCIÓN La asimetría bariónica del universo puede ser generada dinámicamente durante la evolución del universo, si el mecanismo de la baryogénesis satisface las tres condiciones de Sajarov [1]. Las tres condiciones de Sajarov son: la presencia de violación del número de baryon, el violación tanto de C y CP, y una desviación del equilibrio térmico. Se sabe que el universo puede escapar del equilibrio térmico por medio de la fase electrodébil transición, que debe ser de primer orden con el fin de garantizar una desviación suficiente de equilibrio térmico para generar la asimetría bariónica que se observa hoy en día. Sin embargo, ya se ha reconocido que el Modelo Estándar (SM) tiene algunas dificultades para realizar la transición de fase electrodébil deseada. El actual límite inferior experimental en el masa del bosón SM Higgs no permite que la transición de fase electrodébil sea fuerte primer orden [2, 3]. La transición de fase electrodébil es débil primer orden o superior en el SM. Por lo tanto, el SM es inadecuado para generar suficiente asimetría bariónica. Además, la cantidad de PC violatoria en la matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) es demasiado pequeña para explicar la asimetría bariónica del universo observado [4]. Consecuentemente, nuevos modelos físicos más allá del SM han sido ampliamente estudiados para la posibilidad de una explicación razonable de la asimetría bariónica del universo. Espe- cialmente, los modelos supersimétricos de baja energía se han estudiado ampliamente en el contexto de baryogénesis electrodébil [5-7]. El modelo supersimétrico más simple que incluye el SM es el modelo estándar supersimétrico mínimo (MSSM), que posee en su perpotencial el término μ que explica la mezcla entre dos dobles Higgs. Los μ parámetro, que tiene la dimensión de masa, causa algún problema con respecto a su báscula de energía [8]. Varias posibilidades han sido investigadas en la literatura para resolver la el llamado problema μ [9-12]. La introducción de un U(1)′ adicional al MSSM es uno de los explicaciones plausibles para el problema μ del MSSM. El MSSM con un U adicional(1)′ no sólo puede resolver el problema de μ, pero vamos a mostrar que también puede superar las dificultades que el SM encuentra cuando el SM trata de satisfacer las condiciones de Sajarov. Este modelo puede acomodar suficiente violación de PC, porque posee otras fuentes de violación de PC además de la matriz CKM. Es posible realizar la violación explícita de la PC en este modelo por medio de complejas fases de CP de los términos blandos de ruptura SUSY [12]. Entonces, es el propósito de este documento para mostrar que este modelo de hecho permite el transiciones de fase electrodébil de primer orden de tal manera que pueda explicar con éxito el baryo- génesis. Las características de las transiciones de fase electrodébil se determinan essen- por la parte dependiente de la temperatura del potencial de Higgs. Nosotros construimos el pleno potencial de Higgs dependiente de la temperatura en el nivel de un bucle, y examinar si el elec- La transición en fase troweak puede ser de primer orden. Dos métodos se emplean para la construcción del potencial de Higgs dependiente de la temperatura. Un método supone que la temperatura crítica a la que se produce la transición de fase electrodébil es relativamente alto, por lo que el potencial efectivo dependiente de la temperatura se aproxima mediante la retención sólo términos proporcionales a T 2, mientras que el otro método lleva a cabo numéricamente exacta integración del potencial efectivo dependiente de la temperatura. Los efectos térmicos de par- ticles cuyas masas son comparativamente más pequeñas que la temperatura crítica se incluyen en el nivel de un bucle en el método anterior, mientras que el contenido de partículas es diferente en el último método. De cualquier manera, obtenemos casi los mismos resultados físicos. A diferencia del MSSM, este modelo permite una transición de fase electrodébil de primer orden en una amplia región del parame- espacio ter, y la transición de fase electrodébil de primer orden puede ser lo suficientemente fuerte sin Requeriendo un quark de parada de luz. Un comportamiento interesante de este modelo con respecto a la transición de fase electrodébil de primer orden es que la masa de la más ligera neutral El bosón de Higgs se hace más grande cuando la transición de fase se hace más fuerte. Por otra parte, Las masas de los otros tres bosones neutros de Higgs se vuelven más pequeñas cuando la fase trans- La postura se hace más fuerte. II. CERO TEMPERATURA El MSSM con un U(1)′ adicional acomoda en su sector Higgs dos dobles Higgs H1 = (H 1, H 1 ), H2 = (H 2, H 2 ), y un singlet de Higgs, S. En términos de estos campos de Higgs, la parte pertinente del superpotencial de este modelo podrá escribirse como W  htQH2t R + hbQH1b R + hkSDLD̄R − ♥SH •H2, (1) donde tenemos en cuenta sólo la tercera generación: tcR y b R son, respectivamente, el supercampos de quarks singlet y singlet, DR es el singlet con la mano derecha exótico quark (un vector-como abajo quark) superfield, Q es el zurdo SU(2) doblet quark superfield de la tercera generación, y DL es el zurdo singlet quark exótico Superfield. Además, ht, hb y hk son, respectivamente, el acoplamiento adimensional Yukawa coeficientes de supercampos superiores, inferiores y exóticos quarks, y es un 2×2 antisimétrico matriz con â € 12 = 1. Desde el superpotencial, a cero temperatura, podemos construir el potencial de Higgs a nivel del árbol, que puede leerse como V0 = VF + VD + VS, (2) donde VF = 2[(H1 2 + H2 2) S2 + HT 1H1 +H 2H2) (H1 2 − H2 (Q‡1H1 2 + Qû2H2 2 + Qś3S 2)2, VS = m 2 +m2 2 +m2 S2 − (H) [H2)S +H.c.] , (3) donde denota las tres matrices Pauli, g1, g2, y g son el U(1), SU(2), y el U(1)′ Las constantes de acoplamiento de calibre, respectivamente, Q­1, Q­2 y Q­3 son las U(1) ′ hipercargas de H1, H2, y S, respectivamente, y m i (i = 1, 2, 3) son las masas de rotura de SUSY blandas. En el En general, el potencial de Higgs puede ser un número complejo. Sin embargo, serán se supone que es real en las discusiones posteriores, ya que no consideramos la violación de la el sector de Higgs. También se supone que las masas blandas son reales, sin pérdida de generalidad, y finalmente se eliminan mediante la imposición de condiciones mínimas con respecto a la campos neutros de Higgs, La invariabilidad del indicador del superpotencial bajo U(1)′ requiere que las tres hipercargas U(1)′ deben satisfacer Q̃1 + Qû2 + Qû3 = 0. El potencial de Higgs arriba a nivel de árbol permitiría los tres campos neutros de Higgs , y S para desarrollar los valores de expectativa de vacío (VEVs) v1(0), v2(0), y s(0), respectivamente. Tenga en cuenta que estos VEVs se obtienen a temperatura cero. Sin embargo, para simplicidad, omitimos la dependencia de la temperatura de estos VEVs hasta la siguiente sección donde tenemos en cuenta el efecto de temperatura finito. El potencial de Higgs a nivel de árbol ahora debe ser corregido por los efectos radiativos de un bucle. En los modelos SUSY, las correcciones radiativas debidas a los quarks superiores y de parada contribuyen más dominantemente en el sector de Higgs a nivel de árboles. Además, si tanβ = v2/v1 es muy grande, también deben incluirse las correcciones radiativas debidas a los quarks de fondo y de fondo ya que ya no son insignificantes. Además, las correcciones radiativas debidas a la quark exótico y squark puede ser importante desde el acoplamiento Yukawa del quark exótico al campo singlet S puede ser grande en la escala electrodébil [11]. Por lo tanto, tomamos en cuenta todas las contribuciones del sector superior, inferior, exótico quark al nivel de los árboles Potencial de Higgs. Las correcciones radiativas de un bucle se evalúan mediante el método potencial eficaz [13]. Asumimos que las masas de squark son degeneradas. Ignorando las mezclas en las masas de los squarks [14], el potencial efectivo de un bucle es dado por l=t,b,k + log mû2 +M2l , (4) donde t, b, y k, respectivamente son campos de quark superior, inferior y exótico, incluyendo el campos de squark correspondientes, Mt = htH2, Mb = hbH1, Mk = hkS son el campo- masa de quark dependiente, y mс es la masa de rotura suave SUSY, que se supone que m‡ = 1000 GeV mq (q= t, b, o k). El sector Higgs del presente modelo consta de seis bosones de Higgs físicos: un par de bosón de Higgs cargado, un bosón de pseudoescalar neutro de Higgs, y tres escalar neutro Higgs bosons. La masa a nivel de árbol del bosón de Higgs cargado es dada por m2C± = m W −  2v2 + 2-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A)-(A) sin 2β , (5) donde v = v21 + v 2 = 175 GeV y m W = g 2/2 es la masa cuadrada del bosón W. A nivel del árbol, la masa del bosón cargado de Higgs podría ser más pequeña o más grande. que la masa del bosón W. La masa a nivel de árbol del bosón pseudoescalar neutro de Higgs es dada por m2A = 2-A-V-A-V-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O sin 2α , (6) donde tanα = (v/2s) sin 2β implica la división entre la ruptura de la simetría electrodébil- escala de ing y la escala de rotura de simetría adicional U(1)′. Tenga en cuenta que estas masas a nivel de árbol tanto del pseudoescalar neutro como de los bosones de Higgs cargados no reciben ningún radiativo correcciones, porque las masas de squark son degeneradas. Las masas cuadradas a nivel de árbol de los tres bosones escalares neutros de Higgs son considerablemente afectados por las correcciones radiativas. Sus masas cuadradas en el nivel de un bucle se dan como los valores propios de la matriz de masa de un solo bucle 3×3, cuyos elementos pueden ser escritos M11 = m Z cos 2 β + 2g v2 cos2 β +m2A sin 2 β cos2 α + fa(m) M22 = m Z pecado 2 β + 2g v2 sin2 β +m2A cos 2 β cos2 α + fa(m) t ), M33 = 2g 2 +m2A pecado 2 α + fa(m) M12 = g Q­1Q­2v 2 sin 2β + (2v2 −m2Z/2) sin 2β −m A cos β sin β cos 2 α, M13 = 2g 1 Q­1Q­3vs cos β + 2­ 2vs cosβ −m2A sin β cosα sinα, M23 = 2g Q­2Q­3vs sin β + 2­ 2vs sinβ −m2A cos β cosα sinα, (7) donde m2Z = (g )v2/2 es la masa cuadrada del bosón Z, y la función fa(m se define como 3h2qm mû2 +m2q 4h2qm mû2 +m2q (mû2 +m2q) . (8) Asumimos que las masas de tres bosones escalares Higgs Si están ordenados de tal manera que mS1 ≤ mS2 ≤ mS3. III. TEMPERATURA FINAL Ahora, estudiemos la dependencia de la temperatura del potencial de Higgs para inves- tigate la naturaleza de la transición de fase electrodébil en el MSSM con un U(1)′ adicional. Evaluamos VT, la parte dependiente de la temperatura del potencial de Higgs en el bucle único nivel, utilizando el método potencial eficaz. Se da como [15] l=B,F dx x2 log 1± exp x2 +m2l (­i)/T , (9) donde B y F significan bosones (tū, bū y kū) y fermiones (t, b y k), y nt = nb = nk = −12 y nt El signo negativo es para los bosones y el signo positivo es para fermiones. Por lo tanto, todo el potencial de Higgs a temperatura finita en el nivel de un bucle es dada por V (T ) = V0 + V1 + VT (10) Para el análisis numérico, necesitamos establecer los valores de los parámetros relevantes de la modelo. Al igual que en la sección anterior, la masa de rotura suave SUSY se establece como m = 1000 GeV. Las masas de quark se establecen como mt = 175 GeV, mb = 4 GeV, y mk = 400 GeV. Desde estos valores, mq mû2 +m2q (q = t, b, k) producen las masas de cucharillas como mtû = 1015 GeV, = 1000 GeV, y m = 1077 GeV. Se debe tener cierta precaución para establecer los valores de Q‡i (i=1, 2, 3), el U(1) hipercargas de los dobles de Higgs y el singlet de Higgs. En el MSSM con un extra U(1)′, la masa de bosón de calibre neutro adicional (mZ′) y el ángulo de mezcla (αZZ′) entre el dos bosones de calibre neutro (Z,Z ′) pueden imponer fuertes restricciones a los valores de los parámetros. Para nuestro análisis numérico, se estima que mZ′ es mayor de 600 GeV, y αZZ′ menor de 2 × 10−3, para tan β = 3 y s(T = 0) = 500 GeV. Además, como se ha hecho recientemente en la investigación Sugerido [10], se impone la restricción de Q. 1Q. 2 > 0. Además, el U(1) ′ invarianza del gálibo la condición requiere que Q­3 = −(Q­1 + Q­2). En este artículo, definimos nuevas cargas Qi = g 1Q?i desde Q?i aparecen siempre junto con . Entonces, uno puede establecer el área permitida en el (Q1, Q2)-plano imponiendo el arriba limitaciones. Para tanβ = 3 y s(T = 0) = 500 GeV, el resultado se muestra en la Fig. 1, donde el área pequeña cerca del punto (Q1, Q2) = (-1, 0) y la esquina superior derecha de la Fig. 1 son las zonas permitidas. La región incubada es la zona excluida. Hay dos específicos puntos en la Fig. 1, marcada por una estrella (*) y una cruz (+). Los valores de Q1 y Q2 en el punto marcado por la estrella corresponde al modelo de realización de grupos de calibre E6 [11]. Nosotros tomaría los valores de Q1 y Q2 en el punto marcado, a saber, (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. Con estos valores de parámetro a la mano, investigaríamos la posibilidad de transición de fase electrodébil de primer orden utilizando dos formas diferentes. La primera método es retener sólo la parte dominante T 2-proporcional de la alta temperatura aproximación de la TV, y para tener en cuenta sólo las partículas cuyas masas son relativamente pequeño [6]. El segundo método es realizar la integración en VT de forma numéricamente exacta, y considerar sólo las contribuciones de los quarks y squarks superiores, inferiores y exóticos. 1. Método A Empecemos con la aproximación de alta temperatura de VT, que se expresa como [3] VT - − i=t,b,k T 2m2i m4i (Łi) m2i (Łi) cFT 2 i=t....,b.k.... T 2m2i Tm3i (eli) m4i (Łi) m2i (Łi) cBT 2 , (11) donde log cF = 2,64 y log cB = 5,41. Se sabe que en el SM la alta temperatura la aproximación es coherente con la integración exacta de VT dentro del 5 % a temperatura T para mF/T < 1,6 y mB/T < 2.2, donde mF y mB son respectivamente la masa de fermión y la masa de bosón que participan en el potencial. Seleccionamos los términos que son proporcionales a T 2 en la expresión anterior, que llegar a ser más dominante a alta temperatura. Por lo tanto, suponemos que la temperatura en que la transición de la fase electrodébil tiene lugar es suficientemente alta. También asumimos que el U(1) y el SU(2) de las masas gaugino M1 y M2 en el chargino y neutralino los sectores son mucho más grandes que los demás parámetros de masa. Tenemos en cuenta la efectos térmicos debidos a los bosones de Higgs, W, Z, y el bosón de calibre adicional U(1) en el sector de bosón, y t, b, k quarks, el chargino más ligero, y los tres neutros luz en el sector del fermión, porque sus masas son relativamente pequeñas en comparación con la temperatura, similar a los análisis de artículos anteriores [6]. Explícitamente, los términos T 2 en el alto la aproximación de la temperatura de VT puede expresarse como + 4m2 + 2m2 + (2g2 + 6g2 + 6o2)(H1o 2 + H2 2) + 12o 2o 2o 2o + 12g 2 + Qś2 2 + Qś2 S2) + 2g Q?1Q?2(H1 2 + H2 Q­2Q­3(H2 2 + S2) + 2g Q?1Q?3(H1 2 + S2) 1 (Q­01 + Q­02) (Q­01 H1 2 + Qû2H2 2 + Qś3S +6(h2t H2 2 + h2b H1 2 + h2kS . (12) Ahora, los campos escalares neutros de Higgs desarrollan los VEVs dependientes de la temperatura, v1(T), v2(T), y s(T), que simplemente denotaremos v1, v2 y s, respectivamente. En términos de estos VEVs dependientes de la temperatura, el vacío a temperatura finita se define como el Mínimo de V (T ) como V (v1, v2, s, T ) donde «V0» = m g21 + g )2 + 2(v2 s2 + v2 - 2o Av1v2s+ (Q‡1v) + Q‡2v + Qś3s 2)2, V1 = fb(m t ) + fb(m b) + fb(m) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # + 4m2 + 2m2 + (2g2 + 6g2 + 6o2)(v2 ) + 12­2s2 + 12g + Qś2 + Qś2 s2) + 2g Q­1Q­2(v) 1 Q­2Q­3(v) 2 + s 2) + 2g 1 Q­01Q­03(v) 1 + s 1 (Q­01 + Q­02)(Q­01v) 1 + Qû2v 2 + Qś3s 2) + 6(h2tv 2 + h 1 + k . (14) En las expresiones anteriores, la función fb se define como + log mû2 +m2q , (15) y las masas de rotura suave SUSY en el nivel de un bucle se dan como cos 2β − 2(s(0)2 + v(0)2 sin2 β) + 1(0) tanβ Q­1(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m b(0)) cos 2β − 2(s(0)2 + v(0)2 cos2 β) + Q­2(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m t (0)) = − 2v(0)2 + 2s(0) v(0)2A/23370/ sin 2β Q­3(Q­1v(0) 2 cos2 β + Qû2v(0) 2 sin2 β + Qś3s(0) 2)− fc(m k(0), (16) donde v1(0), v2(0) y s(0) son los VEV evaluados a temperatura cero en el anterior sección, tan β = v2(0)/v1(0), v(0) = v1(0)2 + v2(0)2 = 175 GeV, y la función fc es definido como 3h2qm 2 + 2 log mû2 +m2q mû2 +m2q . (17) Ahora, vamos a determinar la temperatura crítica a la que la fase electrodébil tran- Situación tiene lugar. En nuestro análisis, la temperatura crítica se define por una temperatura en el que â € ¢ V (T )â € tiene dos mínimos distintos con igual valor, es decir, un par de degenerado Vacua. Para tener un par de vacuas degeneradas, el potencial V (T) debe satisfacer la condición mínima de 0 = 2m2 s− 2­A­v1v2 + 2­ 1 Q­3s(Q­1v) 1 + Qû2v 2 + Qś3s 2) + 2h2kmkfc(m s[24♥2 + 24g + 20g Q­3(Q­01 + Q­02) + 12k 2], (18) que se obtiene calculando el primer derivado del pleno potencial efectivo en el temperatura finita con respecto a s. Para valores de parámetros dados a una temperatura dada, se puede resolver el mínimo anterior condición para expresar s en términos de los otros dos VEVs, v1 y v2. Entonces, sustituyéndolo s en V (v1, v2, s, T )®, se puede obtener V (v1, v2, T )® que depende sólo de v1 y v2. Inspeccionando la forma de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2) para valores de parámetros dados a una temperatura determinada, podemos determinar si posee un par de vacua degenerada o In Fig. 2, los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T ) se trazan en el (v1, v2)- plano, donde los valores del parámetro se establecen como tanβ = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad el temperatura crítica Tc. Uno puede detectar fácilmente dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), a saber, uno en (0, 0) y el otro en (275, 640) GeV. La fase de el estado es simétrico en el punto mínimo (0, 0) en el plano (v1, v2), mientras que es roto en (275, 640) GeV. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia en el plano (v1, v2) entre los dos mínimos de V (v1, v2, T) se define como vc, determina la fuerza de la transición de fase electrodébil. La fase de electrodebilidad transición se dice que es fuerte si vc/Tc > 1, y débil de lo contrario. In Fig. 2, la distancia es calculadas para ser (275− 0)2 + (640− 0)2 = 696 (GeV). (19) In Fig. 2, la fuerza de la transición de fase electrodébil es de aproximadamente vc/Tc = 6,9, que Definitivamente dice que la transición de fase electrodébil es fuerte. Por lo tanto, el valores de parámetros particulares establecidos para Fig. 2 produce una transición de fase electrodébil que es de primer orden, así como fuerte. Tenga en cuenta que vc no depende de s, es decir, no necesitamos conocer los valores de s en los dos mínimos para calcular vc. En realidad, vc es el VEV en la fase rota. Las masas de los bosones escalares neutros de Higgs a temperatura cero para los valores de parámetro de la Fig. 2 se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 GeV. Repetimos el trabajo de análisis anterior, variando los valores de los parámetros relevantes. Nosotros encontrar que hay un gran número de conjuntos de valores de parámetros que permiten un primer orden transiciones de fase electrodébil. Por lo tanto, el MSSM con un U(1)′ adicional puede acomodar CUADRO 1: Algunos conjuntos de  y mA que permiten una fase electrodébil de primer orden transiciones en el MSSM con una U(1)′ adicional, obtenida mediante el método A. Los valores de otros los parámetros se fijan como tanβ = 3, s(0) = 500 GeV, m = 1000 GeV, y Tc = 100 GeV. El par de números en la tercera columna son las coordenadas de la fase rota Mínimo de V (v1, v2, T ) Las coordenadas de su mínimo de fase simétrica son (0, 0) para todos los conjuntos. Los tres números en la cuarta columna son las masas de S1, S2 y S3, respectivamente. El número en la última columna es la fuerza del electrodébil de primer orden transición de fase.  mA (GeV) (v1, v2) (GeV) mS1, mS2, mS3 (GeV) vc/Tc 0,1 478 (1750, 1650) 120, 524, 792 26 0,2 675 (1400, 1500) 118, 674, 796 23 0,3 900 (1200, 1400) 112, 786, 908 18 0,4 1109 (870, 1200) 104, 792, 1112 15 0,5 1306 (600, 1000) 93, 796, 1307 12 0,6 1486 (430, 850) 82, 800, 1485 8 0,7 1660 (340, 700) 70, 803, 1658 7 0,8 1830 (275, 640) 56, 807, 1827 6,9 las transiciones de fase deseadas para una amplia región en su espacio de parámetros. Algunos de los resultados se enumeran en el cuadro 1, donde tanβ = 3, s(0) = 500 GeV, y T = 100 GeV se fijan como los valores establecidos en la Fig. 2, mientras que ♥ y mA tienen valores diferentes. El conjunto de números en la última fila de la Tabla 1 es el resultado numérico de la Fig. 2. Cada conjunto de números en cada fila de la Tabla 1 da V (v1, v2, T )+ un par de degenerados mínimo, el mínimo de fase simétrica en (0, 0) en el plano (v1, v2), y el de fase rota en un punto diferente en el plano (v1, v2) como se indica en la Tabla 1. El electrodébil transición de fase es fuertemente de primer orden. Uno puede observar fácilmente en la Tabla 1 que, como el el valor de  aumenta, un valor mayor de mA permite las transiciones de fase deseadas. Por otro lado mano, la fuerza de la transición de fase se refuerza si el valor de  disminuye. Las masas de los bosones escalares neutros de Higgs exhiben algún comportamiento interesante. Por una mayor valor de mA, tanto S2 como S3 tienen también masas más grandes, mientras que S1 tiene una masa más pequeña. La tendencia es que la fuerza de la transición de fase se refuerza si aumenta mS1 y si mA, mS2 y mS3 disminuyen. En el SM, la fuerza del electrodebil de primer orden la transición de fase disminuye si aumenta su masa de bosón único de Higgs. Además, en el MSSM, tenemos una transición de fase más débil si el más ligero de sus dos bosones escalares Higgs tiene un masa más grande. En este sentido, la tendencia de nuestro modelo es opuesta a la del SM o el MSSM. Se puede ver que este extraño comportamiento también ocurre en alguna región de parámetros de un modelo SUSY no mínimo, como se muestra en la Fig. 3 de Ref. [7]. 2. Método B El segundo método evalúa la VT por integración exacta para obtener la temperatura dependiente potencial completo V (T ) a nivel de un bucle, donde los efectos térmicos de la parte superior, inferior y exótico Se tienen en cuenta los quarks y los squarks. Los efectos térmicos de los bosones de calibre pueden ser una ayuda para fortalecer la transición de la fase electrodébil de primer orden, pero nos gustaría omitirlos, ya que la fuerza de la transición de fase ya es lo suficientemente fuerte. Este método comienza con la expresión integral exacta para â € ¢ VT â € ~ después de reemplazar el campos neutros de Higgs por sus VEVs como # VT # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # l=t,b,k dx x2 log 1− exp m2l (v1, v2, s) l=t.o,b.o,k.o dx x2 log 1 + exp mû2 +m2l (v1, v2, s) ,(20) que es diferente de VT del método A, mientras que VT y V1 son los mismos que los de Método A. De la V completa (T) = V0+ V1+ VT, obtenemos una condición mínima para la vacua degenerada como 0 = 2m2 s− 2­A­v1v2 + 2­ )s+ 2g Q3s(Q‡1v + Q‡2v + Qś3s + 2h2kmkfc(m dx x2 2h2ks exp(− x2 +m2k/T x2 +m2k/T 1 + exp(− x2 +m2k/T dx x2 2h2ks exp(− x2 + (mû2 +m2k)/T x2 + (mû2 +m2k)/T 1 + exp(− x2 + (mû2 +m2k)/T ], (21) donde mk depende sólo de s y es independiente de v1 y v2. Resolver la condición mínima antes mencionada es más difícil que resolver la mini- condición de la madre del método A. Sin embargo, podemos resolverlo utilizando el método de la bisección expresar s en términos de los otros parámetros. Entonces, eliminando s de V (T ), podemos obtener la expresión «V» (v1, v2, T)« que depende únicamente de v1 y v2. Acontecimientos posteriores los pasos del análisis numérico son los mismos que el método anterior. In Fig. 3, contornos equipotenciales de V (v1, v2, T ) trazado en el plano (v1, v2), donde los valores del parámetro se establecen ligeramente diferentes de el método anterior: tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y T = 100 GeV. La forma de los contornos equipotenciales de la Fig. 3 es casi lo mismo que el de Fig. 2. Se puede ver que hay dos mínimos distintos en la Fig. 3, al igual que Fig. 2: uno en (0, 0), y el otro en (165, 440) GeV en el (v1, v2)-plano, indicando que el transición de fase es el primer orden. La fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte, desde vc/Tc = 4.7. Las masas de los tres bosones escalares de Higgs se evalúan en cero temperatura como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. CUADRO 2: Algunos conjuntos de  y mA que permiten una fase electrodébil de primer orden transiciones en el MSSM con una U(1)′ adicional, obtenida mediante el método B. Otras descripciones son los mismos que el cuadro 1.  mA GeV (v1B, v2B) GeV mSi GeV vc/Tc 0,1 462 (1600, 1600) 121, 468, 791 22 0,2 663 (1400, 1400) 118, 662, 795 19 0,3 885 (1100, 1100) 113, 785, 894 15 0,4 1095 (800, 1200) 106, 792, 1098 14 0,5 1287 (680, 990) 97, 796, 1288 12 0,6 1457 (400, 750) 91, 799, 1456 8 0,7 1620 (300, 600) 86, 801, 1618 6 0,8 1780 (165, 440) 82, 804, 1777 4,7 Comparando la Fig. 3 con Fig. 2, se puede señalar con seguridad que el método A y el método B lleva cualitativamente los mismos resultados. Cualquiera de los dos métodos, si â € TM VT â € € es calculado por integración directa o está simplificada por aproximación de alta temperatura, y si la las partículas participantes en el nivel de un bucle son algo exhaustivas o selectivas, nosotros encontrar que el MSSM con y adicional U(1)′ permite la fase electrodébil de primer orden transiciones para cierta región en su espacio de parámetros. Repetimos el análisis numérico variando los valores de los parámetros. y algunos de los los resultados se enumeran en la Tabla 2. Como en el cuadro 1, tan β = 3, s(0) = 500 GeV, y T = 100 El GeV es fijo, mientras que el ♥ y el mA son variados. El conjunto de números en la última fila de la tabla 2 es el resultado numérico de la Fig. 3. Al comparar el cuadro 2 con el cuadro 1, se puede observar que los números son ligeramente diferentes entre sí pero el comportamiento general de los dos tablas es exactamente lo mismo. IV. DEBATE Y CONCLUSIONES Investigamos el MSSM con un U(1)′ adicional si pudiera acomodar fuertemente primero- ordenar transiciones de fase electrodébil para proporcionar suficiente asimetría bariónica, para una masas de bosones escalares de Higgs. Para ello, necesitamos la parte dependiente de la temperatura de el potencial de Higgs en el nivel de un bucle. Explícitamente, su expresión se obtiene por dos métodos complementarios: método A emplea la aproximación de alta temperatura y retiene sólo los términos T 2 más dominantes, y tiene en cuenta los efectos térmicos en el nivel de bucle de varias partículas participantes. Por otro lado, el método B realiza integraciones numéricas, y los efectos térmicos de los quarks superiores, inferiores y exóticos y Los squarks se contabilizan. Ambos métodos nos llevan esencialmente a la misma conclusión: el primer orden transición de fase electrodébil es posible en el MSSM con una U(1)′ adicional, para una amplia región en su espacio de parámetros. Las masas de los bosones escalares de Higgs se obtienen dentro rangos razonablemente aceptables. En consecuencia, podemos esperar que el MSSM con un extra U(1)′ puede explicar la asimetría bariónica del universo. Observamos que el MSSM con un adicional U(1)′ exhibe un comportamiento interesante con respeto a la correlación entre la fuerza de la transición de fase y el Higgs Masas de bosón. El MSSM con un U(1)′ adicional es opuesto al SM o al MSSM en el sentido de que la masa del bosón de Higgs escalar más ligero aumenta cuando la fuerza de la transición de fase electrodébil de primer orden se hace más fuerte. En el SM, su bosón único de Higgs tiene una masa más grande cuando la fuerza del electrodebil de primer orden disminución de la transición de fase. En el MSSM, también tenemos una masa más grande para el más ligero de sus dos bosones escalares Higgs cuando la transición de fase se debilita. AGRADECIMIENTOS Esta investigación cuenta con el apoyo de KOSEF a través de CHEP. Los autores desean: agradecer el apoyo de KISTI (Instituto Coreano de Ciencia y Tecnología ) bajo “El Programa Estratégico de Apoyo a la Supercomputación” con el Dr. Kihyeon Cho como soporte técnico. El uso del sistema informático de la Supercomputación El centro también es muy apreciado. [1] A.D. Sakharov, JETP Lett. 5, 24 (1967). [2] V.A. Kuzmin, V.A. Rubakov, y M.E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 155, 36 (1985); M.E. Shaposhnikov, JETP Lett. 44, 465 (1986); Nucl. Phys. B 287, 757 (1987); Nucl. Phys. B 299, 797 (1988); L. McLerran, Phys. Rev. Lett. 62, 1075 (1989); N. Turok y J. Zadrozny, Phys. Rev. Lett. 65, 2331 (1990); Nucl. Phys. B 358, 471 (1991); L. McLerran, M.E. Shaposhnikov, N. Turok, y M. Voloshin, Phys. Lett. B 256, 451 (1991); M. Dine, P. Huet, R. S. Singleton Jr., y L. Susskind, Phys. Lett. B 257, 351 (1991); A. I. Bochkarev, S. V. Kuzmin, y M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 244, 257 (1990); Mod. Phys. Lett. A 2, 417 (1987); P. Arnold y O. Espinosa, Phys. Rev. D 47, 3546 (1993); Z. Fodor y A. Hebecker, Nucl. Phys. B 432, 127 (1994); K. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, y M. Shaposhnikov, Phys. Rev. Lett. 77, 2887 (1996); A. G. Cohen, D. B. Kaplan, y A. E. 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Los valores de Q1 y Q2 en el punto de marcado cruzado son (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. En nuestras discusiones, Elegimos este punto. FIG. 2. : La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), obtenido por el método A. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad la temperatura crítica Tc. Note dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2): (0, 0) donde la fase del estado es simétrica, y (275, 640) GeV, donde la fase del estado está roto. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia entre los dos mínimos es vc = 696 GeV, lo que indica que la la fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte (vc/Tc > 1). Las masas de los tres Los bosones escalares de Higgs se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 FIG. 3. : La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en (v1, v2)-plano, ob- en el método B................................................................................................................................................. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y Tc = 100 GeV. Las coordenadas de dos mínimos son: (0, 0) y (165, 440) GeV. La distancia entre los dos mínimos es vc = 470 GeV, por lo tanto la transición de fase electrodébil entre los dos mínimos es fuertemente de primer orden. Las masas de los tres bosones escalares Higgs se obtienen como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 FIG. 1: El área permitida en el (Q1, Q2)-plano. Para tanβ = 3 y s(T = 0) = 500 GeV, el área pequeña cerca del punto (Q1, Q2) = (-1, 0) y la esquina superior derecha son los zonas permitidas, mientras que la región incubada es la zona excluida. Hay dos específicos puntos marcados por una estrella (*) y una cruz (+). Los valores de Q1 y Q2 en la estrella marcada punto corresponden a la v-modelo de las realizaciones de grupos de calibre E6. Los valores de Q1 y Q2 en el punto de marcado cruzado son (Q1, Q2) = (-1, -0.1), y por lo tanto Q3 = 1.1. En nuestras discusiones, Elegimos este punto. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 V1 (GeV) V2 (GeV) FIG. 2: La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2), obtenido por el método A. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1830 GeV, y la temperatura se establece como T = 100 GeV, que es en realidad la temperatura crítica Tc. Note dos mínimos distintos de V (v1, v2, T) en el plano (v1, v2): (0, 0) donde la fase del estado es simétrica, y (275, 640) GeV, donde la fase del estado está roto. La transición de fase electrodébil puede tener lugar de (0, 0) a (275, 640) GeV en el (v1, v2)-plano, que es evidentemente discontinuo y por lo tanto es En primer lugar. La distancia entre los dos mínimos es vc = 696 GeV, lo que indica que la la fuerza de la transición de la fase de primer orden es fuerte (vc/Tc > 1). Las masas de los tres Los bosones escalares de Higgs se obtienen como mS1 = 56 GeV, mS2 = 807 GeV, y mS3 = 1827 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 V1 (GeV) V2 (GeV) FIG. 3: La trama de los contornos equipotenciales de V (v1, v2, T) en (v1, v2)-plano, obtenido por el método B. Los valores del parámetro se establecen como tan β = 3,  = 0,8, s(0) = 500 GeV, mA = 1780 GeV, y Tc = 100 GeV. Las coordenadas de dos mínimos son: (0, 0) y (165, 440) GeV. La distancia entre los dos mínimos es vc = 470 GeV, por lo que la fase electrodébil la transición entre los dos mínimos es fuertemente de primer orden. Las masas de los tres escalares Los bosones de Higgs se obtienen como mS1 = 82 GeV, mS2 = 804 GeV, y mS3 = 1777 GeV. INTRODUCCIÓN CERO TEMPERATURA TEMPERATURA FINAL Método A Método B DEBATE Y CONCLUSIONES

Solutions of fractional reaction-diffusion equations in terms of the H-function

arXiv:0704.0329v2 [math.PR] 7 Aug 2007 SOLUCIONES DE LA DIFUSIÓN DE LA REACCIÓN FRACCIONAL EQUACIONES EN LOS TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN H H.J. HAUBOLD Oficina de Asuntos del Espacio Ultraterrestre, Naciones Unidas, Centro Internacional de Viena P.O. Box 500, A-1400, Viena, Austria y Centro de Ciencias Matemáticas, Campus Pala Arunapuram P.O., Pala-686 574, Kerala, India A.M. MATHAI Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad McGill Montreal, Canadá H3A 2K6 y Centro de Ciencias Matemáticas, Campus Pala Arunapuram P.O., Pala-686 574, Kerala, India R.K. SAXENA Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Jai Narain Vyas Jodhpur-342004, India Resumen. El presente documento trata de la investigación de la solución de una ecuación fraccionaria reacción-difusión asociada con el derivado de Caputo como el derivado del tiempo y Riesz-Feller derivado fraccionario como el derivado del espacio. La solución se deriva de la aplicación de la transformada Laplace y Fourier en forma cerrada en términos de la función H. Los resultados obtenidos son de carácter general. la naturaleza e incluir los resultados investigados anteriormente por muchos autores, en particular por Mainardi y otros (2001, 2005) para la solución fundamental del espacio-tiempo ecuación de difusión fraccional, y Saxena et al. (2006a, b) para la reacción fraccional- Ecuaciones de difusión. La ventaja de utilizar Riesz-Feller derivado se encuentra en el hecho de que la solución de la ecuación de reacción-difusión fraccionaria que contiene este derivado incluye la solución fundamental para la difusión fraccional espacio-tiempo, que en sí es una generalización de la difusión fraccional neutral, espacio-fraccional difusión, y la difusión tiempo-fraccional. Estos tipos especializados de difusión pueden ser interpretados como funciones de densidad de probabilidad espacial que evolucionan en el tiempo y son expresable en términos de las funciones H en forma compacta. 1 Introducción La revisión de la teoría y las aplicaciones de los sistemas de reacción-difusión es en muchos libros y artículos. En trabajos recientes los autores han demostrado la profundidad de las matemáticas y cuestiones físicas relacionadas de la reacción-difusión equa- ciones como fenómenos no lineales, disipantes estacionarios y espacio-temporales formación de patrones, oscilaciones, ondas, etc. (Frank, 2005; Grafiychuk, Datsko, http://arxiv.org/abs/0704.0329v2 y Meleshko, 2006, 20076). En los últimos tiempos, el interés en la reacción fraccional las ecuaciones de difusión han aumentado porque la ecuación exhibe auto-organización e introduce un nuevo parámetro, el índice fraccionario, en el equa- tion. Además, el análisis de las ecuaciones de reacción fraccional-difusión es de gran interés desde el punto de vista analítico y numérico. El objetivo de este trabajo es derivar la solución de un modelo unificado de sistema de reacción-difusión (14), asociado con el derivado de Caputo y el Riesz-Feller derivado. Este nuevo modelo proporciona la extensión de los modelos Debatidos anteriormente por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001), Mainardi, Pagnini, Saxena (2005), Saxena, Mathai y Haubold (2006a). El presente estudio está en la continuación de nuestro trabajo anterior, Haubold y Mathai (1995, 2000) y Saxena, Mathai y Haubold (2006a, 2006b). 2 Resultados Requeridos en la Secuela A la vista de los resultados J−1/2(x) = Cosx. 1).......................................................................................................................................................... y (Mathai y Saxena, 1978, p. 49), la transformación coseno de la función H es dada por t1cos(kt)Hm,np,q (ap,Ap) (bq,Bq) dt (2) n+1,m q+1,p+2 (1-bq,Bq),( (l,μ),(1-ap,ap),( , (3) en los que Re[ + μmin1≤j≤m( )] > 0, Re[ μmax1≤j≤n ] < 0, arg < 1 , ♥ > k > 0 y  = j=1 Bj − j=m+1 Bj + j=1 Aj − j=n+1 Aj. La integral fraccionaria de orden de Riemann-Liouville se define por (Miller y Ross, 1993, pág. 45; Kilbas et al., 2006) t N(x, t) = (t − u)1N(x, u)du, (4) donde Re( v) > 0. El siguiente derivado fraccional del orden α > 0 es introducido por Caputo (1969; véase también Kilbas et al., 2006) en la forma t f(x, t) = (m − α) f (m) (x) (l) (d) (m) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , m − 1 < α ≤ m, Re(α) > 0, m + N. mf(x, t) , si α = m. (5) donde ♥ f(x, t) es el derivado parcial mth de f(x,t) con respecto a t. La transformación Laplace del derivado Caputo es dada por Caputo (1969; Véase también Kilbas et al., 2006) en la forma L {0D t f(x, t); s} = s αF (x, s)− sr−1f (r)(x, 0+), (m− 1 < α ≤ m). 6) Siguiendo a Feller (1952, 1971), es convencional definir el Riesz-Feller derivado espacio-fraccional de orden α y sesgo فارسى en términos de su Fourier transformar como F {xD * f(x); k} = α(k)f *(k), (7) donde (k) = k αexp[i(signk) , 0 < α ≤ 2, ≤ min â ¬, 2 − . (8) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • F {xD 0 f(x); k} = k α, (9) que es la transformación de Fourier del operador fraccionario de Weyl, definido por xf(t) = (n − μ) f(u)du (t − u)n+1 . (10) Esto muestra que el operador Riesz-Feller puede ser considerado como una generalización del operador de Weyl. Además, cuando فارسى = 0, tenemos un operador simétrico con respecto a x que puede interpretarse como 0 = − Esto se puede deducir formalmente escribiendo −(k)α = −(k2)α/2. Para 0 < α < 2 y El derivado Riesz-Feller puede ser mostrado para poseer el siguiente representación integral en el dominio x: F(x) = *(1 + α) sin[(α + f(x + ) − f(x) + sin[(α − f(x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . (12) Por último, necesitamos la siguiente propiedad de la función H (Mathai y Sax- ena, 1978) Hm,np,q (ap,ap) (bq,Bq) Hm,np,q (ap,Ap/l) (bq,Bq/ , (­ > 0)............................................................................ (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. 3 Reacción fraccional unificada-difusión Ecua- En esta sección, vamos a investigar la solución de la ecuación reacción-difusión (14) en las condiciones iniciales (15). El resultado se da en la forma de la a continuación Teorema. Considere el modelo unificado de reacción fraccional-difusión t N(x, t) = ηxD N(x, t) + Φ(x, t), (14) donde η, t > 0, x â r; α, ¬, β son parámetros reales con las restricciones 0 < α ≤ 2, ≤ min(α, 2 − α), 0 < β ≤ 2, y las condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), Nt(x, 0) = g(x) ); x N(x, t) = 0, t > 0. (15) Aquí Nt(x, 0) significa la primera derivada parcial de N(x, t) con respecto a t evaluado en t = 0, η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente al área de reacción-difusión. Más xD Es el Riesz-Feller. derivado espacio-fraccional de orden α y asimetría ♥. 0D t es el Caputo derivado tiempo-fraccional del orden β. Entonces para la solución de (14), sujeto a las limitaciones anteriores, allí tiene la fórmula N(x, t) = f*(k)Eβ,1(t) (k))exp(−ikx)dk (16) tg*(k)Eβ,2(k) αt(k))exp(−ikx)dk 1d (k, t −)Eβ,β(k αt(k))exp(−ikx)dk. En la ecuación (16) y la siguiente, Eα,β(z) denota el Mittag generalizado- Función de Leffler (Saxena, Mathai y Haubold, 2004; Berberan-Santos, 2005; Chamati y Tonchev, 2006). Prueba. Si aplicamos la transformada de Laplace con respecto a la variable de tiempo t, Fourier transformar con respecto a la variable de espacio x, y utilizar las condiciones iniciales (15) y la fórmula (7), entonces la ecuación dada se transforma en la forma *(k, s) − s1f*(k) − s2g*(k) = (k)N (k, s) + Φ •(k, s), donde de acuerdo con las convenciones seguidas, el símbolo representará el Laplace transformar con respecto a la variable de tiempo t y * representa el Fourier transformar con respecto a la variable de espacio x. Resolviendo para N ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ (k, s) = f*(k)s1 sβ + (k) g*(k)s2 sβ + (k) sβ + (k) . (17) Al tomar la transformada inversa de Laplace (17) y aplicar la fórmula a + sα = tEα,1(− en α), (18) donde Re(s) > 0, Re(α) > 0, Re(α − β) > −1; se observa que N*(k, t) = f*(k)Eβ,1(t (k)) + g *(k)tEβ,2(t (k)) (k, t- )1Eβ,β() α(k) β)d®. (19) La solución requerida (16) se obtiene ahora tomando el transverso de Fourier forma de (19). Esto completa la prueba del teorema. 4 Casos especiales Cuando g(x) = 0, entonces por la aplicación del teorema de convolución de la Fourier transformar a la solución (16) del teorema, se rinde fácilmente Corollario 1. La solución de la ecuación de reacción-difusión fraccionada N(x, t) − η N(x, t) = Φ(x, t), x • R, t > 0, η > 0, (20) con condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), Nt(x, 0) = 0 para x + R, 1 < β ≤ 2, x N(x, t) = 0, (21) donde η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente a el área de la reacción-difusión, está dada por N(x, t) = G1(x − (t − ) 1d G2(x − donde α −  G1(x, t) = exp(−ikx)Eβ,1(t β (k))dk (23) η1/αtβ/α (1,1/α),(β,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, , (α > 0) G2(x, t) = exp(−ikx)Eβ,β(t (k))dk η1/αtβ/α (1,1/α),(β,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, , (α > 0). (24) En la obtención de los resultados anteriores, hemos utilizado la fórmula inversa de transformación de Fourier F−1[Eβ,γ(t (k)); x] = 3,3 [ η1αtβ/α (1,1/α),(γ,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, ], (25) donde Re(β) > 0, Re(γ) > 0, que puede establecerse mediante un procedimiento similar a la empleada por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001). Siguiente, si se establece f(x) = ♥(x), Φ = 0, g(x) = 0, donde ♥(x) es la función delta de Dirac, luego llegamos al siguiente interesante resultado dado por Mainardi, Pagnini, y Saxena (2005). Corollario 2. Considere el siguiente modelo de difusión fraccional espacio-tiempo N(x, t) = η xD N(x, t), η > 0, x.» R, 0 < β ≤ 2, (26) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), Nt(x, 0) = 0, x N(x, t) = 0 donde η es una constante de difusión y (x) es la función delta de Dirac. Entonces para la solución fundamental de (26) con las condiciones iniciales, se sostiene la fórmula N(x, t) = 3.3 [ (ηtβ)1/α (1,1/α),(1,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, ], (27) en la que ♥ = A continuación se enumeran algunos casos especiales interesantes (26). (i) Observamos que para α = β, Mainardi, Pagnini y Saxena (2005) han muestra que la solución correspondiente de (26), denotado por N, que llamamos como la difusión fraccional neutra, puede expresarse en términos de función elemental y se puede definir para x > 0 como Difusión fraccional neutral: 0 < α = β < 2; N(x) = x1sin[( 1 + 2xαcos[( . (28) La difusión fraccional neutra no se estudia extensamente en la literatura. A continuación derivamos algunas densidades estables en términos de las funciones H como especiales casos de la solución de la ecuación (26) ii) Si fijamos β = 1, 0 < α < 2; ecuación de difusión fraccional, que denotamos por L(x) es la fundamental solución del siguiente modelo de difusión fraccional espacio-tiempo: N(x, t) = η xD N(x, t), η > 0, x • R, (29) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), limxN(x, t) = 0, donde η es a la constante de difusión y Ł(x) es la función Dirac-delta. Por lo tanto, para la solución de (29) allí sostiene la fórmula L(x) = α(ηt)1/α (ηt)1/α (1,1),(l,l) ), (l), (l), (l) , 0 < α < 1, ≤ α, (30) en la que ♥ = . La densidad representada por la expresión anterior se conoce como Densidad α-estable de Lévy. Otra forma de esta densidad es dada por L(x) = α(ηt)1/α (ηt)1/α (1-1) ),(1,l) (0,1),(1,l) , 1 < α < 2, ≤ 2 − α, (iii) A continuación, si tomamos α = 2, 0 < β < 2, ♥ = 0, entonces obtenemos el tiempo difusión fraccional, que se rige por la siguiente difusión fraccional en el tiempo modelo: N(x, t) N(x, t), η > 0, x + R, 0 < β ≤ 2, (32) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), Nt(x, 0) = 0, x N(x, t) = 0 donde η es una constante de difusión y (x) es la función delta de Dirac, solución fundamental es dada por la ecuación N(x, t) = (ηtβ)1/2 (1,β/2) (1,1) . 33) (iv) Además, si fijamos α = 2, β = 1 y ♥ → 0 entonces para el fundamental solución de la ecuación de difusión estándar N(x, t) = η N(x, t), (34) con la condición inicial N(x, t = 0) = (x), limxN(x, t) = 0, (35) allí sostiene la fórmula N(x, t) = η1/2t1/2 (1,1/2) (1,1) = (4t)−1/2exp[− ], (36) que es la densidad clásica gaussiana. Para más detalles sobre estos casos especiales basado en la función verde, se puede hacer referencia al documento de Mainardi, Luchko, y Pagnini (2001) y Mainardi, Pagnini y Saxena (2005). Observación. Momentos de orden fraccional y la expansión asintótica del solu- sión (27) son discutidos por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001). Finalmente, para β = 1/2 en (14), llegamos a Corollario 3. Considere el siguiente modelo fraccionario de reacción-difusión t N(x, t) = ηxD N(x, t) + Φ(x, t), (37) donde η, t > 0, x â € R; α, â € son parámetros reales con las restricciones 0 < α ≤ 2, ≤ min(α, 2 − α), y las condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), para x â € R, limxN(x, t) = 0. 38) Aquí η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente a el área de reacción-difusión. Más xD El Riesz-Feller es el fraccionario del espacio derivado del orden α y la asimetría فارسى y D t es el tiempo fraccional de Caputo derivado del orden 1/2. Entonces para la solución de (37), sujeto a lo anterior limitaciones, allí sostiene la fórmula N(x, t) = f*(k)E1/2,1(t) (k))exp(−ikx)dk (39) 1/2d (kct − )E 1 (kαt1.2(k))exp(−ikx)dk. Si establecemos el valor de 0 en (39), entonces se reduce al resultado obtenido recientemente por la autores (2006a) para la ecuación de reacción fraccional-difusión. 5 Referencias Berberan-Santos, M.N. (2005). Propiedades de la función de relajación Mittag-Leffler- tion, Journal of Mathematical Chemistry, 38, 629-635. Caputo, M. (1969). Elastita e Dissipazione, Zanichelli, Bologna. Chamati, H. y Tonchev, N.S. (2006). Funciones Mittag-Leffler generalizadas en la teoría del escalado de tamaño finito para sistemas con fuerte anisotropía y/o Interacción de largo alcance, Revista de Física A: Matemática y General, 39, 469-478. Feller, W. (1952). En una generalización de los potenciales de Marcel Riesz y el semi-grupos generados por ellos, Meddeladen Lund Universitets Matematiska Seminario (Comm. Sém. Mathém. Université de Lund ), Tome suppl. dedié a M. Riesz, Lund, 73-81. Feller, W. (1966). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. II, John Wiley e Hijos, Nueva York. Frank, T.D. (2005). Ecuaciones Fokker-Planck no lineales: Fundamentos y Aplicaciones, Springer, Berlín Heidelberg Nueva York. Grafiychuk, V., Datsko, B., y Meleshko, V. (2006). Modelo matemático... la formación de patrones en sistemas de difusión de reacciones subdifusivas y superdifusivas, arXiv:nlin.AO/06110005 v3. Grafiychuk, V., Datsko, B., y Meleshko, V. (2007). Oscilaciones no lineales y dominios de estabilidad en sistemas fraccionarios de reacción-difusión, arXiv:nlin.PS/0702013 Haubold, H.J. y Mathai, A.M. (2000). La ecuación cinética fraccional y funciones termonucleares, Astrofísica y Ciencias Espaciales, 273, 53-63. Haubold, H.J. y Mathai, A.M. (1995). Una observación heurística sobre el periódico variación en el número de neutrinos solares detectados en la Tierra, Astrofísica y Ciencias espaciales, 228, 113-124. Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., y Trujillo, J.J. (2006). Teoría y aplicación ciones de ecuaciones diferenciales fraccionales, Elsevier, Amsterdam. Mainardi, F., Luchko, Y., y Pagnini, G. (2001). La solución fundamental de la ecuación de difusión fraccional espacio-tiempo, cálculo fraccional y aplicado Análisis. 4, 153-192. Mainardi, F., Pagnini, G. y Saxena, R.K. (2005). Fox H-funciones en frac- difusión nacional, Revista de Matemáticas Computacionales y Aplicadas 178, 321- Mathai, A.M. y Saxena, R.K. (1978). La función H con aplicaciones en Estadísticas y otras disciplinas, John Wiley e Hijos, Nueva York, Londres, y Sydney. Miller, K.S. y Ross, B. (1993). Introducción al cálculo fraccional y Ecuaciones Diferenciales Fraccionales, John Wiley e Hijos, Nueva York. Saxena, R.K., Mathai, A.M., y Haubold, H.J. (2004). Sobre cinética fraccional Ecuaciones, Astrofísica y Ciencia Espacial, 282, 281-287. Saxena, R.K., Mathai, A.M., y Haubold, H.J. (2006a). Reacción fraccional... Ecuaciones de difusión, Astrofísica y Ciencia Espacial, 305, 289-296. Saxena, R.K., Mathai, A.M., y Haubold, H.J. (2006b). Difusión por reacción sistemas y ondas no lineales, Astrofísica y Ciencia Espacial, 305, 297-303. Yu, R. y Zhang, H. (2006). Nueva función del tipo Mittag-Leffler y su ap- aplicación en la ecuación fraccional de la onda de difusión, Caos, Solitons y Fractales 30, 946-955.

El presente documento trata de la investigación de la solución de una ecuación fraccionaria reacción-difusión asociada con el derivado de Caputo como el derivado tiempo-derivado y Riesz-Feller derivado fraccionario como el espacio-derivado. La solución se deriva de la aplicación de la Laplace y Fourier se transforma en forma cerrada en términos de la función H. Resultados derivados son de carácter general e incluyen los resultados investigados anteriormente por muchos autores, en particular por Mainardi et al. (2001, 2005) para el desarrollo solución de la ecuación de difusión fraccional espacio-tiempo, y Saxena et al. (2006a, b) para las ecuaciones de difusión de reacciones fraccionarias. La ventaja de usar Riesz-Feller derivado yace en el hecho de que la solución de la fracción Ecuación reacción-difusión que contiene este derivado incluye el fundamental solución para la difusión fraccional espacio-tiempo, que en sí es una generalización de difusión fraccional neutra, difusión fraccional espacial, y difusión tiempo-fraccional. Estos tipos especializados de difusión pueden ser interpretados como funciones de densidad de probabilidad espacial que evolucionan en el tiempo y son expresable en términos de las funciones H en forma compacta.

Introducción La revisión de la teoría y las aplicaciones de los sistemas de reacción-difusión es en muchos libros y artículos. En trabajos recientes los autores han demostrado la profundidad de las matemáticas y cuestiones físicas relacionadas de la reacción-difusión equa- ciones como fenómenos no lineales, disipantes estacionarios y espacio-temporales formación de patrones, oscilaciones, ondas, etc. (Frank, 2005; Grafiychuk, Datsko, http://arxiv.org/abs/0704.0329v2 y Meleshko, 2006, 20076). En los últimos tiempos, el interés en la reacción fraccional las ecuaciones de difusión han aumentado porque la ecuación exhibe auto-organización e introduce un nuevo parámetro, el índice fraccionario, en el equa- tion. Además, el análisis de las ecuaciones de reacción fraccional-difusión es de gran interés desde el punto de vista analítico y numérico. El objetivo de este trabajo es derivar la solución de un modelo unificado de sistema de reacción-difusión (14), asociado con el derivado de Caputo y el Riesz-Feller derivado. Este nuevo modelo proporciona la extensión de los modelos Debatidos anteriormente por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001), Mainardi, Pagnini, Saxena (2005), Saxena, Mathai y Haubold (2006a). El presente estudio está en la continuación de nuestro trabajo anterior, Haubold y Mathai (1995, 2000) y Saxena, Mathai y Haubold (2006a, 2006b). 2 Resultados Requeridos en la Secuela A la vista de los resultados J−1/2(x) = Cosx. 1).......................................................................................................................................................... y (Mathai y Saxena, 1978, p. 49), la transformación coseno de la función H es dada por t1cos(kt)Hm,np,q (ap,Ap) (bq,Bq) dt (2) n+1,m q+1,p+2 (1-bq,Bq),( (l,μ),(1-ap,ap),( , (3) en los que Re[ + μmin1≤j≤m( )] > 0, Re[ μmax1≤j≤n ] < 0, arg < 1 , ♥ > k > 0 y  = j=1 Bj − j=m+1 Bj + j=1 Aj − j=n+1 Aj. La integral fraccionaria de orden de Riemann-Liouville se define por (Miller y Ross, 1993, pág. 45; Kilbas et al., 2006) t N(x, t) = (t − u)1N(x, u)du, (4) donde Re( v) > 0. El siguiente derivado fraccional del orden α > 0 es introducido por Caputo (1969; véase también Kilbas et al., 2006) en la forma t f(x, t) = (m − α) f (m) (x) (l) (d) (m) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (t • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , m − 1 < α ≤ m, Re(α) > 0, m + N. mf(x, t) , si α = m. (5) donde ♥ f(x, t) es el derivado parcial mth de f(x,t) con respecto a t. La transformación Laplace del derivado Caputo es dada por Caputo (1969; Véase también Kilbas et al., 2006) en la forma L {0D t f(x, t); s} = s αF (x, s)− sr−1f (r)(x, 0+), (m− 1 < α ≤ m). 6) Siguiendo a Feller (1952, 1971), es convencional definir el Riesz-Feller derivado espacio-fraccional de orden α y sesgo فارسى en términos de su Fourier transformar como F {xD * f(x); k} = α(k)f *(k), (7) donde (k) = k αexp[i(signk) , 0 < α ≤ 2, ≤ min â ¬, 2 − . (8) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • F {xD 0 f(x); k} = k α, (9) que es la transformación de Fourier del operador fraccionario de Weyl, definido por xf(t) = (n − μ) f(u)du (t − u)n+1 . (10) Esto muestra que el operador Riesz-Feller puede ser considerado como una generalización del operador de Weyl. Además, cuando فارسى = 0, tenemos un operador simétrico con respecto a x que puede interpretarse como 0 = − Esto se puede deducir formalmente escribiendo −(k)α = −(k2)α/2. Para 0 < α < 2 y El derivado Riesz-Feller puede ser mostrado para poseer el siguiente representación integral en el dominio x: F(x) = *(1 + α) sin[(α + f(x + ) − f(x) + sin[(α − f(x) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . (12) Por último, necesitamos la siguiente propiedad de la función H (Mathai y Sax- ena, 1978) Hm,np,q (ap,ap) (bq,Bq) Hm,np,q (ap,Ap/l) (bq,Bq/ , (­ > 0)............................................................................ (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. 3 Reacción fraccional unificada-difusión Ecua- En esta sección, vamos a investigar la solución de la ecuación reacción-difusión (14) en las condiciones iniciales (15). El resultado se da en la forma de la a continuación Teorema. Considere el modelo unificado de reacción fraccional-difusión t N(x, t) = ηxD N(x, t) + Φ(x, t), (14) donde η, t > 0, x â r; α, ¬, β son parámetros reales con las restricciones 0 < α ≤ 2, ≤ min(α, 2 − α), 0 < β ≤ 2, y las condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), Nt(x, 0) = g(x) ); x N(x, t) = 0, t > 0. (15) Aquí Nt(x, 0) significa la primera derivada parcial de N(x, t) con respecto a t evaluado en t = 0, η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente al área de reacción-difusión. Más xD Es el Riesz-Feller. derivado espacio-fraccional de orden α y asimetría ♥. 0D t es el Caputo derivado tiempo-fraccional del orden β. Entonces para la solución de (14), sujeto a las limitaciones anteriores, allí tiene la fórmula N(x, t) = f*(k)Eβ,1(t) (k))exp(−ikx)dk (16) tg*(k)Eβ,2(k) αt(k))exp(−ikx)dk 1d (k, t −)Eβ,β(k αt(k))exp(−ikx)dk. En la ecuación (16) y la siguiente, Eα,β(z) denota el Mittag generalizado- Función de Leffler (Saxena, Mathai y Haubold, 2004; Berberan-Santos, 2005; Chamati y Tonchev, 2006). Prueba. Si aplicamos la transformada de Laplace con respecto a la variable de tiempo t, Fourier transformar con respecto a la variable de espacio x, y utilizar las condiciones iniciales (15) y la fórmula (7), entonces la ecuación dada se transforma en la forma *(k, s) − s1f*(k) − s2g*(k) = (k)N (k, s) + Φ •(k, s), donde de acuerdo con las convenciones seguidas, el símbolo representará el Laplace transformar con respecto a la variable de tiempo t y * representa el Fourier transformar con respecto a la variable de espacio x. Resolviendo para N ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ (k, s) = f*(k)s1 sβ + (k) g*(k)s2 sβ + (k) sβ + (k) . (17) Al tomar la transformada inversa de Laplace (17) y aplicar la fórmula a + sα = tEα,1(− en α), (18) donde Re(s) > 0, Re(α) > 0, Re(α − β) > −1; se observa que N*(k, t) = f*(k)Eβ,1(t (k)) + g *(k)tEβ,2(t (k)) (k, t- )1Eβ,β() α(k) β)d®. (19) La solución requerida (16) se obtiene ahora tomando el transverso de Fourier forma de (19). Esto completa la prueba del teorema. 4 Casos especiales Cuando g(x) = 0, entonces por la aplicación del teorema de convolución de la Fourier transformar a la solución (16) del teorema, se rinde fácilmente Corollario 1. La solución de la ecuación de reacción-difusión fraccionada N(x, t) − η N(x, t) = Φ(x, t), x • R, t > 0, η > 0, (20) con condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), Nt(x, 0) = 0 para x + R, 1 < β ≤ 2, x N(x, t) = 0, (21) donde η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente a el área de la reacción-difusión, está dada por N(x, t) = G1(x − (t − ) 1d G2(x − donde α −  G1(x, t) = exp(−ikx)Eβ,1(t β (k))dk (23) η1/αtβ/α (1,1/α),(β,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, , (α > 0) G2(x, t) = exp(−ikx)Eβ,β(t (k))dk η1/αtβ/α (1,1/α),(β,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, , (α > 0). (24) En la obtención de los resultados anteriores, hemos utilizado la fórmula inversa de transformación de Fourier F−1[Eβ,γ(t (k)); x] = 3,3 [ η1αtβ/α (1,1/α),(γ,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, ], (25) donde Re(β) > 0, Re(γ) > 0, que puede establecerse mediante un procedimiento similar a la empleada por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001). Siguiente, si se establece f(x) = ♥(x), Φ = 0, g(x) = 0, donde ♥(x) es la función delta de Dirac, luego llegamos al siguiente interesante resultado dado por Mainardi, Pagnini, y Saxena (2005). Corollario 2. Considere el siguiente modelo de difusión fraccional espacio-tiempo N(x, t) = η xD N(x, t), η > 0, x.» R, 0 < β ≤ 2, (26) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), Nt(x, 0) = 0, x N(x, t) = 0 donde η es una constante de difusión y (x) es la función delta de Dirac. Entonces para la solución fundamental de (26) con las condiciones iniciales, se sostiene la fórmula N(x, t) = 3.3 [ (ηtβ)1/α (1,1/α),(1,β/α),(1, (1,1/α),(1,1),(1, ], (27) en la que ♥ = A continuación se enumeran algunos casos especiales interesantes (26). (i) Observamos que para α = β, Mainardi, Pagnini y Saxena (2005) han muestra que la solución correspondiente de (26), denotado por N, que llamamos como la difusión fraccional neutra, puede expresarse en términos de función elemental y se puede definir para x > 0 como Difusión fraccional neutral: 0 < α = β < 2; N(x) = x1sin[( 1 + 2xαcos[( . (28) La difusión fraccional neutra no se estudia extensamente en la literatura. A continuación derivamos algunas densidades estables en términos de las funciones H como especiales casos de la solución de la ecuación (26) ii) Si fijamos β = 1, 0 < α < 2; ecuación de difusión fraccional, que denotamos por L(x) es la fundamental solución del siguiente modelo de difusión fraccional espacio-tiempo: N(x, t) = η xD N(x, t), η > 0, x • R, (29) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), limxN(x, t) = 0, donde η es a la constante de difusión y Ł(x) es la función Dirac-delta. Por lo tanto, para la solución de (29) allí sostiene la fórmula L(x) = α(ηt)1/α (ηt)1/α (1,1),(l,l) ), (l), (l), (l) , 0 < α < 1, ≤ α, (30) en la que ♥ = . La densidad representada por la expresión anterior se conoce como Densidad α-estable de Lévy. Otra forma de esta densidad es dada por L(x) = α(ηt)1/α (ηt)1/α (1-1) ),(1,l) (0,1),(1,l) , 1 < α < 2, ≤ 2 − α, (iii) A continuación, si tomamos α = 2, 0 < β < 2, ♥ = 0, entonces obtenemos el tiempo difusión fraccional, que se rige por la siguiente difusión fraccional en el tiempo modelo: N(x, t) N(x, t), η > 0, x + R, 0 < β ≤ 2, (32) con las condiciones iniciales N(x, t = 0) = (x), Nt(x, 0) = 0, x N(x, t) = 0 donde η es una constante de difusión y (x) es la función delta de Dirac, solución fundamental es dada por la ecuación N(x, t) = (ηtβ)1/2 (1,β/2) (1,1) . 33) (iv) Además, si fijamos α = 2, β = 1 y ♥ → 0 entonces para el fundamental solución de la ecuación de difusión estándar N(x, t) = η N(x, t), (34) con la condición inicial N(x, t = 0) = (x), limxN(x, t) = 0, (35) allí sostiene la fórmula N(x, t) = η1/2t1/2 (1,1/2) (1,1) = (4t)−1/2exp[− ], (36) que es la densidad clásica gaussiana. Para más detalles sobre estos casos especiales basado en la función verde, se puede hacer referencia al documento de Mainardi, Luchko, y Pagnini (2001) y Mainardi, Pagnini y Saxena (2005). Observación. Momentos de orden fraccional y la expansión asintótica del solu- sión (27) son discutidos por Mainardi, Luchko y Pagnini (2001). Finalmente, para β = 1/2 en (14), llegamos a Corollario 3. Considere el siguiente modelo fraccionario de reacción-difusión t N(x, t) = ηxD N(x, t) + Φ(x, t), (37) donde η, t > 0, x â € R; α, â € son parámetros reales con las restricciones 0 < α ≤ 2, ≤ min(α, 2 − α), y las condiciones iniciales N(x, 0) = f(x), para x â € R, limxN(x, t) = 0. 38) Aquí η es una constante de difusión y Φ(x, t) es una función no lineal perteneciente a el área de reacción-difusión. Más xD El Riesz-Feller es el fraccionario del espacio derivado del orden α y la asimetría فارسى y D t es el tiempo fraccional de Caputo derivado del orden 1/2. Entonces para la solución de (37), sujeto a lo anterior limitaciones, allí sostiene la fórmula N(x, t) = f*(k)E1/2,1(t) (k))exp(−ikx)dk (39) 1/2d (kct − )E 1 (kαt1.2(k))exp(−ikx)dk. Si establecemos el valor de 0 en (39), entonces se reduce al resultado obtenido recientemente por la autores (2006a) para la ecuación de reacción fraccional-difusión. 5 Referencias Berberan-Santos, M.N. (2005). Propiedades de la función de relajación Mittag-Leffler- tion, Journal of Mathematical Chemistry, 38, 629-635. Caputo, M. (1969). Elastita e Dissipazione, Zanichelli, Bologna. Chamati, H. y Tonchev, N.S. (2006). Funciones Mittag-Leffler generalizadas en la teoría del escalado de tamaño finito para sistemas con fuerte anisotropía y/o Interacción de largo alcance, Revista de Física A: Matemática y General, 39, 469-478. Feller, W. (1952). En una generalización de los potenciales de Marcel Riesz y el semi-grupos generados por ellos, Meddeladen Lund Universitets Matematiska Seminario (Comm. Sém. Mathém. Université de Lund ), Tome suppl. dedié a M. Riesz, Lund, 73-81. Feller, W. (1966). Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. II, John Wiley e Hijos, Nueva York. Frank, T.D. (2005). Ecuaciones Fokker-Planck no lineales: Fundamentos y Aplicaciones, Springer, Berlín Heidelberg Nueva York. Grafiychuk, V., Datsko, B., y Meleshko, V. (2006). Modelo matemático... la formación de patrones en sistemas de difusión de reacciones subdifusivas y superdifusivas, arXiv:nlin.AO/06110005 v3. Grafiychuk, V., Datsko, B., y Meleshko, V. (2007). Oscilaciones no lineales y dominios de estabilidad en sistemas fraccionarios de reacción-difusión, arXiv:nlin.PS/0702013 Haubold, H.J. y Mathai, A.M. (2000). La ecuación cinética fraccional y funciones termonucleares, Astrofísica y Ciencias Espaciales, 273, 53-63. Haubold, H.J. y Mathai, A.M. (1995). 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Sobre cinética fraccional Ecuaciones, Astrofísica y Ciencia Espacial, 282, 281-287. Saxena, R.K., Mathai, A.M., y Haubold, H.J. (2006a). Reacción fraccional... Ecuaciones de difusión, Astrofísica y Ciencia Espacial, 305, 289-296. Saxena, R.K., Mathai, A.M., y Haubold, H.J. (2006b). Difusión por reacción sistemas y ondas no lineales, Astrofísica y Ciencia Espacial, 305, 297-303. Yu, R. y Zhang, H. (2006). Nueva función del tipo Mittag-Leffler y su ap- aplicación en la ecuación fraccional de la onda de difusión, Caos, Solitons y Fractales 30, 946-955.

Random Matrix Theory at Nonzero $\mu$ and $T$

Teoría Matriz Aleatoria en No Cero μ y T Kim Splittorff1,*) y Jacobus Johannes Maria Verbaarschot1,2,3 ) 1 Instituto Niels Bohr, Blegdamsvej 17, DK-2100, Copenhague Ø, Dinamarca 2 Academia Internacional Niels Bohr, Blegdamsvej 17, DK-2100, Copenhague Ø 3 Departamento de Física y Astronomía, SUNY, Stony Brook, Nueva York 11794 Revisamos las aplicaciones de la teoría de matriz aleatoria a QCD a temperatura no cero y potencial químico. Se discute la transición de la fase quiral de las teorías QCD y QCD en términos de valores propios del operador de Dirac. Se muestra que para QCD a μ 6= 0, que tiene un problema de signos, la discontinuidad en el condensado quiral se debe a una alternativa a la relación Banks-Casher. La gravedad del problema de los signos se analiza en el microscópico dominio de QCD. § 1. Introducción A partir de su introducción en la física nuclear por Wigner,1) matriz aleatoria teorías se han aplicado a una amplia gama de problemas que van desde la física de proteínas2) a la gravedad cuántica (véase 3), 4) para una revisión histórica). Tres razones para la ubicuidad de la teoría de matriz aleatoria viene a la mente. En primer lugar, los valores propios de los grandes- dom matrices tienen propiedades universales determinadas por las simetrías. En segundo lugar, al azar Las matrices son modelos para el desorden presente en muchos sistemas físicos. En tercer lugar, al azar las teorías de la matriz tienen una expansión topológica que es importante para las aplicaciones a teoría cuántica del campo. Una de las características atractivas de la teoría de matriz aleatoria es que se puede obtener información analítica para sistemas complejos que, de lo contrario, sólo puede ser estudiado experimental o numéricamente. En esta revisión discutimos las aplicaciones de la teoría de matriz aleatoria a QCD en temperatura no cero y potencial químico. Desde el parámetro de orden para el se determinan la transición de fase quiral5), 6) y la transición de fase desconfinante7), 8) por el comportamiento infrarrojo de los valores propios del operador Dirac, estos valores propios son esenciales para las transiciones de fase en QCD. Notablemente, la distribución de la Los valores propios más pequeños de Dirac se dan por funciones universales9–13) que dependen sólo de uno o dos parámetros, el condensado quiral y la constante decaimiento pion. Esto ofrece una forma alternativa de medir estas constantes en la celosía.14)-22) § 2. Teoría de matriz aleatoria en QCD La teoría de la matriz aleatoria quiral (chRMT) es una teoría con las simetrías globales de QCD, pero los elementos de matriz del operador de Dirac sustituidos por números aleatorios9), 10) iW † m , P (W ) e-NTrW †W. (2.1) *) dirección de correo electrónico: split@nbi.dk Dirección de correo electrónico: jacobus.verbaarschot@stonybrook.edu http://arxiv.org/abs/0704.0330v1 2 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Este modelo de matriz aleatoria tiene las simetrías globales y propiedades topológicas de QCD. Se está limitando en el sentido de que sólo los singlets de color tienen un no cero espera- ciones. Ahora se entiende bien que las fluctuaciones de los valores propios bajos de el operador de Dirac se describen por chRMT (véase 23)–28 para las conferencias y revisiones). Filósficamente, esto es importante debido a la comprensión de que el movimiento caótico dom- inatiza la dinámica de los quarks a baja energía. Prácticamente, esto es importante porque Podemos utilizar poderosas técnicas de matriz aleatoria para calcular observaciones físicas. La condición para la aplicabilidad de chRMT es que la longitud de onda de Compton de bosones Goldstone asociados con la escala de masa z de estos valores propios es mucho más grande que el tamaño de la caja. Con la masa cuadrada de la Goldstone asociada bosón dado por 2zŁ/F 2η, esta condición se lee #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #2 #2 #2 #2 #3 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #3 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #3 #3 #3 #2 # (2.2) La segunda condición es necesaria para factorizar la función de partición en un contribu- de los grados más ligeros de libertad y de todos los grados más pesados de libertad. Estos dos condiciones determinan el dominio microscópico de QCD. Subrayamos que z es una escala en el espectro de Dirac de modo que, para volúmenes suficientemente grandes, siempre tenemos eigenval- us en el dominio (2.2) donde los valores propios fluctúan de acuerdo con el chRMT. Esto puede ser se muestra rigurosamente de las siguientes dos observaciones.30), 31) En primer lugar, el infrarrojo Dirac El espectro sigue de un lagrangiano quiral (parcialmente apagado) determinado por el quiral simetría, y la desigualdad (2.2) es la condición para la factorización de la partición función en un factor que contiene los modos constantes y otro factor que contiene los modos de impulso distintos de cero. Segundo, el factor con los modos constantes es igual al gran límite N de la teoría de matriz aleatoria quiral. In32), 33) la condición (2.2) fue impuesta a las masas quark y era las bases para una expansión sistemática de la chiral Lagrangian conocida como la expansión. Una característica que subyace a las propiedades universales de los valores propios es que tienen cargos repulsivos confinados. Esto se deriva de la probabilidad conjunta distri- bution k<l( )2 exp(−N ). Se puede mostrar que los valores propios Las correlaciones en la escala micrsocópica son universales.34) La razón es espontánea la rotura de la simetría y una brecha de masa para que puedan ser descritos en términos de un Chiral Lagrangian. 2.1. Teoría de la matriz aleatoria quiral a μ 6= 0 y T 6= 0 Una temperatura no cero no cambia el comportamiento fluctuante del Dirac valores propios siempre que la simetría quiral permanezca rota. Sin embargo, una transición a una clase de universalidad diferente tiene lugar a la temperatura crítica. Una matriz aleatoria modelo que reproduce este comportamiento universal de QCD se obtiene reemplazando el elementos off-diagonales en (2.1) por35) iW → iW + t, iW † → iW † − t con t = diag(T, 2.3) Este modelo ha sido estudiado de forma detallada en la literatura (véase, por ejemplo, 35–40). Un potencial químico distinto de cero puede introducirse análogamente a la masa de quark. El requisito es que el pequeño comportamiento μ de la función de partición QCD debe Teoría de matriz aleatoria 3 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 2μ/mη m=0,10 m=0,05 m=0,01 Fig. 1. Resultados de celosía para Nc = 2 (tomados de 55)) y QCD apagado en fase con NC = 3 (tomado a partir de 56))) ser reproducido por la función de partición de matriz aleatoria. Esto se logró mediante la modificación 2.1) por 41) iW → iW + μ, iW † → iW † + μ, (2.4) resultando en un operador Dirac no hermitano con valores propios dispersos en el complejo avión. La prescripción (2.4) no es única. Un modelo de matriz aleatoria que ha tenido un el fuerte impacto en los últimos acontecimientos está definido por42) iW → iW + μH, iW † → iW † + μH con H† = H, (2.5) donde H se extrae de un conjunto gaussiano de matrices aleatorias. Este modelo está en la misma clase de universalidad que (2.4) pero es técnicamente más simple ya que se puede trabajar por medio del método polinomio ortogonal complejo.42)–46) Hay otros tipos de modelos de matriz aleatoria que se han aplicado a QCD. Por ejemplo, modelos con campos de ancho aleatorio como el modelo Eguchi-Kawai47) o su versión 2-dimensional.48) QCD en 1 dimensión49), 50) es un modelo de matriz aleatoria también, con valores propios de Dirac universalmente fluctuantes. También modelos con al azar Wilson loops51), 52) han atraído un interés significativo. § 3. Fases de QCD y RMT Las teorías de QCD con bosones Goldstone tienen un potencial químico crítico. tial igual a mη/2. Por lo tanto, la transición de fase a la fase condensada de Bose puede ser descrito completamente en términos de un lagragio chiral. En el nivel medio sobre el terreno53) los términos cinéticos de este chiral lagrangiano no contribuyen, por lo que estos resultados También se puede obtener de la teoría de matriz aleatoria quiral. De hecho, la parte estática de el chiral Lagrangian53), 54) F 2 2Tr[U,B][U †, B]− •Tr(MU +MU †). (3.1) También se puede obtener del gran límite N de los modelos (2.4) o (2.5). 4 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Punto tricritial 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Fig. 2. Diagrama de fase QCD en el espacio μTm (tomado de58)) In Fig. 1 se muestran resultados de celosía para QCD con Nc = 2 55) y apagado en fase QCD.56) Muestran un acuerdo impresionante con los resultados de (3.1) dado por las curvas sólidas en ambas figuras. 3.1. Diagrama esquemático de fase RMT No se puede analizar la transición de fase en QCD con Nc = 3 a μc = mN/3 por medio de chiral Lagrangians. Debido al problema de los signos, los estudios de celosía no son También es posible. En tal situación hay una larga tradición para analizar el mismo problema en una teoría mucho más simple con la esperanza de obtener al menos un entendimiento cualitativo del problema. Por ejemplo, un QCD dimensional,49), 50) o más recientemente, super La teoría de Yang-Mills y la dualidad de AdS-CFT,57) fueron exploradas como modelos de juguete para QCD. Usaremos la teoría de matriz aleatoria en T 6= 0 y μ 6= 0, introducida en (2.3) y (2.4) para obtener una comprensión cualitativa del diagrama de fase QCD. QCD de celosía simulaciones muestran que la transición de fase quiral a μ = 0 es de segundo orden o un Cruce empinado. En T = 0 esperamos una transición de fase de primer orden en μc = mN/3. Es natural que la primera línea de orden termina en un punto final crítico o se une a la segunda ordenar la línea crítica en el punto tricrítico (véase Fig. 3.1, izquierda). Esto es realmente lo que se observa en la teoría de matriz aleatoria58), 59) (ver Fig. 3.1, derecha). Una fase similar diagrama también se ha obtenido del modelo NJL.60)–62) Otro escenario que se descubrió en RMT es la división del primer orden línea en dos en el potencial químico de isospin no cero.63) Este comportamiento también se encontró en un modelo NJL64), 65), pero podría no ser estable frente a las interacciones de mezcla de sabor.66) § 4. El espectro dirac en teorías sin problemas de signos Dado que el espectro del operador de Dirac determina el condensado quiral, fase las transiciones en QCD se pueden entender en términos de su flujo espectral. En esta sección discutir teorías con un determinante de fermión positivo como QCD con dos colores y fase apagada QCD, donde una interpretación probabilística de la densidad de valor propio es posible. La relación entre la ruptura de la simetría quiral y los espectros de Dirac es mucho más complicado cuando el determinante del fermión es complejo y su discusión se aplazará a la próxima sección. El espectro de un operador antihermitano Dirac es puramente imaginario con un densidad de valor propio que es proporcional al volumen. Si la simetría quiral está rota espontáneamente, el condensado quiral se discontinua a través del imaginario eje en el límite termodinámico. Simetría quiral se restaura si tal discontinuidad Teoría de matriz aleatoria 5 mm m m m m T < Tc μ = 0 T > Tc μ = 0 T < Tc μ < μc T < Tc μ = μc T < Tc μ > μc T > Tc μ > μc Fig. 3. Comportamiento crítico del espectro Dirac. μc = mη/2 para T = 0 y aumenta con T. está ausente, por ejemplo, por la formación de una brecha en el espectro Dirac, véase por ejemplo 71). En el caso de μ 6 = 0, el espectro dirac se amplía en una banda de anchura 4μ2F 2 El potencial químico se vuelve crítico cuando la masa de quark llega al borde de este Desnúdate. En este punto el condensado quiral comienza a girar en un condensado pion. La restauración de la simetría quiral tiene lugar cuando una brecha se forma a cero. Un esquema La imagen del comportamiento crítico de los valores propios de Dirac se muestra en la Fig. 3 y el espectral El flujo de los valores propios de Dirac con respecto al aumento de μ y T se resume en Fig. 4. Una conclusión de este comportamiento es que Tc(μ) es una función cóncava de μ, y que μc(T ) es una función convexa de T. El flujo espectral discutido en este la sección está soportada por simulaciones de celosía en T 6= 0 y μ 6= 0 (véase Fig. 5) 4.1. Espectro dirac en el plano μ Podríamos igualmente haber diagonalizado el operador Dirac en una representación donde 0 es proporcional a la identidad, det(D +m+ 0) = det(γ0(D +m) + μ). (4.1) Estos valores propios son relevantes para la densidad del número de bariones. Una brecha en el espectro se desarrolla a m 6 = 0 (ver Fig. 6), y el potencial químico se vuelve crítico, μ = mη/2 cuando llega al borde interior del dominio de valores propios. Aumento de μ Aumento de T Fig. 4. Flujo espectral del espectro dirac (izquierda) y diagrama de fase (derecha) con respecto a μ y T en fase apagado QCD y QCD con dos colores. 6 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot 1 1,5 2 2,5 b=0,35 b=0,3525 b=0,355 b=0,3575 b=0,36 1,76(t-0,93) 0,0 0,1 0,2 0,3 β=5,5 β=5,66 β=5,71 β=5,75 β=5,9 Fig. 5. Temperatura y potencial de dependencia química de los valores propios de Dirac. De izquierda a derecha tomado de.70), 72) a 74) 4.2. Espectro de dirac QCD Dirac en retícula a μ 6= 0 Los valores propios de Dirac pequeños a μ 6= 0 se han calculado en QCD apagado. Los Las fórmulas analíticas para la densidad media de los pequeños valores propios de Dirac están disponibles apto.68), 69) Se derivaron por primera vez68) mediante la explotación de la jerarquía Toda celosía en el índice de sabor. Comparaciones de predicciones de matriz aleatoria68) para el espectro radial densidad y retícula QCD resultados75), 76) se muestran en el panel izquierdo de la Fig. 7. En los demás casos, como la superposición del operador Dirac77) y QCD con Nc = 2, 78) a similar se encontró un grado de acuerdo. Tanto la densidad espectral como las correlaciones de dos puntos puede derivarse del Lagrangian (3.1), es decir. están determinados por dos parágrafos: eters, Fl y l. Esto puede ser explotado para extraer estas constantes de baja energía. Por por ejemplo, se determinaron los valores de Fl y l 19), 21) (véase también20)) de los correlatores mostrados en los dos paneles de la derecha de la Fig. 7. §5. Simetría quiral Se rompe a μ 6= 0 La función completa de partición QCD a μ 6= 0 que es la media de det(D +m+ 0) = det(D +m+ 0)ei tiene propiedades que son drásticamente diferentes de la partición de fase apagada función donde el factor de fase está ausente. En particular, μc = mN/3 en lugar de mη/2, de modo que la energía libre siga siendo μ-independiente hasta μ = mN/3. Para μ < mN/3 Fig. 6. Eigenvalores de γ0(D + m) para una matriz aleatoria Operador de Dirac a m = 0 (izquierda), m 6 = 0 (medio) (ambos tomados de 79)), y enrejado QCD a m 6= 0 (a la derecha, tomado de 49). Teoría de matriz aleatoria 7 —– Splittorff-Verbaarschot-2004 —– Wettig-2004 0 2 4 6 8 −0.15 −0,05 V = 8 10000 configuraciones μisoFηV = 0,159 1,27 1,37 1,47 1,47 1,67 1,77 1,87 ángulo (­) celosía: 6 , μa = 0,006 ajuste: μFV = 0,14 Fig. 7. La densidad espectral radial para (izquierda, tomada de 75), 76)) y correlaciones de dos puntos (medio tomado de19) y derecho tomado de21)). el condensado quiral permanece discontinuo a m = 0, mientras que el condensado quiral de la teoría de fase apagada se aproxima a cero para m → 0 (véase Fig. 5). El único diferencia entre la función de partición apagada de fase y la partición QCD completa función es la fase del fermión determinante. Concluimos que el factor fase es responsable de la discontinuidad del condensado quiral. ¿Cómo puede suceder esto si para cada configuración el soporte del espectro es aproximadamente el mismo? Esto problema conocido como el “Problema de Blaze de Plata”80) fue resuelto en.6) 5.1. Densidad espectral sin cerrar La densidad espectral para QCD con fermiones dinámicos es dada por Nf (l) = Nf (l) = Nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l = nf (l) = nf (l = nf) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf = nf (l) = nf (l) = nf = nf = = nf = nf = nf = = n) = nf = nf = = = = Nf (D +m+ 0). (5.2) Debido a la fase del determinante del fermión, esta densidad es en general compleja y puede descomponerse como Nf (­) = Nf=0(­) + U (­). El condensado quiral puede entonces se descompongan como Nf (m) = Nf=0(m) U (m), de modo que la discontinuidad en La letra m) se debe a la U. Asintóticamente se comporta como # U # e # μ2F 2V e iIm(­)­V y desaparece fuera de unas elips a partir de Re(l) = m (véase Fig. 9).6) En la parte derecha de esta figura mostramos la parte real de la densidad espectral para QCD con un sabor a un potencial químico distinto de cero. Parcela de dispersión de los valores propios de Dirac - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. masa de quark m Apoyo al espectro Condensado quiral condensado Quiral quebrado QCD en su totalidad μ2F 2 (m) = 1 Fig. 8. Condensado quiral de QCD apagado y completo. 8 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Espectro dirac para QCD completo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - 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Región oscilante masa de quark m -1000100 0,001 0,002 2F 2μ2 μ2F 2 Fig. 9. Soporte (izquierda) y parte real (derecha, tomada de27) de la densidad espectral de Dirac para QCD con Nf = 1 y μ 6= 0. Este resultado explica el mecanismo de rotura de la simetría quiral en no cero potencial químico. La fase del determinante del fermión gira el pion conden- sate de nuevo en un condensado quiral, pero lo hace de una manera inesperada.6) Lo mismo mecanismo está en juego para 1d QCD a μ 6= 0,82) § 6. Fase del Fermion Determinante La magnitud del problema de los signos se puede medir por medio de la expectativa valor del factor de fase del determinante de fermión que puede definirse de dos maneras Nf = det(D + 0 +m) det*(D + 0 +m) detNf (D + 0 +m) , e2i1+1* = ZNf=2 Z1+1* El promedio · · · es con respecto a la acción Yang-Mills. El problema de la señal es manejable cuando el factor de fase promedio permanece finito en el límite termodinámico. En el dominio microscópico es posible obtener expresiones analíticas exactas para el factor de fase medio explotando la equivalencia entre QCD y RMT en este dominio. Para μ < mη/2 la energía libre tanto de QCD como de fase apagada El QCD es independiente de μ. Esto no implica que el factor de fase medio sea μ-independiente. La μ-dependencia se origina de los bosones de Goldstone cargados con la masa mη ± 2μ, y para los sabores Nf el resultado medio del campo83), 84) para exp(2i lee (1 − 4μ2/m2η)Nf+1. El resultado exacto para el factor de fase promedio para Nf = 2 se muestra en la Fig. 10 (derecha), donde también se muestran los resultados de celosía85) (izquierda). El exacto resultado tiene una singularidad esencial a μ = 0, pero su límite termodiánmico está de acuerdo con el resultado medio. 0 0,5 1 1,5 2μ/mη m.V. = 4 m.V. >> 1 Fig. 10. Factor de fase medio. Los resultados QCD de celosía se muestran a la izquierda (tomado de 85)) y el exacto resultado microscópico83) se muestra a la derecha. Teoría de matriz aleatoria 9 §7. Conclusiones La equivalencia de la teoría de matriz aleatoria quiral y QCD ha sido explotada Para obtener con éxito una serie de resultados analíticos. Entre otros, el valor propio fluctua- ciones predichas por el chRMT se han observado en las simulaciones de celosía, las fases de QCD se puede entender en términos de flujo espectral, observables se pueden extraer de las fluctuaciones de los valores propios más pequeños, el problema de signo no es grave cuando el masa de quark está fuera del dominio de los valores propios, y los resultados de campo medio puede ser obtenido de la teoría de matriz aleatoria. Resumiendo, la teoría de matriz aleatoria quiral es una poderosa herramienta para analizar el dominio infrarrojo de QCD. Agradecimientos A la YITP se le agradece su hospitalidad. G. Akemann, J. Osborn y P.H. Damgaard es reconocido por sus valiosas discusiones. Este trabajo contó con el apoyo de US DOE Grant No. DE-FG-88ER40388 (JV), el Villum Kann Rasmussen Foun- dad (JV), el Banco Nacional Danés (JV) y la Fundación Carslberg (KS). Bibliografía 1) E.P. Wigner, Proc. Cam. Phil. Soc. 47 (1951) 790. 2) M. Sener y K. Schulten, Phys. Rev. E 65, 031916 (2002). 3) T. Guhr, A. Muller-Groeling y H. A. Weidenmuller, Phys. Rept. 299, 189 (1998). 4) P. J. Forrester, N. C. Snaith y J. J. M. Verbaarschot, J. Phys. A 36, R1 (2003). 5) T. Banks y A. Casher, Nucl. Phys. B 169, 103 (1980). 6) J. C. Osborn, K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 94, 202001 (2005). 7) C. Gattringer, Phys. Rev. Lett. 97, 032003 (2006). 8) F. Synatschke, A. Wipf y C. Wozar, arXiv:hep-lat/0703018. 9) E. V. Shuryak y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. A 560, 306 (1993). 10) J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 72, 2531 (1994). 11) J. J. M. Verbaarschot e I. Zahed, Phys. Rev. Lett. 70, 3852 (1993). 12) S. M. 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Papp e I. Zahed, Phys. Lett. B 389, 341 (1996). 40) R. A. Janik, M. A. Nowak, G. Papp e I. Zahed, Phys. Lett. B 446, 9 (1999). 41) M. A. Stephanov, Phys. Rev. Lett. 76, 4472 (1996). 42) J. C. Osborn, Phys. Rev. Lett. 93, 222001 (2004). 43) G. Akemann y A. Pottier, J. Phys. A 37, L453 (2004). 44) Y.V. Fyodorov, B. Khoruzhenko y H.J. Sommers, Ann. Inst. Henri Poincaré: Phys. Teor. 68, 449 (1998). 45) G. Akemann, Phys. Rev. Lett. 80, 072002 (2002); J. Phys. R: Matemáticas. Gen. 36, 3363 (2003). 46) M. C. Bergere, arXiv:hep-th/0311227; M. C. Bergere, arXiv:hep-th/0404126. 47) T. Eguchi y H. Kawai, Phys. Rev. Lett. 48, 1063 (1982). 48) D. J. Gross y E. Witten, Phys. Rev. D 21, 446 (1980). 49) P. E. Gibbs, Preprint PRINT-86-0389-GLASGOW, 1986. 50) N. Bilic y K. Demeterfi, Phys. Lett. B 212, 83 (1988). 51) B. Durhuus y P. Olesen, Nucl. Phys. B 184, 461 (1981). 52) A. Dumitru y otros, Phys. Rev. D 70, 034511 (2004). 53) J. B. Kogut y otros, Nucl. Phys. B 582, 477 (2000). 54) J.B. Kogut, M.A. Stephanov y D. Toublan, Phys. Lett. B 464, 183 (1999). 55) S. Hands et al., ZEur. Phys. J. C 17, 285 (2000). 56) J. B. Kogut y D. K. Sinclair, Phys. Rev. D 66, 034505 (2002). 57) G. Policastro, D. T. Son y A. O. Starinets, Phys. Rev. Lett. 87, 081601 (2001). 58) M. Halasz y otros, Phys. Rev. D 58, 096007 (1998). 59) B. Vanderheyden y A. D. Jackson, Phys. Rev. D 62, 094010 (2000). 60) A. Barducci y otros Phys. Rev. D 41, 1610 (1990). 61) J. Berges y K. Rajagopal, Nucl. Phys. B 538, 215 (1999). 62) R. A. Janik, M. A. Nowak, G. Papp e I. Zahed, Nucl. Phys. A 642, 191 (1998). 63) B. Klein, D. Toublan y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. D 68, 014009 (2003). 64) A. Barducci, R. Casalbuoni, G. Pettini y L. Ravagli, Phys. Rev. D 72, 056002 (2005). 65) D. N. Walters y S. Hands, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 140, 532 (2005). 66) M. Frank, M. Buballa y M. Oertel, Phys. Lett. B 562, 221 (2003). 67) D. Toublan y J. J. M. Verbaarschot, Int. J. Mod. Phys. B 15, 1404 (2001). 68) K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 683, 467 (2004). 69) G. Akemann, Nucl. Phys. B 730, 253 (2005). 70) R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 696, 107 (2004). 71) F. Farchioni y otros Phys. Rev. D 62, 014503 (2000). 72) P. Damgaard, U. Heller, R. Niclasen y K. Rummukainen, Nucl. Phys. B 583, 347 (2000). 73) I. Barbour y otros, Nucl. Phys. B 275, 296 (1986); 74) S. Muroya, A. Nakamura, C. Nonaka y T. Takaishi, Prog. Teor. Phys. 110, 615 (2003). 75) T. Wettig, comunicación privada. 76) G. Akemann y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 92, 102002 (2004) [Ibíd. 96, 029902 (2006)]. 77) J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003 (2006). 78) G. Akemann y otros, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 140, 568 (2005). 79) M. Halasz, J. Osborn, M. Stephanov y J. Verbaarschot, Phys. Rev. D 61, 076005 (2000). 80) T. D. Cohen, Phys. Rev. Lett. 91, 222001 (2003); arXiv:hep-ph/0405043. 81) G. Akemann, J. Osborn, K. Splittorff y J. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 712, 287 (2005). 82) L. Ravagli y J.J.M. Verbaarschot, en preparación. 83) K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 98, 031601 (2007). 84) K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, arXiv:hep-lat/0702011. 85) D. Toussaint, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 17, 248 (1990).

Revisamos las aplicaciones de la teoría de matriz aleatoria a QCD a temperatura no cero y el potencial químico. La transición en fase quiral de QCD y QCD-como las teorías se discuten en términos de valores propios del operador de Dirac. Mostramos que para QCD en $\mu \ne 0$, que tiene un problema de signo, la discontinuidad en el El condensado quiral se debe a una alternativa a la relación Banks-Casher. Los La gravedad del problema de los signos se analiza en el dominio microscópico del QCD.

Introducción A partir de su introducción en la física nuclear por Wigner,1) matriz aleatoria teorías se han aplicado a una amplia gama de problemas que van desde la física de proteínas2) a la gravedad cuántica (véase 3), 4) para una revisión histórica). Tres razones para la ubicuidad de la teoría de matriz aleatoria viene a la mente. En primer lugar, los valores propios de los grandes- dom matrices tienen propiedades universales determinadas por las simetrías. En segundo lugar, al azar Las matrices son modelos para el desorden presente en muchos sistemas físicos. En tercer lugar, al azar las teorías de la matriz tienen una expansión topológica que es importante para las aplicaciones a teoría cuántica del campo. Una de las características atractivas de la teoría de matriz aleatoria es que se puede obtener información analítica para sistemas complejos que, de lo contrario, sólo puede ser estudiado experimental o numéricamente. En esta revisión discutimos las aplicaciones de la teoría de matriz aleatoria a QCD en temperatura no cero y potencial químico. Desde el parámetro de orden para el se determinan la transición de fase quiral5), 6) y la transición de fase desconfinante7), 8) por el comportamiento infrarrojo de los valores propios del operador Dirac, estos valores propios son esenciales para las transiciones de fase en QCD. Notablemente, la distribución de la Los valores propios más pequeños de Dirac se dan por funciones universales9–13) que dependen sólo de uno o dos parámetros, el condensado quiral y la constante decaimiento pion. Esto ofrece una forma alternativa de medir estas constantes en la celosía.14)-22) § 2. Teoría de matriz aleatoria en QCD La teoría de la matriz aleatoria quiral (chRMT) es una teoría con las simetrías globales de QCD, pero los elementos de matriz del operador de Dirac sustituidos por números aleatorios9), 10) iW † m , P (W ) e-NTrW †W. (2.1) *) dirección de correo electrónico: split@nbi.dk Dirección de correo electrónico: jacobus.verbaarschot@stonybrook.edu http://arxiv.org/abs/0704.0330v1 2 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Este modelo de matriz aleatoria tiene las simetrías globales y propiedades topológicas de QCD. Se está limitando en el sentido de que sólo los singlets de color tienen un no cero espera- ciones. Ahora se entiende bien que las fluctuaciones de los valores propios bajos de el operador de Dirac se describen por chRMT (véase 23)–28 para las conferencias y revisiones). Filósficamente, esto es importante debido a la comprensión de que el movimiento caótico dom- inatiza la dinámica de los quarks a baja energía. Prácticamente, esto es importante porque Podemos utilizar poderosas técnicas de matriz aleatoria para calcular observaciones físicas. La condición para la aplicabilidad de chRMT es que la longitud de onda de Compton de bosones Goldstone asociados con la escala de masa z de estos valores propios es mucho más grande que el tamaño de la caja. Con la masa cuadrada de la Goldstone asociada bosón dado por 2zŁ/F 2η, esta condición se lee #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #2 #2 #2 #2 #3 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #3 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #3 #3 #3 #3 #3 #3 #2 # (2.2) La segunda condición es necesaria para factorizar la función de partición en un contribu- de los grados más ligeros de libertad y de todos los grados más pesados de libertad. Estos dos condiciones determinan el dominio microscópico de QCD. Subrayamos que z es una escala en el espectro de Dirac de modo que, para volúmenes suficientemente grandes, siempre tenemos eigenval- us en el dominio (2.2) donde los valores propios fluctúan de acuerdo con el chRMT. Esto puede ser se muestra rigurosamente de las siguientes dos observaciones.30), 31) En primer lugar, el infrarrojo Dirac El espectro sigue de un lagrangiano quiral (parcialmente apagado) determinado por el quiral simetría, y la desigualdad (2.2) es la condición para la factorización de la partición función en un factor que contiene los modos constantes y otro factor que contiene los modos de impulso distintos de cero. Segundo, el factor con los modos constantes es igual al gran límite N de la teoría de matriz aleatoria quiral. In32), 33) la condición (2.2) fue impuesta a las masas quark y era las bases para una expansión sistemática de la chiral Lagrangian conocida como la expansión. Una característica que subyace a las propiedades universales de los valores propios es que tienen cargos repulsivos confinados. Esto se deriva de la probabilidad conjunta distri- bution k<l( )2 exp(−N ). Se puede mostrar que los valores propios Las correlaciones en la escala micrsocópica son universales.34) La razón es espontánea la rotura de la simetría y una brecha de masa para que puedan ser descritos en términos de un Chiral Lagrangian. 2.1. Teoría de la matriz aleatoria quiral a μ 6= 0 y T 6= 0 Una temperatura no cero no cambia el comportamiento fluctuante del Dirac valores propios siempre que la simetría quiral permanezca rota. Sin embargo, una transición a una clase de universalidad diferente tiene lugar a la temperatura crítica. Una matriz aleatoria modelo que reproduce este comportamiento universal de QCD se obtiene reemplazando el elementos off-diagonales en (2.1) por35) iW → iW + t, iW † → iW † − t con t = diag(T, 2.3) Este modelo ha sido estudiado de forma detallada en la literatura (véase, por ejemplo, 35–40). Un potencial químico distinto de cero puede introducirse análogamente a la masa de quark. El requisito es que el pequeño comportamiento μ de la función de partición QCD debe Teoría de matriz aleatoria 3 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 2μ/mη m=0,10 m=0,05 m=0,01 Fig. 1. Resultados de celosía para Nc = 2 (tomados de 55)) y QCD apagado en fase con NC = 3 (tomado a partir de 56))) ser reproducido por la función de partición de matriz aleatoria. Esto se logró mediante la modificación 2.1) por 41) iW → iW + μ, iW † → iW † + μ, (2.4) resultando en un operador Dirac no hermitano con valores propios dispersos en el complejo avión. La prescripción (2.4) no es única. Un modelo de matriz aleatoria que ha tenido un el fuerte impacto en los últimos acontecimientos está definido por42) iW → iW + μH, iW † → iW † + μH con H† = H, (2.5) donde H se extrae de un conjunto gaussiano de matrices aleatorias. Este modelo está en la misma clase de universalidad que (2.4) pero es técnicamente más simple ya que se puede trabajar por medio del método polinomio ortogonal complejo.42)–46) Hay otros tipos de modelos de matriz aleatoria que se han aplicado a QCD. Por ejemplo, modelos con campos de ancho aleatorio como el modelo Eguchi-Kawai47) o su versión 2-dimensional.48) QCD en 1 dimensión49), 50) es un modelo de matriz aleatoria también, con valores propios de Dirac universalmente fluctuantes. También modelos con al azar Wilson loops51), 52) han atraído un interés significativo. § 3. Fases de QCD y RMT Las teorías de QCD con bosones Goldstone tienen un potencial químico crítico. tial igual a mη/2. Por lo tanto, la transición de fase a la fase condensada de Bose puede ser descrito completamente en términos de un lagragio chiral. En el nivel medio sobre el terreno53) los términos cinéticos de este chiral lagrangiano no contribuyen, por lo que estos resultados También se puede obtener de la teoría de matriz aleatoria quiral. De hecho, la parte estática de el chiral Lagrangian53), 54) F 2 2Tr[U,B][U †, B]− •Tr(MU +MU †). (3.1) También se puede obtener del gran límite N de los modelos (2.4) o (2.5). 4 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Punto tricritial 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Fig. 2. Diagrama de fase QCD en el espacio μTm (tomado de58)) In Fig. 1 se muestran resultados de celosía para QCD con Nc = 2 55) y apagado en fase QCD.56) Muestran un acuerdo impresionante con los resultados de (3.1) dado por las curvas sólidas en ambas figuras. 3.1. Diagrama esquemático de fase RMT No se puede analizar la transición de fase en QCD con Nc = 3 a μc = mN/3 por medio de chiral Lagrangians. Debido al problema de los signos, los estudios de celosía no son También es posible. En tal situación hay una larga tradición para analizar el mismo problema en una teoría mucho más simple con la esperanza de obtener al menos un entendimiento cualitativo del problema. Por ejemplo, un QCD dimensional,49), 50) o más recientemente, super La teoría de Yang-Mills y la dualidad de AdS-CFT,57) fueron exploradas como modelos de juguete para QCD. Usaremos la teoría de matriz aleatoria en T 6= 0 y μ 6= 0, introducida en (2.3) y (2.4) para obtener una comprensión cualitativa del diagrama de fase QCD. QCD de celosía simulaciones muestran que la transición de fase quiral a μ = 0 es de segundo orden o un Cruce empinado. En T = 0 esperamos una transición de fase de primer orden en μc = mN/3. Es natural que la primera línea de orden termina en un punto final crítico o se une a la segunda ordenar la línea crítica en el punto tricrítico (véase Fig. 3.1, izquierda). Esto es realmente lo que se observa en la teoría de matriz aleatoria58), 59) (ver Fig. 3.1, derecha). Una fase similar diagrama también se ha obtenido del modelo NJL.60)–62) Otro escenario que se descubrió en RMT es la división del primer orden línea en dos en el potencial químico de isospin no cero.63) Este comportamiento también se encontró en un modelo NJL64), 65), pero podría no ser estable frente a las interacciones de mezcla de sabor.66) § 4. El espectro dirac en teorías sin problemas de signos Dado que el espectro del operador de Dirac determina el condensado quiral, fase las transiciones en QCD se pueden entender en términos de su flujo espectral. En esta sección discutir teorías con un determinante de fermión positivo como QCD con dos colores y fase apagada QCD, donde una interpretación probabilística de la densidad de valor propio es posible. La relación entre la ruptura de la simetría quiral y los espectros de Dirac es mucho más complicado cuando el determinante del fermión es complejo y su discusión se aplazará a la próxima sección. El espectro de un operador antihermitano Dirac es puramente imaginario con un densidad de valor propio que es proporcional al volumen. Si la simetría quiral está rota espontáneamente, el condensado quiral se discontinua a través del imaginario eje en el límite termodinámico. Simetría quiral se restaura si tal discontinuidad Teoría de matriz aleatoria 5 mm m m m m T < Tc μ = 0 T > Tc μ = 0 T < Tc μ < μc T < Tc μ = μc T < Tc μ > μc T > Tc μ > μc Fig. 3. Comportamiento crítico del espectro Dirac. μc = mη/2 para T = 0 y aumenta con T. está ausente, por ejemplo, por la formación de una brecha en el espectro Dirac, véase por ejemplo 71). En el caso de μ 6 = 0, el espectro dirac se amplía en una banda de anchura 4μ2F 2 El potencial químico se vuelve crítico cuando la masa de quark llega al borde de este Desnúdate. En este punto el condensado quiral comienza a girar en un condensado pion. La restauración de la simetría quiral tiene lugar cuando una brecha se forma a cero. Un esquema La imagen del comportamiento crítico de los valores propios de Dirac se muestra en la Fig. 3 y el espectral El flujo de los valores propios de Dirac con respecto al aumento de μ y T se resume en Fig. 4. Una conclusión de este comportamiento es que Tc(μ) es una función cóncava de μ, y que μc(T ) es una función convexa de T. El flujo espectral discutido en este la sección está soportada por simulaciones de celosía en T 6= 0 y μ 6= 0 (véase Fig. 5) 4.1. Espectro dirac en el plano μ Podríamos igualmente haber diagonalizado el operador Dirac en una representación donde 0 es proporcional a la identidad, det(D +m+ 0) = det(γ0(D +m) + μ). (4.1) Estos valores propios son relevantes para la densidad del número de bariones. Una brecha en el espectro se desarrolla a m 6 = 0 (ver Fig. 6), y el potencial químico se vuelve crítico, μ = mη/2 cuando llega al borde interior del dominio de valores propios. Aumento de μ Aumento de T Fig. 4. Flujo espectral del espectro dirac (izquierda) y diagrama de fase (derecha) con respecto a μ y T en fase apagado QCD y QCD con dos colores. 6 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot 1 1,5 2 2,5 b=0,35 b=0,3525 b=0,355 b=0,3575 b=0,36 1,76(t-0,93) 0,0 0,1 0,2 0,3 β=5,5 β=5,66 β=5,71 β=5,75 β=5,9 Fig. 5. Temperatura y potencial de dependencia química de los valores propios de Dirac. De izquierda a derecha tomado de.70), 72) a 74) 4.2. Espectro de dirac QCD Dirac en retícula a μ 6= 0 Los valores propios de Dirac pequeños a μ 6= 0 se han calculado en QCD apagado. Los Las fórmulas analíticas para la densidad media de los pequeños valores propios de Dirac están disponibles apto.68), 69) Se derivaron por primera vez68) mediante la explotación de la jerarquía Toda celosía en el índice de sabor. Comparaciones de predicciones de matriz aleatoria68) para el espectro radial densidad y retícula QCD resultados75), 76) se muestran en el panel izquierdo de la Fig. 7. En los demás casos, como la superposición del operador Dirac77) y QCD con Nc = 2, 78) a similar se encontró un grado de acuerdo. Tanto la densidad espectral como las correlaciones de dos puntos puede derivarse del Lagrangian (3.1), es decir. están determinados por dos parágrafos: eters, Fl y l. Esto puede ser explotado para extraer estas constantes de baja energía. Por por ejemplo, se determinaron los valores de Fl y l 19), 21) (véase también20)) de los correlatores mostrados en los dos paneles de la derecha de la Fig. 7. §5. Simetría quiral Se rompe a μ 6= 0 La función completa de partición QCD a μ 6= 0 que es la media de det(D +m+ 0) = det(D +m+ 0)ei tiene propiedades que son drásticamente diferentes de la partición de fase apagada función donde el factor de fase está ausente. En particular, μc = mN/3 en lugar de mη/2, de modo que la energía libre siga siendo μ-independiente hasta μ = mN/3. Para μ < mN/3 Fig. 6. Eigenvalores de γ0(D + m) para una matriz aleatoria Operador de Dirac a m = 0 (izquierda), m 6 = 0 (medio) (ambos tomados de 79)), y enrejado QCD a m 6= 0 (a la derecha, tomado de 49). Teoría de matriz aleatoria 7 —– Splittorff-Verbaarschot-2004 —– Wettig-2004 0 2 4 6 8 −0.15 −0,05 V = 8 10000 configuraciones μisoFηV = 0,159 1,27 1,37 1,47 1,47 1,67 1,77 1,87 ángulo (­) celosía: 6 , μa = 0,006 ajuste: μFV = 0,14 Fig. 7. La densidad espectral radial para (izquierda, tomada de 75), 76)) y correlaciones de dos puntos (medio tomado de19) y derecho tomado de21)). el condensado quiral permanece discontinuo a m = 0, mientras que el condensado quiral de la teoría de fase apagada se aproxima a cero para m → 0 (véase Fig. 5). El único diferencia entre la función de partición apagada de fase y la partición QCD completa función es la fase del fermión determinante. Concluimos que el factor fase es responsable de la discontinuidad del condensado quiral. ¿Cómo puede suceder esto si para cada configuración el soporte del espectro es aproximadamente el mismo? Esto problema conocido como el “Problema de Blaze de Plata”80) fue resuelto en.6) 5.1. Densidad espectral sin cerrar La densidad espectral para QCD con fermiones dinámicos es dada por Nf (l) = Nf (l) = Nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l = nf (l) = nf (l = nf) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf (l) = nf = nf (l) = nf (l) = nf = nf = = nf = nf = nf = = n) = nf = nf = = = = Nf (D +m+ 0). (5.2) Debido a la fase del determinante del fermión, esta densidad es en general compleja y puede descomponerse como Nf (­) = Nf=0(­) + U (­). El condensado quiral puede entonces se descompongan como Nf (m) = Nf=0(m) U (m), de modo que la discontinuidad en La letra m) se debe a la U. Asintóticamente se comporta como # U # e # μ2F 2V e iIm(­)­V y desaparece fuera de unas elips a partir de Re(l) = m (véase Fig. 9).6) En la parte derecha de esta figura mostramos la parte real de la densidad espectral para QCD con un sabor a un potencial químico distinto de cero. Parcela de dispersión de los valores propios de Dirac - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. masa de quark m Apoyo al espectro Condensado quiral condensado Quiral quebrado QCD en su totalidad μ2F 2 (m) = 1 Fig. 8. Condensado quiral de QCD apagado y completo. 8 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot Espectro dirac para QCD completo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Región oscilante masa de quark m -1000100 0,001 0,002 2F 2μ2 μ2F 2 Fig. 9. Soporte (izquierda) y parte real (derecha, tomada de27) de la densidad espectral de Dirac para QCD con Nf = 1 y μ 6= 0. Este resultado explica el mecanismo de rotura de la simetría quiral en no cero potencial químico. La fase del determinante del fermión gira el pion conden- sate de nuevo en un condensado quiral, pero lo hace de una manera inesperada.6) Lo mismo mecanismo está en juego para 1d QCD a μ 6= 0,82) § 6. Fase del Fermion Determinante La magnitud del problema de los signos se puede medir por medio de la expectativa valor del factor de fase del determinante de fermión que puede definirse de dos maneras Nf = det(D + 0 +m) det*(D + 0 +m) detNf (D + 0 +m) , e2i1+1* = ZNf=2 Z1+1* El promedio · · · es con respecto a la acción Yang-Mills. El problema de la señal es manejable cuando el factor de fase promedio permanece finito en el límite termodinámico. En el dominio microscópico es posible obtener expresiones analíticas exactas para el factor de fase medio explotando la equivalencia entre QCD y RMT en este dominio. Para μ < mη/2 la energía libre tanto de QCD como de fase apagada El QCD es independiente de μ. Esto no implica que el factor de fase medio sea μ-independiente. La μ-dependencia se origina de los bosones de Goldstone cargados con la masa mη ± 2μ, y para los sabores Nf el resultado medio del campo83), 84) para exp(2i lee (1 − 4μ2/m2η)Nf+1. El resultado exacto para el factor de fase promedio para Nf = 2 se muestra en la Fig. 10 (derecha), donde también se muestran los resultados de celosía85) (izquierda). El exacto resultado tiene una singularidad esencial a μ = 0, pero su límite termodiánmico está de acuerdo con el resultado medio. 0 0,5 1 1,5 2μ/mη m.V. = 4 m.V. >> 1 Fig. 10. Factor de fase medio. Los resultados QCD de celosía se muestran a la izquierda (tomado de 85)) y el exacto resultado microscópico83) se muestra a la derecha. Teoría de matriz aleatoria 9 §7. Conclusiones La equivalencia de la teoría de matriz aleatoria quiral y QCD ha sido explotada Para obtener con éxito una serie de resultados analíticos. Entre otros, el valor propio fluctua- ciones predichas por el chRMT se han observado en las simulaciones de celosía, las fases de QCD se puede entender en términos de flujo espectral, observables se pueden extraer de las fluctuaciones de los valores propios más pequeños, el problema de signo no es grave cuando el masa de quark está fuera del dominio de los valores propios, y los resultados de campo medio puede ser obtenido de la teoría de matriz aleatoria. Resumiendo, la teoría de matriz aleatoria quiral es una poderosa herramienta para analizar el dominio infrarrojo de QCD. Agradecimientos A la YITP se le agradece su hospitalidad. G. Akemann, J. Osborn y P.H. Damgaard es reconocido por sus valiosas discusiones. Este trabajo contó con el apoyo de US DOE Grant No. DE-FG-88ER40388 (JV), el Villum Kann Rasmussen Foun- dad (JV), el Banco Nacional Danés (JV) y la Fundación Carslberg (KS). Bibliografía 1) E.P. Wigner, Proc. Cam. Phil. Soc. 47 (1951) 790. 2) M. Sener y K. Schulten, Phys. Rev. E 65, 031916 (2002). 3) T. Guhr, A. Muller-Groeling y H. A. Weidenmuller, Phys. Rept. 299, 189 (1998). 4) P. J. Forrester, N. C. Snaith y J. J. M. Verbaarschot, J. Phys. A 36, R1 (2003). 5) T. Banks y A. Casher, Nucl. Phys. B 169, 103 (1980). 6) J. C. Osborn, K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 94, 202001 (2005). 7) C. Gattringer, Phys. Rev. Lett. 97, 032003 (2006). 8) F. Synatschke, A. Wipf y C. Wozar, arXiv:hep-lat/0703018. 9) E. V. Shuryak y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. A 560, 306 (1993). 10) J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 72, 2531 (1994). 11) J. J. M. Verbaarschot e I. Zahed, Phys. Rev. Lett. 70, 3852 (1993). 12) S. M. 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Sci. 50, 343 (2000). 25) J. J. M. Verbaarschot, arXiv:hep-th/0502029. 26) M. A. Nowak, arXiv:hep-ph/0112296. 27) K. Splittorff, PoS LAT2006 023, arXiv:hep-lat/0610072. 28) G. Akemann, arXiv:hep-th/0701175. 29) J. J. M. Verbaarschot, Phys. Lett. B 368, 137 (1996). 30) J. C. Osborn, D. Toublan y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 540, 317 (1999). 31) P. Damgaard, J. Osborn, D. Toublan y J. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 547, 305 (1999). 10 K.Splittorff y J.J.M. Verbaarschot 32) J. Gasser y H. Leutwyler, Phys. Lett. B 188, 477 (1987). 33) H. Leutwyler y A. Smilga, Phys. Rev. D 46, 5607 (1992). 34) G. Akemann, P. H. Damgaard, U. Magnea y S. Nishigaki, Nucl. Phys. B 487, 721 (1997). 35) A. D. Jackson y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. D 53, 7223 (1996). 36) T. Wettig, H. A. Weidenmueller y A. Schaefer, Nucl. Phys. A 610, 492C (1996). 37) M. A. Stephanov, Phys. Lett. B 375, 249 (1996). 38) A. D. Jackson, M. K. Sener y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 479, 707 (1996). 39) M. A. Nowak, G. Papp e I. Zahed, Phys. Lett. B 389, 341 (1996). 40) R. A. Janik, M. A. Nowak, G. Papp e I. Zahed, Phys. Lett. B 446, 9 (1999). 41) M. A. Stephanov, Phys. Rev. Lett. 76, 4472 (1996). 42) J. C. Osborn, Phys. Rev. Lett. 93, 222001 (2004). 43) G. Akemann y A. Pottier, J. Phys. A 37, L453 (2004). 44) Y.V. Fyodorov, B. Khoruzhenko y H.J. Sommers, Ann. Inst. Henri Poincaré: Phys. Teor. 68, 449 (1998). 45) G. Akemann, Phys. Rev. Lett. 80, 072002 (2002); J. Phys. R: Matemáticas. Gen. 36, 3363 (2003). 46) M. C. Bergere, arXiv:hep-th/0311227; M. C. Bergere, arXiv:hep-th/0404126. 47) T. Eguchi y H. Kawai, Phys. Rev. Lett. 48, 1063 (1982). 48) D. J. Gross y E. Witten, Phys. Rev. D 21, 446 (1980). 49) P. E. Gibbs, Preprint PRINT-86-0389-GLASGOW, 1986. 50) N. Bilic y K. Demeterfi, Phys. Lett. B 212, 83 (1988). 51) B. Durhuus y P. Olesen, Nucl. Phys. B 184, 461 (1981). 52) A. Dumitru y otros, Phys. Rev. D 70, 034511 (2004). 53) J. B. Kogut y otros, Nucl. Phys. B 582, 477 (2000). 54) J.B. 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Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 683, 467 (2004). 69) G. Akemann, Nucl. Phys. B 730, 253 (2005). 70) R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 696, 107 (2004). 71) F. Farchioni y otros Phys. Rev. D 62, 014503 (2000). 72) P. Damgaard, U. Heller, R. Niclasen y K. Rummukainen, Nucl. Phys. B 583, 347 (2000). 73) I. Barbour y otros, Nucl. Phys. B 275, 296 (1986); 74) S. Muroya, A. Nakamura, C. Nonaka y T. Takaishi, Prog. Teor. Phys. 110, 615 (2003). 75) T. Wettig, comunicación privada. 76) G. Akemann y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 92, 102002 (2004) [Ibíd. 96, 029902 (2006)]. 77) J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003 (2006). 78) G. Akemann y otros, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 140, 568 (2005). 79) M. Halasz, J. Osborn, M. Stephanov y J. Verbaarschot, Phys. Rev. D 61, 076005 (2000). 80) T. D. Cohen, Phys. Rev. Lett. 91, 222001 (2003); arXiv:hep-ph/0405043. 81) G. Akemann, J. Osborn, K. Splittorff y J. Verbaarschot, Nucl. Phys. B 712, 287 (2005). 82) L. Ravagli y J.J.M. Verbaarschot, en preparación. 83) K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, Phys. Rev. Lett. 98, 031601 (2007). 84) K. Splittorff y J. J. M. Verbaarschot, arXiv:hep-lat/0702011. 85) D. Toussaint, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 17, 248 (1990).

Symmetries by base substitutions in the genetic code predict 2' or 3' aminoacylation of tRNAs

Microsoft Word - MS737.rtf Manuscrito enviado como carta al Editor. Título: Las simetrías por sustituciones de base en el código genético predicen 2’ o 3’ aminoacilación de los ARNt. Autores: Jean-Luc Jestina, Christophe Souléb Direcciones: aUnité de Chimie Organique, URA 2128 CNRS Departamento de Biologie Structurale et Chimie, Institut Pasteur 25 rue du Dr. Roux, 75724 Paris 15, Francia Correo electrónico: jjestin@pasteur.fr (autor correspondiente) Tel. +33 1 4438 9496; fax +33 1 4568 8404 bInstitut des Hautes Etudes Scientifiques, CNRS 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, Francia Correo electrónico: soule@ihes.fr Palabras clave: Mutación; degeneración; aminoacil-tRNA sintetasa; codón; rotura de simetría. Entender por qué el código genético es como es, ha sido el tema de numerosos y sigue siendo en gran medida un desafío (Freeland et al., 2000; Sella y Ardell, 2006). Se sugirió que las asociaciones entre los codones y los aminoácidos se basaran en el ARN- interacciones de aminoácidos (Raszka y Mandel, 1972; Yarus, 1998). Estrecha relación codones fueron puestos en correspondencia con aminoácidos estrechamente relacionados dentro de su vías biosintéticas (Wong, 2005). Los Codons también se han agrupado en sistemas caracterizado por ciclos termodinámicos entrelazados (Klump, 2006). Evolucionario modelos que minimicen el número de mutaciones más frecuentes proporcionan una justificación para el hecho de que las transiciones en la tercera base de codones son principalmente mutaciones neutrales (Goldberg y Wittes, 1966). Del mismo modo, minimización de los efectos nocivos de Las deleciones monobase dependientes de secuencia catalizadas por polimerasas de ADN proporcionan un justificación de la asignación de señales de parada a los codones (Jestin y Kempf, 1997). Mientras Codones de parada dentro del marco se seleccionan estrictamente contra, codones de parada fuera del marco minimizan los costes de los deslizamientos ribosómicos (Seligmann y Pollock, 2004). En este contexto, el frecuencias de codones se encontró que eran altamente dependientes del marco de lectura y destacó un patrón de codón simétrico (Koch y Lehmann, 1997). Como el genetico El código es casi universal entre los organismos vivos, los modelos no necesitan ser tiempo. dependiente, a pesar de que se han sugerido modelos dependientes del tiempo (Bahi y Michel, 2004; Rodin y Rodin, 2006; Sella y Ardell, 2006). Simetrías en el código genético son de especial interés, ya que pueden poner de relieve los principios de organización subyacentes de la código. Se propuso un modelo supersimétrico para la evolución del código genético: la ruptura sucesiva de estas simetrías proporcionaría un escenario evolutivo para el la descomposición en conjuntos de codones sinónimos (Hornos y Hornos, 1993; Bashford et al., 1997). Cuando los aminoácidos se asignan a los vértices de un 28-gon, tres dos veces se identificaron simetrías para tres subconjuntos del aminoacil-tRNA de cognato synthetases (Yang, 2004). Esta carta informa de conjuntos completos de dos simetrías entre particiones de la código genético universal. Sustituyendo las bases en cada posición de los codones según a una regla fija, sucede que las propiedades del patrón de degeneración o del ARNt Se intercambia la especificidad de la aminoacilación. Primero el conjunto de sesenta y cuatro codones del código genético fue dividido en dos grupos de treinta y dos codones dependiendo de si la tercera base de trillizos es necesaria o no definir inequívocamente un aminoácido o una señal de parada (propiedad 1). Rumer reportó un simetría por sustituciones de base que altera la propiedad 1 (Rumer, 1966). Las sustituciones el intercambio de T y G, así como A y C se aplican a las tres bases de codón y son llamada transformación de Rumer. Si la tercera base es necesaria para definir un aminoácido, entonces el codón simétrico por la transformación de Rumer no requiere la tercera base de codones que deben definirse de manera que se defina sin ambigüedades el aminoácido. Por el contrario, si no es necesario definir la tercera base de manera que se defina sin ambigüedades un aminoácido, entonces el codón simétrico por la transformación de Rumer requiere que la tercera base sea para definir sin ambigüedades el aminoácido. Más recientemente, uno de los autores informó una simetría que deja sin cambios la propiedad 1 (Jestin, 2006): esta simetría consiste en aplicar a la primera base de codones las sustituciones que intercambian G y C como así como T y A. Por ejemplo, los codones GCN codificados para alanina se intercambian por CCN Codificación de codones para prolina; en el caso de los codones GCN y CCN, la tercera base no tiene por qué definir de manera que se defina sin ambigüedades el aminoácido. Aquí reportamos una tercera simetría que altera la propiedad 1 (Fig.1). Esta simetría es obtenido aplicando sucesivamente las dos simetrías descritas anteriormente. Consiste en: por la que se aplica el intercambio de sustitución A y G, así como C y T (transición) a la primera base en el codón, el intercambio de sustitución A y C, así como G y T (a transversion) a la segunda base en el codón, y el intercambio de sustitución A y C así como G y T (una transversión) en la tercera base del codón. Demostramos además que las únicas otras simetrías que intercambian a ambos grupos entre sí se obtienen combinando los anteriores con una simetría que actúa sólo en la tercera base de los codones (aquí no incluimos la sustitución en la segunda base que los intercambios A y C al fijar G y T). Esto se puede ver contando el número de ocurrencias de A, C, G y T como primera, segunda o tercera base en un codón de cada grupo. El resultado se presenta en la Tabla 1. Estas simetrías son válidas para el código genético estándar y para otros códigos genéticos como el código genético mitocondrial de los vertebrados que tiene un mayor grado de simetría de su patrón de degeneración, como se señaló anteriormente (Lehmann, 2000; Jestin, 2006). Además de la existencia de la transformación de Rumer, Shcherbak discutió la siguiendo la regla de Rumer (Shcherbak, 1989), que puede leerse en la Tabla 1: la relación R = C+G/T+A del número de ocurrencias de C y G por el número de ocurrencias de T y A en las posiciones 1, 2 y 3 es igual a 3, 3 y 1 respectivamente en los codones de la primera grupo (y por lo tanto es 1/3, 1/3 y 1 para los codones del segundo grupo). Del mismo modo, el cociente P = T+C/A+G es 1, 3 y 1 en las posiciones 1, 2 y 3 del primer grupo de codones. En segundo lugar, hemos considerado otra agrupación de codones del código genético dependiendo de si los aminoácidos están acilados por aminoacil-tRNA sintetasas en el 2’ o en el el grupo hidroxilo de 3’ de la última ribosa del ARNt (propiedad 2) (Sprinzl y Cramer, 1975); Arnez y Moras, 1994). Esta clasificación de las sintetasas de aminoacil-tRNA es muy similar a la basada en la homología secuencial y en consideraciones estructurales (Eriani et al., 1990; Cusack, 1997). Las sintetasas de clase I contienen consenso de ALTO y KMSKS secuencias, que están ausentes de las sintetasas de amino acil-tRNA de clase II. En el nivel estructural, las síntesis de clase I también contienen un pliegue Rossman, un dominio que se une nucleótidos, a diferencia de las sintetasas de clase II. Las enzimas de clase I catalizan la acilación en el 2». grupo hidroxilo del ARNt mientras que las enzimas de clase II generalmente catalizan la acilación en el Grupo hidroxilo de 3’ del ARNt. PherS como una enzima de clase II que cataliza la acilación en Por lo tanto, el grupo hidroxilo 2’ del ARNt es una excepción. El caso de la cisteinil-tRNACys sintetasa (CysRS) es ambiguo y fue investigado Últimamente. CysRS es una sintetasa de clase I, pero establece contactos con la ranura principal del tallo aceptor de los tRNACys como se encuentra comúnmente para las enzimas de clase II. Los Enzima de Escherichia coli es capaz de catalizar la reacción de acilación tanto en 2’ como en 3’ Grupos hidroxilos de los tRNACys. La acilación de 2’ es aproximadamente un orden de magnitud más rápido que la acilación de 3’ cuando se cataliza por E. coli cisteinil-tRNA sintetasa en vitro (Shitivelband y Hou, 2005). A continuación se utilizó la siguiente clasificación para los aminoácidos acilados de 2’ (Ile, Leu, Met, Val, Trp, Tyr, Arg, Gln, Glu, Phe) y para 3’ aminoácidos acilados (His, Pro, Ser, Thr, Asn, Asp, Lys, Ala, Gly). A la clase de 2’ aminoácidos acilados también se añadió el se detienen las señales, una elección parcialmente justificada por el hecho de que dos codones de parada de la código mitocondrial de vertebrados código para el 2’ aminoácido acilado Arg en el código universal. Tenga en cuenta que si la cisteína no estaba en la clase 3’, o si una señal de parada no era en la clase 2», no se pudieron identificar las simetrías. Si la cisteína se asigna a la clase 2». Como sugiere el párrafo anterior, las simetrías se rompen. Pérdida de la podrían haber ocurrido simetrías durante la evolución de las sintetasas de aminoacil-tRNA y podría estar asociado a la aparición tardía de este aminoácido en el código genético (Brooks y Fresco, 2002). Al considerar propiedades moleculares como polaridad, volumen e hidrofobia, no se observaron diferencias estadísticas entre la clase 2’ y la clase I, por un lado, la clase 3» y clase II, por otra parte (cuadro 3). Existen dos simetrías por sustituciones de base que intercambian la clase 2’ con la clase 3» de los grupos de codón correspondientes (cf. Fig.2). Consisten en la aplicación de las intercambio de sustitución A y C, así como G y T (transversión) a la primera base de el codón, el intercambio de sustitución A y G, así como C y T (transición) a la segunda base del codón, y el intercambio de sustitución A y C, así como G y T o A y T, así como C y G (una transversión) a la tercera base del codón. Estos dos las simetrías difieren por el intercambio de sustitución A y G, así como C y T en la Tercera posición. No están relacionados con los descritos en las figuras 4 y 5 (Yang, 2004) como Las tres simetrías de Yang actúan sólo en tres subconjuntos de aminoácidos, mientras que el Las simetrías descritas aquí son válidas para toda la tabla de codón. No hay otras simetrías por sustituciones de base entre las dos clases 2» y 3», como se puede ver contando las ocurrencias de A, C, G y T en cada clase y cada posición (cuadro 2). Nótese también el siguiente análogo de la regla del Rumer: tanto la relación R = C+G / T+A y la relación Q = A+C / G+T son iguales a 1, 1/3, 1 en las posiciones 1, 2, 3 respectivamente en la clase 2» (y 1, 3, 1 en la clase 3»). En esta carta hemos descrito nuevas simetrías por sustituciones de base en el código de las particiones relativas al nivel de degeneración del codón o a la aminoacilación del ARNt clase. Se han propuesto varios modelos evolutivos en relación con los ARNt y sus aminoacil-tRNA sintetases (Martinez Gimenez y Tabares Seisdedos, 2002); Klipcan y Safro, 2004; Chechetkin, 2006; Di Giulio, 2006). Amino recién introducido ácidos bien pueden haber sido seleccionados para minimizar los efectos nocivos de las traducciones erróneas, y posiblemente de acuerdo con sus volúmenes moleculares (Torabi et al. 2006). Recientemente se observó una serie única de divisiones binarias de la tabla de codón: la misma regla de diferenciación se aplicó en cada división, el patrón de clase I / clase II surgió constantemente (Delarue, 2007). Es probable que las sintetasas de aminoacil-tRNA tengan evolucionados por la duplicación génica y la mutación de las sintetasas primordiales dentro de cada clase, como lo demuestra la homología de secuencias (Woese et al., 2000). Consistentemente, las simetrías resaltado en este manuscrito requieren tres sustituciones de base por codón, que son: no es probable que ocurra, lo que arroja algo de luz sobre la duplicación y la divergencia mecanismo de evolución entre las dos clases de sintetasas de aminoacil-tRNA. Agradecimientos: Agradecemos a H. Epstein, E. Yeramian, D. Moras, B. Prum y J. Perona por su ayuda. Referencias: Arnez, J. G., Moras, D. 1994. Reconocimiento de Aminoacil-tRNA sintetasa tRNA. Oxford, IRL Press 61-81. Bahi, J. M., Michel, C. J. 2004. Un modelo de evolución génica estocástica con tiempo dependiente mutaciones. Bull. Matemáticas. Biol. 66, 763-778. Bashford, J. D., Tsohantjis, I., Jarvis, P. D. 1997. Asignaciones de Codón y nucleótidos en un modelo supersimétrico del código genético. Phys. Lett. A 233, 481-488. Brooks, D. J., Fresco, J. R. 2002. Aumento de la frecuencia de cisteína, tirosina y residuos de fenilalanina desde el último antepasado universal. Mol. Célula. Proteomics 1, 125-131. Chechetkin, V. R. 2006. Código genético desde el punto de vista del ARNt. J. Theor. Biol. 242, 922- 934. Cusack, S. 1997. Aminoacil-tRNA sintetasas. Curr. Opin. Struct. Biol. 7, 881-889. Delarue, M. 2007. Una regla asimétrica subyacente en la asignación de codones. ARN 13, 161 a 169. Di Giulio, M. 2006. El origen no monofilético de la molécula de ARNt y el origen de genes sólo después de la etapa evolutiva del último antepasado común universal. J. Teor. Biol. 240, 343-352. Di Giulio, M., Capobianco, M. R., Medugno, M. 1994. Sobre la optimización de la distancias fisicoquímicas entre los aminoácidos en la evolución del código genético. J. Theor. Biol. 168, 43-51. Eriani, G., Delarue, M., Poch, O., Gangloff, J., Moras, D. 1990. Partición del ARNt sintetizaciones en dos clases basadas en conjuntos de secuencias mutuamente excluyentes. Naturaleza 347, 203-206. Freeland, S. J., Knight, R. D., Landweber, L. F., Hurst, L. D. 2000. Fijación temprana de un código genético óptimo. Mol. Biol. Evol. 17, 511-518. Goldberg, A. L., Wittes, R. E. 1966. Código genético: aspectos de organización. Ciencia 153, 420-424. Hornos, J. E. M., Hornos, Y. M. M. 1993. Modelo algebraico para la evolución del código genético. Phys. Rev. Lett. 71, 4401-4404. Jestin, J. L. 2006. Degeneración en el código genético y sus simetrías por base sustituciones. C. R. Biol. 329, 168-171. Jestin, J. L., Kempf, A. 1997. Codones de cadena y polimerasa inducidos Mutaciones de cambio de fotogramas. Cartas FEBS 419, 153-156. 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Origen del código genético: primer aminoacil-tRNA las sintetasas podrían reemplazar ribozimas isofuncionales cuando sólo la segunda base de Se establecieron los codones. Biol de células de ADN. 25, 365-375. Rumer, Y. B. 1966. Sobre la sistematización del codón en el código genético. Proc. Acad. Sci. URSS 167, 1393-1394. Seligmann, H., Pollock, D.D. 2004. La hipótesis de la emboscada: los codones de parada oculta previenen lectura de genes fuera del marco. Biol de células de ADN. 23, 701-705. Sella, G., Ardell, D. H. 2006. La coevolución de genes y códigos genéticos: Crick está congelado Accidente revisitado. J. Mol. Evol. 63, 297-313. Shcherbak, V. I. 1989. Regla de Rumer y transformación en el contexto de la cooperativa simetría del código genético. J. Theor. Biol. 139, 271-276. Shitivelband, S., Hou, Y. M. 2005. Rompiendo la barrera estéreo de la unión de aminoácidos a ARNt por un único nucleótido. J. Mol. Biol. 348, 513-521. Sprinzl, M., Cramer, F. 1975. Sitio de aminoacilación de los ARNt de Escherichia coli con respecto al grupo 2'- o 3'-hidroxil de la adenosina terminal. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 72, 3049-3053. Torabi, N., Goodarzi, H., Najafabadi, H. S. 2006. El caso de un error minimizando el conjunto de aminoácidos codificados. J. Theor. Biol. en la prensa. Woese, C. R., Olsen, G. J., Ibba, M., Soll, D. 2000. Aminoacil-tRNA sintetasas, la código genético, y el proceso evolutivo. Microbiol. Mol. Biol. Rev. 64, 202-236. Wong, J. T. 2005. Teoría de la coevolución del código genético a los treinta años. Bioensayos 27, 416- Yang, C. M. 2004. En la simetría de 28-gones inherente al código genético entrelazado con aminoacil-tRNA sintetases--la serie Lucas. Bull. Matemáticas. Biol. 66, 1241-1257. Yarus, M. 1998. Aminoácidos como ligandos de ARN: una teoría directa-ARN-templado para el el origen del código. J. Mol. Evol. 47, 109-117. Leyendas de la figura : Gráfico 1 Intercambio del grupo I (códigos para los que no es necesario definir la tercera base especificar el aminoácido) en el grupo II (codones para los cuales la tercera base debe ser definido para especificar inequívocamente el aminoácido o la señal de parada) por el transformación (AG/CT para la primera base, GT/AC para la segunda y tercera base). N=A,T,G o C; H=A,T o C; Y=T o C; R=A o G. Gráfico 2 Intercambio de las clases 2’ y 3’ por la transformación (AC/GT en la primera base, AG/CT en la segunda base, AC/GT en la tercera base). El caso especial de cisteína es etiquetado por un asterisco y discutido en el texto. Cuadro I Número de ocurrencias de las bases A, C, G y T en cada posición dentro de la Codón en cada grupo. Cuadro II Número de ocurrencias de las bases A, C, G y T en cada posición dentro de la Codon en cada clase. Cuadro III Valores estadísticos en t calculados a partir de los datos sobre hidrofobicidad (Kyte y Doolittle, 1982), volumen molecular y polaridad (Di Giulio y otros, 1994) comparar la clase 2’ con la clase I, y la clase 3’ con la clase II. Estos valores son: por debajo del umbral de significación que figura en la tabla del estudiante. A C G T Base 1 Grupo I 4 12 12 4 Grupo II ____________________________________ Base 2 Grupo I 0 16 8 8 Grupo II ____________________________________ Base 3 Grupo I Grupo II Cuadro 1 A C G T Base 1 Clase 2’ 6 10 6 10 Clase 3’ 10 6 10 6 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Base 2 Clase 2’ 8 0 8 16 Clase 3» 8 16 8 0 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Base 3 Clase 2’ 10 6 10 6 Clase 3’ 6 10 6 10 Cuadro 2 Clase 2’ / Clase I Clase 3’ / Clase II Hidrofobicidad 0,07 0,11 Polaridad 0,017 0,019 Volumen 0.57 0.45 Cuadro 3

Esta carta informa de conjuntos completos de dos simetrías entre particiones del código genético universal. Al sustituir las bases en cada posición de la codones según una regla fija, sucede que las propiedades de la degeneración patrón o de la especificidad de aminoacilación del ARNt se intercambian.

Microsoft Word - MS737.rtf Manuscrito enviado como carta al Editor. Título: Las simetrías por sustituciones de base en el código genético predicen 2’ o 3’ aminoacilación de los ARNt. Autores: Jean-Luc Jestina, Christophe Souléb Direcciones: aUnité de Chimie Organique, URA 2128 CNRS Departamento de Biologie Structurale et Chimie, Institut Pasteur 25 rue du Dr. Roux, 75724 Paris 15, Francia Correo electrónico: jjestin@pasteur.fr (autor correspondiente) Tel. +33 1 4438 9496; fax +33 1 4568 8404 bInstitut des Hautes Etudes Scientifiques, CNRS 35 route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, Francia Correo electrónico: soule@ihes.fr Palabras clave: Mutación; degeneración; aminoacil-tRNA sintetasa; codón; rotura de simetría. Entender por qué el código genético es como es, ha sido el tema de numerosos y sigue siendo en gran medida un desafío (Freeland et al., 2000; Sella y Ardell, 2006). Se sugirió que las asociaciones entre los codones y los aminoácidos se basaran en el ARN- interacciones de aminoácidos (Raszka y Mandel, 1972; Yarus, 1998). Estrecha relación codones fueron puestos en correspondencia con aminoácidos estrechamente relacionados dentro de su vías biosintéticas (Wong, 2005). Los Codons también se han agrupado en sistemas caracterizado por ciclos termodinámicos entrelazados (Klump, 2006). Evolucionario modelos que minimicen el número de mutaciones más frecuentes proporcionan una justificación para el hecho de que las transiciones en la tercera base de codones son principalmente mutaciones neutrales (Goldberg y Wittes, 1966). Del mismo modo, minimización de los efectos nocivos de Las deleciones monobase dependientes de secuencia catalizadas por polimerasas de ADN proporcionan un justificación de la asignación de señales de parada a los codones (Jestin y Kempf, 1997). Mientras Codones de parada dentro del marco se seleccionan estrictamente contra, codones de parada fuera del marco minimizan los costes de los deslizamientos ribosómicos (Seligmann y Pollock, 2004). En este contexto, el frecuencias de codones se encontró que eran altamente dependientes del marco de lectura y destacó un patrón de codón simétrico (Koch y Lehmann, 1997). Como el genetico El código es casi universal entre los organismos vivos, los modelos no necesitan ser tiempo. dependiente, a pesar de que se han sugerido modelos dependientes del tiempo (Bahi y Michel, 2004; Rodin y Rodin, 2006; Sella y Ardell, 2006). Simetrías en el código genético son de especial interés, ya que pueden poner de relieve los principios de organización subyacentes de la código. Se propuso un modelo supersimétrico para la evolución del código genético: la ruptura sucesiva de estas simetrías proporcionaría un escenario evolutivo para el la descomposición en conjuntos de codones sinónimos (Hornos y Hornos, 1993; Bashford et al., 1997). Cuando los aminoácidos se asignan a los vértices de un 28-gon, tres dos veces se identificaron simetrías para tres subconjuntos del aminoacil-tRNA de cognato synthetases (Yang, 2004). Esta carta informa de conjuntos completos de dos simetrías entre particiones de la código genético universal. Sustituyendo las bases en cada posición de los codones según a una regla fija, sucede que las propiedades del patrón de degeneración o del ARNt Se intercambia la especificidad de la aminoacilación. Primero el conjunto de sesenta y cuatro codones del código genético fue dividido en dos grupos de treinta y dos codones dependiendo de si la tercera base de trillizos es necesaria o no definir inequívocamente un aminoácido o una señal de parada (propiedad 1). Rumer reportó un simetría por sustituciones de base que altera la propiedad 1 (Rumer, 1966). Las sustituciones el intercambio de T y G, así como A y C se aplican a las tres bases de codón y son llamada transformación de Rumer. Si la tercera base es necesaria para definir un aminoácido, entonces el codón simétrico por la transformación de Rumer no requiere la tercera base de codones que deben definirse de manera que se defina sin ambigüedades el aminoácido. Por el contrario, si no es necesario definir la tercera base de manera que se defina sin ambigüedades un aminoácido, entonces el codón simétrico por la transformación de Rumer requiere que la tercera base sea para definir sin ambigüedades el aminoácido. Más recientemente, uno de los autores informó una simetría que deja sin cambios la propiedad 1 (Jestin, 2006): esta simetría consiste en aplicar a la primera base de codones las sustituciones que intercambian G y C como así como T y A. Por ejemplo, los codones GCN codificados para alanina se intercambian por CCN Codificación de codones para prolina; en el caso de los codones GCN y CCN, la tercera base no tiene por qué definir de manera que se defina sin ambigüedades el aminoácido. Aquí reportamos una tercera simetría que altera la propiedad 1 (Fig.1). Esta simetría es obtenido aplicando sucesivamente las dos simetrías descritas anteriormente. Consiste en: por la que se aplica el intercambio de sustitución A y G, así como C y T (transición) a la primera base en el codón, el intercambio de sustitución A y C, así como G y T (a transversion) a la segunda base en el codón, y el intercambio de sustitución A y C así como G y T (una transversión) en la tercera base del codón. Demostramos además que las únicas otras simetrías que intercambian a ambos grupos entre sí se obtienen combinando los anteriores con una simetría que actúa sólo en la tercera base de los codones (aquí no incluimos la sustitución en la segunda base que los intercambios A y C al fijar G y T). Esto se puede ver contando el número de ocurrencias de A, C, G y T como primera, segunda o tercera base en un codón de cada grupo. El resultado se presenta en la Tabla 1. Estas simetrías son válidas para el código genético estándar y para otros códigos genéticos como el código genético mitocondrial de los vertebrados que tiene un mayor grado de simetría de su patrón de degeneración, como se señaló anteriormente (Lehmann, 2000; Jestin, 2006). Además de la existencia de la transformación de Rumer, Shcherbak discutió la siguiendo la regla de Rumer (Shcherbak, 1989), que puede leerse en la Tabla 1: la relación R = C+G/T+A del número de ocurrencias de C y G por el número de ocurrencias de T y A en las posiciones 1, 2 y 3 es igual a 3, 3 y 1 respectivamente en los codones de la primera grupo (y por lo tanto es 1/3, 1/3 y 1 para los codones del segundo grupo). Del mismo modo, el cociente P = T+C/A+G es 1, 3 y 1 en las posiciones 1, 2 y 3 del primer grupo de codones. En segundo lugar, hemos considerado otra agrupación de codones del código genético dependiendo de si los aminoácidos están acilados por aminoacil-tRNA sintetasas en el 2’ o en el el grupo hidroxilo de 3’ de la última ribosa del ARNt (propiedad 2) (Sprinzl y Cramer, 1975); Arnez y Moras, 1994). Esta clasificación de las sintetasas de aminoacil-tRNA es muy similar a la basada en la homología secuencial y en consideraciones estructurales (Eriani et al., 1990; Cusack, 1997). Las sintetasas de clase I contienen consenso de ALTO y KMSKS secuencias, que están ausentes de las sintetasas de amino acil-tRNA de clase II. En el nivel estructural, las síntesis de clase I también contienen un pliegue Rossman, un dominio que se une nucleótidos, a diferencia de las sintetasas de clase II. Las enzimas de clase I catalizan la acilación en el 2». grupo hidroxilo del ARNt mientras que las enzimas de clase II generalmente catalizan la acilación en el Grupo hidroxilo de 3’ del ARNt. PherS como una enzima de clase II que cataliza la acilación en Por lo tanto, el grupo hidroxilo 2’ del ARNt es una excepción. El caso de la cisteinil-tRNACys sintetasa (CysRS) es ambiguo y fue investigado Últimamente. CysRS es una sintetasa de clase I, pero establece contactos con la ranura principal del tallo aceptor de los tRNACys como se encuentra comúnmente para las enzimas de clase II. Los Enzima de Escherichia coli es capaz de catalizar la reacción de acilación tanto en 2’ como en 3’ Grupos hidroxilos de los tRNACys. La acilación de 2’ es aproximadamente un orden de magnitud más rápido que la acilación de 3’ cuando se cataliza por E. coli cisteinil-tRNA sintetasa en vitro (Shitivelband y Hou, 2005). A continuación se utilizó la siguiente clasificación para los aminoácidos acilados de 2’ (Ile, Leu, Met, Val, Trp, Tyr, Arg, Gln, Glu, Phe) y para 3’ aminoácidos acilados (His, Pro, Ser, Thr, Asn, Asp, Lys, Ala, Gly). A la clase de 2’ aminoácidos acilados también se añadió el se detienen las señales, una elección parcialmente justificada por el hecho de que dos codones de parada de la código mitocondrial de vertebrados código para el 2’ aminoácido acilado Arg en el código universal. Tenga en cuenta que si la cisteína no estaba en la clase 3’, o si una señal de parada no era en la clase 2», no se pudieron identificar las simetrías. Si la cisteína se asigna a la clase 2». Como sugiere el párrafo anterior, las simetrías se rompen. Pérdida de la podrían haber ocurrido simetrías durante la evolución de las sintetasas de aminoacil-tRNA y podría estar asociado a la aparición tardía de este aminoácido en el código genético (Brooks y Fresco, 2002). Al considerar propiedades moleculares como polaridad, volumen e hidrofobia, no se observaron diferencias estadísticas entre la clase 2’ y la clase I, por un lado, la clase 3» y clase II, por otra parte (cuadro 3). Existen dos simetrías por sustituciones de base que intercambian la clase 2’ con la clase 3» de los grupos de codón correspondientes (cf. Fig.2). Consisten en la aplicación de las intercambio de sustitución A y C, así como G y T (transversión) a la primera base de el codón, el intercambio de sustitución A y G, así como C y T (transición) a la segunda base del codón, y el intercambio de sustitución A y C, así como G y T o A y T, así como C y G (una transversión) a la tercera base del codón. Estos dos las simetrías difieren por el intercambio de sustitución A y G, así como C y T en la Tercera posición. No están relacionados con los descritos en las figuras 4 y 5 (Yang, 2004) como Las tres simetrías de Yang actúan sólo en tres subconjuntos de aminoácidos, mientras que el Las simetrías descritas aquí son válidas para toda la tabla de codón. No hay otras simetrías por sustituciones de base entre las dos clases 2» y 3», como se puede ver contando las ocurrencias de A, C, G y T en cada clase y cada posición (cuadro 2). Nótese también el siguiente análogo de la regla del Rumer: tanto la relación R = C+G / T+A y la relación Q = A+C / G+T son iguales a 1, 1/3, 1 en las posiciones 1, 2, 3 respectivamente en la clase 2» (y 1, 3, 1 en la clase 3»). En esta carta hemos descrito nuevas simetrías por sustituciones de base en el código de las particiones relativas al nivel de degeneración del codón o a la aminoacilación del ARNt clase. Se han propuesto varios modelos evolutivos en relación con los ARNt y sus aminoacil-tRNA sintetases (Martinez Gimenez y Tabares Seisdedos, 2002); Klipcan y Safro, 2004; Chechetkin, 2006; Di Giulio, 2006). Amino recién introducido ácidos bien pueden haber sido seleccionados para minimizar los efectos nocivos de las traducciones erróneas, y posiblemente de acuerdo con sus volúmenes moleculares (Torabi et al. 2006). Recientemente se observó una serie única de divisiones binarias de la tabla de codón: la misma regla de diferenciación se aplicó en cada división, el patrón de clase I / clase II surgió constantemente (Delarue, 2007). Es probable que las sintetasas de aminoacil-tRNA tengan evolucionados por la duplicación génica y la mutación de las sintetasas primordiales dentro de cada clase, como lo demuestra la homología de secuencias (Woese et al., 2000). Consistentemente, las simetrías resaltado en este manuscrito requieren tres sustituciones de base por codón, que son: no es probable que ocurra, lo que arroja algo de luz sobre la duplicación y la divergencia mecanismo de evolución entre las dos clases de sintetasas de aminoacil-tRNA. Agradecimientos: Agradecemos a H. Epstein, E. Yeramian, D. Moras, B. Prum y J. Perona por su ayuda. Referencias: Arnez, J. G., Moras, D. 1994. Reconocimiento de Aminoacil-tRNA sintetasa tRNA. Oxford, IRL Press 61-81. Bahi, J. M., Michel, C. J. 2004. Un modelo de evolución génica estocástica con tiempo dependiente mutaciones. Bull. Matemáticas. Biol. 66, 763-778. Bashford, J. D., Tsohantjis, I., Jarvis, P. D. 1997. Asignaciones de Codón y nucleótidos en un modelo supersimétrico del código genético. Phys. Lett. A 233, 481-488. Brooks, D. J., Fresco, J. R. 2002. Aumento de la frecuencia de cisteína, tirosina y residuos de fenilalanina desde el último antepasado universal. Mol. Célula. Proteomics 1, 125-131. Chechetkin, V. R. 2006. Código genético desde el punto de vista del ARNt. J. Theor. Biol. 242, 922- 934. Cusack, S. 1997. Aminoacil-tRNA sintetasas. Curr. Opin. Struct. Biol. 7, 881-889. Delarue, M. 2007. Una regla asimétrica subyacente en la asignación de codones. ARN 13, 161 a 169. Di Giulio, M. 2006. El origen no monofilético de la molécula de ARNt y el origen de genes sólo después de la etapa evolutiva del último antepasado común universal. J. Teor. Biol. 240, 343-352. Di Giulio, M., Capobianco, M. R., Medugno, M. 1994. Sobre la optimización de la distancias fisicoquímicas entre los aminoácidos en la evolución del código genético. J. Theor. Biol. 168, 43-51. Eriani, G., Delarue, M., Poch, O., Gangloff, J., Moras, D. 1990. Partición del ARNt sintetizaciones en dos clases basadas en conjuntos de secuencias mutuamente excluyentes. Naturaleza 347, 203-206. Freeland, S. J., Knight, R. D., Landweber, L. F., Hurst, L. D. 2000. Fijación temprana de un código genético óptimo. Mol. Biol. Evol. 17, 511-518. Goldberg, A. L., Wittes, R. E. 1966. Código genético: aspectos de organización. Ciencia 153, 420-424. Hornos, J. E. M., Hornos, Y. M. M. 1993. Modelo algebraico para la evolución del código genético. Phys. Rev. Lett. 71, 4401-4404. Jestin, J. L. 2006. Degeneración en el código genético y sus simetrías por base sustituciones. C. R. Biol. 329, 168-171. Jestin, J. L., Kempf, A. 1997. Codones de cadena y polimerasa inducidos Mutaciones de cambio de fotogramas. Cartas FEBS 419, 153-156. 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Leyendas de la figura : Gráfico 1 Intercambio del grupo I (códigos para los que no es necesario definir la tercera base especificar el aminoácido) en el grupo II (codones para los cuales la tercera base debe ser definido para especificar inequívocamente el aminoácido o la señal de parada) por el transformación (AG/CT para la primera base, GT/AC para la segunda y tercera base). N=A,T,G o C; H=A,T o C; Y=T o C; R=A o G. Gráfico 2 Intercambio de las clases 2’ y 3’ por la transformación (AC/GT en la primera base, AG/CT en la segunda base, AC/GT en la tercera base). El caso especial de cisteína es etiquetado por un asterisco y discutido en el texto. Cuadro I Número de ocurrencias de las bases A, C, G y T en cada posición dentro de la Codón en cada grupo. Cuadro II Número de ocurrencias de las bases A, C, G y T en cada posición dentro de la Codon en cada clase. Cuadro III Valores estadísticos en t calculados a partir de los datos sobre hidrofobicidad (Kyte y Doolittle, 1982), volumen molecular y polaridad (Di Giulio y otros, 1994) comparar la clase 2’ con la clase I, y la clase 3’ con la clase II. Estos valores son: por debajo del umbral de significación que figura en la tabla del estudiante. A C G T Base 1 Grupo I 4 12 12 4 Grupo II ____________________________________ Base 2 Grupo I 0 16 8 8 Grupo II ____________________________________ Base 3 Grupo I Grupo II Cuadro 1 A C G T Base 1 Clase 2’ 6 10 6 10 Clase 3’ 10 6 10 6 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Base 2 Clase 2’ 8 0 8 16 Clase 3» 8 16 8 0 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Base 3 Clase 2’ 10 6 10 6 Clase 3’ 6 10 6 10 Cuadro 2 Clase 2’ / Clase I Clase 3’ / Clase II Hidrofobicidad 0,07 0,11 Polaridad 0,017 0,019 Volumen 0.57 0.45 Cuadro 3

Optical properties of the Holstein-t-J model from dynamical mean-field theory

Propiedades ópticas del modelo Holstein-t-J de la teoría de campo de medios dinámicos E. Cappelluti a,b,*, S. Ciuchi c, S. Fratini d aDipartimento di Fisica, Università “La Sapienza”, P.le A. Moro 2, 00185 Roma, Italia bSMC Research Center y ISC, INFM-CNR, v. dei Taurini 19, 00185 Roma, Italia cINFM y Dipartimento di Fisica, Università dell’Aquila, vía Vetoio, I-67010 Coppito-L’Aquila, Italia dInstitut Néel - CNRS & Université Joseph Fourier, BP 166, F-38042 Grenoble Cedex 9, Francia Resumen Empleamos la teoría dinámica del campo medio para estudiar la conductividad óptica Nosotros proporcionamos una solución exacta para el límite de la conectividad infinita. Aplicamos nuestro análisis a Nd2−xCexCuO4. Demostramos que nuestro modelo puede explicar muchas características de la conductividad óptica en estos compuestos en términos de formación polaron magnético/láttico. Palabras clave: polarones magnéticos/látticos, fluctuaciones de giros, conductividad óptica, cuprates. PACS: 71.10.Fd, 71.38.-k, 78.20.Bh, 75.30.Ds. El problema de un solo agujero en el modelo t-J interactúa- ing también con los grados de la retícula de la libertad ha atraído recientemente un notable interés en relación con el propiedades de la alta T subdomada cuprates [1,2,3,4]. Un cuestión importante en este régimen es la formación de celosía o polarones magnéticos (o ambos) y su mutua interacción. En esta línea, las propiedades de una sola partícula (como la masa efectiva, la función espectral, etc.) han sido ampliamente investigados con diferentes técnicas. Mucho menos esfuerzo ha Sin embargo, se pagó al estudio de las propiedades ópticas. En el plano analítico, la definición de la ductividad (OC) en el agujero único es una materia delicada que necesita cuidado particular incluso para el t-J puro o Holstein modelo [5,6]. Por otra parte, los cálculos numéricos sobre los cúmulos están limitados por los efectos de tamaño finito [7]. Generalidades por lo tanto, la elección de un enfoque teórico particular depende de qué propiedad se está examinando y de su viabilidad para investigarlo. En este trabajo se resumen los principales resultados de nuestro trabajo basado en la teoría dinámica del campo medio (DMFT). Tech- Los detalles se presentarán en un próximo pub más largo. licación [8]. En el infinito número de coordinación límite z → • proporcionamos una solución exacta para el uso de la función de de la función del verde de una sola partícula local en el temple finito- ature. Hay que subrayar que, debido al tratamiento clásico el fondo magnético, la solución DMFT para * Autor correspondiente. Tel: (+39) 06-49937453 fax: (+39) 06- 49937440 Dirección de correo electrónico: emmcapp@roma1.infn.it (E. Cappelluti). 0 1 2 3 4 Ref. [7] este trabajo 1, J/t=0,4, فارسى Fig. 1. Comparación entre la conductividad óptica obtenida por nuestra solución DMFT y la diagonalización de Lanczos en dos dimensiones- iones en un cluster finito (Ref. [7]). z → es puramente local por lo que no puede describir el coher- ent propagación de agujeros debido a las fluctuaciones de giro, ni el pico metálico de Drude-como en Por otra parte, las propiedades locales (como el número medio de fonones, tamaño del polarón magnético, etc.) son bien capturados por este ap- proach, [9] así como las contribuciones incoherentes a la OC. Podemos mostrar explícitamente esta característica comparando en Fig. 1 nuestros resultados DMFT con cálculos numéricos utilizando Lanczos diagonalización para un solo agujero en el 2DHolstein- Modelo t-J en una 10 clúster [7]. El acuerdo notablemente bueno de la forma general como- Sesses la viabilidad de nuestro enfoque para investigar el in- contribuciones coherentes a la frecuencia finita OC. Esto es... Sue es particularmente importante a la luz de la intensa de- sobre el origen de la banda de infrarrojos medios (MIR) en el subdomado de alta T cuprates. Distintas interpretaciones para esta característica ha sido discutida en la literatura, involucrando Preimpresión enviada a Elsevier el 29 de octubre de 2018 http://arxiv.org/abs/0704.0333v1 fluctuaciones de carga/giro, orden de franjas y otros meca- Nismos. Esta difusión de diferentes mecanismos refleja la pres- en este régimen de dopaje de varios actores, que hace que es difícil aislar cada efecto de los demás. Una cosa más sencilla. y la situación ideal es el caso de los cupratos dopados por electrones, como Nd2−xCexCuO4. En estos compuestos, el anti- longitudes de orden ferromagnético (AF) hasta x 0,14, de modo que el régimen de dopaje bajo x. 0.1 nos interesa, yace bien dentro de la fase AF. En el lado experimental, en adi- sión, un estudio detallado y exhaustivo de la conduc- en función de la temperatura T y del dopaje x se proporcionó recientemente en Ref. [10]. En esa obra los autores mostró que el bajo dopaje de los espectros OC se caracterizan a baja temperatura por un pseudogap MIR, con una absorción- borde de banda que varía de EMIR 0,5 - 0,6 para x = 0,05 a EMIR 0,3 - 0,4 para x = 0,1, y es apenas distin- guisable para x = 0,125. Muy interesante, el aumento de la temperatura conduce a un relleno de la pseudogap, en lugar de Un cierre de la misma. También destaca el descenso de la temperatura. dence del peso espectral MIR que no presenta cualquier firma a la temperatura de Néel TN de largo alcance, pero más bien una torcedura a una temperatura más alta "pseudogap" T *. Demostramos aquí que nuestro enfoque es capaz de describir todo estas características, y en particular el borde de la banda MIR, en términos de una brecha óptica debido a la formación de un mag- polarón netic/láttico. Definimos T* como la temperatura donde el tamaño de la vuelta polaron se hace más grande que la longitud de correlación AF, es decir, el máximo tempera- donde una carga inyectada realmente sondea el antecedentes. En esta perspectiva podemos identificar T* con el campo medio Néel temperatura de nuestro modelo, que representa la temperatura por encima de la cual se describe el sistema por un estado paramagnético (en lugar de la aparición de orden). De Ref. [10] Obtenemos, por ejemplo, T* = 440 K en x = 0,05 y T ∗ = 200 K a x = 0,125. Usando el Curie... Weiss relation T* = J/4 estimamos respectivamente J = 152 meV (J/t = 0,126) y J = 69 meV (J/t = 0,057). Nota que tales valores de J no representan el intercambio desnudo la interacción, sino más bien el acoplamiento efectivo de intercambio de giros que se reduce por dopaje agujero. También establecemos el valor 0 = 84 meV, consistente con la ventana de energía de los fonones ópticos en los cuprates. El electrón-fonón (el-ph) con- stant se fija a  = 0,75 con el fin de reproducir la exper- borde de la banda de MIR mental 0.5 - 0.6 eV en el con- ductividad a x = 0,05, y suponemos que del dopaje x. Tenga en cuenta que con estas opciones no más libre se mantienen los parámetros ajustables. In Fig. 2 mostramos la evolución de la temperatura del MIR conductividad óptica para los casos representativos x = 0,05 y x = 0,125 (obsérvese que para comparar con el ex- datos perimentales de Ref. [10] La cola de un Drude-pico debe se superpongan). Lo más notable es el comportamiento de a baja temperatura, que muestra un espacio bien definido para x = 0,05 mientras que no se encuentra ningún espacio para x = 0,125. Esta fea... tura refleja la formación del polarón de celosía y su in- terplay con los grados de giro de la libertad. Mientras que el el-ph Acoplamiento  = 0,75 por sí solo no es lo suficientemente fuerte a x = 0,125 0 0,5 1 [eV] 0,5 1 1,5 [eV] 0 200 400 T [K] x=0,05 x=0,125 T=50K T=440K T=540K T=540K T=340K T=50K T=190K Fig. 2. Dependencia de temperatura de la conductividad óptica x = 0,05 y x = 0,125. Líneas sólidas se utilizan para T ≤ T *, rayado líneas para T > T ∗. Entrada: pérdida del peso espectral del MIR definido en Ref. [10], en función de T para x = 0,05 (círculos llenos) y x = 0,125 (cuadrados vacíos). Las flechas marcan la correspondiente T*. (J/t = 0,057) para establecer un polarón efectos de calización inducidos por el acoplamiento de intercambio más grande J/t = 0,126 a x = 0,05 favor de la forma polaron retícula- tion. Esto conduce así a la apertura de una brecha óptica en (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) próxima publicación[8]). El aumento de T reduce la localización- efectos inducidos por el ordenamiento magnético. Esto hace que la interacción positiva con el acoplamiento el-ph menos eficaz, conduce a un relleno progresivo de la pseudogap. Tenga en cuenta que este efecto desaparece en el caso magnético desordenado para T > T ∗, y un mayor aumento de T conduce a una reducción de la conductividad óptica MIR que se extiende en una mayor ventana de energía. Esto se refleja en la característica tem- comportamiento de peratura del peso espectral del MIR, como de- multada en Ref. [10], que presenta una torcedura en T* (inicio de Fig. 2)[11]. Bibliografía [1] A.S. Mishchenko y N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 0236402; Phys. Rev. B 73 (2006) 092502. [2] O. Rösch y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 146403; Eur. Phys. J. B 43 (2005) 11. [3] O. Gunnarsson y O. Rösch, Phys. Rev. B 73 (2006) 174521. [4] P. Prelovšek, R. Zeyher, y P. Horsch, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 086402. [5] M.P.H. Stumpf y D.E. Logan, Eur. Phys.J.B, 8 (1999) 377. [6] S. Fratini y S. Ciuchi, Phys. Rev. B 74 (2006) 075101. [7] B. Bäuml et al., Phys. Rev. B 58 (1998) 3663. [8] E. Cappelluti, S. Ciuchi y S. Fratini, en preparación (2007). [9] E. Cappelluti y S. Cuichi, Phys. Rev. B 66 (2002) 165102. [10] Y. Onose et., Phys. Rev. B 69 (2004) 024504. [11] Puesto que no encontramos ningún punto isosbásico en nuestros cálculos, Utilizamos las ventanas de energía experimental de Ref. [10] para definir • Neff, a saber, •min = 0,12 eV, •max = 0,42 eV para x = 0,05 eV = 0,21 para x = 0,125. Bibliografía

Empleamos la teoría dinámica del campo medio para estudiar la conductividad óptica $\sigma(\omega)$ de un agujero en el modelo Holstein-t-J. Nosotros proporcionamos una exacta solución para $\sigma(\omega)$ en el límite de conectividad infinita. Aplicamos nuestro análisis a Nd$_{2-x}$Ce$_x$CuO$_4$. Demostramos que nuestro modelo puede explicar muchas características de la conductividad óptica en estos compuestos en términos de formación de polarones magnéticos/látticos.

Propiedades ópticas del modelo Holstein-t-J de la teoría de campo de medios dinámicos E. Cappelluti a,b,*, S. Ciuchi c, S. Fratini d aDipartimento di Fisica, Università “La Sapienza”, P.le A. Moro 2, 00185 Roma, Italia bSMC Research Center y ISC, INFM-CNR, v. dei Taurini 19, 00185 Roma, Italia cINFM y Dipartimento di Fisica, Università dell’Aquila, vía Vetoio, I-67010 Coppito-L’Aquila, Italia dInstitut Néel - CNRS & Université Joseph Fourier, BP 166, F-38042 Grenoble Cedex 9, Francia Resumen Empleamos la teoría dinámica del campo medio para estudiar la conductividad óptica Nosotros proporcionamos una solución exacta para el límite de la conectividad infinita. Aplicamos nuestro análisis a Nd2−xCexCuO4. Demostramos que nuestro modelo puede explicar muchas características de la conductividad óptica en estos compuestos en términos de formación polaron magnético/láttico. Palabras clave: polarones magnéticos/látticos, fluctuaciones de giros, conductividad óptica, cuprates. PACS: 71.10.Fd, 71.38.-k, 78.20.Bh, 75.30.Ds. El problema de un solo agujero en el modelo t-J interactúa- ing también con los grados de la retícula de la libertad ha atraído recientemente un notable interés en relación con el propiedades de la alta T subdomada cuprates [1,2,3,4]. Un cuestión importante en este régimen es la formación de celosía o polarones magnéticos (o ambos) y su mutua interacción. En esta línea, las propiedades de una sola partícula (como la masa efectiva, la función espectral, etc.) han sido ampliamente investigados con diferentes técnicas. Mucho menos esfuerzo ha Sin embargo, se pagó al estudio de las propiedades ópticas. En el plano analítico, la definición de la ductividad (OC) en el agujero único es una materia delicada que necesita cuidado particular incluso para el t-J puro o Holstein modelo [5,6]. Por otra parte, los cálculos numéricos sobre los cúmulos están limitados por los efectos de tamaño finito [7]. Generalidades por lo tanto, la elección de un enfoque teórico particular depende de qué propiedad se está examinando y de su viabilidad para investigarlo. En este trabajo se resumen los principales resultados de nuestro trabajo basado en la teoría dinámica del campo medio (DMFT). Tech- Los detalles se presentarán en un próximo pub más largo. licación [8]. En el infinito número de coordinación límite z → • proporcionamos una solución exacta para el uso de la función de de la función del verde de una sola partícula local en el temple finito- ature. Hay que subrayar que, debido al tratamiento clásico el fondo magnético, la solución DMFT para * Autor correspondiente. Tel: (+39) 06-49937453 fax: (+39) 06- 49937440 Dirección de correo electrónico: emmcapp@roma1.infn.it (E. Cappelluti). 0 1 2 3 4 Ref. [7] este trabajo 1, J/t=0,4, فارسى Fig. 1. Comparación entre la conductividad óptica obtenida por nuestra solución DMFT y la diagonalización de Lanczos en dos dimensiones- iones en un cluster finito (Ref. [7]). z → es puramente local por lo que no puede describir el coher- ent propagación de agujeros debido a las fluctuaciones de giro, ni el pico metálico de Drude-como en Por otra parte, las propiedades locales (como el número medio de fonones, tamaño del polarón magnético, etc.) son bien capturados por este ap- proach, [9] así como las contribuciones incoherentes a la OC. Podemos mostrar explícitamente esta característica comparando en Fig. 1 nuestros resultados DMFT con cálculos numéricos utilizando Lanczos diagonalización para un solo agujero en el 2DHolstein- Modelo t-J en una 10 clúster [7]. El acuerdo notablemente bueno de la forma general como- Sesses la viabilidad de nuestro enfoque para investigar el in- contribuciones coherentes a la frecuencia finita OC. Esto es... Sue es particularmente importante a la luz de la intensa de- sobre el origen de la banda de infrarrojos medios (MIR) en el subdomado de alta T cuprates. Distintas interpretaciones para esta característica ha sido discutida en la literatura, involucrando Preimpresión enviada a Elsevier el 29 de octubre de 2018 http://arxiv.org/abs/0704.0333v1 fluctuaciones de carga/giro, orden de franjas y otros meca- Nismos. Esta difusión de diferentes mecanismos refleja la pres- en este régimen de dopaje de varios actores, que hace que es difícil aislar cada efecto de los demás. Una cosa más sencilla. y la situación ideal es el caso de los cupratos dopados por electrones, como Nd2−xCexCuO4. En estos compuestos, el anti- longitudes de orden ferromagnético (AF) hasta x 0,14, de modo que el régimen de dopaje bajo x. 0.1 nos interesa, yace bien dentro de la fase AF. En el lado experimental, en adi- sión, un estudio detallado y exhaustivo de la conduc- en función de la temperatura T y del dopaje x se proporcionó recientemente en Ref. [10]. En esa obra los autores mostró que el bajo dopaje de los espectros OC se caracterizan a baja temperatura por un pseudogap MIR, con una absorción- borde de banda que varía de EMIR 0,5 - 0,6 para x = 0,05 a EMIR 0,3 - 0,4 para x = 0,1, y es apenas distin- guisable para x = 0,125. Muy interesante, el aumento de la temperatura conduce a un relleno de la pseudogap, en lugar de Un cierre de la misma. También destaca el descenso de la temperatura. dence del peso espectral MIR que no presenta cualquier firma a la temperatura de Néel TN de largo alcance, pero más bien una torcedura a una temperatura más alta "pseudogap" T *. Demostramos aquí que nuestro enfoque es capaz de describir todo estas características, y en particular el borde de la banda MIR, en términos de una brecha óptica debido a la formación de un mag- polarón netic/láttico. Definimos T* como la temperatura donde el tamaño de la vuelta polaron se hace más grande que la longitud de correlación AF, es decir, el máximo tempera- donde una carga inyectada realmente sondea el antecedentes. En esta perspectiva podemos identificar T* con el campo medio Néel temperatura de nuestro modelo, que representa la temperatura por encima de la cual se describe el sistema por un estado paramagnético (en lugar de la aparición de orden). De Ref. [10] Obtenemos, por ejemplo, T* = 440 K en x = 0,05 y T ∗ = 200 K a x = 0,125. Usando el Curie... Weiss relation T* = J/4 estimamos respectivamente J = 152 meV (J/t = 0,126) y J = 69 meV (J/t = 0,057). Nota que tales valores de J no representan el intercambio desnudo la interacción, sino más bien el acoplamiento efectivo de intercambio de giros que se reduce por dopaje agujero. También establecemos el valor 0 = 84 meV, consistente con la ventana de energía de los fonones ópticos en los cuprates. El electrón-fonón (el-ph) con- stant se fija a  = 0,75 con el fin de reproducir la exper- borde de la banda de MIR mental 0.5 - 0.6 eV en el con- ductividad a x = 0,05, y suponemos que del dopaje x. Tenga en cuenta que con estas opciones no más libre se mantienen los parámetros ajustables. In Fig. 2 mostramos la evolución de la temperatura del MIR conductividad óptica para los casos representativos x = 0,05 y x = 0,125 (obsérvese que para comparar con el ex- datos perimentales de Ref. [10] La cola de un Drude-pico debe se superpongan). Lo más notable es el comportamiento de a baja temperatura, que muestra un espacio bien definido para x = 0,05 mientras que no se encuentra ningún espacio para x = 0,125. Esta fea... tura refleja la formación del polarón de celosía y su in- terplay con los grados de giro de la libertad. Mientras que el el-ph Acoplamiento  = 0,75 por sí solo no es lo suficientemente fuerte a x = 0,125 0 0,5 1 [eV] 0,5 1 1,5 [eV] 0 200 400 T [K] x=0,05 x=0,125 T=50K T=440K T=540K T=540K T=340K T=50K T=190K Fig. 2. Dependencia de temperatura de la conductividad óptica x = 0,05 y x = 0,125. Líneas sólidas se utilizan para T ≤ T *, rayado líneas para T > T ∗. Entrada: pérdida del peso espectral del MIR definido en Ref. [10], en función de T para x = 0,05 (círculos llenos) y x = 0,125 (cuadrados vacíos). Las flechas marcan la correspondiente T*. (J/t = 0,057) para establecer un polarón efectos de calización inducidos por el acoplamiento de intercambio más grande J/t = 0,126 a x = 0,05 favor de la forma polaron retícula- tion. Esto conduce así a la apertura de una brecha óptica en (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) próxima publicación[8]). El aumento de T reduce la localización- efectos inducidos por el ordenamiento magnético. Esto hace que la interacción positiva con el acoplamiento el-ph menos eficaz, conduce a un relleno progresivo de la pseudogap. Tenga en cuenta que este efecto desaparece en el caso magnético desordenado para T > T ∗, y un mayor aumento de T conduce a una reducción de la conductividad óptica MIR que se extiende en una mayor ventana de energía. Esto se refleja en la característica tem- comportamiento de peratura del peso espectral del MIR, como de- multada en Ref. [10], que presenta una torcedura en T* (inicio de Fig. 2)[11]. Bibliografía [1] A.S. Mishchenko y N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 0236402; Phys. Rev. B 73 (2006) 092502. [2] O. Rösch y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 146403; Eur. Phys. J. B 43 (2005) 11. [3] O. Gunnarsson y O. Rösch, Phys. Rev. B 73 (2006) 174521. [4] P. Prelovšek, R. Zeyher, y P. Horsch, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 086402. [5] M.P.H. Stumpf y D.E. Logan, Eur. Phys.J.B, 8 (1999) 377. [6] S. Fratini y S. Ciuchi, Phys. Rev. B 74 (2006) 075101. [7] B. Bäuml et al., Phys. Rev. B 58 (1998) 3663. [8] E. Cappelluti, S. Ciuchi y S. Fratini, en preparación (2007). [9] E. Cappelluti y S. Cuichi, Phys. Rev. B 66 (2002) 165102. [10] Y. Onose et., Phys. Rev. B 69 (2004) 024504. [11] Puesto que no encontramos ningún punto isosbásico en nuestros cálculos, Utilizamos las ventanas de energía experimental de Ref. [10] para definir • Neff, a saber, •min = 0,12 eV, •max = 0,42 eV para x = 0,05 eV = 0,21 para x = 0,125. Bibliografía

A Multiphilic Descriptor for Chemical Reactivity and Selectivity

Microsoft Word - LA_Multiphilic_3-4-7.doc Un Descriptor Multifílico para la Reactividad Química y Selectividad J. Padmanabhan1,2, R. Parthasarathi2, M. Elango2, V. Subramanian2,*, B. S. Krishnamoorthy1,3, S. Gutiérrez-Oliva4, A. Toro-Labbé4,*, D. R. Roy1 y P. K. Chattaraj1,* 1Departamento de Química, Instituto Indio de Tecnología, Kharagpur 721302, India. 2 Laboratorio químico, Instituto Central de Investigación del Cuero, Adyar, Chennai 600 020, India. 3Escuela de Química, Universidad de Bharathidasan, Tiruchirappalli-620 024, India. 4Laboratorio de Química Teórica Computacional (QTC), Facultad de Química, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306, Correo 22, Santiago, Chile. Resumen En línea con el concepto de filosofía local propuesto por Chattaraj et al. (Chattaraj, P. K.; Maiti, B.; Sarkar, U. J. Phys. Chem. A. 2003, 107, 4973) y un descriptor dual derivado por Toro-Labbé y compañeros de trabajo (Morell, C.; Grand, A.; Toro-Labbé, A. J. Phys. Chem. A. 2005, 109, 205), proponemos un descriptor multifílico. Se define como la diferencia entre las funciones nucleófilas (k+) y electrofílicas (k-) de la filicidad condensada. Esto descriptor es capaz de explicar simultáneamente la nucleofilia y la electrofilia de los sitios atómicos dados en la molécula. Variaciones de estas cantidades a lo largo de la trayectoria de un También se analiza la reacción suave. La capacidad predictiva de este descriptor ha sido exitosa probados en los sistemas y reacciones seleccionados. Los perfiles de fuerza correspondientes son también analizada en algunos casos representativos. También, para estudiar el intra e intermolecular reactive otro descriptor relacionado a saber, el exceso de nucleofilia ( g ) para una nucleófilo, sobre la electrofilicidad en él se ha definido y probado en todo metal aromático compuestos. *Autores de correspondencia: Correo electrónico: subuchem@hotmail.com, atola@puc.cl, pkc@chem.iitkgp.ernet.in, 1. Introducción La comprensión de la reactividad química y la selectividad en el lugar de la los sistemas han sido manejados eficazmente por la teoría funcional de la densidad conceptual (DFT).1 Potencial químico, dureza global, suavidad global, electronegatividad y electrofilia son descriptores de reactividad global, altamente exitosos en la predicción de reactividad química global tendencias. La función Fukui (FF) y la suavidad local se aplican ampliamente para sondear el local reactividad y selectividad del sitio. Las definiciones formales de todos estos descriptores y se han descrito ecuaciones para su cálculo. 1-4 Varias aplicaciones de ambos descriptores de reactividad global y local en el contexto de la reactividad química y el sitio Se ha examinado en detalle la selectividad3. Parr et al. introdujo el concepto de Electrofilia como índice de reactividad global similar a la dureza química y el potencial químico. 5 Este nuevo índice de reactividad mide la estabilización de la energía cuando el sistema adquiere un sistema electrónico adicional cargar ΔN del medio ambiente. La electrofilia se define como 2/2= (1) En Eq. (1), μ-(I+A)/2 y η-(I-A)/2 son el potencial químico electrónico y el dureza química del estado del suelo de los átomos y moléculas, respectivamente, aproximado en términos del potencial de ionización vertical (I) y de la afinidad electrónica (A). Los electrofilia es un descriptor de reactividad que permite una clasificación cuantitativa de la naturaleza electrofílica global de una molécula dentro de una escala relativa. 5 Fukui Function (FF) 6 es uno de los descriptores funcionales de densidad local ampliamente utilizados para modelar la reactividad química y la selectividad del lugar y se define como el derivado de la densidad de electrones ( r ) con respecto al número total de electrones N en el sistema, en potencial externo constante / ( r ) que actúa sobre un electrón debido a todos los núcleos del sistema [ ] [ ] )()())( rvN Nrrvrf == . 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. El FF condensado se calcula utilizando el procedimiento propuesto por Yang y Mortier,7 basado en un método de diferencia finita ))1( NqNqf kkk = + para ataque nucleófilo (3a) )1()( =- NqNqf kkk para ataque electrofílico (3b) [ ] 2)1()1( = NqNqf kkok por ataque radical (3c) donde kq es la población electrónica de átomo k en una molécula. Chattaraj et al.8 han introducido el concepto de la filicidad generalizada. Contiene casi toda la información sobre la reactividad global y local hasta ahora conocida y descriptores selectivos, además de la información relativa a los electrofílicos/nucleófilos poder de un sitio atómico dado en una molécula. Es posible definir una cantidad local llamada filicidad asociada con un sitio k en una molécula con la ayuda de la correspondiente Variantes atómicas condensadas de FF, αkf como kk f= (4) donde (α= +, - y 0) representan cantidades fílicas locales que describen nucleófilos, ataques electrofílicos y radicales, respectivamente. Eq. (4) predice que el más electrofílico lugar en una molécula es el que proporciona el valor máximo de k+. Cuando dos moléculas reaccionar, que uno actuará como un electrofilo (nucleófilo) dependerá de, que tiene un índice de electrofilia más alto (inferior). Esta tendencia global se origina en el comportamiento local de las moléculas o precisamente en el sitio o sitios atómicos que son propensos a electrofílicos (nucleófilo) ataque. Últimamente, la utilidad del índice de electrofilia para dilucidar la se ha evaluado la toxicidad de los bifenilos policlorados, bencidina y clorofenol en Detalle. 9-11 Además del conocimiento de la suavidad global (S), que es la inversa de dureza, 12 diferentes suavidades locales 13 utilizados para describir la reactividad de los átomos en molécula, se puede definir como k ks Sf α α= (5) donde (α= +, - y 0) representan cantidades de suavidad locales que describen nucleófilos, ataques electrofílicos y radicales, respectivamente. Basado en la suavidad local, relativo También se han definido los índices de nucleofilia (sk- /sk+) y electrofilia relativa (sk+ /sk-) y su utilidad para predecir los sitios reactivos también ha sido dirigida a14. estableció que el modelo químico cuántico seleccionado para derivar la función de onda; población esquema utilizado para obtener las cargas parciales y las bases empleadas en el orbital molecular los cálculos son parámetros importantes que influyen significativamente en los valores de FF. 15-18 La filicidad condensada resumida sobre un grupo de átomos relevantes se define como la “filialidad de grupo”. Puede expresarse como19 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde n es el número de átomos coordinados al átomo reactivo, k es el local la electrofilicidad del átomo k, y gα es el grupo de la filicidad obtenida por la adición del local filicidad de los átomos unidos cercanos. En este estudio19, el Índice de nucleofilia del grupo (g+) de los sistemas seleccionados se utiliza para comparar las tendencias de reactividad química. Toro-Labbé et al20 han propuesto recientemente un descriptor dual (Δf ( r )), que es definido como la diferencia entre las funciones nucleófilas y electrofílicas Fukui y es dado por, Δf(r) = [ [f +(r) - (f - (r) ] (7) Si Δf(r) > 0, entonces el sitio es favorecido para un ataque nucleófilo, mientras que si Δf (r) < 0, entonces el El sitio puede ser favorecido por un ataque electrofílico. La dualidad de suavidad local asociada también tiene se ha definido como,19 Δsk = S (fk+ - fk-) = (sk+ - sk-) (8) Se define como la versión condensada de Δf (r) multiplicada por la suavidad molecular S. 2. Descriptor multifílico A la luz del concepto de filosofía local propuesto por Chattaraj et al.8 y el dual descriptor derivado de Toro-Labbé y compañeros de trabajo20, proponemos un descriptor multifílico utilizando el concepto de filicidad unificada, que puede caracterizar simultáneamente a ambos nucleófilos y la naturaleza electrofílica de una especie química. Se define como la diferencia entre la funciones de condensación nucleófila y electrofílica. Es un índice de selectividad hacia un ataque nucleófilo, que también puede caracterizar un ataque electrofílico y es dado por,21 k = [k+ -''k-] = [k] (9) donde k es la variante condensada-a-átomo-k de (r) (eq 7). Si k > 0, entonces el sitio k es favorecido para un ataque nucleófilo, mientras que si k < 0, entonces el sitio k puede ser favorecido para un ataque electrofílico. Debido a que los FF son positivos (0 < k < 1), -1 < k < 1, y el la condición de normalización para k es 0=Δ=Δ k f (10) Aunque k y Δfk contendrán la misma información de reactividad intramolecular el primero se espera que sea un mejor descriptor intermolecular debido a su contenido de información. Podemos analizar la naturaleza de ( )r en términos de que22 de ( )f rΔ como sigue: [ ]( ) ) = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = ( ) ( ) f r f r = + ( ) ( ) f r r = + ( ) ( ) r f r Δ = El descriptor de multifilia, ( )r es una medida de la diferencia entre local y globales (moduladas por ( )f r ) variaciones de reactividad asociadas con el electrón aceptación/eliminación. Por cierto, la variación de a través de la tabla periódica es similar a la de μ.23 2v vN N ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ = 24 vv N μ μ μ η η η η = = − μ γ μ = − = − Dado que γ es generalmente muy pequeño,24 se espera que siga la tendencia de la μ. Problemas asociados con la definición de η y la discontinuidad25 en E como la función de N estará presente en la definición de ( )f rΔ y la discontinuidad en ( )r Otro tipo similar de diferenciación también ha sido intentado por otros investigadores26. También, para estudiar las reactividades intra e intermolecular otro descriptor relacionado a saber, exceso de nucleofilia ( g ) para un nucleófilo, sobre la electrofilia (neto nucleofilia) en ella se define como ( ) −=−=Δ ggggg ff (11) donde ) y ) son las filicalidades del grupo de la nucleófilo en la molécula debido a ataques electrofílicos y nucleófilos respectivamente. Lo es. espera que el exceso de nucleofilia ( g ) para un nucleófilo siempre debe ser positivo mientras que proporcionará un valor negativo para un electrofilo en una molécula. En el presente estudio, utilizamos tanto el descriptor de multifilia como la nucleofilia. exceso para sondear la naturaleza del ataque/reactividad en un lugar determinado de los sistemas seleccionados. 3. Detalles computacionales Las geometrías del HCHO, CH3CHO, CH3COCH3, C2H5COC2H5, CH2=CHCHO CH3CH=CHCHO, NH2OH, CH3ONH2, CH3NHOH, OHCH2CH2NH2, CH3SNH2, CH3NHSH, SHCH2CH2NH2 y moléculas aromáticas de todo metal, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu) están optimizados por B3LYP/6-311+G** tal como está disponible en el paquete GAUSSIAN 98.27 Varios descriptores de reactividad y selectividad como dureza química, química potencial, suavidad, electrofilia y las cantidades locales apropiadas que emplean se calcula el análisis de la población (NPA)28, 29 esquema. Esquema de HPA (Stockholder) Plan de partición) 30, tal como se ha aplicado en el paquete DMOL3 31, también se ha utilizado para calcular las cantidades locales utilizando el método BLYP/DND. Para todos los metales aromáticos Moléculas, método SCF se ha utilizado para calcular el potencial de ionización (IP) y afinidad electrónica (EA) según las ecuaciones (I=EN-1 - EN, A=EN - EN+1, donde I y A se obtienen a partir de cálculos de energía electrónica total en los sistemas N-1, N, N+1-electrón a la geometría de la molécula neutra). 4. Resultados y Discusión En el presente estudio se selecciona una serie de compuestos de carbonilo para utilidad del descriptor de multifilia (Figura 1). Una comparación con varios otros También se estudian los descriptores y el descriptor dual recientemente derivado. Debido a la naturaleza bipolar de C=O, tanto los ataques nucleófilos como electrofílicos son posibles en sitios de C y O. Lo es. observó que la tasa de adición nucleófila en el compuesto carbonil se reduce por electrones que donan grupos de alquilo y mejorados por electrones que retiran unos. 32 Recientemente, hemos estudiado un conjunto de estos compuestos de carbonilo a la luz de la filicidad y el grupo philicity.19 Las propiedades moleculares globales de la serie seleccionada de compuestos de carbonilo se presentan en el cuadro 1. Varias cantidades locales para lugares concretos de los sistemas seleccionados se enumeran en el cuadro 2 y en el cuadro 3. Los compuestos seleccionados se agrupan en dos conjuntos, a saber: Compuestos de carbonilo no conjugados y α, β-conjugados. Para los compuestos de carbonilo no conjugados, el átomo de carbono (C1) Se espera que el grupo carbonilo sea el sitio más reactivo hacia un ataque nucleófilo. Cuadro 2 enumera los valores de los descriptores de reactividad local utilizando el método B3LYP/6-311+G** para NPA cargas derivadas de las moléculas seleccionadas. Las cantidades locales derivadas del NPA predicen la valor máximo esperado para el carbono carbonilo (C1) de todas las moléculas seleccionadas para fk+, sk+ y Łk+. Pero sk+/sk- es incapaz de proporcionar el valor máximo para el átomo C1 debido a FF negativo valores. Un punto importante a tener en cuenta es que entre los descriptores fk+, sk+, ­k+ y sk+/sk-, + el valor es capaz de proporcionar una clara distinción entre el carbono carbonilo (C1) y el sitio de oxígeno para el ataque nucleófilo. Dado que los cargos derivados de HPA generalmente proporcionan valores de FF no negativos, también lo utilizó para el análisis de reactividad local sobre compuestos de carbonilo. HPA derivado local Los descriptores de reactividad también predicen el valor máximo esperado para el átomo C1 en el caso de HCHO y CH3CHO pero no predice para CH3COCH3 y C2H5COC2H5, donde el oxígeno el átomo se muestra propenso al ataque nucleófilo. Sin embargo, el valor fk+ de el oxígeno es casi igual al del carbono carbonilo (C1), por lo que es difícil hacer un decisión clara sobre el comportamiento electrofílico de estos átomos. En esta situación, el doble Los descriptores Δf (r), Δs k y descriptores multifílicos (r), dan una mano de ayuda. Todos estos las cantidades proporcionan una clara diferencia entre los ataques nucleófilos y electrofílicos a sitio en particular con su signo. Es decir, proporcionan valor positivo para el sitio propenso a ataque nucleófilo y un valor negativo en el sitio propenso a un ataque electrofílico. Los La ventaja del descriptor multifílico (r) es que proporcionan un mayor valor en términos de magnitud en comparación con otros descriptores duales. Por ejemplo, valores de Δf(r), para el ataque nucleófilo (electrófilo) en el sitio de carbono carbonilo (oxígeno) de CH3CHO: 1,06 (-0,93), 0,17 (-0,15), 3,03 (-2,65), respectivamente, para las cargas derivadas de NPA. Casi la Se sigue la misma tendencia en el caso de los cargos derivados del HPA. El segundo grupo de compuestos, a saber, α, β-conjugado carbonilo es elaborado estudiado en el pasado reciente debido a la presencia de dos centros reactivos33. sitio reactivo es el carbono (C1) del carbonilo, y el segundo es el carbono en el β posición (C6). En tal caso, el carbono β se activa debido a la retirada efecto mesomérico del grupo carbonilo adyacente. Como se observa en el cuadro 2 y en el cuadro 3, NPA las cargas derivadas dan un valor máximo para fk+ al carbono carbonílico, mientras que el HPA Las cargas proporcionan un valor máximo de fk+ al átomo de carbono β (C6) en el caso de CH2=CHCHO molécula. Para CH3CH=CHCHHO, el NPA (HPA) proporciona un valor máximo de fk+ de 0,44 (0,17) a carbono carbonilo (C1) en comparación con el sitio de carbono β de 0,34 (0,16). Esta ambigüedad comportamiento puede deberse a la dependencia de los descriptores de reactividad local en la selección de los regímenes de base y de población. Otro sitio de oxígeno muestra un alto valor para fk+ y otros descriptores locales, lo que hace difícil predecir el sitio electrofílico adecuado. Incluso ahora. (r) muestra un alto valor positivo en ambos carbonos que se supone que son electrofílicos y un alto valor negativo en el sitio de oxígeno que revela claramente su carácter nucleófilo en comparación con otros descriptores duales. También se puede observar en las Tablas 2 y 3 que, incluso para moléculas con más de un sitio reactivo, (r) es capaz de hacer una distinción clara entre ellos en términos de su magnitud. Es decir, para las moléculas 6 y 7 que tienen dos sitios reactivos como carbono (C1) del carbonilo y el carbono en la posición β (C6), nuestro los descriptores son capaces de identificar claramente el sitio más fuerte (electrófilo/nucleófilo). Estructuras optimizadas junto con la numeración de átomos para el conjunto seleccionado de aminas son presentado en la figura 2. Propiedades de reactividad global y local del conjunto seleccionado de aminas los métodos B3LYP/6-311+g** y BLYP/DND se presentan en las Tablas 4 a 6. La tendencia de la reactividad mundial basada en el Método B3LYP/6-311+g** (tabla 4) i) CH3ONH2 > OHCH2CH2NH2 > CH3NHOH > NH2OH ii) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Método BLYP/DND (tabla 4) i) CH3ONH2 > OHCH2CH2NH2 > NH2OH > CH3NHOH ii) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Aunque ambos métodos muestran variación en la tendencia de reactividad para el oxígeno que contiene sistemas, las tendencias relacionadas con los sistemas que contienen azufre son las mismas. Basado en NPA y HPA descriptor multifílico derivado de la carga en el sitio de nitrógeno (N), siguiendo la tendencia de reactividad, NPA (cuadro 5) (1) OHCH2CH2NH2 > CH3NHOH > NH2OH > CH3ONH2 (2) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 HPA (cuadro 6) (1) OHCH2CH2NH2 > CH3ONH2 > NH2OH > CH3NHOH (2) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Se puede notar que las tendencias son las mismas que en el caso de los sistemas que contienen azufre, pero muestran variaciones con respecto a los sistemas que contienen oxígeno para la carga NPA y HPA derivado N. Por lo que se refiere a las tendencias de reactividad intramolecular, sitio con máximo valor negativo de k es el sitio preferido para el ataque electrofílico. Intuición química sugiere que el sitio N es más propenso al ataque electrofílico. En el cuadro 7 figura una lista del sitio con valor negativo máximo para k para el conjunto seleccionado de aminas. Se ve que con unos pocos excepción, N sitio se predice como el sitio más preferido para el ataque electrofílico. Más adelante para probar k a lo largo de coordenadas de reacción intrínseca (IRC), consideramos un hacer frente a la reorganización de hexa-1,5-dieno. Este es un ejemplo de [3,3] reacción esigmatrópica. Figura 3 proporciona las estructuras geométricas optimizadas con la numeración de átomos para el Reactante, estado de transición y producto calculado utilizando B3LYP/6-31G* nivel de teoría. La Tabla 8 muestra los parámetros de reactividad global del reactivo, estado de transición y producto. Como era de esperar, la dureza es mínima (2,48 eV) y el índice de electrofilia correspondiente es máximo (1,57 eV) en el estado de transición. Variación del parámetro de reactividad global a lo largo de la trayectoria del IRC se presenta en la Tabla 9 y en la Figura 4 (a-b). Variaciones de la energía (E) y de la energía (e) a lo largo de la trayectoria IRC se indica en la Figura 5a. Se ve que tanto E y son el máximo alrededor de la Estado de transición que lo indica como la estructura más inestable a lo largo de la ruta IRC. Figura 5 b proporciona la variación de dureza (η) y polarizabilidad (α) a lo largo de la trayectoria IRC. Un inverso la relación existe entre ellos. Es decir, η alcanza un mínimo mientras que α se convierte en máximo en el estado de transición como se esperaba. Variación del descriptor multifílico (k) a lo largo del IRC para los sitios atómicos importantes (C1 y C3/ C6 y C11) se presentan en la Figura 5. Al pasar de reactivo al producto, C1 y Los sitios C3 (C6 y C11) cambian su naturaleza y se vuelven más propensos a los electrofílicos ataque (ataque nucleófilo) en el lado del producto. Este cambio en la naturaleza del ataque toma lugar alrededor del estado de transición. En el estudio de la importancia del exceso de nucleofilia ( g ) descriptor, un cuidado análisis de la estructura electrónica, la propiedad y la reactividad de todos los metales aromáticos se realizan compuestos, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu). Los cuatro miembros unidad de aluminio Al4 presente en todas las moléculas puede ser considerado como una sola unidad. Esto unidad puede participar fácilmente en el proceso de transferencia de carga con el M ( Li, Na, K, Cu) átomo en Esos complejos. La Figura 6 muestra los varios isómeros estables de MAl4–. El isómero C4v del MAl4– es energéticamente más estable, menos polarizable y más difícil34, 35 los valores de filicidad del grupo de los nucleófilos Al42 y M+ (M=Li, Na, K, Cu) electrofilo en los isómeros MAl4–. Se encuentra que en todos los isómeros MAl4– la nucleofilia de la unidad aromática Al42 domina su tendencia electrofílica (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gg ) y, por lo tanto, g es positivo, mientras que la electrofilia de M + domina sobre su nucleofilia (es decir. gg ) y, por lo tanto, g es negativo como se esperaba. Es importante señalar que Al42– es el máximo en el caso del isómero C4v más estable de la molécula MAl4–. La orden del Valor de g de Al4 2– nucleófilo en MAl4–, vvv CCC ­24, es decir, estabilización de un El isómero MAl4 (excepto en KAl4–) aumenta su nucleofilia y, en consecuencia, puede utilizarse como un mejor cátodo molecular. También es importante señalar que la nucleofilia de la Al42– unidad en MAl4– (C4v) aumenta a medida que K Cu Na Li». valores de exceso de nucleofilia. Expresiones estándar1-5 para N y E en términos de grupo electronegatividad y dureza de grupo proporcionará información adicional sobre el electrón proceso de transferencia. Variación de k a lo largo del IRC de tres reacciones seleccionadas, 36 viz., a) a reacción termoneutral: Fa– + CH3-Fb → Fa-CH3 + Fb–, b) una reacción endotérmica: HNO → HON, c) una reacción exotérmica: H2OO → HOOH se presenta en las figuras 7 a) – 7 c). Para la reacción termoneutral, tanto el Fa– (fabricación de la unión) como el Fb– (rotura de la unión) son: nucleófilo. La nucleofilia neta del átomo Fa es más que la del átomo Fb a lo largo el IRC de la parte reactante a la TS y la situación se invierte para los IRC correspondientes a la TS al lado del producto. Para la reacción endotérmica, la nucleofilia neta de O (bono) making) es más alto que el de N (rotura de la unión) a lo largo del IRC. En el caso de la exotérmica reacción, el átomo de O1 (que hace la unión) es más electrofílica que su actividad nucleófila. Además, sus valores de función Fukui calculados a través del análisis de población de Mulliken En algunos casos, el esquema (MPA) se vuelve negativo. Para la reacción termoneutral k es mínimo en el estado de transición. Para otras dos reacciones, k no siempre sigue el tendencia a que el IRC corresponda al valor mínimo de k ± (si no es cero) está en de acuerdo con el postulado de Hammond.36 Las figuras 8 (a) – 8 (c) proporcionan los perfiles para las fuerzas de reacción correspondientes37. Aparte de los puntos importantes correspondientes al reactivo (R), la transición Estado (TS) y el producto (P) existen otros dos puntos importantes asociados con el configuraciones que tengan la fuerza máxima (Fmax) y la fuerza mínima (Fmin). Los los ceros, máximos y mínimos de la fuerza de reacción definen los puntos clave a lo largo de la reacción coordenadas, que lo dividen en tres regiones de reacción que se identifican a través de rayado en la figura 8. La primera etapa, en la región reactivante, tiende a ser naturaleza con énfasis en efectos estructurales tales como rotación, estiramiento de enlace, flexión de ángulo, etc., que facilitará la adopción de medidas ulteriores. La región del estado de transición se caracteriza en su mayoría por reordenamientos electrónicos, mientras que la región del producto está principalmente asociada a relajación necesaria para llegar a los productos. Hemos demostrado que el análisis de un producto químico la reacción en términos de estas regiones puede proporcionar una visión significativa de su mecanismo y las funciones desempeñadas por factores externos, como los potenciales externos y los disolventes.37, 38 Partición de las energías de activación en términos del trabajo realizado para pasar de i) R a Fmin: W1, ii) Fmin a TS: W2, iii) TS a Fmax: W3 y iv) Fmax a P: W4 da la energía de activación para la reacción hacia adelante (Ef#) como (W1+W2) y la de la reacción inversa (Er#) como -(W3+W4). Por lo tanto, la energía de reacción se convierte en (Ef# – Er# = W1+W2+W3+W4). Estos valores se indican en el cuadro 11. Como era de esperar, el valor de 0 es cero, negativo y positivo para el reacciones termoneutrales, exotérmicas y endotérmicas respectivamente. El sesgo-simétrico la naturaleza del perfil de fuerza para la reacción termoneutral sugiere que A=W1+W4 y B=W2+W3 sería cero. Similarmente A, B sería positivo (negativo) para el reacciones endotérmicas. El estado de transición en la configuración IRC=0 se encuentra en la medio entre las configuraciones de Fmax y Fmin para la reacción termoneutral, mientras que se encuentra hacia las configuraciones Fmin(Fmax) para la reacción exo(endo)térmica, una firma del Hammond postula a través de la fuerza de reacción. Valores similares de W1 y W2 (véase el cuadro 11) junto con los cambios observados en la nucleofilia a lo largo de la coordenada de reacción para la sustitución de SN2 termoneutral y para la reacción exotérmica H2OO → HOOH indican que estructural y electrónica la reordenación aparecen al principio de la reacción, 37,38 a través de una fuerte disminución de la nucleofilia, este cambio prácticamente cesa en el estado de transición de la exotérmica reacción para alcanzar el valor del producto. Es interesante observar que en ambos casos el descenso de nucleofilia de los átomos clave de los reactivos ((Fa/Fb) ~ 0,014; (O1) ~ 0,14) al estado de transición ((Fa/Fb) ~ 0.004; (O1) ~ 0.0) requiere una cantidad similar de energía (9,54 kcal/mol y 7,39 kcal/mol, respectivamente). Se puede observar en la Tabla 11 que: para la reacción termoneutral W1>W2 que indica que el paso de preparación requiere más energía que la transición al paso del producto. Por otro lado, los valores de W2 para el las reacciones termoneutrales y exotérmicas están muy cerca unas de otras y el trabajo W1 asociado a la fase de preparación en la reacción termoneutral es mayor que la de la reacción exotérmica, esto indica que en la reacción SN2 el reordenamiento estructural de la El grupo CH3 para alcanzar la estructura D3h en el estado de transición es la transformación clave que involucrar la mayor parte de la energía de activación. En la reacción HNO endotérmica → HON el pequeño cambios de nucleofilia junto con grandes valores de W1 y W2 indican que la la reacción es impulsada principalmente por la reordenación estructural en la fase de preparación. 5. Conclusiones En este trabajo se propone y se prueba un descriptor multifílico (k). Se muestra que, k ayuda a identificar la naturaleza electrofílica/nucleófila de un sitio específico dentro de una molécula. Una comparación entre los diferentes descriptores de reactividad local se lleva a cabo en un conjunto de compuestos de carbonilo. También se analiza un conjunto seleccionado de aminas usando k. Además, También consideramos un reordenamiento del hexa-1,5-dieno para probar la variación de a lo largo Camino IRC. Se ve que k presenta una clara distinción entre electrofílica y sitios nucleófilos dentro de una molécula en términos de su magnitud y signo. Por lo tanto, ellos revelar el hecho de que el descriptor multifílico puede ser utilizado efectivamente en la caracterización de la naturaleza electrofílica/nucleófila de un sitio dado en una molécula. También la importancia de exceso de nucleofilia ( g ) descriptor sobre la reactividad de todos los metales aromáticos los compuestos, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu) se analizan con éxito. Perspicacia importante en tres tipos diferentes de reacciones: a) termoneutrales, b) endotérmicas y c) exotérmica se obtienen a través del análisis de los perfiles descriptores multifílicos dentro de las regiones de reacción definidas por la fuerza de reacción a lo largo de la trayectoria de reacción. Los resultados discutidos hasta ahora muestran claramente la importancia de los descriptores seleccionados, a saber, descriptor multifílico y exceso de nucleofilia en el análisis de la reactividad global tendencias en los sistemas moleculares. Agradecimiento: PKC y DRR agradecen a BRNS, Mumbai por su ayuda financiera. JP y BSK agradecen al IIT Kharagpur para proporcionar las instalaciones necesarias para un proyecto de verano. JP también agradece a la UGC por seleccionarlo para llevar a cabo su trabajo de doctorado bajo FIP. ATL y SGO desean dar las gracias ayuda financiera de FONDECYT, subvención N° 1060590, FONDAP a través del proyecto N° 1180002 (CIMAT) y Programa Bicentenario en Ciencia y Tecnología (PBCT), Proyecto de Inserción Académica N° 8. ATL también está en deuda con el John Simon Fundación Guggenheim para una beca. Bibliografía (1) Parr, R.G.; Yang, W. Densidad Teoría Funcional de Átomos y Moléculas, Oxford University Press: Oxford, 1989. (2) Pearson, R. G. Dureza química - Aplicaciones de moléculas a sólidos, VCH- Wiley: Weinheim, 1997. (3) Geerlings, P.; De Proft, F.; Langenaeker, W. Chem. Rev. 2003, 103, 1793. 4) Número especial de J. Chem. Sci. sobre Reactividad Química, 2005, Vol. 117, Editor invitado: Chattaraj, P. K. 5) Parr, R. G.; Szentpaly, L. V.; Liu, S. J. Soy. Chem. Soc. 1999, 121, 1922. Chattaraj, P. K.; Sarkar, U.; Roy, D. R. Chem. Rev. 2006, 106, 2065. 6) Parr, R. G.; Yang, W. J. Soy. Chem. Soc., 1984, 106, 4049. Fukui, K. Science 1987, 218, 747. Ayers, P. W.; Levy, M. Theor. 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R.; Chattaraj, P. K.; Subramanian, V. Ind. J.Chem. A 2006, 45A, 2369. Bulat, F.A.; Toro-Labbé, A. J. Phys. Chem. A 2003, 107, 3987. (36) Chattaraj, P. K.; Roy, D. R. J. Phys. Chem. A 2006, 110, 11401. Chattaraj, P. K.; Roy, D. R. J. Phys. Chem. A 2005, 109, 3771. 37) Toro-Labbé, A. J. Phys. Chem. A 1999, 103, 4398. Jaque, P.; Toro-Labbé, A. J. Phys. Chem. A 2000, 104, 995. Martínez, J.; Toro-Labbé, A. Chem. Phys. Lett. 2004, 392, 132. Herrera, B.; Toro-Labbé, A. J. Chem. Phys. 2004, 121, 7096. Toro-Labbé, A.; Gutiérrez-Oliva, S.; Concha, M. C.; Murray, J. S.; Politzer, P. J. Chem. Phys. 2004, 121, 4570. Gutiérrez-Oliva, S.; Herrera, B.; Toro-Labbé, A.; Chermette, H. J. Phys. Chem. A 2005, 109, 1748. 38) Politzer, P.; Burda, J. V.; Concha, M. C.; Lane, P.; Murray, J. S. J. Phys. Chem. A 2006, 110, 756. Rincón, E.; Jaque, P.; Toro-Labbé, A. J. Phys. Chem. A 2006, 110, 9478. Burda, J. V.; Toro-Labbé, A.; Gutiérrez-Oliva, S.; Murray, J. S.; Politzer, P. J. Phys. Chem. A 2007, en la prensa. CUADRO 1: Propiedades de la Reactividad Global Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6-311+g** y método BLYP/DND. η μ  S η μ  S Moléculas B3LYP/6-311+g** (eV) BLYP/DND (eV) HCHO 2.960 -4,707 3,742 0,169 1,942 -4,260 4,673 0,258 CH3CHO 3,115 -4,224 2,864 0,161 2,096 -3,791 3,425 0,238 CH3COCH3 3.144 -3.910 2.432 0,159 2.133 -3.456 2.800 0,234 C2H5COC2H5 3,153 -3,799 2,288 0,159 2,151 -3,367 2,635 0,233 CH2=CHCHO 2,503 -4,904 4,805 0,200 1,545 -4,413 6,303 0,324 CH3CH=CHCHO 2,542 -4,631 4,217 0,197 1,593 -4,132 5,359 0,314 CUADRO 2: Propiedades de reactividad local calculadas de las moléculas seleccionadas utilizando el método B3LYP/6-311+g** para NPA derivado cargos. Molécula fk - Δfk +- fk HCHO C 0,8323 -0,1722 0,1406 -0,0291 -4,8331 3.1146 -0,6444 1,0045 0,1697 3,7591 O 0,0399 0,9409 0,0067 0,1589 0,0424 0,1494 3,5211 -0,9010 -0,1522 -3,3718 CH3CHO C1 0,8178 -0,2416 0,1313 -0,0388 -3,3856 2,3419 -0,6917 1,0593 0,1700 3,0337 O 0,0072 0,9320 0,0012 0,1496 0,0077 0,0206 2,6691 -0,9250 -0,1484 -2-6485 CH3COCH3 C1 0,3142 -0,2916 0,0500 -0,0464 -1,0772 0,7640 -0,7092 0,6058 0,0964 1,4732 O -0,2540 0,9286 -0,0404 0,1477 -0,2734 -0,6170 2,2582 -1.1820 -0,1881 -2,8755 C2H5COC2H5 C1 0,3064 -0,2944 0,0486 -0,0467 -1,0408 0,7011 -0,6736 0,6007 0,0953 1,3746 O -0,2650 0,8751 -0,0420 0,1388 -0,3024 -0,606 2.0025 -1,1400 -0,1807 -2,6080 CH2=CHCHO C6 0,2789 0,2070 0,0557 0,0413 1,3472 1,3402 0,9944 0,0719 0,0144 0,3458 C1 0,4355 -0,2288 0,0870 -0,0457 -1,9033 2,0926 -1,0995 0,6643 0,1327 3.1921 O -0,0560 0,9265 -0,0112 0,1851 -0,0605 -0,2700 4,4518 -0,9830 -0,1963 -4,7213 CH3CH=CHCHO C6 0,3437 0,0926 0,0676 0,0182 3,7143 1,4494 0,3904 0,2511 0,0494 1,0590 C1 0,4408 -0,2365 0,0867 -0,0465 -1,8642 1,8592 -0,9973 0,6773 0,1332 2,8566 O -0,0670 0,9281 -0,0132 0,1825 -0,0721 -0,2820 3-9142 -0,9950 -0,1957 -4,1964 CUADRO 3: Propiedades de Reactividad Local Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando el método BLYP/DND para HPA derivado cargos. Molécula fk - Δfk +- fk HCHO C 0,3973 0,2373 0,1023 0,0623 0,0611 1,6744 1,8563 1,1088 0,1600 0,0412 0,7476 O 0,3010 0,4232 0,0775 0,1090 0,7113 1,4064 1,9774 -0,1222 -0,0315 -0,5710 CH3CHO C1 0,2998 0,1642 0,0715 0,0391 1,8267 1,0268 0,5624 0,1356 0,0324 0,4644 O 0,2708 0,3782 0,0646 0,0902 0,7165 0,9275 1,2953 -0,1074 -0,0256 -0,3678 CH3COCH3 C1 0,2108 0,1154 0,0494 0,0271 1,8262 0,5902 0,3231 0,0954 0,0223 0,2671 O 0,2359 0,3499 0,0553 0,0820 0,6742 0,6605 0,9797 -0,1140 -0,0267 -0,3192 C2H5COC2H5 C1 0,1346 0,0990 0,0313 0,0230 1,3598 0,3547 0,2609 0,0356 0,0083 0,0938 O 0,1449 0,2873 0,0337 0,0668 0,5045 0,3818 0,7570 -0,1424 -0,0331 -0,3752 CH2=CHCHO C1 0,1780 0,1357 0,0577 0,0440 1,3117 1,1219 0,8553 0,0423 0,0137 0,2666 C6 0,2062 0,1253 0,0668 0,0406 1,6457 1,2997 0,7898 0,0809 0,0262 0,5099 O 0,1797 0,3414 0,0582 0,1106 0,5264 1,1326 2,1518 -0,1620 -0,0524 -1,0191 CH3CH=CHCHO C6 0,1592 0,1114 0,0500 0,0350 1,4291 0,8532 0,5970 0,0478 0,0150 0,2562 C1 0,1741 0,1095 0,0547 0,0344 1,5900 0,9330 0,5868 0,0646 0,0203 0,3462 O 0,1739 0,2450 0,0546 0,0769 0,7098 0,9319 1,3130 -0,0710 -0,0223 -0,3810 CUADRO 4: Propiedades de la Reactividad Global Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6-311+g** y método BLYP/DND. η μ  S η μ  S Moléculas B3LYP/6-311+g** (eV) BLYP/DND (eV) NH2OH 3,869 -3,553 1,632 0,129 3,411 -1,399 0,287 0,147 CH3ONH2 3,630 -3,738 1,925 0,138 3,549 -3,053 1,313 0,141 CH3NHOH 3,482 -3,392 1,652 0,144 3,229 -1,308 0,265 0,155 OHCH2CH2NH2 3.343 -3.507 1.840 0,150 3.348 -2.689 1,080 0,149 CH3SNH2 3,050 -3,331 1,819 0,164 2,447 -1,750 0,626 0,204 CH3NHSH 3,148 -3,629 2,092 0,159 2,466 -3,596 2,622 0,203 SHCH2CH2NH2 3,135 -3,417 1,862 0,159 2,521 -1,843 0,674 0,198 CUADRO 5: Propiedades de Reactividad Local Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6- Método 311+g** para las cargas derivadas de NPA. Molécula fk - sk - Δfk +- fk NH2OH N 0,1870 0,4140 0,0274 0,0607 2,2139 0,0536 0,1187 -0,2270 -0,0333 -0,0651 O 0,2390 0,2300 0,0350 0,0337 0,9623 0,0685 0,0659 0,0090 0,0013 0,0026 CH3ONH2 C 0,0870 0,0680 0,1410 1,3130 0,0123 0,0096 0,7816 0,1142 0,0893 0,0190 N 0,1500 0,3510 0,0211 0,0495 2,3400 0,1969 0,4608 -0.2010 -0,0283 -0,2639 O 0,0720 0,1740 0,0101 0,0245 2,4167 0,0945 0,2284 -0,1020 -0,0144 -0,1339 CH3NHOH C 0,0470 0,0740 0,0073 0,0115 1,5745 0,0124 0,0196 -0,0270 -0,0042 -0,0071 N 0,1200 0,3390 0,0186 0,0525 2,8250 0,0318 0,0898 -0,2190 -0,0339 -0,0580 O 0,2100 0,1770 0,0325 0,0274 0,8429 0,0556 0,0469 0,0330 0,0051 0,0087 OHCH2CH2NH2 C1 0,0540 0,0330 0,0081 0,0049 0,6111 0,0583 0,0356 0,0210 0,0031 0,0227 C2 0,0400 0,0610 0,006 0,0091 1,5250 0,0432 0,0659 -0,0210 -0,0031 -0,0227 N 0,0630 0,3470 0,0094 0,0518 5,5079 0,0680 0,3746 -0,2840 -0,0424 -0,3066 O 0,1400 0,1010 0,0209 0,0151 0,7214 0,15111 0,1090 0,0390 0,0058 0,0421 CH3SNH2 C 0,0550 0,0640 0,0112 0,0131 1,1636 0,0344 0,0400 -0,0090 -0,0018 -0,0056 N 0,1490 0,0820 0,0305 0,0168 0,5503 0,0932 0,0513 0,0670 0,0137 0,0419 S 0,3580 0,5510 0,0732 0,1126 1,5391 0,2239 0,3447 -0,1930 -0,0394 -0,1207 CH3NHSH C 0,0530 0,0540 0,0107 0,0110 1,0189 0,1390 0,1416 -0,0010 -0,0002 -0,0026 N 0,1310 0,1740 0,0266 0,0353 1,3282 0,3434 0,4562 -0,0430 -0,0087 -0,1127 S 0,4530 0,4420 0,0919 0,0896 0,9757 1,1876 1.1588 0,0110 0,0022 0,0288 SHCH2CH2NH2 C1 0,0780 0,0410 0,0155 0,0081 0,5256 0,0525 0,0276 0,0370 0,0073 0,0249 C2 0,0290 0,0250 0,0058 0,0050 0,8621 0,0195 0,0168 0,0040 0,0008 0,0027 N 0,0380 0,1270 0,0075 0,0252 3,3421 0,0256 0,0856 -0,0890 -0,0177 -0,0600 S 0,3890 0,4710 0,0772 0,0934 1,2108 0,2621 0,3173 -0,0820 -0,0163 -0,0552 CUADRO 6 Propiedades de reactividad local calculadas de las moléculas seleccionadas utilizando BLYP/DND método para las cargas derivadas de HPA. Molécula fk - sk - Δfk +- fk NH2OH N 0,1837 0,9327 0,0237 0,1205 5,0777 0,2997 1,5218 -0,7490 -0,0970 -1,2220 O -0,0770 0,5114 -0,0100 0,0661 -6,6170 -0,1261 0,8344 -0,5890 -0,0760 -0,9610 CH3ONH2 C 0,5410 0,0819 0,0746 0,0113 0,1513 1,0412 0,1576 0,4592 0,0633 0,8837 N -0,1510 0,2534 -0,0210 0,0349 -1,6740 -0,2913 0,4877 -0,4050 -0,0560 -0,7790 O -0,1790 0,9011 -0,0250 0,1242 -5,0267 -0,3450 1,7342 -1,0800 -0,1490 -2,0790 CH3NHOH C 0,4598 0,1677 0,0660 0,0241 0,3647 0,7598 0,2771 0,2921 0,0419 0,4827 N -0,0580 0,7950 -0,0080 0,1142 -13,725 -0,0957 1,3136 -0,8530 -0,1220 -1,4090 O -0.2690 0,4537 -0,0390 0,0651 -1,6855 -0,4448 0,7497 -0,7230 -0,1040 -1,1940 OHCH2CH2NH2 C1 0,1186 0,0254 0,0177 0,0038 0,2140 0,2181 0,0467 0,0932 0,0139 0,1715 C2 0,4003 0,1067 0,0599 0,0160 0,2666 0,7365 0,1964 0,2936 0,0439 0,5401 N -0,3040 0,9520 -0,0450 0,1424 -3,1337 -0,5589 1,7514 -1,2560 -0,1880 -2,3100 O -0,3340 0,5965 -0,0500 0,0892 -1,7842 -0,6151 1,0974 -0,9310 -0,1390 -1,7120 CH3SNH2 C 0,0667 0,3358 0,0100 0,0502 5,0377 0,1226 0,6178 -0,2690 -0,0400 -0,4950 N -0,297 0,4790 -0,044 0,0717 -1,6119 -0,5467 0,8813 -0,7760 -0.1160 -1,4280 S 0,3671 0,6485 0,0549 0,0970 1,7667 0,6753 1,1931 -0,2810 -0,0420 -0,5180 CH3NHSH C 0,1715 0,1732 0,0256 0,0259 1,0100 0,3154 0,3186 -0.0020 -0,0003 -0.0030 N -0,225 0,9064 -0,0340 0,1356 -4,0267 -0,4141 1,6676 -1,1320 -0,1690 -2,0820 S 0,3479 0,2249 0,0520 0,0336 0,6465 0,6400 0,4137 0,1230 0,01840 0,2262 SHCH2CH2NH2 C1 0,0117 0,2268 0,0017 0,0339 19,432 0,0215 0,4172 -0,2150 -0,0320 -0,3960 C2 0,1651 0,0876 0,0247 0,0131 0,5309 0,3037 0,1612 0,0774 0,0116 0,1425 N -0,292 0,7628 -0,0440 0,1141 -2,6164 -0,5364 1,4035 -1,0540 -0,1580 -1,9400 S 0,1064 0,5646 0,0159 0,0845 5,3089 0,1957 1,0388 -0,4580 -0,0690 -0,8430 CUADRO 7: Lugar atómico con valor máximo para el descriptor multifílico (k) para el conjunto seleccionado de aminas. lugar con valor máximo para la molécula de k NPA HPA NH2OH N N CH3ONH2 O N CH3NHOH N OHCH2CH2NH2 N N CH3SNH2 N S CH3NHSH N N SHCH2CH2NH2 N N CUADRO 8: Descriptores de reactividad global calculados a nivel teórico B3LYP/6-31G*. Especie η (eV) (eV) (eV) Reactor 3.64 - 2.89 1.15 Estado de Transición 2.48 - 2.79 1.57 Producto 3.64 - 2.89 1.15 CUADRO 9: Descriptores de reactividad global a lo largo de la coordenada de reacción intrínseca calculado a nivel de teoría B3LYP/6-31G*. Puntos a lo largo (Hartrees) (eV) (eV) (eV) (a.u.) 1 -234.5673091 2.65 -2.7825 1.46 64.94 2 -234.5661087 2,63 -2.7827 1,47 65,21 3 -234.5649450 2.61 -2.7828 1.49 65.47 4 -234,5638273 2,59 -2,7836 1,50 65,74 5 -234,5627655 2,57 -2,7836 1,51 65,98 6 -234,5617681 2,55 -2.7843 1,52 66,22 7 -234.5608445 2,54 -2.7843 1,53 66,42 8 -234,5600030 2,53 -2.7851 1,54 66,63 9 -234.5592516 2.51 -2.7852 1.54 66.80 10 -234.5585980 2,50 -2.7859 1,55 66.96 11 -234.5580104 2,50 -2.7857 1,56 67.07 12 -234.5575677 2.49 -2.7866 1.56 67.20 13 -234.5575677 2.49 -2.7866 1.56 67.20 14 -234.5580104 2,50 -2.7857 1,56 67.07 15 -234.5585980 2,50 -2.7859 1,55 66.96 16 -234.5592516 2.51 -2.7852 1.54 66.80 17 -234,5600030 2,53 -2.7851 1,54 66,63 18 -234.5608445 2,54 -2.7843 1,53 66,42 19 -234.5617681 2,55 -2.7843 1,52 66,22 20 -234,5627655 2,57 -2,7836 1,51 65,98 21 -234,5638273 2,59 -2,7836 1,50 65,74 22 -234.5649450 2.61 -2.7830 1.49 65.47 23 -234.5661087 2,63 -2.7827 1,47 65,21 24 -234.5673092 2.65 -2.7825 1.46 64.94 CUADRO 10: Filicidad en grupo ( + Los valores para nucleófilos y electrofílicos Ataques con respeto por las unidades jónicas de diferentes Isomers de LiAl4–, NaAl4–, KAl4– y CuAl4–. Isomers Ionic Unit g Al42– 0,0070 0,0095 0,0025 LiAl4– (C.V.) Li+ 0,0063 0,0037 -0.0025 Al42– 1,3E-05 0,0055 0,0055 LiAl4– (C2v) Li+ 0,0068 0,0013 -0.0055 Al42– -0,0372 0,2965 0,3338 LiAl4– (C4v) Li+ 0,4055 0,0718 -0,3338 Al42– 0,0070 0,0102 0,0032 NaAl4– Na+ 0,0074 0,0042 -0.0032 Al42– -0,0001 0,0078 0,0079 NaAl4– (C2v) Na+ 0,0096 0,0017 -0,0079 Al42– -0.0073 0,1024 0,1097 NaAl4– (C4v) Na+ 0,1301 0,0204 -0,1097 Al42– 0,0044 0,0095 0,0051 KAl4– K+ 0,0106 0,0054 -0.0051 Al42– 0,0023 0,0101 0,0078 KAl4– (C2v) K+ 0,0118 0,0039 -0.0078 Al42– 0,0008 0,0066 0,0057 KAl4– (C4v) K+ 0,0078 0,0021 -0.0057 Al42– 0,0031 0,0036 0,0006 CuAl4– (C­v) Cu+ 0,0014 0,0009 -0,0006 Al42– 0,0036 0,0036 0,0048 CuAl4– (C2v) Cu+ 0,0008 0,0008 -0.0048 Al42– 0,0178 0,0332 0,0154 CuAl4– (C4v) Cu+ 0,0131 -0.0023 -0.0154 CUADRO 11: Perfiles de la energía de activación hacia delante ( #fEΔ ), activación inversa energía ( #rEΔ ) y energía de reacción ( 0EΔ ) de reacción termoneutral (Fa– + CH3-Fb → Fa--CH3 + Fb–; una reacción endotérmica (HNO → HON) y una exotérmica reacción (H2OO → HOOH). Reacción #fEΔ +1 +2 W1 W2 W3 W4 Termoneutra B3LYP/6-311++G** 9.54 9.54 0,0 -1,33 1,33 5,42 4.12 -4.12 - 5,42 Endotérmica B3LYP/6-311+G** 75,39 34,84 40,55 -0,80 0,60 43,97 31,42 -13,20 - 21,64 Exotérmica B3LYP/6-311+G** 7,39 52,85 -45,46 -0,65 0,87 3,93 3,46 -19,99 - 32,86 Gráfico 1 Estructuras optimizadas con numeración de átomos para el carbonilo seleccionado compuestos. Gráfico 2 Estructuras optimizadas con numeración de átomos para los sistemas de aminas seleccionados. Producto del Estado de Transición del Reactor Figura 3: Estructuras geométricas optimizadas calculadas utilizando el nivel B3LYP/6-31G* teoría. -234,568 -234.566 -234,564 -234,562 -234,560 -234,558 -234,556 Energía (Hartree) Índice de electrofilia (eV) Coordenada de reacción intrínseca Índice de lectrofilia (eV) 2.66 Dureza química (eV) Polarizabilidad (au) Coordenada de reacción intrínseca olarizabilidad (au) Figura 4 (a-b):Variación de los descriptores de reactividad global a lo largo de la reacción intrínseca coord. - 0,008 - 0,006 - 0,004 - 0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 Coordenada de reacción intrínseca Sitios C1,C3 - 0,008 - 0,006 - 0,004 - 0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 Coordenada de reacción intrínseca Sitios C6, C11 Figura 5 (a-b): Variación del descriptor multifílico a lo largo de la coordenada de reacción intrínseca para los sitios atómicos seleccionados. MAl4– [C.V.] MAl4– [C2v] MAl4– [C4v] M=Li, Na, K, Cu Gráfico 6 Estructuras optimizadas de varios isómeros de MAl4– (M Ł Li, Na, K, Cu). -3 -2 -1 0 1 2 3 -239,704 -239,702 -239.700 -239,698 -239,696 -239,694 -239,692 -239,690 -239,688 -239.686 -3 -2 -1 0 1 2 3 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 Energía (Fa) • (F) a) -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -130.52 -130,50 -130.48 -130.46 -130.44 -130.42 -130.40 -130.38 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 - 0,03 -0,02 -0,01 Energía -2 -1 0 1 2 3 - 151.60 -151.58 -151.56 -151.54 -151.52 -151,50 -2 -1 0 1 2 3 -0,02 Energía (O2)............................................................................................................................................................................................................................................................. (O1) c) Figura 7 (a-c): Perfiles de nucleofilia neta (k) de la trayectoria de la fase gaseosa (a) sustitución SN2 termoneutral: Fa- + CH3-Fb → Fa-CH3 + Fb-, (b) reacción endotérmica: HNO → HON y (c) reacción exotérmica: H2OO → HOOH. También se muestra el perfil de energía. Figura 8 Perfiles de fuerza de reacción a lo largo de la coordenada de reacción para (a) termoneutral reacción: Fa– + CH3-Fb → Fa--CH3 + Fb–; (b) reacción endotérmica: HNO → HON; (c) la reacción exotérmica: H2OO → HOOH. Las líneas verticales discontinuas definen la reacción las regiones siguientes: reaccionante (izquierda), estado de transición (medio) y producto (derecha). -4 -2 0 2 4 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 max(a)

En línea con el concepto de filosofía local propuesto por Chattaraj et al. (Chattaraj, P. K.; Maiti, B.; Sarkar, U. J. Phys. Chem. A. 2003, 107, 4973) y un descriptor dual derivado por Toro-Labbe y compañeros de trabajo (Morell, C.; Grand, A.; Toro-Labbe, A. J. Phys. Chem. A. 2005, 109, 205), proponemos un multifílico descriptor. Se define como la diferencia entre nucleófilo (Wk+) y funciones de filicidad condensada electrofílica (Wk-). Este descriptor es capaz de explicar simultáneamente la nucleofilia y la electrofilia de la dados sitios atómicos en la molécula. Variaciones de estas cantidades a lo largo de la También se analiza la trayectoria de una reacción suave. Capacidad predictiva de este descriptor ha sido probado con éxito en los sistemas y reacciones seleccionados. Los perfiles de fuerza correspondientes también se analizan en algunos casos representativos. También, para estudiar las reactividades intra e intermolecular otra relacionada descriptor a saber, el exceso de nucleofilia (DelW-+) para un nucleófilo, sobre la electrofilia en ella se ha definido y probado en todo metal aromático compuestos.

Introducción La comprensión de la reactividad química y la selectividad en el lugar de la los sistemas han sido manejados eficazmente por la teoría funcional de la densidad conceptual (DFT).1 Potencial químico, dureza global, suavidad global, electronegatividad y electrofilia son descriptores de reactividad global, altamente exitosos en la predicción de reactividad química global tendencias. La función Fukui (FF) y la suavidad local se aplican ampliamente para sondear el local reactividad y selectividad del sitio. Las definiciones formales de todos estos descriptores y se han descrito ecuaciones para su cálculo. 1-4 Varias aplicaciones de ambos descriptores de reactividad global y local en el contexto de la reactividad química y el sitio Se ha examinado en detalle la selectividad3. Parr et al. introdujo el concepto de Electrofilia como índice de reactividad global similar a la dureza química y el potencial químico. 5 Este nuevo índice de reactividad mide la estabilización de la energía cuando el sistema adquiere un sistema electrónico adicional cargar ΔN del medio ambiente. La electrofilia se define como 2/2= (1) En Eq. (1), μ-(I+A)/2 y η-(I-A)/2 son el potencial químico electrónico y el dureza química del estado del suelo de los átomos y moléculas, respectivamente, aproximado en términos del potencial de ionización vertical (I) y de la afinidad electrónica (A). Los electrofilia es un descriptor de reactividad que permite una clasificación cuantitativa de la naturaleza electrofílica global de una molécula dentro de una escala relativa. 5 Fukui Function (FF) 6 es uno de los descriptores funcionales de densidad local ampliamente utilizados para modelar la reactividad química y la selectividad del lugar y se define como el derivado de la densidad de electrones ( r ) con respecto al número total de electrones N en el sistema, en potencial externo constante / ( r ) que actúa sobre un electrón debido a todos los núcleos del sistema [ ] [ ] )()())( rvN Nrrvrf == . 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. El FF condensado se calcula utilizando el procedimiento propuesto por Yang y Mortier,7 basado en un método de diferencia finita ))1( NqNqf kkk = + para ataque nucleófilo (3a) )1()( =- NqNqf kkk para ataque electrofílico (3b) [ ] 2)1()1( = NqNqf kkok por ataque radical (3c) donde kq es la población electrónica de átomo k en una molécula. Chattaraj et al.8 han introducido el concepto de la filicidad generalizada. Contiene casi toda la información sobre la reactividad global y local hasta ahora conocida y descriptores selectivos, además de la información relativa a los electrofílicos/nucleófilos poder de un sitio atómico dado en una molécula. Es posible definir una cantidad local llamada filicidad asociada con un sitio k en una molécula con la ayuda de la correspondiente Variantes atómicas condensadas de FF, αkf como kk f= (4) donde (α= +, - y 0) representan cantidades fílicas locales que describen nucleófilos, ataques electrofílicos y radicales, respectivamente. Eq. (4) predice que el más electrofílico lugar en una molécula es el que proporciona el valor máximo de k+. Cuando dos moléculas reaccionar, que uno actuará como un electrofilo (nucleófilo) dependerá de, que tiene un índice de electrofilia más alto (inferior). Esta tendencia global se origina en el comportamiento local de las moléculas o precisamente en el sitio o sitios atómicos que son propensos a electrofílicos (nucleófilo) ataque. Últimamente, la utilidad del índice de electrofilia para dilucidar la se ha evaluado la toxicidad de los bifenilos policlorados, bencidina y clorofenol en Detalle. 9-11 Además del conocimiento de la suavidad global (S), que es la inversa de dureza, 12 diferentes suavidades locales 13 utilizados para describir la reactividad de los átomos en molécula, se puede definir como k ks Sf α α= (5) donde (α= +, - y 0) representan cantidades de suavidad locales que describen nucleófilos, ataques electrofílicos y radicales, respectivamente. Basado en la suavidad local, relativo También se han definido los índices de nucleofilia (sk- /sk+) y electrofilia relativa (sk+ /sk-) y su utilidad para predecir los sitios reactivos también ha sido dirigida a14. estableció que el modelo químico cuántico seleccionado para derivar la función de onda; población esquema utilizado para obtener las cargas parciales y las bases empleadas en el orbital molecular los cálculos son parámetros importantes que influyen significativamente en los valores de FF. 15-18 La filicidad condensada resumida sobre un grupo de átomos relevantes se define como la “filialidad de grupo”. Puede expresarse como19 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde n es el número de átomos coordinados al átomo reactivo, k es el local la electrofilicidad del átomo k, y gα es el grupo de la filicidad obtenida por la adición del local filicidad de los átomos unidos cercanos. En este estudio19, el Índice de nucleofilia del grupo (g+) de los sistemas seleccionados se utiliza para comparar las tendencias de reactividad química. Toro-Labbé et al20 han propuesto recientemente un descriptor dual (Δf ( r )), que es definido como la diferencia entre las funciones nucleófilas y electrofílicas Fukui y es dado por, Δf(r) = [ [f +(r) - (f - (r) ] (7) Si Δf(r) > 0, entonces el sitio es favorecido para un ataque nucleófilo, mientras que si Δf (r) < 0, entonces el El sitio puede ser favorecido por un ataque electrofílico. La dualidad de suavidad local asociada también tiene se ha definido como,19 Δsk = S (fk+ - fk-) = (sk+ - sk-) (8) Se define como la versión condensada de Δf (r) multiplicada por la suavidad molecular S. 2. Descriptor multifílico A la luz del concepto de filosofía local propuesto por Chattaraj et al.8 y el dual descriptor derivado de Toro-Labbé y compañeros de trabajo20, proponemos un descriptor multifílico utilizando el concepto de filicidad unificada, que puede caracterizar simultáneamente a ambos nucleófilos y la naturaleza electrofílica de una especie química. Se define como la diferencia entre la funciones de condensación nucleófila y electrofílica. Es un índice de selectividad hacia un ataque nucleófilo, que también puede caracterizar un ataque electrofílico y es dado por,21 k = [k+ -''k-] = [k] (9) donde k es la variante condensada-a-átomo-k de (r) (eq 7). Si k > 0, entonces el sitio k es favorecido para un ataque nucleófilo, mientras que si k < 0, entonces el sitio k puede ser favorecido para un ataque electrofílico. Debido a que los FF son positivos (0 < k < 1), -1 < k < 1, y el la condición de normalización para k es 0=Δ=Δ k f (10) Aunque k y Δfk contendrán la misma información de reactividad intramolecular el primero se espera que sea un mejor descriptor intermolecular debido a su contenido de información. Podemos analizar la naturaleza de ( )r en términos de que22 de ( )f rΔ como sigue: [ ]( ) ) = # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = ( ) ( ) f r f r = + ( ) ( ) f r r = + ( ) ( ) r f r Δ = El descriptor de multifilia, ( )r es una medida de la diferencia entre local y globales (moduladas por ( )f r ) variaciones de reactividad asociadas con el electrón aceptación/eliminación. Por cierto, la variación de a través de la tabla periódica es similar a la de μ.23 2v vN N ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ = 24 vv N μ μ μ η η η η = = − μ γ μ = − = − Dado que γ es generalmente muy pequeño,24 se espera que siga la tendencia de la μ. Problemas asociados con la definición de η y la discontinuidad25 en E como la función de N estará presente en la definición de ( )f rΔ y la discontinuidad en ( )r Otro tipo similar de diferenciación también ha sido intentado por otros investigadores26. También, para estudiar las reactividades intra e intermolecular otro descriptor relacionado a saber, exceso de nucleofilia ( g ) para un nucleófilo, sobre la electrofilia (neto nucleofilia) en ella se define como ( ) −=−=Δ ggggg ff (11) donde ) y ) son las filicalidades del grupo de la nucleófilo en la molécula debido a ataques electrofílicos y nucleófilos respectivamente. Lo es. espera que el exceso de nucleofilia ( g ) para un nucleófilo siempre debe ser positivo mientras que proporcionará un valor negativo para un electrofilo en una molécula. En el presente estudio, utilizamos tanto el descriptor de multifilia como la nucleofilia. exceso para sondear la naturaleza del ataque/reactividad en un lugar determinado de los sistemas seleccionados. 3. Detalles computacionales Las geometrías del HCHO, CH3CHO, CH3COCH3, C2H5COC2H5, CH2=CHCHO CH3CH=CHCHO, NH2OH, CH3ONH2, CH3NHOH, OHCH2CH2NH2, CH3SNH2, CH3NHSH, SHCH2CH2NH2 y moléculas aromáticas de todo metal, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu) están optimizados por B3LYP/6-311+G** tal como está disponible en el paquete GAUSSIAN 98.27 Varios descriptores de reactividad y selectividad como dureza química, química potencial, suavidad, electrofilia y las cantidades locales apropiadas que emplean se calcula el análisis de la población (NPA)28, 29 esquema. Esquema de HPA (Stockholder) Plan de partición) 30, tal como se ha aplicado en el paquete DMOL3 31, también se ha utilizado para calcular las cantidades locales utilizando el método BLYP/DND. Para todos los metales aromáticos Moléculas, método SCF se ha utilizado para calcular el potencial de ionización (IP) y afinidad electrónica (EA) según las ecuaciones (I=EN-1 - EN, A=EN - EN+1, donde I y A se obtienen a partir de cálculos de energía electrónica total en los sistemas N-1, N, N+1-electrón a la geometría de la molécula neutra). 4. Resultados y Discusión En el presente estudio se selecciona una serie de compuestos de carbonilo para utilidad del descriptor de multifilia (Figura 1). Una comparación con varios otros También se estudian los descriptores y el descriptor dual recientemente derivado. Debido a la naturaleza bipolar de C=O, tanto los ataques nucleófilos como electrofílicos son posibles en sitios de C y O. Lo es. observó que la tasa de adición nucleófila en el compuesto carbonil se reduce por electrones que donan grupos de alquilo y mejorados por electrones que retiran unos. 32 Recientemente, hemos estudiado un conjunto de estos compuestos de carbonilo a la luz de la filicidad y el grupo philicity.19 Las propiedades moleculares globales de la serie seleccionada de compuestos de carbonilo se presentan en el cuadro 1. Varias cantidades locales para lugares concretos de los sistemas seleccionados se enumeran en el cuadro 2 y en el cuadro 3. Los compuestos seleccionados se agrupan en dos conjuntos, a saber: Compuestos de carbonilo no conjugados y α, β-conjugados. Para los compuestos de carbonilo no conjugados, el átomo de carbono (C1) Se espera que el grupo carbonilo sea el sitio más reactivo hacia un ataque nucleófilo. Cuadro 2 enumera los valores de los descriptores de reactividad local utilizando el método B3LYP/6-311+G** para NPA cargas derivadas de las moléculas seleccionadas. Las cantidades locales derivadas del NPA predicen la valor máximo esperado para el carbono carbonilo (C1) de todas las moléculas seleccionadas para fk+, sk+ y Łk+. Pero sk+/sk- es incapaz de proporcionar el valor máximo para el átomo C1 debido a FF negativo valores. Un punto importante a tener en cuenta es que entre los descriptores fk+, sk+, ­k+ y sk+/sk-, + el valor es capaz de proporcionar una clara distinción entre el carbono carbonilo (C1) y el sitio de oxígeno para el ataque nucleófilo. Dado que los cargos derivados de HPA generalmente proporcionan valores de FF no negativos, también lo utilizó para el análisis de reactividad local sobre compuestos de carbonilo. HPA derivado local Los descriptores de reactividad también predicen el valor máximo esperado para el átomo C1 en el caso de HCHO y CH3CHO pero no predice para CH3COCH3 y C2H5COC2H5, donde el oxígeno el átomo se muestra propenso al ataque nucleófilo. Sin embargo, el valor fk+ de el oxígeno es casi igual al del carbono carbonilo (C1), por lo que es difícil hacer un decisión clara sobre el comportamiento electrofílico de estos átomos. En esta situación, el doble Los descriptores Δf (r), Δs k y descriptores multifílicos (r), dan una mano de ayuda. Todos estos las cantidades proporcionan una clara diferencia entre los ataques nucleófilos y electrofílicos a sitio en particular con su signo. Es decir, proporcionan valor positivo para el sitio propenso a ataque nucleófilo y un valor negativo en el sitio propenso a un ataque electrofílico. Los La ventaja del descriptor multifílico (r) es que proporcionan un mayor valor en términos de magnitud en comparación con otros descriptores duales. Por ejemplo, valores de Δf(r), para el ataque nucleófilo (electrófilo) en el sitio de carbono carbonilo (oxígeno) de CH3CHO: 1,06 (-0,93), 0,17 (-0,15), 3,03 (-2,65), respectivamente, para las cargas derivadas de NPA. Casi la Se sigue la misma tendencia en el caso de los cargos derivados del HPA. El segundo grupo de compuestos, a saber, α, β-conjugado carbonilo es elaborado estudiado en el pasado reciente debido a la presencia de dos centros reactivos33. sitio reactivo es el carbono (C1) del carbonilo, y el segundo es el carbono en el β posición (C6). En tal caso, el carbono β se activa debido a la retirada efecto mesomérico del grupo carbonilo adyacente. Como se observa en el cuadro 2 y en el cuadro 3, NPA las cargas derivadas dan un valor máximo para fk+ al carbono carbonílico, mientras que el HPA Las cargas proporcionan un valor máximo de fk+ al átomo de carbono β (C6) en el caso de CH2=CHCHO molécula. Para CH3CH=CHCHHO, el NPA (HPA) proporciona un valor máximo de fk+ de 0,44 (0,17) a carbono carbonilo (C1) en comparación con el sitio de carbono β de 0,34 (0,16). Esta ambigüedad comportamiento puede deberse a la dependencia de los descriptores de reactividad local en la selección de los regímenes de base y de población. Otro sitio de oxígeno muestra un alto valor para fk+ y otros descriptores locales, lo que hace difícil predecir el sitio electrofílico adecuado. Incluso ahora. (r) muestra un alto valor positivo en ambos carbonos que se supone que son electrofílicos y un alto valor negativo en el sitio de oxígeno que revela claramente su carácter nucleófilo en comparación con otros descriptores duales. También se puede observar en las Tablas 2 y 3 que, incluso para moléculas con más de un sitio reactivo, (r) es capaz de hacer una distinción clara entre ellos en términos de su magnitud. Es decir, para las moléculas 6 y 7 que tienen dos sitios reactivos como carbono (C1) del carbonilo y el carbono en la posición β (C6), nuestro los descriptores son capaces de identificar claramente el sitio más fuerte (electrófilo/nucleófilo). Estructuras optimizadas junto con la numeración de átomos para el conjunto seleccionado de aminas son presentado en la figura 2. Propiedades de reactividad global y local del conjunto seleccionado de aminas los métodos B3LYP/6-311+g** y BLYP/DND se presentan en las Tablas 4 a 6. La tendencia de la reactividad mundial basada en el Método B3LYP/6-311+g** (tabla 4) i) CH3ONH2 > OHCH2CH2NH2 > CH3NHOH > NH2OH ii) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Método BLYP/DND (tabla 4) i) CH3ONH2 > OHCH2CH2NH2 > NH2OH > CH3NHOH ii) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Aunque ambos métodos muestran variación en la tendencia de reactividad para el oxígeno que contiene sistemas, las tendencias relacionadas con los sistemas que contienen azufre son las mismas. Basado en NPA y HPA descriptor multifílico derivado de la carga en el sitio de nitrógeno (N), siguiendo la tendencia de reactividad, NPA (cuadro 5) (1) OHCH2CH2NH2 > CH3NHOH > NH2OH > CH3ONH2 (2) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 HPA (cuadro 6) (1) OHCH2CH2NH2 > CH3ONH2 > NH2OH > CH3NHOH (2) CH3NHSH > SHCH2CH2NH2 > CH3SNH2 Se puede notar que las tendencias son las mismas que en el caso de los sistemas que contienen azufre, pero muestran variaciones con respecto a los sistemas que contienen oxígeno para la carga NPA y HPA derivado N. Por lo que se refiere a las tendencias de reactividad intramolecular, sitio con máximo valor negativo de k es el sitio preferido para el ataque electrofílico. Intuición química sugiere que el sitio N es más propenso al ataque electrofílico. En el cuadro 7 figura una lista del sitio con valor negativo máximo para k para el conjunto seleccionado de aminas. Se ve que con unos pocos excepción, N sitio se predice como el sitio más preferido para el ataque electrofílico. Más adelante para probar k a lo largo de coordenadas de reacción intrínseca (IRC), consideramos un hacer frente a la reorganización de hexa-1,5-dieno. Este es un ejemplo de [3,3] reacción esigmatrópica. Figura 3 proporciona las estructuras geométricas optimizadas con la numeración de átomos para el Reactante, estado de transición y producto calculado utilizando B3LYP/6-31G* nivel de teoría. La Tabla 8 muestra los parámetros de reactividad global del reactivo, estado de transición y producto. Como era de esperar, la dureza es mínima (2,48 eV) y el índice de electrofilia correspondiente es máximo (1,57 eV) en el estado de transición. Variación del parámetro de reactividad global a lo largo de la trayectoria del IRC se presenta en la Tabla 9 y en la Figura 4 (a-b). Variaciones de la energía (E) y de la energía (e) a lo largo de la trayectoria IRC se indica en la Figura 5a. Se ve que tanto E y son el máximo alrededor de la Estado de transición que lo indica como la estructura más inestable a lo largo de la ruta IRC. Figura 5 b proporciona la variación de dureza (η) y polarizabilidad (α) a lo largo de la trayectoria IRC. Un inverso la relación existe entre ellos. Es decir, η alcanza un mínimo mientras que α se convierte en máximo en el estado de transición como se esperaba. Variación del descriptor multifílico (k) a lo largo del IRC para los sitios atómicos importantes (C1 y C3/ C6 y C11) se presentan en la Figura 5. Al pasar de reactivo al producto, C1 y Los sitios C3 (C6 y C11) cambian su naturaleza y se vuelven más propensos a los electrofílicos ataque (ataque nucleófilo) en el lado del producto. Este cambio en la naturaleza del ataque toma lugar alrededor del estado de transición. En el estudio de la importancia del exceso de nucleofilia ( g ) descriptor, un cuidado análisis de la estructura electrónica, la propiedad y la reactividad de todos los metales aromáticos se realizan compuestos, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu). Los cuatro miembros unidad de aluminio Al4 presente en todas las moléculas puede ser considerado como una sola unidad. Esto unidad puede participar fácilmente en el proceso de transferencia de carga con el M ( Li, Na, K, Cu) átomo en Esos complejos. La Figura 6 muestra los varios isómeros estables de MAl4–. El isómero C4v del MAl4– es energéticamente más estable, menos polarizable y más difícil34, 35 los valores de filicidad del grupo de los nucleófilos Al42 y M+ (M=Li, Na, K, Cu) electrofilo en los isómeros MAl4–. Se encuentra que en todos los isómeros MAl4– la nucleofilia de la unidad aromática Al42 domina su tendencia electrofílica (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gg ) y, por lo tanto, g es positivo, mientras que la electrofilia de M + domina sobre su nucleofilia (es decir. gg ) y, por lo tanto, g es negativo como se esperaba. Es importante señalar que Al42– es el máximo en el caso del isómero C4v más estable de la molécula MAl4–. La orden del Valor de g de Al4 2– nucleófilo en MAl4–, vvv CCC ­24, es decir, estabilización de un El isómero MAl4 (excepto en KAl4–) aumenta su nucleofilia y, en consecuencia, puede utilizarse como un mejor cátodo molecular. También es importante señalar que la nucleofilia de la Al42– unidad en MAl4– (C4v) aumenta a medida que K Cu Na Li». valores de exceso de nucleofilia. Expresiones estándar1-5 para N y E en términos de grupo electronegatividad y dureza de grupo proporcionará información adicional sobre el electrón proceso de transferencia. Variación de k a lo largo del IRC de tres reacciones seleccionadas, 36 viz., a) a reacción termoneutral: Fa– + CH3-Fb → Fa-CH3 + Fb–, b) una reacción endotérmica: HNO → HON, c) una reacción exotérmica: H2OO → HOOH se presenta en las figuras 7 a) – 7 c). Para la reacción termoneutral, tanto el Fa– (fabricación de la unión) como el Fb– (rotura de la unión) son: nucleófilo. La nucleofilia neta del átomo Fa es más que la del átomo Fb a lo largo el IRC de la parte reactante a la TS y la situación se invierte para los IRC correspondientes a la TS al lado del producto. Para la reacción endotérmica, la nucleofilia neta de O (bono) making) es más alto que el de N (rotura de la unión) a lo largo del IRC. En el caso de la exotérmica reacción, el átomo de O1 (que hace la unión) es más electrofílica que su actividad nucleófila. Además, sus valores de función Fukui calculados a través del análisis de población de Mulliken En algunos casos, el esquema (MPA) se vuelve negativo. Para la reacción termoneutral k es mínimo en el estado de transición. Para otras dos reacciones, k no siempre sigue el tendencia a que el IRC corresponda al valor mínimo de k ± (si no es cero) está en de acuerdo con el postulado de Hammond.36 Las figuras 8 (a) – 8 (c) proporcionan los perfiles para las fuerzas de reacción correspondientes37. Aparte de los puntos importantes correspondientes al reactivo (R), la transición Estado (TS) y el producto (P) existen otros dos puntos importantes asociados con el configuraciones que tengan la fuerza máxima (Fmax) y la fuerza mínima (Fmin). Los los ceros, máximos y mínimos de la fuerza de reacción definen los puntos clave a lo largo de la reacción coordenadas, que lo dividen en tres regiones de reacción que se identifican a través de rayado en la figura 8. La primera etapa, en la región reactivante, tiende a ser naturaleza con énfasis en efectos estructurales tales como rotación, estiramiento de enlace, flexión de ángulo, etc., que facilitará la adopción de medidas ulteriores. La región del estado de transición se caracteriza en su mayoría por reordenamientos electrónicos, mientras que la región del producto está principalmente asociada a relajación necesaria para llegar a los productos. Hemos demostrado que el análisis de un producto químico la reacción en términos de estas regiones puede proporcionar una visión significativa de su mecanismo y las funciones desempeñadas por factores externos, como los potenciales externos y los disolventes.37, 38 Partición de las energías de activación en términos del trabajo realizado para pasar de i) R a Fmin: W1, ii) Fmin a TS: W2, iii) TS a Fmax: W3 y iv) Fmax a P: W4 da la energía de activación para la reacción hacia adelante (Ef#) como (W1+W2) y la de la reacción inversa (Er#) como -(W3+W4). Por lo tanto, la energía de reacción se convierte en (Ef# – Er# = W1+W2+W3+W4). Estos valores se indican en el cuadro 11. Como era de esperar, el valor de 0 es cero, negativo y positivo para el reacciones termoneutrales, exotérmicas y endotérmicas respectivamente. El sesgo-simétrico la naturaleza del perfil de fuerza para la reacción termoneutral sugiere que A=W1+W4 y B=W2+W3 sería cero. Similarmente A, B sería positivo (negativo) para el reacciones endotérmicas. El estado de transición en la configuración IRC=0 se encuentra en la medio entre las configuraciones de Fmax y Fmin para la reacción termoneutral, mientras que se encuentra hacia las configuraciones Fmin(Fmax) para la reacción exo(endo)térmica, una firma del Hammond postula a través de la fuerza de reacción. Valores similares de W1 y W2 (véase el cuadro 11) junto con los cambios observados en la nucleofilia a lo largo de la coordenada de reacción para la sustitución de SN2 termoneutral y para la reacción exotérmica H2OO → HOOH indican que estructural y electrónica la reordenación aparecen al principio de la reacción, 37,38 a través de una fuerte disminución de la nucleofilia, este cambio prácticamente cesa en el estado de transición de la exotérmica reacción para alcanzar el valor del producto. Es interesante observar que en ambos casos el descenso de nucleofilia de los átomos clave de los reactivos ((Fa/Fb) ~ 0,014; (O1) ~ 0,14) al estado de transición ((Fa/Fb) ~ 0.004; (O1) ~ 0.0) requiere una cantidad similar de energía (9,54 kcal/mol y 7,39 kcal/mol, respectivamente). Se puede observar en la Tabla 11 que: para la reacción termoneutral W1>W2 que indica que el paso de preparación requiere más energía que la transición al paso del producto. Por otro lado, los valores de W2 para el las reacciones termoneutrales y exotérmicas están muy cerca unas de otras y el trabajo W1 asociado a la fase de preparación en la reacción termoneutral es mayor que la de la reacción exotérmica, esto indica que en la reacción SN2 el reordenamiento estructural de la El grupo CH3 para alcanzar la estructura D3h en el estado de transición es la transformación clave que involucrar la mayor parte de la energía de activación. En la reacción HNO endotérmica → HON el pequeño cambios de nucleofilia junto con grandes valores de W1 y W2 indican que la la reacción es impulsada principalmente por la reordenación estructural en la fase de preparación. 5. Conclusiones En este trabajo se propone y se prueba un descriptor multifílico (k). Se muestra que, k ayuda a identificar la naturaleza electrofílica/nucleófila de un sitio específico dentro de una molécula. Una comparación entre los diferentes descriptores de reactividad local se lleva a cabo en un conjunto de compuestos de carbonilo. También se analiza un conjunto seleccionado de aminas usando k. Además, También consideramos un reordenamiento del hexa-1,5-dieno para probar la variación de a lo largo Camino IRC. Se ve que k presenta una clara distinción entre electrofílica y sitios nucleófilos dentro de una molécula en términos de su magnitud y signo. Por lo tanto, ellos revelar el hecho de que el descriptor multifílico puede ser utilizado efectivamente en la caracterización de la naturaleza electrofílica/nucleófila de un sitio dado en una molécula. También la importancia de exceso de nucleofilia ( g ) descriptor sobre la reactividad de todos los metales aromáticos los compuestos, a saber, MAl4– (M=Li, Na, K y Cu) se analizan con éxito. Perspicacia importante en tres tipos diferentes de reacciones: a) termoneutrales, b) endotérmicas y c) exotérmica se obtienen a través del análisis de los perfiles descriptores multifílicos dentro de las regiones de reacción definidas por la fuerza de reacción a lo largo de la trayectoria de reacción. Los resultados discutidos hasta ahora muestran claramente la importancia de los descriptores seleccionados, a saber, descriptor multifílico y exceso de nucleofilia en el análisis de la reactividad global tendencias en los sistemas moleculares. Agradecimiento: PKC y DRR agradecen a BRNS, Mumbai por su ayuda financiera. JP y BSK agradecen al IIT Kharagpur para proporcionar las instalaciones necesarias para un proyecto de verano. JP también agradece a la UGC por seleccionarlo para llevar a cabo su trabajo de doctorado bajo FIP. ATL y SGO desean dar las gracias ayuda financiera de FONDECYT, subvención N° 1060590, FONDAP a través del proyecto N° 1180002 (CIMAT) y Programa Bicentenario en Ciencia y Tecnología (PBCT), Proyecto de Inserción Académica N° 8. ATL también está en deuda con el John Simon Fundación Guggenheim para una beca. Bibliografía (1) Parr, R.G.; Yang, W. Densidad Teoría Funcional de Átomos y Moléculas, Oxford University Press: Oxford, 1989. (2) Pearson, R. G. Dureza química - Aplicaciones de moléculas a sólidos, VCH- Wiley: Weinheim, 1997. (3) Geerlings, P.; De Proft, F.; Langenaeker, W. Chem. Rev. 2003, 103, 1793. 4) Número especial de J. Chem. Sci. sobre Reactividad Química, 2005, Vol. 117, Editor invitado: Chattaraj, P. K. 5) Parr, R. G.; Szentpaly, L. V.; Liu, S. J. Soy. Chem. Soc. 1999, 121, 1922. Chattaraj, P. K.; Sarkar, U.; Roy, D. R. Chem. Rev. 2006, 106, 2065. 6) Parr, R. G.; Yang, W. J. Soy. Chem. Soc., 1984, 106, 4049. Fukui, K. Science 1987, 218, 747. Ayers, P. W.; Levy, M. Theor. 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A 2007, en la prensa. CUADRO 1: Propiedades de la Reactividad Global Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6-311+g** y método BLYP/DND. η μ  S η μ  S Moléculas B3LYP/6-311+g** (eV) BLYP/DND (eV) HCHO 2.960 -4,707 3,742 0,169 1,942 -4,260 4,673 0,258 CH3CHO 3,115 -4,224 2,864 0,161 2,096 -3,791 3,425 0,238 CH3COCH3 3.144 -3.910 2.432 0,159 2.133 -3.456 2.800 0,234 C2H5COC2H5 3,153 -3,799 2,288 0,159 2,151 -3,367 2,635 0,233 CH2=CHCHO 2,503 -4,904 4,805 0,200 1,545 -4,413 6,303 0,324 CH3CH=CHCHO 2,542 -4,631 4,217 0,197 1,593 -4,132 5,359 0,314 CUADRO 2: Propiedades de reactividad local calculadas de las moléculas seleccionadas utilizando el método B3LYP/6-311+g** para NPA derivado cargos. Molécula fk - Δfk +- fk HCHO C 0,8323 -0,1722 0,1406 -0,0291 -4,8331 3.1146 -0,6444 1,0045 0,1697 3,7591 O 0,0399 0,9409 0,0067 0,1589 0,0424 0,1494 3,5211 -0,9010 -0,1522 -3,3718 CH3CHO C1 0,8178 -0,2416 0,1313 -0,0388 -3,3856 2,3419 -0,6917 1,0593 0,1700 3,0337 O 0,0072 0,9320 0,0012 0,1496 0,0077 0,0206 2,6691 -0,9250 -0,1484 -2-6485 CH3COCH3 C1 0,3142 -0,2916 0,0500 -0,0464 -1,0772 0,7640 -0,7092 0,6058 0,0964 1,4732 O -0,2540 0,9286 -0,0404 0,1477 -0,2734 -0,6170 2,2582 -1.1820 -0,1881 -2,8755 C2H5COC2H5 C1 0,3064 -0,2944 0,0486 -0,0467 -1,0408 0,7011 -0,6736 0,6007 0,0953 1,3746 O -0,2650 0,8751 -0,0420 0,1388 -0,3024 -0,606 2.0025 -1,1400 -0,1807 -2,6080 CH2=CHCHO C6 0,2789 0,2070 0,0557 0,0413 1,3472 1,3402 0,9944 0,0719 0,0144 0,3458 C1 0,4355 -0,2288 0,0870 -0,0457 -1,9033 2,0926 -1,0995 0,6643 0,1327 3.1921 O -0,0560 0,9265 -0,0112 0,1851 -0,0605 -0,2700 4,4518 -0,9830 -0,1963 -4,7213 CH3CH=CHCHO C6 0,3437 0,0926 0,0676 0,0182 3,7143 1,4494 0,3904 0,2511 0,0494 1,0590 C1 0,4408 -0,2365 0,0867 -0,0465 -1,8642 1,8592 -0,9973 0,6773 0,1332 2,8566 O -0,0670 0,9281 -0,0132 0,1825 -0,0721 -0,2820 3-9142 -0,9950 -0,1957 -4,1964 CUADRO 3: Propiedades de Reactividad Local Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando el método BLYP/DND para HPA derivado cargos. Molécula fk - Δfk +- fk HCHO C 0,3973 0,2373 0,1023 0,0623 0,0611 1,6744 1,8563 1,1088 0,1600 0,0412 0,7476 O 0,3010 0,4232 0,0775 0,1090 0,7113 1,4064 1,9774 -0,1222 -0,0315 -0,5710 CH3CHO C1 0,2998 0,1642 0,0715 0,0391 1,8267 1,0268 0,5624 0,1356 0,0324 0,4644 O 0,2708 0,3782 0,0646 0,0902 0,7165 0,9275 1,2953 -0,1074 -0,0256 -0,3678 CH3COCH3 C1 0,2108 0,1154 0,0494 0,0271 1,8262 0,5902 0,3231 0,0954 0,0223 0,2671 O 0,2359 0,3499 0,0553 0,0820 0,6742 0,6605 0,9797 -0,1140 -0,0267 -0,3192 C2H5COC2H5 C1 0,1346 0,0990 0,0313 0,0230 1,3598 0,3547 0,2609 0,0356 0,0083 0,0938 O 0,1449 0,2873 0,0337 0,0668 0,5045 0,3818 0,7570 -0,1424 -0,0331 -0,3752 CH2=CHCHO C1 0,1780 0,1357 0,0577 0,0440 1,3117 1,1219 0,8553 0,0423 0,0137 0,2666 C6 0,2062 0,1253 0,0668 0,0406 1,6457 1,2997 0,7898 0,0809 0,0262 0,5099 O 0,1797 0,3414 0,0582 0,1106 0,5264 1,1326 2,1518 -0,1620 -0,0524 -1,0191 CH3CH=CHCHO C6 0,1592 0,1114 0,0500 0,0350 1,4291 0,8532 0,5970 0,0478 0,0150 0,2562 C1 0,1741 0,1095 0,0547 0,0344 1,5900 0,9330 0,5868 0,0646 0,0203 0,3462 O 0,1739 0,2450 0,0546 0,0769 0,7098 0,9319 1,3130 -0,0710 -0,0223 -0,3810 CUADRO 4: Propiedades de la Reactividad Global Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6-311+g** y método BLYP/DND. η μ  S η μ  S Moléculas B3LYP/6-311+g** (eV) BLYP/DND (eV) NH2OH 3,869 -3,553 1,632 0,129 3,411 -1,399 0,287 0,147 CH3ONH2 3,630 -3,738 1,925 0,138 3,549 -3,053 1,313 0,141 CH3NHOH 3,482 -3,392 1,652 0,144 3,229 -1,308 0,265 0,155 OHCH2CH2NH2 3.343 -3.507 1.840 0,150 3.348 -2.689 1,080 0,149 CH3SNH2 3,050 -3,331 1,819 0,164 2,447 -1,750 0,626 0,204 CH3NHSH 3,148 -3,629 2,092 0,159 2,466 -3,596 2,622 0,203 SHCH2CH2NH2 3,135 -3,417 1,862 0,159 2,521 -1,843 0,674 0,198 CUADRO 5: Propiedades de Reactividad Local Calculada de las Moléculas Seleccionadas utilizando B3LYP/6- Método 311+g** para las cargas derivadas de NPA. Molécula fk - sk - Δfk +- fk NH2OH N 0,1870 0,4140 0,0274 0,0607 2,2139 0,0536 0,1187 -0,2270 -0,0333 -0,0651 O 0,2390 0,2300 0,0350 0,0337 0,9623 0,0685 0,0659 0,0090 0,0013 0,0026 CH3ONH2 C 0,0870 0,0680 0,1410 1,3130 0,0123 0,0096 0,7816 0,1142 0,0893 0,0190 N 0,1500 0,3510 0,0211 0,0495 2,3400 0,1969 0,4608 -0.2010 -0,0283 -0,2639 O 0,0720 0,1740 0,0101 0,0245 2,4167 0,0945 0,2284 -0,1020 -0,0144 -0,1339 CH3NHOH C 0,0470 0,0740 0,0073 0,0115 1,5745 0,0124 0,0196 -0,0270 -0,0042 -0,0071 N 0,1200 0,3390 0,0186 0,0525 2,8250 0,0318 0,0898 -0,2190 -0,0339 -0,0580 O 0,2100 0,1770 0,0325 0,0274 0,8429 0,0556 0,0469 0,0330 0,0051 0,0087 OHCH2CH2NH2 C1 0,0540 0,0330 0,0081 0,0049 0,6111 0,0583 0,0356 0,0210 0,0031 0,0227 C2 0,0400 0,0610 0,006 0,0091 1,5250 0,0432 0,0659 -0,0210 -0,0031 -0,0227 N 0,0630 0,3470 0,0094 0,0518 5,5079 0,0680 0,3746 -0,2840 -0,0424 -0,3066 O 0,1400 0,1010 0,0209 0,0151 0,7214 0,15111 0,1090 0,0390 0,0058 0,0421 CH3SNH2 C 0,0550 0,0640 0,0112 0,0131 1,1636 0,0344 0,0400 -0,0090 -0,0018 -0,0056 N 0,1490 0,0820 0,0305 0,0168 0,5503 0,0932 0,0513 0,0670 0,0137 0,0419 S 0,3580 0,5510 0,0732 0,1126 1,5391 0,2239 0,3447 -0,1930 -0,0394 -0,1207 CH3NHSH C 0,0530 0,0540 0,0107 0,0110 1,0189 0,1390 0,1416 -0,0010 -0,0002 -0,0026 N 0,1310 0,1740 0,0266 0,0353 1,3282 0,3434 0,4562 -0,0430 -0,0087 -0,1127 S 0,4530 0,4420 0,0919 0,0896 0,9757 1,1876 1.1588 0,0110 0,0022 0,0288 SHCH2CH2NH2 C1 0,0780 0,0410 0,0155 0,0081 0,5256 0,0525 0,0276 0,0370 0,0073 0,0249 C2 0,0290 0,0250 0,0058 0,0050 0,8621 0,0195 0,0168 0,0040 0,0008 0,0027 N 0,0380 0,1270 0,0075 0,0252 3,3421 0,0256 0,0856 -0,0890 -0,0177 -0,0600 S 0,3890 0,4710 0,0772 0,0934 1,2108 0,2621 0,3173 -0,0820 -0,0163 -0,0552 CUADRO 6 Propiedades de reactividad local calculadas de las moléculas seleccionadas utilizando BLYP/DND método para las cargas derivadas de HPA. Molécula fk - sk - Δfk +- fk NH2OH N 0,1837 0,9327 0,0237 0,1205 5,0777 0,2997 1,5218 -0,7490 -0,0970 -1,2220 O -0,0770 0,5114 -0,0100 0,0661 -6,6170 -0,1261 0,8344 -0,5890 -0,0760 -0,9610 CH3ONH2 C 0,5410 0,0819 0,0746 0,0113 0,1513 1,0412 0,1576 0,4592 0,0633 0,8837 N -0,1510 0,2534 -0,0210 0,0349 -1,6740 -0,2913 0,4877 -0,4050 -0,0560 -0,7790 O -0,1790 0,9011 -0,0250 0,1242 -5,0267 -0,3450 1,7342 -1,0800 -0,1490 -2,0790 CH3NHOH C 0,4598 0,1677 0,0660 0,0241 0,3647 0,7598 0,2771 0,2921 0,0419 0,4827 N -0,0580 0,7950 -0,0080 0,1142 -13,725 -0,0957 1,3136 -0,8530 -0,1220 -1,4090 O -0.2690 0,4537 -0,0390 0,0651 -1,6855 -0,4448 0,7497 -0,7230 -0,1040 -1,1940 OHCH2CH2NH2 C1 0,1186 0,0254 0,0177 0,0038 0,2140 0,2181 0,0467 0,0932 0,0139 0,1715 C2 0,4003 0,1067 0,0599 0,0160 0,2666 0,7365 0,1964 0,2936 0,0439 0,5401 N -0,3040 0,9520 -0,0450 0,1424 -3,1337 -0,5589 1,7514 -1,2560 -0,1880 -2,3100 O -0,3340 0,5965 -0,0500 0,0892 -1,7842 -0,6151 1,0974 -0,9310 -0,1390 -1,7120 CH3SNH2 C 0,0667 0,3358 0,0100 0,0502 5,0377 0,1226 0,6178 -0,2690 -0,0400 -0,4950 N -0,297 0,4790 -0,044 0,0717 -1,6119 -0,5467 0,8813 -0,7760 -0.1160 -1,4280 S 0,3671 0,6485 0,0549 0,0970 1,7667 0,6753 1,1931 -0,2810 -0,0420 -0,5180 CH3NHSH C 0,1715 0,1732 0,0256 0,0259 1,0100 0,3154 0,3186 -0.0020 -0,0003 -0.0030 N -0,225 0,9064 -0,0340 0,1356 -4,0267 -0,4141 1,6676 -1,1320 -0,1690 -2,0820 S 0,3479 0,2249 0,0520 0,0336 0,6465 0,6400 0,4137 0,1230 0,01840 0,2262 SHCH2CH2NH2 C1 0,0117 0,2268 0,0017 0,0339 19,432 0,0215 0,4172 -0,2150 -0,0320 -0,3960 C2 0,1651 0,0876 0,0247 0,0131 0,5309 0,3037 0,1612 0,0774 0,0116 0,1425 N -0,292 0,7628 -0,0440 0,1141 -2,6164 -0,5364 1,4035 -1,0540 -0,1580 -1,9400 S 0,1064 0,5646 0,0159 0,0845 5,3089 0,1957 1,0388 -0,4580 -0,0690 -0,8430 CUADRO 7: Lugar atómico con valor máximo para el descriptor multifílico (k) para el conjunto seleccionado de aminas. lugar con valor máximo para la molécula de k NPA HPA NH2OH N N CH3ONH2 O N CH3NHOH N OHCH2CH2NH2 N N CH3SNH2 N S CH3NHSH N N SHCH2CH2NH2 N N CUADRO 8: Descriptores de reactividad global calculados a nivel teórico B3LYP/6-31G*. Especie η (eV) (eV) (eV) Reactor 3.64 - 2.89 1.15 Estado de Transición 2.48 - 2.79 1.57 Producto 3.64 - 2.89 1.15 CUADRO 9: Descriptores de reactividad global a lo largo de la coordenada de reacción intrínseca calculado a nivel de teoría B3LYP/6-31G*. Puntos a lo largo (Hartrees) (eV) (eV) (eV) (a.u.) 1 -234.5673091 2.65 -2.7825 1.46 64.94 2 -234.5661087 2,63 -2.7827 1,47 65,21 3 -234.5649450 2.61 -2.7828 1.49 65.47 4 -234,5638273 2,59 -2,7836 1,50 65,74 5 -234,5627655 2,57 -2,7836 1,51 65,98 6 -234,5617681 2,55 -2.7843 1,52 66,22 7 -234.5608445 2,54 -2.7843 1,53 66,42 8 -234,5600030 2,53 -2.7851 1,54 66,63 9 -234.5592516 2.51 -2.7852 1.54 66.80 10 -234.5585980 2,50 -2.7859 1,55 66.96 11 -234.5580104 2,50 -2.7857 1,56 67.07 12 -234.5575677 2.49 -2.7866 1.56 67.20 13 -234.5575677 2.49 -2.7866 1.56 67.20 14 -234.5580104 2,50 -2.7857 1,56 67.07 15 -234.5585980 2,50 -2.7859 1,55 66.96 16 -234.5592516 2.51 -2.7852 1.54 66.80 17 -234,5600030 2,53 -2.7851 1,54 66,63 18 -234.5608445 2,54 -2.7843 1,53 66,42 19 -234.5617681 2,55 -2.7843 1,52 66,22 20 -234,5627655 2,57 -2,7836 1,51 65,98 21 -234,5638273 2,59 -2,7836 1,50 65,74 22 -234.5649450 2.61 -2.7830 1.49 65.47 23 -234.5661087 2,63 -2.7827 1,47 65,21 24 -234.5673092 2.65 -2.7825 1.46 64.94 CUADRO 10: Filicidad en grupo ( + Los valores para nucleófilos y electrofílicos Ataques con respeto por las unidades jónicas de diferentes Isomers de LiAl4–, NaAl4–, KAl4– y CuAl4–. Isomers Ionic Unit g Al42– 0,0070 0,0095 0,0025 LiAl4– (C.V.) Li+ 0,0063 0,0037 -0.0025 Al42– 1,3E-05 0,0055 0,0055 LiAl4– (C2v) Li+ 0,0068 0,0013 -0.0055 Al42– -0,0372 0,2965 0,3338 LiAl4– (C4v) Li+ 0,4055 0,0718 -0,3338 Al42– 0,0070 0,0102 0,0032 NaAl4– Na+ 0,0074 0,0042 -0.0032 Al42– -0,0001 0,0078 0,0079 NaAl4– (C2v) Na+ 0,0096 0,0017 -0,0079 Al42– -0.0073 0,1024 0,1097 NaAl4– (C4v) Na+ 0,1301 0,0204 -0,1097 Al42– 0,0044 0,0095 0,0051 KAl4– K+ 0,0106 0,0054 -0.0051 Al42– 0,0023 0,0101 0,0078 KAl4– (C2v) K+ 0,0118 0,0039 -0.0078 Al42– 0,0008 0,0066 0,0057 KAl4– (C4v) K+ 0,0078 0,0021 -0.0057 Al42– 0,0031 0,0036 0,0006 CuAl4– (C­v) Cu+ 0,0014 0,0009 -0,0006 Al42– 0,0036 0,0036 0,0048 CuAl4– (C2v) Cu+ 0,0008 0,0008 -0.0048 Al42– 0,0178 0,0332 0,0154 CuAl4– (C4v) Cu+ 0,0131 -0.0023 -0.0154 CUADRO 11: Perfiles de la energía de activación hacia delante ( #fEΔ ), activación inversa energía ( #rEΔ ) y energía de reacción ( 0EΔ ) de reacción termoneutral (Fa– + CH3-Fb → Fa--CH3 + Fb–; una reacción endotérmica (HNO → HON) y una exotérmica reacción (H2OO → HOOH). Reacción #fEΔ +1 +2 W1 W2 W3 W4 Termoneutra B3LYP/6-311++G** 9.54 9.54 0,0 -1,33 1,33 5,42 4.12 -4.12 - 5,42 Endotérmica B3LYP/6-311+G** 75,39 34,84 40,55 -0,80 0,60 43,97 31,42 -13,20 - 21,64 Exotérmica B3LYP/6-311+G** 7,39 52,85 -45,46 -0,65 0,87 3,93 3,46 -19,99 - 32,86 Gráfico 1 Estructuras optimizadas con numeración de átomos para el carbonilo seleccionado compuestos. Gráfico 2 Estructuras optimizadas con numeración de átomos para los sistemas de aminas seleccionados. Producto del Estado de Transición del Reactor Figura 3: Estructuras geométricas optimizadas calculadas utilizando el nivel B3LYP/6-31G* teoría. -234,568 -234.566 -234,564 -234,562 -234,560 -234,558 -234,556 Energía (Hartree) Índice de electrofilia (eV) Coordenada de reacción intrínseca Índice de lectrofilia (eV) 2.66 Dureza química (eV) Polarizabilidad (au) Coordenada de reacción intrínseca olarizabilidad (au) Figura 4 (a-b):Variación de los descriptores de reactividad global a lo largo de la reacción intrínseca coord. - 0,008 - 0,006 - 0,004 - 0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 Coordenada de reacción intrínseca Sitios C1,C3 - 0,008 - 0,006 - 0,004 - 0,002 0,000 0,002 0,004 0,006 Coordenada de reacción intrínseca Sitios C6, C11 Figura 5 (a-b): Variación del descriptor multifílico a lo largo de la coordenada de reacción intrínseca para los sitios atómicos seleccionados. MAl4– [C.V.] MAl4– [C2v] MAl4– [C4v] M=Li, Na, K, Cu Gráfico 6 Estructuras optimizadas de varios isómeros de MAl4– (M Ł Li, Na, K, Cu). -3 -2 -1 0 1 2 3 -239,704 -239,702 -239.700 -239,698 -239,696 -239,694 -239,692 -239,690 -239,688 -239.686 -3 -2 -1 0 1 2 3 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 Energía (Fa) • (F) a) -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -130.52 -130,50 -130.48 -130.46 -130.44 -130.42 -130.40 -130.38 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 - 0,03 -0,02 -0,01 Energía -2 -1 0 1 2 3 - 151.60 -151.58 -151.56 -151.54 -151.52 -151,50 -2 -1 0 1 2 3 -0,02 Energía (O2)............................................................................................................................................................................................................................................................. (O1) c) Figura 7 (a-c): Perfiles de nucleofilia neta (k) de la trayectoria de la fase gaseosa (a) sustitución SN2 termoneutral: Fa- + CH3-Fb → Fa-CH3 + Fb-, (b) reacción endotérmica: HNO → HON y (c) reacción exotérmica: H2OO → HOOH. También se muestra el perfil de energía. Figura 8 Perfiles de fuerza de reacción a lo largo de la coordenada de reacción para (a) termoneutral reacción: Fa– + CH3-Fb → Fa--CH3 + Fb–; (b) reacción endotérmica: HNO → HON; (c) la reacción exotérmica: H2OO → HOOH. Las líneas verticales discontinuas definen la reacción las regiones siguientes: reaccionante (izquierda), estado de transición (medio) y producto (derecha). -4 -2 0 2 4 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 max(a)

Approximation of the distribution of a stationary Markov process with application to option pricing

Aproximación de la distribución de un proceso estacionario de Markov con aplicación a precios de opción Bernoulli 15(1), 2009, 146–177 DOI: 10.3150/08-BEJ142 Aproximación de la distribución de un proceso estacionario de Markov con aplicación a precios de opción GILLES PAGÈS1 y FABIEN PANLOUP2 Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, UMR 7599, Université Paris 6, asunto 188, 4 pl. Jussieu, F-75252 Paris Cedex 5. Correo electrónico: gpa@ccr.jussieu.fr Laboratoire de Statistiques et Probabilités, Université Paul Sabatier & INSA Toulouse, 135, Avenue de Rangueil, 31077 Toulouse Cedex 4. Correo electrónico: fpanloup@insa-toulouse.fr Construimos una secuencia de medidas empíricas en el espacio D(R+,R d) de funciones de cadlag valoradas en Rd sobre R+ para aproximar la ley de una R estacionaria Proceso d-valuado de Markov y Feller (Xt). Obtenemos algunos resultados generales sobre la convergencia de esta secuencia. A continuación, les aplicamos a Difusiones brownianas y soluciones a las SDE impulsadas por Lévy bajo cierta estabilidad tipo Lyapunov suposiciones. Como aplicación numérica de este trabajo, mostramos que este procedimiento proporciona un medios eficientes de fijación de precios de opciones en modelos de volatilidad estocásticos. Palabras clave: esquema Euler; proceso Lévy; aproximación numérica; precios de opción; estacionario proceso; modelo de volatilidad estocástica; proceso estable templado 1. Introducción 1.1. Objetivos y motivaciones En este artículo, nos ocupamos de un proceso de Feller Markov valorado en Rd (Xt) con semigrupo (Pt)t≥0 y asumir que (Xt) admite una distribución invariante ν0. El objetivo de este trabajo es: proponer una manera de aproximar toda la distribución estacionaria P/0 de (Xt). Más pre- Por lo que respecta a las medidas de ocupación ponderadas, queremos construir una secuencia de medidas de ocupación ponderadas ( v(n)(l,dα))n≥1 en el espacio Skorokhod D(R+,R d ) de manera que, en la letra n ) del apartado 1 ) de la letra f ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P/0(dα) a.s. para una clase de funciones F :D(R+,R d) que incluye funciones continuas limitadas para la Topología de Skorokhod. Una de nuestras motivaciones es desarrollar un nuevo método numérico para la fijación de precios de opciones en los modelos de volatilidad estocásticos tionarios que son ligeras modificaciones de las estocas clásicas- modelos de volatilidad tic, donde suponemos que la volatilidad evoluciona bajo su estacionario régimen. Esta es una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el ISI/BS en Bernoulli, 2009, Vol. 15, No. 1, 146–177. Esta reimpresión difiere del original en paginación y Detalles tipográficos. 1350-7265 c© 2009 ISI/BS http://arxiv.org/abs/0704.0335v3 http://isi.cbs.nl/bernoulli/ http://dx.doi.org/10.3150/08-BEJ142 mailto:gpa@ccr.jussieu.fr mailto:fpanloup@insa-toulouse.fr http://isi.cbs.nl/BS/bshome.htm http://isi.cbs.nl/bernoulli/ http://dx.doi.org/10.3150/08-BEJ142 Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 147 1.2. Antecedentes y construcción del procedimiento Este trabajo sigue a una serie de trabajos recientes debidos a Lamberton y Pagès ([12, 13]), Lemaire ([14, 15]) y Panloup ([18, 19, 20]), donde el problema de la aproximación de la distribución invariante se investiga para las difusiones brownianas y para Lévy SDE’s.1 En estos trabajos, el algoritmo se basa en un esquema Euler adaptado con de- Paso de entrecruzamiento (γk)k≥1. Para ser precisos, vamos a ser la secuencia de tiempos de discretización: 0 = 0, n = k=1 γk por cada n≥ 1, y asumir que?n →? cuando n. Vamos. (Xn)n≥0 ser el sistema Euler obtenido por "congelación" de los coeficientes entre el y dejar (ηn)n≥1 ser una secuencia de pesos positivos tales que Hn := k=1 ηk cuando K. Luego, bajo algunos supuestos de estabilidad tipo Lyapunov adaptados a las estochas- los procesos de interés, uno muestra que para una gran clase de pasos y pesos (ηn, γn)n≥1, n(, f) := ηkf(Xk−1) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. f(x)/0(dx) a.s., (1) (al menos)2 para cada función continua limitada f. Desde que el problema de la aproximación de la distribución invariante ha sido profundamente estudiado para una amplia clase de procesos de Markov (difusiones brownianas y SDE impulsadas por Lévy) y puesto que la prueba de (1) puede adaptarse a otras clases de procesos de Markov bajo algunos Asuntos específicos de Lyapunov, elegimos en este documento para considerar un general Markov pro- y asumir la existencia de un esquema de discretización del tiempo (Xk)k≥0 tal que (1) se mantiene para la clase de funciones continuas delimitadas. El objetivo de este documento es entonces inves- tigate las propiedades de convergencia de una versión funcional de la secuencia (n(,dα))n≥1. Dejar (Xt) ser un proceso de Markov y Feller y dejar (X̄t)t≥0 ser un tiempo constante paso a paso esquema de discretización de (Xt) con secuencia de paso no creciente (γn)n≥1 conforme γn = 0, ­n := No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Dejando a 0 := 0 y a X̄0 = x0 Rd, suponemos que X̄t = Xn y que (Xn)n≥0 se puede simular recursivamente. Denotamos por (Ft)t≥0 y (F̄t)t≥0 los aumentos habituales de las filtraciones naturales (Δ(Xs,0≤ s≤ t))t≥0 y (Δ(X̄s,0≤ s≤ t))t≥0, respectivamente. 1Tenga en cuenta que computar la distribución invariante es equivalente a computar las leyes marginales de la proceso estacionario (Xt) desde ν0Pt = ν0 por cada t ≥ 0. 2La clase de funciones para las que se mantiene (1) depende de la estabilidad del sistema dinámico. In en particular, en el caso de la difusión browniana, la convergencia puede mantenerse para funciones continuas con crecimiento subexponencial, mientras que la clase de funciones depende fuertemente de los momentos de la Lévy proceso cuando el proceso estocástico es un SDE impulsado por Lévy. 148 G. Pagès y F. Panloup Para k ≥ 0, denotamos por (X̄(k)t )t≥0 el proceso desplazado definido por t := Xk+t. En particular, X̄ t = X̄t. Definimos una secuencia de probabilidades aleatorias ( / (n)(l,dα))n≥1 en D(R+,R d) por v. n.)............................................................................................................................................................................................................................................................ ηk1{X̄(k−1)( donde (ηk)k≥1 es una secuencia de pesos. En el caso de t ≥ 0, ( v(n)t (­, dx))n≥1 denotará la se- quence de medidas empíricas “marginales” en Rd definidas por t (,dx) = ηk1{X̄(k−1) (­) {') {') {') {') {') 1.3. Simulación de la letra c) del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE Para cada función F :D(R+,R d)→R, la siguiente relación de recurrencia se mantiene para cada n≥ 1: v(n+1)(l,F ) = v(n)(l,F ) + (F (X(n)(l))- /n(n)(l),(F)). 4) Entonces, si T es un número positivo y F :D(R+,R d) → R es un funcional dependiendo solamente en la trayectoria entre 0 y T, ( v(n)(l,F))n≥1 se puede simular mediante lo siguiente: procedimiento. Paso 0. i) Simular (X̄ t )t≥0 en [0, T ], es decir, simular (Xk)k≥0 para k = 0,...,N(0, T ), donde N(n,T ) := inf{k ≥ n, = máx{k ≥ 0,Øk − ­n ≤ T }, n≥ 0, T > 0. Tenga en cuenta que n 7→N(n, t) es una secuencia creciente ya que (γn) no está aumentando, y que N(n,T ) − N(n,T ) ≤ T < N(n,T )+1 − n. ii) Cálculo F ((X̄) t )t ≥ 0) y / 1.................................................................................................................... Guarde los valores de (Xk) para k = 1,...,N(0, T ). Paso n (n≥ 1). i) Dado que los valores (Xk)k≥0 se almacenan para k = n,. ,N(n-1, T), simular (Xk)k≥0 para k =N(n−1, T)+1,. ..,N(n,T) con el fin de obtener un camino de (X̄ en [0, T]. ii) Cálculo F ((X̄) t ) t ≥ 0 ) y utilizar (4) para calcular (n+1)(l,F ). Almacenar los valores de (Xk) para k = n+ 1,...,N(n,T). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 149 Observación 1. Como se muestra en la descripción del procedimiento, uno generalmente tiene que almacenar el vector [Xn,. .., XN(n,T) ] en el tiempo n. Desde (γn) es una secuencia con suma infinita que disminuye a 0, se deduce que el tamaño de este vector aumenta “lento” a. Por ejemplo, si γn = Cn Su tamaño es de orden no. Sin embargo, es importante a señalar que, aunque el número de valores a almacenar tiende a â €, es decir, no siempre es el caso del número de operaciones en cada paso. De hecho, desde X̄(n+1) se obtiene desplazando X̄(n), por lo general es posible utilizar, en el paso n+1, el anterior cálculos y simular la secuencia (F (X̄(n)))n≥0 de una manera “cuasi-recursiva”. Por ejemplo, tal observación se sostiene para las opciones asiáticas porque el beneficio asociado puede ser expresada en función de un aditivo funcional (véase la sección 5 para las simulaciones). Antes de esbozar la secuela del artículo, enumeramos alguna notación vinculada a los espacios D(R+,R d) y D([0, T ],Rd) de Cadlag Rd-valuado funciones en R+ y [0, T ], respectivamente, dotado con la topología de Skorokhod. Primero, denotamos por d1 la distancia Skorokhod en D([0,1],Rd) definido para cada α, β D([0,1],Rd) por d1(α,β) = inf [0,1] (t)− β((t)), sup 0≤s<t≤1 (t)−(s) en el que el punto 1 denota el conjunto de homeomorfismos en aumento de [0,1]. En segundo lugar, para T > 0, T :D(R+,R d) 7→D([0,1],Rd) es la función definida por (­T (α)(s) = α(sT ) para cada s [0,1]. Entonces denotamos por d la distancia en D(R+,R d) definido para cada α,β D(R+,Rd) d(α,β) = e−t(1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1 6) Recordamos que (D(R+,R) d), d) es un espacio polaco y que la topología inducida es la habitual Topología de Skorokhod en D(R+,R d) (véase, por ejemplo, Pagès [16]). Por cada T > 0, establecemos (ηu,0≤ u≤ s), donde ηs :D(R+,R d)→Rd se define por ηs(α) = α(s). Para un funcional F :D(R+,Rd)→ R, FT denota la función definida para cada α D(R+,Rd) por FT (α) = F (α) T ) con αT (t) = α(t 7).................................................................................................................................................. Por último, vamos a decir que un funcional F :D(R+,R d)→R es S-continuous si F está contin- para la topología de Skorokhod en D(R+,R d) y la notación “ =l" denotará la convergencia débil en D(R+,R En la sección 2, indicamos nuestros principales resultados para un proceso general de Feller Markov valorado en Rd. Luego, en la Sección 3, los aplicamos a las difusiones brownianas y a las SDE impulsadas por Lévy. Sección 4 está dedicado a las pruebas de los principales resultados generales. Finalmente, en la Sección 5, completamos este artículo con una aplicación a la opción de precios en modelos de volatilidad estocásticos estacionarios. 150 G. Pagès y F. Panloup 2. Resultados generales En esta sección, indicamos los resultados sobre la convergencia de la secuencia ( v(n)(l,dα))n≥1 cuando (Xt) es un proceso general de Feller Markov. 2.1. Convergencia débil con el régimen estacionario Como se explica en la introducción, desde la convergencia de la A.S. n ≥1 a la La distribución invariante ν0 ya ha sido muy estudiada para una gran clase de Markov procesos (difusiones brownianas y SDE impulsadas por Lévy), nuestro enfoque será derivar la convergencia de la letra c) del apartado 2 del artículo 1 con respecto a la de la letra c) del apartado 2 del artículo 1 del Reglamento n° 1408/71 y de la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71. n ≥1 a la distribución invariante ν0. Más precisamente, asumiremos en el Teorema 1 que (C0,1): (Xt) admite una distribución invariante única 0 (,dx) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • mientras que en Teorema 2, sólo asumiremos que (C0,2): ≥ 1 es a.s. apretado en R También introducimos otras tres suposiciones, (C1), (C2) y (C3), con respecto a la conti- nuity en la probabilidad del flujo x 7→ (Xxt ), la convergencia asintótica del tiempo desplazado esquema de discretización al proceso verdadero (Xt) y los pasos y pesos, respectivamente. (C1): Por cada x0 â € Rd, â € > 0 y T > 0, limsup 0≤t≤T Xxt −Xx0t ≥ = 0. (8) (C2): (X̄t) es un proceso Markov no homogéneo y para cada n≥ 0, es posible construir una familia de procesos estocásticos (Y (n,x) t ) x ° Rd de tal manera que i) L(Y (n,x)) D(R+,R = L(X̄(n)X̄(n)0 = x); ii) por cada conjunto compacto K de Rd, por cada T ≥ 0, 0≤t≤T Y (n,x)t −Xxt n 0 en probabilidad. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por cada n ≥ 1, ηn ≤ CγnH­n. Observación 2. Suposición (C2) implica, en particular, que asintótica y uniformemente en conjuntos compactos de Rd, la ley del proceso aproximado (X̄(n)), dado su valor inicial, está cerca de la del verdadero proceso. Si existe una distribución invariante única ν0, la segunda parte de (C2) puede ser relajada a la siguiente, menos estricta, afirmación: para todos â € > 0, existe un conjunto compacto Aâ â € € TM Rd Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos (+) ≤ ≤ y de forma que: 0≤t≤T Y (n,x)t −Xxt n 0 en probabilidad. (10) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 151 Esta suposición más débil puede algunas veces ser necesario en modelos de volatilidad estocástica como el modelo Heston (para más detalles, véase la sección 5). Las suposiciones anteriores son todas las que se requieren para la convergencia de ((n)(l,dα))n≥1 a lo largo de las funciones SK-continuas delimitadas, es decir, para la a.s. débil conver- gencia en D(R+,R d). Sin embargo, la integración de funciones continuas sin límite F :D([0, T ],Rd)→ R necesitará algunas suposiciones adicionales, dependiendo de la estabilidad del esquema de discretización del tiempo y en los pasos y las secuencias de pesos. Vamos a sup- plantear que F está dominada (en un sentido que se especificará más adelante) por una función V : Rd → R+ que satisfaga las siguientes hipótesis para algunos s≥ 2 y  < 1. Por cada T > 0, i) Sup 0≤t≤T Vs(Y (n,x)t) ≤CTVs(x), ii) Sup 0 (V), iii) E[V2(Xk−1)], N(k,T) E[Vs(1)(Xk−1)], donde T 7→CT está delimitado localmente en R+ y N(k,T ) =N(k,T )−N(k− 1, T ). Por cada uno de los siguientes valores:...................................................................................................................................................... En algunos casos s≥ 2}, la(s) H(s) de la(s) K(l) = {V + C(Rd,R+),H(s),(s),(s). Observación 3. Aparte de la suposición (i), que es una condición clásica en el tiempo finito el control del horizonte, las suposiciones en H(s, •) confían fuertemente en la estabilidad del tiempo esquema de discretización (y luego, al del proceso verdadero). Más precisamente, veremos cuando aplicamos nuestros resultados generales a SDE de que estas propiedades son algunas consecuencias de los supuestos de Lyapunov necesarios para la 0 (,dx))n≥1. Ahora podemos declarar nuestro primer resultado principal. Teorema 1. Asumir (C0,1), (C1), (C2) y (C3 y 3), con Entonces, a.s., para cada SK-continua funcional F :D(R+,R d)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P/0 (dα), (11) donde P/0 denota la distribución estacionaria de (Xt) (con la ley inicial ν0). Además, por cada T > 0, por cada Sk-continuous funcional sin límite F :D(R+,R d)→ R, (11) sostiene a.s. para FT (definido por (7)) si existe V â € € TM K(­) y 152 G. Pagès y F. Panloup [0,1] De manera que: FT (α) ≤C sup 0≤t≤T Vl(αt) D(R+,Rd). (12) En el segundo resultado, no se requiere la singularidad de la distribución invariante y El Tribunal de Primera Instancia decidió: Se supone que sólo hay que estar apretados. Teorema 2. Asumir (C0,2), (C1), (C2) y (C3), (C3 y 3), con (,1). Asumir que ≥ 1 es a.s. apretado en R d. Entonces tenemos lo siguiente. (i) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. ajustada a D(R+,R) d) y a.s., para ev- ery convergent subsecuencia (nk())n≥1, para cada Sk-continuo limitado funcional F :D(R+,R d)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P(dα), (13) donde P es la ley de (Xt) con la ley inicial siendo un límite débil para ( / 0 (,dx))n≥1. Además, por cada T > 0, por cada Sk-continuous funcional sin límite F :D(R+,R d)→R, (13) sostiene a.s. para FT si (12) está satisfecho con V â € € € â € € TM y â € € [0,1). ii) Si, además, l≥k+1 l n 0, (14) entonces es necesariamente una distribución invariante para el proceso de Markov (Xt). Observación 4. Condición (14) se mantiene para una gran clase de pasos y pesos. Por ejemplo, si ηn = C1n 1 y γn = C2n 2 con 1 y 2, entonces (14) se satisface si (máx(0,2?2 − 1),1). 2.2. Ampliación al caso no estacionario A pesar de que el principal interés de este algoritmo es la aproximación débil de la pro- cesto cuando está estacionario, observamos que cuando se conoce ν0, el algoritmo se puede utilizar para aproximadamente Pμ0 si μ0 es una probabilidad en R d eso es absolutamente continuo con respeto a 0. De hecho, supóngase que μ0(dx) = (x)/0(dx), donde :R d → R es un no- continuo función negativa. Para un funcional F :D(R+,R d)→ R, denotar por F multada con D(R+,R d) por F-(α) = F-(α)-(α(0)). A continuación, si se trata de una cuestión prejudicial (en lo sucesivo, «sentencia del Tribunal de Primera Instancia»), También tenemos la siguiente convergencia: a.s., para cada SK-continua funcional F :D(R+,R d)→R, El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Fl(α)P/0 (dα) = F (α)Pμ0 (dα). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 153 3. Aplicación a las difusiones brownianas y Los DEE impulsados por Lévy Dejar (Xt)t≥0 ser una solución de proceso estocástico cadlag a la SDE dXt = b(Xt−) dt+ donde b :Rd → Rd,  :Rd 7→Md,l (conjunto de matrices reales de d×l) y funciones tinuosas con crecimiento sublineal, (Wt)t≥0 es un movimiento browniano de dimensión l y (Zt)t≥0 es una R puramente discontinua integrable Proceso de Lévy de valor l independiente de (Wt)t≥0 con la medida de Lévy η y función característica dada para cada t≥ 0 por E[eiáu,ZtÃ3r] = exp • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 Que (γn)n≥1 sea una secuencia de pasos que no aumente y que satisfaga (2). Dejar (Un)n≥1 ser una secuencia de i.i.d. variables aleatorias tales que U1 =N (0, Il) y let := (n)n≥1 ser una secuencia de variables aleatorias independientes valoradas con Rl, independientes de (Un)n≥1. Entonces denotamos por (X̄t)t≥0 el esquema constante paso a paso de Euler (Xt) para el que (Xn)n≥0 es recursivamente definido por X̄0 = x Rd y Xn+1 = Xn + γn+1b(Xn) + γn+1Ô(Xn)Un+1 + (Xn)n+1. 16) Recordamos que los incrementos de (Zt) no pueden ser simulados en general. Es por eso que nosotros generalmente necesitan construir la secuencia (n) con algunas aproximaciones de la verdad incrementos. Volveremos a esta construcción en la sección 3.2. Al igual que en el caso general, denotamos por (X̄(k))k≥0 y (/ (n)(l,dα))n≥1 las secuencias de los sistemas de Euler y las medidas empíricas, respectivamente. Ahora vamos a introducir algunas suposiciones de Lyapunov para el SDE. Dejar denotar EQ(Rd) el conjunto de funciones esencialmente cuadráticas de C2-V :Rd → R tales que limV (x) = x, V ≤C V y D2V están limitados. Deje que un â € (0,1) denote la reversión media intensidad. La suposición de Lyapunov (o reversión media) es la siguiente. (Sa): Existe una función V • EQ(Rd) tal que: i) b2 ≤CV a, Tr((x)) + (x)2 x= o(V a(x)); (ii) existen β â € € € > 0 tales que V, bâ ≤ β â € € € a. A partir de ahora, separamos las difusiones brownianas y los casos de SDE impulsados por Lévy. 3.1. Aplicación a las difusiones brownianas En esta parte, suponemos que 0. Recordamos un resultado de Lamberton y Pagès [13]. Proposición 1. Deje que un (0,1) tal que (Sa) sostiene. Suponga que la secuencia (ηn/γn)n≥1 no va en aumento. 154 G. Pagès y F. Panloup (a) Dejar que (ln)n≥1 sea una secuencia de números positivos de tal manera que n≥1 γnγn < y que existe n0 N de tal manera que no está aumentando. Entonces, por cada r positivo, nγnE[V r(Xn−1)]. b) Por cada r > 0, 0 (,V r) a.s. (17) Por lo tanto, la secuencia ( / N ≥ 1 es a.s. apretado. (c) Además, cada límite débil de esta secuencia es una probabilidad invariante para el SDE (15). En particular, si (Xt)t≥0 admite una probabilidad invariante única ν0, entonces para cada función continua f tal que f ≤ CV r con r > 0, limnà ν(n)0 (­, f) = ν0(f) a.s. Observación 5. Por ejemplo, si V (x) = 1 + x2, entonces la convergencia anterior se mantiene para cada función continua con crecimiento polinomio. Según Teorema 3.2 en Lemaire [14], es posible extender estos resultados a funciones continuas con crecimiento exponencial, pero entonces depende en gran medida de . Además, las condiciones en los escalones y pesos pueden ser menos restrictivo y puede contener el caso ηn = 1, por ejemplo (véase la Observación 4 de Lamberton y Pagès [13] y Lemaire [14]). Entonces derivamos el siguiente resultado de la proposición anterior y de los teoremas 1 y 2. Teorema 3. Supongamos que b y  son localmente funciones Lipschitz y que فارسى = 0. Vamos. a 0,1) de tal manera que (Sa) mantenga y asuma que (ηn/γn) no está aumentando. (a) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretada en C(R+,Rd)3 y cada límite débil de la letra c) del apartado 1 es la distribución de una solución de proceso estacionaria a (15). En par- ticular, cuando la singularidad tiene para la distribución invariante ν0, a.s., para cada límite funcionamiento continuo F :C(R+,Rd)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (x)P/0 (dx). (18) b) Por otra parte, si existe • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • N(k,T) no aumenta y N(k,T) , (19) 3C(R+,R d) denota el espacio de funciones continuas en R+ con valores en R d dotados de la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 155 entonces, por cada T > 0, por cada F funcional continua no limitada:C(R+,Rd)→ R, (18) se mantiene para FT si se cumple la siguiente condición: Í > 0 tales que FT (α) ≤ C sup 0≤t≤T V r(αt) C(R+,Rd). Observación 6. Si ηn =C1n 1 y γn =C2n 2 con 0< (19) se cumple si y sólo si s > 1/(1− De ello se deduce que existe la posibilidad de que tales que (19) se mantiene tan pronto como 1 < 1. Prueba de Teorema 3. Queremos aplicar el Teorema 2. En primer lugar, por la Proposición 1, suposición (C0,2) se cumple y todos los límites débiles de 0 (,dx)) es una distribución invariante. Segundo, es bien sabido que (C1) y (C2) se cumplen cuando b y funciones sublineales. Entonces, puesto que (C3:) se mantiene con 0=0, (18) se mantiene para cada límite F funcional continua. Finalmente, uno comprueba que H(s,0) mantiene con V := V r (r > 0). Es clásico que la suposición (a) es verdad cuando b y  son sublineales. Supuestos b) sigue de la Proposición 1(b). Let Łn,1 = ηn/(γnH n) y n,2 =­N(n,T)/(γnH n). Uso (19) y el hecho de que (ηn/γn) no aumente los rendimientos que satisfacen los condiciones de la Proposición 1 (véase (35) para más detalles). Entonces, iii) y iv) de H(s,0) son consecuencias de la Proposición 1(a). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. Aplicación a las SDE impulsadas por Lévy Cuando queremos extender los resultados obtenidos para las SDE Brownianas a las SDE impulsadas por Lévy, una de las principales dificultades viene de los momentos del componente de salto (ver Panloup [18] para más detalles). Para simplificar, asumimos aquí que (Zt) tiene un momento de orden 2p ≥ 2, es decir, que su medida Lévy η satisface la siguiente hipótesis con p ≥ 1: (H1p): y1 η(dy)y2p. También introducimos una suposición sobre el comportamiento de los momentos de la medida Lévy a 0: (H2q): y1 η(dy)y2q, q [0,1]. Esta suposición asegura que (Zt) tiene finitos 2q-variaciones. Desde y1 y2π(dy) es finito, esto es siempre satisfecho para q = 1. Especifiquemos ahora la ley de (n) introducida en (16). Cuando los incrementos de (Zt) puede ser exactamente simulado, denotamos por (E) el esquema de Euler y por (n,E) el asociado secuencia = Zγn n≥ 1. 156 G. Pagès y F. Panloup Cuando los incrementos de (Zt) no pueden ser simulados, introducimos un poco de Euler aproximado (P) y (W) construidas con algunas secuencias (­n,P) y (­n,W) de aproximaciones de el verdadero incremento (véase Panloup [19] para una presentación más detallada de estos esquemas). En el esquema (P), =Zγn,n, donde (Z·,n)n≥1 una secuencia de procesos compuestos compensados de Poisson obtenidos por truncando los pequeños saltos de (Zt)t≥0: Zt,n := 0<s≤t # Zs1 # # Zs1 # # # # Zs1 # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs1 # # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs Zs Zs Zs Zs # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # yun yπ(dy) t≥ 0, (20) donde (un)n≥1 es una secuencia de números positivos tales que un → 0. Recordamos que n Z localmente uniformemente en L2 (véase, por ejemplo, Protter [21]). Como se muestra en Panloup [19], el error inducido por esta aproximación es muy grande cuando el comportamiento local del componente de saltos pequeños es irregular. Sin embargo, es posible refinar esta aproximación mediante una Wienerización de los pequeños saltos, es decir, sustituyendo los pequeños saltos por una transformación lineal de un movimiento browniano en lugar de descartarlos (véanse Asmussen y Rosinski [2]). El esquema correspondiente está denotado por (W) con "n,W" Satisfacción = N,P + γnQnđn n≥ 1, en la que (ln)n≥1 es una secuencia de i.i.d. variables aleatorias, independientes de (n,P )n≥1 y (Un)n≥1, de forma que =N (0, Il) y (Qn) es una secuencia de matrices l×l de tal manera que n)i,j = yuk yiyjπ(dy). Recordamos el siguiente resultado obtenido en Panloup [18] en nuestro marco ligeramente simplificado: trabajo. Proposición 2. Deje que un (0,1), p≥ 1 y q [0,1] de tal manera que (H1p), (H2q) y (Sa) mantenga. Suponga que la secuencia (ηn/γn)n≥1 no aumenta. Entonces, las siguientes afirmaciones en el caso de los regímenes (E), (P) y (W). (a) Dejen (ln) satisfacer las condiciones de la Proposición 1. Entonces, n≥1 γnγnE[V p+a−1(Xn−1)]< b) Tenemos 0 (,V p/2+a−1) a.s. (21) Por lo tanto, la secuencia ( / n≥1 es a.s. apretado tan pronto como p/2+ a− 1> 0. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 157 (c) Además, si Tr()+ 2q ≤CV p/2+a−1, entonces cada límite débil de esta secuencia es una probabilidad invariante para el DEE (15). En particular, si (Xt)t≥0 admite un probabilidad invariante ν0, para cada función continua f tal que f = o(V p/2+a−1), limnó / Comisión de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas 0 (, f) = /0(f) a.s. Observación 7. Para los regímenes (E) y (P), la propuesta anterior es una consecuencia directa de Teorema 2 y Proposición 2 de Panloup [18]. Por lo que se refiere al sistema (W), una la adaptación de la prueba da el resultado. Nuestro principal resultado funcional para las SDE impulsadas por Lévy es entonces el siguiente. Teorema 4. Dejar un (0,1) y p≥ 1 de tal manera que p/2+ a− 1> 0 y dejar q [0,1]. Asumir (H1p), (H q) y (Sa). Asumir que b, Si, más... a más, (ηn/γn)n≥1 no aumenta, entonces el siguiente resultado se mantiene para los regímenes (E), (P) y (W). (a) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretada en D(R+,R d). Además, si Tr() + 2q ≤CV p/2+a−1 o 1 l≥k+1 l n 0, (22) Por lo tanto, cada límite débil de ((n)(l),dα))n≥1 es la distribución de un proceso estacionario solu- ciones a (15). b) Suponga que la distribución invariante es única. Deja que 0 tal que (C3,) sostiene. Entonces, a.s., por cada T > 0, por cada Sk-continua funcional F :D(R+,R d)→R, (18) En el caso de FT, si existe, el valor de la sustancia problema es igual o superior al valor de la sustancia problema, y el valor de la sustancia problema es igual o superior al valor de la sustancia problema en el caso de la sustancia problema. FT (α) ≤C sup 0≤t≤T V (l(p+a−1))/s(αt) D(R+,Rd) y si N(k,T) s(1) no aumenta y N(k,T) s(1) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 23) Observación 8. En (22), ambas suposiciones implican la invarianza de cada límite débil de 0 (,dx)). Estos dos supuestos son muy diferentes. La primera es necesaria en la Proposición 2 para utilizar los criterios de invarianza Echeverria-Weiss (véase Ethier y Kurtz [7], página 238, Lamberton y Pagès [12] y Lemaire [14]), mientras que el segundo aparece en Teorema 2, donde nuestro enfoque funcional muestra que bajo algunas condiciones adicionales leves en pasos y pesos, cada límite débil es siempre invariante. Para (23), nos referimos a la Observación 6 para las condiciones simples suficientes cuando (γn) y (ηn) son algunos pasos polinomios y pesas. 158 G. Pagès y F. Panloup 4. Pruebas de los teoremas 1 y 2 Comenzamos la prueba con algunos lemas técnicos. En Lemma 1, mostramos que la a.s la escasa convergencia de las medidas aleatorias [(n)(l),dα))n≥1 puede caracterizarse por convergencia (11) a lo largo del conjunto de Lipschitz funcional limitada F para la distancia d. Entonces, en Lemma 2, mostramos con algunos argumentos martingale que si el funcionamiento F depende sólo de la restricción de la trayectoria a [0, T ], a continuación, la convergencia de La letra n) del apartado 1 es equivalente a la de una secuencia más regular. Este paso es fundamental para la secuela de la prueba. Finalmente, Lemma 4 es necesaria para la prueba del Teorema 2. Demostramos que bajo algún leve condiciones en el escalón y las secuencias de peso, cualquier límite débil de Markovian de la secuencia El Tribunal de Primera Instancia decidió: 4.1. Lemas preliminares Lemma 1. Dejar (E,d) ser un espacio polaco y dejar P(E) denotar el conjunto de probabilidad medidas sobre el campo Borel B(E), dotado de la débil topología de convergencia. Vamos. (μ(n)(l,dα))n≥1 ser una secuencia de probabilidades aleatorias definidas en B(E). (a) Suponga que existe μ() P(E) de tal manera que para cada función limitada Lipschitz- ión F :E→R, μ(n)(­,F ) n μ()(F) a.s. (24) Entonces, a.s., (μ(n)(l,dα))n≥1 converge débilmente a μ (­) el P(E). (b) Dejar U ser un subconjunto de P(E). Supongamos que para cada secuencia (Fk)k≥1 de Lipschitz y funciones delimitadas, a.s., para cada subsecuencia (μ((n))))), existe un sub- secuencia (μ((n)))(l,dα)) y una probabilidad aleatoria μ(l)(l,dα) valorada en U, de tal manera que por cada k ≥ 1, μ((n))(,Fk) n μ(­)(­),Fk) a.s. (25) Entonces, (μ(n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretado con límites débiles en U. Prueba. No damos una prueba detallada del siguiente lema, que se basa esencialmente en sobre el hecho de que en un espacio métrico separable (E,d), se puede construir una secuencia de límites Funciones de Lipschitz (gk)k≥1 tales que para cualquier secuencia (μn)n≥1 de medidas de probabilidad en B(E), (μn)n≥1 converge débilmente a una probabilidad μ si y sólo si la convergencia se mantiene a lo largo de las funciones gk, k ≥ 1 (véase Parthasarathy [22], Teorema 6.6, página 47 para una resultados muy similares). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por cada n ≥ 0, por cada T > 0, se introducen los siguientes valores: (n,T ) := min{k ≥ 0,N(k,T )≥ n}=min{k ≤ n, 26) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 159 Nótese que para k {0,......................................................................................................................................................................................................................................................... T − (n,T)−1 ≤ فارسىn − (n,T) ≤ T. Lemma 2. Supóngase (C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C4; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; Let F :D(R+,R d)→R ser un func- cional. Que (Gk) sea una filtración de tal manera que Fk Gk por cada k ≥ 1. Entonces, para cualquier T > 0: a) si FT (definido por (7)) está limitado, ηk(FT (X̄) (k−1))−E[FT (X̄(k−1))/Gk−1) n 0 a.s.; (27) (b) si FT no está limitada, (27) mantiene si existe V :Rd→R+, satisfaciendo H(s), algunos s≥ 2, de tal manera que FT (α) ≤C sup0≤t≤T V(αt) por cada α D(R+,Rd); además, El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. Prueba. Demostramos (a) y (b) simultáneamente. Dejemos que se defina el punto k) por el punto k) = FT (X̄) k)). Tenemos (k−1) −E[Ł(k−1)/Gk−1)] (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) (29) ηk(E[ (k−1)/Gn]−E[Ł(k−1)/Gk−1). (30) Tenemos que probar que el lado derecho de (29) y (30) tienden a 0 a.s. cuando n. Primero nos centramos en el lado derecho de (29). A partir de la definición misma de Ł(n,T ), nosotros tener que {X̄(k)t,0≤ t≤ T } es Fn -mensurable para k {0,.............................................................................................................................................................................................................................................. Por lo tanto, desde FT es mensurable y Fn Gn, de lo que se deduce que (k) es mensurable y que la letra k) = E[l(k)/Gn] por cada k ≤ l(n,T)− 1. Entonces, si FT está limitado, derivamos De (C3:») que (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) ≤ 2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° k =(n,T )+1 k =(n,T )+1 H1n (n − (n,T)) 160 G. Pagès y F. Panloup ≤ C(T) H1n n 0 a.s., donde usamos el hecho de que (Hn)n≥1 y (γn)n≥1 no disminuyen y no aumentan secuencias, respectivamente. Suponga, ahora, que las suposiciones de (b) se cumplen con V satisfaciendo H(s) para algunos s≥ 2 y  < 1. Por el argumento de Borel-Cantelli-como, basta demostrar que k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 31) Demostremos (31). Let ak := η (s−1)/s k y bk(­) := η (k−1) − E[Ł(k−1)/Gn]). Los Desigualdad de Hölder aplicada con p̄ s/(s− 1) y q̄ = rendimientos s k =(n,T )+1 akbk(­) k =(n,T )+1 )s−1( n k =(n,T )+1 ηk(k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]s Ahora, desde FT (α) ≤ sup0≤t≤T V(α), se deriva de la propiedad Markov y de H(s), l(i) que E[FT [X̄(k))s/Fk]≤CE 0≤t≤T Vs(X̄(k)t)/Fk ≤CTVs(Xk). A continuación, utilizando las dos desigualdades precedentes y (C3, k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) k =(n,T )+1 )s−1( n k =(n,T )+1 ηkE[Vs(Xk−1)] k =(n,T )+1 k =(n,T )+1 Vs(Xk−1) k =(n,T )+1 [0,S(n,T)] Vs(X(n,T)t) donde S(n,T ) = Łn−1 − (n,T ) y C no dependen n. Por la definición de ♥(n,T ), S(n,T )≤ T. A continuación, de nuevo utilizando H(s), (i) rendimientos k=­(n,T ) (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) s(1) E[Vs(XÕ(n,T ))]. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 161 Puesto que n 7→ N(n,T ) es una función en aumento, n 7→ N(n,T ) es una función no decreciente y la tarjeta{n, (n,T ) = k} = N(k+1, T ) := N(k+1, T )−N(k,T ). Entonces, desde n 7→Hn aumentos, un cambio de rendimientos variables k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) N(k,T) s(1) E[Vs(Xk−1)], por H(s), فارسى(iv). Segundo, demostramos que (30) tiende a 0. Por cada n≥ 1, dejamos (E[I)(k−1)/Gn]−E[I)(k−1)/Gk−1). (32) El proceso (Mn)n≥1 es un (Gn)-martingale y queremos demostrar que este proceso es L2 con límite. Conjunto Φ(k,n) = E[FT (X̄) k))/Gn]− E[FT (X̄(k))/Gk]. Dado que el FT es (s,0 ≤ s ≤ T )-mensurable, la variable aleatoria Φ(k,n) es FN(k,T)-mensurable. Entonces, por cada {N(k,T),. ................................................................................... E[Φ(i,n)Φ(k,n)] =E[Φ(k,n)E[Φ(i,n)/Gi]] = 0. De ello se deduce que E[M2n] = E[(Φ(k−1,n)) ] + 2 N(k−1,T ) i=k+1 E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)]. 33) Entonces, E[M2n] ≤ E[(Φ(k−1,n)) ] + 2 N(k−1,T) i=k+1 E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)] H2k E[(Φ(k−1,n)) ] (34) H2k N(k−1,T) i=k+1 γi sup E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)] 162 G. Pagès y F. Panloup donde, en la segunda desigualdad, utilizamos la suposición (C3), y la disminución de i 7→ 1/H1i. Por lo tanto, si FT está limitado, utilizando el hecho de que N(k−1,T) i=k+1 γi ≤ T rendimientos E[M2n]≤C H2k H21 (35) desde el 1o de enero de 2001 hasta el 1o de enero de 2001. Supongamos, ahora, que las suposiciones de (b) mantener y dejar FT ser dominado por una función V que satisfaga H(s),. Por la propiedad Markov, la desigualdad Jensen y H(s), (i), E[(Φ(k,n)) 0≤t≤T V2(X̄(k)t)/Fk ≤CTE[V2(Xk)]. Entonces derivamos de la desigualdad Cauchy-Schwarz que para cada n, k ≥ 1, para cada i {k,. ............................................................................... E[Φ(i,n)Φ(k,n)] ≤C E[V2(Xi)] E[V2(Xk)]≤C sup [0,T] E[V2(X̄(k)t )]≤CE[V2(Xk)], donde, en la última desigualdad, utilizamos una vez más H(s, Ł)(i). De ello se deduce que E[M2n]≤C H2k E[V2(Xk−1)], por H(s), فارسى(iii). Por lo tanto, (34) es finito y (Mn) está limitado en L 2. Finalmente, derivamos del lema Kronecker que ηk(E[FT (X̄) (k−1))/Gn]−E[FT (X̄(k−1))/Gk−1) n 0 a.s. En consecuencia, supn ≥ 1 / a.s. si y sólo si E[FT (X̄) (k−1))/Fk−1] a.s. Esta última propiedad se deriva fácilmente de H(s), Ł(i) y (ii). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3. a) Asumir (C1) y dejar que x0+Rd. Luego tenemos limx→x0 E[d(Xx,Xx0)] = 0. En particular, para cada Lispchitz delimitado (w.r.t. la distancia d) funcional F :D(R+,R R, la función ΦF definida por ΦF (x) = E[F (Xx)] es una función continua (limitada) en b) Suponga (C2). Para cada set compacto K+Rd, E[d(Y n,x,Xx)] n 0. (36) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 163 Conjunto ΦFn (x) = E[F (Y) n,x)]. Entonces, para cada Lispchitz funcional F :D(R+,R d)→R, F (x)Fn (x) n 0 para cada conjunto compacto K+Rd. (37) Prueba. a) Por la definición de d, por cada α, β-D(R+,Rd) y por cada T > 0, d(α,β)≤ 1o ° ° ° ° ° ° ° ° 1o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 0≤t≤T (t)− β(t) + e−T. 38) Se deriva fácilmente de la suposición (C1) y del teorema de convergencia dominado limsup E[d(Xx,Xx0)]≤ e−T por cada T > 0. Dejar T implica que limx→x0 E[d(Xx,Xx0)] = 0. (b) Deducimos de (38) y de la suposición (C2) que para cada set compactoK-Rd, por cada T > 0, limsup E[d(Y n,x,Xx)]≤ e−T. Dejar T rendimientos (36). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 4. Asumir que (ηn)n≥1 y (γn) satisfacen (C3), con  < 1 y (14). Entonces: i) por cada t ≥ 0, por cada función continua limitada f :Rd→R, c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) n 0 a.s.; — si, por otra parte, a.s., cada límite de debilidad es el siguiente: Atribución de un proceso de Markov con un semigrupo (Q. t )t ≥ 0, entonces, a.s., / (­) (­) (dα) es la distribución de un proceso estacionario. Prueba. i) Dejar que f :Rd →R sea una función continua limitada. Desde X̄(k)t = XN(k,t) c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) = ηk(f(XN(k−1,t))− f(Xk−1)). A partir de la definición misma de N(n,T) y N(n,T), se comprueba que N(k − 1, T )≤ n− 1 si y sólo si (n,T )≥ k. Entonces, ηkf(Xk−1) = (n, t) ηN(k−1,t)+1f(XN(k−1,t)) ηkf(Xk−1)1{k−1/N({0,...,n},t)}. 164 G. Pagès y F. Panloup De ello se deduce que c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) = (n, t) (ηk − ηN(k−1,t)+1)f(XN(k−1,t)) (n,t)+1 ηkf(XN(k−1,t)) ηkf(Xk−1)1{k−1/N({0,...,n},t)}. Entonces, ya que f está limitado y desde ηk1{k−1/*N({0,...,n},t)} = (n, t) ηN(k−1,t)+1 (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 k=(n,t)+1 Deducimos que (n)t (, f)− / Comisión de las Comunidades Europeas 0 (, f) ≤ 2f (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 k=(n,t)+1 Por lo tanto, tenemos que demostrar que las secuencias del lado derecho de la anterior in- la igualdad tiende a 0. Por un lado, observamos que k − ηN(k−1,t)+1 ≤ N(k−1,T)+1 l=k+1 l − ηl−1 ≤ máx. l≥k+1 l N(k−1,T)+1 Usando el hecho de que N(k−1,T)+1 l=k γl ≤ T + γ1 y condiciones (14) rendimientos (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 n 0. Por otro lado, por (C3, k =(n,T )+1 H1n k =(n,T )+1 H1n n 0 a.s., que completa la prueba de i). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 165 (ii) Deje que Q+ denote el conjunto de números racionales no negativos. Let (fl)l≥1 be an every- donde secuencia densa en CK(Rd) dotado de la topología de convergencia uniforme sobre Conjuntos compactos. Puesto que Q+ y (fl)l≥1 son contables, derivamos de (i) que existe tal que P() = 1 y tal que por cada , cada t Q+ y cada l≥ 1, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos 0 (, fl) n 0. Denominen un límite débil de ((n)(l),(dα))n≥1. Tenemos t (l, f) = / 0 (­, fl) ­t ­Q+ ­l ≥ 1 y lo deducimos fácilmente t (, f) = / CK(Rd). Por lo tanto, si se trata de la distribución de un proceso de Markov (Yt) con semigrupo (Q t )t≥0, tenemos, para todos los f â € CK(Rd), Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos 0 (,dx) = f(x)/ 0 (,dx) ♥t≥ 0. 0 (,dx) es entonces una distribución invariante para (Yt). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2. Prueba de Teorema 1 Gracias a Lemma 1(a) aplicado con E =D(R+,R d) y d) definidos por (6), /(n)(l,dα) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (x)P/0 (dx) a.s. (39) para cada Lipschitz funcional F :D(R+,R d)→ R. Ahora, considere tal func- cional. Por las suposiciones del Teorema 1, sabemos que a.s., ( / Convergencias de 0 (,dx))n≥1 débilmente a 0. Conjunto Φ F (x) := E[F (Xx)], x â € Rd. Por Lemma 3(a), ΦF es un contin- función usuaria en Rd. A continuación, se desprende de (C0,1) que F (X̄ (k−1) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ΦF (x)/0(dx) = F (x)P/0 (dx) a.s. Por lo tanto, el lado derecho de (39) sostiene para F tan pronto como ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)0 ) n 0 a.s. (40) 166 G. Pagès y F. Panloup Demostremos (40). En primer lugar, dejar T > 0 y dejar que FT se defina por (7). Por Lemma 2, ηkFT (X̄ (k−1))− 1 ηkE[FT (X̄) (k−1))/Fk−1 ] n 0 a.s. (41) Con la notación de Lemma 3(b), derivamos de la suposición (C2)(i) de que E[FT (X̄) (k−1))/Fk−1 ] = Φ k (X̄ (k−1) Dejemos que N â € N. Por una parte, por Lemma 3(b), k (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) 0 ))1X̄(k−1) n 0 a.s. (42) Por otra parte, el Tribunal de Primera Instancia considera que el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la letra c) del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. 0 (,dx))n≥1 en R d rendimientos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 (, (B(0,N) N 0 a.s. De ello se desprende que, a.s., ηkFTk (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) 0 )1X̄(k−1) ≤ 2°F(­,N) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, una combinación de (42) y (43) rendimientos T > 0 1 k (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) n 0 a.s. (44) Finalmente, dejar (Tl)l≥1 ser una secuencia de números positivos tales que, Tl cuando l. Combinando (44) y (41), obtenemos eso, a.s., por cada l ≥ 1, limsup ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)) ≤ lim sup ηk(F (X̄) (k−1))−FTl(X̄(k−1)) + limsup FTl (X̄ (k−1) 0 )F (X̄ (k−1) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 167 Por la definición de d, F − FTl ≤ e−Tl. Entonces, a.s., limsup ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)0 ) ≤ 2e−Tl Dejar que l implica (40). La generalización a las funciones no vinculadas en el Teorema 1 se deriva entonces de (28) y de un argumento uniforme de integrabilidad. 4.3. Prueba del teorema 2 (i) Queremos demostrar que se cumplen las condiciones de Lemma 1(b). Desde el 1 de enero de 1993 0 (,dx))n≥1 se supone que es a.s. apretado, se puede comprobar que para cada Lipschitz limitada funcional F :D(R+,R d)→R, (40) sigue siendo válida. Entonces, dejar (Fl)l≥1 ser una secuencia de Lipschitz limitada funciones. Existe con P() = 1 tal que por cada , ((n)0 (,dx))n≥1 es apretado y ηk(Fl(X̄) (k−1)()Fl(X̄(k−1)0 ())) n 0 ♥l≥ 1. (45) Vamos a y dejar :N 7→N ser una función en aumento. Dado que (/((n))0 (,dx))n≥1 es estrecho, existe una subsecuencia convergente (/ ((n)) 0 (,dx))n≥1. Denotamos su límite débil Por. Desde Φ Fl es continuo por cada l ≥ 1 (ver Lemma 3(a)), ((n)) 0 (Φ,Φ n (ΦFl) = Fl(α)P(dα) l≥ 1. Entonces derivamos de (45) que por cada l ≥ 1 El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Fl(α)P(dα). De ello se deduce que las condiciones de Lemma 1(b) se cumplen con U = {Pμ, μ I}, donde μ P(Rd), y una función cada vez mayor:N 7→N, μ= lim El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. Por lo tanto, por Lemma 1(b), deducimos que (v(n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretado con los límites U-valuados. Por último, el teorema 2 ii) es una consecuencia de la condición (14) y el lemma 4 ii). 168 G. Pagès y F. Panloup 5. Precio de la opción dependiente de la ruta en estacionario Modelos de volatilidad estocásticos En esta sección, proponemos un método simple y eficiente para las opciones de precios en estacionario Modelos de volatilidad estocástica (SSV). En la mayoría de los modelos de volatilidad estocástica (SV), el volatil- ity es un proceso de reversión media. Estos procesos son generalmente ergódicos con un único distribución invariante (el modelo Heston o el modelo BNS, por ejemplo (véase más adelante), pero También el modelo SABR (véase Hagan et al. [8]),.. .). Sin embargo, por lo general se consideran en los modelos SV bajo un régimen no estacionario, a partir de un valor determinista (que generalmente resulta ser la media de su distribución invariante). Sin embargo, la instanta- La volatilidad neous no es fácil de observar en el mercado, ya que no es un activo negociado. Por lo tanto, Parece más natural asumir que evoluciona bajo su régimen estacionario que para darle un valor determinista en el tiempo 0,4 Desde un punto de vista puramente de calibración, teniendo en cuenta un modelo SV en su régimen SSV no modificar el conjunto de parámetros utilizados para generar la superficie de volatilidad implícita, aunque modificará su forma, principalmente para los vencimientos cortos. Este efecto puede, de hecho, ser un activo del enfoque SSV ya que puede corregir algunos inconvenientes observados de algunos modelos (ver, por ejemplo, el modelo Heston que figura a continuación). Desde un punto de vista numérico, teniendo en cuenta los modelos SSV ya no es un obstáculo, es- pecialmente al considerar los modelos multi-activos (en el caso unidimensional, el estacionario distribución se puede hacer más o menos explícito como en el modelo Heston; ver más abajo) ya que nuestro algoritmo es precisamente diseñado para calcular por simulación algunas expectativas de func- ciones de los procesos bajo su régimen estacionario, incluso si este régimen estacionario no puede ser simulado directamente. Como primera ilustración (y punto de referencia) del método, describiremos en detalle el algoritmo para el precio de las opciones asiáticas en un modelo Heston. A continuación, vamos a mostrar en nuestros resultados numéricos hasta qué punto difiere, en términos de sonrisa y sesgo, de la Modelo habitual de SV Heston para vencimientos cortos. Finalmente, completaremos esta sección con una prueba numérica sobre las opciones asiáticas en el modelo BNS donde la volatilidad es impulsada por un Subordinador estable templado. Mencionemos también que este método se puede aplicar a otros ámbitos de la financiación, como los tipos de interés, las materias primas y los derivados energéticos, en los que Los procesos de inversión media desempeñan un papel importante. 4Cuando uno tiene observaciones suficientemente estrechas del precio de las acciones, es de hecho posible derivar un bruto idea del tamaño de la volatilidad a partir de las variaciones del precio de las acciones (véase, por ejemplo, Jacod [10]). Entonces, usando esta información, un buen compromiso entre un valor inicial determinista y el caso estacionario puede debe asumirse que la distribución μ0 de la volatilidad en el momento 0 se concentra en torno a la estimación valor (ver sección 2.2 para la aplicación de nuestro algoritmo en este caso). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 169 5.1. Precios de opción en el modelo SSV de Heston Consideramos un modelo de volatilidad estocástica Heston. La dinámica del proceso de precios de los activos (St)t≥0 está indicado por S0 = s0 y dSt = St(rdt+ 1 - 2 dW 1t + 1 vt dW dvt = k( vt) dt+ vt dW donde r denota el tipo de interés, (W 1,W 2) es un browniano bidimensional estándar movimiento,.............................................................................................................................................................................................................................................................. Este modelo era introducido por Heston en 1993 (véase Heston [9]). La ecuación para (vt) tiene un único (fuerte) solución continua pathwise que vive en R+. Si, por otra parte, 2k. >.................................................................................................................................... 2, entonces (vt) es un positivo proceso (véanse Lamberton y Lapeyre [11]. En este caso, (vt) tiene un invariante único Probabilidad ν0. Por otra parte, ν0 = γ(a, b) con a= (2k)/ 2 y b = (2k............................................................................................................................................................................................................................................................ En lo siguiente: asumiremos que (vt) está en su régimen estacionario, es decir, que L(v0) = ν0. 5.1.1. Precios de opción y procesos estacionarios El uso de nuestro procedimiento para las opciones de precios en este modelo naturalmente necesita expresar la opción precio como la expectativa de una funcional de un proceso estocástico estacionario. Método Nóve. (puede funcionar) Puesto que (vt)t≥0 es estacionario, la primera idea es expresar la precio de opción como la expectativa de un funcional de (vt)t≥0: por Itô cálculo, tenemos St = s0 exp rt− 1 vs ds vs dW 1 - 2 vs dW . (46) Desde vs dW s =(t, (vt)) := vt − v0 − kŁt+ k vs ds A continuación, se establece Mt = vs dW s que St =(t, (vs), (Ms)), (47) en la que • se administra por cada t ≥ 0, u y w • C(R+,R) por (t, u,w) = s0 exp rt− 1 u(s) ds + (t, u) + 1 - 2w(t) A continuación, dejar F :C(R+,R) → R ser un no negativo medible funcional. Acondicionamiento por Rendimientos FW 2T E[FT ((St)t≥0)] = E[FūT ((vt)t≥0)], 170 G. Pagès y F. Panloup donde, por cada u C(R+,R), FûT (u) = E t, u, u(s) dW 1s Para algunas opciones particulares como la llamada o puesto europeo (gracias a los negros- Scholes fórmula), la función Fś es explícita. En esos casos, este método parece ser muy eficiente (ver Panloup [20] para los resultados numéricos). Sin embargo, en el caso general, el el cálculo de F‡ necesitará algunos métodos de Monte Carlo en cada paso. Este enfoque es el siguiente: entonces muy lento en general – es por eso que vamos a introducir otro representación de la opción como funcional de un proceso estacionario. Método general. (siempre funciona) Expresamos la opción premium como la expectativa de una función de un proceso estocástico estacionario bidimensional. Este método está basado sobre la siguiente idea. Aunque (vt,Mt) no es estacionario, (St) se puede expresar como un funcional de un proceso estacionario (vt, yt). De hecho, considere el siguiente SDE dado por dyt =−yt dt+ vt dW dvt = k( vt) dt+ vt dW En primer lugar, se comprueba que el SDE tiene una solución única y fuerte y que la suposición (S1) es cumplido con V (x1, x2) = 1+ x 2. Esto garantiza la existencia de una distribución invariante Para la SDE, véase, por ejemplo, Pagès [17]. Entonces, puesto que (vt) es positivo y tiene un único distribución invariante, la singularidad de la distribución invariante sigue. Entonces, asumir que L(y0, v0) = 0. Desde (vt,Mt) = (vt, yt − y0 + ys ds), tenemos, por cada positivo F funcional medible :C(R+,R)→R, E[FT ((St)t≥0)] = E[FT (((t, vt, Mt))t≥0)] = E0 t, vt, yt − y0 + ys ds donde P0 es la distribución estacionaria del proceso (vt, yt). Cada precio de opción puede se expresará entonces como la expectativa de una funcionalidad explícita de un proceso estacionario. Nosotros desarrollará este segundo enfoque general en las pruebas numéricas que figuran a continuación. Observación 9. La idea del segundo método sostiene para cada modelo de volatilidad estocástica para lo cual (St) puede escribirse como sigue: St = Φ t, vt, hi(vs) dY es , (50) donde, para cada i {1,...., p}, hi :R+ →R es una función positiva tal que hi(x) = o(x) como x →, (Y it ) es un proceso de Lévy cuadrado-integrable centrado y (vt) es una media revirtiendo la solución de proceso estocástico a una SDE impulsada por Lévy. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 171 En algunos modelos complejos, mostrando la singularidad de la distribución invariante puede ser Difícil. De hecho, es importante señalar en esta etapa que la singularidad de la invariante distribución para la pareja (vt, yt) no es necesario. De hecho, por la construcción, el local martingale (Mt) no depende de la elección de y0. De ello se deduce que si L(y0, v0) =, con construido de tal manera que L(v0) = ν0, (49) todavía tiene. Esto implica que sólo es necesario que la singularidad tiene para la distribución invariante de la volatilidad estocástica proceso. 5.1.2. Pruebas numéricas sobre opciones asiáticas Recordamos que (vt) es un proceso Cox-Ingersoll-Ross. Para este tipo de procesos, está bien que se sabe que el auténtico régimen Euler no puede aplicarse, ya que no preserva la no negatividad de la (vt). Es por eso que algunos esquemas específicos de discretización tienen ha sido estudiado por varios autores (Alfonsi [1], Deelstra y Delbaen [5] y Berkaoui et al. [4, 6]). En este trabajo, consideramos el esquema estudiado por los últimos autores en una disminución marco escalonado. Lo denotamos por (v̄t). Se establece v̄0 = x > 0 y vn+1 = vn + kγn+1( vn) + vn(W) − W 2­n). También introducimos el esquema constante paso a paso Euler (t) de (yt)t≥0 definido por n+1 = n − γn+1n + vn(W) − W­ 1­n), 0 = y Denotar por (v̄ t ) y ( t ) los procesos de desplazamiento definidos por v̄ t := vk+t y k+t, y dejar ( / (n)(l,dα))n≥1 ser la secuencia de medidas empíricas definidas por v. n.)............................................................................................................................................................................................................................................................ ηk1{(v̄(k−1),(k−1))d. La especificidad tanto del modelo como del sistema Euler implica que los teoremas 1 y 2 no se puede aplicar directamente aquí. Sin embargo, un estudio específico en el que se utiliza el hecho de que (9) para cada conjunto compacto de R ×R cuando 2k­°/+2 > 1+ 2 (véase el Teorema 2.2 de Berkaoui) et al. [4] y Observación 9) muestran que /(n)(l,dα) P0(dα) a.s. en caso de que se destinen a la fabricación de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de la categoría M2 o de la categoría M2 6/.................................................................................................................... Los detalles se dejan al lector. Ahora expongamos nuestros resultados numéricos obtenidos para el precio de las opciones asiáticas con Esta discretización. Denotamos por Cas( /0,K,T) y Pas( /0,K,T) la llamada asiática y poner precios en el modelo SSV Heston. Tenemos Cas(/0,K,T ) = e Ss ds−K 172 G. Pagès y F. Panloup Pas(/0,K,T ) = e K − 1 Ss ds Con la anotación de (49), aproximándose a Cas(/0,K,T) y Pas(/0,K,T) por nuestro procedimiento. es necesario simular las secuencias (Cnas)n≥1 y (P as)n≥1 definido por Cnas = *(s), v̄(k−1), M̄ (k−1)) ds−K Pnas = K − 1 *(s), v̄(k−1), M̄ (k−1)) ds Estas secuencias pueden ser calculadas por el método desarrollado en la Sección 1.3. Tenga en cuenta que las propiedades específicas de la función exponencial y la linealidad de la integral implican que ( (t, v̄(n−1), M̄ (n−1)) ds) se puede calcular cuasi-recursivamente. Vamos a declarar nuestros resultados numéricos para la llamada asiática con parámetros s0 = 50, r = 0,05, T = 1, * = 0,01, * = 0,1, k = 2. También suponemos que K {44,...,56} y elegir los siguientes pasos y pesos: γn = ηn = n −1/3. En el cuadro 1, se indica en primer lugar el valor de referencia para el precio de llamada asiático obtenido para N = 108 iteraciones. En las dos líneas siguientes, indicamos nuestros resultados para N = 5.104 y N = 5.105 iteraciones. Luego, en las últimas líneas, presentamos los resultados numéricos obtenidos Cuadro 1 Aproximación del precio de la llamada asiática K 44 45 46 47 48 49 50 Llamada asiática (ref.) 6,92 5,97 5,04 4,12 3,25 2,46 1,78 N = 5 · 104 6,89 6,07 5,07 4,13 3,18 2,49 1,77 N = 5 · 105 6,90 6,02 5.00 4,11 3,24 2,46 1,79 N = 5 · 104 (paridad del PC) 6,92 5,96 5,04 4,13 3,26 2,46 1,78 N = 5 · 105 (paridad del PC) 6,92 5,97 5,04 4,12 3,25 2,47 1,78 K 51 52 53 54 55 56 Llamada asiática (ref.) 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,12 N = 5 · 104 1,21 0,81 0,51 0,34 0,22 0,11 N = 5 · 105 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,13 N = 5 · 104 (paridad PC) 1,23 0,82 0,53 0,31 0,21 0,12 N = 5 · 105 (paridad PC) 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,13 Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 173 utilizando la paridad de llamada-puerta Cas(/0,K,T)- Pas(/0,S0,K,T) = (1− e−rT )−Ke−rT (52) como medio de reducción de las variaciones. Los tiempos de cálculo para N = 5.104 y N = 5.105 (usando MATLAB con un procesador Xeon 2.4 GHz) son aproximadamente 5 s y 51 s, respectivamente. In En particular, la complejidad es casi lineal y los cálculos adicionales necesarios cuando Usamos la paridad llamada-puerta son insignificantes. 5.2. Superficies de volatilidad implícitas de los modelos Heston SSV y SV Teniendo en cuenta un determinado modelo de precios (con valor inicial s0 y tipo de interés r) y su los precios europeos de las llamadas denotadas por Ceur(K,T), recordamos que la volatilidad implícita superficie es el gráfico de la función (K,T ) 7→ cada vencimiento T > 0 y golpear K como la solución única de CBS(s0,K,T, r, imp(K,T)) =Ceur(K,T), donde CBS(s0,K,T, r, ) es el precio de la llamada europea en el modelo Black–Scholes con parámetros s0, r y Cuando se conoce Ceur(K,T ), el valor de ♥imp(K,T ) puede ser calculado numéricamente usando el método Newton o por dicotomía si el primer método es no convergente. En esta última parte, comparamos las superficies de volatilidad implícita inducidas por el SSV y SV Heston modelos donde suponemos que el valor inicial de (vt) en el modelo SV Heston es la media de la distribución invariante, es decir, suponemos que v0 =. 5 También asumimos que los parámetros son los de (51), excepto el coeficiente de correlación En las figuras 1 y 2, las curvas de volatilidad obtenidas cuando se representa T = 1, mientras que en Figuras 3 y 4, establecemos el strikeK atK = 50 y dejamos que el tiempo varíe. Estas representaciones muestran que cuando la madurez es larga, las diferencias entre el SSV y el SV Heston los modelos desaparecen. Esto es una consecuencia de la convergencia de la volatilidad estocástica a su régimen estacionario cuando T. Las principales diferencias entre estos modelos aparecen entonces para los vencimientos cortos. Eso es. por qué completamos esta parte por una representación de la curva de volatilidad cuando T = 0,1 para En las Figuras 5 y 6, respectivamente, la cifra es de 0 y la cifra de 0,5. Observamos que para los vencimientos cortos, la sonrisa de volatilidad es más curvada y el sesgo es más empinado. Estos fenómenos parecen interesante para la calibración ya que un conocido inconveniente del modelo estándar de Heston es que puede tener curvas de volatilidad demasiado planas para vencimientos cortos. 5.3. Pruebas numéricas sobre opciones asiáticas en el modelo SSV de BNS El modelo BNS introducido en Barndorff-Nielsen y Shephard [3] es una volatilidad estocástica modelo donde el proceso de volatilidad es un proceso Ornstein-Uhlenbeck positivo impulsado por Lévy. 5Esta elección es la más habitual en la práctica. 174 G. Pagès y F. Panloup Figura 1. ♥ = 0, K 7→ ♥imp(K,1). La dinámica del precio del activo (St) es dada por St = S0 exp(Xt), dXt = (r− 12vt) dt+ vt dWt + ŁdZt, 0, dvt = vt dt+dZt, μ > 0, Figura 2.?0.5, K 7→?imp(K,1). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 175 Figura 3.? 0, T 7→?imp(50, T ). donde (Zt) es un subdirector sin término de deriva y Lévy medida η. En lo siguiente: Suponemos que (Zt) es un subdirector estable templado, es decir, que η(dy) = 1{y>0} c exp(y) dy, c > 0,  > 0, (0,1). Al igual que en el modelo de Heston, queremos utilizar nuestro algoritmo como una forma de precio de opción cuando la volatilidad estocástica evoluciona bajo su régimen estacionario y lo prueba en opciones asiáticas utilizando el método descrito en detalle en la sección 5.1. Este modelo no requiere un modelo específico Figura 4.?0.5, T 7→?imp(50, T ). 176 G. Pagès y F. Panloup Figura 5.? 0, T 7→?imp(50, T ). discretización y el régimen aproximado de Euler (P) (véase la sección 3.2) en relación con (vt) se puede implementar utilizando el método de rechazo. En la Tabla 2, presentamos nuestro número resultados obtenidos para las siguientes opciones de parámetros, pasos y pesos: * = −1, * = μ= 1, * c= 0,01, * = 1 , γn = ηn = n −1/3. Los tiempos de cálculo para N = 5.104 y N = 5.105 son aproximadamente 8,5 s y 93 s, respectivamente. Tenga en cuenta que para este modelo, la convergencia parece ser más lenta debido a la aproximación del componente de salto. Figura 6.?0.5, T 7→?imp(50, T ). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 177 Cuadro 2 Aproximación del precio de la llamada asiática en el modelo BNS K 44 45 46 47 48 49 50 Llamada asiática (ref.) 6,75 5,83 4,93 4,05 3,18 2,35 1,57 N = 5 · 104 6,83 5,91 5,01 4,10 3,22 2,35 1,51 N = 5 · 105 6,78 5,86 4,96 4,06 3,19 2,34 1,52 N = 5 · 104 (paridad del PC) 6,76 5,85 4,94 4,07 3,20 2,29 1,51 N = 5 · 105 (paridad del PC) 6,75 5,83 4,93 4,04 3,17 2,32 1,54 K 51 52 53 54 55 56 Llamada asiática (ref.) 0,91 0,55 0,39 0,29 0,23 0,18 N = 5 · 104 0,77 0,46 0,33 0,27 0,22 0,19 N = 5 · 105 0,79 0,48 0,34 0,27 0,21 0,17 N = 5 · 104 (paridad PC) 0,79 0,47 0,37 0,27 0,23 0,19 N = 5 · 105 (paridad PC) 0,83 0,50 0,36 0,28 0,22 0,17 Agradecimientos Los autores agradecen a Vlad Bally sus interesantes comentarios sobre el documento. Bibliografía [1] Alfonsi, A. (2005). En los esquemas de discretización para el CIR (y Bessel al cuadrado) pro- cestos. Monte Carlo Métodos Appl. 11 355-384. 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Construimos una secuencia de medidas empíricas en el espacio D(R_+,R^d) de R^d-valuado cadlag funciones en R_+ para aproximar la ley de una proceso estacionario de Markov y Feller con valor R^d (X_t). Obtenemos un poco de general resultados de convergencia de esta secuencia. Entonces, los aplicamos a Brownian. Difusiones y soluciones a las SDE impulsadas por L\'evy bajo algún tipo de Lyapunov suposiciones de estabilidad. Como aplicación numérica de este trabajo, mostramos que este procedimiento da una manera eficiente de precios de opción en estocástico modelos de volatilidad.

Introducción 1.1. Objetivos y motivaciones En este artículo, nos ocupamos de un proceso de Feller Markov valorado en Rd (Xt) con semigrupo (Pt)t≥0 y asumir que (Xt) admite una distribución invariante ν0. El objetivo de este trabajo es: proponer una manera de aproximar toda la distribución estacionaria P/0 de (Xt). Más pre- Por lo que respecta a las medidas de ocupación ponderadas, queremos construir una secuencia de medidas de ocupación ponderadas ( v(n)(l,dα))n≥1 en el espacio Skorokhod D(R+,R d ) de manera que, en la letra n ) del apartado 1 ) de la letra f ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) del apartado 1 de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra a ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la letra b ) de la No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P/0(dα) a.s. para una clase de funciones F :D(R+,R d) que incluye funciones continuas limitadas para la Topología de Skorokhod. Una de nuestras motivaciones es desarrollar un nuevo método numérico para la fijación de precios de opciones en los modelos de volatilidad estocásticos tionarios que son ligeras modificaciones de las estocas clásicas- modelos de volatilidad tic, donde suponemos que la volatilidad evoluciona bajo su estacionario régimen. Esta es una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el ISI/BS en Bernoulli, 2009, Vol. 15, No. 1, 146–177. Esta reimpresión difiere del original en paginación y Detalles tipográficos. 1350-7265 c© 2009 ISI/BS http://arxiv.org/abs/0704.0335v3 http://isi.cbs.nl/bernoulli/ http://dx.doi.org/10.3150/08-BEJ142 mailto:gpa@ccr.jussieu.fr mailto:fpanloup@insa-toulouse.fr http://isi.cbs.nl/BS/bshome.htm http://isi.cbs.nl/bernoulli/ http://dx.doi.org/10.3150/08-BEJ142 Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 147 1.2. Antecedentes y construcción del procedimiento Este trabajo sigue a una serie de trabajos recientes debidos a Lamberton y Pagès ([12, 13]), Lemaire ([14, 15]) y Panloup ([18, 19, 20]), donde el problema de la aproximación de la distribución invariante se investiga para las difusiones brownianas y para Lévy SDE’s.1 En estos trabajos, el algoritmo se basa en un esquema Euler adaptado con de- Paso de entrecruzamiento (γk)k≥1. Para ser precisos, vamos a ser la secuencia de tiempos de discretización: 0 = 0, n = k=1 γk por cada n≥ 1, y asumir que?n →? cuando n. Vamos. (Xn)n≥0 ser el sistema Euler obtenido por "congelación" de los coeficientes entre el y dejar (ηn)n≥1 ser una secuencia de pesos positivos tales que Hn := k=1 ηk cuando K. Luego, bajo algunos supuestos de estabilidad tipo Lyapunov adaptados a las estochas- los procesos de interés, uno muestra que para una gran clase de pasos y pesos (ηn, γn)n≥1, n(, f) := ηkf(Xk−1) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. f(x)/0(dx) a.s., (1) (al menos)2 para cada función continua limitada f. Desde que el problema de la aproximación de la distribución invariante ha sido profundamente estudiado para una amplia clase de procesos de Markov (difusiones brownianas y SDE impulsadas por Lévy) y puesto que la prueba de (1) puede adaptarse a otras clases de procesos de Markov bajo algunos Asuntos específicos de Lyapunov, elegimos en este documento para considerar un general Markov pro- y asumir la existencia de un esquema de discretización del tiempo (Xk)k≥0 tal que (1) se mantiene para la clase de funciones continuas delimitadas. El objetivo de este documento es entonces inves- tigate las propiedades de convergencia de una versión funcional de la secuencia (n(,dα))n≥1. Dejar (Xt) ser un proceso de Markov y Feller y dejar (X̄t)t≥0 ser un tiempo constante paso a paso esquema de discretización de (Xt) con secuencia de paso no creciente (γn)n≥1 conforme γn = 0, ­n := No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Dejando a 0 := 0 y a X̄0 = x0 Rd, suponemos que X̄t = Xn y que (Xn)n≥0 se puede simular recursivamente. Denotamos por (Ft)t≥0 y (F̄t)t≥0 los aumentos habituales de las filtraciones naturales (Δ(Xs,0≤ s≤ t))t≥0 y (Δ(X̄s,0≤ s≤ t))t≥0, respectivamente. 1Tenga en cuenta que computar la distribución invariante es equivalente a computar las leyes marginales de la proceso estacionario (Xt) desde ν0Pt = ν0 por cada t ≥ 0. 2La clase de funciones para las que se mantiene (1) depende de la estabilidad del sistema dinámico. In en particular, en el caso de la difusión browniana, la convergencia puede mantenerse para funciones continuas con crecimiento subexponencial, mientras que la clase de funciones depende fuertemente de los momentos de la Lévy proceso cuando el proceso estocástico es un SDE impulsado por Lévy. 148 G. Pagès y F. Panloup Para k ≥ 0, denotamos por (X̄(k)t )t≥0 el proceso desplazado definido por t := Xk+t. En particular, X̄ t = X̄t. Definimos una secuencia de probabilidades aleatorias ( / (n)(l,dα))n≥1 en D(R+,R d) por v. n.)............................................................................................................................................................................................................................................................ ηk1{X̄(k−1)( donde (ηk)k≥1 es una secuencia de pesos. En el caso de t ≥ 0, ( v(n)t (­, dx))n≥1 denotará la se- quence de medidas empíricas “marginales” en Rd definidas por t (,dx) = ηk1{X̄(k−1) (­) {') {') {') {') {') 1.3. Simulación de la letra c) del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE Para cada función F :D(R+,R d)→R, la siguiente relación de recurrencia se mantiene para cada n≥ 1: v(n+1)(l,F ) = v(n)(l,F ) + (F (X(n)(l))- /n(n)(l),(F)). 4) Entonces, si T es un número positivo y F :D(R+,R d) → R es un funcional dependiendo solamente en la trayectoria entre 0 y T, ( v(n)(l,F))n≥1 se puede simular mediante lo siguiente: procedimiento. Paso 0. i) Simular (X̄ t )t≥0 en [0, T ], es decir, simular (Xk)k≥0 para k = 0,...,N(0, T ), donde N(n,T ) := inf{k ≥ n, = máx{k ≥ 0,Øk − ­n ≤ T }, n≥ 0, T > 0. Tenga en cuenta que n 7→N(n, t) es una secuencia creciente ya que (γn) no está aumentando, y que N(n,T ) − N(n,T ) ≤ T < N(n,T )+1 − n. ii) Cálculo F ((X̄) t )t ≥ 0) y / 1.................................................................................................................... Guarde los valores de (Xk) para k = 1,...,N(0, T ). Paso n (n≥ 1). i) Dado que los valores (Xk)k≥0 se almacenan para k = n,. ,N(n-1, T), simular (Xk)k≥0 para k =N(n−1, T)+1,. ..,N(n,T) con el fin de obtener un camino de (X̄ en [0, T]. ii) Cálculo F ((X̄) t ) t ≥ 0 ) y utilizar (4) para calcular (n+1)(l,F ). Almacenar los valores de (Xk) para k = n+ 1,...,N(n,T). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 149 Observación 1. Como se muestra en la descripción del procedimiento, uno generalmente tiene que almacenar el vector [Xn,. .., XN(n,T) ] en el tiempo n. Desde (γn) es una secuencia con suma infinita que disminuye a 0, se deduce que el tamaño de este vector aumenta “lento” a. Por ejemplo, si γn = Cn Su tamaño es de orden no. Sin embargo, es importante a señalar que, aunque el número de valores a almacenar tiende a â €, es decir, no siempre es el caso del número de operaciones en cada paso. De hecho, desde X̄(n+1) se obtiene desplazando X̄(n), por lo general es posible utilizar, en el paso n+1, el anterior cálculos y simular la secuencia (F (X̄(n)))n≥0 de una manera “cuasi-recursiva”. Por ejemplo, tal observación se sostiene para las opciones asiáticas porque el beneficio asociado puede ser expresada en función de un aditivo funcional (véase la sección 5 para las simulaciones). Antes de esbozar la secuela del artículo, enumeramos alguna notación vinculada a los espacios D(R+,R d) y D([0, T ],Rd) de Cadlag Rd-valuado funciones en R+ y [0, T ], respectivamente, dotado con la topología de Skorokhod. Primero, denotamos por d1 la distancia Skorokhod en D([0,1],Rd) definido para cada α, β D([0,1],Rd) por d1(α,β) = inf [0,1] (t)− β((t)), sup 0≤s<t≤1 (t)−(s) en el que el punto 1 denota el conjunto de homeomorfismos en aumento de [0,1]. En segundo lugar, para T > 0, T :D(R+,R d) 7→D([0,1],Rd) es la función definida por (­T (α)(s) = α(sT ) para cada s [0,1]. Entonces denotamos por d la distancia en D(R+,R d) definido para cada α,β D(R+,Rd) d(α,β) = e−t(1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1­d1 6) Recordamos que (D(R+,R) d), d) es un espacio polaco y que la topología inducida es la habitual Topología de Skorokhod en D(R+,R d) (véase, por ejemplo, Pagès [16]). Por cada T > 0, establecemos (ηu,0≤ u≤ s), donde ηs :D(R+,R d)→Rd se define por ηs(α) = α(s). Para un funcional F :D(R+,Rd)→ R, FT denota la función definida para cada α D(R+,Rd) por FT (α) = F (α) T ) con αT (t) = α(t 7).................................................................................................................................................. Por último, vamos a decir que un funcional F :D(R+,R d)→R es S-continuous si F está contin- para la topología de Skorokhod en D(R+,R d) y la notación “ =l" denotará la convergencia débil en D(R+,R En la sección 2, indicamos nuestros principales resultados para un proceso general de Feller Markov valorado en Rd. Luego, en la Sección 3, los aplicamos a las difusiones brownianas y a las SDE impulsadas por Lévy. Sección 4 está dedicado a las pruebas de los principales resultados generales. Finalmente, en la Sección 5, completamos este artículo con una aplicación a la opción de precios en modelos de volatilidad estocásticos estacionarios. 150 G. Pagès y F. Panloup 2. Resultados generales En esta sección, indicamos los resultados sobre la convergencia de la secuencia ( v(n)(l,dα))n≥1 cuando (Xt) es un proceso general de Feller Markov. 2.1. Convergencia débil con el régimen estacionario Como se explica en la introducción, desde la convergencia de la A.S. n ≥1 a la La distribución invariante ν0 ya ha sido muy estudiada para una gran clase de Markov procesos (difusiones brownianas y SDE impulsadas por Lévy), nuestro enfoque será derivar la convergencia de la letra c) del apartado 2 del artículo 1 con respecto a la de la letra c) del apartado 2 del artículo 1 del Reglamento n° 1408/71 y de la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71. n ≥1 a la distribución invariante ν0. Más precisamente, asumiremos en el Teorema 1 que (C0,1): (Xt) admite una distribución invariante única 0 (,dx) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • mientras que en Teorema 2, sólo asumiremos que (C0,2): ≥ 1 es a.s. apretado en R También introducimos otras tres suposiciones, (C1), (C2) y (C3), con respecto a la conti- nuity en la probabilidad del flujo x 7→ (Xxt ), la convergencia asintótica del tiempo desplazado esquema de discretización al proceso verdadero (Xt) y los pasos y pesos, respectivamente. (C1): Por cada x0 â € Rd, â € > 0 y T > 0, limsup 0≤t≤T Xxt −Xx0t ≥ = 0. (8) (C2): (X̄t) es un proceso Markov no homogéneo y para cada n≥ 0, es posible construir una familia de procesos estocásticos (Y (n,x) t ) x ° Rd de tal manera que i) L(Y (n,x)) D(R+,R = L(X̄(n)X̄(n)0 = x); ii) por cada conjunto compacto K de Rd, por cada T ≥ 0, 0≤t≤T Y (n,x)t −Xxt n 0 en probabilidad. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por cada n ≥ 1, ηn ≤ CγnH­n. Observación 2. Suposición (C2) implica, en particular, que asintótica y uniformemente en conjuntos compactos de Rd, la ley del proceso aproximado (X̄(n)), dado su valor inicial, está cerca de la del verdadero proceso. Si existe una distribución invariante única ν0, la segunda parte de (C2) puede ser relajada a la siguiente, menos estricta, afirmación: para todos â € > 0, existe un conjunto compacto Aâ â € € TM Rd Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos (+) ≤ ≤ y de forma que: 0≤t≤T Y (n,x)t −Xxt n 0 en probabilidad. (10) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 151 Esta suposición más débil puede algunas veces ser necesario en modelos de volatilidad estocástica como el modelo Heston (para más detalles, véase la sección 5). Las suposiciones anteriores son todas las que se requieren para la convergencia de ((n)(l,dα))n≥1 a lo largo de las funciones SK-continuas delimitadas, es decir, para la a.s. débil conver- gencia en D(R+,R d). Sin embargo, la integración de funciones continuas sin límite F :D([0, T ],Rd)→ R necesitará algunas suposiciones adicionales, dependiendo de la estabilidad del esquema de discretización del tiempo y en los pasos y las secuencias de pesos. Vamos a sup- plantear que F está dominada (en un sentido que se especificará más adelante) por una función V : Rd → R+ que satisfaga las siguientes hipótesis para algunos s≥ 2 y  < 1. Por cada T > 0, i) Sup 0≤t≤T Vs(Y (n,x)t) ≤CTVs(x), ii) Sup 0 (V), iii) E[V2(Xk−1)], N(k,T) E[Vs(1)(Xk−1)], donde T 7→CT está delimitado localmente en R+ y N(k,T ) =N(k,T )−N(k− 1, T ). Por cada uno de los siguientes valores:...................................................................................................................................................... En algunos casos s≥ 2}, la(s) H(s) de la(s) K(l) = {V + C(Rd,R+),H(s),(s),(s). Observación 3. Aparte de la suposición (i), que es una condición clásica en el tiempo finito el control del horizonte, las suposiciones en H(s, •) confían fuertemente en la estabilidad del tiempo esquema de discretización (y luego, al del proceso verdadero). Más precisamente, veremos cuando aplicamos nuestros resultados generales a SDE de que estas propiedades son algunas consecuencias de los supuestos de Lyapunov necesarios para la 0 (,dx))n≥1. Ahora podemos declarar nuestro primer resultado principal. Teorema 1. Asumir (C0,1), (C1), (C2) y (C3 y 3), con Entonces, a.s., para cada SK-continua funcional F :D(R+,R d)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P/0 (dα), (11) donde P/0 denota la distribución estacionaria de (Xt) (con la ley inicial ν0). Además, por cada T > 0, por cada Sk-continuous funcional sin límite F :D(R+,R d)→ R, (11) sostiene a.s. para FT (definido por (7)) si existe V â € € TM K(­) y 152 G. Pagès y F. Panloup [0,1] De manera que: FT (α) ≤C sup 0≤t≤T Vl(αt) D(R+,Rd). (12) En el segundo resultado, no se requiere la singularidad de la distribución invariante y El Tribunal de Primera Instancia decidió: Se supone que sólo hay que estar apretados. Teorema 2. Asumir (C0,2), (C1), (C2) y (C3), (C3 y 3), con (,1). Asumir que ≥ 1 es a.s. apretado en R d. Entonces tenemos lo siguiente. (i) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. ajustada a D(R+,R) d) y a.s., para ev- ery convergent subsecuencia (nk())n≥1, para cada Sk-continuo limitado funcional F :D(R+,R d)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (α)P(dα), (13) donde P es la ley de (Xt) con la ley inicial siendo un límite débil para ( / 0 (,dx))n≥1. Además, por cada T > 0, por cada Sk-continuous funcional sin límite F :D(R+,R d)→R, (13) sostiene a.s. para FT si (12) está satisfecho con V â € € € â € € TM y â € € [0,1). ii) Si, además, l≥k+1 l n 0, (14) entonces es necesariamente una distribución invariante para el proceso de Markov (Xt). Observación 4. Condición (14) se mantiene para una gran clase de pasos y pesos. Por ejemplo, si ηn = C1n 1 y γn = C2n 2 con 1 y 2, entonces (14) se satisface si (máx(0,2?2 − 1),1). 2.2. Ampliación al caso no estacionario A pesar de que el principal interés de este algoritmo es la aproximación débil de la pro- cesto cuando está estacionario, observamos que cuando se conoce ν0, el algoritmo se puede utilizar para aproximadamente Pμ0 si μ0 es una probabilidad en R d eso es absolutamente continuo con respeto a 0. De hecho, supóngase que μ0(dx) = (x)/0(dx), donde :R d → R es un no- continuo función negativa. Para un funcional F :D(R+,R d)→ R, denotar por F multada con D(R+,R d) por F-(α) = F-(α)-(α(0)). A continuación, si se trata de una cuestión prejudicial (en lo sucesivo, «sentencia del Tribunal de Primera Instancia»), También tenemos la siguiente convergencia: a.s., para cada SK-continua funcional F :D(R+,R d)→R, El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Fl(α)P/0 (dα) = F (α)Pμ0 (dα). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 153 3. Aplicación a las difusiones brownianas y Los DEE impulsados por Lévy Dejar (Xt)t≥0 ser una solución de proceso estocástico cadlag a la SDE dXt = b(Xt−) dt+ donde b :Rd → Rd,  :Rd 7→Md,l (conjunto de matrices reales de d×l) y funciones tinuosas con crecimiento sublineal, (Wt)t≥0 es un movimiento browniano de dimensión l y (Zt)t≥0 es una R puramente discontinua integrable Proceso de Lévy de valor l independiente de (Wt)t≥0 con la medida de Lévy η y función característica dada para cada t≥ 0 por E[eiáu,ZtÃ3r] = exp • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 Que (γn)n≥1 sea una secuencia de pasos que no aumente y que satisfaga (2). Dejar (Un)n≥1 ser una secuencia de i.i.d. variables aleatorias tales que U1 =N (0, Il) y let := (n)n≥1 ser una secuencia de variables aleatorias independientes valoradas con Rl, independientes de (Un)n≥1. Entonces denotamos por (X̄t)t≥0 el esquema constante paso a paso de Euler (Xt) para el que (Xn)n≥0 es recursivamente definido por X̄0 = x Rd y Xn+1 = Xn + γn+1b(Xn) + γn+1Ô(Xn)Un+1 + (Xn)n+1. 16) Recordamos que los incrementos de (Zt) no pueden ser simulados en general. Es por eso que nosotros generalmente necesitan construir la secuencia (n) con algunas aproximaciones de la verdad incrementos. Volveremos a esta construcción en la sección 3.2. Al igual que en el caso general, denotamos por (X̄(k))k≥0 y (/ (n)(l,dα))n≥1 las secuencias de los sistemas de Euler y las medidas empíricas, respectivamente. Ahora vamos a introducir algunas suposiciones de Lyapunov para el SDE. Dejar denotar EQ(Rd) el conjunto de funciones esencialmente cuadráticas de C2-V :Rd → R tales que limV (x) = x, V ≤C V y D2V están limitados. Deje que un â € (0,1) denote la reversión media intensidad. La suposición de Lyapunov (o reversión media) es la siguiente. (Sa): Existe una función V • EQ(Rd) tal que: i) b2 ≤CV a, Tr((x)) + (x)2 x= o(V a(x)); (ii) existen β â € € € > 0 tales que V, bâ ≤ β â € € € a. A partir de ahora, separamos las difusiones brownianas y los casos de SDE impulsados por Lévy. 3.1. Aplicación a las difusiones brownianas En esta parte, suponemos que 0. Recordamos un resultado de Lamberton y Pagès [13]. Proposición 1. Deje que un (0,1) tal que (Sa) sostiene. Suponga que la secuencia (ηn/γn)n≥1 no va en aumento. 154 G. Pagès y F. Panloup (a) Dejar que (ln)n≥1 sea una secuencia de números positivos de tal manera que n≥1 γnγn < y que existe n0 N de tal manera que no está aumentando. Entonces, por cada r positivo, nγnE[V r(Xn−1)]. b) Por cada r > 0, 0 (,V r) a.s. (17) Por lo tanto, la secuencia ( / N ≥ 1 es a.s. apretado. (c) Además, cada límite débil de esta secuencia es una probabilidad invariante para el SDE (15). En particular, si (Xt)t≥0 admite una probabilidad invariante única ν0, entonces para cada función continua f tal que f ≤ CV r con r > 0, limnà ν(n)0 (­, f) = ν0(f) a.s. Observación 5. Por ejemplo, si V (x) = 1 + x2, entonces la convergencia anterior se mantiene para cada función continua con crecimiento polinomio. Según Teorema 3.2 en Lemaire [14], es posible extender estos resultados a funciones continuas con crecimiento exponencial, pero entonces depende en gran medida de . Además, las condiciones en los escalones y pesos pueden ser menos restrictivo y puede contener el caso ηn = 1, por ejemplo (véase la Observación 4 de Lamberton y Pagès [13] y Lemaire [14]). Entonces derivamos el siguiente resultado de la proposición anterior y de los teoremas 1 y 2. Teorema 3. Supongamos que b y  son localmente funciones Lipschitz y que فارسى = 0. Vamos. a 0,1) de tal manera que (Sa) mantenga y asuma que (ηn/γn) no está aumentando. (a) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretada en C(R+,Rd)3 y cada límite débil de la letra c) del apartado 1 es la distribución de una solución de proceso estacionaria a (15). En par- ticular, cuando la singularidad tiene para la distribución invariante ν0, a.s., para cada límite funcionamiento continuo F :C(R+,Rd)→R, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (x)P/0 (dx). (18) b) Por otra parte, si existe • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • N(k,T) no aumenta y N(k,T) , (19) 3C(R+,R d) denota el espacio de funciones continuas en R+ con valores en R d dotados de la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 155 entonces, por cada T > 0, por cada F funcional continua no limitada:C(R+,Rd)→ R, (18) se mantiene para FT si se cumple la siguiente condición: Í > 0 tales que FT (α) ≤ C sup 0≤t≤T V r(αt) C(R+,Rd). Observación 6. Si ηn =C1n 1 y γn =C2n 2 con 0< (19) se cumple si y sólo si s > 1/(1− De ello se deduce que existe la posibilidad de que tales que (19) se mantiene tan pronto como 1 < 1. Prueba de Teorema 3. Queremos aplicar el Teorema 2. En primer lugar, por la Proposición 1, suposición (C0,2) se cumple y todos los límites débiles de 0 (,dx)) es una distribución invariante. Segundo, es bien sabido que (C1) y (C2) se cumplen cuando b y funciones sublineales. Entonces, puesto que (C3:) se mantiene con 0=0, (18) se mantiene para cada límite F funcional continua. Finalmente, uno comprueba que H(s,0) mantiene con V := V r (r > 0). Es clásico que la suposición (a) es verdad cuando b y  son sublineales. Supuestos b) sigue de la Proposición 1(b). Let Łn,1 = ηn/(γnH n) y n,2 =­N(n,T)/(γnH n). Uso (19) y el hecho de que (ηn/γn) no aumente los rendimientos que satisfacen los condiciones de la Proposición 1 (véase (35) para más detalles). Entonces, iii) y iv) de H(s,0) son consecuencias de la Proposición 1(a). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. Aplicación a las SDE impulsadas por Lévy Cuando queremos extender los resultados obtenidos para las SDE Brownianas a las SDE impulsadas por Lévy, una de las principales dificultades viene de los momentos del componente de salto (ver Panloup [18] para más detalles). Para simplificar, asumimos aquí que (Zt) tiene un momento de orden 2p ≥ 2, es decir, que su medida Lévy η satisface la siguiente hipótesis con p ≥ 1: (H1p): y1 η(dy)y2p. También introducimos una suposición sobre el comportamiento de los momentos de la medida Lévy a 0: (H2q): y1 η(dy)y2q, q [0,1]. Esta suposición asegura que (Zt) tiene finitos 2q-variaciones. Desde y1 y2π(dy) es finito, esto es siempre satisfecho para q = 1. Especifiquemos ahora la ley de (n) introducida en (16). Cuando los incrementos de (Zt) puede ser exactamente simulado, denotamos por (E) el esquema de Euler y por (n,E) el asociado secuencia = Zγn n≥ 1. 156 G. Pagès y F. Panloup Cuando los incrementos de (Zt) no pueden ser simulados, introducimos un poco de Euler aproximado (P) y (W) construidas con algunas secuencias (­n,P) y (­n,W) de aproximaciones de el verdadero incremento (véase Panloup [19] para una presentación más detallada de estos esquemas). En el esquema (P), =Zγn,n, donde (Z·,n)n≥1 una secuencia de procesos compuestos compensados de Poisson obtenidos por truncando los pequeños saltos de (Zt)t≥0: Zt,n := 0<s≤t # Zs1 # # Zs1 # # # # Zs1 # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs1 # # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs1 # # # # # # # # # # # # # # # # # Zs Zs Zs Zs Zs # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # yun yπ(dy) t≥ 0, (20) donde (un)n≥1 es una secuencia de números positivos tales que un → 0. Recordamos que n Z localmente uniformemente en L2 (véase, por ejemplo, Protter [21]). Como se muestra en Panloup [19], el error inducido por esta aproximación es muy grande cuando el comportamiento local del componente de saltos pequeños es irregular. Sin embargo, es posible refinar esta aproximación mediante una Wienerización de los pequeños saltos, es decir, sustituyendo los pequeños saltos por una transformación lineal de un movimiento browniano en lugar de descartarlos (véanse Asmussen y Rosinski [2]). El esquema correspondiente está denotado por (W) con "n,W" Satisfacción = N,P + γnQnđn n≥ 1, en la que (ln)n≥1 es una secuencia de i.i.d. variables aleatorias, independientes de (n,P )n≥1 y (Un)n≥1, de forma que =N (0, Il) y (Qn) es una secuencia de matrices l×l de tal manera que n)i,j = yuk yiyjπ(dy). Recordamos el siguiente resultado obtenido en Panloup [18] en nuestro marco ligeramente simplificado: trabajo. Proposición 2. Deje que un (0,1), p≥ 1 y q [0,1] de tal manera que (H1p), (H2q) y (Sa) mantenga. Suponga que la secuencia (ηn/γn)n≥1 no aumenta. Entonces, las siguientes afirmaciones en el caso de los regímenes (E), (P) y (W). (a) Dejen (ln) satisfacer las condiciones de la Proposición 1. Entonces, n≥1 γnγnE[V p+a−1(Xn−1)]< b) Tenemos 0 (,V p/2+a−1) a.s. (21) Por lo tanto, la secuencia ( / n≥1 es a.s. apretado tan pronto como p/2+ a− 1> 0. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 157 (c) Además, si Tr()+ 2q ≤CV p/2+a−1, entonces cada límite débil de esta secuencia es una probabilidad invariante para el DEE (15). En particular, si (Xt)t≥0 admite un probabilidad invariante ν0, para cada función continua f tal que f = o(V p/2+a−1), limnó / Comisión de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas 0 (, f) = /0(f) a.s. Observación 7. Para los regímenes (E) y (P), la propuesta anterior es una consecuencia directa de Teorema 2 y Proposición 2 de Panloup [18]. Por lo que se refiere al sistema (W), una la adaptación de la prueba da el resultado. Nuestro principal resultado funcional para las SDE impulsadas por Lévy es entonces el siguiente. Teorema 4. Dejar un (0,1) y p≥ 1 de tal manera que p/2+ a− 1> 0 y dejar q [0,1]. Asumir (H1p), (H q) y (Sa). Asumir que b, Si, más... a más, (ηn/γn)n≥1 no aumenta, entonces el siguiente resultado se mantiene para los regímenes (E), (P) y (W). (a) La secuencia ((n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretada en D(R+,R d). Además, si Tr() + 2q ≤CV p/2+a−1 o 1 l≥k+1 l n 0, (22) Por lo tanto, cada límite débil de ((n)(l),dα))n≥1 es la distribución de un proceso estacionario solu- ciones a (15). b) Suponga que la distribución invariante es única. Deja que 0 tal que (C3,) sostiene. Entonces, a.s., por cada T > 0, por cada Sk-continua funcional F :D(R+,R d)→R, (18) En el caso de FT, si existe, el valor de la sustancia problema es igual o superior al valor de la sustancia problema, y el valor de la sustancia problema es igual o superior al valor de la sustancia problema en el caso de la sustancia problema. FT (α) ≤C sup 0≤t≤T V (l(p+a−1))/s(αt) D(R+,Rd) y si N(k,T) s(1) no aumenta y N(k,T) s(1) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 23) Observación 8. En (22), ambas suposiciones implican la invarianza de cada límite débil de 0 (,dx)). Estos dos supuestos son muy diferentes. La primera es necesaria en la Proposición 2 para utilizar los criterios de invarianza Echeverria-Weiss (véase Ethier y Kurtz [7], página 238, Lamberton y Pagès [12] y Lemaire [14]), mientras que el segundo aparece en Teorema 2, donde nuestro enfoque funcional muestra que bajo algunas condiciones adicionales leves en pasos y pesos, cada límite débil es siempre invariante. Para (23), nos referimos a la Observación 6 para las condiciones simples suficientes cuando (γn) y (ηn) son algunos pasos polinomios y pesas. 158 G. Pagès y F. Panloup 4. Pruebas de los teoremas 1 y 2 Comenzamos la prueba con algunos lemas técnicos. En Lemma 1, mostramos que la a.s la escasa convergencia de las medidas aleatorias [(n)(l),dα))n≥1 puede caracterizarse por convergencia (11) a lo largo del conjunto de Lipschitz funcional limitada F para la distancia d. Entonces, en Lemma 2, mostramos con algunos argumentos martingale que si el funcionamiento F depende sólo de la restricción de la trayectoria a [0, T ], a continuación, la convergencia de La letra n) del apartado 1 es equivalente a la de una secuencia más regular. Este paso es fundamental para la secuela de la prueba. Finalmente, Lemma 4 es necesaria para la prueba del Teorema 2. Demostramos que bajo algún leve condiciones en el escalón y las secuencias de peso, cualquier límite débil de Markovian de la secuencia El Tribunal de Primera Instancia decidió: 4.1. Lemas preliminares Lemma 1. Dejar (E,d) ser un espacio polaco y dejar P(E) denotar el conjunto de probabilidad medidas sobre el campo Borel B(E), dotado de la débil topología de convergencia. Vamos. (μ(n)(l,dα))n≥1 ser una secuencia de probabilidades aleatorias definidas en B(E). (a) Suponga que existe μ() P(E) de tal manera que para cada función limitada Lipschitz- ión F :E→R, μ(n)(­,F ) n μ()(F) a.s. (24) Entonces, a.s., (μ(n)(l,dα))n≥1 converge débilmente a μ (­) el P(E). (b) Dejar U ser un subconjunto de P(E). Supongamos que para cada secuencia (Fk)k≥1 de Lipschitz y funciones delimitadas, a.s., para cada subsecuencia (μ((n))))), existe un sub- secuencia (μ((n)))(l,dα)) y una probabilidad aleatoria μ(l)(l,dα) valorada en U, de tal manera que por cada k ≥ 1, μ((n))(,Fk) n μ(­)(­),Fk) a.s. (25) Entonces, (μ(n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretado con límites débiles en U. Prueba. No damos una prueba detallada del siguiente lema, que se basa esencialmente en sobre el hecho de que en un espacio métrico separable (E,d), se puede construir una secuencia de límites Funciones de Lipschitz (gk)k≥1 tales que para cualquier secuencia (μn)n≥1 de medidas de probabilidad en B(E), (μn)n≥1 converge débilmente a una probabilidad μ si y sólo si la convergencia se mantiene a lo largo de las funciones gk, k ≥ 1 (véase Parthasarathy [22], Teorema 6.6, página 47 para una resultados muy similares). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por cada n ≥ 0, por cada T > 0, se introducen los siguientes valores: (n,T ) := min{k ≥ 0,N(k,T )≥ n}=min{k ≤ n, 26) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 159 Nótese que para k {0,......................................................................................................................................................................................................................................................... T − (n,T)−1 ≤ فارسىn − (n,T) ≤ T. Lemma 2. Supóngase (C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C4; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; C3; Let F :D(R+,R d)→R ser un func- cional. Que (Gk) sea una filtración de tal manera que Fk Gk por cada k ≥ 1. Entonces, para cualquier T > 0: a) si FT (definido por (7)) está limitado, ηk(FT (X̄) (k−1))−E[FT (X̄(k−1))/Gk−1) n 0 a.s.; (27) (b) si FT no está limitada, (27) mantiene si existe V :Rd→R+, satisfaciendo H(s), algunos s≥ 2, de tal manera que FT (α) ≤C sup0≤t≤T V(αt) por cada α D(R+,Rd); además, El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. Prueba. Demostramos (a) y (b) simultáneamente. Dejemos que se defina el punto k) por el punto k) = FT (X̄) k)). Tenemos (k−1) −E[Ł(k−1)/Gk−1)] (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) (29) ηk(E[ (k−1)/Gn]−E[Ł(k−1)/Gk−1). (30) Tenemos que probar que el lado derecho de (29) y (30) tienden a 0 a.s. cuando n. Primero nos centramos en el lado derecho de (29). A partir de la definición misma de Ł(n,T ), nosotros tener que {X̄(k)t,0≤ t≤ T } es Fn -mensurable para k {0,.............................................................................................................................................................................................................................................. Por lo tanto, desde FT es mensurable y Fn Gn, de lo que se deduce que (k) es mensurable y que la letra k) = E[l(k)/Gn] por cada k ≤ l(n,T)− 1. Entonces, si FT está limitado, derivamos De (C3:») que (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) ≤ 2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° k =(n,T )+1 k =(n,T )+1 H1n (n − (n,T)) 160 G. Pagès y F. Panloup ≤ C(T) H1n n 0 a.s., donde usamos el hecho de que (Hn)n≥1 y (γn)n≥1 no disminuyen y no aumentan secuencias, respectivamente. Suponga, ahora, que las suposiciones de (b) se cumplen con V satisfaciendo H(s) para algunos s≥ 2 y  < 1. Por el argumento de Borel-Cantelli-como, basta demostrar que k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 31) Demostremos (31). Let ak := η (s−1)/s k y bk(­) := η (k−1) − E[Ł(k−1)/Gn]). Los Desigualdad de Hölder aplicada con p̄ s/(s− 1) y q̄ = rendimientos s k =(n,T )+1 akbk(­) k =(n,T )+1 )s−1( n k =(n,T )+1 ηk(k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]s Ahora, desde FT (α) ≤ sup0≤t≤T V(α), se deriva de la propiedad Markov y de H(s), l(i) que E[FT [X̄(k))s/Fk]≤CE 0≤t≤T Vs(X̄(k)t)/Fk ≤CTVs(Xk). A continuación, utilizando las dos desigualdades precedentes y (C3, k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) k =(n,T )+1 )s−1( n k =(n,T )+1 ηkE[Vs(Xk−1)] k =(n,T )+1 k =(n,T )+1 Vs(Xk−1) k =(n,T )+1 [0,S(n,T)] Vs(X(n,T)t) donde S(n,T ) = Łn−1 − (n,T ) y C no dependen n. Por la definición de ♥(n,T ), S(n,T )≤ T. A continuación, de nuevo utilizando H(s), (i) rendimientos k=­(n,T ) (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) s(1) E[Vs(XÕ(n,T ))]. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 161 Puesto que n 7→ N(n,T ) es una función en aumento, n 7→ N(n,T ) es una función no decreciente y la tarjeta{n, (n,T ) = k} = N(k+1, T ) := N(k+1, T )−N(k,T ). Entonces, desde n 7→Hn aumentos, un cambio de rendimientos variables k =(n,T )+1 (k−1) −E[Ł(k−1)/Gn]) N(k,T) s(1) E[Vs(Xk−1)], por H(s), فارسى(iv). Segundo, demostramos que (30) tiende a 0. Por cada n≥ 1, dejamos (E[I)(k−1)/Gn]−E[I)(k−1)/Gk−1). (32) El proceso (Mn)n≥1 es un (Gn)-martingale y queremos demostrar que este proceso es L2 con límite. Conjunto Φ(k,n) = E[FT (X̄) k))/Gn]− E[FT (X̄(k))/Gk]. Dado que el FT es (s,0 ≤ s ≤ T )-mensurable, la variable aleatoria Φ(k,n) es FN(k,T)-mensurable. Entonces, por cada {N(k,T),. ................................................................................... E[Φ(i,n)Φ(k,n)] =E[Φ(k,n)E[Φ(i,n)/Gi]] = 0. De ello se deduce que E[M2n] = E[(Φ(k−1,n)) ] + 2 N(k−1,T ) i=k+1 E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)]. 33) Entonces, E[M2n] ≤ E[(Φ(k−1,n)) ] + 2 N(k−1,T) i=k+1 E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)] H2k E[(Φ(k−1,n)) ] (34) H2k N(k−1,T) i=k+1 γi sup E[Φ(i−1,n)Φ(k−1,n)] 162 G. Pagès y F. Panloup donde, en la segunda desigualdad, utilizamos la suposición (C3), y la disminución de i 7→ 1/H1i. Por lo tanto, si FT está limitado, utilizando el hecho de que N(k−1,T) i=k+1 γi ≤ T rendimientos E[M2n]≤C H2k H21 (35) desde el 1o de enero de 2001 hasta el 1o de enero de 2001. Supongamos, ahora, que las suposiciones de (b) mantener y dejar FT ser dominado por una función V que satisfaga H(s),. Por la propiedad Markov, la desigualdad Jensen y H(s), (i), E[(Φ(k,n)) 0≤t≤T V2(X̄(k)t)/Fk ≤CTE[V2(Xk)]. Entonces derivamos de la desigualdad Cauchy-Schwarz que para cada n, k ≥ 1, para cada i {k,. ............................................................................... E[Φ(i,n)Φ(k,n)] ≤C E[V2(Xi)] E[V2(Xk)]≤C sup [0,T] E[V2(X̄(k)t )]≤CE[V2(Xk)], donde, en la última desigualdad, utilizamos una vez más H(s, Ł)(i). De ello se deduce que E[M2n]≤C H2k E[V2(Xk−1)], por H(s), فارسى(iii). Por lo tanto, (34) es finito y (Mn) está limitado en L 2. Finalmente, derivamos del lema Kronecker que ηk(E[FT (X̄) (k−1))/Gn]−E[FT (X̄(k−1))/Gk−1) n 0 a.s. En consecuencia, supn ≥ 1 / a.s. si y sólo si E[FT (X̄) (k−1))/Fk−1] a.s. Esta última propiedad se deriva fácilmente de H(s), Ł(i) y (ii). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3. a) Asumir (C1) y dejar que x0+Rd. Luego tenemos limx→x0 E[d(Xx,Xx0)] = 0. En particular, para cada Lispchitz delimitado (w.r.t. la distancia d) funcional F :D(R+,R R, la función ΦF definida por ΦF (x) = E[F (Xx)] es una función continua (limitada) en b) Suponga (C2). Para cada set compacto K+Rd, E[d(Y n,x,Xx)] n 0. (36) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 163 Conjunto ΦFn (x) = E[F (Y) n,x)]. Entonces, para cada Lispchitz funcional F :D(R+,R d)→R, F (x)Fn (x) n 0 para cada conjunto compacto K+Rd. (37) Prueba. a) Por la definición de d, por cada α, β-D(R+,Rd) y por cada T > 0, d(α,β)≤ 1o ° ° ° ° ° ° ° ° 1o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 0≤t≤T (t)− β(t) + e−T. 38) Se deriva fácilmente de la suposición (C1) y del teorema de convergencia dominado limsup E[d(Xx,Xx0)]≤ e−T por cada T > 0. Dejar T implica que limx→x0 E[d(Xx,Xx0)] = 0. (b) Deducimos de (38) y de la suposición (C2) que para cada set compactoK-Rd, por cada T > 0, limsup E[d(Y n,x,Xx)]≤ e−T. Dejar T rendimientos (36). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 4. Asumir que (ηn)n≥1 y (γn) satisfacen (C3), con  < 1 y (14). Entonces: i) por cada t ≥ 0, por cada función continua limitada f :Rd→R, c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) n 0 a.s.; — si, por otra parte, a.s., cada límite de debilidad es el siguiente: Atribución de un proceso de Markov con un semigrupo (Q. t )t ≥ 0, entonces, a.s., / (­) (­) (dα) es la distribución de un proceso estacionario. Prueba. i) Dejar que f :Rd →R sea una función continua limitada. Desde X̄(k)t = XN(k,t) c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) = ηk(f(XN(k−1,t))− f(Xk−1)). A partir de la definición misma de N(n,T) y N(n,T), se comprueba que N(k − 1, T )≤ n− 1 si y sólo si (n,T )≥ k. Entonces, ηkf(Xk−1) = (n, t) ηN(k−1,t)+1f(XN(k−1,t)) ηkf(Xk−1)1{k−1/N({0,...,n},t)}. 164 G. Pagès y F. Panloup De ello se deduce que c/ República Federal de Alemania c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte c/ Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte 0 (, f) = (n, t) (ηk − ηN(k−1,t)+1)f(XN(k−1,t)) (n,t)+1 ηkf(XN(k−1,t)) ηkf(Xk−1)1{k−1/N({0,...,n},t)}. Entonces, ya que f está limitado y desde ηk1{k−1/*N({0,...,n},t)} = (n, t) ηN(k−1,t)+1 (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 k=(n,t)+1 Deducimos que (n)t (, f)− / Comisión de las Comunidades Europeas 0 (, f) ≤ 2f (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 k=(n,t)+1 Por lo tanto, tenemos que demostrar que las secuencias del lado derecho de la anterior in- la igualdad tiende a 0. Por un lado, observamos que k − ηN(k−1,t)+1 ≤ N(k−1,T)+1 l=k+1 l − ηl−1 ≤ máx. l≥k+1 l N(k−1,T)+1 Usando el hecho de que N(k−1,T)+1 l=k γl ≤ T + γ1 y condiciones (14) rendimientos (n, t) k − ηN(k−1,t)+1 n 0. Por otro lado, por (C3, k =(n,T )+1 H1n k =(n,T )+1 H1n n 0 a.s., que completa la prueba de i). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 165 (ii) Deje que Q+ denote el conjunto de números racionales no negativos. Let (fl)l≥1 be an every- donde secuencia densa en CK(Rd) dotado de la topología de convergencia uniforme sobre Conjuntos compactos. Puesto que Q+ y (fl)l≥1 son contables, derivamos de (i) que existe tal que P() = 1 y tal que por cada , cada t Q+ y cada l≥ 1, Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos 0 (, fl) n 0. Denominen un límite débil de ((n)(l),(dα))n≥1. Tenemos t (l, f) = / 0 (­, fl) ­t ­Q+ ­l ≥ 1 y lo deducimos fácilmente t (, f) = / CK(Rd). Por lo tanto, si se trata de la distribución de un proceso de Markov (Yt) con semigrupo (Q t )t≥0, tenemos, para todos los f â € CK(Rd), Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos 0 (,dx) = f(x)/ 0 (,dx) ♥t≥ 0. 0 (,dx) es entonces una distribución invariante para (Yt). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.2. Prueba de Teorema 1 Gracias a Lemma 1(a) aplicado con E =D(R+,R d) y d) definidos por (6), /(n)(l,dα) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. F (x)P/0 (dx) a.s. (39) para cada Lipschitz funcional F :D(R+,R d)→ R. Ahora, considere tal func- cional. Por las suposiciones del Teorema 1, sabemos que a.s., ( / Convergencias de 0 (,dx))n≥1 débilmente a 0. Conjunto Φ F (x) := E[F (Xx)], x â € Rd. Por Lemma 3(a), ΦF es un contin- función usuaria en Rd. A continuación, se desprende de (C0,1) que F (X̄ (k−1) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ΦF (x)/0(dx) = F (x)P/0 (dx) a.s. Por lo tanto, el lado derecho de (39) sostiene para F tan pronto como ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)0 ) n 0 a.s. (40) 166 G. Pagès y F. Panloup Demostremos (40). En primer lugar, dejar T > 0 y dejar que FT se defina por (7). Por Lemma 2, ηkFT (X̄ (k−1))− 1 ηkE[FT (X̄) (k−1))/Fk−1 ] n 0 a.s. (41) Con la notación de Lemma 3(b), derivamos de la suposición (C2)(i) de que E[FT (X̄) (k−1))/Fk−1 ] = Φ k (X̄ (k−1) Dejemos que N â € N. Por una parte, por Lemma 3(b), k (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) 0 ))1X̄(k−1) n 0 a.s. (42) Por otra parte, el Tribunal de Primera Instancia considera que el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la letra c) del apartado 1 del artículo 93 del Tratado CE. 0 (,dx))n≥1 en R d rendimientos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 (, (B(0,N) N 0 a.s. De ello se desprende que, a.s., ηkFTk (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) 0 )1X̄(k−1) ≤ 2°F(­,N) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, una combinación de (42) y (43) rendimientos T > 0 1 k (X̄ (k−1) 0 )FT (X̄ (k−1) n 0 a.s. (44) Finalmente, dejar (Tl)l≥1 ser una secuencia de números positivos tales que, Tl cuando l. Combinando (44) y (41), obtenemos eso, a.s., por cada l ≥ 1, limsup ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)) ≤ lim sup ηk(F (X̄) (k−1))−FTl(X̄(k−1)) + limsup FTl (X̄ (k−1) 0 )F (X̄ (k−1) Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 167 Por la definición de d, F − FTl ≤ e−Tl. Entonces, a.s., limsup ηk(F (X̄) (k−1))F (X̄(k−1)0 ) ≤ 2e−Tl Dejar que l implica (40). La generalización a las funciones no vinculadas en el Teorema 1 se deriva entonces de (28) y de un argumento uniforme de integrabilidad. 4.3. Prueba del teorema 2 (i) Queremos demostrar que se cumplen las condiciones de Lemma 1(b). Desde el 1 de enero de 1993 0 (,dx))n≥1 se supone que es a.s. apretado, se puede comprobar que para cada Lipschitz limitada funcional F :D(R+,R d)→R, (40) sigue siendo válida. Entonces, dejar (Fl)l≥1 ser una secuencia de Lipschitz limitada funciones. Existe con P() = 1 tal que por cada , ((n)0 (,dx))n≥1 es apretado y ηk(Fl(X̄) (k−1)()Fl(X̄(k−1)0 ())) n 0 ♥l≥ 1. (45) Vamos a y dejar :N 7→N ser una función en aumento. Dado que (/((n))0 (,dx))n≥1 es estrecho, existe una subsecuencia convergente (/ ((n)) 0 (,dx))n≥1. Denotamos su límite débil Por. Desde Φ Fl es continuo por cada l ≥ 1 (ver Lemma 3(a)), ((n)) 0 (Φ,Φ n (ΦFl) = Fl(α)P(dα) l≥ 1. Entonces derivamos de (45) que por cada l ≥ 1 El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Fl(α)P(dα). De ello se deduce que las condiciones de Lemma 1(b) se cumplen con U = {Pμ, μ I}, donde μ P(Rd), y una función cada vez mayor:N 7→N, μ= lim El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. Por lo tanto, por Lemma 1(b), deducimos que (v(n)(l,dα))n≥1 es a.s. apretado con los límites U-valuados. Por último, el teorema 2 ii) es una consecuencia de la condición (14) y el lemma 4 ii). 168 G. Pagès y F. Panloup 5. Precio de la opción dependiente de la ruta en estacionario Modelos de volatilidad estocásticos En esta sección, proponemos un método simple y eficiente para las opciones de precios en estacionario Modelos de volatilidad estocástica (SSV). En la mayoría de los modelos de volatilidad estocástica (SV), el volatil- ity es un proceso de reversión media. Estos procesos son generalmente ergódicos con un único distribución invariante (el modelo Heston o el modelo BNS, por ejemplo (véase más adelante), pero También el modelo SABR (véase Hagan et al. [8]),.. .). Sin embargo, por lo general se consideran en los modelos SV bajo un régimen no estacionario, a partir de un valor determinista (que generalmente resulta ser la media de su distribución invariante). Sin embargo, la instanta- La volatilidad neous no es fácil de observar en el mercado, ya que no es un activo negociado. Por lo tanto, Parece más natural asumir que evoluciona bajo su régimen estacionario que para darle un valor determinista en el tiempo 0,4 Desde un punto de vista puramente de calibración, teniendo en cuenta un modelo SV en su régimen SSV no modificar el conjunto de parámetros utilizados para generar la superficie de volatilidad implícita, aunque modificará su forma, principalmente para los vencimientos cortos. Este efecto puede, de hecho, ser un activo del enfoque SSV ya que puede corregir algunos inconvenientes observados de algunos modelos (ver, por ejemplo, el modelo Heston que figura a continuación). Desde un punto de vista numérico, teniendo en cuenta los modelos SSV ya no es un obstáculo, es- pecialmente al considerar los modelos multi-activos (en el caso unidimensional, el estacionario distribución se puede hacer más o menos explícito como en el modelo Heston; ver más abajo) ya que nuestro algoritmo es precisamente diseñado para calcular por simulación algunas expectativas de func- ciones de los procesos bajo su régimen estacionario, incluso si este régimen estacionario no puede ser simulado directamente. Como primera ilustración (y punto de referencia) del método, describiremos en detalle el algoritmo para el precio de las opciones asiáticas en un modelo Heston. A continuación, vamos a mostrar en nuestros resultados numéricos hasta qué punto difiere, en términos de sonrisa y sesgo, de la Modelo habitual de SV Heston para vencimientos cortos. Finalmente, completaremos esta sección con una prueba numérica sobre las opciones asiáticas en el modelo BNS donde la volatilidad es impulsada por un Subordinador estable templado. Mencionemos también que este método se puede aplicar a otros ámbitos de la financiación, como los tipos de interés, las materias primas y los derivados energéticos, en los que Los procesos de inversión media desempeñan un papel importante. 4Cuando uno tiene observaciones suficientemente estrechas del precio de las acciones, es de hecho posible derivar un bruto idea del tamaño de la volatilidad a partir de las variaciones del precio de las acciones (véase, por ejemplo, Jacod [10]). Entonces, usando esta información, un buen compromiso entre un valor inicial determinista y el caso estacionario puede debe asumirse que la distribución μ0 de la volatilidad en el momento 0 se concentra en torno a la estimación valor (ver sección 2.2 para la aplicación de nuestro algoritmo en este caso). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 169 5.1. Precios de opción en el modelo SSV de Heston Consideramos un modelo de volatilidad estocástica Heston. La dinámica del proceso de precios de los activos (St)t≥0 está indicado por S0 = s0 y dSt = St(rdt+ 1 - 2 dW 1t + 1 vt dW dvt = k( vt) dt+ vt dW donde r denota el tipo de interés, (W 1,W 2) es un browniano bidimensional estándar movimiento,.............................................................................................................................................................................................................................................................. Este modelo era introducido por Heston en 1993 (véase Heston [9]). La ecuación para (vt) tiene un único (fuerte) solución continua pathwise que vive en R+. Si, por otra parte, 2k. >.................................................................................................................................... 2, entonces (vt) es un positivo proceso (véanse Lamberton y Lapeyre [11]. En este caso, (vt) tiene un invariante único Probabilidad ν0. Por otra parte, ν0 = γ(a, b) con a= (2k)/ 2 y b = (2k............................................................................................................................................................................................................................................................ En lo siguiente: asumiremos que (vt) está en su régimen estacionario, es decir, que L(v0) = ν0. 5.1.1. Precios de opción y procesos estacionarios El uso de nuestro procedimiento para las opciones de precios en este modelo naturalmente necesita expresar la opción precio como la expectativa de una funcional de un proceso estocástico estacionario. Método Nóve. (puede funcionar) Puesto que (vt)t≥0 es estacionario, la primera idea es expresar la precio de opción como la expectativa de un funcional de (vt)t≥0: por Itô cálculo, tenemos St = s0 exp rt− 1 vs ds vs dW 1 - 2 vs dW . (46) Desde vs dW s =(t, (vt)) := vt − v0 − kŁt+ k vs ds A continuación, se establece Mt = vs dW s que St =(t, (vs), (Ms)), (47) en la que • se administra por cada t ≥ 0, u y w • C(R+,R) por (t, u,w) = s0 exp rt− 1 u(s) ds + (t, u) + 1 - 2w(t) A continuación, dejar F :C(R+,R) → R ser un no negativo medible funcional. Acondicionamiento por Rendimientos FW 2T E[FT ((St)t≥0)] = E[FūT ((vt)t≥0)], 170 G. Pagès y F. Panloup donde, por cada u C(R+,R), FûT (u) = E t, u, u(s) dW 1s Para algunas opciones particulares como la llamada o puesto europeo (gracias a los negros- Scholes fórmula), la función Fś es explícita. En esos casos, este método parece ser muy eficiente (ver Panloup [20] para los resultados numéricos). Sin embargo, en el caso general, el el cálculo de F‡ necesitará algunos métodos de Monte Carlo en cada paso. Este enfoque es el siguiente: entonces muy lento en general – es por eso que vamos a introducir otro representación de la opción como funcional de un proceso estacionario. Método general. (siempre funciona) Expresamos la opción premium como la expectativa de una función de un proceso estocástico estacionario bidimensional. Este método está basado sobre la siguiente idea. Aunque (vt,Mt) no es estacionario, (St) se puede expresar como un funcional de un proceso estacionario (vt, yt). De hecho, considere el siguiente SDE dado por dyt =−yt dt+ vt dW dvt = k( vt) dt+ vt dW En primer lugar, se comprueba que el SDE tiene una solución única y fuerte y que la suposición (S1) es cumplido con V (x1, x2) = 1+ x 2. Esto garantiza la existencia de una distribución invariante Para la SDE, véase, por ejemplo, Pagès [17]. Entonces, puesto que (vt) es positivo y tiene un único distribución invariante, la singularidad de la distribución invariante sigue. Entonces, asumir que L(y0, v0) = 0. Desde (vt,Mt) = (vt, yt − y0 + ys ds), tenemos, por cada positivo F funcional medible :C(R+,R)→R, E[FT ((St)t≥0)] = E[FT (((t, vt, Mt))t≥0)] = E0 t, vt, yt − y0 + ys ds donde P0 es la distribución estacionaria del proceso (vt, yt). Cada precio de opción puede se expresará entonces como la expectativa de una funcionalidad explícita de un proceso estacionario. Nosotros desarrollará este segundo enfoque general en las pruebas numéricas que figuran a continuación. Observación 9. La idea del segundo método sostiene para cada modelo de volatilidad estocástica para lo cual (St) puede escribirse como sigue: St = Φ t, vt, hi(vs) dY es , (50) donde, para cada i {1,...., p}, hi :R+ →R es una función positiva tal que hi(x) = o(x) como x →, (Y it ) es un proceso de Lévy cuadrado-integrable centrado y (vt) es una media revirtiendo la solución de proceso estocástico a una SDE impulsada por Lévy. Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 171 En algunos modelos complejos, mostrando la singularidad de la distribución invariante puede ser Difícil. De hecho, es importante señalar en esta etapa que la singularidad de la invariante distribución para la pareja (vt, yt) no es necesario. De hecho, por la construcción, el local martingale (Mt) no depende de la elección de y0. De ello se deduce que si L(y0, v0) =, con construido de tal manera que L(v0) = ν0, (49) todavía tiene. Esto implica que sólo es necesario que la singularidad tiene para la distribución invariante de la volatilidad estocástica proceso. 5.1.2. Pruebas numéricas sobre opciones asiáticas Recordamos que (vt) es un proceso Cox-Ingersoll-Ross. Para este tipo de procesos, está bien que se sabe que el auténtico régimen Euler no puede aplicarse, ya que no preserva la no negatividad de la (vt). Es por eso que algunos esquemas específicos de discretización tienen ha sido estudiado por varios autores (Alfonsi [1], Deelstra y Delbaen [5] y Berkaoui et al. [4, 6]). En este trabajo, consideramos el esquema estudiado por los últimos autores en una disminución marco escalonado. Lo denotamos por (v̄t). Se establece v̄0 = x > 0 y vn+1 = vn + kγn+1( vn) + vn(W) − W 2­n). También introducimos el esquema constante paso a paso Euler (t) de (yt)t≥0 definido por n+1 = n − γn+1n + vn(W) − W­ 1­n), 0 = y Denotar por (v̄ t ) y ( t ) los procesos de desplazamiento definidos por v̄ t := vk+t y k+t, y dejar ( / (n)(l,dα))n≥1 ser la secuencia de medidas empíricas definidas por v. n.)............................................................................................................................................................................................................................................................ ηk1{(v̄(k−1),(k−1))d. La especificidad tanto del modelo como del sistema Euler implica que los teoremas 1 y 2 no se puede aplicar directamente aquí. Sin embargo, un estudio específico en el que se utiliza el hecho de que (9) para cada conjunto compacto de R ×R cuando 2k­°/+2 > 1+ 2 (véase el Teorema 2.2 de Berkaoui) et al. [4] y Observación 9) muestran que /(n)(l,dα) P0(dα) a.s. en caso de que se destinen a la fabricación de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de un producto de la categoría M2 o de la categoría M2 o de la categoría M2 6/.................................................................................................................... Los detalles se dejan al lector. Ahora expongamos nuestros resultados numéricos obtenidos para el precio de las opciones asiáticas con Esta discretización. Denotamos por Cas( /0,K,T) y Pas( /0,K,T) la llamada asiática y poner precios en el modelo SSV Heston. Tenemos Cas(/0,K,T ) = e Ss ds−K 172 G. Pagès y F. Panloup Pas(/0,K,T ) = e K − 1 Ss ds Con la anotación de (49), aproximándose a Cas(/0,K,T) y Pas(/0,K,T) por nuestro procedimiento. es necesario simular las secuencias (Cnas)n≥1 y (P as)n≥1 definido por Cnas = *(s), v̄(k−1), M̄ (k−1)) ds−K Pnas = K − 1 *(s), v̄(k−1), M̄ (k−1)) ds Estas secuencias pueden ser calculadas por el método desarrollado en la Sección 1.3. Tenga en cuenta que las propiedades específicas de la función exponencial y la linealidad de la integral implican que ( (t, v̄(n−1), M̄ (n−1)) ds) se puede calcular cuasi-recursivamente. Vamos a declarar nuestros resultados numéricos para la llamada asiática con parámetros s0 = 50, r = 0,05, T = 1, * = 0,01, * = 0,1, k = 2. También suponemos que K {44,...,56} y elegir los siguientes pasos y pesos: γn = ηn = n −1/3. En el cuadro 1, se indica en primer lugar el valor de referencia para el precio de llamada asiático obtenido para N = 108 iteraciones. En las dos líneas siguientes, indicamos nuestros resultados para N = 5.104 y N = 5.105 iteraciones. Luego, en las últimas líneas, presentamos los resultados numéricos obtenidos Cuadro 1 Aproximación del precio de la llamada asiática K 44 45 46 47 48 49 50 Llamada asiática (ref.) 6,92 5,97 5,04 4,12 3,25 2,46 1,78 N = 5 · 104 6,89 6,07 5,07 4,13 3,18 2,49 1,77 N = 5 · 105 6,90 6,02 5.00 4,11 3,24 2,46 1,79 N = 5 · 104 (paridad del PC) 6,92 5,96 5,04 4,13 3,26 2,46 1,78 N = 5 · 105 (paridad del PC) 6,92 5,97 5,04 4,12 3,25 2,47 1,78 K 51 52 53 54 55 56 Llamada asiática (ref.) 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,12 N = 5 · 104 1,21 0,81 0,51 0,34 0,22 0,11 N = 5 · 105 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,13 N = 5 · 104 (paridad PC) 1,23 0,82 0,53 0,31 0,21 0,12 N = 5 · 105 (paridad PC) 1,23 0,82 0,53 0,33 0,21 0,13 Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 173 utilizando la paridad de llamada-puerta Cas(/0,K,T)- Pas(/0,S0,K,T) = (1− e−rT )−Ke−rT (52) como medio de reducción de las variaciones. Los tiempos de cálculo para N = 5.104 y N = 5.105 (usando MATLAB con un procesador Xeon 2.4 GHz) son aproximadamente 5 s y 51 s, respectivamente. In En particular, la complejidad es casi lineal y los cálculos adicionales necesarios cuando Usamos la paridad llamada-puerta son insignificantes. 5.2. Superficies de volatilidad implícitas de los modelos Heston SSV y SV Teniendo en cuenta un determinado modelo de precios (con valor inicial s0 y tipo de interés r) y su los precios europeos de las llamadas denotadas por Ceur(K,T), recordamos que la volatilidad implícita superficie es el gráfico de la función (K,T ) 7→ cada vencimiento T > 0 y golpear K como la solución única de CBS(s0,K,T, r, imp(K,T)) =Ceur(K,T), donde CBS(s0,K,T, r, ) es el precio de la llamada europea en el modelo Black–Scholes con parámetros s0, r y Cuando se conoce Ceur(K,T ), el valor de ♥imp(K,T ) puede ser calculado numéricamente usando el método Newton o por dicotomía si el primer método es no convergente. En esta última parte, comparamos las superficies de volatilidad implícita inducidas por el SSV y SV Heston modelos donde suponemos que el valor inicial de (vt) en el modelo SV Heston es la media de la distribución invariante, es decir, suponemos que v0 =. 5 También asumimos que los parámetros son los de (51), excepto el coeficiente de correlación En las figuras 1 y 2, las curvas de volatilidad obtenidas cuando se representa T = 1, mientras que en Figuras 3 y 4, establecemos el strikeK atK = 50 y dejamos que el tiempo varíe. Estas representaciones muestran que cuando la madurez es larga, las diferencias entre el SSV y el SV Heston los modelos desaparecen. Esto es una consecuencia de la convergencia de la volatilidad estocástica a su régimen estacionario cuando T. Las principales diferencias entre estos modelos aparecen entonces para los vencimientos cortos. Eso es. por qué completamos esta parte por una representación de la curva de volatilidad cuando T = 0,1 para En las Figuras 5 y 6, respectivamente, la cifra es de 0 y la cifra de 0,5. Observamos que para los vencimientos cortos, la sonrisa de volatilidad es más curvada y el sesgo es más empinado. Estos fenómenos parecen interesante para la calibración ya que un conocido inconveniente del modelo estándar de Heston es que puede tener curvas de volatilidad demasiado planas para vencimientos cortos. 5.3. Pruebas numéricas sobre opciones asiáticas en el modelo SSV de BNS El modelo BNS introducido en Barndorff-Nielsen y Shephard [3] es una volatilidad estocástica modelo donde el proceso de volatilidad es un proceso Ornstein-Uhlenbeck positivo impulsado por Lévy. 5Esta elección es la más habitual en la práctica. 174 G. Pagès y F. Panloup Figura 1. ♥ = 0, K 7→ ♥imp(K,1). La dinámica del precio del activo (St) es dada por St = S0 exp(Xt), dXt = (r− 12vt) dt+ vt dWt + ŁdZt, 0, dvt = vt dt+dZt, μ > 0, Figura 2.?0.5, K 7→?imp(K,1). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 175 Figura 3.? 0, T 7→?imp(50, T ). donde (Zt) es un subdirector sin término de deriva y Lévy medida η. En lo siguiente: Suponemos que (Zt) es un subdirector estable templado, es decir, que η(dy) = 1{y>0} c exp(y) dy, c > 0,  > 0, (0,1). Al igual que en el modelo de Heston, queremos utilizar nuestro algoritmo como una forma de precio de opción cuando la volatilidad estocástica evoluciona bajo su régimen estacionario y lo prueba en opciones asiáticas utilizando el método descrito en detalle en la sección 5.1. Este modelo no requiere un modelo específico Figura 4.?0.5, T 7→?imp(50, T ). 176 G. Pagès y F. Panloup Figura 5.? 0, T 7→?imp(50, T ). discretización y el régimen aproximado de Euler (P) (véase la sección 3.2) en relación con (vt) se puede implementar utilizando el método de rechazo. En la Tabla 2, presentamos nuestro número resultados obtenidos para las siguientes opciones de parámetros, pasos y pesos: * = −1, * = μ= 1, * c= 0,01, * = 1 , γn = ηn = n −1/3. Los tiempos de cálculo para N = 5.104 y N = 5.105 son aproximadamente 8,5 s y 93 s, respectivamente. Tenga en cuenta que para este modelo, la convergencia parece ser más lenta debido a la aproximación del componente de salto. Figura 6.?0.5, T 7→?imp(50, T ). Aproximación de la distribución del proceso estacionario de Markov 177 Cuadro 2 Aproximación del precio de la llamada asiática en el modelo BNS K 44 45 46 47 48 49 50 Llamada asiática (ref.) 6,75 5,83 4,93 4,05 3,18 2,35 1,57 N = 5 · 104 6,83 5,91 5,01 4,10 3,22 2,35 1,51 N = 5 · 105 6,78 5,86 4,96 4,06 3,19 2,34 1,52 N = 5 · 104 (paridad del PC) 6,76 5,85 4,94 4,07 3,20 2,29 1,51 N = 5 · 105 (paridad del PC) 6,75 5,83 4,93 4,04 3,17 2,32 1,54 K 51 52 53 54 55 56 Llamada asiática (ref.) 0,91 0,55 0,39 0,29 0,23 0,18 N = 5 · 104 0,77 0,46 0,33 0,27 0,22 0,19 N = 5 · 105 0,79 0,48 0,34 0,27 0,21 0,17 N = 5 · 104 (paridad PC) 0,79 0,47 0,37 0,27 0,23 0,19 N = 5 · 105 (paridad PC) 0,83 0,50 0,36 0,28 0,22 0,17 Agradecimientos Los autores agradecen a Vlad Bally sus interesantes comentarios sobre el documento. Bibliografía [1] Alfonsi, A. (2005). En los esquemas de discretización para el CIR (y Bessel al cuadrado) pro- cestos. Monte Carlo Métodos Appl. 11 355-384. 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Influence of Phonon dimensionality on Electron Energy Relaxation

Influencia de la dimensionalidad de Phonon en la relajación de la energía del electrón J. T. Karvonen e I. J. Maasilta Centro de Nanociencias, Departamento de Física, P.O. Recuadro 35, FIN-40014 Universidad de Jyväskylä, Finlandia. Se estudió experimentalmente el papel de la dimensionalidad fonónica en la interacción electrón-fonón (e-p) en alambres de cobre delgados evaporados sobre membranas de nitruro de silicio en suspensión o sobre sustratos a granel, a temperaturas sub-Kelvin. La potencia emitida por los electrones a los fonones se midió utilizando termómetros de unión de túnel (NIS) normales sensibles de metal-isulador-superconductores. Membrana Se utilizaron espesores que oscilaban entre 30 nm y 750 nm para ver claramente el inicio de los efectos de dos- Sistema fonónico dimensional (2D). Observamos por primera vez que un espectro fonónico 2D claramente cambia la dependencia de la temperatura y la fuerza de la velocidad de dispersión e-p, con la interacción cada vez más fuerte a las temperaturas más bajas por debajo de 0,5 K para las membranas de 30 nm. Números PACS: 63.22.+m, 63.20.Kr, 85.85.+j Es un hecho establecido que en sub-Kelvin tempera- el acoplamiento térmico entre electrones de conducción y la celosía se vuelve muy débil [1]. Esto ha significado... implicaciones cant para el funcionamiento de la baja temperatura detectores y refrigeradores [2], o para cualquier sistema de estado sólido en los que la disipación y el enfriamiento son relevantes. Baja... la interacción electrón-fonón de temperatura (e-p) ha sido estudiado ampliamente durante las últimas décadas, pero en su mayoría sólo para el caso en el que los fonones son completamente tres di- mensional (3D) [3, 4, 5, 6]. Sin embargo, debido a la significación avances en la fabricación de estructuras delgadas suspendidas, muchos dispositivos prácticos y detectores existen en los que el se espera que los fonones se muevan libremente sólo dentro de la plano de una membrana, formando un sistema cuasi-2D [7]. La pregunta de cómo la bidimensionalidad del fonón los modos influencian la interacción e-p se ha abordado la en ciertos casos [8, 9, 10], pero no exper- Se ha informado de la observación mental del efecto a fecha, aunque se han hecho varios intentos [11, 12]. En este artículo, mostramos por primera vez experiencia- cuenta que la interacción electrón-fonón cambia claramente dependiendo de la dimensión de los fonones, como ex- Separado de la teoría. El acoplamiento E-p se midió con el ayuda a la termometría sensible de la unión del túnel NIS [13], para alambres de Cu delgados sobre nitruro de silicio suspendido (SiNx) membranas con espesor variable de 30 nm a 750 nm, que abarca la transición de los fonones 2D a 3D. Además, muestras con alambres Cu idénticos a granel También se midieron sustratos para la comparación. Por la Comisión membranas más delgadas, la interacción e-p se fortaleció en comparación con las muestras a granel, y su tempera- La dependencia de la ración cambió significativamente, como se prevé por la teoría [8, 9, 10]. El cambio fue lo suficientemente grande como para dar pruebas indirectas de que el dispersivo ( k2), flex- los modos orales de la membrana juegan probablemente un papel importante en la interacción e-p. En presencia de límites libres de estrés, la masa modos de fonón transversal y longitudinal (con sonido) velocidades tt y cl, respectivamente) pareja entre sí y formar un nuevo conjunto de eigenmodes, que en el caso de una membrana suspendida se conocen como horizontal Modos de corte (h), y simétricos (s) y antisimétricos ric (a) Modos de cordero [14]. Las frecuencias de la h modos son simplemente • = ct + (ml/d)2, donde k° es el componente vector de onda paralelo a la membrana sur- caras, d es el espesor de la membrana y el entero m es el número de rama. Sin embargo, las relaciones de dispersión de los modos s y un cordero no pueden ser dados en un cerrado y- forma alítica, pero tiene que ser calculada numéricamente. Los tres ramas más bajas, dominantes para las membranas delgadas en bajas temperaturas, tienen baja frecuencia analítica expres- sions: ­h = ctkó, ­s = cskó, y ­a = k2°, donde cs = 2ct − c2t )/c es la velocidad de sonido efectiva de el modo s, y m. = ~ − c2t )/3c es un masa efectiva para la “partícula” de modo A. Esta más baja a- modo con su dispersión cuadrática es principalmente responsable para el comportamiento no trivial de la interacción e-p [9, 10]. Tenga en cuenta que ya una sola superficie libre afecta a los modos [15] y la interacción e-p [16], como los modos a granel cou- y formar otro nuevo conjunto de autoestatos, incluyendo la superficie localizada Rayleigh-mode. Por lo tanto, el amplio resultado observado para el flujo de potencia de e-p P = V (T 5e − T de un volumen metálico V con Te el electrón y Tp el temperatura del fonón, no se espera que se mantenga incluso para películas lo suficientemente delgadas en sustratos a granel. Esquema de las muestras de alambre de Cu en sil- membranas de nitruro icono y el circuito de medición utilizado se muestra en la Fig. 1. 17 muestras fueron hechas en cualquiera de membranas o sustratos a granel, en los que se nitrinicen (100) Obleas de 30, 200 y 750 nm de espesor de bajo estrés Las capas superiores de SiNx se utilizaron como sustrato para ambos casos. Suspensión de las membranas SiNx (tamaño 600×300) μm2) se logró mediante el grabado húmedo en la parte posterior anisotrópica de el subestado de silicio en KOH, y las estructuras metálicas fueron fabricados utilizando litografía estándar de haz electrónico y técnicas de evaporación de máscaras de sombras multiángulo. As the La fuerza de interacción e-p es sensible al espesor y nivel de desorden del metal [17], minimizamos su efecto por evaporación de los alambres Cu de espesor específico sobre todos los diferentes sustratos simultáneamente. Ultratina Cu capas (t=14-30 nm) se utilizaron para reforzar el efecto de las membranas delgadas. La capa de óxido que forma el tun- Barreras de unión de nel fueron producidas por oxidación térmica de Al. La Tabla I presenta las dimensiones esenciales de la http://arxiv.org/abs/0704.0336v2 muestras discutidas en este artículo, medidas mediante escaneo Microscopios de electrones (SEM) y de fuerza atómica (AFM). El electrón medio camino libre l se determinó a partir de la resistencia del alambre a temperatura de base 60 mK, utilizando las dimensiones del alambre que se miden con precisión. CUADRO I: Parámetros para muestras. M= suspendido SiNx mem- brane y B= sustrato a granel. B6 tenía un si oxidado sub- Estratega. Muestra SiNx d Cu t V l  (0,2K)  (0,8K) (nm) (nm) [(μm)3] (nm) (μs) (μs) M1 30 14 2,71 5,7 2,6 0,16 B1 30 14 2,46 4,9 7,1 0,030 M2 200 14 2,44 4,6 15,0 0,11 B2 200 18 3,67 4,1 6.4 0,045 M3 30 19 5,50 11,2 2,2 0,30 B3 30 19 4,62 9,8 4,3 0,034 M4 750 22 6,09 10,3 3,1 0,030 B4 750 22 5,87 8,7 3,9 0,013 M5 30 32 6,09 22 1,8 0,31 B5 30 32 5,09 19 2,7 0,038 B6 - 32 7.10 22 1.6 0,031 CuAl Nb/Al FIG. 1: (Color en línea) Un esquema de las muestras suspendidas y el circuito de medición. Las líneas rojas son el metal normal Cu, gris claro Al para SINIS-junciones y gris oscuro Al o Nb para SN-junctions. Utilizamos la técnica del electrón en caliente [3] para medir la Interacción e-p mediante el sobrecalentamiento de los electrones por el calor de Joule potencia P y la medición del electrón tempera- tura Te. Todas las muestras tenían dos aislados eléctricamente Cu cables de metal normales uno al lado del otro (Fig. 1). Los alambre más largo (L = 500μm) se calentó aplicando un tensión de rampa a través del par de Nb superconductores (o Al) conduce en contacto metálico directo a Cu, formando Uniones SN. Estas uniones proporcionan un excelente electri- cal, pero muy mala conducción térmica debido a Andreev reflexión, ya que las uniones están sesgadas dentro de la super- llevar a cabo la brecha. Por lo tanto, debido a la falta de sión de electrones y la larga longitud del cable, entrada el calor se distribuye uniformemente en el interior del alambre y el gas electrónico se enfría dominantemente por los fonones, in- en lugar de difusivamente [18] o por fotones térmicos [19]. Desde L >> Le−e, la longitud de dispersión electrón-electrón, elec- La temperatura del tron también está bien definida sin complica- ciones de no-equilibrio [20]. En nuestra geometría de muestra la temperatura del electrón se mide con dos adicionales Al conduce formando un par de uniones de túnel NIS (SINIS) en el centro del alambre calentado, en función de la entrada Joule potencia P = IV medida en una configuración de cuatro sondas. El propósito del cable corto Cu, con el si- NIS termómetro en él, es para dar una estimación de la local temperatura del fonón Tp, ya que el flujo de potencia de e-p depende en Te y Tp. El termómetro Al SINIS es ideal adecuado para medir la temperatura por debajo de unos pocos Kelvins, [2] debido a su alta sensibilidad (en nuestra medición de CC + 0.1 mK a 0,1 K) y disipación de baja potencia. Además, para todos los datos aquí, el voltaje de SINIS vs. temperatura la respuesta sigue la teoría de BCS sin eters muy exactamente por lo menos hasta 0,2 K, donde típicamente la saturación se pone en. Esta saturación depende de la fuerza de la interacción e-p (tamaño del termómetro) y tipo de sustrato) y la cantidad de filtrado, y por lo tanto, concluimos que lo más probable es que sea causada por calefacción por ruido. Por esta razón tomamos la mayoría de conser- enfoque vativo y asumir que toda la saturación es causada por ella, en cuyo caso podemos utilizar la teoría BCS para convertir los datos de tensión medidos para todas las temperaturas. Incluso si los electrones pierden su energía abrumadoramente a los fonones en nuestra geometría de muestra, todavía es pos- sible que la temperatura medida no sólo disuade- minada por la interacción e-p. Esto se debe a que la emisión Los fonones podrían ser removidos tan ineficazmente de la mem- brane que la transmisión del fonón se convierte en un cuello de botella para el flujo de energía. Dispersión a granel de los fonones a baja las temperaturas son muy débiles [7], incluso para los delgados desordenados membranas [21], al igual que la resistencia de los bordes para las películas delgadas en sustratos a granel [22, 23]. Por el contrario, casi no- ing cuantitativa se conoce sobre la resistencia de los límites entre una fina película metálica y una fina membrana 2D, o entre una fina membrana 2D y un sustrato a granel. ¿Cómo...? nunca, parece claro que si la película de metal combinada y espesor de membrana está por debajo de la longitud de onda térmica de los fonones, los modos de fonón en los dos materiales son muy acoplado, lo que conduce a una ausencia efectiva de resistencia a los límites. Por lo tanto, si comprobamos que el mem- temperatura de la brana Tp no es demasiado alta en comparación con Te (suficiente eliminación de fonon caliente), podemos ser confi- abolladura que la medida Te refleja la interacción e-p. La figura 2 muestra el resultado principal de las mediciones, con Te y Tp trazados frente a la densidad de potencia de calefacción p = P/V para todos los espesores de membrana (30 nm, 200 nm) y 750 nm). Además, los datos de unos pocos represen- se muestran muestras a granel. En comparación con el cor- muestra de sustrato a granel (B4), Te de los 750 membrana nm (M4) no muestra ninguna diferencia en absoluto, y se comporta efectivamente como masa. Esto es razonable, porque para la membrana de 750 nm la dimensión estimada ity temperatura cruzada [24, 25] Tcr = ~ct/(2kBd) es + 30 mK, con ct = 6200 m/s para SiN. El fonón las temperaturas Tp, sin embargo, muestran una gran diferencia: 0,1 1 10 100 1000 de M3 T de M2 de M4 T de B1-B6 de M1 de M2 de M4 de B1 y B2 de B4 Densidad de potencia de calefacción [pW / ( m)3] FIG. 2: (Color en línea) Medido electrón y tem- peratures Te y Tp versus la densidad de potencia de calefacción aplicada en escala de log-log. Las muestras a granel casi no muestran respuesta de la satura- valor del termómetro + 190 mK, mientras que el valor del termómetro + 190 mK Los fonones de membrana se calientan mensurablemente, lo más probable es que se deban a la resistencia del límite entre la membrana y el volumen. Sin embargo, este aumento en Tp para todos los sam- ples es lo suficientemente pequeño como para no influir en la interacción e-p. Para la membrana de 200 nm de espesor (M2) (Tcr + 110 mK), a baja densidad de potencia de calefacción [p < 40 pW/(μm)3], la dependencia de la temperatura sigue el comportamiento de la masa muestra (B2), aunque con una diferencia en la valor. Esto demuestra que la resistencia del acoplamiento e-p se debilita en comparación con el volumen. En los poderes superiores y temperaturas (p > 40 pW/(μm)3, donde Te > 0,6 K), Te comienza a aumentar más rápidamente en la membrana sam- ble, lo más probable debido a los efectos de resistencia de los límites. Los fonones en la muestra de membrana de 30 nm de espesor (M1) se espera que esté en el límite 2D a bajas temperaturas (Tcr 0.5K), y una señal clara de esto se puede ver en Fig. 2 como un comportamiento fuertemente diferente de la medida Te vs. curva p con respecto a todas las demás muestras. A continuación • 6 pW/(μm)3 el acoplamiento e-p es notablemente más fuerte (Te inferior) que en el volumen correspondiente (B1) o en cualquier otro muestra, pero de nuevo a las temperaturas más altas la influencia de otros efectos comienza a dominar sobre el acoplamiento e-p. Para estudiar la dependencia de la temperatura de los datos en Fig. 2 con más precisión, trazamos la deriva logarítmica- tivos d(log p)/d(logTe) en la Fig. 3 a) a c). Para bajas temperaturas... poderes de ing (T ne >> T p ) Pe−p T e, donde n es la ley de poder de la interacción e-p, por lo tanto en ese régimen d(log p)/d(logTe) = n. Típicamente este exponente es n para películas metálicas más gruesas (t > 30 nm) sobre sustratos a granel [3, 4, 17], si el trastorno en la película no es demasiado fuerte [26, 27, 28]. De Fig. 3 a) En primer lugar vemos que para la muestra de membrana M1 de 30 nm, la diferencia la muestra a granel B1 es muy clara. Los datos M1 tienen un 0,1 1 10 100 1000 M1 B1 M2 B2 M4 B4 Densidad de potencia de calefacción [pW / ( m)3] FIG. 3: (Color en línea) Derivados logarítmicos numéricos de los datos medidos en la Fig. 2. a) Te datos de M1 y B1, b) Te datos para M2 y B2, c) Te datos para M4 y B4. 4,5 entre p = 0,1 - 6 pW/(μm)3, mientras que para B1, n disminuye continuamente de val- ues. Tenga en cuenta que el fuerte aumento de d(log p)/d(logTe) debajo de p • 0,1 pW/(μm)3 es causada por la saturación de la medida Te, y no por la interacción e-p. El punto donde n comienza a desviarse de n = 4,5 cor- te responde a Te 0.4 K, que es sorprendentemente consistente con el Tcr estimado de 0,5 K. En contraste, el tempera- dependencia de la membrana de 200 nm (M2) y a granel (B2) muestras [fig. 3 b)] son idénticos entre sí y con la muestra a granel de 30 nm (B1), siempre que La interacción e-p es dominante (hasta 40 pW/(μm)3). Los 750 nm de membrana (M4) y muestras a granel (B4) también dan valores idénticos de n [Fig. 3 c)]. La diferencia entre Los pares de muestras M4, B4 y M2, B2 son causados por el alambre de Cu espesor, que se espera que influya en la temperatura dependencia fuerte [16, 27]. Finalmente, discutimos el efecto del espesor del alambre de Cu sobre la interacción e-p medida. Los resultados de la muestras de membrana de 30 nm más delgadas, con espesor de Cu t = 14,19 y 32 nm se muestran en las figuras 4 a) y c). Es evidente que el espesor de la película de metal tiene sólo un efecto menor sobre la interacción e-p sobre las membranas delgadas, y sólo influye en la resistencia de los límites en el 3D límite, aumentando su efecto para t más gruesa, como se esperaba. No obstante, en el caso de los alambres sobre sustratos a granel, figs 4 b) y d), el efecto del espesor del alambre de Cu en la interacción e-p es más profundo. Cuanto más delgada es la película de Cu, más dependencia de la temperatura se desvía de n = 5, que, para comparación, se observa para una t más típica = 32 nm Alambre de Cu en Si oxidada (B6). Este comportamiento es qualita... 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 10 100 1000 a) b) Densidad de potencia de calefacción [pW /( m)3] FIG. 4: (Color en línea) (a) Te versus p = P/V para 30 nm mem- muestras de salvado M1, M3, M5. b) Te frente a p en el caso de las muestras a granel, de arriba a abajo B1 (arriba), B3, B5 y B6 (abajo). c) d(log p)/d(log T) de los datos en (a). d) d(log p)/d(log T) de los datos de la letra b). De arriba a abajo: línea verde B1 (arriba), magenta B3, azul B5, rojo B6 (abajo). En d) el ruido ha filtrada para ayudar al ojo. Coherente con el efecto predicho de la superficie modos de fonón [16], pero también podría depender de la disor- der, a medida que el engrosamiento de la película aumenta la media libre vía l (Tabla I) y empuja la muestra más cerca de la zona limpia límite. Un exponente aparente tan alto como 7 podría... ser explicada por la combinación de un trastorno fuerte y los modos de superficie, pero una vez más, la teoría detallada falta. En conclusión, hemos obtenido la primera prueba clara que la interacción electrón-fonón a baja temperatura- las ciones cambian bastante significativamente cuando los modos de fonón se vuelven bidimensionales. Para cuantificar los efectos, el Tiempos de relajación térmica de electrones  = γV Te/(dP/dTe), donde γ = 100 J/K2m3 para Cu, se presentan en el cuadro I para todas las muestras a dos temperaturas Te = 0,2 y 0,8 K. En Te < 0,5 K, las membranas más delgadas pueden tener un un efecto de refuerzo factor 2-3, mientras que a la relajación térmica de las membranas puede ser un orden de magnitud más débil que las muestras a granel. La membrana cercana a la región de transición (d=200 nm) fue muestra tener una interacción más débil (+ factor de dos) e-p resistencia que las muestras a granel. Adelgazamiento de la película de metal en sustratos a granel conduce también a un debilitamiento considerable de la interacción e-p. El exponente de la ley de poder observada para el límite 2D es consistente con n • 4.5, y es mucho menor que el exponente a granel correspondiente n = 6.7. Una reducción por más de un factor uno da evi- de la importancia del Cordero flexible y dispersivo modos para la interacción de la membrana electrón-fonón, en acuerdo con la teoría [9, 10]. Conversaciones con T. Kühn y A. Sergeev y Se reconoce la asistencia técnica de H. Niiranen. Esto el proyecto de la Academia de Finlandia Nos. 118665 y 118231, y por la Academia Finlandesa de las Ciencias y las Letras (J.T.K.). [1] V. F. Gantmakher, Rep. Prog. Phys. 37, 317 (1974). [2] F. Giazotto y otros, Rev. Mod. Phys. 78, 217 (2006). [3] M. L. Roukes et al., Phys. Rev. Lett. 55, 422 (1985). [4] F. C. Wellstood, C. Urbina, y J. Clarke, Phys. Rev. B 49, 5942 (1994). [5] M. Kanskar y M. N. Wybourne, Phys. Rev. Lett. 73, 2123 (1994). [6] D. R. Schmidt, C. S. Yung, y A. N. Cleland, Phys. Rev. B 69, 140301 (2004). [7] A. N. Cleland, Fundamentos de la nanomecánica, Springer, Berlín (2003). [8] D. Belitz y S. Das Sarma, Phys. Rev. B 36, 7701 (1987). [9] K. Johnson, M. N. Wybourne y N. Perrin, Phys. Rev. B 50, 2035 (1994). [10] B. A. Glavin et al., Phys. Rev. B 65, 205315 (2002). [11] J. F. DiTusa y otros, Phys. Rev. Lett. 68, 1156 (1992). [12] Y. K. Kwong y otros, J. Baja temperatura. Phys. 88, 261 (1992). [13] J. M. Rowell y D. C. Tsui, Phys. Rev. B 14, 2456 (1976). [14] B. A. Campos Acústicos y Olas en Sólidos, 2a. Ed., Robert E. Krieger Publishing, Malabar, 1990. [15] M. A. Geller, Phys. Rev. B 70, 205421 (2004). [16] S.-X. Qu, A. N. Cleland y M. R. Geller, Phys. Rev. B 72, 224301 (2005). [17] J. T. Karvonen, L. J. Taskinen e I. J. Maasilta, J. Baja Temp. Phys. 146, 213 (2007). [18] C. Hoffmann, F. Lefloch, y M. Sanquer, Eur. Phys. J. B 29, 629 (2002). [19] M. Meschke, W. Guichard, y J. P. Pekola, Nature 444, 187 (2006). [20] H. Pothier et al., Phys. Rev. Lett. 79, 3490 (1997). [21] T. Kühn y otros, arXiv:0705.1936. [22] E. T. Swartz y R. O. Pohl, Rev. Mod. Phys. 61, 605 (1989). [23] En este trabajo, un efecto máximo del 1-5 % para Te a 1K para t = 15,30 nm. [24] T Kühn y otros, Phys. Rev. B 70, 125425 (2004). [25] T. Kühn e I. J. Maasilta, Nucl. Instrum. Métodos Phys. Res. A 559, 724 (2006); cond-mat/0702542. [26] A. Schmid, Z. Phys. 259, 421 (1973); en localización, Fenómenos de Interacción y Transporte, Springer 1985. [27] M. Yu. Reizer y A. V. Sergeev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 90, 1056 (1986) [Sov. Phys. JETP 63, 616 (1986)]; A. Sergeev y V. Mitin, Phys. Rev. B 61, 6041 (2000). [28] L. J. Taskinen e I. J. Maasilta, Appl. Phys. Lett. 89, 143511 (2006). http://arxiv.org/abs/0705.1936 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0702542

Se estudió experimentalmente el papel de la dimensionalidad fonónica en interacción electrón-fonón (e-p) en alambres de cobre delgados evaporados membranas de nitruro de silicio en suspensión o en sustratos a granel, en sub-Kelvin temperaturas. La potencia emitida por los electrones a los fonones se midió utilizando Tunel de unión de metal-aislador-superconductor (NIS) normal sensible termómetros. Se utilizaron espesores de membrana de 30 nm a 750 nm para ver claramente el inicio de los efectos del sistema de fonón bidimensional (2D). Nosotros observado por primera vez que un espectro fonónico 2D cambia claramente el dependencia de la temperatura y la fuerza de la velocidad de dispersión e-p, con el interacción cada vez más fuerte a las temperaturas más bajas por debajo de $\sim$ 0,5 K para las membranas de 30 nm.

Influencia de la dimensionalidad de Phonon en la relajación de la energía del electrón J. T. Karvonen e I. J. Maasilta Centro de Nanociencias, Departamento de Física, P.O. Recuadro 35, FIN-40014 Universidad de Jyväskylä, Finlandia. Se estudió experimentalmente el papel de la dimensionalidad fonónica en la interacción electrón-fonón (e-p) en alambres de cobre delgados evaporados sobre membranas de nitruro de silicio en suspensión o sobre sustratos a granel, a temperaturas sub-Kelvin. La potencia emitida por los electrones a los fonones se midió utilizando termómetros de unión de túnel (NIS) normales sensibles de metal-isulador-superconductores. Membrana Se utilizaron espesores que oscilaban entre 30 nm y 750 nm para ver claramente el inicio de los efectos de dos- Sistema fonónico dimensional (2D). Observamos por primera vez que un espectro fonónico 2D claramente cambia la dependencia de la temperatura y la fuerza de la velocidad de dispersión e-p, con la interacción cada vez más fuerte a las temperaturas más bajas por debajo de 0,5 K para las membranas de 30 nm. Números PACS: 63.22.+m, 63.20.Kr, 85.85.+j Es un hecho establecido que en sub-Kelvin tempera- el acoplamiento térmico entre electrones de conducción y la celosía se vuelve muy débil [1]. Esto ha significado... implicaciones cant para el funcionamiento de la baja temperatura detectores y refrigeradores [2], o para cualquier sistema de estado sólido en los que la disipación y el enfriamiento son relevantes. Baja... la interacción electrón-fonón de temperatura (e-p) ha sido estudiado ampliamente durante las últimas décadas, pero en su mayoría sólo para el caso en el que los fonones son completamente tres di- mensional (3D) [3, 4, 5, 6]. Sin embargo, debido a la significación avances en la fabricación de estructuras delgadas suspendidas, muchos dispositivos prácticos y detectores existen en los que el se espera que los fonones se muevan libremente sólo dentro de la plano de una membrana, formando un sistema cuasi-2D [7]. La pregunta de cómo la bidimensionalidad del fonón los modos influencian la interacción e-p se ha abordado la en ciertos casos [8, 9, 10], pero no exper- Se ha informado de la observación mental del efecto a fecha, aunque se han hecho varios intentos [11, 12]. En este artículo, mostramos por primera vez experiencia- cuenta que la interacción electrón-fonón cambia claramente dependiendo de la dimensión de los fonones, como ex- Separado de la teoría. El acoplamiento E-p se midió con el ayuda a la termometría sensible de la unión del túnel NIS [13], para alambres de Cu delgados sobre nitruro de silicio suspendido (SiNx) membranas con espesor variable de 30 nm a 750 nm, que abarca la transición de los fonones 2D a 3D. Además, muestras con alambres Cu idénticos a granel También se midieron sustratos para la comparación. Por la Comisión membranas más delgadas, la interacción e-p se fortaleció en comparación con las muestras a granel, y su tempera- La dependencia de la ración cambió significativamente, como se prevé por la teoría [8, 9, 10]. El cambio fue lo suficientemente grande como para dar pruebas indirectas de que el dispersivo ( k2), flex- los modos orales de la membrana juegan probablemente un papel importante en la interacción e-p. En presencia de límites libres de estrés, la masa modos de fonón transversal y longitudinal (con sonido) velocidades tt y cl, respectivamente) pareja entre sí y formar un nuevo conjunto de eigenmodes, que en el caso de una membrana suspendida se conocen como horizontal Modos de corte (h), y simétricos (s) y antisimétricos ric (a) Modos de cordero [14]. Las frecuencias de la h modos son simplemente • = ct + (ml/d)2, donde k° es el componente vector de onda paralelo a la membrana sur- caras, d es el espesor de la membrana y el entero m es el número de rama. Sin embargo, las relaciones de dispersión de los modos s y un cordero no pueden ser dados en un cerrado y- forma alítica, pero tiene que ser calculada numéricamente. Los tres ramas más bajas, dominantes para las membranas delgadas en bajas temperaturas, tienen baja frecuencia analítica expres- sions: ­h = ctkó, ­s = cskó, y ­a = k2°, donde cs = 2ct − c2t )/c es la velocidad de sonido efectiva de el modo s, y m. = ~ − c2t )/3c es un masa efectiva para la “partícula” de modo A. Esta más baja a- modo con su dispersión cuadrática es principalmente responsable para el comportamiento no trivial de la interacción e-p [9, 10]. Tenga en cuenta que ya una sola superficie libre afecta a los modos [15] y la interacción e-p [16], como los modos a granel cou- y formar otro nuevo conjunto de autoestatos, incluyendo la superficie localizada Rayleigh-mode. Por lo tanto, el amplio resultado observado para el flujo de potencia de e-p P = V (T 5e − T de un volumen metálico V con Te el electrón y Tp el temperatura del fonón, no se espera que se mantenga incluso para películas lo suficientemente delgadas en sustratos a granel. Esquema de las muestras de alambre de Cu en sil- membranas de nitruro icono y el circuito de medición utilizado se muestra en la Fig. 1. 17 muestras fueron hechas en cualquiera de membranas o sustratos a granel, en los que se nitrinicen (100) Obleas de 30, 200 y 750 nm de espesor de bajo estrés Las capas superiores de SiNx se utilizaron como sustrato para ambos casos. Suspensión de las membranas SiNx (tamaño 600×300) μm2) se logró mediante el grabado húmedo en la parte posterior anisotrópica de el subestado de silicio en KOH, y las estructuras metálicas fueron fabricados utilizando litografía estándar de haz electrónico y técnicas de evaporación de máscaras de sombras multiángulo. As the La fuerza de interacción e-p es sensible al espesor y nivel de desorden del metal [17], minimizamos su efecto por evaporación de los alambres Cu de espesor específico sobre todos los diferentes sustratos simultáneamente. Ultratina Cu capas (t=14-30 nm) se utilizaron para reforzar el efecto de las membranas delgadas. La capa de óxido que forma el tun- Barreras de unión de nel fueron producidas por oxidación térmica de Al. La Tabla I presenta las dimensiones esenciales de la http://arxiv.org/abs/0704.0336v2 muestras discutidas en este artículo, medidas mediante escaneo Microscopios de electrones (SEM) y de fuerza atómica (AFM). El electrón medio camino libre l se determinó a partir de la resistencia del alambre a temperatura de base 60 mK, utilizando las dimensiones del alambre que se miden con precisión. CUADRO I: Parámetros para muestras. M= suspendido SiNx mem- brane y B= sustrato a granel. B6 tenía un si oxidado sub- Estratega. Muestra SiNx d Cu t V l  (0,2K)  (0,8K) (nm) (nm) [(μm)3] (nm) (μs) (μs) M1 30 14 2,71 5,7 2,6 0,16 B1 30 14 2,46 4,9 7,1 0,030 M2 200 14 2,44 4,6 15,0 0,11 B2 200 18 3,67 4,1 6.4 0,045 M3 30 19 5,50 11,2 2,2 0,30 B3 30 19 4,62 9,8 4,3 0,034 M4 750 22 6,09 10,3 3,1 0,030 B4 750 22 5,87 8,7 3,9 0,013 M5 30 32 6,09 22 1,8 0,31 B5 30 32 5,09 19 2,7 0,038 B6 - 32 7.10 22 1.6 0,031 CuAl Nb/Al FIG. 1: (Color en línea) Un esquema de las muestras suspendidas y el circuito de medición. Las líneas rojas son el metal normal Cu, gris claro Al para SINIS-junciones y gris oscuro Al o Nb para SN-junctions. Utilizamos la técnica del electrón en caliente [3] para medir la Interacción e-p mediante el sobrecalentamiento de los electrones por el calor de Joule potencia P y la medición del electrón tempera- tura Te. Todas las muestras tenían dos aislados eléctricamente Cu cables de metal normales uno al lado del otro (Fig. 1). Los alambre más largo (L = 500μm) se calentó aplicando un tensión de rampa a través del par de Nb superconductores (o Al) conduce en contacto metálico directo a Cu, formando Uniones SN. Estas uniones proporcionan un excelente electri- cal, pero muy mala conducción térmica debido a Andreev reflexión, ya que las uniones están sesgadas dentro de la super- llevar a cabo la brecha. Por lo tanto, debido a la falta de sión de electrones y la larga longitud del cable, entrada el calor se distribuye uniformemente en el interior del alambre y el gas electrónico se enfría dominantemente por los fonones, in- en lugar de difusivamente [18] o por fotones térmicos [19]. Desde L >> Le−e, la longitud de dispersión electrón-electrón, elec- La temperatura del tron también está bien definida sin complica- ciones de no-equilibrio [20]. En nuestra geometría de muestra la temperatura del electrón se mide con dos adicionales Al conduce formando un par de uniones de túnel NIS (SINIS) en el centro del alambre calentado, en función de la entrada Joule potencia P = IV medida en una configuración de cuatro sondas. El propósito del cable corto Cu, con el si- NIS termómetro en él, es para dar una estimación de la local temperatura del fonón Tp, ya que el flujo de potencia de e-p depende en Te y Tp. El termómetro Al SINIS es ideal adecuado para medir la temperatura por debajo de unos pocos Kelvins, [2] debido a su alta sensibilidad (en nuestra medición de CC + 0.1 mK a 0,1 K) y disipación de baja potencia. Además, para todos los datos aquí, el voltaje de SINIS vs. temperatura la respuesta sigue la teoría de BCS sin eters muy exactamente por lo menos hasta 0,2 K, donde típicamente la saturación se pone en. Esta saturación depende de la fuerza de la interacción e-p (tamaño del termómetro) y tipo de sustrato) y la cantidad de filtrado, y por lo tanto, concluimos que lo más probable es que sea causada por calefacción por ruido. Por esta razón tomamos la mayoría de conser- enfoque vativo y asumir que toda la saturación es causada por ella, en cuyo caso podemos utilizar la teoría BCS para convertir los datos de tensión medidos para todas las temperaturas. Incluso si los electrones pierden su energía abrumadoramente a los fonones en nuestra geometría de muestra, todavía es pos- sible que la temperatura medida no sólo disuade- minada por la interacción e-p. Esto se debe a que la emisión Los fonones podrían ser removidos tan ineficazmente de la mem- brane que la transmisión del fonón se convierte en un cuello de botella para el flujo de energía. Dispersión a granel de los fonones a baja las temperaturas son muy débiles [7], incluso para los delgados desordenados membranas [21], al igual que la resistencia de los bordes para las películas delgadas en sustratos a granel [22, 23]. Por el contrario, casi no- ing cuantitativa se conoce sobre la resistencia de los límites entre una fina película metálica y una fina membrana 2D, o entre una fina membrana 2D y un sustrato a granel. ¿Cómo...? nunca, parece claro que si la película de metal combinada y espesor de membrana está por debajo de la longitud de onda térmica de los fonones, los modos de fonón en los dos materiales son muy acoplado, lo que conduce a una ausencia efectiva de resistencia a los límites. Por lo tanto, si comprobamos que el mem- temperatura de la brana Tp no es demasiado alta en comparación con Te (suficiente eliminación de fonon caliente), podemos ser confi- abolladura que la medida Te refleja la interacción e-p. La figura 2 muestra el resultado principal de las mediciones, con Te y Tp trazados frente a la densidad de potencia de calefacción p = P/V para todos los espesores de membrana (30 nm, 200 nm) y 750 nm). Además, los datos de unos pocos represen- se muestran muestras a granel. En comparación con el cor- muestra de sustrato a granel (B4), Te de los 750 membrana nm (M4) no muestra ninguna diferencia en absoluto, y se comporta efectivamente como masa. Esto es razonable, porque para la membrana de 750 nm la dimensión estimada ity temperatura cruzada [24, 25] Tcr = ~ct/(2kBd) es + 30 mK, con ct = 6200 m/s para SiN. El fonón las temperaturas Tp, sin embargo, muestran una gran diferencia: 0,1 1 10 100 1000 de M3 T de M2 de M4 T de B1-B6 de M1 de M2 de M4 de B1 y B2 de B4 Densidad de potencia de calefacción [pW / ( m)3] FIG. 2: (Color en línea) Medido electrón y tem- peratures Te y Tp versus la densidad de potencia de calefacción aplicada en escala de log-log. Las muestras a granel casi no muestran respuesta de la satura- valor del termómetro + 190 mK, mientras que el valor del termómetro + 190 mK Los fonones de membrana se calientan mensurablemente, lo más probable es que se deban a la resistencia del límite entre la membrana y el volumen. Sin embargo, este aumento en Tp para todos los sam- ples es lo suficientemente pequeño como para no influir en la interacción e-p. Para la membrana de 200 nm de espesor (M2) (Tcr + 110 mK), a baja densidad de potencia de calefacción [p < 40 pW/(μm)3], la dependencia de la temperatura sigue el comportamiento de la masa muestra (B2), aunque con una diferencia en la valor. Esto demuestra que la resistencia del acoplamiento e-p se debilita en comparación con el volumen. En los poderes superiores y temperaturas (p > 40 pW/(μm)3, donde Te > 0,6 K), Te comienza a aumentar más rápidamente en la membrana sam- ble, lo más probable debido a los efectos de resistencia de los límites. Los fonones en la muestra de membrana de 30 nm de espesor (M1) se espera que esté en el límite 2D a bajas temperaturas (Tcr 0.5K), y una señal clara de esto se puede ver en Fig. 2 como un comportamiento fuertemente diferente de la medida Te vs. curva p con respecto a todas las demás muestras. A continuación • 6 pW/(μm)3 el acoplamiento e-p es notablemente más fuerte (Te inferior) que en el volumen correspondiente (B1) o en cualquier otro muestra, pero de nuevo a las temperaturas más altas la influencia de otros efectos comienza a dominar sobre el acoplamiento e-p. Para estudiar la dependencia de la temperatura de los datos en Fig. 2 con más precisión, trazamos la deriva logarítmica- tivos d(log p)/d(logTe) en la Fig. 3 a) a c). Para bajas temperaturas... poderes de ing (T ne >> T p ) Pe−p T e, donde n es la ley de poder de la interacción e-p, por lo tanto en ese régimen d(log p)/d(logTe) = n. Típicamente este exponente es n para películas metálicas más gruesas (t > 30 nm) sobre sustratos a granel [3, 4, 17], si el trastorno en la película no es demasiado fuerte [26, 27, 28]. De Fig. 3 a) En primer lugar vemos que para la muestra de membrana M1 de 30 nm, la diferencia la muestra a granel B1 es muy clara. Los datos M1 tienen un 0,1 1 10 100 1000 M1 B1 M2 B2 M4 B4 Densidad de potencia de calefacción [pW / ( m)3] FIG. 3: (Color en línea) Derivados logarítmicos numéricos de los datos medidos en la Fig. 2. a) Te datos de M1 y B1, b) Te datos para M2 y B2, c) Te datos para M4 y B4. 4,5 entre p = 0,1 - 6 pW/(μm)3, mientras que para B1, n disminuye continuamente de val- ues. Tenga en cuenta que el fuerte aumento de d(log p)/d(logTe) debajo de p • 0,1 pW/(μm)3 es causada por la saturación de la medida Te, y no por la interacción e-p. El punto donde n comienza a desviarse de n = 4,5 cor- te responde a Te 0.4 K, que es sorprendentemente consistente con el Tcr estimado de 0,5 K. En contraste, el tempera- dependencia de la membrana de 200 nm (M2) y a granel (B2) muestras [fig. 3 b)] son idénticos entre sí y con la muestra a granel de 30 nm (B1), siempre que La interacción e-p es dominante (hasta 40 pW/(μm)3). Los 750 nm de membrana (M4) y muestras a granel (B4) también dan valores idénticos de n [Fig. 3 c)]. La diferencia entre Los pares de muestras M4, B4 y M2, B2 son causados por el alambre de Cu espesor, que se espera que influya en la temperatura dependencia fuerte [16, 27]. Finalmente, discutimos el efecto del espesor del alambre de Cu sobre la interacción e-p medida. Los resultados de la muestras de membrana de 30 nm más delgadas, con espesor de Cu t = 14,19 y 32 nm se muestran en las figuras 4 a) y c). Es evidente que el espesor de la película de metal tiene sólo un efecto menor sobre la interacción e-p sobre las membranas delgadas, y sólo influye en la resistencia de los límites en el 3D límite, aumentando su efecto para t más gruesa, como se esperaba. No obstante, en el caso de los alambres sobre sustratos a granel, figs 4 b) y d), el efecto del espesor del alambre de Cu en la interacción e-p es más profundo. Cuanto más delgada es la película de Cu, más dependencia de la temperatura se desvía de n = 5, que, para comparación, se observa para una t más típica = 32 nm Alambre de Cu en Si oxidada (B6). Este comportamiento es qualita... 0,1 1 10 100 1000 0,1 1 10 100 1000 a) b) Densidad de potencia de calefacción [pW /( m)3] FIG. 4: (Color en línea) (a) Te versus p = P/V para 30 nm mem- muestras de salvado M1, M3, M5. b) Te frente a p en el caso de las muestras a granel, de arriba a abajo B1 (arriba), B3, B5 y B6 (abajo). c) d(log p)/d(log T) de los datos en (a). d) d(log p)/d(log T) de los datos de la letra b). De arriba a abajo: línea verde B1 (arriba), magenta B3, azul B5, rojo B6 (abajo). En d) el ruido ha filtrada para ayudar al ojo. Coherente con el efecto predicho de la superficie modos de fonón [16], pero también podría depender de la disor- der, a medida que el engrosamiento de la película aumenta la media libre vía l (Tabla I) y empuja la muestra más cerca de la zona limpia límite. Un exponente aparente tan alto como 7 podría... ser explicada por la combinación de un trastorno fuerte y los modos de superficie, pero una vez más, la teoría detallada falta. En conclusión, hemos obtenido la primera prueba clara que la interacción electrón-fonón a baja temperatura- las ciones cambian bastante significativamente cuando los modos de fonón se vuelven bidimensionales. Para cuantificar los efectos, el Tiempos de relajación térmica de electrones  = γV Te/(dP/dTe), donde γ = 100 J/K2m3 para Cu, se presentan en el cuadro I para todas las muestras a dos temperaturas Te = 0,2 y 0,8 K. En Te < 0,5 K, las membranas más delgadas pueden tener un un efecto de refuerzo factor 2-3, mientras que a la relajación térmica de las membranas puede ser un orden de magnitud más débil que las muestras a granel. La membrana cercana a la región de transición (d=200 nm) fue muestra tener una interacción más débil (+ factor de dos) e-p resistencia que las muestras a granel. Adelgazamiento de la película de metal en sustratos a granel conduce también a un debilitamiento considerable de la interacción e-p. El exponente de la ley de poder observada para el límite 2D es consistente con n • 4.5, y es mucho menor que el exponente a granel correspondiente n = 6.7. Una reducción por más de un factor uno da evi- de la importancia del Cordero flexible y dispersivo modos para la interacción de la membrana electrón-fonón, en acuerdo con la teoría [9, 10]. Conversaciones con T. Kühn y A. Sergeev y Se reconoce la asistencia técnica de H. Niiranen. Esto el proyecto de la Academia de Finlandia Nos. 118665 y 118231, y por la Academia Finlandesa de las Ciencias y las Letras (J.T.K.). [1] V. F. Gantmakher, Rep. Prog. Phys. 37, 317 (1974). [2] F. Giazotto y otros, Rev. Mod. Phys. 78, 217 (2006). [3] M. L. Roukes et al., Phys. Rev. Lett. 55, 422 (1985). [4] F. C. Wellstood, C. Urbina, y J. Clarke, Phys. Rev. B 49, 5942 (1994). [5] M. Kanskar y M. N. Wybourne, Phys. Rev. Lett. 73, 2123 (1994). [6] D. R. Schmidt, C. S. Yung, y A. N. Cleland, Phys. Rev. B 69, 140301 (2004). [7] A. N. Cleland, Fundamentos de la nanomecánica, Springer, Berlín (2003). [8] D. Belitz y S. Das Sarma, Phys. Rev. B 36, 7701 (1987). [9] K. Johnson, M. N. Wybourne y N. Perrin, Phys. Rev. B 50, 2035 (1994). [10] B. A. Glavin et al., Phys. Rev. B 65, 205315 (2002). [11] J. F. DiTusa y otros, Phys. Rev. Lett. 68, 1156 (1992). [12] Y. K. Kwong y otros, J. Baja temperatura. Phys. 88, 261 (1992). [13] J. M. Rowell y D. C. Tsui, Phys. Rev. B 14, 2456 (1976). [14] B. A. 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Bursting Dynamics of the 3D Euler Equations in Cylindrical Domains

Dinámica de arranque de las ecuaciones 3D Euler en los dominios cilíndricos François Golse* † Ecole Polytechnique, CMLS 91128 Palaiseau Cedex, Francia Alex Mahalov y Basil Nicolaenko § Departamento de Matemáticas y Estadística Arizona State University Tempe, AZ 85287-1804, USA Resumen Una clase de datos iniciales tridimensionales caracterizados por gran vorticidad se considera para las ecuaciones incompresibles 3D Euler en dominios cilíndricos delimitados. Los límites oscilantes rápidos singulares de la Las ecuaciones de Euler 3D se investigan para la cilina parametralmente resonante- ders. Las resonancias de ondas Beltrami oscilantes rápidas agotan el Euler no linealidad. Estas ondas son soluciones exactas de la 3D Euler ecuaciones. Construimos los sistemas resonantes 3D Euler; estos últimos son Contable sin acoplar y acoplado SO(3;C) y SO(3;R) cuerpo rígido sistemas. Conservan energía y helicidad. El resonante 3D Eu- los sistemas están investidos de dinámica de explosión, donde la relación de la enstrophy en el momento t = t* a la enstrophy en t = 0 de algunos notables órbitas se vuelve muy grande para tiempos muy pequeños t*; similarmente para mayores normas Hs, s ≥ 2. Estas órbitas están topológicamente cerca de la homoclinica. ciclos. Para los intervalos de tiempo en los que las normas de Hs, s ≥ 7/2 del límite órbitas resonantes no explotan, probamos que el completo Euler 3D equa- ciones poseen soluciones suaves cerca de las órbitas resonantes uniformemente en normas estrictas. Palabras clave: Ecuaciones incompresibles de Euler, fluidos rotativos, cuerpo rígido Dinámicas, explosiones de enstrofia MSC: 35Q35, 76B03, 76U05 *golse@math.polytechnique.fr † y Laboratoire J.-L. Lions, Université Paris Diderot-Paris 7 ‡mahalov@asu.edu §byn@stokes.la.asu.edu http://arxiv.org/abs/0704.0337v1 1 Introducción Las cuestiones de la explosión de soluciones suaves y las singularidades de tiempo finito de el campo de vorticidad para las ecuaciones incompresibles de Euler en 3D sigue siendo un importante problema abierto. El problema de Cauchy en 3D cilíndrico aximétrico limitado dominios está atrayendo considerable atención: con límites, suave, no- datos iniciales axiemmétricos en 3D, bajo las limitaciones de conservación de energía, ¿puede el campo de vórtices explotar en tiempo finito? Extraordinario numeri- Reclamos de cal para esto han sido recientemente desprobados [Ke], [Hou1], [Hou2]. Los Criterio analítico clásico de Beale-Kato-Majda [B-K-M] para no soplar en el tiempo finito requiere la integrabilidad del tiempo de la norma de la vorticidad L. DiPerna y Leones [Li] han dado ejemplos de soluciones débiles globales de la Ecuaciones 3D Euler que son suaves (de ahí únicas) si las condiciones iniciales son suaves (específicamente en W1,p(D), p > 1). Sin embargo, estos flujos son realmente 2-Dimensional en x1, x2, flujos de 3 componentes, independiente de la tercera co- ordenar x3. Sus ejemplos [DiPe-Li] muestran que las soluciones (incluso las suaves) de las ecuaciones 3D Euler no se puede estimar en W1,p para 1 < p en cualquier intervalo de tiempo (0, T ) si se supone que los datos iniciales sólo están limitados en W1,p. Teoremas clásicos de la existencia local en dominios 3D limitados o periódicos por Kato [Ka], Bourguignon-Brézis [Bou-Br] y Yudovich [Yu1], [Yu2] requieren algunos suavidad mínima para las condiciones iniciales (IC), por ejemplo, en Hs(D), s > 5 La formulación clásica para las ecuaciones de Euler es V = p, V = 0, (1.1) V ·N = 0 en el punto D, (1.2) donde ŁD es el límite de un dominio D limitado, conectado, N el normal a D, V(t, y) = (V1, V2, V3) el campo de velocidad, y = (y1, y2, y3), y p es la presión. La forma equivalente de Lamé [Ar-Khe] ­tV + curlV ×V = 0, (1,3) • ·V = 0, (1.4) En el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. • = curlV, (1.5b) implica la conservación de la energía: E(t) = V(t, y)2 dy. (1.6) La helicidad Hel(t) [Ar-Khe], [Mof], se conserva: Hel(t) = V · • dy, (1.7) para D = R3 y cuando D es una celosía periódica. Helicidad también se conserva para dominios cilíndricos, siempre que N = 0 en el borde lateral del cilindro at t = 0 (véase [M-N-B-G]). Desde el punto de vista teórico, la principal dificultad en el análisis de las ecuaciones de Euler 3D se debe a la presencia del término de estiramiento del vórtice V en la ecuación de vórticidad (1.5a). Las ecuaciones (1.3) y (1.5a) son: equivalente a: En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. donde [a, b] = rizado (a × b) es el conmutador en la mentira dimensional infinita álgebra de campos vectoriales libres de divergencias [Ar-Khe]. Este punto de vista ha llevado a celebrado desarrollos en Métodos Topológicos en Hidrodinámica [Ar-Khe], [Mof]. La sorprendente analogía entre las ecuaciones de Euler para la hidrodinámica y las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido (esta última asociada a la mentira Álgebra del grupo de Lie SO(3,R) ya había sido señalado por Moreau [Mor1]; Moreau fue el primero en demostrar la conservación de la Helicidad (1961) [Mor2]. Esto ha dado lugar a amplias especulaciones en qué medida/en qué casos son las soluciones de las ecuaciones 3D Euler “cerca” a las de 3D rígido acoplado ecuaciones corporales en algún sentido asintótico. Recordemos que las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido en R3 es: mt + • ×m = 0, m = A•, (1.9a) mt + [­,m] = 0, (1,9b) donde m es el vector del momento angular en relación con el cuerpo, velocidad angular en el cuerpo y A el operador de inercia [Ar1], [Ar-Khe]. La escuela rusa de Gledzer, Dolzhansky, Obukhov [G-D-O] y Vishik [Vish] ha investigado ampliamente los sistemas dinámicos de tipo hidrodinámico y sus aplicaciones. Se han considerado modelos hidrodinámicos construidos sobre sistemas de cuerpo rígido generalizados en SO(n,R), siguiendo a Manakhov [Hombre]. Inspirados en la física de turbulencias, han investigado sistemas dinámicos Los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de control de los sistemas de control de control de la calidad de la calidad de la calidad de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de control de control de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de control de control de control de control de control de control de control de control de los sistemas de los sistemas de la calidad de la calidad de la calidad de los sistemas de los sistemas de la calidad de los sistemas de la calidad de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de los sistemas de control de control de control de control de los sistemas de control de control de los sistemas de control de control de control de los sistemas de control de control de control de control de control de sólo conservar la energía, no la helicidad. Para hacer frente a esto, han construido y estudiados en profundidad sistemas dinámicos n-dimensionales con homogeneidad cuadrática no linealidades neous y dos primeras integrales cuadráticas F1, F2. Tales sistemas se puede escribir usando sumas de paréntesis Poisson: i2,..., en "i1i2...inpi4...in" − F1 , (1.10) donde las constantes pi4... en son antisimétricas en i4,..., en. Se introdujo una versión simple de tal sistema hidrodinámico cuadrático por Gledzer [Gl1] en 1973. Un tema profundamente abierto de la labor de la Gledzer- La escuela de Obukhov es si realmente existen clases de I.C. para el 3D Cauchy El problema de Euler (1.1) para el cual las soluciones son realmente asintóticamente cercanas en norma fuerte, en intervalos de tiempo arbitrarios grandes a las soluciones de tal hidro- sistemas dinámicos, con la conservación de la energía y la helice. Otro no resuelto es la explosión o la regularidad mundial para la “enstrófia” de sistemas cuando su dimensión n→. Este artículo revisa algunos nuevos resultados actuales de un programa de investigación en el espíritu de la escuela Gledzer-Obukhov; este programa se desarrolla en la re- sults de [M-N-B-G] para 3D Euler en dominios cilíndricos delimitados. A continuación el enfoque original de [B-M-N1]-[B-M-N4] en los dominios periódicos, [M-N-B-G] probar la no explosión de las ecuaciones incompresibles 3D Euler para una clase de datos iniciales tridimensionales caracterizados por una vorticidad uniformemente grande en dominios cilíndricos delimitados. No hay suposiciones condicionales sobre el las propiedades de las soluciones en los últimos tiempos, ni las soluciones globales están cerca de algún colector 2D. El estiramiento inicial del vórtice es grande. El enfoque de la prueba de la regularidad se basa en la investigación de los límites oscilantes singulares rápidos y métodos de promedio no lineal en el contexto de funciones casi periódicas [Bo-Mi], [Bes], [Cor]. Herramientas de análisis armónico basadas en funciones propias de rizos y los valores propios son cruciales. Uno establece la regularidad global de la 3D limitar las ecuaciones resonantes de Euler sin ninguna restricción en el tamaño de 3D inicial datos. Las ecuaciones resonantes de Euler se caracterizan por un non-lin- De la oreja. Después de establecer una fuerte convergencia a las ecuaciones resonantes límite, un bootstraps esto en la regularidad en intervalos de tiempo grandes arbitrarios de la soluciones de Ecuaciones Euler 3D con vórtices uniformemente grandes y alineadas débilmente at t = 0. Los teoremas [M-N-B-G] se sostienen para dominios cilíndricos genéricos, para un conjunto de las relaciones altura/radio de la medida completa de Lebesgue. Para tales cilindros, el 3D límite resonante Euler ecuaciones están restringidos a dos ondas de resonancias de la vorticity ondas y están investidos con un número contable infinito de nuevas con- Leyes de servación. Estos últimos son invariantes adiabáticos para el original 3D Euler ecuaciones. Existen resonancias de tres ondas para un conjunto no vacío de h/R (h) altura, radio R del cilindro) y además se acumulan en el límite de Escamas verticales (axiales) que desaparecen de forma muy pequeña. Esto es parecido a las lenguas de Arnold [Ar2] para las ecuaciones Mathieu-Hill y plantea cuestiones no triviales de posible pecado- gularidades/falta de ellas para dinámicas gobernadas por infinitas tríadas resonantes a escamas axiales muy pequeñas. En este contexto, el resonante 3D Euler Las ecuaciones conservan la energía y la helicidad del campo. En esta revisión, consideramos dominios cilíndricos con resonancias paramétricas en h/R e investigar en profundidad la estructura y dinámica de la resonante 3D Sistemas Euler. Se ha demostrado que estas resonancias paramétricas en h/R no son Vacío. Soluciones a ecuaciones de Euler con vorticidad inicial uniformemente grande son expandido a lo largo de una base completa de ondas oscilantes elementales (T2 en el tiempo). Cada onda de vorticidad cuasiperiódica y dispersiva es un Beltrami cuasiperiódico flujo; estas son soluciones exactas de ecuaciones de Euler 3D con vórtices paralelas a velocidad. No hay truncaciones tipo Galerkin en la descomposición de el campo completo de Euler 3D. Las ecuaciones de Euler, restringidas a trillizos resonantes de estas ondas Beltrami dispersivas, determinan los “sistemas Euler resonantes”. Los se ha demostrado el “bloque básico de construcción” de estos sistemas (a priori-dimensionales) Sistemas de carrocería rígidos SO(3;C) y SO(3;R): Uâ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. UnUk = 0 U­n + (­*k ­ ­m)UkUm = 0 (1.11) Estos son valores propios del operador de rizos en el cilindro, rizos = nn; las funciones rizo eigen son corrientes primarias Beltrami constantes, y las ondas dispersivas Beltrami oscilan con las frecuencias ± h , n3 ver- Número de onda tica (cizalla vertical), 0 < ≤ < 1. Los físicos [Ch-Ch-Ey-H] tienen ha demostrado computacionalmente el impacto físico de la polarización de modos trami sobre la intermitencia en la cascada conjunta de la energía y la helicidad en turbulencia. Otro “bloque de construcción” para los sistemas resonantes Euler es un par de SO(3;C) o SO(3;R) cuerpos rígidos acoplados a través de un eje principal común de inercia/mo- de inercia: k = (1.12a) m = (1.12b) n = (k − m = (1.12d) k = (1.12e) donde los parámetros y son en R definidos en el Teorema 4.10. Los dos reso- Los sistemas nant (1.11) y (1.12) conservan la energía y la helicidad. Lo demostramos. la dinámica de estos sistemas resonantes admite familias equivariantes de homo- ciclos clínicos que conectan puntos críticos hiperbólicos. Demostramos que estallamos dinámica: la relación u(t)2Hs/u(0)2Hs, s ≥ 1 puede estallar arbitrariamente grandes en tiempos arbitrariamente pequeños, para bien elegido para- resonancias de dominio métricas h/R. Toma. u(t)2Hs = 2sun(t)2. (1.13) El caso s = 1 es la enstrofia. Las órbitas de “embotellamiento” están topológicamente cercanas a los ciclos homoclínicos. ¿Son tales dinámicas para los sistemas resonantes relevantes para el Euler 3D completo? ecuaciones (1.1)-(1.8)? La respuesta está en la siguiente crucial “sombrear” Teorema 2.10. Dadas las mismas condiciones iniciales, dado el tiempo máximo intervalo 0 ≤ t < Tm donde la órbita resonante de las ecuaciones de Euler resonante no explotar, entonces la norma fuerte Hs de la diferencia entre el exacto La órbita de Euler y la órbita resonante son uniformemente pequeñas en 0 ≤ t < Tm, siempre que que la vorticidad de la I.C. es lo suficientemente grande. Paradójicamente, cuanto más grande es el vórtice streching de la I.C., mejor la aproximación uniforme. Así de profundo. resultado se basa en la cancelación de oscilaciones rápidas en normas fuertes, en el contexto de funciones casi periódicas del tiempo con valores en espacios Banach (Sección 4 de [M-N-B-G]). Incluye aproximación uniforme en los espacios Hs, s > 5/2. Por ejemplo, dada una órbita cuasiperiódica en algún momento torus Tl para los resonantes sistemas Euler, las soluciones exactas a las ecuaciones Euler permanecer cerca de la órbita cuasiperiódica resonante en un intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ maxTi, 1 ≤ i ≤ l, periodos elementales de Ti, para una vórticidad inicial suficientemente grande. Si órbitas de los resonantes sistemas Euler admiten la dinámica de explosión en el fuerte normas Hs, s ≥ 7/2, así como algunas soluciones exactas de las ecuaciones completas de Euler 3D, para cilindros parametralmente resonantes correctamente elegidos. 2 Ondas de virticidad y resonancias de elemen- Flujos de remolino lentos Estudiamos el problema de valor inicial para las ecuaciones de Euler tridimensionales con datos iniciales caracterizados por una vorticidad uniformemente grande: V = p, V = 0, (2.1) V(t, y)t=0 = V(0) = 0(y) + e3 × y (2.2) donde y = (y1, y2, y3), V(t, y) = (V1, V2, V3) es el campo de velocidad y p es el presión. En Eqs. (1.1) e3 denota el vector de la unidad vertical y  es una constante parámetro. El campo 0(y) depende de tres variables y1, y2 e y3. Desde curl(l) e3 × y) = Łe3, el vector de vorticidad en el momento inicial t = 0 es curlV(0, y) = curl0(y) + ♥e3, (2.3) y la vorticidad inicial tiene un componente grande débilmente alineado a lo largo de e3, cuando >> >> 1. Estos son datos iniciales de gran tamaño totalmente tridimensionales con grandes iniciales Estiramiento del vórtice 3D. Denotamos por Hsđ el habitual espacio Sobolev de solenoidal campos vectoriales. El flujo de base Vs(y) = e3 × y, curlVs(y) = ♥e3 (2.4) se denomina flujo de giro constante y es una solución en estado estacionario (1.1)-(1.4), como curl(e3×Vs(y)) = 0. En (2.2) y (2.3), consideramos I.C. que son un arbi- la perturbación (no pequeña) del flujo de giro de la base Vs(y) e introducir V(t, y) = e3 × y + (t, y), (2.5) curlV(t, y) = ♥e3 + curl(t, y), (2.6) t + curl e3 × + rilVs(y) p′ = 0, · = 0, (2.7) (t, y)t=0 = 0(y). (2.8) Eqs. (2.1) y (2.7) se estudian en dominios cilíndricos C = {(y1, y2, y3) R3 : 0 < y3 < 2η/α, y21 + y22 < R2} (2.9) donde α y R son números reales positivos. Si h es la altura del cilindro, α = 2η/h. Vamos. * = {(y1, y2, y3) * R3: 0 < y3 < 2η/α, y21 + y22 = R2}. (2.10) Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que R = 1. Eqs. (2.1) son consid- con condiciones de frontera periódicas en y3 V(y1, y2, y3) = V(y1, y2, y3 + 2η/α) (2.11) y la desaparición del componente normal de la velocidad en V ·N = ·N = 0 on Ł; (2.12) donde N es el vector normal a فارسى. De la invarianza de las ecuaciones de Euler 3D bajo la simetría y3 → −y3, V1 → V1, V2 → V2, V3 → −V3, todos los resultados en Este artículo se extiende a dominios cilíndricos delimitados por dos placas horizontales. A continuación, las condiciones de límite en la dirección vertical son flujo cero en el límites verticales (velocidad vertical cero en las placas). Sólo hay que hacerlo. restringir campos vectoriales a ser incluso en y3 para V1, V2 e impar en y3 para V3, y doble el dominio cilíndrico a −h ≤ y3 ≤ +h. Elegimos 0(y) en H s(C), s > 5/2. En [M-N-B-G], en el caso de cilindros resonantes”, es decir, no-resonantes α = 2η/h, hemos establecido regularidad para tiempos finitos arbitrariamente grandes para las soluciones 3D Euler para grande, pero finito. Nuestras soluciones no son cercanas en ningún sentido a las del 2D o “quasi 2D” Euler y se caracterizan por oscilaciones rápidas en el e3 dirección, junto con un gran vórtice estiramiento término V(t, y) · V(t, y) = 1 , t ≥ 0 con componente principal V(t, y) • 1. No hay hipótesis sobre oscilaciones en y1, y2 para nuestras soluciones (ni para la condición inicial 0(y)). Nuestro enfoque se basa enteramente en límites oscilantes rápidos y singulares de Eqs. (1.1)-(1.5a), promedio no lineal y cancelación de oscilaciones en el Interacciones no lineales para el campo de vorticidad para el campo grande. Esto ha sido un gran... oped en [B-M-N2], [B-M-N3], y [B-M-N4] para los casos de celosía periódica dominios y el espacio infinito R3. Es bien sabido que las condiciones iniciales totalmente tridimensionales con uni- vorticidad muy grande excita las rápidas ondas de vorticidad de Poincaré [B-M-N2], [B-M-N3], [B-M-N4], [Poi]. Dado que los modos individuales de onda Poincaré están relacionados con el funciones propias del operador de rizos, son soluciones exactas dependientes del tiempo de las ecuaciones no lineales completas de Euler 3D. Por supuesto, su superposición lineal no conserva esta propiedad. Ampliando las soluciones de (2.1) a (2.8) a lo largo de tales las ondas de vorticidad demuestran resonancias no lineales potenciales de tales ondas. Primero recordar las propiedades espectrales del operador de rizos en limitado, conectado dominios: Proposición 2.1 ([M-N-B-G]) tensión bajo las condiciones del límite de flujo cero, con un espectro real discreto N = n, n > 0 por cada n y n → El corre... sponding eigenfunctions n curln = n n (2.13) están completos en el espacio U • L2(D): • ·U = 0 y U ·ND = 0 y U dz = 0 (2.14) Observación 2.2 En los dominios cilíndricos, con coordenadas cilíndricas (r, las funciones propias admiten la representación: Φn1,n2,n3 = (Φr,n1,n2,n3(r),,n1,n2,n3(r),Φz,n1,n2,n3(r)) e in2Łeiαn3z, (2.15) con n2 = 0,±1,±2,..., n3 = ±1,±2,... y n1 = 0, 1, 2,.... Aquí n1 índices los valores propios del problema equivalente de Sturm-Liouville en el coor radial dinatos, y n = (n1, n2, n3). Véase [M-N-B-G] para más detalles técnicos. A partir de ahora en, utilizamos la variable genérica z para cualquier vertical (axial) coordenadas y3 o x3. Para n3 = 0 (mediación vertical a lo largo del eje del cilindro), 2-Dimensional, Los campos solenoidales de 3 componentes deben ampliarse a lo largo de una base completa para campos derivados de funciones de flujo 2D: curl(­ne3), ­ne3 , ln = ln(r, l), n = μnŁn, n = 0, y curlΦn = curl(­ne3), μn­·ne3 a, be3 denota un vector de 3 componentes cuya proyección horizontal es a y proyección vertical es be3. Vamos a explicitar los flujos elementales de ondas giratorias que son soluciones exactas a (2.1) y (2.7): Lemma 2.3 Por cada n = (n1, n2, n3), la siguiente cuasiperiódica (T tiempo) los campos solenoidales son la solución exacta de la solución completa 3D no lineal Euler equa- ciones (2.1): V(t, y) = e3 × y + exp( Jt)Φn(exp(− Jt)y) exp(±i t), (2.16) n3 es el número de onda vertical de Φn y exp( Jt) el grupo unitario de rígidos rotaciones corporales: 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 , eJt/2 = cos(t ) − pecado sin(l)t ) cos( 0 0 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.17) Observación 2.4 Estos campos son exactos giros cuasiperiódicos, no axisimmétricos soluciones de flujo de las ecuaciones 3D Euler. Para n3 6= 0, sus segundos componentes (t, y) = exp( Jt)Φn(exp(− Jt)y) exp(± in3 t) (2.18) son los flujos de Beltrami (curl 0) soluciones exactas de 2,7) con (t = 0, y) = Φn(y). (t, y) en Eq. (2.18) son ondas dispersivas con frecuencias y n3n, donde α = 2 . Por otra parte, cada (t, y) es una onda de viaje a lo largo del cilindro eje, ya que contiene el factor iαn3(±z ± Tenga en cuenta que n3 grande corresponde a pequeñas escalas axiales (vertical), aunque 0 ≤ n3/đn ≤ 1. Prueba de Lemma 2.3. A través de la transformación canónica del cuerpo rígido para tanto el campo V(t, y) como las coordenadas espaciales y = (y1, y2, y3): V(t, y) = eJt/2U(t, eJt/2y) + Jy, x = eJt/2y, (2.19) las ecuaciones 3D Euler (2.1), (2.2) se transforman en: (curlUe3)×U = (x12 + x22) + , (2.20) • ·U = 0, U(t, x)t=0 = U(0) = 0(x), (2.21) Para Beltrami fluye de tal manera que curlU×U 0, estas ecuaciones de Euler (2.20)- (2.21) en un marco giratorio reducir a: 3 ×U = 0, ·U = 0, que son idénticos a las ecuaciones de onda no local de Poincaré-Sobolev en el cilindro [M-N-B-G], [Poi], [Sob], [Ar-Khe]: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ril22 ♥ • = 0, • ·ND = 0. (2.23) Basta con comprobar que los flujos de Beltrami n(t, x) = Φn(x) exp ±iαn3nt donde n (x) y n son funciones eigen rizos y valores propios, son exactos soluciones a la ecuación de onda Poincaré-Sobolev, en un marco de rotación de referencia. Nota 2.5 El espectro de frecuencias de las ondas de vorticidad de Poincaré (solu- ciones a (2.22) es exactamente ±iαn3n, n = (n1, n2, n3) indexando el espectro de rizos. Tenga en cuenta que n3 = 0 (frecuencia cero de ondas giratorias) corresponde a 2-Dimensional, 3-Componentes campos de vectores solenoidales. Ahora transformamos el problema Cauchy para las ecuaciones 3D Euler (2.1)- (2.2) en un sistema dinámico no lineal dimensional infinito expandiéndose V(t, y) a lo largo de los flujos de onda giratoria (2.16)-(2.18): V(t, y) = e3 × y (2.24a) + exp n=(n1,n2,n3) un(t) exp (2.24b) V(t = 0, y) = e3 × y + 0(y) (2.24c) 0(y) = n=(n1,n2,n3) un(0)Φn(y), (2.24d) donde Φn denota las funciones propias del rizo de la Proposición 2.1 si n3 6= 0, y curl(­ne3), ­ne3 si n3 = 0 (caso 2D, Observación 2.2). A medida que nos centramos en el caso donde la helicidad se conserva para (2.1)-(2.2), nosotros considerar la clase de datos iniciales 0 tal que [M-N-B-G]: ril0 ·N = 0 en el caso de los productos, donde • es el límite lateral del cilindro. El sistema dinámico dimensional infinito es entonces equivalente al 3D Ecuaciones de Euler (2.1)-(2.2) en el cilindro, con n = (n1, n2, n3) que van más allá todo el espectro de rizos, por ejemplo.: k3+m3=n3 k2+m2=n2 × < curlΦk m,Φn > uk(t)um(t) (2.25) curlk = kΦ k si k3 6= 0, curlΦk = curl(­ke3), μk­ke3 si k3 = 0 (2D, 3 componentes, Observación 2.2), similarmente para m3 = 0 y n3 = 0. El interior producto <, > denota el producto interior de valor complejo L2 en D. Este es un sistema dimensional infinito de ecuaciones acopladas con cuadrática no linealidades, que conservan tanto la energía E(t) = un(t)2 y la helicidad Hel(t) = n u±n (t)2. Las no linealidades cuadráticas se dividieron en términos resonantes donde el exponencial factor de fase oscilante en (2.25) reduce a unidad y oscilación rápida no- términos resonantes ( >> 1). El conjunto de resonantes K se define en términos de vertical Números de onda k3, m3, n3 y valores propios k, m, n de rizo: K = k3 = 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2}. (2.27) Aquí k2,m2, n2 son números de onda azimutales. Llamaremos a las “ecuaciones resonantes de Euler” las siguientes: sistema dinámico restringido a (k,m, n) + K: (k,m,n) < curlΦk m,Φn > ukum = 0, (2,28a) un(0) 0,Φn >, (2.28b) aquí curlk = kΦ k si k3 6= 0, curlΦk = curl(­ke3), μk­ke3 si k3 = 0; similarmente para m3 = 0 y n3 = 0 (componentes 2D, Observación 2.2). Si hay no hay términos en (2.28a) que satisfagan las condiciones de resonancia, entonces habrá algunos modos para los que Lemma 2.6 Las ecuaciones 3D Euler resonantes (2.28) conservan ambas energías E(t) y Helicity Hel(t). La energía y la helicidad son idénticas a la de la ecuaciones completas exactas en 3D de Euler (2.1)-(2.2). El conjunto de resonancias K se estudia en profundidad en [M-N-B-G]. En resumen, K se divide en: (i ) Resonancias de onda 0, con n3 = k3 = m3 = 0; la resolución correspondiente nant ecuaciones son idénticos a los 2-Dimensional, 3-Componentes Euler ecuaciones, con I.C. 0(y1, y2, y3) dy3. ii) Resonancias de dos olas, con k3m3n3 = 0, pero dos de ellas no son nulas; las ecuaciones resonantes correspondientes (llamadas “ecuaciones catalíticas”) son probado poseer un conjunto infinito y contable de nuevas leyes de conservación [M-N-B-G]. iii) Resonancias de tres ondas estrictas para un subconjunto de K*, K. Definición 2.7 El conjunto K* de estrictas resonancias de 3 ondas es: = 0, k3m3n3 6= 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2 (2.29) Tenga en cuenta que K* está parametrizado por h/R, ya que α = 2 parametriza el eigen- Los valores de los valores de los rulos son los siguientes: n, k, m del operario de rizos. Proposición 2.8 Existe un conjunto de parámetros contables y no vacíos h , que K* 6 = فارسى. Prueba. Los detalles técnicos, junto con una declaración más precisa, son: pospuesto a la prueba de Lemma 3.7. Ejemplos concretos de hacha resonante Las ondas isimmétricas y helicoidales se discuten en [Mah] (cf. Gráfico 2 artículo). Corollary 2.9 Let 0(y1, y2, y3) dy3 = 0, es decir, media vertical cero para el I.C. 0(y) en (2.2), (2.8), (2.24d) y (2.28b). Entonces el resonante 3D Euler Las ecuaciones son invariantes en K*: (k,m,n)*K* k < Φk m,Φn > ukum = 0, k3m3n3 6= 0, (2.30a) un(0) = < 0,Φn > (2.30b) (donde 0 tiene el espectro restringido a n3 6= 0). Prueba. Este es un corolario inmediato del Teorema de la “división del operador” 3.2 en [M-N-B-G]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nosotros llamaremos a los sistemas dinámicos anteriores el "estrictamente resonante Euler sistema de las Naciones Unidas”. Este es un sistema Riccati-dimensional que conserva la energía y Helicidad. Corresponde a interacciones no lineales agotadas en K*. ¿Cómo la dinámica de las ecuaciones resonantes de Euler (2.28) o (2.30) aprox. soluciones exactas instantáneas del problema Cauchy para las ecuaciones completas de Euler en ¿Normas fuertes? Esto es respondido por el siguiente teorema, probado en la sección 4 de [M-N-B-G]: Teorema 2.10 Considere el problema del valor inicial V(t = 0, y) = e3 × y + 0(y), 0 Hs/23370/, s > 7/2 para las ecuaciones completas de Euler 3D, con 0Hs ≤M0s y curl0 ·N = 0 en el caso de • Let V(t, y) = e3 × y + (t, y) denota la solución a la exacta Euler ecuaciones. • Deje w(t, x) denotar la solución a las ecuaciones 3D Euler resonante con Condición inicial w(0, x) فارسى w(0, y) = 0(y). • Let w(t, y)Hs/23370/ ≤Ms(TM,M s ) en 0 ≤ t ≤ TM, s > 7/2. Entonces, > 0, (TM,M0s, ) de tal manera que, ≥ : (t, y)− exp un(t)e −i n3 en 0 ≤ t ≤ TM, ≥ 1, β ≤ s− 2. Aquí · Hβ se define en (1.13). El flujo de Euler en 3D preserva la condición curl0 · N = 0 en, es decir curlV(t, y) · N = 0 on Ł, por cada t ≥ 0 [M-N-B-G]. La prueba de esto “Error-sombrando” el teorema es delicado, más allá del habitual diferencial de Gronwall desigualdades e implica estimaciones de integrales oscilantes de casi funciones de tiempo con valores en espacios Banach. Su importancia radica en que las soluciones de las ecuaciones resonantes Euler (2.28) y/o (2.30) son uniformes cerca en normas fuertes a las de las ecuaciones exactas de Euler (2.1)-(2.2), en cualquier intervalo de tiempo de existencia de soluciones suaves del sistema de resonancia. Los sistemas Riccati dimensionales infinitos (2.28) y (2.30) no son sólo hidro- modelos dinámicos, pero los sistemas límite asintóticos exactos para Esto está en contraste con toda la literatura previa sobre modelos hidrodinámicos 3D conservadores, como en [G-D-O]. 3 Sistemas Euler estrictamente resonantes: el SO(3) Investigamos la estructura y la dinámica de la “estrictamente resonante Euler sistemas” (2.30). Recuerde que el conjunto de resonancias de 3 ondas es: (k,m, n): ± k3 = 0, k3m3n3 6= 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2 (3.1) A partir de las simetrías de las funciones rizo eigen Φn y valores eigen en el cilindro, las siguientes identidades mantienen bajo la transformación n2 → −n2, n3 → −n3 Φ(n1,−n2,−n3) = (n1, n2, n3), (n1,−n2,−n3) = (n1, n2, n3). (3.2) donde ∗ designa el conjugado complejo (véase la sección 3, [M-N-B-G] para detalles). Las funciones propias Φ(n1, n2, n3) implican las funciones radiales Jn2(β(n1, n2, αn3)r) y J (β(n1, n2, αn3)r), con 2(n1, n2, n3) = β 2 n1, n2, αn3) + α 2n23; β(n1, n2, αn3) son raíces discretas y contables de la ecuación (3.30) en [M-N-B-G], obtenido a través de un problema radial equivalente Sturm-Liouville. Desde el rizo eigenfunctions son incluso en r → −r, n1 → −n1, vamos a extender los índices n1 = 1, 2,..., a −n1 = −1,−2,... con la simetría radial anterior en mente. Corollario 3.1 El conjunto de resonancia de 3 ondas K* es invariante bajo la simetría- intenta j, j = 0, 1, 2, 3, donde 0(n1, n2, n3) = (n1, n2, n3), 1(n1, n2, n3) = (−n1, n2, n3), 2(n1, n2, n3) = (n1, −n2, n3) 3(n1, n2, n3) = (n1, n2, −n3). Nota 3.2 Para 0 < i ≤ 3, 0 < j ≤ 3, 0 < l ≤ 3 i 6= j y condiciones en K*. Elegimos un α para el cual el conjunto K* no está vacío. Más adelante tomaremos la hipótesis de una sola resonancia de onda triple (k,m, n), módulo las simetrías Hipótesis 3.3 K* es tal que existe un solo número de onda triple resonancia (n, k,m), modulo las simetrías j, j = 1, 2, 3 y j(k) 6= k, j(m) 6= m, j(n) 6= n para j = 2 y j = 3. Bajo la hipótesis anterior, uno puede demostrar que el estrictamente resonante El sistema Euler se divide en tres sistemas separados en C3: Teorema 3.4 Bajo la hipótesis 3.3, el sistema resonante Euler se reduce a tres sistemas de carrocería rígida sin acoplar en C3: + i(k − m)CkmnUkUm = 0 (3,3a) − i(l)m − ln)CkmnUnU*m = 0 (3,3b) − i(ln − lk)CkmnUnU*k = 0 (3,3c) donde Ckmn = i < Φk m,n >, Ckmn real y los otros dos desacoplados sistemas obtenidos con las simetrías 2(k,m, n) y 3(k,m, n). La energía y se conservará la helicitud de cada subsistema: k + UMU m + UnU n) = 0, (kUkU k + mUmU m + nUnU n) = 0. Prueba. Se sigue de U-k = U k, (−k) = (+k), de manera similar para m y n; y de una manera muy esencial de la antisimetría de < Φk m,n >, junto con curlΦk = ΦkΦk. Que Ckmn es real sigue de la eigenfunc- ciones explícitas en la sección 3 de [M-N-B-G]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nota 3.5 Esta estructura profunda, es decir, SO(3;C) sistemas de cuerpo rígido en C3 es una consecuencia directa de la forma Lamé de las ecuaciones completas de Euler 3D, cf. Eqs. (1.3) y (2.7), y la no linealidad curlV ×V. El sistema (3.3) es equivariante con respecto a los operadores de simetría (z1, z2, z3) → (z*1, z*2, z*3), (z1, z2, z3) → (exp(iχ1)z1, exp(iχ2)z2, exp(iχ3)z3), χ1 = χ2 + χ3. Admite otras integrales conocidas como la Manley- Relaciones de Rowe (véase, por ejemplo [We-Wil]). Difiere de los 3 habituales. sistemas de resonancia de ondas investigados en la literatura, como en [Zak-Man1], [Zak-Man2], [Gu-Ma] en eso 1) se conserve la helice, 2) dinámica de estos sistemas resonantes rigurosamente "sombrar" los de la Ecuaciones exactas de Euler 3D, véase Teorema 2.10. Las formas reales del sistema (3.3) se encuentran en Gledzer et al. [G-D-O], corre- acudiendo a la variedad invariante exacta Uk â € iR, Um â € € TM R, Un â € TM R, aunque sin ninguna justificación asintótica rigurosa. Los sistemas C3 (3.3) con Las leyes de conservación de la helicidad no se discuten en [G-D-O]. Las únicas leyes de conservación no triviales de Manley-Rowe para los sistemas resonantes... tem (3.3), cuerpo rígido SO(3;C), que son independientes de la energía y el licity, son: (rkrmrn sin(ln − lk − lm)) = 0, donde Uj = rj exp(iŁj), j = k,m, n, y E1 = (?k −?m)r2n − (?m −?n)r2k, E2 = (?m??n)r2k? (?n??k)r2m. El sistema resonante (3.3) es bien conocido por poseer equilibrios hiperbólicos y órbitas heteroclinicas/homoclinicas en la superficie de energía. Estamos interesados en pruebas rigurosas de grandes estallidos arbitrarios de enstrofia y normas superiores en intervalos de tiempo arbitrariamente pequeños, para h/R correctamente elegidos. Para simplificar la presentación, establecemos los resultados para el colector invariante más simple Uk IR, y Um, Un R. Redimensionar el tiempo como: t→ t/Ckmn. Inicio desde el sistema U­n + i(­)k − (­)m)UkUm = 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (3.4) Suponga que Uk iR y Um, Un R: set p = iUk, q = Um y r = Un, así como en los siguientes puntos: a) a) a) a b) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a c) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) d) a d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) ( ν)qr = 0 qÃ3r + (/ − ♥)rp = 0 + ( μ)pq = 0 (3.5) Este sistema admite dos primeras integrales: E = p2 + q2 + r2 (energía) H = p2 + μq2 + νr2 (helicicidad) (3.6) Sistema (3.5) es exactamente la SO(3,R) dinámica del cuerpo rígido Euler ecuaciones, con inercia momentánea Ij = j , j = k,m, n [Ar1]. Lemma 3.6 ([Ar1], [G-D-O]) Con el pedido  > μ > Los equilibrios (0,±1,0) son monturas hiperbólicas en la esfera energética de la unidad, y los equilibrios (±1, 0, 0), (0, 0,±1) son centros. Existen equivariantes familias de conexiones heteroclinicas entre (0,+1,0) y (0,−1,0). Cada uno par de tales conexiones corresponden a ciclos homoclínicos equivariantes a (0, 1, 0) y (0,−1, 0). Investigamos dinámica de explosión a lo largo de órbitas con grandes períodos, con condiciones iniciales cercanas al punto hiperbólico (0, E(0), 0) en la esfera energética E. Elegimos las tríadas resonantes de tal manera que lk > 0, ln < 0, lk ln n, m ük, equivalentemente: El Tribunal de Primera Instancia consideró que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (CE) n.o 1224/2009 no se opone a que se aplique el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento (CE) n.o 1224/2009. (3.7) Lemma 3.7 Existen h/R con K* 6= Ł, de tal manera que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos siguientes: 3.8 Junto con la polaridad ± de los valores propios de los rizos, estos son: Resonancias de 3 ondas donde dos de los valores propios son mucho más grandes en mod- uli que el tercero. En el límite, k, m, n 1, Las funciones propias Φ tienen términos asintóticos que involucrar cosinos y senos periódicos en r, cf. Sección 3 [M-N-B-G]. En el ecuaciones estrictamente resonantes (2.30), la suma sobre los términos cuadráticos se convierte en una convolución asintótica en n1 = k1+n1. Las tres ondas resonantes en Lemma 3.7 son equivalentes a las tríadas de Fourier k + m = n, con k n y m k, n, en retículas periódicas. En la física de la teoría espectral de turbulencia [Fri], [Les], estas son exactamente las tríadas responsables de la transferencia de energía entre grandes escalas y pequeñas escalas. Estas son las tríadas que tienen obstaculizó los esfuerzos matemáticos para demostrar la regularidad global de la Cauchy problema para las ecuaciones 3D Navier-Stokes en retículas periódicas [Fe]. Prueba de Lemma 3.7 ([M-N-B-G]) La ley de dispersión trascendental para 3-ondas en K* para dominios cilíndricos, es un polinomio de grado cuatro en Karabaj3 = 1/h2: P­0 (­3) = P­4­ 3 + P 3 + P 3 + P­1­3 + P­0 = 0, (3,8) con n2 = k2 +m2 y n3 = k3 +m3. Entonces con hk = β2(k1,k2,αk3) , hm = β2(m1,m2,αm3) , hn = β2(n1,n2,αn3) , cf. el problema radial Sturm-Liouville en la sección 3, [M-N-B-G], los coeficientes Las cifras de la categoría P­3 se desglosan de la siguiente manera: P‡4 = −3, P‡3 = −4(hk + hm + hn), P‡2 = −6(hkhm + hkhn + hmhn), PØ1 = −12hkhmhn, P­0 = h n + h n + h k − 2 hkhmh2n + hkhnh2m + hmhnh2k). Fórmulas similares para el dominio de celosía periódica fueron derivadas por primera vez en [B-M-N2], [B-M-N3], [B-M-N4]. En dominios cilíndricos la condición de resonancia para K* es idéntico a 3 + hk 3 + hm ­3 + hn con Ł3 = , hk = β 2 k)/k23, hm = β 2 m)/m23, hn = β 2 n)/n23; Eq. (3.8) es la forma racional equivalente. De la fórmula asintótica (3.44) en [M-N-B-G], para β grande: β(n1, n2, n3) +, (3.9) donde • = 0 si lim m2 = 0 (por ejemplo, h fijo, m2/m3 → 0) y • = 2 si lim m2 = • (p. ej. m2 fijas, h → فارسى). La prueba se completa tomando Términos principales P­03P­1 en (3.8), ­3 = + 1, y m2 = 0, k2 = O(1), n2 = O(1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora declaramos un teorema por reventar la norma H3 en arbitrariamente pequeño tiempos, para los datos iniciales cercanos al punto hiperbólico (0, E(0), 0): Teorema 3.9 (Dinámica de explosión en H3). Let ♥ > μ > ν, < 0, ♥ y en el caso de las personas con discapacidad, y en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad. Let W (t) = 6p(t)2 + μ6q(t)2 + ν6r(t)2 el H3-norm al cuadrado de una órbita de (3.5). Elija los datos iniciales de tal manera que: W (0) = 6p(0)2 + μ6q(0)2 con 6p(0)2 â € 1 W (0) y μ6q(0)2 + 1 W (0). Entonces existe t* > 0, tal W (t) ≥ W (0) donde t* ≤ 6 W (0) μ2Ln(l/)(l/)−1. Observación 3.10 En las condiciones de Lemma 3.7, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + μ2(Ln(el/))(el/)−1 Por lo tanto, durante un pequeño intervalo de tiempo de duración O(μ2(Ln(el/))(el/)−1) 1, la relación U(t)H3/U(0)H3 crece hasta un valor máximo O (l/)3 • 1. Puesto que la órbita es periódica, el H3 semi- norma finalmente se relaja a su estado inicial después de algún tiempo (esto es un mani- festation de la reversibilidad temporal del flujo Euler en la esfera de la energía). Los Teorema de “sombra” 2.10 con s > 7/2 asegura que la completa, original 3D Eu- la dinámica, con las mismas condiciones iniciales, experimentará el mismo tipo de Reventó. Nótese que, con la definición (1.13) de "Hs", uno tiene e3 × yH3 = curl3(e3 × y)L2 = 0. Por lo tanto, la parte de rotación sólida de la solución original 3D Euler no tributo a la relación V(t)H3/V(0)H3. Teorema 3.11 (Dinámica de explosión de la enstrofia). Bajo la misma con- dicciones para la resonancia de 3 ondas, dejar que el valor de la señal (t) = 2p(t)2 + μ2q(t)2 + ν2r(t)2 sea el valor de la señal (t) enstrophy. Elija los datos iniciales de manera que el valor de los valores de referencia sea igual o superior a 2p(0)2 + μ2q(0)2 + ν2r(0)2 con 2p(0)2 + 1 •(0), μ2q(0)2 •1 فارسى(0). Entonces existe tâ > 0, de tal manera que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. en los casos en que no se disponga de datos ≤ 1 Ln (ln) (ln) (ln) (ln) (ln) (ln) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () (l) () (l) () (l) () (l) (). Observación 3.12 Es interesante comparar este mecanismo para los estallidos con el oído- resultados anteriores en la misma dirección obtenida por DiPerna y Lions. De hecho, para Cada una de ellas es < 1, < 1, > >, < 0, 1) y t > 0, Di Perna y Leones [DiPe-Li] ejemplos construidos de soluciones de componentes 2D-3 a ecuaciones de Euler tales V(0)W 1,p ≤, mientras que V(t)W 1,p ≥ 1/ Sus ejemplos corresponden esencialmente a los flujos de corte de la forma V(t, x1, x2) = u(x2) w(x1 − tu(x2), x2) donde u â € ¢ W 1,px2 mientras w â € ¢ W . Obviamente. curlV(t, x1, x2) = En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa será igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. 1w(x1 − tu(x2), x2) −u′(x2) Por lo tanto, todos los componentes en curlV(t, x1, x2) pertenecen a L loc, excepto por el término -tu′(x2)- 1w(x1 − tu(x2), x2). Para cada t > 0, este término pertenece a Lp para todas las opciones de las funciones u • W 1, px2 y w â € ¢ W x1,x2 si y sólo si p = فارسى. Cada vez que p < فارسى, DiPerna y Los leones construyen sus ejemplos como una aproximación suave de la situación arriba en el fuerte W 1, p topología. En otras palabras, la construcción de DiPerna-Leones sólo funciona en los casos en que la vorticidad inicial no pertenece a un álgebra — específicamente a Lp, que no es un álgebra a menos que p = فارسى. El tipo de estallido obtenido en nuestra construcción anterior es diferente: en que caso, la vorticidad original pertenece al espacio Sobolev H2, que es un álgebra en la dimensión espacial 3. Fenómenos similares se observan en todos los espacios de Sobolev Hβ con β ≥ 2 — que también son álgebras en la dimensión espacial 3. En otras palabras, nuestros resultados complementan los de DiPerna-Leones en ráfagas en los espacios de Sobolev en orden superior, sin embargo a expensas de utilizar más intrincados Dinámica. Procedemos a las pruebas del Teorema 3.9 y 3.11. Estamos interesados en la evolución de la En el caso de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]. Computar = −2 El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo. pqr (3.11) • (pqr) = − ( ν)q2r2 − ( v/•)r2p2 − ( μ)p2q2 (3.12) Usando las primeras integrales de arriba, uno tiene (3.13) donde V an es la matriz Vandermonde V an = 1 1 1 El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. 2 μ2 /2 Esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6= μ 6= ν 6= ♥, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6= ν 6=, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6 es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6 = μ, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6, esta matriz es invertible. V an−1 = ()() −() ()() ()() ()() −() ()() ()() ()() −() ()() ()() Por lo tanto ( μ)(­) (en lo sucesivo, «la Comisión») (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) (— > > > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > > ) ( > > > ) ( > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > (El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( ( μ)H + E) (3.14) para que ( /q2r2 = − ( ( v. )H + E) ( ( + μ)H + E) ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() (Véanse las sentencias del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas en los siguientes asuntos: ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() ( μ)p2q2 = − ( (­)H + E) (­) (­) (­) (­) (­) H + E) ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() Más tarde, utilizaremos las anotaciones x-(­), μ, ν) = (­) x0 (e, μ, ν) = (e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, i, e, e, i, e, i, e, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i,i, i,i, i, i,i,i,i, i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i, x+(e), μ, ν) = (e) = (e)H − E (3.15) Por lo tanto, encontramos que • satisface el segundo orden ODE = - 2Ke, μ, / (( x-(l, μ, ν))) (- - x0(l, μ, ν)) +( x0(l, μ, ν))))))) + ( x+(l, μ, ν)) + ( x+(l, μ, ν)))) que se puede poner en la forma = -2Kl,μ, /P,μ, /(l) (3.16) donde el precio de venta de la mercancía es el precio de venta de la mercancía en el momento de la venta. (X) (X) (X) (X) (X), (μ), (μ) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) Kl, μ, v = El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo. ( μ)( ν)(μ − ν) (3.18) En la secuela, suponemos que los datos iniciales para (p, q, r) es tal que r(0) = 0, p(0)(q(0) 6= 0 Vamos a calcular x−(l, μ, v) = p(0) 2 + μ2q(0)2 + μ( ν)p(0)2 x0 (­, μ, ν) = 2p(0)2 + μ2q(0)2 x+(, μ, ν) =  2p(0)2 + v. + ♥. μ2q(0)2 (3.19) También asumiremos que El Tribunal de Primera Instancia consideró que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 2016, en su versión modificada por la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 2016, era incompatible con el mercado interior y con el artículo 107, apartado 1, del Tratado. Por lo tanto, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las modalidades de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, y a los trabajadores por cuenta propia, por cuenta ajena y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia. (t) = x0(e), μ, ν), sup (t) = x+(l), μ, ν) (3.21) con medio período Tl, μ, v = El Tribunal de Primera Instancia decidió: ∫ x+(l,μ, v) x0(l, μ, v) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (3.22) Estamos interesados en el crecimiento de la norma H3 (cuadrado) W (t) = 6p(t)2 + μ6q(t)2 + ν6r(t)2 (3.23) Expresando p2, q2 y r2 en términos de E, H y (El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. ( μ)(­) μ6( x+(, μ, ν)) (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) (— > > > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > > ) ( > > > ) ( > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > El Tribunal de Primera Instancia decidió: (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (3.24) Por lo tanto, cuando • = x+(­, μ, ν), entonces - x - x, μ, ν) ( μ)( ν) § 6(x+(l, μ ν)- x0(l, μ, ν)) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) - x - x, μ, ν) ( μ)( ν) Vamos a calcular x+(e), μ ν)− x−(e), μ, ν) = (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e)) (e)) (e) (e)) (e) (e) ) (e) v. + ♥. μ2q(0)2 & q(0)2 â ¬2q(0)2 (3.25) Vamos a recoger los datos iniciales de tal manera que W (0) = 6p(0)6 + μ6q(0)6 con W (0) y μ6q(0)2 + 1 W (0) (3.26) Por lo tanto, cuando se llega a x+ (­, μ, ν), uno tiene 8q(0)2 ( μ)( ν) μ6( − μ)( ν) W (0) 1 W (0). (3.27) Por lo tanto W salta de W (0) a una cantidad â € 1 W (0) en un intervalo de tiempo que no exceda de un período de la moción, es decir, El Tribunal de Primera Instancia decidió: Vamos a estimar este intervalo de tiempo. Recordamos el equivalente asintótico para el período de un integral elíptica en el límite del módulo 1. Lemma 3.13 Supongamos que x− < x0 < x+. Entonces (x− x−) (x− x0) (x+ − x) x+ − x− xx0 xx− uniformemente en x−, x0 y x+ como xx0 xx− → 1. x+(l, μ, v) − x−(l, μ, v) 2q(0)2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * W (0) x0, μ, ν) − x− (l, μ, ν) = ( μ))• • • • • • • • • p(0)2 (3.28) para que xx0 xx− 1− ()()p(0) ()()p(0)2+(μ()2)q(0)2 ( μ)( )p(0) 2 + (μ( v + )− μ2)q(0)2 2( μ)(­)p(0)2 • q(0) 2p(0)2 W (0)/2μ6 W (0) / 2 / 6 Por lo tanto El Tribunal de Primera Instancia decidió: W (0) ≤ 12 W (0) (3.29) Conclusión: recoger (3.26), (3.27) y (3.29), vemos que el cuadrado H3 la norma W varía de W (0) a una cantidad â ¬6W (0) en un intervalo de tiempo . 12o.................................................................................................................................................. W (0) μ2 ln . (Aquí? =?/μ). Ahora procedemos a obtener estimaciones similares de estallidos para la enstrofia. Volvemos a (3.21) y (3.22). Seleccione los datos iniciales para que •(0) •2p(0)2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •1 •2p(0)2 •2p(0)2 •2p(0)2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •2p(0)2 •2p(0) •2p(0)2 •2p(0)2 •2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •2p(0) •2p(0) •2p(0) •2p(0) (0) y μ2q(0)2 â € 1 فارسى(0). x+(l, μ, v) − x−(l, μ, v) = ( μ)-(-)p(0)2+ v. + ♥. μ2q(0)2 *2 °2p(0)2 + °2q(0)2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 # mientras x0 (, μ, ν)- x− (, μ, ν) = ( μ))( ν)p(0)2 ·2p(0)2 ·(0). Por lo tanto, en el límite como......................................................................................... 2Tl, μ, / (0) 1 - • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (0) 2o(0) 1− 22 2o(0) Y el valor varía de x0(e), μ, ν) = (e) a x+(e), (e), (e), (e), (e), (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e)) (e) (e)) (e)) (e) (e)) (e) (e) (e) (e))) (e) (e) (e) (e) (e))) (e) (e) en un intervalo de tiempo de duración Tl, μ, v. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 Estrictamente resonantes sistemas Euler: el caso de Resonancias de 3 ondas en pequeñas escalas 4.1 Sistemas dimensionales infinitos sin acoplar SO(3) En esta sección, consideramos el conjunto de resonantes de 3 ondas K* cuando k2, m2, n2 ≥ , 0 < η + 1, i.e. Resonancias de 3 ondas en escalas pequeñas; aquí k2 = k21 + k22 + k23, donde (k1, k2, k3) indexan los valores propios de los rizos, y de manera similar para m2, n2. Recordar que k2 + m2 = n2, k3 + m3 = n3 (convoluciones exactas), pero que la suma- ración en k1, m1 en el lado derecho de Eqs. (2.30) no es una convolución. Sin embargo, para k2, m2, n2 ≥ 1 , la suma en k1, m1 se convierte en un Convolución asintótica. Primero: Proposición 4.1 El conjunto K* restringido a k2, m2, n2 ≥ 1 ,, 0 < η 1 no está vacío: existen al menos una h/R con tres ondas resonantes satisfactorias la condición anterior de las escalas pequeñas. Prueba. Seguimos el álgebra de la ley de dispersión trascendental exacta (3.8) derivado de la prueba de Lemma 3.7. Nótese que P­3 (­3) < 0 para ­3 = Lo suficientemente grande. Podemos elegir hm = β2(m1,m2,αm3) = 0, digamos en el límite específico → 0, y β(m1,m2, αm3) . Entonces Pœ0 = h n > 0 y P­3 debe poseer al menos una raíz (trascendental) En el contexto anterior, los componentes radiales del riel eigenfunctions in- cosenos y senos volátiles en βr (cf. Sección 3, [M-N-B-G]) y el resumen en k1, m1 en el lado derecho de las ecuaciones resonantes Euler (2.30) se convierte una convolución asintótica. Las rigurosas estimaciones de la convolución asintótica son: Altamente técnico y detallado en [Fro-M-N]. Los sistemas resonantes de 3 ondas para k2, m2, n2 ≥ 1 son equivalentes a los de una celosía periódica equivalente [0, 2η]× [0, 2η]× [0, 2ηh], 3 = 1h2 ; la relación de tres ondas resonante se convierte en: *3+*1 *3+*1 *3+*1 = 0, (4.1a) k +m = n, k3m3n3 6= 0. (4.1b) La geometría algebraica de estas ecuaciones racionales de resonancia de 3 ondas ha sido investigación a fondo en [B-M-N3] y [B-M-N4]. Aquí son periódicos: 1, 2, 3 son periódicos. Parámetros de celosía; en el caso cilíndrico de pequeñas escalas, reescalado de n2, k2, m2), Ł3 = 1/h 2, h de altura. Basado en el algebraico geometría de “curvas de resonancia” en [B-M-N3], [B-M-N4], investigamos la resonante 3D Euler ecuaciones (2.30) en las retículas periódicas equivalentes. En primer lugar, los trillizos (k,m, n) solución de (4.1) son invariantes las simetrías de las Id, j(k) = (i,jki), 1 ≤ i ≤ 3, i,j = +1 si i 6=j, i,j = −1 si i = j, 1 ≤ j ≤ 3. En segundo lugar, el conjunto K* en (4.1) es invariante bajo las transformaciones homotéticas: (k,m, n) → (γk, γm, γn), γ racional. (4.2) Los trillizos resonantes se encuentran en líneas proyectivas en el espacio de números de onda, con Equivarianza con arreglo a los puntos j, 0 ≤ j ≤ 3 y γ-rescalado. Por cada equivariante dado familia de tales líneas proyectivas, la curva resonante es el gráfico de 3 versus , para resonancias de dominios paramétricos en el subartículo 1o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo Lemma 4.2 (p.17, [B-M-N4]). Por cada equivariante (k,m, n), el resonante la curva en el cuadrante ­1 > 0, ·2 > 0, ·3 > 0 es la gráfica de una función lisa Se intersecó con el cuadrante. Teorema 4.3 (p.19, [B-M-N4]). Curva del resonante en el cuadrante ­3/­1 > 0, Se denomina irreductible el valor de 0 si: k23 k m23 m n23 n 6= 0. (4.3) Una curva resonante irreductible se caracteriza por seis no negativos Invariantes algebraicas P1, P2, R1, R2, S1, S2, tales que P21,P22 R21,R22 S21,S22 y sus permutaciones. Lemma 4.4 (p. 25, [B-M-N4]). Para trillizos resonantes (k,m, n) asociados a una curva de resonancia irreductible dada, es decir, la verificación de Eq. (4.3), considerar la ecuación de convolución n = k +m. Let ♥i(n) 6= n, ♥i, 1 ≤ i ≤ 3. Entonces, ahí está. ya no son dos soluciones (k,m) y (m,k), para un n dado, siempre y cuando las seis condiciones no degenerativas (3.39)-(3.44) en [B-M-N4] para el algebraico se verifican los invariantes de la curva irreductible. Para más detalles sobre las condiciones técnicas no degenerativas, véase la sección Pendix. Una exhaustiva investigación geométrica algebraica de todas las soluciones a n = k +m en curvas irreducibles de resonancia se encuentra en [B-M-N4]. La esencia del lema anterior radica en que dado que tal irreductible, "no degenerado" trillizos (k,m,n) en K*, todos los demás trillizos en el mismo resonante irreducible las curvas son dadas exhaustivamente por las líneas proyectivas equivariantes: (k,m, n) → (γk, γm, γn), para algunos γ racional, (4.4) (k,m,n) → ( y permutaciones de k y m en el anterior. Por supuesto, la homotetia γ y las simetrías de đj preservan la convolución. Este contexto de irreductible, curvas resonantes degeneradas producen un sistema dimensional infinito, sin acoplar de la dinámica del cuerpo rígido SO(3;R) y SO(3;C) para el resonante 3D Euler ecuaciones (2.30). Teorema 4.5 Para cualquier trillizo irreducible (k,m, n) que satisfaga Teorema 4.3, y en las condiciones "no degenerativas" de Lemma 4.4 (cf. Apéndice), el Las ecuaciones resonantes de Euler se dividieron en la secuencia infinita y contable de uncou- sistemas SO(3;R): k = ­kmn(­­)m-(­)n)aman, (4.6a) m = ­kmn(­­­)anak, (4,6b) n = kmn(­---)kam, (4.6c) para todos (k,m, n) = γ(j(k) *), j(m *), j(n ∗)), γ = ±1,±2,±3..., 0 ≤ j ≤ 3. (4.7) k*,m*, n* son algunos vectores enteros relativamente primos en Z3 que caracterizan el familia equivariante de líneas proyectivas (k,m, n); ­kmn = i < Φk m,n >, kmn real. Prueba. Teorema 4.5 es una versión más simple para los colectores invariantes de más Sistemas SO(3;C) generales. Es un corolario directo de la Proposición 3.2, Proposición 3.3, Teorema 3.3, Teorema 3.4 y Teorema 3.5 en [B-M-N4]. Este último artículo no explicitó las ecuaciones resonantes y no utilizó el álgebra curl-helicidad fundamentalmente subyacente a este trabajo presente. Rigurosamente. secuencias contables infinitas asintóticas de SO(3;R), SO(3;C) sys- los tems no se derivan a través de las herramientas de análisis armónico habituales de los modos Fourier, en el contexto 3D Euler. Polarización de valores propios de rizos y funciones propias y la helicidad desempeñan un papel esencial. Cuaderno 4.6 En las condiciones siguientes: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - los sistemas resonantes Euler (4.6) admiten una familia de homoclínicos inconexos y contables ciclos. Por otra parte, en las condiciones siguientes: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * cada subsistema (4.6) posee órbitas cuyas normas Hs, s ≥ 1, estallan arbitrariamente grande en tiempos arbitrariamente pequeños. Observación 4.7 Uno puede probar que existe algo de "máxima", 0 < "máxima" < "máxima", tal que kmn < Łmax, para todos (k,m, n) en las líneas proyectivas equivariantes definido por (4.7). Sistemas (4.6) “congelan” cascadas de energía; su phy (t) = (k,m,n)( k(t) + m(t) + n(t)) permanece limitado, aunque con grandes ráfagas de la letra t)/(0), en las órbitas reversibles topológicamente cerca de los ciclos homoclínicos. 4.2 Sistemas de resonancia corporal rígidos acoplados SO(3) Ahora derivamos un nuevo sistema resonante Euler que une dos SO(3;R) cuerpos rígidos a través de un eje de principio común de inercia y un momento común de inercia. Este sistema 5-dimensional conserva energía, helicidad, y es más bien interesante en esa dinámica en sus colectores homoclínicos muestran la explosión de cas- cadetes de entrofia a la escala más pequeña en el juego de resonancia. Consideramos que la geometría periódica equivalente de celosía bajo las condiciones de la Proposición 4.1. En el Apéndice, demostramos que para un conjunto de 3 ondas resonante “irreducible” que ahora satisface la "degeneración" algebraica (A-4), existen exactamente dos "prima- trillizos resonantes (k,m,n) y (k vectores valorados enteros primos en Z3: Lemma 4.8 Bajo la condición de degeneración algebraica (A-4) la irreductible la familia equivariante de líneas proyectivas en K* es exactamente generada por la dos trillizos “primitivos”: n = k +m, k = ak, m = bm, (4.8a) n = k­° + m­°, k­° = ai(k) + b j(m), 4,8b) es decir, n = ak + bm, (4.8c) n = ai(k) + b j(m), 4,8d) donde las simetrías de reflexión, a, b, a′, b′ son relativamente enteros primos, positivos o negativos, y k, m son enteros primos relativamente vectores valorados en Z3, es decir: (a, a′) = (b, b′) = (a, b) = (a′, b′) = 1, (k,m) = 1, donde (, ) denota el denominador común más grande de dos enteros. Todos otros trillizos de número de onda resonante son generados por las acciones de grupo l, l = 1, 2, 3 y reescalados homotéticos (k,m, n) → γ(k,m, n), (k γ(kû, mû, n), (γ Z) de los trillizos “primitivos”. Observación 4.9 Se puede demostrar que el conjunto de tales trillizos “primitivos” acoplados no está vacío en la celosía periódica. La condición de irreductibilidad algebraica de Lemma 4.2 implica que ±k3/k = ±kØ3/k y ±m3/m = ±mØ3/m, que se verifica obviamente en ecuaciones (4.8). Teorema 4.10 En condiciones de Lemma 4.8 el sistema resonante Euler se reduce a un sistema de dos cuerpos rígidos acoplados a través de una(t): k = (4.9a) m = (ln − lk)anak (4,9b) n = (k − m = (ln − lkū)anakū (4.9d) k = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­)) (­) ) (­) (­) (­) (­) ) ) (­) (­) (­) (­) (­) (—) () (—) ) (—) (—) () () () () () () () () (—) () (—) () ) ) ) ) ) () () (—) (—) () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( en los que = i < Φkm,n >, = i < Φkm?,n >. Energía y Helicidad se conservan. Teorema 4.11 El sistema resonante (4.9) posee tres con- Leyes de servación: E1 = a2k + (1− α)a2m, (4.10a) E2 = a2n + αa2m + (1 − )a2m E3 = a2k + a mс, (4.10c) donde α = (?m −?k)/(?n?k), (4.11a) = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­). (4.11b) Teorema 4.12 En las condiciones (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))) () (+) (+)) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) () () () () () () () () ()))) () (+) (+)) (+)))) (+) (+) (+) (+) (+) () () (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () () () () (+) (+) (+) () () () () (+) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () N < N < N ° C, (4.12b) que implican α < 0, < 0, los equilibrios (±ak(0), 0, 0, 0,±ak bólico para aks(0) lo suficientemente pequeño con respecto a aks(0). Los colectores inestables de estos equilibrios son una dimensión, y la dinámica no lineal del sistema (4.9) se limitan a la elipse E1 (4.10a) para ak(t), am(t), la hipérbola E3 (4.10c) para el akû(t), el amû(t) y el hiperboloide E2 (4.10b) para el am(t), el amû(t), an(t). Teorema 4.13 Deje que el 2-manifold E1 E2 E3 sea coordinado por (am, am...). En este 2-manifold, el sistema resonante (4.9) es Hamiltoniano, y por lo tanto Integrable. Su campo vectorial hamiltoniano h está definido por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # , (4.13) en el que l·h® designa el producto interior de la 2a forma simpléctica represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la akanak (4.14) con el campo vector h. Prueba del teorema 4.13: Eliminación de ak(t) via E1, an(t) via E2, akû(t) via E3, el sistema resonante (4.9) se reduce a: m = (ln − lk)(E1 − (1− α)a2m) 2 (E2 − αa2m + ( 1)a2m (E2 − αa) m + ( 1)a2m 2 (E3 − a2m después de cambiar la variable de tiempo en (E1 − (1− α)a2m) 2 (E2 − αa2m + ( 1)a2m 2 (E3 − a2m 2 ds. En cada uno de los componentes del múltiple E1 E2 E3, las siguientes funciones: se conservan: H(am, am (E1 − (1− α)a2m)1/2 (+) ± (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) ) (+) () () () (+) (+) (+) ) (+) (+) (+) ) ) ) ) () ) (+) (+) ) ) () () () () (+) (+) () () () () () () () () () ) ) () +) +) (+) +) +) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (E3 − a2m Obsérvese que el sistema de dos cuerpos rígidos acoplados (4.9) no parece ad- mit un sencillo soporte de Lie-Poisson en las variables originales (ak, am, an, am..., ak...). Sin embargo, cuando se limita a la 2-manifold E1 E2 E3 que es invariante bajo la flujo de (4.9), es Hamiltoniano y por lo tanto integrable. Esto plantea el siguiente tema interesante: según la sombra Teorema 2.10, la dinámica de Euler permanece asintóticamente cerca de la de Cadenas de sistemas de carrocería rígidos SO(3;R) y SO(3;C) acoplados. Tal vez algunos De esta manera se podría obtener nueva información. Actualmente estamos investigando. esta pregunta e informará al respecto en una próxima publicación [G-M-N]. Ya el simple sistema 5-dimensional (4.9) tiene interesante dinámica propiedades, que no pudimos encontrar en la literatura existente sobre sistemas relacionados a las tapas giratorias. Considere, por ejemplo, la dinámica del sistema resonante (4.9) con I.C. topológicamente cerca de la hipérbola equilibria (±ak(0), 0, 0, 0,±akû(0)). Un- der las condiciones de (4.12) y con la ayuda del teorema de integrabilidad 4.13, es fácil construir familias equivariantes de ciclos homoclínicos en estos Puntos críticos hiperbólicos: 4.14 Los puntos críticos hiperbólicos (±ak(0), 0, 0, 0,±ak sess Ciclos homoclínicos 1-dimensionales en los conos a2n + (1− )a2m con α < 0, < 0. Tenga en cuenta que estos son verdaderos ciclos homoclínicos, NO sumas de heteroclínico conexiones. Se han elegido las condiciones iniciales para el sistema de resonancia (4.9) en un pequeño barrio de estos puntos críticos hiperbólicos, el correspondiente órbitas están topológicamente cerca de estos ciclos. Con el pedido: (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))) () (+) (+)) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) () () () () () () () () (+))) (+) (+))) (+) (+))) (+) (+) (+) (+) ) ) () (+) (+) (+) (+) (+) () () (+) () () () (+) (+) (+) (+) () () () (+) (+) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () k m, k n, (4.16b) m < n < k, (4.16c) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4.16e) que se puede realizar con a 1 y b 1 en los trillizos resonantes (4.8), podemos demostrar una dinámica de explosión similar al teorema 3.9 y 3.11 para normas de enstrofia y Hs, s ≥ 2. La característica interesante es la maximización cerca de los puntos de giro de los ciclos homoclínicos en los conos (4.15). Esto corresponde a la transferencia de energía a la escala más pequeña k En una publicación en preparación, investigamos los sistemas infinitos de la cou- cuerpo rígido pled ecuaciones (4.9). APÉNDICE Nos enfocamos en un trillizo de número de onda resonante (n, k,m) • la relación de convolución n = k +m, (A-1) • la relación de resonancia resonante de 3 ondas ± n3 1 + Ł2n 2 + Ł3n ± k3 1 + 2k 2 + Ł3k ± m3 1 + 2 m 2 + 3 m (A-2) • la condición de “no catalítica” k3m3n3 6= 0, (A-3) • y la condición de degeneración de [B-M-N4] (véase p26) Giri,j(k,m) = kinjml + klmjni = 0, (A-4) donde (i, j, l) es una permutación de (1, 2, 3). Entonces, sabemos (véase el lema 3.5 (2) de [B-M-N4]) que el sistema de ecuaciones (A-3)-(A-4) para los k y m desconocidos, dado el vector n, admite exactamente 4 soluciones en Z3 × Z3: k.m., m.k., k.m., m.m., m.m., k.m. Aquí k y m son los dos vectores del trillizo resonante original, mientras que kû = i(k), mû = j(m) donde mikl −mlki mikl +mlki {0,±1} y β = mlkj −mjkl mlkj +mjkl {0,±1} y donde las simetrías Δi : u = (ul)l=1,2,3 → (−1) l=1,2,3 Uno verifica que 2i =  j = Id, Es decir, el grupo generado por i y j es el grupo Klein Z/2Z× Z/2Z. Escribamos primero los números irracionales α y β bajo el irreductible representación , β = , con a, a′, b′, b′ Z* y (a, a′) = (b, b′) = 1, donde (, ) denota el denominador común más grande del par entero. A partir de k............................................................................................................................................................................................................................................................. da que ak. Similarmente, bm. Ahora set k Z3, m = 1 m Z3. Por lo tanto, el vector entero n admite las dos descomposicións n = ak + bm = ai(k) + b j(m). Desde la función z 7 z3 1 + 2z 2 + 3z es homogéneo de grado 0, vemos que dentro de la condición de resonancia (A-2) podemos reemplazar cada vector k,m y n por cualquier vector colineal - o entero O no. Supongamos ahora que existe algún entero positivo d 6= 1 tal que dk; entonces dn, de modo que por el ajuste n, k0 = k, m0 = Por fin lo conseguimos. n0 = ak0 + bk0 = a i(k0) + b j(m0). Los trillizos (n0, ak0, bm0) y (n0, a i(k0), b j(m0)) a partir de la arriba observación, la relación de convolución (A-1) y la relación de resonancia (A-2). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el único entero positivo d tal que dk y dm es 1; que denotamos por (k,m) = 1. Equivalentemente, k1Z+ k2Z+ k3Z+m1Z+m2Z+m3Z+ = Z. Finalmente, supongamos que existe algún entero positivo d 6= 1 tal que da y db. Entonces n; set n, a0 = a, b0 = Observar que Giri,j(a0k, b0m) = Giri,j(ak, bm) = 0. Se deduce del lema 3.5 (2) de [B-M-N4] que el vector n0 del resonante trillizo (n0, a0k, b0m) también se puede escribir como n0 = kâ + mâ € con (n0, kâ €, mâ €) de verificación (A-2). Pero entonces n = dn0 = ak + bm = a i(k) + b j(m) = dkÃ3 + dmÃ3. A partir del punto 3.5.2 de [B-M-N4], deberá coincidir con cualquiera de los dos puntos siguientes: los pares (ai(k), b j(m)), b j(m), a i(k)). En particular, da′k y db′m. Desde da y (a, a′) = 1, hemos (d, a′); similar (d, b′) = 1. Pero entonces el lema de Euclides produce que dk y dm, que contradice el hecho de que (k,m) = 1. Por lo tanto hemos demostrado que (a, b) = 1. De manera similar, uno puede mostrar que (a′, b′) = 1. Conclusión: De este estudio se deduce que n-Z* admite las dos descomposiciones n = ak + bm = ai(k) + b j(m) (a, a′) = (b, b′) = (a, b) = (a′, b′) = 1, (k,m) = 1. Los trillizos (n, ak, bm) y (n, ai(k), b j(m)) ambos verifican el resonante afección (A-2) (de la homogeneidad de esta condición), así como la condi- la no catalítica (A-3). En efecto, aba′b′ 6= 0 y la condición (A-3) en el trillizo inicial (n, k,m) implica que el trillizo reducido (n, k,m) también verifica (A-3)). Por último, la condición de degeneración (A-4) Giri,j(ak, bm) = 0 está verificado. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a A.I. Bobenko, C. Bardos y G. Seregin para debates muy útiles. La asistencia del Dr. B. S. Kim es agradecidamente reconocido. A.M. y B.N. reconocer el apoyo de la Contrato AFOSR FA9550-05-1-0047. Bibliografía [Ar1] Arnold, V.I., Métodos matemáticos de la mecánica clásica, Springer- Verlag, Nueva York-Berlín, 1978. Arnold, V.I., pequeños denominadores. I. Cartografías de la circunferencia sobre sí mismo, Amer. Matemáticas. Soc. Transl. Ser. 2, 46 (1965), págs. 213 y 284. 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Introducción Ondas de virticidad y resonancias de flujos de agitación elementales Sistemas Euler estrictamente resonantes: el caso SO(3) Sistemas Euler estrictamente resonantes: el caso de resonancias de 3 ondas en pequeñas escalas Sistemas dimensionales infinitos sin acoplar SO(3) Sistemas resonantes del cuerpo rígido acoplados SO(3)

Una clase de datos iniciales tridimensionales caracterizados por un tamaño uniforme vorticidad es considerada para las ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles. Los se estudian los límites oscilantes rápidos de las ecuaciones de Euler para cilindros parametralmente resonantes. Resonancias de rápidas ondas de Beltrami agotar la no linealidad de Euler. Las ecuaciones resonantes de Euler son sistemas de Ecuaciones tridimensionales del cuerpo rígido, acopladas o no. Algunos de estos casos los sistemas resonantes tienen ciclos homoclínicos, y órbitas en las proximidades de estos ciclos homoclínicos conducen a estallidos de la solución de Euler medida en Sobolev normas de orden superiores a las correspondientes a la enstrofia.

Introducción Las cuestiones de la explosión de soluciones suaves y las singularidades de tiempo finito de el campo de vorticidad para las ecuaciones incompresibles de Euler en 3D sigue siendo un importante problema abierto. El problema de Cauchy en 3D cilíndrico aximétrico limitado dominios está atrayendo considerable atención: con límites, suave, no- datos iniciales axiemmétricos en 3D, bajo las limitaciones de conservación de energía, ¿puede el campo de vórtices explotar en tiempo finito? Extraordinario numeri- Reclamos de cal para esto han sido recientemente desprobados [Ke], [Hou1], [Hou2]. Los Criterio analítico clásico de Beale-Kato-Majda [B-K-M] para no soplar en el tiempo finito requiere la integrabilidad del tiempo de la norma de la vorticidad L. DiPerna y Leones [Li] han dado ejemplos de soluciones débiles globales de la Ecuaciones 3D Euler que son suaves (de ahí únicas) si las condiciones iniciales son suaves (específicamente en W1,p(D), p > 1). Sin embargo, estos flujos son realmente 2-Dimensional en x1, x2, flujos de 3 componentes, independiente de la tercera co- ordenar x3. Sus ejemplos [DiPe-Li] muestran que las soluciones (incluso las suaves) de las ecuaciones 3D Euler no se puede estimar en W1,p para 1 < p en cualquier intervalo de tiempo (0, T ) si se supone que los datos iniciales sólo están limitados en W1,p. Teoremas clásicos de la existencia local en dominios 3D limitados o periódicos por Kato [Ka], Bourguignon-Brézis [Bou-Br] y Yudovich [Yu1], [Yu2] requieren algunos suavidad mínima para las condiciones iniciales (IC), por ejemplo, en Hs(D), s > 5 La formulación clásica para las ecuaciones de Euler es V = p, V = 0, (1.1) V ·N = 0 en el punto D, (1.2) donde ŁD es el límite de un dominio D limitado, conectado, N el normal a D, V(t, y) = (V1, V2, V3) el campo de velocidad, y = (y1, y2, y3), y p es la presión. La forma equivalente de Lamé [Ar-Khe] ­tV + curlV ×V = 0, (1,3) • ·V = 0, (1.4) En el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa, el valor nominal de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. • = curlV, (1.5b) implica la conservación de la energía: E(t) = V(t, y)2 dy. (1.6) La helicidad Hel(t) [Ar-Khe], [Mof], se conserva: Hel(t) = V · • dy, (1.7) para D = R3 y cuando D es una celosía periódica. Helicidad también se conserva para dominios cilíndricos, siempre que N = 0 en el borde lateral del cilindro at t = 0 (véase [M-N-B-G]). Desde el punto de vista teórico, la principal dificultad en el análisis de las ecuaciones de Euler 3D se debe a la presencia del término de estiramiento del vórtice V en la ecuación de vórticidad (1.5a). Las ecuaciones (1.3) y (1.5a) son: equivalente a: En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. donde [a, b] = rizado (a × b) es el conmutador en la mentira dimensional infinita álgebra de campos vectoriales libres de divergencias [Ar-Khe]. Este punto de vista ha llevado a celebrado desarrollos en Métodos Topológicos en Hidrodinámica [Ar-Khe], [Mof]. La sorprendente analogía entre las ecuaciones de Euler para la hidrodinámica y las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido (esta última asociada a la mentira Álgebra del grupo de Lie SO(3,R) ya había sido señalado por Moreau [Mor1]; Moreau fue el primero en demostrar la conservación de la Helicidad (1961) [Mor2]. Esto ha dado lugar a amplias especulaciones en qué medida/en qué casos son las soluciones de las ecuaciones 3D Euler “cerca” a las de 3D rígido acoplado ecuaciones corporales en algún sentido asintótico. Recordemos que las ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido en R3 es: mt + • ×m = 0, m = A•, (1.9a) mt + [­,m] = 0, (1,9b) donde m es el vector del momento angular en relación con el cuerpo, velocidad angular en el cuerpo y A el operador de inercia [Ar1], [Ar-Khe]. La escuela rusa de Gledzer, Dolzhansky, Obukhov [G-D-O] y Vishik [Vish] ha investigado ampliamente los sistemas dinámicos de tipo hidrodinámico y sus aplicaciones. Se han considerado modelos hidrodinámicos construidos sobre sistemas de cuerpo rígido generalizados en SO(n,R), siguiendo a Manakhov [Hombre]. Inspirados en la física de turbulencias, han investigado sistemas dinámicos Los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de control de los sistemas de control de control de la calidad de la calidad de la calidad de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de la calidad de los sistemas de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de control de control de los sistemas de control de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de control de control de control de control de control de control de control de control de los sistemas de los sistemas de la calidad de la calidad de la calidad de los sistemas de los sistemas de la calidad de los sistemas de la calidad de la calidad de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de los sistemas de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de control de los sistemas de control de control de control de control de los sistemas de control de control de los sistemas de control de control de control de los sistemas de control de control de control de control de control de sólo conservar la energía, no la helicidad. Para hacer frente a esto, han construido y estudiados en profundidad sistemas dinámicos n-dimensionales con homogeneidad cuadrática no linealidades neous y dos primeras integrales cuadráticas F1, F2. Tales sistemas se puede escribir usando sumas de paréntesis Poisson: i2,..., en "i1i2...inpi4...in" − F1 , (1.10) donde las constantes pi4... en son antisimétricas en i4,..., en. Se introdujo una versión simple de tal sistema hidrodinámico cuadrático por Gledzer [Gl1] en 1973. Un tema profundamente abierto de la labor de la Gledzer- La escuela de Obukhov es si realmente existen clases de I.C. para el 3D Cauchy El problema de Euler (1.1) para el cual las soluciones son realmente asintóticamente cercanas en norma fuerte, en intervalos de tiempo arbitrarios grandes a las soluciones de tal hidro- sistemas dinámicos, con la conservación de la energía y la helice. Otro no resuelto es la explosión o la regularidad mundial para la “enstrófia” de sistemas cuando su dimensión n→. Este artículo revisa algunos nuevos resultados actuales de un programa de investigación en el espíritu de la escuela Gledzer-Obukhov; este programa se desarrolla en la re- sults de [M-N-B-G] para 3D Euler en dominios cilíndricos delimitados. A continuación el enfoque original de [B-M-N1]-[B-M-N4] en los dominios periódicos, [M-N-B-G] probar la no explosión de las ecuaciones incompresibles 3D Euler para una clase de datos iniciales tridimensionales caracterizados por una vorticidad uniformemente grande en dominios cilíndricos delimitados. No hay suposiciones condicionales sobre el las propiedades de las soluciones en los últimos tiempos, ni las soluciones globales están cerca de algún colector 2D. El estiramiento inicial del vórtice es grande. El enfoque de la prueba de la regularidad se basa en la investigación de los límites oscilantes singulares rápidos y métodos de promedio no lineal en el contexto de funciones casi periódicas [Bo-Mi], [Bes], [Cor]. Herramientas de análisis armónico basadas en funciones propias de rizos y los valores propios son cruciales. Uno establece la regularidad global de la 3D limitar las ecuaciones resonantes de Euler sin ninguna restricción en el tamaño de 3D inicial datos. Las ecuaciones resonantes de Euler se caracterizan por un non-lin- De la oreja. Después de establecer una fuerte convergencia a las ecuaciones resonantes límite, un bootstraps esto en la regularidad en intervalos de tiempo grandes arbitrarios de la soluciones de Ecuaciones Euler 3D con vórtices uniformemente grandes y alineadas débilmente at t = 0. Los teoremas [M-N-B-G] se sostienen para dominios cilíndricos genéricos, para un conjunto de las relaciones altura/radio de la medida completa de Lebesgue. Para tales cilindros, el 3D límite resonante Euler ecuaciones están restringidos a dos ondas de resonancias de la vorticity ondas y están investidos con un número contable infinito de nuevas con- Leyes de servación. Estos últimos son invariantes adiabáticos para el original 3D Euler ecuaciones. Existen resonancias de tres ondas para un conjunto no vacío de h/R (h) altura, radio R del cilindro) y además se acumulan en el límite de Escamas verticales (axiales) que desaparecen de forma muy pequeña. Esto es parecido a las lenguas de Arnold [Ar2] para las ecuaciones Mathieu-Hill y plantea cuestiones no triviales de posible pecado- gularidades/falta de ellas para dinámicas gobernadas por infinitas tríadas resonantes a escamas axiales muy pequeñas. En este contexto, el resonante 3D Euler Las ecuaciones conservan la energía y la helicidad del campo. En esta revisión, consideramos dominios cilíndricos con resonancias paramétricas en h/R e investigar en profundidad la estructura y dinámica de la resonante 3D Sistemas Euler. Se ha demostrado que estas resonancias paramétricas en h/R no son Vacío. Soluciones a ecuaciones de Euler con vorticidad inicial uniformemente grande son expandido a lo largo de una base completa de ondas oscilantes elementales (T2 en el tiempo). Cada onda de vorticidad cuasiperiódica y dispersiva es un Beltrami cuasiperiódico flujo; estas son soluciones exactas de ecuaciones de Euler 3D con vórtices paralelas a velocidad. No hay truncaciones tipo Galerkin en la descomposición de el campo completo de Euler 3D. Las ecuaciones de Euler, restringidas a trillizos resonantes de estas ondas Beltrami dispersivas, determinan los “sistemas Euler resonantes”. Los se ha demostrado el “bloque básico de construcción” de estos sistemas (a priori-dimensionales) Sistemas de carrocería rígidos SO(3;C) y SO(3;R): Uâ € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. UnUk = 0 U­n + (­*k ­ ­m)UkUm = 0 (1.11) Estos son valores propios del operador de rizos en el cilindro, rizos = nn; las funciones rizo eigen son corrientes primarias Beltrami constantes, y las ondas dispersivas Beltrami oscilan con las frecuencias ± h , n3 ver- Número de onda tica (cizalla vertical), 0 < ≤ < 1. Los físicos [Ch-Ch-Ey-H] tienen ha demostrado computacionalmente el impacto físico de la polarización de modos trami sobre la intermitencia en la cascada conjunta de la energía y la helicidad en turbulencia. Otro “bloque de construcción” para los sistemas resonantes Euler es un par de SO(3;C) o SO(3;R) cuerpos rígidos acoplados a través de un eje principal común de inercia/mo- de inercia: k = (1.12a) m = (1.12b) n = (k − m = (1.12d) k = (1.12e) donde los parámetros y son en R definidos en el Teorema 4.10. Los dos reso- Los sistemas nant (1.11) y (1.12) conservan la energía y la helicidad. Lo demostramos. la dinámica de estos sistemas resonantes admite familias equivariantes de homo- ciclos clínicos que conectan puntos críticos hiperbólicos. Demostramos que estallamos dinámica: la relación u(t)2Hs/u(0)2Hs, s ≥ 1 puede estallar arbitrariamente grandes en tiempos arbitrariamente pequeños, para bien elegido para- resonancias de dominio métricas h/R. Toma. u(t)2Hs = 2sun(t)2. (1.13) El caso s = 1 es la enstrofia. Las órbitas de “embotellamiento” están topológicamente cercanas a los ciclos homoclínicos. ¿Son tales dinámicas para los sistemas resonantes relevantes para el Euler 3D completo? ecuaciones (1.1)-(1.8)? La respuesta está en la siguiente crucial “sombrear” Teorema 2.10. Dadas las mismas condiciones iniciales, dado el tiempo máximo intervalo 0 ≤ t < Tm donde la órbita resonante de las ecuaciones de Euler resonante no explotar, entonces la norma fuerte Hs de la diferencia entre el exacto La órbita de Euler y la órbita resonante son uniformemente pequeñas en 0 ≤ t < Tm, siempre que que la vorticidad de la I.C. es lo suficientemente grande. Paradójicamente, cuanto más grande es el vórtice streching de la I.C., mejor la aproximación uniforme. Así de profundo. resultado se basa en la cancelación de oscilaciones rápidas en normas fuertes, en el contexto de funciones casi periódicas del tiempo con valores en espacios Banach (Sección 4 de [M-N-B-G]). Incluye aproximación uniforme en los espacios Hs, s > 5/2. Por ejemplo, dada una órbita cuasiperiódica en algún momento torus Tl para los resonantes sistemas Euler, las soluciones exactas a las ecuaciones Euler permanecer cerca de la órbita cuasiperiódica resonante en un intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ maxTi, 1 ≤ i ≤ l, periodos elementales de Ti, para una vórticidad inicial suficientemente grande. Si órbitas de los resonantes sistemas Euler admiten la dinámica de explosión en el fuerte normas Hs, s ≥ 7/2, así como algunas soluciones exactas de las ecuaciones completas de Euler 3D, para cilindros parametralmente resonantes correctamente elegidos. 2 Ondas de virticidad y resonancias de elemen- Flujos de remolino lentos Estudiamos el problema de valor inicial para las ecuaciones de Euler tridimensionales con datos iniciales caracterizados por una vorticidad uniformemente grande: V = p, V = 0, (2.1) V(t, y)t=0 = V(0) = 0(y) + e3 × y (2.2) donde y = (y1, y2, y3), V(t, y) = (V1, V2, V3) es el campo de velocidad y p es el presión. En Eqs. (1.1) e3 denota el vector de la unidad vertical y  es una constante parámetro. El campo 0(y) depende de tres variables y1, y2 e y3. Desde curl(l) e3 × y) = Łe3, el vector de vorticidad en el momento inicial t = 0 es curlV(0, y) = curl0(y) + ♥e3, (2.3) y la vorticidad inicial tiene un componente grande débilmente alineado a lo largo de e3, cuando >> >> 1. Estos son datos iniciales de gran tamaño totalmente tridimensionales con grandes iniciales Estiramiento del vórtice 3D. Denotamos por Hsđ el habitual espacio Sobolev de solenoidal campos vectoriales. El flujo de base Vs(y) = e3 × y, curlVs(y) = ♥e3 (2.4) se denomina flujo de giro constante y es una solución en estado estacionario (1.1)-(1.4), como curl(e3×Vs(y)) = 0. En (2.2) y (2.3), consideramos I.C. que son un arbi- la perturbación (no pequeña) del flujo de giro de la base Vs(y) e introducir V(t, y) = e3 × y + (t, y), (2.5) curlV(t, y) = ♥e3 + curl(t, y), (2.6) t + curl e3 × + rilVs(y) p′ = 0, · = 0, (2.7) (t, y)t=0 = 0(y). (2.8) Eqs. (2.1) y (2.7) se estudian en dominios cilíndricos C = {(y1, y2, y3) R3 : 0 < y3 < 2η/α, y21 + y22 < R2} (2.9) donde α y R son números reales positivos. Si h es la altura del cilindro, α = 2η/h. Vamos. * = {(y1, y2, y3) * R3: 0 < y3 < 2η/α, y21 + y22 = R2}. (2.10) Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que R = 1. Eqs. (2.1) son consid- con condiciones de frontera periódicas en y3 V(y1, y2, y3) = V(y1, y2, y3 + 2η/α) (2.11) y la desaparición del componente normal de la velocidad en V ·N = ·N = 0 on Ł; (2.12) donde N es el vector normal a فارسى. De la invarianza de las ecuaciones de Euler 3D bajo la simetría y3 → −y3, V1 → V1, V2 → V2, V3 → −V3, todos los resultados en Este artículo se extiende a dominios cilíndricos delimitados por dos placas horizontales. A continuación, las condiciones de límite en la dirección vertical son flujo cero en el límites verticales (velocidad vertical cero en las placas). Sólo hay que hacerlo. restringir campos vectoriales a ser incluso en y3 para V1, V2 e impar en y3 para V3, y doble el dominio cilíndrico a −h ≤ y3 ≤ +h. Elegimos 0(y) en H s(C), s > 5/2. En [M-N-B-G], en el caso de cilindros resonantes”, es decir, no-resonantes α = 2η/h, hemos establecido regularidad para tiempos finitos arbitrariamente grandes para las soluciones 3D Euler para grande, pero finito. Nuestras soluciones no son cercanas en ningún sentido a las del 2D o “quasi 2D” Euler y se caracterizan por oscilaciones rápidas en el e3 dirección, junto con un gran vórtice estiramiento término V(t, y) · V(t, y) = 1 , t ≥ 0 con componente principal V(t, y) • 1. No hay hipótesis sobre oscilaciones en y1, y2 para nuestras soluciones (ni para la condición inicial 0(y)). Nuestro enfoque se basa enteramente en límites oscilantes rápidos y singulares de Eqs. (1.1)-(1.5a), promedio no lineal y cancelación de oscilaciones en el Interacciones no lineales para el campo de vorticidad para el campo grande. Esto ha sido un gran... oped en [B-M-N2], [B-M-N3], y [B-M-N4] para los casos de celosía periódica dominios y el espacio infinito R3. Es bien sabido que las condiciones iniciales totalmente tridimensionales con uni- vorticidad muy grande excita las rápidas ondas de vorticidad de Poincaré [B-M-N2], [B-M-N3], [B-M-N4], [Poi]. Dado que los modos individuales de onda Poincaré están relacionados con el funciones propias del operador de rizos, son soluciones exactas dependientes del tiempo de las ecuaciones no lineales completas de Euler 3D. Por supuesto, su superposición lineal no conserva esta propiedad. Ampliando las soluciones de (2.1) a (2.8) a lo largo de tales las ondas de vorticidad demuestran resonancias no lineales potenciales de tales ondas. Primero recordar las propiedades espectrales del operador de rizos en limitado, conectado dominios: Proposición 2.1 ([M-N-B-G]) tensión bajo las condiciones del límite de flujo cero, con un espectro real discreto N = n, n > 0 por cada n y n → El corre... sponding eigenfunctions n curln = n n (2.13) están completos en el espacio U • L2(D): • ·U = 0 y U ·ND = 0 y U dz = 0 (2.14) Observación 2.2 En los dominios cilíndricos, con coordenadas cilíndricas (r, las funciones propias admiten la representación: Φn1,n2,n3 = (Φr,n1,n2,n3(r),,n1,n2,n3(r),Φz,n1,n2,n3(r)) e in2Łeiαn3z, (2.15) con n2 = 0,±1,±2,..., n3 = ±1,±2,... y n1 = 0, 1, 2,.... Aquí n1 índices los valores propios del problema equivalente de Sturm-Liouville en el coor radial dinatos, y n = (n1, n2, n3). Véase [M-N-B-G] para más detalles técnicos. A partir de ahora en, utilizamos la variable genérica z para cualquier vertical (axial) coordenadas y3 o x3. Para n3 = 0 (mediación vertical a lo largo del eje del cilindro), 2-Dimensional, Los campos solenoidales de 3 componentes deben ampliarse a lo largo de una base completa para campos derivados de funciones de flujo 2D: curl(­ne3), ­ne3 , ln = ln(r, l), n = μnŁn, n = 0, y curlΦn = curl(­ne3), μn­·ne3 a, be3 denota un vector de 3 componentes cuya proyección horizontal es a y proyección vertical es be3. Vamos a explicitar los flujos elementales de ondas giratorias que son soluciones exactas a (2.1) y (2.7): Lemma 2.3 Por cada n = (n1, n2, n3), la siguiente cuasiperiódica (T tiempo) los campos solenoidales son la solución exacta de la solución completa 3D no lineal Euler equa- ciones (2.1): V(t, y) = e3 × y + exp( Jt)Φn(exp(− Jt)y) exp(±i t), (2.16) n3 es el número de onda vertical de Φn y exp( Jt) el grupo unitario de rígidos rotaciones corporales: 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 , eJt/2 = cos(t ) − pecado sin(l)t ) cos( 0 0 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (2.17) Observación 2.4 Estos campos son exactos giros cuasiperiódicos, no axisimmétricos soluciones de flujo de las ecuaciones 3D Euler. Para n3 6= 0, sus segundos componentes (t, y) = exp( Jt)Φn(exp(− Jt)y) exp(± in3 t) (2.18) son los flujos de Beltrami (curl 0) soluciones exactas de 2,7) con (t = 0, y) = Φn(y). (t, y) en Eq. (2.18) son ondas dispersivas con frecuencias y n3n, donde α = 2 . Por otra parte, cada (t, y) es una onda de viaje a lo largo del cilindro eje, ya que contiene el factor iαn3(±z ± Tenga en cuenta que n3 grande corresponde a pequeñas escalas axiales (vertical), aunque 0 ≤ n3/đn ≤ 1. Prueba de Lemma 2.3. A través de la transformación canónica del cuerpo rígido para tanto el campo V(t, y) como las coordenadas espaciales y = (y1, y2, y3): V(t, y) = eJt/2U(t, eJt/2y) + Jy, x = eJt/2y, (2.19) las ecuaciones 3D Euler (2.1), (2.2) se transforman en: (curlUe3)×U = (x12 + x22) + , (2.20) • ·U = 0, U(t, x)t=0 = U(0) = 0(x), (2.21) Para Beltrami fluye de tal manera que curlU×U 0, estas ecuaciones de Euler (2.20)- (2.21) en un marco giratorio reducir a: 3 ×U = 0, ·U = 0, que son idénticos a las ecuaciones de onda no local de Poincaré-Sobolev en el cilindro [M-N-B-G], [Poi], [Sob], [Ar-Khe]: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ril22 ♥ • = 0, • ·ND = 0. (2.23) Basta con comprobar que los flujos de Beltrami n(t, x) = Φn(x) exp ±iαn3nt donde n (x) y n son funciones eigen rizos y valores propios, son exactos soluciones a la ecuación de onda Poincaré-Sobolev, en un marco de rotación de referencia. Nota 2.5 El espectro de frecuencias de las ondas de vorticidad de Poincaré (solu- ciones a (2.22) es exactamente ±iαn3n, n = (n1, n2, n3) indexando el espectro de rizos. Tenga en cuenta que n3 = 0 (frecuencia cero de ondas giratorias) corresponde a 2-Dimensional, 3-Componentes campos de vectores solenoidales. Ahora transformamos el problema Cauchy para las ecuaciones 3D Euler (2.1)- (2.2) en un sistema dinámico no lineal dimensional infinito expandiéndose V(t, y) a lo largo de los flujos de onda giratoria (2.16)-(2.18): V(t, y) = e3 × y (2.24a) + exp n=(n1,n2,n3) un(t) exp (2.24b) V(t = 0, y) = e3 × y + 0(y) (2.24c) 0(y) = n=(n1,n2,n3) un(0)Φn(y), (2.24d) donde Φn denota las funciones propias del rizo de la Proposición 2.1 si n3 6= 0, y curl(­ne3), ­ne3 si n3 = 0 (caso 2D, Observación 2.2). A medida que nos centramos en el caso donde la helicidad se conserva para (2.1)-(2.2), nosotros considerar la clase de datos iniciales 0 tal que [M-N-B-G]: ril0 ·N = 0 en el caso de los productos, donde • es el límite lateral del cilindro. El sistema dinámico dimensional infinito es entonces equivalente al 3D Ecuaciones de Euler (2.1)-(2.2) en el cilindro, con n = (n1, n2, n3) que van más allá todo el espectro de rizos, por ejemplo.: k3+m3=n3 k2+m2=n2 × < curlΦk m,Φn > uk(t)um(t) (2.25) curlk = kΦ k si k3 6= 0, curlΦk = curl(­ke3), μk­ke3 si k3 = 0 (2D, 3 componentes, Observación 2.2), similarmente para m3 = 0 y n3 = 0. El interior producto <, > denota el producto interior de valor complejo L2 en D. Este es un sistema dimensional infinito de ecuaciones acopladas con cuadrática no linealidades, que conservan tanto la energía E(t) = un(t)2 y la helicidad Hel(t) = n u±n (t)2. Las no linealidades cuadráticas se dividieron en términos resonantes donde el exponencial factor de fase oscilante en (2.25) reduce a unidad y oscilación rápida no- términos resonantes ( >> 1). El conjunto de resonantes K se define en términos de vertical Números de onda k3, m3, n3 y valores propios k, m, n de rizo: K = k3 = 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2}. (2.27) Aquí k2,m2, n2 son números de onda azimutales. Llamaremos a las “ecuaciones resonantes de Euler” las siguientes: sistema dinámico restringido a (k,m, n) + K: (k,m,n) < curlΦk m,Φn > ukum = 0, (2,28a) un(0) 0,Φn >, (2.28b) aquí curlk = kΦ k si k3 6= 0, curlΦk = curl(­ke3), μk­ke3 si k3 = 0; similarmente para m3 = 0 y n3 = 0 (componentes 2D, Observación 2.2). Si hay no hay términos en (2.28a) que satisfagan las condiciones de resonancia, entonces habrá algunos modos para los que Lemma 2.6 Las ecuaciones 3D Euler resonantes (2.28) conservan ambas energías E(t) y Helicity Hel(t). La energía y la helicidad son idénticas a la de la ecuaciones completas exactas en 3D de Euler (2.1)-(2.2). El conjunto de resonancias K se estudia en profundidad en [M-N-B-G]. En resumen, K se divide en: (i ) Resonancias de onda 0, con n3 = k3 = m3 = 0; la resolución correspondiente nant ecuaciones son idénticos a los 2-Dimensional, 3-Componentes Euler ecuaciones, con I.C. 0(y1, y2, y3) dy3. ii) Resonancias de dos olas, con k3m3n3 = 0, pero dos de ellas no son nulas; las ecuaciones resonantes correspondientes (llamadas “ecuaciones catalíticas”) son probado poseer un conjunto infinito y contable de nuevas leyes de conservación [M-N-B-G]. iii) Resonancias de tres ondas estrictas para un subconjunto de K*, K. Definición 2.7 El conjunto K* de estrictas resonancias de 3 ondas es: = 0, k3m3n3 6= 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2 (2.29) Tenga en cuenta que K* está parametrizado por h/R, ya que α = 2 parametriza el eigen- Los valores de los valores de los rulos son los siguientes: n, k, m del operario de rizos. Proposición 2.8 Existe un conjunto de parámetros contables y no vacíos h , que K* 6 = فارسى. Prueba. Los detalles técnicos, junto con una declaración más precisa, son: pospuesto a la prueba de Lemma 3.7. Ejemplos concretos de hacha resonante Las ondas isimmétricas y helicoidales se discuten en [Mah] (cf. Gráfico 2 artículo). Corollary 2.9 Let 0(y1, y2, y3) dy3 = 0, es decir, media vertical cero para el I.C. 0(y) en (2.2), (2.8), (2.24d) y (2.28b). Entonces el resonante 3D Euler Las ecuaciones son invariantes en K*: (k,m,n)*K* k < Φk m,Φn > ukum = 0, k3m3n3 6= 0, (2.30a) un(0) = < 0,Φn > (2.30b) (donde 0 tiene el espectro restringido a n3 6= 0). Prueba. Este es un corolario inmediato del Teorema de la “división del operador” 3.2 en [M-N-B-G]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nosotros llamaremos a los sistemas dinámicos anteriores el "estrictamente resonante Euler sistema de las Naciones Unidas”. Este es un sistema Riccati-dimensional que conserva la energía y Helicidad. Corresponde a interacciones no lineales agotadas en K*. ¿Cómo la dinámica de las ecuaciones resonantes de Euler (2.28) o (2.30) aprox. soluciones exactas instantáneas del problema Cauchy para las ecuaciones completas de Euler en ¿Normas fuertes? Esto es respondido por el siguiente teorema, probado en la sección 4 de [M-N-B-G]: Teorema 2.10 Considere el problema del valor inicial V(t = 0, y) = e3 × y + 0(y), 0 Hs/23370/, s > 7/2 para las ecuaciones completas de Euler 3D, con 0Hs ≤M0s y curl0 ·N = 0 en el caso de • Let V(t, y) = e3 × y + (t, y) denota la solución a la exacta Euler ecuaciones. • Deje w(t, x) denotar la solución a las ecuaciones 3D Euler resonante con Condición inicial w(0, x) فارسى w(0, y) = 0(y). • Let w(t, y)Hs/23370/ ≤Ms(TM,M s ) en 0 ≤ t ≤ TM, s > 7/2. Entonces, > 0, (TM,M0s, ) de tal manera que, ≥ : (t, y)− exp un(t)e −i n3 en 0 ≤ t ≤ TM, ≥ 1, β ≤ s− 2. Aquí · Hβ se define en (1.13). El flujo de Euler en 3D preserva la condición curl0 · N = 0 en, es decir curlV(t, y) · N = 0 on Ł, por cada t ≥ 0 [M-N-B-G]. La prueba de esto “Error-sombrando” el teorema es delicado, más allá del habitual diferencial de Gronwall desigualdades e implica estimaciones de integrales oscilantes de casi funciones de tiempo con valores en espacios Banach. Su importancia radica en que las soluciones de las ecuaciones resonantes Euler (2.28) y/o (2.30) son uniformes cerca en normas fuertes a las de las ecuaciones exactas de Euler (2.1)-(2.2), en cualquier intervalo de tiempo de existencia de soluciones suaves del sistema de resonancia. Los sistemas Riccati dimensionales infinitos (2.28) y (2.30) no son sólo hidro- modelos dinámicos, pero los sistemas límite asintóticos exactos para Esto está en contraste con toda la literatura previa sobre modelos hidrodinámicos 3D conservadores, como en [G-D-O]. 3 Sistemas Euler estrictamente resonantes: el SO(3) Investigamos la estructura y la dinámica de la “estrictamente resonante Euler sistemas” (2.30). Recuerde que el conjunto de resonancias de 3 ondas es: (k,m, n): ± k3 = 0, k3m3n3 6= 0, n3 = k3 +m3, n2 = k2 +m2 (3.1) A partir de las simetrías de las funciones rizo eigen Φn y valores eigen en el cilindro, las siguientes identidades mantienen bajo la transformación n2 → −n2, n3 → −n3 Φ(n1,−n2,−n3) = (n1, n2, n3), (n1,−n2,−n3) = (n1, n2, n3). (3.2) donde ∗ designa el conjugado complejo (véase la sección 3, [M-N-B-G] para detalles). Las funciones propias Φ(n1, n2, n3) implican las funciones radiales Jn2(β(n1, n2, αn3)r) y J (β(n1, n2, αn3)r), con 2(n1, n2, n3) = β 2 n1, n2, αn3) + α 2n23; β(n1, n2, αn3) son raíces discretas y contables de la ecuación (3.30) en [M-N-B-G], obtenido a través de un problema radial equivalente Sturm-Liouville. Desde el rizo eigenfunctions son incluso en r → −r, n1 → −n1, vamos a extender los índices n1 = 1, 2,..., a −n1 = −1,−2,... con la simetría radial anterior en mente. Corollario 3.1 El conjunto de resonancia de 3 ondas K* es invariante bajo la simetría- intenta j, j = 0, 1, 2, 3, donde 0(n1, n2, n3) = (n1, n2, n3), 1(n1, n2, n3) = (−n1, n2, n3), 2(n1, n2, n3) = (n1, −n2, n3) 3(n1, n2, n3) = (n1, n2, −n3). Nota 3.2 Para 0 < i ≤ 3, 0 < j ≤ 3, 0 < l ≤ 3 i 6= j y condiciones en K*. Elegimos un α para el cual el conjunto K* no está vacío. Más adelante tomaremos la hipótesis de una sola resonancia de onda triple (k,m, n), módulo las simetrías Hipótesis 3.3 K* es tal que existe un solo número de onda triple resonancia (n, k,m), modulo las simetrías j, j = 1, 2, 3 y j(k) 6= k, j(m) 6= m, j(n) 6= n para j = 2 y j = 3. Bajo la hipótesis anterior, uno puede demostrar que el estrictamente resonante El sistema Euler se divide en tres sistemas separados en C3: Teorema 3.4 Bajo la hipótesis 3.3, el sistema resonante Euler se reduce a tres sistemas de carrocería rígida sin acoplar en C3: + i(k − m)CkmnUkUm = 0 (3,3a) − i(l)m − ln)CkmnUnU*m = 0 (3,3b) − i(ln − lk)CkmnUnU*k = 0 (3,3c) donde Ckmn = i < Φk m,n >, Ckmn real y los otros dos desacoplados sistemas obtenidos con las simetrías 2(k,m, n) y 3(k,m, n). La energía y se conservará la helicitud de cada subsistema: k + UMU m + UnU n) = 0, (kUkU k + mUmU m + nUnU n) = 0. Prueba. Se sigue de U-k = U k, (−k) = (+k), de manera similar para m y n; y de una manera muy esencial de la antisimetría de < Φk m,n >, junto con curlΦk = ΦkΦk. Que Ckmn es real sigue de la eigenfunc- ciones explícitas en la sección 3 de [M-N-B-G]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nota 3.5 Esta estructura profunda, es decir, SO(3;C) sistemas de cuerpo rígido en C3 es una consecuencia directa de la forma Lamé de las ecuaciones completas de Euler 3D, cf. Eqs. (1.3) y (2.7), y la no linealidad curlV ×V. El sistema (3.3) es equivariante con respecto a los operadores de simetría (z1, z2, z3) → (z*1, z*2, z*3), (z1, z2, z3) → (exp(iχ1)z1, exp(iχ2)z2, exp(iχ3)z3), χ1 = χ2 + χ3. Admite otras integrales conocidas como la Manley- Relaciones de Rowe (véase, por ejemplo [We-Wil]). Difiere de los 3 habituales. sistemas de resonancia de ondas investigados en la literatura, como en [Zak-Man1], [Zak-Man2], [Gu-Ma] en eso 1) se conserve la helice, 2) dinámica de estos sistemas resonantes rigurosamente "sombrar" los de la Ecuaciones exactas de Euler 3D, véase Teorema 2.10. Las formas reales del sistema (3.3) se encuentran en Gledzer et al. [G-D-O], corre- acudiendo a la variedad invariante exacta Uk â € iR, Um â € € TM R, Un â € TM R, aunque sin ninguna justificación asintótica rigurosa. Los sistemas C3 (3.3) con Las leyes de conservación de la helicidad no se discuten en [G-D-O]. Las únicas leyes de conservación no triviales de Manley-Rowe para los sistemas resonantes... tem (3.3), cuerpo rígido SO(3;C), que son independientes de la energía y el licity, son: (rkrmrn sin(ln − lk − lm)) = 0, donde Uj = rj exp(iŁj), j = k,m, n, y E1 = (?k −?m)r2n − (?m −?n)r2k, E2 = (?m??n)r2k? (?n??k)r2m. El sistema resonante (3.3) es bien conocido por poseer equilibrios hiperbólicos y órbitas heteroclinicas/homoclinicas en la superficie de energía. Estamos interesados en pruebas rigurosas de grandes estallidos arbitrarios de enstrofia y normas superiores en intervalos de tiempo arbitrariamente pequeños, para h/R correctamente elegidos. Para simplificar la presentación, establecemos los resultados para el colector invariante más simple Uk IR, y Um, Un R. Redimensionar el tiempo como: t→ t/Ckmn. Inicio desde el sistema U­n + i(­)k − (­)m)UkUm = 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (3.4) Suponga que Uk iR y Um, Un R: set p = iUk, q = Um y r = Un, así como en los siguientes puntos: a) a) a) a b) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a c) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) a d) d) a d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) ( ν)qr = 0 qÃ3r + (/ − ♥)rp = 0 + ( μ)pq = 0 (3.5) Este sistema admite dos primeras integrales: E = p2 + q2 + r2 (energía) H = p2 + μq2 + νr2 (helicicidad) (3.6) Sistema (3.5) es exactamente la SO(3,R) dinámica del cuerpo rígido Euler ecuaciones, con inercia momentánea Ij = j , j = k,m, n [Ar1]. Lemma 3.6 ([Ar1], [G-D-O]) Con el pedido  > μ > Los equilibrios (0,±1,0) son monturas hiperbólicas en la esfera energética de la unidad, y los equilibrios (±1, 0, 0), (0, 0,±1) son centros. Existen equivariantes familias de conexiones heteroclinicas entre (0,+1,0) y (0,−1,0). Cada uno par de tales conexiones corresponden a ciclos homoclínicos equivariantes a (0, 1, 0) y (0,−1, 0). Investigamos dinámica de explosión a lo largo de órbitas con grandes períodos, con condiciones iniciales cercanas al punto hiperbólico (0, E(0), 0) en la esfera energética E. Elegimos las tríadas resonantes de tal manera que lk > 0, ln < 0, lk ln n, m ük, equivalentemente: El Tribunal de Primera Instancia consideró que el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (CE) n.o 1224/2009 no se opone a que se aplique el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento (CE) n.o 1224/2009. (3.7) Lemma 3.7 Existen h/R con K* 6= Ł, de tal manera que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos siguientes: 3.8 Junto con la polaridad ± de los valores propios de los rizos, estos son: Resonancias de 3 ondas donde dos de los valores propios son mucho más grandes en mod- uli que el tercero. En el límite, k, m, n 1, Las funciones propias Φ tienen términos asintóticos que involucrar cosinos y senos periódicos en r, cf. Sección 3 [M-N-B-G]. En el ecuaciones estrictamente resonantes (2.30), la suma sobre los términos cuadráticos se convierte en una convolución asintótica en n1 = k1+n1. Las tres ondas resonantes en Lemma 3.7 son equivalentes a las tríadas de Fourier k + m = n, con k n y m k, n, en retículas periódicas. En la física de la teoría espectral de turbulencia [Fri], [Les], estas son exactamente las tríadas responsables de la transferencia de energía entre grandes escalas y pequeñas escalas. Estas son las tríadas que tienen obstaculizó los esfuerzos matemáticos para demostrar la regularidad global de la Cauchy problema para las ecuaciones 3D Navier-Stokes en retículas periódicas [Fe]. Prueba de Lemma 3.7 ([M-N-B-G]) La ley de dispersión trascendental para 3-ondas en K* para dominios cilíndricos, es un polinomio de grado cuatro en Karabaj3 = 1/h2: P­0 (­3) = P­4­ 3 + P 3 + P 3 + P­1­3 + P­0 = 0, (3,8) con n2 = k2 +m2 y n3 = k3 +m3. Entonces con hk = β2(k1,k2,αk3) , hm = β2(m1,m2,αm3) , hn = β2(n1,n2,αn3) , cf. el problema radial Sturm-Liouville en la sección 3, [M-N-B-G], los coeficientes Las cifras de la categoría P­3 se desglosan de la siguiente manera: P‡4 = −3, P‡3 = −4(hk + hm + hn), P‡2 = −6(hkhm + hkhn + hmhn), PØ1 = −12hkhmhn, P­0 = h n + h n + h k − 2 hkhmh2n + hkhnh2m + hmhnh2k). Fórmulas similares para el dominio de celosía periódica fueron derivadas por primera vez en [B-M-N2], [B-M-N3], [B-M-N4]. En dominios cilíndricos la condición de resonancia para K* es idéntico a 3 + hk 3 + hm ­3 + hn con Ł3 = , hk = β 2 k)/k23, hm = β 2 m)/m23, hn = β 2 n)/n23; Eq. (3.8) es la forma racional equivalente. De la fórmula asintótica (3.44) en [M-N-B-G], para β grande: β(n1, n2, n3) +, (3.9) donde • = 0 si lim m2 = 0 (por ejemplo, h fijo, m2/m3 → 0) y • = 2 si lim m2 = • (p. ej. m2 fijas, h → فارسى). La prueba se completa tomando Términos principales P­03P­1 en (3.8), ­3 = + 1, y m2 = 0, k2 = O(1), n2 = O(1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora declaramos un teorema por reventar la norma H3 en arbitrariamente pequeño tiempos, para los datos iniciales cercanos al punto hiperbólico (0, E(0), 0): Teorema 3.9 (Dinámica de explosión en H3). Let ♥ > μ > ν, < 0, ♥ y en el caso de las personas con discapacidad, y en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad, en el caso de las personas con discapacidad. Let W (t) = 6p(t)2 + μ6q(t)2 + ν6r(t)2 el H3-norm al cuadrado de una órbita de (3.5). Elija los datos iniciales de tal manera que: W (0) = 6p(0)2 + μ6q(0)2 con 6p(0)2 â € 1 W (0) y μ6q(0)2 + 1 W (0). Entonces existe t* > 0, tal W (t) ≥ W (0) donde t* ≤ 6 W (0) μ2Ln(l/)(l/)−1. Observación 3.10 En las condiciones de Lemma 3.7, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + μ2(Ln(el/))(el/)−1 Por lo tanto, durante un pequeño intervalo de tiempo de duración O(μ2(Ln(el/))(el/)−1) 1, la relación U(t)H3/U(0)H3 crece hasta un valor máximo O (l/)3 • 1. Puesto que la órbita es periódica, el H3 semi- norma finalmente se relaja a su estado inicial después de algún tiempo (esto es un mani- festation de la reversibilidad temporal del flujo Euler en la esfera de la energía). Los Teorema de “sombra” 2.10 con s > 7/2 asegura que la completa, original 3D Eu- la dinámica, con las mismas condiciones iniciales, experimentará el mismo tipo de Reventó. Nótese que, con la definición (1.13) de "Hs", uno tiene e3 × yH3 = curl3(e3 × y)L2 = 0. Por lo tanto, la parte de rotación sólida de la solución original 3D Euler no tributo a la relación V(t)H3/V(0)H3. Teorema 3.11 (Dinámica de explosión de la enstrofia). Bajo la misma con- dicciones para la resonancia de 3 ondas, dejar que el valor de la señal (t) = 2p(t)2 + μ2q(t)2 + ν2r(t)2 sea el valor de la señal (t) enstrophy. Elija los datos iniciales de manera que el valor de los valores de referencia sea igual o superior a 2p(0)2 + μ2q(0)2 + ν2r(0)2 con 2p(0)2 + 1 •(0), μ2q(0)2 •1 فارسى(0). Entonces existe tâ > 0, de tal manera que En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. en los casos en que no se disponga de datos ≤ 1 Ln (ln) (ln) (ln) (ln) (ln) (ln) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () (l) () (l) () (l) () (l) (). Observación 3.12 Es interesante comparar este mecanismo para los estallidos con el oído- resultados anteriores en la misma dirección obtenida por DiPerna y Lions. De hecho, para Cada una de ellas es < 1, < 1, > >, < 0, 1) y t > 0, Di Perna y Leones [DiPe-Li] ejemplos construidos de soluciones de componentes 2D-3 a ecuaciones de Euler tales V(0)W 1,p ≤, mientras que V(t)W 1,p ≥ 1/ Sus ejemplos corresponden esencialmente a los flujos de corte de la forma V(t, x1, x2) = u(x2) w(x1 − tu(x2), x2) donde u â € ¢ W 1,px2 mientras w â € ¢ W . Obviamente. curlV(t, x1, x2) = En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa será igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. 1w(x1 − tu(x2), x2) −u′(x2) Por lo tanto, todos los componentes en curlV(t, x1, x2) pertenecen a L loc, excepto por el término -tu′(x2)- 1w(x1 − tu(x2), x2). Para cada t > 0, este término pertenece a Lp para todas las opciones de las funciones u • W 1, px2 y w â € ¢ W x1,x2 si y sólo si p = فارسى. Cada vez que p < فارسى, DiPerna y Los leones construyen sus ejemplos como una aproximación suave de la situación arriba en el fuerte W 1, p topología. En otras palabras, la construcción de DiPerna-Leones sólo funciona en los casos en que la vorticidad inicial no pertenece a un álgebra — específicamente a Lp, que no es un álgebra a menos que p = فارسى. El tipo de estallido obtenido en nuestra construcción anterior es diferente: en que caso, la vorticidad original pertenece al espacio Sobolev H2, que es un álgebra en la dimensión espacial 3. Fenómenos similares se observan en todos los espacios de Sobolev Hβ con β ≥ 2 — que también son álgebras en la dimensión espacial 3. En otras palabras, nuestros resultados complementan los de DiPerna-Leones en ráfagas en los espacios de Sobolev en orden superior, sin embargo a expensas de utilizar más intrincados Dinámica. Procedemos a las pruebas del Teorema 3.9 y 3.11. Estamos interesados en la evolución de la En el caso de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]. Computar = −2 El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo. pqr (3.11) • (pqr) = − ( ν)q2r2 − ( v/•)r2p2 − ( μ)p2q2 (3.12) Usando las primeras integrales de arriba, uno tiene (3.13) donde V an es la matriz Vandermonde V an = 1 1 1 El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. 2 μ2 /2 Esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6= μ 6= ν 6= ♥, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6= ν 6=, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6 es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6 = μ, esta matriz es invertible y, en el caso de los productos de la partida 6 μ 6 = μ 6, esta matriz es invertible. V an−1 = ()() −() ()() ()() ()() −() ()() ()() ()() −() ()() ()() Por lo tanto ( μ)(­) (en lo sucesivo, «la Comisión») (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) (— > > > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > > ) ( > > > ) ( > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > (El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( ( μ)H + E) (3.14) para que ( /q2r2 = − ( ( v. )H + E) ( ( + μ)H + E) ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() (Véanse las sentencias del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas en los siguientes asuntos: ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() ( μ)p2q2 = − ( (­)H + E) (­) (­) (­) (­) (­) H + E) ( μ)(­)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()())()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()()()()))()()())()()()()()()()))()()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() Más tarde, utilizaremos las anotaciones x-(­), μ, ν) = (­) x0 (e, μ, ν) = (e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, i, e, e, i, e, i, e, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i,i, i,i, i, i,i,i,i, i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i, x+(e), μ, ν) = (e) = (e)H − E (3.15) Por lo tanto, encontramos que • satisface el segundo orden ODE = - 2Ke, μ, / (( x-(l, μ, ν))) (- - x0(l, μ, ν)) +( x0(l, μ, ν))))))) + ( x+(l, μ, ν)) + ( x+(l, μ, ν)))) que se puede poner en la forma = -2Kl,μ, /P,μ, /(l) (3.16) donde el precio de venta de la mercancía es el precio de venta de la mercancía en el momento de la venta. (X) (X) (X) (X) (X), (μ), (μ) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) (X) Kl, μ, v = El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo y desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo desnatada en polvo. ( μ)( ν)(μ − ν) (3.18) En la secuela, suponemos que los datos iniciales para (p, q, r) es tal que r(0) = 0, p(0)(q(0) 6= 0 Vamos a calcular x−(l, μ, v) = p(0) 2 + μ2q(0)2 + μ( ν)p(0)2 x0 (­, μ, ν) = 2p(0)2 + μ2q(0)2 x+(, μ, ν) =  2p(0)2 + v. + ♥. μ2q(0)2 (3.19) También asumiremos que El Tribunal de Primera Instancia consideró que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 2016, en su versión modificada por la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 2016, era incompatible con el mercado interior y con el artículo 107, apartado 1, del Tratado. Por lo tanto, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las modalidades de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, y a los trabajadores por cuenta propia, por cuenta ajena y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia. (t) = x0(e), μ, ν), sup (t) = x+(l), μ, ν) (3.21) con medio período Tl, μ, v = El Tribunal de Primera Instancia decidió: ∫ x+(l,μ, v) x0(l, μ, v) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (3.22) Estamos interesados en el crecimiento de la norma H3 (cuadrado) W (t) = 6p(t)2 + μ6q(t)2 + ν6r(t)2 (3.23) Expresando p2, q2 y r2 en términos de E, H y (El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. ( μ)(­) μ6( x+(, μ, ν)) (El Parlamento aprueba la resolución legislativa) (— > > > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > ) ( > > ) ( > ) ( > > > ) ( > > > ) ( > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ) ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > El Tribunal de Primera Instancia decidió: (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (3.24) Por lo tanto, cuando • = x+(­, μ, ν), entonces - x - x, μ, ν) ( μ)( ν) § 6(x+(l, μ ν)- x0(l, μ, ν)) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) - x - x, μ, ν) ( μ)( ν) Vamos a calcular x+(e), μ ν)− x−(e), μ, ν) = (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e)) (e)) (e) (e)) (e) (e) ) (e) v. + ♥. μ2q(0)2 & q(0)2 â ¬2q(0)2 (3.25) Vamos a recoger los datos iniciales de tal manera que W (0) = 6p(0)6 + μ6q(0)6 con W (0) y μ6q(0)2 + 1 W (0) (3.26) Por lo tanto, cuando se llega a x+ (­, μ, ν), uno tiene 8q(0)2 ( μ)( ν) μ6( − μ)( ν) W (0) 1 W (0). (3.27) Por lo tanto W salta de W (0) a una cantidad â € 1 W (0) en un intervalo de tiempo que no exceda de un período de la moción, es decir, El Tribunal de Primera Instancia decidió: Vamos a estimar este intervalo de tiempo. Recordamos el equivalente asintótico para el período de un integral elíptica en el límite del módulo 1. Lemma 3.13 Supongamos que x− < x0 < x+. Entonces (x− x−) (x− x0) (x+ − x) x+ − x− xx0 xx− uniformemente en x−, x0 y x+ como xx0 xx− → 1. x+(l, μ, v) − x−(l, μ, v) 2q(0)2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * W (0) x0, μ, ν) − x− (l, μ, ν) = ( μ))• • • • • • • • • p(0)2 (3.28) para que xx0 xx− 1− ()()p(0) ()()p(0)2+(μ()2)q(0)2 ( μ)( )p(0) 2 + (μ( v + )− μ2)q(0)2 2( μ)(­)p(0)2 • q(0) 2p(0)2 W (0)/2μ6 W (0) / 2 / 6 Por lo tanto El Tribunal de Primera Instancia decidió: W (0) ≤ 12 W (0) (3.29) Conclusión: recoger (3.26), (3.27) y (3.29), vemos que el cuadrado H3 la norma W varía de W (0) a una cantidad â ¬6W (0) en un intervalo de tiempo . 12o.................................................................................................................................................. W (0) μ2 ln . (Aquí? =?/μ). Ahora procedemos a obtener estimaciones similares de estallidos para la enstrofia. Volvemos a (3.21) y (3.22). Seleccione los datos iniciales para que •(0) •2p(0)2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •1 •2p(0)2 •2p(0)2 •2p(0)2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •2p(0)2 •2p(0) •2p(0)2 •2p(0)2 •2 + μ2q(0)2 •2p(0)2 •2p(0) •2p(0) •2p(0) •2p(0) (0) y μ2q(0)2 â € 1 فارسى(0). x+(l, μ, v) − x−(l, μ, v) = ( μ)-(-)p(0)2+ v. + ♥. μ2q(0)2 *2 °2p(0)2 + °2q(0)2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 # mientras x0 (, μ, ν)- x− (, μ, ν) = ( μ))( ν)p(0)2 ·2p(0)2 ·(0). Por lo tanto, en el límite como......................................................................................... 2Tl, μ, / (0) 1 - • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (0) 2o(0) 1− 22 2o(0) Y el valor varía de x0(e), μ, ν) = (e) a x+(e), (e), (e), (e), (e), (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)) (e) (e)) (e) (e)) (e)) (e) (e)) (e) (e) (e) (e))) (e) (e) (e) (e) (e))) (e) (e) en un intervalo de tiempo de duración Tl, μ, v. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 Estrictamente resonantes sistemas Euler: el caso de Resonancias de 3 ondas en pequeñas escalas 4.1 Sistemas dimensionales infinitos sin acoplar SO(3) En esta sección, consideramos el conjunto de resonantes de 3 ondas K* cuando k2, m2, n2 ≥ , 0 < η + 1, i.e. Resonancias de 3 ondas en escalas pequeñas; aquí k2 = k21 + k22 + k23, donde (k1, k2, k3) indexan los valores propios de los rizos, y de manera similar para m2, n2. Recordar que k2 + m2 = n2, k3 + m3 = n3 (convoluciones exactas), pero que la suma- ración en k1, m1 en el lado derecho de Eqs. (2.30) no es una convolución. Sin embargo, para k2, m2, n2 ≥ 1 , la suma en k1, m1 se convierte en un Convolución asintótica. Primero: Proposición 4.1 El conjunto K* restringido a k2, m2, n2 ≥ 1 ,, 0 < η 1 no está vacío: existen al menos una h/R con tres ondas resonantes satisfactorias la condición anterior de las escalas pequeñas. Prueba. Seguimos el álgebra de la ley de dispersión trascendental exacta (3.8) derivado de la prueba de Lemma 3.7. Nótese que P­3 (­3) < 0 para ­3 = Lo suficientemente grande. Podemos elegir hm = β2(m1,m2,αm3) = 0, digamos en el límite específico → 0, y β(m1,m2, αm3) . Entonces Pœ0 = h n > 0 y P­3 debe poseer al menos una raíz (trascendental) En el contexto anterior, los componentes radiales del riel eigenfunctions in- cosenos y senos volátiles en βr (cf. Sección 3, [M-N-B-G]) y el resumen en k1, m1 en el lado derecho de las ecuaciones resonantes Euler (2.30) se convierte una convolución asintótica. Las rigurosas estimaciones de la convolución asintótica son: Altamente técnico y detallado en [Fro-M-N]. Los sistemas resonantes de 3 ondas para k2, m2, n2 ≥ 1 son equivalentes a los de una celosía periódica equivalente [0, 2η]× [0, 2η]× [0, 2ηh], 3 = 1h2 ; la relación de tres ondas resonante se convierte en: *3+*1 *3+*1 *3+*1 = 0, (4.1a) k +m = n, k3m3n3 6= 0. (4.1b) La geometría algebraica de estas ecuaciones racionales de resonancia de 3 ondas ha sido investigación a fondo en [B-M-N3] y [B-M-N4]. Aquí son periódicos: 1, 2, 3 son periódicos. Parámetros de celosía; en el caso cilíndrico de pequeñas escalas, reescalado de n2, k2, m2), Ł3 = 1/h 2, h de altura. Basado en el algebraico geometría de “curvas de resonancia” en [B-M-N3], [B-M-N4], investigamos la resonante 3D Euler ecuaciones (2.30) en las retículas periódicas equivalentes. En primer lugar, los trillizos (k,m, n) solución de (4.1) son invariantes las simetrías de las Id, j(k) = (i,jki), 1 ≤ i ≤ 3, i,j = +1 si i 6=j, i,j = −1 si i = j, 1 ≤ j ≤ 3. En segundo lugar, el conjunto K* en (4.1) es invariante bajo las transformaciones homotéticas: (k,m, n) → (γk, γm, γn), γ racional. (4.2) Los trillizos resonantes se encuentran en líneas proyectivas en el espacio de números de onda, con Equivarianza con arreglo a los puntos j, 0 ≤ j ≤ 3 y γ-rescalado. Por cada equivariante dado familia de tales líneas proyectivas, la curva resonante es el gráfico de 3 versus , para resonancias de dominios paramétricos en el subartículo 1o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el subartículo 2o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3o, el artículo 3o, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo 3, el artículo Lemma 4.2 (p.17, [B-M-N4]). Por cada equivariante (k,m, n), el resonante la curva en el cuadrante ­1 > 0, ·2 > 0, ·3 > 0 es la gráfica de una función lisa Se intersecó con el cuadrante. Teorema 4.3 (p.19, [B-M-N4]). Curva del resonante en el cuadrante ­3/­1 > 0, Se denomina irreductible el valor de 0 si: k23 k m23 m n23 n 6= 0. (4.3) Una curva resonante irreductible se caracteriza por seis no negativos Invariantes algebraicas P1, P2, R1, R2, S1, S2, tales que P21,P22 R21,R22 S21,S22 y sus permutaciones. Lemma 4.4 (p. 25, [B-M-N4]). Para trillizos resonantes (k,m, n) asociados a una curva de resonancia irreductible dada, es decir, la verificación de Eq. (4.3), considerar la ecuación de convolución n = k +m. Let ♥i(n) 6= n, ♥i, 1 ≤ i ≤ 3. Entonces, ahí está. ya no son dos soluciones (k,m) y (m,k), para un n dado, siempre y cuando las seis condiciones no degenerativas (3.39)-(3.44) en [B-M-N4] para el algebraico se verifican los invariantes de la curva irreductible. Para más detalles sobre las condiciones técnicas no degenerativas, véase la sección Pendix. Una exhaustiva investigación geométrica algebraica de todas las soluciones a n = k +m en curvas irreducibles de resonancia se encuentra en [B-M-N4]. La esencia del lema anterior radica en que dado que tal irreductible, "no degenerado" trillizos (k,m,n) en K*, todos los demás trillizos en el mismo resonante irreducible las curvas son dadas exhaustivamente por las líneas proyectivas equivariantes: (k,m, n) → (γk, γm, γn), para algunos γ racional, (4.4) (k,m,n) → ( y permutaciones de k y m en el anterior. Por supuesto, la homotetia γ y las simetrías de đj preservan la convolución. Este contexto de irreductible, curvas resonantes degeneradas producen un sistema dimensional infinito, sin acoplar de la dinámica del cuerpo rígido SO(3;R) y SO(3;C) para el resonante 3D Euler ecuaciones (2.30). Teorema 4.5 Para cualquier trillizo irreducible (k,m, n) que satisfaga Teorema 4.3, y en las condiciones "no degenerativas" de Lemma 4.4 (cf. Apéndice), el Las ecuaciones resonantes de Euler se dividieron en la secuencia infinita y contable de uncou- sistemas SO(3;R): k = ­kmn(­­)m-(­)n)aman, (4.6a) m = ­kmn(­­­)anak, (4,6b) n = kmn(­---)kam, (4.6c) para todos (k,m, n) = γ(j(k) *), j(m *), j(n ∗)), γ = ±1,±2,±3..., 0 ≤ j ≤ 3. (4.7) k*,m*, n* son algunos vectores enteros relativamente primos en Z3 que caracterizan el familia equivariante de líneas proyectivas (k,m, n); ­kmn = i < Φk m,n >, kmn real. Prueba. Teorema 4.5 es una versión más simple para los colectores invariantes de más Sistemas SO(3;C) generales. Es un corolario directo de la Proposición 3.2, Proposición 3.3, Teorema 3.3, Teorema 3.4 y Teorema 3.5 en [B-M-N4]. Este último artículo no explicitó las ecuaciones resonantes y no utilizó el álgebra curl-helicidad fundamentalmente subyacente a este trabajo presente. Rigurosamente. secuencias contables infinitas asintóticas de SO(3;R), SO(3;C) sys- los tems no se derivan a través de las herramientas de análisis armónico habituales de los modos Fourier, en el contexto 3D Euler. Polarización de valores propios de rizos y funciones propias y la helicidad desempeñan un papel esencial. Cuaderno 4.6 En las condiciones siguientes: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - los sistemas resonantes Euler (4.6) admiten una familia de homoclínicos inconexos y contables ciclos. Por otra parte, en las condiciones siguientes: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * cada subsistema (4.6) posee órbitas cuyas normas Hs, s ≥ 1, estallan arbitrariamente grande en tiempos arbitrariamente pequeños. Observación 4.7 Uno puede probar que existe algo de "máxima", 0 < "máxima" < "máxima", tal que kmn < Łmax, para todos (k,m, n) en las líneas proyectivas equivariantes definido por (4.7). Sistemas (4.6) “congelan” cascadas de energía; su phy (t) = (k,m,n)( k(t) + m(t) + n(t)) permanece limitado, aunque con grandes ráfagas de la letra t)/(0), en las órbitas reversibles topológicamente cerca de los ciclos homoclínicos. 4.2 Sistemas de resonancia corporal rígidos acoplados SO(3) Ahora derivamos un nuevo sistema resonante Euler que une dos SO(3;R) cuerpos rígidos a través de un eje de principio común de inercia y un momento común de inercia. Este sistema 5-dimensional conserva energía, helicidad, y es más bien interesante en esa dinámica en sus colectores homoclínicos muestran la explosión de cas- cadetes de entrofia a la escala más pequeña en el juego de resonancia. Consideramos que la geometría periódica equivalente de celosía bajo las condiciones de la Proposición 4.1. En el Apéndice, demostramos que para un conjunto de 3 ondas resonante “irreducible” que ahora satisface la "degeneración" algebraica (A-4), existen exactamente dos "prima- trillizos resonantes (k,m,n) y (k vectores valorados enteros primos en Z3: Lemma 4.8 Bajo la condición de degeneración algebraica (A-4) la irreductible la familia equivariante de líneas proyectivas en K* es exactamente generada por la dos trillizos “primitivos”: n = k +m, k = ak, m = bm, (4.8a) n = k­° + m­°, k­° = ai(k) + b j(m), 4,8b) es decir, n = ak + bm, (4.8c) n = ai(k) + b j(m), 4,8d) donde las simetrías de reflexión, a, b, a′, b′ son relativamente enteros primos, positivos o negativos, y k, m son enteros primos relativamente vectores valorados en Z3, es decir: (a, a′) = (b, b′) = (a, b) = (a′, b′) = 1, (k,m) = 1, donde (, ) denota el denominador común más grande de dos enteros. Todos otros trillizos de número de onda resonante son generados por las acciones de grupo l, l = 1, 2, 3 y reescalados homotéticos (k,m, n) → γ(k,m, n), (k γ(kû, mû, n), (γ Z) de los trillizos “primitivos”. Observación 4.9 Se puede demostrar que el conjunto de tales trillizos “primitivos” acoplados no está vacío en la celosía periódica. La condición de irreductibilidad algebraica de Lemma 4.2 implica que ±k3/k = ±kØ3/k y ±m3/m = ±mØ3/m, que se verifica obviamente en ecuaciones (4.8). Teorema 4.10 En condiciones de Lemma 4.8 el sistema resonante Euler se reduce a un sistema de dos cuerpos rígidos acoplados a través de una(t): k = (4.9a) m = (ln − lk)anak (4,9b) n = (k − m = (ln − lkū)anakū (4.9d) k = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­)) (­) ) (­) (­) (­) (­) ) ) (­) (­) (­) (­) (­) (—) () (—) ) (—) (—) () () () () () () () () (—) () (—) () ) ) ) ) ) () () (—) (—) () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( en los que = i < Φkm,n >, = i < Φkm?,n >. Energía y Helicidad se conservan. Teorema 4.11 El sistema resonante (4.9) posee tres con- Leyes de servación: E1 = a2k + (1− α)a2m, (4.10a) E2 = a2n + αa2m + (1 − )a2m E3 = a2k + a mс, (4.10c) donde α = (?m −?k)/(?n?k), (4.11a) = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­). (4.11b) Teorema 4.12 En las condiciones (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))) () (+) (+)) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) () () () () () () () () ()))) () (+) (+)) (+)))) (+) (+) (+) (+) (+) () () (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () () () () (+) (+) (+) () () () () (+) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () N < N < N ° C, (4.12b) que implican α < 0, < 0, los equilibrios (±ak(0), 0, 0, 0,±ak bólico para aks(0) lo suficientemente pequeño con respecto a aks(0). Los colectores inestables de estos equilibrios son una dimensión, y la dinámica no lineal del sistema (4.9) se limitan a la elipse E1 (4.10a) para ak(t), am(t), la hipérbola E3 (4.10c) para el akû(t), el amû(t) y el hiperboloide E2 (4.10b) para el am(t), el amû(t), an(t). Teorema 4.13 Deje que el 2-manifold E1 E2 E3 sea coordinado por (am, am...). En este 2-manifold, el sistema resonante (4.9) es Hamiltoniano, y por lo tanto Integrable. Su campo vectorial hamiltoniano h está definido por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # , (4.13) en el que l·h® designa el producto interior de la 2a forma simpléctica represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la represa de la akanak (4.14) con el campo vector h. Prueba del teorema 4.13: Eliminación de ak(t) via E1, an(t) via E2, akû(t) via E3, el sistema resonante (4.9) se reduce a: m = (ln − lk)(E1 − (1− α)a2m) 2 (E2 − αa2m + ( 1)a2m (E2 − αa) m + ( 1)a2m 2 (E3 − a2m después de cambiar la variable de tiempo en (E1 − (1− α)a2m) 2 (E2 − αa2m + ( 1)a2m 2 (E3 − a2m 2 ds. En cada uno de los componentes del múltiple E1 E2 E3, las siguientes funciones: se conservan: H(am, am (E1 − (1− α)a2m)1/2 (+) ± (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) ) (+) () () () (+) (+) (+) ) (+) (+) (+) ) ) ) ) () ) (+) (+) ) ) () () () () (+) (+) () () () () () () () () () ) ) () +) +) (+) +) +) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (E3 − a2m Obsérvese que el sistema de dos cuerpos rígidos acoplados (4.9) no parece ad- mit un sencillo soporte de Lie-Poisson en las variables originales (ak, am, an, am..., ak...). Sin embargo, cuando se limita a la 2-manifold E1 E2 E3 que es invariante bajo la flujo de (4.9), es Hamiltoniano y por lo tanto integrable. Esto plantea el siguiente tema interesante: según la sombra Teorema 2.10, la dinámica de Euler permanece asintóticamente cerca de la de Cadenas de sistemas de carrocería rígidos SO(3;R) y SO(3;C) acoplados. Tal vez algunos De esta manera se podría obtener nueva información. Actualmente estamos investigando. esta pregunta e informará al respecto en una próxima publicación [G-M-N]. Ya el simple sistema 5-dimensional (4.9) tiene interesante dinámica propiedades, que no pudimos encontrar en la literatura existente sobre sistemas relacionados a las tapas giratorias. Considere, por ejemplo, la dinámica del sistema resonante (4.9) con I.C. topológicamente cerca de la hipérbola equilibria (±ak(0), 0, 0, 0,±akû(0)). Un- der las condiciones de (4.12) y con la ayuda del teorema de integrabilidad 4.13, es fácil construir familias equivariantes de ciclos homoclínicos en estos Puntos críticos hiperbólicos: 4.14 Los puntos críticos hiperbólicos (±ak(0), 0, 0, 0,±ak sess Ciclos homoclínicos 1-dimensionales en los conos a2n + (1− )a2m con α < 0, < 0. Tenga en cuenta que estos son verdaderos ciclos homoclínicos, NO sumas de heteroclínico conexiones. Se han elegido las condiciones iniciales para el sistema de resonancia (4.9) en un pequeño barrio de estos puntos críticos hiperbólicos, el correspondiente órbitas están topológicamente cerca de estos ciclos. Con el pedido: (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))) () (+) (+)) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) () () () () () () () () (+))) (+) (+))) (+) (+))) (+) (+) (+) (+) ) ) () (+) (+) (+) (+) (+) () () (+) () () () (+) (+) (+) (+) () () () (+) (+) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () k m, k n, (4.16b) m < n < k, (4.16c) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4.16e) que se puede realizar con a 1 y b 1 en los trillizos resonantes (4.8), podemos demostrar una dinámica de explosión similar al teorema 3.9 y 3.11 para normas de enstrofia y Hs, s ≥ 2. La característica interesante es la maximización cerca de los puntos de giro de los ciclos homoclínicos en los conos (4.15). Esto corresponde a la transferencia de energía a la escala más pequeña k En una publicación en preparación, investigamos los sistemas infinitos de la cou- cuerpo rígido pled ecuaciones (4.9). APÉNDICE Nos enfocamos en un trillizo de número de onda resonante (n, k,m) • la relación de convolución n = k +m, (A-1) • la relación de resonancia resonante de 3 ondas ± n3 1 + Ł2n 2 + Ł3n ± k3 1 + 2k 2 + Ł3k ± m3 1 + 2 m 2 + 3 m (A-2) • la condición de “no catalítica” k3m3n3 6= 0, (A-3) • y la condición de degeneración de [B-M-N4] (véase p26) Giri,j(k,m) = kinjml + klmjni = 0, (A-4) donde (i, j, l) es una permutación de (1, 2, 3). Entonces, sabemos (véase el lema 3.5 (2) de [B-M-N4]) que el sistema de ecuaciones (A-3)-(A-4) para los k y m desconocidos, dado el vector n, admite exactamente 4 soluciones en Z3 × Z3: k.m., m.k., k.m., m.m., m.m., k.m. Aquí k y m son los dos vectores del trillizo resonante original, mientras que kû = i(k), mû = j(m) donde mikl −mlki mikl +mlki {0,±1} y β = mlkj −mjkl mlkj +mjkl {0,±1} y donde las simetrías Δi : u = (ul)l=1,2,3 → (−1) l=1,2,3 Uno verifica que 2i =  j = Id, Es decir, el grupo generado por i y j es el grupo Klein Z/2Z× Z/2Z. Escribamos primero los números irracionales α y β bajo el irreductible representación , β = , con a, a′, b′, b′ Z* y (a, a′) = (b, b′) = 1, donde (, ) denota el denominador común más grande del par entero. A partir de k............................................................................................................................................................................................................................................................. da que ak. Similarmente, bm. Ahora set k Z3, m = 1 m Z3. Por lo tanto, el vector entero n admite las dos descomposicións n = ak + bm = ai(k) + b j(m). Desde la función z 7 z3 1 + 2z 2 + 3z es homogéneo de grado 0, vemos que dentro de la condición de resonancia (A-2) podemos reemplazar cada vector k,m y n por cualquier vector colineal - o entero O no. Supongamos ahora que existe algún entero positivo d 6= 1 tal que dk; entonces dn, de modo que por el ajuste n, k0 = k, m0 = Por fin lo conseguimos. n0 = ak0 + bk0 = a i(k0) + b j(m0). Los trillizos (n0, ak0, bm0) y (n0, a i(k0), b j(m0)) a partir de la arriba observación, la relación de convolución (A-1) y la relación de resonancia (A-2). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el único entero positivo d tal que dk y dm es 1; que denotamos por (k,m) = 1. Equivalentemente, k1Z+ k2Z+ k3Z+m1Z+m2Z+m3Z+ = Z. Finalmente, supongamos que existe algún entero positivo d 6= 1 tal que da y db. Entonces n; set n, a0 = a, b0 = Observar que Giri,j(a0k, b0m) = Giri,j(ak, bm) = 0. Se deduce del lema 3.5 (2) de [B-M-N4] que el vector n0 del resonante trillizo (n0, a0k, b0m) también se puede escribir como n0 = kâ + mâ € con (n0, kâ €, mâ €) de verificación (A-2). Pero entonces n = dn0 = ak + bm = a i(k) + b j(m) = dkÃ3 + dmÃ3. A partir del punto 3.5.2 de [B-M-N4], deberá coincidir con cualquiera de los dos puntos siguientes: los pares (ai(k), b j(m)), b j(m), a i(k)). En particular, da′k y db′m. Desde da y (a, a′) = 1, hemos (d, a′); similar (d, b′) = 1. Pero entonces el lema de Euclides produce que dk y dm, que contradice el hecho de que (k,m) = 1. Por lo tanto hemos demostrado que (a, b) = 1. De manera similar, uno puede mostrar que (a′, b′) = 1. Conclusión: De este estudio se deduce que n-Z* admite las dos descomposiciones n = ak + bm = ai(k) + b j(m) (a, a′) = (b, b′) = (a, b) = (a′, b′) = 1, (k,m) = 1. Los trillizos (n, ak, bm) y (n, ai(k), b j(m)) ambos verifican el resonante afección (A-2) (de la homogeneidad de esta condición), así como la condi- la no catalítica (A-3). En efecto, aba′b′ 6= 0 y la condición (A-3) en el trillizo inicial (n, k,m) implica que el trillizo reducido (n, k,m) también verifica (A-3)). Por último, la condición de degeneración (A-4) Giri,j(ak, bm) = 0 está verificado. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a A.I. Bobenko, C. Bardos y G. Seregin para debates muy útiles. La asistencia del Dr. B. S. Kim es agradecidamente reconocido. A.M. y B.N. reconocer el apoyo de la Contrato AFOSR FA9550-05-1-0047. Bibliografía [Ar1] Arnold, V.I., Métodos matemáticos de la mecánica clásica, Springer- Verlag, Nueva York-Berlín, 1978. Arnold, V.I., pequeños denominadores. I. Cartografías de la circunferencia sobre sí mismo, Amer. Matemáticas. Soc. Transl. Ser. 2, 46 (1965), págs. 213 y 284. 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Introducción Ondas de virticidad y resonancias de flujos de agitación elementales Sistemas Euler estrictamente resonantes: el caso SO(3) Sistemas Euler estrictamente resonantes: el caso de resonancias de 3 ondas en pequeñas escalas Sistemas dimensionales infinitos sin acoplar SO(3) Sistemas resonantes del cuerpo rígido acoplados SO(3)

Synergistic Effects of MoDTC and ZDTP on Frictional Behaviour of Tribofilms at the Nanometer Scale

Microsoft Word - S_Bec_ZDTP_MoDTC_Tribology_Letters.doc Efectos sinérgicos del MoDTC y del ZDTP sobre el comportamiento de fricción de tribofilms a escala nanómetro S. Bec1*, A. Tonck1, J.M. Georges1 y G.W. Roper2 1Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes, UMR CNRS 5513, Ecole Centrale de Lyon, 36 av. Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex, Francia. 2Lubricants Technology Dept., Shell Global Solutions, Shell Research and Technology Centre, Thornton, P. O. Recuadro 1, Chester CH1 3SH, Reino Unido. *A quién debe dirigirse la correspondencia Resumen La estructura en capas y las propiedades reológicas de las películas anti-desgaste generadas en un Contacto de laminado/deslizante de lubricantes que contienen dialquilditiofosfato de zinc (ZDTP) y/o Los aditivos del dialquilditiocarbamato de molibdeno (MoDTC) han sido estudiados por experimentos de nanoindentación junto con un simple modelado de las mediciones de rigidez. Se realizaron experimentos locales de nanofricción con el mismo dispositivo para determinar la evolución del coeficiente de fricción en función de la presión aplicada para formulaciones lubricantes. Para la película MoDTC, la presión aplicada en el ensayo de fricción permanece bajo (<0,5 GPa) y el coeficiente de fricción aparente es alto (0.4). Para los tribofilms que contiene MoDTC junto con ZDTP, lo que permite que la presión aplicada para aumentar hasta algunos GPA a través de algún proceso de alojamiento, un dominio de fricción muy baja aparece (0.010.05), localizado unos pocos nanómetros debajo de la superficie de la tribofilm. Esta baja fricción coeficiente se atribuye a la presencia de aviones MoS2 deslizándose unos sobre otros en un configuración obtenida cuando la presión es suficientemente alta, lo que es posible por la presencia de ZDTP. Palabras clave : ZDTP, MoDTC, estructura de tribofilm, nanoidentación, propiedades mecánicas, nanofricción, baja fricción. 1. Introducción Además de los aditivos de dialquilditiofosfato de zinc (ZDTP), ampliamente utilizados para propiedades antioxidantes y anti-desgaste excepcionales en condiciones límite en la automoción los motores, los aceites lubricantes contienen varios aditivos, entre los cuales hay detergente y aditivos dispersantes cuya función principal es mantener los contaminantes y la degradación insolubles del aceite productos en suspensión, a temperatura elevada para los aditivos detergentes, y a baja temperaturas para los dispersantes. Compuestos orgánicos de molibdeno como el molibdeno El ditiocarbamato (MoDTC) también se utiliza como modificador de la fricción para ahorrar energía. Sin embargo, cuando se utilizan juntos en aceites formulados, los aditivos interactúan de diversas maneras resultando en sinergias o efectos adversos que afectan al rendimiento del aceite en relación con el desgaste y la fricción comportamiento y modificación de las características de las películas superficiales de protección generadas durante fricción (tribofilms). Se han llevado a cabo muchas investigaciones para evaluar los resultados de mezclas aditivas y para determinar la composición de los tribofilmos asociados. Varios se identificaron factores que desempeñaban un papel: estructura aditiva [1, 2], concentración de aditivos [3- 6], la naturaleza del aceite de base [7, 8],..., o combinaciones de estos parámetros. Un examen detallado de la La información publicada sobre este tema fue escrita por Willermet [9]. Parámetros no químicos características de los antagonistas sólidos (dureza, rugosidad) o condiciones de ensayo (carga, temperatura, velocidad de deslizamiento) [3, 10] también podría influir en las interacciones aditivas. Entre esta variedad de interacciones aditivas, nos centraremos en la que existe entre ZDTP y MoDTC, ampliamente estudiado a través de investigaciones químicas. Todos los trabajos publicados están de acuerdo sobre el hecho de que las prestaciones de fricción y antidesgaste de los aceites se mejoran cuando ZDTP y El MDDC se utilizan juntos. La formación de disulfuro de molibdeno (MoS2) en el roce las superficies han sido evidenciadas por varios autores [11, 12]. Uso de pruebas de fricción UHV, acopladas con observación TEM de alta resolución de desechos de desgaste y estudios espectroscópicos, Grossiord et al. ha dado pruebas del mecanismo de lubricación única de chapa MoS2 [13]. El objetivo de este trabajo es ampliar el conocimiento de la mecánica local y la fricción propiedades de los tricofilms antidesgaste a los de las películas obtenidas a partir de lubricantes que contengan diferentes aditivos (ZDTP, MoDTC, detergente/dispersante) o mezclas de aditivos, con el fin de explorar la sinergia ZDTP/MoDTC en un punto de vista mecánico. Los únicos resultados publicados sobre ese tema están los recientes trabajos de Ye et al. que realizó observaciones de AFM y mediciones de nanoindentación en los tribofilms ZDTP y ZDTP + MoDTC [14, 15]. En el presente estudio, las pruebas de nanoindentación con mediciones continuas de rigidez fueron: realizado en tricofilms sin lavar y con disolvente para determinar su mecánica propiedades. El comportamiento de fricción de los tribofilms fue investigado a través de experimentos de nanofricción, realizados con el mismo dispositivo. La evolución de la fricción coeficiente en función de la presión aplicada para las diferentes formulaciones lubricantes se han determinado diferentes tricofilms. 2. Resultados preliminares obtenidos en los tribofilms antidesgaste de ZDTP La estructura y las propiedades reológicas de las películas anti-desgaste de un zinc solución de dialquilditiofosfato (ZDTP) generada en un contacto de rodadura/deslizante, simulando las condiciones del tren de la válvula del motor, se han estudiado en detalle con la fuerza analítica y superficial las herramientas y los resultados han sido publicados por los autores en un artículo anterior [16]. Como preámbulo En el presente documento sólo se resumen los puntos principales. La solución de ZDTP fue un aditivo secundario alquil ZDTP comercial con un 0,1% de peso fósforo en un aceite base altamente refinado. Las películas anti-desgaste ZDTP tienen una estructura compleja que ha sido determinado por el uso extensivo de técnicas analíticas de superficie. Se ha mostrado que las películas ZDTP consistían en al menos tres capas no homogéneas: en la superficie de acero, hay una capa de sulfuro/óxido, que está casi completamente cubierta por un fosfato protector capa, con la adición de una capa viscosa de los precipitados de degradación de ZDTP (alquilo fosfato precipitado). Esta última capa fue removida cuando la película fue lavada con un disolvente de alcano. Por lo tanto, las propiedades de las películas ZDTP han sido estudiadas antes y después del lavado con disolvente con n-heptano. En primer lugar, los experimentos de compresión de esfera/plano fueron realizado con un aparato de fuerza de superficie (SFA) en películas sin lavar, mostrando que la capa excesiva de precipitados de alquilofosfato fue heterogénea y discontinua, con una espesor de unos 900 nm. En segundo lugar, las propiedades mecánicas se obtuvieron de experimentos de nanoindentación, realizados después de reemplazar la esfera por una punta de diamante, y junto con procedimientos de imagen topográfica in situ para medir el área de contacto. Del experimentos de hendidura, las propiedades de las películas se determinaron a partir de la rigidez normal medidas y mediante la aplicación de un modelo de película reológica. En los que no están lavados probetas, la capa viscosa de precipitados de fosfato alquilo fue detectada por la hendidura pruebas. Es una capa muy suave, móvil bajo la punta del diamante, con un espesor de unos pocos cientos de nanómetros, que estaba bien de acuerdo con el de los experimentos esfera/plano. Lo fue. también demostró que los experimentos de hendidura quitaron esta capa en la proximidad de la punta, Probablemente a través de un mecanismo de flujo de cizallamiento. Este procedimiento se puede comparar con un suave Barrer "mecánico" y las propiedades mecánicas de los tribofilms ZDTP después de tal limpieza se encontró que eran similares a las de las muestras lavadas con disolvente. El disolvente lavado las tribofilm, que comprenden capas de sulfuro y fosfato, presentaban un comportamiento elastoplásico y, durante la fase de carga de la hendidura, la dureza y el módulo de la capa de fosfato aumentó de sus valores iniciales de aproximadamente 2 GPa para la dureza y entre 30 y 40 GPA para el módulo de Young. En particular, la dureza inicial de la la capa de polifosfato al comienzo de los ensayos de hendidura se aproximó a la media aplicada presión durante la generación de películas. Esto sugirió que la capa acomodaba el contacto presión en el tribotesto o durante la fase de carga de la hendidura, y podría ser, por lo tanto, considerado como un sensor de presión final y local. Las características de las películas ZDTP completas garantizan cambios graduales en las propiedades mecánicas entre el sustrato, las capas de unión y el exterior capas con la capa viscosa que sirve como precursor de la tricofilm. Las propiedades de estos las películas en capas pueden así adaptarse a una amplia gama de condiciones impuestas y proporcionar nivel de resistencia al contacto entre las superficies metálicas. A medida que aumenta la gravedad de la carga, también lo hacen las fuerzas resistivas dentro de la película. Esto asegura que el plano de cizallamiento permanezca localizado dentro de la película protectora ZDTP, lo que explica la eficiencia excepcional de las películas ZDTP como películas anti-desgaste. 3. Experimental 3.1. Tribofilms Los tribofilms fueron generados en el Centro de Investigación y Tecnología Shell, Thornton, Reino Unido, con una máquina Amsler recíproca [17] diseñada para simular las condiciones de contacto de la sistema de leva/seguidor en un tren de válvulas de motor de combustión interna. Un espécimen de bloque plano (8 mm x 8 mm de tamaño, 4 mm de espesor) tiene un movimiento recíproco en contacto cargado con una rotación disco. El bloque y el disco se fabricaban en acero EN31 endurecido. La atención especial fue tomado con la rugosidad de los bloques que fueron pulidos hasta que la rugosidad media fue Ra = 0,01 μm. El movimiento del bloque fue conducido por una manivela vinculada al movimiento de la eje de disco a través de una caja de cambios. El movimiento de bloqueo fue aproximadamente sinusoidal y al mismo tiempo frecuencia como la rotación del disco. La carga fue aplicada al contacto por un arreglo de resorte, actuando a través de un rodamiento de rodillos. La superficie en contacto con el rodamiento de carga (superficie trasera) del elemento recíproco) fue curvado para permitir la auto-alineación entre el bloque y el disco. Las películas se generaron a una carga normal de 400 N (presión media de contacto de 0,36 GPa), velocidad de 600 rev/min., temperatura de bloque de aproximadamente 100°C durante 5 horas. Los lubricantes consistían en un aceite base altamente refinado con diferentes aditivos comerciales (detalles de la formulación de aceite no es pertinente para el presente trabajo: - Solución MoDTC, - Solución ZDTP + MoDTC, - ZDTP + MoDTC + detergente/solución dispersante ("formulación completa"). El área de frotación en el bloque pulido era típicamente de 5 mm de largo en la dirección de deslizamiento. Los análisis anteriores han demostrado que la composición en el centro de la pista de desgaste fue razonablemente uniforme, mientras que la composición dentro de 1 mm de los extremos de la pista de desgaste podría varían significativamente. Las medidas mecánicas en las películas con la Fuerza de la Superficie Se han realizado aparatos en la zona central de la pista de desgaste. Otra cosa no utilizada y bloque pulido se utilizó para obtener valores de referencia para el sustrato de acero EN31. Para preservar las estructuras de la película, los bloques fueron almacenados en el aceite de base (que contiene hidrocarburos predominantemente parafínicos, con una concentración muy baja de compuestos polares) inmediatamente después de la producción de las películas en las pruebas correspondientes de Amsler y fueron inmerso de nuevo, cuando no está en uso. 3.2. Aparatos de fuerza de superficie La Ecole Centrale de Lyon Surface Force Apparatus (SFA) utilizada en estos experimentos descrita en publicaciones anteriores [18, 19]. El principio general es que un macroscópico cuerpo esférico o una punta de diamante se puede mover hacia y lejos de una plana (el ZDTP espécimen) utilizando la expansión y la vibración de un cristal piezoeléctrico, a lo largo de los tres direcciones, Ox, Oy (paralelo a la superficie del plano) y Oz (normal a la superficie del plano). Los El espécimen plano está apoyado por sensores de doble voladizo, que miden la normalidad cuasiestática y fuerzas tangenciales (respectivamente Fz y Fx). Cada uno de ellos está equipado con un sensor capacitivo. La alta resolución del sensor permite un cumplimiento muy bajo para ser utilizado para la fuerza medición (hasta 2 x 10-6 m/N). Tres sensores capacitivos fueron diseñados para medir desplazamientos en las tres direcciones entre los soportes de los dos sólidos, con una resolución de 0,01 nm en cada dirección. Cada capacitancia del sensor fue determinada mediante su incorporación en un oscilador LC que funcione en el intervalo de 5 a 12 MHz [20]. 3.3. Metodología de los ensayos Todos los experimentos se llevaron a cabo a temperatura ambiente. Resultados preliminares obtenidos en películas anti-desgaste de una solución ZDTP han demostrado que el lavado de n-heptano daña la película [16]. Es por eso que los bloques fueron probados primero como se obtuvo de la prueba de fricción de Amsler, sin ninguna limpieza y segundo después de lavar con n-heptano. Los especímenes sin lavar fueron montados en el SFA como tomados del aceite de base de almacenamiento. El exceso de aceite de base era simplemente removido colocando el lado del espécimen sobre papel absorbente, lo que permitió que la superficie estar siempre conservados por una película de aceite (espesor > 10 μm). Ensayos de nanoindentación El objetivo de estas pruebas fue determinar las propiedades elastoplásicas de los tribofilms (dureza). y el módulo de Young) y su estructura “mecánica” (número de capas y estimación de el espesor de cada capa que constituye la película). El método utilizado para realizar El experimento de nanoindentación con el AFS ya se ha publicado en detalle [21]. Específico se han desarrollado procedimientos para la caracterización de los tribofilms de ZDTP y descrita en documentos anteriores [16, 22]. En este estudio, la determinación de la superficie cercana propiedades mecánicas (primeros nanómetros) se obtuvieron a través de una calibración específica de la forma de la punta, realizado en una película de oro depositada por magnetrón sputtering en un sustrato de silicio. Esto película era muy suave (pico a valle rugosidad alrededor de 1 nm, medida en una longitud de escaneo de 1 μm) y su dureza fue constante frente a la profundidad de la superficie y hasta la penetración profundidad igual al espesor de la película de oro [21]. Para los experimentos de nanoindentación, una punta de diamante trigonal con un ángulo de 115,12° entre se utilizaron bordes (tipo Berkovitch). Las pruebas de hendidura se realizaron en modo de desplazamiento. La configuración estándar incluía las mediciones cuasiestáticas continuas de la fuerza normal resultante Fz versus el desplazamiento normal Z, a una penetración lenta velocidad, generalmente de 0,1 a 0,5 nm/s. También incluyó las mediciones simultáneas de la Comportamiento reológico (contribuciones disipativas y conservadoras o elásticas) del ensayo superficie, gracias a pequeños movimientos sinusoidales simultáneos a una frecuencia de 37 Hz, con una Amplitud de aproximadamente 0,2 nm RMS. Además, el uso de la retroalimentación Z en la fuerza constante modo y el desplazamiento tangencial del dentador, la topografía de la superficie se imaginó antes y después del ensayo de hendidura, con la misma punta de diamante. Esto se hizo prácticamente posible debido a la recuperación elástica parcial durante el ciclo de descarga y, por lo tanto, la geometría de la punta y el guión eran diferentes, lo que era necesario para permitir la resolución de la sangría. Para este procedimiento de exploración, se utilizó normalmente una carga normal constante de 0,5 μN. Este procedimiento de imagen in situ permite al operador elegir con precisión la ubicación de la prueba de hendidura en la superficie y, después de la prueba, para cuantificar la acumulación de plástico alrededor de la y, por tanto, medir la zona de contacto real. Modelo de película reológica Las propiedades elásticas de las películas eran muy difíciles de extraer de las pruebas de hendidura por la influencia tanto del sustrato como de la propia estructura cinematográfica. Eran obtenidos a través de las mediciones de rigidez, que son globales (film+sustrato) medidas. Para extraer las propiedades de cada capa de la película, un modelo simple ha sido desarrollados, y sus principales características se describen de la siguiente manera. La rigidez experimental versus curva de desplazamiento normal fue identificado con la respuesta elástica de una estructura compuesta de una o dos capas elásticas homogéneas sobre un sustrato (medio espacio elástico semiinfinito) marcado por un punzón cilíndrico rígido de radio a. Para tal sistema, modelado por dos muelles conectado en serie [23], la rigidez global calculada (Kz) depende de la reducción de Young's módulo del sustrato (Es* con Es*=Es/(1- vs2)), medido sobre un bloque de acero no desgastado, superior el radio de contacto (a) y depende también de cuatro parámetros desconocidos que son los reducidos El módulo de Young (Ef*, Ef*=Ef/(1-vf2)) y el espesor (t) de cada capa. Para cada prueba, su los valores fueron ajustados para obtener un buen ajuste entre la curva de rigidez medida y el Calculado uno. Este procedimiento proporcionó la estructura (una o dos capas), el espesor y el módulo reducido de Young de cada capa que constituía los tricofilms. Los detalles se dan en: a documento anterior [16]. Siguiendo este modelo, la rigidez global de un sistema de una sola capa es dado por: 22K t a a E aEz f s η η * * 1).......................................................................................................................................................... Este modelo sencillo describe perfectamente el comportamiento de sistemas modelo como capas de oro en un sustrato de silicio [21]. En el caso de los tribofilms, las desviaciones pueden observarse en una fase crítica. presión o a una profundidad crítica a partir de la cual se puede encontrar la rigidez medida experimentalmente superar significativamente el teórico. Esto se interpreta como un cambio en la superficie propiedades debidas a la presión aplicada y parece estar relacionada con una dureza medida aumentar. De hecho, como la presión aplicada puede alcanzar valores mucho mayores que la dureza inicial valor de la superficie, el flujo de plástico resultante puede inducir una pequeña reducción de volumen y reordenamientos moleculares que podrían ser suficientes para inducir un cambio notable en la propiedades mecánicas. A partir de un valor umbral de presión, H0, la curva de rigidez fue entonces influenciado tanto por la elasticidad del sustrato como por el cambio en las propiedades mecánicas. Esto la dependencia de la presión se puede introducir en el modelo escribiendo que en el volumen deformado de material, cuando H>H0 (es decir, cuando la película se ajuste a la presión aplicada a través de aumento de dureza), el módulo de película Ef* es proporcional a la dureza (la relación Ef*/H se mantiene constante). Da la siguiente ecuación: EE = (2) Ef0* es el valor de módulo reducido de Young, cuando la presión aplicada es igual o inferior que la presión umbral H0. Cuando sea necesario, introduciendo este efecto en nuestra modelización y al ajustar el valor de la presión de umbral, fuimos capaces de encajar correctamente el conjunto curva de rigidez. Un ejemplo de tal ajuste se da en la figura 1. La evolución del módulo de película Ef* versus la profundidad plástica también se puede extraer de la ecuación 1 utilizando la Valores de rigidez globales medidos (film+sustrato) Kz y espesor de la película, t, de forma independiente de la ecuación 2. Esto permite comprobar si es proporcional a la dureza como se supone en ecuación 2. En el ejemplo mostrado figura 2, el módulo calculado de Young de la película (de la ecuación 1 con un espesor de película t=25 nm) es proporcional a la medida dureza con una relación media Ef*/H=16,5, en buena concordancia con la relación Ef0*/H0=17/1,05=16,2 obtenidos del ajuste de rigidez. Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 Profundidad de penetración (nm) Rigidez medida Rigidez calculada, t=25 nm, Efo*=17 GPa, sin ajuste a presión Rigidez calculada, t=25 nm, Efo*=17 GPa, con ajuste de presión, Ho=1,05 GPa Figura 1: Ejemplo de aplicación del modelo de película reológica: medida y calculada rigidez global para un tribofilm obtenido a partir de la formulación completa (MoDTC + ZDTP + detergente/dispersante). Se obtiene un buen ajuste entre los valores medidos y calculados con un sistema de una sola capa (espesor t=25 nm y módulo reducido de Young Ef0*=17 GPa) y un efecto de ajuste de presión de una presión umbral H0=1,05 GPa. t = 25 nmEf0* = 17 GPa H0 = 1,05 GPa Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Módulo reducido del tribofilm de Young, Ef* Dureza del tricofilm, H t = 25 nmEf0* = 17 GPa H0 = 1,05 GPa Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Módulo reducido del tribofilm de Young, Ef* Dureza del tricofilm, H Figura 2: Ejemplo de evolución del módulo de Young reducido y dureza versus profundidad plástica, para un tribofilm obtenido a partir de la "formulación completa" (MoDTC + ZDTP + detergente/dispersante). El módulo de la película del joven se calcula utilizando la ecuación 1 con el valores de rigidez medidos y utilizando únicamente el espesor de la película determinado a partir del ajuste mostrado Figura 1 (t = 25 nm). Experimentos de nanofricción Los experimentos de nanofricción se llevaron a cabo en los bloques moviendo la punta de diamante a lo largo de Ox dirección (paralelo a la superficie) a baja velocidad (2 a 5 nm/s) a lo largo de una distancia de 0,5 μm. Los objetivo de estas pruebas fue determinar cómo varía el coeficiente de fricción en función de la presión aplicada. Las pruebas se realizaron a una profundidad cada vez mayor monitoreada. Durante el pruebas, lo normal, Fz, y la tangencial, Fx, se registraron las fuerzas, lo que nos permitió calcular el coeficiente de fricción aparente μ=Fx/Fz (véase el ejemplo de la figura 3). Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 20 40 60 80 100 120 140 Tiempo (s) μ=Fx/Fz 0 5 10 15 20 25 Profundidad de penetración (nm) Ensayo de sangría Prueba de nanofricción Zona de contacto más pequeña Figura 3: Procedimiento utilizado para las pruebas de nanofricción. La punta del diamante está orientada al borde primero y los ensayos de nanofricción se llevan a cabo a una profundidad cada vez mayor monitoreada. Durante la prueba, la Se registran las fuerzas normales (Fz) y tangenciales (Fx). El coeficiente de fricción μ=Fx/Fz es calculado. Se observó una gran acumulación en el caso de la nanofricción con la cara orientada a la punta del diamante En primer lugar, que puede inducir una gran incertidumbre en el cálculo de la zona de contacto. Es por eso que los ensayos de nanofricción se realizaron primero al borde. En estas condiciones, la estimación de la presión aplicada a una profundidad determinada se obtuvo mediante pruebas de nanoindentación de baja carga, realizadas en la proximidad de las pruebas de nanofricción. Suponiendo que, a una profundidad dada, la dureza de el tribofilm debe ser el mismo para el ensayo de fricción y para el ensayo de sangrado cercano, área de contacto, y luego la presión aplicada, se obtuvieron de la diferencia entre el fuerza normal medida para los dos ensayos a la misma profundidad (véase el insértese en la figura 3). Usando el procedimiento de imagen in situ, figura 4 muestra un ejemplo de una imagen de la superficie de un tribofilm después de una prueba de nanofricción. 100 nm Comienzo de la pruebaComienza el desgaste Dirección de fricción 100 nm Comienzo de la pruebaComienza el desgaste Dirección de fricción Figura 4: Imagen típica de la superficie de un tribofilm después de una nanofricción experimento. La imagen se obtiene con el procedimiento de obtención de imágenes in situ. 4. Resultados La primera parte presenta las propiedades mecánicas de los diferentes tricofilms, determinados a partir de los experimentos de nanoindentación. Su estructura, una o dos capas, y su espesor eran Deducido del uso de nuestro modelo de película reológica. Los resultados relativos al comportamiento de fricción de los tribofilms se presentan en una segunda parte. 4.1. Estructura y propiedades mecánicas de los tribofilms Tribofilms del MODTC El tribofilm obtenido del aceite de base + MoDTC se ha probado sin lavar y después lavado con n-heptano. Incluso en el bloque de disolvente lavado, no fue posible hacer ninguna imagen topográfica local ni escaneo de línea preliminar a las pruebas de hendiduras, revelando que la película era muy suave y era fácilmente dañada por la punta del diamante. Dureza representativa En la figura 5 se muestran las curvas obtenidas en los tribofilms del MoDTC. MoDTC tribofilm 0 40 80 120 160 Profundidad de plástico (nm) Tribofilm sin lavar Tribofilm lavado con disolvente Figura 5: Curvas de dureza típicas obtenidas en los tribofilms del MoDTC. Abrir símbolos corresponden a curvas de dureza obtenidas en la película sin lavar. Símbolos negros corresponden a curvas de dureza obtenidas en la película lavada con disolvente. Se midieron propiedades mecánicas muy bajas en el tribofilm sin lavar del MoDTC. Los La dureza de la superficie osciló entre 0,02 y 0,1 GPa, lo que indica la presencia de una capa superficial muy suave cubriendo el tribofilm. Después de lavar con n-heptano, las pruebas de hendidura mostraron que esta capa ha sido retirado por el procedimiento de lavado. El resto de tribofilm era una capa homogénea suave, cuya dureza estaba típicamente en el rango de 0,4 - 0,5 GPa al principio de las pruebas. La adhesión a la punta del diamante fue detectada al final de la parte de descarga de las pruebas. Los espesor de la película y la estructura (número de capas) se han obtenido de la rigidez mediciones realizadas durante los experimentos utilizando el modelo de película reológica. La película parecía ser homogénea en su espesor, y para la mayoría de las pruebas, su elástico el comportamiento corresponde a la de una sola capa, con propiedades constantes versus profundidad. Los El espesor de la película se encontró entre 30 y 75 nm. El módulo reducido de Young fue típicamente igual a 7 – 8 GPa. ZDTP + Tribofilms MoDTC Desde la observación óptica, la película sin lavar de ZDTP + MoDTC era muy delgada. Esto fue confirmados por los ensayos de hendidura. Antes de cualquier contacto, una capa muy suave, de 60 a 120 nm de espesor, fue detectado en la superficie de la película sin lavar. Pruebas de detección realizadas después de escanear o tomar imágenes de la superficie de la película sin lavar (" barrer mecánico") mostró que la película era espacialmente heterogénea. Su espesor y su Las propiedades mecánicas variaron en función del lugar de ensayo: - En algunos lugares, sólo una capa muy delgada (unos pocos nanómetros de espesor) con un Young's reducido El módulo de 50 GPa cubría el sustrato de acero endurecido (pruebas A y B en la figura 6). - Se encontró una capa más gruesa (15 a 30 nm) con un módulo de Young reducido de 50 a 80 GPa en otros lugares (pruebas C y D en la figura 6), a veces con presión de alojamiento efecto (presión de umbral H0 = 4,8 GPa). Tal capa se comporta como la capa de sulfuro-óxido de ZDTP tribofilm [16]. - En otros lugares, la estructura del tricofilm era más compleja, con una capa suave que cubría un Uno más rígido. Por ejemplo, el ensayo E de la figura 6 corresponde a una capa blanda de 12 nm de espesor, con propiedades comparables a las del MoDTC tribofilm (dureza de 0,2 GPa y reducción El módulo de Young de 5 GPa) que cubre una capa más rígida, de 18 nm de espesor, con una reducción Módulo de Young de 50 GPa. Esta heterogeneidad fue confirmada por las pruebas de hendidura realizadas en el disolvente lavado. ZDTP + MoDTC tribofilm, donde se identificaron al menos tres tipos diferentes de película: - En algunos lugares, la película se comportó como un sistema de una capa, capaz de acomodar presión (umbral de presión 2,8 GPa). Su espesor era de entre 35 nm y 150 nm. Los la dureza de la superficie era de 2 a 3 GPa y el módulo reducido de Young era 55 - 65 GPA. - En otros lugares, la película se comportaba como una estructura bicapa: una capa superficial, alrededor de 25 nm de espesor, con propiedades comparables a las del MoDTC tribofilm (dureza de 0,3 - 0,4 GPa, módulo reducido de Young de 8 GPa), cubre una capa más rígida, 150 nm de espesor, con un módulo de Young reducido de unos 80 GPa. - En otros lugares, la película de superficie tenía entre 3 y 15 nm de espesor, con propiedades comparables a las propiedades inferiores medidas en el tribofilm ZDTP (dureza entre 1 – 1,5 GPa y reduce el módulo de Young alrededor de 10 GPa). Para algunas pruebas, esta película superficial fue capaz de acomodar la presión, con un umbral de presión de 1 – 1,5 GPa. Cubre un cuerpo más rígido. capa, de 10 a 55 nm de espesor, con un módulo de Young reducido que varía de 60 a 110 GPa. ZDTP+MoDTC tribofilm Bloque sin lavar 0 20 40 60 80 100 120 Profundidad de plástico (nm) Antes de cualquier contacto Después de la prueba de imagen A Después de la toma de imágenes - prueba B Después de la toma de imágenes - prueba C Después de la toma de imágenes - prueba D Después de la prueba de imagen E Figura 6: Curvas de dureza representativas obtenidas en el ZDTP + MoDTC sin lavar tribofilm, antes de cualquier contacto y después del procedimiento de imagen. La película es espacialmente heterogéneo en espesor y en propiedades mecánicas. ZDTP + MoDTC + tribofilms detergentes/dispersantes («tribofilms de formulación completa») Las pruebas de nanoindentación realizadas en zonas frescas, antes de cualquier contacto, demostraron que, en superficie del tricofilm sin lavar, había una capa muy suave, móvil bajo la punta del diamante, con un espesor aparente de unos pocos cientos de nanómetros. Las curvas de dureza representativas obtenidas en el bloque sin lavar cerca de estos contactos iniciales son: se muestra el gráfico 7. Contrariamente a la ZDTP + MoDTC tribofilm, la película se encontró espacialmente homogéneo. Sólo se encontró que su espesor variaba, dependiendo de la zona de ensayo. Una muy delgada se detectó una capa más blanda en la superficie del tricofilm, que no se resistió a la imagen ni exploración, excepto si la carga normal era muy baja (inferior a 0,3 μN). Esta capa tenía un valor de dureza (aproximadamente 0,3 – 0,4 GPa) comparable al valor de dureza del MoDTC Tribofilm. La gran dureza observada aumenta cuando la carga aumenta también indica que el tribofilm tenía una gran capacidad para adaptarse a la presión aplicada. Este resultado fue el siguiente: confirmada por la interpretación de las mediciones de rigidez utilizando el modelo reológico, que también mostró que el tricofilm tenía una estructura compleja. En su superficie, hubo primero un capa con un espesor de sólo unos pocos nanómetros (2 nm a 7 nm) y un Young's reducido módulo de 10 - 15 GPa. Luego, hubo una segunda capa (espesor entre 20 nm y 140 nm) con un módulo Young más reducido de 65 – 80 GPa. Un tribofilm similar se probó después del lavado de n-heptano. También tenía una gran capacidad de adaptarse a la presión aplicada. De las mediciones de rigidez, en la mayoría de los lugares, la película fue encontrado para comportarse como una película constituida por dos capas. La capa superficial era delgada (5 a 25) nm) con un valor reducido del módulo de Young en el rango de 15 – 20 GPa. El espesor de la Se encontró que la capa inferior varía entre 0 (sin capa inferior, ejemplo de las figuras 1 y 2) y 100 Los nanómetros y su módulo elástico estaban en el rango 110 - 120 GPa. ZDTP + MoDTC + detergente/dispersante Tribofilm sin lavar 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Primera prueba, antes de cualquier contacto Sin escaneado preliminar Después de escanear o tomar imágenes Figura 7: Curvas de dureza representativas obtenidas en el ZDTP sin lavar + MoDTC + detergente/tribofilm dispersante ("formulación completa"), antes de cualquier contacto y en la región cercana los primeros contactos, ya sea sin exploración preliminar de la superficie o después de escanear/imagen procedimiento. La Figura 8 compara curvas de dureza representativas para todos los tribofilms probados. Para el ZDTP + Tribofilms MoDTC, tres curvas se trazan debido a la variedad de resultados obtenidos revelando la heterogeneidad espacial de este tricofilm. Una curva de dureza representativa para el ZDTP tribofilm probado en las mismas condiciones en un estudio anterior [16] se ha añadido para comparación. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Profundidad total de penetración (nm) ZDTP, disolvente lavado MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar (2 pruebas) ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 8: Comparación de las curvas de dureza obtenidas en los diferentes tricofilms. Los la curva de dureza obtenida para un tribofilm antidesgaste ZDTP obtenida de un estudio anterior es trazado para la comparación. 4.2. Experimentos de nanofricción Los experimentos de nanofricción se llevaron a cabo en los tres tribofilms anteriores y también en un ZDTP tribofilm y en un ZDTP + detergente/tribofilm dispersante. Con el fin de simplificar la en los gráficos siguientes, sólo se trazó una curva representativa para cada tribofilm (o dos cuando era necesario para ilustrar la dispersión cuando era significativo). La figura 9 muestra la evolución de la fuerza de fricción frente a la fuerza normal para el ensayo Tribofilms. Para una formulación dada, había muy poca diferencia entre los resultados se obtiene en tricofilm sin lavar y en tricofilm lavado con disolvente a baja carga, lo que indica que El lavado con disolvente no parece afectar al comportamiento de fricción de la tribofilm. Esto está de acuerdo. con la idea de que la capa viscosa suave se supone que sirve como precursor para el tricofilm en lugar de que juega un papel mecánico durante la fricción. 0 3 6 9 12 15 Fuerza normal, Fz (μN) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 9: Fuerza de fricción (Fx) versus fuerza normal (Fz) durante los ensayos de nanofricción con aumento de la profundidad de penetración para diferentes tricofilms. También vale la pena señalar que la heterogeneidad en las propiedades mecánicas encontradas en el ZDTP + El tribofilm MoDTC también existe en las propiedades de fricción. Para este tribofilm, la fuerza de fricción a bajas cargas normales pueden ser comparables a la fuerza de fricción obtenida para el ZDTP tribofilm o a la fuerza de fricción obtenida para la "formulación completa" tribofilm. En las condiciones de ensayo actuales, se puede observar que las fuerzas de fricción más bajas fueron obtenidos para películas que contengan MODTC junto con ZDTP. Los más altos se obtuvieron para el Tribofilm del MoDTC solo. La Figura 10 muestra la evolución del coeficiente de fricción versus la presión media. La existencia de bajos valores de coeficiente de fricción (0,010,05) parece estar relacionado tanto con la presencia de Aditivo MoDTC en el lubricante inicial y a la capacidad para que el tribofilm alcance suficiente valores de alta presión (1,5 – 3 GPa) durante el ensayo de fricción. Por lo tanto, el MoDTC tribofilm, que no es capaz de resistir a la presión de contacto aumentando sus propiedades mecánicas parece ser ineficaz en la reducción de la fricción, contrariamente a los tribofilms que contienen ZDTP y MoDTC juntos, que son capaces de adaptarse a la presión de contacto mediante el aumento de su mecánica propiedades. Sin embargo, ambos comportamientos (alta o baja fricción) fueron observados para el ZDTP + Tribofilms MoDTC. Esto es ciertamente debido a la heterogeneidad espacial de estos tricofilms, que se comportan en algunos lugares como ZDTP tribofilms, o en otros como "formulación completa" Tribofilms. También se observó que los tribofilms formados sin MoDTC eran ineficaces en reducir la fricción aunque se hayan alcanzado altas presiones de contacto durante los ensayos de fricción. 0 1 2 3 4 5 6 Presión media P (GPa) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 10: Coeficiente de fricción aparente frente a la presión media para los diferentes ensayos Tribofilms. Cuando se traza la evolución del coeficiente de fricción frente a la profundidad de penetración (figura 11), parece que, cuando existía, el bajo coeficiente de fricción dominio fue detectado unos pocos nanometros debajo de la superficie del tribofilm. También demuestra que, para la formulación completa, la El dominio de baja fricción era más profundo para el tribofilm sin lavar que para el disolvente lavado. El tricofilm sin lavar parece estar cubierto por una capa superficial con bastante mala fricción propiedades, que pueden eliminarse mediante lavado con disolventes o mediante barrido "mecánico" (carga baja) procedimientos de escaneo, por ejemplo). 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Profundidad de penetración (nm) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 11: Coeficiente de fricción aparente frente a profundidad de penetración para los diferentes ensayos Tribofilms. 5. Discusión Debido a la naturaleza inhomogénea y irregular de las tricofilms antidesgaste y a su baja espesor, se publican muy pocos resultados relativos a sus propiedades mecánicas [24-28]. Por otra parte, las diferencias en la preparación de la muestra y la diversidad de técnicas utilizadas y los procedimientos experimentales hacen delicada la comparación de los resultados obtenidos. Por ejemplo, los valores del módulo de Young dados por Aktary et al. para un tribofilm ZDTP [28] son significativamente más alto que aquellos que medimos pero una explicación puede ser que no tuvieron en cuenta la elasticidad del sustrato en sus cálculos, contrariamente a lo que se hace en el estudio actual. O si intentamos comparar nuestros resultados con los publicados recientemente por Ye et al. sobre ZDTP y ZDTP + MoDTC tribofilms [14, 15], esto revela diferencias significativas. Por ejemplo, Ye et al. encontró que ambos tribofilms poseen la misma dureza y la misma distribución de la profundidad del módulo, correspondientes a materiales clasificados de manera continua y funcional, cuando en el presente trabajo, las curvas de dureza de tribofilms similares no coincidían y el uso de nuestra película reológica modelo nos permitió describir los tribofilms como materiales en capas con propiedades adaptables a condiciones de contacto. Los valores de dureza y módulo, respectivamente 10 GPa a una profundidad de contacto de 30 nm y 215 GPa a una profundidad de 20 nm, que también reportaron ser significativamente más altos que los medidos y también más altos que los dados por Aktary et al. Esto podría deberse a diferencias en la preparación de la muestra y también, sin duda, en el uso de diferentes métodos y hipótesis para el tratamiento de los datos de la nanodentación. En cuanto al comportamiento de fricción de los tribofilms, las pruebas de nanofricción presentadas fueron: realizado en condiciones no lubricadas, a muy baja velocidad (2 a 5 nm/s) y medida Los coeficientes de nanofricción corresponden a la fricción entre la punta del diamante y la tribofilm (sobre su sustrato de acero). Es por eso que también parece difícil comparar nuestros valores con valores del coeficiente de fricción macroscópica obtenidos en tribometros clásicos. Estos últimos son: representante del acero sobre el contacto del acero en presencia de un tribofilm y se promedian sobre el toda la superficie de contacto. Sin embargo, nuestros valores locales no están lejos del final de la prueba Amsler valores del coeficiente de fricción macroscópica publicados por Pidduck y Smith [25] para ZDTP, ZDTP + detergente/dispersante y ZDTP + tribofilms modificadores de fricción. Por otra parte, estos Los valores macroscópicos fueron proporcionales, con un factor 0,7, a la microfricción. valores de coeficiente medidos con Microscopía de Fuerza Lateral por los mismos autores, haciendo Sugiere que puede existir un vínculo entre el comportamiento macro y micro-fricción de regiones suaves de tricofilms antidesgaste. Desafortunadamente, ningún tribofilm obtenido por fricción solo modificador fueron probados en este estudio, con el que podríamos comparar nuestros resultados. Sin embargo, los valores del coeficiente de fricción macroscópica, en el rango 0,10 – 0,14, medidos en Muraki y Wada [6] notificaron una bola alternativa en el tribómetro de plano para el petróleo que contenga solo el MDDC. Llegan a la conclusión de que ese lubricante fue ineficaz en la reducción fricción, contrariamente al aceite que contiene MoDTC junto con ZDTP. Más recientemente, similar altos valores del coeficiente de fricción macroscópica (en el rango 0,095 – 0,2) fueron medidos por Unnikrishnan et al. en el caso del aceite que contenga solo MoDTC [29]. Por otro lado, Grossiord et al. Coeficiente de fricción en estado estacionario muy bajo (0,04) medido para el aceite de base + MoDTC durante los ensayos de fricción con SRV, y un valor en estado estacionario inferior (0,02) para los ensayos de fricción en un VHU tribómetro, llevado a cabo deslizando un perno de acero macroscópico hemisférico de nuevo un plano cubierto por un tribofilm del MDDC [13]. De los ensayos realizados en una plataforma de alta frecuencia recíproca, Graham et al. [30] también informó de que, en ausencia de ZDTP, los aditivos MoTDC eran eficaz en la reducción de la fricción a una combinación de alta concentración aditiva y alta temperatura (hasta 0,4% wt. y 200°C). Esta diversidad de resultados, ciertamente en parte debido a la varias condiciones de prueba, hace una comparación poco razonable entre la muy alta Coeficiente de nanofricción medido en el tribofilm del MoDTC en el presente ensayo las condiciones y los valores publicados. Como, con respecto a la literatura, la formación de MoS2 fue bien establecido para los lubricantes que contienen el MoDTC, la pregunta es cómo podemos explicar alto coeficiente de fricción durante las pruebas de nanofricción? O lo que causó la muy baja fricción observado cuando ZDTP se utilizó junto con MoDTC? A partir de la figura 10, la baja fricción se observaron valores de coeficiente (0,010,05) para los lubricantes que contienen MoDTC cuando la presión de contacto estaba en el rango de 1,5 – 3 GPa (la cuestión de la heterogeneidad espacial de el Tríbofilm ZDTP + MoDTC se discutirá último). Estas altas presiones se midieron. para tricofilms capaces de aumentar sus propiedades mecánicas, acomodando así el contacto condiciones, lo que se demostró en el caso de los tribofilms antidesgaste ZDTP [16]. En el Por otra parte, no se alcanzaron altas presiones para el suave MoDTC tribofilm. Por lo tanto, el fácil el deslizamiento de las hojas del MoS2 podría resultar de una orientación favorable inducida por altos valores de presión de contacto. La capacidad de MoS2 hojas para orientar en una dirección favorable fue reportado por Grossiord et al. [31] y Martin et al. [32], que recientemente investigó interacciones triboquímicas entre ZDTP, MoDTC y OCB (detergente sobrebasado calcio borato) aditivos. Uso de observaciones TEM de alta resolución de residuos de desgaste, junto con el desgaste micro-punto cicatrizado XPS análisis, observaron perfectamente orientado MoS2 hojas, con sus basales plano paralelo a los fragmentos de desgaste escamoso. Tal interpretación "mecánica" del papel de la La presión de contacto concuerda con el trabajo previo de Muraki et al. que estudió el efecto del rodillo dureza en las características de deslizamiento de rodadura de MoDTC en presencia de ZDTP y concluyó que el efecto de reducción de fricción aumentó con un mayor grado de dureza del rodillo [10]. Yamamoto también informó que una condición necesaria para mejorar la fricción y el desgaste características de un lubricante fue la formación de películas de superficie compuestas de fosfatos de hierro con alta dureza y compuestos Mo-S [11]. En cuanto a la heterogeneidad espacial de la ZDTP + MoDTC tribofilms, puede valer la pena señalar que el uso de alta resolución TEM observaciones de los restos de desgaste recogidos después de las pruebas de fricción, junto con los estudios AES y XPS de superficies de frotamiento, Grossiord et al. describe el ZDTP + MoDTC tribofilm como compuesta de una mezcla de zonas de fosfato de zinc vidrioso que contienen molibdeno, y zonas ricas que contienen zinc y hojas simples de MoS2 altamente dispersas [13, 33]. La observación de que, durante las pruebas de nanofricción, el dominio de baja fricción fue localizado unos pocos los nanómetros debajo de la superficie también corroboran esta interpretación. Como las pruebas de nanofricción se llevaron a cabo a una profundidad cada vez mayor, las presiones lo suficientemente altas se obtuvieron después de profundidad de penetración de los nanómetros dentro de la capa que contiene el MoS2 (con propiedades similares a las del MoDTC tribofilm), gracias a la presencia de la capa antidesgaste inferior resistente, que las características son similares a las de la capa de fosfato del tribofilm ZDTP. Finalmente, combinando los resultados obtenidos de la nanoindentación y la nanofricción experimentos, podemos proponer una posible descripción esquemática de los tribofilms anti-desgaste obtenido a partir del aceite de "formulación completa". También se hacen algunas suposiciones sobre lo que pasó durante los ensayos de nanofricción de estos tribofilms (véase la figura 12 en la que, para un dibujo conveniente, como la punta de diamante Berkovitch no es afilada, fue representado por un punzón plano). Una capa blanda que contiene hojas MoS2 no orientadas está presente en la superficie del tribofilm (capa a) de la figura 12). Esta capa, de 0 a 25 nm de espesor, tiene propiedades mecánicas comparables con los del MoDTC tribofilm (0,3 – 0,5 GPa para la dureza y 3 – 10 GPa para el reducción del módulo de Young). Su coeficiente de fricción es bastante alto. Esta capa se daña fácilmente o retirado por la punta del diamante durante los procedimientos de obtención de imágenes o escaneado de líneas. Cuando el contacto la presión es suficientemente alta, la fricción induce una orientación favorable de las hojas MoS2, sobre un espesor de 1 o 2 nanómetros (capa (b) de la figura 12), lo que da lugar a una fricción muy baja valores de coeficiente que se combinan con la eficiencia antidesgaste del tricofilm. Debajo de esto capa, entonces hay una capa anti-desgaste (capa (c) en la figura 12), con propiedades similares a las de la capa de polifosfato del tribofilm ZDTP. Entonces, justo sobre el sustrato (anotado (e)in Figura 12), hay una capa de unión (capa (d) en la figura 12) con altas propiedades mecánicas (óxidos, sulfuros). Figura 12: Posible descripción esquemática del tribofilm antidesgaste obtenido del "pleno" formulación" y orientación de los planos MoS2 de la capa exterior resultante de una pruebas de nanofricción (para el dibujo conveniente, como la punta de diamante de Berkovitch no es afilada, fue representado por un golpe plano). El espesor de cada capa se dibuja de forma arbitraria, ya que varía significativamente dependiendo de la zona de ensayo (desde cero cuando la capa no está presente a unos pocos decenas de nanómetros). a) Capa blanda que contiene hojas MoS2 no orientadas, con propiedades mecánicas comparables a los del Tribofilm del MoDTC, b) Capa de hojas MoS2 orientadas favorablemente a la fricción con un espesor típico de 1 o 2 nm, c) Capa con propiedades similares a las de la capa de polifosfato del tribofilm ZDTP, d) Capa de unión con altas propiedades mecánicas (óxidos, sulfuros), e) Sustrato de acero. 6. Conclusiones Gracias a la combinación de (i) experimentos de nanoindentación con rigidez continua mediciones combinadas con procedimientos de obtención de imágenes, ii) una película reológica desarrollada específicamente modelo y iii) pruebas de nanofricción, efectos sinérgicos de ZDTP y MoDTC sobre la fricción El comportamiento de los tribofilmos antidesgaste se ha demostrado por consideraciones mecánicas. Uno La característica original de este estudio reside en la caracterización de los tribofilms antidesgaste sin lavar con su estructura completa preservada. La estructura y las propiedades nanomecánicas (dureza y reducción del módulo de Young) de tribofilms formados con diferentes mezclas de aditivos (ZDTP, MoDTC, detergente/dispersante) se determinaron por primera vez. Con respecto a la aparición de una fricción muy baja (0.010.05), se encontró la presión de contacto ser un parámetro crítico. Los bajos valores del coeficiente de fricción se atribuyeron a una orientación de las láminas MoS2 presentes en la capa exterior de los tricofilms formados a partir de MoDTC que contengan lubricantes. Esta orientación favorable sólo se produce si el contacto es suficientemente alto. se alcanzó la presión. Estas altas presiones de contacto se alcanzaron cuando ZDTP se utilizó como aceite aditivo junto con MoDTC porque una de las principales características de los aditivos ZDTP es para formar tricofilms protectores antidesgaste bajo lubricación de contorno, con estructura variable y propiedades con profundidad, entre las cuales es una increíble capacidad para aumentar su mecánica propiedades, adaptando así las condiciones de contacto. Una posible descripción esquemática de los tribofilms que contienen ZDTP y MoDTC fue: deducido y se propuso un mecanismo para dar cuenta de la sinergia mecánica que se produce durante las pruebas de nanofricción en tales tribofilms. Reconocimiento Los autores agradecen a Shell Research Limited por el apoyo financiero y el permiso para publicar. Bibliografía [1] F. G. Rounds, ASLE Transactions, 24 (4) (1980) 431-440. [2] M. Muraki y H. Wada, Tribology International, 35 (2002) 857-863. [3] Z. Yin, M. Kasrai, M. Fuller, G. M. Bancroft, K. Fyfe y K. H. Tan, Wear, 202 (1997) 172-191. [4] Z. Yin, M. Kasrai, G. M. Bancroft, K. Fyfe, M. L. Colaianni y K. H. Tan, Wear, 202 (1997) 192-201. [5] P. A. Willermet, D. P. Dailey, R. O. Carter III, P. J. Schmitz, W. Zhu, J. C. Bell y D. Park, Tribology International, 28 (3) (1995) 163-175. [6] M. Muraki y H. Wada, en Lubricantes y Lubricación - Actas de Leeds-Lyon 21, D. Dowson y otros , Elsevier, Tribology Series, 30, (1995) 409-422. [7] A. K. Misra, A. K. Mehrotra y R. D. Srivastava, Wear, 31 (2) (1975) 345-357. [8] M. D. Johnson, R. K. Jensen y S. Korcek, SAE Technical Paper Series, Motor Oil Reología y Tribología (SP-1303) - n°972860, (1997) 37-47. [9] P. A. 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La estructura en capas y las propiedades reológicas de las películas antidesgaste, generado en un contacto de laminación/deslizante de lubricantes que contienen zinc dialquilditiofosfato (ZDTP) y/o dialquilditiocarbamato de molibdeno (MoDTC) aditivos, han sido estudiados por experimentos dinámicos de nanoindentación acoplados con un simple modelado de las mediciones de rigidez. Nanofricción local los experimentos se llevaron a cabo con el mismo dispositivo con el fin de determinar el evolución del coeficiente de fricción en función de la presión aplicada para las diferentes formulaciones lubricantes. Para la película MoDTC, la presión aplicada en el ensayo de fricción permanece bajo (< 0,5 GPa) y la fricción aparente El coeficiente es alto ($\mu$ > 0,4). Para los tribofilms que contengan juntos MoDTC con ZDTP, lo que permite que la presión aplicada aumente hasta unos pocos GPa a través de algún proceso de adaptación, aparece un dominio de muy baja fricción (0.01 < $\mu$ < 0.05), localizado a pocos nanómetros debajo de la superficie del tribofilm. Este bajo coeficiente de fricción se atribuye a la presencia de aviones MoS2 se deslizan unos sobre otros en una configuración favorable obtenida la presión es suficientemente alta, lo que es posible gracias a la presencia de ZDTP.

Introducción Además de los aditivos de dialquilditiofosfato de zinc (ZDTP), ampliamente utilizados para propiedades antioxidantes y anti-desgaste excepcionales en condiciones límite en la automoción los motores, los aceites lubricantes contienen varios aditivos, entre los cuales hay detergente y aditivos dispersantes cuya función principal es mantener los contaminantes y la degradación insolubles del aceite productos en suspensión, a temperatura elevada para los aditivos detergentes, y a baja temperaturas para los dispersantes. Compuestos orgánicos de molibdeno como el molibdeno El ditiocarbamato (MoDTC) también se utiliza como modificador de la fricción para ahorrar energía. Sin embargo, cuando se utilizan juntos en aceites formulados, los aditivos interactúan de diversas maneras resultando en sinergias o efectos adversos que afectan al rendimiento del aceite en relación con el desgaste y la fricción comportamiento y modificación de las características de las películas superficiales de protección generadas durante fricción (tribofilms). Se han llevado a cabo muchas investigaciones para evaluar los resultados de mezclas aditivas y para determinar la composición de los tribofilmos asociados. Varios se identificaron factores que desempeñaban un papel: estructura aditiva [1, 2], concentración de aditivos [3- 6], la naturaleza del aceite de base [7, 8],..., o combinaciones de estos parámetros. Un examen detallado de la La información publicada sobre este tema fue escrita por Willermet [9]. Parámetros no químicos características de los antagonistas sólidos (dureza, rugosidad) o condiciones de ensayo (carga, temperatura, velocidad de deslizamiento) [3, 10] también podría influir en las interacciones aditivas. Entre esta variedad de interacciones aditivas, nos centraremos en la que existe entre ZDTP y MoDTC, ampliamente estudiado a través de investigaciones químicas. Todos los trabajos publicados están de acuerdo sobre el hecho de que las prestaciones de fricción y antidesgaste de los aceites se mejoran cuando ZDTP y El MDDC se utilizan juntos. La formación de disulfuro de molibdeno (MoS2) en el roce las superficies han sido evidenciadas por varios autores [11, 12]. Uso de pruebas de fricción UHV, acopladas con observación TEM de alta resolución de desechos de desgaste y estudios espectroscópicos, Grossiord et al. ha dado pruebas del mecanismo de lubricación única de chapa MoS2 [13]. El objetivo de este trabajo es ampliar el conocimiento de la mecánica local y la fricción propiedades de los tricofilms antidesgaste a los de las películas obtenidas a partir de lubricantes que contengan diferentes aditivos (ZDTP, MoDTC, detergente/dispersante) o mezclas de aditivos, con el fin de explorar la sinergia ZDTP/MoDTC en un punto de vista mecánico. Los únicos resultados publicados sobre ese tema están los recientes trabajos de Ye et al. que realizó observaciones de AFM y mediciones de nanoindentación en los tribofilms ZDTP y ZDTP + MoDTC [14, 15]. En el presente estudio, las pruebas de nanoindentación con mediciones continuas de rigidez fueron: realizado en tricofilms sin lavar y con disolvente para determinar su mecánica propiedades. El comportamiento de fricción de los tribofilms fue investigado a través de experimentos de nanofricción, realizados con el mismo dispositivo. La evolución de la fricción coeficiente en función de la presión aplicada para las diferentes formulaciones lubricantes se han determinado diferentes tricofilms. 2. Resultados preliminares obtenidos en los tribofilms antidesgaste de ZDTP La estructura y las propiedades reológicas de las películas anti-desgaste de un zinc solución de dialquilditiofosfato (ZDTP) generada en un contacto de rodadura/deslizante, simulando las condiciones del tren de la válvula del motor, se han estudiado en detalle con la fuerza analítica y superficial las herramientas y los resultados han sido publicados por los autores en un artículo anterior [16]. Como preámbulo En el presente documento sólo se resumen los puntos principales. La solución de ZDTP fue un aditivo secundario alquil ZDTP comercial con un 0,1% de peso fósforo en un aceite base altamente refinado. Las películas anti-desgaste ZDTP tienen una estructura compleja que ha sido determinado por el uso extensivo de técnicas analíticas de superficie. Se ha mostrado que las películas ZDTP consistían en al menos tres capas no homogéneas: en la superficie de acero, hay una capa de sulfuro/óxido, que está casi completamente cubierta por un fosfato protector capa, con la adición de una capa viscosa de los precipitados de degradación de ZDTP (alquilo fosfato precipitado). Esta última capa fue removida cuando la película fue lavada con un disolvente de alcano. Por lo tanto, las propiedades de las películas ZDTP han sido estudiadas antes y después del lavado con disolvente con n-heptano. En primer lugar, los experimentos de compresión de esfera/plano fueron realizado con un aparato de fuerza de superficie (SFA) en películas sin lavar, mostrando que la capa excesiva de precipitados de alquilofosfato fue heterogénea y discontinua, con una espesor de unos 900 nm. En segundo lugar, las propiedades mecánicas se obtuvieron de experimentos de nanoindentación, realizados después de reemplazar la esfera por una punta de diamante, y junto con procedimientos de imagen topográfica in situ para medir el área de contacto. Del experimentos de hendidura, las propiedades de las películas se determinaron a partir de la rigidez normal medidas y mediante la aplicación de un modelo de película reológica. En los que no están lavados probetas, la capa viscosa de precipitados de fosfato alquilo fue detectada por la hendidura pruebas. Es una capa muy suave, móvil bajo la punta del diamante, con un espesor de unos pocos cientos de nanómetros, que estaba bien de acuerdo con el de los experimentos esfera/plano. Lo fue. también demostró que los experimentos de hendidura quitaron esta capa en la proximidad de la punta, Probablemente a través de un mecanismo de flujo de cizallamiento. Este procedimiento se puede comparar con un suave Barrer "mecánico" y las propiedades mecánicas de los tribofilms ZDTP después de tal limpieza se encontró que eran similares a las de las muestras lavadas con disolvente. El disolvente lavado las tribofilm, que comprenden capas de sulfuro y fosfato, presentaban un comportamiento elastoplásico y, durante la fase de carga de la hendidura, la dureza y el módulo de la capa de fosfato aumentó de sus valores iniciales de aproximadamente 2 GPa para la dureza y entre 30 y 40 GPA para el módulo de Young. En particular, la dureza inicial de la la capa de polifosfato al comienzo de los ensayos de hendidura se aproximó a la media aplicada presión durante la generación de películas. Esto sugirió que la capa acomodaba el contacto presión en el tribotesto o durante la fase de carga de la hendidura, y podría ser, por lo tanto, considerado como un sensor de presión final y local. Las características de las películas ZDTP completas garantizan cambios graduales en las propiedades mecánicas entre el sustrato, las capas de unión y el exterior capas con la capa viscosa que sirve como precursor de la tricofilm. Las propiedades de estos las películas en capas pueden así adaptarse a una amplia gama de condiciones impuestas y proporcionar nivel de resistencia al contacto entre las superficies metálicas. A medida que aumenta la gravedad de la carga, también lo hacen las fuerzas resistivas dentro de la película. Esto asegura que el plano de cizallamiento permanezca localizado dentro de la película protectora ZDTP, lo que explica la eficiencia excepcional de las películas ZDTP como películas anti-desgaste. 3. Experimental 3.1. Tribofilms Los tribofilms fueron generados en el Centro de Investigación y Tecnología Shell, Thornton, Reino Unido, con una máquina Amsler recíproca [17] diseñada para simular las condiciones de contacto de la sistema de leva/seguidor en un tren de válvulas de motor de combustión interna. Un espécimen de bloque plano (8 mm x 8 mm de tamaño, 4 mm de espesor) tiene un movimiento recíproco en contacto cargado con una rotación disco. El bloque y el disco se fabricaban en acero EN31 endurecido. La atención especial fue tomado con la rugosidad de los bloques que fueron pulidos hasta que la rugosidad media fue Ra = 0,01 μm. El movimiento del bloque fue conducido por una manivela vinculada al movimiento de la eje de disco a través de una caja de cambios. El movimiento de bloqueo fue aproximadamente sinusoidal y al mismo tiempo frecuencia como la rotación del disco. La carga fue aplicada al contacto por un arreglo de resorte, actuando a través de un rodamiento de rodillos. La superficie en contacto con el rodamiento de carga (superficie trasera) del elemento recíproco) fue curvado para permitir la auto-alineación entre el bloque y el disco. Las películas se generaron a una carga normal de 400 N (presión media de contacto de 0,36 GPa), velocidad de 600 rev/min., temperatura de bloque de aproximadamente 100°C durante 5 horas. Los lubricantes consistían en un aceite base altamente refinado con diferentes aditivos comerciales (detalles de la formulación de aceite no es pertinente para el presente trabajo: - Solución MoDTC, - Solución ZDTP + MoDTC, - ZDTP + MoDTC + detergente/solución dispersante ("formulación completa"). El área de frotación en el bloque pulido era típicamente de 5 mm de largo en la dirección de deslizamiento. Los análisis anteriores han demostrado que la composición en el centro de la pista de desgaste fue razonablemente uniforme, mientras que la composición dentro de 1 mm de los extremos de la pista de desgaste podría varían significativamente. Las medidas mecánicas en las películas con la Fuerza de la Superficie Se han realizado aparatos en la zona central de la pista de desgaste. Otra cosa no utilizada y bloque pulido se utilizó para obtener valores de referencia para el sustrato de acero EN31. Para preservar las estructuras de la película, los bloques fueron almacenados en el aceite de base (que contiene hidrocarburos predominantemente parafínicos, con una concentración muy baja de compuestos polares) inmediatamente después de la producción de las películas en las pruebas correspondientes de Amsler y fueron inmerso de nuevo, cuando no está en uso. 3.2. Aparatos de fuerza de superficie La Ecole Centrale de Lyon Surface Force Apparatus (SFA) utilizada en estos experimentos descrita en publicaciones anteriores [18, 19]. El principio general es que un macroscópico cuerpo esférico o una punta de diamante se puede mover hacia y lejos de una plana (el ZDTP espécimen) utilizando la expansión y la vibración de un cristal piezoeléctrico, a lo largo de los tres direcciones, Ox, Oy (paralelo a la superficie del plano) y Oz (normal a la superficie del plano). Los El espécimen plano está apoyado por sensores de doble voladizo, que miden la normalidad cuasiestática y fuerzas tangenciales (respectivamente Fz y Fx). Cada uno de ellos está equipado con un sensor capacitivo. La alta resolución del sensor permite un cumplimiento muy bajo para ser utilizado para la fuerza medición (hasta 2 x 10-6 m/N). Tres sensores capacitivos fueron diseñados para medir desplazamientos en las tres direcciones entre los soportes de los dos sólidos, con una resolución de 0,01 nm en cada dirección. Cada capacitancia del sensor fue determinada mediante su incorporación en un oscilador LC que funcione en el intervalo de 5 a 12 MHz [20]. 3.3. Metodología de los ensayos Todos los experimentos se llevaron a cabo a temperatura ambiente. Resultados preliminares obtenidos en películas anti-desgaste de una solución ZDTP han demostrado que el lavado de n-heptano daña la película [16]. Es por eso que los bloques fueron probados primero como se obtuvo de la prueba de fricción de Amsler, sin ninguna limpieza y segundo después de lavar con n-heptano. Los especímenes sin lavar fueron montados en el SFA como tomados del aceite de base de almacenamiento. El exceso de aceite de base era simplemente removido colocando el lado del espécimen sobre papel absorbente, lo que permitió que la superficie estar siempre conservados por una película de aceite (espesor > 10 μm). Ensayos de nanoindentación El objetivo de estas pruebas fue determinar las propiedades elastoplásicas de los tribofilms (dureza). y el módulo de Young) y su estructura “mecánica” (número de capas y estimación de el espesor de cada capa que constituye la película). El método utilizado para realizar El experimento de nanoindentación con el AFS ya se ha publicado en detalle [21]. Específico se han desarrollado procedimientos para la caracterización de los tribofilms de ZDTP y descrita en documentos anteriores [16, 22]. En este estudio, la determinación de la superficie cercana propiedades mecánicas (primeros nanómetros) se obtuvieron a través de una calibración específica de la forma de la punta, realizado en una película de oro depositada por magnetrón sputtering en un sustrato de silicio. Esto película era muy suave (pico a valle rugosidad alrededor de 1 nm, medida en una longitud de escaneo de 1 μm) y su dureza fue constante frente a la profundidad de la superficie y hasta la penetración profundidad igual al espesor de la película de oro [21]. Para los experimentos de nanoindentación, una punta de diamante trigonal con un ángulo de 115,12° entre se utilizaron bordes (tipo Berkovitch). Las pruebas de hendidura se realizaron en modo de desplazamiento. La configuración estándar incluía las mediciones cuasiestáticas continuas de la fuerza normal resultante Fz versus el desplazamiento normal Z, a una penetración lenta velocidad, generalmente de 0,1 a 0,5 nm/s. También incluyó las mediciones simultáneas de la Comportamiento reológico (contribuciones disipativas y conservadoras o elásticas) del ensayo superficie, gracias a pequeños movimientos sinusoidales simultáneos a una frecuencia de 37 Hz, con una Amplitud de aproximadamente 0,2 nm RMS. Además, el uso de la retroalimentación Z en la fuerza constante modo y el desplazamiento tangencial del dentador, la topografía de la superficie se imaginó antes y después del ensayo de hendidura, con la misma punta de diamante. Esto se hizo prácticamente posible debido a la recuperación elástica parcial durante el ciclo de descarga y, por lo tanto, la geometría de la punta y el guión eran diferentes, lo que era necesario para permitir la resolución de la sangría. Para este procedimiento de exploración, se utilizó normalmente una carga normal constante de 0,5 μN. Este procedimiento de imagen in situ permite al operador elegir con precisión la ubicación de la prueba de hendidura en la superficie y, después de la prueba, para cuantificar la acumulación de plástico alrededor de la y, por tanto, medir la zona de contacto real. Modelo de película reológica Las propiedades elásticas de las películas eran muy difíciles de extraer de las pruebas de hendidura por la influencia tanto del sustrato como de la propia estructura cinematográfica. Eran obtenidos a través de las mediciones de rigidez, que son globales (film+sustrato) medidas. Para extraer las propiedades de cada capa de la película, un modelo simple ha sido desarrollados, y sus principales características se describen de la siguiente manera. La rigidez experimental versus curva de desplazamiento normal fue identificado con la respuesta elástica de una estructura compuesta de una o dos capas elásticas homogéneas sobre un sustrato (medio espacio elástico semiinfinito) marcado por un punzón cilíndrico rígido de radio a. Para tal sistema, modelado por dos muelles conectado en serie [23], la rigidez global calculada (Kz) depende de la reducción de Young's módulo del sustrato (Es* con Es*=Es/(1- vs2)), medido sobre un bloque de acero no desgastado, superior el radio de contacto (a) y depende también de cuatro parámetros desconocidos que son los reducidos El módulo de Young (Ef*, Ef*=Ef/(1-vf2)) y el espesor (t) de cada capa. Para cada prueba, su los valores fueron ajustados para obtener un buen ajuste entre la curva de rigidez medida y el Calculado uno. Este procedimiento proporcionó la estructura (una o dos capas), el espesor y el módulo reducido de Young de cada capa que constituía los tricofilms. Los detalles se dan en: a documento anterior [16]. Siguiendo este modelo, la rigidez global de un sistema de una sola capa es dado por: 22K t a a E aEz f s η η * * 1).......................................................................................................................................................... Este modelo sencillo describe perfectamente el comportamiento de sistemas modelo como capas de oro en un sustrato de silicio [21]. En el caso de los tribofilms, las desviaciones pueden observarse en una fase crítica. presión o a una profundidad crítica a partir de la cual se puede encontrar la rigidez medida experimentalmente superar significativamente el teórico. Esto se interpreta como un cambio en la superficie propiedades debidas a la presión aplicada y parece estar relacionada con una dureza medida aumentar. De hecho, como la presión aplicada puede alcanzar valores mucho mayores que la dureza inicial valor de la superficie, el flujo de plástico resultante puede inducir una pequeña reducción de volumen y reordenamientos moleculares que podrían ser suficientes para inducir un cambio notable en la propiedades mecánicas. A partir de un valor umbral de presión, H0, la curva de rigidez fue entonces influenciado tanto por la elasticidad del sustrato como por el cambio en las propiedades mecánicas. Esto la dependencia de la presión se puede introducir en el modelo escribiendo que en el volumen deformado de material, cuando H>H0 (es decir, cuando la película se ajuste a la presión aplicada a través de aumento de dureza), el módulo de película Ef* es proporcional a la dureza (la relación Ef*/H se mantiene constante). Da la siguiente ecuación: EE = (2) Ef0* es el valor de módulo reducido de Young, cuando la presión aplicada es igual o inferior que la presión umbral H0. Cuando sea necesario, introduciendo este efecto en nuestra modelización y al ajustar el valor de la presión de umbral, fuimos capaces de encajar correctamente el conjunto curva de rigidez. Un ejemplo de tal ajuste se da en la figura 1. La evolución del módulo de película Ef* versus la profundidad plástica también se puede extraer de la ecuación 1 utilizando la Valores de rigidez globales medidos (film+sustrato) Kz y espesor de la película, t, de forma independiente de la ecuación 2. Esto permite comprobar si es proporcional a la dureza como se supone en ecuación 2. En el ejemplo mostrado figura 2, el módulo calculado de Young de la película (de la ecuación 1 con un espesor de película t=25 nm) es proporcional a la medida dureza con una relación media Ef*/H=16,5, en buena concordancia con la relación Ef0*/H0=17/1,05=16,2 obtenidos del ajuste de rigidez. Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 Profundidad de penetración (nm) Rigidez medida Rigidez calculada, t=25 nm, Efo*=17 GPa, sin ajuste a presión Rigidez calculada, t=25 nm, Efo*=17 GPa, con ajuste de presión, Ho=1,05 GPa Figura 1: Ejemplo de aplicación del modelo de película reológica: medida y calculada rigidez global para un tribofilm obtenido a partir de la formulación completa (MoDTC + ZDTP + detergente/dispersante). Se obtiene un buen ajuste entre los valores medidos y calculados con un sistema de una sola capa (espesor t=25 nm y módulo reducido de Young Ef0*=17 GPa) y un efecto de ajuste de presión de una presión umbral H0=1,05 GPa. t = 25 nmEf0* = 17 GPa H0 = 1,05 GPa Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Módulo reducido del tribofilm de Young, Ef* Dureza del tricofilm, H t = 25 nmEf0* = 17 GPa H0 = 1,05 GPa Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Módulo reducido del tribofilm de Young, Ef* Dureza del tricofilm, H Figura 2: Ejemplo de evolución del módulo de Young reducido y dureza versus profundidad plástica, para un tribofilm obtenido a partir de la "formulación completa" (MoDTC + ZDTP + detergente/dispersante). El módulo de la película del joven se calcula utilizando la ecuación 1 con el valores de rigidez medidos y utilizando únicamente el espesor de la película determinado a partir del ajuste mostrado Figura 1 (t = 25 nm). Experimentos de nanofricción Los experimentos de nanofricción se llevaron a cabo en los bloques moviendo la punta de diamante a lo largo de Ox dirección (paralelo a la superficie) a baja velocidad (2 a 5 nm/s) a lo largo de una distancia de 0,5 μm. Los objetivo de estas pruebas fue determinar cómo varía el coeficiente de fricción en función de la presión aplicada. Las pruebas se realizaron a una profundidad cada vez mayor monitoreada. Durante el pruebas, lo normal, Fz, y la tangencial, Fx, se registraron las fuerzas, lo que nos permitió calcular el coeficiente de fricción aparente μ=Fx/Fz (véase el ejemplo de la figura 3). Formulación completa (ZDTP+MoDTC+detergente/dispersante) Tribofilm lavado con disolvente 0 20 40 60 80 100 120 140 Tiempo (s) μ=Fx/Fz 0 5 10 15 20 25 Profundidad de penetración (nm) Ensayo de sangría Prueba de nanofricción Zona de contacto más pequeña Figura 3: Procedimiento utilizado para las pruebas de nanofricción. La punta del diamante está orientada al borde primero y los ensayos de nanofricción se llevan a cabo a una profundidad cada vez mayor monitoreada. Durante la prueba, la Se registran las fuerzas normales (Fz) y tangenciales (Fx). El coeficiente de fricción μ=Fx/Fz es calculado. Se observó una gran acumulación en el caso de la nanofricción con la cara orientada a la punta del diamante En primer lugar, que puede inducir una gran incertidumbre en el cálculo de la zona de contacto. Es por eso que los ensayos de nanofricción se realizaron primero al borde. En estas condiciones, la estimación de la presión aplicada a una profundidad determinada se obtuvo mediante pruebas de nanoindentación de baja carga, realizadas en la proximidad de las pruebas de nanofricción. Suponiendo que, a una profundidad dada, la dureza de el tribofilm debe ser el mismo para el ensayo de fricción y para el ensayo de sangrado cercano, área de contacto, y luego la presión aplicada, se obtuvieron de la diferencia entre el fuerza normal medida para los dos ensayos a la misma profundidad (véase el insértese en la figura 3). Usando el procedimiento de imagen in situ, figura 4 muestra un ejemplo de una imagen de la superficie de un tribofilm después de una prueba de nanofricción. 100 nm Comienzo de la pruebaComienza el desgaste Dirección de fricción 100 nm Comienzo de la pruebaComienza el desgaste Dirección de fricción Figura 4: Imagen típica de la superficie de un tribofilm después de una nanofricción experimento. La imagen se obtiene con el procedimiento de obtención de imágenes in situ. 4. Resultados La primera parte presenta las propiedades mecánicas de los diferentes tricofilms, determinados a partir de los experimentos de nanoindentación. Su estructura, una o dos capas, y su espesor eran Deducido del uso de nuestro modelo de película reológica. Los resultados relativos al comportamiento de fricción de los tribofilms se presentan en una segunda parte. 4.1. Estructura y propiedades mecánicas de los tribofilms Tribofilms del MODTC El tribofilm obtenido del aceite de base + MoDTC se ha probado sin lavar y después lavado con n-heptano. Incluso en el bloque de disolvente lavado, no fue posible hacer ninguna imagen topográfica local ni escaneo de línea preliminar a las pruebas de hendiduras, revelando que la película era muy suave y era fácilmente dañada por la punta del diamante. Dureza representativa En la figura 5 se muestran las curvas obtenidas en los tribofilms del MoDTC. MoDTC tribofilm 0 40 80 120 160 Profundidad de plástico (nm) Tribofilm sin lavar Tribofilm lavado con disolvente Figura 5: Curvas de dureza típicas obtenidas en los tribofilms del MoDTC. Abrir símbolos corresponden a curvas de dureza obtenidas en la película sin lavar. Símbolos negros corresponden a curvas de dureza obtenidas en la película lavada con disolvente. Se midieron propiedades mecánicas muy bajas en el tribofilm sin lavar del MoDTC. Los La dureza de la superficie osciló entre 0,02 y 0,1 GPa, lo que indica la presencia de una capa superficial muy suave cubriendo el tribofilm. Después de lavar con n-heptano, las pruebas de hendidura mostraron que esta capa ha sido retirado por el procedimiento de lavado. El resto de tribofilm era una capa homogénea suave, cuya dureza estaba típicamente en el rango de 0,4 - 0,5 GPa al principio de las pruebas. La adhesión a la punta del diamante fue detectada al final de la parte de descarga de las pruebas. Los espesor de la película y la estructura (número de capas) se han obtenido de la rigidez mediciones realizadas durante los experimentos utilizando el modelo de película reológica. La película parecía ser homogénea en su espesor, y para la mayoría de las pruebas, su elástico el comportamiento corresponde a la de una sola capa, con propiedades constantes versus profundidad. Los El espesor de la película se encontró entre 30 y 75 nm. El módulo reducido de Young fue típicamente igual a 7 – 8 GPa. ZDTP + Tribofilms MoDTC Desde la observación óptica, la película sin lavar de ZDTP + MoDTC era muy delgada. Esto fue confirmados por los ensayos de hendidura. Antes de cualquier contacto, una capa muy suave, de 60 a 120 nm de espesor, fue detectado en la superficie de la película sin lavar. Pruebas de detección realizadas después de escanear o tomar imágenes de la superficie de la película sin lavar (" barrer mecánico") mostró que la película era espacialmente heterogénea. Su espesor y su Las propiedades mecánicas variaron en función del lugar de ensayo: - En algunos lugares, sólo una capa muy delgada (unos pocos nanómetros de espesor) con un Young's reducido El módulo de 50 GPa cubría el sustrato de acero endurecido (pruebas A y B en la figura 6). - Se encontró una capa más gruesa (15 a 30 nm) con un módulo de Young reducido de 50 a 80 GPa en otros lugares (pruebas C y D en la figura 6), a veces con presión de alojamiento efecto (presión de umbral H0 = 4,8 GPa). Tal capa se comporta como la capa de sulfuro-óxido de ZDTP tribofilm [16]. - En otros lugares, la estructura del tricofilm era más compleja, con una capa suave que cubría un Uno más rígido. Por ejemplo, el ensayo E de la figura 6 corresponde a una capa blanda de 12 nm de espesor, con propiedades comparables a las del MoDTC tribofilm (dureza de 0,2 GPa y reducción El módulo de Young de 5 GPa) que cubre una capa más rígida, de 18 nm de espesor, con una reducción Módulo de Young de 50 GPa. Esta heterogeneidad fue confirmada por las pruebas de hendidura realizadas en el disolvente lavado. ZDTP + MoDTC tribofilm, donde se identificaron al menos tres tipos diferentes de película: - En algunos lugares, la película se comportó como un sistema de una capa, capaz de acomodar presión (umbral de presión 2,8 GPa). Su espesor era de entre 35 nm y 150 nm. Los la dureza de la superficie era de 2 a 3 GPa y el módulo reducido de Young era 55 - 65 GPA. - En otros lugares, la película se comportaba como una estructura bicapa: una capa superficial, alrededor de 25 nm de espesor, con propiedades comparables a las del MoDTC tribofilm (dureza de 0,3 - 0,4 GPa, módulo reducido de Young de 8 GPa), cubre una capa más rígida, 150 nm de espesor, con un módulo de Young reducido de unos 80 GPa. - En otros lugares, la película de superficie tenía entre 3 y 15 nm de espesor, con propiedades comparables a las propiedades inferiores medidas en el tribofilm ZDTP (dureza entre 1 – 1,5 GPa y reduce el módulo de Young alrededor de 10 GPa). Para algunas pruebas, esta película superficial fue capaz de acomodar la presión, con un umbral de presión de 1 – 1,5 GPa. Cubre un cuerpo más rígido. capa, de 10 a 55 nm de espesor, con un módulo de Young reducido que varía de 60 a 110 GPa. ZDTP+MoDTC tribofilm Bloque sin lavar 0 20 40 60 80 100 120 Profundidad de plástico (nm) Antes de cualquier contacto Después de la prueba de imagen A Después de la toma de imágenes - prueba B Después de la toma de imágenes - prueba C Después de la toma de imágenes - prueba D Después de la prueba de imagen E Figura 6: Curvas de dureza representativas obtenidas en el ZDTP + MoDTC sin lavar tribofilm, antes de cualquier contacto y después del procedimiento de imagen. La película es espacialmente heterogéneo en espesor y en propiedades mecánicas. ZDTP + MoDTC + tribofilms detergentes/dispersantes («tribofilms de formulación completa») Las pruebas de nanoindentación realizadas en zonas frescas, antes de cualquier contacto, demostraron que, en superficie del tricofilm sin lavar, había una capa muy suave, móvil bajo la punta del diamante, con un espesor aparente de unos pocos cientos de nanómetros. Las curvas de dureza representativas obtenidas en el bloque sin lavar cerca de estos contactos iniciales son: se muestra el gráfico 7. Contrariamente a la ZDTP + MoDTC tribofilm, la película se encontró espacialmente homogéneo. Sólo se encontró que su espesor variaba, dependiendo de la zona de ensayo. Una muy delgada se detectó una capa más blanda en la superficie del tricofilm, que no se resistió a la imagen ni exploración, excepto si la carga normal era muy baja (inferior a 0,3 μN). Esta capa tenía un valor de dureza (aproximadamente 0,3 – 0,4 GPa) comparable al valor de dureza del MoDTC Tribofilm. La gran dureza observada aumenta cuando la carga aumenta también indica que el tribofilm tenía una gran capacidad para adaptarse a la presión aplicada. Este resultado fue el siguiente: confirmada por la interpretación de las mediciones de rigidez utilizando el modelo reológico, que también mostró que el tricofilm tenía una estructura compleja. En su superficie, hubo primero un capa con un espesor de sólo unos pocos nanómetros (2 nm a 7 nm) y un Young's reducido módulo de 10 - 15 GPa. Luego, hubo una segunda capa (espesor entre 20 nm y 140 nm) con un módulo Young más reducido de 65 – 80 GPa. Un tribofilm similar se probó después del lavado de n-heptano. También tenía una gran capacidad de adaptarse a la presión aplicada. De las mediciones de rigidez, en la mayoría de los lugares, la película fue encontrado para comportarse como una película constituida por dos capas. La capa superficial era delgada (5 a 25) nm) con un valor reducido del módulo de Young en el rango de 15 – 20 GPa. El espesor de la Se encontró que la capa inferior varía entre 0 (sin capa inferior, ejemplo de las figuras 1 y 2) y 100 Los nanómetros y su módulo elástico estaban en el rango 110 - 120 GPa. ZDTP + MoDTC + detergente/dispersante Tribofilm sin lavar 0 10 20 30 40 50 60 Profundidad de plástico (nm) Primera prueba, antes de cualquier contacto Sin escaneado preliminar Después de escanear o tomar imágenes Figura 7: Curvas de dureza representativas obtenidas en el ZDTP sin lavar + MoDTC + detergente/tribofilm dispersante ("formulación completa"), antes de cualquier contacto y en la región cercana los primeros contactos, ya sea sin exploración preliminar de la superficie o después de escanear/imagen procedimiento. La Figura 8 compara curvas de dureza representativas para todos los tribofilms probados. Para el ZDTP + Tribofilms MoDTC, tres curvas se trazan debido a la variedad de resultados obtenidos revelando la heterogeneidad espacial de este tricofilm. Una curva de dureza representativa para el ZDTP tribofilm probado en las mismas condiciones en un estudio anterior [16] se ha añadido para comparación. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Profundidad total de penetración (nm) ZDTP, disolvente lavado MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar (2 pruebas) ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 8: Comparación de las curvas de dureza obtenidas en los diferentes tricofilms. Los la curva de dureza obtenida para un tribofilm antidesgaste ZDTP obtenida de un estudio anterior es trazado para la comparación. 4.2. Experimentos de nanofricción Los experimentos de nanofricción se llevaron a cabo en los tres tribofilms anteriores y también en un ZDTP tribofilm y en un ZDTP + detergente/tribofilm dispersante. Con el fin de simplificar la en los gráficos siguientes, sólo se trazó una curva representativa para cada tribofilm (o dos cuando era necesario para ilustrar la dispersión cuando era significativo). La figura 9 muestra la evolución de la fuerza de fricción frente a la fuerza normal para el ensayo Tribofilms. Para una formulación dada, había muy poca diferencia entre los resultados se obtiene en tricofilm sin lavar y en tricofilm lavado con disolvente a baja carga, lo que indica que El lavado con disolvente no parece afectar al comportamiento de fricción de la tribofilm. Esto está de acuerdo. con la idea de que la capa viscosa suave se supone que sirve como precursor para el tricofilm en lugar de que juega un papel mecánico durante la fricción. 0 3 6 9 12 15 Fuerza normal, Fz (μN) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 9: Fuerza de fricción (Fx) versus fuerza normal (Fz) durante los ensayos de nanofricción con aumento de la profundidad de penetración para diferentes tricofilms. También vale la pena señalar que la heterogeneidad en las propiedades mecánicas encontradas en el ZDTP + El tribofilm MoDTC también existe en las propiedades de fricción. Para este tribofilm, la fuerza de fricción a bajas cargas normales pueden ser comparables a la fuerza de fricción obtenida para el ZDTP tribofilm o a la fuerza de fricción obtenida para la "formulación completa" tribofilm. En las condiciones de ensayo actuales, se puede observar que las fuerzas de fricción más bajas fueron obtenidos para películas que contengan MODTC junto con ZDTP. Los más altos se obtuvieron para el Tribofilm del MoDTC solo. La Figura 10 muestra la evolución del coeficiente de fricción versus la presión media. La existencia de bajos valores de coeficiente de fricción (0,010,05) parece estar relacionado tanto con la presencia de Aditivo MoDTC en el lubricante inicial y a la capacidad para que el tribofilm alcance suficiente valores de alta presión (1,5 – 3 GPa) durante el ensayo de fricción. Por lo tanto, el MoDTC tribofilm, que no es capaz de resistir a la presión de contacto aumentando sus propiedades mecánicas parece ser ineficaz en la reducción de la fricción, contrariamente a los tribofilms que contienen ZDTP y MoDTC juntos, que son capaces de adaptarse a la presión de contacto mediante el aumento de su mecánica propiedades. Sin embargo, ambos comportamientos (alta o baja fricción) fueron observados para el ZDTP + Tribofilms MoDTC. Esto es ciertamente debido a la heterogeneidad espacial de estos tricofilms, que se comportan en algunos lugares como ZDTP tribofilms, o en otros como "formulación completa" Tribofilms. También se observó que los tribofilms formados sin MoDTC eran ineficaces en reducir la fricción aunque se hayan alcanzado altas presiones de contacto durante los ensayos de fricción. 0 1 2 3 4 5 6 Presión media P (GPa) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 10: Coeficiente de fricción aparente frente a la presión media para los diferentes ensayos Tribofilms. Cuando se traza la evolución del coeficiente de fricción frente a la profundidad de penetración (figura 11), parece que, cuando existía, el bajo coeficiente de fricción dominio fue detectado unos pocos nanometros debajo de la superficie del tribofilm. También demuestra que, para la formulación completa, la El dominio de baja fricción era más profundo para el tribofilm sin lavar que para el disolvente lavado. El tricofilm sin lavar parece estar cubierto por una capa superficial con bastante mala fricción propiedades, que pueden eliminarse mediante lavado con disolventes o mediante barrido "mecánico" (carga baja) procedimientos de escaneo, por ejemplo). 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Profundidad de penetración (nm) ZDTP, lavado con disolvente ZDTP + Det/Disp, lavado con disolvente MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, lavado con disolvente ZDTP + MoDTC, disolvente lavado ZDTP + MoDTC, sin lavar Formulación completa, sin lavar Formulación completa, lavada con disolvente Figura 11: Coeficiente de fricción aparente frente a profundidad de penetración para los diferentes ensayos Tribofilms. 5. Discusión Debido a la naturaleza inhomogénea y irregular de las tricofilms antidesgaste y a su baja espesor, se publican muy pocos resultados relativos a sus propiedades mecánicas [24-28]. Por otra parte, las diferencias en la preparación de la muestra y la diversidad de técnicas utilizadas y los procedimientos experimentales hacen delicada la comparación de los resultados obtenidos. Por ejemplo, los valores del módulo de Young dados por Aktary et al. para un tribofilm ZDTP [28] son significativamente más alto que aquellos que medimos pero una explicación puede ser que no tuvieron en cuenta la elasticidad del sustrato en sus cálculos, contrariamente a lo que se hace en el estudio actual. O si intentamos comparar nuestros resultados con los publicados recientemente por Ye et al. sobre ZDTP y ZDTP + MoDTC tribofilms [14, 15], esto revela diferencias significativas. Por ejemplo, Ye et al. encontró que ambos tribofilms poseen la misma dureza y la misma distribución de la profundidad del módulo, correspondientes a materiales clasificados de manera continua y funcional, cuando en el presente trabajo, las curvas de dureza de tribofilms similares no coincidían y el uso de nuestra película reológica modelo nos permitió describir los tribofilms como materiales en capas con propiedades adaptables a condiciones de contacto. Los valores de dureza y módulo, respectivamente 10 GPa a una profundidad de contacto de 30 nm y 215 GPa a una profundidad de 20 nm, que también reportaron ser significativamente más altos que los medidos y también más altos que los dados por Aktary et al. Esto podría deberse a diferencias en la preparación de la muestra y también, sin duda, en el uso de diferentes métodos y hipótesis para el tratamiento de los datos de la nanodentación. En cuanto al comportamiento de fricción de los tribofilms, las pruebas de nanofricción presentadas fueron: realizado en condiciones no lubricadas, a muy baja velocidad (2 a 5 nm/s) y medida Los coeficientes de nanofricción corresponden a la fricción entre la punta del diamante y la tribofilm (sobre su sustrato de acero). Es por eso que también parece difícil comparar nuestros valores con valores del coeficiente de fricción macroscópica obtenidos en tribometros clásicos. Estos últimos son: representante del acero sobre el contacto del acero en presencia de un tribofilm y se promedian sobre el toda la superficie de contacto. Sin embargo, nuestros valores locales no están lejos del final de la prueba Amsler valores del coeficiente de fricción macroscópica publicados por Pidduck y Smith [25] para ZDTP, ZDTP + detergente/dispersante y ZDTP + tribofilms modificadores de fricción. Por otra parte, estos Los valores macroscópicos fueron proporcionales, con un factor 0,7, a la microfricción. valores de coeficiente medidos con Microscopía de Fuerza Lateral por los mismos autores, haciendo Sugiere que puede existir un vínculo entre el comportamiento macro y micro-fricción de regiones suaves de tricofilms antidesgaste. Desafortunadamente, ningún tribofilm obtenido por fricción solo modificador fueron probados en este estudio, con el que podríamos comparar nuestros resultados. Sin embargo, los valores del coeficiente de fricción macroscópica, en el rango 0,10 – 0,14, medidos en Muraki y Wada [6] notificaron una bola alternativa en el tribómetro de plano para el petróleo que contenga solo el MDDC. Llegan a la conclusión de que ese lubricante fue ineficaz en la reducción fricción, contrariamente al aceite que contiene MoDTC junto con ZDTP. Más recientemente, similar altos valores del coeficiente de fricción macroscópica (en el rango 0,095 – 0,2) fueron medidos por Unnikrishnan et al. en el caso del aceite que contenga solo MoDTC [29]. Por otro lado, Grossiord et al. Coeficiente de fricción en estado estacionario muy bajo (0,04) medido para el aceite de base + MoDTC durante los ensayos de fricción con SRV, y un valor en estado estacionario inferior (0,02) para los ensayos de fricción en un VHU tribómetro, llevado a cabo deslizando un perno de acero macroscópico hemisférico de nuevo un plano cubierto por un tribofilm del MDDC [13]. De los ensayos realizados en una plataforma de alta frecuencia recíproca, Graham et al. [30] también informó de que, en ausencia de ZDTP, los aditivos MoTDC eran eficaz en la reducción de la fricción a una combinación de alta concentración aditiva y alta temperatura (hasta 0,4% wt. y 200°C). Esta diversidad de resultados, ciertamente en parte debido a la varias condiciones de prueba, hace una comparación poco razonable entre la muy alta Coeficiente de nanofricción medido en el tribofilm del MoDTC en el presente ensayo las condiciones y los valores publicados. Como, con respecto a la literatura, la formación de MoS2 fue bien establecido para los lubricantes que contienen el MoDTC, la pregunta es cómo podemos explicar alto coeficiente de fricción durante las pruebas de nanofricción? O lo que causó la muy baja fricción observado cuando ZDTP se utilizó junto con MoDTC? A partir de la figura 10, la baja fricción se observaron valores de coeficiente (0,010,05) para los lubricantes que contienen MoDTC cuando la presión de contacto estaba en el rango de 1,5 – 3 GPa (la cuestión de la heterogeneidad espacial de el Tríbofilm ZDTP + MoDTC se discutirá último). Estas altas presiones se midieron. para tricofilms capaces de aumentar sus propiedades mecánicas, acomodando así el contacto condiciones, lo que se demostró en el caso de los tribofilms antidesgaste ZDTP [16]. En el Por otra parte, no se alcanzaron altas presiones para el suave MoDTC tribofilm. Por lo tanto, el fácil el deslizamiento de las hojas del MoS2 podría resultar de una orientación favorable inducida por altos valores de presión de contacto. La capacidad de MoS2 hojas para orientar en una dirección favorable fue reportado por Grossiord et al. [31] y Martin et al. [32], que recientemente investigó interacciones triboquímicas entre ZDTP, MoDTC y OCB (detergente sobrebasado calcio borato) aditivos. Uso de observaciones TEM de alta resolución de residuos de desgaste, junto con el desgaste micro-punto cicatrizado XPS análisis, observaron perfectamente orientado MoS2 hojas, con sus basales plano paralelo a los fragmentos de desgaste escamoso. Tal interpretación "mecánica" del papel de la La presión de contacto concuerda con el trabajo previo de Muraki et al. que estudió el efecto del rodillo dureza en las características de deslizamiento de rodadura de MoDTC en presencia de ZDTP y concluyó que el efecto de reducción de fricción aumentó con un mayor grado de dureza del rodillo [10]. Yamamoto también informó que una condición necesaria para mejorar la fricción y el desgaste características de un lubricante fue la formación de películas de superficie compuestas de fosfatos de hierro con alta dureza y compuestos Mo-S [11]. En cuanto a la heterogeneidad espacial de la ZDTP + MoDTC tribofilms, puede valer la pena señalar que el uso de alta resolución TEM observaciones de los restos de desgaste recogidos después de las pruebas de fricción, junto con los estudios AES y XPS de superficies de frotamiento, Grossiord et al. describe el ZDTP + MoDTC tribofilm como compuesta de una mezcla de zonas de fosfato de zinc vidrioso que contienen molibdeno, y zonas ricas que contienen zinc y hojas simples de MoS2 altamente dispersas [13, 33]. La observación de que, durante las pruebas de nanofricción, el dominio de baja fricción fue localizado unos pocos los nanómetros debajo de la superficie también corroboran esta interpretación. Como las pruebas de nanofricción se llevaron a cabo a una profundidad cada vez mayor, las presiones lo suficientemente altas se obtuvieron después de profundidad de penetración de los nanómetros dentro de la capa que contiene el MoS2 (con propiedades similares a las del MoDTC tribofilm), gracias a la presencia de la capa antidesgaste inferior resistente, que las características son similares a las de la capa de fosfato del tribofilm ZDTP. Finalmente, combinando los resultados obtenidos de la nanoindentación y la nanofricción experimentos, podemos proponer una posible descripción esquemática de los tribofilms anti-desgaste obtenido a partir del aceite de "formulación completa". También se hacen algunas suposiciones sobre lo que pasó durante los ensayos de nanofricción de estos tribofilms (véase la figura 12 en la que, para un dibujo conveniente, como la punta de diamante Berkovitch no es afilada, fue representado por un punzón plano). Una capa blanda que contiene hojas MoS2 no orientadas está presente en la superficie del tribofilm (capa a) de la figura 12). Esta capa, de 0 a 25 nm de espesor, tiene propiedades mecánicas comparables con los del MoDTC tribofilm (0,3 – 0,5 GPa para la dureza y 3 – 10 GPa para el reducción del módulo de Young). Su coeficiente de fricción es bastante alto. Esta capa se daña fácilmente o retirado por la punta del diamante durante los procedimientos de obtención de imágenes o escaneado de líneas. Cuando el contacto la presión es suficientemente alta, la fricción induce una orientación favorable de las hojas MoS2, sobre un espesor de 1 o 2 nanómetros (capa (b) de la figura 12), lo que da lugar a una fricción muy baja valores de coeficiente que se combinan con la eficiencia antidesgaste del tricofilm. Debajo de esto capa, entonces hay una capa anti-desgaste (capa (c) en la figura 12), con propiedades similares a las de la capa de polifosfato del tribofilm ZDTP. Entonces, justo sobre el sustrato (anotado (e)in Figura 12), hay una capa de unión (capa (d) en la figura 12) con altas propiedades mecánicas (óxidos, sulfuros). Figura 12: Posible descripción esquemática del tribofilm antidesgaste obtenido del "pleno" formulación" y orientación de los planos MoS2 de la capa exterior resultante de una pruebas de nanofricción (para el dibujo conveniente, como la punta de diamante de Berkovitch no es afilada, fue representado por un golpe plano). El espesor de cada capa se dibuja de forma arbitraria, ya que varía significativamente dependiendo de la zona de ensayo (desde cero cuando la capa no está presente a unos pocos decenas de nanómetros). a) Capa blanda que contiene hojas MoS2 no orientadas, con propiedades mecánicas comparables a los del Tribofilm del MoDTC, b) Capa de hojas MoS2 orientadas favorablemente a la fricción con un espesor típico de 1 o 2 nm, c) Capa con propiedades similares a las de la capa de polifosfato del tribofilm ZDTP, d) Capa de unión con altas propiedades mecánicas (óxidos, sulfuros), e) Sustrato de acero. 6. Conclusiones Gracias a la combinación de (i) experimentos de nanoindentación con rigidez continua mediciones combinadas con procedimientos de obtención de imágenes, ii) una película reológica desarrollada específicamente modelo y iii) pruebas de nanofricción, efectos sinérgicos de ZDTP y MoDTC sobre la fricción El comportamiento de los tribofilmos antidesgaste se ha demostrado por consideraciones mecánicas. Uno La característica original de este estudio reside en la caracterización de los tribofilms antidesgaste sin lavar con su estructura completa preservada. La estructura y las propiedades nanomecánicas (dureza y reducción del módulo de Young) de tribofilms formados con diferentes mezclas de aditivos (ZDTP, MoDTC, detergente/dispersante) se determinaron por primera vez. Con respecto a la aparición de una fricción muy baja (0.010.05), se encontró la presión de contacto ser un parámetro crítico. Los bajos valores del coeficiente de fricción se atribuyeron a una orientación de las láminas MoS2 presentes en la capa exterior de los tricofilms formados a partir de MoDTC que contengan lubricantes. Esta orientación favorable sólo se produce si el contacto es suficientemente alto. se alcanzó la presión. Estas altas presiones de contacto se alcanzaron cuando ZDTP se utilizó como aceite aditivo junto con MoDTC porque una de las principales características de los aditivos ZDTP es para formar tricofilms protectores antidesgaste bajo lubricación de contorno, con estructura variable y propiedades con profundidad, entre las cuales es una increíble capacidad para aumentar su mecánica propiedades, adaptando así las condiciones de contacto. Una posible descripción esquemática de los tribofilms que contienen ZDTP y MoDTC fue: deducido y se propuso un mecanismo para dar cuenta de la sinergia mecánica que se produce durante las pruebas de nanofricción en tales tribofilms. Reconocimiento Los autores agradecen a Shell Research Limited por el apoyo financiero y el permiso para publicar. Bibliografía [1] F. G. Rounds, ASLE Transactions, 24 (4) (1980) 431-440. [2] M. Muraki y H. Wada, Tribology International, 35 (2002) 857-863. [3] Z. Yin, M. Kasrai, M. Fuller, G. M. Bancroft, K. Fyfe y K. H. Tan, Wear, 202 (1997) 172-191. [4] Z. Yin, M. Kasrai, G. M. Bancroft, K. Fyfe, M. L. Colaianni y K. H. Tan, Wear, 202 (1997) 192-201. [5] P. A. Willermet, D. P. Dailey, R. O. Carter III, P. J. Schmitz, W. Zhu, J. C. Bell y D. Park, Tribology International, 28 (3) (1995) 163-175. [6] M. Muraki y H. Wada, en Lubricantes y Lubricación - Actas de Leeds-Lyon 21, D. Dowson y otros , Elsevier, Tribology Series, 30, (1995) 409-422. [7] A. K. Misra, A. K. Mehrotra y R. D. Srivastava, Wear, 31 (2) (1975) 345-357. [8] M. D. Johnson, R. K. Jensen y S. Korcek, SAE Technical Paper Series, Motor Oil Reología y Tribología (SP-1303) - n°972860, (1997) 37-47. [9] P. A. 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Lattice Boltzmann inverse kinetic approach for the incompressible Navier-Stokes equations

Lattice Boltzmann enfoque cinético inversa para el incompressible Navier-Stokes ecuaciones Enrico Fonda1, Massimo Tessarotto1,2 y Marco Ellero3 1Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste (Italia) 2Consorzio di Magnetofluidodinamica, Trieste, Italia 3Instituto de Aerodinámica, Universidad Técnica de Múnich, Múnich, Alemania (Fecha: 18 de agosto de 2021) A pesar del gran número de documentos aparecidos en el pasado que se dedican a la celosía Los métodos Boltzmann (LB), los aspectos básicos de la teoría siguen siendo indiscutibles. Un teo sin resolver... cuestión retical está relacionado con la construcción de una teoría cinética discreta que produce exactamente el fluido ecuaciones, es decir, no es asintótico (aquí denotado como teoría cinética inversa LB). El propósito de esto El artículo es teórico y tiene como objetivo desarrollar un enfoque cinético inverso de este tipo. En principio existen soluciones infinitas a este problema, pero la libertad puede ser explotada con el fin de necesidades. En particular, la teoría cinética discreta se puede definir de modo que produce exactamente el Ecuación líquida también para el no equilibrio arbitrario (pero adecuadamente suave) distribución cinética func- ciones y arbitrariamente cerca del límite del dominio fluido. Esto incluye la especificación de las condiciones cinéticas iniciales y de los límites que sean compatibles con las condiciones iniciales y de los límites condiciones prescritas para los campos de líquidos. Otras características básicas son la arbitrariedad de la "equi- función de distribución de librio y la condición de positividad impuesta a la distribución cinética función. Esto último puede lograrse mediante la imposición de un principio entrópico adecuado, realizado por medio de un constante teorema H. A diferencia de los anteriores métodos entrópicos de LB, el teorema se puede obtener sin limitaciones funcionales en la clase de las funciones de distribución inicial. Como consecuencia básica, la elección de la entropía funcional sigue siendo esencialmente arbitraria para que pueda ser identificado con La entropía Gibbs-Shannon. Notablemente, esta propiedad no se ve afectada por la elección particular de el equilibrio cinético (que debe asumirse en todos los casos estrictamente positivo). Por lo tanto, se aplica también en el el caso de los equilibrios polinomios, generalmente adoptados en los enfoques habituales de la LB. Proveemos diferentes posibles realizaciones de la teoría y aproximaciones asintóticas que permiten determinar la ecuaciones fluidas con precisión prescrita. Como resultado, las estimaciones de exactitud asintótica de Se discuten enfoques LB y comparaciones con el método de compresibilidad artificial Chorin. Números PACS: 47.27.Ak, 47.27.eb, 47.27.ed 1 - INTRODUCCIÓN - INVERSO KINETIC TEORÍAS Cuestiones básicas relativas a las fundaciones clásicas La drodinámica sigue sin respuesta. Un notable como... pect está relacionado con la construcción de la cinética inversa teo- ries (IKT) para ecuaciones hidrodinámicas en las que el líquido los campos se identifican con los momentos adecuados de una se comieron la distribución de probabilidad cinética. El tema ha sido el tema de las investigaciones teóricas tanto en relación con las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes (NS) (INSE) [1, 2, 3, 4, 5, 6] y las ecuaciones hidrodinámicas cuánticas asociado a la ecuación de Schrödinger [7]. El impor... dad de la aproximación IKT para la hidrodinámica clásica va más allá del interés académico. De hecho, el representante del INSE... resienten una mezcla de pde hiperbólica y elíptica, que son extremadamente difíciles de estudiar tanto analíticamente como Mericalmente. Como tal, su investigación representa... lenge tanto para el análisis matemático como para la computa- Dinámica de los fluidos cionales. El descubrimiento de IKT [1] establece: Sin embargo, un nuevo punto de partida para la teoría y nu- investigación merical del INSE. De hecho, una cinética inversa la teoría produce, por definición, un solucionador exacto para el fluido ecuaciones : todos los campos de fluido, incluyendo el pres- seguro p(r, t), se prescriben de forma única en términos de momento de la función de distribución cinética, solución de la ecuación cinética. En el caso del INSE, este mits, en principio, para determinar la evolución del líquido campos sin resolver explícitamente el Navier-Stokes equa- ni las ecuaciones de Poisson para la presión del fluido [6]. Los enfoques anteriores de IKT [2, 3, 4, 5, 7] se han basado en en modelos de espacio de fase continuo. Sin embargo, la Se plantea la cuestión de si conceptos similares pueden ser adoptado también para el desarrollo de ki-inverso discreto teorías neticológicas basadas en la retícula Boltzmann (LB) Ory. El objetivo de esta investigación es proponer una novela Teoría LB para el INSE, basada en el desarrollo de un IKT con velocidades discretas, aquí denotado como retícula Boltzmann teoría cinética inversa (LB-IKT). En este documento pretendemos para analizar las bases teóricas y los vínculos del nuevo enfoque útil para mostrar su relación buque con los métodos anteriores CFD y Boltzmann celosía (LBM) para fluidos isotérmicos incompresibles. En particular: Lar, queremos probar que entrega una cinética inversa http://arxiv.org/abs/0704.0339v1 teoría, es decir, que se da cuenta de una exacta Navier-Stokes y Solucionador de Poisson. 1a - Motivaciones: dificultades con LBM A pesar de la cantidad significativa de teoría y nu- artículos mericales aparecieron en la literatura en los últimos años, el método Boltzmann celosía [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] - entre muchos otros disponibles en CFD - es prob- capaz de aquel para el cual un entendimiento completo no es Sin embargo, está disponible. Aunque se originó como una extensión de el autómata de gas de celosía [15, 16] o un discreto especial forma de la ecuación de Boltzmann [17], varios aspectos re- garding la base misma de la teoría LB sigue siendo para se aclaren. Consecuentemente, también las comparaciones y ex- acto relación entre las diversas celosías Boltzmann métodos (LBM) y otros métodos CFD se hacen dif- Ficulto o, al menos, aún no bien entendido. No hace falta. por ejemplo, estas comparaciones son esenciales para evaluar la relación valor (basado en las características com com- plexidad, precisión y estabilidad) de LBM y otros CFD métodos. En particular, el rendimiento relativo de la los métodos numéricos dependen en gran medida de escalas de discretización espacial y temporal, es decir, el mínimo longitudes espaciales y de escala de tiempo requeridas por cada número método para lograr una precisión prescrita. Por otro lado la mano, la mayor parte de los conocimientos existentes sobre el apoyo de la LBM Los datos de referencia se basan en índices de referencia numéricos (véase el cuadro anterior). amplio [18, 19, 20]). Aunque estos estudios tienen demonios... la precisión del LBM en la simulación de los flujos de fluidos, pocos las comparaciones están disponibles en el cálculo relativo la eficiencia de los métodos LBM y otros CFD [17, 21]. La razón principal [de estas dificultades] es probablemente porque LBM actuales, en lugar de ser exactamente Navier-Stokes solvers, son a lo sumo asintóticos (LBM asintóticos), Es decir, dependen de uno o más parámetros infinitesimales: ters y recuperar el INSE sólo en una asintótica aproximada sentido común. Las motivaciones de este trabajo están relacionadas con algunas de las las características básicas de la teoría LB habitual que representa, al mismo tiempo, activos y debilidades. Uno de los principales razones de la popularidad del enfoque LB en su simplicidad y en el hecho de que proporciona un ap- proximate Poisson solver, es decir, permite avanzar en tiempo de los campos fluidos sin resolver explícitamente numeri- Cally la ecuación de Poisson para la presión del fluido. ¿Cómo...? los enfoques tradicionales de LB pueden producir, como máximo, sólo aproximaciones asintóticas para los campos fluidos. Esto es por dos razones diferentes. El primero es el dif- ficultad en la definición precisa del límite cinético condiciones en los LBM habituales, ya que lo suficientemente cerca de el límite de la forma de la función de distribución pre- Por lo general, las condiciones de los límites no son con- persistente con ecuaciones hidrodinámicas. La segunda razón es que la descripción cinética adoptada implica o bien la introducción de la compresión débil [8, 9, 11, 12, 13, 14] o efectos de temperatura [22] del fluido o algún tipo de ecuación de estado para la presión de fluido [23]. Estos imbéciles... ciones, aunque físicamente plausibles, parecen inaceptables desde el punto de vista matemático ya que representan un ruptura de las ecuaciones de fluidos exactas. Por otra parte, en el caso de muy pequeña viscosidad fluida Los LBM tradicionales pueden llegar a ser ineficientes como conse- quence de las aproximaciones de orden bajo generalmente adoptadas y la posible presencia de las inestabilidades numéricas ya se ha mencionado. Estas limitaciones de precisión en baja vis- por lo general, las cosidades sólo se pueden superar mediante la imposición de graves refinamiento de la red y fuertes reducciones del tamaño de la paso del tiempo. Esto tiene la inevitable consecuencia de la El nivel de complejidad computacional en los LBM habituales (potencialmente mucho más alto que de los llamados métodos de solución directa), que los hace ineficientes o incluso potencialmente inadecuados para grandes escalas simulaciones en fluidos. Por lo tanto, una cuestión fundamental está relacionada con la la estructuración de LBM’s, ap- plicable para valores arbitrarios de la Parámetros (y asintóticos). Sin embargo, la ruta que en caso de que se permita determinarlos es todavía incierto, ya que la existencia misma de una exacta subyacente (y asintótico) teoría cinética discreta, análogo a la con- teoría cinética inversa tinua [2, 3], todavía no se conoce. Según algunos autores [24, 25, 26] esto debería ser vinculado a la discretización de la ecuación de Boltzmann, o a la posible introducción de sistemas de compresión débil y modelos de flujo térmico. Sin embargo, el primer enfoque no es sólo extremadamente difícil de aplicar [27], ya que se basa en sobre la adopción del orden superior Gauss-Hermite quadra- ciones (vinculadas a la discre- sión), pero sus truncaciones producen a lo sumo asintóticos Ories. Otros enfoques, que se basan en «ad hoc» modificaciones de las ecuaciones de fluidos (por ejemplo, introducción reducir la compresibilidad y/o los efectos de temperatura [28], por definición no puede proporcionar soluciones exactas de Navier-Stokes. Otra cuestión crítica está relacionada con la estadística numérica. la capacidad de LBM [29], normalmente atribuida a la violación de la condición de estricta positividad (condición de realizabilidad) para la función de distribución cinética [29, 30]. Por lo tanto, de acuerdo con este punto de vista, un criterio de estabilidad debería se logra mediante la imposición de la existencia de un teorema H (véase una revisión en [31]). En un esfuerzo por mejorar la la eficiencia de las implementaciones numéricas de LBM y para curar En los últimos años se ha producido un aumento de las tasas de desempleo en los países de la Europa central y oriental y en los países de la Europa central y oriental, en particular en los países de la Europa central y oriental, y en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, y en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa oriental y oriental, en los países de la Europa oriental y oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa oriental y oriental, y en los países de la Europa oriental, en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental, y en los países de la Europa central y oriental, en los países de la Europa central y oriental. Teresta en la teoría de LB. Varios enfoques han sido: propuesta. El primero consiste en la adopción de la entropía LBM (ELBM [30, 32, 33, 34] en el que el equilibrio la distribución satisface también un principio máximo, definido con respecto a una entropía adecuadamente definida funcional. Sin embargo, por lo general estos métodos conducen a no polinomios funciones de distribución de equilibrio que potencialmente re- sult en mayor complejidad computacional [35] y menos nu- precisión merical[36]. Otros enfoques se basan en el adop- ión de múltiples tiempos de relajación [37, 38]. Sin embargo, la la eficiencia, de estos métodos todavía está en duda. Por lo tanto, la búsqueda de nuevos modelos [LB], superando estos límites ciones, sigue siendo una importante tarea sin resolver. 1b - Objetivos de la investigación El objetivo de este trabajo es el desarrollo de un teoría cinética para el incompresible Navier-Stokes equa- ciones (INSE) que, además de darse cuenta de un Navier- Stokes (y Poisson) solucionador, supera algunos de los lim- itaciones de LBM anteriores. A diferencia de Refs. [2, 3], cuando a IKT continuo fue considerado, aquí construimos un dis- teoría del hormigón basada en el LB velocidad-espacio discretiza- tion. En tal tipo de enfoque, la descripción cinética se realiza por un número finito de función de distribución discreta ciones fi(r, t), para i = 0, k, cada una asociada a un velocidad constante discreta ai y definida en todas partes en el dominio de existencia de los campos fluidos (el conjunto abierto I ). El espacio de configuración es un subconjunto limitado de la Espacio euclidiano R3y el intervalo de tiempo I es un subconjunto de R. La teoría cinética se obtiene como en [2, 3] por introduc- ing una ecuación cinética inversa (LB-IKE) que avanza en el tiempo la función de distribución y por defin- un principio de correspondencia, que relaciona un conjunto de velocidad momenta con los campos de fluidos relevantes. Para lograr un IKT para el INSE, sin embargo, también un tratamiento de las condiciones iniciales y de los límites, satisfecho por la función de distribución cinética, debe estar en Suprimida. En ambos casos, se ha demostrado que pueden ser de- multado a ser exactamente consistente - al mismo tiempo - ambos con las ecuaciones hidrodinámicas (que deben arbitrariamente cerca del límite del dominio fluido) y con la prescripción de la unión inicial y de Dirichlet ary condiciones establecidas para los campos de fluidos. Notablemente, ambos la elección de la distri cinética inicial y de equilibrio funciones de bution y su clase funcional siguen siendo essen- Tially arbitrario. En otras palabras, siempre y cuando las condiciones de suavidad imal son satisfechas por el dis- cinético función de las asignaciones, para inicial y límite arbitrarios funciones de distribución cinética, el momento relevante equa- ciones de la ecuación cinética coinciden idénticamente con el ecuaciones de fluido relevantes. Esto incluye la posibilidad de definir un LB-IKT en el que la distribución cinética función no es necesariamente un invariante galileo. Esta arbitrariedad se refleja también en la elección de pos- funciones de distribución de “equilibrio”, que permanecen esencialmente libre en nuestra teoría, y se puede hacer para el examen- para lograr una complejidad algorítmica mínima. Una posible solución corresponde a asumir polinomio- tipo equilibrios cinéticos, como en el asintótico tradicional LBM’s. Estos equilibrios cinéticos son bien conocidos por ser invariante no galileo con respecto a finito arbitrario traducciones de velocidad. No obstante, como se ha explicado en detalle en la sección 4, subsección 4A, aunque la adopción de Galilei distribuciones cinéticas invariantes es posible, esta opción no representa un obstáculo para la formulación de un LB-IKT. En realidad la invarianza galilea necesita ser cumplida sólo por las ecuaciones de fluido. La misma invarianza prop- erty debe cumplirse sólo por el momento ecuaciones de el LB-IKT y no necesariamente por todo el LB inverso Ecuación cinética (LB-IKE). Otro desarrollo significativo de la teoría es el introducción formal de un principio entrópico, realizado por un constante H-teorema, con el fin de asegurar el estricto pos- itividad de la función de distribución cinética en el conjunto dominio de existencia I. El presente principio entrópico parte significativamente de la literatura. A diferencia de previ- LBM entrópica se obtiene sin imponer ninguna limitaciones funcionales en la clase de la cinética inicial funciones de distribución. Es decir, sin exigir la validez de un principio de maximización de la entropía (PEM, [39]) en un verdadero sentido funcional sobre la forma de la distri- función de butión. Más bien, se debe a la imposición de una restricción sólo en un conjunto adecuado de campos de fluidos extendidos, en particular: La presión cinética p1(r, t). lated a la presión de fluido real p(r, t) a través de la ecuación p1(r, t) = p(r, t) + Po(t), con Po(t) > 0 a denotar como pseudo-presión. El constante H-teorema es por lo tanto obtenida mediante la prescripción adecuada de la función Po(t) y implica la estricta positividad. La misma receta que... asegura que los resultados de la entropía máxima con respecto a la clase de las presiones cinéticas admisibles, es decir, satisface una principio de maximización de la entropía. Notablemente, desde esta propiedad no se ve afectada por la elección particular de el equilibrio cinético, el teorema H se aplica también en el caso de equilibrios polinomios. Recalcamos que la elección de la entropía funcional sigue siendo esencialmente arbitraria, ya que no se puede adjuntar una interpretación física real a Lo siento. Por ejemplo, sin pérdida de generalidad siempre puede identificarse con la entropía Gibbs-Shannon. Incluso antes de... la inscripción de estas propiedades adicionales, en principio infinito existen soluciones al problema. Por lo tanto, la libertad puede ser explotados para satisfacer otros requisitos (por ejemplo, simplicidad matemática, mínimo complejo algorítmico- ity, etc.). Diferentes realizaciones posibles de la teoría y Se consideran las comparaciones con otros enfoques CFD. La formulación de la teoría cinética inversa también se utiliza para determinar la relación precisa entre los regímenes LBM y CFD anteriores y, en particular, para obtener una posible mejora de los LBM asintóticos con pre- precisión asignada. Como aplicación, tenemos la intención de struct modelos asintóticos que satisfacen con prescrito precisión de las ecuaciones de fluido requeridas [INSE] y possi- ampliar también el rango de validez de los LBM tradicionales. En particular, esto permite obtener precisión asintótica estimaciones de los enfoques habituales de la LB. El esquema de La presentación es la siguiente. En la sección 2 el problema del INSE se recuerda y la definición de los campos de fluido extendidos Se presenta {V, p1}. In Sec. 3 los supuestos básicos de los LBM asintóticos anteriores se recuerdan. In.Sec.4 y 5 los fundamentos de la nueva teoría cinética inversa son se establece y la teoría cinética inversa integral LB es presentado, mientras que en Sec. 6 el teorema entrópico está probado mantener para la función de distribución cinética para correctamente presión cinética definida. Por último, en la sección 7 diversos asymp- se obtienen aproximaciones tóticas para la cinética inversa teoría y comparaciones se introducen con LB anterior y CFD y en Sec. 8 las principales conclusiones están dibujados. 2 - EL PROBLEMA INTERIOR Un requisito previo para la formulación de una cinética inversa teoría [2, 3] que proporciona una descripción de fase-espacio de un clas- líquido sical (o cuántico) es la identificación adecuada de la conjunto completo de ecuaciones de fluidos y del fluido relacionado campos. Para un fluido incompresible newtoniano, referido a un marco de referencia inercial arbitrario, estos se proporcionan por las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes (INSE) para los campos fluidos,V,p} • ·V = 0, (1) NV = 0, (2) *(r,t) = *o. 3) A ello se suman las desigualdades p(r,t) ≥ 0, (4) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5) Las ecuaciones (1)-(3) se definen en un conjunto abierto conectado  R3 (definido como el subconjunto de R3 donde ♥(r,t) > 0) con límite, mientras que Eqs. 4) y 5) se aplican a su cierre de cuentas......................................................................................................................................................................... Aquí la notación es estándar. Por lo tanto, N es la Operador NS NV o V p+ f − 2V, (6) con D +V · • el derivado convectivo, f denota una densidad de fuerza de volumen suficientemente suave que actúa sobre el fluido el elemento y μ o > 0 es la viscosidad constante del fluido. En particular, asumiremos que f puede ser representado en la forma f = (r) + f1(r,t) donde hemos separado el conservador (r) y el partes no conservadoras f1 de la fuerza. Ecuaciones (1)-(3) se supone que admitir una solución fuerte en  × I, con I R un intervalo de tiempo posiblemente limitado. Por suposición ,V,p} son continuos en el cierre ♥. Por lo tanto, si en I, f es al menos C(1,0)(I), se deduce necesariamente que {V,p} debe ser al menos C(2,1)( × I). En la secuela vamos a imponer a {V,p} las condiciones iniciales V(r,to) = Vo(r), (7) p(r, to) = po(r). Además, para mayor simplicidad matemática, aquí vamos a imponer Dirichlet condiciones límite en V(·,t) = VW (·,t) p(·,t) = pW (·,t). Eqs.(3) y (7)-(8) definen el valor de referencia inicial problema asociado a la reducción del INSE (reducción del INSE) problema). Es importante destacar que el anterior El problema también puede formularse de una manera equivalente mediante la re- colocar la presión del líquido p(r, t) con una función p1(r, t) (presión cinética denotada) de la forma p1(r, t) = Po + p(r, t), (9) donde Po = Po(t) se prescribe (pero arbitrario) func- de tiempo y es por lo menos Po(t) C 1)I). {V,p1} ser denotado aquí como campos de fluido extendidos y Po(t) ser denotado como pseudopresión. 3 - LBM ASIMPTÓTICA 3A - Hipótesis básicas Como es bien sabido, todos los métodos LB se basan en teoría cinética del hormigón, utilizando una llamada retícula Boltzmann discretización de velocidad del espacio de fase (discretización LB). Esto implica la definición de una función de distribución cinética f, que sólo puede tomar los valores que pertenecen a un conjunto discreto finito {fi(r, t), i = 0, k} (discreto cinético dis- funciones de asignación). En particular, se supone que el funciones fi, para i = 0, k, están asociadas a un conjunto discreto de k+1 diferentes “velocidades” {ai, i = 0, k}. Cada ai es un ’a priori’ prescrito vector constante que abarca el vector espacio Rn (con n = 2 o 3 respectivamente para el tratamiento de dinámica de fluidos bidimensionales y tridimensionales), y cada uno fi(r, t) está representado por una función real suficientemente suave que es definido y continuo en I y en particular es al menos C(k,j)( I) con k ≥ 3. El aspecto crucial que caracteriza al LB consuetudinario enfoques [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 40, 41] construcción de modelos cinéticos que permiten un sonido finito velocidad en el fluido y por lo tanto se basan en la suposición de una compresibilidad (débil) del mismo líquido. Esto es realizado asumiendo que la ecuación de la evolución (cinético ecuación) para las distribuciones discretas fi(r, t) (i = 1, k), depende al menos de uno (o más) infinitesimal (asintótico) parámetros (véase más adelante). Por lo tanto, esos enfoques son los siguientes: denotado como LBM asintótico. Se caracterizan por por un conjunto adecuado de supuestos, que normalmente incluyen: 1. Suposición LB #1: ecuación cinética discreta y principio de la correspondencia: la primera suposición la definición de una evolución adecuada; ecuación para cada fi(r, t) que debe contener (juntos con todas sus ecuaciones de momento) en el conjunto abierto set I. En los enfoques LB habituales que toma el forma de la llamada ecuación LB-BGK [13, 41, 42] L(i)fi = Łi(fi), (10) donde i = 0, k. Aquí L(i) es una transmisión adecuada operador, (fi) = c(fi − f i ) (11) (con una frecuencia de colisión constante ≥ 0) conocido como operador de colisión BKG (después de Bhatba- Gar, Gross y Krook [43] y f i es un “equi- distribución de librio” que debe definirse adecuadamente. In LBM de costumbre se supone implícitamente que la solución de Eq.(10), con sujeción a una inicial adecuada y las condiciones de frontera existen y es único en la clase funcional indicada anteriormente. En particular: ul, generalmente L(i) se identifica con la fi- nite difference streaming operador (véase, por ejemplo, [8, 11, 13, 42], es decir, L(i)fi(r, t) = LFD(i)fi(r, t) [fi(r+ aiöt, tt)− fi(r, t)] o con el dif- operador de streaming ferencial (véase, por ejemplo, [17, 40, 41]) L(i) = LD(i) + ai · . (12) Aquí la notación es estándar. En particular, en el en el caso del operador LFD(i), parámetros apropiados que definen respectivamente la característica escala de tiempo y longitud associ- atendido al tiempo LBM y discretizaciones espaciales. Un elemento común a todos los LBM es el assump- la identificación de todos los campos de fluidos pertinentes, por lo menos en un sentido aproximado, con apro- momento priate de la distribución cinética discreta función (principio de correspondencia). En par- ticular, para neutros e isotérmicos incompresibles fluidos, para los que se proporcionan los campos fluidos re- independientemente por los campos de fluidos de velocidad y presión {Yj(r, t), j = 1, 4} {V(r, t), p(r, t)}, es como- suma que se identifican con un conjunto adecuado de velocidad discreta momentánea (para j = 1, 4) Yj(r, t) = i=0,k Xji(r, t)fi(r, t), (13) donde Xji(r, t) (con i = 0, k y j = 1, k) son ap- propriate, funciones de peso real suave. En el la literatura varios ejemplos de la correspondencia prin- Se proporcionan los códigos, se proporciona un caso particular por el denominado régimen D2Q9 (V, p) [44, 45] p(r, t) = c2 i=0,k fi = c i=0,k i, (14) V(r,t) = i=1,k aifi = i=1,k i, (15) donde k = 8 y c = min ai > 0, i = 0, k} es a parámetro característico del modelo cinético a ser interpretado como velocidad de las partículas de ensayo. De costumbre LBM’s el parámetro cs = (con D el dimen- se interpreta como la velocidad de sonido de el fluido. Para que el momentoa (14) y (15) recuperar (en algún sentido aproximado adecuado) , sin embargo, las condiciones subsidiarias adecuadas deben ser conocido. 2. Suposición LB #2: Limitaciones y asintóticas condiciones: se basan en la introducción de de un parámetro adimensional, que debe ser consid- er infinitesimal, en términos de los cuales todos los los parámetros pueden ser ordenados. En particular, es requiere que los siguientes pedidos asintóticos [17, 40, 41] se aplican respectivamente a los campos de fluidos V(r, t), p(r, t), la viscosidad cinemática y Reynolds número Re = LV/ v: V(r, t), p(r, t) 0), (16) [1 + o(­)] o(R), (17) Re. 1/o........................................................................................................................................ αR), (18) donde αR ≥ 0. A este respecto, hacemos hincapié en que la posición sólo en el caso de D2Q9, mientras que el generalización a 3D y otras discretizaciones LB. es sencillo. Además, la velocidad c y La frecuencia de colisión se ordena de modo que c 1/o(c), (19) / c) 1/o(l) ), (20) O(), (21) con la longitud y la longitud características de α c > 0; escalas de tiempo, Lo tiempo se supone que la discretización de la escala como O(L), (22) O(t), (23) con αt, αL > 0. Aquí L y T son los (más pequeños) longitud característica y escalas de tiempo, respectivamente para las variaciones espaciales y temporales de V(r, t) y p(r.t). Imponiendo también que 1 resultados infinitesimal al menos de orden * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * se deduce que también debe ser αt − αL > 0. Estos los supuestos implican necesariamente que la dimensión menos parámetro M eff  V (número de macho) debe ser ordenado como M eff O(c) (24) (pequeña expansión del número Mach). 3. Suposición LB #3: Expansión Chapman-Enskog - Condiciones cinéticas iniciales, condiciones de relajación: se asume que la función de distribución cinética Fi(r, t) admite un Chapman-Enskog convergente ex- pansión de la forma fi = f i + f i + ♥ i +.., (25) en la que se especifican las funciones y las funciones f i (j) N) se asumen funciones fluidas de la forma (multi- expansión de la escala) f i (ro, r1, r2,..to, t1, t2,..), donde rn =  nr, tn = nt y n° N. En el caso típico de LBM el parámetro ♥ se identifica generalmente con ♥ (que requiere dejar α = 1), mientras que el Chapman-Enskog por lo general se requiere para mantener al menos hasta orden o(el 2). Además, las condiciones iniciales fi(r, to) = f i r, to), (26) (para i = 0, k) se imponen en el cierre del líquido dominio . Es bien sabido [46] que esta posición general (es decir, para campos de fluidos no estacionarios), im- La violación de la extensión Chapman-Enskog... sión cercana a t = a, ya que el fluido aproximado ecuaciones se recuperan sólo dejando que 0, es decir, suponiendo que la distribución cinética func- se ha relajado a la forma Chapman-Enskog (25). Esto implica un error numérico (en la evaluación de los campos fluidos correctos) que sólo se pueden superar descarte los primeros pasos de tiempo en el número simulación. 4. Suposición LB #5: Distribución cinética del equilibrio sión: una posible realización para el equilibrio Atribuciones f i (i = 0, k) viene dada por un polinomio de segundo grado en la velocidad del fluido [44] i (r, t) = wi [p- Φ(r)] + (27) +wi?o ai ·V ai ·V Aquí, sin pérdida de generalidad, el caso de la D2Q9 LB discretización se considerará, con wi y ai (para i = 0, 8) que denotan la dimensión prescrita- menos pesos constantes y velocidades discretas. Notificación que, por definición, f No soy un escalar Galilei. Nev- Sin embargo, se puede considerar aproximadamente en Variante, al menos con respecto a la trans- las laciones que no violan el número bajo-Mach suposición (24). 5. Suposición LB #6: Condiciones cinéticas de los límites: Se especifican mediante la prescripción adecuada del formulario. de la función de distribución entrante en la ary. [47, 48, 49, 50, 51, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 56, 57, 58, 59]. Sin embargo, esta posición no es generalmente consistente con la solución de Chapman-Enskog (25) (véase el análisis correspondiente en el apéndice A). Como una estafa... violaciones secuenciales de las ecuaciones hidrodinámicas puede esperarse que esté suficientemente cerca de la frontera, un hecho que sólo puede ser aliviado (pero no com- ) mediante la adopción de una red adecuada de refinación de la Cerca de la frontera. Un potencial adicional la dificultad está relacionada con la condición de dad de la función de distribución cinética [57] que no se incorpora fácilmente en el límite de no deslizamiento condiciones [50, 51, 52]. 3B - Complejidad computacional de la asintótica LBM Los requisitos planteados por la validez de potesis pueden influir fuertemente en el com com com- com- plexidad de los LBM asintóticos que normalmente se asocian al número total de operaciones “lógicas” que deben se realizará durante un intervalo de tiempo prescrito. Ahí... en primer lugar, un parámetro crítico de la simulación numérica de la metanfetamina- ods es su escala de tiempo de discretización. Esto es - a su vez - en relación con el número de Courant NC = , donde V y Lo.denote, respectivamente, la sup de la magnitud de la velocidad del fluido y las amplitudes del dis- espacial Cretización. Como es bien sabido simulación CFD “optimal” los métodos normalmente permiten Lo â € L y una definición de la paso de tiempo ­t = ­tOpt de tal manera que NC · V Opt • 1. In- en lugar de eso, para que LBM de siempre satisfaga el assump de bajo-M-eff- sión (24), el número de Courant es muy pequeño ya que re- sults NC = M eff Lo O()Lo . Esto significa que su la escala de tiempo de discretización de la t es mucho más pequeña que la Opt y lee # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (28) Además, dependiendo de la precisión de la los algoritmos de cal adoptados para la construcción de la función de distribución cinética del hormigón, también la relación Lo sults infinitesimal en el sentido Lo Con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso, en envases inmediatos de contenido neto inferior o igual al 85 % en peso αL > 0. Por último, hacemos hincapié en que los enfoques basados en LB sobre la adopción de la ópera de transmisión finita-diferencia- LFD(i) generalmente sólo son exactos para ordenar o( 2). Por Por lo tanto, el requisito impuesto por Eq.(28) puede ser aún más fuerte. Esto implica que los LBM tradicionales puede implicar un tiempo de cálculo mucho más grande que ese gracias a métodos numéricos más eficientes. 4 - NUEVA TEORÍA INVERSA LB (LB-IKT) Una cuestión básica en los enfoques de la LB [8, 11, 13, 42] la elección de la clase funcional de la discreta funciones de distribución cinética fi (i = 0, k) así como la definición relacionada de la distribución discreta del equilibrio función f i [que aparece en la ópera de colisión BGK-- ; véase Eq.(11)]. Esto se refiere, en particular, a su propiedades de formación con respecto al galileo arbitrario transformaciones, y específicamente a su Galilei invari- ance con respecto a las traducciones de velocidad con constante velocidad. En la mecánica estadística es bien sabido que el ki- la función de distribución neta se supone generalmente que es un Escalar galileo. La misma suposición puede, en principio, se adopten también para los modelos LB. Sin embargo, la cinética funciones de distribución fi y f Yo no re- necesariamente Por lo tanto, es necesario una interpretación física de este tipo. En el... quel mostramos que para una teoría cinética inversa discreta que es suficiente que fi y f Estoy tan definido que el mo- Ecuaciones de mento coinciden con las ecuaciones de fluidos (que por definición son Galilei covariante). Es suficiente con de- mand que tanto fi y f i se identifican con un ordinario escalares con respecto al grupo de rotación en R2, mientras que no tienen que ser necesariamente invariantes con respecto a traducciones arbitrarias de velocidad. Esto significa que Fi está en... Variante sólo para un subconjunto particular de referencia inercial Marcos. Por ejemplo, para un fluido que en el momento inicial se mueve localmente con velocidad constante un elemento de este set se puede identificar con el marco inercial que en el la misma posición es localmente co-movimiento con el fluido. La adopción de un sistema discreto no invariante y no traslacional distribuciones fi en realidad ya es bien conocido en LBM y resultados convenientes por su simplicidad. Esto significa, que, en general, no hay una interpretación física obvia dad se puede apegar al otro momento de la dis- función de distribución cinética del hormigón. En consecuencia, la definición misma del concepto de entropía estadística a estar asociado a la f ′ es esencialmente arbitrario, así como el principio relacionado de la maximización de la entropía, típicamente utilizado para la determinación de la distribución del equilibrio función f i. Varios autores, sin embargo, han investi- la adopción de posibles formulaciones alternativas, que se basan en definiciones adecuadas de la entropía funcional y/o el requisito de aproximadamente o ex- act Galilei invariance (véase, por ejemplo, [29, 32, 62]). 4A - Fundamentos de LB-IKT Como se ha indicado anteriormente, hay varios importantes motivaciones para buscar un solucionador exacto basado en LBM. La falta de una teoría de este tipo representa de hecho un punto débil de la teoría LB. Además de ser un todavía sin resolver la cuestión teórica, el problema es relevante para de- termine la relación exacta entre el LBM y los esquemas CFD tradicionales basados en la discretización directa- ciones de las ecuaciones Navier-Stokes. Siguiendo las ideas re- cently desarrollados [2, 3, 4, 5, 7], demostramos que tal teoría puede ser formulado por medio de una teoría cinética inversa (IKT) con velocidades discretas. Por definición, tal IKT debe producir exactamente el conjunto completo de ecuaciones de fluidos y que, contrariamente a los enfoques cinéticos habituales en CFD (en particular los métodos LB), no debe depender de parámetros asintóticos. Esto implica que la inversa ki- La teoría necética también debe satisfacer una condición exacta de cierre. Como condición adicional, requerimos que el fluido equa- ciones se cumplen independientemente de las condiciones iniciales para la función de distribución cinética (se establecerá correctamente) y debe contener para los campos de fluido arbitrarios. Esta última re- En el caso de los países de la Europa central y oriental, es necesario un requisito, ya que hay que esperar que los países de la Europa central y oriental tengan la posibilidad de participar en el proceso de paz. la validez de la teoría cinética inversa no debe ser lim- ited a un subconjunto de posibles movimientos fluidos ni dependen de suposiciones especiales, como un rango prescrito de Reynolds números. En principio, una teoría de fase-espacio, dando lugar a un teoría cinética inversa, puede ser convenientemente establecido en términos de una cuasi-probabilidad, denotada como función de distribución cinética tion, f(x, t). Un caso particular de interés (investigado en Refs.[2, 3]) se refiere al caso en el que f(x, t) ser identificado con una densidad de probabilidad de fase-espacio. En la secuela abordamos ambos casos, mostrando que, a un En ambos casos, la formulación de un IKT en realidad puede ser tratado de una manera similar. Esto requiere la introducción de un conjunto adecuado de consti- suposiciones tutivas (o axiomas). Estas cuestiones se tratan en par­ticipación. ticular las definiciones de la ecuación cinética - denotado como ecuación cinética inversa (IKE) - que avanza en tiempo f(x, t) y de la velocidad momentánea a identificar con los campos de fluidos pertinentes (principio de correspondencia). Sin embargo, otros supuestos, como los que implican las condiciones de regularidad para f(x, t) y la prescripción de sus condiciones iniciales y de frontera deben ser claramente añadido. El concepto [de IKT] se puede extender fácilmente a el caso en que la función de distribución cinética toma en sólo los valores discretos en el espacio de velocidad. En la secuela consideramos para la definitividad el caso de la llamada LB discretización, en virtud de la cual - para cada (r, t) La función de distribución cinética es discreta, y en lar admite un conjunto finito de valores discretos fi(r, t) i = 0, k, cada uno correspondiente a una constante prescrita velocidad discreta ai R 3 para i = 0, k. 4B - Hipótesis constitutivas Vamos a introducir ahora las suposiciones constitutivas (ax- ioms) para la construcción de un LB-IKT para el INSE, cuya forma es sugerida por el continuo análogo teoría cinética inversa [2, 3]. Los axiomas, definen el forma “genérica” de la ecuación cinética discreta, su func- el momento de la distribución cinética función y sus condiciones iniciales y límites, son las siguientes: Axiom I - LB-IKE y ajuste funcional. Requeramos que los campos de fluido extendidos {V,p1} son soluciones fuertes del INSE, con inicial y límite condiciones (7)-(8) y que la pseudo presión po(t) es una función arbitraria, suficientemente suave, real. En particular: lar imponemos que los campos fluidos y la fuerza de volumen pertenecen a la configuración funcional mínima: p1,C (2,1)( I), C(3,1)( I), (29) (1,0)( I). Asumimos que en el conjunto I la siguiente ecuación LD(i)fi = ♥i(fi) + Si (30) [Ecuación cinética inversa LB (LB-IKE)] está satisfecho iden- ticamente por las distribuciones cinéticas discretas fi(r, t) para i = 0, k. En este caso, los términos «i(fi)» y «LD(i)» son, respectivamente, los términos «BGK» y «BGK». y la transmisión diferencial y los operadores [Eqs.(11) y (12)], mientras que Si es un término fuente a definir. Nosotros requerir que KB-IKE se define en el conjunto I, de modo que Si son por lo menos que C • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Por otra parte, la definición de «i(fi), definida por Eq.(11), es se considera de carácter general y será útil para compar- Isons con enfoques habituales de LB. Observamos que la elección de la distribución cinética de equilibrio f el operador de BGK sigue siendo completamente arbitrario. Nosotros Asumir además que en términos de fi los campos fluidos {V, p1} se determinan por medio de las funciones de la forma MXj [fi] = i=0,8 Xjfi (denominada velocidad discreta) momenta). Para X = X1, X2 (con X1 = c 2, X2 = estos están relacionados con los campos de fluidos por medio de la equa- ciones (principio de correspondencia) p1(r, t)− Φ(r) = c i=0,8 fi = c i=0,8 i, (31) V(r,t)= i=1,8 aifi = i=1,8 i, (32) donde c = min ai, i = 1, 8} es la partícula de ensayo veloc- ity y f i está definido por Eq.(27) pero con la cinética presión p1 que sustituye la presión de fluido p adoptada anteriormente [44]. Estas ecuaciones se asumen para mantener idénticamente en el conjunto  × I y por suposición, fi y i pertenece a la misma clase funcional de funciones reales definida para que los campos de fluido extendidos pertenezcan a la ajuste funcional mínimo (29). Además, sin pérdidas de generalidad, consideramos la discretización D2Q9 LB. Axioma II - Condiciones cinéticas iniciales y límite. La función de distribución cinética discreta satisface, para i = 0, k y para todos los r que pertenezcan al cierre condiciones iniciales fi(r, to) = foi(r,to) (33) donde foi(r,to) (para i = 0, k) es una función de distribución inicial ciones definidas de tal manera que satisfagan en el mismo conjunto la condiciones iniciales para los campos de fluidos p1o(r) Po(to) + po(r)− Φ(r) = (34) i=0,8 foi(r), Vo(r) = i=1,8 aifoi(r). (35) Para definir las condiciones de límite cinético análogos en , supongamos que es un suave, posiblemente en movimiento, superficie. Vamos a introducir la velocidad del punto de la límite determinado por el vector de posición rw , de- multada por Vw(rw(t), t) = rw(t) y denotar por n(rw, t) el vector de unidad normal exterior, ortogonal a la unión- ary en el punto rw. Vamos a denotar por f i (rw, t) y f i (rw, t) las distribuciones cinéticas que llevan velocidades discretas ai para las que se obtienen resultados, respectivamente (ai −Vw) ·n(rw, t) > 0 (distribuciones de velocidad de salida) y (ai −Vw) · n(rw, t) ≤ 0 (distribución de velocidad entrante) ciones) y que son idénticamente cero de lo contrario. Nosotros como... suma para la definitividad que ambos conjuntos, para los cuales ai > 0, no están vacías (lo que requiere que el parámetro c ser adecuadamente definido de modo que c > Vw). El límite... ary se obtienen mediante la prescripción de la incom- Distribución cinética f i (rw, t), es decir, imponer (para todos) (rw, t) i (rw, t) = f oi (rw, t). (36) Aquí f oi (rw, t) son funciones adecuadas, que deben asumirse no-desvanecimiento y definido sólo para la entrada discreta ve- Frecuencias para las que (ai −Vw)·n(rw, t) ≤ 0. Manifiestamente, el funciones f oi (rw, t) (i = 0, k) debe definirse de manera que las condiciones del límite de Dirichlet para los campos fluidos son idénticamente cumplido, es decir, hay resultados p1w(rw, t) = Po(t) + pw(rw, t)− Φ(r) = (37) i=0,k oi (rw, t) + f i (rw, t) Vw(rw, t) = (38) i=1,k oi (rw, t) + f i (rw, t) Aquí, de nuevo, las funciones foi(r) y f oi (rw, t) (para i = 0, k) debe suponerse que es adecuado. Un caso particular se obtiene imponiendo idénticamente para i = 0, k foi(r,to) = f i (r, to), (39) oi (rw, t) = f i (rw, t), (40) cuando la identificación con f oi (rw, t) y f oi (rw, t) se destina, respectivamente, a los subconjuntos ai ·n(rw, t) > 0 y ai ·n(rw, t) ≤ 0. Finalmente, notamos que en caso de Neumann se imponen condiciones límite a la presión de los fluidos, Eq.(37) se mantiene siempre que pw(rw, t) se valor calculado. Axioma III - Ecuaciones del momento. Si fi(r, t), para i = 0, k, son soluciones arbitrarias de LB- IKE [Eq.(30)] que satisfacen la validez de los Axiomas I y II Axiomas I y II, asumimos que las ecuaciones del momento de el mismo LB-IKE, evaluado en términos del momento op- estors MXj [·] = i=0,8 Xj ·, con j = 1, 2, coinciden iden- ticamente con el INSE, a saber, que los resultados son idénticos [para todos (r, t) MX1 [Lifi − ♥i(fi)− Si] = • ·V = 0, (41) MX2 [Lifi − ♥i(fi)− Si] = NV = 0. (42) Axioma IV - Término fuente. El término fuente es requerido para depender de un num- finito ber de momenta de la función de distribución. Es como... suma que estos incluyen, a lo sumo, el fluido extendido campos {V,p1} y la presión del tensor cinético Π = 3 fiaiai − oVV. (43) • Además, también se requiere normalmente (excepto para el LB-IKT descrito en el apéndice B) que: Si(r, t) resultados independientes de f i (r, t), foi(r) y fwi(rw, t) (para i = 0, k). A pesar de ello, las implicaciones se aclararán en el fol- secciones que bajan, es manifiesto que estos axiomas no especificar de forma única la forma (y la clase funcional) de la equilibrio función de distribución cinética f i (r, t), ni de la función de distribución cinética inicial y ciones (33),(36). Por lo tanto, ambos f i (r,t), foi(r,to) y el la distribución relacionada siguen siendo, en principio, com- Completamente arbitrario. Sin embargo, por construcción, la condiciones iniciales y (Dirichlet) límite para el fluido los campos se satisfacen idénticamente. En la secuela mostramos que estos axiomas definen una familia (no vacía) de parámetros- LB-IKT, dependiendo de dos pa- rameters νc, c > 0 y una función real arbitraria Po(t). Los ejemplos examinados se presentan, respectivamente, en el informe de la Junta de Comercio y Desarrollo sobre la aplicación de la Convención de las Naciones Unidas contra la Tortura y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes, y en el informe de la Junta de Comercio y Desarrollo sobre la aplicación de la Convención de las Naciones Unidas contra la Tortura y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes, y en el informe de la Junta de Comercio y Desarrollo sobre la aplicación de la Convención de las Naciones Unidas contra la Tortura y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes, así como en el informe de la Junta de Comercio y Desarrollo sobre la aplicación de la Convención de las Naciones Unidas contra la Tortura y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes, así como en el informe de la Junta de Comercio y Desarrollo sobre la aplicación de la Convención de las Naciones Unidas contra la Tortura y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes y Otros Tratos o Penas Crueles, Inhumanos o Degradantes. siguiendo a Sec. 5,6 y en el apéndice B. 5 - UNA POSIBLE REALIZACIÓN: LA INTEGRAL LB-IKT Ahora demostramos que, para las elecciones arbitrarias de la distri- butiones fi(r,t) y f i (r,t) que cumplen los axiomas I-IV, un la realización explícita (y no única) del LB-IKT puede En realidad, debe obtenerse. Demostramos, en particular, que una pos- realización sible de la teoría cinética inversa discreta, a ser denotado como LB-IKT integral, es proporcionado por la fuente Si = (44) − ai · f1 V p .................................................................................................................................................................... donde wi se denota como primer término de presión. Mantiene, en hecho, el siguiente teorema. Teorema 1 - LB-IKT Integral En validez de los axiomas I-IV las siguientes declaraciones Espera. Para una solución arbitraria particular fi y para ar- campos de fluido extendidos bitrarios: A) si fi es una solución de LB-IKE [Eq.(30)] el momento las ecuaciones coinciden idénticamente con el INSE en el conjunto I; B) las condiciones iniciales y el límite (Dirichlet) las condiciones de los campos de fluidos se cumplen de forma idéntica; C) en validez del axioma IV, el término fuente S Únicamente definido por Eq.44). Prueba A) Observamos que, por definición, los resultados son idénticos Sсi = aiSśi = (46) F2V p Por otra parte, por construcción (Axioma I) fi (i = 1, k) se define de modo que los resultados sean idénticos i=0 ♥i = 0 y i=0 ai/23370/i = 0. De ahí el momento MX1,MX2 de LB-IKE entrega respectivamente i=1,8 aifi = 0 (47) i=1,8 aifi +?oV ·?V p1 + f V = 0 (48) donde los campos fluidos V,p1 están definidos por Eqs.(31),(32). Por lo tanto Eqs.(47) y (48) coinciden respectivamente con el la isocoricidad y las ecuaciones de Navier-Stokes [(1) y (2)]. Como consecuencia, fi es una solución particular de LB-IKE iff los campos fluidos {V,p1} son soluciones fuertes de INSE. B) Condiciones iniciales y límite para los campos de fluidos se satisfacen idénticamente por la construcción gracias a Axiom C) Sin embargo, incluso la prescripción νc, c > 0 y el real función Po(t), la forma funcional de la ecuación puede- no ser único La no singularidad de la forma funcional del término fuente Sœi(r, t) se supone que es indepen- abolladura de f i (r,t) [y, por tanto, de Eq.(30)] es obvio. In de hecho, supongamos que Sœi es una solución particular para el término fuente que satisface los axiomas anteriores I- IV. Entonces, siempre es posible añadir a Si arbitrario términos de la forma Sсi + ♥Si, con ♥Si 6= 0 que depende de sólo en el momento indicado arriba, y da van- contribuciones de ishing a las primeras ecuaciones de dos momentos, a saber MXj [♥Si] = i=0,8 XjŁSi = 0, con j = 1, 2. A probar la no-única del término fuente Si, es suf- Ficiente para notar que, por ejemplo, cualquier término de la forma ♥Si = F (r, t), con F (r, t) un real arbitrario función (a asumir, gracias a Axiom IV, un función de la velocidad del fluido), da contribu- ciones a la momentaMX1,MX2. Por lo tanto, Sœi no es único. Las implicaciones del teorema son directas. En primer lugar, es evidente que también lo es en el caso en que la El operador de BGK desaparece idénticamente. Esto ocurre dejando vc = 0 en todo el dominio. Por lo tanto, la inversa La ecuación cinética se mantiene independientemente de la defi- nición de f i (r, t). Una característica interesante del enfoque actual reside en la elección de la condición límite adoptada para fi(r,t), que es diferente de la adoptada habitualmente en LBM’s [véase, por ejemplo, [14] para una revisión sobre el tema]. En par- , la elección adoptada es el permiso más sencillo para cumplir las condiciones límite de Dirichlet [impuesto a la campos fluidos]. Esto se obtiene prescribiendo la función funcional forma de fi(r,t) en el límite del dominio fluido (), que se identifica con una función foi(r, t). En segundo lugar, la clase funcional de fi(r,t), f i (r,t) y de foi(r, t) sigue siendo esencialmente arbitraria. Por lo tanto, en particu- lar, las condiciones iniciales y límites, especificadas por el la misma función foi(r, t), se puede definir imponiendo la Situaciones (39),(40). Como consecuencia básica adicional, f i (r,t) y fi(r,t) no necesariamente debe ser Galilei-invariante (en En particular, pueden no ser invariantes con respecto a traducción de la locidad), aunque las ecuaciones fluidas deben ser necesariamente totalmente Galilei-covariante. En consecuencia siempre es posible seleccionar f i (r,t) y foi(r, t) basados en sobre conveniencia y simplicidad matemática. Por lo tanto, ser- distribuciones laterales que son invariantes Galilei y sat- un principio de entropía máxima (véase, por ejemplo, [22, 30, 32, 34, 60, 61]), siempre es posible tify ellos [es decir, f i (r,t), foi(r, t)] con un Variante de la distribución polinómica del tipo (27) [mani- festivamente, ser exactamente Galilei-invariante cada f i (r,t) debe depende de la velocidad sólo a través de la velocidad relativa ui = ai −V]. Mencionamos que la falta de unidad del término fuente También puede ser explotado mediante la imposición de que i (r,t) re- sulfa una solución particular de la ecuación cinética inversa Eq.(30) y también hay resultados foi(r, t) = f i (r, t). In Ap- pendix B informamos de la extensión de THM.1 que es ob- En caso de que se detecte de nuevo la presencia de una persona en el territorio de un Estado miembro, deberá indicarse la identidad de la persona en cuestión en el Estado miembro de que se trate. i (r,t) con el polinomio distribución (27). 6 - PRINCIPIO ENTROPICO - CONDICIÓN DE LA POSITIVA DEL KINETIC FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Una limitación fundamental de la norma LB ap- es su dificultad para alcanzar bajas viscosidades, debido a la aparición de inestabilidades numéricas [14]. In numeri- simulaciones de cal basadas en LB habituales enfoques grandes Los números de Reynolds generalmente se logran aumentando precisión merical, en particular reduciendo fuertemente el tiempo paso y el tamaño de la cuadrícula de la discretización espacial (ambos de los cuales pueden realizarse mediante esquemas numéricos con paso de tiempo adaptativo y utilizando refinamientos de la red). Por lo tanto, el control [y la posible inhibición] de inestabilidades se logra a expensas de computacional eficiencia. Este obstáculo sólo se alivia parcialmente por enfoques basados en el ELBM [22, 30, 32, 34, 60, 61]. Semejante los métodos se basan en la hipótesis de cumplir un H- teorema, es decir, de satisfacción en todo el dominio  × I la condición de estricta positividad para la cinética discreta funciones de distribución. Se considera este requisito, de varios autores (véase, por ejemplo, [26, 29, 62]), prerrequisito sential para lograr estabilidad numérica en LB simulaciones. Sin embargo, la aplicación numérica de ELBM normalmente induce una complicación sustancial de la algoritmo original, o requiere un ajuste engorroso de parámetros ajustables [22, 37]. 6A - El principio de la entropía constante y el PEM Un aspecto básico de los IKT aquí desarrollados es la possi- la capacidad de cumplir idénticamente la estricta positividad requiere: por medio de un teorema H adecuado que proporciona también un principio de entropía máxima. En particular, en este Sección, ampliando los resultados de THM.1 y 2, tenemos la intención de para demostrar que se puede establecer un teorema H constante tanto para los LB-IKT integrales como diferenciales definidos arriba. El teorema H se puede alcanzar mediante la imposición de la entropía Gibbs-Shannon funcional el requisito que para todos t â € TM I hay resultados S(f) = − i=0,8 fi ln(fi/wi) = 0, (49) lo que implica que S(f) es necesariamente máximo en una demanda- conjunto funcional capaz {f}. El resultado puede indicarse como fol- mínimos: Teorema 2 - Teorema H constante En validez de THM.1, supongamos que: 1) el dominio de configuración  está limitado; 2) en el momento de las funciones de distribución cinética discreta fi, para i = 0, 8, son todos estrictamente positivos en el conjunto . A continuación, las siguientes declaraciones mantienen: A) por definición adecuada de la pseudopresión Po(t), la entropía funcional Gibbs-Shannon S(f) = i=0,8 fi ln(fi/wi) puede ser establecido para ser constante en el Intervalo de tiempo completo I. Esto se mantiene siempre y cuando la pseudo- presión Po(t) satisface la ecuación diferencial (1 + log fi) = (50) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (1 + log fi), donde i = Si + B) si la entropía funcional S(f) = i=0,8 fi ln(fi/wi) es constante en el conjunto intervalo de tiempo I las funciones de distribución cinética discreta fi son todos estrictamente positivos en todo el conjunto I; C) una solución arbitraria de LB-IKE [Eq.(30)] que se cumple el requisito A) es extremal en un func- clase y maximiza la entropía Gibbs-Shanon. Prueba: A) Invocando Eq.(30), hay resultados S(t) [1 + log fi] = (51) (ai · â € ¢fi − Si) (1 + log fi), donde Si es el término fuente, proporcionado por Eq.(44). Por La sustitución directa sigue la tesis. B) Si Eq.(50) se mantiene idénticamente en los resultados I, S (t) = S (t0), lo que implica la estricta positividad de fi, para todos los i = 0, 8. C) Introduzcamos la clase funcional {f + f} = {fi = fi(t) + fi(t), i = 0, 8}, (52) donde α es un parámetro real finito y el syn- Variación cronometrada Se define fi(t) Fi(t) {dfi(t) {dfi(t)} {dfi(t)} fi(t) dt. Introducción de la variación sincrónica de la en- tropiez, definido por la letra «S» (t) = «E» , con •(α) = S (f + f), sigue S (t) = dt S(t) . (53) Desde que en validez de Eq.(50) resultados S(t) que en vista de Eq.(53) implica también S (t) = 0. Es im- De ello se deduce mediadamente que los resultados son necesariamente los siguientes: فارسى2S (t) ≤ 0, es decir, S (t) es máximo. Por lo tanto, la distribución cinética función de tion que satisface IKE (Eq.(30)] es extremal en la clase funcional de variaciones (52) y maximiza la Gibbs-Shannon entropía funcional. 6B - Implicaciones En vista de la declaración B, la THM.2 justifica la estricta pos- itividad de las funciones de distribución discreta fi (i = 0, 8) sólo en el set abierto  × I, mientras que nada se puede decir con respecto a su comportamiento en el límite (en el que fi puede desaparecer localmente). Sin embargo, desde la inversa ki- ecuación netic realmente se sostiene sólo en el conjunto abierto I, esto no afecta a la validez del resultado. Mientras que el la causa precisa de la inestabilidad numérica de LBM es todavía desconocido, la estricta positividad de la función de distribución Por lo general, se considera importante para la estabilidad de la solución merical [29, 30]. Hay que subrayar que el n- aplicación merical de la condición de constante en- Tropy Eq.(50) debe ser sencillo, sin involu- • un aumento significativo de los gastos generales computacionales para la simulación LB. ciones. Por lo tanto, podría representar un esquema conveniente que se adoptará también para los métodos habituales de LB. 7 - APROXIMACIONES ASIMPTÓTICAS Y COMPARACIONES CON CFD ANTERIORES MÉTODOS Una cuestión básica es la relación con el CFD anterior métodos mericos, particularmente LBM asintóticos. Toma. Consideramos, por definición, sólo el caso de la inte- gral LB-IKT introducido en Sec.5. Otra motivación es la posibilidad de construir nuevas mejoras asintóticas los modelos, que satisfacen con precisión prescrita la re- Ecuaciones de líquido requerido [INSE], de extensión del rango de la validez de los LBM tradicionales y el cumplimiento de principio trópico (véase la sección 6). El análisis es útil en en particular para establecer por razones rigurosas la consis- tency de LBM anteriores. La conexión [con previ- se puede llegar a los LBM mediante la introducción de aproximaciones asintóticas para las IKT, obtenidas por suponiendo que los parámetros adecuados que caracterizan la Los IKT son infinitesimales (o infinitos) (parame asintótico- ters). Otra característica interesante es la posibilidad de construir en principio una clase de nuevos LBM asintóticos con la precisión prescrita, es decir, en la que la distribución función (y el momento correspondientea) puede ser de- Terminado con precisión predeterminada en términos de per- expansiones turbativas en el parame asintótico relevante ters. Además de recuperar el número tradicional bajo-Mach LBM’s [17, 21, 40], que satisfacen la condición de isocouricidad sólo en un sentido asintótico y están estrechamente relacionados con el método de compresibilidad artificial Chorin, es posible para obtener unas LBM asintóticas mejoradas que satisfagan exactamente la misma ecuación. Primero notamos que el IKT presente se caracteriza por los parámetros positivos arbitrarios νc, c y el inicial valor Po(to), que entran respectivamente en la definición del operador de BGK [véase el punto 11], el momento de la velocidada y función de distribución del equilibrio f i. Tanto c como Po(to) debe asumirse estrictamente positivo, mientras que, para asegurar la validez de THM.2, Po(to) debe definirse de manera que (para todos los i = 0, 8) f i (r,to) > 0 en el cierre. Gracias. a THM.1.y 2 la nueva teoría es manifiestamente válida para valor finito arbitrario de estos parámetros. Esto significa que sostienen también suponiendo o( ) , (54) o(c) , (55) Po(a) o(e) 0), (56) donde ♥ denota un real infinitesimal estrictamente positivo, , αc > 0 son parámetros reales a definir, mientras que el campos de fluido extendidos,V, p1} y la fuerza de volumen f se asumen todos independientes de............................................................................................................................ Por lo tanto, con respecto a Se escalan. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 0). (57) Como resultado, para campos fluidos adecuadamente lisos (es decir, en va- axioma 1) y condiciones iniciales adecuadas para fi(r, t), se espera que el primer requisito realmente implica en todo el conjunto la condición de cercanía f(r, t) = f i (r, t) [1 + o(l)], coherente con el LB As- Supuestos #4. Para mostrar comparaciones significativas con LBM anteriores vamos a introducir la suposición adicional que la viscosidad fluida es pequeña en el sentido μ o(), (58) con ≥ 1 otro parámetro real por definir. Aproximaciones asintóticas para los LB correspondientes IKE [Eq.(30)] se puede recuperar directamente mediante la introducción pedidos asintóticos apropiados para las contribuciones aparece en el término fuente Si = Sсi. Inspec- ión muestra que estos son proporcionados por el (dimensional) parámetros M effp,a , (59) p , (60) 2V * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (61) Los dos primeros M effp,a y M aquí se indican las especificaciones como (primera y segunda) presión eficaz Mach num- bers, impulsados respectivamente por la derivada del tiempo de presión y por la divergencia de la anisotropía de presión p1. Además, M se denota como velocidad Mach efectivo número. Ejemplos físicamente relevantes [de asintóticos LBM se puede lograr mediante la introducción de pedidos adecuados en términos del único infinitesimal para los parámetros M effp,a,M . Hacemos hincapié en que estos pedidos, en principio, puede ser introducido sin realmente introducir restricciones en los campos de fluidos, es decir, la retención de la que los campos de fluidos extendidos son independientes de ­. Los casos interesantes son proporcionados por el orden asintótico- ciones que se indican a continuación. 7A - Pequeños números Mach efectivos (Meffp,a,M Un aspecto importante de la teoría LB es la posibilidad de la construcción de LBM asintóticos con accu- racy con respecto al parámetro infinitesimal la sensación de que las ecuaciones fluidas se satisfacen por lo menos cor- rect hasta los términos de orden o(ln) incluido, con n = 1 o 2, es decir, ignorando los términos de error de la orden o(­n+1) o Más alto. Consideremos, en primer lugar, el caso en el que todos los pa- rametersM effp,a,M y M son todos infinitesimal w.r. a فارسى (números de Mach de baja eficacia). Desde los parámetros c y νc son libres, se pueden definir de modo que allí resultados c) 1o) [lo que implica αc = = 1]. Esto requiere M effp,a â € M • o. • 2. (62) Si, consideramos un fluido de baja viscosidad para el que la • la viscosidad matic ν = μ/ por lo tanto = 1] se deduce que • o. • 2. (63) Gracias a las suposiciones (54)-(58) sigue: Π • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • el término fuente Sœi, ignorando las correcciones de orden o(l) se convierte en Sûi SûAi [1 + o(l)], (64) SśAi فارسى − ai · f. (65) Es inmediato determinar el momento correspondiente ecuaciones, cuyo texto es el siguiente: ·V = 0, (66) NV = 0+ o(­2), (67) Formalmente la primera ecuación se puede interpretar como un evo- ecuación de dilución para la presión cinética p1. Sin embargo, en vista de la orden (62) implica en realidad la iso- estado de la coricidad • ·V = 0 + o(•2). (68) En cambio, el segundo [Eq.(67)]. debido al asymp- aproximación tótica (63), se reduce a la ecuación de Euler. Por lo tanto, en este caso la aproximación asintótica (64) no es suficiente. Para recuperar la correcta Navier-Stokes ecuación se necesita una aproximación más precisa, real- que requieren que las ecuaciones hidrodinámicas sean sat- ified correcto a la orden o (­3). Una posibilidad del puño es timar... sider una aproximación más precisa para el término fuente. Restauración de los términos presión y fuente viscosa en (64) hay resultados del término fuente asintótica SсBi فارسى − ai · f1 , (69) en caso de validez de los pedidos anteriores Sсi SсBi [1 + o(­)]. (70) Las ecuaciones de momento correspondientes se convierten por lo tanto V = 0, (71) NV = 0+ o(­3). (72) Es notable que en este caso el condi- se cumple exactamente, incluso si el término fuente no es el Exactamente uno. Por el bien de la referencia, es interesante Mencione otro posible pedido pequeño-mach-number. Esto se obtiene imponiendo para los parámetros c y νc , (73) o(­2) , (74) mientras se exige la misma restricción adoptada por los LBM asintóticos, es decir, Eq.(17). En este caso uno puede mostrar que la ecuación del momento (72) es en realidad satis- fied correcto a la orden o (3o), mientras que la condición de isocoricidad sólo está satisfecho con el pedido o(­2). El siguiente teorema puede, de hecho, ser probado: Teorema 3 - Baja eficacia-Mach-números asintóticos aproximación En validez de THM.1, invoquemos lo siguiente como: Supuestos: 1) Supuestos LB #3 y #4 para la cinética discreta distribuciones fi (i = 0, 8); 2) se supone que los parámetros libres c y νc satisfacen los pedidos asintóticos (73),(74); 3) la viscosidad del líquido μ se asume del orden μ â € € TM o (â € TM ) 4) la viscosidad del líquido μ se prescribe para que la la viscosidad matic = μ/πo se define de acuerdo con Eq.(17); 5) la presión cinética p1 se asume variando lentamente en el sentido En p1 • o. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. (75) De ello se deduce que el término fuente está aproximado por Eq.(64) y las ecuaciones momentáneas son proporcionadas por el ecuaciones asintóticas: ·V = 0 + o(­3), (76) NV = 0+ o(­3), (77) Es decir, la isocoricidad y la ecuación NS se recuperan re- correctos desde el punto de vista de las previsiones a las órdenes o(­2) y o(­3). Prueba Primero notamos que los supuestos de orden 2)-5 require M effp,a o 3) (78) (79) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (80) (+) (+4) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) () () () () () () (+)) () (+) (+) () (+))) () ())))) () () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () ()) () ())))) ())))))) () () () () () ())) () () () () () () que implican al menos la validez de Eqs.(64)-(67). Los prueba de Eqs.(76) y (77) es inmediata. En ambos casos basta con señalar que en validez de las hipótesis 1)-3) y en términos de una solución perturbadora Chapman-Enskog de Eq.(30) hay resultados reales 2V p = O + o(3), (81) y, por lo tanto, Sśi se reduce a Eq.(64). Las predicciones de THM.3 son relevantes para las comparaciones y proporcionar estimaciones de exactitud asintótica para LBM ous asintóticos [véase Refs. [17, 21, 40]]. De hecho, las ecuaciones del momento asintótico (76) y (77) formalmente coinciden con las ecuaciones análogas del momento predicho por tales teorías, cuando la presión cinética p es sustituida por la presión del líquido p1 (es decir, si se establece la función Po(t) idénticamente igual a cero). [17, 21, 40]. Sin embargo, el la precisión de los LBM habituales depende de las propiedades de las soluciones de INSE. De hecho, si se asume En p1 (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+)) (+))))) () (+) (+) (+) (+) el habitual (V, p) LBM asintótico [17, 21, 40] resultado realmente exacto sólo a la orden de o (2). Por lo tanto, en para llegar a una precisión de orden o(­3) la aproxima- (69) debe invocarse para el término fuente. La otra característica interesante de Eqs.(76) y (77) es que proporcionan una conexión con la comunicación artificial método de presión (ACM) postulado por Chorin [63], que antes se había motivado simplemente a causa de un asymp- LBM totic [21]. De hecho, esto coincide con el ecuación de relajación de presión donde c se puede interpretar como la velocidad del sonido del fluido. Sin embargo - en cierto sentido - esto analogía es puramente formal y sólo se debe a la negligencia de el primer término de fuente de presión en Si. Desaparece alto- Llegando a Eq.(71) si adoptamos el asymp- Tóxico de origen (69). Se presenta otra diferencia mediante la adopción de la presión cinética p1 que sustituye la presión de fluido p (utilizada en la aproximación de Chorin). Recalcamos que la elección de p1 aquí adoptada, con Po(t) determinado por el principio entrópico, representa una diferencia importante por lo tanto, puesto que permite satisfacer en todas partes en I condición de estricta positividad para el dis- cinético discreto funciones de atribución. 7B - Presión finita-Mach number Meffp,a Otro posible orden asintótico, por lo general no per- de LBM asintóticos habituales, es el que en que la velocidad de las partículas de ensayo sea finita, a saber, c â € o (â € 0), la viscosidad sigue siendo arbitraria y se toma de orden μ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2) [es decir, αc = νc = 0, = 2]. En este caso la presión Mach M effp, un número resulta finito, mientras que la velocidad y el sec- los números Mach de presión ond se consideran infinitesimal, de primer y segundo orden, respectivamente, en los siguientes casos: M effp,a o (o) (83) • o. • 2. Para obtener la ecuación de fluido con el accu- prescrito racy, por ejemplo de orden o(­2), es suficiente aproximar el término fuente Sсi en términos de S 1 + o(­2) . Los conjunto de ecuaciones de momento asintótico coinciden por lo tanto con Eqs.(71),(72). Una vez más, la condición de isocoricidad es exactamente cumplido, mientras que en este caso la ecuación NS es exacto sólo a la orden o (­2). 7C - Pequeños números efectivos de presión-Mach (Meffp,a,M ) y número finito de velocidad-Mach (M Por último, otro caso interesante es aquel en el que el viscosidad líquida μ permanece finita (líquido fuertemente viscoso), Es decir, en el sentido de μ â € ¬ o(­0) [i.e., = 0] mientras que ambos los parámetros c y νc son suficientemente grandes, y respectivamente escala c) 1/o) y c) 1/o) 2) [es decir, αc = 1, = 2]. Debido a las suposiciones (54)-(58) se obtiene o(­2) y 2V o(­0). De ello se deduce que el Escala de números de Mach, respectivamente, como (84) M effp,a • o(­2), Si se impone en μ también la misma restricción establecida por Eq.(17), los habituales LBM asintóticos pueden ser invocados también en Este caso. Sin embargo, desde la primera presión y ity números de Mach son sólo el segundo orden exacto, el La ecuación de NS se recupera al orden o(­2) solamente. Nunca... sin embargo, es posible recuperarse con precisión prescrita las ecuaciones de fluidos (71),(72). Esto se obtiene adop- , en el que se indica el término fuente Sœi SœBi [véase Eq.(69)]. Como una base consecuencia, la ecuación de isocoricidad se satisface exactamente (por lo que no hay analogía significativa con el enfoque de Chorin surge), mientras que los resultados de la ecuación NS correcta al orden o(e)3. Estos resultados proporcionan una extensión significativa de los habituales LBM asintóticos. Destacamos que la el enfoque entrópico aquí desarrollado se mantiene independientemente de los pedidos asintóticos aquí considerados [para el param- etersM effp,a,M ]. Por lo tanto, se puede utilizar en todos los casos asegurar la estricta positividad de la distribución discreta función. 8 - CONCLUSIONES En este trabajo hemos presentado el fondo teórico dáciones de un nuevo modelo de espacio de fase para fluidos isotérmicos, basados en una generalización de lattice Boltzmann se acerca.Hemos demostrado que muchos de las limitaciones de la lata de LBM tradicional (asintótica) ser superados. Como resultado principal, hemos demostrado que el LB-IKT se puede desarrollar de tal manera que proporciona soluciones exactas de Navier-Stokes y Poisson, es decir, es - en un sentido apropiado - una teoría cinética inversa para En el interior. La teoría presenta varias características, en particular: hemos demostrado que el LB-IKT integral (véase la sección 5): 1. determina exclusivamente la presión del líquido p(r, t) a través de la función de distribución cinética discreta sin resolver explícitamente (es decir, numéricamente) el Poisson ecuación para la presión de fluido. Aunque Analo... gous a los LBM tradicionales, esto es interesante desde se logra sin introducir compresibilidad y/o efectos térmicos. En particular, el presente teoría no se basa en una ecuación de estado para el presión de fluido. 2. es completa, es decir, todos los campos fluidos se expresan como momento de la función de distribución y todos los hy- Ecuaciones drodinámicas se identifican con adecuados ecuaciones momentáneas del equa cinético inverso del LB- tion. 3. permite condiciones iniciales y límites arbitrarias para los campos de fluidos. 4. es auto-consistente : la teoría cinética sostiene para ar- bitrary, condiciones iniciales suficientemente suaves para el función de distribución cinética. En otras palabras, la La función de distribución cinética inicial debe permanecer ar- bitrary incluso si un conjunto adecuado de su momentoa son prescrito en el momento inicial. 5. la cinética asociada y el equilibrio distri- funciones de bution siempre se puede elegir para pertenecer a la clase de distribuciones no invariantes de Galileo. In particular la distribución cinética del equilibrio puede siempre identificarse con un polinomio de segundo grado en la velocidad. 6. no es asintótico, es decir, a diferencia de LBM tradicional no depende de ningún parámetro pequeño, en particular ular que tiene para los números finitos Mach. 7. cumple un principio entrópico, basado en una constante-H teorema. Este teorema asegura, al mismo tiempo, la estricta positividad de la distri- función de bution y la maximización de la as- sociated Gibbs-Shannon entropy en un de- clase funcional multada. Notablemente la constante H- teorema se cumple para arbitrario (estrictamente positivo) Equilibrios cinéticos. Esto incluye también el caso de equilibrios cinéticos polinomios. Otro aspecto notable de la teoría se refiere a la elección de las condiciones de límite cinético que deben cumplirse por la función de distribución (Axioma II) y obtenido por por la que se prescribe la forma de la distribución de la velocidad entrante [véase Eq.(36)]. Gracias a Eqs.(34),(35), este requisito [del LB-IKT] las condiciones del límite del fluido campos están satisfechos exactamente mientras que las ecuaciones de fluidos son por construcción idénticamente cumplida también arbitrariamente cerca hasta el límite. Este resultado, en un sentido apropiado, se aplica sólo a las condiciones del límite de Dirichlet para los campos fluidos [véase Eqs.(8)]. Sin embargo, el mismo enfoque puede ser en principio se extiende al caso de la mezcla o Neumann condiciones límite para los campos fluidos. Por otra parte, hemos demostrado que una implicación útil de la teoría está provista por la posibilidad de construir aproximaciones asintóticas al equa cinético inverso tion. Esto permite desarrollar una nueva clase de asintótico LBM’s que satisfagan la precisión prescrita por el INSE, obtener comparaciones útiles con métodos CFD anteriores (ACM de Chorin) y para lograr estimaciones de exactitud para LBM asintóticos habituales. Los principales resultados de la el papel están representados por el 1-3 de THM, que se refieren a a la construcción de la LB-IKT integral, a la principio entrópico y a la construcción de la baja eficacia Mach-números aproximaciones asintóticas. Por el amor de Dios de referencia, también otro tipo de LB-IKT, que admite como solución específica exacta, el equi-cinético polinomio librio, se ha señalado (THM.1bis). La construcción de una teoría cinética inversa discreta de este tipo para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes representa un avance emocionante para el espacio de fase descripción de la dinámica de fluidos, proporcionando un nuevo comienzo punto para las investigaciones teóricas y numéricas basadas sobre la teoría LB. En nuestra opinión, el camino hacia una mayor precisión, LBM de orden superior, aquí señalado, será importante con el fin de lograr mejoras sustanciales en la eficacia la ciencia de LBM en un futuro próximo. APÉNDICE A El argumento básico con respecto a la exactitud de la condiciones de frontera adoptadas por la costumbre asintótica LBM es proporcionada por Ref.[46]. De hecho. Asumamos que en el límite la función de distribución entrante i (rw, t) se prescribe de acuerdo con Eqs.33), 37) y 38), siendo f oi (rw, t) prescrito func- ciones que no están desapareciendo sólo para Velocidades de hormigón ai para las que (ai −Vw) ·n(rw, t) ≤ 0. Por definitionness, vamos a asumir que f oi (rw, t) f i (rw, t) donde f i (rw, t) denota una distribución adecuada del equilibrio tion. De ello se deduce que, convenientemente cerca de la frontera, el La distribución cinética difiere de la de Chapman-Enskog. la contaminación (25). El error numérico sólo se puede superar desechando la primera cuadrícula espacial (cerca de la ary) en la simulación numérica [46]. APÉNDICE B A diferencia de la teoría cinética estándar, la característica distintiva de LB-IKT es la posibilidad de adoptar un no-Galilei función de distribución cinética invariante (es decir, no invariante) con respecto a las traducciones de velocidad). Aquí vamos a... puerto otro ejemplo de teoría cinética inversa discreta de este tipo. Modifiquémonos Axiom IV para permitir que una solución particular de LB-IKE [Eq.(30)] es pro- Vidificado por fi = f i. Aquí identificamos f i con el (no- Galilei invariante) distribución cinética polinómica definida por Eq.(27) pero con la presión cinética p1 que sustituye la presión del líquido p. En este caso se puede probar que el el término fuente Si lee Si = S i Sсi Si, (85) donde •Si = (ai −V) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • aiV · ai+ V − ai 3ai ·V + (86) - ¡No! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! ai ·V Aquí N1 No , donde N es la ópera Navier-Stokes... N1 es el operador no lineal que actúa rendimientos de onV N1V = πoVV [p1 − Φ (r)]+f1 Por lo tanto, invocando el INSE, el Si también puede ser escrito en el forma equivalente •Si = (ai −V) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • aiV · ai+ V − ai 3ai ·V + (87) - ¡No! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! ai ·V Se mantiene el siguiente resultado: Teorema 1bis - Diferencial LB-IKT En validez de los axiomas I-IV y la suposición de que fi = f i es una solución particular de Eq.(30), lo siguiente: las declaraciones contienen: i es una solución particular de LB-IKE [Eq.(30)] si y sólo si los campos de fluido extendidos {V,p1} son fuertes soluciones de INSE de clase (29), con inicial y límite condiciones (7) a (8), y arbitrario pseudo presión po(t) de clase C (1) I). Por otra parte, para una solución arbitraria particular fi y para campos de fluido extendidos arbitrarios: Para una solución arbitraria particular fi : B) fi es una solución de LB-IKE [Eq.(30)] si y únicamente si los campos de fluido extendidos {V,p1} son fuertes arbitrarios soluciones de INSE de clase (29), con inicial y límite condiciones (7) a (8), y arbitrario pseudo presión po(t) de clase C (1)I; C) las ecuaciones momentáneas de L-B IKE coinciden cally con el INSE en el conjunto I; D) las condiciones iniciales y el límite (Dirichlet) las condiciones de los campos de fluidos se cumplen de forma idéntica; E) el término fuente Si se define de manera única por Eqs.(85),(86); Prueba: La prueba de las proposiciones A, B, C y D es análoga a la prevista en THM.1. Suponiendo que Si = S i, el prueba de B sigue de álgebra simple. De hecho, dejando fi(r, t) = f i (r, t) para todos (r, t) LB-Ike [Eq.(30)], se encuentra que Eq.(30) se cumple sif los campos fluidos satisfacen el Navier-Stokes, la isocoricidad y ecuaciones de incompresión (1), (2) y (3). La prueba de la propuesta E se puede alcanzar de una manera similar. Los la singularidad del término fuente Si es una conse- quence de la singularidad de las soluciones para el INSE. AGRADECIMIENTOS Comentarios útiles y estimular las discusiones con K.R. Sreenivasan, Direc- , ICTP (Centro Internacional de Física Teórica, Trieste, Italia) son muy reconocidos. Investigación desarrollado en el marco del Proyecto PRIN Fundamen- de la teoría cinética y las aplicaciones a la dinámica de los fluidos, dinámica magnetofluida y mecánica cuántica (MIUR, Ministerio de Universidades e Investigación, Italia), con el apoyo del Consorcio para la Dinámica Magnetofluida, Trieste, Italia. [1] M. Ellero y M. Tessarotto, Bull. Soy Phys. Soc. 45 (9), 40 (2000). [2] M. Tessarotto y M. 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A pesar del gran número de documentos aparecidos en el pasado que están dedicados a la retícula Boltzmann (LB) métodos, los aspectos básicos de la teoría siguen siendo todavía no cuestionado. Una cuestión teórica sin resolver está relacionada con la construcción de un teoría cinética discreta que produce \textit{exactamente} las ecuaciones de fluido, Es decir, no es asintótico (aquí denotado como \textit{Teoría cinética inversa LB}). El propósito de este trabajo es teórico y tiene como objetivo desarrollar un enfoque cinético de este tipo. En principio existen soluciones infinitas para esto problema, pero la libertad puede ser explotada con el fin de satisfacer necesidades. En particular, la teoría cinética discreta se puede definir de modo que da exactamente la ecuación del fluido también para el no-equilibrio arbitrario (pero funciones de distribución cinética adecuadamente suaves y arbitrariamente cerca de la límite del dominio fluido. A diferencia de los métodos LB entrópicos anteriores, el teorema se puede obtener sin restricciones funcionales en la clase de la inicial funciones de distribución. Posibles realizaciones de la teoría y la asintótica se proporcionan aproximaciones que permiten determinar las ecuaciones de fluidos \textit{con precisión prescrita.} Como resultado, las estimaciones de exactitud asintótica de los enfoques tradicionales de LB y comparaciones con el Chorin artificial Se discute el método de compresibilidad.

Introducción de la variación sincrónica de la en- tropiez, definido por la letra «S» (t) = «E» , con •(α) = S (f + f), sigue S (t) = dt S(t) . (53) Desde que en validez de Eq.(50) resultados S(t) que en vista de Eq.(53) implica también S (t) = 0. Es im- De ello se deduce mediadamente que los resultados son necesariamente los siguientes: فارسى2S (t) ≤ 0, es decir, S (t) es máximo. Por lo tanto, la distribución cinética función de tion que satisface IKE (Eq.(30)] es extremal en la clase funcional de variaciones (52) y maximiza la Gibbs-Shannon entropía funcional. 6B - Implicaciones En vista de la declaración B, la THM.2 justifica la estricta pos- itividad de las funciones de distribución discreta fi (i = 0, 8) sólo en el set abierto  × I, mientras que nada se puede decir con respecto a su comportamiento en el límite (en el que fi puede desaparecer localmente). Sin embargo, desde la inversa ki- ecuación netic realmente se sostiene sólo en el conjunto abierto I, esto no afecta a la validez del resultado. Mientras que el la causa precisa de la inestabilidad numérica de LBM es todavía desconocido, la estricta positividad de la función de distribución Por lo general, se considera importante para la estabilidad de la solución merical [29, 30]. Hay que subrayar que el n- aplicación merical de la condición de constante en- Tropy Eq.(50) debe ser sencillo, sin involu- • un aumento significativo de los gastos generales computacionales para la simulación LB. ciones. Por lo tanto, podría representar un esquema conveniente que se adoptará también para los métodos habituales de LB. 7 - APROXIMACIONES ASIMPTÓTICAS Y COMPARACIONES CON CFD ANTERIORES MÉTODOS Una cuestión básica es la relación con el CFD anterior métodos mericos, particularmente LBM asintóticos. Toma. Consideramos, por definición, sólo el caso de la inte- gral LB-IKT introducido en Sec.5. Otra motivación es la posibilidad de construir nuevas mejoras asintóticas los modelos, que satisfacen con precisión prescrita la re- Ecuaciones de líquido requerido [INSE], de extensión del rango de la validez de los LBM tradicionales y el cumplimiento de principio trópico (véase la sección 6). El análisis es útil en en particular para establecer por razones rigurosas la consis- tency de LBM anteriores. La conexión [con previ- se puede llegar a los LBM mediante la introducción de aproximaciones asintóticas para las IKT, obtenidas por suponiendo que los parámetros adecuados que caracterizan la Los IKT son infinitesimales (o infinitos) (parame asintótico- ters). Otra característica interesante es la posibilidad de construir en principio una clase de nuevos LBM asintóticos con la precisión prescrita, es decir, en la que la distribución función (y el momento correspondientea) puede ser de- Terminado con precisión predeterminada en términos de per- expansiones turbativas en el parame asintótico relevante ters. Además de recuperar el número tradicional bajo-Mach LBM’s [17, 21, 40], que satisfacen la condición de isocouricidad sólo en un sentido asintótico y están estrechamente relacionados con el método de compresibilidad artificial Chorin, es posible para obtener unas LBM asintóticas mejoradas que satisfagan exactamente la misma ecuación. Primero notamos que el IKT presente se caracteriza por los parámetros positivos arbitrarios νc, c y el inicial valor Po(to), que entran respectivamente en la definición del operador de BGK [véase el punto 11], el momento de la velocidada y función de distribución del equilibrio f i. Tanto c como Po(to) debe asumirse estrictamente positivo, mientras que, para asegurar la validez de THM.2, Po(to) debe definirse de manera que (para todos los i = 0, 8) f i (r,to) > 0 en el cierre. Gracias. a THM.1.y 2 la nueva teoría es manifiestamente válida para valor finito arbitrario de estos parámetros. Esto significa que sostienen también suponiendo o( ) , (54) o(c) , (55) Po(a) o(e) 0), (56) donde ♥ denota un real infinitesimal estrictamente positivo, , αc > 0 son parámetros reales a definir, mientras que el campos de fluido extendidos,V, p1} y la fuerza de volumen f se asumen todos independientes de............................................................................................................................ Por lo tanto, con respecto a Se escalan. No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 0). (57) Como resultado, para campos fluidos adecuadamente lisos (es decir, en va- axioma 1) y condiciones iniciales adecuadas para fi(r, t), se espera que el primer requisito realmente implica en todo el conjunto la condición de cercanía f(r, t) = f i (r, t) [1 + o(l)], coherente con el LB As- Supuestos #4. Para mostrar comparaciones significativas con LBM anteriores vamos a introducir la suposición adicional que la viscosidad fluida es pequeña en el sentido μ o(), (58) con ≥ 1 otro parámetro real por definir. Aproximaciones asintóticas para los LB correspondientes IKE [Eq.(30)] se puede recuperar directamente mediante la introducción pedidos asintóticos apropiados para las contribuciones aparece en el término fuente Si = Sсi. Inspec- ión muestra que estos son proporcionados por el (dimensional) parámetros M effp,a , (59) p , (60) 2V * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (61) Los dos primeros M effp,a y M aquí se indican las especificaciones como (primera y segunda) presión eficaz Mach num- bers, impulsados respectivamente por la derivada del tiempo de presión y por la divergencia de la anisotropía de presión p1. Además, M se denota como velocidad Mach efectivo número. Ejemplos físicamente relevantes [de asintóticos LBM se puede lograr mediante la introducción de pedidos adecuados en términos del único infinitesimal para los parámetros M effp,a,M . Hacemos hincapié en que estos pedidos, en principio, puede ser introducido sin realmente introducir restricciones en los campos de fluidos, es decir, la retención de la que los campos de fluidos extendidos son independientes de ­. Los casos interesantes son proporcionados por el orden asintótico- ciones que se indican a continuación. 7A - Pequeños números Mach efectivos (Meffp,a,M Un aspecto importante de la teoría LB es la posibilidad de la construcción de LBM asintóticos con accu- racy con respecto al parámetro infinitesimal la sensación de que las ecuaciones fluidas se satisfacen por lo menos cor- rect hasta los términos de orden o(ln) incluido, con n = 1 o 2, es decir, ignorando los términos de error de la orden o(­n+1) o Más alto. Consideremos, en primer lugar, el caso en el que todos los pa- rametersM effp,a,M y M son todos infinitesimal w.r. a فارسى (números de Mach de baja eficacia). Desde los parámetros c y νc son libres, se pueden definir de modo que allí resultados c) 1o) [lo que implica αc = = 1]. Esto requiere M effp,a â € M • o. • 2. (62) Si, consideramos un fluido de baja viscosidad para el que la • la viscosidad matic ν = μ/ por lo tanto = 1] se deduce que • o. • 2. (63) Gracias a las suposiciones (54)-(58) sigue: Π • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • el término fuente Sœi, ignorando las correcciones de orden o(l) se convierte en Sûi SûAi [1 + o(l)], (64) SśAi فارسى − ai · f. (65) Es inmediato determinar el momento correspondiente ecuaciones, cuyo texto es el siguiente: ·V = 0, (66) NV = 0+ o(­2), (67) Formalmente la primera ecuación se puede interpretar como un evo- ecuación de dilución para la presión cinética p1. Sin embargo, en vista de la orden (62) implica en realidad la iso- estado de la coricidad • ·V = 0 + o(•2). (68) En cambio, el segundo [Eq.(67)]. debido al asymp- aproximación tótica (63), se reduce a la ecuación de Euler. Por lo tanto, en este caso la aproximación asintótica (64) no es suficiente. Para recuperar la correcta Navier-Stokes ecuación se necesita una aproximación más precisa, real- que requieren que las ecuaciones hidrodinámicas sean sat- ified correcto a la orden o (­3). Una posibilidad del puño es timar... sider una aproximación más precisa para el término fuente. Restauración de los términos presión y fuente viscosa en (64) hay resultados del término fuente asintótica SсBi فارسى − ai · f1 , (69) en caso de validez de los pedidos anteriores Sсi SсBi [1 + o(­)]. (70) Las ecuaciones de momento correspondientes se convierten por lo tanto V = 0, (71) NV = 0+ o(­3). (72) Es notable que en este caso el condi- se cumple exactamente, incluso si el término fuente no es el Exactamente uno. Por el bien de la referencia, es interesante Mencione otro posible pedido pequeño-mach-number. Esto se obtiene imponiendo para los parámetros c y νc , (73) o(­2) , (74) mientras se exige la misma restricción adoptada por los LBM asintóticos, es decir, Eq.(17). En este caso uno puede mostrar que la ecuación del momento (72) es en realidad satis- fied correcto a la orden o (3o), mientras que la condición de isocoricidad sólo está satisfecho con el pedido o(­2). El siguiente teorema puede, de hecho, ser probado: Teorema 3 - Baja eficacia-Mach-números asintóticos aproximación En validez de THM.1, invoquemos lo siguiente como: Supuestos: 1) Supuestos LB #3 y #4 para la cinética discreta distribuciones fi (i = 0, 8); 2) se supone que los parámetros libres c y νc satisfacen los pedidos asintóticos (73),(74); 3) la viscosidad del líquido μ se asume del orden μ â € € TM o (â € TM ) 4) la viscosidad del líquido μ se prescribe para que la la viscosidad matic = μ/πo se define de acuerdo con Eq.(17); 5) la presión cinética p1 se asume variando lentamente en el sentido En p1 • o. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. •. (75) De ello se deduce que el término fuente está aproximado por Eq.(64) y las ecuaciones momentáneas son proporcionadas por el ecuaciones asintóticas: ·V = 0 + o(­3), (76) NV = 0+ o(­3), (77) Es decir, la isocoricidad y la ecuación NS se recuperan re- correctos desde el punto de vista de las previsiones a las órdenes o(­2) y o(­3). Prueba Primero notamos que los supuestos de orden 2)-5 require M effp,a o 3) (78) (79) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (80) (+) (+4) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) () () () () () () (+)) () (+) (+) () (+))) () ())))) () () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () ()) () ())))) ())))))) () () () () () ())) () () () () () () que implican al menos la validez de Eqs.(64)-(67). Los prueba de Eqs.(76) y (77) es inmediata. En ambos casos basta con señalar que en validez de las hipótesis 1)-3) y en términos de una solución perturbadora Chapman-Enskog de Eq.(30) hay resultados reales 2V p = O + o(3), (81) y, por lo tanto, Sśi se reduce a Eq.(64). Las predicciones de THM.3 son relevantes para las comparaciones y proporcionar estimaciones de exactitud asintótica para LBM ous asintóticos [véase Refs. [17, 21, 40]]. De hecho, las ecuaciones del momento asintótico (76) y (77) formalmente coinciden con las ecuaciones análogas del momento predicho por tales teorías, cuando la presión cinética p es sustituida por la presión del líquido p1 (es decir, si se establece la función Po(t) idénticamente igual a cero). [17, 21, 40]. Sin embargo, el la precisión de los LBM habituales depende de las propiedades de las soluciones de INSE. De hecho, si se asume En p1 (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+)) (+))))) () (+) (+) (+) (+) el habitual (V, p) LBM asintótico [17, 21, 40] resultado realmente exacto sólo a la orden de o (2). Por lo tanto, en para llegar a una precisión de orden o(­3) la aproxima- (69) debe invocarse para el término fuente. La otra característica interesante de Eqs.(76) y (77) es que proporcionan una conexión con la comunicación artificial método de presión (ACM) postulado por Chorin [63], que antes se había motivado simplemente a causa de un asymp- LBM totic [21]. De hecho, esto coincide con el ecuación de relajación de presión donde c se puede interpretar como la velocidad del sonido del fluido. Sin embargo - en cierto sentido - esto analogía es puramente formal y sólo se debe a la negligencia de el primer término de fuente de presión en Si. Desaparece alto- Llegando a Eq.(71) si adoptamos el asymp- Tóxico de origen (69). Se presenta otra diferencia mediante la adopción de la presión cinética p1 que sustituye la presión de fluido p (utilizada en la aproximación de Chorin). Recalcamos que la elección de p1 aquí adoptada, con Po(t) determinado por el principio entrópico, representa una diferencia importante por lo tanto, puesto que permite satisfacer en todas partes en I condición de estricta positividad para el dis- cinético discreto funciones de atribución. 7B - Presión finita-Mach number Meffp,a Otro posible orden asintótico, por lo general no per- de LBM asintóticos habituales, es el que en que la velocidad de las partículas de ensayo sea finita, a saber, c â € o (â € 0), la viscosidad sigue siendo arbitraria y se toma de orden μ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 2) [es decir, αc = νc = 0, = 2]. En este caso la presión Mach M effp, un número resulta finito, mientras que la velocidad y el sec- los números Mach de presión ond se consideran infinitesimal, de primer y segundo orden, respectivamente, en los siguientes casos: M effp,a o (o) (83) • o. • 2. Para obtener la ecuación de fluido con el accu- prescrito racy, por ejemplo de orden o(­2), es suficiente aproximar el término fuente Sсi en términos de S 1 + o(­2) . Los conjunto de ecuaciones de momento asintótico coinciden por lo tanto con Eqs.(71),(72). Una vez más, la condición de isocoricidad es exactamente cumplido, mientras que en este caso la ecuación NS es exacto sólo a la orden o (­2). 7C - Pequeños números efectivos de presión-Mach (Meffp,a,M ) y número finito de velocidad-Mach (M Por último, otro caso interesante es aquel en el que el viscosidad líquida μ permanece finita (líquido fuertemente viscoso), Es decir, en el sentido de μ â € ¬ o(­0) [i.e., = 0] mientras que ambos los parámetros c y νc son suficientemente grandes, y respectivamente escala c) 1/o) y c) 1/o) 2) [es decir, αc = 1, = 2]. Debido a las suposiciones (54)-(58) se obtiene o(­2) y 2V o(­0). De ello se deduce que el Escala de números de Mach, respectivamente, como (84) M effp,a • o(­2), Si se impone en μ también la misma restricción establecida por Eq.(17), los habituales LBM asintóticos pueden ser invocados también en Este caso. Sin embargo, desde la primera presión y ity números de Mach son sólo el segundo orden exacto, el La ecuación de NS se recupera al orden o(­2) solamente. Nunca... sin embargo, es posible recuperarse con precisión prescrita las ecuaciones de fluidos (71),(72). Esto se obtiene adop- , en el que se indica el término fuente Sœi SœBi [véase Eq.(69)]. Como una base consecuencia, la ecuación de isocoricidad se satisface exactamente (por lo que no hay analogía significativa con el enfoque de Chorin surge), mientras que los resultados de la ecuación NS correcta al orden o(e)3. Estos resultados proporcionan una extensión significativa de los habituales LBM asintóticos. Destacamos que la el enfoque entrópico aquí desarrollado se mantiene independientemente de los pedidos asintóticos aquí considerados [para el param- etersM effp,a,M ]. Por lo tanto, se puede utilizar en todos los casos asegurar la estricta positividad de la distribución discreta función. 8 - CONCLUSIONES En este trabajo hemos presentado el fondo teórico dáciones de un nuevo modelo de espacio de fase para fluidos isotérmicos, basados en una generalización de lattice Boltzmann se acerca.Hemos demostrado que muchos de las limitaciones de la lata de LBM tradicional (asintótica) ser superados. Como resultado principal, hemos demostrado que el LB-IKT se puede desarrollar de tal manera que proporciona soluciones exactas de Navier-Stokes y Poisson, es decir, es - en un sentido apropiado - una teoría cinética inversa para En el interior. La teoría presenta varias características, en particular: hemos demostrado que el LB-IKT integral (véase la sección 5): 1. determina exclusivamente la presión del líquido p(r, t) a través de la función de distribución cinética discreta sin resolver explícitamente (es decir, numéricamente) el Poisson ecuación para la presión de fluido. Aunque Analo... gous a los LBM tradicionales, esto es interesante desde se logra sin introducir compresibilidad y/o efectos térmicos. En particular, el presente teoría no se basa en una ecuación de estado para el presión de fluido. 2. es completa, es decir, todos los campos fluidos se expresan como momento de la función de distribución y todos los hy- Ecuaciones drodinámicas se identifican con adecuados ecuaciones momentáneas del equa cinético inverso del LB- tion. 3. permite condiciones iniciales y límites arbitrarias para los campos de fluidos. 4. es auto-consistente : la teoría cinética sostiene para ar- bitrary, condiciones iniciales suficientemente suaves para el función de distribución cinética. En otras palabras, la La función de distribución cinética inicial debe permanecer ar- bitrary incluso si un conjunto adecuado de su momentoa son prescrito en el momento inicial. 5. la cinética asociada y el equilibrio distri- funciones de bution siempre se puede elegir para pertenecer a la clase de distribuciones no invariantes de Galileo. In particular la distribución cinética del equilibrio puede siempre identificarse con un polinomio de segundo grado en la velocidad. 6. no es asintótico, es decir, a diferencia de LBM tradicional no depende de ningún parámetro pequeño, en particular ular que tiene para los números finitos Mach. 7. cumple un principio entrópico, basado en una constante-H teorema. Este teorema asegura, al mismo tiempo, la estricta positividad de la distri- función de bution y la maximización de la as- sociated Gibbs-Shannon entropy en un de- clase funcional multada. Notablemente la constante H- teorema se cumple para arbitrario (estrictamente positivo) Equilibrios cinéticos. Esto incluye también el caso de equilibrios cinéticos polinomios. Otro aspecto notable de la teoría se refiere a la elección de las condiciones de límite cinético que deben cumplirse por la función de distribución (Axioma II) y obtenido por por la que se prescribe la forma de la distribución de la velocidad entrante [véase Eq.(36)]. Gracias a Eqs.(34),(35), este requisito [del LB-IKT] las condiciones del límite del fluido campos están satisfechos exactamente mientras que las ecuaciones de fluidos son por construcción idénticamente cumplida también arbitrariamente cerca hasta el límite. Este resultado, en un sentido apropiado, se aplica sólo a las condiciones del límite de Dirichlet para los campos fluidos [véase Eqs.(8)]. Sin embargo, el mismo enfoque puede ser en principio se extiende al caso de la mezcla o Neumann condiciones límite para los campos fluidos. Por otra parte, hemos demostrado que una implicación útil de la teoría está provista por la posibilidad de construir aproximaciones asintóticas al equa cinético inverso tion. Esto permite desarrollar una nueva clase de asintótico LBM’s que satisfagan la precisión prescrita por el INSE, obtener comparaciones útiles con métodos CFD anteriores (ACM de Chorin) y para lograr estimaciones de exactitud para LBM asintóticos habituales. Los principales resultados de la el papel están representados por el 1-3 de THM, que se refieren a a la construcción de la LB-IKT integral, a la principio entrópico y a la construcción de la baja eficacia Mach-números aproximaciones asintóticas. Por el amor de Dios de referencia, también otro tipo de LB-IKT, que admite como solución específica exacta, el equi-cinético polinomio librio, se ha señalado (THM.1bis). La construcción de una teoría cinética inversa discreta de este tipo para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes representa un avance emocionante para el espacio de fase descripción de la dinámica de fluidos, proporcionando un nuevo comienzo punto para las investigaciones teóricas y numéricas basadas sobre la teoría LB. En nuestra opinión, el camino hacia una mayor precisión, LBM de orden superior, aquí señalado, será importante con el fin de lograr mejoras sustanciales en la eficacia la ciencia de LBM en un futuro próximo. APÉNDICE A El argumento básico con respecto a la exactitud de la condiciones de frontera adoptadas por la costumbre asintótica LBM es proporcionada por Ref.[46]. De hecho. Asumamos que en el límite la función de distribución entrante i (rw, t) se prescribe de acuerdo con Eqs.33), 37) y 38), siendo f oi (rw, t) prescrito func- ciones que no están desapareciendo sólo para Velocidades de hormigón ai para las que (ai −Vw) ·n(rw, t) ≤ 0. Por definitionness, vamos a asumir que f oi (rw, t) f i (rw, t) donde f i (rw, t) denota una distribución adecuada del equilibrio tion. De ello se deduce que, convenientemente cerca de la frontera, el La distribución cinética difiere de la de Chapman-Enskog. la contaminación (25). El error numérico sólo se puede superar desechando la primera cuadrícula espacial (cerca de la ary) en la simulación numérica [46]. APÉNDICE B A diferencia de la teoría cinética estándar, la característica distintiva de LB-IKT es la posibilidad de adoptar un no-Galilei función de distribución cinética invariante (es decir, no invariante) con respecto a las traducciones de velocidad). Aquí vamos a... puerto otro ejemplo de teoría cinética inversa discreta de este tipo. Modifiquémonos Axiom IV para permitir que una solución particular de LB-IKE [Eq.(30)] es pro- Vidificado por fi = f i. Aquí identificamos f i con el (no- Galilei invariante) distribución cinética polinómica definida por Eq.(27) pero con la presión cinética p1 que sustituye la presión del líquido p. En este caso se puede probar que el el término fuente Si lee Si = S i Sсi Si, (85) donde •Si = (ai −V) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • aiV · ai+ V − ai 3ai ·V + (86) - ¡No! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! ai ·V Aquí N1 No , donde N es la ópera Navier-Stokes... N1 es el operador no lineal que actúa rendimientos de onV N1V = πoVV [p1 − Φ (r)]+f1 Por lo tanto, invocando el INSE, el Si también puede ser escrito en el forma equivalente •Si = (ai −V) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • aiV · ai+ V − ai 3ai ·V + (87) - ¡No! - ¡No, no, no, no! - ¡No, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no! ai ·V Se mantiene el siguiente resultado: Teorema 1bis - Diferencial LB-IKT En validez de los axiomas I-IV y la suposición de que fi = f i es una solución particular de Eq.(30), lo siguiente: las declaraciones contienen: i es una solución particular de LB-IKE [Eq.(30)] si y sólo si los campos de fluido extendidos {V,p1} son fuertes soluciones de INSE de clase (29), con inicial y límite condiciones (7) a (8), y arbitrario pseudo presión po(t) de clase C (1) I). Por otra parte, para una solución arbitraria particular fi y para campos de fluido extendidos arbitrarios: Para una solución arbitraria particular fi : B) fi es una solución de LB-IKE [Eq.(30)] si y únicamente si los campos de fluido extendidos {V,p1} son fuertes arbitrarios soluciones de INSE de clase (29), con inicial y límite condiciones (7) a (8), y arbitrario pseudo presión po(t) de clase C (1)I; C) las ecuaciones momentáneas de L-B IKE coinciden cally con el INSE en el conjunto I; D) las condiciones iniciales y el límite (Dirichlet) las condiciones de los campos de fluidos se cumplen de forma idéntica; E) el término fuente Si se define de manera única por Eqs.(85),(86); Prueba: La prueba de las proposiciones A, B, C y D es análoga a la prevista en THM.1. Suponiendo que Si = S i, el prueba de B sigue de álgebra simple. De hecho, dejando fi(r, t) = f i (r, t) para todos (r, t) LB-Ike [Eq.(30)], se encuentra que Eq.(30) se cumple sif los campos fluidos satisfacen el Navier-Stokes, la isocoricidad y ecuaciones de incompresión (1), (2) y (3). La prueba de la propuesta E se puede alcanzar de una manera similar. Los la singularidad del término fuente Si es una conse- quence de la singularidad de las soluciones para el INSE. AGRADECIMIENTOS Comentarios útiles y estimular las discusiones con K.R. Sreenivasan, Direc- , ICTP (Centro Internacional de Física Teórica, Trieste, Italia) son muy reconocidos. Investigación desarrollado en el marco del Proyecto PRIN Fundamen- de la teoría cinética y las aplicaciones a la dinámica de los fluidos, dinámica magnetofluida y mecánica cuántica (MIUR, Ministerio de Universidades e Investigación, Italia), con el apoyo del Consorcio para la Dinámica Magnetofluida, Trieste, Italia. [1] M. Ellero y M. Tessarotto, Bull. Soy Phys. Soc. 45 (9), 40 (2000). [2] M. Tessarotto y M. Ellero, RGD24 (Italia, 10-16 de julio, 2004), AIP Conf. Proc. 762, 108 (2005). [3] M. Ellero y M. Tessarotto, Physica A 355, 233 (2005). [4] M. Tessarotto y M. Ellero, Physica A 373, 142 (2007); arXiv: física/0602140. [5] M. Tessarotto y M. Ellero, “Sobre la singularidad de teoría cinética inversa tinua para los fluidos incompresibles,” en la prensa sobre AIP Conf. Proc., RGD25 (San Petersburgo, Rusia, 21-28 de julio de 2006); arXiv:physics/0611113. [6] M. Tessarotto, M. Ellero, N. Aslan, M. Mond y P. Nicolini, “Una ecuación exacta de la evolución de la presión para las ecuaciones incompresibles de Navier-StokesInverse”, arXiv:physics/0612072 (2006). [7] M. Tessarotto, M. Ellero y P. Nicolini, Phys.Rev. A 75, 012105 (2007); arXiv:quantum-ph/060691. [8] G.R. McNamara y G. Zanetti, Phys. Rev. Lett. 61, 2332 (1988). [9] F. Higuera, S. Succi y R. Benzi, Europhys. Lett. 9.345 (1989). [10] S. Succi, R. Benzi, y F. Higuera, Physica D 47, 219 (1991). [11] S. Chen, H. Chen, D. O. 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Phonon-mediated decay of an atom in a surface-induced potential

Caída mediada por fonón de un átomo en un potencial inducido por la superficie Fam Le Kien1,* S. Dutta Gupta1,2 y K. Hakuta1 Departamento de Física Aplicada y Química, Universidad de Electrocomunicaciones, Chofu, Tokio 182-8585, Japón Escuela de Física, Universidad de Hyderabad, Hyderabad (India) (Fecha: 4 de agosto de 2021) Estudiamos transiciones mediadas por fonones entre los niveles traslacionales de un átomo en una superficie inducida potencial. Presentamos una ecuación maestra general que rige la dinámica de los estados traslacionales del átomo. En el marco del modelo Debye, derivamos expresiones compactas para las tasas tanto para las transiciones hacia arriba como hacia abajo. Los cálculos numéricos de las tasas de transición son: realizado para un potencial inducido por la sílice profunda que permite un gran número de niveles consolidados también como estados libres de un átomo de cesio. La tasa de absorción total se determina principalmente por las transiciones de enlace a enlace para los niveles de unión profunda y mediante transiciones de enlace a libre para los niveles poco profundos niveles consolidados. Además, los procesos de emisión y absorción de fonones pueden ser órdenes de magnitud mayor para los niveles de unión profunda en comparación con los de unión superficial. También estudiamos varios tipos de transiciones de estados libres. Demostramos que, para el cesio atómico térmico con la temperatura en el rango de 100 μK a 400 μK en las proximidades de una superficie de sílice con una temperatura de 300 K, la adsorción (decaída libre a unida) la tasa es aproximadamente dos veces mayor que la calefacción (decaída ascendente libre a libre) tasa, mientras que la tasa de enfriamiento (de decaimiento hacia abajo de libre a libre) es insignificante. Números PACS: 34.50.Dy,33.70.Ca I. INTRODUCCIÓN En los últimos años, un estricto confinamiento de frío los átomos han llamado la atención. El interés en Esta área está motivada no sólo por la na- el problema, pero también por sus posibles aplicaciones en la óptica atómica y la información cuántica. Un método para la captura microscópica y guía de átomos individuales a lo largo de una nanofibra se ha propuesto [1]. Superficie–átomo los efectos electrodinámicos cuánticos han constituido otro área interesante, donde se ha trabajado mucho llevado a cabo. Modificación de la emisión espontánea de un átomo [2] y un intercambio radiativo entre dos distantes se han investigado los átomos [3] mediados por un nanofibra. Potenciales profundos inducidos por la superficie han desempeñado un papel importante y han recibido la debida atención en los últimos años. Oria et al. han estudiado diversos esquemas teóricos para cargar átomos en tales potenciales [4, 5]. Una teoría rigurosa de Decaimiento espontáneo de un átomo en una po- tential invocando el formalismo densidad-matriz ha sido desarrollados [6]. El papel de la interferencia entre la emisión ciones y el papel de la transmisión. en los modos evanescentes fueron identificados. Más... culaciones en el espectro de excitación se han llevado a cabo fuera [7]. Se demostró que las transiciones de un lado a otro conducen a efectos significativos como una cola roja grande de la excita- en comparación con las débiles consecuencias de transiciones de libre acceso. Un paso crucial en esta dirección fue la observación experimental de la especificaciones de excitación trum y la canalización de los fotones fluorescentes a lo largo la nanofibra [8], abriendo vías para la nueva cuántica dispositivos de información. En la mayoría de los problemas relacionados con la superficie-átomo inter- acción, la superficie macroscópica por lo general se mantiene en la habitación temperatura. Por lo tanto, la cuestión pertinente que puede ser pregunta es cuál sería el efecto de la calefacción en el frío átomos. Se entiende que la transferencia de calor a la átomos atrapados conducirán a un cambio en la ocupación la probabilidad de los niveles vibracionales, así como su co- Herence. Cambios inducidos por el fonón en las poblaciones de los niveles vibracionales han sido estudiados por varios grupos [5, 9, 10]. En un tratamiento agradable y compacto basado en el función verde dyadic y la regla de oro Fermi, Henkel et al. ha demostrado que los efectos pueden ser muy diferentes de pendiente sobre la naturaleza de la especie atómica/molecular [9]. Se estimaron las escalas de tiempo para varias especies. Cabe destacar que la trampa considerada por Henkel et al. no era necesariamente una trampa superficial y se pierde sobre muchos de los aspectos de la interacción superficie-átomo [9]. Sobre la base de la hipótesis de que la superficie-átomo en- la acción puede ser representada por un potencial Morse, el La descomposición mediada por fonón fue estimada por Oria et al. [5]. Su estimación se basó en el formalismo desarrollado por Gortel et al. [10]. Sin embargo, todas las teorías anteriores nes de transición y, por lo tanto, no son de carácter general. Ya basta. En este trabajo, presentamos una densidad general- formalismo matricial para calcular el de- cay de las poblaciones, así como los cambios en la coherencia. Derivamos la ecuación maestra relevante para la densidad matriz del átomo. Enfatizamos que nuestra densidad... ecuación de matriz describe la dinámica completa de la cou- ploling entre los átomos atrapados y los fonones y no lo hace asumir cualquier forma particular del potencial de captura. Bajo la aproximación de Debye, derivamos compact ex- Presiones para las tasas de decaimiento mediadas por el fonon. Numer... Los cálculos icales se llevan a cabo suponiendo el potencial modelo considerado en [4]. En contraste con el trabajo anterior, incluimos un gran número de niveles vibracionales debido a la potencial de átomo-superficie profunda. Demostramos que puede haber diferencias significativas en las tasas de decaimiento cuando el nivel se elige como uno de los niveles de unión superficial o profunda. También calculamos y analizamos las tasas de decaimiento para varios http://arxiv.org/abs/0704.0340v1 tipos de transiciones desde estados libres. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. II nosotros de- escriba el modelo. In Sec. III derivamos el dinam básico- Ecuaciones icales para los procesos de decaimiento mediados por el fonón. In Sec. IV presentamos los resultados de cálculo numérico- ciones. Nuestras conclusiones figuran en la sección II. V. II. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA MODELO Asumimos que todo el espacio se dividirá en dos re- giones, es decir, el semi-espacio x < 0, ocupado por un nondis- medio dieléctrico persivo no absorbente (medio 1), y el semiespacio x > 0, ocupado por el vacío (mediano 2). Examinamos un solo átomo moviéndose en la mitad vacía... espacio x > 0. Asumimos que el átomo está en un estado interno i con energía i. Sin pérdida de gen- eralidad, asumimos que la energía del estado interno i es cero, es decir. •i = 0. Describimos la interacción como... entre el átomo y la superficie. En primer lugar, consideramos la potencial de interacción inducida por la superficie y, a continuación, añadir el Interacción átomo-fonón. A. Posibilidades de interacción inducidas por la superficie En esta subsección, describimos la interacción entre el átomo y la superficie en el caso de que la las braciones de la superficie están ausentes. El potencial de ergy de la interacción superficie-átomo es una combinación de una atracción van der Waals de largo alcance y un corto alcance repulsión [11]. A pesar de un gran volumen de investigación sobre la interacción superficie-átomo, debido a la complejidad de física de la cara y la falta de datos, la forma real de la aún no se ha determinado el potencial [11]. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: de demostración numérica de nuestro formalismo, elegimos el siguiente modelo para el potencial [4, 11]: U(x) = Ae®x − C3 . 1).......................................................................................................................................................... Aquí, C3 es el coeficiente van der Waals, mientras que A y α determinar la altura y el rango, respectivamente, de la repulsión superficial. Los parámetros potenciales C3, A, y α dependen de la naturaleza del dieléctrico y del átomo. En cálculos numéricos, utilizamos los parámetros de fusión sílice, para el dieléctrico, y los parámetros de tierra- el cesio atómico, para el átomo. Los parámetros para la interacción entre la sílice y el estado terrestre atómico Se estima teóricamente que el cesio es C3 = 1,56 kHz μm3, A = 1,6× 1018 Hz, y α = 53 nm−1 [6]. Presentamos la notación (x) para el eigenfunc- ciones del centro de movimiento de masa del átomo en el U(x) potencial. Son determinados por el estacionario Ecuación de Schrödinger + U(x) (x) = E(x). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí m es la masa del átomo. En el ex- numérico amplio con cesio atómico, tenemos m = 132.9 a.u. = 2,21 × 10−25 kg. Los valores propios E v son el centro- de las energías de masa de los niveles traslacionales del átomo. Estos valores propios son los cambios de las energías del niveles traslacionales de la energía del estado interno i. Sin pérdida de generalidad, suponemos que el las funciones propias del centro de la masa (x) son funciones reales, i.e. (x) = (x). In Fig. 1, mostramos el potencial U(x) y la onda funciones (x) de un número de niveles consolidados con en- ergies en el rango de −1 GHz a −5 MHz. Nosotros también. trazar la función de onda de un estado libre con energía de alrededor de 4,25 MHz. Con el fin de tener alguna estimación sobre el spa- la extensión tial de la función de la onda (x), definimos el cruce punto xcross, que corresponde a la solución más a la derecha de la ecuación U(x) = E v. Tenga en cuenta que, para lev- els, la función de onda generalmente picos cerca del punto xcross. Nosotros trazamos el módulo de valor propio E v y la cruz- ing punto xcross en Figs. 2 a) y 2 b), respectivamente. Lo es. de la cifra que, para ν en el rango de 0 a 300, el valor propio varía dramáticamente de alrededor de 158 THz a aproximadamente 322 kHz, mientras que la función de onda se extiende sólo hasta 170 nm. FIG. 1: Energías y funciones de onda del centro de la masa movimiento de un átomo en un potencial inducido por la superficie. El pa- los rametros del potencial son C3 = 1,56 kHz μm 3, A = 1.6 × 1018 Hz, y α = 53 nm−1. La masa del átomo es m = 2,21 × 10−25 kg. Trazamos niveles consolidados con energías en el rango de −1 GHz a −5 MHz y también en un estado libre con energía de aproximadamente 4,25 MHz. FIG. 2: Módulo de valor propio E/ (a) y punto de cruce xcross b) como funciones del número cuántico vibratorio. Los los parámetros utilizados son como en la Fig. 1. Presentamos la notación = y = E v/h̄ para los vectores de estado y frecuencias de lev- translacional Els. Entonces, el Hamiltoniano del átomo en la superficie... potencial inducido puede ser representado en la forma diagonal ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! 3) Aquí, = es el operador de la población para el Traductional level v. Enfatizamos que el resumen Por lo que se refiere a las ayudas de Estado, la Comisión considera que las ayudas de Estado concedidas en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado deben considerarse compatibles con el mercado común y, en particular, con el artículo 107, apartado 1, del Tratado. (E/ > 0) espectros. Los niveles con E/ < 0 se denominan los niveles consolidados (o vibratorios). En tal estado, el El átomo está unido a la superficie. Está vibrando, o más exactamente, moviéndose de ida y vuelta entre las paredes formadas por la parte van der Waals y la parte repulsiva de la potencial. Los niveles con E/ > 0 se denominan libres (o continuum) niveles. Las funciones del centro de la onda de masa de los estados ligados son normalizados a la unidad. El centro de... funciones de onda de masa de los estados libres se normalizan a la función delta de la energía. B. Interacción entre el átomo y el fonón En esta subsección, incorporamos la vibra térmica- ciones del sólido en el modelo. Debido a la temperatura efectos, la superficie de los vibradores dieléctricos. La superficie... potencial inducido para el átomo es entonces U(x− xs), donde xs es el desplazamiento de la superficie de la media po- Situación: x = 0. Nos aproximamos al potencial vibrador U(x− xs) expandiéndolo al primer orden en xs, U(x− xs) = U(x) − U′(x)xs. 4) El primer término, U(x), cuando se combina con la cinética energía p2/2m, produce el Hamiltonian HA [véase Eq. 3)], que conduce a la formación de niveles de traducción de el átomo. El segundo término, −U ′(x)xs, efectos térmicos en la interacción del átomo con el Sólido. Tenga en cuenta que la cantidad F = −U ′(x) es la fuerza de la superficie sobre el átomo. Por lo tanto, la fuerza de la átomo sobre la superficie es −F = U ′(x) y, en consecuencia, U ′(x)xs es el trabajo necesario para desplazar la superficie para una pequeña distancia xs. Es bien sabido que, para una superficie lisa, el gas átomo interactúa sólo con los fonones polarizados a lo largo la dirección x [10]. En la aproximación armónica, nosotros 2MN.q. iqR + b†qe −iqR). 5) Aquí, M es la masa de una partícula del sólido, N es la densidad del número de partículas, q y q son la frecuencia y vector de onda de los fonones acústicos polarizados x, re- específicamente, R = (0, y, z) es el componente lateral de la vector de posición (x, y, z) del átomo, y bq y b q are la aniquilación y la creación de operadores fonónicos, respec- Tily. Sin pérdida de generalidad, elegimos R = 0. Mientras tanto, el operador U ′ puede descomponerse como U ′ = U, donde = es el operador para la transición traslacional. Por lo tanto, el en- ergy término −U ′(x)xs conduce al átomo-fonón interac- tion Hamiltonian [10] HI = h̄ S(bq + b q), (6) g. 7).................................................................................................................................................. Aquí hemos introducido el acoplamiento átomo-fonón co- efficients g = F 2MNh̄ , (8) F = − (x)U ′(x) (x)dx (9) siendo los elementos de matriz para la fuerza de la superficie sobre el átomo. Observamos que F = −mÃ32x, donde x = x y = son la superficie–átomo elemento matriz dipolo y la transición traslacional frecuencia, respectivamente. Por lo tanto, el coeficiente de acoplamiento g depende de la matriz dipolo elemento x y el frecuencia de transición . Desde = 0, tenemos g = Tomamos nota de que el hamiltoniano de la x-polarizada acus- tic fonones es administrado por hqb qbq. (10) El total hamiltoniano del sistema átomo-fonón es H = HA +HI +HB. (11) Usamos el Hamiltoniano de arriba para estudiar el fonon... Decaimiento mediado del átomo. III. DINÁMICA DEL ATOM En esta sección, presentamos las ecuaciones básicas para el Procesos de desintegración mediados por fonones. Nosotros derivamos un general ecuación maestra para el operador de densidad reducida de la átomo en la subsección IIIA, obtener expresiones analíticas para las velocidades de relajación y los cambios de frecuencia en los subsec- y calcular las tasas y los cambios en el marco del modelo Debye en la subsección III C. A. Ecuación maestra En la imagen de Heisenberg, la ecuación para el fonón el operador bq(t) es q(t) = −iŁqbq(t)− S(t), (12) que tiene una solución de la forma bq(t) = bq(t0)e − i-q(t-t0) − iWq(t). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, t0 es el tiempo inicial y Wq es dado por Wq(t) = e-iÃ3q(t)S(♥) dÃ3. (14) Considerar un operador atómico arbitrario O que actúa solamente sobre los estados atómicos pero no sobre los estados fonónicos. Los la evolución del tiempo de este operador se rige por el Heisen- Ecuación de berg O(t) [HA(t) +HI(t),O(t)], (15) que, con cuenta de Eqs. 6) y (13), rendimientos O(t) [HA(t),O(t)] [S(t),O(t)][bq(t0)e−iŁq(t−t0) − iWq(t)] [b†q(t0)e i-q(t−t0) + iW †q(t)][O(t), S(t)]. Asumimos la densidad inicial del átomo-fonón sys- Para ser el estado directo del producto (t0) = con el átomo en un estado arbitrario (t0) y los fonones en estado térmico B(t0) = Z −1 exp[−HB(t0)/kBT ]. (18) Aquí, Z es la constante de normalización y T es el tem- peratura del baño de fonon. Para la condición inicial (17), el lema de Bogolubov [12], aplicado a un el operador Ł(t), afirma lo siguiente: (t)bq(t0) = n̄qÃ3[bq(t0),(t)], (19) donde el número medio de fonones en el modo q es dado por n̄q = exp(hq/kBT)− 1 . (20) Vamos a ser un operador atómico. Entonces tenemos el comu- la relación de la tensión [bq(t)(t)] = 0, que rinde [bq(t0)(t)] = es decir i-q(t-t0)[Wq(t),-(t)]. (21) Combinando Eq. (19) con Eq. (21) conduce a (t)bq(t0) = ieiŁq(t−t0)n̄q[Wq(t), (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Realizamos el promedio mecánico cuántico para ex- presión (16) y utilizar Eq. (22) para eliminar el fonón operadores bq(t0) y b q(t0). La ecuación resultante puede estar escrito como O(t) [HA(t),O(t)] n̄q + 1 [S(t),O(t)]Wq(t) +W †q(t)[O(t), S(t)] •Wq(t)[O(t), S(t)] + [S(t),O(t)]W †q(t) Tomamos nota de que Eq. (23) es exacto. No contiene Operadores de fonon explícitamente. La dependencia de la Los operadores de fonón se ocultan en el cambio de tiempo de la operación- ator S() en la expresión (14) para el operador Wq(t). Ahora mostramos cómo la dependencia del operador Wq(t) en los operadores de fonon puede ser aproximadamente Eliminado. Asumimos que el acoplamiento átomo-fonón coeficientes g son pequeños. El uso del orden cero Aproximación (l) = (t)e (t) en la expres- sión para S() [véase Eq. (7)] rendimientos S() = g (t)e i(t), (24) que es preciso en primer lugar en el acoplamiento coeffi- Científicos. Insertar Eq. (24) en Eq. (14) da Wq(t) = g(t)( − q), (25) donde () = lim e-i(i) *.................................................................................................................................................. 26) Aquí, con el fin de tener en cuenta el efecto de la adiabática activación de la interacción, hemos añadido un pequeño positivo parámetro de la integral y han utilizado el límite t0 → - Sí. Presentación de la notación g( − q), (27) Podemos reescribir Eq. (23) en la forma O(t) [HA(t),O(t)] (n̄q + 1)»,[S(t),O(t)]Kq(t) +K†q(t)[O(t), S(t)] n̄qKq(t)[O(t), S(t)] + [S(t),O(t)]K†q(t)». (28) Con el fin de examinar la evolución del tiempo de la reducción Operador de densidad del átomo en el Schrödinger picture, usamos la relación O(t) = Tr[O(t)/23370/(0)] = Tr[O(0)/23370/(t)], transformar para organizar el operador O(0) en la primera posición en cada producto del operador, y eliminar O(0). Entonces, obtenemos la ecuación maestra de Liouville (t) = − i [HA, Ć(t)] (n̄q + 1){[KqĆ(t), S] + [S, n̄q{[S, ♥(t)Kq] + [K†q/23370/(t), S]}. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Las ecuaciones (28) y (29) son válidas para el segundo orden en los coeficientes de acoplamiento. Estas ecuaciones nos permiten estudiar la evolución del tiempo y las características dinámicas de el átomo interactuando con el baño de fonón térmico. Nosotros Nótese que Eq. (29) es una forma particular de Zwanzig ecuación maestra generalizada, que se puede obtener por el método del operador de proyección [13]. B. Tasas de relajación y cambios de frecuencia Usamos Eq. (29) para derivar una ecuación para la matriz Elementos del operador de densidad reducida del átomo. El resultado es jj′ = −i?jjjj′ + (γejj + γ jj) [(γej/ + γ] j v)j′ + (γ) j + γ j)j/ ], (30) donde los coeficientes γejj = 2η n̄q + 1 gjvgjj [(j − q] + (j′ − q)], γej/ = 2η n̄q + 1 gjμg( − q) (31) γajj = 2η gjvgjj [(j − q] + (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ( γaj v = 2η gjμg( − Łq) (32) son los parámetros de desintegración asociados con el fonón emisiones y absorción, respectivamente. Aquí, la nota... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - se ha utilizado. Ecuación (30) describe las variaciones inducidas por el fonón en las poblaciones y las coherencias de los niveles traslacionales del átomo. Analizamos las características del relax- los procesos de formación. Para la simplicidad del tratamiento matemático... En primer lugar, consideramos sólo las transi- Els. La ecuación para el elemento de matriz diagonal un nivel discreto j se puede escribir en el formulario (γejj + γ jj ) − (γejj + γajj + c.c.•jj + términos no diagonales. 33) Cuando los términos no diagonales son descuidados, Eq. (33) re- duce a una ecuación de velocidad simple. Está claro desde Eq. 33) que el tipo para la transición a la baja de una nivel l a un nivel inferior k (k < l) es Rekl = γ kkll = 2 n̄q + 1 (34) mientras que la tasa para la transición al alza de un nivel inferior k a un nivel superior l (l > k) es Ralk = γ llkk = 2 g2lk-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). (35) Ecuaciones (34) y (35) están de acuerdo con la sults de Gortel et al. [10], obtenido utilizando el Fermi regla de oro. Tomamos nota de que Rekl y R lk con l ≤ k son matemáticamente igual a cero porque no tienen fis- ical significación. Para mayor comodidad, introducimos la notación Rlk = R lk, R lk, o 0 para l < k, l > k, o l = k, respec- Tily. Está claro que los coeficientes no diagonales Rlk con l 6= k son las tasas de transiciones. Sin embargo, la di- coeficientes agonales Rkk no tienen significado físico y son matemáticamente igual a cero. Como se ve desde Eq. 33), el agotamiento mediado por el fonón La tasa de un nivel k es de kk = 2Re(γ kk + γ kk). El explicitado expresión para esta tasa es * kkk = 2η n̄q + 1 g2k(kμ − q) g2μkŁ(k − Łq). (36) Tomamos nota de que "Kkk" = μk +R μk) = μ Rμk. Podemos escribir ­kkk = ­ kk + فارسى kk, donde * ekk = Reμk (37) •akk = Raμk (38) son las contribuciones debidas a transiciones a la baja (emisión fonónica) y transiciones ascendentes (fonón ab- adsorción), respectivamente. En las ecuaciones anteriores, la suma- ración por encima de μ se puede extender para cubrir no sólo el niveles discretos, pero también los niveles continuo. Mientras tanto, la ecuación para la matriz off-diagonal para un par de niveles discretos l y k puede ser por escrito en la forma lk/Łt = −(iülk + γell + γall + γe*kk + γa*kk)lk +. .., o, equivalentemente, = −i(lk lk − ilk)­lk +.... (39) Aquí, el cambio de frecuencia de lk es dado por # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n̄q + 1 • μ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • k + q En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. k − فارسىq , (40) mientras que la tasa de decaimiento de la coherencia se expresa como .................................................................................................................................................... n̄q + 1 g2l(lμ − q) + g2k(kμ − q) g2μlŁ(l − Łq) + g2μkŁ(k − Łq) Cuando establecemos l = k en Eq. (40), encontramos kk = 0. Cuando establecemos l = k en Eq. 41), recuperamos Eq. 36). Tomamos nota de que "lk" = μl + R μk + R μl + R μk)/2 = μ(Rμl + Rμk)/2. Comparación entre Eqs. 41) y (36) da lugar a la relación "lk =" (ll kk)/2. También podemos escribir.lk =................................................................................................................. lk + فارسى lk, donde μl + R μk)/2 y Łalk = μl + R μk)/2 son las contribuciones debidas a transiciones hacia abajo (emisión fonónica) y hacia arriba transiciones (absorción fonónica), respectivamente. En el por encima de ecuaciones, la suma sobre μ se puede extender para cubrir no sólo los niveles discretos, sino también el uum niveles. Ahora discutimos las transiciones mediadas por el fonon de con- niveles de tinuum (libre). Comenzamos por considerar el libre-a- transiciones ligadas. Para un nivel continuo f con energía Ef > 0, la función del centro de la onda de masa Malizado por unidad de energía. En este caso, la cantidad R/f se convierte en la densidad de la tasa de transición. Un nivel libre f puede ser aproximado por un nivel de cuasicontinuum [14]. Una discretización del continuum se puede realizar usando una caja grande de longitud L con condi- ciones [15]. Nosotros etiquetamos En las energías de los estados propios en el cuadro y en el cuadro (x) las funciones de onda correspondientes. Tenga en cuenta que tales estados son estados de onda permanente [14, 15]. La relación entre un func de onda cuasicontinuum-estado- (x), normalizado a la unidad en la caja, y el cor- respuesta de la función de onda de estado continuo (x), ni- malizada por unidad de energía, con igual energía Enf = Ef, es [15] * f (x) = −1/2 nf (x) )1/2 ( nf (x). (42) Consecuentemente, para un solo átomo inicialmente preparado en el casi continuo estado de onda de pie nf = nf, el tasa para la transición a un estado limitado arbitrario es aproximadamente por G vf = vfR vf, (43) donde vf = (2Ef/m)1/2 es la velocidad del átomo en el estado inicial de la onda de pie. El fonon-mediado a continuación se indica la tasa de decaimiento libre a unida (tasa de adsorción) G v f, (44) donde la suma incluye únicamente los niveles consolidados. Lo es. Despejado de Eq. (43) que, en el límite de continuum L → La tasa Gvf tiende a cero. Esto es porque un átomo libre puede estar en cualquier lugar en el espacio libre y por lo tanto el efecto de Los fonones en un solo átomo libre son insignificantes. Con el fin de obtener una visión más profunda en el libre-a-bound densidad de velocidad de transición R vf, consideramos un macroscópico Conjunto atómico en el límite termodinámico [14]. Sup- plantear que hay N0 átomos en un volumen con un gran longitud L y un área transversal de sección S0. Asumir que todos los átomos están en el mismo estado cuasicontinuum e interactuar con el dieléctrico de forma independiente. Los tasa para las transiciones de los átomos de la cuasicon- Estado tinuum nf® a un estado ligado arbitrario, definido como la derivada del tiempo del número de átomos en el estado , es D vf = N0G vf. Con el fin de obtener la tasa para el con- tinuum estado f, tenemos que tomar la termodinámica límite, donde L → • y N0 → • pero N0/L permanece constante. Entonces, la velocidad para las transiciones de los átomos desde el estado continuum hasta un límite arbitrario el estado es dado por D vf = ηh0S0vfR vf = 2ηh̄NfR vf. En este caso, la densidad del número atómico es de 0 ° = N0/LS0 y Nf = 0S0vf/2 es el número de átomos incidente en el superficie dieléctrica por unidad de tiempo. Es evidente que la La tasa de sición D/f es proporcional a la tasa de incidencia Nf así como la densidad de la tasa de transición R vf. Enfatizamos que Dvf es una característica de una atómica macroscópica en el límite termodinámico, mientras que Gvf es un mea- seguro para un solo átomo. Cuando la longitud de la caja, L, y el número de átomos, N0, son finitos, la dinámica de los átomos no pueden ser descritos por la tasa de libre-a-encuadernación Dvf directamente. En lugar de ello, debemos utilizar la tasa de transición por átomo G vf = D vf/N0, que depende de la longitud L de la caja que contiene los átomos libres [ver Eq. (43)]. En un gas térmico, los átomos tienen diferentes velocidades y, por lo tanto, diferentes energías. Para un Maxwell térmico... Gas Boltzmann con temperatura T0, la distribución de la energía cinética Ef del centro atómico del movimiento de masa a lo largo de la dirección x es P (Ef ) = ηkBT0 e-Ef/kBT0 . (45) La tasa de transición a un estado limitado arbitrario es a continuación, dado por G/T0 = GüfP (Ef ) dEf, es decir. G/T0 = e-Ef/kBT0R/fdEf, (46) en los que D = (2ηh̄) 2/mkBT0) 1/2 es la termal de Broglie longitud de onda. La decadencia mediada por el fonón libre a la unión tasa (tasa de adsorción) viene dada por GT0 = G/T0 = GfP (Ef ) dEf. (47) En la ecuación anterior, la suma sobre / incluye sólo los niveles consolidados. Nótese que Eq. (46) es en cualitativa acuerdo con los resultados de Refs. [5, 14]. Es fácil extender los resultados anteriores al caso de transiciones de libre a libre. De hecho, se puede demostrar que la densidad de la tasa para la transición de una cuasicontinuidad uum state nf, que corresponde a un Estado libre f, a un estado libre diferente f es dado por Qf ′f = vfRf ′f. (48) Para mayor comodidad, introducimos la notación Qef ′f = Qf ′f o 0 para Ef ′ < Ef o Ef ′ ≥ Ef, respectivamente, y Qaf ′ f = Qf ′f o 0 para Ef ′ > Ef o Ef ′ ≤ Ef, respectivamente. Entonces, nosotros tener Qf ′f = Q f ′f, 0, o Q f ′f para Ef ′ < Ef, Ef ′ = Ef, o Ef ′ > Ef, respectivamente. La disminución (fonon-emission) y al alza (absorción por fonón) tasas de decaimiento de forma libre a libre para el estado libre f son dados por Qef = Qef ′fdEf ′ (49) Qaf = Qaf ′fdEf ′, (50) respectivamente. La tasa total de decaimiento de libre a libre para el libre = Qf = Qef +Qaf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = = Qf = Qf = Qf = = Qf = Qf = Qf = = = Qf = = Qf = Qf = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Qf ′fdEf ′. Para un gas térmico, tenemos que reemplazar la transición densidad de velocidad Qf ′f y velocidad de desintegración Qf por Qf ′T0 = Qf ′fP (Ef ) dEf e QT0 = QfP (Ef ) dEf, respec- , que son los promedios de Qf ′f y Qf, respec- En concreto, con respecto a la distribución de energía P (Ef ) del estado inicial. Como en los otros casos, tenemos Qf ′T0 = Q f ′T0 +Qaf ′T0 y QT0 = Q +QaT0, donde Qef ′T0 = Qef ′fP (Ef ) dEf, Qaf ′T0 = ∫ Ef′ Qaf ′fP (Ef ) dEf (51) son las densidades de la tasa de transición a la baja y al alza QeT0 = QefP (Ef ) dEf, QaT0 = QafP (Ef ) dEf (52) son las tasas de decaimiento a la baja y al alza. La térmica Tasas de desintegraciónQeT0 yQ describir la refrigeración y la calefacción los procesos, respectivamente. Se puede mostrar fácilmente queQeT0 < QaT0, Q > QaT0 y Q = QaT0 cuando T0 < T, T0 > T, y T0 = T, respectivamente. La relación Q < QaT0 (QeT0 > Q ), obtenida para T0 < T (T0 > T ), indica el dominio del calentamiento (enfriamiento) de los átomos libres por el superficie. C. Tasas de relajación y cambios de frecuencia marco del modelo Debye Con el fin de obtener una visión de las tasas de relajación y los cambios de frecuencia, los aproximamos usando el Debye modelo para fonones. En este modelo, la frecuencia fonónica Se refiere al número de onda phonon q como •q = vq, donde v es la velocidad del sonido. Por otra parte, el summa- en la primera zona de Brillouin se sustituye por una sobre una esfera de radio qD = (6η) 2N/V )1/3, donde V es el volumen del sólido. La frecuencia del Debye y el Debye la temperatura es dada por D = vqD y TD = hD/kB, respectivamente. Para la sílice fusionada, tenemos v = 5,96 km/s, NM/V = 2,2 g/cm3, y M = 9,98× 10-26 kg [16]. Nosotros... en estos parámetros, encontramos qD = 109.29 × 106 cm−1, D = 10,4 THz, y TD = 498 K. Con el fin de realizar la suma sobre los estados fonónicos en el marco de el modelo Debye, invocamos el límite termodinámico, Es decir, sustitúyase · · · = V qqD . .. dq = . .................................................................................................................... (53) A continuación, para las transiciones entre un nivel superior l y un nivel inferior nivel k, donde 0 < lk < °D, Eqs. (34) y (35) rendimiento Rekl = Mh3D (n̄lk + 1) lk (54) Ralk = Mh3D No se aplica a los animales de la especie porcina, excepto a los animales de la especie porcina. lk. (55) Aquí, N̄lk es dado por Eq. (20) sustituyéndolo por el texto siguiente: Enfatizamos eso, según Eqs. (54) y (55), la tasa de emisión de fonones Rekl y la absorción de fonones velocidad Ralk depende no sólo del elemento de matriz Flk de la fuerza pero también en la transición traslacional fre- Quency. Las dependencias de frecuencia de los transi- Las tasas de transmisión se componen de las dependencias de frecuencia del número medio del fonón n̄lk, el modo del fonón den- sity 3N­°2lk/° D, y el elemento de matriz Flk = −U ′lk = −m­2lkxlk de la fuerza. Un factor adicional proviene de la presencia de la frecuencia fonónica en Eq. 5) para el desplazamiento de la superficie y, en consecuencia, en el átomo– Interacción fonónica Hamiltoniana (6). Es evidente que un aumento de la frecuencia del fonón conduce a una disminución de la el número medio del fonón y un aumento del fonón densidad de modo. El elemento matricial de la fuerza usu- primero aumenta y luego disminuye con el aumento Frecuencia fonónica. Debido a la existencia de varios com- los factores de contacto, las dependencias de frecuencia de la Las tasas de ocupación son bastante complicadas. Por lo general, primero aumento y, a continuación, disminuir con el aumento de Quency. Tomamos nota de que, para las transiciones con "lk" > "D", tener Rekl = R lk = 0. Concluimos esta sección señalando que el uso de Eq. (53) en Eq. (40) produce el cambio de frecuencia # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # lk lk, (56) donde 2Mh3D F 2lμ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F 2μk k + * (57)............................................................................................................................................................................................................................................................. Mh3D 2 lμ − 2 lμ 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2 μk - 2 μk - 2 μk - 2 μk - 2 No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. son las contribuciones de temperatura cero y finita, re- Desde el punto de vista de las perspectivas. En Eq. (58), n es dada por Eq. (20) con Łq sustituida por la palabra «otro». IV. RESULTADOS NUMERICANOS Y DEBATE En esta sección, presentamos los resultados numéricos basados sobre las expresiones analíticas derivadas de sección para las tasas de relajación mediadas por fonones de la niveles traslacionales del átomo. En particular, utilizamos Eqs. (54) y (55), obtenidos en el marco de la De- modelo de bye, para nuestros cálculos numéricos. Consideramos que transiciones de estados consolidados, así como estados libres. Los transición de estados ligados a otros lev- translacional els ocurre en el caso donde el átomo es inicialmente ya adsorbida o atrapada cerca de la superficie. Las transiciones de estados libres a otros niveles traslacionales ocurren en el procesos de adsorción, calentamiento y refrigeración de átomos libres por la superficie. Debido a la diferencia en la física de la ini- situaciones, estudiamos las transiciones de atado y Estados libres por separado. A. Transiciones de Estados consolidados FIG. 3: Tasas de emisión de Phonon Re de la lev vibracional els (a) / = 280 y (b) / = 120 a otros niveles como funciones de la energía de nivel inferior E. Las flechas marcan la inicial estados. Los parámetros del sólido son M = 9,98 × 10-26 kg y D = 10,4 THz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 1. FIG. 4: Tasas de absorción de fonón Ra de la vibración Niveles (a) v = 280 y (b) v = 120 a otros niveles ciones de la energía de nivel superior E. El panel izquierdo (derecha) en cada fila corresponde a un conjunto consolidado (encuadernado a libre) transiciones. Las flechas marcan los estados iniciales. El param- Los eters utilizados son como en la Fig. 3. La temperatura del fonón baño es T = 300 K. Comenzamos desde un determinado nivel consolidado y calculamos el Tasas de transiciones atómicas mediadas por fonones, tanto hacia abajo como hacia abajo. Cuidado y hacia arriba. Los perfiles de la emisión fonónica (transición descendente) tasa Re [véase Eq. (54)] y el Tasa de absorción de fonón (transición ascendente)Ra [véase Eq. (55)] se muestran en las Figs. 3 y 4, respectivamente. La parte superior (inferior) parte de cada una de estas cifras corresponde a la en el caso del nivel inicial = 280 ( v = 120), con energía E v = −156 MHz (E v = −8,4 THz). El panel izquierdo (derecha) de Fig. 4 corresponde a «de obligado a vinculado» (de obligado a libre) transiciones hacia arriba. La temperatura de la superficie es Se supone que es T = 300 K. Como se ve en las Figs. 3 y 4, las tasas de transición han pronunciado perfiles localizados. Debido a los efectos competidores de la media ber, la densidad del modo fonón y el elemento matricial de la fuerza, las tasas de transición suelen aumentar primero y luego disminuir con el aumento de la frecuencia del fonón. Lo siento. está claro a partir de una comparación de las figs. 3 a) y 3 b) y también una comparación de las figs. 4 a) y 4 b) que las transiciones de niveles poco profundos tienen probabilidades órdenes de magni- Tude más bajo que los de niveles más profundos. El principal rea- hijo es que las funciones de onda de los estados poco profundos son se extienden más lejos de la superficie que los estados profundos. Debido a esta diferencia, los efectos de la las vibraciones faciales son más débiles para los niveles poco profundos que para los niveles profundos. Otra característica pertinente que debería de la cifra es la siguiente: Puesto que transi- las frecuencias de las ciones implicadas son grandes, pueden sobrepasar la frecuencia de Debye D = 10,4 THz, lo que conduce a un corte en el lado inferior (más alto) del eje de frecuencia curva de emisión (absorción). Con el fin de ver el efecto global de la Situación de las tasas mostradas arriba, las sumamos. Primero ex- amine las tasas de absorción de fonón de los niveles consolidados. Los tasa total de absorción por fonón de un nivel consolidado la suma de las tasas de absorción individuales niveles superiores μ, tanto unidos como libres [véase Eq. 38)]. Nosotros parcela en la Fig. 5 las contribuciones a a de dos tipos de las transiciones, ligadas a la unión y ligadas a la libertad (des- orption) transiciones. La curva sólida de la figura muestra que la tasa de absorción de fonones unida a la unión es grande (arriba de 1010 s−1) para niveles profundos e intermedios. ¿Cómo...? se reduce dramáticamente con el aumento en el región de gran tamaño y se convierte en muy pequeña (por debajo de 10 a 5 s−1) para niveles poco profundos. Mientras tanto, la curva discontinua de Fig. 5 muestra que la absorción de fonón unida a la libre tasa (es decir, la tasa de desorción) es cero para los niveles profundos, ya que la energía necesaria para la transición es mayor que la Debye energy [5]. Sin embargo, la tasa de desorción es Estancial (superior a 105 s−1) para lev- Els. Por lo tanto, la tasa total de fonoabsorción es principalmente determinado por las transiciones de obligado a vinculado en el caso de los niveles profundos y por las transiciones ligadas a la libertad en el caso de niveles poco profundos. Una de las razones de la dramática reducción de la tasa de absorción de fonones unida a la unión en la región de los niveles poco profundos es que el número de por niveles consolidados μ se vuelve pequeño. La segunda razón es que la frecuencia de cada transición individual se convierte pequeño, lo que conduce a una disminución del modo fonon den- sity. La tercera razón es que la ola del centro de la masa funciones de los niveles poco profundos se extienden lejos de la superficie, lo que conduce a una reducción del efecto de los fonones en el átomo. A diferencia de la tasa de absorción de fonón unida a la unión, la tasa de absorción de fonón unida a la libre es sustancial en la región de niveles poco profundos. Esto es porque el libre... espectro de estado es continuo y el rango de la la frecuencia de transición libre puede ser grande (hasta el De- frecuencia de los byos D = 10,4 THz). La reducción gradual de la tasa de absorción de fonones unida a la libre en la región de niveles poco profundos se debe principalmente a la reducción del tiempo que el átomo pasa en la proximidad de la superficie. FIG. 5: Contribuciones de obligado a consolidado (curva sólida) y transiciones unidas-a-libres (curva de dashed) a la velocidad de absorción a versus el número cuántico vibracional contra del nivel inicial. Los parámetros utilizados son como en la Fig. 3. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. La tasa total de emisión de fonogramas [véase Eq. (37)] y la tasa total de absorción de fonones [véase Eq. (38)] son se muestra en la Fig. 6 por las curvas sólidas y discontinuas, respec- Tily. De la cifra se desprende claramente que la emisión es com- parábola a pero ligeramente más fuerte que la absorción. Semejante el dominio se debe al hecho de que los movimientos de emisión de fonón el átomo a un estado del centro de la masa más cercano a la superficie mientras que la absorción del fonón cambia el estado atómico en el dirección opuesta (ver Figs. 1 y 2). Nuestros resultados para el las tasas están en buen acuerdo cualitativo con los resultados de Oria et al., aunque con el potencial de Morse [5]. Nosotros el estrés que incluimos un gran número de lev vibracional els como consecuencia del potencial profundo de sílice-cesio. Nótese que el trabajo anterior sobre este tema involucró mucho menos niveles [5]. FIG. 6: Tasa de decaimiento de las emisiones de fonón (líneas sólidas) y Índice de decaimiento de la absorción de fonones (líneas puntiagudas) de la unión nivel como funciones del número cuántico vibracional v. Los inset muestra las tasas en la escala lineal para resaltar la dif- ferencias en el límite de disociación. Los parámetros utilizados son los siguientes: en Fig. 3. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. FIG. 7: Igual que en la Fig. 6 excepto que T = 30 K. A continuación estudiamos el efecto de la temperatura en la descomposición. Tasas. Los resultados de las tasas de decaimiento mediadas por el fonón para T = 30 K se muestran en la Fig. 7. En contraste con la Fig. 6, La tasa de absorción es ahora mucho más pequeña que la corre- velocidad de emisión de sponding tanto para los niveles poco profundos como para los niveles profundos. Por lo tanto, si bien es difícil distinguir las dos escalas curvas para niveles profundos y poco profundos a temperatura ambiente (véase la Fig. 6), están bien resueltos a baja temperatura. B. Transiciones de Estados libres Ahora calculamos las tasas para las transiciones de libre estados a otros niveles. Primero examinamos de libre acceso. transiciones, que corresponden al proceso de adsorción. Según Eq. (43), el libre a bordo (más exactamente, Tasa de transición de casi continuo a consolidado) G vf depende no sólo en el período de transición continuo a sity R vf pero también en la longitud L del átomo libre quan- Caja de tisation. Para ser específicos, utilizamos en nuestro número calcula el valor L = 1 mm, que es un tamaño típico de nubes atómicas en trampas magnetoópticas [17]. FIG. 8: Tasas de transición libres de impuestos de los estados planos-ondas libres con energías (a) Ef = 2 MHz y b) Ef = 3,1 THz a los niveles consolidados Energía de nivel limitado E/. Las flechas marcan las energías del Estados libres iniciales. Los insets muestran Gvf en la escala de registro versus E/ en el rango de −200 MHz a −0.2 MHz para resaltar las tasas a niveles limitados poco profundos. La longitud de la libre- caja de cuantificación de átomos es L = 1 mm. La temperatura de la El baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 3. Conspiramos en la Fig. 8 la tasa de transición libre de impuestos G/f [véase Eq. (43)] en función del cuántico vibracional Número /. La parte superior (inferior) de la figura corre- sponds al caso de la energía del estado inicial Ef = 2 MHz (Ef = 3,1 THz), que está cerca de la media de ki- energía neta por átomo en un gas ideal con temperatura T0 = 200 μK (T0 = 300 K). Observamos que el libre-a- tasa de transición consolidada primero aumenta y luego disminuye con una frecuencia de transición cada vez mayor. Tal comportamiento resulta de los efectos competidores de la número medio del fonón, la densidad del modo del fonón, y el elemento de matriz de la fuerza, como en el caso de Transiciones acotadas (véase Fig. 3). También vemos un corte... fuera de la frecuencia de transición, que se asocia con la frecuencia de Debye. Comparación de las figs. 8 a) y 8 b) muestra que las transiciones de los estados libres de baja energía tienen órdenes de magnitud más pequeñas que las de estados libres de alta energía. Una de las razones es que la velocidad de transición Gvf es proporcional a la velocidad vf = (2Ef/m)1/2 [véase Eq. (43)]. La dependencia de la densidad de la tasa de transición R/f en el período de transición También desempeña un papel importante. Debido a esto, las tasas para las transiciones de los estados libres de baja energía a niveles de unión poco profundos son muy pequeños [ver el inset de Fig. 8 a)]. FIG. 9: Tasa de desintegración libre a unida Gf en función de la energía del Estado libre Ef. El conjunto pone de relieve la magnitud y la perfil de la tasa de decaimiento para Ef en el rango de 0 a 20 MHz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. Mostramos en Fig. 9 la tasa de desintegración libre a unida Gf [véase Eq. (44)], que es una característica del adsorp- en función de la energía del Estado libre Ef. Vemos que Gf primero aumenta y luego disminuye con aumento de Ef. El aumento de Gf con el aumento de Ef en la región de la pequeña Ef (ver el inset) se debe principalmente a el aumento de la velocidad de incidencia atómica vf. En este región, tenemos Gf â € vf â € TM Ef [véase Eqs. (43) y (44)]. Para Ef en el rango de 0 a 20 MHz, que es típico de los átomos en trampas magnetoópticas, el máximo el valor de Gf está en el orden de 10 4 s−1 (ver el inset de Fig. 9). Estas tasas de (adsorción) libre a la unión son sev- órdenes eral de magnitud más pequeñas que el limitado a libre Tasas (desorción) (véase la curva discontinua en la Fig. 5). Los disminución de Gf con aumento de Ef en la región de grandes Ef se debe principalmente a la reducción del átomo-fonón coeficientes de acoplamiento. FIG. 10: Tasas de transición libres de impuestos G/T0 para las transiciones de los estados térmicos con temperaturas (a) T0 = 200 μK y b) T0 = 300 K a los niveles consolidados Energía de nivel limitado E/. Los insets muestran G v T0 en la escala de registro contra E/ en el rango de −200 MHz a −0,2 MHz a Enciende las tasas a niveles limitados poco profundos. La temperatura de el baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en Fig. 8. FIG. 11: Tasa de desintegración libre a unida GT0 en función de la Temperatura atómica T0 en los rangos (a) de 100 μK a 400 μK y (b) de 50 K a 350 K. La temperatura del El baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. En un gas térmico, el proceso de adsorción es En la medida en que la tasa de transición G/T0 [véase Eq. 46)] y la tasa de desintegración GT0 [véase Eq. (47)], que son los av- de la tasa de transición libre a la entrada en vigor tasa de desintegración libre a unida Gf, respectivamente, a lo largo de la la distribución estatal de energía (45). Nosotros trazamos el libre-a-bound Tasa de transición G/T0 y tasa de decaimiento libre GT0 in Figs. 10 y 11, respectivamente. Comparación entre higos. 10 a) y 9 a) muestran que las tasas de transición de estados térmicos de baja temperatura y libre de baja energía los estados se parecen bastante entre sí. La razón es que la difusión de la distribución de energía no es sustancial en el caso de temperaturas bajas. La difusión de la en- la distribución de energía es, sin embargo, sustancial en el caso de altas temperaturas, lo que lleva a suavizar el corte- efecto de apagado de la frecuencia [compare Fig. 10 b) con fig. 9 b)]. La figura 11 muestra que la tasa de desintegración libre a unida GT0 primero aumenta y luego se reduce con el aumento atómico temperatura T0. Para T0 en el intervalo de 100 μK a 400 μK, que es típico de los átomos en trampas magnetoópticas, el valor máximo de GT0 es del orden de 10 4 s−1 [ver Fig. 11 a)]. Estas tasas de (adsorción) libres de impuestos son las siguientes: varios órdenes de magnitud más pequeños que el limitado-a- Tasas libres (desorción) (véase la curva discontinua en la Fig. 5). La figura 11 a) muestra que, en la región de la peratura T0, uno tiene GT0 T0, de acuerdo con el Comportamiento asintótico de Eqs. (46) y (47). FIG. 12: Densidades de la tasa de transición de libre a libre Qf ′f para el transiciones hacia arriba (líneas sólidas) y hacia abajo (líneas desbastadas) de los estados libres con energías (a) Ef = 2 MHz y (b) Ef = 3.1 THz a otros estados libres f como funciones de la final- nivel de energía Ef ′. Las flechas marcan las energías de la inicial Estados libres. La entrada en la parte a) muestra Qf ′f versus Ef ′ in el rango de 0 a 4 MHz para resaltar la pequeña magnitud de la densidad de la tasa para las transiciones descendentes (línea de dashed). La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros los parámetros son como en la Fig. 8. Ahora examinamos las transiciones de libre a libre, tanto hacia arriba y hacia abajo, que corresponden a la calefacción y procesos de enfriamiento de átomos libres por la superficie. Conspiramos en Fig. 12 la densidad de la velocidad de transición de libre a libre Qf ′f [véase Eq. (48)] en función de la energía de nivel final Ef ′. Los parte superior (inferior) de la cifra corresponde al caso de la energía del estado inicial Ef = 2 MHz (Ef = 3,1 THz), que está cerca de la energía cinética media por átomo en un gas ideal con temperatura T0 = 200 μK (T0 = 300) K). La tasa de densidades se muestran para el aumento (fon- de absorción) y a la baja (emisiones fonónicas) por las líneas sólidas y discontinuas, respectivamente. El higo... ure muestra que la densidad de la tasa de transición de libre a libre en arrugas o disminuciones con una frecuencia de transición creciente si este último no es demasiado grande o es lo suficientemente grande, Tily. También observamos una firma del corte de Debye de la frecuencia fonónica. Comparación de las figs. 12 a) y 12 b) muestra que las transiciones de los estados libres de baja energía tienen órdenes de magnitud más pequeñas que las de estados libres de alta energía. Figura 12 a) y su conjunto mostrar que, cuando la energía del estado libre es baja, el libre a libre tasa de transición hacia abajo (enfriamiento) es muy pequeño en comparación con el libre hacia arriba (calentamiento) tasa de transición. FIG. 13: Tasas de decaimiento libres al alza y a la baja Qaf (líneas sólidas) y Qef (líneas afectadas) como funciones de la energía Ef del estado libre inicial. Los insets resaltan el magni- los perfiles de las tasas de decaimiento de Ef en el rango de De 0 a 20 MHz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. Mostramos en Fig. 13 el libre-libre hacia arriba (fonon- absorción) y disminución (emisiones fonónicas) tasas Qaf [véase Eq. (50)] y Q f [véase Eq. 49)] como funciones de la energía del Estado libre Ef. Observamos que Qaf y Qef aumentar con el aumento de Ef en el rango de 0 a 8 THz. El aumento de Qaf con el aumento de Ef en la región de pequeño Ef (ver la entrada izquierda) se debe principalmente al aumento en la velocidad de incidencia atómica vf. En esta región, nosotros tienen a Qaf vf Ef [véase Eqs. (48) y (50)]. Los aumento de Qef con el aumento de Ef en la región de pequeños Ef (ver la entrada derecha) se debe no sólo al aumento de la velocidad de incidencia atómica vf [véase Eq. (48)] pero también el aumento de la densidad de la tasa de transición Qef ′f y el aumento del intervalo de integración (0, Ef) [véase Eq. 49)]. En esta región, la dependencia de Qef de la energía Ef es de orden superior a E3/2f. La entrada izquierda de la Fig. 13 muestra que, para Ef en el rango de 0 a 20 MHz, la el valor máximo de Qaf está en el orden de 10 4 s−1. Semejante las tasas de decaimiento al alza (calentamiento) de libre a libre son comparables a pero aproximadamente dos veces más pequeño que el correspondiente tasas de decaimiento (adsorción) libres a unidos (véase el conjunto de Fig. 9). Mientras tanto, la entrada derecha de la Fig. 13 muestra que, en la región de Ef pequeño, el libre a libre hacia abajo (free-to-free La tasa de decaimiento de Qef es muy pequeña. FIG. 14: Densidades de la tasa de transición de libre a libre QafT0 para Transiciones de pabellón (líneas sólidas) y QefT0 para Situaciones (líneas salpicadas) de los estados térmicos con tempera- a) T0 = 200 μK y b) T0 = 300 K a niveles libres f como funciones de la energía de nivel libre Ef. El conjunto de la parte a) muestra la tasa de densidades versus Ef en el rango de 0 a 8 MHz para resaltar la pequeña magnitud de QefT0 (línea de carga). La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros los parámetros son como en la Fig. 8. FIG. 15: Tasas de desintegración de forma libre QaT0 (líneas sólidas) y Para las transiciones hacia arriba y hacia abajo, re- independientemente, como funciones de la temperatura atómica T0 en el rangos (a) de 100 μK a 400 μK y (b) de 50 K a 350 K. Para la comparación, la tasa de decaimiento libre a consolidado GT0 es re- trazada a partir de la Fig. 11 por las líneas punteadas. La temperatura de el baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en Fig. 8. En el caso de un gas térmico, el calor mediado por fonones transferencia entre el gas y la superficie se caracteriza por las densidades de la tasa de transición libreQafT0 yQ [véase Eqs. (51)] y las tasas de desintegración de libre a libre QaT0y QeT0 [ver Eqs. (52)]. Trazamos la transición libre a libre tasa de densidades QafT0 y Q en Fig. 14. Comparación entre Figs. 14 a) y 12 a) muestran que la transición densidades de velocidad de los estados térmicos de baja temperatura y Los estados libres de baja energía son muy similares entre sí. La difusión de la distribución de energía del estado inicial no es sustancial en este caso. Sin embargo, la difusión de la energía de el estado inicial es sustancial en el caso de peraturas, ocultando el efecto de frecuencia de corte [com- pare Fig. 14 b) con Fig. 12 b)]. Exhibimos el libre- Tasas de decaimiento libres QaT0 y Q en Fig. 15. El sólido y líneas discontinuas corresponden a la hacia arriba (calentamiento) y transiciones hacia abajo (refrigeración), respectivamente. Por com- parison, la tasa de desintegración libre a unida (tasa de adsorción) GT0 se vuelve a extraer de la Fig. 11 por las líneas punteadas. Nosotros observar que, para T0 en el intervalo de 100 μK a 400 μK [véase Fig. 15 a)], la tasa de adsorción GT0 (línea punteada) es aproximadamente dos veces más grande que la velocidad de calentamiento QaT0 (sólido línea), mientras que la tasa de enfriamiento QeT0 (línea de alimentación) es negligi- ble. La figura 15 a) muestra que, en la región de temperaturas, uno tiene QT0 # # # # QaT0 # # # # QaT0 # # # QaT0 # # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # T0, de acuerdo con el comportamiento asintótico de las expresiones (52). Los la figura también muestra que QeT0 aumenta rápidamente con ing temperatura atómica T0. La relación Q < QaT0, obtenido para T0 < T, indica el predominio de la calefacción de átomos libres de frío por la superficie. El mag- nitud de la tasa de transición libre a consolidada GT0 (puntos línea) indica que un número significativo de átomos puede ser adsorbida por la superficie. Según Fig. 15 b), el tasa de transición a la baja de forma libre a libre QeT0 (línea de carga) cruza la velocidad de transición al alza QaT0 (línea sólida) cuando T0 = T = 300 K, y luego se convierte en la decadencia dominante tasa. La relación QeT0 > Q , obtenido para T0 > T, indi- cates el dominio de la refrigeración de los átomos libres de calor por el superficie. V. CONCLUSIONES En conclusión, hemos estudiado el fonon-mediado transiciones de un átomo en un potencial inducido por la superficie. Desarrollamos un formalismo general, que es aplicable para cualquier potencial de superficie–átomo. Una derivación sistemática de la ecuación densidad-matriz correspondiente nos permite investigar la dinámica tanto de la diagonal como de la Elementos diagonales. Hemos incluido un gran número de vi- niveles bracionales procedentes de la sílice profunda-cesio potencial. Calculamos las tasas de transición y decaimiento de ambos niveles encuadernados y libres. Encontramos que el Tasas de transiciones mediadas por fonogramas entre transla- nivel depende de la media del número de fonon, la densidad del modo fonón, y el elemento de matriz de la fuerza desde la superficie sobre el átomo. Debido a los efectos de los factores que compiten, las tasas de transición generalmente primero aumentar y, a continuación, reducir con el aumento de la transición fre- Quency. Nos centramos en las transiciones de estados ligados. Dos ejemplos específicos, a saber, cuando el nivel inicial es un nivel superficial también cuando puede ser uno de los niveles profundos han sido trabajados. Hemos demostrado que puede haber diferencias marcadas en la absorción y la emisión de behav- o en los dos casos. Por ejemplo, tanto la absorción y las tasas de emisión de los niveles consolidados profundos pueden ser sev- órdenes eral (en nuestro caso, seis órdenes) de magnitud más grande que las tasas correspondientes de la lev- Els. También analizamos varios tipos de transiciones desde Estados libres. Hemos demostrado que, para la energía atómica térmica ce- sium con temperatura en el rango de 100 μK a 400 μK en las proximidades de una superficie de sílice con temperatura de 300 K, la tasa de adsorción (decaída libre a unida) es de aproximadamente dos veces más grande que la calefacción (gratuito-gratuito hacia arriba de- cay), mientras que la refrigeración (decaída hacia abajo de libre a libre) La tasa es insignificante. Agradecimientos Damos las gracias al Sr. Chevrollier por sus fructíferos debates. Esto el trabajo se llevó a cabo en el marco del Consejo de Europa del siglo XXI gramo en “Ciencia óptica coherente”. [*] También en el Instituto de Física y Electrónica, vietnamita Academia de Ciencia y Tecnología, Hanoi, Vietnam. [1] V. I. Balykin, K. Hakuta, Fam Le Kien, J. Q. Liang, y M. Morinaga, Phys. Rev. A 70, 011401(R) (2004); Fam Le Kien, V. I. Balykin, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 70, 063403 (2004). [2] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, V. I. Balykin, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 72, 032509 (2005). [3] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, K. P. Nayak, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 72, 063815 (2005). [4] E. G. Lima, M. Chevrollier, O. Di Lorenzo, P. C. Se- Gundo, y M. Oriá, Phys. Rev. A 62, 013410 (2000). [5] T. Passerat de Silans, B. Farias, M. Oriá y M. Chevrollier, Appl. Phys. B 82, 367 (2006). [6] Fam Le Kien y K. Hakuta, Phys. Rev. A 75, 013423 (2007). [7] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, y K. Hakuta, e-print quant-ph/0610067. [8] K. P. Nayak, P. N. Melentiev, M. Morinaga, Fam Le Kien, V. I. Balykin, y K. Hakuta, e-print quant-ph/0610136. [9] C. Henkel y M. Wilkens, Europhys. Lett. 47, 414 (1999). [10] Z. W. Gortel, H. J. Kreuzer, y R. Teshima, Phys. Rev. B 22, 5655 (1980). [11] H. Hoinkes, Rev. Mod. Phys. 52, 933 (1980). [12] N. N. Bogolubov, Commun. de JINR, E17-11822, Dubna 1978; N. N. Bogolubov y N. N. Bogolubov Jr., Ele- mentorio Partículas y Núcleos (URSS) 11, 245 (1980). [13] R. Zwanzig, Lectures in Theoric Physics, eds. W. E. Brittin, B. W. Downs, y J. Downs (Interscience, New York, 1961) Vol. 3, pág. 106; G. S. Agarwal, Avances en Óptica, ed. E. Wolf (Norte de Holanda, Amsterdam, 1973) Vol. 11, pág. 3; L. Mandel y E. Wolf, Coherencia óptica y Óptica Cuántica (Cambridge, Nueva York, 1995), pág. [14] J. Javanainen y M. Mackie, Phys. Rev. A 58, R789 (1998); M. Mackie y J. Javanainen, ibíd. 60, 3174 (1999). [15] E. Luc-Koenig, M. Vatasescu, y F. Masnou-Seeuws, Eur. Phys. J. D 31, 239 (2004). [16] Véase, por ejemplo, G. P. Agrawal, Fibra óptica no lineal (Academic, Nueva York, 2001). [17] H. J. Metcalf y P. van der Straten, Refrigeración por láser y Trapping (Springer, Nueva York, 1999). http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610067 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610136

Estudiamos transiciones mediadas por fonones entre los niveles traslacionales de un átomo en un potencial inducido por la superficie. Presentamos una ecuación maestra general que gobierna la dinámica de los estados traslacionales del átomo. En el marco de la Modelo Debye, derivamos expresiones compactas para las tasas tanto hacia arriba como hacia arriba. transiciones hacia abajo. Los cálculos numéricos de las tasas de transición son: realizado para un potencial profundo inducido por la sílice que permite un gran número de niveles consolidados, así como estados libres de un átomo de cesio. La tasa total de absorción se demuestra que está determinada principalmente por las transiciones de enlace a enlace para niveles consolidados y por transiciones ligadas a la libertad para los niveles consolidados poco profundos. Además, los procesos de emisión y absorción de fonones pueden ser órdenes de magnitud mayor para los niveles de unión profunda en comparación con los niveles de unión superficial. También estudiamos varios tipos de transiciones desde estados libres. Demostramos que, por cesio atómico térmico con temperatura en el rango de 100 $\mu$K a 400 $\mu$K en las proximidades de una superficie de sílice con una temperatura de 300 K, el la tasa de adsorción (decaída libre a unida) es aproximadamente dos veces mayor que la velocidad de calentamiento (caída al alza de forma libre a libre), mientras que la refrigeración (gratis a libre) La tasa de decaimiento es insignificante.

Caída mediada por fonón de un átomo en un potencial inducido por la superficie Fam Le Kien1,* S. Dutta Gupta1,2 y K. Hakuta1 Departamento de Física Aplicada y Química, Universidad de Electrocomunicaciones, Chofu, Tokio 182-8585, Japón Escuela de Física, Universidad de Hyderabad, Hyderabad (India) (Fecha: 4 de agosto de 2021) Estudiamos transiciones mediadas por fonones entre los niveles traslacionales de un átomo en una superficie inducida potencial. Presentamos una ecuación maestra general que rige la dinámica de los estados traslacionales del átomo. En el marco del modelo Debye, derivamos expresiones compactas para las tasas tanto para las transiciones hacia arriba como hacia abajo. Los cálculos numéricos de las tasas de transición son: realizado para un potencial inducido por la sílice profunda que permite un gran número de niveles consolidados también como estados libres de un átomo de cesio. La tasa de absorción total se determina principalmente por las transiciones de enlace a enlace para los niveles de unión profunda y mediante transiciones de enlace a libre para los niveles poco profundos niveles consolidados. Además, los procesos de emisión y absorción de fonones pueden ser órdenes de magnitud mayor para los niveles de unión profunda en comparación con los de unión superficial. También estudiamos varios tipos de transiciones de estados libres. Demostramos que, para el cesio atómico térmico con la temperatura en el rango de 100 μK a 400 μK en las proximidades de una superficie de sílice con una temperatura de 300 K, la adsorción (decaída libre a unida) la tasa es aproximadamente dos veces mayor que la calefacción (decaída ascendente libre a libre) tasa, mientras que la tasa de enfriamiento (de decaimiento hacia abajo de libre a libre) es insignificante. Números PACS: 34.50.Dy,33.70.Ca I. INTRODUCCIÓN En los últimos años, un estricto confinamiento de frío los átomos han llamado la atención. El interés en Esta área está motivada no sólo por la na- el problema, pero también por sus posibles aplicaciones en la óptica atómica y la información cuántica. Un método para la captura microscópica y guía de átomos individuales a lo largo de una nanofibra se ha propuesto [1]. Superficie–átomo los efectos electrodinámicos cuánticos han constituido otro área interesante, donde se ha trabajado mucho llevado a cabo. Modificación de la emisión espontánea de un átomo [2] y un intercambio radiativo entre dos distantes se han investigado los átomos [3] mediados por un nanofibra. Potenciales profundos inducidos por la superficie han desempeñado un papel importante y han recibido la debida atención en los últimos años. Oria et al. han estudiado diversos esquemas teóricos para cargar átomos en tales potenciales [4, 5]. Una teoría rigurosa de Decaimiento espontáneo de un átomo en una po- tential invocando el formalismo densidad-matriz ha sido desarrollados [6]. El papel de la interferencia entre la emisión ciones y el papel de la transmisión. en los modos evanescentes fueron identificados. Más... culaciones en el espectro de excitación se han llevado a cabo fuera [7]. Se demostró que las transiciones de un lado a otro conducen a efectos significativos como una cola roja grande de la excita- en comparación con las débiles consecuencias de transiciones de libre acceso. Un paso crucial en esta dirección fue la observación experimental de la especificaciones de excitación trum y la canalización de los fotones fluorescentes a lo largo la nanofibra [8], abriendo vías para la nueva cuántica dispositivos de información. En la mayoría de los problemas relacionados con la superficie-átomo inter- acción, la superficie macroscópica por lo general se mantiene en la habitación temperatura. Por lo tanto, la cuestión pertinente que puede ser pregunta es cuál sería el efecto de la calefacción en el frío átomos. Se entiende que la transferencia de calor a la átomos atrapados conducirán a un cambio en la ocupación la probabilidad de los niveles vibracionales, así como su co- Herence. Cambios inducidos por el fonón en las poblaciones de los niveles vibracionales han sido estudiados por varios grupos [5, 9, 10]. En un tratamiento agradable y compacto basado en el función verde dyadic y la regla de oro Fermi, Henkel et al. ha demostrado que los efectos pueden ser muy diferentes de pendiente sobre la naturaleza de la especie atómica/molecular [9]. Se estimaron las escalas de tiempo para varias especies. Cabe destacar que la trampa considerada por Henkel et al. no era necesariamente una trampa superficial y se pierde sobre muchos de los aspectos de la interacción superficie-átomo [9]. Sobre la base de la hipótesis de que la superficie-átomo en- la acción puede ser representada por un potencial Morse, el La descomposición mediada por fonón fue estimada por Oria et al. [5]. Su estimación se basó en el formalismo desarrollado por Gortel et al. [10]. Sin embargo, todas las teorías anteriores nes de transición y, por lo tanto, no son de carácter general. Ya basta. En este trabajo, presentamos una densidad general- formalismo matricial para calcular el de- cay de las poblaciones, así como los cambios en la coherencia. Derivamos la ecuación maestra relevante para la densidad matriz del átomo. Enfatizamos que nuestra densidad... ecuación de matriz describe la dinámica completa de la cou- ploling entre los átomos atrapados y los fonones y no lo hace asumir cualquier forma particular del potencial de captura. Bajo la aproximación de Debye, derivamos compact ex- Presiones para las tasas de decaimiento mediadas por el fonon. Numer... Los cálculos icales se llevan a cabo suponiendo el potencial modelo considerado en [4]. En contraste con el trabajo anterior, incluimos un gran número de niveles vibracionales debido a la potencial de átomo-superficie profunda. Demostramos que puede haber diferencias significativas en las tasas de decaimiento cuando el nivel se elige como uno de los niveles de unión superficial o profunda. También calculamos y analizamos las tasas de decaimiento para varios http://arxiv.org/abs/0704.0340v1 tipos de transiciones desde estados libres. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. II nosotros de- escriba el modelo. In Sec. III derivamos el dinam básico- Ecuaciones icales para los procesos de decaimiento mediados por el fonón. In Sec. IV presentamos los resultados de cálculo numérico- ciones. Nuestras conclusiones figuran en la sección II. V. II. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA MODELO Asumimos que todo el espacio se dividirá en dos re- giones, es decir, el semi-espacio x < 0, ocupado por un nondis- medio dieléctrico persivo no absorbente (medio 1), y el semiespacio x > 0, ocupado por el vacío (mediano 2). Examinamos un solo átomo moviéndose en la mitad vacía... espacio x > 0. Asumimos que el átomo está en un estado interno i con energía i. Sin pérdida de gen- eralidad, asumimos que la energía del estado interno i es cero, es decir. •i = 0. Describimos la interacción como... entre el átomo y la superficie. En primer lugar, consideramos la potencial de interacción inducida por la superficie y, a continuación, añadir el Interacción átomo-fonón. A. Posibilidades de interacción inducidas por la superficie En esta subsección, describimos la interacción entre el átomo y la superficie en el caso de que la las braciones de la superficie están ausentes. El potencial de ergy de la interacción superficie-átomo es una combinación de una atracción van der Waals de largo alcance y un corto alcance repulsión [11]. A pesar de un gran volumen de investigación sobre la interacción superficie-átomo, debido a la complejidad de física de la cara y la falta de datos, la forma real de la aún no se ha determinado el potencial [11]. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: de demostración numérica de nuestro formalismo, elegimos el siguiente modelo para el potencial [4, 11]: U(x) = Ae®x − C3 . 1).......................................................................................................................................................... Aquí, C3 es el coeficiente van der Waals, mientras que A y α determinar la altura y el rango, respectivamente, de la repulsión superficial. Los parámetros potenciales C3, A, y α dependen de la naturaleza del dieléctrico y del átomo. En cálculos numéricos, utilizamos los parámetros de fusión sílice, para el dieléctrico, y los parámetros de tierra- el cesio atómico, para el átomo. Los parámetros para la interacción entre la sílice y el estado terrestre atómico Se estima teóricamente que el cesio es C3 = 1,56 kHz μm3, A = 1,6× 1018 Hz, y α = 53 nm−1 [6]. Presentamos la notación (x) para el eigenfunc- ciones del centro de movimiento de masa del átomo en el U(x) potencial. Son determinados por el estacionario Ecuación de Schrödinger + U(x) (x) = E(x). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí m es la masa del átomo. En el ex- numérico amplio con cesio atómico, tenemos m = 132.9 a.u. = 2,21 × 10−25 kg. Los valores propios E v son el centro- de las energías de masa de los niveles traslacionales del átomo. Estos valores propios son los cambios de las energías del niveles traslacionales de la energía del estado interno i. Sin pérdida de generalidad, suponemos que el las funciones propias del centro de la masa (x) son funciones reales, i.e. (x) = (x). In Fig. 1, mostramos el potencial U(x) y la onda funciones (x) de un número de niveles consolidados con en- ergies en el rango de −1 GHz a −5 MHz. Nosotros también. trazar la función de onda de un estado libre con energía de alrededor de 4,25 MHz. Con el fin de tener alguna estimación sobre el spa- la extensión tial de la función de la onda (x), definimos el cruce punto xcross, que corresponde a la solución más a la derecha de la ecuación U(x) = E v. Tenga en cuenta que, para lev- els, la función de onda generalmente picos cerca del punto xcross. Nosotros trazamos el módulo de valor propio E v y la cruz- ing punto xcross en Figs. 2 a) y 2 b), respectivamente. Lo es. de la cifra que, para ν en el rango de 0 a 300, el valor propio varía dramáticamente de alrededor de 158 THz a aproximadamente 322 kHz, mientras que la función de onda se extiende sólo hasta 170 nm. FIG. 1: Energías y funciones de onda del centro de la masa movimiento de un átomo en un potencial inducido por la superficie. El pa- los rametros del potencial son C3 = 1,56 kHz μm 3, A = 1.6 × 1018 Hz, y α = 53 nm−1. La masa del átomo es m = 2,21 × 10−25 kg. Trazamos niveles consolidados con energías en el rango de −1 GHz a −5 MHz y también en un estado libre con energía de aproximadamente 4,25 MHz. FIG. 2: Módulo de valor propio E/ (a) y punto de cruce xcross b) como funciones del número cuántico vibratorio. Los los parámetros utilizados son como en la Fig. 1. Presentamos la notación = y = E v/h̄ para los vectores de estado y frecuencias de lev- translacional Els. Entonces, el Hamiltoniano del átomo en la superficie... potencial inducido puede ser representado en la forma diagonal ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! 3) Aquí, = es el operador de la población para el Traductional level v. Enfatizamos que el resumen Por lo que se refiere a las ayudas de Estado, la Comisión considera que las ayudas de Estado concedidas en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado deben considerarse compatibles con el mercado común y, en particular, con el artículo 107, apartado 1, del Tratado. (E/ > 0) espectros. Los niveles con E/ < 0 se denominan los niveles consolidados (o vibratorios). En tal estado, el El átomo está unido a la superficie. Está vibrando, o más exactamente, moviéndose de ida y vuelta entre las paredes formadas por la parte van der Waals y la parte repulsiva de la potencial. Los niveles con E/ > 0 se denominan libres (o continuum) niveles. Las funciones del centro de la onda de masa de los estados ligados son normalizados a la unidad. El centro de... funciones de onda de masa de los estados libres se normalizan a la función delta de la energía. B. Interacción entre el átomo y el fonón En esta subsección, incorporamos la vibra térmica- ciones del sólido en el modelo. Debido a la temperatura efectos, la superficie de los vibradores dieléctricos. La superficie... potencial inducido para el átomo es entonces U(x− xs), donde xs es el desplazamiento de la superficie de la media po- Situación: x = 0. Nos aproximamos al potencial vibrador U(x− xs) expandiéndolo al primer orden en xs, U(x− xs) = U(x) − U′(x)xs. 4) El primer término, U(x), cuando se combina con la cinética energía p2/2m, produce el Hamiltonian HA [véase Eq. 3)], que conduce a la formación de niveles de traducción de el átomo. El segundo término, −U ′(x)xs, efectos térmicos en la interacción del átomo con el Sólido. Tenga en cuenta que la cantidad F = −U ′(x) es la fuerza de la superficie sobre el átomo. Por lo tanto, la fuerza de la átomo sobre la superficie es −F = U ′(x) y, en consecuencia, U ′(x)xs es el trabajo necesario para desplazar la superficie para una pequeña distancia xs. Es bien sabido que, para una superficie lisa, el gas átomo interactúa sólo con los fonones polarizados a lo largo la dirección x [10]. En la aproximación armónica, nosotros 2MN.q. iqR + b†qe −iqR). 5) Aquí, M es la masa de una partícula del sólido, N es la densidad del número de partículas, q y q son la frecuencia y vector de onda de los fonones acústicos polarizados x, re- específicamente, R = (0, y, z) es el componente lateral de la vector de posición (x, y, z) del átomo, y bq y b q are la aniquilación y la creación de operadores fonónicos, respec- Tily. Sin pérdida de generalidad, elegimos R = 0. Mientras tanto, el operador U ′ puede descomponerse como U ′ = U, donde = es el operador para la transición traslacional. Por lo tanto, el en- ergy término −U ′(x)xs conduce al átomo-fonón interac- tion Hamiltonian [10] HI = h̄ S(bq + b q), (6) g. 7).................................................................................................................................................. Aquí hemos introducido el acoplamiento átomo-fonón co- efficients g = F 2MNh̄ , (8) F = − (x)U ′(x) (x)dx (9) siendo los elementos de matriz para la fuerza de la superficie sobre el átomo. Observamos que F = −mÃ32x, donde x = x y = son la superficie–átomo elemento matriz dipolo y la transición traslacional frecuencia, respectivamente. Por lo tanto, el coeficiente de acoplamiento g depende de la matriz dipolo elemento x y el frecuencia de transición . Desde = 0, tenemos g = Tomamos nota de que el hamiltoniano de la x-polarizada acus- tic fonones es administrado por hqb qbq. (10) El total hamiltoniano del sistema átomo-fonón es H = HA +HI +HB. (11) Usamos el Hamiltoniano de arriba para estudiar el fonon... Decaimiento mediado del átomo. III. DINÁMICA DEL ATOM En esta sección, presentamos las ecuaciones básicas para el Procesos de desintegración mediados por fonones. Nosotros derivamos un general ecuación maestra para el operador de densidad reducida de la átomo en la subsección IIIA, obtener expresiones analíticas para las velocidades de relajación y los cambios de frecuencia en los subsec- y calcular las tasas y los cambios en el marco del modelo Debye en la subsección III C. A. Ecuación maestra En la imagen de Heisenberg, la ecuación para el fonón el operador bq(t) es q(t) = −iŁqbq(t)− S(t), (12) que tiene una solución de la forma bq(t) = bq(t0)e − i-q(t-t0) − iWq(t). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, t0 es el tiempo inicial y Wq es dado por Wq(t) = e-iÃ3q(t)S(♥) dÃ3. (14) Considerar un operador atómico arbitrario O que actúa solamente sobre los estados atómicos pero no sobre los estados fonónicos. Los la evolución del tiempo de este operador se rige por el Heisen- Ecuación de berg O(t) [HA(t) +HI(t),O(t)], (15) que, con cuenta de Eqs. 6) y (13), rendimientos O(t) [HA(t),O(t)] [S(t),O(t)][bq(t0)e−iŁq(t−t0) − iWq(t)] [b†q(t0)e i-q(t−t0) + iW †q(t)][O(t), S(t)]. Asumimos la densidad inicial del átomo-fonón sys- Para ser el estado directo del producto (t0) = con el átomo en un estado arbitrario (t0) y los fonones en estado térmico B(t0) = Z −1 exp[−HB(t0)/kBT ]. (18) Aquí, Z es la constante de normalización y T es el tem- peratura del baño de fonon. Para la condición inicial (17), el lema de Bogolubov [12], aplicado a un el operador Ł(t), afirma lo siguiente: (t)bq(t0) = n̄qÃ3[bq(t0),(t)], (19) donde el número medio de fonones en el modo q es dado por n̄q = exp(hq/kBT)− 1 . (20) Vamos a ser un operador atómico. Entonces tenemos el comu- la relación de la tensión [bq(t)(t)] = 0, que rinde [bq(t0)(t)] = es decir i-q(t-t0)[Wq(t),-(t)]. (21) Combinando Eq. (19) con Eq. (21) conduce a (t)bq(t0) = ieiŁq(t−t0)n̄q[Wq(t), (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Realizamos el promedio mecánico cuántico para ex- presión (16) y utilizar Eq. (22) para eliminar el fonón operadores bq(t0) y b q(t0). La ecuación resultante puede estar escrito como O(t) [HA(t),O(t)] n̄q + 1 [S(t),O(t)]Wq(t) +W †q(t)[O(t), S(t)] •Wq(t)[O(t), S(t)] + [S(t),O(t)]W †q(t) Tomamos nota de que Eq. (23) es exacto. No contiene Operadores de fonon explícitamente. La dependencia de la Los operadores de fonón se ocultan en el cambio de tiempo de la operación- ator S() en la expresión (14) para el operador Wq(t). Ahora mostramos cómo la dependencia del operador Wq(t) en los operadores de fonon puede ser aproximadamente Eliminado. Asumimos que el acoplamiento átomo-fonón coeficientes g son pequeños. El uso del orden cero Aproximación (l) = (t)e (t) en la expres- sión para S() [véase Eq. (7)] rendimientos S() = g (t)e i(t), (24) que es preciso en primer lugar en el acoplamiento coeffi- Científicos. Insertar Eq. (24) en Eq. (14) da Wq(t) = g(t)( − q), (25) donde () = lim e-i(i) *.................................................................................................................................................. 26) Aquí, con el fin de tener en cuenta el efecto de la adiabática activación de la interacción, hemos añadido un pequeño positivo parámetro de la integral y han utilizado el límite t0 → - Sí. Presentación de la notación g( − q), (27) Podemos reescribir Eq. (23) en la forma O(t) [HA(t),O(t)] (n̄q + 1)»,[S(t),O(t)]Kq(t) +K†q(t)[O(t), S(t)] n̄qKq(t)[O(t), S(t)] + [S(t),O(t)]K†q(t)». (28) Con el fin de examinar la evolución del tiempo de la reducción Operador de densidad del átomo en el Schrödinger picture, usamos la relación O(t) = Tr[O(t)/23370/(0)] = Tr[O(0)/23370/(t)], transformar para organizar el operador O(0) en la primera posición en cada producto del operador, y eliminar O(0). Entonces, obtenemos la ecuación maestra de Liouville (t) = − i [HA, Ć(t)] (n̄q + 1){[KqĆ(t), S] + [S, n̄q{[S, ♥(t)Kq] + [K†q/23370/(t), S]}. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Las ecuaciones (28) y (29) son válidas para el segundo orden en los coeficientes de acoplamiento. Estas ecuaciones nos permiten estudiar la evolución del tiempo y las características dinámicas de el átomo interactuando con el baño de fonón térmico. Nosotros Nótese que Eq. (29) es una forma particular de Zwanzig ecuación maestra generalizada, que se puede obtener por el método del operador de proyección [13]. B. Tasas de relajación y cambios de frecuencia Usamos Eq. (29) para derivar una ecuación para la matriz Elementos del operador de densidad reducida del átomo. El resultado es jj′ = −i?jjjj′ + (γejj + γ jj) [(γej/ + γ] j v)j′ + (γ) j + γ j)j/ ], (30) donde los coeficientes γejj = 2η n̄q + 1 gjvgjj [(j − q] + (j′ − q)], γej/ = 2η n̄q + 1 gjμg( − q) (31) γajj = 2η gjvgjj [(j − q] + (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) ( γaj v = 2η gjμg( − Łq) (32) son los parámetros de desintegración asociados con el fonón emisiones y absorción, respectivamente. Aquí, la nota... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - se ha utilizado. Ecuación (30) describe las variaciones inducidas por el fonón en las poblaciones y las coherencias de los niveles traslacionales del átomo. Analizamos las características del relax- los procesos de formación. Para la simplicidad del tratamiento matemático... En primer lugar, consideramos sólo las transi- Els. La ecuación para el elemento de matriz diagonal un nivel discreto j se puede escribir en el formulario (γejj + γ jj ) − (γejj + γajj + c.c.•jj + términos no diagonales. 33) Cuando los términos no diagonales son descuidados, Eq. (33) re- duce a una ecuación de velocidad simple. Está claro desde Eq. 33) que el tipo para la transición a la baja de una nivel l a un nivel inferior k (k < l) es Rekl = γ kkll = 2 n̄q + 1 (34) mientras que la tasa para la transición al alza de un nivel inferior k a un nivel superior l (l > k) es Ralk = γ llkk = 2 g2lk-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). (35) Ecuaciones (34) y (35) están de acuerdo con la sults de Gortel et al. [10], obtenido utilizando el Fermi regla de oro. Tomamos nota de que Rekl y R lk con l ≤ k son matemáticamente igual a cero porque no tienen fis- ical significación. Para mayor comodidad, introducimos la notación Rlk = R lk, R lk, o 0 para l < k, l > k, o l = k, respec- Tily. Está claro que los coeficientes no diagonales Rlk con l 6= k son las tasas de transiciones. Sin embargo, la di- coeficientes agonales Rkk no tienen significado físico y son matemáticamente igual a cero. Como se ve desde Eq. 33), el agotamiento mediado por el fonón La tasa de un nivel k es de kk = 2Re(γ kk + γ kk). El explicitado expresión para esta tasa es * kkk = 2η n̄q + 1 g2k(kμ − q) g2μkŁ(k − Łq). (36) Tomamos nota de que "Kkk" = μk +R μk) = μ Rμk. Podemos escribir ­kkk = ­ kk + فارسى kk, donde * ekk = Reμk (37) •akk = Raμk (38) son las contribuciones debidas a transiciones a la baja (emisión fonónica) y transiciones ascendentes (fonón ab- adsorción), respectivamente. En las ecuaciones anteriores, la suma- ración por encima de μ se puede extender para cubrir no sólo el niveles discretos, pero también los niveles continuo. Mientras tanto, la ecuación para la matriz off-diagonal para un par de niveles discretos l y k puede ser por escrito en la forma lk/Łt = −(iülk + γell + γall + γe*kk + γa*kk)lk +. .., o, equivalentemente, = −i(lk lk − ilk)­lk +.... (39) Aquí, el cambio de frecuencia de lk es dado por # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n̄q + 1 • μ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • k + q En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. k − فارسىq , (40) mientras que la tasa de decaimiento de la coherencia se expresa como .................................................................................................................................................... n̄q + 1 g2l(lμ − q) + g2k(kμ − q) g2μlŁ(l − Łq) + g2μkŁ(k − Łq) Cuando establecemos l = k en Eq. (40), encontramos kk = 0. Cuando establecemos l = k en Eq. 41), recuperamos Eq. 36). Tomamos nota de que "lk" = μl + R μk + R μl + R μk)/2 = μ(Rμl + Rμk)/2. Comparación entre Eqs. 41) y (36) da lugar a la relación "lk =" (ll kk)/2. También podemos escribir.lk =................................................................................................................. lk + فارسى lk, donde μl + R μk)/2 y Łalk = μl + R μk)/2 son las contribuciones debidas a transiciones hacia abajo (emisión fonónica) y hacia arriba transiciones (absorción fonónica), respectivamente. En el por encima de ecuaciones, la suma sobre μ se puede extender para cubrir no sólo los niveles discretos, sino también el uum niveles. Ahora discutimos las transiciones mediadas por el fonon de con- niveles de tinuum (libre). Comenzamos por considerar el libre-a- transiciones ligadas. Para un nivel continuo f con energía Ef > 0, la función del centro de la onda de masa Malizado por unidad de energía. En este caso, la cantidad R/f se convierte en la densidad de la tasa de transición. Un nivel libre f puede ser aproximado por un nivel de cuasicontinuum [14]. Una discretización del continuum se puede realizar usando una caja grande de longitud L con condi- ciones [15]. Nosotros etiquetamos En las energías de los estados propios en el cuadro y en el cuadro (x) las funciones de onda correspondientes. Tenga en cuenta que tales estados son estados de onda permanente [14, 15]. La relación entre un func de onda cuasicontinuum-estado- (x), normalizado a la unidad en la caja, y el cor- respuesta de la función de onda de estado continuo (x), ni- malizada por unidad de energía, con igual energía Enf = Ef, es [15] * f (x) = −1/2 nf (x) )1/2 ( nf (x). (42) Consecuentemente, para un solo átomo inicialmente preparado en el casi continuo estado de onda de pie nf = nf, el tasa para la transición a un estado limitado arbitrario es aproximadamente por G vf = vfR vf, (43) donde vf = (2Ef/m)1/2 es la velocidad del átomo en el estado inicial de la onda de pie. El fonon-mediado a continuación se indica la tasa de decaimiento libre a unida (tasa de adsorción) G v f, (44) donde la suma incluye únicamente los niveles consolidados. Lo es. Despejado de Eq. (43) que, en el límite de continuum L → La tasa Gvf tiende a cero. Esto es porque un átomo libre puede estar en cualquier lugar en el espacio libre y por lo tanto el efecto de Los fonones en un solo átomo libre son insignificantes. Con el fin de obtener una visión más profunda en el libre-a-bound densidad de velocidad de transición R vf, consideramos un macroscópico Conjunto atómico en el límite termodinámico [14]. Sup- plantear que hay N0 átomos en un volumen con un gran longitud L y un área transversal de sección S0. Asumir que todos los átomos están en el mismo estado cuasicontinuum e interactuar con el dieléctrico de forma independiente. Los tasa para las transiciones de los átomos de la cuasicon- Estado tinuum nf® a un estado ligado arbitrario, definido como la derivada del tiempo del número de átomos en el estado , es D vf = N0G vf. Con el fin de obtener la tasa para el con- tinuum estado f, tenemos que tomar la termodinámica límite, donde L → • y N0 → • pero N0/L permanece constante. Entonces, la velocidad para las transiciones de los átomos desde el estado continuum hasta un límite arbitrario el estado es dado por D vf = ηh0S0vfR vf = 2ηh̄NfR vf. En este caso, la densidad del número atómico es de 0 ° = N0/LS0 y Nf = 0S0vf/2 es el número de átomos incidente en el superficie dieléctrica por unidad de tiempo. Es evidente que la La tasa de sición D/f es proporcional a la tasa de incidencia Nf así como la densidad de la tasa de transición R vf. Enfatizamos que Dvf es una característica de una atómica macroscópica en el límite termodinámico, mientras que Gvf es un mea- seguro para un solo átomo. Cuando la longitud de la caja, L, y el número de átomos, N0, son finitos, la dinámica de los átomos no pueden ser descritos por la tasa de libre-a-encuadernación Dvf directamente. En lugar de ello, debemos utilizar la tasa de transición por átomo G vf = D vf/N0, que depende de la longitud L de la caja que contiene los átomos libres [ver Eq. (43)]. En un gas térmico, los átomos tienen diferentes velocidades y, por lo tanto, diferentes energías. Para un Maxwell térmico... Gas Boltzmann con temperatura T0, la distribución de la energía cinética Ef del centro atómico del movimiento de masa a lo largo de la dirección x es P (Ef ) = ηkBT0 e-Ef/kBT0 . (45) La tasa de transición a un estado limitado arbitrario es a continuación, dado por G/T0 = GüfP (Ef ) dEf, es decir. G/T0 = e-Ef/kBT0R/fdEf, (46) en los que D = (2ηh̄) 2/mkBT0) 1/2 es la termal de Broglie longitud de onda. La decadencia mediada por el fonón libre a la unión tasa (tasa de adsorción) viene dada por GT0 = G/T0 = GfP (Ef ) dEf. (47) En la ecuación anterior, la suma sobre / incluye sólo los niveles consolidados. Nótese que Eq. (46) es en cualitativa acuerdo con los resultados de Refs. [5, 14]. Es fácil extender los resultados anteriores al caso de transiciones de libre a libre. De hecho, se puede demostrar que la densidad de la tasa para la transición de una cuasicontinuidad uum state nf, que corresponde a un Estado libre f, a un estado libre diferente f es dado por Qf ′f = vfRf ′f. (48) Para mayor comodidad, introducimos la notación Qef ′f = Qf ′f o 0 para Ef ′ < Ef o Ef ′ ≥ Ef, respectivamente, y Qaf ′ f = Qf ′f o 0 para Ef ′ > Ef o Ef ′ ≤ Ef, respectivamente. Entonces, nosotros tener Qf ′f = Q f ′f, 0, o Q f ′f para Ef ′ < Ef, Ef ′ = Ef, o Ef ′ > Ef, respectivamente. La disminución (fonon-emission) y al alza (absorción por fonón) tasas de decaimiento de forma libre a libre para el estado libre f son dados por Qef = Qef ′fdEf ′ (49) Qaf = Qaf ′fdEf ′, (50) respectivamente. La tasa total de decaimiento de libre a libre para el libre = Qf = Qef +Qaf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = Qf = = Qf = Qf = Qf = = Qf = Qf = Qf = = = Qf = = Qf = Qf = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Qf ′fdEf ′. Para un gas térmico, tenemos que reemplazar la transición densidad de velocidad Qf ′f y velocidad de desintegración Qf por Qf ′T0 = Qf ′fP (Ef ) dEf e QT0 = QfP (Ef ) dEf, respec- , que son los promedios de Qf ′f y Qf, respec- En concreto, con respecto a la distribución de energía P (Ef ) del estado inicial. Como en los otros casos, tenemos Qf ′T0 = Q f ′T0 +Qaf ′T0 y QT0 = Q +QaT0, donde Qef ′T0 = Qef ′fP (Ef ) dEf, Qaf ′T0 = ∫ Ef′ Qaf ′fP (Ef ) dEf (51) son las densidades de la tasa de transición a la baja y al alza QeT0 = QefP (Ef ) dEf, QaT0 = QafP (Ef ) dEf (52) son las tasas de decaimiento a la baja y al alza. La térmica Tasas de desintegraciónQeT0 yQ describir la refrigeración y la calefacción los procesos, respectivamente. Se puede mostrar fácilmente queQeT0 < QaT0, Q > QaT0 y Q = QaT0 cuando T0 < T, T0 > T, y T0 = T, respectivamente. La relación Q < QaT0 (QeT0 > Q ), obtenida para T0 < T (T0 > T ), indica el dominio del calentamiento (enfriamiento) de los átomos libres por el superficie. C. Tasas de relajación y cambios de frecuencia marco del modelo Debye Con el fin de obtener una visión de las tasas de relajación y los cambios de frecuencia, los aproximamos usando el Debye modelo para fonones. En este modelo, la frecuencia fonónica Se refiere al número de onda phonon q como •q = vq, donde v es la velocidad del sonido. Por otra parte, el summa- en la primera zona de Brillouin se sustituye por una sobre una esfera de radio qD = (6η) 2N/V )1/3, donde V es el volumen del sólido. La frecuencia del Debye y el Debye la temperatura es dada por D = vqD y TD = hD/kB, respectivamente. Para la sílice fusionada, tenemos v = 5,96 km/s, NM/V = 2,2 g/cm3, y M = 9,98× 10-26 kg [16]. Nosotros... en estos parámetros, encontramos qD = 109.29 × 106 cm−1, D = 10,4 THz, y TD = 498 K. Con el fin de realizar la suma sobre los estados fonónicos en el marco de el modelo Debye, invocamos el límite termodinámico, Es decir, sustitúyase · · · = V qqD . .. dq = . .................................................................................................................... (53) A continuación, para las transiciones entre un nivel superior l y un nivel inferior nivel k, donde 0 < lk < °D, Eqs. (34) y (35) rendimiento Rekl = Mh3D (n̄lk + 1) lk (54) Ralk = Mh3D No se aplica a los animales de la especie porcina, excepto a los animales de la especie porcina. lk. (55) Aquí, N̄lk es dado por Eq. (20) sustituyéndolo por el texto siguiente: Enfatizamos eso, según Eqs. (54) y (55), la tasa de emisión de fonones Rekl y la absorción de fonones velocidad Ralk depende no sólo del elemento de matriz Flk de la fuerza pero también en la transición traslacional fre- Quency. Las dependencias de frecuencia de los transi- Las tasas de transmisión se componen de las dependencias de frecuencia del número medio del fonón n̄lk, el modo del fonón den- sity 3N­°2lk/° D, y el elemento de matriz Flk = −U ′lk = −m­2lkxlk de la fuerza. Un factor adicional proviene de la presencia de la frecuencia fonónica en Eq. 5) para el desplazamiento de la superficie y, en consecuencia, en el átomo– Interacción fonónica Hamiltoniana (6). Es evidente que un aumento de la frecuencia del fonón conduce a una disminución de la el número medio del fonón y un aumento del fonón densidad de modo. El elemento matricial de la fuerza usu- primero aumenta y luego disminuye con el aumento Frecuencia fonónica. Debido a la existencia de varios com- los factores de contacto, las dependencias de frecuencia de la Las tasas de ocupación son bastante complicadas. Por lo general, primero aumento y, a continuación, disminuir con el aumento de Quency. Tomamos nota de que, para las transiciones con "lk" > "D", tener Rekl = R lk = 0. Concluimos esta sección señalando que el uso de Eq. (53) en Eq. (40) produce el cambio de frecuencia # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # lk lk, (56) donde 2Mh3D F 2lμ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F 2μk k + * (57)............................................................................................................................................................................................................................................................. Mh3D 2 lμ − 2 lμ 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2μk - 2 μk - 2 μk - 2 μk - 2 μk - 2 No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. son las contribuciones de temperatura cero y finita, re- Desde el punto de vista de las perspectivas. En Eq. (58), n es dada por Eq. (20) con Łq sustituida por la palabra «otro». IV. RESULTADOS NUMERICANOS Y DEBATE En esta sección, presentamos los resultados numéricos basados sobre las expresiones analíticas derivadas de sección para las tasas de relajación mediadas por fonones de la niveles traslacionales del átomo. En particular, utilizamos Eqs. (54) y (55), obtenidos en el marco de la De- modelo de bye, para nuestros cálculos numéricos. Consideramos que transiciones de estados consolidados, así como estados libres. Los transición de estados ligados a otros lev- translacional els ocurre en el caso donde el átomo es inicialmente ya adsorbida o atrapada cerca de la superficie. Las transiciones de estados libres a otros niveles traslacionales ocurren en el procesos de adsorción, calentamiento y refrigeración de átomos libres por la superficie. Debido a la diferencia en la física de la ini- situaciones, estudiamos las transiciones de atado y Estados libres por separado. A. Transiciones de Estados consolidados FIG. 3: Tasas de emisión de Phonon Re de la lev vibracional els (a) / = 280 y (b) / = 120 a otros niveles como funciones de la energía de nivel inferior E. Las flechas marcan la inicial estados. Los parámetros del sólido son M = 9,98 × 10-26 kg y D = 10,4 THz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 1. FIG. 4: Tasas de absorción de fonón Ra de la vibración Niveles (a) v = 280 y (b) v = 120 a otros niveles ciones de la energía de nivel superior E. El panel izquierdo (derecha) en cada fila corresponde a un conjunto consolidado (encuadernado a libre) transiciones. Las flechas marcan los estados iniciales. El param- Los eters utilizados son como en la Fig. 3. La temperatura del fonón baño es T = 300 K. Comenzamos desde un determinado nivel consolidado y calculamos el Tasas de transiciones atómicas mediadas por fonones, tanto hacia abajo como hacia abajo. Cuidado y hacia arriba. Los perfiles de la emisión fonónica (transición descendente) tasa Re [véase Eq. (54)] y el Tasa de absorción de fonón (transición ascendente)Ra [véase Eq. (55)] se muestran en las Figs. 3 y 4, respectivamente. La parte superior (inferior) parte de cada una de estas cifras corresponde a la en el caso del nivel inicial = 280 ( v = 120), con energía E v = −156 MHz (E v = −8,4 THz). El panel izquierdo (derecha) de Fig. 4 corresponde a «de obligado a vinculado» (de obligado a libre) transiciones hacia arriba. La temperatura de la superficie es Se supone que es T = 300 K. Como se ve en las Figs. 3 y 4, las tasas de transición han pronunciado perfiles localizados. Debido a los efectos competidores de la media ber, la densidad del modo fonón y el elemento matricial de la fuerza, las tasas de transición suelen aumentar primero y luego disminuir con el aumento de la frecuencia del fonón. Lo siento. está claro a partir de una comparación de las figs. 3 a) y 3 b) y también una comparación de las figs. 4 a) y 4 b) que las transiciones de niveles poco profundos tienen probabilidades órdenes de magni- Tude más bajo que los de niveles más profundos. El principal rea- hijo es que las funciones de onda de los estados poco profundos son se extienden más lejos de la superficie que los estados profundos. Debido a esta diferencia, los efectos de la las vibraciones faciales son más débiles para los niveles poco profundos que para los niveles profundos. Otra característica pertinente que debería de la cifra es la siguiente: Puesto que transi- las frecuencias de las ciones implicadas son grandes, pueden sobrepasar la frecuencia de Debye D = 10,4 THz, lo que conduce a un corte en el lado inferior (más alto) del eje de frecuencia curva de emisión (absorción). Con el fin de ver el efecto global de la Situación de las tasas mostradas arriba, las sumamos. Primero ex- amine las tasas de absorción de fonón de los niveles consolidados. Los tasa total de absorción por fonón de un nivel consolidado la suma de las tasas de absorción individuales niveles superiores μ, tanto unidos como libres [véase Eq. 38)]. Nosotros parcela en la Fig. 5 las contribuciones a a de dos tipos de las transiciones, ligadas a la unión y ligadas a la libertad (des- orption) transiciones. La curva sólida de la figura muestra que la tasa de absorción de fonones unida a la unión es grande (arriba de 1010 s−1) para niveles profundos e intermedios. ¿Cómo...? se reduce dramáticamente con el aumento en el región de gran tamaño y se convierte en muy pequeña (por debajo de 10 a 5 s−1) para niveles poco profundos. Mientras tanto, la curva discontinua de Fig. 5 muestra que la absorción de fonón unida a la libre tasa (es decir, la tasa de desorción) es cero para los niveles profundos, ya que la energía necesaria para la transición es mayor que la Debye energy [5]. Sin embargo, la tasa de desorción es Estancial (superior a 105 s−1) para lev- Els. Por lo tanto, la tasa total de fonoabsorción es principalmente determinado por las transiciones de obligado a vinculado en el caso de los niveles profundos y por las transiciones ligadas a la libertad en el caso de niveles poco profundos. Una de las razones de la dramática reducción de la tasa de absorción de fonones unida a la unión en la región de los niveles poco profundos es que el número de por niveles consolidados μ se vuelve pequeño. La segunda razón es que la frecuencia de cada transición individual se convierte pequeño, lo que conduce a una disminución del modo fonon den- sity. La tercera razón es que la ola del centro de la masa funciones de los niveles poco profundos se extienden lejos de la superficie, lo que conduce a una reducción del efecto de los fonones en el átomo. A diferencia de la tasa de absorción de fonón unida a la unión, la tasa de absorción de fonón unida a la libre es sustancial en la región de niveles poco profundos. Esto es porque el libre... espectro de estado es continuo y el rango de la la frecuencia de transición libre puede ser grande (hasta el De- frecuencia de los byos D = 10,4 THz). La reducción gradual de la tasa de absorción de fonones unida a la libre en la región de niveles poco profundos se debe principalmente a la reducción del tiempo que el átomo pasa en la proximidad de la superficie. FIG. 5: Contribuciones de obligado a consolidado (curva sólida) y transiciones unidas-a-libres (curva de dashed) a la velocidad de absorción a versus el número cuántico vibracional contra del nivel inicial. Los parámetros utilizados son como en la Fig. 3. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. La tasa total de emisión de fonogramas [véase Eq. (37)] y la tasa total de absorción de fonones [véase Eq. (38)] son se muestra en la Fig. 6 por las curvas sólidas y discontinuas, respec- Tily. De la cifra se desprende claramente que la emisión es com- parábola a pero ligeramente más fuerte que la absorción. Semejante el dominio se debe al hecho de que los movimientos de emisión de fonón el átomo a un estado del centro de la masa más cercano a la superficie mientras que la absorción del fonón cambia el estado atómico en el dirección opuesta (ver Figs. 1 y 2). Nuestros resultados para el las tasas están en buen acuerdo cualitativo con los resultados de Oria et al., aunque con el potencial de Morse [5]. Nosotros el estrés que incluimos un gran número de lev vibracional els como consecuencia del potencial profundo de sílice-cesio. Nótese que el trabajo anterior sobre este tema involucró mucho menos niveles [5]. FIG. 6: Tasa de decaimiento de las emisiones de fonón (líneas sólidas) y Índice de decaimiento de la absorción de fonones (líneas puntiagudas) de la unión nivel como funciones del número cuántico vibracional v. Los inset muestra las tasas en la escala lineal para resaltar la dif- ferencias en el límite de disociación. Los parámetros utilizados son los siguientes: en Fig. 3. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. FIG. 7: Igual que en la Fig. 6 excepto que T = 30 K. A continuación estudiamos el efecto de la temperatura en la descomposición. Tasas. Los resultados de las tasas de decaimiento mediadas por el fonón para T = 30 K se muestran en la Fig. 7. En contraste con la Fig. 6, La tasa de absorción es ahora mucho más pequeña que la corre- velocidad de emisión de sponding tanto para los niveles poco profundos como para los niveles profundos. Por lo tanto, si bien es difícil distinguir las dos escalas curvas para niveles profundos y poco profundos a temperatura ambiente (véase la Fig. 6), están bien resueltos a baja temperatura. B. Transiciones de Estados libres Ahora calculamos las tasas para las transiciones de libre estados a otros niveles. Primero examinamos de libre acceso. transiciones, que corresponden al proceso de adsorción. Según Eq. (43), el libre a bordo (más exactamente, Tasa de transición de casi continuo a consolidado) G vf depende no sólo en el período de transición continuo a sity R vf pero también en la longitud L del átomo libre quan- Caja de tisation. Para ser específicos, utilizamos en nuestro número calcula el valor L = 1 mm, que es un tamaño típico de nubes atómicas en trampas magnetoópticas [17]. FIG. 8: Tasas de transición libres de impuestos de los estados planos-ondas libres con energías (a) Ef = 2 MHz y b) Ef = 3,1 THz a los niveles consolidados Energía de nivel limitado E/. Las flechas marcan las energías del Estados libres iniciales. Los insets muestran Gvf en la escala de registro versus E/ en el rango de −200 MHz a −0.2 MHz para resaltar las tasas a niveles limitados poco profundos. La longitud de la libre- caja de cuantificación de átomos es L = 1 mm. La temperatura de la El baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 3. Conspiramos en la Fig. 8 la tasa de transición libre de impuestos G/f [véase Eq. (43)] en función del cuántico vibracional Número /. La parte superior (inferior) de la figura corre- sponds al caso de la energía del estado inicial Ef = 2 MHz (Ef = 3,1 THz), que está cerca de la media de ki- energía neta por átomo en un gas ideal con temperatura T0 = 200 μK (T0 = 300 K). Observamos que el libre-a- tasa de transición consolidada primero aumenta y luego disminuye con una frecuencia de transición cada vez mayor. Tal comportamiento resulta de los efectos competidores de la número medio del fonón, la densidad del modo del fonón, y el elemento de matriz de la fuerza, como en el caso de Transiciones acotadas (véase Fig. 3). También vemos un corte... fuera de la frecuencia de transición, que se asocia con la frecuencia de Debye. Comparación de las figs. 8 a) y 8 b) muestra que las transiciones de los estados libres de baja energía tienen órdenes de magnitud más pequeñas que las de estados libres de alta energía. Una de las razones es que la velocidad de transición Gvf es proporcional a la velocidad vf = (2Ef/m)1/2 [véase Eq. (43)]. La dependencia de la densidad de la tasa de transición R/f en el período de transición También desempeña un papel importante. Debido a esto, las tasas para las transiciones de los estados libres de baja energía a niveles de unión poco profundos son muy pequeños [ver el inset de Fig. 8 a)]. FIG. 9: Tasa de desintegración libre a unida Gf en función de la energía del Estado libre Ef. El conjunto pone de relieve la magnitud y la perfil de la tasa de decaimiento para Ef en el rango de 0 a 20 MHz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. Mostramos en Fig. 9 la tasa de desintegración libre a unida Gf [véase Eq. (44)], que es una característica del adsorp- en función de la energía del Estado libre Ef. Vemos que Gf primero aumenta y luego disminuye con aumento de Ef. El aumento de Gf con el aumento de Ef en la región de la pequeña Ef (ver el inset) se debe principalmente a el aumento de la velocidad de incidencia atómica vf. En este región, tenemos Gf â € vf â € TM Ef [véase Eqs. (43) y (44)]. Para Ef en el rango de 0 a 20 MHz, que es típico de los átomos en trampas magnetoópticas, el máximo el valor de Gf está en el orden de 10 4 s−1 (ver el inset de Fig. 9). Estas tasas de (adsorción) libre a la unión son sev- órdenes eral de magnitud más pequeñas que el limitado a libre Tasas (desorción) (véase la curva discontinua en la Fig. 5). Los disminución de Gf con aumento de Ef en la región de grandes Ef se debe principalmente a la reducción del átomo-fonón coeficientes de acoplamiento. FIG. 10: Tasas de transición libres de impuestos G/T0 para las transiciones de los estados térmicos con temperaturas (a) T0 = 200 μK y b) T0 = 300 K a los niveles consolidados Energía de nivel limitado E/. Los insets muestran G v T0 en la escala de registro contra E/ en el rango de −200 MHz a −0,2 MHz a Enciende las tasas a niveles limitados poco profundos. La temperatura de el baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en Fig. 8. FIG. 11: Tasa de desintegración libre a unida GT0 en función de la Temperatura atómica T0 en los rangos (a) de 100 μK a 400 μK y (b) de 50 K a 350 K. La temperatura del El baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. En un gas térmico, el proceso de adsorción es En la medida en que la tasa de transición G/T0 [véase Eq. 46)] y la tasa de desintegración GT0 [véase Eq. (47)], que son los av- de la tasa de transición libre a la entrada en vigor tasa de desintegración libre a unida Gf, respectivamente, a lo largo de la la distribución estatal de energía (45). Nosotros trazamos el libre-a-bound Tasa de transición G/T0 y tasa de decaimiento libre GT0 in Figs. 10 y 11, respectivamente. Comparación entre higos. 10 a) y 9 a) muestran que las tasas de transición de estados térmicos de baja temperatura y libre de baja energía los estados se parecen bastante entre sí. La razón es que la difusión de la distribución de energía no es sustancial en el caso de temperaturas bajas. La difusión de la en- la distribución de energía es, sin embargo, sustancial en el caso de altas temperaturas, lo que lleva a suavizar el corte- efecto de apagado de la frecuencia [compare Fig. 10 b) con fig. 9 b)]. La figura 11 muestra que la tasa de desintegración libre a unida GT0 primero aumenta y luego se reduce con el aumento atómico temperatura T0. Para T0 en el intervalo de 100 μK a 400 μK, que es típico de los átomos en trampas magnetoópticas, el valor máximo de GT0 es del orden de 10 4 s−1 [ver Fig. 11 a)]. Estas tasas de (adsorción) libres de impuestos son las siguientes: varios órdenes de magnitud más pequeños que el limitado-a- Tasas libres (desorción) (véase la curva discontinua en la Fig. 5). La figura 11 a) muestra que, en la región de la peratura T0, uno tiene GT0 T0, de acuerdo con el Comportamiento asintótico de Eqs. (46) y (47). FIG. 12: Densidades de la tasa de transición de libre a libre Qf ′f para el transiciones hacia arriba (líneas sólidas) y hacia abajo (líneas desbastadas) de los estados libres con energías (a) Ef = 2 MHz y (b) Ef = 3.1 THz a otros estados libres f como funciones de la final- nivel de energía Ef ′. Las flechas marcan las energías de la inicial Estados libres. La entrada en la parte a) muestra Qf ′f versus Ef ′ in el rango de 0 a 4 MHz para resaltar la pequeña magnitud de la densidad de la tasa para las transiciones descendentes (línea de dashed). La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros los parámetros son como en la Fig. 8. Ahora examinamos las transiciones de libre a libre, tanto hacia arriba y hacia abajo, que corresponden a la calefacción y procesos de enfriamiento de átomos libres por la superficie. Conspiramos en Fig. 12 la densidad de la velocidad de transición de libre a libre Qf ′f [véase Eq. (48)] en función de la energía de nivel final Ef ′. Los parte superior (inferior) de la cifra corresponde al caso de la energía del estado inicial Ef = 2 MHz (Ef = 3,1 THz), que está cerca de la energía cinética media por átomo en un gas ideal con temperatura T0 = 200 μK (T0 = 300) K). La tasa de densidades se muestran para el aumento (fon- de absorción) y a la baja (emisiones fonónicas) por las líneas sólidas y discontinuas, respectivamente. El higo... ure muestra que la densidad de la tasa de transición de libre a libre en arrugas o disminuciones con una frecuencia de transición creciente si este último no es demasiado grande o es lo suficientemente grande, Tily. También observamos una firma del corte de Debye de la frecuencia fonónica. Comparación de las figs. 12 a) y 12 b) muestra que las transiciones de los estados libres de baja energía tienen órdenes de magnitud más pequeñas que las de estados libres de alta energía. Figura 12 a) y su conjunto mostrar que, cuando la energía del estado libre es baja, el libre a libre tasa de transición hacia abajo (enfriamiento) es muy pequeño en comparación con el libre hacia arriba (calentamiento) tasa de transición. FIG. 13: Tasas de decaimiento libres al alza y a la baja Qaf (líneas sólidas) y Qef (líneas afectadas) como funciones de la energía Ef del estado libre inicial. Los insets resaltan el magni- los perfiles de las tasas de decaimiento de Ef en el rango de De 0 a 20 MHz. La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en la Fig. 8. Mostramos en Fig. 13 el libre-libre hacia arriba (fonon- absorción) y disminución (emisiones fonónicas) tasas Qaf [véase Eq. (50)] y Q f [véase Eq. 49)] como funciones de la energía del Estado libre Ef. Observamos que Qaf y Qef aumentar con el aumento de Ef en el rango de 0 a 8 THz. El aumento de Qaf con el aumento de Ef en la región de pequeño Ef (ver la entrada izquierda) se debe principalmente al aumento en la velocidad de incidencia atómica vf. En esta región, nosotros tienen a Qaf vf Ef [véase Eqs. (48) y (50)]. Los aumento de Qef con el aumento de Ef en la región de pequeños Ef (ver la entrada derecha) se debe no sólo al aumento de la velocidad de incidencia atómica vf [véase Eq. (48)] pero también el aumento de la densidad de la tasa de transición Qef ′f y el aumento del intervalo de integración (0, Ef) [véase Eq. 49)]. En esta región, la dependencia de Qef de la energía Ef es de orden superior a E3/2f. La entrada izquierda de la Fig. 13 muestra que, para Ef en el rango de 0 a 20 MHz, la el valor máximo de Qaf está en el orden de 10 4 s−1. Semejante las tasas de decaimiento al alza (calentamiento) de libre a libre son comparables a pero aproximadamente dos veces más pequeño que el correspondiente tasas de decaimiento (adsorción) libres a unidos (véase el conjunto de Fig. 9). Mientras tanto, la entrada derecha de la Fig. 13 muestra que, en la región de Ef pequeño, el libre a libre hacia abajo (free-to-free La tasa de decaimiento de Qef es muy pequeña. FIG. 14: Densidades de la tasa de transición de libre a libre QafT0 para Transiciones de pabellón (líneas sólidas) y QefT0 para Situaciones (líneas salpicadas) de los estados térmicos con tempera- a) T0 = 200 μK y b) T0 = 300 K a niveles libres f como funciones de la energía de nivel libre Ef. El conjunto de la parte a) muestra la tasa de densidades versus Ef en el rango de 0 a 8 MHz para resaltar la pequeña magnitud de QefT0 (línea de carga). La temperatura del baño de fonón es T = 300 K. Otros los parámetros son como en la Fig. 8. FIG. 15: Tasas de desintegración de forma libre QaT0 (líneas sólidas) y Para las transiciones hacia arriba y hacia abajo, re- independientemente, como funciones de la temperatura atómica T0 en el rangos (a) de 100 μK a 400 μK y (b) de 50 K a 350 K. Para la comparación, la tasa de decaimiento libre a consolidado GT0 es re- trazada a partir de la Fig. 11 por las líneas punteadas. La temperatura de el baño de fonón es T = 300 K. Otros parámetros son como en Fig. 8. En el caso de un gas térmico, el calor mediado por fonones transferencia entre el gas y la superficie se caracteriza por las densidades de la tasa de transición libreQafT0 yQ [véase Eqs. (51)] y las tasas de desintegración de libre a libre QaT0y QeT0 [ver Eqs. (52)]. Trazamos la transición libre a libre tasa de densidades QafT0 y Q en Fig. 14. Comparación entre Figs. 14 a) y 12 a) muestran que la transición densidades de velocidad de los estados térmicos de baja temperatura y Los estados libres de baja energía son muy similares entre sí. La difusión de la distribución de energía del estado inicial no es sustancial en este caso. Sin embargo, la difusión de la energía de el estado inicial es sustancial en el caso de peraturas, ocultando el efecto de frecuencia de corte [com- pare Fig. 14 b) con Fig. 12 b)]. Exhibimos el libre- Tasas de decaimiento libres QaT0 y Q en Fig. 15. El sólido y líneas discontinuas corresponden a la hacia arriba (calentamiento) y transiciones hacia abajo (refrigeración), respectivamente. Por com- parison, la tasa de desintegración libre a unida (tasa de adsorción) GT0 se vuelve a extraer de la Fig. 11 por las líneas punteadas. Nosotros observar que, para T0 en el intervalo de 100 μK a 400 μK [véase Fig. 15 a)], la tasa de adsorción GT0 (línea punteada) es aproximadamente dos veces más grande que la velocidad de calentamiento QaT0 (sólido línea), mientras que la tasa de enfriamiento QeT0 (línea de alimentación) es negligi- ble. La figura 15 a) muestra que, en la región de temperaturas, uno tiene QT0 # # # # QaT0 # # # # QaT0 # # # QaT0 # # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # # QaT0 # T0, de acuerdo con el comportamiento asintótico de las expresiones (52). Los la figura también muestra que QeT0 aumenta rápidamente con ing temperatura atómica T0. La relación Q < QaT0, obtenido para T0 < T, indica el predominio de la calefacción de átomos libres de frío por la superficie. El mag- nitud de la tasa de transición libre a consolidada GT0 (puntos línea) indica que un número significativo de átomos puede ser adsorbida por la superficie. Según Fig. 15 b), el tasa de transición a la baja de forma libre a libre QeT0 (línea de carga) cruza la velocidad de transición al alza QaT0 (línea sólida) cuando T0 = T = 300 K, y luego se convierte en la decadencia dominante tasa. La relación QeT0 > Q , obtenido para T0 > T, indi- cates el dominio de la refrigeración de los átomos libres de calor por el superficie. V. CONCLUSIONES En conclusión, hemos estudiado el fonon-mediado transiciones de un átomo en un potencial inducido por la superficie. Desarrollamos un formalismo general, que es aplicable para cualquier potencial de superficie–átomo. Una derivación sistemática de la ecuación densidad-matriz correspondiente nos permite investigar la dinámica tanto de la diagonal como de la Elementos diagonales. Hemos incluido un gran número de vi- niveles bracionales procedentes de la sílice profunda-cesio potencial. Calculamos las tasas de transición y decaimiento de ambos niveles encuadernados y libres. Encontramos que el Tasas de transiciones mediadas por fonogramas entre transla- nivel depende de la media del número de fonon, la densidad del modo fonón, y el elemento de matriz de la fuerza desde la superficie sobre el átomo. Debido a los efectos de los factores que compiten, las tasas de transición generalmente primero aumentar y, a continuación, reducir con el aumento de la transición fre- Quency. Nos centramos en las transiciones de estados ligados. Dos ejemplos específicos, a saber, cuando el nivel inicial es un nivel superficial también cuando puede ser uno de los niveles profundos han sido trabajados. Hemos demostrado que puede haber diferencias marcadas en la absorción y la emisión de behav- o en los dos casos. Por ejemplo, tanto la absorción y las tasas de emisión de los niveles consolidados profundos pueden ser sev- órdenes eral (en nuestro caso, seis órdenes) de magnitud más grande que las tasas correspondientes de la lev- Els. También analizamos varios tipos de transiciones desde Estados libres. Hemos demostrado que, para la energía atómica térmica ce- sium con temperatura en el rango de 100 μK a 400 μK en las proximidades de una superficie de sílice con temperatura de 300 K, la tasa de adsorción (decaída libre a unida) es de aproximadamente dos veces más grande que la calefacción (gratuito-gratuito hacia arriba de- cay), mientras que la refrigeración (decaída hacia abajo de libre a libre) La tasa es insignificante. Agradecimientos Damos las gracias al Sr. Chevrollier por sus fructíferos debates. Esto el trabajo se llevó a cabo en el marco del Consejo de Europa del siglo XXI gramo en “Ciencia óptica coherente”. [*] También en el Instituto de Física y Electrónica, vietnamita Academia de Ciencia y Tecnología, Hanoi, Vietnam. [1] V. I. Balykin, K. Hakuta, Fam Le Kien, J. Q. Liang, y M. Morinaga, Phys. Rev. A 70, 011401(R) (2004); Fam Le Kien, V. I. Balykin, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 70, 063403 (2004). [2] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, V. I. Balykin, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 72, 032509 (2005). [3] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, K. P. Nayak, y K. Hakuta, Phys. Rev. A 72, 063815 (2005). [4] E. G. Lima, M. Chevrollier, O. Di Lorenzo, P. C. Se- Gundo, y M. Oriá, Phys. Rev. A 62, 013410 (2000). [5] T. Passerat de Silans, B. Farias, M. Oriá y M. Chevrollier, Appl. Phys. B 82, 367 (2006). [6] Fam Le Kien y K. Hakuta, Phys. Rev. A 75, 013423 (2007). [7] Fam Le Kien, S. Dutta Gupta, y K. Hakuta, e-print quant-ph/0610067. [8] K. P. Nayak, P. N. Melentiev, M. Morinaga, Fam Le Kien, V. I. Balykin, y K. Hakuta, e-print quant-ph/0610136. [9] C. Henkel y M. Wilkens, Europhys. Lett. 47, 414 (1999). [10] Z. W. Gortel, H. J. Kreuzer, y R. Teshima, Phys. Rev. B 22, 5655 (1980). [11] H. Hoinkes, Rev. Mod. Phys. 52, 933 (1980). [12] N. N. Bogolubov, Commun. de JINR, E17-11822, Dubna 1978; N. N. Bogolubov y N. N. Bogolubov Jr., Ele- mentorio Partículas y Núcleos (URSS) 11, 245 (1980). [13] R. Zwanzig, Lectures in Theoric Physics, eds. W. E. Brittin, B. W. Downs, y J. Downs (Interscience, New York, 1961) Vol. 3, pág. 106; G. S. Agarwal, Avances en Óptica, ed. E. Wolf (Norte de Holanda, Amsterdam, 1973) Vol. 11, pág. 3; L. Mandel y E. Wolf, Coherencia óptica y Óptica Cuántica (Cambridge, Nueva York, 1995), pág. [14] J. Javanainen y M. Mackie, Phys. Rev. A 58, R789 (1998); M. Mackie y J. Javanainen, ibíd. 60, 3174 (1999). [15] E. Luc-Koenig, M. Vatasescu, y F. Masnou-Seeuws, Eur. Phys. J. D 31, 239 (2004). [16] Véase, por ejemplo, G. P. Agrawal, Fibra óptica no lineal (Academic, Nueva York, 2001). [17] H. J. Metcalf y P. van der Straten, Refrigeración por láser y Trapping (Springer, Nueva York, 1999). http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610067 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610136

Infrared Evolution Equations: Method and Applications

Ecuaciones de Evolución del Infrarrojo: Método y Aplicaciones B.I. Ermolaev Ioffe Physico-Technical Institute, 194021 San Petersburgo, Rusia M. Greco Departamento de Física e INFN, Universidad Roma III, Roma, Italia S.I. Troyan Instituto de Física Nuclear de San Petersburgo, 188300 Gatchina, Rusia Se trata de una breve revisión sobre la composición y resolución de ecuaciones de evolución infrarroja. Se pueden utilizar en para calcular las amplitudes de las reacciones de alta energía en las diferentes regiones cinemáticas aproximación logarítmica. Números PACS: 12.38.Cy I. INTRODUCCIÓN Las contribuciones de doble logarítmica (DL) son de especial interés entre las correcciones radiativas. Son interesantes. en dos aspectos: en primer lugar, en cada orden fijo de las teorías de la perturbación son los términos más grandes entre los radiativos correcciones dependiendo de la energía total y segundo, son el tipo más fácil de las correcciones a resumir. Correcciones DL fueron descubiertos por V.V. Sudakov in Ref. [1] en el contexto de la QED. Demostró que los términos DL aparecen de las integraciones sobre suave, infrarrojo (IR) - momento divergente de fotones virtuales. La reanudación en todos los casos de esas contribuciones dio lugar a sus exponencias. El siguiente paso importante fue hecho en Refs. [2] cuando se haya considerado el cálculo y la suma de las contribuciones de DL de forma sistemática. Encontraron una fuente complementaria de términos DL: fermiones virtuales blandos. Esta situación parece en la cinemática de Regge. Las recapitulaciones de todo orden de las contribuciones DL en la cinemática Regge están bastante involucrados y producen expresiones más complicadas que las exponenciales de Sudakov. Sin embargo, es importante la prueba de la factorización de los fotones bremsstrahlung con pequeños k en las reacciones hadrónicas de alta energía encontradas en Ref. [3] y a menudo se aborda como el teorema bremsstrahlung del Gribov. Esta declaración, sugerida originalmente en el marco de el QED fenomenológico de los hadrones se extendió a QCD en Refs. [4]. Cálculo en las amplitudes de aproximación doble-logarítmica (DLA) de la aniquilación fermion-antifermion en la cinemática de Regge hacia adelante y hacia atrás implica la contabilidad de las contribuciones DL de quarks blandos y gluones blandos. Estas reacciones en QED y QCD tienen muchas características comunes. La e+e−-aniquilación se estudió en Refs. [2]. La aniquilación quark-aniquark DLA fue investigada en Ref. [5]. El método de cálculo aquí se basó en factorización de quarks virtuales y gluones con k mínimo. En términos generales, los resultados obtenidos en Ref. [5] podría se obtiene con el método de Ref. [2] Sin embargo, la técnica de cálculo sugerida en Ref. [5] fue mucho más elegante y eficiente. Aunque Ref. [5] es sobre la dispersión quark solamente, contiene casi todos los ingredientes técnicos necesario para componer ecuaciones de evolución infrarroja para cualquiera de las amplitudes de dispersión elásticas. Sin embargo, no podía se aplique directamente a procesos inelásticos que impliquen la emisión de partículas blandas. Tal generalización se obtuvo en Refs. [4, 6]. La idea básica del método antes mencionado fue sugerida por L. N. Lipatov: investigar la evolución con respecto al corte de infrarrojos. El presente, sonando naturalmente término “Ecuaciones de Evolución Infrarroja” (IREE) para Este método fue sugerido por M. Krawczyk en Ref. [7] donde las amplitudes para la dispersión de Compton hacia atrás fueron calculado en DLA. El objetivo de la presente breve revisión es mostrar cómo componer y resolver IREE para dispersar amplitudes en diferentes teorías de campo y regiones cinemáticas. El documento está organizado de la siguiente manera: en Secc. II consideramos la composición de IREE en el Técnicamente la cinemática dura más simple. En Secc. III consideramos la composición de IREE en la cinemática hacia adelante y aplicar a estudiar la función de la estructura g1 de la dispersión polarizada profunda-inelástica (DIS) en x pequeña. El punto es que el instrumento teórico de uso común para el estudio de g1 es DGLAP [11]. Recoge logaritmos de Q 2 a todas las órdenes en αs pero no incluye la reposición total de logaritmos de 1/x, aunque es importante en x pequeñas. Contabilidad para un resumen de este tipo conduce a la subida pronunciada de g1 en la región del pequeño x. Como se muestra en Secc. IV, DGLAP carece de la resumen pero lo imita inexplícitamente, a través de la elección especial de ajustes para las densidades iniciales parten. Invocación de tales Ajustes peculiares junto con DGLAP para describir g1 a x â € 1 llevó a varios conceptos erróneos en la literatura. Lo son. alistados y corregidos en la Secc. V. El resumen total de los principales logaritmos es esencial en la región de las pequeñas x. En la región opuesta de la gran x, la DGLAP es bastante eficiente. Es atractivo combinar la reanudación con la DGLAP. http://arxiv.org/abs/0704.0341v1 El manual para hacerlo se da en la sección. VI. Finalmente, Sect. VII es para las observaciones finales. II. IRIE PARA LA CATEGORÍA DE AMPLITUDES EN LAS KINEMÁTICAS DURAS Desde el punto de vista técnico, la cinemática dura, donde todos los invariantes son del mismo orden, es la más fácil para análisis. Para el más simple, 2 → 2 -procesos, la cinemática dura significa que las variables Mandelstamm s, t, u obedecer s • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1).......................................................................................................................................................... En otras palabras, los ángulos de dispersión de la cmf 1 en la cinemática dura. Esta cinemática es la más fácil porque el escala Feynman gráficos no producen contribuciones DL aquí y por lo general la reposición total de las contribuciones DL lleva a multiplicar la amplitud del Born por exponencial decreciendo con la energía total. Comencemos con componer y resolver un IREE para el bien conocido objeto: vértice electromagnético de un fermión elemental (lepton o quark). Como se sabe, = ū(p2) f(q) 2) - q/ g(q2) u(p1) (2) donde p1,2 son el momento inicial y final del fermión, m representa la masa de fermión y el impulso de transferencia q = p2−p1. Funciones escalar f y g en Eq. (2) se llaman factores de forma. Históricamente, se descubrieron contribuciones de DL por V. Sudakov cuando estudió las correcciones radiativas QED al factor de forma f en q2 p21,2. Siguiéndole, consideremos el vértice Vμ en P21 = p22 = m2 (3) i.e. asumimos que el fermión está en la cáscara y cuenta de las contribuciones electromagnéticas DL. Vamos a dejar m para el en aras de la simplicidad. A. IREE para el factor de forma f(q2) en QED El paso 1 es introducir el corte infrarrojo μ en el transverso (con respecto al plano formado por momenta p1,2). espacio de impulso para todos los momentos virtuales ki: ki > μ (4) donde i = 1, 2,... El paso 2 es buscar la partícula virtual más suave entre las partículas externas y virtuales blandas. La única opción que tenemos es el fotón virtual más suave. Vamos a denotar su momento transversal. Por definición, k = min ki . 5) Paso 3: De acuerdo con el teorema de Gribov, el propagador del fotón más suave se puede factorizar (es decir. se adjunta a las líneas externas de todas las maneras posibles) mientras que k actúa como un nuevo corte para otras integraciones. Añadiendo a los nacidos contribución fNacido = 1 llegamos a la IREE para f en la forma diagramática. Está representado en la Fig. 1. IREE en el forma analítica se escriben de la manera calibrado-invariante, pero su escritura diagramatical depende del calibrador. En el En el presente papel usamos el medidor de Feynman. Aplicando las reglas estándar de Feynman, lo escribimos en la forma analítica: f(q2, μ2) = fNacido − e dαdβdk2 − μ2) f(q2, k2 (s+ − k2 + )(− s − k2 + )(sβ + s® − k2 + ) donde hemos utilizado la parametrización de Sudakov k = αp2 + βp1 + k y denotado s = −q2 فارسى 2p1p2. Como f(q2, k2) no depende de α y β, la integración DL sobre ellos se puede hacer con la forma estándar, por lo que se nos deja con un ecuación integral simple para resolver: f(q2, μ2) = fNacido − e ln(s/k2 )f(q2, k2 ). 7).................................................................................................................................................. FIG. 1: El IREE para el factor de forma Sudakov. Las letras en las manchas significan corte de IR. Diferenciación de Eq. (7) sobre μ2 (más exactamente, la aplicación de 2/2) lo reduce a una ecuación diferencial (ln(s/μ2)) = −(e/2/8η2) ln(s/μ2)f (8) con la solución obvia f = exp [−(α/4η) ln2(q2/m2)] (9) donde hemos sustituido μ por m y utilizado α = e2/4 Eq. (9) es la famosa exponencial de Sudakov obtenida en Ref. [1]. B. IREE para el factor de forma g(q2) en QED Repetir los mismos pasos (ver Ref. [8] para el detalle) conduce a un IREE similar para el factor de forma g: g(q2,m2, μ2) = gBorn(s,m2)− e ln(s/k2 )g(q2,m2,k2 ) (10) donde gBorn(s,m2) = −(m2/s)(α/η) ln(s/m2). Resolver esta ecuación y poner μ = m en la respuesta conduce a la la siguiente relación entre los factores de forma f y g: g(s) = −2 , (11) con  = s/m2. Combinando Eqs. (9,11) permite escribir una simple expresión para la DL asintótica del vértice : = ū(p2) q/ u(p1) exp[−(α/4 (12) C. e+e− -aniquilación en un par quark-antiquark Consideremos la e+e−-aniquilación en un quark q(p1) y q̄(p2) a alta energía cuando 2p1p2 p21,2. Consideramos que el canal donde el par e+e− aniquila en un fotón pesado que decae en el par q(p1) q̄(p2): e+e− → → q(p1) q̄(p2). (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Llamamos a este proceso elástico. En este caso, las correcciones radiativas más importantes surgen de los gráficos donde el quark y el intercambio antiquark con gluones y estos gráficos se ven absolutamente similares a los gráficos para el electromagnético vértice considerado en la subsección anterior. Como resultado de ello, se contabilizaron las correcciones de radiación QCD en el DLA a los factores de forma elástica fq, gq de quarks se puede obtener directamente de Eqs. (9,11) por sustitución α → αsCF, (14) con CF = (N 2 - 1)/2N = 4/3. D. e+e− -aniquilación en un par quark-antiquark y gluones Además de la aniquilación elástica (13), el estado final puede incluir gluones: e+e− → → q(p1) q̄(p2) + g(k1),..g(kn). (15) Llamamos a este proceso la aniquilación inelástica. Las correcciones radiativas QED a la aniquilación inelástica (15) en DLA son absolutamente lo mismo que las correcciones a la aniquilación elástica. Por el contrario, las correcciones de QCD dar cuenta de los intercambios de gluones entre todas las partículas finales. Esto hace que componer el IREE para la aniquilación inelástica participar más (véase Ref. [4]). La diferencia con el caso elástico considerado aparece en el Paso 2: buscar el más suave partícula virtual entre partículas blandas externas y virtuales. De hecho, ahora la partícula más suave puede ser a la vez un gluón virtual y un gluón emitido. Por el bien de la simplicidad vamos a discutir el estado final de 3 partículas, es decir. el proceso e+e− → → q(p1) q̄(p2) + g(k1). 16) El ingrediente principal de la amplitud de dispersión de este proceso es el nuevo vértice electromagnético μ del quark. En DLA, es parametrizado por los nuevos factores de forma F (1) y G(1) = B1(k1)ū(p2) 1)q, k1)− q/ G (1)q, k1) u(p1) (17) donde (1) corresponde al número de gluones emitidos, q = p1 + p2 y l es el vector de polarización de la emisión Gluón. El factor bremsstrahlung B1 en Eq. (17) a altas energías se expresa a través de k1 : ( p2l − p1l . (18) Llamamos F (n), G (n) factores de forma inelástica. Comencemos a componer el IREE para F (1). El paso 1 es el mismo que en el caso anterior. El paso 2 abre más opciones. Elijamos primero el gluon más suave entre los gluons virtuales y denotemos su impulso transversal k La integración sobre k va de μ a s. Como μ < k1 < s, tenemos dos regiones a considerar: Región D1 fueron μ < k1 < k < s (19) y la Región D2 fueron μ < k < k1 < s (20) Obviamente, la partícula más blanda de la región D1 es el gluón emitido, por lo que se puede factorizar como se muestra en los gráficos (b,b’) de Fig. 2. Por el contrario, el gluón virtual es el más suave de la Región D2 si su propagador se factoriza como se muestra en gráficos (c,d,d’) de la Fig. 2. Añadiendo la contribución del Born (gráficos (a,a’) en la Fig. 2) completa el IREE para F (1) representado en Fig. 2. Los gráficos (a-b’) no dependen de μ y desaparecen cuando se diferencian con respecto a μ. no depende de las variables longitudinales de Sudakov, por lo que las integraciones sobre α, β se puede hacer como en el primer bucle. Después que el diferencial IREE para F (1) es F (1) CF ln (2p2k1) (2p1k1 F (1). (21) Resolviendo Eq. (21) y utilizando esto (2p1k1)(2p2k1) = sk 1 conduce a la expresión F (1) = exp CF ln (k21 sugerido en Ref. [9] y probado en Ref. [4] para cualquier n. El IREE para el factor de forma G(n) fue obtenido y resuelto en Ref. [8]. Se demostró que G(n) = −2­F (n)/. 23) FIG. 2: El IREE para el factor de forma de quark inelástico. E. Exposición de las contribuciones electrodébiles de doble logarítmica de Sudakov El método IREE se aplicó en Ref. [10] para demostrar la exponenciación de la corrección DL al electrodébil (EW) reacciones en la cinemática dura. Hay una diferencia técnica esencial entre las teorías con el calibre exacto simetría (QED y QCD) y la teoría de interacciones de EW con la simetría de calibre SU(2) rota U(1): sólo Las contribuciones DL de fotones virtuales producen singularidades IR necesitadas ser reguladas con el corte μ mientras que DL las contribuciones de W y Z -bosons son IR estables porque las masas de bosón MW y MZ actúan como reguladores de IR. In Ref. [10] la diferencia entre MW y MZ fue descuidada y el parámetro M & MW MZ (24) se introdujo, además de μ, como el segundo corte de IR. Permitió bajar masas MW,Z. El IREE con dos IR Los cortes se compusieron de manera similar a Eq. (6), con factorización uno por uno el fotón virtual más suave, Z-boson y W-Boson. Como resultado, el factor de forma EW Sudakov FEW es POCO = exp − α(Q) ln2(s/μ2)− SU(2) (Y 21 + Y − α(Q) ln2(s/M2) donde Q1,2 son las cargas eléctricas del fermión inicial y final (con W -intercambios contabilizados, pueden ser diferentes), Y1,2 son sus hiper-cargas y C SU(2) F = (N 2 − 1)/2N, con N = 2. Hemos usado en Eq. (25) la las anotaciones estándar g y g′ para los acoplamientos SU(2) y U(1) -EW. La estructura del exponente en Eq. (25) es bastante claro: el primer término μ-dependiente proviene de la factorización de fotones blandos como el exponente en Eq. (9) mientras que otros términos corresponden a la factorización W y Z; el factor en los corchetes cuadrados es la suma del SU(2) y U(1) Casimirs, con el fotón Casimir siendo sustraído para evitar el doble conteo. En el límite μ = M la factor de grupo en el exponente es sólo el Casimir de SU(2) U(1). III. APLICACIÓN DE IRIE A LA CATTERÍA POLARIZADA DEFENÁSTICA Las secciones transversales del DIS polarizado se describen por las funciones de estructura g1,2. Aparecen de la norma parametrización de la parte dependiente de la rotación del tensor hadrónico: W. = q. S/23370/g1(x,Q S. − p....................................................................................................................................... g2(x,Q donde p, m y S son el impulso, la masa y el giro del hadron entrante; q es el impulso del fotón virtual; Q2 = −q2; x = Q2/2pq. Obviamente, Q2 > 0 y 0 6 x 6 1. Desafortunadamente, g1,2 no se puede calcular de una manera directa independiente del modelo porque implicaría QCD a largas distancias. Para evitar este problema, se considera una convolución de Φq,g - probabilidades de encontrar un polarizado quark o gluon y los tensores partónicos W (q, g) • Se parametrizó idénticamente a Eq. (26). En este enfoque, (q, g) • Implicar solo QCD a distancias cortas, es decir, el QCD Perturbativo mientras que los efectos de larga distancia se acumulan en Φq,g. As Φq,g son desconocidas, son imitadas por el quark inicial y densidades de gluón, q, g. Son fijas aposteriores de consideraciones fenomenológicas. Por lo tanto, la descripción estándar de DIS es: W. W. W. W. W. W................................................................................................... (27) El instrumento teórico estándar para calcular g1 es el DGLAP[11] complementado con ajustes estándar[12] para Lo llamamos Enfoque Estándar (SA). En este enfoque g1(x,Q 2) = Cq(x/z)q(z,Q2) + Cg(x/z)g(z,Q2) (28) donde Cq, g son funciones de coeficiente y q(z,Q2), g(z,Q2) se llaman el quark evolucionado (con respecto a Q2) y distribuciones de gluon. Se encuentran como soluciones a las ecuaciones de evolución DGLAP d lnQ2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + d lnQ2 PgqÃ3q + PggÃ3g donde Pab son las funciones de división. El Mellin transforma γab de Pab se llaman las dimensiones anómalas DGLAP. Son conocidos en el orden principal (LO) donde son αs y en el orden siguiente-a-liderazgo (LON), es decir. • α2s. Del mismo modo, Cq,g son conocidos en LO y NLO. Los detalles sobre este tema se pueden encontrar en la literatura (e.g. ver una revisión [13]). La función de estructura g1 tiene los componentes sabor singlet y no-singlet, g 1 y g 1. Expresiones para g 1 son más simple, por lo que vamos a utilizar sobre todo en el presente documento cuando sea posible. Es conveniente escribir g1 en la forma de la Mellin integral. En particular, gNS DGLAP1 (x,Q 2) = (e2q/2) CNS(l)(l)q(l) exp γNS(, αs(k) donde μ2 es el punto de partida de la -evolución Q2; SNC y γNS son la función de coeficiente no-singlet y anómala dimensión. En LO γNS(­,Q *(1 + ) + S2(­) , (31) CLONS(­) = 1 + 2o + 1o *(1 + ) S1(­) + S 1 (-) - S2 (-) FIG. 3: El IREE para el componente no-singlet de la función de estructura de giro g1. con Sr(­) = j=1 1/j r. Las densidades iniciales de quark y gluon en Eq. (30) se definen a través del ajuste experimental datos. Por ejemplo, el ajuste para Łq tomado del primer artículo en Ref. [12] es *q(x) = Nx* (1- x)β(1 + γx , (32) con N siendo la normalización, α = 0,576, β = 2,67, γ = 34,36 y  = 0,75. Se sugirieron ecuaciones DGLAP para describir el DIS en la región x. 1, Q2 ≤ μ2 (33) (μ significa una escala de masa, μ • • QCD) y no hay absolutamente ninguna razón teórica para aplicarlas en el pequeño-x región, sin embargo se complementa con los ajustes estándar que se utilizan comúnmente en x pequeña. Se sabe que SA proporcionar un buen acuerdo con los datos experimentales disponibles, pero el precio está invocando una buena cantidad de fenomenología parámetros. El punto es que DGLAP, resumiendo lnk Q2 a todos los pedidos en αs, no puede hacer lo mismo con lnk (1/x). El más tarde no es importante en la región (33) donde lnk(1/x) â € 1 pero se convierte en un grave inconveniente del método a x pequeña. Reanudación total de las contribuciones de DL a g1 en la región x + 1, Q2 + μ2 (34) se hizo en Refs. [14]. El punto más débil en esos documentos era mantener αs como parámetro, es decir. fijado a un desconocido escala. Contabilidad de la parte más importante de las contribuciones unilogarítmicas, incluido el acoplamiento de funcionamiento se han realizado en Refs. [15]. En estos documentos μ2 fue tratado como el punto de partida de la evolución Q2 y como el IR corte al mismo tiempo. La función de estructura g1 fue calculada componiendo y resolviendo IREE en lo siguiente: Es conveniente componer IREE no para g1 sino para adelante (con t. μ2) Amplitud de Compton M relacionada con g1 de la siguiente manera: IM. (35) También es conveniente utilizar para la amplitud M la forma asintótica de la transformación Sommerfeld-Watson: •(−)(­)F (­),Q2/μ2) (36) donde el factor de la firma es el factor de la firma (-) (-) (-) = [e − 1]/2 (-). La transformación de Eq. 36) y se aborda a menudo como el Mellin transformar pero uno debe recordar que coincide con el Mellin transformar sólo en parte. IREE para Las amplitudes de Mellin F (,Q2) parecen bastante simples. Por ejemplo, el IREE para el no-singlet Mellin amplitud FNS relacionado con gNS1 por Eqs. (35,36) se representa en Fig. 3. En el espacio Mellin toma la forma simple: FNS = 1 + 2 HNSF NS (37) donde y = ln(Q2/μ2). Eq. (37) implica un nuevo objeto (la mancha más baja en el último término en la Fig. 3): el non-singlet Dimensión anómala HNS que representa el resumen total de logaritmos líderes de 1/x. Como en la DGLAP, la La dimensión anómala no depende del Q2 pero, a diferencia de la DGLAP, el HNS se puede encontrar con el mismo método. El IREE para él es algebraico: HNS = A(­)CF /8η 2 + (1 + ­/2)H2NS +D(­)/8 2. 38) El sistema de Eqs. (37,38) se puede resolver fácilmente, pero antes de hacerlo vamos a comentar sobre ellos. Los lados izquierdos de Eqs. (37,38) se obtienen aplicando el operador 2/2 a Eq. 36). La contribución del Born en la Fig. 3 no depende de μ y, por tanto, desaparece. El último término en Fig. 3 (los rhs de Eq. (37)) es el resultado de una nueva, t - factorización del canal que no existe en la cinemática dura definida en Eq. (1). Para componer el IREE para la amplitud Compton M, de acuerdo con la prescripción en la sección anterior primero debemos introducir el corte μ. A continuación, el paso 2 es etiquetar las partículas más blandas. En el caso que nos ocupa, no tenemos relaciones exteriores blandas. partículas. Si la partícula más blanda hubiera sido un gluón, podría ser factorizada de la misma manera como en la secta. II. Sin embargo, el La única opción ahora es conectar el propagador más suave a las líneas de quark externas y obtener ln(t/μ2) = 0 desde la integración más de β (véase Eq. 7)). Por lo tanto, el gluon más suave no produce contribuciones DL. La otra opción es encontrar un quark más suave. El par de quarks t-canal más suave factoriza la amplitud M en dos amplitudes (el último término en la Fig. 3) y rendimiento DL contribuciones. El IREE para HNS es diferente: i) El HNS no depende de Q 2, por lo que no hay una derivada en las lhs de Eq. 37). ii) El término nacido depende de μ y contribuye al IREE (término A en Eq. (37)). (iii) Como todas las partículas externas ahora son quarks, la partícula virtual más suave puede ser tanto un quark como un gluon. El caso cuando es el par quark t -canal, corresponde al término cuadrático en los rhs de Eq. 37). El caso de los más blandos gluón produce el término D, con D(­) = ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ( η [ η ( η)2 + η2 donde b = (33− 2nf )/12 El término A en Eq. (37) se encuentra en lugar de αs. El punto es que la parametrización estándar αs = αs(Q) 2) no puede debe utilizarse en x + 1 y debe cambiarse (véase Ref. [16] para más detalles). Lleva a la sustitución αs por A(­) = η2 + η2 - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ( η)2 + η2 . (40) Habiendo resuelto Eqs. (37,38), llegamos a la siguiente expresión para gNS1 en la región (34): gNS1 (x,Q 2) = (e2q/2) (1/x)• (CNS(­)­q(­) • (+) • (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+))) (+) (+)) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) +))))))) +) (+) +) (+) (+) (+) (+) (+) (+) +) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () () (+) () ( HNS(­)y donde la función de coeficiente CNS(­) se expresa a través de HNS(­): CNS(­) = - HNS (-) y HNS() es la solución de la ecuación algebraica (43): HNS = (1/2) -2 -B(-) donde B(l) = (4ηCF (1 + l)/2 A(l) + D(l))/(2η 2). (44) Se muestra en Ref. [17] que la expresión para g1 en la región x â ¬ 1, Q2. μ2 (45) puede obtenerse a partir de las expresiones obtenidas en Refs. [15] para g1 en la región (34) por el cambio Q2 → Q2 + μ20 (46) donde μ0 = 1 GeV para el singlet g1 y μ0 = 5,5 GeV para el singlet. IV. COMPARACIÓN DE LAS EXPRESACIONES (30) Y (41) PARA GNS1 Eqs. (30) y (41) deben decir que el g1 no-singlet se obtiene a partir de.q con evolución con respecto a x (usando el función de coeficiente) y con respecto a Q2 (utilizando la dimensión anómala). Comparación numérica de Eqs. (30) y (41) se puede hacer cuando se especifica el valor de referencia. A. Comparación de las asintóticas pequeñas-x, descuidando el impacto de ♥q En primer lugar, comparemos las pequeñas x asintóticas de para gNS DGLAP1 y g 1, suponiendo que no lo haga Afectarlos. En otras palabras, comparamos la diferencia en la evolución de x en x → 0. Aplicando el sillín método a Eqs. (30) y (41) llevan a las siguientes expresiones: gNS DGLAP1 • exp ln(1/x) lnln(Q2/2QCD) gNS1 • (1/x) •NS(Q2/μ2)•NS/2 (48) en el que •NS = 0.42 es la intercepción no-singlet 1. Expresión (47) es la conocida asintótica DGLAP. Obviamente, la asintótica (48) es mucho más pronunciada que la asintótica DGLAP (30). B. Comparación numérica entre Eqs. (30) y (41), sin tener en cuenta el impacto de Una comparación entre Eqs. (30) y (41) depende en gran medida de la elección de laq, pero también depende de la diferencia entre las funciones del coeficiente y las dimensiones anómalas. Para aclarar esto último, elegimos la forma más simple de Nq = Nq. (49) Corresponde a la evolución a partir del quark desnudo donde Łq(x) = Nq/23370/(1 − μ2/s). Resultados numéricos de R = [gNS1 − gNS DGLAP1 ]/gNS DGLAP1 con q elegido por Eq. (49) manifiesto (véase Ref. [19] para más detalles) que R aumenta cuando x es disminuciones. En particular, R > 0,3 a x. 0,05. Esto significa que la reanudación total de ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln (1/x) no puede ser descuidado en x. 0,05 y DGLAP no se pueden utilizar más allá de x 0,05. Por otro lado, es bien sabido que El método estándar basado en la DGLAP funciona bien en x + 0,05. Para resolver este rompecabezas, tenemos que considerar el estándar Encaja para la qq con más detalle. C. Análisis de los ajustes estándar para Se sabe que hay diferentes ajustes para Łq. Consideramos el ajuste de Eq. 32). Obviamente, en el Eq. (32) es una suma de las contribuciones de los polos: ­q(­) = Nη (­) α)−1 + mk(Ł + k) , (50) con k > 0, de modo que el primer término en Eq. (50) corresponde al término singular x • de Eq. (32) y, por lo tanto, el small-x asymptotics of fDGLAP se da por la singularidad principal • = α = 0,57 del integrand en Eq. (50) de modo que la asintótica de gNS DGLAP1 (x,Q 2) no es dada por la exponencial clásica de Eq. (47) pero en realidad es el Regge-como: gNS DGLAP1 C(α)(1/x)α ln(Q2/l2)/ ln(μ2/l2) )γ(α)/b , (51) con b = (33 − 2nf)/12 Comparación de Eq. (48) y Eq. (51) demuestra que tanto el DGLAP como nuestro enfoque llevar al comportamiento Regge de g1, aunque la predicción DGLAP es más singular que la nuestra. Entonces, ellos predicen 1 La intercepción de singlet es mucho mayor: S = 0.86. diferente Q2 -comportamiento. Sin embargo, es importante que nuestra interceptación NS se obtiene por la reposición total de la las principales contribuciones logarítmicas y sin asumir encajan singularmente para Łq mientras que la SA intercepta α en Eq. (47) es generado por el factor fenomenológico x−0.57 de Eq. (32) que hace que las funciones de la estructura crezcan cuando x disminuye e imita de hecho la reposición total2. En otras palabras, el papel de las correcciones radiativas de bucle superior en el comportamiento pequeño-x de los no-singlets es, en realidad, incorporado en SA fenomenológicamente, a través de la inicial las densidades de parten encajan. Esto significa que los factores singulares pueden ser eliminados de tales ajustes cuando el coeficiente funciona cuenta para la reanudación total de los logaritmos líderes y, por lo tanto, encaja para Łq se convierte en regular en x en este caso. También pueden simplificarse. De hecho, si x en la parte regular N (1 − x)β(1 + γx del ajuste (32) no es grande, todos los términos dependientes de x pueden ser descuidados. Por lo tanto, en lugar de la expresión bastante complicada de Eq. (32), puede ser aproximado por una constante o una forma lineal *q(x) = N(1 + ax). (52) con 2 parámetros fenomenológicos en lugar de 5 en Eq. 32). V. CORRECCIÓN DE LAS CONCEPCIONES La reposición total de lnk(1/x) permite corregir varios conceptos erróneos populares en la literatura. Listamos y corrijalos abajo. Concepto erróneo 1: Impacto de las contribuciones perturbativas y no perturbativas no líderes en las interceptaciones de g1 es grande. En realidad: Enfrentando nuestros resultados y las estimaciones de las intercepciones en Refs. [18] obtenidos a partir del montaje Los datos experimentales disponibles demuestran que la contribución total de la las contribuciones a las intercepciones son muy pequeñas, por lo que el impacto principal en las intercepciones es traído por los logaritmos líderes. Concepto erróneo 2: Los interceptos de g1 deben depender de Q 2 a través de la parametrización del acoplamiento QCD αs = α(Q) En realidad: Esto es infundado desde el punto de vista teórico y aparece sólo si la parametrización de la Acoplamiento QCD αs = α(k) ) se mantiene en todos los peldaños de la escalera. Se muestra en Ref. [16] que esta parametrización no puede ser utilizado en x pequeña y debe ser reemplazado por la parametrización de Eq. (40). Concepciones erróneas 3: Las densidades iniciales de x y x son singulares, pero se definen en x no demasiado pequeñas. Más tarde, siendo enredados con las funciones del coeficiente, se vuelven menos singulares. En realidad: Está absolutamente equivocado: Eq. (50) prueba que la singularidad del polo x® en los ataques no se debilita con la evolución de la x. Concepto erróneo 4: Los ajustes para las densidades iniciales de parten son complicados porque imitan no- contribuciones perturbativas. En realidad: Nuestros resultados demuestran que los factores singulares en los ajustes imitan la reposición total de lnk(1/x) y se puede soltar cuando se tiene en cuenta la recapitulación. En la parte regular de los ajustes la x -dependencia es esencial sólo para las grandes x, por lo que el impacto de las contribuciones no perturbativas es débil en la región pequeña x. Concepto erróneo 5: Reanudaciones totales de lnk(1/x) pueden llegar a ser de alguna importancia en x extremadamente pequeño, pero no para x disponible en la actualidad y en un futuro próximo. En realidad: La eficiencia de SA en la gama de pequeñas x disponibles se basa en la explotación de los factores singulares en el Ajustes estándar para imitar las resummaciones. Por lo tanto, las recapitulaciones siempre se han utilizado en SA en pequeñas x en un inexplícita manera, a través de los ataques, pero sin ser consciente de ello. 2 Recordamos que fueron confirmadas nuestras estimaciones para las interceptaciones (véase Refs. [18]) por análisis de los datos experimentales VI. COMBINACIÓN DE LA RESUMACIÓN TOTAL Y EL PALACIO El resumen total de los logaritmos líderes de x considerados en la Secc. IV es esencial en small-x. Cuando x â € 1, todos términos lnk(1/x) en las funciones del coeficiente y dimensiones anómalas no pueden tener un gran impacto en comparación con otros términos. La DGLAP da cuenta de esos términos. Hace que el DGLAP sea más preciso en general x que nuestro enfoque. Así que, parece un atractivo obvio para combinar las funciones del coeficiente DGLAP y las dimensiones anómalas con nuestra expresiones con el fin de obtener un enfoque igual de bueno en todo el rango de x : 0 < x < 1. La prescripción para tal combinación se sugirió en Ref. [19]. Consideremos aquí, en aras de la simplicidad, la combinación Resumen y LO DGLAP. La generalización de la ONL DGLAP puede hacerse de manera similar. La prescripción consta de los siguientes puntos: Paso A: Tome Eqs. (31) y sustitúyase αs por A de Eq. (40), convirtiendo γNS en NS y C NS hacia C Paso B: Suma las expresiones obtenidas y Eqs. (42,43): c.NS = C.O.C. NS +HS, hūNS = NS +HNS. (53) Nuevas expresiones c­NS, h­NS combinan la recapitulación total y DGLAP, pero obviamente contienen el doble con- ing: algunas de las contribuciones del primer bucle están presentes tanto en Eqs. (31) y en Eqs. (42,43). Para evitar el doble Contando, vamos a gastar Eqs. (42,43) en serie y mantener en la serie sólo las contribuciones del primer bucle3: A(­CF ) NS = 1 + A(­CF ) . (54) Finalmente, está el Paso C: Resta las expresiones del primer bucle (54) de Eq. (53)) para obtener el combinado, o “sintético” como los llamamos en Ref. [19], función de coeficiente cNS y dimensión anómala hNS : cNS = cūNS − C(1)NS, hNS = hūNS −H NS. (55) Sustitución de Eqs. (55) en Eq. (41) conduce a la expresión para gNS1 igual de bueno en grande y pequeño x. Esta descripción no requiere factores singulares en los ajustes para las densidades iniciales de parten. Un enfoque alternativo para combinar La expresión DLA para g1 fue sugerida en Ref. [20]. Sin embargo, la parametrización de αs en este enfoque fue simplemente tomado de DGLAP, lo que hace que este enfoque sea poco fiable a pequeña x. VII. CONCLUSIÓN Hemos considerado brevemente la esencia del método IREE junto con ejemplos de su aplicación a diferentes procesos. Demuestran que el IREE es efectivamente el instrumento eficiente y fiable para los cálculos de todos los pedidos en QED, QCD y el Modelo Estándar de interacciones EW. Como ejemplo a favor de este punto, recordemos que existen expresiones erróneas para el singlet g1 en DLA obtenidas con una técnica alternativa y la exponenciación de logaritmos dobles EW obtenidos en Ref. [10] anteriormente se había negado en varios documentos en los que otros métodos de Se utilizaron resúmenes de todo orden. VIII. AGRADECIMIENTO B.I. Ermolaev agradece al Comité Organizador de la Conferencia de Epifanía el apoyo financiero de su participación en la conferencia. [1] V.V. Sudakov. Sov. Phys. JETP 3(1956)65. [2] V.N. Gorshkov, V.N. Gribov, G.V. Frolov, L.N. Lipatov. Yad.Fiz.6(1967)129; Yad.Fiz.6(1967)361. [3] V.N. Gribov. Yad. Fiz. 5(1967)399. 3 Para combinar la reposición total con la NLO DGLAP debe mantenerse un término más en la serie [4] B.I. Ermolaev, L.N. Lipatov, V.S. Fadin. Yad. Fiz. 45(1987)817; B.I. Ermolaev. Yad. Fiz. 49(1989)546; M. Chaichian y B. Ermolav. Nucl. Phys. B 451(1995)194. [5] R. Kirschner y L.N. Lipatov. ZhETP 83(1982)488; Nucl. Phys. B 213(1983)122. [6] B.I. Ermolaev y L.N. Lipatov. Yad. Fiz. 47(1988)841; Yad. Fiz. 48(1988)1125; Int. j. Mod. Phys. A 4(1989)3147. [7] B.I. Ermolaev y M. Krawczyk. Proc de Kazimerz Conf sobre la física de las interacciones elementales. 1990. [8] B.I. Ermolaev y S.I. Troyan. Nucl. Phys. B 590(2000)521. [9] B.I. Ermolaev y V.S. Fadin. JETP Lett. 33(1981)269. [10] V.S. Fadin, L.N. Lipatov, A. Martin, M. Melles. Phys. Rev. D 61(2000)094002. [11] G. Altarelli y G. Parisi, Nucl. Phys.B126 (1977) 297; V.N. Gribov y L.N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438; L.N.Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1972) 95; Yu.L. Dokshitzer, Sov. Phys. JETP 46 (1977) 641. [12] G. Altarelli, R.D. Ball, S. Forte y G. Ridolfi. Nucl. Phys. B496 (1997) 337; Acta Phys. Polon. B29(1998)1145; E. Leader, A.V. Sidorov y D.B. Stamenov. Phys. Rev. D73 (2006) 034023; J. Blumlein, H. Botcher. Nucl. Phys. B636 (2002) 225; M. Hirai at al. Phys. Rev. D69 (2004) 054021. [13] W.L. Van Neerven. hep-ph/9609243. [14] B.I. Ermolaev, S.I. Manaenkov y M.G. Ryskin. Z. Pyss. C 69(1996)259; J. Bartels, B.I. Ermolaev y M.G. Ryskin. Z. Pyss. C 70(1996)273; Z. Pyss. C 72(1996)627. [15] B.I. Ermolaev, M. Greco, S.I. Troyan. Nucl. Phys.B 571 (2000) 137; Nucl. Phys.B 594 (2001) 71; Phys.Lett.B 579 (2004) [16] B.I. Ermolaev, M. Greco y S.I. Troyan. Phys.Lett.B 522(2001)57. [17] B.I. Ermolaev, M. Greco y S.I. Troyan. hep-ph/0605133. [18] J. Soffer y O.V. Teryaev. Phys. Rev.56( 1997)1549; A.L. Kataev, G. Parente, A.V. Sidorov. Phys.Part.Nucl 34(2003)20; Nucl.Phys.A666(2000)184; A.V. Kotikov, A.V. Lipatov, G. Parente, N.P. Zotov. Eur.Phys.J.C26(2002)51; V.G. Krivohijine, A.V. Kotikov, hep-ph/0108224; A.V. Kotikov, D.V. Peshekhonov hep-ph/0110229. [19] B.I. Ermolaev, M. Greco y S.I. Troyan. Phys.Lett.B.I. Ermolaev, M. Greco y S.I. Troyan. Phys.Lett.B 622(2005)93. [20] B. Badalek, J. Kwiecinski. Phys. Lett. B 418(1998)229; J. Kwiecinski, B. Ziaja. hep-ph/9802386. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9609243 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605133 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0108224 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0110229 http://arxiv.org/abs/hep-ph/9802386 Introducción IREE para dispersar amplitudes en la cinemática dura IREE para el factor de forma f(q2) en QED IREE para el factor de forma g(q2) en QED e+e--aniquilación en un par quark-antiquark e+e--aniquilación en un par quark-antiquark y gluones Exposición de contribuciones electrodébiles de doble logarítmicas de Sudakov Aplicación de IREE a la dispersión polarizada inelástica profunda Comparación de expresiones (30) y (41) para g1NS Comparación de asintóticas pequeñas-x, descuidando el impacto de q Comparación numérica entre Eqs. (30) y (41), descuidando el impacto de Análisis de los ajustes estándar para q Corrección de ideas erróneas Combinación de la reposición total y la DGLAP Conclusión Agradecimientos Bibliografía

Se trata de una breve revisión sobre la composición y resolución de ecuaciones de evolución infrarroja. Se pueden utilizar para calcular amplitudes de reacciones de alta energía en diferentes regiones cinemáticas en la aproximación doble-logarítmica.

Introducción IREE para dispersar amplitudes en la cinemática dura IREE para el factor de forma f(q2) en QED IREE para el factor de forma g(q2) en QED e+e--aniquilación en un par quark-antiquark e+e--aniquilación en un par quark-antiquark y gluones Exposición de contribuciones electrodébiles de doble logarítmicas de Sudakov Aplicación de IREE a la dispersión polarizada inelástica profunda Comparación de expresiones (30) y (41) para g1NS Comparación de asintóticas pequeñas-x, descuidando el impacto de q Comparación numérica entre Eqs. (30) y (41), descuidando el impacto de Análisis de los ajustes estándar para q Corrección de ideas erróneas Combinación de la reposición total y la DGLAP Conclusión Agradecimientos Bibliografía

Cofibrations in the Category of Frolicher Spaces. Part I

Cofibraciones en la Categoría de Espacios Frölicher: Parte I Brett Dugmore Cadiz Financial Strategists (Pty) Ltd, Ciudad del Cabo, Sudáfrica Correo electrónico: Brett.Dugmore@cadiz.co.za Patrice Pungu Ntumba Departamento de Matemáticas y Matemáticas Aplicadas Universidad de Pretoria Hatfield 0002, República de Sudáfrica Correo electrónico: patrice.ntumba@up.ac.za Resumen Las cofibraciones se definen en la categoría de espacios Frölicher por débil- ening el análogo de la definición clásica para permitir la homotopía suave extensiones para ser más fáciles de construir, utilizando intervalos de unidades aplanadas. Más tarde relacionamos las cofibraciones suaves con la deformación del barrio suave- ión se retrae. La noción de deformación del barrio suave retraer da lugar a un resultado análogo que un Frölicher cerrado subespacio A de la Frölicher espacio X es una deformación del barrio suave retraer de X si y sólo si la inclusión i : A X viene de una cierta subclase de cofibraciones. Como aplicación construimos la secuencia Puppe correcta. Clasificación por materias (2000): 55P05. Palabras clave: Espacios Frölicher, Intervalos de unidades aplanadas, Barrio suave de- formación retrae, Cofibraciones suaves, Cofibraciones con FCIP, Puppe se- Quence. 1 Preliminares El propósito de esta sección es estudiar la noción de espacios Frölicher. Frölicher espacios surgen naturalmente en la física, y generalizar el concepto de colectores lisos. Un espacio Frölicher, o espacio suave como inicialmente llamado por Frölicher y Kriegl [7], es un triple (X, CX,FX) que consiste en un setX, y subconjuntos CX XR, FX RX tales que • FX • CX = {f • c f • FX, c • CX} • C­(R) • ΦCX := {f : X → R f â € c â € Câ € R (R) para todos los c â € CX} = FX http://arxiv.org/abs/0704.0342v1 • FX := {c : R → X Frölicher y Kriegl [7], y Kriegl y Michor [10] son nuestra principal referencia para Espacios Frölicher. En el documento se utilizará la siguiente terminología: Frölicher espacio (X, CX,FX), el par (CX,FX) se llama una estructura lisa; el elementos de CX y FX se llaman curvas suaves y funciones suaves respec- Tily. La topología asumida para un espacio Frölicher (X, CX, FX) a lo largo de la papel es la topología inicial TF inducida por el conjunto FX de funciones. Cuando hay no es miedo a la confusión, un espacio Frölicher (X, CX, FX) simplemente se denota X. Los espacios más naturales de Frölicher son los colectores finitos dimensionales lisos, donde si X es un colector tan suave, entonces CX y FX consisten en todo suave curvas R → X y funciones lisas X → R. Dimensión finita euclidiana Los colectores lisos Rn, cuando son vistos como espacios Frölicher, se llaman Euclidianos Espacios Frölicher. En la secuela, de Rn, nó N, nos referimos al espacio Frölicher Rn, equipado con su estructura de colector liso habitual. Un Frölicher espacio X se llama Hausdorff si y sólo si el suave valor real funciones en X son separadores de puntos, es decir, si y sólo si TF es Hausdorff. Se dice que una estructura de Frölicher (CX,FX) en un conjunto X es generada por un conjunto F0 RX (resp. C0 XR) si CX = F0 y FX = F0 (resp. FX = ΦC0 y CX = C0 ). Tenga en cuenta que diferentes conjuntos F0 RX en el mismo conjunto X puede dan lugar a una misma estructura lisa en X. Un set de mapeo : X → Y entre Frölicher espacios se llama un mapa de los espacios Frölicher o simplemente un mapa suave si para cada f FY, el tirón hacia atrás f FX. Esto es equivalente a decir que para cada uno c CX, c CY. Para Frölicher espacios X e Y, C. (X,Y ) denotará el colección de todos los mapas lisos X → Y. La categoría resultante de Frölicher espacios y mapas lisos se denotan por FRL. Algunos datos útiles sobre los espacios de Frölicher se pueden reunir en la siguiente Teorema 1.1 La categoría FRL está completa (es decir. existen límites arbitrarios ), co- completa (es decir, completa) colímites arbitrarios existen), y cartesiano cerrado. Dada una colección de espacios de Frölicher {Xi}iÍ, vamos X = ¡I'I Xi sea el set! producto de los conjuntos {Xi}iI y πi : X → Xi, i I, denotar el mapa de proyección xi) i) 7→ xi. La estructura inicial en X es generada por el conjunto {f) : f) FXi}. El espacio resultante de Frölicher (X,F0, F0) se llama el espacio de producto de la familia {Xi}iI. Claramente, • F0 = {c : R → X si c(t) = (ci(t))i­I, a continuación, ci • CXi para cada i • I}. Ahora, vamos I Xi ser la unión disjunta de conjuntos {Xi}i'I, y {Xi : Xi → ¡I'I Xi! el mapa de inclusión. Colocar la estructura final lisa en correspondientes a los Estados miembros de la Unión Europea a la familia. El espacio resultante de Frölicher se llama el coproducto de {Xi}iI, y denotado Xi, y Xi = {f : Xi → R para cada i â € I, f Xi â € FXi} es la colección de funciones suaves para el coproducto. Corollary 1.1 Let X, Y, y Z ser Frölicher espacios. Entonces el siguiente canon... Los mapas icales son suaves. • ev: CŁ(X,Y)×X → Y, (f, x) 7→ f(x) • ins:X → C­(Y,X × Y), x 7→ (y 7→ ins(x)(y) = (x, y)) • comp:C.(Y, Z)× C.(X,Y) → C.(X,Z), (g, f) 7→ g • f • f* : C­(X,Y ) → C­(X,Z), f*(g) = f • g, donde f • C­(Y,Z) • g* : C­(Z, Y ) → C­(X, Y ), g*(f) = f • g, donde g­(X,Z). Dado Frölicher espacios X, Y, y Z; en vista de la clausura cartesiana de la categoría FRL, la ley exponencial (X × Y, Z) < C = C > (X, C > (Y, Z) Espera. Debido a que FX = CŁ(X,R), se sigue por la cerradura cartesiana de FRL que la colección FX se puede hacer en un espacio Frölicher por derecho propio. Por último, nos gustaría mostrar cómo construir funciones de frenado suave, siguiendo a Hirsch [8]. Las funciones de frenado suave son herramientas que están detrás de la mayoría resultados en este documento. En [11], se muestra que la función : R → R dada por (u) = 0 si u ≤ 0 u si u > 0 es suave. Sustituyendo x2 por u en la función anterior, se ve que la función : R → R, dado por (x) = 0 si x ≤ 0 x2 si u > 0 es suave. Ahora, vamos a construir una función suave α : R → R con la siguiente propiedades. Dejar que 0 ≤ a < b. α(t) satisfaga: • α(t) = 0 para t ≤ a, • 0 < α(t) < 1 para a < t < b, • α aumenta estrictamente para a < t < b, • α(t) = 1 para t ≥ b. Definir α : R → [0, 1] por α(t) = γ(x)dx γ(x)dx donde γ(x) = •(x− a)•(b − x). En la secuela, la notación, 0 < < , se referirá a un frenado suave función con las siguientes propiedades • (t) = 0 para t ≤, • 0 < (t) < 1 < t < 1 < 1 < • α aumento estricto de la < t < 1 −, • (t) = 1 para 1− • ≤ t. 2 construcciones básicas de la teoría de la homotopía en En esta sección, definimos las nociones fundamentales de la teoría de la homotopía en el categoría FRL, como la relación homotópica y el cilindro de asignación. Nosotros comenzar con una visión general de nuestro enfoque de la homotopía en FRL, y luego discutir Alternar las estructuras de Frölicher en el intervalo de unidad que se utilizan en este y secciones siguientes. 2.1 Nuestro enfoque de la teoría de la homotopía en FRL Uno podría empezar a investigar la teoría de la homotopía en FRL simplemente siguiendo la teoría homotópica de los espacios topológicos, reemplazando las funciones continuas con los suaves. Uno ciertamente puede definir la noción de una homotopía H : I×X → Y entre mapas lisos H(0,−) y H(1,−) de esta manera (lo que hacemos). Uno puede incluso llegar hasta la secuencia de Puppe izquierda (véase [4]), pero finalmente dificultades comienzan a surgir. La extensión de las funciones definidas en un subespacio de un espacio Frölicher tiende a ser un poco difícil, y por lo tanto la definición de una cofibración en FRL es una que necesita consideración cuidadosa. Prevemos construir la secuencia correcta de Puppe en un el futuro periódico. Para hacer esto definimos una noción ligeramente más débil de cofibración que la noción obtenida de los espacios topológicos. Además, definimos el mapeo cilindro de un mapa suave f : X → Y utilizando no el intervalo de unidad, pero un modificado versión llamada el intervalo de unidad débilmente aplanado, denotado I, que, como uno puede mostrar, es topológicamente homeomórfico al intervalo de unidad. El presente Reglamento ha sido modificado por el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo estructura en el intervalo de unidad nos permite mostrar que la inclusión de un espacio X en el cilindro de asignación de f : X → Y es una cofibración (en nuestro sentido más débil ). El intervalo de unidad débilmente aplanado es útil, pero también tiene sus inconvenientes. Sería ideal tener una estructura única en el intervalo de unidad que puede ser utilizado a lo largo de la teoría de la homotopía, pero el intervalo de unidad débilmente aplanado no es adecuado, porque tiene la propiedad más bien restrictiva que un suave mapa f : I → Yo en el intervalo de unidad habitual a menudo no define un mapa suave f : I → I a menos que los puntos finales del intervalo sean asignados a los puntos finales. Esto propiedad restrictiva significa que sólo utilizamos los intervalos de unidades aplanadas donde son absolutamente necesarios. En nuestro trabajo futuro, investigaremos si con nuestras nociones modificadas de los cilindros de cofibración y mapeo, los axiomas de cofibración de Baues están satisfechos. 2.2 Estructuras aplanadas en el intervalo de unidad Definimos dos estructuras principales de Frölicher que llamamos la unidad aplanada en- terval y el intervalo de unidad débilmente aplanado. Dejar (CI,FI) ser el subespacio estructura inducida en I por la inclusión I R. Definición 2.1 El espacio Frölicher (I, CI,FI), donde se encuentra la estructura (CI,FI) la estructura generada por el conjunto F = {f • FI existe 0 < • < 14 con f(t) = f(0) para t • [0, •) y f(t) = f(1) para t â € (1− â € ¬, 1]}, se llama intervalo unitario aplanado. Es fácil ver que cualquier mapa continuo c : R → [0, 1] define una estructura curva en I si y sólo si es suave en cada punto t â € R, donde c(t) â € (0, 1),. Definimos la izquierda (resp. a la derecha) intervalo unitario aplanado, denotado por I− (resp. I+), para ser el espacio Frölicher cuyo conjunto subyacente es el intervalo de unidad [0, 1], y estructura es la estructura generada por las funciones de estructura en FI que son constantes cerca de 0 (resp. 1). Definición 2.2 El espacio Frölicher (I, CI,FI), con la estructura definida a continuación se llama intervalo unitario débilmente aplanado. El conjunto subyacente es la unidad intervalo; la estructura (CI,FI) es generada por la familia F = {f FI lim f(t) = 0, lim f(t) = 0, n ≥ 1}. Llamamos a la propiedad, para todos f â € F, f(t) = 0, lim f(t) = 0, n ≥ 1, la propiedad derivada cero de f. Demostraremos que todas las funciones de la estructura en tengo la derivada cero propiedad, en otras palabras, FI = F. A tal efecto, necesitamos el siguiente lema. Lemma 2.1 Let c : R → R ser una función de valor real suave en t = t0, y let f : R → R ser una función de valor real suave en t = c(t0). Entonces, (f)(c)(t0) = f)(c)(t0))(c′(t0))n + términos del formulario af k) c(t0)) c ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(n−1)(t0)) mn−1, donde k < n y un R. Además, si un 6= 0 entonces al menos uno dem2,m3,. ....mn−1 también es distinto de cero. Prueba. La prueba se hace por inducción. Por el bien de la brevedad, llamamos la término f (n) (c(t0)) (c) ′(t0)) n el término primario para n, y los términos de la forma af k) c(t0)) c ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(n−1)(t0)) mn−1 los términos de orden inferior para n. La declaración es verdadera para n = 1 y para n = 2. Supongamos que el resultado es cierto para n = k. Para mostrar que el resultado tiene para n = k + 1, ya que dtk+1 (f) (c) (t0) = f k) c(t0)) c ′(t0)) +términos de la forma d af (j) (c(t0)) (c) ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(k−1)(t0)) mk−1), donde j < k + 1 y un R, sólo necesitamos mostrar que af (j) (c(t0)) (c) ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(k−1)(t0)) mk−1) da lugar a términos más bajos para n = k + 1, que es por cierto sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema 2.1 FI = {f) FI limt→0+ d f(t) = 0 = limt→1− f(t)} =: F Prueba. Eso F FI es evidente. Debemos mostrar la desigualdad inversa. Vamos. 0 < • < 1 , y 0 < M < 1. Considere la función cM : R → R, dada por cM (t) = (1− (t)βM (t) + (t), donde : R → R es una función de frenado suave tal como se define en los preliminares, y βM : R → R es dada por βM (t) = −Mt si t ≤ 0 t si t > 0 Es fácil ver que cM es continua sobre todo R, y suave sobre todo R excepto at t = 0. Nótese también que 0 < cM (t) < 1 para todos los t+R, y cM (t) = βM (t) = 0 para todos los valores de 0 ≤ t < ≤. Ahora, cM (t) = βM (t) = −M, para < t < 0 cM (t) = βM (t) = 1, para 0 < t < Para n > 1, tenemos cM (t) = βM (t) = 0, para t â € (, 0) â € (0, â €). Ahora mostramos que para cM â € € TM F. Con este fin, dejar f â € F. Para demostrar que f • cM : R → R es suave, es obvio que sólo necesitamos concentrarnos en el punto t = 0, porque f â € c es suave a cada t 6 = 0. Se sigue para t 6 = 0, y n° N aplicable a Lemma 2.1. Pero como t → 0, cM (t) → 0+, y así, dejando s = cM (t), tenemos f j) cM (t)) = lim f j) s) = 0, para todos j â € N, por la propiedad derivada cero de f. Así, como t se aproxima el valor 0, el término primario y todos los términos de orden inferior de d (f • cM ) t) desaparecer, y hemos demostrado que f â € cM es suave en t = 0. Esto implica que f.......................................................................................................................... Ahora estamos listos para mostrar que FI F. Con este fin, supongamos que se le da una función de estructura f • FI. Demostraremos que esta f tiene el cero propiedad derivada, y por lo tanto es un elemento de F. Desde f â € TM a FI, sabemos que f â € TM a c es una función de valor real suave para cada c • • F. En particular, f • cM es suave para todos los 0 < M < 1. Por lo tanto, para cualquier n â € N, (f • cM ) t) = lim (f) cM (t). Como t→ 0−, cM (t) → 0+; consideremos los términos de orden inferior para n. Cada término del formulario af k) cM t) c) M (t)) m1(c′′M (t)) m2. c) (n−1) M (t)) tiene algún término (c (t))mi, para algunos i > 1, con mi 6= 0. Pero limt→0− c (t) = 0, si i > 1, y así af k) cM t) c) M (t)) m1(c′′M (t)) m2. c) (n−1) (t))mn−1 = 0. Así que todos los términos de orden inferior caen, por lo tanto limt→0− (f) cM (t) = limt→0− f) (n) cM (t)) (c′M (t))n = limt→0− f n)cM (t)(-M)n = lims→0+ f n) s)-M)n, donde s = cM (t). De una manera similar uno muestra que (f • cM ) t) = lim f) n) s). Sin embargo, el fócM es suave, por lo tanto lims→0+ f (n)(s)(-M)n = lims→0+ f (n)(s), que implica que lims→0+ f n(s) = 0. Hemos demostrado que la propiedad de derivada cero de f mantiene para la izquierda endpoint del intervalo unitario. Para mostrar que la propiedad de la derivada cero de f se mantiene para el punto final derecho de f, tenga en cuenta que dM : R → R, dM (t) = 1− cM (t), es una función de valor real suave con d(0) = 1, y 0 ≤ dM (t) ≤ 1 para todos los t + R. Uno puede seguir un procedimiento similar al anterior, usando dM en lugar de cM para mostrar que lims→1− f n) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.3 Algunas propiedades de las funciones suaves entre el Intervalos de unidades aplanadas Uno tiene que tener cuidado al tratar con los diversos intervalos de unidades aplanadas. A función suave f : I → I del intervalo de unidad subespacial R-Frölicher I a no necesita definir una función suave f : I → I, por ejemplo. A la inversa, no cada función suave f : I → Defino una función suave f : I → I. In en particular, tenemos que ser conscientes del hecho de que la adición y multiplicación de funciones cuando se definen entre los diferentes intervalos de unidades aplanadas no conservar la suavidad, como es el caso con el intervalo de unidad habitual. Ejemplo 2.1 La función f : I → I, f(t) = 1 t es claramente suave, pero el correspondiente función f : I → I, dado por la misma fórmula, no es suave. Para ver esto, vamos α : R → R es una función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = −1, para t < − 3 • α(t) = t, para − 1 < t < 1 • α(t) = 1, para t > 3 Definir c : R → I por c(t) = 1− (t). La curva c es suave en todas partes excepto en at t = 0, donde c(0) = 1. Sin embargo, cada función generadora f en I es constante cerca de 1, y por lo tanto el compuesto f â € c es suave. Así c es una curva de estructura en I. Ahora, f â € c : R → I es dado por (f â € c)(t) = 1 (1 − (t)). Let h : I → R ser un función de estructura con las propiedades que • h(s) = 0, para s < 1 • h(s) = s, para 1 < s < 3 • h(s) = 1, para 7 A continuación (h) f) c) t) = 1 (1− (t)) para t cerca de 0, y no es suave en t = 0. Por lo tanto f no define una función suave de I a I. Ejemplo 2.2 La función f : I → I, f(t) = t, es suave, pero la correspondiente f : I → I, dado por la misma fórmula, no es suave. Esto se deriva del hecho de que f es suave en el intervalo abierto (0, 1), y una función generadora g en I es constante Cerca de 0 y 1. En el lado, f : I → No soy suave, porque si c : R → I is a curva de estructura con c(t) = t2 cerca de t = 0, entonces (f c)(t) = t cerca de t = 0, que no es suave en I en t = 0. Ejemplo 2.3 Las funciones f, g : I− → I−, dadas por f(t) = 1 t y g(t) = 1 ambos son suave, pero la suma f(t) + g(t) = 1 No es suave. El siguiente lema se deriva de la definición de las estructuras de Frölicher en los diferentes intervalos de unidades aplanadas. Lemma 2.2 Let f : I → Soy una función suave con las propiedades que f(0) = 0 y f(1) = 1. Entonces los siguientes mapas son suaves: • f : I → I ±, • f : I → I, • f : I± → I, • f : I → I, • f : I → I. La función definida en el siguiente ejemplo es para referencia posterior. Ejemplo 2.4 Let H : I × I− → I− ser dado por H(t, s) = (1 − α(t))s, donde α : R → R es un función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = 0 para t < 1 • 0 ≤ α(t) ≤ 1 para todos los t • R, • α(t) = 1 para t > 3 Demostramos que H es suave. Para ver esto, let f : I− → R ser una función generadora sobre I−. Así que f es constante cerca de 0. Ahora, c : R → I × I− ser una curva de estructura, dado por c(v) = (t(v), s(v)). La curva t es una curva de estructura en I, y así es una función de valor real suave para todas las v + R, excepto posiblemente cuando t(v) = 0 o t(v) = 1. Del mismo modo, la curva s es una curva de estructura en I−, y así es suave para todos v â € R excepto posiblemente cuando s(v) = 0. Ahora considere el compuesto H • c : R → I−. Claramente, α(t(v)) es suave para todos v, ya que el único posible los puntos para la no suavidad ocurren cuando t(v) = 0 o t(v) = 1, y α(t(v)) es localmente constante cerca de estos puntos. Por lo tanto, H o c es suave en todas partes excepto posiblemente cuando s(v) = 0. Ahora, vamos a considerar f H c : R → R; el único puntos posibles para la no suavidad son aquellos en los que s es 0, es decir. Hâ = 0. Pero f es una función generadora de estructura en I−, y así es localmente constante cerca de 0. Esto muestra que f â € H â € c es suave para todos v â € R, y por lo tanto H es suave. 2.4 Homotopía en FRL y objetos relacionados Definición 2.3 (1) Que X sea un espacio de Frölicher, y x0, x1 X. Nosotros decimos que x0 se conecta sin problemas a x1 si hay un camino suave c : I → X tal que c(0) = x0 y c(1) = x1. Escribimos x0 x1. La relación se llama homotopía suave cuando se aplica a hom-sets. (2) Let f : X → Y ser un mapa de los espacios Frölicher. f se llama un suave equivalencia homotópica siempre que exista un mapa suave g : Y → X tal que f g 1Y y g f 1X. Uno puede demostrar que la homotopía suave es una congruencia en RFL. En la práctica, decir que los mapas suaves f, g : X → Y son suavemente homotópicos si existe un mapa liso H : I × X → Y con H(0,−) = f y H(1,−) = g. Si A X es subespacio de X, entonces decimos que H es una homotopía suave (rel A) si el mapa H tiene la propiedad adicional que H(t, a) = a para cada t â € I y un â € A. Ver Cherenack [5] y Dugmore [6] para obtener más detalles sobre la homotopía lisa. La noción de retractarse de la deformación es fundamental para la homotopía topológica teoría. Las siguientes definiciones se adaptan para la homotopía suave, y será necesario en una fase posterior. Definición 2.4 Dejar A X ser un subespacio de un espacio de Frölicher X, y dejar i : A X denotan el mapa de inclusión. Entonces • Decimos que A es una retractación de X si existe un mapa liso r : X → A tales que ri = 1A. Llamamos a r una retracción. • Llamamos A un retracto débil de la deformación de X si la inclusión i es un suave equivalencia homotópica. • El subespacio A se llama retractamiento de deformación de X si existe un re- tracción r : X → A tal que ir 1X. • El subespacio A se llama retractamiento fuerte de la deformación de X si existe una retracción r : X → A tal que ir 1X(relA). Definición 2.5 El cilindro de asignación Si de f : X → Y está definido por el fol- bajada de empuje I ×X // Si donde i1 : X → I × X es dada por i1(x) = (1, x), para cualquier x • X. Denotamos el los elementos de Si por [t, x] o [y], donde (t, x) Reemplazando I × X en el diagrama de salida anterior por I×X o I×X, obtenemos el cilindro de mapeo aplanado Si y débilmente aplanado cilindro de mapeo Si de f respectivamente. Utilizamos la misma notación para los elementos de estos mapas aplanados cilindros como se describe anteriormente para el cilindro de mapeo. También hay un mapa i0 : X → I × X, definido por i0(x) = (0, x) para x • X. Esto induce un mapa de inclusión i′0 : X → Si, que identifica X con el Frölicher subespacio i′0(X) de Si. Una inclusión se induce de una manera similar para el aplanado Cilindros cartográficos. Si uno identifica {0X a un punto en el cilindro de asignación Si de un mapa f : X → Y, entonces se obtiene el cono de asignación Tf de la mapa f. De manera similar, definimos el cono de asignación aplanado Tf y cono de mapeo débilmente aplanado Tf de un mapa suave f : X → Y. 2.5 Cofibraciones en FRL Una cofibración es un mapa i : A→ X para el cual el problema de la extensión de funciones de i(A) a X es un problema de homotopía. En otras palabras, si un mapa f : i(A) → Z se puede extender a un mapa f* : X → Z, entonces también puede cualquier mapa homotópico a f. Para espacios topológicos, la definición habitual se formula en un poco más restrictivo Camino. La extensión de un mapa g H f, para alguna homotopía H : I × i(A) → Z, es necesario para existir en todos los niveles de la homotopía simultáneamente. En otras palabras, se requiere que cada H(t,−) sea extensible de tal manera que el resultado homotopía H* : I ×X → Z es continua. Debilitamos esta definición un poco, para permitir extensiones de homotopía suave para ser más fácil de construir usando un aplanamiento en los puntos finales de la homo- Topy. Esto nos permite caracterizar las cofibraciones suaves en términos de un aplanado intervalo de la unidad, y luego para relacionar las cofibraciones suaves con el relincho suave- La deformación del borhood se retrae. Nuestra definición de cofibración suave, sin embargo diferente de la definición de Cap, véase [1], conduce a varios resultados clásicos como hace Cap’s. Como señaló Cap, el análogo de la definición clásica de la cofibración no permitiría incluso {0} Yo ser una cofibración suave. Por lo tanto, nosotros tienen lo siguiente: Definición 2.6 Un mapa suave i : A → X se llama una cofibración suave si, correspondiente a cada diagrama conmutativo de la forma (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm existe un diagrama conmutativo en FRL de la forma (0,1X ) ::tttttttttttt donde G′ : I × A → Z está dada por G′(t, a) = G((t), a) para unos 0 < < 12, y cada t â € ¢ I, a â € A. El problema de extender un mapa suavemente desde un subespacio de un Frölicher el espacio a todo el espacio es un problema más difícil que simplemente ampliar Tinuosamente. Es principalmente por esta razón que la definición de cofibración suave difiere un poco de la definición correspondiente de una cofibración topológica. Lemma 2.3 Let i : A → X ser una cofibración suave, entonces i es un mor- phism en FRL. Además, si A es Hausdorff, entonces yo es inyector. Así que en esto El caso A puede considerarse como un subespacio de X. Prueba. Vamos a mostrar que cada mapa suave f : A→ R factores a través de i, que es para cada f â € ¢ FA, existe fñ â € TM FX de tal manera que f = f. â € i. Con este fin, considerar el mapa liso G : I × A → R, dado por H(t, a) = tf(a). Claramente, 0A = G(0,−), donde 0 : X → R es el mapa constante 0. De ello se deduce que hay mapa F : I ×X → R tal que F • (1× i) = G′. Entonces, claramente fœ := F (1,−) ha la propiedad deseada. La parte restante de la prueba de la Proposición 3.3, en [1], contiene literalmente Aquí también. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En este artículo, sólo nos interesan las cofibraciones que son inyectables. Por lo tanto... todas las cofibraciones se supone que son inyectables. Todas las cofibraciones topológicas son inclusiones, y este resultado es cierto para suave Las cofibraciones también. La prueba del siguiente lema es esencialmente la misma que la prueba dada por Santiago [9] para el resultado topológico, aunque la prueba de Santiago es en cierto sentido dual a la nuestra, utilizando caminos-espacios en lugar de productos cartesianos y las versiones contiguas de nuestros homotopies. Lemma 2.4 Una cofibración i // X es una inclusión sin problemas. Prueba. Dejar Ii ser un cilindro de asignación de i, y dejar j : X → Ii ser el estándar mapa de inclusión. Considerar el mapa suave γ : I → I, γ(t) = 1 − t, para todos t I, y el mapa de cociente q : (I ×A) X → Ii; tenemos el siguiente conmutativo diagrama (0,1A) j // II 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde G(t, a) = [(1 − t, a)]. Note que el mapa G es suave. Ya que yo soy un cofibración, tenemos el diagrama conmutativo (0,1X ) ::uuuuuuuuuuuuu donde G′(t, a) = G((t), a) para unos 0 < < . Definir U : X → Ii por U(x) = F (1, x). Tenemos U â € i = G′(1,−), donde G′(1, a) = [(0, a)], para cada a A. Así la asignación a 7→ G′(1, a) define la inclusión habitual de A en el cilindro de mapeo. A partir de esto deducimos que U â € i es una inclusión, y por lo tanto I es una inclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Existe una formulación equivalente de la definición 2.6, dada en la siguiente: Lemma. Lemma 2.5 Un mapa suave i // X es una cofibración si y sólo si, por cada mapa liso h : (0×X) (Ii(A)) → Z, el siguiente diagrama (0×X) • (I− × i(A)) h // I− ×X 77oooooooooooooo donde j es la inclusión evidente, existe en FRL. Prueba. Supongamos que la inclusión A // i // X es una cofibración suave, y Supongamos que h : (0 × X) • (I− × i(A)) → Z es un mapa suave. Tenemos el diagrama (0×B) • (I− × i(A)) h // I− ×X Tenemos que rellenar un mapa suave G : I− × X → Z que hace que el resultado diagrama de desplazamiento. Para hacer esto, note que hIi(A) es suave, y por lo tanto el el mapa correspondiente hI × i(A), utilizando el intervalo de unidad habitual, también es suave. Nosotros tener el siguiente diagrama (0,1A) h0×X // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde h0×X(0,−): X → Z se denota como h0×X. El hecho de que yo sea un suave la cofibración produce el siguiente diagrama commutativo de FRL: h0×X // (0,1A) ::tttttttttttt donde (hIA)′(t, a) = hIA((t), a), para unos 0 < < 12. Ahora, elegir un función de frenado suave β : R → R con las siguientes propiedades. • α(t) = 0 para t < • • α(t) = t para • < t. F puede no ser suave en I− × A debido a los requisitos de aplanamiento de la izquierda Intervalo unitario aplanado. Para corregir esto, establezca G(t, a) = F (β(t), a). Nótese que el la inserción de esta función de frenado no afecta a las condiciones de computatividad; de G, ya que los únicos ajustes a F se producen en la primera coordenada donde el mapa (hIX)′ es constante. Ahora, asuma lo contrario, es decir. a cada mapa suave h : (0 × X) • (I− × i(A)) → Z, corresponde a un diagrama conmutativo (0×X) • (I− × i(A)) h // I− ×X 77oooooooooooooo Queremos mostrar que la inclusión i : A → X es una cofibración; así que asumir que tener el siguiente diagrama (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm Existe el diagrama (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde G′(t, a) = G((t), a). Nuestra hipótesis nos permite construir el diagrama (0×X) • (I− × i(A)) f°G′ // I− ×X 77oooooooooooooo Tenga en cuenta que f G′ es suave ya que (t) es constante cerca de 0. Ya que H es suave en I− ×X define un mapa suave en I ×X. Uno puede verificar que el diagrama (0,1X) ::tttttttttttt se desplaza según sea necesario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3 Retractos suaves de la deformación del vecindario Esta sección se refiere a la formulación de una noción adecuada de Retirada de la deformación del barrio. Para los espacios topológicos, la afirmación de que un subespacio cerrado A de X es un retráctil de deformación de barrio de X es equivalente a la declaración de que la inclusión i : A X es una cofibración cerrada. Mostramos que en la categoría de los espacios Frölicher hay una noción de barrio tranquilo deformación retraer que da lugar a un resultado análogo que un Frölicher cerrado subespacio A del espacio Frölicher X es una deformación del barrio suave retractarse de X si y sólo si la inclusión i : A X viene de una cierta subclase de las cofibraciones. Como aplicación, construimos la secuencia Puppe correcta. 3.1 Pares SNDR y SDR La definición de ‘retraer la deformación suave del barrio’ que adoptamos en Este artículo es similar a la definición de «pare R-SNDRsugerido en [6], pero nosotros han modificado la definición con el fin de mantener únicamente los aspectos esenciales de «primer coordinar la independencia», definida en [6]. Comenzamos por definir la ‘primera propiedad de independencia de coordinación’ de un func- en un producto de un espacio Frölicher con I (o I−, I+). Definición 3.1 Let i : A → X ser un mapa suave, y c : R → X una estructura curva en X. Definir * (c, i) = {t* * c−1(i(A)) existe una secuencia {tn} de números reales con limnÃ3 tn = t* y cada tn â c−1(X − i(A))}. Los puntos de la letra c), i) son los valores de R, donde la curva «entra» i(A) de X − i(A), o «toca» un punto en i(A) mientras permanece en X − i(A) cerca. Ahora, estamos listos para definir la ‘primera propiedad de independencia coordinada’ para un función de estructura en un producto. Definición 3.2 Let i : A→ X ser un mapa suave y suponer f : I×X → R es una función de estructura en I × X. Let c : R → I × X, dado por c(s) = (t(s), x(s) tienen las siguientes propiedades: • El mapa x(s) es una curva de estructura en X. • Para todos los • > 0, t(s) es una función de valor real suave en Rs(x,i)[s* − *, s* + ]. Si, para cada mapa c, el compuesto f â € c es una función de valor real suave, entonces decimos que f : I×X → R tiene la primera propiedad de independencia (FCIP) con respeto a i. Extendiendo la definición, decimos que un mapa g : I × X → Y tiene el FCIP con respecto a i si el compuesto h+g : I ×X → R tiene el FCIP con respecto a a i por cada h. Tenga en cuenta que podemos formular una definición similar de la FCIP si reemplazamos I a lo largo de I - o I +, dejando el resto de la definición sin cambios. Lo haremos. tener ocasión de utilizar este tipo de primera propiedad de independencia de coordinación en el más tarde parte de este trabajo. Nota. Let i : A→ X, y supongamos que se nos da un mapa g : I×X → Y. Vamos. f : Y → R ser una función de estructura en Y, y supongamos que f g : I × X → R tiene el FCIP con respecto a i para cualquier f. Entonces, dado un mapa suave h : Y → Z, el compuesto f ′ â € h â € g : I×X → R tiene el FCIP con respecto a i para cualquier función de estructura f ′ en Z. La nota anterior se aplica igualmente bien si g : I− ×X → Y o g : I+ ×X → Y tiene el FCIP con respecto a i cuando se compone con una función suave h en Y. Ejemplo 3.1 1. Para cualquier i : A→ X, la proyección sobre la segunda coordenada ηX : I×X → X tiene el FCIP. 2. Let α : R → R ser una función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = 0 si t < 1 • 0 < α(t) < 1 si 1 ≤ t ≤ 3 • α(t) = 1 si 3 Considerar 0 I−. Let H : I× I− → I− ser dado por H(t, s) = (1(t))s. Entonces, f H : I× I− → R tiene el FCIP con respecto a la inclusión 0 I−, para cualquier f • FI−. Definición 3.3 Considerar una inclusión suave i : A X. Supongamos que allí existe un mapa liso u : X → I, con u−1(0) = i(A). Si existe un suave mapa H : I×X → X que satisface las siguientes propiedades: • H tiene el FCIP con respecto a i. • H(0, x) = x para todas las x • X. • H(t, x) = x para todos (t, x) • I× i(A). • H(1, x) • i(A) para todas las x • X con u(x) < 1, entonces el par (X,A) se llama un par de retráctil de deformación del vecindario suave, o par SNDR para abreviar. Si, además, H es tal que H(1 × X) i(A), entonces el par (X,A) es llamada par retráctil de deformación lisa, o par SDR para abreviar. El subespacio A se llama retráctil o liso de deformación del vecindario Retirada de deformación de X si (X,A) es un par SNDR o par SDR, respectivamente. El par (u, H) se llama una representación para el par SNDR (o SDR). Ejemplo 3.2 1. El par (X, Ł) es un par SNDR. Una representación es u(x) = 1, H(t, x) = x, para cada t de I y x de X. 2. El par (X,X) es un par SNDR. Una representación es u(X) = 0, H(t, x) = x, para cada t de I y x de X. Lemma 3.1 El par (I−, 0) es un par SDR. Prueba. Let α : R → R ser la función de frenado suave de Ejemplos 3.1. A representación para (I−, 0) como un par SDR es (u,H), donde u : I− → I y H : I× I− → I− son dadas por u(s) = s, y H(t, s) = (1 − α(t))s. Claramente, la identidad u : I− → Soy suave. Y el mapa H, como se muestra en el ejemplo 2.4, es sin problemas y claramente tiene el FCIP con respecto a la inclusión, ya que cada vez que v se aproxima a un valor para el cual s(v) = 0, uno tiene g(1− α(t(v)))s(v)) = g(0) para v en un barrio de este valor y g • FI−. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3.2 El par (I, {0, 1}) es un par SNDR. Prueba. Una representación (u,H) para el par SNDR puede ser dada de la siguiente manera. Definir u : I → Yo para ser una función de golpe tal que • u(t) = 0 para t = 0 o t = 1, • u(t) = 1 para t • [ 1 • 0 < u(t) < 1 en caso contrario, y dejar β : I → Soy una función de frenado con las propiedades que β(s) = 0 para 0 ≤ s ≤ 1 , y β(s) = 1 para 3 ≤ s ≤ 1. Let 0 < â € 1 , y definir H : I× I → I por H(t, s) = (1− (t))s+ (t)β(s). Está claro que H(0, s) = s, H(t, 0) = 0, y H(t, 1) = 1. Supongamos que u(s) < 1. Entonces, s [0, 1 ) • (3 , 1]. Esto implica que β(s) = 0 o β(s) = 1. Entonces tenemos H(1, s) = 0 o H(1, s) = 1, lo que significa que H(1, s) {0, 1} si u(s) < 1. Para ver que H es suave, let f : I → R ser una función generadora para el Intervalo unitario aplanado. Los únicos puntos posibles de la no suavidad son los puntos donde t = 0, 1 y s = 0, 1. La función de frenado asegura que H es local constante en la variable tb cuando t está cerca de 0 o 1, por lo que no surge ningún problema de el componente t. Cuando s está cerca de s = 0, tenemos H(t, s) cerca de 0, y por lo tanto la generar la función f es localmente constante. Similarmente, cuando s está cerca de s = 1, nosotros tiene H(t, s) cerca de 1, y la función generadora f es localmente constante de nuevo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora mostramos que el producto de los pares SNDR es de nuevo un par SNDR. Teorema 3.1 Let i : A X y j : B Y ser asignaciones de inclusión. Si (X,A) y (Y,B) son pares SNDR, entonces también lo es (X × Y, (X × B) • (A× Y )). Si uno de (X,A) o (Y,B) es un par SDR, entonces también lo es el par (X × Y, (X × B) • (A× Y )). Prueba. Let α : R → Soy una función de frenado suave con las propiedades que α(t) = 0 para t ≤ 1 , y α(t) = 1 para t ≥ 3 , y dejar β : R → R ser un suave aumento de la función de frenado con las propiedades β(t) = t para t ≤ 1 , y β(t) = 1 para t ≥ 3 . Supongamos que (u,H) y (v, J) son representaciones para el Pares SNDR (X,A) y (Y,B), respectivamente. Let u : X → I, y v : Y → I be dado por u(x) = β(u(x)) y v(y) = β(v(y)), respectivamente. Definir w : X×Y → I por w(x, y) = u(x)v(y). La función de frenado β garantiza la suavidad de u y v, y consecuentemente de w. Tenemos w−1(0) = (X × B) • (A × Y), según sea necesario. Definir Q : I×X × Y → X × Y de la manera siguiente. Q(t, x, y) = (H(α(t), x), J(α(t), y) si u(x) = v(y) = 0 (H(α(t), x), J(α() )α(t), y) si v(y) ≥ u(x), v(y) > 0, (H(α( )α(t), x), J(α(t), y) si u(x) ≥ v(y), u(x) > 0. Debemos demostrar que Q es un mapa sin problemas, con la primera independencia de coordinación propiedad con respecto a la inclusión (X × B) • (A × Y ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nosotros primero. considerar cada parte de la definición de Q por separado. La primera parte es claramente Suave. Verifiquemos que Q es suave en la segunda parte de su definición; el La tercera parte es similar. Sólo necesitamos centrarnos en el componente J(α( )α(t), y). Cada función composición J(α( )α(t), y) es suave individualmente, por lo que sólo necesitamos pagar extra atención a aquellas partes que implican intervalos unitarios aplanados, recordando que no es necesario conservar la adición y multiplicación en el intervalo unitario aplanado suavidad, como es el caso del intervalo unitario habitual. Así que vamos a considerar α( ); es suave excepto posiblemente cuando enfoques 0 o 1, ya que es aquí que las curvas de estructura en el intervalo de unidad aplanada necesitan no ser suave en el sentido habitual. Claramente, si u(x) se acerca a 0 y v(y) lo hace no se aproxima a 0, entonces la función de frenado α asegura que = 0 cerca de tales puntos. Si v(y) se aproxima a 0, entonces u(x) también debe acercarse a 0. Esta situación es la siguiente: más tarde. Así, Q, en la segunda parte de la definición, es suave, y uno puede mostrar de manera similar que Q en la tercera parte de la definición también es suave. Consideremos ahora las superposiciones de las tres partes de la definición de Q. Observe que si u(x) está en un vecindario suficientemente pequeño de v(y), con u(x) 6= 0 y v(y) 6= 0, entonces tenemos α(u(x) ) = 1, y así el segundo y el tercero partes de la definición de Q coinciden aquí. Por lo tanto, sólo queda demostrar que Q es suave como u(x) y v(y) ambos enfoque 0. Si Q es suave en cada una de sus coordenadas entonces es suave, así que considere la coordinar la participación del mapa J. Let c : R → I×X × Y ser una estructura que es dado por c(s) = (t(s), x(s), y(s)). Entonces, el mapa c1 : R → I× Y, dado por c1(s) = (α(t(s)), y(s) si u(x(s)) = v(y(s)) = 0 u(x(s)) v(s) )α(t(s)), y(s) si v(s)) ≥ u(x(s)), v(s) > 0 (α(t(s)), y(s) si u(x(s)) ≥ v(s)), u(x(s)) > 0 es un mapa que cumple las condiciones de la definición 3.2, ya que su segunda coordenada es suave, pero su primera coordenada puede ser singular como v(y(s)) (y por lo tanto u(x(s))) Se acerca a 0. Dado que J tiene la primera propiedad de independencia de coordinación, el mapa (Joc1)(s) = J(α(t(s)), y(s) si u(x(s)) = v(y(s)) = 0 u(x(s)) v(s) )α(t(s)), y(s) si v(s)) ≥ u(x(s)), v(s) > 0 J(α(t(s)), y(s) si u(x(s)) ≥ v(s)), u(x(s)) > 0 es suave. Por lo tanto, Q C es suave, y puesto que c es arbitrario, Q es suave. En una de manera similar, la coordinación de Q que implica H se puede demostrar que es suave. Ahora verificamos que Q satisface las condiciones de frontera requeridas. Cuando t = 0, las tres líneas que definen Q reducen a (H(0, x), J(0, y)) = (x, y). Dejar x â € A y y B; entonces u(x) = v(y) = 0. Por lo tanto, Q se reduce a (H(α(t), x), J(α(t), y) = (x, y). Si x A y y/o B, entonces Q es dada por la segunda parte de su definición, que se reduce a [H(α(t), x), J(0, y)]. El caso cuando x / A e y B es similar. Si t = 1 y 0 < w(x, y) < 1 entonces 0 < u(x) < 1 o 0 < v(y) < 1. Supongamos que 0 < u(x) < 1. Entonces u(x) ≤ v(y) o v(y) < u(x). Si u(x) ≤ v(y), entonces Q es dada por la segunda parte de su definición, que reduce a (H(1, x), J(α( , y) • i(A)× Y. Si v(y) < u(x), entonces la tercera parte de la definición de Q se aplica y Q se reduce a [H(α( ), x), J(1, y) • X × j(B). Por último, debemos demostrar que para cualquier f • FX×Y, f • Q tiene la primera coordenada propiedad de independencia con respecto a la inclusión (X×B)®(A×Y ) X×Y. Para ello, considere un mapa c : R → I×X×Y, dado por c(s) = (t(s), x(s), y(s)). Que {sn} sea una secuencia de números reales que converjan con s* con c(sn) {sn} (X×Y )− ((A× Y ) • (X × B)), y c(s)* • (A× Y ) • (X × B). Hay tres casos a Considerar. • Supongamos que c(s)* • A×B. Luego x(s)* â € A e y(s*) â € B. El hecho de que H y J tienen la primera propiedad de la independencia de coordinación con respecto a i y j respectivamente significa que cada coordenada de Q es suave, y así Q es suave. • Suponga que c*) A × Y, y que y(s*) /* B. Luego en cada uno de los la segunda parte de la definición de la letra c) del punto c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra d) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) Q, para n lo suficientemente grande. Desde x(s)* A, el componente de Q en el que participa H es suave, ya que H tiene la primera propiedad de independencia de coordenadas. Por cualquier s en un barrio de s*, α( u(x(s)) v(s) ) = 0. Por lo tanto, el componente de Q involucrando a J es constante para s en un barrio de s*, y así es suave Ahí. • El caso con c*, X × B, y x*, A es similar al segundo caso arriba. Para la última parte del teorema, supongamos que (u,H) representa (X,A) como un Par SDR. Si reemplazamos u por u′ = 1 u, entonces (u′, H) también representan (X,A) como un Par SDR. Haciendo las construcciones anteriores ahora con u′ en lugar de u, sigue que w(x, y) < 1 para todos (x, y) y así Q(1, x, y) • (X × B) • (A × Y ). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 Cofibraciones En esta sección, mostramos que para un subespacio A X que se cierra en el sub- topología mentirosa, la inclusión i : A → X es una cofibración si y sólo si (X,A) es un par SNDR. Definición 4.1 Let i : A→ X ser una cofibración. Lo llamamos una cofibración con FCIP si se puede elegir cualquier extensión homotópica para tener el FCIP con respeto a i. Utilizando la formulación equivalente de la noción de cofibración, dada por Lemma 2.5, podemos reafirmar la definición 4.1 como sigue: Una cofibración i : A → X es un cofibración con el FCIP si y sólo si el mapa G que podemos rellenar a completar el diagrama conmutativo (0×X) â € (I− ×A) h // I− ×X puede ser elegido para tener el FCIP con respecto a la inclusión i. Tenemos el siguiente resultado, que corresponde a un topológico similar resultado. Lemma 4.1 Un mapa suave i : A → X es una cofibración (con el FCIP) si y sólo si (0 × X) • (I− × A) es un retracto de I− × X, (donde la retracción r : I− ×X → (0×X) • (I− ×A) tiene el FCIP ). Prueba. En la única dirección, supongamos que (0 × X) (I− × A) es un retracto de I− ×X. Deseamos completar el siguiente diagrama: (0×X) â € (I− ×A) h // I− ×X Por hipótesis, existe r : IX → (0×X)® (I− ×A) de tal manera que r j = 1. Definir G = h r. Si r tiene el FCIP, entonces también lo hace h r. Por el contrario, supongamos que i : A → X es una cofibración (con el FCIP). Nosotros puede encontrar un mapa r tal que el diagrama (0×X) • (I− ×A) 1/ (0 ×X) • (I− ×A) I− ×X Los viajes. Por lo tanto, r â € j = 1. Si soy cofibración con el FCIP con respecto a i, entonces r puede ser elegido para tener el FCIP. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El siguiente teorema muestra la relación entre las cofibraciones, retracta y Pares SNDR. Teorema 4.1 Let i : A → X ser una inclusión, con A cerrado en el subyacente topología de X. Entonces los siguientes son equivalentes. (1) El par (X,A) es un par SNDR. (2) Hay una retracción suave r : I− × X → (0 × X) • (I− × A) con el FCIP. (3) El mapa i : A→ X es una cofibración con el FCIP. Prueba. Para mostrar que (1) y (2) son equivalentes, tenga en cuenta que el par (IX, (0× X) (I− × A)) es un par SDR, como consecuencia de Lemma 3.1 y Teorema 3.1. Dejar (w,Q) ser una representación para el par (I− × X, (0×X) • (I− × A)) como un par SDR, y dejar que Q se construya como en el Teorema 3.1. Definir r : I− ×X → (0×X) • (I− ×A) por r(t, x) = Q(1, t, x), donde (t, x) I− ×X. Observamos que r tiene el FCIP, ya que Q tiene esta propiedad, y Q tiene esta propiedad ya que cada uno de sus componentes tiene esta propiedad. La equivalencia de (2) y (3) es Lemma 4.1. Sólo necesitamos demostrar que (2) implica (1). Let r : IX → (0×X)® (IA) ser una retracción con el FCIP con respecto a i. Definir H : I × X → X por H(t, x) = ( coord, y α : R → R es una función de frenado con las siguientes propiedades: α(t) = 0 para t ≤ 0, α(t) = 1 para t ≥ 3 , y 0 < α(t) < 1 para 0 < t < 3 . Esto la función de frenado es necesaria para garantizar la suavidad en el punto final derecho de la Intervalo unitario aplanado I. La suavidad en el punto final izquierdo ya se ha cuidado de por el hecho de que r se define en términos del intervalo de unidad aplanada izquierda. Los mapa H satisface las siguientes propiedades: • H tiene el FCIP ya que r tiene esta propiedad. • H(0, x) = ( • H(t, x) = (lX â r)(α(t), x) = x, para x â € A. Ahora construimos u : X → I. Let πI : I×X → Denomino la proyección en I. Definir una función suave β : R → R por β(t) = 0 si t ≤ 0 t2 si t > 0. Ahora, definir u : X → I por u(x) = β(α(t) − ( β(α(t))dt Está claro que u es un mapeo suave. Ahora verificamos que (u,H) representa (X,A) como un par SNDR. (1) Let x â € A. Claramente, (por ejemplo, (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental). β(α(t)− ( Por lo tanto, u(x) = 0, para todos x â € A. (2) Supongamos que x • X−A. Puesto que 0×(X−A) está abierto en la topología subyacente en (0×X)® (I− ×A), podemos elegir un barrio abierto W 0× (X −A) de (0, x). Puesto que r es continuo, hay un barrio V I− ×X tal que r(V) W 0× (X −A). Ahora, considere el mapeo qx : I → I×X, dado por qx(t) = (α(t), x), para cada x • X. Esto es claramente suave. Por lo tanto, existe un barrio U I - tal que qx(U) V. En otras palabras, U × {x} V. Así, tenemos (ln) (α(t), x) = 0, para todos los t U. Por lo tanto, tenemos u(x) = β(α(t) − ( β(α(t))dt β(α(t))dt Combinando esto con la parte (1), deducimos que u−1(0) = A. (3) Supongamos que x es tal que u(x) < 1. Debe haber un barrio U de I De este modo, [lnr](1, x(l)(l)(r)(α(t), x) > 0, para t(l) U. Por lo tanto (ln)(1, x) > 0, pero esto implica que r(1, x) • I×A, y por lo tanto H(1, x) • A. La prueba está completa. 5 El Cilindro de Cartografía En esta sección mostramos que la inclusión de X en la asignación aplanada cilindro Si de un mapa f : X → Y es una cofibración con el FCIP. Teorema 5.1 Let f : X → Y ser un mapa suave. Entonces, el par (Si, X) es un Par SNDR. Prueba. Let α : I → R ser una función de frenado suave con la siguiente adecuada- α(t) = 0 si 0 ≤ t ≤ 1 , α(t) = 1 si 3 ≤ t ≤ 1, 0 < α(t) < 1, de lo contrario. Definir dos funciones de frenado más α1, α2 : I → R como sigue: α1(0) = 0, 0 < α1(t) < 1 si 0 < t < 3 , α1(t) = 1 si ≤ t ≤ 1, y α2(t) = 0 si 0 ≤ t ≤ 34, α2(t) = 1 ≤ t ≤ 1. Ahora, definir u : Si → I por u([t, x]) = α1(t) y u([y]) = 1, para (t, x) • I×X e y • Y. Definir H : I× Si → Si por H(s), [t, x] = [(1 − α(s))t+ α(s)α2(t), x] si (t, x) I×X H(s), [y] = [y] si y â € Y. Que u es suave viene del hecho de que es suave cuando se limita a cada componente del coproducto (I×X)Y; por lo tanto, es suave en el cociente Para ver que el mapa H : I × Si → Si es suave, tenga en cuenta que desde que somos trabajando en una categoría cerrada cartesiana, los productos viajan con cocientes, es decir. si q es cociente, entonces también es 1× q, donde 1 es un mapa de identidad. Por lo tanto, podemos pensar de H como se define en el espacio (I×I×X) (I×Y) en la que • es la identificación (t, 1, x) = (t, f(x)) para t • I, y x • X. Ya que H es suave cuando se limita a cada componente del coproducto (I×I×X)(I×Y), H es suave en el cociente I× Si. Ahora verificamos que (u,H) es una representación para (Si, X) como un par SNDR. • u−1(0) = [0, x] = i0(X). • H(0, [t, x]) = [t, x] y H(0, [y]) = [y]. • H(s), [0, x] = [0, x]. • Si u[t, x] < 1, entonces t < 3 y así α2(t) = 0. Así, H(1, [t, x]) = [0, x]. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, tenemos el siguiente corolario importante. Corollary 5.1 Dado cualquier mapa suave f : X → Y, la inclusión X Si es un cofibración con el FCIP. 6 La secuencia exacta de una cofibración Nuestro objetivo en esta sección es mostrar cómo se pueden utilizar pares SNDR para probar la existencia de la secuencia Puppe exacta. Declaramos el resultado en Teorema 6.1 y romper la prueba del resultado en una serie de lemas. Nosotros seguimos. el método utilizado por Whitehead [12] para el caso topológico. A lo largo de esta sección trabajamos en la categoría FRL* de Fr’olicher espacios, y punto de base preservando mapas suaves. Teorema 6.1 Dejar W ser un objeto en FRL*, y suponer que i : A X es un cofibración en FRL*. Para cualquier punto de base x0 A X hay una secuencia . // [ A,W] Ti, W] X,W] A,W ] //... . // [ A,W] // [Ti,W] // [X,W] // [A,W] que es una secuencia exacta en SETS*, donde j : X → Ti es la inclusión dis- tachado en el párrafo 2.4 y k : Ti → A es el mapa de cociente definido a continuación. De hecho, es posible probar que la secuencia anterior es una secuencia exacta. de grupos en la medida en que A, W ] y que los morfismos a este punto son grupo homomorfismos, pero no lo haremos aquí. La suspensión reducida (aplanada) de un espacio Frölicher X apuntado es de- multada como X = (I/{0, 1}) donde la unión reducida se define como para los espacios topológicos con la identificación conjunto tomado como punto de base, y con 0 el punto de base de I. En esta sección, cada vez que nos referimos a la suspensión de un espacio, nos referimos a la suspensión reducida aplanada definida anteriormente. Lemma 6.1 Si (x,A) es un par SNDR y p : X → X/A el mapa cociente, entonces la secuencia i // X p // X/A es exacto. Prueba. Para mostrar que la secuencia dada es exacta debemos mostrar que para cualquier espacio Frölicher W la siguiente secuencia es exacta en SETS: [X/A,W] // [X,W] // [A,W]. Es fácil ver que im p* ker i*. Para ver la inclusión inversa, let g : X → W ser un elemento de [X,W ], con gA w0 (rel w0), donde w0 W. Desde i // X es un par SNDR, el mapa i es una cofibración, por lo que podemos extender w0 a un mapa suave g ′ : X → W tal que g′ g. Pero g′ es constante en A, y así existe un mapa suave g1 : X/A → W tal que p*(g1) = g′. Esto muestra que ker i* im p*. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.2 Para cualquier mapa suave f : X → Y, la secuencia f // Y l // Tf es exacto, donde l es la inclusión habitual de Y en el cono de asignación; es decir. y 7→ [y] Tf. Prueba. Uno puede mostrar que hay un diagrama conmutativo de homotopía i @ // Tf donde i, j, y l son las inclusiones habituales, y p es el mapa cociente que colapsa {0} ×X a un punto. Puesto que, por Teorema 5.1, (Si, X) es un par SNDR, sigue de Lemma 6.1 que la secuencia i // Si p // Tf es exacto. Es bastante fácil demostrar que j : Y → Si es una equivalencia homotópica. Por lo tanto, la secuencia f // Y l // Tf es exacto. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.3 Para cualquier mapa suave i : A → X, hay un derecho exacto infinito secuencia i // X // Ti //. .................................................................................... // Estaño−2 // Estaño−1 //.............................................................................. donde, n ≥ 1, son mapas de inclusión. Prueba. El par (Ti, X) es un par SNDR. La representación para el par (Si, X) en Teorema 5.1 se puede adaptar para mostrar esto. Una iteración del procedimiento de Lemmas 6.1 y 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Uno puede ver fácilmente que hay un isomorfismo entre Ti/X y Definir q : Ti → A ser el mapa que identifica X Ti a un punto, seguido por el isomorfismo Ti/X → Lemma 6.4 La secuencia // Ti es exacto. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, el par (Ti, X) es un par SNDR. Tenemos la com- diagrama mutatis mutandis // Ti donde p : Ti → Ti/X es el mapa de identificación, y q0 : Ti/X → A es un isomorfismo. La línea superior del diagrama es exacta, por Lemma 6.1, y así la secuencia // Ti es exacto. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Hay un diagrama conmutativo // Ti donde q1 es una equivalencia homotópica. ( Para más detalles, véase Whitehead [12]. este mapa. ) Usando diagramas conmutativos de esta forma, ahora se puede proceder casi exactamente como se hace en la situación topológica, como en Whitehead [12] para ejemplo, para obtener la secuencia exacta infinita derecha siguiente: i // X // Ti //.............................................................................. . .. // //.............................................................................. La definición de exactitud correcta ahora nos da la secuencia exacta de Teorema Bibliografía [1] A. Cap, K-Teoría para álgebra conveniente, Disertationen, Facultad de Matemáticas, Universidad de Viena, 1993. [2] Cherenack P., Aplicaciones de Frölicher Spaces a la Cosmología, Ann. Univ. Sci. Budapest 41(1998), 63-91. [3] P. Cherenack, Frölicher versus Espacios Diferenciales: Un preludio al Cosmol- ogy, Kluwer Academic Publishers 2000, 391-413. [4] P. Cherenack, La Exactitud Izquierda de la Secuencia de Puppe Izquierda Suave. En L. Tamassy y J. Szenthe, editores, Nuevos avances en la diferenciación Geometría, (Procedimientos del Coloquio sobre Geometría Diferencial, De- Brecen, Hungría, 26-30 de julio de 1994), Matemáticas y sus aplicaciones. Kluwer Academic Publishers, 1996. [5] P. Cherenack, Homotopía suave, topología con aplicaciones, (18):27-41, 1984. [6] B. Dugmore, La exactitud correcta de la secuencia de cachorros de derecha suave. Tesis de maestría, Universidad de Ciudad del Cabo, 1996. [7] A. Frölicher, A. Kriegl, Lineal Spaces and Differentiation Theory, J. Wiley e Hijos, Nueva York, 1988. [8] M.W. Hirsch, topología diferencial, GTM 33, Springer-Verlag, Nueva York, 1976. [9] I.M. James, Topología General y Teoría de la Homotopía, Springer-Verlag, Berlín, 1984. [10] A. Kriegl, P. Michor, Conveniente Configuración del Análisis Global, Am. Matemáticas. Soc., 1997. [11] Jet Nestruev, Manifolds lisos y observables, Springer-Verlag Nuevo York, Inc., 2003 [12] G.W. Whitehead, Elementos de la Teoría de la Homotopía, Springer-Verlag, Nuevo York, 1978. Preliminares Construcciones básicas de la teoría de la homotopía en FRL Nuestro enfoque a la teoría de la homotopía en FRL Estructuras aplanadas en el intervalo de unidad Algunas propiedades de las funciones lisas entre los intervalos de unidad aplanada Homotopía en FRL y objetos relacionados Cofibraciones en FRL Retractos suaves de la deformación del vecindario Pares SNDR y SDR Cofibraciones El Cilindro de Cartografía La secuencia exacta de una cofibración

Las cofibraciones se definen en la categoría de espacios de Fr\"olicher por debilitamiento el análogo de la definición clásica para permitir extensiones lisas de homotopía a ser más fácil de construir, utilizando intervalos de unidades aplanadas. Nos relacionamos más tarde cofibraciones suaves para suavizar la deformación del vecindario retrae. La noción de deformación del barrio suave retraer da lugar a un resultado análogo que Un subespacio cerrado de Fr\"olicher $A$ del espacio de Fr\"olicher $X$ es un suave deformación del barrio retraer de $X$ si y sólo si la inclusión $i: A\hookrightarrow X$ proviene de una cierta subclase de cofibraciones. Como un aplicación construimos la secuencia Puppe derecha.

Cofibraciones en la Categoría de Espacios Frölicher: Parte I Brett Dugmore Cadiz Financial Strategists (Pty) Ltd, Ciudad del Cabo, Sudáfrica Correo electrónico: Brett.Dugmore@cadiz.co.za Patrice Pungu Ntumba Departamento de Matemáticas y Matemáticas Aplicadas Universidad de Pretoria Hatfield 0002, República de Sudáfrica Correo electrónico: patrice.ntumba@up.ac.za Resumen Las cofibraciones se definen en la categoría de espacios Frölicher por débil- ening el análogo de la definición clásica para permitir la homotopía suave extensiones para ser más fáciles de construir, utilizando intervalos de unidades aplanadas. Más tarde relacionamos las cofibraciones suaves con la deformación del barrio suave- ión se retrae. La noción de deformación del barrio suave retraer da lugar a un resultado análogo que un Frölicher cerrado subespacio A de la Frölicher espacio X es una deformación del barrio suave retraer de X si y sólo si la inclusión i : A X viene de una cierta subclase de cofibraciones. Como aplicación construimos la secuencia Puppe correcta. Clasificación por materias (2000): 55P05. Palabras clave: Espacios Frölicher, Intervalos de unidades aplanadas, Barrio suave de- formación retrae, Cofibraciones suaves, Cofibraciones con FCIP, Puppe se- Quence. 1 Preliminares El propósito de esta sección es estudiar la noción de espacios Frölicher. Frölicher espacios surgen naturalmente en la física, y generalizar el concepto de colectores lisos. Un espacio Frölicher, o espacio suave como inicialmente llamado por Frölicher y Kriegl [7], es un triple (X, CX,FX) que consiste en un setX, y subconjuntos CX XR, FX RX tales que • FX • CX = {f • c f • FX, c • CX} • C­(R) • ΦCX := {f : X → R f â € c â € Câ € R (R) para todos los c â € CX} = FX http://arxiv.org/abs/0704.0342v1 • FX := {c : R → X Frölicher y Kriegl [7], y Kriegl y Michor [10] son nuestra principal referencia para Espacios Frölicher. En el documento se utilizará la siguiente terminología: Frölicher espacio (X, CX,FX), el par (CX,FX) se llama una estructura lisa; el elementos de CX y FX se llaman curvas suaves y funciones suaves respec- Tily. La topología asumida para un espacio Frölicher (X, CX, FX) a lo largo de la papel es la topología inicial TF inducida por el conjunto FX de funciones. Cuando hay no es miedo a la confusión, un espacio Frölicher (X, CX, FX) simplemente se denota X. Los espacios más naturales de Frölicher son los colectores finitos dimensionales lisos, donde si X es un colector tan suave, entonces CX y FX consisten en todo suave curvas R → X y funciones lisas X → R. Dimensión finita euclidiana Los colectores lisos Rn, cuando son vistos como espacios Frölicher, se llaman Euclidianos Espacios Frölicher. En la secuela, de Rn, nó N, nos referimos al espacio Frölicher Rn, equipado con su estructura de colector liso habitual. Un Frölicher espacio X se llama Hausdorff si y sólo si el suave valor real funciones en X son separadores de puntos, es decir, si y sólo si TF es Hausdorff. Se dice que una estructura de Frölicher (CX,FX) en un conjunto X es generada por un conjunto F0 RX (resp. C0 XR) si CX = F0 y FX = F0 (resp. FX = ΦC0 y CX = C0 ). Tenga en cuenta que diferentes conjuntos F0 RX en el mismo conjunto X puede dan lugar a una misma estructura lisa en X. Un set de mapeo : X → Y entre Frölicher espacios se llama un mapa de los espacios Frölicher o simplemente un mapa suave si para cada f FY, el tirón hacia atrás f FX. Esto es equivalente a decir que para cada uno c CX, c CY. Para Frölicher espacios X e Y, C. (X,Y ) denotará el colección de todos los mapas lisos X → Y. La categoría resultante de Frölicher espacios y mapas lisos se denotan por FRL. Algunos datos útiles sobre los espacios de Frölicher se pueden reunir en la siguiente Teorema 1.1 La categoría FRL está completa (es decir. existen límites arbitrarios ), co- completa (es decir, completa) colímites arbitrarios existen), y cartesiano cerrado. Dada una colección de espacios de Frölicher {Xi}iÍ, vamos X = ¡I'I Xi sea el set! producto de los conjuntos {Xi}iI y πi : X → Xi, i I, denotar el mapa de proyección xi) i) 7→ xi. La estructura inicial en X es generada por el conjunto {f) : f) FXi}. El espacio resultante de Frölicher (X,F0, F0) se llama el espacio de producto de la familia {Xi}iI. Claramente, • F0 = {c : R → X si c(t) = (ci(t))i­I, a continuación, ci • CXi para cada i • I}. Ahora, vamos I Xi ser la unión disjunta de conjuntos {Xi}i'I, y {Xi : Xi → ¡I'I Xi! el mapa de inclusión. Colocar la estructura final lisa en correspondientes a los Estados miembros de la Unión Europea a la familia. El espacio resultante de Frölicher se llama el coproducto de {Xi}iI, y denotado Xi, y Xi = {f : Xi → R para cada i â € I, f Xi â € FXi} es la colección de funciones suaves para el coproducto. Corollary 1.1 Let X, Y, y Z ser Frölicher espacios. Entonces el siguiente canon... Los mapas icales son suaves. • ev: CŁ(X,Y)×X → Y, (f, x) 7→ f(x) • ins:X → C­(Y,X × Y), x 7→ (y 7→ ins(x)(y) = (x, y)) • comp:C.(Y, Z)× C.(X,Y) → C.(X,Z), (g, f) 7→ g • f • f* : C­(X,Y ) → C­(X,Z), f*(g) = f • g, donde f • C­(Y,Z) • g* : C­(Z, Y ) → C­(X, Y ), g*(f) = f • g, donde g­(X,Z). Dado Frölicher espacios X, Y, y Z; en vista de la clausura cartesiana de la categoría FRL, la ley exponencial (X × Y, Z) < C = C > (X, C > (Y, Z) Espera. Debido a que FX = CŁ(X,R), se sigue por la cerradura cartesiana de FRL que la colección FX se puede hacer en un espacio Frölicher por derecho propio. Por último, nos gustaría mostrar cómo construir funciones de frenado suave, siguiendo a Hirsch [8]. Las funciones de frenado suave son herramientas que están detrás de la mayoría resultados en este documento. En [11], se muestra que la función : R → R dada por (u) = 0 si u ≤ 0 u si u > 0 es suave. Sustituyendo x2 por u en la función anterior, se ve que la función : R → R, dado por (x) = 0 si x ≤ 0 x2 si u > 0 es suave. Ahora, vamos a construir una función suave α : R → R con la siguiente propiedades. Dejar que 0 ≤ a < b. α(t) satisfaga: • α(t) = 0 para t ≤ a, • 0 < α(t) < 1 para a < t < b, • α aumenta estrictamente para a < t < b, • α(t) = 1 para t ≥ b. Definir α : R → [0, 1] por α(t) = γ(x)dx γ(x)dx donde γ(x) = •(x− a)•(b − x). En la secuela, la notación, 0 < < , se referirá a un frenado suave función con las siguientes propiedades • (t) = 0 para t ≤, • 0 < (t) < 1 < t < 1 < 1 < • α aumento estricto de la < t < 1 −, • (t) = 1 para 1− • ≤ t. 2 construcciones básicas de la teoría de la homotopía en En esta sección, definimos las nociones fundamentales de la teoría de la homotopía en el categoría FRL, como la relación homotópica y el cilindro de asignación. Nosotros comenzar con una visión general de nuestro enfoque de la homotopía en FRL, y luego discutir Alternar las estructuras de Frölicher en el intervalo de unidad que se utilizan en este y secciones siguientes. 2.1 Nuestro enfoque de la teoría de la homotopía en FRL Uno podría empezar a investigar la teoría de la homotopía en FRL simplemente siguiendo la teoría homotópica de los espacios topológicos, reemplazando las funciones continuas con los suaves. Uno ciertamente puede definir la noción de una homotopía H : I×X → Y entre mapas lisos H(0,−) y H(1,−) de esta manera (lo que hacemos). Uno puede incluso llegar hasta la secuencia de Puppe izquierda (véase [4]), pero finalmente dificultades comienzan a surgir. La extensión de las funciones definidas en un subespacio de un espacio Frölicher tiende a ser un poco difícil, y por lo tanto la definición de una cofibración en FRL es una que necesita consideración cuidadosa. Prevemos construir la secuencia correcta de Puppe en un el futuro periódico. Para hacer esto definimos una noción ligeramente más débil de cofibración que la noción obtenida de los espacios topológicos. Además, definimos el mapeo cilindro de un mapa suave f : X → Y utilizando no el intervalo de unidad, pero un modificado versión llamada el intervalo de unidad débilmente aplanado, denotado I, que, como uno puede mostrar, es topológicamente homeomórfico al intervalo de unidad. El presente Reglamento ha sido modificado por el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo en lo que respecta a la aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Consejo estructura en el intervalo de unidad nos permite mostrar que la inclusión de un espacio X en el cilindro de asignación de f : X → Y es una cofibración (en nuestro sentido más débil ). El intervalo de unidad débilmente aplanado es útil, pero también tiene sus inconvenientes. Sería ideal tener una estructura única en el intervalo de unidad que puede ser utilizado a lo largo de la teoría de la homotopía, pero el intervalo de unidad débilmente aplanado no es adecuado, porque tiene la propiedad más bien restrictiva que un suave mapa f : I → Yo en el intervalo de unidad habitual a menudo no define un mapa suave f : I → I a menos que los puntos finales del intervalo sean asignados a los puntos finales. Esto propiedad restrictiva significa que sólo utilizamos los intervalos de unidades aplanadas donde son absolutamente necesarios. En nuestro trabajo futuro, investigaremos si con nuestras nociones modificadas de los cilindros de cofibración y mapeo, los axiomas de cofibración de Baues están satisfechos. 2.2 Estructuras aplanadas en el intervalo de unidad Definimos dos estructuras principales de Frölicher que llamamos la unidad aplanada en- terval y el intervalo de unidad débilmente aplanado. Dejar (CI,FI) ser el subespacio estructura inducida en I por la inclusión I R. Definición 2.1 El espacio Frölicher (I, CI,FI), donde se encuentra la estructura (CI,FI) la estructura generada por el conjunto F = {f • FI existe 0 < • < 14 con f(t) = f(0) para t • [0, •) y f(t) = f(1) para t â € (1− â € ¬, 1]}, se llama intervalo unitario aplanado. Es fácil ver que cualquier mapa continuo c : R → [0, 1] define una estructura curva en I si y sólo si es suave en cada punto t â € R, donde c(t) â € (0, 1),. Definimos la izquierda (resp. a la derecha) intervalo unitario aplanado, denotado por I− (resp. I+), para ser el espacio Frölicher cuyo conjunto subyacente es el intervalo de unidad [0, 1], y estructura es la estructura generada por las funciones de estructura en FI que son constantes cerca de 0 (resp. 1). Definición 2.2 El espacio Frölicher (I, CI,FI), con la estructura definida a continuación se llama intervalo unitario débilmente aplanado. El conjunto subyacente es la unidad intervalo; la estructura (CI,FI) es generada por la familia F = {f FI lim f(t) = 0, lim f(t) = 0, n ≥ 1}. Llamamos a la propiedad, para todos f â € F, f(t) = 0, lim f(t) = 0, n ≥ 1, la propiedad derivada cero de f. Demostraremos que todas las funciones de la estructura en tengo la derivada cero propiedad, en otras palabras, FI = F. A tal efecto, necesitamos el siguiente lema. Lemma 2.1 Let c : R → R ser una función de valor real suave en t = t0, y let f : R → R ser una función de valor real suave en t = c(t0). Entonces, (f)(c)(t0) = f)(c)(t0))(c′(t0))n + términos del formulario af k) c(t0)) c ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(n−1)(t0)) mn−1, donde k < n y un R. Además, si un 6= 0 entonces al menos uno dem2,m3,. ....mn−1 también es distinto de cero. Prueba. La prueba se hace por inducción. Por el bien de la brevedad, llamamos la término f (n) (c(t0)) (c) ′(t0)) n el término primario para n, y los términos de la forma af k) c(t0)) c ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(n−1)(t0)) mn−1 los términos de orden inferior para n. La declaración es verdadera para n = 1 y para n = 2. Supongamos que el resultado es cierto para n = k. Para mostrar que el resultado tiene para n = k + 1, ya que dtk+1 (f) (c) (t0) = f k) c(t0)) c ′(t0)) +términos de la forma d af (j) (c(t0)) (c) ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(k−1)(t0)) mk−1), donde j < k + 1 y un R, sólo necesitamos mostrar que af (j) (c(t0)) (c) ′(t0)) m1(c′′(t0)) m2. .. (c(k−1)(t0)) mk−1) da lugar a términos más bajos para n = k + 1, que es por cierto sencillo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Teorema 2.1 FI = {f) FI limt→0+ d f(t) = 0 = limt→1− f(t)} =: F Prueba. Eso F FI es evidente. Debemos mostrar la desigualdad inversa. Vamos. 0 < • < 1 , y 0 < M < 1. Considere la función cM : R → R, dada por cM (t) = (1− (t)βM (t) + (t), donde : R → R es una función de frenado suave tal como se define en los preliminares, y βM : R → R es dada por βM (t) = −Mt si t ≤ 0 t si t > 0 Es fácil ver que cM es continua sobre todo R, y suave sobre todo R excepto at t = 0. Nótese también que 0 < cM (t) < 1 para todos los t+R, y cM (t) = βM (t) = 0 para todos los valores de 0 ≤ t < ≤. Ahora, cM (t) = βM (t) = −M, para < t < 0 cM (t) = βM (t) = 1, para 0 < t < Para n > 1, tenemos cM (t) = βM (t) = 0, para t â € (, 0) â € (0, â €). Ahora mostramos que para cM â € € TM F. Con este fin, dejar f â € F. Para demostrar que f • cM : R → R es suave, es obvio que sólo necesitamos concentrarnos en el punto t = 0, porque f â € c es suave a cada t 6 = 0. Se sigue para t 6 = 0, y n° N aplicable a Lemma 2.1. Pero como t → 0, cM (t) → 0+, y así, dejando s = cM (t), tenemos f j) cM (t)) = lim f j) s) = 0, para todos j â € N, por la propiedad derivada cero de f. Así, como t se aproxima el valor 0, el término primario y todos los términos de orden inferior de d (f • cM ) t) desaparecer, y hemos demostrado que f â € cM es suave en t = 0. Esto implica que f.......................................................................................................................... Ahora estamos listos para mostrar que FI F. Con este fin, supongamos que se le da una función de estructura f • FI. Demostraremos que esta f tiene el cero propiedad derivada, y por lo tanto es un elemento de F. Desde f â € TM a FI, sabemos que f â € TM a c es una función de valor real suave para cada c • • F. En particular, f • cM es suave para todos los 0 < M < 1. Por lo tanto, para cualquier n â € N, (f • cM ) t) = lim (f) cM (t). Como t→ 0−, cM (t) → 0+; consideremos los términos de orden inferior para n. Cada término del formulario af k) cM t) c) M (t)) m1(c′′M (t)) m2. c) (n−1) M (t)) tiene algún término (c (t))mi, para algunos i > 1, con mi 6= 0. Pero limt→0− c (t) = 0, si i > 1, y así af k) cM t) c) M (t)) m1(c′′M (t)) m2. c) (n−1) (t))mn−1 = 0. Así que todos los términos de orden inferior caen, por lo tanto limt→0− (f) cM (t) = limt→0− f) (n) cM (t)) (c′M (t))n = limt→0− f n)cM (t)(-M)n = lims→0+ f n) s)-M)n, donde s = cM (t). De una manera similar uno muestra que (f • cM ) t) = lim f) n) s). Sin embargo, el fócM es suave, por lo tanto lims→0+ f (n)(s)(-M)n = lims→0+ f (n)(s), que implica que lims→0+ f n(s) = 0. Hemos demostrado que la propiedad de derivada cero de f mantiene para la izquierda endpoint del intervalo unitario. Para mostrar que la propiedad de la derivada cero de f se mantiene para el punto final derecho de f, tenga en cuenta que dM : R → R, dM (t) = 1− cM (t), es una función de valor real suave con d(0) = 1, y 0 ≤ dM (t) ≤ 1 para todos los t + R. Uno puede seguir un procedimiento similar al anterior, usando dM en lugar de cM para mostrar que lims→1− f n) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 2.3 Algunas propiedades de las funciones suaves entre el Intervalos de unidades aplanadas Uno tiene que tener cuidado al tratar con los diversos intervalos de unidades aplanadas. A función suave f : I → I del intervalo de unidad subespacial R-Frölicher I a no necesita definir una función suave f : I → I, por ejemplo. A la inversa, no cada función suave f : I → Defino una función suave f : I → I. In en particular, tenemos que ser conscientes del hecho de que la adición y multiplicación de funciones cuando se definen entre los diferentes intervalos de unidades aplanadas no conservar la suavidad, como es el caso con el intervalo de unidad habitual. Ejemplo 2.1 La función f : I → I, f(t) = 1 t es claramente suave, pero el correspondiente función f : I → I, dado por la misma fórmula, no es suave. Para ver esto, vamos α : R → R es una función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = −1, para t < − 3 • α(t) = t, para − 1 < t < 1 • α(t) = 1, para t > 3 Definir c : R → I por c(t) = 1− (t). La curva c es suave en todas partes excepto en at t = 0, donde c(0) = 1. Sin embargo, cada función generadora f en I es constante cerca de 1, y por lo tanto el compuesto f â € c es suave. Así c es una curva de estructura en I. Ahora, f â € c : R → I es dado por (f â € c)(t) = 1 (1 − (t)). Let h : I → R ser un función de estructura con las propiedades que • h(s) = 0, para s < 1 • h(s) = s, para 1 < s < 3 • h(s) = 1, para 7 A continuación (h) f) c) t) = 1 (1− (t)) para t cerca de 0, y no es suave en t = 0. Por lo tanto f no define una función suave de I a I. Ejemplo 2.2 La función f : I → I, f(t) = t, es suave, pero la correspondiente f : I → I, dado por la misma fórmula, no es suave. Esto se deriva del hecho de que f es suave en el intervalo abierto (0, 1), y una función generadora g en I es constante Cerca de 0 y 1. En el lado, f : I → No soy suave, porque si c : R → I is a curva de estructura con c(t) = t2 cerca de t = 0, entonces (f c)(t) = t cerca de t = 0, que no es suave en I en t = 0. Ejemplo 2.3 Las funciones f, g : I− → I−, dadas por f(t) = 1 t y g(t) = 1 ambos son suave, pero la suma f(t) + g(t) = 1 No es suave. El siguiente lema se deriva de la definición de las estructuras de Frölicher en los diferentes intervalos de unidades aplanadas. Lemma 2.2 Let f : I → Soy una función suave con las propiedades que f(0) = 0 y f(1) = 1. Entonces los siguientes mapas son suaves: • f : I → I ±, • f : I → I, • f : I± → I, • f : I → I, • f : I → I. La función definida en el siguiente ejemplo es para referencia posterior. Ejemplo 2.4 Let H : I × I− → I− ser dado por H(t, s) = (1 − α(t))s, donde α : R → R es un función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = 0 para t < 1 • 0 ≤ α(t) ≤ 1 para todos los t • R, • α(t) = 1 para t > 3 Demostramos que H es suave. Para ver esto, let f : I− → R ser una función generadora sobre I−. Así que f es constante cerca de 0. Ahora, c : R → I × I− ser una curva de estructura, dado por c(v) = (t(v), s(v)). La curva t es una curva de estructura en I, y así es una función de valor real suave para todas las v + R, excepto posiblemente cuando t(v) = 0 o t(v) = 1. Del mismo modo, la curva s es una curva de estructura en I−, y así es suave para todos v â € R excepto posiblemente cuando s(v) = 0. Ahora considere el compuesto H • c : R → I−. Claramente, α(t(v)) es suave para todos v, ya que el único posible los puntos para la no suavidad ocurren cuando t(v) = 0 o t(v) = 1, y α(t(v)) es localmente constante cerca de estos puntos. Por lo tanto, H o c es suave en todas partes excepto posiblemente cuando s(v) = 0. Ahora, vamos a considerar f H c : R → R; el único puntos posibles para la no suavidad son aquellos en los que s es 0, es decir. Hâ = 0. Pero f es una función generadora de estructura en I−, y así es localmente constante cerca de 0. Esto muestra que f â € H â € c es suave para todos v â € R, y por lo tanto H es suave. 2.4 Homotopía en FRL y objetos relacionados Definición 2.3 (1) Que X sea un espacio de Frölicher, y x0, x1 X. Nosotros decimos que x0 se conecta sin problemas a x1 si hay un camino suave c : I → X tal que c(0) = x0 y c(1) = x1. Escribimos x0 x1. La relación se llama homotopía suave cuando se aplica a hom-sets. (2) Let f : X → Y ser un mapa de los espacios Frölicher. f se llama un suave equivalencia homotópica siempre que exista un mapa suave g : Y → X tal que f g 1Y y g f 1X. Uno puede demostrar que la homotopía suave es una congruencia en RFL. En la práctica, decir que los mapas suaves f, g : X → Y son suavemente homotópicos si existe un mapa liso H : I × X → Y con H(0,−) = f y H(1,−) = g. Si A X es subespacio de X, entonces decimos que H es una homotopía suave (rel A) si el mapa H tiene la propiedad adicional que H(t, a) = a para cada t â € I y un â € A. Ver Cherenack [5] y Dugmore [6] para obtener más detalles sobre la homotopía lisa. La noción de retractarse de la deformación es fundamental para la homotopía topológica teoría. Las siguientes definiciones se adaptan para la homotopía suave, y será necesario en una fase posterior. Definición 2.4 Dejar A X ser un subespacio de un espacio de Frölicher X, y dejar i : A X denotan el mapa de inclusión. Entonces • Decimos que A es una retractación de X si existe un mapa liso r : X → A tales que ri = 1A. Llamamos a r una retracción. • Llamamos A un retracto débil de la deformación de X si la inclusión i es un suave equivalencia homotópica. • El subespacio A se llama retractamiento de deformación de X si existe un re- tracción r : X → A tal que ir 1X. • El subespacio A se llama retractamiento fuerte de la deformación de X si existe una retracción r : X → A tal que ir 1X(relA). Definición 2.5 El cilindro de asignación Si de f : X → Y está definido por el fol- bajada de empuje I ×X // Si donde i1 : X → I × X es dada por i1(x) = (1, x), para cualquier x • X. Denotamos el los elementos de Si por [t, x] o [y], donde (t, x) Reemplazando I × X en el diagrama de salida anterior por I×X o I×X, obtenemos el cilindro de mapeo aplanado Si y débilmente aplanado cilindro de mapeo Si de f respectivamente. Utilizamos la misma notación para los elementos de estos mapas aplanados cilindros como se describe anteriormente para el cilindro de mapeo. También hay un mapa i0 : X → I × X, definido por i0(x) = (0, x) para x • X. Esto induce un mapa de inclusión i′0 : X → Si, que identifica X con el Frölicher subespacio i′0(X) de Si. Una inclusión se induce de una manera similar para el aplanado Cilindros cartográficos. Si uno identifica {0X a un punto en el cilindro de asignación Si de un mapa f : X → Y, entonces se obtiene el cono de asignación Tf de la mapa f. De manera similar, definimos el cono de asignación aplanado Tf y cono de mapeo débilmente aplanado Tf de un mapa suave f : X → Y. 2.5 Cofibraciones en FRL Una cofibración es un mapa i : A→ X para el cual el problema de la extensión de funciones de i(A) a X es un problema de homotopía. En otras palabras, si un mapa f : i(A) → Z se puede extender a un mapa f* : X → Z, entonces también puede cualquier mapa homotópico a f. Para espacios topológicos, la definición habitual se formula en un poco más restrictivo Camino. La extensión de un mapa g H f, para alguna homotopía H : I × i(A) → Z, es necesario para existir en todos los niveles de la homotopía simultáneamente. En otras palabras, se requiere que cada H(t,−) sea extensible de tal manera que el resultado homotopía H* : I ×X → Z es continua. Debilitamos esta definición un poco, para permitir extensiones de homotopía suave para ser más fácil de construir usando un aplanamiento en los puntos finales de la homo- Topy. Esto nos permite caracterizar las cofibraciones suaves en términos de un aplanado intervalo de la unidad, y luego para relacionar las cofibraciones suaves con el relincho suave- La deformación del borhood se retrae. Nuestra definición de cofibración suave, sin embargo diferente de la definición de Cap, véase [1], conduce a varios resultados clásicos como hace Cap’s. Como señaló Cap, el análogo de la definición clásica de la cofibración no permitiría incluso {0} Yo ser una cofibración suave. Por lo tanto, nosotros tienen lo siguiente: Definición 2.6 Un mapa suave i : A → X se llama una cofibración suave si, correspondiente a cada diagrama conmutativo de la forma (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm existe un diagrama conmutativo en FRL de la forma (0,1X ) ::tttttttttttt donde G′ : I × A → Z está dada por G′(t, a) = G((t), a) para unos 0 < < 12, y cada t â € ¢ I, a â € A. El problema de extender un mapa suavemente desde un subespacio de un Frölicher el espacio a todo el espacio es un problema más difícil que simplemente ampliar Tinuosamente. Es principalmente por esta razón que la definición de cofibración suave difiere un poco de la definición correspondiente de una cofibración topológica. Lemma 2.3 Let i : A → X ser una cofibración suave, entonces i es un mor- phism en FRL. Además, si A es Hausdorff, entonces yo es inyector. Así que en esto El caso A puede considerarse como un subespacio de X. Prueba. Vamos a mostrar que cada mapa suave f : A→ R factores a través de i, que es para cada f â € ¢ FA, existe fñ â € TM FX de tal manera que f = f. â € i. Con este fin, considerar el mapa liso G : I × A → R, dado por H(t, a) = tf(a). Claramente, 0A = G(0,−), donde 0 : X → R es el mapa constante 0. De ello se deduce que hay mapa F : I ×X → R tal que F • (1× i) = G′. Entonces, claramente fœ := F (1,−) ha la propiedad deseada. La parte restante de la prueba de la Proposición 3.3, en [1], contiene literalmente Aquí también. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En este artículo, sólo nos interesan las cofibraciones que son inyectables. Por lo tanto... todas las cofibraciones se supone que son inyectables. Todas las cofibraciones topológicas son inclusiones, y este resultado es cierto para suave Las cofibraciones también. La prueba del siguiente lema es esencialmente la misma que la prueba dada por Santiago [9] para el resultado topológico, aunque la prueba de Santiago es en cierto sentido dual a la nuestra, utilizando caminos-espacios en lugar de productos cartesianos y las versiones contiguas de nuestros homotopies. Lemma 2.4 Una cofibración i // X es una inclusión sin problemas. Prueba. Dejar Ii ser un cilindro de asignación de i, y dejar j : X → Ii ser el estándar mapa de inclusión. Considerar el mapa suave γ : I → I, γ(t) = 1 − t, para todos t I, y el mapa de cociente q : (I ×A) X → Ii; tenemos el siguiente conmutativo diagrama (0,1A) j // II 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde G(t, a) = [(1 − t, a)]. Note que el mapa G es suave. Ya que yo soy un cofibración, tenemos el diagrama conmutativo (0,1X ) ::uuuuuuuuuuuuu donde G′(t, a) = G((t), a) para unos 0 < < . Definir U : X → Ii por U(x) = F (1, x). Tenemos U â € i = G′(1,−), donde G′(1, a) = [(0, a)], para cada a A. Así la asignación a 7→ G′(1, a) define la inclusión habitual de A en el cilindro de mapeo. A partir de esto deducimos que U â € i es una inclusión, y por lo tanto I es una inclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Existe una formulación equivalente de la definición 2.6, dada en la siguiente: Lemma. Lemma 2.5 Un mapa suave i // X es una cofibración si y sólo si, por cada mapa liso h : (0×X) (Ii(A)) → Z, el siguiente diagrama (0×X) • (I− × i(A)) h // I− ×X 77oooooooooooooo donde j es la inclusión evidente, existe en FRL. Prueba. Supongamos que la inclusión A // i // X es una cofibración suave, y Supongamos que h : (0 × X) • (I− × i(A)) → Z es un mapa suave. Tenemos el diagrama (0×B) • (I− × i(A)) h // I− ×X Tenemos que rellenar un mapa suave G : I− × X → Z que hace que el resultado diagrama de desplazamiento. Para hacer esto, note que hIi(A) es suave, y por lo tanto el el mapa correspondiente hI × i(A), utilizando el intervalo de unidad habitual, también es suave. Nosotros tener el siguiente diagrama (0,1A) h0×X // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde h0×X(0,−): X → Z se denota como h0×X. El hecho de que yo sea un suave la cofibración produce el siguiente diagrama commutativo de FRL: h0×X // (0,1A) ::tttttttttttt donde (hIA)′(t, a) = hIA((t), a), para unos 0 < < 12. Ahora, elegir un función de frenado suave β : R → R con las siguientes propiedades. • α(t) = 0 para t < • • α(t) = t para • < t. F puede no ser suave en I− × A debido a los requisitos de aplanamiento de la izquierda Intervalo unitario aplanado. Para corregir esto, establezca G(t, a) = F (β(t), a). Nótese que el la inserción de esta función de frenado no afecta a las condiciones de computatividad; de G, ya que los únicos ajustes a F se producen en la primera coordenada donde el mapa (hIX)′ es constante. Ahora, asuma lo contrario, es decir. a cada mapa suave h : (0 × X) • (I− × i(A)) → Z, corresponde a un diagrama conmutativo (0×X) • (I− × i(A)) h // I− ×X 77oooooooooooooo Queremos mostrar que la inclusión i : A → X es una cofibración; así que asumir que tener el siguiente diagrama (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm Existe el diagrama (0,1A) f // Z 66mmmmmmmmmmmmmmmmmm donde G′(t, a) = G((t), a). Nuestra hipótesis nos permite construir el diagrama (0×X) • (I− × i(A)) f°G′ // I− ×X 77oooooooooooooo Tenga en cuenta que f G′ es suave ya que (t) es constante cerca de 0. Ya que H es suave en I− ×X define un mapa suave en I ×X. Uno puede verificar que el diagrama (0,1X) ::tttttttttttt se desplaza según sea necesario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3 Retractos suaves de la deformación del vecindario Esta sección se refiere a la formulación de una noción adecuada de Retirada de la deformación del barrio. Para los espacios topológicos, la afirmación de que un subespacio cerrado A de X es un retráctil de deformación de barrio de X es equivalente a la declaración de que la inclusión i : A X es una cofibración cerrada. Mostramos que en la categoría de los espacios Frölicher hay una noción de barrio tranquilo deformación retraer que da lugar a un resultado análogo que un Frölicher cerrado subespacio A del espacio Frölicher X es una deformación del barrio suave retractarse de X si y sólo si la inclusión i : A X viene de una cierta subclase de las cofibraciones. Como aplicación, construimos la secuencia Puppe correcta. 3.1 Pares SNDR y SDR La definición de ‘retraer la deformación suave del barrio’ que adoptamos en Este artículo es similar a la definición de «pare R-SNDRsugerido en [6], pero nosotros han modificado la definición con el fin de mantener únicamente los aspectos esenciales de «primer coordinar la independencia», definida en [6]. Comenzamos por definir la ‘primera propiedad de independencia de coordinación’ de un func- en un producto de un espacio Frölicher con I (o I−, I+). Definición 3.1 Let i : A → X ser un mapa suave, y c : R → X una estructura curva en X. Definir * (c, i) = {t* * c−1(i(A)) existe una secuencia {tn} de números reales con limnÃ3 tn = t* y cada tn â c−1(X − i(A))}. Los puntos de la letra c), i) son los valores de R, donde la curva «entra» i(A) de X − i(A), o «toca» un punto en i(A) mientras permanece en X − i(A) cerca. Ahora, estamos listos para definir la ‘primera propiedad de independencia coordinada’ para un función de estructura en un producto. Definición 3.2 Let i : A→ X ser un mapa suave y suponer f : I×X → R es una función de estructura en I × X. Let c : R → I × X, dado por c(s) = (t(s), x(s) tienen las siguientes propiedades: • El mapa x(s) es una curva de estructura en X. • Para todos los • > 0, t(s) es una función de valor real suave en Rs(x,i)[s* − *, s* + ]. Si, para cada mapa c, el compuesto f â € c es una función de valor real suave, entonces decimos que f : I×X → R tiene la primera propiedad de independencia (FCIP) con respeto a i. Extendiendo la definición, decimos que un mapa g : I × X → Y tiene el FCIP con respecto a i si el compuesto h+g : I ×X → R tiene el FCIP con respecto a a i por cada h. Tenga en cuenta que podemos formular una definición similar de la FCIP si reemplazamos I a lo largo de I - o I +, dejando el resto de la definición sin cambios. Lo haremos. tener ocasión de utilizar este tipo de primera propiedad de independencia de coordinación en el más tarde parte de este trabajo. Nota. Let i : A→ X, y supongamos que se nos da un mapa g : I×X → Y. Vamos. f : Y → R ser una función de estructura en Y, y supongamos que f g : I × X → R tiene el FCIP con respecto a i para cualquier f. Entonces, dado un mapa suave h : Y → Z, el compuesto f ′ â € h â € g : I×X → R tiene el FCIP con respecto a i para cualquier función de estructura f ′ en Z. La nota anterior se aplica igualmente bien si g : I− ×X → Y o g : I+ ×X → Y tiene el FCIP con respecto a i cuando se compone con una función suave h en Y. Ejemplo 3.1 1. Para cualquier i : A→ X, la proyección sobre la segunda coordenada ηX : I×X → X tiene el FCIP. 2. Let α : R → R ser una función de frenado suave con las propiedades que • α(t) = 0 si t < 1 • 0 < α(t) < 1 si 1 ≤ t ≤ 3 • α(t) = 1 si 3 Considerar 0 I−. Let H : I× I− → I− ser dado por H(t, s) = (1(t))s. Entonces, f H : I× I− → R tiene el FCIP con respecto a la inclusión 0 I−, para cualquier f • FI−. Definición 3.3 Considerar una inclusión suave i : A X. Supongamos que allí existe un mapa liso u : X → I, con u−1(0) = i(A). Si existe un suave mapa H : I×X → X que satisface las siguientes propiedades: • H tiene el FCIP con respecto a i. • H(0, x) = x para todas las x • X. • H(t, x) = x para todos (t, x) • I× i(A). • H(1, x) • i(A) para todas las x • X con u(x) < 1, entonces el par (X,A) se llama un par de retráctil de deformación del vecindario suave, o par SNDR para abreviar. Si, además, H es tal que H(1 × X) i(A), entonces el par (X,A) es llamada par retráctil de deformación lisa, o par SDR para abreviar. El subespacio A se llama retráctil o liso de deformación del vecindario Retirada de deformación de X si (X,A) es un par SNDR o par SDR, respectivamente. El par (u, H) se llama una representación para el par SNDR (o SDR). Ejemplo 3.2 1. El par (X, Ł) es un par SNDR. Una representación es u(x) = 1, H(t, x) = x, para cada t de I y x de X. 2. El par (X,X) es un par SNDR. Una representación es u(X) = 0, H(t, x) = x, para cada t de I y x de X. Lemma 3.1 El par (I−, 0) es un par SDR. Prueba. Let α : R → R ser la función de frenado suave de Ejemplos 3.1. A representación para (I−, 0) como un par SDR es (u,H), donde u : I− → I y H : I× I− → I− son dadas por u(s) = s, y H(t, s) = (1 − α(t))s. Claramente, la identidad u : I− → Soy suave. Y el mapa H, como se muestra en el ejemplo 2.4, es sin problemas y claramente tiene el FCIP con respecto a la inclusión, ya que cada vez que v se aproxima a un valor para el cual s(v) = 0, uno tiene g(1− α(t(v)))s(v)) = g(0) para v en un barrio de este valor y g • FI−. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 3.2 El par (I, {0, 1}) es un par SNDR. Prueba. Una representación (u,H) para el par SNDR puede ser dada de la siguiente manera. Definir u : I → Yo para ser una función de golpe tal que • u(t) = 0 para t = 0 o t = 1, • u(t) = 1 para t • [ 1 • 0 < u(t) < 1 en caso contrario, y dejar β : I → Soy una función de frenado con las propiedades que β(s) = 0 para 0 ≤ s ≤ 1 , y β(s) = 1 para 3 ≤ s ≤ 1. Let 0 < â € 1 , y definir H : I× I → I por H(t, s) = (1− (t))s+ (t)β(s). Está claro que H(0, s) = s, H(t, 0) = 0, y H(t, 1) = 1. Supongamos que u(s) < 1. Entonces, s [0, 1 ) • (3 , 1]. Esto implica que β(s) = 0 o β(s) = 1. Entonces tenemos H(1, s) = 0 o H(1, s) = 1, lo que significa que H(1, s) {0, 1} si u(s) < 1. Para ver que H es suave, let f : I → R ser una función generadora para el Intervalo unitario aplanado. Los únicos puntos posibles de la no suavidad son los puntos donde t = 0, 1 y s = 0, 1. La función de frenado asegura que H es local constante en la variable tb cuando t está cerca de 0 o 1, por lo que no surge ningún problema de el componente t. Cuando s está cerca de s = 0, tenemos H(t, s) cerca de 0, y por lo tanto la generar la función f es localmente constante. Similarmente, cuando s está cerca de s = 1, nosotros tiene H(t, s) cerca de 1, y la función generadora f es localmente constante de nuevo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora mostramos que el producto de los pares SNDR es de nuevo un par SNDR. Teorema 3.1 Let i : A X y j : B Y ser asignaciones de inclusión. Si (X,A) y (Y,B) son pares SNDR, entonces también lo es (X × Y, (X × B) • (A× Y )). Si uno de (X,A) o (Y,B) es un par SDR, entonces también lo es el par (X × Y, (X × B) • (A× Y )). Prueba. Let α : R → Soy una función de frenado suave con las propiedades que α(t) = 0 para t ≤ 1 , y α(t) = 1 para t ≥ 3 , y dejar β : R → R ser un suave aumento de la función de frenado con las propiedades β(t) = t para t ≤ 1 , y β(t) = 1 para t ≥ 3 . Supongamos que (u,H) y (v, J) son representaciones para el Pares SNDR (X,A) y (Y,B), respectivamente. Let u : X → I, y v : Y → I be dado por u(x) = β(u(x)) y v(y) = β(v(y)), respectivamente. Definir w : X×Y → I por w(x, y) = u(x)v(y). La función de frenado β garantiza la suavidad de u y v, y consecuentemente de w. Tenemos w−1(0) = (X × B) • (A × Y), según sea necesario. Definir Q : I×X × Y → X × Y de la manera siguiente. Q(t, x, y) = (H(α(t), x), J(α(t), y) si u(x) = v(y) = 0 (H(α(t), x), J(α() )α(t), y) si v(y) ≥ u(x), v(y) > 0, (H(α( )α(t), x), J(α(t), y) si u(x) ≥ v(y), u(x) > 0. Debemos demostrar que Q es un mapa sin problemas, con la primera independencia de coordinación propiedad con respecto a la inclusión (X × B) • (A × Y ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Nosotros primero. considerar cada parte de la definición de Q por separado. La primera parte es claramente Suave. Verifiquemos que Q es suave en la segunda parte de su definición; el La tercera parte es similar. Sólo necesitamos centrarnos en el componente J(α( )α(t), y). Cada función composición J(α( )α(t), y) es suave individualmente, por lo que sólo necesitamos pagar extra atención a aquellas partes que implican intervalos unitarios aplanados, recordando que no es necesario conservar la adición y multiplicación en el intervalo unitario aplanado suavidad, como es el caso del intervalo unitario habitual. Así que vamos a considerar α( ); es suave excepto posiblemente cuando enfoques 0 o 1, ya que es aquí que las curvas de estructura en el intervalo de unidad aplanada necesitan no ser suave en el sentido habitual. Claramente, si u(x) se acerca a 0 y v(y) lo hace no se aproxima a 0, entonces la función de frenado α asegura que = 0 cerca de tales puntos. Si v(y) se aproxima a 0, entonces u(x) también debe acercarse a 0. Esta situación es la siguiente: más tarde. Así, Q, en la segunda parte de la definición, es suave, y uno puede mostrar de manera similar que Q en la tercera parte de la definición también es suave. Consideremos ahora las superposiciones de las tres partes de la definición de Q. Observe que si u(x) está en un vecindario suficientemente pequeño de v(y), con u(x) 6= 0 y v(y) 6= 0, entonces tenemos α(u(x) ) = 1, y así el segundo y el tercero partes de la definición de Q coinciden aquí. Por lo tanto, sólo queda demostrar que Q es suave como u(x) y v(y) ambos enfoque 0. Si Q es suave en cada una de sus coordenadas entonces es suave, así que considere la coordinar la participación del mapa J. Let c : R → I×X × Y ser una estructura que es dado por c(s) = (t(s), x(s), y(s)). Entonces, el mapa c1 : R → I× Y, dado por c1(s) = (α(t(s)), y(s) si u(x(s)) = v(y(s)) = 0 u(x(s)) v(s) )α(t(s)), y(s) si v(s)) ≥ u(x(s)), v(s) > 0 (α(t(s)), y(s) si u(x(s)) ≥ v(s)), u(x(s)) > 0 es un mapa que cumple las condiciones de la definición 3.2, ya que su segunda coordenada es suave, pero su primera coordenada puede ser singular como v(y(s)) (y por lo tanto u(x(s))) Se acerca a 0. Dado que J tiene la primera propiedad de independencia de coordinación, el mapa (Joc1)(s) = J(α(t(s)), y(s) si u(x(s)) = v(y(s)) = 0 u(x(s)) v(s) )α(t(s)), y(s) si v(s)) ≥ u(x(s)), v(s) > 0 J(α(t(s)), y(s) si u(x(s)) ≥ v(s)), u(x(s)) > 0 es suave. Por lo tanto, Q C es suave, y puesto que c es arbitrario, Q es suave. En una de manera similar, la coordinación de Q que implica H se puede demostrar que es suave. Ahora verificamos que Q satisface las condiciones de frontera requeridas. Cuando t = 0, las tres líneas que definen Q reducen a (H(0, x), J(0, y)) = (x, y). Dejar x â € A y y B; entonces u(x) = v(y) = 0. Por lo tanto, Q se reduce a (H(α(t), x), J(α(t), y) = (x, y). Si x A y y/o B, entonces Q es dada por la segunda parte de su definición, que se reduce a [H(α(t), x), J(0, y)]. El caso cuando x / A e y B es similar. Si t = 1 y 0 < w(x, y) < 1 entonces 0 < u(x) < 1 o 0 < v(y) < 1. Supongamos que 0 < u(x) < 1. Entonces u(x) ≤ v(y) o v(y) < u(x). Si u(x) ≤ v(y), entonces Q es dada por la segunda parte de su definición, que reduce a (H(1, x), J(α( , y) • i(A)× Y. Si v(y) < u(x), entonces la tercera parte de la definición de Q se aplica y Q se reduce a [H(α( ), x), J(1, y) • X × j(B). Por último, debemos demostrar que para cualquier f • FX×Y, f • Q tiene la primera coordenada propiedad de independencia con respecto a la inclusión (X×B)®(A×Y ) X×Y. Para ello, considere un mapa c : R → I×X×Y, dado por c(s) = (t(s), x(s), y(s)). Que {sn} sea una secuencia de números reales que converjan con s* con c(sn) {sn} (X×Y )− ((A× Y ) • (X × B)), y c(s)* • (A× Y ) • (X × B). Hay tres casos a Considerar. • Supongamos que c(s)* • A×B. Luego x(s)* â € A e y(s*) â € B. El hecho de que H y J tienen la primera propiedad de la independencia de coordinación con respecto a i y j respectivamente significa que cada coordenada de Q es suave, y así Q es suave. • Suponga que c*) A × Y, y que y(s*) /* B. Luego en cada uno de los la segunda parte de la definición de la letra c) del punto c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra d) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) Q, para n lo suficientemente grande. Desde x(s)* A, el componente de Q en el que participa H es suave, ya que H tiene la primera propiedad de independencia de coordenadas. Por cualquier s en un barrio de s*, α( u(x(s)) v(s) ) = 0. Por lo tanto, el componente de Q involucrando a J es constante para s en un barrio de s*, y así es suave Ahí. • El caso con c*, X × B, y x*, A es similar al segundo caso arriba. Para la última parte del teorema, supongamos que (u,H) representa (X,A) como un Par SDR. Si reemplazamos u por u′ = 1 u, entonces (u′, H) también representan (X,A) como un Par SDR. Haciendo las construcciones anteriores ahora con u′ en lugar de u, sigue que w(x, y) < 1 para todos (x, y) y así Q(1, x, y) • (X × B) • (A × Y ). Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 Cofibraciones En esta sección, mostramos que para un subespacio A X que se cierra en el sub- topología mentirosa, la inclusión i : A → X es una cofibración si y sólo si (X,A) es un par SNDR. Definición 4.1 Let i : A→ X ser una cofibración. Lo llamamos una cofibración con FCIP si se puede elegir cualquier extensión homotópica para tener el FCIP con respeto a i. Utilizando la formulación equivalente de la noción de cofibración, dada por Lemma 2.5, podemos reafirmar la definición 4.1 como sigue: Una cofibración i : A → X es un cofibración con el FCIP si y sólo si el mapa G que podemos rellenar a completar el diagrama conmutativo (0×X) â € (I− ×A) h // I− ×X puede ser elegido para tener el FCIP con respecto a la inclusión i. Tenemos el siguiente resultado, que corresponde a un topológico similar resultado. Lemma 4.1 Un mapa suave i : A → X es una cofibración (con el FCIP) si y sólo si (0 × X) • (I− × A) es un retracto de I− × X, (donde la retracción r : I− ×X → (0×X) • (I− ×A) tiene el FCIP ). Prueba. En la única dirección, supongamos que (0 × X) (I− × A) es un retracto de I− ×X. Deseamos completar el siguiente diagrama: (0×X) â € (I− ×A) h // I− ×X Por hipótesis, existe r : IX → (0×X)® (I− ×A) de tal manera que r j = 1. Definir G = h r. Si r tiene el FCIP, entonces también lo hace h r. Por el contrario, supongamos que i : A → X es una cofibración (con el FCIP). Nosotros puede encontrar un mapa r tal que el diagrama (0×X) • (I− ×A) 1/ (0 ×X) • (I− ×A) I− ×X Los viajes. Por lo tanto, r â € j = 1. Si soy cofibración con el FCIP con respecto a i, entonces r puede ser elegido para tener el FCIP. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. El siguiente teorema muestra la relación entre las cofibraciones, retracta y Pares SNDR. Teorema 4.1 Let i : A → X ser una inclusión, con A cerrado en el subyacente topología de X. Entonces los siguientes son equivalentes. (1) El par (X,A) es un par SNDR. (2) Hay una retracción suave r : I− × X → (0 × X) • (I− × A) con el FCIP. (3) El mapa i : A→ X es una cofibración con el FCIP. Prueba. Para mostrar que (1) y (2) son equivalentes, tenga en cuenta que el par (IX, (0× X) (I− × A)) es un par SDR, como consecuencia de Lemma 3.1 y Teorema 3.1. Dejar (w,Q) ser una representación para el par (I− × X, (0×X) • (I− × A)) como un par SDR, y dejar que Q se construya como en el Teorema 3.1. Definir r : I− ×X → (0×X) • (I− ×A) por r(t, x) = Q(1, t, x), donde (t, x) I− ×X. Observamos que r tiene el FCIP, ya que Q tiene esta propiedad, y Q tiene esta propiedad ya que cada uno de sus componentes tiene esta propiedad. La equivalencia de (2) y (3) es Lemma 4.1. Sólo necesitamos demostrar que (2) implica (1). Let r : IX → (0×X)® (IA) ser una retracción con el FCIP con respecto a i. Definir H : I × X → X por H(t, x) = ( coord, y α : R → R es una función de frenado con las siguientes propiedades: α(t) = 0 para t ≤ 0, α(t) = 1 para t ≥ 3 , y 0 < α(t) < 1 para 0 < t < 3 . Esto la función de frenado es necesaria para garantizar la suavidad en el punto final derecho de la Intervalo unitario aplanado I. La suavidad en el punto final izquierdo ya se ha cuidado de por el hecho de que r se define en términos del intervalo de unidad aplanada izquierda. Los mapa H satisface las siguientes propiedades: • H tiene el FCIP ya que r tiene esta propiedad. • H(0, x) = ( • H(t, x) = (lX â r)(α(t), x) = x, para x â € A. Ahora construimos u : X → I. Let πI : I×X → Denomino la proyección en I. Definir una función suave β : R → R por β(t) = 0 si t ≤ 0 t2 si t > 0. Ahora, definir u : X → I por u(x) = β(α(t) − ( β(α(t))dt Está claro que u es un mapeo suave. Ahora verificamos que (u,H) representa (X,A) como un par SNDR. (1) Let x â € A. Claramente, (por ejemplo, (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental) (por ejemplo, en el caso de los países de Europa Central y Oriental). β(α(t)− ( Por lo tanto, u(x) = 0, para todos x â € A. (2) Supongamos que x • X−A. Puesto que 0×(X−A) está abierto en la topología subyacente en (0×X)® (I− ×A), podemos elegir un barrio abierto W 0× (X −A) de (0, x). Puesto que r es continuo, hay un barrio V I− ×X tal que r(V) W 0× (X −A). Ahora, considere el mapeo qx : I → I×X, dado por qx(t) = (α(t), x), para cada x • X. Esto es claramente suave. Por lo tanto, existe un barrio U I - tal que qx(U) V. En otras palabras, U × {x} V. Así, tenemos (ln) (α(t), x) = 0, para todos los t U. Por lo tanto, tenemos u(x) = β(α(t) − ( β(α(t))dt β(α(t))dt Combinando esto con la parte (1), deducimos que u−1(0) = A. (3) Supongamos que x es tal que u(x) < 1. Debe haber un barrio U de I De este modo, [lnr](1, x(l)(l)(r)(α(t), x) > 0, para t(l) U. Por lo tanto (ln)(1, x) > 0, pero esto implica que r(1, x) • I×A, y por lo tanto H(1, x) • A. La prueba está completa. 5 El Cilindro de Cartografía En esta sección mostramos que la inclusión de X en la asignación aplanada cilindro Si de un mapa f : X → Y es una cofibración con el FCIP. Teorema 5.1 Let f : X → Y ser un mapa suave. Entonces, el par (Si, X) es un Par SNDR. Prueba. Let α : I → R ser una función de frenado suave con la siguiente adecuada- α(t) = 0 si 0 ≤ t ≤ 1 , α(t) = 1 si 3 ≤ t ≤ 1, 0 < α(t) < 1, de lo contrario. Definir dos funciones de frenado más α1, α2 : I → R como sigue: α1(0) = 0, 0 < α1(t) < 1 si 0 < t < 3 , α1(t) = 1 si ≤ t ≤ 1, y α2(t) = 0 si 0 ≤ t ≤ 34, α2(t) = 1 ≤ t ≤ 1. Ahora, definir u : Si → I por u([t, x]) = α1(t) y u([y]) = 1, para (t, x) • I×X e y • Y. Definir H : I× Si → Si por H(s), [t, x] = [(1 − α(s))t+ α(s)α2(t), x] si (t, x) I×X H(s), [y] = [y] si y â € Y. Que u es suave viene del hecho de que es suave cuando se limita a cada componente del coproducto (I×X)Y; por lo tanto, es suave en el cociente Para ver que el mapa H : I × Si → Si es suave, tenga en cuenta que desde que somos trabajando en una categoría cerrada cartesiana, los productos viajan con cocientes, es decir. si q es cociente, entonces también es 1× q, donde 1 es un mapa de identidad. Por lo tanto, podemos pensar de H como se define en el espacio (I×I×X) (I×Y) en la que • es la identificación (t, 1, x) = (t, f(x)) para t • I, y x • X. Ya que H es suave cuando se limita a cada componente del coproducto (I×I×X)(I×Y), H es suave en el cociente I× Si. Ahora verificamos que (u,H) es una representación para (Si, X) como un par SNDR. • u−1(0) = [0, x] = i0(X). • H(0, [t, x]) = [t, x] y H(0, [y]) = [y]. • H(s), [0, x] = [0, x]. • Si u[t, x] < 1, entonces t < 3 y así α2(t) = 0. Así, H(1, [t, x]) = [0, x]. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, tenemos el siguiente corolario importante. Corollary 5.1 Dado cualquier mapa suave f : X → Y, la inclusión X Si es un cofibración con el FCIP. 6 La secuencia exacta de una cofibración Nuestro objetivo en esta sección es mostrar cómo se pueden utilizar pares SNDR para probar la existencia de la secuencia Puppe exacta. Declaramos el resultado en Teorema 6.1 y romper la prueba del resultado en una serie de lemas. Nosotros seguimos. el método utilizado por Whitehead [12] para el caso topológico. A lo largo de esta sección trabajamos en la categoría FRL* de Fr’olicher espacios, y punto de base preservando mapas suaves. Teorema 6.1 Dejar W ser un objeto en FRL*, y suponer que i : A X es un cofibración en FRL*. Para cualquier punto de base x0 A X hay una secuencia . // [ A,W] Ti, W] X,W] A,W ] //... . // [ A,W] // [Ti,W] // [X,W] // [A,W] que es una secuencia exacta en SETS*, donde j : X → Ti es la inclusión dis- tachado en el párrafo 2.4 y k : Ti → A es el mapa de cociente definido a continuación. De hecho, es posible probar que la secuencia anterior es una secuencia exacta. de grupos en la medida en que A, W ] y que los morfismos a este punto son grupo homomorfismos, pero no lo haremos aquí. La suspensión reducida (aplanada) de un espacio Frölicher X apuntado es de- multada como X = (I/{0, 1}) donde la unión reducida se define como para los espacios topológicos con la identificación conjunto tomado como punto de base, y con 0 el punto de base de I. En esta sección, cada vez que nos referimos a la suspensión de un espacio, nos referimos a la suspensión reducida aplanada definida anteriormente. Lemma 6.1 Si (x,A) es un par SNDR y p : X → X/A el mapa cociente, entonces la secuencia i // X p // X/A es exacto. Prueba. Para mostrar que la secuencia dada es exacta debemos mostrar que para cualquier espacio Frölicher W la siguiente secuencia es exacta en SETS: [X/A,W] // [X,W] // [A,W]. Es fácil ver que im p* ker i*. Para ver la inclusión inversa, let g : X → W ser un elemento de [X,W ], con gA w0 (rel w0), donde w0 W. Desde i // X es un par SNDR, el mapa i es una cofibración, por lo que podemos extender w0 a un mapa suave g ′ : X → W tal que g′ g. Pero g′ es constante en A, y así existe un mapa suave g1 : X/A → W tal que p*(g1) = g′. Esto muestra que ker i* im p*. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.2 Para cualquier mapa suave f : X → Y, la secuencia f // Y l // Tf es exacto, donde l es la inclusión habitual de Y en el cono de asignación; es decir. y 7→ [y] Tf. Prueba. Uno puede mostrar que hay un diagrama conmutativo de homotopía i @ // Tf donde i, j, y l son las inclusiones habituales, y p es el mapa cociente que colapsa {0} ×X a un punto. Puesto que, por Teorema 5.1, (Si, X) es un par SNDR, sigue de Lemma 6.1 que la secuencia i // Si p // Tf es exacto. Es bastante fácil demostrar que j : Y → Si es una equivalencia homotópica. Por lo tanto, la secuencia f // Y l // Tf es exacto. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 6.3 Para cualquier mapa suave i : A → X, hay un derecho exacto infinito secuencia i // X // Ti //. .................................................................................... // Estaño−2 // Estaño−1 //.............................................................................. donde, n ≥ 1, son mapas de inclusión. Prueba. El par (Ti, X) es un par SNDR. La representación para el par (Si, X) en Teorema 5.1 se puede adaptar para mostrar esto. Una iteración del procedimiento de Lemmas 6.1 y 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Uno puede ver fácilmente que hay un isomorfismo entre Ti/X y Definir q : Ti → A ser el mapa que identifica X Ti a un punto, seguido por el isomorfismo Ti/X → Lemma 6.4 La secuencia // Ti es exacto. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, el par (Ti, X) es un par SNDR. Tenemos la com- diagrama mutatis mutandis // Ti donde p : Ti → Ti/X es el mapa de identificación, y q0 : Ti/X → A es un isomorfismo. La línea superior del diagrama es exacta, por Lemma 6.1, y así la secuencia // Ti es exacto. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Hay un diagrama conmutativo // Ti donde q1 es una equivalencia homotópica. ( Para más detalles, véase Whitehead [12]. este mapa. ) Usando diagramas conmutativos de esta forma, ahora se puede proceder casi exactamente como se hace en la situación topológica, como en Whitehead [12] para ejemplo, para obtener la secuencia exacta infinita derecha siguiente: i // X // Ti //.............................................................................. . .. // //.............................................................................. La definición de exactitud correcta ahora nos da la secuencia exacta de Teorema Bibliografía [1] A. Cap, K-Teoría para álgebra conveniente, Disertationen, Facultad de Matemáticas, Universidad de Viena, 1993. [2] Cherenack P., Aplicaciones de Frölicher Spaces a la Cosmología, Ann. Univ. Sci. Budapest 41(1998), 63-91. [3] P. Cherenack, Frölicher versus Espacios Diferenciales: Un preludio al Cosmol- ogy, Kluwer Academic Publishers 2000, 391-413. [4] P. Cherenack, La Exactitud Izquierda de la Secuencia de Puppe Izquierda Suave. En L. Tamassy y J. Szenthe, editores, Nuevos avances en la diferenciación Geometría, (Procedimientos del Coloquio sobre Geometría Diferencial, De- Brecen, Hungría, 26-30 de julio de 1994), Matemáticas y sus aplicaciones. Kluwer Academic Publishers, 1996. [5] P. Cherenack, Homotopía suave, topología con aplicaciones, (18):27-41, 1984. [6] B. Dugmore, La exactitud correcta de la secuencia de cachorros de derecha suave. Tesis de maestría, Universidad de Ciudad del Cabo, 1996. [7] A. Frölicher, A. Kriegl, Lineal Spaces and Differentiation Theory, J. Wiley e Hijos, Nueva York, 1988. [8] M.W. Hirsch, topología diferencial, GTM 33, Springer-Verlag, Nueva York, 1976. [9] I.M. James, Topología General y Teoría de la Homotopía, Springer-Verlag, Berlín, 1984. [10] A. Kriegl, P. Michor, Conveniente Configuración del Análisis Global, Am. Matemáticas. Soc., 1997. [11] Jet Nestruev, Manifolds lisos y observables, Springer-Verlag Nuevo York, Inc., 2003 [12] G.W. Whitehead, Elementos de la Teoría de la Homotopía, Springer-Verlag, Nuevo York, 1978. Preliminares Construcciones básicas de la teoría de la homotopía en FRL Nuestro enfoque a la teoría de la homotopía en FRL Estructuras aplanadas en el intervalo de unidad Algunas propiedades de las funciones lisas entre los intervalos de unidad aplanada Homotopía en FRL y objetos relacionados Cofibraciones en FRL Retractos suaves de la deformación del vecindario Pares SNDR y SDR Cofibraciones El Cilindro de Cartografía La secuencia exacta de una cofibración

Experimental observation of structural crossover in binary mixtures of colloidal hard spheres

Observación experimental de crossover estructural en mezclas binarias de duro coloidal esferas Jörg Baumgartl1,*, Roel P.A. Dullens1, Marjolein Dijkstra2, Roland Roth3 y Clemens Bechinger1 12. Physikalisches Institut, Universität Stuttgart, 70550 Stuttgart, Alemania 2Soft Condensed Matter Group, Universidad de Utrecht, 3584 CC Utrecht, Países Bajos 3Max-Planck-Institut für Metallforschung, 70569 Stuttgart, Alemania y Institut für Theoretische und Angewandte Physik, Universität Stuttgart, 70569 Stuttgart, Alemania Utilizando confocal-microscopía investigamos la estructura de mezclas binarias de esferas duras coloidales con relación de tamaño q = 0,61. Como una función de la fracción de embalaje de las dos especies de partículas, observamos un cambio marcado de la longitud de onda dominante en la función de correlación del par. Este comportamiento está en excelente acuerdo con un cruce estructural recientemente previsto en tales mezclas. Además, el se analizan las repercusiones del crossover estructural en la estructura del espacio real de un fluido binario. Nosotros sugieren una relación entre el cruce y la extensión lateral de las redes que sólo contienen por igual partículas de tamaño que están conectadas por enlaces vecinos más cercanos. Esto es apoyado por Monte-Carlo simulaciones que se realizan a diferentes fracciones de embalaje y proporciones de tamaño. Números PACS: 82.70.Dd, 61.20.-p La mayoría de los sistemas en la naturaleza y la tecnología son mezclas de partículas de diferente tamaño. Cada tamaño de partícula distinto introduce otra escala de longitud y su competencia da a una fenomenología extremadamente rica en compari- hijo con sistemas de un solo componente. Ya es la más simple. sistema multicomponente concebible, es decir, una mezcla binaria- tura de esferas duras, exhibe interesantes y complejas comportamiento. Sólo unos pocos ejemplos incluyen la entropía impulsada formación de cristales binarios [1, 2, 3], gritos frustrados- crecimiento tal [4], efecto de la nuez de Brasil [5], formación de vidrio [6, 7] y selectividad entrópica en campos externos [8]. Al- aunque los potenciales de interacción en los sistemas atómicos son más complejo que los de las esferas duras, el principio de vol- la exclusión de ume es omnipresente y por lo tanto siempre domina el orden de corto alcance en líquidos [9]. Por lo tanto, duro las esferas forman una de las más importantes y exitosas sistemas de modelos en la descripción de las propiedades fundamentales de fluidos y sólidos. Se ha demostrado que muchos sus características pueden ser transferidas directamente a atómicos sistemas en los que los mecanismos fundamentales son a menudo struida por otros efectos materiales específicos [10]. Bi- los sistemas de esfera dura se caracterizan plenamente por su cociente de tamaño q = S/B con los diámetros de los pequeños (S) y grandes (B) esferas y la pequeña y grande esfera fracciones de embalaje ηS, ηB, respectivamente. Las funciones de correlación de pares, gij(r), son la central medida de la estructura en fluidos; describen la probabil- ity de encontrar una partícula de tamaño i a distancia r de otro partícula de tamaño j. Es bien sabido que todos los pares-correlación funciones en cualquier mezcla de fluido con inter- de corto alcance acciones (no sólo esferas duras) exhiben el mismo tipo decaimiento asintótico, que puede ser puramente (mono- tónico) oscilatorio exponencial o amortiguado exponencialmente ([11] y sus referencias). Esta predicción, que es válida en todas las dimensiones, sugiere que todos los pares de correlación funciones decaen con una longitud de onda común y decaen longitud en el límite asintótico. Para la esfera dura binaria mezclas en las que ηB ηS o ηS ηB, esto ya que el sistema está dominado por grandes o pequeños partículas. Las funciones de correlación de pares asymptot- oscilación ica con una longitud de onda determinada por B (ηB ηS) o ηS (ηS ηB). Algo sorprendente es que la declaración anterior también es válida para todas las demás rela- Fracciones de embalaje en las que el sistema no está dominado por partículas de un solo tamaño ([11, 12]). En consecuencia, en el límite asintótico se divide el diagrama de fase (ηS, ηB) por una línea crossover afilada donde las longitudes de decaimiento de la las contribuciones a gij(r) con las dos longitudes de onda se convierten idéntico. Por debajo y por encima de esta línea, sin embargo, el par- función de correlación es determinado por el diámetro de las pequeñas esferas o la de las grandes esferas [13]. A pesar del carácter genérico del cruce estructural y la estrecha relación entre la estructura y yo... propiedades mecánicas, este efecto no se ha observado en experimentos como el límite asintótico es difícil de alcanzar en la dispersión de experimentos en el liq atómico y molecular Uids. Sin embargo, los cálculos recientes sugieren que crossover tural ya es detectable en relativamente pequeño distancias [12]. Porque las partículas coloidales son directamente accesible en el espacio real, tales sistemas proporcionan una oppor- tunity para explorar la estructura de los fluidos binarios y para investigar experimentalmente el cruce estructural. Como suspensión coloidal usamos un binario acuoso mezcla de pequeñas partículas de melamina (S = 2,9μm) y grandes esferas de poliestireno (B = 4,8μm). Adición de: la sal tamiza las interacciones electrostáticas residuales por lo tanto plomo- ■ un sistema eficaz de esfera dura. Desde Melamin tiene una densidad más alta (en M = 1,51g/cm3) que el poliestireno Las velocidades de sedimentación son sim- ilar y, por lo tanto, obtenemos un sistema homogéneo después de mezcla. La suspensión estaba contenida en un cilíndrico célula de muestra con una placa inferior de sílice para permitir óptica imágenes con un microscopio confocal invertido en reflec- ciones (Leica TCS SP2). De las imágenes, partículas posiciones se obtuvieron con microscopía de vídeo digital [14]. Las capas fuertes en la pared inferior nos permitieron imagen sólo la primera capa inferior bidimensional de la Sistema tridimensional. Definimos la fracción de embalaje Figura 1: Diferentes rutas con constante fracción de embalaje total η = ηS + ηB en el (ηS, ηB)- plano. Datos experimentales (abiertos) símbolos: η = 0,72, q = 0,61) se clasifican en diez cubos. Los tamaño de la papelera está indicado por las ’barras de error’. Símbolos cerrados cor- responder a las simulaciones MC (N: η = 0,62, q = 0,4) y (•: η = 0,57, q = 0,5). Para mayor comodidad, todas las muestras son la- con el aumento de números en la dirección indicada por las flechas. como ηi = 2i /4, con la densidad numérica del componente i. Variación de las fracciones de embalaje relativas de la par- ticles se logró mediante la adición de pequeñas partículas a un suspensión de grandes esferas (Fig.1). Por lo tanto, el paquete total- fracción de ing en la capa inferior bidimensional permanece constante para todas las muestras: η = 0,72. En la siguiente se referirá a las diferentes muestras por los números de muestra (No.) como se indica en la figura 1. Fotos típicas del sistema para diferentes embalajes Las fracciones de partículas grandes y pequeñas se muestran en la Figs.2A- C. Las imágenes muestran cómo la estructura del bot- La capa de tam cambia de ser rica en partículas pequeñas (No. 1, Fig.2A) a ser rico en partículas grandes (No. 10, Fig.2C). Fig.2B (No. 5) corresponde aproximadamente al mismo número densidad de esferas pequeñas y grandes. Con el fin de analizar la muestras para un posible cruce estructural, calculamos la función de correlación par de la partícula determinada posiciones. Para minimizar el ruido estadístico no distin- Guish entre esferas grandes y pequeñas. Esto está justificado. porque el cruce ha sido predicho para ser visible en todos funciones de correlación par y por lo tanto también en cualquier com- lineal binación [11, 12]. La longitud de onda dominante en el os- cillaciones se identifica computando la correlación total función htot(r) = i,j xixjhij(r) = ij xixj [gij(r)−1], con la fracción mole xi = Łi/ i.i. del componente i [12]. Fig.2D muestra ejemplarmente ln htot(r) para muestras No. 1,5, y 9. Tenga en cuenta que en esta representación la oscilación la longitud de onda se reduce a la mitad. Las funciones de correlación de sam- ples no 1 y 9 oscilan claramente con una sola longitud de onda, respectivamente, dados por la letra  B/2 y la letra  S/2. En cambio, La muestra 5 no muestra una longitud de onda dominante, pero una interferencia de diferentes escalas de longitud que es típica cerca del cruce estructural. Es importante mencionar, Figura 2: A-C) Imágenes típicas de la capa inferior de una mezcla binaria observada con un microscopio confocal utilizado en modo de reflexión. Las mezclas corresponden a la muestra 10 (A), 5 B) y 1 C). El campo de visión es 40×40μm2. D) Logarítmico diagrama de las funciones de correlación total htot(r) para el experi- mezclas binarias mentales con η = 0,72 ± 0,04. Correlación las funciones se grafican para los números de muestra 1,5 y 9 (comparar Fig.1) y se desplazan en dirección vertical para mayor claridad. El hor- Las barras izontales corresponden a B/2 y S/2, respectivamente. E) Fourier-transforms de htot(r) para los puntos de datos experimentales (compare Fig. 1). Las líneas verticales indican los vectores de onda k correspondientes a los diámetros de la pequeña (S) y ticles (B), respectivamente. (color en línea). que este comportamiento intermedio sólo se observa para sam- ples No 5 y 6, es decir, sólo para alrededor del 10% de la totalidad rango sobre el cual ηB y ηS fue variado. El experimento... cuenta identificado crossover-region está en excelente acuerdo con el valor calculado teóricamente de ηS ­0,3 a los coeficientes de tamaño, que se determinaron a partir de la descomposición de las funciones de correlación del par calculadas dentro de la densidad teoría funcional en el límite de partículas de ensayo [15]. Fig.2E Figura 3: Visualización de los diferentes tipos de unión determinados por una triangulación Delaunay: grande-grande (negro), grande-pequeño (amarillo) y pequeño-pequeño (rojo). Las diferentes parcelas corresponden a los números de muestra indicados en la figura 1. El campo de visión es 180× 180μm2. muestra las transformadas de Fourier de htot(r) para todas las muestras donde el cambio más bien repentino de la ola dominante... longitud se ve más claramente [16]. En un paquete pequeño y alto... las fracciones ing, las correlaciones están claramente dominadas por frecuencias correspondientes a partes pequeñas o grandes Células (líneas verticales) mientras que alrededor de la muestra no 5 casi ninguna se observa la frecuencia dominante. Esto experimentalmente confirma el crossover estructural, así como su ocurrencia en distancias de partículas finitas. Hasta la fecha, se ha debatido el crossover estructural en términos Figura 4: Radios medios de giro con L2 el tamaño del campo de visión) de las redes formadas por grandes (símbolos sólidos) y pequeñas partículas (símbolos abiertos) función del número de muestra para A) los datos experimentales, B) las simulaciones MC a η = 0,57 y q = 0,5 y, C) Simulación MC a η = 0,62 y q = 0,4. La correspondencia... También se indica la fracción de embalaje de partículas pequeñas ηS. El área gris y la línea discontinua, respectivamente, indican la crossover como se infiere de las funciones de correlación y de la teoría funcional de la densidad. (color en línea). de funciones de correlación de pares, es decir, promedio espacialmente - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí, sí, sí., sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí.... Dado que nuestros experimentos proporcionan naturalmente detalles información estructural, investigamos lo que el reper- las flexiones son del crossover estructural en el espacio real estructura. Primero sometimos una triangulación Delaunay a el conjunto de centros de partículas e identificado vecino más cercano enlaces entre grande-grande (negro), grande-pequeño (amarillo), y partículas pequeñas y pequeñas (rojas), respectivamente (véase la figura 3). As en la figura 3, la muestra 1 consiste predominantemente en bonos grandes que forman una gran red que se extiende a través de todo el campo de visión. Con el aumento de la muestra No., es decir aumentar ηS, aumentar el número de bonos pequeños y pequeños, que lleva a la fragmentación de la red grande-grande en parches más pequeños, distribuidos al azar. En la muestra grande números, el papel de las partículas grandes y pequeñas se invierte Los enlaces pequeños y pequeños forman una red que abarca la zona de neumáticos (núm. 10). Distinguir entre diferenci- ent los tipos de enlace, una medida natural y bien conocida de la extensión espacial de una red formada por ni partículas de tamaño i en posiciones ~xik (k = 1... n i) viene dada por el radio de giro Rig = k=1(~x k − ~R 2, con ~Ri0 el cen- la posición de la red. Cálculo de esta cantidad para todos, decir N iC, redes formadas por partículas conectadas de tamaño finalmente produce un radio medio ponderado de giros • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m=1 ni(m)R g(m) donde N i denotar la número total de partículas i. Calculamos "Rig" para la red... trabajos consistentes en partículas grandes o pequeñas conectadas y trazaron estos valores para nuestros datos experimentales en la Fig.4A en función del número de muestra. A pequeña y alta las cantidades saturadas, mientras que un relativamente transición aguda con un punto de intersección se produce alrededor Muestra 6. Esta ubicación está de hecho en muy buen acuerdo con la transición de cruce, según se determine a partir de la funciones de relación en la Fig.2 y la teoría funcional de densidad (también se indica en la Fig. 4A). Esto sugiere que la estructura el cruce de tural corresponde a una competencia entre la los tamaños de las redes que consisten en grandes o pequeños conectados par- ticles, respectivamente. Como el cruce estructural también se predice para otros tamaños ratios y fracciones de embalaje, utilizamos Montecarlo (MC) simulaciones para probar nuestros hallazgos para sistemas más diluidos con cocientes de tamaño q = 0,5 y q = 0,4. Los correspondientes rutas a través del diagrama de fase (ver símbolos cerrados en Fig.1) se obtuvieron a partir de simulaciones bidimensionales con un número fijo de partículas de aproximadamente 0 < N < 3000 para tanto las especies como las zonas de caja de alrededor de 1500e2B que emplean las condiciones periódicas de los límites. Desde la configuración snapshots determinamos primero la región de crossover por analizar htot(r) (se muestrean las funciones de correlación utilizando 104 ciclos MC por partícula). Luego, realizamos la triangulación de Delaunay antes descrita para calcular Para redes de partículas grandes o pequeñas conectadas, re- Desde el punto de vista de las perspectivas. Los radios correspondientes de giro son... en la Fig.4B y C y muestran un comportamiento similar al de la experimento. De nuevo, los puntos de intersección son consistentes con la región de cruce como se infiere de la correlación funciones y cálculos de DFT. Tenga en cuenta que el crossover región depende sensiblemente de la proporción de tamaño y embalaje fracciones. Tanto el experimento como el Sim de Montecarlo... las ulaciones muestran que el crossover estructural está acompañado por un cambio pronunciado en el tamaño típico de las redes consistente en partículas grandes y pequeñas conectadas. Por... troduciendo pequeñas partículas en un sistema de grandes esferas, las conexiones entre las partículas grandes se rompen y, en el Al mismo tiempo, se hacen conexiones entre pequeñas partículas. Esto afecta sensiblemente al tamaño típico de las redes el mantenimiento conectado, partículas de igual tamaño y, por lo tanto, el posibilidad de encontrar otra partícula con el mismo tamaño en un distancia relativamente grande. En consecuencia, el cambio de + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + un simple argumento del espacio real por qué la onda de oscilación- longitud de la gij(r) en el límite asintótico se establece por la letra B o por la letra S. Hemos demostrado experimentalmente la crossover en un sistema binario de esfera dura coloidal. Piel... termorre, demostramos que el crossover estructural es fuerte acoplado al tamaño de las redes que contienen redes conectadas sólo partículas de igual tamaño. Cruzando la estructura crossover, la proporción de tamaño de tales redes o bien partículas grandes o pequeñas conectadas se invierten. Estaremos... lieve esta imagen de configuración del espacio real de la estructura crossover no es sólo aplicable a las esferas duras binarias, como crossover estructural es una característica genérica de las mezclas con balanzas de longitudes competidoras. Por otra parte, muestra inter- Ester similitudes con cadenas de fuerza en materia granular [17] y sistemas vidriosos [6, 7, 18] de parti- cles. Por lo tanto, nuestro hallazgo puede ayudar a obtener más información en propiedades relacionadas con la estructura en sistemas binarios a nivel universal. * Dirección electrónica: j.baumgartl@physik.uni- stuttgart.de [1] P. Bartlett, R. H. Ottewill y P. N. Pusey, Phys. Rev. Lett. 68, 3801 (1992). [2] A. B. Schofield, Phys. Rev. E 64, 51403 (2001). [3] M. D. Eldrige, P. A. Madden y D. Frenkel, Nature 365, 35 (1993). [4] V. W. A. de Villeneuve, R. P. A. Dullens, D. G. A. L. Aarts, E. Groeneveld, J. H. Scherff, W. K. Kegel y H. N. W. Lekkerkerker, Science 309, 1231 (2005). [5] D. C. Hong, P. V. Quinn y S. Luding, Phys. Rev. Lett. 86, 3423 (2001). [6] T. Eckert y E. Bartsch, Phys. Rev. Lett. 89, 125701 (2002). [7] D. N. Perera y P. Harrowell, Phys. Rev. E 59, 5721 (1999). [8] R. Roth y D. Gillespie, Phys. Rev. Lett. 95, 247801 (2005). [9] S. Sastry, T. M. Truskett, P. G. Debenedetti, S. Torquato y F. H. Stillinger, Mol. Phys. 95, 289 (1998). [10] W. Poon, P. Pusey y H. N. W. Lekkerkerkerker, Física World April, 27 (1996). [11] C. Grodon, M. Dijkstra, R. Evans y R. Roth, J. Chem. Phys. 121, 7869 (2004). [12] C. Grodon, M. Dijkstra, R. Evans y R. Roth, Mol. Phys. 103, 3009 (2004). [13] Para relaciones de tamaño muy asimétricas, es decir, q < 0,3, puede haber regiones adicionales en las que oscilan a nivel intermedio se puede observar la longitud de onda. [14] J. C. Crocker y D. G. Grier, J. Colloid Interface Sci. 179, 298 (1996). [15] R. Roth, R. Evans y S. Dietrich, Phys. Rev. E 62, 5360 (2000). [16] En dos dimensiones para las funciones simétricas radiales el Fouriertransform se convierte en una Besseltransform. Sin embargo, para la identificación de la longitud de onda dominante habitual Fouriertransform, que es numéricamente más fácil de manillar, predice resultados equivalentes [17] C. S. O’Hern, S. A. Langer, A. J. Liu y S. R. Nagel, Phys. Rev. Lett. 86, 111 (2001). [18] N. Hoffman, F. Ebert, C. N. Likos, H. Löwen y G. Maret, Phys. Rev. Lett. 97, 078301 (2006). Bibliografía

Utilizando confocal-microscopía investigamos la estructura de las mezclas binarias de esferas duras coloidales con relación de tamaño q=0,61. En función del embalaje fracción de las dos especies de partículas, observamos un cambio marcado de la longitud de onda dominante en la función de correlación de pares. Este comportamiento está en excelente acuerdo con un crossover estructural recientemente previsto en mezclas. Además, las repercusiones del crossover estructural en el se analiza la estructura del espacio real de un fluido binario. Sugerimos una relación entre el cruce y la extensión lateral de las redes que sólo contienen por igual partículas de tamaño que están conectadas por enlaces vecinos más cercanos. Esto es compatible con simulaciones de Montecarlo que se realizan en diferentes fracciones de embalaje y proporciones de tamaño.

Observación experimental de crossover estructural en mezclas binarias de duro coloidal esferas Jörg Baumgartl1,*, Roel P.A. Dullens1, Marjolein Dijkstra2, Roland Roth3 y Clemens Bechinger1 12. Physikalisches Institut, Universität Stuttgart, 70550 Stuttgart, Alemania 2Soft Condensed Matter Group, Universidad de Utrecht, 3584 CC Utrecht, Países Bajos 3Max-Planck-Institut für Metallforschung, 70569 Stuttgart, Alemania y Institut für Theoretische und Angewandte Physik, Universität Stuttgart, 70569 Stuttgart, Alemania Utilizando confocal-microscopía investigamos la estructura de mezclas binarias de esferas duras coloidales con relación de tamaño q = 0,61. Como una función de la fracción de embalaje de las dos especies de partículas, observamos un cambio marcado de la longitud de onda dominante en la función de correlación del par. Este comportamiento está en excelente acuerdo con un cruce estructural recientemente previsto en tales mezclas. Además, el se analizan las repercusiones del crossover estructural en la estructura del espacio real de un fluido binario. Nosotros sugieren una relación entre el cruce y la extensión lateral de las redes que sólo contienen por igual partículas de tamaño que están conectadas por enlaces vecinos más cercanos. Esto es apoyado por Monte-Carlo simulaciones que se realizan a diferentes fracciones de embalaje y proporciones de tamaño. Números PACS: 82.70.Dd, 61.20.-p La mayoría de los sistemas en la naturaleza y la tecnología son mezclas de partículas de diferente tamaño. Cada tamaño de partícula distinto introduce otra escala de longitud y su competencia da a una fenomenología extremadamente rica en compari- hijo con sistemas de un solo componente. Ya es la más simple. sistema multicomponente concebible, es decir, una mezcla binaria- tura de esferas duras, exhibe interesantes y complejas comportamiento. Sólo unos pocos ejemplos incluyen la entropía impulsada formación de cristales binarios [1, 2, 3], gritos frustrados- crecimiento tal [4], efecto de la nuez de Brasil [5], formación de vidrio [6, 7] y selectividad entrópica en campos externos [8]. Al- aunque los potenciales de interacción en los sistemas atómicos son más complejo que los de las esferas duras, el principio de vol- la exclusión de ume es omnipresente y por lo tanto siempre domina el orden de corto alcance en líquidos [9]. Por lo tanto, duro las esferas forman una de las más importantes y exitosas sistemas de modelos en la descripción de las propiedades fundamentales de fluidos y sólidos. Se ha demostrado que muchos sus características pueden ser transferidas directamente a atómicos sistemas en los que los mecanismos fundamentales son a menudo struida por otros efectos materiales específicos [10]. Bi- los sistemas de esfera dura se caracterizan plenamente por su cociente de tamaño q = S/B con los diámetros de los pequeños (S) y grandes (B) esferas y la pequeña y grande esfera fracciones de embalaje ηS, ηB, respectivamente. Las funciones de correlación de pares, gij(r), son la central medida de la estructura en fluidos; describen la probabil- ity de encontrar una partícula de tamaño i a distancia r de otro partícula de tamaño j. Es bien sabido que todos los pares-correlación funciones en cualquier mezcla de fluido con inter- de corto alcance acciones (no sólo esferas duras) exhiben el mismo tipo decaimiento asintótico, que puede ser puramente (mono- tónico) oscilatorio exponencial o amortiguado exponencialmente ([11] y sus referencias). Esta predicción, que es válida en todas las dimensiones, sugiere que todos los pares de correlación funciones decaen con una longitud de onda común y decaen longitud en el límite asintótico. Para la esfera dura binaria mezclas en las que ηB ηS o ηS ηB, esto ya que el sistema está dominado por grandes o pequeños partículas. Las funciones de correlación de pares asymptot- oscilación ica con una longitud de onda determinada por B (ηB ηS) o ηS (ηS ηB). Algo sorprendente es que la declaración anterior también es válida para todas las demás rela- Fracciones de embalaje en las que el sistema no está dominado por partículas de un solo tamaño ([11, 12]). En consecuencia, en el límite asintótico se divide el diagrama de fase (ηS, ηB) por una línea crossover afilada donde las longitudes de decaimiento de la las contribuciones a gij(r) con las dos longitudes de onda se convierten idéntico. Por debajo y por encima de esta línea, sin embargo, el par- función de correlación es determinado por el diámetro de las pequeñas esferas o la de las grandes esferas [13]. A pesar del carácter genérico del cruce estructural y la estrecha relación entre la estructura y yo... propiedades mecánicas, este efecto no se ha observado en experimentos como el límite asintótico es difícil de alcanzar en la dispersión de experimentos en el liq atómico y molecular Uids. Sin embargo, los cálculos recientes sugieren que crossover tural ya es detectable en relativamente pequeño distancias [12]. Porque las partículas coloidales son directamente accesible en el espacio real, tales sistemas proporcionan una oppor- tunity para explorar la estructura de los fluidos binarios y para investigar experimentalmente el cruce estructural. Como suspensión coloidal usamos un binario acuoso mezcla de pequeñas partículas de melamina (S = 2,9μm) y grandes esferas de poliestireno (B = 4,8μm). Adición de: la sal tamiza las interacciones electrostáticas residuales por lo tanto plomo- ■ un sistema eficaz de esfera dura. Desde Melamin tiene una densidad más alta (en M = 1,51g/cm3) que el poliestireno Las velocidades de sedimentación son sim- ilar y, por lo tanto, obtenemos un sistema homogéneo después de mezcla. La suspensión estaba contenida en un cilíndrico célula de muestra con una placa inferior de sílice para permitir óptica imágenes con un microscopio confocal invertido en reflec- ciones (Leica TCS SP2). De las imágenes, partículas posiciones se obtuvieron con microscopía de vídeo digital [14]. Las capas fuertes en la pared inferior nos permitieron imagen sólo la primera capa inferior bidimensional de la Sistema tridimensional. Definimos la fracción de embalaje Figura 1: Diferentes rutas con constante fracción de embalaje total η = ηS + ηB en el (ηS, ηB)- plano. Datos experimentales (abiertos) símbolos: η = 0,72, q = 0,61) se clasifican en diez cubos. Los tamaño de la papelera está indicado por las ’barras de error’. Símbolos cerrados cor- responder a las simulaciones MC (N: η = 0,62, q = 0,4) y (•: η = 0,57, q = 0,5). Para mayor comodidad, todas las muestras son la- con el aumento de números en la dirección indicada por las flechas. como ηi = 2i /4, con la densidad numérica del componente i. Variación de las fracciones de embalaje relativas de la par- ticles se logró mediante la adición de pequeñas partículas a un suspensión de grandes esferas (Fig.1). Por lo tanto, el paquete total- fracción de ing en la capa inferior bidimensional permanece constante para todas las muestras: η = 0,72. En la siguiente se referirá a las diferentes muestras por los números de muestra (No.) como se indica en la figura 1. Fotos típicas del sistema para diferentes embalajes Las fracciones de partículas grandes y pequeñas se muestran en la Figs.2A- C. Las imágenes muestran cómo la estructura del bot- La capa de tam cambia de ser rica en partículas pequeñas (No. 1, Fig.2A) a ser rico en partículas grandes (No. 10, Fig.2C). Fig.2B (No. 5) corresponde aproximadamente al mismo número densidad de esferas pequeñas y grandes. Con el fin de analizar la muestras para un posible cruce estructural, calculamos la función de correlación par de la partícula determinada posiciones. Para minimizar el ruido estadístico no distin- Guish entre esferas grandes y pequeñas. Esto está justificado. porque el cruce ha sido predicho para ser visible en todos funciones de correlación par y por lo tanto también en cualquier com- lineal binación [11, 12]. La longitud de onda dominante en el os- cillaciones se identifica computando la correlación total función htot(r) = i,j xixjhij(r) = ij xixj [gij(r)−1], con la fracción mole xi = Łi/ i.i. del componente i [12]. Fig.2D muestra ejemplarmente ln htot(r) para muestras No. 1,5, y 9. Tenga en cuenta que en esta representación la oscilación la longitud de onda se reduce a la mitad. Las funciones de correlación de sam- ples no 1 y 9 oscilan claramente con una sola longitud de onda, respectivamente, dados por la letra  B/2 y la letra  S/2. En cambio, La muestra 5 no muestra una longitud de onda dominante, pero una interferencia de diferentes escalas de longitud que es típica cerca del cruce estructural. Es importante mencionar, Figura 2: A-C) Imágenes típicas de la capa inferior de una mezcla binaria observada con un microscopio confocal utilizado en modo de reflexión. Las mezclas corresponden a la muestra 10 (A), 5 B) y 1 C). El campo de visión es 40×40μm2. D) Logarítmico diagrama de las funciones de correlación total htot(r) para el experi- mezclas binarias mentales con η = 0,72 ± 0,04. Correlación las funciones se grafican para los números de muestra 1,5 y 9 (comparar Fig.1) y se desplazan en dirección vertical para mayor claridad. El hor- Las barras izontales corresponden a B/2 y S/2, respectivamente. E) Fourier-transforms de htot(r) para los puntos de datos experimentales (compare Fig. 1). Las líneas verticales indican los vectores de onda k correspondientes a los diámetros de la pequeña (S) y ticles (B), respectivamente. (color en línea). que este comportamiento intermedio sólo se observa para sam- ples No 5 y 6, es decir, sólo para alrededor del 10% de la totalidad rango sobre el cual ηB y ηS fue variado. El experimento... cuenta identificado crossover-region está en excelente acuerdo con el valor calculado teóricamente de ηS ­0,3 a los coeficientes de tamaño, que se determinaron a partir de la descomposición de las funciones de correlación del par calculadas dentro de la densidad teoría funcional en el límite de partículas de ensayo [15]. Fig.2E Figura 3: Visualización de los diferentes tipos de unión determinados por una triangulación Delaunay: grande-grande (negro), grande-pequeño (amarillo) y pequeño-pequeño (rojo). Las diferentes parcelas corresponden a los números de muestra indicados en la figura 1. El campo de visión es 180× 180μm2. muestra las transformadas de Fourier de htot(r) para todas las muestras donde el cambio más bien repentino de la ola dominante... longitud se ve más claramente [16]. En un paquete pequeño y alto... las fracciones ing, las correlaciones están claramente dominadas por frecuencias correspondientes a partes pequeñas o grandes Células (líneas verticales) mientras que alrededor de la muestra no 5 casi ninguna se observa la frecuencia dominante. Esto experimentalmente confirma el crossover estructural, así como su ocurrencia en distancias de partículas finitas. Hasta la fecha, se ha debatido el crossover estructural en términos Figura 4: Radios medios de giro con L2 el tamaño del campo de visión) de las redes formadas por grandes (símbolos sólidos) y pequeñas partículas (símbolos abiertos) función del número de muestra para A) los datos experimentales, B) las simulaciones MC a η = 0,57 y q = 0,5 y, C) Simulación MC a η = 0,62 y q = 0,4. La correspondencia... También se indica la fracción de embalaje de partículas pequeñas ηS. El área gris y la línea discontinua, respectivamente, indican la crossover como se infiere de las funciones de correlación y de la teoría funcional de la densidad. (color en línea). de funciones de correlación de pares, es decir, promedio espacialmente - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí, sí, sí, sí., sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí.... Dado que nuestros experimentos proporcionan naturalmente detalles información estructural, investigamos lo que el reper- las flexiones son del crossover estructural en el espacio real estructura. Primero sometimos una triangulación Delaunay a el conjunto de centros de partículas e identificado vecino más cercano enlaces entre grande-grande (negro), grande-pequeño (amarillo), y partículas pequeñas y pequeñas (rojas), respectivamente (véase la figura 3). As en la figura 3, la muestra 1 consiste predominantemente en bonos grandes que forman una gran red que se extiende a través de todo el campo de visión. Con el aumento de la muestra No., es decir aumentar ηS, aumentar el número de bonos pequeños y pequeños, que lleva a la fragmentación de la red grande-grande en parches más pequeños, distribuidos al azar. En la muestra grande números, el papel de las partículas grandes y pequeñas se invierte Los enlaces pequeños y pequeños forman una red que abarca la zona de neumáticos (núm. 10). Distinguir entre diferenci- ent los tipos de enlace, una medida natural y bien conocida de la extensión espacial de una red formada por ni partículas de tamaño i en posiciones ~xik (k = 1... n i) viene dada por el radio de giro Rig = k=1(~x k − ~R 2, con ~Ri0 el cen- la posición de la red. Cálculo de esta cantidad para todos, decir N iC, redes formadas por partículas conectadas de tamaño finalmente produce un radio medio ponderado de giros • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m=1 ni(m)R g(m) donde N i denotar la número total de partículas i. Calculamos "Rig" para la red... trabajos consistentes en partículas grandes o pequeñas conectadas y trazaron estos valores para nuestros datos experimentales en la Fig.4A en función del número de muestra. A pequeña y alta las cantidades saturadas, mientras que un relativamente transición aguda con un punto de intersección se produce alrededor Muestra 6. Esta ubicación está de hecho en muy buen acuerdo con la transición de cruce, según se determine a partir de la funciones de relación en la Fig.2 y la teoría funcional de densidad (también se indica en la Fig. 4A). Esto sugiere que la estructura el cruce de tural corresponde a una competencia entre la los tamaños de las redes que consisten en grandes o pequeños conectados par- ticles, respectivamente. Como el cruce estructural también se predice para otros tamaños ratios y fracciones de embalaje, utilizamos Montecarlo (MC) simulaciones para probar nuestros hallazgos para sistemas más diluidos con cocientes de tamaño q = 0,5 y q = 0,4. Los correspondientes rutas a través del diagrama de fase (ver símbolos cerrados en Fig.1) se obtuvieron a partir de simulaciones bidimensionales con un número fijo de partículas de aproximadamente 0 < N < 3000 para tanto las especies como las zonas de caja de alrededor de 1500e2B que emplean las condiciones periódicas de los límites. Desde la configuración snapshots determinamos primero la región de crossover por analizar htot(r) (se muestrean las funciones de correlación utilizando 104 ciclos MC por partícula). Luego, realizamos la triangulación de Delaunay antes descrita para calcular Para redes de partículas grandes o pequeñas conectadas, re- Desde el punto de vista de las perspectivas. Los radios correspondientes de giro son... en la Fig.4B y C y muestran un comportamiento similar al de la experimento. De nuevo, los puntos de intersección son consistentes con la región de cruce como se infiere de la correlación funciones y cálculos de DFT. Tenga en cuenta que el crossover región depende sensiblemente de la proporción de tamaño y embalaje fracciones. Tanto el experimento como el Sim de Montecarlo... las ulaciones muestran que el crossover estructural está acompañado por un cambio pronunciado en el tamaño típico de las redes consistente en partículas grandes y pequeñas conectadas. Por... troduciendo pequeñas partículas en un sistema de grandes esferas, las conexiones entre las partículas grandes se rompen y, en el Al mismo tiempo, se hacen conexiones entre pequeñas partículas. Esto afecta sensiblemente al tamaño típico de las redes el mantenimiento conectado, partículas de igual tamaño y, por lo tanto, el posibilidad de encontrar otra partícula con el mismo tamaño en un distancia relativamente grande. En consecuencia, el cambio de + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + un simple argumento del espacio real por qué la onda de oscilación- longitud de la gij(r) en el límite asintótico se establece por la letra B o por la letra S. Hemos demostrado experimentalmente la crossover en un sistema binario de esfera dura coloidal. Piel... termorre, demostramos que el crossover estructural es fuerte acoplado al tamaño de las redes que contienen redes conectadas sólo partículas de igual tamaño. Cruzando la estructura crossover, la proporción de tamaño de tales redes o bien partículas grandes o pequeñas conectadas se invierten. Estaremos... lieve esta imagen de configuración del espacio real de la estructura crossover no es sólo aplicable a las esferas duras binarias, como crossover estructural es una característica genérica de las mezclas con balanzas de longitudes competidoras. Por otra parte, muestra inter- Ester similitudes con cadenas de fuerza en materia granular [17] y sistemas vidriosos [6, 7, 18] de parti- cles. Por lo tanto, nuestro hallazgo puede ayudar a obtener más información en propiedades relacionadas con la estructura en sistemas binarios a nivel universal. * Dirección electrónica: j.baumgartl@physik.uni- stuttgart.de [1] P. Bartlett, R. H. Ottewill y P. N. Pusey, Phys. Rev. Lett. 68, 3801 (1992). [2] A. B. Schofield, Phys. Rev. E 64, 51403 (2001). [3] M. D. Eldrige, P. A. Madden y D. Frenkel, Nature 365, 35 (1993). [4] V. W. A. de Villeneuve, R. P. A. Dullens, D. G. A. L. Aarts, E. Groeneveld, J. H. Scherff, W. K. Kegel y H. N. W. Lekkerkerker, Science 309, 1231 (2005). [5] D. C. Hong, P. V. Quinn y S. Luding, Phys. Rev. Lett. 86, 3423 (2001). [6] T. Eckert y E. Bartsch, Phys. Rev. Lett. 89, 125701 (2002). [7] D. N. Perera y P. Harrowell, Phys. Rev. E 59, 5721 (1999). [8] R. Roth y D. Gillespie, Phys. Rev. Lett. 95, 247801 (2005). [9] S. Sastry, T. M. Truskett, P. G. Debenedetti, S. Torquato y F. H. Stillinger, Mol. Phys. 95, 289 (1998). [10] W. Poon, P. Pusey y H. N. W. Lekkerkerkerker, Física World April, 27 (1996). [11] C. Grodon, M. Dijkstra, R. Evans y R. Roth, J. Chem. Phys. 121, 7869 (2004). [12] C. Grodon, M. Dijkstra, R. Evans y R. Roth, Mol. Phys. 103, 3009 (2004). [13] Para relaciones de tamaño muy asimétricas, es decir, q < 0,3, puede haber regiones adicionales en las que oscilan a nivel intermedio se puede observar la longitud de onda. [14] J. C. Crocker y D. G. Grier, J. Colloid Interface Sci. 179, 298 (1996). [15] R. Roth, R. Evans y S. Dietrich, Phys. Rev. E 62, 5360 (2000). [16] En dos dimensiones para las funciones simétricas radiales el Fouriertransform se convierte en una Besseltransform. Sin embargo, para la identificación de la longitud de onda dominante habitual Fouriertransform, que es numéricamente más fácil de manillar, predice resultados equivalentes [17] C. S. O’Hern, S. A. Langer, A. J. Liu y S. R. Nagel, Phys. Rev. Lett. 86, 111 (2001). [18] N. Hoffman, F. Ebert, C. N. Likos, H. Löwen y G. Maret, Phys. Rev. Lett. 97, 078301 (2006). Bibliografía

The Blazar Spectral Sequence and GLAST

La secuencia espectral de Blazar y GLAST L. Maraschi, G. Ghisellini y F. Tavecchio INAF-Osservatorio Astronomico di Brera, Milano, Italia Resumen. El estado actual y la comprensión de la "secuencia espectral" de los blazares se discute en la perspectiva de la El próximo lanzamiento de GLAST. La gran mejora de la sensibilidad permitirá i) determinar más objetivamente el "promedio" propiedades de rayos gamma de los objetos de clases ii) sondear más profundamente la relación entre la potencia de acreción y la potencia de chorro en diferentes sistemas. Palabras clave: Rayos gamma - jets relativistas - Galaxias: activas PACS: 95.85.Pw; 98.54.Cm INTRODUCCIÓN La secuencia espectral de blazares (Fossati et al.,1998 al.,1998) fue construida fusionando tres muestras completas de blazares (dos radios seleccionadas, una radiografía seleccionada: 2 Jy FSRQ, Wall & Peacock 1985, 1Jy BL Lac, Kuhr et al. 1981, y Slew Encuesta BL Lac, Elvis et al. 1992), agrupando todos los objetos en contenedores de luminosidad radioeléctrica y promediando monocromática luminosidades de objetos dentro de cada cubo de radio-luminosidad. El procedimiento es por lo tanto propenso a varios sesgos (Maraschi y Tavecchio 2001), en particular los datos de rayos gamma eran en gran medida incompletos. La "secuencia" resultante muestra que los blazares SEDs se doblan y que los dos picos cambian a más altos energías con luminosidad decreciente. Modelización sistemática de los DEE de objetos individuales (Ghisellini et al. 1998) produce básicamente factores de rayos uniformes y parámetros de chorro que varían a lo largo de la secuencia en el sentido de un aumento densidad de energía y disminución de la energía electrónica crítica a mayor luminosidad. Así la "secuencia" ofrece un sugestivo indicación de que las propiedades espectrales básicas de los chorros blazar podrían estar relacionadas con las diferentes potencias implicadas y posiblemente representan una secuencia evolutiva en la historia cósmica (Boettcher y Dermer 2002; Cavaliere y D’Elia 2002). La validez del concepto de secuencia se ha cuestionado sobre la base de encuestas blazar más profundas y más amplias (por ejemplo: Giommi et al. 2005, Padovani 2007) que, sin embargo, carecen hasta ahora de los datos de rayos gamma muy importantes. En este sentido, deseamos abordar dos cuestiones. La primera se refiere a la validez de la reclamación original dentro del blazar brillante SEDs, el segundo se refiere a una anticipación de los tipos de blazares que pueden ser detectados por GLAST. NUEVOS DATOS / NUEVAS FUENTES Dado el espacio limitado ilustraremos nuestros puntos esquemáticamente, comentando pocas cifras representativas. Todos los las figuras tendrán en el fondo las líneas de doble zumbido interpolando la secuencia espectral blazar. Estos últimos son: sólo expresiones polinomiales que conectan las luminosidades monocromáticas medias obtenidas como se describe anteriormente. El SED de un nuevo FSRQ de alto corrimiento al rojo descubierto por SWIFT (BAT) J0746+2548 (z=2.979) (Sambruna y otros 2006) se muestra en la Fig. 1a. Claramente J0746 es extremadamente luminoso y se ajusta bien a la secuencia, posiblemente sugiriendo un pico de rayos gamma en energías Mev. La forma espectral en la banda de rayos gamma que será medida por GLAST para un gran número de blazares proporcionará una información esencial para limitar la posición del pico de alta energía de los blazares SED, probando así el concepto de secuencia. 3C 454,3 es un FSRQ altamente variable (z=0,859), ya detectado en rayos gamma por EGRET. Los datos de un "normal" Estado (Tavecchio et al. 2007) se muestran en la Fig. 1b. Esta fuente podría ser detectada con GLAST al 1% de la intensidad nivel que se muestra en la cifra que es la media de las mediciones EGRET. La fuente sufrió un fuerte estallido recientemente y fue observado por SWIFT (BAT) e INTEGRAL hasta más de 100 keV (Pian et al. 2006, Giommi et al. 2006). En este último estado el flujo de rayos gamma esperado podría haber sido un orden de magnitud más brillante que detectado Por EGRET. Una fuente con un chorro intrínsecamente similar podría entonces ser detectado en rayos gamma, incluso si el chorro estaba en un ángulo más grande a la línea de visión. Las líneas gruesas en la Fig. 2 representan el modelo utilizado para describir el estado "normal" de 3C 454.3, calculado para diferentes ángulos de visión. La emisión de rayos gamma podría ser detectada por GLAST hasta un ángulo http://arxiv.org/abs/0704.0344v1 GRÁFICO 1. Distribución de energía espectral de los blazares J0746+2548 (izquierda, de Sambruna et al. 2006) y 2251+158 (derecho, de Tavecchio et al. 2007) sobrepuesto en las curvas que interpolan la secuencia blazar. Para 2251+158 también reportamos el modelo utilizado reproducir los datos (curva negra superior) y la emisión esperada para un chorro desalineado con ángulos de 6, 8 y 10 respectivamente grados (de arriba a abajo). de 10 grados al eje del chorro. En este caso, el SED sería significativamente diferente de lo esperado de la secuencia, simplemente porque la emisión de chorro es menos con rayo y menos prominente con respecto al SED del disco de acreción, incluido aquí como un componente de cuerpo negro más un Seyfert como componente de rayos X. No se espera que la secuencia se extienda a los objetos con chorros vistos en ángulos intermedios. El factor Doppler diferente causa sólo un cambio lineal de la posición de pico, pero un cambios dramáticos en la luminosidad. Fig. 2 está dedicado a los blazares con luminosidades más bajas. Esta parte de la secuencia está poblada exclusivamente por BL Objetos Lac definidos como HBLs debido a que sus SEDs alcanzan un pico de altas energías, en las bandas de rayos X y TeV. In Fig. 2a los datos para el estado "normal" de PKS 2155-304 están trazados en verde. Son muy consistentes con la secuencia. Los datos de multifrecuencia obtenidos durante la llamarada excepcional TeV observada de esta fuente en julio de 2006 También se muestran (ver Foschini et al. 2007). Durante el estallido los dos picos de emisión no parecen cambiar mucho en frecuencia pero las luminosidades aumentan en un factor grande (por un corto tiempo) especialmente en la banda de TeV. Por lo tanto, la alto estado SED se desvía notablemente de las expectativas de la secuencia. Para estos objetos, aunque relativamente débil en GeV energías, observaciones GLAST serán importantes para definir la forma del pico de alta energía y su posible evolución durante los estallidos. Finalmente, en la Fig. 2b se muestran los datos de 1629+4008 (z=0,272), un blazar con un pico de emisión entre el UV y la banda de rayos X descubierta en una encuesta destinada a encontrar objetos con propiedades anómalas (Padovani et al. 2002). El SED de esta fuente cumple razonablemente bien con la expectativa de secuencia para un HBL, sin embargo este objeto muestra líneas de emisión que no es el caso de HBLS. De hecho, la secuencia incluyó sólo rayos X seleccionados BL Lacs, pero no había objetos radioeléctricos seleccionados de rayos X con líneas de emisión, ya que en ese momento no se disponía de tal muestra completa (véase Wolter & Celotti 2001). Esta fuente indica que los chorros con SED que alcanzan un pico a altas energías pueden ocurrir en la línea de emisiones AGNs. Esto es una nueva resultado, que sin embargo no rompe las correlaciones inferidas de la secuencia, como ocurre en la baja luminosidad Rango. La pregunta entonces es: ¿qué distingue a las HBL de objetos como 1629? ¿Por qué las líneas de emisión son completamente ausente en los HBL pero presente en 1629 cuyo jet es de luminosidad comparable? Según nuestras ideas (Maraschi 2001, Maraschi & Tavecchio 2003) HBL debe acretar a altas tasas subEddington, por lo tanto en el radiativamente ineficiente el régimen de acreción (RIAF), mientras que 1629, que muestra las líneas de emisión, debería estar en el régimen de disco de acreción “estándar”, Por lo tanto, cerca de su límite de Eddington. Esto a su vez implica que esta fuente contiene un agujero negro central de relativamente Una masa modesta. De la luminosidad de la acreción, asumiendo que corresponde a 0.1 la luminosidad de Eddington podemos inferir una masa de 6× 107 masas solares. Se necesitan estimaciones más directas de la masa del agujero negro para confirmar esta predicción. GRÁFICO 2. SED de los blazares 2251-304 (izquierda, Foschini et al. 2007) y 1629+4008 (Padovani et al. 2002) sobreimpuesto a la interpolaciones de secuencia blazar. Para PKS 2155-304 se muestra un estado normal junto con datos ópticos/de rayos X y de TeV durante la estallido excepcional de julio-agosto de 2006 CONCLUSIONES Los pocos ejemplos discutidos anteriormente están destinados a indicar cómo el concepto de una secuencia espectral para los blazares, basado en promedio, sobre muestras limitadas en las que sólo participen los objetos más brillantes de cada clase, podrá ser sondeado por GLAST. In en particular, se ha puesto un fuerte énfasis en el pasado en los objetos BL Lac, descuidando las radiografías seleccionadas contrapartes de FSRQ que también puede ser emisores de rayos gamma. Se espera que GLAST produzca avances extraordinarios en este campo. Aumentará por orden de magnitud el número de objetos con flujo de rayos gamma medido (ver Dermer estos procedimientos) permitiendo así estudiar muestras más profundas y seleccionadas de forma diferente. Estos ciertamente contendrán "mixto" objetos en los que la emisión de chorro es menos prominente en comparación con otras propiedades AGN. Los nuevos rayos gamma las poblaciones deben tener un gran potencial para entender el vínculo entre la potencia de acreción y la producción de chorros en objetos extragalácticos. REFERENCIAS 1. Böttcher, M., & Dermer, C. D. 2002, ApJ, 564, 86 2. Cavaliere, A., & D’Elia, V. 2002, ApJ, 571, 226 3. Elvis, M., Plummer, D., Schachter, J., & Fabbiano, G. 1992, ApJS, 80, 257 4. Foschini, L., et al. 2007, ApJ, 657, L81 5. Fossati, G., Maraschi, L., Celotti, A., Comastri, A., & Ghisellini, G. 1998, MNRAS, 299, 433 6. Ghisellini, G., Celotti, A., Fossati, G., Maraschi, L., & Comastri, A. 1998, MNRAS, 301, 451 7. Giommi, P., et al. 2006, A&A, 456, 911 8. Giommi, P., Piranomonte, S., Perri, M., & Padovani, P. 2005, A&A, 434, 385 9. Kuehr, H., Witzel, A., Pauliny-Toth, I. I. K., & Nauber, U. 1981, A&AS, 45, 367 10. Maraschi, L., & Tavecchio, F. 2003, ApJ, 593, 667 11. Maraschi, L. 2001, AIP Conf. Proc. 586: XX Simposio de Texas sobre astrofísica relativista, 586, 409 12. Maraschi, L., & Tavecchio, F. 2001, ASP Conf. Ser. 234: Astronomía de rayos X 2000, 234, 437 13. Padovani, P., en "The Multi-Messenger approach to high energy gamma-ray sources", 2007, en prensa (astro-ph/0610545) 14. Padovani, P., Costamante, L., Ghisellini, G., Giommi, P., & Perlman, E. 2002, ApJ, 581, 895 15. Pian, E., et al. 2006, A&A, 449, L21 16. Sambruna, R. M., et al. 2006, ApJ, 646, 23 17. Tavecchio, F., et al. 2007, ApJ, en prensa (astro-ph/0703359) 18. Wall, J. V., & Peacock, J. A. 1985, MNRAS, 216, 173 19. Wolter, A., & Celotti, A. 2001, A&A, 371, 527 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0610545 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0703359 Introducción Nuevos datos / nuevas fuentes Conclusiones

El estado actual y la comprensión de la "secuencia espectral" de los blazares es discutido en la perspectiva del próximo lanzamiento de GLAST. La gran mejora en sensibilidad permitirá i) determinar más objetivamente el "promedio" propiedades de rayos gamma de los objetos de clases ii) sondear más profundamente la relación entre potencia de acreción y potencia de chorro en diferentes sistemas.

Introducción Nuevos datos / nuevas fuentes Conclusiones

A High Robustness and Low Cost Model for Cascading Failures

epl draft Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada Bing Wang y Beom Jun Kim Departamento de Física, División de Investigación Física BK21 e Instituto de Ciencias Básicas, Universidad de Sungkyunkwan, Suwon 440-746, Corea PACS 89.75.Hc – Redes y árboles genealógicos PACS 05.10.-a – Métodos computacionales en física estadística y dinámica no lineal PACS 89.20.Hh – World Wide Web, Internet PACS 89.75.Fb – Estructuras y organización en sistemas complejos Resumen. - Estudiamos numéricamente el problema de fallas en cascada mediante el uso de creado artificialmente redes libres de escala y la estructura real de red de la red eléctrica. La capacidad de un vértice se asigna como una función de aumento monótono de la carga (o la centralidad de la separación). A través del uso de una forma funcional simple con dos parámetros libres, revelado es que es de hecho posible hacer que las redes sean más robustas y gastar menos costes. Sugerimos que nuestro método para evitar cascadas protegiendo menos vértices es particularmente importante para el diseño de redes del mundo real a fallos en cascada. La robustez de la red ha sido una de las más temas de la compleja red de investigación [1]. Sin escala redes, la existencia de vértices de hub con altos grados se ha demostrado que dan lugar a la fragilidad de los ataques intencionales, mientras que al mismo tiempo la red se vuelve robusta para fallas aleatorias debido al grado heterogéneo de distribución ión [2-5]. Por otro lado, para la descripción de dy- procesos namic en la parte superior de las redes, se ha sugerido que el flujo de información a través de la red es uno de los cuestiones clave, que pueden ser bien captadas por la centralidad o carga [6]. Las fallas en cascada pueden ocurrir en muchas infraestructuras redes, incluida la red eléctrica, Internet, sistemas de carreteras, y así sucesivamente. En cada vértice del poder red eléctrica, la energía eléctrica se produce o se transfiere a otros vértices, y es posible que de algunas razones un vértice se sobrecarga más allá de la capacidad dada, que es la potencia eléctrica máxima que el vértice puede manejar. Los el desglose del vértice de carga pesada causará la redistribución de cargas sobre los vértices restantes, que puede desencadenar averías de nuevas sobrecargas ver- tices. Este proceso continuará hasta que todas las cargas de la los vértices restantes están por debajo de sus capacidades. Para algunos redes reales, la ruptura de un único vértice es sufi- ciente para colapsar todo el sistema, que es exactamente lo que el 14 de agosto de 2003, cuando un pequeño disturbio inicial bance en Ohio desencadenó el apagón más grande de la historia de los Estados Unidos, en los que millones de personas sufrían electricidad durante un período de hasta 15 horas [7]. Una serie de... de fallas en cascada en redes complejas han sido discutido en la literatura [8-16], incluyendo el modelo para describiendo fenómenos en cascada [8], el control y la defensa estrategia contra los fallos en cascada [9, 10], el análisis cálculo del parámetro de capacidad [11], y la modelización de los datos del mundo real [12]. En un artículo reciente [16], el cade en redes libres de escala con la estructura de la comunidad se ha investigado, y se ha encontrado que una modularidad más pequeña es más fácil de desencadenar cascada, que implica la importancia de la modularidad y la comunidad estructura en cascada fallas. En la investigación de los fracasos en cascada, los siguientes dos cuestiones están estrechamente relacionadas entre sí y de signif- icant interests: Uno es cómo mejorar la red ro- bustness a fallas en cascada, y el otro particularmente importante es cómo diseñar redes hechas por el hombre con a menor costo. En la mayoría de las circunstancias, una alta robustez y un El bajo costo es difícil de lograr simultáneamente. Para el examen... ple, mientras que una red con más bordes son más robustos para fallas, en la práctica, el número de bordes es a menudo limitado por el costo de construirlos. En brevedad, cuesta mucho a construir una red robusta. Muy recientemente, Schäfer et. al. pro- presentó una nueva medida proactiva para aumentar la robustez de redes heterogéneas cargadas a cascadas. Definiendo... la red se convierte en más homogéneo y la carga total se reduce, que significa que el coste de inversión también se reduce [15]. En el presente Carta, para la simplicidad, tratamos de encontrar una manera posible de las redes de protección basadas en el flujo a lo largo de http://arxiv.org/abs/0704.0345v1 B. Wang B.J. Kim l/lmax Este trabajo Modelo ML en Ref.[8] Fig. 1: La capacidad c se asigna como c = ♥(l)l con la inicial carga l. La función de paso (l) = 1 + (l/lmax − β) con dos parámetros libres α y β se utiliza en nuestro modelo. A efectos de comparación, la curva para el modelo de capacidad de Motter-Lai (ML) en Ref. [8], donde también se muestra el valor de la constante (l). hop path, propuesto por primera vez por Motter-Lai [8]. A través de la uso de nuestro modelo de capacidad mejorada, examinamos numéricamente- las cascadas de las redes libres de escala y el sistema eléctrico red de red eléctrica. Desde entonces para la red heterogéneamente cargada- trabajos, avalanchas de sobrecarga se puede desencadenar por el fallo de uno de los vértices más cargados, el siguiente re- todos se basan en la eliminación de un vértice con el la carga más alta. Nuestros resultados sugieren que las redes pueden ser más robusto mientras que el gasto menos costo. Primero construimos el Barabási-Albert (BA) libre de escala red [17] del tamaño N = 5000 con el grado medio 4 para estudiar los fracasos en cascada. La red BA es caracterizado por la distribución de grado p(k) k con el exponente de grado γ = 3, y se ha demostrado que el la distribución de la carga también muestra el comportamiento de la ley de poder [6], lo que significa que existen algunos vértices con muy grandes Un montón. La centralidad de la separación para cada vértice, definida como el número total de senderos más cortos que pasan por él, es utilizado como medida de la carga y computado utilizando el algoritmo eficiente [18]. La capacidad cv para el vértice v se asigna como cv = (lv)lv, (1) donde lv es la carga inicial sin vértices fallidos. Al- aunque debería ser posible encontrar, a través de una especie de enfoque variacional, la forma funcional óptima de (lv) que da lugar a un menor coste y a una mayor robustez. (véase más adelante para las definiciones de los dos) el trabajo simplifican lv (lv) como se muestra en la Fig. 1: (lv) = 1 + (lv/lmax − β), (2) en el que فارسى(x) = 0(1) para x < 0(> 0) es el escalón Heaviside función, lmax = maxv lv, y utilizamos α â € € TM [0, € TM ) y β â € TM [0, 1] como dos parámetros de control en el modelo. In Ref. [8] se ha utilizado una constante de  (véase Fig. 1 para la comparación), que corresponde al caso límite de β = 0 con el identificación de la marca  = 1 + α en nuestro modelo. En el momento inicial t = 0, el vértice con el más alto carga se elimina de la red, y luego nuevas cargas para todos los demás vértices son recomputados.1 condición de fallo cv < lv(t) para cada vértice, y eliminar todos los vértices sobrecargados para obtener la red en t + 1. Los proceso anterior continúa hasta que todos los vértices existentes cumplen el condición cv > lv(t), y el tamaño del componente gigante N′ en la fase final se mide. El tamaño relativo de la Los fallos en cascada se captan convenientemente por la relación [8] , (3) que llamamos la robustez a partir de ahora. Para redes de distribuciones homogéneas de carga, la cascada no y se ha observado un aumento de la concentración de g (+1) [8]. También en el caso de las cifras netas trabajos de distribución de carga libre de escala, uno puede tener g si vértices elegidos al azar, en lugar de vértices con alto las cargas, se destruyen en la fase inicial [8]. En general, se puede dividir, al menos conceptualmente, el coste de las redes en dos tipos diferentes: por una parte, debe haber el costo de construcción inicial para construir una estructura de red, que puede incluir, por ejemplo, el coste para las líneas de transmisión de energía en las redes eléctricas, y coste proporcional a la longitud de la carretera en las redes viarias. Otro tipo de costo se requiere para hacer el dado funcionamiento de la red, que puede ser una función cada vez mayor de la cantidad de flujo y se puede nombrar como la ejecución coste. Por ejemplo, necesitamos gastar más para tener... tamaño de memoria ger y tarjeta de red más rápido y así sucesivamente para el servidor informático que entrega más paquetes de datos. In la presente Carta, suponemos que la estructura de la red se da, (de acuerdo con el costo de construcción es fijo), y centrarse únicamente en el coste de funcionamiento que debe gastarse en Además del coste inicial de construcción. Sin considerar el costo de proteger los vértices, el fallo en cascada puede ser hecho que nunca suceda por asignar valores extremadamente altos a las capacidades. Sin embargo, En la práctica, la capacidad se ve gravemente limitada por el costo. Nosotros el coste de proteger el vértice v debe ser un in- función de endurecimiento de cv, y para conveniencia definir el costo (lv)− 1 - N. 4) Hay que señalar que para un valor dado de α, el original Modelo de capacidad de Motter-Lai (ML) en Ref. [8] siempre tiene un mayor valor del coste que nuestro modelo (ver Fig. 1). Al- aunque e = 0 en β = 1, no debe interpretarse como una situación libre de costes; hemos definido e sólo como un la medida en comparación con el caso de la letra l) = 1 para todos tices. Para una estructura de red determinada, las cantidades clave Se medirán g(α, β) y e(α, β), y nuestro objetivo es pliegue g y disminuir e, que eventualmente nos proporcionará 1En situaciones reales de fallas, el desglose inicial puede ocurrir en cualquier vértice de la red. Sin embargo, la escala eventual de la represa- las edades deben ser mayores cuando se rompe un vértice muy cargado, y En consecuencia, en este trabajo nos limitamos al peor de los casos cuando el vértice con la carga más alta se rompe inicialmente. Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada 0,002 0,003 0,004 α = 1,00 =0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 0,002 0,003 0,004 b) α = 0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 α = 0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 Fig. 2: Fallos en cascada en la red BA del tamaño N = 5000 y el grado medio de 4o, activado por la eliminación de un solo vértice con la carga más alta. La robustez g y el coste e en Eqs. 3) y 4) se indican en las letras a) y b), respectivamente, como funciones de β a varios valores de α [véase Fig. 1 para α y β, los dos parámetros en la función (l) en Eq. 2)]. c) La relación entre e y g en diferentes αs. Comparado con el modelo ML en Ref. [8], se demuestra claramente que el red se puede hacer más robusto, pero con menos costo. una manera de lograr la alta robustez y el bajo costo a al mismo tiempo. In Fig. 2 a), informamos de la robustez g para la red BA- trabajo de la talla N = 5000 con el grado medio en función de β a α = 0,10, 0,15, 0,20, 0,25, 0,30, y 1.0 (de abajo hacia arriba). A medida que β aumenta más allá la región de la Fig. 2 a), la robustez g se encuentra en de- pliegue hacia cero (no se muestra aquí), que es como se esperaba ya que el β más grande hace vértices con cargas más grandes menos pro- seccionada (véase la Fig. 1). También saltamos en Fig. 2 valores pequeños de β por debajo de aproximadamente 0,001: Si β < lmin/lmax, con la carga mínima lmin, todos los vértices se dan (l) = 1 + α, equivalente al modelo ML correspondiente a β = 0. Lo siento. se muestra en la Fig. 2 a) que para α. 0,30, g primeros aumentos y luego disminuye a medida que aumenta β, exhibiendo un bien- se desarrolló un máximo de gmax a β = β ∗. Esto es un partic... observación muy interesante desde que la red se convierte en más robusto (g más grande) mediante la protección de menos vértices (más grande β). En más detalle, la curva para α = 0,20 en la Fig. 2 a) muestra el máximo de gmax de 0,62 (a β) ∗ 0,00133), que es aproximadamente 3,5 veces mayor que el g de 0,175 (a β = 0). In otras palabras, la red se puede hacer mucho más robusta asignando capacidades más pequeñas a los vértices con menos cargas. Para valores más grandes de α, por otro lado, se encuentra que gmax se produce en β = 0, lo que indica que el , es decir, la posibilidad de robustecer la red mediante proteger menos vértices, no sostiene, como ejemplificado por la curva para α = 1 en la Fig. 2 a). La observación anterior está estrechamente relacionada con Ref. [9], donde se ha encontrado que con el fin de reducir el tamaño de cascadas (o tener una g más grande), algunas de menos cargadas Los vértices deben ser eliminados justo después del ataque inicial. In la realidad, sin embargo, creemos que la aplicación directa de esta estrategia de averías intencionales no es fácil, para cas- Los fallos de cading generalmente se propagan a través de toda la red muy pronto, justo después del desglose inicial. En contraste, nosotros proponer en este trabajo una forma de mejorar la red preparado para averías, protegiendo menos vértices. Con el fin de ver el beneficio coste de proteger menos vértices de una manera más cuidadosa, trazamos en la Fig. 2 b) la coste e en Eq. (4) versus β en varios valores de α. Al igual que se espera de Fig. 1, el costo e se muestra como un mono- función de β (α) tonicamente decreciente (aumento) a α (β). Tome de nuevo el caso con α = 0,20 como un examen- ple con e() 0,153 y e(β = 0) = 0,2: Es entonces concluyó que para α = 0,2 uno puede hacer la red 3.5 (0,62/0.175) veces más robusto mientras que el gasto solamente 76,5% (0,153/0,2) del coste original. In Fig. 2 c), utilizamos los mismos datos que en la Fig. 2 a) y (b), y mostrar la relación entre la robustez y el coste de α = 0,10, · · ·, 0,30 de abajo hacia arriba. Por comparación, los valores (g,e) para β = 0, correspondientes a el modelo ML, también se muestran como símbolos al final de curvas. Se muestra claramente que para un α dado, uno puede lograr una mayor robustez y un menor coste gracias a la afinación β hacia el punto más a la derecha en cada curva. También podemos Uso de Fig. 2 c) elegir la manera más eficiente de obtener un g: Por ejemplo, supongamos que g = 0.6 es la robustez requerida. La línea vertical para g = 0.6 cruza varias curvas diferentes, y uno puede elegir la punto de cruce que tiene el coste más bajo. A continuación estudiamos los fracasos en cascada en la red real. estructura de trabajo de la red eléctrica norteamericana de la tamaño N = 4941 [19]. Aunque la red eléctrica red es una red muy homogénea en términos de la distribución del grado, la distribución de la carga, en un trast, muestra una fuerte heterogeneidad como se muestra en la Fig. 3. In otras palabras, la distribución de los grados es más como un ex- ponencial, mientras que la distribución de la carga es similar a la forma de ley-poder. La amplia distribución de la carga puede ser una de las razones de la fragilidad de la red eléctrica a cascada fracasos [8]. A continuación, aplicamos, el mismo método que hemos utilizado anteriormente, a la red eléctrica, y obtener g y e como funciones de β para B. Wang B.J. Kim 104 105 106 0 5 10 15 20 Fig. 3: La distribución de carga acumulada de la red eléctrica P (l) en la escala de log-log. El conjunto muestra el grado acumulativo distribución P (k) de la red eléctrica en escala lineal-log. 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 Fig. 4: Fallos en cascada en la red eléctrica del tamaño N = 4941. (Compare con Fig. 2 para las parcelas correspondientes para la red BA.) La robustez g y el coste e versus β a varios valores α se muestran en las letras a) y b), respectivamente, mientras que (c) es para la relación entre e y g. De nuevo, es demostrado que se puede lograr la mayor robustez y menos coste al mismo tiempo, eligiendo el punto más correcto en (c). 0,001 0,002 0,003 0,004 =0,0 =0,2 =0,4 =0,6 =0,8 =1,0 Fig. 5: Fallos en cascada en la red BA del tamaño N = 5000 y el grado medio de 4o, activado por la eliminación de un solo vértice con la carga más alta. Capacidad de cada vértice es perturbado con probabilidad ­ para α = 0,2. Los datos son: Promedió más de 20 carreras. valores dados de α. Figura 4 para los fallos en cascada de la red eléctrica está en paralelo a la Fig. 2 para la red BA: Fig. 4(a) para g versus β, (b) para e versus β, y (c) para e versus g. Hay algunas diferencias cuantitativas entre curvas para la red eléctrica y la red BA. Sin embargo, Desde el punto de vista cualitativo, ambas redes se muestran ex- prohibir las siguientes características comunes: (i) Para un α dado, la robustez tiene un máximo de gmax en β = β *, ii) e es una función monotónicamente decreciente de β a un α dado, y (iii) existe una estructura similar al lob en el plano g-e, que indica que se puede hacer que la red exhiba un mayor robustez y un coste más bajo al mismo tiempo que el cor- los valores de respuesta para el modelo ML. Vale la pena mencionar... ing que la red eléctrica en la Fig. 4 se puede hacer para mostrar el mayor g y menor e que el modelo ML en un más amplio región de α: Incluso en α = 1, la red de energía puede tener mucho mejor robustez y mucho menos costo en comparación con el Modelo ML. Específicamente, a α = 1,0 el modelo ML tiene g 0.40 y e = 1.0 mientras que nuestro modelo puede producir g 0.73 y e-0.26 (a β • 0,00583) [véase la Fig. 4 c)], que ocurre cuando sólo el 26% de los vértices reciben la mayor capacidad 2 y el 74% restante de los vértices tienen la capacidad más baja (l) = 1. En otras palabras, asignando menor capacidad a 74% de los vértices, la red se convierte en mucho más robusto. En realidad, también es interesante observar el efecto de ruido en el proceso dinámico. In Ref. [20], cuando el ruido se introduce en el sistema dinámico no lineal, que tiene se ha demostrado que el ruido cambia la singularidad en un especial tiempo a una distribución estadística del tiempo y muestra Comportamientos inquietantes. En el presente trabajo, estamos interesados en cómo la presencia de ruido influye en la cascada final comportamiento de fracaso dentro de nuestro esquema. Aquí, presentamos Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada efectos del ruido como una asignación errónea de la capaci- ity función. En detalle, a una probabilidad de error dada......................................................................................... vértice v se le asigna la capacidad c′v en lugar de su correcta c′v = cv(1 + r), (5) donde r es la variable aleatoria uniforme con media cero (r) [−1, 1]). Creemos que este comportamiento erróneo es plausible en realidad, ya que el conocimiento perfecto para el el valor real de la carga para cada vértice puede no estar disponible, que puede causar una asignación errónea de la capacidad en un vértice. En el caso limitante de = 0, recuperamos nuestro Resultados sin errores presentados anteriormente. In Fig. 5, informamos de la resultados a α = 0,2 para la robustez g para la red BA como una función de β para la probabilidad de error diferente Fig.2(a) para la comparación]. Se ve que para los pequeños, el El comportamiento general es cualitativamente el mismo que en la Fig. 2 a), Es decir, la existencia de un pico de robustez bien desarrollado y disminución gradual a medida que aumenta β. La altura máxima de la la robustez disminuye a medida que se aumenta el el efecto negativo del ruido. Una observación interesante en Fig. 5 es que a medida que se hace más grande se sale de una región de β en el que la robustez es en realidad más alta que la Caso libre de errores de  = 0. En resumen, hemos sugerido un nuevo modelo de capacidad para fallos en cascada, mediante la mejora de la capacidad de ML existente modelo en Ref. [8]. La idea principal en nuestro modelo es la misma como en los estudios existentes: en una red altamente heterogénea con una amplia distribución de carga, vértices con grandes cargas debería estar más protegido asignando grandes capacidades. Diferente de otros estudios en los que la capacidad es firmado en proporción a la carga, es decir, c = Łl, generalizamos el modelo de modo que la constante de proporcionalidad es ahora cambiado a una función en aumento de l. En más detalle, Utilizamos la función de paso Heaviside para la característica ♥(l) por dos parámetros, la altura del paso α, y el paso posi- tion β. Aplicando este modelo de capacidad al modelo artificial la red BA, así como la red real de la red eléctrica, hemos demostrado claramente que es realmente posible hacer la red más robusta, mientras que al mismo tiempo el coste asignar capacidades se reduce drásticamente. Creemos que nuestro modelo sugerido para asignar capacidades a los vértices debería ser de utilidad práctica en el diseño de redes de infraestructura desde el punto de vista económico. Como observación final, necesita que se señale que el modelo propuesto en este trabajo se debe considerar sólo como el primer paso para encontrar la op- forma funcional timal (l) de la capacidad en función de la carga. Como un trabajo futuro, estamos planeando aplicar un tipo de método variacional para encontrar el óptimo funcional forma de la letra l). B.J.K. ha recibido el apoyo de la subvención No. R01-2005-000- 10199-0 del Programa de Investigación Básica de Corea Fundación de Ciencia e Ingeniería. 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[18] Newman M.E.J., Phys. Rev. E, 64, (2001) 016132; Pro. Natl. Acad. Sci., U.S.A. 98 (2001) 404. [19] Watts D.J. y Strogatz S.H., Nature, 393 (1998) 440. [20] Fogedby H. C., Poutkaradze V., Phys. Rev. E, 66, (2002) 021103. http://arxiv.org/abs/cond-mat/5503615

Estudiamos numéricamente el problema del fallo en cascada utilizando artificialmente creó redes libres de escala y la estructura real de red de la red eléctrica. La capacidad de un vértice se asigna como una función monótonamente creciente de la carga (o la centralidad entrelazada). A través del uso de un simple forma funcional con dos parámetros libres, revelado es que es de hecho posible hacer que las redes sean más robustas y gastar menos costes. Sugerimos que nuestro método para evitar cascadas protegiendo menos vértices es particularmente importante para el diseño de redes del mundo real más robustas a la cascada fracasos.

epl draft Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada Bing Wang y Beom Jun Kim Departamento de Física, División de Investigación Física BK21 e Instituto de Ciencias Básicas, Universidad de Sungkyunkwan, Suwon 440-746, Corea PACS 89.75.Hc – Redes y árboles genealógicos PACS 05.10.-a – Métodos computacionales en física estadística y dinámica no lineal PACS 89.20.Hh – World Wide Web, Internet PACS 89.75.Fb – Estructuras y organización en sistemas complejos Resumen. - Estudiamos numéricamente el problema de fallas en cascada mediante el uso de creado artificialmente redes libres de escala y la estructura real de red de la red eléctrica. La capacidad de un vértice se asigna como una función de aumento monótono de la carga (o la centralidad de la separación). A través del uso de una forma funcional simple con dos parámetros libres, revelado es que es de hecho posible hacer que las redes sean más robustas y gastar menos costes. Sugerimos que nuestro método para evitar cascadas protegiendo menos vértices es particularmente importante para el diseño de redes del mundo real a fallos en cascada. La robustez de la red ha sido una de las más temas de la compleja red de investigación [1]. Sin escala redes, la existencia de vértices de hub con altos grados se ha demostrado que dan lugar a la fragilidad de los ataques intencionales, mientras que al mismo tiempo la red se vuelve robusta para fallas aleatorias debido al grado heterogéneo de distribución ión [2-5]. Por otro lado, para la descripción de dy- procesos namic en la parte superior de las redes, se ha sugerido que el flujo de información a través de la red es uno de los cuestiones clave, que pueden ser bien captadas por la centralidad o carga [6]. Las fallas en cascada pueden ocurrir en muchas infraestructuras redes, incluida la red eléctrica, Internet, sistemas de carreteras, y así sucesivamente. En cada vértice del poder red eléctrica, la energía eléctrica se produce o se transfiere a otros vértices, y es posible que de algunas razones un vértice se sobrecarga más allá de la capacidad dada, que es la potencia eléctrica máxima que el vértice puede manejar. Los el desglose del vértice de carga pesada causará la redistribución de cargas sobre los vértices restantes, que puede desencadenar averías de nuevas sobrecargas ver- tices. Este proceso continuará hasta que todas las cargas de la los vértices restantes están por debajo de sus capacidades. Para algunos redes reales, la ruptura de un único vértice es sufi- ciente para colapsar todo el sistema, que es exactamente lo que el 14 de agosto de 2003, cuando un pequeño disturbio inicial bance en Ohio desencadenó el apagón más grande de la historia de los Estados Unidos, en los que millones de personas sufrían electricidad durante un período de hasta 15 horas [7]. Una serie de... de fallas en cascada en redes complejas han sido discutido en la literatura [8-16], incluyendo el modelo para describiendo fenómenos en cascada [8], el control y la defensa estrategia contra los fallos en cascada [9, 10], el análisis cálculo del parámetro de capacidad [11], y la modelización de los datos del mundo real [12]. En un artículo reciente [16], el cade en redes libres de escala con la estructura de la comunidad se ha investigado, y se ha encontrado que una modularidad más pequeña es más fácil de desencadenar cascada, que implica la importancia de la modularidad y la comunidad estructura en cascada fallas. En la investigación de los fracasos en cascada, los siguientes dos cuestiones están estrechamente relacionadas entre sí y de signif- icant interests: Uno es cómo mejorar la red ro- bustness a fallas en cascada, y el otro particularmente importante es cómo diseñar redes hechas por el hombre con a menor costo. En la mayoría de las circunstancias, una alta robustez y un El bajo costo es difícil de lograr simultáneamente. Para el examen... ple, mientras que una red con más bordes son más robustos para fallas, en la práctica, el número de bordes es a menudo limitado por el costo de construirlos. En brevedad, cuesta mucho a construir una red robusta. Muy recientemente, Schäfer et. al. pro- presentó una nueva medida proactiva para aumentar la robustez de redes heterogéneas cargadas a cascadas. Definiendo... la red se convierte en más homogéneo y la carga total se reduce, que significa que el coste de inversión también se reduce [15]. En el presente Carta, para la simplicidad, tratamos de encontrar una manera posible de las redes de protección basadas en el flujo a lo largo de http://arxiv.org/abs/0704.0345v1 B. Wang B.J. Kim l/lmax Este trabajo Modelo ML en Ref.[8] Fig. 1: La capacidad c se asigna como c = ♥(l)l con la inicial carga l. La función de paso (l) = 1 + (l/lmax − β) con dos parámetros libres α y β se utiliza en nuestro modelo. A efectos de comparación, la curva para el modelo de capacidad de Motter-Lai (ML) en Ref. [8], donde también se muestra el valor de la constante (l). hop path, propuesto por primera vez por Motter-Lai [8]. A través de la uso de nuestro modelo de capacidad mejorada, examinamos numéricamente- las cascadas de las redes libres de escala y el sistema eléctrico red de red eléctrica. Desde entonces para la red heterogéneamente cargada- trabajos, avalanchas de sobrecarga se puede desencadenar por el fallo de uno de los vértices más cargados, el siguiente re- todos se basan en la eliminación de un vértice con el la carga más alta. Nuestros resultados sugieren que las redes pueden ser más robusto mientras que el gasto menos costo. Primero construimos el Barabási-Albert (BA) libre de escala red [17] del tamaño N = 5000 con el grado medio 4 para estudiar los fracasos en cascada. La red BA es caracterizado por la distribución de grado p(k) k con el exponente de grado γ = 3, y se ha demostrado que el la distribución de la carga también muestra el comportamiento de la ley de poder [6], lo que significa que existen algunos vértices con muy grandes Un montón. La centralidad de la separación para cada vértice, definida como el número total de senderos más cortos que pasan por él, es utilizado como medida de la carga y computado utilizando el algoritmo eficiente [18]. La capacidad cv para el vértice v se asigna como cv = (lv)lv, (1) donde lv es la carga inicial sin vértices fallidos. Al- aunque debería ser posible encontrar, a través de una especie de enfoque variacional, la forma funcional óptima de (lv) que da lugar a un menor coste y a una mayor robustez. (véase más adelante para las definiciones de los dos) el trabajo simplifican lv (lv) como se muestra en la Fig. 1: (lv) = 1 + (lv/lmax − β), (2) en el que فارسى(x) = 0(1) para x < 0(> 0) es el escalón Heaviside función, lmax = maxv lv, y utilizamos α â € € TM [0, € TM ) y β â € TM [0, 1] como dos parámetros de control en el modelo. In Ref. [8] se ha utilizado una constante de  (véase Fig. 1 para la comparación), que corresponde al caso límite de β = 0 con el identificación de la marca  = 1 + α en nuestro modelo. En el momento inicial t = 0, el vértice con el más alto carga se elimina de la red, y luego nuevas cargas para todos los demás vértices son recomputados.1 condición de fallo cv < lv(t) para cada vértice, y eliminar todos los vértices sobrecargados para obtener la red en t + 1. Los proceso anterior continúa hasta que todos los vértices existentes cumplen el condición cv > lv(t), y el tamaño del componente gigante N′ en la fase final se mide. El tamaño relativo de la Los fallos en cascada se captan convenientemente por la relación [8] , (3) que llamamos la robustez a partir de ahora. Para redes de distribuciones homogéneas de carga, la cascada no y se ha observado un aumento de la concentración de g (+1) [8]. También en el caso de las cifras netas trabajos de distribución de carga libre de escala, uno puede tener g si vértices elegidos al azar, en lugar de vértices con alto las cargas, se destruyen en la fase inicial [8]. En general, se puede dividir, al menos conceptualmente, el coste de las redes en dos tipos diferentes: por una parte, debe haber el costo de construcción inicial para construir una estructura de red, que puede incluir, por ejemplo, el coste para las líneas de transmisión de energía en las redes eléctricas, y coste proporcional a la longitud de la carretera en las redes viarias. Otro tipo de costo se requiere para hacer el dado funcionamiento de la red, que puede ser una función cada vez mayor de la cantidad de flujo y se puede nombrar como la ejecución coste. Por ejemplo, necesitamos gastar más para tener... tamaño de memoria ger y tarjeta de red más rápido y así sucesivamente para el servidor informático que entrega más paquetes de datos. In la presente Carta, suponemos que la estructura de la red se da, (de acuerdo con el costo de construcción es fijo), y centrarse únicamente en el coste de funcionamiento que debe gastarse en Además del coste inicial de construcción. Sin considerar el costo de proteger los vértices, el fallo en cascada puede ser hecho que nunca suceda por asignar valores extremadamente altos a las capacidades. Sin embargo, En la práctica, la capacidad se ve gravemente limitada por el costo. Nosotros el coste de proteger el vértice v debe ser un in- función de endurecimiento de cv, y para conveniencia definir el costo (lv)− 1 - N. 4) Hay que señalar que para un valor dado de α, el original Modelo de capacidad de Motter-Lai (ML) en Ref. [8] siempre tiene un mayor valor del coste que nuestro modelo (ver Fig. 1). Al- aunque e = 0 en β = 1, no debe interpretarse como una situación libre de costes; hemos definido e sólo como un la medida en comparación con el caso de la letra l) = 1 para todos tices. Para una estructura de red determinada, las cantidades clave Se medirán g(α, β) y e(α, β), y nuestro objetivo es pliegue g y disminuir e, que eventualmente nos proporcionará 1En situaciones reales de fallas, el desglose inicial puede ocurrir en cualquier vértice de la red. Sin embargo, la escala eventual de la represa- las edades deben ser mayores cuando se rompe un vértice muy cargado, y En consecuencia, en este trabajo nos limitamos al peor de los casos cuando el vértice con la carga más alta se rompe inicialmente. Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada 0,002 0,003 0,004 α = 1,00 =0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 0,002 0,003 0,004 b) α = 0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 α = 0,30 =0.25 =0,20 =0,15 =0,10 Fig. 2: Fallos en cascada en la red BA del tamaño N = 5000 y el grado medio de 4o, activado por la eliminación de un solo vértice con la carga más alta. La robustez g y el coste e en Eqs. 3) y 4) se indican en las letras a) y b), respectivamente, como funciones de β a varios valores de α [véase Fig. 1 para α y β, los dos parámetros en la función (l) en Eq. 2)]. c) La relación entre e y g en diferentes αs. Comparado con el modelo ML en Ref. [8], se demuestra claramente que el red se puede hacer más robusto, pero con menos costo. una manera de lograr la alta robustez y el bajo costo a al mismo tiempo. In Fig. 2 a), informamos de la robustez g para la red BA- trabajo de la talla N = 5000 con el grado medio en función de β a α = 0,10, 0,15, 0,20, 0,25, 0,30, y 1.0 (de abajo hacia arriba). A medida que β aumenta más allá la región de la Fig. 2 a), la robustez g se encuentra en de- pliegue hacia cero (no se muestra aquí), que es como se esperaba ya que el β más grande hace vértices con cargas más grandes menos pro- seccionada (véase la Fig. 1). También saltamos en Fig. 2 valores pequeños de β por debajo de aproximadamente 0,001: Si β < lmin/lmax, con la carga mínima lmin, todos los vértices se dan (l) = 1 + α, equivalente al modelo ML correspondiente a β = 0. Lo siento. se muestra en la Fig. 2 a) que para α. 0,30, g primeros aumentos y luego disminuye a medida que aumenta β, exhibiendo un bien- se desarrolló un máximo de gmax a β = β ∗. Esto es un partic... observación muy interesante desde que la red se convierte en más robusto (g más grande) mediante la protección de menos vértices (más grande β). En más detalle, la curva para α = 0,20 en la Fig. 2 a) muestra el máximo de gmax de 0,62 (a β) ∗ 0,00133), que es aproximadamente 3,5 veces mayor que el g de 0,175 (a β = 0). In otras palabras, la red se puede hacer mucho más robusta asignando capacidades más pequeñas a los vértices con menos cargas. Para valores más grandes de α, por otro lado, se encuentra que gmax se produce en β = 0, lo que indica que el , es decir, la posibilidad de robustecer la red mediante proteger menos vértices, no sostiene, como ejemplificado por la curva para α = 1 en la Fig. 2 a). La observación anterior está estrechamente relacionada con Ref. [9], donde se ha encontrado que con el fin de reducir el tamaño de cascadas (o tener una g más grande), algunas de menos cargadas Los vértices deben ser eliminados justo después del ataque inicial. In la realidad, sin embargo, creemos que la aplicación directa de esta estrategia de averías intencionales no es fácil, para cas- Los fallos de cading generalmente se propagan a través de toda la red muy pronto, justo después del desglose inicial. En contraste, nosotros proponer en este trabajo una forma de mejorar la red preparado para averías, protegiendo menos vértices. Con el fin de ver el beneficio coste de proteger menos vértices de una manera más cuidadosa, trazamos en la Fig. 2 b) la coste e en Eq. (4) versus β en varios valores de α. Al igual que se espera de Fig. 1, el costo e se muestra como un mono- función de β (α) tonicamente decreciente (aumento) a α (β). Tome de nuevo el caso con α = 0,20 como un examen- ple con e() 0,153 y e(β = 0) = 0,2: Es entonces concluyó que para α = 0,2 uno puede hacer la red 3.5 (0,62/0.175) veces más robusto mientras que el gasto solamente 76,5% (0,153/0,2) del coste original. In Fig. 2 c), utilizamos los mismos datos que en la Fig. 2 a) y (b), y mostrar la relación entre la robustez y el coste de α = 0,10, · · ·, 0,30 de abajo hacia arriba. Por comparación, los valores (g,e) para β = 0, correspondientes a el modelo ML, también se muestran como símbolos al final de curvas. Se muestra claramente que para un α dado, uno puede lograr una mayor robustez y un menor coste gracias a la afinación β hacia el punto más a la derecha en cada curva. También podemos Uso de Fig. 2 c) elegir la manera más eficiente de obtener un g: Por ejemplo, supongamos que g = 0.6 es la robustez requerida. La línea vertical para g = 0.6 cruza varias curvas diferentes, y uno puede elegir la punto de cruce que tiene el coste más bajo. A continuación estudiamos los fracasos en cascada en la red real. estructura de trabajo de la red eléctrica norteamericana de la tamaño N = 4941 [19]. Aunque la red eléctrica red es una red muy homogénea en términos de la distribución del grado, la distribución de la carga, en un trast, muestra una fuerte heterogeneidad como se muestra en la Fig. 3. In otras palabras, la distribución de los grados es más como un ex- ponencial, mientras que la distribución de la carga es similar a la forma de ley-poder. La amplia distribución de la carga puede ser una de las razones de la fragilidad de la red eléctrica a cascada fracasos [8]. A continuación, aplicamos, el mismo método que hemos utilizado anteriormente, a la red eléctrica, y obtener g y e como funciones de β para B. Wang B.J. Kim 104 105 106 0 5 10 15 20 Fig. 3: La distribución de carga acumulada de la red eléctrica P (l) en la escala de log-log. El conjunto muestra el grado acumulativo distribución P (k) de la red eléctrica en escala lineal-log. 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 α =1,0 =0,8 =0,4 =0,2 =0,1 Fig. 4: Fallos en cascada en la red eléctrica del tamaño N = 4941. (Compare con Fig. 2 para las parcelas correspondientes para la red BA.) La robustez g y el coste e versus β a varios valores α se muestran en las letras a) y b), respectivamente, mientras que (c) es para la relación entre e y g. De nuevo, es demostrado que se puede lograr la mayor robustez y menos coste al mismo tiempo, eligiendo el punto más correcto en (c). 0,001 0,002 0,003 0,004 =0,0 =0,2 =0,4 =0,6 =0,8 =1,0 Fig. 5: Fallos en cascada en la red BA del tamaño N = 5000 y el grado medio de 4o, activado por la eliminación de un solo vértice con la carga más alta. Capacidad de cada vértice es perturbado con probabilidad ­ para α = 0,2. Los datos son: Promedió más de 20 carreras. valores dados de α. Figura 4 para los fallos en cascada de la red eléctrica está en paralelo a la Fig. 2 para la red BA: Fig. 4(a) para g versus β, (b) para e versus β, y (c) para e versus g. Hay algunas diferencias cuantitativas entre curvas para la red eléctrica y la red BA. Sin embargo, Desde el punto de vista cualitativo, ambas redes se muestran ex- prohibir las siguientes características comunes: (i) Para un α dado, la robustez tiene un máximo de gmax en β = β *, ii) e es una función monotónicamente decreciente de β a un α dado, y (iii) existe una estructura similar al lob en el plano g-e, que indica que se puede hacer que la red exhiba un mayor robustez y un coste más bajo al mismo tiempo que el cor- los valores de respuesta para el modelo ML. Vale la pena mencionar... ing que la red eléctrica en la Fig. 4 se puede hacer para mostrar el mayor g y menor e que el modelo ML en un más amplio región de α: Incluso en α = 1, la red de energía puede tener mucho mejor robustez y mucho menos costo en comparación con el Modelo ML. Específicamente, a α = 1,0 el modelo ML tiene g 0.40 y e = 1.0 mientras que nuestro modelo puede producir g 0.73 y e-0.26 (a β • 0,00583) [véase la Fig. 4 c)], que ocurre cuando sólo el 26% de los vértices reciben la mayor capacidad 2 y el 74% restante de los vértices tienen la capacidad más baja (l) = 1. En otras palabras, asignando menor capacidad a 74% de los vértices, la red se convierte en mucho más robusto. En realidad, también es interesante observar el efecto de ruido en el proceso dinámico. In Ref. [20], cuando el ruido se introduce en el sistema dinámico no lineal, que tiene se ha demostrado que el ruido cambia la singularidad en un especial tiempo a una distribución estadística del tiempo y muestra Comportamientos inquietantes. En el presente trabajo, estamos interesados en cómo la presencia de ruido influye en la cascada final comportamiento de fracaso dentro de nuestro esquema. Aquí, presentamos Un modelo de alta robustez y bajo costo para fallas en cascada efectos del ruido como una asignación errónea de la capaci- ity función. En detalle, a una probabilidad de error dada......................................................................................... vértice v se le asigna la capacidad c′v en lugar de su correcta c′v = cv(1 + r), (5) donde r es la variable aleatoria uniforme con media cero (r) [−1, 1]). Creemos que este comportamiento erróneo es plausible en realidad, ya que el conocimiento perfecto para el el valor real de la carga para cada vértice puede no estar disponible, que puede causar una asignación errónea de la capacidad en un vértice. En el caso limitante de = 0, recuperamos nuestro Resultados sin errores presentados anteriormente. In Fig. 5, informamos de la resultados a α = 0,2 para la robustez g para la red BA como una función de β para la probabilidad de error diferente Fig.2(a) para la comparación]. Se ve que para los pequeños, el El comportamiento general es cualitativamente el mismo que en la Fig. 2 a), Es decir, la existencia de un pico de robustez bien desarrollado y disminución gradual a medida que aumenta β. La altura máxima de la la robustez disminuye a medida que se aumenta el el efecto negativo del ruido. Una observación interesante en Fig. 5 es que a medida que se hace más grande se sale de una región de β en el que la robustez es en realidad más alta que la Caso libre de errores de  = 0. En resumen, hemos sugerido un nuevo modelo de capacidad para fallos en cascada, mediante la mejora de la capacidad de ML existente modelo en Ref. [8]. La idea principal en nuestro modelo es la misma como en los estudios existentes: en una red altamente heterogénea con una amplia distribución de carga, vértices con grandes cargas debería estar más protegido asignando grandes capacidades. Diferente de otros estudios en los que la capacidad es firmado en proporción a la carga, es decir, c = Łl, generalizamos el modelo de modo que la constante de proporcionalidad es ahora cambiado a una función en aumento de l. En más detalle, Utilizamos la función de paso Heaviside para la característica ♥(l) por dos parámetros, la altura del paso α, y el paso posi- tion β. Aplicando este modelo de capacidad al modelo artificial la red BA, así como la red real de la red eléctrica, hemos demostrado claramente que es realmente posible hacer la red más robusta, mientras que al mismo tiempo el coste asignar capacidades se reduce drásticamente. Creemos que nuestro modelo sugerido para asignar capacidades a los vértices debería ser de utilidad práctica en el diseño de redes de infraestructura desde el punto de vista económico. Como observación final, necesita que se señale que el modelo propuesto en este trabajo se debe considerar sólo como el primer paso para encontrar la op- forma funcional timal (l) de la capacidad en función de la carga. Como un trabajo futuro, estamos planeando aplicar un tipo de método variacional para encontrar el óptimo funcional forma de la letra l). B.J.K. ha recibido el apoyo de la subvención No. R01-2005-000- 10199-0 del Programa de Investigación Básica de Corea Fundación de Ciencia e Ingeniería. 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Diffuse X-ray Emission from the Carina Nebula Observed with Suzaku

Emisión difusa de rayos X de la nebulosa Carina observada con Suzaku Kenji Hamaguchi1,2, el equipo de Suzaku η Carinae y el equipo de Carinae D-1 1CRESST y Laboratorio de Astrofísica de Rayos X NASA/GSFC, Greenbelt, MD 20771 2Asociación de Investigaciones Espaciales de las Universidades, 10211 Wincopin Circle, Suite 500, Columbia, MD 21044 Varias regiones gigantes de HII están asociadas con emisiones difusas blandas de rayos X. Entre Estos, la nebulosa Carina posee la emisión difusa más brillante suave. El plasma necesario temperatura y energía térmica pueden ser producidas por colisiones o terminación de vientos rápidos de la secuencia principal o estrellas jóvenes O incrustadas, pero la emisión extendida se observa a menudo de regiones distintas de los cúmulos estelares masivos. Se desconoce el origen de la emisión de rayos X. La cámara CCD XIS a bordo Suzaku tiene la mejor resolución espectral para fuentes blandas hasta ahora, y por lo tanto es capaz de medir líneas de emisión clave en la banda blanda. Suzaku observó el núcleo y el lado oriental de la nebulosa Carina (Car-D1) en agosto de 2005 y Junio de 2006, respectivamente. Spectra de la parte sur del núcleo y Car-D1 mostraron de manera similar líneas fuertes L-shell de iones de hierro y K-shell de iones de silicio, mientras que en el norte del núcleo Estas líneas eran mucho más débiles. Ajustar los espectros con un plasma termal delgado absorbido modelo mostrado kT-0,2, 0,6 keV y NH-1-2×10 21 cm−2 con un factor de 2-3 abundancia variación en oxígeno, magnesio, silicio y hierro. El plasma podría originarse de un viejo supernova, o una superconcha de supernovas múltiples. § 1. Emisión extendida de rayos X de la región de formación estelar Nebulosas de emisión de rayos X blandos con kT-0,1-0,8 keV, log LX-33-35 ergs s −1, y El tamaño de las zonas 1-103 uds. acompaña a una serie de regiones HII gigantes (véase el cuadro 4 de Ref. 6). Las observaciones de Chandra de la emisión extendida en unos pocos cúmulos formadores de estrellas indican que la emisión puede surgir de los rápidos vientos estelares O térmicamente por colisiones viento-viento o por un choque de terminación. Sin embargo, la emisión se encuentra a menudo fuera de los cúmulos estelares masivos, de modo que otro origen, como un remanente no reconocido de supernovas, no puede ser descartado. En principio, el origen de la emisión difusa puede determinarse mediante la medición su composición. Por ejemplo, el plasma debe ser sobreabundante en nitrógeno y neón si se origina de los vientos de las estrellas ricas en nitrógeno Wolf-Rayet (WN), mientras que sería sobreabundante en oxígeno si surge de un SNR de tipo II. La temperatura del plasma, típicamente unos pocos millones de grados, hace estudios de banda de rayos X suave altamente deseable, debido a la presencia en esta banda de líneas fuertes de estos elementos, más carbono, silicio y hierro. La Nebulosa Carina, que contiene varios desarrollos y secuencias principales masivos estrellas como η Car, WR 25 y cúmulos estelares masivos como Trumpler 14 (Tr 14), emite rayos X difusos blandos 10–100 veces más fuertes que cualquier otro gigante galáctico Región HII (LX 10) 35 ergs s−1).4) El alto brillo de la superficie hizo posible el descubrimiento de la emisión difusa por el Observatorio Einstein a finales de la década de 1970. Las observaciones de Einstein revelaron que la emisión difusa tiende a estar asociada typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.0346v1 2 K. Hamaguchi y otros con regiones ópticamente brillantes que contienen estrellas masivas. Observaciones recientes de Chandra proporcionó una medición sin fuente de puntos del flujo difuso,1) y sugirió la presencia de un gradiente de abundancia Fe y Ne norte-sur.5) Las cámaras de rayos X CCD (XIS: Espectrómetro de Imágenes de Rayos X) a bordo del El observatorio Suzaku tiene la mejor resolución espectral para la emisión de rayos X blandos extendidos y por lo tanto proporcionan un buen diagnóstico de las líneas de emisión, especialmente por debajo de 1 keV. § 2. Suzaku y XMM-Newton Observaciones de la Nebulosa Carina La Figura 1 muestra una imagen de mosaico de la nebulosa Carina entre 0.4-7 keV creada a partir de 32 observaciones XMM-Newton. La imagen representa varios puntos de rayos X brillantes fuentes: η Car (un LBV), WR25, WR22 (estrellas de Wolf-Rayet), HD 93250, HD 93043 (O3 estrellas), y Tr 14, Tr 16 (conglomerados estelares masivos). La imagen también muestra claramente Al parecer, la emisión extendida hacia la dirección este-oeste. En una imagen a color (p. ej. Figura 1 de Ref. 2), XMM-Newton Galería de imágenes*)) la emisión es más suave entre Tr 14, WR 25 y η Car. Analizamos los datos de Suzaku del núcleo y del lado oriental (llamado Car-D1) de la nebulosa Carina tomada el 29 de agosto de 2005 y el 5 de junio de 2006 Los XIS FOVs de estas observaciones se muestran en la Figura 1 con líneas punteadas. Investigar la variación de color en detalle, dividimos la región central en dos y así extraído tres espectros de dos observaciones de Suzaku (núcleo norte, núcleo sur y Car-D1). El fondo fue reproducido con los datos de la Tierra nocturna. Los espectros mostraron fuerte emisión entre 0,3 y 2 keV, que probablemente está dominado por difuso suave emisión asociada con la nebulosa Carina, mientras que los espectros por encima de 2 keV pueden ser explicada con CXB, Emisión de rayos X Galáctica Ridge, fuentes de puntos de rayos X resueltas con Chandra y estrellas presecuenciales sin resolver. La Figura 2 muestra una superposición de los espectros BI entre 0,3-2 keV. El panel izquierdo compara los espectros de la región norte-núcleo con la región sur-núcleo. Una fuerte diferencia... por lo que se ve entre 0,7 keV y 1,2 keV, que aparentemente es la fuente de los dos colores de emisión difusa. La banda en la que se encuentra la diferencia está dominada por líneas de emisión del complejo de concha de hierro L. Además, el espectro núcleo-sur muestra una línea Si más fuerte. El espectro Car-D1 muestra una intensidad similar en el Si y Líneas fe al espectro núcleo-sur (panel derecho de la Figura 2) mientras que muestra relativamente líneas fuertes de magnesio y oxígeno. Todos estos espectros parecen similares, excepto estos líneas de emisión. Esto sugiere que las diferencias representan una abundancia elemental variación, y no una diferencia de temperatura. Esto es apoyado por los ajustes espectrales de los espectros individuales. Los tres espectros entre 0,3 y 2 keV fueron reproducidos por un modelo plasmático 2T delgado-térmico absorbido aunque los modelos más adecuados no son formalmente aceptables. El témpera de plasma... Las regiones de las tres regiones son 0,2 y 0,6 keV, y sus densidades de columna son 3×1021 cm−2, que es consistente con la extinción hacia la nebulosa Carina.3) las abundancias de algunos elementos muestran un factor de 2-4 variaciones: la región centro-norte tiene un factor de 2 menor abundancia de silicio y un factor de 4 menor abundancia de hierro *) http://xmm.esac.esa.int/external/xmm science/galery/public Radiografías difusas de la nebulosa Carina 3 Fig. 1. Imagen mosaica (9060′) de la nebulosa Carina entre 0.4-7 keV creada a partir de 32 XMM- Newton observaciones. La imagen se crea con el paquete ESAS, dividido por la exposición mapa y suavizado con la técnica de suavizado adaptativo. Las líneas punteadas muestran el XIS FOVs de las observaciones de Suzaku de η Car (derecha) y el campo Car-D1 (izquierda). Las líneas sólidas mostrar las regiones de extracción de origen para el análisis espectral. que la región centro-sur, mientras que la región del Car-D1 tiene un factor de 2 oxígeno más alto y abundancias de magnesio. Por otra parte, los ajustes espectrales de la región central con una mayor sensibilidad alrededor de 0,5 keV dio pequeños límites superiores (.0.02 solares) de la abundancia de nitrógeno. § 3. Origen del Plasma Difuso La relación de abundancia N/O inferida de los ajustes espectrales es.0.4, más de 20 veces menos que alrededor de η Coche. La distribución de la abundancia es totalmente contraria a eso. espera de los vientos estelares de estrellas masivas evolucionadas, a menos que los vientos de alguna manera calentar la materia interestelar sin enriquecerla, dejando así el plasma de rayos X con abundancias típicas de la materia interestelar. Al mismo tiempo, la luminosidad de los rayos X de la Nebulosa Carina es cerca de dos órdenes de magnitud superior a la de otros La estrella galáctica formando regiones, pero el número de estrellas tempranas O es sólo un orden de magnitud superior (véase la Tabla 4 de Ref. 6). Estos resultados sugieren una energía adicional fuente es necesaria para alimentar la emisión de rayos X en la Nebulosa Carina. Una posibilidad obvia es una o más supernovas de colapso de núcleo (es decir. Tipo Ib,c o II), mencionado como una posibilidad por Ref. 6). Las regiones varían fuertemente en oxígeno, magnesio, silicio y abundancias de hierro. Estos elementos son productos de la colapso de supernovas, y jóvenes SNR como Cas A y Vela muestran una gran abundancia 4 K. Hamaguchi y otros Complejo Fe L Complejo Fe L Fig. 2. Comparación de los espectros XIS1 entre los campos – izquierda: la región centro-norte (negro) y la región centro-sur (gris), a la derecha: el campo Car-D1 (negro) y la región centro-sur (gris). Las etiquetas anteriores demuestran la energía de las líneas de emisión detectadas (negras) o afectadas (grises) con este resultado. Las líneas de emisión con las líneas sólidas mostraron variación en su intensidad de línea. Baja Las tasas de recuento del espectro Car-D1 por debajo de 1 keV son causadas por la degradación de la respuesta blanda por contaminación progresiva en el XIS. variación de lugar a lugar. El contenido total de energía en el gas caliente de 2×1050 ergs es una fracción modesta de los 1051 ergs de energía cinética producidos por una supernova canónica, mientras que asumiendo una abundancia de hierro de 0,30 solar, el hierro total la masa en el gas difuso requiere al menos 3-5 supernovas. Agradecimientos K. H. cuenta con el apoyo financiero de una subvención de Chandra de los Estados Unidos No. GO3-4008A y EE.UU. Subvención Suzaku. Bibliografía 1) N. R. Evans, F. D. Seward, M. I. Krauss, T. Isobe, J. Nichols, E. M. Schlegel, y S. J. Wolk, Astrophysical Journal 2003 (589), 509 2) K. Hamaguchi, R. Petre, H. Matsumoto, M. Tsujimoto, S. S. Holt, Y. Ezoe, H. Ozawa, Y. Tsuboi, Y. Soong, S. Kitamoto, A. Sekiguchi y M. Kokubun. Publicación de Astro- Sociedad Nómica del Japón 2007 (59), 151 3) M. A. Leutenegger, S. M. Kahn, y G. Ramsay. Astrophysical Journal 2003 (585), 1015 4) F. D. Seward y T. Chlebowski. Astrophysical Journal 1982 (256), 530 5) L. K. Townsley. Procediendo al Simposio de mayo de STScI, “Estrellas masivas: del Pop III y GRB a la Vía Láctea, 2006, (astro–ph/0608173) 6) L. K. Townsley, E. D. Feigelson, T. Montmerle, P. S. Broos, Y.-H. Chu, y G. P. Garmire. Astrophysical Journal 2003 (593), 874 http://arxiv.org/abs/astro--ph/0608173 Emisión extendida de rayos X de la región de formación estelar Suzaku y XMM-Newton Observaciones de la Nebulosa Carina Origen del Plasma Difuso

Varias regiones gigantes de HII están asociadas con rayos X difusos blandos emisión. Entre estos, la nebulosa Carina posee la más brillante difusa suave emisión. La temperatura de plasma requerida y la energía térmica pueden ser producidas por colisiones o terminación de vientos rápidos de la secuencia principal o joven O incrustado las estrellas, pero la emisión extendida se observa a menudo de las regiones aparte de cúmulos estelares masivos. Se desconoce el origen de la emisión de rayos X. La cámara CCD XIS a bordo Suzaku tiene la mejor resolución espectral para fuentes blandas extendidas hasta ahora, y por lo tanto es capaz de medir la clave líneas de emisión en la banda blanda. Suzaku observó el núcleo y el lado oriental de la nebulosa Carina (Car-D1) en agosto de 2005 y junio de 2006, respectivamente. Spectra de la parte sur del núcleo y Car-D1 mostró de manera similar fuertes líneas L-shell de iones de hierro y líneas K-shell de iones de silicio, mientras que en el norte del núcleo Estas líneas eran mucho más débiles. Ajustar los espectros con un termo delgado absorbido modelo plasmático mostró kT~0.2, 0,6 keV y NH~1-2e21 cm-2 con un factor de 2-3 variación de la abundancia en oxígeno, magnesio, silicio y hierro. El plasma podría proceden de una vieja supernova, o una superconcha de supernovas múltiples.

Emisión difusa de rayos X de la nebulosa Carina observada con Suzaku Kenji Hamaguchi1,2, el equipo de Suzaku η Carinae y el equipo de Carinae D-1 1CRESST y Laboratorio de Astrofísica de Rayos X NASA/GSFC, Greenbelt, MD 20771 2Asociación de Investigaciones Espaciales de las Universidades, 10211 Wincopin Circle, Suite 500, Columbia, MD 21044 Varias regiones gigantes de HII están asociadas con emisiones difusas blandas de rayos X. Entre Estos, la nebulosa Carina posee la emisión difusa más brillante suave. El plasma necesario temperatura y energía térmica pueden ser producidas por colisiones o terminación de vientos rápidos de la secuencia principal o estrellas jóvenes O incrustadas, pero la emisión extendida se observa a menudo de regiones distintas de los cúmulos estelares masivos. Se desconoce el origen de la emisión de rayos X. La cámara CCD XIS a bordo Suzaku tiene la mejor resolución espectral para fuentes blandas hasta ahora, y por lo tanto es capaz de medir líneas de emisión clave en la banda blanda. Suzaku observó el núcleo y el lado oriental de la nebulosa Carina (Car-D1) en agosto de 2005 y Junio de 2006, respectivamente. Spectra de la parte sur del núcleo y Car-D1 mostraron de manera similar líneas fuertes L-shell de iones de hierro y K-shell de iones de silicio, mientras que en el norte del núcleo Estas líneas eran mucho más débiles. Ajustar los espectros con un plasma termal delgado absorbido modelo mostrado kT-0,2, 0,6 keV y NH-1-2×10 21 cm−2 con un factor de 2-3 abundancia variación en oxígeno, magnesio, silicio y hierro. El plasma podría originarse de un viejo supernova, o una superconcha de supernovas múltiples. § 1. Emisión extendida de rayos X de la región de formación estelar Nebulosas de emisión de rayos X blandos con kT-0,1-0,8 keV, log LX-33-35 ergs s −1, y El tamaño de las zonas 1-103 uds. acompaña a una serie de regiones HII gigantes (véase el cuadro 4 de Ref. 6). Las observaciones de Chandra de la emisión extendida en unos pocos cúmulos formadores de estrellas indican que la emisión puede surgir de los rápidos vientos estelares O térmicamente por colisiones viento-viento o por un choque de terminación. Sin embargo, la emisión se encuentra a menudo fuera de los cúmulos estelares masivos, de modo que otro origen, como un remanente no reconocido de supernovas, no puede ser descartado. En principio, el origen de la emisión difusa puede determinarse mediante la medición su composición. Por ejemplo, el plasma debe ser sobreabundante en nitrógeno y neón si se origina de los vientos de las estrellas ricas en nitrógeno Wolf-Rayet (WN), mientras que sería sobreabundante en oxígeno si surge de un SNR de tipo II. La temperatura del plasma, típicamente unos pocos millones de grados, hace estudios de banda de rayos X suave altamente deseable, debido a la presencia en esta banda de líneas fuertes de estos elementos, más carbono, silicio y hierro. La Nebulosa Carina, que contiene varios desarrollos y secuencias principales masivos estrellas como η Car, WR 25 y cúmulos estelares masivos como Trumpler 14 (Tr 14), emite rayos X difusos blandos 10–100 veces más fuertes que cualquier otro gigante galáctico Región HII (LX 10) 35 ergs s−1).4) El alto brillo de la superficie hizo posible el descubrimiento de la emisión difusa por el Observatorio Einstein a finales de la década de 1970. Las observaciones de Einstein revelaron que la emisión difusa tiende a estar asociada typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.0346v1 2 K. Hamaguchi y otros con regiones ópticamente brillantes que contienen estrellas masivas. Observaciones recientes de Chandra proporcionó una medición sin fuente de puntos del flujo difuso,1) y sugirió la presencia de un gradiente de abundancia Fe y Ne norte-sur.5) Las cámaras de rayos X CCD (XIS: Espectrómetro de Imágenes de Rayos X) a bordo del El observatorio Suzaku tiene la mejor resolución espectral para la emisión de rayos X blandos extendidos y por lo tanto proporcionan un buen diagnóstico de las líneas de emisión, especialmente por debajo de 1 keV. § 2. Suzaku y XMM-Newton Observaciones de la Nebulosa Carina La Figura 1 muestra una imagen de mosaico de la nebulosa Carina entre 0.4-7 keV creada a partir de 32 observaciones XMM-Newton. La imagen representa varios puntos de rayos X brillantes fuentes: η Car (un LBV), WR25, WR22 (estrellas de Wolf-Rayet), HD 93250, HD 93043 (O3 estrellas), y Tr 14, Tr 16 (conglomerados estelares masivos). La imagen también muestra claramente Al parecer, la emisión extendida hacia la dirección este-oeste. En una imagen a color (p. ej. Figura 1 de Ref. 2), XMM-Newton Galería de imágenes*)) la emisión es más suave entre Tr 14, WR 25 y η Car. Analizamos los datos de Suzaku del núcleo y del lado oriental (llamado Car-D1) de la nebulosa Carina tomada el 29 de agosto de 2005 y el 5 de junio de 2006 Los XIS FOVs de estas observaciones se muestran en la Figura 1 con líneas punteadas. Investigar la variación de color en detalle, dividimos la región central en dos y así extraído tres espectros de dos observaciones de Suzaku (núcleo norte, núcleo sur y Car-D1). El fondo fue reproducido con los datos de la Tierra nocturna. Los espectros mostraron fuerte emisión entre 0,3 y 2 keV, que probablemente está dominado por difuso suave emisión asociada con la nebulosa Carina, mientras que los espectros por encima de 2 keV pueden ser explicada con CXB, Emisión de rayos X Galáctica Ridge, fuentes de puntos de rayos X resueltas con Chandra y estrellas presecuenciales sin resolver. La Figura 2 muestra una superposición de los espectros BI entre 0,3-2 keV. El panel izquierdo compara los espectros de la región norte-núcleo con la región sur-núcleo. Una fuerte diferencia... por lo que se ve entre 0,7 keV y 1,2 keV, que aparentemente es la fuente de los dos colores de emisión difusa. La banda en la que se encuentra la diferencia está dominada por líneas de emisión del complejo de concha de hierro L. Además, el espectro núcleo-sur muestra una línea Si más fuerte. El espectro Car-D1 muestra una intensidad similar en el Si y Líneas fe al espectro núcleo-sur (panel derecho de la Figura 2) mientras que muestra relativamente líneas fuertes de magnesio y oxígeno. Todos estos espectros parecen similares, excepto estos líneas de emisión. Esto sugiere que las diferencias representan una abundancia elemental variación, y no una diferencia de temperatura. Esto es apoyado por los ajustes espectrales de los espectros individuales. Los tres espectros entre 0,3 y 2 keV fueron reproducidos por un modelo plasmático 2T delgado-térmico absorbido aunque los modelos más adecuados no son formalmente aceptables. El témpera de plasma... Las regiones de las tres regiones son 0,2 y 0,6 keV, y sus densidades de columna son 3×1021 cm−2, que es consistente con la extinción hacia la nebulosa Carina.3) las abundancias de algunos elementos muestran un factor de 2-4 variaciones: la región centro-norte tiene un factor de 2 menor abundancia de silicio y un factor de 4 menor abundancia de hierro *) http://xmm.esac.esa.int/external/xmm science/galery/public Radiografías difusas de la nebulosa Carina 3 Fig. 1. Imagen mosaica (9060′) de la nebulosa Carina entre 0.4-7 keV creada a partir de 32 XMM- Newton observaciones. La imagen se crea con el paquete ESAS, dividido por la exposición mapa y suavizado con la técnica de suavizado adaptativo. Las líneas punteadas muestran el XIS FOVs de las observaciones de Suzaku de η Car (derecha) y el campo Car-D1 (izquierda). Las líneas sólidas mostrar las regiones de extracción de origen para el análisis espectral. que la región centro-sur, mientras que la región del Car-D1 tiene un factor de 2 oxígeno más alto y abundancias de magnesio. Por otra parte, los ajustes espectrales de la región central con una mayor sensibilidad alrededor de 0,5 keV dio pequeños límites superiores (.0.02 solares) de la abundancia de nitrógeno. § 3. Origen del Plasma Difuso La relación de abundancia N/O inferida de los ajustes espectrales es.0.4, más de 20 veces menos que alrededor de η Coche. La distribución de la abundancia es totalmente contraria a eso. espera de los vientos estelares de estrellas masivas evolucionadas, a menos que los vientos de alguna manera calentar la materia interestelar sin enriquecerla, dejando así el plasma de rayos X con abundancias típicas de la materia interestelar. Al mismo tiempo, la luminosidad de los rayos X de la Nebulosa Carina es cerca de dos órdenes de magnitud superior a la de otros La estrella galáctica formando regiones, pero el número de estrellas tempranas O es sólo un orden de magnitud superior (véase la Tabla 4 de Ref. 6). Estos resultados sugieren una energía adicional fuente es necesaria para alimentar la emisión de rayos X en la Nebulosa Carina. Una posibilidad obvia es una o más supernovas de colapso de núcleo (es decir. Tipo Ib,c o II), mencionado como una posibilidad por Ref. 6). Las regiones varían fuertemente en oxígeno, magnesio, silicio y abundancias de hierro. Estos elementos son productos de la colapso de supernovas, y jóvenes SNR como Cas A y Vela muestran una gran abundancia 4 K. Hamaguchi y otros Complejo Fe L Complejo Fe L Fig. 2. Comparación de los espectros XIS1 entre los campos – izquierda: la región centro-norte (negro) y la región centro-sur (gris), a la derecha: el campo Car-D1 (negro) y la región centro-sur (gris). Las etiquetas anteriores demuestran la energía de las líneas de emisión detectadas (negras) o afectadas (grises) con este resultado. Las líneas de emisión con las líneas sólidas mostraron variación en su intensidad de línea. Baja Las tasas de recuento del espectro Car-D1 por debajo de 1 keV son causadas por la degradación de la respuesta blanda por contaminación progresiva en el XIS. variación de lugar a lugar. El contenido total de energía en el gas caliente de 2×1050 ergs es una fracción modesta de los 1051 ergs de energía cinética producidos por una supernova canónica, mientras que asumiendo una abundancia de hierro de 0,30 solar, el hierro total la masa en el gas difuso requiere al menos 3-5 supernovas. Agradecimientos K. H. cuenta con el apoyo financiero de una subvención de Chandra de los Estados Unidos No. GO3-4008A y EE.UU. Subvención Suzaku. Bibliografía 1) N. R. Evans, F. D. Seward, M. I. Krauss, T. Isobe, J. Nichols, E. M. Schlegel, y S. J. Wolk, Astrophysical Journal 2003 (589), 509 2) K. Hamaguchi, R. Petre, H. Matsumoto, M. Tsujimoto, S. S. Holt, Y. Ezoe, H. Ozawa, Y. Tsuboi, Y. Soong, S. Kitamoto, A. Sekiguchi y M. Kokubun. Publicación de Astro- Sociedad Nómica del Japón 2007 (59), 151 3) M. A. Leutenegger, S. M. Kahn, y G. Ramsay. Astrophysical Journal 2003 (585), 1015 4) F. D. Seward y T. Chlebowski. Astrophysical Journal 1982 (256), 530 5) L. K. Townsley. Procediendo al Simposio de mayo de STScI, “Estrellas masivas: del Pop III y GRB a la Vía Láctea, 2006, (astro–ph/0608173) 6) L. K. Townsley, E. D. Feigelson, T. Montmerle, P. S. Broos, Y.-H. Chu, y G. P. Garmire. Astrophysical Journal 2003 (593), 874 http://arxiv.org/abs/astro--ph/0608173 Emisión extendida de rayos X de la región de formación estelar Suzaku y XMM-Newton Observaciones de la Nebulosa Carina Origen del Plasma Difuso

The Colin de Verdi\`ere number and graphs of polytopes

El número de Colin de Verdière y gráficos de los politopos Ivan Izmestiev* Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Str. des 17. Juni 136 10623 Berlín, Alemania izmestiev@math.tu-berlin.de 25 de julio de 2008 Resumen El número de Colin de Verdière μ(G) de un gráfico G es el máximo corank de una matriz Colin de Verdière para G (es decir, de un Schrödinger operario en G con un único valor propio negativo). En 2001, Lovász dio una construcción que se asociaba a cada 3-politopo convexo a Colin de Matriz Verdière de cornk 3 para su 1-esqueleto. Generalizamos la construcción de Lovász a dimensiones más altas por terpretarlo como menos la matriz de Hessian del volumen del polar dual. Como corolario, μ(G) ≥ d si G es el 1-esqueleto de un convexo D-politopo. La determinación de la firma del Hessian del volumen se basa sobre la segunda desigualdad de Minkowski para volúmenes mixtos y sobre Bol’s condición para la igualdad. 1 Introducción 1.1 Número de Colin de Verdière A finales de los años 80, Yves Colin de Verdière introdujo un parámetro gráfico μ(G) basado en las propiedades espectrales de ciertas matrices asociadas con el Gráfico G. Definición 1.1 Dejar G ser un gráfico con n vértices. A Colin de Verdière matriz para G es una matriz simétrica n × n M = (Mij) con la siguiente propiedades. La investigación para este artículo fue apoyada por la Unidad de Investigación del DFG 565 “Polyhedral Superficies”. http://arxiv.org/abs/0704.0349v3 (M1) M es un operador de Schrödinger en G, es decir < 0, si ij es un borde de G; = 0, si ij no es un borde de G e i 6= j. (M2) M tiene exactamente un valor propio negativo, y este valor propio es simple. (M3) Si X es una matriz simétrica n × n tal que MX = 0 y Xij = 0 Cuando i = j o ij es un borde de G, entonces X = 0. El conjunto de todas las matrices Colin de Verdière para el gráfico G está denotado por MG. El número Colin de Verdière μ(G) se define como el corank máximo de matrices de MG: μ(G) := máx. DimkerM. Una matriz Colin de Verdière de corank máximo se llama óptima. Básicamente, el número de Colin de Verdière es la máxima multiplicidad de el segundo valor mínimo eigen de un operador de Schrödinger discreto M satis- fiding una cierta suposición de estabilidad (M3). Reemplazando M por M − 2Id, podemos hacer el segundo eigenvalue cero (M2), de modo que la multiplicidad sea- Viene Corank. Definición 1.1 fue motivada por el estudio de Schrödinger y Laplace operadores asociados con familias degenerativas de Riemannian métricas en superficies. El parámetro μ(G) resultó ser interesante por sí solo. En particular: ular, que plantea la propiedad de la monotonicidad menor: si un gráfico H es un menor de G, luego μ(H) ≤ μ(G). Por el teorema de Robertson-Seymour esto implica que los gráficos con μ(G) ≤ n pueden caracterizarse por un conjunto finito de menores de edad. Para n hasta cuatro tales caracterizaciones son conocidas y permiten agradable Reformulaciones topológicas: p. ej. μ(G) ≤ 3 if G es planar (es decir, no tener K5 o K3,3 como menores), y μ(G) ≤ 4 if G es incrustable sin conexión en 3 (es decir, no tiene ningún gráfico de la familia Petersen como menor). Un vista general de los resultados y problemas abiertos en el número Colin de Verdière puede se encuentra en [4], [14] y [5]. El libro [4] trata también de otros temas espectrales Invariantes derivadas de operadores discretos de Schrödinger y Laplace. 1.2 Representaciones de Nullspace y representaciones de Steinitz Dejar M ser una matriz Colin de Verdière para el gráfico G con dimkerM = d. Elija una base (u1,. .............................................................. n, fijar un sistema de coordenadas en Rn, y leer las coordenadas de (uα): (u1,. .., ud) = (v1,. .., vn) El mapa que se asocia a cada vértice i de G el vector vi d se llama una representación de espacio nulo del gráfico G. En [11] se estudiaron las representaciones de Nullspace. En un documento posterior [10] Lovász mostró que, para un planar G 3-conectado, el nullspace repré- sentation con vectores adecuadamente escalados (vi) realiza G como el esqueleto de un 3-politopo convexo. Lovász también proporcionó una construcción inversa que como sociable a cada 3-politopo convexo con 1-esqueleto G a Colin de Verdère matriz de corank 3. La prueba de que la matriz construida tenía un apro- La firma priate es indirecta, y un enfoque más geométrico es deseable. 1.3 Matriz hesiana del volumen como Colin de Verdière matriz En este artículo relacionamos la construcción de Lovász (la de una matriz de un poli- tope) a los volúmenes mixtos. Nuestro enfoque permite un simple gener- alización a dimensiones superiores. Es decir, nos asociamos a cada d-dimensional politopo convexo con 1-esqueleto G a Colin de Verdière matriz para G de corank d. Como consecuencia, el gráfico de un politopo d-dimensional convexo tiene Colin de Verdière número al menos d. Este resultado no es realmente nuevo, ya que sigue de la monotonicidad menor de μ, del hecho de que el gráfico de un d-politopo tiene Kd+1 como menor [8], y a partir de μ(Kd+1) = d. Nuestro resultado se basa en la siguiente observación. Toma un d- convexo. politopo P y deformarlo cambiando cada faceta paralelamente a sí mismo. Entonces la matriz hesiana del volumen de P, donde se toman derivados parciales con respecto a las distancias de los turnos, ha corank d y exactamente uno valor propio positivo. Además, el derivado parcial mixto 2 vol(P ) Łxilxj es positivo si la ith y las facetas jth son adyacentes, y desaparece de otra manera. Por lo tanto el negativo de la matriz hessiana satisface las condiciones (M1) y (M2) de Definición 1.1. La condición (M3) sigue muy fácilmente, también. La firma del Hessiano del volumen está codificada en el segundo La desigualdad de Minkowski para volúmenes mixtos junto con la caracterización de Bol- En el caso de la igualdad. Para los politopos simples, la determinación de la la firma del Hessian es una parte esencial en la prueba del Alexandrov- Desigualdad Fenchel. 1.4 Plan del documento En la Sección 2.1 recordamos la construcción Lovász de una matriz Colin de Verdière para el esqueleto de un 3-politopo convexo Q. Después de introducir alguna terminología y notación en la sección 2.2, mostramos en la sección 2.3 que la matriz de Lovász es menos la matriz de Hessian de la volumen del politopo dual polar Q*. En la sección 2.4, que trata de los 3 politopos, señalamos un interesante identidad (encontrada y utilizada por primera vez en otro lugar [2]) entre la matriz hesiana de vol(Q*) y la matriz hesiana de otra cantidad geométrica asociada con Q. Esto da otra interpretación de la matriz de Lovász M y relaciona la igualdad dimkerM = 3 con la rigidez infinitesimal de la Polytope Q. En la sección 3.1 se discute la (im)posibilidad de invertir la construcción, que es de encontrar un politopo convexo cuya matriz hesiana del volumen es igual a una matriz dada de Colin de Verdière. En la sección 3.2 se da una estimación del valor propio negativo (y por lo tanto de la brecha espectral) para las matrices hessianas del volumen. Finalmente, en el Apéndice derivamos la firma del Hessiano de la segunda desigualdad Minkowski y la condición de Bol. Aunque esto parece ser un conocimiento del folklore en círculos estrechos, fallamos en encontrar un relato escrito sobre este tema. 1.5 Agradecimientos Estoy agradecido a los organizadores de la conferencia Oberwolfach 2006 “Discreto Geometría diferencial”, donde nació la idea de este artículo. También le doy las gracias. Ronald Wotzlaw por señalarme un error en una versión preliminar. 2 De un politopo convexo a un Colin de Verdière matriz 2.1 Construcción de Lovász Recordemos la construcción de Lovász de una matriz óptima de Colin de Verdière asociado con una representación politópica de un gráfico en R3. Dejar Q â € TM R3 ser un politopo convexo que contiene el origen de coordenadas en su interior. Que G sea el 1-esqueleto de Q. Denotamos los vértices de G por i, j,.. .. y los vértices correspondientes de Q por vi, vj,... Let Q ∗ Ser el dual polar de Q. Los vértices de Q* se denotan por wf, wg,.. ., donde f, g,... son caras de Q. Para ij G, considere el borde vivj de Q y el doble borde wfwg de Q Véase la figura 1. Es fácil demostrar que el vector wf − wg es ortogonal a ambos vectores vi y vj, por lo tanto paralelo a su producto cruzado vi × vj. Por lo tanto Tenemos wf − wg = Mij(vi × vj), (1) con Mij < 0 (acordamos elegir el etiquetado de wf y wg para que consigamos el signo correcto). Además, considere el vector v′i = Mijvj, vi × vj Figura 1: A la definición de la matriz M. donde la suma se extiende sobre todos los vértices de G adyacentes a i. De (1) es fácil de ver que vi × v i = 0. Por lo tanto existe un número real Mii tal que v′i = −Miivi. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Poniendo Mij = 0 para distintos vértices no adyacentes i y j de G, completamos la construcción de la matriz M. Teorema 2.1 (Lovász, [10]) La matriz M es una matriz Colin de Verdière para el gráfico G. La ecuación (2) puede ser reescrita como Mijvj = 0. 3) Por lo tanto M ha corank al menos 3. Dado que μ(G) ≤ 3 para los gráficos planos, M es un matriz óptima de Colin de Verdière para G. La prueba de Teorema 2.1 pasa por un argumento de deformación, utilizando el hecho de que el espacio de 3 politopos convexos con un gráfico dado está conectado. 2.2 Politopos con un conjunto dado de normales Aquí fijamos una cierta terminología y notación necesaria en el sec- ciones. Todos los politopos en este documento se supone que son convexos. Una faceta de un El politopo d-dimensional es una cara (d− 1)-dimensional de él. Estudiaremos familias de politopos con normales de facetas fijas. Vamos v1,. ................................................ ser vectores en Rd tal que el origen de coordenadas se encuentra en el interior de su Casco convexo. Considere una matriz d× n formada por vectores de fila vi : V = (v1,. .., vn) Definición 2.2 Denotar por P(V ) el conjunto de todos los politopos convexos con el normales de faceta externa v1,. .., vn. Cada politopo en P(V) es el conjunto de soluciones de un sistema de ciones: P (x) = {p Rd V p ≤ x}, donde x = (xi) i=1 â € R n. Denotar por Fi(x) la faceta de P (x) con el exterior Vi normal. Tenemos Fi(x) = {p • P (x) v i p = xi}. Los números xi se llaman los parámetros de soporte del politopo P (x). El mapa P (x) 7→ x incrusta P(V) en Rn como un subconjunto convexo abierto. Los parámetro de soporte xi es proporcional a la distancia firmada de 0 a la Casco afín de la faceta Fi(x): xi = â â € · · hola. Por vold denotamos el volumen de un politopo d-dimensional. Usamos el subíndice porque tanto vold(P) como vold−1(Fi) ocurrirán en nuestras fórmulas. Omitimos el subíndice en vol, cuando parece razonable hacerlo. 2.3 Interpretación y generalización de la construcción de Lovász Por definición del dual polar, tenemos Q* = {p R3 vi p ≤ 1 para todos los i}. Así Q* puede ser visto como un elemento del conjunto P(V) de los politopos con facet normals (vi)i+G. En términos de la sección 2.2, Q * = P (1,..., 1). Vamos a variar los parámetros de soporte de Q* y mira cómo esto cambia su volumen. Lemma 2.3 Dejar que M sea la matriz construida en la sección 2.1. Entonces tenemos Mij = − 2vol(P (x)) Łxilxj x=(1,...,1) donde P (x) es como en la sección 2.2. Prueba. Que Fi(x) sea la faceta de P (x) con la vi normal. No es difícil mostrar que vol3(P (x)) vol2(Fi(x)) Además, para i 6= j tenemos vol2(Fi(x)) vol1(Fij(x)) # VJ # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # •vol1(Fj) •vol2(P) Figura 2: Derivados parciales del volumen con respecto al apoyo parámetros. si las caras Fi(x) y Fj(x) son adyacentes; de lo contrario esta derivada es cero. Toma. Fij(x) es el borde común de Fi(x) y Fj(x), y el ángulo entre los vectores vi y vj (es decir, el ángulo diédrico exterior en el borde Fij). Los Las ecuaciones se ilustran en la Figura 2 en una dimensión inferior y para â € ¬viâ = 1. Así en x = (1,..., 1) tenemos 2vol(P (x)) Łxilxj vol1(Fij(x)) # Vivjjó # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Awf # # wg # # Vi # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # VJ # # VJ # # VJ # = −Mij (4) para todos i 6= j. Para tratar el caso i = j, diferenciar la identidad bien conocida vol2(Fj(x)) con respecto al xi. Esto da 2vol(P (x)) j 6=i 2vol(P (x)) Łxilxj vj = 0. 5) En vista de (3) y (4), tenemos 2vol(P (x)) x=(1,...,1) = −Mii. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 2.3 sugiere la siguiente generalización de la construcción de Lovász: tion. Teorema 2.4 Let P (x0) = {p Rn vi p ≤ x i para todos i} ser un politopo convexo con normales de faceta externa vi y parámetros de soporte x0i, i = 1,..., n. Dejar G ser el doble 1-esqueleto de P (x 0). Entonces la matriz M definido por Mij = − 2vol(P (x)) Łxilxj es una matriz Colin de Verdiére para el gráfico G. El corank de M es igual a d. En particular, μ(G) ≥ d para cada gráfico G que se puede realizar como el 1-esqueleto de un politopo d-dimensional. Prueba. Similarmente a Lemma 2.3, para las facetas adyacentes Fi y Fj tenemos 2 vold(P (x)) Łxilxj vold−2(Fij(x)) # Vivjjó # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # # Sin # # donde Fij es su cara común (d−2), y Łij es el ángulo entre vi y vj. Para Fi y Fj no adyacentes esta derivada es cero. Por lo tanto, la matriz M satisface la propiedad (M1) de la definición 1.1. La prueba de la propiedad (M2) es la parte más interesante de rem. La firma del Hessiano del volumen está codificada en el segundo Minkowski desigualdad para volúmenes mixtos mejorado por la condición de Bol para igualdad. Teorema A.10 en la sección A dice en particular que la matriz M tiene corank d. El núcleo de M es fácil de identificar: debido a la ecuación (5) it consiste en los vectores â € ¢ Rn tales que â € i = v i p para algún vector p â € R Asumiendo esta descripción de kerM, vamos a probar que la matriz M satisface la propiedad (M3). Si MX = 0, entonces hay vectores p1,. .............................................................. tal que Xij = v i pj para todos i, j. Arreglar j. Entonces por suposición en X tenemos pj vj y pj vi para todos ij G. Pero el vj normal a la cara Fj y el normales a las caras vecinas abarcan el espacio Rd. Así tenemos pj = 0 para todos j, lo que implica X = 0. En cuanto a la última frase del teorema, si G es el doble 1-esqueleto de un convex politopo P, entonces G es el esqueleto del polar (P − p)*, donde p es cualquier punto interior de P. 2.4 Caso d = 3 y rigidez infinitesimal de los politopos convexos En el caso d = 3 hay otra interpretación de la matriz M. Sección 2.1, dejar Q ser un politopo convexo que tiene esqueleto G y contiene 0 en el interior. Triangular las caras de Q por diagonales y cortar Q en pirámides con ápices en 0 y triángulos de la triangulación como bases. De- nota por ri la longitud del borde que une 0 al vértice vi de Q. Ahora deforma las pirámides cambiando las longitudes ri y dejando las longitudes de bordes de frontera constante. Durante esta deformación, los ángulos diédricos de las pirámides cambian, y el ángulo total de la i-ésimo borde puede ser- son diferentes de 2η. Mediante la computación de los derivados de explícitamente, nosotros obtener ([2], Teorema 3.11) vol1(Fij) sin Łij = Vivjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj donde utilizamos las anotaciones de la sección 2.3. Si cambiamos las variables xi a hi = · xi, por lo que hi es la distancia de 0 desde aff (Fi), a continuación, la ecuación (7) toma una forma particularmente agradable vol2(Fi) Por (7), la matriz (i ) se obtiene de la matriz M multiplicando la i-ésima fila y la i-ésima columna con «vi», para todos los i. Esto implica El corolario 2.5 La matriz (i ) es una matriz óptima de Colin de Verdière para Gráfico G. El hecho de que la matriz (i ) tiene corank 3 es equivalente a la infinitesi- rigidez del politopo Q. De hecho, cada deformación infinitesimal (dri) De tal manera que d­i = 0 para todos i da lugar a una deformación isométrica infinitesimal de Q. La deformación resultante es trivial si se produce moviendo la apex 0 dentro de Q. Otro hecho interesante es que la matriz (i ) es la matriz hessiana de una cantidad geométrica relacionada con el politopo Q (deformado por ri variable). Es decir, poner S(r) = RÍO + lijajij, en la que Łi = 2η − Łi es la “curvatura” a lo largo del borde radial i-th, y lij = vol1(Fij) es la longitud del borde vivj. Entonces la fórmula Schläfli implica = I.i. Por lo tanto فارسى2S(Q) Łriđrj 2vol(Q*) *.......................................................................................................................................................... y ambas matrices son iguales al negativo de la matriz de Lovász M, hasta escalando las filas y columnas por â € € TM € TM. 3 Observaciones finales 3.1 Lo que falla en la construcción inversa Dejar que M sea una matriz de Colin de Verdère para el gráfico G. ¿Hay una convexa politopo P tal que M surge de P como resultado de la construcción de- ¿Está inscrito en la sección 2.3? Por supuesto, en general la respuesta es no, porque G debe ser el esqueleto dual de P, y P debe tener dimensión d = dimkerM. En particular, todos los vértices de G deben tener grados al menos d. Pero, debido a la monotonicidad menor de μ, existen gráficos trivalentes con μ(G) arbitrariamente Grande. Sin embargo, vale la pena ver lo que falla cuando tratamos de reconstruir el politopo P de la matriz M. Let u1,. ............................................................. n ser una base de kerM. Dejar vi ser la i-ésima fila en el matriz (u1,. ., ud). Entonces tenemos Mijvj = 0 (8) Por todos los i. Por lo tanto, los vectores v1,. ........................................ d son buenos candidatos para el normales exteriores a las caras del politopo P. En este punto ya podemos fallar, si no se cumplen los siguientes supuestos: 1. vi 6= 0 para todos i, y vi 6= vj para todos i 6= j; 2. para cada i, las proyecciones vij de vj en v i para ij â € G satisfacer el suposición previa y el lapso vi. Procedemos suponiendo que estas condiciones se mantengan. Codimensión 2 caras Fij de P debe ser en 1 a 1 correspondencia con los bordes de G, y su los volúmenes son determinados por la matriz M : vold−2(Fij) = Aij := −Mijióvivjá sin Łij, en el que se encuentra el ángulo entre vi y vj. Lemma 3.1 Para cada i, existe un politopo convexo (d−1)-dimensional Fi v i con facetas exteriores normales vij y volúmenes faceta Aij, ij G. Prueba. Proyección de la ecuación (8) en vi, obtenemos Mij · vij = 0. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Como consecuencia de la sentencia «Vijá» = «Vjá» sin «Jij», se deduce que Aij · # Vij # Por el teorema de Minkowski [13, Sección 7.1], esto implica la existencia de un politopo Fi como se indica en el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los politopos Fi en Lemma 3.1 deben convertirse en facetas del politopo P. Pero aquí está el segundo punto donde la reconstrucción puede fallar: el j-th facet Fij de Fi podría ser diferente de la i-th faceta Fji de Fj ; la única cosa Sabemos que es vold−2(Fij) = Aij = vold−2(Fji). En el caso d = 3, sin embargo, esto basta: Fi son polígonos convexos y encajar a lo largo de sus bordes para formar un politopo P. Condiciones 1. y 2. arriba mantener si suponemos que G es un gráfico plano 3 conectado [11]. Por lo tanto, 3 gráficos planos conectados cada matriz Colin de Verdière corresponde a un Politopo. Este es uno de los resultados de [10]. El siguiente ejemplo muestra que incluso para gráficos altamente conectados la el número μ(G) puede ser mayor que la dimensión máxima de un politopo con 1-esqueleto G. Ejemplo Let Gn = K2,2,...,2 ser el gráfico multipartito en vértices 2n (la gráfica de un politopo cruzado n-dimensional). En [9], μ(Gn) = 2n − 3 para n ≥ 3. Para n = 3, 4 el gráfico Gn también se puede representar como el esqueleto de a Politopo convexo dimensional (2n − 3): para n = 3 este es el octaedro, para n = 4 la unión de dos cuadriláteros convexos en posición general en R5. Para n ≥ 5, sin embargo, no hay politopo convexo dimensional (2n − 3) con esqueleto Gn. De hecho, mediante el estudio del diagrama Gale [16, Conferencia 6] de un d-politopo con d + 3 vértices, se puede mostrar que el complemento a la gráfico de tal politopo no puede tener más de 4 bordes. Nótese que la ecuación (9) recuerda la definición de a (d − 2)- peso en [12]. 3.2 Valor propio negativo Teorema 3.2 Let Sea el valor propio negativo de la matriz (6). Entonces se mantiene la siguiente desigualdad: -1 ≤ −d(d−1) · vold(P (x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La igualdad tiene lugar sif x0i = c · vold−1(Fi(x para todos i y algunos constantes c. Prueba. Por inducción en d, es fácil demostrar que la función vold(P (x)) es un grado d polinomio homogéneo en x siempre y cuando la combinatoria de P (x) no cambia. Para diferentes combinatorios, los polinomios tienen diferentes coeficientes. Sin embargo, dado que vold(P (x)) es dos veces diferenciable, podemos aplicar Teorema homogéneo de función de Euler dos veces en el punto x0, de forma independiente sobre qué tan genérico es la combinatoria de P (x0). Esto da resultados (x0)Mx0 = −d(d− 1) · vold(P (x Desde el 1 de enero = min = 1 La desigualdad sigue. Puesto que ♥1 es el valor negativo único de M, la desigualdad gira en igualdad if Mx0 = Tenemos j = − vold−1(Fi(x x0j = −(d− 1) · vold−1(Fi(x Por lo tanto, Mx0 = x0 es equivalente a x0i = c · vold−1(Fi(x , y el teorema es probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La diferencia espectral se llama el número ­2 − ­1. En nuestro caso, 2 ° = 0 por definición. Por lo tanto, el teorema 3.2 proporciona una estimación de la brecha espectral de la matriz M. Por lo general, se busca hacer la brecha espectral lo más grande posible, pero en para que esto tenga sentido para Colin de Verdère matices, uno tiene que elegir un norma de matriz, [4, capítulo 5.7]. La norma de la matriz (6) es una función de sus coeficientes, que tienen un significado geométrico. Por lo tanto, tan pronto como la elección de una norma de matriz se hace, se puede tratar de resolver el problema de la espectral espacio por medios geométricos (al menos en el caso de los gráficos planos 3 conectados, para los cuales cada matriz óptima de Colin de Verdière se puede realizar a través de un politopo). A La segunda desigualdad de Minkowski para umes y la firma de la matriz 2 vol ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Łxilxj El objetivo de este apéndice es probar el Teorema A.10 que describe el sig- naturaleza de la matriz (6). El teorema se deriva del segundo Minkowski desigualdad para volúmenes mixtos y condición de Bol para la igualdad. La relación entre la teoría de los volúmenes mixtos y el rígido infinitesimal- ity (como sabemos, el rango de la matriz (6) explica la rigidez infinitesimal del politopo dual, véase la sección 2.4) se notó hace mucho [1, 15]. En el décadas después, este fenómeno parecía ser olvidado. Muy recientemente, Carl Lee y Paul Filliman [7] lo descubrieron de nuevo. A.1 La segunda desigualdad de Minkowski y la condición de Bol Definición A.1 Dejemos que P,Q,Rd sean cuerpos convexos. Un volumen mixto de P y Q es un coeficiente en la expansión vol(P + μQ) = vol(Q,. .., Q # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # , P,. .., P # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # •d−kμk (10) donde A + B para A,B + Rd denota la suma de Minkowski. In particular, vol(P,. .., P ) = vol(P ). De manera similar se define el volumen mixto de más de dos convexos cuerpos. Resulta que el volumen mixto es polilineal con respecto a la Minkowski suma y multiplicación con escalares positivos. Una prueba de que la expansión (10) tiene lugar y más información sobre los volúmenes mixtos puede figura en [6, 13]. Teorema A.2 Deja que P,Q, Rd sean cuerpos convexos. A continuación, se mantiene lo siguiente: 1. (La segunda desigualdad Minkowski) vol(Q,P,. .., P )2 ≥ vol(P ) · vol(Q,Q,P,. ., P ). (11) 2. (Condición de Bol) Supongamos que dimQ = d. Entonces la igualdad se mantiene en (11) i y solamente si dimP < d − 1 o P es homotésico a (d − 2) cuerpo tangencial de Q. Para una prueba, véase [13, Teorema 6.2.1, Teorema 6.6.18]. La condición de Bol fue conjeturado por Minkowski, pero probado sólo décadas más tarde por Bol, [3]. Definición A.3 Si P • Q • Rd son politopos convexos d-dimensionales, entonces Q se llama un cuerpo p-tangencial de P iff P tiene una intersección no vacía con cada cara de Q de dimensión al menos p. A.2 Volúmenes mixtos como derivados del volumen Sustituyendo en (10)  = 1 y μ = t, obtenemos vol(P + tQ) = vol(P ) + tdvol(Q,P,. .............................................................. d(d− 1) vol (Q, Q, P,. .., P ) + · · · (12) para todos t > 0, que se puede ver como la expansión Taylor de vol. Buscaremos. en él en el caso cuando P y Q son politopos con los mismos conjuntos de facetas normales. El espacio P(V) de todos los politopos con normales de facetas exteriores v1,. ........................................................... definido en la sección 2.2. Queremos estudiar los derivados parciales del volumen de P (x) P(V) con respecto a los parámetros de soporte x. Para la brevedad, vamos a utilizar la notación vol(x) := vol(P (x)). Del mismo modo, el volumen mixto de los politopos de P(V) se escribirá como un función de los parámetros de soporte: vol(x1,. .., xd) := vol(P (x1),. , P (xd)). Ahora nos gustaría calcular vol(x+ ty) con la ayuda de (12). Esto es no tan sencillo como parece, porque los parámetros de soporte se comportan no muy linealmente bajo la adición de Minkowski. Tenemos P (ty) = tP (y) para t > 0. También tenemos P (x) + P (y) P (x + y), pero la igualdad no Siempre espera. Para describir los casos en los que tenemos la igualdad, nosotros Necesito una nueva definición. Definición A.4 El cono normal N(F,P ) de la cara F de un politopo d es el conjunto de vectores w • Rd tal que (wx) = máx. (wx). El ventilador normal N(P) es la descomposición de Rd en los conos normales de las caras de P. Si el ventilador normal N(Q) subdivide el ventilador normal N(P), Luego escribimos N(Q) > N(P). Tenga en cuenta que el ventilador normal de un politopo P+P(V) tiene los rayos R+vi como Conos 1-dimensionales. Los conos dimensionales superiores del ventilador normal desalientan... mina la combinatoria de P. Por lo tanto politopos con ventiladores normales iguales a veces se llaman fuertemente isomórficos. Denotamos los ventiladores normales de los politopos de P(V) por N(x) := N(P (x)). El siguiente lema es clásico. Lemma A.5 Si N(y) > N(x), entonces P (x) + P (y) = P (x+ y). Ahora estamos listos para probar Lemma A.6 Let y â € P(V ) ser tal que N(y) > N(x). Entonces yvol(x) = d · vol(y, x,. ., x), 2yvol(x) = d(d− 1) · vol(y, y, x,. ., x), donde se denota la derivada direccional a lo largo de y. Prueba. Debido a Lemma A.5 tenemos P (x + ty) = P (x) + tP (y). Por substi- P = P (x) y Q = P (y) en (12), obtenemos vol(x+ ty) = vol(x) + tdvol(y, x,. ., x) d(d− 1) vol(y, y, x,. .., x) + · · ·, lo que implica el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. Para politopos con el mismo ventilador normal (“fuertemente isomórfico” politopos”), hay la siguiente descripción de los volúmenes mixtos. Denotar (V ) = {P (x) • P (V ) N(x) =. Por inducción en d, es fácil demostrar que existe un poli- de grado d en n variables tales que vol(P (x)) = V­(x), para todos los x â € € TM Pâ € (U). Si usamos el mismo símbolo V.O. para denotar el asociado forma polilineal simétrica, entonces tenemos vol(P (x(1)),. .., P (x(d)) = V (1),. .., x(d)) para todas las x(1). .................................................................. A.3 Desde la segunda desigualdad Minkowski hasta la firma del Hessiano del volumen Por argumentos geométricos similares a los de la prueba de Lemma 2.3, la función vol es dos veces diferenciable continuamente en P(V ). Por lo tanto, la La siguiente definición tiene sentido. Definición A.7 Let x â € P(V ). Definir una forma simétrica bilineal Φ en Rn Φ(, η) = vol(x). Dejemos que y(V) P(V) sea tal que N(y) > N(x). Combinando el homo de Euler teorema de función genética y Lemma A.6, obtenemos Φ(x, x) = d(d− 1) vol(x,. ., x), Φ(x, y) = d(d− 1) vol(y, x,. ., x), Φ(y, y) = d(d− 1) vol(y, y, x,. ., x). Lemma A.8 Let L+Rn ser un subespacio vectorial de 2 dimensiones de tal manera que x L. Entonces la restricción del formulario Φ a L tiene firma (+,−) o (+, 0). Prueba. Dejemos que y(V) P(V) sea tal que N(y) > N(x). El segundo Minkowski desigualdad (11) aplicada a P = P (x) y Q = P (y) puede ser reescrita como Φ(x, x) Φ(x, y) Φ(x, y) Φ(y, y) ≤ 0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Dado que, además, Φ(x, x) = d(d−1) vol(P) > 0, se deduce que la restricción de Φ a {x, y} tiene firma (+, 0) o (+,−). Queda por mostrar que cada 2-subespacio L x puede ser representado como span {x, y} con N(y) > N(x). Esto es cierto ya que x es un punto interior de el conjunto {y P(V ) N(y) > N(x)}. (Cuando perturbamos x, podemos crear nuevos rostros, pero no pueden destruir los viejos.) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma A.9 La forma Φ tiene corank d. Prueba. Expongamos un subespacio d-dimensional de ker Φ. Asociado con cada punto p â € € TM Rd un vector p â € TM Rn con coordenadas pi = â € € ¢, pâ € €. El politopo P (x+p) es la traducción de P (x) por p. Por lo tanto, el direccional la derivada pvol(x) desaparece para todas las x, lo que implica Φ(p, η) = 0 para todas η. Así que tenemos = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = para todos los p â € Rd. Vamos a Φ. Tenemos que demostrar que â € = p para algunos p â € Rd. Denotar el lapso de x y por L. Entonces, por Lemma A.8, la restricción L tiene firma (+, 0) y, por lo tanto, Râ = L â € ker Φ. (14) Elija y • L de tal manera que N(y) > N(x), y x e y son linealmente independientes. Entonces la degeneración de L significa que tenemos una igualdad en (13) y así también en la desigualdad Minkowski para P = P (x) y Q = P (y). Por La condición de Bol, ver Teorema A.2, esto sucede si y sólo si el politopo P (x) es homotésico a un cuerpo (d − 2)-tangencial del politopo P (y). Por estudio de la definición A.3, vemos que en P(V) es equivalente a P (x) ser homotésico a P (y). Si P (x) es homotésico a P (y), entonces x = ♥y + p para Por lo tanto, desde el punto de vista de la Comisión, la Comisión considera que, en el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, sino superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, dado que el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, sino superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, dado que el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China ni superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China ni superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China. Rp = L • ker Φ. Comparando esto con (14), concluimos que = μp = μp para algunos R. Así, el núcleo de Φ se limita a los vectores de la forma p. Teorema A.10 La forma Φ tiene corank d y exactamente un eigen positivo valor, que es simple. Prueba. El corank de Φ se calcula en Lemma A.9. La forma Φ tiene al menos un eigenvector positivo desde Φ(x, x) > 0. Supongamos que tiene más de uno. Entonces existe un 2-subespacio de Rn sobre el cual Φ es positivamente definitivo. El subgrupo de GL(Rn) que conserva Φ actúa transitoriamente sobre el cono de direcciones positivas. Por lo tanto, hay un positivo 2-subespacio L que pasa a través de x. Esto contradice a Lemma A.8. Teorema está probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía [1] W. Blaschke. Ein Beweis für die Unverbiegbarkeit geschlossener kon- vexer Flächen. Gött. Nachr., págs. 607–610, 1912. [2] A. Bobenko e I. 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Introducción El número de Colin de Verdière Representaciones Nullspace y representaciones Steinitz Matriz hesiana del volumen como matriz Colin de Verdière Plan del documento Agradecimientos De un politopo convexo a una matriz Colin de Verdière Construcción de Lovász Politopos con un conjunto dado de normales Interpretación y generalización de la construcción de Lovász Caso d=3 y rigidez infinitesimal de los politopos convexos Observaciones finales Lo que falla en la construcción inversa Valor propio negativo La segunda desigualdad Minkowski para volúmenes mixtos y la firma de la matriz (2 volxi xj) La segunda desigualdad Minkowski y la condición de Bol Volúmenes mixtos como derivados del volumen De la segunda desigualdad Minkowski a la firma del Hessian del volumen

El número de Colin de Verdiere $\mu(G)$ de un gráfico $G$ es el corank máximo de una matriz Colin de Verdiere para $G$ (es decir, de un operador Schr\"odenger en $G$ con un único valor propio negativo). En 2001, Lov\'asz dio un construcción que se asocia a cada convexo 3-politopo a Colin de Verdiere matriz de corank 3 para su 1-esqueleto. Generalizamos la construcción de Lov\'asz a dimensiones superiores interpretando como menos la matriz hessiana del volumen del dual polar. Como corolario, $\mu(G) \ge d$ si $G$ es el 1-esqueleto de un politopo convexo $d$. La determinación de la firma del Hessiano del volumen se basa en el segunda desigualdad Minkowski para volúmenes mixtos y en la condición de Bol para igualdad.

Introducción 1.1 Número de Colin de Verdière A finales de los años 80, Yves Colin de Verdière introdujo un parámetro gráfico μ(G) basado en las propiedades espectrales de ciertas matrices asociadas con el Gráfico G. Definición 1.1 Dejar G ser un gráfico con n vértices. A Colin de Verdière matriz para G es una matriz simétrica n × n M = (Mij) con la siguiente propiedades. La investigación para este artículo fue apoyada por la Unidad de Investigación del DFG 565 “Polyhedral Superficies”. http://arxiv.org/abs/0704.0349v3 (M1) M es un operador de Schrödinger en G, es decir < 0, si ij es un borde de G; = 0, si ij no es un borde de G e i 6= j. (M2) M tiene exactamente un valor propio negativo, y este valor propio es simple. (M3) Si X es una matriz simétrica n × n tal que MX = 0 y Xij = 0 Cuando i = j o ij es un borde de G, entonces X = 0. El conjunto de todas las matrices Colin de Verdière para el gráfico G está denotado por MG. El número Colin de Verdière μ(G) se define como el corank máximo de matrices de MG: μ(G) := máx. DimkerM. Una matriz Colin de Verdière de corank máximo se llama óptima. Básicamente, el número de Colin de Verdière es la máxima multiplicidad de el segundo valor mínimo eigen de un operador de Schrödinger discreto M satis- fiding una cierta suposición de estabilidad (M3). Reemplazando M por M − 2Id, podemos hacer el segundo eigenvalue cero (M2), de modo que la multiplicidad sea- Viene Corank. Definición 1.1 fue motivada por el estudio de Schrödinger y Laplace operadores asociados con familias degenerativas de Riemannian métricas en superficies. El parámetro μ(G) resultó ser interesante por sí solo. En particular: ular, que plantea la propiedad de la monotonicidad menor: si un gráfico H es un menor de G, luego μ(H) ≤ μ(G). Por el teorema de Robertson-Seymour esto implica que los gráficos con μ(G) ≤ n pueden caracterizarse por un conjunto finito de menores de edad. Para n hasta cuatro tales caracterizaciones son conocidas y permiten agradable Reformulaciones topológicas: p. ej. μ(G) ≤ 3 if G es planar (es decir, no tener K5 o K3,3 como menores), y μ(G) ≤ 4 if G es incrustable sin conexión en 3 (es decir, no tiene ningún gráfico de la familia Petersen como menor). Un vista general de los resultados y problemas abiertos en el número Colin de Verdière puede se encuentra en [4], [14] y [5]. El libro [4] trata también de otros temas espectrales Invariantes derivadas de operadores discretos de Schrödinger y Laplace. 1.2 Representaciones de Nullspace y representaciones de Steinitz Dejar M ser una matriz Colin de Verdière para el gráfico G con dimkerM = d. Elija una base (u1,. .............................................................. n, fijar un sistema de coordenadas en Rn, y leer las coordenadas de (uα): (u1,. .., ud) = (v1,. .., vn) El mapa que se asocia a cada vértice i de G el vector vi d se llama una representación de espacio nulo del gráfico G. En [11] se estudiaron las representaciones de Nullspace. En un documento posterior [10] Lovász mostró que, para un planar G 3-conectado, el nullspace repré- sentation con vectores adecuadamente escalados (vi) realiza G como el esqueleto de un 3-politopo convexo. Lovász también proporcionó una construcción inversa que como sociable a cada 3-politopo convexo con 1-esqueleto G a Colin de Verdère matriz de corank 3. La prueba de que la matriz construida tenía un apro- La firma priate es indirecta, y un enfoque más geométrico es deseable. 1.3 Matriz hesiana del volumen como Colin de Verdière matriz En este artículo relacionamos la construcción de Lovász (la de una matriz de un poli- tope) a los volúmenes mixtos. Nuestro enfoque permite un simple gener- alización a dimensiones superiores. Es decir, nos asociamos a cada d-dimensional politopo convexo con 1-esqueleto G a Colin de Verdière matriz para G de corank d. Como consecuencia, el gráfico de un politopo d-dimensional convexo tiene Colin de Verdière número al menos d. Este resultado no es realmente nuevo, ya que sigue de la monotonicidad menor de μ, del hecho de que el gráfico de un d-politopo tiene Kd+1 como menor [8], y a partir de μ(Kd+1) = d. Nuestro resultado se basa en la siguiente observación. Toma un d- convexo. politopo P y deformarlo cambiando cada faceta paralelamente a sí mismo. Entonces la matriz hesiana del volumen de P, donde se toman derivados parciales con respecto a las distancias de los turnos, ha corank d y exactamente uno valor propio positivo. Además, el derivado parcial mixto 2 vol(P ) Łxilxj es positivo si la ith y las facetas jth son adyacentes, y desaparece de otra manera. Por lo tanto el negativo de la matriz hessiana satisface las condiciones (M1) y (M2) de Definición 1.1. La condición (M3) sigue muy fácilmente, también. La firma del Hessiano del volumen está codificada en el segundo La desigualdad de Minkowski para volúmenes mixtos junto con la caracterización de Bol- En el caso de la igualdad. Para los politopos simples, la determinación de la la firma del Hessian es una parte esencial en la prueba del Alexandrov- Desigualdad Fenchel. 1.4 Plan del documento En la Sección 2.1 recordamos la construcción Lovász de una matriz Colin de Verdière para el esqueleto de un 3-politopo convexo Q. Después de introducir alguna terminología y notación en la sección 2.2, mostramos en la sección 2.3 que la matriz de Lovász es menos la matriz de Hessian de la volumen del politopo dual polar Q*. En la sección 2.4, que trata de los 3 politopos, señalamos un interesante identidad (encontrada y utilizada por primera vez en otro lugar [2]) entre la matriz hesiana de vol(Q*) y la matriz hesiana de otra cantidad geométrica asociada con Q. Esto da otra interpretación de la matriz de Lovász M y relaciona la igualdad dimkerM = 3 con la rigidez infinitesimal de la Polytope Q. En la sección 3.1 se discute la (im)posibilidad de invertir la construcción, que es de encontrar un politopo convexo cuya matriz hesiana del volumen es igual a una matriz dada de Colin de Verdière. En la sección 3.2 se da una estimación del valor propio negativo (y por lo tanto de la brecha espectral) para las matrices hessianas del volumen. Finalmente, en el Apéndice derivamos la firma del Hessiano de la segunda desigualdad Minkowski y la condición de Bol. Aunque esto parece ser un conocimiento del folklore en círculos estrechos, fallamos en encontrar un relato escrito sobre este tema. 1.5 Agradecimientos Estoy agradecido a los organizadores de la conferencia Oberwolfach 2006 “Discreto Geometría diferencial”, donde nació la idea de este artículo. También le doy las gracias. Ronald Wotzlaw por señalarme un error en una versión preliminar. 2 De un politopo convexo a un Colin de Verdière matriz 2.1 Construcción de Lovász Recordemos la construcción de Lovász de una matriz óptima de Colin de Verdière asociado con una representación politópica de un gráfico en R3. Dejar Q â € TM R3 ser un politopo convexo que contiene el origen de coordenadas en su interior. Que G sea el 1-esqueleto de Q. Denotamos los vértices de G por i, j,.. .. y los vértices correspondientes de Q por vi, vj,... Let Q ∗ Ser el dual polar de Q. Los vértices de Q* se denotan por wf, wg,.. ., donde f, g,... son caras de Q. Para ij G, considere el borde vivj de Q y el doble borde wfwg de Q Véase la figura 1. Es fácil demostrar que el vector wf − wg es ortogonal a ambos vectores vi y vj, por lo tanto paralelo a su producto cruzado vi × vj. Por lo tanto Tenemos wf − wg = Mij(vi × vj), (1) con Mij < 0 (acordamos elegir el etiquetado de wf y wg para que consigamos el signo correcto). Además, considere el vector v′i = Mijvj, vi × vj Figura 1: A la definición de la matriz M. donde la suma se extiende sobre todos los vértices de G adyacentes a i. De (1) es fácil de ver que vi × v i = 0. Por lo tanto existe un número real Mii tal que v′i = −Miivi. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Poniendo Mij = 0 para distintos vértices no adyacentes i y j de G, completamos la construcción de la matriz M. Teorema 2.1 (Lovász, [10]) La matriz M es una matriz Colin de Verdière para el gráfico G. La ecuación (2) puede ser reescrita como Mijvj = 0. 3) Por lo tanto M ha corank al menos 3. Dado que μ(G) ≤ 3 para los gráficos planos, M es un matriz óptima de Colin de Verdière para G. La prueba de Teorema 2.1 pasa por un argumento de deformación, utilizando el hecho de que el espacio de 3 politopos convexos con un gráfico dado está conectado. 2.2 Politopos con un conjunto dado de normales Aquí fijamos una cierta terminología y notación necesaria en el sec- ciones. Todos los politopos en este documento se supone que son convexos. Una faceta de un El politopo d-dimensional es una cara (d− 1)-dimensional de él. Estudiaremos familias de politopos con normales de facetas fijas. Vamos v1,. ................................................ ser vectores en Rd tal que el origen de coordenadas se encuentra en el interior de su Casco convexo. Considere una matriz d× n formada por vectores de fila vi : V = (v1,. .., vn) Definición 2.2 Denotar por P(V ) el conjunto de todos los politopos convexos con el normales de faceta externa v1,. .., vn. Cada politopo en P(V) es el conjunto de soluciones de un sistema de ciones: P (x) = {p Rd V p ≤ x}, donde x = (xi) i=1 â € R n. Denotar por Fi(x) la faceta de P (x) con el exterior Vi normal. Tenemos Fi(x) = {p • P (x) v i p = xi}. Los números xi se llaman los parámetros de soporte del politopo P (x). El mapa P (x) 7→ x incrusta P(V) en Rn como un subconjunto convexo abierto. Los parámetro de soporte xi es proporcional a la distancia firmada de 0 a la Casco afín de la faceta Fi(x): xi = â â € · · hola. Por vold denotamos el volumen de un politopo d-dimensional. Usamos el subíndice porque tanto vold(P) como vold−1(Fi) ocurrirán en nuestras fórmulas. Omitimos el subíndice en vol, cuando parece razonable hacerlo. 2.3 Interpretación y generalización de la construcción de Lovász Por definición del dual polar, tenemos Q* = {p R3 vi p ≤ 1 para todos los i}. Así Q* puede ser visto como un elemento del conjunto P(V) de los politopos con facet normals (vi)i+G. En términos de la sección 2.2, Q * = P (1,..., 1). Vamos a variar los parámetros de soporte de Q* y mira cómo esto cambia su volumen. Lemma 2.3 Dejar que M sea la matriz construida en la sección 2.1. Entonces tenemos Mij = − 2vol(P (x)) Łxilxj x=(1,...,1) donde P (x) es como en la sección 2.2. Prueba. Que Fi(x) sea la faceta de P (x) con la vi normal. No es difícil mostrar que vol3(P (x)) vol2(Fi(x)) Además, para i 6= j tenemos vol2(Fi(x)) vol1(Fij(x)) # VJ # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # •vol1(Fj) •vol2(P) Figura 2: Derivados parciales del volumen con respecto al apoyo parámetros. si las caras Fi(x) y Fj(x) son adyacentes; de lo contrario esta derivada es cero. Toma. Fij(x) es el borde común de Fi(x) y Fj(x), y el ángulo entre los vectores vi y vj (es decir, el ángulo diédrico exterior en el borde Fij). Los Las ecuaciones se ilustran en la Figura 2 en una dimensión inferior y para â € ¬viâ = 1. Así en x = (1,..., 1) tenemos 2vol(P (x)) Łxilxj vol1(Fij(x)) # Vivjjó # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Awf # # wg # # Vi # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # # VJ # VJ # # VJ # # VJ # = −Mij (4) para todos i 6= j. Para tratar el caso i = j, diferenciar la identidad bien conocida vol2(Fj(x)) con respecto al xi. Esto da 2vol(P (x)) j 6=i 2vol(P (x)) Łxilxj vj = 0. 5) En vista de (3) y (4), tenemos 2vol(P (x)) x=(1,...,1) = −Mii. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 2.3 sugiere la siguiente generalización de la construcción de Lovász: tion. Teorema 2.4 Let P (x0) = {p Rn vi p ≤ x i para todos i} ser un politopo convexo con normales de faceta externa vi y parámetros de soporte x0i, i = 1,..., n. Dejar G ser el doble 1-esqueleto de P (x 0). Entonces la matriz M definido por Mij = − 2vol(P (x)) Łxilxj es una matriz Colin de Verdiére para el gráfico G. El corank de M es igual a d. En particular, μ(G) ≥ d para cada gráfico G que se puede realizar como el 1-esqueleto de un politopo d-dimensional. Prueba. Similarmente a Lemma 2.3, para las facetas adyacentes Fi y Fj tenemos 2 vold(P (x)) Łxilxj vold−2(Fij(x)) # Vivjjó # # Sin # # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # # Sin # # Sin # # # Sin # # # Sin # # donde Fij es su cara común (d−2), y Łij es el ángulo entre vi y vj. Para Fi y Fj no adyacentes esta derivada es cero. Por lo tanto, la matriz M satisface la propiedad (M1) de la definición 1.1. La prueba de la propiedad (M2) es la parte más interesante de rem. La firma del Hessiano del volumen está codificada en el segundo Minkowski desigualdad para volúmenes mixtos mejorado por la condición de Bol para igualdad. Teorema A.10 en la sección A dice en particular que la matriz M tiene corank d. El núcleo de M es fácil de identificar: debido a la ecuación (5) it consiste en los vectores â € ¢ Rn tales que â € i = v i p para algún vector p â € R Asumiendo esta descripción de kerM, vamos a probar que la matriz M satisface la propiedad (M3). Si MX = 0, entonces hay vectores p1,. .............................................................. tal que Xij = v i pj para todos i, j. Arreglar j. Entonces por suposición en X tenemos pj vj y pj vi para todos ij G. Pero el vj normal a la cara Fj y el normales a las caras vecinas abarcan el espacio Rd. Así tenemos pj = 0 para todos j, lo que implica X = 0. En cuanto a la última frase del teorema, si G es el doble 1-esqueleto de un convex politopo P, entonces G es el esqueleto del polar (P − p)*, donde p es cualquier punto interior de P. 2.4 Caso d = 3 y rigidez infinitesimal de los politopos convexos En el caso d = 3 hay otra interpretación de la matriz M. Sección 2.1, dejar Q ser un politopo convexo que tiene esqueleto G y contiene 0 en el interior. Triangular las caras de Q por diagonales y cortar Q en pirámides con ápices en 0 y triángulos de la triangulación como bases. De- nota por ri la longitud del borde que une 0 al vértice vi de Q. Ahora deforma las pirámides cambiando las longitudes ri y dejando las longitudes de bordes de frontera constante. Durante esta deformación, los ángulos diédricos de las pirámides cambian, y el ángulo total de la i-ésimo borde puede ser- son diferentes de 2η. Mediante la computación de los derivados de explícitamente, nosotros obtener ([2], Teorema 3.11) vol1(Fij) sin Łij = Vivjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj donde utilizamos las anotaciones de la sección 2.3. Si cambiamos las variables xi a hi = · xi, por lo que hi es la distancia de 0 desde aff (Fi), a continuación, la ecuación (7) toma una forma particularmente agradable vol2(Fi) Por (7), la matriz (i ) se obtiene de la matriz M multiplicando la i-ésima fila y la i-ésima columna con «vi», para todos los i. Esto implica El corolario 2.5 La matriz (i ) es una matriz óptima de Colin de Verdière para Gráfico G. El hecho de que la matriz (i ) tiene corank 3 es equivalente a la infinitesi- rigidez del politopo Q. De hecho, cada deformación infinitesimal (dri) De tal manera que d­i = 0 para todos i da lugar a una deformación isométrica infinitesimal de Q. La deformación resultante es trivial si se produce moviendo la apex 0 dentro de Q. Otro hecho interesante es que la matriz (i ) es la matriz hessiana de una cantidad geométrica relacionada con el politopo Q (deformado por ri variable). Es decir, poner S(r) = RÍO + lijajij, en la que Łi = 2η − Łi es la “curvatura” a lo largo del borde radial i-th, y lij = vol1(Fij) es la longitud del borde vivj. Entonces la fórmula Schläfli implica = I.i. Por lo tanto فارسى2S(Q) Łriđrj 2vol(Q*) *.......................................................................................................................................................... y ambas matrices son iguales al negativo de la matriz de Lovász M, hasta escalando las filas y columnas por â € € TM € TM. 3 Observaciones finales 3.1 Lo que falla en la construcción inversa Dejar que M sea una matriz de Colin de Verdère para el gráfico G. ¿Hay una convexa politopo P tal que M surge de P como resultado de la construcción de- ¿Está inscrito en la sección 2.3? Por supuesto, en general la respuesta es no, porque G debe ser el esqueleto dual de P, y P debe tener dimensión d = dimkerM. En particular, todos los vértices de G deben tener grados al menos d. Pero, debido a la monotonicidad menor de μ, existen gráficos trivalentes con μ(G) arbitrariamente Grande. Sin embargo, vale la pena ver lo que falla cuando tratamos de reconstruir el politopo P de la matriz M. Let u1,. ............................................................. n ser una base de kerM. Dejar vi ser la i-ésima fila en el matriz (u1,. ., ud). Entonces tenemos Mijvj = 0 (8) Por todos los i. Por lo tanto, los vectores v1,. ........................................ d son buenos candidatos para el normales exteriores a las caras del politopo P. En este punto ya podemos fallar, si no se cumplen los siguientes supuestos: 1. vi 6= 0 para todos i, y vi 6= vj para todos i 6= j; 2. para cada i, las proyecciones vij de vj en v i para ij â € G satisfacer el suposición previa y el lapso vi. Procedemos suponiendo que estas condiciones se mantengan. Codimensión 2 caras Fij de P debe ser en 1 a 1 correspondencia con los bordes de G, y su los volúmenes son determinados por la matriz M : vold−2(Fij) = Aij := −Mijióvivjá sin Łij, en el que se encuentra el ángulo entre vi y vj. Lemma 3.1 Para cada i, existe un politopo convexo (d−1)-dimensional Fi v i con facetas exteriores normales vij y volúmenes faceta Aij, ij G. Prueba. Proyección de la ecuación (8) en vi, obtenemos Mij · vij = 0. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Como consecuencia de la sentencia «Vijá» = «Vjá» sin «Jij», se deduce que Aij · # Vij # Por el teorema de Minkowski [13, Sección 7.1], esto implica la existencia de un politopo Fi como se indica en el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los politopos Fi en Lemma 3.1 deben convertirse en facetas del politopo P. Pero aquí está el segundo punto donde la reconstrucción puede fallar: el j-th facet Fij de Fi podría ser diferente de la i-th faceta Fji de Fj ; la única cosa Sabemos que es vold−2(Fij) = Aij = vold−2(Fji). En el caso d = 3, sin embargo, esto basta: Fi son polígonos convexos y encajar a lo largo de sus bordes para formar un politopo P. Condiciones 1. y 2. arriba mantener si suponemos que G es un gráfico plano 3 conectado [11]. Por lo tanto, 3 gráficos planos conectados cada matriz Colin de Verdière corresponde a un Politopo. Este es uno de los resultados de [10]. El siguiente ejemplo muestra que incluso para gráficos altamente conectados la el número μ(G) puede ser mayor que la dimensión máxima de un politopo con 1-esqueleto G. Ejemplo Let Gn = K2,2,...,2 ser el gráfico multipartito en vértices 2n (la gráfica de un politopo cruzado n-dimensional). En [9], μ(Gn) = 2n − 3 para n ≥ 3. Para n = 3, 4 el gráfico Gn también se puede representar como el esqueleto de a Politopo convexo dimensional (2n − 3): para n = 3 este es el octaedro, para n = 4 la unión de dos cuadriláteros convexos en posición general en R5. Para n ≥ 5, sin embargo, no hay politopo convexo dimensional (2n − 3) con esqueleto Gn. De hecho, mediante el estudio del diagrama Gale [16, Conferencia 6] de un d-politopo con d + 3 vértices, se puede mostrar que el complemento a la gráfico de tal politopo no puede tener más de 4 bordes. Nótese que la ecuación (9) recuerda la definición de a (d − 2)- peso en [12]. 3.2 Valor propio negativo Teorema 3.2 Let Sea el valor propio negativo de la matriz (6). Entonces se mantiene la siguiente desigualdad: -1 ≤ −d(d−1) · vold(P (x * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * La igualdad tiene lugar sif x0i = c · vold−1(Fi(x para todos i y algunos constantes c. Prueba. Por inducción en d, es fácil demostrar que la función vold(P (x)) es un grado d polinomio homogéneo en x siempre y cuando la combinatoria de P (x) no cambia. Para diferentes combinatorios, los polinomios tienen diferentes coeficientes. Sin embargo, dado que vold(P (x)) es dos veces diferenciable, podemos aplicar Teorema homogéneo de función de Euler dos veces en el punto x0, de forma independiente sobre qué tan genérico es la combinatoria de P (x0). Esto da resultados (x0)Mx0 = −d(d− 1) · vold(P (x Desde el 1 de enero = min = 1 La desigualdad sigue. Puesto que ♥1 es el valor negativo único de M, la desigualdad gira en igualdad if Mx0 = Tenemos j = − vold−1(Fi(x x0j = −(d− 1) · vold−1(Fi(x Por lo tanto, Mx0 = x0 es equivalente a x0i = c · vold−1(Fi(x , y el teorema es probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La diferencia espectral se llama el número ­2 − ­1. En nuestro caso, 2 ° = 0 por definición. Por lo tanto, el teorema 3.2 proporciona una estimación de la brecha espectral de la matriz M. Por lo general, se busca hacer la brecha espectral lo más grande posible, pero en para que esto tenga sentido para Colin de Verdère matices, uno tiene que elegir un norma de matriz, [4, capítulo 5.7]. La norma de la matriz (6) es una función de sus coeficientes, que tienen un significado geométrico. Por lo tanto, tan pronto como la elección de una norma de matriz se hace, se puede tratar de resolver el problema de la espectral espacio por medios geométricos (al menos en el caso de los gráficos planos 3 conectados, para los cuales cada matriz óptima de Colin de Verdière se puede realizar a través de un politopo). A La segunda desigualdad de Minkowski para umes y la firma de la matriz 2 vol ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Łxilxj El objetivo de este apéndice es probar el Teorema A.10 que describe el sig- naturaleza de la matriz (6). El teorema se deriva del segundo Minkowski desigualdad para volúmenes mixtos y condición de Bol para la igualdad. La relación entre la teoría de los volúmenes mixtos y el rígido infinitesimal- ity (como sabemos, el rango de la matriz (6) explica la rigidez infinitesimal del politopo dual, véase la sección 2.4) se notó hace mucho [1, 15]. En el décadas después, este fenómeno parecía ser olvidado. Muy recientemente, Carl Lee y Paul Filliman [7] lo descubrieron de nuevo. A.1 La segunda desigualdad de Minkowski y la condición de Bol Definición A.1 Dejemos que P,Q,Rd sean cuerpos convexos. Un volumen mixto de P y Q es un coeficiente en la expansión vol(P + μQ) = vol(Q,. .., Q # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # , P,. .., P # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # •d−kμk (10) donde A + B para A,B + Rd denota la suma de Minkowski. In particular, vol(P,. .., P ) = vol(P ). De manera similar se define el volumen mixto de más de dos convexos cuerpos. Resulta que el volumen mixto es polilineal con respecto a la Minkowski suma y multiplicación con escalares positivos. Una prueba de que la expansión (10) tiene lugar y más información sobre los volúmenes mixtos puede figura en [6, 13]. Teorema A.2 Deja que P,Q, Rd sean cuerpos convexos. A continuación, se mantiene lo siguiente: 1. (La segunda desigualdad Minkowski) vol(Q,P,. .., P )2 ≥ vol(P ) · vol(Q,Q,P,. ., P ). (11) 2. (Condición de Bol) Supongamos que dimQ = d. Entonces la igualdad se mantiene en (11) i y solamente si dimP < d − 1 o P es homotésico a (d − 2) cuerpo tangencial de Q. Para una prueba, véase [13, Teorema 6.2.1, Teorema 6.6.18]. La condición de Bol fue conjeturado por Minkowski, pero probado sólo décadas más tarde por Bol, [3]. Definición A.3 Si P • Q • Rd son politopos convexos d-dimensionales, entonces Q se llama un cuerpo p-tangencial de P iff P tiene una intersección no vacía con cada cara de Q de dimensión al menos p. A.2 Volúmenes mixtos como derivados del volumen Sustituyendo en (10)  = 1 y μ = t, obtenemos vol(P + tQ) = vol(P ) + tdvol(Q,P,. .............................................................. d(d− 1) vol (Q, Q, P,. .., P ) + · · · (12) para todos t > 0, que se puede ver como la expansión Taylor de vol. Buscaremos. en él en el caso cuando P y Q son politopos con los mismos conjuntos de facetas normales. El espacio P(V) de todos los politopos con normales de facetas exteriores v1,. ........................................................... definido en la sección 2.2. Queremos estudiar los derivados parciales del volumen de P (x) P(V) con respecto a los parámetros de soporte x. Para la brevedad, vamos a utilizar la notación vol(x) := vol(P (x)). Del mismo modo, el volumen mixto de los politopos de P(V) se escribirá como un función de los parámetros de soporte: vol(x1,. .., xd) := vol(P (x1),. , P (xd)). Ahora nos gustaría calcular vol(x+ ty) con la ayuda de (12). Esto es no tan sencillo como parece, porque los parámetros de soporte se comportan no muy linealmente bajo la adición de Minkowski. Tenemos P (ty) = tP (y) para t > 0. También tenemos P (x) + P (y) P (x + y), pero la igualdad no Siempre espera. Para describir los casos en los que tenemos la igualdad, nosotros Necesito una nueva definición. Definición A.4 El cono normal N(F,P ) de la cara F de un politopo d es el conjunto de vectores w • Rd tal que (wx) = máx. (wx). El ventilador normal N(P) es la descomposición de Rd en los conos normales de las caras de P. Si el ventilador normal N(Q) subdivide el ventilador normal N(P), Luego escribimos N(Q) > N(P). Tenga en cuenta que el ventilador normal de un politopo P+P(V) tiene los rayos R+vi como Conos 1-dimensionales. Los conos dimensionales superiores del ventilador normal desalientan... mina la combinatoria de P. Por lo tanto politopos con ventiladores normales iguales a veces se llaman fuertemente isomórficos. Denotamos los ventiladores normales de los politopos de P(V) por N(x) := N(P (x)). El siguiente lema es clásico. Lemma A.5 Si N(y) > N(x), entonces P (x) + P (y) = P (x+ y). Ahora estamos listos para probar Lemma A.6 Let y â € P(V ) ser tal que N(y) > N(x). Entonces yvol(x) = d · vol(y, x,. ., x), 2yvol(x) = d(d− 1) · vol(y, y, x,. ., x), donde se denota la derivada direccional a lo largo de y. Prueba. Debido a Lemma A.5 tenemos P (x + ty) = P (x) + tP (y). Por substi- P = P (x) y Q = P (y) en (12), obtenemos vol(x+ ty) = vol(x) + tdvol(y, x,. ., x) d(d− 1) vol(y, y, x,. .., x) + · · ·, lo que implica el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. Para politopos con el mismo ventilador normal (“fuertemente isomórfico” politopos”), hay la siguiente descripción de los volúmenes mixtos. Denotar (V ) = {P (x) • P (V ) N(x) =. Por inducción en d, es fácil demostrar que existe un poli- de grado d en n variables tales que vol(P (x)) = V­(x), para todos los x â € € TM Pâ € (U). Si usamos el mismo símbolo V.O. para denotar el asociado forma polilineal simétrica, entonces tenemos vol(P (x(1)),. .., P (x(d)) = V (1),. .., x(d)) para todas las x(1). .................................................................. A.3 Desde la segunda desigualdad Minkowski hasta la firma del Hessiano del volumen Por argumentos geométricos similares a los de la prueba de Lemma 2.3, la función vol es dos veces diferenciable continuamente en P(V ). Por lo tanto, la La siguiente definición tiene sentido. Definición A.7 Let x â € P(V ). Definir una forma simétrica bilineal Φ en Rn Φ(, η) = vol(x). Dejemos que y(V) P(V) sea tal que N(y) > N(x). Combinando el homo de Euler teorema de función genética y Lemma A.6, obtenemos Φ(x, x) = d(d− 1) vol(x,. ., x), Φ(x, y) = d(d− 1) vol(y, x,. ., x), Φ(y, y) = d(d− 1) vol(y, y, x,. ., x). Lemma A.8 Let L+Rn ser un subespacio vectorial de 2 dimensiones de tal manera que x L. Entonces la restricción del formulario Φ a L tiene firma (+,−) o (+, 0). Prueba. Dejemos que y(V) P(V) sea tal que N(y) > N(x). El segundo Minkowski desigualdad (11) aplicada a P = P (x) y Q = P (y) puede ser reescrita como Φ(x, x) Φ(x, y) Φ(x, y) Φ(y, y) ≤ 0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Dado que, además, Φ(x, x) = d(d−1) vol(P) > 0, se deduce que la restricción de Φ a {x, y} tiene firma (+, 0) o (+,−). Queda por mostrar que cada 2-subespacio L x puede ser representado como span {x, y} con N(y) > N(x). Esto es cierto ya que x es un punto interior de el conjunto {y P(V ) N(y) > N(x)}. (Cuando perturbamos x, podemos crear nuevos rostros, pero no pueden destruir los viejos.) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma A.9 La forma Φ tiene corank d. Prueba. Expongamos un subespacio d-dimensional de ker Φ. Asociado con cada punto p â € € TM Rd un vector p â € TM Rn con coordenadas pi = â € € ¢, pâ € €. El politopo P (x+p) es la traducción de P (x) por p. Por lo tanto, el direccional la derivada pvol(x) desaparece para todas las x, lo que implica Φ(p, η) = 0 para todas η. Así que tenemos = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = para todos los p â € Rd. Vamos a Φ. Tenemos que demostrar que â € = p para algunos p â € Rd. Denotar el lapso de x y por L. Entonces, por Lemma A.8, la restricción L tiene firma (+, 0) y, por lo tanto, Râ = L â € ker Φ. (14) Elija y • L de tal manera que N(y) > N(x), y x e y son linealmente independientes. Entonces la degeneración de L significa que tenemos una igualdad en (13) y así también en la desigualdad Minkowski para P = P (x) y Q = P (y). Por La condición de Bol, ver Teorema A.2, esto sucede si y sólo si el politopo P (x) es homotésico a un cuerpo (d − 2)-tangencial del politopo P (y). Por estudio de la definición A.3, vemos que en P(V) es equivalente a P (x) ser homotésico a P (y). Si P (x) es homotésico a P (y), entonces x = ♥y + p para Por lo tanto, desde el punto de vista de la Comisión, la Comisión considera que, en el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, sino superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, dado que el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, sino superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China, dado que el valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China no es superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China ni superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China ni superior al valor de mercado de las importaciones procedentes de la República Popular China. Rp = L • ker Φ. Comparando esto con (14), concluimos que = μp = μp para algunos R. Así, el núcleo de Φ se limita a los vectores de la forma p. Teorema A.10 La forma Φ tiene corank d y exactamente un eigen positivo valor, que es simple. Prueba. El corank de Φ se calcula en Lemma A.9. La forma Φ tiene al menos un eigenvector positivo desde Φ(x, x) > 0. Supongamos que tiene más de uno. Entonces existe un 2-subespacio de Rn sobre el cual Φ es positivamente definitivo. El subgrupo de GL(Rn) que conserva Φ actúa transitoriamente sobre el cono de direcciones positivas. Por lo tanto, hay un positivo 2-subespacio L que pasa a través de x. Esto contradice a Lemma A.8. Teorema está probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía [1] W. Blaschke. Ein Beweis für die Unverbiegbarkeit geschlossener kon- vexer Flächen. Gött. Nachr., págs. 607–610, 1912. [2] A. Bobenko e I. 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Introducción El número de Colin de Verdière Representaciones Nullspace y representaciones Steinitz Matriz hesiana del volumen como matriz Colin de Verdière Plan del documento Agradecimientos De un politopo convexo a una matriz Colin de Verdière Construcción de Lovász Politopos con un conjunto dado de normales Interpretación y generalización de la construcción de Lovász Caso d=3 y rigidez infinitesimal de los politopos convexos Observaciones finales Lo que falla en la construcción inversa Valor propio negativo La segunda desigualdad Minkowski para volúmenes mixtos y la firma de la matriz (2 volxi xj) La segunda desigualdad Minkowski y la condición de Bol Volúmenes mixtos como derivados del volumen De la segunda desigualdad Minkowski a la firma del Hessian del volumen

Visible spectroscopic and photometric survey of Jupiter Trojans: final results on dynamical families

Encuesta espectroscópica y fotométrica visible troyanos de Júpiter: resultados finales sobre dinámica familias. * Fornasier S.1,2, Dotto E.3, Hainaut O.4, Marzari F.5, Boehnhardt H.6, De Luise F.3, Barucci M.A.2 22 de octubre de 2018 1 Universidad de París 7, Francia 2 LESIA – Observatorio de París, Francia. 3 INAF – Osservatorio Astronomico di Roma, Italia; 4 Observatorio Europeo Austral, Chile; 5 Dipartimento di Fisica, Università di Padova, Italia; 6 Instituto Max-Planck de Investigación del Sistema Solar, Katlenburg-Lindau, Alemania Presentado a Ícaro: Diciembre 2006 Correo electrónico: sonia.fornasier@obspm.fr fax: +33145077144, teléfono: +33145077746 Running Head: Investigación de Familias Dinámicas de Jupiter Trojans * Basado en observaciones realizadas en el Observatorio Europeo Austral (ESO), La Silla, Chile, propuestas de ESO 71.C-0650, 73.C-0622, 74.C-0577 http://arxiv.org/abs/0704.0350v1 Enviar correspondencia a: Sonia Fornasier LESIA-Observatoire de Paris Batiment 17 5, Place Jules Janssen 92195 Meudon Cedex Francia Correo electrónico: sonia.fornasier@obspm.fr fax: +33145077144 teléfono: +33145077746 Resumen Presentamos los resultados de un espectroscópico visible y fotométrico encuesta de troyanos de Júpiter pertenecientes a diferentes familias dinámicas. La encuesta se llevó a cabo en el Telescopio de Nueva Tecnología de 3.5m (NTT) del Observatorio Europeo Austral (La Silla, Chile) en Abril de 2003, mayo de 2004 y enero de 2005. Obtuvimos datos sobre 47 objetos, 23 pertenecientes al enjambre L5 y 24 al enjambre L4. Estos datos junto con los ya publicados por Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), adquirido desde noviembre de 2002, constituye un muestra total de espectros visibles para 80 objetos. La encuesta nos permite investigar a seis familias (Aneas, Anquises, Mis- enus, Phereclos, Sarpedon, Panthoos) en la nube L5 y cuatro fam- ilies (Eurybates, Menelaus, 1986 WD y 1986 TS6). La muestra que que midimos está dominado por asteroides de tipo D, con la excepción de la familia Eurybates en el enjambre L4, donde hay un dominio de Asteroides tipo C- y P-. Todos los espectros que obtuvimos no tienen características con la excepción de algunos miembros de Eurybates, donde una caída de la reflectancia es detectada en corto de 5200 Å. Características similares se ven en el cinturón principal Asteroides de tipo C y comúnmente atribuidos a la carga de intervalo transición de transferencia en hierro oxidado. Nuestra muestra comprende troyanos más débiles y más pequeños en comparación con el los datos de la literatura y nos permite investigar las propiedades de los objetos con un diámetro estimado inferior a 40–50 km. El análisis de la pendientes espectrales y colores versus los diámetros estimados muestran que los objetos azules y rojos tienen distribución de tamaño indistinguible, así que se ha encontrado cualquier relación entre el tamaño y las pendientes espectrales. Para investigar a fondo la población troyana, incluimos en nuestro anal- ysis 62 espectros de troyanos disponibles en la literatura, resultando en un total muestra de 142 objetos. Aunque el comportamiento espectral medio de L4 y los troyanos L5 es indistinguible dentro de las incertidumbres, encontramos que la población L4 es más heterogénea y que tiene un mayor abundancia de objetos azulados en comparación con el enjambre L5. Finalmente, realizamos una investigación estadística de los espectros de los troyanos distribución de bienes en función de sus funciones orbitales y físicas y en comparación con otras clases de cuerpos menores en el Sistema Solar exterior. Los troyanos con una inclinación más baja aparecen significativamente más azul que aquellos con mayor inclinación, pero este efecto es fuertemente impulsado por la familia Eurybates. Los colores medios de los troyanos son similares a los cometas de corta duración y centauros neutros, pero su color Las distribuciones son diferentes. Palabras clave: Asteroides troyanos – Fotometría – Espectroscopia – – Asteroides familias 1 Introducción Los troyanos de Júpiter son pequeños cuerpos del Sistema Solar localizados en el Júpiter. Lagrangian puntos L4 y L5. Hasta ahora más de 2000 troyanos han sido descubierto, 1150 perteneciente a la nube L4 y 950 a la L5. Se estima que el número de troyanos L4 con un radio superior a 1 km es alrededor de 1,6 ×105 (Jewitt y otros, 2000), comparable con la estimación población de cinturón de tamaño similar. El debate sobre el origen de los troyanos de Júpiter y cómo estaban atrapados en órbitas de libración alrededor de los puntos lagrangianos todavía está abierto a varios possi- bilidades. Considerando que los troyanos tienen órbitas estables a lo largo de la era del Sol System (Levison et al, 1997, Marzari et al. 2003) su origen debe remontarse a la fase inicial de la formación del sistema solar. Algunos autores (Marzari & Scholl, 1998a,b; Marzari et al., 2002) sugirieron que se formaron muy cerca a su ubicación actual y fueron atrapados durante el crecimiento de Júpiter. Morbidelli et al. (2005) sugirió que los troyanos se formaron en el cinturón de Kuiper y posteriormente fueron capturados en los puntos de Júpiter L4 y L5 Lagrangian durante la migración planetaria, justo después de que Júpiter y Saturno cruzaran su tual 1:2 resonancias. En este escenario, Júpiter Troians daría importante datos sobre la composición y la acreción de los cuerpos en las regiones exteriores de la Comunidad Nebulosa solar. Varios estudios teóricos concluyen que las nubes troyanas de Júpiter están en menos que los asteroides del cinturón principal (Shoemaker et al., 1989); Binzel & Sauter, 1992; Marzari et al., 1997; Dell’Oro et al., 1998). Esto resultado se apoya en la identificación de varias familias dinámicas, ambos en los enjambres L4 y L5 (Shoemaker et al., 1989, Milani, 1993, Beaugé y Roig, 2001). Sea cual sea el origen troyano, es plausible suponer que se formaron- junto a la línea de heladas y que son cuerpos primitivos, son posiblemente compuestos de silicatos anhidros y compuestos orgánicos, y posiblemente aún contengan hielos en su interior. Varias observaciones de troyanos en la región infrarroja cercana (0,8-2,5 μm) no han detectado claramente ninguna característica de absorción indicativa de hielo acuático (Barucci et al, 1994; Dumas et al, 1998; Emery & Brown, 2003, 2004; Dotto y otros, 2006). También en el rango visible de los espectros troyanos aparecen sin características (Jewitt & Luu, 1990; Fornasier et al., 2004a, Bendjoya et al., 2004; Dotto y otros, 2006). Hasta ahora sólo 2 objetos (1988 BY1 y 1870) Glaukos) muestra la posible presencia de bandas débiles (Jewitt & Luu, 1990). Sin embargo, estas bandas son comparables al pico al pico de ruido y no son aún confirmado. Recientemente, las características mineralógicas se han detectado en espectros de emisividad de Tres asteroides troyanos medidos por el telescopio espacial Spitzer. Estos fea- se interpretan en el sentido de que indican la presencia de silicatos de grano fino en las superficies (Emery et al. 2006). Varias preguntas sobre el origen dinámico de los troyanos de Júpiter, apoyo físico la composición y el vínculo con otros grupos de órganos menores, como los órganos Los asteroides principales del cinturón, los núcleos cometarios, los centauros y los KBO siguen abiertos. Con el fin de aclarar estas cuestiones, hemos llevado a cabo un espectro. estudio escopico y fotométrico de los troyanos de Júpiter en el 3.5m Nuevo Technol- Telescopio Ogy (NTT) del Observatorio Europeo Austral (La Silla, Chile) y en el Telescopio Nazionale Galileo (TNG), La Palma, España. In En este artículo presentamos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos visibles, ob- durante 7 noches de observación, llevadas a cabo en ESO-NTT en abril de 2003, Mayo de 2004 y enero de 2005, por un total de 47 objetos pertenecientes a la L5 (23 objetos) y L4 (24 objetos) enjambres. Considerando también los resultados ya publicado en Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), obtenido en el marco del mismo proyecto, hemos recogido una muestra total de 80 Júpiter Espectro visible troyano, 47 pertenecientes a las nubes L5 y 33 a la L4. Esto es el mayor conjunto de datos homogéneos disponibles hasta ahora en estos asteroides. El objetivo principal de nuestra encuesta fue la investigación de los troyanos de Júpiter perteneciendo a diferentes familias dinámicas. De hecho, ya que las familias dinámicas se supone que se forma a partir de la colisión de los cuerpos de los padres, la investigación de las propiedades superficiales de los miembros pequeños y grandes de la familia puede ayudar a entender la naturaleza de estos grupos dinámicos y proporcionar una visión de la estructura interior del padre principal más grande cuerpos. También presentamos un análisis de las pendientes espectrales visibles para todos los datos en nuestra encuesta junto con las disponibles en la literatura, para una muestra total de 142 troyanos. Esta muestra ampliada nos permitió llevar a cabo una importante investigación estadística. de las distribuciones de propiedad espectral de los troyanos, en función de su parámetros orbitales y físicos, y en comparación con otras clases de ni cuerpos en el Sistema Solar exterior. También discutimos la pendiente espectral distribución dentro de las familias troyanas. 2 Observaciones y reducción de datos [DÓNDE DE LOS CUADROS 1 Y 2] Los datos fueron obtenidos en el rango visible durante 3 observaciones diferentes se ejecuta en ESO-NTT: 10 y 11 de abril de 2003 investigación tométrica de 6 miembros de la 4035 1986 WD y 1 miembro de familias TS6 de 1986; 25 y 26 de mayo de 2004 para una encuesta espectroscópica de L4 Familia Eurybates; 17, 18 y 19 de enero de 2005 investigación tométrica de 5 Anquises, 6 Misenus, 5 Pantuchos, 2 Cloanthus, 2 Sarpedon y 3 miembros de la familia Phereclos (enjambre L5). Seleccionamos nuestros objetivos de la lista de las familias troyanas de Júpiter proporcionada por Beaugé y Roig (2001 y P.E.Tr.A. Proyecto en www.daf.on.br/froig/petra/). Los autores han usado un algoritmo de detección de racimos llamado Clus Jerárquico. método de tering (HCM, p. ej. Zappalà et al., 1990) para encontrar familias de asteroides entre los troyanos de Júpiter a partir de una base de datos de elementos (Beaugé & Roig, 2001). Se realiza la identificación de las familias comparando las distancias mutuas con una métrica adecuada en el espacio de los Estados miembros. La cadena de agrupamiento se detiene cuando la distancia mutua, medición de la velocidad incremental necesaria para el cambio orbital después de la tiva ruptura del cuerpo del padre, es más grande que un valor de corte fijo. Un corte más bajo implica una mayor significación estadística de la familia. Puesto que las familias en L4 son en promedio más robustos que aquellos alrededor de L5 (Beaugé y Roig, 2001), nosotros prefiere adoptar un corte de 100 m/s para la nube L4 y de 150 m/s para L5. Para la familia de los Eurybates muy robustos decidimos limitar nuestra encuesta a los miembros de la familia definidos con un corte de 70 m/s. Todos los datos fueron adquiridos utilizando el instrumento EMMI, equipado con un Mosaico 2x1 de 2048×4096 MIT/LL CCD con píxeles cuadrados de 15μm. Por la Comisión investigaciones espectroscópicas durante mayo de 2004 y enero de 2005 el Grism #1 (150 gr/mm) en modo RILD para cubrir el rango de longitud de onda 4100-9400 Å con una dispersión de 3,1 Å/px (200 Å/mm) en el primer orden, mientras que en abril de 2003 usamos un granismo diferente, el #7 (150 gr/mm), cubriendo la gama espectral 5200-9500 Å, con una dispersión de 3,6 Å/px en la primera Orden. Los espectros de abril de 2003 y enero de 2005 fueron tomados a través de un arco de 1 seg amplia hendidura, mientras que durante mayo de 2004 usamos una hendidura más grande (1,5 arcsec). La hendidura fue orientado a lo largo del ángulo paraláctico durante todas las carreras de observación en orden para evitar pérdidas de flujo debido a la refracción diferencial atmosférica. Para la mayoría de los objetos, el tiempo total de exposición se dividió en varios (generalmente 2-4) adquisiciones más cortas. Esto nos permitió comprobar la posición del asteroide en la hendidura antes de cada adquisición, y corregir el telescopio apuntando y/o tasas de seguimiento si es necesario. Durante cada noche también registramos sesgo, plano– campo, lámpara de calibración (He-Ar) y varios (6-7) espectros de estrellas analógicas solares medida en diferentes masas de aire, cubriendo el rango de masa de aire de la ciencia objetivos. Durante el 17 de enero de 2005, parte de la noche se perdió debido a problemas técnicos y sólo se adquirieron 2 estrellas analógicas solares. La relación de estas 2 estrellas muestran variaciones mínimas (menos del 1%) en el 5000-8400 Å rango, pero diferencias más altas en los bordes de este rango. Por esta razón nosotros omitir la región espectral por debajo de 4800 Å para la mayoría de los asteroides adquiridos que Buenas noches. Los espectros se redujeron utilizando procedimientos ordinarios de reducción de datos como descrita en Fornasier et al. (2004a). La reflectividad de cada asteroide fue obtenido dividiendo su espectro por el de la estrella analógica solar más cercana en el tiempo y la masa de aire al objeto. Spectra finalmente se suavizaron con un técnica de filtro mediana, utilizando una caja de 19 píxeles en la dirección espectral para cada punto del espectro. El umbral se fijó en 0,1, lo que significa que la valor original fue reemplazado por el valor mediano si el valor mediano difiere en más del 10% del original. Se muestran los espectros obtenidos en Figs. 1–5. En el cuadro 1 y en el cuadro 2 se indican las circunstancias de la observaciones y las estrellas analógicas solares utilizadas respectivamente para los L5 y L4 miembros de la familia. [Cuadro 3] Los datos de color de banda ancha se obtuvieron durante los meses de abril de 2003 y enero de 2003. rio 2005 corre justo antes de la observación espectral de los troyanos. Usamos el Modo RILD del EMMI para imágenes de campo amplio con el Bessell de tipo B, V, R, e I filtros (centrados respectivamente en 4139, 5426, 6410 y 7985Å). El ob- las servaciones se llevaron a cabo en un modo de 2 × 2 binning, produciendo una escala de píxeles de 0,33 arcosec/píxeles. El tiempo de exposición varió con la magnitud del objeto: Por lo general era alrededor de 12-90s en V, 30-180s en B, 12-70s en R e I filtros. Las imágenes CCD fueron reducidas y calibradas con un método estándar (For- nasier et al., 2004a), y la calibración absoluta se obtuvo servicios de varios campos de Landolt (Landolt, 1992). La revista instrumental... Las nitudes se midieron utilizando fotometría de apertura con radio de integración Por lo general, alrededor de tres veces el promedio de la vista, y la sustracción del cielo fue por- formado usando un anillo ancho de 5-10 píxeles alrededor de cada objeto. Los resultados se presentan en la Tabla 3. De la inspección visual y radial análisis de perfiles de las imágenes, no se detectó coma para ninguno de los observados Troyanos. En mayo de 2004, como las condiciones del cielo eran claras pero no fotométricas, lo hicimos no realizar fotometría de los objetivos familiares de Eurybates. 3 Resultados [TABLAS 4 Y 5] Para cada troyano computamos la pendiente S del continuum espectral usando una técnica estándar al menos cuadrada para un ajuste lineal en el rango de longitud de onda entre 5500 y 8000 Å. La elección de estos límites de longitud de onda ha sido impulsado por la cobertura espectral de nuestros datos. Elegimos 5500 Å como el más bajo límite debido a la diferente configuración instrumental utilizada durante diferentes ob- funcionamientos de servicio (con algunos espectros a partir de longitud de onda ≥ 5200 Å), mientras que más allá de 8000 Å nuestros espectros son generalmente más ruidosos debido a una combinación de la Caída de CCD en sensibilidad y presencia de agua atmosférica fuerte bandas. Las pendientes y errores computados se enumeran en los cuadros 4 y 5. Los informes er- barritas de ror tienen en cuenta la incertidumbre de 1 Atribuido al uso de diferentes instrumentos y estrellas analógicas solares (esti- apareado de la diferente eficiencia del granismo utilizado, y de las pérdidas de flujo debido a las diferentes aberturas de las hendiduras). En los cuadros 4 y 5 también informamos del taxo- clase económica derivada de la clasificación Dahlgren & Lagerkvist (1995) esquema. En la nube L5 encontramos 27 D–, 3 DP–, 2 PD– y 1 P–tipo objetos. In la nube L4 encontramos objetos de 10 C-tipo y 7 P-tipo dentro de los Eurybates de la familia, mientras que para las familias Menelaus, 1986 TS6 y 1986 WD, incluyendo los datos publicados en Dotto et al. (2006), obtenemos 9 D–, 3 P–, 3C–, y 1 Asteroides tipo DP. La mayoría de los espectros no tienen características, aunque algunos de los observados Los miembros de Eurybates presentan características de absorción espectral débiles (fig. 5). Estos las características se discuten en la sección siguiente. Se obtuvo una magnitud absoluta estimada H escalando el valor medido. V magnitud a r = • = 1 UA y a fase cero asumiendo G=0,15 (Bowell et al., 1989). La magnitud estimada H de cada troyano podría ser sesgada fase rotacional incierta, ya que las amplitudes de curva de luz de los troyanos podría varían hasta 1 magnitud. Con el fin de investigar la posible dependencia de lado de cada familia, y teniendo en cuenta que los diámetros de IRAS están disponibles para muy pocos objetos, estimamos el tamaño utilizando la siguiente relación: 1329× 10−H/5 donde D es el diámetro del asteroide, p es el albedo geométrico, y H es el abso- magnitud de laúd. Utilizamos H derivada de nuestras observaciones cuando están disponibles, y del archivo ASTORB.DAT (Observatorio de Lowell) para el informe Eurybates bers, para lo cual no realizamos fotometría visible. Evaluamos la diámetro para un rango de albedo de 0,03–0,07, asumiendo un albedo medio de 0,04 para estos asteroides oscuros (Fernandez et al., 2003). Los valores D resultantes son: en los cuadros 4 y 5. 3.1 Familias dinámicas: enjambre L5 3.1.1 Anchises [GRÁFICO 1] Investigamos a 5 de los 15 miembros de la familia Anchises (fig. 1): 1173 Anchises, 23549 1994 ES6, 24452 2000 QU167, 47967 2000 SL298 y 124729 2001 SB173 el 17 de enero de 2005. Para 4 de 5 objetos observados omitimos el rango espectral inferior a 4800Å debido a la baja relación S/N y a los problemas con la estrellas analógicas solares. El comportamiento espectral es confirmado por datos fotométricos (véase el cuadro 3). Todos los espectros obtenidos no tienen características. La familia Anchises sobrevive en un corte correspondiente a ciones de 150 m/s. El miembro más grande, 1173 Anchises, tiene un diámetro de 126 km (datos de IRAS) y tiene la pendiente espectral más baja (3,9 %/103Å) entre los miembros de la familia investigados. Se clasifica como P-tipo, mientras que el otro 4 miembros son todos D-tipos. Anquises se observó previamente en el 4000- Región de 7400Å por Jewitt & Luu (1990), que informó de una pendiente espectral de 3,8 %/103Å, en perfecto acuerdo con el valor que encontramos. Los tres 19-29 km El tamaño de los objetos tiene una pendiente espectral más pronunciada (7,4-9,2 %/103Å), mientras que el pequeño- objeto, 2001 SB173 (ladera espectral = 14,78±0,99 %/103Å) es el más rojo 1 (cuadro 4). Incluso con las incertidumbres en el albedo y el diámetro, una pendiente-tamaño rela- tionship es evidente entre los objetos observados, con miembros más pequeños-fainter más rojos que los más grandes (Fig. 7). 3.1.2 Misenus [GRÁFICO 2] Para esta familia investigamos a 6 miembros (11663 1997 GO24, 32794 1989) UE5, 56968 2000 SA92, 99328 2001 UY123, 105685 2000 SC51 y 120453 1988 RE12) de los 12 agrupados a una velocidad relativa de 150 m/s. Los familia sobrevive con los mismos miembros también a una estricta velocidad de corte de 120 m/s. Los espectros, junto con la magnitud de los índices de color transformados en reflectancia lineal, se muestran en la Fig. 2, mientras que los índices de color son reportados en el cuadro 3. Todos los espectros no tienen características con diferentes valores de pendiente espectral que cubre el rango de 4,6–15,9 %/103Å (cuadro 4): 1988 RE12 tiene el nivel más bajo pendiente espectral y se clasifica como tipo P, 3 objetos (11663, 32794 y 2000 SC51) se encuentran en la región de transición entre el tipo P– y D–, con comportamiento espectral, mientras que los otros dos miembros observados son D-tipos. De estos últimos, 56968 tiene la pendiente espectral más alta no sólo dentro de la familia (15,86 %/103Å) pero también dentro de toda la muestra L5 analizada en este artículo. Todos los miembros de Misenus investigados son bastante débiles y tienen diámetros de unas pocas decenas de kilómetros. No se ha encontrado ninguna relación clara entre tamaño y pendiente dentro de esta familia (Fig. 7). No hay otros datos disponibles sobre los miembros de la familia Misenus en la literatura, por lo que no sabemos si la gran brecha entre la pendiente espectral de 56968 y los de los otros 5 objetos investigados son reales o podrían ser llenados por otros Miembros que aún no han sido observados. Si es real, 56968 puede ser un intruso dentro de la familia. 3.1.3 Pantuflas [GRÁFICO 3] La familia Panthoos tiene 59 miembros para un corte de velocidad relativa de 150 m/s. Obtuvimos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos de 5 miembros: 4829 Sergetus, 30698 Hippokoon, 31821 1999 RK225, 76804 2000 QE y 111113 2001 VK85 (Fig. 3). Tres objetos presentados por Fornasier et al. (2004a) perteneciente a la familia Astyanax (23694 1997 KZ3, 32430 2000 RQ83, 30698 Hippokoon) y uno a la población de origen (24444 2000 El párrafo 32) se incluye ahora entre los miembros de la familia Panthoos. Peri- Las actualizaciones odic de los elementos apropiados pueden cambiar la pertenencia a la familia. In En particular, el grupo Astyanax desapareció en la última revisión de dinami- Cal familias, y sus miembros están ahora en la familia Panthoos dentro de un corte de 150m/s. La familia Panthos sobrevive también un corte de 120 m/s, con 7 miembros, y 90 m/s, con 6 miembros. Observamos 30698 Hippokoon durante dos carreras diferentes (el 9 de noviembre de 2002) y el 18 de enero de 2005), y ambas pendientes espectrales y colores están de acuerdo dentro de las barras de error (véase el cuadro 3, cuadro 4, y Fornasier et al., 2004a). No otros datos sobre la familia Panthoos están disponibles en la literatura. El análisis de los 8 miembros (para 24444 sólo se dispone de fotometría) mostrar espectros sin características con pendientes que parecen aumentar ligeramente como la Disminución del tamaño de los asteroides (Tabla 4 y fig. 7). Sin embargo, todos los miembros tienen dimensiones muy similares dentro de las incertidumbres, por lo que es difícil para cualquier relación pendiente-tamaño a estudiar. El miembro más grande, 4829 Sergetus, es un tipo PD- con una pendiente de alrededor del 5 %/103Å, mientras que todos los demás investigados los miembros son D-tipos. 3.1.4 Cloantus [GRÁFICO 4] Observamos sólo 2 de los 8 miembros de la familia Cloantus (5511 Cloan- por lo tanto y 51359 2000 SC17, véase Fig. 4) agrupados en un corte correspondiente a velocidades relativas de 150 m/s. Esta familia sobrevive en un estricto corte y 3 miembros (incluyendo los dos que observamos) también sobreviven para velocidades de 60 m/s. Los dos objetos observados son D-tipos con muy espectros rojizos similares, sin rasgos (tabla 4 y fig. 7). 5511 Cloanthus fue observado también por Bendjoya et al. (2004), que encontró una pendiente de 13,0±0,1 %/103Å en el rango de longitud de onda 5000-7500 Å, mientras que medimos un valor de 10,84±0,15 %/103Å. Nuestro espectro tiene una relación S/N más alta que el espectro por Bendjoya et al. (2004), y está perfectamente emparejado con nuestro color medido índices que confirman la pendiente espectral. Esta diferencia no puede ser causada por los rangos espectrales ligeramente diferentes utilizados para medir la pendiente, pero podrían posiblemente debido a la composición heterogénea de la superficie. 3.1.5 Phereclos La familia Phereclos está formada por 15 miembros con un límite de 150 m/s. Los familia sobrevive con 8 miembros también en un corte de 120m/s. Obtuvimos datos espectroscópicos y fotométricos de 3 miembros (9030 1989 UX5, 11488) 1988 RM11 y 31820 1999 RT186, véase la figura 4), que, junto con el 4 spectra (2357 Phereclos, 6998 Tithonus, 9430 1996 HU10, 18940 2000QV49) ya presentado por Fornasier et al. (2004a), nos permiten investigar sobre La mitad de la población familiar de Phereclos se define en un límite de 150m/s. Los pendiente espectral de estos objetos, todos clasificados como tipo D, excepto un tipo PD (11488), oscila entre el 5,3 % y el 11,3 %/103Å (cuadro 4). El tamaño de la fam- Los miembros de ily varían de unos 20 km de diámetro para 31820 a 95 km para 2357, pero no observamos ninguna relación clara pendiente-diámetro (Fig. 7 y Cuadro 4). 3.1.6 Sarpedón Obtuvimos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos de 2 miembros de la Familia Sarpedon (48252 2001 TL212 y 84709 2002 VW120), cuyos espectros Índices de color y magnitud se reportan en la Fig. 4 y cuadro 4. Incluidos las observaciones anteriores (Fornasier y otros, 2004a) de otros cuatro miembros (2223) Sarpedon, 5130 Ilioneus, 17416 1988 RR10, y 25347 1999 RQ116), tenemos mediciones de 6 de los 21 miembros de esta familia definida dinámicamente a corte de 150 m/s. Todos los seis objetos mencionados, excepto 25347, constituyen una agrupación robusta que sobrevive hasta 90 m/s con 9 miembros. El grupo temático que contiene (2223) Sarpedon también fue reconocido como una familia por Milani (1993). Todos los 6 miembros investigados tienen colores muy similares (ver Tabla 3) y Comportamiento espectral. La pendiente espectral (Fig. 7) varía sobre una muy restringida de 9,6 a 11,6 %/103Å (cuadro 4), a pesar de una variación significativa de el tamaño estimado (de los 18 km de 17416 a los 105 km de 2223). Con- por consiguiente, la composición superficial de los miembros de la familia Sarpedon aparece ser muy homogéneo. 3.2 Familias dinámicas: enjambre L4 3.2.1 Eurybates [GRÁFICO 5] En mayo de 2004 se observó a los miembros de la familia Eurybates. La selección de los objetivos se hicieron sobre la base de un corte muy estricto, correspondiente a velocidades relativas de 70 m/s, que da una población familiar de 28 objetos. Observamos 17 de estos miembros (ver Tabla 2) que constituyen un agrupamiento en el espacio de los elementos apropiados: todos los miembros que estudiamos, excepto 2002 CT22, sobrevivir a un límite de 40 m/s. El comportamiento espectral de estos objetos (Fig. 5) es bastante homogéneo con 10 asteroides clasificados como C-tipo y 7 como P-tipo. Las pendientes espectrales (Ta- ble 5) van de neutro a moderadamente rojo (de -0,5 a 4,6 %/103Å). Los las pendientes de seis miembros están cerca de cero (3 ligeramente negativo) ors. Los asteroides 18060, 24380, 24420 y 39285, todos clasificados como tipos C, muestra claramente una caída de reflectancia para longitud de onda inferior a 5000-5200 Å. La presencia de la misma característica en los espectros de otros dos miembros (1996) RD29 y 28958) es menos seguro debido a la menor relación S/N. Esta absorp... ión se ve comúnmente en los asteroides de tipo C de la banda principal (Vilas 1994; Fornasier et al. 1999), donde se debe a las transiciones de transferencia de carga de intervalos (IVCT) en hierro oxidado, y a menudo se combina con otra absorción visible características relacionadas con la presencia de productos de alteración acuosa (por ejemplo: phyl- losilicatos, óxidos, etc.). Estos IVCT comprenden múltiples absorciones que son: no es un indicador único de filosilicatos, pero están presentes en el espectro de cualquier objeto que contenga Fe2+ y Fe3+ en su material superficial (Vilas 1994). Puesto que no hay otras características de absorción de filosilicatos presentes en el tipo C espectros de la familia Eurybates, no hay evidencia de que la alteración acuosa los procesos ocurrieron en la superficie de estos cuerpos. In Fig. 8 se muestran las pendientes espectrales versus los diámetros estimados para los miembros de la familia Eurybates. Todos los objetos observados, excepto los más grandes miembro (3548) que tiene un diámetro de unos 70 km y exhiben un neutral pendiente espectral similar a la solar, son menores de 40 km y presentan ambos neutros y colores moderadamente rojos. Las pendientes espectrales están fuertemente agrupadas alrededor S = 2%/103Å, con valores S más altos restringidos a objetos más pequeños (D< 25) 3.2.2 1986 WD [Figura 6] Investigamos a 6 de los 17 miembros de la familia WD 4035 1986 que es definido dinámicamente a un corte de 130 m/s (fig. 6 y cuadro 2). Tres de nuestros objetivos (4035, 6545 y 11351) ya fueron observados por Dotto et al. (2006): para 6545 y 11351 hay una buena consistencia entre nuestros espectros y los ya publicados. 4035 fue observado también por Bendjoya et al. (2004): todos los espectros no tienen características, pero Bendjoya et al. (2004) obtener una pendiente de 8,8 %/103Å, comparable a la presentada aquí, mientras que Dotto et al. (2006) encontró un valor más alto (ver Tabla 5). Esto podría interpretarse como debido a la diferentes fases de rotación vistas en las tres observaciones, y podría indicar algunas inhomogeneidades en la superficie de 4035. Los miembros de la familia observados muestran comportamientos heterogéneos (fig. 8), con pendientes espectrales que van desde valores neutros para los miembros más pequeños (24341 y 14707) a rojizos para los 3 miembros con tamaño mayor que 50 km (4035, 6545 y 11351). Para esta familia, parece que una pendiente de tamaño relación existe, con miembros más pequeños que tienen colores solares y espectrales pendientes que aumentan con el tamaño del objeto. 3.2.3 1986 TS6 La familia TS6 de 1986 incluye 20 objetos con un corte de 100 m/s. Les presentamos nueva espectroscopia y fotometría de un solo miembro, 12921 1998 WZ5 (Fig. 6). El espectro que presentamos aquí es plano y sin características, con un espectro espectral pendiente de 4,6±0,8%/103Å. Dotto et al. (2006) presentó un espectro obtenido un mes después de nuestros datos (en mayo de 2003) que tiene una pendiente espectral muy similar 3,7± 0,8%/103Å. Anteriormente, 12917 1998 TG16, 13463 Antiphos, 12921 1998 WZ5, 15535 2000 AT177, 20738 1999 XG191, y 24390 2000 AD177 fueron incluido en la familia Makhoan. Elementos adecuados refinados ahora colocar todo de Estos órganos forman parte de la familia TS6 de 1986. In Fig. 8 reportamos las pendientes espectrales vs. diámetros estimados de la 6 miembros observados. La familia muestra diferentes pendientes espectrales con el presencia de asteroides de tipo P (12921 y 13463) y de tipo D (12917, 15535, 20738 y 24390). Debido a los diámetros muy similares, un tamaño de pendiente la relación no se encuentra. [Gráficos 7 y 8] 4 Debate Los espectros de Jupiter Trojan miembros de familias dinámicas muestran un rango de variación espectral de los asteroides de tipo C– a D. Con la excepción de la L4 Eurybates familia, todos los objetos observados tienen espectros sin características, y No podemos encontrar ninguna banda espectral que pueda ayudar en la identificación de minerales presentes en sus superficies. La falta de detección de cualquier mineralogia función diagnóstica podría indicar la formación de un manto grueso en el Tro- Jan superficies. Tal manto podría ser formado por una fase de actividad cometaria y/o mediante procesos de meteorización espacial como lo demuestra la experiencia de laboratorio imentos en superficies heladas originalmente (Moore et al., 1983; Thompson et al., 1987; Strazzulla et al., 1998; Hudson & Moore, 1999). Un caso peculiar está constituido por la familia Eurybates, que muestra un pre- ponderación de objetos de tipo C y ausencia total de tipos D. Además, esta es la única familia en la que algunos miembros exhiben características espectrales en longitudes de onda inferiores a 5000–5200 Å, probablemente debido a la intervalo las transiciones de carga en materiales que contienen hierro oxidado (Vilas 1994). 4.1 Distribución del tamaño frente a la pendiente espectral: Familias individuales Las parcelas de pendientes espectrales vs. diámetros se muestran en la Fig. 7 y 8. A la relación entre pendientes espectrales y diámetros parece existir sólo para tres de las nueve familias que estudiamos. En las familias Anchises y Panthoos, objetos más pequeños tienen espectros más rojos, mientras que para la familia de 1986 WD más grande los objetos tienen los espectros más rojos. Moroz et al. (2004) han demostrado que la irradiación de iones en el complejo natural los hidrocarburos neutralizan gradualmente las pendientes espectrales de estos sólidos. Si el proceso estudiado por Moroz et al. (2004) se produjo en la superficie de Júpiter troyanos, los objetos que tienen espectros más rojos tienen que ser más jóvenes que los que se caracterizan por espectros azul-neutra. En este escenario el más grande y los objetos espectralmente más rojos de la familia de 1986 WD podría venir de la interior del cuerpo padre y exponer el material fresco. En el caso de la Anchises y Panthoos familias los miembros espectralmente más rojos, siendo el más pequeño, podría venir del interior del cuerpo padre, o alternativamente podría ser producido por fragmentaciones secundarias más recientes. En particular, pequeños miembros de la familia pueden ser más fácilmente resurgidos, como colisiones significativas (un impactador que tiene un tamaño superior a unos pocos por ciento del objetivo), así como como temblores sísmicos y recubiertas por polvo fresco, puede ocurrir con frecuencia a pequeña tamaños. [GRÁFICO 9] 4.2 Distribución del tamaño frente a la pendiente: La población troyana en su conjunto [Cuadro 6] En comparación con los datos disponibles en la literatura, nuestra en el análisis de los troyanos más débiles y más pequeños, con metros más pequeños que 50 km. Jewitt & Luu (1990), analizando una muestra de 32 troyanos, encontraron que los objetos más pequeños eran más rojos que los más grandes. Sin embargo, nuestros datos juegan contra la existencia de una posible dimensión de color tendencia. De hecho, el alcance de la pendiente espectral de los objetos menores de 50 km es similar a la de los troyanos más grandes, como se muestra en la Fig. 9. La familia Eurybates contribuye fuertemente a la población de pequeños objetos espectralmente neutros, llenando la región de cuerpos con diámetro medio D<40 km y con pendientes espectrales inferiores al 3 %/103Å. Con el fin de llevar a cabo un análisis completo de la espectroscopía y pho- características tométricas de todo el conjunto de datos disponibles sobre troyanos de Júpiter, considerábamos todos los espectros visibles publicados en la literatura: Jewitt & Luu (1990, 32 objetos), Fitzimmons et al. (1994, 3 objetos), Bendjoya et al. (2004, 34 objetos), Fornasier et al. (2004a, 26 objetos L5), y Dotto et al. (2006, 24 troyanos L4). También añadimos varios espectros troyanos (11 L4 y 3 troyanos L5) de los archivos disponibles en línea (Archivo del sistema de datos planetarios, pdssbn.astro.umd.edu, y www.daf.on.br/lazzaro/S3OS2-Pub/s3os2.htm) de las encuestas SMASS I, SMASS II y S3OS2 (Xu y otros, 1995; Binzel, 2003; Lazzaro y otros, 2004). Incluyendo todos estos datos, compilamos un muestra de 142 troyanos diferentes, 68 pertenecientes a la nube L5 y 74 pertenecen- ing a la L4. Realizamos la clasificación taxonómica de esta ampliación muestra, sobre la base del programa Dahlgren y Lagerkvist (1995), por ana- pendientes espectrales de lizing calculadas en el rango de 5500-8000 Å. Diferentes autores, por supuesto, considerados diferentes rangos espectrales para su propio gradiente de pendiente evaluaciones: Jewitt & Luu (1990) y Fitzimmons et al. (1994) utilizar la 4000-7400 Å y Bendjoya et al. (2004, cuadro 2) utilizado un poco diferente rangos alrededor de 5200-7500 Å. Dado que todos los artículos citados muestran espectros con lin- tendencias sin características de oído, los diferentes rangos de longitud de onda utilizados para el espectro espectral Cálculo de gradiente por Bendjoya et al. (2004) y Jewitt & Luu (1990) no se espera que influyan en las pendientes obtenidas. Con el fin de buscar una dependencia de la distribución de pendiente espectral con el tamaño de los objetos, todas las observaciones (de este documento, así como de la la literatura) se combinaron. Los objetos fueron aislados en 5 contenedores de tamaño (más pequeños) de 25 km, de 25 a 50 km, de 50 a 75 km, de 75 a 100 km y de más de 100 km). Cada uno contiene entre 20 y 50 objetos. Estas submuestras son lo suficientemente grandes. comparación mediante pruebas estadísticas clásicas: la prueba t, que estima si los valores medios son compatibles, la prueba f, que comprueba si las anchuras de las distribuciones son compatibles (incluso si tienen medios diferentes), y la prueba KS, que compara directamente las distribuciones completas. Una probabilidad es se calcula para cada prueba; una pequeña probabilidad indica que la ditri- los butiones no son compatibles, es decir, los objetos no se extraen al azar de la misma población, mientras que un valor de probabilidad grande no tiene significado (es decir. - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí. no es posible garantizar que ambas muestras procedan de la misma población, sólo podemos decir en ese caso que no son incompatibles). Con el fin de cuantificar los niveles de probabilidad que consideramos significativos, las mismas pruebas se llevaron a cabo en distribuciones aleatorias (véase Hainaut & Delsanti 2002 para método). Dado que la probabilidad inferior a 0,04-0,05 no aparece en estos distribuciones aleatorias, consideramos que los valores menores a 0,05 indican una incompatibilidad significativa. Cada submuestra fue comparada con las otras cuatro – los resultados son sum- Marizado en la Tabla 6. La pendiente media de los 5 contenedores son todos compatibles entre el uno al otro. El único resultado marginalmente significativo es que el ancho de la distribución de la pendiente entre los objetos más grandes (diam. > 100 km) es más estrecho que la de todos los objetos más pequeños. Esta distribución de color más estrecha podría deberse a los procesos de envejecimiento afectar- la superficie de objetos más grandes, que se supone que son más viejos. El más amplio distribución de color de los miembros pequeños está posiblemente relacionado con las diferentes edades de sus superficies: algunos de ellos podrían ser bastante viejos, mientras que otros podrían han sido recientemente renovados. 4.3 Laderas espectrales y nubes L4/L5 [DÓNDE FIGURAS 10 Y 11] Teniendo en cuenta sólo las observaciones troyanas reportados en este artículo, el la pendiente de la edad es 8,84±3,03%/103Å para la población L5, y 4,57±4,01%/103Å para el L4. Teniendo en cuenta ahora todos los espectros disponibles en la literatura, los 68 L5 Los troyanos tienen una pendiente media de 9,15±4,19%/103Å, y los 78 objetos L4, 6,10±4,48%/103Å. Realizando las mismas pruebas estadísticas que arriba, parece que estas dos poblaciones son significativamente diferentes. En particular, el av- Las pendientes son incompatibles en el nivel 10-5. Sin embargo, como se describe en la sección 3.2.1, los miembros de la familia Eurybates tienen características espectrales bastante diferentes que los otros objetos y con- crear un subconjunto grande de toda la muestra. En efecto, comparando su distribución con las poblaciones enteras, se encuentran significativamente diferentes en el Nivel 10-10. En otras palabras, los miembros de la familia Eurybates no constituyen un subconjunto aleatorio de los otros troyanos. Una vez excluida la familia Eurybates, los 61 troyanos restantes de la El enjambre L4 tiene una pendiente media de 7,33±4,24%/103Å. El muy ligero dif- diferencia de pendiente media entre los objetos L5 y L4 restantes es muy marginalmente significativa (probabilidad del 1,6%), y la forma y el ancho de la las distribuciones de la pendiente son compatibles entre sí. La clasificación taxonómica que hemos realizado muestra que la mayoría (73,5%) de los troyanos L5 observados (Fig. 10) son de tipo D (loca > 7 %/103 Å) con espectros rojizos sin rasgos, el 11,8% son DP/PD –tipo 5 y 7 %/103 Å), el 10,3% son de tipo P, y sólo 3 objetos se clasifican como Tipo C (4,4%). En el enjambre L4 (Fig. 11), a pesar de que el tipo D todavía domina el población (48,6%), los tipos espectrales son más heterogéneos en comparación a la nube L5, con un mayor porcentaje de objetos neutros: 20,3% son de tipo P, el 8,1% son de tipo DP/PD, el 12,2% son de tipo C y el 10,8% de los cuerpos tienen pendiente espectral negativa. El mayor porcentaje de C– y P– tipo en comparación con el enjambre L5 está fuertemente asociado con la presencia de la peculiar familia Eurybates. De los 17 miembros observados, 10 son: clasificadas como C-tipos (entre los cuales 3 tienen pendientes espectrales negativas) y 7 son P-tipos. Considerando los 57 asteroides que componen la nube L4 sin la familia Eurybates, encontramos porcentajes de P, y PD/DP -tipos muy similar a los de la nube L5 (14,0% y 10,5% respectivamente), una más pequeña porcentaje de D-tipos (63,2%) y de los C-tipos (3,5%), y la presencia de un 8,8% de troyanos con pendientes espectrales negativas. Los espectros visibles de los miembros de Eurybates son muy similares a los de Asteroides del cinturón principal tipo C, Centauros tipo Quirón y núcleos cometarios. Esto la similitud es compatible con tres escenarios diferentes: la familia podría tener producido por la fragmentación de un cuerpo padre muy diferente de todos los otros troyanos de Júpiter (en cuyo caso el origen de padre todavía debe ser evaluado); esta podría ser una familia muy antigua donde el espacio los procesos de meteorización han cubierto cualquier diferencia en la composición entre miembros de la familia y aplanó todos los espectros; esto podría ser una familia joven donde los procesos de meteorización espacial ocurrieron dentro de escalas de tiempo más pequeñas que la edad de la familia. En los dos últimos casos la familia Eurybates daría la primera evidencia observacional de espectros aplanados debido a la intemperie espacial procesos. Esto implicaría entonces, según los resultados de Moroz et al. (2004), que su composición primordial era rica en hidrocarburos complejos. El conocimiento de la edad de la familia Eurybates es, por lo tanto, fundamental investigar la naturaleza y el origen del cuerpo de padres, y evaluar el efecto de los procesos de meteorización espacial en las superficies de sus miembros. La muestra actual de troyanos de Júpiter sugiere una más heterogénea composición del enjambre L4 en comparación con el L5. Como antes señalada por Bendjoya et al. (2004), el enjambre L4 contiene un mayor porcentaje de objetos de tipo C– y P–. Este resultado se ve reforzado por los miembros de la Unión Europea. rybates familia, pero sigue siendo incluso cuando estos miembros de la familia están excluidos. Además, las familias dinámicas pertenecientes a la nube L4 son más robustas que los de la L5, sobreviviendo con aglomeraciones densamente pobladas incluso a baja velocidad relativa de corte. Por lo tanto, podríamos argumentar que la nube L4 es más activo en colisión que el enjambre L5. Sin embargo, todavía no podemos en términos de la composición de las dos poblaciones, ya que no puede excluir que las familias de tipo C– y P aún no observadas estén presentes en la nube L5. 4.4 Elementos orbitales [GRÁFICO 12 Y CUADROS 7 Y 8] Analizamos la pendiente espectral en función de la órbita de los troyanos el- ements. Como ilustración, fig. 12 muestra la distribución de color B − R como una función de los elementos orbitales. Con el fin de investigar las variaciones con parámetros orbitales, la población troyana se divide en 2 submuestras: con el elemento orbital considerado inferior al valor medio, y los con el elemento orbital superior a la mediana (por construcción, los dos submuestras tienen el mismo tamaño). Tomando como ejemplo, la mitad de los troyanos tienen un < 5.21AU, y la mitad tienen un valor mayor que este. El color medio, la dispersión de color, y la distribución de color de la 2 submuestras se comparan utilizando las tres pruebas estadísticas mencionadas en Sección 4.2. El método se analiza en detalle en Hainaut & Delsanti (2002). Las pruebas se repiten para todas las distribuciones de color y pendiente espectral. Los los resultados son los siguientes. • q, distancia perihelio: la distribución de color de los troyanos con pequeños q es marginalmente más amplio que el de los troyanos con q más grande. Este resultado no es muy fuerte (5%), y está dominado por el extremo rojo de la longitud de onda. La extracción de los eurybates de la muestra mantiene la resultado, en el mismo nivel débil. • e, excentricidad: la distribución muestra un resultado similar, también en los débiles Un 5% de significación. Los objetos con e más grande tienen distribución de color más amplia- Este resultado está totalmente dominado por el Contribución de Eurybates. • i, inclinación: los objetos con menor inclinación son significativamente más azules que aquellos con i más grande. Este resultado se observa en todas las longitudes de onda. Lo siento. vale la pena señalar que esto es contrario a lo que generalmente se observa en otros cuerpos menores en el estudio del Sistema Solar Exterior (MBOSSes), donde los objetos con i alta, o más generalmente, alta excitación E = e2 + sin2 i, son más azules (Hainaut & Delsanti, 2002; Doressoundiram et al., 2005). Esto también se puede apreciar visualmente en la Fig. 12. Este resultado también está completamente dominada por la contribución de los Eurybates. Los no- Los troyanos de Eurybates no muestran esta tendencia. • E = e2 + sin2 i, excitación orbital: los objetos con E pequeño son también significativamente más azul que aquellos con E alta. Este resultado es también com- ampliamente dominado por la contribución de los Eurybates. Los no euribatos Los troyanos no muestran esta tendencia. En resumen, este análisis muestra que la submuestra de Eurybates de la Los troyanos están bien separados en elementos orbitales y en colores. Para los otros Cuerpos Menores en el Sistema Solar Exterior, la relación es... entre el color y la inclinación–excitación orbital (objetos con un orbital superior la excitación tiende a ser más azul) se interpreta como una relación entre excitación y los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento de la superficie (Doressoudiram y otros, 2005). Los La familia Eurybates tiene baja excitación y colores azul neutros, lo que sugiere que los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento que los afectan son diferentes de los otros objetos. Esto podría deberse a diferentes composiciones de la superficie, diferentes irradi- procesos de formación, o diferentes propiedades de colisión – lo que sería natural para una familia de colisiones. 5 Comparación con otros sistemas solares exteriores menores de edad con cuerpo 5.1 Introducción y métodos [DÓNDE FIGURAS 13 Y 14] También se ha aplicado el conjunto de pruebas estadísticas descrito en la sección 4.2. para comparar los colores y la distribución de pendientes espectrales de los troyanos con los de los otros cuerpos menores en el Sistema Solar exterior tomados de la versión actualizada y en línea de la base de datos Hainaut & Delsanti (2002). La Figura 13, como ejemplo, muestra los diagramas (R-I) vs (V-R), mientras que la Fig. 14 muestra las distribuciones de color (B-V) y (V-R), así como la pendiente espectral distribución de las diferentes clases de objetos. Las pruebas fueron realizadas. en todos los índices de color derivados de filtros en el visible (UBVRI) y cerca rango infrarrojo (JHK) pero en las Tablas 7 y 8 se resume el más significativo resultados. Para “calibrar” las probabilidades significativas, clases también se comparan: en primer lugar, los objetos que tienen un interno uniforme número en la base de datos con los impares. Como este número interno es puramente arbitraria, ambas clases son estadísticamente indistinguibles. La otra prueba par es los objetos con una designación “1999” versus los otros. Una vez más, esto criterio de selección es arbitrario, por lo que las pseudo-clases que genera son sub- muestra de la población total, y debe ser indistinguible. Sin embargo, como muchos más objetos han sido descubiertos en todos los otros años que durante ese año específico, el tamaño de estas submuestras son muy diferentes. Esto nos permite estimar la sensibilidad de las pruebas en la muestra de muy diferente tamaños. Algunas de las pruebas encontraron las poblaciones arbitrarias incompatibles en el Nivel del 5%, por lo que utilizamos el 0,5% como umbral conservador para la significación estadística de la incompatibilidad de la distribución 5.2 Resultados Cuadro 7 y fig. 14 muestran claramente que la distribución de colores de los troyanos es diferentes en comparación con el de Centauros, TNOs y cometas. Los troyanos están en el mismo tiempo más azul, y su distribución es más estrecha que todos los demás poblaciones. Utilizando las pruebas estadísticas (ver Tabla 8), podemos confirmar la importancia de estos resultados. • Los colores promedio de los troyanos son significativamente diferentes de los de todas las demás clases de objetos (t-test), con la notable excepción de los núcleos de cometas de corta duración. Refinación de la prueba a los Eurybates/non- Eurybates, parece que los Eurybates tienen marginalmente diferente colores medios, mientras que los colores medios no-Eurybates son indistinguibles- capaz de los de los cometas. • Teniendo en cuenta la forma completa de la distribución (prueba KS), obtenemos la los mismos resultados: las distribuciones de colores troyanos son significativamente diferentes- ent de los de todas las demás clases, con la excepción del SP Cometas, que son compatibles. Una vez más, este resultado se hace más fuerte separando a los Eurybates: sus distribuciones son diferentes de las de los cometas, mientras que los no euribatos son indistinguibles. • Los resultados al considerar los anchos de las distribuciones de color (f- prueba) son ligeramente diferentes. Clases de objetos con diferentes colores medios todavía podría tener el mismo ancho de distribución. Esto podría sugerir que un proceso similar (causando la anchura de la distribución) está en acción, pero Alcanzó un punto de equilibrio diferente (resultando en an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an al an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an a Esta vez, todas las clases son incompatibles con los troyanos, incluyendo los cometas, con una fuerte significación estadística. Con el fin de seguir explorando posibles similitudes entre troyanos y otros clases, las comparaciones también se realizaron con los centauros neutros. Estos fueron seleccionados con S < 20%/103Å); esta línea de corte cae en la brecha entre los centauros “neutral” y “rojo” (Peixinho et al., 2003, Fornasier et al., 2004b). El T-Test (color medio) sólo revela una incompatibilidad muy moderada ser- entre los troyanos y los centauros neutros, en el nivel del 5%, es decir, sólo marginalmente significante. Por otro lado, el f-Test da algunas incompatibilidades fuertes en varios colores (moderado en B-V y H-K, muy fuerte en R-I), pero las dos poblaciones son compatibles para la mayoría de los otros colores. Del mismo modo, sólo la prueba R − I KS revela una fuerte incompatibilidad. También debería ser señaló que sólo 18 centauros neutros se conocen en la base de datos. En resumen, mientras que los troyanos y los centauros neutros tienen colores medios bastante similares, su Las distribuciones de color también son diferentes. 6 Conclusiones A partir de 2002, realizamos un estudio espectroscópico y fotométrico de Júpiter Troyanos, con el objetivo de investigar a los miembros de familias dinámicas. En este trabajo presentamos nuevos datos sobre 47 objetos pertenecientes a Familias námicas: Anquises (5 miembros), Cloanthus (2 miembros), Misenus (6 miembros) miembros), Phereclos (3 miembros), Sarpedon (2 miembros) y Panthoos (5 miembros) miembros) del enjambre L5; Eurybates (17 miembros), 1986 WD bers), y Menelao (1 miembro) para el enjambre L4. Junto con los datos ya publicado por Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), tomada dentro del mismo programa de observación, tenemos una muestra total de 80 troyanos, el mayor conjunto de datos homogéneos disponibles hasta la fecha sobre estos aster primitivos Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí, sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí.., sí.... Los principales resultados de las observaciones presentadas aquí, y del análisis, incluyendo espectros visibles publicados anteriormente de troyanos, son los siguientes: • Los espectros visibles de los troyanos no tienen características. Sin embargo, algunos mem- bers de la familia Eurybates muestran una caída de UV en la reflectividad para longitud de onda inferior a 5000–5200 Å que posiblemente se deba a interva- Transiciones de transferencia de carga (TCIV) en hierro oxidado. • La familia L4 Eurybates difiere fuertemente de todas las otras familias en que está dominado por asteroides de tipo C- y P. También su espectral la distribución de la pendiente es significativamente diferente en comparación con la de los otros troyanos (en el nivel 10-10). Esta familia es muy peculiar y dinámicamente muy fuerte, ya que vive también en un corte muy estricto (40 m/s). Otras observaciones en se recomienda encarecidamente a la región cercana al infrarrojo que busque posibles características de absorción debido al hielo de agua o al material que experimentó alteración acuosa. • La pendiente espectral media de los troyanos L5 es de 9,15±4,19%/103Å, y 6.10±4.48%/103Å para los objetos L4. Excluidos los Eurybates, los L4 los valores medios de pendiente se convierten en 7,33±4,24%/103Å. La pendiente distribuye... ciones del L5 y de los no euribatos L4 son indistinguibles. • Las nubes L4 y L5 están dominadas por asteroides de tipo D, pero la L4 enjambre tiene una mayor presencia de asteroides tipo C- y P-, incluso cuando la familia Eurybates está excluida, y parece más heterogénea en composición en comparación con la L5. • No encontramos ninguna relación tamaño versus pendiente espectral dentro de la Toda la población troyana. • Los troyanos con mayor inclinación orbital son significativamente más rojos que Los que tienen inferior i. Si bien esta tendencia es la contraria a la observada para otros cuerpos menores distantes, este efecto está totalmente dominado por el La familia Eurybates. • Comparar los colores de los troyanos con los de otros cuerpos menores distantes- es, son el más azul de todas las clases, y su distribución de colores es el El más estrecho. Esta diferencia se debe principalmente a la familia Eurybates. In hecho, si consideramos sólo la población troyana sin los Eurybates los miembros, sus colores medios y las distribuciones generales no son distin- guisable de la de los cometas del período corto. Sin embargo, las anchuras de sus distribuciones de color no son compatibles. La similitud en el distribución general de color puede ser causada por el pequeño tamaño del corto muestra del cometa del período en lugar de por una analogía física. Los troyanos los colores medios también son bastante similares a los de los centauros neutros, pero las distribuciones generales no son compatibles. Después de este estudio, tenemos que concluir que los troyanos tienen características peculiares. teristicas muy diferentes de las de todas las demás poblaciones del exterior Sistema Solar. Por desgracia, todavía no podemos evaluar si esto se debe a las diferencias en la naturaleza cal, o en los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento que modificaron la superficie materiales de diferente manera a diferentes distancias solares. Otras observaciones, principalmente en la espectroscopia V+NIR y la polarimetría, son absolutamente necesarios para investigar mejor la naturaleza de los troyanos de Júpiter y evaluar definitivamente si un enlace genético podría existir con los objetos transneptunianos, centauros y corto Cometas del período. Agradecimientos Damos las gracias a Beaugé y Roig por amablemente proporcionarnos con troyano actualizado lista de la familia, y R.P. Binzel y J.P. Emery por sus útiles comentarios en el proceso de revisión. Bibliografía Barucci, M. A., Lazzarin, M., Owen, T., Barbieri, C., Fulchignoni, M., 1994. Espectroscopia de asteroides oscuros de infrarrojos cercanos. Ícaro 110, 287-291. Beaugé, C., Roig, F., 2001. 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I - Identificación por agrupamiento jerárquico y evaluación de fiabilidad. Astron. J. 100, 2030-2046. Cuadros Tabla 1: Observar las condiciones de los asteroides L5 investigados. Para cada una de ellas objeto informamos la fecha de observación y la hora universal, exposición total tiempo, número de adquisiciones con tiempo de exposición de cada adquisición, masa aérea, y los análogos solares observados con su masa de aire. Fecha Obj UT Texp (s) nexp aire. Solar An. (aire.) Anchises 1173 17 Jan 05 06:06 60 1×60s 1,42 HD76151 (1,48) 23549 17 Jan 05 07:20 480 2×240s 1,60 HD76151 (1,48) 24452 17 Jan 05 07:54 960 4×240s 1,44 HD76151 (1,48) 47967 17 Jan 05 05:34 800 2×400s 1,38 HD76151 (1,48) 2001 SB173 17 Jan 05 06:28 1200 2×600s 1,35 HD76151 (1,48) Cloanthus 5511 19 Jan 05 06:04 960 4×240s 1.26 HD76151 (1.12) 51359 19 Jan 05 04:13 660 1×660s 1,36 HD76151 (1,12) Misenus 11663 17 Jan 05 05:13 400 1×400s 1,21 HD44594 (1,12) 32794 18 Jan 05 03:13 1800 2×900s 1.39 HD28099 (1.44) 56968 17 Jan 05 04:31 400 2×400s 1,21 HD44594 (1,12) 1988 RE12 18 Jan 05 04:12 2000 2×1000s 1,31 HD28099 (1.44) 2000 SC51 18 Jan 05 06:09 1320 2×660s 1.16 HD44594 (1.17) 2001 UY123 18 Jan 05 06:46 1320 2×660s 1.32 HD44594 (1.17) Phereclos 9030 18 Jan 05 08:19 1000 1×1000s 1,37 HD44594 (1.17) 11488 19 Jan 05 03:31 1320 2×660s 1.99 HD76151 (1.12) 31820 19 Jan 05 07:02 1320 2×660s 1,35 HD76151 (1.11) Sarpedón 48252 18 Jan 05 02:32 1320 2×660s 1.30 HD28099 (1.44) 84709 19 Jan 05 05:35 1320 2×660s 1,34 HD76151 (1,12) Pantuflas 4829 17 Jan 05 08:37 720 3×240s 1,45 HD76151 (1,48) 30698 18 Jan 05 01:54 1320 2×660s 1,73 HD28099 (1.44) 31821 18 Jan 05 05:27 1320 2×660s 1,35 HD28099 (1.44) 76804 17 Jan 05 03:35 1800 3×600s 1.38 HD44594 (1.12) 2001 VK85 18 Jan 05 07:31 2000 2×1000s 1.23 HD44594 (1.17) Tabla 2: Observar las condiciones de los asteroides L4 investigados. Para cada una de ellas objeto informamos la fecha de observación y la hora universal, exposición total tiempo, número de adquisiciones con tiempo de exposición de cada adquisición, masa aérea, y los análogos solares observados con su masa de aire. Fecha Obj UT Texp (s) nexp aire. Solar An. (aire.) Eurybates 3548 25 Mayo 04 05:14 600 2×300s 1,02 SA107-684 (1.19) 9818 26 de mayo 04 00:13 780 1×780s 1.19 SA102-1081(1.15) 13862 25 de mayo 04 03:35 1200 2×600s 1,09 SA107-998 (1.15) 18060 25 Mayo 04 02:47 1500 2×750s 1.07 SA107-998 (1.15) 24380 25 Mayo 04 06:53 780 1×780s 1.18 SA107-684 (1.19) 24420 25 Mayo 04 08:49 900 1×900s 1,59 SA112-1333 (1.17) 24426 26 Mayo 04 00:13 1440 2×720s 1.13 SA107-684 (1.17) 28958 26 Mayo 04 07:14 1800 2×900s 1.35 SA107-684 (1.17) 39285 25 de mayo 04 05:40 2700 3×900s 1,09 SA107-684 (1.19) 43212 25 Mayo 04 07:39 2340 3×780s 1.39 SA110-361 (1.15) 53469 25 Mayo 04 02:05 1800 2×900s 1.04 SA107-998 (1.15) 65150 26 Mayo 04 01:59 3600 4×900s 1,07 SA102-1081 (1.20) 65225 26 de mayo 04 03:40 3600 4×900s 1,04 SA107-684 (1.17) 1996RD29 26 de mayo 04 05:12 2700 3×900s 1.10 SA107-684 (1.17) 2000AT44 25 Mayo 04 04:14 1800 2×900s 1.04 SA107-684 (1.19) 2002CT22 26 Mayo 04 00:49 2400 4×600s 1,08 SA102-1081 (1,15) 2002EN68 26 de mayo 04 08:10 1800 2×900s 1.62 SA107-684 (1.17) 1986 WD 4035 10 Apr 03 03:28 600 1×600s 1,09 SA107-684 (1.15) 6545 10 Apr 03 02:39 900 1×900s 1.16 SA107-684 (1.15) 11351 10 Apr 03 09:21 900 1×900s 1,28 SA107-684 (1,15) 14707 11 Apr 03 08:11 1200 1×1200s 1.15 SA107-684 (1.15) 24233 11 Apr 03 02:29 1200 1×1200s 1.39 SA107-684 (1.37) 24341 11 Apr 03 05:47 900 1×900s 1.16 SA107-684 (1.17) 1986 TS6 12921 10 Apr 03 07:33 900 1×900s 1,39 SA107-684 (1.40) Cuadro 3: Observaciones fotométricas visibles de troyanos L4 y L5 (ESO-NTT) EMMI): para cada objeto, fecha, magnitud V computada, B-V, V-R y V- Los colores son reportados. El UT dado es para la adquisición del filtro V. Los observar la secuencia fotométrica (V-R-B-I) tomó unos minutos. Fecha del objeto UT V B-V V-R V-I 1986 WD 4035 10 Apr 03 03:11 16,892±0,031 0,752±0,040 0,473±0,042 0,926±0,055 4035 10 Apr 03 04:22 16,981±0,031 0,752±0,040 0,495±0,042 0,945±0,055 6545 10 Apr 03 02:22 17,558±0,031 0,734±0,041 0,499±0,042 0,935±0,055 11351 10 Apr 03 09:03 18,407±0,032 0,739±0,044 0,498±0,044 0,900±0,057 14707 11 Apr 03 06:46 18,666±0,031 0,751±0,041 0,401±0,033 0,804±0,055 14707 11 Apr 03 08:37 18,873±0,031 0,754±0,041 0,424±0,033 0,790±0,056 24233 11 Apr 03 01:33 18,894±0,034 0,704±0,051 0,481±0,037 0,899±0,058 24341 11 Apr 03 05:05 19,376±0,032 0,713±0,043 0,369±0,035 0,759±0,057 1986 TS6 12921 10 Apr 03 07:12 18,393±0,031 0,673±0,040 0,421±0,042 0,786±0,055 Corte L5 150m/s Anchises 1173 17 Jan 05 05:54 16,595±0,024 0,811±0,034 0,402±0,035 0,805±0,038 23549 17 Jan 05 07:09 18,969±0,050 0,800±0,071 0,485±0,068 0,872±0,075 24452 17 Jan 05 07:48 18,757±0,043 0,872±0,056 0,441±0,056 0,847±0,066 47967 17 Jan 05 05:27 19,382±0,044 0,899±0,058 0,489±0,069 0,965±0,075 2001 SB173 17 Jan 05 06:20 19,882±0,043 0,992±0,060 0,503±0,064 0,927±0,078 Cloanthus 5511 19 Jan 05 05:52 17,968±0,020 0,906±0,027 0,442±0,027 0,968±0,032 51359 19 Jan 05 03:54 19,631±0,102 0,864±0,201 0,447±0,131 0,885±0,164 Misenus 11663 17 Jan 05 05:05 18,473±0,022 0,837±0,030 0,409±0,030 0,872±0,039 32794 18 Jan 05 03:07 19,685±0,038 0,923±0,065 0,393±0,056 0,879±0,057 56968 17 Jan 05 04:18 18.596±0.026 0,986±0.040 0,494±0.033 1,003±0.036 1988 RE12 18 Jan 05 04:00 20,892±0,081 0,826±0.132 0,388±0.108 0,871±0.106 2000 SC51 18 Jan 05 06:03 19,876±0,038 1,016±0,055 0,444±0,059 0,896±0,056 2001 UY123 18 Jan 05 06:41 19,869±0,047 0,890±0,058 0,537±0,056 0,971±0,063 Phereclos 9030 18 Jan 05 08:14 18,397±0,020 0,887±0,024 0,493±0,027 0,973±0,028 11488 19 Jan 05 02:57 18,931±0,066 0,868±0,101 0,430±0,079 0,848±0,084 31820 19 Jan 05 06:39 20,041±0,077 0,889±0,093 0,520±0,091 0,916±0.123 Sarpedón 48252 18 Jan 05 02:25 19,878±0,060 0,949±0,100 0,467±0,093 0,903±0,090 84709 19 Jan 05 05:10 19,862±0,068 0,855±0,087 0,462±0,090 1,010±0,094 Pantuflas 4829 17 Jan 05 08:18 18,430±0,029 0,851±0,050 0,420±0,039 0,792±0,052 30698 18 Jan 05 01:45 19,353±0,036 – 0,472±0,042 0,865±0,047 31821 18 Jan 05 05:21 19,328±0,076 0,980±0.111 0,440±0,097 0,901±0.108 76804 17 Jan 05 03:21 19,471±0,065 0,803±0,082 0,446±0,070 0,889± 0,080 2001 VK85 18 Jan 05 07:23 20,179±0,038 0,822±0,063 0,462±0,048 1,020±0,050 Cuadro 4: Familias L5. Informamos para cada objetivo de la magnitud absoluta H y el diámetro estimado (diámetros marcados por ∗ se toman de IRAS datos), la pendiente espectral S calculada entre 5500 y 8000 Å y el clase taxonómica (T) derivada de Dahlgren & Lagerkvist (1995) Esquema de ficaciones. Los asteroides marcados con una fueron observados por Fornasier et al. (2004a), y sus valores de pendiente espectral se han recomputado en el Rango de longitud de onda 5500-8000 Å; asteroides 23694, 30698 y 32430, anteriormente Miembros de Astyanax, han sido reasignados a la familia Panthoos debido a la re- los elementos adecuados multados. Obj H D (km) S (%/103Å) T Anchises 1173 8,99 *126+11 3,87±0,70 P 23549 12.04 26+4 8,49±0,88 D 24452 11,85 29+5 7,42±0,70 D 47967 12.15 25+4 9,21±0,78 D 2001 SB173 12,77 19+3 14,78±0,99 D Cloanthus 5511 10,43 55+8 10,84±0,65 D 51359 12.25 24+6 12,63±1,30 D Misenus 11663 10,95 44+7 6,91±0,70 DP 32794 12,77 19+3 6,59±0,88 DP 56968 11,72 30+5 15,86±0,71 D 1988 RE12 13.20 16+2 4,68±1,20 P 2000 SC51 12,69 20+3 6,54±0,98 DP 2001 UY123 12,75 19+3 8,28±0,88 D Phereclos a2357 8,86 ∗95+4 9,91±0,68 D a6998 11,43 34+5 11.30±0,75 D 9030 11.14 40+6 10,35±0,76 D a9430 11,47 35+5 10,02±0,90 D 11488 11,82 29+5 5,37±0,92 PD a18940 11,81 29+4 7,13±0,75 D 31820 12,63 20+3 7,53±0,80 D Sarpedón a2223 9.25 *95+4 10,20±0,65 D a5130 9,85 71+11 10,45±0,65 D a17416 12,83 18+3 10,80±0,90 D a25347 11,59 33+5 10,11±0,83 D 48252 12,84 18+3 9,62±0,82 D 84709 12.70 19+3 11,64±0,84 D Pantuflas 4829 11.16 39+6 5,03±0,70 PD a23694 11,61 32+5 8,20±0,72 D 30698 12.14 25+4 8,23±1,00 D a30698 12.27 25+4 9,08±0,82 D a32430 12.23 25+4 8.12±1.00 D 31821 11.99 27+4 10,58±0,82 D 76804 12.16 25+4 7,29±0,71 D 2001 VK85 12,79 19+3 14,39±0,81 D Cuadro 5: Familias L4. Informamos para cada objetivo de la magnitud absoluta H y el diámetro estimado (diámetros marcados por ∗ se toman de IRAS los datos, mientras que las magnitudes absolutas marcadas por se toman del astorb.dat archivo del Observatorio Lowell), la pendiente espectral S computada entre 5500 y 8000 Å, y la clase taxonómica (T) derivada de Dahlgren & Lagerkvist (1995) sistema de clasificación. Los asteroides marcados con un observado por Dotto et al. (2006), y sus valores de pendiente espectral han sido recomputado en el rango de longitud de onda 5500-8000 Å. Obj H D (km) S (%/103Å) T Eurybates 3548 9,50* ∗72+4 -0,18±0,57 C 9818 11.00+42+6 2,12±0,72 P 13862 11,10+40+6 1,59±0,70 C 18060 11,10+40+6 2,86±0,60 P 24380 11,20+38+6 0,34±0,65 C 24420 11,50+33+5 1,65±0,70 C 24426 12,50+21+3 4,64±0,80 P 28958 12,10+25+4 -0,04±0,80 C 39285 12,90° 17+3 0,25±0,69 C 43212 12,30+23+4 1,19±0,78 C 53469 11,80+29+4 0,17±0,80 C 65150 12,90+17+3 4,14±0,70 P 65225 12,80° 18+3 0,97±0,85 C 1996RD29 13,06+16+3 2,76±0,89 P 2000AT44 12,16+24+3 -0,53±0,83 C 2002CT22 12.04+26+4 2,76±0,73 P 2002EN68 12,30+23+3 3,60±0,98 P 1986 WD 4035 9,72 ∗68+5 9,78±0,61 D a4035 9.30* ∗68+5 15,19±0,61 D 6545 10,42 55+8 11,32±0,63 D a6545 10.00+66+10 9,88±0,56 D 11351 10,88 44+7 10,26±0,67 D a11351 10,50+53+8 10,44±0,61 D 14707 11.25 38+6 −9,4 -1,06±1,00 C 24233 11,58 33+5 −8,0 6,37±0,67 DP 24341 11,99 27+4 -0,26±0,71 C 1986 TS6 12917 11,61 32+5 10,98±0,68 D 12921 11.12 40+6 4,63±0,75 P a12921 10,70+48+7 3,74±1,00 P 13463 11,27 37+6 4,37±0,65 P 15535 10,70 48+7 10,67±0,65 D 20738 11,67 31+5 8,84±0,70 D 24390 11,80 29+5 9,53±0,62 D Tabla 6: Resultados del análisis estadístico de la distribución espectral de la pendiente en función de los diámetros. Para cada una de ellas se enumeran la pendiente media y la dispersión; el tamaño de la muestra se indica entre paréntesis. Para cada par de submuestras, se enumera la probabilidad de que ambos se extraigan al azar de la misma muestra global, como se estima por la prueba t-, f- y ks-, respectivamente. La baja probabilidad indica diferencias significativas entre los submuestras. Distancia de diámetro 0–25 km 25–50 km 50–75 km 75–100 km > 100 km S media 7,17±4,79 (22) 6,92±4,69 (48) 8,91±4,68 (26) 6,74±5,85 (21) 7,87±2,88 (21) (%/103Å) 0–25 0,842 0,876 0,579 0,213 0,903 0,575 0,792 0,370 0,775 0,551 0,017 0,494 25–50 0,088 0,985 0,150 0,897 0,216 0,519 0,286 0,011 0,275 50–75 0,176 0,289 0,469 0,344 0,019 0,440 75–100 0,442 0,001 0,469 Tabla 7: Índices medios de color y pendiente espectral de diferentes clases de cuerpos menores del Sistema Solar exterior. Para cada una de ellas clase el número de objetos considerados también está listado. Color Plutinos Cubewanos Centauros cometas esparcidos troyanos B-V 36 87 29 33 2 74 0,895± 0,190 0,973± 0,174 0,886± 0,213 0,875± 0,159 0,795± 0,035 0,777± 0,091 V-R 38 96 30 34 19 80 0,568± 0,106 0,622± 0,126 0,573± 0,127 0,553± 0,132 0,441± 0,122 0,445± 0,048 V-I 34 64 25 25 7 80 1,095± 0,201 1,181± 0,237 1,104± 0,245 1,070± 0,220 0,935± 0,141 0,861± 0,090 V-J 10 14 11 8 1 12 2,151± 0,302 1,750± 0,456 1,904± 0,480 2,041± 0,391 1,630± 0,000 1,551± 0,120 V-H 3 7 11 4 1 12 2,698± 0,083 2,173± 0,796 2,388± 0,439 2,605± 0,335 1,990± 0,000 1,986± 0,177 V-K 2 5 9 2 1 12 2.763± 0.000 2.204± 1.020 2.412± 0.396 2.730± 0.099 2.130± 0.000 2.125± 0.206 R-I 34 64 25 26 8 80 0,536± 0,135 0,586± 0,148 0,548± 0,150 0,517± 0,102 0,451± 0,059 0,416± 0,057 J-H 11 17 21 11 1 12 0,403± 0,292 0,370± 0,297 0,396± 0,112 0,348± 0,127 0,360± 0,000 0,434± 0,064 H-K 10 16 20 10 1 12 -0,034± 0,171 0,084± 0,231 0,090± 0,142 0,091± 0,136 0,140± 0,000 0,139± 0,041 Pendiente 38 91 30 34 8 80 (%/103Å) 19,852± 10,944 25,603± 13,234 20,601± 13,323 18,365± 12,141 10,722± 6.634 7,241± 3,909 Tabla 8: Pruebas estadísticas realizadas para comparar las distribuciones de color y pendiente de diferentes clases de cuerpos menores (Plt= Plutinos, TNOs resonantes; QB1= Cubiwanos, TNOs clásicos; Cent= Centauros; Scat= TNOs dispersos; Com= Corto período núcleos cometa) con los de los troyanos. Las cinco primeras columnas consideran a todos los troyanos, las cinco segundas sólo la familia Eurybates, los cinco terceros sólo los troyanos de la familia no-Eurybates. Para cada color, la primera línea muestra el número de objetos utilizados para la comparación (2o es el número de troyanos), y la segunda línea informa de la probabilidad como resultado de la prueba. Un valor muy bajo indica que las dos distribuciones comparadas no son estadísticamente compatibles. Las probabilidades están en negrita cuando el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande para que el valor sea significativo. f-test Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,600 0,001 0,001 0,000 0,005 0,722 0,000 0,000 0,000 0,000 0,598 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,773 0,000 0,000 0,000 0,001 0,335 0,000 0,000 0,000 0,000 0,185 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,020 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 t-test Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,001 0,000 0,012 0,002 0,608 0,000 0,000 0,001 0,000 0,139 0,003 0,025 0,006 0,858 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,916 0,000 0,000 0,000 0,000 0,083 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,532 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0.000.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.502 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,185 0,000 0,000 0,000 0,000 0,008 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,404 Prueba KS Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,001 0,000 0,001 0,004 0,330 0,002 0,035 0,065 0,003 0,002 0,047 0,468 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.006 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,201 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,587 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,088 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,211 Títulos de la figura Fig. 1 - Espectros reflectantes de 5 miembros de la familia Anchises (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Fig. 2 - espectros reflectantes de 6 miembros de la familia Misenus (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Fig. 3 - espectros reflectantes de 5 miembros de la familia Panthoos (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Para el asteroide 30698, falta el color B-V como un B no estaba disponible la medición del filtro. Fig. 4 - Espectros de reflectancia de 2 Cloantus, 3 Phereclos y 2 Sarpedon miembros de la familia (enjambre L5). Los índices de color fotométricos también son con- verted a la reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. Spectra y La fotometría se desplaza por 1,0 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 5 - Espectros de reflectancia de los 17 miembros de la familia Eurybates (L4 enjambre). Los espectros se desplazan en 0,5 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 6 - Espectros de reflectancia de los 6 miembros de la familia WD de 1986 y 12921, que es un miembro de la familia TS6 1986 (todos pertenecientes al enjambre L4). Los espectros se desplazan por 1,0 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 7 - Parcela de la pendiente espectral versus el diámetro estimado para el familias observadas en el enjambre L5. Fig. 8 - Parcela de la pendiente espectral versus el diámetro estimado para el familias observadas en el enjambre L4. Fig. 9 - Parcela de las pendientes espectrales observadas versus el diámetro estimado para toda la población de troyanos de Júpiter investigados por nosotros y disponibles de la literatura. Los errores en pendientes y diámetros no están trazados a evitar la confusión. Fig. 10 - Histograma de clases taxonómicas de troyanos L5. Fig. 11 - Histograma de clases taxonómicas de troyanos L4 (Neg indica ob- efectos con pendiente espectral negativa). Fig. 12 - Distribuciones de color como funciones de la magnitud absoluta M(1, 1), la inclinación i [grados], el eje semi-mayor orbital a [AU], la distancia del perihelio q [AU], la excentricidad e, y la energía orbital E (véase texto para la definición). Incluyemos todos los colores disponibles para el cuerpo menor distante- ios (TNO, Centauros y núcleos cometarios, véase Hainaut & Delsanti 2002). Los Plutinos (TNOs resonantes) son triángulos rellenos rojos, Cubiwanos (clásicos TNOs) son círculos llenos de rosa, Centauros son triángulos abiertos verdes, dispersas Los TNO son círculos abiertos azules, y los troyanos son triángulos llenos de cian. Fig. 13 - V −R versus R−I diagrama de color para los troyanos observados y todos los cuerpos menores distantes disponibles en el actualizado Hainaut & Delsanti Base de datos (2002). Los símbolos sólidos son para los troyanos (cuadrado para Eurby- bates, triángulos para otros). Los símbolos abiertos se utilizan como sigue: tri- ángulos para Plutinos, círculos para Cubiwanos, cuadrados para Centauros, pentágonos para Schattered, y plaza estrellada para Comets. La línea continua representa la “línea de enrojecimiento”, es decir, el locus de los objetos con una reflectividad lineal espectro. El símbolo de la estrella representa al Sol. Fig. 14 - Función acumulativa e histogramas de los B − V y V − R distribuciones de color y de la pendiente espectral para todas las clases consideradas de objetos. La línea punteada marca los colores solares. 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 1: 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 2: 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 3: Gráfico 4 Figura 5: Figura 6: Figura 7: Figura 8: Figura 9: Gráfico 10 Figura 11: M(1,1) E a [AU] q [AU] Figura 12: Figura 13: Figura 14: Introducción Observaciones y reducción de datos Resultados Familias dinámicas: Enjambre L5 Anchises Misenus Pantuflas Cloantus Phereclos Sarpedón Familias dinámicas: Enjambre L4 Eurybates 1986 WD 1986 TS6 Discusión Distribución del tamaño frente a la pendiente espectral:Familias individuales Distribución tamaño vs pendiente: La población troyana en su conjunto Laderas espectrales y nubes L4/L5 Elementos orbitales Comparación con otros cuerpos menores del Sistema Solar exterior Introducción y métodos Resultados Conclusiones

Presentamos los resultados de una encuesta espectroscópica y fotométrica visible de Jupiter Trojans pertenecientes a diferentes familias dinámicas llevadas a cabo en el Telescopio ESO-NTT. Obtuvimos datos de 47 objetos, 23 pertenecientes al enjambre L5 y 24 a la L4 una. Estos datos, junto con los ya publicados por Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), constituyen una muestra total de espectros visibles para 80 objetos. La encuesta nos permite investigar seis familias (Aneas, Anquises, Misenus, Phereclos, Sarpedon, Panthoos) en el L5 cloud y cuatro familias L4 (Eurybates, Menelaus, 1986 WD y 1986 TS6). Los la muestra que medimos está dominada por los asteroides de tipo D, con la excepción de la familia Eurybates en el enjambre L4, donde hay un dominio de C- y Asteroides tipo P. Todos los espectros que hemos obtenido son sin características con el excepción de algunos miembros de Eurybates, donde una caída de la reflectancia es detectada en corto de 5200 A. Características similares se ven en el cinturón principal tipo C asteroides y comúnmente atribuidos a la transferencia de carga de intervalo transición en hierro oxidado. Nuestra muestra comprende troyanos más débiles y más pequeños en comparación con los datos de la literatura y nos permite investigar la propiedades de objetos con un diámetro estimado inferior a 40-50 km. Los análisis de las pendientes espectrales y los colores versus los diámetros estimados muestra que los objetos azules y rojos tienen una distribución de tamaño indistinguible. Nosotros realizar una investigación estadística de la propiedad espectro de los troyanos en función de sus parámetros orbitales y físicos, y en comparación con otras clases de cuerpos menores en el Sistema Solar exterior. Los troyanos con una inclinación más baja parecen significativamente más azules que los que tienen una inclinación más alta. inclinación, pero este efecto es fuertemente impulsado por la familia Eurybates.

Introducción Los troyanos de Júpiter son pequeños cuerpos del Sistema Solar localizados en el Júpiter. Lagrangian puntos L4 y L5. Hasta ahora más de 2000 troyanos han sido descubierto, 1150 perteneciente a la nube L4 y 950 a la L5. Se estima que el número de troyanos L4 con un radio superior a 1 km es alrededor de 1,6 ×105 (Jewitt y otros, 2000), comparable con la estimación población de cinturón de tamaño similar. El debate sobre el origen de los troyanos de Júpiter y cómo estaban atrapados en órbitas de libración alrededor de los puntos lagrangianos todavía está abierto a varios possi- bilidades. Considerando que los troyanos tienen órbitas estables a lo largo de la era del Sol System (Levison et al, 1997, Marzari et al. 2003) su origen debe remontarse a la fase inicial de la formación del sistema solar. Algunos autores (Marzari & Scholl, 1998a,b; Marzari et al., 2002) sugirieron que se formaron muy cerca a su ubicación actual y fueron atrapados durante el crecimiento de Júpiter. Morbidelli et al. (2005) sugirió que los troyanos se formaron en el cinturón de Kuiper y posteriormente fueron capturados en los puntos de Júpiter L4 y L5 Lagrangian durante la migración planetaria, justo después de que Júpiter y Saturno cruzaran su tual 1:2 resonancias. En este escenario, Júpiter Troians daría importante datos sobre la composición y la acreción de los cuerpos en las regiones exteriores de la Comunidad Nebulosa solar. Varios estudios teóricos concluyen que las nubes troyanas de Júpiter están en menos que los asteroides del cinturón principal (Shoemaker et al., 1989); Binzel & Sauter, 1992; Marzari et al., 1997; Dell’Oro et al., 1998). Esto resultado se apoya en la identificación de varias familias dinámicas, ambos en los enjambres L4 y L5 (Shoemaker et al., 1989, Milani, 1993, Beaugé y Roig, 2001). Sea cual sea el origen troyano, es plausible suponer que se formaron- junto a la línea de heladas y que son cuerpos primitivos, son posiblemente compuestos de silicatos anhidros y compuestos orgánicos, y posiblemente aún contengan hielos en su interior. Varias observaciones de troyanos en la región infrarroja cercana (0,8-2,5 μm) no han detectado claramente ninguna característica de absorción indicativa de hielo acuático (Barucci et al, 1994; Dumas et al, 1998; Emery & Brown, 2003, 2004; Dotto y otros, 2006). También en el rango visible de los espectros troyanos aparecen sin características (Jewitt & Luu, 1990; Fornasier et al., 2004a, Bendjoya et al., 2004; Dotto y otros, 2006). Hasta ahora sólo 2 objetos (1988 BY1 y 1870) Glaukos) muestra la posible presencia de bandas débiles (Jewitt & Luu, 1990). Sin embargo, estas bandas son comparables al pico al pico de ruido y no son aún confirmado. Recientemente, las características mineralógicas se han detectado en espectros de emisividad de Tres asteroides troyanos medidos por el telescopio espacial Spitzer. Estos fea- se interpretan en el sentido de que indican la presencia de silicatos de grano fino en las superficies (Emery et al. 2006). Varias preguntas sobre el origen dinámico de los troyanos de Júpiter, apoyo físico la composición y el vínculo con otros grupos de órganos menores, como los órganos Los asteroides principales del cinturón, los núcleos cometarios, los centauros y los KBO siguen abiertos. Con el fin de aclarar estas cuestiones, hemos llevado a cabo un espectro. estudio escopico y fotométrico de los troyanos de Júpiter en el 3.5m Nuevo Technol- Telescopio Ogy (NTT) del Observatorio Europeo Austral (La Silla, Chile) y en el Telescopio Nazionale Galileo (TNG), La Palma, España. In En este artículo presentamos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos visibles, ob- durante 7 noches de observación, llevadas a cabo en ESO-NTT en abril de 2003, Mayo de 2004 y enero de 2005, por un total de 47 objetos pertenecientes a la L5 (23 objetos) y L4 (24 objetos) enjambres. Considerando también los resultados ya publicado en Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), obtenido en el marco del mismo proyecto, hemos recogido una muestra total de 80 Júpiter Espectro visible troyano, 47 pertenecientes a las nubes L5 y 33 a la L4. Esto es el mayor conjunto de datos homogéneos disponibles hasta ahora en estos asteroides. El objetivo principal de nuestra encuesta fue la investigación de los troyanos de Júpiter perteneciendo a diferentes familias dinámicas. De hecho, ya que las familias dinámicas se supone que se forma a partir de la colisión de los cuerpos de los padres, la investigación de las propiedades superficiales de los miembros pequeños y grandes de la familia puede ayudar a entender la naturaleza de estos grupos dinámicos y proporcionar una visión de la estructura interior del padre principal más grande cuerpos. También presentamos un análisis de las pendientes espectrales visibles para todos los datos en nuestra encuesta junto con las disponibles en la literatura, para una muestra total de 142 troyanos. Esta muestra ampliada nos permitió llevar a cabo una importante investigación estadística. de las distribuciones de propiedad espectral de los troyanos, en función de su parámetros orbitales y físicos, y en comparación con otras clases de ni cuerpos en el Sistema Solar exterior. También discutimos la pendiente espectral distribución dentro de las familias troyanas. 2 Observaciones y reducción de datos [DÓNDE DE LOS CUADROS 1 Y 2] Los datos fueron obtenidos en el rango visible durante 3 observaciones diferentes se ejecuta en ESO-NTT: 10 y 11 de abril de 2003 investigación tométrica de 6 miembros de la 4035 1986 WD y 1 miembro de familias TS6 de 1986; 25 y 26 de mayo de 2004 para una encuesta espectroscópica de L4 Familia Eurybates; 17, 18 y 19 de enero de 2005 investigación tométrica de 5 Anquises, 6 Misenus, 5 Pantuchos, 2 Cloanthus, 2 Sarpedon y 3 miembros de la familia Phereclos (enjambre L5). Seleccionamos nuestros objetivos de la lista de las familias troyanas de Júpiter proporcionada por Beaugé y Roig (2001 y P.E.Tr.A. Proyecto en www.daf.on.br/froig/petra/). Los autores han usado un algoritmo de detección de racimos llamado Clus Jerárquico. método de tering (HCM, p. ej. Zappalà et al., 1990) para encontrar familias de asteroides entre los troyanos de Júpiter a partir de una base de datos de elementos (Beaugé & Roig, 2001). Se realiza la identificación de las familias comparando las distancias mutuas con una métrica adecuada en el espacio de los Estados miembros. La cadena de agrupamiento se detiene cuando la distancia mutua, medición de la velocidad incremental necesaria para el cambio orbital después de la tiva ruptura del cuerpo del padre, es más grande que un valor de corte fijo. Un corte más bajo implica una mayor significación estadística de la familia. Puesto que las familias en L4 son en promedio más robustos que aquellos alrededor de L5 (Beaugé y Roig, 2001), nosotros prefiere adoptar un corte de 100 m/s para la nube L4 y de 150 m/s para L5. Para la familia de los Eurybates muy robustos decidimos limitar nuestra encuesta a los miembros de la familia definidos con un corte de 70 m/s. Todos los datos fueron adquiridos utilizando el instrumento EMMI, equipado con un Mosaico 2x1 de 2048×4096 MIT/LL CCD con píxeles cuadrados de 15μm. Por la Comisión investigaciones espectroscópicas durante mayo de 2004 y enero de 2005 el Grism #1 (150 gr/mm) en modo RILD para cubrir el rango de longitud de onda 4100-9400 Å con una dispersión de 3,1 Å/px (200 Å/mm) en el primer orden, mientras que en abril de 2003 usamos un granismo diferente, el #7 (150 gr/mm), cubriendo la gama espectral 5200-9500 Å, con una dispersión de 3,6 Å/px en la primera Orden. Los espectros de abril de 2003 y enero de 2005 fueron tomados a través de un arco de 1 seg amplia hendidura, mientras que durante mayo de 2004 usamos una hendidura más grande (1,5 arcsec). La hendidura fue orientado a lo largo del ángulo paraláctico durante todas las carreras de observación en orden para evitar pérdidas de flujo debido a la refracción diferencial atmosférica. Para la mayoría de los objetos, el tiempo total de exposición se dividió en varios (generalmente 2-4) adquisiciones más cortas. Esto nos permitió comprobar la posición del asteroide en la hendidura antes de cada adquisición, y corregir el telescopio apuntando y/o tasas de seguimiento si es necesario. Durante cada noche también registramos sesgo, plano– campo, lámpara de calibración (He-Ar) y varios (6-7) espectros de estrellas analógicas solares medida en diferentes masas de aire, cubriendo el rango de masa de aire de la ciencia objetivos. Durante el 17 de enero de 2005, parte de la noche se perdió debido a problemas técnicos y sólo se adquirieron 2 estrellas analógicas solares. La relación de estas 2 estrellas muestran variaciones mínimas (menos del 1%) en el 5000-8400 Å rango, pero diferencias más altas en los bordes de este rango. Por esta razón nosotros omitir la región espectral por debajo de 4800 Å para la mayoría de los asteroides adquiridos que Buenas noches. Los espectros se redujeron utilizando procedimientos ordinarios de reducción de datos como descrita en Fornasier et al. (2004a). La reflectividad de cada asteroide fue obtenido dividiendo su espectro por el de la estrella analógica solar más cercana en el tiempo y la masa de aire al objeto. Spectra finalmente se suavizaron con un técnica de filtro mediana, utilizando una caja de 19 píxeles en la dirección espectral para cada punto del espectro. El umbral se fijó en 0,1, lo que significa que la valor original fue reemplazado por el valor mediano si el valor mediano difiere en más del 10% del original. Se muestran los espectros obtenidos en Figs. 1–5. En el cuadro 1 y en el cuadro 2 se indican las circunstancias de la observaciones y las estrellas analógicas solares utilizadas respectivamente para los L5 y L4 miembros de la familia. [Cuadro 3] Los datos de color de banda ancha se obtuvieron durante los meses de abril de 2003 y enero de 2003. rio 2005 corre justo antes de la observación espectral de los troyanos. Usamos el Modo RILD del EMMI para imágenes de campo amplio con el Bessell de tipo B, V, R, e I filtros (centrados respectivamente en 4139, 5426, 6410 y 7985Å). El ob- las servaciones se llevaron a cabo en un modo de 2 × 2 binning, produciendo una escala de píxeles de 0,33 arcosec/píxeles. El tiempo de exposición varió con la magnitud del objeto: Por lo general era alrededor de 12-90s en V, 30-180s en B, 12-70s en R e I filtros. Las imágenes CCD fueron reducidas y calibradas con un método estándar (For- nasier et al., 2004a), y la calibración absoluta se obtuvo servicios de varios campos de Landolt (Landolt, 1992). La revista instrumental... Las nitudes se midieron utilizando fotometría de apertura con radio de integración Por lo general, alrededor de tres veces el promedio de la vista, y la sustracción del cielo fue por- formado usando un anillo ancho de 5-10 píxeles alrededor de cada objeto. Los resultados se presentan en la Tabla 3. De la inspección visual y radial análisis de perfiles de las imágenes, no se detectó coma para ninguno de los observados Troyanos. En mayo de 2004, como las condiciones del cielo eran claras pero no fotométricas, lo hicimos no realizar fotometría de los objetivos familiares de Eurybates. 3 Resultados [TABLAS 4 Y 5] Para cada troyano computamos la pendiente S del continuum espectral usando una técnica estándar al menos cuadrada para un ajuste lineal en el rango de longitud de onda entre 5500 y 8000 Å. La elección de estos límites de longitud de onda ha sido impulsado por la cobertura espectral de nuestros datos. Elegimos 5500 Å como el más bajo límite debido a la diferente configuración instrumental utilizada durante diferentes ob- funcionamientos de servicio (con algunos espectros a partir de longitud de onda ≥ 5200 Å), mientras que más allá de 8000 Å nuestros espectros son generalmente más ruidosos debido a una combinación de la Caída de CCD en sensibilidad y presencia de agua atmosférica fuerte bandas. Las pendientes y errores computados se enumeran en los cuadros 4 y 5. Los informes er- barritas de ror tienen en cuenta la incertidumbre de 1 Atribuido al uso de diferentes instrumentos y estrellas analógicas solares (esti- apareado de la diferente eficiencia del granismo utilizado, y de las pérdidas de flujo debido a las diferentes aberturas de las hendiduras). En los cuadros 4 y 5 también informamos del taxo- clase económica derivada de la clasificación Dahlgren & Lagerkvist (1995) esquema. En la nube L5 encontramos 27 D–, 3 DP–, 2 PD– y 1 P–tipo objetos. In la nube L4 encontramos objetos de 10 C-tipo y 7 P-tipo dentro de los Eurybates de la familia, mientras que para las familias Menelaus, 1986 TS6 y 1986 WD, incluyendo los datos publicados en Dotto et al. (2006), obtenemos 9 D–, 3 P–, 3C–, y 1 Asteroides tipo DP. La mayoría de los espectros no tienen características, aunque algunos de los observados Los miembros de Eurybates presentan características de absorción espectral débiles (fig. 5). Estos las características se discuten en la sección siguiente. Se obtuvo una magnitud absoluta estimada H escalando el valor medido. V magnitud a r = • = 1 UA y a fase cero asumiendo G=0,15 (Bowell et al., 1989). La magnitud estimada H de cada troyano podría ser sesgada fase rotacional incierta, ya que las amplitudes de curva de luz de los troyanos podría varían hasta 1 magnitud. Con el fin de investigar la posible dependencia de lado de cada familia, y teniendo en cuenta que los diámetros de IRAS están disponibles para muy pocos objetos, estimamos el tamaño utilizando la siguiente relación: 1329× 10−H/5 donde D es el diámetro del asteroide, p es el albedo geométrico, y H es el abso- magnitud de laúd. Utilizamos H derivada de nuestras observaciones cuando están disponibles, y del archivo ASTORB.DAT (Observatorio de Lowell) para el informe Eurybates bers, para lo cual no realizamos fotometría visible. Evaluamos la diámetro para un rango de albedo de 0,03–0,07, asumiendo un albedo medio de 0,04 para estos asteroides oscuros (Fernandez et al., 2003). Los valores D resultantes son: en los cuadros 4 y 5. 3.1 Familias dinámicas: enjambre L5 3.1.1 Anchises [GRÁFICO 1] Investigamos a 5 de los 15 miembros de la familia Anchises (fig. 1): 1173 Anchises, 23549 1994 ES6, 24452 2000 QU167, 47967 2000 SL298 y 124729 2001 SB173 el 17 de enero de 2005. Para 4 de 5 objetos observados omitimos el rango espectral inferior a 4800Å debido a la baja relación S/N y a los problemas con la estrellas analógicas solares. El comportamiento espectral es confirmado por datos fotométricos (véase el cuadro 3). Todos los espectros obtenidos no tienen características. La familia Anchises sobrevive en un corte correspondiente a ciones de 150 m/s. El miembro más grande, 1173 Anchises, tiene un diámetro de 126 km (datos de IRAS) y tiene la pendiente espectral más baja (3,9 %/103Å) entre los miembros de la familia investigados. Se clasifica como P-tipo, mientras que el otro 4 miembros son todos D-tipos. Anquises se observó previamente en el 4000- Región de 7400Å por Jewitt & Luu (1990), que informó de una pendiente espectral de 3,8 %/103Å, en perfecto acuerdo con el valor que encontramos. Los tres 19-29 km El tamaño de los objetos tiene una pendiente espectral más pronunciada (7,4-9,2 %/103Å), mientras que el pequeño- objeto, 2001 SB173 (ladera espectral = 14,78±0,99 %/103Å) es el más rojo 1 (cuadro 4). Incluso con las incertidumbres en el albedo y el diámetro, una pendiente-tamaño rela- tionship es evidente entre los objetos observados, con miembros más pequeños-fainter más rojos que los más grandes (Fig. 7). 3.1.2 Misenus [GRÁFICO 2] Para esta familia investigamos a 6 miembros (11663 1997 GO24, 32794 1989) UE5, 56968 2000 SA92, 99328 2001 UY123, 105685 2000 SC51 y 120453 1988 RE12) de los 12 agrupados a una velocidad relativa de 150 m/s. Los familia sobrevive con los mismos miembros también a una estricta velocidad de corte de 120 m/s. Los espectros, junto con la magnitud de los índices de color transformados en reflectancia lineal, se muestran en la Fig. 2, mientras que los índices de color son reportados en el cuadro 3. Todos los espectros no tienen características con diferentes valores de pendiente espectral que cubre el rango de 4,6–15,9 %/103Å (cuadro 4): 1988 RE12 tiene el nivel más bajo pendiente espectral y se clasifica como tipo P, 3 objetos (11663, 32794 y 2000 SC51) se encuentran en la región de transición entre el tipo P– y D–, con comportamiento espectral, mientras que los otros dos miembros observados son D-tipos. De estos últimos, 56968 tiene la pendiente espectral más alta no sólo dentro de la familia (15,86 %/103Å) pero también dentro de toda la muestra L5 analizada en este artículo. Todos los miembros de Misenus investigados son bastante débiles y tienen diámetros de unas pocas decenas de kilómetros. No se ha encontrado ninguna relación clara entre tamaño y pendiente dentro de esta familia (Fig. 7). No hay otros datos disponibles sobre los miembros de la familia Misenus en la literatura, por lo que no sabemos si la gran brecha entre la pendiente espectral de 56968 y los de los otros 5 objetos investigados son reales o podrían ser llenados por otros Miembros que aún no han sido observados. Si es real, 56968 puede ser un intruso dentro de la familia. 3.1.3 Pantuflas [GRÁFICO 3] La familia Panthoos tiene 59 miembros para un corte de velocidad relativa de 150 m/s. Obtuvimos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos de 5 miembros: 4829 Sergetus, 30698 Hippokoon, 31821 1999 RK225, 76804 2000 QE y 111113 2001 VK85 (Fig. 3). Tres objetos presentados por Fornasier et al. (2004a) perteneciente a la familia Astyanax (23694 1997 KZ3, 32430 2000 RQ83, 30698 Hippokoon) y uno a la población de origen (24444 2000 El párrafo 32) se incluye ahora entre los miembros de la familia Panthoos. Peri- Las actualizaciones odic de los elementos apropiados pueden cambiar la pertenencia a la familia. In En particular, el grupo Astyanax desapareció en la última revisión de dinami- Cal familias, y sus miembros están ahora en la familia Panthoos dentro de un corte de 150m/s. La familia Panthos sobrevive también un corte de 120 m/s, con 7 miembros, y 90 m/s, con 6 miembros. Observamos 30698 Hippokoon durante dos carreras diferentes (el 9 de noviembre de 2002) y el 18 de enero de 2005), y ambas pendientes espectrales y colores están de acuerdo dentro de las barras de error (véase el cuadro 3, cuadro 4, y Fornasier et al., 2004a). No otros datos sobre la familia Panthoos están disponibles en la literatura. El análisis de los 8 miembros (para 24444 sólo se dispone de fotometría) mostrar espectros sin características con pendientes que parecen aumentar ligeramente como la Disminución del tamaño de los asteroides (Tabla 4 y fig. 7). Sin embargo, todos los miembros tienen dimensiones muy similares dentro de las incertidumbres, por lo que es difícil para cualquier relación pendiente-tamaño a estudiar. El miembro más grande, 4829 Sergetus, es un tipo PD- con una pendiente de alrededor del 5 %/103Å, mientras que todos los demás investigados los miembros son D-tipos. 3.1.4 Cloantus [GRÁFICO 4] Observamos sólo 2 de los 8 miembros de la familia Cloantus (5511 Cloan- por lo tanto y 51359 2000 SC17, véase Fig. 4) agrupados en un corte correspondiente a velocidades relativas de 150 m/s. Esta familia sobrevive en un estricto corte y 3 miembros (incluyendo los dos que observamos) también sobreviven para velocidades de 60 m/s. Los dos objetos observados son D-tipos con muy espectros rojizos similares, sin rasgos (tabla 4 y fig. 7). 5511 Cloanthus fue observado también por Bendjoya et al. (2004), que encontró una pendiente de 13,0±0,1 %/103Å en el rango de longitud de onda 5000-7500 Å, mientras que medimos un valor de 10,84±0,15 %/103Å. Nuestro espectro tiene una relación S/N más alta que el espectro por Bendjoya et al. (2004), y está perfectamente emparejado con nuestro color medido índices que confirman la pendiente espectral. Esta diferencia no puede ser causada por los rangos espectrales ligeramente diferentes utilizados para medir la pendiente, pero podrían posiblemente debido a la composición heterogénea de la superficie. 3.1.5 Phereclos La familia Phereclos está formada por 15 miembros con un límite de 150 m/s. Los familia sobrevive con 8 miembros también en un corte de 120m/s. Obtuvimos datos espectroscópicos y fotométricos de 3 miembros (9030 1989 UX5, 11488) 1988 RM11 y 31820 1999 RT186, véase la figura 4), que, junto con el 4 spectra (2357 Phereclos, 6998 Tithonus, 9430 1996 HU10, 18940 2000QV49) ya presentado por Fornasier et al. (2004a), nos permiten investigar sobre La mitad de la población familiar de Phereclos se define en un límite de 150m/s. Los pendiente espectral de estos objetos, todos clasificados como tipo D, excepto un tipo PD (11488), oscila entre el 5,3 % y el 11,3 %/103Å (cuadro 4). El tamaño de la fam- Los miembros de ily varían de unos 20 km de diámetro para 31820 a 95 km para 2357, pero no observamos ninguna relación clara pendiente-diámetro (Fig. 7 y Cuadro 4). 3.1.6 Sarpedón Obtuvimos nuevos datos espectroscópicos y fotométricos de 2 miembros de la Familia Sarpedon (48252 2001 TL212 y 84709 2002 VW120), cuyos espectros Índices de color y magnitud se reportan en la Fig. 4 y cuadro 4. Incluidos las observaciones anteriores (Fornasier y otros, 2004a) de otros cuatro miembros (2223) Sarpedon, 5130 Ilioneus, 17416 1988 RR10, y 25347 1999 RQ116), tenemos mediciones de 6 de los 21 miembros de esta familia definida dinámicamente a corte de 150 m/s. Todos los seis objetos mencionados, excepto 25347, constituyen una agrupación robusta que sobrevive hasta 90 m/s con 9 miembros. El grupo temático que contiene (2223) Sarpedon también fue reconocido como una familia por Milani (1993). Todos los 6 miembros investigados tienen colores muy similares (ver Tabla 3) y Comportamiento espectral. La pendiente espectral (Fig. 7) varía sobre una muy restringida de 9,6 a 11,6 %/103Å (cuadro 4), a pesar de una variación significativa de el tamaño estimado (de los 18 km de 17416 a los 105 km de 2223). Con- por consiguiente, la composición superficial de los miembros de la familia Sarpedon aparece ser muy homogéneo. 3.2 Familias dinámicas: enjambre L4 3.2.1 Eurybates [GRÁFICO 5] En mayo de 2004 se observó a los miembros de la familia Eurybates. La selección de los objetivos se hicieron sobre la base de un corte muy estricto, correspondiente a velocidades relativas de 70 m/s, que da una población familiar de 28 objetos. Observamos 17 de estos miembros (ver Tabla 2) que constituyen un agrupamiento en el espacio de los elementos apropiados: todos los miembros que estudiamos, excepto 2002 CT22, sobrevivir a un límite de 40 m/s. El comportamiento espectral de estos objetos (Fig. 5) es bastante homogéneo con 10 asteroides clasificados como C-tipo y 7 como P-tipo. Las pendientes espectrales (Ta- ble 5) van de neutro a moderadamente rojo (de -0,5 a 4,6 %/103Å). Los las pendientes de seis miembros están cerca de cero (3 ligeramente negativo) ors. Los asteroides 18060, 24380, 24420 y 39285, todos clasificados como tipos C, muestra claramente una caída de reflectancia para longitud de onda inferior a 5000-5200 Å. La presencia de la misma característica en los espectros de otros dos miembros (1996) RD29 y 28958) es menos seguro debido a la menor relación S/N. Esta absorp... ión se ve comúnmente en los asteroides de tipo C de la banda principal (Vilas 1994; Fornasier et al. 1999), donde se debe a las transiciones de transferencia de carga de intervalos (IVCT) en hierro oxidado, y a menudo se combina con otra absorción visible características relacionadas con la presencia de productos de alteración acuosa (por ejemplo: phyl- losilicatos, óxidos, etc.). Estos IVCT comprenden múltiples absorciones que son: no es un indicador único de filosilicatos, pero están presentes en el espectro de cualquier objeto que contenga Fe2+ y Fe3+ en su material superficial (Vilas 1994). Puesto que no hay otras características de absorción de filosilicatos presentes en el tipo C espectros de la familia Eurybates, no hay evidencia de que la alteración acuosa los procesos ocurrieron en la superficie de estos cuerpos. In Fig. 8 se muestran las pendientes espectrales versus los diámetros estimados para los miembros de la familia Eurybates. Todos los objetos observados, excepto los más grandes miembro (3548) que tiene un diámetro de unos 70 km y exhiben un neutral pendiente espectral similar a la solar, son menores de 40 km y presentan ambos neutros y colores moderadamente rojos. Las pendientes espectrales están fuertemente agrupadas alrededor S = 2%/103Å, con valores S más altos restringidos a objetos más pequeños (D< 25) 3.2.2 1986 WD [Figura 6] Investigamos a 6 de los 17 miembros de la familia WD 4035 1986 que es definido dinámicamente a un corte de 130 m/s (fig. 6 y cuadro 2). Tres de nuestros objetivos (4035, 6545 y 11351) ya fueron observados por Dotto et al. (2006): para 6545 y 11351 hay una buena consistencia entre nuestros espectros y los ya publicados. 4035 fue observado también por Bendjoya et al. (2004): todos los espectros no tienen características, pero Bendjoya et al. (2004) obtener una pendiente de 8,8 %/103Å, comparable a la presentada aquí, mientras que Dotto et al. (2006) encontró un valor más alto (ver Tabla 5). Esto podría interpretarse como debido a la diferentes fases de rotación vistas en las tres observaciones, y podría indicar algunas inhomogeneidades en la superficie de 4035. Los miembros de la familia observados muestran comportamientos heterogéneos (fig. 8), con pendientes espectrales que van desde valores neutros para los miembros más pequeños (24341 y 14707) a rojizos para los 3 miembros con tamaño mayor que 50 km (4035, 6545 y 11351). Para esta familia, parece que una pendiente de tamaño relación existe, con miembros más pequeños que tienen colores solares y espectrales pendientes que aumentan con el tamaño del objeto. 3.2.3 1986 TS6 La familia TS6 de 1986 incluye 20 objetos con un corte de 100 m/s. Les presentamos nueva espectroscopia y fotometría de un solo miembro, 12921 1998 WZ5 (Fig. 6). El espectro que presentamos aquí es plano y sin características, con un espectro espectral pendiente de 4,6±0,8%/103Å. Dotto et al. (2006) presentó un espectro obtenido un mes después de nuestros datos (en mayo de 2003) que tiene una pendiente espectral muy similar 3,7± 0,8%/103Å. Anteriormente, 12917 1998 TG16, 13463 Antiphos, 12921 1998 WZ5, 15535 2000 AT177, 20738 1999 XG191, y 24390 2000 AD177 fueron incluido en la familia Makhoan. Elementos adecuados refinados ahora colocar todo de Estos órganos forman parte de la familia TS6 de 1986. In Fig. 8 reportamos las pendientes espectrales vs. diámetros estimados de la 6 miembros observados. La familia muestra diferentes pendientes espectrales con el presencia de asteroides de tipo P (12921 y 13463) y de tipo D (12917, 15535, 20738 y 24390). Debido a los diámetros muy similares, un tamaño de pendiente la relación no se encuentra. [Gráficos 7 y 8] 4 Debate Los espectros de Jupiter Trojan miembros de familias dinámicas muestran un rango de variación espectral de los asteroides de tipo C– a D. Con la excepción de la L4 Eurybates familia, todos los objetos observados tienen espectros sin características, y No podemos encontrar ninguna banda espectral que pueda ayudar en la identificación de minerales presentes en sus superficies. La falta de detección de cualquier mineralogia función diagnóstica podría indicar la formación de un manto grueso en el Tro- Jan superficies. Tal manto podría ser formado por una fase de actividad cometaria y/o mediante procesos de meteorización espacial como lo demuestra la experiencia de laboratorio imentos en superficies heladas originalmente (Moore et al., 1983; Thompson et al., 1987; Strazzulla et al., 1998; Hudson & Moore, 1999). Un caso peculiar está constituido por la familia Eurybates, que muestra un pre- ponderación de objetos de tipo C y ausencia total de tipos D. Además, esta es la única familia en la que algunos miembros exhiben características espectrales en longitudes de onda inferiores a 5000–5200 Å, probablemente debido a la intervalo las transiciones de carga en materiales que contienen hierro oxidado (Vilas 1994). 4.1 Distribución del tamaño frente a la pendiente espectral: Familias individuales Las parcelas de pendientes espectrales vs. diámetros se muestran en la Fig. 7 y 8. A la relación entre pendientes espectrales y diámetros parece existir sólo para tres de las nueve familias que estudiamos. En las familias Anchises y Panthoos, objetos más pequeños tienen espectros más rojos, mientras que para la familia de 1986 WD más grande los objetos tienen los espectros más rojos. Moroz et al. (2004) han demostrado que la irradiación de iones en el complejo natural los hidrocarburos neutralizan gradualmente las pendientes espectrales de estos sólidos. Si el proceso estudiado por Moroz et al. (2004) se produjo en la superficie de Júpiter troyanos, los objetos que tienen espectros más rojos tienen que ser más jóvenes que los que se caracterizan por espectros azul-neutra. En este escenario el más grande y los objetos espectralmente más rojos de la familia de 1986 WD podría venir de la interior del cuerpo padre y exponer el material fresco. En el caso de la Anchises y Panthoos familias los miembros espectralmente más rojos, siendo el más pequeño, podría venir del interior del cuerpo padre, o alternativamente podría ser producido por fragmentaciones secundarias más recientes. En particular, pequeños miembros de la familia pueden ser más fácilmente resurgidos, como colisiones significativas (un impactador que tiene un tamaño superior a unos pocos por ciento del objetivo), así como como temblores sísmicos y recubiertas por polvo fresco, puede ocurrir con frecuencia a pequeña tamaños. [GRÁFICO 9] 4.2 Distribución del tamaño frente a la pendiente: La población troyana en su conjunto [Cuadro 6] En comparación con los datos disponibles en la literatura, nuestra en el análisis de los troyanos más débiles y más pequeños, con metros más pequeños que 50 km. Jewitt & Luu (1990), analizando una muestra de 32 troyanos, encontraron que los objetos más pequeños eran más rojos que los más grandes. Sin embargo, nuestros datos juegan contra la existencia de una posible dimensión de color tendencia. De hecho, el alcance de la pendiente espectral de los objetos menores de 50 km es similar a la de los troyanos más grandes, como se muestra en la Fig. 9. La familia Eurybates contribuye fuertemente a la población de pequeños objetos espectralmente neutros, llenando la región de cuerpos con diámetro medio D<40 km y con pendientes espectrales inferiores al 3 %/103Å. Con el fin de llevar a cabo un análisis completo de la espectroscopía y pho- características tométricas de todo el conjunto de datos disponibles sobre troyanos de Júpiter, considerábamos todos los espectros visibles publicados en la literatura: Jewitt & Luu (1990, 32 objetos), Fitzimmons et al. (1994, 3 objetos), Bendjoya et al. (2004, 34 objetos), Fornasier et al. (2004a, 26 objetos L5), y Dotto et al. (2006, 24 troyanos L4). También añadimos varios espectros troyanos (11 L4 y 3 troyanos L5) de los archivos disponibles en línea (Archivo del sistema de datos planetarios, pdssbn.astro.umd.edu, y www.daf.on.br/lazzaro/S3OS2-Pub/s3os2.htm) de las encuestas SMASS I, SMASS II y S3OS2 (Xu y otros, 1995; Binzel, 2003; Lazzaro y otros, 2004). Incluyendo todos estos datos, compilamos un muestra de 142 troyanos diferentes, 68 pertenecientes a la nube L5 y 74 pertenecen- ing a la L4. Realizamos la clasificación taxonómica de esta ampliación muestra, sobre la base del programa Dahlgren y Lagerkvist (1995), por ana- pendientes espectrales de lizing calculadas en el rango de 5500-8000 Å. Diferentes autores, por supuesto, considerados diferentes rangos espectrales para su propio gradiente de pendiente evaluaciones: Jewitt & Luu (1990) y Fitzimmons et al. (1994) utilizar la 4000-7400 Å y Bendjoya et al. (2004, cuadro 2) utilizado un poco diferente rangos alrededor de 5200-7500 Å. Dado que todos los artículos citados muestran espectros con lin- tendencias sin características de oído, los diferentes rangos de longitud de onda utilizados para el espectro espectral Cálculo de gradiente por Bendjoya et al. (2004) y Jewitt & Luu (1990) no se espera que influyan en las pendientes obtenidas. Con el fin de buscar una dependencia de la distribución de pendiente espectral con el tamaño de los objetos, todas las observaciones (de este documento, así como de la la literatura) se combinaron. Los objetos fueron aislados en 5 contenedores de tamaño (más pequeños) de 25 km, de 25 a 50 km, de 50 a 75 km, de 75 a 100 km y de más de 100 km). Cada uno contiene entre 20 y 50 objetos. Estas submuestras son lo suficientemente grandes. comparación mediante pruebas estadísticas clásicas: la prueba t, que estima si los valores medios son compatibles, la prueba f, que comprueba si las anchuras de las distribuciones son compatibles (incluso si tienen medios diferentes), y la prueba KS, que compara directamente las distribuciones completas. Una probabilidad es se calcula para cada prueba; una pequeña probabilidad indica que la ditri- los butiones no son compatibles, es decir, los objetos no se extraen al azar de la misma población, mientras que un valor de probabilidad grande no tiene significado (es decir. - Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí. no es posible garantizar que ambas muestras procedan de la misma población, sólo podemos decir en ese caso que no son incompatibles). Con el fin de cuantificar los niveles de probabilidad que consideramos significativos, las mismas pruebas se llevaron a cabo en distribuciones aleatorias (véase Hainaut & Delsanti 2002 para método). Dado que la probabilidad inferior a 0,04-0,05 no aparece en estos distribuciones aleatorias, consideramos que los valores menores a 0,05 indican una incompatibilidad significativa. Cada submuestra fue comparada con las otras cuatro – los resultados son sum- Marizado en la Tabla 6. La pendiente media de los 5 contenedores son todos compatibles entre el uno al otro. El único resultado marginalmente significativo es que el ancho de la distribución de la pendiente entre los objetos más grandes (diam. > 100 km) es más estrecho que la de todos los objetos más pequeños. Esta distribución de color más estrecha podría deberse a los procesos de envejecimiento afectar- la superficie de objetos más grandes, que se supone que son más viejos. El más amplio distribución de color de los miembros pequeños está posiblemente relacionado con las diferentes edades de sus superficies: algunos de ellos podrían ser bastante viejos, mientras que otros podrían han sido recientemente renovados. 4.3 Laderas espectrales y nubes L4/L5 [DÓNDE FIGURAS 10 Y 11] Teniendo en cuenta sólo las observaciones troyanas reportados en este artículo, el la pendiente de la edad es 8,84±3,03%/103Å para la población L5, y 4,57±4,01%/103Å para el L4. Teniendo en cuenta ahora todos los espectros disponibles en la literatura, los 68 L5 Los troyanos tienen una pendiente media de 9,15±4,19%/103Å, y los 78 objetos L4, 6,10±4,48%/103Å. Realizando las mismas pruebas estadísticas que arriba, parece que estas dos poblaciones son significativamente diferentes. En particular, el av- Las pendientes son incompatibles en el nivel 10-5. Sin embargo, como se describe en la sección 3.2.1, los miembros de la familia Eurybates tienen características espectrales bastante diferentes que los otros objetos y con- crear un subconjunto grande de toda la muestra. En efecto, comparando su distribución con las poblaciones enteras, se encuentran significativamente diferentes en el Nivel 10-10. En otras palabras, los miembros de la familia Eurybates no constituyen un subconjunto aleatorio de los otros troyanos. Una vez excluida la familia Eurybates, los 61 troyanos restantes de la El enjambre L4 tiene una pendiente media de 7,33±4,24%/103Å. El muy ligero dif- diferencia de pendiente media entre los objetos L5 y L4 restantes es muy marginalmente significativa (probabilidad del 1,6%), y la forma y el ancho de la las distribuciones de la pendiente son compatibles entre sí. La clasificación taxonómica que hemos realizado muestra que la mayoría (73,5%) de los troyanos L5 observados (Fig. 10) son de tipo D (loca > 7 %/103 Å) con espectros rojizos sin rasgos, el 11,8% son DP/PD –tipo 5 y 7 %/103 Å), el 10,3% son de tipo P, y sólo 3 objetos se clasifican como Tipo C (4,4%). En el enjambre L4 (Fig. 11), a pesar de que el tipo D todavía domina el población (48,6%), los tipos espectrales son más heterogéneos en comparación a la nube L5, con un mayor porcentaje de objetos neutros: 20,3% son de tipo P, el 8,1% son de tipo DP/PD, el 12,2% son de tipo C y el 10,8% de los cuerpos tienen pendiente espectral negativa. El mayor porcentaje de C– y P– tipo en comparación con el enjambre L5 está fuertemente asociado con la presencia de la peculiar familia Eurybates. De los 17 miembros observados, 10 son: clasificadas como C-tipos (entre los cuales 3 tienen pendientes espectrales negativas) y 7 son P-tipos. Considerando los 57 asteroides que componen la nube L4 sin la familia Eurybates, encontramos porcentajes de P, y PD/DP -tipos muy similar a los de la nube L5 (14,0% y 10,5% respectivamente), una más pequeña porcentaje de D-tipos (63,2%) y de los C-tipos (3,5%), y la presencia de un 8,8% de troyanos con pendientes espectrales negativas. Los espectros visibles de los miembros de Eurybates son muy similares a los de Asteroides del cinturón principal tipo C, Centauros tipo Quirón y núcleos cometarios. Esto la similitud es compatible con tres escenarios diferentes: la familia podría tener producido por la fragmentación de un cuerpo padre muy diferente de todos los otros troyanos de Júpiter (en cuyo caso el origen de padre todavía debe ser evaluado); esta podría ser una familia muy antigua donde el espacio los procesos de meteorización han cubierto cualquier diferencia en la composición entre miembros de la familia y aplanó todos los espectros; esto podría ser una familia joven donde los procesos de meteorización espacial ocurrieron dentro de escalas de tiempo más pequeñas que la edad de la familia. En los dos últimos casos la familia Eurybates daría la primera evidencia observacional de espectros aplanados debido a la intemperie espacial procesos. Esto implicaría entonces, según los resultados de Moroz et al. (2004), que su composición primordial era rica en hidrocarburos complejos. El conocimiento de la edad de la familia Eurybates es, por lo tanto, fundamental investigar la naturaleza y el origen del cuerpo de padres, y evaluar el efecto de los procesos de meteorización espacial en las superficies de sus miembros. La muestra actual de troyanos de Júpiter sugiere una más heterogénea composición del enjambre L4 en comparación con el L5. Como antes señalada por Bendjoya et al. (2004), el enjambre L4 contiene un mayor porcentaje de objetos de tipo C– y P–. Este resultado se ve reforzado por los miembros de la Unión Europea. rybates familia, pero sigue siendo incluso cuando estos miembros de la familia están excluidos. Además, las familias dinámicas pertenecientes a la nube L4 son más robustas que los de la L5, sobreviviendo con aglomeraciones densamente pobladas incluso a baja velocidad relativa de corte. Por lo tanto, podríamos argumentar que la nube L4 es más activo en colisión que el enjambre L5. Sin embargo, todavía no podemos en términos de la composición de las dos poblaciones, ya que no puede excluir que las familias de tipo C– y P aún no observadas estén presentes en la nube L5. 4.4 Elementos orbitales [GRÁFICO 12 Y CUADROS 7 Y 8] Analizamos la pendiente espectral en función de la órbita de los troyanos el- ements. Como ilustración, fig. 12 muestra la distribución de color B − R como una función de los elementos orbitales. Con el fin de investigar las variaciones con parámetros orbitales, la población troyana se divide en 2 submuestras: con el elemento orbital considerado inferior al valor medio, y los con el elemento orbital superior a la mediana (por construcción, los dos submuestras tienen el mismo tamaño). Tomando como ejemplo, la mitad de los troyanos tienen un < 5.21AU, y la mitad tienen un valor mayor que este. El color medio, la dispersión de color, y la distribución de color de la 2 submuestras se comparan utilizando las tres pruebas estadísticas mencionadas en Sección 4.2. El método se analiza en detalle en Hainaut & Delsanti (2002). Las pruebas se repiten para todas las distribuciones de color y pendiente espectral. Los los resultados son los siguientes. • q, distancia perihelio: la distribución de color de los troyanos con pequeños q es marginalmente más amplio que el de los troyanos con q más grande. Este resultado no es muy fuerte (5%), y está dominado por el extremo rojo de la longitud de onda. La extracción de los eurybates de la muestra mantiene la resultado, en el mismo nivel débil. • e, excentricidad: la distribución muestra un resultado similar, también en los débiles Un 5% de significación. Los objetos con e más grande tienen distribución de color más amplia- Este resultado está totalmente dominado por el Contribución de Eurybates. • i, inclinación: los objetos con menor inclinación son significativamente más azules que aquellos con i más grande. Este resultado se observa en todas las longitudes de onda. Lo siento. vale la pena señalar que esto es contrario a lo que generalmente se observa en otros cuerpos menores en el estudio del Sistema Solar Exterior (MBOSSes), donde los objetos con i alta, o más generalmente, alta excitación E = e2 + sin2 i, son más azules (Hainaut & Delsanti, 2002; Doressoundiram et al., 2005). Esto también se puede apreciar visualmente en la Fig. 12. Este resultado también está completamente dominada por la contribución de los Eurybates. Los no- Los troyanos de Eurybates no muestran esta tendencia. • E = e2 + sin2 i, excitación orbital: los objetos con E pequeño son también significativamente más azul que aquellos con E alta. Este resultado es también com- ampliamente dominado por la contribución de los Eurybates. Los no euribatos Los troyanos no muestran esta tendencia. En resumen, este análisis muestra que la submuestra de Eurybates de la Los troyanos están bien separados en elementos orbitales y en colores. Para los otros Cuerpos Menores en el Sistema Solar Exterior, la relación es... entre el color y la inclinación–excitación orbital (objetos con un orbital superior la excitación tiende a ser más azul) se interpreta como una relación entre excitación y los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento de la superficie (Doressoudiram y otros, 2005). Los La familia Eurybates tiene baja excitación y colores azul neutros, lo que sugiere que los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento que los afectan son diferentes de los otros objetos. Esto podría deberse a diferentes composiciones de la superficie, diferentes irradi- procesos de formación, o diferentes propiedades de colisión – lo que sería natural para una familia de colisiones. 5 Comparación con otros sistemas solares exteriores menores de edad con cuerpo 5.1 Introducción y métodos [DÓNDE FIGURAS 13 Y 14] También se ha aplicado el conjunto de pruebas estadísticas descrito en la sección 4.2. para comparar los colores y la distribución de pendientes espectrales de los troyanos con los de los otros cuerpos menores en el Sistema Solar exterior tomados de la versión actualizada y en línea de la base de datos Hainaut & Delsanti (2002). La Figura 13, como ejemplo, muestra los diagramas (R-I) vs (V-R), mientras que la Fig. 14 muestra las distribuciones de color (B-V) y (V-R), así como la pendiente espectral distribución de las diferentes clases de objetos. Las pruebas fueron realizadas. en todos los índices de color derivados de filtros en el visible (UBVRI) y cerca rango infrarrojo (JHK) pero en las Tablas 7 y 8 se resume el más significativo resultados. Para “calibrar” las probabilidades significativas, clases también se comparan: en primer lugar, los objetos que tienen un interno uniforme número en la base de datos con los impares. Como este número interno es puramente arbitraria, ambas clases son estadísticamente indistinguibles. La otra prueba par es los objetos con una designación “1999” versus los otros. Una vez más, esto criterio de selección es arbitrario, por lo que las pseudo-clases que genera son sub- muestra de la población total, y debe ser indistinguible. Sin embargo, como muchos más objetos han sido descubiertos en todos los otros años que durante ese año específico, el tamaño de estas submuestras son muy diferentes. Esto nos permite estimar la sensibilidad de las pruebas en la muestra de muy diferente tamaños. Algunas de las pruebas encontraron las poblaciones arbitrarias incompatibles en el Nivel del 5%, por lo que utilizamos el 0,5% como umbral conservador para la significación estadística de la incompatibilidad de la distribución 5.2 Resultados Cuadro 7 y fig. 14 muestran claramente que la distribución de colores de los troyanos es diferentes en comparación con el de Centauros, TNOs y cometas. Los troyanos están en el mismo tiempo más azul, y su distribución es más estrecha que todos los demás poblaciones. Utilizando las pruebas estadísticas (ver Tabla 8), podemos confirmar la importancia de estos resultados. • Los colores promedio de los troyanos son significativamente diferentes de los de todas las demás clases de objetos (t-test), con la notable excepción de los núcleos de cometas de corta duración. Refinación de la prueba a los Eurybates/non- Eurybates, parece que los Eurybates tienen marginalmente diferente colores medios, mientras que los colores medios no-Eurybates son indistinguibles- capaz de los de los cometas. • Teniendo en cuenta la forma completa de la distribución (prueba KS), obtenemos la los mismos resultados: las distribuciones de colores troyanos son significativamente diferentes- ent de los de todas las demás clases, con la excepción del SP Cometas, que son compatibles. Una vez más, este resultado se hace más fuerte separando a los Eurybates: sus distribuciones son diferentes de las de los cometas, mientras que los no euribatos son indistinguibles. • Los resultados al considerar los anchos de las distribuciones de color (f- prueba) son ligeramente diferentes. Clases de objetos con diferentes colores medios todavía podría tener el mismo ancho de distribución. Esto podría sugerir que un proceso similar (causando la anchura de la distribución) está en acción, pero Alcanzó un punto de equilibrio diferente (resultando en an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an al an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an a Esta vez, todas las clases son incompatibles con los troyanos, incluyendo los cometas, con una fuerte significación estadística. Con el fin de seguir explorando posibles similitudes entre troyanos y otros clases, las comparaciones también se realizaron con los centauros neutros. Estos fueron seleccionados con S < 20%/103Å); esta línea de corte cae en la brecha entre los centauros “neutral” y “rojo” (Peixinho et al., 2003, Fornasier et al., 2004b). El T-Test (color medio) sólo revela una incompatibilidad muy moderada ser- entre los troyanos y los centauros neutros, en el nivel del 5%, es decir, sólo marginalmente significante. Por otro lado, el f-Test da algunas incompatibilidades fuertes en varios colores (moderado en B-V y H-K, muy fuerte en R-I), pero las dos poblaciones son compatibles para la mayoría de los otros colores. Del mismo modo, sólo la prueba R − I KS revela una fuerte incompatibilidad. También debería ser señaló que sólo 18 centauros neutros se conocen en la base de datos. En resumen, mientras que los troyanos y los centauros neutros tienen colores medios bastante similares, su Las distribuciones de color también son diferentes. 6 Conclusiones A partir de 2002, realizamos un estudio espectroscópico y fotométrico de Júpiter Troyanos, con el objetivo de investigar a los miembros de familias dinámicas. En este trabajo presentamos nuevos datos sobre 47 objetos pertenecientes a Familias námicas: Anquises (5 miembros), Cloanthus (2 miembros), Misenus (6 miembros) miembros), Phereclos (3 miembros), Sarpedon (2 miembros) y Panthoos (5 miembros) miembros) del enjambre L5; Eurybates (17 miembros), 1986 WD bers), y Menelao (1 miembro) para el enjambre L4. Junto con los datos ya publicado por Fornasier et al. (2004a) y Dotto et al. (2006), tomada dentro del mismo programa de observación, tenemos una muestra total de 80 troyanos, el mayor conjunto de datos homogéneos disponibles hasta la fecha sobre estos aster primitivos Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí, sí, sí, sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí., sí.., sí.... Los principales resultados de las observaciones presentadas aquí, y del análisis, incluyendo espectros visibles publicados anteriormente de troyanos, son los siguientes: • Los espectros visibles de los troyanos no tienen características. Sin embargo, algunos mem- bers de la familia Eurybates muestran una caída de UV en la reflectividad para longitud de onda inferior a 5000–5200 Å que posiblemente se deba a interva- Transiciones de transferencia de carga (TCIV) en hierro oxidado. • La familia L4 Eurybates difiere fuertemente de todas las otras familias en que está dominado por asteroides de tipo C- y P. También su espectral la distribución de la pendiente es significativamente diferente en comparación con la de los otros troyanos (en el nivel 10-10). Esta familia es muy peculiar y dinámicamente muy fuerte, ya que vive también en un corte muy estricto (40 m/s). Otras observaciones en se recomienda encarecidamente a la región cercana al infrarrojo que busque posibles características de absorción debido al hielo de agua o al material que experimentó alteración acuosa. • La pendiente espectral media de los troyanos L5 es de 9,15±4,19%/103Å, y 6.10±4.48%/103Å para los objetos L4. Excluidos los Eurybates, los L4 los valores medios de pendiente se convierten en 7,33±4,24%/103Å. La pendiente distribuye... ciones del L5 y de los no euribatos L4 son indistinguibles. • Las nubes L4 y L5 están dominadas por asteroides de tipo D, pero la L4 enjambre tiene una mayor presencia de asteroides tipo C- y P-, incluso cuando la familia Eurybates está excluida, y parece más heterogénea en composición en comparación con la L5. • No encontramos ninguna relación tamaño versus pendiente espectral dentro de la Toda la población troyana. • Los troyanos con mayor inclinación orbital son significativamente más rojos que Los que tienen inferior i. Si bien esta tendencia es la contraria a la observada para otros cuerpos menores distantes, este efecto está totalmente dominado por el La familia Eurybates. • Comparar los colores de los troyanos con los de otros cuerpos menores distantes- es, son el más azul de todas las clases, y su distribución de colores es el El más estrecho. Esta diferencia se debe principalmente a la familia Eurybates. In hecho, si consideramos sólo la población troyana sin los Eurybates los miembros, sus colores medios y las distribuciones generales no son distin- guisable de la de los cometas del período corto. Sin embargo, las anchuras de sus distribuciones de color no son compatibles. La similitud en el distribución general de color puede ser causada por el pequeño tamaño del corto muestra del cometa del período en lugar de por una analogía física. Los troyanos los colores medios también son bastante similares a los de los centauros neutros, pero las distribuciones generales no son compatibles. Después de este estudio, tenemos que concluir que los troyanos tienen características peculiares. teristicas muy diferentes de las de todas las demás poblaciones del exterior Sistema Solar. Por desgracia, todavía no podemos evaluar si esto se debe a las diferencias en la naturaleza cal, o en los procesos de envejecimiento/rejuvenecimiento que modificaron la superficie materiales de diferente manera a diferentes distancias solares. Otras observaciones, principalmente en la espectroscopia V+NIR y la polarimetría, son absolutamente necesarios para investigar mejor la naturaleza de los troyanos de Júpiter y evaluar definitivamente si un enlace genético podría existir con los objetos transneptunianos, centauros y corto Cometas del período. Agradecimientos Damos las gracias a Beaugé y Roig por amablemente proporcionarnos con troyano actualizado lista de la familia, y R.P. Binzel y J.P. Emery por sus útiles comentarios en el proceso de revisión. Bibliografía Barucci, M. A., Lazzarin, M., Owen, T., Barbieri, C., Fulchignoni, M., 1994. Espectroscopia de asteroides oscuros de infrarrojos cercanos. Ícaro 110, 287-291. Beaugé, C., Roig, F., 2001. 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I - Identificación por agrupamiento jerárquico y evaluación de fiabilidad. Astron. J. 100, 2030-2046. Cuadros Tabla 1: Observar las condiciones de los asteroides L5 investigados. Para cada una de ellas objeto informamos la fecha de observación y la hora universal, exposición total tiempo, número de adquisiciones con tiempo de exposición de cada adquisición, masa aérea, y los análogos solares observados con su masa de aire. Fecha Obj UT Texp (s) nexp aire. Solar An. (aire.) Anchises 1173 17 Jan 05 06:06 60 1×60s 1,42 HD76151 (1,48) 23549 17 Jan 05 07:20 480 2×240s 1,60 HD76151 (1,48) 24452 17 Jan 05 07:54 960 4×240s 1,44 HD76151 (1,48) 47967 17 Jan 05 05:34 800 2×400s 1,38 HD76151 (1,48) 2001 SB173 17 Jan 05 06:28 1200 2×600s 1,35 HD76151 (1,48) Cloanthus 5511 19 Jan 05 06:04 960 4×240s 1.26 HD76151 (1.12) 51359 19 Jan 05 04:13 660 1×660s 1,36 HD76151 (1,12) Misenus 11663 17 Jan 05 05:13 400 1×400s 1,21 HD44594 (1,12) 32794 18 Jan 05 03:13 1800 2×900s 1.39 HD28099 (1.44) 56968 17 Jan 05 04:31 400 2×400s 1,21 HD44594 (1,12) 1988 RE12 18 Jan 05 04:12 2000 2×1000s 1,31 HD28099 (1.44) 2000 SC51 18 Jan 05 06:09 1320 2×660s 1.16 HD44594 (1.17) 2001 UY123 18 Jan 05 06:46 1320 2×660s 1.32 HD44594 (1.17) Phereclos 9030 18 Jan 05 08:19 1000 1×1000s 1,37 HD44594 (1.17) 11488 19 Jan 05 03:31 1320 2×660s 1.99 HD76151 (1.12) 31820 19 Jan 05 07:02 1320 2×660s 1,35 HD76151 (1.11) Sarpedón 48252 18 Jan 05 02:32 1320 2×660s 1.30 HD28099 (1.44) 84709 19 Jan 05 05:35 1320 2×660s 1,34 HD76151 (1,12) Pantuflas 4829 17 Jan 05 08:37 720 3×240s 1,45 HD76151 (1,48) 30698 18 Jan 05 01:54 1320 2×660s 1,73 HD28099 (1.44) 31821 18 Jan 05 05:27 1320 2×660s 1,35 HD28099 (1.44) 76804 17 Jan 05 03:35 1800 3×600s 1.38 HD44594 (1.12) 2001 VK85 18 Jan 05 07:31 2000 2×1000s 1.23 HD44594 (1.17) Tabla 2: Observar las condiciones de los asteroides L4 investigados. Para cada una de ellas objeto informamos la fecha de observación y la hora universal, exposición total tiempo, número de adquisiciones con tiempo de exposición de cada adquisición, masa aérea, y los análogos solares observados con su masa de aire. Fecha Obj UT Texp (s) nexp aire. Solar An. (aire.) Eurybates 3548 25 Mayo 04 05:14 600 2×300s 1,02 SA107-684 (1.19) 9818 26 de mayo 04 00:13 780 1×780s 1.19 SA102-1081(1.15) 13862 25 de mayo 04 03:35 1200 2×600s 1,09 SA107-998 (1.15) 18060 25 Mayo 04 02:47 1500 2×750s 1.07 SA107-998 (1.15) 24380 25 Mayo 04 06:53 780 1×780s 1.18 SA107-684 (1.19) 24420 25 Mayo 04 08:49 900 1×900s 1,59 SA112-1333 (1.17) 24426 26 Mayo 04 00:13 1440 2×720s 1.13 SA107-684 (1.17) 28958 26 Mayo 04 07:14 1800 2×900s 1.35 SA107-684 (1.17) 39285 25 de mayo 04 05:40 2700 3×900s 1,09 SA107-684 (1.19) 43212 25 Mayo 04 07:39 2340 3×780s 1.39 SA110-361 (1.15) 53469 25 Mayo 04 02:05 1800 2×900s 1.04 SA107-998 (1.15) 65150 26 Mayo 04 01:59 3600 4×900s 1,07 SA102-1081 (1.20) 65225 26 de mayo 04 03:40 3600 4×900s 1,04 SA107-684 (1.17) 1996RD29 26 de mayo 04 05:12 2700 3×900s 1.10 SA107-684 (1.17) 2000AT44 25 Mayo 04 04:14 1800 2×900s 1.04 SA107-684 (1.19) 2002CT22 26 Mayo 04 00:49 2400 4×600s 1,08 SA102-1081 (1,15) 2002EN68 26 de mayo 04 08:10 1800 2×900s 1.62 SA107-684 (1.17) 1986 WD 4035 10 Apr 03 03:28 600 1×600s 1,09 SA107-684 (1.15) 6545 10 Apr 03 02:39 900 1×900s 1.16 SA107-684 (1.15) 11351 10 Apr 03 09:21 900 1×900s 1,28 SA107-684 (1,15) 14707 11 Apr 03 08:11 1200 1×1200s 1.15 SA107-684 (1.15) 24233 11 Apr 03 02:29 1200 1×1200s 1.39 SA107-684 (1.37) 24341 11 Apr 03 05:47 900 1×900s 1.16 SA107-684 (1.17) 1986 TS6 12921 10 Apr 03 07:33 900 1×900s 1,39 SA107-684 (1.40) Cuadro 3: Observaciones fotométricas visibles de troyanos L4 y L5 (ESO-NTT) EMMI): para cada objeto, fecha, magnitud V computada, B-V, V-R y V- Los colores son reportados. El UT dado es para la adquisición del filtro V. Los observar la secuencia fotométrica (V-R-B-I) tomó unos minutos. Fecha del objeto UT V B-V V-R V-I 1986 WD 4035 10 Apr 03 03:11 16,892±0,031 0,752±0,040 0,473±0,042 0,926±0,055 4035 10 Apr 03 04:22 16,981±0,031 0,752±0,040 0,495±0,042 0,945±0,055 6545 10 Apr 03 02:22 17,558±0,031 0,734±0,041 0,499±0,042 0,935±0,055 11351 10 Apr 03 09:03 18,407±0,032 0,739±0,044 0,498±0,044 0,900±0,057 14707 11 Apr 03 06:46 18,666±0,031 0,751±0,041 0,401±0,033 0,804±0,055 14707 11 Apr 03 08:37 18,873±0,031 0,754±0,041 0,424±0,033 0,790±0,056 24233 11 Apr 03 01:33 18,894±0,034 0,704±0,051 0,481±0,037 0,899±0,058 24341 11 Apr 03 05:05 19,376±0,032 0,713±0,043 0,369±0,035 0,759±0,057 1986 TS6 12921 10 Apr 03 07:12 18,393±0,031 0,673±0,040 0,421±0,042 0,786±0,055 Corte L5 150m/s Anchises 1173 17 Jan 05 05:54 16,595±0,024 0,811±0,034 0,402±0,035 0,805±0,038 23549 17 Jan 05 07:09 18,969±0,050 0,800±0,071 0,485±0,068 0,872±0,075 24452 17 Jan 05 07:48 18,757±0,043 0,872±0,056 0,441±0,056 0,847±0,066 47967 17 Jan 05 05:27 19,382±0,044 0,899±0,058 0,489±0,069 0,965±0,075 2001 SB173 17 Jan 05 06:20 19,882±0,043 0,992±0,060 0,503±0,064 0,927±0,078 Cloanthus 5511 19 Jan 05 05:52 17,968±0,020 0,906±0,027 0,442±0,027 0,968±0,032 51359 19 Jan 05 03:54 19,631±0,102 0,864±0,201 0,447±0,131 0,885±0,164 Misenus 11663 17 Jan 05 05:05 18,473±0,022 0,837±0,030 0,409±0,030 0,872±0,039 32794 18 Jan 05 03:07 19,685±0,038 0,923±0,065 0,393±0,056 0,879±0,057 56968 17 Jan 05 04:18 18.596±0.026 0,986±0.040 0,494±0.033 1,003±0.036 1988 RE12 18 Jan 05 04:00 20,892±0,081 0,826±0.132 0,388±0.108 0,871±0.106 2000 SC51 18 Jan 05 06:03 19,876±0,038 1,016±0,055 0,444±0,059 0,896±0,056 2001 UY123 18 Jan 05 06:41 19,869±0,047 0,890±0,058 0,537±0,056 0,971±0,063 Phereclos 9030 18 Jan 05 08:14 18,397±0,020 0,887±0,024 0,493±0,027 0,973±0,028 11488 19 Jan 05 02:57 18,931±0,066 0,868±0,101 0,430±0,079 0,848±0,084 31820 19 Jan 05 06:39 20,041±0,077 0,889±0,093 0,520±0,091 0,916±0.123 Sarpedón 48252 18 Jan 05 02:25 19,878±0,060 0,949±0,100 0,467±0,093 0,903±0,090 84709 19 Jan 05 05:10 19,862±0,068 0,855±0,087 0,462±0,090 1,010±0,094 Pantuflas 4829 17 Jan 05 08:18 18,430±0,029 0,851±0,050 0,420±0,039 0,792±0,052 30698 18 Jan 05 01:45 19,353±0,036 – 0,472±0,042 0,865±0,047 31821 18 Jan 05 05:21 19,328±0,076 0,980±0.111 0,440±0,097 0,901±0.108 76804 17 Jan 05 03:21 19,471±0,065 0,803±0,082 0,446±0,070 0,889± 0,080 2001 VK85 18 Jan 05 07:23 20,179±0,038 0,822±0,063 0,462±0,048 1,020±0,050 Cuadro 4: Familias L5. Informamos para cada objetivo de la magnitud absoluta H y el diámetro estimado (diámetros marcados por ∗ se toman de IRAS datos), la pendiente espectral S calculada entre 5500 y 8000 Å y el clase taxonómica (T) derivada de Dahlgren & Lagerkvist (1995) Esquema de ficaciones. Los asteroides marcados con una fueron observados por Fornasier et al. (2004a), y sus valores de pendiente espectral se han recomputado en el Rango de longitud de onda 5500-8000 Å; asteroides 23694, 30698 y 32430, anteriormente Miembros de Astyanax, han sido reasignados a la familia Panthoos debido a la re- los elementos adecuados multados. Obj H D (km) S (%/103Å) T Anchises 1173 8,99 *126+11 3,87±0,70 P 23549 12.04 26+4 8,49±0,88 D 24452 11,85 29+5 7,42±0,70 D 47967 12.15 25+4 9,21±0,78 D 2001 SB173 12,77 19+3 14,78±0,99 D Cloanthus 5511 10,43 55+8 10,84±0,65 D 51359 12.25 24+6 12,63±1,30 D Misenus 11663 10,95 44+7 6,91±0,70 DP 32794 12,77 19+3 6,59±0,88 DP 56968 11,72 30+5 15,86±0,71 D 1988 RE12 13.20 16+2 4,68±1,20 P 2000 SC51 12,69 20+3 6,54±0,98 DP 2001 UY123 12,75 19+3 8,28±0,88 D Phereclos a2357 8,86 ∗95+4 9,91±0,68 D a6998 11,43 34+5 11.30±0,75 D 9030 11.14 40+6 10,35±0,76 D a9430 11,47 35+5 10,02±0,90 D 11488 11,82 29+5 5,37±0,92 PD a18940 11,81 29+4 7,13±0,75 D 31820 12,63 20+3 7,53±0,80 D Sarpedón a2223 9.25 *95+4 10,20±0,65 D a5130 9,85 71+11 10,45±0,65 D a17416 12,83 18+3 10,80±0,90 D a25347 11,59 33+5 10,11±0,83 D 48252 12,84 18+3 9,62±0,82 D 84709 12.70 19+3 11,64±0,84 D Pantuflas 4829 11.16 39+6 5,03±0,70 PD a23694 11,61 32+5 8,20±0,72 D 30698 12.14 25+4 8,23±1,00 D a30698 12.27 25+4 9,08±0,82 D a32430 12.23 25+4 8.12±1.00 D 31821 11.99 27+4 10,58±0,82 D 76804 12.16 25+4 7,29±0,71 D 2001 VK85 12,79 19+3 14,39±0,81 D Cuadro 5: Familias L4. Informamos para cada objetivo de la magnitud absoluta H y el diámetro estimado (diámetros marcados por ∗ se toman de IRAS los datos, mientras que las magnitudes absolutas marcadas por se toman del astorb.dat archivo del Observatorio Lowell), la pendiente espectral S computada entre 5500 y 8000 Å, y la clase taxonómica (T) derivada de Dahlgren & Lagerkvist (1995) sistema de clasificación. Los asteroides marcados con un observado por Dotto et al. (2006), y sus valores de pendiente espectral han sido recomputado en el rango de longitud de onda 5500-8000 Å. Obj H D (km) S (%/103Å) T Eurybates 3548 9,50* ∗72+4 -0,18±0,57 C 9818 11.00+42+6 2,12±0,72 P 13862 11,10+40+6 1,59±0,70 C 18060 11,10+40+6 2,86±0,60 P 24380 11,20+38+6 0,34±0,65 C 24420 11,50+33+5 1,65±0,70 C 24426 12,50+21+3 4,64±0,80 P 28958 12,10+25+4 -0,04±0,80 C 39285 12,90° 17+3 0,25±0,69 C 43212 12,30+23+4 1,19±0,78 C 53469 11,80+29+4 0,17±0,80 C 65150 12,90+17+3 4,14±0,70 P 65225 12,80° 18+3 0,97±0,85 C 1996RD29 13,06+16+3 2,76±0,89 P 2000AT44 12,16+24+3 -0,53±0,83 C 2002CT22 12.04+26+4 2,76±0,73 P 2002EN68 12,30+23+3 3,60±0,98 P 1986 WD 4035 9,72 ∗68+5 9,78±0,61 D a4035 9.30* ∗68+5 15,19±0,61 D 6545 10,42 55+8 11,32±0,63 D a6545 10.00+66+10 9,88±0,56 D 11351 10,88 44+7 10,26±0,67 D a11351 10,50+53+8 10,44±0,61 D 14707 11.25 38+6 −9,4 -1,06±1,00 C 24233 11,58 33+5 −8,0 6,37±0,67 DP 24341 11,99 27+4 -0,26±0,71 C 1986 TS6 12917 11,61 32+5 10,98±0,68 D 12921 11.12 40+6 4,63±0,75 P a12921 10,70+48+7 3,74±1,00 P 13463 11,27 37+6 4,37±0,65 P 15535 10,70 48+7 10,67±0,65 D 20738 11,67 31+5 8,84±0,70 D 24390 11,80 29+5 9,53±0,62 D Tabla 6: Resultados del análisis estadístico de la distribución espectral de la pendiente en función de los diámetros. Para cada una de ellas se enumeran la pendiente media y la dispersión; el tamaño de la muestra se indica entre paréntesis. Para cada par de submuestras, se enumera la probabilidad de que ambos se extraigan al azar de la misma muestra global, como se estima por la prueba t-, f- y ks-, respectivamente. La baja probabilidad indica diferencias significativas entre los submuestras. Distancia de diámetro 0–25 km 25–50 km 50–75 km 75–100 km > 100 km S media 7,17±4,79 (22) 6,92±4,69 (48) 8,91±4,68 (26) 6,74±5,85 (21) 7,87±2,88 (21) (%/103Å) 0–25 0,842 0,876 0,579 0,213 0,903 0,575 0,792 0,370 0,775 0,551 0,017 0,494 25–50 0,088 0,985 0,150 0,897 0,216 0,519 0,286 0,011 0,275 50–75 0,176 0,289 0,469 0,344 0,019 0,440 75–100 0,442 0,001 0,469 Tabla 7: Índices medios de color y pendiente espectral de diferentes clases de cuerpos menores del Sistema Solar exterior. Para cada una de ellas clase el número de objetos considerados también está listado. Color Plutinos Cubewanos Centauros cometas esparcidos troyanos B-V 36 87 29 33 2 74 0,895± 0,190 0,973± 0,174 0,886± 0,213 0,875± 0,159 0,795± 0,035 0,777± 0,091 V-R 38 96 30 34 19 80 0,568± 0,106 0,622± 0,126 0,573± 0,127 0,553± 0,132 0,441± 0,122 0,445± 0,048 V-I 34 64 25 25 7 80 1,095± 0,201 1,181± 0,237 1,104± 0,245 1,070± 0,220 0,935± 0,141 0,861± 0,090 V-J 10 14 11 8 1 12 2,151± 0,302 1,750± 0,456 1,904± 0,480 2,041± 0,391 1,630± 0,000 1,551± 0,120 V-H 3 7 11 4 1 12 2,698± 0,083 2,173± 0,796 2,388± 0,439 2,605± 0,335 1,990± 0,000 1,986± 0,177 V-K 2 5 9 2 1 12 2.763± 0.000 2.204± 1.020 2.412± 0.396 2.730± 0.099 2.130± 0.000 2.125± 0.206 R-I 34 64 25 26 8 80 0,536± 0,135 0,586± 0,148 0,548± 0,150 0,517± 0,102 0,451± 0,059 0,416± 0,057 J-H 11 17 21 11 1 12 0,403± 0,292 0,370± 0,297 0,396± 0,112 0,348± 0,127 0,360± 0,000 0,434± 0,064 H-K 10 16 20 10 1 12 -0,034± 0,171 0,084± 0,231 0,090± 0,142 0,091± 0,136 0,140± 0,000 0,139± 0,041 Pendiente 38 91 30 34 8 80 (%/103Å) 19,852± 10,944 25,603± 13,234 20,601± 13,323 18,365± 12,141 10,722± 6.634 7,241± 3,909 Tabla 8: Pruebas estadísticas realizadas para comparar las distribuciones de color y pendiente de diferentes clases de cuerpos menores (Plt= Plutinos, TNOs resonantes; QB1= Cubiwanos, TNOs clásicos; Cent= Centauros; Scat= TNOs dispersos; Com= Corto período núcleos cometa) con los de los troyanos. Las cinco primeras columnas consideran a todos los troyanos, las cinco segundas sólo la familia Eurybates, los cinco terceros sólo los troyanos de la familia no-Eurybates. Para cada color, la primera línea muestra el número de objetos utilizados para la comparación (2o es el número de troyanos), y la segunda línea informa de la probabilidad como resultado de la prueba. Un valor muy bajo indica que las dos distribuciones comparadas no son estadísticamente compatibles. Las probabilidades están en negrita cuando el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande para que el valor sea significativo. f-test Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,600 0,001 0,001 0,000 0,005 0,722 0,000 0,000 0,000 0,000 0,598 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,773 0,000 0,000 0,000 0,001 0,335 0,000 0,000 0,000 0,000 0,185 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,020 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 t-test Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,001 0,000 0,012 0,002 0,608 0,000 0,000 0,001 0,000 0,139 0,003 0,025 0,006 0,858 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,916 0,000 0,000 0,000 0,000 0,083 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,532 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0.000.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.502 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,185 0,000 0,000 0,000 0,000 0,008 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,404 Prueba KS Color Todos los troyanos sólo euribatos sólo no euribatos Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com Plt QB1 Cent Scat Com B-V 36 74 83 74 29 74 33 74 2 74 36 14 83 14 29 14 33 14 14 2 14 36 60 83 60 29 60 33 60 2 60 0,001 0,000 0,001 0,004 0,330 0,002 0,035 0,065 0,003 0,002 0,047 0,468 V-R 38 80 92 80 30 80 34 80 19 80 38 17 92 17 30 17 34 17 19 17 38 63 92 63 30 63 34 63 19 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0.040 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.006 R-I 34 80 62 80 25 80 26 80 8 80 34 17 62 17 25 17 26 17 8 17 34 63 62 63 25 63 26 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,201 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,587 Slope 38 80 87 80 30 80 34 80 8 80 38 17 87 17 30 17 34 17 8 17 38 63 87 63 30 63 34 63 8 63 0,000 0,000 0,000 0,000 0,088 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,211 Títulos de la figura Fig. 1 - Espectros reflectantes de 5 miembros de la familia Anchises (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Fig. 2 - espectros reflectantes de 6 miembros de la familia Misenus (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Fig. 3 - espectros reflectantes de 5 miembros de la familia Panthoos (enjambre L5). Los índices de color fotométrico también se convierten en reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. El espectro y la fotometría se desplazan en 0,5 in Reflejancia para la claridad. Para el asteroide 30698, falta el color B-V como un B no estaba disponible la medición del filtro. Fig. 4 - Espectros de reflectancia de 2 Cloantus, 3 Phereclos y 2 Sarpedon miembros de la familia (enjambre L5). Los índices de color fotométricos también son con- verted a la reflectancia relativa y sobreexplotado en cada espectro. Spectra y La fotometría se desplaza por 1,0 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 5 - Espectros de reflectancia de los 17 miembros de la familia Eurybates (L4 enjambre). Los espectros se desplazan en 0,5 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 6 - Espectros de reflectancia de los 6 miembros de la familia WD de 1986 y 12921, que es un miembro de la familia TS6 1986 (todos pertenecientes al enjambre L4). Los espectros se desplazan por 1,0 en reflectancia para mayor claridad. Fig. 7 - Parcela de la pendiente espectral versus el diámetro estimado para el familias observadas en el enjambre L5. Fig. 8 - Parcela de la pendiente espectral versus el diámetro estimado para el familias observadas en el enjambre L4. Fig. 9 - Parcela de las pendientes espectrales observadas versus el diámetro estimado para toda la población de troyanos de Júpiter investigados por nosotros y disponibles de la literatura. Los errores en pendientes y diámetros no están trazados a evitar la confusión. Fig. 10 - Histograma de clases taxonómicas de troyanos L5. Fig. 11 - Histograma de clases taxonómicas de troyanos L4 (Neg indica ob- efectos con pendiente espectral negativa). Fig. 12 - Distribuciones de color como funciones de la magnitud absoluta M(1, 1), la inclinación i [grados], el eje semi-mayor orbital a [AU], la distancia del perihelio q [AU], la excentricidad e, y la energía orbital E (véase texto para la definición). Incluyemos todos los colores disponibles para el cuerpo menor distante- ios (TNO, Centauros y núcleos cometarios, véase Hainaut & Delsanti 2002). Los Plutinos (TNOs resonantes) son triángulos rellenos rojos, Cubiwanos (clásicos TNOs) son círculos llenos de rosa, Centauros son triángulos abiertos verdes, dispersas Los TNO son círculos abiertos azules, y los troyanos son triángulos llenos de cian. Fig. 13 - V −R versus R−I diagrama de color para los troyanos observados y todos los cuerpos menores distantes disponibles en el actualizado Hainaut & Delsanti Base de datos (2002). Los símbolos sólidos son para los troyanos (cuadrado para Eurby- bates, triángulos para otros). Los símbolos abiertos se utilizan como sigue: tri- ángulos para Plutinos, círculos para Cubiwanos, cuadrados para Centauros, pentágonos para Schattered, y plaza estrellada para Comets. La línea continua representa la “línea de enrojecimiento”, es decir, el locus de los objetos con una reflectividad lineal espectro. El símbolo de la estrella representa al Sol. Fig. 14 - Función acumulativa e histogramas de los B − V y V − R distribuciones de color y de la pendiente espectral para todas las clases consideradas de objetos. La línea punteada marca los colores solares. 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 1: 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 2: 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 3: Gráfico 4 Figura 5: Figura 6: Figura 7: Figura 8: Figura 9: Gráfico 10 Figura 11: M(1,1) E a [AU] q [AU] Figura 12: Figura 13: Figura 14: Introducción Observaciones y reducción de datos Resultados Familias dinámicas: Enjambre L5 Anchises Misenus Pantuflas Cloantus Phereclos Sarpedón Familias dinámicas: Enjambre L4 Eurybates 1986 WD 1986 TS6 Discusión Distribución del tamaño frente a la pendiente espectral:Familias individuales Distribución tamaño vs pendiente: La población troyana en su conjunto Laderas espectrales y nubes L4/L5 Elementos orbitales Comparación con otros cuerpos menores del Sistema Solar exterior Introducción y métodos Resultados Conclusiones

FIRST-based survey of Compact Steep Spectrum sources, V. Milliarcsecond-scale morphology of CSS objects

Astronomía y Astrofísica manuscrito no. 6364 c© ESO 2021 8 de junio de 2021 Primer estudio de fuentes compactas de espectro empinado V. Morfología a escala de milliarc de objetos CSS M. Kunert-Bajraszewska1 y A. Marecki1 Centro de Astronomía de Toruń, Universidad de N. Copernicus, 87-100 Toruń, Polonia Recibido 8 septiembre 2006; Aceptado 7 marzo 2007 RESUMEN Apuntes. Observaciones VLBA multifrecuencia del grupo final de diez objetos en una muestra de espectro compacto empinado de PRIMERA base Se presentan las fuentes (CSS). La muestra fue seleccionada para investigar si los objetos de este tipo podrían ser reliquias de AGNs radio-loud apagado en etapas muy tempranas de su evolución o posiblemente para indicar la actividad intermitente. Métodos. Las observaciones iniciales se hicieron utilizando MERLIN a 5 GHz. Las fuentes se han observado ahora con el VLBA en 1,7, 5 y 8.4 GHz en modo instantánea con referencia de fase. Los mapas resultantes se presentan junto con imágenes inéditas de 8,4-GHz VLA de cinco fuentes. Resultados. Algunas de las fuentes aquí analizadas muestran una compleja radiomorfología y, por lo tanto, un pasado complicado que, en algunos casos, puede indicar actividad intermitente. Una de las fuentes estudiadas – 1045+352 – es conocida como radio potente e infrarrojo-luminosa línea de absorción ancha (BAL) quasar. Es un objeto CSS joven cuya morfología asimétrica de dos lados en una escala de varios cientos parsecs, extendiéndose en dos direcciones diferentes, puede sugerir actividad intermitente. La joven y la estructura compacta de 1045+352 es consistente con el escenario de evolución de los quásares BAL. También se ha confirmado que el flujo submilimétrico de 1045+352 puede ser gravemente contaminado por la emisión de sincrotrón. Palabras clave. galaxias: activas, galaxias: evolución, cuásares: líneas de absorción 1. Introducción Siguiendo hipótesis tempranas (Phillips & Mutel, 1982; Carvalho, 1985) sugiriendo que el espectro de gigahercios (GPS) y el espectro empinado compacto (CSS) podrían ser objetos jóvenes, Readhead et al. (1996) propuso un esquema evolutivo uni- Con tres clases de AGNs radioeléctricos (RLAGNs): simmet- ric objetos GPS – OSC (objetos simétricos compactos); objetos CSS métricos – MSOs (objetos simétricos de tamaño medio) y grandes objetos simétricos (LSOs). En este esquema GPS/CSO fuentes con tamaños lineales inferiores a 1 kpc1 evolucionarían hacia CSS/MSO con tamaños subgalácticos (<20 kpc) y éstos a su vez eventualmente se convertirían en LSO durante su vida. Dos piezas de evidencia apuntan definitivamente hacia fuentes GPS/CSS ser objetos jóvenes: movimientos propios del lóbulo (hasta 0,3c) dando edades cinemáticas de hasta 103 años para las organizaciones de la sociedad civil (Owsianik et al. 1998; Giroletti et al., 2003; Polatidis & Conway, 2003) y edades diativas típicamente de 105 años para los MSO (Murgia et al. 1999). Aunque estos AGNs son objetos de pequeña escala, en algunos Las fuentes de CSO/GPS se asocian con estructuras de dio que se extienden a muchos kiloparsecs. En estos se ha sugerido que el representante de fase de las OSC/GPS resentía un período de actividad renovada en el ciclo de vida de el AGN (Stanghellini et al., 2005, y sus referencias). Reynolds & Begelman (1997) también han propuesto un modelo en que las fuentes de radio extragalácticas son intermitentes en escalas de tiempo Enviar solicitudes de impresión a: M. Kunert-Bajraszewska Correo electrónico: magda@astro.uni.torun.pl 1 Para la coherencia con documentos anteriores en este campo, lo siguiente: a lo largo de este trabajo se han adoptado parámetros cosmológicos: H0=100 kms −1 Mpc−1 y q0=0,5. A lo largo de este trabajo, el espectral índice se define de tal manera que S â € € â €. de 104–105 años. A continuación de los escenarios anteriores y también un sugerencia anterior de Readhead et al. (1994) y O’Dea & Baum (1997) que existe una gran población de objetos vivos, Marecki et al. (2003, 2006) llegó a la conclusión de que la vía de dilución propuesta por Readhead et al. (1996) es sólo uno de muchas pistas posibles. Una falta de combustible estable de la negra agujero puede inhibir el crecimiento de una fuente de radio, y en consecuencia nunca llegará a la fase LSO, al menos en una fase dada de su actividad. El apoyo observacional a estas ideas ha sido favorable vided por Gugliucci et al. (2005). Calcularon la cinemática edades para una muestra de OSC con puntos calientes bien identificados. Es ap- las peras que la distribución de la edad cinemática cae bruscamente por encima 500 años, lo que sugiere que en muchas organizaciones de la sociedad civil puede cesar Temprano. Por lo tanto, es posible que sólo algunos de ellos evolucionen cualquier otro. Nuestras observaciones han mostrado que los jóvenes, desvaneciéndose Existen efectivamente fuentes compactas (Kunert-Bajraszewska et al. 2005; Marecki y otros, 2006; Kunert-Bajraszewska y otros, 2006, a continuación, los Documentos II, III y IV, respectivamente). Una fuente doble, 0809+404, descrito en el Documento IV es nuestro mejor ejemplo de compacto – es decir, muy joven – fader. La multifrecuencia VLBA las observaciones han demostrado que tiene una estructura difusa, amorfa Sin un núcleo dominante y con focos de calor. Giroletti et al. (2005) han analizado las propiedades de una muestra de fuentes y encontró un muy buen ejemplo de una escala de kiloparsec fader (1855+37). Cabe señalar que la nueva ignición de la actividad en fuentes de radio compactas no se descarta. En este documento – el quinto y la última de la serie – VLBA observaciones de 10 CSS y Fuentes de las OSC que son candidatos potenciales para faders compactos se presentan objetos con actividad intermitente. Uno de estos las fuentes, 1045+352, es de particular interés no sólo porque http://arxiv.org/abs/0704.0351v2 2 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado tiene una estructura de radio desconcertante, pero también parece ser una amplia línea de absorción (BAL) quasar. Como su nombre sugiere, los cuásares de BAL tienen líneas de absorción anchas, con desplazamiento azul, derivadas de la ionización alta transiciones como C IV, Si IV, N V, etc. (por ejemplo, C IV 1549Å). Ellos constituyen el 10% de los cuásares de radio silenciosos seleccionados ópticamente con la absorción derivada del flujo de salida de gas a velocidades de hasta 0,2 c (Hewett & Foltz, 2003). De hecho, los cuásares de BAL han sido divididos en dos categorías, ya que el 10% de ellas también muestran absorp- ciones en líneas de baja ionización como Mg II 2800Å. Esto grupo ha sido designado como quásares LoBAL y los otros como HiBAL unos. El alto nivel de ionización y la absorción continua ciones en un amplio rango de velocidad es difícil de conciliar con absorp- sión por nubes individuales. Más bien, indican que las regiones BAL existen tanto en los quásares BAL como en los no-BAL y en las pruebas, acumu- de quásares BAL seleccionados ópticamente, indica una orientación sión para explicar su naturaleza. Parece que BAL los cuásares son cuásares normales vistos a lo largo de una línea particular de visión, e.g. una línea de visión que esquive el borde del disco de acreción o torus (Weymann y otros, 1991; Elvis, 2000). Murray et al. (1995) han propuesto un modelo en el que la línea de visión a un quasar BAL interseca un flujo de salida o viento que no es totalmente radial, por ejemplo. an salida que inicialmente emerge perpendicular al disco de acreción y luego se acelera radialmente. Durante mucho tiempo se creía que los cuásares de BAL eran Nunca lo hagas por radio. Este punto de vista fue cuestionado por Becker et al. (1997), que descubrió el primer quásar de radio BAL cuando utilizando la encuesta VLA PRIMERO para seleccionar a los candidatos cuásares. Luego se identificaron cinco cuásares radioeléctricos BAL en NVSS por Brotherton et al. (1998). Desde entonces, el número de radios... ha aumentado considerablemente BAL QSOs (Becker et al., 2000); Menou et al., 2001), tras la identificación de un nuevo didates seleccionados de la primera encuesta. La mayor parte del BAL quásares en el Becker et al. (2000) muestra tendían a ser com- pacto a las radiofrecuencias con una especificaciones de radio plana o empinada- trum. Aquellos con espectros empinados podrían estar relacionados con GPS y CSS fuentes. Una variedad de sus índices espectrales también sugirió una amplia gama de orientaciones, contrariamente a la interpretación preferida de cuásares seleccionados ópticamente. Además, Becker et al. (2000) la frecuencia de los quásares BAL en su muestra fue significativamente mayor (factor 2) de lo que se infiere de muestras selladas y que apareció la frecuencia de los cuásares BAL para mostrar una dependencia compleja de la ruidosa radio. La radiomorfología de los cuásares BAL es importante porque puede indicar inclinación en BALs, y por lo tanto produce un di- prueba recta del modelo de orientación. Sin embargo, la información sobre la estructura de radio de los quasars BAL sigue siendo muy limitada. Prior hasta 2006, sólo tres quásares BAL, PRIMER J101614.3+520916 (Gregg y otros, 2000), PKS 1004+13 (Wills y otros, 1999), y LBQS 1138−0126 (Brotherton y otros, 2002) una radiomorfología FR II de doble lóbulo en escalas de kiloparsec, aunque esta interpretación era dudosa para PKS 1004+13 (Gopal-Krishna & Wiita, 2000). Últimamente, la población de Los cuásares FR II-BAL han aumentado a diez objetos (excepto PKS) 1004+13) tras los descubrimientos de Gregg et al. (2006) y Zhou et al. (2006), aunque algunas de ellas aún requieren Mation. Sus estructuras simétricas indican un "edge-on" ori- dad, que a su vez apoya una hipótesis alternativa de- “Unificación por el tiempo”, con quásares BAL se obtiene como cuásares jóvenes o recientemente reabastecidos (Becker y otros, 2000; Gregg y otros, 2000). Sólo ha habido un intento (en 1.6 GHz con el EVN) para la imagen de las estructuras de radio de los más pequeños (y posiblemente los más jóvenes) quásares BAL (Jiang & Wang, 2003) del Becker et al. (2000) muestra. Este artículo presenta alto VLBA imágenes de frecuencia de otro quasar BAL muy compacto — 1045+352, que lo convierte en el quasar BAL con el mejor estructura de radio conocida hasta la fecha. 2. Observaciones y reducción de datos Los cinco artículos de esta serie se refieren a una muestra de 60 candidatos seleccionados del primer catálogo de VLA (White et al., 1997)2 que podrían ser fuentes CSS débiles. Los Los criterios de selección de la muestra se han dado en Kunert et al. (2002) (en lo sucesivo, el documento I). Todas las fuentes fueron observadas inicialmente con MERLIN a 5 GHz y los resultados de estas observaciones dieron lugar a la selección de varios grupos de objetos para su estudio con MERLIN y el VLA (Papel II), así como el VLBA y el EVN (Papeles III y IV). El último de esos grupos contiene 10 fuentes que, debido a sus estructuras (muy débiles “haloes” o posibles estructuras de chorro de núcleo), no se incluyeron en el otro grupos, ya que eran menos propensos a ser candidatos a faders. Sin embargo, para completar la investigación de la muestra primaria, 1.7, 5 y 8.4-GHz VLBA observaciones de 10 fuentes enumeradas en Cuadro 1, junto con sus propiedades básicas, se llevaron a cabo en 13 de noviembre de 2004 en modo snapshot con referencia de fase3. Cada exploración de la fuente de destino fue intercalada con una exploración en una fase fuente de referencia y el tiempo total del ciclo (objetivo y fase) referencia) fue de 9 minutos, incluyendo tiempos de accionamiento del telescopio, con 7 minutos en la fuente objetivo por ciclo. Los ciclos para un determinado par objetivo-calibrador se agruparon y giraron alrededor las tres frecuencias, aunque la fuente 1059+351 fue sólo observado a 1,7 GHz con el VLBA debido a su muy bajo flujo densidad medida a 5 GHz por MERLIN (13 mJy). Todo el proceso de reducción de datos se llevó a cabo utilizando procedimientos estándar de AIPS pero, además de esto, correcciones para los errores del parámetro de orientación de la Tierra (EOP) introducidos por el El correlator VLBA también tuvo que ser hecho. Para cada fuente de destino y en cada frecuencia, la fuente de referencia de fase correspondiente se mapeó, y los errores de fase así determinados se aplicaron a las fuentes objetivo, que luego fueron cartografiadas utilizando unos pocos ciclos de la fase de autocalibración e imagen. Para algunas de las fuentes También se aplicó una autocalibración de amplitud final. IMAGR fue utilizado para producir el final “naturalmente ponderado”, intensidad total im- edades que se muestran en las figs. 1 a 10. Tres de las diez fuentes (1056+316, 1302+356, 1627+289) no fueron detectados en el VLBA de 8,4-GHz observaciones, y no se han detectado 1425+287 en ningún VLBA observaciones. Densidad de flujo de los componentes principales de la fuentes se midieron utilizando la tarea AIPS JMFIT y se enumeran en el cuadro 3. Además de las observaciones antes descritas, unpub- 8.4-GHz VLA observaciones de cinco fuentes – 1056+316, 1126+293, 1425+287, 1627+289, 1302+356 – hecho en A-conf. por Glen Langston (primeros cuatro objetos) y Patnaik et al. (1992) se han incluido (figs. 3, 5, 9, 10 y 7, respectivamente). Se dio cuenta de que debido a la mala cobertura u-v en el frecuencias, una cierta densidad de flujo podría faltar y el resul- Los mapas de índices espectrales no se consideraron fiables. Cualquier cálculo de los índices espectrales a partir de las densidades de flujo citadas en El cuadro 3 también debe tratarse únicamente como aproximaciones gruesas. Para 1045+352, 30-GHz continuum observaciones utilizando el Toruń radiotelescopio de 32 m y un prototipo (dos elementos 2 Sitio web oficial: http://sundog.stsci.edu 3 Incluyendo este trabajo, los resultados de las observaciones de 46 fuentes De los 60 candidatos de la muestra primaria, se han publicado. Los las observaciones de 14 objetos fallaron por diferentes razones. http://sundog.stsci.edu M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 3 Cuadro 1 Parámetros básicos de las fuentes objetivo Fuente RA Dic ID mR z S 1,4 GHz logP1.4GHz S 4,85 GHz α 4,85GHz 1.4GHz LAS LLS Nombre h m s ′ ′′ mJy W Hz−1 mJy ′′ h−1 kpc (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 1045+352 10 48 34.247 34 57 24.99 Q 20.86 1.604 1051 27.65 439 −0.70 â € 0,50 2,1 1049+384 10 52 11,797 38 11 43,83 G 20,76 1,018 712 27,04 205 −1,00 0,14 0,6 1056+316 10 59 43.236 31 24 20,59 G 21,10 0,307* 459 25,72 209 −0,63 0,50 1,4 1059+351 11 02 08.686 34 55 10,74 G 19,50 0,594* 702 26,52 252 −0,82 3,03 11,5 1126+293 11 29 21.738 29 05 06.40 EF — — 729 — 213 −0.99 0,79 — 1132+374 11 35 05.927 37 08 40,80 G — 2.880 638 28,00 218 −0,86 +0,30 1,1 1302 + 356 13 04 34.477 35 23 33.93 EF — — 483 — 185 − 0,77 + 0,20 — 1407+369 14 09 09.528 36 42 08.06 q 21,51 0,996* 538 26,89 216 −0,73 0,25 1,1 1425+287 14 27 40.281 28 33 25.78 EF — — 859 — 198 − 1,18 0,75 — 1627+289 16 29 12.290 28 51 34.25 EF — — 526 — 162 −0.95 â € 0.65 — Descripción de las columnas: (1) nombre de la fuente en el formato IAU; (2) ascensión de la derecha de la fuente (J2000) extraída de PRIMERO; (3) declinación de la fuente (J2000) extraído de PRIMER; (4) identificación óptica: G - galaxia, Q - quasar, EF - campo vacío, q - objeto similar a una estrella, es decir, QSO no confirmado; (5) magnitud roja extraída de SDSS/DR5; (6) corrimiento al rojo; (7) densidad total de flujo a 1,4 GHz extraída de PRIMER; (8) registro de la luminosidad radiofónica a 1,4 GHz; (9) densidad total de flujo a 4,85 GHz extraído de GB6; (10) índice espectral entre 1,4 y 4,85 GHz calculado utilizando densidades de flujo en las columnas (7) y (9); (11) tamaño angular más grande (LAS) medido en la imagen MERLIN de 5 GHz – en la mayoría de los casos, como una separación entre la los picos de componentes externos, de lo contrario, se entenderá por «», medidos en el diagrama de contorno de la imagen; (12) el tamaño lineal más grande (LLS). * corrimiento al rojo fotométrico extraído del SDSS/DR5 receptor) de la matriz receptora de un centímetro (OCRA-p, Lowe et al., 2005) también se han hecho. El producto registrado desde el receptor fue la diferencia entre las señales de dos cuernos muy espaciados efectivamente separados en acimut así que las variaciones atmosféricas se cancelaron en su mayoría. El ob- técnica de servicio era tal que las dos vigas respectivas eran apuntando a la fuente alternativamente con un ciclo de conmutación de â € 50 segundos durante un período de 6 minutos, midiendo así la fuente densidad de flujo en relación con el fondo del cielo a ambos lados de la fuente. El apuntamiento del telescopio se determinó a partir del azimut y escaneos de elevación a través de la fuente de puntos Mrk 421. El pri- El calibrador de densidad de flujo mariano que se utilizó fue el neb- ula NGC 7027, que tiene un tamaño radio angular efectivo de 8 € arcsegundos (Bryce et al., 1997) y para los que una corrección de la Había que hacer una escala de densidad de flujo. Sin embargo, como NGC 7027 estaba en a cierta distancia de la fuente de destino, la fuente de punto 1144+402 se utilizó como calibrador secundario de densidad de flujo. Correcciones para los efectos de la atmósfera se determinaron a partir de mediciones de peratura a distancias de cenit de 0° y 60°. 3. Observaciones sobre las distintas fuentes 1045+352. Los mapas MERLIN y VLBA (Fig. 1) mostrar esto fuente que se extenderá tanto en las direcciones NE/SW como NW/SE. La característica compacta central visible en todos los mapas es probablemente un núcleo de radio con un espectro empinado. La imagen VLBA a 1,7 GHz muestra dos protuberancias simétricas – posiblemente chorros – que se extienden núcleo en una dirección NE/SW, siendo la emisión SW más débil que en el NE. Esta estructura está alineada con la emisión NE/SW visible en la imagen de 5 GHz MERLIN, pero el dif más extendido La emisión de fusibles se ha resuelto en las imágenes de VLBA. Los 5-GHz VLBA imagen muestra un núcleo y un chorro de un lado apuntando Hacia el Este. Algunas características compactas en una dirección NE también son visible. La estructura de radio en la imagen VLBA de 8,4-GHz es sim- ilar a 5 GHz: un núcleo de radio extendido y un chorro apuntando en una dirección este. La radiomorfología observada de 1045+352 podría indicar un reinicio de la actividad con la emisión de radio NE/SW primera fase de la actividad, que ahora se desvanece, y la extensión en el La dirección NW/SE es una firma de la fase activa actual. Sin embargo, lo anterior es sólo uno de un número de posibles interpre- ciones de la estructura de 1045+352 – véase más información en Secc. 4. Según Sloan Digital Sky Survey/Data Release 5 (SDSS/DR5), 1045+352 es una galaxia en RA= 10h48m34.s242, Dec=+34′57′24.′′95, que está marcado con una cruz en el MERLIN mapa pero las observaciones espectrales realizadas por Willott et al. (2002) han demostrado 1045+352 para ser un cuásar con un desplazamiento al rojo de z = 1.604. También ha sido clasificado como un HiBAL objeto basado en la absorción C IV muy amplia observada, y es un objeto submilimétrico muy luminoso con detecciones en ambos 850μm y 450μm (Willott y otros, 2002). El flujo total de 1045+352 a 30 GHz medido por nosotros utilizando OCRA-p es S 30GHz=69 mJy±7 mJy, lo que da un espectral empinado índice α = −1,01 entre 4,85 GHz y 30 GHz. 1049+384. La imagen de 5 GHz MERLIN (Fig. 2) lo muestra como una estructura de triple núcleo-jet con el componente más brillante re- resuelto en una estructura doble extendida en una dirección NW/SE en las observaciones VLBA de alta resolución. El 1,7-GHz VLBA imagen muestra cuatro componentes de radio (de acuerdo con Dallacasa y otros, 2002), mientras que el VLBA de 5-GHz y 8,4-GHz los mapas muestran sólo tres componentes. Sin embargo, el VLBA de 5 GHz imagen publicada por Oriente et al. (2004) muestra las cuatro compo- nents, y sugieren que los dos componentes occidentales y el Dos orientales son dos fuentes de radio independientes. Tal como se indica por Origi et al. (2004), es difícil clasificar el objeto, al- aunque la idea de que 1049+384 consiste en dos com- pacto, las fuentes dobles no son muy plausibles debido a pequeña separación, 0,09′′ (0,4 kpc), entre estos dos poten- Objetos tiales. Aunque los cálculos del índice espectral son muy incierto, se sugiere que uno de los componentes orientales at RA= 10h52m11.s797, Dec=+38+11′44.′′027 es un núcleo de radio (en Acuerdo con Oriente y otros, 2004) del que salen a la luz En direcciones opuestas. 1049+384 es una galaxia con un corrimiento al rojo z = 1.018 (Riley & Warner, 1994), pero según Allington-Smith et al. (1988) el espectro óptico de 1049+384 muestra diate propiedades entre una galaxia y un quásar. El opti- 4 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1045+352 4994,000 MHz densidad de flujo pico = 230,21 mJy/haz, tamaño del haz = 56 x 41 ms primer nivel de contorno=0,12 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34,30 34,28 34,26 34,24 34,22 34,20 34 57 25,8 1045+352 1667,474 MHz densidad de flujo pico=118,71 mJy/haz, tamaño del haz=13,1 x 8,2 ms primer nivel de contorno=0,80 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34.256 34.254 34.252 34.250 34.248 34.246 34.244 34.242 34.240 34 57 25.14 25.12 25.10 25.08 25.06 25.04 25.02 25.00 24.98 24.96 24.94 1045+352 4987,474 MHz densidad de flujo pico=13,64 mJy/haz, tamaño del haz=4,7 x 2,4 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34.254 34.252 34.250 34.248 34.246 34.244 34 57 25.12 25.10 25.08 25.06 25.04 25.02 25.00 24.98 1045+352 8421,474 MHz densidad de flujo pico=4,03 mJy/haz, tamaño del haz=2,7 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34,251 34,250 34,249 34,248 34,247 34,246 34,245 34 57 25.08 25.07 25.06 25.05 25.04 25.03 25.02 25.01 Fig. 1. Los mapas MERLIN 5-GHz (a la izquierda) y VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1045+352. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ Una cruz indica la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. El objeto cal se incluyó en SDSS/DR5 (RA= 10h52m11.s802, Dec=+38+11′44.′′00) y está marcado en todos los mapas con una cruz. 1056+316. La imagen VLA de 8,4-GHz (Fig. 3) muestra esta fuente tener una estructura doble que, en la imagen de 5 GHz MERLIN, se ha resuelto en un núcleo de radio y probablemente un punto caliente en un lóbulo de radio NW. Ambos componentes son visibles en el 1,7-GHz Imagen VLBA, pero ninguna ha sido detectada en la fre- quency VLBA imágenes. Las dos características débiles a ambos lados de el componente NW en la imagen VLBA de 1,7-GHz puede ser la restos de emisiones ampliadas que se han resuelto. Se incluyó la contraparte óptica de 1056+316 en SDSS/DR5 (RA= 10h59m43.s145, dic=+31′24′23.′′31), a- gether con corrimiento al rojo fotométrico (Tabla 1). Su posición es la siguiente: marcado con una cruz en el mapa de 8.4-GHz VLA. 1059+351. El mapa MERLIN de 5 GHz (Fig. 4) muestra un brillante componente que es probablemente un núcleo de radio, en casi opuesto lados de los cuales es la emisión de características compactas (puntos calientes) dentro de los dos lóbulos de radio. Esta estructura está de acuerdo con el punto 1.4. GHz VLA observaciones presentadas por Gregorini et al. (1988) y Machalski & Condon (1983). Sus imágenes muestran claramente un S- morfología en forma de 1059+351 con dos compuestos muy difusos nents, el más brillante se resolvió en una estructura doble en 5-GHz Observaciones de VLA (Machalski, 1998). Uno de estos dos com- Ponents es el punto de acceso NW visible en el mapa de 5 GHz MERLIN, y el segundo es probablemente un núcleo de radio visible tanto en el 5-GHz MERLIN y 1.7-GHz VLBA imágenes. Se incluyó la contraparte óptica de 1059+351 en SDSS/DR5 (RA= 11h02m08.s727, dic=+34+55′08.′′79), a- gether con corrimiento al rojo fotométrico (Tabla 1). La posición de la Comisión objeto óptico está marcado con una cruz en todos los mapas y está bien correlacionado con la posición del núcleo de radio. Machalski (1998) También se midió un corrimiento al rojo fotométrico para 1059+351, que es z = 0,37 y que difiere de la de SDSS/DR5. 1126+293. Los mapas VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 5) mostrar tres componentes de radio, el más brillante proba- bly ser el núcleo que se resolvió en una estructura de núcleo-jet en M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 5 1049+384 4994,000 MHz densidad de flujo pico=116,27 mJy/haz, tamaño del haz=62 x 38 ms primer nivel de contorno=0,40 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,84 11,83 11,82 11,81 11,80 11,79 11,78 11,77 11,76 38 11 44,6 1049+384 1667,474 MHz densidad de flujo pico=181,64 mJy/haz, tamaño del haz=11,6 x 8,2 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,810 11,805 11,800 11,795 11,790 11,785 38 11 44.14 44.12 44.10 44.08 44.06 44.04 44.02 44.00 43.98 43.96 43.94 1049+384 4987,474 MHz densidad de flujo pico=21,07 mJy/haz, tamaño del haz=4,2 x 2,3 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,805 11,800 11,795 11,790 38 11 44.08 44.07 44.06 44.05 44.04 44.03 44.02 44.01 44.00 43.99 43.98 1049+384 8421,474 MHz densidad de flujo pico=68,39 mJy/haz, tamaño del haz=2,6 x 1,2 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11.800 11.798 11.796 11.794 11.792 11.790 11.788 11.786 38 11 44.06 44.05 44.04 44.03 44.02 44.01 44.00 43.99 Fig. 2. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1049+384. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. la imagen VLBA de 1,7-GHz. La fuente no fue detectada en el 5 y 8.4-GHz VLBA observaciones. 1132+374. La imagen de 5 GHz MERLIN muestra (Fig. 6) un chorro de núcleo estructura que se resolvió en un objeto CSO triple en el 1.7- Imagen VLBA de GHz. Las imágenes VLBA de 5 y 8,4-GHz sólo muestran dos componentes: un punto caliente en el lóbulo NE y un núcleo de radio. Esto fuente se identifica con una galaxia de corrimiento al rojo muy alto (z = 2.88) (Eales & Rawlings, 1996). 1302+356. Esta fuente se observó con el VLA a 8,4 GHz como parte de la encuesta JVAS (Patnaik et al., 1992). El resultado... ing map muestra un objeto EW ligeramente extendido (Fig. 7). El 5- La imagen MERLIN de GHz muestra que esto es una fuente doble, y la débil ( 10 mJy) componente oriental podría ser parte de un jet. Los componente brillante se resolvió en una estructura difusa en el 1.7- Imagen VLBA de GHz. La imagen VLBA de 5 GHz muestra sólo un pecado- gle componente en la posición de la emisión máxima en el 1.7-GHz VLBA imagen, que es probablemente un núcleo de radio (Fig. 7). No hay rastro de esta fuente en la imagen VLBA de 8.4-GHz. 1407+369. La imagen de 5 GHz MERLIN muestra un núcleo-jet-struc- en una dirección NW que se resuelve en un núcleo y chorro en 6 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1056+316 8439.900 MHz densidad de flujo pico=118,41 mJy/haz, tamaño del haz=270 x 257 ms primer nivel de contorno=0,06 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43,45 43,35 43,25 43,15 43,05 31 24 23 1056+316 4994,000 MHz densidad de flujo pico=80,83 mJy/haz, tamaño del haz=60 x 43 ms primer nivel de contorno=0.16 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43,28 43,26 43,24 43,22 43,20 31 24 21,2 1056+316 1667,474 MHz densidad de flujo pico = 9,10 mJy/haz, tamaño del haz = 13,9 x 5,5 ms primer nivel de contorno=0,30 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43.265 43.255 43.245 43.235 43.225 31 24 20,6 Fig. 3. El mapa VLA 8.4-GHz, el mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1056+316. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ Una cruz en el mapa del VLA indica la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. 1059+351 4994,000 MHz densidad de flujo pico=10,03 mJy/haz, tamaño del haz=89 x 69 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 02 08.85 08.80 08.75 08.70 08.65 08.60 34 55 10,0 1059+351 1667,474 MHz densidad de flujo pico=8,07 mJy/haz, tamaño del haz=10,9 x 7,9 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 02 08.735 08.730 08.725 08.720 34 55 08.80 08.75 08.70 08.65 08.60 Fig. 4. El mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1059+351. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno se corresponde con la cifra de 3o. Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. todos los mapas de VLBA (Fig. 8). El objeto óptico fue incluido en SDSS/DR5 (RA= 14h09m09.s509, Dic=+36+42′08.′′15) y es marcado con una cruz en todos los mapas. El corrimiento al rojo citado en la tabla 1 es fotométrico. 1425+287. Las imágenes VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 9) mostrar una estructura doble para esta fuente. El más brillante componente parece ser un núcleo de radio, aunque esto no puede ser confirmado porque la fuente no fue detectada en el VLBA ob- servicios (Fig. 9). 1627+289. Las imágenes VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 10) muestran que esta fuente tiene una estructura de núcleo-jet. El 1.7- La imagen VLBA de GHz muestra sólo la característica central extendida que se resolvió en una estructura de núcleo-jet en la imagen VLBA de 5 GHz. La fuente no fue detectada en la imagen VLBA de 8,4-GHz. 4. Discusión 4.1. 1045+352 — un quasar BAL 1045+352 es un cuásar HiBAL con un espectro muy rojo muestra un sistema de absorción amplio C IV (Willott et al., 2002). Su tamaño lineal proyectado es de sólo 2,1 kpc, lo que es coherente con la observación de Becker et al. (2000) que, entre radio ruidosa quásares, líneas de absorción amplias se observan más comúnmente en las fuentes de radio más pequeñas. Es un objeto submilimétrico muy luminoso, que juntos con el espectro de polvo de plantilla adoptado por Willott et al. (2002), indica que esta fuente es un quásar infrarrojo hiperluminoso, con grandes cantidades de polvo en su galaxia anfitriona. Aunque 1045+352 es bastante luminoso a 151 MHz (2,88 Jy, Waldram y otros, 1996), que sugiere la presencia de algunas emisiones ampliadas y que, de hecho, parece estar presente en nuestro MERLIN 5-GHz M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 7 1126+293 8439.900 MHz densidad de flujo pico=65,97 mJy/haz, tamaño del haz=368 x 310 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 29 23,9 23,8 23,7 23,6 23,5 23,4 29 05 01 04 59 1126+293 4994,000 MHz densidad de flujo pico=60,53 mJy/haz, tamaño del haz=62 x43 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 29 21,80 21,75 21,70 21,65 29 05 07.5 1126+293 1667,474 MHz densidad de flujo pico=6,03 mJy/haz, tamaño del haz=14,0 x 4,2 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 21.762 21.760 21.758 21.756 21.754 21.752 21.750 21.748 21.746 29 05 06.50 06.48 06.46 06.44 06.42 06.40 06.38 06.36 06.34 06.32 06.30 Fig. 5. El mapa VLA 8.4-GHz, el mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1126+293. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ imagen, los mapas de VLBA muestran la estructura de radio a ser domi- nated por chorros y un núcleo. La densidad de flujo de 30-GHz de 1045+352 También es alto, como cabría esperar de la estructura VLBA. En consecuencia, podría haber contaminación sincrotrón de la flujo submilimétrico. Como lo muestran Blundell et al. (1999), o bien los polinomios de primer orden o de segundo orden pueden dicte la forma del espectro radioeléctrico. Ambos modelos han sido ap- a los datos radiofónicos de 1045+352 tomados de la literatura y de este documento (Fig. 11), y demostrar que una composición no térmica nent podría constituir al menos el 40 % del flujo total de 850μm (el Encaje parabólico). El ajuste lineal concuerda con cálculos basados en el flujo de 1,25 mm medido por Haas et al. (2006), que derivó valor del 94% para la parte no térmica del componente detectado Flujo de 850μm. Hay que señalar aquí que el ajuste lineal debe ser tratado como límite superior para la emisión de sincrotrón en longitudes de onda de limo, ya que el espectro puede empinarse en el inter- entre 30 GHz y las bandas de onda SCUBA. Sin embargo, el arriba pueden indicar valores de emisión infrarroja y masa de polvo de 1045+352 por debajo de lo estimado (Willott et al., 2002). Esto también parece ser consistente con los hallazgos de Willott et al. (2003), que han demostrado que no hay diferencia entre el submil- luminosidades limétricas de los cuásares BAL y no BAL, que gesta que no se requiere una gran masa de polvo para que los cuásares muestren BALs. La luminosidad de la radio a 1,4 GHz es alta (Tabla 1), haciendo esta fuente uno de los quásares más radioluminosos de BAL, con un valor similar al del primer QSO radio-loud conocido con una estructura FR II, PRIMER J101614.3+520916 (Gregg et al., 2000). Siguiendo a Stocke et al. (1992), un param de radio-loudness- eter, R*, definido como la relación K-corregida de la radio 5-GHz Se calculó el flujo a 2500Å de flujo óptico (cuadro 2). Para esto, un índice radioespectral mundial, αradio = −0,8 y una especificación óptica índice tral, αopt = −1,0, y el SDSS g ′ mag- nitude definido por Fukugita et al. (1996) se convirtió a la Johnson-Morgan-Cousins B magnitud utilizando la fórmula dada por Smith et al. (2002). También se hicieron correcciones para la intrin- 8 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1132+374 4994,000 MHz densidad de flujo pico=122,40 mJy/haz, tamaño del haz=58 x 44 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.98 05.96 05.94 05.92 05.90 05.88 37 08 41,6 1132+374 1667,474 MHz densidad de flujo pico=38,64 mJy/haz, tamaño del haz=9,5 x 4,0 ms primer nivel de contorno=0,40 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.940 05.938 05.936 05.934 05.932 05.930 05.928 05.926 37 08 40,86 40.84 40.82 40.80 40.78 40.76 40.74 40.72 40.70 40.68 40.66 1132+374 4987,474 MHz densidad de flujo pico=12,57 mJy/haz, tamaño del haz=3,1 x 1,2 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.936 05.934 05.932 05.930 05.928 37 08 40,82 40.80 40.78 40.76 40.74 40.72 40.70 1132+374 8421,474 MHz densidad de flujo pico=8,74 mJy/haz, tamaño del haz=2,2 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,10 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.936 05.935 05.934 05.933 05.932 05.931 05.930 37 08 40,83 40.82 40.81 40.80 40.79 40.78 40.77 40.76 40.75 40.74 Fig. 6. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1132+374. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 extincion sic (local al quásar) calculada por Willott et al. (2002), que asumió una curva de extinción Milky-Way. Incluso af- corrección ter, log(R*) > 1, lo que significa que 1045+352 sigue siendo objeto radio-alta. El ángulo entre el eje del chorro y la línea de la vista se puede estimar utilizando el núcleo radio-a-óptico lumi- Relación de nosidad definida por Wills & Brotherton (1995) como log(RV) = log(Lcore) + 0,4MV − 13,69, donde Lcore es una luminosidad radiofónica de el núcleo a 5 GHz frecuencia de reposo (la densidad de flujo del núcleo a 5 GHz fueron tomadas de la imagen VLBA; ver también Tabla 3), y MV es la magnitud absoluta corregida por K calculada utilizando transfor- Ecuación V = g0.55(gr′)−0.03 (Smith et al., 2002). A partir de esto, se ha obtenido un valor de 3,2 € para 1045+352, im- de un ángulo en el rango de 10° - 30° para el jet en el observó radiomorfología asimétrica de MERLIN 5-GHz, y puede explicar el alto valor del parámetro radio-loudness. Un la suposición de que = 20 produce el tamaño lineal desproyectado de la fuente de 6 kpc. Como lo muestran White et al. (2006), BAL QSOs son sistemáticamente más brillantes que los objetos no-BAL, que indi- Estamos mirando más cerca del eje jet en cuásares con BALs. Basado en los pequeños ángulos de inclinación de sus cuásares BAL, Zhou et al. (2006) sugieren que las características BAL pueden ser causadas por vientos de disco polares. Además, Saikia et al. (2001) y Jeyakumar y otros (2005) constataron que las propiedades radiofónicas de las fuentes CSS son insistente con el esquema unificado en el que los ejes de los cuásares se observan cerca de la línea de visión. Por otro lado, se ha demostrado (Saikia y otros, 2001; Jeyakumar y otros, 2005) que muchos objetos CSS interactúan con un medio asimétrico en el las regiones centrales de sus galaxias anfitrionas, y esto puede servía a las asimetrías. Por lo tanto, es probable que, también en el caso de la CSS quasar 1045+352, las asimetrías ambientales podrían desempeñar un papel importante. La potencia de chorro se puede estimar a partir de la relación entre la luminosidad de radio y la potencia de chorro dado por Willott et al. (1999, Eq.(12)). Sin embargo, porque algunos de la densidad de flujo del 1045+352 se puede vis- las laciones tienen que ser tratadas como una aproximación. Asumiendo que Densidad de flujo de 151-MHz, que representa la M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 9 1302+356 8452.400 MHz densidad de flujo pico=109,96 mJy/haz, tamaño del haz=252 x 230 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34,75 34,70 34,65 34,60 34,55 34,50 34,45 34,40 34,35 34,30 35 23 36 1302+356 4994,500 MHz densidad de flujo pico=129,54 mJy/haz, tamaño del haz=62 x 39 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN CORRECTA (B1950) 13 02 13,86 13,84 13,82 13,80 13,78 13,76 13,74 13,72 13,70 13,68 35 39 38,5 1302+356 1667,474 MHz densidad de flujo pico=19,62 mJy/haz, tamaño del haz=10,0 x 4,0 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34,502 34,500 34,498 34,496 34,494 34,492 34,490 34,488 34,486 35 23 33,64 33.62 33,60 33.58 33.56 33.54 33.52 33.50 33.48 33.46 33.44 1302+356 4987,474 MHz densidad de flujo pico=4,23 mJy/haz, tamaño del haz=3,8 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,07 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34.498 34.497 34.496 34.495 34.494 34.493 34.492 35 23 33.57 33.56 33.55 33.54 33.53 33.52 33.51 33.50 33.49 Fig. 7. El mapa VLA 8.4-GHz (arriba a la izquierda), el mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la derecha) y los mapas VLBA 1.7 y 5-GHz de 1302+356. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a sión y la emisión de radio de los chorros, la potencia cinética del chorro es Q jet 10 44erg sec−1. El tamaño lineal proyectado D de un quásar de radio o radio galaxia puede estar aproximadamente relacionado con el tiempo, desde el trig- gering de la actividad, como la relación entre estas variables sólo depende débilmente de la luminosidad de la radio. Uso el modelo de evolución de la fuente de radio de Willott et al. (1999), la edad estimada de 1045 + 352 años era de 105 años (ver También Willott et al., 2002; Rawlings et al., 2004). Para el calcu- las laciones que asumimos: ­ = 20, β = 1,5, c1 = 2,3, n100 = 3000 e− m−3, a0 = 100 kpc (véase Willott y otros, 1999, para defini- ciones). Imágenes de alta frecuencia de MERLIN y VLBA han revelado que pueden haberse producido dos ciclos de actividad durante Estos 105 años. La emisión de NE/SW extendida es prob- el remanente de la primera fase de la actividad, que ha sido muy recientemente sustituido por una nueva fase de actividad apuntando en un Dirección NW/SE. Ha sido mostrado por Stanghellini et al. (2005) que la emisión ampliada observada para objetos de pequeña escala puede ser los restos de un período anterior de actividad en estas fuentes. En el caso de 1045+352, la renovación de la actividad ha sido accompa- nied por una reorientación del eje de chorro. Varios procesos se pueden utilizar para explicar una reorientación a chorro en AGNs. Hay fuertes bases observacionales y teóricas por creer que los discos de acreción alrededor de los agujeros negros pueden ser retorcido o deformado, y esto puede ser causado por un número de pos- procesos físicos sibles. En particular, si hay una desalineación entre el eje de agujero negro giratorio y el eje de su rotación disco de acreción, entonces la precesión de Lense-Thirring produce un warp en el disco. Este proceso se llama Bardeen-Peterson ef- (Bardeen & Petterson, 1975). Según Pringle (1997), disco también puede ser inducido por inestabilidades internas en el disco de acreción causado por la presión de radiación de la central fuente. Una reorientación del eje jet también puede resultar de una fusión con otro agujero negro. Merritt & Ekers (2002) han demostrado que un cambio rápido en la orientación del chorro puede ser causado incluso por un mi- 10 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1407+369 4994,500 MHz densidad de flujo pico=109,87 mJy/haz, tamaño del haz=52 x 46 ms primer nivel de contorno=0,12 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.56 09.54 09.52 09.50 09.48 09.46 36 42 08,8 1407+369 1667,474 MHz densidad de flujo pico=147,37 mJy/haz, tamaño del haz=10,2 x 5,1 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.516 09.512 09.508 09.504 09.500 36 42 08.30 08.25 08.20 08.15 08.10 08.05 1407+369 4987,474 MHz densidad de flujo pico=60,90 mJy/haz, tamaño del haz=3,6 x 2,0 ms primer nivel de contorno=0.16 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.512 09.510 09.508 09.506 09.504 36 42 08.22 08.20 08.18 08.16 08.14 08.12 08.10 1407+369 8421,474 MHz densidad de flujo pico=24,34 mJy/haz, tamaño del haz=2,1 x 1,0 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.511 09.510 09.509 09.508 09.507 09.506 36 42 08.18 08.17 08.16 08.15 08.14 08.13 08.12 Fig. 8. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1407+369. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. ni la fusión debido a un giro-giro de la central activa negro agujero que surge de la coalescencia de los agujeros negros binarios inclinados. Según Liu (2004), el efecto Bardeen-Peterson también puede causar un realineamiento de un SMBH giratorio y un ac desalineado disco de creación, donde la escala de tiempo de tal reajuste t < 105 años. Si se asume que la velocidad típica de avance de ra- Los lóbulos dio de los AGN jóvenes son de 0,3c (Owsianik y otros, 1998; Giroletti et al., 2003; Polatidis & Conway, 2003), luego distorsionado chorros de longitud, < 10 kpc para algunas fuentes CSS y GPS deben se observen, aunque el carácter de estas perturbaciones no es Lo sé. Liu (2004) muestra que la interacción/reajuste de un binario y su disco de acreción conduce al desarrollo de X- fuentes en forma. 1045+352 no es una fuente típica en forma de X como 3C 223.1 ó 3C 403 (Dennett-Thorpe y otros, 2002; Capetti y otros, 2002). Sin embargo, según Cohen et al. (2005) el realineamiento- de un SMBH rotativo seguido de un reposicionamiento de disco de creación y chorros es una interpretación plausible para desalineados estructuras de radio, incluso si no son visiblemente en forma de X. Es probable que en fuentes jóvenes como 1045+352, la gas todavía no se ha asentado en un disco regular después de una fusión y que separan las nubes de gas y polvo llegando al mismo las regiones centrales de la fuente en diferentes momentos perturban la la capacidad del disco de acreción y afectan a la formación del chorro. Más tarde, Estas nubes podrían causar una renovación de la actividad. Simu numeral- las laciones de galaxias colisionantes muestran que éstas suelen fusionar com- Completamente después de unos pocos encuentros en escalas de tiempo de hasta 108 años (Barnes & Hernquist, 1996). Según Schoenmakers et al. (2000), múltiples encuentros entre galaxias que interactúan pueden causar interrupciones de la actividad y conducir a los muchos tipos de fuentes que se observan en una fase de reinicio, como Dobles galaxias de radio. Sin embargo, no está claro si tales Los encuentros pueden causar una reorientación a chorro. Por otra parte, la medio denso de una galaxia huésped puede frustrar los chorros, y su colisiones con el medio circundante denso pueden causar rápidos se dobla a través de grandes ángulos. En el caso de 1045+352, el VLBA imágenes en las frecuencias más altas parecen mostrar un chorro emergiendo en M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes de espectro empinadas y compactas 11 1425+287 8439.900 MHz densidad de flujo pico=64,89 mJy/haz, tamaño del haz=305 x 267 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 27 38,7 38,6 38,5 38,4 38,3 38,2 28 33 17 1425+287 4994,500 MHz densidad de flujo pico=62,37 mJy/haz, tamaño del haz=74 x 40 ms primer nivel de contorno=0,80 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 27 40,40 40,35 40,30 40,25 40,20 28 33 27,5 Fig. 9. El mapa VLA 8.4-GHz y el mapa MERLIN 5-GHz de 1425+287. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno se corresponde con la cifra de 3o. Frecuencia (Hz) 1045+352 Fig. 11. Distribución espectral de energía (SED) de 1045+352 radio a longitudes de onda submilimétricas. Los errores son más pequeños que el tamaño de los símbolos; 1,25 mm de punto (Haas et al., 2006) es se muestra como un triángulo, 850μm y 450 μm puntos (Willott et al., 2002) se muestran como círculos llenos, observaciones de radio se muestran como asteriscos. La curva sólida es el ajuste parabólico f (x) = ax2+bx+c a todos los datos radioeléctricos (yi), con a = −0,14, b = 1,91, c = −5,68, y reducción de χ2 = 12. La curva es el ajuste lineal f (x) = ax+ b a los datos radiofónicos con ν > 1GHz, con a = −0,86, b = 7,91, y reducción de la χ2 = 0,5. una dirección S/SE, pero doblada a través de 60° hacia una dirección NE en la imagen de resolución inferior 1.7-GHz. El MERLIN inferior res- olución 5-GHz imagen puede indicar que el chorro se ha doblado de nuevo y ahora emerge del núcleo en una dirección NW. Es difícil encontrar un argumento convincente a favor de una de las alternativas mencionadas o para descartar cualquiera de ellas basado en los amplios datos de multifrecuencia de 1045+352 pre- enviado aquí. Sin embargo, si se asume que una fusión es la más causa probable de la ignición y reanudación de la actividad en radio galaxias, esto podría significar que 1045+352 ha sufrido dos los acontecimientos de fusión en un período de tiempo muy corto (­ > 105), que es un- Cuadro 2 1045+352 propiedades Valor del parámetro u′ 22.12 g′ 21.38 r′ 20.81 i′ 20.14 z′ 20.08 AB 2.0 MB -22.05 (-24.05) AV 1.5 MV -22.83 (-24.33) log(R)* (total) 4.9 (4.1) log(R)*)(básico) 3.8 (3,0) Notas: Fotometría óptica de SDSS, corregida para extin- tion. AV tomada de Willott et al. (2002). Cantidades entre paréntesis: corregido por extinción intrínseca. Probablemente. Más probable es que el encendido de la actividad en 1045+352 ha ocurrido durante un evento de fusión que es, hasta ahora, incompleto y que perturbaron, desalinearon los chorros de radio resultado de la realineación de una inyección rotativa de SMBH o de gas intermitente que interrumpe formación de chorros. 4.2. Otras nueve fuentes Tres fuentes de nuestra muestra (1126+293, 1407+369, 1627+289) muestran estructuras de chorro de núcleo de una o dos caras, que se encuentran en una fase activa de su evolución, aunque la estructura de núcleo-jet de 1126+293 es controvertida. Nuestras imágenes indicar que los componentes occidentales son partes del chorro, que es posiblemente antecesor o ser doblado por las interacciones con el inter- Medio estelar. Sin embargo, también podrían ser focos de una radio lóbulo. Desafortunadamente, nuestras observaciones VLBA de alta frecuencia son no lo suficientemente sensible para resolver este problema. Otras tres fuentes (1056+316, 1132+374, 1425+287) tienen núcleos de radio visibles y partes de lóbulos o hotspots, indicando la actividad. 1132+374 es una OSC objeto. En el caso de una fuente, 1059+351, el VLBA obser- 12 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1627+289 8439.900 MHz densidad de flujo pico=75,42 mJy/haz, tamaño del haz=271 x 263 ms primer nivel de contorno=0,07 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,50 12,45 12,40 12,35 12,30 12,25 12,20 12,15 12,10 12,05 28 51 37 1627+289 4994,500 MHz densidad de flujo pico=77,77 mJy/haz, tamaño del haz=70 x 39 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,36 12,34 12,32 12,30 12,28 12,26 12,24 12,22 12,20 28 51 35,5 1627+289 1667,474 MHz densidad de flujo pico=40,35 mJy/haz, tamaño del haz=10,6 x 5,1 ms primer nivel de contorno=0,30 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12.270 12.268 12.266 12.264 12.262 12.260 12.258 28 51 34.16 34.14 34.12 34.10 34.08 34.06 34.04 34.02 34,00 33.98 33.96 1627+289 4987,474 MHz densidad de flujo pico=5,57 mJy/haz, tamaño del haz=4,2 x 1,9 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,267 12,266 12,265 12,264 12,263 12,262 12,261 12,260 28 51 34.11 34.10 34.09 34.08 34.07 34.06 34.05 34.04 34.03 34.02 Fig. 10. El mapa VLA 8.4-GHz (arriba a la izquierda), el mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la derecha), y los mapas VLBA 1.7 y 5-GHz de 1627+289. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a vaciones muestran sólo un núcleo de radio, aunque el 5-GHz MERLIN imagen de 1059+351 también muestra restos de las dos radios lóbulos de su estructura en forma de “S” visibles en las resoluciones VLA (Machalski & Condon, 1983; Machalski, 1998). De acuerdo con Taylor et al. (1996) y Readhead et al. (1996), simetría “S” se observa en muchas fuentes compactas y se puede explicar por precesión del motor central. 1059+351 es el más grande fuente en nuestra muestra con un tamaño lineal de 45 kpc basado en su tamaño angular más grande medido a partir de la imagen de 1.46-GHz VLA (Machalski & Condon, 1983). El compacto espectro empinado 1049+384 y 1302+356 fuentes parecen ser variables de baja frecuencia (LFV) en 151 MHz con muy altas (≥0,99) probabilidades de que su variabil- ity es real (Minns & Riley, 2000). Según ellos, LFV ob- Los efectos son generalmente más compactos que otras fuentes CSS y tienden a exhibir espectros más escarpados que las fuentes CSS típicas. Esto puede deberse a un rápido envejecimiento espectral, que podría ser ex- en busca de fuentes frustradas, o simplemente podría ser porque las fuentes están en muy altos corrimientos al rojo. 5. Conclusiones VLBA, VLA y MERLIN imágenes de diez empinadas compactas Se han presentado fuentes de espectro. Una de estas fuentes, 1045+352, es un quásar muy radioluminoso BAL, estructura plex sugiere actividad reiniciada. Esto puede haber resultado bien de un acontecimiento de fusión o de la caída de una nube de gas, que se había enfriado en el halo de la galaxia en la región central de la fuente. Los chorros de radio asimétricos de 1045+352 y el es- ángulo timado sugiere que parte de la emisión se puede aumentar, Aunque no se pueden descartar las asimetrías intrínsecas. Lo ha hecho. También se confirmó que el flujo de 850μm de 1045+352 puede ser gravemente contaminado por la emisión de sincrotrón, que puede gesta menos de los valores estimados anteriormente de emisión infrarroja y masa de polvo. La mayoría de los cuásares BAL radio-loud detectados para M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 13 Cuadro 3 Densidad de flujo de las fuentes componentes principales de las observaciones VLBA Fuente: RA DEC S1,7 GHz S5 GHz S8,4GHz Nombre h m s ′ ′′ mJy mJy mJy mas 1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1045+352 10 48 34.248 34 57 25,044 303,2 − − 15,0 11,0 60 10 48 34.249 34 57 25.061 − 3,5 − 2,0 1,0 76 10 48 34.248 34 57 25.041 − 21,8 7,1 7,0 1,0 101 10 48 34.248 34 57 25.043 − 32,7 12,3 4,0 3,0 95 1049+384 10 52 11,803 38 11 44,018 13,6 − − 3,0 1,0 14 10 52 11,797 38 11 44,027 11,4 3,9 6,9 2,0 2,0 121 10 52 11,789 38 11 44,031 182,1 33,6 12,9 8,0 1,0 119 10 52 11,787 38 11 44,048 218,5 23,9 2,3 5,0 3,0 177 1056+316 10 59 43.254 31 24 20.106 8,8 − − 0,9 0,1 7 10 59 43.235 31 24 20.538 43.6 − − 33,0 8,0 6 1059+351 11 02 08.726 34 55 08.709 8,1 − − 0,7 0,3 124 1126+293 11 29 21.755 29 05 06.402 7,3 − − 3,0 1,0 84 11 29 21,753 29 05 06,401 10,4 − − 13,0 4,0 53 1132+374 11 35 05.934 37 08 40.810 124.1 6,6 1,6 18,0 2,0 57 11 35 05,932 37 08 40,775 36,3 13,8 9,4 2,0 0,4 8 11 35 05,931 37 08 40,715 14,5 − − 5,0 0,8 105 1302+356 13 04 34,495 35 23 33,534 46,8 5,9 − 11,0 6,0 97 13 04 34,494 35 23 33,538 60,5 − − 15,0 7,0 147 1407+369 14 09 09.504 36 42 08.195 81,0 1,9 − 17,0 3,0 138 14 09 09.508 36 42 08.164 192,8 76,7 42,0 8,0 1,5 141 14 09 09.508 36 42 08.152 − 9,5 4,8 0,7 0,2 140 1627+289 16 29 12.264 28 51 34.062 111,5 8,1 − 10,0 6,0 58 Descripción de las columnas: (1) nombre de la fuente en el formato IAU; (2) ascensión de la derecha del componente (J2000) medida a 1,7 GHz; (3) componente declinación (J2000) medida a 1,7 GHz; (4) densidad de flujo VLBA en mJy a 1,7 GHz del presente documento; (5) densidad de flujo VLBA en mJy a 5 GHz del presente documento; (6) densidad de flujo VLBA en mJy a 8,4 GHz del presente documento; (7) componente desconvertido eje angular principal tamaño a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT; (8) tamaño angular del eje menor del componente desconvertido a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT; (9) ángulo de posición del eje principal a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT. En el caso de que el componente no sea visible en el mapa de 1,7 GHz, los valores de los tres últimos las columnas se toman de la imagen de 5 GHz. fecha tienen estructuras de radio muy compactas similares a GPS y CSS fuentes que se cree que son jóvenes. Por lo tanto, el compacto estructura y la edad joven de 1045 + 352 encajan bien con la evolución la interpretación de los QSO radioeléctricos BAL. Según el modelo evolutivo propuesto recientemente por Lipari y Terlevich (2006), los cuásares BAL son sistemas jóvenes con salidas compuestas, y están acompañadas de absorción nubes. Los sistemas radioeléctricos pueden estar asociados con el de la evolución, cuando los chorros han eliminado las biblia para la generación de BALs. El efecto de la orientación podría jugar un papel secundario aquí. Lo anterior podría explicar la rareza de estructuras de radio extendidas que muestren características BAL (Gregg y otros, 2006). Agradecimientos. El VLBA es operado por el Observatorio Nacional de Radioastronomía (NRAO), una instalación de la Fundación Nacional de Ciencia (NSF) que funciona bajo cooperación acuerdo de Universidades Asociadas, Inc. (AUI). Esta investigación ha utilizado la base de datos extragaláctica NASA/IPAC (NED), que es operado por el Jet Propulsion Laboratory, California Institute de Tecnología, en virtud de un contrato con la Aeronáutica Nacional y el Espacio Administración. Se ha utilizado el Archivo Sloan Digital Sky Survey (SDSS). Los SDSS es administrado por el Consorcio de Investigación Astrofísica (ARC) para el Instituciones participantes: La Universidad de Chicago, Fermilab, el Instituto de Estudio avanzado, el Grupo de Participación de Japón, la Universidad Johns Hopkins, Laboratorio Nacional Los Alamos, el Instituto Max-Planck de Astronomía (MPIA), el Instituto Max-Planck de Astrofísica (MPA), Estado de Nuevo México Universidad de Pittsburgh, Universidad de Princeton (Estados Unidos) Observatorio Naval, y la Universidad de Washington. Agradecemos al Sr. Gawroński su ayuda con las observaciones de la OCRA-p. La OCRA El proyecto contó con el apoyo del Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Polonia en virtud de la subvención 5 P03D 024 21 y el Fondo del Instrumento Paul de la Royal Society. Le damos las gracias a P.J. Wiita para una discusión y P. Thomasson para la lectura del documento y una serie de sugerencias. Este trabajo contó con el apoyo del Ministerio de Ciencia y Educación con cargo al subsidio 1 P03D 008 30. Bibliografía Allington-Smith, J., R., Spinrad, H., Djorgovski, S., & Liebert, J. 1988, MNRAS, 234, 1091 Bardeen, J. M., & Petterson, J. A. 1975, ApJ, 195, L65 Barnes, J. E., & Hernquist, L. 1996, ApJ, 471, 115 Becker, R. H., Gregg, M. D., Hook, I. M., et al. 1997, ApJ, 479, L93 Becker, R. H., White, R. L., Gregg, M. D., et al. 2000, ApJ, 538, 72 Blundell, K. M., Rawlings, S., & Willott, C. J. 1999, ApJ, 117, 677 Brotherton, M. S., van Breugel, W., Smith, R. J., et al. 1998, ApJ, 505, L7 Brotherton, M. S., Croom, S. M., De Breuck, C., Becker, R. H., & Gregg, M. D. 2002, AJ, 124, 2575 Bryce, M., Pedlar, A., Muxlow, T., Thomasson, P., & Mellema, G. 1997, MNRAS, 284, 815 Capetti, A., Zamfir, S., Rossi, P., et al. 2002, A&A, 394, 39 Carvalho, J. C. 1985, MNRAS, 215, 463 Cohen, A. S., Clarke, T. E., Ferretti, L., & Kassim, N. 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C., & Foltz, C. B. 2003, AJ, 125, 1784 Jeyakumar, S., Wiita, P. J., Saikia, D. J., & Hooda, J. S., 2005, A&A, 432, 823 Jiang, D. R., & Wang, T. G. 2003, A&A, 397, L13 Kunert, M., Marecki, A., Spencer, R. E., Kus, A. J., & Niezgoda J. 2002, A&A, 391, 47 (Papel I) Kunert-Bajraszewska, M., Marecki, A., Thomasson, P., & Spencer, R. E. 2005, A&A, 440, 93 (Papel II) Kunert-Bajraszewska, M., Marecki, A., & Thomasson, P. 2006, A&A, 450, 945 (Papel IV) Lipari, S. L., & Terlevich, R. J. 2006, MNRAS, 368, 1001 Liu, F. K., 2004, MNRAS, 347, 1357 Lowe, S. R., 2005, tesis doctoral, Universidad de Manchester Machalski, J., & Condon, J. J. 1983, AJ, 88, 143 Machalski, J. 1998, A&AS, 128, 153 Marecki, A., Spencer, R. E., & Kunert, M. 2003, PASA, 20, 46 Marecki, A., Kunert-Bajraszewska, M., & Spencer, R. E. 2006, A&A, 449, 985 (Papel III) Menou, K., Vanden Berk, D. E., & Ivezić, Ž. 2001, ApJ, 561, 645 Merritt, D., & Ekers, R. D. 2002, Science, 297, 1310 Minns, A. R., & Riley, J. M. 2000, MNRAS, 318, 827 Murgia, M., Fanti, C., Fanti, R., et al. 1999, A&A, 345, 769 Murray, N., Chiang, J., Grossman, S. A., & Voit, G. M. 1995, ApJ, 451, 498 O’Dea, C. P., & Baum, S. A. 1997, AJ, 113, 148 Oriente, M., Dallacasa, D., Fanti C., et al. 2004, A&A, 426, 463 Owsianik, I., Conway, J. E., & Polatidis, A. G. 1998, A&A, 336, L37 Patnaik, A. R., Browne, I. W. A., Wilkinson, P. N., & Wrobel, J. M. 1992, MNRAS, 254, 655 Phillips, R. B., & Mutel, R. L. 1982, A&A, 106, 21 Polatidis, A. G., & Conway, J. E. 2003, PASA, 20, 69 Pringle, J. E. 1997, MNRAS, 292, 136 Rawlings, S., Willott, C. J., Hill, G. J., et al. 2004, MNRAS, 351, 676 Readhead, A. C. S., Xu, W., Pearson, T. J., Wilkinson, P. N., & Polatidis, A. G. 1994, en Compact Extragaláctic Radio Sources, NRAO Workshop, ed. J. A. Zenzus, K. Kellermann, 17 años Readhead, A. C. S., Taylor, G. B., Xu, W., et al. 1996, ApJ, 460, 612 Reynolds, C. S., & Begelman, M. C. 1997, ApJ, 487, L135 Riley, J. 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Observaciones VLBA multifrecuencia del grupo final de diez objetos en una Se presenta una muestra de fuentes de espectro compacto empinado (CSS) de First-based. Los muestra fue seleccionada para investigar si objetos de este tipo podrían ser reliquias de los AGN radioeléctricos apagados en las etapas muy tempranas de su evolución o posiblemente para indicar actividad intermitente. Se formularon observaciones iniciales utilizando MERLIN a 5 GHz. Las fuentes han sido observadas con el VLBA en 1.7, 5 y 8,4 GHz en modo instantánea con referencia de fase. Los mapas resultantes son: presentado junto con imágenes inéditas de 8,4-GHz VLA de cinco fuentes. Algunos de las fuentes aquí discutidas muestran una radiomorfología compleja y por lo tanto una pasado complicado que, en algunos casos, podría indicar actividad intermitente. Uno de las fuentes estudiadas - 1045+352 - se conoce como una radio potente y quásar de línea de absorción ancha infrarrojo-luminosa (BAL). Es un objeto CSS joven cuya morfología asimétrica bilateral en una escala de varios cientos de parsecs, extendiéndose en dos direcciones diferentes, puede sugerir actividad intermitente. Los joven edad y estructura compacta de 1045+352 es coherente con la evolución escenario de los quásares BAL. También se ha confirmado que el flujo submilimétrico de 1045+352 puede estar gravemente contaminado por la emisión de sincrotrón.

Introducción Siguiendo hipótesis tempranas (Phillips & Mutel, 1982; Carvalho, 1985) sugiriendo que el espectro de gigahercios (GPS) y el espectro empinado compacto (CSS) podrían ser objetos jóvenes, Readhead et al. (1996) propuso un esquema evolutivo uni- Con tres clases de AGNs radioeléctricos (RLAGNs): simmet- ric objetos GPS – OSC (objetos simétricos compactos); objetos CSS métricos – MSOs (objetos simétricos de tamaño medio) y grandes objetos simétricos (LSOs). En este esquema GPS/CSO fuentes con tamaños lineales inferiores a 1 kpc1 evolucionarían hacia CSS/MSO con tamaños subgalácticos (<20 kpc) y éstos a su vez eventualmente se convertirían en LSO durante su vida. Dos piezas de evidencia apuntan definitivamente hacia fuentes GPS/CSS ser objetos jóvenes: movimientos propios del lóbulo (hasta 0,3c) dando edades cinemáticas de hasta 103 años para las organizaciones de la sociedad civil (Owsianik et al. 1998; Giroletti et al., 2003; Polatidis & Conway, 2003) y edades diativas típicamente de 105 años para los MSO (Murgia et al. 1999). Aunque estos AGNs son objetos de pequeña escala, en algunos Las fuentes de CSO/GPS se asocian con estructuras de dio que se extienden a muchos kiloparsecs. En estos se ha sugerido que el representante de fase de las OSC/GPS resentía un período de actividad renovada en el ciclo de vida de el AGN (Stanghellini et al., 2005, y sus referencias). Reynolds & Begelman (1997) también han propuesto un modelo en que las fuentes de radio extragalácticas son intermitentes en escalas de tiempo Enviar solicitudes de impresión a: M. Kunert-Bajraszewska Correo electrónico: magda@astro.uni.torun.pl 1 Para la coherencia con documentos anteriores en este campo, lo siguiente: a lo largo de este trabajo se han adoptado parámetros cosmológicos: H0=100 kms −1 Mpc−1 y q0=0,5. A lo largo de este trabajo, el espectral índice se define de tal manera que S â € € â €. de 104–105 años. A continuación de los escenarios anteriores y también un sugerencia anterior de Readhead et al. (1994) y O’Dea & Baum (1997) que existe una gran población de objetos vivos, Marecki et al. (2003, 2006) llegó a la conclusión de que la vía de dilución propuesta por Readhead et al. (1996) es sólo uno de muchas pistas posibles. Una falta de combustible estable de la negra agujero puede inhibir el crecimiento de una fuente de radio, y en consecuencia nunca llegará a la fase LSO, al menos en una fase dada de su actividad. El apoyo observacional a estas ideas ha sido favorable vided por Gugliucci et al. (2005). Calcularon la cinemática edades para una muestra de OSC con puntos calientes bien identificados. Es ap- las peras que la distribución de la edad cinemática cae bruscamente por encima 500 años, lo que sugiere que en muchas organizaciones de la sociedad civil puede cesar Temprano. Por lo tanto, es posible que sólo algunos de ellos evolucionen cualquier otro. Nuestras observaciones han mostrado que los jóvenes, desvaneciéndose Existen efectivamente fuentes compactas (Kunert-Bajraszewska et al. 2005; Marecki y otros, 2006; Kunert-Bajraszewska y otros, 2006, a continuación, los Documentos II, III y IV, respectivamente). Una fuente doble, 0809+404, descrito en el Documento IV es nuestro mejor ejemplo de compacto – es decir, muy joven – fader. La multifrecuencia VLBA las observaciones han demostrado que tiene una estructura difusa, amorfa Sin un núcleo dominante y con focos de calor. Giroletti et al. (2005) han analizado las propiedades de una muestra de fuentes y encontró un muy buen ejemplo de una escala de kiloparsec fader (1855+37). Cabe señalar que la nueva ignición de la actividad en fuentes de radio compactas no se descarta. En este documento – el quinto y la última de la serie – VLBA observaciones de 10 CSS y Fuentes de las OSC que son candidatos potenciales para faders compactos se presentan objetos con actividad intermitente. Uno de estos las fuentes, 1045+352, es de particular interés no sólo porque http://arxiv.org/abs/0704.0351v2 2 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado tiene una estructura de radio desconcertante, pero también parece ser una amplia línea de absorción (BAL) quasar. Como su nombre sugiere, los cuásares de BAL tienen líneas de absorción anchas, con desplazamiento azul, derivadas de la ionización alta transiciones como C IV, Si IV, N V, etc. (por ejemplo, C IV 1549Å). Ellos constituyen el 10% de los cuásares de radio silenciosos seleccionados ópticamente con la absorción derivada del flujo de salida de gas a velocidades de hasta 0,2 c (Hewett & Foltz, 2003). De hecho, los cuásares de BAL han sido divididos en dos categorías, ya que el 10% de ellas también muestran absorp- ciones en líneas de baja ionización como Mg II 2800Å. Esto grupo ha sido designado como quásares LoBAL y los otros como HiBAL unos. El alto nivel de ionización y la absorción continua ciones en un amplio rango de velocidad es difícil de conciliar con absorp- sión por nubes individuales. Más bien, indican que las regiones BAL existen tanto en los quásares BAL como en los no-BAL y en las pruebas, acumu- de quásares BAL seleccionados ópticamente, indica una orientación sión para explicar su naturaleza. Parece que BAL los cuásares son cuásares normales vistos a lo largo de una línea particular de visión, e.g. una línea de visión que esquive el borde del disco de acreción o torus (Weymann y otros, 1991; Elvis, 2000). Murray et al. (1995) han propuesto un modelo en el que la línea de visión a un quasar BAL interseca un flujo de salida o viento que no es totalmente radial, por ejemplo. an salida que inicialmente emerge perpendicular al disco de acreción y luego se acelera radialmente. Durante mucho tiempo se creía que los cuásares de BAL eran Nunca lo hagas por radio. Este punto de vista fue cuestionado por Becker et al. (1997), que descubrió el primer quásar de radio BAL cuando utilizando la encuesta VLA PRIMERO para seleccionar a los candidatos cuásares. Luego se identificaron cinco cuásares radioeléctricos BAL en NVSS por Brotherton et al. (1998). Desde entonces, el número de radios... ha aumentado considerablemente BAL QSOs (Becker et al., 2000); Menou et al., 2001), tras la identificación de un nuevo didates seleccionados de la primera encuesta. La mayor parte del BAL quásares en el Becker et al. (2000) muestra tendían a ser com- pacto a las radiofrecuencias con una especificaciones de radio plana o empinada- trum. Aquellos con espectros empinados podrían estar relacionados con GPS y CSS fuentes. Una variedad de sus índices espectrales también sugirió una amplia gama de orientaciones, contrariamente a la interpretación preferida de cuásares seleccionados ópticamente. Además, Becker et al. (2000) la frecuencia de los quásares BAL en su muestra fue significativamente mayor (factor 2) de lo que se infiere de muestras selladas y que apareció la frecuencia de los cuásares BAL para mostrar una dependencia compleja de la ruidosa radio. La radiomorfología de los cuásares BAL es importante porque puede indicar inclinación en BALs, y por lo tanto produce un di- prueba recta del modelo de orientación. Sin embargo, la información sobre la estructura de radio de los quasars BAL sigue siendo muy limitada. Prior hasta 2006, sólo tres quásares BAL, PRIMER J101614.3+520916 (Gregg y otros, 2000), PKS 1004+13 (Wills y otros, 1999), y LBQS 1138−0126 (Brotherton y otros, 2002) una radiomorfología FR II de doble lóbulo en escalas de kiloparsec, aunque esta interpretación era dudosa para PKS 1004+13 (Gopal-Krishna & Wiita, 2000). Últimamente, la población de Los cuásares FR II-BAL han aumentado a diez objetos (excepto PKS) 1004+13) tras los descubrimientos de Gregg et al. (2006) y Zhou et al. (2006), aunque algunas de ellas aún requieren Mation. Sus estructuras simétricas indican un "edge-on" ori- dad, que a su vez apoya una hipótesis alternativa de- “Unificación por el tiempo”, con quásares BAL se obtiene como cuásares jóvenes o recientemente reabastecidos (Becker y otros, 2000; Gregg y otros, 2000). Sólo ha habido un intento (en 1.6 GHz con el EVN) para la imagen de las estructuras de radio de los más pequeños (y posiblemente los más jóvenes) quásares BAL (Jiang & Wang, 2003) del Becker et al. (2000) muestra. Este artículo presenta alto VLBA imágenes de frecuencia de otro quasar BAL muy compacto — 1045+352, que lo convierte en el quasar BAL con el mejor estructura de radio conocida hasta la fecha. 2. Observaciones y reducción de datos Los cinco artículos de esta serie se refieren a una muestra de 60 candidatos seleccionados del primer catálogo de VLA (White et al., 1997)2 que podrían ser fuentes CSS débiles. Los Los criterios de selección de la muestra se han dado en Kunert et al. (2002) (en lo sucesivo, el documento I). Todas las fuentes fueron observadas inicialmente con MERLIN a 5 GHz y los resultados de estas observaciones dieron lugar a la selección de varios grupos de objetos para su estudio con MERLIN y el VLA (Papel II), así como el VLBA y el EVN (Papeles III y IV). El último de esos grupos contiene 10 fuentes que, debido a sus estructuras (muy débiles “haloes” o posibles estructuras de chorro de núcleo), no se incluyeron en el otro grupos, ya que eran menos propensos a ser candidatos a faders. Sin embargo, para completar la investigación de la muestra primaria, 1.7, 5 y 8.4-GHz VLBA observaciones de 10 fuentes enumeradas en Cuadro 1, junto con sus propiedades básicas, se llevaron a cabo en 13 de noviembre de 2004 en modo snapshot con referencia de fase3. Cada exploración de la fuente de destino fue intercalada con una exploración en una fase fuente de referencia y el tiempo total del ciclo (objetivo y fase) referencia) fue de 9 minutos, incluyendo tiempos de accionamiento del telescopio, con 7 minutos en la fuente objetivo por ciclo. Los ciclos para un determinado par objetivo-calibrador se agruparon y giraron alrededor las tres frecuencias, aunque la fuente 1059+351 fue sólo observado a 1,7 GHz con el VLBA debido a su muy bajo flujo densidad medida a 5 GHz por MERLIN (13 mJy). Todo el proceso de reducción de datos se llevó a cabo utilizando procedimientos estándar de AIPS pero, además de esto, correcciones para los errores del parámetro de orientación de la Tierra (EOP) introducidos por el El correlator VLBA también tuvo que ser hecho. Para cada fuente de destino y en cada frecuencia, la fuente de referencia de fase correspondiente se mapeó, y los errores de fase así determinados se aplicaron a las fuentes objetivo, que luego fueron cartografiadas utilizando unos pocos ciclos de la fase de autocalibración e imagen. Para algunas de las fuentes También se aplicó una autocalibración de amplitud final. IMAGR fue utilizado para producir el final “naturalmente ponderado”, intensidad total im- edades que se muestran en las figs. 1 a 10. Tres de las diez fuentes (1056+316, 1302+356, 1627+289) no fueron detectados en el VLBA de 8,4-GHz observaciones, y no se han detectado 1425+287 en ningún VLBA observaciones. Densidad de flujo de los componentes principales de la fuentes se midieron utilizando la tarea AIPS JMFIT y se enumeran en el cuadro 3. Además de las observaciones antes descritas, unpub- 8.4-GHz VLA observaciones de cinco fuentes – 1056+316, 1126+293, 1425+287, 1627+289, 1302+356 – hecho en A-conf. por Glen Langston (primeros cuatro objetos) y Patnaik et al. (1992) se han incluido (figs. 3, 5, 9, 10 y 7, respectivamente). Se dio cuenta de que debido a la mala cobertura u-v en el frecuencias, una cierta densidad de flujo podría faltar y el resul- Los mapas de índices espectrales no se consideraron fiables. Cualquier cálculo de los índices espectrales a partir de las densidades de flujo citadas en El cuadro 3 también debe tratarse únicamente como aproximaciones gruesas. Para 1045+352, 30-GHz continuum observaciones utilizando el Toruń radiotelescopio de 32 m y un prototipo (dos elementos 2 Sitio web oficial: http://sundog.stsci.edu 3 Incluyendo este trabajo, los resultados de las observaciones de 46 fuentes De los 60 candidatos de la muestra primaria, se han publicado. Los las observaciones de 14 objetos fallaron por diferentes razones. http://sundog.stsci.edu M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 3 Cuadro 1 Parámetros básicos de las fuentes objetivo Fuente RA Dic ID mR z S 1,4 GHz logP1.4GHz S 4,85 GHz α 4,85GHz 1.4GHz LAS LLS Nombre h m s ′ ′′ mJy W Hz−1 mJy ′′ h−1 kpc (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 1045+352 10 48 34.247 34 57 24.99 Q 20.86 1.604 1051 27.65 439 −0.70 â € 0,50 2,1 1049+384 10 52 11,797 38 11 43,83 G 20,76 1,018 712 27,04 205 −1,00 0,14 0,6 1056+316 10 59 43.236 31 24 20,59 G 21,10 0,307* 459 25,72 209 −0,63 0,50 1,4 1059+351 11 02 08.686 34 55 10,74 G 19,50 0,594* 702 26,52 252 −0,82 3,03 11,5 1126+293 11 29 21.738 29 05 06.40 EF — — 729 — 213 −0.99 0,79 — 1132+374 11 35 05.927 37 08 40,80 G — 2.880 638 28,00 218 −0,86 +0,30 1,1 1302 + 356 13 04 34.477 35 23 33.93 EF — — 483 — 185 − 0,77 + 0,20 — 1407+369 14 09 09.528 36 42 08.06 q 21,51 0,996* 538 26,89 216 −0,73 0,25 1,1 1425+287 14 27 40.281 28 33 25.78 EF — — 859 — 198 − 1,18 0,75 — 1627+289 16 29 12.290 28 51 34.25 EF — — 526 — 162 −0.95 â € 0.65 — Descripción de las columnas: (1) nombre de la fuente en el formato IAU; (2) ascensión de la derecha de la fuente (J2000) extraída de PRIMERO; (3) declinación de la fuente (J2000) extraído de PRIMER; (4) identificación óptica: G - galaxia, Q - quasar, EF - campo vacío, q - objeto similar a una estrella, es decir, QSO no confirmado; (5) magnitud roja extraída de SDSS/DR5; (6) corrimiento al rojo; (7) densidad total de flujo a 1,4 GHz extraída de PRIMER; (8) registro de la luminosidad radiofónica a 1,4 GHz; (9) densidad total de flujo a 4,85 GHz extraído de GB6; (10) índice espectral entre 1,4 y 4,85 GHz calculado utilizando densidades de flujo en las columnas (7) y (9); (11) tamaño angular más grande (LAS) medido en la imagen MERLIN de 5 GHz – en la mayoría de los casos, como una separación entre la los picos de componentes externos, de lo contrario, se entenderá por «», medidos en el diagrama de contorno de la imagen; (12) el tamaño lineal más grande (LLS). * corrimiento al rojo fotométrico extraído del SDSS/DR5 receptor) de la matriz receptora de un centímetro (OCRA-p, Lowe et al., 2005) también se han hecho. El producto registrado desde el receptor fue la diferencia entre las señales de dos cuernos muy espaciados efectivamente separados en acimut así que las variaciones atmosféricas se cancelaron en su mayoría. El ob- técnica de servicio era tal que las dos vigas respectivas eran apuntando a la fuente alternativamente con un ciclo de conmutación de â € 50 segundos durante un período de 6 minutos, midiendo así la fuente densidad de flujo en relación con el fondo del cielo a ambos lados de la fuente. El apuntamiento del telescopio se determinó a partir del azimut y escaneos de elevación a través de la fuente de puntos Mrk 421. El pri- El calibrador de densidad de flujo mariano que se utilizó fue el neb- ula NGC 7027, que tiene un tamaño radio angular efectivo de 8 € arcsegundos (Bryce et al., 1997) y para los que una corrección de la Había que hacer una escala de densidad de flujo. Sin embargo, como NGC 7027 estaba en a cierta distancia de la fuente de destino, la fuente de punto 1144+402 se utilizó como calibrador secundario de densidad de flujo. Correcciones para los efectos de la atmósfera se determinaron a partir de mediciones de peratura a distancias de cenit de 0° y 60°. 3. Observaciones sobre las distintas fuentes 1045+352. Los mapas MERLIN y VLBA (Fig. 1) mostrar esto fuente que se extenderá tanto en las direcciones NE/SW como NW/SE. La característica compacta central visible en todos los mapas es probablemente un núcleo de radio con un espectro empinado. La imagen VLBA a 1,7 GHz muestra dos protuberancias simétricas – posiblemente chorros – que se extienden núcleo en una dirección NE/SW, siendo la emisión SW más débil que en el NE. Esta estructura está alineada con la emisión NE/SW visible en la imagen de 5 GHz MERLIN, pero el dif más extendido La emisión de fusibles se ha resuelto en las imágenes de VLBA. Los 5-GHz VLBA imagen muestra un núcleo y un chorro de un lado apuntando Hacia el Este. Algunas características compactas en una dirección NE también son visible. La estructura de radio en la imagen VLBA de 8,4-GHz es sim- ilar a 5 GHz: un núcleo de radio extendido y un chorro apuntando en una dirección este. La radiomorfología observada de 1045+352 podría indicar un reinicio de la actividad con la emisión de radio NE/SW primera fase de la actividad, que ahora se desvanece, y la extensión en el La dirección NW/SE es una firma de la fase activa actual. Sin embargo, lo anterior es sólo uno de un número de posibles interpre- ciones de la estructura de 1045+352 – véase más información en Secc. 4. Según Sloan Digital Sky Survey/Data Release 5 (SDSS/DR5), 1045+352 es una galaxia en RA= 10h48m34.s242, Dec=+34′57′24.′′95, que está marcado con una cruz en el MERLIN mapa pero las observaciones espectrales realizadas por Willott et al. (2002) han demostrado 1045+352 para ser un cuásar con un desplazamiento al rojo de z = 1.604. También ha sido clasificado como un HiBAL objeto basado en la absorción C IV muy amplia observada, y es un objeto submilimétrico muy luminoso con detecciones en ambos 850μm y 450μm (Willott y otros, 2002). El flujo total de 1045+352 a 30 GHz medido por nosotros utilizando OCRA-p es S 30GHz=69 mJy±7 mJy, lo que da un espectral empinado índice α = −1,01 entre 4,85 GHz y 30 GHz. 1049+384. La imagen de 5 GHz MERLIN (Fig. 2) lo muestra como una estructura de triple núcleo-jet con el componente más brillante re- resuelto en una estructura doble extendida en una dirección NW/SE en las observaciones VLBA de alta resolución. El 1,7-GHz VLBA imagen muestra cuatro componentes de radio (de acuerdo con Dallacasa y otros, 2002), mientras que el VLBA de 5-GHz y 8,4-GHz los mapas muestran sólo tres componentes. Sin embargo, el VLBA de 5 GHz imagen publicada por Oriente et al. (2004) muestra las cuatro compo- nents, y sugieren que los dos componentes occidentales y el Dos orientales son dos fuentes de radio independientes. Tal como se indica por Origi et al. (2004), es difícil clasificar el objeto, al- aunque la idea de que 1049+384 consiste en dos com- pacto, las fuentes dobles no son muy plausibles debido a pequeña separación, 0,09′′ (0,4 kpc), entre estos dos poten- Objetos tiales. Aunque los cálculos del índice espectral son muy incierto, se sugiere que uno de los componentes orientales at RA= 10h52m11.s797, Dec=+38+11′44.′′027 es un núcleo de radio (en Acuerdo con Oriente y otros, 2004) del que salen a la luz En direcciones opuestas. 1049+384 es una galaxia con un corrimiento al rojo z = 1.018 (Riley & Warner, 1994), pero según Allington-Smith et al. (1988) el espectro óptico de 1049+384 muestra diate propiedades entre una galaxia y un quásar. El opti- 4 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1045+352 4994,000 MHz densidad de flujo pico = 230,21 mJy/haz, tamaño del haz = 56 x 41 ms primer nivel de contorno=0,12 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34,30 34,28 34,26 34,24 34,22 34,20 34 57 25,8 1045+352 1667,474 MHz densidad de flujo pico=118,71 mJy/haz, tamaño del haz=13,1 x 8,2 ms primer nivel de contorno=0,80 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34.256 34.254 34.252 34.250 34.248 34.246 34.244 34.242 34.240 34 57 25.14 25.12 25.10 25.08 25.06 25.04 25.02 25.00 24.98 24.96 24.94 1045+352 4987,474 MHz densidad de flujo pico=13,64 mJy/haz, tamaño del haz=4,7 x 2,4 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34.254 34.252 34.250 34.248 34.246 34.244 34 57 25.12 25.10 25.08 25.06 25.04 25.02 25.00 24.98 1045+352 8421,474 MHz densidad de flujo pico=4,03 mJy/haz, tamaño del haz=2,7 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 48 34,251 34,250 34,249 34,248 34,247 34,246 34,245 34 57 25.08 25.07 25.06 25.05 25.04 25.03 25.02 25.01 Fig. 1. Los mapas MERLIN 5-GHz (a la izquierda) y VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1045+352. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ Una cruz indica la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. El objeto cal se incluyó en SDSS/DR5 (RA= 10h52m11.s802, Dec=+38+11′44.′′00) y está marcado en todos los mapas con una cruz. 1056+316. La imagen VLA de 8,4-GHz (Fig. 3) muestra esta fuente tener una estructura doble que, en la imagen de 5 GHz MERLIN, se ha resuelto en un núcleo de radio y probablemente un punto caliente en un lóbulo de radio NW. Ambos componentes son visibles en el 1,7-GHz Imagen VLBA, pero ninguna ha sido detectada en la fre- quency VLBA imágenes. Las dos características débiles a ambos lados de el componente NW en la imagen VLBA de 1,7-GHz puede ser la restos de emisiones ampliadas que se han resuelto. Se incluyó la contraparte óptica de 1056+316 en SDSS/DR5 (RA= 10h59m43.s145, dic=+31′24′23.′′31), a- gether con corrimiento al rojo fotométrico (Tabla 1). Su posición es la siguiente: marcado con una cruz en el mapa de 8.4-GHz VLA. 1059+351. El mapa MERLIN de 5 GHz (Fig. 4) muestra un brillante componente que es probablemente un núcleo de radio, en casi opuesto lados de los cuales es la emisión de características compactas (puntos calientes) dentro de los dos lóbulos de radio. Esta estructura está de acuerdo con el punto 1.4. GHz VLA observaciones presentadas por Gregorini et al. (1988) y Machalski & Condon (1983). Sus imágenes muestran claramente un S- morfología en forma de 1059+351 con dos compuestos muy difusos nents, el más brillante se resolvió en una estructura doble en 5-GHz Observaciones de VLA (Machalski, 1998). Uno de estos dos com- Ponents es el punto de acceso NW visible en el mapa de 5 GHz MERLIN, y el segundo es probablemente un núcleo de radio visible tanto en el 5-GHz MERLIN y 1.7-GHz VLBA imágenes. Se incluyó la contraparte óptica de 1059+351 en SDSS/DR5 (RA= 11h02m08.s727, dic=+34+55′08.′′79), a- gether con corrimiento al rojo fotométrico (Tabla 1). La posición de la Comisión objeto óptico está marcado con una cruz en todos los mapas y está bien correlacionado con la posición del núcleo de radio. Machalski (1998) También se midió un corrimiento al rojo fotométrico para 1059+351, que es z = 0,37 y que difiere de la de SDSS/DR5. 1126+293. Los mapas VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 5) mostrar tres componentes de radio, el más brillante proba- bly ser el núcleo que se resolvió en una estructura de núcleo-jet en M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 5 1049+384 4994,000 MHz densidad de flujo pico=116,27 mJy/haz, tamaño del haz=62 x 38 ms primer nivel de contorno=0,40 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,84 11,83 11,82 11,81 11,80 11,79 11,78 11,77 11,76 38 11 44,6 1049+384 1667,474 MHz densidad de flujo pico=181,64 mJy/haz, tamaño del haz=11,6 x 8,2 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,810 11,805 11,800 11,795 11,790 11,785 38 11 44.14 44.12 44.10 44.08 44.06 44.04 44.02 44.00 43.98 43.96 43.94 1049+384 4987,474 MHz densidad de flujo pico=21,07 mJy/haz, tamaño del haz=4,2 x 2,3 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11,805 11,800 11,795 11,790 38 11 44.08 44.07 44.06 44.05 44.04 44.03 44.02 44.01 44.00 43.99 43.98 1049+384 8421,474 MHz densidad de flujo pico=68,39 mJy/haz, tamaño del haz=2,6 x 1,2 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 52 11.800 11.798 11.796 11.794 11.792 11.790 11.788 11.786 38 11 44.06 44.05 44.04 44.03 44.02 44.01 44.00 43.99 Fig. 2. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1049+384. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. la imagen VLBA de 1,7-GHz. La fuente no fue detectada en el 5 y 8.4-GHz VLBA observaciones. 1132+374. La imagen de 5 GHz MERLIN muestra (Fig. 6) un chorro de núcleo estructura que se resolvió en un objeto CSO triple en el 1.7- Imagen VLBA de GHz. Las imágenes VLBA de 5 y 8,4-GHz sólo muestran dos componentes: un punto caliente en el lóbulo NE y un núcleo de radio. Esto fuente se identifica con una galaxia de corrimiento al rojo muy alto (z = 2.88) (Eales & Rawlings, 1996). 1302+356. Esta fuente se observó con el VLA a 8,4 GHz como parte de la encuesta JVAS (Patnaik et al., 1992). El resultado... ing map muestra un objeto EW ligeramente extendido (Fig. 7). El 5- La imagen MERLIN de GHz muestra que esto es una fuente doble, y la débil ( 10 mJy) componente oriental podría ser parte de un jet. Los componente brillante se resolvió en una estructura difusa en el 1.7- Imagen VLBA de GHz. La imagen VLBA de 5 GHz muestra sólo un pecado- gle componente en la posición de la emisión máxima en el 1.7-GHz VLBA imagen, que es probablemente un núcleo de radio (Fig. 7). No hay rastro de esta fuente en la imagen VLBA de 8.4-GHz. 1407+369. La imagen de 5 GHz MERLIN muestra un núcleo-jet-struc- en una dirección NW que se resuelve en un núcleo y chorro en 6 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1056+316 8439.900 MHz densidad de flujo pico=118,41 mJy/haz, tamaño del haz=270 x 257 ms primer nivel de contorno=0,06 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43,45 43,35 43,25 43,15 43,05 31 24 23 1056+316 4994,000 MHz densidad de flujo pico=80,83 mJy/haz, tamaño del haz=60 x 43 ms primer nivel de contorno=0.16 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43,28 43,26 43,24 43,22 43,20 31 24 21,2 1056+316 1667,474 MHz densidad de flujo pico = 9,10 mJy/haz, tamaño del haz = 13,9 x 5,5 ms primer nivel de contorno=0,30 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 10 59 43.265 43.255 43.245 43.235 43.225 31 24 20,6 Fig. 3. El mapa VLA 8.4-GHz, el mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1056+316. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ Una cruz en el mapa del VLA indica la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. 1059+351 4994,000 MHz densidad de flujo pico=10,03 mJy/haz, tamaño del haz=89 x 69 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 02 08.85 08.80 08.75 08.70 08.65 08.60 34 55 10,0 1059+351 1667,474 MHz densidad de flujo pico=8,07 mJy/haz, tamaño del haz=10,9 x 7,9 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 02 08.735 08.730 08.725 08.720 34 55 08.80 08.75 08.70 08.65 08.60 Fig. 4. El mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1059+351. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno se corresponde con la cifra de 3o. Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. todos los mapas de VLBA (Fig. 8). El objeto óptico fue incluido en SDSS/DR5 (RA= 14h09m09.s509, Dic=+36+42′08.′′15) y es marcado con una cruz en todos los mapas. El corrimiento al rojo citado en la tabla 1 es fotométrico. 1425+287. Las imágenes VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 9) mostrar una estructura doble para esta fuente. El más brillante componente parece ser un núcleo de radio, aunque esto no puede ser confirmado porque la fuente no fue detectada en el VLBA ob- servicios (Fig. 9). 1627+289. Las imágenes VLA 8.4-GHz y MERLIN 5-GHz (Fig. 10) muestran que esta fuente tiene una estructura de núcleo-jet. El 1.7- La imagen VLBA de GHz muestra sólo la característica central extendida que se resolvió en una estructura de núcleo-jet en la imagen VLBA de 5 GHz. La fuente no fue detectada en la imagen VLBA de 8,4-GHz. 4. Discusión 4.1. 1045+352 — un quasar BAL 1045+352 es un cuásar HiBAL con un espectro muy rojo muestra un sistema de absorción amplio C IV (Willott et al., 2002). Su tamaño lineal proyectado es de sólo 2,1 kpc, lo que es coherente con la observación de Becker et al. (2000) que, entre radio ruidosa quásares, líneas de absorción amplias se observan más comúnmente en las fuentes de radio más pequeñas. Es un objeto submilimétrico muy luminoso, que juntos con el espectro de polvo de plantilla adoptado por Willott et al. (2002), indica que esta fuente es un quásar infrarrojo hiperluminoso, con grandes cantidades de polvo en su galaxia anfitriona. Aunque 1045+352 es bastante luminoso a 151 MHz (2,88 Jy, Waldram y otros, 1996), que sugiere la presencia de algunas emisiones ampliadas y que, de hecho, parece estar presente en nuestro MERLIN 5-GHz M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 7 1126+293 8439.900 MHz densidad de flujo pico=65,97 mJy/haz, tamaño del haz=368 x 310 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 29 23,9 23,8 23,7 23,6 23,5 23,4 29 05 01 04 59 1126+293 4994,000 MHz densidad de flujo pico=60,53 mJy/haz, tamaño del haz=62 x43 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 29 21,80 21,75 21,70 21,65 29 05 07.5 1126+293 1667,474 MHz densidad de flujo pico=6,03 mJy/haz, tamaño del haz=14,0 x 4,2 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 21.762 21.760 21.758 21.756 21.754 21.752 21.750 21.748 21.746 29 05 06.50 06.48 06.46 06.44 06.42 06.40 06.38 06.36 06.34 06.32 06.30 Fig. 5. El mapa VLA 8.4-GHz, el mapa MERLIN 5-GHz y el mapa VLBA 1.7-GHz de 1126+293. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a................................................................................................................................................ imagen, los mapas de VLBA muestran la estructura de radio a ser domi- nated por chorros y un núcleo. La densidad de flujo de 30-GHz de 1045+352 También es alto, como cabría esperar de la estructura VLBA. En consecuencia, podría haber contaminación sincrotrón de la flujo submilimétrico. Como lo muestran Blundell et al. (1999), o bien los polinomios de primer orden o de segundo orden pueden dicte la forma del espectro radioeléctrico. Ambos modelos han sido ap- a los datos radiofónicos de 1045+352 tomados de la literatura y de este documento (Fig. 11), y demostrar que una composición no térmica nent podría constituir al menos el 40 % del flujo total de 850μm (el Encaje parabólico). El ajuste lineal concuerda con cálculos basados en el flujo de 1,25 mm medido por Haas et al. (2006), que derivó valor del 94% para la parte no térmica del componente detectado Flujo de 850μm. Hay que señalar aquí que el ajuste lineal debe ser tratado como límite superior para la emisión de sincrotrón en longitudes de onda de limo, ya que el espectro puede empinarse en el inter- entre 30 GHz y las bandas de onda SCUBA. Sin embargo, el arriba pueden indicar valores de emisión infrarroja y masa de polvo de 1045+352 por debajo de lo estimado (Willott et al., 2002). Esto también parece ser consistente con los hallazgos de Willott et al. (2003), que han demostrado que no hay diferencia entre el submil- luminosidades limétricas de los cuásares BAL y no BAL, que gesta que no se requiere una gran masa de polvo para que los cuásares muestren BALs. La luminosidad de la radio a 1,4 GHz es alta (Tabla 1), haciendo esta fuente uno de los quásares más radioluminosos de BAL, con un valor similar al del primer QSO radio-loud conocido con una estructura FR II, PRIMER J101614.3+520916 (Gregg et al., 2000). Siguiendo a Stocke et al. (1992), un param de radio-loudness- eter, R*, definido como la relación K-corregida de la radio 5-GHz Se calculó el flujo a 2500Å de flujo óptico (cuadro 2). Para esto, un índice radioespectral mundial, αradio = −0,8 y una especificación óptica índice tral, αopt = −1,0, y el SDSS g ′ mag- nitude definido por Fukugita et al. (1996) se convirtió a la Johnson-Morgan-Cousins B magnitud utilizando la fórmula dada por Smith et al. (2002). También se hicieron correcciones para la intrin- 8 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1132+374 4994,000 MHz densidad de flujo pico=122,40 mJy/haz, tamaño del haz=58 x 44 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.98 05.96 05.94 05.92 05.90 05.88 37 08 41,6 1132+374 1667,474 MHz densidad de flujo pico=38,64 mJy/haz, tamaño del haz=9,5 x 4,0 ms primer nivel de contorno=0,40 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.940 05.938 05.936 05.934 05.932 05.930 05.928 05.926 37 08 40,86 40.84 40.82 40.80 40.78 40.76 40.74 40.72 40.70 40.68 40.66 1132+374 4987,474 MHz densidad de flujo pico=12,57 mJy/haz, tamaño del haz=3,1 x 1,2 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.936 05.934 05.932 05.930 05.928 37 08 40,82 40.80 40.78 40.76 40.74 40.72 40.70 1132+374 8421,474 MHz densidad de flujo pico=8,74 mJy/haz, tamaño del haz=2,2 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,10 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 11 35 05.936 05.935 05.934 05.933 05.932 05.931 05.930 37 08 40,83 40.82 40.81 40.80 40.79 40.78 40.77 40.76 40.75 40.74 Fig. 6. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1132+374. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 extincion sic (local al quásar) calculada por Willott et al. (2002), que asumió una curva de extinción Milky-Way. Incluso af- corrección ter, log(R*) > 1, lo que significa que 1045+352 sigue siendo objeto radio-alta. El ángulo entre el eje del chorro y la línea de la vista se puede estimar utilizando el núcleo radio-a-óptico lumi- Relación de nosidad definida por Wills & Brotherton (1995) como log(RV) = log(Lcore) + 0,4MV − 13,69, donde Lcore es una luminosidad radiofónica de el núcleo a 5 GHz frecuencia de reposo (la densidad de flujo del núcleo a 5 GHz fueron tomadas de la imagen VLBA; ver también Tabla 3), y MV es la magnitud absoluta corregida por K calculada utilizando transfor- Ecuación V = g0.55(gr′)−0.03 (Smith et al., 2002). A partir de esto, se ha obtenido un valor de 3,2 € para 1045+352, im- de un ángulo en el rango de 10° - 30° para el jet en el observó radiomorfología asimétrica de MERLIN 5-GHz, y puede explicar el alto valor del parámetro radio-loudness. Un la suposición de que = 20 produce el tamaño lineal desproyectado de la fuente de 6 kpc. Como lo muestran White et al. (2006), BAL QSOs son sistemáticamente más brillantes que los objetos no-BAL, que indi- Estamos mirando más cerca del eje jet en cuásares con BALs. Basado en los pequeños ángulos de inclinación de sus cuásares BAL, Zhou et al. (2006) sugieren que las características BAL pueden ser causadas por vientos de disco polares. Además, Saikia et al. (2001) y Jeyakumar y otros (2005) constataron que las propiedades radiofónicas de las fuentes CSS son insistente con el esquema unificado en el que los ejes de los cuásares se observan cerca de la línea de visión. Por otro lado, se ha demostrado (Saikia y otros, 2001; Jeyakumar y otros, 2005) que muchos objetos CSS interactúan con un medio asimétrico en el las regiones centrales de sus galaxias anfitrionas, y esto puede servía a las asimetrías. Por lo tanto, es probable que, también en el caso de la CSS quasar 1045+352, las asimetrías ambientales podrían desempeñar un papel importante. La potencia de chorro se puede estimar a partir de la relación entre la luminosidad de radio y la potencia de chorro dado por Willott et al. (1999, Eq.(12)). Sin embargo, porque algunos de la densidad de flujo del 1045+352 se puede vis- las laciones tienen que ser tratadas como una aproximación. Asumiendo que Densidad de flujo de 151-MHz, que representa la M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro escarpado 9 1302+356 8452.400 MHz densidad de flujo pico=109,96 mJy/haz, tamaño del haz=252 x 230 ms primer nivel de contorno=0,09 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34,75 34,70 34,65 34,60 34,55 34,50 34,45 34,40 34,35 34,30 35 23 36 1302+356 4994,500 MHz densidad de flujo pico=129,54 mJy/haz, tamaño del haz=62 x 39 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN CORRECTA (B1950) 13 02 13,86 13,84 13,82 13,80 13,78 13,76 13,74 13,72 13,70 13,68 35 39 38,5 1302+356 1667,474 MHz densidad de flujo pico=19,62 mJy/haz, tamaño del haz=10,0 x 4,0 ms primer nivel de contorno=0,14 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34,502 34,500 34,498 34,496 34,494 34,492 34,490 34,488 34,486 35 23 33,64 33.62 33,60 33.58 33.56 33.54 33.52 33.50 33.48 33.46 33.44 1302+356 4987,474 MHz densidad de flujo pico=4,23 mJy/haz, tamaño del haz=3,8 x 1,5 ms primer nivel de contorno=0,07 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 13 04 34.498 34.497 34.496 34.495 34.494 34.493 34.492 35 23 33.57 33.56 33.55 33.54 33.53 33.52 33.51 33.50 33.49 Fig. 7. El mapa VLA 8.4-GHz (arriba a la izquierda), el mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la derecha) y los mapas VLBA 1.7 y 5-GHz de 1302+356. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a sión y la emisión de radio de los chorros, la potencia cinética del chorro es Q jet 10 44erg sec−1. El tamaño lineal proyectado D de un quásar de radio o radio galaxia puede estar aproximadamente relacionado con el tiempo, desde el trig- gering de la actividad, como la relación entre estas variables sólo depende débilmente de la luminosidad de la radio. Uso el modelo de evolución de la fuente de radio de Willott et al. (1999), la edad estimada de 1045 + 352 años era de 105 años (ver También Willott et al., 2002; Rawlings et al., 2004). Para el calcu- las laciones que asumimos: ­ = 20, β = 1,5, c1 = 2,3, n100 = 3000 e− m−3, a0 = 100 kpc (véase Willott y otros, 1999, para defini- ciones). Imágenes de alta frecuencia de MERLIN y VLBA han revelado que pueden haberse producido dos ciclos de actividad durante Estos 105 años. La emisión de NE/SW extendida es prob- el remanente de la primera fase de la actividad, que ha sido muy recientemente sustituido por una nueva fase de actividad apuntando en un Dirección NW/SE. Ha sido mostrado por Stanghellini et al. (2005) que la emisión ampliada observada para objetos de pequeña escala puede ser los restos de un período anterior de actividad en estas fuentes. En el caso de 1045+352, la renovación de la actividad ha sido accompa- nied por una reorientación del eje de chorro. Varios procesos se pueden utilizar para explicar una reorientación a chorro en AGNs. Hay fuertes bases observacionales y teóricas por creer que los discos de acreción alrededor de los agujeros negros pueden ser retorcido o deformado, y esto puede ser causado por un número de pos- procesos físicos sibles. En particular, si hay una desalineación entre el eje de agujero negro giratorio y el eje de su rotación disco de acreción, entonces la precesión de Lense-Thirring produce un warp en el disco. Este proceso se llama Bardeen-Peterson ef- (Bardeen & Petterson, 1975). Según Pringle (1997), disco también puede ser inducido por inestabilidades internas en el disco de acreción causado por la presión de radiación de la central fuente. Una reorientación del eje jet también puede resultar de una fusión con otro agujero negro. Merritt & Ekers (2002) han demostrado que un cambio rápido en la orientación del chorro puede ser causado incluso por un mi- 10 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1407+369 4994,500 MHz densidad de flujo pico=109,87 mJy/haz, tamaño del haz=52 x 46 ms primer nivel de contorno=0,12 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.56 09.54 09.52 09.50 09.48 09.46 36 42 08,8 1407+369 1667,474 MHz densidad de flujo pico=147,37 mJy/haz, tamaño del haz=10,2 x 5,1 ms primer nivel de contorno=0.18 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.516 09.512 09.508 09.504 09.500 36 42 08.30 08.25 08.20 08.15 08.10 08.05 1407+369 4987,474 MHz densidad de flujo pico=60,90 mJy/haz, tamaño del haz=3,6 x 2,0 ms primer nivel de contorno=0.16 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.512 09.510 09.508 09.506 09.504 36 42 08.22 08.20 08.18 08.16 08.14 08.12 08.10 1407+369 8421,474 MHz densidad de flujo pico=24,34 mJy/haz, tamaño del haz=2,1 x 1,0 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 09 09.511 09.510 09.509 09.508 09.507 09.506 36 42 08.18 08.17 08.16 08.15 08.14 08.13 08.12 Fig. 8. El mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la izquierda) y los mapas VLBA 1.7, 5, y 8.4-GHz de 1407+369. Los contours aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a 3 Las cruces indican la posición de un objeto óptico encontrado usando el SDSS/DR5. ni la fusión debido a un giro-giro de la central activa negro agujero que surge de la coalescencia de los agujeros negros binarios inclinados. Según Liu (2004), el efecto Bardeen-Peterson también puede causar un realineamiento de un SMBH giratorio y un ac desalineado disco de creación, donde la escala de tiempo de tal reajuste t < 105 años. Si se asume que la velocidad típica de avance de ra- Los lóbulos dio de los AGN jóvenes son de 0,3c (Owsianik y otros, 1998; Giroletti et al., 2003; Polatidis & Conway, 2003), luego distorsionado chorros de longitud, < 10 kpc para algunas fuentes CSS y GPS deben se observen, aunque el carácter de estas perturbaciones no es Lo sé. Liu (2004) muestra que la interacción/reajuste de un binario y su disco de acreción conduce al desarrollo de X- fuentes en forma. 1045+352 no es una fuente típica en forma de X como 3C 223.1 ó 3C 403 (Dennett-Thorpe y otros, 2002; Capetti y otros, 2002). Sin embargo, según Cohen et al. (2005) el realineamiento- de un SMBH rotativo seguido de un reposicionamiento de disco de creación y chorros es una interpretación plausible para desalineados estructuras de radio, incluso si no son visiblemente en forma de X. Es probable que en fuentes jóvenes como 1045+352, la gas todavía no se ha asentado en un disco regular después de una fusión y que separan las nubes de gas y polvo llegando al mismo las regiones centrales de la fuente en diferentes momentos perturban la la capacidad del disco de acreción y afectan a la formación del chorro. Más tarde, Estas nubes podrían causar una renovación de la actividad. Simu numeral- las laciones de galaxias colisionantes muestran que éstas suelen fusionar com- Completamente después de unos pocos encuentros en escalas de tiempo de hasta 108 años (Barnes & Hernquist, 1996). Según Schoenmakers et al. (2000), múltiples encuentros entre galaxias que interactúan pueden causar interrupciones de la actividad y conducir a los muchos tipos de fuentes que se observan en una fase de reinicio, como Dobles galaxias de radio. Sin embargo, no está claro si tales Los encuentros pueden causar una reorientación a chorro. Por otra parte, la medio denso de una galaxia huésped puede frustrar los chorros, y su colisiones con el medio circundante denso pueden causar rápidos se dobla a través de grandes ángulos. En el caso de 1045+352, el VLBA imágenes en las frecuencias más altas parecen mostrar un chorro emergiendo en M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes de espectro empinadas y compactas 11 1425+287 8439.900 MHz densidad de flujo pico=64,89 mJy/haz, tamaño del haz=305 x 267 ms primer nivel de contorno=0,08 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 27 38,7 38,6 38,5 38,4 38,3 38,2 28 33 17 1425+287 4994,500 MHz densidad de flujo pico=62,37 mJy/haz, tamaño del haz=74 x 40 ms primer nivel de contorno=0,80 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 14 27 40,40 40,35 40,30 40,25 40,20 28 33 27,5 Fig. 9. El mapa VLA 8.4-GHz y el mapa MERLIN 5-GHz de 1425+287. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno se corresponde con la cifra de 3o. Frecuencia (Hz) 1045+352 Fig. 11. Distribución espectral de energía (SED) de 1045+352 radio a longitudes de onda submilimétricas. Los errores son más pequeños que el tamaño de los símbolos; 1,25 mm de punto (Haas et al., 2006) es se muestra como un triángulo, 850μm y 450 μm puntos (Willott et al., 2002) se muestran como círculos llenos, observaciones de radio se muestran como asteriscos. La curva sólida es el ajuste parabólico f (x) = ax2+bx+c a todos los datos radioeléctricos (yi), con a = −0,14, b = 1,91, c = −5,68, y reducción de χ2 = 12. La curva es el ajuste lineal f (x) = ax+ b a los datos radiofónicos con ν > 1GHz, con a = −0,86, b = 7,91, y reducción de la χ2 = 0,5. una dirección S/SE, pero doblada a través de 60° hacia una dirección NE en la imagen de resolución inferior 1.7-GHz. El MERLIN inferior res- olución 5-GHz imagen puede indicar que el chorro se ha doblado de nuevo y ahora emerge del núcleo en una dirección NW. Es difícil encontrar un argumento convincente a favor de una de las alternativas mencionadas o para descartar cualquiera de ellas basado en los amplios datos de multifrecuencia de 1045+352 pre- enviado aquí. Sin embargo, si se asume que una fusión es la más causa probable de la ignición y reanudación de la actividad en radio galaxias, esto podría significar que 1045+352 ha sufrido dos los acontecimientos de fusión en un período de tiempo muy corto (­ > 105), que es un- Cuadro 2 1045+352 propiedades Valor del parámetro u′ 22.12 g′ 21.38 r′ 20.81 i′ 20.14 z′ 20.08 AB 2.0 MB -22.05 (-24.05) AV 1.5 MV -22.83 (-24.33) log(R)* (total) 4.9 (4.1) log(R)*)(básico) 3.8 (3,0) Notas: Fotometría óptica de SDSS, corregida para extin- tion. AV tomada de Willott et al. (2002). Cantidades entre paréntesis: corregido por extinción intrínseca. Probablemente. Más probable es que el encendido de la actividad en 1045+352 ha ocurrido durante un evento de fusión que es, hasta ahora, incompleto y que perturbaron, desalinearon los chorros de radio resultado de la realineación de una inyección rotativa de SMBH o de gas intermitente que interrumpe formación de chorros. 4.2. Otras nueve fuentes Tres fuentes de nuestra muestra (1126+293, 1407+369, 1627+289) muestran estructuras de chorro de núcleo de una o dos caras, que se encuentran en una fase activa de su evolución, aunque la estructura de núcleo-jet de 1126+293 es controvertida. Nuestras imágenes indicar que los componentes occidentales son partes del chorro, que es posiblemente antecesor o ser doblado por las interacciones con el inter- Medio estelar. Sin embargo, también podrían ser focos de una radio lóbulo. Desafortunadamente, nuestras observaciones VLBA de alta frecuencia son no lo suficientemente sensible para resolver este problema. Otras tres fuentes (1056+316, 1132+374, 1425+287) tienen núcleos de radio visibles y partes de lóbulos o hotspots, indicando la actividad. 1132+374 es una OSC objeto. En el caso de una fuente, 1059+351, el VLBA obser- 12 M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 1627+289 8439.900 MHz densidad de flujo pico=75,42 mJy/haz, tamaño del haz=271 x 263 ms primer nivel de contorno=0,07 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,50 12,45 12,40 12,35 12,30 12,25 12,20 12,15 12,10 12,05 28 51 37 1627+289 4994,500 MHz densidad de flujo pico=77,77 mJy/haz, tamaño del haz=70 x 39 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,36 12,34 12,32 12,30 12,28 12,26 12,24 12,22 12,20 28 51 35,5 1627+289 1667,474 MHz densidad de flujo pico=40,35 mJy/haz, tamaño del haz=10,6 x 5,1 ms primer nivel de contorno=0,30 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12.270 12.268 12.266 12.264 12.262 12.260 12.258 28 51 34.16 34.14 34.12 34.10 34.08 34.06 34.04 34.02 34,00 33.98 33.96 1627+289 4987,474 MHz densidad de flujo pico=5,57 mJy/haz, tamaño del haz=4,2 x 1,9 ms primer nivel de contorno=0,15 mJy/beam ESCENSIÓN DE DERECHO (J2000) 16 29 12,267 12,266 12,265 12,264 12,263 12,262 12,261 12,260 28 51 34.11 34.10 34.09 34.08 34.07 34.06 34.05 34.04 34.03 34.02 Fig. 10. El mapa VLA 8.4-GHz (arriba a la izquierda), el mapa MERLIN 5-GHz (arriba a la derecha), y los mapas VLBA 1.7 y 5-GHz de 1627+289. Los contornos aumentan en un factor 2, y el primer nivel de contorno corresponde a vaciones muestran sólo un núcleo de radio, aunque el 5-GHz MERLIN imagen de 1059+351 también muestra restos de las dos radios lóbulos de su estructura en forma de “S” visibles en las resoluciones VLA (Machalski & Condon, 1983; Machalski, 1998). De acuerdo con Taylor et al. (1996) y Readhead et al. (1996), simetría “S” se observa en muchas fuentes compactas y se puede explicar por precesión del motor central. 1059+351 es el más grande fuente en nuestra muestra con un tamaño lineal de 45 kpc basado en su tamaño angular más grande medido a partir de la imagen de 1.46-GHz VLA (Machalski & Condon, 1983). El compacto espectro empinado 1049+384 y 1302+356 fuentes parecen ser variables de baja frecuencia (LFV) en 151 MHz con muy altas (≥0,99) probabilidades de que su variabil- ity es real (Minns & Riley, 2000). Según ellos, LFV ob- Los efectos son generalmente más compactos que otras fuentes CSS y tienden a exhibir espectros más escarpados que las fuentes CSS típicas. Esto puede deberse a un rápido envejecimiento espectral, que podría ser ex- en busca de fuentes frustradas, o simplemente podría ser porque las fuentes están en muy altos corrimientos al rojo. 5. Conclusiones VLBA, VLA y MERLIN imágenes de diez empinadas compactas Se han presentado fuentes de espectro. Una de estas fuentes, 1045+352, es un quásar muy radioluminoso BAL, estructura plex sugiere actividad reiniciada. Esto puede haber resultado bien de un acontecimiento de fusión o de la caída de una nube de gas, que se había enfriado en el halo de la galaxia en la región central de la fuente. Los chorros de radio asimétricos de 1045+352 y el es- ángulo timado sugiere que parte de la emisión se puede aumentar, Aunque no se pueden descartar las asimetrías intrínsecas. Lo ha hecho. También se confirmó que el flujo de 850μm de 1045+352 puede ser gravemente contaminado por la emisión de sincrotrón, que puede gesta menos de los valores estimados anteriormente de emisión infrarroja y masa de polvo. La mayoría de los cuásares BAL radio-loud detectados para M. Kunert-Bajraszewska y A. Marecki: Primera encuesta basada en fuentes compactas de espectro empinado 13 Cuadro 3 Densidad de flujo de las fuentes componentes principales de las observaciones VLBA Fuente: RA DEC S1,7 GHz S5 GHz S8,4GHz Nombre h m s ′ ′′ mJy mJy mJy mas 1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1045+352 10 48 34.248 34 57 25,044 303,2 − − 15,0 11,0 60 10 48 34.249 34 57 25.061 − 3,5 − 2,0 1,0 76 10 48 34.248 34 57 25.041 − 21,8 7,1 7,0 1,0 101 10 48 34.248 34 57 25.043 − 32,7 12,3 4,0 3,0 95 1049+384 10 52 11,803 38 11 44,018 13,6 − − 3,0 1,0 14 10 52 11,797 38 11 44,027 11,4 3,9 6,9 2,0 2,0 121 10 52 11,789 38 11 44,031 182,1 33,6 12,9 8,0 1,0 119 10 52 11,787 38 11 44,048 218,5 23,9 2,3 5,0 3,0 177 1056+316 10 59 43.254 31 24 20.106 8,8 − − 0,9 0,1 7 10 59 43.235 31 24 20.538 43.6 − − 33,0 8,0 6 1059+351 11 02 08.726 34 55 08.709 8,1 − − 0,7 0,3 124 1126+293 11 29 21.755 29 05 06.402 7,3 − − 3,0 1,0 84 11 29 21,753 29 05 06,401 10,4 − − 13,0 4,0 53 1132+374 11 35 05.934 37 08 40.810 124.1 6,6 1,6 18,0 2,0 57 11 35 05,932 37 08 40,775 36,3 13,8 9,4 2,0 0,4 8 11 35 05,931 37 08 40,715 14,5 − − 5,0 0,8 105 1302+356 13 04 34,495 35 23 33,534 46,8 5,9 − 11,0 6,0 97 13 04 34,494 35 23 33,538 60,5 − − 15,0 7,0 147 1407+369 14 09 09.504 36 42 08.195 81,0 1,9 − 17,0 3,0 138 14 09 09.508 36 42 08.164 192,8 76,7 42,0 8,0 1,5 141 14 09 09.508 36 42 08.152 − 9,5 4,8 0,7 0,2 140 1627+289 16 29 12.264 28 51 34.062 111,5 8,1 − 10,0 6,0 58 Descripción de las columnas: (1) nombre de la fuente en el formato IAU; (2) ascensión de la derecha del componente (J2000) medida a 1,7 GHz; (3) componente declinación (J2000) medida a 1,7 GHz; (4) densidad de flujo VLBA en mJy a 1,7 GHz del presente documento; (5) densidad de flujo VLBA en mJy a 5 GHz del presente documento; (6) densidad de flujo VLBA en mJy a 8,4 GHz del presente documento; (7) componente desconvertido eje angular principal tamaño a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT; (8) tamaño angular del eje menor del componente desconvertido a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT; (9) ángulo de posición del eje principal a 1,7 GHz obtenido mediante JMFIT. En el caso de que el componente no sea visible en el mapa de 1,7 GHz, los valores de los tres últimos las columnas se toman de la imagen de 5 GHz. fecha tienen estructuras de radio muy compactas similares a GPS y CSS fuentes que se cree que son jóvenes. Por lo tanto, el compacto estructura y la edad joven de 1045 + 352 encajan bien con la evolución la interpretación de los QSO radioeléctricos BAL. Según el modelo evolutivo propuesto recientemente por Lipari y Terlevich (2006), los cuásares BAL son sistemas jóvenes con salidas compuestas, y están acompañadas de absorción nubes. Los sistemas radioeléctricos pueden estar asociados con el de la evolución, cuando los chorros han eliminado las biblia para la generación de BALs. El efecto de la orientación podría jugar un papel secundario aquí. Lo anterior podría explicar la rareza de estructuras de radio extendidas que muestren características BAL (Gregg y otros, 2006). Agradecimientos. El VLBA es operado por el Observatorio Nacional de Radioastronomía (NRAO), una instalación de la Fundación Nacional de Ciencia (NSF) que funciona bajo cooperación acuerdo de Universidades Asociadas, Inc. (AUI). Esta investigación ha utilizado la base de datos extragaláctica NASA/IPAC (NED), que es operado por el Jet Propulsion Laboratory, California Institute de Tecnología, en virtud de un contrato con la Aeronáutica Nacional y el Espacio Administración. Se ha utilizado el Archivo Sloan Digital Sky Survey (SDSS). Los SDSS es administrado por el Consorcio de Investigación Astrofísica (ARC) para el Instituciones participantes: La Universidad de Chicago, Fermilab, el Instituto de Estudio avanzado, el Grupo de Participación de Japón, la Universidad Johns Hopkins, Laboratorio Nacional Los Alamos, el Instituto Max-Planck de Astronomía (MPIA), el Instituto Max-Planck de Astrofísica (MPA), Estado de Nuevo México Universidad de Pittsburgh, Universidad de Princeton (Estados Unidos) Observatorio Naval, y la Universidad de Washington. Agradecemos al Sr. Gawroński su ayuda con las observaciones de la OCRA-p. La OCRA El proyecto contó con el apoyo del Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Polonia en virtud de la subvención 5 P03D 024 21 y el Fondo del Instrumento Paul de la Royal Society. Le damos las gracias a P.J. Wiita para una discusión y P. Thomasson para la lectura del documento y una serie de sugerencias. Este trabajo contó con el apoyo del Ministerio de Ciencia y Educación con cargo al subsidio 1 P03D 008 30. Bibliografía Allington-Smith, J., R., Spinrad, H., Djorgovski, S., & Liebert, J. 1988, MNRAS, 234, 1091 Bardeen, J. M., & Petterson, J. A. 1975, ApJ, 195, L65 Barnes, J. E., & Hernquist, L. 1996, ApJ, 471, 115 Becker, R. H., Gregg, M. D., Hook, I. M., et al. 1997, ApJ, 479, L93 Becker, R. H., White, R. L., Gregg, M. D., et al. 2000, ApJ, 538, 72 Blundell, K. M., Rawlings, S., & Willott, C. J. 1999, ApJ, 117, 677 Brotherton, M. S., van Breugel, W., Smith, R. J., et al. 1998, ApJ, 505, L7 Brotherton, M. S., Croom, S. M., De Breuck, C., Becker, R. H., & Gregg, M. D. 2002, AJ, 124, 2575 Bryce, M., Pedlar, A., Muxlow, T., Thomasson, P., & Mellema, G. 1997, MNRAS, 284, 815 Capetti, A., Zamfir, S., Rossi, P., et al. 2002, A&A, 394, 39 Carvalho, J. C. 1985, MNRAS, 215, 463 Cohen, A. S., Clarke, T. E., Ferretti, L., & Kassim, N. 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C., & Foltz, C. B. 2003, AJ, 125, 1784 Jeyakumar, S., Wiita, P. J., Saikia, D. J., & Hooda, J. S., 2005, A&A, 432, 823 Jiang, D. R., & Wang, T. G. 2003, A&A, 397, L13 Kunert, M., Marecki, A., Spencer, R. E., Kus, A. J., & Niezgoda J. 2002, A&A, 391, 47 (Papel I) Kunert-Bajraszewska, M., Marecki, A., Thomasson, P., & Spencer, R. E. 2005, A&A, 440, 93 (Papel II) Kunert-Bajraszewska, M., Marecki, A., & Thomasson, P. 2006, A&A, 450, 945 (Papel IV) Lipari, S. L., & Terlevich, R. J. 2006, MNRAS, 368, 1001 Liu, F. K., 2004, MNRAS, 347, 1357 Lowe, S. R., 2005, tesis doctoral, Universidad de Manchester Machalski, J., & Condon, J. J. 1983, AJ, 88, 143 Machalski, J. 1998, A&AS, 128, 153 Marecki, A., Spencer, R. E., & Kunert, M. 2003, PASA, 20, 46 Marecki, A., Kunert-Bajraszewska, M., & Spencer, R. E. 2006, A&A, 449, 985 (Papel III) Menou, K., Vanden Berk, D. E., & Ivezić, Ž. 2001, ApJ, 561, 645 Merritt, D., & Ekers, R. D. 2002, Science, 297, 1310 Minns, A. R., & Riley, J. 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Investigation of relaxation phenomena in high-temperature superconductors HoBa2Cu3O7-d at the action of pulsed magnetic fields

Microsoft Word - artículo.doc Investigación de fenómenos de relajación en los superconductores de alta temperatura HoBa2Cu3O7- la acción de campos magnéticos pulsados J.G. Chigvinadze*, J.V. Acrivos**, S.M. Ashimov*, A.A. Iashvili*, T. V. Machaidze*, Th. Lobo*** * E. Andronikashvili Instituto de Física, 0177 Tbilisi, Georgia ** Universidad Estatal de San José, San José’ CA 95192-0101, EE.UU. *** Forschungszentrum Karlsruhe, Institut für Festkörperphysik, 76021 Karlsruhe, Alemania Resumen Se utiliza el método mecánico de vórtice de Abrikosov investigación dinámica estimulada en superconductores. Con su ayuda se estudió fenómenos de relajación en materia vórtice de superconductores de alta temperatura. Lo siento. establecido que los campos magnéticos pulsados cambian el curso de los procesos de relajación que tienen lugar en la materia vórtice. Los estudio de la influencia de los pulsos magnéticos sus duraciones y amplitudes en el sistema vórtice de Sistema de superconductores isotrópicos de alta temperatura HoBa2Cu3O7- mostró la presencia de umbral fenómenos. Los pequeños pulsos de duración no cambian el curso de los procesos de relajación que tienen lugar en el vórtice materia. Cuando la duración de los pulsos excede de algunos valor crítico (umbral), entonces su influencia cambia el curso de proceso de relajación que se revela por cambio paso a paso del momento mecánico relajante rel. Estas investigaciones demostraron que el tiempo para formato de la celosía de vórtice de Abrikosov en HoBa2Cu3O7- es del orden de 20 s que en el orden de valor supera el tiempo necesario para la formación de una sola vórtice observado en superconductores tipo II. 1. Introducción La presente Comunicación está dedicada a: investigación experimental de fenómenos de relajación en Superconductores de alta temperatura de HoBa2Cu3O7- sistema. Los superconductores de alta temperatura se caracterizan por tales altas temperaturas críticas de transición en el superconductores, siguen siendo superconductores en temperaturas cuando sus fluctuaciones térmicas energía se compara con la energía elástica, y también con la energía de fijación [1]. Crea requisitos previos para la fase transiciones. Debido a la estructura de cristal en capas y anisotropía, que es una característica de alta temperatura superconductores, revelan las condiciones para el aparición de diferentes fases en el diagrama B-T.( B es inducción magnética, T-es temperatura)[2-13]. As ejemplo, Abrikosov vórtice celosía comenzar a fundirse cerca de la crítica temperatura lo que es seguido por lo esencial cambio de la dinámica de flujo continuo del vórtice junto con cambio agudo de carácter (dinámica) de la relajación fenómenos. En superconductores de alta temperatura es observó tales procesos de relajación como un lento logarítmico disminución del flujo capturado con el tiempo a temperaturas mucho por debajo de su transición crítica superconductiva temperatura [14-16]. El carácter logarítmico de la relajación es explicada por el Anderson [17]. Cerca de, en el rango de Abrikosov vórtice celosía de fusión, el el carácter logarítmico de la relajación es cambiado por el potencia uno con 2/3 exponente [18]. En consecuencia, el estudio de los procesos de relajación en superconductores de alta temperatura es un importante problema. 2. Experimental Para la investigación se utilizó mecánica sin corriente método de estudio de dinámica estimulado por vórtice de Abrikosov por pulsos magnéticos revelando fenómenos de relajación en materia vórtice descrita en el trabajo [19]. Este método es un desarrollo de un método mecánico sin corriente de investigaciones de fijación [20,21] y se basa en la fijación fuerza contramomentos medidas y viscosos fricción, actuando sobre un superconducto axialmente simétrico muestra en un campo magnético externo (transversal). Contramomentos de fuerzas de fijación y de viscosa fricción, actuando sobre una muestra superconductiva de Los vórtices cuantificados de las líneas del vórtice (Abrikosov vórtices) son define la forma como se describe en el trabajo [22,23]. Los la sensibilidad del método funciona en consecuencia [24], es equivalente a 10-8 V×cm-1 en el método de V-A características. Las muestras superconductoras de alta temperatura de El sistema HoBa2Cu3O7- Método de reacción en estado sólido. Se hicieron muestras cilíndrico con altura L=13mm y diámetro d=6mm. Su temperatura crítica fue Tc=92 K. muestras fueron isotrópicas lo que fue establecido por Mediciones mecánicas del momento H > 1cH con la penetración de los vórtices de Abrikosov en una suspensión libre sobre un hilo elástico fino Muestra superconductora. La apariencia de tales momento sinMH=, característica de anisótropo superconductores, está relacionado con la penetración de Abrikosov vórtices y el momento magnético medio M de una muestra que podría desviarse en el ángulo α de la dirección de campo magnético exterior H . En superconducto anisotrópico muestras que se presenta energéticamente favorables direcciones para el arreglo del vórtice emergente (penetración) líneas que a su vez son fijadas por los centros de fijación crear el momento antes mencionado. La falta de momento es característico de isotrópico e investigado por muestras, no importa el valor del campo magnético y su orientación anterior con respecto a H en el axial plano de simetría. Campos magnéticos pulsados fueron creados por Bobinas Helmholtz. El valor de los campos magnéticos pulsados fue cambiado en Oeh 2002 límites. En experimentos se utilizó tanto individual como continuo. pulsado con frecuencia de repetición ν de 2,5 s-1 a 500s-1 . Duración x de pulsos se cambió de 0,5 500 s. Pulso magnético podría ser dirigido tanto paralelo hH) y perpendicularmente ( hH) a aplicado constante campo magnético H , creando un estado mixto de Muestra superconductora. El generador de impulsos estándar y amplificador fueron utilizados para alimentar las bobinas Helmholtz. Los la resistencia de la corriente en bobinas alcanzó hasta 40o50 A. Las muestras eran superconductores de alta temperatura de HoBa2Cu3O7-el sistema colocado en el centro entre Bobinas Helmholtz. La configuración principal del experimento se muestra en el fig.1 [19,20]. En experimentos se mide el ángulo de rotación 2° de la muestra en función del ángulo de rotación de una cabezal de torsión 1o, transmitiendo la rotación a una muestra por medios de suspensión con rigidez de torsión K •4·10-1 [dyn•cm], que puede sustituirse cuando necesario por uno menos rígido o más rígido. Las mediciones se realizaron a una velocidad constante de la rotación de la cabeza de torsión, haciendo 1=1,8·10 -2 rad/s. Ángulos de rotación 2o y 1o fueron determinado con una precisión de ±4,6·10-3 y ±2,3·10-3 rad, respectivamente. La uniformidad del campo magnético concentración a lo largo de una muestra fue inferior a H • = 10-3. Fig. 1. El diagrama esquemático y la geometría del experimento. 1 muestra, 2 filamentos elásticos superiores, 3 filamentos inferiores, 4 cabezales delanteros, 5 - carretera de vidrio. Es el ángulo entre el Sr. y Hr. Para evitar efectos, conectados con el imán congelado flujo, la parte inferior del criostato con la muestra fue poner en una pantalla cilíndrica especial Permalloy, reduciendo el campo magnético de la Tierra por el factor de 1200. Después de un muestra fue enfriada por nitrógeno líquido a la estado superconductor, la pantalla fue removida, un campo magnético de la intensidad necesaria H se aplicó y se midieron las dependencias de 2 1 ( )( )( )(). Para llevar a cabo las mediciones a diferentes valores de H, la muestra fue traído al estado normal calentándolo a T > cT en H = 0, y sólo después de devolver la muestra y la cabeza de torsión hasta el estado inicial 1 2 0-0- = =, el experimento fue Repetido. 3. Resultados y debates Durante la rotación de la muestra tanto de normal y Estados superconductores en el ausencia de campo magnético externo ( H = 0) el 2 es lineal y la condición es Satisfecho. == 21 años == Se cambia el carácter de la dependencia de 2 1 ( ) significativamente, cuando la muestra está en campos magnéticos H > 1cH en T < cT. Típicos 2 1 ( )....................................................................................................................................................................... T=77K y varios campos magnéticos para HoBa2Cu3O7- muestra (longitud de una muestra cilíndrica L=13mm y diámetro d=6mm ) se muestra en la Fig.2. Fig.2. Dependencia del ángulo de rotación de la muestra HoBa2Cu3O7- 2° en el ángulo de rotación de la cabeza principal 1° en el campo magnético H=1000 Oe en T=77K. En la figura 2 se observan tres regiones distintas. En el primera región (inicial), la muestra no responde a la aumento en 1o, es decir, a la aplicada y aumentar con par de torsión temporal igual o superior a 1° ~ ) ( 21 − = K o responde débilmente. Tal comportamiento de la muestra puede ser explicado por el hecho de que los vórtices de Abrikosov no son separado de los centros de fijación en pequeños valores de 1 , pero si la muestra sigue girando ligeramente, esto puede ser causada por la deformación elástica de las líneas de fuerza magnética más allá de ella o, posiblemente, por la separación de los más débiles vórtices fijos. Como se ve en el fig.2, tan pronto como un cierto valor crítico min dependiendo de H se alcanza, la primera región bajo va una transición a la segunda región en la que aumenta la velocidad de la muestra con el aumento del 1 ° como resultado de la proceso progresivo de desapego de los vórtices de sus los centros de fijación correspondientes. Uno debería esperar que sólo en esta región, en la muestra giratoria “los vórtices ventilador” comienza a desplegarse, en con los vórtices se distribuyen según los ángulos instantáneos de las orientaciones con respeto al campo magnético externo fijo. En este caso los ángulos de orientación de los filamentos de vórtice separados son limitado de fr. a pinfr +, donde fr. es el ángulo en el que el filamento del vórtice se puede girar con respeto a H por fuerzas de fricción viscosa con la matriz de superconductor, y el pino es el ángulo encendido con el el filamento del vórtice puede ser girado por el pinning más fuerte centro, estudiado por primera vez en [25]. La transición gradual (con valores elevados de 1oo) a la tercera región en la que la dependencia lineal 2 1 )......................................................................................................................................................................................................................................................... observado, permite definir los contramomentos de las fuerzas de fijación p.a. y fr.a., de forma independiente. Sólo en esto. región, cuando 21 = el torque muestra de rotación uniforme, se equilibra por el contramomento p. y fr. En particular, en el caso de muestra continuamente giratoria con frecuencia 21 = uno podría encontrar similarmente a [26,27] la expresión para el par total de frenado  [19]. De hecho, si consideramos en este caso un elemento vórtice movimiento con velocidad perpendicular a sd entonces la fuerza media que actúa sobre estos elementos es dsFdsfd l + = OU y el par de frenado asociado, ejercido sobre la rotación el espécimen se convierte en: fdrd donde r es el vector apuntando desde el eje de rotación a los elementos del vórtice, lF es la fuerza de fijación por flujo hilo por unidad de longitud, y η es el coeficiente de viscosidad. Para una muestra cilíndrica de radio R y altura L integración sobre la contribución individual de todos los vórtices da un par total de frenado 0+= p (1) con =........................................................................... y B =, donde B es la inductividad mediada sobre la muestra, 0Φ es el flujo cuántico, L es la altura y R es la radio de la muestra. Como se muestra en la Fig.2, empezando por el punto a), donde 21 =, a la muestra superconductora rotación uniforme en el estacionario homogéneo campo magnético H=1000 Oe, se aplica estacionario momento de torsión dinámica fr p + =. Si en esta región la cabeza de torsión se detiene, entonces en el coste de los procesos de relajación relacionados con el presencia de fuerzas viscosas que actúan sobre filamentos de vórtice, la muestra continuará la rotación en la misma dirección (con velocidad decreciente) hasta que alcanza un cierto posición de equilibrio, dependiendo del valor H. Los La figura 3 muestra las curvas de 2 dependencia del tiempo en el se detuvo la cabeza principal de la muestra de HoBa2Cu3O7- T=77K y H=1000 Oe. Fig.3. Dependencia del impulso a tiempo t después de la parada de cabeza giratoria para la muestra de HoBa2Cu3O7- a T=77K y H=1000 Oe. Si durante la relajación después de la rotación de la muestra uno aplica el campo magnético pulsado en paralelo al exterior campo magnético H , entonces vórtices adicionales, creado como resultado del pulso magnético, influir en la estructura ya existente en la muestra como “el ventilador del vórtice” lo que podría resultado en la disminución del ángulo de su despliegue o a su plegado. La carta a su vez, causaría la cambio adicional en el proceso de relajación que está teniendo lugar en la muestra, y, en consecuencia, resulta en la disminución gradual del momento relacionado con el viscoso las fuerzas de seguridad de la República Federal de Alemania. Pero el cambio de carácter del proceso de relajación y, la disminución gradual del momento podría sucede si la duración del pulso magnético es mayor como en comparación con el tiempo necesario para la creación de un nuevo estructura del vórtice, que influirá en el muestra superconductora relajante en el campo magnético. Si es así es el caso, entonces en las pequeñas duraciones de los pulsos magnéticos la curva de relajación, presentada en la Fig.3, no cambia, pero cuando esta duración se convierte en el orden de un tiempo para penetración de los vórtices en la muestra y la creación de la estructura del vórtice, entonces el cambio antes mencionado de los procesos de relajación podrían aparecer principalmente. Es decir, esta situación cuando la duración x de los pulsos magnéticos era más grande que el tiempo para la celosía de vórtice de Abrikosov creación xс, han sido descritos por nosotros nuestro anterior trabajo [19], cuando se demostró que la influencia de uno Pulso magnético h­400 Oe (hH) con duración 30 xс fue disminuido paso a paso el momento rel y el proceso de relajación continuó con la reducción en el nivel hasta un nuevo pulso magnético similar el primero no se aplica. En el trabajo presentado se estudió la influencia de duración y amplitud diferentes pulsos en la relajación procesos en materia de vórtice. Los resultados mostrados en la Fig.4 sobre la acción de pulsos únicos de diferentes duraciones en procesos de relajación en materia de vórtice y, en consecuencia, en el momento mecánico reveló que a los pulsos pequeños duraciones de hasta 15 s el rel duración del pulso aplicado > 15 s se observa la cambio gradual , lo que habla de la existencia de el umbral xс. Fig.4. Depende de la duración del impulso rel campo magnético pulso único h=172 Oe aplicado en paralelo a la Campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K para HoBa2Cu3O7- Muestra. De esta manera se podría decir que el vórtice de Abrikosov tiempo de creación de celosía en isotrópico de alta temperatura superconductor de HoBa2Cu3O7- orden de 20 s. Este valor aproximadamente en el orden de valor más alto entonces tiempo para la creación de un vórtice para la primera vez medida por G. Boato, G. Gallinaro y C. Rizzuto [28], quien demostró que esta vez es menos de 10-5 seg. En el trabajo [19] también se demostró que la acción continua de los pulsos antes mencionados con la frecuencia del tren igual a 2,5 s-1 más bruscamente revela su influencia en procesos de relajación en la materia vórtice y en estos condiciones los procesos de penetración de los vórtices en Los superconductores a granel se expresan con mayor intensidad. En el fig.5 se presenta la imagen clara de la pulsos de acción continua con h=172 Oe ( hH), y la duración 20 seg, lo que es más grande que el xс con el Frecuencia del tren ν = 2,5 s-1. Como se ve en el cuadro de la pulsos de 5, 10 y 15 segundos de duración no cambian ) tfrel = pulsos. Los resultados presentados en la Fig.5 muestran que en las duraciones de pulsos en 20 segundos, 30 segundos y 40 segundos el Abrikosov Los vórtices penetran en el superconductor. Por aquí el valor umbral de la duración de los pulsos magnéticos observada a la acción de pulsos simples (Fig.4) coinside con el umbral observado cuando su frecuencia de repetición es = 2,5 s-1. Fig.5. Dependencia del impulso a tiempo t después de la parada de cabeza giratoria con la influencia desde t=5 min en la relajación proceso de HoBa2Cu3O7- muestra del campo magnético continuo pulsos h=172 Oe con =2,5 s-1 frecuencia y diferentes duraciones x=5; 10; 15; 20; 30; y 40 s. Campo magnético pulsado fue paralelo al campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K. En la Fig.6 se presenta la curva de rel. =f(t) dependencia del tiempo a la influencia de los pulsos magnéticos h=172 (hH) cuya duración está por debajo del tiempo de creación del sistema de vórtice de Abrikosov x=5 s< xс ( x15 s para el HoBa2Cu3O7-l investigado). Tal como está. visto en la imagen cuando x< xс, la curva de relajación no cambia a pesar del aumento de la repetición frecuencia de los pulsos magnéticos ν de 2,5 a 500 s-1. As tan pronto como la duración de los pulsos supere el valor crítico y se convierte en x=30 s, la curva de relajación experimenta el cambio esencial (por etapas). Por ejemplo, en la Fig.6 it se presenta la medición para = 5s-1 â € ~ 500s-1. Fig.6. Dependencia del impulso en el tiempo t después de la parar la cabeza giratoria con la influencia desde t=10 min en la HoBa2Cu3O7-el proceso de relajación de la muestra de la continua campos magnéticos de pulsos con frecuencia =2,5,500s-1 a x = 5 s < xс, y también a x= 30 s > xс. El campo magnético pulsado h=172 Oe fue paralelo al campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K. Y finalmente, hemos observado el umbral en el valor de las pulsaciones aplicadas. En la Fig.7 se muestra que a pesar de el hecho de que aplicamos pulsos magnéticos de los grandes duración 300 s>> xс, mucho más tiempo en comparación con el tiempo de creación del vórtice de Abrikosov a pequeñas amplitudes de campo pulsado h ~7, 11, 14 Oe rel. =f(t) no cambia. El cambio gradual del momento de relajación # Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # revelado sólo en h ~ 18 Oe y superior. Fig.6. Dependencia del impulso en el tiempo t después de la parar el cabezal giratorio con la aplicación después de 5 minutos en el HoBa2Cu3O7-el proceso de relajación de la muestra del único magnético pulsos de campo h=(7♥36) Oe con duración x= 300 s >> xс. El campo magnético pulsado era paralelo al campo magnético principal H=400 Oe en T=77K. Las nuevas investigaciones de los fenómenos de relajación son: Anticipado para altas temperaturas anisotrópicas superconductores entre ellos en fuerte anisotrópico Superconductores de alta temperatura de Bi-Pb-Sr-Ca-Cu-O sistema. 4. Conclusión El sencillo método mecánico del vórtice de Abrikosov investigación dinámica estimulada que se aplicó para el estudio de campos magnéticos pulsados influencia en la relajación fenómenos en materia vórtice de alta temperatura Superconductores. Se observó el cambio de procesos de relajación en la materia vórtice como resultado de pulsaciones influencia del campo magnético en él. El estudio de la influencia de diferente duración y Se reveló la influencia de campos magnéticos pulsados de amplitud la existencia de fenómenos de umbral. Una pequeña duración pulso no cambia el curso de los procesos de relajación en materia vórtice de alta temperatura isotrópica El superconductor HoBa2Cu3O7-. Cuando la duración de pulsos superan algún valor crítico (umbral), a continuación, su influencia cambiar el curso de los procesos de relajación. Los último se revela en una disminución gradual de la relajación impulso mecánico , aparentemente, relacionado con un cambio agudo de la fijación y la reorganización del vórtice sistema de muestra superconductora como resultado de penetración en su mayor parte de una nueva porción de vórtices en aplicación del campo pulsado en el campo magnético exterior creación de la estructura principal del vórtice en el Muestra de HoBa2Cu3O7- Una nueva porción de vórtices “agita” la celosía del vórtice existente en una muestra que causa el desprendimiento de los vórtices de los centros débiles de la fijación lo que, aparentemente, es la razón de la disminución gradual de impulso mecánico rel. Todo esto hizo posible definir el Abrikosov tiempo de creación de celosía de vórtice en HoBa2Cu3O7- resultó estar en el orden de valor más alto en comparación con el tiempo de creación de un vórtice observado en el tipo II superconductores. Agradecimientos El trabajo fue apoyado por las donaciones de International Centro de Ciencia y Tecnología (ISTC) G-389 y G- 593. Referencia: Reglamento (CEE) n° 4052/92 del Consejo, de 17 de diciembre de 1992, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia. 1. V.M. Pan, A.V.Pan, Física de Baja Temperatura, v27, No9-10, pp. 991-1010. 2. Brandt E. H., Esquinazi P., Weiss W. C. Phys. Rev. Lett., 1991, v. 62, pág. 2330. 3. Xu Y., Suenaga M. Phys. Rev. 1991, v. 43, pág. 5516 Kopelevich Y., Esquinazi P.arXiv: cond-mat/0002019. 4. E. Koshelev y V. M. Vinokur, Phys. Rev. Lett. 73, 3580– 3583 (1994). 5. E.W. Carlson, A.H. Castro Neto, y D.K.Campbell, Phys. Rev. Lett., 1991, v. 90, pág. 6. D. E. Farrell, J. P. Rice y D. M. Ginsberg, Phys. Rev. Lett., 1991, v. 67, págs. 7. S.M. Ashimov, J.G.Chigvinadze, Cond-mat/0306118. 8. V.M.Vinokur, P.S. Kes y A.E. Koshelev., Physica C 168, (1990), 29-39. 9. M.V. Feigelman, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, Physica C 167 (1990) 177. 10. J.G. Chigvinadze, A.A. Iashvili, T.V. Machaidze, Phys.Lett.A. 300(2002) 524-528. 11. J.G. Chigvinadze, A.A. Iashvili, T.V. Machaidze, Phys.Lett.A.300(2002) 311-316. 12. C. J. Olson, G.T. Zimanyi, A.B. Kolton, N. Gronbech-Iensen, Phys.Rev. Lett. 85(2000)5416. C.J.Olson, C.Reichbardt, R.T.Scalettar, G.T.Zimanyi, cond-mat/0008350. 13. S.M. Ashimov, J.G. Chigvinadze, Cartas Físicas A 313 (2003) 238-242. 14. Muller K. A., Tokashige., Bednorz J. G.- Phys. Rev. Lett., 1987, v.58, p.1143. 15. Touminen M., Goldman A. M., McCartney M. L.- Phys. Rev. B, 1988, v.37, p.548. 16. Klimenko A.G., Blinov A.G., Vesin Yu.I., StarikovM.A.- Pis’ma Zh.Eksp. Teor. Fiz., 1987, v.46, Suppl., pág. 17. Anderson P. W. - Phys. Rev. Lett., 1962, v.9, p.303. 18. A.A. Iashvili, T.V. Machaidze. L.T. Paniashvili, y J.G. Chigvinadze. Phys.,Chem., Techn., 1994, v. 7, N 2, pp. 297-300. 19. J.G. Chigvinadze, J.V. Acrivos S.M. Ashimov, A.A. Iashvili, T. V. Machaidze, Th. Wolf. Phys. Lett. A, 349, 264(2006). 20. E. L. Andronikashvili, J.G. Chigvinadze, R.M.Kerr, J. Lowell, K. Mendelsohn, J. S. Tsakadze. Criogénica, v. 9, N2, págs. 119 a 121 (1969). 21. J.G. Chigvinadze, Zh.Eksp.Teor.Fiz.,v. 65, N5, pp. 1923-1927 (1973). 22. S.M. Ashimov, Asuntos Internos. Naskidashvili et al., Low Temp. Phys. 10, 479, (1984). 23. S.M. Ashimov y J.G. Chigvinadze. Física Cartas A, 313, pp. 238-242. (2003). 24. G. L. Dorofeev, E.F. Klimenko, Journ. Techn. Phys. 57, pág. 2291, (1987). 25. B.H. Heise Rev.Mod. Phys.36, 64 (1964). 26. M. Fuhrmans, C. Heiden, Proc. Internacionales Debate (Sonnenberg, Alemania, 1974), Göttingen, 1975, p. 223. 27. M. Fuhrmans, C. Heiden, Criogenics, 125, 451 (1976). 28. G. Boato, G. Gallinaro y C. Rizzuto. Estado sólido Comunicaciones, vol. 3, pp.173-176(1965).

Se utiliza el método mecánico del vórtice de Abrikosov estimula la dinámica investigación en superconductores. Con su ayuda se estudió la relajación fenómenos en materia vórtice de superconductores de alta temperatura. Estableció que los campos magnéticos pulsados cambian el curso de los procesos de relajación lugar en materia de vórtice. El estudio de la influencia de los pulsos magnéticos difiere por sus duraciones y amplitudes en el sistema vórtice de isotrópico sistema de superconductores de alta temperatura HoBa2Cu3O7-d mostró la presencia de fenómenos de umbral. Los pequeños pulsos de duración no cambian el curso de procesos de relajación que tienen lugar en la materia vórtice. Cuando la duración de los pulsos supera algún valor crítico (umbral), entonces su influencia cambia el curso del proceso de relajación que se revela por el cambio gradual de la relajación momento mecánico. Estas investigaciones mostraron que el tiempo para formatear La celosía de vórtice de Abrikosov en HoBa2Cu3O7-d es del orden de 20 microsec. que sobre el orden de valor supera el tiempo necesario para la formación de un único vórtice observado en superconductores tipo II.

Introducción La presente Comunicación está dedicada a: investigación experimental de fenómenos de relajación en Superconductores de alta temperatura de HoBa2Cu3O7- sistema. Los superconductores de alta temperatura se caracterizan por tales altas temperaturas críticas de transición en el superconductores, siguen siendo superconductores en temperaturas cuando sus fluctuaciones térmicas energía se compara con la energía elástica, y también con la energía de fijación [1]. Crea requisitos previos para la fase transiciones. Debido a la estructura de cristal en capas y anisotropía, que es una característica de alta temperatura superconductores, revelan las condiciones para el aparición de diferentes fases en el diagrama B-T.( B es inducción magnética, T-es temperatura)[2-13]. As ejemplo, Abrikosov vórtice celosía comenzar a fundirse cerca de la crítica temperatura lo que es seguido por lo esencial cambio de la dinámica de flujo continuo del vórtice junto con cambio agudo de carácter (dinámica) de la relajación fenómenos. En superconductores de alta temperatura es observó tales procesos de relajación como un lento logarítmico disminución del flujo capturado con el tiempo a temperaturas mucho por debajo de su transición crítica superconductiva temperatura [14-16]. El carácter logarítmico de la relajación es explicada por el Anderson [17]. Cerca de, en el rango de Abrikosov vórtice celosía de fusión, el el carácter logarítmico de la relajación es cambiado por el potencia uno con 2/3 exponente [18]. En consecuencia, el estudio de los procesos de relajación en superconductores de alta temperatura es un importante problema. 2. Experimental Para la investigación se utilizó mecánica sin corriente método de estudio de dinámica estimulado por vórtice de Abrikosov por pulsos magnéticos revelando fenómenos de relajación en materia vórtice descrita en el trabajo [19]. Este método es un desarrollo de un método mecánico sin corriente de investigaciones de fijación [20,21] y se basa en la fijación fuerza contramomentos medidas y viscosos fricción, actuando sobre un superconducto axialmente simétrico muestra en un campo magnético externo (transversal). Contramomentos de fuerzas de fijación y de viscosa fricción, actuando sobre una muestra superconductiva de Los vórtices cuantificados de las líneas del vórtice (Abrikosov vórtices) son define la forma como se describe en el trabajo [22,23]. Los la sensibilidad del método funciona en consecuencia [24], es equivalente a 10-8 V×cm-1 en el método de V-A características. Las muestras superconductoras de alta temperatura de El sistema HoBa2Cu3O7- Método de reacción en estado sólido. Se hicieron muestras cilíndrico con altura L=13mm y diámetro d=6mm. Su temperatura crítica fue Tc=92 K. muestras fueron isotrópicas lo que fue establecido por Mediciones mecánicas del momento H > 1cH con la penetración de los vórtices de Abrikosov en una suspensión libre sobre un hilo elástico fino Muestra superconductora. La apariencia de tales momento sinMH=, característica de anisótropo superconductores, está relacionado con la penetración de Abrikosov vórtices y el momento magnético medio M de una muestra que podría desviarse en el ángulo α de la dirección de campo magnético exterior H . En superconducto anisotrópico muestras que se presenta energéticamente favorables direcciones para el arreglo del vórtice emergente (penetración) líneas que a su vez son fijadas por los centros de fijación crear el momento antes mencionado. La falta de momento es característico de isotrópico e investigado por muestras, no importa el valor del campo magnético y su orientación anterior con respecto a H en el axial plano de simetría. Campos magnéticos pulsados fueron creados por Bobinas Helmholtz. El valor de los campos magnéticos pulsados fue cambiado en Oeh 2002 límites. En experimentos se utilizó tanto individual como continuo. pulsado con frecuencia de repetición ν de 2,5 s-1 a 500s-1 . Duración x de pulsos se cambió de 0,5 500 s. Pulso magnético podría ser dirigido tanto paralelo hH) y perpendicularmente ( hH) a aplicado constante campo magnético H , creando un estado mixto de Muestra superconductora. El generador de impulsos estándar y amplificador fueron utilizados para alimentar las bobinas Helmholtz. Los la resistencia de la corriente en bobinas alcanzó hasta 40o50 A. Las muestras eran superconductores de alta temperatura de HoBa2Cu3O7-el sistema colocado en el centro entre Bobinas Helmholtz. La configuración principal del experimento se muestra en el fig.1 [19,20]. En experimentos se mide el ángulo de rotación 2° de la muestra en función del ángulo de rotación de una cabezal de torsión 1o, transmitiendo la rotación a una muestra por medios de suspensión con rigidez de torsión K •4·10-1 [dyn•cm], que puede sustituirse cuando necesario por uno menos rígido o más rígido. Las mediciones se realizaron a una velocidad constante de la rotación de la cabeza de torsión, haciendo 1=1,8·10 -2 rad/s. Ángulos de rotación 2o y 1o fueron determinado con una precisión de ±4,6·10-3 y ±2,3·10-3 rad, respectivamente. La uniformidad del campo magnético concentración a lo largo de una muestra fue inferior a H • = 10-3. Fig. 1. El diagrama esquemático y la geometría del experimento. 1 muestra, 2 filamentos elásticos superiores, 3 filamentos inferiores, 4 cabezales delanteros, 5 - carretera de vidrio. Es el ángulo entre el Sr. y Hr. Para evitar efectos, conectados con el imán congelado flujo, la parte inferior del criostato con la muestra fue poner en una pantalla cilíndrica especial Permalloy, reduciendo el campo magnético de la Tierra por el factor de 1200. Después de un muestra fue enfriada por nitrógeno líquido a la estado superconductor, la pantalla fue removida, un campo magnético de la intensidad necesaria H se aplicó y se midieron las dependencias de 2 1 ( )( )( )(). Para llevar a cabo las mediciones a diferentes valores de H, la muestra fue traído al estado normal calentándolo a T > cT en H = 0, y sólo después de devolver la muestra y la cabeza de torsión hasta el estado inicial 1 2 0-0- = =, el experimento fue Repetido. 3. Resultados y debates Durante la rotación de la muestra tanto de normal y Estados superconductores en el ausencia de campo magnético externo ( H = 0) el 2 es lineal y la condición es Satisfecho. == 21 años == Se cambia el carácter de la dependencia de 2 1 ( ) significativamente, cuando la muestra está en campos magnéticos H > 1cH en T < cT. Típicos 2 1 ( )....................................................................................................................................................................... T=77K y varios campos magnéticos para HoBa2Cu3O7- muestra (longitud de una muestra cilíndrica L=13mm y diámetro d=6mm ) se muestra en la Fig.2. Fig.2. Dependencia del ángulo de rotación de la muestra HoBa2Cu3O7- 2° en el ángulo de rotación de la cabeza principal 1° en el campo magnético H=1000 Oe en T=77K. En la figura 2 se observan tres regiones distintas. En el primera región (inicial), la muestra no responde a la aumento en 1o, es decir, a la aplicada y aumentar con par de torsión temporal igual o superior a 1° ~ ) ( 21 − = K o responde débilmente. Tal comportamiento de la muestra puede ser explicado por el hecho de que los vórtices de Abrikosov no son separado de los centros de fijación en pequeños valores de 1 , pero si la muestra sigue girando ligeramente, esto puede ser causada por la deformación elástica de las líneas de fuerza magnética más allá de ella o, posiblemente, por la separación de los más débiles vórtices fijos. Como se ve en el fig.2, tan pronto como un cierto valor crítico min dependiendo de H se alcanza, la primera región bajo va una transición a la segunda región en la que aumenta la velocidad de la muestra con el aumento del 1 ° como resultado de la proceso progresivo de desapego de los vórtices de sus los centros de fijación correspondientes. Uno debería esperar que sólo en esta región, en la muestra giratoria “los vórtices ventilador” comienza a desplegarse, en con los vórtices se distribuyen según los ángulos instantáneos de las orientaciones con respeto al campo magnético externo fijo. En este caso los ángulos de orientación de los filamentos de vórtice separados son limitado de fr. a pinfr +, donde fr. es el ángulo en el que el filamento del vórtice se puede girar con respeto a H por fuerzas de fricción viscosa con la matriz de superconductor, y el pino es el ángulo encendido con el el filamento del vórtice puede ser girado por el pinning más fuerte centro, estudiado por primera vez en [25]. La transición gradual (con valores elevados de 1oo) a la tercera región en la que la dependencia lineal 2 1 )......................................................................................................................................................................................................................................................... observado, permite definir los contramomentos de las fuerzas de fijación p.a. y fr.a., de forma independiente. Sólo en esto. región, cuando 21 = el torque muestra de rotación uniforme, se equilibra por el contramomento p. y fr. En particular, en el caso de muestra continuamente giratoria con frecuencia 21 = uno podría encontrar similarmente a [26,27] la expresión para el par total de frenado  [19]. De hecho, si consideramos en este caso un elemento vórtice movimiento con velocidad perpendicular a sd entonces la fuerza media que actúa sobre estos elementos es dsFdsfd l + = OU y el par de frenado asociado, ejercido sobre la rotación el espécimen se convierte en: fdrd donde r es el vector apuntando desde el eje de rotación a los elementos del vórtice, lF es la fuerza de fijación por flujo hilo por unidad de longitud, y η es el coeficiente de viscosidad. Para una muestra cilíndrica de radio R y altura L integración sobre la contribución individual de todos los vórtices da un par total de frenado 0+= p (1) con =........................................................................... y B =, donde B es la inductividad mediada sobre la muestra, 0Φ es el flujo cuántico, L es la altura y R es la radio de la muestra. Como se muestra en la Fig.2, empezando por el punto a), donde 21 =, a la muestra superconductora rotación uniforme en el estacionario homogéneo campo magnético H=1000 Oe, se aplica estacionario momento de torsión dinámica fr p + =. Si en esta región la cabeza de torsión se detiene, entonces en el coste de los procesos de relajación relacionados con el presencia de fuerzas viscosas que actúan sobre filamentos de vórtice, la muestra continuará la rotación en la misma dirección (con velocidad decreciente) hasta que alcanza un cierto posición de equilibrio, dependiendo del valor H. Los La figura 3 muestra las curvas de 2 dependencia del tiempo en el se detuvo la cabeza principal de la muestra de HoBa2Cu3O7- T=77K y H=1000 Oe. Fig.3. Dependencia del impulso a tiempo t después de la parada de cabeza giratoria para la muestra de HoBa2Cu3O7- a T=77K y H=1000 Oe. Si durante la relajación después de la rotación de la muestra uno aplica el campo magnético pulsado en paralelo al exterior campo magnético H , entonces vórtices adicionales, creado como resultado del pulso magnético, influir en la estructura ya existente en la muestra como “el ventilador del vórtice” lo que podría resultado en la disminución del ángulo de su despliegue o a su plegado. La carta a su vez, causaría la cambio adicional en el proceso de relajación que está teniendo lugar en la muestra, y, en consecuencia, resulta en la disminución gradual del momento relacionado con el viscoso las fuerzas de seguridad de la República Federal de Alemania. Pero el cambio de carácter del proceso de relajación y, la disminución gradual del momento podría sucede si la duración del pulso magnético es mayor como en comparación con el tiempo necesario para la creación de un nuevo estructura del vórtice, que influirá en el muestra superconductora relajante en el campo magnético. Si es así es el caso, entonces en las pequeñas duraciones de los pulsos magnéticos la curva de relajación, presentada en la Fig.3, no cambia, pero cuando esta duración se convierte en el orden de un tiempo para penetración de los vórtices en la muestra y la creación de la estructura del vórtice, entonces el cambio antes mencionado de los procesos de relajación podrían aparecer principalmente. Es decir, esta situación cuando la duración x de los pulsos magnéticos era más grande que el tiempo para la celosía de vórtice de Abrikosov creación xс, han sido descritos por nosotros nuestro anterior trabajo [19], cuando se demostró que la influencia de uno Pulso magnético h­400 Oe (hH) con duración 30 xс fue disminuido paso a paso el momento rel y el proceso de relajación continuó con la reducción en el nivel hasta un nuevo pulso magnético similar el primero no se aplica. En el trabajo presentado se estudió la influencia de duración y amplitud diferentes pulsos en la relajación procesos en materia de vórtice. Los resultados mostrados en la Fig.4 sobre la acción de pulsos únicos de diferentes duraciones en procesos de relajación en materia de vórtice y, en consecuencia, en el momento mecánico reveló que a los pulsos pequeños duraciones de hasta 15 s el rel duración del pulso aplicado > 15 s se observa la cambio gradual , lo que habla de la existencia de el umbral xс. Fig.4. Depende de la duración del impulso rel campo magnético pulso único h=172 Oe aplicado en paralelo a la Campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K para HoBa2Cu3O7- Muestra. De esta manera se podría decir que el vórtice de Abrikosov tiempo de creación de celosía en isotrópico de alta temperatura superconductor de HoBa2Cu3O7- orden de 20 s. Este valor aproximadamente en el orden de valor más alto entonces tiempo para la creación de un vórtice para la primera vez medida por G. Boato, G. Gallinaro y C. Rizzuto [28], quien demostró que esta vez es menos de 10-5 seg. En el trabajo [19] también se demostró que la acción continua de los pulsos antes mencionados con la frecuencia del tren igual a 2,5 s-1 más bruscamente revela su influencia en procesos de relajación en la materia vórtice y en estos condiciones los procesos de penetración de los vórtices en Los superconductores a granel se expresan con mayor intensidad. En el fig.5 se presenta la imagen clara de la pulsos de acción continua con h=172 Oe ( hH), y la duración 20 seg, lo que es más grande que el xс con el Frecuencia del tren ν = 2,5 s-1. Como se ve en el cuadro de la pulsos de 5, 10 y 15 segundos de duración no cambian ) tfrel = pulsos. Los resultados presentados en la Fig.5 muestran que en las duraciones de pulsos en 20 segundos, 30 segundos y 40 segundos el Abrikosov Los vórtices penetran en el superconductor. Por aquí el valor umbral de la duración de los pulsos magnéticos observada a la acción de pulsos simples (Fig.4) coinside con el umbral observado cuando su frecuencia de repetición es = 2,5 s-1. Fig.5. Dependencia del impulso a tiempo t después de la parada de cabeza giratoria con la influencia desde t=5 min en la relajación proceso de HoBa2Cu3O7- muestra del campo magnético continuo pulsos h=172 Oe con =2,5 s-1 frecuencia y diferentes duraciones x=5; 10; 15; 20; 30; y 40 s. Campo magnético pulsado fue paralelo al campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K. En la Fig.6 se presenta la curva de rel. =f(t) dependencia del tiempo a la influencia de los pulsos magnéticos h=172 (hH) cuya duración está por debajo del tiempo de creación del sistema de vórtice de Abrikosov x=5 s< xс ( x15 s para el HoBa2Cu3O7-l investigado). Tal como está. visto en la imagen cuando x< xс, la curva de relajación no cambia a pesar del aumento de la repetición frecuencia de los pulsos magnéticos ν de 2,5 a 500 s-1. As tan pronto como la duración de los pulsos supere el valor crítico y se convierte en x=30 s, la curva de relajación experimenta el cambio esencial (por etapas). Por ejemplo, en la Fig.6 it se presenta la medición para = 5s-1 â € ~ 500s-1. Fig.6. Dependencia del impulso en el tiempo t después de la parar la cabeza giratoria con la influencia desde t=10 min en la HoBa2Cu3O7-el proceso de relajación de la muestra de la continua campos magnéticos de pulsos con frecuencia =2,5,500s-1 a x = 5 s < xс, y también a x= 30 s > xс. El campo magnético pulsado h=172 Oe fue paralelo al campo magnético principal H=1000 Oe en T=77K. Y finalmente, hemos observado el umbral en el valor de las pulsaciones aplicadas. En la Fig.7 se muestra que a pesar de el hecho de que aplicamos pulsos magnéticos de los grandes duración 300 s>> xс, mucho más tiempo en comparación con el tiempo de creación del vórtice de Abrikosov a pequeñas amplitudes de campo pulsado h ~7, 11, 14 Oe rel. =f(t) no cambia. El cambio gradual del momento de relajación # Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # Es Rel. # # Es Rel. # Es Rel. # revelado sólo en h ~ 18 Oe y superior. Fig.6. Dependencia del impulso en el tiempo t después de la parar el cabezal giratorio con la aplicación después de 5 minutos en el HoBa2Cu3O7-el proceso de relajación de la muestra del único magnético pulsos de campo h=(7♥36) Oe con duración x= 300 s >> xс. El campo magnético pulsado era paralelo al campo magnético principal H=400 Oe en T=77K. Las nuevas investigaciones de los fenómenos de relajación son: Anticipado para altas temperaturas anisotrópicas superconductores entre ellos en fuerte anisotrópico Superconductores de alta temperatura de Bi-Pb-Sr-Ca-Cu-O sistema. 4. Conclusión El sencillo método mecánico del vórtice de Abrikosov investigación dinámica estimulada que se aplicó para el estudio de campos magnéticos pulsados influencia en la relajación fenómenos en materia vórtice de alta temperatura Superconductores. Se observó el cambio de procesos de relajación en la materia vórtice como resultado de pulsaciones influencia del campo magnético en él. El estudio de la influencia de diferente duración y Se reveló la influencia de campos magnéticos pulsados de amplitud la existencia de fenómenos de umbral. Una pequeña duración pulso no cambia el curso de los procesos de relajación en materia vórtice de alta temperatura isotrópica El superconductor HoBa2Cu3O7-. Cuando la duración de pulsos superan algún valor crítico (umbral), a continuación, su influencia cambiar el curso de los procesos de relajación. Los último se revela en una disminución gradual de la relajación impulso mecánico , aparentemente, relacionado con un cambio agudo de la fijación y la reorganización del vórtice sistema de muestra superconductora como resultado de penetración en su mayor parte de una nueva porción de vórtices en aplicación del campo pulsado en el campo magnético exterior creación de la estructura principal del vórtice en el Muestra de HoBa2Cu3O7- Una nueva porción de vórtices “agita” la celosía del vórtice existente en una muestra que causa el desprendimiento de los vórtices de los centros débiles de la fijación lo que, aparentemente, es la razón de la disminución gradual de impulso mecánico rel. Todo esto hizo posible definir el Abrikosov tiempo de creación de celosía de vórtice en HoBa2Cu3O7- resultó estar en el orden de valor más alto en comparación con el tiempo de creación de un vórtice observado en el tipo II superconductores. Agradecimientos El trabajo fue apoyado por las donaciones de International Centro de Ciencia y Tecnología (ISTC) G-389 y G- 593. Referencia: Reglamento (CEE) n° 4052/92 del Consejo, de 17 de diciembre de 1992, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia. 1. V.M. Pan, A.V.Pan, Física de Baja Temperatura, v27, No9-10, pp. 991-1010. 2. Brandt E. H., Esquinazi P., Weiss W. C. Phys. Rev. Lett., 1991, v. 62, pág. 2330. 3. Xu Y., Suenaga M. Phys. Rev. 1991, v. 43, pág. 5516 Kopelevich Y., Esquinazi P.arXiv: cond-mat/0002019. 4. E. Koshelev y V. M. Vinokur, Phys. Rev. Lett. 73, 3580– 3583 (1994). 5. E.W. Carlson, A.H. Castro Neto, y D.K.Campbell, Phys. Rev. Lett., 1991, v. 90, pág. 6. D. E. Farrell, J. P. Rice y D. M. Ginsberg, Phys. Rev. Lett., 1991, v. 67, págs. 7. S.M. Ashimov, J.G.Chigvinadze, Cond-mat/0306118. 8. V.M.Vinokur, P.S. Kes y A.E. Koshelev., Physica C 168, (1990), 29-39. 9. M.V. Feigelman, V.B. Geshkenbein, A.I. Larkin, Physica C 167 (1990) 177. 10. J.G. Chigvinadze, A.A. Iashvili, T.V. Machaidze, Phys.Lett.A. 300(2002) 524-528. 11. J.G. Chigvinadze, A.A. Iashvili, T.V. Machaidze, Phys.Lett.A.300(2002) 311-316. 12. C. J. Olson, G.T. Zimanyi, A.B. Kolton, N. Gronbech-Iensen, Phys.Rev. Lett. 85(2000)5416. 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Spin and pseudospin symmetries and the equivalent spectra of relativistic spin-1/2 and spin-0 particles

Spin y pseudospin simetrías y espectros equivalentes de spin-1/2 relativista y partículas de spin-0 P. Alberto Departamento de Física y Centro de Física Computacional, Universidad de Coimbra, P-3004-516 Coimbra, Portugal A. S. de Castro Departamento de Fsica e Qmica, Universidade Estadual Paulista, 12516-410 Guaratinguetá, SP, Brasil M. Malheiro Departamento de Física, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, CTA, 12228-900, São José dos Campos, SP, Brasil e Instituto de Fsica, Universidade Federal Fluminense, 24210-340 Niterói, Brasil (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Mostramos que las condiciones que originan las simetrías de giro y pseudospin en el Dirac ecuación son los mismos que producen espectros de energía equivalente de spin-1/2 relativista y spin-0 partículas en presencia de vectores y potenciales escalares. Las conclusiones no dependen de la formas particulares de los potenciales y puede ser importante en diferentes campos de la física. Cuando ambos los potenciales escalares y vectores son esféricos, estas condiciones para la isoespectralidad implican que la Órbita y términos Darwin del componente superior o del componente inferior del espinor Dirac desaparecer, haciéndolo equivalente, en lo que respecta a la energía, a un estado spin-0. En este caso, además energía, una partícula escalar también tendrá el mismo impulso angular orbital que el orbital (conservado) momento angular del componente superior o inferior de la partícula spin-1/2 correspondiente. Señalamos algunas posibles aplicaciones de este resultado. Números PACS: 11.30.-j,03.65.Pm Al describir algunos sistemas de interacción fuerte a menudo es útil, debido a la simplicidad, para aproximar el comportamiento de partículas relativistas spin-1/2 por partículas escalares spin-0 que obedecen a la ecuación Klein-Gordon. Un ejemplo es el caso de modelos de quark relativistas utilizados para estudiar la dualidad quark-hadron debido a la complejidad añadida de funciones de estructura de las partículas Dirac en comparación con las escalares. Resulta que algunos resultados (por ejemplo, el inicio de escalar en algunas funciones de estructura) casi no depende de la estructura de rotación de la partícula [1]. En este trabajo nosotros dará otro ejemplo de un observable, la energía, cuyo valor puede no depender de la estructura espinosa de la partícula, es decir, si uno tiene un spin-1/2 o una partícula spin-0. Demostraremos que cuando una partícula Dirac es sometida a escalar y vectores potenciales de igual magnitud, tendrá exactamente el mismo espectro de energía que una partícula escalar de la misma masa bajo los mismos potenciales. Como veremos, esto sucede porque los términos spin-orbit y Darwin en la ecuación de segundo orden para el componente espinor superior o inferior desaparecen cuando el escalar y el vector los potenciales tienen la misma magnitud. No es raro encontrar sistemas físicos en los que la interacción fuerte relativista Las partículas están sujetas a potenciales escalares de Lorentz (o masas efectivas dependientes de la posición) que son del mismo orden de magnitud de potenciales que se unen a la energía (componentes de tiempo de Lorentz cuatro-vectores). Por ejemplo, la escalar y vector (en lo sucesivo, componente temporal de un potencial de cuatro vectores) signos opuestos pero magnitudes similares, mientras que los modelos relativistas de mesones con un quark pesado y ligero, como D- o B-mesons, explicar la pequeña división de spin-orbit observada por tener potenciales vectoriales y escalares con el mismo signo y puntos fuertes similares [2]. Es bien sabido que todos los componentes del espinor libre de Dirac, es decir, la solución de la ecuación libre de Dirac, satisfacer la ecuación libre Klein-Gordon. De hecho, de la ecuación libre de Dirac (i −mc)• = 0 (1) uno consigue (-i −mc)(i -mc) = (~ 2 +m 2c2)• = 0, (2) donde se ha hecho uso de la relación = μ. De manera similar, para el tiempo independiente Dirac libre ecuación que tendríamos (cα · p+ βmc2)• = (−i~cα · βmc2)• = E®, (3) http://arxiv.org/abs/0704.0353v1 donde, como de costumbre, •(r) = •(r, t) exp (i E t/~), α = γ0γ y β = γ0. Luego, por la izquierda multiplicando Eq. (3) por cα ·pÃ3mc2, uno obtiene la ecuación libre de Klein-Gordon independiente del tiempo (c2p2 +m2c4) donde se utilizó la relación, = 0. Todo esto significa que el espinor de cuatro componentes Dirac gratis, y por supuesto todos de sus componentes, satisfacer la ecuación Klein-Gordon. Esto no es sorprendente, porque, después de todo, tanto gratis spin-1/2 y las partículas spin-0 obedecen a la misma relación de dispersión relativista, E2 = p2c2 +m2c4, a pesar de tener diferente espinor estructuras y, por lo tanto, diferentes funciones de onda. Dado que no hay interacción dependiente de los giros, se espera que ambos tengan el mismo espectro energético. Consideramos ahora el caso de una partícula spin-1/2 sujeta a un potencial escalar de Lorentz Vs más un potencial vector Vv. La ecuación de Dirac independiente del tiempo es dada por [cα · p+ β(mc2 + Vs)] Es conveniente definir los cuatro-espinores = P = [(I ± β)/2] , (6) donde los espintores superiores y los inferiores de dos componentes son, respectivamente, los  y χ. Usando las propiedades y anti- relaciones de conmutación de las matrices β y α podemos aplicar los proyectores P± a la ecuación de Dirac (5) y descomponerlo en dos ecuaciones acopladas para y : cα · p + (mc 2 + Vs) = (E − Vv) (7) cα · p − (mc 2 + Vs) = (E − Vv). (8) Aplicando el operador cα · p a la izquierda de estas ecuaciones y usándolas para escribir y en términos de α · p y α · p respectivamente, finalmente obtenemos ecuaciones de segundo orden para y : c2p2 + c [α · ]α · p E mc2 = (E mc2)(E − mc2) (9) c2p2 + c [α · p­·]α · p· E − mc2 = (E mc2)(E − mc2) (10) donde los corchetes [ ] significan que el operador α · p sólo actúa sobre el potencial delante de él y definimos * = Vv + Vs y * = Vv − Vs. El segundo término en estas ecuaciones se puede desarrollar más, señalando que el Dirac Las matrices αi satisfacen la relación αiαj = ♥ij + iijkSk donde Sk, k = 1, 2, 3, son los componentes del operador de giro. Los ecuaciones de segundo orden lean ahora c2 p2 + c [pág] · p + [pae]× p · S E mc2 = (E mc2)(E − mc2) (11) c2 p2 + c [pág] · p + [pág]× p · S E − mc2 = (E mc2)(E − mc2). (12) Ahora, si p- = 0, lo que significa que - es constante o cero (si - va a cero en el infinito, las dos condiciones son equivalentes), a continuación, el segundo término en eq. (11) desaparece y tenemos c2 p2 = (E mc 2) E − mc2) = [(E − Vv) 2 − (mc2 + Vs) 2], (13) que es precisamente la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo para un potencial escalar Vs más un potencial vector Vv[14]. Puesto que la ecuación de segundo orden determina los valores propios para la partícula de spin-1/2, esto significa que cuando p­ = 0, un spin-1/2 y una partícula spin-0 con la misma masa y sujeta a los mismos potenciales Vs y Vv tendrá el mismo espectro de energía, incluyendo estados unidos y dispersos. Esta última condición suficiente para la isoespectralidad puede ser relajado para exigir que sólo la combinación mc2+Vs sea la misma para ambas partículas, lo que les permite tener diferentes masas. Esto se debe a que esta condición más débil no cambia el gradiente de # y # y por lo tanto la condición = 0 todavía se mantendrá. Por otro lado, si los potenciales escalares y vectoriales son tales que p­ = 0, obtendremos un Klein-Gordon ecuación para, y de nuevo el espectro para las partículas spin-0 y spin-1/2 sería el mismo, siempre y cuando están sometidos al mismo potencial vectorial y mc2 + Vs es el mismo para ambas partículas. Si tanto Vs como Vv son potenciales centrales, es decir, sólo dependen de la coordenada radial, a continuación, los numeradores de los segundos términos en ecuaciones 11) y 12) deben decir [pág] · p + [pág]× p · S = L · S (14) [pág] · p + [pág]× p · S = L · S , (15) donde y son los derivados con respecto a r de los potenciales radiales (r) y (r), y L = r × p es el Operador de impulso angular orbital. De estas ecuaciones uno ve que estos términos, que distinguen el Dirac ecuaciones de segundo orden para los componentes superior e inferior del Dirac spinor de la ecuación Klein-Gordon y así son el origen de los diferentes espectros para las partículas spin-1/2 y spin-0, se componen de un término derivado, relacionado al término Darwin que aparece en la expansión Foldy-Wouthuysen, y un término L · S spin-orbit. Si = 0 ( = 0), entonces no hay término spin-orbit para el componente superior (inferior) del espinor Dirac. A su vez, desde la ecuación de segundo orden determina los valores propios de la energía, esto significa que el momento angular orbital de la componente respectivo es un buen número cuántico del espinor Dirac. Esto puede ser un poco sorprendente, ya que uno sabe que en general el número cuántico orbital no es un buen número cuántico para una partícula de Dirac, ya que L2 no viajar con un dirac hamiltoniano con potenciales radiales. La razón por la que esto no sucede en estos casos fue en Refs. [3, 4], y ahora lo revisamos de una manera ligeramente diferente. Consideremos con más detalle el caso de potenciales esféricos tales que = 0. Uno sabe que un spinor que es una solución de una ecuación de Dirac con esféricamente los potenciales simétricos pueden escribirse generalmente como * jm(r) = gj l(r) Yj lm(r®) j lì m . 16) donde Yj lm son los armónicos esféricos espinos. Estos son el resultado del acoplamiento de armónicos esféricos y dos- Espinos dimensionales Pauli χms, Yj lm = l ml ; 1/2ms j m χms, donde l ml ; 1/2ms es un Coeficiente Clebsch-Gordan y lс = l ± 1, los signos más y menos están relacionados con si uno ha alineado o Espira anti-alterada, es decir, j = l ± 1/2. Los armónicos esféricos espinos para el componente inferior satisfacen la relación j l?m = · rYj lm. El hecho de que los componentes superior e inferior tienen diferentes momentos angulares orbitales está relacionado al hecho, mencionado antes, que L2 no se desplaza con el Dirac Hamiltonian H = cα · p+ β(Vs +mc 2) + Vv = cα · p+ βmc 2 P+ P−, (17) donde P± son los proyectores definidos anteriormente. Sin embargo, cuando ′ = 0, hay una simetría extra SU(2) de H (así llamada “spin symmetry”) como se muestra por primera vez por Bell y Ruegg [5]. Cuando tenemos potenciales esféricos, Ginocchio demostró que existe una simetría SU(2) adicional (para una revisión reciente véase [4]). Los generadores de esta última simetría son L = LP+ + α · pLα · pP− = 0 hasta LUp , (18) donde Up =  · p/( p2) es el operador de la helice. Uno puede comprobar que L viaja con el Dirac Hamiltonian, [H,L] = [cα · p,LP+ + α · pLα · pP−] + α · pLα · p] + [­,L] = [, α · pLα · p ] = 0, (19) donde la última igualdad viene del hecho de que = 0. El operador Casimir L2 es dado por L2 = L2P+ + α · pP−. Aplicando este operador al spinor jm (16), obtenemos 2jm = L α · pL2 α · p = ~2l(l+ 1) α · p cL2 jm E mc2 = ~2l(l + 1) + ~2l(l + 1) = ~2l(l + 1)jm, (20) donde jm = Pjm y usamos la relación, válida cuando ′ = 0, jm = (E +mc α · p jm. Desde (20) ver que el jm es de hecho un estado propio de L 2. Por lo tanto, el número cuántico orbital del componente superior l es un buen número cuántico del sistema cuando los potenciales esféricos Vs(r) y Vv(r) son tales que Vv(r) = Vs(r)+C Es una constante arbitraria. También, según hemos dicho antes, hay un estado de una partícula spin-0 sometida a estos mismos potenciales esféricos (o, al menos, con un potencial escalar tal que la suma Vs +mc 2 es el mismo) que tiene la misma energía y el mismo impulso angular orbital que jm. Además, la función de onda de este escalar la partícula sería proporcional a la parte espacial de la función de onda del componente superior. Tenga en cuenta que el generador de la "spin simetría" S se da por una expresión similar como (18) sólo reemplazar L por ~/2 [4, 5], lo que significa que S2 S2 = 3/4 ~2I para que el giro es también un buen número cuántico, como se esperaría. En realidad, se puede mostrar que el operador de impulso angular total J se puede escribir como L + S, de modo que l, ml (valor Lz), s = 1/2, ms (eigenvalue de Sz) son buenos números cuánticos. Entonces, por supuesto, j y m = ml +ms también son buenos números cuánticos, pero sólo de una manera trivial, porque ya no hay acoplamiento de spin-órbita. Por lo tanto, en el spinor (16) sólo se podría sustituir el armónico espinor esférico Yj lm por Yl mlχms y Yj lìm por · rà Yl mlχms. Tenga en cuenta que si Es un potencial no relativista, es decir, varía lentamente sobre una longitud de onda Compton. En este caso, el término spin-orbit también se suprimirá. De hecho, la derivada del potencial de el conocido efecto espino-órbita relativista que aparece como un término de corrección relativista en la física atómica o en el v/c Expansión plegable-Wouthuysen (sólo la derivada de Vv aparece porque normalmente no hay potencial escalar Lorentz Vs es y, por lo tanto, = Vv). Cuando = 0, o Vv(r) = −Vs(r) + C llamada pseudospin simetría ([5, 6]) que es relevante para describir la estructura de nivel de una partícula de varios núcleos. Esta simetría tiene un carácter dinámico y no puede realizarse plenamente en los núcleos porque en el campo medio relativista Teorías el potencial de ­ es el único potencial de unión para los nucleones [7, 8]. Para los potenciales osciladores armónicos esto es ya no es el caso, ya que, actuando como una masa efectiva que va al infinito, puede unirse a las partículas de Dirac [9, 10], incluso cuando • = 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Como antes, en el caso especial de los potenciales esféricos, hay otra simetría SU(2) cuyos generadores son α · pLα · pP+ +LP− = Arriba LUp 0 . (21) Del mismo modo que antes, la aplicación de a la jm, nos encontraríamos con que L * jm = ~ 2 l?(l? + 1)jm, es decir, esta vez es el número cuántico orbital del componente inferior lс que es un buen número cuántico del sistema y puede se utilizará para clasificar los niveles de energía. Una vez más, siempre que el vector y los potenciales escalares estén adecuadamente relacionados, allí sería un estado correspondiente de una partícula spin-0 con la misma energía y el mismo impulso angular orbital l y, además, su función de onda sería proporcional a la parte espacial de la función de onda de la inferior componente. Al igual que antes, el generador de simetría de pseudospin S Los buena cantidad cuántica del sistema sería, además de l , ssssss = 1/2 y msssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss. Una vez más, J = L. + S. Lo es. interesante que, como se ha señalado por Ginocchio [9], los generadores de spin y pseudospin simetrías están relacionados a través de una transformación de γ5 desde S­= γ5Sγ5 y L­= γ5Lγ5. Esta propiedad fue utilizada en un trabajo reciente para relacionar spin simétrico y pseudospin simétrico espectros de los potenciales osciladores armónicos [11]. Allí se demostró que para las partículas sin masa (o las partículas ultrarelativistas) los espectros de las partículas Dirac son los mismos. Además, esto significa que los eigenstatos spin-simétricos sin masa de γ5 también serían pseudo-spin simétricos y vice-versa. Puesto que en este caso = 0, o Vv = Vs = 0, esto es, por supuesto, sólo otra manera de indicar el bien conocido hecho de que las partículas libres sin masa de Dirac tienen buena quiralidad. Naturalmente, para el spin-1/2 libre partículas descritas por las ondas esféricas, l y l? son buenos números cuánticos, que sólo refleja el hecho de que uno puede tener ondas esféricas libres con cualquier momento angular orbital para la parte superior o componente inferior y todavía tienen la misma energía, siempre y cuando su magnitud de impulso lineal es el mismo, o, poner en de otra manera, la energía de una partícula de spin-1/2 libre no puede depender de su dirección de movimiento. En resumen, mostramos que cuando una partícula spin-1/2 relativista está sujeta a vectores y potenciales escalares tales que Vv = ±Vs + C±, donde C± son constantes, su espectro energético no depende de su estructura espinorial, ser idéntico al espectro de una partícula spin-0 que no tiene estructura espinorial. Esto equivale a decir que si los potenciales tienen estas configuraciones no hay acoplamiento de spin-orbit y término Darwin. Si el escalar y el vector los potenciales son esféricos, uno puede clasificar los niveles de energía de acuerdo con el momento angular orbital cuántico número del componente superior o inferior del espinor Dirac. Esto correspondería entonces a tener un partícula spin-0 con impulso angular orbital l o lū, respectivamente. Esta identidad espectral puede, por supuesto, suceder sólo con potenciales que no implican la estructura esporial de la ecuación de Dirac de una manera intrínseca. Por ejemplo, a potencial tensor de la forma i (A v − Aμ) no tiene un análogo en la ecuación Klein-Gordon, de modo que uno no podría tener una partícula spin-0 con el mismo espectro que una partícula spin-1/2 con tal potencial. Este es el caso. del llamado oscilador Dirac [12] (véase [10] para una lista completa de referencia), en el que la ecuación de Dirac contiene un El potencial de la forma i0imri = im · r. Otro potencial importante, el potencial vectorial electromagnético A, que es la parte espacial del potencial electromagnético de cuatro vectores, se puede añadir a través del esquema de acoplamiento mínimo a las ecuaciones de Dirac y Klein-Gordon. Desde α · (p− eA)α · (p− eA) = (p− eA)2 + 2eA · S, la Los espectros de las partículas spin-0 y spin-1/2 no pueden ser idénticos mientras exista un campo magnético presente, aunque se cumple la condición Vv = ±Vs +C±. También es importante señalar que, ya que para una interacción electromagnética Vv es el componente de tiempo del potencial electromagnético de cuatro vectores, esta última condición es calibrado invariante en el En el presente caso, en el que nos ocupamos de los estados estacionarios, es decir, de los potenciales independientes del tiempo. Por lo tanto, en ausencia de un campo magnético externo (que permite, por ejemplo, un potencial vectorial electromagnético A que es constante o un gradiente de una función escalar), una partícula spin-0 y spin-1/2 sujeta al mismo potencial electromagnético Vv y un Lorentz el potencial escalar que cumple la relación anterior tendría el mismo espectro. La observación anterior sobre la similitud de las funciones spin-0 y spin-1/2 wave puede ser relevante para los cálculos en la que los observables no dependen de la estructura de rotación de la partícula, como algunas funciones de estructura. Uno de esos el cálculo fue hecho por París [13] en una partícula de Dirac confinado sin masa, en la que Vv = Vs. Sería interesante. para ver cómo se comportaría una partícula Klein-Gordon bajo los mismos potenciales. De manera más general, esta identidad espectral También puede tener implicaciones experimentales en diferentes campos de la física, ya que, en caso de que se encuentre tal identidad, señal de la presencia de un campo escalar Lorentz con una magnitud similar a la de un componente temporal de un Lorentz campo vectorial, o al menos diferente sólo por una constante. Agradecimientos Reconocemos el apoyo financiero del programa científico CNPQ, FAPESP y FCT (POCTI). [1] S. Jeschonnek y J. W. Van Orden, Phys. Rev. D 69, 054006 (2004). [2] P. R. Page, T. Goldman, y J. N. Ginocchio, Phys. Rev. Lett. 86, 204. [3] J. N. Ginocchio y A. Leviatan, Phys. Lett. B425, 1 (1998). [4] J. N. Ginocchio, Phys. Rep. 414 165 (2005). [5] J. S. Bell y H. Ruegg, Nucl. Phys. B98, 151 (1975). [6] J. N. Ginocchio, Phys. Rev. Lett. 78, 436 (1997). [7] P. Alberto, M. Fiolhais, M. Malheiro, A. Delfino, y M. Chiapparini, Phys. Rev. Lett. 86, 5015 (2001). [8] P. Alberto, M. Fiolhais, M. Malheiro, A. Delfino, y M. Chiapparini, Phys. Rev. C 65, 034307 (2002). [9] J. N. Ginocchio, Phys. Rev. Lett. 95, 252501 (2005). [10] R. Lisboa, M. Malheiro, A. S. de Castro, P. Alberto, y M. Fiolhais, Phys. Rev. C 69, 024319 (2004). [11] A. S. de Castro, P. Alberto, R. Lisboa, y M. Malheiro, Phys. Rev. C 73, 054309 (2006). [12] D. Itô, K. Mori, y E. Carriere, Nuovo Cimento A 51, 1119 (1967); M. Moshinsky y A. Szczepaniak, J. Phys. A 22, L817 (1989). [13] M. W. Paris, Phys. Rev. C 68, 025201 (2003). [14] Hay algunos autores que introducen un potencial escalar Vs en la ecuación Klein-Gordon haciendo el reemplazo m2c4 → m2c4 +V2 . Aquí lo presentamos, como lo hacen la mayoría de los autores, como una masa efectiva m* 2 = (m+Vs/c) 2)2, ya que es el camino que se introduce en la ecuación de Dirac. Los dos potenciales están relacionados por V2 = (mc2 + Vs) −m2c4. Agradecimientos Bibliografía

Mostramos que las condiciones que originan el giro y pseudospin las simetrías en la ecuación de Dirac son las mismas que producen energía equivalente espectros de partículas relativistas spin-1/2 y spin-0 en presencia de vectores y potenciales escalares. Las conclusiones no dependen de las formas particulares de los potenciales y puede ser importante en diferentes campos de la física. Cuándo ambos potenciales escalares y vectores son esféricos, estas condiciones para la isoespectralidad implica que los términos spin-orbita y Darwin de componente o el componente inferior del Dirac espinor desaparecen, haciéndolo equivalente, en lo que respecta a la energía, a un estado spin-0. En este caso, además de energía, una partícula escalar también tendrá el mismo angular orbital impulso como el impulso angular orbital (conservado) de la parte superior o componente inferior de la partícula spin-1/2 correspondiente. Señalamos algunos posibles aplicaciones de este resultado.

Spin y pseudospin simetrías y espectros equivalentes de spin-1/2 relativista y partículas de spin-0 P. Alberto Departamento de Física y Centro de Física Computacional, Universidad de Coimbra, P-3004-516 Coimbra, Portugal A. S. de Castro Departamento de Fsica e Qmica, Universidade Estadual Paulista, 12516-410 Guaratinguetá, SP, Brasil M. Malheiro Departamento de Física, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, CTA, 12228-900, São José dos Campos, SP, Brasil e Instituto de Fsica, Universidade Federal Fluminense, 24210-340 Niterói, Brasil (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Mostramos que las condiciones que originan las simetrías de giro y pseudospin en el Dirac ecuación son los mismos que producen espectros de energía equivalente de spin-1/2 relativista y spin-0 partículas en presencia de vectores y potenciales escalares. Las conclusiones no dependen de la formas particulares de los potenciales y puede ser importante en diferentes campos de la física. Cuando ambos los potenciales escalares y vectores son esféricos, estas condiciones para la isoespectralidad implican que la Órbita y términos Darwin del componente superior o del componente inferior del espinor Dirac desaparecer, haciéndolo equivalente, en lo que respecta a la energía, a un estado spin-0. En este caso, además energía, una partícula escalar también tendrá el mismo impulso angular orbital que el orbital (conservado) momento angular del componente superior o inferior de la partícula spin-1/2 correspondiente. Señalamos algunas posibles aplicaciones de este resultado. Números PACS: 11.30.-j,03.65.Pm Al describir algunos sistemas de interacción fuerte a menudo es útil, debido a la simplicidad, para aproximar el comportamiento de partículas relativistas spin-1/2 por partículas escalares spin-0 que obedecen a la ecuación Klein-Gordon. Un ejemplo es el caso de modelos de quark relativistas utilizados para estudiar la dualidad quark-hadron debido a la complejidad añadida de funciones de estructura de las partículas Dirac en comparación con las escalares. Resulta que algunos resultados (por ejemplo, el inicio de escalar en algunas funciones de estructura) casi no depende de la estructura de rotación de la partícula [1]. En este trabajo nosotros dará otro ejemplo de un observable, la energía, cuyo valor puede no depender de la estructura espinosa de la partícula, es decir, si uno tiene un spin-1/2 o una partícula spin-0. Demostraremos que cuando una partícula Dirac es sometida a escalar y vectores potenciales de igual magnitud, tendrá exactamente el mismo espectro de energía que una partícula escalar de la misma masa bajo los mismos potenciales. Como veremos, esto sucede porque los términos spin-orbit y Darwin en la ecuación de segundo orden para el componente espinor superior o inferior desaparecen cuando el escalar y el vector los potenciales tienen la misma magnitud. No es raro encontrar sistemas físicos en los que la interacción fuerte relativista Las partículas están sujetas a potenciales escalares de Lorentz (o masas efectivas dependientes de la posición) que son del mismo orden de magnitud de potenciales que se unen a la energía (componentes de tiempo de Lorentz cuatro-vectores). Por ejemplo, la escalar y vector (en lo sucesivo, componente temporal de un potencial de cuatro vectores) signos opuestos pero magnitudes similares, mientras que los modelos relativistas de mesones con un quark pesado y ligero, como D- o B-mesons, explicar la pequeña división de spin-orbit observada por tener potenciales vectoriales y escalares con el mismo signo y puntos fuertes similares [2]. Es bien sabido que todos los componentes del espinor libre de Dirac, es decir, la solución de la ecuación libre de Dirac, satisfacer la ecuación libre Klein-Gordon. De hecho, de la ecuación libre de Dirac (i −mc)• = 0 (1) uno consigue (-i −mc)(i -mc) = (~ 2 +m 2c2)• = 0, (2) donde se ha hecho uso de la relación = μ. De manera similar, para el tiempo independiente Dirac libre ecuación que tendríamos (cα · p+ βmc2)• = (−i~cα · βmc2)• = E®, (3) http://arxiv.org/abs/0704.0353v1 donde, como de costumbre, •(r) = •(r, t) exp (i E t/~), α = γ0γ y β = γ0. Luego, por la izquierda multiplicando Eq. (3) por cα ·pÃ3mc2, uno obtiene la ecuación libre de Klein-Gordon independiente del tiempo (c2p2 +m2c4) donde se utilizó la relación, = 0. Todo esto significa que el espinor de cuatro componentes Dirac gratis, y por supuesto todos de sus componentes, satisfacer la ecuación Klein-Gordon. Esto no es sorprendente, porque, después de todo, tanto gratis spin-1/2 y las partículas spin-0 obedecen a la misma relación de dispersión relativista, E2 = p2c2 +m2c4, a pesar de tener diferente espinor estructuras y, por lo tanto, diferentes funciones de onda. Dado que no hay interacción dependiente de los giros, se espera que ambos tengan el mismo espectro energético. Consideramos ahora el caso de una partícula spin-1/2 sujeta a un potencial escalar de Lorentz Vs más un potencial vector Vv. La ecuación de Dirac independiente del tiempo es dada por [cα · p+ β(mc2 + Vs)] Es conveniente definir los cuatro-espinores = P = [(I ± β)/2] , (6) donde los espintores superiores y los inferiores de dos componentes son, respectivamente, los  y χ. Usando las propiedades y anti- relaciones de conmutación de las matrices β y α podemos aplicar los proyectores P± a la ecuación de Dirac (5) y descomponerlo en dos ecuaciones acopladas para y : cα · p + (mc 2 + Vs) = (E − Vv) (7) cα · p − (mc 2 + Vs) = (E − Vv). (8) Aplicando el operador cα · p a la izquierda de estas ecuaciones y usándolas para escribir y en términos de α · p y α · p respectivamente, finalmente obtenemos ecuaciones de segundo orden para y : c2p2 + c [α · ]α · p E mc2 = (E mc2)(E − mc2) (9) c2p2 + c [α · p­·]α · p· E − mc2 = (E mc2)(E − mc2) (10) donde los corchetes [ ] significan que el operador α · p sólo actúa sobre el potencial delante de él y definimos * = Vv + Vs y * = Vv − Vs. El segundo término en estas ecuaciones se puede desarrollar más, señalando que el Dirac Las matrices αi satisfacen la relación αiαj = ♥ij + iijkSk donde Sk, k = 1, 2, 3, son los componentes del operador de giro. Los ecuaciones de segundo orden lean ahora c2 p2 + c [pág] · p + [pae]× p · S E mc2 = (E mc2)(E − mc2) (11) c2 p2 + c [pág] · p + [pág]× p · S E − mc2 = (E mc2)(E − mc2). (12) Ahora, si p- = 0, lo que significa que - es constante o cero (si - va a cero en el infinito, las dos condiciones son equivalentes), a continuación, el segundo término en eq. (11) desaparece y tenemos c2 p2 = (E mc 2) E − mc2) = [(E − Vv) 2 − (mc2 + Vs) 2], (13) que es precisamente la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo para un potencial escalar Vs más un potencial vector Vv[14]. Puesto que la ecuación de segundo orden determina los valores propios para la partícula de spin-1/2, esto significa que cuando p­ = 0, un spin-1/2 y una partícula spin-0 con la misma masa y sujeta a los mismos potenciales Vs y Vv tendrá el mismo espectro de energía, incluyendo estados unidos y dispersos. Esta última condición suficiente para la isoespectralidad puede ser relajado para exigir que sólo la combinación mc2+Vs sea la misma para ambas partículas, lo que les permite tener diferentes masas. Esto se debe a que esta condición más débil no cambia el gradiente de # y # y por lo tanto la condición = 0 todavía se mantendrá. Por otro lado, si los potenciales escalares y vectoriales son tales que p­ = 0, obtendremos un Klein-Gordon ecuación para, y de nuevo el espectro para las partículas spin-0 y spin-1/2 sería el mismo, siempre y cuando están sometidos al mismo potencial vectorial y mc2 + Vs es el mismo para ambas partículas. Si tanto Vs como Vv son potenciales centrales, es decir, sólo dependen de la coordenada radial, a continuación, los numeradores de los segundos términos en ecuaciones 11) y 12) deben decir [pág] · p + [pág]× p · S = L · S (14) [pág] · p + [pág]× p · S = L · S , (15) donde y son los derivados con respecto a r de los potenciales radiales (r) y (r), y L = r × p es el Operador de impulso angular orbital. De estas ecuaciones uno ve que estos términos, que distinguen el Dirac ecuaciones de segundo orden para los componentes superior e inferior del Dirac spinor de la ecuación Klein-Gordon y así son el origen de los diferentes espectros para las partículas spin-1/2 y spin-0, se componen de un término derivado, relacionado al término Darwin que aparece en la expansión Foldy-Wouthuysen, y un término L · S spin-orbit. Si = 0 ( = 0), entonces no hay término spin-orbit para el componente superior (inferior) del espinor Dirac. A su vez, desde la ecuación de segundo orden determina los valores propios de la energía, esto significa que el momento angular orbital de la componente respectivo es un buen número cuántico del espinor Dirac. Esto puede ser un poco sorprendente, ya que uno sabe que en general el número cuántico orbital no es un buen número cuántico para una partícula de Dirac, ya que L2 no viajar con un dirac hamiltoniano con potenciales radiales. La razón por la que esto no sucede en estos casos fue en Refs. [3, 4], y ahora lo revisamos de una manera ligeramente diferente. Consideremos con más detalle el caso de potenciales esféricos tales que = 0. Uno sabe que un spinor que es una solución de una ecuación de Dirac con esféricamente los potenciales simétricos pueden escribirse generalmente como * jm(r) = gj l(r) Yj lm(r®) j lì m . 16) donde Yj lm son los armónicos esféricos espinos. Estos son el resultado del acoplamiento de armónicos esféricos y dos- Espinos dimensionales Pauli χms, Yj lm = l ml ; 1/2ms j m χms, donde l ml ; 1/2ms es un Coeficiente Clebsch-Gordan y lс = l ± 1, los signos más y menos están relacionados con si uno ha alineado o Espira anti-alterada, es decir, j = l ± 1/2. Los armónicos esféricos espinos para el componente inferior satisfacen la relación j l?m = · rYj lm. El hecho de que los componentes superior e inferior tienen diferentes momentos angulares orbitales está relacionado al hecho, mencionado antes, que L2 no se desplaza con el Dirac Hamiltonian H = cα · p+ β(Vs +mc 2) + Vv = cα · p+ βmc 2 P+ P−, (17) donde P± son los proyectores definidos anteriormente. Sin embargo, cuando ′ = 0, hay una simetría extra SU(2) de H (así llamada “spin symmetry”) como se muestra por primera vez por Bell y Ruegg [5]. Cuando tenemos potenciales esféricos, Ginocchio demostró que existe una simetría SU(2) adicional (para una revisión reciente véase [4]). Los generadores de esta última simetría son L = LP+ + α · pLα · pP− = 0 hasta LUp , (18) donde Up =  · p/( p2) es el operador de la helice. Uno puede comprobar que L viaja con el Dirac Hamiltonian, [H,L] = [cα · p,LP+ + α · pLα · pP−] + α · pLα · p] + [­,L] = [, α · pLα · p ] = 0, (19) donde la última igualdad viene del hecho de que = 0. El operador Casimir L2 es dado por L2 = L2P+ + α · pP−. Aplicando este operador al spinor jm (16), obtenemos 2jm = L α · pL2 α · p = ~2l(l+ 1) α · p cL2 jm E mc2 = ~2l(l + 1) + ~2l(l + 1) = ~2l(l + 1)jm, (20) donde jm = Pjm y usamos la relación, válida cuando ′ = 0, jm = (E +mc α · p jm. Desde (20) ver que el jm es de hecho un estado propio de L 2. Por lo tanto, el número cuántico orbital del componente superior l es un buen número cuántico del sistema cuando los potenciales esféricos Vs(r) y Vv(r) son tales que Vv(r) = Vs(r)+C Es una constante arbitraria. También, según hemos dicho antes, hay un estado de una partícula spin-0 sometida a estos mismos potenciales esféricos (o, al menos, con un potencial escalar tal que la suma Vs +mc 2 es el mismo) que tiene la misma energía y el mismo impulso angular orbital que jm. Además, la función de onda de este escalar la partícula sería proporcional a la parte espacial de la función de onda del componente superior. Tenga en cuenta que el generador de la "spin simetría" S se da por una expresión similar como (18) sólo reemplazar L por ~/2 [4, 5], lo que significa que S2 S2 = 3/4 ~2I para que el giro es también un buen número cuántico, como se esperaría. En realidad, se puede mostrar que el operador de impulso angular total J se puede escribir como L + S, de modo que l, ml (valor Lz), s = 1/2, ms (eigenvalue de Sz) son buenos números cuánticos. Entonces, por supuesto, j y m = ml +ms también son buenos números cuánticos, pero sólo de una manera trivial, porque ya no hay acoplamiento de spin-órbita. Por lo tanto, en el spinor (16) sólo se podría sustituir el armónico espinor esférico Yj lm por Yl mlχms y Yj lìm por · rà Yl mlχms. Tenga en cuenta que si Es un potencial no relativista, es decir, varía lentamente sobre una longitud de onda Compton. En este caso, el término spin-orbit también se suprimirá. De hecho, la derivada del potencial de el conocido efecto espino-órbita relativista que aparece como un término de corrección relativista en la física atómica o en el v/c Expansión plegable-Wouthuysen (sólo la derivada de Vv aparece porque normalmente no hay potencial escalar Lorentz Vs es y, por lo tanto, = Vv). Cuando = 0, o Vv(r) = −Vs(r) + C llamada pseudospin simetría ([5, 6]) que es relevante para describir la estructura de nivel de una partícula de varios núcleos. Esta simetría tiene un carácter dinámico y no puede realizarse plenamente en los núcleos porque en el campo medio relativista Teorías el potencial de ­ es el único potencial de unión para los nucleones [7, 8]. Para los potenciales osciladores armónicos esto es ya no es el caso, ya que, actuando como una masa efectiva que va al infinito, puede unirse a las partículas de Dirac [9, 10], incluso cuando • = 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Como antes, en el caso especial de los potenciales esféricos, hay otra simetría SU(2) cuyos generadores son α · pLα · pP+ +LP− = Arriba LUp 0 . (21) Del mismo modo que antes, la aplicación de a la jm, nos encontraríamos con que L * jm = ~ 2 l?(l? + 1)jm, es decir, esta vez es el número cuántico orbital del componente inferior lс que es un buen número cuántico del sistema y puede se utilizará para clasificar los niveles de energía. Una vez más, siempre que el vector y los potenciales escalares estén adecuadamente relacionados, allí sería un estado correspondiente de una partícula spin-0 con la misma energía y el mismo impulso angular orbital l y, además, su función de onda sería proporcional a la parte espacial de la función de onda de la inferior componente. Al igual que antes, el generador de simetría de pseudospin S Los buena cantidad cuántica del sistema sería, además de l , ssssss = 1/2 y msssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss. Una vez más, J = L. + S. Lo es. interesante que, como se ha señalado por Ginocchio [9], los generadores de spin y pseudospin simetrías están relacionados a través de una transformación de γ5 desde S­= γ5Sγ5 y L­= γ5Lγ5. Esta propiedad fue utilizada en un trabajo reciente para relacionar spin simétrico y pseudospin simétrico espectros de los potenciales osciladores armónicos [11]. Allí se demostró que para las partículas sin masa (o las partículas ultrarelativistas) los espectros de las partículas Dirac son los mismos. Además, esto significa que los eigenstatos spin-simétricos sin masa de γ5 también serían pseudo-spin simétricos y vice-versa. Puesto que en este caso = 0, o Vv = Vs = 0, esto es, por supuesto, sólo otra manera de indicar el bien conocido hecho de que las partículas libres sin masa de Dirac tienen buena quiralidad. Naturalmente, para el spin-1/2 libre partículas descritas por las ondas esféricas, l y l? son buenos números cuánticos, que sólo refleja el hecho de que uno puede tener ondas esféricas libres con cualquier momento angular orbital para la parte superior o componente inferior y todavía tienen la misma energía, siempre y cuando su magnitud de impulso lineal es el mismo, o, poner en de otra manera, la energía de una partícula de spin-1/2 libre no puede depender de su dirección de movimiento. En resumen, mostramos que cuando una partícula spin-1/2 relativista está sujeta a vectores y potenciales escalares tales que Vv = ±Vs + C±, donde C± son constantes, su espectro energético no depende de su estructura espinorial, ser idéntico al espectro de una partícula spin-0 que no tiene estructura espinorial. Esto equivale a decir que si los potenciales tienen estas configuraciones no hay acoplamiento de spin-orbit y término Darwin. Si el escalar y el vector los potenciales son esféricos, uno puede clasificar los niveles de energía de acuerdo con el momento angular orbital cuántico número del componente superior o inferior del espinor Dirac. Esto correspondería entonces a tener un partícula spin-0 con impulso angular orbital l o lū, respectivamente. Esta identidad espectral puede, por supuesto, suceder sólo con potenciales que no implican la estructura esporial de la ecuación de Dirac de una manera intrínseca. Por ejemplo, a potencial tensor de la forma i (A v − Aμ) no tiene un análogo en la ecuación Klein-Gordon, de modo que uno no podría tener una partícula spin-0 con el mismo espectro que una partícula spin-1/2 con tal potencial. Este es el caso. del llamado oscilador Dirac [12] (véase [10] para una lista completa de referencia), en el que la ecuación de Dirac contiene un El potencial de la forma i0imri = im · r. Otro potencial importante, el potencial vectorial electromagnético A, que es la parte espacial del potencial electromagnético de cuatro vectores, se puede añadir a través del esquema de acoplamiento mínimo a las ecuaciones de Dirac y Klein-Gordon. Desde α · (p− eA)α · (p− eA) = (p− eA)2 + 2eA · S, la Los espectros de las partículas spin-0 y spin-1/2 no pueden ser idénticos mientras exista un campo magnético presente, aunque se cumple la condición Vv = ±Vs +C±. También es importante señalar que, ya que para una interacción electromagnética Vv es el componente de tiempo del potencial electromagnético de cuatro vectores, esta última condición es calibrado invariante en el En el presente caso, en el que nos ocupamos de los estados estacionarios, es decir, de los potenciales independientes del tiempo. Por lo tanto, en ausencia de un campo magnético externo (que permite, por ejemplo, un potencial vectorial electromagnético A que es constante o un gradiente de una función escalar), una partícula spin-0 y spin-1/2 sujeta al mismo potencial electromagnético Vv y un Lorentz el potencial escalar que cumple la relación anterior tendría el mismo espectro. La observación anterior sobre la similitud de las funciones spin-0 y spin-1/2 wave puede ser relevante para los cálculos en la que los observables no dependen de la estructura de rotación de la partícula, como algunas funciones de estructura. Uno de esos el cálculo fue hecho por París [13] en una partícula de Dirac confinado sin masa, en la que Vv = Vs. Sería interesante. para ver cómo se comportaría una partícula Klein-Gordon bajo los mismos potenciales. De manera más general, esta identidad espectral También puede tener implicaciones experimentales en diferentes campos de la física, ya que, en caso de que se encuentre tal identidad, señal de la presencia de un campo escalar Lorentz con una magnitud similar a la de un componente temporal de un Lorentz campo vectorial, o al menos diferente sólo por una constante. Agradecimientos Reconocemos el apoyo financiero del programa científico CNPQ, FAPESP y FCT (POCTI). [1] S. Jeschonnek y J. W. Van Orden, Phys. Rev. D 69, 054006 (2004). [2] P. R. Page, T. Goldman, y J. N. Ginocchio, Phys. Rev. Lett. 86, 204. [3] J. N. Ginocchio y A. Leviatan, Phys. Lett. B425, 1 (1998). [4] J. N. Ginocchio, Phys. Rep. 414 165 (2005). [5] J. S. Bell y H. Ruegg, Nucl. Phys. B98, 151 (1975). [6] J. 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Los dos potenciales están relacionados por V2 = (mc2 + Vs) −m2c4. Agradecimientos Bibliografía

General asymptotic solutions of the Einstein equations and phase transitions in quantum gravity

General asimptoti soluciones de las ecuaciones de Einstein y transiciones de fase en la gravedad cuántica Dmitry Podolsky Instituto de Fisiología de Helsinki s, Universidad de Helsinki, Gustaf Hällströmin katu 2, FIN00014, Helsinki, Finlandia Correo electrónico: dmitry.podolsky helsinki. Abstra t Estamos de acuerdo. uss generi propiedades de lassi al y las teorías cuánticas de la grav- ity con un s alar eld whi h se revelan en la vi inity de la osmolog- i Al singularidad. Cuando el potencial de la alar eld es exponencial y sin límite desde abajo, la solución general de las ecuaciones de Einstein tiene cuasi-isotropi asymptoti s cerca de la singularidad en lugar de lo habitual anisotropi Belinskii - Khalatnikov - Lifshitz (BKL) asymptoti s. De- pendiente en la fuerza de s alar eld potencial, existen dos fases de gravedad cuántica con s alar eld: uno con esencialmente anisotropi ser... havior de eld diversión orrelation ciones cerca de la osmologi la singularidad, y otro con cuasi-isotropi comportamiento. La transición de fase entre la dos fases se interpreta como el ondensación de gravitones. Licencia del Instituto Landau para Theoreti al Physi s, 119940, Mos Rusia. http://arxiv.org/abs/0704.0354v2 Un pessimisti cita de la era dorada de nding exa t soluciones de las ecuaciones de Einstein h re e las relaciones entre las partes le teorists y expertos en GR pertenecen a Ri Duro Feynman. Participar en la Interna- Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo e sobre Relativistai Teorías de la Gravitación en Varsovia, fue escribir a su esposa [1: No estoy consiguiendo nada fuera de la reunión. Lo estoy. No aprender nada. ... Me meto en discusiones fuera de las sesiones formales (digamos, en Laun h) Cuando alguien me hace una pregunta o empieza a hablarme de su trabajo. La obra es siempre: (1) omplísimamente incomprensible, (2) imprecisa y inde nite, (3) algo orre t que es obvio y evidente, pero resuelto por un largo y di ul análisis, y presentado como un importante demasiado, o (4) a Laim basado en la estupidez del autor que algunos obvio y orre t fa t, a epted y él ked durante años, está en fa t falso... (5) un intento de hacer algo Probablemente imposible, pero Por supuesto que no es de utilidad. h, es revelado nally en el fin, falla... o (6) sólo planea mal... Recuérdame que no lo haga. # Vamos a más # gravedad onferen es! Ciertamente, soy muy consciente de que el trabajo presentado en este ensayo perteneció a la lass (3) o (5) en el Feynman's lassi ciones (esperanzadamente, no a la ¡Mujer (6)!), pero seguiré las propias palabras de Feynman [1: Todos lo hacemos por la diversión de tratar de y mi diversión en la identificación de algunos enlaces why h onne t la parte de la ommon lore sobre la relatividad general llamada Exa t soluciones de las ecuaciones de Einstein al problema de la cuantificación GR. De ourse, el interés de Feynman estaba en la cuantificación de GR mediante la aplicación de la approa integral de ruta h trabajando tan bien en QED. Soluciones del equa-Einstein ciones de los puntos de sillín de la a ión 2 S = gravedad + materia del cuántico gravedad con materia. Sin embargo, el sobre las contribuciones de estos puntos de silla de montar en el Diversión de partición de la teoría y de la teations cerca de ellos Exportación de la materia (Sgravity + Smatter) typi Ally no tiene ninguna medida. En otras palabras, la probabilidad de un casi cualquier exa t solución a des ribe las características observables del Universo o algunas partes de ella, para aparecer de alguna manera de la espuma cuántica realizada cerca de la singularidad es muy pequeño, y la ira del Feynman es absolutamente comprensible. Bueno, casi absolutamente... ourse, hay varios lasse de soluciones why h será importante para la parte cuántica de la historia, también, y uno an sin mu h Pensar inmediatamente identificar algunos: 1. Attra tors : entre ellos se encuentra Minkowski spa etime, de Sitter (al menos en el sentido de eterno en la existencia [2) y anti de Sitter spa etimes (un conjunto de Los dominios AdS son probablemente el attra global tor de GR realizado como aproximación de baja energía de la teoría de cuerdas [3); bla k agujeros (S hwarzs hild, Kerr, Reissner-Nordström, Kerr-Newman soluciones), et . A partir de ahora, por la teoría cuántica de la gravedad queremos decir e e QFT tivo de spin 2 elds [4 (más los eldos de la materia) el uno whi h parti les con las energías E â € ¢ MP prueba. En este límite, e e e Los ts de la no renormalización pueden ser negle Ted. A pesar de que estamos abajo de la situación h se realiza cerca de la osmologi la singularidad, limitamos la ussion to time s ales t â € tP. 2. Soluciones generales de las ecuaciones de Einstein. Como de costumbre [5, una solución de la Ecuaciones Einstein se considera como general si ontains su ient number de la diversión arbitraria ciones de oordenadas. En el ase de Ri i- en el spa etimes, este número es 4, y es igual a 8 en el presen e de hidrodinami materia. Mientras que cualquier no-attra la solución tipo tor de las ecuaciones de Einstein de nes la punto de sillín para la trayectoria integral (1) h tiene un desvanecimiento Atribución en la diversión total de la partición sión, con el tiempo se establece bien hacia un attra solución de tor debido a la e e t de lassi al perturbaciones y/o cuánticas u teations. Los octribution of attra sillín tipo tor puntos en la partición diversión tion (1) es, por lo tanto, signi hormiga. Sin embargo, la palabra clave aquí es eventualmente. Para cualquier no-attra solución tarda un tiempo tcoll antes de la solución rea hes su attra tor asymptoti s. Déjanos onstru t algún estado inicial (t = ti) de la materia cuántica elds en a Turved spa etime y gravitones. La amplitud (tf)(ti) es entonces de ned por la ruta integral (1) al en la S perdido hwinger-Keldysh ontour de t = ti a t = tf y ba k. Entonces, si tf tcoll, el o correspondiente attra tor punto de silla de montar no da ningún noti eable sobre la atribución a la amplitud. No es necesario. Essary para conocer la evolución del estado cuántico (t) en el tiempo s ales # Tcoll, estamos a favor # ed a pagar mu h más atención al tipo de silla de montar o corresponde a soluciones generales de las ecuaciones de Einstein. Ciertamente, las ecuaciones de Einstein son difíciles de resolver, y es posible algo como su solución general sólo en fisico ally situaciones simplificadas. Como fue mostrado por Belinskii, Khalatnikov y Lifshitz [6, asymptoti Ally, las soluciones generales de las ecuaciones de Einstein cerca de la osmologi singularidad tienen la misma forma para una casi arbitraria hoi e del asunto ontent. Este asymptoti s en el syn Marco ronoso se administra por solución similar a Kasner ds2 = dt2 − (t,x)dxαdxβ, (2) (t, x) = t lαlβ + t mαmβ + t nαnβ. 3) Ambos exponentes Kasner p1, p2, p3 y eje Kasner ve los tors lα, mα y nα son diversión arbitraria ciones de spa e oordenadas. Las ecuaciones de Einstein proporcionan dos sobre los exponentes de Kasner p1 + p2 + p3 = 1, (4) p21 + p 2 + p 3 = 1, (5) así como otros tres ostras sobre la diversión arbitraria ciones de spa e oordenadas presente en (3). Tomando en una de la Comisión de las Comunidades Europeas y de la Comisión de las Comunidades Europeas. hoi e de syn Gálibo ronoso g00 = 1, g0α = 0 (6) De ourse, el tiempo s Ale Tcoll en sí es una diversión nal del estado inicial (t = ti). A menudo, es imposible jalar el syn global Marco ronoso de referencia e debido a la limitaciones establecidas por el Asualidad. Sin embargo, en todas partes en el texto uss el fisico s en a administrado asual pat h. deja la libertad de hacer spa tridimensional e transformaciones extraordinarias, uno a ver fácilmente que el número total de arbitrarios oordinary fun ciones en el La solución similar a Kasner (2),(3) es igual a 4 como debería ser expe Para un general solución de las ecuaciones de Einstein ocorrespondiente a un spa vacío etime. En el presen e del hidrodinami solución de Kasner (2),(3) de- s ribes asymptoti comportamiento de metri cerca de la singularidad, pecado e omponentes de tensor de energía-momento Tik crecer más lento en t → 0 entonces el omponentes de el Ri i tensor. Orden superior orre ciones a la solución de Kasner (2), (3), es decir, más altos términos de orden en la expansión de (t, x) sobre los poderes de t jugar el papel de perturbaciones h dar lugar a la dependencia de tiempo e de Kasner exponentes pi así como el eje de Kasner ve tors lα, mα y nα y a BKL bien conocido haoti comportamiento. Por lo tanto, la solución BKL es simultáneamente un attra universal - ¡No! - ¡No! para todas las soluciones de las ecuaciones de Einstein que poseen un spa Como la singularidad. Significa que no hay otros puntos de silla de montar ontribute en la amplitud (1) en el vi inity de la osmologi Al singularidad. En este ensayo, será rst de todo demostrado que en el presen e de un s alar eld con potencial V (­) h es exponencial y sin límites desde abajo, el asymptoti la solución de las ecuaciones de Einstein es diferente de la solución de BKL y es cuasi-isotropi [8 (mientras que la solución BKL es esencialmente anisotropi ). In parti ular, lo haremos El potencial de la manguera de la forma V () = V0ch (). 7).................................................................................................................................................. S Los potenciales de alar eld de esta forma aparecen en problemas relacionados con la medición super- modelos de gravedad [10 y el ekpyroti s enario [11. Los osmologi singularidad realizado en su h teoría es del Anti de Sitter Big Crun Tipo h. El fisico s en su vi inity es interesante por sí mismo y aún más pecado e este tipo de singularidad parece que se realiza muy a menudo en las tierras de la teoría de cuerdas mono [3. Al igual que en el ase dis ussed en [6, es onvenient para realizar todo al ulaciones en el syn Marco ronoso de referencia e donde g00 = 1, g0α = 0, g = , α, β = 1.... 3, es decir, el spa Intervalo etime tiene la forma ds2 = dt2 − (t, x)dxαdxβ. (8) Cerca de la hipersurfa e t = 0 whi h o corresponde a la singularidad, el espacio metri los omponentes se comportan como (t,x) = a(x)t 2q + cÃ3(x)t d + b®(x)t i, j) (x)tfij. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Con el mismo pre ision, uno tiene en la vi inity de singularity *(t,x) = *(x) + *0(x)log(t) + *1(x)t f1 + Ł2(x)t f2 + · · ·, (10) Whi h ocorresponde por todas partes abajo al spa similar a la hipersurfa e t = 0. Si hay un s alar eld en la materia ontent [7, solución BKL (3) sigue siendo solución general de las ecuaciones de Einstein con ahorcado Kasner onstraints (4), (5). El cuasi-isotropi solución para su h se encontraron potenciales en el nivel de kground en [9, donde también se demostró que es el attra tor. El objetivo que perseguimos en este ensayo es: demostrar que el cuasi-isotropi solución también es general y entender cómo su inestabilidad se desarrolla con la el ahorcamiento de la forma del potencial. con puntos o que corresponden a términos de orden superior de la expansión de poderes........................................................................................................................................................................................................................................................ de t. De las ecuaciones de Einstein uno nds8 que los exponentes principales en el las expansiones (9) y (10) están delimitadas por las expresiones , n = 2, d = 1− q, (11) (x) = Const, (x) = , f1 = 1− 3q, f2 = 2− q, (12) (x) = 21(x), c α;β(x) = 1 - 2q 1 - 3q ­0­1,α(x), (13) P (x) + (1 − q)(qb(x) + (1 + q)b(x)) = e2(x), (14) − (1− q)b®(x) = (1 - q)-0-0-2(x)- 2(x), (15) donde Pū (x) es el Ri tridimensional i tensor onstru a partir de omponentes de el tensor a(x) como omponentes de metri Tensor. Términos de orden superior en el expansiones (9) y (10) un ser uno mismo insistentemente al ululado mediante el uso del Einstein ecuaciones y la ortogonalidad ondition β =  α. 16) Uno y inmediatamente desde Eq. (16) que los exponentes de orden superior en el metri (9) son denunciados por fij = i+ 2j − (3i+ 2j − 2)q, (17) donde i, j N. El término n en el metri expansión corresponde a i = 0, j = 1 y d término a i = 1, j = 0. Es fácil ver que no hay otros exponentes en la expansión (9). Examinemos las fórmulas (11)-(15) más pérdida y al ulular el número de la diversión arbitraria ciones presentes en esta solución. En primer lugar, uno a inmediatamente ver que el tensor a(x) no es Onstrained por las ecuaciones de Einstein. Tiene 6 omponentes, y 3 de ellos a ser hecho igual a 0 por un tridimensional oordinaria transformación (la libertad de medición de remanentes de la Gálibo ronoso 6)). Pecado e este tensor se utiliza para bajar y subir el indi es y representa el término principal en la expansión (9), vamos a identificar el término ba kground octribución a (t, x). Además, vemos desde Eqs. (14),(15) que b................................................................................................................... a ser re onstru ted del tensor conocido. El tensor tiene tres más diversión arbitraria ciones de oordenadas. In- acción, es a estar representado en la forma c(x) = α + Y ;α + Y Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # Y # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α + c (TT)β α. (18) Debido a las limitaciones del spa e no podemos presentar la derivación completa de la solución Aquí. Se dará en el cuarto oming publi ión [12. El indi Es de todos los matri es bajada y levantada por el tensor a®, por ejemplo, b De Eq. (13) uno un ver que su tra e parte de nes el valor de 2(x) on- Atribuyendo a Eq. (10) y por lo tanto proporciona una diversión arbitraria tion. Entonces, tres omponentes de la ve tor ontribution Yα(x) son xed, y tra transversal aless parte c (TT)β α (x) proporciona dos diversión arbitraria restante ciones. También tomamos nota de que el término câ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° a ser considerado como el término principal de perturbación de la kground sobretribución en . En parte ular, es ontains el Atribución de s Alar per- Turbaciones (relacionadas con la e del tensor c) y las perturbaciones del tensor o gravitones (relacionados con el aless parte del tensor c). El número total de diversión arbitraria ciones en la solución (9),(10) es, por tanto, 6, como se puede expe t para la solución general de las ecuaciones de Einstein con una s Alar Eld. Por análisis similar a [6, uno puede mostrar [9, 12 que el ontri- butiones de otra materia eldos en el crecimiento total del tensor de energía-momento más lento en t → 0 que el sobre la contribución de los Estados miembros Alar Eld. Nosotros el lude que la solución (9), (10) es el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein (con materia arbitraria) ontent) cerca de la osmologi Al singularidad. Del mismo modo que la solución BKL, el cuasi-isotropi solución es el attra universal tor para todos soluciones de las ecuaciones de Einstein con s alar eld que tiene el potencial (7) y otras cuestiones arbitrarias ontent why h poseer la singularidad del tiempo. Una vez más, bajo onsidered adiciones, sin otros puntos de silla de montar ontribute en el amplitud (1) en la vi la naturaleza de la Gran Crun h singularidad. Es instru tiva a entender cómo exa la transición de la cuasi- isotropi régimen (9),(10) cerca de la singularidad del BKL anisotropi régimen (3) sucede. Esta transición a ser un hieved by colgando el valor de ♥while mantener V0 xed (o visera versa). Por onstru 2q < d = 1− q, es decir, el exponente de la expansión (9) es líder. Con el in rease de q, el valor de d de reases y cuando q rea hes la riti valor al qc = 1/3, la a(x)t ec(x)t en el expansión del metri 9) ser de la misma orden. Similarmente, uno an él k que los valores de los exponentes de orden superior (17) de rease con el in rease de q. En parte ular, todos los exponentes con di erent i's y similares j's ser ome of the same orden de magnitud en qc = 1/3. En q > qc = 1/3 el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein cerca de la singularidad es dada por Eq. (3) en lugar de Eq. In fa t, lo que acabamos de encontrar es relevante para la parte cuántica de la historia, también, y en cierto sentido es análogo a la ruptura espontánea de la simetría fenómeno en QFTs. De hecho, tomemos la teoría con un s alar eld (Φ2 - v)2, (19) Φ(x, 0) = 0 como inicial ondición y Ontinuously colgar el valor de el parámetro v. En v > 0 la solución Φ(t, x) = 0 de la lassi al ecuaciones de movimiento es perturbativamente estable y o corresponde a la verdadera va uum de la teoría a nivel cuántico. A < 0 la misma solución debe ser omes lassi ally inestable, y Φ(t, x) rea Hes el verdadero va valor de uum Φ = ± v durante el tiempo t â € 1 log 1 (con el VEV del operador que tiene un comportamiento similar en el nivel cuántico). Similar situación se realiza en nuestra Ase. En q < qc = 1/3 el cuasi-isotropi solución (9),(10) es la solución general de las ecuaciones de Einstein; es perturbativamente estable por onstru ciones (sin ningún tipo de limitaciones a la debilidad de las perturbaciones). En q > qc el cuasi-isotropi solución omes perturbativamente inestables (perturbaciones más altos términos de orden crecen más rápido que el ba kground threat a at t→ 0). Vise versa, en q > qc = 1/3 el BKL anisotropi solución si el Einstein ecuaciones es general en la vi inity de la osmologi Al singularidad. Es estable. por onstru sión con respe t a las perturbaciones arbitrarias y la estabilidad se pierde at q < qc. Este análisis sigue siendo válido para la situación cuántica pecado e el anoni- al phase spa e está en uno-a-uno orsponden e con el spa e de soluciones de lassi al eld ecuaciones [13, y ambos cuasi-isotropi y las soluciones BKL son: a) general y b) attra universal tors para otras soluciones de las ecuaciones de Einstein en la vi la naturaleza de la singularidad del tiempo. La transición del régimen realizada en q < 1/3 al régimen q > 1/3 Probablemente. o corresponde en el nivel cuántico a la odensación de la gravedad perturbaciones. De hecho, uno a interpretar el orden superior Atribuciones en el Expansión (9) como términos ocorrespondientes a los intera sión entre gravitacional grados de libertad, así como no linealidades de orden superior en el ba Kground. Nuestro el lusión se basa en la fa t que en q = qc el spe trum de los exponentes en la ampliación (9) ser omes en nitely denso. También es posible demostrar que el punto de la transición de fase qc = 1/3 ocorrespondiente a la lassi al nivel a la situación cuando la hoi e de síntesis mundial Marco ronoso de referencia e es imposible cerca de la singularidad [12. Resumamos lo que se ha encontrado en el presente ensayo. Hemos mostrado que en el presen e del s alar eld con potencial exponencial sin límite desde abajo, el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein cerca la osmologi al singularidad tiene cuasi-isotropi comportamiento en lugar de anisotropi encontrado por [6. Hemos argumentado que en el nivel cuántico debería existir un transición de fase entre los cuasiisotropi y anisotropi fases, regidas por la fuerza de la s alar eld potencial e interpretó esta transición de fase como la odensación de perturbaciones gravitacionales. A conocimientos Estoy agradecido a A.A. Starobinsky y D. Wesley por el ussiones y a K. Enqvist por ser útil omments. Mientras ondu para este trabajo, yo estaba apoyado por Marie Curie Resear h Red de capacitación HPRN-CT-2006-035863. Una importante En cuanto a la cuantificación se debe hacer. La teoría cuántica del s alar eld con el potencial (7) es hyoni Ally inestable y no tiene ni bien-de-ned asymptoti Los estados de out, ni outin S-matrix. Sin embargo, la hwinger-Keldysh matriz es de ned, y es posible dar sentido a la o teoría correspondiente dependiente del tiempo [12. Referencia es [1 R. Feynman, como le dijo R. Leighton, ¿Qué haces? son lo que otras personas W.W. Norton, New York, 1988. [2 A. Linde, Parti le fisic s y en forma de Osmología, Harwood, Switzer... tierra, 1990 [hep-th/0503203; A. Linde, Phys. Lett. 175B, 395 (1983). [3 A. Ceressole, G. Dall'Agata, A. Giriavets, R. Kallosh y A. Linde, Phys. Rev. D 74 (2006) 086010 [hep-th/0605086; A. Linde, JCAP 0701 (2007) 022 [hep-th/0611043; T. Clifton, A. Linde, N. Sivanandam, JHEP 0702 (2007) 024 [hep-th/0701083. [4 C. Burgess, en Hacia la gravedad cuántica, ed. D. Oriti, Cambridge Uni- versity Press, 2006 [gr-q /0606108; C. Burgess, hep-th/0701053. [5 L.D. Landau y E.M. Lifshitz, lassi al teoría de los eldos, Pérgamo Prensa, 1979. [6 V.A. Belinskii, E.M. Lifshitz e I.M. Khalatnikov, Adv. Phys. 19, 525 (1970); V.A. Belinskii, E.M. Lifshitz e I.M. Khalatnikov, Adv. Phys. 31, 639 (1982); B. Berger, D. Garnkle, J. Isenberg, V. Mon rief, y M. Weaver, Mod. Phys. Lett. A 13, 1565 (1998). [7 V.A. Belinskii e I.M. Khalatnikov, Sov Phys. JETP 36, 591 (1973); L. Andersson, A. Rendall, Commun. Matemáticas. Phys. 218, 479 (2001) [gr-q /0001047. [8 E.M. Lifshitz, I.M. Khalatnikov, ZhETF 39, 149 (1960) (en ruso); E.M. Lifshitz, I.M. Khalatnikov, Sov. Phys. Uspekhi 6, 495 (1964). [9 J.K. Eri Kson, D. Wesley, P. Steinhardt, N. Turok, Phys. Rev. D 69 (2004) 063514 [hep-th/0312009. [10 C.M. Hull, Class. Quant. Grav. 2, 343 (1985); R. Kallosh, A. Linde, S. Prokushkin, M. Shmakova, Phys. Rev. D 65, 105016 (2002) [hep-th/0110089; R. Kallosh, A. Linde, S. Prokushkin, M. Shmakova, Phys. Rev. D 66, 123503 (2002) [hep-th/0208156. [11 J. Khoury, B.A. Ovrut, P.J. Steinhardt, N. Turok, Phys. Rev. D 64, 123522 (2001) [hep-th/0103239; J. Khoury, B.A. Ovrut, N. Seiberg, P.J. Stein... Hardt, N. Turok, Phys. Rev. D 65, 086007 (2002) [hep-th/0108187; E. Bu hbinder, J. Khoury, B. Ovrut, hep-th/0702154. [12 D. Podolsky, A. Starobinsky, en preparación. [13 Č. Crn ović y E. Witten, en trescientos años de gravitación, eds. S.W. Hawking y W. Israel, Cambridge University Press, 1987, pág. 676; G.J. Zu Kerman, en Mathemati al aspe ts de la teoría de cuerdas, San Diego 1986, Ed. S.-T. Tau, Worlds S ienti ,1987, p. 259. http://arxiv.org/abs/hep-th/0503203 http://arxiv.org/abs/hep-th/0605086 http://arxiv.org/abs/hep-th/0611043 http://arxiv.org/abs/hep-th/0701083 http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606108 http://arxiv.org/abs/hep-th/0701053 http://arxiv.org/abs/gr-qc/0001047 http://arxiv.org/abs/hep-th/0312009 http://arxiv.org/abs/hep-th/0110089 http://arxiv.org/abs/hep-th/0208156 http://arxiv.org/abs/hep-th/0103239 http://arxiv.org/abs/hep-th/0108187 http://arxiv.org/abs/hep-th/0702154

Discutimos las propiedades genéricas de las teorías clásicas y cuánticas de la gravedad con un campo escalar que se revelan en las proximidades de la cosmología singularidad. Cuando el potencial del campo escalar es exponencial y sin límite desde abajo, la solución general de las ecuaciones de Einstein ha asintóticas cuasiisotrópicas cerca de la singularidad en lugar de la habitual anisotrópico Belinskii - Khalatnikov - Lifshitz (BKL) asintótica. Dependiendo de la fuerza del potencial de campo escalar, existen dos fases de cuántica gravedad con campo escalar: uno con comportamiento esencialmente anisótropo del campo funciones de correlación cerca de la singularidad cosmológica, y otro con Comportamiento cuasiisótropo. La "transición de fase" entre las dos fases es interpretado como la condensación de gravitones.

General asimptoti soluciones de las ecuaciones de Einstein y transiciones de fase en la gravedad cuántica Dmitry Podolsky Instituto de Fisiología de Helsinki s, Universidad de Helsinki, Gustaf Hällströmin katu 2, FIN00014, Helsinki, Finlandia Correo electrónico: dmitry.podolsky helsinki. Abstra t Estamos de acuerdo. uss generi propiedades de lassi al y las teorías cuánticas de la grav- ity con un s alar eld whi h se revelan en la vi inity de la osmolog- i Al singularidad. Cuando el potencial de la alar eld es exponencial y sin límite desde abajo, la solución general de las ecuaciones de Einstein tiene cuasi-isotropi asymptoti s cerca de la singularidad en lugar de lo habitual anisotropi Belinskii - Khalatnikov - Lifshitz (BKL) asymptoti s. De- pendiente en la fuerza de s alar eld potencial, existen dos fases de gravedad cuántica con s alar eld: uno con esencialmente anisotropi ser... havior de eld diversión orrelation ciones cerca de la osmologi la singularidad, y otro con cuasi-isotropi comportamiento. La transición de fase entre la dos fases se interpreta como el ondensación de gravitones. Licencia del Instituto Landau para Theoreti al Physi s, 119940, Mos Rusia. http://arxiv.org/abs/0704.0354v2 Un pessimisti cita de la era dorada de nding exa t soluciones de las ecuaciones de Einstein h re e las relaciones entre las partes le teorists y expertos en GR pertenecen a Ri Duro Feynman. Participar en la Interna- Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo e sobre Relativistai Teorías de la Gravitación en Varsovia, fue escribir a su esposa [1: No estoy consiguiendo nada fuera de la reunión. Lo estoy. No aprender nada. ... Me meto en discusiones fuera de las sesiones formales (digamos, en Laun h) Cuando alguien me hace una pregunta o empieza a hablarme de su trabajo. La obra es siempre: (1) omplísimamente incomprensible, (2) imprecisa y inde nite, (3) algo orre t que es obvio y evidente, pero resuelto por un largo y di ul análisis, y presentado como un importante demasiado, o (4) a Laim basado en la estupidez del autor que algunos obvio y orre t fa t, a epted y él ked durante años, está en fa t falso... (5) un intento de hacer algo Probablemente imposible, pero Por supuesto que no es de utilidad. h, es revelado nally en el fin, falla... o (6) sólo planea mal... Recuérdame que no lo haga. # Vamos a más # gravedad onferen es! Ciertamente, soy muy consciente de que el trabajo presentado en este ensayo perteneció a la lass (3) o (5) en el Feynman's lassi ciones (esperanzadamente, no a la ¡Mujer (6)!), pero seguiré las propias palabras de Feynman [1: Todos lo hacemos por la diversión de tratar de y mi diversión en la identificación de algunos enlaces why h onne t la parte de la ommon lore sobre la relatividad general llamada Exa t soluciones de las ecuaciones de Einstein al problema de la cuantificación GR. De ourse, el interés de Feynman estaba en la cuantificación de GR mediante la aplicación de la approa integral de ruta h trabajando tan bien en QED. Soluciones del equa-Einstein ciones de los puntos de sillín de la a ión 2 S = gravedad + materia del cuántico gravedad con materia. Sin embargo, el sobre las contribuciones de estos puntos de silla de montar en el Diversión de partición de la teoría y de la teations cerca de ellos Exportación de la materia (Sgravity + Smatter) typi Ally no tiene ninguna medida. En otras palabras, la probabilidad de un casi cualquier exa t solución a des ribe las características observables del Universo o algunas partes de ella, para aparecer de alguna manera de la espuma cuántica realizada cerca de la singularidad es muy pequeño, y la ira del Feynman es absolutamente comprensible. Bueno, casi absolutamente... ourse, hay varios lasse de soluciones why h será importante para la parte cuántica de la historia, también, y uno an sin mu h Pensar inmediatamente identificar algunos: 1. Attra tors : entre ellos se encuentra Minkowski spa etime, de Sitter (al menos en el sentido de eterno en la existencia [2) y anti de Sitter spa etimes (un conjunto de Los dominios AdS son probablemente el attra global tor de GR realizado como aproximación de baja energía de la teoría de cuerdas [3); bla k agujeros (S hwarzs hild, Kerr, Reissner-Nordström, Kerr-Newman soluciones), et . A partir de ahora, por la teoría cuántica de la gravedad queremos decir e e QFT tivo de spin 2 elds [4 (más los eldos de la materia) el uno whi h parti les con las energías E â € ¢ MP prueba. En este límite, e e e Los ts de la no renormalización pueden ser negle Ted. A pesar de que estamos abajo de la situación h se realiza cerca de la osmologi la singularidad, limitamos la ussion to time s ales t â € tP. 2. Soluciones generales de las ecuaciones de Einstein. Como de costumbre [5, una solución de la Ecuaciones Einstein se considera como general si ontains su ient number de la diversión arbitraria ciones de oordenadas. En el ase de Ri i- en el spa etimes, este número es 4, y es igual a 8 en el presen e de hidrodinami materia. Mientras que cualquier no-attra la solución tipo tor de las ecuaciones de Einstein de nes la punto de sillín para la trayectoria integral (1) h tiene un desvanecimiento Atribución en la diversión total de la partición sión, con el tiempo se establece bien hacia un attra solución de tor debido a la e e t de lassi al perturbaciones y/o cuánticas u teations. Los octribution of attra sillín tipo tor puntos en la partición diversión tion (1) es, por lo tanto, signi hormiga. Sin embargo, la palabra clave aquí es eventualmente. Para cualquier no-attra solución tarda un tiempo tcoll antes de la solución rea hes su attra tor asymptoti s. Déjanos onstru t algún estado inicial (t = ti) de la materia cuántica elds en a Turved spa etime y gravitones. La amplitud (tf)(ti) es entonces de ned por la ruta integral (1) al en la S perdido hwinger-Keldysh ontour de t = ti a t = tf y ba k. Entonces, si tf tcoll, el o correspondiente attra tor punto de silla de montar no da ningún noti eable sobre la atribución a la amplitud. No es necesario. Essary para conocer la evolución del estado cuántico (t) en el tiempo s ales # Tcoll, estamos a favor # ed a pagar mu h más atención al tipo de silla de montar o corresponde a soluciones generales de las ecuaciones de Einstein. Ciertamente, las ecuaciones de Einstein son difíciles de resolver, y es posible algo como su solución general sólo en fisico ally situaciones simplificadas. Como fue mostrado por Belinskii, Khalatnikov y Lifshitz [6, asymptoti Ally, las soluciones generales de las ecuaciones de Einstein cerca de la osmologi singularidad tienen la misma forma para una casi arbitraria hoi e del asunto ontent. Este asymptoti s en el syn Marco ronoso se administra por solución similar a Kasner ds2 = dt2 − (t,x)dxαdxβ, (2) (t, x) = t lαlβ + t mαmβ + t nαnβ. 3) Ambos exponentes Kasner p1, p2, p3 y eje Kasner ve los tors lα, mα y nα son diversión arbitraria ciones de spa e oordenadas. Las ecuaciones de Einstein proporcionan dos sobre los exponentes de Kasner p1 + p2 + p3 = 1, (4) p21 + p 2 + p 3 = 1, (5) así como otros tres ostras sobre la diversión arbitraria ciones de spa e oordenadas presente en (3). Tomando en una de la Comisión de las Comunidades Europeas y de la Comisión de las Comunidades Europeas. hoi e de syn Gálibo ronoso g00 = 1, g0α = 0 (6) De ourse, el tiempo s Ale Tcoll en sí es una diversión nal del estado inicial (t = ti). A menudo, es imposible jalar el syn global Marco ronoso de referencia e debido a la limitaciones establecidas por el Asualidad. Sin embargo, en todas partes en el texto uss el fisico s en a administrado asual pat h. deja la libertad de hacer spa tridimensional e transformaciones extraordinarias, uno a ver fácilmente que el número total de arbitrarios oordinary fun ciones en el La solución similar a Kasner (2),(3) es igual a 4 como debería ser expe Para un general solución de las ecuaciones de Einstein ocorrespondiente a un spa vacío etime. En el presen e del hidrodinami solución de Kasner (2),(3) de- s ribes asymptoti comportamiento de metri cerca de la singularidad, pecado e omponentes de tensor de energía-momento Tik crecer más lento en t → 0 entonces el omponentes de el Ri i tensor. Orden superior orre ciones a la solución de Kasner (2), (3), es decir, más altos términos de orden en la expansión de (t, x) sobre los poderes de t jugar el papel de perturbaciones h dar lugar a la dependencia de tiempo e de Kasner exponentes pi así como el eje de Kasner ve tors lα, mα y nα y a BKL bien conocido haoti comportamiento. Por lo tanto, la solución BKL es simultáneamente un attra universal - ¡No! - ¡No! para todas las soluciones de las ecuaciones de Einstein que poseen un spa Como la singularidad. Significa que no hay otros puntos de silla de montar ontribute en la amplitud (1) en el vi inity de la osmologi Al singularidad. En este ensayo, será rst de todo demostrado que en el presen e de un s alar eld con potencial V (­) h es exponencial y sin límites desde abajo, el asymptoti la solución de las ecuaciones de Einstein es diferente de la solución de BKL y es cuasi-isotropi [8 (mientras que la solución BKL es esencialmente anisotropi ). In parti ular, lo haremos El potencial de la manguera de la forma V () = V0ch (). 7).................................................................................................................................................. S Los potenciales de alar eld de esta forma aparecen en problemas relacionados con la medición super- modelos de gravedad [10 y el ekpyroti s enario [11. Los osmologi singularidad realizado en su h teoría es del Anti de Sitter Big Crun Tipo h. El fisico s en su vi inity es interesante por sí mismo y aún más pecado e este tipo de singularidad parece que se realiza muy a menudo en las tierras de la teoría de cuerdas mono [3. Al igual que en el ase dis ussed en [6, es onvenient para realizar todo al ulaciones en el syn Marco ronoso de referencia e donde g00 = 1, g0α = 0, g = , α, β = 1.... 3, es decir, el spa Intervalo etime tiene la forma ds2 = dt2 − (t, x)dxαdxβ. (8) Cerca de la hipersurfa e t = 0 whi h o corresponde a la singularidad, el espacio metri los omponentes se comportan como (t,x) = a(x)t 2q + cÃ3(x)t d + b®(x)t i, j) (x)tfij. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Con el mismo pre ision, uno tiene en la vi inity de singularity *(t,x) = *(x) + *0(x)log(t) + *1(x)t f1 + Ł2(x)t f2 + · · ·, (10) Whi h ocorresponde por todas partes abajo al spa similar a la hipersurfa e t = 0. Si hay un s alar eld en la materia ontent [7, solución BKL (3) sigue siendo solución general de las ecuaciones de Einstein con ahorcado Kasner onstraints (4), (5). El cuasi-isotropi solución para su h se encontraron potenciales en el nivel de kground en [9, donde también se demostró que es el attra tor. El objetivo que perseguimos en este ensayo es: demostrar que el cuasi-isotropi solución también es general y entender cómo su inestabilidad se desarrolla con la el ahorcamiento de la forma del potencial. con puntos o que corresponden a términos de orden superior de la expansión de poderes........................................................................................................................................................................................................................................................ de t. De las ecuaciones de Einstein uno nds8 que los exponentes principales en el las expansiones (9) y (10) están delimitadas por las expresiones , n = 2, d = 1− q, (11) (x) = Const, (x) = , f1 = 1− 3q, f2 = 2− q, (12) (x) = 21(x), c α;β(x) = 1 - 2q 1 - 3q ­0­1,α(x), (13) P (x) + (1 − q)(qb(x) + (1 + q)b(x)) = e2(x), (14) − (1− q)b®(x) = (1 - q)-0-0-2(x)- 2(x), (15) donde Pū (x) es el Ri tridimensional i tensor onstru a partir de omponentes de el tensor a(x) como omponentes de metri Tensor. Términos de orden superior en el expansiones (9) y (10) un ser uno mismo insistentemente al ululado mediante el uso del Einstein ecuaciones y la ortogonalidad ondition β =  α. 16) Uno y inmediatamente desde Eq. (16) que los exponentes de orden superior en el metri (9) son denunciados por fij = i+ 2j − (3i+ 2j − 2)q, (17) donde i, j N. El término n en el metri expansión corresponde a i = 0, j = 1 y d término a i = 1, j = 0. Es fácil ver que no hay otros exponentes en la expansión (9). Examinemos las fórmulas (11)-(15) más pérdida y al ulular el número de la diversión arbitraria ciones presentes en esta solución. En primer lugar, uno a inmediatamente ver que el tensor a(x) no es Onstrained por las ecuaciones de Einstein. Tiene 6 omponentes, y 3 de ellos a ser hecho igual a 0 por un tridimensional oordinaria transformación (la libertad de medición de remanentes de la Gálibo ronoso 6)). Pecado e este tensor se utiliza para bajar y subir el indi es y representa el término principal en la expansión (9), vamos a identificar el término ba kground octribución a (t, x). Además, vemos desde Eqs. (14),(15) que b................................................................................................................... a ser re onstru ted del tensor conocido. El tensor tiene tres más diversión arbitraria ciones de oordenadas. In- acción, es a estar representado en la forma c(x) = α + Y ;α + Y Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # Y # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α + c (TT)β α. (18) Debido a las limitaciones del spa e no podemos presentar la derivación completa de la solución Aquí. Se dará en el cuarto oming publi ión [12. El indi Es de todos los matri es bajada y levantada por el tensor a®, por ejemplo, b De Eq. (13) uno un ver que su tra e parte de nes el valor de 2(x) on- Atribuyendo a Eq. (10) y por lo tanto proporciona una diversión arbitraria tion. Entonces, tres omponentes de la ve tor ontribution Yα(x) son xed, y tra transversal aless parte c (TT)β α (x) proporciona dos diversión arbitraria restante ciones. También tomamos nota de que el término câ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° a ser considerado como el término principal de perturbación de la kground sobretribución en . En parte ular, es ontains el Atribución de s Alar per- Turbaciones (relacionadas con la e del tensor c) y las perturbaciones del tensor o gravitones (relacionados con el aless parte del tensor c). El número total de diversión arbitraria ciones en la solución (9),(10) es, por tanto, 6, como se puede expe t para la solución general de las ecuaciones de Einstein con una s Alar Eld. Por análisis similar a [6, uno puede mostrar [9, 12 que el ontri- butiones de otra materia eldos en el crecimiento total del tensor de energía-momento más lento en t → 0 que el sobre la contribución de los Estados miembros Alar Eld. Nosotros el lude que la solución (9), (10) es el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein (con materia arbitraria) ontent) cerca de la osmologi Al singularidad. Del mismo modo que la solución BKL, el cuasi-isotropi solución es el attra universal tor para todos soluciones de las ecuaciones de Einstein con s alar eld que tiene el potencial (7) y otras cuestiones arbitrarias ontent why h poseer la singularidad del tiempo. Una vez más, bajo onsidered adiciones, sin otros puntos de silla de montar ontribute en el amplitud (1) en la vi la naturaleza de la Gran Crun h singularidad. Es instru tiva a entender cómo exa la transición de la cuasi- isotropi régimen (9),(10) cerca de la singularidad del BKL anisotropi régimen (3) sucede. Esta transición a ser un hieved by colgando el valor de ♥while mantener V0 xed (o visera versa). Por onstru 2q < d = 1− q, es decir, el exponente de la expansión (9) es líder. Con el in rease de q, el valor de d de reases y cuando q rea hes la riti valor al qc = 1/3, la a(x)t ec(x)t en el expansión del metri 9) ser de la misma orden. Similarmente, uno an él k que los valores de los exponentes de orden superior (17) de rease con el in rease de q. En parte ular, todos los exponentes con di erent i's y similares j's ser ome of the same orden de magnitud en qc = 1/3. En q > qc = 1/3 el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein cerca de la singularidad es dada por Eq. (3) en lugar de Eq. In fa t, lo que acabamos de encontrar es relevante para la parte cuántica de la historia, también, y en cierto sentido es análogo a la ruptura espontánea de la simetría fenómeno en QFTs. De hecho, tomemos la teoría con un s alar eld (Φ2 - v)2, (19) Φ(x, 0) = 0 como inicial ondición y Ontinuously colgar el valor de el parámetro v. En v > 0 la solución Φ(t, x) = 0 de la lassi al ecuaciones de movimiento es perturbativamente estable y o corresponde a la verdadera va uum de la teoría a nivel cuántico. A < 0 la misma solución debe ser omes lassi ally inestable, y Φ(t, x) rea Hes el verdadero va valor de uum Φ = ± v durante el tiempo t â € 1 log 1 (con el VEV del operador que tiene un comportamiento similar en el nivel cuántico). Similar situación se realiza en nuestra Ase. En q < qc = 1/3 el cuasi-isotropi solución (9),(10) es la solución general de las ecuaciones de Einstein; es perturbativamente estable por onstru ciones (sin ningún tipo de limitaciones a la debilidad de las perturbaciones). En q > qc el cuasi-isotropi solución omes perturbativamente inestables (perturbaciones más altos términos de orden crecen más rápido que el ba kground threat a at t→ 0). Vise versa, en q > qc = 1/3 el BKL anisotropi solución si el Einstein ecuaciones es general en la vi inity de la osmologi Al singularidad. Es estable. por onstru sión con respe t a las perturbaciones arbitrarias y la estabilidad se pierde at q < qc. Este análisis sigue siendo válido para la situación cuántica pecado e el anoni- al phase spa e está en uno-a-uno orsponden e con el spa e de soluciones de lassi al eld ecuaciones [13, y ambos cuasi-isotropi y las soluciones BKL son: a) general y b) attra universal tors para otras soluciones de las ecuaciones de Einstein en la vi la naturaleza de la singularidad del tiempo. La transición del régimen realizada en q < 1/3 al régimen q > 1/3 Probablemente. o corresponde en el nivel cuántico a la odensación de la gravedad perturbaciones. De hecho, uno a interpretar el orden superior Atribuciones en el Expansión (9) como términos ocorrespondientes a los intera sión entre gravitacional grados de libertad, así como no linealidades de orden superior en el ba Kground. Nuestro el lusión se basa en la fa t que en q = qc el spe trum de los exponentes en la ampliación (9) ser omes en nitely denso. También es posible demostrar que el punto de la transición de fase qc = 1/3 ocorrespondiente a la lassi al nivel a la situación cuando la hoi e de síntesis mundial Marco ronoso de referencia e es imposible cerca de la singularidad [12. Resumamos lo que se ha encontrado en el presente ensayo. Hemos mostrado que en el presen e del s alar eld con potencial exponencial sin límite desde abajo, el asymptoti general solución de las ecuaciones de Einstein cerca la osmologi al singularidad tiene cuasi-isotropi comportamiento en lugar de anisotropi encontrado por [6. Hemos argumentado que en el nivel cuántico debería existir un transición de fase entre los cuasiisotropi y anisotropi fases, regidas por la fuerza de la s alar eld potencial e interpretó esta transición de fase como la odensación de perturbaciones gravitacionales. A conocimientos Estoy agradecido a A.A. Starobinsky y D. Wesley por el ussiones y a K. Enqvist por ser útil omments. Mientras ondu para este trabajo, yo estaba apoyado por Marie Curie Resear h Red de capacitación HPRN-CT-2006-035863. Una importante En cuanto a la cuantificación se debe hacer. La teoría cuántica del s alar eld con el potencial (7) es hyoni Ally inestable y no tiene ni bien-de-ned asymptoti Los estados de out, ni outin S-matrix. Sin embargo, la hwinger-Keldysh matriz es de ned, y es posible dar sentido a la o teoría correspondiente dependiente del tiempo [12. Referencia es [1 R. Feynman, como le dijo R. Leighton, ¿Qué haces? son lo que otras personas W.W. Norton, New York, 1988. [2 A. Linde, Parti le fisic s y en forma de Osmología, Harwood, Switzer... tierra, 1990 [hep-th/0503203; A. Linde, Phys. Lett. 175B, 395 (1983). [3 A. Ceressole, G. Dall'Agata, A. Giriavets, R. Kallosh y A. Linde, Phys. Rev. D 74 (2006) 086010 [hep-th/0605086; A. Linde, JCAP 0701 (2007) 022 [hep-th/0611043; T. Clifton, A. Linde, N. Sivanandam, JHEP 0702 (2007) 024 [hep-th/0701083. [4 C. Burgess, en Hacia la gravedad cuántica, ed. D. Oriti, Cambridge Uni- versity Press, 2006 [gr-q /0606108; C. Burgess, hep-th/0701053. [5 L.D. Landau y E.M. Lifshitz, lassi al teoría de los eldos, Pérgamo Prensa, 1979. [6 V.A. Belinskii, E.M. Lifshitz e I.M. Khalatnikov, Adv. Phys. 19, 525 (1970); V.A. Belinskii, E.M. Lifshitz e I.M. Khalatnikov, Adv. Phys. 31, 639 (1982); B. Berger, D. Garnkle, J. Isenberg, V. Mon rief, y M. Weaver, Mod. Phys. Lett. A 13, 1565 (1998). [7 V.A. Belinskii e I.M. Khalatnikov, Sov Phys. JETP 36, 591 (1973); L. Andersson, A. Rendall, Commun. Matemáticas. Phys. 218, 479 (2001) [gr-q /0001047. [8 E.M. Lifshitz, I.M. Khalatnikov, ZhETF 39, 149 (1960) (en ruso); E.M. Lifshitz, I.M. Khalatnikov, Sov. Phys. Uspekhi 6, 495 (1964). [9 J.K. Eri Kson, D. Wesley, P. Steinhardt, N. Turok, Phys. Rev. D 69 (2004) 063514 [hep-th/0312009. [10 C.M. Hull, Class. Quant. Grav. 2, 343 (1985); R. Kallosh, A. Linde, S. Prokushkin, M. Shmakova, Phys. Rev. D 65, 105016 (2002) [hep-th/0110089; R. Kallosh, A. Linde, S. Prokushkin, M. Shmakova, Phys. Rev. D 66, 123503 (2002) [hep-th/0208156. [11 J. Khoury, B.A. Ovrut, P.J. Steinhardt, N. Turok, Phys. Rev. D 64, 123522 (2001) [hep-th/0103239; J. Khoury, B.A. Ovrut, N. Seiberg, P.J. Stein... Hardt, N. Turok, Phys. Rev. D 65, 086007 (2002) [hep-th/0108187; E. Bu hbinder, J. Khoury, B. Ovrut, hep-th/0702154. [12 D. Podolsky, A. Starobinsky, en preparación. [13 Č. Crn ović y E. Witten, en trescientos años de gravitación, eds. S.W. Hawking y W. Israel, Cambridge University Press, 1987, pág. 676; G.J. Zu Kerman, en Mathemati al aspe ts de la teoría de cuerdas, San Diego 1986, Ed. S.-T. Tau, Worlds S ienti ,1987, p. 259. http://arxiv.org/abs/hep-th/0503203 http://arxiv.org/abs/hep-th/0605086 http://arxiv.org/abs/hep-th/0611043 http://arxiv.org/abs/hep-th/0701083 http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606108 http://arxiv.org/abs/hep-th/0701053 http://arxiv.org/abs/gr-qc/0001047 http://arxiv.org/abs/hep-th/0312009 http://arxiv.org/abs/hep-th/0110089 http://arxiv.org/abs/hep-th/0208156 http://arxiv.org/abs/hep-th/0103239 http://arxiv.org/abs/hep-th/0108187 http://arxiv.org/abs/hep-th/0702154

Trigonometric parallaxes of high velocity halo white dwarf candidates

Astronomía y Astrofísica manuscrito no. blanco2v4 c© ESO 2018 4 de noviembre de 2018 Paralajes trigonométricos de la enana blanca de halo de alta velocidad ¿Los candidatos? C. Ducourant1, R. Teixeira2,1, N.C. Hambly3, B. R. Oppenheimer4, M.R.S. Hawkins3, M. Rapaport1, J. Modolo1, y J.F. Lecampion1 1 Observatoire Aquitain des Sciences de l’Univers, CNRS-UMR 5804, BP 89, 33270 Floirac, Francia. 2 Instituto de Astronomía, Geofásica e Ciências Atmosféricas, Universidade de São Paulo, Rua do Matão, 1226 - Cidade Universitaria, 05508-900 São Paulo - SP, Brasil. 3 Scottish Universities Physics Alliance (SUPA), Instituto de Astronomía, Escuela de Física, Universidad de Edimburgo, Real Observatorio, Blackford Hill, Edimburgo, EH9 3HJ, Reino Unido. 4 Departamento de Astrofísica, Museo Americano de Historia Natural, 79th Street en Central Park West, Nueva York, NY 10024-5192, Recibido / Aceptado RESUMEN Contexto. El estatus de 38 candidatos enanos blancos de halo identificados por Oppenheimer et al. (2001) ha sido objeto de intensos debates por varios autores. En los análisis realizados hasta la fecha, los paralajes trigonométricos son datos fundamentales que faltan. Las mediciones de distancia son obligatorio segregar el objeto halo cinemáticamente de los objetos de disco y, por lo tanto, permitir una estimación más fiable de la densidad local de halo materia oscura que reside en tales objetos. Apuntes. Presentamos mediciones trigonométricas de paralaje para 15 enanas blancas de halo candidatas (WDs) seleccionadas del Oppenheimer et al. (2001) list. Métodos. Observamos las estrellas usando el telescopio danés ESO 1.56-m y el telescopio ESO 2.2-m de agosto de 2001 a julio de 2004. Resultados. Se determinaron paralajes con precisiónes de 1–2 mas produciendo errores relativos en distancias de 5% para 6 objetos, 12% para 3 objetos, y el 20% para dos objetos más. Cuatro estrellas parecen ser demasiado distantes (probablemente más de 100 uds) para tener paralajes en nuestras observaciones. Conclusiones. Las distancias, magnitudes absolutas y velocidades espaciales revisadas se derivaron para los 15 WD de halo del Oppenheimer et al. (2001) list. La membresía Halo se confirma inequívocamente para 6 objetos, mientras que 5 objetos pueden ser miembros de disco grueso y 4 los objetos son demasiado distantes para sacar cualquier conclusión basada únicamente en la cinemática. Comparando nuestros paralajes trigonométricos con fotométricos Los paralajes utilizados en trabajos anteriores revelan una sobreestimación de la distancia derivada de técnicas fotométricas. Este nuevo conjunto de datos puede se utilizará para revisar la densidad espacial de la enana blanca del halo, y ese análisis se presentará en una publicación posterior. Palabras clave. Astrometría : paralaje trigonométrico – Materia oscura – Galaxia : halo – Estrella : cinemática – enanas blancas. 1. Introducción En la última década el interés en la enana blanca muy fresco, viejo (WD) halo la población ha crecido. Este interés está motivado por la pos- sibilidad de que estos objetos podrían dar cuenta de una fracción significativa de la materia oscura bariónica de nuestra Galaxia. Esta idea está de acuerdo. con discusiones tratando de explicar los eventos de microlensing en la Gran Nube de Magallanes en términos de una población de halo WD- tion – véase, por ejemplo, Chabrier et al. 1996 y Hansen 1998. Alcock et al. 1999 sugirió que los objetos de halo compactos masivos (MACHOS) conforman 20 a 100% de la materia oscura en el halo, con MACHOS con masa típica m + 0,5 M ; más recientemente, Calchi Novati et al. 2005 encontrar un resultado similar de la lente de píxeles en la línea de visión a M31. Por lo tanto, en este escenario la búsqueda para, y el estudio directo de, halo WD puede proporcionar limitaciones en la fracción de materia oscura en la Vía Láctea que es atribuible a estos objetos. Oppenheimer et al. (2001, en lo sucesivo OHDHS) alto movimiento adecuado WD; de sus cinemáticas, los autores Enviar solicitudes de impresión a: ducourant@obs.u-bordeaux1.fr ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Sobre la base de las observaciones recogidas en el Observatorio, Chile (067.D-0107, 069.D-0054, 070.D-0028, 071.D- 0005, 072.D-0153, 073.D-0028 llegó a la conclusión de que eran miembros de una población de halo. Desde a continuación, una intensa discusión sobre el estado de estos objetos ha tenido lugar en la literatura. Un examen amplio de este debate se presenta en Hansen y Liebert 2003 donde el la conclusión es que la interpretación del OHDHS está posiblemente , pero que las conclusiones completas no son posibles sin otros datos. Otros estudios sugieren que el disco y el “disco grueso” Las poblaciones galácticas pueden ser usadas para explicar la gran mayoría de los objetos (Reid 2005, Kilic et al. 2005, Spagna et al. 2004, Crézé y otros 2004, Holopainen & Flynn 2004, Flynn et al. 2003, Silvestri et al. 2002). La importancia de los WD de alta velocidad no se puede subestimar en otros contextos (por ejemplo, la forma de la estrella... historia de la Galaxia, véase también Davies, King & Ritter 2002, Hansen 2003, Montiero et al. 2006). Además, varios sementales... nes subrayan la importancia de la obtención de par- allaxes para candidatos a halo WD (Bergerron & Leggett 2002, Torres et al. 2002, Bergeron 2003). Esto es especialmente importante. para los WD más fríos, cuyas distribuciones de energía espectral muestran notables desviaciones de las distribuciones negro-cuerpo y que están resultando difíciles de modelar con precisión (Kowalski 2006, Gates et al. 2004, Saumon & Jacobson 1999, Hansen 1998). In la presencia de tales cambios radicales en el espectro WD, el suposición de una relación de paralaje fotométrico monotónico (por ejemplo: como 2 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca en el OHDHS) podrían desglosarse y estimarse las Las velocidades espaciales podrían estar en error seriamente. Además, un reciente papel (Bergerron et al. 2005) llega a la conclusión de que las distancias precisas son obligatoria para obtener la cinemática precisa y las edades para la puta- tiva y a fin de derivar su estado evolutivo. Con el objetivo de aclarar esta cuestión, en 2001 iniciamos un servicio al programa con la ESO 1.56-m danesa y ESO 2.2-m telescopios para medir los paralajes trigonométricos de estas estrellas. Las mediciones trigonométricas de la paralaje siguen siendo las únicas determinación sesgada de la distancia. Son de gran importancia en el debate sobre el estado de las enanas blancas de halo fresco porque se requieren para obtener velocidades y edades espaciales precisas que se utilizan para distinguir entre el halo y el disco mem- Bership. Estos paralajes trigonométricos conducen a la recalibración de distancias fotométricas utilizadas hasta ahora en este debate y permitir análisis de la población enana blanca de halo fresco con más Fidence. Lamentablemente, debido a la limitación del tiempo de observación, sólo 15 Hasta la fecha se han observado estrellas en la lista OHDHS. Sin embargo, Esta submuestra proporciona una visión importante del problema. 2. Observaciones Observaciones astrométricas de 15 de la lista OHDHS de 38 halo Los candidatos de enana blanca fueron realizados en la tele de ESO 2.2-m visor equipado con la cámara de mosaico de campo ancho WFI (con 0,238 ′′/píxeles, un campo de visión FOV = 34′ × 33′, 4 × 2 mosaico de 2k × 4k CCDs), a través del filtro ESO 845 I. Para reducir la astro- distorsiones métricas y otros efectos instrumentales, sólo datos de chip 51 (con FOV = 8 16′) se utilizaron en este trabajo; estrellas objetivo estaban centrados en el FOV de este chip. Cuatro épocas de observación se adquirieron como máximo factor paraláctico en la Ascensión Derecha en noviembre de 2002, julio 2003, noviembre de 2003 y julio de 2004, con un total de 11 noches de observaciones. Dos períodos paralácticos (cuatro observaciones más de 1,5 años) son necesarios, como mínimo, para una determinación única del paralaje y del movimiento adecuado. Dos observaciones preliminares se realizaron en el telescopio danés ESO 1,56-m en julio de 2001 y julio de 2002, pero el telescopio obligó a los autores a trasladar el programa a la ESO Telescopio de 2,2 m. Los datos obtenidos en el telescopio danés no fueron incluido en nuestro análisis final para evitar efectos sistemáticos debido a el uso de dos telescopios diferentes. Para minimizar los efectos de refracción de color diferencial (DCR), ob- se realizaron servaciones alrededor del tránsito de objetivos con hora ángulos de menos de 1 hora. Las exposiciones múltiples se tomaron en cada época de observación para reducir los errores astrométricos y para estimar la precisión de las mediciones. Los tiempos de exposición variaron de 100 a 600 segundos dependiendo de la magnitud del alquitrán Obtener. Cada campo fue observado de 20 a 35 veces. 3. Reducción astrométrica 3.1. Medición Los marcos se midieron utilizando el paquete DAOPHOT II (Stetson) 1987), la instalación de un PSF. El nivel de significación de una luminosidad en- el brillo del cielo local que era considerado como real se fijó en 7o. La rutina de PSF fue usada para definir una función de extensión de punto lar para cada marco. Finalmente obtuvimos el (x, y) posiciones medidas, magnitudes internas y asociadas errores de todas las estrellas en cada marco. Por lo general, entre 300 y 600 las estrellas se miden en cada cuadro en función del tiempo de exposición. De estos, una selección sobre el error en magnitud (ERRMAG) se aplicó el programa informático DAOPHOT II. Cualquier ob- Se rechazó la servación con ERRMAG ≥ 0,15m. Objetos más débiles que 1,5m más brillante que la magnitud limitante de una imagen dada fueron También se rechazó el análisis. 3.2. Identificación cruzada Para cada uno de los 15 campos de visión diferentes, hemos seleccionado un “maestro” o imagen fiducial del conjunto de 20 a 35 imágenes. Este maestro marco para cada objeto tenía la magnitud limitante más profunda y calidad de imagen más alta. Para cada una de las otras imágenes para un dado objeto objetivo, las posiciones de todas las estrellas no rechazadas por el crite- ria arriba fueron entonces cruzados-identificados a la estrella de la imagen maestra posiciones. Los objetos no detectados en tres o más cuadros fueron: excluidos, que producen de 100 a 200 estrellas en común en cada campo. Marcos que contienen menos de Nmaster/3 estrellas en común con el marco maestro se eliminó de la solución (donde Nmaster es el número de estrellas en el marco maestro). Tenga en cuenta que el maestro marco se procesa de una manera idéntica a los otros marcos y no se supone que esté libre de errores en la solución de paralaje. En otras palabras, los marcos fiduciales no se toman como un error-libre “verdad”, pero simplemente se utilizan como base para ciones y correlación de las posiciones estelares que componen el astro- cuadrícula métrica utilizada en la solución. 3.3. Refracción de color diferencial La refracción atmosférica cambia las posiciones aparentes de las estrellas en observaciones basadas en tierra y depende de la distancia del cenit de las observaciones. Para la astrometría de precisión este efecto debe ser contabilizado, porque puede ser muchas decenas de miliarcsececonds a distancias relativamente modestas. En nuestro caso, otro efecto se vuelve importante también, porque la re- la fracción de nuestras estrellas objetivo no será idéntica a la de la estrellas de fondo utilizadas para nuestra cuadrícula de referencia astrométrica. Nuestro estrellas objetivo (WD) y las estrellas de fondo (normalmente principales– secuencia G o K estrellas) tienen diferentes distribución de energía espectral ciones. Por lo tanto, la refracción atmosférica los afectará. ently cuando se observa a través de una banda filtrante dada. Esto es llamada refracción de color diferencial (DCR) y es conocida por causa movimiento paraláctico espurio Monet et al. 1992. DCR puede Afectan tanto a la Ascensión Derecha (AR) como a la Declinación del alquitrán. obtener como derivado con respecto a las estrellas de campo. Observaciones en par- programas allax están planeados para maximizar el factor paraláctico en RA por lo que la solución de paralaje para el objetivo dependerá en gran medida la AR medida. Por lo tanto, el paralaje derivado es principalmente per- turbido por los efectos de DCR en AR que son críticamente dependientes sobre la distancia cenit de una observación dada. Investigamos el impacto de tales efectos en el paralaje de enanas blancas a través de simulaciones. Usando la fórmula habitual para refracción atmosférica, una aproximación de cuerpo negro para blanco espectro estelar enano y fondo, la Galaxia Besançon modelo para las características de las estrellas de fondo (Robin et al. 1994) y ESO 845 límites de filtro, calculamos la media diferen- efectos de refracción de color tial entre una enana blanca similares a los de nuestra lista con temperaturas efectivas, Teff, en el rango 4000 K a 11000 K (Bergerron y otros Cuadro 2 de 2005, y un estrella de fondo (Teff 5000 K). Presentamos en la Fig. 1 los efectos de la DCR en AR para el blanco Enanas situadas a  = −30°, que cubren el rango de temperaturas de nuestros objetivos. Fig. 1 demuestra que el impacto de los efectos de DCR siempre fueron menos de 0,5 mas para las observaciones tomadas con un ángulo de hora inferior a una hora. Por lo tanto, nuestras observaciones C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 3 se hicieron específicamente para que el ángulo de la hora nunca superó una hora, y las correcciones DCR no se aplicaron en este trabajo. Fig. 1. Efectos de DCR en AR entre una enana blanca de temperatura Teff y una media de estrellas de fondo (Teff=5000K) en una Declinación (representante de nuestra muestra) para varios ángulos de hora de observación. Los efectos DCR parecen ser siempre inferiores a 0,5 mas para observaciones realizadas a menos de 1 hora de merid- ian que es el caso del presente proyecto. Los efectos de DCR son: entonces insignificante en comparación con otras fuentes de error astrométrico y no fueron tenidos en cuenta en este trabajo. 3.4. Impacto de errores de escala de píxeles en el paralaje Movimientos adecuados (μx, μy) y paralaje trigonométrico (γxy) de alquitrán se determinan comparando las medidas de (x, y) ex- pulsado en píxeles. Un factor de escala S f, la escala de píxeles de la imagen, es para convertir las mediciones de píxeles en unidades físicas: η = S fηxy; d(pc) = 1, con S f expresado en ′′/píxeles. Derivación de la escala de píxeles se puede lograr a través de un cruce-correlación entre las posiciones (x, y) de las estrellas en un dado marco maestro a los valores correspondientes de (α, ) para el subconjunto de estrellas que también están en un catálogo de referencia. Aquí usamos el Catálogo 2MASS (Cutri et al. 2003) para determinar las orientaciones sión del marco maestro en el cielo y para la escala de píxeles minación. Hemos seleccionado el catálogo 2MASS como referencia para alogue debido a su precisión y densidad, aunque notamos la ausencia de correcciones adecuadas de la moción. Sin embargo, la época diferencia entre nuestras observaciones y el catálogo 2MASS (3 años) daría lugar a correcciones insignificantes en el catálogo posiciones con respecto a los errores del catálogo. Errores en la escala así determinados, resultantes del catálogo errores aleatorios, producirán errores en la determinación de la distancia del objetivo. Por lo tanto, es importante cuantificar el impacto de los errores de catálogo en la distancia del objetivo. Para medir este impacto en el presente trabajo, asumimos N las estrellas de referencia se extienden igualmente sobre un detector cuadrado del lado A. La ecuación clásica que relaciona las medidas (x, y) de una estrella en el marco de sus coordenadas estándar X(α, plano tangente a la esfera celestial es (con una ecuación similar en la coordenada Y) X = (ax + por + c)1/F, (1) donde (a,b,c) son las constantes “placas” desconocidas y F el focal longitud del telescopio (típicamente el valor indicado en erence manual). F se expresa en las mismas unidades que (x,y) y A (píxel, mm). Es entonces fácil demostrar que una aproximación justa de la varianza de la estimación del parámetro (a) viene dada por cat, (2) donde el gato es la precisión del catálogo (expresado en radianes). Resultados similares se pueden encontrar en Eichhorn & Williams 1963. Nosotros puede expresar el paralaje (en radianes) como: ηxy, (3) 2η = η 2a, = cat (4) con F â € ¢ 13m, A â € ¢ 0,03m, evaluamos aquí â € TM 10−4η. Los impacto del error del catálogo en el paralaje del objetivo está muy por debajo de los errores de medición (típicamente unos pocos miliarcsec- onds) y, por lo tanto, son insignificantes. 3.5. Solución global: Paralaje relativo La reducción astrométrica de todo el conjunto de datos de cada uno campo se realiza iterativamente a través de un solapamiento central global procedimiento (Hawkins et al. 1998, Eichhorn 1997) con el fin de determinar simultáneamente la posición, el movimiento adecuado y el paralaje de cada objeto del campo. Las siguientes ecuaciones de condición están escritas para cada estrella en cada uno de los marcos N considerados (incluido el marco maestro). Estas ecuaciones relacionan las coordenadas medidas con el estelar Parámetros astrométricos: X0 + X0 + μX(t − t0) + ηFX(t) = a1x(t) + a2y(t) + a3 (5) Y0 + •Y0 + μY (t − t0) + ηFY (t) = b1x(t) + b2y(t) + b3 (6) donde (X0,Y0) son las coordenadas estándar conocidas de la estrella en la época t0 del marco maestro, y (x(t), y(t) su medida coordenadas en el marco (epoch t) para ser transformado en el sistema de marco maestro. Los siguientes son los desconocidos: X0, Y0, μX, μY y Parámetros astrométricos estelares: corrección del rendimiento de la coordenadas estándar de la estrella en el marco maestro, (μX, μY ) son el movimiento adecuado proyectado en RA*cos(l) y Dic, y η es el Paralaje. Los coeficientes (ai, bi) son los parámetros de marco desconocidos que describen la transformación al sistema de marco maestro. (FX, FY ) son los factores de paralaje en coordenadas estándar. Los las incógnitas de este gran sistema sobre-determinado de ecuaciones son los parámetros astrométricos estelares de cada objeto, y el trans- coeficientes de formación de cada uno de los marcos N considerados. Los sistema de ecuaciones es singular y por lo tanto la solución derivada no es único; cualquier solución dependerá del punto de partida de las iteraciones. La técnica habitual para obtener una solución en particular es introducir un conjunto de restricciones que la solución debe satisfacer. En este trabajo elegimos establecer estrictamente a cero el paralaje medio de las estrellas de referencia. Utilizamos un método iterativo tipo Gauss–Seidel para resolver la conjunto de ecuaciones. En la primera iteración todos los parámetros estelares son Asumido null, luego computamos las constantes de la placa que son 4 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca inyectado en el sistema de ecuaciones para derivar el param estelar eters. Estos resultados se utilizan como punto de partida de la bajar la iteración. El procedimiento iterativo converge generalmente en el segunda o tercera iteración. Se aplica una prueba de eliminación a 3 eliminar observaciones deficientes ya sea en el ajuste marco maestro o en el Los parámetros estelares encajan. Los parámetros estelares encajan las ecuaciones tienen ha sido ponderado por la media residual del ajuste del marco maestro. Esto la ponderación representa la calidad de las mediciones. Las estrellas utilizado para el ajuste marco maestro se llaman aquí estrellas de referencia. Aplicamos este tratamiento global a las diversas observaciones de los 15 campos observados y que derivamos para los objetivos un adecuado movimiento y paralaje con varianzas asociadas. 3.6. Conversión de Paralaje relativo a Absoluto Los paralajes que derivamos para nuestros objetivos son relativos a la estrellas de referencia (para las que utilizamos la restricción η = 0), sup- posado colocado a distancia infinita. De hecho, estas estrellas de referencia son a una distancia finita del Sol. Por lo tanto, debemos corregir la rela- Paralaje tivo del objetivo a partir de una estimación de la distancia media de las estrellas de referencia para obtener el paralaje absoluto del objetivo. La elección que hicimos para mantener tantas estrellas de referencia como sea posible en nuestro cálculo es interesante porque las estrellas estadísticamente débiles tienen paralaje más pequeño y requieren una corrección más pequeña. Hay varias maneras de estimar la distancia media de estrellas de referencia: métodos estadísticos basados en un modelo de Galaxia; paralaje espectroscópico; y paralaje fotométrico. Por las correcciones de paralaje relativo a paralaje absoluto nos uso de un método estadístico basado en simulaciones utilizando el Modelo Besançon Galaxy (Robin et al. 1994) para obtener el teo- distancia media retical de las estrellas de referencia. Una simulación de cada ob- se llevó a cabo el campo servido, proporcionando catálogos de distancia y magnitud aparente de estrellas simuladas. Calculamos en estos los catálogos medios distancias y dispersión asociada en magni- Tude bins de 0,2 mag, estableciendo una tabla de distancias teóricas con respecto a la magnitud aparente. Entonces consideramos nuestra ob- campos servidos y computamos la media ponderada de paralaje y dispersión asociada de nuestras estrellas de referencia utilizando la teoría mesa. Finalmente añadimos esta media paralaje de estrellas de referencia a el paralaje relativo de nuestro objetivo que conduce al paralaje absoluto de las enanas blancas. Damos en la Tabla 1 el relativo a las correcciones absolutas en mil- lyercsegundos como se encuentra en el modelo de la Galaxia de Besançon en cada uno del campo tratado. 4. Resultados 4.1. Distancias de los candidatos Halo Blanco enano Presentamos en la Tabla 2 los movimientos propios y los paralajes absolutos de los quince candidatos a la enana blanca de halo según se deriva de este trabajar junto con su magnitud absoluta MV calculado utilizando magnitudes CCD V de Bergeron et al. (2005). Uno señala que WD2326-272, LP586-51, LP588-37, y WD2324-595 son demasiado distantes para tener un paralaje medible. Once objetos se encuentran a distancias que van de 19 pc a 90 pc desde el Sol. Los errores de paralaje son aproximadamente 1–2 mas correspondientes a precisiones relativas de 5 a 20%. WD2214-390, que es el objeto más cercano y brillante, tiene un = 2.6 mas. Este pobre pre- la escisión se debe al corto tiempo de exposición utilizado para evitar la saturación problemas y la correspondiente menor relación señal-ruido. Presentamos en las Figs 8 y?? las posiciones (círculos vacíos), su media ponderada (círculos llenos) y barras de error asociadas en Cuadro 1 Relativo a las correcciones absolutas y asociadas RMS () como se encuentra en el modelo de la Galaxia de Besançon en el Dirección galáctica (l,b) junto con número de estrellas de referencia (N*) en intervalo de magnitud [Jmin,Jmax]. Objetivo l b N* Jmin Jmax [] [] [mas] [mag] WD2214-390 2,79 -55,37 1,3 0,3 38 13,1 16,2 WD2242-197 40,01 -59,42 1,0 0,3 97 14,0 18,4 WD2259-465 344.30 -60.62 1,1 0,2 83 13,6 18,0 LHS542 72,40 -59,70 1,2 0,3 42 13,4 17,0 WD2324-595 321,83 -54,34 1,1 0,2 62 13,3 17,0 WD2326-272 27.66 -71.06 1,3 0,4 80 14,2 18,7 LHS4033 90.24 -61.96 1,3 0,2 39 14,2 16,5 LHS4041 351,44 -74,66 1,4 0,3 37 13,5 16,2 LHS4042 6,55 -76,61 1,5 0,4 38 13,3 16,6 WD0045-061 118.54 -68.96 1,5 0,3 54 13,5 17,7 F351-50 314,26 -83,50 0,3 0,2 53 14,1 18,1 LP586-51 128.88 -63.30 1,3 0,3 47 14,1 17,4 WD0135-039 149,30 -64,53 1,3 0,2 82 14,4 19,0 LP588-37 150.44 -61.52 1,4 0,2 57 13,6 17,7 LHS147 178,72 -73,56 1,5 0,3 43 13,4 16,8 cada época de observación, junto con el camino adecuado para el once paralajes más significativos, donde η/ ≥ 4. 4.2. Comparación con las distancias publicadas Hemos comparado nuestros resultados con los datos disponibles la eliminación, empleando tanto trigonometría como fotométrica paral- Laxes medidos previamente. Damos en la Tabla 3 la comparación con paralajes trigonométricos publicados y en la figura 2 parison de los paralajes derivados en este trabajo con fotomet- Paralajes ricos (de OHDHS, donde errores de paralaje fotométrico) fueron 20%). Parámetros de un ajuste lineal ponderado entre pho- Los paralajes tométricos y trigonométricos son: con a = 1,08+/-0,08 y b = 3,21+/-1,56 [mas] con una reducción χ2 = 8,06. Cuadro 3 Comparación de paralajes trigonométricos de este trabajo (l) con los datos publicados (l) ext) para LHS 147 (Van Altena et al. 1995), LHS 4033 (Dahn et al. 2004) y LHS 542 (Bergeron y otros 2005). Objetivo ηEste trabajo ηext [mas] [mas] [mas] LHS 542 29,6 +/- 1,8 32,2 +/- 3,7 2,6 LHS 147 14,8 +/- 1,8 14,0 +/- 9,2 – 0,8 LHS 4033 30,1 +/-1,8 33,9 +/- 0,6 3,8 Nuestros paralajes están en excelente acuerdo con los 3 pre- paralajes trigonométricos publicados vilmente, dentro de los errores (que son considerablemente más pequeñas en dos casos que las an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an al an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an a In Fig. 2 una nota una clara tendencia sistemática de pho- Paralajes tométricos que deben ser subestimados. Esta sobreestimación de Las distancias OHDHS son de importancia en el cálculo de WD cinemática y densidad espacial. C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 5 Cuadro 2 Movimiento adecuado y paralajes absolutos de los quince candidatos a la enana blanca del halo, donde = cos(l) y = ; η y son el paralaje y su precisión, Dist la distancia derivada en parsec y MV la magnitud absoluta. No se da valor para Dist y Mv cuando el paralaje no es mejor que 3 . N* es el número de estrellas de referencia y Nf el número de marcos. Dphot es la distancia fotométrica de OHDHS y V se extrae de Bergeron et al. (2005) cuando esté disponible, de lo contrario (casos marcados por un astérix) proviene de Salim et al. (2004). Tenga en cuenta que la LHS 4041 se encuentra en la muestra OHDHS, pero no figura en la Tabla 1 de la OHDHS. (véase el cuadro 4 de Salim y otros 2004) Nombre α Epoch V Ü Dist Mv N* Nf Dphot [J2000] [yr] [mag] [mas/yr] [mas] [pc] [mag] [pc] WD2214–390 22 14 34,727 –38 59 07.05 2003.5 15,92 1009 –350 2,9 53,5 2,6 19 14,78 38 28 24 WD2242–197 22 41 44.252 –19 40 41.41 2003.5 19,74 359 +48 3,1 11,1 2,3 90 14,89 97 27 117 WD2259–465 22 59 06.633 –46 27 58.86 2002.9 19,56 402 –153 1,8 22,7 1,3 44 16,49 83 32 71 LHS542 23 19 09.518 –06 12 49.92 2003.5 18.15 –615 –1576 1,8 29,6 1,8 34 15,58 42 33 42 WD2324–595 23 24 10.165 –59 28 07.95 2003.5 16,79 136 –562 1,8 (3.1) 1,5 — — — — 62 25 58 WD2326–272 23 26 10.718 –27 14 46.68 2002.9 ∗19.92 574 –85 2.7 (6.2) 2.4 —— —— 80 17 108 LHS4033 23 52 31,941 –02 53 11,76 2002.9 16,98 631 298 2,5 30,1 1,8 33 14,38 39 26 63 LHS4041 23 54 18,793 –36 33 54,60 2002.9 ∗15,46 21 –662 1,8 13,4 1,5 75 11,10 37 27 59 LHS4042 23 54 35,034 –32 21 19,44 2003.5 17,41 421 –37 2,2 13,9 1,8 72 13,13 38 25 85 WD0045–061 00 45 06.325 –06 08 19,65 2002.9 18,26 111 –668 1,9 30,1 1,9 33 15,59 54 27 44 F351–50 00 45 19,695 –33 29 29,46 2003.5 19,01 1820 –1476 2,1 28,3 1,4 35 16,63 53 34 37 LP586–51 01 02 07.181 –00 33 01.82 2002.9 18.18 350 –118 3.6 (2.4) 2.7 -- --- 47 24 120 WD0135–039 01 35 33.685 –03 57 17.90 2002.9 19,68 456 –180 3,4 13,3 2,9 75 15,26 82 21 146 LP588–37 01 42 20.770 –01 23 51.38 2002.9 ∗18.50 112 –328 3.4 (1.4) 4.5 —— —— 57 17 120 LHS147 01 48 09.120 –17 12 14.08 2002.9 17.62 –115 –1094 2.1 14,8 1,8 68 13,46 43 29 71 Fig. 2. Comparación de paralajes derivados en este trabajo con pho- Paralajes tométricos de OHDHS (se supone que los errores son del 20% para γphot). Parámetros de una regresión lineal ponderada (línea diagonal) entre ambos tipos de paralajes son η = 1,08γphot + 3,21 [mas] con una reducción de χ2 = 8,06. Las distancias fotométricas son sys- Temáticamente más grandes que las astrométricas. 4.3. Mociones adecuadas Hemos comparado los movimientos propios derivados aquí con el OHDHS movimientos adecuados con el fin de comprobar si algún sistema- efectos áticos podrían afectar nuestros movimientos propios derivados en un 1,5 años espacio de tiempo y, como resultado, nuestros paralajes. Presentamos esta comunicación. parison in Fig. 3 y Fig. 4. Las barras de error se dibujan en ambos co- pero ya que el presente trabajo tiene una precisión mucho mayor que la astrometría fotográfica, las barras de error en x no son vis- ble. La pendiente de una regresión lineal entre los movimientos apropiados en α cos() derivado en este trabajo con los movimientos propios de la OHDHS es 1,04 ± 0,02 con una reducción de χ2 = 3,7. El equivalente lineal ajuste en los movimientos adecuados en la Declinación tiene una pendiente de 1,01 ± 0,02 con una reducción de χ2 = 0,7. Para F351-50 (las barras de error más grandes en ambas cifras), la conformidad en RA y Dic mociones apropiadas es No es bueno. Esto se debe a un problema conocido de contaminación por una galaxia de fondo de las medidas de placa Schmidt utilizadas en el trabajo OHDHS. Sin embargo, la conformidad está dentro de 2 Estas comparaciones muestran un excelente acuerdo entre ambos conjuntos de mociones adecuadas, y argumentar en contra de cualquier efecto sistemático de el presente trabajo. 4.4. Velocidades espaciales Derivamos las velocidades espaciales Galácticas U, V, W (Johnson y Soderblom 1987) para las enanas blancas las distancias y los movimientos adecuados medidos aquí junto con velocidades radiales de Salim et al. 2004 (datos disponibles para 9 de las 15 enanas blancas tratadas aquí). Salim observó radial se corrigieron las velocidades por un corrimiento medio gravitacional de +28km/s como sugieren los autores en su artículo, excepto en el caso de la enana blanca muy masiva LHS4033 fueron los La corrección fue tomada de Dahn et al. 2004. U es radial hacia el centro Galáctico, V está en la dirección de rotación y W perpendicular al disco galáctico. U, V y W fueron corregidos para la velocidad peculiar del Sol (Mihalas y Binney (1981)). Cuando no hubo velocidad radial disponible en otros estudios, Se supone que Vr = 0 km/s. Esta aproximación es aceptable debido a su menor impacto en las velocidades de U,V ya que los objetivos están localizados 6 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca Fig. 3. Comparación de las mociones correctas en RA cos OHDHS movimientos correctos. Las barras de error se dibujan en ambas coordi- pero ya que el presente trabajo tiene una precisión mucho mayor que la astrometría fotográfica, las barras de error en abscisae no son visi- ble. La pendiente de una regresión lineal (línea punteada) es de 1,04 ± 0,02 indicando la buena conformidad entre ambos datos de movimiento adecuado juegos con una reducción de χ2 = 3,7. cerca de la Capota Galáctica Sur (el efecto fue investigado en OHDHS y demostrado ser insignificante). Presentamos en la Figura 5 la distribución de velocidades en el plano galáctico junto con la dispersión de velocidad para el disco (la mayor parte derecha)(1, 2 y 3 ), el disco grueso (medio)(1, 2 y 3 (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2 (Chiba y Beers 2000) y en la figura 6 el componente ión perpendicular al plano galáctico. Estas dos cifras son las siguientes: cern los 11 objetos con paralaje medido a nivel de 4 Mejor. In Fig. 5 una nota que 4 de los 11 WD estudiados tienen un velocidad incompatible en el nivel 3o con la cinemática de la disco y del disco grueso y que 6 de ellos son incompatibles en un Nivel 2o. Ninguna estrella se encuentra dentro de la elipse del disco, principalmente debido a los efectos de selección en el estudio original de movimiento adecuado que el OHDHS se basa en Hambly et al. 2005. Obviamente la elección del centro y las dispersiones del halo, disco grueso y elipses de disco es fundamental para clasificar los objetos como añorando a una población en particular. Hemos adoptado valores recientes que se encuentran en el rango de los valores citados por Reid 2005 en su reseña: Disk (Fuhrmann 2004) : (U,V) = (7.7, −18.1) km/s, (ΔU, V ) = (42.6, 22,6) km/s; disco grueso (Fuhrmann 2004): (U, V) = (-18, −63) km/s, (U, V ) = (58, 41) km/s; halo (Chiba y Beers 2000): (U,V) = (0, −180) km/s, ( (141, 106) km/s. 5. Discusión Como se ha señalado anteriormente, el OHDHS inició un animado debate sobre si los restos estelares contribuyen a una fracción significativa de el componente bariónico del halo putativo de la materia oscura de nuestro Galaxia. Las principales críticas se refieren a la interpretación, y No nos dirigimos a los de aquí. Sin embargo, la fotofo- Fig. 4. Comparación de los movimientos apropiados en Declinación derivada en este trabajo con los movimientos propios OHDHS. Las barras de error son dibujado en ambas coordenadas, pero ya que el presente trabajo tiene mucho mayor precisión que la astrometría fotográfica, barras de error en Los abscisas no son visibles. La pendiente de una regresión lineal (puntos línea) es 1,01 ± 0,02 indicando una buena concordancia entre ambos conjuntos de datos de movimiento adecuados con una reducción de χ2 = 0,7. tometría y el uso de una única relación fotométrica de paralaje son también posibles fuentes de error sistemático. Salim et al. (2004) y Bergeron et al. (2005) han demostrado que el fotom original etry presentado en OHDHS fue tan preciso como se podía esperar. Aquí, abordamos la cuestión de la precisión de la fotometría Paralajes directamente mediante determinación trigonométrica de distancias. In Fig. 2 comparamos los paralajes trigonométricos derivados aquí con los paralajes fotométricos OHDHS. Parámetros de una regresión lineal ponderada entre ambos tipos de paralajes son η = 1,08 ηphot + 3,21 con una reducción de χ2 = 8,06. Un claro sub- estimación de paralajes fotométricos es visible en esta figura con sólo un punto por debajo de la diagonal y tres puntos más que Por encima de la relación. Con la advertencia habitual de un pequeño número estadísticas, esto indica algún nivel de dispersión no-Gaussian, o al menos un valor medio para la relación que no coincide con η = ηphot. La paralaje fotométrica sobrestima la distancia. Esto lleva, por supuesto, a una sobreestimación del espacio tangencial velocidades basadas en el movimiento adecuado y la distancia (como un lado, nosotros nota que los citados errores de paralaje fotométrico del 20% fueron moderadamente sobreestimado por OHDHS). Es interesante notar que la distribución masiva de caliente (Teff > 12 000 K) DA WDs no es gaussiano y tiene un amplio cola en el lado alto de la masa (Należyty et al. 2005). Teniendo en cuenta que ra- dius r m−1/3 para los WDs, esperaríamos paral fotométrico- Laxes tienden a sobreestimar en lugar de subestimar las distancias ya que parte de la muestra puede tener una masa superior a la media, y los radios correspondientemente más pequeños, colocándolos más cerca de la Sol que objetos típicos del mismo color. Añadiendo en un sprin- kling de WDs de masa superior con atmósferas dominadas por el helio introducirá una mayor sobreestimación sistemática de las distancias. Lo siento. es casi seguro el caso de que el discontinuo fotométrico par- los alajes para WD2259–465 y WD0135–039 son causados por estos efectos; de hecho, se ha demostrado que este es el caso de LHS 4033 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 7 Fig. 5. Distribución de velocidades en el plano galáctico para gether con la dispersión de velocidad para el disco (la mayoría derecha)(1, 2 y 3o), disco grueso (medio) (1, 2 y 3o) (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2o) (Chiba y Beers 2000). Relleno cuadrados corresponden a objetos con una velocidad radial medida (Salim et al. 2004) mientras que los círculos abiertos corresponden a objetos con Sin medición de Vr. Sólo los objetos con paralaje medidos en el 4o nivel o mejor son trazados. que tiene una masa m + 1,3 M (Dahn et al. 2004). Por otro lado mano, el lado de baja masa de la distribución de masa no es de ninguna manera perfectamente gaussiano (e.g. debido a la masa baja, helio-núcleo blanco enanos formados en binarios cercanos). Además, cualquier sobreestimación en la distancia conduce a una subestimación correspondiente de espacio den- sity utilizando la técnica 1/Vmax. Así que la interpretación de la re- los sulfatos de esta submuestra relativamente pequeña son bastante complicados, y es sólo a través de simulaciones detalladas en comparación con mucho muestras más grandes de que es probable que se logren progresos significativos la cuestión de la población cinemática de tales objetos. A partir de la comparación de trigonometría y fotométrica paralajes (fig. 2) recalibramos distancias fotométricas de la muestra original de OHDHS y, utilizando velocidades radiales de Salim et al. 2004, derivamos su espacio recalibrado asociado velocidades. Presentamos el plano UV recalibrado para todo el Muestra OHDHS en la Fig. 7. Cuando se compara con la Fig. 3 de OHDHS, el número de halo los objetos han disminuido. De la 38 original halo OHDHS can- didates, 16 parecen compatibles con un estado de halo basado en un 2 corte con el disco y las distribuciones de velocidad de disco grueso (un corte de 3 reduciría este número a 7), siendo los objetos restantes ahora situado dentro del disco y el disco grueso 2 elipses sigma. En la luz... la eliminación de los valores propuestos es una gran terise las poblaciones gruesas de disco y halo en términos de cinemática. Por ejemplo en Reid 2005 las dispersiones de velocidad para el disco grueso varían de 50 a 69 km/s en dirección U y de 39 a 58 km/s en dirección V. Incluso el centro de la elipsoide de velocidad varía de –30 a –63 km/s en la coordenada < V > desde una autor a otro. Todo esto hace que sea muy difícil separar a se inyecta en poblaciones de halo y discos gruesos y requiere más un análisis detallado que va más allá del ámbito del presente documento. Fig. 6. Componente del movimiento perpendicular a la Galáctica plano (W) en función de U2 + V2. Sólo objetos con paral- lax medido en el nivel de 4o o mejor y con radial disponible velocidad (Salim et al. 2004) arre conspirado. La línea vertical es la OHDHS U2 + V2 = 94 km/s cortado. Las conclusiones de OHDHS sobre la densidad local de halo WD Ahora debe ser reanalizado ya que el volumen explorado por su sur- vay ha cambiado (distancias recalibradas) y el número de halo Los candidatos también han cambiado. Este será el tema de un cuarto- El periódico que viene. 6. Agradecimientos Los autores desean agradecer a G. Daigne por sus útiles comentarios y CAPES/COFECUB, las organizaciones de la FAPESP y el INR Portar el proyecto. Bibliografía Alcock, C. et al. 1999, en ASP Conf. Ser. 165, Tercer Simposio Stromlo: El Halo Galáctico, Ed. B.K. Gibson, T.S. Axelrod y M.E. Putman (San) Francisco:ASP),362 Bergeron, P., Leggett, S. K. 2002, ApJ, 580, 1070 Bergeron, P. 2003, ApJ, 586, 201 Bergeron, P.; Ruiz, M.–T.; Hamuy, M.; Leggett, S. K.; Currie, M. 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R., 2005, ASPC, 334, 113 8 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca Fig. 7. Distribución de velocidades de la sam- ple con paralajes recalibrados en el plano galáctico juntos con la dispersión de velocidad para el disco (la mayoría derecha)(1, 2 y 3o), disco grueso (medio) (1, 2 y 3o) (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2o) (Chiba y Beers 2000). Relleno cuadrados corresponden a objetos con una velocidad radial medida (Salim et al. 2004) mientras que los círculos abiertos corresponden a objetos con Sin medición de Vr. Hawkins, M. R. S., Ducourant, C., Jones, H. R. A. y Rapaport, M., 1998, MNRAS, 294, 505 Holopainen, J., Flynn, C., 2004, MNRAS, 351, 721 Johnson, D. R. H., Soderblom, D. R. 1987, AJ, 93, 864 Kilic, M., Mendez, R. A., von Hippel, T., Winget, D. E., 2005, ApJ, 633, 1126 Kowalski, P. M. 2006, ApJ, 641, 488 Należyty, M., Madej, J., Althaus, L. G. 2005, ASPC 334, 107 Mihalas, D., Binney, J. 1981, “Astronomía galáctica”, segunda edición. 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Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 9 Fig. 8. Observaciones a lo largo de la trayectoria ajustada expresada en mas. Introducción Observaciones Reducción astrométrica Medición Identificación cruzada Refracción de color diferencial Impacto de errores de escala de píxeles en el paralaje Solución global: Paralaje relativo Conversión de Paralaje relativo a Absoluto Resultados Distancias de los candidatos Halo Blanco enano Comparación con las distancias publicadas Mociones adecuadas Velocidades espaciales Discusión Agradecimientos

El estatus de 38 candidatos enanos blancos de halo identificados por Oppenheimer et al. (2001) ha sido objeto de intensos debates entre diversos autores. En los análisis Los paralajes trigonométricos son datos fundamentales que faltan hasta la fecha. Distancia las mediciones son obligatorias para separar cinemáticamente el objeto de halo del disco objetos y, por lo tanto, permiten una estimación más fiable de la densidad local de halo materia oscura que reside en tales objetos. Presentamos mediciones trigonométricas de paralaje para 15 halo blanco candidato Enanas (WDs) seleccionadas de Oppenheimer et al. (2001) list. Observamos el estrellas utilizando el telescopio danés ESO 1.56-m y el telescopio ESO 2.2-m a partir de agosto 2001 a julio de 2004. Se determinaron paralajes con precisiónes de 1--2 mas dando errores relativos en distancias de $\sim5$% para 6 objetos, $\sim12$% para 3 objetos, y $\sim20$% para dos objetos más. Cuatro estrellas parecen ser demasiado distante (probablemente más de 100 pc) para tener paralajes medibles en nuestra observaciones. Las distancias, magnitudes absolutas y velocidades espaciales revisadas fueron: derivados para los 15 WD de halo del Oppenheimer et al. (2001) list. Halo la membresía se confirma inequívocamente para 6 objetos, mientras que 5 objetos pueden ser miembros de disco grueso y 4 objetos son demasiado distantes para sacar cualquier conclusión basada Sólo en cinemática. Comparando nuestros paralajes trigonométricos con fotométricos paralajes utilizados en trabajos anteriores revelan una sobreestimación de la distancia como derivados de técnicas fotométricas. Este nuevo conjunto de datos se puede utilizar para revisar la densidad espacial de la enana blanca del halo, y que el análisis se presentará en un publicación posterior.

Introducción En la última década el interés en la enana blanca muy fresco, viejo (WD) halo la población ha crecido. Este interés está motivado por la pos- sibilidad de que estos objetos podrían dar cuenta de una fracción significativa de la materia oscura bariónica de nuestra Galaxia. Esta idea está de acuerdo. con discusiones tratando de explicar los eventos de microlensing en la Gran Nube de Magallanes en términos de una población de halo WD- tion – véase, por ejemplo, Chabrier et al. 1996 y Hansen 1998. Alcock et al. 1999 sugirió que los objetos de halo compactos masivos (MACHOS) conforman 20 a 100% de la materia oscura en el halo, con MACHOS con masa típica m + 0,5 M ; más recientemente, Calchi Novati et al. 2005 encontrar un resultado similar de la lente de píxeles en la línea de visión a M31. Por lo tanto, en este escenario la búsqueda para, y el estudio directo de, halo WD puede proporcionar limitaciones en la fracción de materia oscura en la Vía Láctea que es atribuible a estos objetos. Oppenheimer et al. (2001, en lo sucesivo OHDHS) alto movimiento adecuado WD; de sus cinemáticas, los autores Enviar solicitudes de impresión a: ducourant@obs.u-bordeaux1.fr ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Sobre la base de las observaciones recogidas en el Observatorio, Chile (067.D-0107, 069.D-0054, 070.D-0028, 071.D- 0005, 072.D-0153, 073.D-0028 llegó a la conclusión de que eran miembros de una población de halo. Desde a continuación, una intensa discusión sobre el estado de estos objetos ha tenido lugar en la literatura. Un examen amplio de este debate se presenta en Hansen y Liebert 2003 donde el la conclusión es que la interpretación del OHDHS está posiblemente , pero que las conclusiones completas no son posibles sin otros datos. Otros estudios sugieren que el disco y el “disco grueso” Las poblaciones galácticas pueden ser usadas para explicar la gran mayoría de los objetos (Reid 2005, Kilic et al. 2005, Spagna et al. 2004, Crézé y otros 2004, Holopainen & Flynn 2004, Flynn et al. 2003, Silvestri et al. 2002). La importancia de los WD de alta velocidad no se puede subestimar en otros contextos (por ejemplo, la forma de la estrella... historia de la Galaxia, véase también Davies, King & Ritter 2002, Hansen 2003, Montiero et al. 2006). Además, varios sementales... nes subrayan la importancia de la obtención de par- allaxes para candidatos a halo WD (Bergerron & Leggett 2002, Torres et al. 2002, Bergeron 2003). Esto es especialmente importante. para los WD más fríos, cuyas distribuciones de energía espectral muestran notables desviaciones de las distribuciones negro-cuerpo y que están resultando difíciles de modelar con precisión (Kowalski 2006, Gates et al. 2004, Saumon & Jacobson 1999, Hansen 1998). In la presencia de tales cambios radicales en el espectro WD, el suposición de una relación de paralaje fotométrico monotónico (por ejemplo: como 2 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca en el OHDHS) podrían desglosarse y estimarse las Las velocidades espaciales podrían estar en error seriamente. Además, un reciente papel (Bergerron et al. 2005) llega a la conclusión de que las distancias precisas son obligatoria para obtener la cinemática precisa y las edades para la puta- tiva y a fin de derivar su estado evolutivo. Con el objetivo de aclarar esta cuestión, en 2001 iniciamos un servicio al programa con la ESO 1.56-m danesa y ESO 2.2-m telescopios para medir los paralajes trigonométricos de estas estrellas. Las mediciones trigonométricas de la paralaje siguen siendo las únicas determinación sesgada de la distancia. Son de gran importancia en el debate sobre el estado de las enanas blancas de halo fresco porque se requieren para obtener velocidades y edades espaciales precisas que se utilizan para distinguir entre el halo y el disco mem- Bership. Estos paralajes trigonométricos conducen a la recalibración de distancias fotométricas utilizadas hasta ahora en este debate y permitir análisis de la población enana blanca de halo fresco con más Fidence. Lamentablemente, debido a la limitación del tiempo de observación, sólo 15 Hasta la fecha se han observado estrellas en la lista OHDHS. Sin embargo, Esta submuestra proporciona una visión importante del problema. 2. Observaciones Observaciones astrométricas de 15 de la lista OHDHS de 38 halo Los candidatos de enana blanca fueron realizados en la tele de ESO 2.2-m visor equipado con la cámara de mosaico de campo ancho WFI (con 0,238 ′′/píxeles, un campo de visión FOV = 34′ × 33′, 4 × 2 mosaico de 2k × 4k CCDs), a través del filtro ESO 845 I. Para reducir la astro- distorsiones métricas y otros efectos instrumentales, sólo datos de chip 51 (con FOV = 8 16′) se utilizaron en este trabajo; estrellas objetivo estaban centrados en el FOV de este chip. Cuatro épocas de observación se adquirieron como máximo factor paraláctico en la Ascensión Derecha en noviembre de 2002, julio 2003, noviembre de 2003 y julio de 2004, con un total de 11 noches de observaciones. Dos períodos paralácticos (cuatro observaciones más de 1,5 años) son necesarios, como mínimo, para una determinación única del paralaje y del movimiento adecuado. Dos observaciones preliminares se realizaron en el telescopio danés ESO 1,56-m en julio de 2001 y julio de 2002, pero el telescopio obligó a los autores a trasladar el programa a la ESO Telescopio de 2,2 m. Los datos obtenidos en el telescopio danés no fueron incluido en nuestro análisis final para evitar efectos sistemáticos debido a el uso de dos telescopios diferentes. Para minimizar los efectos de refracción de color diferencial (DCR), ob- se realizaron servaciones alrededor del tránsito de objetivos con hora ángulos de menos de 1 hora. Las exposiciones múltiples se tomaron en cada época de observación para reducir los errores astrométricos y para estimar la precisión de las mediciones. Los tiempos de exposición variaron de 100 a 600 segundos dependiendo de la magnitud del alquitrán Obtener. Cada campo fue observado de 20 a 35 veces. 3. Reducción astrométrica 3.1. Medición Los marcos se midieron utilizando el paquete DAOPHOT II (Stetson) 1987), la instalación de un PSF. El nivel de significación de una luminosidad en- el brillo del cielo local que era considerado como real se fijó en 7o. La rutina de PSF fue usada para definir una función de extensión de punto lar para cada marco. Finalmente obtuvimos el (x, y) posiciones medidas, magnitudes internas y asociadas errores de todas las estrellas en cada marco. Por lo general, entre 300 y 600 las estrellas se miden en cada cuadro en función del tiempo de exposición. De estos, una selección sobre el error en magnitud (ERRMAG) se aplicó el programa informático DAOPHOT II. Cualquier ob- Se rechazó la servación con ERRMAG ≥ 0,15m. Objetos más débiles que 1,5m más brillante que la magnitud limitante de una imagen dada fueron También se rechazó el análisis. 3.2. Identificación cruzada Para cada uno de los 15 campos de visión diferentes, hemos seleccionado un “maestro” o imagen fiducial del conjunto de 20 a 35 imágenes. Este maestro marco para cada objeto tenía la magnitud limitante más profunda y calidad de imagen más alta. Para cada una de las otras imágenes para un dado objeto objetivo, las posiciones de todas las estrellas no rechazadas por el crite- ria arriba fueron entonces cruzados-identificados a la estrella de la imagen maestra posiciones. Los objetos no detectados en tres o más cuadros fueron: excluidos, que producen de 100 a 200 estrellas en común en cada campo. Marcos que contienen menos de Nmaster/3 estrellas en común con el marco maestro se eliminó de la solución (donde Nmaster es el número de estrellas en el marco maestro). Tenga en cuenta que el maestro marco se procesa de una manera idéntica a los otros marcos y no se supone que esté libre de errores en la solución de paralaje. En otras palabras, los marcos fiduciales no se toman como un error-libre “verdad”, pero simplemente se utilizan como base para ciones y correlación de las posiciones estelares que componen el astro- cuadrícula métrica utilizada en la solución. 3.3. Refracción de color diferencial La refracción atmosférica cambia las posiciones aparentes de las estrellas en observaciones basadas en tierra y depende de la distancia del cenit de las observaciones. Para la astrometría de precisión este efecto debe ser contabilizado, porque puede ser muchas decenas de miliarcsececonds a distancias relativamente modestas. En nuestro caso, otro efecto se vuelve importante también, porque la re- la fracción de nuestras estrellas objetivo no será idéntica a la de la estrellas de fondo utilizadas para nuestra cuadrícula de referencia astrométrica. Nuestro estrellas objetivo (WD) y las estrellas de fondo (normalmente principales– secuencia G o K estrellas) tienen diferentes distribución de energía espectral ciones. Por lo tanto, la refracción atmosférica los afectará. ently cuando se observa a través de una banda filtrante dada. Esto es llamada refracción de color diferencial (DCR) y es conocida por causa movimiento paraláctico espurio Monet et al. 1992. DCR puede Afectan tanto a la Ascensión Derecha (AR) como a la Declinación del alquitrán. obtener como derivado con respecto a las estrellas de campo. Observaciones en par- programas allax están planeados para maximizar el factor paraláctico en RA por lo que la solución de paralaje para el objetivo dependerá en gran medida la AR medida. Por lo tanto, el paralaje derivado es principalmente per- turbido por los efectos de DCR en AR que son críticamente dependientes sobre la distancia cenit de una observación dada. Investigamos el impacto de tales efectos en el paralaje de enanas blancas a través de simulaciones. Usando la fórmula habitual para refracción atmosférica, una aproximación de cuerpo negro para blanco espectro estelar enano y fondo, la Galaxia Besançon modelo para las características de las estrellas de fondo (Robin et al. 1994) y ESO 845 límites de filtro, calculamos la media diferen- efectos de refracción de color tial entre una enana blanca similares a los de nuestra lista con temperaturas efectivas, Teff, en el rango 4000 K a 11000 K (Bergerron y otros Cuadro 2 de 2005, y un estrella de fondo (Teff 5000 K). Presentamos en la Fig. 1 los efectos de la DCR en AR para el blanco Enanas situadas a  = −30°, que cubren el rango de temperaturas de nuestros objetivos. Fig. 1 demuestra que el impacto de los efectos de DCR siempre fueron menos de 0,5 mas para las observaciones tomadas con un ángulo de hora inferior a una hora. Por lo tanto, nuestras observaciones C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 3 se hicieron específicamente para que el ángulo de la hora nunca superó una hora, y las correcciones DCR no se aplicaron en este trabajo. Fig. 1. Efectos de DCR en AR entre una enana blanca de temperatura Teff y una media de estrellas de fondo (Teff=5000K) en una Declinación (representante de nuestra muestra) para varios ángulos de hora de observación. Los efectos DCR parecen ser siempre inferiores a 0,5 mas para observaciones realizadas a menos de 1 hora de merid- ian que es el caso del presente proyecto. Los efectos de DCR son: entonces insignificante en comparación con otras fuentes de error astrométrico y no fueron tenidos en cuenta en este trabajo. 3.4. Impacto de errores de escala de píxeles en el paralaje Movimientos adecuados (μx, μy) y paralaje trigonométrico (γxy) de alquitrán se determinan comparando las medidas de (x, y) ex- pulsado en píxeles. Un factor de escala S f, la escala de píxeles de la imagen, es para convertir las mediciones de píxeles en unidades físicas: η = S fηxy; d(pc) = 1, con S f expresado en ′′/píxeles. Derivación de la escala de píxeles se puede lograr a través de un cruce-correlación entre las posiciones (x, y) de las estrellas en un dado marco maestro a los valores correspondientes de (α, ) para el subconjunto de estrellas que también están en un catálogo de referencia. Aquí usamos el Catálogo 2MASS (Cutri et al. 2003) para determinar las orientaciones sión del marco maestro en el cielo y para la escala de píxeles minación. Hemos seleccionado el catálogo 2MASS como referencia para alogue debido a su precisión y densidad, aunque notamos la ausencia de correcciones adecuadas de la moción. Sin embargo, la época diferencia entre nuestras observaciones y el catálogo 2MASS (3 años) daría lugar a correcciones insignificantes en el catálogo posiciones con respecto a los errores del catálogo. Errores en la escala así determinados, resultantes del catálogo errores aleatorios, producirán errores en la determinación de la distancia del objetivo. Por lo tanto, es importante cuantificar el impacto de los errores de catálogo en la distancia del objetivo. Para medir este impacto en el presente trabajo, asumimos N las estrellas de referencia se extienden igualmente sobre un detector cuadrado del lado A. La ecuación clásica que relaciona las medidas (x, y) de una estrella en el marco de sus coordenadas estándar X(α, plano tangente a la esfera celestial es (con una ecuación similar en la coordenada Y) X = (ax + por + c)1/F, (1) donde (a,b,c) son las constantes “placas” desconocidas y F el focal longitud del telescopio (típicamente el valor indicado en erence manual). F se expresa en las mismas unidades que (x,y) y A (píxel, mm). Es entonces fácil demostrar que una aproximación justa de la varianza de la estimación del parámetro (a) viene dada por cat, (2) donde el gato es la precisión del catálogo (expresado en radianes). Resultados similares se pueden encontrar en Eichhorn & Williams 1963. Nosotros puede expresar el paralaje (en radianes) como: ηxy, (3) 2η = η 2a, = cat (4) con F â € ¢ 13m, A â € ¢ 0,03m, evaluamos aquí â € TM 10−4η. Los impacto del error del catálogo en el paralaje del objetivo está muy por debajo de los errores de medición (típicamente unos pocos miliarcsec- onds) y, por lo tanto, son insignificantes. 3.5. Solución global: Paralaje relativo La reducción astrométrica de todo el conjunto de datos de cada uno campo se realiza iterativamente a través de un solapamiento central global procedimiento (Hawkins et al. 1998, Eichhorn 1997) con el fin de determinar simultáneamente la posición, el movimiento adecuado y el paralaje de cada objeto del campo. Las siguientes ecuaciones de condición están escritas para cada estrella en cada uno de los marcos N considerados (incluido el marco maestro). Estas ecuaciones relacionan las coordenadas medidas con el estelar Parámetros astrométricos: X0 + X0 + μX(t − t0) + ηFX(t) = a1x(t) + a2y(t) + a3 (5) Y0 + •Y0 + μY (t − t0) + ηFY (t) = b1x(t) + b2y(t) + b3 (6) donde (X0,Y0) son las coordenadas estándar conocidas de la estrella en la época t0 del marco maestro, y (x(t), y(t) su medida coordenadas en el marco (epoch t) para ser transformado en el sistema de marco maestro. Los siguientes son los desconocidos: X0, Y0, μX, μY y Parámetros astrométricos estelares: corrección del rendimiento de la coordenadas estándar de la estrella en el marco maestro, (μX, μY ) son el movimiento adecuado proyectado en RA*cos(l) y Dic, y η es el Paralaje. Los coeficientes (ai, bi) son los parámetros de marco desconocidos que describen la transformación al sistema de marco maestro. (FX, FY ) son los factores de paralaje en coordenadas estándar. Los las incógnitas de este gran sistema sobre-determinado de ecuaciones son los parámetros astrométricos estelares de cada objeto, y el trans- coeficientes de formación de cada uno de los marcos N considerados. Los sistema de ecuaciones es singular y por lo tanto la solución derivada no es único; cualquier solución dependerá del punto de partida de las iteraciones. La técnica habitual para obtener una solución en particular es introducir un conjunto de restricciones que la solución debe satisfacer. En este trabajo elegimos establecer estrictamente a cero el paralaje medio de las estrellas de referencia. Utilizamos un método iterativo tipo Gauss–Seidel para resolver la conjunto de ecuaciones. En la primera iteración todos los parámetros estelares son Asumido null, luego computamos las constantes de la placa que son 4 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca inyectado en el sistema de ecuaciones para derivar el param estelar eters. Estos resultados se utilizan como punto de partida de la bajar la iteración. El procedimiento iterativo converge generalmente en el segunda o tercera iteración. Se aplica una prueba de eliminación a 3 eliminar observaciones deficientes ya sea en el ajuste marco maestro o en el Los parámetros estelares encajan. Los parámetros estelares encajan las ecuaciones tienen ha sido ponderado por la media residual del ajuste del marco maestro. Esto la ponderación representa la calidad de las mediciones. Las estrellas utilizado para el ajuste marco maestro se llaman aquí estrellas de referencia. Aplicamos este tratamiento global a las diversas observaciones de los 15 campos observados y que derivamos para los objetivos un adecuado movimiento y paralaje con varianzas asociadas. 3.6. Conversión de Paralaje relativo a Absoluto Los paralajes que derivamos para nuestros objetivos son relativos a la estrellas de referencia (para las que utilizamos la restricción η = 0), sup- posado colocado a distancia infinita. De hecho, estas estrellas de referencia son a una distancia finita del Sol. Por lo tanto, debemos corregir la rela- Paralaje tivo del objetivo a partir de una estimación de la distancia media de las estrellas de referencia para obtener el paralaje absoluto del objetivo. La elección que hicimos para mantener tantas estrellas de referencia como sea posible en nuestro cálculo es interesante porque las estrellas estadísticamente débiles tienen paralaje más pequeño y requieren una corrección más pequeña. Hay varias maneras de estimar la distancia media de estrellas de referencia: métodos estadísticos basados en un modelo de Galaxia; paralaje espectroscópico; y paralaje fotométrico. Por las correcciones de paralaje relativo a paralaje absoluto nos uso de un método estadístico basado en simulaciones utilizando el Modelo Besançon Galaxy (Robin et al. 1994) para obtener el teo- distancia media retical de las estrellas de referencia. Una simulación de cada ob- se llevó a cabo el campo servido, proporcionando catálogos de distancia y magnitud aparente de estrellas simuladas. Calculamos en estos los catálogos medios distancias y dispersión asociada en magni- Tude bins de 0,2 mag, estableciendo una tabla de distancias teóricas con respecto a la magnitud aparente. Entonces consideramos nuestra ob- campos servidos y computamos la media ponderada de paralaje y dispersión asociada de nuestras estrellas de referencia utilizando la teoría mesa. Finalmente añadimos esta media paralaje de estrellas de referencia a el paralaje relativo de nuestro objetivo que conduce al paralaje absoluto de las enanas blancas. Damos en la Tabla 1 el relativo a las correcciones absolutas en mil- lyercsegundos como se encuentra en el modelo de la Galaxia de Besançon en cada uno del campo tratado. 4. Resultados 4.1. Distancias de los candidatos Halo Blanco enano Presentamos en la Tabla 2 los movimientos propios y los paralajes absolutos de los quince candidatos a la enana blanca de halo según se deriva de este trabajar junto con su magnitud absoluta MV calculado utilizando magnitudes CCD V de Bergeron et al. (2005). Uno señala que WD2326-272, LP586-51, LP588-37, y WD2324-595 son demasiado distantes para tener un paralaje medible. Once objetos se encuentran a distancias que van de 19 pc a 90 pc desde el Sol. Los errores de paralaje son aproximadamente 1–2 mas correspondientes a precisiones relativas de 5 a 20%. WD2214-390, que es el objeto más cercano y brillante, tiene un = 2.6 mas. Este pobre pre- la escisión se debe al corto tiempo de exposición utilizado para evitar la saturación problemas y la correspondiente menor relación señal-ruido. Presentamos en las Figs 8 y?? las posiciones (círculos vacíos), su media ponderada (círculos llenos) y barras de error asociadas en Cuadro 1 Relativo a las correcciones absolutas y asociadas RMS () como se encuentra en el modelo de la Galaxia de Besançon en el Dirección galáctica (l,b) junto con número de estrellas de referencia (N*) en intervalo de magnitud [Jmin,Jmax]. Objetivo l b N* Jmin Jmax [] [] [mas] [mag] WD2214-390 2,79 -55,37 1,3 0,3 38 13,1 16,2 WD2242-197 40,01 -59,42 1,0 0,3 97 14,0 18,4 WD2259-465 344.30 -60.62 1,1 0,2 83 13,6 18,0 LHS542 72,40 -59,70 1,2 0,3 42 13,4 17,0 WD2324-595 321,83 -54,34 1,1 0,2 62 13,3 17,0 WD2326-272 27.66 -71.06 1,3 0,4 80 14,2 18,7 LHS4033 90.24 -61.96 1,3 0,2 39 14,2 16,5 LHS4041 351,44 -74,66 1,4 0,3 37 13,5 16,2 LHS4042 6,55 -76,61 1,5 0,4 38 13,3 16,6 WD0045-061 118.54 -68.96 1,5 0,3 54 13,5 17,7 F351-50 314,26 -83,50 0,3 0,2 53 14,1 18,1 LP586-51 128.88 -63.30 1,3 0,3 47 14,1 17,4 WD0135-039 149,30 -64,53 1,3 0,2 82 14,4 19,0 LP588-37 150.44 -61.52 1,4 0,2 57 13,6 17,7 LHS147 178,72 -73,56 1,5 0,3 43 13,4 16,8 cada época de observación, junto con el camino adecuado para el once paralajes más significativos, donde η/ ≥ 4. 4.2. Comparación con las distancias publicadas Hemos comparado nuestros resultados con los datos disponibles la eliminación, empleando tanto trigonometría como fotométrica paral- Laxes medidos previamente. Damos en la Tabla 3 la comparación con paralajes trigonométricos publicados y en la figura 2 parison de los paralajes derivados en este trabajo con fotomet- Paralajes ricos (de OHDHS, donde errores de paralaje fotométrico) fueron 20%). Parámetros de un ajuste lineal ponderado entre pho- Los paralajes tométricos y trigonométricos son: con a = 1,08+/-0,08 y b = 3,21+/-1,56 [mas] con una reducción χ2 = 8,06. Cuadro 3 Comparación de paralajes trigonométricos de este trabajo (l) con los datos publicados (l) ext) para LHS 147 (Van Altena et al. 1995), LHS 4033 (Dahn et al. 2004) y LHS 542 (Bergeron y otros 2005). Objetivo ηEste trabajo ηext [mas] [mas] [mas] LHS 542 29,6 +/- 1,8 32,2 +/- 3,7 2,6 LHS 147 14,8 +/- 1,8 14,0 +/- 9,2 – 0,8 LHS 4033 30,1 +/-1,8 33,9 +/- 0,6 3,8 Nuestros paralajes están en excelente acuerdo con los 3 pre- paralajes trigonométricos publicados vilmente, dentro de los errores (que son considerablemente más pequeñas en dos casos que las an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an al an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an an a In Fig. 2 una nota una clara tendencia sistemática de pho- Paralajes tométricos que deben ser subestimados. Esta sobreestimación de Las distancias OHDHS son de importancia en el cálculo de WD cinemática y densidad espacial. C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 5 Cuadro 2 Movimiento adecuado y paralajes absolutos de los quince candidatos a la enana blanca del halo, donde = cos(l) y = ; η y son el paralaje y su precisión, Dist la distancia derivada en parsec y MV la magnitud absoluta. No se da valor para Dist y Mv cuando el paralaje no es mejor que 3 . N* es el número de estrellas de referencia y Nf el número de marcos. Dphot es la distancia fotométrica de OHDHS y V se extrae de Bergeron et al. (2005) cuando esté disponible, de lo contrario (casos marcados por un astérix) proviene de Salim et al. (2004). Tenga en cuenta que la LHS 4041 se encuentra en la muestra OHDHS, pero no figura en la Tabla 1 de la OHDHS. (véase el cuadro 4 de Salim y otros 2004) Nombre α Epoch V Ü Dist Mv N* Nf Dphot [J2000] [yr] [mag] [mas/yr] [mas] [pc] [mag] [pc] WD2214–390 22 14 34,727 –38 59 07.05 2003.5 15,92 1009 –350 2,9 53,5 2,6 19 14,78 38 28 24 WD2242–197 22 41 44.252 –19 40 41.41 2003.5 19,74 359 +48 3,1 11,1 2,3 90 14,89 97 27 117 WD2259–465 22 59 06.633 –46 27 58.86 2002.9 19,56 402 –153 1,8 22,7 1,3 44 16,49 83 32 71 LHS542 23 19 09.518 –06 12 49.92 2003.5 18.15 –615 –1576 1,8 29,6 1,8 34 15,58 42 33 42 WD2324–595 23 24 10.165 –59 28 07.95 2003.5 16,79 136 –562 1,8 (3.1) 1,5 — — — — 62 25 58 WD2326–272 23 26 10.718 –27 14 46.68 2002.9 ∗19.92 574 –85 2.7 (6.2) 2.4 —— —— 80 17 108 LHS4033 23 52 31,941 –02 53 11,76 2002.9 16,98 631 298 2,5 30,1 1,8 33 14,38 39 26 63 LHS4041 23 54 18,793 –36 33 54,60 2002.9 ∗15,46 21 –662 1,8 13,4 1,5 75 11,10 37 27 59 LHS4042 23 54 35,034 –32 21 19,44 2003.5 17,41 421 –37 2,2 13,9 1,8 72 13,13 38 25 85 WD0045–061 00 45 06.325 –06 08 19,65 2002.9 18,26 111 –668 1,9 30,1 1,9 33 15,59 54 27 44 F351–50 00 45 19,695 –33 29 29,46 2003.5 19,01 1820 –1476 2,1 28,3 1,4 35 16,63 53 34 37 LP586–51 01 02 07.181 –00 33 01.82 2002.9 18.18 350 –118 3.6 (2.4) 2.7 -- --- 47 24 120 WD0135–039 01 35 33.685 –03 57 17.90 2002.9 19,68 456 –180 3,4 13,3 2,9 75 15,26 82 21 146 LP588–37 01 42 20.770 –01 23 51.38 2002.9 ∗18.50 112 –328 3.4 (1.4) 4.5 —— —— 57 17 120 LHS147 01 48 09.120 –17 12 14.08 2002.9 17.62 –115 –1094 2.1 14,8 1,8 68 13,46 43 29 71 Fig. 2. Comparación de paralajes derivados en este trabajo con pho- Paralajes tométricos de OHDHS (se supone que los errores son del 20% para γphot). Parámetros de una regresión lineal ponderada (línea diagonal) entre ambos tipos de paralajes son η = 1,08γphot + 3,21 [mas] con una reducción de χ2 = 8,06. Las distancias fotométricas son sys- Temáticamente más grandes que las astrométricas. 4.3. Mociones adecuadas Hemos comparado los movimientos propios derivados aquí con el OHDHS movimientos adecuados con el fin de comprobar si algún sistema- efectos áticos podrían afectar nuestros movimientos propios derivados en un 1,5 años espacio de tiempo y, como resultado, nuestros paralajes. Presentamos esta comunicación. parison in Fig. 3 y Fig. 4. Las barras de error se dibujan en ambos co- pero ya que el presente trabajo tiene una precisión mucho mayor que la astrometría fotográfica, las barras de error en x no son vis- ble. La pendiente de una regresión lineal entre los movimientos apropiados en α cos() derivado en este trabajo con los movimientos propios de la OHDHS es 1,04 ± 0,02 con una reducción de χ2 = 3,7. El equivalente lineal ajuste en los movimientos adecuados en la Declinación tiene una pendiente de 1,01 ± 0,02 con una reducción de χ2 = 0,7. Para F351-50 (las barras de error más grandes en ambas cifras), la conformidad en RA y Dic mociones apropiadas es No es bueno. Esto se debe a un problema conocido de contaminación por una galaxia de fondo de las medidas de placa Schmidt utilizadas en el trabajo OHDHS. Sin embargo, la conformidad está dentro de 2 Estas comparaciones muestran un excelente acuerdo entre ambos conjuntos de mociones adecuadas, y argumentar en contra de cualquier efecto sistemático de el presente trabajo. 4.4. Velocidades espaciales Derivamos las velocidades espaciales Galácticas U, V, W (Johnson y Soderblom 1987) para las enanas blancas las distancias y los movimientos adecuados medidos aquí junto con velocidades radiales de Salim et al. 2004 (datos disponibles para 9 de las 15 enanas blancas tratadas aquí). Salim observó radial se corrigieron las velocidades por un corrimiento medio gravitacional de +28km/s como sugieren los autores en su artículo, excepto en el caso de la enana blanca muy masiva LHS4033 fueron los La corrección fue tomada de Dahn et al. 2004. U es radial hacia el centro Galáctico, V está en la dirección de rotación y W perpendicular al disco galáctico. U, V y W fueron corregidos para la velocidad peculiar del Sol (Mihalas y Binney (1981)). Cuando no hubo velocidad radial disponible en otros estudios, Se supone que Vr = 0 km/s. Esta aproximación es aceptable debido a su menor impacto en las velocidades de U,V ya que los objetivos están localizados 6 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca Fig. 3. Comparación de las mociones correctas en RA cos OHDHS movimientos correctos. Las barras de error se dibujan en ambas coordi- pero ya que el presente trabajo tiene una precisión mucho mayor que la astrometría fotográfica, las barras de error en abscisae no son visi- ble. La pendiente de una regresión lineal (línea punteada) es de 1,04 ± 0,02 indicando la buena conformidad entre ambos datos de movimiento adecuado juegos con una reducción de χ2 = 3,7. cerca de la Capota Galáctica Sur (el efecto fue investigado en OHDHS y demostrado ser insignificante). Presentamos en la Figura 5 la distribución de velocidades en el plano galáctico junto con la dispersión de velocidad para el disco (la mayor parte derecha)(1, 2 y 3 ), el disco grueso (medio)(1, 2 y 3 (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2 (Chiba y Beers 2000) y en la figura 6 el componente ión perpendicular al plano galáctico. Estas dos cifras son las siguientes: cern los 11 objetos con paralaje medido a nivel de 4 Mejor. In Fig. 5 una nota que 4 de los 11 WD estudiados tienen un velocidad incompatible en el nivel 3o con la cinemática de la disco y del disco grueso y que 6 de ellos son incompatibles en un Nivel 2o. Ninguna estrella se encuentra dentro de la elipse del disco, principalmente debido a los efectos de selección en el estudio original de movimiento adecuado que el OHDHS se basa en Hambly et al. 2005. Obviamente la elección del centro y las dispersiones del halo, disco grueso y elipses de disco es fundamental para clasificar los objetos como añorando a una población en particular. Hemos adoptado valores recientes que se encuentran en el rango de los valores citados por Reid 2005 en su reseña: Disk (Fuhrmann 2004) : (U,V) = (7.7, −18.1) km/s, (ΔU, V ) = (42.6, 22,6) km/s; disco grueso (Fuhrmann 2004): (U, V) = (-18, −63) km/s, (U, V ) = (58, 41) km/s; halo (Chiba y Beers 2000): (U,V) = (0, −180) km/s, ( (141, 106) km/s. 5. Discusión Como se ha señalado anteriormente, el OHDHS inició un animado debate sobre si los restos estelares contribuyen a una fracción significativa de el componente bariónico del halo putativo de la materia oscura de nuestro Galaxia. Las principales críticas se refieren a la interpretación, y No nos dirigimos a los de aquí. Sin embargo, la fotofo- Fig. 4. Comparación de los movimientos apropiados en Declinación derivada en este trabajo con los movimientos propios OHDHS. Las barras de error son dibujado en ambas coordenadas, pero ya que el presente trabajo tiene mucho mayor precisión que la astrometría fotográfica, barras de error en Los abscisas no son visibles. La pendiente de una regresión lineal (puntos línea) es 1,01 ± 0,02 indicando una buena concordancia entre ambos conjuntos de datos de movimiento adecuados con una reducción de χ2 = 0,7. tometría y el uso de una única relación fotométrica de paralaje son también posibles fuentes de error sistemático. Salim et al. (2004) y Bergeron et al. (2005) han demostrado que el fotom original etry presentado en OHDHS fue tan preciso como se podía esperar. Aquí, abordamos la cuestión de la precisión de la fotometría Paralajes directamente mediante determinación trigonométrica de distancias. In Fig. 2 comparamos los paralajes trigonométricos derivados aquí con los paralajes fotométricos OHDHS. Parámetros de una regresión lineal ponderada entre ambos tipos de paralajes son η = 1,08 ηphot + 3,21 con una reducción de χ2 = 8,06. Un claro sub- estimación de paralajes fotométricos es visible en esta figura con sólo un punto por debajo de la diagonal y tres puntos más que Por encima de la relación. Con la advertencia habitual de un pequeño número estadísticas, esto indica algún nivel de dispersión no-Gaussian, o al menos un valor medio para la relación que no coincide con η = ηphot. La paralaje fotométrica sobrestima la distancia. Esto lleva, por supuesto, a una sobreestimación del espacio tangencial velocidades basadas en el movimiento adecuado y la distancia (como un lado, nosotros nota que los citados errores de paralaje fotométrico del 20% fueron moderadamente sobreestimado por OHDHS). Es interesante notar que la distribución masiva de caliente (Teff > 12 000 K) DA WDs no es gaussiano y tiene un amplio cola en el lado alto de la masa (Należyty et al. 2005). Teniendo en cuenta que ra- dius r m−1/3 para los WDs, esperaríamos paral fotométrico- Laxes tienden a sobreestimar en lugar de subestimar las distancias ya que parte de la muestra puede tener una masa superior a la media, y los radios correspondientemente más pequeños, colocándolos más cerca de la Sol que objetos típicos del mismo color. Añadiendo en un sprin- kling de WDs de masa superior con atmósferas dominadas por el helio introducirá una mayor sobreestimación sistemática de las distancias. Lo siento. es casi seguro el caso de que el discontinuo fotométrico par- los alajes para WD2259–465 y WD0135–039 son causados por estos efectos; de hecho, se ha demostrado que este es el caso de LHS 4033 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 7 Fig. 5. Distribución de velocidades en el plano galáctico para gether con la dispersión de velocidad para el disco (la mayoría derecha)(1, 2 y 3o), disco grueso (medio) (1, 2 y 3o) (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2o) (Chiba y Beers 2000). Relleno cuadrados corresponden a objetos con una velocidad radial medida (Salim et al. 2004) mientras que los círculos abiertos corresponden a objetos con Sin medición de Vr. Sólo los objetos con paralaje medidos en el 4o nivel o mejor son trazados. que tiene una masa m + 1,3 M (Dahn et al. 2004). Por otro lado mano, el lado de baja masa de la distribución de masa no es de ninguna manera perfectamente gaussiano (e.g. debido a la masa baja, helio-núcleo blanco enanos formados en binarios cercanos). Además, cualquier sobreestimación en la distancia conduce a una subestimación correspondiente de espacio den- sity utilizando la técnica 1/Vmax. Así que la interpretación de la re- los sulfatos de esta submuestra relativamente pequeña son bastante complicados, y es sólo a través de simulaciones detalladas en comparación con mucho muestras más grandes de que es probable que se logren progresos significativos la cuestión de la población cinemática de tales objetos. A partir de la comparación de trigonometría y fotométrica paralajes (fig. 2) recalibramos distancias fotométricas de la muestra original de OHDHS y, utilizando velocidades radiales de Salim et al. 2004, derivamos su espacio recalibrado asociado velocidades. Presentamos el plano UV recalibrado para todo el Muestra OHDHS en la Fig. 7. Cuando se compara con la Fig. 3 de OHDHS, el número de halo los objetos han disminuido. De la 38 original halo OHDHS can- didates, 16 parecen compatibles con un estado de halo basado en un 2 corte con el disco y las distribuciones de velocidad de disco grueso (un corte de 3 reduciría este número a 7), siendo los objetos restantes ahora situado dentro del disco y el disco grueso 2 elipses sigma. En la luz... la eliminación de los valores propuestos es una gran terise las poblaciones gruesas de disco y halo en términos de cinemática. Por ejemplo en Reid 2005 las dispersiones de velocidad para el disco grueso varían de 50 a 69 km/s en dirección U y de 39 a 58 km/s en dirección V. Incluso el centro de la elipsoide de velocidad varía de –30 a –63 km/s en la coordenada < V > desde una autor a otro. Todo esto hace que sea muy difícil separar a se inyecta en poblaciones de halo y discos gruesos y requiere más un análisis detallado que va más allá del ámbito del presente documento. Fig. 6. Componente del movimiento perpendicular a la Galáctica plano (W) en función de U2 + V2. Sólo objetos con paral- lax medido en el nivel de 4o o mejor y con radial disponible velocidad (Salim et al. 2004) arre conspirado. La línea vertical es la OHDHS U2 + V2 = 94 km/s cortado. Las conclusiones de OHDHS sobre la densidad local de halo WD Ahora debe ser reanalizado ya que el volumen explorado por su sur- vay ha cambiado (distancias recalibradas) y el número de halo Los candidatos también han cambiado. Este será el tema de un cuarto- El periódico que viene. 6. Agradecimientos Los autores desean agradecer a G. Daigne por sus útiles comentarios y CAPES/COFECUB, las organizaciones de la FAPESP y el INR Portar el proyecto. Bibliografía Alcock, C. et al. 1999, en ASP Conf. Ser. 165, Tercer Simposio Stromlo: El Halo Galáctico, Ed. B.K. Gibson, T.S. Axelrod y M.E. Putman (San) Francisco:ASP),362 Bergeron, P., Leggett, S. K. 2002, ApJ, 580, 1070 Bergeron, P. 2003, ApJ, 586, 201 Bergeron, P.; Ruiz, M.–T.; Hamuy, M.; Leggett, S. K.; Currie, M. 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R., 2005, ASPC, 334, 113 8 C. Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca Fig. 7. Distribución de velocidades de la sam- ple con paralajes recalibrados en el plano galáctico juntos con la dispersión de velocidad para el disco (la mayoría derecha)(1, 2 y 3o), disco grueso (medio) (1, 2 y 3o) (Fuhrmann 2004) y halo (izquierda) (1 y 2o) (Chiba y Beers 2000). Relleno cuadrados corresponden a objetos con una velocidad radial medida (Salim et al. 2004) mientras que los círculos abiertos corresponden a objetos con Sin medición de Vr. Hawkins, M. R. S., Ducourant, C., Jones, H. R. A. y Rapaport, M., 1998, MNRAS, 294, 505 Holopainen, J., Flynn, C., 2004, MNRAS, 351, 721 Johnson, D. R. H., Soderblom, D. R. 1987, AJ, 93, 864 Kilic, M., Mendez, R. A., von Hippel, T., Winget, D. E., 2005, ApJ, 633, 1126 Kowalski, P. M. 2006, ApJ, 641, 488 Należyty, M., Madej, J., Althaus, L. G. 2005, ASPC 334, 107 Mihalas, D., Binney, J. 1981, “Astronomía galáctica”, segunda edición. 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Ducourant y otros: Paralajes de candidatos a halo enana blanca 9 Fig. 8. Observaciones a lo largo de la trayectoria ajustada expresada en mas. Introducción Observaciones Reducción astrométrica Medición Identificación cruzada Refracción de color diferencial Impacto de errores de escala de píxeles en el paralaje Solución global: Paralaje relativo Conversión de Paralaje relativo a Absoluto Resultados Distancias de los candidatos Halo Blanco enano Comparación con las distancias publicadas Mociones adecuadas Velocidades espaciales Discusión Agradecimientos

AMR simulations of the low T/|W| bar-mode instability of neutron stars

AMR simulaciones del bajo T/W bar-modo inestabilidad de las estrellas de neutrones Pablo Cerdá-Durán, Vicent Quilis, y José A. Font Departamento de Astronomía y Astrofísica, Universidad de Valencia, Dr. Moliner 50, 46100 Burjassot (Valencia), España Resumen Recientemente se ha argumentado a través del trabajo numérico que las estrellas giratorias con un alto grado de rotación diferencial son dinámicamente inestables contra el modo de barra de- formación, incluso para los valores de la relación de la energía cinética rotacional a la gravitacional energía potencial tan baja como O(0.01). Esto puede tener implicaciones para la gravedad Astronomía de ondas en fuentes de alta frecuencia tales como supernovas de colapso del núcleo. En este en papel presentamos simulaciones de alta resolución, realizadas con una malla adaptativa re- finement hidrodynamics code, de tal bajo T/W bar-mode inestabilidad. El complejo Las características morfológicas involucradas en la dinámica no lineal de la inestabilidad son re- en nuestras simulaciones, que muestran que la excitación de Kelvin-Helmholtz-como modos fluidos fuera del radio de la coronación de la estrella conduce a la saturación de la Deformación en modo bar. Mientras que las tendencias generales notificadas en una investigación anterior se confirman por nuestro trabajo, también encontramos que la resolución numérica juega un impor- de la inestabilidad, que ha tenido lugar durante el largo plazo, implicaciones en la dinámica de las estrellas giratorias y en las amplitudes alcanzables de las señales de onda gravitacional asociadas. Palabras clave: ondas gravitacionales, hidrodinámica, inestabilidades, estrellas: estrellas de neutrones: rotación PACS: 97.60.Jd, 04.30.-w, 95.30.Lz 1 Introducción Estrellas de neutrones después de un colapso de núcleo supernova están girando al nacer y puede estar sujeto a diversas inestabilidades no axisimmétricas (véase, por ejemplo, [1] para una re- vista). Entre ellos, si la tasa de rotación es lo suficientemente alta para que la relación de energía cinética rotacional T a la energía potencial gravitacional W, β T/W , supera el valor crítico βd + 0,27, inferido de estudios con incompresiones Esferoides de Maclaurin, la estrella está sujeta a un modo de barra dinámico (l = m = 2 Preprint enviado a Elsevier el 30 de julio de 2021 http://arxiv.org/abs/0704.0356v1 f -modo) inestabilidad impulsada por la hidrodinámica y la gravedad. Su estudio es altamente como tal, una inestabilidad tiene implicaciones importantes en las perspectivas de detección de la radiación gravitacional de los recién nacidos con rapidez estrellas de neutrones giratorias. Las simulaciones de la inestabilidad dinámica del modo bar están disponibles en la literatura. tura, ambos utilizando modelos simplificados basados en configuraciones estelares de equilibrio perturbado con funciones propias adecuadas [2,3,4,5], y modelos más involucrados para el escenario de colapso del núcleo [6,7,8,9], y en cualquiera de los dos casos en Newton- ity y relatividad general. Debido a su simplicidad superior el enfoque anterior ha recibido mucha más atención, a pesar de que las conclusiones extraídas de los modelos estelares perturbados pueden no extenderse directamente a la escenario de colapso. Las simulaciones newtonianas de inestabilidades triaxiales tras el colapso del núcleo fueron las primeras realizado por [6]. Estos mostraron que la inestabilidad de modo de barra se establece en cuando β 0.27 y cuando el progenitor rota rápida y altamente diferencialmente. Tales condiciones se cumplen cuando el agotamiento (artificial) de la energía interna a desencadenar el colapso es lo suficientemente grande como para producir un núcleo muy compacto para el que un se puede lograr un spun-up significativo. Más recientemente, la simulación tridimensional... ciones del colapso del núcleo de los politropos rotativos en la relatividad general han sido realizado por [7]. Estos autores estudiaron la evolución de la barra-modo insta- la capacidad a partir de los modelos iniciales de colapso del núcleo axiemmétrico que alcanzaron valores de β + 0,27 durante la fase de caída. Estas simulaciones mostraron que la el valor máximo de β alcanzado durante el colapso y el rebote depende fuertemente en el perfil de velocidad, la masa total del núcleo inicial, y en el equa- sión del Estado. De acuerdo con los hallazgos de la simulación newtoniana- ciones de [6], la inestabilidad de modo de barra se establece en si el progenitor gira rápidamente (0,01 ≤ β ≤ 0,02) y tiene un alto grado de rotación diferencial. Además, el agotamiento artificial de la presión y la energía interna para desencadenar el colapso, que conduce a un núcleo compacto que posteriormente gira hacia arriba, también juega un papel clave en general relatividad para un notable crecimiento de la inestabilidad del modo bar. Si se cumplen los requisitos inferidos de las simulaciones numéricas por los progenitores del colapso sigue sin estar claro. Como se muestra en [10] torque magnético puede girar por el núcleo del progenitor, lo que conduce a la rotación lenta neu- tron estrellas al nacer (+ 10 − 15 ms). El más reciente, el estado de la técnica compu- ciones de la evolución de las estrellas masivas, que incluyen el momento angular redistribución por torque magnético y estimaciones de giro de estrellas de neutrones en nacimiento [11,12], conducen a progenitores del colapso del núcleo que no parecen rotar lo suficientemente rápido como para garantizar el crecimiento inequívoco del modo bar canónico inestabilidad. Los núcleos de rotación rápida podrían ser producidos por una mezcla apropiada. de alta masa progenitora (M > 25M®) y baja metalicidad (N. Stergioulas, comunicación privada). En tal caso, el progenitor podría pasar por alto el rojo Fase supergigante en la que la rotación diferencial del núcleo produce un campo magnético por acción dinamo que une el núcleo a las capas exteriores de la estrella, transportando el momento angular hacia fuera y girando hacia abajo núcleo. De acuerdo con [13] alrededor del 1% de todas las estrellas con M > 10M® producirán núcleos de rotación rápida. Por otro lado, las simulaciones newtonianas de la inestabilidad del modo bar de modelos de equilibrio perturbado de estrellas giratorias han demostrado que βd 0,27 independiente de la rigidez de la ecuación de estado siempre que la estrella no es muy diferentemente rotativo. Las simulaciones relativistas de [5] rindieron un valor de β + 0,24 − 0,25 para el inicio de la inestabilidad, mientras que la dinámica del proceso se parece mucho a lo que se encuentra en la teoría newtoniana, es decir. inestable modelos con β suficientemente grandes desarrollar brazos espirales después de la formación de barras, expulsando masa y redistribuyendo el impulso angular. Como el grado de la rotación diferencial se convierte en más altas simulaciones newtonianas también han demostrado que βd puede ser tan bajo como 0,14 [14]. Más recientemente [15,16] han informado que estrellas giratorias con un grado extremo de rotación diferencial son dinámicamente inestable frente a la deformación en modo bar, incluso para valores de β de O(0.01). Habida cuenta de su reciente descubrimiento y de sus posibles consecuencias astrofísicas para la dinámica de colapso del núcleo de rebote y la astronomía de ondas gravitacionales, presentamos en este documento simulaciones de alta resolución de tan bajo T/W bar-modo en- Estabilidades. Este trabajo está motivado aún más a la luz de los pocos números simulaciones disponibles en la literatura. Nuestro principal objetivo es revisar la simulación. ciones por [15] en el bajo T/W bar-mode inestabilidad, y en particular para comprobar cuán sensible es la aparición y el desarrollo de la inestabilidad a los números cuestiones como la resolución de la red. Para ello realizamos hidrodiálisis newtoniana... simulaciones namicas de un subconjunto de modelos analizados por [15] utilizando un método adaptativo el refinamiento de la malla (AMR) código [17] que nos permite realizar tales tres di- simulaciones mensionales con la mayor resolución jamás utilizada. Nuestras simulaciones revelar las características morfológicas complejas involucradas en la dinámica no lineal de la inestabilidad, donde la excitación de Kelvin-Helmholtz-como modos fluidos influye en la saturación de la deformación del modo bar. Avanzamos eso mientras las tendencias globales encontradas para [15] están confirmadas por nuestro trabajo, la resolución el empleo en las simulaciones desempeña un papel clave para el comportamiento a largo plazo; de la inestabilidad y para la dinámica no lineal de las estrellas giratorias, que implicaciones sobre las amplitudes alcanzables de la onda gravitacional asociada señales. Tomamos nota de que planeamos actualizar el código AMR existente a cuenta para los efectos de los campos magnéticos con el fin de intentar el estudio actual en una una configuración más realista. El presente trabajo es un paso hacia ese objetivo. El documento se organiza de la siguiente manera: ecuaciones a resolver. Su solución se describe en la sección 3, que también contiene los detalles del código AMR. Se discuten los resultados de las simulaciones en la sección 4. Por último, la sección 5 presenta nuestras conclusiones. 2 Marco matemático La evolución de un fluido ideal de auto-gravitación en el límite newtoniano es de- escrito por las ecuaciones de hidrodinámica y la ecuación de Poisson: · (lv) = 0 (1) + (v · •)v = −1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * · [(E + p)v] = v (3) 2 ° = 4 ° G ° (4) donde x, v = dx = (vx, vy, vz), y (t,x) son, respectivamente, los eulerianos coordenadas, la velocidad y el potencial gravitacional newtoniano. El total densidad de energía, E = + 1 Se define como la suma de la energía térmica, , donde es la densidad de masa y es la energía interna específica, y el Energía cinética (donde v2 = v2x + v y + v z). Gradientes de presión y gravitación las fuerzas son las responsables de la evolución. Ecuación de estado p = p( cierra el sistema. Utilizamos una ecuación de gas ideal del estado p = (- 1) con • 2 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 2 = 2 = 1 = 1 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 Las ecuaciones de hidrodinámica, Eqs. (1-3), puede ser reescrita en el flujo-conservador forma: En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, se considerará que el Estado miembro de que se trate ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la presente Decisión. * g(u) h(u) = s(u) (5) donde u es el vector de incógnitas (variables conservadas): u = [.,.vx,.vy,.vz, E]. 6) Las tres funciones de flujo Fα {f, g, h} en las direcciones espaciales x, y, z, respec- ticularmente, se definen por f(u) = ?vx,?vv x + p, vxvy, vxvz, (E + p)vx g(u)= VÍDEO, VÍDEO, VÍDEO y + p,?vyvz, (E + p)vy h(u) = Vz, Vxvz, Vvvz, Vvvz, Vv z + p, (E + p)vz y los términos fuente s son dados por Cuadro 1 Resumen de los modelos iniciales y resultados de las simulaciones. El informe de filas el nombre del modelo, la proporción de radios ecuatoriales-polares (re/rp), el grado de rotación diferencial (Â), la relación de la energía cinética a potencial (T/W ), el tamaño de la cuadrícula computacional (L) y la ubicación del radio de rotación (rc) para los dos resoluciones utilizadas: alta (AMR H) y baja (AMR L). En los modelos R1H y R2H El radio de la coronación se encuentra fuera de la estrella. Lo real (frecuencia) e imaginario (crecimiento las partes de la barra-modo 2 se muestran, para la simulación de baja y alta resolución en comparación con los resultados numéricos y el análisis lineal en [15]. Tenga en cuenta que para modelo D3 no se dispone de resultados de análisis lineales. Modelo D1 D2 D3 R1 R2 re/rp 0,805 0,605 0,305 0,305 0,255  0,3 0,3 0,3 1,0 1,0 T/W 0,039 0,085 0,149 0,253 0,275 L/re 4,06 3,73 3,21 4,25 4,03 rc/re AMR L 0,38 0,47 0,58 AMR H 0,36 0,48 0,56 – – AMR L 0,76 0,58 0,41 AMR H 0,81 0,55 0,43 - 0,82 Shibata 0,80 0,60 0,45 0,92 0,75 lineal 0,80 0,58 - 0,92 0,75 Im(2)/0 AMR L 0,0042 0,0154 0,0200 AMR H 0,0089 0,0190 0,0240 0,0005 0,1960 Shibata 0,009-0,013 0,019-0,021 0,013 <0,002 0,23 lineal 0,015 0,011 - <0,002 0,20 s(u) = , ­vx • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − ♥vz . (10) Sistema (5) es un sistema hiperbólico tridimensional de leyes de conservación con fuentes s(u). 3 Enfoque numérico Para nuestro estudio de la baja inestabilidad T/W bar-modo realizamos alta resolución simulaciones de estrellas de neutrones giratorias utilizando una hidrodinámica AMR newtoniana código llamado MASCLET [17]. La aplicación de la técnica AMR en la el código sigue el procedimiento desarrollado por [18]. Las ecuaciones de hidrodinámica se resuelven utilizando un esquema de captura de choque de alta resolución basado en el Resolución de Riemann y procedimientos de reconstrucción celular de segundo orden, mientras que Pois- la ecuación del hijo para el campo gravitacional se resuelve usando técnicas multigrid. La exactitud y el rendimiento del código MASCLET se han evaluado en un número de pruebas [17]. Tomamos nota de que el código fue diseñado originalmente para aplicaciones mológicas, y aquí se aplica a simulaciones de auto-gravitación objetos estelares por primera vez. Las simulaciones se realizan con dos resoluciones de cuadrícula diferentes. El bajo la cuadrícula de resolución consiste en una caja de tamaño L con 1283 zonas, resolución de L/128. Observamos que la resolución efectiva de nuestra grilla gruesa es comparable a la utilizada por [15]. Correspondientemente, la cuadrícula de alta resolución consiste en una rejilla gruesa base de 1283 células, y un nivel de refinamiento compuesto de parches con un tamaño máximo de 643 células (323 células gruesas). Esto produce una cuadrícula resolución en la mejor cuadrícula de L/256. Esta resolución es suficiente para resolver el problema. estructuras simuladas, y por lo tanto no se necesitan niveles de refinamiento más profundos. Los los parches se asignan dinámicamente cubriendo las regiones de la estrella donde el se requiere una resolución más alta (densidades más altas). Por lo general, sólo un parche es necesario para modelos esferoidales, y 4-8 en modelos con topología toroidal. Los uso de técnicas AMR en nuestras simulaciones de alta resolución, nos permite ahorrar sobre un factor 4 en tiempo y memoria de CPU con respecto a una simulación unigrid con 2.563 células. No se imponen simetrías en las simulaciones. Al mejor de los nuestro conocimiento, en las investigaciones de la inestabilidad bar-modo realizadas por Grupos anteriores, resoluciones de cuadrícula tan altas como las que usamos aquí nunca fueron empleados. Como es habitual en los códigos basados en cuadrícula [19,20] el vacío que rodea a la estrella está llena de una atmósfera numérica tenue con densidad.......................................................................................................................................................................................................................................................... y cero velocidades, siendo la densidad máxima. Cada celda de cuadrícula con Máximo de 10 μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg −6 se reinicia a los valores de la atmósfera. Un tratamiento correcto de la la atmósfera es esencial para una descripción precisa de la dinámica estelar y cálculo correcto de las tasas de crecimiento de los modos inestables. Lo hemos comprobado. que valora para la atmósfera más alto que los que elegimos o una evolución libre de la atmósfera en su conjunto, conducen a cambios notables en el comportamiento del modo, tasas de crecimiento y frecuencias. También hemos comprobado que los valores más bajos para el la atmósfera no produce esos cambios, lo que asegura que nuestras evoluciones no se verán afectados por los valores de la atmósfera utilizados en las simulaciones. 4 Resultados 4.1 Datos iniciales Los modelos estelares de rotación diferencial en equilibrio se construyen de acuerdo con el método de [21], y utilizado como datos iniciales para el código de evolución AMR. Las estrellas obedecer una ecuación politrópica del estado P = K con el índice = 2. Como [15] la el perfil de la velocidad angular  es dado por (/re)2 + Â2 , (11) donde re es el radio ecuatorial de la estrella,........................................................................................................................................................................................................................................................ locity, es la distancia al eje de rotación, y  parametriza el grado de rotación diferencial, desde  ⠀ 1 para estrellas altamente → Para estrellas rígidamente giratorias. A efectos de comparación, estos parámetros se eligen como en algunos de los modelos de [15], y se resumen en la Tabla 1. Los modelos etiquetados D rotan con un alto grado de rotación diferencial, como  = 0,3, y por lo tanto puede estar sujeto a la baja T/W bar-mode inestabilidad. Nosotros también. considerar modelos casi rígidamente rotativos, etiquetados R, propensos a experimentar el Inestabilidad “clásica” en modo bar. Las etiquetas L y H en los modelos se refieren a bajo y alta resolución, respectivamente. A continuación [15] perturbamos el perfil de densidad inicial * = *(0) 1 +  x2 − y2 , (12) la perturbación de la presión dada por la ecuación de estado en consecuencia. En todas nuestras simulaciones se utiliza una amplitud de perturbación  = 0,1. Como lo mostramos debajo de esta forma de perturbación excita el modo de barra l = m = 2. In Además, la discretización de la red puede filtrar pequeñas cantidades de energía a todos los demás posibles modos, que en principio podrían crecer siempre que fueran inestables y las simulaciones se llevaron a cabo durante períodos suficientemente largos. 4.2 Análisis de la estabilidad Para comparar con [15] calculamos los parámetros de distorsión y (y η = (η2+ + η )1/2) definido como 0 0,5 1 1,5 2 1 / 2 0 0,21 0,43 0,65 0,86 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 Fig. 1. Espectros de potencia de Am de m = 1 a m = 8 para el modelo D3H. Ixx − Iyy Ixx + Iyy ......................................... Ixx + Iyy , (13) donde Iij(i, j = x, y, z) es el momento de masa-cuadrúpolo Iij = dx3! xixj. (14) Para el estudio de la tasa de crecimiento y la interacción de los diferentes modos angulares dentro de la estrella es útil para calcular la cantidad global dx3o(x) e-iml, (15) y en am, am, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah. Seguimos la evolución temporal de los modos con m ranking del 1 al 8. Puesto que nuestros modelos de equilibrio inicial son axiemmétricos y tienen simetría del plano ecuatorial, todos Am son cero inicialmente, pero una vez perturbado todo 0 20 40 60 80 100 Fig. 2. Evolución de η para los modelos R1H (panel superior) y R2H (panel inferior). Expo- nential se ajusta a los picos en la fase de crecimiento se sobreexplotan como líneas sólidas. Los modelos iniciales presentan un componente dominante m = 2. Suponiendo que los modos la parte real de la palabra puede ser obtenida por Fourier trans- la formación de Am. En particular, se puede extraer la frecuencia de modo de barra Re( desde A2 o η como ambos representan el mismo modo. Este es el dominante modo en todas nuestras simulaciones y su frecuencia y tasa de crecimiento se dan en Cuadro 1 Este último corresponde a la parte imaginaria de 2, que es calcu- en la fase de crecimiento de los valores máximos de η la evolución hasta que los modos saturan. Otros modos también se identifican en el simulaciones para valores de Am con amplitudes inferiores. Lo hemos comprobado. estos modos son armónicos del modo l = m = 2 para que sigan al bueno precisión de la relación m = mp, siendo la frecuencia de patrón, calculada como p = 2/2. Esto se muestra para el modelo D3H en la Fig. 1 que muestra las especificaciones trum de Am de m = 1 a m = 8 (en unidades arbitrarias). La vertical despedazada líneas en esta figura indican la ubicación de los múltiplos enteros del patrón frecuencia p, sus valores indicados en el eje en la parte superior de la figura. Cada uno espectro para cada modo se normaliza a su propio máximo para trazar pur- poses. Tenga en cuenta que cuanto menor sea la amplitud del modo, más ruidoso será el espectro y mientras menos precisa sea la relación m = mp. Para los modelos de nuestra muestra sujetos a la deformación clasica de modo bar (R1H y R2H), nuestras simulaciones producen un valor de β entre 0,253 y 0,275, en buen acuerdo con el valor crítico para el inicio de la barra dinámica- inestabilidad del modo. El modelo R1H es estable y el modelo R2H es inestable. El crecimiento las tasas y frecuencias notificadas en el cuadro 1 concuerdan con las de [15]. Tenga en cuenta que 0 100 200 300 Fig. 3. Evolución de η para los modelos D1 (panel superior), D2 (panel central) y D3 (panel inferior) en el panel). Las líneas estropeadas corresponden a líneas de baja resolución y sólidas a alta resolución. Los ajustes exponenciales a los picos en la fase de crecimiento se sobreexplotan como líneas sólidas. para el modelo R1H, que es estable, la frecuencia para el modo m = 2 no puede ser Calculado. La evolución temporal de η para estos dos modelos se muestra en la Fig. 2. Para el modelo inestable R2H, nuestras simulaciones muestran la formación de una barra que satura para los valores de y cerca de 1, es decir, en la totalidad no lineal régimen. Fig. 3 muestra la evolución del tiempo de η para los modelos D en nuestra muestra, propensos a sufrir el bajo T/W bar-mode inestabilidad. Líneas sólidas corresponden a alta resolución simulaciones y líneas discontinuas a baja resolución. Para los tres modelos el patrón las frecuencias son tales que existe un radio de coronación dentro de la estrella, i.e. un radio en el que el modo bar gira con la misma velocidad angular que el fluido. La ubicación del radio de coronación para todos los modelos de nuestra muestra se indica en la Tabla 1. Como se ha discutido recientemente en [22] la existencia de tales El radio de la coronación es un requisito potencial para la ocurrencia de la inestabilidad. Como se desprende de la Fig. 3, todos los modelos son inestables pero la resolución de la cuadrícula tiene un efecto importante sobre la saturación de la inestabilidad una vez que el no lineal se ha alcanzado la fase, así como en la dinámica a largo plazo de las estrellas. En la fase lineal de los modelos D1H y D2H, las tasas de crecimiento y frecuencias de acuerdo con los resultados de [15] en ambos, las simulaciones numéricas y el lineal análisis (véase el cuadro 1). En la fase lineal del modelo D3H, nuestras frecuencias son similar a los resultados numéricos de [15], aunque nuestras tasas de crecimiento son un factor dos más grande. Enfatizamos que no se reportan resultados en la línea lineal análisis de este modelo en el trabajo de [15], y por lo tanto esta discrepancia puede ser un efecto de la resolución utilizada o de las características de cada número código. El aumento de la resolución conduce a resultados similares en las frecuencias, pero a mayores tasas de crecimiento. En la fase no lineal, los modelos D1 y D3 se comportan de manera similar para los dos resolu- ciones utilizadas (véase la Fig. 3), y también similar a los resultados en [15] (compare con Fig. 3 de ese documento). Para el modelo D2 observamos un cambio radical de comportamiento en la fase no lineal de la evolución del modo en función de la resolución de la cuadrícula. Esto tiene implicaciones en la dinámica a largo plazo de la estrella y, en particular, Lar, sobre las amplitudes alcanzables de la radiación gravitacional emitida, como nosotros Discuta a continuación. Vale la pena mencionar la posibilidad de que el modo inestable en el inicio de modelo D2H podría excitar algún otro modo en la banda de la coronación, que podría no estar excitado de otra manera por la menor resolución de la cuadrícula. Según lo examinado por [23,24] en su estudio de las cáscaras de rotación diferencial, hay muchos modos de cero-paso en la banda, para que todo el espectro continuo pudiera ser potencialmente excitado. En tal caso, estos modos tendrían un crecimiento muy lento del poder legislativo. Para todos nuestros modelos hemos comprobado la conservación en masa a lo largo de la evolución. Los Los peores resultados se obtienen para el modelo D3H, para el cual la masa se conserva dentro Error del 2,5% cuando la inestabilidad se satura. Al final de la simulación (después de 48 períodos orbitales y 25000 iteraciones en la cuadrícula más gruesa) el error ha crecido a sólo el 6%. Para todos los demás modelos la conservación en masa es aún más precisa. Nota que estos errores están dentro del error de redondeo del código, y no está relacionado a las propiedades de conservación del propio esquema numérico. Para una cuadrícula regular con 1283 células y una simulación que emplea 25000 iteraciones, el acumulado error de redondeo (distribución binomial) utilizando aritméticas de una precisión, es aprox. 1283 × 25000 × 10-8 = 0,0023 = 0,23%. Correspondientemente, para un 2563 cuadrícula (con el doble del número de iteraciones para la simulación) el error se trata de 0,9%. Teniendo en cuenta que este error afecta a la evolución no lineal de la sistema, no es sorprendente tener un error en el nivel de unos pocos por ciento el final de nuestras simulaciones de alta resolución, para todas las cantidades conservadas. La figura 4 muestra la evolución de Am para el modelo D3 y para m que van desde 1 a 8 para nuestras dos resoluciones. Según esta cifra, los dos únicos modos 1e-06 0,0001 0 100 200 1e-06 0,0001 m=1, 3, 5, 7 m=1, 3, 5, 6, 7, 8 Fig. 4. Evolución de Am para el modelo D3 con baja resolución (superior) y alta resolución (abajo). El modo m = 2 se representa con línea gruesa sólida, m = 4 con delgada línea sólida, m = 6 con línea discontinua, m = 8 con línea puntiaguda, y todos los demás impares m con líneas punteadas. relevantes para la dinámica de la estrella son m = 2 y m = 4. Todos los demás modos tienen amplitudes más pequeñas y no juegan ningún papel en la dinámica. Note que para impar m modos, el valor de la cantidad integrada Am, si cerca de cero, es extremadamente sensible a asimetrías numéricas muy pequeñas, inducidas por el parche Esquema de creación de nuestro código AMR. Esto explica las diferencias de resolución en los valores iniciales de los modos m impares de la Fig. 4 (a t = 0 comienzan de 10 a 8 nivel para la simulación de baja resolución), aunque saturan en el mismo valor independientemente de la resolución. Un diagnóstico importante para la exactitud de los resultados es la ubicación de la centro de masa durante una evolución. Error de redondeo del código numérico impone errores controlados en masa y momentum lineal, lo que resulta en pequeños desplazamientos del centro de masa. Sin embargo pequeño (una celda numérica en este desplazamiento no físico puede dificultar el análisis correcto de la 0 100 200 300 1e-06 0,0001 Fig. 5. Efectos del desplazamiento artificial del centro de masa (de Célula numérica) sobre la evolución del tiempo de A1 para el modelo D2H. La delgada línea sólida muestra una evolución fictitiuos resultante del artefacto numérico originado por el centro de desplazamiento masivo. tasas de crecimiento del modo. Por esta razón, todas las cantidades integradas se muestran en la Fig. 4 se calculan después de corregir el desplazamiento del centro de masa, xnew = xold − xCM, en una etapa posterior al procesamiento del análisis de datos. ¿Era esto no hecho, un un brazo m = 1 modo crecería mucho más rápido de lo que debería a sacar a relucir características ficticias en las parcelas. Esto se muestra para el modelo D2H en la Fig. 5. La línea sólida gruesa en esta figura corresponde a la evolución de la m = 1 modo teniendo en cuenta la corrección para el centro de desplazamiento de masa, mientras que la delgada línea sólida es la evolución correspondiente de este modo sin la corrección. 4.3 Ondas gravitacionales El crecimiento y la saturación de la inestabilidad también está impreso en la gravedad. oleajes cionales emitidos. Las formas de onda gravitacional h+ y h× para los modelos D1, D2, y D3, calculados utilizando la fórmula estándar del cuádruplo, se muestran en Fig. 6. Para una fuente de masa M situada a una distancia R esas formas de onda pueden se calcularán a partir de las amplitudes de forma de onda adimensional a+ y a× como h+,× = a+,× sin2 , (16) utilizando G = c = 1 unidades. El resultado de la señal chirp-como en todos los modelos, partic- ularmente aparente para el modelo D2L, indica la presencia de una distribución bipolar de masa dentro de la estrella (véase Sec. 4.4. -0,05 0 100 200 300 Fig. 6. Ondas gravitacionales para modelos D1 a D3 extraídas utilizando el estándar Fórmula de cuádruple. Las líneas sólidas gruesas (finas) corresponden a una resolución baja (alta). Sólo se traza la amplitud de onda adimensional a+. Como se ha mencionado anteriormente, los efectos de la resolución de la cuadrícula en la evolución de la La fase no lineal del modo bar está impresa en las formas de onda gravitacional. Líneas sólidas gruesas en la Fig. 6 son las formas de onda que corresponden a la baja- modelos de resolución, y delgadas líneas sólidas a las contrapartes de alta resolución. La evolución de η para el modelo D3, se muestra en la Fig. 3, muestra pequeñas desviaciones con resolución de rejilla, y esto se traduce en ondas gravitacionales muy similares patrones (panel inferior de la Fig. 6), las diferencias cada vez más perceptibles en la fase no lineal después de la saturación (­0t ≥ 75). Para el modelo D1 (panel superior), las diferencias también se hacen más evidentes en momentos posteriores durante la evolución, en buen acuerdo con el comportamiento diferente de la dinámica de la materia en este modelo, tal como está codificado en la evolución de η en la Fig. 3. Como sucede con el modelo D3 los primeros ciclos de la forma de onda gravitacional, cuando el modo está todavía en la fase lineal, se capturan con precisión para ambas resoluciones. La principal dependencia de la forma de onda en la resolución de la cuadrícula se encuentra para modelo D2. Una vez más, la fase lineal para el crecimiento de la deformación de la barra es 0 t= 70,40,0 Fig. 7. Snapshots de la densidad, la vórtice, y el momento angular específico, para modelo D3H, a tres instantes representativos de la evolución. Todas las instantáneas muestran rebanadas de las estrellas en el plano ecuatorial. Las cantidades se normalizan de la siguiente manera: max, rew s, y l (rev) s ), donde v s es la velocidad inicial en la superficie de la estrella. la resolución (y está de acuerdo con el Turbative results of [15]). Esto se señala en el perfecto solapamiento de ambos forma de onda gravitacional durante los tres primeros ciclos (ver el panel medio de Fig. 6). Sin embargo, las diferentes dinámicas no lineales de la barra-modo deforma- ión para este modelo, que se muestra en el panel medio de la Fig. 3, está severamente impreso en la forma de onda gravitacional. El modelo D2H emite ondas gravitacionales que tienen aproximadamente un orden de magnitud menor amplitud que los calculados para el correspondiente modelo de baja resolución. 4.4 Morfología A continuación describimos las características morfológicas encontradas durante la evolución de algunos modelos representativos. Fig. 7 muestra tres snathsots de la evolución del modelo D3H para la densidad (arriba), el componente azimutal de la vorticidad, ~w. = (­) × ~v. (medio), y el momento angular específico, ~l = ~r × ~v. (abajo). De izquierda a derecha, las instantáneas corresponden al tiempo inicial (­0t = 0), un momento en el que la inestabilidad del modo bar está creciendo (­0t = 33,6), y el tiempo cuando la inestabilidad se satura (­0t = 70,4). Sólo el plano ecuatorial de la estrellas se muestra en todas estas parcelas. Animaciones de todas las simulaciones realizadas son se puede consultar en www.uv.es/cerdupa/bars/. Observamos que nuestro código AMR es capaz de colocar los parches dinámicamente (por ejemplo, entre 4 y 8 en el modelo D3H) y evoluciona el sistema con correspondencia continua entre parches, como ejemplificó en Fig. 7. La evolución del modelo D3H muestra que a medida que el modo m = 2 crece la estrella desarrolla una forma elipsoidal que sigue girando más allá de la saturación. Desde el modo bajo β m = 2 satura a valores más bajos (η + 0,1) que el modo clásico bar-mode inestabilidad (η â € 1), no hay barras claras son visibles en la parcela de densidad. En Tiempos tardíos (0t > 100) una estructura “boxy” se hace evidente como el m = 4 el modo ha crecido a una amplitud casi similar a la del modo m = 2 (ver anima- ciones y fig. 4). No se pueden ver otras características globales, consistentes con el hecho que Am 1 para todos los modos distintos de m = 2 y 4. La trama de la vorticidad muestra que el modo m = 2 en Ł0t = 33.6 adopta la forma de un dos brazos espiral que se enrolla alrededor de las partes centrales de la estrella. A medida que el modo comienza a saturar (­0t = 70.4) las espirales se rompen en las capas exteriores en un turbu- flujo prestado que recuerda a la (escucha) inestabilidad Kelvin-Helmholtz, y el shock como Llegan a la atmósfera. Estas tendencias también son visibles en el ángulo angular específico Momentánea. La presencia de un radio de coronación, en r/re = 0,56 para el modelo D3H, parece desempeñar un papel en el crecimiento y la saturación de la inestabilidad, de acuerdo con las conclusiones recientes de [25]. A medida que el modo bar crece, las ondas de presión transportan momento angular fuera del radio de la coronación, que se deposita en el capas exteriores de la estrella. Esto excita Kelvin-Helmholtz-como las inestabilidades en el fluido que rompe el modo fuera del radio de la coronación. Cuando esto sucede la m = 2 la inestabilidad deja de crecer y no se extrae más impulso angular. La figura 8 muestra instantáneas tardías de la distribución del plano ecuatorial de la la perturbación de la densidad, es decir, Para los modelos D2H y D3H. Los tiempos se eligen bien dentro de la fase no lineal y de saturación de la inestabilidad. Esta figura ayuda a interpretar la dinámica del modo y su saturación a lo largo del líneas mencionadas anteriormente: Durante la evolución las perturbaciones de densidad son derramado en ondas desde el centro hacia las capas exteriores de la estrella. # A última hora # los tiempos, cuando la inestabilidad satura, tal desprendimiento se detiene, y la densidad Fig. 8. Snapshots de la perturbación de densidad en el plano ecuatorial para los modelos D2H y D3H. Las curvas sólidas blancas indican la ubicación del radio de la coronación. Los las casillas blancas marcadas indican la ubicación de los parches para el modelo D3H. la perturbación alcanza los valores más grandes fuera del radio de la con líneas sólidas blancas en la Fig. 8), para cualquiera de los dos modelos. Observamos al pasar que el radio de la coronación en todos nuestros modelos de alta resolución se encuentra bien dentro del límite exterior de la mejor caja establecida por el AMR patrón de refinamiento. (véase, por ejemplo, las cajas blancas despedazadas representadas a la derecha panel de la Fig. 8 indicando la ubicación de los parches AMR para el modelo D3H) Esto descarta la posibilidad de un artefacto numérico resultante del parche Esquema de creación de nuestro código AMR siendo la causa de los diferentes a largo plazo evolución entre los modelos de baja y alta resolución, especialmente notable para modelo D2 en la Fig. 3. Finalmente, Fig. 9 muestra una comparación entre los modelos D2L y D2H a un valor de 0t = 101 (es decir, bien dentro de la fase no lineal), para destacar los efectos del numerador- ical resolución sobre la morfología. De arriba a abajo este panel muestra un schlieren parcela ( log ), ~wŁ, y ~l. Las diferencias de resolución en el evolu- sión del modelo D2 se hace evidente a partir de esta cifra. En particular, el “boxy” la estructura se hace mucho más visible en la simulación de baja resolución (D2L), lo que indica una tasa de crecimiento excesiva del modo m = 4. La presencia de las ondas de presión se enfatiza en la trama schlieren, muy capturado con precisión en el modelo D2H. Esas ondas, una vez que el flujo es conducido a la turbulencia más allá de la radio de rotación, redistribuir el momento angular en las capas exteriores de modelo D2L de una manera mucho más pronunciada que para el modelo D2H. 0 t= D2L D2H Fig. 9. Comparación de resolución entre los modelos D2L y D2H una vez la inestabilidad ha saturado. Sólo se muestran rebanadas de las estrellas en el plano ecuatorial. 5 Resumen y perspectivas Hemos presentado simulaciones AMR de alta resolución de la barra baja T/W - la inestabilidad del modo de las estrellas de neutrones extremadamente rotativas. Nuestra principal la motivación ha consistido en volver a examinar las simulaciones antes de [15] sobre dicha inestabilidad, evaluar cuán sensible es la aparición y el desarrollo de la inestabilidad problemas numéricos como la resolución de la cuadrícula. Hemos abordado la importancia de de un tratamiento correcto de los delicados aspectos numéricos que pueden estropear tres simulaciones dimensionales en códigos basados en cuadrículas (cartesianas), siempre obstaculizadas por una resolución insuficiente, a saber, el manejo de la atmósfera de baja densidad alrededor de la estrella, la corrección para el centro de desplazamiento de masa, y el propiedades de conservación de masa e impulso del esquema numérico. Nuestro simulaciones han revelado las características morfológicas complejas involucradas en la Dinámica no lineal de la inestabilidad. Hemos encontrado que en el no lineal fase de la evolución, la excitación de los modos fluidos Kelvin-Helmholtz-como fuera de los radios de coronación de los modelos estelares conduce a la saturación de la Deformación en modo bar. Si bien las tendencias generales notificadas en la investigación de [15] son confirmados por nuestro trabajo, la resolución utilizada para realizar el simu- las laciones pueden desempeñar un papel clave en el comportamiento a largo plazo de la inestabilidad y sobre la dinámica no lineal de las estrellas giratorias, que sólo se ha hecho evidente para algunos modelos específicos de nuestra muestra (a saber, el modelo D2). Esto, a su vez, ha implicaciones sobre las amplitudes alcanzables de la onda gravitacional asociada señales. El trabajo que se informa en este documento es un primer paso en nuestros esfuerzos en curso de estudio. la inestabilidad dinámica del modo barra dentro del colapso del núcleo magnetizado escenario. Agradecimientos Los autores agradecen a Harry Dimmelmeier, Nick Stergioulas y Anna Wats para comentarios útiles. Investigación apoyada por el Ministerio de Edu- cación y Ciencia (MEC; subvenciones AYA2004-08067-C03-01, AYA2003-08739-C02- 02, AYA2006-02570. VQ es miembro de Ramón y Cajal del MEC español. Computaciones realizadas en el Servei d’Informatica de la Universitat de València (CERCA-CESAR). Bibliografía [1] N. Stergioulas, Liv. Rev. Relativ. 6 (2003) 3 [2] J. E. Tohline, R. H. Durisen, & M. McCollough, ApJ 298 (1985) 220 [3] J. L. Houser, J. M. Centrella, & S. Smith, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 1314 [4] K. C. B. New, J. M. Centrella, & J. E. Tohline, Phys. Rev. D 62 (2000) 064019 [5] M. Shibata, T. W. Baumgarte, & S. L. Shapiro, ApJ 542 (2000) 453 [6] M. Rampp, E. Müller, & M. Ruffert, A&A 332 (1998) 969 [7] M. Shibata, & Y. Sekiguchi, Phys. Rev. D 71 (2005) 024014 [8] M. Saijo, Phys. Rev. D 71 (2005) 104038 [9] C. D. Ott, S. Ou, J. E. Tohline, & A. Burrows, ApJ 625 (2005) L119 [10] H. C. Spruit & E. S. Phinney, Nature 393 (1998) 139 [11] A. Heger, S. E. Woosley, & H. C. Spruit, ApJ 626 (2005) 350 [12] C. D. Ott, A. Burrows, T. A. Thompson, E. Livne, & R. Walder, ApJS 164 (2006) 130 [13] S. E. Woosley, & A. Heger, ApJ 637 (2006) 914 [14] J. M. Centrella, K. C. B. New, L. L. Lowe, & J. D. Brown, ApJ 550 (2001) [15] M. Shibata, S. Karino, & Y. Eriguchi, MNRAS 334 (2002) L27 [16] M. Shibata, S. Karino, & Y. Eriguchi, MNRAS 343 (2003) 619 [17] V. Quilis, MNRAS 352 (2004) 1426 [18] M. J. Berger, P. Colella, J. Comp. Phys. 82 (1989) 64 [19] J. A. Font, M. Miller, W.-M. Suen, & M. Tobias, Phys. Rev. D 61 (2000) 0044011 [20] M. D. Duez, P. Marronetti, S. L. Shapiro, & T. W. Baumgarte, Phys. Rev. D 67 (2003) 024004 [21] Y. Eriguchi, & E. Müller, A&A, 147 (1984) 161 [22] A. L. Watts, N. Andersson, & D. I. Jones, ApJ 618 (2005) L37 [23] A. L. Watts, N. Andersson, H. Beyer, & B. F. Schutz, MNRAS 342 (2003) 1156 [24] A. L. Watts, N. Andersson, & R. L. Williams, MNRAS 350 (2004) 927 [25] M. Saijo & S. Yoshida, MNRAS 368 (2006) 1429 Introducción Marco matemático Enfoque numérico Resultados Datos iniciales Análisis de la estabilidad Ondas gravitacionales Morfología Resumen y perspectivas Bibliografía

Recientemente se ha argumentado a través del trabajo numérico que las estrellas giratorias con un alto grado de rotación diferencial son dinámicamente inestables contra el modo bar deformación, incluso para los valores de la relación de energía cinética rotacional a energía potencial gravitacional tan baja como O(0.01). Esto puede tener implicaciones. para la astronomía de ondas gravitacionales en fuentes de alta frecuencia como el núcleo colapso de supernovas. En este artículo presentamos simulaciones de alta resolución, realizado con un código hidrodinámico de refinamiento de malla adaptable, de T/W bar-mode inestabilidad. Las complejas características morfológicas involucradas en la dinámica no lineal de la inestabilidad se revelan en nuestras simulaciones, que muestra que la excitación de Kelvin-Helmholtz-como los modos fluidos fuera de la el radio de la coronación de la estrella conduce a la saturación del modo bar deformación. Si bien las tendencias generales notificadas en una investigación anterior son las siguientes: confirmados por nuestro trabajo, también encontramos que la resolución numérica juega un papel importante durante el comportamiento no lineal y a largo plazo de la inestabilidad, que tiene repercusiones en la dinámica de las estrellas giratorias y en el Amplitudes de las señales de onda gravitacional asociadas.

Introducción Estrellas de neutrones después de un colapso de núcleo supernova están girando al nacer y puede estar sujeto a diversas inestabilidades no axisimmétricas (véase, por ejemplo, [1] para una re- vista). Entre ellos, si la tasa de rotación es lo suficientemente alta para que la relación de energía cinética rotacional T a la energía potencial gravitacional W, β T/W , supera el valor crítico βd + 0,27, inferido de estudios con incompresiones Esferoides de Maclaurin, la estrella está sujeta a un modo de barra dinámico (l = m = 2 Preprint enviado a Elsevier el 30 de julio de 2021 http://arxiv.org/abs/0704.0356v1 f -modo) inestabilidad impulsada por la hidrodinámica y la gravedad. Su estudio es altamente como tal, una inestabilidad tiene implicaciones importantes en las perspectivas de detección de la radiación gravitacional de los recién nacidos con rapidez estrellas de neutrones giratorias. Las simulaciones de la inestabilidad dinámica del modo bar están disponibles en la literatura. tura, ambos utilizando modelos simplificados basados en configuraciones estelares de equilibrio perturbado con funciones propias adecuadas [2,3,4,5], y modelos más involucrados para el escenario de colapso del núcleo [6,7,8,9], y en cualquiera de los dos casos en Newton- ity y relatividad general. Debido a su simplicidad superior el enfoque anterior ha recibido mucha más atención, a pesar de que las conclusiones extraídas de los modelos estelares perturbados pueden no extenderse directamente a la escenario de colapso. Las simulaciones newtonianas de inestabilidades triaxiales tras el colapso del núcleo fueron las primeras realizado por [6]. Estos mostraron que la inestabilidad de modo de barra se establece en cuando β 0.27 y cuando el progenitor rota rápida y altamente diferencialmente. Tales condiciones se cumplen cuando el agotamiento (artificial) de la energía interna a desencadenar el colapso es lo suficientemente grande como para producir un núcleo muy compacto para el que un se puede lograr un spun-up significativo. Más recientemente, la simulación tridimensional... ciones del colapso del núcleo de los politropos rotativos en la relatividad general han sido realizado por [7]. Estos autores estudiaron la evolución de la barra-modo insta- la capacidad a partir de los modelos iniciales de colapso del núcleo axiemmétrico que alcanzaron valores de β + 0,27 durante la fase de caída. Estas simulaciones mostraron que la el valor máximo de β alcanzado durante el colapso y el rebote depende fuertemente en el perfil de velocidad, la masa total del núcleo inicial, y en el equa- sión del Estado. De acuerdo con los hallazgos de la simulación newtoniana- ciones de [6], la inestabilidad de modo de barra se establece en si el progenitor gira rápidamente (0,01 ≤ β ≤ 0,02) y tiene un alto grado de rotación diferencial. Además, el agotamiento artificial de la presión y la energía interna para desencadenar el colapso, que conduce a un núcleo compacto que posteriormente gira hacia arriba, también juega un papel clave en general relatividad para un notable crecimiento de la inestabilidad del modo bar. Si se cumplen los requisitos inferidos de las simulaciones numéricas por los progenitores del colapso sigue sin estar claro. Como se muestra en [10] torque magnético puede girar por el núcleo del progenitor, lo que conduce a la rotación lenta neu- tron estrellas al nacer (+ 10 − 15 ms). El más reciente, el estado de la técnica compu- ciones de la evolución de las estrellas masivas, que incluyen el momento angular redistribución por torque magnético y estimaciones de giro de estrellas de neutrones en nacimiento [11,12], conducen a progenitores del colapso del núcleo que no parecen rotar lo suficientemente rápido como para garantizar el crecimiento inequívoco del modo bar canónico inestabilidad. Los núcleos de rotación rápida podrían ser producidos por una mezcla apropiada. de alta masa progenitora (M > 25M®) y baja metalicidad (N. Stergioulas, comunicación privada). En tal caso, el progenitor podría pasar por alto el rojo Fase supergigante en la que la rotación diferencial del núcleo produce un campo magnético por acción dinamo que une el núcleo a las capas exteriores de la estrella, transportando el momento angular hacia fuera y girando hacia abajo núcleo. De acuerdo con [13] alrededor del 1% de todas las estrellas con M > 10M® producirán núcleos de rotación rápida. Por otro lado, las simulaciones newtonianas de la inestabilidad del modo bar de modelos de equilibrio perturbado de estrellas giratorias han demostrado que βd 0,27 independiente de la rigidez de la ecuación de estado siempre que la estrella no es muy diferentemente rotativo. Las simulaciones relativistas de [5] rindieron un valor de β + 0,24 − 0,25 para el inicio de la inestabilidad, mientras que la dinámica del proceso se parece mucho a lo que se encuentra en la teoría newtoniana, es decir. inestable modelos con β suficientemente grandes desarrollar brazos espirales después de la formación de barras, expulsando masa y redistribuyendo el impulso angular. Como el grado de la rotación diferencial se convierte en más altas simulaciones newtonianas también han demostrado que βd puede ser tan bajo como 0,14 [14]. Más recientemente [15,16] han informado que estrellas giratorias con un grado extremo de rotación diferencial son dinámicamente inestable frente a la deformación en modo bar, incluso para valores de β de O(0.01). Habida cuenta de su reciente descubrimiento y de sus posibles consecuencias astrofísicas para la dinámica de colapso del núcleo de rebote y la astronomía de ondas gravitacionales, presentamos en este documento simulaciones de alta resolución de tan bajo T/W bar-modo en- Estabilidades. Este trabajo está motivado aún más a la luz de los pocos números simulaciones disponibles en la literatura. Nuestro principal objetivo es revisar la simulación. ciones por [15] en el bajo T/W bar-mode inestabilidad, y en particular para comprobar cuán sensible es la aparición y el desarrollo de la inestabilidad a los números cuestiones como la resolución de la red. Para ello realizamos hidrodiálisis newtoniana... simulaciones namicas de un subconjunto de modelos analizados por [15] utilizando un método adaptativo el refinamiento de la malla (AMR) código [17] que nos permite realizar tales tres di- simulaciones mensionales con la mayor resolución jamás utilizada. Nuestras simulaciones revelar las características morfológicas complejas involucradas en la dinámica no lineal de la inestabilidad, donde la excitación de Kelvin-Helmholtz-como modos fluidos influye en la saturación de la deformación del modo bar. Avanzamos eso mientras las tendencias globales encontradas para [15] están confirmadas por nuestro trabajo, la resolución el empleo en las simulaciones desempeña un papel clave para el comportamiento a largo plazo; de la inestabilidad y para la dinámica no lineal de las estrellas giratorias, que implicaciones sobre las amplitudes alcanzables de la onda gravitacional asociada señales. Tomamos nota de que planeamos actualizar el código AMR existente a cuenta para los efectos de los campos magnéticos con el fin de intentar el estudio actual en una una configuración más realista. El presente trabajo es un paso hacia ese objetivo. El documento se organiza de la siguiente manera: ecuaciones a resolver. Su solución se describe en la sección 3, que también contiene los detalles del código AMR. Se discuten los resultados de las simulaciones en la sección 4. Por último, la sección 5 presenta nuestras conclusiones. 2 Marco matemático La evolución de un fluido ideal de auto-gravitación en el límite newtoniano es de- escrito por las ecuaciones de hidrodinámica y la ecuación de Poisson: · (lv) = 0 (1) + (v · •)v = −1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * · [(E + p)v] = v (3) 2 ° = 4 ° G ° (4) donde x, v = dx = (vx, vy, vz), y (t,x) son, respectivamente, los eulerianos coordenadas, la velocidad y el potencial gravitacional newtoniano. El total densidad de energía, E = + 1 Se define como la suma de la energía térmica, , donde es la densidad de masa y es la energía interna específica, y el Energía cinética (donde v2 = v2x + v y + v z). Gradientes de presión y gravitación las fuerzas son las responsables de la evolución. Ecuación de estado p = p( cierra el sistema. Utilizamos una ecuación de gas ideal del estado p = (- 1) con • 2 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 2 = 2 = 1 = 1 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 Las ecuaciones de hidrodinámica, Eqs. (1-3), puede ser reescrita en el flujo-conservador forma: En caso de que no se disponga de la información necesaria para la aplicación de la presente Decisión, se considerará que el Estado miembro de que se trate ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud de la presente Decisión. * g(u) h(u) = s(u) (5) donde u es el vector de incógnitas (variables conservadas): u = [.,.vx,.vy,.vz, E]. 6) Las tres funciones de flujo Fα {f, g, h} en las direcciones espaciales x, y, z, respec- ticularmente, se definen por f(u) = ?vx,?vv x + p, vxvy, vxvz, (E + p)vx g(u)= VÍDEO, VÍDEO, VÍDEO y + p,?vyvz, (E + p)vy h(u) = Vz, Vxvz, Vvvz, Vvvz, Vv z + p, (E + p)vz y los términos fuente s son dados por Cuadro 1 Resumen de los modelos iniciales y resultados de las simulaciones. El informe de filas el nombre del modelo, la proporción de radios ecuatoriales-polares (re/rp), el grado de rotación diferencial (Â), la relación de la energía cinética a potencial (T/W ), el tamaño de la cuadrícula computacional (L) y la ubicación del radio de rotación (rc) para los dos resoluciones utilizadas: alta (AMR H) y baja (AMR L). En los modelos R1H y R2H El radio de la coronación se encuentra fuera de la estrella. Lo real (frecuencia) e imaginario (crecimiento las partes de la barra-modo 2 se muestran, para la simulación de baja y alta resolución en comparación con los resultados numéricos y el análisis lineal en [15]. Tenga en cuenta que para modelo D3 no se dispone de resultados de análisis lineales. Modelo D1 D2 D3 R1 R2 re/rp 0,805 0,605 0,305 0,305 0,255  0,3 0,3 0,3 1,0 1,0 T/W 0,039 0,085 0,149 0,253 0,275 L/re 4,06 3,73 3,21 4,25 4,03 rc/re AMR L 0,38 0,47 0,58 AMR H 0,36 0,48 0,56 – – AMR L 0,76 0,58 0,41 AMR H 0,81 0,55 0,43 - 0,82 Shibata 0,80 0,60 0,45 0,92 0,75 lineal 0,80 0,58 - 0,92 0,75 Im(2)/0 AMR L 0,0042 0,0154 0,0200 AMR H 0,0089 0,0190 0,0240 0,0005 0,1960 Shibata 0,009-0,013 0,019-0,021 0,013 <0,002 0,23 lineal 0,015 0,011 - <0,002 0,20 s(u) = , ­vx • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • − ♥vz . (10) Sistema (5) es un sistema hiperbólico tridimensional de leyes de conservación con fuentes s(u). 3 Enfoque numérico Para nuestro estudio de la baja inestabilidad T/W bar-modo realizamos alta resolución simulaciones de estrellas de neutrones giratorias utilizando una hidrodinámica AMR newtoniana código llamado MASCLET [17]. La aplicación de la técnica AMR en la el código sigue el procedimiento desarrollado por [18]. Las ecuaciones de hidrodinámica se resuelven utilizando un esquema de captura de choque de alta resolución basado en el Resolución de Riemann y procedimientos de reconstrucción celular de segundo orden, mientras que Pois- la ecuación del hijo para el campo gravitacional se resuelve usando técnicas multigrid. La exactitud y el rendimiento del código MASCLET se han evaluado en un número de pruebas [17]. Tomamos nota de que el código fue diseñado originalmente para aplicaciones mológicas, y aquí se aplica a simulaciones de auto-gravitación objetos estelares por primera vez. Las simulaciones se realizan con dos resoluciones de cuadrícula diferentes. El bajo la cuadrícula de resolución consiste en una caja de tamaño L con 1283 zonas, resolución de L/128. Observamos que la resolución efectiva de nuestra grilla gruesa es comparable a la utilizada por [15]. Correspondientemente, la cuadrícula de alta resolución consiste en una rejilla gruesa base de 1283 células, y un nivel de refinamiento compuesto de parches con un tamaño máximo de 643 células (323 células gruesas). Esto produce una cuadrícula resolución en la mejor cuadrícula de L/256. Esta resolución es suficiente para resolver el problema. estructuras simuladas, y por lo tanto no se necesitan niveles de refinamiento más profundos. Los los parches se asignan dinámicamente cubriendo las regiones de la estrella donde el se requiere una resolución más alta (densidades más altas). Por lo general, sólo un parche es necesario para modelos esferoidales, y 4-8 en modelos con topología toroidal. Los uso de técnicas AMR en nuestras simulaciones de alta resolución, nos permite ahorrar sobre un factor 4 en tiempo y memoria de CPU con respecto a una simulación unigrid con 2.563 células. No se imponen simetrías en las simulaciones. Al mejor de los nuestro conocimiento, en las investigaciones de la inestabilidad bar-modo realizadas por Grupos anteriores, resoluciones de cuadrícula tan altas como las que usamos aquí nunca fueron empleados. Como es habitual en los códigos basados en cuadrícula [19,20] el vacío que rodea a la estrella está llena de una atmósfera numérica tenue con densidad.......................................................................................................................................................................................................................................................... y cero velocidades, siendo la densidad máxima. Cada celda de cuadrícula con Máximo de 10 μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg/μg −6 se reinicia a los valores de la atmósfera. Un tratamiento correcto de la la atmósfera es esencial para una descripción precisa de la dinámica estelar y cálculo correcto de las tasas de crecimiento de los modos inestables. Lo hemos comprobado. que valora para la atmósfera más alto que los que elegimos o una evolución libre de la atmósfera en su conjunto, conducen a cambios notables en el comportamiento del modo, tasas de crecimiento y frecuencias. También hemos comprobado que los valores más bajos para el la atmósfera no produce esos cambios, lo que asegura que nuestras evoluciones no se verán afectados por los valores de la atmósfera utilizados en las simulaciones. 4 Resultados 4.1 Datos iniciales Los modelos estelares de rotación diferencial en equilibrio se construyen de acuerdo con el método de [21], y utilizado como datos iniciales para el código de evolución AMR. Las estrellas obedecer una ecuación politrópica del estado P = K con el índice = 2. Como [15] la el perfil de la velocidad angular  es dado por (/re)2 + Â2 , (11) donde re es el radio ecuatorial de la estrella,........................................................................................................................................................................................................................................................ locity, es la distancia al eje de rotación, y  parametriza el grado de rotación diferencial, desde  ⠀ 1 para estrellas altamente → Para estrellas rígidamente giratorias. A efectos de comparación, estos parámetros se eligen como en algunos de los modelos de [15], y se resumen en la Tabla 1. Los modelos etiquetados D rotan con un alto grado de rotación diferencial, como  = 0,3, y por lo tanto puede estar sujeto a la baja T/W bar-mode inestabilidad. Nosotros también. considerar modelos casi rígidamente rotativos, etiquetados R, propensos a experimentar el Inestabilidad “clásica” en modo bar. Las etiquetas L y H en los modelos se refieren a bajo y alta resolución, respectivamente. A continuación [15] perturbamos el perfil de densidad inicial * = *(0) 1 +  x2 − y2 , (12) la perturbación de la presión dada por la ecuación de estado en consecuencia. En todas nuestras simulaciones se utiliza una amplitud de perturbación  = 0,1. Como lo mostramos debajo de esta forma de perturbación excita el modo de barra l = m = 2. In Además, la discretización de la red puede filtrar pequeñas cantidades de energía a todos los demás posibles modos, que en principio podrían crecer siempre que fueran inestables y las simulaciones se llevaron a cabo durante períodos suficientemente largos. 4.2 Análisis de la estabilidad Para comparar con [15] calculamos los parámetros de distorsión y (y η = (η2+ + η )1/2) definido como 0 0,5 1 1,5 2 1 / 2 0 0,21 0,43 0,65 0,86 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 Fig. 1. Espectros de potencia de Am de m = 1 a m = 8 para el modelo D3H. Ixx − Iyy Ixx + Iyy ......................................... Ixx + Iyy , (13) donde Iij(i, j = x, y, z) es el momento de masa-cuadrúpolo Iij = dx3! xixj. (14) Para el estudio de la tasa de crecimiento y la interacción de los diferentes modos angulares dentro de la estrella es útil para calcular la cantidad global dx3o(x) e-iml, (15) y en am, am, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah, ah. Seguimos la evolución temporal de los modos con m ranking del 1 al 8. Puesto que nuestros modelos de equilibrio inicial son axiemmétricos y tienen simetría del plano ecuatorial, todos Am son cero inicialmente, pero una vez perturbado todo 0 20 40 60 80 100 Fig. 2. Evolución de η para los modelos R1H (panel superior) y R2H (panel inferior). Expo- nential se ajusta a los picos en la fase de crecimiento se sobreexplotan como líneas sólidas. Los modelos iniciales presentan un componente dominante m = 2. Suponiendo que los modos la parte real de la palabra puede ser obtenida por Fourier trans- la formación de Am. En particular, se puede extraer la frecuencia de modo de barra Re( desde A2 o η como ambos representan el mismo modo. Este es el dominante modo en todas nuestras simulaciones y su frecuencia y tasa de crecimiento se dan en Cuadro 1 Este último corresponde a la parte imaginaria de 2, que es calcu- en la fase de crecimiento de los valores máximos de η la evolución hasta que los modos saturan. Otros modos también se identifican en el simulaciones para valores de Am con amplitudes inferiores. Lo hemos comprobado. estos modos son armónicos del modo l = m = 2 para que sigan al bueno precisión de la relación m = mp, siendo la frecuencia de patrón, calculada como p = 2/2. Esto se muestra para el modelo D3H en la Fig. 1 que muestra las especificaciones trum de Am de m = 1 a m = 8 (en unidades arbitrarias). La vertical despedazada líneas en esta figura indican la ubicación de los múltiplos enteros del patrón frecuencia p, sus valores indicados en el eje en la parte superior de la figura. Cada uno espectro para cada modo se normaliza a su propio máximo para trazar pur- poses. Tenga en cuenta que cuanto menor sea la amplitud del modo, más ruidoso será el espectro y mientras menos precisa sea la relación m = mp. Para los modelos de nuestra muestra sujetos a la deformación clasica de modo bar (R1H y R2H), nuestras simulaciones producen un valor de β entre 0,253 y 0,275, en buen acuerdo con el valor crítico para el inicio de la barra dinámica- inestabilidad del modo. El modelo R1H es estable y el modelo R2H es inestable. El crecimiento las tasas y frecuencias notificadas en el cuadro 1 concuerdan con las de [15]. Tenga en cuenta que 0 100 200 300 Fig. 3. Evolución de η para los modelos D1 (panel superior), D2 (panel central) y D3 (panel inferior) en el panel). Las líneas estropeadas corresponden a líneas de baja resolución y sólidas a alta resolución. Los ajustes exponenciales a los picos en la fase de crecimiento se sobreexplotan como líneas sólidas. para el modelo R1H, que es estable, la frecuencia para el modo m = 2 no puede ser Calculado. La evolución temporal de η para estos dos modelos se muestra en la Fig. 2. Para el modelo inestable R2H, nuestras simulaciones muestran la formación de una barra que satura para los valores de y cerca de 1, es decir, en la totalidad no lineal régimen. Fig. 3 muestra la evolución del tiempo de η para los modelos D en nuestra muestra, propensos a sufrir el bajo T/W bar-mode inestabilidad. Líneas sólidas corresponden a alta resolución simulaciones y líneas discontinuas a baja resolución. Para los tres modelos el patrón las frecuencias son tales que existe un radio de coronación dentro de la estrella, i.e. un radio en el que el modo bar gira con la misma velocidad angular que el fluido. La ubicación del radio de coronación para todos los modelos de nuestra muestra se indica en la Tabla 1. Como se ha discutido recientemente en [22] la existencia de tales El radio de la coronación es un requisito potencial para la ocurrencia de la inestabilidad. Como se desprende de la Fig. 3, todos los modelos son inestables pero la resolución de la cuadrícula tiene un efecto importante sobre la saturación de la inestabilidad una vez que el no lineal se ha alcanzado la fase, así como en la dinámica a largo plazo de las estrellas. En la fase lineal de los modelos D1H y D2H, las tasas de crecimiento y frecuencias de acuerdo con los resultados de [15] en ambos, las simulaciones numéricas y el lineal análisis (véase el cuadro 1). En la fase lineal del modelo D3H, nuestras frecuencias son similar a los resultados numéricos de [15], aunque nuestras tasas de crecimiento son un factor dos más grande. Enfatizamos que no se reportan resultados en la línea lineal análisis de este modelo en el trabajo de [15], y por lo tanto esta discrepancia puede ser un efecto de la resolución utilizada o de las características de cada número código. El aumento de la resolución conduce a resultados similares en las frecuencias, pero a mayores tasas de crecimiento. En la fase no lineal, los modelos D1 y D3 se comportan de manera similar para los dos resolu- ciones utilizadas (véase la Fig. 3), y también similar a los resultados en [15] (compare con Fig. 3 de ese documento). Para el modelo D2 observamos un cambio radical de comportamiento en la fase no lineal de la evolución del modo en función de la resolución de la cuadrícula. Esto tiene implicaciones en la dinámica a largo plazo de la estrella y, en particular, Lar, sobre las amplitudes alcanzables de la radiación gravitacional emitida, como nosotros Discuta a continuación. Vale la pena mencionar la posibilidad de que el modo inestable en el inicio de modelo D2H podría excitar algún otro modo en la banda de la coronación, que podría no estar excitado de otra manera por la menor resolución de la cuadrícula. Según lo examinado por [23,24] en su estudio de las cáscaras de rotación diferencial, hay muchos modos de cero-paso en la banda, para que todo el espectro continuo pudiera ser potencialmente excitado. En tal caso, estos modos tendrían un crecimiento muy lento del poder legislativo. Para todos nuestros modelos hemos comprobado la conservación en masa a lo largo de la evolución. Los Los peores resultados se obtienen para el modelo D3H, para el cual la masa se conserva dentro Error del 2,5% cuando la inestabilidad se satura. Al final de la simulación (después de 48 períodos orbitales y 25000 iteraciones en la cuadrícula más gruesa) el error ha crecido a sólo el 6%. Para todos los demás modelos la conservación en masa es aún más precisa. Nota que estos errores están dentro del error de redondeo del código, y no está relacionado a las propiedades de conservación del propio esquema numérico. Para una cuadrícula regular con 1283 células y una simulación que emplea 25000 iteraciones, el acumulado error de redondeo (distribución binomial) utilizando aritméticas de una precisión, es aprox. 1283 × 25000 × 10-8 = 0,0023 = 0,23%. Correspondientemente, para un 2563 cuadrícula (con el doble del número de iteraciones para la simulación) el error se trata de 0,9%. Teniendo en cuenta que este error afecta a la evolución no lineal de la sistema, no es sorprendente tener un error en el nivel de unos pocos por ciento el final de nuestras simulaciones de alta resolución, para todas las cantidades conservadas. La figura 4 muestra la evolución de Am para el modelo D3 y para m que van desde 1 a 8 para nuestras dos resoluciones. Según esta cifra, los dos únicos modos 1e-06 0,0001 0 100 200 1e-06 0,0001 m=1, 3, 5, 7 m=1, 3, 5, 6, 7, 8 Fig. 4. Evolución de Am para el modelo D3 con baja resolución (superior) y alta resolución (abajo). El modo m = 2 se representa con línea gruesa sólida, m = 4 con delgada línea sólida, m = 6 con línea discontinua, m = 8 con línea puntiaguda, y todos los demás impares m con líneas punteadas. relevantes para la dinámica de la estrella son m = 2 y m = 4. Todos los demás modos tienen amplitudes más pequeñas y no juegan ningún papel en la dinámica. Note que para impar m modos, el valor de la cantidad integrada Am, si cerca de cero, es extremadamente sensible a asimetrías numéricas muy pequeñas, inducidas por el parche Esquema de creación de nuestro código AMR. Esto explica las diferencias de resolución en los valores iniciales de los modos m impares de la Fig. 4 (a t = 0 comienzan de 10 a 8 nivel para la simulación de baja resolución), aunque saturan en el mismo valor independientemente de la resolución. Un diagnóstico importante para la exactitud de los resultados es la ubicación de la centro de masa durante una evolución. Error de redondeo del código numérico impone errores controlados en masa y momentum lineal, lo que resulta en pequeños desplazamientos del centro de masa. Sin embargo pequeño (una celda numérica en este desplazamiento no físico puede dificultar el análisis correcto de la 0 100 200 300 1e-06 0,0001 Fig. 5. Efectos del desplazamiento artificial del centro de masa (de Célula numérica) sobre la evolución del tiempo de A1 para el modelo D2H. La delgada línea sólida muestra una evolución fictitiuos resultante del artefacto numérico originado por el centro de desplazamiento masivo. tasas de crecimiento del modo. Por esta razón, todas las cantidades integradas se muestran en la Fig. 4 se calculan después de corregir el desplazamiento del centro de masa, xnew = xold − xCM, en una etapa posterior al procesamiento del análisis de datos. ¿Era esto no hecho, un un brazo m = 1 modo crecería mucho más rápido de lo que debería a sacar a relucir características ficticias en las parcelas. Esto se muestra para el modelo D2H en la Fig. 5. La línea sólida gruesa en esta figura corresponde a la evolución de la m = 1 modo teniendo en cuenta la corrección para el centro de desplazamiento de masa, mientras que la delgada línea sólida es la evolución correspondiente de este modo sin la corrección. 4.3 Ondas gravitacionales El crecimiento y la saturación de la inestabilidad también está impreso en la gravedad. oleajes cionales emitidos. Las formas de onda gravitacional h+ y h× para los modelos D1, D2, y D3, calculados utilizando la fórmula estándar del cuádruplo, se muestran en Fig. 6. Para una fuente de masa M situada a una distancia R esas formas de onda pueden se calcularán a partir de las amplitudes de forma de onda adimensional a+ y a× como h+,× = a+,× sin2 , (16) utilizando G = c = 1 unidades. El resultado de la señal chirp-como en todos los modelos, partic- ularmente aparente para el modelo D2L, indica la presencia de una distribución bipolar de masa dentro de la estrella (véase Sec. 4.4. -0,05 0 100 200 300 Fig. 6. Ondas gravitacionales para modelos D1 a D3 extraídas utilizando el estándar Fórmula de cuádruple. Las líneas sólidas gruesas (finas) corresponden a una resolución baja (alta). Sólo se traza la amplitud de onda adimensional a+. Como se ha mencionado anteriormente, los efectos de la resolución de la cuadrícula en la evolución de la La fase no lineal del modo bar está impresa en las formas de onda gravitacional. Líneas sólidas gruesas en la Fig. 6 son las formas de onda que corresponden a la baja- modelos de resolución, y delgadas líneas sólidas a las contrapartes de alta resolución. La evolución de η para el modelo D3, se muestra en la Fig. 3, muestra pequeñas desviaciones con resolución de rejilla, y esto se traduce en ondas gravitacionales muy similares patrones (panel inferior de la Fig. 6), las diferencias cada vez más perceptibles en la fase no lineal después de la saturación (­0t ≥ 75). Para el modelo D1 (panel superior), las diferencias también se hacen más evidentes en momentos posteriores durante la evolución, en buen acuerdo con el comportamiento diferente de la dinámica de la materia en este modelo, tal como está codificado en la evolución de η en la Fig. 3. Como sucede con el modelo D3 los primeros ciclos de la forma de onda gravitacional, cuando el modo está todavía en la fase lineal, se capturan con precisión para ambas resoluciones. La principal dependencia de la forma de onda en la resolución de la cuadrícula se encuentra para modelo D2. Una vez más, la fase lineal para el crecimiento de la deformación de la barra es 0 t= 70,40,0 Fig. 7. Snapshots de la densidad, la vórtice, y el momento angular específico, para modelo D3H, a tres instantes representativos de la evolución. Todas las instantáneas muestran rebanadas de las estrellas en el plano ecuatorial. Las cantidades se normalizan de la siguiente manera: max, rew s, y l (rev) s ), donde v s es la velocidad inicial en la superficie de la estrella. la resolución (y está de acuerdo con el Turbative results of [15]). Esto se señala en el perfecto solapamiento de ambos forma de onda gravitacional durante los tres primeros ciclos (ver el panel medio de Fig. 6). Sin embargo, las diferentes dinámicas no lineales de la barra-modo deforma- ión para este modelo, que se muestra en el panel medio de la Fig. 3, está severamente impreso en la forma de onda gravitacional. El modelo D2H emite ondas gravitacionales que tienen aproximadamente un orden de magnitud menor amplitud que los calculados para el correspondiente modelo de baja resolución. 4.4 Morfología A continuación describimos las características morfológicas encontradas durante la evolución de algunos modelos representativos. Fig. 7 muestra tres snathsots de la evolución del modelo D3H para la densidad (arriba), el componente azimutal de la vorticidad, ~w. = (­) × ~v. (medio), y el momento angular específico, ~l = ~r × ~v. (abajo). De izquierda a derecha, las instantáneas corresponden al tiempo inicial (­0t = 0), un momento en el que la inestabilidad del modo bar está creciendo (­0t = 33,6), y el tiempo cuando la inestabilidad se satura (­0t = 70,4). Sólo el plano ecuatorial de la estrellas se muestra en todas estas parcelas. Animaciones de todas las simulaciones realizadas son se puede consultar en www.uv.es/cerdupa/bars/. Observamos que nuestro código AMR es capaz de colocar los parches dinámicamente (por ejemplo, entre 4 y 8 en el modelo D3H) y evoluciona el sistema con correspondencia continua entre parches, como ejemplificó en Fig. 7. La evolución del modelo D3H muestra que a medida que el modo m = 2 crece la estrella desarrolla una forma elipsoidal que sigue girando más allá de la saturación. Desde el modo bajo β m = 2 satura a valores más bajos (η + 0,1) que el modo clásico bar-mode inestabilidad (η â € 1), no hay barras claras son visibles en la parcela de densidad. En Tiempos tardíos (0t > 100) una estructura “boxy” se hace evidente como el m = 4 el modo ha crecido a una amplitud casi similar a la del modo m = 2 (ver anima- ciones y fig. 4). No se pueden ver otras características globales, consistentes con el hecho que Am 1 para todos los modos distintos de m = 2 y 4. La trama de la vorticidad muestra que el modo m = 2 en Ł0t = 33.6 adopta la forma de un dos brazos espiral que se enrolla alrededor de las partes centrales de la estrella. A medida que el modo comienza a saturar (­0t = 70.4) las espirales se rompen en las capas exteriores en un turbu- flujo prestado que recuerda a la (escucha) inestabilidad Kelvin-Helmholtz, y el shock como Llegan a la atmósfera. Estas tendencias también son visibles en el ángulo angular específico Momentánea. La presencia de un radio de coronación, en r/re = 0,56 para el modelo D3H, parece desempeñar un papel en el crecimiento y la saturación de la inestabilidad, de acuerdo con las conclusiones recientes de [25]. A medida que el modo bar crece, las ondas de presión transportan momento angular fuera del radio de la coronación, que se deposita en el capas exteriores de la estrella. Esto excita Kelvin-Helmholtz-como las inestabilidades en el fluido que rompe el modo fuera del radio de la coronación. Cuando esto sucede la m = 2 la inestabilidad deja de crecer y no se extrae más impulso angular. La figura 8 muestra instantáneas tardías de la distribución del plano ecuatorial de la la perturbación de la densidad, es decir, Para los modelos D2H y D3H. Los tiempos se eligen bien dentro de la fase no lineal y de saturación de la inestabilidad. Esta figura ayuda a interpretar la dinámica del modo y su saturación a lo largo del líneas mencionadas anteriormente: Durante la evolución las perturbaciones de densidad son derramado en ondas desde el centro hacia las capas exteriores de la estrella. # A última hora # los tiempos, cuando la inestabilidad satura, tal desprendimiento se detiene, y la densidad Fig. 8. Snapshots de la perturbación de densidad en el plano ecuatorial para los modelos D2H y D3H. Las curvas sólidas blancas indican la ubicación del radio de la coronación. Los las casillas blancas marcadas indican la ubicación de los parches para el modelo D3H. la perturbación alcanza los valores más grandes fuera del radio de la con líneas sólidas blancas en la Fig. 8), para cualquiera de los dos modelos. Observamos al pasar que el radio de la coronación en todos nuestros modelos de alta resolución se encuentra bien dentro del límite exterior de la mejor caja establecida por el AMR patrón de refinamiento. (véase, por ejemplo, las cajas blancas despedazadas representadas a la derecha panel de la Fig. 8 indicando la ubicación de los parches AMR para el modelo D3H) Esto descarta la posibilidad de un artefacto numérico resultante del parche Esquema de creación de nuestro código AMR siendo la causa de los diferentes a largo plazo evolución entre los modelos de baja y alta resolución, especialmente notable para modelo D2 en la Fig. 3. Finalmente, Fig. 9 muestra una comparación entre los modelos D2L y D2H a un valor de 0t = 101 (es decir, bien dentro de la fase no lineal), para destacar los efectos del numerador- ical resolución sobre la morfología. De arriba a abajo este panel muestra un schlieren parcela ( log ), ~wŁ, y ~l. Las diferencias de resolución en el evolu- sión del modelo D2 se hace evidente a partir de esta cifra. En particular, el “boxy” la estructura se hace mucho más visible en la simulación de baja resolución (D2L), lo que indica una tasa de crecimiento excesiva del modo m = 4. La presencia de las ondas de presión se enfatiza en la trama schlieren, muy capturado con precisión en el modelo D2H. Esas ondas, una vez que el flujo es conducido a la turbulencia más allá de la radio de rotación, redistribuir el momento angular en las capas exteriores de modelo D2L de una manera mucho más pronunciada que para el modelo D2H. 0 t= D2L D2H Fig. 9. Comparación de resolución entre los modelos D2L y D2H una vez la inestabilidad ha saturado. Sólo se muestran rebanadas de las estrellas en el plano ecuatorial. 5 Resumen y perspectivas Hemos presentado simulaciones AMR de alta resolución de la barra baja T/W - la inestabilidad del modo de las estrellas de neutrones extremadamente rotativas. Nuestra principal la motivación ha consistido en volver a examinar las simulaciones antes de [15] sobre dicha inestabilidad, evaluar cuán sensible es la aparición y el desarrollo de la inestabilidad problemas numéricos como la resolución de la cuadrícula. Hemos abordado la importancia de de un tratamiento correcto de los delicados aspectos numéricos que pueden estropear tres simulaciones dimensionales en códigos basados en cuadrículas (cartesianas), siempre obstaculizadas por una resolución insuficiente, a saber, el manejo de la atmósfera de baja densidad alrededor de la estrella, la corrección para el centro de desplazamiento de masa, y el propiedades de conservación de masa e impulso del esquema numérico. Nuestro simulaciones han revelado las características morfológicas complejas involucradas en la Dinámica no lineal de la inestabilidad. Hemos encontrado que en el no lineal fase de la evolución, la excitación de los modos fluidos Kelvin-Helmholtz-como fuera de los radios de coronación de los modelos estelares conduce a la saturación de la Deformación en modo bar. Si bien las tendencias generales notificadas en la investigación de [15] son confirmados por nuestro trabajo, la resolución utilizada para realizar el simu- las laciones pueden desempeñar un papel clave en el comportamiento a largo plazo de la inestabilidad y sobre la dinámica no lineal de las estrellas giratorias, que sólo se ha hecho evidente para algunos modelos específicos de nuestra muestra (a saber, el modelo D2). Esto, a su vez, ha implicaciones sobre las amplitudes alcanzables de la onda gravitacional asociada señales. El trabajo que se informa en este documento es un primer paso en nuestros esfuerzos en curso de estudio. la inestabilidad dinámica del modo barra dentro del colapso del núcleo magnetizado escenario. Agradecimientos Los autores agradecen a Harry Dimmelmeier, Nick Stergioulas y Anna Wats para comentarios útiles. Investigación apoyada por el Ministerio de Edu- cación y Ciencia (MEC; subvenciones AYA2004-08067-C03-01, AYA2003-08739-C02- 02, AYA2006-02570. VQ es miembro de Ramón y Cajal del MEC español. Computaciones realizadas en el Servei d’Informatica de la Universitat de València (CERCA-CESAR). Bibliografía [1] N. Stergioulas, Liv. Rev. Relativ. 6 (2003) 3 [2] J. E. Tohline, R. H. Durisen, & M. McCollough, ApJ 298 (1985) 220 [3] J. L. Houser, J. M. Centrella, & S. Smith, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 1314 [4] K. C. B. New, J. M. Centrella, & J. E. Tohline, Phys. Rev. D 62 (2000) 064019 [5] M. Shibata, T. W. Baumgarte, & S. L. Shapiro, ApJ 542 (2000) 453 [6] M. Rampp, E. Müller, & M. Ruffert, A&A 332 (1998) 969 [7] M. Shibata, & Y. Sekiguchi, Phys. Rev. D 71 (2005) 024014 [8] M. Saijo, Phys. Rev. D 71 (2005) 104038 [9] C. D. Ott, S. Ou, J. E. Tohline, & A. Burrows, ApJ 625 (2005) L119 [10] H. C. Spruit & E. S. Phinney, Nature 393 (1998) 139 [11] A. Heger, S. E. Woosley, & H. C. Spruit, ApJ 626 (2005) 350 [12] C. D. Ott, A. Burrows, T. A. Thompson, E. Livne, & R. Walder, ApJS 164 (2006) 130 [13] S. E. Woosley, & A. Heger, ApJ 637 (2006) 914 [14] J. M. Centrella, K. C. B. New, L. L. Lowe, & J. D. Brown, ApJ 550 (2001) [15] M. Shibata, S. Karino, & Y. Eriguchi, MNRAS 334 (2002) L27 [16] M. Shibata, S. Karino, & Y. Eriguchi, MNRAS 343 (2003) 619 [17] V. Quilis, MNRAS 352 (2004) 1426 [18] M. J. Berger, P. Colella, J. Comp. Phys. 82 (1989) 64 [19] J. A. Font, M. Miller, W.-M. Suen, & M. Tobias, Phys. Rev. D 61 (2000) 0044011 [20] M. D. Duez, P. Marronetti, S. L. Shapiro, & T. W. Baumgarte, Phys. Rev. D 67 (2003) 024004 [21] Y. Eriguchi, & E. Müller, A&A, 147 (1984) 161 [22] A. L. Watts, N. Andersson, & D. I. Jones, ApJ 618 (2005) L37 [23] A. L. Watts, N. Andersson, H. Beyer, & B. F. Schutz, MNRAS 342 (2003) 1156 [24] A. L. Watts, N. Andersson, & R. L. Williams, MNRAS 350 (2004) 927 [25] M. Saijo & S. Yoshida, MNRAS 368 (2006) 1429 Introducción Marco matemático Enfoque numérico Resultados Datos iniciales Análisis de la estabilidad Ondas gravitacionales Morfología Resumen y perspectivas Bibliografía

Evolutionary games on minimally structured populations

Juegos evolutivos en mínimamente poblaciones estructuradas Gergely J. Szöllősi* e Imre Derényi† Departamento de Física Biológica Universidad Eötvös, Budapest Resumen La estructura demográfica inducida tanto por la integración espacial como por redes de interacción más generales, tales como: como modelo de redes sociales, se ha demostrado que tienen un efecto fundamental en la dinámica y el resultado de juegos evolutivos. Sin embargo, estos efectos han demostrado ser sensibles a los detalles de la topología y dinámica. Aquí introducimos una estructura de población mínima que se describe por dos diferentes niveles jerárquicos de interacción, similares al concepto estructurado de metapoblación de la ecología y la isla modelos en genética de población. Creemos que este modelo es capaz de identificar los efectos de la estructura espacial que no dependen de los detalles de la topología. Mientras que los efectos dependiendo de tales detalles claramente se encuentran fuera el alcance de nuestro enfoque, esperamos que aquellos que somos capaces de reproducir deben ser de aplicación general a una amplia gama de modelos. Derivamos la dinámica que rige la evolución de un sistema a partir de procesos estocásticos fundamentales a nivel individual a través de dos aproximaciones sucesivas de campo medio. In nuestro modelo de estructura poblacional la topología de las interacciones se describe por sólo dos parámetros: el tamaño efectivo de la población a escala local y la fuerza relativa de la dinámica local a la mezcla global. Nosotros demostrar, por ejemplo, la existencia de una transición continua que lleve al predominio de la cooperación; en poblaciones con niveles jerárquicos de mezcla no estructurada a medida que la relación beneficio-costo se hace menor entonces el tamaño de la población local. Aplicando nuestro modelo de estructura espacial al dilema del preso repetido desvelamos un mecanismo novedoso y contraintuitivo por el que sostiene la constante afluencia de desertores cooperación. Explorando más a fondo el espacio de fase del dilema del preso repetido y también de la “roca- juego de papel-tijera” encontramos indicaciones de estructura rica y son capaces de reproducir varios efectos observados en otros modelos con integración espacial explícita, como el mantenimiento de la biodiversidad y el surgimiento de oscilaciones globales. Números PACS: 87.10.+e 87.23.-n * ssolo@angel.elte.hu; angel.elte.hu/ †derenyi@angel.elte.hu; angel.elte.hu/ http://arxiv.org/abs/0704.0357v3 mailto:ssolo@angel.elte.hu angel.elte.hu/~ssolo mailto:derenyi@angel.elte.hu angel.elte.hu/~derenyi I. INTRODUCCIÓN La dinámica de la evolución darwiniana es intrínsecamente dependiente de la frecuencia, la aptitud de los dividuales están estrechamente acoplados al tipo y número de competidores. La dinámica evolutiva actúa, Sin embargo, de las poblaciones, no de los individuos y como consecuencia depende no sólo de la población composición, pero también el tamaño y la estructura de la población. La teoría de los juegos evolutivos surgió como la resultado de la realización de que la aptitud dependiente de la frecuencia introduce aspectos estratégicos a la evolución [1, 2, 3]. Más recientemente la investigación de la dinámica evolutiva de las poblaciones estructuradas, donde los individuos sólo compiten con algún subconjunto de la población, por ejemplo. sus vecinos en el espacio o más generalmente en algún gráfico [4, 5], ha llevado al reconocimiento de que el éxito de las estrategias pueden ser muy influenciadas por la topología de las interacciones dentro de la población. Funda- se encontraron diferencias mentales – en comparación con poblaciones bien mezcladas, donde los individuos interactúan con socios elegidos al azar – en modelos que describen la evolución de la cooperación (variantes de el juego dilema del prisionero [4, 6, 7, 8, 9]) o tratar con el mantenimiento de la biodiversidad en el contexto de los ciclos competitivos (variantes del juego rock-paper-scissors [3, 10, 11, 12, 13, 14]). Con el fin de investigar la dinámica coevolucionaria de los juegos sobre las poblaciones estructuradas el Debe especificarse el conjunto completo de conexiones entre un número potencialmente muy grande de individuos. Esto sólo es posible reduciendo el número de grados de libertad considerados, ya sea a través de postulando una altamente simétrica (como celosías [4, 8, 16, 17, 18, 19, 20]) o fundamentalmente estructura de conexión aleatoria (como un conjunto de gráficos aleatorios [21, 22]). La cuestión de cómo se trata de reducir el número de grados de libertad – de elegir el parámetros para describir la estructura de la población limitada a la que se someten los individuos a evolución – no es trivial. Tanto el enfoque espacial explícito como el conjunto de gráficos aleatorios tienen claro precedentes en física de materia condensada y teoría de redes, respectivamente. Sin embargo, no está claro que, en caso de que se trate, describe mejor las poblaciones naturales de especies cíclicamente competidoras, o sociedades compuestas por individuos que juegan el juego dilema del prisionero. Como ejemplo consideremos las bacterias productoras de colicina, que juegan el llamado “rock-paper- Tijeras” (RPS) juego (para más detalles ver más abajo). Este sistema ha sido objeto recientemente de dos estudios experimentales destinados a demostrar el papel de las poblaciones estructuradas en el mantenimiento de la diversidad. En el primer estudio [10, 11] las bacterias fueron cultivadas in vitro en platos Petri, re- la competencia estricta entre las bacterias a los vecinos en la superficie (2D) de la placa de Petri (Fig.1 arriba a la izquierda), mientras que en el segundo experimento [12] se establecieron colonias bacterianas in vivo en ratones co-cagados y su desarrollo fue seguido posteriormente. En el caso del primer experimento, la analogía con incrustación espacial explícita en 2D (presente por construcción) es clara (Fig.1 inferior izquierda). El pop- La estructura de la ulación del segundo experimento es, sin embargo, claramente diferente. Las bacterias en el individuo los ratones pueden ser fácilmente considerados como poblaciones localmente bien mezcladas, la dinámica coevolucionaria de los cuales reduce en el límite de campo medio estándar a un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (las ecuaciones de replicador ajustadas [24]. Sin embargo, como muestran los experimentos, la migración de bacterias entre ratones también puede ocurrir – resultando en la presencia cíclica observada de las tres cepas en individuos. Hay dos escalas distintas de mezcla presentes en el sistema. Bacterias dentro de cada una los ratones compiten entre sí formando poblaciones locales – un barrio no estructurado com- de bacterias individuales, mientras que también están expuestos a los migrantes de ratones con los que compartir la jaula, formando juntos una población global – un barrio no estructurado compuesto de poblaciones locales individuales (Fig.1 arriba e abajo a la derecha). Esta configuración se refiere en la ecología literatura – aunque en contextos significativamente diferentes – como una “metapoblación estructurada” [26, 27] donde estructurado aquí se refiere a la consideración detallada de la dinámica de la población de los indi- poblaciones individuales (a menudo llamadas “patches”) que comprenden la metapoblación y también está relacionado con los modelos islados finitos de genética de población [28]. El ejemplo anterior de ratones co-enjaulados no es único, podemos fácilmente pensar en otros ecológicos o ejemplos sociológicos donde una aproximación con escalas jerárquicas de mezcla con estructura puede ser relevante (como las sociedades humanas con dos escalas distintas de mezcla presente, el en primer lugar dentro de las naciones individuales el entre ellos a nivel internacional). También lo hemos hecho recientemente. utilizado un enfoque similar para construir un modelo de intercambio genético entre las bacterias de la misma especies (el equivalente bacteriano del sexo) con las que pudimos tener en cuenta los efectos de fluctuaciones espaciales y temporales de una manera que pueda explicar el beneficio de dicho intercambio genético a nivel individual [31]. En este artículo construimos una teoría de campo medio jerárquico donde los dos distintos (es decir. locales y locales ) se tienen en cuenta cada una de las escalas de mezcla en términos de dos campos medios las variaciones resultantes del tamaño finito de la población en la escala local de la mezcla son también considerado. Posteriormente exploramos las similitudes y diferencias entre esto y otros modelos de poblaciones estructuradas en el caso de los “rock-paper-scissors” y el dilema de los presos juegos. A través de estos ejemplos sugerimos que nuestro enfoque permite la separación de los efectos de las poblaciones estructuradas sobre la dinámica coevolucionaria en efectos que son altamente sensibles a y depende de los detalles de la topología y los que sólo requieren la estructura mínima Incrustación espacial explícita Dos escalas distintas de mezcla Experimentación de la placa de Petri Experimentación de ratones co-enjaulados FIG. 1: (Color online) En la versión de colicin del juego RPS, cepas que producen colicins (rojo/oscuro) gris) matar cepas sensibles (verde/gris claro), que las cepas resistentes a la competencia (azul/negro), que outcom- pete colicina produce cepas (la producción de toxinas implica suicidio bacteriano). Experimentos [10] muestran que cepas productoras de colicina no pueden coexistir con cepas sensibles o resistentes en un cultivo bien mezclado, sin embargo, todas se recuperan tres fenotipos en poblaciones naturales. Dos experimentos recientes han examinado el papel de estructura de la población en el mantenimiento de la diversidad entre las bacterias productoras de colicina. En el primer [10] in En los platos de Petri se establecieron colonias in vitro sobre un sustrato de agar, una configuración que limita efectivamente la Tición a los vecinos en el plato Petri en analogía con la inserción espacial explícita en 2D. En el segundo [12] en colonias vivas se establecieron en los intestinos de ratones co-cagados, una configuración que tiene dos escalas distintas de mezcla, sin estructura explícita en cualquiera de las dos escalas. presente en nuestra aproximación y puede en consecuencia (en términos de sensibilidad a los detalles de la topología) ser considerado más robusto. II. TEORÍA HIERRÁCTICA MEDIA PARA DOS ESCALES DISTINTOS Consideremos un juego evolutivo entre los tipos d (estrategias) descritos por el pago d×d matriz A con elementos αkj. Asumiendo el tamaño de la población finita y constante, la selección natural puede ser descrito a nivel del individuo por el llamado proceso Moran [30], durante el cual en cada paso del tiempo un individuo es seleccionado aleatoriamente de la población para ser reemplazado (muerte) por el descendencia de un individuo que es elegido proporcional a su aptitud para reproducirse (nacimiento). Este modelo una población en equilibrio, donde la escala de tiempo de la dinámica de la población se fija por la tasa de que las “vacaciones” están disponibles en la población. La aptitud de cada individuo depende de el beneficio recibido de jugar el juego descrito por A con los competidores (un individuo de tipo k recibir una recompensa αkj al jugar con un individuo de tipo j). En poblaciones bien mezcladas, individuos pueden ser considerados para entrar en contacto (competir) con igual probabilidad con cualquier miembro de la población excluyéndose a sí mismos – esto permite calcular la aptitud de un individual del tipo k de una manera de campo medio, dando ηk = ηbase + αkj(nj − kj) N − 1 , (1) donde nk es el número de individuos de tipo k en la población, k=1 nk = N es el tamaño de la población, la base es alguna aptitud de base y el símbolo delta de Kronecker es igual a la unidad si k = j y es cero de lo contrario. A partir de esto podemos calcular las probabilidades de transición de nuestra proceso estocástico, es decir, la probabilidad de que un individuo de tipo i sea reemplazado por una descendencia de un individuo de tipo k es dado por Tik = , (2) donde = k=1 ηknk/N. El estado de cualquier población se describe completamente por la frecuencia de las diferentes estrategias xk = nk/N. Debido a la normalización k=1 xk = 1, los valores de xk están restringidos a la unidad simplex Sd [3]. Para d = 2 este es el intervalo [0, 1], S3 es el triángulo con vértices {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} mientras que S4 es un tetraedro, etc. Como Traulsen et al. han mostrado recientemente [24, 25] para poblaciones suficientemente grandes, pero finitas el proceso estocástico anterior puede ser bien aproximado por un conjunto de equa- diferencial estocástico ciones que combinan la dinámica determinista y la difusión (desviación de la población) denominadas Langevin dinámica: k = ak(x) + ckj(x)j(t), (3) donde los términos deterministas eficaces ak(x) son dados por ak(x) = (Tjk − Tkj) = xk ηk(x)− (x) (x) , (4) ckj(x) son términos de difusión eficaces, que también se pueden expresar en términos de la transición probabil- dad como se describe en [25], y j son delta correlacionado con k(t)j(t′) = kjŁ(t − t′) Gaussian white términos de ruido. Como N → • el término de difusión tiende a cero como 1/ N y nos quedamos con el Ecuación del replicador modificado. En el contexto de nuestro modelo de mezcla jerárquica se puede describir la topología de las conexiones por dos parámetros, el tamaño de las poblaciones en la escala local de la mezcla N, y un segundo parámetro μ, que afina la fuerza de la mezcla global en relación con la dinámica local. Tenemos en cuenta la segunda escala (global) de mezcla – mezcla entre las poblaciones locales – mediante la introducción de una modificación versión del proceso Moran. En el proceso modificado un individuo al azar es reemplazado en cada uno paso de tiempo con la descendencia de un individuo de la misma población (reproducción local) o con un individuo de la población mundial (mezcla mundial). Esto es equivalente a considerar la población mundial debe estar bien mezclada a la escala de las poblaciones locales. Consideremos una población global que se compone de M poblaciones locales de tamaño N. las vacantes de población local están disponibles que la reproducción local y la mezcla global compiten para Llénalo. En cualquier población local l la probabilidad de un individuo de algún tipo k llenar una nueva vacante debido a la reproducción local debe ser proporcional al número de individuos de tipo k multiplicado por su aptitud, es decir, ηlkn k, donde consideramos k que se determinará únicamente mediante interacciones con individuos en la misma población local según la ecuación (1). Para describir la tendencia de los individuos de algún tipo de k en la población local l para contribuir a la mezcla global introducimos los parámetros lk. La elección de la solución adecuada depende de los detalles del mecanismo mundial de mezcla, para los sistemas cuando sólo los descendientes de los individuos se mezclen globalmente es proporcional a la aptitud de un tipo determinado, mientras que para mecanismos como la mezcla física, por e.g. el viento o las corrientes oceánicas, puede ser idéntico para cada tipo. Independientemente de los detalles, sin embargo, la probabilidad de un individuo de algún tipo k La ocupación de una nueva vacante debido a la mezcla mundial debería ser proporcional a la media mundial de el número de individuos de tipo k multiplicado por su tendencia de mezcla, que denotamos como knk = l=1 k/M, y la fuerza de la mezcla global μ. Esta consideración lleva a la nuevas probabilidades de transición: Tá lik = k + knk k=1(l + knk) k + knk N(l + μ ) , (5) donde l = k/N y = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 knk/N. Hemos encontrado que los resultados que se presentan a continuación son cualitativamente los mismos para ambos la aptitud elección dependiente de llk = l k y la elección independiente de la aptitud de k = 1. Por lo tanto, en el fol- lowing nos limitamos a la elección independiente algo más simple de la aptitud de lk = 1, que puede considerarse que corresponde a alguna forma de mecanismo de mezcla física. La transición las probabilidades (5) a continuación, reducir a: T̄ lik = l + μ l + μ . 6) Podemos ver que después de una vacante aparece o bien la reproducción local ocurre, con probabilidad l/(l+ μ), o mezcla global, con probabilidad μ/(l + μ). De (6) podemos derivar la ecuación de Langevin describiendo la dinámica coevolucionaria de la población l de la lk = âk(x l, â € € ¢) + *kj(x) l, â â € € TM €                                                                                 ·                                                                      ­ ­ ­                               ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ · ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ · · ­ · ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ con los términos deterministas modificados dados por âk(x l, x) = x k(lk(x) l)− (xl)) + μ(xk − xlk) (xl) + μ , (8) donde el vector â € € TM = l=1 x l/M con componentes l=1 x k/M describe la fre- las relaciones de los tipos individuales en la población global y los términos de difusión pueden ser expresados en términos de las probabilidades de transición modificadas como se ha indicado anteriormente. Ecuaciones (7) describen la dinámica coevolucionaria de la población mundial a través de la pled evolución de la {x1,. ..,xM} poblaciones locales. En el límite de un gran número de popu- La distribución de las poblaciones locales sobre el espacio de los estados de población (la simplex Sd) se describe por una función de densidad (x) que se normaliza sobre Sd, es decir, (x) = 1. La evolución del tiempo de ♥(x) sigue una ecuación d−1 de advección-difusión dimensional – el Fokker- Ecuación de Planck correspondiente a eq. (7): (x) = (x, â € € € °(x) 1 (x, x, x)(x) , (9) con los promedios globales xkl(x) acoplado de una manera auto-consistente en la términos deterministas âk(x, â € € € € TM) y la matriz de difusión bâ € € € TM = i=1 â € ¢ki(x, â € € € € € TM € € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Para grandes poblaciones locales (N → فارسى) el término de difusión desaparece como 1/N. La ecuación de advección-difusión anterior (9) presenta una imagen intuitiva del coevolucionario la dinámica de la población a escala mundial. Podemos ver que las poblaciones locales cada intento de seguir las trayectorias correspondientes a la dinámica del replicador determinista, mientras que bajo el influencia de dos fuerzas opuestas adicionales: i) mezcla global, que intenta sincronizar Dinámica local y (ii) difusión resultante de los efectos finitos del tamaño de la población, que Untarlos por encima de la simplex. La fuerza de estas fuerzas está afinada por dos parámetros μ y N, respectivamente. Si, además, los efectos de la sincronización son irrelevantes, como por ejemplo en el caso de las poblaciones donde la selección es impulsada externamente por fluctuaciones ambientales independientes, podemos reemplazar el promedio mundial de población con el promedio temporal de cualquier población individual. Este es el enfoque Utilizamos en nuestro estudio de la mezcla genética en bacterias [31]. Durante nuestras investigaciones numéricas encontramos la solución de la ecuación advección-difusión (9) n- mericalmente desafiante, particularmente en el límite N →. Recurrimos en su lugar a resolver el acoplado Ecuaciones de Langevin (7) para M grande = 104 − 105 para simular la evolución del tiempo de III. COOPERACIÓN EN LAS POBLACIONES CON LOS NIVELES HIERRÁCTICOS DE LA MEZCLA La evolución de la cooperación es un problema fundamental en la biología, como la selección natural bajo la mayoría de las condiciones favorecen a los individuos que desertan. A pesar de ello, la cooperación está muy extendida en tura. Un cooperador es una persona que paga un costo c para proporcionar a otra persona con algunos beneficio b. Un desertor no paga ningún costo y no distribuye ningún beneficio. Esto implica el pago matriz b - c - c , (10) donde b es el beneficio derivado de jugar con un cooperador mientras que c es el coste de la cooperación. Desde la perspectiva de la teoría del juego evolutivo, que equipara la rentabilidad con la aptitud, la aparente el dominio de la deserción es simplemente la expresión del hecho de que la selección natural a priori selecciona para la aptitud de las personas y no la aptitud de los grupos. La deserción domina la cooperación en cualquier población bien mezclada [3]. Estructura de la población por estructura espacial [4, 18] y redes de interacciones más generales [21, 22, 23]) Sin embargo, se consideró que facilitaba la aparición y el mantenimiento de la cooperación. El mecha... nism responsable, llamado espacial, o más generalmente, reciprocidad de la red[32] depende fuertemente de infux sesgado Movimiento de la media mundial densidad de poblaciones locales deriva dinámica determinista x = 0 x = 1 (x, t) (x, t + t) Influencia parcial 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 b/c = 95, 97, 100, 111, 125 1000 10 100 1000 d b/c 60 70 80 90 100 110 FIG. 2: a En una dinámica evolutiva de población bien mezclada infinitamente grande es determinista y conduce a la extinción de los cooperadores a medida que disminuye monótonamente la aptitud media. El único punto fijo estable corresponde al punto donde la fracción de cooperadores es cero (x = 0). Para entender cualitativamente el un mecanismo que favorezca la cooperación en poblaciones jerárquicamente mixtas consideremos una cierta densidad de poblaciones (l(x, t)) que es simétrica alrededor de su media en el tiempo t. Debido a la mezcla global de todas las poblaciones locales están siendo impulsados hacia el promedio global. Sin embargo, debido al sesgo de afluencia, las poblaciones con el número medio de cooperadores será más fuerte (más rápido) que los del otro lado de la media. Examinando la densidad de las poblaciones locales en algún momento tt, esto resulta en un movimiento neto del global promedio hacia una fracción mayor de cooperadores. Esto es, por supuesto, opuesto por la reproducción local que favorece un aumento del número de desertores. Para que el promedio mundial siga avanzando hacia un mayor número de y eventualmente para mantener el equilibrio con el sesgo de reproducción local una densidad de la población local con ancho finito es necesario sobre el cual el efecto del sesgo de afluencia puede ejercerse. Es la deriva causada por local tamaño de la población que mantiene este ancho finito, y esta es la razón de que el umbral de b/c por encima de La cooperación dominante depende del tamaño de la población local. b Densidad estacionaria de las poblaciones locales diferentes valores de b/c con N = 100, μ = 0,1. c Transición hacia un dominio global de la cooperación para μ = 10. (triángulos), μ = 1 (cruces), μ = 0,1 (cuadrados), μ = 0,01 (círculos) con N = 100. El valor crítico de b/c depende sólo débilmente de μ cambiante en un 20% sobre cuatro órdenes de magnitud d Valores críticos de b/c como función de N para diferentes valores de μ (notación como antes). La línea discontinua corresponde a b/c = N. Los valores críticos de b/c se determinaron encontrando numéricamente el punto de inflexión de las curvas de transición. M = 103 fue utilizado durante todo el tiempo. los detalles de la topología local. En particular, parece que la celosía como las estructuras de conectividad donde la percolación de la camarilla de tres lugares se produce [17] y gráficos de interacción más generales donde el grado de nodos k no excede de la relación beneficio/costo (es decir, k < b/c) [22] son necesarios para la cooperación para ser favorecido. Examinando los efectos de la mezcla jerárquica en la dinámica evolutiva de la cooperación nosotros se encontró que una transición aguda, pero continua conduce a la dominación de la cooperación como el beneficio La proporción de costes es menor que el tamaño de la población local, es decir. b/c < N. Si el costo de la prestación la proporción es mayor que el tamaño de la población local, la población mundial está dominada por desertores. Los el mecanismo que conduce al predominio de la cooperación surge debido a la competencia entre reproducción y mezcla global. En poblaciones locales con menor estado físico promedio – mayor número de desertores – la afluencia de individuos de la escala global será mayor que en las poblaciones locales con una aptitud media más alta (cf. eq. (6) donde la fuerza relativa de los dos términos en la mano izquierda el lado depende de la suma de la aptitud media de la población l y μ). El ingrediente crucial para La cooperación para tener éxito es la deriva demográfica introducida por el tamaño finito de la población local. Es bi- ased influjo junto con deriva que puede resultar en la cooperación ser favorecida en la población mundial (Fig. 2.). IV. EL JUEGO DE RPS Para explorar los efectos de la mezcla jerárquica en el contexto de los juegos con tres estrategias primera vuelta al caso del llamado juego “rock-paper-scissors” (RPS). En el popular original versión del juego a dos jugadores se les da la oportunidad de mostrar simultáneamente cualquiera de las dos rocas (fist), papel (mano plana) o tijeras (dos dedos). Si el jugador uno muestra una mano plana mientras el jugador dos muestra un puño, el jugador uno gana como papel envuelve la roca. Del mismo modo las tijeras cortan el papel, y las rocas rompe las tijeras. Varios ejemplos de este juego se han encontrado en la naturaleza (por ejemplo. entre los lagartos [33] ), pero son las bacterias las que han recibido la atención más experimental y teórica. En ecología, la a menudo alta diversidad entre los organismos microbianos en un entorno aparentemente uniforme. ronmentos, llamados la “paradoja del plancton”, ha sido difícil de entender. Varios Se han propuesto modelos basados en modelos teóricos de juegos espacialmente explícitos para explicar esta versity [10, 11, 13, 14]. Estos modelos son todas las variantes del juego RPS jugado por la producción de colicin bacterias. Las colicinas son antibióticos producidos por algunas cepas de Echerichia coli. En experimentos (ver Fig.1) Normalmente se utilizan tres cepas: productora de colicina (C), sensible (S) y resistente (R). Los a) b) ALLD μ = 0 μ = 0,01 μ = 0,2 μ = 0 μ = 0,1 FIG. 3: una dinámica del replicador determinista (el límite N → • • ) del juego RPS simétrico consiste en órbitas neutralmente estables a lo largo de las cuales se conserva el producto de las frecuencias de estrategia xRxPxS. Si a nivel mundial la mezcla está presente (μ > 0) las poblaciones locales se desvían de estas órbitas neutras hacia el promedio mundial - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considerando el sistema más simple con mezcla global, que consiste en M = 2 poblaciones locales ver que en presencia de mezcla global población x1 y población x2 se mueven hacia el otro, respec- se mueve más cerca y más lejos del baricentro del triángulo hasta que se sincronizan y Perseguir posteriormente una órbita común. Para la dinámica local determinista (N → فارسى) tal sincronización Invariablemente ocurre para cualquier M si μ > 0 y típicamente converge al baricentro de la simplex para suffi- condiciones iniciales científicamente homogéneas. b La dinámica del replicador determinista del juego PD repetido es marcadamente diferente de la del juego RPS en que el punto fijo interno es inestable y en la ausencia de la mezcla global sólo ALLD sobrevive. De nuevo volviendo al escenario más simple con M = 2 vemos que si μ = 0 cualquier par de poblaciones x1 y x2 (líneas grises y negras) convergen a la esquina ALLD. Como μ se aumenta por encima de un valor crítico un segundo, la configuración estable emerge: para un subconjunto grande de la posibles condiciones iniciales (todos, pero la izquierda más x2) vemos que una de las poblaciones (x1) convergen a ALLD, mientras que el segundo (x1) se acerca a un ciclo límite. Si se aumenta más μ, la configuración anterior deja de ser estable, la población que inicialmente converge a ALLD (x1) es posteriormente "retirada" por mezcla global, tras lo cual las dos poblaciones se sincronizan y finalmente se absorben juntas en ALLD. Sin embargo, las simulaciones muestran que puede evitarse la sincronización para M > 2 si μ no es demasiado grande. dinámica coevolucionaria de las tres cepas se puede lanzar en términos de un juego RPS, cepas C matar S las cepas, pero son superados, por las cepas R, porque la producción de toxina implica el suicidio de la bacteri- ria. El ciclo está cerrado por cepas S que superan a las cepas R, ya que la resistencia requiere mutante versiones de ciertas proteínas de membrana, que son menos eficientes que el tipo salvaje [10]. A pesar de las cepas productoras de colicinas dinámicas cíclicas no pueden coexistir con cepas sensibles o resistentes en una cultivo bien mezclado, sin embargo, los tres fenotipos se recuperan en las poblaciones naturales. Dispersión local (modelo de integración espacial explícita) ha sido ampliamente acreditado con la promoción del mantenimiento de la diversidad en este sistema [10, 11, 13, 14]. En su forma más simétrica el juego RPS es descrito por la matriz de pago # Oh # # # # Oh # # # Oh # # # Oh # # Oh # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # 0 # # # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # , (11) y un poco de base. La dinámica de este juego en una población infinitamente grande y bien mezclada consiste en órbitas neutras a lo largo de las cuales se conserva el producto xRxPxS. Para cualquier finito N, sin embargo, las fluctuaciones conducen a la extinción inevitable de todas menos una de las estrategias [15]. Población espacial la estructura puede evitar esta reducción de la diversidad [10, 13] mediante la aparición de un punto en el baricentro de la simplex. El efecto de la aleatorización gradual de diferentes celosías topologías (donde un pequeño número de bordes se reconectan al azar) en la dinámica del juego también ha sido investigado. Se observó una bifurcación Hopf que llevó a oscilaciones globales [34, 35] ya que la fracción de enlaces reconectados se incrementó por encima de algún valor crítico. Examinar la dinámica del juego RPS simétrico en términos de nuestro campo medio jerárquico aproximación observamos que un punto fijo interno emergió para N → فارسى (Fig.3a). Más la diversidad también se mantuvo para los tamaños finitos de la población local si la mezcla global era presente. Las simulaciones de la evolución del tiempo de ♥(x) también revelaron una bifurcación Hopf que conduce a la oscilación de la media mundial, ya que μ se incrementó por encima de un valor crítico μc, dependiendo de N (Fig.4a). Estos resultados muestran que los resultados anteriores obtenidos de simulaciones de poblaciones limitado a diferentes topologías de celosía puede ser considerado universal en el sentido de que no sólo las celosías, pero cualquier estructura de la población que se puede aproximar por dos básculas de mezcla son suficientes para su existencia. En el contexto de la “paradoja de la plancton” estos resultados implican que aparte de la dispersión local (modelado como integración espacial explícita) Una estructura mínima de metapoblación (con competencia local y migración mundial) también puede facilitar • el mantenimiento de la diversidad en los sistemas de competencia cíclicos. 0,045 0,055 0,05 0,06 0,065 0,07 0,05 0,07 0,09 b d f μ = 0,05 1600 1400 1200 1000 800 600 400 μ = 0,05 0,16 0,12 0,08 0,04 0 0,08 0,06 0,08 0,06 0,04 0,02 N = 1000 N = 2000 N = 4000 N = 1200 N pequeño cíclicos TFTALLC N = 1000 μ = 0,05μ = 0,15 N = 4000 FIG. 4: (Color en línea) a En el caso del juego de piedra-papel-tijeras una bifurcación Hopf similar a la observados en poblaciones que evolucionan en retículas gradualmente aleatorias [34, 35] conduce a la aparición de oscilaciones globales (la línea roja indica la trayectoria de +x+) si μ es mayor que un valor crítico μc(N) (véase vídeo S1 [36]). La densidad (x) se indica con una escala de color azul. b La relación A de la zona del ciclo límite y el área de la simplex se traza en función de μ para tres valores diferentes de N. Juego dilema de prisionero repetido la combinación de tamaño de población local finito y mezcla global μ > 0 puede conducir a una solución estacionaria (c) cualitativamente similar a la observada para la inserción espacial explícita e. Este estado se caracteriza por un promedio global estable (punto grande), al igual que el sistema de celosía (datos no mostrados) y sostenidos ciclos locales de cooperación, deserción y reciprocidad, similares también al caso de las celosías grupos de individuos ALLD (rojo, gris oscuro) son perseguidos por aquellos que juegan TFT (azul, negro), que son poco a poco superado por ALLC (verde, gris claro). d A medida que disminuye μ una transición discontinua puede ser observado en la fase ALLD. La relación I de poblaciones en el ciclo interno se traza como una función de μ. El conjunto muestra la transición para diferentes valores de N. f La misma línea crítica en el plano μ-N puede se abordará aumentando N con μ fijo. Se puede observar una histéresis grande ya que N disminuye por debajo el valor crítico que indica la naturaleza discontinua de la transición. Simulamos numéricamente el tiempo la evolución de Ł(x) mediante la integración del sistema de ecuación diferencial estocástico definido por eq. (7) para las grandes M (104 a 105) durante todo el período. Para el juego RPS se utilizó πbase = 1 y = 0.5, mientras que en el caso de la repetición PD juego que seguimos ref. [38], ajuste T = 5, R = 3, P = 1, S = 0,1,m = 10 y c = 0,8. Enrejado simulaciones (e) realizadas en celosías cuadradas de 1000 × 1000 con un proceso local de Moran asíncrono entre vecinos y condiciones de frontera periódicas. V. EL JUEGO DE DILEMMA DE LOS RESPUESTAS En la formulación general del juego del dilema del prisionero (PD), dos jugadores tienen la opción cooperar o desertar. Ambos obtienen algunos beneficios R para la cooperación mutua y algunos menores pago P por deserción mutua. Si sólo uno de los jugadores defectos, mientras que el otro coopera, el desertor recibe el pago más alto T y el cooperador recibe el pago más bajo S. Que es T > R > P > S y la deserción domina la cooperación en cualquier población bien mezclada. Nuevo estrategias se hacen posibles, sin embargo, si el juego se repite, y los jugadores se les permite elegir si desertar o cooperar sobre la base de las acciones anteriores del oponente. En lo siguiente: consideramos, similar a los refs. [37] y [38] que recientemente examinaron el papel de la población finita tamaño y mutación y tamaño de población finito, respectivamente en términos del juego PD repetido con tres estrategias: siempre defecto (ALLD), siempre cooperar (ALLC), y tit-for-tat (TFT). TFT coopera en el primer movimiento y luego hace lo que el oponente hizo en el movimiento anterior. TFT ha sido un campeón mundial en el dilema del prisionero repetido desde que Axelrod dirigió su celebrado torneos informáticos [7], aunque tiene debilidades y puede ser derrotado por otras estrategias más complejas [39]. Los resultados anteriores indican que si sólo las dos estrategias puras están presentes (jugadores que o bien siempre defecto o aquellos que siempre cooperan) incrustación espacial explícita [4] y algunos suficientemente los gráficos de interacción escasa [22, 40] permiten la cooperación para sobrevivir y el comportamiento de las poblaciones es muy sensible a la topología subyacente de la incrustación [17]. Hemos encontrado que la introducción mezcla global en el juego de PD con sólo las dos estrategias puras presentes también permite la cooperación para sobrevivir. El mecanismo responsable de favorecer la cooperación en este caso, sin embargo, depende sobre los detalles de la competencia entre la reproducción local y la mezcla global. Por más de dos estrategias estos detalles son mucho menos relevantes y no influyen cualitativamente en la dinámica. Por lo tanto, vamos a considerar las delicadas cuestiones relativas al juego de la PD con sólo los dos puros estrategias en una publicación separada, y concentrarse aquí en el juego PD repetido con tres estrategias. Investigar el efecto de la mezcla global en el juego PD repetido con tres posibles estrategias: gies: ALLD, ALLC y TFT siguiendo a Imhof et al. [38] se consideró la matriz de pago: N grande cíclicos N pequeño cíclicos TFTALLC TFTALLC TFTALLC TFTALLC N = 10 N = 10 μ = 0,05 μ = 0,05 iii) iii) poblaciones locales deterministas i) iii) i) ii) población única efectiva N = 10 N = 10 μ = 0,15 μ = 0,15 iii) FIG. 5: (Color en línea) Espacio de fase para el juego dilema del prisionero repetido en una estructura de población con dos escalas distintas (véase el vídeo S2 [36]). Tres fases diferentes son posibles dependiendo de los valores de μ y N : i) sólo ALLD sobrevive ii) un ciclo límite interno se mantiene por la mezcla global debido a una gran densidad de las poblaciones locales alrededor de la esquina ALLD (iii) un ciclo límite de auto-mantenimiento oscilante global se forma. Para valores extremos de μ la dinámica global se reduce a la de una población bien mezclada donde sólo ALLD sobrevive: A medida que μ se vuelve insignificante (μ °K para todos k) nos acercamos al límite de aislamiento las poblaciones locales, mientras que para μ â ¢k nos quedamos con una sola población sincronizada. Del mismo modo para N = 2 – el sistema más pequeño con la competencia – el sistema se puede describir como una sola población bien mezclada para cualquier μ y ALLD prevalece de nuevo. En el límite de las poblaciones locales deterministas (N → فارسى) las tres fases se puede encontrar dependiendo del valor de μ. La densidad (x) se indica con la escala de color. Una figura ilustrando el espacio de fase del juego dilema del prisionero repetido con la mezcla global dependiente de la aptitud se incluye en el material complementario [36]. Rm Sm Rm Tm Pm T + P (m− 1) Rm− c S + P (m− 1)− c Rm− c , (12) donde las estrategias se consideran en el orden ALLC, ALLD, TFT, m corresponde al número de rondas jugadas y c al costo de complejidad asociado con las estrategias condicionales (TFT). Los dinámica de este juego tiene un único punto fijo interno inestable y el estado donde cada miembro de la población juega ALLD es el único equilibrio estable no trivial (Fig.3b). La introducción de la mezcla global, entre poblaciones locales bien mezcladas, sin embargo, causa nuevas estados tionarios a emerger. Se pueden identificar tres fases: (i) ALLD gana (ii) gran fracción de local las poblaciones en la esquina de ALLD mantienen ciclos locales de defección y reciprocidad de la cooperación a través de proporcionar una afluencia de desertores que evitan que los jugadores de TFT sean superados por ALLC jugando individuos (iii) un auto mantenimiento interno ciclo oscilante global emerge. Los escenario más simple de dos (M = 2) poblaciones locales deterministas (N → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • la mezcla (μ > 0) ya lleva a la aparición de la fase ii), como se demuestra en la figura 3b mientras que la fase (iii) sólo emerge para M más grande. Para las simulaciones M más grandes muestran que en el límite de grandes locales pop- todas las configuraciones globales con menos de alguna proporción máxima de las poblaciones I en el el ciclo interno se mantiene estable en la fase ii). Una transición de la fase (ii) a (i) ocurre cuando se disminuye μ por debajo de un valor crítico μii→ic e I se aproxima a cero como I = (1ii→ic /μ) (datos no mostrados). Esto puede ser entendido si consideramos que cerca del punto de transición una proporción crítica C = μ(1− I) de Los individuos de ALLD tienen que llegar para estabilizar los ciclos locales de defección y reciprocidad de la cooperación. En el punto crítico I = 0 y μ = μii→ic que implica C = μ c I = (1- μii→ic /μ) Explorando el espacio de fase N − μ (Fig.5) vemos que la transición de la fase (i) a (ii) viene discontinuo para el finito N (Fig.4d,e). Además, para cualquier valor dado de N y μ la configuración es descrita por un I único debido a la presencia de difusión. Para valores apropiados de los parámetros, el promedio global converge a un valor estacionario en la fase ii), de forma similar al caso de inserción espacial explícita (Fig.4c). Para valores muy pequeños (μ °K para todos k) y muy grandes (μ °K) de μ la dinámica global puede ser reducida a la de una población bien mezclada en la que sólo persista ALLD (Fig. 5). Para pequeñas N Una vez más tenemos una población muy bien mezclada – el único límite eran los desertores no dominan es N → فارسى. En comparación con los resultados anteriores de Imhof et al. podemos ver que la evolución los ciclos de cooperación de la deserción y la reciprocidad pueden mantenerse no sólo por mutación, sino también por estructuras de población con niveles jerárquicos de mezcla. VI. DEBATE Si bien está claro, por supuesto, que la reducción de cualquier estructura de población realista a una gestión construcción capaz es siempre una aproximación, no se ha establecido claramente lo que la pertinente grados de libertad están en términos de dinámica evolutiva. Las aproximaciones de campo medio son un clásico método de la física de la materia estadística y condensada y se utilizan habitualmente para eludir problemas combinatorios que surgen en los sistemas de muchos cuerpos. Aproximación de los campos medios en racimo se han desarrollado suficientes precisións [18, 19] que describen adecuadamente el dinam evolutivo ics de poblaciones explícitamente estructuradas a través de la aproximación sistemática de la combinatoria complejidad de toda la topología con la de un pequeño motivo de simetría apropiada. Los efectos de Sin embargo, no se han investigado con anterioridad topologías eficaces más mínimas. En lo anterior: hemos demostrado que la aplicación jerárquica directa de la aproximación de campo medio (la suposición de un sistema bien mezclado) sorprendentemente revela un nuevo nivel de complejidad. En el contexto más amplio de la investigación ecológica y de la genética de la población sobre poblaciones estructuradas nuestro modelo puede describirse como un modelo de metapoblación. El término ‘metapoblación’ es, sin embargo, A menudo se utiliza para cualquier población estructurada espacialmente [27], y sus modelos. Un desafío más restrictivo. las niciones del término a menudo están implícitas en el contexto de la ecología y la literatura genética de la población. Los fundamentos del concepto clásico de metapoblación donde se establece la visión de Levin de a "metapoblación" como población de poblaciones locales efímeras propensas a la extinción. Un clásico la metapoblación persiste, como una población ordinaria de individuos mortales, en un equilibrio entre ’muertes’ (extinciones locales) y ’nacimientos’ (establecimiento de nuevas poblaciones en lugares no ocupados) [27]. Este marco clásico se extiende más ampliamente en la literatura ecología, un empleo menos frecuente extensión es el concepto de una metapoblación estructurada donde el estado de la población individual ciones se consideran con más detalle, esto es más similar a nuestro concepto de mezcla jerárquica, pero difiere en considerar la posibilidad de extinciones locales. Los efectos del tamaño finito de la población y la migración, que nuestro modelo considera, ha sido de una preocupación más central en la literatura genética de la población. El análogo del clásico metapop de Levin el concepto de la población se conoce a menudo como el modelo de «isla infinita» [28] parámetros que describen los cuales, han sido explorados en detalle[29]. El estudio de la población netics de las poblaciones espacialmente subdivididas en hecho preda Levin, Wright habiendo subrayado el capacidad de deriva en poblaciones pequeñas para lograr la diferenciación genética frente a la selección y/o migración varias décadas antes[28]. Nuestro modelo de mezcla jerárquica trata la dinámica coevolucionaria de los juegos evolutivos en Las poblaciones estructuradas de una manera similar a los modelos genéticos más simples de la población de spa- las poblaciones subdivididas, centrándose en los efectos paralelos de la selección, la deriva y la migración. Lo siento. va más allá de estos modelos tanto en la consideración de los efectos de la selección dependiente de la frecuencia (y los aspectos estratégicos de la dinámica evolutiva que esto implica) y en el uso de un auto-consistente ap- Procurar describir el estado global de la población subdividida. También, con el fin de mantener un relación con trabajos anteriores sobre los efectos de la estructura espacial en los juegos evolutivos, que confiar en el concepto de Nowak de juegos espaciales [4], con individuos restringidos a interactuar, y por lo tanto competir, sólo con los vecinos tal como se define por alguna topología de la interacción, desarrollamos nuestro modelo desde el nivel del individuo mediante la introducción de una versión modificada del proceso Moran – y no mediante la ampliación del proceso Wright-Fisher (que considera las generaciones discretas y binomial sam- pling para dar cuenta del tamaño de la población finita). La estructura demográfica efectiva descrita por nuestro modelo de mezcla jerárquica puede ser considerado como una población de individuos, interacciones entre que se especifican por los bordes de un gráfico aleatorio jerárquicamente organizado. Lo fundamental diferencia en nuestra imagen es que los bordes de este gráfico de interacciones no se consideran fija, pero en su lugar están en un estado constante de cambio, estando presente con una probabilidad diferente ser- entre pares de individuos que comparten la misma población local y entre pares de individuos que no lo hacen (Fig. 1). Consideramos la aleatoriedad recocidada, que en contraste con el usual apagado imagen de los bordes fijos es insensible a los detalles de la topología. Nuestro enfoque creemos que es el mejor... la exploración de los efectos de la modificación de los puntos fuertes relativos de la deriva y la migración en el contexto de los juegos evolutivos sobre poblaciones estructuradas. Examinando los efectos de la mezcla jerárquica en el contexto de la evolución de la robustez nosotros La Comisión ha demostrado que la afluencia sesgada, unida a la deriva, puede dar lugar a que se favorezca la cooperación, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres, a favor de las mujeres y a favor de las mujeres. La relación entre la prestación y el costo supera el tamaño de la población local. Este resultado es sorprendente. semejanza con la de Ohtsuki et al. [22], que fueron capaces de calcular la probabilidad de fijación de un Mutante colocado al azar para cualquier juego de dos personas, dos estrategias en un gráfico regular y encontró que se favorece la cooperación siempre que la relación beneficio-costo supere el grado del gráfico. Nuestro resultados demuestran que esta regla se extiende a la estructura espacial mínima inducida por niveles de mezcla. La aplicación de nuestro modelo de estructura espacial al dilema de los prisioneros repetidos reveló que un La afluencia constante de desertores puede ayudar a estabilizar los ciclos de cooperación, deserción y reciprocidad a través de la prevención de la aparición de un período intermitente de dominación de los ALLC en la población- sión, que presentaría una situación que “deja la puerta abierta” a la dominación de los desertores. Si bien se han realizado trabajos previos sobre los efectos de la cooperación de “forzar” [41] la idea de que desertores pueden, de hecho, estabilizar el papel de la reciprocidad en la promoción de la cooperación ya se ha propuesto anteriormente. Parece muy poco probable que este mecanismo pueda explicarse en términos de la selección de parientes o de varios niveles (grupo), las similitudes entre las cuales en las poblaciones estructuradas recientemente han sido objeto de intensos debates (véase, por ejemplo, [42] y [43] o [44] y [45]). Kin selección puede funcionar cada vez que se producen interacciones entre las personas que comparten un más reciente Ancestro común que los individuos muestreados aleatoriamente de toda la población [45] son relevantes. En nuestro caso es la interacción entre los desertores, que llegan de la escala global, y los jugadores de TFT presente en la escala local que es importante, y no la interacción entre los individuos en el local población, que puede ser considerado como compartir un antepasado común reciente debido a la dispersión local. Además, si bien el concepto de selección multinivel presenta un marco prometedor para el estudio de evolución de la cooperación, sin embargo, debe ser posible derivar de “primeros principios” – sólo como la selección de parientes se puede lanzar como un efecto emergente de dispersión local. Si bien ha habido un trabajo considerable en el estudio de los juegos evolutivos en gráficos y estructuras espaciales altamente simétricas se ha prestado muy poca atención a los efectos de estructuras demográficas eficaces, a pesar de su aplicación generalizada en la ecología y la población. la genética de los juegos evolutivos, campos de los que nació la teoría de los juegos evolutivos y que, en última instancia, deben reconectarse con. Creemos que la estructura mínima de la población que tal teoría jerárquica de campo medio describe es potencialmente más relevante en una amplia gama de sistemas naturales, que las configuraciones más sutiles con una delicada dependencia de los detalles y simetrías de la topología. Nos mostramos a través de dos ejemplos de que tal estructura es suficiente para la aparición de algunos fenómenos anteriormente sólo observado para la integración espacial explícita, demostrando el potencial de nuestro modelo para identificar fuertes efectos de la estructura de la población en la dinámica de los juegos evolutivos que no dependen sobre los detalles de la topología subyacente. La ventaja práctica de nuestro enfoque, yace en su capacidad para determinar fácilmente si alguna característica de una población estructurada depende o no de la detalles topológicos de las interacciones locales. Resultados recientes de la simulación sobre la dinámica de los juegos de bienes públicos en diferentes poblaciones. estructuras de tion [9, 46] y experimentos en los que la mezcla global en un RPS como el sistema bacteria-fago llevar a la emergencia de un escenario de “Tragedia de los comunes” [47] debería ser todo amigable con análisis en términos de nuestro método. VII. AGRADECIMIENTOS Este trabajo contó con el apoyo parcial del Fondo Húngaro de Investigación Científica en virtud de la subvención No: OTKA 60665. VIII. APÉNDICE Nuestro enfoque se generaliza fácilmente para un número arbitrario de niveles de mezcla jerárquica. Por Tres niveles de mezcla podemos considerar que la población mundial se compone de M subpopula- ciones cada una de las cuales se subdivide a su vez en poblaciones locales M. Con m {1, · · ·,M} en ejecución sobre las subpoblaciones y l {1, · · ·,M} sobre las poblaciones locales las probabilidades de transición pueden ser escrito como: TÃ3mlik = ηmlk n k + μ 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° k lm′ k=1(l + μ(1) l′ + μ(2)(2) lm′) , (13) donde los índices primos indican la escala de mezcla sobre la que se toma la media, μ(1) describe la fuerza de mezcla, y el (1)mlk las tendencias de mezcla entre las poblaciones locales dentro de un subpoblación, mientras que μ(2) describe la fuerza de la mezcla, y la (2)?mlk las tendencias de la mezcla entre las subpoblaciones de la población mundial. 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(doi:10.1038/naturaleza04864) Introducción Teoría jerárquica del campo medio para dos escalas distintas Cooperación en poblaciones con niveles jerárquicos de mezcla El juego RPS El Dilema del Prisionero Repetido Discusión Agradecimientos Apéndice Bibliografía

Estructura de la población inducida tanto por la integración espacial y más general redes de interacción, como las redes sociales modelo, han demostrado tener un efecto fundamental en la dinámica y el resultado de los juegos evolutivos. Estos Sin embargo, los efectos han demostrado ser sensibles a los detalles de la topología y dinámica. Aquí introducimos una estructura de población mínima que es descrito por dos niveles jerárquicos distintos de interacción. Creemos que esto modelo es capaz de identificar los efectos de la estructura espacial que no dependen de los detalles de la topología. Derivados de la dinámica que rige la evolución de un sistema a partir de procesos estocásticos fundamentales a nivel individual a través de dos aproximaciones sucesivas de campos medios. En nuestro modelo de población estructura la topología de las interacciones se describe por sólo dos parámetros: el población efectiva a escala local y la fuerza relativa de la población local Dinámica a la mezcla global. Demostramos, por ejemplo, la existencia de un transición continua que lleve al predominio de la cooperación en las poblaciones con niveles jerárquicos de mezcla no estructurada como relación beneficio-costo se vuelve más pequeño que el tamaño de la población local. Aplicando nuestro modelo de espacio estructura al dilema del prisionero repetido descubrimos una novela y mecanismo contraintuitivo por el cual se sostiene la afluencia constante de desertores cooperación. Explorando más a fondo el espacio de fase de los prisioneros repetidos dilema y también del juego "rock-paper-cissor" encontramos indicaciones de ricos estructura y son capaces de reproducir varios efectos observados en otros modelos con integración espacial explícita, como el mantenimiento de la biodiversidad y la aparición de oscilaciones globales.

Introducción Teoría jerárquica del campo medio para dos escalas distintas Cooperación en poblaciones con niveles jerárquicos de mezcla El juego RPS El Dilema del Prisionero Repetido Discusión Agradecimientos Apéndice Bibliografía

Flavor Physics in SUSY at large tan(beta)

Física del sabor en SUSY en grande tan β Paride Paradisi Departament de Fsica Teòrica e IFIC, Universitat de València-CSIC, E-46100, Burjassot, España. Discutimos el impacto fenomenológico de un rincón particularmente interesante del MSSM: el gran régimen de tanβ. Las capacidades de los procesos de violación del sabor leptonico y hadrónico en el desprendimiento se revisa la luz sobre la física más allá del modelo estándar. Además, mostramos que las pruebas de Lepton Universalidad en procesos actuales cargados puede representar un manejo interesante para obtener relevante información sobre nuevos escenarios de física. I. INTRODUCCIÓN A pesar del gran éxito fenomenológico de la Modelo estándar (SM), es natural considerar esto el sólo como el límite de baja energía de un modelo más general. La exploración directa de partículas de Nueva Física (NP) en la escala TeV se realizará en la próxima LHC. Una estrategia complementaria en la búsqueda de NP es proporcionado por experimentos de baja energía de alta precisión en los que NP podría ser detectado a través de los efectos virtuales de NP partículas. En particular, la corriente neutra que cambia el sabor (FCNC) transiciones pueden mostrar un alcance de sensibilidad incluso más allá de lo alcanzable por las búsquedas directas en el LHC mientras representa, al mismo tiempo, el mejor (o incluso la única) herramienta para extraer información sobre el sabor estructuras de las teorías del NP. Habida cuenta de las consideraciones anteriores, es evidente que física del sabor proporciona necesaria y complementaria en- formación a los que pueden ser obtenidos por el LHC. Además de decaimientos FCNC, también el Lepton Flavor Univer- Las pruebas de salidad (LFU) (Kl2 y ηl2) ofrecen una oportunidad única. nidad de sondear el SM y, por lo tanto, de arrojar luz sobre el NP: el la pequeñez de los efectos NP es compensada con creces por el excelente resolución experimental y el buen teoreti- control de temperatura. II. LFV EN SUSY El descubrimiento de masas y oscilaciones de neutrinos ha señaló inequívocamente la existencia del Lepton La violación del sabor (LFV) por lo tanto, esperamos este fenómeno que se produzcan también en el sector de los leptones cargados. Dentro de un marco SM con neutrinos masivos, FCNC transiciones en el sector leptón como li → ljγ son fuertemente suprimido por el mecanismo GIM a nivel de B(li → ljγ) (m/mW ) 4 â € 10−50 mucho más allá de cualquier una resolución experimental realista [1]. En este sentido, la la búsqueda de transiciones FCNC de leptones cargados es una de las direcciones más prometedoras donde buscar la física Más allá del SM. Dentro de un marco SUSY, los efectos LFV se originan de cualquier desalineación entre el fermión y la masa de esfermión los estados autóctonos. En particular, si las masas de neutrinos ligeros se obtienen a través de un mecanismo de sierra, el radiativamente entradas de LFV inducidas en la matriz de masa de sleenton (m2 están expresados por [2]: )i6=j • − / )i6=j ln , (1) donde MX denota la escala de los medios que rompen SUSY- ym0 la supersimetría universal rompiendo escalar masa. Puesto que la ecuación see-saw 1 permite grande (Y /Y entradas, efectos considerables pueden provenir de esta ejecución [2]. La determinación de (m2 )i6=j implicaría un completo conocimiento de la matriz de neutrinos Yukawa (Y/)ij, que no es posible incluso si todos los observables de baja energía de se conocía el sector de los neutrinos. Como resultado de ello, la predic- ciones de efectos FCNC leptonicos permanecerán indeterminados Incluso en la situación muy optimista en la que todos los Se midieron las masas NP en el LHC. Esto contrasta con el sector de los quarks, en el que Las contribuciones de los GCR están completamente determinadas en términos de masas de quark y elementos de matriz CKM. Se pueden obtener predicciones más estables el modelo SUSY dentro de una Gran Teoría Unificada (GUT) donde el mecanismo de sierra puede surgir naturalmente (como como SO(10)). En este caso la simetría GUT nos permite obtener algunas pistas sobre el desconocido neutrino Yukawa Matriz Y v. Por otra parte, en los escenarios de GUT hay otros contribuciones procedentes del sector de los quarks [3]. Estos los efectos son completamente independientes de la estructura de Y/ y puede considerarse como una nueva contribución irreductible de la LFV. ciones dentro de SUSY GUTs. Por ejemplo, dentro de SU(5), como Q y ec están alojados en la representación 10, el Matriz CKM mezclando los quarks izquierdos dará lugar a las entradas diagonales en la ejecución de la derecha sleepon las masas blandas [3]. Existen diferentes clases de contribuciones de LFV para decaimientos raros: i) Efectos LFV mediados por el medidor a través del intercambio de gaugenos y drenones, ii) Efectos LFV mediados por Higgs mediante interacciones holomorfas de Yukawa [4]. 1 La matriz efectiva de masa de neutrino-luz obtenida de un El mecanismo de la sierra es m v = − Y / M / Hu 2, donde MÃ3r es el 3 × 3 Matriz de masa de neutrino diestro y Y v son los 3 × 3 Acoplamientos Yukawa entre neutrinos de izquierda y derecha (las fuentes potencialmente grandes de LFV), y â € ¢Huâ € es el vacío valor de expectativa del Higgs de tipo ascendente. http://arxiv.org/abs/0704.0358v1 Las contribuciones anteriores se disocian de la masa más pesada en los bucles sleedon/gaugino mSUSY (caso i)) o con la masa pesada de Higgs mH (caso ii)). En principio, mH y mSUSY se refieren a una masa diferente básculas. Los efectos mediados por Higgs comienzan a ser competitivos con los mediados gauginos cuando mSUSY es más o menos un orden de magnitud más pesado que mH y para el tanβ O(50) [5]. Mientras que la aparición de transiciones de LFV señal ambigua de la presencia de NP, el subyacente La teoría generadora de fenómenos de LFV permanecerá inalterada. minado, en general. Una herramienta poderosa para desenredar entre las teorías de NP es el estudio de las correlaciones de las transiciones de LFV entre las mismas familias [5, 6, 7]. Curiosamente, las predicciones para el correla- ciones entre los procesos de LFV son muy diferentes en el casos mediados por calibrador y por Higgs [5]. De esta manera, si sev... Se observan transiciones de LFV en suero, su correlación anal ysis podría arrojar luz sobre el mecanismo subyacente de LFV. En el caso de las amplitudes LFV mediadas por gálibo, la li → ljlklk decaimientos están dominados por el li → ljγ ∗ dipolo transición, que lleva a la predicción inequívoca: B(li → ljlklk) B(li → ljγ) B( e en Ti) B(eγ) el. 3) Si se descubren algunas proporciones diferentes de las anteriores, entonces esto sería evidencia clara de que algún nuevo proceso está generando la transición li → lj, con la mediación de Higgs ser un candidato potencial 2. Por lo que se refiere al asunto Higgs, Br( Generalmente obtiene la mayor contribución entre todas las pos- modos de desintegración LFV sible [5]. Las siguientes cifras aproximadas: relaciones mantenidas [5]: Br( → ljγ) Br( → ljη) & 1, Br( → ljη) Br( → ljó) 3 + 5μjμ . 4) Br( → ljee) Br( → ljó) 3 + 5μjμ . 5) Br(μ → eγ) Br(μAl → eAl) 10 años, Br(μ → eee) Br(μ → eγ) • αel. 6) Por otro lado, un estudio correlacionado de los procesos de la del mismo tipo pero en relación con diferentes transiciones familiares, como 2 Como se muestra recientemente en [7], una poderosa herramienta para desenredar entre Pequeños modelos de Higgs con paridad T (LHT) y teorías SUSY es un análisis correlacionado de los procesos LFV. De hecho, LHT y Las teorías SUSY predicen correlaciones muy diferentes entre LFV transiciones [7]. Br(μ → eγ)/Br( )21/(m 2, provides información importante sobre la estructura desconocida de la fuente LFV, es decir, (m2 )i6=j. III. LFU EN SUSY Ensayos electrodébil de alta precisión, tales como desviaciones de las expectativas SM de la ruptura de la ULP, representan una poderosa herramienta para sondear el SM y, por lo tanto, limitar u obtener indirectas pistas de nueva física más allá de ella. Kaon y la física pion son motivos obvios donde realizar tales pruebas, por ejemplo, en el η → l vl y K → l vl se descompone, donde l = e o μ. En particular, los coeficientes B(P → فارسى) B(P → e/) puede ser predicho con excelentes precisiónes en el SM, tanto para P = η (precisión del 0,02% [8]) como P = K (0,04%) precisión [8]), permitiendo algunos de los más significativos pruebas de LFU. Como se ha señalado recientemente en Ref. [9], grandes salidas de las expectativas de SM pueden generarse dentro de un Marco SUSY con paridad-R sólo una vez que asumimos i) Efectos LFV, ii) valores tanβ grandes. Denotando por: NP la desviación de e universal- ity en RK debido a NP, es decir.: R K = (R K )SM 1 + Łr resulta que [9]: = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R 2 tan6β. (8) Las desviaciones del SM podrían alcanzar el 1% en el Asunto K [9] (no muy lejos de la actual res- olución [10]) y pocos × 10−4 en la R η caso mientras tanto mantener los efectos de la LFV en las decaimientos en el nivel 10-10. In el caso pion el efecto está bastante por debajo de la experiencia actual resolución mental [11], pero bien podría estar al alcance de la nueva generación de experimentos de alta precisión en el TRIUMPH y en el PSI. Violaciones más graves de los derechos humanos Se espera que en B → l v decaimientos, con O(10%) devi- aciones del SM en R B e incluso el orden de magnitud mejoras en R B [12]. IV. FÍSICA DE FLAVOR EN LARGO tanβ Y IMPORTANTE DE LA OSCURIDAD Dentro del MSSM, el escenario con grandes tanβ y Los squarks pesados son particularmente interesantes. En el uno mano, los valores de tanβ 30–50 pueden permitir la unificación de acoplamientos superiores e inferiores de Yukawa, como se modelos bien motivados y unificados [13]. Por otro lado mano, una estructura mínima de violación del sabor (MFV) [14] con términos de ruptura suave en el quark ( TeV ) y grandes tanβ 30 − 50 valores conduce a virtudes fenomenológicas terescentes [12, 15]: el presente (g − 2) μ anomalía y el límite superior del Higgs masa de bosón se puede acomodar fácilmente, mientras que satisfacer- En el caso de los motores de encendido por chispa, el valor de los motores de encendido por chispa de los motores de encendido por chispa de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión y los sectores de sabor. Firmas adicionales de bajo consumo de energía Este escenario podría aparecer en un futuro cercano. en B(Bu → ), B(Bs,d → l +l−) y B(B → Xsγ). In lo siguiente, como se discutió en [16], analizamos lo anterior en el supuesto adicional de que la reliquia Densidad de una partícula SUSY (LSP) más ligera similar a la de Bino ac- Comoda la distribución de la materia oscura observada 0,094 ≤ CDMh 2 ≤ 0,129 a 2 C.L. (9) En el régimen con grandes tanβ y squarks pesados, el las restricciones de la densidad de las reliquias se pueden satisfacer fácilmente principalmente en la llamada región de embudo A [17] donde MB Las limitaciones combinadas de los objetos observables de baja energía y la materia oscura en el plano tanβ-MH se ilustran en la figura 1 (izquierda). Las zonas de color azul claro están excluidas ya que el stau resulta ser el LSP, mientras que la banda amarilla denota la región permitida donde la coaniquilación stau El mecanismo también está activo. Las bandas restantes... spond a las siguientes restricciones/intervalos de referencia observaciones de baja energía: • B → Xsγ [1,01 < RBsγ < 1,24]: región permitida entre las dos líneas azules. • aμ [2 < 10 −9(aexpμ − a μ ) < 4 [18]: región permitida entre las dos líneas púrpuras. • B → [Bexp < 8.0×10−8 [19]: región permitida debajo de la línea verde oscuro. • Mbs [mbs = 17,35 ± 0,25 ps −1 [20]: permitido región por debajo de la línea gris. • B → [0.8 < RB < 0.9]: región permitida entre las dos líneas negras [ zona roja (verde) si todos las demás condiciones (pero en el caso de aμ) se cumplen]. De la Figura 1 (derecha), deducimos que hay un fuerte correlación entre Aμ y B(Bu → ) gracias a la región de embudo A condición MH • 2M1. UN SUSY contribución a aμ de O(10) −9) generalmente implica un tamaño considerable efecto en 0,7 < B(Bu → ) < 0,9. Un de- más preciso terminación de B(Bu → ) es, por lo tanto, un elemento clave para Pon a prueba este escenario. La interacción de la física B observables, materia oscura limitaciones, μaμ de O(10) −9) y se muestran las tasas de LFV En la figura 2. Para la elección natural de 12LL = 10 B(μ → eγ) está en el rango de 10-12, es decir. bien dentro de la alcance del experimento MEG [21]. Por otra parte, B( → ) se encuentra dentro del rango de 10-9 para un 23LL = 10 que es un tamaño natural esperado en muchos modelos. Agradecimientos Quiero dar las gracias a los organizadores del GT3 por el tipo y G. Isidori, F. Mescia y D. Temes para colaboraciones en las que se basa esta charla en parte. Yo también. reconocer el apoyo del contrato de la UE No. MRTN- CT-2006-035482, “FLAVIANET” y del español MEC y FEDER FPA2005-01678. [1] W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], J. Phys. G 33 (2006) 1 [hppt://pdg.lbl.gov]. [2] F. Borzumati y A. Masiero, Phys. Rev. Lett. 57 (1986) [3] R. Barbieri y L. J. Hall, Phys. Lett. B 338 (1994) 212 [hep-ph/9408406]; R. Barbieri, L. J. Hall y A. Strumia, Nucl. Phys. B 445 (1995) 219 [hep-ph/9501334]; L. Cal- ibbi, A. Faccia, A. Masiero y S. K. Vempati, Phys. Rev. D 74, 116002 (2006) [hep-ph/0605139]. [4] K. S. Babu y C. Kolda, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 241802 [hep-ph/0206310]. [5] P. Paradisi, JHEP 0602, 050 (2006) [hep-ph/0508054]; P. Paradisi, JHEP 0608, 047 (2006) [hep-ph/0601100]. [6] A. Brignole y A. Rossi, Nucl. Phys. B 701, 3 (2004) [hep-ph/0401100]. [7] M. Blanke, A. J. Buras, B. Duling, A. Poschenrieder y C. Tarantino, hep-ph/0702136. [8] W.J. Marciano y A. Sirlin, Phys.Rev.Lett. 71 3629 (1993); M.Finkemeier, Phys.Lett. B 387 391 (1996). [9] A. Masiero, P. Paradisi y R. Petronzio, Phys. Rev. D 74, 011701 (2006) [hep-ph/0511289]. [10] L. Fiorini [NA48/2 Colaboración], charla presentada en EPS 2005 21-27 de julio de 2005 (Lisboa, Portugal). [11] G. Czapek et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 17; D. I. Britton y otros, Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 3000. [12] G. Isidori y P. Paradisi, Phys. Lett. B 639 (2006) 499 [hep-ph/0605012]. [13] G. Anderson, S. Raby, S. Dimopoulos, L. J. Hall y G.D. Starkman, Phys. Rev. D 49 (1994) 3660 [hep-ph/93083333]. [14] G. D’Ambrosio, G. F. Giudice, G. Isidori y A. Strumia, Nucl. Phys. B645 (2002) 155. [15] E. Lunghi, W. Porod y O. Vives, Phys. Rev. D 74 (2006) 075003 [hep-ph/0605177]. [16] G. Isidori, F. Mescia, P. Paradisi y D. Temes, hep-ph/0703035. [17] J. R. Ellis, L. Roszkowski y Z. Lalak, Phys. Lett. B 245 (1990) 545. [18] K. Hagiwara, A. D. Martin, D. Nomura y T. Teubner, hep-ph/0611102; M. Passera, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 155 (2006) 365 [hep-ph/509372]. [19] R. Bernhard et al. [CDF Collab.], hep-ex/0508058. [20] A. Abulencia et al. [CDF - Run II Collab.[ ], Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 062003 [AIP Conf. Proc. 870 (2006) 116] [hep-ex/0606027]. [21] M. Grassi [Colaboración MEG], Nucl. Phys. Proc. Suppl. 149 (2005) 369. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9408406 http://arxiv.org/abs/hep-ph/9501334 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605139 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0206310 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0508054 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0601100 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0401100 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702136 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0511289 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605012 http://arxiv.org/abs/hep-ph/93083333 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605177 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0703035 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0611102 http://arxiv.org/abs/hep-ph/509372 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0508058 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0606027 FIG. 1: Gráfico izquierdo: Limitaciones combinadas de objetos observables de baja energía y materia oscura en la configuración del plano tan β-MH [μ,Ml] = [0.5, 0.4] TeV. El área azul claro está excluida por las condiciones de la materia oscura [16]. Dentro del área roja (verde) toda la referencia se cumplen los valores de los observables de baja energía (pero para aμ). La banda amarilla denota el área donde el stau coannihilation el mecanismo está activo (1 < MR/MB < 1.1); en esta zona, la región del embudo A (donde MH 2M1) y la coannihilación stau solapamiento de la región. Gráfico derecho: aμ = (gg μ )/2 vs. la masa de dormidón dentro de la región del embudo teniendo en cuenta la B → Xsγ restricción y ajuste RB > 0.7 (azul), RB > 0.8 (rojo), RB > 0.9 (verde) [16]. Los parámetros supersimétricos tienen se ha variado en los siguientes rangos: 200 GeV ≤ M2 ≤ 1000 GeV, 500 GeV ≤ μ ≤ 1000 GeV, 10 ≤ tan β ≤ 50. En ambas parcelas, hemos establecido AU = −1 TeV, Mq̃ = 1,5 TeV, e impuesto la relación GUT M1 • M2/2 • M3/6. FIG. 2: Curvas de Isonivel para B(μ → eγ) y B( → ) asumiendo 12LL = 10 −4 y 23LL = 10 −2 en el plano tan β–MH [16]. Las zonas verdes/rojas corresponden a las regiones permitidas para las observaciones de baja energía ilustradas en la figura 1 para [μ,M] [0.5, 0.4] TeV.

Discutimos el impacto fenomenológico de un rincón particularmente interesante del MSSM: el gran régimen de tan(beta). Las capacidades de leptonic y hadronic Flavor Violación de procesos en arrojar luz sobre la física más allá de la Se revisa el modelo estándar. Además, mostramos que las pruebas de Lepton Universalidad en procesos actuales cargados puede representar un mango interesante para obtener información relevante sobre nuevos escenarios de física.

Física del sabor en SUSY en grande tan β Paride Paradisi Departament de Fsica Teòrica e IFIC, Universitat de València-CSIC, E-46100, Burjassot, España. Discutimos el impacto fenomenológico de un rincón particularmente interesante del MSSM: el gran régimen de tanβ. Las capacidades de los procesos de violación del sabor leptonico y hadrónico en el desprendimiento se revisa la luz sobre la física más allá del modelo estándar. Además, mostramos que las pruebas de Lepton Universalidad en procesos actuales cargados puede representar un manejo interesante para obtener relevante información sobre nuevos escenarios de física. I. INTRODUCCIÓN A pesar del gran éxito fenomenológico de la Modelo estándar (SM), es natural considerar esto el sólo como el límite de baja energía de un modelo más general. La exploración directa de partículas de Nueva Física (NP) en la escala TeV se realizará en la próxima LHC. Una estrategia complementaria en la búsqueda de NP es proporcionado por experimentos de baja energía de alta precisión en los que NP podría ser detectado a través de los efectos virtuales de NP partículas. En particular, la corriente neutra que cambia el sabor (FCNC) transiciones pueden mostrar un alcance de sensibilidad incluso más allá de lo alcanzable por las búsquedas directas en el LHC mientras representa, al mismo tiempo, el mejor (o incluso la única) herramienta para extraer información sobre el sabor estructuras de las teorías del NP. Habida cuenta de las consideraciones anteriores, es evidente que física del sabor proporciona necesaria y complementaria en- formación a los que pueden ser obtenidos por el LHC. Además de decaimientos FCNC, también el Lepton Flavor Univer- Las pruebas de salidad (LFU) (Kl2 y ηl2) ofrecen una oportunidad única. nidad de sondear el SM y, por lo tanto, de arrojar luz sobre el NP: el la pequeñez de los efectos NP es compensada con creces por el excelente resolución experimental y el buen teoreti- control de temperatura. II. LFV EN SUSY El descubrimiento de masas y oscilaciones de neutrinos ha señaló inequívocamente la existencia del Lepton La violación del sabor (LFV) por lo tanto, esperamos este fenómeno que se produzcan también en el sector de los leptones cargados. Dentro de un marco SM con neutrinos masivos, FCNC transiciones en el sector leptón como li → ljγ son fuertemente suprimido por el mecanismo GIM a nivel de B(li → ljγ) (m/mW ) 4 â € 10−50 mucho más allá de cualquier una resolución experimental realista [1]. En este sentido, la la búsqueda de transiciones FCNC de leptones cargados es una de las direcciones más prometedoras donde buscar la física Más allá del SM. Dentro de un marco SUSY, los efectos LFV se originan de cualquier desalineación entre el fermión y la masa de esfermión los estados autóctonos. En particular, si las masas de neutrinos ligeros se obtienen a través de un mecanismo de sierra, el radiativamente entradas de LFV inducidas en la matriz de masa de sleenton (m2 están expresados por [2]: )i6=j • − / )i6=j ln , (1) donde MX denota la escala de los medios que rompen SUSY- ym0 la supersimetría universal rompiendo escalar masa. Puesto que la ecuación see-saw 1 permite grande (Y /Y entradas, efectos considerables pueden provenir de esta ejecución [2]. La determinación de (m2 )i6=j implicaría un completo conocimiento de la matriz de neutrinos Yukawa (Y/)ij, que no es posible incluso si todos los observables de baja energía de se conocía el sector de los neutrinos. Como resultado de ello, la predic- ciones de efectos FCNC leptonicos permanecerán indeterminados Incluso en la situación muy optimista en la que todos los Se midieron las masas NP en el LHC. Esto contrasta con el sector de los quarks, en el que Las contribuciones de los GCR están completamente determinadas en términos de masas de quark y elementos de matriz CKM. Se pueden obtener predicciones más estables el modelo SUSY dentro de una Gran Teoría Unificada (GUT) donde el mecanismo de sierra puede surgir naturalmente (como como SO(10)). En este caso la simetría GUT nos permite obtener algunas pistas sobre el desconocido neutrino Yukawa Matriz Y v. Por otra parte, en los escenarios de GUT hay otros contribuciones procedentes del sector de los quarks [3]. Estos los efectos son completamente independientes de la estructura de Y/ y puede considerarse como una nueva contribución irreductible de la LFV. ciones dentro de SUSY GUTs. Por ejemplo, dentro de SU(5), como Q y ec están alojados en la representación 10, el Matriz CKM mezclando los quarks izquierdos dará lugar a las entradas diagonales en la ejecución de la derecha sleepon las masas blandas [3]. Existen diferentes clases de contribuciones de LFV para decaimientos raros: i) Efectos LFV mediados por el medidor a través del intercambio de gaugenos y drenones, ii) Efectos LFV mediados por Higgs mediante interacciones holomorfas de Yukawa [4]. 1 La matriz efectiva de masa de neutrino-luz obtenida de un El mecanismo de la sierra es m v = − Y / M / Hu 2, donde MÃ3r es el 3 × 3 Matriz de masa de neutrino diestro y Y v son los 3 × 3 Acoplamientos Yukawa entre neutrinos de izquierda y derecha (las fuentes potencialmente grandes de LFV), y â € ¢Huâ € es el vacío valor de expectativa del Higgs de tipo ascendente. http://arxiv.org/abs/0704.0358v1 Las contribuciones anteriores se disocian de la masa más pesada en los bucles sleedon/gaugino mSUSY (caso i)) o con la masa pesada de Higgs mH (caso ii)). En principio, mH y mSUSY se refieren a una masa diferente básculas. Los efectos mediados por Higgs comienzan a ser competitivos con los mediados gauginos cuando mSUSY es más o menos un orden de magnitud más pesado que mH y para el tanβ O(50) [5]. Mientras que la aparición de transiciones de LFV señal ambigua de la presencia de NP, el subyacente La teoría generadora de fenómenos de LFV permanecerá inalterada. minado, en general. Una herramienta poderosa para desenredar entre las teorías de NP es el estudio de las correlaciones de las transiciones de LFV entre las mismas familias [5, 6, 7]. Curiosamente, las predicciones para el correla- ciones entre los procesos de LFV son muy diferentes en el casos mediados por calibrador y por Higgs [5]. De esta manera, si sev... Se observan transiciones de LFV en suero, su correlación anal ysis podría arrojar luz sobre el mecanismo subyacente de LFV. En el caso de las amplitudes LFV mediadas por gálibo, la li → ljlklk decaimientos están dominados por el li → ljγ ∗ dipolo transición, que lleva a la predicción inequívoca: B(li → ljlklk) B(li → ljγ) B( e en Ti) B(eγ) el. 3) Si se descubren algunas proporciones diferentes de las anteriores, entonces esto sería evidencia clara de que algún nuevo proceso está generando la transición li → lj, con la mediación de Higgs ser un candidato potencial 2. Por lo que se refiere al asunto Higgs, Br( Generalmente obtiene la mayor contribución entre todas las pos- modos de desintegración LFV sible [5]. Las siguientes cifras aproximadas: relaciones mantenidas [5]: Br( → ljγ) Br( → ljη) & 1, Br( → ljη) Br( → ljó) 3 + 5μjμ . 4) Br( → ljee) Br( → ljó) 3 + 5μjμ . 5) Br(μ → eγ) Br(μAl → eAl) 10 años, Br(μ → eee) Br(μ → eγ) • αel. 6) Por otro lado, un estudio correlacionado de los procesos de la del mismo tipo pero en relación con diferentes transiciones familiares, como 2 Como se muestra recientemente en [7], una poderosa herramienta para desenredar entre Pequeños modelos de Higgs con paridad T (LHT) y teorías SUSY es un análisis correlacionado de los procesos LFV. De hecho, LHT y Las teorías SUSY predicen correlaciones muy diferentes entre LFV transiciones [7]. Br(μ → eγ)/Br( )21/(m 2, provides información importante sobre la estructura desconocida de la fuente LFV, es decir, (m2 )i6=j. III. LFU EN SUSY Ensayos electrodébil de alta precisión, tales como desviaciones de las expectativas SM de la ruptura de la ULP, representan una poderosa herramienta para sondear el SM y, por lo tanto, limitar u obtener indirectas pistas de nueva física más allá de ella. Kaon y la física pion son motivos obvios donde realizar tales pruebas, por ejemplo, en el η → l vl y K → l vl se descompone, donde l = e o μ. En particular, los coeficientes B(P → فارسى) B(P → e/) puede ser predicho con excelentes precisiónes en el SM, tanto para P = η (precisión del 0,02% [8]) como P = K (0,04%) precisión [8]), permitiendo algunos de los más significativos pruebas de LFU. Como se ha señalado recientemente en Ref. [9], grandes salidas de las expectativas de SM pueden generarse dentro de un Marco SUSY con paridad-R sólo una vez que asumimos i) Efectos LFV, ii) valores tanβ grandes. Denotando por: NP la desviación de e universal- ity en RK debido a NP, es decir.: R K = (R K )SM 1 + Łr resulta que [9]: = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R = 31R 2 tan6β. (8) Las desviaciones del SM podrían alcanzar el 1% en el Asunto K [9] (no muy lejos de la actual res- olución [10]) y pocos × 10−4 en la R η caso mientras tanto mantener los efectos de la LFV en las decaimientos en el nivel 10-10. In el caso pion el efecto está bastante por debajo de la experiencia actual resolución mental [11], pero bien podría estar al alcance de la nueva generación de experimentos de alta precisión en el TRIUMPH y en el PSI. Violaciones más graves de los derechos humanos Se espera que en B → l v decaimientos, con O(10%) devi- aciones del SM en R B e incluso el orden de magnitud mejoras en R B [12]. IV. FÍSICA DE FLAVOR EN LARGO tanβ Y IMPORTANTE DE LA OSCURIDAD Dentro del MSSM, el escenario con grandes tanβ y Los squarks pesados son particularmente interesantes. En el uno mano, los valores de tanβ 30–50 pueden permitir la unificación de acoplamientos superiores e inferiores de Yukawa, como se modelos bien motivados y unificados [13]. Por otro lado mano, una estructura mínima de violación del sabor (MFV) [14] con términos de ruptura suave en el quark ( TeV ) y grandes tanβ 30 − 50 valores conduce a virtudes fenomenológicas terescentes [12, 15]: el presente (g − 2) μ anomalía y el límite superior del Higgs masa de bosón se puede acomodar fácilmente, mientras que satisfacer- En el caso de los motores de encendido por chispa, el valor de los motores de encendido por chispa de los motores de encendido por chispa de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los motores de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión de los vehículos de encendido por compresión y los sectores de sabor. Firmas adicionales de bajo consumo de energía Este escenario podría aparecer en un futuro cercano. en B(Bu → ), B(Bs,d → l +l−) y B(B → Xsγ). In lo siguiente, como se discutió en [16], analizamos lo anterior en el supuesto adicional de que la reliquia Densidad de una partícula SUSY (LSP) más ligera similar a la de Bino ac- Comoda la distribución de la materia oscura observada 0,094 ≤ CDMh 2 ≤ 0,129 a 2 C.L. (9) En el régimen con grandes tanβ y squarks pesados, el las restricciones de la densidad de las reliquias se pueden satisfacer fácilmente principalmente en la llamada región de embudo A [17] donde MB Las limitaciones combinadas de los objetos observables de baja energía y la materia oscura en el plano tanβ-MH se ilustran en la figura 1 (izquierda). Las zonas de color azul claro están excluidas ya que el stau resulta ser el LSP, mientras que la banda amarilla denota la región permitida donde la coaniquilación stau El mecanismo también está activo. Las bandas restantes... spond a las siguientes restricciones/intervalos de referencia observaciones de baja energía: • B → Xsγ [1,01 < RBsγ < 1,24]: región permitida entre las dos líneas azules. • aμ [2 < 10 −9(aexpμ − a μ ) < 4 [18]: región permitida entre las dos líneas púrpuras. • B → [Bexp < 8.0×10−8 [19]: región permitida debajo de la línea verde oscuro. • Mbs [mbs = 17,35 ± 0,25 ps −1 [20]: permitido región por debajo de la línea gris. • B → [0.8 < RB < 0.9]: región permitida entre las dos líneas negras [ zona roja (verde) si todos las demás condiciones (pero en el caso de aμ) se cumplen]. De la Figura 1 (derecha), deducimos que hay un fuerte correlación entre Aμ y B(Bu → ) gracias a la región de embudo A condición MH • 2M1. UN SUSY contribución a aμ de O(10) −9) generalmente implica un tamaño considerable efecto en 0,7 < B(Bu → ) < 0,9. Un de- más preciso terminación de B(Bu → ) es, por lo tanto, un elemento clave para Pon a prueba este escenario. La interacción de la física B observables, materia oscura limitaciones, μaμ de O(10) −9) y se muestran las tasas de LFV En la figura 2. Para la elección natural de 12LL = 10 B(μ → eγ) está en el rango de 10-12, es decir. bien dentro de la alcance del experimento MEG [21]. Por otra parte, B( → ) se encuentra dentro del rango de 10-9 para un 23LL = 10 que es un tamaño natural esperado en muchos modelos. Agradecimientos Quiero dar las gracias a los organizadores del GT3 por el tipo y G. Isidori, F. Mescia y D. Temes para colaboraciones en las que se basa esta charla en parte. Yo también. reconocer el apoyo del contrato de la UE No. MRTN- CT-2006-035482, “FLAVIANET” y del español MEC y FEDER FPA2005-01678. [1] W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], J. Phys. G 33 (2006) 1 [hppt://pdg.lbl.gov]. [2] F. Borzumati y A. Masiero, Phys. Rev. Lett. 57 (1986) [3] R. Barbieri y L. J. Hall, Phys. Lett. B 338 (1994) 212 [hep-ph/9408406]; R. Barbieri, L. J. Hall y A. Strumia, Nucl. Phys. B 445 (1995) 219 [hep-ph/9501334]; L. Cal- ibbi, A. Faccia, A. Masiero y S. K. Vempati, Phys. Rev. D 74, 116002 (2006) [hep-ph/0605139]. [4] K. S. Babu y C. Kolda, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 241802 [hep-ph/0206310]. [5] P. Paradisi, JHEP 0602, 050 (2006) [hep-ph/0508054]; P. Paradisi, JHEP 0608, 047 (2006) [hep-ph/0601100]. [6] A. Brignole y A. Rossi, Nucl. Phys. B 701, 3 (2004) [hep-ph/0401100]. [7] M. Blanke, A. J. Buras, B. Duling, A. Poschenrieder y C. Tarantino, hep-ph/0702136. [8] W.J. Marciano y A. Sirlin, Phys.Rev.Lett. 71 3629 (1993); M.Finkemeier, Phys.Lett. B 387 391 (1996). [9] A. Masiero, P. Paradisi y R. Petronzio, Phys. Rev. D 74, 011701 (2006) [hep-ph/0511289]. [10] L. Fiorini [NA48/2 Colaboración], charla presentada en EPS 2005 21-27 de julio de 2005 (Lisboa, Portugal). [11] G. Czapek et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 17; D. I. Britton y otros, Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 3000. [12] G. Isidori y P. Paradisi, Phys. Lett. B 639 (2006) 499 [hep-ph/0605012]. [13] G. Anderson, S. Raby, S. Dimopoulos, L. J. Hall y G.D. Starkman, Phys. Rev. D 49 (1994) 3660 [hep-ph/93083333]. [14] G. D’Ambrosio, G. F. Giudice, G. Isidori y A. Strumia, Nucl. Phys. B645 (2002) 155. [15] E. Lunghi, W. Porod y O. Vives, Phys. Rev. D 74 (2006) 075003 [hep-ph/0605177]. [16] G. Isidori, F. Mescia, P. Paradisi y D. Temes, hep-ph/0703035. [17] J. R. Ellis, L. Roszkowski y Z. Lalak, Phys. Lett. B 245 (1990) 545. [18] K. Hagiwara, A. D. Martin, D. Nomura y T. Teubner, hep-ph/0611102; M. Passera, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 155 (2006) 365 [hep-ph/509372]. [19] R. Bernhard et al. [CDF Collab.], hep-ex/0508058. [20] A. Abulencia et al. [CDF - Run II Collab.[ ], Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 062003 [AIP Conf. Proc. 870 (2006) 116] [hep-ex/0606027]. [21] M. Grassi [Colaboración MEG], Nucl. Phys. Proc. Suppl. 149 (2005) 369. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9408406 http://arxiv.org/abs/hep-ph/9501334 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605139 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0206310 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0508054 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0601100 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0401100 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702136 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0511289 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605012 http://arxiv.org/abs/hep-ph/93083333 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0605177 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0703035 http://arxiv.org/abs/hep-ph/0611102 http://arxiv.org/abs/hep-ph/509372 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0508058 http://arxiv.org/abs/hep-ex/0606027 FIG. 1: Gráfico izquierdo: Limitaciones combinadas de objetos observables de baja energía y materia oscura en la configuración del plano tan β-MH [μ,Ml] = [0.5, 0.4] TeV. El área azul claro está excluida por las condiciones de la materia oscura [16]. Dentro del área roja (verde) toda la referencia se cumplen los valores de los observables de baja energía (pero para aμ). La banda amarilla denota el área donde el stau coannihilation el mecanismo está activo (1 < MR/MB < 1.1); en esta zona, la región del embudo A (donde MH 2M1) y la coannihilación stau solapamiento de la región. Gráfico derecho: aμ = (gg μ )/2 vs. la masa de dormidón dentro de la región del embudo teniendo en cuenta la B → Xsγ restricción y ajuste RB > 0.7 (azul), RB > 0.8 (rojo), RB > 0.9 (verde) [16]. Los parámetros supersimétricos tienen se ha variado en los siguientes rangos: 200 GeV ≤ M2 ≤ 1000 GeV, 500 GeV ≤ μ ≤ 1000 GeV, 10 ≤ tan β ≤ 50. En ambas parcelas, hemos establecido AU = −1 TeV, Mq̃ = 1,5 TeV, e impuesto la relación GUT M1 • M2/2 • M3/6. FIG. 2: Curvas de Isonivel para B(μ → eγ) y B( → ) asumiendo 12LL = 10 −4 y 23LL = 10 −2 en el plano tan β–MH [16]. Las zonas verdes/rojas corresponden a las regiones permitidas para las observaciones de baja energía ilustradas en la figura 1 para [μ,M] [0.5, 0.4] TeV.

Some properties of the complex Monge-Ampere operator in Cegrell's classes and applications

arXiv:0704.0359v1 [math.CV] 3 Abr 2007 Algunas propiedades del complejo Monge-Ampère operador en Clases y aplicaciones de Cegrell NGUYEN VAN KHUE Y PHAM HOANG HIEP Resumen. En este artículo probaremos primero un resultado sobre la convergencia en capacidad. Uso el resultado logrado obtendremos un teorema general de descomposición para el complejo Monge- Ampère measuses que se utilizará para demostrar un principio de comparación para el complejo Operador de Monge-Ampère. 2000 Matemática Clasificación del sujeto: Primaria 32W20, Secundaria 32U15. Palabras y frases clave: operador Monge-Ampère complejo, función plurisubarmónica. Este trabajo fue apoyado por el Programa Nacional de Investigación en Ciencias Naturales, Vietnam. 1. Introducción Deje que  sea un dominio hiperconvexo limitado en Cn. Por PSH(l) denotamos el conjunto de plurisub- funciones armónicas (psh) en . En [BT 1,2] los autores establecieron y utilizaron el compari- principio para estudiar el problema de Dirichlet en PSH-L-L-Loc. Recientemente, Cegrell introdujo una clase general E de psh funciones en las que el operador Monge-Ampère complejo (ddc.)n se puede definir. Obtuvo muchos resultados importantes de la teoría pluripotencial en la clase E. Por ejemplo, los relativos al principio de comparación y la solvabilidad del problema de Dirichlet (véase [Ce 1-3)). El resultado principal de nuestro trabajo son el Teorema 4.1 y algunos principios de comparación tipo Xing. Teorema 4.1 es generalizar Lemma 5.4 en [Ce1], Lemma 7.2 en [Åh] y Lemma 3.4 en [Ce3]. Para las definiciones de las clases de Cegrell, véase la sección 2. Después de dar algunos preliminares, empezamos en Proposición 3.1 con un principio de comparación, que es análogo a un principio de comparación debido a Xing (Lemma 1 en [Xi1]). Hay que observar que nuestra prueba es muy diferente. de la prueba de Xing, y la desigualdad que obtenemos es ligeramente más fuerte que la desigualdad de Xing, incluso en el caso de funciones de psh limitada. Usando la Proposición 3.1, damos en Teorema 3.5 una condición suficiente para la convergencia de la capacidad de Cn de una secuencia de funciones psh en la clase F. Este resultado debe compararse con el Teorema 3 de [Xi1] donde la situación se estudiaron las funciones de psh limitada. Aplicando el teorema 3.5 damos generalizaciones de resultados recientes en [Cz] y [CLP] sobre convergencias de funciones multipolo verde y un criterio de pluripolaridad, respectivamente. La sección 4 se centra en el teorema 4.1 y el teorema 4.9. Aplicando el Teorema 4.1 damos algunos resultados sobre las clases de la clase Cegrell. Demostramos en Propuesta 4.4 Una estimación local para la medida Monge-Ampère en términos de la Beford- Capacidad relativa de Taylor. Como aplicación, damos en Teorema 4.5 un resultado de descomposición para la medida Monge-Ampère, que es similar en espíritu a Teorema 6.3 en [Ce1]. Desde Proposición 3.1 y Teorema 4.1 obtenemos fácilmente un principio de comparación tipo Xing para funciones en las clases F y E. Agradecimiento. Estamos agradecidos al profesor Urban Cegrell por las útiles discusiones que ayudó a mejorar el papel. Estamos agradecidos a Per Åhag por sus comentarios fructíferos. Esto El trabajo es apoyado por el Programa Nacional de Investigación en Ciencias Naturales, Vietnam. http://arxiv.org/abs/0704.0359v1 2. Preliminares Primero recordamos algunos elementos de la teoría pluripotencial que serán utilizados a lo largo de la papel. Todo esto se puede encontrar en [BT2], [Ce1], [Ce2], [Le]. 2.1. Siempre vamos a denotar un dominio hiperconvexo limitado en Cn a menos que otro sabio indicado. La capacidad de Cn en el sentido de Bedford y Taylor en  es la función de conjunto dada Cn(E) = Cn(E) = sup{ (ddcu)n: u • PSH(), −1 ≤ u ≤ 0} por cada Borel set E en E. Se demuestra en [BT2] que Cn(E) = (ddch*E, donde h*E,l es la regularización superior de la función extremal relativa hE,l para E (relativa i) es decir, hE,(z) = sup{u(z) : u-PSH −(l), u ≤ −1 en E}. Los siguientes conceptos se toman de [Xi1] y [Xi2] *Se dice que una secuencia de funciones uj en ♥ convergen a una función u en Cn-capacidad en un si para cada uno de ellos tenemos Cn({z E : uj(z) − u(z) > ) → 0 como j → فارسى. *Una familia de medidas positivas sobre ♥ se llama uniformemente absolutamente continua con el respeto de la capacidad de Cn en un conjunto E â ¬ si por cada â > 0 existe â > 0 tal que para cada subconjunto de Borel F â € E con Cn(F)< â € la desigualdad â € (F)< â € tiene para todos α. Escribimos Cn en E uniformemente para α. 2.2. Las siguientes clases de funciones psh fueron introducidas por Cegrell en [Ce1] y [Ce2] E0 = E0() = PSH − (l) • L • (l) : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (z) = 0, (ddcl)n <, F = F(♥) = PSH−(l) : E0(l) Łj l, sup (ddclj) n <, E = E() = • PSH−(­) : • • K • F(­) de tal manera que • K = • en K, • K , Ea = Ea() = {u E() : (ddcu)n(E) = 0 ♥ E es pluripolar en. Para cada u F(­), establecemos e0(u) = (ddcu)n. 2.3. Let A = {(wj, νj)}j=1,...,p ser un subconjunto finito de  × R +. Según Lelong (véase [Le]), la función verde pluricomplejo con polos en A se define por g(A)(z) = sup{u(z) : u • LA} donde LA = {u • PSH −(l) : u(z) − νj log z − wj ≤ O(1) como z → wj, j = 1,..., p} /(A) = vnj, = {wj}j=1,...,p. 2.4. Escribimos lim [u(z) − v(z)] ≥ a si por cada • > 0 existe un conjunto compacto K en • de tal manera que u(z) − v(z) ≥ a− â € para z â € (K) â € {u > â € v(z) = â € para z â € (K) â € {u =. 2.5. Principio de comparación de Xing (véase Lemma 1 en [Xi1]). Let  ser un subconjunto abierto limitado En Cn y u, contra PSH-L-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-L-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- [u(z)− v(z)] ≥ 0. Luego para cualquier constante r ≥ 1 y todos los wj â € € € € TM PSH(?) con 0 ≤ wj ≤ 1, j = 1, 2,..., n tenemos (n!)2 {u<v} (v − u)nddcw1 {u<v} (r − w1)(dd) v)n ≤ {u<v} (r − w1)(dd) 3. Algunos teoremas de convergencia Para estudiar la convergencia de una secuencia de funciones psh en Cn-capacidad, comenzamos con lo siguiente. 3.1. Proposición. a) Dejemos que u, v.F.F. que u ≤ v. on. A continuación, para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. b) Dejar u, v â E tal que u ≤ v en ♥ y u = v en K para algunos K ♥. Entonces para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Procedemos a través de algunos lemas. 3.2. Lemma. Let u, v â € € € ¢ PSH â € € € € TM Lâ € € TM Lâ € € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € [u(z) − v(z)] = 0. (v − u)kddcw T ≤ k (1 − w)(v − u)k−1ddcu para todas las corrientes cerradas positivas de W (+) PSH(+), 0 ≤ w ≤ 1, y todas las corrientes cerradas positivas T. Prueba. En primer lugar, supóngase u, v. Entonces, usando la fórmula Stokes que obtenemos (v − u)kddcw T = (v − u)kddc(w − 1) (w − 1)ddc(v − u)k = −k(k − 1) (1 − w)d(v − u) (1 − w)(v − u)k−1ddc(u− v) (1 − w)(v − u)k−1ddc(u− v) (1 − w)(v − u)k−1ddcu فارسى T. Caso general, para cada â € > 0 establecemos vâ = max(u, v − â €). Entonces vá vá en, vá ≥ u en y v = u en K para algunos K ♥. Por lo tanto (vá − u) kddcw T ≤ k (1 − w)(vá − u) k−1ddcu فارسى T. Desde 0 ≤ vá − u v − u como â                                                                            (v − u)kddcw T ≤ k (1 − w)(v − u)k−1ddcu فارسى T. 3.3. Lemma. Let u, v â € € € ¢ PSH â € € € € TM Lâ € € TM Lâ € € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € [u(z) − v(z)] = 0. A continuación, para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k فارسى T (r − w1)(dd) c)k) T. para todos los w1,..., wk ­PSH(­), 0 ≤ wj ≤ 1 ­J = 1,..., k, wk+1,..., wn ­E y todos los r ≥ 1. Prueba. Para simplificar la notación que establecemos T = ddcwk + 1............................................................................................................................................................... En primer lugar, supóngase que u, v. PSH. L. L. L., u. ≤ v. on. y u. = v. en K. Uso Lemma 3.2 tenemos (v − u)kddcw1 cwn ≤ k (v − u)k−1ddcw1 cwk−1 فارسى dd c. T. ≤... (v − u)ddcw1 (dd) cu)k−1 فارسى T (v − u)ddcw1 (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (w1 − r)dd c(v − u) [ (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (r − w1)dd c(u− v) فارسى [ (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (r − w1)[(dd) c)k − (ddcv)k] فارسى T. Caso general, para cada â € > 0 ponemos vâ = max(u, v − â €). Entonces vá vá en, vá ≥ u en y v = u en K para algunos K ♥. Por lo tanto (vá − u) kddcw1....................................................................................................................................... cwn + (r − w1)(dd) k • T (r − w1)(dd) u)k فارسى T. Obsérvese que 0 ≤ vá − u v− u y (dd) (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) T = = = = = = = = = = = = = T = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = es inferior semicontinuous, dejando que 0 tenemos (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k فارسى T (r − w1)(dd) c)k) T. La prueba está terminada. Prueba de la Proposición 3.1. a) Que E0 uj u y E0 vj v como en la definición de F. Reemplazar vj por max(uj, vj) podemos suponer que uj ≤ vj para j ≥ 1. Por Lemma 3.3 tenemos (vj − ut) kddcw1....................................................................................................................................... cwn + (r − w1)(dd) k • ddcwk+1 •... • dd (r − w1)(dd) k • ddcwk+1 •... • dd para t ≥ j ≥ 1. Por Proposición 5.1 en [Ce2] dejando t → فارسى en la desigualdad antedicha que tenemos (vj − u) w1 #... # # # #... # # #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) k • T (r − w1)(dd) k) T para j ≥ 1. Siguiente dejando j → • otra vez por Proposición 5.1 en [Ce2] obtenemos el deseado conclusión. b) Que G, W sean conjuntos abiertos de tal manera que K G W. Según la observación siguiente Definición 4.6 en [Ce2] podemos elegir una función F tal que ≥ v y = v en W. Set u en G en G Ya que u = v = en W\K tenemos PSH−(­). Es fácil ver que F, ≤ y * = u en W. Por a) tenemos ( − ­)kddcw1 •... • dd cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) k) k) ddcwk+1 Desde que en G tenemos ( − ­)kddcw1 •... • dd cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ya que = u, = v en W y u = v en K obtenemos (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 3.4. Proposición. Let u, v. F. y u. ≤ v. on. Entonces (v − u)nddcw1 (−w1)[(dd) u)n − (ddcv)n] en todos los casos en los que se utilice PSH(­), −1 ≤ wj ≤ 0, j = 1,..., n. Prueba. La proposición sigue de la Proposición 3.1 con k = n, r = 1 y wj se sustituyen por wj + 1. 3.5. Teorema. Que u, uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu Asumir que sup (ddcuj) n < Índice y (ddcuj) n − (ddcu)nE → 0 como j → • para todos los E. Entonces uj → u en Cn-capacidad en cada E ♥ como j →. Prueba. Dejemos que y ♥ > 0. Poner Aj = {z : uj − u ≥ = {z : u− uj ≥. Demostramos que Cn(Aj) → 0 como j →. Teniendo en cuenta el valor de 0 >. Por cuasicontinuidad de u y uj, allí es un conjunto abierto G en tal manera que Cn(G) <, y uj G, uG son continuos. Tenemos Aj = Bj • {z • G : u− uj ≥. donde Bj = {z G : u− uj ≥ son conjuntos compactos en ♥ y Cn(Aj) ≤ lim Cn(Bj) + Alegamos que lim Cn(Bj) = 0. Por la Proposición 3.4 tenemos Cn(Bj) = (ddch*Bj ) (u-uj) n(ddch*Bj ) −h*Bj )[(dd) n − (ddcu)n] (ddcuj) n − (ddcu)nK + (−h)[(dd) n + (ddcu)n]} (ddcuj) − (ddcu)nK + sup h [sup] (ddcuj) (ddcu)n]}. As lim h(z) = 0 existe K ♥ de tal manera que h [sup] (ddcuj) (ddcu)n] <. Por la hipótesis (ddcuj) n − (ddcu)nK < para j > j0. Cn(Bj) < 2° para j > j0. Esto demuestra la reclamación y, por lo tanto, el teorema. Como aplicación del Teorema 3.5 tenemos lo siguiente: 3.6. Proposición. Deja que g(Aj) sea funciones multipolares verdes en  de tal manera que Âj = {w 1,..., w } → y sup /(Aj) = sup )n < Índice Entonces g(Aj) → 0 como j → • en capacidad de Cn. Prueba. Por la hipótesis que tenemos (ddcg(Aj)) n() = sup /(Aj) <...................................................................................................................... (ddcg(Aj)) nK → 0 como j → • para todos los K ♥. Teorema 3.5 implica que g(Aj) → 0 como j → • en Cn-capacidad. Esta sección termina con un criterio de pluripolaridad 3.7. Teorema. Dejemos que uj F tal que sup (ddcuj) n <. Entonces hay una constante A > 0 tal que i) lim * F. ii) Cn({z • • : ( lim) ∗(z) < −t}) ≤ A iii) z) z): lim uj(z) = es pluripolar. Prueba. i) Para cada j ≥ 1 poner vj = sup{uj, uj+1,...}. Por [Ce2] v j • F y (ddcv*j ) n ≤ sup (ddcuj) n <. Por [Ce2] tenemos v*j v F. ii) Por la Proposición 3.1 en [CKZ] tenemos Cn{z ° ° : ( lim ∗(z) < −t} = Cn{z فارسى : v(z) < −t} ≤ 2ne0(v) donde A = 2ne0(v). iii) Según [BT2] tenemos Cn{z : lim uj(z) = = Cn{z : v(z) = = 0. Observación. Teorema 3.7 en el caso de las funciones multipolo D.Coman, N.Levenberg y A.Poletsky en Teorema 4.1 de [CLP]. 4. Algunas propiedades de las clases y aplicaciones de Cegrell En esta sección, primero demostramos lo siguiente: 4.1. Teorema. Let u, u1,..., un−1 â € E, v â € PSH −(l) y T = ddcu1 •... • dd cun−1. ddc max(u, v)  T u>v} = dd c. T u>v}. Necesitamos el siguiente hecho bien conocido. 4.2. Lemma. Let μ be a measure on Los a continuación son equivalentes i)μ(E) = 0 para todos los conjuntos de Borell E • {f 6= 0}. fdμ = 0 para cada conjunto medible E en . Prueba. i)lii) se deduce de: fdμ = E{f=0} fdμ + Ef=0} fdμ = 0 ii)eli). Basta con demostrar que μ = 0 en cada X. = {f > ♥ > 0}. Por el Hahn teorema de descomposición, existen subconjuntos medibles X+ y X− De tal manera que X.................................................................................................................................................................. =  y μ ≥ 0 en X+ , μ ≤ 0 en X− . Tenemos (X+) fdμ = 0 (X− fdμ = 0 Por lo tanto, μ(X+ ) = μ(X− ) = 0. Por lo tanto, tenemos μ = 0 en X. Prueba de Teorema 4.1. a) Primero probamos la proposición para v • a < 0. Según la observación siguiente: Definición 4.6 en [Ce2], sin pérdida de generalidad podemos suponer que u, u1,..., un−1 â € F. Utilizando el teorema 2.1 en [Ce2] podemos encontrar E0 C() u * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * uk, k = 1,..., n− 1. Ya que {uj > a} está abierto tenemos ddc max(uj, a) Tj uj>a} = dd cúj. Tj uj>a}. Así, a partir de la inclusión {u > a} {uj > a} obtenemos ddc max(uj, a) Tj u>a} = dd cúj. Tj u>a}. donde Tj = dd 1 #... # # # # 1 #... # # # # 1 #... # # # # # 1 #... # # # # # 1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n−1. Por corolario 5.2 en [Ce2], se deduce que max(u− a, 0)ddc max(uj, a) Tj → max(u− a, 0)dd c max(u, a) T. max(u− a, 0)ddcuj  Tj → max(u− a, 0)dd c. T. Por lo tanto max(u− a, 0)[ddc max(u, a) T- ddcu فارسى T] = 0. Usando Lemma 4.2 tenemos ddc max(u, a) T = ddcu فارسى T on {u > a}. b) Asumir que v. Desde {u > v} = {u > a > v}, basta con mostrar ddc max(u, v) T = ddcu فارسى T on {u > a > v} para todos un Q−. Desde max(u, v) E, por a) tenemos ddc max(u, v)  T max(u,v)>a} = dd c max(u, v), a) T max(u,v)>a} = ddc max(u, v, a) T max(u,v)>a}. (2) ddcu فارسى T u>a} = dd c max(u, a) T u>a}. Desde max(u, v, a) = max(u, a) en set open {a > v}, tenemos (3) ddc max(u, v, a) T a>v} = dd c max(u, a) T a>v}. Desde {u > a > v} {u > a}, {a > v}, {max(u, v) > a} y (1), (2), (3) tenemos ddc max(u, v) T u>a>v} = dd c. T u>a>v}. El siguiente resultado es un análogo de una desigualdad debida a Demaily en [De2] 4.3. Proposición. (ddcu)n({u = v = ) = 0. Entonces (ddc max(u, v))n ≥ 1{u≥v}(ddc c) n + 1{u<v}(dd donde 1E denota la función característica de E. b) Dejar μ ser una medida positiva que desaparece en todos los subconjuntos pluripolares de Supón u, v • E tal que (ddcu)n ≥ μ, (ddcv)n ≥ μ. A continuación (ddc max(u, v))n ≥ μ. Prueba. a) Para cada una de las categorías A° > 0 = {u = v − u = v =. Sin embargo, en la mayoría de los casos, el número de casos en los que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo ha sido inferior al de los casos en los que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo. * 6= * existe * j * 0 tal que (dd) c)n(Aj ) = 0 para j ≥ 1. Por otro lado, desde (ddcu)n({u = v = ) = 0 tenemos (ddcu)n({u = v− j}) = 0 para j ≥ 1. Desde el teorema 4.1. De ello se deduce que (ddc max(u, v − j)) n ≥ (ddc max(u, v − j)) nu>vj} + (dd) c max(u, v − j)) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. = (ddcu)nu≥vj} + (dd Cv)nu<vj} = 1{u≥vj}(dd c)n + 1{u<vj}(dd ≥ 1{u≥v}(dd c)n + 1{u<vj}(dd cv)n. Dejando j → y por Observación bajo Teorema 5.15 en [Ce2] obtenemos (ddc max(u, v))n ≥ 1{u≥v}(ddc c) n + 1{u<v}(dd porque max(u, v − ) max(u, v) y 1{u<vj} 1{u<v} como j → فارسى. b) Argumento como a) 4.4. Proposición. Let u1,..., uk • PSH(­) • L Después de la votación, se procederá a la votación sobre la solicitud de votación anticipada de la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo sobre la posición común: Bol. ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = O((Cn(B)) n ) para todos los conjuntos de Borel B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o((Cn(B(a, r))) n ) como r → 0 para todos los a. donde B(a, r) = {z Cn : z − a < r} Prueba. Podemos suponer que 0 ≤ uj ≤ 1 para j = 1,..., k. Por otra parte, por la observación Después de la definición 4.6 en [Ce2] podemos asumir de nuevo que uk+1,..., un F. i) Para cada conjunto abierto B ♥, aplicando la Proposición 3.1 obtenemos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = (-h*B) kddcu1......................................................................................................................... (-h*B) kddcu1......................................................................................................................... (1 − u1)(dd) ch*B) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (ddch*B) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ≤ k![ (ddch*B) n+ [ (ddcuk+1) n.o... [ (ddcun) (por corolario 5.6 en [Ce2]) ≤ k!(e0(uk+1)) n...(e0(un)) n.[Cn(B)] ≤ constantes.[Cn(B)] Por lo tanto ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun ≤ constantes.[Cn(B)] para todos los Borel set B â € TM. ii) Por la Proposición 3.1 tenemos ()kddcu1 •... • dd un ≤ k! (1 − u1)(dd) * k * ddcuk+1 *... * dd * (ddcŁ)k Ł ddcuk+1 Ł... Ł dd cun < â € € TM. Por lo tanto ()k L1(dd) # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun) para todos los grupos de edad (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) () (e) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Teniendo en cuenta un # # # dejar r0, R0 tal que B(a, r0)  B(a, R0). Entonces z − a ≤ ga(z) ≤ log z − a para todos z â ¬, donde ga denota la función verde de â € con polo en a. Desde (−ga) L1(dd) # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun), se deduce que B(a,r) (−ga) kddcu1......................................................................................................................... → 0 como r → 0 Por lo tanto (log r0 − log r) B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun ≤ B(a,r) (−ga) kddcu1......................................................................................................................... cun → 0 como r → 0. Esto significa que B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o(( log r0 − log r )k) como r → 0 Combinando esto con la desigualdad Cn(B(a, r) ≥ Cn(B(a, r), B(a, R0)) = ( logR0 − log r )n = O(( log r0 − log r)n ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o((Cn(B(a, r))) El siguiente resultado debe compararse con el Teorema 6.3 de [Ce1] 4.5. Teorema. Let u1,..., un â € E. Entonces existe â € € TM E a tal que ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = (dd) • n + ddcu1 •... • dd cunu1=...=un=. Prueba. Primero, escribimos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = μ + dd # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cunu1=...=un=. donde μ = ddcu1 No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Es fácil ver que μ â € Cn en cada E â € TM. De hecho, por Teorema 4.1 tenemos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cunu1j} = dd c max(u1, − j) Cunu1j}. Por lo tanto, en la Proposición 4.4 i) se deduce que ddcu1........................................................................................................... E ♥. A continuación, queda por demostrar que existe # # Ea tal que μ = (ddc)n. j} ser una secuencia de agotamiento creciente de. Para cada j ≥ 1 poner μj = j. Por [Åh] existe tal que (dd c. j.) n = μj. Observe que μj μ y (ddcÃ3j) n ≤ μ ≤ (ddc(u1 +... + un)) Aplicando el principio de comparación que obtenemos E.................................................................................................................... Por lo tanto, Ea y (ddc)n = lim (ddcÃ3j) n = μ. De este modo se completa la prueba. 4.6. Corollary. u1,..., un â € E. Entonces los siguientes son equivalentes i) ddcu1 •... • dd cun Cn en cada E. {u1=...=un= ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = 0. {u1s,...,unsE ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun → 0 como s → â € para todos los E â € €. Prueba. Aplicación directa del Teorema 4.5. El principio de comparación para la clase F se estudió en [Ce3] y [H1]. Usando la Proposición 3.1 y Teorema 4.1 probamos un principio de comparación tipo Xing para F 4.7. Teorema. Let u â € F, v â E y 1 ≤ k ≤ n. Entonces {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Prueba. Vamos a â € > 0. Se establece = max(u, v − ). Por a) en la Proposición 3.1 tenemos ( − u)kddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Desde {u < = {u < v − y teorema 4.1 tenemos {u<v (v- u)kddcw1 cwn + {u≤v (r-w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u≤v (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Dejando que 0 obtengamos {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 4.8. Corollary. Que u • Ea tal que u ≥ v para todas las funciones v • E satisfacer (ddcu)n ≤ (ddcv)n entonces {u<v} (v − u)nddcw1 {u<v} (r − w1)(dd) {u<v} (r − w1)(dd) para todos los v • E, r ≥ 1 y todos los w1,..., wn • PSH(­), 0 ≤ w1,..., wn ≤ 1. Prueba. Que j} sea una secuencia de agotamiento creciente de subdominios relativamente compactos de . Conjunto μj = 1/j1{uj}(dd c)n, donde 1E denota la función característica de E. Aplicando el teorema 4.1 tenemos μj = 1/j1{uj}(dd c max(u,−j))n ≤ 1j (dd c max(u,-j))n. Tómese el valor de la letra C(). Poner * j = max(u,-j, aj.) donde aj = . A continuación, en el punto 1 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1308/2013, se añade el punto 2 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1308/2013. μj ≤ 1j (dd c max(u,-j))n = 1j (dd n ≤ (ddcŁj) Por el teorema de Ko lodziej (véase [Ko]) existe uj E0 tal que (ddcuj) n = μj = 1£j1{uj}(dd c)n,  j ≥ 1. para todos los j ≥ 1. Por el principio de comparación tenemos uj ≥ u. Por otro lado, desde (ddcu)n({u = ) = 0, se deduce que (ddcuj) n = 1/j1{uj}(dd cu)n → (ddcu)n débilmente como j → فارسى. Por lo tanto (ddc)n = lim (ddcuj) n = (ddcu)n. Por la hipótesis que tenemos • = u. Aplicando el teorema 4.7 obtenemos {uj<v} (v − uj) nddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + {uj<v} (r − w1)(dd) {uj<v} (r − w1)(dd) {uj<v} (r − w1)(dd) c)n. Dejando j → فارسى obtenemos {u<v} (v − u)nddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) Argumentando como en Teorema 4.7 probamos un principio de comparación tipo Xing para E. 4.9. Teorema. Let u, v â € E y 1 ≤ k ≤ n de tal manera que lim [u(z) − v(z)] ≥ 0. Entonces {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Prueba. Vamos a â € > 0. Se establece = max(u, v − ). Por b) en la Proposición 3.1 tenemos ( − u)kddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) u)k Ł ddcwk+1 Ł... Ł dd Desde {u < = {u < v − y teorema 4.1 tenemos {u<v (v- u)kddcw1 cwn + {u≤v (r-w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u≤v (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Dejando que 0 obtengamos {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) u)k Ł ddcwk+1 Ł... Ł dd Bibliografía [Åh] P. Åhag, el complejo operador Monge-Ampère en dominios hiperconvexos limitados, Ph. D. Tesis, Universidad de Umeoa, (2002). [Bl1] Z. Blocki, Sobre la definición del operador Monge-Ampère en C2, Math. Ann., 328 (2004), 415-423. [Bl2] Z. Blocki, Soluciones débiles a la compleja ecuación de Hessian, Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1735-1756. [BT1] E. Bedford y B.A. Taylor, El problema de Dirichlet para el complejo Monge-Ampère Operadora. Inventar. Math.37 (1976), 1-44. [BT2] E. Bedford y B.A. Taylor, Una nueva capacidad para funciones plurisubarmónicas. Acta Math., 149 (1982), 1-40. [BT3] E. Bedford y B.A. Taylor, topología fina, límite de Silov, y (ddc)n. J. Funct. 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En este artículo probaremos primero un resultado sobre la convergencia en capacidad. Utilizando el resultado logrado obtendremos un teorema general de descomposición para complejo Monge-Ampere measues que se utilizará para probar un principio de comparación para el complejo operador Monge-Ampere.

Introducción Deje que  sea un dominio hiperconvexo limitado en Cn. Por PSH(l) denotamos el conjunto de plurisub- funciones armónicas (psh) en . En [BT 1,2] los autores establecieron y utilizaron el compari- principio para estudiar el problema de Dirichlet en PSH-L-L-Loc. Recientemente, Cegrell introdujo una clase general E de psh funciones en las que el operador Monge-Ampère complejo (ddc.)n se puede definir. Obtuvo muchos resultados importantes de la teoría pluripotencial en la clase E. Por ejemplo, los relativos al principio de comparación y la solvabilidad del problema de Dirichlet (véase [Ce 1-3)). El resultado principal de nuestro trabajo son el Teorema 4.1 y algunos principios de comparación tipo Xing. Teorema 4.1 es generalizar Lemma 5.4 en [Ce1], Lemma 7.2 en [Åh] y Lemma 3.4 en [Ce3]. Para las definiciones de las clases de Cegrell, véase la sección 2. Después de dar algunos preliminares, empezamos en Proposición 3.1 con un principio de comparación, que es análogo a un principio de comparación debido a Xing (Lemma 1 en [Xi1]). Hay que observar que nuestra prueba es muy diferente. de la prueba de Xing, y la desigualdad que obtenemos es ligeramente más fuerte que la desigualdad de Xing, incluso en el caso de funciones de psh limitada. Usando la Proposición 3.1, damos en Teorema 3.5 una condición suficiente para la convergencia de la capacidad de Cn de una secuencia de funciones psh en la clase F. Este resultado debe compararse con el Teorema 3 de [Xi1] donde la situación se estudiaron las funciones de psh limitada. Aplicando el teorema 3.5 damos generalizaciones de resultados recientes en [Cz] y [CLP] sobre convergencias de funciones multipolo verde y un criterio de pluripolaridad, respectivamente. La sección 4 se centra en el teorema 4.1 y el teorema 4.9. Aplicando el Teorema 4.1 damos algunos resultados sobre las clases de la clase Cegrell. Demostramos en Propuesta 4.4 Una estimación local para la medida Monge-Ampère en términos de la Beford- Capacidad relativa de Taylor. Como aplicación, damos en Teorema 4.5 un resultado de descomposición para la medida Monge-Ampère, que es similar en espíritu a Teorema 6.3 en [Ce1]. Desde Proposición 3.1 y Teorema 4.1 obtenemos fácilmente un principio de comparación tipo Xing para funciones en las clases F y E. Agradecimiento. Estamos agradecidos al profesor Urban Cegrell por las útiles discusiones que ayudó a mejorar el papel. Estamos agradecidos a Per Åhag por sus comentarios fructíferos. Esto El trabajo es apoyado por el Programa Nacional de Investigación en Ciencias Naturales, Vietnam. http://arxiv.org/abs/0704.0359v1 2. Preliminares Primero recordamos algunos elementos de la teoría pluripotencial que serán utilizados a lo largo de la papel. Todo esto se puede encontrar en [BT2], [Ce1], [Ce2], [Le]. 2.1. Siempre vamos a denotar un dominio hiperconvexo limitado en Cn a menos que otro sabio indicado. La capacidad de Cn en el sentido de Bedford y Taylor en  es la función de conjunto dada Cn(E) = Cn(E) = sup{ (ddcu)n: u • PSH(), −1 ≤ u ≤ 0} por cada Borel set E en E. Se demuestra en [BT2] que Cn(E) = (ddch*E, donde h*E,l es la regularización superior de la función extremal relativa hE,l para E (relativa i) es decir, hE,(z) = sup{u(z) : u-PSH −(l), u ≤ −1 en E}. Los siguientes conceptos se toman de [Xi1] y [Xi2] *Se dice que una secuencia de funciones uj en ♥ convergen a una función u en Cn-capacidad en un si para cada uno de ellos tenemos Cn({z E : uj(z) − u(z) > ) → 0 como j → فارسى. *Una familia de medidas positivas sobre ♥ se llama uniformemente absolutamente continua con el respeto de la capacidad de Cn en un conjunto E â ¬ si por cada â > 0 existe â > 0 tal que para cada subconjunto de Borel F â € E con Cn(F)< â € la desigualdad â € (F)< â € tiene para todos α. Escribimos Cn en E uniformemente para α. 2.2. Las siguientes clases de funciones psh fueron introducidas por Cegrell en [Ce1] y [Ce2] E0 = E0() = PSH − (l) • L • (l) : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (z) = 0, (ddcl)n <, F = F(♥) = PSH−(l) : E0(l) Łj l, sup (ddclj) n <, E = E() = • PSH−(­) : • • K • F(­) de tal manera que • K = • en K, • K , Ea = Ea() = {u E() : (ddcu)n(E) = 0 ♥ E es pluripolar en. Para cada u F(­), establecemos e0(u) = (ddcu)n. 2.3. Let A = {(wj, νj)}j=1,...,p ser un subconjunto finito de  × R +. Según Lelong (véase [Le]), la función verde pluricomplejo con polos en A se define por g(A)(z) = sup{u(z) : u • LA} donde LA = {u • PSH −(l) : u(z) − νj log z − wj ≤ O(1) como z → wj, j = 1,..., p} /(A) = vnj, = {wj}j=1,...,p. 2.4. Escribimos lim [u(z) − v(z)] ≥ a si por cada • > 0 existe un conjunto compacto K en • de tal manera que u(z) − v(z) ≥ a− â € para z â € (K) â € {u > â € v(z) = â € para z â € (K) â € {u =. 2.5. Principio de comparación de Xing (véase Lemma 1 en [Xi1]). Let  ser un subconjunto abierto limitado En Cn y u, contra PSH-L-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-L-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l-l- [u(z)− v(z)] ≥ 0. Luego para cualquier constante r ≥ 1 y todos los wj â € € € € TM PSH(?) con 0 ≤ wj ≤ 1, j = 1, 2,..., n tenemos (n!)2 {u<v} (v − u)nddcw1 {u<v} (r − w1)(dd) v)n ≤ {u<v} (r − w1)(dd) 3. Algunos teoremas de convergencia Para estudiar la convergencia de una secuencia de funciones psh en Cn-capacidad, comenzamos con lo siguiente. 3.1. Proposición. a) Dejemos que u, v.F.F. que u ≤ v. on. A continuación, para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. b) Dejar u, v â E tal que u ≤ v en ♥ y u = v en K para algunos K ♥. Entonces para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Procedemos a través de algunos lemas. 3.2. Lemma. Let u, v â € € € ¢ PSH â € € € € TM Lâ € € TM Lâ € € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € [u(z) − v(z)] = 0. (v − u)kddcw T ≤ k (1 − w)(v − u)k−1ddcu para todas las corrientes cerradas positivas de W (+) PSH(+), 0 ≤ w ≤ 1, y todas las corrientes cerradas positivas T. Prueba. En primer lugar, supóngase u, v. Entonces, usando la fórmula Stokes que obtenemos (v − u)kddcw T = (v − u)kddc(w − 1) (w − 1)ddc(v − u)k = −k(k − 1) (1 − w)d(v − u) (1 − w)(v − u)k−1ddc(u− v) (1 − w)(v − u)k−1ddc(u− v) (1 − w)(v − u)k−1ddcu فارسى T. Caso general, para cada â € > 0 establecemos vâ = max(u, v − â €). Entonces vá vá en, vá ≥ u en y v = u en K para algunos K ♥. Por lo tanto (vá − u) kddcw T ≤ k (1 − w)(vá − u) k−1ddcu فارسى T. Desde 0 ≤ vá − u v − u como â                                                                            (v − u)kddcw T ≤ k (1 − w)(v − u)k−1ddcu فارسى T. 3.3. Lemma. Let u, v â € € € ¢ PSH â € € € € TM Lâ € € TM Lâ € € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € TM Lâ € [u(z) − v(z)] = 0. A continuación, para 1 ≤ k ≤ n (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k فارسى T (r − w1)(dd) c)k) T. para todos los w1,..., wk ­PSH(­), 0 ≤ wj ≤ 1 ­J = 1,..., k, wk+1,..., wn ­E y todos los r ≥ 1. Prueba. Para simplificar la notación que establecemos T = ddcwk + 1............................................................................................................................................................... En primer lugar, supóngase que u, v. PSH. L. L. L., u. ≤ v. on. y u. = v. en K. Uso Lemma 3.2 tenemos (v − u)kddcw1 cwn ≤ k (v − u)k−1ddcw1 cwk−1 فارسى dd c. T. ≤... (v − u)ddcw1 (dd) cu)k−1 فارسى T (v − u)ddcw1 (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (w1 − r)dd c(v − u) [ (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (r − w1)dd c(u− v) فارسى [ (ddcu)i (ddcv)k−i−1) (ddcu)i (ddcv)k−1) (r − w1)[(dd) c)k − (ddcv)k] فارسى T. Caso general, para cada â € > 0 ponemos vâ = max(u, v − â €). Entonces vá vá en, vá ≥ u en y v = u en K para algunos K ♥. Por lo tanto (vá − u) kddcw1....................................................................................................................................... cwn + (r − w1)(dd) k • T (r − w1)(dd) u)k فارسى T. Obsérvese que 0 ≤ vá − u v− u y (dd) (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (ddcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv)k (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) = (dcv) T = = = = = = = = = = = = = T = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = es inferior semicontinuous, dejando que 0 tenemos (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k فارسى T (r − w1)(dd) c)k) T. La prueba está terminada. Prueba de la Proposición 3.1. a) Que E0 uj u y E0 vj v como en la definición de F. Reemplazar vj por max(uj, vj) podemos suponer que uj ≤ vj para j ≥ 1. Por Lemma 3.3 tenemos (vj − ut) kddcw1....................................................................................................................................... cwn + (r − w1)(dd) k • ddcwk+1 •... • dd (r − w1)(dd) k • ddcwk+1 •... • dd para t ≥ j ≥ 1. Por Proposición 5.1 en [Ce2] dejando t → فارسى en la desigualdad antedicha que tenemos (vj − u) w1 #... # # # #... # # #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) k • T (r − w1)(dd) k) T para j ≥ 1. Siguiente dejando j → • otra vez por Proposición 5.1 en [Ce2] obtenemos el deseado conclusión. b) Que G, W sean conjuntos abiertos de tal manera que K G W. Según la observación siguiente Definición 4.6 en [Ce2] podemos elegir una función F tal que ≥ v y = v en W. Set u en G en G Ya que u = v = en W\K tenemos PSH−(­). Es fácil ver que F, ≤ y * = u en W. Por a) tenemos ( − ­)kddcw1 •... • dd cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) k) k) ddcwk+1 Desde que en G tenemos ( − ­)kddcw1 •... • dd cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ya que = u, = v en W y u = v en K obtenemos (v − u)kddcw1 cwn + (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 3.4. Proposición. Let u, v. F. y u. ≤ v. on. Entonces (v − u)nddcw1 (−w1)[(dd) u)n − (ddcv)n] en todos los casos en los que se utilice PSH(­), −1 ≤ wj ≤ 0, j = 1,..., n. Prueba. La proposición sigue de la Proposición 3.1 con k = n, r = 1 y wj se sustituyen por wj + 1. 3.5. Teorema. Que u, uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu Asumir que sup (ddcuj) n < Índice y (ddcuj) n − (ddcu)nE → 0 como j → • para todos los E. Entonces uj → u en Cn-capacidad en cada E ♥ como j →. Prueba. Dejemos que y ♥ > 0. Poner Aj = {z : uj − u ≥ = {z : u− uj ≥. Demostramos que Cn(Aj) → 0 como j →. Teniendo en cuenta el valor de 0 >. Por cuasicontinuidad de u y uj, allí es un conjunto abierto G en tal manera que Cn(G) <, y uj G, uG son continuos. Tenemos Aj = Bj • {z • G : u− uj ≥. donde Bj = {z G : u− uj ≥ son conjuntos compactos en ♥ y Cn(Aj) ≤ lim Cn(Bj) + Alegamos que lim Cn(Bj) = 0. Por la Proposición 3.4 tenemos Cn(Bj) = (ddch*Bj ) (u-uj) n(ddch*Bj ) −h*Bj )[(dd) n − (ddcu)n] (ddcuj) n − (ddcu)nK + (−h)[(dd) n + (ddcu)n]} (ddcuj) − (ddcu)nK + sup h [sup] (ddcuj) (ddcu)n]}. As lim h(z) = 0 existe K ♥ de tal manera que h [sup] (ddcuj) (ddcu)n] <. Por la hipótesis (ddcuj) n − (ddcu)nK < para j > j0. Cn(Bj) < 2° para j > j0. Esto demuestra la reclamación y, por lo tanto, el teorema. Como aplicación del Teorema 3.5 tenemos lo siguiente: 3.6. Proposición. Deja que g(Aj) sea funciones multipolares verdes en  de tal manera que Âj = {w 1,..., w } → y sup /(Aj) = sup )n < Índice Entonces g(Aj) → 0 como j → • en capacidad de Cn. Prueba. Por la hipótesis que tenemos (ddcg(Aj)) n() = sup /(Aj) <...................................................................................................................... (ddcg(Aj)) nK → 0 como j → • para todos los K ♥. Teorema 3.5 implica que g(Aj) → 0 como j → • en Cn-capacidad. Esta sección termina con un criterio de pluripolaridad 3.7. Teorema. Dejemos que uj F tal que sup (ddcuj) n <. Entonces hay una constante A > 0 tal que i) lim * F. ii) Cn({z • • : ( lim) ∗(z) < −t}) ≤ A iii) z) z): lim uj(z) = es pluripolar. Prueba. i) Para cada j ≥ 1 poner vj = sup{uj, uj+1,...}. Por [Ce2] v j • F y (ddcv*j ) n ≤ sup (ddcuj) n <. Por [Ce2] tenemos v*j v F. ii) Por la Proposición 3.1 en [CKZ] tenemos Cn{z ° ° : ( lim ∗(z) < −t} = Cn{z فارسى : v(z) < −t} ≤ 2ne0(v) donde A = 2ne0(v). iii) Según [BT2] tenemos Cn{z : lim uj(z) = = Cn{z : v(z) = = 0. Observación. Teorema 3.7 en el caso de las funciones multipolo D.Coman, N.Levenberg y A.Poletsky en Teorema 4.1 de [CLP]. 4. Algunas propiedades de las clases y aplicaciones de Cegrell En esta sección, primero demostramos lo siguiente: 4.1. Teorema. Let u, u1,..., un−1 â € E, v â € PSH −(l) y T = ddcu1 •... • dd cun−1. ddc max(u, v)  T u>v} = dd c. T u>v}. Necesitamos el siguiente hecho bien conocido. 4.2. Lemma. Let μ be a measure on Los a continuación son equivalentes i)μ(E) = 0 para todos los conjuntos de Borell E • {f 6= 0}. fdμ = 0 para cada conjunto medible E en . Prueba. i)lii) se deduce de: fdμ = E{f=0} fdμ + Ef=0} fdμ = 0 ii)eli). Basta con demostrar que μ = 0 en cada X. = {f > ♥ > 0}. Por el Hahn teorema de descomposición, existen subconjuntos medibles X+ y X− De tal manera que X.................................................................................................................................................................. =  y μ ≥ 0 en X+ , μ ≤ 0 en X− . Tenemos (X+) fdμ = 0 (X− fdμ = 0 Por lo tanto, μ(X+ ) = μ(X− ) = 0. Por lo tanto, tenemos μ = 0 en X. Prueba de Teorema 4.1. a) Primero probamos la proposición para v • a < 0. Según la observación siguiente: Definición 4.6 en [Ce2], sin pérdida de generalidad podemos suponer que u, u1,..., un−1 â € F. Utilizando el teorema 2.1 en [Ce2] podemos encontrar E0 C() u * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * uk, k = 1,..., n− 1. Ya que {uj > a} está abierto tenemos ddc max(uj, a) Tj uj>a} = dd cúj. Tj uj>a}. Así, a partir de la inclusión {u > a} {uj > a} obtenemos ddc max(uj, a) Tj u>a} = dd cúj. Tj u>a}. donde Tj = dd 1 #... # # # # 1 #... # # # # 1 #... # # # # # 1 #... # # # # # 1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n−1. Por corolario 5.2 en [Ce2], se deduce que max(u− a, 0)ddc max(uj, a) Tj → max(u− a, 0)dd c max(u, a) T. max(u− a, 0)ddcuj  Tj → max(u− a, 0)dd c. T. Por lo tanto max(u− a, 0)[ddc max(u, a) T- ddcu فارسى T] = 0. Usando Lemma 4.2 tenemos ddc max(u, a) T = ddcu فارسى T on {u > a}. b) Asumir que v. Desde {u > v} = {u > a > v}, basta con mostrar ddc max(u, v) T = ddcu فارسى T on {u > a > v} para todos un Q−. Desde max(u, v) E, por a) tenemos ddc max(u, v)  T max(u,v)>a} = dd c max(u, v), a) T max(u,v)>a} = ddc max(u, v, a) T max(u,v)>a}. (2) ddcu فارسى T u>a} = dd c max(u, a) T u>a}. Desde max(u, v, a) = max(u, a) en set open {a > v}, tenemos (3) ddc max(u, v, a) T a>v} = dd c max(u, a) T a>v}. Desde {u > a > v} {u > a}, {a > v}, {max(u, v) > a} y (1), (2), (3) tenemos ddc max(u, v) T u>a>v} = dd c. T u>a>v}. El siguiente resultado es un análogo de una desigualdad debida a Demaily en [De2] 4.3. Proposición. (ddcu)n({u = v = ) = 0. Entonces (ddc max(u, v))n ≥ 1{u≥v}(ddc c) n + 1{u<v}(dd donde 1E denota la función característica de E. b) Dejar μ ser una medida positiva que desaparece en todos los subconjuntos pluripolares de Supón u, v • E tal que (ddcu)n ≥ μ, (ddcv)n ≥ μ. A continuación (ddc max(u, v))n ≥ μ. Prueba. a) Para cada una de las categorías A° > 0 = {u = v − u = v =. Sin embargo, en la mayoría de los casos, el número de casos en los que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo ha sido inferior al de los casos en los que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo. * 6= * existe * j * 0 tal que (dd) c)n(Aj ) = 0 para j ≥ 1. Por otro lado, desde (ddcu)n({u = v = ) = 0 tenemos (ddcu)n({u = v− j}) = 0 para j ≥ 1. Desde el teorema 4.1. De ello se deduce que (ddc max(u, v − j)) n ≥ (ddc max(u, v − j)) nu>vj} + (dd) c max(u, v − j)) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. = (ddcu)nu≥vj} + (dd Cv)nu<vj} = 1{u≥vj}(dd c)n + 1{u<vj}(dd ≥ 1{u≥v}(dd c)n + 1{u<vj}(dd cv)n. Dejando j → y por Observación bajo Teorema 5.15 en [Ce2] obtenemos (ddc max(u, v))n ≥ 1{u≥v}(ddc c) n + 1{u<v}(dd porque max(u, v − ) max(u, v) y 1{u<vj} 1{u<v} como j → فارسى. b) Argumento como a) 4.4. Proposición. Let u1,..., uk • PSH(­) • L Después de la votación, se procederá a la votación sobre la solicitud de votación anticipada de la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo relativa a la posición común del Consejo sobre la posición común del Consejo sobre la posición común: Bol. ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = O((Cn(B)) n ) para todos los conjuntos de Borel B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o((Cn(B(a, r))) n ) como r → 0 para todos los a. donde B(a, r) = {z Cn : z − a < r} Prueba. Podemos suponer que 0 ≤ uj ≤ 1 para j = 1,..., k. Por otra parte, por la observación Después de la definición 4.6 en [Ce2] podemos asumir de nuevo que uk+1,..., un F. i) Para cada conjunto abierto B ♥, aplicando la Proposición 3.1 obtenemos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = (-h*B) kddcu1......................................................................................................................... (-h*B) kddcu1......................................................................................................................... (1 − u1)(dd) ch*B) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (ddch*B) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ≤ k![ (ddch*B) n+ [ (ddcuk+1) n.o... [ (ddcun) (por corolario 5.6 en [Ce2]) ≤ k!(e0(uk+1)) n...(e0(un)) n.[Cn(B)] ≤ constantes.[Cn(B)] Por lo tanto ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun ≤ constantes.[Cn(B)] para todos los Borel set B â € TM. ii) Por la Proposición 3.1 tenemos ()kddcu1 •... • dd un ≤ k! (1 − u1)(dd) * k * ddcuk+1 *... * dd * (ddcŁ)k Ł ddcuk+1 Ł... Ł dd cun < â € € TM. Por lo tanto ()k L1(dd) # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun) para todos los grupos de edad (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) () (e) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Teniendo en cuenta un # # # dejar r0, R0 tal que B(a, r0)  B(a, R0). Entonces z − a ≤ ga(z) ≤ log z − a para todos z â ¬, donde ga denota la función verde de â € con polo en a. Desde (−ga) L1(dd) # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun), se deduce que B(a,r) (−ga) kddcu1......................................................................................................................... → 0 como r → 0 Por lo tanto (log r0 − log r) B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun ≤ B(a,r) (−ga) kddcu1......................................................................................................................... cun → 0 como r → 0. Esto significa que B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o(( log r0 − log r )k) como r → 0 Combinando esto con la desigualdad Cn(B(a, r) ≥ Cn(B(a, r), B(a, R0)) = ( logR0 − log r )n = O(( log r0 − log r)n ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. B(a,r) ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = o((Cn(B(a, r))) El siguiente resultado debe compararse con el Teorema 6.3 de [Ce1] 4.5. Teorema. Let u1,..., un â € E. Entonces existe â € € TM E a tal que ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = (dd) • n + ddcu1 •... • dd cunu1=...=un=. Prueba. Primero, escribimos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = μ + dd # Cu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cunu1=...=un=. donde μ = ddcu1 No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Es fácil ver que μ â € Cn en cada E â € TM. De hecho, por Teorema 4.1 tenemos ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cunu1j} = dd c max(u1, − j) Cunu1j}. Por lo tanto, en la Proposición 4.4 i) se deduce que ddcu1........................................................................................................... E ♥. A continuación, queda por demostrar que existe # # Ea tal que μ = (ddc)n. j} ser una secuencia de agotamiento creciente de. Para cada j ≥ 1 poner μj = j. Por [Åh] existe tal que (dd c. j.) n = μj. Observe que μj μ y (ddcÃ3j) n ≤ μ ≤ (ddc(u1 +... + un)) Aplicando el principio de comparación que obtenemos E.................................................................................................................... Por lo tanto, Ea y (ddc)n = lim (ddcÃ3j) n = μ. De este modo se completa la prueba. 4.6. Corollary. u1,..., un â € E. Entonces los siguientes son equivalentes i) ddcu1 •... • dd cun Cn en cada E. {u1=...=un= ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun = 0. {u1s,...,unsE ddcu1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cun → 0 como s → â € para todos los E â € €. Prueba. Aplicación directa del Teorema 4.5. El principio de comparación para la clase F se estudió en [Ce3] y [H1]. Usando la Proposición 3.1 y Teorema 4.1 probamos un principio de comparación tipo Xing para F 4.7. Teorema. Let u â € F, v â E y 1 ≤ k ≤ n. Entonces {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Prueba. Vamos a â € > 0. Se establece = max(u, v − ). Por a) en la Proposición 3.1 tenemos ( − u)kddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Desde {u < = {u < v − y teorema 4.1 tenemos {u<v (v- u)kddcw1 cwn + {u≤v (r-w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u≤v (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Dejando que 0 obtengamos {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 4.8. Corollary. Que u • Ea tal que u ≥ v para todas las funciones v • E satisfacer (ddcu)n ≤ (ddcv)n entonces {u<v} (v − u)nddcw1 {u<v} (r − w1)(dd) {u<v} (r − w1)(dd) para todos los v • E, r ≥ 1 y todos los w1,..., wn • PSH(­), 0 ≤ w1,..., wn ≤ 1. Prueba. Que j} sea una secuencia de agotamiento creciente de subdominios relativamente compactos de . Conjunto μj = 1/j1{uj}(dd c)n, donde 1E denota la función característica de E. Aplicando el teorema 4.1 tenemos μj = 1/j1{uj}(dd c max(u,−j))n ≤ 1j (dd c max(u,-j))n. Tómese el valor de la letra C(). Poner * j = max(u,-j, aj.) donde aj = . A continuación, en el punto 1 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1308/2013, se añade el punto 2 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1308/2013. μj ≤ 1j (dd c max(u,-j))n = 1j (dd n ≤ (ddcŁj) Por el teorema de Ko lodziej (véase [Ko]) existe uj E0 tal que (ddcuj) n = μj = 1£j1{uj}(dd c)n,  j ≥ 1. para todos los j ≥ 1. Por el principio de comparación tenemos uj ≥ u. Por otro lado, desde (ddcu)n({u = ) = 0, se deduce que (ddcuj) n = 1/j1{uj}(dd cu)n → (ddcu)n débilmente como j → فارسى. Por lo tanto (ddc)n = lim (ddcuj) n = (ddcu)n. Por la hipótesis que tenemos • = u. Aplicando el teorema 4.7 obtenemos {uj<v} (v − uj) nddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + {uj<v} (r − w1)(dd) {uj<v} (r − w1)(dd) {uj<v} (r − w1)(dd) c)n. Dejando j → فارسى obtenemos {u<v} (v − u)nddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) Argumentando como en Teorema 4.7 probamos un principio de comparación tipo Xing para E. 4.9. Teorema. Let u, v â € E y 1 ≤ k ≤ n de tal manera que lim [u(z) − v(z)] ≥ 0. Entonces {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 en todos los casos en que se trate de una sustancia activa, p. ej., p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. p. Prueba. Vamos a â € > 0. Se establece = max(u, v − ). Por b) en la Proposición 3.1 tenemos ( − u)kddcw1 #... # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # cwn + (r − w1)(dd) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (r − w1)(dd) u)k Ł ddcwk+1 Ł... Ł dd Desde {u < = {u < v − y teorema 4.1 tenemos {u<v (v- u)kddcw1 cwn + {u≤v (r-w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u≤v (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) c) k) k) ddcwk+1 Dejando que 0 obtengamos {u<v} (v − u)kddcw1 cwn + {u<v} (r − w1)(dd) cv)k Ł ddcwk+1 {u<vu=v= (r − w1)(dd) u)k Ł ddcwk+1 Ł... Ł dd Bibliografía [Åh] P. Åhag, el complejo operador Monge-Ampère en dominios hiperconvexos limitados, Ph. D. Tesis, Universidad de Umeoa, (2002). [Bl1] Z. Blocki, Sobre la definición del operador Monge-Ampère en C2, Math. Ann., 328 (2004), 415-423. [Bl2] Z. Blocki, Soluciones débiles a la compleja ecuación de Hessian, Ann. Inst. Fourier 55 (2005), 1735-1756. [BT1] E. Bedford y B.A. Taylor, El problema de Dirichlet para el complejo Monge-Ampère Operadora. Inventar. Math.37 (1976), 1-44. [BT2] E. Bedford y B.A. Taylor, Una nueva capacidad para funciones plurisubarmónicas. Acta Math., 149 (1982), 1-40. [BT3] E. Bedford y B.A. Taylor, topología fina, límite de Silov, y (ddc)n. J. Funct. 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Torsional oscillations of longitudinally inhomogeneous coronal loops

Astronomía y Astrofísica manuscrito no. 7246 c© ESO 2019 20 de agosto de 2019 Oscilaciones torsionales de la coronal longitudinalmente inhomógena bucles T.V. Zaqarashvili1 y K. Murawski2 1 Observatorio Astrofísico Nacional de Georgia (Observatorio Astrofísico de Abastumani), Kazbegi Ave. 2a, Tbilisi 0160, Georgia 2 Grupo de Astrofísica y Teoría de la Gravedad, Instituto de Física, UMCS, ul. Radziszewskiego 10, 20-031 Lublin, Polonia recibida/aceptada RESUMEN Apuntes. Exploramos el efecto de un campo de densidad de masa inhomógena en frecuencias y perfiles de ondas de oscilaciones torsionales de Alfvén en bucles coronales solares. Métodos. Las relaciones de dispersión para oscilaciones torsionales se derivan analíticamente en límites de inhomogeneidades débiles y fuertes. Estos Los resultados analíticos se verifican mediante soluciones numéricas, que son válidas para una amplia gama de resistencia a la inhomogeneidad. Resultados. Se demuestra que el campo de densidad de masa inhomógena conduce a la reducción de una frecuencia de onda de oscilaciones torsionales, en comparación con la de la densidad de masa estimada en el ápice del lazo. Esta reducción de frecuencia resulta de la disminución de un promedio La velocidad de Alfvén hasta el bucle inhomógeno es más densa en sus puntas de pie. Las relaciones de dispersión derivadas y los perfiles de onda son importante para las observaciones potenciales de oscilaciones torsionales que dan lugar a variaciones periódicas de las anchuras de las líneas espectrales. Conclusiones. Las oscilaciones torsionales ofrecen una poderosa herramienta adicional para el desarrollo de la sismología coronal. Palabras clave. Magnetohidrodinámica (MHD) – Sol: corona – Sol: oscilaciones 1. Introducción Las recientes observaciones basadas en el espacio revelaron una presencia de oos tipos de ondas magnetohidrodinámicas (MHD) y oscila- ciones en la corona solar. Estas observaciones, así como mod- eling de las ondas MHD son importantes ya que estas ondas contribuyen al problema de la calefacción coronal (Roberts 2000) y pueden consisten en una herramienta única de una sismología coronal (Edwin & Roberts 1983, Nakariakov & Ofman 2001). Perturbación rápida (Aschwanden et al. 1999, Nakariakov y otros 1999, Wang & Solanki 2004) y embutido (Nakariakov 2003, Pascoe et al. 2007), así como lento (de Moortel et al. 2002, Wang et al. 2003) oscilo magnetosónico se observó que las laciones estaban asociadas con o sin una llamarada solar. Estudios analíticos de estas oscilaciones en coronal los bucles se han llevado a cabo en las últimas décadas, entre otros, por Edwin & Roberts (1982, 1983), Poedts & Boynton (1996), Nakariakov (2003), Van Doorsselaere et al. (2004a, b), Ofman (2005), Verwichte y otros (2006) y Diáz y otros (2006). Los bucles coronales actúan como guías de ondas naturales para magnetosónicos y las ondas torsionales de Alfvén. Los últimos son puramente azimuthal os- cilaciones en geometría cilíndrica. En el régimen lineal, Alfvén las oscilaciones no conducen a perturbaciones de la densidad de masa. Como un re- Sulto, contrario a las ondas magnetosónicas, ondas torsionales Alfvén sólo se puede observar espectroscópicamente. Mientras se propagan a partir de la base de la corona solar a lo largo de líneas de campo magnético abierto, estas ondas pueden conducir a un aumento de una anchura de línea espectral con altura (Hassler et al. 1990, Banerjee et al. 1998, Doyle et al. 1998). En estructuras de campo magnético cerrado, tales como lazos coronales, estas ondas pueden ser observadas indirectamente como variaciones periódicas de ampliación no térmica de las líneas espectrales (Zaqarashvili 2003). Junto a las ondas magnetosónicas, las oscilaciones torsionales pueden ser utilizado para inferir, en el marco de la sismología coronal, plasma propiedades dentro de los bucles oscilantes. Estas oscilaciones son ideales Enviar solicitudes de impresión a: T. Zaqarashvili correo electrónico: temury@genao.org herramienta de sismología coronal ya que su velocidad de fase depende solo de cantidades plasmáticas dentro del bucle, mientras que las velocidades de onda de magne- oscilaciones tosónicas están influenciadas por las condiciones plasmáticas en el medio ambiente. Habiendo conocido la densidad de masa dentro de un bucle, sismología coronal, que se basa en oscilaciones torsionales, en- capaz de estimar una fuerza de campo magnético. Oscilla torsional... ciones son potencialmente importantes en el contexto de la rápida attenua. ión de oscilaciones de torneado coronal (Aschwanden et al. 1999, Nakariakov y otros 1999). Uno de los pocos mecanismos sugeridos de la atenuación es una absorción resonante de magnetosónico rápido ondas azimuthal Alfvén (Ruderman & Roberts) 2002). Este proceso puede conducir a una formación de oscil torsional laciones en la parte exterior de un bucle. Como resultado, detectar torsional oscilaciones después de que el modo de torcedura se atenuó serviría como una prueba de este mecanismo de atenuación. Estudio teórico de las oscilaciones de Alfvén en un bucle coronal fue llevado a cabo recientemente por Gruszecki et al. (2007) que con- oscilaciones generadas impulsivamente sidered en dos dimensiones topologías de campos magnéticos rectas y curvas. Encontraron que La fuga lateral de ondas de Alfvén hacia la corona ambiental es negativa. Lisiblemente pequeño. Sin embargo, se adoptaron perfiles de densidad de masa mogéneo dentro del bucle, mientras que las condiciones reales allí son Mucho más complejo. A pesar de los importantes logros alcanzados en el desarrollo de la modelos alisticos hay todavía mucho más esfuerzo necesario para desarrollar nuestro conocimiento de fenómenos de ondas en bucles coronales. Un objetivo de Este artículo es para estudiar la influencia de la masa inhomogénea den- campos de sity en el espectro de oscilaciones torsionales. El papel es o... ganizado de la siguiente manera. Soluciones analíticas para oscilaciones torsionales en un lazo coronal longitudinalmente inhomógeno se presentan en Secc. 2. Los resultados numéricos se muestran en la Secc. 3. Directrices para observaciones potenciales de estas oscilaciones se presentan en Secc. 4. El presente documento ha concluido con un debate y un breve resumen. mary de los principales resultados en Sect. 5. http://arxiv.org/abs/0704.0360v1 2 T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 2. Modelo analítico de oscilaciones torsionales Consideramos un bucle coronal de su densidad de masa inhomógena â € ¢0(z) y longitud 2L, que está incrustado en un campo magnético uniforme B = B0. Pequeña amplitud torsional Alfvén olas en un cilindri- sistema de coordenadas cal (r, , z), en el que dependen los perfiles plasmáticos en una coordenada longitudinal z solamente, puede ser descrito por el fol- Loading ecuaciones lineales: 40(z) , (1) , (2) donde los componentes de la velocidad y del campo magnético son uo y boo de las olas de Alfvén. Estas ecuaciones se pueden lanzar fácilmente en una sola onda equa- V2A(z) = 0, (3) donde VA(z) = B0/ 40(z) es la velocidad de Alfvén. Asumiendo que ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo e = 0. 4) Para una solución atrapada, debe satisfacer la línea de atar el límite de con- ciones que se ponen en práctica mediante el establecimiento de (z = ±L) = 0. 5) Ecuación (4) con condición (5) consiste en el conocido Sturm- El problema de Liuville qué solución depende del perfil de VA(z). Modelamos el bucle coronal por un plasma enrarecido en el ápice del bucle (a z = 0) y por plasma comprimido en los puntos de pie del bucle (z = ±L). Específicamente, adoptamos 0(z) = 0(z) 1 + α2 , (6) donde â € ¢00 es la densidad de masa en el ápice del lazo y α 2 es un param- eter que define una fuerza de la inhomogeneidad. Para α2 = 0 el perfil de densidad de masa anterior corresponde a un lazo, mientras que para un valor mayor de α2 el medio es más inhomo- Generoso. En la figura 1 se ilustra el valor 0(z) de α 2 = 50. La densidad de masa está descrito por Eq. (6) con 0-00 = 10 −12 kg m−3 y L = 25 mm. Tenga en cuenta que el plasma se comprime a z = ±L. Sustitución de Eq. 6) en Eq. 4), obtenemos 1 + α2 u. = 0, (7) donde VA0 = B0/ 400. Con un uso de la notación y # u #, x # z, a • − Eq. (7) puede ser reescrita en forma de Weber (cilíndrico parabólico) ecuación (Abramowitz & Stegun 1964) y = 0. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Fig. 1. Perfil espacial de la densidad de masa de fondo, +0(z), dado por Eq. (6) con α2 = 50. La densidad de masa y la longitud se expresan en unidades de 10-12 kg m−3 y 1 mm, respectivamente. Las soluciones estándar a esta ecuación se llaman Weber (parabólico funciones de cilindro (Abramowitz y Stegun 1964) W(a,±x) = (cosh?a)1/4 G1y1(x) 2G3y2(x) , (10) donde , G3 = y y1(x), y2(x) son, respectivamente, soluciones pares y impares a Eq. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y1(x) = 1 + a + · · ·, y2(x) = x + a + · · ·. 2.1. Dos soluciones limitativas Soluciones periódicas a Eq. (9) puede ser escrito analíticamente en el casos limitativos: a) por un valor elevado de un valor pero moderado de x; (b) para una x grande pero una a moderada. El primer caso (segundo) corresponde a α2 â € 1 (α2 â € 1). 2.1.1. Plasma débilmente inhomógeno En primer lugar, consideramos el caso de un depósito de masa débilmente inhomógeno. sity field, es decir, α2 â € 1. En este caso tenemos a < 0, −aâ ° x2, pâ ° −a. (12) Adoptamos la siguiente expansión (Abramowitz & Stegun 1964): W(a, x) + iW(a,−x) = 2W(a, 0) exp [vr + i(px + η/4 + vi)], (13) donde W(a, 0) = , (14) vr = − (x/2)2 (2p)2 2 x/2/4 (2p)4 + · · ·, vi = 2/3(x/2)3 + · · ·. (15) T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 3 Como resultado de la relación −a® x2 tenemos de Eq. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. W(a, x) = 2W(a, 0) exp cos فارسى, (16) W(a,−x) = 2W(a, 0) exp sin................................................................................................................................................................................. • • px + η/4 + . (18) La solución general a Eq. (9) es = c1W(a, x) + c2W(a,−x), (19) donde c1 y c2 son constantes. Para un bucle homogéneo, es decir, α2 = 0, reconocemos el pozo Solución conocida c1 cos (kz + η/4) + c2 sin (kz + η/4). (20) Aquí el número de onda k satisface el siguiente dis- homogéneo relación de persión: . (21) Condiciones límite de vinculación de la línea de Eq. (5) conducen entonces a la discreción valores de la frecuencia de onda, a saber. 1 + α2/6 , n = 1, 2, 3,... (22) De esta relación de dispersión inferimos que en una comparación con el lazo con una distribución homogénea de la densidad de masa, débilmente inhomógeno campo de densidad de masa resulta en una disminución de una frecuencia de onda. Esta reducción es consecuencia del hecho de que que el lazo inhomogéneo es más denso en sus puntas de pie, por lo que el la velocidad media de Alfvén disminuye. Para mostrar esto, comparamos el resultados para el bucle inhomógeno con el bucle homogéneo con la misma densidad media, de modo que ambos bucles contienen exactamente la misma masa (Andries et al. 2005). Introducimos una frecuencia diferencia n = n − n, (23) donde n = V̄A0 = 4η 0 corresponde a la densidad media de la masa 0 = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z) . (25) Sustitución de Eq. (25) en Eq. (24), obtenemos n = 1 + α2/3 . 26) De Eqs. (23) y (26) encontramos que n ≤ 0. Aquí inferimos que en comparación con el caso de densidad media de masa la onda frecuencia se reduce, pero como resultado de α2 â € 1 la frecuencia la reducción es pequeña. Esto está en desacuerdo con la ley de Fermat y con los resultados de Murawski et al. (2004) que demostraron que Las ondas sonoras experimentan un aumento de frecuencia en el caso de un espacio- campo de densidad de masa aleatorio dependiente. 2.1.2. Plasma fuertemente inhomógeno Discutimos ahora un caso de densidad de masa fuertemente inhomógeno, i.e. α2 â € 1. Este caso corresponde a x a. En este límite nosotros obtener (Abramowitz & Stegun 1964) W(a, x) = 2k/x(s1(a, x) cos(­) − s2(a, x) sin(­), (27) W(a,−x) = 2/kx(s1(a, x) sin(­) − s2(a, x) cos(­), (28) donde − a ln x + (1/2 + ia) , (29) 1 + e2ηa − eηa, (30) s1(a, x) + 1 + 1!2x2 2!22x4 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — s2(a, x) 1!2x2 2!22x4 + · · · (32) ur + ivr = Ł(r + 1/2 + ia)/­(1/2 + ia), r = 2, 4,.... (33) Las condiciones límite de Eq. (5) llevar a la fre- espectro de quency . (34) Aquí inferimos que la densidad de masa fuertemente inhomogénea- campo de sidad resulta en una disminución significativa de la frecuencia de una onda en comparación con el caso del lazo con la densidad constante, +00. Esta disminución de la frecuencia de onda es consecuencia del hecho de que el lazo inhomógeno es más denso en sus puntas de pie. Sustitución Eq. (34) en Eq. (23) encontramos que n > 0. Esta frecuencia de onda disminución, en comparación con el caso de una densidad media de masa está ahora en un acuerdo con la ley de Fermat y con los resultados de Murawski et al. (2004). 3. Resultados numéricos Se realizan simulaciones numéricas para Eqs. 1), 2) con una adaptación de CLAWPACK que es un paquete de software de- firmado para calcular soluciones numéricas a dif parcial hiperbólica ecuaciones ferenciales utilizando un enfoque de propagación de ondas (LeVeque 2002). La región de simulación (−L, L) está cubierta por un uniforme cuadrícula de 600 celdas numéricas. Se verificaron mediante estudios de convergencia que esta cuadrícula no introduce mucha difusión numérica y como un resultado representa bien la región de simulación. Nos fijamos reflec- las condiciones límite en los límites izquierdo y derecho de la región de simulación. En la figura 2 se muestra un perfil espacial de la velocidad de α 2 = 50, dibujado en t = 1000 s (línea sólida). Este perfil espacial resulta de el pulso gaussiano inicial que fue lanzado en t = 0 en el centro de la región de simulación, en z = 0. Es digno de mención que el seno- perfil de onda de Eq. (20), que es válido para α2 = 0 (línea de sujeción), es distorsionado por la fuerte inhomogeneidad que tiene lugar para el caso de α2 = 50. Como consecuencia del período de la ola de inhomogeneidad es al- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La figura 3 muestra el periodo de onda P vs. param de inhomogeneidad eter α2. Los diamantes representan las soluciones numéricas mientras que el líneas sólidas corresponden a la solución analítica a Eqs. (22) (arriba y (34) (panel inferior). Períodos de onda se obtuvieron por Análisis de Fourier de las señales de onda que se recogieron en el tiempo en la ubicación espacial fija, z = 0. Es discernible que el nu- Los datos mericos se ajustan bastante bien a las curvas analíticas. Un crecimiento de 4 T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal Fig. 2. Perfil de velocidad evaluado numéricamente en t = 1000 s para α2 = 50 (línea sólida). Este perfil corresponde al modo n = 1. Nota que como resultado de una fuerte inhomogeneidad, u♥ se aparta de la onda sinusoidal que corresponde a α2 = 0. La línea discontinua corresponde a Eq. (20) con c1 = c2 = 0,5. Fig. 3. Período de onda P = ­/2η vs. α2 para el número de modo n = 1. Los diamantes corresponden a las soluciones numéricas de Eqs. 1), 2). Sólido las líneas se dibujan con el uso de la solución analítica a Eqs. 22) y 34). El período de onda se expresa en segundos. período de onda P con α2 resultados de dispersión de onda en los centros de la inhomogeneidad y se puede explicar en simple física - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En una frecuencia de onda de campo inhomogénea oscilaciones torsionales pueden estimarse a partir de los siguientes Mula: V̄A0, (35) donde V̄A0 es la velocidad media de Alfvén que se expresa por Eq. (24). Utilizando P = 2 4η 0 . (36) Como 0 crece con α, el crecimiento de P con α resulta en. 4. Posibles observaciones de oscilaciones torsionales Las oscilaciones torsionales de un bucle coronal pueden dar lugar a variaciones de la línea espectral ampliación no térmica (expresado por una anchura de media línea, B, en adelante HW) (Zaqarashvili 2003). Por una bucle homogéneo, HW se puede expresar como B = OVA0 sin(nt)sin(knz), (37) donde u es una amplitud de oscilaciones,  es una longitud de onda de la línea espectral y c es la velocidad de la luz. Variaciones periódicas de El ancho de la línea espectral depende de una altura por encima de la superficie solar: una variación más fuerte corresponde al antinodo de la onda y el lugar de una variación de la falta de anchura de la línea corresponde a los nodos (Puntos de pie de lazo). Por lo tanto, la serie temporal de espectroscopía ob- las servaciones pueden permitir determinar un período de onda. Conocer un longitud del bucle, podemos estimar la velocidad de Alfvén, que en giro da la posibilidad de inferir la fuerza del campo magnético en el corona. Estimamos el valor esperado de las variaciones de ancho de línea que resultan de oscilaciones torsionales. Para un coronal típico Velocidad de Alfvén de 800 km/s, una amplitud de torsional lineal oscilación puede ser de 40 km/s, que consiste en el 5% de la Alfvén velocidad. Para la línea coronal “verde” Fe XIV (5303 Å) de Eq. (37) obtenemos B 0.7 Å. 38) Este valor es aproximadamente dos veces mayor que la térmica original amplia- ening de la línea Fe XIV. Como consecuencia, oscilaciones torsionales puede ser detectado en series temporales de los espectros de línea coronal verde. Para una distribución débilmente inhomógena de la densidad de masa a lo largo de un bucle, Eq. (22) permite estimar la velocidad de Alfvén a el ápice del lazo con la ayuda del período observado de HW vari- y una longitud de lazo. Para una densidad fuertemente inhomógena perfil a lo largo de un bucle, Eq. (34) muestra que un período de la ola de tor- oscilaciones sisionales no es sólo la relación de la longitud del lazo a la Alfvén velocidad, pero depende en gran medida de la tasa de inhomo- geneidad, α2. Por lo tanto, se requiere un esfuerzo adicional para aplicar el método de sismología coronal para el oscil torsional Laciones. Una variación espacial de la densidad de masa a lo largo del bucle puede ser estimado mediante una medición directa de la intensidad de la línea espectral variación a lo largo del bucle. Entonces, la variación estimada puede estar en forma. Ted a Eq. (6), y por lo tanto un valor de α2 se puede inferir. Eq. (34) proporciona un valor de VA0 en la cumbre del bucle. Otra posibilidad es recoger series temporales de observaciones espectroscópicas a ent posiciones del bucle. Una variación espacial del ancho de línea a lo largo el bucle puede ser comparado con la trama teórica de u. (Fig. 2), que permite estimar α2 y, en consecuencia, la velocidad de Alfvén a el ápice del lazo (con un uso de Eqs. 22) o 34). T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 5 5. Discusión y resumen Se cree comúnmente que las ondas de Alfvén se generan en el interior solar bien por convección (granulación, supergranula- o por cualquier otro tipo de flujo plasmático (rotación diferencial, oscilaciones solares globales). Debido a su naturaleza incomprimible, estas ondas pueden transportar energía de la superficie solar a la solar corona y, por lo tanto, pueden contribuir significativamente a la calentamiento nal y aceleración del viento solar. En bucles magnéticos cerrados las ondas Alfvén pueden establecer las oscilaciones torsionales de pie, mientras que en las estructuras magnéticas abiertas estas ondas pueden propagarse hasta el viento solar. Como resultado, las observaciones de las ondas de Alfvén puede ser de vital importancia para los problemas de la calefacción de plasma y aceleración de partículas. Las ondas Alfvén que se propagan a lo largo del campo magnético abierto líneas pueden conducir a un crecimiento de un ancho de línea espectral con altura (Hassler y otros 1990, Banerjee et al. 1998; Doyle et al. 1998). Sin embargo, a algunas altitudes el ancho de la línea espectral revela un sud- den se cae (Harrison et al. 2002; O’Shea et al. 2003, 2005). Esto fenómeno se explica recientemente por la transferencia de energía resonante en ondas acústicas (Zaqarashvili et al. 2006). Por otra parte, los movimientos fotosféricos pueden establecer tor- oscilaciones sisionales en sistemas de bucle magnético cerrado, que pueden se observarán espectroscópicamente como variaciones periódicas de ancho de línea (Zaqarashvili 2003). Como resultado, la observación de Las ondas de Alfvén se pueden utilizar como una poderosa herramienta adicional de nal sismología; el período observado y la longitud media del lazo en- capaz de estimar la velocidad de Alfvén dentro de un bucle, que a su vez permite inferir una fuerza de campo magnético media. Además de su origen fotográfico, las olas torsionales de Alfvén se puede generar en la corona solar en un proceso de resonancia ab- la absorción de las oscilaciones globales (Ruderman & Roberts 2002, Goossens et al. 2002, Andries et al. 2005, Terradas et al. 2006). Estas oscilaciones pueden excitar las ondas de Alfvén en el inho- parte mogénea de un lazo, que conduce a la atenuación del oscil global laciones y amplificación de oscilaciones torsionales. Estos Alfvén oscilaciones pueden ser detectadas como variaciones periódicas de la línea espectral Anchura. Como consecuencia, las observaciones de las ondas de Alfvén pueden ser una clave para la determinación de un mecanismo de amortiguación del bucle oscilaciones globales. Dinámica de las ondas torsionales de Alfvén en un bucle homogéneo se puede resolver fácilmente. Sin embargo, los bucles coronales reales son largos. nally inhomógenous, que conduce a la alteración de la onda dinam- ics (Arregui y otros 2005, 2007, Van Doorsselaere et al. 2004a, b, Donnelly et al. 2006, Dymova & Ruderman 2006, McEwan et al. 2006). Por lo tanto, la dinámica de las ondas de Alfvén en longitudi- Los bucles coronales nally inhomógenos deben ser entendidos en orden proporcionar una base analítica para las posibles observaciones de oscilaciones. En este trabajo discutimos por análisis y números significa evolución de las ondas torsionales de Alfvén en un campo de densidad de masa. Los esfuerzos analíticos dieron lugar a la dispersión relaciones que se obtuvieron para una elección específica de un equilibrio perfil de densidad de masa del rio. Estas relaciones de dispersión fueron escritas... 10 explícitamente para dos casos limitantes: a) semanalmente inhomógenos y b) campos de densidad de masa fuertemente inhomógenos. De estos relaciones de dispersión inferimos que la inhomogeneidad resulta en una reducción de la frecuencia de las ondas en comparación con la de la cumbre del bucle. Este hallazgo analítico está apoyado por el n- datos mericales que revelan que se produce una reducción de la frecuencia fuera de la región de validez del enfoque analítico. As a resultado de eso afirmamos que una reducción de la frecuencia de onda es ubicuo para el campo de densidad de masa inhomogénea que consid- Ered. Esta reducción es una consecuencia de la dispersión de ondas en centros de homogeneidad y resulta de la reducción de la media Velocidad de Alfvén dentro de un bucle coronal. Esta reducción de frecuencia tiene implicaciones importantes en la medida en que las observaciones de las olas son - Sí, claro. Las fórmulas analíticas pueden utilizarse para la estimación de Parámetros plasmáticos coronales y, por tanto, ondas torsionales de Alfvén consisten en una poderosa herramienta adicional de sismología coronal. Agradecimientos: Los autores expresan su agradecimiento a la árbitro, Prof. S. Poedts, por sus estimulantes comentarios. La obra de T.Z. es apoyado por la concesión de la Ciencia Nacional de Georgia Fundación GNSF/ST06/4-098. Una parte de este trabajo es sup- portado por el Programa Internacional ISSI ”Olas en el Solar Corona”. Bibliografía Abramowitz, M., & Stegun, I.A. 1964, Manual de Funciones Matemáticas (Washington, D.C.: Oficina Nacional de Normas) Andries, J., Goossens, M., Hollweg, J. V., Arregui, I., & Van Doorsselaere, T. 2005, A&A, 430, 1109 Arregui, I., Van Doorsselaere, T., Andries, J., Goossens, M., & Kimpe, D. 2005, A&A, 441, 361 Arregui, I., Andries, J., Van Doorsselaere, T., Goossens, M., & Poedts, S. 2007, A&A, 463, 333 Aschwanden, M.J., Fletcher, L., Schrijver, C.J., & Alexander, D. 1999, ApJ, 520, Banerjee, D., Teriaca, L., Doyle, J., & Wilhelm, K. 1998, A&A, 339, 208 De Moortel I., Ireland J., Walsh R. W. & Hood A. W. 2002, Sol. Phys., 209, 61 Diáz, A., Zaqarashvili, T.V., & Roberts, B. 2006, A&A, 455, 709 Donnelly, G.R., Diáz, A., & Roberts, B. 2006, A&A, 457, 707 Doyle, J., Banerjee, D. & Perez, M. 1998, Sol. Phys., 181, 91 Dymova, M. V., & Ruderman, M. S. 2006, A&A, 457, 1059 Edwin, P.M., & Roberts, B. 1982, Sol. Phys., 76, 239 Edwin, P.M., & Roberts, B. 1983, Sol. Phys., 88, 179 Goossens, M., Andries, J., & Aschwanden, M.J. 2002, A&A, 394, L39 Gruszecki, M., Murawski, K., Solanki, S., & Ofman, L. 2007, A&A, (en prensa) Harrison, R.A., Hood, A.W., & Pike, C.D. 2002, A&A, 392, 319 Hassler, D.M., Rottman, G.J., Shoub, E.C., & Holzer, T.E. 1990, ApJ, 348, L77 LeVeque, R.J. 2002, Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos, Prensa de la Universidad de Cambridge McEwan, M. P., Donnelly, G. R., Diaz, A. J. & Roberts, B. 2006, A&A, 460, Murawski, K., Nocera, L. y Pelinovsky, E. N. 2004, Waves in Random Media, 14, 109 Nakariakov, V.M., Ofman, L., Deluca, E.E., Roberts, B., & Dávila, J.M. 1999, Ciencia, 285, 862 Nakariakov, V.M., & Ofman, L. 2001, A&A, 372, L53 Nakariakov, V.M. 2003, en The Dynamic Sun (Ed. B. Dwivedi), CUP O’Shea, E., Banerjee, D., & Poedts, S. 2003, A&A, 400, 1065 O’Shea, E., Banerjee, D., & Doyle, J.G. 2005, A&A, 436, L35 Ofman, L. 2005, Adv. Space Res., 36, 1772 Pascoe, D.J., Nakariakov, V.M. & Arber, T.D. 2007, A&A, 461, 1149 Poedts, S. & Boynton, G.C. 1996, A&A, 306, 610 Roberts, B. 2000, Sol. Phys., 193, 139 Ruderman, M.S., & Roberts, B. 2002, ApJ, 577, 475 Terradas, J., Oliver, R., & Ballester, J.L. 2006, ApJ, 642, 533 Verwichte, E., Foullon, C., & Nakariakov, V.M. 2006, A&A, 449, 769 Wang, T., Solanki, S.K., Innes, D.E., Curdt, W., & Marsch, E. 2003, A&A, 402, Wang, T.J., & Solanki S.K. 2004, A&A, 421, L33 Zaqarashvili, T.V., 2003, A&A, 399, L15 Zaqarashvili, T.V., Oliver, R., & Ballester, J.L. 2006, A&A, 456, L13 Van Doorsselaere, T., Andries, J., Poedts, S. & Goossens, M., 2004a, ApJ, 606, Van Doorsselaere, T., Debosscher, A., Andries, J. & Poedts, S., 2004b, A&A, 424, 1065 Introducción Modelo analítico de oscilaciones torsionales Dos soluciones limitativas Plasma débilmente inhomógeno Plasma fuertemente inhomógeno Resultados numéricos Posibles observaciones de oscilaciones torsionales Discusión y resumen

Exploramos el efecto de un campo de densidad de masa inhomógena en las frecuencias y perfiles de ondas de oscilaciones torsionales de Alfven en bucles coronales solares. Las relaciones de dispersión para oscilaciones torsionales se derivan analíticamente en límites de inhomogeneidades débiles y fuertes. Estos resultados analíticos son: verificados por soluciones numéricas, que son válidas para una amplia gama de fuerza de inhomogeneidad. Se muestra que el campo de densidad de masa inhomógena conduce a la reducción de una frecuencia de onda de oscilaciones torsionales, en comparación con la de la densidad de masa estimada en el ápice del lazo. Esto reducción de frecuencia resulta de la disminución de una velocidad media de Alfven hasta como el lazo inhomogéneo es más denso en sus puntas de pie. La dispersión derivada relaciones y perfiles de onda son importantes para las observaciones potenciales de oscilaciones torsionales que dan lugar a variaciones periódicas de la línea espectral anchos. Las oscilaciones torsionales ofrecen una potente herramienta adicional para un desarrollo de la sismología coronal.

Introducción Las recientes observaciones basadas en el espacio revelaron una presencia de oos tipos de ondas magnetohidrodinámicas (MHD) y oscila- ciones en la corona solar. Estas observaciones, así como mod- eling de las ondas MHD son importantes ya que estas ondas contribuyen al problema de la calefacción coronal (Roberts 2000) y pueden consisten en una herramienta única de una sismología coronal (Edwin & Roberts 1983, Nakariakov & Ofman 2001). Perturbación rápida (Aschwanden et al. 1999, Nakariakov y otros 1999, Wang & Solanki 2004) y embutido (Nakariakov 2003, Pascoe et al. 2007), así como lento (de Moortel et al. 2002, Wang et al. 2003) oscilo magnetosónico se observó que las laciones estaban asociadas con o sin una llamarada solar. Estudios analíticos de estas oscilaciones en coronal los bucles se han llevado a cabo en las últimas décadas, entre otros, por Edwin & Roberts (1982, 1983), Poedts & Boynton (1996), Nakariakov (2003), Van Doorsselaere et al. (2004a, b), Ofman (2005), Verwichte y otros (2006) y Diáz y otros (2006). Los bucles coronales actúan como guías de ondas naturales para magnetosónicos y las ondas torsionales de Alfvén. Los últimos son puramente azimuthal os- cilaciones en geometría cilíndrica. En el régimen lineal, Alfvén las oscilaciones no conducen a perturbaciones de la densidad de masa. Como un re- Sulto, contrario a las ondas magnetosónicas, ondas torsionales Alfvén sólo se puede observar espectroscópicamente. Mientras se propagan a partir de la base de la corona solar a lo largo de líneas de campo magnético abierto, estas ondas pueden conducir a un aumento de una anchura de línea espectral con altura (Hassler et al. 1990, Banerjee et al. 1998, Doyle et al. 1998). En estructuras de campo magnético cerrado, tales como lazos coronales, estas ondas pueden ser observadas indirectamente como variaciones periódicas de ampliación no térmica de las líneas espectrales (Zaqarashvili 2003). Junto a las ondas magnetosónicas, las oscilaciones torsionales pueden ser utilizado para inferir, en el marco de la sismología coronal, plasma propiedades dentro de los bucles oscilantes. Estas oscilaciones son ideales Enviar solicitudes de impresión a: T. Zaqarashvili correo electrónico: temury@genao.org herramienta de sismología coronal ya que su velocidad de fase depende solo de cantidades plasmáticas dentro del bucle, mientras que las velocidades de onda de magne- oscilaciones tosónicas están influenciadas por las condiciones plasmáticas en el medio ambiente. Habiendo conocido la densidad de masa dentro de un bucle, sismología coronal, que se basa en oscilaciones torsionales, en- capaz de estimar una fuerza de campo magnético. Oscilla torsional... ciones son potencialmente importantes en el contexto de la rápida attenua. ión de oscilaciones de torneado coronal (Aschwanden et al. 1999, Nakariakov y otros 1999). Uno de los pocos mecanismos sugeridos de la atenuación es una absorción resonante de magnetosónico rápido ondas azimuthal Alfvén (Ruderman & Roberts) 2002). Este proceso puede conducir a una formación de oscil torsional laciones en la parte exterior de un bucle. Como resultado, detectar torsional oscilaciones después de que el modo de torcedura se atenuó serviría como una prueba de este mecanismo de atenuación. Estudio teórico de las oscilaciones de Alfvén en un bucle coronal fue llevado a cabo recientemente por Gruszecki et al. (2007) que con- oscilaciones generadas impulsivamente sidered en dos dimensiones topologías de campos magnéticos rectas y curvas. Encontraron que La fuga lateral de ondas de Alfvén hacia la corona ambiental es negativa. Lisiblemente pequeño. Sin embargo, se adoptaron perfiles de densidad de masa mogéneo dentro del bucle, mientras que las condiciones reales allí son Mucho más complejo. A pesar de los importantes logros alcanzados en el desarrollo de la modelos alisticos hay todavía mucho más esfuerzo necesario para desarrollar nuestro conocimiento de fenómenos de ondas en bucles coronales. Un objetivo de Este artículo es para estudiar la influencia de la masa inhomogénea den- campos de sity en el espectro de oscilaciones torsionales. El papel es o... ganizado de la siguiente manera. Soluciones analíticas para oscilaciones torsionales en un lazo coronal longitudinalmente inhomógeno se presentan en Secc. 2. Los resultados numéricos se muestran en la Secc. 3. Directrices para observaciones potenciales de estas oscilaciones se presentan en Secc. 4. El presente documento ha concluido con un debate y un breve resumen. mary de los principales resultados en Sect. 5. http://arxiv.org/abs/0704.0360v1 2 T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 2. Modelo analítico de oscilaciones torsionales Consideramos un bucle coronal de su densidad de masa inhomógena â € ¢0(z) y longitud 2L, que está incrustado en un campo magnético uniforme B = B0. Pequeña amplitud torsional Alfvén olas en un cilindri- sistema de coordenadas cal (r, , z), en el que dependen los perfiles plasmáticos en una coordenada longitudinal z solamente, puede ser descrito por el fol- Loading ecuaciones lineales: 40(z) , (1) , (2) donde los componentes de la velocidad y del campo magnético son uo y boo de las olas de Alfvén. Estas ecuaciones se pueden lanzar fácilmente en una sola onda equa- V2A(z) = 0, (3) donde VA(z) = B0/ 40(z) es la velocidad de Alfvén. Asumiendo que ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo e = 0. 4) Para una solución atrapada, debe satisfacer la línea de atar el límite de con- ciones que se ponen en práctica mediante el establecimiento de (z = ±L) = 0. 5) Ecuación (4) con condición (5) consiste en el conocido Sturm- El problema de Liuville qué solución depende del perfil de VA(z). Modelamos el bucle coronal por un plasma enrarecido en el ápice del bucle (a z = 0) y por plasma comprimido en los puntos de pie del bucle (z = ±L). Específicamente, adoptamos 0(z) = 0(z) 1 + α2 , (6) donde â € ¢00 es la densidad de masa en el ápice del lazo y α 2 es un param- eter que define una fuerza de la inhomogeneidad. Para α2 = 0 el perfil de densidad de masa anterior corresponde a un lazo, mientras que para un valor mayor de α2 el medio es más inhomo- Generoso. En la figura 1 se ilustra el valor 0(z) de α 2 = 50. La densidad de masa está descrito por Eq. (6) con 0-00 = 10 −12 kg m−3 y L = 25 mm. Tenga en cuenta que el plasma se comprime a z = ±L. Sustitución de Eq. 6) en Eq. 4), obtenemos 1 + α2 u. = 0, (7) donde VA0 = B0/ 400. Con un uso de la notación y # u #, x # z, a • − Eq. (7) puede ser reescrita en forma de Weber (cilíndrico parabólico) ecuación (Abramowitz & Stegun 1964) y = 0. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Fig. 1. Perfil espacial de la densidad de masa de fondo, +0(z), dado por Eq. (6) con α2 = 50. La densidad de masa y la longitud se expresan en unidades de 10-12 kg m−3 y 1 mm, respectivamente. Las soluciones estándar a esta ecuación se llaman Weber (parabólico funciones de cilindro (Abramowitz y Stegun 1964) W(a,±x) = (cosh?a)1/4 G1y1(x) 2G3y2(x) , (10) donde , G3 = y y1(x), y2(x) son, respectivamente, soluciones pares y impares a Eq. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y1(x) = 1 + a + · · ·, y2(x) = x + a + · · ·. 2.1. Dos soluciones limitativas Soluciones periódicas a Eq. (9) puede ser escrito analíticamente en el casos limitativos: a) por un valor elevado de un valor pero moderado de x; (b) para una x grande pero una a moderada. El primer caso (segundo) corresponde a α2 â € 1 (α2 â € 1). 2.1.1. Plasma débilmente inhomógeno En primer lugar, consideramos el caso de un depósito de masa débilmente inhomógeno. sity field, es decir, α2 â € 1. En este caso tenemos a < 0, −aâ ° x2, pâ ° −a. (12) Adoptamos la siguiente expansión (Abramowitz & Stegun 1964): W(a, x) + iW(a,−x) = 2W(a, 0) exp [vr + i(px + η/4 + vi)], (13) donde W(a, 0) = , (14) vr = − (x/2)2 (2p)2 2 x/2/4 (2p)4 + · · ·, vi = 2/3(x/2)3 + · · ·. (15) T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 3 Como resultado de la relación −a® x2 tenemos de Eq. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. W(a, x) = 2W(a, 0) exp cos فارسى, (16) W(a,−x) = 2W(a, 0) exp sin................................................................................................................................................................................. • • px + η/4 + . (18) La solución general a Eq. (9) es = c1W(a, x) + c2W(a,−x), (19) donde c1 y c2 son constantes. Para un bucle homogéneo, es decir, α2 = 0, reconocemos el pozo Solución conocida c1 cos (kz + η/4) + c2 sin (kz + η/4). (20) Aquí el número de onda k satisface el siguiente dis- homogéneo relación de persión: . (21) Condiciones límite de vinculación de la línea de Eq. (5) conducen entonces a la discreción valores de la frecuencia de onda, a saber. 1 + α2/6 , n = 1, 2, 3,... (22) De esta relación de dispersión inferimos que en una comparación con el lazo con una distribución homogénea de la densidad de masa, débilmente inhomógeno campo de densidad de masa resulta en una disminución de una frecuencia de onda. Esta reducción es consecuencia del hecho de que que el lazo inhomogéneo es más denso en sus puntas de pie, por lo que el la velocidad media de Alfvén disminuye. Para mostrar esto, comparamos el resultados para el bucle inhomógeno con el bucle homogéneo con la misma densidad media, de modo que ambos bucles contienen exactamente la misma masa (Andries et al. 2005). Introducimos una frecuencia diferencia n = n − n, (23) donde n = V̄A0 = 4η 0 corresponde a la densidad media de la masa 0 = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z)dz = 0(z) . (25) Sustitución de Eq. (25) en Eq. (24), obtenemos n = 1 + α2/3 . 26) De Eqs. (23) y (26) encontramos que n ≤ 0. Aquí inferimos que en comparación con el caso de densidad media de masa la onda frecuencia se reduce, pero como resultado de α2 â € 1 la frecuencia la reducción es pequeña. Esto está en desacuerdo con la ley de Fermat y con los resultados de Murawski et al. (2004) que demostraron que Las ondas sonoras experimentan un aumento de frecuencia en el caso de un espacio- campo de densidad de masa aleatorio dependiente. 2.1.2. Plasma fuertemente inhomógeno Discutimos ahora un caso de densidad de masa fuertemente inhomógeno, i.e. α2 â € 1. Este caso corresponde a x a. En este límite nosotros obtener (Abramowitz & Stegun 1964) W(a, x) = 2k/x(s1(a, x) cos(­) − s2(a, x) sin(­), (27) W(a,−x) = 2/kx(s1(a, x) sin(­) − s2(a, x) cos(­), (28) donde − a ln x + (1/2 + ia) , (29) 1 + e2ηa − eηa, (30) s1(a, x) + 1 + 1!2x2 2!22x4 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — s2(a, x) 1!2x2 2!22x4 + · · · (32) ur + ivr = Ł(r + 1/2 + ia)/­(1/2 + ia), r = 2, 4,.... (33) Las condiciones límite de Eq. (5) llevar a la fre- espectro de quency . (34) Aquí inferimos que la densidad de masa fuertemente inhomogénea- campo de sidad resulta en una disminución significativa de la frecuencia de una onda en comparación con el caso del lazo con la densidad constante, +00. Esta disminución de la frecuencia de onda es consecuencia del hecho de que el lazo inhomógeno es más denso en sus puntas de pie. Sustitución Eq. (34) en Eq. (23) encontramos que n > 0. Esta frecuencia de onda disminución, en comparación con el caso de una densidad media de masa está ahora en un acuerdo con la ley de Fermat y con los resultados de Murawski et al. (2004). 3. Resultados numéricos Se realizan simulaciones numéricas para Eqs. 1), 2) con una adaptación de CLAWPACK que es un paquete de software de- firmado para calcular soluciones numéricas a dif parcial hiperbólica ecuaciones ferenciales utilizando un enfoque de propagación de ondas (LeVeque 2002). La región de simulación (−L, L) está cubierta por un uniforme cuadrícula de 600 celdas numéricas. Se verificaron mediante estudios de convergencia que esta cuadrícula no introduce mucha difusión numérica y como un resultado representa bien la región de simulación. Nos fijamos reflec- las condiciones límite en los límites izquierdo y derecho de la región de simulación. En la figura 2 se muestra un perfil espacial de la velocidad de α 2 = 50, dibujado en t = 1000 s (línea sólida). Este perfil espacial resulta de el pulso gaussiano inicial que fue lanzado en t = 0 en el centro de la región de simulación, en z = 0. Es digno de mención que el seno- perfil de onda de Eq. (20), que es válido para α2 = 0 (línea de sujeción), es distorsionado por la fuerte inhomogeneidad que tiene lugar para el caso de α2 = 50. Como consecuencia del período de la ola de inhomogeneidad es al- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La figura 3 muestra el periodo de onda P vs. param de inhomogeneidad eter α2. Los diamantes representan las soluciones numéricas mientras que el líneas sólidas corresponden a la solución analítica a Eqs. (22) (arriba y (34) (panel inferior). Períodos de onda se obtuvieron por Análisis de Fourier de las señales de onda que se recogieron en el tiempo en la ubicación espacial fija, z = 0. Es discernible que el nu- Los datos mericos se ajustan bastante bien a las curvas analíticas. Un crecimiento de 4 T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal Fig. 2. Perfil de velocidad evaluado numéricamente en t = 1000 s para α2 = 50 (línea sólida). Este perfil corresponde al modo n = 1. Nota que como resultado de una fuerte inhomogeneidad, u♥ se aparta de la onda sinusoidal que corresponde a α2 = 0. La línea discontinua corresponde a Eq. (20) con c1 = c2 = 0,5. Fig. 3. Período de onda P = ­/2η vs. α2 para el número de modo n = 1. Los diamantes corresponden a las soluciones numéricas de Eqs. 1), 2). Sólido las líneas se dibujan con el uso de la solución analítica a Eqs. 22) y 34). El período de onda se expresa en segundos. período de onda P con α2 resultados de dispersión de onda en los centros de la inhomogeneidad y se puede explicar en simple física - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En una frecuencia de onda de campo inhomogénea oscilaciones torsionales pueden estimarse a partir de los siguientes Mula: V̄A0, (35) donde V̄A0 es la velocidad media de Alfvén que se expresa por Eq. (24). Utilizando P = 2 4η 0 . (36) Como 0 crece con α, el crecimiento de P con α resulta en. 4. Posibles observaciones de oscilaciones torsionales Las oscilaciones torsionales de un bucle coronal pueden dar lugar a variaciones de la línea espectral ampliación no térmica (expresado por una anchura de media línea, B, en adelante HW) (Zaqarashvili 2003). Por una bucle homogéneo, HW se puede expresar como B = OVA0 sin(nt)sin(knz), (37) donde u es una amplitud de oscilaciones,  es una longitud de onda de la línea espectral y c es la velocidad de la luz. Variaciones periódicas de El ancho de la línea espectral depende de una altura por encima de la superficie solar: una variación más fuerte corresponde al antinodo de la onda y el lugar de una variación de la falta de anchura de la línea corresponde a los nodos (Puntos de pie de lazo). Por lo tanto, la serie temporal de espectroscopía ob- las servaciones pueden permitir determinar un período de onda. Conocer un longitud del bucle, podemos estimar la velocidad de Alfvén, que en giro da la posibilidad de inferir la fuerza del campo magnético en el corona. Estimamos el valor esperado de las variaciones de ancho de línea que resultan de oscilaciones torsionales. Para un coronal típico Velocidad de Alfvén de 800 km/s, una amplitud de torsional lineal oscilación puede ser de 40 km/s, que consiste en el 5% de la Alfvén velocidad. Para la línea coronal “verde” Fe XIV (5303 Å) de Eq. (37) obtenemos B 0.7 Å. 38) Este valor es aproximadamente dos veces mayor que la térmica original amplia- ening de la línea Fe XIV. Como consecuencia, oscilaciones torsionales puede ser detectado en series temporales de los espectros de línea coronal verde. Para una distribución débilmente inhomógena de la densidad de masa a lo largo de un bucle, Eq. (22) permite estimar la velocidad de Alfvén a el ápice del lazo con la ayuda del período observado de HW vari- y una longitud de lazo. Para una densidad fuertemente inhomógena perfil a lo largo de un bucle, Eq. (34) muestra que un período de la ola de tor- oscilaciones sisionales no es sólo la relación de la longitud del lazo a la Alfvén velocidad, pero depende en gran medida de la tasa de inhomo- geneidad, α2. Por lo tanto, se requiere un esfuerzo adicional para aplicar el método de sismología coronal para el oscil torsional Laciones. Una variación espacial de la densidad de masa a lo largo del bucle puede ser estimado mediante una medición directa de la intensidad de la línea espectral variación a lo largo del bucle. Entonces, la variación estimada puede estar en forma. Ted a Eq. (6), y por lo tanto un valor de α2 se puede inferir. Eq. (34) proporciona un valor de VA0 en la cumbre del bucle. Otra posibilidad es recoger series temporales de observaciones espectroscópicas a ent posiciones del bucle. Una variación espacial del ancho de línea a lo largo el bucle puede ser comparado con la trama teórica de u. (Fig. 2), que permite estimar α2 y, en consecuencia, la velocidad de Alfvén a el ápice del lazo (con un uso de Eqs. 22) o 34). T. Zaqarashvili & K. Murawski: Oscilaciones torsionales de un bucle coronal 5 5. Discusión y resumen Se cree comúnmente que las ondas de Alfvén se generan en el interior solar bien por convección (granulación, supergranula- o por cualquier otro tipo de flujo plasmático (rotación diferencial, oscilaciones solares globales). Debido a su naturaleza incomprimible, estas ondas pueden transportar energía de la superficie solar a la solar corona y, por lo tanto, pueden contribuir significativamente a la calentamiento nal y aceleración del viento solar. En bucles magnéticos cerrados las ondas Alfvén pueden establecer las oscilaciones torsionales de pie, mientras que en las estructuras magnéticas abiertas estas ondas pueden propagarse hasta el viento solar. Como resultado, las observaciones de las ondas de Alfvén puede ser de vital importancia para los problemas de la calefacción de plasma y aceleración de partículas. Las ondas Alfvén que se propagan a lo largo del campo magnético abierto líneas pueden conducir a un crecimiento de un ancho de línea espectral con altura (Hassler y otros 1990, Banerjee et al. 1998; Doyle et al. 1998). Sin embargo, a algunas altitudes el ancho de la línea espectral revela un sud- den se cae (Harrison et al. 2002; O’Shea et al. 2003, 2005). Esto fenómeno se explica recientemente por la transferencia de energía resonante en ondas acústicas (Zaqarashvili et al. 2006). Por otra parte, los movimientos fotosféricos pueden establecer tor- oscilaciones sisionales en sistemas de bucle magnético cerrado, que pueden se observarán espectroscópicamente como variaciones periódicas de ancho de línea (Zaqarashvili 2003). Como resultado, la observación de Las ondas de Alfvén se pueden utilizar como una poderosa herramienta adicional de nal sismología; el período observado y la longitud media del lazo en- capaz de estimar la velocidad de Alfvén dentro de un bucle, que a su vez permite inferir una fuerza de campo magnético media. Además de su origen fotográfico, las olas torsionales de Alfvén se puede generar en la corona solar en un proceso de resonancia ab- la absorción de las oscilaciones globales (Ruderman & Roberts 2002, Goossens et al. 2002, Andries et al. 2005, Terradas et al. 2006). Estas oscilaciones pueden excitar las ondas de Alfvén en el inho- parte mogénea de un lazo, que conduce a la atenuación del oscil global laciones y amplificación de oscilaciones torsionales. Estos Alfvén oscilaciones pueden ser detectadas como variaciones periódicas de la línea espectral Anchura. Como consecuencia, las observaciones de las ondas de Alfvén pueden ser una clave para la determinación de un mecanismo de amortiguación del bucle oscilaciones globales. Dinámica de las ondas torsionales de Alfvén en un bucle homogéneo se puede resolver fácilmente. Sin embargo, los bucles coronales reales son largos. nally inhomógenous, que conduce a la alteración de la onda dinam- ics (Arregui y otros 2005, 2007, Van Doorsselaere et al. 2004a, b, Donnelly et al. 2006, Dymova & Ruderman 2006, McEwan et al. 2006). Por lo tanto, la dinámica de las ondas de Alfvén en longitudi- Los bucles coronales nally inhomógenos deben ser entendidos en orden proporcionar una base analítica para las posibles observaciones de oscilaciones. En este trabajo discutimos por análisis y números significa evolución de las ondas torsionales de Alfvén en un campo de densidad de masa. Los esfuerzos analíticos dieron lugar a la dispersión relaciones que se obtuvieron para una elección específica de un equilibrio perfil de densidad de masa del rio. Estas relaciones de dispersión fueron escritas... 10 explícitamente para dos casos limitantes: a) semanalmente inhomógenos y b) campos de densidad de masa fuertemente inhomógenos. De estos relaciones de dispersión inferimos que la inhomogeneidad resulta en una reducción de la frecuencia de las ondas en comparación con la de la cumbre del bucle. Este hallazgo analítico está apoyado por el n- datos mericales que revelan que se produce una reducción de la frecuencia fuera de la región de validez del enfoque analítico. As a resultado de eso afirmamos que una reducción de la frecuencia de onda es ubicuo para el campo de densidad de masa inhomogénea que consid- Ered. Esta reducción es una consecuencia de la dispersión de ondas en centros de homogeneidad y resulta de la reducción de la media Velocidad de Alfvén dentro de un bucle coronal. Esta reducción de frecuencia tiene implicaciones importantes en la medida en que las observaciones de las olas son - Sí, claro. Las fórmulas analíticas pueden utilizarse para la estimación de Parámetros plasmáticos coronales y, por tanto, ondas torsionales de Alfvén consisten en una poderosa herramienta adicional de sismología coronal. Agradecimientos: Los autores expresan su agradecimiento a la árbitro, Prof. S. Poedts, por sus estimulantes comentarios. La obra de T.Z. es apoyado por la concesión de la Ciencia Nacional de Georgia Fundación GNSF/ST06/4-098. Una parte de este trabajo es sup- portado por el Programa Internacional ISSI ”Olas en el Solar Corona”. 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Pseudo-random Puncturing: A Technique to Lower the Error Floor of Turbo Codes

Pseudo-aleatoria Puntura: Una técnica para bajar el piso de error de los códigos Turbo Ioannis Chatzigeorgiou, Miguel R. D. Rodrigues, Ian J. Wassell Grupo de Tecnología Digital, Laboratorio de Computación Universidad de Cambridge (Reino Unido) Correo electrónico: {ic231, mrdr3, ijw24cam.ac.uk Rolando Carrasco Escuela de Ingeniería de EE&C Universidad de Newcastle (Reino Unido) Correo electrónico: r.carrasco@ncl.ac.uk Resumen— Se ha observado que la tasa particular-1/2 Códigos convolucionales concatenados paralelos parcialmente sistemáticos (PCCC) puede lograr un nivel de error más bajo que el de su código padre rate-1/3. Sin embargo, buenos patrones de puntuación sólo podrá identificarse mediante una búsqueda exhaustiva, mientras que la convergencia hacia probabilidades de error de bajo bit puede ser problemático cuando la producción sistemática de una tasa-1/2 parcialmente El PCCC sistemático está muy perforado. En este artículo, presentamos y estudiar una familia de PCCC tasa-1/2 parcialmente sistemática, que Llamamos a los códigos pseudo-aleatoriamente pinchados. Evaluamos su parte rendimiento de tasa de error y mostramos que siempre rinden un nivel de error más bajo que el de sus códigos padre de tasa-1/3. Además, comparamos los resultados analíticos con las simulaciones y demostramos que su desempeño converge hacia el región del piso de error, propiedad de la puntuación moderada de su resultados sistemáticos. Consecuentemente, proponemos pseudo-aleatorio punturar como medio de mejorar la eficiencia del ancho de banda de un PCCC y al mismo tiempo bajar su nivel de error. I. INTRODUCCIÓN Aunque en ciertas aplicaciones, como el satélite comunicaciones, la fiabilidad del enlace es esencial y baja los códigos de tasa se utilizan para soportarlo, la ocupación del ancho de banda es más importante en las comunicaciones inalámbricas y por lo tanto alta los códigos de tasa son preferidos. Un código convolucional de alta velocidad puede se obtiene mediante eliminación periódica, conocida como punturación, de bits de palabras clave particulares de la salida de un padre bajo tasa de codificador convolucional. Extensos análisis en punción los códigos convolucionales han demostrado que su rendimiento es siempre inferior al rendimiento de su padre de baja tasa Códigos (por ejemplo: Véase [1] [2]). El rendimiento de la perforación paralela concatenada Códigos convolucionales (PCCCs), también conocidos como turbo perforado códigos, también se ha investigado. Consideraciones sobre el diseño se han obtenido mediante análisis [3]–[5], así como mediante simulación aproximaciones [6]–[8], mientras que los límites superiores en el error de bits la probabilidad (PBE) se evaluó en [5], [9]. Turbo punzonado los códigos suelen clasificarse como sistemáticos, parcialmente sistemáticos o no-sistemática dependiendo de si todos, algunos o ninguno de sus bits sistemáticos se transmiten [7]. Documentos recientes [7]–[9] han demostrado que los PCCC parcialmente sistemáticos rinden menos niveles de error que los PCCC sistemáticos de la misma tasa. En [10] mostramos que los PCCC no sistemáticos de la tasa-1/2 pueden lograr pisos de error, que son más bajos incluso que los de su tasa-1/3 PCCC padres. Este interesante resultado es válido cuando se emplea la decodificación de la probabilidad máxima (ML). Cuando se utiliza una decodificación iterativa subóptima, la ausencia de Los bits sistemáticos recibidos causan decisiones erróneas, que prohibir que el decodificador iterativo converja con el error piso. Sin embargo, demostramos que los códigos de niños rate-1/2, cuyo rendimiento de BEP converge hacia un piso de error que es inferior a la de su tasa-1/3 padre PCCC, puede todavía se encuentra por medio de una búsqueda exhaustiva. Durante este proceso, la unión vinculada a la BEP de cada tasa-1/2 PCCC perforado es computado y comparado con la unión límite de la tasa-1/3 PCCC padre. Obsérvese que el sindicato vinculado coincide con el nivel de error del código para valores altos de Eb/N0 [11]. PNCtured PCCCs que logran un límite inferior que la de su tasa-1/3 PCCC padre se seleccionan. Cálculo de la unión exacta vinculada a la BEP de un PCCC perforado se vuelve intensivo como el entrelazador el tamaño aumenta. En [12] presentamos una técnica sencilla para aproximar el límite de unión de un código turbo y nosotros demostró que esta aproximación es muy precisa cuando se utiliza un gran tamaño de entrelazado. Usamos nuestra técnica para identificar una familia de PCCC rate-1/2 parcialmente sistemáticos, que llamamos PCCC pseudoaleatoriamente punzantes (PRP-PCCCs). Aunque no exploramos su rendimiento de BEP en detalle, observó que las configuraciones PRP-PCCC particulares podrían lograr un nivel de error más bajo que el de sus códigos de origen. El presente documento se basa en el trabajo realizado en [10] y [12]. Inicialmente, proporcionamos expresiones analíticas para los parámetros que influyen en el rendimiento de error de bits de los PCCC. Nosotros entonces. evaluar esos parámetros y calcular la unión vinculada aproximaciones para los PCCC de tipo 1/3 y los PCCC de tipo 1/2 PRP-PCCCs. Demostramos que estos últimos siempre exhiben un piso de error más bajo que el primero, cuando el entrelazador grande se consideran los tamaños. Para verificar nuestro análisis teórico, comparamos resultados analíticos con simulaciones para PCCC específicos configuraciones. El documento concluye con un resumen de la las principales contribuciones. II. EVALUACIÓN DE LA EJECUCIÓN DE LOS PCCC Códigos turbo, en forma de velocidad simétrica-1/3 PCCC, consisten en dos velocidad idéntica-1/2 recursiva sistemática Codificadores convolucionales separados por un entrelazador de talla N [13]. Los bits de información son de entrada al primer componente codificador convolucional, mientras que una versión interdelegada de la bits de información son entradas al segundo codificador convolucional. http://arxiv.org/abs/0704.0361v1 La salida del codificador turbo consiste en los bits sistemáticos del primer codificador, que son idénticos a los bits de información, los bits de comprobación de paridad del primer codificador y la comprobación de paridad partes del segundo codificador. La probabilidad de error de bits Pb de un PCCC que emplea ML Decodificación suave, en un aditivo blanco ruido gaussiano (AWGN) canal, está delimitado en la parte superior de la siguiente manera: Pb ≤ P b 1) donde el sindicato vinculado P u se define como P ub = P (w). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, la suma se ejecuta sobre todos los valores posibles de entrada peso de la información w, siendo P (w) la contribución a el sindicato vinculado P u de sólo las secuencias de palabras clave que fueron generados por secuencias de entrada de una información específica peso w. Una contribución individual P (w) viene dada por [11], P (w) = Bw, dQ 2R · Eb , (3) donde N es el tamaño del entrelazador, R es la tasa de código del turbo encoder y Bw,d denota el número de secuencias de palabras clave con un peso total de salida d, generado por la entrada secuencias de información del peso w. En [11] se demostró que el sindicato vinculado a la BEP de un PCCC que utiliza un entrelazador uniforme de talla N coincide con la media de los límites de la unión que pueden obtenerse de la totalidad clase de intercaladores deterministas del tamaño N. Para valores pequeños de N, la unión limitada puede ser muy flojo en comparación con el Rendimiento real de los códigos turbo utilizando determinista específico Entrelazados. Sin embargo, para N≥1000, se ha observado que: entrelazadores generados al azar generalmente funcionan mejor que Diseños de levaduras deterministas [15]. Consecuentemente, el sindicato encuadernado proporciona una buena indicación de la tasa de error de bits real rendimiento de un PCCC que funcione en la región del suelo de error, cuando se consideran largos entrelazados. Derivación de todos los coeficientes Bw,d se convierte en un Proceso computacionalmente intensivo como el tamaño de la intercaladora aumentos, especialmente cuando se consideran PCCC punzantes [12]. Sin embargo, la unión unida se puede aproximar como a continuación P ub P (p=2), (4) cuando se utilizan intercaladores largos. Esta aproximación se basa en sobre una serie de observaciones: 1) secuencias de palabras clave, que fueron generadas por la entrada secuencias con la información mínima posible peso, convertirse en los principales contribuyentes a la tasa de error de bits rendimiento, a medida que aumenta el tamaño N del entrelazador [12], [16]. 2) Propiedad de la estructura de los codificadores constituyentes, el peso mínimo de información de una secuencia de entrada es siempre igual a dos [16]. Por lo tanto, P (p=2) es la contribución dominante a la unión limitado a una amplia gama de probabilidades de error de bits [12], [16] y se puede utilizar para predecir el nivel de error de los códigos turbo. A lo largo de este trabajo, usamos el sindicato atado aproximación como base para el rendimiento analítico comparación de códigos turbo. En particular, si P y P ′ son dos PCCCs usando largos entrelazados de tamaño idéntico, decimos que P produce un nivel de error más bajo que el de P ′ cuando están unidos aproximaciones, PP(2) y PP 2) Cumplir, respectivamente, PP(2) < PP 2). 5) La condición anterior se puede ampliar usando (3) como sigue 2RP Eb A. 6) Se demostró en [16] que la distancia efectiva libre, df, que transmite el peso mínimo de una secuencia de palabras clave para una secuencia de información de entrada de peso-2, tiene un impacto importante sobre el rendimiento de un código turbo. En consecuencia, si dPf y dP f indicar las distancias efectivas libres de P y P respectivamente, la condición (6) se desploma a 2RP Eb A, (7) que sólo considera el primero no-cero, que es el más significante, término de cada suma. La función Q() es una función monótonamente decreciente de # Donde # # es un número real. Por lo tanto, si â € 1 y â € 2 son reales los números, con â € ¢1 > â € 2, deducimos que Q(â € € < Q(â € € > 2, y viceversa, es decir, Q(+1) < Q(+2) â € € > 1 > â € 2. (8) En consecuencia, la desigualdad (7) se reduce a RPdPf > R f, (9) BP2,df ≤ B . (10) Cuando las tasas de código son iguales, la distancia efectiva libre de códigos turbo juega un papel similar al de la distancia libre de los códigos convolucionales, ya que el criterio de rendimiento (9) es simplificado a dPf > d f. (11) Expresiones (9) y (10) serán la base para la comparación del rendimiento de la BEP en la región del piso de error de dos PCCCs. III. DETERMINACIÓN DE PARAMETROS QUE INFLUENCIA EJECUCIÓN DE LOS CÓDIGOS DE TURBO Ahora vamos a determinar los diversos parámetros que afectan a rendimiento para dos clases de códigos turbo: convencional velocidad-1/3 PCCC y velocidad pseudoaleatoriamente pinchada-1/2 PCCCs. Los códigos turbo considerados a lo largo de este artículo son: simétrica, es decir, los dos codificadores constituyentes son idénticos. A. Tasa-1/3 PCCC Criterios (9) y (10) requieren el conocimiento de la libre eficacia distancia df y el coeficiente B2,df de cada PCCC. En el el resto del papel, utilizamos la abreviatura “Par” para denotar a PCCC padre tasa-1/3. Su distancia efectiva libre dParf puede se expresará como la suma del peso mínimo dmin de la secuencia de palabras clave generada por el primer codificador constitutivo, y el peso mínimo zmin de la secuencia de control de paridad generado por el segundo codificador constituyente, cuando una secuencia peso de la información w=2 en la entrada al PCCC dParf = dmin + zmin. (12) Teniendo en cuenta que los códigos turbo son simétricos y el peso de la umina de la secuencia de salida sistemática es siempre 2 desde w=2, podemos escribir dParf = (umina + zmin) + zmin = 2 + 2zmin. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. El número BPAR de secuencias de palabras clave, generadas por un codificador turbo usando un entrelazador uniforme de tamaño N, puede estar asociado con el número B2,dmin de secuencias de palabras clave con un peso de dmin, generado por el primer codificador constituyente, y el número B2,zmin de secuencias de control de paridad que tengan peso zmin, generado por el segundo codificador constituyente, si detallar las expresiones descritas en [11]. En particular, Obtenemos B2,dmin · B2,zmin ), (14) donde B2,dmin y B2,zmin devuelven el mismo valor, ya que ambos consideran los mismos caminos de enrejado. Tenga en cuenta que el primer índice en las anotaciones anteriores se refiere al peso de la información de entrada, que es dos. Se demostró en [16] que se obtienen buenas tasas-1/3 PCCC cuando su generador de retroalimentación polinomio GR es elegido para ser primitivo, mientras que su generador de alimentación hacia adelante polinomio GF es diferente de GR. El período L de un polinomio primitivo es dada por [17] L = 2 / − 1, (15) en caso de que el orden del polinomio, o equivalente, tamaño de memoria de cada código constitutivo. Demostramos en [12] que cuando una retroalimentación primitiva se utiliza polinomio generador, el peso mínimo zmin y el coeficiente B2,2,zmin puede expresarse como zmin = 2 1 + 2, B2,dmin = B2,zmin = N − L, respectivamente. En consecuencia, la expresión (13) asume la forma dParf = 6 + 2 /, (17) mientras que, si combinamos (14) y (16), el coeficiente BPAR se expresarán en función de la talla del intlerleaver N y de la período L, según se indica: 2 (N − L)2 N(N − 1) . (18) En el caso especial cuando el tamaño N del entrelazador es un entero múltiplo del período L del generador de retroalimentación polinomio, es decir, N=μL, podemos reescribir (18) como 2L( 1)2 μ(μL− 1) . (19) B. Tasa-1/2 PCCC punzantes pseudoaleatoriamente Una alta tasa de PCCC se puede obtener por eliminación periódica de bits de palabras clave específicos de la salida de un padre de velocidad-1/3 PCCC. Un patrón de puntuación P puede ser representado por un 3×M matriz de la siguiente manera: p1,1 p1,2. .. p1,M p2,1 p2,2. .. p2,M p3,1 p3,2. .. p3,M , (20) donde M es el período de puntuación y pi,m {0, 1}, con i=1, 2, 3 y m=1,. ..,M. Para pi,m=0 el correspondiente el bit de salida es perforado, de lo contrario se transmite. La primera y las segundas filas del patrón se utilizan para perforar el resultados sistemáticos y de comprobación de la paridad, respectivamente, de los primeros Codificador constitutivo. La tercera fila determina qué paridad comprobar los bits de la salida del segundo codificador constituyente será perforado. Pseudo-aleatoria punturing se ha descrito en [12], en Detalle. Se aplica a los PCCC tasa-1/3, que utilizan primitivos polinomios generador de retroalimentación, de ahí el período polinomio L también es dada por (15). El patrón de puntuación puede ser construido una vez que la secuencia de comprobación de paridad y = (y0, y1,. .., yL) para una secuencia de entrada x = (1, 0,..., 0) de longitud L+1, se ha obtenido en la salida de la primera Codificador constitutivo. Mientras un rastro de ceros siga el primer bit de entrada distinto de cero, el codificador de componentes se comporta como un generador pseudo-aleatorio, por lo tanto los bits de comprobación de paridad de y1 forma una secuencia pseudo-aleatoria. Nosotros establecemos los elementos de la segunda fila del patrón de puntuación a ser igual a los bits de esta secuencia pseudo-aleatoria, pero desplazado circularmente derecha por uno, es decir, p2,m+1 = ym para m=1,. ., L. Nota que en la punturación pseudo-aleatoria, el período de punturación M es igual al período L del polinomio de retroalimentación, es decir, M=L. La primera fila del patrón se establece como el complemento de la segunda fila, así p1,m=1− p2,m. Con el fin de lograr un código tasa de 1/2, no punzamos la salida de la comprobación de paridad de la segundo codificador constituyente, de ahí todos los elementos del tercero fila se establecen en uno, es decir, p3,m=1. Como ejemplo, consideremos una tasa-1/3 PCCC con polinomios generadores (GF, GR)=(5, 7)8 en forma octal. Los tamaño de memoria de cada codificador constituyente es = 2, por lo tanto el período de GR se encuentra en L = 2 2-1 = 3. En consecuencia, establecemos la secuencia de entrada a (1, 0, 0, 0) y obtenemos la secuencia de comprobación de paridad (1, 1, 1, 0) en la salida de la primera Codificador constitutivo. El bloque de la última comprobación de paridad L=3 bits, es decir, (1, 1, 0), forma una secuencia pseudo-aleatoria. Si nosotros circularmente cambiar los bits de esta secuencia pseudo-aleatoria a la derecho por uno y mapearlos a los elementos de la segunda fila del patrón de puntuación, obtenemos [0 11]. Con el tiempo, el patrón de puntuación, basado en el cual la tasa-1/2 PRP-PCCC es generado a partir de la tasa-1/3 padre PCCC, asume el formulario 1 0 0 0 1 1 1 1 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (21) Enfatizamos que el patrón de puntuación depende de la Polinomios generadores del PCCC padre de velocidad-1/3, por lo tanto diferentes polinomios producen diferentes patrones de puntuación. Además, una tasa-1/2 PRP-PCCC sólo se puede obtener si la PCCC padre utiliza polinomios generador de retroalimentación primitiva. Hemos determinado previamente [12] el peso mínimo d′min de la secuencia de palabras clave generada por la primera Codificador constitutivo, cuando una secuencia de peso de la información w = 2 en la entrada a la tasa-1/2 PRP-PCCC. En particular, nosotros encontró que d′min = 2 2 + 2. (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. La secuencia de comprobación de paridad generada por el segundo componente el codificador no es perforado, por lo que su peso mínimo es también dado por (16). Por lo tanto, podemos calcular el efectivo libre distancia dPRPf de una tasa-1/2 PRP-PCCC según se indica dPRPf = d min + zmin = (22 + 2) + 21 + 2 = 4 + 3(22). Cada vez que una columna en particular m de la puntuación patrón está activo durante los pasos de tiempo N de la codificación proceso, secuencias de palabras clave con peso mínimo d′min se generan. Su número exacto, Am, se puede calcular utilizando las expresiones de [12]. En particular, nos encontramos con que para M = L el número de secuencias de palabras clave de peso mínimo Am, generada cuando la columna m está activa, es dada por N/M® − 1, si (N mod M)<m N/M, de lo contrario, donde (­1 mod. 2) denota el resto de la división de ­1 por 2, y denota la parte entera de. Con el fin de facilitar nuestro análisis, asumimos que el tamaño de entrelazador N es un múltiplo entero del período de puntuación M, es decir, N=μM, donde μ es un entero positivo. Por lo tanto, (24) se derrumba a Am = 1, (25) ya que (N mod M) es siempre cero y m>0. Se ha demostrado en [12] que el peso mínimo secuencias de palabras clave sólo se pueden obtener cuando el activo columna m se encuentra en el intervalo de 2 ≤ m ≤ M ; cada vez una de estas columnas M−1 del patrón de puntuación está activo, Se generan secuencias de palabras clave de peso mínimo. En consecuencia, el número total de secuencias de palabras clave peso d′min asume el valor B2,d′ = (M − 1) enm, (26) o, equivalentemente B2,d′min = (L− 1)( 1), (27) donde M ha sido sustituida por L, ya que son iguales las cantidades y se pueden utilizar indistintamente. Del mismo modo que el segundo codificador constitutivo del tipo-1/3 PCCC padre, el segundo codificador constitutivo de la tasa-1/2 PRP-PCCC también genera un total de secuencias B2,zmin que tienen peso zmin, ya que su salida de control de paridad no se punza. En consecuencia, el coeficiente BPRP o una tasa-1/2 PRP-PCCC puede expresarse como BPRP2,df = B2,d′min · B2,zmin [(L− 1)( 1)] · (N − L) 2 (L− 1)( 1)2 μ(μL− 1) invocando (14), que puede utilizarse cuando los PCCC que emplean se consideran intercaladores uniformes de talla N. IV. COMPARACIÓN DE LA EJECUCIÓN DEL ANÁLISIS RESULTADOS DE SIMULACIÓN Habiendo evaluado los parámetros que influyen en la el desempeño de los PCCC bajo investigación, ahora estamos en la posición para explorar si una tasa-1/2 PRP-PCCC exhibe una aproximación encuadernada inferior a la de su matriz de tipo 1/3 PCCC. Observamos que dPRPf se puede expresar en términos de dParf, si restamos (17) de (23) dPRPf = d f − (2 + 2 2). 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Coeficiente BPRP también puede ser representado en términos de BPAr Dividimos (28) por (19) BPRP2,df = BPar2,df. (30) De acuerdo con (9) y (10), si ambas condiciones dPRPf > dParf (31) < BPAR se satisfacen, una tasa-1/2 PRP-PCCC produce un límite inferior aproximación que la de su código padre rate-1/3. Deducimos de (30) que BPRP es siempre menor que BPAR , por lo tanto, el segundo condición se mantiene cierto. La primera condición asume lo siguiente: forma, si sustituimos dPRPf con su equivalente, basado en (29), dParf > 6 + 3(2 2). 33) Sin embargo, hemos demostrado en (17) que el libre efectivo distancia del PCCC padre se da por dParf =6+ 2 Asunto C-372/99 Comisión / Reino de los Países Bajos Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas se puede reescribir como dParf = 6 + 4(2) 2). Por lo tanto, dParf es siempre mayor que 6 + 3(22), y por lo tanto, ambas condiciones están satisfechos. El resultado de esta investigación revela que rate-1/2 PRP-PCCCs que utilizan intercaladores largos siempre se espera que 0 1 2 3 4 5 6 (dB) Simulación, velocidad −1/3 PCCC ( v=2) Acoplamiento Aprox., Tasa -1/3 PCCC (/=2) Simulación, tasa −1/2 PRP−PCCC (/=2) Acoplamiento Aprox., Tasa −1/2 PRP−PCCC (/=2) Simulación, tasa −1/3 PCCC ( v=3) Acoplamiento Aprox., Tasa -1/3 PCCC (/=3) Simulación, tasa −1/2 PRP−PCCC (/=3) Acoplamiento Aprox., Tasa −1/2 PRP−PCCC (/=3) Fig. 1. Comparación de las aproximaciones encuadernadas a los resultados de la simulación. Los El algoritmo log-MAP exacto se aplica sobre 8 iteraciones y un tamaño de intercalador se utiliza de 1.000 bits. producir una aproximación más baja del límite, o equivalentemente una menor nivel de error, que el de sus códigos padre tasa-1/3. Fig.1 compara aproximaciones encuadernadas con resultados de simulación para los PCCC de tipo 1/3 y los PCCC de tipo 1/2 de tipo PRP-PCCC de tamaño de la memoria v = 2 y v = 3, a través del canal AWGN. Por =2, los polinomios generadores de los PCCC se toman para ser (GF, GR)=(5, 7)8, mientras que para =3, los PCCC se describen por (GF, GR) = (17, 15)8. Los descodificadores componentes emplean el algoritmo log-MAP exacto convencional [18]. Un moderado se ha elegido un tamaño de entrelazado de 1,000 bits, a fin de permitir el rendimiento de la tasa de error de bits de los PCCC para acercarse a la aproximaciones consolidadas correspondientes en las PEP de la región de 10-6 a 10-7. Como era de esperar, la Fig.1 confirma que para valores altos de Eb/N0, la PEP de cada tipo-1/2 PRP-PCCC es efectivamente inferior a la del código padre correspondiente de la tasa-1/3, mientras que después de 8 iteraciones de las curvas de rendimiento de todos los códigos turbo enfoque las curvas de aproximación encuadernadas respectivas. V. CONCLUSIÓN En trabajos anteriores [9], [10], [12] introdujimos técnicas para evaluar el rendimiento de los PCCC perforados y nosotros observó que, en algunos casos, el nivel de error podría reducirse mediante la reducción de la tasa de PCCC de 1/3 a 1/2. Sin embargo, buenos patrones de puntuación se identificaron por medio de un búsqueda exhaustiva, mientras que la convergencia hacia el error de bajo bit Probabilidades de los PCCC de tasa-1/2 cuya salida sistemática fue fuertemente perforado, tuvo que ser investigado. En este artículo, establecimos que tasa-1/2 pseudo-aleatoriamente PCCC perforados, que forman un subconjunto de tasa-1/2 parcialmente PCCC sistemáticos, no sólo acercarse a la región del piso de error para un número cada vez mayor de iteraciones, pero siempre producir un nivel de error más bajo que el de sus códigos padre rate-1/3. En consecuencia, la puntuación pseudoaleatoria se puede utilizar para reducir la velocidad de un PCCC de 1/3 a 1/2 y al mismo tiempo tiempo lograr una ganancia de codificación en probabilidades de error de bit bajo. REFERENCIAS [1] J. Hagenauer, “Códigos convolucionales punzantes compatibles y sus aplicaciones”, IEEE Trans. Commun., vol. 36, pp. 389–400, abr. 1988. [2] D. Haccoun y G. Bégin, “Códigos convolucionales punzantes de alta tasa para Viterbi y decodificación secuencial”, IEEE Trans. Commun., vol. 37, pp. 1113-1125, noviembre de 1989. [3] Ö. Açikel y W. E. Ryan, “Turbo-códigos punzados para BPSK/QPSK canales”, IEEE Trans. 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Se ha observado que una tasa particular-1/2 parcialmente sistemática paralela Los códigos convolucionales concatenados (PCCC) pueden lograr un nivel de error más bajo que la de sus códigos padre de tasa-1/3. Sin embargo, los buenos patrones de puntuación pueden sólo se identificará mediante una búsqueda exhaustiva, mientras que la convergencia hacia las probabilidades de error de bit bajo pueden ser problemáticas cuando la salida sistemática de un rate-1/2 PCCC parcialmente sistemático está muy pinchado. En este artículo, presentar y estudiar una familia de PCCC tasa-1/2 parcialmente sistemática, que Llamar a los códigos pseudo-aleatoriamente pinchados. Evaluamos su tasa de error de bits rendimiento y demostramos que siempre dan un piso de error más bajo que el de sus códigos padre de tasa-1/3. Además, comparamos los resultados analíticos con simulaciones y demostramos que su rendimiento converge hacia el región del piso de error, propiedad de la puntuación moderada de su sistema salida. Consecuentemente, proponemos la puntuación pseudo-aleatoria como un medio de mejorar la eficiencia de ancho de banda de un PCCC y al mismo tiempo reducir su piso de error.

Introducción Evaluación del rendimiento de los PCCC Determinación de parámetros que influyen en el rendimiento de los códigos Turbo Tasa-1/3 PCCC Tasa-1/2 PCCC seudoaleatoriamente punzantes Comparación del rendimiento de los resultados de análisis con los de simulación Conclusión Bibliografía

The Arctic Circle Revisited

arXiv:0704.0362v1 [math-ph] 3 Abr 2007 Revisitado el Círculo Ártico F. Colomo y A.G. Pronko Resumen. El problema de las formas límite en el modelo de seis vértex con dominio las condiciones de los límites de la pared se abordan considerando una masa especialmente adaptada función de correlación, la probabilidad de formación de vacío. Una expresión cerrada de esta función de correlación se da, tanto en términos de determinado determinante y múltiple integral, que permite un tratamiento sistemático de las formas límite del modelo para toda la gama de valores de pesos vértices. Específicamente, mostramos que para los pesos vértices correspondientes a la línea de fermión libre en la fase diagrama, la probabilidad de formación de vacío está relacionado con un modelo de una matriz con una singularidad logarítmica triple, o modelo Triple Penner. El sillín análisis de este modelo conduce al Teorema del Círculo Ártico, y su generalización a las Elipses árticas, conocidas anteriormente por los alicates de dominó. 1. Introducción El Círculo Ártico ha aparecido por primera vez en el estudio de los azulejos de dominó de grandes Diamantes aztecas [EKLP, JPS]. El nombre se origina del hecho de que en la mayoría Las configuraciones de los dominó se ‘congelan’ fuera del círculo inscrito en el dia- mond, mientras que el interior del círculo es una zona desordenada, o ‘temperada’. Más investigaciones de los azulejos de dominó de diamantes aztecas, como detalles de las estadísticas cerca del círculo, se puede encontrar en [CEP, J1, J2]. Aquí mencionamos que el Ártico Círculo es un ejemplo particular de una forma límite en los modelos de dimer, en el sentido de que describe la forma de una fase espacial de separación de orden y trastorno. Aparte de los azulejos de dominó, muchos más ejemplos han sido discutidos recientemente, ver, entre otros, papeles [CKP, CLP, KO, KOS, OR]. En la medida en que sólo se consideran modelos de dimer, esto equivale a restringir modelos fermónicos libres de hormigón, aunque con condiciones de contorno no trivial. De hecho, muchos de ellos pueden ser vistos como un modelo de seis vértex en su punto de Fermión Libre (la correspondencia siendo, sin embargo, generalmente no bijectivo), con convenientemente elegido fijo condiciones de frontera. En particular, este es el caso de los alicates de dominó de monds [EKLP], y las correspondientes condiciones de contorno del modelo de seis vértex son las llamadas Condiciones de Límite de la Muralla de Dominio (DWBC). De ahí el problema de formas límite se extiende al modelo de seis vértex con pesos genéricos, y con condiciones de frontera, entre las que el caso de DWBC es el más interesante. Históricamente, el modelo de seis vértex con DWBC fue considerado por primera vez en papel [K] en el marco del método de dispersión inversa cuántica [KBI] Hipótesis de Gaudin para las normas de los estados de Bethe. El modelo se resolvió posteriormente 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 15A52, 82B05, 82B20, 82B23. http://arxiv.org/abs/0704.0362v1 2 F. COLOMO Y A.G. PRONKO en papel [I] donde se dio una fórmula determinante para la función de partición; véase También [ICK] para una exposición detallada. Muy independientemente, el modelo fue más tarde ha encontrado, bajo ciertas restricciones sobre los pesos del vértice, estar profundamente relacionado con Enumeraciones de matrices de señales alternas (véase, por ejemplo, [Br] para una revisión) y, como ya mencionado, a los azulejos dominó de diamantes aztecas [EKLP]. En cuanto al problema de las formas límite para el modelo de seis vértex con DWBC, en la medida en que se considera el punto de Fermión Libre, la relación con los azulejos de dominó Al parecer, proporcionó una prueba indirecta del correspondiente Círculo Ártico. Los no- naturaleza bijectiva de la correspondencia entre los dos modelos pidió más directa resultados, a propósito para el modelo de seis vértex de fermión libre, véase [Zi1, FS, KP]. Fuera del punto Free Fermion, sin embargo, sólo se dispone de muy pocos resultados analíticos, tales como expresiones exactas para límite de un punto [BPZ] y dos puntos [FP, CP1] funciones de correlación. El conocimiento actual sobre el tema se basa principalmente en numéricos [E, SZ, AR]; algunos pasos para encontrar las formas límite del modelo se han hecho recientemente en [PR]. En la presente nota proponemos una estrategia más bien directa para abordar el problema: Después de revisar brevemente el modelo de seis vértex con DWBC, definimos un corre- dad, la probabilidad de formación del vacío (EFP), que discrimina las regiones de fase ordenadas y desordenadas. Damos para esta función de correlación dos representaciones equivalentes, en términos de un determinante y de una integral múltiple. La derivación del núcleo de EFP se basa en gran medida en la dispersión inversa cuántica Método [KBI], en la línea de los documentos [BPZ, CP1]; está fuera del alcance de la el presente documento, en el que se dan los detalles correspondientes en una publicación separada [CP4]. Aquí nuestro objetivo es demostrar cómo las formas límite para el modelo considerado puede extraerse de EFP en un límite de escala adecuado, haciendo uso de las ideas y técnicas de modelos de matriz aleatoria. Para ser más específicos, y para establecer un contacto con los resultados anteriores, nosotros cializar aquí nuestra discusión adicional sobre el caso del modelo de seis vértex de fermión libre. Nosotros muestra que el análisis asintótico de la fórmula integral múltiple para EFP en límite de ing reduce a un problema de sillín para un modelo de una matriz con un triple singularidad logarítmica, o modelo Penner triple. Argumentamos que el límite de la forma cor- responde a la condensación de todas las soluciones de sillín en un solo punto. Esto permite para recuperar el conocido Círculo Ártico y Elipses. Como comentario a nuestro enfoque, cabe destacar que se adapta directamente a el modelo de seis vértex, en lugar de los azulejos de dominó. Por esta razón no está restringido a los modelos de los fermiones libres, incluso si, por supuesto, otros esfuerzos significativos podrían ser necesario, esencialmente desde el punto de vista del modelo de matriz aleatoria dad, para su aplicación a situaciones más generales. Sobre la base de nuestro anterior da lugar a [CP2], sin embargo, la aplicación del método al caso particular de el llamado Punto de Hielo del modelo debe ser sencillo. Esto proporcionaría la forma límite de matrices alternas de signos. 2. El modelo 2.1. El modelo de seis vértex. El modelo de seis vértex (para las revisiones, véase [LW, Ba]) se formula en una celosía cuadrada con flechas que yacen en los bordes, y obedeciendo el la llamada «regla de hielo», es decir, las únicas configuraciones admitidas son tales que siempre dos flechas apuntando lejos de, y dos flechas apuntando en, cada celosía vértice. Una descripción equivalente y gráficamente más simple de las configuraciones de EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 3 w1 w2 w3 w4 w5 w6 Gráfico 1 Los seis tipos permitidos de vértices en términos de flechas y líneas, y sus pesas Boltzmann. Gráfico 2 Una posible configuración del modelo de seis vértex con DWBC en N = 4, en términos de flechas y líneas. el modelo se puede dar en términos de líneas que fluyen a través de los vértices: para cada flecha apuntando hacia abajo o hacia la izquierda, dibuje una línea gruesa en el borde correspondiente. Esto line picture implementa la ‘regla de hielo’ de forma automatizada. Los seis posibles vértices estados y los pesos Boltzmann w1, w2,. .., w6 asignado a cada vértice según a su estado se muestran en la Figura 1. 2.2. Condiciones de límite del muro de dominio. La frontera del muro de dominio Las condiciones (DWBC) se imponen en la celosía cuadrada N×N mediante la fijación de la dirección de todas las flechas en los límites de una manera específica. Es decir, las flechas verticales en el superior e inferior del punto de celosía hacia adentro, mientras que las flechas horizontales a la izquierda y los lados derecho apuntan hacia afuera. Equivalentemente, una configuración genérica del modelo con DWBC puede ser representado por N líneas que fluyen desde el límite superior a la A la izquierda. Se muestra un posible estado del modelo tanto en términos de flechas como de líneas. En la figura 2. 2.3. Función de partición. La función de partición se define, como de costumbre, como un suma sobre todas las configuraciones de flecha posibles, compatible con el DWBC impuesto, cada configuración se le asigna su peso Boltzmann, dado como el producto de todos los pesos vértices correspondientes, configuraciones de flecha con DWBC wn11 w 2................................................................................................................... Aquí n1, n2,. .., n6 denotan los números de vértices con pesos w1, w2,. .., w6, respectivamente, en cada configuración de flecha (n1 + n2 + · · n6 = N 2.4. Parámetro de anisotropía y fases del modelo. El seis-vértex modelo con DWBC puede ser considerado, sin pérdida de generalidad, con sus pesos invariante bajo la inversión simultánea de todas las flechas, w1 = w2 =: a, w3 = w4 =: b, w5 = w6 =: c. 4 F. COLOMO Y A.G. PRONKO Bajo diferentes opciones de Boltzmann pesa el modelo de seis vértex exhibe diferentes comportamiento, de acuerdo con el valor del parámetro a2 + b2 − c2 Es bien sabido que hay tres regiones físicas o fases para el seis-vertex modelo: la fase ferroeléctrica, • > 1; la fase antiferroeléctrica, • < −1; fase desordenada, −1 < • < 1. Aquí nos limitamos a la fase desordenada, donde los pesos Boltzmann son convenientemente parametrizados como a = sin( η), b = sin( η), c = sin 2η. (2.1) Con esta opción uno tiene = cos 2η. El parámetro ♥ es el llamado espectral parámetro y η es el parámetro de cruce. El requisito físico de positivo Boltzmann pesa, en el régimen desordenado, restringe los valores del cruce y parámetros espectrales a 0 < η < El caso especial η = η/4 (o = 0) está relacionado con los fermiones libres en una celosía, y hay una correspondencia bien conocida con los dimers y los alicates de dominó. En particular, a  = η/2, el modelo  = 0 de seis vértex con DWBC está relacionado con los azulejos de dominó de diamante azteca. En lo que respecta a los casos arbitrarios de los grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos como la línea Free Fermion. El asunto η = η/6 (es decir, (+ = 1/2) y (+ + = η/2, donde todos los pesos son iguales, a = b = c, se conoce como el Punto de Hielo; todas las configuraciones se dan el mismo peso. En este caso hay una correspondencia uno a uno entre las configuraciones de la modelo con matrices de señales alternas DWBC y N ×N. 2.5. Separación de fases y formas límite. El modelo de seis vértex exhibe separación espacial de fases para una amplia selección de condiciones de límite fijo, y, en particular, en el caso de DWBC. En términos aproximados, el efecto está relacionado con el hecho de que las configuraciones ordenadas en el límite pueden inducir, a través de la regla de hielo, un orden macroscópico dentro de la celosía. La noción de separación de fases adquiere un significado preciso en el límite de escala, que es el límite termodinámico/continuo, realizado enviando el número de sitios N hasta el infinito y el espaciado de celosía a cero, manteniendo al mismo tiempo el tamaño total de la retícula fija, por ejemplo, a 1. En una celosía finita, varias regiones macroscópicas pueden aparecer, que en el límite de escala se espera que se separen bruscamente por algunas curvas, el las llamadas curvas árticas. Para el modelo de seis vértex con DWBC la forma de la curva de Artic, o límite forma, se ha encontrado rigurosamente sólo en la línea de Fermión Libre, y para el los azulejos dominó relacionados de diamante azteca [JPS, CEP, Zi1, FS, KP]. Para genéricos valores de pesos no se conocen las formas límite, pero todo el cuadro es fuerte soporte tanto numéricamente [E, SZ, AR] como analíticamente [KZ, Zi2, BF, PR]. 3. Probabilidad de formación de vacío 3.1. Definición. Usaremos las siguientes coordenadas en la celosía: r = 1,...., N etiqueta las líneas verticales de derecha a izquierda; s = 1,...., N etiqueta la horizontal líneas de arriba a abajo. Ahora podemos introducir la función de correlación FN (r, s), medición de la probabilidad para los primeros bordes horizontales s entre el r-th y r+1-última línea que debe estar «completa» (es decir, gruesa en la imagen de la línea, o con una flecha izquierda en el EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 5 Gráfico 3 Formación de Vacío Probabilidad. La suma en (3.1) es realizado en todas las configuraciones compatibles con el ar- filas. imagen estándar del modelo de seis vértex): FN (r, s) = «constreñido» configuraciones de flecha con DWBC wn11 w 2................................................................................................................... 6. (3.1) Aquí la suma se realiza sobre todas las configuraciones de flechas en la celosía N × N, sujeto a la restricción de DWBC, y a la condición de que todas las flechas en el los bordes primero s entre la línea r-th y r + 1-th deben apuntar a la izquierda, ver Figura 3. Aunque esta función de correlación puede parecer bastante sofisticada, es com- pusible en alguna forma cerrada por medio del método de dispersión inversa cuántica, en la que DWBC se adaptan realmente. Es la adaptación natural del Empti- Formación Probabilidad de cadenas cuánticas de giro al modelo actual. Para esto la razón, y vincular a la práctica común en los modelos cuánticos integrables com- Comunidad, incluso si FN (r, s) realmente describe la probabilidad de formación «plenitud», Llámalo Probabilidad de Formación de Vacío (EFP). 3.2. Discusión cualitativa de FN (r, s). Vamos a limitarnos a la dis- ordenó el régimen, −1 < • < 1, para la definitividad. De anteriores análisis y nu- trabajo merical, en el gran límite N la aparición de una forma límite, en forma de una curva cerrada continua tocando una vez que cada uno de los cuatro lados de la celosía, es ex- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De ello se deduce que en la retícula emergen cinco regiones: una región central, cerrada por la curva, y cuatro regiones de la esquina, yace fuera de la curva cerrada y delimitada por los lados de la celosía. La región central está desordenada, mientras que las cuatro esquinas se congelan, con vértices principalmente de tipo 1, 3, 2, 4 (véase la figura 1) esquina superior izquierda, superior derecha, inferior derecha e inferior izquierda, respectivamente. Por construcción, se espera que la EFP sea casi una en las regiones congeladas del tipo 1, o 3, bordeando la parte superior de la celosía, y ser más bien pequeño de lo contrario. DWBC excluir una región de tipo 3 para emerger en la parte superior de la celosía. Por lo tanto FN (r, s) describe, a un valor dado de r, a medida que aumenta, una transición de una región congelada de vértices del tipo 1, donde FN (r, s) + 1, a una región genérica donde FN (r, s) + 0. De ello se deduce que FN (r, s) sólo puede describir la porción superior izquierda de la curva, entre sus puntos de contacto superior e izquierdo. Sin embargo, debe mencionarse que la curva completa se puede construir a partir del conocimiento de su porción superior izquierda, sólo 6 F. COLOMO Y A.G. PRONKO explotando la simetría de cruce del modelo de seis vértex. Por lo tanto, EFP, FN (r, s), es muy adecuado para describir formas límite. 3.3. Algunas anotaciones. Para una elección dada de parámetros , η definimos sin 2η Sin( η) sin( η) y la medida de integración en la línea real μ(x) := ex(/2) sinh(ηx) sinh(x/2) en relación con el artículo 1 del Reglamento (UE) n.o 575/2013, según se indica a continuación: μ(x) dx. Vamos a introducir el conjunto completo de polinomio ortogonal mónico {Pn(x)}n=0,1,... asociado a la medida de integración μ(x), con la relación ortogonal Pn(x)Pm(x)μ(x) dx = hnđnm. Las normas cuadradas hn están completamente determinadas por la medida μ(x), y pueden se expresen, en principio, en términos de sus momentos. En lo siguiente vamos a ser interesado en el conjunto completo de polinomios ortogonales {Kn(x)}n=0,1,... definido como Kn(x) = n! n+1 1 Pn(x). Por otra parte, definimos * () := sin() Sin( 2η) ................................................................................... sin() sin( + 2η) Tenga en cuenta que la siguiente relación mantiene a2 − 2•ab + b2 • = 0, (3.2) permitiendo expresar en términos de. 3.4. Representación determinante. Para EFP en el modelo de seis vértex con DWBC, la siguiente representación mantiene: FN (r, s) = (−1) s det 1≤j,k≤s KN−k(j ) [l) (j)] [l) (j) – 1] 1≤j<k≤s [(j)− 1] [(k)− 1] (j)(k)− 1 # 1=0,... # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (3.3) Esta representación se ha obtenido en el marco del Inverso Cuántico Método de dispersión [KBI], siguiendo las líneas de derivaciones análogas elaboradas para funciones de correlación del límite de un punto y dos puntos del modelo [BPZ, CP1]. Los detalles de la derivación se pueden encontrar en [CP4]. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 7 3.5. La función de correlación de límites. Si consideramos la expresión (3.3) cuando s = 1, recuperamos la polarización del límite, introducido y computado en [BPZ]. Es conveniente considerar la función de correlación de límites estrechamente relacionada HN (r) := FN (r, 1)− FN (r − 1, 1). Como se muestra en [BPZ, CP1], se mantiene la siguiente representación: HN (r) = KN−1() N − r N − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + Definimos la función generadora correspondiente hN (z) := HN (r) z r−1. (3.4) Teniendo en cuenta que •(•) → 0 como • → 0, se puede mostrar que, dada cualquier función arbitraria f(z) regular en un barrio del origen, la siguiente representación inversa # Sostiene # KN−1()f( (z − 1)N−1 hN(z)f(z) dz. (3.5) Aquí C0 es un contorno cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano complejo, origen, y ninguna otra singularidad del integrand. 3.6. Representación integral múltiple. Conexión (3,5) a la representación (3.3), obtenemos fácilmente la siguiente representación integral múltiple para EFP: FN (r, s) = · · · det 1≤j,k≤s hN−k+1(­j) •j − 1 N−r−1j (lj − 1)N 1≤j<k≤s (j − 1))k − 1) * 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = = = 1 = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = = = = = = . (3.6) Aquí j ’s debe expresarse en términos de j ’s a través de (3.2). De hecho, debido a (3.5), relación (3.2) para las funciones (), (), se traduce directamente en la misma relación entre j y j, j = 1,..., s. Representación (3.6), y todos los resultados en esta sección se mantienen para cualquier elección de param- y η dentro del régimen desordenado. Por otra parte, mediante la continuación analítica estos resultados pueden extenderse fácilmente a todos los demás regímenes. El determinante en la expresión (3.6) es una representación particular de los parti- función del modelo de seis vértex con DWBC, cuando el límite homogéneo es solo se realizó en un subconjunto de los parámetros espectrales [CP3]. La estructura de la Por lo tanto, la representación múltiple integral anterior recuerda de cerca las análogas para las funciones de correlación de la cadena de giro cuántica Heisenberg XXZ [JM, KMT]. Para los valores genéricos de  y η, los polinomios ortogonalesKn(x), o los géneros ing función hN (z), se conocen sólo en términos de representaciones más bien implícitas. Por... Al mismo tiempo, hay tres excepciones notables [CP2]: la línea Free Fermion (η = η/4, /4 <  < η/4, = 0), el Punto de Hielo (η = Punto de hielo (η = En estos tres casos, la vuelta Kn(x) para ser polinomios ortogonales clásicos, a saber, Meixner-Pollaczek, Continuo El polinomio Hahn Dual Continuo y Hahn, respectivamente. Correspondientemente, el 8 F. COLOMO Y A.G. PRONKO función generadora se puede representar explícitamente en términos de terminación de hiperge- funciones geométricas que pueden simplificar considerablemente la evaluación adicional de la PFE. En el próxima sección nos centraremos en el caso de la línea Free Fermion. 4. Representación integral múltiple en • = 0 4.1. Especialización a η = η/4. Ahora nos limitaremos al caso. η = η/4. Contamos con un modelo de 0, y el modelo de seis vértex se reduce a un modelo de libre fermiones en la celosía. El parámetro  todavía puede asumir cualquier valor en el intervalo (/4, η/4). Es conveniente comerciar con el nuevo parámetro  = tan2( η/4), 0 < El punto simétrico (relacionado con el revestimiento de dominó del Diamante Azteca) corresponde Ahora a  = 1. Para los valores genéricos de ♥ tenemos: = . La función generadora (3.4) se conoce explícitamente (véase [CP2] para más detalles): hN (z) = 1 + Łz 1 +  Conectando esta expresión en (3.6), obtenemos FN (r, s) = · · · det 1≤j,k≤s (1 + j)(j − 1) (1 + N−r−1j (lj − 1)N 1≤j<k≤s (1 + j))k − 1) 1 + â € € TM € TM TM . (4.1) 4.2. Simmetrización. Después de extraer un factor común (1 + j)(j − 1) (1 + del determinante en (4.1), lo reconocemos como de tipo Vandermonde. Podemos por lo tanto recoger del integrand de (4.1) el producto doble 1≤j<k≤s (1 + j)(j − 1) (1 + (1 + #k)(#k − 1) (1 + (1 + j))k − 1) 1 + â € € TM € TM TM Notando que la integración y el resto de integrand son totalmente simétricos bajo permutación de variables ­1,. ............................................................................................... el producto doble anterior sobre todas sus variables, con el resultado (−1)s−1)/2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 9 Por lo tanto, finalmente obtenemos la siguiente representación para EFP en el Fermión Libre línea: FN (r, s) = (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s(N−s)(2πi)s · · · 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () (1 + j) (lj − 1)s . (4.2) La aparición de un determinante cuadrado Vandermonde en esta expresión naturalmente recuerda las funciones de partición de s× s Random Matrix Models. 5. Modelo Triple Penner y Elipses Árticos 5.1. Límite de escala. Ahora abordaremos el comportamiento asintótico de la expres- sión (4.2) para el FEP en el caso • = 0. Estamos interesados en el límite N, r, s → mientras se mantienen las proporciones r/N = x, s/N = y, Arreglado. En este límite, x, y [0, 1] se parametrizará el cuadrado de la unidad a la que la La celosía se redimensiona. Por consiguiente, se espera que la PFE se aproxime a una función de límite F (x, y) := lim FN (xN, yN), x, y â € [0, 1]. Aprovecharemos el enfoque estándar desarrollado, por ejemplo, en la investigación de comportamiento asintótico para los modelos de matriz aleatoria. Antes de esto, sin embargo, señalar algunos hechos que ya se sostiene para cualquier valor finito de s. 5.2. Una identidad útil. Considerar la cantidad IN (r, s) := (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s(N−s)(2πi)s · · · 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () (1 + j) (lj − 1)s que difiere de (4.2) sólo en los contornos de integración. Aquí C1 es un cerrado, contorno orientado a las agujas del reloj (note el cambio de orientación) en el plano complejo punto de acotación = 1, y ninguna otra singularidad de la integrand. Tenemos el identidad IN (r, s) = 1 (5.1) para cualquier entero r, s = 1,..., N. La forma más simple de probar la identidad anterior es al desplazar la palabra «j» → «j» + 1, y volver a escribir IN (r, s) como un determinante de Hankel; de hecho, Tenemos IN (r, s) = (−1)s−1)/2 (1 + )s(N−s) 1≤j,k≤s * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + فارسى)r Las entradas de la matriz Hankel desaparecen para j+k > s+1, y por lo tanto el determinante se indica simplemente por el producto de las entradas antidiagonales, j + k = s + 1 (modulo un signo (−1)s(s−1)/2 que emerge de la permutación de todas las columnas). Identidad (5.1) sigue inmediatamente. 10 F. COLOMO Y A.G. PRONKO 5.3. Evaluación de puntos de asiento para grandes N y finitos s. Al utilizar el método de sillín-punto en variables +1,. ............................................................... grande N y r, y finito s, es bastante fácil ver que las ecuaciones de punto de silla de montar desacoplarse en el orden principal, y que cada punto de la silla de montar estará en el eje real, contribuir con un factor e-NSj con Sj positivo. Si un punto de sillín dado es menor que 1, el contorno C0 puede deformarse a través de la silla de montar-punto sin encontrar ningún poste, y su contribución será desaparecen como e-NSj en el gran límite de N. Sin embargo, si la silla de montar-punto, todavía en el real eje, pasa a ser mayor que 1, la deformación del contorno C0 a través de la sillín-punto recogerá la contribución del polo en = 1 (con un reverso orientación del contorno), y la integral j-th se comportará como 1 + e-NSj. Por lo tanto, en el límite N grande (en s fijo) la cantidad FN (r, s) desaparecerá a menos que todos los los puntos de silla de montar son superiores a 1, en cuyo caso FN (r, s) • IN (r, s) = 1. Tenga en cuenta que en la situación actual los puntos de sillin-points coinciden. Un análisis detallado muestra que en este caso, la posición de los puntos de sillin s depende del valor x = r/N como (entre 1 y x) . En correspondencia con el valor x0 = , por lo que estos sillín- los puntos son exactamente 1, la función F (x, 0) tiene una discontinuidad paso. Más precisamente, es fácil demostrar que para x • [0, 1], F (x, 0) = •(x − x0), donde •(x) es Heaviside función de paso. Desde un punto de vista físico x0 es el punto de contacto entre el limitar la forma y el límite. Lo que se ha discutido aquí puede ser fácilmente verificado en el caso s = 1. La extensión a finitos s > 1 es más bien directa también. 5.4. Ecuación de punta de silla. Teniendo en cuenta la analogía con s × s Ran- dom Matriz Modelos, y el límite de escalado especificado en la sección 5.1, reescribimos nuestra expresión para FN (r, s) en • = 0 como sigue: FN (r, s) = (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s 2(1/y−1)(2ηi)s · · · exp j,k=1 j 6=k # En j # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ln(­j) . (5.2) Ambas sumas en el exponente son O(s2). El punto de sillín correspondiente (acoplado) Ecuaciones leídas •j − 1 (1/y − 1) * j + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 k 6=j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (5.3) Una imagen física estándar reinterpreta las ecuaciones de punto de sillín como el equi- condición de librio para las posiciones de partículas cargadas confinadas al eje real, con repulsión electrostática logarítmica, en un potencial externo. En el presente Este último caso puede ser visto como generado por tres cargas externas, 1, x/y, y − (1/y − 1) en las posiciones 1, 0 y −1/e, respectivamente. Es natural referirse a esto modelo como el modelo Penner triple. Aunque el modelo de matriz simple Penner [P] se ha investigado ampliamente, no se sabe tanto sobre el mucho más compli- modelo Penner doble cate [M, PW]. No hemos sido capaces de rastrear ningún anterior estudio sobre el modelo Penner triple. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 11 5.5. La función exacta verde en finitos s. Para investigar la estructura de soluciones de las ecuaciones de punto de sillín (5.3) para grandes s primero introducimos el verde función Gs(z) = z − فارسىj que, si la solución de la j ́s (5.3), tiene que satisfacer la ecuación diferencial: z(z − 1)(/23370/z + 1) sG′s(z) + s 2G2s(z) − s(αz2 + βz + γ)sGs(z) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - z + (1 − ♥)s(s− 1)− βs2 αs2 . (5.4) Los coeficientes α, β y γ se obtienen fácilmente como coeficientes del segundo orden polinomio que aparece en el numerador, cuando se establece al denominador común el lado izquierdo de (5.3). Les damos explícitamente para su conveniencia posterior: α =  , β = + (1− ) , γ = − La derivación de la ecuación diferencial es muy estándar (véase, por ejemplo, [SD]). Los mano izquierda se construye combinando adecuadamente la definición explícita del verde función y su derivada. El resultado tiene que ser un polinomio del primer grado en z, cuyos coeficientes se construyen emparejando el principal y el primer sublíder Comportamiento del lado izquierdo como z →. 5.6. El primer momento. La cantidad que aparece en (5.4) se define como el primer momento de las soluciones de las ecuaciones sillín-punto: Está relacionado de manera obvia con el primer coeficiente de subliderazgo de Gs(z); de hecho, de la definición de la función verde, es evidente que Gs(z) = +O(z−3), z → فارسى. Vale la pena destacar que ♥ es todavía desconocido, y que en principio su valor debe ser determinado auto consistentemente mediante la primera elaboración de la solución explícita de Gs(z) (que dependerá implícitamente de ), a partir de (5.4) y luego exigiendo que j=1 ­j evaluado a partir de esta solución coincide con ­. La aparición de los un- determinado parámetro ♥ es una manifestación de la naturaleza ‘dos cortes’ de la Random Modelo Matriz relacionado con (5.2), véase, por ejemplo, párr. 6.7 de [D1]. 5.7. La función verde asintótica. Ahora estamos en condiciones de realizar el s grande (y N grande, r) límite en x, y fijo. En el límite, podemos descuidar los términos de orden O(s) en la ecuación diferencial (5.4), que por lo tanto se reduce a un algebraico ecuación para la función limitativa verde G(z): z(z−1)(lz+1)[G(z)]2−(αz2z)G(z) = ()z+(1)(2). (5.5) La ecuación algebraica anterior tiene que ser complementada por la normalización dicciÃ3n G(z) .............................................................. (5.6) 12 F. COLOMO Y A.G. PRONKO De ahí la función verde que describe la gran distribución asintótica de las soluciones donde dice la ecuación del sillín (5.3) dice: G(z) = 2z(z − 1)(/23370/z + 1) (αz2 + βz + γ) (αz2 + βz + γ)2 + 4z(z − 1)( (5.7) Hemos seleccionado la rama positiva de la raíz cuadrada, para satisfacer la normalización condición (obsérvese que el coeficiente de z4 bajo la raíz cuadrada es (α − 2 α − 2° es negativo para cualquier x, y ° [0, 1]). Sin embargo, la expresión para G(z) no es completamente especificado todavía, porque ♥ todavía no está determinado. 5.8. Limite la forma y condensación de las raíces. El polinomio bajo el raíz cuadrada es de cuarto orden, por lo tanto G(z) tendrá en general dos cortes en el avión complejo. La aparición de un problema de doble corte ya se esperaba de la aparición del primer momento indeterminado en (5.4). La discontinuidad de G(z) a través de estos cortes define, cuando positivo, la densidad de soluciones de la silla de montar- Ecuaciones de punto (5.3) cuando s → فارسى. El problema de encontrar explícitamente esta densidad, para α, β, γ (o x, y), es un formidable, por no mencionar la evaluación de la correspondiente «energía libre», y la contribución de la silla de montar a la en (5.2). Pero nuestro objetivo es mucho más modesto, ya que actualmente sólo nos interesa en la expresión de la forma límite, es decir, en la curva en el cuadrado x, y [0, 1], Delimitación de regiones donde F (x, y) = 0 de regiones donde F (x, y) = 1. Por supuesto que sí. están aquí de alguna manera asumiendo que la transición de F (x, y) de 0 a 1 es paso a paso en el límite de escala, pero esto se apoya tanto en la interpretación física de EFP (en la región desordenada, por definición, el número de líneas delgadas es macroscópico, y la probabilidad de no encontrar bordes horizontales «difíciles» desaparece inmediatamente en el límite de escala) y mediante el examen de la sección 5.3. Como se explicó en la discusión del modelo doble Penner en papel [PW], el Los pozos logarítmicos en el potencial pueden comportarse como gérmenes de condensación para el sillín. soluciones puntuales. En nuestro caso, este papel sólo puede ser jugado por el ‘cargo’ en 1 en el potencial de Penner, ya que la carga en • = −1/• es siempre repulsiva, mientras que el que está en la categoría de 0 es mayor que 1, al menos en la región de interés. [PW] han demostrado que la condensación sólo puede ocurrir para cargas inferiores o iguales a 1, ya que esta será la fracción de soluciones condensadas. Esta consideración, juntos con el comportamiento escalonado esperado y la discusión en la sección 5.3, sugieren la siguiente imagen de la evolución de la densidad de la solución de sillín región alterada, F (x, y) 0, a la parte superior izquierda de la región congelada, F (x, y) 1: región desordenada hay una fracción macroscópica de soluciones que son reales y menor de 1, mientras que en la parte superior izquierda de la región congelada esta fracción desaparece. En el en base a la discusión aquí y en las secciones 3.2 y 5.3, asumiremos que en la transición entre las dos regiones todas las soluciones de sillin-point se han condensado a * 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 5.9. Suposición principal. Afirmamos que la curva ártica en el cuadrado x, y [0, 1] separar la fase desordenada de la fase superior izquierda congelada se define por la condición de que todas las soluciones de la ecuación de punto de sillín se encuentra en = 1. En la derivación de la forma límite, esta es de hecho la única suposición a la que No somos capaces de proporcionar una prueba. De hecho, no hay ninguna garantía, a este nivel, para EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 13 esta posibilidad de ocurrir, y limitar las formas podría, en principio, emerger de un condición. Pero si para algunos valores de x, y [0, 1] tenemos todas las soluciones de la silla de montar- ecuación de punto condensando en = 1, entonces esto proporciona un mecanismo de transición de 0 a 1 para F (x, y), y esto podría definir correspondientemente alguna forma límite. Si todas las soluciones de sillín se condensan en = 1, entonces obviamente tenemos:  = 1. Además, la expresión de complicación (5.7) para G(z) debería simplemente reducir a G(z) = z − 1 , (5.8) ya que esperamos no tener cortes, y sólo un polo en z = 1 con residuo de unidad. 5.10. Elipses árticos. Considere el polinomio quártico debajo de la raíz cuadrada en (5.7). Es conveniente reescribirlo en términos de := 2­ − α = ­ := 2− β = x+ y − 1 y − x := = (5.9) Tenga en cuenta que y son siempre positivos para x, y [0, 1]. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lecturas polinómicas 2z4 + 2z3 + (2 + 2)z2 + 2z + 2, que pueden ser reescritos equivalentemente como (z2 + z + )2. Vemos que el polinomio quártico se reduce a un cuadrado perfecto, y por lo tanto, cuando  = 1, los dos cortes de G(z) desaparecen, como se esperaba. Ahora, cuando ♥ = 1, en nuestras nuevas anotaciones, la función Verde dice: G(z) = [(2o − )z2 + (2o )z − ] + (z2 + z + )2 2z(Łz + 1)(z − 1) . (5.10) Ahora requerimos que los coeficientes,, sean tales que el polinomio bajo la raíz cuadrada se combina con la primera parte del numerador en (5.10) para dar 2z(Łz+1) y simplificar la función verde de acuerdo con (5.8). Una vez que hayamos elegido una rama dada de la raíz cuadrada (la positiva, con el fin de satisfacer la normalización condición (5.6), es obvio que la simplificación requerida puede ocurrir para cualquier z en el plano complejo solamente si el segundo orden polinomio z2 + z + no cambiar su signo, es decir. sólo si sus dos raíces coinciden, lo que implica: 2 − 4 = 0. Reescribiendo la última relación en términos de x, y, a través de (5.9), obtenemos fácilmente (1 + Ł)2x2 + (1 + Ł)2y2 − 2 (1−)2xy − 2(1 + ♥)x − 2(1 + )y + 0. Por lo tanto, hemos recuperado la forma límite, que en este caso Free Fermion es el Elipse ártica bien conocida (círculo ártico para el subartículo  = 1) [JPS, CEP]. Recordamos que, como se explica en la sección 3.2, F (x, y) no desaparece sólo en la región superior izquierda 14 F. COLOMO Y A.G. PRONKO del cuadrado de la unidad. Por lo tanto, en lo que respecta a la EFP, sólo la parte superior izquierda de la Curva ártica, entre los dos puntos de contacto en , 0) y (1, 1 ), es pertinente. 6. Observaciones finales Nuestro punto de partida ha sido la definición de un relativamente simple pero relevante función de correlación para el modelo de seis vértex con DWBC, la Formación de Vacío Probabilidad. Hemos proporcionado tanto una representación determinante y un múltiple representación integral de la función de correlación propuesta. Este es el primer ex- amplia en la literatura de la función de correlación de la masa (en contraposición a la frontera) para el modelo considerado, para pesos genéricos. La representación integral múltiple, especializada en el caso de Free Fermion, tiene se ha estudiado en el límite de escala. En la imagen estándar de Random Matrix Mod- Els, reconocemos la aparición de un modelo triple Penner. Suponiendo la condensación de las raíces de las ecuaciones de punto de silla de montar en correspondencia a una forma límite, recuperamos el conocido Círculo Ártico y Elipse. Sería interesante investigar. si las consideraciones de universalidad de los modelos de matriz aleatoria (véase, por ejemplo, [D2]) pueden se extiende al modelo Penner en el barrio de su singular logarítmico ciones. Esto implicaría directamente los resultados de [CEP, J1, J2] sobre la Tracy-Widom la distribución y el proceso Airy, emergiendo en un barrio adecuadamente reescalonado de la Elipse ártica. Vale la pena destacar que la representación integral múltiple para EFP presentado En la sección 3 se puede estudiar más allá de la situación habitual de Free Fermion. Esperamos que condensación de las raíces de la ecuación de punto de silla de montar en correspondencia de la la forma límite es un fenómeno general. Creemos que esta suposición podría ser de importancia a la hora de abordar el problema de las formas límite en el modelo DWBC. Nuestra derivación de la forma límite en el caso de Free Fermion utiliza el explícito conocimiento de la función hN (z), de pie en la representación integral múltiple (3.6). Vale la pena mencionar que la función hN(z) también se conoce explícitamente en Ice Point, ( = 1/2), y Punto de Hielo Dual, ( = −1/2), siendo expresable en términos de (poli- función hipergeométrica de Gauss [Ze, CP2]. Por ejemplo, en el punto de hielo modelo triple Penner discutido anteriormente generaliza a un modelo Penner de dos matrices. Este modelo se puede estudiar en las líneas que se presentan aquí, proporcionando así una solución al problema de larga data de la forma límite para las matrices de señales alternas. Agradecimientos Damos las gracias a Nicolai Reshetikhin por su útil debate y por darnos un borrador. de [PR] antes de su finalización. FC está agradecido a Percy Deift, y Courant Institute de la Ciencia Matemática, para una cálida hospitalidad. AGP gracias INFN, Sezione di Firenze, donde se hizo parte de este trabajo. Reconocemos el apoyo financiero de Programa MIUR PRIN (SINTESI 2004). Uno de nosotros (AGP) también es apoyado en parte de la Fundación Civil de Investigación y Desarrollo (subvención RUM1-2622-ST- 04), por la Fundación Rusa para la Investigación Básica (subvención 04-01-00825), y por el Programa de métodos matemáticos en la dinámica no lineal de la Academia Rusa de Ciencias. Este trabajo se realiza parcialmente dentro de la red de la Comunidad Europea EUCLID (HPRN-CT-2002-00325) y el programa de la Fundación Europea de la Ciencia INSTANS. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 15 Bibliografía [AR] D. Allison y N. Reshetikhin, Estudio numérico del modelo 6-vertex con muro de dominio condiciones límite, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005) 1847-1869. [Ba] R.J. 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El problema de las formas límite en el modelo de seis vértex con límite de muro de dominio las condiciones se abordan considerando una correlación a granel especialmente adaptada función, la probabilidad de formación de vacío. Una expresión cerrada de esto función de correlación se da, tanto en términos de ciertos determinante y múltiple integral, que permite un tratamiento sistemático de las formas límite del modelo para toda la gama de valores de pesos vértices. Específicamente, mostramos que para los pesos vértices correspondientes a la línea de fermión libre en la fase diagrama, la probabilidad de formación de vacío está relacionado con un modelo de una matriz con una singularidad logarítmica triple, o modelo Triple Penner. El sillín análisis de este modelo conduce al Teorema del Círculo Ártico, y su generalización a las elipses árticas, conocidas previamente por los alicates de dominó.

Introducción El Círculo Ártico ha aparecido por primera vez en el estudio de los azulejos de dominó de grandes Diamantes aztecas [EKLP, JPS]. El nombre se origina del hecho de que en la mayoría Las configuraciones de los dominó se ‘congelan’ fuera del círculo inscrito en el dia- mond, mientras que el interior del círculo es una zona desordenada, o ‘temperada’. Más investigaciones de los azulejos de dominó de diamantes aztecas, como detalles de las estadísticas cerca del círculo, se puede encontrar en [CEP, J1, J2]. Aquí mencionamos que el Ártico Círculo es un ejemplo particular de una forma límite en los modelos de dimer, en el sentido de que describe la forma de una fase espacial de separación de orden y trastorno. Aparte de los azulejos de dominó, muchos más ejemplos han sido discutidos recientemente, ver, entre otros, papeles [CKP, CLP, KO, KOS, OR]. En la medida en que sólo se consideran modelos de dimer, esto equivale a restringir modelos fermónicos libres de hormigón, aunque con condiciones de contorno no trivial. De hecho, muchos de ellos pueden ser vistos como un modelo de seis vértex en su punto de Fermión Libre (la correspondencia siendo, sin embargo, generalmente no bijectivo), con convenientemente elegido fijo condiciones de frontera. En particular, este es el caso de los alicates de dominó de monds [EKLP], y las correspondientes condiciones de contorno del modelo de seis vértex son las llamadas Condiciones de Límite de la Muralla de Dominio (DWBC). De ahí el problema de formas límite se extiende al modelo de seis vértex con pesos genéricos, y con condiciones de frontera, entre las que el caso de DWBC es el más interesante. Históricamente, el modelo de seis vértex con DWBC fue considerado por primera vez en papel [K] en el marco del método de dispersión inversa cuántica [KBI] Hipótesis de Gaudin para las normas de los estados de Bethe. El modelo se resolvió posteriormente 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 15A52, 82B05, 82B20, 82B23. http://arxiv.org/abs/0704.0362v1 2 F. COLOMO Y A.G. PRONKO en papel [I] donde se dio una fórmula determinante para la función de partición; véase También [ICK] para una exposición detallada. Muy independientemente, el modelo fue más tarde ha encontrado, bajo ciertas restricciones sobre los pesos del vértice, estar profundamente relacionado con Enumeraciones de matrices de señales alternas (véase, por ejemplo, [Br] para una revisión) y, como ya mencionado, a los azulejos dominó de diamantes aztecas [EKLP]. En cuanto al problema de las formas límite para el modelo de seis vértex con DWBC, en la medida en que se considera el punto de Fermión Libre, la relación con los azulejos de dominó Al parecer, proporcionó una prueba indirecta del correspondiente Círculo Ártico. Los no- naturaleza bijectiva de la correspondencia entre los dos modelos pidió más directa resultados, a propósito para el modelo de seis vértex de fermión libre, véase [Zi1, FS, KP]. Fuera del punto Free Fermion, sin embargo, sólo se dispone de muy pocos resultados analíticos, tales como expresiones exactas para límite de un punto [BPZ] y dos puntos [FP, CP1] funciones de correlación. El conocimiento actual sobre el tema se basa principalmente en numéricos [E, SZ, AR]; algunos pasos para encontrar las formas límite del modelo se han hecho recientemente en [PR]. En la presente nota proponemos una estrategia más bien directa para abordar el problema: Después de revisar brevemente el modelo de seis vértex con DWBC, definimos un corre- dad, la probabilidad de formación del vacío (EFP), que discrimina las regiones de fase ordenadas y desordenadas. Damos para esta función de correlación dos representaciones equivalentes, en términos de un determinante y de una integral múltiple. La derivación del núcleo de EFP se basa en gran medida en la dispersión inversa cuántica Método [KBI], en la línea de los documentos [BPZ, CP1]; está fuera del alcance de la el presente documento, en el que se dan los detalles correspondientes en una publicación separada [CP4]. Aquí nuestro objetivo es demostrar cómo las formas límite para el modelo considerado puede extraerse de EFP en un límite de escala adecuado, haciendo uso de las ideas y técnicas de modelos de matriz aleatoria. Para ser más específicos, y para establecer un contacto con los resultados anteriores, nosotros cializar aquí nuestra discusión adicional sobre el caso del modelo de seis vértex de fermión libre. Nosotros muestra que el análisis asintótico de la fórmula integral múltiple para EFP en límite de ing reduce a un problema de sillín para un modelo de una matriz con un triple singularidad logarítmica, o modelo Penner triple. Argumentamos que el límite de la forma cor- responde a la condensación de todas las soluciones de sillín en un solo punto. Esto permite para recuperar el conocido Círculo Ártico y Elipses. Como comentario a nuestro enfoque, cabe destacar que se adapta directamente a el modelo de seis vértex, en lugar de los azulejos de dominó. Por esta razón no está restringido a los modelos de los fermiones libres, incluso si, por supuesto, otros esfuerzos significativos podrían ser necesario, esencialmente desde el punto de vista del modelo de matriz aleatoria dad, para su aplicación a situaciones más generales. Sobre la base de nuestro anterior da lugar a [CP2], sin embargo, la aplicación del método al caso particular de el llamado Punto de Hielo del modelo debe ser sencillo. Esto proporcionaría la forma límite de matrices alternas de signos. 2. El modelo 2.1. El modelo de seis vértex. El modelo de seis vértex (para las revisiones, véase [LW, Ba]) se formula en una celosía cuadrada con flechas que yacen en los bordes, y obedeciendo el la llamada «regla de hielo», es decir, las únicas configuraciones admitidas son tales que siempre dos flechas apuntando lejos de, y dos flechas apuntando en, cada celosía vértice. Una descripción equivalente y gráficamente más simple de las configuraciones de EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 3 w1 w2 w3 w4 w5 w6 Gráfico 1 Los seis tipos permitidos de vértices en términos de flechas y líneas, y sus pesas Boltzmann. Gráfico 2 Una posible configuración del modelo de seis vértex con DWBC en N = 4, en términos de flechas y líneas. el modelo se puede dar en términos de líneas que fluyen a través de los vértices: para cada flecha apuntando hacia abajo o hacia la izquierda, dibuje una línea gruesa en el borde correspondiente. Esto line picture implementa la ‘regla de hielo’ de forma automatizada. Los seis posibles vértices estados y los pesos Boltzmann w1, w2,. .., w6 asignado a cada vértice según a su estado se muestran en la Figura 1. 2.2. Condiciones de límite del muro de dominio. La frontera del muro de dominio Las condiciones (DWBC) se imponen en la celosía cuadrada N×N mediante la fijación de la dirección de todas las flechas en los límites de una manera específica. Es decir, las flechas verticales en el superior e inferior del punto de celosía hacia adentro, mientras que las flechas horizontales a la izquierda y los lados derecho apuntan hacia afuera. Equivalentemente, una configuración genérica del modelo con DWBC puede ser representado por N líneas que fluyen desde el límite superior a la A la izquierda. Se muestra un posible estado del modelo tanto en términos de flechas como de líneas. En la figura 2. 2.3. Función de partición. La función de partición se define, como de costumbre, como un suma sobre todas las configuraciones de flecha posibles, compatible con el DWBC impuesto, cada configuración se le asigna su peso Boltzmann, dado como el producto de todos los pesos vértices correspondientes, configuraciones de flecha con DWBC wn11 w 2................................................................................................................... Aquí n1, n2,. .., n6 denotan los números de vértices con pesos w1, w2,. .., w6, respectivamente, en cada configuración de flecha (n1 + n2 + · · n6 = N 2.4. Parámetro de anisotropía y fases del modelo. El seis-vértex modelo con DWBC puede ser considerado, sin pérdida de generalidad, con sus pesos invariante bajo la inversión simultánea de todas las flechas, w1 = w2 =: a, w3 = w4 =: b, w5 = w6 =: c. 4 F. COLOMO Y A.G. PRONKO Bajo diferentes opciones de Boltzmann pesa el modelo de seis vértex exhibe diferentes comportamiento, de acuerdo con el valor del parámetro a2 + b2 − c2 Es bien sabido que hay tres regiones físicas o fases para el seis-vertex modelo: la fase ferroeléctrica, • > 1; la fase antiferroeléctrica, • < −1; fase desordenada, −1 < • < 1. Aquí nos limitamos a la fase desordenada, donde los pesos Boltzmann son convenientemente parametrizados como a = sin( η), b = sin( η), c = sin 2η. (2.1) Con esta opción uno tiene = cos 2η. El parámetro ♥ es el llamado espectral parámetro y η es el parámetro de cruce. El requisito físico de positivo Boltzmann pesa, en el régimen desordenado, restringe los valores del cruce y parámetros espectrales a 0 < η < El caso especial η = η/4 (o = 0) está relacionado con los fermiones libres en una celosía, y hay una correspondencia bien conocida con los dimers y los alicates de dominó. En particular, a  = η/2, el modelo  = 0 de seis vértex con DWBC está relacionado con los azulejos de dominó de diamante azteca. En lo que respecta a los casos arbitrarios de los grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos de grupos como la línea Free Fermion. El asunto η = η/6 (es decir, (+ = 1/2) y (+ + = η/2, donde todos los pesos son iguales, a = b = c, se conoce como el Punto de Hielo; todas las configuraciones se dan el mismo peso. En este caso hay una correspondencia uno a uno entre las configuraciones de la modelo con matrices de señales alternas DWBC y N ×N. 2.5. Separación de fases y formas límite. El modelo de seis vértex exhibe separación espacial de fases para una amplia selección de condiciones de límite fijo, y, en particular, en el caso de DWBC. En términos aproximados, el efecto está relacionado con el hecho de que las configuraciones ordenadas en el límite pueden inducir, a través de la regla de hielo, un orden macroscópico dentro de la celosía. La noción de separación de fases adquiere un significado preciso en el límite de escala, que es el límite termodinámico/continuo, realizado enviando el número de sitios N hasta el infinito y el espaciado de celosía a cero, manteniendo al mismo tiempo el tamaño total de la retícula fija, por ejemplo, a 1. En una celosía finita, varias regiones macroscópicas pueden aparecer, que en el límite de escala se espera que se separen bruscamente por algunas curvas, el las llamadas curvas árticas. Para el modelo de seis vértex con DWBC la forma de la curva de Artic, o límite forma, se ha encontrado rigurosamente sólo en la línea de Fermión Libre, y para el los azulejos dominó relacionados de diamante azteca [JPS, CEP, Zi1, FS, KP]. Para genéricos valores de pesos no se conocen las formas límite, pero todo el cuadro es fuerte soporte tanto numéricamente [E, SZ, AR] como analíticamente [KZ, Zi2, BF, PR]. 3. Probabilidad de formación de vacío 3.1. Definición. Usaremos las siguientes coordenadas en la celosía: r = 1,...., N etiqueta las líneas verticales de derecha a izquierda; s = 1,...., N etiqueta la horizontal líneas de arriba a abajo. Ahora podemos introducir la función de correlación FN (r, s), medición de la probabilidad para los primeros bordes horizontales s entre el r-th y r+1-última línea que debe estar «completa» (es decir, gruesa en la imagen de la línea, o con una flecha izquierda en el EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 5 Gráfico 3 Formación de Vacío Probabilidad. La suma en (3.1) es realizado en todas las configuraciones compatibles con el ar- filas. imagen estándar del modelo de seis vértex): FN (r, s) = «constreñido» configuraciones de flecha con DWBC wn11 w 2................................................................................................................... 6. (3.1) Aquí la suma se realiza sobre todas las configuraciones de flechas en la celosía N × N, sujeto a la restricción de DWBC, y a la condición de que todas las flechas en el los bordes primero s entre la línea r-th y r + 1-th deben apuntar a la izquierda, ver Figura 3. Aunque esta función de correlación puede parecer bastante sofisticada, es com- pusible en alguna forma cerrada por medio del método de dispersión inversa cuántica, en la que DWBC se adaptan realmente. Es la adaptación natural del Empti- Formación Probabilidad de cadenas cuánticas de giro al modelo actual. Para esto la razón, y vincular a la práctica común en los modelos cuánticos integrables com- Comunidad, incluso si FN (r, s) realmente describe la probabilidad de formación «plenitud», Llámalo Probabilidad de Formación de Vacío (EFP). 3.2. Discusión cualitativa de FN (r, s). Vamos a limitarnos a la dis- ordenó el régimen, −1 < • < 1, para la definitividad. De anteriores análisis y nu- trabajo merical, en el gran límite N la aparición de una forma límite, en forma de una curva cerrada continua tocando una vez que cada uno de los cuatro lados de la celosía, es ex- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De ello se deduce que en la retícula emergen cinco regiones: una región central, cerrada por la curva, y cuatro regiones de la esquina, yace fuera de la curva cerrada y delimitada por los lados de la celosía. La región central está desordenada, mientras que las cuatro esquinas se congelan, con vértices principalmente de tipo 1, 3, 2, 4 (véase la figura 1) esquina superior izquierda, superior derecha, inferior derecha e inferior izquierda, respectivamente. Por construcción, se espera que la EFP sea casi una en las regiones congeladas del tipo 1, o 3, bordeando la parte superior de la celosía, y ser más bien pequeño de lo contrario. DWBC excluir una región de tipo 3 para emerger en la parte superior de la celosía. Por lo tanto FN (r, s) describe, a un valor dado de r, a medida que aumenta, una transición de una región congelada de vértices del tipo 1, donde FN (r, s) + 1, a una región genérica donde FN (r, s) + 0. De ello se deduce que FN (r, s) sólo puede describir la porción superior izquierda de la curva, entre sus puntos de contacto superior e izquierdo. Sin embargo, debe mencionarse que la curva completa se puede construir a partir del conocimiento de su porción superior izquierda, sólo 6 F. COLOMO Y A.G. PRONKO explotando la simetría de cruce del modelo de seis vértex. Por lo tanto, EFP, FN (r, s), es muy adecuado para describir formas límite. 3.3. Algunas anotaciones. Para una elección dada de parámetros , η definimos sin 2η Sin( η) sin( η) y la medida de integración en la línea real μ(x) := ex(/2) sinh(ηx) sinh(x/2) en relación con el artículo 1 del Reglamento (UE) n.o 575/2013, según se indica a continuación: μ(x) dx. Vamos a introducir el conjunto completo de polinomio ortogonal mónico {Pn(x)}n=0,1,... asociado a la medida de integración μ(x), con la relación ortogonal Pn(x)Pm(x)μ(x) dx = hnđnm. Las normas cuadradas hn están completamente determinadas por la medida μ(x), y pueden se expresen, en principio, en términos de sus momentos. En lo siguiente vamos a ser interesado en el conjunto completo de polinomios ortogonales {Kn(x)}n=0,1,... definido como Kn(x) = n! n+1 1 Pn(x). Por otra parte, definimos * () := sin() Sin( 2η) ................................................................................... sin() sin( + 2η) Tenga en cuenta que la siguiente relación mantiene a2 − 2•ab + b2 • = 0, (3.2) permitiendo expresar en términos de. 3.4. Representación determinante. Para EFP en el modelo de seis vértex con DWBC, la siguiente representación mantiene: FN (r, s) = (−1) s det 1≤j,k≤s KN−k(j ) [l) (j)] [l) (j) – 1] 1≤j<k≤s [(j)− 1] [(k)− 1] (j)(k)− 1 # 1=0,... # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (3.3) Esta representación se ha obtenido en el marco del Inverso Cuántico Método de dispersión [KBI], siguiendo las líneas de derivaciones análogas elaboradas para funciones de correlación del límite de un punto y dos puntos del modelo [BPZ, CP1]. Los detalles de la derivación se pueden encontrar en [CP4]. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 7 3.5. La función de correlación de límites. Si consideramos la expresión (3.3) cuando s = 1, recuperamos la polarización del límite, introducido y computado en [BPZ]. Es conveniente considerar la función de correlación de límites estrechamente relacionada HN (r) := FN (r, 1)− FN (r − 1, 1). Como se muestra en [BPZ, CP1], se mantiene la siguiente representación: HN (r) = KN−1() N − r N − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + Definimos la función generadora correspondiente hN (z) := HN (r) z r−1. (3.4) Teniendo en cuenta que •(•) → 0 como • → 0, se puede mostrar que, dada cualquier función arbitraria f(z) regular en un barrio del origen, la siguiente representación inversa # Sostiene # KN−1()f( (z − 1)N−1 hN(z)f(z) dz. (3.5) Aquí C0 es un contorno cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano complejo, origen, y ninguna otra singularidad del integrand. 3.6. Representación integral múltiple. Conexión (3,5) a la representación (3.3), obtenemos fácilmente la siguiente representación integral múltiple para EFP: FN (r, s) = · · · det 1≤j,k≤s hN−k+1(­j) •j − 1 N−r−1j (lj − 1)N 1≤j<k≤s (j − 1))k − 1) * 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = = = 1 = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = = = = = = . (3.6) Aquí j ’s debe expresarse en términos de j ’s a través de (3.2). De hecho, debido a (3.5), relación (3.2) para las funciones (), (), se traduce directamente en la misma relación entre j y j, j = 1,..., s. Representación (3.6), y todos los resultados en esta sección se mantienen para cualquier elección de param- y η dentro del régimen desordenado. Por otra parte, mediante la continuación analítica estos resultados pueden extenderse fácilmente a todos los demás regímenes. El determinante en la expresión (3.6) es una representación particular de los parti- función del modelo de seis vértex con DWBC, cuando el límite homogéneo es solo se realizó en un subconjunto de los parámetros espectrales [CP3]. La estructura de la Por lo tanto, la representación múltiple integral anterior recuerda de cerca las análogas para las funciones de correlación de la cadena de giro cuántica Heisenberg XXZ [JM, KMT]. Para los valores genéricos de  y η, los polinomios ortogonalesKn(x), o los géneros ing función hN (z), se conocen sólo en términos de representaciones más bien implícitas. Por... Al mismo tiempo, hay tres excepciones notables [CP2]: la línea Free Fermion (η = η/4, /4 <  < η/4, = 0), el Punto de Hielo (η = Punto de hielo (η = En estos tres casos, la vuelta Kn(x) para ser polinomios ortogonales clásicos, a saber, Meixner-Pollaczek, Continuo El polinomio Hahn Dual Continuo y Hahn, respectivamente. Correspondientemente, el 8 F. COLOMO Y A.G. PRONKO función generadora se puede representar explícitamente en términos de terminación de hiperge- funciones geométricas que pueden simplificar considerablemente la evaluación adicional de la PFE. En el próxima sección nos centraremos en el caso de la línea Free Fermion. 4. Representación integral múltiple en • = 0 4.1. Especialización a η = η/4. Ahora nos limitaremos al caso. η = η/4. Contamos con un modelo de 0, y el modelo de seis vértex se reduce a un modelo de libre fermiones en la celosía. El parámetro  todavía puede asumir cualquier valor en el intervalo (/4, η/4). Es conveniente comerciar con el nuevo parámetro  = tan2( η/4), 0 < El punto simétrico (relacionado con el revestimiento de dominó del Diamante Azteca) corresponde Ahora a  = 1. Para los valores genéricos de ♥ tenemos: = . La función generadora (3.4) se conoce explícitamente (véase [CP2] para más detalles): hN (z) = 1 + Łz 1 +  Conectando esta expresión en (3.6), obtenemos FN (r, s) = · · · det 1≤j,k≤s (1 + j)(j − 1) (1 + N−r−1j (lj − 1)N 1≤j<k≤s (1 + j))k − 1) 1 + â € € TM € TM TM . (4.1) 4.2. Simmetrización. Después de extraer un factor común (1 + j)(j − 1) (1 + del determinante en (4.1), lo reconocemos como de tipo Vandermonde. Podemos por lo tanto recoger del integrand de (4.1) el producto doble 1≤j<k≤s (1 + j)(j − 1) (1 + (1 + #k)(#k − 1) (1 + (1 + j))k − 1) 1 + â € € TM € TM TM Notando que la integración y el resto de integrand son totalmente simétricos bajo permutación de variables ­1,. ............................................................................................... el producto doble anterior sobre todas sus variables, con el resultado (−1)s−1)/2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 9 Por lo tanto, finalmente obtenemos la siguiente representación para EFP en el Fermión Libre línea: FN (r, s) = (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s(N−s)(2πi)s · · · 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () (1 + j) (lj − 1)s . (4.2) La aparición de un determinante cuadrado Vandermonde en esta expresión naturalmente recuerda las funciones de partición de s× s Random Matrix Models. 5. Modelo Triple Penner y Elipses Árticos 5.1. Límite de escala. Ahora abordaremos el comportamiento asintótico de la expres- sión (4.2) para el FEP en el caso • = 0. Estamos interesados en el límite N, r, s → mientras se mantienen las proporciones r/N = x, s/N = y, Arreglado. En este límite, x, y [0, 1] se parametrizará el cuadrado de la unidad a la que la La celosía se redimensiona. Por consiguiente, se espera que la PFE se aproxime a una función de límite F (x, y) := lim FN (xN, yN), x, y â € [0, 1]. Aprovecharemos el enfoque estándar desarrollado, por ejemplo, en la investigación de comportamiento asintótico para los modelos de matriz aleatoria. Antes de esto, sin embargo, señalar algunos hechos que ya se sostiene para cualquier valor finito de s. 5.2. Una identidad útil. Considerar la cantidad IN (r, s) := (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s(N−s)(2πi)s · · · 1≤j<k≤s (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) (-) (-) ()) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () () (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () (1 + j) (lj − 1)s que difiere de (4.2) sólo en los contornos de integración. Aquí C1 es un cerrado, contorno orientado a las agujas del reloj (note el cambio de orientación) en el plano complejo punto de acotación = 1, y ninguna otra singularidad de la integrand. Tenemos el identidad IN (r, s) = 1 (5.1) para cualquier entero r, s = 1,..., N. La forma más simple de probar la identidad anterior es al desplazar la palabra «j» → «j» + 1, y volver a escribir IN (r, s) como un determinante de Hankel; de hecho, Tenemos IN (r, s) = (−1)s−1)/2 (1 + )s(N−s) 1≤j,k≤s * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1 + فارسى)r Las entradas de la matriz Hankel desaparecen para j+k > s+1, y por lo tanto el determinante se indica simplemente por el producto de las entradas antidiagonales, j + k = s + 1 (modulo un signo (−1)s(s−1)/2 que emerge de la permutación de todas las columnas). Identidad (5.1) sigue inmediatamente. 10 F. COLOMO Y A.G. PRONKO 5.3. Evaluación de puntos de asiento para grandes N y finitos s. Al utilizar el método de sillín-punto en variables +1,. ............................................................... grande N y r, y finito s, es bastante fácil ver que las ecuaciones de punto de silla de montar desacoplarse en el orden principal, y que cada punto de la silla de montar estará en el eje real, contribuir con un factor e-NSj con Sj positivo. Si un punto de sillín dado es menor que 1, el contorno C0 puede deformarse a través de la silla de montar-punto sin encontrar ningún poste, y su contribución será desaparecen como e-NSj en el gran límite de N. Sin embargo, si la silla de montar-punto, todavía en el real eje, pasa a ser mayor que 1, la deformación del contorno C0 a través de la sillín-punto recogerá la contribución del polo en = 1 (con un reverso orientación del contorno), y la integral j-th se comportará como 1 + e-NSj. Por lo tanto, en el límite N grande (en s fijo) la cantidad FN (r, s) desaparecerá a menos que todos los los puntos de silla de montar son superiores a 1, en cuyo caso FN (r, s) • IN (r, s) = 1. Tenga en cuenta que en la situación actual los puntos de sillin-points coinciden. Un análisis detallado muestra que en este caso, la posición de los puntos de sillin s depende del valor x = r/N como (entre 1 y x) . En correspondencia con el valor x0 = , por lo que estos sillín- los puntos son exactamente 1, la función F (x, 0) tiene una discontinuidad paso. Más precisamente, es fácil demostrar que para x • [0, 1], F (x, 0) = •(x − x0), donde •(x) es Heaviside función de paso. Desde un punto de vista físico x0 es el punto de contacto entre el limitar la forma y el límite. Lo que se ha discutido aquí puede ser fácilmente verificado en el caso s = 1. La extensión a finitos s > 1 es más bien directa también. 5.4. Ecuación de punta de silla. Teniendo en cuenta la analogía con s × s Ran- dom Matriz Modelos, y el límite de escalado especificado en la sección 5.1, reescribimos nuestra expresión para FN (r, s) en • = 0 como sigue: FN (r, s) = (−1)s(s+1)/2 ¡S!(1 + )s 2(1/y−1)(2ηi)s · · · exp j,k=1 j 6=k # En j # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ln(­j) . (5.2) Ambas sumas en el exponente son O(s2). El punto de sillín correspondiente (acoplado) Ecuaciones leídas •j − 1 (1/y − 1) * j + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 k 6=j * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (5.3) Una imagen física estándar reinterpreta las ecuaciones de punto de sillín como el equi- condición de librio para las posiciones de partículas cargadas confinadas al eje real, con repulsión electrostática logarítmica, en un potencial externo. En el presente Este último caso puede ser visto como generado por tres cargas externas, 1, x/y, y − (1/y − 1) en las posiciones 1, 0 y −1/e, respectivamente. Es natural referirse a esto modelo como el modelo Penner triple. Aunque el modelo de matriz simple Penner [P] se ha investigado ampliamente, no se sabe tanto sobre el mucho más compli- modelo Penner doble cate [M, PW]. No hemos sido capaces de rastrear ningún anterior estudio sobre el modelo Penner triple. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 11 5.5. La función exacta verde en finitos s. Para investigar la estructura de soluciones de las ecuaciones de punto de sillín (5.3) para grandes s primero introducimos el verde función Gs(z) = z − فارسىj que, si la solución de la j ́s (5.3), tiene que satisfacer la ecuación diferencial: z(z − 1)(/23370/z + 1) sG′s(z) + s 2G2s(z) − s(αz2 + βz + γ)sGs(z) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - z + (1 − ♥)s(s− 1)− βs2 αs2 . (5.4) Los coeficientes α, β y γ se obtienen fácilmente como coeficientes del segundo orden polinomio que aparece en el numerador, cuando se establece al denominador común el lado izquierdo de (5.3). Les damos explícitamente para su conveniencia posterior: α =  , β = + (1− ) , γ = − La derivación de la ecuación diferencial es muy estándar (véase, por ejemplo, [SD]). Los mano izquierda se construye combinando adecuadamente la definición explícita del verde función y su derivada. El resultado tiene que ser un polinomio del primer grado en z, cuyos coeficientes se construyen emparejando el principal y el primer sublíder Comportamiento del lado izquierdo como z →. 5.6. El primer momento. La cantidad que aparece en (5.4) se define como el primer momento de las soluciones de las ecuaciones sillín-punto: Está relacionado de manera obvia con el primer coeficiente de subliderazgo de Gs(z); de hecho, de la definición de la función verde, es evidente que Gs(z) = +O(z−3), z → فارسى. Vale la pena destacar que ♥ es todavía desconocido, y que en principio su valor debe ser determinado auto consistentemente mediante la primera elaboración de la solución explícita de Gs(z) (que dependerá implícitamente de ), a partir de (5.4) y luego exigiendo que j=1 ­j evaluado a partir de esta solución coincide con ­. La aparición de los un- determinado parámetro ♥ es una manifestación de la naturaleza ‘dos cortes’ de la Random Modelo Matriz relacionado con (5.2), véase, por ejemplo, párr. 6.7 de [D1]. 5.7. La función verde asintótica. Ahora estamos en condiciones de realizar el s grande (y N grande, r) límite en x, y fijo. En el límite, podemos descuidar los términos de orden O(s) en la ecuación diferencial (5.4), que por lo tanto se reduce a un algebraico ecuación para la función limitativa verde G(z): z(z−1)(lz+1)[G(z)]2−(αz2z)G(z) = ()z+(1)(2). (5.5) La ecuación algebraica anterior tiene que ser complementada por la normalización dicciÃ3n G(z) .............................................................. (5.6) 12 F. COLOMO Y A.G. PRONKO De ahí la función verde que describe la gran distribución asintótica de las soluciones donde dice la ecuación del sillín (5.3) dice: G(z) = 2z(z − 1)(/23370/z + 1) (αz2 + βz + γ) (αz2 + βz + γ)2 + 4z(z − 1)( (5.7) Hemos seleccionado la rama positiva de la raíz cuadrada, para satisfacer la normalización condición (obsérvese que el coeficiente de z4 bajo la raíz cuadrada es (α − 2 α − 2° es negativo para cualquier x, y ° [0, 1]). Sin embargo, la expresión para G(z) no es completamente especificado todavía, porque ♥ todavía no está determinado. 5.8. Limite la forma y condensación de las raíces. El polinomio bajo el raíz cuadrada es de cuarto orden, por lo tanto G(z) tendrá en general dos cortes en el avión complejo. La aparición de un problema de doble corte ya se esperaba de la aparición del primer momento indeterminado en (5.4). La discontinuidad de G(z) a través de estos cortes define, cuando positivo, la densidad de soluciones de la silla de montar- Ecuaciones de punto (5.3) cuando s → فارسى. El problema de encontrar explícitamente esta densidad, para α, β, γ (o x, y), es un formidable, por no mencionar la evaluación de la correspondiente «energía libre», y la contribución de la silla de montar a la en (5.2). Pero nuestro objetivo es mucho más modesto, ya que actualmente sólo nos interesa en la expresión de la forma límite, es decir, en la curva en el cuadrado x, y [0, 1], Delimitación de regiones donde F (x, y) = 0 de regiones donde F (x, y) = 1. Por supuesto que sí. están aquí de alguna manera asumiendo que la transición de F (x, y) de 0 a 1 es paso a paso en el límite de escala, pero esto se apoya tanto en la interpretación física de EFP (en la región desordenada, por definición, el número de líneas delgadas es macroscópico, y la probabilidad de no encontrar bordes horizontales «difíciles» desaparece inmediatamente en el límite de escala) y mediante el examen de la sección 5.3. Como se explicó en la discusión del modelo doble Penner en papel [PW], el Los pozos logarítmicos en el potencial pueden comportarse como gérmenes de condensación para el sillín. soluciones puntuales. En nuestro caso, este papel sólo puede ser jugado por el ‘cargo’ en 1 en el potencial de Penner, ya que la carga en • = −1/• es siempre repulsiva, mientras que el que está en la categoría de 0 es mayor que 1, al menos en la región de interés. [PW] han demostrado que la condensación sólo puede ocurrir para cargas inferiores o iguales a 1, ya que esta será la fracción de soluciones condensadas. Esta consideración, juntos con el comportamiento escalonado esperado y la discusión en la sección 5.3, sugieren la siguiente imagen de la evolución de la densidad de la solución de sillín región alterada, F (x, y) 0, a la parte superior izquierda de la región congelada, F (x, y) 1: región desordenada hay una fracción macroscópica de soluciones que son reales y menor de 1, mientras que en la parte superior izquierda de la región congelada esta fracción desaparece. En el en base a la discusión aquí y en las secciones 3.2 y 5.3, asumiremos que en la transición entre las dos regiones todas las soluciones de sillin-point se han condensado a * 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 5.9. Suposición principal. Afirmamos que la curva ártica en el cuadrado x, y [0, 1] separar la fase desordenada de la fase superior izquierda congelada se define por la condición de que todas las soluciones de la ecuación de punto de sillín se encuentra en = 1. En la derivación de la forma límite, esta es de hecho la única suposición a la que No somos capaces de proporcionar una prueba. De hecho, no hay ninguna garantía, a este nivel, para EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 13 esta posibilidad de ocurrir, y limitar las formas podría, en principio, emerger de un condición. Pero si para algunos valores de x, y [0, 1] tenemos todas las soluciones de la silla de montar- ecuación de punto condensando en = 1, entonces esto proporciona un mecanismo de transición de 0 a 1 para F (x, y), y esto podría definir correspondientemente alguna forma límite. Si todas las soluciones de sillín se condensan en = 1, entonces obviamente tenemos:  = 1. Además, la expresión de complicación (5.7) para G(z) debería simplemente reducir a G(z) = z − 1 , (5.8) ya que esperamos no tener cortes, y sólo un polo en z = 1 con residuo de unidad. 5.10. Elipses árticos. Considere el polinomio quártico debajo de la raíz cuadrada en (5.7). Es conveniente reescribirlo en términos de := 2­ − α = ­ := 2− β = x+ y − 1 y − x := = (5.9) Tenga en cuenta que y son siempre positivos para x, y [0, 1]. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lecturas polinómicas 2z4 + 2z3 + (2 + 2)z2 + 2z + 2, que pueden ser reescritos equivalentemente como (z2 + z + )2. Vemos que el polinomio quártico se reduce a un cuadrado perfecto, y por lo tanto, cuando  = 1, los dos cortes de G(z) desaparecen, como se esperaba. Ahora, cuando ♥ = 1, en nuestras nuevas anotaciones, la función Verde dice: G(z) = [(2o − )z2 + (2o )z − ] + (z2 + z + )2 2z(Łz + 1)(z − 1) . (5.10) Ahora requerimos que los coeficientes,, sean tales que el polinomio bajo la raíz cuadrada se combina con la primera parte del numerador en (5.10) para dar 2z(Łz+1) y simplificar la función verde de acuerdo con (5.8). Una vez que hayamos elegido una rama dada de la raíz cuadrada (la positiva, con el fin de satisfacer la normalización condición (5.6), es obvio que la simplificación requerida puede ocurrir para cualquier z en el plano complejo solamente si el segundo orden polinomio z2 + z + no cambiar su signo, es decir. sólo si sus dos raíces coinciden, lo que implica: 2 − 4 = 0. Reescribiendo la última relación en términos de x, y, a través de (5.9), obtenemos fácilmente (1 + Ł)2x2 + (1 + Ł)2y2 − 2 (1−)2xy − 2(1 + ♥)x − 2(1 + )y + 0. Por lo tanto, hemos recuperado la forma límite, que en este caso Free Fermion es el Elipse ártica bien conocida (círculo ártico para el subartículo  = 1) [JPS, CEP]. Recordamos que, como se explica en la sección 3.2, F (x, y) no desaparece sólo en la región superior izquierda 14 F. COLOMO Y A.G. PRONKO del cuadrado de la unidad. Por lo tanto, en lo que respecta a la EFP, sólo la parte superior izquierda de la Curva ártica, entre los dos puntos de contacto en , 0) y (1, 1 ), es pertinente. 6. Observaciones finales Nuestro punto de partida ha sido la definición de un relativamente simple pero relevante función de correlación para el modelo de seis vértex con DWBC, la Formación de Vacío Probabilidad. Hemos proporcionado tanto una representación determinante y un múltiple representación integral de la función de correlación propuesta. Este es el primer ex- amplia en la literatura de la función de correlación de la masa (en contraposición a la frontera) para el modelo considerado, para pesos genéricos. La representación integral múltiple, especializada en el caso de Free Fermion, tiene se ha estudiado en el límite de escala. En la imagen estándar de Random Matrix Mod- Els, reconocemos la aparición de un modelo triple Penner. Suponiendo la condensación de las raíces de las ecuaciones de punto de silla de montar en correspondencia a una forma límite, recuperamos el conocido Círculo Ártico y Elipse. Sería interesante investigar. si las consideraciones de universalidad de los modelos de matriz aleatoria (véase, por ejemplo, [D2]) pueden se extiende al modelo Penner en el barrio de su singular logarítmico ciones. Esto implicaría directamente los resultados de [CEP, J1, J2] sobre la Tracy-Widom la distribución y el proceso Airy, emergiendo en un barrio adecuadamente reescalonado de la Elipse ártica. Vale la pena destacar que la representación integral múltiple para EFP presentado En la sección 3 se puede estudiar más allá de la situación habitual de Free Fermion. Esperamos que condensación de las raíces de la ecuación de punto de silla de montar en correspondencia de la la forma límite es un fenómeno general. Creemos que esta suposición podría ser de importancia a la hora de abordar el problema de las formas límite en el modelo DWBC. Nuestra derivación de la forma límite en el caso de Free Fermion utiliza el explícito conocimiento de la función hN (z), de pie en la representación integral múltiple (3.6). Vale la pena mencionar que la función hN(z) también se conoce explícitamente en Ice Point, ( = 1/2), y Punto de Hielo Dual, ( = −1/2), siendo expresable en términos de (poli- función hipergeométrica de Gauss [Ze, CP2]. Por ejemplo, en el punto de hielo modelo triple Penner discutido anteriormente generaliza a un modelo Penner de dos matrices. Este modelo se puede estudiar en las líneas que se presentan aquí, proporcionando así una solución al problema de larga data de la forma límite para las matrices de señales alternas. Agradecimientos Damos las gracias a Nicolai Reshetikhin por su útil debate y por darnos un borrador. de [PR] antes de su finalización. FC está agradecido a Percy Deift, y Courant Institute de la Ciencia Matemática, para una cálida hospitalidad. AGP gracias INFN, Sezione di Firenze, donde se hizo parte de este trabajo. Reconocemos el apoyo financiero de Programa MIUR PRIN (SINTESI 2004). Uno de nosotros (AGP) también es apoyado en parte de la Fundación Civil de Investigación y Desarrollo (subvención RUM1-2622-ST- 04), por la Fundación Rusa para la Investigación Básica (subvención 04-01-00825), y por el Programa de métodos matemáticos en la dinámica no lineal de la Academia Rusa de Ciencias. Este trabajo se realiza parcialmente dentro de la red de la Comunidad Europea EUCLID (HPRN-CT-2002-00325) y el programa de la Fundación Europea de la Ciencia INSTANS. EL CÍRCULO ÁRTICO REVISADO 15 Bibliografía [AR] D. Allison y N. Reshetikhin, Estudio numérico del modelo 6-vertex con muro de dominio condiciones límite, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005) 1847-1869. [Ba] R.J. 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Time and motion in physics: the Reciprocity Principle, relativistic invariance of the lengths of rulers and time dilatation

arXiv:0704.0363v2 [physics.gen-ph] 10 Feb 2009 El tiempo y el movimiento en la física: el principio de reciprocidad, invarianza relativista de las longitudes de los gobernantes y el tiempo dilatación J.H.Field Departamento de Física Nucléaire et Corpusculaire Université de Genève. 24, quai Ernest-Ansermet CH-1211 Genève 4. Correo electrónico: john.field@cern.ch Resumen Objetos ponderables que se mueven en el espacio libre de acuerdo con la Primera Ley de Newton crear reglas y relojes cuando uno de estos objetos se ve desde el marco de descanso de otro. Junto con el principio de reciprocidad esto se utiliza para demostrar, en tanto galileo como relatividad especial, la invarianza de la longitud medida de una regla en movimiento. Los diferentes tiempos: «adecuado», «impropio» y «aparente» que aparecen en diferentes formulaciones de la relación de dilatación del tiempo relativista se discuten y ejemplificado por aplicaciones experimentales. Un efecto de ‘expansión de longitud’ no intuitivo predicho por el Principio de Reciprocidad como consecuencia necesaria de la dilatación del tiempo se señala. PACS 03.30.+p http://arxiv.org/abs/0704.0363v2 1 Introducción La presentación estándar de los libros de texto de la relatividad especial sigue de cerca la de Ein- Documento seminal de Stein de 1905 [1] al basar la teoría en el Principio Especial de Relatividad, electromagnetismo clásico y el postulado de la velocidad constante de la luz. Sin embargo, una alterna... tiva y conceptualmente más simple enfoque de la física del espacio y el tiempo, en ausencia de los campos gravitacionales, es posible en el que no es necesario considerar las señales de luz, electromagnetismo clásico, o de hecho, cualquier teoría dinámica. Los Lorentz la transformación (LT) fue derivada por primera vez de esta manera por Ignatowsky [2] en 1910. Puramente. consideraciones matemáticas implican, en tal derivación del LT, la existencia de un velocidad relativa máxima, V, de dos marcos inerciales. Uso de cinemática relativista entonces muestra que V es igual a la velocidad de la luz, c, cuando la luz en identificado como una manifestación de la propagación en el espacio-tiempo de partículas sin masa – fotones [3]. De esta manera Einstein’s segundo postulado misterioso se deriva de los primeros principios. El axioma fundamental un- El principio de reciprocidad (RP) [4, 3], que se examina en la sección 3 abajo, relacionando las velocidades relativas de dos marcos inerciales. Derivados del LT y la fórmula de adición de velocidad paralela basada en el RP y otros axiomas simples son dada en Ref. [3]. En el presente trabajo las propiedades espacio-tiempo de los cuerpos físicos ponderables1 en libre espacio, como se describe por la Primera Ley de Newton de la mecánica, se utilizan junto con el RP, demostrar la invarianza de la longitud medida de una regla en movimiento uniforme. Los prueba dada es válida tanto en galileo y relatividad especial, desde la primera ley de Newton y el RP se sostiene en ambas teorías. El análisis presentado se basa en una cuidadosa definición de los conceptos del tiempo físico. In En particular, se distinguen los «tiempos de ejecución» o «tiempos adecuados» que aparecen en el RP. desde el «tiempo incorrecto» o «tiempo aparente» (de un reloj en movimiento) que aparecen en el Time Relación dilatación (TD) de relatividad especial. El artículo está organizado de la siguiente manera: La siguiente sección contiene un disco elemental: sión de los conceptos de ‘espacio’, ‘tiempo’ y ‘moción’ en la física, en relación con el Primera ley. En la Sección 3, el RP es presentado y discutido en relación con el Primero de Newton Ley. Se señala que, debido al RP, ‘los gobernantes son relojes’ y ‘los relojes son gobernantes’ cuando se considera el movimiento de cuerpos ponderables en el espacio libre. En la sección 4 el RP es utilizado para demostrar la invariabilidad de la longitud medida de una regla de movimiento uniforme. En la sección 5, los significados operativos de los símbolos de tiempo que aparecen en la fórmula TD de la relatividad especial se discuten. Esto puede hacerse de una manera ‘orientada al reloj’ en términos de los tiempos ’adecuados’ e ’inadecuados’ del reloj observado, o de una manera ‘orientada al observador’ en términos de la hora adecuada del reloj local del observador y de la «hora aparente», como se ha visto por el observador, del reloj en movimiento. Dos experimentos específicos se describen para ejemplificar los significados operativos de los símbolos de tiempo de la fórmula TD. Una «longitud» no intuitiva el efecto de expansión se relaciona con intervalos espaciales definidos de manera similar que corresponden a la observación de un acontecimiento, ya sea en el marco del resto del reloj, o en un marco en el que está en movimiento uniforme. 1Es decir, los cuerpos, con una masa Newtoniana no-desavanecida, que puede estar asociada con un inercial marco en el que el cuerpo está en reposo. Ningún marco de este tipo puede estar asociado con un objeto sin masa. Los resultados del presente documento muestran que el efecto de «contracción de la longitud» y el No existe un efecto de «relatividad de la simultaneidad» correlacionado de la relatividad especial convencional. Una discusión detallada de la razón de la naturaleza espuriosa de estos efectos de la la teoría especial de la relatividad se puede encontrar en Refs. [5, 6, 7, 8, 9, 10]. Sin embargo, se produce un efecto genuino de ‘contracción de longitud relativista’ cuando las distancias son: Entre las coincidencias espaciales de objetos en movimiento se observan desde diferentes marcos inerciales [11]. También se produce un efecto genuino de ‘relatividad de la simultaneidad’ cuando los relojes descansan en dos diferentes Los marcos inerciales se ven desde un tercero [12, 13]. Una derivación alternativa, directamente del RP, de la invarianza de la separación espacial medida de dos objetos en reposo en el mismo marco inercial, así como la ausencia de la «relatividad» convencional el efecto de la taneidad se da en Ref. [9]. 2 El tiempo físico y la primera ley de Newton de Mechan- En física los conceptos de “tiempo” y “moción” son inseparables. En un mundo en el que movimiento no existía el concepto físico del tiempo no tendría sentido. Del mismo modo, el los conceptos físicos de «espacio» y «moción» son inseparables. Sin el concepto de espacio, ninguna definición operativa de movimiento es posible. El concepto de tiempo histórico – el tiempo del mundo cotidiano de la existencia humana – requiere la introducción de lo más equivalentes, conceptos de «movimiento uniforme» y «movimiento cíclico con período constante». Por por ejemplo, la unidad de tiempo del «año» se identifica con el período (supuesto constante) de rotación de la Tierra alrededor del Sol. La idea del movimiento uniforme entró en la física de una manera cuantitativa con el pro- la simulación de la Primera Ley de Newton [14] Cada cuerpo continúa en su estado de reposo, o movimiento uniforme en un derecho línea a menos que se vea obligado a cambiar ese estado por las fuerzas impresionadas en Esta ley da un significado operativo al concepto físico de ‘movimiento uniforme’. Se define por las observaciones de la posición de cualquier objeto ponderable en el «espacio libre», es decir. en ausencia de cualquier interacción mecánica del objeto con otros objetos. Hay una correspondencia uno-a-uno entre tal objeto ponderable y un ‘marco inercial’ de la teoría de la relatividad. Como se discutirá en la siguiente sección, uno de estos ponderables objeto, O, constituye tanto una regla y un reloj para un observador en el marco de reposo de otro tal objeto, O’, y viceversa. Cuando el tiempo se mide utilizando un fenómeno físico cíclico, por ejemplo. un reloj analógico, la medición del tiempo reduce el registro del resultado de una medición espacial (o angular). Hay una correspondencia uno-a-uno entre la coincidencia espacial de un estacionario «marca» en la cara del reloj y un «puntero» en movimiento, constituido por la mano del reloj, y la medición del tiempo [6]. Un «intervalo de tiempo» se mide por la separación angular de dos de estas «coincidencias punteras». La suposición implícita es que la moción de la el puntero es «uniforme». Hay una evidente circularidad lógica aquí ya que los intervalos de tiempo ‘iguales’ medida por un reloj análogo de este tipo asume que la velocidad angular de la mano es constante, mientras que la velocidad angular constante se establece mediante la observación de igual angular incrementos para intervalos de tiempo iguales (es decir, también incrementos angulares iguales) registrados por un segundo reloj de una tasa de uniforme supuestamente conocida. En la práctica, este dilema se resuelve por una apelación a la física. Por ejemplo, un péndulo sin amparar en una gravitación uniforme campo es predicho, por las leyes de la mecánica, para tener un período constante de oscilación. Mecánica cuántica predice la misma frecuencia de transición y la vida media para dos átomos idénticos en el mismo estado excitado, en el mismo ambiente físico, etc. Las mediciones del «tiempo» son, en última instancia, observaciones de fenómenos espaciales, por ejemplo: la medición del tiempo correspondiente a la observación del número mostrado por un digital reloj es una percepción espacial. Este será también el caso de las mediciones de tiempo relacionadas con observación de dos objetos ponderables O y O’ en movimiento en el espacio libre que ahora será Debatida. 3 El principio de reciprocidad: los gobernantes son relojes, y los relojes son reglas Considere dos objetos ponderables no interactuantes O y O’, con movimientos arbitarios en espacio libre. Se sitúan en los orígenes de los sistemas de coordenadas inerciales S y S’ con ejes orientados de modo que los ejes x y x′ sean paralelos al vector de velocidad relativa de O y O’. Sin ninguna pérdida de generalidad para la siguiente discusión, se puede suponer que O y O’ se encuentran en el eje común x-x′. El Principio de Reciprocidad (RP) [4, 3, 9] se define por la ecuación: v = vO′O = ŁxO′O = −vOO′ (3.1) donde xO′O • xOxO y x , o en palabras: «Si la velocidad de O» relativa a O es ~v, la velocidad de O relativa a O’ es - ~v’. En muchas discusiones de la relatividad especial, el RP se toma como «obvio» y a menudo ni siquiera se declara como un axioma separado. Este es el caso, por ejemplo, en el documento especial de relatividad de Einstein de 1905 [1]. Sin embargo, como se demostró por primera vez por Ignatowsky en 1910 [2], es suficiente, junto con algunos otros axiomas más débiles como homogeneidad del espacio o valor único de las ecuaciones de transfomación, que se derivarán [3] la transformación espacio-tiempo de Lorentz y, por lo tanto, toda la teoría de la relatividad especial. Eqn(3.1) se parece mucho a la ecuación que define la velocidad relativa de dos objetos A y B, como se observa en un único marco de referencia inercial (digamos S): vAB • vA − vB = d(xA − xB) = −vBA (3.2) La diferencia crucial es la aparición en el RP, (3.1), de dos veces diferentes t y t′. El tiempo t es el «tiempo de ejecución» de S. i.e. el tiempo registrado por un reloj sincronizado en reposo, en cualquier posición en S, según un observador también un descanso en S. El tiempo de ejecución t′ es similar definido por un conjunto de relojes sincronizados en reposo en S». Eqn(3.1) (y su integral) da un relación entre los tiempos t y t′ Tanto t como t′ corresponden a «tiempos adecuados» de los relojes en el descanso, mientras que, como se explica en la sección 4 infra, la transformación de Lorentz se refiere en su lugar un tiempo adecuado para un ‘tiempo inadecuado’ – el tiempo observado de un reloj en movimiento uniforme. Supongamos ahora que O y O’ están equipados con relojes locales que se observan para funcionar en exactamente la misma tasa cuando ambos están en reposo en el mismo marco inercial. La dirección del vector de velocidad relativa ~v de O’ relativo a O es tal que se están acercando a cada uno otro en el marco veces t y t′. Las separaciones espaciales de O y O’ en S y S’ son l(t) y l′(t′), respectivamente, a veces t y t′. Usando el RP, una coincidencia espacial de O y O’ se observará en el momento tOO′ = t+ (3.3) en S, y = t′ + l′(t′) (3.4) en S». El evento de coincidencia del OO será mutuamente simultáneo en los marcos S y S». Nótese que la coincidencia espacial del OO que es mutuamente simultánea en S y S». constituye un par de coincidencias de marcas de puntero recíprocas. En S la marca está en la posición de O y el puntero móvil en la posición de O’, mientras que en S’ la posición de O’ constituye la marca y la posición de O el puntero. Un corolario es que todos estos pares de coincidencias de marcas de puntero recíprocas son mutuamente simultáneas. Esta es la base de la «Sincronización externa del sistema» [15] tal como se introdujo en la primera relatividad especial de Einstein papel [1] para sincronizar los relojes en reposo en diferentes marcos inerciales cuando están en espacio coincidencia. La observación de la coincidencia OO’ evento en ambos marcos se puede utilizar para dar un condición de que cualquier otro par de acontecimientos, uno observado en S, el otro observado en S Simultáneamente. Si el momento de un evento en S es t贸 y otro evento en S’ es t ellos será «mutuamente simultánea» siempre que: t − t̃ = t′ − tOO′ (3.5) La combinación (3.3)-(3.5) da: t − t̃ = t′ − tOO′ = t ′ − t+ l′(t′)− l(t) (3.6) Si los acontecimientos que se producen ahora a veces t en S y t′ en S son mutuamente simultáneos, lo siguiente: de (3.5) y (3.6) que l(t) = l′(t′), de modo que los acontecimientos que se produzcan cuando O y O’ la misma separación espacial en S y S’ son mutuamente simultáneas. Un caso especial ocurre si las matrices de reloj de S y S se sincronizan mutuamente de modo que l(t) = l′(t′ = t). Ahí está. es entonces una correlación directa entre t o t′ y la separación espacial de O y O»: Cuando los relojes sincronizados en los marcos S y S’ tienen la misma lectura, O y O’ tienen las mismas separaciones espaciales en S y S’, y a la inversa, cuando O y O’ tienen Separaciones espaciales iguales en los marcos S y S’, relojes sincronizados en S y S’ tienen la misma lectura. La dependencia de l en t en Eqn(3.3) y l′ en t′ en Eqn(3.4) significa que cada uno de los objetos pueden ser considerados como un «reloj inercial» por un observador en el marco del descanso del otro. Es decir, t se mide por la separación espacial de O’ de O en S y t′ se mide mediante la separación espacial de O de O’ en S». Por el contrario, después de mutuo sincronización de los arrays de reloj en S y S’ en el momento en que O y O’ están en espacio la coincidencia, t mide la separación espacial de O’ y O en S (y así es efectivamente un regla en este marco), mientras que t′ mide la separación espacial de O’ y O en S’, constituyendo una regla en este marco. Coincidencia de estas mediciones de la separación de O y O’ con las longitudes de las reglas físicas en reposo en S y S’ se utiliza ahora para demostrar la invarianza de la longitud medida de la longitud de una regla en movimiento uniforme, es decir, la ausencia de cualquier efecto de contracción de longitud relativista– en este caso. 4 Invarianza de la longitud medida de una regla en uni- movimiento de la forma Figura 1: Las reglas adjuntas a los objetos O y O’ se ven desde el marco S (izquierda) y S’ (derecha). La igualdad de las separaciones de O y O’ en S y S’ en el momento t = t′ = L/v, predicho por el RP, se utiliza para establecer la invarianza de la longitud medida de la la regla móvil R’ en S, o de la regla móvil R en S’ (véase el texto). Supongamos que O y O’ están equipados con reglas R y R’, paralelo al eje x-x′ como se muestra en la figura 1. O coincide con la marca MR(0) de la regla R y O’ con el marca MR′(10) de la regla R». A t = t′ = 0 (Fig.1a) O y O’ están en coincidencia espacial. Los arrays de reloj en S y S’ se sincronizan mutuamente en este momento. La longitud de cada uno regla en su marco de reposo es L. El objeto O’ ahora se mueve a lo largo de la regla R, siendo en espacial coincidencia con diferentes marcas de la regla en diferentes momentos. El objeto O se mueve en una de manera similar a lo largo de la regla R’. En cualquier momento dado t la separación de O y O’ en S es dado por la correspondiente «Coincidencia de Marcas de Pointer» (PMC): PMC(O′, t) فارسى O′(t)@MR(J) (4.1) donde el símbolo antes de la ampersand denota el ‘punto’ en movimiento, y el símbolo después de ella la “marca” estacionaria con la que es coincidencia espacial2. Desde PMC(O, t) O(t)@MR(0) para todos los t (4.2) y x[MR(0)] = 0 se deduce que la separación de O y O» en el marco S en el momento t es dado por: dO′O(t) = x[MR(J)]− x[MR(0)] = x[MR(J)] (4.3) donde x[MR(J)] = y donde, en la Fig.1, Jmax = 10, es el número ordinal de la marca al final de la regla. Por lo tanto, el origen de la coordenada x está en MR(0). Definir de manera similar un PMC en el marco S»: PMC(O, t′) فارسى O(t′)@MR′(K) (4.4) y desde entonces PMC(O′, t′) فارسى O′(t′)@MR′(10) para todos los t′ (4.5) la separación de O y O’ en S’ en el momento t′ es (t′) = x′[MR′(10)]− x′[MR′(K)] (4.6) donde x′[MR′(K)] = y donde, en la Fig.1, Kmax = 10. Las configuraciones espaciales en S y S’ en los tiempos t = t′ = L/v se muestran en la figura 1b. Los PMC correspondientes son: PMC(O′, L/v) فارسى O′(L/v)@MR(10) (4.7) PMC(O, L/v) فارسى O(L/v)@MR′(0) (4.8) De (4.3) y (4.6) se desprende que dO′O(L/v) = x[MR(10)]−x[MR(0)] = L = x ′[MR′(10)]−x′[MR′(0)] = d′ (L/v) (4.9) Dado que O’ coincide en todo momento con MR′(10), se deduce que, en t = L/v x[MR′(10)] = x[O′] = x[MR(10)] (4.10) Además, dado que O está en coincidencia espacial con MR′(0) en t = t′ = L/v, sigue que en t = L/v, x[MR′(0)] = x[O] = x[MR(0)] = 0 (4.11) 2Esta notación fue introducida en Ref. [6]. Nótese la similitud con una dirección de correo electrónico Eqns(4.9)-(4.11) entonces dar en t = L/v: x[MR′(10)]− x[MR′(0)] = x[MR(10)]− x[MR(0)] = L (4.12) Es decir, la longitud medida de la regla móvil R’ en el marco S, en t = L/v, es la igual que la longitud de la misma regla en reposo – no hay efecto de ‘contracción de longitud’. A cálculo similar para la longitud de la regla R medida en el marco S’ da, en t′ = L/v: x′[MR(10)]− x′[MR(0)] = x′[MR′(10)]− x′[MR′(0)] = L (4.13) La longitud de la regla móvil R medida en S, en t′ = L/v, es la misma que la longitud del mismo gobernante en reposo. Los cálculos anteriores han utilizado la igualdad de las separaciones de O y O’ en S y S’ en los mismos tiempos de los relojes mutuamente sincronizados en estos los marcos, que se desprende del RP, para establecer, a través de los PMC correspondientes, la igualdad de las longitudes medidas de una regla en reposo, o en movimiento. Tenga en cuenta que en ninguna parte en ninguna de las Los cálculos fueron la transformación de Lorentz invocada. De hecho, los cálculos son los mismos en galileo y relatividad especial, ya que el RP es igualmente válido para ambos. 5 El efecto de dilatación del tiempo; apropiado, impropio y intervalos de tiempo aparentes Todos los tiempos considerados anteriormente fueron «tiempos de fotograma», es decir: t y t′ son los tiempos registrados por un reloj sincronizado en reposo en cualquier posición en S y S’ visto por un observador en reposo en estos marcos respectivos. Con el fin de discutir el efecto de dilatación del tiempo se encontrará conveniente utilizar la notación t(S), t′(S′) para los tiempos de fotograma en los que los argumentos S, S» especificar el marco de referencia del observador del reloj. Tales tiempos son tiempos apropiados de ¡Qué reloj! La transformación de Lorentz relaciona las coordenadas espacio-tiempo (x′,t′(S ′)) de un acontecimiento especificado en el marco S» a los del mismo acontecimiento, [x,t′(S) como se observa en S, o viceversa. Los tiempos t(S ′)[ t′(S)] que son los de los relojes en reposo en S[S], vistos desde S’[S] se llaman tiempos impropios. El espacio-tiempo LT da el siguiente intervalo invariante relación entre los intervalos de espacio y tiempo correspondientes en los cuadros S y S»: c2( ′)2 = c2(l't′(S))2 − (l'x)2 = c2(l't′(S'))2 − (l'x′)2 (5.1) donde x x x 2 − x 1 etc, mientras que el LT inverso da: c2()2 = c2(?t(S ′))2 − (?x′)2 = c2(?t(S))2 − (?x)2 (5.2) Con el fin de utilizar la relación de intervalo general (5.1) para derivar el efecto de dilatación de tiempo es necesario para identificar el intervalo de tiempo ­t′(S ′) con el intervalo de tiempo adecuado de un reloj en el resto en S’ (x′ = 0), y con la ecuación de movimiento en S: x = vt′(S). Utilizando este último la ecuación para eliminar el x de (5.1) y el ajuste del x′ = 0 produce la dilatación del tiempo (TD) relación: {t′(S) = t′(S ′) (5.3) Figura 2: Un experimento para ilustrar el efecto TD visto desde S (izquierda) y S’ (derecha). a) La lámpara pulsada PL en reposo en S parpadea en el momento t(S) = L/v y PL’ en reposo en S’ flashes en el momento t′(S ′) = L/v. b) La señal luminosa de PL se observa en el momento t(S ′) = γL/v en la marco S», el de PL’ en el momento t′(S) = γL/v en el marco S. Las PMC correspondientes a se indican las posiciones de observación de las señales en los distintos marcos. Ver texto para el debate. Figura 3: Se visualizan las configuraciones espaciales en el marco S (izquierda) y el marco S (derecha) en diferentes momentos. a) t(S) = t′(S ′) = 0; se crea y se mueve a la derecha en la plano de la figura con velocidad v = 3c/2. b) t(S) = t′(S ′) = T ′; se observa una descomposición de la t′(S ′) en el marco S». Los productos de desintegración se mueven en el plano de la figura perpendicular a la dirección de movimiento de la T (S) = t′(S) = γT ′; se observa que la T (T) decae en la marco S. Ver texto para la discusión. Los vectores de impulso de la p y son atraídos a escala en los diferentes marcos de referencia. La posición espacial de cada partícula está en la cola del vector de impulso correspondiente. donde γ 1/ 1 - (v/c)2, relacionando lo impropio con el tiempo adecuado de un reloj en reposo en S». De manera similar la relación de intervalo (5.2) da la relación TD para un reloj en reposo en S y observado a partir de S», (S ′) = t(S) (5.4) Es importante tener en cuenta la existencia de cuatro diferentes símbolos de tiempo, con diferentes ópera- ciones en Eqns(5.3) y (5.4). Los tiempos apropiados t(S) y t′(S′) (correspondientes a los «tiempos de fotograma» t y t′ de las secciones anteriores) y a los tiempos inadecuados t(S′) y t(S ′). La notación para estos tiempos recién introducidos puede ser llamada ‘orientada al reloj’ ya que sólo las lecturas de un solo reloj (observadas en reposo o en movimiento) aparecen en el TD relaciones. En cualquier experimento real en el que se mida el efecto TD, dos relojes son nec- Essary, el reloj en movimiento observado, y otro en reposo para medir el correspondiente intervalo de tiempo en el marco adecuado del observador. Si se observa un reloj en reposo en S’ a partir de S como en Eqn(5.3), el intervalo de tiempo t′(S) es en realidad que, , registrado por un reloj similar, en el descanso en S, mientras que el intervalo de tiempo correspondiente registrado por el (reducido) reloj en movimiento. Puesto que la velocidad observada del reloj en movimiento depende de su movimiento, t′(S ′) no es un intervalo de tiempo adecuado para el observador en S. Desde el punto de vista de este último es un intervalo de tiempo «aparente» (dependiente de la velocidad) que puede denotarse simplemente «t′, para distinguirlo del intervalo de tiempo apropiado del observador . Esto da una alternativa Nota temporal «orientada al observador» para las relaciones de TD (5.3) y (5.4): = t′ (5.5) ′ = t (5.6) Esta notación alternativa ha sido utilizada en varios trabajos anteriores por el presente autor [6, 8, 11, 12, 13, 16]. Para aplicar las relaciones de TD (5.3) y (5.4), o (5.5) y (5.6), a cualquier o un experimento imaginado, debe darse una definición operativa al tiempo impropio intervalos de Eqns(5.3) y (5.4) o los intervalos de tiempo aparentes de (5.5) y (5.6). Dos se darán ejemplos de tales definiciones, el primero en un experimento de pensamiento para ilustrar el significado físico del efecto TD, el segundo en un experimento real típico de muchos realizados en física de partículas, donde el efecto TD se utiliza para medir el tiempo de desintegración de una partícula inestable. Sin embargo, como se verá, el experimento de pensamiento y realmente realizable (y muchas veces realizado) uno son similares en todas las características esenciales. Lo que la notación sea más conveniente depende del experimento considerado. En el observación del efecto TD en el último experimento CERN muon g-2 [17] en el que el intervalo se midió directamente por los relojes en el marco del laboratorio, y vida de reposo de muón conocida, era natural utilizar Eqn(5.5). Por el segundo de los dos experimentos considerados a continuación donde no se mide directamente sino que se infiere de mediciones espaciales en el marco S, la relación (5.3) relativa a la conexión de un tiempo adecuado en el marco S’ a un tiempo incorrecto en el marco S, se utiliza. En el experimento del pensamiento se imagina que los objetos O, O’ están cada uno equipado con lámparas locales pulsadas PL, PL». Los objetos O, O’ están en coincidencia espacial a veces t(S) = t′(S ′) = 0 y están unidos a reglas de longitud 2L en configuraciones espaciales similares a que se muestra en la figura 1a. Los objetos se separan con velocidad relativa v = 3c/2. Como se muestra en la figura 2a, a los tiempos t(S) = t′(S) = L/v, PL y PL’ ambos flashes, produciendo un isotrópico pulso de fotones. Los tiempos de observación en S de la señal fotónica producida por PL», y en S’ de la señal de fotones producida por PL, están dadas por Eqns(5.3) y (5.4), respectivamente. Dado que γ = 2, estas observaciones se producen en los tiempos t(S) = t′(S′) = γL/v = 2L/v. Los las configuraciones espaciales correspondientes de O y O’ en estos momentos que se muestran en la figura 2b. Puede ver que los tiempos de observación de los destellos de luz en S y S’ corresponden a diferentes PMC de los objetos O y O’ y a diferentes separaciones espaciales de los objetos: En S PL: PMC(MR′(10), L/v) • MR′(10)@0 = MR′(10)@MR(0) (5.7) PL′: PMC(O′, γL/v)  OMR(20) = MR′(20)@MR(20) (5.8) En S′ PL′: PMC(MR(10), L/v) • MR(10)@O′ = MR(10)@MR′(20) (5.9) PL: PMC(O, γL/v) فارسى O@MR′(0) = MR(0)@MR′(0) (5.10) l(γL/v) l(L/v) l′(γL/v) l′(L/v) vγL/v vL/v) = γ (5.11) Las relaciones en (5.11) siguen directamente desde el RP, mientras que el PMC en (5.7)-(5.10) son obtenido a partir de la geometría de la Fig.2 y la invariabilidad de las longitudes del movimiento reglas derivadas en la sección 3 supra. Las diferentes PMC correspondientes a las observaciones de los destellos de luz emitidos por PL y PL’ en diferentes marcos en (5.7)-(5.10) es profundamente desconcertante para el sentido común con- conceptos de espacio y tiempo. Por ejemplo, los racimos de fotones emitidos por PL’ corresponden a MR(10)@MR′(20) en S’ y a MR′(20)@MR(20) en S. En algunas discusiones de tiempo dilatación esta aparente paradoja se evita invocando una hipotética contracción de un regla móvil por un factor 1/γ [18]. Esto tiene el efecto de acortar la regla en movimiento R por un factor 1/2 en la figura de la mano derecha en la Fig.2a, de modo que la PMC correspondiente al flashing de PL» se convierte en MR(20)@MR′(20), el mismo que en S con inversión de puntero y marca. Sin embargo, como se ha demostrado anteriormente, no hay tal contracción de longitud el efecto, que, como se ha señalado en otras partes [5, 6, 7, 8, 9] es una consecuencia espuria de terpreting la transformación espacio-tiempo Lorentz. De hecho, la posibilidad de tal longitud el efecto de contracción ya se excluye mediante la inspección de la figura 2a. En la figura de la mano derecha, el PMC que responde al objeto móvil O considerado como puntero es MR(0)@MR′(10). Puesto que O está en movimiento y R’ en reposo ningún efecto hipotético de contracción de longitud opera Aquí. En la figura de la mano izquierda, el PMC en S es MR′(10)@MR(0) De modo que en t(S) = t′(S′) = observadores L/v en S y S’, véase PMC recíprocas, es decir. unas relacionado por el intercambio del puntero y los símbolos de marca. Sin embargo, si la longitud contrac- el observador en S verá en su lugar que el PMC correspondiente a O es MR′(0)@MR(0) en el momento t(S) = L/v. Pero desde el RP este PMC debe corresponder a la veces t(S) = t′(S′) = 2L/v (véase la figura 2b) contrariamente a la hipótesis de que t(S) = L/v. Los hipótesis de contracción de longitud por lo tanto contradice el corolorio del RP que afirma que los eventos simultáneos en dos marcos tienen PMCs recíprocas, ya que implica que los PMC recíprocos MR′(0)@MR(0) y MR(0)@MR′(0) no son mutuamente simultáneos Taneous. El segundo ejemplo de un experimento de TD ilustra una aplicación típica del efecto en física de partículas (véase la figura 3). El meson interactúa con el protón en el plástico fino diana T para producir un hiperón a través de la reacción3 p → K0 El hiperón se mueve con 3Los resultados de un experimento real de este tipo construido para probar la regla de S = Q en semileptónico Los decaimientos neutros del kaon se describen en Ref. [19]. velocidad v = 3c/2 perpendicular al plano del objetivo en el cuadro de laboratorio S. Después del tiempo t′(S ′) = T ′ en su marco de reposo S’, decae a un protón y un pion negativo: • → p. Estos productos de desintegración se observan en el sistema de laboratorio. El experimento es en todos los sentidos similar a la que se muestra en la Fig.2. El objeto O es reemplazado por el objetivo T, el objeto O’ por el sistema sin decaer o el sistema cinemático construido a partir de su decaimiento productos. El pulso de fotones emitido por PL» se sustituye por los productos de desintegración de la - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Reconstruyendo las trayectorias de la descomposición p y en un detector de partículas el posición del evento de desintegración y, por lo tanto, la longitud de desintegración LD - la distancia entre el punto se puede medir la producción y la descomposición de la S– en el marco S. Identificación de la p y y medición de su momentoa (típicamente por medición de la curvatura) de sus trayectorias en un campo magnético conocido ) permite el impulso P y la energía E de la letra a) por determinar. Puesto que v = Pc2/E y γ = E/(m 2) donde m es la masa Eqn(5.3) da el tiempo de desintegración apropiado de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración. T ′ = Łt′(S ′) = * t′(S) (5.12) Las configuraciones espaciales de T y de la A en diferentes momentos en los marcos S y S» son: se muestra en la figura.3. Las separaciones espaciales de T y el en el instante observado de la decadencia en S y S’ obedecer la relación (5.11). Esto implica que esta separación, al cambiar el marco de observación desde el marco de descanso de la A hasta el sistema de laboratorio en el que está movimiento, sufre una ‘expansión de longitud’ por el factor γ. De conformidad con Eqn(5.11), se puede ver que esto es una consecuencia necesaria del RP, dada la existencia de la DT efecto. Los eventos mutalmente simultáneos en S y S’ mostrados en la Fig.3c, corresponden, como ellos debe, a iguales separaciones espaciales de T y el objeto físico constituido por la decadencia los productos, p y, de la Sin embargo, en el marco S, estas partículas han sido creado y han desaparecido la separación espacial, mientras que en S’ están espacialmente separados por una distancia correspondiente a un tiempo de vuelo ( 1)T ′. Esto también parece muy paradójico cuando se interpreta por conceptos clásicos de sentido común del espacio y el tiempo. Agradecimientos Doy las gracias al árbitro de la revista que rechazó Ref. [11] para su publicación para correspon- dence que era importante para la clarificación de las ideas expresadas en ambos los últimos versión de Ref. [11] y el presente documento. Nota añadida Los cálculos presentados en el presente documento están viciados por un importante concepto malentendido que se rectifica en documentos posteriores [20, 21] tratando temas similares. En el momento de redactarse el presente documento, el autor había entendido correctamente la naturaleza espuriosa de la «relatividad de la simultaneidad» y de los efectos de la «contracción a lo largo de la teoría de la relatividad especial vensional [5, 7, 8, 10] pero aún no había sacado la simple conclusión que la existencia del efecto de dilatación del tiempo genuina y experimentalmente confirmado entonces implica necesariamente que el Principio de Reciprocidad, como generalmente se entiende, también se rompe en especial relatividad. Este punto se entiende fácilmente considerando al primer miembro de Eqn(3.1), escrito en una notación simplificada como: dxO′O Transformando en el marco S’, la invarianza de intervalos de longitud implica que dxO′O = −dx Dado que la relación de dilatación del tiempo da dt = γdt′, el principio de reciprocidad de (3.1) es se sustituye por el texto siguiente: dxO′O para que = v se comparará con v′ = −v dado por (3.1). Los cálculos detallados presentados en la sección 4 son correctos y lógicamente coherentes dados los supuestos iniciales, pero las configuraciones mostradas en el marco S’ en la Fig.1 no lo hacen corresponden a observaciones en este marco de los eventos de coincidencia especificados en el marco S en el mismo experimento espacio-tiempo. Si este fuera el caso, en las configuraciones del marco S’ En la figura 1 v debe sustituirse por γv y t y t′ debe relacionarse con la dilatación temporal relación t = γt′. De hecho, lo que se muestra en la figura 1 y se considera en la sección 4 son: configuraciones en S de un experimento primario y en S’ del correspondiente pero físicamente experimento recíproco independiente [20, 22]. Sin embargo, la invariabilidad de los intervalos de longitud correspondientes puede derivarse [21] por considerando las configuraciones de S y S’ en la Fig.1b en el caso de que sean correspondientes uno, en la misma época, en el mismo experimento espacio-tiempo. En este caso, como se ha explicado arriba, la velocidad de O en S’ debe ser γv, no v. Considere, sin embargo, un objeto Õ con el la misma coordenada x′ que O que tiene la velocidad v. La separación L′ de O y O» en S’ es entonces igual a la entre O’ y Õ. en la época de la Fig.1b. Comparar ahora el configuración de O y O’ en S, con separación L con la correspondiente de Õ. y O’ en S’ con separación L′. Desde la simetría de las configuraciones se puede ver que tanto L como L′ pueden depender únicamente de v: L = L(v), L′ = L′(v). La reciprocidad de los dos Las configuraciones se invocan ahora para dar la condición, según lo declarado por Pauli [23]: La contracción de la longitud en reposo en S’ y observada a partir de S es igual a la longitud en reposo en S, tal como se observa en S». La «longitud en reposo en S» es L′ que «como se observa en S» es L, mientras que la «longitud en reposo en S ’ es L que ‘como fron S observado’ es L′. Denotando el factor de contracción por α(v), la condición anterior indica que L = α(v)L′, L′ = α(v)L lo que implica que L = α(v)2L o α(v)2 = 1 de modo que L = L′ y la separación espacial entre O y O’ es el mismo en S y S’ en las épocas correspondientes. La misma conclusión se alcanza más simplemente observando la simetría de las configuraciones de O,O’ en S y Õ,O», en S». y aplicando el principio de Leibnitz de razón suficiente [21]. Si, por lo tanto, en el experimento primario, mostrado en S en la Fig.2b y S’ en la Fig.2a, la configuración en S’ en la Fig.2a es representar correctamente la correspondiente a la configuración en la figura 2b de S, la velocidad v en S» debe ser sustituida por γv, de modo que cuando PL’ parpadea O’ está alineado con MR(20) tanto en S como en S». En el experimento recíproco, mostrado en S en Fig.2a y S’ en Fig.2b, v en S en Fig.2a deben sustituirse por γv de modo que O esté alineado con MR’(0) tanto en S como en S’ cuando PL parpadea. Del mismo modo, en el experimento de pensamiento de la Fig.5, si las configuraciones de marco S’ a la derecha lado de la figura deben representar observaciones en este marco de eventos mostrados en S por el configuraciones en el lado izquierdo, en lugar de lo que realmente se muestran que son configuraciones del experimento recíproco físicamente independiente, v debe sustituirse por γv en todos los Configuración del marco S. En este caso, no hay desajuste entre la posición espacial de el evento de desintegración en los dos fotogramas y el efecto de «expansión de longitud» no se produce. En efecto, la alegación «... diferentes PMC correspondientes a las observaciones de los destellos de luz Emitida por PL y PL» en diferentes marcos en (5.7)-(5.10)» no es sólo «...profundamente perpleja- Es absurdo (autocontradictorio) la consecuencia de suponer, al mismo tiempo, que los intervalos de duración son invariantes, tiempo di- La latación ocurre y la interpretación convencional del Principio de Reciprocidad sostiene. In la teoría de la relatividad especial convencional la dilatación del tiempo y el principio de reciprocidad son reconciliada invocando el efecto espurio de «contracción de longitud» dxO′O = x [18]. Así que... que v′ = −v. La interpretación física correcta del Principio de Reciprocidad es en realidad la definición de la configuración en S’ del experimento físicamente independiente que es recíproca a la primaria especificada por la configuración estándar de los marcos S y S» [20, 22]. 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Objetos ponderables que se mueven en el espacio libre de acuerdo con la Primera Ley de Newton constituyen reglas y relojes cuando uno de estos objetos es visto desde el resto marco de otro. Junto con el principio de reciprocidad esto se utiliza para demostrar, tanto en galileo y relatividad especial, la invarianza de la longitud medida de una regla en movimiento. Los diferentes tiempos: `adecuado', `inpropio' y `aparente' que aparece en diferentes formulaciones del tiempo relativista La relación de dilatación se discute y ejemplifica mediante aplicaciones experimentales. Un efecto de "expansión de longitud" no intuitivo predicho por la Reciprocidad Se señala el principio como consecuencia necesaria de la dilatación del tiempo

Introducción La presentación estándar de los libros de texto de la relatividad especial sigue de cerca la de Ein- Documento seminal de Stein de 1905 [1] al basar la teoría en el Principio Especial de Relatividad, electromagnetismo clásico y el postulado de la velocidad constante de la luz. Sin embargo, una alterna... tiva y conceptualmente más simple enfoque de la física del espacio y el tiempo, en ausencia de los campos gravitacionales, es posible en el que no es necesario considerar las señales de luz, electromagnetismo clásico, o de hecho, cualquier teoría dinámica. Los Lorentz la transformación (LT) fue derivada por primera vez de esta manera por Ignatowsky [2] en 1910. Puramente. consideraciones matemáticas implican, en tal derivación del LT, la existencia de un velocidad relativa máxima, V, de dos marcos inerciales. Uso de cinemática relativista entonces muestra que V es igual a la velocidad de la luz, c, cuando la luz en identificado como una manifestación de la propagación en el espacio-tiempo de partículas sin masa – fotones [3]. De esta manera Einstein’s segundo postulado misterioso se deriva de los primeros principios. El axioma fundamental un- El principio de reciprocidad (RP) [4, 3], que se examina en la sección 3 abajo, relacionando las velocidades relativas de dos marcos inerciales. Derivados del LT y la fórmula de adición de velocidad paralela basada en el RP y otros axiomas simples son dada en Ref. [3]. En el presente trabajo las propiedades espacio-tiempo de los cuerpos físicos ponderables1 en libre espacio, como se describe por la Primera Ley de Newton de la mecánica, se utilizan junto con el RP, demostrar la invarianza de la longitud medida de una regla en movimiento uniforme. Los prueba dada es válida tanto en galileo y relatividad especial, desde la primera ley de Newton y el RP se sostiene en ambas teorías. El análisis presentado se basa en una cuidadosa definición de los conceptos del tiempo físico. In En particular, se distinguen los «tiempos de ejecución» o «tiempos adecuados» que aparecen en el RP. desde el «tiempo incorrecto» o «tiempo aparente» (de un reloj en movimiento) que aparecen en el Time Relación dilatación (TD) de relatividad especial. El artículo está organizado de la siguiente manera: La siguiente sección contiene un disco elemental: sión de los conceptos de ‘espacio’, ‘tiempo’ y ‘moción’ en la física, en relación con el Primera ley. En la Sección 3, el RP es presentado y discutido en relación con el Primero de Newton Ley. Se señala que, debido al RP, ‘los gobernantes son relojes’ y ‘los relojes son gobernantes’ cuando se considera el movimiento de cuerpos ponderables en el espacio libre. En la sección 4 el RP es utilizado para demostrar la invariabilidad de la longitud medida de una regla de movimiento uniforme. En la sección 5, los significados operativos de los símbolos de tiempo que aparecen en la fórmula TD de la relatividad especial se discuten. Esto puede hacerse de una manera ‘orientada al reloj’ en términos de los tiempos ’adecuados’ e ’inadecuados’ del reloj observado, o de una manera ‘orientada al observador’ en términos de la hora adecuada del reloj local del observador y de la «hora aparente», como se ha visto por el observador, del reloj en movimiento. Dos experimentos específicos se describen para ejemplificar los significados operativos de los símbolos de tiempo de la fórmula TD. Una «longitud» no intuitiva el efecto de expansión se relaciona con intervalos espaciales definidos de manera similar que corresponden a la observación de un acontecimiento, ya sea en el marco del resto del reloj, o en un marco en el que está en movimiento uniforme. 1Es decir, los cuerpos, con una masa Newtoniana no-desavanecida, que puede estar asociada con un inercial marco en el que el cuerpo está en reposo. Ningún marco de este tipo puede estar asociado con un objeto sin masa. Los resultados del presente documento muestran que el efecto de «contracción de la longitud» y el No existe un efecto de «relatividad de la simultaneidad» correlacionado de la relatividad especial convencional. Una discusión detallada de la razón de la naturaleza espuriosa de estos efectos de la la teoría especial de la relatividad se puede encontrar en Refs. [5, 6, 7, 8, 9, 10]. Sin embargo, se produce un efecto genuino de ‘contracción de longitud relativista’ cuando las distancias son: Entre las coincidencias espaciales de objetos en movimiento se observan desde diferentes marcos inerciales [11]. También se produce un efecto genuino de ‘relatividad de la simultaneidad’ cuando los relojes descansan en dos diferentes Los marcos inerciales se ven desde un tercero [12, 13]. Una derivación alternativa, directamente del RP, de la invarianza de la separación espacial medida de dos objetos en reposo en el mismo marco inercial, así como la ausencia de la «relatividad» convencional el efecto de la taneidad se da en Ref. [9]. 2 El tiempo físico y la primera ley de Newton de Mechan- En física los conceptos de “tiempo” y “moción” son inseparables. En un mundo en el que movimiento no existía el concepto físico del tiempo no tendría sentido. Del mismo modo, el los conceptos físicos de «espacio» y «moción» son inseparables. Sin el concepto de espacio, ninguna definición operativa de movimiento es posible. El concepto de tiempo histórico – el tiempo del mundo cotidiano de la existencia humana – requiere la introducción de lo más equivalentes, conceptos de «movimiento uniforme» y «movimiento cíclico con período constante». Por por ejemplo, la unidad de tiempo del «año» se identifica con el período (supuesto constante) de rotación de la Tierra alrededor del Sol. La idea del movimiento uniforme entró en la física de una manera cuantitativa con el pro- la simulación de la Primera Ley de Newton [14] Cada cuerpo continúa en su estado de reposo, o movimiento uniforme en un derecho línea a menos que se vea obligado a cambiar ese estado por las fuerzas impresionadas en Esta ley da un significado operativo al concepto físico de ‘movimiento uniforme’. Se define por las observaciones de la posición de cualquier objeto ponderable en el «espacio libre», es decir. en ausencia de cualquier interacción mecánica del objeto con otros objetos. Hay una correspondencia uno-a-uno entre tal objeto ponderable y un ‘marco inercial’ de la teoría de la relatividad. Como se discutirá en la siguiente sección, uno de estos ponderables objeto, O, constituye tanto una regla y un reloj para un observador en el marco de reposo de otro tal objeto, O’, y viceversa. Cuando el tiempo se mide utilizando un fenómeno físico cíclico, por ejemplo. un reloj analógico, la medición del tiempo reduce el registro del resultado de una medición espacial (o angular). Hay una correspondencia uno-a-uno entre la coincidencia espacial de un estacionario «marca» en la cara del reloj y un «puntero» en movimiento, constituido por la mano del reloj, y la medición del tiempo [6]. Un «intervalo de tiempo» se mide por la separación angular de dos de estas «coincidencias punteras». La suposición implícita es que la moción de la el puntero es «uniforme». Hay una evidente circularidad lógica aquí ya que los intervalos de tiempo ‘iguales’ medida por un reloj análogo de este tipo asume que la velocidad angular de la mano es constante, mientras que la velocidad angular constante se establece mediante la observación de igual angular incrementos para intervalos de tiempo iguales (es decir, también incrementos angulares iguales) registrados por un segundo reloj de una tasa de uniforme supuestamente conocida. En la práctica, este dilema se resuelve por una apelación a la física. Por ejemplo, un péndulo sin amparar en una gravitación uniforme campo es predicho, por las leyes de la mecánica, para tener un período constante de oscilación. Mecánica cuántica predice la misma frecuencia de transición y la vida media para dos átomos idénticos en el mismo estado excitado, en el mismo ambiente físico, etc. Las mediciones del «tiempo» son, en última instancia, observaciones de fenómenos espaciales, por ejemplo: la medición del tiempo correspondiente a la observación del número mostrado por un digital reloj es una percepción espacial. Este será también el caso de las mediciones de tiempo relacionadas con observación de dos objetos ponderables O y O’ en movimiento en el espacio libre que ahora será Debatida. 3 El principio de reciprocidad: los gobernantes son relojes, y los relojes son reglas Considere dos objetos ponderables no interactuantes O y O’, con movimientos arbitarios en espacio libre. Se sitúan en los orígenes de los sistemas de coordenadas inerciales S y S’ con ejes orientados de modo que los ejes x y x′ sean paralelos al vector de velocidad relativa de O y O’. Sin ninguna pérdida de generalidad para la siguiente discusión, se puede suponer que O y O’ se encuentran en el eje común x-x′. El Principio de Reciprocidad (RP) [4, 3, 9] se define por la ecuación: v = vO′O = ŁxO′O = −vOO′ (3.1) donde xO′O • xOxO y x , o en palabras: «Si la velocidad de O» relativa a O es ~v, la velocidad de O relativa a O’ es - ~v’. En muchas discusiones de la relatividad especial, el RP se toma como «obvio» y a menudo ni siquiera se declara como un axioma separado. Este es el caso, por ejemplo, en el documento especial de relatividad de Einstein de 1905 [1]. Sin embargo, como se demostró por primera vez por Ignatowsky en 1910 [2], es suficiente, junto con algunos otros axiomas más débiles como homogeneidad del espacio o valor único de las ecuaciones de transfomación, que se derivarán [3] la transformación espacio-tiempo de Lorentz y, por lo tanto, toda la teoría de la relatividad especial. Eqn(3.1) se parece mucho a la ecuación que define la velocidad relativa de dos objetos A y B, como se observa en un único marco de referencia inercial (digamos S): vAB • vA − vB = d(xA − xB) = −vBA (3.2) La diferencia crucial es la aparición en el RP, (3.1), de dos veces diferentes t y t′. El tiempo t es el «tiempo de ejecución» de S. i.e. el tiempo registrado por un reloj sincronizado en reposo, en cualquier posición en S, según un observador también un descanso en S. El tiempo de ejecución t′ es similar definido por un conjunto de relojes sincronizados en reposo en S». Eqn(3.1) (y su integral) da un relación entre los tiempos t y t′ Tanto t como t′ corresponden a «tiempos adecuados» de los relojes en el descanso, mientras que, como se explica en la sección 4 infra, la transformación de Lorentz se refiere en su lugar un tiempo adecuado para un ‘tiempo inadecuado’ – el tiempo observado de un reloj en movimiento uniforme. Supongamos ahora que O y O’ están equipados con relojes locales que se observan para funcionar en exactamente la misma tasa cuando ambos están en reposo en el mismo marco inercial. La dirección del vector de velocidad relativa ~v de O’ relativo a O es tal que se están acercando a cada uno otro en el marco veces t y t′. Las separaciones espaciales de O y O’ en S y S’ son l(t) y l′(t′), respectivamente, a veces t y t′. Usando el RP, una coincidencia espacial de O y O’ se observará en el momento tOO′ = t+ (3.3) en S, y = t′ + l′(t′) (3.4) en S». El evento de coincidencia del OO será mutuamente simultáneo en los marcos S y S». Nótese que la coincidencia espacial del OO que es mutuamente simultánea en S y S». constituye un par de coincidencias de marcas de puntero recíprocas. En S la marca está en la posición de O y el puntero móvil en la posición de O’, mientras que en S’ la posición de O’ constituye la marca y la posición de O el puntero. Un corolario es que todos estos pares de coincidencias de marcas de puntero recíprocas son mutuamente simultáneas. Esta es la base de la «Sincronización externa del sistema» [15] tal como se introdujo en la primera relatividad especial de Einstein papel [1] para sincronizar los relojes en reposo en diferentes marcos inerciales cuando están en espacio coincidencia. La observación de la coincidencia OO’ evento en ambos marcos se puede utilizar para dar un condición de que cualquier otro par de acontecimientos, uno observado en S, el otro observado en S Simultáneamente. Si el momento de un evento en S es t贸 y otro evento en S’ es t ellos será «mutuamente simultánea» siempre que: t − t̃ = t′ − tOO′ (3.5) La combinación (3.3)-(3.5) da: t − t̃ = t′ − tOO′ = t ′ − t+ l′(t′)− l(t) (3.6) Si los acontecimientos que se producen ahora a veces t en S y t′ en S son mutuamente simultáneos, lo siguiente: de (3.5) y (3.6) que l(t) = l′(t′), de modo que los acontecimientos que se produzcan cuando O y O’ la misma separación espacial en S y S’ son mutuamente simultáneas. Un caso especial ocurre si las matrices de reloj de S y S se sincronizan mutuamente de modo que l(t) = l′(t′ = t). Ahí está. es entonces una correlación directa entre t o t′ y la separación espacial de O y O»: Cuando los relojes sincronizados en los marcos S y S’ tienen la misma lectura, O y O’ tienen las mismas separaciones espaciales en S y S’, y a la inversa, cuando O y O’ tienen Separaciones espaciales iguales en los marcos S y S’, relojes sincronizados en S y S’ tienen la misma lectura. La dependencia de l en t en Eqn(3.3) y l′ en t′ en Eqn(3.4) significa que cada uno de los objetos pueden ser considerados como un «reloj inercial» por un observador en el marco del descanso del otro. Es decir, t se mide por la separación espacial de O’ de O en S y t′ se mide mediante la separación espacial de O de O’ en S». Por el contrario, después de mutuo sincronización de los arrays de reloj en S y S’ en el momento en que O y O’ están en espacio la coincidencia, t mide la separación espacial de O’ y O en S (y así es efectivamente un regla en este marco), mientras que t′ mide la separación espacial de O’ y O en S’, constituyendo una regla en este marco. Coincidencia de estas mediciones de la separación de O y O’ con las longitudes de las reglas físicas en reposo en S y S’ se utiliza ahora para demostrar la invarianza de la longitud medida de la longitud de una regla en movimiento uniforme, es decir, la ausencia de cualquier efecto de contracción de longitud relativista– en este caso. 4 Invarianza de la longitud medida de una regla en uni- movimiento de la forma Figura 1: Las reglas adjuntas a los objetos O y O’ se ven desde el marco S (izquierda) y S’ (derecha). La igualdad de las separaciones de O y O’ en S y S’ en el momento t = t′ = L/v, predicho por el RP, se utiliza para establecer la invarianza de la longitud medida de la la regla móvil R’ en S, o de la regla móvil R en S’ (véase el texto). Supongamos que O y O’ están equipados con reglas R y R’, paralelo al eje x-x′ como se muestra en la figura 1. O coincide con la marca MR(0) de la regla R y O’ con el marca MR′(10) de la regla R». A t = t′ = 0 (Fig.1a) O y O’ están en coincidencia espacial. Los arrays de reloj en S y S’ se sincronizan mutuamente en este momento. La longitud de cada uno regla en su marco de reposo es L. El objeto O’ ahora se mueve a lo largo de la regla R, siendo en espacial coincidencia con diferentes marcas de la regla en diferentes momentos. El objeto O se mueve en una de manera similar a lo largo de la regla R’. En cualquier momento dado t la separación de O y O’ en S es dado por la correspondiente «Coincidencia de Marcas de Pointer» (PMC): PMC(O′, t) فارسى O′(t)@MR(J) (4.1) donde el símbolo antes de la ampersand denota el ‘punto’ en movimiento, y el símbolo después de ella la “marca” estacionaria con la que es coincidencia espacial2. Desde PMC(O, t) O(t)@MR(0) para todos los t (4.2) y x[MR(0)] = 0 se deduce que la separación de O y O» en el marco S en el momento t es dado por: dO′O(t) = x[MR(J)]− x[MR(0)] = x[MR(J)] (4.3) donde x[MR(J)] = y donde, en la Fig.1, Jmax = 10, es el número ordinal de la marca al final de la regla. Por lo tanto, el origen de la coordenada x está en MR(0). Definir de manera similar un PMC en el marco S»: PMC(O, t′) فارسى O(t′)@MR′(K) (4.4) y desde entonces PMC(O′, t′) فارسى O′(t′)@MR′(10) para todos los t′ (4.5) la separación de O y O’ en S’ en el momento t′ es (t′) = x′[MR′(10)]− x′[MR′(K)] (4.6) donde x′[MR′(K)] = y donde, en la Fig.1, Kmax = 10. Las configuraciones espaciales en S y S’ en los tiempos t = t′ = L/v se muestran en la figura 1b. Los PMC correspondientes son: PMC(O′, L/v) فارسى O′(L/v)@MR(10) (4.7) PMC(O, L/v) فارسى O(L/v)@MR′(0) (4.8) De (4.3) y (4.6) se desprende que dO′O(L/v) = x[MR(10)]−x[MR(0)] = L = x ′[MR′(10)]−x′[MR′(0)] = d′ (L/v) (4.9) Dado que O’ coincide en todo momento con MR′(10), se deduce que, en t = L/v x[MR′(10)] = x[O′] = x[MR(10)] (4.10) Además, dado que O está en coincidencia espacial con MR′(0) en t = t′ = L/v, sigue que en t = L/v, x[MR′(0)] = x[O] = x[MR(0)] = 0 (4.11) 2Esta notación fue introducida en Ref. [6]. Nótese la similitud con una dirección de correo electrónico Eqns(4.9)-(4.11) entonces dar en t = L/v: x[MR′(10)]− x[MR′(0)] = x[MR(10)]− x[MR(0)] = L (4.12) Es decir, la longitud medida de la regla móvil R’ en el marco S, en t = L/v, es la igual que la longitud de la misma regla en reposo – no hay efecto de ‘contracción de longitud’. A cálculo similar para la longitud de la regla R medida en el marco S’ da, en t′ = L/v: x′[MR(10)]− x′[MR(0)] = x′[MR′(10)]− x′[MR′(0)] = L (4.13) La longitud de la regla móvil R medida en S, en t′ = L/v, es la misma que la longitud del mismo gobernante en reposo. Los cálculos anteriores han utilizado la igualdad de las separaciones de O y O’ en S y S’ en los mismos tiempos de los relojes mutuamente sincronizados en estos los marcos, que se desprende del RP, para establecer, a través de los PMC correspondientes, la igualdad de las longitudes medidas de una regla en reposo, o en movimiento. Tenga en cuenta que en ninguna parte en ninguna de las Los cálculos fueron la transformación de Lorentz invocada. De hecho, los cálculos son los mismos en galileo y relatividad especial, ya que el RP es igualmente válido para ambos. 5 El efecto de dilatación del tiempo; apropiado, impropio y intervalos de tiempo aparentes Todos los tiempos considerados anteriormente fueron «tiempos de fotograma», es decir: t y t′ son los tiempos registrados por un reloj sincronizado en reposo en cualquier posición en S y S’ visto por un observador en reposo en estos marcos respectivos. Con el fin de discutir el efecto de dilatación del tiempo se encontrará conveniente utilizar la notación t(S), t′(S′) para los tiempos de fotograma en los que los argumentos S, S» especificar el marco de referencia del observador del reloj. Tales tiempos son tiempos apropiados de ¡Qué reloj! La transformación de Lorentz relaciona las coordenadas espacio-tiempo (x′,t′(S ′)) de un acontecimiento especificado en el marco S» a los del mismo acontecimiento, [x,t′(S) como se observa en S, o viceversa. Los tiempos t(S ′)[ t′(S)] que son los de los relojes en reposo en S[S], vistos desde S’[S] se llaman tiempos impropios. El espacio-tiempo LT da el siguiente intervalo invariante relación entre los intervalos de espacio y tiempo correspondientes en los cuadros S y S»: c2( ′)2 = c2(l't′(S))2 − (l'x)2 = c2(l't′(S'))2 − (l'x′)2 (5.1) donde x x x 2 − x 1 etc, mientras que el LT inverso da: c2()2 = c2(?t(S ′))2 − (?x′)2 = c2(?t(S))2 − (?x)2 (5.2) Con el fin de utilizar la relación de intervalo general (5.1) para derivar el efecto de dilatación de tiempo es necesario para identificar el intervalo de tiempo ­t′(S ′) con el intervalo de tiempo adecuado de un reloj en el resto en S’ (x′ = 0), y con la ecuación de movimiento en S: x = vt′(S). Utilizando este último la ecuación para eliminar el x de (5.1) y el ajuste del x′ = 0 produce la dilatación del tiempo (TD) relación: {t′(S) = t′(S ′) (5.3) Figura 2: Un experimento para ilustrar el efecto TD visto desde S (izquierda) y S’ (derecha). a) La lámpara pulsada PL en reposo en S parpadea en el momento t(S) = L/v y PL’ en reposo en S’ flashes en el momento t′(S ′) = L/v. b) La señal luminosa de PL se observa en el momento t(S ′) = γL/v en la marco S», el de PL’ en el momento t′(S) = γL/v en el marco S. Las PMC correspondientes a se indican las posiciones de observación de las señales en los distintos marcos. Ver texto para el debate. Figura 3: Se visualizan las configuraciones espaciales en el marco S (izquierda) y el marco S (derecha) en diferentes momentos. a) t(S) = t′(S ′) = 0; se crea y se mueve a la derecha en la plano de la figura con velocidad v = 3c/2. b) t(S) = t′(S ′) = T ′; se observa una descomposición de la t′(S ′) en el marco S». Los productos de desintegración se mueven en el plano de la figura perpendicular a la dirección de movimiento de la T (S) = t′(S) = γT ′; se observa que la T (T) decae en la marco S. Ver texto para la discusión. Los vectores de impulso de la p y son atraídos a escala en los diferentes marcos de referencia. La posición espacial de cada partícula está en la cola del vector de impulso correspondiente. donde γ 1/ 1 - (v/c)2, relacionando lo impropio con el tiempo adecuado de un reloj en reposo en S». De manera similar la relación de intervalo (5.2) da la relación TD para un reloj en reposo en S y observado a partir de S», (S ′) = t(S) (5.4) Es importante tener en cuenta la existencia de cuatro diferentes símbolos de tiempo, con diferentes ópera- ciones en Eqns(5.3) y (5.4). Los tiempos apropiados t(S) y t′(S′) (correspondientes a los «tiempos de fotograma» t y t′ de las secciones anteriores) y a los tiempos inadecuados t(S′) y t(S ′). La notación para estos tiempos recién introducidos puede ser llamada ‘orientada al reloj’ ya que sólo las lecturas de un solo reloj (observadas en reposo o en movimiento) aparecen en el TD relaciones. En cualquier experimento real en el que se mida el efecto TD, dos relojes son nec- Essary, el reloj en movimiento observado, y otro en reposo para medir el correspondiente intervalo de tiempo en el marco adecuado del observador. Si se observa un reloj en reposo en S’ a partir de S como en Eqn(5.3), el intervalo de tiempo t′(S) es en realidad que, , registrado por un reloj similar, en el descanso en S, mientras que el intervalo de tiempo correspondiente registrado por el (reducido) reloj en movimiento. Puesto que la velocidad observada del reloj en movimiento depende de su movimiento, t′(S ′) no es un intervalo de tiempo adecuado para el observador en S. Desde el punto de vista de este último es un intervalo de tiempo «aparente» (dependiente de la velocidad) que puede denotarse simplemente «t′, para distinguirlo del intervalo de tiempo apropiado del observador . Esto da una alternativa Nota temporal «orientada al observador» para las relaciones de TD (5.3) y (5.4): = t′ (5.5) ′ = t (5.6) Esta notación alternativa ha sido utilizada en varios trabajos anteriores por el presente autor [6, 8, 11, 12, 13, 16]. Para aplicar las relaciones de TD (5.3) y (5.4), o (5.5) y (5.6), a cualquier o un experimento imaginado, debe darse una definición operativa al tiempo impropio intervalos de Eqns(5.3) y (5.4) o los intervalos de tiempo aparentes de (5.5) y (5.6). Dos se darán ejemplos de tales definiciones, el primero en un experimento de pensamiento para ilustrar el significado físico del efecto TD, el segundo en un experimento real típico de muchos realizados en física de partículas, donde el efecto TD se utiliza para medir el tiempo de desintegración de una partícula inestable. Sin embargo, como se verá, el experimento de pensamiento y realmente realizable (y muchas veces realizado) uno son similares en todas las características esenciales. Lo que la notación sea más conveniente depende del experimento considerado. En el observación del efecto TD en el último experimento CERN muon g-2 [17] en el que el intervalo se midió directamente por los relojes en el marco del laboratorio, y vida de reposo de muón conocida, era natural utilizar Eqn(5.5). Por el segundo de los dos experimentos considerados a continuación donde no se mide directamente sino que se infiere de mediciones espaciales en el marco S, la relación (5.3) relativa a la conexión de un tiempo adecuado en el marco S’ a un tiempo incorrecto en el marco S, se utiliza. En el experimento del pensamiento se imagina que los objetos O, O’ están cada uno equipado con lámparas locales pulsadas PL, PL». Los objetos O, O’ están en coincidencia espacial a veces t(S) = t′(S ′) = 0 y están unidos a reglas de longitud 2L en configuraciones espaciales similares a que se muestra en la figura 1a. Los objetos se separan con velocidad relativa v = 3c/2. Como se muestra en la figura 2a, a los tiempos t(S) = t′(S) = L/v, PL y PL’ ambos flashes, produciendo un isotrópico pulso de fotones. Los tiempos de observación en S de la señal fotónica producida por PL», y en S’ de la señal de fotones producida por PL, están dadas por Eqns(5.3) y (5.4), respectivamente. Dado que γ = 2, estas observaciones se producen en los tiempos t(S) = t′(S′) = γL/v = 2L/v. Los las configuraciones espaciales correspondientes de O y O’ en estos momentos que se muestran en la figura 2b. Puede ver que los tiempos de observación de los destellos de luz en S y S’ corresponden a diferentes PMC de los objetos O y O’ y a diferentes separaciones espaciales de los objetos: En S PL: PMC(MR′(10), L/v) • MR′(10)@0 = MR′(10)@MR(0) (5.7) PL′: PMC(O′, γL/v)  OMR(20) = MR′(20)@MR(20) (5.8) En S′ PL′: PMC(MR(10), L/v) • MR(10)@O′ = MR(10)@MR′(20) (5.9) PL: PMC(O, γL/v) فارسى O@MR′(0) = MR(0)@MR′(0) (5.10) l(γL/v) l(L/v) l′(γL/v) l′(L/v) vγL/v vL/v) = γ (5.11) Las relaciones en (5.11) siguen directamente desde el RP, mientras que el PMC en (5.7)-(5.10) son obtenido a partir de la geometría de la Fig.2 y la invariabilidad de las longitudes del movimiento reglas derivadas en la sección 3 supra. Las diferentes PMC correspondientes a las observaciones de los destellos de luz emitidos por PL y PL’ en diferentes marcos en (5.7)-(5.10) es profundamente desconcertante para el sentido común con- conceptos de espacio y tiempo. Por ejemplo, los racimos de fotones emitidos por PL’ corresponden a MR(10)@MR′(20) en S’ y a MR′(20)@MR(20) en S. En algunas discusiones de tiempo dilatación esta aparente paradoja se evita invocando una hipotética contracción de un regla móvil por un factor 1/γ [18]. Esto tiene el efecto de acortar la regla en movimiento R por un factor 1/2 en la figura de la mano derecha en la Fig.2a, de modo que la PMC correspondiente al flashing de PL» se convierte en MR(20)@MR′(20), el mismo que en S con inversión de puntero y marca. Sin embargo, como se ha demostrado anteriormente, no hay tal contracción de longitud el efecto, que, como se ha señalado en otras partes [5, 6, 7, 8, 9] es una consecuencia espuria de terpreting la transformación espacio-tiempo Lorentz. De hecho, la posibilidad de tal longitud el efecto de contracción ya se excluye mediante la inspección de la figura 2a. En la figura de la mano derecha, el PMC que responde al objeto móvil O considerado como puntero es MR(0)@MR′(10). Puesto que O está en movimiento y R’ en reposo ningún efecto hipotético de contracción de longitud opera Aquí. En la figura de la mano izquierda, el PMC en S es MR′(10)@MR(0) De modo que en t(S) = t′(S′) = observadores L/v en S y S’, véase PMC recíprocas, es decir. unas relacionado por el intercambio del puntero y los símbolos de marca. Sin embargo, si la longitud contrac- el observador en S verá en su lugar que el PMC correspondiente a O es MR′(0)@MR(0) en el momento t(S) = L/v. Pero desde el RP este PMC debe corresponder a la veces t(S) = t′(S′) = 2L/v (véase la figura 2b) contrariamente a la hipótesis de que t(S) = L/v. Los hipótesis de contracción de longitud por lo tanto contradice el corolorio del RP que afirma que los eventos simultáneos en dos marcos tienen PMCs recíprocas, ya que implica que los PMC recíprocos MR′(0)@MR(0) y MR(0)@MR′(0) no son mutuamente simultáneos Taneous. El segundo ejemplo de un experimento de TD ilustra una aplicación típica del efecto en física de partículas (véase la figura 3). El meson interactúa con el protón en el plástico fino diana T para producir un hiperón a través de la reacción3 p → K0 El hiperón se mueve con 3Los resultados de un experimento real de este tipo construido para probar la regla de S = Q en semileptónico Los decaimientos neutros del kaon se describen en Ref. [19]. velocidad v = 3c/2 perpendicular al plano del objetivo en el cuadro de laboratorio S. Después del tiempo t′(S ′) = T ′ en su marco de reposo S’, decae a un protón y un pion negativo: • → p. Estos productos de desintegración se observan en el sistema de laboratorio. El experimento es en todos los sentidos similar a la que se muestra en la Fig.2. El objeto O es reemplazado por el objetivo T, el objeto O’ por el sistema sin decaer o el sistema cinemático construido a partir de su decaimiento productos. El pulso de fotones emitido por PL» se sustituye por los productos de desintegración de la - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Reconstruyendo las trayectorias de la descomposición p y en un detector de partículas el posición del evento de desintegración y, por lo tanto, la longitud de desintegración LD - la distancia entre el punto se puede medir la producción y la descomposición de la S– en el marco S. Identificación de la p y y medición de su momentoa (típicamente por medición de la curvatura) de sus trayectorias en un campo magnético conocido ) permite el impulso P y la energía E de la letra a) por determinar. Puesto que v = Pc2/E y γ = E/(m 2) donde m es la masa Eqn(5.3) da el tiempo de desintegración apropiado de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración de la desintegración. T ′ = Łt′(S ′) = * t′(S) (5.12) Las configuraciones espaciales de T y de la A en diferentes momentos en los marcos S y S» son: se muestra en la figura.3. Las separaciones espaciales de T y el en el instante observado de la decadencia en S y S’ obedecer la relación (5.11). Esto implica que esta separación, al cambiar el marco de observación desde el marco de descanso de la A hasta el sistema de laboratorio en el que está movimiento, sufre una ‘expansión de longitud’ por el factor γ. De conformidad con Eqn(5.11), se puede ver que esto es una consecuencia necesaria del RP, dada la existencia de la DT efecto. Los eventos mutalmente simultáneos en S y S’ mostrados en la Fig.3c, corresponden, como ellos debe, a iguales separaciones espaciales de T y el objeto físico constituido por la decadencia los productos, p y, de la Sin embargo, en el marco S, estas partículas han sido creado y han desaparecido la separación espacial, mientras que en S’ están espacialmente separados por una distancia correspondiente a un tiempo de vuelo ( 1)T ′. Esto también parece muy paradójico cuando se interpreta por conceptos clásicos de sentido común del espacio y el tiempo. Agradecimientos Doy las gracias al árbitro de la revista que rechazó Ref. [11] para su publicación para correspon- dence que era importante para la clarificación de las ideas expresadas en ambos los últimos versión de Ref. [11] y el presente documento. Nota añadida Los cálculos presentados en el presente documento están viciados por un importante concepto malentendido que se rectifica en documentos posteriores [20, 21] tratando temas similares. En el momento de redactarse el presente documento, el autor había entendido correctamente la naturaleza espuriosa de la «relatividad de la simultaneidad» y de los efectos de la «contracción a lo largo de la teoría de la relatividad especial vensional [5, 7, 8, 10] pero aún no había sacado la simple conclusión que la existencia del efecto de dilatación del tiempo genuina y experimentalmente confirmado entonces implica necesariamente que el Principio de Reciprocidad, como generalmente se entiende, también se rompe en especial relatividad. Este punto se entiende fácilmente considerando al primer miembro de Eqn(3.1), escrito en una notación simplificada como: dxO′O Transformando en el marco S’, la invarianza de intervalos de longitud implica que dxO′O = −dx Dado que la relación de dilatación del tiempo da dt = γdt′, el principio de reciprocidad de (3.1) es se sustituye por el texto siguiente: dxO′O para que = v se comparará con v′ = −v dado por (3.1). Los cálculos detallados presentados en la sección 4 son correctos y lógicamente coherentes dados los supuestos iniciales, pero las configuraciones mostradas en el marco S’ en la Fig.1 no lo hacen corresponden a observaciones en este marco de los eventos de coincidencia especificados en el marco S en el mismo experimento espacio-tiempo. Si este fuera el caso, en las configuraciones del marco S’ En la figura 1 v debe sustituirse por γv y t y t′ debe relacionarse con la dilatación temporal relación t = γt′. De hecho, lo que se muestra en la figura 1 y se considera en la sección 4 son: configuraciones en S de un experimento primario y en S’ del correspondiente pero físicamente experimento recíproco independiente [20, 22]. Sin embargo, la invariabilidad de los intervalos de longitud correspondientes puede derivarse [21] por considerando las configuraciones de S y S’ en la Fig.1b en el caso de que sean correspondientes uno, en la misma época, en el mismo experimento espacio-tiempo. En este caso, como se ha explicado arriba, la velocidad de O en S’ debe ser γv, no v. Considere, sin embargo, un objeto Õ con el la misma coordenada x′ que O que tiene la velocidad v. La separación L′ de O y O» en S’ es entonces igual a la entre O’ y Õ. en la época de la Fig.1b. Comparar ahora el configuración de O y O’ en S, con separación L con la correspondiente de Õ. y O’ en S’ con separación L′. Desde la simetría de las configuraciones se puede ver que tanto L como L′ pueden depender únicamente de v: L = L(v), L′ = L′(v). La reciprocidad de los dos Las configuraciones se invocan ahora para dar la condición, según lo declarado por Pauli [23]: La contracción de la longitud en reposo en S’ y observada a partir de S es igual a la longitud en reposo en S, tal como se observa en S». La «longitud en reposo en S» es L′ que «como se observa en S» es L, mientras que la «longitud en reposo en S ’ es L que ‘como fron S observado’ es L′. Denotando el factor de contracción por α(v), la condición anterior indica que L = α(v)L′, L′ = α(v)L lo que implica que L = α(v)2L o α(v)2 = 1 de modo que L = L′ y la separación espacial entre O y O’ es el mismo en S y S’ en las épocas correspondientes. La misma conclusión se alcanza más simplemente observando la simetría de las configuraciones de O,O’ en S y Õ,O», en S». y aplicando el principio de Leibnitz de razón suficiente [21]. Si, por lo tanto, en el experimento primario, mostrado en S en la Fig.2b y S’ en la Fig.2a, la configuración en S’ en la Fig.2a es representar correctamente la correspondiente a la configuración en la figura 2b de S, la velocidad v en S» debe ser sustituida por γv, de modo que cuando PL’ parpadea O’ está alineado con MR(20) tanto en S como en S». En el experimento recíproco, mostrado en S en Fig.2a y S’ en Fig.2b, v en S en Fig.2a deben sustituirse por γv de modo que O esté alineado con MR’(0) tanto en S como en S’ cuando PL parpadea. Del mismo modo, en el experimento de pensamiento de la Fig.5, si las configuraciones de marco S’ a la derecha lado de la figura deben representar observaciones en este marco de eventos mostrados en S por el configuraciones en el lado izquierdo, en lugar de lo que realmente se muestran que son configuraciones del experimento recíproco físicamente independiente, v debe sustituirse por γv en todos los Configuración del marco S. En este caso, no hay desajuste entre la posición espacial de el evento de desintegración en los dos fotogramas y el efecto de «expansión de longitud» no se produce. En efecto, la alegación «... diferentes PMC correspondientes a las observaciones de los destellos de luz Emitida por PL y PL» en diferentes marcos en (5.7)-(5.10)» no es sólo «...profundamente perpleja- Es absurdo (autocontradictorio) la consecuencia de suponer, al mismo tiempo, que los intervalos de duración son invariantes, tiempo di- La latación ocurre y la interpretación convencional del Principio de Reciprocidad sostiene. In la teoría de la relatividad especial convencional la dilatación del tiempo y el principio de reciprocidad son reconciliada invocando el efecto espurio de «contracción de longitud» dxO′O = x [18]. Así que... que v′ = −v. La interpretación física correcta del Principio de Reciprocidad es en realidad la definición de la configuración en S’ del experimento físicamente independiente que es recíproca a la primaria especificada por la configuración estándar de los marcos S y S» [20, 22]. 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B --> rho K* decays and other rare vector-vector modes

B →?K* decaimientos y otros modos vectoriales raros* G. Vasseur† DSM/DAPNIA/SPP, CEA/Saclay, F-91191 Gif-sur-Yvette, Francia Se presentan los análisis recientes de las siguientes decaídas raras vector-vectoras del mesón B: ∗, K*,,, y, estados finales sin encanto. Los últimos resultados indican que la fracción de polarización longitudinal es de aproximadamente 0,5 en modos dominados por pingüinos y cerca de 1 para los árboles dominados modos. I. MOTIVACIÓN La búsqueda de decaimientos hadrónicos infrecuentes sin encanto de la B meson a vector-vector estados finales se ha convertido en un bastante campo activo en los experimentos en las fábricas B, Belle en KEK y BABAR en SLAC. Como muchos de estos decaimientos todavía no se han visto, el primer objetivo de estos estudios es observar tales modos y medir su ramificación fracción. Las mediciones pueden entonces compararse con predicciones teóricas. La asimetría directa CP-violación en estos modos También se puede medir. Se define como ACP = )/(), donde el superíndice en la anchura total • indica el signo de la carga b-cuark en la B yo- Hijo. Algunos modos se pueden utilizar para otros estudios de CP. In hecho, el resultado en B+ → K*0 ya se ha utilizado para limitar el efecto de la amplitud del pingüino en el medición del ángulo α del triángulo de unidad de B0 → utilizando la simetría del sabor SU(3) [1]. Un tema candente es la medición de la fracción de polarización gitudinal. Los ángulos de helicidad los dos mesons vectores se definen como los ángulos entre la dirección del meson vector en el marco de reposo del meson B y la dirección de uno de sus productos de desintegración en el vec- marco de reposo de meson, como se ilustra en un ejemplo en Fig. 1. Integración sobre el ángulo de ♥ entre la descomposición planos de los dos mesons vectoriales, la fracción de longitu- polarización dinal fL se puede extraer del ángulo angular K*0 +K*0 FIG. 1: Definición de los ángulos de helice en el caso de la vector-vector B+ → K* Decaimiento. ∗ Presentado en el cuarto seminario internacional sobre la Triángulo de Tariry, Nagoya, Japón, 12-16 de diciembre de 2006. Preimpresión DAPNIA-06-601. †Dirección electrónica: georges.vasseur@cea.fr dependencia de la tasa de decaimiento, que es proporcional a (1− fL) sin 2..................................................................................................................................... 2 °2 + fL cos 1 °C 2 °C 1 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 1 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 1 °C 2 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2 °C 1 °C 2 °C 2, 2, 2. Un valor de fL cerca de la unidad de orden (1−O( 2 )) es ex- para los mesons de vectores de luz de la conservación de la helicidad. Se espera que esto sea cierto tanto para los árboles como para los pingüinos. gramos. Sin embargo, la situación experimental es más com- plex. Si fL se ha medido de hecho cerca de 1 en el los modos B dominados por los árboles → • [2], está sorprendentemente cerca a 0.5 en los modos B dominados por los pingüinos → ♥K* [3]. Este efecto aún no se entiende. Hay varios possi- ble, ya sea dentro del modelo estándar, tales como redispersión en el estado final, contribución de anni- Hilatación o diagramas de pingüinos electrodébiles, y transversales gluón [4], o en nueva física fuera del Modelo Estándar. Para tener una mejor imagen, es importante medir otros modos vector-vector, ambos dominados por árboles, como B → y B0 →, y pingüino dominado como B → y B → K*. Se revisan los estudios recientes de los modos B → K* en la sección II, las relativas a un mesón en la sección III. Los modos de carga-conjugar están implícitos a lo largo de todo. II. B → lK MODOS A. Introducción Las desintegraciones sin encanto de B →?K* proceden a través de Pingüinos gluónicos dominantes y doblemente Cabibbo- procesos de árboles suprimidos, como se muestra en la Fig. 2. El ex- diagrama de árbol ternal sólo es posible con un K, y el diagrama de árbol interno con suprimida de color con un?0. Por lo tanto B+ → K*0 es un pingüino puro. De acuerdo con la simetría isospin, los dos modos con un se espera que una fracción de ramificación dos veces tan grande como los dos modos con un neutral. FIG. 2: Diagramas de Feynmann para el decaimiento B → K*: gluónico pingüino, árbol externo y diagramas de árbol interno. http://arxiv.org/abs/0704.0364v1 mailto:georges.vasseur@cea.fr B. Resultados de Belle Mbc (GeV/c) E (GeV) FIG. 3: Proyecciones de Mbc para eventos en la región de la señal de E (izquierda) y de E en la región de la señal Mbc (derecha). El sólido las curvas muestran los resultados del ajuste. La curva divisoria es la contribución de la señal. Los histogramas eclosionados representan la Fondo continuo. La suma de la b → c y continuum el componente de fondo se muestra como líneas punteadas. 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 M(0) (GeV/c2) 0,64 0,84 1,04 1,24 1,44 M(K-) (GeV/c2) FIG. 4: Rendimientos de la señal obtenidos de la distribución Mbc - E en contenedores de M(0) (izquierda) para acontecimientos en la región de K*0 y en cubos de M(K) (derecha) para eventos en la región de. Los puntos con barras de error muestran los datos. Las curvas sólidas muestran la los resultados del ajuste. Los histogramas de odio son para los no resonantes componente. Belle fue el primer experimento en 2005 en publicar un re- sobre la observación del modo B+ → K*0 [5], en una muestra de 275 millones de pares BB̄. Una señal de B+ → 0K se extrae del e+e− → qq̄ continuum y fondos BB̄ en un extenso un- ajuste de máxima probabilidad enlatado usando el haz de meson B- masa limitada Mbc y diferencia de energía se muestra en la figura 3. La señal B+ → K*0 se extrae por ajuste a Mbc y E en contenedores de las masas vectoriales de meson M(0) y M(K), como se muestra en la figura 4. Esto es necesario porque hay un gran fondo no-resonante, que da un continuum en la distribución de M(K). Sin embargo hay una señal clara B+ → K*0 de 85± 16 eventos con una significación de 5,2 En cuanto a fL, se obtiene mediante el ajuste simultáneo de la los rendimientos de señal obtenidos de Mbc-ŁE encajan en los cubos de los dos ángulos de helicidad, suponiendo un sistema de onda S - ¿Por qué? - Por el fondo. Los resultados de la fracción de ramificación y fL en B → K*0 son: B = (8,9± 1,7± 1,2) 10−6, fL = 0,43± 0,11 +0,05 −0.02. El valor encontrado para fL es similar al encontrado en K y su error es aproximadamente el doble de grande que en K*. C. Resultados de BABAR (GeV)0m 0,5 1 1,5E (GeV)0m 0,5 1 1,5E (GeV)-m 0,6 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-m 0,6 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E FIG. 5: sPlots para el invariante â ¬ (arriba) y Kη (abajo) masas en el B+ → K* (izquierda) y B0 → 0K* /B0 → f0(980)K * Análisis 0 (derecha). Los puntos con barras de error muestran los datos. La curva sólida muestra la señal y no resonante la contribución de fondo, la curva discontinua es la non-reso- nnt contribución de base (lKe exceptuando la parte superior derecha parcela donde representa la suma de f0(1370)K *, K*, y (en inglés) Las flechas muestran las ventanas de masa estándar utilizadas en el ajuste final. Más recientemente BABAR publicó un análisis de los cuatro B → Modos K* [6], realizados en una muestra de 232 mi- leones de pares BB̄. Se basa en un máximo de Ajustar la probabilidad, utilizando siete variables: la energía del mesón B- mES de masa sustituida y diferencia de energía salida de red o un discriminante Fischer que combina sev- variables de forma de evento eral, las dos masas de mesón vectorial, y los dos cosinos del ángulo de la helice. El ajuste permite el extracción simultánea de la relación de ramificación y el fracción de polarización longitudinal. El principal desafío en el análisis proviene de la fondos no resonantes, que comparten la misma final Estado como la señal. Se estudian mediante la ampliación de la vidrieras de masa de meson vector, como se ilustra en la Fig. 5. As en Belle, un gran fondo de Kück se ve en el mKück Atribución en el modo B+ → K*0. El sistema Kη en Este fondo se mide para ser en su mayoría onda-S. Los la situación es aún más compleja en el modo B0 →?0K*0, ya que, además de los antecedentes de la Comisión, hay sev- Aportaciones en la distribución de un en contraste con el uno para un. El f0(980) se puede ver Claramente. De hecho B → f0(980)K *, que es un escalar-vector CUADRO I: Resultados de BABAR sobre los modos B → certezas incluidas), fracción ramificada (límite superior del nivel de confianza del 90% entre paréntesis), fracción de polarización longitudinal y la asimetría directa de CP. (Los números entre paréntesis no se citan como mediciones.) Modo Rendimiento de la señal Significado B(×10−6) fL ACP 51± 24 2,5 < 6,1 (3,6± 1,7± 0,8) [0,9 ± 0,2] 60± 24 1,6 < 12,0 (5,4± 3,6± 1,6) *0 194± 29 7,1 9,6± 1,7± 1,5 0,52 ± 0,10± 0,04 −0,01 ± 0,16± 0,02 *0 185± 30 5,3 5,6± 0,9± 1,3 0,57 ± 0,09± 0,08 0,09 ± 0,19± 0,02 a) b) c) d) (GeV)ESm (GeV)ESm 5,25 5,26 5,27 5,28 )2 (GeV/cESm )2 (GeV/cESm ) 5,26 5,27 5,28 5,29 FIG. 6: Proyecciones de mES de acontecimientos que pasan una señal como Umbral del capó para a) B+ → 0K* , b) B+ → K* , c) , d) B0 → ­0K* , e) B+ → f0(980)K , y f) B0 → f0(980)K ∗0. Los puntos con barras de error muestran el datos. La curva sólida es la función de ajuste, la curva discontinua es la contribución de fondo total, y la curva punteada es el continuum de la contribución de fondo. modo, se considera como otra señal a medir en el mismo ajuste de máxima probabilidad. También están presentes. Atribuciones de la f0(1370) y nonresonant. Los los rendimientos de los fondos no resonantes se ajustan en el ampliación de las ventanas de masa, luego extrapolado a la stan- y fijado en el ajuste final con la masa estándar ventanas. Las parcelas de proyección en la masa B se muestran en la Fig. 6 il- lustre la extracción de la señal del continuum y fondos de BB̄ en los cuatro canales B → K* y los dos B → f0(980)K * Modalidades. En el cuadro I se resume el cuadro siguiente: resultados. No se observan señales suficientemente significativas para B0 → K y B+ →?0K, donde los límites superiores en el nivel de confianza del 90 % se fija en los coeficientes de ramificación. Para este último una señal relacionada B+ → f0(980)K es ob- servida con una significación de 5.0° y una rama medida- ing fracción de (5,2 ± 1,2 ± 0,5) 10−6. En B+ → K*0, el resultado está en muy buen acuerdo con el resultado de Belle, con una precisión similar. El modo B0 →?0K*0 es observado por primera vez. La relación entre la rama- las fracciones de ing en estos dos modos son compatibles con el factor 2 esperado a partir de la simetría de isospina. El valor de los ACP se mide en los dos modos para ser compatible con 0, como se espera, ya que hay Un diagrama dominante. Finalmente fL se encuentra cerca de 0,5 en estos dos modos. Es compatible con la medición de Belle y tiene la misma precisión. Lo es otra vez. similar al valor encontrado para ŁK*. III. MODELOS CON • 40 10 20 *0K.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20 0+ 40 20 E (GeV) -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 (GeV/cESM) 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 20 0f FIG. 7: Proyecciones de E (izquierda) y mES (derecha) de los acontecimientos pasando un umbral de probabilidad de señal para, de arriba a abajo, *0, B+ → •K* , B0 → 0, B+ →, B0 → , B0 →, y B0 → f0(980). Los puntos con error las barras muestran los datos. La curva sólida es la función de ajuste, la curva discontinua es la contribución de la señal, y el punto-dashed curva es la contribución de fondo. CUADRO II: Resultados de BABAR sobre modos que implican un mesón: rendimiento de la señal con su incertidumbre estadística, significación (incertidumbres sistemáticas incluidas), fracción ramificada (límite superior del nivel de confianza del 90% entre paréntesis), fracción longitudinal polarización y asimetría directa del PC. (Los números entre paréntesis no se citan como mediciones.) Modo Rendimiento de la señal Significado B(×10−6) fL ACP *0 55± 20 2,4 < 4,2 (2,4± 1,1± 0,7) [0,71 ± 0,25] 8± 16 0,4 < 3,4 (0,6± 1,3± 1,0) −18± 16 0,6 < 1,5 (−0,6± 0,7+0,8−0,3) + 156± 32 5,7 10,6± 2,1+1,6−1,0 0,82 ± 0,11± 0,02 0,04 ± 0,18± 0,02 → 48+24−19 2,1 < 4,0 (1,8) −0,9 ± 0,4) [0,71 ± 0,25] → 3.14.4−8,5 0,3 < 1,2 (0,1± 0,5± 0,1) cos -0,5 0 0,5 cos 0 0,5 1 FIG. 8: Proyecciones de los cosinos del ángulo de la helice para....................................................................................................................................................................................................................................................... y (derecha) de los acontecimientos que pasan el umbral de probabilidad de la señal desde el ajuste para B+ → decaes. Los puntos con barras de error mostrar los datos. La curva sólida es la función de ajuste, curva es la contribución de la señal, y la curva punto-dashed es la contribución de base. En la misma muestra de 232 millones de pares BB̄, BABAR también ha publicado recientemente una búsqueda de varios modos vector-vector que involucran un meson..................................................................................................................................................................... K*0, B+ → K, B0 → 0, B+ →, B0 →, y B0 →. El modo vector-escalar relacionado B0 → También fueron buscados. Una búsqueda anterior B → K* y B → en 89 millones de pares de BB̄ resultó en la primera observación de la B+ → chan- nel [8]. El análisis también se basa en una ampliación de unbinned ajuste maxim-likelihood usando las mismas siete variables que en la sección anterior. Nonresonant y K los motivos se fijan en el ajuste determinado a partir de la extrap- olaciones procedentes de regiones de mayor masa. Las parcelas de proyección de E y mES de la Fig. 7 ilustran la extracción de la señal del continuum y fondos BB̄ en todos estos modos. En la mayoría de ellos, no lo suficientemente significativo sig- nal se ve. El único canal donde una señal significativa es observado es B+ →. Su fracción de ramificación medida es aproximadamente 2 desviaciones estándar más pequeñas que la de B+ → 0 [2], mientras que estas dos fracciones ramificantes son ingenuamente espera ser igual. En el cuadro II se resume el resultados en todos los modos. Para calcular el frac de ramificación- fL se deja libre en el ajuste para los tres modos con un significación de la señal superior a 2 y se fija de otro modo. Los límites superiores del nivel de confianza del 90 % se fijan en el fracciones ramificadas para los modos distintos de B+ →. El ajuste de máxima probabilidad también proporciona el valor de fL en B →, que se encuentra en 0,82 ± 0,11, a alto valor esperado para este modo dominado por los árboles. Esto se ilustra en las parcelas de proyección del ángulo de helicidad cosenos mostrados en la Fig. 8. La asimetría directa de CP es también medida y considerada compatible con 0. IV. CONCLUSIÓN En resumen, se mejoraron los análisis con la consideración explícita de: Se han realizado estudios de antecedentes no resonantes en varios charmless hadronic vector-vector decaimientos de el meson B. El B+ →, B+ → K*0, y Se han observado y medido los modos B0 →?0K*0 en los últimos años. Se han fijado límites superiores mejorados en la fracción de ramificación de otros modos vector-vector. Los resultados recientes sobre los modos vector-vector también han trajo más piezas al rompecabezas de polarización. Los Pingüino dominado por B+ → K*0 y B0 →?0K*0 modos tienen una fracción de polarización longitudinal de alrededor de 0.5 como K*, mientras que el árbol dominado B+ → modo tiene uno más cerca de 1 como. Como un montón de sin encanto vector-vector todavía no se han observado, nuevo re- se pueden esperar sults con más datos. [1] M. Beneke et al., Phys. Lett. B 638, 68 (2006). [2] A. Somov, contribución a esta conferencia. [3] K.F. Chen, contribución a esta conferencia. [4] G.W.S. Hou, contribución a esta conferencia. [5] J. Zhang y otros, Phys. Rev. Lett. 95, 141801 (2005). [6] B. Aubert et al., Phys. Rev. Lett. 97, 201801 (2006). [7] B. Aubert et al., Phys. Rev. D 74, 051102 (2006). [8] B. Aubert et al., Phys. Rev. D 71, 031103 (2005).

Los análisis recientes de las siguientes decaimientos raros vector-vector del meson B se presentan: rho K*, omega K*, omega rho, omega omega y omega phi Los estados finales sin encanto. Los últimos resultados indican que la fracción de polarización longitudinal es de aproximadamente 0,5 en modos dominados por pingüinos y cerca de 1 para modos dominados por los árboles.

Introducción Las desintegraciones sin encanto de B →?K* proceden a través de Pingüinos gluónicos dominantes y doblemente Cabibbo- procesos de árboles suprimidos, como se muestra en la Fig. 2. El ex- diagrama de árbol ternal sólo es posible con un K, y el diagrama de árbol interno con suprimida de color con un?0. Por lo tanto B+ → K*0 es un pingüino puro. De acuerdo con la simetría isospin, los dos modos con un se espera que una fracción de ramificación dos veces tan grande como los dos modos con un neutral. FIG. 2: Diagramas de Feynmann para el decaimiento B → K*: gluónico pingüino, árbol externo y diagramas de árbol interno. http://arxiv.org/abs/0704.0364v1 mailto:georges.vasseur@cea.fr B. Resultados de Belle Mbc (GeV/c) E (GeV) FIG. 3: Proyecciones de Mbc para eventos en la región de la señal de E (izquierda) y de E en la región de la señal Mbc (derecha). El sólido las curvas muestran los resultados del ajuste. La curva divisoria es la contribución de la señal. Los histogramas eclosionados representan la Fondo continuo. La suma de la b → c y continuum el componente de fondo se muestra como líneas punteadas. 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 M(0) (GeV/c2) 0,64 0,84 1,04 1,24 1,44 M(K-) (GeV/c2) FIG. 4: Rendimientos de la señal obtenidos de la distribución Mbc - E en contenedores de M(0) (izquierda) para acontecimientos en la región de K*0 y en cubos de M(K) (derecha) para eventos en la región de. Los puntos con barras de error muestran los datos. Las curvas sólidas muestran la los resultados del ajuste. Los histogramas de odio son para los no resonantes componente. Belle fue el primer experimento en 2005 en publicar un re- sobre la observación del modo B+ → K*0 [5], en una muestra de 275 millones de pares BB̄. Una señal de B+ → 0K se extrae del e+e− → qq̄ continuum y fondos BB̄ en un extenso un- ajuste de máxima probabilidad enlatado usando el haz de meson B- masa limitada Mbc y diferencia de energía se muestra en la figura 3. La señal B+ → K*0 se extrae por ajuste a Mbc y E en contenedores de las masas vectoriales de meson M(0) y M(K), como se muestra en la figura 4. Esto es necesario porque hay un gran fondo no-resonante, que da un continuum en la distribución de M(K). Sin embargo hay una señal clara B+ → K*0 de 85± 16 eventos con una significación de 5,2 En cuanto a fL, se obtiene mediante el ajuste simultáneo de la los rendimientos de señal obtenidos de Mbc-ŁE encajan en los cubos de los dos ángulos de helicidad, suponiendo un sistema de onda S - ¿Por qué? - Por el fondo. Los resultados de la fracción de ramificación y fL en B → K*0 son: B = (8,9± 1,7± 1,2) 10−6, fL = 0,43± 0,11 +0,05 −0.02. El valor encontrado para fL es similar al encontrado en K y su error es aproximadamente el doble de grande que en K*. C. Resultados de BABAR (GeV)0m 0,5 1 1,5E (GeV)0m 0,5 1 1,5E (GeV)-m 0,6 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-m 0,6 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E (GeV)-Km 0,8 1 1,2 1,4E FIG. 5: sPlots para el invariante â ¬ (arriba) y Kη (abajo) masas en el B+ → K* (izquierda) y B0 → 0K* /B0 → f0(980)K * Análisis 0 (derecha). Los puntos con barras de error muestran los datos. La curva sólida muestra la señal y no resonante la contribución de fondo, la curva discontinua es la non-reso- nnt contribución de base (lKe exceptuando la parte superior derecha parcela donde representa la suma de f0(1370)K *, K*, y (en inglés) Las flechas muestran las ventanas de masa estándar utilizadas en el ajuste final. Más recientemente BABAR publicó un análisis de los cuatro B → Modos K* [6], realizados en una muestra de 232 mi- leones de pares BB̄. Se basa en un máximo de Ajustar la probabilidad, utilizando siete variables: la energía del mesón B- mES de masa sustituida y diferencia de energía salida de red o un discriminante Fischer que combina sev- variables de forma de evento eral, las dos masas de mesón vectorial, y los dos cosinos del ángulo de la helice. El ajuste permite el extracción simultánea de la relación de ramificación y el fracción de polarización longitudinal. El principal desafío en el análisis proviene de la fondos no resonantes, que comparten la misma final Estado como la señal. Se estudian mediante la ampliación de la vidrieras de masa de meson vector, como se ilustra en la Fig. 5. As en Belle, un gran fondo de Kück se ve en el mKück Atribución en el modo B+ → K*0. El sistema Kη en Este fondo se mide para ser en su mayoría onda-S. Los la situación es aún más compleja en el modo B0 →?0K*0, ya que, además de los antecedentes de la Comisión, hay sev- Aportaciones en la distribución de un en contraste con el uno para un. El f0(980) se puede ver Claramente. De hecho B → f0(980)K *, que es un escalar-vector CUADRO I: Resultados de BABAR sobre los modos B → certezas incluidas), fracción ramificada (límite superior del nivel de confianza del 90% entre paréntesis), fracción de polarización longitudinal y la asimetría directa de CP. (Los números entre paréntesis no se citan como mediciones.) Modo Rendimiento de la señal Significado B(×10−6) fL ACP 51± 24 2,5 < 6,1 (3,6± 1,7± 0,8) [0,9 ± 0,2] 60± 24 1,6 < 12,0 (5,4± 3,6± 1,6) *0 194± 29 7,1 9,6± 1,7± 1,5 0,52 ± 0,10± 0,04 −0,01 ± 0,16± 0,02 *0 185± 30 5,3 5,6± 0,9± 1,3 0,57 ± 0,09± 0,08 0,09 ± 0,19± 0,02 a) b) c) d) (GeV)ESm (GeV)ESm 5,25 5,26 5,27 5,28 )2 (GeV/cESm )2 (GeV/cESm ) 5,26 5,27 5,28 5,29 FIG. 6: Proyecciones de mES de acontecimientos que pasan una señal como Umbral del capó para a) B+ → 0K* , b) B+ → K* , c) , d) B0 → ­0K* , e) B+ → f0(980)K , y f) B0 → f0(980)K ∗0. Los puntos con barras de error muestran el datos. La curva sólida es la función de ajuste, la curva discontinua es la contribución de fondo total, y la curva punteada es el continuum de la contribución de fondo. modo, se considera como otra señal a medir en el mismo ajuste de máxima probabilidad. También están presentes. Atribuciones de la f0(1370) y nonresonant. Los los rendimientos de los fondos no resonantes se ajustan en el ampliación de las ventanas de masa, luego extrapolado a la stan- y fijado en el ajuste final con la masa estándar ventanas. Las parcelas de proyección en la masa B se muestran en la Fig. 6 il- lustre la extracción de la señal del continuum y fondos de BB̄ en los cuatro canales B → K* y los dos B → f0(980)K * Modalidades. En el cuadro I se resume el cuadro siguiente: resultados. No se observan señales suficientemente significativas para B0 → K y B+ →?0K, donde los límites superiores en el nivel de confianza del 90 % se fija en los coeficientes de ramificación. Para este último una señal relacionada B+ → f0(980)K es ob- servida con una significación de 5.0° y una rama medida- ing fracción de (5,2 ± 1,2 ± 0,5) 10−6. En B+ → K*0, el resultado está en muy buen acuerdo con el resultado de Belle, con una precisión similar. El modo B0 →?0K*0 es observado por primera vez. La relación entre la rama- las fracciones de ing en estos dos modos son compatibles con el factor 2 esperado a partir de la simetría de isospina. El valor de los ACP se mide en los dos modos para ser compatible con 0, como se espera, ya que hay Un diagrama dominante. Finalmente fL se encuentra cerca de 0,5 en estos dos modos. Es compatible con la medición de Belle y tiene la misma precisión. Lo es otra vez. similar al valor encontrado para ŁK*. III. MODELOS CON • 40 10 20 *0K.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20 0+ 40 20 E (GeV) -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 (GeV/cESM) 5,25 5,26 5,27 5,28 5,29 20 0f FIG. 7: Proyecciones de E (izquierda) y mES (derecha) de los acontecimientos pasando un umbral de probabilidad de señal para, de arriba a abajo, *0, B+ → •K* , B0 → 0, B+ →, B0 → , B0 →, y B0 → f0(980). Los puntos con error las barras muestran los datos. La curva sólida es la función de ajuste, la curva discontinua es la contribución de la señal, y el punto-dashed curva es la contribución de fondo. CUADRO II: Resultados de BABAR sobre modos que implican un mesón: rendimiento de la señal con su incertidumbre estadística, significación (incertidumbres sistemáticas incluidas), fracción ramificada (límite superior del nivel de confianza del 90% entre paréntesis), fracción longitudinal polarización y asimetría directa del PC. (Los números entre paréntesis no se citan como mediciones.) Modo Rendimiento de la señal Significado B(×10−6) fL ACP *0 55± 20 2,4 < 4,2 (2,4± 1,1± 0,7) [0,71 ± 0,25] 8± 16 0,4 < 3,4 (0,6± 1,3± 1,0) −18± 16 0,6 < 1,5 (−0,6± 0,7+0,8−0,3) + 156± 32 5,7 10,6± 2,1+1,6−1,0 0,82 ± 0,11± 0,02 0,04 ± 0,18± 0,02 → 48+24−19 2,1 < 4,0 (1,8) −0,9 ± 0,4) [0,71 ± 0,25] → 3.14.4−8,5 0,3 < 1,2 (0,1± 0,5± 0,1) cos -0,5 0 0,5 cos 0 0,5 1 FIG. 8: Proyecciones de los cosinos del ángulo de la helice para....................................................................................................................................................................................................................................................... y (derecha) de los acontecimientos que pasan el umbral de probabilidad de la señal desde el ajuste para B+ → decaes. Los puntos con barras de error mostrar los datos. La curva sólida es la función de ajuste, curva es la contribución de la señal, y la curva punto-dashed es la contribución de base. En la misma muestra de 232 millones de pares BB̄, BABAR también ha publicado recientemente una búsqueda de varios modos vector-vector que involucran un meson..................................................................................................................................................................... K*0, B+ → K, B0 → 0, B+ →, B0 →, y B0 →. El modo vector-escalar relacionado B0 → También fueron buscados. Una búsqueda anterior B → K* y B → en 89 millones de pares de BB̄ resultó en la primera observación de la B+ → chan- nel [8]. El análisis también se basa en una ampliación de unbinned ajuste maxim-likelihood usando las mismas siete variables que en la sección anterior. Nonresonant y K los motivos se fijan en el ajuste determinado a partir de la extrap- olaciones procedentes de regiones de mayor masa. Las parcelas de proyección de E y mES de la Fig. 7 ilustran la extracción de la señal del continuum y fondos BB̄ en todos estos modos. En la mayoría de ellos, no lo suficientemente significativo sig- nal se ve. El único canal donde una señal significativa es observado es B+ →. Su fracción de ramificación medida es aproximadamente 2 desviaciones estándar más pequeñas que la de B+ → 0 [2], mientras que estas dos fracciones ramificantes son ingenuamente espera ser igual. En el cuadro II se resume el resultados en todos los modos. Para calcular el frac de ramificación- fL se deja libre en el ajuste para los tres modos con un significación de la señal superior a 2 y se fija de otro modo. Los límites superiores del nivel de confianza del 90 % se fijan en el fracciones ramificadas para los modos distintos de B+ →. El ajuste de máxima probabilidad también proporciona el valor de fL en B →, que se encuentra en 0,82 ± 0,11, a alto valor esperado para este modo dominado por los árboles. Esto se ilustra en las parcelas de proyección del ángulo de helicidad cosenos mostrados en la Fig. 8. La asimetría directa de CP es también medida y considerada compatible con 0. IV. CONCLUSIÓN En resumen, se mejoraron los análisis con la consideración explícita de: Se han realizado estudios de antecedentes no resonantes en varios charmless hadronic vector-vector decaimientos de el meson B. El B+ →, B+ → K*0, y Se han observado y medido los modos B0 →?0K*0 en los últimos años. Se han fijado límites superiores mejorados en la fracción de ramificación de otros modos vector-vector. Los resultados recientes sobre los modos vector-vector también han trajo más piezas al rompecabezas de polarización. Los Pingüino dominado por B+ → K*0 y B0 →?0K*0 modos tienen una fracción de polarización longitudinal de alrededor de 0.5 como K*, mientras que el árbol dominado B+ → modo tiene uno más cerca de 1 como. Como un montón de sin encanto vector-vector todavía no se han observado, nuevo re- se pueden esperar sults con más datos. [1] M. Beneke et al., Phys. Lett. B 638, 68 (2006). [2] A. Somov, contribución a esta conferencia. [3] K.F. Chen, contribución a esta conferencia. [4] G.W.S. Hou, contribución a esta conferencia. [5] J. Zhang y otros, Phys. Rev. Lett. 95, 141801 (2005). [6] B. Aubert et al., Phys. Rev. Lett. 97, 201801 (2006). [7] B. Aubert et al., Phys. Rev. D 74, 051102 (2006). [8] B. Aubert et al., Phys. Rev. D 71, 031103 (2005).

Extending the theory of phonon-mediated superconductivity in quasi-2D

arXiv:0704.0365v1 [cond-mat.supr-con] 3 Abr 2007 7 Ampliación de la teoría de la mediación fonónica superconductividad en cuasi-2D J.P.Hague Departamento de Física, Universidad de Loughborough, Loughborough, LE11 3TU Resumen. Presento los resultados de una extensa teoría Migdal-Eliashberg de los electrones-fonón inter- acciones y superconductividad. Se introduce la historia del problema electrón-fonón, y luego el estudio del régimen de parámetros intermedios se justifica a partir de las escalas de energía en el su- perconductores. El modelo de Holstein es detallado, y los casos limitantes se examinan para demostrar el necesidad de una teoría ampliada de la superconductividad. Se muestran los resultados de la aproximación ampliada, incluyendo funciones espectrales y diagramas de fase. Estos se discuten con referencia a Hohenberg’s teorema, la teoría Bardeen-Cooper-Schrieffer y la repulsión Coulomb. [Publicado en: Conferencias sobre la física de los sistemas electrónicos altamente correlacionados X, p255-264, AIP Conference Proceedings vol. 846 (2006)] INTRODUCCIÓN Durante el último medio siglo, el estudio del papel de las interacciones electrón-fonón en La física de la materia condensada ha sido un campo activo y controvertido. Inicialmente de interés desde el punto de vista de las propiedades térmicas, modelos tempranos de las interacciones entre Las vibraciones de celosía y los electrones incluían el modelo continuo Fröhlich [1]. Intereses en Las interacciones electrón-fonón aumentaron dramáticamente cuando en 1957, Bardeen, Cooper y Schrieffer (BCS) publicó su famosa teoría de la superconductividad [2], que directamente fonones implicados como el mecanismo microscópico para la ausencia de baja temperatura de resistividad en una variedad de metales. Hasta el descubrimiento de los superconductores cuprates por Bednorz y Müller en 1986 [3], la imagen de BCS se encontró para explicar bien para todos materiales superconductores - un éxito notable para una simple teoría de campo medio que sólo es aplicable en el acoplamiento débil! Poco después de darse cuenta de que los fonones eran responsables de la superconductividad, Eliash- berg extendió la descripción teórica más allá de la teoría de acoplamiento débil absoluta con las famosas ecuaciones de Eliashberg [4]. Al hacer esto, construyó sobre el trabajo anterior de Migdal, quien argumentó que una simple reanudación de una cierta clase de diagramas de Feynmann debería ser suficiente para describir el límite de baja frecuencia fonónica [5]. La teoría de Eliashberg puede ser argumentado como una de las primeras aplicaciones de la teoría dinámica de campo medio (DMFT) [6], ya que (en su sentido original) ignora las fluctuaciones espaciales (dependencia momentánea) en la auto-energía, manteniendo los efectos dependientes de la frecuencia (dinámica). El propósito de este artículo es describir una extensión a la teoría de la superconductividad de las interacciones electrón-fonón. El enfoque va más allá de la teoría de Eliashberg por introducción de los efectos de las fluctuaciones espaciales y de los términos de orden superior en la perturbación teoría. El objetivo es desarrollar una teoría que pueda ser utilizada para sistemas con acoplamiento, frecuencias fonónicas más grandes y dimensionalidad reducida. Empiezo motivando http://arxiv.org/abs/0704.0365v1 la necesidad de una teoría más sofisticada desde el punto de vista experimental. También discuto limitar los casos del modelo Holstein, y cómo el gran límite de frecuencia fonónica de modelo implica que las teorías convencionales de la superconductividad son incompletas. Yo entonces introducir las aproximaciones necesarias para desarrollar una teoría más sofisticada. Finalmente Presento algunos resultados de la nueva aproximación, y los discuto en relación con Los superconductores de cubas, y también con respecto a las teorías convencionales y el exacto Teorema de Hohenberg [7]. MOTIVACIÓN Cuando los superconductores de alta temperatura fueron descubiertos en 1986 [3], el la posibilidad de que los fonones pudieran ser atribuidos al mecanismo microscópico fue rápidamente descontado por mucha gente. En parte, esto se debió a la ausencia de un efecto isótopo en dopaje óptimo, y también una suposición de que la superconductividad mediada por no se producen por encima de 30K. El mecanismo para los superconductores de alta CT sigue siendo muy controversial, y se sugieren muchas hipótesis diferentes (algunos ejemplos son giro fluctuaciones [8] y mecanismos exóticos del fonón como los bipolarones [9]). Un aumento evidencia muestra que los fonones, así como la repulsión Coulomb tienen un efecto sobre el física de los materiales de cuprate. Voy a hacer una breve reseña de la actual situación en esta sección, y argumentan que (1) Las interacciones electron-fonón tienen que ser tratada en pie de igualdad con la repulsión de Coulomb si se quiere entender los cuprates, y (2) Con el fin de tratar los fonones en los Cuprates, extensiones a las teorías actuales se requieren interacciones electrón-fonón y superconductividad mediada por fonón. Hay varios experimentos que demuestran un fuerte acoplamiento electrón-fonón en el cuprates. El más convincente es la existencia de un fuerte efecto isótopo en el intercambio O16 para O18 [10]. También hay algunos experimentos más recientes que demuestran los efectos de las interacciones electrón-fonón de manera transparente. La figura 1 muestra Representaciones esquemáticas de las dispersiones de electrones y fonones en las copas. Panel a) detalla las principales características de la dispersión electrónica medida por Angle-Resolved Espectroscopia de emisión de fotos (ARPES) en la dirección [11]. En energías cercanas a la superficie de Fermi, hay excitaciones coherentes con una larga vida. Como k = 0 − F se aproxima, el gradiente de la dispersión cambia a una curva aguda. El fonón es de la variedad óptica transversal, y su frecuencia (-0) es del orden de 100meV. Lo siento. basta aquí para mencionar que esto es muy grande. La relación de los gradientes por encima y por debajo de la curva está relacionado con la constante de acoplamiento adimensional ( se ha encontrado que el valor puede alcanzar valores de hasta 2 [11]. El panel (b) muestra una representación esquemática de algunos resultados de dispersión de neutrones que miden la dispersión del fonón [12, 13]. Arriba la temperatura de transición, esto se parece a la línea sólida, pero a medida que el sistema se mueve de normal al estado superconductor, el peso espectral en la zona circuncidada desaparece. Esto indica que la superconductividad (pares unidos de electrones) afecta a los fonones, y es evidencia adicional para un acoplamiento electrón-fonón fuerte. Un error frecuente acerca de los cuprates es que los términos electrón-fonón en el Hamiltonian puede ser descuidado sobre la base de que son pequeños. Para demostrar que esto no es el caso, la figura 2 muestra escalas de energía aproximadas en las tazas. El más grande energía de lejos es la repulsión Coulomb (o Hubbard U ) que pesa en unos 10eV. a) b) INCOHERENT COHERENTE PESO PERDIDO EN TRANSICIÓN kk F 0 PHONON DISPERSIONELECTRÓN DISPERSIÓN GRÁFICO 1. Esquema que muestra el efecto de las interacciones electrón-fonón sobre el electrón y el fonón Dispersiones en los cupratos. Ambos paneles describen mediciones a lo largo de la dirección [11]. Panel (a) muestra una representación esquemática de la dispersión electrónica medida por la emisión de fotoresuelta angularmente Espectroscopia (ARPES) [11]. En energías cercanas a la superficie de Fermi, hay excitaciones coherentes con una larga vida. A medida que se acercan los cambios de dispersión, el gradiente de los cambios de dispersión y una torcedura es Presentado. El fonón es de la variedad óptica transversal, y su frecuencia es de 75meV. La relación de los gradientes por encima y por debajo de la curva está relacionada con la constante de acoplamiento [11]. (b) muestra una representación esquemática de algunos resultados de dispersión de neutrones que miden la dispersión del fonón [12, 13]. Por encima de la temperatura de transición, esto se parece a la línea sólida, pero a medida que el sistema se mueve de la normal al estado superconductor, el peso espectral en el área sombreada desaparece. Esto indica que el el estado superconductor afecta a los fonones, y es evidencia adicional para el acoplamiento electrón-fonón fuerte. El siguiente es el intersite hopping integral t, que es del orden de 1eV. Usando un sencillo 2da teoría de la perturbación del orden en acoplamiento fuerte, una interacción de intercambio eficaz es generado [14], con J = t2/U del orden de 100meV. Este J solía argumentar a menudo para un teoría de spin-fluctuación de la superconductividad de alta TC que descuida los fonones. El problema con este punto de vista está inmediatamente claro si se revisan los datos experimentales. En primer lugar, la las energías de los fonones son también aproximadamente 100meV, por lo que no pueden ser tratados como una pequeña escala de energía. En segundo lugar, un acoplamiento adimensional constante de la unidad de orden implica Acoplamiento dimensional g de magnitud similar. Así, con tres energía muy cercana escalas, es importante que las contribuciones de los mecanismos de fonón y Coulomb son tratados en pie de igualdad en una teoría para los cuprates. Desafortunadamente, como lo discuto en el la siguiente sección, las teorías actuales de las interacciones electrón-fonón no son capaces de manejar las grandes energías fonónicas y constantes de acoplamiento en las copas. El resto de esto El artículo se centra en cómo se puede extender la teoría para describir este régimen. MODELO Y LÍMITES Un modelo genérico de interacciones electrón-fonón incluye el movimiento de los electrones Hel, el movimiento de los iones (o fonones) Hph y la interacción entre los electrones y los fonones (que pueden ser absorbidos o emitidos) que se denota Hel-ph. En este Energía: 10meV 100meV 1eV 10eV T J t U GRÁFICO 2. Esquema que muestra las escalas de energía en las copas. La mayor energía de lejos es la Repulsión de Coulomb (o Hubbard U) del orden 10eV. El intersite hopping integral t, es 1eV. Uso de una simple teoría de la perturbación del segundo orden, se genera una interacción de intercambio eficaz, con J = t2/U de el orden de 100meV. Esta J se utiliza entonces para argumentar por la teoría de spin-fluctuación de alta TC. Sin embargo, las energías de los fonones son también aproximadamente 100meV y el acoplamiento dimensional g tiene alrededor el mismo valor. Por lo tanto, con 3 escalas de energía similares, es importante que las contribuciones de las fluctuaciones y los mecanismos fonónicos se tratan en pie de igualdad. way, H = Hel +Hel-ph +Hph es el Hamiltoniano total. Hel = kck <i j tc†i Hel−ph = k−qck(b q +b−q) § § § § § § § § § § § § § § n § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § n § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § Hph = b†kbk + N° de cat.: +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + El primer término en el Hamiltoniano es la forma general de electrones libres, es decir. el total energía es la suma de las energías cinéticas de todos los estados ocupados. En un caso especial, que se conoce como el Holstein Hamiltonian, los electrones en un modelo de unión apretada puede saltar entre los sitios vecinos más cercanos solamente, y ­k = −2t •Di=1 cos(ki), donde t es la superposición integral. En la forma genérica de la interacción electrón-fonón, un electrón puede dispersarse absorbiendo un fonón con impulso −q o emitiendo un fonón con impulso q. Una aproximación adicional utiliza un electrón independiente de impulso el acoplamiento del fonón, g, y en ese caso la transformación de Fourier muestra que el segundo término conecta el desplazamiento local de iones, ri a la densidad local de electrones. Por último, el el término fononario libre puede simplificarse utilizando la aproximación de Einstein................................................................................................................................... y la transformación de Fourier, el phonon hamiltoniano desnudo se muestra como una serie de osciladores armónicos simples independientes en cada índice de sitio. La creación de electrones y los fonones están representados por c† y b† respectivamente, pi es el impulso iónico y M la masa de iones. Al elegir t = 0,25, se elige un ancho de banda de W = 2. Un pequeño interplanar salto de t = 0.01 se incluye para eliminar la singularidad logarítmica en la densidad 2D de los estados en 0. La Figura 3 muestra el espacio de parámetros del modelo Holstein. Para fonón muy grande frecuencia, la interacción efectiva es instantánea, y una transformación de Lang-Firsov [15] resulta en un atractivo modelo Hubbard (que es uno de los modelos estándar para sistemas de electrones correlacionados) [16]. Alternativamente, tomando el límite de fonón muy pequeño frecuencia, un electrón de movimiento rápido no puede ‘ver’ el movimiento de los núcleos en el tiempo que lleva a TEORÍA AMPLIADA ¿Cuprate? GRÁFICO 3. Espacio paramétrico del modelo Holstein. Para una frecuencia fonónica muy grande, el La interacción es instantánea, y una transformación de Lang-Firsov resulta en un atractivo modelo Hubbard. Alternativamente, tomando el límite de muy pequeña frecuencia fonónica, un electrón de movimiento rápido no puede ‘ver’ la los fonones se mueven, y el problema se asigna a un problema de trastorno estático (similar al modelo de Falikov-Kimball [19]). Esto hace el problema del fonón extremadamente difícil, y poco se sabe acerca de la mitad de la espacio de parámetros. El rango de la teoría de Eliashberg se muestra en la esquina inferior izquierda. Las previsiones la posición de los cupratos se muestra como el diamante único. La validez esperada de una teoría extendida incluyendo todos los diagramas de Feynman de segundo orden también se muestra. a través de muchos sitios, por lo que el problema de mapas a un problema de trastorno estático (que es essen- tialmente uncorrelacionado). Por lo tanto, uno puede pensar en la frecuencia del fonón como la posesión de la capacidad de “afinar” el efecto de las correlaciones, por lo que se obtiene una segunda motivación para el estudio de sistemas electrón-fonón de tratar de entender correlaciones electrónicas [17]. El ajuste de la correlación hace el problema del fonón extremadamente difícil, y poco es conocido sobre el régimen intermedio del espacio de parámetros. La gama de los Eliash- La teoría de berg se muestra en la esquina inferior izquierda. Contrariamente a la suposición de Migdal, el la teoría no puede extenderse más allá del acoplamiento intermedio, ya que la La masa tiva reduce la invalidación de la afección (teorema de Migdal) •0 • • F [18, 9]. Los la posición aproximada de los parámetros fonónicos en los cupratos se muestra como la di- Amond. Es esencial corregir la teoría para el acoplamiento débil a intermedio a mayor Frecuencias fonónicas. La extensión es clara mirando la gran frecuencia del fonón límite. El límite Hubbard requiere que todos los procesos de segundo orden en U estén incluidos en el auto-energía, o el límite de acoplamiento débil incorrecto se encuentra. Una teoría extendida que incluye todos los diagramas de segundo orden de Feynman se requiere para entender el límite de acoplamiento débil, desde frecuencia fonónica pequeña a grande. GRÁFICO 4. Serie de diagramas de Feynman utilizados en la aproximación actual. Es el electrón y Π el La autoenergía fonónica. Serie (a) es la aproximación Migdal-Eliashberg y (b) la serie corregida vértice. AMPLIACIÓN DE LA TEORÍA ELIASHBERG Extender la teoría de Eliashberg implica insertar las correcciones de vértice de orden más bajo en el electrón y el fonón autoenergias. En la teoría de Eliashberg, los fonones emitidos son reabsorbidas en orden de última salida. Las correcciones del vértice permiten esencialmente este orden para ser cambiado una vez. Tales contribuciones se muestran diagramáticamente en el gráfico 4. Todos los diagramas deben ser incluidos en el cálculo, o el número de electrones no sería conservada. La dependencia momentánea se incluye en la aproximación, que es esencial en bajas dimensiones. La inclusión de correcciones de vértice lleva a una doble integración de dos veces sobre la zona de Brillouin en combinación con una suma doble sobre frecuencias de matsubara, que consume tiempo para los números. Con el fin de reducir el número de puntos en k- espacio mientras se mantiene el límite termodinámico, la aproximación dinámica del clúster se aplica [20]. Además, los estados superconductores pueden ser considerados usando el Formalismo nambu. Los detalles completos de la aplicación de la aproximación ampliada pueden encontrarse en las referencias [21] y [22]. Utilizando una técnica de entropía máxima, es posible calcular la función espectral desde la función verde del eje Matsubara. La figura 5 muestra la función espectral de la Modelo Holstein calculado utilizando la teoría extendida de Migdal–Eliashberg. Los resultados son: cualitativamente similares a las mediciones ARPES de los cupratos. En particular, el cambio entre partículas incoherentes y coherentes se produce en la frecuencia del fonón (se muestra como el línea discontinua), asociada con una torcedura en la dirección [11]. Se observa aquí que el efecto de la auto-energía del fonón es un suavizamiento del modo del fonón. En la teoría ME estándar en 2D, el modo en el punto (η,η) está completamente ablandado, lo que conduce a una inestabilidad fatal de la teoría. Sin embargo, las correcciones del vértice actúan contra este ablandamiento, y alivian el inestabilidad. De esta manera, está claro que un vértice corregido Eliashberg teoría es esencial para el estudio de materiales cuasi-2D [21]. También se pueden calcular las propiedades en el estado de superconductores. Una de esas propiedades es la densidad de emparejamiento dependiente del momento, ns(k) = T Ín F(iÍn,k), donde F(iÍn,k) es la función verde anómala asociada con el emparejamiento de electrones con el impulso k y −k. Es posible transformar el parámetro de orden dependiente del impulso a determinar la magnitud de los armónicos esféricos individuales. La figura 6 muestra este tipo de descomposición. Se utiliza un tamaño de cluster de NC = 64, con U = 0,6 y +0 = 0,4. Nota 0=0,2, U=0,3, DCA(VC) -2 -1 A(k)............................................................................................................................................................................................................................................................. GRÁFICO 5. Función espectral del modelo Holstein en la teoría extendida de Migdal-Eliashberg. Los los resultados son cualitativamente similares a las mediciones ARPES de los cupratos. En particular, el cambio entre partículas incoherentes y coherentes se producen en la frecuencia del fonón, asociados con una torcedura en el [11] dirección. ©Instituto de Física publica 2003 [21]. cómo se desarrollan los armónicos de orden superior a medida que aumenta el relleno. En particular, puede ser visto que no hay un solo armónico (como la simetría de onda s) es suficiente para describir el parámetro de orden. Algunos de los términos de orden superior se producen debido al aumento del emparejamiento en momentum k = (η/2,η/2), en particular, pares con momentum angular. Por último, al variar la temperatura y el potencial químico, el diagrama de fase puede ser computado. La Figura 7 muestra los diagramas de fase del modelo Holstein para los diferentes aproximaciones. El diagrama superior muestra el resultado de la Aproximación de Eliashberg (teoría dinámica de campo medio NC = 1). En la parte inferior de la se muestran los resultados de la aproximación actual con NC = 4. Los superconductores orden se suprime cerca de la mitad de llenado. Suponiendo una forma para la densidad de los estados en 2D (con saltos de pequeño interplano) de D(­) = (1­ t log(­2+ t2)/16t 2))/tη2 (por 4t) [23], que coincide con la densidad total de los estados con una exactitud razonable. De aquí la El resultado de BCS puede calcularse utilizando la expresión TC(n) = 2­0 exp(−1/U D(μ(n)))/η, (4) con el potencial químico obtenido de la solución autoconsistente para una n dada. resultado también cae monótonamente. Los resultados en el límite diluido están de acuerdo con el resultado BCS (línea con puntos). Cerca de la mitad de llenado, el resultado DMFT es significativamente menor que el resultado BCS (que predice TC(n = 1)> 0.07). La diferencia en los resultados -0.025 -0,02 -0,015 -0,01 - 0,005 0,005 0,01 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 s, m=0 d, m=0 g, m=0 g, m=4,-4 GRÁFICO 6. Descomposición del parámetro orden en armónicos esféricos. Un tamaño de clúster, NC = 64 es utilizado, con U = 0,6 y 0-0 = 0,4. Observe cómo se desarrollan los armónicos de orden superior a medida que aumenta el relleno. In particular, los armónicos g pueden ser casi tan fuertes como los armónicos s en n = 1,45. ©Instituto de Física publicación 2005 [22]. entre las dos teorías de campo medio a mitad de llenado se debe a la auto-coherencia en el DMFT. Cuando se incluyen correcciones de vértice y fluctuaciones espaciales, el límite diluido está relativamente inalterada. Sin embargo, a mitad de llenado, hay una gran caída en la transición temperatura. La supresión a la mitad del relleno es una manifestación del teorema de Hohenberg, lo que implica que no puede haber un orden de superconductores en 2D. Aquí he calculado para cuasi-2D, por lo que es interesante que en materiales reales con carácter dimensional bajo el el máximo en superconductividad se desplaza de la semi-llenada. OBSERVACIONES FINALES Termino el trabajo con una advertencia para construir teorías de supercon de alta temperatura. ductividad utilizando las interacciones electrón-fonón solo, mientras que descuida la Coulomb re- Pulsión. Si uno toma los diagramas de fase de la sección anterior, y asigna similares básculas de energía a los de las copas, es posible obtener la temperatura en Kelvins para el máximo en el diagrama de fase n = 1.2. Esto sale alrededor de 172K - uno podría decir aproximadamente el TC en los cuprates. Entonces, ¿por qué no es esta la solución para los cuprates? Las tazas están muy atadas. terials, por lo que la “energía Fermi” es baja, y la relación ­0/­F es lo suficientemente grande para justificar la extensión de la teoría de Eliashberg. El problema es que una pequeña energía Fermi también significa que el Hubbard U es una cantidad comparativamente grande. En un simple campo medio nivel, se puede incluir la repulsión Coulomb en la teoría de la superconductividad. Por ex- amplio, las ecuaciones de Eliashberg se pueden ampliar para incluir un electrón-electrón eficaz interacción (también conocida como el pseudopotencial de Coulomb μC). El efecto de esto es para modificar  →  − μC. La sustitución en la ecuación 4 significa que el temple de transición- 0,02 0,04 0,06 0,08 U=0,6; 0=0,4; Nc=4, VC 0,01 0,02 0,03 0,04 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0,02 0,04 0,06 0,08 0,02 0,04 0,06 0,08 0,01 0,02 0,03 0,04 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0,02 0,04 0,06 0,08 U=0,6,0=0,4,Nc=1 GRÁFICO 7. Diagramas de fase del modelo Holstein. U = 0,6 y 0-0 = 0,4. El diagrama superior muestra la resultado de la aproximación de Eliashberg (teoría dinámica de campo medio NC = 1). También se muestra el BCS resultado (línea con puntos). En la parte inferior se muestran los resultados de la aproximación actual con NC = 4. La orden de superconductores se suprime cerca de la mitad de llenado en la teoría corregida vértice. ©Instituto de física 2005 [22]. ature se reduce considerablemente, o que la superconductividad del tipo BCS es completamente Destruido. Cualquier mecanismo basado en el fonón para los cuprates debe abordar este punto y ser compatible con la interacción electrón-electrón. Alternativamente (y esto es una advertencia- • en función de la similitud de las básculas de energía, de cualquier giro. mecanismo de fluctuación (que es esencialmente Coulombic) también debe tratar los fonones (o al menos ser compatible con ellos) para ser plausible. AGRADECIMIENTOS Agradezco sinceramente al comité organizador del curso por su generosa contribución financiera. apoyo. Los aspectos de esta investigación se llevaron a cabo en el marco de la como visitante en la Universidad de Leicester. Le agradezco a A.S.Alexandrov, J.L.Beeby, E.M.L.Chung, N.d’Ambrumenil, J.K.Freericks, M.Jarrell, P.E.Kornilovitch, J.H.Samson y M.Yethiraj para estimular las discusiones, tanto sobre este trabajo como sobre el problemas de interacciones electrón-fonón y superconductividad en general. Lo sé. apoyo de ventaja en la Universidad de Loughborough en virtud de la subvención EPSRC no. EP/C518365/1. REFERENCIAS 1. H.Fröhlich. Phys. Rev., 79:845, 1950. 2. J.Bardeen, L.N.Cooper y J.R.Schrieffer. Phys. Rev., 108:1175, 1957. 3. J.G.Bednorz y K.A.Müller. Z. Phys. B, 64:189, 1986. 4. G.M.Eliashberg. Cartas JETP, 11:696, 1960. 5. A.B.Migdal. Cartas JETP, 7:996, 1958. 6. W. Metzner y D. Vollhardt. Phys. Rev. Lett., 62:324, 1989. 7. P.C.Hohenberg. Phys. Rev., 158:383, 1967. 8. P.W.Anderson. La teoría de la superconductividad en las cúpulas de alto TC. Prensa de la Universidad de Princeton, 1997. 9. E.K.H.Salje, A.S.Alexandrov, y W.Y.Liang, editores. Polarons y Bipolarons en alta-TC super- conductores y materiales conexos. Cambridge University Press, 1995. 10. G.M.Zhao, M.B.Hunt, H.Keller y K.A.Müller. Nature, 385:236, 1997. 11. A.Lanzara, P.V.Bogdanov, X.J.Zhou, S.A.Kellar, D.L.Feng, E.D.Lu, T.Yoshida, H.Eisaki, A.Fujimori, K.Kishio, J.-I.Shimoyama, T.Noda, S.Uchida, Z.Hussa, y Z.-X.Shen. Naturaleza, 412:6846, 2001. 12. R.J.McQueeney, Y.Petrov, T.Egami, M.Yethiraj, G.Shirane, e Y.Endoh. Phys. Rev. Lett., 82:628, 1999. 13. J-H.Chung et al. Phys. Rev. B, 67:014517, 2003. 14. F.Gebhard. El Mott Metal-Aislador Transición - Modelos y Métodos, volumen 137 de Springer tractos en la física moderna. Springer, Heidelberg, 1997. 15. I.G.Lang y Yu.A.Firsov. Sov. Phys. JETP, 16:1301, 1963. 16. J.Hubbard. Proc. R. Soc. London Ser. A, 276:238, 1963. 17. J.P.Hague y N.d'Ambrumenil. J. Baja temperatura. Phys., 140:77–89, 2005. 18. J.P.Hague y N.d'Ambrumenil. cond-mat/0106355. 19. A.J.Millis, R.Mueller, y B.I.Shraiman. Phys. Rev. B, 54:5389, 1996. 20. M.Hettler, A.N.Tahvildar-Zadeh, M.Jarrell, T.Pruschke, y H.R.Krishnamurthy. Phys. Rev. B, 58:7475, 1998. 21. J.P.Hague. Dispersiones electronas y fonónicas del modelo Holstein bidimensional: Efectos del vértice y correcciones no locales. J. Phys.: Condens. Materia, 15:2535, 2003. 22. J.P.Hague. Estados superconductores del modelo Holstein cuasi-2d: Efectos del vértice y no locales correcciones. J. Phys.: Condens. Materia, 17:5663, 2005. 23. L.S.Macarie y N.d'Ambrumenil. J. Phys.: Condens. Materia, 7:3237, 1995.

Presento los resultados de una extensa teoría Migdal-Eliashberg de interacciones electrón-fonón y superconductividad. La historia de la problema electrón-fonón se introduce, y luego el estudio de la intermedia el régimen de parámetros está justificado a partir de las escalas de energía en el cuprato Superconductores. El modelo Holstein es detallado, y los casos limitantes son examinado para demostrar la necesidad de una teoría ampliada de la superconductividad. Se muestran los resultados de la aproximación extendida, incluidas las funciones espectrales y diagramas de fase. Estos se discuten con referencia al teorema de Hohenberg, la teoría Bardeen-Cooper-Schrieffer y la repulsión Coulomb.

arXiv:0704.0365v1 [cond-mat.supr-con] 3 Abr 2007 7 Ampliación de la teoría de la mediación fonónica superconductividad en cuasi-2D J.P.Hague Departamento de Física, Universidad de Loughborough, Loughborough, LE11 3TU Resumen. Presento los resultados de una extensa teoría Migdal-Eliashberg de los electrones-fonón inter- acciones y superconductividad. Se introduce la historia del problema electrón-fonón, y luego el estudio del régimen de parámetros intermedios se justifica a partir de las escalas de energía en el su- perconductores. El modelo de Holstein es detallado, y los casos limitantes se examinan para demostrar el necesidad de una teoría ampliada de la superconductividad. Se muestran los resultados de la aproximación ampliada, incluyendo funciones espectrales y diagramas de fase. Estos se discuten con referencia a Hohenberg’s teorema, la teoría Bardeen-Cooper-Schrieffer y la repulsión Coulomb. [Publicado en: Conferencias sobre la física de los sistemas electrónicos altamente correlacionados X, p255-264, AIP Conference Proceedings vol. 846 (2006)] INTRODUCCIÓN Durante el último medio siglo, el estudio del papel de las interacciones electrón-fonón en La física de la materia condensada ha sido un campo activo y controvertido. Inicialmente de interés desde el punto de vista de las propiedades térmicas, modelos tempranos de las interacciones entre Las vibraciones de celosía y los electrones incluían el modelo continuo Fröhlich [1]. Intereses en Las interacciones electrón-fonón aumentaron dramáticamente cuando en 1957, Bardeen, Cooper y Schrieffer (BCS) publicó su famosa teoría de la superconductividad [2], que directamente fonones implicados como el mecanismo microscópico para la ausencia de baja temperatura de resistividad en una variedad de metales. Hasta el descubrimiento de los superconductores cuprates por Bednorz y Müller en 1986 [3], la imagen de BCS se encontró para explicar bien para todos materiales superconductores - un éxito notable para una simple teoría de campo medio que sólo es aplicable en el acoplamiento débil! Poco después de darse cuenta de que los fonones eran responsables de la superconductividad, Eliash- berg extendió la descripción teórica más allá de la teoría de acoplamiento débil absoluta con las famosas ecuaciones de Eliashberg [4]. Al hacer esto, construyó sobre el trabajo anterior de Migdal, quien argumentó que una simple reanudación de una cierta clase de diagramas de Feynmann debería ser suficiente para describir el límite de baja frecuencia fonónica [5]. La teoría de Eliashberg puede ser argumentado como una de las primeras aplicaciones de la teoría dinámica de campo medio (DMFT) [6], ya que (en su sentido original) ignora las fluctuaciones espaciales (dependencia momentánea) en la auto-energía, manteniendo los efectos dependientes de la frecuencia (dinámica). El propósito de este artículo es describir una extensión a la teoría de la superconductividad de las interacciones electrón-fonón. El enfoque va más allá de la teoría de Eliashberg por introducción de los efectos de las fluctuaciones espaciales y de los términos de orden superior en la perturbación teoría. El objetivo es desarrollar una teoría que pueda ser utilizada para sistemas con acoplamiento, frecuencias fonónicas más grandes y dimensionalidad reducida. Empiezo motivando http://arxiv.org/abs/0704.0365v1 la necesidad de una teoría más sofisticada desde el punto de vista experimental. También discuto limitar los casos del modelo Holstein, y cómo el gran límite de frecuencia fonónica de modelo implica que las teorías convencionales de la superconductividad son incompletas. Yo entonces introducir las aproximaciones necesarias para desarrollar una teoría más sofisticada. Finalmente Presento algunos resultados de la nueva aproximación, y los discuto en relación con Los superconductores de cubas, y también con respecto a las teorías convencionales y el exacto Teorema de Hohenberg [7]. MOTIVACIÓN Cuando los superconductores de alta temperatura fueron descubiertos en 1986 [3], el la posibilidad de que los fonones pudieran ser atribuidos al mecanismo microscópico fue rápidamente descontado por mucha gente. En parte, esto se debió a la ausencia de un efecto isótopo en dopaje óptimo, y también una suposición de que la superconductividad mediada por no se producen por encima de 30K. El mecanismo para los superconductores de alta CT sigue siendo muy controversial, y se sugieren muchas hipótesis diferentes (algunos ejemplos son giro fluctuaciones [8] y mecanismos exóticos del fonón como los bipolarones [9]). Un aumento evidencia muestra que los fonones, así como la repulsión Coulomb tienen un efecto sobre el física de los materiales de cuprate. Voy a hacer una breve reseña de la actual situación en esta sección, y argumentan que (1) Las interacciones electron-fonón tienen que ser tratada en pie de igualdad con la repulsión de Coulomb si se quiere entender los cuprates, y (2) Con el fin de tratar los fonones en los Cuprates, extensiones a las teorías actuales se requieren interacciones electrón-fonón y superconductividad mediada por fonón. Hay varios experimentos que demuestran un fuerte acoplamiento electrón-fonón en el cuprates. El más convincente es la existencia de un fuerte efecto isótopo en el intercambio O16 para O18 [10]. También hay algunos experimentos más recientes que demuestran los efectos de las interacciones electrón-fonón de manera transparente. La figura 1 muestra Representaciones esquemáticas de las dispersiones de electrones y fonones en las copas. Panel a) detalla las principales características de la dispersión electrónica medida por Angle-Resolved Espectroscopia de emisión de fotos (ARPES) en la dirección [11]. En energías cercanas a la superficie de Fermi, hay excitaciones coherentes con una larga vida. Como k = 0 − F se aproxima, el gradiente de la dispersión cambia a una curva aguda. El fonón es de la variedad óptica transversal, y su frecuencia (-0) es del orden de 100meV. Lo siento. basta aquí para mencionar que esto es muy grande. La relación de los gradientes por encima y por debajo de la curva está relacionado con la constante de acoplamiento adimensional ( se ha encontrado que el valor puede alcanzar valores de hasta 2 [11]. El panel (b) muestra una representación esquemática de algunos resultados de dispersión de neutrones que miden la dispersión del fonón [12, 13]. Arriba la temperatura de transición, esto se parece a la línea sólida, pero a medida que el sistema se mueve de normal al estado superconductor, el peso espectral en la zona circuncidada desaparece. Esto indica que la superconductividad (pares unidos de electrones) afecta a los fonones, y es evidencia adicional para un acoplamiento electrón-fonón fuerte. Un error frecuente acerca de los cuprates es que los términos electrón-fonón en el Hamiltonian puede ser descuidado sobre la base de que son pequeños. Para demostrar que esto no es el caso, la figura 2 muestra escalas de energía aproximadas en las tazas. El más grande energía de lejos es la repulsión Coulomb (o Hubbard U ) que pesa en unos 10eV. a) b) INCOHERENT COHERENTE PESO PERDIDO EN TRANSICIÓN kk F 0 PHONON DISPERSIONELECTRÓN DISPERSIÓN GRÁFICO 1. Esquema que muestra el efecto de las interacciones electrón-fonón sobre el electrón y el fonón Dispersiones en los cupratos. Ambos paneles describen mediciones a lo largo de la dirección [11]. Panel (a) muestra una representación esquemática de la dispersión electrónica medida por la emisión de fotoresuelta angularmente Espectroscopia (ARPES) [11]. En energías cercanas a la superficie de Fermi, hay excitaciones coherentes con una larga vida. A medida que se acercan los cambios de dispersión, el gradiente de los cambios de dispersión y una torcedura es Presentado. El fonón es de la variedad óptica transversal, y su frecuencia es de 75meV. La relación de los gradientes por encima y por debajo de la curva está relacionada con la constante de acoplamiento [11]. (b) muestra una representación esquemática de algunos resultados de dispersión de neutrones que miden la dispersión del fonón [12, 13]. Por encima de la temperatura de transición, esto se parece a la línea sólida, pero a medida que el sistema se mueve de la normal al estado superconductor, el peso espectral en el área sombreada desaparece. Esto indica que el el estado superconductor afecta a los fonones, y es evidencia adicional para el acoplamiento electrón-fonón fuerte. El siguiente es el intersite hopping integral t, que es del orden de 1eV. Usando un sencillo 2da teoría de la perturbación del orden en acoplamiento fuerte, una interacción de intercambio eficaz es generado [14], con J = t2/U del orden de 100meV. Este J solía argumentar a menudo para un teoría de spin-fluctuación de la superconductividad de alta TC que descuida los fonones. El problema con este punto de vista está inmediatamente claro si se revisan los datos experimentales. En primer lugar, la las energías de los fonones son también aproximadamente 100meV, por lo que no pueden ser tratados como una pequeña escala de energía. En segundo lugar, un acoplamiento adimensional constante de la unidad de orden implica Acoplamiento dimensional g de magnitud similar. Así, con tres energía muy cercana escalas, es importante que las contribuciones de los mecanismos de fonón y Coulomb son tratados en pie de igualdad en una teoría para los cuprates. Desafortunadamente, como lo discuto en el la siguiente sección, las teorías actuales de las interacciones electrón-fonón no son capaces de manejar las grandes energías fonónicas y constantes de acoplamiento en las copas. El resto de esto El artículo se centra en cómo se puede extender la teoría para describir este régimen. MODELO Y LÍMITES Un modelo genérico de interacciones electrón-fonón incluye el movimiento de los electrones Hel, el movimiento de los iones (o fonones) Hph y la interacción entre los electrones y los fonones (que pueden ser absorbidos o emitidos) que se denota Hel-ph. En este Energía: 10meV 100meV 1eV 10eV T J t U GRÁFICO 2. Esquema que muestra las escalas de energía en las copas. La mayor energía de lejos es la Repulsión de Coulomb (o Hubbard U) del orden 10eV. El intersite hopping integral t, es 1eV. Uso de una simple teoría de la perturbación del segundo orden, se genera una interacción de intercambio eficaz, con J = t2/U de el orden de 100meV. Esta J se utiliza entonces para argumentar por la teoría de spin-fluctuación de alta TC. Sin embargo, las energías de los fonones son también aproximadamente 100meV y el acoplamiento dimensional g tiene alrededor el mismo valor. Por lo tanto, con 3 escalas de energía similares, es importante que las contribuciones de las fluctuaciones y los mecanismos fonónicos se tratan en pie de igualdad. way, H = Hel +Hel-ph +Hph es el Hamiltoniano total. Hel = kck <i j tc†i Hel−ph = k−qck(b q +b−q) § § § § § § § § § § § § § § n § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § n § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § § Hph = b†kbk + N° de cat.: +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + El primer término en el Hamiltoniano es la forma general de electrones libres, es decir. el total energía es la suma de las energías cinéticas de todos los estados ocupados. En un caso especial, que se conoce como el Holstein Hamiltonian, los electrones en un modelo de unión apretada puede saltar entre los sitios vecinos más cercanos solamente, y ­k = −2t •Di=1 cos(ki), donde t es la superposición integral. En la forma genérica de la interacción electrón-fonón, un electrón puede dispersarse absorbiendo un fonón con impulso −q o emitiendo un fonón con impulso q. Una aproximación adicional utiliza un electrón independiente de impulso el acoplamiento del fonón, g, y en ese caso la transformación de Fourier muestra que el segundo término conecta el desplazamiento local de iones, ri a la densidad local de electrones. Por último, el el término fononario libre puede simplificarse utilizando la aproximación de Einstein................................................................................................................................... y la transformación de Fourier, el phonon hamiltoniano desnudo se muestra como una serie de osciladores armónicos simples independientes en cada índice de sitio. La creación de electrones y los fonones están representados por c† y b† respectivamente, pi es el impulso iónico y M la masa de iones. Al elegir t = 0,25, se elige un ancho de banda de W = 2. Un pequeño interplanar salto de t = 0.01 se incluye para eliminar la singularidad logarítmica en la densidad 2D de los estados en 0. La Figura 3 muestra el espacio de parámetros del modelo Holstein. Para fonón muy grande frecuencia, la interacción efectiva es instantánea, y una transformación de Lang-Firsov [15] resulta en un atractivo modelo Hubbard (que es uno de los modelos estándar para sistemas de electrones correlacionados) [16]. Alternativamente, tomando el límite de fonón muy pequeño frecuencia, un electrón de movimiento rápido no puede ‘ver’ el movimiento de los núcleos en el tiempo que lleva a TEORÍA AMPLIADA ¿Cuprate? GRÁFICO 3. Espacio paramétrico del modelo Holstein. Para una frecuencia fonónica muy grande, el La interacción es instantánea, y una transformación de Lang-Firsov resulta en un atractivo modelo Hubbard. Alternativamente, tomando el límite de muy pequeña frecuencia fonónica, un electrón de movimiento rápido no puede ‘ver’ la los fonones se mueven, y el problema se asigna a un problema de trastorno estático (similar al modelo de Falikov-Kimball [19]). Esto hace el problema del fonón extremadamente difícil, y poco se sabe acerca de la mitad de la espacio de parámetros. El rango de la teoría de Eliashberg se muestra en la esquina inferior izquierda. Las previsiones la posición de los cupratos se muestra como el diamante único. La validez esperada de una teoría extendida incluyendo todos los diagramas de Feynman de segundo orden también se muestra. a través de muchos sitios, por lo que el problema de mapas a un problema de trastorno estático (que es essen- tialmente uncorrelacionado). Por lo tanto, uno puede pensar en la frecuencia del fonón como la posesión de la capacidad de “afinar” el efecto de las correlaciones, por lo que se obtiene una segunda motivación para el estudio de sistemas electrón-fonón de tratar de entender correlaciones electrónicas [17]. El ajuste de la correlación hace el problema del fonón extremadamente difícil, y poco es conocido sobre el régimen intermedio del espacio de parámetros. La gama de los Eliash- La teoría de berg se muestra en la esquina inferior izquierda. Contrariamente a la suposición de Migdal, el la teoría no puede extenderse más allá del acoplamiento intermedio, ya que la La masa tiva reduce la invalidación de la afección (teorema de Migdal) •0 • • F [18, 9]. Los la posición aproximada de los parámetros fonónicos en los cupratos se muestra como la di- Amond. Es esencial corregir la teoría para el acoplamiento débil a intermedio a mayor Frecuencias fonónicas. La extensión es clara mirando la gran frecuencia del fonón límite. El límite Hubbard requiere que todos los procesos de segundo orden en U estén incluidos en el auto-energía, o el límite de acoplamiento débil incorrecto se encuentra. Una teoría extendida que incluye todos los diagramas de segundo orden de Feynman se requiere para entender el límite de acoplamiento débil, desde frecuencia fonónica pequeña a grande. GRÁFICO 4. Serie de diagramas de Feynman utilizados en la aproximación actual. Es el electrón y Π el La autoenergía fonónica. Serie (a) es la aproximación Migdal-Eliashberg y (b) la serie corregida vértice. AMPLIACIÓN DE LA TEORÍA ELIASHBERG Extender la teoría de Eliashberg implica insertar las correcciones de vértice de orden más bajo en el electrón y el fonón autoenergias. En la teoría de Eliashberg, los fonones emitidos son reabsorbidas en orden de última salida. Las correcciones del vértice permiten esencialmente este orden para ser cambiado una vez. Tales contribuciones se muestran diagramáticamente en el gráfico 4. Todos los diagramas deben ser incluidos en el cálculo, o el número de electrones no sería conservada. La dependencia momentánea se incluye en la aproximación, que es esencial en bajas dimensiones. La inclusión de correcciones de vértice lleva a una doble integración de dos veces sobre la zona de Brillouin en combinación con una suma doble sobre frecuencias de matsubara, que consume tiempo para los números. Con el fin de reducir el número de puntos en k- espacio mientras se mantiene el límite termodinámico, la aproximación dinámica del clúster se aplica [20]. Además, los estados superconductores pueden ser considerados usando el Formalismo nambu. Los detalles completos de la aplicación de la aproximación ampliada pueden encontrarse en las referencias [21] y [22]. Utilizando una técnica de entropía máxima, es posible calcular la función espectral desde la función verde del eje Matsubara. La figura 5 muestra la función espectral de la Modelo Holstein calculado utilizando la teoría extendida de Migdal–Eliashberg. Los resultados son: cualitativamente similares a las mediciones ARPES de los cupratos. En particular, el cambio entre partículas incoherentes y coherentes se produce en la frecuencia del fonón (se muestra como el línea discontinua), asociada con una torcedura en la dirección [11]. Se observa aquí que el efecto de la auto-energía del fonón es un suavizamiento del modo del fonón. En la teoría ME estándar en 2D, el modo en el punto (η,η) está completamente ablandado, lo que conduce a una inestabilidad fatal de la teoría. Sin embargo, las correcciones del vértice actúan contra este ablandamiento, y alivian el inestabilidad. De esta manera, está claro que un vértice corregido Eliashberg teoría es esencial para el estudio de materiales cuasi-2D [21]. También se pueden calcular las propiedades en el estado de superconductores. Una de esas propiedades es la densidad de emparejamiento dependiente del momento, ns(k) = T Ín F(iÍn,k), donde F(iÍn,k) es la función verde anómala asociada con el emparejamiento de electrones con el impulso k y −k. Es posible transformar el parámetro de orden dependiente del impulso a determinar la magnitud de los armónicos esféricos individuales. La figura 6 muestra este tipo de descomposición. Se utiliza un tamaño de cluster de NC = 64, con U = 0,6 y +0 = 0,4. Nota 0=0,2, U=0,3, DCA(VC) -2 -1 A(k)............................................................................................................................................................................................................................................................. GRÁFICO 5. Función espectral del modelo Holstein en la teoría extendida de Migdal-Eliashberg. Los los resultados son cualitativamente similares a las mediciones ARPES de los cupratos. En particular, el cambio entre partículas incoherentes y coherentes se producen en la frecuencia del fonón, asociados con una torcedura en el [11] dirección. ©Instituto de Física publica 2003 [21]. cómo se desarrollan los armónicos de orden superior a medida que aumenta el relleno. En particular, puede ser visto que no hay un solo armónico (como la simetría de onda s) es suficiente para describir el parámetro de orden. Algunos de los términos de orden superior se producen debido al aumento del emparejamiento en momentum k = (η/2,η/2), en particular, pares con momentum angular. Por último, al variar la temperatura y el potencial químico, el diagrama de fase puede ser computado. La Figura 7 muestra los diagramas de fase del modelo Holstein para los diferentes aproximaciones. El diagrama superior muestra el resultado de la Aproximación de Eliashberg (teoría dinámica de campo medio NC = 1). En la parte inferior de la se muestran los resultados de la aproximación actual con NC = 4. Los superconductores orden se suprime cerca de la mitad de llenado. Suponiendo una forma para la densidad de los estados en 2D (con saltos de pequeño interplano) de D(­) = (1­ t log(­2+ t2)/16t 2))/tη2 (por 4t) [23], que coincide con la densidad total de los estados con una exactitud razonable. De aquí la El resultado de BCS puede calcularse utilizando la expresión TC(n) = 2­0 exp(−1/U D(μ(n)))/η, (4) con el potencial químico obtenido de la solución autoconsistente para una n dada. resultado también cae monótonamente. Los resultados en el límite diluido están de acuerdo con el resultado BCS (línea con puntos). Cerca de la mitad de llenado, el resultado DMFT es significativamente menor que el resultado BCS (que predice TC(n = 1)> 0.07). La diferencia en los resultados -0.025 -0,02 -0,015 -0,01 - 0,005 0,005 0,01 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 s, m=0 d, m=0 g, m=0 g, m=4,-4 GRÁFICO 6. Descomposición del parámetro orden en armónicos esféricos. Un tamaño de clúster, NC = 64 es utilizado, con U = 0,6 y 0-0 = 0,4. Observe cómo se desarrollan los armónicos de orden superior a medida que aumenta el relleno. In particular, los armónicos g pueden ser casi tan fuertes como los armónicos s en n = 1,45. ©Instituto de Física publicación 2005 [22]. entre las dos teorías de campo medio a mitad de llenado se debe a la auto-coherencia en el DMFT. Cuando se incluyen correcciones de vértice y fluctuaciones espaciales, el límite diluido está relativamente inalterada. Sin embargo, a mitad de llenado, hay una gran caída en la transición temperatura. La supresión a la mitad del relleno es una manifestación del teorema de Hohenberg, lo que implica que no puede haber un orden de superconductores en 2D. Aquí he calculado para cuasi-2D, por lo que es interesante que en materiales reales con carácter dimensional bajo el el máximo en superconductividad se desplaza de la semi-llenada. OBSERVACIONES FINALES Termino el trabajo con una advertencia para construir teorías de supercon de alta temperatura. ductividad utilizando las interacciones electrón-fonón solo, mientras que descuida la Coulomb re- Pulsión. Si uno toma los diagramas de fase de la sección anterior, y asigna similares básculas de energía a los de las copas, es posible obtener la temperatura en Kelvins para el máximo en el diagrama de fase n = 1.2. Esto sale alrededor de 172K - uno podría decir aproximadamente el TC en los cuprates. Entonces, ¿por qué no es esta la solución para los cuprates? Las tazas están muy atadas. terials, por lo que la “energía Fermi” es baja, y la relación ­0/­F es lo suficientemente grande para justificar la extensión de la teoría de Eliashberg. El problema es que una pequeña energía Fermi también significa que el Hubbard U es una cantidad comparativamente grande. En un simple campo medio nivel, se puede incluir la repulsión Coulomb en la teoría de la superconductividad. Por ex- amplio, las ecuaciones de Eliashberg se pueden ampliar para incluir un electrón-electrón eficaz interacción (también conocida como el pseudopotencial de Coulomb μC). El efecto de esto es para modificar  →  − μC. La sustitución en la ecuación 4 significa que el temple de transición- 0,02 0,04 0,06 0,08 U=0,6; 0=0,4; Nc=4, VC 0,01 0,02 0,03 0,04 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0,02 0,04 0,06 0,08 0,02 0,04 0,06 0,08 0,01 0,02 0,03 0,04 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0,02 0,04 0,06 0,08 U=0,6,0=0,4,Nc=1 GRÁFICO 7. Diagramas de fase del modelo Holstein. U = 0,6 y 0-0 = 0,4. El diagrama superior muestra la resultado de la aproximación de Eliashberg (teoría dinámica de campo medio NC = 1). También se muestra el BCS resultado (línea con puntos). En la parte inferior se muestran los resultados de la aproximación actual con NC = 4. La orden de superconductores se suprime cerca de la mitad de llenado en la teoría corregida vértice. ©Instituto de física 2005 [22]. ature se reduce considerablemente, o que la superconductividad del tipo BCS es completamente Destruido. Cualquier mecanismo basado en el fonón para los cuprates debe abordar este punto y ser compatible con la interacción electrón-electrón. Alternativamente (y esto es una advertencia- • en función de la similitud de las básculas de energía, de cualquier giro. mecanismo de fluctuación (que es esencialmente Coulombic) también debe tratar los fonones (o al menos ser compatible con ellos) para ser plausible. AGRADECIMIENTOS Agradezco sinceramente al comité organizador del curso por su generosa contribución financiera. apoyo. Los aspectos de esta investigación se llevaron a cabo en el marco de la como visitante en la Universidad de Leicester. Le agradezco a A.S.Alexandrov, J.L.Beeby, E.M.L.Chung, N.d’Ambrumenil, J.K.Freericks, M.Jarrell, P.E.Kornilovitch, J.H.Samson y M.Yethiraj para estimular las discusiones, tanto sobre este trabajo como sobre el problemas de interacciones electrón-fonón y superconductividad en general. Lo sé. apoyo de ventaja en la Universidad de Loughborough en virtud de la subvención EPSRC no. EP/C518365/1. REFERENCIAS 1. H.Fröhlich. Phys. Rev., 79:845, 1950. 2. J.Bardeen, L.N.Cooper y J.R.Schrieffer. 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Generalized Nariai Solutions for Yang-type Monopoles

Soluciones Nariai generalizadas para el tipo Yang Monopolos Pablo Díaz*, Antonio Segui† Departamento de Fisica Teorica, Universidad de Zaragoza, 50009-Zaragoza, España. 28 de octubre de 2018 Resumen Un estudio detallado de las geometrías que emergen por una gravitación generalizada El monopolo Yang en dimensiones uniformes se lleva a cabo. En particular, los que presente agujero negro y horizontes cosmológicos. Este sistema de dos-horizons es... Mal inestable. El proceso de termalización conducirá a ambos horizontes a la unión. Este límite es lo que se estudia profusamente en este artículo. Se demuestra que aunque la distancia de coordenadas se reduce a cero, la distancia física no. Por lo tanto, hay algunos espacio restante que la geometría ha sido computada e identificada como un Solución Nariai. A continuación se calculan las propiedades térmicas de este nuevo espaciotiempo. Temas, como la relación elíptica entre radios de esferas en la geometría o un dis- debate sobre si un término de tipo de masa debe estar presente en el elemento de línea o no, también están incluidos. Palabras clave: Yang monopolo, geometría Nariai, Horizonte, agujero negro. ∗pdiaz@unizar.es †segui@unizar.es http://arxiv.org/abs/0704.0366v2 Sumario Introducción 2 2 El acoplamiento gravitacional. Algunas características geométricas 3 3 La geometría de la unión del horizonte 4 3.1 Caso m = 0................... 5 3.2 Caso m 6= 0.......................... 7 4 Conclusiones 11 Una prueba de la distancia física finita no cero 12 B La coalescencia del horizonte como flujo en la línea 13 1 Introducción Los monopolos han sido objeto de profundo estudio y controversia durante todo el siglo pasado. Esto es así porque, aunque no se ha encontrado evidencia experimental de su existencia, muchos Las cuestiones teóricas las hacen casi inevitables. Ya aparecieron como soluciones de Maxwell ecuaciones siempre y cuando la condición cero B-divergencia fue relajado, es decir, B 6= 0. Fue Dirac [1] a principios de los años treinta quien propuso por primera vez la posibilidad teórica de crear un experimento para producir realmente un monopolo “falso”, de una manera que su falsedad, Por ejemplo, la cadena Dirac, era indetectable. Como consecuencia, el producto de la y las cargas magnéticas fueron cuantificadas. Muchos años después, en 1959, la cuantificación el requisito fue confirmado por el célebre experimento Aharnov-Bohm [2]. Desde 1954, debido a los papeles de Yang y Mills [3] y de Utiyama [4], calibre teorías de un grupo de simetría mayor que U(1), en particular la simetría no abeliana Los grupos SU(2) y SU(3) (que eventualmente se ajustarían al modelo estándar de par- física ticle) donde se desarrolló gradualmente. En 1969, Lubkin [5] se dio cuenta de que los monopolos puede ser clasificado por el grupo de homotopía del grupo de simetría de calibre de la teoría, de modo que la carga magnética sea sustituida por la carga topológica de la configuración de campo- tion. En el caso del monopolo de Dirac, el grupo homotópico η1 de U(1) es exactamente Z. Sin embargo, no fue hasta 1975 que Yang [6] generalizó el monopolo abeliano al caso de una teoría del indicador invariante SU(2) en seis dimensiones, véase también [7]. Enfoques modernos utilizar el formalismo de los haces de fibra para una descripción adecuada de los monopolos. Generaliza la clasificación tradicional en términos del grupo homotópico de la teoría del calibrador. In de esta manera, los monopolos magnéticos se identifican con las diferentes configuraciones instantáneas que aparecen básicamente como mapas no triviales del grupo del calibrador, generalmente SU(N), en Sd, donde d es la dimensión espacial. Es decir, los monopolos magnéticos son todos esos no triviales paquetes principales con estructura de grupo SU(N) que se pueden realizar en la hipersuperficie Sd. La clasificación coincide, como se ha dicho antes, con las diferentes clases de homotopía grupos. La genalización de los monopolos Yang a una dimensión uniforme arbitraria fue llevada hacia fuera en [8]. Recientemente se han realizado análisis similares utilizando métodos ligeramente diferentes [9]. El lector puede encontrar buenas críticas sobre el tema en [10], [11] y las referencias en él. Como cada objeto existente en la naturaleza, los monopolos se unen a la gravedad a través de su energía. tensor de impulso. La geometría resultante se obtiene resolviendo el Yang-Mills- Ecuaciones de Einstein, que se simplifican en gran medida mediante la imposición de la simetría esférica (como se espera de una configuración de campo de monopolo magnético). Esta geometría está completamente especificada por la elección de un punto en el espacio de parámetros,m,,k}, cuyo significado se explicarán en detalle más adelante. Para un rango dado de parámetros, es fácil de probar que la geometría presenta tanto un horizonte cosmológico como un horizonte de eventos. Una analogía completa con la solución Schwarzschild-de Sitter revela que, en estos casos, la geometría es dy- Námicamente impulsado a través del espacio de parámetros en un punto térmicamente estable donde ambos los horizontes se unen [12], el elemento final de la línea es el análogo del espacio-tiempo de Nariai en cuatro dimensiones. Este documento está organizado de la siguiente manera: la siguiente sección establece un marco general y corrige la notación utilizada más tarde. El cuerpo principal del artículo se refiere al análisis de la soluciones de coalescencia. Esto se logra en dos subsecciones correspondientes a y casos masivos, respectivamente. Un cálculo explícito de la geometría resultante es se lleven a cabo en cada caso. Una sección final incluye algunas conclusiones y comentarios. Dos Se han añadido apéndices al artículo. Son temas que se encuentran de alguna manera fuera de la la línea principal del documento, ya sea por ser aspectos técnicos de un cálculo (Apéndice A) o para presentar una nueva idea cuya exposición necesitaría una nueva sección, como en Apéndice B. La ausencia de B, a su vez, no habría impedido que el lector de un comprensión del periódico. 2 El acoplamiento gravitacional. Un poco de fea geométrica. ciones Los efectos gravitacionales de estos monopolos han sido estudiados recientemente [9]. Se hizo, Como de costumbre, al acoplar mínimamente el tensor de energía-momento Yang-Mills a la gravedad. Variaciones de la acción Einstein-Hilbert − det g (R - 2°) - 1 TrF 2 con respecto al tensor métrico conduce a Gmn = 8ηGTmn − gmn donde Tmn = γ tr(F pm Fnp)− gmntr(FpqF es el tensor de energía del campo de fuerza YM. Los rastros son tomados en el índice de color y γ es la constante de acoplamiento YM. La búsqueda de soluciones generales para (2) es un problema muy complicado. Sin embargo, la simetría esférica imponente simplifica la tarea enorme. De acuerdo con esto, el ansatz será espacialmente esféricamente simétrico métrica dimensional (2k + 2) cuyo elemento de línea lee ds2 = dt2 1dr2 + r2dŁ22k. 4) La última ecuación es consistente con (2) y (3) cuando [9] •(r) = 1− 2Gm r2k−1 , (5) donde R = k(2k+1) es el radio de Sitter, μ2 es proporcional a 1 y medidas adoptadas la carga magnética del monopolo, m aparece como una constante de integración con dimensiones de masa y G es la constante de Newton en 2k + 2 dimensión espacio-tiempo. En a primera vista, (4) con (5) parecen una geometría Schwarzschild-de Sitter en 2k + 1 espacial dimensiones con un término adicional, el que implica μ, que parece ser independiente de la dimensión del espacio-tiempo. Parece razonable pensar en este término como una contribución del monopolo magnético. Esta imagen simple, incluso si no es exacta1, es útil y, a menos que nos enfrentamos a los límites de desaparición, se puede tener en cuenta en el siguiente. El siguiente paso (y la siguiente tentación) es analizar cómo la estructura causal de este espaciotiempo depende de los valores dados de los parámetros. El cuerpo principal de esto el trabajo se refiere a un análisis profundo de la solución en el caso de parámetros μ, k permitir la existencia de dos horizontes. Luego, inspirado en el Schwarzschild-de Sitter solución inestable, se afirma que el sistema se conduce dinámicamente a un valor de la parámetros en los que ambos horizontes se unen. Aunque la distancia de coordenadas se reduce a cero, la distancia física no. Una geometría Nariai generalizada “entre” los horizontes entonces se obtiene explícitamente. El elemento de línea Nariai [13] es una solución no singular de la Ecuaciones de vacío de Einstein con una constante cosmológica positiva, R. Lo fue. primer hallazgo de Kasner [14] y sus fechas de generalización eléctrica de 1959 [15]. Sin embargo, el hecho importante de que emerge como un límite extremo de Schwarzschild-de Los agujeros negros de la niñera no se notaron hasta 1983 [12]. Nariai espaciotiempo en cuatro dimensiones es el producto directo dS2 × S2, dS2 siendo no más que la versión hiperbólica de S2 a medida que cambiamos t → i♥. En 2k + 2 dimensiones, la la solución se generaliza a dS2 × S2k. Una vez más, es el producto directo de dos constantes espacios de curvatura y admite un grupo de 3 + k(2k+ 1) de isometrias SO(2, 1)× SO(2k+ 1). El espacio es homogéneo ya que el grupo actúa de forma transitoria y es localmente estático, dado que un espacio-tiempo de tipo dS global no puede ser descrito simplemente por una coordenada estática Gráfica. En cuatro dimensiones, los radios de curvatura de los dos espacios de producto son iguales si el agujero negro es neutral, y diferente en el caso cargado. Si el agujero negro es eléctrico cargado, los radios respectivos a y b son diferentes y relacionados por la ecuación a−2 + b−2 = 2• (6) como se muestra en [15]. Esta relación se generalizará en el caso magnético, el objeto de nuestro estudio. Un trabajo reciente corto pero instructivo sobre la geometría de cuatro dimensiones puede ser se encuentra en [16]. 3 La geometría de la unión del horizonte Estudiar los horizontes de una geometría como (4) es equivalente a buscar las divergencias de grr para valores finitos de las coordenadas. Esto nos lleva a analizar los ceros de la función (r), donde se ubicarán los horizontes. Para un cierto rango de valores de,, k,m} habrá dos horizontes. Encontrar esta región en el espacio de parámetros será el primero 1La geometría resultante es, por supuesto, no sólo la suma de términos de diferentes geometrías, pero casualmente Coincide. Las diferencias están obligadas a existir en el límite de la desaparición de una determinada contribución. Por ejemplo, supongamos que, dado un conjunto de parámetros, digamos {m,μ,Ł, k }, podemos apagar μ (descuidándolo con respecto a los demás). La geometría resultante es topológicamente diferente a la obtenida por no Asumiendo cualquier monopolo en absoluto al principio, es decir, el límite no coincide. Sin embargo, en el casos estudiados aquí, esto no es más que una sutileza suficiente para ser conscientes. tarea. Después de eso, la atención se centrará en el punto de coalescencia de los horizontes2. Los análisis consiste en dos pasos, en primer lugar, la parametrización de la separación de coordenadas de los horizontes () y el cálculo de la distancia física entre ellos cuando la coalescencia tiene lugar ( → 0). Luego, siguiendo la estrategia en [12], el cálculo del elemento de línea de la geometría restante. Este programa se lleva a cabo en dos casos: m = 0 y m 6 = 0, que se tratan en las subsecciones siguientes, respectivamente. Los sin masa caso debe ser visto como un modelo de juguete de la masiva. Esta distinción no se hace simplemente por simplicidad, pero también porque, como se explicará, el parámetro de masa viene naturalmente para requisitos dinámicos. 3.1 Caso m = 0 En el caso de que no haya masa, se reduce a •(r) = 1− . 7).................................................................................................................................................. Solucionar = 0 es equivalente a encontrar los ceros de una ecuación bicuadratica siempre y cuando r = 0 no se considera. Realizamos el cambio z فارسى r2 y resolvemos un segundo orden ordinario ecuación. Los horizontes se encuentran en 1− 4μ z++ = 1− 4μ . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. R > 2μ garantiza la existencia de dos soluciones positivas y, por lo tanto, cuatro soluciones para la ecuación quártica. Dos de ellos, r+ = + z+ y r++ = + z++, corresponde a la coordenadas radiales del horizonte interior (agujero negro) y exterior (cosmológico), respectivamente. Si R = 2μ, ambas soluciones coinciden, lo que significa que los horizontes se unen. Como se ha dicho antes, esto no significa que la geometría desaparece como una observación ingenua (dado una elección equivocada de coordenadas) haría pensar. Distancia física entre la los horizontes, por el contrario, permanecen finitos en el límite. Con el fin de demostrar esto, vamos a Calculenlo. Para el tiempo fijo y las coordenadas angulares, la distancia física es D(μ,R) = ∫ r++ [−r4 +R2r2 − μ2R2]1/2 ∫ z++ − μ2R2 z − R2 )2]1/2dz (10) El requisito R > 2μ implica R − μ2R2 > 0 por lo que la integral anterior se resuelve exactamente como un tipo cos−1. El resultado es D(R) = ηR. (11) Sorprendentemente, la distancia física no depende de μ. Significa que, dado un cos- constante mológica, uno podría “cambiar” el monopolo y seguir hasta los horizontes pero la distancia permanecería inalterada. Sin embargo, debido a la cuantificación 2Coalescencia como se ve en las coordenadas Schwarzschild. requisitos, la carga monopolo μ no se puede ajustar, pero necesita tener, en su lugar, un valor hasta un signo. Por otro lado, se debe elegir la constante cosmológica,............................................................................................................................................. al escribir el lagrangian. Significa que cambiar su valor no nos impulsa desde un modelo a otro pero implica un cambio esencial en la teoría [17]. Por lo tanto, nosotros no son libres de ajustar cualquier parámetro arbitrariamente como se hace con la masa del agujero negro en el caso Schwarzschild-de Sitter. Entonces, a pesar de que las razones físicas llevarían a la horizontes a unir, la ausencia de cualquier parámetro libre en nuestro modelo lo hace imposible. En la siguiente sección, m vendrá a nuestra ayuda como un parámetro libre para el modelo. A pesar de la última observación, uno podría preguntarse sobre el tipo de geometría que re- cuando los horizontes se unen. Esta tarea, aunque parezca sólo un ejercicio curioso ahora, será útil para la siguiente sección. Aplicar una técnica similar a la de Gingspar y Perry [12] solía estudiar la geometría de la solución de Nariai, procedemos por, primero, parametrizar la separación de horizontes como R = 2μ(1 + 2), (12) de una manera que la coalescencia corresponde a tomar = 0. Entonces, definimos un cambio “sabio” de coordenadas χ = cos−1 (r2 − r20) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , (13) donde A = 1− 4μ2 y r20 = , y las coordenadas angulares permanecen sin cambios. Los nuevas coordenadas (13) pueden parecer elegidas al azar a primera vista. Sin embargo, hay algunas razones que justifican tal dependencia funcional. Por ejemplo, la χ no es otra cosa que la distancia física entre r+ y r. La coordenada cronológica t se multiplica por i en para trabajar en la región euclidiana3 y por â € ~ porque â € ~ / € ~ 2 se espera que tenga un finito limitar cuando • → 0. Ahora, aplicamos (12) y (13) y expandimos (r(χ))d(2), 1(r(χ))dχ2 y r2(χ) hasta el primer orden en la letra a). El elemento de línea (4) dice: ds2 = μ2dχ2 + μ2 sin2(χ) 1 + # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # # 1 # # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 cos (χ) d-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2++)-(2++)-(2++)-(2++)-(2++-)-(2+-(2+)-(2+-)-(2+-(2+)-(2+-)-(2+-(2+)-(2+)-(2+)-(2+-)-(2+-)-(2+-)-(2+-(2-)-(2+-)-(2+-(2+-)-(-)-(2-(-)-(2-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-(-)-)-(-(-)-)-(-(-)-)-(-(-(-)-)-)-)-(-)-)-(-(-(-)-)-( + 2μ2 2 cos(χ) d-22k. (14) Tomamos el límite → → 0 para obtener ds2 = μ2 dχ2 + sin2(χ)d + 2μ2d22k. (15) Como se ve en (15), el 2k-esfera se desacopla del resto. La geometría resultante es S2×S2k para k ≥ 2. Note el paralelismo entre esta geometría y la solución de Nariai, que es S2 × S2. La relación “clásica” entre radios (6) también se generaliza a a−2 + b−2 = C0-, (16) donde C0 = k(2k+1) . La geometría (15) se puede ver como un agujero negro “degenerado”, en que los dos horizontes tienen el mismo tamaño (máximo) y están en equilibrio térmico. Esto podría ser interpretado por un observador como un baño de radiación procedente de ambos horizontes 3o será periódico en ambos horizontes, aunque diferente en cada caso. La igualdad tendrá lugar en la punto de coalescencia, cuando se alcanza la estabilidad térmica. a una temperatura precisa [19]. La temperatura puede calcularse por medio de la superficie gravedad de la corriente, tal como se calcula en las nuevas coordenadas (13) k(2k + 1) . (17) La entropía también se puede calcular como un cuarto de la suma de los dos horizontes [18], así que k(2k + 1) , (18) en el que 2k es el área de la esfera de unidad de 2k-dimensión. 3,2 Caso m 6= 0 En el caso masivo recuperamos la expresión completa (5) para. Desde el punto singular r = 0 no se debe considerar, es mejor analizar la función r2k−1•(r) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # r2k+1 + r2k−1 − μ2r2k−3 − 2Gm. (19) Se sabe que una ecuación polinómica con poderes iguales o superiores a cinco no es solvable generalmente de una manera simbólica. Esto sucede en k ≥ 2. Por lo tanto, el propósito de hacer un estudio para el caso masivo análogo a lo logrado en la primera sección se arruina. Sin embargo, se puede extraer cierta información de (19). Primero debemos recordar el signo de los parámetros: R2 > 0 (de Sitter), μ2 > 0 para k ≥ 2, y m estará libre en principio. Derivado (19) y equiparado a cero conduce a una ecuación bicuadratica de la (2k + 1)r4 + (2k − 1)r2 − (2k − 3)μ2 = 0, (20) que, siempre y cuando 2 ≤ k (2k − 1)2 2k − 3 , (21) tiene dos raíces positivas (y dos negativas), rmin y rmax. En términos de la cosmo- constante lógica r2c k(2k − 1) 1− 4(2k − 3) k(2k − 1)2 , (22) rmin se obtiene de (22) intercambiando el signo de la raíz cuadrada. Una mirada rápida a (19) muestra que la raíz más pequeña es un mínimo y el más grande es un máximo de función. Ahora, enchufemos rc en (19): 1. Si m > 0, entonces (véase la figura 1) a) (rc) ≥ 0 implica que hay dos horizontes de eventos, el agujero negro y el horizonte cosmológico. La desigualdad se satura en el punto de coalescencia. b) (rc) < 0 significa que no se encuentra ningún horizonte. 2. Si m < 0, entonces (véase la figura 2) a) (rmin) < 0 junto con (rc) < 0 implica que sólo hay un Cauchy horizonte. b) (rmin) < 0 junto con (rc) > 0 asegura la existencia de un horizonte Cauchy y tanto el agujero negro como el horizonte cosmológico. c) (rmin) > 0 nos deja sólo con el horizonte cosmológico. El caso que vamos a estudiar es (rmin) < 0 y (rc) > 0 que, independientemente del signo de m, asegura4 la existencia de agujeros negros y horizontes cosmológicos. Esto corresponde a a los valores de m dentro del intervalo (véase la figura 3) 1.a 1.b Figura 1: Caso m > 0. La curva representa la función (r). Figura 1.a tiene dos raíces que corresponden al agujero negro (r+) y al horizonte cosmológico (r++) respectivamente. Gráfico 1.b muestra la ausencia de horizontes. 2.a 2.b 2.c Figura 2: Caso m < 0. Esta vez (r) permite la existencia de un horizonte (Cauchy) como en la Figura 2.a, tres horizontes (Cauchy, agujero negro y cosmológico) como en 2.b, o simplemente el horizonte cosmológico como se muestra en 2.c. m− < m < m+, (23) donde Gmc Gm+ = 1 + 2k r2k−3c (r c − 2μ2). (24) El valor de Gm− se obtiene sustituyendo rc → rmin. En términos de y μ obtenemos Gm± = (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + 2k − k + 2k2 ± k2(1− 2k)2 − 42(2k − 3)k k-3/2 − k + 2k2 − 42 ± k2(1− 2k)2 − 42(2k − 3)k . (25) 4El valor de m puede ser negativo. Esto se debe a que m no debe ser considerado como una entidad con significado físico pero como parámetro geométrico. El cálculo corto en (25) muestra que m obtiene negativo valores para 2 ≥ k (1 + 2k). Hr,m+L Hr,m-L Figura 3: Esta figura muestra el rango de “masas” que son consistentes con la existencia de tanto el agujero negro como los horizontes cosmológicos. La curva (r) “se mueve hacia abajo” en el proceso de coalescencia. El punto crucial es que ambos horizontes se unen cuando rc es una raíz de (19) que ocurre en m = mc(k, 2,.................................................................................................................................................................... Hasta la fecha se han impuesto dos relaciones: (r;m) rc= 0, es decir, (20), que define rc, y (rc;mc) = 0 que conduce a mc. Con el fin de que m a ser real, el atado que debe ser embargado en 2 coincide con (21) que, a su vez, es nada más que la condición para la existencia de dos horizontes. Por lo tanto, si un dado un valor para 2 es lo suficientemente bajo para producir dos horizontes, siempre existe un valor real de m que hace ellos se unen. Una vez más, como en el ejemplo de Schwarzschild-de Sitter, el sistema es inestable y el punto de equilibrio se alcanza en m = mc. A diferencia del caso sin masa, conector m nos da suficiente espacio para maniobrar para conducir el sistema al equilibrio. En este punto, nos gustaría señalar que el procedimiento de la coalescencia horizonte, como estudiado en detalle a continuación, puede ser visto como un flujo en una línea que se somete a un Pitchfork bifurcación en el punto de coalescencia. Parámetro m, movido por inestabilidad térmica, accionamientos el sistema a la situación crítica. En cuanto a la concretividad, véase el apéndice B. Centrémonos en el punto de casi coalescencia. Esto puede ser parametrizado por r = rc + r = rc(1 + cosχ) (26) m = mc − ­m = mc(1 + b+2). La parametrización de r implica también un cambio de coordenadas r → χ y debe tomarse como se impone en el momento, aunque se justificará más adelante. Los horizontes serán Simétricamente situado en: r+ = rc(1) y r++ = rc(1) que corresponden a = η y = 2η, respectivamente 5. El valor de b, así como la ausencia de un término lineal en la parametrización de m puede explicarse de la siguiente manera. Cerca del punto de coalescencia uno Taylor debe expandirse alrededor de rc y tener en cuenta que, para # 1, # es aproximadamente # parabólico, por lo que la expansión de segundo orden es suficiente. Por definición (r+) = (r++) = 0 5Para un lo suficientemente pequeño, se espera que el enfoque parabólico se mantiene y, a continuación, ambos horizontes son Simétricamente situado con respecto a rc. y alcanza un máximo en rc. Así que, 0 = «(r++)» = «(rc, m)» + «(r++)» ′(rc, m)(rc+) + (rc, m)(rc) r2k−1c (rc;mc)r 2, (27) lo que significa que (rc;mc)r . (28) Calcular la distancia física cerca del punto de coalescencia implicaría, de nuevo, resolución de la integración D(­) = ∫ r++ 1/2(r) , (29) donde r++ = r+ + 2rcár. Aunque el resultado exacto no se calcula, una prueba explícita de su valor finito distinto del cero se indica en el apéndice A. El procedimiento de cálculo de la distancia también nos trae alguna luz sobre la cual es el cambio de coordenadas que debe ser hecho con el fin de entender la geometría resultante. Resulta ser χ = cos−1 (r − rc) t, (30) donde k − 2k2 + 2­r2c es un factor adimensional. La coalescencia de los horizontes tiene lugar en = 0. Con el fin de estudiar la geometría en el límite procedemos calculando dt2, 1dr2 y r2 en las nuevas coordenadas (30) y se expanden en torno a = 0. El nuevo elemento de línea se determina tomando el cero orden de la expansión. Las relaciones para r y m en (26) están de acuerdo con (30), donde b toma el valor de (28), en virtud del enfoque parabólico. Desde (30), es simple para ver que r2 toma un valor constante r2c. Sorprendentemente, como en los sin masa y Schwarzschild-de Sitter casos, la geometría se divide en dos partes desconectadas que conducen a un colector de producto S2 × S2k. El elemento de línea dice ds2 = Br2c dχ2 + sin2(χ)d + r2cd 2k, (32) en los que las χ ° [η, 2η] y ° sean periódicas6. Como se ve en (32), S2 tiene radio a2 = Br2c, y S2k tiene radio b2 = r2c. Ahora, el La relación generalizada de Bertotti (6) es a−2 + b−2 = 2(1− k) = C., (33) donde C(k,2) se obtiene insertando (22) en 33). Tenga en cuenta que C k,2 = k(2k + = C0, y luego (33) se convierte en (16), es decir, en el caso sin masa. Esto no es 6o es periódico en ambas superficies del horizonte en todo el proceso para evitar la singularidad cónica en los horizontes. En el punto de coalescencia, sin embargo, ambos períodos son iguales. sorprendente ya que 2 = k(2k + 1)/4 es la condición para la coalescencia en el caso sin masa (equivalente a R = 2μ), y, al mismo tiempo, hace mc = 0. Por lo tanto, el masivo geometría es una extensión consistente de la sin masa. Ahora, la fijación no determina únicamente la geometría. Se requiere otra variable adimensional 2. Como en la última sección, la geometría (32) se puede ver como un agujero negro “degenerado”, en la que los dos horizontes tienen el mismo tamaño (máximo) y están en equilibrio térmico. En el presente caso, la temperatura se da en términos de la gravedad superficial . (34) En unidades de Planck, se puede calcular la entropía asociada a esta solución (dado que no es extremo7) por medio de la superficie total de los horizontes como c. (35) 4 Conclusiones La solución esféricamente simétrica de la gravedad debido a un monopolo magnético en arbitrario la dimensión se ha estudiado, en particular, cuando el conjunto de parámetros, μ,m, k} permite la existencia de dos horizontes. En estos casos, las inestabilidades térmicas impulsan un proceso de horizonte de coalescencia. A pesar de que la separación de coordenadas entre los horizontes se encoge a cero, ha sido probado tanto en el caso sin masa como en el caso masivo de que el la distancia no lo hace. La geometría del espacio restante entre los horizontes ha sido calculados en ambos casos. Resultaron ser soluciones tipo Nariai, es decir, el producto de una 2-esfera y una 2k-esfera para un espacio-tiempo dimensional (2k + 2). En cada solución, los radios de las esferas no son independientes. Están relacionados por una ecuación elíptica que debe entenderse como la generalización de la relación encontrada por Bertotti. Los única ecuación generalizada que implica estos radios para el sin masa y el masivo Se ha dado el caso. Después de computar el elemento de línea en cada caso, el termodinámico las propiedades (Temperatura y entropía) debido a la existencia de horizontes han sido calculado. El monopolo Yang corresponde al caso de seis dimensiones, donde k = 2. Los geometría obtenida después de la coalescencia es S2 × S4 como se puede leer explícitamente en (32). Esto caso es especialmente interesante ya que puede ser descrito en la Teoría de Cuerdas (una realización del monopolo Yang en la Teoría Heterotica de Cuerdas se ha hecho recientemente [21], así como otra imagen complementaria en la Teoría de Cuerdas Tipo-IIA [20]). En el mismo contexto, parece posible encontrar resultados (18) y (35) para la entropía mediante la aplicación de algunos mecanismo de atracción [22, 23]. Creemos que este sería un tema interesante para ser abordada en futuras investigaciones. 7Una carga agujero negro se dice que es extremo cuando tiene la masa mínima. Entonces, ya que no puede liberar cualquier energía sin perder carga, se supone que no debe emitir, y su temperatura asociada Hawking es 0. El agujero negro que estamos tratando en este documento es extremo en el sentido de llevar el “máximo masa” permitido por la constante cosmológica. Obviamente, la temperatura no será cero. Una prueba de la distancia física finita no cero Cálculo de la distancia física es equivalente a la realización de la integración ∫ r++ 1/2(r) , (36) donde r++ = r+ + 2rc® para los pequeños. Las divergencias podrían aparecer en los puntos donde • → 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El caso que hemos estado considerando a lo largo de la sección (3.2) se refiere a la existencia de dos horizontes que se unen, es decir, dos raíces únicas r+ y r++ de Formar uno doble. La función siempre puede expresarse como = (r − r+)(r++ − r)g(r), donde g(r) es una función polinómica de potencias de grado 2k − 1 y sin ceros dentro de la rango [r+, r++] se encuentran por construcción. Explícitamente, la ecuación (36) es D(­) = ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 rk−1/2 g1/2(r) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (37) Ahora, h(r) es una función continua estrictamente positiva sin divergencias en el compacto [r+, r++], lo que significa que alcanzará un máximo positivo y mínimo para ciertos r′s. Déjanos llamar hmax y hmin los valores de la función h en estos puntos 8. Entonces ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 ≤ D(­) ≤ ≤ hmax ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 . 38) La integración se puede realizar: ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 = . (39) D(• → 0) = ηh(rc), (40) donde el valor de rc se indica en (22). Las integraciones de la forma (39) se resuelven exactamente mediante una función de tipo cos−1, y una no cero se obtiene un resultado finito. Es notable que lo mismo se puede decir de cualquier elegir, siempre y cuando no más de dos raíces individuales se unirían para formar una doble. Los el punto clave es que (39), que podría ser problemático, es independiente de la distancia es finita en el límite, cuando • → 0. Por lo tanto, a pesar de (39) no fue exactamente la distancia física en el caso masivo ni en la solución Schwarzschild-de Sitter (sin embargo, fue en el caso sin masa, como ya hemos visto en la primera sección), está estrechamente relacionado A ella. Este hecho nos da una pista o, al menos, justifica el cambio de coordenadas que fuimos realizar una y otra vez para estudiar la geometría en el límite • → 0. 8Estos, en principio, dependen de â € pero coinciden cuando â € > 0: hmin = hmax â € h(rc). B Horizon coalescence como un flujo en la línea El principal fenómeno que afecta a este documento, como se ha dicho antes, puede describirse en términos de la dinámica de un campo vectorial en la línea. El punto de la coalescencia, en esta imagen, es no más que una bifurcación supercrítica de Pitchfork. Recordemos algunas características generales de la dinámica de un flujo unidimensional. La ecuación de un campo vectorial general en el la línea puede expresarse como: = f(x, α) (41) donde f es cualquier función real con soporte real, el punto significa diferenciación con respeto t y α es un parámetro del modelo. Los puntos fijos de (41) requieren = 0, que debe obtener por encontrar las raíces de f, es decir, f(x*, α) = 0. (42) La ecuación (42) se resuelve mediante una n-recogida de puntos fijos x*i para un valor dado de α. Vamos. suponemos que f tiene tres raíces si α = α0. Puntos fijos se acercan a medida que α se mueve y obtener “condensado” en un punto fijo “graso” (punto de bifurcación) en α = αc. Un paradigmático ejemplo de bifurcación de Pitchfork se muestra por función f(x) = x( x2). (43) Una pregunta surge naturalmente ahora sobre el papel que los horizontes juegan en este cuadro. Vamos. afirmamos que los horizontes son puntos fijos y el papel de α es jugado por m. esta identificación mediante la construcción del flujo vectorial. Construir un flujo en un colector (en nuestro caso será una línea) es equivalente a dar una familia de curvas r̄(t) que cubre el colector o parte de ella. Cada una de las curvas consigue especificado por la condición inicial, por ejemplo, r̄(t = 0). Ahora, consideremos movimientos geodésicos. Sin pérdida de la generalidad, las coordenadas angulares de nuestra geometría se congelarán, y  son constantes, y sólo las curvas radiales r(t) deben ser consideradas. Sistema de coordenadas estáticas nos servirá para describir el movimiento de cualquier r+ (r+, r++). Invoquemos la intuición en Este punto. Si r(0) está cerca del cosmológico o el horizonte del agujero negro está claro que un la partícula de ensayo se desplazará fuera de la región aproximándose a cada horizonte, respectivamente. Entonces, hay un punto r = rg donde la partícula de ensayo no “sentirá” ninguna fuerza y, en consecuencia, no se moverá9. Este es el primer punto fijo (inestable). Mover el origen definiendo r′ = r− rg, después de esto, los primos serán eliminados para simplificar la notación. El flujo en cada punto será determinado por la velocidad física (r) (medido por un observador situado en r = 0) que una partícula de ensayo adquiriría en r si se cae con = 0 en torno a r = 0 (lo más cerca posible). No es difícil de ver. que la velocidad de la partícula de ensayo, como lo ve el observador geodésico estático, está ligada a ser cero en ambos horizontes. Por lo tanto, los horizontes son puntos fijos. Ahora, nuestro sistema puede ser tratado como un flujo vectorial (r) que cubre la región entre los horizontes. El flujo vectorial tiene tres puntos fijos: {r+, r++, 0} donde los dos primeros son estables. A medida que m corre hacia mc, el sistema se encoge en una bifurcación de Pitchfork. Cerca del punto de bifurcación el flujo puede ser aproximado por = βr(r − r+)(r++ − r), (44) 9rg en nuestra geometría, juega el papel que el infinito asintótico hace en la solución Schwarzschild, es decir, el punto donde el vector de tiempo-como Matar debe ser normalizado con el fin de definir la temperatura del horizonte. Nótese que rg Ł rc en el punto de coalescencia, es decir, cuando = 0. donde β es una constante positiva que depende de μ, k y Por un lado, en el sistema de coordenadas,, y utilizando (30), tenemos * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (45) Por otro lado, la ecuación (44), expresada en el nuevo sistema de coordenadas, lee = 3βr3c cosχ sin 2 χ, y así = −ir3cB cosχ sin2 χ. (46) Como era de esperar, en el nuevo sistema de coordenadas, cada punto se convierte en un punto fijo como los horizontes se unen ( → 0). Dado que las líneas de flujo se identificaron con geodésicos de ensayo partículas, esto puede ser entendido como la abscencia de fuerzas al final del proceso. Reconocimiento Damos las gracias a P. K. Townsend y a Adil Belhaj por sus útiles conversaciones y a Jean Nuyts por lectura crítica del manuscrito. Este trabajo ha sido apoyado por el MCYT (España) con cargo a la subvención FPA 2003-02948. Bibliografía [1] P. A. M. Dirac, singularidades cuantificadas en el campo electromagnético, Proc. Roy. Soc. Lond. A 133, 60 (1931). [2] Y. Aharnov y D. Bohm, Importancia de los potenciales electromagnéticos en el Tu teoría, Phys. Rev. 115, 485 (1959). [3] C. N. Yang y R. L. 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Un estudio detallado de las geometrías que emergen por una gravitación generalizada El monopolo Yang en dimensiones uniformes se lleva a cabo. En particular, los que presente agujero negro y horizontes cosmológicos. Este sistema de dos-horizon es térmicamente inestable. El proceso de termalización impulsará ambos horizontes a coalesce. Este límite es lo que se estudia profusamente en este artículo. Se muestra que incluso aunque la distancia de coordenadas se reduce a cero, la distancia física No, no. Por lo tanto, hay algo de espacio restante que la geometría ha sido computada y identificado como una solución generalizada de Nariai. Las propiedades térmicas de este nuevo espacio tiempo se calcula entonces. Temas, como la relación elíptica entre radios de esferas en la geometría o una discusión sobre si un término de tipo de masa debe estar presente en el elemento de línea o no, también se incluyen.

Introducción 2 2 El acoplamiento gravitacional. Algunas características geométricas 3 3 La geometría de la unión del horizonte 4 3.1 Caso m = 0................... 5 3.2 Caso m 6= 0.......................... 7 4 Conclusiones 11 Una prueba de la distancia física finita no cero 12 B La coalescencia del horizonte como flujo en la línea 13 1 Introducción Los monopolos han sido objeto de profundo estudio y controversia durante todo el siglo pasado. Esto es así porque, aunque no se ha encontrado evidencia experimental de su existencia, muchos Las cuestiones teóricas las hacen casi inevitables. Ya aparecieron como soluciones de Maxwell ecuaciones siempre y cuando la condición cero B-divergencia fue relajado, es decir, B 6= 0. Fue Dirac [1] a principios de los años treinta quien propuso por primera vez la posibilidad teórica de crear un experimento para producir realmente un monopolo “falso”, de una manera que su falsedad, Por ejemplo, la cadena Dirac, era indetectable. Como consecuencia, el producto de la y las cargas magnéticas fueron cuantificadas. Muchos años después, en 1959, la cuantificación el requisito fue confirmado por el célebre experimento Aharnov-Bohm [2]. Desde 1954, debido a los papeles de Yang y Mills [3] y de Utiyama [4], calibre teorías de un grupo de simetría mayor que U(1), en particular la simetría no abeliana Los grupos SU(2) y SU(3) (que eventualmente se ajustarían al modelo estándar de par- física ticle) donde se desarrolló gradualmente. En 1969, Lubkin [5] se dio cuenta de que los monopolos puede ser clasificado por el grupo de homotopía del grupo de simetría de calibre de la teoría, de modo que la carga magnética sea sustituida por la carga topológica de la configuración de campo- tion. En el caso del monopolo de Dirac, el grupo homotópico η1 de U(1) es exactamente Z. Sin embargo, no fue hasta 1975 que Yang [6] generalizó el monopolo abeliano al caso de una teoría del indicador invariante SU(2) en seis dimensiones, véase también [7]. Enfoques modernos utilizar el formalismo de los haces de fibra para una descripción adecuada de los monopolos. Generaliza la clasificación tradicional en términos del grupo homotópico de la teoría del calibrador. In de esta manera, los monopolos magnéticos se identifican con las diferentes configuraciones instantáneas que aparecen básicamente como mapas no triviales del grupo del calibrador, generalmente SU(N), en Sd, donde d es la dimensión espacial. Es decir, los monopolos magnéticos son todos esos no triviales paquetes principales con estructura de grupo SU(N) que se pueden realizar en la hipersuperficie Sd. La clasificación coincide, como se ha dicho antes, con las diferentes clases de homotopía grupos. La genalización de los monopolos Yang a una dimensión uniforme arbitraria fue llevada hacia fuera en [8]. Recientemente se han realizado análisis similares utilizando métodos ligeramente diferentes [9]. El lector puede encontrar buenas críticas sobre el tema en [10], [11] y las referencias en él. Como cada objeto existente en la naturaleza, los monopolos se unen a la gravedad a través de su energía. tensor de impulso. La geometría resultante se obtiene resolviendo el Yang-Mills- Ecuaciones de Einstein, que se simplifican en gran medida mediante la imposición de la simetría esférica (como se espera de una configuración de campo de monopolo magnético). Esta geometría está completamente especificada por la elección de un punto en el espacio de parámetros,m,,k}, cuyo significado se explicarán en detalle más adelante. Para un rango dado de parámetros, es fácil de probar que la geometría presenta tanto un horizonte cosmológico como un horizonte de eventos. Una analogía completa con la solución Schwarzschild-de Sitter revela que, en estos casos, la geometría es dy- Námicamente impulsado a través del espacio de parámetros en un punto térmicamente estable donde ambos los horizontes se unen [12], el elemento final de la línea es el análogo del espacio-tiempo de Nariai en cuatro dimensiones. Este documento está organizado de la siguiente manera: la siguiente sección establece un marco general y corrige la notación utilizada más tarde. El cuerpo principal del artículo se refiere al análisis de la soluciones de coalescencia. Esto se logra en dos subsecciones correspondientes a y casos masivos, respectivamente. Un cálculo explícito de la geometría resultante es se lleven a cabo en cada caso. Una sección final incluye algunas conclusiones y comentarios. Dos Se han añadido apéndices al artículo. Son temas que se encuentran de alguna manera fuera de la la línea principal del documento, ya sea por ser aspectos técnicos de un cálculo (Apéndice A) o para presentar una nueva idea cuya exposición necesitaría una nueva sección, como en Apéndice B. La ausencia de B, a su vez, no habría impedido que el lector de un comprensión del periódico. 2 El acoplamiento gravitacional. Un poco de fea geométrica. ciones Los efectos gravitacionales de estos monopolos han sido estudiados recientemente [9]. Se hizo, Como de costumbre, al acoplar mínimamente el tensor de energía-momento Yang-Mills a la gravedad. Variaciones de la acción Einstein-Hilbert − det g (R - 2°) - 1 TrF 2 con respecto al tensor métrico conduce a Gmn = 8ηGTmn − gmn donde Tmn = γ tr(F pm Fnp)− gmntr(FpqF es el tensor de energía del campo de fuerza YM. Los rastros son tomados en el índice de color y γ es la constante de acoplamiento YM. La búsqueda de soluciones generales para (2) es un problema muy complicado. Sin embargo, la simetría esférica imponente simplifica la tarea enorme. De acuerdo con esto, el ansatz será espacialmente esféricamente simétrico métrica dimensional (2k + 2) cuyo elemento de línea lee ds2 = dt2 1dr2 + r2dŁ22k. 4) La última ecuación es consistente con (2) y (3) cuando [9] •(r) = 1− 2Gm r2k−1 , (5) donde R = k(2k+1) es el radio de Sitter, μ2 es proporcional a 1 y medidas adoptadas la carga magnética del monopolo, m aparece como una constante de integración con dimensiones de masa y G es la constante de Newton en 2k + 2 dimensión espacio-tiempo. En a primera vista, (4) con (5) parecen una geometría Schwarzschild-de Sitter en 2k + 1 espacial dimensiones con un término adicional, el que implica μ, que parece ser independiente de la dimensión del espacio-tiempo. Parece razonable pensar en este término como una contribución del monopolo magnético. Esta imagen simple, incluso si no es exacta1, es útil y, a menos que nos enfrentamos a los límites de desaparición, se puede tener en cuenta en el siguiente. El siguiente paso (y la siguiente tentación) es analizar cómo la estructura causal de este espaciotiempo depende de los valores dados de los parámetros. El cuerpo principal de esto el trabajo se refiere a un análisis profundo de la solución en el caso de parámetros μ, k permitir la existencia de dos horizontes. Luego, inspirado en el Schwarzschild-de Sitter solución inestable, se afirma que el sistema se conduce dinámicamente a un valor de la parámetros en los que ambos horizontes se unen. Aunque la distancia de coordenadas se reduce a cero, la distancia física no. Una geometría Nariai generalizada “entre” los horizontes entonces se obtiene explícitamente. El elemento de línea Nariai [13] es una solución no singular de la Ecuaciones de vacío de Einstein con una constante cosmológica positiva, R. Lo fue. primer hallazgo de Kasner [14] y sus fechas de generalización eléctrica de 1959 [15]. Sin embargo, el hecho importante de que emerge como un límite extremo de Schwarzschild-de Los agujeros negros de la niñera no se notaron hasta 1983 [12]. Nariai espaciotiempo en cuatro dimensiones es el producto directo dS2 × S2, dS2 siendo no más que la versión hiperbólica de S2 a medida que cambiamos t → i♥. En 2k + 2 dimensiones, la la solución se generaliza a dS2 × S2k. Una vez más, es el producto directo de dos constantes espacios de curvatura y admite un grupo de 3 + k(2k+ 1) de isometrias SO(2, 1)× SO(2k+ 1). El espacio es homogéneo ya que el grupo actúa de forma transitoria y es localmente estático, dado que un espacio-tiempo de tipo dS global no puede ser descrito simplemente por una coordenada estática Gráfica. En cuatro dimensiones, los radios de curvatura de los dos espacios de producto son iguales si el agujero negro es neutral, y diferente en el caso cargado. Si el agujero negro es eléctrico cargado, los radios respectivos a y b son diferentes y relacionados por la ecuación a−2 + b−2 = 2• (6) como se muestra en [15]. Esta relación se generalizará en el caso magnético, el objeto de nuestro estudio. Un trabajo reciente corto pero instructivo sobre la geometría de cuatro dimensiones puede ser se encuentra en [16]. 3 La geometría de la unión del horizonte Estudiar los horizontes de una geometría como (4) es equivalente a buscar las divergencias de grr para valores finitos de las coordenadas. Esto nos lleva a analizar los ceros de la función (r), donde se ubicarán los horizontes. Para un cierto rango de valores de,, k,m} habrá dos horizontes. Encontrar esta región en el espacio de parámetros será el primero 1La geometría resultante es, por supuesto, no sólo la suma de términos de diferentes geometrías, pero casualmente Coincide. Las diferencias están obligadas a existir en el límite de la desaparición de una determinada contribución. Por ejemplo, supongamos que, dado un conjunto de parámetros, digamos {m,μ,Ł, k }, podemos apagar μ (descuidándolo con respecto a los demás). La geometría resultante es topológicamente diferente a la obtenida por no Asumiendo cualquier monopolo en absoluto al principio, es decir, el límite no coincide. Sin embargo, en el casos estudiados aquí, esto no es más que una sutileza suficiente para ser conscientes. tarea. Después de eso, la atención se centrará en el punto de coalescencia de los horizontes2. Los análisis consiste en dos pasos, en primer lugar, la parametrización de la separación de coordenadas de los horizontes () y el cálculo de la distancia física entre ellos cuando la coalescencia tiene lugar ( → 0). Luego, siguiendo la estrategia en [12], el cálculo del elemento de línea de la geometría restante. Este programa se lleva a cabo en dos casos: m = 0 y m 6 = 0, que se tratan en las subsecciones siguientes, respectivamente. Los sin masa caso debe ser visto como un modelo de juguete de la masiva. Esta distinción no se hace simplemente por simplicidad, pero también porque, como se explicará, el parámetro de masa viene naturalmente para requisitos dinámicos. 3.1 Caso m = 0 En el caso de que no haya masa, se reduce a •(r) = 1− . 7).................................................................................................................................................. Solucionar = 0 es equivalente a encontrar los ceros de una ecuación bicuadratica siempre y cuando r = 0 no se considera. Realizamos el cambio z فارسى r2 y resolvemos un segundo orden ordinario ecuación. Los horizontes se encuentran en 1− 4μ z++ = 1− 4μ . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. R > 2μ garantiza la existencia de dos soluciones positivas y, por lo tanto, cuatro soluciones para la ecuación quártica. Dos de ellos, r+ = + z+ y r++ = + z++, corresponde a la coordenadas radiales del horizonte interior (agujero negro) y exterior (cosmológico), respectivamente. Si R = 2μ, ambas soluciones coinciden, lo que significa que los horizontes se unen. Como se ha dicho antes, esto no significa que la geometría desaparece como una observación ingenua (dado una elección equivocada de coordenadas) haría pensar. Distancia física entre la los horizontes, por el contrario, permanecen finitos en el límite. Con el fin de demostrar esto, vamos a Calculenlo. Para el tiempo fijo y las coordenadas angulares, la distancia física es D(μ,R) = ∫ r++ [−r4 +R2r2 − μ2R2]1/2 ∫ z++ − μ2R2 z − R2 )2]1/2dz (10) El requisito R > 2μ implica R − μ2R2 > 0 por lo que la integral anterior se resuelve exactamente como un tipo cos−1. El resultado es D(R) = ηR. (11) Sorprendentemente, la distancia física no depende de μ. Significa que, dado un cos- constante mológica, uno podría “cambiar” el monopolo y seguir hasta los horizontes pero la distancia permanecería inalterada. Sin embargo, debido a la cuantificación 2Coalescencia como se ve en las coordenadas Schwarzschild. requisitos, la carga monopolo μ no se puede ajustar, pero necesita tener, en su lugar, un valor hasta un signo. Por otro lado, se debe elegir la constante cosmológica,............................................................................................................................................. al escribir el lagrangian. Significa que cambiar su valor no nos impulsa desde un modelo a otro pero implica un cambio esencial en la teoría [17]. Por lo tanto, nosotros no son libres de ajustar cualquier parámetro arbitrariamente como se hace con la masa del agujero negro en el caso Schwarzschild-de Sitter. Entonces, a pesar de que las razones físicas llevarían a la horizontes a unir, la ausencia de cualquier parámetro libre en nuestro modelo lo hace imposible. En la siguiente sección, m vendrá a nuestra ayuda como un parámetro libre para el modelo. A pesar de la última observación, uno podría preguntarse sobre el tipo de geometría que re- cuando los horizontes se unen. Esta tarea, aunque parezca sólo un ejercicio curioso ahora, será útil para la siguiente sección. Aplicar una técnica similar a la de Gingspar y Perry [12] solía estudiar la geometría de la solución de Nariai, procedemos por, primero, parametrizar la separación de horizontes como R = 2μ(1 + 2), (12) de una manera que la coalescencia corresponde a tomar = 0. Entonces, definimos un cambio “sabio” de coordenadas χ = cos−1 (r2 − r20) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , (13) donde A = 1− 4μ2 y r20 = , y las coordenadas angulares permanecen sin cambios. Los nuevas coordenadas (13) pueden parecer elegidas al azar a primera vista. Sin embargo, hay algunas razones que justifican tal dependencia funcional. Por ejemplo, la χ no es otra cosa que la distancia física entre r+ y r. La coordenada cronológica t se multiplica por i en para trabajar en la región euclidiana3 y por â € ~ porque â € ~ / € ~ 2 se espera que tenga un finito limitar cuando • → 0. Ahora, aplicamos (12) y (13) y expandimos (r(χ))d(2), 1(r(χ))dχ2 y r2(χ) hasta el primer orden en la letra a). El elemento de línea (4) dice: ds2 = μ2dχ2 + μ2 sin2(χ) 1 + # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # # 1 # # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # # # 1 # # 1 # # # 1 # # 1 # # 1 # # 1 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 cos (χ) d-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2+)-(2++)-(2++)-(2++)-(2++)-(2++-)-(2+-(2+)-(2+-)-(2+-(2+)-(2+-)-(2+-(2+)-(2+)-(2+)-(2+-)-(2+-)-(2+-)-(2+-(2-)-(2+-)-(2+-(2+-)-(-)-(2-(-)-(2-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-(-)-)-(-(-)-)-(-(-)-)-(-(-(-)-)-)-)-(-)-)-(-(-(-)-)-( + 2μ2 2 cos(χ) d-22k. (14) Tomamos el límite → → 0 para obtener ds2 = μ2 dχ2 + sin2(χ)d + 2μ2d22k. (15) Como se ve en (15), el 2k-esfera se desacopla del resto. La geometría resultante es S2×S2k para k ≥ 2. Note el paralelismo entre esta geometría y la solución de Nariai, que es S2 × S2. La relación “clásica” entre radios (6) también se generaliza a a−2 + b−2 = C0-, (16) donde C0 = k(2k+1) . La geometría (15) se puede ver como un agujero negro “degenerado”, en que los dos horizontes tienen el mismo tamaño (máximo) y están en equilibrio térmico. Esto podría ser interpretado por un observador como un baño de radiación procedente de ambos horizontes 3o será periódico en ambos horizontes, aunque diferente en cada caso. La igualdad tendrá lugar en la punto de coalescencia, cuando se alcanza la estabilidad térmica. a una temperatura precisa [19]. La temperatura puede calcularse por medio de la superficie gravedad de la corriente, tal como se calcula en las nuevas coordenadas (13) k(2k + 1) . (17) La entropía también se puede calcular como un cuarto de la suma de los dos horizontes [18], así que k(2k + 1) , (18) en el que 2k es el área de la esfera de unidad de 2k-dimensión. 3,2 Caso m 6= 0 En el caso masivo recuperamos la expresión completa (5) para. Desde el punto singular r = 0 no se debe considerar, es mejor analizar la función r2k−1•(r) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # r2k+1 + r2k−1 − μ2r2k−3 − 2Gm. (19) Se sabe que una ecuación polinómica con poderes iguales o superiores a cinco no es solvable generalmente de una manera simbólica. Esto sucede en k ≥ 2. Por lo tanto, el propósito de hacer un estudio para el caso masivo análogo a lo logrado en la primera sección se arruina. Sin embargo, se puede extraer cierta información de (19). Primero debemos recordar el signo de los parámetros: R2 > 0 (de Sitter), μ2 > 0 para k ≥ 2, y m estará libre en principio. Derivado (19) y equiparado a cero conduce a una ecuación bicuadratica de la (2k + 1)r4 + (2k − 1)r2 − (2k − 3)μ2 = 0, (20) que, siempre y cuando 2 ≤ k (2k − 1)2 2k − 3 , (21) tiene dos raíces positivas (y dos negativas), rmin y rmax. En términos de la cosmo- constante lógica r2c k(2k − 1) 1− 4(2k − 3) k(2k − 1)2 , (22) rmin se obtiene de (22) intercambiando el signo de la raíz cuadrada. Una mirada rápida a (19) muestra que la raíz más pequeña es un mínimo y el más grande es un máximo de función. Ahora, enchufemos rc en (19): 1. Si m > 0, entonces (véase la figura 1) a) (rc) ≥ 0 implica que hay dos horizontes de eventos, el agujero negro y el horizonte cosmológico. La desigualdad se satura en el punto de coalescencia. b) (rc) < 0 significa que no se encuentra ningún horizonte. 2. Si m < 0, entonces (véase la figura 2) a) (rmin) < 0 junto con (rc) < 0 implica que sólo hay un Cauchy horizonte. b) (rmin) < 0 junto con (rc) > 0 asegura la existencia de un horizonte Cauchy y tanto el agujero negro como el horizonte cosmológico. c) (rmin) > 0 nos deja sólo con el horizonte cosmológico. El caso que vamos a estudiar es (rmin) < 0 y (rc) > 0 que, independientemente del signo de m, asegura4 la existencia de agujeros negros y horizontes cosmológicos. Esto corresponde a a los valores de m dentro del intervalo (véase la figura 3) 1.a 1.b Figura 1: Caso m > 0. La curva representa la función (r). Figura 1.a tiene dos raíces que corresponden al agujero negro (r+) y al horizonte cosmológico (r++) respectivamente. Gráfico 1.b muestra la ausencia de horizontes. 2.a 2.b 2.c Figura 2: Caso m < 0. Esta vez (r) permite la existencia de un horizonte (Cauchy) como en la Figura 2.a, tres horizontes (Cauchy, agujero negro y cosmológico) como en 2.b, o simplemente el horizonte cosmológico como se muestra en 2.c. m− < m < m+, (23) donde Gmc Gm+ = 1 + 2k r2k−3c (r c − 2μ2). (24) El valor de Gm− se obtiene sustituyendo rc → rmin. En términos de y μ obtenemos Gm± = (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + 2k − k + 2k2 ± k2(1− 2k)2 − 42(2k − 3)k k-3/2 − k + 2k2 − 42 ± k2(1− 2k)2 − 42(2k − 3)k . (25) 4El valor de m puede ser negativo. Esto se debe a que m no debe ser considerado como una entidad con significado físico pero como parámetro geométrico. El cálculo corto en (25) muestra que m obtiene negativo valores para 2 ≥ k (1 + 2k). Hr,m+L Hr,m-L Figura 3: Esta figura muestra el rango de “masas” que son consistentes con la existencia de tanto el agujero negro como los horizontes cosmológicos. La curva (r) “se mueve hacia abajo” en el proceso de coalescencia. El punto crucial es que ambos horizontes se unen cuando rc es una raíz de (19) que ocurre en m = mc(k, 2,.................................................................................................................................................................... Hasta la fecha se han impuesto dos relaciones: (r;m) rc= 0, es decir, (20), que define rc, y (rc;mc) = 0 que conduce a mc. Con el fin de que m a ser real, el atado que debe ser embargado en 2 coincide con (21) que, a su vez, es nada más que la condición para la existencia de dos horizontes. Por lo tanto, si un dado un valor para 2 es lo suficientemente bajo para producir dos horizontes, siempre existe un valor real de m que hace ellos se unen. Una vez más, como en el ejemplo de Schwarzschild-de Sitter, el sistema es inestable y el punto de equilibrio se alcanza en m = mc. A diferencia del caso sin masa, conector m nos da suficiente espacio para maniobrar para conducir el sistema al equilibrio. En este punto, nos gustaría señalar que el procedimiento de la coalescencia horizonte, como estudiado en detalle a continuación, puede ser visto como un flujo en una línea que se somete a un Pitchfork bifurcación en el punto de coalescencia. Parámetro m, movido por inestabilidad térmica, accionamientos el sistema a la situación crítica. En cuanto a la concretividad, véase el apéndice B. Centrémonos en el punto de casi coalescencia. Esto puede ser parametrizado por r = rc + r = rc(1 + cosχ) (26) m = mc − ­m = mc(1 + b+2). La parametrización de r implica también un cambio de coordenadas r → χ y debe tomarse como se impone en el momento, aunque se justificará más adelante. Los horizontes serán Simétricamente situado en: r+ = rc(1) y r++ = rc(1) que corresponden a = η y = 2η, respectivamente 5. El valor de b, así como la ausencia de un término lineal en la parametrización de m puede explicarse de la siguiente manera. Cerca del punto de coalescencia uno Taylor debe expandirse alrededor de rc y tener en cuenta que, para # 1, # es aproximadamente # parabólico, por lo que la expansión de segundo orden es suficiente. Por definición (r+) = (r++) = 0 5Para un lo suficientemente pequeño, se espera que el enfoque parabólico se mantiene y, a continuación, ambos horizontes son Simétricamente situado con respecto a rc. y alcanza un máximo en rc. Así que, 0 = «(r++)» = «(rc, m)» + «(r++)» ′(rc, m)(rc+) + (rc, m)(rc) r2k−1c (rc;mc)r 2, (27) lo que significa que (rc;mc)r . (28) Calcular la distancia física cerca del punto de coalescencia implicaría, de nuevo, resolución de la integración D(­) = ∫ r++ 1/2(r) , (29) donde r++ = r+ + 2rcár. Aunque el resultado exacto no se calcula, una prueba explícita de su valor finito distinto del cero se indica en el apéndice A. El procedimiento de cálculo de la distancia también nos trae alguna luz sobre la cual es el cambio de coordenadas que debe ser hecho con el fin de entender la geometría resultante. Resulta ser χ = cos−1 (r − rc) t, (30) donde k − 2k2 + 2­r2c es un factor adimensional. La coalescencia de los horizontes tiene lugar en = 0. Con el fin de estudiar la geometría en el límite procedemos calculando dt2, 1dr2 y r2 en las nuevas coordenadas (30) y se expanden en torno a = 0. El nuevo elemento de línea se determina tomando el cero orden de la expansión. Las relaciones para r y m en (26) están de acuerdo con (30), donde b toma el valor de (28), en virtud del enfoque parabólico. Desde (30), es simple para ver que r2 toma un valor constante r2c. Sorprendentemente, como en los sin masa y Schwarzschild-de Sitter casos, la geometría se divide en dos partes desconectadas que conducen a un colector de producto S2 × S2k. El elemento de línea dice ds2 = Br2c dχ2 + sin2(χ)d + r2cd 2k, (32) en los que las χ ° [η, 2η] y ° sean periódicas6. Como se ve en (32), S2 tiene radio a2 = Br2c, y S2k tiene radio b2 = r2c. Ahora, el La relación generalizada de Bertotti (6) es a−2 + b−2 = 2(1− k) = C., (33) donde C(k,2) se obtiene insertando (22) en 33). Tenga en cuenta que C k,2 = k(2k + = C0, y luego (33) se convierte en (16), es decir, en el caso sin masa. Esto no es 6o es periódico en ambas superficies del horizonte en todo el proceso para evitar la singularidad cónica en los horizontes. En el punto de coalescencia, sin embargo, ambos períodos son iguales. sorprendente ya que 2 = k(2k + 1)/4 es la condición para la coalescencia en el caso sin masa (equivalente a R = 2μ), y, al mismo tiempo, hace mc = 0. Por lo tanto, el masivo geometría es una extensión consistente de la sin masa. Ahora, la fijación no determina únicamente la geometría. Se requiere otra variable adimensional 2. Como en la última sección, la geometría (32) se puede ver como un agujero negro “degenerado”, en la que los dos horizontes tienen el mismo tamaño (máximo) y están en equilibrio térmico. En el presente caso, la temperatura se da en términos de la gravedad superficial . (34) En unidades de Planck, se puede calcular la entropía asociada a esta solución (dado que no es extremo7) por medio de la superficie total de los horizontes como c. (35) 4 Conclusiones La solución esféricamente simétrica de la gravedad debido a un monopolo magnético en arbitrario la dimensión se ha estudiado, en particular, cuando el conjunto de parámetros, μ,m, k} permite la existencia de dos horizontes. En estos casos, las inestabilidades térmicas impulsan un proceso de horizonte de coalescencia. A pesar de que la separación de coordenadas entre los horizontes se encoge a cero, ha sido probado tanto en el caso sin masa como en el caso masivo de que el la distancia no lo hace. La geometría del espacio restante entre los horizontes ha sido calculados en ambos casos. Resultaron ser soluciones tipo Nariai, es decir, el producto de una 2-esfera y una 2k-esfera para un espacio-tiempo dimensional (2k + 2). En cada solución, los radios de las esferas no son independientes. Están relacionados por una ecuación elíptica que debe entenderse como la generalización de la relación encontrada por Bertotti. Los única ecuación generalizada que implica estos radios para el sin masa y el masivo Se ha dado el caso. Después de computar el elemento de línea en cada caso, el termodinámico las propiedades (Temperatura y entropía) debido a la existencia de horizontes han sido calculado. El monopolo Yang corresponde al caso de seis dimensiones, donde k = 2. Los geometría obtenida después de la coalescencia es S2 × S4 como se puede leer explícitamente en (32). Esto caso es especialmente interesante ya que puede ser descrito en la Teoría de Cuerdas (una realización del monopolo Yang en la Teoría Heterotica de Cuerdas se ha hecho recientemente [21], así como otra imagen complementaria en la Teoría de Cuerdas Tipo-IIA [20]). En el mismo contexto, parece posible encontrar resultados (18) y (35) para la entropía mediante la aplicación de algunos mecanismo de atracción [22, 23]. Creemos que este sería un tema interesante para ser abordada en futuras investigaciones. 7Una carga agujero negro se dice que es extremo cuando tiene la masa mínima. Entonces, ya que no puede liberar cualquier energía sin perder carga, se supone que no debe emitir, y su temperatura asociada Hawking es 0. El agujero negro que estamos tratando en este documento es extremo en el sentido de llevar el “máximo masa” permitido por la constante cosmológica. Obviamente, la temperatura no será cero. Una prueba de la distancia física finita no cero Cálculo de la distancia física es equivalente a la realización de la integración ∫ r++ 1/2(r) , (36) donde r++ = r+ + 2rc® para los pequeños. Las divergencias podrían aparecer en los puntos donde • → 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • El caso que hemos estado considerando a lo largo de la sección (3.2) se refiere a la existencia de dos horizontes que se unen, es decir, dos raíces únicas r+ y r++ de Formar uno doble. La función siempre puede expresarse como = (r − r+)(r++ − r)g(r), donde g(r) es una función polinómica de potencias de grado 2k − 1 y sin ceros dentro de la rango [r+, r++] se encuentran por construcción. Explícitamente, la ecuación (36) es D(­) = ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 rk−1/2 g1/2(r) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # . (37) Ahora, h(r) es una función continua estrictamente positiva sin divergencias en el compacto [r+, r++], lo que significa que alcanzará un máximo positivo y mínimo para ciertos r′s. Déjanos llamar hmax y hmin los valores de la función h en estos puntos 8. Entonces ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 ≤ D(­) ≤ ≤ hmax ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 . 38) La integración se puede realizar: ∫ r++2rc (r − r+)1/2(r+ + 2rc r)1/2 = . (39) D(• → 0) = ηh(rc), (40) donde el valor de rc se indica en (22). Las integraciones de la forma (39) se resuelven exactamente mediante una función de tipo cos−1, y una no cero se obtiene un resultado finito. Es notable que lo mismo se puede decir de cualquier elegir, siempre y cuando no más de dos raíces individuales se unirían para formar una doble. Los el punto clave es que (39), que podría ser problemático, es independiente de la distancia es finita en el límite, cuando • → 0. Por lo tanto, a pesar de (39) no fue exactamente la distancia física en el caso masivo ni en la solución Schwarzschild-de Sitter (sin embargo, fue en el caso sin masa, como ya hemos visto en la primera sección), está estrechamente relacionado A ella. Este hecho nos da una pista o, al menos, justifica el cambio de coordenadas que fuimos realizar una y otra vez para estudiar la geometría en el límite • → 0. 8Estos, en principio, dependen de â € pero coinciden cuando â € > 0: hmin = hmax â € h(rc). B Horizon coalescence como un flujo en la línea El principal fenómeno que afecta a este documento, como se ha dicho antes, puede describirse en términos de la dinámica de un campo vectorial en la línea. El punto de la coalescencia, en esta imagen, es no más que una bifurcación supercrítica de Pitchfork. Recordemos algunas características generales de la dinámica de un flujo unidimensional. La ecuación de un campo vectorial general en el la línea puede expresarse como: = f(x, α) (41) donde f es cualquier función real con soporte real, el punto significa diferenciación con respeto t y α es un parámetro del modelo. Los puntos fijos de (41) requieren = 0, que debe obtener por encontrar las raíces de f, es decir, f(x*, α) = 0. (42) La ecuación (42) se resuelve mediante una n-recogida de puntos fijos x*i para un valor dado de α. Vamos. suponemos que f tiene tres raíces si α = α0. Puntos fijos se acercan a medida que α se mueve y obtener “condensado” en un punto fijo “graso” (punto de bifurcación) en α = αc. Un paradigmático ejemplo de bifurcación de Pitchfork se muestra por función f(x) = x( x2). (43) Una pregunta surge naturalmente ahora sobre el papel que los horizontes juegan en este cuadro. Vamos. afirmamos que los horizontes son puntos fijos y el papel de α es jugado por m. esta identificación mediante la construcción del flujo vectorial. Construir un flujo en un colector (en nuestro caso será una línea) es equivalente a dar una familia de curvas r̄(t) que cubre el colector o parte de ella. Cada una de las curvas consigue especificado por la condición inicial, por ejemplo, r̄(t = 0). Ahora, consideremos movimientos geodésicos. Sin pérdida de la generalidad, las coordenadas angulares de nuestra geometría se congelarán, y  son constantes, y sólo las curvas radiales r(t) deben ser consideradas. Sistema de coordenadas estáticas nos servirá para describir el movimiento de cualquier r+ (r+, r++). Invoquemos la intuición en Este punto. Si r(0) está cerca del cosmológico o el horizonte del agujero negro está claro que un la partícula de ensayo se desplazará fuera de la región aproximándose a cada horizonte, respectivamente. Entonces, hay un punto r = rg donde la partícula de ensayo no “sentirá” ninguna fuerza y, en consecuencia, no se moverá9. Este es el primer punto fijo (inestable). Mover el origen definiendo r′ = r− rg, después de esto, los primos serán eliminados para simplificar la notación. El flujo en cada punto será determinado por la velocidad física (r) (medido por un observador situado en r = 0) que una partícula de ensayo adquiriría en r si se cae con = 0 en torno a r = 0 (lo más cerca posible). No es difícil de ver. que la velocidad de la partícula de ensayo, como lo ve el observador geodésico estático, está ligada a ser cero en ambos horizontes. Por lo tanto, los horizontes son puntos fijos. Ahora, nuestro sistema puede ser tratado como un flujo vectorial (r) que cubre la región entre los horizontes. El flujo vectorial tiene tres puntos fijos: {r+, r++, 0} donde los dos primeros son estables. A medida que m corre hacia mc, el sistema se encoge en una bifurcación de Pitchfork. Cerca del punto de bifurcación el flujo puede ser aproximado por = βr(r − r+)(r++ − r), (44) 9rg en nuestra geometría, juega el papel que el infinito asintótico hace en la solución Schwarzschild, es decir, el punto donde el vector de tiempo-como Matar debe ser normalizado con el fin de definir la temperatura del horizonte. Nótese que rg Ł rc en el punto de coalescencia, es decir, cuando = 0. donde β es una constante positiva que depende de μ, k y Por un lado, en el sistema de coordenadas,, y utilizando (30), tenemos * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (45) Por otro lado, la ecuación (44), expresada en el nuevo sistema de coordenadas, lee = 3βr3c cosχ sin 2 χ, y así = −ir3cB cosχ sin2 χ. (46) Como era de esperar, en el nuevo sistema de coordenadas, cada punto se convierte en un punto fijo como los horizontes se unen ( → 0). Dado que las líneas de flujo se identificaron con geodésicos de ensayo partículas, esto puede ser entendido como la abscencia de fuerzas al final del proceso. Reconocimiento Damos las gracias a P. K. Townsend y a Adil Belhaj por sus útiles conversaciones y a Jean Nuyts por lectura crítica del manuscrito. Este trabajo ha sido apoyado por el MCYT (España) con cargo a la subvención FPA 2003-02948. Bibliografía [1] P. A. M. Dirac, singularidades cuantificadas en el campo electromagnético, Proc. Roy. Soc. Lond. A 133, 60 (1931). [2] Y. Aharnov y D. Bohm, Importancia de los potenciales electromagnéticos en el Tu teoría, Phys. Rev. 115, 485 (1959). [3] C. N. Yang y R. L. 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Instanton representation of Plebanski gravity. Consistency of the initital value constraints under time evolution

arXiv:0704.0367v6 [gr-qc] 18 Mar 2011 Representación instantánea de la gravedad de Plebanski. Coherencia de las limitaciones iniciales de valor evolución temporal Eyo Eyo Ita III 24 de octubre de 2018 Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica Centro de Ciencias Matemáticas, Universidad de Cambridge, Wilberforce Road Cambridge CB3 0WA, Reino Unido eei20@cam.ac.uk Resumen La representación instantánea de la gravedad Plebanski proporciona como equa- ciones de movimiento una condición de autodualidad Hodge y un conjunto de «general- ecuaciones de Maxwell, sujeto a los grados gravitacionales de la libertad codificada en las restricciones de valor iniciales de la relatividad general. El principal el resultado del presente documento será la prueba de que esta limitación la cara se conserva bajo la evolución del tiempo. Llevamos a cabo esto no utilizando el procedimiento habitual de Dirac, pero más bien las ecuaciones lagrangianas de mo- tion lessleves. Finalmente, proporcionamos una comparación con el Ashtekar formulación para situar estos resultados en un contexto global. http://arxiv.org/abs/0704.0367v6 1 Introducción En [1] se presentó una nueva formulación de relatividad general, llamada la representación instantánea de la gravedad Plebanski. Las variables dinámicas básicas son una conexión de gálibo SO(3, C) Aaμ y una matriz dos copias de SO(3, C).1 Las consecuencias de la acción asociada IInst se determinaron a través de sus ecuaciones de movimiento, que dependen crucialmente de los débiles ecualidades implícitas por las restricciones de valor iniciales. Por estas consecuencias para ser auto-consistente, la superficie de la restricción debe ser preservada para siempre por las ecuaciones de la evolución. El presente documento demostrará que En efecto, es el caso. No usaremos la formulación habitual de Hamilton para sistemas totalmente limitados [2], ya que no vamos a hacer uso de ninguna canónica estructura implícita por IInst. Más bien, deduciremos la evolución del tiempo de la variables dinámicas directamente a partir de las ecuaciones de movimiento de IInst. En las secciones 2 y 3 de este documento se presenta la representación instantánea y derivar la evolución temporal de las variables básicas. Secciones 4, 5 y 6 demostrar que las ecuaciones no dinámicas, denominadas difeomor- phism, la ley de Gauss y las restricciones Hamiltonianas, evolucionan en combinaciones de la misma restricción establecida. El resultado es que los derivados de tiempo de estos las tensiones son débilmente iguales a cero sin restricciones adicionales generadas en el sistema. Si bien no utilizamos el método habitual de Dirac en este artículo, el el resultado sigue siendo que la representación instantánea es en cierto sentido consistente Dirac. Vamos a hacer esta inferencia más clara en comparación con el Ashtekar vari- en la sección de discusión. Por último, los términos «difeomorfismo» y las restricciones de la ley ‘Gauss’ se utilizan libremente en este artículo, en que tenemos no especificó qué transformaciones de las variables básicas estas restricciones generar. El uso de estos términos es principalmente con fines notoriales, debido a sus contrapartes que aparecen en las variables Ashtekar. 2 Representación instantánea de la gravedad de Plebanski La acción inicial para la representación instantánea de la gravedad de Plebanski es dado por [1] IInst = d3xŁaeB F a0i + kjmB −iN(detB)1/2 tr1 , (1) 1Las convenciones de etiquetado del índice para este papel son que los símbolos a, b,. ... desde el principio................................................................................................................................................................. ing del alfabeto latino denota los índices internos SO(3, C) mientras que los del medio i, j, k,. .. denota índices espaciales. Ambos conjuntos de índices toman 1, 2 y 3. Los Símbolos griegos μ, ν,. .. se refieren a los índices espacio-tiempo que toman valores 0, 1, 2, 3. donde Nμ = (N,N i) son la función de lapso y vector de desplazamiento desde la métrica la relatividad general, y es la constante cosmológica. Los campos básicos son: Ae y A i, y la acción (1) se define sólo en configuraciones restringidas 6= 0 y 6= 0,2 En el procedimiento Dirac se hace referencia a Nμ como campos no dinámicos, ya que sus velocidades no aparecen en la acción. Mientras que la velocidad ae también no aparece, vamos a distinguir este campo a partir de Nμ, ya que la acción (1), a diferencia de esta última, no es lineal en Ae. La ecuación de movimiento para el vector de cambio N i, el análogo de la Hamilton ecuación para su momento conjugado Π ~N, es dada por IInst = MjkB ae = (detB)(B) −1)diÃ3d â € 0, (2) donde la parte antisimétrica de la «ae» es la «ad» = «dae». Esto es equivalente a la restricción del difeomorfismo Hola debido a la no degeneración de B a, y a menudo vamos a utilizar Hi y d indistintamente en este artículo. La ecuación de movimiento para la función de lapso N, el análogo de la ecuación Hamilton para su impulso conjugado ΠN, está dado por IInst = (detB)1/2 tr1 = 0. 3) La no degeneración de las ae y el campo magnético B e implica que in-shell, el después de la relación debe ser satisfecho • + tr1 = 0, (4) que tomaremos igualmente como sinónimo de la restricción hamiltoniana. La ecuación de movimiento para ae es IInst = BkeF 0k + kjmB m + iN (11)ea 0, (5) hasta un término proporcional a (4) que hemos fijado débilmente igual a cero. Se podría tratar de definir un momento conjugado a "ae", para lo cual (5) sería la ecuación de movimiento asociada de Hamilton. Pero desde las formas parte de la estructura canónica de (1), entonces nuestra interpretación es que esto es no es técnicamente correcto.3 La ecuación de movimiento para la conexión Aaμ es dada por IInst * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4­mjkN mBkeŁ[de] +N(B−1)dj tr1 , (6) 2Este último caso limita la aplicación de nuestros resultados a los tiempos espaciales de Petroc Tipo I, D y O (véase, por ejemplo, [3] y [4]. 3Esto es porque (5) contiene una velocidad a dentro de F a y, por lo tanto, será considerado como una ecuación de la evolución en lugar de una restricción. Esto está en marcado contraste con (2) y (3), que son ecuaciones de restricción genuina debido a la ausencia de cualquier velocidad. donde hemos definido ea(x, y) Aai (x) Bje(y) = aek + fedaAdk (3)x, y); D ea 0......................................................................................................................................................... 7).................................................................................................................................................. Los términos que figuran entre corchetes grandes en (6) se desvanecen débilmente, ya que son pro- parte a las limitaciones (2) y (4) y sus derivados espaciales. Por los propósitos de este documento que vamos a considerar (6) como sinónimo de D(aeF ) 0. (8) En un abuso de notación, trataremos (5) y (8) como fuertes igualdades en Este periódico. Esto se justificará una vez que hayamos completado la demostración. que la superficie de restricción definida colectivamente por (2), (3) y el Gauss» la restricción de (8) se conserva en efecto bajo la evolución del tiempo. Como nota antes de proceder, a menudo haremos la identificación N(detB)1/2 det........................................................................ −g (9) como una notación taquigráfica, para evitar desordenar muchas de las derivaciones que seguir en este documento. 2.1 Consistencia interna de las ecuaciones de movimiento Antes de iniciar la cuestión de la consistencia de la evolución temporal de la restricciones de valor inicial, vamos a comprobar la coherencia interna de IInst, que implica el examen del contenido físico implícito en (8) y (5). En primer lugar, la ecuación (8) puede descomponerse en sus partes espaciales y temporales como Di(lbfB f ) = 0; D0(bfB f ) = • ijkDj(lbfF 0k). (10) La primera ecuación de (10) es la restricción de la ley de Gauss de un SO(3) Yang– La teoría de los molinos, cuando uno hace la identificación de bfB f) Eib con la Campo eléctrico Yang-Mills. Las ecuaciones de Maxwell para la teoría del calibre U(1) con fuentes (l, ~J), en unidades donde c = 1, son dadas por · ~B = 0; = ~E = 0; ·E = ♥; E = − ~J + ~B. (11) Ecuaciones (10) puede ser visto como una generalización de las dos primeras ecuaciones de (11) a SO(3) nonabelian calibrador teoría en el espacio plano cuando uno: (i) identifica con la generalización SO(3) del campo eléctrico ~E, y (ii) uno elige ae = kae para algunas constantes numéricas k. Cuando ♥ = 0 y ~J = 0, entonces uno tiene la teoría del vacío y ecuaciones (11) son invariantes bajo la transformación ( ~E, ~B) (− ~B, ~E). (12) Entonces el segundo par de ecuaciones de (11) se vuelven implícitas por el primer par. Esta es la condición de que la curvatura abeliana F.o, donde F0i = Ei y Fjk = Bi, es Hodge auto-dual con respecto a la métrica de un conforme espacio-tiempo plano. Pero las ecuaciones (10) para más general codifican gravitacionalmente grados de libertad, que como se muestra en [1] generaliza el concepto de auto- dualidad a tiempos espaciales más generales resolviendo las ecuaciones de Einstein. Déjanos primer intento de derivar el análogo para (10) del segundo par de (11) en el caja de vacío. Actuando sobre la primera ecuación de (10) con rendimientos D0 D0Di(lbfB f ) = DiD0(bfB f ) + [D0,Di](lbfB f ) = 0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Sustitución de la segunda ecuación de (10) en el primer término a la derecha lado de (13) y utilizando la definición de curvatura temporal como el conmutador de derivados covariantes en el segundo término que tenemos ijkDj(lbfF 0k)) + fbcdF 0iÃ3dfB f = fbcd 0k +B Df = 0 (14) donde también hemos utilizado la parte espacial del conmutador ijkDiDjva = fabcB b vc. Nótese que el término entre paréntesis en (14) es simétrico en f y c, y también forma la parte simétrica del lado izquierdo de (5) 0i + i −g(11)fb + BifB k = 0, (15) reescrito aquí para ser completo. Para avanzar a partir de (14), sub- ) en (14). Esto hace que el último período de (15) a abandonar debido a antisimetría, que nos deja con −gfbcd * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −11)fc df −11)fc = −2i −gfbcd1dc. 16) Las ecuaciones son consistentes sólo si (16) desaparece, que es el requisito que?ae =?ea sea simétrico. Este es, por supuesto, el requisito de que el Se satisface la restricción del difeomorfismo (2). Así que el análogo de la segunda par de (11) en el caso del vacío debe codificarse en el requisito de que Simétricas. 3 Las ecuaciones de la evolución del tiempo Ahora debemos verificar que las restricciones de valor iniciales se conservan bajo evolución temporal definida por las ecuaciones de movimiento (5) y (6). Estos equa- ciones son respectivamente la condición de dualidad Hodge 0k + i −g(11)fb + ijkN iBjbB f = 0, (17) y una de las ecuaciones de identidad Bianchi-como ijkDj(aeF ok) = D0(aeB e). (18) Puesto que las restricciones de valor iniciales se utilizaron para obtener la segunda línea de (17) a partir de (1), entonces debemos verificar que estas restricciones se conservan bajo evolución del tiempo como requisito de consistencia. Usando F b0i = i −DiAb0 y definir −g(B−1)fi −11)fb + mnkN mBnb Ł iHbk, (19) Entonces la ecuación (17) se puede escribir como una ecuación de evolución del tiempo para el conexión, que no es lo mismo que una ecuación de restricción como se ha señalado anteriormente F b0i = −iHbi bi = DiAb0 − iHbi. (20) De la ecuación (20) podemos obtener la siguiente ecuación que rige el tiempo ecuación de evolución para el campo magnético # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ijkDj k = Índice ijkDj 0 − iHek = febcB 0 − iijkDjHek = B e) iijkDjHek, (21) que será útil. En el primer término en el lado derecho de (21) han utilizado la definición de la curvatura como el conmutador de covariante derivados. La notación en (21) sugiere que B e transforma como a vector SO(3, C) bajo transformaciones del gálibo parametrizado por Dado que no hemos especificado nada sobre la estructura canónica de IInst, entonces como se utiliza en (21) y en (24) debe en esta etapa simplemente ser considerado como definición útil para la notación taquigráfica. Ahora vamos a aplicar la regla Liebnitz en conjunción con la definición de los derivados covariantes temporales a (18) para determinar la ecuación erning la evolución del tiempo de las personas. Esto es dado por D0(­aeB e) = B Eae ae e + fabcA 0(­)ceB e) = ijkDj(aeF 0k). (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Sustituyendo (21) y (20) en los lados izquierdo y derecho de (22), tenemos Bieae ae febcB 0 − iijkDjHek + fabcA 0(­)ceB e) = −iijkDj(aeHek).23) En lo que sigue, será conveniente utilizar la siguiente transformación: propiedades de las Ae como A i en las transformaciones del indicador SO(3, C) ae = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ab0; A i = −DiAa0; B e = −febcBibAc0. (24) 4 Haremos la identificación con las transformaciones del medidor SO(3, C) más adelante en este papel cuando traemos en la relación de IInst con las variables Ashtekar. A continuación, utilizando (24), las ecuaciones de evolución del tiempo para las variables de espacio de fase Inst se puede escribir en la siguiente forma compacta bi = A i − iHbi ; ae = ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H k (25) Hemos encontrado ecuaciones de evolución para Ae y A I de la covariante equa- ciones de Aaμ y la condición Hodge-dualidad Hemos obtenido estos sin usando los soportes de Poisson, y asumiendo que el Hamiltoniano y el diffeo- las limitaciones de morfismo están satisfechas. Por lo tanto, el primer orden del día es a continuación, comprobar la preservación de las restricciones de valor iniciales en el evolución temporal generada por (25). Esto significa que debemos comprobar que la evolución temporal del difeomorfismo, la ley de Gauss y la con- las tensiones son combinaciones de términos proporcionales a las mismas limitaciones y sus derivados espaciales, y términos que desaparecen cuando las restricciones se mantienen.5 Estas limitaciones están dadas por weae} = 0; (detB)(B−1)diÃ3d = 0; (detB)1/2 tr1 = 0(26) donde (detB) 6 = 0 y (det De vez en cuando haremos el identifi... catión N(detB)1/2(det −g (27) para una notación taquigráfica. Además, se proporcionan las siguientes definiciones: para los campos vectoriales que aparecen en la restricción de Gauss nosotros = B eDi;ve = B e.i.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e. donde Di es el derivado covariante SO(3, C) con respecto a la conexión Aai. Ecuaciones (26) son las ecuaciones de movimiento para los campos auxiliares A N i y N.................................................................................................................. 4 Coherencia de la limitación del difeomorfismo un- der evolución del tiempo La restricción del difeomorfismo es directamente proporcional a la la parte antisimétrica de la «ae». Así que para establecer la condición de consistencia para esta restricción, basta con demostrar que la parte antisimétrica de la segunda ecuación de (25) débilmente desaparece. Esto es dado por daeae = (daeae)− idae ijk(B−1)ei (Dj?af )H k, (29) 5Esto incluye cualquier función no lineal de orden lineal o superior en las restricciones, a situación que implica la limitación del difeomorfismo. que se divide en dos términos. Usando (24), uno encuentra que el primer término de (29) es dada por daeae = dae fabcèce acfebc * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ab0 = 2[bd]A 0 = dbhAb0h, (30) que es proporcional a la restricción del difeomorfismo. El segundo mandato (30) tiene dos contribuciones debidas a H k tal como se define en (19). El primer contribu- ión reduce a − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = -i-dae-ijk (B-1)ei (Dj-af ) −g(B−1)gk( −11)gf = Íddae(detB) − 1 egh(11)gfB hDjeaf = i(detB)−1(11)gf a) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vvaf} = i(detB)−1(11)gf Dvaaf} − vdgf} = i(detB)−1 (11)dfGf + vd tr1} . 31) El primer término en el lado derecho final de (31) es la restricción de Gauss y el segundo término es la derivada de un término dirección proporcional a la restricción hamiltoniana.6 La segunda contribución al segundo mandato de (29) es dada por # # Dae # ijk(B−1)ei (Djğaf )(H(2)) k = «dae» ijk(B­1)ei (Dj­af)­mnkN = Dac n − (B−1)ei (Djğaf )N = daeN i(B−1)eivfaf} −N jDj(daeae) = daeN i(B−1)efGa −N jDjŁd.(32) El resultado es que la evolución temporal de la restricción del difeomorfismo es directamente proporcional a d = i(detB)−1(11)da + daeN i(B−1)ei Ab0bdh − ŁdhN jDj * h + i(detB) vd{(−g)−1/2H}, (33) que es una combinación lineal de términos proporcionales a las limitaciones (26) y sus derivados espaciales. El resultado es que el difeomorfismo con- Hi = 0 es consistente con respecto al gen de la evolución hamiltoniana. expresado por las ecuaciones (25). Por lo tanto, queda por verificar la coherencia de Gauss’ la ley y las restricciones Hamiltonianas Ga y H. 6 Hemos añadido en un término, que puede ser considerado como una constante de integración con respeto a los derivados espaciales de vd. 5 Coherencia de la restricción de Gauss bajo el tiempo evolución Habiendo verificado la consistencia de la restricción del difeomorfismo en el tiempo evolución, ahora pasamos a la restricción de Gauss. Aplicación de la Liebnitz regla a la primera ecuación de (26) rendimientos # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # eDioae +B eDiae +B fabfófe + febgóag ai. (34) Tras la sustitución de (21) y (25) en (34), tenemos # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B e − iijkDjHek Diaae +B ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H fabfófe + febgóag A i − iHbi .(35) Usando la regla de Liebniz para combinar los términos de (35), tenemos # A = # Ga # # i # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # k)Diae +B e Dm(B −1)ei (Djefaf)H fabfófe + febgóag i. (36) El requisito de la coherencia es que debemos demostrar que la mano derecha El lado de (36) desaparece débilmente. En primer lugar, vamos a mostrar que el tercer término en el mano derecha de (36) desaparece hasta los términos de orden lineal y superior en la restricción del difeomorfismo. Este término, hasta un número insignificante factor, tiene dos contribuciones. La primera contribución es fabfófe + febgóag Bie(H(1)) fabfófe + febgóag (11)eb fabf −1)fb + febg( −11) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1)a () • 0, (37) que es directamente proporcional a una función no lineal de primer orden en........................................................................................................................................................................................................................................................ que es proporcional a la restricción del difeomorfismo. El segundo contri- bution al tercer término en el lado derecho de (36) es fabfófe + febgóag Bie(H(2)) fabfófe + febgóag â € ¢kmnN kBme B fabfófe + febgóag (detB)Nk(B−1)dkÃ3deb = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * N.o FLAVIS: 01.01.01 = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2a ( ~N) (38) que no se desvanece, y tampoco es expresable como una restricción. Por la restricción de la ley de Gauss para ser consistente bajo la evolución del tiempo, una necesidad la condición es que este a ( ~N) término debe ser exactamente cancelado por otro término derivado de la variación. Vamos a ampliar los términos entre corchetes en (36). Esto se da, utilizando la regla Liebniz sobre el segundo mandato, por ijk(DjH) k) Diáae) + ijkBme Dm((B) −1)ei (Dj?ae)H = ijk(DjH k) Diae)− Bme (B−1)en(DmBng)(B−1) i (Djeaf )H mjk(DmDjğaf)H + Mjk(Djğaf) (DmH) ). (39) Los primeros y últimos términos en el lado derecho de (39) cancelar, que puede ser visto por el reetiquetado de los índices. En aplicación de la definición de curvatura como el conmutador de derivados covariantes al tercer término, a continuación (39) reduce a ijk(DnBng)(B−1) i (Djeaf )H + ffbcçac . (40) El primer término de (40) desaparece debido a la identidad Bianchi y el El segundo término contiene dos contribuciones que debemos evaluar. La primera contribución aportada por (H(2)) + ffbcçac = (detB)Nk(B−1)dkÃ3dbf + ffbcçac = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - 2- dc-ac = (detB)Nk(B−1)dk - 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- = (2)a ( ~N),(41) con ♥ a ( ~N) como se indica en (37). Así que poner los resultados de (39), (40) y (41) en (36), tenemos a = Ga + ♥ ~N) + ♥(1)a ( ) + (1)a ( )− ♥(2)a ( ~N) = Ga + 2 1) ).(42) La velocidad de la restricción de la ley de Gauss es una combinación lineal de la Limitación de Gauss con términos de la restricción de difeomorfismo lineal o- Der y más alto. De ahí que la evolución temporal de la restricción de la ley de Gauss sea insistente en el sentido que hemos definido, ya que فارسى(1)) desaparece para d = 0. 6 Coherencia de la restricción hamiltoniana un- der evolución del tiempo La derivada del tiempo de la restricción Hamiltoniana, la tercera ecuación de (26), es dada por ((detB)1/2(det)1/2 ( + tr1) + ( + tr1) (43) que se ha dividido en dos términos. El primer término es directamente proporcional a la restricción hamiltoniana, por lo tanto ya es consistente. Lo haremos. No obstante, ampliarlo utilizando (21) y (25) (B−1)di d + (­) −1)aeae (detB)1/2(det)1/2(e) + tr1) (B−1)di B d − iDjHdk +(1)ae ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H H. (44) Estaremos contentos de calcular los términos de (44). Estos son (B−1)di B d = (B) −1)di fdbfB 0 = dbfdbfA 0 = 0 (45) debido a la antisimetría de las constantes de estructura, y (1)eaae = () −1)ea fabfófe + febgóag = 0, (46) también debido a la antisimetría de las constantes de la estructura. Hemos demostrado que el primer término en el lado derecho de (43) es coherente con respecto a evolución del tiempo. Para verificar la consistencia de la restricción hamiltoniana bajo evolución del tiempo, queda por demostrar que el segundo término es débilmente igual a cero. Basta con mostrar esto sólo para el segundo término, entre paréntesis, de (43) ( + tr1) = −(11)feef = (11)ef ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H , (47) donde hemos usado (25). Ecuación (47) se ha dividido en dos términos, de que el primer término es (11)eaae = () −11)ea fAbfafe + febgag fabf −1)fa + febg( −1), por ejemplo Ab0 = m( 0 (48) que desaparece débilmente ya que es una función no lineal de al menos orden lineal en.................................................................................................................... El segundo término (47) se divide en dos términos que debemos evaluar. La primera contribución es proporcional a (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )(H(1)) −g(11)eaijk(B−1)ei (Djaf)(B−1)dk(11)df −g(11)ea(11)df (detB)−1 − g(detB)− 1(edg(11)ea(11)dfvgaf} para algunos vectores campo v. Hemos utilizado el hecho de que el término en (49) cuartic en 1 en antisimétrico en a y f debido al símbolo epsilon. Por lo tanto, af como actuado por vg sólo puede aparecer en una combinación antisimétrica, y es, por lo tanto, proporcional a la limitación de difeomorfismo los derivados desaparecen débilmente. Por lo tanto (49) presenta una contribución coherente a la evolución temporal de H, que deja la segunda contribución a el segundo mandato (47). Este término es proporcional a (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )(H(2)) = (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )mnkN n − (B−1)eiB −11)ea(Djaf) N i(B−1)eiB f − ♥efN (11)ea(Djaf ) = (−g)−1/2N iHai vfaf} − (11)fa(N jDj = (−1)−1/2N iHai Ga −N jDj( + tr1). (50) El primer término en el lado derecho final de (50) es proporcional a la La restricción de la ley de Gauss, y el segundo término es proporcional a la derivada de la restricción hamiltoniana. Para obtener este segundo término hemos añadido en como una constante de diferenciación con respecto a la letra j. Sustitución (48), (49) y (50) en (47), entonces tenemos = Ô() + (−g)−1/2N iHai Ga + T® ((−g)−1/2H), (51) en los que Ô y T® son operadores consistentes en derivados espaciales que actúan a la derecha y c números. La derivada del tiempo de la restricción hamiltoniana es una combinación lineal de la ley de Gauss y las restricciones hamiltonianas y sus derivados espaciales, más términos de orden lineal y superior en el dif- limitación del morfismo y sus derivados espaciales. De ahí el hamiltoniano la restricción es consistente en la evolución del tiempo. 7 Recapitulación Las ecuaciones finales que rigen la evolución temporal del valor inicial con- las tensiones son dadas débilmente por d = i(detB)−1(11)da + daeN i(B−1)ei Ab0bdh − ŁdhN jDj * h + i(detB) vd + tr1}; *a = −fabcAb0Gc + ♥(1)a (); ijk(B−1)di (DjH) k ) + • ijk(B−1)ei −1)ae(Djeaf)H −N jlj ( + tr1) +(−g)−1/2N iHai Ga − −g(detB)−1®edg(21)ea(11)dfvgafhm().(52) Las ecuaciones (52) muestran que todas las restricciones derivadas de la acción (1) se conservan en la evolución del tiempo, ya que sus derivados de tiempo rendimiento lineal combinaciones del mismo conjunto de restricciones y sus derivados espaciales. No hay limitaciones adicionales generadas que impliquen que la acción (1) es consistente en el sentido Dirac. Por otro lado, no hemos definido la estructura canónica de (52) o cualquier soporte Poisson. Las ecuaciones (52) pueden escribirse esquemáticamente de la siguiente forma: ~H ~H + ~G+H; ~G ~G( ~H); ~H ~G( ~H), (53) donde Φ es alguna función no lineal de la restricción del difeomorfismo ~H, que es de al menos primer orden en ~H. En la formulación hamiltoniana de un teoría, uno identifica derivados de tiempo de una variable f con via = {f,H} los soportes de Poisson de la variable con el Hamiltonian H. Así que mientras que nosotros no han especificado los corchetes de Poisson, la ecuación (53) implica la existencia de Poisson corchetes asociados a algunos Hamiltonian HInst para la acción (1), { ~H,HInst} ~H + ~G+H; G,HInst} ~G( ~H); {H,HInst} {H ( ~H) + ~G. (54) Así que el principal resultado de este trabajo ha sido demostrar que el instanton representación de la gravedad Plebanski forma un sistema consistente, en el sentido que la superficie de restricción se conserva bajo la evolución del tiempo. Como dirección de la investigación futura vamos a calcular el álgebra de restricciones para (1) directamente de su estructura canónica. Sin embargo, será útil para el presente papel para pensar en ecuaciones (52) en el contexto de Dirac, principalmente para compari- hijo con otras formulaciones de relatividad general. Esto nos llevará a la Variables de Ashtekar. 8 Discusión: Relación del instante represen- a las variables de Ashtekar Ahora proporcionaremos la razón para no seguir el procedimiento de Dirac para sistemas restringidos [2] con respecto a (1), en comparación con el Ashekar formulación de GR. La acción para la representación instantánea (1) puede ser escrita en la siguiente forma descompuesta 3+1 IInst = 0weae} â € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ −iN(detB)1/2(detŁ)1/2 tr1 , (55) que se refieren a las especies A y A i como variables de espacio de fase. Pero el espacio de fase de (55) es no canónico ya que su forma simpléctica dos Inst = ♥ d3xŁaeB d3xBieae d3x®ae® ijkDj(lA k) Aai, (56) no se cierra debido a la presencia del segundo mandato a la derecha Side. Las fases iniciales del procedimiento Dirac se aplicaron a (55) momento conjugado a Aai produce la restricción primaria Πia = IInst ai = AeB e. (57) A continuación, haciendo la identificación ia = Π a y tras la sustitución en (57) y en (55), se obtiene la acción IAsh = ia 0Ga −N iHi − , (58) que es la acción para el formalismo complejo Ashtekar de la relatividad general [5], [6], siendo ia la tríada densitizada. Este es un sistema totalmente limitado. tem con (Aa0, N i, N), respectivamente el ángulo de rotación SO(3, C) Aa0, el cambio vector N i y la función de lapso densitizado N = N(det)−1/2 como auxiliar campos. Las limitaciones en (58) manchar los campos auxiliares son el Gauss’ leyes, vectores y restricciones hamiltonianas Ga = Di a; Hola = ijk a ; H = «ijk» abcia kc +B . (59) A partir de (58) se lee fuera de la forma simpléctica de dos ♥Ash dado por ♥Ash = d3xia d3xiaA = Ash, (60) que es la variación funcional exacta de la forma canónica de una forma Ash. Las acciones (55) y (58) sólo se pueden transformar unas a otras bajo la condición (detB) 6 = 0 y (det-) 6 = 0. En (58) está claro que ia y Aai forma un par canónico conjugado, lo que sugiere que (55) es un no canónico versión de (58). Las limitaciones álgebra para (59) es { ~H[ ~N], ~H [ ~M]} = Hk NikMi −M nikNi { ~H[N], Ga[ {Ga[­a], Gb[­b]} = Ga fabc {H(N), ~H [ ~N]} = H[N i {H(N), Ga(?a)} = 0;[ H(N),H(M) = Hola[ N­jM −M­jN H ij], (61) que es de primera clase debido al cierre del álgebra, y por lo tanto es consistente en el sentido Dirac. Consideremos (61) para cada restricción con el total Hamiltonian HAsh y comparar con (54). Esto se da esquemáticamente por { ~H,HASH} ~H + ~G+H; ~G,HASH} ~G+ ~H; {H,HASH} {H + ~H. (62) La comparación de (62) con (54) muestra una estructura esencialmente similar para la dos líneas superiores que implican ~H y ~G.7 Pero hay una marcada disimilitud con respeto a la restricción hamiltoniana H. Tenga en cuenta que hay una ley de Gauss restricción que aparece en el lado derecho de la última línea de (54), mientras que no hay tal restricción en el lado derecho correspondiente de (62). Esto significa que mientras que la restricción hamiltoniana es calibrado-invariante bajo SO(3, C) calibrador-transformaciones como implica (61) y (62), esto no es el caso en (54). Esto significa que la acción (1), que como se muestra en [1] describe la relatividad general para Petrov tipos I, D y O, tiene una diferente papel para la ley de Gauss y las restricciones Hamiltonianas que la acción (58), que también describe la relatividad general. Por lo tanto IInst y IAsh en algunos nivel corresponden a descripciones genuinamente diferentes de GR, una característica que Se habría perdido si hubiéramos aplicado el procedimiento paso a paso Dirac. 9 Apéndice: Relaciones de comunicación para IInst Ahora vamos a inferir los corchetes de Poisson para (55) por inferencia de la corre- abrazaderas canónicas de Ashtekar Poisson {Aai (x), b (y)} = 3) x, y) (63) junto con los corchetes que desaparecen {Aai (x), Abj(y)} = ia(x), (x)} = 0. (64) Para encontrar el análogo de (63) y (64) para (55), utilizaremos la transformación ecuación ia = aeB e, (65) que corresponde a una transformación no canónica. Sustitución de (65) en (63) rendimientos {Aai (x),{bf (y)Bif (y)} = 3) x, y) {Aai (x),{bf (y)}B y) + bf (x){Aai (x), B (y)}. (66) El segundo término en el lado derecho de (66) desaparece debido a la las primeras relaciones de (64), y al multiplicarse (66) por la inversa magnética campo (B−1)ei, supuesto no degenerado, obtenemos {Aai (x),{bf (y)} = {ab (B−1(y)) 3) x, y). (67) 7La línea versus la no lineal de las restricciones del difeomorfismo en la mano derecha lado es sólo una diferencia menor. Esto nos da los corchetes de Poisson {A,A} 0 y {A, B−1, que hojas que quedan los corchetes,. Para obtener estos, sustituimos (65) en la segunda ecuación de (64), dando ia(x), bj(y)} = ae(x)Bie(x),bf (y)B f y)} = Ae(x) {Bie(x), {bf (y)}B (y) + ae(x),bf (y)}Bie(x)B bf (x)ae(x){Bie(x), B f (y)bf (y)ae(x), B f y)}B e(x) = 0. (68) Observando que el tercer término desaparece debido a la primera ecuación de (64), ecuación (68) reduce a ae(x),bf(y)}Bie(x)B f y) ae(x){Bie(x),bf (y)}B (y)bf (y){Bjf (y),{ae(x)}B e(x) = 0. (69) Los dos términos inferiores de (69) se pueden calcular usando (67) {Bie(x),{bf(y)} = {imnDxm{Aen(x),{bf(y)} = {imnDxm(/23370/eb (B−1(y))fn/23370/(3)x,y)).(70) Sustituyendo (70) por (69) y cancelando un par de campos magnéticos, entonces nosotros Tengo eso. ae(x),bf(y)}Bie(x)B f (y) = Ae(x)D m ba(y)D (3)x,y). (71) Izquierda y derecha multiplicando (71) por la inversa de los campos magnéticos, tenemos ae(x),bf (y)} = ijm (B−1(y)) mŁab(x)(B) −1(x))ei +(B−1(x))eiD mŁba(y)(B) −1(y)) (3)x,y). (72) Uno ve que los componentes internos de las personas tienen conmutación no trivial relaciones con ellos mismos. Bibliografía [1] Eyo Ita «Representación de la gravedad de Plebanski. Gravitacional arXiv: gr-qc/0703057 [2] Paul Dirac ‘Conferencias sobre la mecánica cuántica’ Yeshiva University Press, Nueva York, 1964 [3] Hans Stephani, Dietrich Kramer, Maclcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, y Eduard Herlt ‘Soluciones exactas del campo de Einstein Prensa de la Universidad de Cambridge de Equations [4] R. Penrose y W. Rindler ‘Spinors and space-time’ Cambridge Mono- Gráficos en Física Matemática [5] Ahbay Ashtekar «Nueva formulación hamiltoniana de la relatividad general» Phys. Rev. D36(1987)1587 [6] Ahbay Ashtekar ‘Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica’ Phys. Rev. Lett. Volumen 57, número 18 (1986)

La representación instantánea de la gravedad Plebanski proporciona como ecuaciones de movimiento una condición de autodualidad Hodge y un conjunto de Maxwell 'generalizado' ecuaciones, sujetas a grados gravitacionales de libertad codificadas en el limitaciones de valor de la relatividad general. El principal resultado del presente documento será demostrar que esta superficie de restricción se conserva en el tiempo evolución. Llevamos a cabo esto no utilizando el procedimiento habitual de Dirac, sino más bien las ecuaciones lagrangianas del movimiento lessleves. Por último, proporcionamos una comparación con la formulación de Ashtekar para colocar estos resultados en el contexto general.

Introducción En [1] se presentó una nueva formulación de relatividad general, llamada la representación instantánea de la gravedad Plebanski. Las variables dinámicas básicas son una conexión de gálibo SO(3, C) Aaμ y una matriz dos copias de SO(3, C).1 Las consecuencias de la acción asociada IInst se determinaron a través de sus ecuaciones de movimiento, que dependen crucialmente de los débiles ecualidades implícitas por las restricciones de valor iniciales. Por estas consecuencias para ser auto-consistente, la superficie de la restricción debe ser preservada para siempre por las ecuaciones de la evolución. El presente documento demostrará que En efecto, es el caso. No usaremos la formulación habitual de Hamilton para sistemas totalmente limitados [2], ya que no vamos a hacer uso de ninguna canónica estructura implícita por IInst. Más bien, deduciremos la evolución del tiempo de la variables dinámicas directamente a partir de las ecuaciones de movimiento de IInst. En las secciones 2 y 3 de este documento se presenta la representación instantánea y derivar la evolución temporal de las variables básicas. Secciones 4, 5 y 6 demostrar que las ecuaciones no dinámicas, denominadas difeomor- phism, la ley de Gauss y las restricciones Hamiltonianas, evolucionan en combinaciones de la misma restricción establecida. El resultado es que los derivados de tiempo de estos las tensiones son débilmente iguales a cero sin restricciones adicionales generadas en el sistema. Si bien no utilizamos el método habitual de Dirac en este artículo, el el resultado sigue siendo que la representación instantánea es en cierto sentido consistente Dirac. Vamos a hacer esta inferencia más clara en comparación con el Ashtekar vari- en la sección de discusión. Por último, los términos «difeomorfismo» y las restricciones de la ley ‘Gauss’ se utilizan libremente en este artículo, en que tenemos no especificó qué transformaciones de las variables básicas estas restricciones generar. El uso de estos términos es principalmente con fines notoriales, debido a sus contrapartes que aparecen en las variables Ashtekar. 2 Representación instantánea de la gravedad de Plebanski La acción inicial para la representación instantánea de la gravedad de Plebanski es dado por [1] IInst = d3xŁaeB F a0i + kjmB −iN(detB)1/2 tr1 , (1) 1Las convenciones de etiquetado del índice para este papel son que los símbolos a, b,. ... desde el principio................................................................................................................................................................. ing del alfabeto latino denota los índices internos SO(3, C) mientras que los del medio i, j, k,. .. denota índices espaciales. Ambos conjuntos de índices toman 1, 2 y 3. Los Símbolos griegos μ, ν,. .. se refieren a los índices espacio-tiempo que toman valores 0, 1, 2, 3. donde Nμ = (N,N i) son la función de lapso y vector de desplazamiento desde la métrica la relatividad general, y es la constante cosmológica. Los campos básicos son: Ae y A i, y la acción (1) se define sólo en configuraciones restringidas 6= 0 y 6= 0,2 En el procedimiento Dirac se hace referencia a Nμ como campos no dinámicos, ya que sus velocidades no aparecen en la acción. Mientras que la velocidad ae también no aparece, vamos a distinguir este campo a partir de Nμ, ya que la acción (1), a diferencia de esta última, no es lineal en Ae. La ecuación de movimiento para el vector de cambio N i, el análogo de la Hamilton ecuación para su momento conjugado Π ~N, es dada por IInst = MjkB ae = (detB)(B) −1)diÃ3d â € 0, (2) donde la parte antisimétrica de la «ae» es la «ad» = «dae». Esto es equivalente a la restricción del difeomorfismo Hola debido a la no degeneración de B a, y a menudo vamos a utilizar Hi y d indistintamente en este artículo. La ecuación de movimiento para la función de lapso N, el análogo de la ecuación Hamilton para su impulso conjugado ΠN, está dado por IInst = (detB)1/2 tr1 = 0. 3) La no degeneración de las ae y el campo magnético B e implica que in-shell, el después de la relación debe ser satisfecho • + tr1 = 0, (4) que tomaremos igualmente como sinónimo de la restricción hamiltoniana. La ecuación de movimiento para ae es IInst = BkeF 0k + kjmB m + iN (11)ea 0, (5) hasta un término proporcional a (4) que hemos fijado débilmente igual a cero. Se podría tratar de definir un momento conjugado a "ae", para lo cual (5) sería la ecuación de movimiento asociada de Hamilton. Pero desde las formas parte de la estructura canónica de (1), entonces nuestra interpretación es que esto es no es técnicamente correcto.3 La ecuación de movimiento para la conexión Aaμ es dada por IInst * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4­mjkN mBkeŁ[de] +N(B−1)dj tr1 , (6) 2Este último caso limita la aplicación de nuestros resultados a los tiempos espaciales de Petroc Tipo I, D y O (véase, por ejemplo, [3] y [4]. 3Esto es porque (5) contiene una velocidad a dentro de F a y, por lo tanto, será considerado como una ecuación de la evolución en lugar de una restricción. Esto está en marcado contraste con (2) y (3), que son ecuaciones de restricción genuina debido a la ausencia de cualquier velocidad. donde hemos definido ea(x, y) Aai (x) Bje(y) = aek + fedaAdk (3)x, y); D ea 0......................................................................................................................................................... 7).................................................................................................................................................. Los términos que figuran entre corchetes grandes en (6) se desvanecen débilmente, ya que son pro- parte a las limitaciones (2) y (4) y sus derivados espaciales. Por los propósitos de este documento que vamos a considerar (6) como sinónimo de D(aeF ) 0. (8) En un abuso de notación, trataremos (5) y (8) como fuertes igualdades en Este periódico. Esto se justificará una vez que hayamos completado la demostración. que la superficie de restricción definida colectivamente por (2), (3) y el Gauss» la restricción de (8) se conserva en efecto bajo la evolución del tiempo. Como nota antes de proceder, a menudo haremos la identificación N(detB)1/2 det........................................................................ −g (9) como una notación taquigráfica, para evitar desordenar muchas de las derivaciones que seguir en este documento. 2.1 Consistencia interna de las ecuaciones de movimiento Antes de iniciar la cuestión de la consistencia de la evolución temporal de la restricciones de valor inicial, vamos a comprobar la coherencia interna de IInst, que implica el examen del contenido físico implícito en (8) y (5). En primer lugar, la ecuación (8) puede descomponerse en sus partes espaciales y temporales como Di(lbfB f ) = 0; D0(bfB f ) = • ijkDj(lbfF 0k). (10) La primera ecuación de (10) es la restricción de la ley de Gauss de un SO(3) Yang– La teoría de los molinos, cuando uno hace la identificación de bfB f) Eib con la Campo eléctrico Yang-Mills. Las ecuaciones de Maxwell para la teoría del calibre U(1) con fuentes (l, ~J), en unidades donde c = 1, son dadas por · ~B = 0; = ~E = 0; ·E = ♥; E = − ~J + ~B. (11) Ecuaciones (10) puede ser visto como una generalización de las dos primeras ecuaciones de (11) a SO(3) nonabelian calibrador teoría en el espacio plano cuando uno: (i) identifica con la generalización SO(3) del campo eléctrico ~E, y (ii) uno elige ae = kae para algunas constantes numéricas k. Cuando ♥ = 0 y ~J = 0, entonces uno tiene la teoría del vacío y ecuaciones (11) son invariantes bajo la transformación ( ~E, ~B) (− ~B, ~E). (12) Entonces el segundo par de ecuaciones de (11) se vuelven implícitas por el primer par. Esta es la condición de que la curvatura abeliana F.o, donde F0i = Ei y Fjk = Bi, es Hodge auto-dual con respecto a la métrica de un conforme espacio-tiempo plano. Pero las ecuaciones (10) para más general codifican gravitacionalmente grados de libertad, que como se muestra en [1] generaliza el concepto de auto- dualidad a tiempos espaciales más generales resolviendo las ecuaciones de Einstein. Déjanos primer intento de derivar el análogo para (10) del segundo par de (11) en el caja de vacío. Actuando sobre la primera ecuación de (10) con rendimientos D0 D0Di(lbfB f ) = DiD0(bfB f ) + [D0,Di](lbfB f ) = 0. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Sustitución de la segunda ecuación de (10) en el primer término a la derecha lado de (13) y utilizando la definición de curvatura temporal como el conmutador de derivados covariantes en el segundo término que tenemos ijkDj(lbfF 0k)) + fbcdF 0iÃ3dfB f = fbcd 0k +B Df = 0 (14) donde también hemos utilizado la parte espacial del conmutador ijkDiDjva = fabcB b vc. Nótese que el término entre paréntesis en (14) es simétrico en f y c, y también forma la parte simétrica del lado izquierdo de (5) 0i + i −g(11)fb + BifB k = 0, (15) reescrito aquí para ser completo. Para avanzar a partir de (14), sub- ) en (14). Esto hace que el último período de (15) a abandonar debido a antisimetría, que nos deja con −gfbcd * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −11)fc df −11)fc = −2i −gfbcd1dc. 16) Las ecuaciones son consistentes sólo si (16) desaparece, que es el requisito que?ae =?ea sea simétrico. Este es, por supuesto, el requisito de que el Se satisface la restricción del difeomorfismo (2). Así que el análogo de la segunda par de (11) en el caso del vacío debe codificarse en el requisito de que Simétricas. 3 Las ecuaciones de la evolución del tiempo Ahora debemos verificar que las restricciones de valor iniciales se conservan bajo evolución temporal definida por las ecuaciones de movimiento (5) y (6). Estos equa- ciones son respectivamente la condición de dualidad Hodge 0k + i −g(11)fb + ijkN iBjbB f = 0, (17) y una de las ecuaciones de identidad Bianchi-como ijkDj(aeF ok) = D0(aeB e). (18) Puesto que las restricciones de valor iniciales se utilizaron para obtener la segunda línea de (17) a partir de (1), entonces debemos verificar que estas restricciones se conservan bajo evolución del tiempo como requisito de consistencia. Usando F b0i = i −DiAb0 y definir −g(B−1)fi −11)fb + mnkN mBnb Ł iHbk, (19) Entonces la ecuación (17) se puede escribir como una ecuación de evolución del tiempo para el conexión, que no es lo mismo que una ecuación de restricción como se ha señalado anteriormente F b0i = −iHbi bi = DiAb0 − iHbi. (20) De la ecuación (20) podemos obtener la siguiente ecuación que rige el tiempo ecuación de evolución para el campo magnético # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ijkDj k = Índice ijkDj 0 − iHek = febcB 0 − iijkDjHek = B e) iijkDjHek, (21) que será útil. En el primer término en el lado derecho de (21) han utilizado la definición de la curvatura como el conmutador de covariante derivados. La notación en (21) sugiere que B e transforma como a vector SO(3, C) bajo transformaciones del gálibo parametrizado por Dado que no hemos especificado nada sobre la estructura canónica de IInst, entonces como se utiliza en (21) y en (24) debe en esta etapa simplemente ser considerado como definición útil para la notación taquigráfica. Ahora vamos a aplicar la regla Liebnitz en conjunción con la definición de los derivados covariantes temporales a (18) para determinar la ecuación erning la evolución del tiempo de las personas. Esto es dado por D0(­aeB e) = B Eae ae e + fabcA 0(­)ceB e) = ijkDj(aeF 0k). (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Sustituyendo (21) y (20) en los lados izquierdo y derecho de (22), tenemos Bieae ae febcB 0 − iijkDjHek + fabcA 0(­)ceB e) = −iijkDj(aeHek).23) En lo que sigue, será conveniente utilizar la siguiente transformación: propiedades de las Ae como A i en las transformaciones del indicador SO(3, C) ae = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ab0; A i = −DiAa0; B e = −febcBibAc0. (24) 4 Haremos la identificación con las transformaciones del medidor SO(3, C) más adelante en este papel cuando traemos en la relación de IInst con las variables Ashtekar. A continuación, utilizando (24), las ecuaciones de evolución del tiempo para las variables de espacio de fase Inst se puede escribir en la siguiente forma compacta bi = A i − iHbi ; ae = ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H k (25) Hemos encontrado ecuaciones de evolución para Ae y A I de la covariante equa- ciones de Aaμ y la condición Hodge-dualidad Hemos obtenido estos sin usando los soportes de Poisson, y asumiendo que el Hamiltoniano y el diffeo- las limitaciones de morfismo están satisfechas. Por lo tanto, el primer orden del día es a continuación, comprobar la preservación de las restricciones de valor iniciales en el evolución temporal generada por (25). Esto significa que debemos comprobar que la evolución temporal del difeomorfismo, la ley de Gauss y la con- las tensiones son combinaciones de términos proporcionales a las mismas limitaciones y sus derivados espaciales, y términos que desaparecen cuando las restricciones se mantienen.5 Estas limitaciones están dadas por weae} = 0; (detB)(B−1)diÃ3d = 0; (detB)1/2 tr1 = 0(26) donde (detB) 6 = 0 y (det De vez en cuando haremos el identifi... catión N(detB)1/2(det −g (27) para una notación taquigráfica. Además, se proporcionan las siguientes definiciones: para los campos vectoriales que aparecen en la restricción de Gauss nosotros = B eDi;ve = B e.i.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e.e. donde Di es el derivado covariante SO(3, C) con respecto a la conexión Aai. Ecuaciones (26) son las ecuaciones de movimiento para los campos auxiliares A N i y N.................................................................................................................. 4 Coherencia de la limitación del difeomorfismo un- der evolución del tiempo La restricción del difeomorfismo es directamente proporcional a la la parte antisimétrica de la «ae». Así que para establecer la condición de consistencia para esta restricción, basta con demostrar que la parte antisimétrica de la segunda ecuación de (25) débilmente desaparece. Esto es dado por daeae = (daeae)− idae ijk(B−1)ei (Dj?af )H k, (29) 5Esto incluye cualquier función no lineal de orden lineal o superior en las restricciones, a situación que implica la limitación del difeomorfismo. que se divide en dos términos. Usando (24), uno encuentra que el primer término de (29) es dada por daeae = dae fabcèce acfebc * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Ab0 = 2[bd]A 0 = dbhAb0h, (30) que es proporcional a la restricción del difeomorfismo. El segundo mandato (30) tiene dos contribuciones debidas a H k tal como se define en (19). El primer contribu- ión reduce a − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = -i-dae-ijk (B-1)ei (Dj-af ) −g(B−1)gk( −11)gf = Íddae(detB) − 1 egh(11)gfB hDjeaf = i(detB)−1(11)gf a) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vvaf} = i(detB)−1(11)gf Dvaaf} − vdgf} = i(detB)−1 (11)dfGf + vd tr1} . 31) El primer término en el lado derecho final de (31) es la restricción de Gauss y el segundo término es la derivada de un término dirección proporcional a la restricción hamiltoniana.6 La segunda contribución al segundo mandato de (29) es dada por # # Dae # ijk(B−1)ei (Djğaf )(H(2)) k = «dae» ijk(B­1)ei (Dj­af)­mnkN = Dac n − (B−1)ei (Djğaf )N = daeN i(B−1)eivfaf} −N jDj(daeae) = daeN i(B−1)efGa −N jDjŁd.(32) El resultado es que la evolución temporal de la restricción del difeomorfismo es directamente proporcional a d = i(detB)−1(11)da + daeN i(B−1)ei Ab0bdh − ŁdhN jDj * h + i(detB) vd{(−g)−1/2H}, (33) que es una combinación lineal de términos proporcionales a las limitaciones (26) y sus derivados espaciales. El resultado es que el difeomorfismo con- Hi = 0 es consistente con respecto al gen de la evolución hamiltoniana. expresado por las ecuaciones (25). Por lo tanto, queda por verificar la coherencia de Gauss’ la ley y las restricciones Hamiltonianas Ga y H. 6 Hemos añadido en un término, que puede ser considerado como una constante de integración con respeto a los derivados espaciales de vd. 5 Coherencia de la restricción de Gauss bajo el tiempo evolución Habiendo verificado la consistencia de la restricción del difeomorfismo en el tiempo evolución, ahora pasamos a la restricción de Gauss. Aplicación de la Liebnitz regla a la primera ecuación de (26) rendimientos # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # eDioae +B eDiae +B fabfófe + febgóag ai. (34) Tras la sustitución de (21) y (25) en (34), tenemos # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B e − iijkDjHek Diaae +B ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H fabfófe + febgóag A i − iHbi .(35) Usando la regla de Liebniz para combinar los términos de (35), tenemos # A = # Ga # # i # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # # Ga # k)Diae +B e Dm(B −1)ei (Djefaf)H fabfófe + febgóag i. (36) El requisito de la coherencia es que debemos demostrar que la mano derecha El lado de (36) desaparece débilmente. En primer lugar, vamos a mostrar que el tercer término en el mano derecha de (36) desaparece hasta los términos de orden lineal y superior en la restricción del difeomorfismo. Este término, hasta un número insignificante factor, tiene dos contribuciones. La primera contribución es fabfófe + febgóag Bie(H(1)) fabfófe + febgóag (11)eb fabf −1)fb + febg( −11) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1)a () • 0, (37) que es directamente proporcional a una función no lineal de primer orden en........................................................................................................................................................................................................................................................ que es proporcional a la restricción del difeomorfismo. El segundo contri- bution al tercer término en el lado derecho de (36) es fabfófe + febgóag Bie(H(2)) fabfófe + febgóag â € ¢kmnN kBme B fabfófe + febgóag (detB)Nk(B−1)dkÃ3deb = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * N.o FLAVIS: 01.01.01 = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2a ( ~N) (38) que no se desvanece, y tampoco es expresable como una restricción. Por la restricción de la ley de Gauss para ser consistente bajo la evolución del tiempo, una necesidad la condición es que este a ( ~N) término debe ser exactamente cancelado por otro término derivado de la variación. Vamos a ampliar los términos entre corchetes en (36). Esto se da, utilizando la regla Liebniz sobre el segundo mandato, por ijk(DjH) k) Diáae) + ijkBme Dm((B) −1)ei (Dj?ae)H = ijk(DjH k) Diae)− Bme (B−1)en(DmBng)(B−1) i (Djeaf )H mjk(DmDjğaf)H + Mjk(Djğaf) (DmH) ). (39) Los primeros y últimos términos en el lado derecho de (39) cancelar, que puede ser visto por el reetiquetado de los índices. En aplicación de la definición de curvatura como el conmutador de derivados covariantes al tercer término, a continuación (39) reduce a ijk(DnBng)(B−1) i (Djeaf )H + ffbcçac . (40) El primer término de (40) desaparece debido a la identidad Bianchi y el El segundo término contiene dos contribuciones que debemos evaluar. La primera contribución aportada por (H(2)) + ffbcçac = (detB)Nk(B−1)dkÃ3dbf + ffbcçac = (detB)Nk(B−1)dk * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - 2- dc-ac = (detB)Nk(B−1)dk - 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- = (2)a ( ~N),(41) con ♥ a ( ~N) como se indica en (37). Así que poner los resultados de (39), (40) y (41) en (36), tenemos a = Ga + ♥ ~N) + ♥(1)a ( ) + (1)a ( )− ♥(2)a ( ~N) = Ga + 2 1) ).(42) La velocidad de la restricción de la ley de Gauss es una combinación lineal de la Limitación de Gauss con términos de la restricción de difeomorfismo lineal o- Der y más alto. De ahí que la evolución temporal de la restricción de la ley de Gauss sea insistente en el sentido que hemos definido, ya que فارسى(1)) desaparece para d = 0. 6 Coherencia de la restricción hamiltoniana un- der evolución del tiempo La derivada del tiempo de la restricción Hamiltoniana, la tercera ecuación de (26), es dada por ((detB)1/2(det)1/2 ( + tr1) + ( + tr1) (43) que se ha dividido en dos términos. El primer término es directamente proporcional a la restricción hamiltoniana, por lo tanto ya es consistente. Lo haremos. No obstante, ampliarlo utilizando (21) y (25) (B−1)di d + (­) −1)aeae (detB)1/2(det)1/2(e) + tr1) (B−1)di B d − iDjHdk +(1)ae ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H H. (44) Estaremos contentos de calcular los términos de (44). Estos son (B−1)di B d = (B) −1)di fdbfB 0 = dbfdbfA 0 = 0 (45) debido a la antisimetría de las constantes de estructura, y (1)eaae = () −1)ea fabfófe + febgóag = 0, (46) también debido a la antisimetría de las constantes de la estructura. Hemos demostrado que el primer término en el lado derecho de (43) es coherente con respecto a evolución del tiempo. Para verificar la consistencia de la restricción hamiltoniana bajo evolución del tiempo, queda por demostrar que el segundo término es débilmente igual a cero. Basta con mostrar esto sólo para el segundo término, entre paréntesis, de (43) ( + tr1) = −(11)feef = (11)ef ae − i ijk(B−1)ei (Dj?af )H , (47) donde hemos usado (25). Ecuación (47) se ha dividido en dos términos, de que el primer término es (11)eaae = () −11)ea fAbfafe + febgag fabf −1)fa + febg( −1), por ejemplo Ab0 = m( 0 (48) que desaparece débilmente ya que es una función no lineal de al menos orden lineal en.................................................................................................................... El segundo término (47) se divide en dos términos que debemos evaluar. La primera contribución es proporcional a (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )(H(1)) −g(11)eaijk(B−1)ei (Djaf)(B−1)dk(11)df −g(11)ea(11)df (detB)−1 − g(detB)− 1(edg(11)ea(11)dfvgaf} para algunos vectores campo v. Hemos utilizado el hecho de que el término en (49) cuartic en 1 en antisimétrico en a y f debido al símbolo epsilon. Por lo tanto, af como actuado por vg sólo puede aparecer en una combinación antisimétrica, y es, por lo tanto, proporcional a la limitación de difeomorfismo los derivados desaparecen débilmente. Por lo tanto (49) presenta una contribución coherente a la evolución temporal de H, que deja la segunda contribución a el segundo mandato (47). Este término es proporcional a (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )(H(2)) = (11)eaijk(B−1)ei (Djaf )mnkN n − (B−1)eiB −11)ea(Djaf) N i(B−1)eiB f − ♥efN (11)ea(Djaf ) = (−g)−1/2N iHai vfaf} − (11)fa(N jDj = (−1)−1/2N iHai Ga −N jDj( + tr1). (50) El primer término en el lado derecho final de (50) es proporcional a la La restricción de la ley de Gauss, y el segundo término es proporcional a la derivada de la restricción hamiltoniana. Para obtener este segundo término hemos añadido en como una constante de diferenciación con respecto a la letra j. Sustitución (48), (49) y (50) en (47), entonces tenemos = Ô() + (−g)−1/2N iHai Ga + T® ((−g)−1/2H), (51) en los que Ô y T® son operadores consistentes en derivados espaciales que actúan a la derecha y c números. La derivada del tiempo de la restricción hamiltoniana es una combinación lineal de la ley de Gauss y las restricciones hamiltonianas y sus derivados espaciales, más términos de orden lineal y superior en el dif- limitación del morfismo y sus derivados espaciales. De ahí el hamiltoniano la restricción es consistente en la evolución del tiempo. 7 Recapitulación Las ecuaciones finales que rigen la evolución temporal del valor inicial con- las tensiones son dadas débilmente por d = i(detB)−1(11)da + daeN i(B−1)ei Ab0bdh − ŁdhN jDj * h + i(detB) vd + tr1}; *a = −fabcAb0Gc + ♥(1)a (); ijk(B−1)di (DjH) k ) + • ijk(B−1)ei −1)ae(Djeaf)H −N jlj ( + tr1) +(−g)−1/2N iHai Ga − −g(detB)−1®edg(21)ea(11)dfvgafhm().(52) Las ecuaciones (52) muestran que todas las restricciones derivadas de la acción (1) se conservan en la evolución del tiempo, ya que sus derivados de tiempo rendimiento lineal combinaciones del mismo conjunto de restricciones y sus derivados espaciales. No hay limitaciones adicionales generadas que impliquen que la acción (1) es consistente en el sentido Dirac. Por otro lado, no hemos definido la estructura canónica de (52) o cualquier soporte Poisson. Las ecuaciones (52) pueden escribirse esquemáticamente de la siguiente forma: ~H ~H + ~G+H; ~G ~G( ~H); ~H ~G( ~H), (53) donde Φ es alguna función no lineal de la restricción del difeomorfismo ~H, que es de al menos primer orden en ~H. En la formulación hamiltoniana de un teoría, uno identifica derivados de tiempo de una variable f con via = {f,H} los soportes de Poisson de la variable con el Hamiltonian H. Así que mientras que nosotros no han especificado los corchetes de Poisson, la ecuación (53) implica la existencia de Poisson corchetes asociados a algunos Hamiltonian HInst para la acción (1), { ~H,HInst} ~H + ~G+H; G,HInst} ~G( ~H); {H,HInst} {H ( ~H) + ~G. (54) Así que el principal resultado de este trabajo ha sido demostrar que el instanton representación de la gravedad Plebanski forma un sistema consistente, en el sentido que la superficie de restricción se conserva bajo la evolución del tiempo. Como dirección de la investigación futura vamos a calcular el álgebra de restricciones para (1) directamente de su estructura canónica. Sin embargo, será útil para el presente papel para pensar en ecuaciones (52) en el contexto de Dirac, principalmente para compari- hijo con otras formulaciones de relatividad general. Esto nos llevará a la Variables de Ashtekar. 8 Discusión: Relación del instante represen- a las variables de Ashtekar Ahora proporcionaremos la razón para no seguir el procedimiento de Dirac para sistemas restringidos [2] con respecto a (1), en comparación con el Ashekar formulación de GR. La acción para la representación instantánea (1) puede ser escrita en la siguiente forma descompuesta 3+1 IInst = 0weae} â € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ −iN(detB)1/2(detŁ)1/2 tr1 , (55) que se refieren a las especies A y A i como variables de espacio de fase. Pero el espacio de fase de (55) es no canónico ya que su forma simpléctica dos Inst = ♥ d3xŁaeB d3xBieae d3x®ae® ijkDj(lA k) Aai, (56) no se cierra debido a la presencia del segundo mandato a la derecha Side. Las fases iniciales del procedimiento Dirac se aplicaron a (55) momento conjugado a Aai produce la restricción primaria Πia = IInst ai = AeB e. (57) A continuación, haciendo la identificación ia = Π a y tras la sustitución en (57) y en (55), se obtiene la acción IAsh = ia 0Ga −N iHi − , (58) que es la acción para el formalismo complejo Ashtekar de la relatividad general [5], [6], siendo ia la tríada densitizada. Este es un sistema totalmente limitado. tem con (Aa0, N i, N), respectivamente el ángulo de rotación SO(3, C) Aa0, el cambio vector N i y la función de lapso densitizado N = N(det)−1/2 como auxiliar campos. Las limitaciones en (58) manchar los campos auxiliares son el Gauss’ leyes, vectores y restricciones hamiltonianas Ga = Di a; Hola = ijk a ; H = «ijk» abcia kc +B . (59) A partir de (58) se lee fuera de la forma simpléctica de dos ♥Ash dado por ♥Ash = d3xia d3xiaA = Ash, (60) que es la variación funcional exacta de la forma canónica de una forma Ash. Las acciones (55) y (58) sólo se pueden transformar unas a otras bajo la condición (detB) 6 = 0 y (det-) 6 = 0. En (58) está claro que ia y Aai forma un par canónico conjugado, lo que sugiere que (55) es un no canónico versión de (58). Las limitaciones álgebra para (59) es { ~H[ ~N], ~H [ ~M]} = Hk NikMi −M nikNi { ~H[N], Ga[ {Ga[­a], Gb[­b]} = Ga fabc {H(N), ~H [ ~N]} = H[N i {H(N), Ga(?a)} = 0;[ H(N),H(M) = Hola[ N­jM −M­jN H ij], (61) que es de primera clase debido al cierre del álgebra, y por lo tanto es consistente en el sentido Dirac. Consideremos (61) para cada restricción con el total Hamiltonian HAsh y comparar con (54). Esto se da esquemáticamente por { ~H,HASH} ~H + ~G+H; ~G,HASH} ~G+ ~H; {H,HASH} {H + ~H. (62) La comparación de (62) con (54) muestra una estructura esencialmente similar para la dos líneas superiores que implican ~H y ~G.7 Pero hay una marcada disimilitud con respeto a la restricción hamiltoniana H. Tenga en cuenta que hay una ley de Gauss restricción que aparece en el lado derecho de la última línea de (54), mientras que no hay tal restricción en el lado derecho correspondiente de (62). Esto significa que mientras que la restricción hamiltoniana es calibrado-invariante bajo SO(3, C) calibrador-transformaciones como implica (61) y (62), esto no es el caso en (54). Esto significa que la acción (1), que como se muestra en [1] describe la relatividad general para Petrov tipos I, D y O, tiene una diferente papel para la ley de Gauss y las restricciones Hamiltonianas que la acción (58), que también describe la relatividad general. Por lo tanto IInst y IAsh en algunos nivel corresponden a descripciones genuinamente diferentes de GR, una característica que Se habría perdido si hubiéramos aplicado el procedimiento paso a paso Dirac. 9 Apéndice: Relaciones de comunicación para IInst Ahora vamos a inferir los corchetes de Poisson para (55) por inferencia de la corre- abrazaderas canónicas de Ashtekar Poisson {Aai (x), b (y)} = 3) x, y) (63) junto con los corchetes que desaparecen {Aai (x), Abj(y)} = ia(x), (x)} = 0. (64) Para encontrar el análogo de (63) y (64) para (55), utilizaremos la transformación ecuación ia = aeB e, (65) que corresponde a una transformación no canónica. Sustitución de (65) en (63) rendimientos {Aai (x),{bf (y)Bif (y)} = 3) x, y) {Aai (x),{bf (y)}B y) + bf (x){Aai (x), B (y)}. (66) El segundo término en el lado derecho de (66) desaparece debido a la las primeras relaciones de (64), y al multiplicarse (66) por la inversa magnética campo (B−1)ei, supuesto no degenerado, obtenemos {Aai (x),{bf (y)} = {ab (B−1(y)) 3) x, y). (67) 7La línea versus la no lineal de las restricciones del difeomorfismo en la mano derecha lado es sólo una diferencia menor. Esto nos da los corchetes de Poisson {A,A} 0 y {A, B−1, que hojas que quedan los corchetes,. Para obtener estos, sustituimos (65) en la segunda ecuación de (64), dando ia(x), bj(y)} = ae(x)Bie(x),bf (y)B f y)} = Ae(x) {Bie(x), {bf (y)}B (y) + ae(x),bf (y)}Bie(x)B bf (x)ae(x){Bie(x), B f (y)bf (y)ae(x), B f y)}B e(x) = 0. (68) Observando que el tercer término desaparece debido a la primera ecuación de (64), ecuación (68) reduce a ae(x),bf(y)}Bie(x)B f y) ae(x){Bie(x),bf (y)}B (y)bf (y){Bjf (y),{ae(x)}B e(x) = 0. (69) Los dos términos inferiores de (69) se pueden calcular usando (67) {Bie(x),{bf(y)} = {imnDxm{Aen(x),{bf(y)} = {imnDxm(/23370/eb (B−1(y))fn/23370/(3)x,y)).(70) Sustituyendo (70) por (69) y cancelando un par de campos magnéticos, entonces nosotros Tengo eso. ae(x),bf(y)}Bie(x)B f (y) = Ae(x)D m ba(y)D (3)x,y). (71) Izquierda y derecha multiplicando (71) por la inversa de los campos magnéticos, tenemos ae(x),bf (y)} = ijm (B−1(y)) mŁab(x)(B) −1(x))ei +(B−1(x))eiD mŁba(y)(B) −1(y)) (3)x,y). (72) Uno ve que los componentes internos de las personas tienen conmutación no trivial relaciones con ellos mismos. Bibliografía [1] Eyo Ita «Representación de la gravedad de Plebanski. Gravitacional arXiv: gr-qc/0703057 [2] Paul Dirac ‘Conferencias sobre la mecánica cuántica’ Yeshiva University Press, Nueva York, 1964 [3] Hans Stephani, Dietrich Kramer, Maclcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, y Eduard Herlt ‘Soluciones exactas del campo de Einstein Prensa de la Universidad de Cambridge de Equations [4] R. Penrose y W. Rindler ‘Spinors and space-time’ Cambridge Mono- Gráficos en Física Matemática [5] Ahbay Ashtekar «Nueva formulación hamiltoniana de la relatividad general» Phys. Rev. D36(1987)1587 [6] Ahbay Ashtekar ‘Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica’ Phys. Rev. Lett. Volumen 57, número 18 (1986)

Metal-insulator transition in the low-dimensional organic conductor (TMTSF)2FSO3 probed by infrared microspectroscopy

EPJ manuscrito No. (se insertará por el editor) Transición metal-isulador en el orgánico de baja dimensión conductor (TMTSF)2FSO3 sondeado por microespectroscopia infrarroja A. Pashkin1a, K. Thirunavukkuarasu1, Y.-L. Mathis2, W. Kang3, y C. A. Kuntscher1b 1 Experimentalphysik II, Universität Augsburg, 86159 Augsburg, Alemania 2 Instituto para la Radiación Sincrotrónica, Forschungszentrum Karlsruhe, P.O. Box 3640, 76021 Karlsruhe, Alemania 3 Departamento de Física, Universidad de Mujeres Ewha, Seúl 120-750, Corea Recibido: 28 de octubre de 2018 Resumen. Presentamos mediciones de la respuesta infrarroja de la conduc- tor (TMTSF)2FSO3 a lo largo (E®a) y perpendicular (E®b) ′) al eje de apilamiento en función del temple- ature. Por encima de la transición metal-insulador relacionada con el anión ordenando los espectros de conductividad óptica mostrar una respuesta similar a Drude. Por debajo de la transición se abre una brecha de energía de unos 1500 cm-1 (185 meV), que conduzca a la correspondiente banda de transferencia de carga en los espectros de conductividad óptica. El análisis de la Las vibraciones infrarrojas activas dan evidencia de la modulación de la estructura cristalina de largo alcance por debajo de la transi- temperatura y para las fluctuaciones de orden de corto alcance de la modulación de la celosía por encima de la transición temperatura. También informamos sobre un nuevo modo infrarrojo a unos 710 cm-1 con una temperatura peculiar comportamiento, que hasta ahora no se ha observado en ninguna otra sal (TMTSF)2X que muestre un aislante metálico transición. Un modelo cualitativo basado en el acoplamiento entre la vibración de la molécula TMTSF y el reorientación del momento dipolo eléctrico del anión FSO3, con el fin de explicar el anómalo comportamiento del nuevo modo. PACS. 71.30.+h Transiciones aisladoras de metales y otras transiciones electrónicas – 74.70.Kn conductores 1 Introducción Las sales orgánicas de Bechgaard (TMTSF)2X consisten en: pilas de TMTSF planar (tetrametiltetraselenafulva- moléculas separadas por aniones (X = PF6, AsF6, ClO4, Br, etc.). El transporte de carga en estos sistemas está restringido a la dirección a lo largo de las pilas moleculares, haciendo las sales de Bechgaard ejemplos de uno- metales dimensionales. Sin embargo, al enfriar la mayor parte de se someten a una transición metal-aislante que impide el inicio de un estado superconductor [1]. En Bechgaard sales con aniones no centrosimétricos como ReO4, BF4 o FSO3 la transición metal-insulador está relacionada con el orden de anión [2]. Además, se demostró que: En algunos casos, la transición metal-isulador puede ser sup- presionado por la aplicación de presión externa, que conduce a un estado terrestre superconductor [3]. El caso de los aniones X=FSO3 en esta clase de terials es particularmente interesante, ya que estos aniones son no centrosimétrico y además poseen un permanente momento dipolo eléctrico. El primer estudio de la utilería básica Wudl et al. al. en 1982 [4]. Otros estudios han demostrado que esta a email: oleksiy.pashkin@physik.uni-augsburg.de b correo electrónico: christine.kuntscher@physik.uni-augsburg.de Libra tiene el temperamento de transición superconductor más alto. ature (2,5 K a 8,5 kbar) entre las sales de Bechgaard. Lo siento. se propuso que esto se debe a la interacción de la conducir electrones con los dipolos de anión FSO3 [5]. A reciente estudio detallado [6] reveló una presión muy rica diagrama de fase de temperatura de (TMTSF)2FSO3 con una va- dad de diferentes fases, que no han sido completamente identificado hasta ahora. Además, por magnetoresistencia medidas un comportamiento electrónico bidimensional fue se encuentra en (TMTSF)2FSO3 bajo una presión de alrededor de 6,2 kbar [7]. La interacción de los aniones FSO3 entre sí a través de fuerzas Coulomb de largo alcance y con el centrosimétrico alrededor formado por los cationes TMTSF tiende a ordenar los aniones por debajo de cierta temperatura. El primer orden transición de fase estructural relacionada con esta orden de anión se produce alrededor de TMI=89 K en (TMTSF)2FSO3 en ambi- Presión ent. El cambio de la estructura cristalina modifica la estructura electrónica de la banda: el eficaz medio-llenado con- banda de conductos se divide en una banda llena y una banda vacía separado por una brecha de energía, que conduce a un metal afilado- transición del aislante [5]. El análisis estructural sugerido una modulación de la estructura cristalina con wavevevector q = (1/2, 1/2, 1/2) por debajo de la fase de transición, lo que implica un estado antiferroeléctrico [8,2]. La orden de la FSO3 aniones modula la celosía dando lugar a una nueva unidad de celda http://arxiv.org/abs/0704.0368v1 2 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja de tamaño 2a × 2b × 2c. Por lo tanto, hay ocho unidades de fórmula de (TMTSF)2FSO3 por unidad de celda a baja temperatura fase. Correspondientemente, uno puede esperar una división de cada uno modo vibratorio en hasta ocho componentes [9]. La relación entre el desfase energético y la transición la peratura en (TMTSF)2FSO3 es + 12,5 [4], que es ap- Preciosamente más alto que el valor 3.5 predicho por el teoría de campo medio para la transición de Peierls. Por lo tanto, el aislante metálico en las sales de Bechgaard con aniones centrosimétricos se atribuyó a un tipo especial de La inestabilidad de Peierls que se origina en el anión-electrón acoplamiento [10]. En este trabajo presentamos los resultados de una estudio de la reflectividad infrarroja polarizada dependiente de (TMTSF)2FSO3 cristales simples en el extremo y medio- rango de frecuencia infrarroja, con el fin de caracterizar la cambio de las propiedades electrónicas y vibratorias durante la transición metal-isulador en TMI=89 K. Esta es la primera investigación espectroscópica infrarroja del compuesto (TMTSF)2FSO3. Nuestros resultados permiten una determinación directa de la brecha de carga en el estado aislante. Además, nosotros determinó y analizó el comportamiento de la vibración modos durante la transición metal-isulador, que puede aclarar los detalles del orden dipolar. 2 Experimental (TMTSF)2FSO3 cristales simples se cultivan de forma estándar técnicas electroquímicas de moléculas TMTSF y tetrabutilamonio-FSO3. Las muestras estudiadas tienen una forma similar a la aguja, con un tamaño aproximado de 2 × 0,2 × 0,1 mm3. Las muestras fueron montadas en un dedo frío Cry- oVac Konti-Mikro criostato. El temple de medición real... ature fue controlado por un sensor conectado en vicin- ity de la muestra. Las mediciones se realizaron en la línea de haz infrarroja de la fuente de radiación sincrotrón Anka. Se midió la reflectividad infrarroja polarizada en el rango 150 - 10000 cm−1 usando un IRscope Bruker Microscopio II conectado a un espectrómetro IFS66v/S. Los la resolución de la frecuencia fue de 1 cm-1 para todas las especificaciones medidas tra. TPX ópticamente transparente y KBr criostato ganar- se utilizaron para las mediciones en el extremo y medio- rango de frecuencia infrarroja, respectivamente. 3 Resultados y discusión 3.1 Propiedades electrónicas Los espectros de reflectividad de (TMTSF)2FSO3 baja la temperatura de transición del aislante metálico de 89 K para tanto las polarizaciones Ea como Eab′ (juntos y perpendiculares en el eje de apilamiento, respectivamente) se muestran en la Fig. 1. Los datos de reflectividad en la región espectral a unos 450 cm−1 se ven afectados por las características de absorción del infrarrojo lejano Ventana de criostato TPX y por lo tanto no se muestran. A 290 K la reflectividad de la muestra a lo largo de la el eje de apilamiento Eaa demuestra un comportamiento típico de Drude E a 290 K 45 K 8000250 E b' Frecuencia (cm 290 K 45 K Energía (meV) E a Fig. 1. Espectros de reflectividad de (TMTSF)2FSO3 arriba y ser- baja la transición metal-aislante para Eoa y Eoab′. (crece hasta 1 cuando la frecuencia tiende a cero). En contra. trast, a 45 K, es decir, por debajo del TMI, la reflectividad es casi frecuencia independiente por debajo de 1000 cm−1, que es típico para un estado aislante. Los flecos de interferencia observados por debajo de 400 cm−1 en los espectros de ambas polarizaciones se deben a la transparencia de la muestra en la fase de aislamiento. Por... pendicular al eje de apilamiento (E'b′), el refleco óptico tividad y conductividad es mucho más bajo que a lo largo de la eje. Sin embargo, los cambios observados durante La transición de los aisladores es similar a la de los países de la Europa central y oriental. tion. Estos resultados demuestran la apertura de una energía brecha en el nivel de Fermi para ambas direcciones estudiadas. El efecto dramático de la disminución de la temperatura en el propiedades electrónicas de (TMTSF)2FSO3 son más directamente visto en los espectros de conductividad óptica. La óptica de Eaa conductividad de (TMTSF)2FSO3 en el aislante (a 45 K) y fase de conducción (a 290 K) obtenidos por Los medios de análisis de Kramers-Kronig se muestran en la Fig. 2. Los la característica dominante del espectro a 45 K es una fuerte banda de transferencia de carga debido a transiciones electrónicas a través de la brecha. La flecha muestra el espacio de la banda (1500 cm−1) ob- de la temperatura dependiente de la re- mediciones de sistividad [4]. Obviamente, el acuerdo de Este valor con el inicio de la interbanda óptica trans- A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 3 1000 10000 100 1000 2D = 1500 cm Frecuencia (cm 290 K 45 K E a Energía (meV) Fig. 2. Espectros de conductividad óptica de (TMTSF)2FSO3 por encima y por debajo de la transición metal-isulador en TMI= 89 K. El área ensombrecida representa el ajuste del modelo Drude del alto temple- ature conductividad óptica. La silla es muy buena. Por otro lado, la con- la ductividad a temperatura ambiente está dominada principalmente por la respuesta Drude de los portadores libres. Los correspondientes ajuste usando el modelo Drude se muestra como el área incubada en Fig. 2. Obviamente, el modelo Drude proporciona un buen Descripción del espectro ambiente-temperatura medido con exclusión de la vibración electro-molecular (emv) antirres- modos onance. La frecuencia plasmática ­p = 8660 cm y la tasa de dispersión de 1450 cm-1 obtenida a partir de la ajuste están bien de acuerdo con los parámetros del modelo Drude reportados para otras sales de TMTSF [11]. El valor obtenido de la dc conductividad, dc 860 (cm) −1, está de acuerdo razonable- con los valores de conductividad de DC y microondas de 1600 y 300 (en cm)-1, respectivamente, reportados por Wudl et al. [4]. 3.2 Modos vibracionales La molécula TMTSF con la simetría del grupo de puntos D2h tiene en total 72 modos locales de vibración clasificados como Acordado a las siguientes representaciones [12] D2h = (12ag + 11b3g + 11b1u + 11b2u) +(6b1g + 7b2g + 7au + 7b3u), (1) donde las vibraciones en los primeros paréntesis se polarizan en el plano molecular (perpendicular al apilamiento de un eje) y las vibraciones en los segundos soportes se polarizan hacia fuera del plano (a lo largo del eje de apilamiento a). El simétrico Las vibraciones son Raman activas y las asimétricas... Las vibraciones ric (úñerade) son de infrarrojos activos, con exclusión de: au modos silenciosos. Algunos de los ag totalmente simétricos Ra- se espera que los modos humanos aparezcan en los espectros infrarrojos en el caso de Eoa debido al acoplamiento de emv eficiente en la modulada estructura de apilamiento [11,13]. Cuadro 1 Las auto-frecuencias y la asignación de algunos vi- modos bracionales observados en (TMTSF)2FSO3 para Eâa a 45 K por debajo del TMI. Todos los números están en cm 45 K de frecuencia calculada1 asignación 580 571 /3(a1) FSO3 728 702 /51(b2u) 902, 911, 915, 916 917, 924, 932 1020, 1031, 1036 1060 /7(ag) 1067, 1072 1060 /7(ag) 1362, 14502 1469 /4(ag) 1354, 1364, 1369 1369 /6(ag) 1373, 1379, 1385 1550, 1584, 1606 1596 /3(ag) 1847, 1854, 1863 1863 /3(ag) + /11(ag) El anión FSO3 tetraédrico tiene sim- metría que da en total nueve modos vibratorios C3v = 3a1(z, x 2 + y2, z2) + 3e(x, y, x2 − y2, xy, yz, xz), donde e especies corresponden a los dobles. Por lo tanto, en el espectro infrarrojo uno espera seis modos, con el 3a1 y 3e modos que se polarizan a lo largo y perpendiculares a la eje polar del anión, respectivamente. En esta sección queremos concentrarnos en los cambios en los espectros infrarrojos del fonón para ambas polarizaciones a través de la transición metal-isulador. Para Eâa varios ag las vibraciones de las moléculas TMTSF se convierten en ac- tiva en la fase aislante. Esto se debe a la efec- Acoplamiento tivo de estas vibraciones a la cadena banda de transferencia de carga en la estructura modulada debido a la orden del anión. La lista de los nuevos modos observados por debajo de la transición, junto con sus En el cuadro 1 se indica el signo. La mayoría de ellos son emv modos de ag acoplados polarizados en el plano molecular o su combinación como trillizo a unos 1850 cm−1. Los El modo v4(ag) que involucra el estiramiento de enlace central C=C es conocido por tener un acoplamiento de emv especialmente fuerte y allí- aparece como un modo antiresonancia fuerte en el espectro de conductividad óptica. Debe señalarse que la aparición observada de modos de ag para la fase ordenada es típica sólo para (TMTSF)2X com- libras con aniones no centrosimétricos. En comparación, (TMTTF)2X sales poseen una mayor dimerización de la pila, resultando en el acoplamiento en v de los modos ag ya en la fase desordenada, y por lo tanto la orden de anión transición causa sólo un cambio de frecuencia y una intensidad cambio de los modos emv acoplados [15]. 4 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 1264 1280 1296 560 570 580 590 600 1140 1150 1160 1358 1365 1372 Frecuencia (cm Frecuencia (cm Frecuencia (cm Frecuencia (cm Fig. 3. Espectros de reflectividad (desplazados para mayor claridad) de algunos fonones que experimentan cambios durante el insulador de metales transición a 89 K: a) vibración polarizada a lo largo del eje; (b)-(d) vibraciones polarizadas a lo largo del eje b′. El modo vibratorio ν3(a1) del anión FSO3 en 580 cm−1 se observa para toda la temperatura estudiada Rango. Sin embargo, la forma de línea de este modo en el metal fase por encima de TMI se invierte con respecto al aislamiento fase [véase Fig. 3(a)], desde el fondo dieléctrico con- stant es negativo como se espera para los metales de alta conducción a frecuencias bajas. Este cambio es una prueba clara de que la supresión de la conductividad drude en el aislamiento- fase de ing de (TMTSF)2FSO3. El modo a 728 cm−1 observado para las temperaturas por debajo de TMI es particularmente interesante, ya que su intensidad aumenta gradualmente al disminuir la temperatura (ver Fig. 4). Un comportamiento similar se encuentra para la polarización perpen- diicular a las pilas, EÃ3b′. Por otra parte, por encima de la transi- temperatura de la toma se ve un modo asimétrico fuerte en 710 cm−1. Este modo cambia a frecuencias más bajas y obtiene más fuerte con el aumento de la temperatura. Este modo no tiene se ha observado en cualquier otro estudio anterior de la Bechgaard sales. Por lo tanto, sería natural asignarlo a una vibra- ión de anión FSO3. Sin embargo, tal asignación sería en contradicción con las observaciones experimentales, ya que: 680 700 720 740 760 E b' E a 200 K 200 K Frecuencia (cm Fig. 4. Espectros de reflectividad (desplazados por claridad) de la vibración alrededor de 710 cm−1 a diferentes temperaturas para Ea y Eb′. — las vibraciones de las FSO3 situadas cerca de las de la letra e) del apartado 5 y de la letra a) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71. al modo observado tienen frecuencias que son por más superior o inferior a 100 cm-1 [14]; ii) la intensidad de la vibración del anión no debe desaparecer en el orden-trastorno punto de transición. Por lo tanto, uno tiene que atribuir los modos en alrededor de 710 y 728 cm−1 a las vibraciones de la TMTSF moléculas. Sugerimos que ambos modos se originan de la v51(b2u) vibración en el plano de la molécula TMTSF. Ac- Acoplamiento al análisis de coordenadas normales [12,16] quency para un catión libre TMTSF0.5+ es 702 cm−1. Los movimientos atómicos correspondientes implican un estiramiento. ión de la unión lateral Se-C y mecedura de la adyacente grupo metilo. Para la vibración b2u la inversión symme- prueba de la molécula no se conserva, causando su infrarrojo- actividad para la polarización perpendicular a las pilas. Sin embargo, se sabe que en las sales (TMTSF)2X el dipolo momento correspondiente a la vibración v51(b2u) es muy pequeño, y por lo tanto este modo difícilmente se puede detectar incluso en el caso de los países en los que debería tener la mayor intensidad posible. sity [16]. Sin embargo, en (TMTSF)2FSO3 este modo es especialmente fuerte incluso a temperatura ambiente. Este hallazgo... ing puede explicarse por el dipolo eléctrico del FSO3 anion apuntando hacia el enlace Se-F. Similar a otros A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 5 Fig. 5. Ilustraciones esquemáticas de la vibración acoplada a la reorientación del momento del dipolo eléctrico FSO3. Los se muestra la proyección de la estructura cristalina en el plano b-c. Sólo los Se (círculos abiertos grandes) y C (círculos llenos pequeños) se presentan los átomos de las moléculas TMTSF, junto con los desplazamientos de los átomos Se. Los círculos llenos de gris serán... las moléculas tween denotan las posiciones de los aniones FSO3, el flechas atrevidas muestran las dos posibles orientaciones del anión momento del dipolo (p1 y p2). Debido a la simetría prop- erties de la vibración b2u la reorientación de la energía eléctrica el momento del dipolo conduce a un cambio de polarización dirección perpendicular para cualquier orientación del dipolo de anión momento. Aniones no centrosimétricos (ReO4, ClO4, etc.) el FSO3 anión tiene dos posibles orienta- ciones para las cuales el momento dipolo apunta hacia la Se átomos de las moléculas TMTSF vecinas. Esta situa... ión se bosqueja en la Fig. 5, donde p1 y p2 son dos posibles orientaciones del momento del dipolo eléctrico FSO3. Durante la vibración el momento dipolo del anión sigue el posición del átomo Se. Debido a las propiedades de simetría de la vibración b2u los átomos Se más cercanos a ambos lados del anión se mueven en la misma dirección. Por lo tanto, para ambos posibles orientaciones del dipolo los resultados de la vibración b2u en un cambio de la polarización media a lo largo de la dirección (Fig. 5). El mecanismo de acoplamiento descrito entre la b2u vibración y el momento dipolo del anión en (TMTSF)2FSO3 debe conducir a una fuerte mejora de la resistencia infrarroja de la vibración ν51(b2u) para E.B. desde que la p tiene la proyección más grande a lo largo de esta dirección. Por otro lado, p es perpendicular al apilamiento el eje y el modo b2u no deben aparecer para E.a. Esto de hecho se observa en nuestro experimento por encima de la transición temperatura. Por debajo de la transición el orden de largo alcance de el anión sublattice se acumula. Entonces el dipolo de anión mo- la orientación está determinada por la modulación de la toda la celosía y no depende del movimiento de Moléculas TMTSF vecinas, es decir, la vibración v51(b2u) está desconectado de los aniones FSO3. Por lo tanto, su inten- sity debe caer abruptamente por debajo de TMI, de acuerdo con nuestras observaciones (véase Fig. 4). Por otra parte, la de- aumento de la intensidad del modo b2u acoplado alrededor Cuadro 2 La frecuencia eigen, la anchura (dada en el soporte), y la asignación de algunos modos vibratorios observados para temperaturas seleccionadas. Todos los números están en cm−1. 95 K 80 K 45 K asignación 580 (1,3) 580 (0,9) 580 (0,8) /3(a1) FSO3 710 (7.1) 728 728 (2,0) /51 (b2u) 1154 (5,0) 1150 (3,4) 1150 (3,3) 1157 (3.8) 1158 (2,5) 1280 (5.1) 1276 (4.2) 1276 (2.1) v4 e) FSO3 1288 (16) 1286 (4.4) 1286 (1.7) 1363 (3.2) 1361 (2.8) 1361 (1.3) 1366 (4.3) 1367 (2.4) 1367 (1.8) 710 cm−1 a 95 K en comparación con temperaturas más altas puede ser se explica teniendo en cuenta el orden de corto alcance fluc- la transición, prueba de lo cual es también se indica a continuación. De hecho, en las regiones suficientemente dinámicas cuando se ordenen los aniones, se suprime el acoplamiento y por lo tanto la fuerza de la v51(b2u) debe disminuir. Al enfriarse por debajo del TMI aparece de nuevo una vibración a una frecuencia algo más alta (728 cm−1) para el grupo E′b′ y su fuerza aumenta gradualmente con la disminución del temple- ature. Sugerimos que este es el mismo v51(b2u) vibra- sión descrita anteriormente. Puesto que se desacopla del anión sublattice, su frecuencia se espera que aumente abruptamente por debajo de la transición. El aumento de la fuerza para ambos las polarizaciones deben estar obviamente relacionadas con el tempera- dependencia del parámetro de orden (es decir, el grado modulación de celosía). Uno de los posibles mecanismos puede ser el acoplamiento de la vibración v51(b2u) a la las bandas de transferencia de carga a lo largo de las direcciones a y b′. Sin embargo, la imagen detallada de este acoplamiento de emv no está clara, ya que la simetría del modo b2u no permite este tipo de acoplamiento. Uno puede especular que el campo eléctrico de la Los dipolos FSO3 en la fase ordenada distorsionan el TMTSF moléculas que las hacen no centrosimétricas. Entonces el Para el modo b2u( v51) se puede permitir el acoplamiento de emv. Cambios notables en los espectros del modo fonon la transición metal-isuladora se observa en el caso de E.b′. Los lista de los parámetros de estos modos a temperaturas En la tabla 2 se indica el ITM por encima y por debajo del mismo. Una división obvia... se ve en el modo v48(b2u) en 1154 cm−1 [véase la figura 3 b)]. Además, la amortiguación de los componentes divididos directamente por debajo del TMI son inferiores a amortiguación del componente único directamente por encima de la trans- Situación (véase la tabla 2). Esta diferencia está probablemente relacionada a las fluctuaciones de orden de corto alcance precursor por encima de la transición, que puede inducir una pequeña división ya en la fase desordenada. Prueba de esas fluctuaciones se encontró en experimentos de dispersión difusa de rayos X [8,2]. Este efecto se ve aún más claramente en la división de otros dos modos: el doblete v4(e) vibración del FSO3 anión a 1280 cm−1 [Fig. 3 c)] y el modo v47(b2u) en alrededor de 1365 cm−1 [fig. 3 d)]. Para cada uno de estos modos 6 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja por encima de TMI se puede resolver dos componentes débilmente divididos. Sin embargo, por debajo de TMI la división aumenta abruptamente y las disminuciones de la amortiguación (véase la Tabla 2) que indican el inicio de largo alcance. Dado que el efecto descrito se observa no sólo para la vibración del anión FSO3, sino también para dos vi- brations del catión TMTSF, podemos concluir que el las fluctuaciones de orden de corto alcance implican la modulación de la retícula entera (TMTSF)2FSO3 y no sólo el anión Sublintice. 4 Conclusión Hemos realizado un estudio espectroscópico infrarrojo de la transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3. El ob- Los espectros de conductividad óptica de Ea muestran un Drude- como conductividad por encima de la temperatura ordenante del anión y una banda de transferencia de carga formada por debajo de la transición. El inicio de esta banda está de acuerdo con la energía valor de brecha de 1500 cm−1 obtenido de la medida de transporte- ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ El análisis de las vibraciones infrarrojas-activas conduce a las siguientes conclusiones: i) el modulo de la estructura cristalina sión por debajo de la transición metal-insulador conduce a una fuerte emv acoplamiento de varias vibraciones ag que por lo tanto - de infrarrojos activos; ii) fluctuaciones de orden de corto alcance de los aniones FSO3 y la modulación correspondiente de la celosía existen por encima de la temperatura de transición, como se ve desde la división de algunos modos de acción infrarroja en el caso de E'b′; iii) un nuevo modo infrarrojo-activo situado a unos 710 cm−1 con un comportamiento de temperatura peculiar se detecta y como- firmado al acoplamiento entre la molécula b2u TMTSF vibración y el momento dipolo eléctrico del FSO3 Anion. Esta última característica no se ha observado en ninguna otras sales (TMTSF)2X que muestren un transi- tion. Esto pone de relieve el importante papel de la momento dipolo del anión en la estructura y dinam- propiedades icales de la sal (TMTSF)2FSO3. 5 Agradecimientos Reconocemos a la ANKA Angströmquelle Karlsruhe por la provisión de tiempo de haz y gracias M. Süpfle, D. Moss, y B. Gasharova para asistencia técnica en la ANKA Línea de rayos infrarrojos. Apoyo financiero del DFG (Emmy) Noether-program) es reconocido. Bibliografía 1. T. Ishiguro, K. Yamaji, G. Saito, Superconductores orgánicos (Springer, Berlín, 1998) 2. J.P. Pouget, S. Ravy, J. Phys. I Francia 6, 1501 (1996) 3. D. Jerome, Chem. Rev. 104, 5565 (2004) 4. F. Wudl, E. Aharon-Shalom, D. Nalewajek, J.V. Waszczak, J. W. M. Walsh, J. L. W. Rupp, P. Chaikin, R. Lacoe, M. Burns, T.O. Poehler y otros, The Journal of Física química 76(11), 5497 (1982) 5. R.C. Lacoe, S.A. Wolf, P.M. Chaikin, F. Wudl, E. Aharon... Shalom, Phys. Rev. B 27(3), 1947 (1983) 6. Y.J. Jo, E.S. Choi, H. Kang, W. Kang, I.S. Seo, O.H. Chung, Phys. Rev. B 67, 014516 (2003) 7. W. Kang, O.H. Chung, Y.J. Jo, H. Kang, I.S. Seo, Phys. Rev. B 68, 073101 (2003) 8. R. Moret, J.P. Pouget, R. Comes, K. Bechgaard, J. Phys. Colloq. Francia 44, 957 (1983) 9. C.C. Hogares, J.E. Eldridge, Phys. Rev. B 40, 6138 (1989) 10. C.S. Jacobsen, H.J. Pedersen, K. Mortensen, G. Rindorf, N. Thorup, J.B. Torrance, K. Bechgaard, J. Phys. C 15, 2651 (1982) 11. C.S. Jacobsen, D.B. Tanner, K. Bechgaard, Phys. Rev. B 28, 7019 (1983) 12. M. Meneghetti, R. Bozio, I. Zanon, C. Pelice, C. Ricotta, M. Zanetti, J. Chem. Phys. 80, 6210 (1984) 13. C.C. Hogares, J.E. Eldridge, Phys. Rev. B 42, 9522 (1990) 14. K. Nakamoto, Infrarrojo y Raman Spectra de Inorgánico y Compuestos de Coordinación (Wiley, Nueva York, 1986) 15. C. Garrigou Lagrange, A. Graja, C. Coulon, P. Delhaes, J. Phys. C: Phys de Estado Sólido. 17, 5437 (1984) 16. J.E. Eldridge, C.C. Hogares, Phys. Rev. B 43, 13971 (1991) Introducción Experimental Resultados y discusión Conclusión Agradecimientos

Presentamos mediciones de la respuesta infrarroja de la cuasi-unidimensional conductor orgánico (TMTSF)2$SO3 a lo largo (Ea) y perpendicular (Eb') a la eje de apilamiento en función de la temperatura. Por encima del aislante metálico transición relacionada con el anión ordenando la muestra de espectros de conductividad óptica una respuesta similar a un drudo. Por debajo de la transición una brecha de energía de unos 1500 cm-1 (185 meV) se abre, lo que conduce a la correspondiente banda de transferencia de carga en el espectros de conductividad óptica. El análisis de las vibraciones infrarrojas activas da pruebas de la modulación de la estructura cristalina de largo alcance por debajo de la temperatura de transición y para las fluctuaciones de orden de corto alcance de la modulación de celosía por encima de la temperatura de transición. También informamos sobre un nuevo modo infrarrojo a unos 710 cm-1 con un comportamiento de temperatura peculiar, que hasta ahora no se ha observado en ninguna otra sal (TMTSF)2X que muestre una transición metal-isulador. Un modelo cualitativo basado en el acoplamiento entre la vibración de la molécula TMTSF y la reorientación del momento dipolo eléctrico se propone el anión FSO3, con el fin de explicar el comportamiento anómalo de el nuevo modo.

Introducción Las sales orgánicas de Bechgaard (TMTSF)2X consisten en: pilas de TMTSF planar (tetrametiltetraselenafulva- moléculas separadas por aniones (X = PF6, AsF6, ClO4, Br, etc.). El transporte de carga en estos sistemas está restringido a la dirección a lo largo de las pilas moleculares, haciendo las sales de Bechgaard ejemplos de uno- metales dimensionales. Sin embargo, al enfriar la mayor parte de se someten a una transición metal-aislante que impide el inicio de un estado superconductor [1]. En Bechgaard sales con aniones no centrosimétricos como ReO4, BF4 o FSO3 la transición metal-insulador está relacionada con el orden de anión [2]. Además, se demostró que: En algunos casos, la transición metal-isulador puede ser sup- presionado por la aplicación de presión externa, que conduce a un estado terrestre superconductor [3]. El caso de los aniones X=FSO3 en esta clase de terials es particularmente interesante, ya que estos aniones son no centrosimétrico y además poseen un permanente momento dipolo eléctrico. El primer estudio de la utilería básica Wudl et al. al. en 1982 [4]. Otros estudios han demostrado que esta a email: oleksiy.pashkin@physik.uni-augsburg.de b correo electrónico: christine.kuntscher@physik.uni-augsburg.de Libra tiene el temperamento de transición superconductor más alto. ature (2,5 K a 8,5 kbar) entre las sales de Bechgaard. Lo siento. se propuso que esto se debe a la interacción de la conducir electrones con los dipolos de anión FSO3 [5]. A reciente estudio detallado [6] reveló una presión muy rica diagrama de fase de temperatura de (TMTSF)2FSO3 con una va- dad de diferentes fases, que no han sido completamente identificado hasta ahora. Además, por magnetoresistencia medidas un comportamiento electrónico bidimensional fue se encuentra en (TMTSF)2FSO3 bajo una presión de alrededor de 6,2 kbar [7]. La interacción de los aniones FSO3 entre sí a través de fuerzas Coulomb de largo alcance y con el centrosimétrico alrededor formado por los cationes TMTSF tiende a ordenar los aniones por debajo de cierta temperatura. El primer orden transición de fase estructural relacionada con esta orden de anión se produce alrededor de TMI=89 K en (TMTSF)2FSO3 en ambi- Presión ent. El cambio de la estructura cristalina modifica la estructura electrónica de la banda: el eficaz medio-llenado con- banda de conductos se divide en una banda llena y una banda vacía separado por una brecha de energía, que conduce a un metal afilado- transición del aislante [5]. El análisis estructural sugerido una modulación de la estructura cristalina con wavevevector q = (1/2, 1/2, 1/2) por debajo de la fase de transición, lo que implica un estado antiferroeléctrico [8,2]. La orden de la FSO3 aniones modula la celosía dando lugar a una nueva unidad de celda http://arxiv.org/abs/0704.0368v1 2 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja de tamaño 2a × 2b × 2c. Por lo tanto, hay ocho unidades de fórmula de (TMTSF)2FSO3 por unidad de celda a baja temperatura fase. Correspondientemente, uno puede esperar una división de cada uno modo vibratorio en hasta ocho componentes [9]. La relación entre el desfase energético y la transición la peratura en (TMTSF)2FSO3 es + 12,5 [4], que es ap- Preciosamente más alto que el valor 3.5 predicho por el teoría de campo medio para la transición de Peierls. Por lo tanto, el aislante metálico en las sales de Bechgaard con aniones centrosimétricos se atribuyó a un tipo especial de La inestabilidad de Peierls que se origina en el anión-electrón acoplamiento [10]. En este trabajo presentamos los resultados de una estudio de la reflectividad infrarroja polarizada dependiente de (TMTSF)2FSO3 cristales simples en el extremo y medio- rango de frecuencia infrarroja, con el fin de caracterizar la cambio de las propiedades electrónicas y vibratorias durante la transición metal-isulador en TMI=89 K. Esta es la primera investigación espectroscópica infrarroja del compuesto (TMTSF)2FSO3. Nuestros resultados permiten una determinación directa de la brecha de carga en el estado aislante. Además, nosotros determinó y analizó el comportamiento de la vibración modos durante la transición metal-isulador, que puede aclarar los detalles del orden dipolar. 2 Experimental (TMTSF)2FSO3 cristales simples se cultivan de forma estándar técnicas electroquímicas de moléculas TMTSF y tetrabutilamonio-FSO3. Las muestras estudiadas tienen una forma similar a la aguja, con un tamaño aproximado de 2 × 0,2 × 0,1 mm3. Las muestras fueron montadas en un dedo frío Cry- oVac Konti-Mikro criostato. El temple de medición real... ature fue controlado por un sensor conectado en vicin- ity de la muestra. Las mediciones se realizaron en la línea de haz infrarroja de la fuente de radiación sincrotrón Anka. Se midió la reflectividad infrarroja polarizada en el rango 150 - 10000 cm−1 usando un IRscope Bruker Microscopio II conectado a un espectrómetro IFS66v/S. Los la resolución de la frecuencia fue de 1 cm-1 para todas las especificaciones medidas tra. TPX ópticamente transparente y KBr criostato ganar- se utilizaron para las mediciones en el extremo y medio- rango de frecuencia infrarroja, respectivamente. 3 Resultados y discusión 3.1 Propiedades electrónicas Los espectros de reflectividad de (TMTSF)2FSO3 baja la temperatura de transición del aislante metálico de 89 K para tanto las polarizaciones Ea como Eab′ (juntos y perpendiculares en el eje de apilamiento, respectivamente) se muestran en la Fig. 1. Los datos de reflectividad en la región espectral a unos 450 cm−1 se ven afectados por las características de absorción del infrarrojo lejano Ventana de criostato TPX y por lo tanto no se muestran. A 290 K la reflectividad de la muestra a lo largo de la el eje de apilamiento Eaa demuestra un comportamiento típico de Drude E a 290 K 45 K 8000250 E b' Frecuencia (cm 290 K 45 K Energía (meV) E a Fig. 1. Espectros de reflectividad de (TMTSF)2FSO3 arriba y ser- baja la transición metal-aislante para Eoa y Eoab′. (crece hasta 1 cuando la frecuencia tiende a cero). En contra. trast, a 45 K, es decir, por debajo del TMI, la reflectividad es casi frecuencia independiente por debajo de 1000 cm−1, que es típico para un estado aislante. Los flecos de interferencia observados por debajo de 400 cm−1 en los espectros de ambas polarizaciones se deben a la transparencia de la muestra en la fase de aislamiento. Por... pendicular al eje de apilamiento (E'b′), el refleco óptico tividad y conductividad es mucho más bajo que a lo largo de la eje. Sin embargo, los cambios observados durante La transición de los aisladores es similar a la de los países de la Europa central y oriental. tion. Estos resultados demuestran la apertura de una energía brecha en el nivel de Fermi para ambas direcciones estudiadas. El efecto dramático de la disminución de la temperatura en el propiedades electrónicas de (TMTSF)2FSO3 son más directamente visto en los espectros de conductividad óptica. La óptica de Eaa conductividad de (TMTSF)2FSO3 en el aislante (a 45 K) y fase de conducción (a 290 K) obtenidos por Los medios de análisis de Kramers-Kronig se muestran en la Fig. 2. Los la característica dominante del espectro a 45 K es una fuerte banda de transferencia de carga debido a transiciones electrónicas a través de la brecha. La flecha muestra el espacio de la banda (1500 cm−1) ob- de la temperatura dependiente de la re- mediciones de sistividad [4]. Obviamente, el acuerdo de Este valor con el inicio de la interbanda óptica trans- A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 3 1000 10000 100 1000 2D = 1500 cm Frecuencia (cm 290 K 45 K E a Energía (meV) Fig. 2. Espectros de conductividad óptica de (TMTSF)2FSO3 por encima y por debajo de la transición metal-isulador en TMI= 89 K. El área ensombrecida representa el ajuste del modelo Drude del alto temple- ature conductividad óptica. La silla es muy buena. Por otro lado, la con- la ductividad a temperatura ambiente está dominada principalmente por la respuesta Drude de los portadores libres. Los correspondientes ajuste usando el modelo Drude se muestra como el área incubada en Fig. 2. Obviamente, el modelo Drude proporciona un buen Descripción del espectro ambiente-temperatura medido con exclusión de la vibración electro-molecular (emv) antirres- modos onance. La frecuencia plasmática ­p = 8660 cm y la tasa de dispersión de 1450 cm-1 obtenida a partir de la ajuste están bien de acuerdo con los parámetros del modelo Drude reportados para otras sales de TMTSF [11]. El valor obtenido de la dc conductividad, dc 860 (cm) −1, está de acuerdo razonable- con los valores de conductividad de DC y microondas de 1600 y 300 (en cm)-1, respectivamente, reportados por Wudl et al. [4]. 3.2 Modos vibracionales La molécula TMTSF con la simetría del grupo de puntos D2h tiene en total 72 modos locales de vibración clasificados como Acordado a las siguientes representaciones [12] D2h = (12ag + 11b3g + 11b1u + 11b2u) +(6b1g + 7b2g + 7au + 7b3u), (1) donde las vibraciones en los primeros paréntesis se polarizan en el plano molecular (perpendicular al apilamiento de un eje) y las vibraciones en los segundos soportes se polarizan hacia fuera del plano (a lo largo del eje de apilamiento a). El simétrico Las vibraciones son Raman activas y las asimétricas... Las vibraciones ric (úñerade) son de infrarrojos activos, con exclusión de: au modos silenciosos. Algunos de los ag totalmente simétricos Ra- se espera que los modos humanos aparezcan en los espectros infrarrojos en el caso de Eoa debido al acoplamiento de emv eficiente en la modulada estructura de apilamiento [11,13]. Cuadro 1 Las auto-frecuencias y la asignación de algunos vi- modos bracionales observados en (TMTSF)2FSO3 para Eâa a 45 K por debajo del TMI. Todos los números están en cm 45 K de frecuencia calculada1 asignación 580 571 /3(a1) FSO3 728 702 /51(b2u) 902, 911, 915, 916 917, 924, 932 1020, 1031, 1036 1060 /7(ag) 1067, 1072 1060 /7(ag) 1362, 14502 1469 /4(ag) 1354, 1364, 1369 1369 /6(ag) 1373, 1379, 1385 1550, 1584, 1606 1596 /3(ag) 1847, 1854, 1863 1863 /3(ag) + /11(ag) El anión FSO3 tetraédrico tiene sim- metría que da en total nueve modos vibratorios C3v = 3a1(z, x 2 + y2, z2) + 3e(x, y, x2 − y2, xy, yz, xz), donde e especies corresponden a los dobles. Por lo tanto, en el espectro infrarrojo uno espera seis modos, con el 3a1 y 3e modos que se polarizan a lo largo y perpendiculares a la eje polar del anión, respectivamente. En esta sección queremos concentrarnos en los cambios en los espectros infrarrojos del fonón para ambas polarizaciones a través de la transición metal-isulador. Para Eâa varios ag las vibraciones de las moléculas TMTSF se convierten en ac- tiva en la fase aislante. Esto se debe a la efec- Acoplamiento tivo de estas vibraciones a la cadena banda de transferencia de carga en la estructura modulada debido a la orden del anión. La lista de los nuevos modos observados por debajo de la transición, junto con sus En el cuadro 1 se indica el signo. La mayoría de ellos son emv modos de ag acoplados polarizados en el plano molecular o su combinación como trillizo a unos 1850 cm−1. Los El modo v4(ag) que involucra el estiramiento de enlace central C=C es conocido por tener un acoplamiento de emv especialmente fuerte y allí- aparece como un modo antiresonancia fuerte en el espectro de conductividad óptica. Debe señalarse que la aparición observada de modos de ag para la fase ordenada es típica sólo para (TMTSF)2X com- libras con aniones no centrosimétricos. En comparación, (TMTTF)2X sales poseen una mayor dimerización de la pila, resultando en el acoplamiento en v de los modos ag ya en la fase desordenada, y por lo tanto la orden de anión transición causa sólo un cambio de frecuencia y una intensidad cambio de los modos emv acoplados [15]. 4 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 1264 1280 1296 560 570 580 590 600 1140 1150 1160 1358 1365 1372 Frecuencia (cm Frecuencia (cm Frecuencia (cm Frecuencia (cm Fig. 3. Espectros de reflectividad (desplazados para mayor claridad) de algunos fonones que experimentan cambios durante el insulador de metales transición a 89 K: a) vibración polarizada a lo largo del eje; (b)-(d) vibraciones polarizadas a lo largo del eje b′. El modo vibratorio ν3(a1) del anión FSO3 en 580 cm−1 se observa para toda la temperatura estudiada Rango. Sin embargo, la forma de línea de este modo en el metal fase por encima de TMI se invierte con respecto al aislamiento fase [véase Fig. 3(a)], desde el fondo dieléctrico con- stant es negativo como se espera para los metales de alta conducción a frecuencias bajas. Este cambio es una prueba clara de que la supresión de la conductividad drude en el aislamiento- fase de ing de (TMTSF)2FSO3. El modo a 728 cm−1 observado para las temperaturas por debajo de TMI es particularmente interesante, ya que su intensidad aumenta gradualmente al disminuir la temperatura (ver Fig. 4). Un comportamiento similar se encuentra para la polarización perpen- diicular a las pilas, EÃ3b′. Por otra parte, por encima de la transi- temperatura de la toma se ve un modo asimétrico fuerte en 710 cm−1. Este modo cambia a frecuencias más bajas y obtiene más fuerte con el aumento de la temperatura. Este modo no tiene se ha observado en cualquier otro estudio anterior de la Bechgaard sales. Por lo tanto, sería natural asignarlo a una vibra- ión de anión FSO3. Sin embargo, tal asignación sería en contradicción con las observaciones experimentales, ya que: 680 700 720 740 760 E b' E a 200 K 200 K Frecuencia (cm Fig. 4. Espectros de reflectividad (desplazados por claridad) de la vibración alrededor de 710 cm−1 a diferentes temperaturas para Ea y Eb′. — las vibraciones de las FSO3 situadas cerca de las de la letra e) del apartado 5 y de la letra a) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (CEE) n° 1408/71. al modo observado tienen frecuencias que son por más superior o inferior a 100 cm-1 [14]; ii) la intensidad de la vibración del anión no debe desaparecer en el orden-trastorno punto de transición. Por lo tanto, uno tiene que atribuir los modos en alrededor de 710 y 728 cm−1 a las vibraciones de la TMTSF moléculas. Sugerimos que ambos modos se originan de la v51(b2u) vibración en el plano de la molécula TMTSF. Ac- Acoplamiento al análisis de coordenadas normales [12,16] quency para un catión libre TMTSF0.5+ es 702 cm−1. Los movimientos atómicos correspondientes implican un estiramiento. ión de la unión lateral Se-C y mecedura de la adyacente grupo metilo. Para la vibración b2u la inversión symme- prueba de la molécula no se conserva, causando su infrarrojo- actividad para la polarización perpendicular a las pilas. Sin embargo, se sabe que en las sales (TMTSF)2X el dipolo momento correspondiente a la vibración v51(b2u) es muy pequeño, y por lo tanto este modo difícilmente se puede detectar incluso en el caso de los países en los que debería tener la mayor intensidad posible. sity [16]. Sin embargo, en (TMTSF)2FSO3 este modo es especialmente fuerte incluso a temperatura ambiente. Este hallazgo... ing puede explicarse por el dipolo eléctrico del FSO3 anion apuntando hacia el enlace Se-F. Similar a otros A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja 5 Fig. 5. Ilustraciones esquemáticas de la vibración acoplada a la reorientación del momento del dipolo eléctrico FSO3. Los se muestra la proyección de la estructura cristalina en el plano b-c. Sólo los Se (círculos abiertos grandes) y C (círculos llenos pequeños) se presentan los átomos de las moléculas TMTSF, junto con los desplazamientos de los átomos Se. Los círculos llenos de gris serán... las moléculas tween denotan las posiciones de los aniones FSO3, el flechas atrevidas muestran las dos posibles orientaciones del anión momento del dipolo (p1 y p2). Debido a la simetría prop- erties de la vibración b2u la reorientación de la energía eléctrica el momento del dipolo conduce a un cambio de polarización dirección perpendicular para cualquier orientación del dipolo de anión momento. Aniones no centrosimétricos (ReO4, ClO4, etc.) el FSO3 anión tiene dos posibles orienta- ciones para las cuales el momento dipolo apunta hacia la Se átomos de las moléculas TMTSF vecinas. Esta situa... ión se bosqueja en la Fig. 5, donde p1 y p2 son dos posibles orientaciones del momento del dipolo eléctrico FSO3. Durante la vibración el momento dipolo del anión sigue el posición del átomo Se. Debido a las propiedades de simetría de la vibración b2u los átomos Se más cercanos a ambos lados del anión se mueven en la misma dirección. Por lo tanto, para ambos posibles orientaciones del dipolo los resultados de la vibración b2u en un cambio de la polarización media a lo largo de la dirección (Fig. 5). El mecanismo de acoplamiento descrito entre la b2u vibración y el momento dipolo del anión en (TMTSF)2FSO3 debe conducir a una fuerte mejora de la resistencia infrarroja de la vibración ν51(b2u) para E.B. desde que la p tiene la proyección más grande a lo largo de esta dirección. Por otro lado, p es perpendicular al apilamiento el eje y el modo b2u no deben aparecer para E.a. Esto de hecho se observa en nuestro experimento por encima de la transición temperatura. Por debajo de la transición el orden de largo alcance de el anión sublattice se acumula. Entonces el dipolo de anión mo- la orientación está determinada por la modulación de la toda la celosía y no depende del movimiento de Moléculas TMTSF vecinas, es decir, la vibración v51(b2u) está desconectado de los aniones FSO3. Por lo tanto, su inten- sity debe caer abruptamente por debajo de TMI, de acuerdo con nuestras observaciones (véase Fig. 4). Por otra parte, la de- aumento de la intensidad del modo b2u acoplado alrededor Cuadro 2 La frecuencia eigen, la anchura (dada en el soporte), y la asignación de algunos modos vibratorios observados para temperaturas seleccionadas. Todos los números están en cm−1. 95 K 80 K 45 K asignación 580 (1,3) 580 (0,9) 580 (0,8) /3(a1) FSO3 710 (7.1) 728 728 (2,0) /51 (b2u) 1154 (5,0) 1150 (3,4) 1150 (3,3) 1157 (3.8) 1158 (2,5) 1280 (5.1) 1276 (4.2) 1276 (2.1) v4 e) FSO3 1288 (16) 1286 (4.4) 1286 (1.7) 1363 (3.2) 1361 (2.8) 1361 (1.3) 1366 (4.3) 1367 (2.4) 1367 (1.8) 710 cm−1 a 95 K en comparación con temperaturas más altas puede ser se explica teniendo en cuenta el orden de corto alcance fluc- la transición, prueba de lo cual es también se indica a continuación. De hecho, en las regiones suficientemente dinámicas cuando se ordenen los aniones, se suprime el acoplamiento y por lo tanto la fuerza de la v51(b2u) debe disminuir. Al enfriarse por debajo del TMI aparece de nuevo una vibración a una frecuencia algo más alta (728 cm−1) para el grupo E′b′ y su fuerza aumenta gradualmente con la disminución del temple- ature. Sugerimos que este es el mismo v51(b2u) vibra- sión descrita anteriormente. Puesto que se desacopla del anión sublattice, su frecuencia se espera que aumente abruptamente por debajo de la transición. El aumento de la fuerza para ambos las polarizaciones deben estar obviamente relacionadas con el tempera- dependencia del parámetro de orden (es decir, el grado modulación de celosía). Uno de los posibles mecanismos puede ser el acoplamiento de la vibración v51(b2u) a la las bandas de transferencia de carga a lo largo de las direcciones a y b′. Sin embargo, la imagen detallada de este acoplamiento de emv no está clara, ya que la simetría del modo b2u no permite este tipo de acoplamiento. Uno puede especular que el campo eléctrico de la Los dipolos FSO3 en la fase ordenada distorsionan el TMTSF moléculas que las hacen no centrosimétricas. Entonces el Para el modo b2u( v51) se puede permitir el acoplamiento de emv. Cambios notables en los espectros del modo fonon la transición metal-isuladora se observa en el caso de E.b′. Los lista de los parámetros de estos modos a temperaturas En la tabla 2 se indica el ITM por encima y por debajo del mismo. Una división obvia... se ve en el modo v48(b2u) en 1154 cm−1 [véase la figura 3 b)]. Además, la amortiguación de los componentes divididos directamente por debajo del TMI son inferiores a amortiguación del componente único directamente por encima de la trans- Situación (véase la tabla 2). Esta diferencia está probablemente relacionada a las fluctuaciones de orden de corto alcance precursor por encima de la transición, que puede inducir una pequeña división ya en la fase desordenada. Prueba de esas fluctuaciones se encontró en experimentos de dispersión difusa de rayos X [8,2]. Este efecto se ve aún más claramente en la división de otros dos modos: el doblete v4(e) vibración del FSO3 anión a 1280 cm−1 [Fig. 3 c)] y el modo v47(b2u) en alrededor de 1365 cm−1 [fig. 3 d)]. Para cada uno de estos modos 6 A. Pashkin y otros: Transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3 sondeado por espectroscopia infrarroja por encima de TMI se puede resolver dos componentes débilmente divididos. Sin embargo, por debajo de TMI la división aumenta abruptamente y las disminuciones de la amortiguación (véase la Tabla 2) que indican el inicio de largo alcance. Dado que el efecto descrito se observa no sólo para la vibración del anión FSO3, sino también para dos vi- brations del catión TMTSF, podemos concluir que el las fluctuaciones de orden de corto alcance implican la modulación de la retícula entera (TMTSF)2FSO3 y no sólo el anión Sublintice. 4 Conclusión Hemos realizado un estudio espectroscópico infrarrojo de la transición metal-isulador en (TMTSF)2FSO3. El ob- Los espectros de conductividad óptica de Ea muestran un Drude- como conductividad por encima de la temperatura ordenante del anión y una banda de transferencia de carga formada por debajo de la transición. El inicio de esta banda está de acuerdo con la energía valor de brecha de 1500 cm−1 obtenido de la medida de transporte- ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ El análisis de las vibraciones infrarrojas-activas conduce a las siguientes conclusiones: i) el modulo de la estructura cristalina sión por debajo de la transición metal-insulador conduce a una fuerte emv acoplamiento de varias vibraciones ag que por lo tanto - de infrarrojos activos; ii) fluctuaciones de orden de corto alcance de los aniones FSO3 y la modulación correspondiente de la celosía existen por encima de la temperatura de transición, como se ve desde la división de algunos modos de acción infrarroja en el caso de E'b′; iii) un nuevo modo infrarrojo-activo situado a unos 710 cm−1 con un comportamiento de temperatura peculiar se detecta y como- firmado al acoplamiento entre la molécula b2u TMTSF vibración y el momento dipolo eléctrico del FSO3 Anion. Esta última característica no se ha observado en ninguna otras sales (TMTSF)2X que muestren un transi- tion. Esto pone de relieve el importante papel de la momento dipolo del anión en la estructura y dinam- propiedades icales de la sal (TMTSF)2FSO3. 5 Agradecimientos Reconocemos a la ANKA Angströmquelle Karlsruhe por la provisión de tiempo de haz y gracias M. Süpfle, D. Moss, y B. Gasharova para asistencia técnica en la ANKA Línea de rayos infrarrojos. Apoyo financiero del DFG (Emmy) Noether-program) es reconocido. Bibliografía 1. T. Ishiguro, K. Yamaji, G. Saito, Superconductores orgánicos (Springer, Berlín, 1998) 2. J.P. Pouget, S. Ravy, J. Phys. I Francia 6, 1501 (1996) 3. D. Jerome, Chem. Rev. 104, 5565 (2004) 4. F. Wudl, E. Aharon-Shalom, D. Nalewajek, J.V. Waszczak, J. W. M. Walsh, J. L. W. Rupp, P. Chaikin, R. Lacoe, M. Burns, T.O. Poehler y otros, The Journal of Física química 76(11), 5497 (1982) 5. R.C. Lacoe, S.A. Wolf, P.M. Chaikin, F. Wudl, E. Aharon... Shalom, Phys. Rev. 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B 43, 13971 (1991) Introducción Experimental Resultados y discusión Conclusión Agradecimientos

The effect of Topcolor Assisted Technicolor, and other models, on Neutrino Oscillation

arXiv:0704.0369v1 [hep-ph] 3 Abr 2007 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi OCAH-PP-270, YITP-07-09, VPI-IPNAS-07-02 El efecto de Topcolor Asistido Technicolor, y otros modelos, sobre la Oscilación de Neutrino Minako Honda1, Yee Kao2, Naotoshi Okamura3, Alexey Pronin2, y Tatsu Takeuchi2* 1Departamento de Física, Universidad de la Mujer de Ochanomizu, Tokio 112-8610, Japón Departamento de Física, Virginia Tech, Blacksburg VA 24061, EE.UU. 3 Instituto Yukawa de Física Teórica, Universidad de Kyoto, Kyoto 606-8502, Japón Nueva física más allá del modelo estándar puede conducir a efectos de materia adicional en oscilación del neutrino si las nuevas interacciones distinguen entre los tres sabores de neutrino. In Ref. 1, argumentamos que una oscilación de neutrinos de larga línea de base ex- en el que se dirige el haz Fermilab-NUMI en su modo de alta energía2 en el detector previsto de Hyper-Kamiokande3 sería capaz de restringir el tamaño de esos efectos de materia adicional, siempre que el valor de vacío del sin2 2­23 no está demasiado cerca de uno. En esta charla, discutimos cómo una restricción de este tipo sería se traducen en límites en las constantes de acoplamiento y masas de nuevas partículas en modelos como topcolor asistido tecnicolor.4 1. Introducción Al considerar los efectos de la materia en la oscilación del neutrino, es habitual considerar sólo la interacción W -intercambio de la νe con los electrones en materia. Sin embargo, si las nuevas interacciones más allá del Modelo Estándar (SM) que distinguir entre las tres generaciones de neutrinos existen, que pueden conducir a efectos de materia extra a través de correcciones radiativas al vértice Z que que violan efectivamente la universalidad actual neutral, o a través del intercambio directo de nuevas partículas entre los neutrinos y las partículas de materia. Por ejemplo, la tecnología asistida por topcolor4 trata a la tercera generación diferente de los dos primeros y el Z ′ en esta clase de modelos de parejas más fuertemente a la que a la νe o. En Technicolor extendido (ETC) Modelos, como el de Appelquist, Piai y Shrock,5 el neutral tecnimesons, que se mezclan con la Z, pareja a diferentes generaciones de fermiones diferente, distinguiendo entre νe,, y . El medidor ETC diagonal bosones también se unen a las diferentes generaciones de manera diferente, así como el ∗ Autor que presenta la comunicación http://arxiv.org/abs/0704.0369v1 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi gran variedad de estados de leptoquark en el modelo. Materia que distingue el sabor efectos de la diagonal ETC y leptoquarks son inducidos por el calibrador ETC Mezcla de bosón. El Hamiltoniano efectivo que gobierna las oscilaciones de neutrinos en el pres- la existencia de una violación de la universalidad del leptón de corriente neutra, o de una nueva física que las parejas a las diferentes generaciones de manera diferente, se da por1 H = 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ♥3 † = U 0 0 0 0 m221 0 0 0 m231 U † + a 0 0 0 0 0 0 0 0 ser 0 0 0 bμ 0 0 0 b........................................................................................................................................ donde U es la matriz MNS, a = 2EVCC, VCC = 2GFNe = Ne , (2) es el efecto normal de la materia debido a W - intercambio entre νe y los electrones, y ser, bμ, b/23370/ son los efectos adicionales de la materia que asumimos que no son iguales. Definimos el parámetro b-a-bμ = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3) Entonces, el Hamiltoniano efectivo puede ser reescrito como H = 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ♥3 † = U 0 0 0 0 m221 0 0 0 m231 U a 1 0 0 0 /2 0 0 0 /2 , (4) donde hemos absorbido los b-términos adicionales en el elemento (1, 1) en a. La contribución adicional dependiente en Eq. 4) puede manifestarse cuando a > m231 (es decir, E & 10GeV para densidades típicas de materia en la Tierra) en las probabilidades de supervivencia como P ( → ) 1− sin2 2o 23o − m231 P ( → ) 1− sin2 2­23 + m231 , (5) donde * 31c213 * 21c212, * ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * L, cij = cos Łij, (6) y la fase de violación de la CP ha sido puesta en cero. Como es evidente desde estas expresiones, el pequeño cambio debido a será invisible si el valor de El sin2 2-23 está demasiado cerca de uno. Sin embargo, si el valor del pecado El 2 de 2 a 23 es tan bajo. 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi como el pecado2 2-23 = 0,92 (el 90% actual inferior de la unión), y si es tan grande = 0,025 (el valor central de CHARM/CHARM II6) y, a continuación, la cambio en la probabilidad de supervivencia en la primera oscilación puede ser tan grande como - 40%. Si el haz Fermilab-NUMI en su modo de alta energía2 un ángulo de declinación de 46o hacia el detector de Hyper-Kamiokande planeado3 en Kamioka, Japón (línea de base 9120 km), este cambio sería visible después de sólo un año de toma de datos, asumiendo un volumen fiducial Mega-ton y 100% de eficiencia. La ausencia de cualquier cambio después de 5 años de toma de datos sería Limitar a 1 ≤ â € ¢ 0,005, (7) en el nivel de confianza del 99%. En lo siguiente, nos fijamos en cómo este límite potencial en traduciría en restricciones en el Z ′ en topcolor asistido tecnicolor, y varios tipos de leptoquarks. Se presentará un análisis más exhaustivo en Ref. 7. 2. Topcolor asistido Technicolor Aunque hay varias versiones diferentes de tecnología asistida topcolor,4 aquí consideramos el más simple en el que los quarks y leptones se transforman en el grupo del gálibo SU(3)s × SU(3)w × U(1)s × U(1)w × SU(2)L (8) con constantes de acoplamiento g3s, g3w, g1s, g1w y g, respectivamente. Se supone que g3s, g3w y g1s, g1w. SU(2)L es el calibrador habitual de isospin débil grupo del SM. Los fermiones de primera y segunda generación se supone que se cobrará únicamente con arreglo a SU(3)w×SU(2)L×U(1)w, mientras que la tercera generación se supone que los fermiones sólo se cargan con arreglo a los SU(3)s × SU(2)L ×U(1)s. Los cargos U(1) para ambos casos se establecen igual a la carga de sobrecarga SM. En escala 1 TeV, technicolor, que se incluye en el modelo para generar el W y Z masas, se supone que se hacen fuertes y generan un condensado (de algo que no se especifica) que rompe los dos SU(3) y los dos U(1) a sus subgrupos diagonales: SU(3)s × SU(3)w → SU(3)c, U(1)s × U(1)w → U(1)Y, (9) que nos identificamos con los grupos usuales de color SM e hipercarga. Los Bosón de calibre U(1) sin roturas de masa Bμ y calibre U(1) sin roturas de masa bosón Z están relacionados con los campos de calibre originales U(1)s × U(1)w Ysμ y Ywμ por Z = Ysμ cos ­1 − Ywμ sin ­1 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Bμ = Ysμ sin فارسى1 + Ywμ cos فارسى1 (10) donde ≤1 = . (11) Las corrientes a las que los Bμ y Z μ pareja a: 1sY'g1wJ 1wYwμ = g ′ (cot فارسى1J 1s - tan - 1J 1s + J 1w)Bμ, donde . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. El actual J 1s + J 1w es la corriente de hipercarga SM, y g ′ es la SM constante de acoplamiento de hipercarga. El intercambio de la Z ′ conduce a la interacción corriente-corriente (cuellos 1J1 − tan 1J1w) (cuellos 1J1 − tan 1J1w), (14) la parte J1sJ1s de la cual no contribuye a las oscilaciones de neutrinos en la Tierra, mientras que la parte J1wJ1w es suprimida relativa a la parte J1wJ1s por un factor de tan2..... 1........................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto, sólo necesitamos considerar el J1sJ1w interacción que sólo afecta a la propagación de . El potencial efectivo sentido por debido a esta interacción es V = , (15) y el efectivo es • TT = V − V (g′/MZ′) (g/MW )2 tan2 ŁW sin2ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo El límite TT ≤ 0 = 0.005 se traduce entonces en: MZ′ ≥ MZ sin2ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 440GeV. (17) Desafortunadamente, este límite potencial de la medición de • es más débil que lo que ya está disponible a partir de datos electrodébiles de precisión,8 y de búsquedas directas de pp̄ → Z ′ → en CDF.9,10 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi 3. Leptoquarks no diagonales de generación Las interacciones de los leptoquarks con la materia ordinaria se pueden describir en una moda modelo-independiente por un Lagrangiano de baja energía eficaz como dis- malversado en Ref. 11. Asumiendo el contenido fermiónico del SM, el más gen- Su(3)C × SU(2)L ×U(1)Y acoplamientos invariantes de escalar y vectores leptoquarks satisfacción baryon y número de lepton conservación están dadas por: L = LF=2 + LF=0, (18) donde LF=2 = jL − dciL vjL) + g ejL) + g ejR) V +2μ jL) + g ejR) V −2μ ejL) 2μ + (u jL) EjL)S 3 − (uciLejL + dciL vjL)S /JL)S , (19) LF=0 = (uiRejL) + h (uiLejR) (uiR/jL)- hij2R(diLejR) (diRejL)S 2 + (diR/jL)S (uiLγ LjL + diLγ μejL) + h (diRγ μejR) V 01μ 2(uiLγ) μejL)V 3μ + (uiLγ L-diLejL)V 03μ + 2 (diLγ) B) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V)) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) Aquí, los campos escalar y vector leptoquark se denotan por S y V, su subíndices que indican la dimensión de su representación SU(2)L, y la superíndices que indican el signo de la débil-isoespina de cada componente. Nosotros permitir la generación de acoplamientos no diagonales con los índices i y j indicat- los números de generación de quark y leptón, respectivamente. El subíndice L o R en las constantes de acoplamiento indican la quiralidad del leptón implicado en la interacción. Para simplificar, se han suprimido los índices de color. Los leptoquarks S1, ~S3, V2, 2 llevan el número de fermión F = 3B + L = −2, mientras que los leptoquarks S2, S̃2, V1, ~V3 tienen F = 0. Las interacciones que afectan a neu- oscilación trino son aquellos con (ij) = (12) o (13). 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Cuadro 1 Limitaciones en los acoplamientos de leptoquark con todos los leptoquark Las masas se fijaron en 300 GeV. Para obtener los límites de una masa de leptocuarco diferente MLQ, simplemente redimensionar estos números con el factor (MLQ/300 GeV) LQ CLQ límite superior de ≤ 0 S1 +3 g 2 − g13 2 0,01 ~S3 +9 g 2 − g13 2 0,003 S2 −3 h 2 − h13 2 0,01 Sœ2 −3 h 2 − hś13 2 0,01 V2 +6 g 2 − g13 2 0,005 2 +6 g 2 − g 2 0,005 V1 −6 h 2 − h13 2 0,005 ~V3 −18 h 2 − h13 2 0,002 Es sencillo calcular los potenciales efectivos debido a la cambio de estos leptoquarks, así como los valores efectivos de 7 masa común para leptoquarks en el mismo múltiple SU(2)L de isospin débil, el efectivo â € debido al intercambio de cualquier tipo particular de lata de leptoquark estar escrito en la forma •LQ = CLQ 2LQ/M g2/M2 2LQ . (21) Aquí, CLQ es un prefactor constante, y LQ representa 2LQ = 12LQ2 − 13LQ2, (22) donde ♥ es una constante genérica de acoplamiento. Los valores de CLQ y para los diferentes tipos de leptoquark se enumeran en la Tabla 1. La limitación LQ ≤ 0 se traduce en: MLQ ≥ CLQ2LQ 2GF 0 CLQ2LQ × (1700GeV). 23) Alternativamente, se puede fijar la masa de leptoquark y obtener los límites superiores en los acoplamientos de leptocuarco: 2LQ 2GF 0 M2LQ 300GeV . (24) Los valores cuando MLQ = 300GeV se enumeran en la columna más a la derecha de Cuadro 1 Pensé que a menudo se dice que los acoplamientos no diagonales de generación de leptoquarks están fuertemente limitados por la ausencia de sabor chang- ing corrientes neutras, son sólo los productos de los (ij) = (12) y (13) los acoplamientos con otros acoplamientos que están restringidos.12 Los límites de la 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Los acoplamientos individuales pueden mejorarse considerablemente. El leptoquark actual los límites de masa de los registros directos en el Tevatron, LEP y HERA están en la gama GeV 200+300 asumiendo acoplamientos diagonales de generación igual 4o ° ° ° ° ° ° ° 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° En el LHC, se puede esperar que los leptoquarks, si existen, sean dos producidos copiosamente a través de la fusión gluon-gluon. El sensi- tividad es hasta aproximadamente 1.5 TeV.13 Dependiendo del valor asumido para 2LQ, el límite de Eq. (23) puede ser competitivo. Agradecimientos Nos gustaría dar las gracias a los Dres. Andrew Akeroyd, Mayumi Aoki, Masafumi Kurachi, Robert Shrock e Hiroaki Sugiyama para discusiones útiles. Esto investigación fue apoyada en parte por el Departamento de Energía de EE.UU., subvención DE–FG05–92ER40709, Task A (Kao, Pronin y Takeuchi). Bibliografía 1. M. Honda, N. Okamura, y T. Takeuchi, arXiv:hep-ph/0603268. 2. Manual de diseño técnico de NUMI, puede consultarse en http://www-numi.fnal.gov/numwork/tdh/tdh index.html 3. Y. Itow y otros, arXiv:hep-ex/0106019; versión actualizada disponible en http://neutrino.kek.jp/jhfnu/. 4. C. T. Hill, Phys. Lett. B 345, 483 (1995); G. Buchalla, G. Burdman, C. T. Hill, y D. Kominis, Phys. Rev. D 53, 5185 (1996). 5. T. Appelquist, M. Piai y R. Shrock, Phys. Rev. D 69, 015002 (2004). 6. J. Dorenbosch y otros [Colaboración Charm], Phys. Lett. B 180, 303 (1986); P. Vilain et al. [CHARM-II Colaboración], Phys. Lett. B 320, 203 (1994). 7. M. Honda, Y. Kao, N. Okamura, A. Pronin y T. Takeuchi, en preparación. 8. R. S. Chivukula y J. Terning, Phys. Lett. B 385, 209 (1996); W. Loinaz y T. Takeuchi, Phys. Rev. D 60, 015005 (1999). 9. D. Acosta y otros [Colaboración CDF], Phys. Rev. Lett. 95, 131801 (2005). 10. W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], J. Phys. G 33 (2006) 1. 11. W. Buchmüller, R. Rückl y D. Wyler, Phys. Lett. B 191, 442 (1987); M. Tanabashi, p.412 of Ref. 10. 12. S. Davidson, D. C. Bailey y B. A. Campbell, Z. Phys. C 61, 613 (1994); Sr. Leurer, Phys. Rev. D 49, 333 (1994); M. Leurer, Phys. Rev. D 50, 536 (1994); E. Gabrielli, Phys. Rev. D 62, 055009 (2000). 13. Detector ATLAS y rendimiento físico. Informe de diseño técnico. Vol. 2, CERN-LHCC-99-15, ATLAS-TDR-15; física CMS: Diseño técnico Re- puerto v.2 : rendimiento físico, CERN-LHCC-2006-021, CMS-TDR-008-2; V. A. Mitsou, N. C. Benekos, I. Panagoulias y T. D. Papadopoulou, checo. J. Phys. 55, B659 (2005).

Nueva física más allá del modelo estándar puede conducir a efectos de materia adicional en oscilación del neutrino si las nuevas interacciones distinguen entre los tres sabores de neutrino. En Ref.1, argumentamos que un neutrino de larga línea de base experimento de oscilación en el que el haz Fermilab-NUMI en su modo de alta energía está dirigido al detector previsto de Hyper-Kamiokande sería capaz de limitar el tamaño de esos efectos de materia adicional, siempre que el valor de vacío de \sin^2 2\theta_{23} no está demasiado cerca de uno. En esta charla, discutimos cómo tal restricción se traduciría en límites sobre las constantes de acoplamiento y masas de nuevas partículas en modelos como topcolor asistido tecnicolor.

Introducción Al considerar los efectos de la materia en la oscilación del neutrino, es habitual considerar sólo la interacción W -intercambio de la νe con los electrones en materia. Sin embargo, si las nuevas interacciones más allá del Modelo Estándar (SM) que distinguir entre las tres generaciones de neutrinos existen, que pueden conducir a efectos de materia extra a través de correcciones radiativas al vértice Z que que violan efectivamente la universalidad actual neutral, o a través del intercambio directo de nuevas partículas entre los neutrinos y las partículas de materia. Por ejemplo, la tecnología asistida por topcolor4 trata a la tercera generación diferente de los dos primeros y el Z ′ en esta clase de modelos de parejas más fuertemente a la que a la νe o. En Technicolor extendido (ETC) Modelos, como el de Appelquist, Piai y Shrock,5 el neutral tecnimesons, que se mezclan con la Z, pareja a diferentes generaciones de fermiones diferente, distinguiendo entre νe,, y . El medidor ETC diagonal bosones también se unen a las diferentes generaciones de manera diferente, así como el ∗ Autor que presenta la comunicación http://arxiv.org/abs/0704.0369v1 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi gran variedad de estados de leptoquark en el modelo. Materia que distingue el sabor efectos de la diagonal ETC y leptoquarks son inducidos por el calibrador ETC Mezcla de bosón. El Hamiltoniano efectivo que gobierna las oscilaciones de neutrinos en el pres- la existencia de una violación de la universalidad del leptón de corriente neutra, o de una nueva física que las parejas a las diferentes generaciones de manera diferente, se da por1 H = 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ♥3 † = U 0 0 0 0 m221 0 0 0 m231 U † + a 0 0 0 0 0 0 0 0 ser 0 0 0 bμ 0 0 0 b........................................................................................................................................ donde U es la matriz MNS, a = 2EVCC, VCC = 2GFNe = Ne , (2) es el efecto normal de la materia debido a W - intercambio entre νe y los electrones, y ser, bμ, b/23370/ son los efectos adicionales de la materia que asumimos que no son iguales. Definimos el parámetro b-a-bμ = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3) Entonces, el Hamiltoniano efectivo puede ser reescrito como H = 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ♥3 † = U 0 0 0 0 m221 0 0 0 m231 U a 1 0 0 0 /2 0 0 0 /2 , (4) donde hemos absorbido los b-términos adicionales en el elemento (1, 1) en a. La contribución adicional dependiente en Eq. 4) puede manifestarse cuando a > m231 (es decir, E & 10GeV para densidades típicas de materia en la Tierra) en las probabilidades de supervivencia como P ( → ) 1− sin2 2o 23o − m231 P ( → ) 1− sin2 2­23 + m231 , (5) donde * 31c213 * 21c212, * ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * L, cij = cos Łij, (6) y la fase de violación de la CP ha sido puesta en cero. Como es evidente desde estas expresiones, el pequeño cambio debido a será invisible si el valor de El sin2 2-23 está demasiado cerca de uno. Sin embargo, si el valor del pecado El 2 de 2 a 23 es tan bajo. 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi como el pecado2 2-23 = 0,92 (el 90% actual inferior de la unión), y si es tan grande = 0,025 (el valor central de CHARM/CHARM II6) y, a continuación, la cambio en la probabilidad de supervivencia en la primera oscilación puede ser tan grande como - 40%. Si el haz Fermilab-NUMI en su modo de alta energía2 un ángulo de declinación de 46o hacia el detector de Hyper-Kamiokande planeado3 en Kamioka, Japón (línea de base 9120 km), este cambio sería visible después de sólo un año de toma de datos, asumiendo un volumen fiducial Mega-ton y 100% de eficiencia. La ausencia de cualquier cambio después de 5 años de toma de datos sería Limitar a 1 ≤ â € ¢ 0,005, (7) en el nivel de confianza del 99%. En lo siguiente, nos fijamos en cómo este límite potencial en traduciría en restricciones en el Z ′ en topcolor asistido tecnicolor, y varios tipos de leptoquarks. Se presentará un análisis más exhaustivo en Ref. 7. 2. Topcolor asistido Technicolor Aunque hay varias versiones diferentes de tecnología asistida topcolor,4 aquí consideramos el más simple en el que los quarks y leptones se transforman en el grupo del gálibo SU(3)s × SU(3)w × U(1)s × U(1)w × SU(2)L (8) con constantes de acoplamiento g3s, g3w, g1s, g1w y g, respectivamente. Se supone que g3s, g3w y g1s, g1w. SU(2)L es el calibrador habitual de isospin débil grupo del SM. Los fermiones de primera y segunda generación se supone que se cobrará únicamente con arreglo a SU(3)w×SU(2)L×U(1)w, mientras que la tercera generación se supone que los fermiones sólo se cargan con arreglo a los SU(3)s × SU(2)L ×U(1)s. Los cargos U(1) para ambos casos se establecen igual a la carga de sobrecarga SM. En escala 1 TeV, technicolor, que se incluye en el modelo para generar el W y Z masas, se supone que se hacen fuertes y generan un condensado (de algo que no se especifica) que rompe los dos SU(3) y los dos U(1) a sus subgrupos diagonales: SU(3)s × SU(3)w → SU(3)c, U(1)s × U(1)w → U(1)Y, (9) que nos identificamos con los grupos usuales de color SM e hipercarga. Los Bosón de calibre U(1) sin roturas de masa Bμ y calibre U(1) sin roturas de masa bosón Z están relacionados con los campos de calibre originales U(1)s × U(1)w Ysμ y Ywμ por Z = Ysμ cos ­1 − Ywμ sin ­1 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Bμ = Ysμ sin فارسى1 + Ywμ cos فارسى1 (10) donde ≤1 = . (11) Las corrientes a las que los Bμ y Z μ pareja a: 1sY'g1wJ 1wYwμ = g ′ (cot فارسى1J 1s - tan - 1J 1s + J 1w)Bμ, donde . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. El actual J 1s + J 1w es la corriente de hipercarga SM, y g ′ es la SM constante de acoplamiento de hipercarga. El intercambio de la Z ′ conduce a la interacción corriente-corriente (cuellos 1J1 − tan 1J1w) (cuellos 1J1 − tan 1J1w), (14) la parte J1sJ1s de la cual no contribuye a las oscilaciones de neutrinos en la Tierra, mientras que la parte J1wJ1w es suprimida relativa a la parte J1wJ1s por un factor de tan2..... 1........................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto, sólo necesitamos considerar el J1sJ1w interacción que sólo afecta a la propagación de . El potencial efectivo sentido por debido a esta interacción es V = , (15) y el efectivo es • TT = V − V (g′/MZ′) (g/MW )2 tan2 ŁW sin2ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo El límite TT ≤ 0 = 0.005 se traduce entonces en: MZ′ ≥ MZ sin2ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 440GeV. (17) Desafortunadamente, este límite potencial de la medición de • es más débil que lo que ya está disponible a partir de datos electrodébiles de precisión,8 y de búsquedas directas de pp̄ → Z ′ → en CDF.9,10 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi 3. Leptoquarks no diagonales de generación Las interacciones de los leptoquarks con la materia ordinaria se pueden describir en una moda modelo-independiente por un Lagrangiano de baja energía eficaz como dis- malversado en Ref. 11. Asumiendo el contenido fermiónico del SM, el más gen- Su(3)C × SU(2)L ×U(1)Y acoplamientos invariantes de escalar y vectores leptoquarks satisfacción baryon y número de lepton conservación están dadas por: L = LF=2 + LF=0, (18) donde LF=2 = jL − dciL vjL) + g ejL) + g ejR) V +2μ jL) + g ejR) V −2μ ejL) 2μ + (u jL) EjL)S 3 − (uciLejL + dciL vjL)S /JL)S , (19) LF=0 = (uiRejL) + h (uiLejR) (uiR/jL)- hij2R(diLejR) (diRejL)S 2 + (diR/jL)S (uiLγ LjL + diLγ μejL) + h (diRγ μejR) V 01μ 2(uiLγ) μejL)V 3μ + (uiLγ L-diLejL)V 03μ + 2 (diLγ) B) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V)) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) V) Aquí, los campos escalar y vector leptoquark se denotan por S y V, su subíndices que indican la dimensión de su representación SU(2)L, y la superíndices que indican el signo de la débil-isoespina de cada componente. Nosotros permitir la generación de acoplamientos no diagonales con los índices i y j indicat- los números de generación de quark y leptón, respectivamente. El subíndice L o R en las constantes de acoplamiento indican la quiralidad del leptón implicado en la interacción. Para simplificar, se han suprimido los índices de color. Los leptoquarks S1, ~S3, V2, 2 llevan el número de fermión F = 3B + L = −2, mientras que los leptoquarks S2, S̃2, V1, ~V3 tienen F = 0. Las interacciones que afectan a neu- oscilación trino son aquellos con (ij) = (12) o (13). 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Cuadro 1 Limitaciones en los acoplamientos de leptoquark con todos los leptoquark Las masas se fijaron en 300 GeV. Para obtener los límites de una masa de leptocuarco diferente MLQ, simplemente redimensionar estos números con el factor (MLQ/300 GeV) LQ CLQ límite superior de ≤ 0 S1 +3 g 2 − g13 2 0,01 ~S3 +9 g 2 − g13 2 0,003 S2 −3 h 2 − h13 2 0,01 Sœ2 −3 h 2 − hś13 2 0,01 V2 +6 g 2 − g13 2 0,005 2 +6 g 2 − g 2 0,005 V1 −6 h 2 − h13 2 0,005 ~V3 −18 h 2 − h13 2 0,002 Es sencillo calcular los potenciales efectivos debido a la cambio de estos leptoquarks, así como los valores efectivos de 7 masa común para leptoquarks en el mismo múltiple SU(2)L de isospin débil, el efectivo â € debido al intercambio de cualquier tipo particular de lata de leptoquark estar escrito en la forma •LQ = CLQ 2LQ/M g2/M2 2LQ . (21) Aquí, CLQ es un prefactor constante, y LQ representa 2LQ = 12LQ2 − 13LQ2, (22) donde ♥ es una constante genérica de acoplamiento. Los valores de CLQ y para los diferentes tipos de leptoquark se enumeran en la Tabla 1. La limitación LQ ≤ 0 se traduce en: MLQ ≥ CLQ2LQ 2GF 0 CLQ2LQ × (1700GeV). 23) Alternativamente, se puede fijar la masa de leptoquark y obtener los límites superiores en los acoplamientos de leptocuarco: 2LQ 2GF 0 M2LQ 300GeV . (24) Los valores cuando MLQ = 300GeV se enumeran en la columna más a la derecha de Cuadro 1 Pensé que a menudo se dice que los acoplamientos no diagonales de generación de leptoquarks están fuertemente limitados por la ausencia de sabor chang- ing corrientes neutras, son sólo los productos de los (ij) = (12) y (13) los acoplamientos con otros acoplamientos que están restringidos.12 Los límites de la 9 de agosto de 2021 18:21 WSPC - Procedimiento Trim Tamaño: 9in x 6in SCGT06-takeuchi Los acoplamientos individuales pueden mejorarse considerablemente. El leptoquark actual los límites de masa de los registros directos en el Tevatron, LEP y HERA están en la gama GeV 200+300 asumiendo acoplamientos diagonales de generación igual 4o ° ° ° ° ° ° ° 4o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° En el LHC, se puede esperar que los leptoquarks, si existen, sean dos producidos copiosamente a través de la fusión gluon-gluon. El sensi- tividad es hasta aproximadamente 1.5 TeV.13 Dependiendo del valor asumido para 2LQ, el límite de Eq. (23) puede ser competitivo. Agradecimientos Nos gustaría dar las gracias a los Dres. Andrew Akeroyd, Mayumi Aoki, Masafumi Kurachi, Robert Shrock e Hiroaki Sugiyama para discusiones útiles. Esto investigación fue apoyada en parte por el Departamento de Energía de EE.UU., subvención DE–FG05–92ER40709, Task A (Kao, Pronin y Takeuchi). Bibliografía 1. M. Honda, N. Okamura, y T. Takeuchi, arXiv:hep-ph/0603268. 2. Manual de diseño técnico de NUMI, puede consultarse en http://www-numi.fnal.gov/numwork/tdh/tdh index.html 3. Y. Itow y otros, arXiv:hep-ex/0106019; versión actualizada disponible en http://neutrino.kek.jp/jhfnu/. 4. C. T. Hill, Phys. Lett. B 345, 483 (1995); G. Buchalla, G. Burdman, C. T. Hill, y D. Kominis, Phys. Rev. D 53, 5185 (1996). 5. T. Appelquist, M. Piai y R. Shrock, Phys. Rev. D 69, 015002 (2004). 6. J. Dorenbosch y otros [Colaboración Charm], Phys. Lett. B 180, 303 (1986); P. Vilain et al. [CHARM-II Colaboración], Phys. Lett. B 320, 203 (1994). 7. M. Honda, Y. Kao, N. Okamura, A. Pronin y T. Takeuchi, en preparación. 8. R. S. Chivukula y J. Terning, Phys. Lett. B 385, 209 (1996); W. Loinaz y T. Takeuchi, Phys. Rev. D 60, 015005 (1999). 9. D. Acosta y otros [Colaboración CDF], Phys. Rev. Lett. 95, 131801 (2005). 10. W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], J. Phys. G 33 (2006) 1. 11. W. Buchmüller, R. Rückl y D. Wyler, Phys. Lett. B 191, 442 (1987); M. Tanabashi, p.412 of Ref. 10. 12. S. Davidson, D. C. Bailey y B. A. Campbell, Z. Phys. C 61, 613 (1994); Sr. Leurer, Phys. Rev. D 49, 333 (1994); M. Leurer, Phys. Rev. D 50, 536 (1994); E. Gabrielli, Phys. Rev. D 62, 055009 (2000). 13. Detector ATLAS y rendimiento físico. Informe de diseño técnico. Vol. 2, CERN-LHCC-99-15, ATLAS-TDR-15; física CMS: Diseño técnico Re- puerto v.2 : rendimiento físico, CERN-LHCC-2006-021, CMS-TDR-008-2; V. A. Mitsou, N. C. Benekos, I. Panagoulias y T. D. Papadopoulou, checo. J. Phys. 55, B659 (2005).

Shaped angular dependence of the spin transfer torque and microwave generation without magnetic field

La magnetización de un cuerpo ferromagnético puede ser manipulada mediante la transferencia del impulso angular de la rotación de un ciruelo polarizado por rotación Forma de dependencia angular del par de transferencia de giro y generación de microondas sin campo magnético O. Boulle1, V. Cros1, J. Grollier1, L. G. Pereira1,*, C. Deranlot1, F. Petroff1, G. Faini2, J. Barnaś3, A. Fert1 1 Unité Mixte de Physique CNRS/Thales y Université Paris Sud XI, Route départementale 128, 91767 Palaiseau (Francia) 2 Laboratoire de Photonique et de Nanostructures LPN-CNRS, Route de Nozay, 91460 Marcoussis, Francia 3 Departamento de Física, Universidad Adam Mickiewicz, Uultowska 85, 61-614 Poznań, Polonia Resumen: La generación de oscilaciones en la gama de frecuencias de microondas es una de las más aplicaciones importantes esperadas de los dispositivos de spintronics que explotan la transferencia de giros fenómeno. Informamos de mediciones de transporte y potencia de microondas en nanopilares para los que una dependencia angular no estándar del par de transferencia de giro (wavy) variación) es predicho por modelos teóricos. Observamos un nuevo tipo de corriente inducida dinámica que se caracteriza por grandes precesiones de ángulo en ausencia de cualquier campo aplicado, como Esto también se predice mediante simulación con tal dependencia angular ondulada del par. Este tipo de nanopilares no estándar puede representar una forma interesante para la aplicación de osciladores de transferencia ya que son capaces de generar oscilaciones de microondas sin aplicar campo magnético. También enfatizamos las implicaciones teóricas de nuestros resultados en la dependencia del par. La magnetización de un cuerpo ferromagnético se puede manipular mediante la transferencia de giro angular impulso de una corriente polarizada giratoria. Este es el concepto de transferencia de giro introducido por Slonczewski [1] y Berger [2] en 1996. En la mayoría de los experimentos, se inyecta una corriente spin-polarizada de un polarizador giratorio a un elemento magnético “libre”, por ejemplo en forma de pilar magnético tricapas [3-6]. El fenómeno de la transferencia de giros tiene un gran potencial para las aplicaciones. Puede ser utilizado para cambiar una configuración magnética (la configuración de una memoria magnética para ejemplo) [3-5) o para generar precesiones magnéticas y oscilaciones de tensión en el microondas rango de frecuencia[6-7]. En las situaciones más habituales, tales oscilaciones se observan en la presencia de un campo magnético. Desde un punto de vista fundamental, los efectos de transferencia de giros generan dos tipos diferentes de problemas [8]. En primer lugar, el par de transferencia de giro que actúa sobre un elemento magnético está relacionado con el polarización transversal de la corriente (significación transversal perpendicular a la magnetización) eje del elemento) y puede derivarse de ecuaciones de transporte dependientes de giros [8-17]. En el Por otra parte, la descripción de las excitaciones magnéticas generadas por el par de transferencia de giros aumenta problemas de dinámica no lineal [8,18-20]. Por ejemplo, en el límite simple donde la excitación se supone que es una precesión uniforme de la magnetización (aproximación de la macrospina), este la precesión puede determinarse mediante la introducción del par de giros en un Landau-Lifshitz- Gilbert (LLG) ecuación para el movimiento del momento magnético. Sin embargo, la determinación de el torque de transferencia de giro y la descripción de la dinámica de magnetización no pueden considerarse problemas independientes. En estructuras tricapadas estándar con magnetizaciones en el plano y con el dependencia angular habitual, un régimen de conmutación se encuentra en el campo magnético cero y bajo y el régimen de precesión con generación de oscilaciones de tensión se observa principalmente por encima de algunos campo umbral [8]. Demostraremos que un nuevo comportamiento, caracterizado por precesiones de gran ángulo en la ausencia de cualquier campo magnético, puede obtenerse en estructuras especialmente diseñadas que presenten un dependencia no estándar del par de transferencia de giro en función del ángulo entre el eje fijo magnetización del polarizador y magnetización de la capa libre. Este angular no estándar dependencia del par, que llamamos “wavy”, se obtiene mediante la elección de materiales con diferentes longitudes de difusión de spin para las capas magnéticas “fijadas” y “libres”, lo que cambia la distribución de las corrientes de giro y acumulaciones de giro en la estructura. La observación de oscilaciones de transferencia de giro en campo cero en estructuras con un angular “wavy” dependencia del par puede representar una nueva forma de obtener osciladores de transferencia de giro que funcionan sin ningún campo aplicado, siendo de otra manera posible el uso de interacciones de intercambio o anisotropía para generar campos locales efectivos o configuraciones de equilibrio no lineales [21]. In Además, la observación de una dependencia angular ondulada del par representa una prueba valiosa de la teoría y muestra que las predicciones realistas del par de transferencia de giro y su angular La dependencia en una estructura dada es ahora posible. Como veremos, en los modelos que consideramos aquí [15-16], el par se calcula a partir de parámetros que, para la mayoría de ellos, pueden derivarse de ex experimentos CPP-GMR [22-23]. Comportamiento habitual observado en pilares con magnetizaciones en el plano a lo largo de un eje de anisotropía corresponde a la dependencia angular estándar de la entrada de la Fig.1a, en la que se inicia el par a partir de cero en  = 0 (estado de equilibrio P con magnetizaciones paralelas de la fija y libre capas magnéticas) y mantiene el mismo signo hasta que vuelve a cero en  =  (AP antiparalelo state). En el campo cero y a partir de un estado P por ejemplo (Fig.1b), una corriente negativa (electrones) ir de la capa libre a la capa fija en nuestra convención) desestabilizará el estado P y estabilizará el estado AP, es decir, puede cambiar el sistema de P a AP. En presencia de un lo suficientemente grande aplicado campo que favorece la configuración P, el par no puede estabilizar el estado AP y deja el sistema en un estado de precesión intermedia. Esto es lo que llamamos el comportamiento estándar con irreversible cambio en campo bajo y precesión en campo alto, como se ilustra en la Fig.2a (observación: en algunos campos bajos en los experimentos de campo, sin embargo, el cambio irreversible es precedido por precesiones en un muy estrecho rango actual justo debajo de la corriente de conmutación). El comportamiento no estándar con precesión a cero y/o bajo campo presentado en este artículo está relacionado con la existencia de una dependencia angular ondulada del par que actúa sobre el capa. Esta dependencia angular oscilatoria, con una inversión del par entre 0 y 0 η, se muestra en la Fig. 1a. Presentamos los resultados de los cálculos en los modelos de Fert et al [15] y Barnaś y otros [16-17] para un pilar Py(8)/Cu(10)/Co(8). Con respecto a las estructuras estándar como Co/Cu/Co o Py/Cu/Py, la diferencia que hemos introducido es una gran asimetría entre el giro longitudes de difusión (SDL) en las capas magnéticas, con un SDL largo en Co- temperatura) y un SDL corto en Pia 4 nm [22-23]. La asimetría más pequeña del giro de la resistividad en Co también podría afectar a la dependencia angular, pero hemos comprobado por cálculos adicionales que la variación ondulada proviene principalmente del SDL más corto en la capa libre de Py y no de los diferentes coeficientes de asimetría de giro, como se ha escrito erróneamente en Ref.[24]. Los curvas sólidas en la Fig.1a corresponden al cálculo en el modelo de Barnaś et al [16]. Un ondulado dependencia angular también es predicho por el modelo de Fert et al [15] que da los términos de primero orden en los estados colineales P o AP (las líneas rectas sólidas en el bordes izquierdo y derecho de la gráfica en la Fig.1). Debido a la inversión a valores pequeños de................................................................................................................ corriente (Fig. 1c) ahora estabiliza no sólo el estado AP sino también el P y debe ser «inactivo». Esto puede ser una solución, por ejemplo, para reducir el ruido inducido por la transferencia de giros que es perjudicial para leer cabezas. En cambio, una corriente positiva adecuada puede desestabilizar tanto a los estados P como a los AP, conduce a una solución precesional la ecuación de movimiento, incluso en el campo cero. Para validar estas predicciones, hemos realizado transporte y potencia de microondas mediciones a temperatura ambiente en los nanopilares elípticos Py(8)/Cu/Co(8) de aproximadamente dimensiones 100x155 nm2. Sólo la capa superior Py (capa libre) y el espaciador Cu están grabados a través. La capa Co no grabada (“capa fija”) se encuentra directamente en el electrodo inferior Ta/Cu. Muy frecuentes Se han obtenido resultados similares en los nanopilares Py(8)/Cu/Co(4)/IrMn en los que se ha ampliado la la capa es el intercambio sesgado por el IrMn uno. Mostramos en Fig. 2b la señal GMR de un Muestra Py(8)/Cu/Co(8). Comenzando, por ejemplo, desde grandes campos negativos, el cambio a un AP estado a unos 40 Oe está relacionado con la inversión de magnetización de la capa libre (Py) a la positiva dirección, ya que esto se puede encontrar de experimentos CIMS subsecuentes en los que la corriente inducida volver a P se hace más difícil por un campo positivo más grande (consistentemente con una orientación positiva de la Magnetización Py en el cambio al estado AP). De los ciclos menores GMR de la capa Py (ver información complementaria), encontramos que el campo coercitivo de la capa Py es 90 Oe y el campo dipolar que actúa en él es 43 Oe. Los diferentes comportamientos observados para las dependencias angulares estándar y ondulada son los primeros ilustrada en la figura 2a y 2c. In Fig. 2a, mostramos la variación estándar de la resistencia diferencial (dV/dI) versus I medido en un pilar Py(4 nm)/Cu(10 nm)/Py(15 nm): a partir de un estado P, una corriente negativa induce un cambio irreversible de P a AP en campo bajo y un reversible variación con el pico característico de precesiones constantes en campo alto. En cambio, a partir de de nuevo desde una configuración magnética P con magnetizaciones en la dirección de campo positivo, pero ahora con un pilar Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm) para el que se espera una dependencia angular ondulada, detectamos (Fig. 2c) picos reversibles de dV/dI para corrientes positivas y en campos muy pequeños en ambos lados de Happ= 0. El pico actual aumenta con el aumento del campo aplicado positivo como se esperaba desde que el estado P se vuelve más estable. También hemos realizado experimentos con un AP inicial Estado. Encontramos que dV/dI primero baja al nivel de un estado P en alguna corriente positiva y luego, en corriente más alta, exhibe el mismo pico de precesión característico que observamos en las mediciones con a Estado inicial P (datos no presentados). In Fig. 3, presentamos espectros de potencia de microondas grabados con el mismo estado inicial P y para varios valores de la corriente. La figura 3a es para el campo de aplicación cero (en realidad, Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en realidad, Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe). campo interior efectivo cero (después de restar el campo dipolar). Puntos coloreados en los insets indicar los valores de la corriente en las curvas correspondientes dV/dI vs I. Un pico en el espectro de potencia de microondas resulta aproximadamente en algunos rangos actuales por encima del máximo de dV/dI. La frecuencia f del pico de microondas aumenta con la corriente (desplazamiento azul), en contraste con el cambio rojo generalmente observado en pilares estándar con magnetización en el plano. En realidad, con la dependencia angular estándar del par, la predicción teórica es un sucesión de regímenes de cambio rojo y azul en la corriente creciente, pero, en experimentos con en-plano campos aplicados, el crossover a un régimen de cambio azul se ha observado raramente [25]. En macrospin simulaciones, un cambio azul en f se predice para el régimen de precesiones fuera de plano (OP) y es también asociado con una disminución de f con el aumento del campo en el plano. Como se muestra en la Fig.3 c, nosotros observar esta disminución de f con Happ. En la Fig.4a, presentamos el diagrama de campo actual de la Poder de microondas. Las señales de microondas se emiten sólo en la esquina superior izquierda del diagrama, es decir. en un campo bajo y en una zona que es también una región de mayor resistencia (Fig.4b). Ninguna excitación es observado en el campo más alto. Por lo tanto, podemos presentar dos resultados principales de nuestros datos de potencia de microondas: i) Pilares en que se espera una dependencia angular ondulada del par de transferencia de giro, generar microondas oscilaciones, pero, en contraste con el comportamiento estándar, cuando hay excitación por positivo corrientes y en campo cero; ii) Estas oscilaciones de microondas presentan un cambio azul de su frecuencia con la corriente, un comportamiento generalmente asociado con precesiones fuera del plano. En primer lugar queremos excluir que los efectos descritos en los párrafos anteriores podrían surgir de otros orígenes que la dependencia angular ondulada del STT. ¿Podrían surgir de Excitaciones de la capa "fija" Co? Primero podemos argumentar que también se observa el mismo comportamiento. Cuando la capa de Co de 4 nm de espesor y extendida se fija por una capa de IrMn y que una excitación de un Co capa delgada en presencia de una fijación tan fuerte es bastante improbable. También podemos señalar que, para las capas magnéticas continuas desbloqueadas, las densidades de corriente de conmutación obtenidas por Chen et al. [26] son aproximadamente un orden de magnitud más grande que el nuestro. Además, mientras que una reducción de el espesor de la capa Co a 4 nm para el mismo espesor Py 8nm debe hacer la excitación de Co más fácil (corriente más pequeña), nuestros resultados experimentales están en la dirección opuesta. La muestra de la Fig.2-3 muestra el comportamiento relativamente simple predicho para un ángulo ondulado dependencia del par en una imagen macrospin, es decir, precesiones en campo cero y bajo en positivo actual. Sin embargo, en una serie de cinco muestras similares (con o sin pinning por IrMn), tenemos También se observaron otras características en las mediciones del transporte. Por ejemplo, en algunas muestras y con un estado P inicial, vemos no sólo picos en dV/dI en corriente positiva en campo cero o bajo, pero también conmutaciones parciales o totales en la corriente negativa. Estas excitaciones pueden ser atribuidas a un no- distribución uniforme de la magnetización [27]. Para una parte de la muestra, el ángulo las magnetizaciones de las dos capas están por encima de Łc, el ángulo de la inversión del par, y pueden ser excitados por una corriente negativa. Sin embargo, hacemos hincapié en que estas excitaciones adicionales observadas en el transporte las mediciones nunca se asocian con picos en la potencia emitida en el rango de Gigahertz. Todos las muestras comparten las mismas características principales con la emisión de microondas sólo en campo bajo en positivo actual. Presentamos ahora las implicaciones teóricas de nuestros resultados experimentales y primero comentamos brevemente sobre el origen de la dependencia angular ondulada del par de transferencia de giro en nuestras muestras. Los física que gobierna esta dependencia angular se puede discutir simplemente considerando que, en todos los modelos [8,13-17] basados en la absorción interfacial del componente de giro transversal y límite condiciones del tipo de conductancia de mezcla (el lenguaje puede ser diferente en diferentes formalismos), el par de transferencia de giro es proporcional al componente transversal del giro acumulación en la capa espaciadora. El punto clave es que la acumulación de giro en un no magnético el conductor está directamente relacionado con el gradiente de la corriente de giro a lo largo del eje actual z, dzjdm m /( [28]. En configuraciones cercanas al estado P de un pilar estándar, con un espesor capa fija y una fina capa libre hecha del mismo material, la polarización de la rotación de la corriente en el espaciador disminuye de la capa fija a la capa libre. Esto corresponde a un signo dado de la acumulación de giros. Pero se espera un signo opuesto si, en la misma configuración, el giro polarización de la corriente aumenta de la capa fija a la capa libre. Esto es lo que ocurre para nuestros pilares Py(8nm)/Cu(10nm)/Co(8nm) en un rango angular cercano a la configuración P, como este puede verse a partir de la acumulación de giro calculada en los métodos de sección. Como se muestra en la figura 1a, cálculos de STT basados en dos modelos diferentes reflejan esta inversión de la acumulación de giros por una inversión del par en la parte izquierda de la figura con respecto al caso de las normas. Sin embargo, como se muestra la figura, la inversión es un poco menos pronunciada (menos pendiente empinada) en el modelo de Ref.[15] que va más allá de la simple aproximación de la conductancia de mezcla de Ref.[16]. Para un mayor entendimiento, hemos realizado simulaciones macrospin adicionales de la precesiones inducidas por la corriente mediante la solución de una ecuación Landau-Lifschitz Gilbert incluyendo un giro término de transferencia utilizando parámetros compatibles con la estructura real de las muestras medidas (véase Métodos, las simulaciones han sido realizadas por dos de los coautores, O.B. y J.G., independientemente de los publicados en Ref.[24]). El diagrama de campo de corriente simulado en T = 0 K es presentado en la figura 4.d con una escala de color correspondiente al cambio de resistencia. En el campo alto (Happ más grande que el campo de anisotropía) y en el rango actual que hemos considerado, el único las excitaciones son precesiones en el plano (IP) que se producen por encima de un umbral actual Ic1 y asociadas con un pequeño cambio de resistencia (que también corresponde a una pequeña potencia de microondas). En el nivel más bajo campo, las precesiones IP por encima de Ic1 (trayectorias negras y azules en la Fig. 4c) van seguidas de Precesiones de plano (OP) (trayectorias naranja y roja) por encima de un segundo umbral actual Ic2. Hay un buen acuerdo general entre las principales características del experimento y diagramas de fase calculados. En particular, la zona de precesiones OP en la esquina superior izquierda de la diagrama de la Fig. 4d resulta ser también la zona donde medimos la mayor resistencia DC aumento (Fig. 4b) y también detectar excitaciones por microondas (Fig.4a). Cuantitativamente, si se compara los colores en Fig.4 b y c, se puede ver que la distribución de la resistencia cambia en el diagrama está bien reproducido y que el experimental ΔR en la zona OP es sólo un poco menor que el calculado (aproximadamente un 20% en promedio). Las simulaciones también dan un distribución de la potencia de microondas (no se muestra) concentrada en la zona superior izquierda de OP como en el parcela experimental de la Fig.4a pero con una potencia que es aproximadamente 80 veces mayor que el experimental Uno. Esto podría deberse a varias razones. En primer lugar, hay ciertamente factores técnicos, como un gran discordancia de impedancia en el circuito de detección. En segundo lugar, para las excitaciones OP, los límites de un enfoque macrospin para una predicción cuantitativa [6,30], han sido presentados por varios publicaciones. Por último, para las precesiones IP que no pudimos detectar en los espectros de microondas, puede se señala que se espera una variación muy pequeña de GMR para los ángulos entre P y un ángulo similar a nuestro Łc en estructuras con nuestro tipo de dependencia angular de par [29]. Esto también ha llevado a probablemente para sobreestimar el cambio de resistencia y la potencia de microondas, ya que el cálculo se basa en una dependencia angular estándar de la GMR como sin2(l/2). Una confirmación de que la zona de máxima resistencia y excitación de microondas en la parte superior- esquina izquierda (corrientes positivas y campos bajos) de los diagramas de la Fig.4a-b se puede identificar con zona de precesiones fuera de plano en el diagrama calculado (Fig. 4c) proviene de la corriente y dependencia del campo de la frecuencia. Como se muestra en el inset de la Fig. 4c, las simulaciones predicen que un disminución de la frecuencia a la corriente creciente para las precesiones de IP es seguida de un aumento en la transición a las precesiones de PO. Esto está de acuerdo con el cambio de frecuencia azul de la Excitaciones de microondas detectadas en la misma zona del diagrama de fase. Las simulaciones también predecir correctamente el cambio de color rojo para la variación con el campo. Por lo tanto, nuestras simulaciones apoyan la imagen de un comportamiento no estándar inducido por una dependencia angular ondulada del par STT y se caracteriza por precesiones fuera del plano excitado por la corriente positiva en campo cero y bajo. Durante el proceso de sumisión, nos enteramos de que oscilaciones de estructuras de vórtice en espeso Py las capas excitadas por STT se han observado en el campo relativamente bajo [31,32]. Sin embargo, esto lleva a oscilaciones a frecuencia relativamente baja, por debajo de 1 GHz para las capas en nuestra relación de aspecto [33], y el oscilaciones por encima de 3 GHz que observamos no se puede explicar por este mecanismo. Apoyándose en modelos teóricos recientes de torsión de transferencia de giro, nuestros resultados experimentales debe ayudar a diseñar osciladores de transferencia de giro más eficientes que funcionan en un muy pequeño o uniforme sin un campo magnético aplicado. Se trata de un paso necesario (entre otros) en la aplicación de estos nuevos osciladores basados en spintronics en un sistema receptor de microondas para telecomunicaciones aplicaciones. Métodos: Las multicapas se cultivan por sputtering en sustratos Si oxidados. Dos tipos de pilas se depositaron : estructura 1 = Au(20 nm)/Cu(5 nm)/Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm)/Ta(10 nm)/Cu(80 nm)/Ta(10 nm) y estructura 2 = Au(25 nm)/Py(8 nm)/ Cu(8 nm)/Co(4 nm)/IrMn(15 nm)/Ru(15 nm)/Cu(35 nm). Py significa Permalloy. Los resultados que presentamos, están en un nanopilar con la estructura 1, pero resultados muy similares se observan con la estructura 2 cuando la capa Co fija es fijado con una capa de IrMn. Esto indica que, incluso sin una capa de fijación IrMn, la La magnetización de la capa extendida de Co es igualmente fija. Para el proceso de nanofabricación, definimos primero (por litografía de haz electrónico, evaporación) Deposición y despegue) una máscara elíptica Ti(15 nm)/Au (55 nm) en la multicapa magnética. Entonces, el pilar magnético está grabado por fresado de iones con una monitorización en tiempo real mediante espectroscopia de masas hasta la interfaz Cu/Co. El electrodo inferior está definido por litografía óptica e ion molienda. El siguiente paso es una planarización del pilar con una capa de resistencia Su-8 que también se utiliza para Aísla eléctricamente el electrodo inferior y el electrodo superior. La capa Su-8 en la parte superior del pilar es removido por grabado de iones reactivos. Finalmente, el electrodo Ti/Au superior se define por óptica litografía, deposición de evaporación y despegue. Medimos tanto la resistencia de DC como la resistencia diferencial dV/dI utilizando un adicional Corriente de 20μA ac modulada a 5kHz. Para las mediciones de frecuencia-dominio, aplicamos un p.b. corriente en la muestra a través de un sesgo-T. La señal de tensión de alta frecuencia se amplifica (68 dB) y analizado en un analizador de espectro comercial. Los espectros de potencia que mostramos son extraídos del analizador de espectro (no los corregimos de una calibración realizada para cantidades como la ganancia del amplificador dependiente de la frecuencia, la atenuación en las líneas de transmisión, y la impedancia desajustes). Sólo se obtienen restando un espectro de referencia medido en Idc = 0 en la las mismas condiciones de campo magnético. Tenga en cuenta que la potencia emitida medida es, por lo tanto, sólo una fracción de la potencia real emitida por los pilares. Tanto las mediciones de transporte como las de frecuencia se ha realizado a temperatura ambiente y con campo magnético en el plano. Los pares de la Fig.1a se han calculado introduciendo en los modelos de Refs.[16] y [17] parámetros derivados principalmente de datos experimentales CPP-GMR [22-23]. Para, respectivamente, Au, Py, Cu, Co y Ta, estos parámetros son: resistividad a granel (.cm) = 2, 15, 2.9, 24, 170; a granel coeficiente de asimetría de giro β = 0, 0,76, 0, 0,46, 0; longitud de difusión de giro lsf (nm) = 35, 4, 350, 38, 10. Para los parámetros de interfaz, respectivamente Au/Cu, Cu/Py, Cu/Co, Co/Ta, Ta/Cu, los parámetros son : resistencia interfacial rb (f.m2) = 0,17, 0,5, 0,51, 0,5, 0,5; giro interfacial coeficiente de asimetría γ : 0, 0.7, 0.7, 0.7, 0; coeficiente de pérdida de memoria de giro interfacial 0,25, 0,25, 0,25, 0,1. Tenga en cuenta que los valores de la resistividad Co y Ta se han medido en Habíamos crecido en las mismas condiciones. El valor desconocido de lsf en Ta ha sido estimado por ajuste de las variaciones calculadas y experimentales de la resistencia ΔR. También hemos usado lo mismo. parámetros en los programas de rutina [34] desarrollados para que el CPP-GMR calcule el giro acumulación en la capa espaciadora para nuestra estructura y en una estructura estándar Py (15 nm)/Cu (10 nm)/Py(2 nm), respectivamente – 2.2 y + 2.0 en unidades arbitrarias y comprobar el cambio de signo en la origen de la dependencia angular ondulada. Para las simulaciones de la dinámica de magnetización, hemos resuelto un Landau Lifschitz Ecuación Gilbert incluyendo un término de transferencia de giro de la forma M1x(M1xM2) con el angular dependencia que se muestra en la figura 1a. Los cálculos se realizan a temperatura cero. La saturación la magnetización μ0Ms = 0,87 T se ha derivado de experimentos de resonancia ferromagnética se realiza con una capa Cu(6nm)/Py(7nm)/Cu(6nm) a temperatura ambiente. Los otros parámetros son: el campo de anisotropía Han= 0,009 T, el factor giromagnético γ0 = 2,21 105(s.A/m)-1, α = 0,011. Los área de los pilares es de aproximadamente 1,38 104 nm2, según se deriva de la microscopía electrónica de escaneo. Referencia: Reglamento (CEE) n° 4052/92 del Consejo, de 17 de diciembre de 1992, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia. 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Los autores declaran no tienen intereses financieros en competencia Agradecimientos Los autores agradecen a M. Gmitra los cálculos de la figura 1b basados en el modelo de Ref[16]. Nosotros H. Hurdequint para las mediciones de FMR, L. Vila para la asistencia en fabricación, O. Copie y B. Marcilhac para la asistencia en las mediciones de transporte y frecuencia y M.R. Pufall para las discusiones. Este trabajo fue apoyado en parte por la Agencia Nacional Francesa de Investigación ANR a través del programa PNANO (MAGICO PNANO-05-044-02) y de la UE a través de la red de formación Marie Curie SPINSWITCH (MRTN-CT-2006-035327). J. B. reconoce el apoyo de fondos del Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Polonia como un Proyecto de investigación (2006-2009). * Dirección actual : Instituto de Física, UFRGS, 91501-970 Porto Alegre, RS, Brasil Títulos de la figura Figura 1 Dependencia angular del par de transferencia de giro para un estándar y una «wavy» dependencia angular. a, Variación del torque de transferencia de giro en la capa Py libre de una Au(infinito)/Cu(5 nm)/Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm)/Ta(10 nm)/Cu(infinito) multicapa función del ángulo  entre las magnetizaciones de las capas libres Py y Co fijas para el positivo y corrientes negativas. Las curvas sólidas se calculan en el modelo de Barnaś et al [17], el sólido líneas rectas representan las pendientes de la variación del par, ya que el ángulo tiende a 0 y se deriva de la expresión de ángulo pequeño de Fert et al [16]. Los parámetros utilizados en la los cálculos y derivados principalmente de los datos CPP-GMR se enumeran en los métodos de la sección. Inset : variación típica del par de transferencia de giro en función del ángulo entre las magnetizaciones de las capas libres y fijas para una estructura tricapa estándar (caso Co/Cu/Co de Ref.[10]). b- c, bocetos que muestran esquemáticamente la dirección (flecha azul) del par de transferencia de giro en la capa libre para configuraciones cercanas a las configuraciones P y AP de la capa libre (m) y fija magnetizaciones de capa (M) para un estándar (b) y una dependencia angular ondulada (c) del par. Figura 2 Mediciones de transporte en nanopilares con angular estándar o “wavy” dependencia del par de transferencia de giro. a, Resistencia diferencial vs corriente medida para una nanopilar con una estructura estándar Py(15 nm)/Cu(10 nm)/Py(4 nm) en “campo bajo” (H = 6 Oe) y “campo alto” (H = 133 Oe). En este último caso (precesión), el campo aplicado es mayor que el campo coercitivo igual a H = 133 Oe. Las curvas se compensan para mayor claridad. b-c : Datos de transporte de una Co(8) nm)/Cu(10 nm)/Py(8 nm). nanopilar. b, Resistencia frente al campo en corriente baja (I = 200 μA). c, Resistencia diferencial vs corriente para diferentes campos aplicados alrededor de cero. Estos campos corresponden a los símbolos de color en b. Gráfico 3 Espectros de potencia de microondas para el nanopilar Co(8 nm)/Cu(10 nm)/Py(8 nm) de Fig.2b-c. a, espectros de potencia de microondas para un campo aplicado cercano a cero (Happl = 2 Oe) en diferentes corrientes correspondientes a los símbolos de color en el conjunto. Ajuste: dV/dI vs I para Happl = 2 Oe. b, Espectros de microondas para diferentes corrientes aplicadas correspondientes a los símbolos campo efectivo (aplicado + dipolar) de aproximadamente cero (Happ = 43 Oe). Introducir en b : dV/dI vs I para Happ = 43 Oe. c, espectros de microondas para I = 9 mA en diferentes campos positivos aplicados. Los espectros se compensan para mayor claridad. Figura 4 Dinámica experimental y simulada de alta frecuencia inducida por transferencia de giro para una Co(8nm)/Cu10nm)/Py(8nm) nanopilar. a, Potencia experimental integrada entre 0,1 y 8 GHz en escala de color en función del campo y la corriente. b, Resistencia experimental normalizada en escala de color en función del campo y la corriente (se ha restado una curva de referencia a la curvas experimentales R vs I para eliminar los cambios de resistencia debidos al calentamiento de Joule). c-d : Dinámica simulada de la magnetización en un enfoque macrospin c, Resultados de macrospin cálculos numéricos de la ecuación LLG en función de la corriente y el campo en T = 0K. El negro línea indica el inicio de la precesión inducida por la corriente. Insitución en c : Variación del cálculo frecuencia en función de la corriente para Happ = 0 Oe. d Trayectorias de magnetización para Happ=0 (negro flecha en c) a varias corrientes aplicadas en aumento. η/2 η Ángulo angular estándar dependencia del giro par de transferencia I > 0 P estable AP inestable (H = 0) Ángulo de vaina dependencia del giro par de transferencia I < 0 P inestable AP estable (H = 0) I < 0 P estable AP estable (H = 0) I > 0 P inestable AP inestable (H = 0) Fig. 1 Boulle y otros -10 -5 0 5 10 Corriente (mA) - 19 Oe - 3 Oe 9 Oe 22 Oe -100 -50 0 50 100 12.95 12.97 12.99 Campo magnético (Oe) -6 -4 -2 0 2 4 6 Corriente (mA) Fig. 2 Boulle et al. 9,5 mA 8,5 mA 7,5 mA 6,5 mA 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 9,5 mA 8,5 mA 7,5 mA 6,5 mA 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 0 50 100 150 Campo magnético (Oe) Potencia (pW)0 2,74 0 50 100 150 Campo magnético (Oe) 9,4 mA 6,9 mA 5,7 mA 3,7 mA 0 50 100 150 4 6 8 Corriente (mA) =0 Oe Campo magnético (Oe) avión En el plano Estado paralelo ΔRdc(m) ΔRdc(m) Fig. Boulle et al. Archivo de artículo #1 página 2 página 3 página 4 página 5 página 6 página 7 página 8 página 9 página 10 página 11 página 12 página 13 Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4

La generación de oscilaciones en la gama de frecuencias de microondas es una de las las aplicaciones más importantes esperadas de los dispositivos de spintronics que explotan el fenómeno de transferencia de spin. Informamos de las mediciones de transporte y potencia de microondas sobre nanopilares diseñados especialmente para los que una dependencia angular no estándar del par de transferencia de giro (variación de la vaina) se predice por teoría modelos. Observamos un nuevo tipo de dinámica inducida por la corriente que se caracteriza por precesiones de gran ángulo en ausencia de cualquier campo aplicado, ya que esto es también predicho por simulación con tal dependencia angular ondulada del par. Esto tipo de nanopilares no estándar puede representar una forma interesante para el implementación de osciladores de transferencia de giro ya que son capaces de generar oscilaciones de microondas sin campo magnético aplicado. También hacemos hincapié en el implicaciones teóricas de nuestros resultados sobre la dependencia angular de la torsión.

La magnetización de un cuerpo ferromagnético puede ser manipulada mediante la transferencia del impulso angular de la rotación de un ciruelo polarizado por rotación Forma de dependencia angular del par de transferencia de giro y generación de microondas sin campo magnético O. Boulle1, V. Cros1, J. Grollier1, L. G. Pereira1,*, C. Deranlot1, F. Petroff1, G. Faini2, J. Barnaś3, A. Fert1 1 Unité Mixte de Physique CNRS/Thales y Université Paris Sud XI, Route départementale 128, 91767 Palaiseau (Francia) 2 Laboratoire de Photonique et de Nanostructures LPN-CNRS, Route de Nozay, 91460 Marcoussis, Francia 3 Departamento de Física, Universidad Adam Mickiewicz, Uultowska 85, 61-614 Poznań, Polonia Resumen: La generación de oscilaciones en la gama de frecuencias de microondas es una de las más aplicaciones importantes esperadas de los dispositivos de spintronics que explotan la transferencia de giros fenómeno. Informamos de mediciones de transporte y potencia de microondas en nanopilares para los que una dependencia angular no estándar del par de transferencia de giro (wavy) variación) es predicho por modelos teóricos. Observamos un nuevo tipo de corriente inducida dinámica que se caracteriza por grandes precesiones de ángulo en ausencia de cualquier campo aplicado, como Esto también se predice mediante simulación con tal dependencia angular ondulada del par. Este tipo de nanopilares no estándar puede representar una forma interesante para la aplicación de osciladores de transferencia ya que son capaces de generar oscilaciones de microondas sin aplicar campo magnético. También enfatizamos las implicaciones teóricas de nuestros resultados en la dependencia del par. La magnetización de un cuerpo ferromagnético se puede manipular mediante la transferencia de giro angular impulso de una corriente polarizada giratoria. Este es el concepto de transferencia de giro introducido por Slonczewski [1] y Berger [2] en 1996. En la mayoría de los experimentos, se inyecta una corriente spin-polarizada de un polarizador giratorio a un elemento magnético “libre”, por ejemplo en forma de pilar magnético tricapas [3-6]. El fenómeno de la transferencia de giros tiene un gran potencial para las aplicaciones. Puede ser utilizado para cambiar una configuración magnética (la configuración de una memoria magnética para ejemplo) [3-5) o para generar precesiones magnéticas y oscilaciones de tensión en el microondas rango de frecuencia[6-7]. En las situaciones más habituales, tales oscilaciones se observan en la presencia de un campo magnético. Desde un punto de vista fundamental, los efectos de transferencia de giros generan dos tipos diferentes de problemas [8]. En primer lugar, el par de transferencia de giro que actúa sobre un elemento magnético está relacionado con el polarización transversal de la corriente (significación transversal perpendicular a la magnetización) eje del elemento) y puede derivarse de ecuaciones de transporte dependientes de giros [8-17]. En el Por otra parte, la descripción de las excitaciones magnéticas generadas por el par de transferencia de giros aumenta problemas de dinámica no lineal [8,18-20]. Por ejemplo, en el límite simple donde la excitación se supone que es una precesión uniforme de la magnetización (aproximación de la macrospina), este la precesión puede determinarse mediante la introducción del par de giros en un Landau-Lifshitz- Gilbert (LLG) ecuación para el movimiento del momento magnético. Sin embargo, la determinación de el torque de transferencia de giro y la descripción de la dinámica de magnetización no pueden considerarse problemas independientes. En estructuras tricapadas estándar con magnetizaciones en el plano y con el dependencia angular habitual, un régimen de conmutación se encuentra en el campo magnético cero y bajo y el régimen de precesión con generación de oscilaciones de tensión se observa principalmente por encima de algunos campo umbral [8]. Demostraremos que un nuevo comportamiento, caracterizado por precesiones de gran ángulo en la ausencia de cualquier campo magnético, puede obtenerse en estructuras especialmente diseñadas que presenten un dependencia no estándar del par de transferencia de giro en función del ángulo entre el eje fijo magnetización del polarizador y magnetización de la capa libre. Este angular no estándar dependencia del par, que llamamos “wavy”, se obtiene mediante la elección de materiales con diferentes longitudes de difusión de spin para las capas magnéticas “fijadas” y “libres”, lo que cambia la distribución de las corrientes de giro y acumulaciones de giro en la estructura. La observación de oscilaciones de transferencia de giro en campo cero en estructuras con un angular “wavy” dependencia del par puede representar una nueva forma de obtener osciladores de transferencia de giro que funcionan sin ningún campo aplicado, siendo de otra manera posible el uso de interacciones de intercambio o anisotropía para generar campos locales efectivos o configuraciones de equilibrio no lineales [21]. In Además, la observación de una dependencia angular ondulada del par representa una prueba valiosa de la teoría y muestra que las predicciones realistas del par de transferencia de giro y su angular La dependencia en una estructura dada es ahora posible. Como veremos, en los modelos que consideramos aquí [15-16], el par se calcula a partir de parámetros que, para la mayoría de ellos, pueden derivarse de ex experimentos CPP-GMR [22-23]. Comportamiento habitual observado en pilares con magnetizaciones en el plano a lo largo de un eje de anisotropía corresponde a la dependencia angular estándar de la entrada de la Fig.1a, en la que se inicia el par a partir de cero en  = 0 (estado de equilibrio P con magnetizaciones paralelas de la fija y libre capas magnéticas) y mantiene el mismo signo hasta que vuelve a cero en  =  (AP antiparalelo state). En el campo cero y a partir de un estado P por ejemplo (Fig.1b), una corriente negativa (electrones) ir de la capa libre a la capa fija en nuestra convención) desestabilizará el estado P y estabilizará el estado AP, es decir, puede cambiar el sistema de P a AP. En presencia de un lo suficientemente grande aplicado campo que favorece la configuración P, el par no puede estabilizar el estado AP y deja el sistema en un estado de precesión intermedia. Esto es lo que llamamos el comportamiento estándar con irreversible cambio en campo bajo y precesión en campo alto, como se ilustra en la Fig.2a (observación: en algunos campos bajos en los experimentos de campo, sin embargo, el cambio irreversible es precedido por precesiones en un muy estrecho rango actual justo debajo de la corriente de conmutación). El comportamiento no estándar con precesión a cero y/o bajo campo presentado en este artículo está relacionado con la existencia de una dependencia angular ondulada del par que actúa sobre el capa. Esta dependencia angular oscilatoria, con una inversión del par entre 0 y 0 η, se muestra en la Fig. 1a. Presentamos los resultados de los cálculos en los modelos de Fert et al [15] y Barnaś y otros [16-17] para un pilar Py(8)/Cu(10)/Co(8). Con respecto a las estructuras estándar como Co/Cu/Co o Py/Cu/Py, la diferencia que hemos introducido es una gran asimetría entre el giro longitudes de difusión (SDL) en las capas magnéticas, con un SDL largo en Co- temperatura) y un SDL corto en Pia 4 nm [22-23]. La asimetría más pequeña del giro de la resistividad en Co también podría afectar a la dependencia angular, pero hemos comprobado por cálculos adicionales que la variación ondulada proviene principalmente del SDL más corto en la capa libre de Py y no de los diferentes coeficientes de asimetría de giro, como se ha escrito erróneamente en Ref.[24]. Los curvas sólidas en la Fig.1a corresponden al cálculo en el modelo de Barnaś et al [16]. Un ondulado dependencia angular también es predicho por el modelo de Fert et al [15] que da los términos de primero orden en los estados colineales P o AP (las líneas rectas sólidas en el bordes izquierdo y derecho de la gráfica en la Fig.1). Debido a la inversión a valores pequeños de................................................................................................................ corriente (Fig. 1c) ahora estabiliza no sólo el estado AP sino también el P y debe ser «inactivo». Esto puede ser una solución, por ejemplo, para reducir el ruido inducido por la transferencia de giros que es perjudicial para leer cabezas. En cambio, una corriente positiva adecuada puede desestabilizar tanto a los estados P como a los AP, conduce a una solución precesional la ecuación de movimiento, incluso en el campo cero. Para validar estas predicciones, hemos realizado transporte y potencia de microondas mediciones a temperatura ambiente en los nanopilares elípticos Py(8)/Cu/Co(8) de aproximadamente dimensiones 100x155 nm2. Sólo la capa superior Py (capa libre) y el espaciador Cu están grabados a través. La capa Co no grabada (“capa fija”) se encuentra directamente en el electrodo inferior Ta/Cu. Muy frecuentes Se han obtenido resultados similares en los nanopilares Py(8)/Cu/Co(4)/IrMn en los que se ha ampliado la la capa es el intercambio sesgado por el IrMn uno. Mostramos en Fig. 2b la señal GMR de un Muestra Py(8)/Cu/Co(8). Comenzando, por ejemplo, desde grandes campos negativos, el cambio a un AP estado a unos 40 Oe está relacionado con la inversión de magnetización de la capa libre (Py) a la positiva dirección, ya que esto se puede encontrar de experimentos CIMS subsecuentes en los que la corriente inducida volver a P se hace más difícil por un campo positivo más grande (consistentemente con una orientación positiva de la Magnetización Py en el cambio al estado AP). De los ciclos menores GMR de la capa Py (ver información complementaria), encontramos que el campo coercitivo de la capa Py es 90 Oe y el campo dipolar que actúa en él es 43 Oe. Los diferentes comportamientos observados para las dependencias angulares estándar y ondulada son los primeros ilustrada en la figura 2a y 2c. In Fig. 2a, mostramos la variación estándar de la resistencia diferencial (dV/dI) versus I medido en un pilar Py(4 nm)/Cu(10 nm)/Py(15 nm): a partir de un estado P, una corriente negativa induce un cambio irreversible de P a AP en campo bajo y un reversible variación con el pico característico de precesiones constantes en campo alto. En cambio, a partir de de nuevo desde una configuración magnética P con magnetizaciones en la dirección de campo positivo, pero ahora con un pilar Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm) para el que se espera una dependencia angular ondulada, detectamos (Fig. 2c) picos reversibles de dV/dI para corrientes positivas y en campos muy pequeños en ambos lados de Happ= 0. El pico actual aumenta con el aumento del campo aplicado positivo como se esperaba desde que el estado P se vuelve más estable. También hemos realizado experimentos con un AP inicial Estado. Encontramos que dV/dI primero baja al nivel de un estado P en alguna corriente positiva y luego, en corriente más alta, exhibe el mismo pico de precesión característico que observamos en las mediciones con a Estado inicial P (datos no presentados). In Fig. 3, presentamos espectros de potencia de microondas grabados con el mismo estado inicial P y para varios valores de la corriente. La figura 3a es para el campo de aplicación cero (en realidad, Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en realidad, Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe) y la figura 3b para el campo de aplicación cero (en el caso de Happ 2 Oe). campo interior efectivo cero (después de restar el campo dipolar). Puntos coloreados en los insets indicar los valores de la corriente en las curvas correspondientes dV/dI vs I. Un pico en el espectro de potencia de microondas resulta aproximadamente en algunos rangos actuales por encima del máximo de dV/dI. La frecuencia f del pico de microondas aumenta con la corriente (desplazamiento azul), en contraste con el cambio rojo generalmente observado en pilares estándar con magnetización en el plano. En realidad, con la dependencia angular estándar del par, la predicción teórica es un sucesión de regímenes de cambio rojo y azul en la corriente creciente, pero, en experimentos con en-plano campos aplicados, el crossover a un régimen de cambio azul se ha observado raramente [25]. En macrospin simulaciones, un cambio azul en f se predice para el régimen de precesiones fuera de plano (OP) y es también asociado con una disminución de f con el aumento del campo en el plano. Como se muestra en la Fig.3 c, nosotros observar esta disminución de f con Happ. En la Fig.4a, presentamos el diagrama de campo actual de la Poder de microondas. Las señales de microondas se emiten sólo en la esquina superior izquierda del diagrama, es decir. en un campo bajo y en una zona que es también una región de mayor resistencia (Fig.4b). Ninguna excitación es observado en el campo más alto. Por lo tanto, podemos presentar dos resultados principales de nuestros datos de potencia de microondas: i) Pilares en que se espera una dependencia angular ondulada del par de transferencia de giro, generar microondas oscilaciones, pero, en contraste con el comportamiento estándar, cuando hay excitación por positivo corrientes y en campo cero; ii) Estas oscilaciones de microondas presentan un cambio azul de su frecuencia con la corriente, un comportamiento generalmente asociado con precesiones fuera del plano. En primer lugar queremos excluir que los efectos descritos en los párrafos anteriores podrían surgir de otros orígenes que la dependencia angular ondulada del STT. ¿Podrían surgir de Excitaciones de la capa "fija" Co? Primero podemos argumentar que también se observa el mismo comportamiento. Cuando la capa de Co de 4 nm de espesor y extendida se fija por una capa de IrMn y que una excitación de un Co capa delgada en presencia de una fijación tan fuerte es bastante improbable. También podemos señalar que, para las capas magnéticas continuas desbloqueadas, las densidades de corriente de conmutación obtenidas por Chen et al. [26] son aproximadamente un orden de magnitud más grande que el nuestro. Además, mientras que una reducción de el espesor de la capa Co a 4 nm para el mismo espesor Py 8nm debe hacer la excitación de Co más fácil (corriente más pequeña), nuestros resultados experimentales están en la dirección opuesta. La muestra de la Fig.2-3 muestra el comportamiento relativamente simple predicho para un ángulo ondulado dependencia del par en una imagen macrospin, es decir, precesiones en campo cero y bajo en positivo actual. Sin embargo, en una serie de cinco muestras similares (con o sin pinning por IrMn), tenemos También se observaron otras características en las mediciones del transporte. Por ejemplo, en algunas muestras y con un estado P inicial, vemos no sólo picos en dV/dI en corriente positiva en campo cero o bajo, pero también conmutaciones parciales o totales en la corriente negativa. Estas excitaciones pueden ser atribuidas a un no- distribución uniforme de la magnetización [27]. Para una parte de la muestra, el ángulo las magnetizaciones de las dos capas están por encima de Łc, el ángulo de la inversión del par, y pueden ser excitados por una corriente negativa. Sin embargo, hacemos hincapié en que estas excitaciones adicionales observadas en el transporte las mediciones nunca se asocian con picos en la potencia emitida en el rango de Gigahertz. Todos las muestras comparten las mismas características principales con la emisión de microondas sólo en campo bajo en positivo actual. Presentamos ahora las implicaciones teóricas de nuestros resultados experimentales y primero comentamos brevemente sobre el origen de la dependencia angular ondulada del par de transferencia de giro en nuestras muestras. Los física que gobierna esta dependencia angular se puede discutir simplemente considerando que, en todos los modelos [8,13-17] basados en la absorción interfacial del componente de giro transversal y límite condiciones del tipo de conductancia de mezcla (el lenguaje puede ser diferente en diferentes formalismos), el par de transferencia de giro es proporcional al componente transversal del giro acumulación en la capa espaciadora. El punto clave es que la acumulación de giro en un no magnético el conductor está directamente relacionado con el gradiente de la corriente de giro a lo largo del eje actual z, dzjdm m /( [28]. En configuraciones cercanas al estado P de un pilar estándar, con un espesor capa fija y una fina capa libre hecha del mismo material, la polarización de la rotación de la corriente en el espaciador disminuye de la capa fija a la capa libre. Esto corresponde a un signo dado de la acumulación de giros. Pero se espera un signo opuesto si, en la misma configuración, el giro polarización de la corriente aumenta de la capa fija a la capa libre. Esto es lo que ocurre para nuestros pilares Py(8nm)/Cu(10nm)/Co(8nm) en un rango angular cercano a la configuración P, como este puede verse a partir de la acumulación de giro calculada en los métodos de sección. Como se muestra en la figura 1a, cálculos de STT basados en dos modelos diferentes reflejan esta inversión de la acumulación de giros por una inversión del par en la parte izquierda de la figura con respecto al caso de las normas. Sin embargo, como se muestra la figura, la inversión es un poco menos pronunciada (menos pendiente empinada) en el modelo de Ref.[15] que va más allá de la simple aproximación de la conductancia de mezcla de Ref.[16]. Para un mayor entendimiento, hemos realizado simulaciones macrospin adicionales de la precesiones inducidas por la corriente mediante la solución de una ecuación Landau-Lifschitz Gilbert incluyendo un giro término de transferencia utilizando parámetros compatibles con la estructura real de las muestras medidas (véase Métodos, las simulaciones han sido realizadas por dos de los coautores, O.B. y J.G., independientemente de los publicados en Ref.[24]). El diagrama de campo de corriente simulado en T = 0 K es presentado en la figura 4.d con una escala de color correspondiente al cambio de resistencia. En el campo alto (Happ más grande que el campo de anisotropía) y en el rango actual que hemos considerado, el único las excitaciones son precesiones en el plano (IP) que se producen por encima de un umbral actual Ic1 y asociadas con un pequeño cambio de resistencia (que también corresponde a una pequeña potencia de microondas). En el nivel más bajo campo, las precesiones IP por encima de Ic1 (trayectorias negras y azules en la Fig. 4c) van seguidas de Precesiones de plano (OP) (trayectorias naranja y roja) por encima de un segundo umbral actual Ic2. Hay un buen acuerdo general entre las principales características del experimento y diagramas de fase calculados. En particular, la zona de precesiones OP en la esquina superior izquierda de la diagrama de la Fig. 4d resulta ser también la zona donde medimos la mayor resistencia DC aumento (Fig. 4b) y también detectar excitaciones por microondas (Fig.4a). Cuantitativamente, si se compara los colores en Fig.4 b y c, se puede ver que la distribución de la resistencia cambia en el diagrama está bien reproducido y que el experimental ΔR en la zona OP es sólo un poco menor que el calculado (aproximadamente un 20% en promedio). Las simulaciones también dan un distribución de la potencia de microondas (no se muestra) concentrada en la zona superior izquierda de OP como en el parcela experimental de la Fig.4a pero con una potencia que es aproximadamente 80 veces mayor que el experimental Uno. Esto podría deberse a varias razones. En primer lugar, hay ciertamente factores técnicos, como un gran discordancia de impedancia en el circuito de detección. En segundo lugar, para las excitaciones OP, los límites de un enfoque macrospin para una predicción cuantitativa [6,30], han sido presentados por varios publicaciones. Por último, para las precesiones IP que no pudimos detectar en los espectros de microondas, puede se señala que se espera una variación muy pequeña de GMR para los ángulos entre P y un ángulo similar a nuestro Łc en estructuras con nuestro tipo de dependencia angular de par [29]. Esto también ha llevado a probablemente para sobreestimar el cambio de resistencia y la potencia de microondas, ya que el cálculo se basa en una dependencia angular estándar de la GMR como sin2(l/2). Una confirmación de que la zona de máxima resistencia y excitación de microondas en la parte superior- esquina izquierda (corrientes positivas y campos bajos) de los diagramas de la Fig.4a-b se puede identificar con zona de precesiones fuera de plano en el diagrama calculado (Fig. 4c) proviene de la corriente y dependencia del campo de la frecuencia. Como se muestra en el inset de la Fig. 4c, las simulaciones predicen que un disminución de la frecuencia a la corriente creciente para las precesiones de IP es seguida de un aumento en la transición a las precesiones de PO. Esto está de acuerdo con el cambio de frecuencia azul de la Excitaciones de microondas detectadas en la misma zona del diagrama de fase. Las simulaciones también predecir correctamente el cambio de color rojo para la variación con el campo. Por lo tanto, nuestras simulaciones apoyan la imagen de un comportamiento no estándar inducido por una dependencia angular ondulada del par STT y se caracteriza por precesiones fuera del plano excitado por la corriente positiva en campo cero y bajo. Durante el proceso de sumisión, nos enteramos de que oscilaciones de estructuras de vórtice en espeso Py las capas excitadas por STT se han observado en el campo relativamente bajo [31,32]. Sin embargo, esto lleva a oscilaciones a frecuencia relativamente baja, por debajo de 1 GHz para las capas en nuestra relación de aspecto [33], y el oscilaciones por encima de 3 GHz que observamos no se puede explicar por este mecanismo. Apoyándose en modelos teóricos recientes de torsión de transferencia de giro, nuestros resultados experimentales debe ayudar a diseñar osciladores de transferencia de giro más eficientes que funcionan en un muy pequeño o uniforme sin un campo magnético aplicado. Se trata de un paso necesario (entre otros) en la aplicación de estos nuevos osciladores basados en spintronics en un sistema receptor de microondas para telecomunicaciones aplicaciones. Métodos: Las multicapas se cultivan por sputtering en sustratos Si oxidados. Dos tipos de pilas se depositaron : estructura 1 = Au(20 nm)/Cu(5 nm)/Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm)/Ta(10 nm)/Cu(80 nm)/Ta(10 nm) y estructura 2 = Au(25 nm)/Py(8 nm)/ Cu(8 nm)/Co(4 nm)/IrMn(15 nm)/Ru(15 nm)/Cu(35 nm). Py significa Permalloy. Los resultados que presentamos, están en un nanopilar con la estructura 1, pero resultados muy similares se observan con la estructura 2 cuando la capa Co fija es fijado con una capa de IrMn. Esto indica que, incluso sin una capa de fijación IrMn, la La magnetización de la capa extendida de Co es igualmente fija. Para el proceso de nanofabricación, definimos primero (por litografía de haz electrónico, evaporación) Deposición y despegue) una máscara elíptica Ti(15 nm)/Au (55 nm) en la multicapa magnética. Entonces, el pilar magnético está grabado por fresado de iones con una monitorización en tiempo real mediante espectroscopia de masas hasta la interfaz Cu/Co. El electrodo inferior está definido por litografía óptica e ion molienda. El siguiente paso es una planarización del pilar con una capa de resistencia Su-8 que también se utiliza para Aísla eléctricamente el electrodo inferior y el electrodo superior. La capa Su-8 en la parte superior del pilar es removido por grabado de iones reactivos. Finalmente, el electrodo Ti/Au superior se define por óptica litografía, deposición de evaporación y despegue. Medimos tanto la resistencia de DC como la resistencia diferencial dV/dI utilizando un adicional Corriente de 20μA ac modulada a 5kHz. Para las mediciones de frecuencia-dominio, aplicamos un p.b. corriente en la muestra a través de un sesgo-T. La señal de tensión de alta frecuencia se amplifica (68 dB) y analizado en un analizador de espectro comercial. Los espectros de potencia que mostramos son extraídos del analizador de espectro (no los corregimos de una calibración realizada para cantidades como la ganancia del amplificador dependiente de la frecuencia, la atenuación en las líneas de transmisión, y la impedancia desajustes). Sólo se obtienen restando un espectro de referencia medido en Idc = 0 en la las mismas condiciones de campo magnético. Tenga en cuenta que la potencia emitida medida es, por lo tanto, sólo una fracción de la potencia real emitida por los pilares. Tanto las mediciones de transporte como las de frecuencia se ha realizado a temperatura ambiente y con campo magnético en el plano. Los pares de la Fig.1a se han calculado introduciendo en los modelos de Refs.[16] y [17] parámetros derivados principalmente de datos experimentales CPP-GMR [22-23]. Para, respectivamente, Au, Py, Cu, Co y Ta, estos parámetros son: resistividad a granel (.cm) = 2, 15, 2.9, 24, 170; a granel coeficiente de asimetría de giro β = 0, 0,76, 0, 0,46, 0; longitud de difusión de giro lsf (nm) = 35, 4, 350, 38, 10. Para los parámetros de interfaz, respectivamente Au/Cu, Cu/Py, Cu/Co, Co/Ta, Ta/Cu, los parámetros son : resistencia interfacial rb (f.m2) = 0,17, 0,5, 0,51, 0,5, 0,5; giro interfacial coeficiente de asimetría γ : 0, 0.7, 0.7, 0.7, 0; coeficiente de pérdida de memoria de giro interfacial 0,25, 0,25, 0,25, 0,1. Tenga en cuenta que los valores de la resistividad Co y Ta se han medido en Habíamos crecido en las mismas condiciones. El valor desconocido de lsf en Ta ha sido estimado por ajuste de las variaciones calculadas y experimentales de la resistencia ΔR. También hemos usado lo mismo. parámetros en los programas de rutina [34] desarrollados para que el CPP-GMR calcule el giro acumulación en la capa espaciadora para nuestra estructura y en una estructura estándar Py (15 nm)/Cu (10 nm)/Py(2 nm), respectivamente – 2.2 y + 2.0 en unidades arbitrarias y comprobar el cambio de signo en la origen de la dependencia angular ondulada. Para las simulaciones de la dinámica de magnetización, hemos resuelto un Landau Lifschitz Ecuación Gilbert incluyendo un término de transferencia de giro de la forma M1x(M1xM2) con el angular dependencia que se muestra en la figura 1a. Los cálculos se realizan a temperatura cero. La saturación la magnetización μ0Ms = 0,87 T se ha derivado de experimentos de resonancia ferromagnética se realiza con una capa Cu(6nm)/Py(7nm)/Cu(6nm) a temperatura ambiente. Los otros parámetros son: el campo de anisotropía Han= 0,009 T, el factor giromagnético γ0 = 2,21 105(s.A/m)-1, α = 0,011. Los área de los pilares es de aproximadamente 1,38 104 nm2, según se deriva de la microscopía electrónica de escaneo. Referencia: Reglamento (CEE) n° 4052/92 del Consejo, de 17 de diciembre de 1992, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia. [1] Slonczewski, J.C. Excitación de múltiples capas magnéticas impulsada por la corriente. J. Magn. Magn. Mater. 159, L1-L7 (1996). [2] Berger, L. Emisión de ondas de giro por una multicapa magnética atravesada por una corriente. Phys. Rev. B 54, 9353-9358 (1996). [3] Katine, J.A., Albert, F.J., Buhrman, R.A., Myers, E.B., Ralph, D.C., impulsado por la corriente Reversión de magnetización y excitaciones de ondas de giro en pilares Co/Cu/Co. Phys. Rev. Lett. 84, 3149- 3152, (2000). [4] Grollier, J., Cros, V., Hamzić, A., George, J.M., Jaffres, H., Fert, A., Faini, G., Ben Youssef, J., Le Gall, H., Reversión de magnetización en pilares Co/Cu/Co por inyección de spin. Appl. Phys. Lett. 78, 3663-3665 (2001). [5] Urazhdin, S., Birge, N.O., Pratt, W.P., Bass, J. Corriente de conmutación frente a magnetorestancia en nanopilares magnéticos multicapa. Appl. Phys. Lett. 84, 1516-1518 (2004). 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Los autores declaran no tienen intereses financieros en competencia Agradecimientos Los autores agradecen a M. Gmitra los cálculos de la figura 1b basados en el modelo de Ref[16]. Nosotros H. Hurdequint para las mediciones de FMR, L. Vila para la asistencia en fabricación, O. Copie y B. Marcilhac para la asistencia en las mediciones de transporte y frecuencia y M.R. Pufall para las discusiones. Este trabajo fue apoyado en parte por la Agencia Nacional Francesa de Investigación ANR a través del programa PNANO (MAGICO PNANO-05-044-02) y de la UE a través de la red de formación Marie Curie SPINSWITCH (MRTN-CT-2006-035327). J. B. reconoce el apoyo de fondos del Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Polonia como un Proyecto de investigación (2006-2009). * Dirección actual : Instituto de Física, UFRGS, 91501-970 Porto Alegre, RS, Brasil Títulos de la figura Figura 1 Dependencia angular del par de transferencia de giro para un estándar y una «wavy» dependencia angular. a, Variación del torque de transferencia de giro en la capa Py libre de una Au(infinito)/Cu(5 nm)/Py(8 nm)/Cu(10 nm)/Co(8 nm)/Ta(10 nm)/Cu(infinito) multicapa función del ángulo  entre las magnetizaciones de las capas libres Py y Co fijas para el positivo y corrientes negativas. Las curvas sólidas se calculan en el modelo de Barnaś et al [17], el sólido líneas rectas representan las pendientes de la variación del par, ya que el ángulo tiende a 0 y se deriva de la expresión de ángulo pequeño de Fert et al [16]. Los parámetros utilizados en la los cálculos y derivados principalmente de los datos CPP-GMR se enumeran en los métodos de la sección. Inset : variación típica del par de transferencia de giro en función del ángulo entre las magnetizaciones de las capas libres y fijas para una estructura tricapa estándar (caso Co/Cu/Co de Ref.[10]). b- c, bocetos que muestran esquemáticamente la dirección (flecha azul) del par de transferencia de giro en la capa libre para configuraciones cercanas a las configuraciones P y AP de la capa libre (m) y fija magnetizaciones de capa (M) para un estándar (b) y una dependencia angular ondulada (c) del par. Figura 2 Mediciones de transporte en nanopilares con angular estándar o “wavy” dependencia del par de transferencia de giro. a, Resistencia diferencial vs corriente medida para una nanopilar con una estructura estándar Py(15 nm)/Cu(10 nm)/Py(4 nm) en “campo bajo” (H = 6 Oe) y “campo alto” (H = 133 Oe). En este último caso (precesión), el campo aplicado es mayor que el campo coercitivo igual a H = 133 Oe. Las curvas se compensan para mayor claridad. b-c : Datos de transporte de una Co(8) nm)/Cu(10 nm)/Py(8 nm). nanopilar. b, Resistencia frente al campo en corriente baja (I = 200 μA). c, Resistencia diferencial vs corriente para diferentes campos aplicados alrededor de cero. Estos campos corresponden a los símbolos de color en b. Gráfico 3 Espectros de potencia de microondas para el nanopilar Co(8 nm)/Cu(10 nm)/Py(8 nm) de Fig.2b-c. a, espectros de potencia de microondas para un campo aplicado cercano a cero (Happl = 2 Oe) en diferentes corrientes correspondientes a los símbolos de color en el conjunto. Ajuste: dV/dI vs I para Happl = 2 Oe. b, Espectros de microondas para diferentes corrientes aplicadas correspondientes a los símbolos campo efectivo (aplicado + dipolar) de aproximadamente cero (Happ = 43 Oe). Introducir en b : dV/dI vs I para Happ = 43 Oe. c, espectros de microondas para I = 9 mA en diferentes campos positivos aplicados. Los espectros se compensan para mayor claridad. Figura 4 Dinámica experimental y simulada de alta frecuencia inducida por transferencia de giro para una Co(8nm)/Cu10nm)/Py(8nm) nanopilar. a, Potencia experimental integrada entre 0,1 y 8 GHz en escala de color en función del campo y la corriente. b, Resistencia experimental normalizada en escala de color en función del campo y la corriente (se ha restado una curva de referencia a la curvas experimentales R vs I para eliminar los cambios de resistencia debidos al calentamiento de Joule). c-d : Dinámica simulada de la magnetización en un enfoque macrospin c, Resultados de macrospin cálculos numéricos de la ecuación LLG en función de la corriente y el campo en T = 0K. El negro línea indica el inicio de la precesión inducida por la corriente. Insitución en c : Variación del cálculo frecuencia en función de la corriente para Happ = 0 Oe. d Trayectorias de magnetización para Happ=0 (negro flecha en c) a varias corrientes aplicadas en aumento. η/2 η Ángulo angular estándar dependencia del giro par de transferencia I > 0 P estable AP inestable (H = 0) Ángulo de vaina dependencia del giro par de transferencia I < 0 P inestable AP estable (H = 0) I < 0 P estable AP estable (H = 0) I > 0 P inestable AP inestable (H = 0) Fig. 1 Boulle y otros -10 -5 0 5 10 Corriente (mA) - 19 Oe - 3 Oe 9 Oe 22 Oe -100 -50 0 50 100 12.95 12.97 12.99 Campo magnético (Oe) -6 -4 -2 0 2 4 6 Corriente (mA) Fig. 2 Boulle et al. 9,5 mA 8,5 mA 7,5 mA 6,5 mA 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 9,5 mA 8,5 mA 7,5 mA 6,5 mA 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 4 6 8 10 12.25 12.39 I (mA) I (mA) 1 2 3 4 36 Oe 24 Oe - 4 Oe Frecuencia (GHz) -19 Oe Happ 0 (2 Oe) a Heff 0 (Happ=43 Oe) I = 9 mA 11 mA 10 mA Fig. 3 Boulle et al. 0 50 100 150 Campo magnético (Oe) Potencia (pW)0 2,74 0 50 100 150 Campo magnético (Oe) 9,4 mA 6,9 mA 5,7 mA 3,7 mA 0 50 100 150 4 6 8 Corriente (mA) =0 Oe Campo magnético (Oe) avión En el plano Estado paralelo ΔRdc(m) ΔRdc(m) Fig. Boulle et al. Archivo de artículo #1 página 2 página 3 página 4 página 5 página 6 página 7 página 8 página 9 página 10 página 11 página 12 página 13 Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4

Dark energy interacting with neutrinos and dark matter: a phenomenological theory

Energía oscura interactuando con neutrinos y materia oscura: a teoría fenomenológica G. M. Kremer* Departamento de Fsica, Universidade Federal do Paraná Caixa Postal 19044, 81531-990 Curitiba, Brasil 29 de octubre de 2018 Resumen Un modelo para un Universo plano homogéneo e isotrópico compuesto de energía oscura, oscura se analizan la materia, los neutrinos, la radiación y los bariones. Los campos de materia oscura y neutrinos se supone que interactúen con la energía oscura. La energía oscura es considerada para obedecer cualquiera de los dos el van der Waals o las ecuaciones de Chaplygin del estado. La relación entre la presión y la densidad de energía de los neutrinos varía con el cambio al rojo simulando masivo y no relativista neutrinos en pequeños turnos rojos y neutrinos relativistas no masivos en altos turnos rojos. Los modelo puede reproducir los comportamientos esperados de cambio al rojo del parámetro deceleración y de la los parámetros de densidad de cada componente. Las recientes mediciones astronómicas de las supernovas de tipo IA [1, 2, 3, 4] y el análisis de el espectro de potencia del CMBR [5, 6, 7, 8, 9] proporcionó pruebas sólidas de un la expansión del Universo [3, 10, 11, 12, 13, 14]; la naturaleza de la entidad responsable, llamada oscura energía, todavía sigue siendo desconocido. Además, las medidas de las curvas de rotación de espiral galaxias [15] así como otros experimentos astronómicos sugieren que la materia luminosa representa sólo una pequeña cantidad de las partículas masivas del Universo, y que la cantidad más significativa está relacionado con la materia oscura. Eso ofreció un nuevo escenario para modelos cosmológicos con energía oscura y la materia oscura y en estos contextos muchos modelos fenomenológicos interesantes aparecen en el literatura que analiza la interacción de los neutrinos [16, 17, 18] y la materia oscura [19, 20, 21, 22, 23, 24] con energía oscura. Con respecto a la energía oscura se propusieron algunas ecuaciones exóticas de estado en el literatura y entre otros citamos los van der Waals [25, 26, 27, 28, 29] y el Chaplygin [30, 31, 32, 33] ecuaciones de estado. En el presente trabajo un modelo cosmológico muy simple – para un homogéneo, isotrópico y plano Universo compuesto por materia oscura, energía oscura, bariones, radiación y neutrinos – se investiga donde la energía oscura es modelada por las ecuaciones de estado van der Waals o Chaplygin e interactuar con neutrinos y materia oscura. Se han elegido unidades de modo que 8ηG/3 = c = 1, mientras que el tensor métrico tiene firma (+,−,−,−). Que un universo homogéneo, isotrópico y espacialmente plano se caracterice por el Robertson métrica Walker ds2 = dt2 − a(t)2/23370/ijdxidxj, donde a(t) denota el factor de escala cósmica. Las fuentes del campo gravitacional están relacionados con una mezcla de cinco constituyentes descritos por los campos de la oscuridad energía, materia oscura, bariones, neutrinos y radiación. Los componentes del energy-momentum el tensor de las fuentes se escribe como (T ­) = diag(­p,­p,­p,­p), (1) en los que  y p denotan la densidad total de energía y la presión de las fuentes, respectivamente. En términos de las densidades y presiones energéticas de los componentes que sigue En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. ∗kremer@fisica.ufpr.br http://arxiv.org/abs/0704.0371v1 Por encima de los índices (b, dm, r, ν, de) se refieren a los bariones, materia oscura, radiación, neutrinos y oscuridad energía, respectivamente. La ley de conservación del tensor de la energía-momento T, v. = 0 conduce a la ecuación de la evolución para la densidad total de energía de las fuentes, a saber: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( p) = 0, (3) donde el punto se refiere a una diferenciación con respecto al tiempo. Los bariones y la radiación se consideran campos no interactuantes para que la evolución equa- ciones por sus densidades de energía lean b + 3 B = 0, r + 4 r = 0, (4) una vez que los bariones representan un líquido sin presión, es decir, pb = 0, y la presión de radiación se administra en términos de su densidad de energía por pr = Łr/3. Según un modelo propuesto por Wetterich [19], la ecuación de evolución para la densidad de energía de un campo de materia oscura sin presión (pdm = 0) que interacciona con un campo escalar dm + 3 * dm = dm. 5) Aquí el campo escalar juega el papel de la energía oscura y β es una constante que une los campos de materia oscura y energía oscura. Para la interacción de los neutrinos con la energía oscura se supone que la ecuación de la evolución de la la densidad de energía viene dada por (véase [17, 18]) + 3 (­ > + p/) = α(­ ­ 3p/). 6) El coeficiente α está conectado con la masa de los neutrinos y para más detalles uno se refiere a [17, 18] y a sus referencias. Aquí α será considerado un coeficiente fenomenológico que une el campo de energía oscura con los neutrinos. Obsérvese que si p v = /3, no hay acoplamiento entre los campos de la energía oscura y los neutrinos. Por otra parte, también es importante señalar que la los neutrinos en el pasado deben comportarse como partículas sin masa donde la relación entre la presión y la densidad de energía es p v = /3. Debido al acoplamiento de los neutrinos con el campo escalar se vuelven masivos y no relativistas. Por estas razones una ecuación barotrópica de estado para el se proponen neutrinos en los casos en que la relación entre la presión y la densidad de energía w v = p v / /, dado en términos de la z de cambio al rojo, dice K3(1/z) K2(1/z) K3(1/z) K2(1/z) . 7).................................................................................................................................................. Por encima de K2(1/z) y K3(1/z) se modifican las funciones Bessel de segundo tipo. Para valores pequeños de z, Por lo que se refiere a los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3. límite relativista igual a 1/3. Cabe destacar que para los corrimientos al rojo z 10 esta relación alcanza el valor El acople entre los neutrinos y la energía oscura es insignificante. La expresión dado en (7) está motivado por la ecuación del calor específico de un gas relativista (véase, por ejemplo, [34]). La ecuación de evolución para la densidad de energía del campo de energía oscura se obtiene de ecuaciones 2) a 6), con rendimiento de + 3 (de + pde) = (­ 3p/)− dm. (8) La densidad de energía y la presión de la energía oscura están conectadas con el campo escalar por = ­de + pde. Puesto que el propósito de este trabajo es desarrollar una teoría fenomenológica, se asume 0 2 4 6 8 10 vw b Figura 1: Parámetros de densidad como funciones del cambio al rojo: fluido van der Waals (líneas sólidas) y Chap- Líquido de ligin (líneas penetradas). que el campo de energía oscura se comporta ya sea como un van der Waals o un fluido Chaplygin con una ecuación del estado dado por [28, 29, 30, 31, 32, 33] pvw = 8wvvvvvv 3 - ♥vw − 3­2vw, pch = − , (9) donde wvw y A son parámetros libres positivos en las ecuaciones van der Waals y Chaplygin de Estado, respectivamente. Para la determinación de la evolución temporal de las densidades de energía hay que cerrar el sistema de ecuaciones diferenciales mediante la introducción de la ecuación de Friedmann = ♥. (10) A partir de ahora el shift rojo se usará como variable en lugar de tiempo gracias a lo siguiente relaciones (1 + z) . (11) Las ecuaciones (4) pueden integrarse fácilmente, lo que conduce a la dependencia bien conocida de la energía. densidades de los bariones y radiación con el cambio al rojo lr(z) = lr(0)(1 + z) 4, lb(z) = lb(0)(1 + z) 3, (12) Considerando que las ecuaciones (5), (6) y (8) se convierten en un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para la energía densidades, es decir, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, (1 + z)­dm − 3­dm (lde + pde)/l = dm, (13) (1 + z) − 3( + p/) (lde + pde)/l = (- 3p/), (14) (1 + z)­de − 3(­de + pde) (lde + pde)/l = dm + α( − 3p v). (15) En las ecuaciones anteriores el primo se refiere a una diferenciación con respecto al cambio al rojo. Para resolver el sistema acoplado de ecuaciones diferenciales (13) – (15) uno tiene que especificar inicial valores para las densidades de energía en z = 0. Los valores iniciales siguientes para los parámetros de densidad Se seleccionaron los siguientes criterios: 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Figura 2: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de van der Waals como materia oscura. dm(0) = 0,229916, b(0) = 5 × 10−2, r(0) = 5 × 10−5, (0) = 3,4 × 10−5. Por otra parte, uno tiene especificar valores para los parámetros de acoplamiento α y β y para los parámetros wvw y A que aparecen en las ecuaciones van der Waals y Chaplygin del estado (9). Una forma de arreglar los dos últimos los parámetros son a través del uso del valor del parámetro de desaceleración q = 1/2+ 3p/2 a z = 0. De hecho, al considerar q(0) = −0,55 sigue wvw = 0,33851 y A = 0,50403. Para el acoplamiento se eligieron dos conjuntos de valores, a saber, (a) α = 5 × 10-5 y β = −5 × 10-5 para la van der Waals ecuación de estado y (b) α = 10-1 y β = −10−2 para la ecuación de Chaplygin de Estado. También es importante tener en cuenta que al aumentar el valor del parámetro de acoplamiento α (y/ o β) la transferencia de energía entre la energía oscura y los neutrinos (y/o materia oscura) se vuelve más eficiente. In Fig. 1 los parámetros de densidad son trazados como funciones del shift rojo para los valores en el rango 0 ≤ z ≤ 10. Las líneas rectas se refieren al caso en el que se utiliza la ecuación de estado van der Waals para describir el campo de energía oscura mientras que las líneas discontinuas corresponden a la ecuación de Chaplygin de estado. Los dos parámetros de densidad que representan el campo de energía oscura se denotan por vw y ♥ch. Se puede inferir de esta cifra que el parámetro de densidad de energía oscura tiende a cero para alta cuando se utiliza la ecuación de estado van der Waals, mientras que tiende a un valor constante para la ecuación Chaplygin del estado. Mientras que para los altos cambios de rojo la ecuación van der Waals del estado simula una constante cosmológica con pvw = vw, la presión del fluido Chaplygin desaparece indicando que se convierte en otro componente del campo de materia oscura (ver también el comportamiento de las presiones indicadas en la Fig. 4). También es importante tener en cuenta que los parámetros de densidad de la los bariones y de la materia oscura aumentan más con el cambio al rojo para la ecuación de van der Waals de estado, ya que hay una disminución acentuada en el parámetro de densidad de la energía oscura para este caso. Tenga en cuenta que los parámetros de densidad de la radiación y los neutrinos son muy pequeños en este rango del cambio al rojo y no están representados en esta figura. Comportamiento de los parámetros de densidad para los casos de los van der Waals y Chaplygin Las ecuaciones de estado se muestran en las Figs. 2 y 3, respectivamente, para los corrimientos al rojo en el intervalo de 0 ≤ z ≤ 3000. Se puede concluir de estas cifras, como se esperaba, que los parámetros de densidad de los neutrinos y la radiación aumenta con el cambio al rojo mientras que los de los bariones y la materia oscura disminuyen. Además, la igualdad entre los campos “materia” y “radiación” se produce cuando z el caso en el que el campo de materia oscura se modela como un fluido de van der Waals y z 4200 para el caso de a Fluido de Chaplygin. Esto se puede entender fácilmente, ya que en este último caso la energía oscura se vuelve materia oscura para los altos corrimientos al rojo que contribuyen para el parámetro de densidad del campo de la “materia”. In Fig. 4 se trazan el parámetro de desaceleración y la relación entre la presión y el densidad de energía para ambos casos, el marco grande correspondiente al fluido van de Waals, mientras que el marco pequeño al fluido de Chaplygin. Para ambos casos, el parámetro de desaceleración en z = 0 es igual a q(0) = −0.55, ya que este valor fue fijado para encontrar los parámetros wvw y A en las ecuaciones de Estado (9). La transición de lo desacelerado a la fase acelerada del Universo ocurre en zT = 0,73 y zT = 0,53 para las ecuaciones van der Waals y Chaplygin de estado, respectivamente. Lo siento. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 + Figura 3: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de Chaplygin como materia oscura. -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,751,5 2 -0,5 0 0,5 1 1,51,5 2 Figura 4: Parámetro de desaceleración y relación entre la presión y la densidad energética como funciones de cambio al rojo: marco grande (van der Waals), marco pequeño (Chaplygin). 0 2 4 6 8 10 con interacciones sin interacciones Figura 5: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de Chaplygin con y sin interacciones. es interesante notar que mientras que la ecuación de Chaplygin del estado simula una constante cosmológica con pch = ch para los cambios negativos en rojo que implica una fase acelerada del Universo en el futuro, la ecuación van der Waals del estado conduce a una presión positiva y lleva al Universo a otra fase desacelerada en el futuro. Es de destacar llamar la atención que para los valores positivos del shift rojo, la solución de las ecuaciones diferenciales acopladas (13) a (15) predice que el fluido van der Waals se comporta cerca de una constante cosmológica con pvw vw. Este comportamiento no conduce a una nueva transición de una fase desacelerada a una fase acelerada en el Universo, ya que la densidad de energía del campo de radiación aumenta de modo que la presión de radiación se hace más grande que el del fluido van der Waals. Para los altos cambios en el rojo, el Universo se convierte por primera vez dominados por los campos de barión y materia oscura y para mayores cambios en el rojo por el campo de radiación. Este modelo no pretende modelar el período inflacionario, donde domina el campo inflacionario una breve y rápida evolución del Universo. Como observaciones finales llamamos la atención sobre el hecho de que se espera que el acoplamiento entre la oscuridad energía, materia oscura y neutrinos deben ser débiles para que los parámetros α y β se limitan a pequeños valores. La diferencia entre los parámetros adoptados para los van der Waals y Chaplygin ecuaciones de estado se debe a las condiciones de estabilidad del sistema no lineal acoplado de diferencial ecuaciones (13) – (15), la ecuación van der Waals del estado siendo más inestable para los valores grandes de estos parámetros que la ecuación de Chaplygin del estado. In Fig. 5 hemos trazado la densidad parámetros como funciones del shift rojo para el caso en el que se utiliza una ecuación de estado de Chaplygin como energía oscura. Uno puede inferir de esta figura que el decaimiento del parámetro de densidad de energía oscura y el aumento del parámetro de densidad de materia oscura con el cambio al rojo son más pronunciados cuando existe un acoplamiento entre los campos. El parámetro de densidad de los bariones permanece inalterado ya que los bariones están desacoplados. Como comentario final es importante señalar que incluso sin acoplamientos entre los campos de energía oscura, materia oscura y neutrinos, este modelo fenomenológico – con las ecuaciones de estado de van der Waals y Chaplyging como energía oscura – puede describir satisfactoriamente la evolución de un Universo cuyos constituyentes son energía oscura, materia oscura, bariones, neutrinos y radiación. Bibliografía [1] S. Perlmutter et al. Astrofias. J. 517, 565 (1999). [2] A. G. Riess et al. Astrofias. J. 560, 49 (2001). [3] M. S. Turner y A. G. Riess, Astrophys. J. 569, 18 (2002). [4] J. Tonry et al., Astrophys. J. 594, 1 (2003). [5] C. L. 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Un modelo para un Universo plano homogéneo e isotrópico compuesto de oscuro se analizan la energía, la materia oscura, los neutrinos, la radiación y los bariones. Los campos Se supone que la materia oscura y los neutrinos interactúan con la energía oscura. Los se considera que la energía oscura obedece a los van der Waals o al Chaplygin ecuaciones de estado. La relación entre la presión y la densidad de energía de los neutrinos varían con el cambio al rojo simulando masivo y no relativista neutrinos en pequeños turnos rojos y neutrinos relativistas no masivos en niveles altos Desplazamientos al rojo. El modelo puede reproducir los comportamientos esperados del cambio al rojo de la Parámetro de desaceleración y de los parámetros de densidad de cada componente.

Energía oscura interactuando con neutrinos y materia oscura: a teoría fenomenológica G. M. Kremer* Departamento de Fsica, Universidade Federal do Paraná Caixa Postal 19044, 81531-990 Curitiba, Brasil 29 de octubre de 2018 Resumen Un modelo para un Universo plano homogéneo e isotrópico compuesto de energía oscura, oscura se analizan la materia, los neutrinos, la radiación y los bariones. Los campos de materia oscura y neutrinos se supone que interactúen con la energía oscura. La energía oscura es considerada para obedecer cualquiera de los dos el van der Waals o las ecuaciones de Chaplygin del estado. La relación entre la presión y la densidad de energía de los neutrinos varía con el cambio al rojo simulando masivo y no relativista neutrinos en pequeños turnos rojos y neutrinos relativistas no masivos en altos turnos rojos. Los modelo puede reproducir los comportamientos esperados de cambio al rojo del parámetro deceleración y de la los parámetros de densidad de cada componente. Las recientes mediciones astronómicas de las supernovas de tipo IA [1, 2, 3, 4] y el análisis de el espectro de potencia del CMBR [5, 6, 7, 8, 9] proporcionó pruebas sólidas de un la expansión del Universo [3, 10, 11, 12, 13, 14]; la naturaleza de la entidad responsable, llamada oscura energía, todavía sigue siendo desconocido. Además, las medidas de las curvas de rotación de espiral galaxias [15] así como otros experimentos astronómicos sugieren que la materia luminosa representa sólo una pequeña cantidad de las partículas masivas del Universo, y que la cantidad más significativa está relacionado con la materia oscura. Eso ofreció un nuevo escenario para modelos cosmológicos con energía oscura y la materia oscura y en estos contextos muchos modelos fenomenológicos interesantes aparecen en el literatura que analiza la interacción de los neutrinos [16, 17, 18] y la materia oscura [19, 20, 21, 22, 23, 24] con energía oscura. Con respecto a la energía oscura se propusieron algunas ecuaciones exóticas de estado en el literatura y entre otros citamos los van der Waals [25, 26, 27, 28, 29] y el Chaplygin [30, 31, 32, 33] ecuaciones de estado. En el presente trabajo un modelo cosmológico muy simple – para un homogéneo, isotrópico y plano Universo compuesto por materia oscura, energía oscura, bariones, radiación y neutrinos – se investiga donde la energía oscura es modelada por las ecuaciones de estado van der Waals o Chaplygin e interactuar con neutrinos y materia oscura. Se han elegido unidades de modo que 8ηG/3 = c = 1, mientras que el tensor métrico tiene firma (+,−,−,−). Que un universo homogéneo, isotrópico y espacialmente plano se caracterice por el Robertson métrica Walker ds2 = dt2 − a(t)2/23370/ijdxidxj, donde a(t) denota el factor de escala cósmica. Las fuentes del campo gravitacional están relacionados con una mezcla de cinco constituyentes descritos por los campos de la oscuridad energía, materia oscura, bariones, neutrinos y radiación. Los componentes del energy-momentum el tensor de las fuentes se escribe como (T ­) = diag(­p,­p,­p,­p), (1) en los que  y p denotan la densidad total de energía y la presión de las fuentes, respectivamente. En términos de las densidades y presiones energéticas de los componentes que sigue En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. ∗kremer@fisica.ufpr.br http://arxiv.org/abs/0704.0371v1 Por encima de los índices (b, dm, r, ν, de) se refieren a los bariones, materia oscura, radiación, neutrinos y oscuridad energía, respectivamente. La ley de conservación del tensor de la energía-momento T, v. = 0 conduce a la ecuación de la evolución para la densidad total de energía de las fuentes, a saber: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( p) = 0, (3) donde el punto se refiere a una diferenciación con respecto al tiempo. Los bariones y la radiación se consideran campos no interactuantes para que la evolución equa- ciones por sus densidades de energía lean b + 3 B = 0, r + 4 r = 0, (4) una vez que los bariones representan un líquido sin presión, es decir, pb = 0, y la presión de radiación se administra en términos de su densidad de energía por pr = Łr/3. Según un modelo propuesto por Wetterich [19], la ecuación de evolución para la densidad de energía de un campo de materia oscura sin presión (pdm = 0) que interacciona con un campo escalar dm + 3 * dm = dm. 5) Aquí el campo escalar juega el papel de la energía oscura y β es una constante que une los campos de materia oscura y energía oscura. Para la interacción de los neutrinos con la energía oscura se supone que la ecuación de la evolución de la la densidad de energía viene dada por (véase [17, 18]) + 3 (­ > + p/) = α(­ ­ 3p/). 6) El coeficiente α está conectado con la masa de los neutrinos y para más detalles uno se refiere a [17, 18] y a sus referencias. Aquí α será considerado un coeficiente fenomenológico que une el campo de energía oscura con los neutrinos. Obsérvese que si p v = /3, no hay acoplamiento entre los campos de la energía oscura y los neutrinos. Por otra parte, también es importante señalar que la los neutrinos en el pasado deben comportarse como partículas sin masa donde la relación entre la presión y la densidad de energía es p v = /3. Debido al acoplamiento de los neutrinos con el campo escalar se vuelven masivos y no relativistas. Por estas razones una ecuación barotrópica de estado para el se proponen neutrinos en los casos en que la relación entre la presión y la densidad de energía w v = p v / /, dado en términos de la z de cambio al rojo, dice K3(1/z) K2(1/z) K3(1/z) K2(1/z) . 7).................................................................................................................................................. Por encima de K2(1/z) y K3(1/z) se modifican las funciones Bessel de segundo tipo. Para valores pequeños de z, Por lo que se refiere a los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3, mientras que en el caso de los grandes valores de z, w/ tiende al límite no relativista igual a 2/3. límite relativista igual a 1/3. Cabe destacar que para los corrimientos al rojo z 10 esta relación alcanza el valor El acople entre los neutrinos y la energía oscura es insignificante. La expresión dado en (7) está motivado por la ecuación del calor específico de un gas relativista (véase, por ejemplo, [34]). La ecuación de evolución para la densidad de energía del campo de energía oscura se obtiene de ecuaciones 2) a 6), con rendimiento de + 3 (de + pde) = (­ 3p/)− dm. (8) La densidad de energía y la presión de la energía oscura están conectadas con el campo escalar por = ­de + pde. Puesto que el propósito de este trabajo es desarrollar una teoría fenomenológica, se asume 0 2 4 6 8 10 vw b Figura 1: Parámetros de densidad como funciones del cambio al rojo: fluido van der Waals (líneas sólidas) y Chap- Líquido de ligin (líneas penetradas). que el campo de energía oscura se comporta ya sea como un van der Waals o un fluido Chaplygin con una ecuación del estado dado por [28, 29, 30, 31, 32, 33] pvw = 8wvvvvvv 3 - ♥vw − 3­2vw, pch = − , (9) donde wvw y A son parámetros libres positivos en las ecuaciones van der Waals y Chaplygin de Estado, respectivamente. Para la determinación de la evolución temporal de las densidades de energía hay que cerrar el sistema de ecuaciones diferenciales mediante la introducción de la ecuación de Friedmann = ♥. (10) A partir de ahora el shift rojo se usará como variable en lugar de tiempo gracias a lo siguiente relaciones (1 + z) . (11) Las ecuaciones (4) pueden integrarse fácilmente, lo que conduce a la dependencia bien conocida de la energía. densidades de los bariones y radiación con el cambio al rojo lr(z) = lr(0)(1 + z) 4, lb(z) = lb(0)(1 + z) 3, (12) Considerando que las ecuaciones (5), (6) y (8) se convierten en un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para la energía densidades, es decir, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, densidades, (1 + z)­dm − 3­dm (lde + pde)/l = dm, (13) (1 + z) − 3( + p/) (lde + pde)/l = (- 3p/), (14) (1 + z)­de − 3(­de + pde) (lde + pde)/l = dm + α( − 3p v). (15) En las ecuaciones anteriores el primo se refiere a una diferenciación con respecto al cambio al rojo. Para resolver el sistema acoplado de ecuaciones diferenciales (13) – (15) uno tiene que especificar inicial valores para las densidades de energía en z = 0. Los valores iniciales siguientes para los parámetros de densidad Se seleccionaron los siguientes criterios: 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Figura 2: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de van der Waals como materia oscura. dm(0) = 0,229916, b(0) = 5 × 10−2, r(0) = 5 × 10−5, (0) = 3,4 × 10−5. Por otra parte, uno tiene especificar valores para los parámetros de acoplamiento α y β y para los parámetros wvw y A que aparecen en las ecuaciones van der Waals y Chaplygin del estado (9). Una forma de arreglar los dos últimos los parámetros son a través del uso del valor del parámetro de desaceleración q = 1/2+ 3p/2 a z = 0. De hecho, al considerar q(0) = −0,55 sigue wvw = 0,33851 y A = 0,50403. Para el acoplamiento se eligieron dos conjuntos de valores, a saber, (a) α = 5 × 10-5 y β = −5 × 10-5 para la van der Waals ecuación de estado y (b) α = 10-1 y β = −10−2 para la ecuación de Chaplygin de Estado. También es importante tener en cuenta que al aumentar el valor del parámetro de acoplamiento α (y/ o β) la transferencia de energía entre la energía oscura y los neutrinos (y/o materia oscura) se vuelve más eficiente. In Fig. 1 los parámetros de densidad son trazados como funciones del shift rojo para los valores en el rango 0 ≤ z ≤ 10. Las líneas rectas se refieren al caso en el que se utiliza la ecuación de estado van der Waals para describir el campo de energía oscura mientras que las líneas discontinuas corresponden a la ecuación de Chaplygin de estado. Los dos parámetros de densidad que representan el campo de energía oscura se denotan por vw y ♥ch. Se puede inferir de esta cifra que el parámetro de densidad de energía oscura tiende a cero para alta cuando se utiliza la ecuación de estado van der Waals, mientras que tiende a un valor constante para la ecuación Chaplygin del estado. Mientras que para los altos cambios de rojo la ecuación van der Waals del estado simula una constante cosmológica con pvw = vw, la presión del fluido Chaplygin desaparece indicando que se convierte en otro componente del campo de materia oscura (ver también el comportamiento de las presiones indicadas en la Fig. 4). También es importante tener en cuenta que los parámetros de densidad de la los bariones y de la materia oscura aumentan más con el cambio al rojo para la ecuación de van der Waals de estado, ya que hay una disminución acentuada en el parámetro de densidad de la energía oscura para este caso. Tenga en cuenta que los parámetros de densidad de la radiación y los neutrinos son muy pequeños en este rango del cambio al rojo y no están representados en esta figura. Comportamiento de los parámetros de densidad para los casos de los van der Waals y Chaplygin Las ecuaciones de estado se muestran en las Figs. 2 y 3, respectivamente, para los corrimientos al rojo en el intervalo de 0 ≤ z ≤ 3000. Se puede concluir de estas cifras, como se esperaba, que los parámetros de densidad de los neutrinos y la radiación aumenta con el cambio al rojo mientras que los de los bariones y la materia oscura disminuyen. Además, la igualdad entre los campos “materia” y “radiación” se produce cuando z el caso en el que el campo de materia oscura se modela como un fluido de van der Waals y z 4200 para el caso de a Fluido de Chaplygin. Esto se puede entender fácilmente, ya que en este último caso la energía oscura se vuelve materia oscura para los altos corrimientos al rojo que contribuyen para el parámetro de densidad del campo de la “materia”. In Fig. 4 se trazan el parámetro de desaceleración y la relación entre la presión y el densidad de energía para ambos casos, el marco grande correspondiente al fluido van de Waals, mientras que el marco pequeño al fluido de Chaplygin. Para ambos casos, el parámetro de desaceleración en z = 0 es igual a q(0) = −0.55, ya que este valor fue fijado para encontrar los parámetros wvw y A en las ecuaciones de Estado (9). La transición de lo desacelerado a la fase acelerada del Universo ocurre en zT = 0,73 y zT = 0,53 para las ecuaciones van der Waals y Chaplygin de estado, respectivamente. Lo siento. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 + Figura 3: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de Chaplygin como materia oscura. -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,751,5 2 -0,5 0 0,5 1 1,51,5 2 Figura 4: Parámetro de desaceleración y relación entre la presión y la densidad energética como funciones de cambio al rojo: marco grande (van der Waals), marco pequeño (Chaplygin). 0 2 4 6 8 10 con interacciones sin interacciones Figura 5: Parámetros de densidad como funciones de cambio al rojo para un fluido de Chaplygin con y sin interacciones. es interesante notar que mientras que la ecuación de Chaplygin del estado simula una constante cosmológica con pch = ch para los cambios negativos en rojo que implica una fase acelerada del Universo en el futuro, la ecuación van der Waals del estado conduce a una presión positiva y lleva al Universo a otra fase desacelerada en el futuro. Es de destacar llamar la atención que para los valores positivos del shift rojo, la solución de las ecuaciones diferenciales acopladas (13) a (15) predice que el fluido van der Waals se comporta cerca de una constante cosmológica con pvw vw. Este comportamiento no conduce a una nueva transición de una fase desacelerada a una fase acelerada en el Universo, ya que la densidad de energía del campo de radiación aumenta de modo que la presión de radiación se hace más grande que el del fluido van der Waals. Para los altos cambios en el rojo, el Universo se convierte por primera vez dominados por los campos de barión y materia oscura y para mayores cambios en el rojo por el campo de radiación. Este modelo no pretende modelar el período inflacionario, donde domina el campo inflacionario una breve y rápida evolución del Universo. Como observaciones finales llamamos la atención sobre el hecho de que se espera que el acoplamiento entre la oscuridad energía, materia oscura y neutrinos deben ser débiles para que los parámetros α y β se limitan a pequeños valores. La diferencia entre los parámetros adoptados para los van der Waals y Chaplygin ecuaciones de estado se debe a las condiciones de estabilidad del sistema no lineal acoplado de diferencial ecuaciones (13) – (15), la ecuación van der Waals del estado siendo más inestable para los valores grandes de estos parámetros que la ecuación de Chaplygin del estado. In Fig. 5 hemos trazado la densidad parámetros como funciones del shift rojo para el caso en el que se utiliza una ecuación de estado de Chaplygin como energía oscura. Uno puede inferir de esta figura que el decaimiento del parámetro de densidad de energía oscura y el aumento del parámetro de densidad de materia oscura con el cambio al rojo son más pronunciados cuando existe un acoplamiento entre los campos. El parámetro de densidad de los bariones permanece inalterado ya que los bariones están desacoplados. Como comentario final es importante señalar que incluso sin acoplamientos entre los campos de energía oscura, materia oscura y neutrinos, este modelo fenomenológico – con las ecuaciones de estado de van der Waals y Chaplyging como energía oscura – puede describir satisfactoriamente la evolución de un Universo cuyos constituyentes son energía oscura, materia oscura, bariones, neutrinos y radiación. Bibliografía [1] S. Perlmutter et al. Astrofias. J. 517, 565 (1999). [2] A. G. Riess et al. Astrofias. J. 560, 49 (2001). [3] M. S. Turner y A. G. Riess, Astrophys. J. 569, 18 (2002). [4] J. Tonry et al., Astrophys. J. 594, 1 (2003). [5] C. L. 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Levy-Lieb constrained-search formulation as a minimization of the correlation functional

Levy-Lieb formulación de búsqueda limitada como una minimización de la correlación funcional. Sitio de Luigi Delle* Max-Planck-Instituto de Investigación Polimérica Ackermannweg 10, D 55021 Mainz Alemania. Resumen La formulación de la búsqueda restringida de Levy y Lieb, que define formalmente la exacta Hohenberg-Kohn funcional para cualquier densidad de electrones N -representable, se muestra aquí como equivalente a la minimización de la correlación funcional con respecto a la probabilidad condicional N − 1 densidad, donde N es el número de electrones del sistema. Las consecuencias y consecuencias de un resultado aquí analizado y discutido a través de un ejemplo práctico. Números PACS: 03.65. w, 71.10. w, 71.15.Mb * Dirección electrónica: dellsite@mpip-mainz.mpg.de http://arxiv.org/abs/0704.0372v1 mailto:dellsite@mpip-mainz.mpg.de I. INTRODUCCIÓN El teorema de Hohenberg-Kohn (HK) [1] ha abierto nuevas perspectivas a los cálculos de las propiedades electrónicas de la materia condensada [2], y, un aspecto que a menudo no se tiene en cuenta, dados profundos nuevos conocimientos sobre la comprensión general de la mecánica cuántica. De hecho el problema 3N -dimensional Schrödinger para el estado del suelo de un sistema electrónico: HN®(r1,...r2) = E0-(r1,...r2);HN = i=1,N 2i) + i=1,N v(ri) + donde v(ri) es el potencial externo, es el término electrón-electrón Coulomb, E0 es la energía del estado de la tierra y (r1,...rN) es la 3N -antisimetría dimensional- ric momentáneo función de onda [3], se transforma en un prob variacional “manejable” en tres dimensiones donde el papel central es jugado por la densidad de electrones: (r) = (r, r2,.....rN)(r, r2,.....rN)dr2....drN, donde ♥N−1 es el dominio espacial N −1. En términos explícitos, los problemas variacionales se escriben como: E0 =Min donde N (el dominio espacial de la definición) y E[l] = T [l] + Vee[l] + Vext es la energía funcional compuesta respectivamente por el electrón-electrón cinético po- tential y el potencial externo funcional. Sin embargo, en su formulación original el HK el teorema y el problema variacional relacionado tienen un campo restringido de aplicabilidad; es válido sólo si la densidad de electrones ♥(r) es v-representable, es decir, si la densidad cor- respuesta a una función de onda antisimétrica de la tierra-estado de un hamiltoniano de la forma de Eq.1. De ello se deduce que la formulación correcta del problema variacional se convierte en: E0 =Min donde v se refiere a la representabilidad v de la letra r). Como se indica en Ref.[2], no hay generalidades condiciones para que una densidad sea v-representable y esto hace que el uso del teorema de HK y su principio variacional asociado no es práctico. Una generalización del teorema de HK que no exige que el Sr. M.Levy [4] y el Sr. E.Lieb sean v-representables [5] y se conoce generalmente como la formulación de búsqueda restringida de Levy o Levy-Lieb formulación de búsqueda restringida [6]; en este artículo adoptamos esta última terminología. Nosotros También hay que señalar que recientemente P. Ayers [7] ha aclarado aún más este concepto y desarrollado un tratamiento axiomático de la función Hohenberg-Kohn. En lo siguiente describimos brevemente los aspectos cruciales del enfoque antes mencionado que son pertinentes para el trabajo actual. El punto de partida de la teoría es la distinción entre la función de la onda del estado de tierra, y una función de onda que también se integra a la densidad de electrones del estado de tierra. Desde Es la función de la onda del estado de tierra, tenemos: HN ≥ HN = E0. 4) Teniendo en cuenta que Vext[l] es un funcional de sólo ♥, Eq.4 puede ser escrito como: T + Vee ≥ T + Vee (5) donde T y Vee son respectivamente el operador cinético y Coulomb electrón-electrón como definido en Eq.1. El significado de Eq.5 es que • es la función de onda que minimiza la cinética más la energía de repulsión electrón-electrón e integra a De ello se deduce que el Tribunal de Primera Instancia decidió: problema variacional inicial de Eq.2 se puede transformar en una minimización doble jerárquica procedimiento que permite formalmente la búsqueda entre todos los N -representables, i.e. se puede obtener de alguna función de onda antisimétrica; esta es una condición que es mucho más débil y controlable que la representabilidad v. En términos explícitos, tal la formulación está escrita como: E0 =Min Min T + Vee v(r)/23370/(r)dr . 6) La minimización interna está restringida a todas las funciones de onda que conducen a ♥(r), mientras que el exterior búsquedas de minimización sobre todos los de los que se integran a N. La formulación original de HK puede entonces ser visto como una parte de este nuevo una vez que su funcional universal, F [l] = T + Vee está escrito como: F [l] =Min T + Vee. 7).................................................................................................................................................. El objetivo de este trabajo es demostrar que F [l] puede ser determinado únicamente por una minimiza- ión con respecto a la N − 1 densidad de probabilidad condicional de la correlación de electrones funcional. Esto último se demostrará que está compuesto por la información Fisher no local funcional [8] y el término Coulomb de dos partículas electrón-electrón. La ventaja de esto la representación es múltiple; aclara aún más la conexión de las propiedades electrónicas a la La teoría de Fisher y muestra que el conocimiento de tal funcional es la crucial ingredi- ent en enfoques basados en la densidad funcional; también identifica el término cinético Weizsacker, ∫ (r)2 dr, como componente necesario de la F funcional universal y, en la práctica, ofrece un criterio objetivo de evaluación de la función de intercambio y correlación “aproximada” cional, es decir, entre dos funcionales, el físicamente mejor fundado es el “más pequeño”. In para mostrar los aspectos prácticos de nuestra idea ilustramos una posible aplicación. II. LA NUEVA REPRESENTACIÓN Antes de escribir el funcional en el formalismo de densidad de probabilidad condicional, necesitamos para definir tal cantidad. Consideremos una función genérica de onda fermiónica (r1,....rN), para simplicidad consideramos una función de onda real, pero la extensión a un complejo puede ser también hecho [9]; no consideramos explícitamente la dependencia de giro, sin embargo, esto no influirá las principales conclusiones. Entonces la densidad de probabilidad de N-partícula es [10, 11]: N(r1,....rN )(r1,....rN) = 2 r1,...., rN) (8) y esto puede descomponerse formalmente como [10, 11]: 2(r1,...., rN) = 2(r1)f(r2,........, rN/r1) (9) en el que (r1) es la densidad de probabilidad de una partícula (normalizada a N) y f(r2,........, rN/r1) es el N − 1 electrón condicional (w.r.t. r1) densidad de probabilidad, es decir, la densidad de probabilidad de encontrar una configuración de electrones N −1, C(r2,........, rN), para un valor fijo dado de r1. Los función f satisface las siguientes propiedades: f(r2,....., rN/r1)dr2.......drN = 1 ii) f(r1,.ri...rj−1, rj+1..., rN/rj) = 0; para i = j; Łi, j = 1, N iii) f(r1,.....ri., rj...rk−1, rk+1., rN/rk) = 0; para i = j; Łi, j 6= k (10) La propiedad iii) de Eq.10 nos asegura que f refleja el carácter fermónico de una electrónica función de onda. De hecho, dice que si dos partículas están en el mismo ’estado’ r” la probabilidad de esa configuración global específica es cero. En principio, junto con la condición (ii), esta es una manera de imitar el carácter antisimétrico de la función de onda fermiónica desde para los fermiones (r1,...ri,...rj,...rN) 2 = 0; para i = j, Łi, j.Debe notarse que la condición iii) sea complementario del inciso ii). Con este formalismo se puede escribir el término T + Vee como (véase Refs.[9, 10, 12]: T + Vee = (r)2 ,...., rN/r) ,....., rN/r) ....drN (N − 1) ,....., rN/r) r− r ....drN dr(11) donde hemos identificado r1 con r y hemos hecho uso de la propiedad del electrón indistinguisha- bilidad, por lo que r podría identificarse con cualquiera de los ri (y lo mismo para r identificado aquí con r2) sin cambiar los resultados; una consecuencia adicional es que la expresión Coulomb (última término en la r.h.s.) se escribe como la suma de N − 1 términos idénticos para los genéricos r y r partículas. Utilizando Eq.11, la formulación de búsqueda restringida de Levy-Lieb puede escribirse como: E0 =Min Milf ([f, l]) + (r)2 v(r)/23370/(r)dr donde [f, l] = ,...., rN/r) ,....., rN/r) ....drN (N − 1) ,....., rN/r) r− r ....drN dr. (13) De esta manera hemos transferido el problema de a f, lo que significa que el enfoque se encuentra ahora en [f,], es decir, como se explica en Ref.[12], la correlación funcional. III. UN EJEMPLO PRÁCTICO: LA FORMA EXPONENCIAL PARAMÉTRICA En nuestros trabajos anteriores [12], hemos propuesto una aproximación para f basada en dos factorización de partículas: f = ΠNi=2hi(EH(r, ri)) = Π (N−1)E(r)e−EH (r,ri) (14) donde e-E(r) = e-EH (r,ri)dri. (15) aquí EH(r, ri) = (r)(ri) r−ri , N es el número de partículas, y el volumen correspondiente a Una partícula. Tal aproximación, debido a su simplicidad, nos permite escribir un análisis expresión de la función de Fisher que se puede utilizar de una manera sencilla en cifras cálculos. Sin embargo, no cumple la condición iii) de Eq.10, y, por esta razón, para utilizarlo en el sistema de búsqueda restringida Levy-Lieb, debe ampliarse. Los la expresión que proponemos aquí es la siguiente: f(r2,...rN/r) = Πn=2,Ne E(r)EH (r,rn) × Πi>j 6=1e EH(ri,rj) (16) con: e-E(r) = Πn=2,NΠi>j 6=1e EH (r,rn)EH (ri,rj)dr2.....drN (17) Aquí γ y β son dos parámetros libres. Como se puede verificar fácilmente esta expresión de f cumple todos los requisitos de Eq.10. El significado de f como se expresa en Eq.16 es que el probabilidad de encontrar una determinada configuración para las partículas N − 1, teniendo partículas fijas r1 = r, depende no sólo de la partícula fija y su interacción con el N − 1 otro partículas como antes, pero también en los acuerdos mutuos de las partículas N − 1 (tiene también tener en cuenta que el uso de la indistinguibilidad de partículas el formalismo puede ser se aplica a cualquier ri como partícula fija). Los parámetros γ y β expresan lo importante que es las interacciones mutuas N − 1 son con respecto a las interacciones con r. función biparamétrica, se puede utilizar la búsqueda limitada Levy-Lieb en nuestra formulación y encontrar los valores óptimos para γ y β. Este ejemplo práctico muestra dos aspectos diferentes: nuestra formulación; básicamente hemos demostrado que de hecho es posible construir una función f y realmente se puede elegir de una manera que su expresión óptima se puede determinar a través de la formulación de búsquedas restringidas. Hay que tener en cuenta que esta forma de f es todavía bastante simple ya que los giros no se consideran explícitamente al construir la función y por lo tanto uno no se puede distinguir entre el intercambio y la parte de correlación del electrón-electrón interacción como se hace en la Teoría Funcional de Densidad estándar; como consecuencia uno debe sólo se espera una descripción media global de estos dos términos que aquí se incorporan en la correlación global. Sin embargo, la construcción de una expresión más completa de f, que se ocupa de los efectos de los giros, es el tema de la investigación actual. Esto pone de relieve una vez más el mérito del procedimiento general mostrado aquí, es decir, diferentes expresiones de f, con diferentes grados de complejidad, se puede proponer y comprobar su validez relativa por el procedimiento de búsqueda restringida. IV. DEBATE Y CONCLUSIONES Como se prevé en la introducción, las consecuencias de las Ecs.12,13 son bastante interesantes. El principio variacional Levy-Lieb se puede reformular como: El F funcional universal [l] es el que tiene la correlación mínima funcional con respecto al electrón condicional densidad de probabilidad. Esta nueva interpretación de la función universal de HK nos dice que sólo una descripción precisa de los efectos de correlación, considerando el término Weizsacker como un término necesario, conduce a una descripción precisa de toda la energía funcional; tal el criterio es necesario y suficiente. Es obvio que es necesario; sin saber No se puede conocer a F; es suficiente porque una vez [f,] o mejor f(r2,...rN/r1) es (en principio) conocido que toda la energía funcional se conoce explícitamente. Claramente, el “true” f(r2,...rN/r1) es muy difícil si no imposible de obtener [13], sin embargo puede ser suficientemente bien descrito sobre la base de los requisitos matemáticos y la intuición física como se hace, por ejemplo, en Ref.[12] y como se muestra en la sección anterior. Desde este punto de , Eqs.12,13, puede ser visto como un criterio objetivo para el diseño, sobre la base de intuición y requisitos matemáticos fundamentales, funciones energéticas válidas. De hecho, como hecho en Ref.[12] y en la sección anterior, se pueden construir expresiones bien fundadas para f teniendo en cuenta el significado físico de los efectos de correlación de electrones y el prescripciones matemáticas relacionadas necesarias de Eq.10. El siguiente puede hacer uso de Eqs.12,13 y elegir entre diferentes formas funcionales de f, el que da el "más pequeño". Lo siento. Hay que tener en cuenta que en este trabajo no pretendemos que encontrar una forma funcional de f es más fácil o más riguroso que encontrar una correlación de intercambio funcional en la Densidad estándar Teoría funcional; representa un enfoque alternativo o complementario a esta última. Sin embargo, el enfoque basado en f permite expresar de una manera más directa, a través de la elección de diferentes formas de f, los principios físicos relacionados con los efectos de correlación de electrones y tener una forma explícita del término de correlación para la función cinética que es de gran ventaja para los métodos basados en funciones cinéticas (véase, por ejemplo, Refs.[14, 15]).Un aspecto importante vinculado a la declaración anterior es que el término: 1 rf(r) ,....,rN/r) ,....,rN/r) ....drNdr, es la conocida información no local Fisher funcional sobre la que una vasta literatura está disponible (véase, por ejemplo, [10, 16, 17] y sus referencias); este término está muy a menudo vinculado a las propiedades funcionales y electrónicas de la correlación de electrones (véase Refs.[18, 19]), nuestro trabajo más aclara esta conexión, sugiriendo que los resultados conocidos del análisis de el funcionamiento de Fisher podría ser empleado en este contexto. En conclusión, hemos mostrado un una visión alternativa del enfoque de búsqueda limitado Levy-Lieb y proporcionó un ejemplo que aclara la ventaja práctica de nuestra idea; en este sentido el trabajo actual no es sólo una nueva contribución formal marginal a un método bastante conocido, pero da una nueva un conocimiento poderoso del campo de aplicabilidad de los sistemas realistas. Agradecimientos Me gustaría agradecer a Luca Ghiringhelli por una lectura crítica del manuscrito. [1] P.Hohenberg y W.Kohn, Phys.Rev. 136, B864 (1964). [2] W.Yang y R.G.Parr, Teoría funcional de la densidad de átomos y moléculas, Universidad de Oxford Press, Nueva York, 1989. [3] Usamos unidades atómicas donde h̄, e y m son iguales a una. [4] M.Levy, Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A. 76, 6062 (1979); véase también: M. Levy, Phys.Rev.A 26, 1200 (1982). [5] E.Lieb, Int. Jour. Quant. Chem. 24, 243-277 (1983). Una versión ampliada aparece en Density Métodos Funcionales en Física, R. 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La formulación de búsqueda restringida de Levy y Lieb, que define formalmente la exacta Hohenberg-Kohn funcional para cualquier densidad de electrones N-representable, aquí se muestra que es equivalente a la minimización de la correlación funcional con respecto a la densidad de probabilidad condicional N-1, donde N es número de electrones del sistema. Las consecuencias y consecuencias de tal aquí se analizan y discuten los resultados a través de un ejemplo práctico.

Introducción La nueva representación Ejemplo práctico: La forma exponencial paramétrica de f Discusión y conclusiones Bibliografía

Reality of linear and angular momentum expectation values in bound states

Realidad de los valores de expectativa de impulso lineal y angular en estados consolidados Utpal Roy,* Suranjana Ghosh,† y T. Shreecharan‡ Laboratorio de Investigación Física, Ahmedabad 38009, India Kaushik Bhattacharya§ Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Exterior, C.U., A. Postal 70-543, C. Postal 04510, México DF, México RESUMEN En los libros de texto de la mecánica cuántica, el operador de impulso se define en las coordenadas cartesianas y Raramente se discute la forma del operador de impulso en coordenadas polares esféricas. En consecuencia uno siempre generaliza la prescripción cartesiana a otras coordenadas y cae en una trampa. En este trabajo introducimos las dificultades que se enfrentan cuando la cuestión del operador de impulso en polar esférico Coordenada viene. Hemos tratado de señalar la mayoría de los resultados mecánicos cuánticos elementales, en relación con el operador de impulso, que tiene dependencia de la coordinación. Nosotros calculamos explícitamente el valores de expectativa de impulso en varios estados consolidados y mostrar que el valor de expectativa realmente resulta ser cero, una consecuencia del hecho de que el valor de la expectativa de impulso es real. Nosotros comentar brevemente sobre el estado de las variables angulares en la mecánica cuántica y los problemas relacionados en su interpretación como variables dinámicas. Al final, calculamos el ecuación de movimiento para el componente radial del impulso para el átomo de hidrógeno. I. INTRODUCCIÓN La mecánica cuántica es un tesoro de cosas peculiares e interesantes. Libros de texto elementales de cuantía mecánica [1, 2, 3] generalmente comienzan con los postulados que se requieren para definir la naturaleza de la dinámica variables en la teoría y sus relaciones de conmutación. La elección de las variables dinámicas no está tan clara, como las coordenadas en el sistema cartesiano son todas elevadas al estado de los operadores donde como el tiempo permanece un parámetro. Más en coordenadas polares esféricas sólo el componente radial puede ser representado como un operador mientras que los ángulos sigue siendo un problema. La dificultad de dar un estatus diferente a las coordenadas espaciales y el tiempo se pasa por alto en teorías cuánticas de campo donde todas las coordenadas y el tiempo se convierten en parámetros de la teoría. Pero el problema con los ángulos siguen siendo un rompecabezas que requiere ser entendido en el futuro. Cuando empezamos a aprender mecánica cuántica, la mayoría de las veces empezamos con cálculos elementales relacionados con la partícula en un pozo infinito de una dimensión, partícula en un pozo potencial finito, oscilador armónico lineal y así sucesivamente. Los El principal objetivo de estos cálculos es resolver la ecuación de Schrödinger en los casos específicos y averiguar el estado consolidado las energías y la energía eigen funciona en la representación espacial coordinada. Mientras resolvemos estos problemas, pasamos por alto las sutilezas de otros objetos mecánicos cuánticos como la definición del operador de impulso en varias coordenadas, la realidad de su valor de expectativa, etc. En las últimas una o dos décadas ha habido una serie de estudios sobre la autoasociación de varios operadores [4]. El objetivo de estos estudios ha sido analizar la auto-adjuntividad de varios operadores como momentum, Hamiltonian etc. y averiguar si estos operadores son realmente auto-adjuntos en algún intervalo de espacio donde se define la teoría, si no entonces puede haber cualquier método matemático por el que nos puede hacer que estos operadores sean auto-adjuntos en los intervalos especificados? En el presente trabajo nos ocupamos de un concepto muy elemental en la mecánica cuántica relacionada con la realidad de la valores de expectación del operador de impulso, ya sea lineal o angular. No analizamos la auto-adjuntividad de los operadores que requieran diferentes técnicas matemáticas. Para probar la auto-adjuntividad de un operador tenemos para ver si el operador es simétrico en un intervalo espacial específico y el dominio funcional del operador y sus colindantes son los mismos. En el artículo nos mantenemos siempre en contacto con los recientes hallazgos de la investigación moderna sobre las extensiones auto-adjuntas, pero flojamente asumimos que los operadores con los que estamos tratando son ermitaños. Si algo es en contrario lo señalamos en el texto principal. Una parte considerable de nuestro artículo trata del análisis * Dirección electrónica: utpalroy@prl.res.in †Dirección electrónica: sanjana@prl.res.in ‡Dirección electrónica: shret@prl.res.in §Dirección electrónica: kaushik@nucleares.unam.mx http://arxiv.org/abs/0704.0373v1 mailto:utpalroy@prl.res.in mailto:sanjana@prl.res.in mailto:shreet@prl.res.in mailto:kaushik@nucleares.unam.mx del hecho de que el valor de expectativa del operador de impulso en varios estados consolidados son cero, un resultado que La mayoría de los libros de texto sólo citan pero nunca muestran. En los casos más simples el resultado puede ser mostrado por una o dos líneas de cálculo, pero en los potenciales no triviales como el potencial Morse, el potencial Coulomb el resultado se establece por utilizando varias propiedades de las funciones especiales como el Legendre asociado y el Laguerre asociado. La presentación de varios materiales en nuestro artículo se hace de la siguiente manera. La siguiente sección trata de la definición del operador de impulso y sus propiedades. La sección III trata de las complejidades de la definición de operador de impulso en coordenadas polares esféricas y los problemas que enfrentamos cuando tratamos de implementar mecánicamente la condición de cuantificación, que está invariablemente escrita en las coordenadas cartesianas en la mayoría de los libros de texto sobre Mecánica cuántica. En la sección IV se calculan explícitamente los valores de expectativa de impulso en varios potenciales y mostrar que en estados consolidados siempre obtenemos el valor de expectativa del momento lineal para ser cero. En la sección V figura: una breve discusión sobre el teorema de Ehrenfest cuando lo estamos utilizando para averiguar la derivada del tiempo de la expectativa valor del componente radial del impulso en el caso del átomo de hidrógeno. Terminamos con la sección final que resume los hallazgos en nuestro artículo. Antes de entrar en el debate principal nos gustaría mencionar acerca de la convención. Hemos puesto deliberadamente un sombrero sobre varios símbolos para mostrar que son operadores en la mecánica cuántica. Algunas veces esta convención se convierte en difícil cuando estamos tratando con variables angulares como allí el estado de estas variables está en cuestión. El otro los símbolos tienen su significado convencional. Como siempre estamos usando la representación de coordenadas a veces podemos omita el sombrero sobre el operador de posición como en esta representación el operador de posición y sus valores propios pueden ser trivialmente intercambiado. II. DEFINICIÓN DEL OPERADOR DE MOMENTO Y LA REALIDAD DE SU ESPERANZA VALOR Del formalismo del soporte de Poisson de la mecánica clásica podemos inferir: [xí, pí, j] = ihs, j, (2.1) donde i j = 1 cuando i = j y cero para todos los demás casos, e i, j = 1, 2, 3. En la ecuación antedicha xáño es la posiciÃ3n el operador y pÃ3j es el operador de impulso lineal en coordenadas cartesianas. De la ecuación anterior también podemos encontrar la forma del operador de impulso en la representación de posición, que es: = −ih̄ . (2.2) Es interesante notar que la expresión anterior del operador de impulso también nos da la forma del generador de traducciones. Esto es debido a la propiedad: [póx, F (xóx)] = −ih̄ dF (x+) , (2.3) donde F (x+) es una función bien definida arbitraria de x+. La ecuación anterior asegura que el operador de impulso genera traducciones a lo largo de la dirección x. Particularmente en una dimensión la expresión del operador de impulso se convierte en pÃ3rx = −ih̄ x. Sabemos que la el valor de expectativa del operador de impulso debe ser real. Si nos centramos en sistemas unidimensionales para empezar, cuando el sistema esté especificado por la función de onda Ł(x, t), el valor de expectativa de cualquier operador Ô se define por: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (x, t) (x, t) dx, (2.4) donde significa conjugación compleja de y la extensión del sistema se toma como < x. De lo anterior ecuación que podemos escribir, = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 * (x, t) * (x, t) * dx. (2.5) Si = entonces la condición de la realidad del valor de la expectativa se convierte: (x, t) (x, t) dx = * (x, t) * (x, t) * dx. (2.6) Para un sistema tridimensional la condición antedicha se convierte, (x, t) (x, t) d3x = * (x, t) * (x, t) * d3x. (2.7) Ahora bien, si tomamos el caso específico del operador de impulso en una dimensión podemos mostrar explícitamente que su expectativa el valor es real si la extensión del sistema es infinita y la función de onda desaparece en el infinito. La prueba es la siguiente. El valor de expectativa del operador de impulso es: (x, t) (x, t) dx = −ih̄ (x, t) (x, t) = −ih̄ (x, t)(x, t) (x, t) (x, t)* , (2.8) Si las funciones de la onda desaparecen en el infinito entonces el primer término en la segunda línea en el lado derecho de la anterior la ecuación cae y tenemos, (x, t) (x, t) dx = −ih̄ (x, t) (x, t) = ih̄ (x, t) (x, t)* (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t)) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) (x, t) * dx. (2.9) Una prueba similar sostiene para el caso tridimensional donde se supone que la función de la onda desaparece en el superficie límite en el infinito. III. VALOR DE ESPERACIÓN DEL OPERADOR DE MOMENTO EN CARTESIANO Y COORDINATOS POLARES ESFÉRICAS En la versión no relativista de la mecánica cuántica sabemos que si tenemos una partícula de masa m que está presente en un potencial independiente del tiempo podemos separar la ecuación de Schrödinger: (x, t) +2 + V (x) (x, t), (3.1) en dos ecuaciones, una es la dependiente del tiempo que da la solución trivial e− h̄ donde E es la energía total de la partícula, y la otra ecuación es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: 2u(x) + 2m (E − V (x))u(x) = 0, (3.2) donde u(x) es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y la solución completa del Eq. (3.1) (x, t) = u(x)e− H̄. (3.3) En el caso de la partícula libre, donde V (x) = 0, tenemos u(x, t) = eik·x donde E = k y k = k. El libre... solución de partículas es una función independiente del operador de impulso con valor h̄k propio. Aunque si tratamos de encontrar fuera del valor de expectativa del operador de impulso como se hace en la última sección vamos a estar en problemas como estos Las funciones de onda no desaparecen en el infinito, una característica típica de las soluciones de partículas libres. Pero este problema no está relacionado a la propiedad Hermiticity del operador de impulso, está relacionado con la naturaleza deslocalizada de la partícula libre solución. En física muchas veces requerimos resolver un problema usando sistemas de coordenadas curvilíneas. La elección de nuestra sistema de coordenadas depende de la simetría específica que tenemos a mano. Supongamos que estamos trabajando en esférico coordenadas polares y la solución de Eq. (3.2) puede separarse en funciones bien comportadas de r,... y.................................................................................................................................................................................................................................................... u(x) = u(r, (3.4) Si tratamos de seguir la prueba de la Hermiticity de los componentes momenta lineales, como se hizo en la última sección, en coordenadas polares esféricas, entonces deberíamos escribir: p = −ih̄ u*(r, ­, ­)­u(r, ­, ­) = −ih̄ R*(r)(l)(l) r sin R(r)­(l) Φ­(l)r2dr­daooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo,ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo (3.5) donde en la ecuación de arriba er, e.e., e.e. respectivamente son los vectores unitarios a lo largo de r,.o.o. y d.o.o. = sin.o.o.d.o. - ¿Qué es eso? el volumen sobre el cual integramos la expresión en la ecuación anterior. De la última ecuación podemos escribir: - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! ()2()2d r2R*(r) dR(r) dr, (3.6) A medida que se normalizan los términos «otra» y «otra» y «otra», la integración: 1 y podemos proceder como en Eq. (2.9) como: - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! r2R*(r) dR(r) = −ih̄ r2R*(r)R(r) 2rR*(r) + r2 dR*(r) R(r) dr . (3.7) Si R(r) desaparece en el infinito entonces la ecuación anterior se reduce a, - ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso? r2R(r) dR*(r) + 2ih̄ rR(r)2 dr, = Pór + 2ih̄ rR(r)2 dr. (3.8) La ecuación de arriba implica que â € € TM TM € TM no es real en coordenadas polares esféricas. La solución del problema anterior yace en redefinir el valor, como se desprende claramente de Eq. (3.8), y fue dada por Dirac [5, 6]. El impulso lineal redefinido el operador a lo largo de r puede ser: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = −ih̄ r. (3.9) Esta definición de la página es adecuada porque en esta forma satisface la relación de conmutación como se da en Eq. (2.1) donde ahora el operador conjuga a rá es pár. La forma de página en Eq. (3.9) muestra que para cualquier función arbitraria de r como F (r) todavía debemos tener Eq. 2.3) satisfecho. Esto implica que la forma modificada de pÃ3r sigue siendo un generador de traducciones a lo largo de la dirección r. Hasta este punto estábamos siguiendo lo que dijo Dirac sobre el estado de lo radial operador de impulso. Todavía todo no es tan suave con el operador redefinido como podemos ver que resulta ser singular alrededor de r = 0, más, aunque el impulso radial actúa como un generador de traducción a lo largo de r, pero cerca de r = 0 no puede generar una traducción hacia la izquierda a medida que el intervalo termina allí. En este sentido podemos afirmar que la cuestión de la realidad del componente radial del impulso en el polar esférico coordenadas es un tema de la investigación moderna en física teórica [7, 8]. Se ha demostrado que el operador no Hermiciano y más sobre él se puede demostrar [4] que tal operador no puede ser auto-adjunto en el intervalo [0-]. En algunos trabajos recientes [8] el autor afirma que puede haber un operador unitario que conecta −ih̄ a −ih̄1 y como el primer operador no tiene una extensión auto-adjunta en el intervalo semi-infinito por lo que este último tampoco auto-adjunto en el mismo intervalo. Si tratamos más lejos de averiguar si p y p son reales, entonces nos enfrentaremos a dificultades. Trabajando ingenuamente si afirmamos que p = rsin.............................................................................................................................................................................................................................................................. como lo sugiere el componente de Eq. (3.5) nos daremos cuenta de que no tiene el dimensión de la acción. Esto significa que p o p no es conjugado a Ł o Ł. Esta es una representación directa de la coordinar la dependencia de la condición de cuantificación. Sólo en Cartesian coordenadas las variables conjugan a x, y y z son px, py y pz. Tomando la pista de la mecánica clásica sabemos que las variables dinámicas adecuadas conjugan a y son los operadores de impulso angular, es decir L y L. En general L es dada por: L = −ih̄ , (3.10) que se puede mostrar para poseer valores de expectativa reales siguiendo una prueba similar como se hace en Eq. (2.8) y Eq. (2.9), si se asume Φ(0) = Φ(2η). En esta forma es tentador decir que podemos tener una relación de la forma, [, L] = ih̄, (3.11) que parece algebraicamente correcto. Pero la dificultad de escribir tal ecuación está en la interpretación de que ha sido elevado de una variable angular a un operador dinámico. En las coordenadas polares esféricas tanto son variables compactas y, en consecuencia, tienen sus propias sutilezas. Se está haciendo mucho trabajo para tratar de entender el estado de las variables angulares y fases [9, 10], en este trabajo sólo presentamos un ejemplo que muestra la dificultad de aceptar como operador. A partir de la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial isotrópico siempre tendremos: Φ(l) = eiM/23370/, (3.12) donde M = 0,±1,±2, ·, ·. Ahora si es un operador podemos encontrar su valor de expectativa, y resulta ser: = 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = η, (3.13) y el valor de expectativa de 2 es: 2 = 1 * 2eiM­e­iM­d­, η2. (3.14) En consecuencia = = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = = 2 = 2 = = 2 = 2 = 2 = = = 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ) . Similarmente calculando L obtenemos: # # L # # # L # # # L # # # # L # # # L # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # L # # # # # L # # # # L # # # # # L # # # # L # # # # L # # # L # # # # # # # # # # # # # # # L # # # # # L # # # # # # # L # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # e-iM.E.M.D.D., = Mh̄, (3.15) como se esperaba, y â € € TM = M2h¢ . Esto implica que se trata de "L" = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Así que podemos ver inmediatamente que el La relación de incertidumbre de Heisenberg entre y L, L/23370/ ≥ h̄/2 se descompone. Este hecho hace la vida difícil y nosotros no tienen medios para erradicar este problema. Tomando la pista de la parte de Ł podemos proponer que L es también de la forma −ih̄ . Con esta definición de L dejar Tratamos de probar su naturaleza ermitaña como se hizo en Eq. (3.7). Toma de R(r) y Φ(l) en Eq. (3.4) normalizados por separado, Podemos escribir: L = −ih̄ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d............................................................................................................................................................................................................................................................... pecado = −ih̄ sin (el)(el)0 − cos (♥) + sin ♥ d(­) * (l) d............................................................................................................................................................................................................................................................. sin (­) d(­) + ih̄ a) a) a) a b) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) a c) c) c) c) c) a c) c) c) c) c) c) c) a c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) a c) c) a c) c) c) c) a c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) c) = L + ih̄ a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) (3.16) La ecuación anterior muestra que L no es real. El resto es similar al análisis posterior a Eq. (3.8) donde ahora tener que redefinir el operador de momentum angular conjugado a فارسى como [11]: Là â â â â â â â â â cuna . (3.17) A diferencia del caso de la palabra "o", "o" (o) no son funciones propias de L. Pero aún persisten las dificultades de establecer a la empresa como operadora. y en general no se toma como un operador dinámico en la mecánica cuántica. Se sabe que tanto Ł como ♥ son variables compactas, es decir. tienen una extensión finita. Pero hay una diferencia entre Ellos. En las coordenadas polares esféricas, el rango de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de Esta diferencia puede tener efectos físicos. A medida que se ejecuta sobre todo el rango angular por lo que la función de onda correspondiente a él Φ(l) es de carácter periódico, mientras que debido a la gama de..... (.................................................................................................................................................................................................................................................... En consecuencia, puede haber un angular neto momentum a lo largo de la dirección....................................................................................................................... Y esto puede ser fácilmente demostrado ser verdad. Como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial isotrópico produce Φ(l) como se administra en Eq. (3.12) de manera similar, se sabe que en tal potencial la forma de la letra...................................................................................................................................................................................................................................................... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • M (cos), (3.18) donde la constante de normalización de N.O. depende de L., M. y P. M (cos) es la función asociada de Legendre, que es real. En la ecuación L y M son enteros donde L = 0, 1, 2, 3, ·, · y M = 0,±1,±2,±3, ·, ·. Los número cuántico M que aparece en Eq. (3.12) y en Eq. (3.18) son lo mismo. Esto se hace evidente cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en coordenadas polares esféricas mediante el método de separación de variables. Un requisito de la solución es −L ≤ M ≤ L. Ahora podemos calcular el valor de expectativa de L utilizando el anterior función de onda y es: L = −ih̄N2 PLM (cos ♥) dPLM (cos ♥) cot ŁPLM (cos ♥) pecado = −ih̄N2 PLM (cos ♥) dPLM (cos ♥) sin l+d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-e-d-d-e-d-d-e-d-d-e-d-e-d-d-e-d-e-d-e-d-d-e-d-e-d-d-e-d-e-d-d-e-d-d-d-e-d-d-d-e-d-d-d-d-e-d-d-e-d-d-e-d-d-d-e-d-d-d-e-d-d-d-d-e-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- PLM (cos ♥)P M (cos) (3.19) Para evaluar las integrales en el lado derecho de la ecuación de arriba podemos tomar x = cos y luego la expectativa el valor se convierte en: L = −ih̄N2 PLM (x) dPML (x) (1− x2) 12 dx PLM(x)P 1− x2 . (3.20) El segundo término en el lado derecho de la ecuación antedicha desaparece como el integrand es una función extraña en el rango de integración. Para la primera integral utilizamos la siguiente relación de recurrencia [12]: (x2 − 1) dPLM (x) =MxPLM (x) − (L+M)PLM−1(x), (3.21) la última integral puede ser escrita como, L = ih̄N2 x(1− x2)− 2PLM (x)P M (x) dx − (L+M) (1 − x2)− 2PLM (x)P M−1(x) dx . (3.22) PLM (x) = (−1)L+MPLM (−x), (3.23) podemos ver inmediatamente que tanto los enteros en el lado derecho de la ecuación anterior es impar y en consecuencia L = 0 como se esperaba. Un análisis similar da L = Mh̄. Hay que tener en cuenta que la forma de L todavía le permite a ser el generador de las rotaciones a lo largo de la dirección. A medida que el movimiento a lo largo de ♥ está cerrado por lo que puede haber un flujo neto de impulso angular a lo largo de esa dirección, pero porque el movimiento a lo largo de... no es así, un impulso neto a lo largo de................................................................................................................................................................................................................................................... la probabilidad de conservación debemos tener valor de expectativa de impulso angular a lo largo de tal dirección para ser cero. En la mecánica cuántica elemental libros de texto a menudo se escribe vagamente que la solución del tiempo independiente La ecuación de Schrödinger es real cuando la estamos resolviendo para un potencial real. Pero esta afirmación no es correcta. La realidad de la solución depende también del sistema de coordenadas utilizado. Especialmente para coordenadas periódicas compactas que podemos siempre tienen funciones complejas como soluciones sin romper ninguna ley de la física. Antes de salir de la discusión sobre las variables angulares en coordenadas polares esféricas queremos señalar una simple cosa que es interesante. En las coordenadas cartesianas cuando tratamos con el momento angular sabemos que: [Lógino, Lógino] = iógino Lógino, (3.24) donde Lçói significa Lçóx, Lçóy o Lçóz. Por esta razón no puede haber ningún estado que pueda ser etiquetado por el cuántico números de cualquiera de los dos momentos angulares anteriores. Pero de las expresiones de L y L vemos que, [L, L] = 0, (3.25) y consecuentemente en coordenadas polares esféricas podemos tener soluciones de función de onda de la ecuación de Schrödinger que son funciones propias simultáneas de L y L como P M (­). Para V real (x), esperamos que la solución de la ecuación independiente del tiempo de Schrödinger u(x) sea real, cuando están resolviendo el problema en coordenadas cartesianas. En todos estos casos el valor de expectativa del impulso lineal Los operadores deben desaparecer. La razón es simple y se puede entender en casos unidimensionales donde con u(x) real ver directamente que la integral (x) dx es real y así *(x) pÃ3rx u(x) dx se vuelve imaginario como pÃ3rx contiene i, como es evidente desde la primera línea en Eq. (2.9). Así que si el valor de expectativa del operador de impulso tiene que ser real entonces el único resultado puede ser que para todos aquellos casos en los que tenemos una solución independiente del tiempo en un límite región del espacio, con un potencial real y trabajando en coordenadas cartesianas, el valor de la expectativa del impulso El operador debe desaparecer. La declaración anterior es verdadera también en coordenadas curvilíneas, pero en esos casos la definición de los operadores de impulsos deben ser modificados. Este hecho se hace claro cuando escribimos la relación entre el el flujo de probabilidad y el valor de expectativa del operador de impulso. Flujo de probabilidad para una partícula de masa m j(x, t) = − [(x, t)(x, t)− ((x, t))(x, t)], Im ((x, t)(x, t)), (3.26) donde ‘Im’ implica la parte imaginaria de alguna cantidad. La mayoría de los libros de mecánica cuántica elemental entonces proceder a demostrar que: d3x j(x, t) = , (3.27) que se obtiene de Eq. (3.26) integrando ambos lados sobre todo el volumen. De Eq. (3.26) inmediatamente ver que si la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es real tendremos j(x, t) = 0 y en consecuencia de Eq. (3.27), p = 0. Pero esta afirmación también es dependiente de la coordinación, que rara vez se dice en los libros de texto elementales de la mecánica cuántica. Eq. (3.26) evidentemente no se mantiene en coordenadas polares esféricas. Si tomamos Eq. (3.4) como la solución en un potencial central isótropo general y utilizar la forma general de en coordenadas polares esféricas y luego se puede ver que jr(r, Ł, Ł, t) = 0 para un potencial real. Pero luego Eq. (3.27) no se sostiene como aquí pÃ3r es simplemente el radial y no como se indica en Eq. (3.9), y sabemos - No es cero. La razón por la cual Eq. (3.26) no es adecuado en coordenadas polares esféricas está relacionado con el hecho de que en la derivación Eq. (3.26) se asume que la densidad de probabilidad de encontrar el estado cuántico dentro de la posición x y x + dx en el tiempo t es (x, t)2. Pero esta afirmación sólo es cierta en Coordenadas cartesianas, en coordenadas polares esféricas, la densidad de probabilidad del sistema de estar dentro de una región r y r + dr, ­ y ­ + d­, ­ y d· no es (r, ­, ­)2 sino (r, ­, ­)2r2 sin ­ y, en consecuencia, los pasos que siguen que conduce a Eq. (3.26) en coordenadas cartesianas no son válidas en coordenadas polares esféricas. En general, Eq. (3.26) no ser válido en ningún sistema de coordenadas curvilíneas. La siguiente sección contiene los cálculos reales de los valores de expectación del operador de momentum en varios casos en los que tenemos soluciones estatales vinculantes. En todos los casos pertinentes examinados en este artículo se observa que, aunque No es cero, ya que está relacionado con el operador hamiltoniano. En todos los casos que debemos tener, â € ¢(pâ € x)sâ = 0, s = número entero impar. (3.28) La ecuación anterior se puede adivinar a partir de la realidad del valor de expectativa del operador de impulso. IV. VALORES DE EXPECTACIÓN DE MOMENTOS EN DISTINTOS ESTADOS En esta sección vamos a calcular los valores de expectativa de impulso en varios estados consolidados con rigidez o lentamente Variando potenciales. A. Partícula en pozos unidimensionales de potencial rígido 1. Infinito potencial cuadrado En este caso consideramos que una partícula está confinada en la región −L a lo largo del eje x donde se especifica el potencial V (x) = فارسى, x ≥ = 0, x < . (4.1) En este caso la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, Eq. (3.2), cumple la condición de límite, = 0, (4.2) y como el potencial tiene simetría de paridad sobre x = 0 tenemos dos conjuntos de soluciones, las soluciones impares: u(o)n (x) = , (4.3) y las soluciones uniformes: u(e)n (x) = (2n− 1) . (4.4) En las ecuaciones anteriores n es un entero positivo. Ambas funciones, u n (x) para el caso impar y u n (x) para la incluso caso, son reales y no son impulsos propios. Pero los valores de expectativa de impulso se pueden encontrar desde las soluciones anteriores. Para las soluciones extrañas que tenemos: # P # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u(o)n (x) n (x) = −4inηh̄ = 0, (4.5) como se esperaba. Del mismo modo para las soluciones uniformes también es fácil demostrar que el valor de expectativa del impulso El operador desaparece. 2. Potencial de pozo cuadrado finito En este caso, V (x) = 0, x ≥ a, = −V0, x < a, (V0 > 0). (4.6) Si no estamos interesados en la constante normalización de la solución de Estado consolidado entonces la solución del tiempo- la ecuación independiente de Schrödinger en este caso es: u(x) ex, x > a, Cos(kx), x < a, (paridad uniforme) Sin(kx), x < a, (paridad impar), (4.7) donde, 2m(EV0) , (4.8) 2mE . (4.9) En este caso, el valor de expectativa del operador de impulso es: # ¡Pá # # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # du(x) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # e2-xdx− e−2oxdx sin(kx) cos(kx) dx = 0, (4,10) donde las dos primeras líneas de la ecuación anterior se mantiene hasta una constante que surge de la normalización de la onda- función. Al derivar la última ecuación hemos tomado la solución de paridad impar, pero el resultado no se ve afectado si nosotros tomar la solución paritaria también. 3. Potencial de dirac-delta En este caso, el potencial es: V (xá) = −V0 (xá), (V0 > 0). (4.11) En este caso puede haber una solución de estado consolidado que se obtiene después de resolver el Eq. (3.2). Exigir que el solución u(x) cumple las condiciones de límite: u(x = ) = u(x = ), (4.12) = −2mV0 u(x = 0), (4.13) donde es una cantidad infinitesimal que tiende a cero, obtenemos la forma de la solución que es: u(x) = * x ≤ 0, (4.14) * x ≥ 0, (4.15) en la que  = mV0 y la energía del estado unido es E = −mV El valor de expectativa del operador de impulso en este caso es: # P # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # du(x) = −ih dx − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + e−2­°x dx = 0. (4.16) En este caso, también desde la hermiticidad del operador de impulso vemos que Eq. (3.28) es cierto. B. Partículas en potenciales unidimensionales que varían lentamente 1. Potencial del oscilador armónico lineal En el caso del oscilador armónico lineal tenemos: V (x+) = 2x2x2, (4.17) donde • es la frecuencia angular del oscilador. La solución de Eq. (3.2) en este caso, utilizando la solución de serie método, rendimientos: un(q) = Nn e 2 Hn(q), (4.18) donde n = 0, 1, 2, ·, · y q = αx donde α = m . Hn(q) son polinomios Hermita de orden n y Nn es el constante de normalización dada por, ¡No! ¡No! 2n . (4.19) El valor de la expectativa de impulso en este caso resulta ser, # P # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # un(q) dun(q) = −ih̄ Hn(q) dHn(q) q e−q H2n(q) dq = 0. (4.20) La primera integral en el lado derecho de la segunda línea de la última ecuación desaparece porque, dHn(q) = 2nHn−1(q) y consecuentemente la integral se transforma en la condición ortogonal de los polinomios hermitas. La segunda integral en la segunda línea del lado derecho de la ecuación anterior desaparece porque el entero es una función extraña de q. El oscilador armónico lineal (LHO) tiene algunas propiedades muy interesantes. Para desentrañarlos tenemos que divagar un bit del enfoque de la mecánica de onda que hemos estado siguiendo y seguir la notación Dirac de sujetadores y kets. El Hamiltoniano de la LHO en una sola dimensión es: 2x2x2, (4.21) que también puede escribirse como: = h * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (4.22) donde â y están la aniquilaciÃ3n y los operadores de la creaciÃ3n dados por: ......................................... x ipáx . (4.23) Se puede ver claramente a partir de las definiciones anteriores que â no es un operador ermitaño. Más de la definición de los operadores vemos que, [â, ] = 1. (4.24) Convencionalmente, el operador de números se define como: Nódulo , (4.25) y su eigen-base son los estados del número n tales que, No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (4.26) El Hamiltoniano de la LHO se puede escribir en términos del operador de números y, en consecuencia, el estado del número son estados propios de la energía. En esta base la acción de los operadores de aniquilación y creación son como: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n n− 1â, (4.27) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n+ 1 n+ 1. (4.28) A partir de las definiciones de los operadores de aniquilación y creación podemos escribir el operador de impulso como: = −i ( ). (4.29) De Eq. (4.27), Eq. (4.28) y la ecuación anterior podemos escribir los elementos de la matriz del operador de impulso como: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * n'n′, n−1 + n+1 Łn′, n+1 . (4.30) La ecuación anterior muestra que el operador de impulso puede conectar dos estados propios de energía diferentes. En el caso de LHO, excepto los estados de operador de número, podemos tener otro estado que es un estado propio de la operador de aniquilación â. Este estado se llama convencionalmente el estado coherente y se le da como: = e− n, (4.31) donde α es un número complejo arbitrario. Ahora de Eq. (4.29) podemos encontrar el valor de la expectativa de impulso de la Estado coherente y lo es, # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Im(α). (4.32) De la ecuación anterior podemos ver que aunque el valor de expectativa del operador de impulso es cero en el energía eigen-base, pero no es así cuando calculamos el valor de la expectativa de impulso en la base de estado coherente, que es esencialmente una superposición de los estados propios de la energía. Cabe señalar que el valor de las expectativas de impulso es non cero sólo cuando el parámetro α tiene una parte imaginaria. 2. Potencial de Pöschl-Teller Entre los potenciales pertenecientes a la clase hipergeométrica, los potenciales de Pöschl-Teller han sido los más ex- estudio y uso tensos. Esta clase de potenciales consiste en trigonometría, así como el tipo hiperbólico. Los versiones trigonométricas han encontrado aplicaciones en la física molecular y del estado sólido y las variantes hiperbólicas tienen se ha utilizado en varios estudios relacionados con perturbaciones del agujero negro. En el presente trabajo utilizamos el potencial trigonométrico y simétrico de Pöschl-Teller dado por: V (x+) = V0 tan 2 (ax), (4.33) donde V0 puede ser parametrizado como: ( 1), (4.34) con para un número positivo  > 1 y a es algún factor de escala. Los valores propios de la energía de las soluciones de estado consolidado En = − h̄2a2 (n2 + 2nÃ3r Ã3r), (4.35) y la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es, un(x) = Nn cos(ax)P 1/2 n1/2 (sin(ax)), (4.36) donde, a(n+ (n+ 1) , (4.37) es la constante de normalización y la función Legendre (x) es la asociada. En este punto es justo señalar que P. (x) no es el polinomio de Legendre P. M (x) que aparece en Eq. (3.18), ya que μ y ν no necesitan ser enteros como L y M. No es un polinomio, sino la función que aparece en el lado derecho de Eq. (4.36) es un polinomio. Ahora, como se afirma en el texto, mostremos que el valor de la expectativa de impulso es de hecho cero. Antes de que procedamos. Simplifiquemos un poco la notación llamando a μ = 1/2− Sustituyendo z = ax podemos escribir el valor de la expectativa de impulso como: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ∫ /2 cos(z)PŁ (sin(z)) cos(z)PŁ (sin(z)) . (4.38) Nótese los límites de la gama de integración de η/2 a /2 ya que en este valor el potencial se convierte en infinito por lo tanto nosotros no es necesario considerar la gama de integración como toda la línea real. Por el bien de la comodidad vamos a hacer un cambio de variable; dejando y = sin(z) la integral anterior se convierte en: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • dy (1− y2)1/4P® (y) (1 − y2)1/4P® (y) . (4.39) Tomando la derivada dentro de la integral que obtenemos: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (1 a y2)1/2P dPŁ (y) − y(1− y 2)-1/2 (y) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (y) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (y) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) () (p) (p) () (p) (p) ()) (p) ()) (p) (p) (p) / (y) . (4.40) Se sabe que para las funciones Legendre asociadas [13], (-x) = cos[(-/l) sin[(l/l)l]Ql (x), (4.41) donde Q-(x) es la otra solución linealmente independiente de la ecuación diferencial Legendre asociada. Como en nuestro En este caso, la paridad será definida. As P El Tribunal de Primera Instancia decidió: en la integral antedicha desaparece ya que la integral total es una función extraña. La primera integral es similar a la de Eq. (3.20) y, debido a la propiedad de paridad típica de P. (x) como se muestra en Eq. (4.41), también desaparece. Consecuentemente, nosotros tienen â € € TM € TM = 0 como se esperaba. 3. Potencial de morse La molécula diatómica es un sistema exactamente solvable, si se descuida la rotación molecular. El modelo más conveniente para describir el sistema, es el potencial Morse [14]: V (xÃ3) = D(e−2βxÃ3 − 2exÃ3), (4.42) donde x = r/r0 − 1, que es la distancia desde la posición de equilibrio escalada por el valor de equilibrio de la distancia internuclear r0. D es la profundidad del potencial, llamada energía de disociación de la molécula y β siendo un parámetro que controla el ancho del potencial. En términos de la variable x escalada anteriormente, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se convierte en: d2u(x) +D(e−2βx − 2ex)u(x) = Eu(x). (4.43) Aquí μ es la masa reducida de la molécula y la correspondiente función eigen del estado unido sale a ser: (+) = (+) (+) = (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+))) (+)))) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))) (+) (+) () (+)) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( /2s/2Lsn(), (4.44) donde las variables se describen como, * = 2-e-y; y = βx; 0 < , (4,45) n = 0, 1,..., [ 1/2], (4.46) que no es nada más que el número cuántico de los estados vibratorios. Aquí [l] denota el número entero más grande más pequeño por lo tanto, el número total de estados consolidados es [ 1/2] + 1. Los parámetros, 2μDr20 y s = − 8μr E, (4.47) satisfacer la condición de restricción s+2n = 2 1. Observamos que el parámetro  es potencial dependiente y s está relacionado a la energía E. En Eq. (4.44), Lsn(y) es el polinomio Laguerre asociado y N es la constante de normalización [15]: β(2 2n− 1)•(n+ 1) (2 n)r0 . (4.48) Estamos buscando el valor de expectativa del impulso lineal para una molécula diatómica vibrante, y su expresión # P # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u*n() un()dx. (4.49) En términos de la variable cambiada, el límite de integración cambia a 0 y el valor de expectativa. se convierte en: # P # x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # u*n() un()d = ih̄N2 es(Lsn()) 2d® + es−1(Lsn()) esLsn() Lsn()d = ih̄N2 I2 + I3 . (4.50) Integral I1 es la relación ortogonal de los polinomios Laguerre asociados, que es: esLsn()L m()d = •(s+ n+ 1) (n+ 1) *M, n.* (4.51) Para evaluar la segunda integral se utiliza la integral de normalización de Morse eigenstates. La relación de normalización u*(­)u(­)dr = N 2r0 es−1(Lsn()) 2d® = 1. (4.52) La integral de arriba implicando a, es explícitamente I2. N, siendo la constante de normalización como se da en Eq. 4.48. Así es muy directamente hacia adelante para evaluar I2 a partir de la relación anterior como, (n+ s+ 1) s (n+ 1) . (4.53) El último integrand I3 incluye una diferenciación que puede ser escrita como [16]: Lsn(­) = −Ls+1n−1(­). (4.54) Escribiendo el lado derecho de la ecuación anterior como suma [17]: Ls+1n = Lsm, (4.55) y sustituyendo el término derivado en integral I3 obtenemos: I3 = − esLsn()L m()d. (4.56) En la integral anterior m 6= n porque m sólo puede ir hasta (n− 1). Así la integral desaparece. Ahora vamos a ver lo que es el valor de expectativa del impulso observable, después de evaluar las tres integrales anteriores. Sustitución del no-cero valores I1 e I2 en Eq. 4.50, está claro que el valor de expectativa del impulso es cero como se ha esperado. C. Valores de las expectativas de posición para diversas posibilidades Después de una profunda discusión sobre los valores de expectativa de impulso para varios potenciales unidimensionales solvables, Vale la pena pasar algún tiempo discutiendo sobre la posición media de la partícula dentro de los estados consolidados. Entre todos los ejemplos anteriores, en cada caso teníamos V (x) = V (−x) excepto el potencial de Morse como potencial de Morse no es un ejemplo de un potencial simétrico: V (x) 6= V (−x). En la obtención de los valores de expectativa de impulso para casos simétricos superiores, a menudo consideramos que las integrales de funciones extrañas sobre los límites simétricos desaparecen. Este resultado no es válido para el potencial asimétrico de Morse. Ya hemos demostrado que el valor de la expectativa de impulso: < p = 0 para todos los potenciales anteriores. Cuando viene a los valores de expectativa de posición, se puede ver fácilmente que < x = 0 para los potenciales simétricos cuyos centros están en el origen. Por otro lado, si este no es el caso, supongamos que el pozo cuadrado infinito está definido en el rango 0 ≤ x ≤ L también entonces el valor de expectativa de la posición no desaparece. Se convierte en L/2. Por lo tanto, con mayor precisión la posición media de la partícula depende de la simetría del potencial donde como el impulso medio es guiado únicamente por la realidad de sus valores propios y por lo tanto es siempre cero. A continuación vamos a discutir brevemente cómo la asimetría del potencial afecta el valor de expectación de x en el caso de el potencial de Morse. El valor de expectativa del operador de posición es: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # un ()xu n()dx. (4.57) La función eigen y las variables se sustituyen respectivamente de Eq. (4.44) y Eq. (4.45). Obtenemos x = N ln(2) es−1(Lsn()) 2d® + es−1(Lsn()) 2 ln(+)d® . (4.58) La primera integral ya se ha obtenido en Eq. (4.53). Este resultado es independiente del número cuántico n. segundo integral (say I) no es que recto hacia adelante, porque contiene polinomio Laguerre asociado, logaritmo, funciones exponenciales y monomiales. Aquí en el mejor de los casos podemos evaluar la integral al menos para algunos n específicos como, n = 0 o n = 1, cuando el polinomio de Laguerre se sustituye respectivamente por 1 y ( + s + 1). Para la onda de estado de tierra función (n = 0), yo sería In=0 = es−1 ln()d®, (4.59) que puede ser escrito en términos de •(s) y • función [18]: In=0 = (s)(s)(s)(s), (4.60) donde la función factorial logarítmica, definida como ¡D(ln)! = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Para n = 0, la primera integral reduce a Ł(s) desde Eq. (4.53). Más de dos evaluaciones dan el valor de expectativa del estado del terreno: xn=0 = [ln(s+1)(s)]. (4.61) Para n = 1, uno puede proceder de la misma manera xn=1 = es+1 ln()d + (s+1)2 es−1 ln()d2(s+1) es ln()d (4.62) *(s+2)*(s+2)*(s+1)*(s+1)*(s)*(s)*(s)*(s)*(s+1)*(s+1)*(s+1)*(s+1) que simplifica para dar el valor de expectativa correspondiente al segundo estado eigen: xn=1 = ln(s + 3)(s + 2) + 3 (s+2) . (4.63) Otros valores de expectación para n > 1 también pueden obtenerse de manera similar. El punto importante que debe señalarse aquí es, aunque el impulso medio desaparece, la posición media es no cero para el potencial de Morse y sigue siéndolo, independientemente de la elección del origen de las coordenadas. Este resultado también es cierto para todos los estados originales del mismo Hamiltoniano. D. Valor de expectativa momentum para un potencial simétrico esférico de tres dimensiones que varía lentamente En tres dimensiones, para un potencial esféricamente simétrico la solución de la ecuación de Schrödinger se da en Eq. (3.4). Aquí hemos asumido que las variables se pueden separar. Los valores de expectativa de L y L han sido evaluada en la sección III. En esta sección tomamos el caso del átomo de hidrógeno y calculamos el valor de expectativa de el componente radial del impulso lineal. 1. El átomo de hidrógeno En este caso, V (ró) = −e . (4.64) donde e es la carga electrónica y r = x2 + y2 + z2. Ahora tenemos que escribir Eq. (3.2) en coordenadas polares esféricas y la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es: unLM (r., ­, ­) = Nr. Rn.L.(r)YLM (­, ­), = Nr e −r/na0 L2L+1n−L−1 YLM (4.65) donde a0 = es el radio de Bohr y m es la masa reducida del sistema que comprende el protón y el electrón. n es el número cuántico principal que es un entero positivo, L2L+1n−L−1(x) son los polinomios Laguerre asociados, YLM es la armonía esférica, y Nr es la normalización que surge de la parte radial de la función propia. Los valores que L y M pueden tomar se discuten en la sección III. La constante de normalización radial es dada por: (n− L− 1)! (n+L)!2n . (4.66) Las armonías esféricas son dadas por, YLM (­, ­) = 2L+ 1 (L −M)! (L +M)! PLM (cos Ł)e iM/23370/, (4.67) donde PML (cos ♥) son las funciones Legendre asociadas. Se observa que, aunque el potencial de Coulomb es real, potencial, pero la solución en coordenadas polares esféricas no es real, eiM­, es complejo. Las armonías esféricas son ortonormalizado según la relación, ............................................................................................................... (4.68) Escribamos las funciones propias en términos de cantidad adimensional: También definimos k فارسى (2L + 1) y nr (n − L − 1) por el bien de la conveniencia. Con esta cantidad de maquinaria notarial las funciones propias pueden escríbase como: unLM (r.,.,.) = Nr. Rn.L.(.)YLM (.................................................................................................................................................................................................................................................. (4.69) El valor de la expectativa de impulso radial en este caso no es dado por −ih • su forma es (ya discutido en la sección III): p = −ih2 {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} RnL(l) d. [YLM (....,.]] 2. (4.70) Donde Ñ2 = N2r /α 2. La integral para los armónicos esféricos da identidad. El valor de la expectativa radial entonces se convierte en, p = −ih2 ek+1[Lknr (­)] 2 + (L+ 1) ek[Lknr (­)] 2 + ek+1Lknr (­) [Lknr (lj)] . (4.71) Usando la relación de recurrencia [16]: Lknr ( −1 [nr Lknr (l)− (nr + k)L nr−1(l) , (4.72) el valor de expectativa integral adquiere la forma: p = −ih2 ek+1[Lknr (­)] 2 + (nr + L+ 1) e k[Lknr(l)] 2 + ekLknr (­)L nr−1(l) . (4.73) La tercera contribución de la se convierte en cero de la propiedad ortogonal de los polinomios Laguerre asociados como se indica en Eq. (4.51). La contribución del segundo mandato también puede encontrarse de manera similar. Para encontrar la parte de la primer término que hacemos uso de [19]: [Lknr (l)] (nr + k)! (2nr + k + 1). (4.74) Recopilando todas las contribuciones obtenemos el valor de expectativa radial para ser cero como se esperaba. V. DEBATE SOBRE LA IGUALDAD DE MOCIÓN Y TEORISMO EHRENFEST DE HEISENBERG La evolución del tiempo de cualquier operador Ô en la imagen de Heisenberg es dada por: [Off, ], (5.1) donde es el Hamiltoniano del sistema. El Hamiltoniano de un sistema cuántico que comprende una partícula de masa m viene dada por: + V (x+). (5.2) A partir de las dos ecuaciones anteriores podemos escribir la evolución del tiempo del operador de impulso en una dimensión, en Coordenadas cartesianas como: [pax, ] = − V (xá), (5.3) que es la versión de operador de la segunda ley de Newton en un potencial independiente del tiempo. Ahora si tomamos la expectativa valores de ambos lados del Eq. (5.3) en cualquier base que obtengamos: # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. V (xá) , (5.4) e históricamente la ecuación anterior se llama el teorema Ehrenfest, que fue deducido de una manera diferente por P. Ehrenfest. Utilizando el teorema Ehrenfest podemos deducir que la tasa de cambio del valor de expectativa de la El operador de impulso es cero en el caso del oscilador armónico lineal. En el caso del oscilador armónico lineal tenemos: V (xÃ3) = mÃ2xÃ3, (5.5) y puede ser trivialmente demostrado que x = 0. Esto implica directamente que, # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. = 0, (5.6) para el oscilador armónico lineal. La ecuación anterior muestra que el valor de expectativa del impulso a lo largo de x dirección es constante, y esta constante es cero se conoce de otras fuentes. A continuación nos centramos en el átomo de hidrógeno. El Hamiltoniano del átomo de hidrógeno es: = − h̄ 2 − e , (5.7) donde, 2 = −h̄2 pecado pecado sin2 , (5.8) cuyos valores propios son de la forma h̄ L(L+1) en la base YLM ( En la expresión de la m hamiltoniana es la masa reducida del sistema que comprende el protón y el electrón. A continuación tratamos de aplicar la ecuación de Heisenberg a la operador de impulso radial. Tomando nota de que el primer término del Hamiltoniano es nada más que la ecuación de Heisenberg = − L . (5.9) La ecuación anterior es la forma de operador de la segunda ley de Newton en coordenadas polares esféricas. A continuación evaluamos la valor de expectativa de ambos lados de la ecuación anterior utilizando las funciones de onda dadas en Eq. (4.65). Lo sabemos, n3 a20(L + , (5.10) a30 n 3L(L+ 1 (L + 1) . (5.11) Utilizando los valores de expectación anteriores en Eq. (5.9) y tomando nota de que "L"2" = h̄2L(L+1) vemos que la derivada de tiempo de el valor de expectativa del operador de impulso radial del átomo de hidrógeno desaparece. El análisis anterior muestra que la forma del teorema de Ehrenfest como se da en Eq. (5.4) sólo es válido en cartesiano coordenadas. En el caso del átomo de hidrógeno si usamos Eq. (5.4) nunca deberíamos haber obtenido el resultado correcto. VI. CONCLUSIÓN En el presente trabajo hemos destacado la realidad del valor de la expectativa de impulso y utilizando la realidad del valor de la expectativa como una marca de banco descubrimos la forma del operador de impulso en polar esférico sistema de coordenadas. Encontramos que la mayoría de los conceptos que definen el operador de impulso en coordenadas cartesianas no se mantienen bien en coordenadas polares esféricas y, en general, en cualquier otro sistema de coordenadas. La razón es que que cada vez que hacemos una integración en las coordenadas curvilíneas el jacobiano de la matriz de transformación de coordenadas viene dentro de la imagen y los resultados cartesianos comienzan a flaquear si no cambiamos las reglas apropiadamente. Los formas del impulso a lo largo de la dirección radial y la forma de los operadores de impulso angular se derivan en Sección III. El estado de las variables angulares fue discutido brevemente en la misma sección. Nosotros calculamos explícitamente el valores de expectación del operador de impulso en varios casos importantes y mostró que el valor de expectación de el operador de impulso realmente sale a cero como se esperaba. Aunque el valor de la expectativa del impulso operador desaparece en la mayoría de los estados consolidados, con un potencial real, el valor de expectativa de la posición no es Requerido a desaparecer. El valor de expectativa del operador de posición está directamente relacionado con la propiedad de paridad de la potencial, que se examinó brevemente en la subsección IVC. Al final calculamos la ecuación de movimiento de Heisenberg para el operador de impulso radial para el átomo de hidrógeno y mostró su apariencia formal con el segundo de Newton ley. También se demostró que si escribimos correctamente la ecuación de Heisenberg del movimiento en coordenadas polares esféricas entonces el teorema de Ehrenfest sigue naturalmente. En resumen, concluimos diciendo: 1. las formas de los diferentes operadores de impulso, en la mayoría de los sistemas de coordenadas, en la mecánica cuántica pueden ser obtenida mediante la imposición de la condición de la realidad de sus valores propios. La forma de la conservación de probabilidad la ecuación y el teorema de Ehrenfest deben ser modificados en coordenadas curvilíneas para producir resultados significativos. 2. Hay problemas obvios para elevar el estado de las variables angulares a las variables dinámicas en el cuántico Mecánica. 3. Para variables compactas, si la variable es periódica el valor de expectativa del momento angular conjugado a No es cero. Si la variable compacta no es periódica, entonces el momento angular conjugado a ella debe desaparecer. 4. Los valores de expectativa de impulso en los casos de movimientos de Estado consolidados desaparecen, mientras que la expectativa de posición los valores en esos casos dependen de la simetría del potencial. Agradecimientos Los autores agradecen a los Profesores D. P. Dewangan, S. Rindani, J. Banerji, P. Panigrahi y Sra. Suratna Das por estimular las discusiones y los estímulos constantes. [1] J. J. Sakurai, “Modern quantum mechanics”, edición estudiantil internacional, Addison-Wesley, 1999. [2] L I. Schiff, “Quantum mechanics”, McGraw-Hill International Editions, tercera edición. [3] R. Shankar, “Principios de la mecánica cuántica”, Plenum Press, Nueva York 1994, segunda edición. [4] G. Bonneau, J. Faraut, G. Valent, Am. J. Phys. 69 322 (2001). [5] P. A. M Dirac. “Los principios de la mecánica cuántica”, cuarta edición, Oxford University Press, 1958. [6] S. Flügge. “Mecánica cuántica práctica I”, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1971. [7] G. Paz, Euro. J. Phys. 22 337, (2001). [8] G. Paz, J. Phys.A: Math. Gen. 35 3727, (2002). [9] P. Carruthers, M. M. Nieto, Rev. Mod. Phys. 40 411, (1968). [10] D. T. Pegg, S. M. Barnett, Phys.Rev.A 39 1665, (1989). [11] H. Essén, Am. J. Phys. 46 983, (1978). [12] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. “Cuadro de integrales, series y productos”. Prensa Académica, Harcourt India, sexta edición, página 955, 8.733 1 [13] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. “Cuadro de integrales, series y productos”. Prensa Académica, Harcourt India, sexta edición, página 956, 8.737 2. [14] P. M. Morse, Phys.Rev. 34 57, (1929). [15] S. Ghosh, A. Chiruvelli, J. Banerji y P. K. Panigrahi, Phys. Rev. A 73, 013411, (2006). [16] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. “Cuadro de integrales, series y productos”. Prensa Académica, Harcourt India, sexta edición, página 991, 8.971 2. [17] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. “Cuadro de integrales, series y productos”. Prensa Académica, Harcourt India, sexta edición, página 992, 8.974 3. [18] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik. "Tabla de integrales, series y productos", sexta edición, (Academic Press, Harcourt India). [19] El resultado específico de la integración y otras expresiones relacionadas se pueden encontrar en la página web: http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html, Ecuación 24. http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Introducción Definición del operador de impulso y la realidad de su valor de expectativa El valor de expectativa del operador de impulso en coordenadas polares cartesianas y esféricas Valores de expectativa momentum en varios estados consolidados Partícula en pozos unidimensionales de potencial rígido Infinito potencial cuadrado Potencial de pozo cuadrado finito Potencial de dirac-delta Partículas en potenciales unidimensionales que varían lentamente Potencial del oscilador armónico lineal Potencial de Pöschl-Teller Potencial de morse Valores de expectativa de posición para diversos potenciales Valor de expectativa momentum para un potencial simétrico esférico tridimensional que varía lentamente El átomo de hidrógeno Una discusión sobre la ecuación de movimiento de Heisenberg y el teorema de Ehrenfest Conclusión Bibliografía

En los libros de texto de mecánica cuántica el operador de impulso se define en el Coordenadas cartesianas y rara vez la forma del operador de impulso en esférico se discuten las coordenadas polares. Consecuentemente uno siempre generaliza el Prescripción cartesiana a otras coordenadas y cae en una trampa. En este trabajo Presentamos las dificultades a las que nos enfrentamos cuando la cuestión del impulso operador en coordenadas polares esféricas viene. Hemos tratado de señalar la mayoría de los resultados mecánicos cuánticos elementales, relacionados con el operador de impulso, que tiene dependencia de coordinación. Calculamos explícitamente el impulso valores de expectación en varios estados consolidados y mostrar que el valor de expectación realmente resulta ser cero, una consecuencia del hecho de que el impulso El valor de la expectativa es real. Coincidimos brevemente sobre el estado de la variables en la mecánica cuántica y los problemas relacionados con su interpretación como variables dinámicas. Al final, calculamos la ecuación de Heisenberg de movimiento para el componente radial del impulso para el átomo de hidrógeno.

Introducción Definición del operador de impulso y la realidad de su valor de expectativa El valor de expectativa del operador de impulso en coordenadas polares cartesianas y esféricas Valores de expectativa momentum en varios estados consolidados Partícula en pozos unidimensionales de potencial rígido Infinito potencial cuadrado Potencial de pozo cuadrado finito Potencial de dirac-delta Partículas en potenciales unidimensionales que varían lentamente Potencial del oscilador armónico lineal Potencial de Pöschl-Teller Potencial de morse Valores de expectativa de posición para diversos potenciales Valor de expectativa momentum para un potencial simétrico esférico tridimensional que varía lentamente El átomo de hidrógeno Una discusión sobre la ecuación de movimiento de Heisenberg y el teorema de Ehrenfest Conclusión Bibliografía

Environmental noise reduction for holonomic quantum gates

Reducción del ruido ambiental para puertas cuánticas holonómicas Daniele Parodi,1,2 Maura Sassetti,1,3 Paolo Solinas,4 y Nino Zangh1,2 1 Dipartimento di Fisica, Università di Genova, Génova (Italia) 2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Sezione di Genova), Genova, Italia 3 INFM-CNR Lamia Via Dodecaneso 33, 16146 Genova, Italia 4 Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Pierre et Marie Curie, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, Francia (Fecha: 27 de octubre de 2018) Estudiamos el rendimiento de puertas cuánticas holonómicas, impulsadas por láseres, bajo el efecto de un ambiente disipativo modelado como un baño térmico de osciladores. Mostramos cómo mejorar la rendimiento de las puertas mediante la elección adecuada del bucle en el colector de los parámetros controlables del láser. Para un modelo simplificado, aunque realista, encontramos el sorprendente resultado que durante mucho tiempo la evolución de la actuación de la puerta (correctamente estimada en términos de fidelidad media) aumenta. Activar la base de este resultado, comparamos las puertas holonómicas con la llamada adiabatica Raman estimulada Puertas de paso (STIRAP). Números PACS: 03.67.Lx I. INTRODUCCIÓN El principal desafío para el cálculo cuántico se plantea por el hecho de que los estados genéricamente cuánticos son muy del- cate objetos bastante difícil de controlar con el requerido precisión: por lo general, mediante campos de conducción externos, Por ejemplo, un láser. La interacción con los muchos grados de la libertad del medio ambiente provoca la decoherencia; más error en el tratamiento de la información puede dar lugar a una estado de salida equivocado. Entre los enfoques destinados a superar estos problemas, cabe citar los siguientes: las ficultades son aquellas para las cuales depende la puerta cuántica muy débil en los detalles de la dinámica, en particular lar, el cálculo cuántico holonómico (HQC) [1] y el llamado pasaje adiabático Raman estimulado (STI- RAP) [2, 3, 4]. En este último, se obtiene el operador de la puerta Actuando sobre la diferencia de fase de los láseres de conducción durante la evolución, mientras que en el primero el mismo objetivo es lograda explotando el análogo no conmutativo de la fase de Berry recolectada por un estado cuántico durante una evolución cíclica. Se han presentado propuestas concretas para: de Abeliano [5, 6] y holonomias no abélicas [7, 8, 9, 10, 11, 12]. La principal ventaja del HQC es la robustez contra el ruido derivado de un imperfecto control de los campos de conducción [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. En un artículo reciente [21] hemos demostrado que la la corrupción del medio ambiente en las puertas holonómicas puede ser suprimida y el rendimiento de la puerta optimizada para entornos particulares (puramente superóhmicos térmicos baño). En el presente documento consideramos un tipo diferente de optimización, que es independiente de la particular la naturaleza del medio ambiente. Al explotar la estructura geométrica completa del HQC, mostramos cómo el rendimiento de una puerta holonómica puede ser mejorados por una elección adecuada del bucle en el hombre- ildold de los parámetros del campo de conducción externo: por elegir el bucle óptimo que minimiza el “error” (correctamente estimado en términos de pérdida media de fidelidad). Nuestro resultado se basa en la observación de que hay diferentes bucles en el colector de parámetros que producen la misma puerta y, puesto que la decoherencia y la disipación dependen crucialmente en la dinámica, es posible conducir el sistema sobre trayectorias menos perturbadas por el ruido. Por una modelo simplificado, aunque realista, nos encontramos con el sorprendente resultado de que el error disminuye linealmente como el tiempo de espera incrementos. Por lo tanto, la perturbación del medio ambiente puede reducir drásticamente. Sobre la base de este resultado, comparar las puertas holonómicas con las puertas STIRAP. In Sec. II se introduce el modelo y la explícita se deriva la expresión del error. In Sec. III encontramos el bucle óptimo, calcular el error, hacer una comparación con otros enfoques, y bosquejar brevemente cómo tratar un diferentes acoplamientos con el medio ambiente. II. MODELO El modelo físico es dado por tres degenerados (o ,,,,,,,, ópticamente con- nectó a otro estado. El sistema está impulsado por láseres con diferentes frecuencias y polarizaciones, actuando selectivamente en los estados degenerados. Este modelo describe diversos sistemas cuánticos interactuando con un radia láser- ciones, que van desde puntos cuánticos de semiconductores, tales como: excitones [12] y estados electrón de degenerado por espinillas [3], a iones atrapados [8] o átomos neutros [7]. El (aproximado) Hamiltoniano modelar el efecto de el láser en el sistema es (para simplicidad, ~ = 1) [8, 12] H0(t) = j=+,−,0 jj(e-iátáj(t)jGH.c) , (1) donde j(t) son las frecuencias de rabi dependientes del tiempo de- http://arxiv.org/abs/0704.0376v2 pendientes de los parámetros controlables, como la fase e intensidad de los láseres, y es la energía de la estados de electrones degenerados. Las frecuencias de Rabi son modulada dentro del tiempo adiabático, (que moneda- cides con el tiempo de cierre), para producir un lazo en el pa- espacio rameter y así realizar la condición periódica H0(tad) = H0(0). El Hamiltoniano (1) tiene cuatro eigen dependiente del tiempo- estados: dos estados propios Ei(t), i = 1, 2, llamado brillante estados, y dos estados propios Ei(t), i = 3, 4, llamado oscuro estados. Los dos estados oscuros han degenerado... valor y los dos estados brillantes tienen tiempo dependiente energías (t) = [ ± 2 °C + 4°C2(t)]/2 con °C2(t) = i=±,0 i(t) 2 [22]. La evolución del estado es generada por Ut = Te dt′H0(t ′), (2) donde T es el operador de tiempo ordenado. En la adiabática la aproximación, la evolución del estado tiene lugar en el subespacio degenerado generado por,, y 0. Esta aproximación permite separar la dinámica de Atribución y la contribución geométrica del evolu- operadora de ciones. Expandiendo Ut en la base de instantánea eigenstatos de H0(t) (los estados brillantes y oscuros), en el aproximación adiabática, tenemos Ut â € = ′)dt′ Ej(t)Ej(t)Ut, (3) donde Ut = Te d.V. (l), (4) aquí V es el operador con elementos de matriz Vij(t) = Ei(t)tEj(t). El operador unitario Ut juega el papel de operador holonómico dependiente del tiempo y es el funda- ingrediente mental para la realización de complejos trans geométricos formación mientras que ′)dt′ Ej(t)Ej(t) es el contribución dinámica. Considerar Ut para un bucle cerrado, es decir, para t = tad, U = Utad. 5) Si el estado inicial es una superposición de y, entonces U0® sigue siendo una superposición de los mismos vectores (en general, con diferentes coeficientes)[12]. Por lo tanto, el espacio abarcado por y puede ser considerado como el "logi- espacio cal” en el que el “operador lógico” U actúa como un Operador de “puerta cuántica”. Tenga en cuenta que para t < tad, Ut0». tiene, en general, también un componente a lo largo de 0. Sin embargo, como es fácil de mostrar [22], en cualquier instante t < tad, Ut0». puede ser expandido en el espacio bidimensional extendido por los estados oscuros E3(t)o y E4(t)o. Es importante para observar que U depende sólo de la geométrica global fea- ciones de la trayectoria en el colector de parámetros y no en los detalles de la evolución dinámica [1, 12]. Para construir un conjunto completo de cuántico holonómico puertas, es suficiente restringir las frecuencias de Rabi De tal manera que la norma del vector = [­0(t), (t), (t)] es tiempo independiente y el vector se encuentra en una esfera tridimensional real [8, 12]. Parametrizar la evolución en esta esfera como (t) = Sin (t) cos (t), (t) = pecado (t) sin (t) sin (t) y (t) 0(t) = Cos (t) con punto inicial (y final) fijo en (0) = 0, el polo norte Con un cálculo sencillo obtenemos la expresión analítica para V (t) en eq. 4), V (t) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * escrita en la base de estados oscuros. Por lo tanto, el oper- ator (4) se convierte en Ut = cos[a(t)] − sin[a(t)], aquí a(t) = d(♥) cos Ł(). En consecuencia, la lógica op- prator U (5) es U = porque a− iđy peca a, (6) donde a = a(tad) = ∫ tad d(♥) cos فارسى() (7) es el ángulo sólido que se extiende sobre la esfera durante el tion. Tenga en cuenta que los son muchos caminos en la esfera que generar el mismo operador lógico U, y abarcar el mismo ángulo sólido a. En un trabajo anterior hemos estudiado cómo la interacción con el entorno perturba el operador lógico U [21]. El objetivo del presente trabajo es analizar si y cómo se puede minimizar tal perturbación para un determinado U. Con este fin, modelamos el medio ambiente como un baño de osciladores armónicos con acoplamiento lineal entre sistema y medio ambiente [23]. El total hamiltoniano es H = H0(t) + α + cαxαA), (8) donde A es el operador de interacción del sistema llamado, desde Ahora, operador de ruido. Ahora consideramos la evolución del tiempo de la reducción matriz de densidad del sistema, determinada por el Hamil- toniano (8). Nos basamos en los métodos estándar de la "mas- el enfoque de la ecuación ter”, con el medio ambiente tratado en la aproximación del Nacido y se supone que es en cada momento en su propio estado de equilibrio térmico a temperatura T. Esto permite incluir el efecto del medio ambiente en la función de correlación (kB = 1) g(l) = cos() − i sin() Aquí la densidad espectral es J(­) = (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () () () () (-) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () ()) () () () () () () ()) () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () en los regímenes de frecuencias bajas, es proporcional a los s ≥ 0, es decir, s = 1 describe un ambiente Ohmic, tipo- ical de baños de electrones de conducción, s = 3 describe un entorno super-Ohmic, típico de los baños de los fonones [21, 24]. El decaimiento asintótico de la parte real de g(l) de- multa el tiempo característico de memoria del medio ambiente. Denotando con (t) la evolución del tiempo de la den- matriz de la dimensión del sistema en la imagen de interacción, por ejemplo, (t) = U t? Ut, uno tiene [24] (tad) = (0) + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (t− Ł)− à (t− ♥)Ã] + g( )[(t− (t− ♥ )à ]. (11) Aquí à y representan Ã(t) y Ã(t), con la tilde denotando la evolución del tiempo en el cuadro de interacción. En la información cuántica la calidad de una puerta es generalmente evaluado por la fidelidad F, que mide la cercanía entre el estado no perturbado y el estado final, F = 0(0)U (tad)U0(0), (12) donde 0(0) es el estado inicial, y ♥(tad) = U (tad)U es la matriz de densidad reducida en la imagen de Schrödinger a partir de la condición inicial.(0) = 0(0)0(0). El error promedio se define como la pérdida media de fidelidad, es decir,  = < 1−F > 1− < 0(0)(tad)0(0)® >, (13) donde < · · · > indica el promedio con respecto a la distribución uniforme sobre el estado inicial 0(0). La derecha de Eq. (13) puede calcularse por los siguientes pasos: (1) resolver Eq. (11) en estrictamente segundo orden aproxima- Esta aproximación corresponde a la sustitución de (t − l) con el punto 0; (2) utilizando la aproximación adiabática U(t − exp(i/23370/H0(t)); (3) expandiendo el producto escalar en Eq. (13) con respecto a una base ortonormal completa n(t), n = 1, 2, 3, ortogonal a 0(t). De esta manera, se obtiene ∫ tad dd G(t)0(t)An(t) , (14) donde G(t) = Re[g(l}] cos(l} + Im[g(l}] sin(l}) Aquí están las diferencias de energía asociadas. a la transición (+0), con +0 = +1, +1, +2 = , y 3 =. La interacción entre el sistema y el entorno es ex- presionado por el operador de ruido A en Eq. (8). Ahora lo haremos. hacer la suposición de que A = diag{0, 0, 0, 1} en el G, , y 0 base. En este caso, la transición entre los estados de generación están prohibidos, sin embargo los ruidos se rompen su degeneración, cambiando a uno de ellos. A pesar de su sim- Sin embargo, esta A es un operador de ruido realista. para sistemas de semiconductores físicos [4]. III. MINIMIZAR EL ERROR El problema se puede plantear de la siguiente manera: el operador de ruido A y el operador lógico U, encontrar un ruta en el espacio del parámetro (la superficie de la esfera, descripta arriba) que minimiza el error. El error total, dado por Eq. (14), puede ser decom- posado como En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. donde el error de transición, Łtr, es la contribución a la suma de los estados no degenerados (­0n 6= 0) y el estado puro defasing error Łpd es la contribución de la degenerada Estados Unidos de América (en millones de libras esterlinas = 0). Por lo tanto pd = ∫ tad sin(t) sin2 2a(t) sin4 (t) (17) En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. n=+,− 1 + [( ∫ tad sin2 2o(t)dt, donde * = J(0n) 0n − sgn(­0n) corresponden a las tasas de transición calculadas según la norma Las reglas de oro de Fermi, suponiendo, como de costumbre, G(t) g() alcanzó un fuerte pico en torno a  = 0. En la siguiente definir para la simplicidad n=+,− 1 + [( Puesto que estamos interesados en la evolución a largo plazo, comenzamos discutir el error de transición que domina en este régimen [4, 25]. A. Tasa de transición Como se explica en Sec. II, los caminos holonómicos están cerrados curvas en la superficie de la esfera que parten de la Polo norte. Resulta que la curva minimizando la velocidad se puede encontrar entre los bucles que están compuestos por un secuencia simple de tres vías (véase el apéndice): evo- a lo largo de un meridiano ( = const), evolución a lo largo de un - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. FIG. 1: El error ­tr versus M para dos valores diferentes a: a = η/2 (línea de dado) y a = η/4 (línea completa) corresponden a NO y la puerta Hadamard, respectivamente. paralelo ( = const) y una evolución final a lo largo de un merid- Ian para volver al polo norte. El error en (18), depende de un dado por Eq. (7), M (el ángulo máximo se extendió durante la evolución a lo largo del meridiano), (el ángulo se extendió a lo largo de la paralelo), y velocidad angular v. Permitimos ≥ 2 que corresponde a cubrir más de un bucle a lo largo el paralelo. La velocidad a lo largo del paralelo es v(t) = (t) pecado فارسى y que a lo largo del meridiano es v(t) = (t). In lo siguiente suponemos que v es constante, y no puede superar el valor máximo de vmax, fijado por adiabático condition vmax â € € TM. Los parámetros a, M, y están conectados por el relación a = (1 − cos ♥M ). El error es entonces En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. tr +  tr, (20) donde Mtr = pecado 4o M es la contribución a lo largo del meridiano y Ptr = K peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca. 2 2o M 1− cos ♥M es la contribución a lo largo del paralelo. In Fig. Se traza 1 πtr para a = η/2 y a = η/4 (corre- el paso a la puerta NOT y Hadamard, respectivamente) como un función de ŁM. Uno puede ver que Łtr tiene un mínimo local en el caso de M = 2 y un mínimo mundial en el caso de M = 0 el error desaparece. Esto sugiere que la mejor opción es para tomar el M o M tan pequeño como sea posible. Es interesante tener en cuenta la dependencia de en el tiempo de evolución un poco. Para la simplicidad, establecemos la ve- locity v = vmax. En este caso, el cambio de M (y luego ) corresponde a un cambio en el tiempo de evolución. Nosotros obtener M = arccos , (23) 5 10 15 20 25 30 vmaxtad FIG. 2: El error ­tr versus vmaxtad para dos diferentes un val- ues: a = η/2 (línea de dashed) y a = η/4 (línea completa) corresponden a la puerta NO y Hadamard, respectivamente. El punteado la línea muestra el valor del error en el punto  = η/2. Los círculos muestran el valor crítico de vmaxtad por encima del cual el mejor bucle es el uno con el mínimo M. donde (vmaxtad) 2 + a2 . (24) Usando estas relaciones, Mtr y tr, dado por (21) y (22) convertirse en funciones de tad, vmax, y a. Tenga en cuenta que m mide el espacio cubierto a lo largo del paralelo, de hecho = 2ηm. In Fig. 2 vemos el comportamiento de Łtr como una función de vmaxtad. El primer mínimo para ambas curvas corre- sponds a ♥M = η/2, a continuación, las curvas para largo tad de- arrugar asintóticamente a cero correspondiente a la región en el que M → 0. En este régimen tenemos 1 tad que es drásticamente diferente de los resultados obtenidos con otros métodos en los que se aplica el método de ensayo (véase Refs [4, 25] y por debajo de Sec. III C). Cabe señalar que este resultados sorprendentes es un mérito del enfoque holonómico que permite elegir el bucle en el espacio de parámetros, con- cambiar la operación lógica siempre y cuando subtendiera el mismo ángulo sólido. Observar que pequeño M y largo tad significa un gran valor de m, es decir, múltiples bucles alrededor de la Polo norte. La figura 2 muestra que, para una puerta dada, hay un criti- valor cal kc de vmaxtad que discriminan entre el elección de ŁM (por ejemplo, k = 6 para la puerta de Hadamard y k = 25 para la puerta NO). Para vmaxtad < kc lo mejor la elección para el bucle es M = η/2; para vmaxtad > kc la la mejor opción es el valor de M determinado por eq. 23) y (24). Tenga en cuenta que la región vmaxtad > kc es accesible con parámetros físicos realistas [12]. Por ejemplo, si nosotros elegir la intensidad del láser  = 20 meV y vmax = /50 (para los cuales los valores de las transiciones no adiabáticas están prohibidos- den), el parámetro crítico corresponde al parámetro crítico tiempo de 15 ps para la puerta de Hadamard y 42 ps para el No es la puerta. B. Defase puro Hasta ahora hemos ignorado el efecto de desfase puro Porque hemos supuesto que es insignificante en com- parison con el error de transición durante mucho tiempo de evolución. Ahora, comprobamos que el error de desfase puro contribu... En efecto, se puede descuidar la situación. Podemos escribir el puro defasing error usando Eq. (17) y la división en paralelo parte meridiana como Ppd = ∫ tad Q[a(t)] sin Łt sin4 ŁM (25) Mpd = Q[a(t)] sin......................................................................................................................................................... sin4(vmaxt) + sin vmaxt ,(26) donde Q[a(t)] = 1 + 1/2 sin2[2a(t)]. Para estimar el PAD suponemos que el TAD es más largo con re- spect a la hora característica del baño. Recuerda... , el comportamiento de error de desfase puro a lo largo de la parte paralela a la temperatura T es Ppd Ppd Ppd Ppd Ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd pd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd pd ppd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd ppd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd p , T • 1/tad , T • 1/tad mientras que el meridiano a lo largo es Mpd . (28) Entonces, podemos concluir que el desfase puro puede al- las formas de ser descuidado durante mucho tiempo la evolución porque de- arruga más rápido que el error de transición. C. Comparación entre el cuartel general y el STIRAP Hacemos una comparación entre el cuántico holonómico el cálculo (HQC) y el procedimiento STIRAP, que es un enfoque análogo para procesar la información cuántica. El procedimiento STIRAP ([2, 4]) es, en sus puntos básicos, muy similar a la manipulación de la información holonómica. El espectro de nivel, la codificación de la información, el evolu- sión producida por láser evolutivo adiabático son exactamente el Lo mismo. La diferencia fundamental es que en STIRAP la evolución dinámica es fija (debemos pasar a través de una secuencia precisa de estados) y luego la correspondencia- ing lazo en el espacio del parámetro se fija. En particular, vamos desde el polo norte hasta el polo sur y de vuelta al polo norte a lo largo de los meridianos. Desde el bucle, como en nuestro modelo, es una secuencia de meridiano-paralelo-meridiano ruta, podemos calcular el error y hacer una comunicación directa Parison. En este caso, el error de transición resulta propor- y crece linealmente en el tiempo, mientras que para HQC ­tr · 1/tad. Por lo tanto, el HQC es fundamentalmente el favorito para los largos tiempos de aplicación con respecto a la STIRAP uno. Por otra parte, podemos demostrar que la libertad en la elección del bucle nos permite construir HQC que realizan mejor que las mejores puertas STIRAP. In Ref. [4] el mini- error de la madre (no dependiendo del tiempo de evolución) para STI- Se obtuvo RAP hasta alcanzar un compromiso entre el necesidad de minimizar la transición, error de desfase puro y la restricción de la evolución adiabática. Con realismo Parámetros físicos [21] [J(­) = k­3e(/­c)] ,  = 10 meV, = 1eV, vmax /50, k = 10 −2(meV)−2, •c = 0,5 meV y para baja temperatura), el error mínimo total en Ref. [4] es stirap = 10 −3. Con el mismo parame... ters, todavía tenemos la posibilidad de aumentar la evolución tiempo para reducir el error medioambiental. ¿Cómo...? siempre, para el tiempo de evolución tad = 50 ps obtenemos un total error  = 1,5× 10−4 para la puerta NOT y  = 4× 10−5 para la puerta Hadamard, respectivamente. Como se puede ver, el el rendimiento lógico de la puerta se incrementa considerablemente. D. Ruido más general Hasta ahora hemos discutido la posibilidad de minimizar el error medioambiental mediante la elección de un bucle particular en la esfera del parámetro pero la estructura de la función de error- miento del medio ambiente en el sistema y en el medio ambiente. acción. Entonces uno podría preguntarse si el mismo enfoque puede ser utilizado para un ambiente de ruido diferente. Por esta razón, ahora analizamos brevemente el caso del ruido matriz en la forma A = diag{0, 1, 0,−1}. Otra vez, por mucho tiempo. evolución podemos descuidar la contribución de la de- escalonado y centrado en el error de transición. En este caso, el parte interesante del error funcional toma la forma tr = K[( Sin 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o)o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o)o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o))))))))))))))))))))))))))))))))))))o 2o 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Incluso si el análisis en este caso es mucho más com- complicado, se puede ver que ­tr tiene una mini- absoluta Mamá por M = 0. El comportamiento de mucho tiempo es el mismo En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal debe ser igual al de los productos de origen animal. ogros a los anteriores: para los bucles pequeños de M (o largos) evolución a velocidad fija) la puerta cuántica holonómica presenta un error decreciente. Entonces incluso en este caso es posible minimizar el error ambiental. IV. CONCLUSIONES En resumen, hemos analizado el rendimiento de puertas cuánticas holonómicas en presencia de ruido al centrarse en la posibilidad de tener errores al elegir diferentes bucles en el parámetro mani- Dobla. Debido a la dependencia geométrica, podemos implementar... la misma puerta lógica con diferentes bucles. Desde diferentes bucles corresponden a diferentes evolu- ciones, hemos utilizado esta libertad para construir un evolu- a través de estados “protegidos” o “de escasa influencia” conduce a buenas actuaciones holonómicas de puertas cuánticas. Esto permite seleccionar (una vez que el parámetro físico son fijos) el mejor bucle que minimiza el medio ambiente- efecto mental. (Tenga en cuenta que este procedimiento de optimización es bastante independiente de los detalles del modelo simple que hemos considerado y podría decirse que podría ampliarse a sistemas más complicados sin ningún modificación.) Hemos demostrado que durante mucho tiempo evo- luciones el ruido disminuye como 1/tad mientras que en el otro aumenta linealmente con el tiempo adiabático. Nosotros también. han demostrado que las mismas características se pueden encontrar con diferentes tipos de ruido que sugieren la posibilidad de encontrar una forma de minimizar el efecto ambiental en el En consecuencia, de cualquier ruido. Estos resultados abren una nueva posibilidad para la implementación de puertas cuánticas holonómicas para construir cálculo cuántico porque parecen robustos contra tanto el error de control como el ruido ambiental. Reconocimiento Los autores agradecen a E. De Vito por sus útiles discusiones. Uno de los autores (P. S.) reconoce el apoyo de INFN. Apoyo financiero del MIUR italiano a través Se reconoce a PRIN05 e INFN. APÉNDICE A: MINIMIZACIÓN DEL TEOREM Consideremos la familia Cn compuesta por el cerrado curvas generadas por una secuencia de n rutas a lo largo de un paralelo Alternado con senderos a lo largo de un meridiano const). Llamamos a Cn una curva genérica en esta familia. Por ejemplo, la familia C1 contiene todas las curvas cerradas com- planteado por la secuencia de camino meridiano-paralelo-meridiano mientras que la familia C2 contiene las curvas meridiano-paralelo- meridiano-paralelo-meridiano. Argumentamos que la curva cerrada minimiza el error en Eq. (18) se puede encontrar en la familia C1. Primero, nosotros mostrar que cualquier curva cerrada en C2 que abarque un ángulo sólido a en la esfera puede ser reemplazado por una curva cerrada en C1 abarcando el mismo ángulo y produciendo un error más pequeño. De manera análoga cualquier curva cerrada en C3 puede ser reemplazada por una curva cerrada en C2 con menor error y así sucesivamente. Por inducción obtenemos que cualquier curva cerrada en Cn puede ser reemplazado por una curva en C1 que abarca el mismo ángulo sólido pero produciendo un error más pequeño. Desde la curva que pertenece a Cn puede aproximar cualquier curva cerrada en la esfera, la mejor curva se puede encontrar en C1. El punto crucial es mostrar que cualquier curva en C2 puede ser reemplazado por una curva en C1. Consideremos una curva genérica C2 en C2 que abarca un ángulo sólido a: compuesto por un seg- de un meridiano (de 0 a 1), un paralelo (agitando un ángulo de 1), meridiano (con paralelo (espaciar un ángulo 2), y finalmente un segmento al polo norte a lo largo de un meridiano. Consideremos dos curvas cerradas C11 y C 1 en C1 que subscribe el mismo sólido ángulo a con, respectivamente, 1 y 2 como ángulo máximo se extendió durante la evolución a lo largo del meridiano. Primero analizamos (20) a lo largo del meridiano. Sin perder gen... ERALDY, podemos tomar 1 < 2; está claro desde Eq. (21) que el valor de Łtr a lo largo del meridiano para C 1 es más pequeño que para C21 :  . Tomamos nota de la Eq. (21), adecuado extendido a C2, que los dos caminos a lo largo de los meridianos depende sólo de Ł2 y luego producir el mismo error de C21, < ♥MC2 = ♥MC2. (A1) La diferencia entre la contribución a lo largo de la allel es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 1 peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1− co- 1− co- peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 2 peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1− co- 1− co- peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o Análisis de la positividad de las cantidades dadas por Eqs. (A2) y (A3) muestran que ♥PC2 no puede estar en la al mismo tiempo más pequeño que ♥P y P . De hecho, hay dos posibilidades: Si la PC2 > , de Eq. (A1) y (A3), C2 = C2 + ­PC2 > ­ + PC1 = C1 , (A4) y la mejor curva cerrada es C11. En caso de que se trate de una solicitud de ayuda, el Estado miembro de que se trate deberá presentar una solicitud de ayuda en el plazo de dos meses a partir de la fecha de notificación de la solicitud de ayuda. , de Eqs. (A1) y (A2), C2 = C2 + ­PC2 > ­ + ♥PC2 = C2 , (A5) y la mejor curva cerrada es C21. De la misma manera se puede mostrar que cualquier curva cerrada en C3 puede ser reemplazado por una curva cerrada en C2 con menor error. [1] P. Zanardi y M. Rasetti, Phys. Lett. A 264, 94 (1999). [2] Z. Kis y F. Renzoni, Phys. Rev. A 65, 032318 (2002). [3] F. Troiani, E. Molinari, y U. Hohenester, Phys. Rev. Lett. 90, 206802 (2003). [4] K. Roszak, A. Grodecka, P. Machnikowski y T. Kuhn, Phys. Rev. B 71, 195333 (2005). [5] J. A. Jones, V. Vedral, A. Ekert, y G. Castagnoli, Na- tura (Londres) 403, 869 (2000). [6] G. Falci, R. Fazio, G. M. Palma, J. Siewert y V. Ve- dral, Nature (Londres) 407, 355 (2000). [7] R. G. Unanyan, B.W. Shore, y K. Bergmann, Phys. Rev. A 59, 2910 (1999). [8] L.-M. Duan, J.I. Cirac, y P. Zoller, Science 292, 1695 (2001). [9] L. Faoro, J. Siewert, y R. Fazio, Phys. Rev. Lett. 90, 028301 (2003). [10] I. Fuentes-Guridi, J. Pachos, S. Bose, V. Vedral, y S. Choi, Phys. Rev. A 66, 022102 (2002). [11] A. Recati, T. Calarco, P. Zanardi, J. I. Cirac, y P. Zoller, Phys. Rev. A 66, 032309 (2002). [12] P. Solinas, P. Zanardi, N. Zangh, y F. Rossi, Phys. Rev. B 67, 121307(R) (2003). [13] A. Carollo, I. Fuentes-Guridi, M. F. Santos, y V. Ve- Dral, Phys. Rev. Lett. 90, 160402 (2003). [14] G. De Chiara y G. M. Palma, Phys. Rev. Lett. 91, 090404 (2003). [15] A. Carollo, I. Fuentes-Guridi, M. F. Santos, y V. Ve- Dral, Phys. Rev. Lett. 92, 020402 (2004). [16] V.I. Kuvshinov y A.V. Kuzmin, Phys. Lett. A, 316, 391 (2003). [17] P. Solinas, P. Zanardi, y N. Zangh, Phys. Rev. A 70, 042316 (2004). [18] S.-L. Zhu y P. Zanardi, Phys. Rev. A 72, 020301(R) (2005). [19] G. Florio, P. Facchi, R. Fazio, V. Giovannetti, y S. Pascazio, Phys. Rev. A 73, 022327 (2006). [20] I. Fuentes-Guridi, F. Girelli, y E. Livine, Phys. Rev. Lett. 94, 020503 (2005) [21] D. Parodi, M. Sassetti, P. Solinas, P. Zanardi y N. Zangh, Phys. Rev. A 73, 052304 (2006). [22] La expresión explícita para los estados brillantes es E1 = (e + E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (e + Para los estados oscuros es E3 = 1/( 2 + 2)[­0( + ) − (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) 2)) y E4 = 1/ 2 + 2[ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [23] A. O. Caldeira y A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 46, 211 (1981). [24] U. Weiss, Sistemas disipativos cuánticos (World Scientific, Singapur, 1999). [25] R. Alicki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, L. Jacak, y P. Machnikowski, Phys. Rev. A 70, 010501(R) (2004).

Estudiamos el rendimiento de puertas cuánticas holonómicas, impulsadas por láseres, bajo el efecto de un ambiente disipativo modelado como un baño termal de osciladores. Mostramos cómo mejorar el rendimiento de las puertas por elección del bucle en el colector de los parámetros controlables del láser. Para un modelo simplificado, aunque realista, encontramos el sorprendente resultado de que durante un largo tiempo de evolución el rendimiento de la puerta (correctamente estimado en los términos de fidelidad media) aumenta. Sobre la base de este resultado, comparamos Puertas holonómicas con el llamado paso adiabático Raman estimulado (STIRAP) Puertas.

Reducción del ruido ambiental para puertas cuánticas holonómicas Daniele Parodi,1,2 Maura Sassetti,1,3 Paolo Solinas,4 y Nino Zangh1,2 1 Dipartimento di Fisica, Università di Genova, Génova (Italia) 2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Sezione di Genova), Genova, Italia 3 INFM-CNR Lamia Via Dodecaneso 33, 16146 Genova, Italia 4 Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Pierre et Marie Curie, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, Francia (Fecha: 27 de octubre de 2018) Estudiamos el rendimiento de puertas cuánticas holonómicas, impulsadas por láseres, bajo el efecto de un ambiente disipativo modelado como un baño térmico de osciladores. Mostramos cómo mejorar la rendimiento de las puertas mediante la elección adecuada del bucle en el colector de los parámetros controlables del láser. Para un modelo simplificado, aunque realista, encontramos el sorprendente resultado que durante mucho tiempo la evolución de la actuación de la puerta (correctamente estimada en términos de fidelidad media) aumenta. Activar la base de este resultado, comparamos las puertas holonómicas con la llamada adiabatica Raman estimulada Puertas de paso (STIRAP). Números PACS: 03.67.Lx I. INTRODUCCIÓN El principal desafío para el cálculo cuántico se plantea por el hecho de que los estados genéricamente cuánticos son muy del- cate objetos bastante difícil de controlar con el requerido precisión: por lo general, mediante campos de conducción externos, Por ejemplo, un láser. La interacción con los muchos grados de la libertad del medio ambiente provoca la decoherencia; más error en el tratamiento de la información puede dar lugar a una estado de salida equivocado. Entre los enfoques destinados a superar estos problemas, cabe citar los siguientes: las ficultades son aquellas para las cuales depende la puerta cuántica muy débil en los detalles de la dinámica, en particular lar, el cálculo cuántico holonómico (HQC) [1] y el llamado pasaje adiabático Raman estimulado (STI- RAP) [2, 3, 4]. En este último, se obtiene el operador de la puerta Actuando sobre la diferencia de fase de los láseres de conducción durante la evolución, mientras que en el primero el mismo objetivo es lograda explotando el análogo no conmutativo de la fase de Berry recolectada por un estado cuántico durante una evolución cíclica. Se han presentado propuestas concretas para: de Abeliano [5, 6] y holonomias no abélicas [7, 8, 9, 10, 11, 12]. La principal ventaja del HQC es la robustez contra el ruido derivado de un imperfecto control de los campos de conducción [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. En un artículo reciente [21] hemos demostrado que la la corrupción del medio ambiente en las puertas holonómicas puede ser suprimida y el rendimiento de la puerta optimizada para entornos particulares (puramente superóhmicos térmicos baño). En el presente documento consideramos un tipo diferente de optimización, que es independiente de la particular la naturaleza del medio ambiente. Al explotar la estructura geométrica completa del HQC, mostramos cómo el rendimiento de una puerta holonómica puede ser mejorados por una elección adecuada del bucle en el hombre- ildold de los parámetros del campo de conducción externo: por elegir el bucle óptimo que minimiza el “error” (correctamente estimado en términos de pérdida media de fidelidad). Nuestro resultado se basa en la observación de que hay diferentes bucles en el colector de parámetros que producen la misma puerta y, puesto que la decoherencia y la disipación dependen crucialmente en la dinámica, es posible conducir el sistema sobre trayectorias menos perturbadas por el ruido. Por una modelo simplificado, aunque realista, nos encontramos con el sorprendente resultado de que el error disminuye linealmente como el tiempo de espera incrementos. Por lo tanto, la perturbación del medio ambiente puede reducir drásticamente. Sobre la base de este resultado, comparar las puertas holonómicas con las puertas STIRAP. In Sec. II se introduce el modelo y la explícita se deriva la expresión del error. In Sec. III encontramos el bucle óptimo, calcular el error, hacer una comparación con otros enfoques, y bosquejar brevemente cómo tratar un diferentes acoplamientos con el medio ambiente. II. MODELO El modelo físico es dado por tres degenerados (o ,,,,,,,, ópticamente con- nectó a otro estado. El sistema está impulsado por láseres con diferentes frecuencias y polarizaciones, actuando selectivamente en los estados degenerados. Este modelo describe diversos sistemas cuánticos interactuando con un radia láser- ciones, que van desde puntos cuánticos de semiconductores, tales como: excitones [12] y estados electrón de degenerado por espinillas [3], a iones atrapados [8] o átomos neutros [7]. El (aproximado) Hamiltoniano modelar el efecto de el láser en el sistema es (para simplicidad, ~ = 1) [8, 12] H0(t) = j=+,−,0 jj(e-iátáj(t)jGH.c) , (1) donde j(t) son las frecuencias de rabi dependientes del tiempo de- http://arxiv.org/abs/0704.0376v2 pendientes de los parámetros controlables, como la fase e intensidad de los láseres, y es la energía de la estados de electrones degenerados. Las frecuencias de Rabi son modulada dentro del tiempo adiabático, (que moneda- cides con el tiempo de cierre), para producir un lazo en el pa- espacio rameter y así realizar la condición periódica H0(tad) = H0(0). El Hamiltoniano (1) tiene cuatro eigen dependiente del tiempo- estados: dos estados propios Ei(t), i = 1, 2, llamado brillante estados, y dos estados propios Ei(t), i = 3, 4, llamado oscuro estados. Los dos estados oscuros han degenerado... valor y los dos estados brillantes tienen tiempo dependiente energías (t) = [ ± 2 °C + 4°C2(t)]/2 con °C2(t) = i=±,0 i(t) 2 [22]. La evolución del estado es generada por Ut = Te dt′H0(t ′), (2) donde T es el operador de tiempo ordenado. En la adiabática la aproximación, la evolución del estado tiene lugar en el subespacio degenerado generado por,, y 0. Esta aproximación permite separar la dinámica de Atribución y la contribución geométrica del evolu- operadora de ciones. Expandiendo Ut en la base de instantánea eigenstatos de H0(t) (los estados brillantes y oscuros), en el aproximación adiabática, tenemos Ut â € = ′)dt′ Ej(t)Ej(t)Ut, (3) donde Ut = Te d.V. (l), (4) aquí V es el operador con elementos de matriz Vij(t) = Ei(t)tEj(t). El operador unitario Ut juega el papel de operador holonómico dependiente del tiempo y es el funda- ingrediente mental para la realización de complejos trans geométricos formación mientras que ′)dt′ Ej(t)Ej(t) es el contribución dinámica. Considerar Ut para un bucle cerrado, es decir, para t = tad, U = Utad. 5) Si el estado inicial es una superposición de y, entonces U0® sigue siendo una superposición de los mismos vectores (en general, con diferentes coeficientes)[12]. Por lo tanto, el espacio abarcado por y puede ser considerado como el "logi- espacio cal” en el que el “operador lógico” U actúa como un Operador de “puerta cuántica”. Tenga en cuenta que para t < tad, Ut0». tiene, en general, también un componente a lo largo de 0. Sin embargo, como es fácil de mostrar [22], en cualquier instante t < tad, Ut0». puede ser expandido en el espacio bidimensional extendido por los estados oscuros E3(t)o y E4(t)o. Es importante para observar que U depende sólo de la geométrica global fea- ciones de la trayectoria en el colector de parámetros y no en los detalles de la evolución dinámica [1, 12]. Para construir un conjunto completo de cuántico holonómico puertas, es suficiente restringir las frecuencias de Rabi De tal manera que la norma del vector = [­0(t), (t), (t)] es tiempo independiente y el vector se encuentra en una esfera tridimensional real [8, 12]. Parametrizar la evolución en esta esfera como (t) = Sin (t) cos (t), (t) = pecado (t) sin (t) sin (t) y (t) 0(t) = Cos (t) con punto inicial (y final) fijo en (0) = 0, el polo norte Con un cálculo sencillo obtenemos la expresión analítica para V (t) en eq. 4), V (t) = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * escrita en la base de estados oscuros. Por lo tanto, el oper- ator (4) se convierte en Ut = cos[a(t)] − sin[a(t)], aquí a(t) = d(♥) cos Ł(). En consecuencia, la lógica op- prator U (5) es U = porque a− iđy peca a, (6) donde a = a(tad) = ∫ tad d(♥) cos فارسى() (7) es el ángulo sólido que se extiende sobre la esfera durante el tion. Tenga en cuenta que los son muchos caminos en la esfera que generar el mismo operador lógico U, y abarcar el mismo ángulo sólido a. En un trabajo anterior hemos estudiado cómo la interacción con el entorno perturba el operador lógico U [21]. El objetivo del presente trabajo es analizar si y cómo se puede minimizar tal perturbación para un determinado U. Con este fin, modelamos el medio ambiente como un baño de osciladores armónicos con acoplamiento lineal entre sistema y medio ambiente [23]. El total hamiltoniano es H = H0(t) + α + cαxαA), (8) donde A es el operador de interacción del sistema llamado, desde Ahora, operador de ruido. Ahora consideramos la evolución del tiempo de la reducción matriz de densidad del sistema, determinada por el Hamil- toniano (8). Nos basamos en los métodos estándar de la "mas- el enfoque de la ecuación ter”, con el medio ambiente tratado en la aproximación del Nacido y se supone que es en cada momento en su propio estado de equilibrio térmico a temperatura T. Esto permite incluir el efecto del medio ambiente en la función de correlación (kB = 1) g(l) = cos() − i sin() Aquí la densidad espectral es J(­) = (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) () (-) () () () () () (-) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () ()) () () () () () () ()) () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () en los regímenes de frecuencias bajas, es proporcional a los s ≥ 0, es decir, s = 1 describe un ambiente Ohmic, tipo- ical de baños de electrones de conducción, s = 3 describe un entorno super-Ohmic, típico de los baños de los fonones [21, 24]. El decaimiento asintótico de la parte real de g(l) de- multa el tiempo característico de memoria del medio ambiente. Denotando con (t) la evolución del tiempo de la den- matriz de la dimensión del sistema en la imagen de interacción, por ejemplo, (t) = U t? Ut, uno tiene [24] (tad) = (0) + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (t− Ł)− à (t− ♥)Ã] + g( )[(t− (t− ♥ )à ]. (11) Aquí à y representan Ã(t) y Ã(t), con la tilde denotando la evolución del tiempo en el cuadro de interacción. En la información cuántica la calidad de una puerta es generalmente evaluado por la fidelidad F, que mide la cercanía entre el estado no perturbado y el estado final, F = 0(0)U (tad)U0(0), (12) donde 0(0) es el estado inicial, y ♥(tad) = U (tad)U es la matriz de densidad reducida en la imagen de Schrödinger a partir de la condición inicial.(0) = 0(0)0(0). El error promedio se define como la pérdida media de fidelidad, es decir,  = < 1−F > 1− < 0(0)(tad)0(0)® >, (13) donde < · · · > indica el promedio con respecto a la distribución uniforme sobre el estado inicial 0(0). La derecha de Eq. (13) puede calcularse por los siguientes pasos: (1) resolver Eq. (11) en estrictamente segundo orden aproxima- Esta aproximación corresponde a la sustitución de (t − l) con el punto 0; (2) utilizando la aproximación adiabática U(t − exp(i/23370/H0(t)); (3) expandiendo el producto escalar en Eq. (13) con respecto a una base ortonormal completa n(t), n = 1, 2, 3, ortogonal a 0(t). De esta manera, se obtiene ∫ tad dd G(t)0(t)An(t) , (14) donde G(t) = Re[g(l}] cos(l} + Im[g(l}] sin(l}) Aquí están las diferencias de energía asociadas. a la transición (+0), con +0 = +1, +1, +2 = , y 3 =. La interacción entre el sistema y el entorno es ex- presionado por el operador de ruido A en Eq. (8). Ahora lo haremos. hacer la suposición de que A = diag{0, 0, 0, 1} en el G, , y 0 base. En este caso, la transición entre los estados de generación están prohibidos, sin embargo los ruidos se rompen su degeneración, cambiando a uno de ellos. A pesar de su sim- Sin embargo, esta A es un operador de ruido realista. para sistemas de semiconductores físicos [4]. III. MINIMIZAR EL ERROR El problema se puede plantear de la siguiente manera: el operador de ruido A y el operador lógico U, encontrar un ruta en el espacio del parámetro (la superficie de la esfera, descripta arriba) que minimiza el error. El error total, dado por Eq. (14), puede ser decom- posado como En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. donde el error de transición, Łtr, es la contribución a la suma de los estados no degenerados (­0n 6= 0) y el estado puro defasing error Łpd es la contribución de la degenerada Estados Unidos de América (en millones de libras esterlinas = 0). Por lo tanto pd = ∫ tad sin(t) sin2 2a(t) sin4 (t) (17) En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. n=+,− 1 + [( ∫ tad sin2 2o(t)dt, donde * = J(0n) 0n − sgn(­0n) corresponden a las tasas de transición calculadas según la norma Las reglas de oro de Fermi, suponiendo, como de costumbre, G(t) g() alcanzó un fuerte pico en torno a  = 0. En la siguiente definir para la simplicidad n=+,− 1 + [( Puesto que estamos interesados en la evolución a largo plazo, comenzamos discutir el error de transición que domina en este régimen [4, 25]. A. Tasa de transición Como se explica en Sec. II, los caminos holonómicos están cerrados curvas en la superficie de la esfera que parten de la Polo norte. Resulta que la curva minimizando la velocidad se puede encontrar entre los bucles que están compuestos por un secuencia simple de tres vías (véase el apéndice): evo- a lo largo de un meridiano ( = const), evolución a lo largo de un - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. FIG. 1: El error ­tr versus M para dos valores diferentes a: a = η/2 (línea de dado) y a = η/4 (línea completa) corresponden a NO y la puerta Hadamard, respectivamente. paralelo ( = const) y una evolución final a lo largo de un merid- Ian para volver al polo norte. El error en (18), depende de un dado por Eq. (7), M (el ángulo máximo se extendió durante la evolución a lo largo del meridiano), (el ángulo se extendió a lo largo de la paralelo), y velocidad angular v. Permitimos ≥ 2 que corresponde a cubrir más de un bucle a lo largo el paralelo. La velocidad a lo largo del paralelo es v(t) = (t) pecado فارسى y que a lo largo del meridiano es v(t) = (t). In lo siguiente suponemos que v es constante, y no puede superar el valor máximo de vmax, fijado por adiabático condition vmax â € € TM. Los parámetros a, M, y están conectados por el relación a = (1 − cos ♥M ). El error es entonces En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. tr +  tr, (20) donde Mtr = pecado 4o M es la contribución a lo largo del meridiano y Ptr = K peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca. 2 2o M 1− cos ♥M es la contribución a lo largo del paralelo. In Fig. Se traza 1 πtr para a = η/2 y a = η/4 (corre- el paso a la puerta NOT y Hadamard, respectivamente) como un función de ŁM. Uno puede ver que Łtr tiene un mínimo local en el caso de M = 2 y un mínimo mundial en el caso de M = 0 el error desaparece. Esto sugiere que la mejor opción es para tomar el M o M tan pequeño como sea posible. Es interesante tener en cuenta la dependencia de en el tiempo de evolución un poco. Para la simplicidad, establecemos la ve- locity v = vmax. En este caso, el cambio de M (y luego ) corresponde a un cambio en el tiempo de evolución. Nosotros obtener M = arccos , (23) 5 10 15 20 25 30 vmaxtad FIG. 2: El error ­tr versus vmaxtad para dos diferentes un val- ues: a = η/2 (línea de dashed) y a = η/4 (línea completa) corresponden a la puerta NO y Hadamard, respectivamente. El punteado la línea muestra el valor del error en el punto  = η/2. Los círculos muestran el valor crítico de vmaxtad por encima del cual el mejor bucle es el uno con el mínimo M. donde (vmaxtad) 2 + a2 . (24) Usando estas relaciones, Mtr y tr, dado por (21) y (22) convertirse en funciones de tad, vmax, y a. Tenga en cuenta que m mide el espacio cubierto a lo largo del paralelo, de hecho = 2ηm. In Fig. 2 vemos el comportamiento de Łtr como una función de vmaxtad. El primer mínimo para ambas curvas corre- sponds a ♥M = η/2, a continuación, las curvas para largo tad de- arrugar asintóticamente a cero correspondiente a la región en el que M → 0. En este régimen tenemos 1 tad que es drásticamente diferente de los resultados obtenidos con otros métodos en los que se aplica el método de ensayo (véase Refs [4, 25] y por debajo de Sec. III C). Cabe señalar que este resultados sorprendentes es un mérito del enfoque holonómico que permite elegir el bucle en el espacio de parámetros, con- cambiar la operación lógica siempre y cuando subtendiera el mismo ángulo sólido. Observar que pequeño M y largo tad significa un gran valor de m, es decir, múltiples bucles alrededor de la Polo norte. La figura 2 muestra que, para una puerta dada, hay un criti- valor cal kc de vmaxtad que discriminan entre el elección de ŁM (por ejemplo, k = 6 para la puerta de Hadamard y k = 25 para la puerta NO). Para vmaxtad < kc lo mejor la elección para el bucle es M = η/2; para vmaxtad > kc la la mejor opción es el valor de M determinado por eq. 23) y (24). Tenga en cuenta que la región vmaxtad > kc es accesible con parámetros físicos realistas [12]. Por ejemplo, si nosotros elegir la intensidad del láser  = 20 meV y vmax = /50 (para los cuales los valores de las transiciones no adiabáticas están prohibidos- den), el parámetro crítico corresponde al parámetro crítico tiempo de 15 ps para la puerta de Hadamard y 42 ps para el No es la puerta. B. Defase puro Hasta ahora hemos ignorado el efecto de desfase puro Porque hemos supuesto que es insignificante en com- parison con el error de transición durante mucho tiempo de evolución. Ahora, comprobamos que el error de desfase puro contribu... En efecto, se puede descuidar la situación. Podemos escribir el puro defasing error usando Eq. (17) y la división en paralelo parte meridiana como Ppd = ∫ tad Q[a(t)] sin Łt sin4 ŁM (25) Mpd = Q[a(t)] sin......................................................................................................................................................... sin4(vmaxt) + sin vmaxt ,(26) donde Q[a(t)] = 1 + 1/2 sin2[2a(t)]. Para estimar el PAD suponemos que el TAD es más largo con re- spect a la hora característica del baño. Recuerda... , el comportamiento de error de desfase puro a lo largo de la parte paralela a la temperatura T es Ppd Ppd Ppd Ppd Ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd pd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd ppd pd ppd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd ppd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd pd p , T • 1/tad , T • 1/tad mientras que el meridiano a lo largo es Mpd . (28) Entonces, podemos concluir que el desfase puro puede al- las formas de ser descuidado durante mucho tiempo la evolución porque de- arruga más rápido que el error de transición. C. Comparación entre el cuartel general y el STIRAP Hacemos una comparación entre el cuántico holonómico el cálculo (HQC) y el procedimiento STIRAP, que es un enfoque análogo para procesar la información cuántica. El procedimiento STIRAP ([2, 4]) es, en sus puntos básicos, muy similar a la manipulación de la información holonómica. El espectro de nivel, la codificación de la información, el evolu- sión producida por láser evolutivo adiabático son exactamente el Lo mismo. La diferencia fundamental es que en STIRAP la evolución dinámica es fija (debemos pasar a través de una secuencia precisa de estados) y luego la correspondencia- ing lazo en el espacio del parámetro se fija. En particular, vamos desde el polo norte hasta el polo sur y de vuelta al polo norte a lo largo de los meridianos. Desde el bucle, como en nuestro modelo, es una secuencia de meridiano-paralelo-meridiano ruta, podemos calcular el error y hacer una comunicación directa Parison. En este caso, el error de transición resulta propor- y crece linealmente en el tiempo, mientras que para HQC ­tr · 1/tad. Por lo tanto, el HQC es fundamentalmente el favorito para los largos tiempos de aplicación con respecto a la STIRAP uno. Por otra parte, podemos demostrar que la libertad en la elección del bucle nos permite construir HQC que realizan mejor que las mejores puertas STIRAP. In Ref. [4] el mini- error de la madre (no dependiendo del tiempo de evolución) para STI- Se obtuvo RAP hasta alcanzar un compromiso entre el necesidad de minimizar la transición, error de desfase puro y la restricción de la evolución adiabática. Con realismo Parámetros físicos [21] [J(­) = k­3e(/­c)] ,  = 10 meV, = 1eV, vmax /50, k = 10 −2(meV)−2, •c = 0,5 meV y para baja temperatura), el error mínimo total en Ref. [4] es stirap = 10 −3. Con el mismo parame... ters, todavía tenemos la posibilidad de aumentar la evolución tiempo para reducir el error medioambiental. ¿Cómo...? siempre, para el tiempo de evolución tad = 50 ps obtenemos un total error  = 1,5× 10−4 para la puerta NOT y  = 4× 10−5 para la puerta Hadamard, respectivamente. Como se puede ver, el el rendimiento lógico de la puerta se incrementa considerablemente. D. Ruido más general Hasta ahora hemos discutido la posibilidad de minimizar el error medioambiental mediante la elección de un bucle particular en la esfera del parámetro pero la estructura de la función de error- miento del medio ambiente en el sistema y en el medio ambiente. acción. Entonces uno podría preguntarse si el mismo enfoque puede ser utilizado para un ambiente de ruido diferente. Por esta razón, ahora analizamos brevemente el caso del ruido matriz en la forma A = diag{0, 1, 0,−1}. Otra vez, por mucho tiempo. evolución podemos descuidar la contribución de la de- escalonado y centrado en el error de transición. En este caso, el parte interesante del error funcional toma la forma tr = K[( Sin 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o)o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o)o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o))))))))))))))))))))))))))))))))))))o 2o 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Incluso si el análisis en este caso es mucho más com- complicado, se puede ver que ­tr tiene una mini- absoluta Mamá por M = 0. El comportamiento de mucho tiempo es el mismo En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal debe ser igual al de los productos de origen animal. ogros a los anteriores: para los bucles pequeños de M (o largos) evolución a velocidad fija) la puerta cuántica holonómica presenta un error decreciente. Entonces incluso en este caso es posible minimizar el error ambiental. IV. CONCLUSIONES En resumen, hemos analizado el rendimiento de puertas cuánticas holonómicas en presencia de ruido al centrarse en la posibilidad de tener errores al elegir diferentes bucles en el parámetro mani- Dobla. Debido a la dependencia geométrica, podemos implementar... la misma puerta lógica con diferentes bucles. Desde diferentes bucles corresponden a diferentes evolu- ciones, hemos utilizado esta libertad para construir un evolu- a través de estados “protegidos” o “de escasa influencia” conduce a buenas actuaciones holonómicas de puertas cuánticas. Esto permite seleccionar (una vez que el parámetro físico son fijos) el mejor bucle que minimiza el medio ambiente- efecto mental. (Tenga en cuenta que este procedimiento de optimización es bastante independiente de los detalles del modelo simple que hemos considerado y podría decirse que podría ampliarse a sistemas más complicados sin ningún modificación.) Hemos demostrado que durante mucho tiempo evo- luciones el ruido disminuye como 1/tad mientras que en el otro aumenta linealmente con el tiempo adiabático. Nosotros también. han demostrado que las mismas características se pueden encontrar con diferentes tipos de ruido que sugieren la posibilidad de encontrar una forma de minimizar el efecto ambiental en el En consecuencia, de cualquier ruido. Estos resultados abren una nueva posibilidad para la implementación de puertas cuánticas holonómicas para construir cálculo cuántico porque parecen robustos contra tanto el error de control como el ruido ambiental. Reconocimiento Los autores agradecen a E. De Vito por sus útiles discusiones. Uno de los autores (P. S.) reconoce el apoyo de INFN. Apoyo financiero del MIUR italiano a través Se reconoce a PRIN05 e INFN. APÉNDICE A: MINIMIZACIÓN DEL TEOREM Consideremos la familia Cn compuesta por el cerrado curvas generadas por una secuencia de n rutas a lo largo de un paralelo Alternado con senderos a lo largo de un meridiano const). Llamamos a Cn una curva genérica en esta familia. Por ejemplo, la familia C1 contiene todas las curvas cerradas com- planteado por la secuencia de camino meridiano-paralelo-meridiano mientras que la familia C2 contiene las curvas meridiano-paralelo- meridiano-paralelo-meridiano. Argumentamos que la curva cerrada minimiza el error en Eq. (18) se puede encontrar en la familia C1. Primero, nosotros mostrar que cualquier curva cerrada en C2 que abarque un ángulo sólido a en la esfera puede ser reemplazado por una curva cerrada en C1 abarcando el mismo ángulo y produciendo un error más pequeño. De manera análoga cualquier curva cerrada en C3 puede ser reemplazada por una curva cerrada en C2 con menor error y así sucesivamente. Por inducción obtenemos que cualquier curva cerrada en Cn puede ser reemplazado por una curva en C1 que abarca el mismo ángulo sólido pero produciendo un error más pequeño. Desde la curva que pertenece a Cn puede aproximar cualquier curva cerrada en la esfera, la mejor curva se puede encontrar en C1. El punto crucial es mostrar que cualquier curva en C2 puede ser reemplazado por una curva en C1. Consideremos una curva genérica C2 en C2 que abarca un ángulo sólido a: compuesto por un seg- de un meridiano (de 0 a 1), un paralelo (agitando un ángulo de 1), meridiano (con paralelo (espaciar un ángulo 2), y finalmente un segmento al polo norte a lo largo de un meridiano. Consideremos dos curvas cerradas C11 y C 1 en C1 que subscribe el mismo sólido ángulo a con, respectivamente, 1 y 2 como ángulo máximo se extendió durante la evolución a lo largo del meridiano. Primero analizamos (20) a lo largo del meridiano. Sin perder gen... ERALDY, podemos tomar 1 < 2; está claro desde Eq. (21) que el valor de Łtr a lo largo del meridiano para C 1 es más pequeño que para C21 :  . Tomamos nota de la Eq. (21), adecuado extendido a C2, que los dos caminos a lo largo de los meridianos depende sólo de Ł2 y luego producir el mismo error de C21, < ♥MC2 = ♥MC2. (A1) La diferencia entre la contribución a lo largo de la allel es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 1 peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1− co- 1− co- peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = 2 peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1− co- 1− co- peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca, peca... 2 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 1o 2o 2o 2o Análisis de la positividad de las cantidades dadas por Eqs. (A2) y (A3) muestran que ♥PC2 no puede estar en la al mismo tiempo más pequeño que ♥P y P . De hecho, hay dos posibilidades: Si la PC2 > , de Eq. (A1) y (A3), C2 = C2 + ­PC2 > ­ + PC1 = C1 , (A4) y la mejor curva cerrada es C11. En caso de que se trate de una solicitud de ayuda, el Estado miembro de que se trate deberá presentar una solicitud de ayuda en el plazo de dos meses a partir de la fecha de notificación de la solicitud de ayuda. , de Eqs. (A1) y (A2), C2 = C2 + ­PC2 > ­ + ♥PC2 = C2 , (A5) y la mejor curva cerrada es C21. De la misma manera se puede mostrar que cualquier curva cerrada en C3 puede ser reemplazado por una curva cerrada en C2 con menor error. [1] P. Zanardi y M. Rasetti, Phys. Lett. A 264, 94 (1999). [2] Z. Kis y F. Renzoni, Phys. Rev. A 65, 032318 (2002). [3] F. Troiani, E. Molinari, y U. Hohenester, Phys. Rev. Lett. 90, 206802 (2003). [4] K. Roszak, A. Grodecka, P. Machnikowski y T. Kuhn, Phys. Rev. B 71, 195333 (2005). [5] J. A. Jones, V. Vedral, A. Ekert, y G. Castagnoli, Na- tura (Londres) 403, 869 (2000). [6] G. Falci, R. Fazio, G. M. Palma, J. Siewert y V. Ve- dral, Nature (Londres) 407, 355 (2000). [7] R. G. Unanyan, B.W. Shore, y K. Bergmann, Phys. Rev. A 59, 2910 (1999). [8] L.-M. Duan, J.I. Cirac, y P. Zoller, Science 292, 1695 (2001). [9] L. Faoro, J. Siewert, y R. Fazio, Phys. Rev. Lett. 90, 028301 (2003). [10] I. Fuentes-Guridi, J. Pachos, S. Bose, V. Vedral, y S. Choi, Phys. Rev. A 66, 022102 (2002). [11] A. Recati, T. Calarco, P. Zanardi, J. I. Cirac, y P. Zoller, Phys. Rev. A 66, 032309 (2002). [12] P. Solinas, P. Zanardi, N. Zangh, y F. Rossi, Phys. Rev. B 67, 121307(R) (2003). [13] A. Carollo, I. Fuentes-Guridi, M. F. Santos, y V. Ve- Dral, Phys. Rev. Lett. 90, 160402 (2003). [14] G. De Chiara y G. M. Palma, Phys. Rev. Lett. 91, 090404 (2003). [15] A. Carollo, I. Fuentes-Guridi, M. F. Santos, y V. Ve- Dral, Phys. Rev. Lett. 92, 020402 (2004). [16] V.I. Kuvshinov y A.V. Kuzmin, Phys. Lett. A, 316, 391 (2003). [17] P. Solinas, P. Zanardi, y N. Zangh, Phys. Rev. A 70, 042316 (2004). [18] S.-L. Zhu y P. Zanardi, Phys. Rev. A 72, 020301(R) (2005). [19] G. Florio, P. Facchi, R. Fazio, V. Giovannetti, y S. Pascazio, Phys. Rev. A 73, 022327 (2006). [20] I. Fuentes-Guridi, F. Girelli, y E. Livine, Phys. Rev. Lett. 94, 020503 (2005) [21] D. Parodi, M. Sassetti, P. Solinas, P. Zanardi y N. Zangh, Phys. Rev. A 73, 052304 (2006). [22] La expresión explícita para los estados brillantes es E1 = (e + E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = E2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (e + Para los estados oscuros es E3 = 1/( 2 + 2)[­0( + ) − (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) 2)) y E4 = 1/ 2 + 2[ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * [23] A. O. Caldeira y A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 46, 211 (1981). [24] U. Weiss, Sistemas disipativos cuánticos (World Scientific, Singapur, 1999). [25] R. Alicki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, L. Jacak, y P. Machnikowski, Phys. Rev. A 70, 010501(R) (2004).

The lifetime of unstable particles in electromagnetic fields

arXiv:0704.0377v3 [hep-ph] 22 Dic 2008 Vida útil de las partículas inestables en los campos electromagnéticos Daniele Binosi1 y Vladimir Pascalutsa1, 2 1ECT* Trento, Villa Tambosi, Villazzano, I-38050 TN, Italia 2Institut für Kernphysik, Johannes Gutenberg Universität, Mainz D-55099, Alemania (Fecha: 30 de octubre de 2018) Resumen Demostramos que los momentos electromagnéticos de partículas inestables (resonancias) tienen una absorción contribución que cuantifica el cambio de la vida útil de la partícula en un electromagnético externo campo. Para dar un ejemplo calculamos aquí la parte imaginaria del momento magnético para el los casos del muón y del neutrón en orden de dirección en el acoplamiento electrodébil. También consideramos que un efecto análogo para la resonancia fuertemente decadente (1232). El resultado para el muón es Imμ = eG2Fm 3/768/93, con la carga y m la masa del muón, GF la constante Fermi, que en un campo magnético externo de B Tesla dan lugar al cambio relativo en la vida útil del muón de 3 × 10−15 B. Para neutrones el efecto es de una magnitud similar. Especulamos sobre lo observable implicaciones de este efecto. Números PACS: 13.40.Em, 13.35.-r, 12.15.Lk, 23.40.-s http://arxiv.org/abs/0704.0377v3 I. INTRODUCCIÓN Los momentos electromagnéticos (e.m.) de una partícula se encuentran entre los pocos ciones que describen las propiedades de las partículas y, como tales, se han estudiado a fondo. Los los más conocidos ejemplos son los momentos magnéticos del electrón y el muón que han sido medidos con exactitud sin precedentes y han dado lugar a una serie de percepciones físicas, Véase[1] para las revisiones recientes. Lo que es mucho menos conocido es que los momentos e.m. de inestabilidad Las partículas son números complejos en general [2, 3]. Su parte imaginaria refleja, por supuesto, la naturaleza inestable de la partícula, sin embargo, la interpretación precisa ha faltado. En este trabajo trabajamos la relación, sugerido primero por Holstein [4], que debe existir entre la parte imaginaria del momento magnético y el efecto de un campo magnético externo sobre la vida de la partícula. El argumento para tal relación es muy simple. La (auto-)energía de la partícula con un la vida útil tiene una parte absorbente, la cual tiene una interpretación de la anchura de la misma......................................................................................................................................... Los momento magnético de la partícula en la presencia del campo magnético ~B induce el cambio en la energía: · ~B. Esta última contribución también puede cambiar la anchura, siempre que el momento magnético tiene una parte absorbente (Imμ 6= 0). Las propiedades de desintegración de partículas inestables, como muón o neutrones, son extremadamente bien estudiados y ampliamente utilizados para la determinación precisa del Modelo Estándar parámetros[5, 6]. También hay una plétora de estudios de cómo se comportan estas partículas en Campos de la mañana. Un ejemplo bien conocido es la búsqueda del momento dipolo eléctrico del neutrón[7]. En vista de estos estudios, es imperativo investigar cómo las propiedades de desintegración de la inestabilidad las partículas pueden verse afectadas por campos e.m. Se sabe que la vida útil de los sistemas cuánticos-mecánicos inestables se ve afectada por una e.m. field. Positronium proporciona un ejemplo de libro de texto[8], donde el efecto surge debido a la mezcla de estados de positronio para (S = 0) y orto- (S = 1) con impulso orbital l = 0 por el campo magnético que interactúa con los momentos magnéticos de los constituyentes. As el resultado, ya en el campo de B = 0,2 Tesla, la vida útil del orto-positronio disminuye por casi un factor de 2. Está lejos de ser obvio cómo el mismo tipo de efecto puede surgir para una inestabilidad elemental partícula, por ejemplo, el muón. La relación antes mencionada entre la parte imaginaria de la momento magnético y el cambio de la vida puede, por lo tanto, proporcionarnos tanto un interpre- μ μ FIG. 1: La autoenergía del muón contribuye a su anchura de desintegración. dad para la parte imaginaria del momento magnético y los medios para calcular el efecto del cambio de vida. En lo siguiente examinamos en detalle el caso del muón, computar el contri bution a Imμ y el efecto correspondiente en la vida útil. Entonces vamos a discutir brevemente la los casos del neutrón y de la resonancia. II. MUON DECAY (μ → e /e) La contribución principal a la anchura de decaimiento del muón surge a nivel de dos lados, véase Fig. 1. Por nuestros propósitos, los propagadores W en este gráfico se puede suponer con seguridad que es estático — Fermi teoría. También descuidamos la masa del electrón en los bucles, ya que conduce a un sub- porcentaje de corrección de O(me/m); aquí y en lo que sigue, m es la masa de muón. Los gráficos con otros fermiones Modelo Estándar (por ejemplo, quarks) en los bucles no necesita ser considerado aquí, porque no pueden dar ninguna contribución a la anchura del muón. Utilizando la regularización dimensional, calculamos este gráfico en d = 4 - 2 - dimensiones (en el límite • → 0+),[14] (p/) = (2η)d 2(1− γ5) (p/− k/) (p− k)2 + i • (k). 1).......................................................................................................................................................... donde MW es la masa W -boson, g = e/ sin W es el acoplamiento electrodébil relacionado con el Constante de Fermi por GF/ 2 = g2/8M2W, e es la carga, W es el ángulo de Weinberg, y •(k) = d - 2) (4η)d/2(d− 1) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) • (2-2) × (−k2) k2g-kμk/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2 es la corrección de un bucle al tensor de polarización del bosón W. El ancho de desintegración puede a continuación, se encontrará como • = −2 Im • (p/ = m). Un breve cálculo muestra que la auto-energía tiene el siguiente formulario: (p/) = v(s) p/ (1− γ5), (3) con s = p2 y la función escalar v dada por: v(s) = − G2F s 3(4η)4 − 2γE − 2 ln +O(+) , (4) donde γE = ′(1) es la constante del Euler. La parte absorbente de esta función proviene de el logaritmo [ln(−s− i♥) = ln s− i, para s > 0]: Im v(s) = − G2F s 384η3 . 5) Terefore, la anchura es فارسى = −2m Im v(m2), y la vida útil del muón: (G2Fm) 5) 2,187× 10-6 seg, (6) Este resultado es, por supuesto, muy conocido debido al trabajo seminal de Feynman y Gell-Mann en Teoría de Fermi[9]. Está en un porcentaje de acuerdo con el valor experimental[5]: (exp) = (2.19703± 0,00004) 10-6 seg, (7) La discrepancia se debe a la negligencia de la masa de electrones y algunas correcciones radiativas, c.f.[10]. Ahora investigamos la influencia del campo de la e.m. en la contribución principal dada por Eq. 6). Denominemos la auto-energía en presencia de un campo de e.m. externo Aμ (x, y;Aμ). Se obtiene por sustitución mínima ( → − ieAμ) de los derivados de todos los cargos campos en la auto-energía de la Fig. 1. Expandiendo en el acoplamiento e.m., obtenemos: * [x, y;Aμ] =. x) 4 (x− y) dz (x, y; z)Aμ(z) +O(e 2A2), (8) donde Ł (i/23370//) es la auto-energía ya computada en el vacío, mientras que Ł es el vértice e.m. corrección de la Fig. 2, con W ’s estática. Denotando p (p′) el 4-momento del muón inicial (final) y suponiendo el on-shell situación (p2 = p′ = p · p′ = m2), la corrección de vértice tiene en el espacio de impulso el el siguiente formulario general: (p′, p) = e F +G (p+ p′)μ + FA γ , (9) donde F, G y FA son números complejos. Tenga en cuenta que eF/2m es la corrección al magnético momento, y eF + eG es la corrección a la carga eléctrica. El Ward-Takahashi (WT) identidad: (p′ − p) · (p′, p) = e [فارسى (p/)− (p/′)] (10) μ FIG. 2: Corrección electromagnética a la descomposición del muón. con la auto-energía en Eq. (3) conduce a las siguientes condiciones: F +G = −v(m2)− 2m2v′(m2), FA = v(m2). (11) Por lo tanto, el término FA es de hecho necesario por la invarianza del e.m. calibrador. Los términos γ5, en tanto la auto-energía como el vértice, se demuestra que se desvanecen cuando resuenan sobre todos los fermiones en el modelo estándar[11]. Sin embargo, esto no sucede para la parte imaginaria porque el los fermiones más pesados no contribuyen. La expresión para el gráfico de la Fig. 2 es (en la teoría de Fermi) dado por (p′, p) = − 64M4W (2η)d (2η)d (1− γ5) 2(1− γ5) (p/′ − k/1) (p/− k/1) (k/1 − k/2) (k1 − k2)2 (p− k1)2 (p′ − k1)2 Después de un largo cálculo obtenemos el siguiente resultado: ImF = 384η3 , ImG = , ImFA = − 384η3 , (13) por lo tanto, satisfacer las condiciones de medición-invarianza Eq. (11), para Im v dado por Eq. 5). Nos gustaría subrayar aquí que, por supuesto, no sólo el momento magnético, pero también el operador de carga recibe una contribución imaginaria, igual a e Im(F +G). Sin embargo, a través de la identidad de WT, esta contribución se fija completamente por la dependencia del impulso de la auto-energía, y por lo tanto no es independiente. Lo mismo sucede con FA. Nosotros por lo tanto discutir sólo el efecto de la parte absorbente del momento magnético, aquí dada por Imμ = e ImF/2m = eG2Fm 3/768/93. La energía del momento magnético que interactúa con el campo magnético es igual a Bz, con Bz siendo la proyección del campo a lo largo del spin muón. Entonces la energía total, en el el marco de reposo del muón, es dado por: m − (i/2) μBz. Deducimos así que la parte absorbente da el siguiente cambio en la anchura del muón: = 2 ImμBz = 192/93 Bz, (14) mientras que el cambio en la vida es = −(/) Dado este resultado, concluimos que los muones con carga positiva viven más cortos (más largos) en un campo magnético uniforme si su giro está alineado a lo largo (contra) del campo. Para el familiar cambio en la anchura que encontramos: eBz 3× 10−15B T−1, (15) donde B es la fuerza del campo en Tesla. Por lo tanto, en los campos magnéticos moderados el cambio en la vida del muón es pequeño, mucho más allá de la precisión experimental actual (que está en el nivel de ppm). Nos centraremos más en esto en la parte final del documento, pero para Pasamos ahora a una cuestión más técnica. Es interesante observar que el resultado de Eq. (13), simplemente puede ser obtenido por el sustitución mínima en Eq. (3), en lugar de entrar en el propagador de electrones en Eq. (1). A mostrar esto vamos a coordinar el espacio y, por lo tanto, escribir la auto-energía como (x, y) = ) (x − y). La sustitución mínima al primer orden en e conduce al siguiente vértice Corrección: (x, y; z) = − 16) Tenga en cuenta que en general esto es diferente de la función vértice en Eq. (8), ya que en este último la sustitución mínima se realiza también en las líneas internas. La forma general de Eq. 9), por supuesto, se aplica aquí también, pero ahora las funciones escalar están completamente especificadas por el autoenergía: Fû = −v(m2), Gû = −2m2 v′(m2), FûA = v(m2). (17) Al sustituir la forma explícita de Im v, vemos que este método sin ambigüedades conduce a exactamente el mismo resultado [Eq. (13)] como el cálculo completo. Sin embargo, hacemos hincapié en que este método no siempre puede funcionar (véase, por ejemplo, Ref.[12]), como también se desprenderá de lo siguiente: ejemplos. Sin embargo, vale la pena investigar más a fondo este método, ya que saber si es aplicable a priori puede facilitar enormemente los cálculos. III. DECAYO DE NEUTRON Y LA RESOLANCIA Ahora consideramos el descenso de neutrones β. Suponiendo una interacción exacta V − A (gA = 1) y descuidando la masa de electrones (pero no la masa de protones, mp), los dos bucles correspondientes la auto-energía todavía puede ser escrita en forma de Eq. (3). Introdujimos los siguientes valores: (s −m2p)/2s y (s −m2p)/2s. tratarlo como un parámetro pequeño, ya que en el caso físico (donde s = m2n),  1.293 × 10−3. Un simple cálculo entonces produce: Im v(s) = −G F Vud2 s2............................................................................................................................................................................................................................................................. donde Vud es el elemento de matriz de mezcla de quarks (CKM) pertinente. Observamos de pasada que Este resultado lleva a la vida útil de 622 seg, para ser comparado con el experimental valor de 886 seg. Este desacuerdo del 30% se debe en gran parte al hecho de que en realidad el el acoplamiento gA se desvía de 1. Sin embargo, para nuestro orden de magnitud estima esta discrepancia no es importante. Lo que es importante es que la derivada de la auto-energía es realzada por un poder de Im v′(s) = −(GF Vud) s فارسى4. (19) y esto abre la posibilidad de la mejora del efecto en la vida. Es decir, el cambio relativo en el ancho de neutrones entonces va como n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # mn −mp 3× 10−14B T−1, (20) donde μN 3,15× 10−14 MeV T−1 es el magnetón nuclear. Un análisis más preciso de esto efecto para el neutrones está más allá del alcance de este documento. Nos centramos en su lugar en el ejemplo de la resonancia, donde se demostrará que tal mejora es aún más dramática, al menos cualitativamente. La resonancia se desintegra fuertemente en el pion y el nucleón,.................................................................................................................................... responder a la auto-energía, al orden líder en la teoría de campo efectivo quiral, produce lo siguiente resultado para la parte absorbente[3]: Im(p/) = −23 3C2 (α p/+mN ), (21) donde se asume la simetría isospin, por ejemplo, mp = mn = mN. La constante C = En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. el ancho de la cal de la constante de pion-decaimiento, y el meV de mÃ3n = 1232 es el mev η(b)(a) FIG. 3: La corrección chiral-lazo principal al momento magnético de la. masa. Para la simplicidad descuidamos la masa pion (es decir, tomar el límite quiral). Entonces, en Eq. (21),  = (s−m2N)/2s, α = 1− . Para s = más,  (más −mN)/mN 1/3 es un parámetro pequeño en la teoría de campo efectivo quiral con la de (véase Ref.[13] para un examen reciente), y así será aquí también. La parte absorbente del momento dipolo magnético de la surge en este orden de Gráficas en la Fig. 3. Estos gráficos, computados en Ref.[3], en el límite quiral se obtiene lo siguiente: resultado (hasta 4 términos): ImF (a) = 4ηC2( 32 + 43 .......................................................................................................................................................................... ImG(a) = 4 .......................................................................................................................................................................... ImF (b) = 4 *3), (22) ImG(b) = −32 ηC23, donde F y G corresponden a la descomposición en Eq. 9), con la referencia del superíndice a los gráficos correspondientes de la Fig. 3; FA está ausente en este caso, por supuesto. En primer lugar, observamos que este resultado satisface las condiciones de WT, Eq. (11), para cada uno de los los cuatro estados de carga de la.......................................................................................................................................................... : Im [F (a) +G(a) + F (b) +G(b)] = −2 Im(a) , : Im [1 (F a) +G a)) + 2 (F (b) +G (b))] = − Im. , 0 : Im [−1 (F a) +G a)) + 1 (F (b) +G (b))] = 0, (23) : − Im [F (a) +G(a)] = Im en los que = l/p/(p/)p/=m, y por lo tanto = 4ηC2(2 + 73 Al mismo tiempo, el procedimiento «nativo» de sustitución mínima [Eq. (16)], eso sucede trabajar para el muón, falla aquí miserablemente. Prediría que el momento magnético contribución iría con el mismo poder que la auto-energía [Eq. (17)], que para el La parte absorbente significa Imμ Ã3 ImÃ3 (mÃ3n) Ã3 Ã33. En realidad, es como si se tratara de una "otra cosa". Por ejemplo, para el : Im = (e/2m) Im[ F a) + 2 F b)] η μNC 2 O(l2). (24) El hecho de que la auto-energía va como 3o, mientras que Imμ como tiene como consecuencia la mejora- el cambio de la vida en el campo magnético por dos poderes de ♥. Cuantitativamente tales mejoras de la vida del cambio a lo largo de la vida por la fase- El volumen espacial no hace mucha diferencia en los ejemplos anteriores. Sin embargo, muestra que podría ser útil buscar manifestaciones del cambio de vida en el medio donde el El volumen del espacio de fase puede variar. IV. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS La hemos examinado un concepto del ‘momento magnético absorbente’, un propiedad de una partícula inestable, junto con la anchura o la vida útil. Se manifiesta a sí misma. en el cambio del lefetiempo de la partícula en un campo magnético externo, véase Eq. (25) infra. Hemos computado esta cantidad para los ejemplos de muón, neutrones y resonancia a el orden principal en los acoplamientos. En los tres casos cosiderados, el efecto sobre la vida es pequeño. para campos magnéticos normales: en un campo uniforme de 1 Tesla el cambio en la vida útil es de orden del 10 al 13 por ciento, como máximo. En el caso del muón hemos calculado este efecto a la orden principal en el elec- acoplamiento troweak; el cambio en la vida útil es = −2 ImμBz  2 = −96η3eBz/(G2Fm7), (25) o, numéricamente, 6× 10−21 (B/T) sec. Por lo tanto, una medición directa de este efecto es más allá de la precisión experimental actual. Sin embargo, vale la pena investigar el efecto del campo magnético sobre las tasas diferenciales de decaimiento, con la esperanza de que algunos las asimetrías podrían mostrar una sensibilidad significativamente mayor. Una característica notable de este efecto es que el cambio relativo de la vida es inversamente proporcional al espacio de fase. Va como (mn −mp)−1 en el caso de neutrones, y como (mÃ3 − - 2 en el caso de la resonancia. (La diferencia de poder es aparentemente porque el neutrón decae únicamente en los fermiones, mientras que el tiene un bosón en el producto de desintegración.) Uno puede esperar que en las condiciones en las que el espacio de fase se reduce significativamente, por ejemplo. para el neutrón en medio nuclear, el efecto del cambio de vida puede llegar a ser mensurable. Especialmente interesante sería evaluar las manifestaciones de este efecto en la estrella de neutrones formaciones. No sólo el espacio de fase de la desintegración de neutrones se está reduciendo, los protones se están decayendo también, y todo lo que ocurre en campos magnéticos tan grandes como 1010 Tesla. Incluso los campos más grandes pueden ser lo conseguido en los sistemas atómicos o nucleares. Por último, vale la pena señalar que en celosía Estudios QCD campos magnéticos fuertes se utilizan de manera estándar para calcular el electromagnético propiedades de los hadrones. Combinado con las técnicas de celosía de la extracción de la anchura, el relación entre la parte absorprive y el cambio de vida puede permitir calcular el ex en la celosía para los hadrones inestables. Agradecimientos Damos las gracias a Barry Holstein y Marc Vanderhaeghen por una serie de discus perspicaz... Sions. El trabajo de V.P. está parcialmente apoyado por la Comunidad Europea-Investigación In- Fraestructura Actividad en el marco del programa «Estructuración del Espacio Europeo de Investigación» del VIPM (HadronPhysics, contrato RII3-CT-2004-506078). [1] M. Passera, J. Phys. G 31, R75 (2005); J. P. Miller, E. de Rafael y B. L. Roberts, Rept. Prog. Phys. 70, 795 (2007). [2] L. V. Avdeev y M. Y. Kalmykov, Phys. Lett. B 436, 132 (1998). [3] V. Pascalutsa y M. Vanderhaeghen, Phys. Rev. Lett. 94, 102003 (2005); Phys. Rev. D 77, 014027 (2008). [4] B. R. Holstein, no publicado. [5] W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], “Revisión de la física de partículas,”J. Phys. G 33, 1 (2006). [6] D. Tomono [RIKEN RAL R77 Collaboration], AIP Conf. Proc. 842, 906 (2006); K. R. Lynch, AIP Conf. Proc. 870, 333 (2006); J. S. Nico, AIP Conf. Proc. 870, 132 (2006); A. P. Serebrov y otros, arXiv:nucl-ex/0702009. [7] P. G. Harris et al., Phys. Rev. Lett. 82, 904 (1999); C. A. Baker y otros, Phys. Rev. Lett. 97, 131801 (2006). [8] J. L. Basdevant y J. Dalibard, "Quantum Mechanics Solver", (Springer, Berlín, 2005). [9] R. P. Feynman y M. Gell-Mann, Phys. Rev. 109, 193 (1958). [10] T. van Ritbergen y R. G. Stuart, Phys. Rev. Lett. 82, 488 (1999). [11] A. Czarnecki y B. Krause, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 51C, 148 (1996). [12] J. H. Koch, V. Pascalutsa y S. Scherer, Phys. Rev. C 65, 045202 (2002). [13] V. Pascalutsa, M. Vanderhaeghen y S. N. Yang, Phys. Rept. 437, 125 (2007). [14] Nuestras convenciones son: métricas (+,−,−,−), Ł0123 = +1, γ5 = iγ0γ1γ2γ3, la posición de γ para Dirac matrices y sus productos totalmente antisimétricos: = 1 [, ], = 1 ,, = 1 [, ].

Demostramos que los momentos electromagnéticos de partículas inestables (resonancias) tienen una contribución absorbente que cuantifica el cambio de la partícula vida útil en un campo electromagnético externo. Para dar un ejemplo computamos aquí la parte imaginaria del momento magnético para los casos del muón y el neutrón en orden de dirección en el acoplamiento electrodébil. También consideramos un efecto análogo para la resonancia de $\Delta$(1232). El resultado para el muón es Im$ \mu = e G_F^2 m^3/768 \pi^3$, con $e$ el cargo y $m$ la masa del muón, $G_F$ la constante de Fermi, que en un campo de $B$ Tesla dan lugar al cambio relativo en la vida útil muón de $3\ veces 10-15} B$. Para neutrones el efecto es de una magnitud similar. Nosotros especular sobre las implicaciones observables de este efecto.

arXiv:0704.0377v3 [hep-ph] 22 Dic 2008 Vida útil de las partículas inestables en los campos electromagnéticos Daniele Binosi1 y Vladimir Pascalutsa1, 2 1ECT* Trento, Villa Tambosi, Villazzano, I-38050 TN, Italia 2Institut für Kernphysik, Johannes Gutenberg Universität, Mainz D-55099, Alemania (Fecha: 30 de octubre de 2018) Resumen Demostramos que los momentos electromagnéticos de partículas inestables (resonancias) tienen una absorción contribución que cuantifica el cambio de la vida útil de la partícula en un electromagnético externo campo. Para dar un ejemplo calculamos aquí la parte imaginaria del momento magnético para el los casos del muón y del neutrón en orden de dirección en el acoplamiento electrodébil. También consideramos que un efecto análogo para la resonancia fuertemente decadente (1232). El resultado para el muón es Imμ = eG2Fm 3/768/93, con la carga y m la masa del muón, GF la constante Fermi, que en un campo magnético externo de B Tesla dan lugar al cambio relativo en la vida útil del muón de 3 × 10−15 B. Para neutrones el efecto es de una magnitud similar. Especulamos sobre lo observable implicaciones de este efecto. Números PACS: 13.40.Em, 13.35.-r, 12.15.Lk, 23.40.-s http://arxiv.org/abs/0704.0377v3 I. INTRODUCCIÓN Los momentos electromagnéticos (e.m.) de una partícula se encuentran entre los pocos ciones que describen las propiedades de las partículas y, como tales, se han estudiado a fondo. Los los más conocidos ejemplos son los momentos magnéticos del electrón y el muón que han sido medidos con exactitud sin precedentes y han dado lugar a una serie de percepciones físicas, Véase[1] para las revisiones recientes. Lo que es mucho menos conocido es que los momentos e.m. de inestabilidad Las partículas son números complejos en general [2, 3]. Su parte imaginaria refleja, por supuesto, la naturaleza inestable de la partícula, sin embargo, la interpretación precisa ha faltado. En este trabajo trabajamos la relación, sugerido primero por Holstein [4], que debe existir entre la parte imaginaria del momento magnético y el efecto de un campo magnético externo sobre la vida de la partícula. El argumento para tal relación es muy simple. La (auto-)energía de la partícula con un la vida útil tiene una parte absorbente, la cual tiene una interpretación de la anchura de la misma......................................................................................................................................... Los momento magnético de la partícula en la presencia del campo magnético ~B induce el cambio en la energía: · ~B. Esta última contribución también puede cambiar la anchura, siempre que el momento magnético tiene una parte absorbente (Imμ 6= 0). Las propiedades de desintegración de partículas inestables, como muón o neutrones, son extremadamente bien estudiados y ampliamente utilizados para la determinación precisa del Modelo Estándar parámetros[5, 6]. También hay una plétora de estudios de cómo se comportan estas partículas en Campos de la mañana. Un ejemplo bien conocido es la búsqueda del momento dipolo eléctrico del neutrón[7]. En vista de estos estudios, es imperativo investigar cómo las propiedades de desintegración de la inestabilidad las partículas pueden verse afectadas por campos e.m. Se sabe que la vida útil de los sistemas cuánticos-mecánicos inestables se ve afectada por una e.m. field. Positronium proporciona un ejemplo de libro de texto[8], donde el efecto surge debido a la mezcla de estados de positronio para (S = 0) y orto- (S = 1) con impulso orbital l = 0 por el campo magnético que interactúa con los momentos magnéticos de los constituyentes. As el resultado, ya en el campo de B = 0,2 Tesla, la vida útil del orto-positronio disminuye por casi un factor de 2. Está lejos de ser obvio cómo el mismo tipo de efecto puede surgir para una inestabilidad elemental partícula, por ejemplo, el muón. La relación antes mencionada entre la parte imaginaria de la momento magnético y el cambio de la vida puede, por lo tanto, proporcionarnos tanto un interpre- μ μ FIG. 1: La autoenergía del muón contribuye a su anchura de desintegración. dad para la parte imaginaria del momento magnético y los medios para calcular el efecto del cambio de vida. En lo siguiente examinamos en detalle el caso del muón, computar el contri bution a Imμ y el efecto correspondiente en la vida útil. Entonces vamos a discutir brevemente la los casos del neutrón y de la resonancia. II. MUON DECAY (μ → e /e) La contribución principal a la anchura de decaimiento del muón surge a nivel de dos lados, véase Fig. 1. Por nuestros propósitos, los propagadores W en este gráfico se puede suponer con seguridad que es estático — Fermi teoría. También descuidamos la masa del electrón en los bucles, ya que conduce a un sub- porcentaje de corrección de O(me/m); aquí y en lo que sigue, m es la masa de muón. Los gráficos con otros fermiones Modelo Estándar (por ejemplo, quarks) en los bucles no necesita ser considerado aquí, porque no pueden dar ninguna contribución a la anchura del muón. Utilizando la regularización dimensional, calculamos este gráfico en d = 4 - 2 - dimensiones (en el límite • → 0+),[14] (p/) = (2η)d 2(1− γ5) (p/− k/) (p− k)2 + i • (k). 1).......................................................................................................................................................... donde MW es la masa W -boson, g = e/ sin W es el acoplamiento electrodébil relacionado con el Constante de Fermi por GF/ 2 = g2/8M2W, e es la carga, W es el ángulo de Weinberg, y •(k) = d - 2) (4η)d/2(d− 1) - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)) (-) • (2-2) × (−k2) k2g-kμk/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2g/k2 es la corrección de un bucle al tensor de polarización del bosón W. El ancho de desintegración puede a continuación, se encontrará como • = −2 Im • (p/ = m). Un breve cálculo muestra que la auto-energía tiene el siguiente formulario: (p/) = v(s) p/ (1− γ5), (3) con s = p2 y la función escalar v dada por: v(s) = − G2F s 3(4η)4 − 2γE − 2 ln +O(+) , (4) donde γE = ′(1) es la constante del Euler. La parte absorbente de esta función proviene de el logaritmo [ln(−s− i♥) = ln s− i, para s > 0]: Im v(s) = − G2F s 384η3 . 5) Terefore, la anchura es فارسى = −2m Im v(m2), y la vida útil del muón: (G2Fm) 5) 2,187× 10-6 seg, (6) Este resultado es, por supuesto, muy conocido debido al trabajo seminal de Feynman y Gell-Mann en Teoría de Fermi[9]. Está en un porcentaje de acuerdo con el valor experimental[5]: (exp) = (2.19703± 0,00004) 10-6 seg, (7) La discrepancia se debe a la negligencia de la masa de electrones y algunas correcciones radiativas, c.f.[10]. Ahora investigamos la influencia del campo de la e.m. en la contribución principal dada por Eq. 6). Denominemos la auto-energía en presencia de un campo de e.m. externo Aμ (x, y;Aμ). Se obtiene por sustitución mínima ( → − ieAμ) de los derivados de todos los cargos campos en la auto-energía de la Fig. 1. Expandiendo en el acoplamiento e.m., obtenemos: * [x, y;Aμ] =. x) 4 (x− y) dz (x, y; z)Aμ(z) +O(e 2A2), (8) donde Ł (i/23370//) es la auto-energía ya computada en el vacío, mientras que Ł es el vértice e.m. corrección de la Fig. 2, con W ’s estática. Denotando p (p′) el 4-momento del muón inicial (final) y suponiendo el on-shell situación (p2 = p′ = p · p′ = m2), la corrección de vértice tiene en el espacio de impulso el el siguiente formulario general: (p′, p) = e F +G (p+ p′)μ + FA γ , (9) donde F, G y FA son números complejos. Tenga en cuenta que eF/2m es la corrección al magnético momento, y eF + eG es la corrección a la carga eléctrica. El Ward-Takahashi (WT) identidad: (p′ − p) · (p′, p) = e [فارسى (p/)− (p/′)] (10) μ FIG. 2: Corrección electromagnética a la descomposición del muón. con la auto-energía en Eq. (3) conduce a las siguientes condiciones: F +G = −v(m2)− 2m2v′(m2), FA = v(m2). (11) Por lo tanto, el término FA es de hecho necesario por la invarianza del e.m. calibrador. Los términos γ5, en tanto la auto-energía como el vértice, se demuestra que se desvanecen cuando resuenan sobre todos los fermiones en el modelo estándar[11]. Sin embargo, esto no sucede para la parte imaginaria porque el los fermiones más pesados no contribuyen. La expresión para el gráfico de la Fig. 2 es (en la teoría de Fermi) dado por (p′, p) = − 64M4W (2η)d (2η)d (1− γ5) 2(1− γ5) (p/′ − k/1) (p/− k/1) (k/1 − k/2) (k1 − k2)2 (p− k1)2 (p′ − k1)2 Después de un largo cálculo obtenemos el siguiente resultado: ImF = 384η3 , ImG = , ImFA = − 384η3 , (13) por lo tanto, satisfacer las condiciones de medición-invarianza Eq. (11), para Im v dado por Eq. 5). Nos gustaría subrayar aquí que, por supuesto, no sólo el momento magnético, pero también el operador de carga recibe una contribución imaginaria, igual a e Im(F +G). Sin embargo, a través de la identidad de WT, esta contribución se fija completamente por la dependencia del impulso de la auto-energía, y por lo tanto no es independiente. Lo mismo sucede con FA. Nosotros por lo tanto discutir sólo el efecto de la parte absorbente del momento magnético, aquí dada por Imμ = e ImF/2m = eG2Fm 3/768/93. La energía del momento magnético que interactúa con el campo magnético es igual a Bz, con Bz siendo la proyección del campo a lo largo del spin muón. Entonces la energía total, en el el marco de reposo del muón, es dado por: m − (i/2) μBz. Deducimos así que la parte absorbente da el siguiente cambio en la anchura del muón: = 2 ImμBz = 192/93 Bz, (14) mientras que el cambio en la vida es = −(/) Dado este resultado, concluimos que los muones con carga positiva viven más cortos (más largos) en un campo magnético uniforme si su giro está alineado a lo largo (contra) del campo. Para el familiar cambio en la anchura que encontramos: eBz 3× 10−15B T−1, (15) donde B es la fuerza del campo en Tesla. Por lo tanto, en los campos magnéticos moderados el cambio en la vida del muón es pequeño, mucho más allá de la precisión experimental actual (que está en el nivel de ppm). Nos centraremos más en esto en la parte final del documento, pero para Pasamos ahora a una cuestión más técnica. Es interesante observar que el resultado de Eq. (13), simplemente puede ser obtenido por el sustitución mínima en Eq. (3), en lugar de entrar en el propagador de electrones en Eq. (1). A mostrar esto vamos a coordinar el espacio y, por lo tanto, escribir la auto-energía como (x, y) = ) (x − y). La sustitución mínima al primer orden en e conduce al siguiente vértice Corrección: (x, y; z) = − 16) Tenga en cuenta que en general esto es diferente de la función vértice en Eq. (8), ya que en este último la sustitución mínima se realiza también en las líneas internas. La forma general de Eq. 9), por supuesto, se aplica aquí también, pero ahora las funciones escalar están completamente especificadas por el autoenergía: Fû = −v(m2), Gû = −2m2 v′(m2), FûA = v(m2). (17) Al sustituir la forma explícita de Im v, vemos que este método sin ambigüedades conduce a exactamente el mismo resultado [Eq. (13)] como el cálculo completo. Sin embargo, hacemos hincapié en que este método no siempre puede funcionar (véase, por ejemplo, Ref.[12]), como también se desprenderá de lo siguiente: ejemplos. Sin embargo, vale la pena investigar más a fondo este método, ya que saber si es aplicable a priori puede facilitar enormemente los cálculos. III. DECAYO DE NEUTRON Y LA RESOLANCIA Ahora consideramos el descenso de neutrones β. Suponiendo una interacción exacta V − A (gA = 1) y descuidando la masa de electrones (pero no la masa de protones, mp), los dos bucles correspondientes la auto-energía todavía puede ser escrita en forma de Eq. (3). Introdujimos los siguientes valores: (s −m2p)/2s y (s −m2p)/2s. tratarlo como un parámetro pequeño, ya que en el caso físico (donde s = m2n),  1.293 × 10−3. Un simple cálculo entonces produce: Im v(s) = −G F Vud2 s2............................................................................................................................................................................................................................................................. donde Vud es el elemento de matriz de mezcla de quarks (CKM) pertinente. Observamos de pasada que Este resultado lleva a la vida útil de 622 seg, para ser comparado con el experimental valor de 886 seg. Este desacuerdo del 30% se debe en gran parte al hecho de que en realidad el el acoplamiento gA se desvía de 1. Sin embargo, para nuestro orden de magnitud estima esta discrepancia no es importante. Lo que es importante es que la derivada de la auto-energía es realzada por un poder de Im v′(s) = −(GF Vud) s فارسى4. (19) y esto abre la posibilidad de la mejora del efecto en la vida. Es decir, el cambio relativo en el ancho de neutrones entonces va como n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # mn −mp 3× 10−14B T−1, (20) donde μN 3,15× 10−14 MeV T−1 es el magnetón nuclear. Un análisis más preciso de esto efecto para el neutrones está más allá del alcance de este documento. Nos centramos en su lugar en el ejemplo de la resonancia, donde se demostrará que tal mejora es aún más dramática, al menos cualitativamente. La resonancia se desintegra fuertemente en el pion y el nucleón,.................................................................................................................................... responder a la auto-energía, al orden líder en la teoría de campo efectivo quiral, produce lo siguiente resultado para la parte absorbente[3]: Im(p/) = −23 3C2 (α p/+mN ), (21) donde se asume la simetría isospin, por ejemplo, mp = mn = mN. La constante C = En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. el ancho de la cal de la constante de pion-decaimiento, y el meV de mÃ3n = 1232 es el mev η(b)(a) FIG. 3: La corrección chiral-lazo principal al momento magnético de la. masa. Para la simplicidad descuidamos la masa pion (es decir, tomar el límite quiral). Entonces, en Eq. (21),  = (s−m2N)/2s, α = 1− . Para s = más,  (más −mN)/mN 1/3 es un parámetro pequeño en la teoría de campo efectivo quiral con la de (véase Ref.[13] para un examen reciente), y así será aquí también. La parte absorbente del momento dipolo magnético de la surge en este orden de Gráficas en la Fig. 3. Estos gráficos, computados en Ref.[3], en el límite quiral se obtiene lo siguiente: resultado (hasta 4 términos): ImF (a) = 4ηC2( 32 + 43 .......................................................................................................................................................................... ImG(a) = 4 .......................................................................................................................................................................... ImF (b) = 4 *3), (22) ImG(b) = −32 ηC23, donde F y G corresponden a la descomposición en Eq. 9), con la referencia del superíndice a los gráficos correspondientes de la Fig. 3; FA está ausente en este caso, por supuesto. En primer lugar, observamos que este resultado satisface las condiciones de WT, Eq. (11), para cada uno de los los cuatro estados de carga de la.......................................................................................................................................................... : Im [F (a) +G(a) + F (b) +G(b)] = −2 Im(a) , : Im [1 (F a) +G a)) + 2 (F (b) +G (b))] = − Im. , 0 : Im [−1 (F a) +G a)) + 1 (F (b) +G (b))] = 0, (23) : − Im [F (a) +G(a)] = Im en los que = l/p/(p/)p/=m, y por lo tanto = 4ηC2(2 + 73 Al mismo tiempo, el procedimiento «nativo» de sustitución mínima [Eq. (16)], eso sucede trabajar para el muón, falla aquí miserablemente. Prediría que el momento magnético contribución iría con el mismo poder que la auto-energía [Eq. (17)], que para el La parte absorbente significa Imμ Ã3 ImÃ3 (mÃ3n) Ã3 Ã33. En realidad, es como si se tratara de una "otra cosa". Por ejemplo, para el : Im = (e/2m) Im[ F a) + 2 F b)] η μNC 2 O(l2). (24) El hecho de que la auto-energía va como 3o, mientras que Imμ como tiene como consecuencia la mejora- el cambio de la vida en el campo magnético por dos poderes de ♥. Cuantitativamente tales mejoras de la vida del cambio a lo largo de la vida por la fase- El volumen espacial no hace mucha diferencia en los ejemplos anteriores. Sin embargo, muestra que podría ser útil buscar manifestaciones del cambio de vida en el medio donde el El volumen del espacio de fase puede variar. IV. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS La hemos examinado un concepto del ‘momento magnético absorbente’, un propiedad de una partícula inestable, junto con la anchura o la vida útil. Se manifiesta a sí misma. en el cambio del lefetiempo de la partícula en un campo magnético externo, véase Eq. (25) infra. Hemos computado esta cantidad para los ejemplos de muón, neutrones y resonancia a el orden principal en los acoplamientos. En los tres casos cosiderados, el efecto sobre la vida es pequeño. para campos magnéticos normales: en un campo uniforme de 1 Tesla el cambio en la vida útil es de orden del 10 al 13 por ciento, como máximo. En el caso del muón hemos calculado este efecto a la orden principal en el elec- acoplamiento troweak; el cambio en la vida útil es = −2 ImμBz  2 = −96η3eBz/(G2Fm7), (25) o, numéricamente, 6× 10−21 (B/T) sec. Por lo tanto, una medición directa de este efecto es más allá de la precisión experimental actual. Sin embargo, vale la pena investigar el efecto del campo magnético sobre las tasas diferenciales de decaimiento, con la esperanza de que algunos las asimetrías podrían mostrar una sensibilidad significativamente mayor. Una característica notable de este efecto es que el cambio relativo de la vida es inversamente proporcional al espacio de fase. Va como (mn −mp)−1 en el caso de neutrones, y como (mÃ3 − - 2 en el caso de la resonancia. (La diferencia de poder es aparentemente porque el neutrón decae únicamente en los fermiones, mientras que el tiene un bosón en el producto de desintegración.) Uno puede esperar que en las condiciones en las que el espacio de fase se reduce significativamente, por ejemplo. para el neutrón en medio nuclear, el efecto del cambio de vida puede llegar a ser mensurable. Especialmente interesante sería evaluar las manifestaciones de este efecto en la estrella de neutrones formaciones. No sólo el espacio de fase de la desintegración de neutrones se está reduciendo, los protones se están decayendo también, y todo lo que ocurre en campos magnéticos tan grandes como 1010 Tesla. Incluso los campos más grandes pueden ser lo conseguido en los sistemas atómicos o nucleares. Por último, vale la pena señalar que en celosía Estudios QCD campos magnéticos fuertes se utilizan de manera estándar para calcular el electromagnético propiedades de los hadrones. Combinado con las técnicas de celosía de la extracción de la anchura, el relación entre la parte absorprive y el cambio de vida puede permitir calcular el ex en la celosía para los hadrones inestables. Agradecimientos Damos las gracias a Barry Holstein y Marc Vanderhaeghen por una serie de discus perspicaz... Sions. El trabajo de V.P. está parcialmente apoyado por la Comunidad Europea-Investigación In- Fraestructura Actividad en el marco del programa «Estructuración del Espacio Europeo de Investigación» del VIPM (HadronPhysics, contrato RII3-CT-2004-506078). [1] M. Passera, J. Phys. G 31, R75 (2005); J. P. Miller, E. de Rafael y B. L. Roberts, Rept. Prog. Phys. 70, 795 (2007). [2] L. V. Avdeev y M. Y. Kalmykov, Phys. Lett. B 436, 132 (1998). [3] V. Pascalutsa y M. Vanderhaeghen, Phys. Rev. Lett. 94, 102003 (2005); Phys. Rev. D 77, 014027 (2008). [4] B. R. Holstein, no publicado. [5] W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], “Revisión de la física de partículas,”J. Phys. G 33, 1 (2006). [6] D. Tomono [RIKEN RAL R77 Collaboration], AIP Conf. Proc. 842, 906 (2006); K. R. Lynch, AIP Conf. Proc. 870, 333 (2006); J. S. Nico, AIP Conf. Proc. 870, 132 (2006); A. P. Serebrov y otros, arXiv:nucl-ex/0702009. [7] P. G. Harris et al., Phys. Rev. Lett. 82, 904 (1999); C. A. Baker y otros, Phys. Rev. Lett. 97, 131801 (2006). [8] J. L. Basdevant y J. Dalibard, "Quantum Mechanics Solver", (Springer, Berlín, 2005). [9] R. P. Feynman y M. Gell-Mann, Phys. Rev. 109, 193 (1958). [10] T. van Ritbergen y R. G. Stuart, Phys. Rev. Lett. 82, 488 (1999). [11] A. Czarnecki y B. Krause, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 51C, 148 (1996). [12] J. H. Koch, V. Pascalutsa y S. Scherer, Phys. Rev. C 65, 045202 (2002). [13] V. Pascalutsa, M. Vanderhaeghen y S. N. Yang, Phys. Rept. 437, 125 (2007). [14] Nuestras convenciones son: métricas (+,−,−,−), Ł0123 = +1, γ5 = iγ0γ1γ2γ3, la posición de γ para Dirac matrices y sus productos totalmente antisimétricos: = 1 [, ], = 1 ,, = 1 [, ].

An equilibrium problem for the limiting eigenvalue distribution of banded Toeplitz matrices

UN PROBLEMA EQUILIBRIO PARA LA LIMITACIÓN DISTRIBUCIÓN EGENÁLICA DE LA BANDEJA DE TOEPLITZ MATRICES Equivocados de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Resumen. Se estudia la distribución limitativa del valor propio de n×n banded Las matrices de Toeplitz como n →. De los resultados clásicos de Schmidt-Spitzer e Hirschman se sabe que los valores propios se acumulan en un spe- curva cial en el plano complejo y el conteo de valores propios normalizados medida converge débilmente a una medida en esta curva como n →. En este papel, caracterizamos la medida limitante en términos de un equilibrio problema. La medida limitante es un componente del vector único de medidas que minimizan una energía funcional definida en vectores de medidas. Además, mostramos que cada uno de los otros com- ponents es la medida limitante de la medida de conteo normalizado en ciertos valores propios generalizados. 1. Introducción Para una función integrable a : {z C = 1} → C definido en la unidad círculo en el plano complejo, la matriz de n× n Toeplitz Tn(a) con el símbolo a es definido por Tn(a) = aj−k, j, k = 1,..., n, (1.1) donde ak es el coeficiente kth Fourier de a, a(eiŁ)e−ik (1.2) En este artículo estudiamos matrices Toeplitz de bandas para las que el símbolo tiene sólo un número finito de coeficientes Fourier no cero. Asumimos que allí existen p, q ≥ 1 tales que a(z) = k, ap 6= 0, a−q 6= 0. (1.3) Departamento de Matemáticas, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200B, 3001 Lovaina, Bélgica. (maurice.duits@wis.kuleuven.be, arno.kuijlaars@wis.kuleuven.be). El primer autor es asistente de investigación del Fondo de Investigación Científica de Flandes. Los autores fueron apoyados por el Programa de la Fundación Europea de la Ciencia MISGAM. El segundo autor está apoyado por el proyecto FWO-Flanders G.0455.04, por K.U. Lovaina subvención de investigación OT/04/21, por la Atracción Interuniversitaria belga Polo NOSY P06/02, y mediante una subvención del Ministerio de Educación y Ciencia de España, código de proyecto MTM2005- 08648-C02-01. http://arxiv.org/abs/0704.0378v1 2 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Así Tn(a) tiene como máximo p + q + 1 diagonales distintas de cero. Como en [1, p. 263], nosotros también asumir sin pérdida de generalidad que g.c.d. {k Z ak 6= 0} = 1. (1.4) Estamos interesados en el comportamiento limitante del espectro de Tn(a) como n → فارسى. Utilizamos spTn(a) para denotar el espectro de Tn(a): SpTn(a) = C det(Tn(a)− ♥I) = 0} Propiedades espectrales de matrices Toeplitz bandadas son el tema de la reciente libro [1] de Böttcher y Grudsky. Nos referiremos a este libro con frecuencia, en particular en el capítulo 11, donde el comportamiento limitante del espectro es Debatida. El comportamiento limitante de spTn(a) fue caracterizado por Schmidt y Spitzer [10]. Consideraron el conjunto lim inf spTn(a), (1.5) que consiste en todos los C tal que existe una secuencia n}nN, con SpTn(a), convergiendo a ♥, y el conjunto lim sup spTn(a), (1.6) que consiste de todos los tales que existe una secuencia n}nÃ3n, con spTn(a), que tiene una subsecuencia que converge a ♥. Schmidt y Spitzer muestra que estos dos conjuntos son iguales y se pueden caracterizar en términos de la ecuación algebraica a(z) −  = k −  = 0. (1.7) Por cada C hay soluciones de p+q para (1.7), que denotamos por zj(♥), para j = 1,...., p+ q. Pedimos estas soluciones por valor absoluto, de modo que 0 < z1(l) ≤ z2(l) ≤ · · · ≤ zp+q(l). (1.8) Cuando todas las desigualdades en (1.8) son estrictas entonces los valores zk(l) son unambigu- Definido con fuerza. Si se producen ecualidades, entonces elegimos una numeración arbitraria por lo que (1.8) se mantiene. El resultado de Schmidt y Spitzer [10], [1, Teorema 11.17], es que lim inf spTn(a) = lim sup spTn(a) = ≤0 (1,9) donde 0 := = C (1.10) Este resultado da una descripción de la ubicación asintótica de los valores propios. Los valores propios se acumulan en el conjunto ­0, que es conocido por ser un disjunto unión de un número finito de arcos analíticos (abiertos) y un número finito de ex- puntos cepcionales [1, Teorema 11.9]. También se sabe que â € ¢ 0 está conectado EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 3 [13], [1, Teorema 11.19], y que no es necesario que C \ rem 11.20], [2, Proposición 5.2]. Ver [1] para muchas hermosas ilustraciones de valores propios de matrices Toeplitz de bandas. La distribución limitada del valor propio fue determinada por Hirschman [5], [1, Teorema 11.16]. Demostró que existe una medida de probabilidad Borel. μ0 en el valor de tales que la medida de conteo del valor propio normalizado de Tn(a) Converge débilmente a μ0, como n →. Es decir, spTn(a) → μ0, (1.11) donde en la suma cada valor propio se cuenta de acuerdo a su multiplicidad. La medida μ0 es absolutamente continua con respecto a la longitud del arco mea- seguro en 0 y tiene una densidad analítica en cada arco analítico abierto en 0, que se puede representar explícitamente en términos de las soluciones del algebraico ecuación (1.7) de la siguiente manera. Equipe cada arco analítico abierto en 0° con un orien- tación. La orientación induce ±-lados en cada arco, donde el +-lado está encendido la izquierda al atravesar el arco de acuerdo a su orientación, y el lado − está a la izquierda. La medida de limitación μ0 se da entonces por dμ0() = zj+() zj−() d/23370/. (1.12) en la que d es el elemento de línea compleja en ­0 (tomado de acuerdo con el orien- ) y donde zj±(l), l r ° ° ° °, es el valor límite de zj(l ′) como →  desde el lado ± del arco. Estos valores limitantes existen para cada uno de los valores siguientes:.............................................................................................................................................................. con la posible excepción del número finito de puntos excepcionales. Tenga en cuenta que el lado derecho de (1.12) es a priori una medida compleja y no está inmediatamente claro que se trate de una medida de probabilidad. En el original [5] y en el libro [1, Teorema 11.16], los autores dan un expresión diferente para la densidad limitante, de la que está claro que el la medida no es negativa. Preferimos trabajar con la expresión compleja (1.12), ya que permite una generalización directa que necesitaremos en este papel. Tenga en cuenta también que si revertimos la orientación en un arco en 0, entonces el ±- los lados están invertidos. Puesto que el complejo elemento de línea d♥ cambia el signo también, la expresión (1.12) no depende de la elección de la orientación. El siguiente es un ejemplo muy simple, que sin embargo sirve como un moti- la evaluación de los resultados en el papel. Ejemplo 1.1. Considere el símbolo a(z) = z+1/z. En este caso encontramos que En el caso de la Lebesgue, los valores de 0 = [−2, 2] y μ0 son absolutamente continuos. mide y tiene densidad dμ0() 4 - 2 (−2, 2). (1.13) 4 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Esta medida es bien conocida en teoría potencial y se llama el arcsine medida o la medida de equilibrio de 0, véase, por ejemplo, [9]. Tiene la propiedad que minimiza la energía funcional que definí por I(μ) = x− y dμ(x) dμ(y), (1.14) entre todas las medidas de probabilidad de Borel μ en [−2, 2]. La medida μ0 es también caracterizado por la condición de equilibrio log x− dμ0() = 0, x [−2, 2], (1,15) que es la condición de variación Euler-Lagrange para el prob de minimización El hecho de que μ0 es la medida de equilibrio de 0 es especial para los símbolos a con p = q = 1. En ese caso se puede pensar en los valores propios de Tn(a) como partículas cargadas en 0, cada valor propio que tiene una carga total 1/n, que repelen el uno al otro con interacción logarítmica. Las partículas buscan minimizar el energía funcional (1.14). Como n → ­, se distribuyen de acuerdo a μ0 y μ0 es el minimizador de (1.14) entre todas las medidas de probabilidad se apoya en el punto 0. El objetivo de este artículo es caracterizar μ0 para los símbolos generales a de la forma (1.3) también en términos de un problema de equilibrio de la teoría potencial. El problema de equilibrio correspondiente es más complicado ya que implica no sólo la medida μ0, sino una secuencia de p+ q − 1 medidas q+1, q+2,. ......................................................................... .., μp−2, μp−1 que juntos minimizan una energía funcional. 2. Declaración de resultados 2.1. La energía funcional. Para expresar nuestros resultados tenemos que introducir algunas nociones de la teoría potencial. Principales referencias para la teoría potencial en el plano complejo es [8] y [9]. Trabajaremos principalmente con medidas positivas finitas en C, pero también • la utilización de medidas positivas en los casos en que se trate de medidas positivas. No es necesario que las medidas tienen un apoyo limitado. Si tiene un apoyo ilimitado, entonces suponemos que log(1 + x) d/(x) < فارسى. (2.1) En ese caso, la energía logarítmica de ν se define como I( v) = x− y d(x)d(y) (2.2) y el apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 5 Definición 2.1. Me definimos como la colección de medidas positivas C satisfacción (2.1) y tener energía finita, es decir, I( v) <. Para c > 0 nosotros definir Me(c) = Me(C) = c}. 2.3) El Tribunal de Primera Instancia decidió: I(/l, ν2) = x− y d/1(x)d/2(y). (2.4) Es bien definido y finito si ν1, &2 ~ Yo y en ese caso tenemos I (/l) = I (/l) + I (/l) − 2I (/l) (2.5) Si ν1, ν2 me(c) para algunos c > 0, entonces I( v.1 − ν2) ≥ 0, (2.6) con igualdad si y sólo si ν1 = ν2. Se trata de un resultado bien conocido si se trata de los siguientes puntos: tienen soporte compacto [9]. Para las medidas en Me(c) con apoyo ilimitado, este es un resultado reciente de Simeónov [11], que obtuvo esto de una muy elegante representación integral de la I(l − ν 2). Es una consecuencia de (2.6) que yo es estrictamente convexo en Me(c), desde /1 + /2 (I / 1 + I / 2) − I /1 - /2 (I/l) + (I/l2), por el /1, ν2 • Me(c), con igualdad si y sólo si ν1 = ν2. Antes de que podamos declarar el problema del equilibrio también tenemos que introducir los conjuntos C , k = −q + 1,...., p− 1, (2.7) que para k = 0 se reduce a la definición (1.10) de ­0. Vamos a demostrar que la unión de un número finito de arcos analíticos abiertos y un número finito de puntos excepcionales. Todos los KK están sin límite, excepto 0K que es compacto. El problema de equilibrio se definirá para un vector de medidas denotadas por = (q+1,. ......................................................... El componente νk es una medida que satisface algunas propiedades adicionales que se dan en la siguiente definición. Definición 2.2. Llamamos a un vector de medidas = (q+1,. ............................................ Si se me permite, se apoya en la palabra «k», y νk(k) = si k ≤ 0, si k ≥ 0, (2.8) por cada k = −q + 1,..., p − 1. Ahora estamos listos para declarar nuestro primer resultado. La prueba se presenta en la sección 6 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Teorema 2.3. Dejar que el símbolo un satisfacer (1.3) y (1.4), y dejar que las curvas Se entenderá por «k» lo que se indica en el punto 2.7). Para cada k q + 1,...., p − 1}, defina la medir μk en k por dμk() = zj+() zj−() d/23370/, (2.9) donde d♥ es el elemento de línea compleja en cada arco analítico de Łk según a una orientación escogida de Kk (cf. debate después de (1.12)). Entonces a) = (q+1,. .., μp−1) es admisible. b) Existen constantes tales que log x dμk(x) = log x dμk+1(x) + log x dμk−1(x) + lk, (2.10) para k = −q + 1,...., p − 1, y Aquí dejamos que q y μp ser las medidas cero. c) = (q+1,. ..., μp−1) es el minimizador único de la func- ciones en el ámbito de la salud y la seguridad en el trabajo, así como en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo. J() = k=−q+1 I( vk)− k=−q+1 I( vk, vk+1) (2.11) para vectores admisibles de medidas = (q+1,. ......................................................... Las relaciones (2.10) son las condiciones de variación Euler-Lagrange para el problema de minimización para J entre vectores admisibles de medidas. Puede no ser obvio que la energía funcional (2.11) está limitada de abajo. Esto se puede ver en la representación alternativa J() = I( v0) + k(k + 1) I q+k − q+k+1 k + 1 k(k + 1) I − νp−k−1 k + 1 . (2.12) Dejamos el cálculo que conduce a esta identidad al lector. Debajo de la normalizacións (2.8) se sigue por (2.6) que cada término en las dos sumas finitas en el lado derecho de (2.12) no es negativo, de modo que J() ≥ I( v0). Dado que ν0 es una medida de probabilidad de Borel en 0 y 0 es compacto, de hecho tener que la energía funcional está limitada desde abajo en vectores admisibles de medidas. La representación alternativa (2.12) desempeñará un papel en la prueba de orem 2.3. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 7 Otra representación para J es J() = j,k=−q+1 Ajk I (/j, /k) (2.13) donde la matriz de interacción A tiene entradas Ajk = 1, si j = k, , si j − k = 1, 0, si j − k ≥ 2. (2.14) La energía funcional en la forma (2.13) y (2.14) también aparece en el teoría de la aproximación racional simultánea, donde es la interacción matriz para un sistema Nikishin [7, capítulo 5]. Permite la siguiente interpretación física: en cada una de las curvas uno pone partículas cargadas con carga total (q+k)/q o (p−k)/p, dependiendo en k ≤ 0 o k ≥ 0. Partículas que se encuentran en la misma curva repelen cada una otro. Las partículas en dos curvas consecutivas interactúan en el sentido de que se atraen entre sí pero de una manera que es la mitad de fuerte que la repulsión en una sola curva. Partículas en diferentes curvas que no son consecutivas no interactúen entre sí de una manera directa. 2.2. Las medidas μk como medidas limitantes de la ues. Por (1.12) y Teorema 2.3 sabemos que la medida μ0 que aparece en el minimizador de la energía funcional J es la medida limitante para el valores propios de Tn(a). Es natural preguntar sobre las otras medidas μk que aparecen en el minimizador. En nuestro segundo resultado mostramos que las medidas μk se puede obtener como medidas de conteo limitantes para ciertos valores propios. Deja k q+1,. .., p− 1}. Utilizamos Tn(z−k(a) para denotar el Toeplitz matriz con el símbolo z 7→ z−k(a(z) − Por ejemplo, para k = 1, q = 1 y p = 2, tenemos −k(a) = a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a−1 ... ... ... ... a2 a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a2 a1 Definición 2.4. Para k q + 1,...., p − 1} y n ≥ 1, definimos la polinomio Pk,n por Pk,n() = detTn(z −k(a− )) (2.15) y definimos el espectro generalizado kth de Tn(a) por spk Tn(a) = C Pk,n(♥) = 0}. (2.16) 8 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Finalmente, definimos μk,n como la medida de conteo cero normalizada de spk Tn(a) μk,n = spk Tn(a) (2.17) donde en la suma cada uno se cuenta de acuerdo a su multiplicidad como un cero de Pk,n. Nótese que el valor propio generalizado (en el sentido habitual) de فارسى spk Tn(a) es un valor propio generalizado (en el sentido habitual) para el lápiz de matriz (Tn(z) −ka), Tn(z −k)), es decir, det(A − B) = 0 con A = −ka) y B = Tn(z −k). Si k = 0, entonces B = I y sp0 Tn(a) = spTn(a). Si k 6= 0, entonces B no es invertible y el problema generalizado del valor propio es singular, causando que hay menos de n autovalores generalizados. De hecho, desde Tn(z −k(a)) tiene exactamente nk entradas a0, obtenemos fácilmente que el grado de Pk,n es a lo sumo n- k y por lo tanto hay a lo sumo n- k generalizado valores propios. Debido a la estructura de banda de Tn(z −k(a)) el número real de los valores propios generalizados es sustancialmente menor. Proposición 2.5. Deja k q+1,. .., p−1}. Let Pk,n() = γk,n/23370/dk,n + · · · tienen grado dk,n y coeficiente principal γk,n 6= 0. Entonces dk,n ≤ n, si k < 0, n, si k > 0. (2.18) La igualdad se mantiene en (2.18) si k > 0 y n es un múltiplo de p, o k < 0 y n es un múltiplo de q, y en esos casos tenemos γk,n = (−1)(k+1)nakn/q−q, si k < 0 y n+ 0 mod q, (−1)(k+1)nakn/pp, si k > 0 y n+ 0 mod p. (2.19) Llegamos ahora a nuestro segundo resultado principal. Es el análogo de los resultados de Schmidt-Spitzer e Hirschman para los valores propios generalizados. Teorema 2.6. Let k q + 1,..., p− 1}. Entonces lim inf spk Tn(a) = lim sup spk Tn(a) = Łk, (2.20) (z) dμk,n(z) = (z) dμk(z) (2.21) se mantiene para cada función continua limitada en C. El elemento clave en la prueba de Teorema 2.6 es una fórmula hermosa de Widom [14], véase [1, Teorema 2.8], para el determinante de una banda Toeplitz matriz. En la situación actual, la fórmula de Widom produce lo siguiente. Vamos. * C sea tal que las soluciones zj(♥) de la ecuación algebraica (1.7) sean Se distinguen entre sí. Entonces Pk,n() = detTn(z −k(a− )) = CM (l) (m) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) (l) () (l) (l) (l) () () ()) () () () () () () () () ()) () () () () () () () () ())) () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())))) () () () () ())))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( , (2.22) EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 9 donde la suma es sobre todos los subconjuntos M {1, 2,...., p+ q} de cardinalidad M = p- k y para cada M, tenemos wM (♥) := (−1)p−kap zj(l), (2.23) y (con M := {1, 2,...., p+ q} \M), CM (­) := zj() (zj(l)− zl(l)−1. (2.24) La fórmula (2.22) muestra que para n grandes, la principal contribución proviene de los M para los cuales wM () es el más grande posible. Para C único tal M, a saber: M = Mk := {q + k + 1, q + k + 2,...., p + q} (2,25) debido a la orden (1.8). 2.3. Resumen del resto del periódico. En la sección 3 indicaremos algunos resultados preliminares sobre las propiedades analíticas de las soluciones zj de al- ecuación gebraica (1.7). Estos resultados serán necesarios en la prueba de Teorema 2.3, que figura en la sección 4. En la sección 5 probaremos la Proposición 2.5 y Teorema 2.6. Por último, concluimos el documento dando algunos ejemplos. en la sección 6. 3. Preliminares En esta sección recogemos una serie de propiedades de las curvas k y el soluciones z1(l),. ..., zp+q() de la ecuación algebraica (1.7). Para mayor comodidad definimos a lo largo del resto del papel q = p =, y q = μp = 0. (la medida cero). Ocasionalmente también usamos z0(l) = 0, zp+q+1(l) =. 3.1. La estructura de las curvas. Comenzamos con una definición, cf. [1, §11.2]. Definición 3.1. Se denomina punto C un punto de rama si a(z) − فارسى0 = 0 tiene una raíz múltiple. Un punto 0 es un punto excepcional del punto 1 si el punto 0 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto de 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto punto de la rama, o si no hay un barrio abierto U de tal manera que un arco analítico que comienza y termina en U. Si es un punto de rama, entonces hay un z0 tal que a(z0) = Ł0 y a′(z0) = 0. Entonces podemos asumir que z0 = zq+k(­0) = zq+k+1(­0) para algunos k y ­0 â € € € € € · k. Para un símbolo a de la forma (1.3), la derivada a′ tiene exactamente p+q ceros (contado con multiplicidad), de modo que hay exactamente p+q rama puntos contados con multiplicidad. 10 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Las soluciones zk() también tienen ramificación en el infinito (a menos que p = 1 o q = 1). Hay soluciones de p de (1.7) que tienden al infinito como que tienden a 0. De hecho, tenemos zk() = −1/q(1 +O(1/q)), para k = 1,..., q, 1/p(1 +O(1/p)), para k = q + 1,..., p + q, (3.1) como ♥ → فارسى. Aquí c1,. ..., cq son las soluciones q distintas de cq = a−q (tomado en un poco de orden dependiendo de ♥), y cq+1,. .., cp+q son las soluciones distintas p de cp = a−1p (de nuevo se toma en algún orden dependiendo de ). La siguiente proposición da la estructura de k en el infinito. Proposición 3.2. Deja k q+1,. .............................................................................................. Luego hay un R > 0 De tal manera que la unión finita de los arcos analíticos, cada uno se extiende de = R hasta el infinito. Prueba. La prueba es similar a la prueba de [1, Proposición 11.8] donde un Teorema de estructura similar se demostró para los puntos de rama finitos. Omitimos el detalles. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De la Proposición 3.2 se deduce que los puntos excepcionales de la letra k) son los siguientes: Conjunto limitado. Dado que el conjunto de puntos excepcionales es discreto, concluimos que sólo hay finitamente muchos puntos excepcionales. Entonces tenemos lo siguiente resultado acerca de la estructura de k. Proposición 3.3. Por cada k q + 1,...., p − 1}, el set k es el unión disjunta de un número finito de arcos analíticos abiertos y un número finito de puntos excepcionales. El set no tiene puntos aislados. Prueba. Esto se demostró para k = 0 en [10] y [1, Teorema 11.9]. Por cuestiones generales k, sólo hay finitamente muchos puntos excepcionales y la prueba sigue en un De manera similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. La superficie de Riemann. De la Proposición 3.3 se deduce que las curvas Se pueden tomar como cortes para la superficie p + q-hoja de Riemann de la alge- ecuación bráica (1.7). Numeramos las hojas de 1 a p+ q, donde la kth hoja de la superficie de Riemann es Rk = C zk−1(l) < zk(l) < zk+1(l) = C \ (q+k−1 q+k). (3.2) Por lo tanto zk es bien definido y analítico en Rk. El caso más fácil de visualizar es el caso en el que los cortes consecutivos son disjuntos, es decir, q+k−1 q+k = فارسى por cada k = 2,...., p+ q− 2. En ese caso nosotros tener que Rk está conectado a Rk+1 vía q+k en la forma transversal habitual, y zk+1 es la continuación analítica de zk a través de q+k. El caso general se describe en la siguiente propuesta. Proposición 3.4. Supongamos que A es un arco analítico abierto de tal manera que A q+k, para k = k1,. ..., k2, y A.» (q+k1−1 q+k2+1) >.............................................................................................................................................................................................................................................. Entonces para k = EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 11 k1,. .., k2+1, tenemos que la continuación analítica de zk a través de A es igual a zk1+k2−k+1. Por lo tanto a través de A, tenemos que Rk está conectado a Rk1+k2−k+1. Prueba. Tenemos eso. zk1(♥) = zk1+1(l) = · · · = zk2(l) = zk2+1(l) en el caso de A, con desigualdades estrictas (<) en el caso de A, a ambos lados de A. Elija una orientación para A. Luego hay una permutación η de {k1,. ............................................................... que zη(k) es la continuación analítica de zk desde el +-lado de A a la - Parte de A. Asumir que hay k, k′ {k1,. ............................................................... η(k) < η(k′). Toma un regular de 0 A y un pequeño barrio U de 0 tal que Aâ € ~ U = q+k â € ~ U = q+k′ â € ~ U y Aâ ~ U es un arco analítico que comienza y terminando en U. Entonces tenemos una unión desarticulada U = UU(AU) donde U+ (U−) es la parte de U en el lado + (−) de A. La función * Definido por: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa. zk() zk′ () , en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental. zl(k)(l) zl(k′)(l) , a favor de U−, tiene una continuación analítica a U, y satisface ( y () = 1 para فارسى A U. Esto contradice el principio máximo para funciones analíticas. Por lo tanto, η(k) > η(k′) por cada k, k′ {k1,. ............................................................... con k < k′, y esto implica que η(k) = k1 + k2 − k + 1 para cada k = k1,. .., k2 + 1, y la proposición sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3. Las funciones wk(♥). Un papel importante es jugado por las funciones wk, que para k q + 1,..., p − 1}, se definen por wk() = zj(l), para  C \ k. (3.3) Tenga en cuenta que wk = (−1)p−ka−1p w{1,...,k} en la notación de (2.23). Proposición 3.5. La función wk es analítica en C \ Łk. Prueba. Dado que zj es analítico en Rj = C \ (q+j−1 q+j), ver (3.2), nosotros obtener de su definición que wk es analítico en C \ j=1 q+j. Dejad en paz un arco analítico en q+j \ k para algunos j < k + q. Elegir una orientación en A. Dado que el arco es desconectado de Łk, tenemos que zj+( * A y j = 1,........................................................................................................................................................................................................................................................... Desde wk es simétrico en el zj ’s para j = 1,...., q + k, se sigue que wk+(l) = wk−(l), en el caso de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b). que muestra la analítica en C k con la posible excepción de aislado singularidades en los puntos excepcionales de q+1, q+2,. ............................................................................... Sin embargo, cada zj, y por lo tanto también wk, está limitado cerca de un punto tan excepcional, para que cualquier singularidad aislada sea removible. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS En el resto del papel hacemos uso frecuente de la logarítmica de- Rivative w′k/wk de wk. Por el hecho de que el wk no desaparece en C \ Proposición 3.5, se deduce que w′k/wk es analítico en C \ Łk. Por proposición 3.4 Además, tiene una continuación analítica en cada arco analítico abierto A â € â € TM ak. Cerca de los puntos excepcionales que no son puntos de rama w′k/wk re- Mando delimitado. En los puntos de rama sin embargo puede tener singularidades de un cierto orden. Proposición 3.6. Deja que sea un punto de rama de la letra de la letra °k. Entonces existe an m ° N de tal manera que w′k() wk(l) ( 0)-m/(m+1) , (3.4) como  → 0 con  C \ Łk. Prueba. Dejar 1 ≤ j ≤ q+k. Investigamos el comportamiento de zj(e) cuando....................................................................................................................................................... de tal manera que se mantenga en un componente conectado de C \ (j−1 j). Entonces zj() → z0 para algunos z0 C con a(z0) = 0. Que m0 + 1 sea la multiplicidad de z0 como solución de a(z) = 0. Entonces a(z) = 0 + c0(z − z0)m0+1(1 + O(z − z0)), z → z0, (3.5) para algunas constantes no cero c0. Por lo tanto, zj() = z0 +O(( 0)1/(m0+1)), (3.6) z′j() = O(( 0)−m0/(m0+1)), (3.7) en el caso de los  → 0 de tal manera que  permanezca en el mismo componente conectado de C \ (j−1 j). Dejar m ser el máximo de todas las multiplicidades de las raíces de a(z) = 0. Entonces se deduce de (3.6) y (3.7) que z′j() zj() = O(( 0)−m/(m+1)) como  → 0 con  C \ Łk. Entonces obtenemos (3.4) en vista de (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Terminamos esta sección dando las asintóticas de w′k/wk para Proposición 3.7. Como ♥ → con فارسى C \ k, tenemos w′k() wk(l) − q+k 1 +O 1−1/q , para k = −q + 1,...,−1, 1 +O(2), para k = 0, 1 +O 1−1/p , para k = 1,..., p − 1. (3.8) Prueba. Esto sigue directamente de (3.1) y (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 13 4. Prueba del teorema 2.3 Utilizamos la función wk introducida en (3.3). Definimos μk por la fórmula (2.9) y observamos que dμk() = w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) d/23370/. (4.1) Proposición 4.1. Para cada k = −q + 1,..., p − 1, tenemos que μk es un medida en ­k con masa total μk(­k) = (q + k)/q si k ≥ 0, y μk(­k) = (p− k)/p si k ≥ 0. Prueba. Primero mostramos que μk es una medida, es decir, que no es negativo en cada arco analítico de k. Dejar A ser un arco analítico en k que consiste sólo de puntos regulares. Let t 7→ (t) ser una parametrización de A en la dirección de la orientación de Łk. Entonces dμk() = w′k+((t)) wk+(l(t)) w′k−(l(t)) wk−(l(t)) (t)dt wk+(l(t)) wk−(l(t)) Para concluir que μk no es negativo en A, basta con demostrar que Volver a registrar wk+() wk−(l) = 0, en el caso de las letras A, (4.2) Im log wk+() wk−(l) aumenta a lo largo de A. (4.3) Desde que wk+(el) = wk−(el) para el A, tenemos (4.2) de modo que sólo queda para demostrar (4.3). Hay un barrio U de tal manera que U \ k tiene dos componentes, denotado U+ y U−, donde U+ está en el lado + de Łk y U− en el lado −. De la Proposición 3.4 se deduce que wk tiene una continuación analítica de U- a U, que denotamos por k, y que wk(l) < k(l), y la igualdad wk+(l) = k(l) se sostiene en el caso de A. Así pues, se deduce que Volver a registrar wk(l) *Kk*............................................................................................................................................................................................................................................................. ≤ 0, en el caso de la letra A, donde ♥ indica la derivada normal a A en la dirección de U+. Entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que Im log wk+() •k+(l) está aumentando a lo largo de A. Puesto que k+(l) = wk−(l) para A, obtenemos (4.3). Por lo tanto, μk es un medida. A continuación mostramos que μk es una medida finita, lo que significa que tenemos que mostrar que w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) (4.4) 14 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS Gráfico 1 Ilustración de las pruebas de las Propuestas 4.1 y 4.2. La línea sólida es un bosquejo de un posible contorno. Los línea discontinua es el contorno k,R y la línea punteada es la límite de un disco de radio R alrededor de 0. es integrable cerca del infinito en el k y cerca de cada punto de rama en el k. Esto sigue de las Proposiciones 3.7 y 3.6. De hecho, de la Proposición 3.7 se desprende w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) 1 a partir de la fecha de entrada en vigor del presente Acuerdo, la Comisión podrá adoptar actos delegados con arreglo a lo dispuesto en el artículo 4, apartado 1, del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, a más tardar el 31 de diciembre de 2017. (4.5) en los que  = 1/q si k < 0 y  = 1/p si k > 0. Desde el principio, vemos eso. (4.4) es integrable cerca del infinito. Para un punto de sucursal ­0 de ­k, tenemos de Proposición 3.6 que existe un m ≥ 1 tal que w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) ( 0)-m/(m+1) a partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión. (4.6) Esto muestra que (4.4) es integrable cerca de cada punto de rama. Por lo tanto, μk es un medida finita. Finalmente calculamos la masa total de μk. LetD(0, R) = {z C < R}. Entonces para R lo suficientemente grande, de modo que D(0, R) contiene todos los puntos excepcionales de «K» y todos los componentes conectados de «C» (si los hay), μk(k D(0, R)) = D(0,R) w′k+() wk+() D(0,R) w′k−() wk−(l) (4.7) donde hemos utilizado el comportamiento (4.6) cerca de los puntos de rama para ser capaz de dividir las integrales. Otra vez usando (4.6) podemos girar los dos integrales en el contorno integral sobre el contorno k,R como en la Figura 1. Los contorno k,R pasa a lo largo de los ±-lados de k D(0, R) y si elegimos la orientación que también se muestra en la Figura 1 (y que es independiente de la EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 15 elección de la orientación para k), a continuación, μk(k D(0, R)) = k,R w′k() wk(l) d/23370/. (4.8) Las partes de k,R que pertenecen a los componentes delimitados de C k forma cerrada contornos a lo largo del límite de cada componente limitado. Por Cauchy’s teorema su contribución a la integral (4.8) desaparece. Las partes de k,R que pertenecen a los componentes sin límite de C k se puede deformar a la circulo D(0, R) con la orientación en sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, si utilizamos el positivo orientación sobre ŁD(0, R) como en la Figura 1, entonces obtenemos de (4.8) μk(k+D(0, R)) = − D(0,R) w′k() wk(l) Dejando R → y usando la Proposición 3.7, entonces encontramos que μk es una medida en k) con masa total μk () = (q + k)/q si k ≤ 0, y μk () = (p− k)/p si k ≥ 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La siguiente propuesta es el siguiente paso para demostrar que las medidas μk de (2.9) satisfacen las ecuaciones (2.10). Proposición 4.2. Para k = −q + 1,..., p− 1, tenemos que dμk(x) x−  = w′k() wk(l) , en el caso de la letra c) del apartado 4 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 8, en el caso de la letra c) del artículo 8, en el caso de la letra c) del apartado 1, en el apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c), en el caso de la letra c), en el apartado 1, en el caso de la letra c) del apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c) del apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c). log x dμk(x) = − log wk( donde αk es la constante log a−q kq log a−q, si k ≤ 0, log a−q − kp log ap, si k ≥ 0. (4.11) Prueba. Para probar (4.9), seguimos los mismos argumentos que en el cálculo al final de la prueba de la Proposición 4.1. Dejemos que C, C y K, y elegir R > 0 como en la prueba de la Proposición 4.1. Podemos asumir R >. Entonces similar a (4.7) y (4.8) podemos escribir D(0,R) dμk(x) x−  = k,R w′k(x) wk(x)(x− ) donde k,R tiene el mismo significado que en la prueba de la Proposición 4.1, véase también Gráfico 1 Como en la prueba de la Proposición 4.1 nos deformamos a una integral sobre D(0, R), pero ahora tenemos que tener en cuenta que el integrand tiene un polo a x =  con residuo w′k()/wk(). Por lo tanto, por el teorema de Cauchy D(0,R) dμk(x) x−  = w′k() wk(l) D(0,R) w′k(x) wk(x)(x− ) dx. (4.12) Dejando R → y usando la Proposición 3.7 da (4.9). 16 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS A continuación nos integramos (4.9) sobre una curva jordana J en C \ Łk de x− dμk(x) d/23370/ = − ∫ ∫ 2 x−  d dμk(x) (log 1 − x − log 2 − x iJ [arg( x)]) dμk(x), (4.13) donde ŁJ [arg(♥ − x)] denota el cambio en el argumento de ♥ − x como cuando ♥ varía por encima de J de 1 a 2. Por (4.9) la integral (4.13) es igual a w′k() wk(l) ............................................................................................................................................................................................................................................................... (4.14) Ecuando las partes reales de (4.13) y (4.14) obtenemos (log 1 − x − log 2 − x) dμk(x) = − log wk(l) log wk(l). (4.15) Puesto que el 1 y el 2 pueden ser tomados arbitrariamente en un componente conectado de Ck, nos encontramos con que existe una constante αk R (que a priori podría depender de el componente conectado) de tal manera que log x dμk(x) = − log wk(♥) αk, (4.16) para todos los elementos de un componente conectado de C \ Łk. Por continuidad la ecuación (4.16) se extiende al cierre del componente conectado, lo que demuestra que la misma constante αk es válida para todos los componentes conectados. Así (4.16) Sostiene para todos los puntos C. El valor exacto de αk puede entonces ser determinado por la expansión (4.16) para grande........................................................................................................... Supongamos, por ejemplo, que k < 0. Luego por (3.1) y (3.3) wk(♥) = zj(♥) = a−q(q+k)/q(q+k)/q 1 +O(1/q) como ♥ → فارسى. Por lo tanto − log wk(♥) = q + k log − q + k log a−qO(1/q). (4.17) Desde log x dμk(x) = log k(Łk) + o(1) = q + k log o(1) (4.18) como  → فارسى, el valor (4.11) para αk sigue de (4.16), (4.17), y (4.18). Los argumento para k > 0 es similar. Esto completa la prueba de la proposición. Para probar la parte c) del Teorema 2.3 también necesitamos el siguiente lema. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 17 Lemma 4.3. Let 1 = ( v1,−q+1. ........................................................................ ................................................................................... dos vectores admisibles de medidas. Entonces J(1 − 2) está bien definido y J(1 − 2) ≥ 0, (4.19) con igualdad si y sólo si 1 = 2. Prueba. Puesto que tanto 1 como 2 tienen energía finita, encontramos que J(1 − 2) es bien definido. Según la representación alternativa (2.12), tenemos J(1 − 2) = I(/1,0 - /2,0) k(k + 1)I /1, -q+k - /2, -q+k − ν1,−q+k+1 k + 1 v2, -q+k+1 k + 1 k(k + 1)I /1,p−k /2,p−k /1,p−k−1 k + 1 /2,p−k−1 k + 1 (4.20) Usando (2.6) y (2.8), vemos que todos los términos en (4.20) no son negativos y por lo tanto (4.19) sostiene. Supongamos ahora que J(1 − 2) = 0. Entonces todos los términos en el lado derecho de (4.20) son cero, por lo que /1,0 = /2,0, (4.21) /1, -q+k v2, -q+k+1 k + 1 /1, -q+k+1 k + 1 /2, -q+k , para k = 1,...., q − 1, (4.22) /1,p−k /2,p−k−1 k + 1 /1,p−k−1 k + 1 /2,p−k , para k = 1,..., p− 1. (4.23) Usando (4.21) en (4.22) con k = q − 1, encontramos v1, −1 = v2, −1. Proceder inductivamente obtenemos entonces de (4.22) que v1,k = ν2,k para todos k = −q + 1,..., 0. Del mismo modo, a partir de (4.21) y (4.23) se deduce que ν1,k = ν2,k para k = 0,..., p− 1, de modo que 1 = 2 como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos listos para la prueba del Teorema 2.3. Prueba de Teorema 2.3. a) Habida cuenta de la Proposición 4.1, sólo queda mostrar que μk Me por cada k = −q + 1,...., p − 1. Estimación de la desintegración (4.5) implica que log(1 + ) dμk( El hecho de que I(μk) < es consecuencia de (4.10). De hecho, I(μk) = − log xdμk(x)dμk(l) = (log wk(l) − αk)dμk(l) 18 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS y esto es finito ya que μk es una medida finita en k con una densidad que decae como en (4.5) y log wk( times log as Así es admisible y parte (a) es probada. (b) Según (4.10) tenemos log x dμk(x)− log x dμk+1()− log x dμk−1() = −2 log wk(♥) 2αk + log wk+1(♥) − αk+1 + log wk−1(♥) − αk−1 = log wk+1(l)wk−1(l) wk(l) + 2αk − αk+1 − αk−1 = log zq+k+1() zq+k() + 2αk − αk+1 − αk−1. (4.24) Desde zq+k(l) = zq+k+1(l) para Ł k, vemos a partir de (4.24) que (2.10) mantiene con constante lk = 2αk − αk−1 + αk+1. (4.25) Tenga en cuenta que para k = −q + 1 y k = p − 1, estamos utilizando la convención que q = μp = 0, y también hemos puesto q = αp = 0. Esto demuestra la parte b). (c) Let = (q+1,. ............................................................... Desde la representación (2.13) obtenemos J() = J( − ) = J() + J( − ) + 2 j,k=−q+1 AjkI(μj, vk − μk). (4.26) Usando (2.14), encontramos desde (4.26) J() = J() + J( − ) + k=−q+1 I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) (4,27) Para cada k = −q + 1,..., p − 1, tenemos I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) log x d(2μk − μk−1 − μk+1)(x) d( vk − μk)(l) (4.28) Por (2.10) la integral interna en el lado derecho de (4.28) es constante para * * *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* Dado que νk y μk son medidas finitas en ­k con νk(k) = μk(k), nos encontramos de (4.28) que I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) = 0, para k = −q + 1,...., p− 1. Entonces (4.27) muestra que J() = J()+J(), que por Lemma 4.3 implica que J() ≥ J() y la igualdad sostiene si y sólo si =. Esto completa la prueba del Teorema 2.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 19 5. Pruebas de la Proposición 2.5 y el Teorema 2.6 5.1. Prueba de la Proposición 2.5. Ahora probaremos la Proposición 2.5, que sigue por un argumento combinatorio. Prueba de la Proposición 2.5. Demostramos (2.18) y (2.19) para k > 0. El caso k < 0 es similar. Expandamos primero el determinante en la definición de Pk,n() = detTn(z −k(a− )) = (a-)j(j)+k. (5.1) Aquí Sn denota el conjunto de todas las permutaciones en {1,..., n}. Por la estructura de la banda... ración de Tn(z −k(a •)) se deduce que sólo tenemos contribuciones distintas de cero a partir de permutaciones η que satisfagan k − p ≤ η(j) − j ≤ q + k, para todos j = 1,..., n. (5.2) Definir para Nη = {j η(j) = j + k}. (5.3) y denotar el número de elementos de Nη por N. Por cada Sn que tenemos j=1(a)j(j)+k es un polinomio en ♥ de grado a lo sumo N. Así que por (5.1) dk,n = degPk,n ≤ máx. N (5.4) donde maximizamos sobre permutaciones Deja que Sn se satisfaga (5.2). Demostramos (2.18) dando un límite superior por N. Desde j=1((j) − j) = 0 obtenemos (η(j) − j)+ = (j) (j) (j)+, (5.5) donde (·)+ se define como (a)+ = max(0, a) para un R. contribución k a la izquierda de (5.5). Por lo tanto, el lado izquierdo es por lo menos kN. Por (5.2) tenemos que cada término en el lado derecho es a lo sumo p- k. Por otra parte, hay a lo sumo n- N términos no cero en este suma. Combinando esto con (5.5) conduce a kN ≤ (η(j) − j)+ = (j) (j) (j) + ≤ (n) (p) (k). (5.6) Por lo tanto, si  es una permutación satisfactoria (5.2) N ≤ n(p− k) . (5.7) Ahora (2.18) sigue combinando (5.7) y (5.4). Para probar (2.19), suponemos que n • 0 mod p. Afirmamos que existe un η único tal que la igualdad se mantiene en (5.7). Entonces la igualdad se mantiene en ambos 20 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS las desigualdades de (5.6) y los argumentos anteriores muestran que esto sólo puede suceder η(j) = j + k, o η(j) = j − p+ k, (5.8) por cada j = 1,..., n. Alegamos que existe una permutación única, a saber: η(j) = j + k, si j • 1,.............................................................................................................................................. j − p+ k, si j فارسى (p− k + 1),. .., p mod p. (5.9) Para ver esto deje que π sea una permutación satisfactoria (5.8). Los números 1,..., p− k no puede satisfacer η(j) = j−p+k y así satisfacer η(j) = j+k. Por otro lado mano, los números 1,..., k no puede ser la imagen de los números j satisfactoria η(j) = j + k, y así η(j) = j − p + k para j = p − k + 1,..., p. So (5.9) ......, p. Esto significa, en particular, que la restricción de {p + 1,..., n} es de nuevo una permutación, pero ahora en {p + 1,..., n}. Por el los mismos argumentos encontramos entonces que (5.9) se sostiene para j = p + 1,..., 2p, y así En adelante. El resultado es que (5.9) es de hecho la única permutación que satisface (5.8). Por último, un cálculo sencillo muestra que el coeficiente de (p-k)n/p j=1(a − )j(j)+k con π como en (5.9) es distinto de cero y dado por (2.19). Esto prueba la proposición. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.2. Prueba de Teorema 2.6. Antes de empezar con la prueba de Teorema 2.6 En primer lugar probamos la siguiente proposición relativa a la asintótica para Pk,n para n → فارسى. Proposición 5.1. Dejar Mk = {q + k + 1,..., p+ q}. Tenemos eso. Pk,n(l) = (wMk(l)) nCMk() (1 +O(exp(−cKn)), n → فارسى, (5.10) uniformemente en subconjuntos compactos K de C \ Łk. Aquí cK es una constante positiva dependiendo de K. Prueba. Primera reescritura (2.22) como Pk,n(l) = (wMk(l)) nCMk(l) (1 +Rk,n(l)). (5.11) con Rk,n definido por Rk,n() = M 6=Mk (wM ()) nCM () (wMk()) nCMk() . (5.12) Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Si K no contiene puntos de rama entonces existe A,B > 0 tal que A < CM () < B (5.13) para todos los de K y M. Por otra parte, tenemos wM () wMk() zq+k() zq+k+1() ≤ sup zq+k() zq+k+1() < 1, (5.14) EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 21 para todos los tipos de M6= Mk. Por lo tanto, uno verifica fácilmente a partir de (5.11) que existe cK de tal manera que Rk,n(♥) ≤ exp(−cKn) para todos Lo suficientemente grande. Esto demuestra la afirmación en el caso de que K no contenga rama puntos. Supongamos que K contiene puntos de rama. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que todos los puntos de rama se encuentran en el interior de K (de lo contrario reemplazar K por un conjunto compacto más grande). El límite K de K es un com- pacto establecido sin puntos de rama y, por lo tanto, (5.10) se mantiene para por encima de los argumentos. Puesto que wMk y CMk son analíticos en K, encontramos por (5.11) que Rk,n es analítico en K. El principio de módulo máximo para el análisis funciones establece que supzÃ3K Rk,n(z) = supzK Rk,n(z) y por lo tanto nosotros obtener que (5.10) también se mantiene para K con la misma constante cK = cK. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora decimos dos consecuencias particulares de (5.10). Corollary 5.2. Let k q + 1,..., p − 1}. Para cada set compacto K â € ¢ Tenemos que μk,n(K) = 0 para n lo suficientemente grande. Prueba. Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Por (5.10) se deduce que Pk,n no tiene ceros en K para n grande. Puesto que nμk,n(K) es igual al número de ceros de Pk, y en K el corolario sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 5.3. Let k q + 1,..., p− 1}. Tenemos eso. dμk,n(x) x−  = dμk(x) x− , (5.15) uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Łk. Prueba. Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Tenga en cuenta que dμk,n(x) x−  = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * P ′k,n() nPk,n(l) , (5.16) con Mk y cK como en la Proposición 5.1 obtenemos de (5.10) P ′k,n() nPk,n(l) w′Mk() wMk() +O(1/n), n → •, (5.17) uniformemente en K. Reescribamos el lado derecho de (5.17). Expandiendo ambos lados de zq(a(z)− ) = ap j=1(z − zj()) y recoger la constante términos que obtenemos (−zj()) = . (5.18) Desde el principio, podemos dividir este producto en dos partes, tomar el logarítmico derivado y uso (3.3) y (2.23) para obtener z′j() zj() j=q+k+1 z′j() zj() w′k() wk(l) w′Mk() wMk() . (5.19) 22 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS Combinando (5.16), (5.17) y (5.19), obtenemos dμk,n(x) x−  = w′k() wk(l) (5.20) uniformemente en K. Entonces (5.15) sigue de (5.20) y (4.9). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos listos para la prueba del Teorema 2.6. Prueba de Teorema 2.6. Primero probamos (2.21). Por la Proposición 2.5 y el hecho de que es admisible, tenemos (véase (2.8)) μk,n(C) = degPk,n ≤ μk(C), (5.21) por cada n.o N.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E. Que C0(C) sea el espacio Banach de las funciones continuas en C que desaparecen en el infinito. El espacio dual C0(C) * de C0(C) es el espacio del complejo regular Borel medidas en C. Por (5.21) la secuencia (μk,n)nÃ3nÃ3n pertenece a la bola en C0(C) * centrado en el origen con radio μk(C), que es débil * compacto por el teorema de Banach-Alaoglu. Dejemos que μk, sea el límite de un débil ∗ convergente subsecuencia de (μk,n)nâ € N. Por convergencia débil* y corolario 5.2 obtenemos que μk, en la kk. Combinando esto con (5.15) y los débiles ∗ La convergencia conduce a dμk(x) x−  = dμk (x) x− , (5.22) por cada "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "" de "C" de "C" de "" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "C" de "" de "" de "" de "C" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" "" "" de "" "" "" de "" "" "" "" "" "" de "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" "" "" "" "" "" "" de "" Las integrales en (5.22) son conocidas en la literatura como el Cauchy se transforma de las medidas μk y μk. La transformación de Cauchy en?k es un mapa inyector que mapea las medidas en?k a las funciones que son análisis en C \ Łk (se puede encontrar fórmulas explícitas de inversión, ver por ejemplo los argumentos de [9, Teorema II.1.4] o la fórmula de inversión Stieltjes-Perron en el caso especial «k R»). Por lo tanto, se deduce de (5,22) que μk, = μk. Por lo tanto μk,n = μk (5.23) en el sentido de convergencia débil* en C0(C) ∗. Por lo tanto (2.21) se mantiene si función continua que desaparece en el infinito. De (5.21) y (5.23) también se desprende que μk,n(C) = μk(C), (5.24) A continuación, la secuencia (μk,n)n®N es estrecha. Es decir, por cada > 0 existe un K compacto de tal manera que μk,n(C \K) < argumento de proximación ahora se puede demostrar que (2.21) se mantiene para cada límite función continuum  on C. Teniendo (2.21) y Proposición 5.1, podemos probar (2.20) como en [1, Theo- rem 11.17]. De hecho, los sets lim infnÃ3 spk Tn(a) y lim supnà spk Tn(a) igualar el soporte de μk, que es k. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 23 –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 lambda –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 lambda Gráfico 2 Ilustración para el ejemplo 1: Las densidades del medidas μ0 (izquierda) y μ1 (derecha) para a = 4(z+1)3 6. Ejemplos 6.1. Ejemplo 1. Como primer ejemplo considere el símbolo un definido por a(z) = 4(z + 1)3 . (6.1) En este caso tenemos p = 2 y q = 1. Así que obtenemos dos contornos •1 con dos medidas asociadas: μ0 y μ1. Este ejemplo apareció en [3], en la que los autores dieron expresiones explícitas para el valor 0 y el valor μ0. Lo siguiente: la proposición también contiene expresiones para el 1 y el μ1. En lo que sigue tomamos las ramas principales para todos los poderes fraccionarios. Proposición 6.1. Con un como en (6.1), tenemos que 0 = [0, 1] y dμ0() = d/23370/. (6.2) Por otra parte, 1 ° = (, 0] y dμ1() = )1/3 − 1 - 1 ()2/3 d/23370/. (6.3) Prueba. Un cálculo sencillo muestra que  = 0 y  = 1 son los puntos de rama. Dejemos que el punto de partida no sea un punto de rama, y supongamos que el punto de partida no es un punto de rama. Existen Y1, y2 C tal que y1 6= y2, y1 = y2 y a(y1) = a(y2) = ♥. Entonces... sigue de (6.1) que y1+1 = y2+1. Por lo tanto y1 y y2 son intersección puntos de un círculo centrado en −1 y un círculo centrado en el origen. Desde y1 6= y2, esto significa que y1 = y2 y, por lo tanto, a(y1) = a(y2) = a(y1) = Una nueva investigación muestra que a(z) tiene 3 diferentes ceros reales si  > 1. Si  < 1 y  6= 0 entonces a(z) −  tiene exactamente 1 real cero y 2 conjugar ceros complejos. Por lo tanto, "0 " " 1 " = ( ", 1 " ). 24 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 k = 0 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 k = 1 Gráfico 3 Ilustración para el ejemplo 1: El espectro spT50(a) (top) y el espectro generalizado sp1T50(a) (bot- tom), para el símbolo a = 4(z+1)3 Ahora vamos a mostrar que 0 = [0, 1] y 1 = (, 0]. Por Cardano’s fórmula las soluciones de la ecuación algebraica a(z) = zj(♥) = −1− 3ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1 + (1− )1/2 + j 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 2 (6.4) en el caso de la letra a) de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. zj() = −1+ 3()1/3 1 + (1− )1/2 − j−2 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1--1--1--1--1--1-1-1-1-1-1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1- (6.5) en lugar de la letra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En este caso, el valor de la unidad de medida es el valor de la unidad de medida de la unidad de medida. Uno puede comprobar que z1(el) = z2(el) < z3(♥) para فارسى (0, 1) y z1(l) < z2(l) = z3(l) para Más... sobre, para  = 0 tenemos z1(0) = z2(0) = z3(0) = −1. Por lo tanto, 0 ° = [0, 1] + 1 = (+, 0). La densidad (6.2) ya fue dada en [3] y (6.3) sigue en un similar Camino. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En la Figura 2 trazamos las densidades de μ0 y μ1. Tenga en cuenta que, debido a la interacción entre μ0 y μ1 en la energía funcional, hay más masa de μ0 cerca de 0 que cerca de 1. También vemos que las singularidades de las densidades para μ0 y μ1 son de orden O(2/3) para  → 0, mientras que la naturaleza típica de una singularidad en cada una de las medidas es una singularidad raíz cuadrada. Los la singularidad más fuerte se debe al hecho de que a(z) − tiene una raíz triple para  = 0. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 25 –4 –2 2 4 lambda –4 –2 2 4 lambda Gráfico 4 Ilustración para Ejemplo 2: Las densidades del medidas μ0 (izquierda) y μ1 = 1 (derecha) para a(z) = z 2 + z + z−1 + z−2. En la Figura 3 trazamos los valores propios y los valores propios generalizados para n = 50. Se sabe que los valores propios son simples y positivos [3, §2.3], que también vemos en la Figura 3. 6.2. Ejemplo 2. Para el símbolo un definido por a(z) = z2 + z + z−1 + z−2. (6.6) tenemos p = q = 2. De la simetría a(1/z) = a(z) se desprende que 1 = 1 y 1 = μ1. La característica interesante de este ejemplo es que los contornos 0 y 1 solapamiento. Para ser precisos, el intervalo (−9/4, 0) está contenido en las tres con- tours 1,0 y 1. Esto se puede ver más fácilmente mediante la investigación de la imagen del círculo de la unidad bajo una. Considerar a(eit) = 2 cos 2t+ 2cos t, para t [0, 2η]. (6.7) Un análisis directo muestra que por cada (−9/4, 0), la ecuación a(eit) =  tiene cuatro soluciones diferentes para t en [0, 2η]. Esto significa que la cuatro soluciones de la ecuación a(z) = ♥ están en el círculo de la unidad, y así en particular tienen el mismo valor absoluto. La ecuación a(z) −  = 0 se puede resolver explícitamente mediante la introducción de la variable y = z + 1/z. De la misma manera que en el ejemplo anterior se pueden obtener las medidas de limitación. No daremos las fórmulas explícitas, pero sólo trazar las densidades en la Figura 4. Los puntos de la rama son  = −9/4, * = 0 y * = 4. Los contornos son dados por * 0 = [−9/4, 4], * 1 = * 1 = (­, 0]. (6.8) Las densidades tienen singularidades en los puntos de rama en el interior de su apoyos. Las singularidades sólo se sienten a un lado de los puntos de rama. Considere primero μ0, cuya densidad tiene una singularidad en 0. Sin embargo, la limitación valor cuando 0 se acerca desde el eje real positivo es finito. El cambio en el comportamiento de μ0 tiene que ver con el hecho de que z1 es analítico en (0, 4), pero no 26 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS el (−9/4, 0). Por lo tanto, encontramos en (1.12) que dμ0() = z1+() z2+() z1−() z2−() d/23370/ (6,9) el (−9/4, 0), y dμ0() = z2+() z2−() d/23370/ (6.10) en (0, 4). Para 1 = μ1 un fenómeno similar ocurre en ♥ = −9/4. Esto es un consecuencia del hecho de que z1 tiene una continuación analítica en z2 cuando cruzamos (,-9/4), pero tiene una continuación analítica en z4 cuando cruz (−9/4, 0). 6.3. Ejemplo 3. Como ejemplo final, considere el símbolo a(z) = zp + z−q, (6.11) con p, q ≥ 1 y gcd(p, q) = 1. Este ejemplo apareció en [10], donde el los autores mencionaron que la estrella da 0 *0 = {r­j j = 1,....................................................................................................................................................................................................................................................... con فارسى = e2πi/(p+q) y R = (p + q)p−p/(p+q)q−q/(p+q). Los otros contornos también tienen una forma de estrella, a saber: k = {(−1)kr­j j = 1,...., p+ q, 0 ≤ r < (6.13) para k 6= 0. Tenga en cuenta que la estrella de k 6= 0 no está limitada. En la Figura 5 trazamos los valores propios y los valores propios generalizados para p = 2, q = 3 y n = 50. Todos los valores propios (generalizados) aparecen para tumbarse exactamente en los contornos. En el caso especial p = 1 se sabe que los valores propios de Tn(a) se encuentran precisamente en la estrella (6.12) y son todos simple (posiblemente excepto 0) [4, Teorema 3.2], véase también [6] para una conexión a la cuadratura tipo Chebyshev. 6.4. Estabilidad numérica. En la Figura 3 y la Figura 5 los valores propios y los valores propios generalizados de T50(a) se computaron numéricamente. Controlar la estabilidad del cálculo numérico de los valores propios uno necesita a analizar el pseudo-espectro. Para la banda de matrices Toeplitz el pseudo- espectro es bien entendido [12, Th. 7.2]. Hasta la fecha, un análisis similar del pseudo-espectro para el lápiz de matriz (Tn(z) −ka), Tn(z −k))) no se han llevado a cabo. Véase [12, §X.45] para algunas observaciones sobre el pseudo-espectro para el problema generalizado del valor propio. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 27 −5 0 5 k = −2 −5 0 5 k = −1 −5 0 5 k = 0 −5 0 5 k = 1 Gráfico 5 Ilustración para el ejemplo 3: Los contornos los valores propios y los valores propios generalizados para T50(a) para el símbolo a = z2 + z−3. Bibliografía 1. A. Böttcher y S. M. Grudsky, Propiedades espectrales de las matrices Toeplitz SIAM, Philadelphia, PA, 2005. 2. A. Böttcher y S. M. Grudsky, Puede valores espectrales conjuntos de matrices de banda Toeplitz salto?, Álgebra Lineal Appl., 351-352 (2002), pp. 99 a 116. 3. E. Coussement, J. Coussement y W. Van Assche, distribución cero asintótica para una clase de polinomios ortogonales múltiples, Trans. Amer. Matemáticas. Soc., (aparecer) 4. M. Eiermann y R. Varga, Zeros y puntos extremos locales de los polinomios Faber asociado con dominios hipocicloidales, Electron. Trans. Numer. Anal., 1 (1993), pp. 49-71. 5. I. I. Hirschman, Jr., El espectro de ciertas matrices Toeplitz, Illinois J. Math., 11 (1967), pp. 145-159. 6. A. Kuijlaars, Cuadrada de Chebyshev para medidas con una fuerte singularidad, J. Comput. Appl. Math., 65 (1995), pp. 207-214. 7. E. Nikishin y V. Sorokin, Aproximaciones racionales y ortogonalidad, traducciones de las monografías matemáticas 92, American Mathematical Society, Providence, RI, (1991). 8. T. Ransford, teoría potencial en el plano complejo, Sociedad Matemática de Londres Student Texts 28, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. 9. E.B. Saff y V. Totik, Potenciales Logartihmic con campos externos, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 316, Springer-Verlag, Berlín, 1997. 10. P. Schmidt y F. Spitzer, las matrices Toeplitz de un polinomio Laurent arbitrario, Matemáticas. Scand., 8 (1960), pp. 15-38. 28 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS 11. P. Simeonov, Un problema de energía para una clase de pesos admisibles, Houston J. Math., 31 (2005), pp. 1245-1260. 12. L.N. Trefethen y M. Embree, Spectra y Pseudoespectra, Universidad de Princeton Press, Princeton, NJ, 2005. 13. J.L. Ullman, un problema de Schmidt y Spitzer, Bull. Amer. Matemáticas. Soc., 73 (1967), pp. 883-885. 14. H. Widom, Sobre los valores propios de ciertos operadores hermitanos, Trans. Amer. Matemáticas. Soc., 88 (1958), pp. 491-522. 1. Introducción 2. Declaración de resultados 2.1. La energía funcional 2.2. Las medidas k como medidas limitantes de los valores propios generalizados 2.3. Resumen del resto del documento 3. Preliminares 3.1. La estructura de las curvas k 3.2. La superficie de Riemann 3.3. Las funciones wk() 4. Prueba del teorema 2.3 5. Pruebas de la Proposición 2.5 y el Teorema 2.6 5.1. Prueba de la Propuesta 2.5 5.2. Prueba del teorema 2.6 6. Ejemplos 6.1. Ejemplo 1 6.2. Ejemplo 2 6.3. Ejemplo 3 6.4. Estabilidad numérica Bibliografía

Estudiamos la distribución limitativa del valor propio de $n\times n$ banded Toeplitz matrices como $n\to \infty$. De los resultados clásicos de Schmidt-Spitzer y Hirschman se sabe que los valores propios se acumulan en una curva especial en el plano complejo y la medida de conteo de valores propios normalizados convergen débilmente a una medida en esta curva como $n\to\infty$. En este artículo, caracterizamos el limitar la medida en términos de un problema de equilibrio. La medida de limitación es la siguiente: un componente del vector único de medidas que minimiza una energía funcional definida sobre vectores admisibles de medidas. Además, mostramos que cada uno de los otros componentes es la medida limitante del conteo normalizado medidas sobre ciertos valores propios generalizados.

Introducción Para una función integrable a : {z C = 1} → C definido en la unidad círculo en el plano complejo, la matriz de n× n Toeplitz Tn(a) con el símbolo a es definido por Tn(a) = aj−k, j, k = 1,..., n, (1.1) donde ak es el coeficiente kth Fourier de a, a(eiŁ)e−ik (1.2) En este artículo estudiamos matrices Toeplitz de bandas para las que el símbolo tiene sólo un número finito de coeficientes Fourier no cero. Asumimos que allí existen p, q ≥ 1 tales que a(z) = k, ap 6= 0, a−q 6= 0. (1.3) Departamento de Matemáticas, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200B, 3001 Lovaina, Bélgica. (maurice.duits@wis.kuleuven.be, arno.kuijlaars@wis.kuleuven.be). El primer autor es asistente de investigación del Fondo de Investigación Científica de Flandes. Los autores fueron apoyados por el Programa de la Fundación Europea de la Ciencia MISGAM. El segundo autor está apoyado por el proyecto FWO-Flanders G.0455.04, por K.U. Lovaina subvención de investigación OT/04/21, por la Atracción Interuniversitaria belga Polo NOSY P06/02, y mediante una subvención del Ministerio de Educación y Ciencia de España, código de proyecto MTM2005- 08648-C02-01. http://arxiv.org/abs/0704.0378v1 2 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Así Tn(a) tiene como máximo p + q + 1 diagonales distintas de cero. Como en [1, p. 263], nosotros también asumir sin pérdida de generalidad que g.c.d. {k Z ak 6= 0} = 1. (1.4) Estamos interesados en el comportamiento limitante del espectro de Tn(a) como n → فارسى. Utilizamos spTn(a) para denotar el espectro de Tn(a): SpTn(a) = C det(Tn(a)− ♥I) = 0} Propiedades espectrales de matrices Toeplitz bandadas son el tema de la reciente libro [1] de Böttcher y Grudsky. Nos referiremos a este libro con frecuencia, en particular en el capítulo 11, donde el comportamiento limitante del espectro es Debatida. El comportamiento limitante de spTn(a) fue caracterizado por Schmidt y Spitzer [10]. Consideraron el conjunto lim inf spTn(a), (1.5) que consiste en todos los C tal que existe una secuencia n}nN, con SpTn(a), convergiendo a ♥, y el conjunto lim sup spTn(a), (1.6) que consiste de todos los tales que existe una secuencia n}nÃ3n, con spTn(a), que tiene una subsecuencia que converge a ♥. Schmidt y Spitzer muestra que estos dos conjuntos son iguales y se pueden caracterizar en términos de la ecuación algebraica a(z) −  = k −  = 0. (1.7) Por cada C hay soluciones de p+q para (1.7), que denotamos por zj(♥), para j = 1,...., p+ q. Pedimos estas soluciones por valor absoluto, de modo que 0 < z1(l) ≤ z2(l) ≤ · · · ≤ zp+q(l). (1.8) Cuando todas las desigualdades en (1.8) son estrictas entonces los valores zk(l) son unambigu- Definido con fuerza. Si se producen ecualidades, entonces elegimos una numeración arbitraria por lo que (1.8) se mantiene. El resultado de Schmidt y Spitzer [10], [1, Teorema 11.17], es que lim inf spTn(a) = lim sup spTn(a) = ≤0 (1,9) donde 0 := = C (1.10) Este resultado da una descripción de la ubicación asintótica de los valores propios. Los valores propios se acumulan en el conjunto ­0, que es conocido por ser un disjunto unión de un número finito de arcos analíticos (abiertos) y un número finito de ex- puntos cepcionales [1, Teorema 11.9]. También se sabe que â € ¢ 0 está conectado EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 3 [13], [1, Teorema 11.19], y que no es necesario que C \ rem 11.20], [2, Proposición 5.2]. Ver [1] para muchas hermosas ilustraciones de valores propios de matrices Toeplitz de bandas. La distribución limitada del valor propio fue determinada por Hirschman [5], [1, Teorema 11.16]. Demostró que existe una medida de probabilidad Borel. μ0 en el valor de tales que la medida de conteo del valor propio normalizado de Tn(a) Converge débilmente a μ0, como n →. Es decir, spTn(a) → μ0, (1.11) donde en la suma cada valor propio se cuenta de acuerdo a su multiplicidad. La medida μ0 es absolutamente continua con respecto a la longitud del arco mea- seguro en 0 y tiene una densidad analítica en cada arco analítico abierto en 0, que se puede representar explícitamente en términos de las soluciones del algebraico ecuación (1.7) de la siguiente manera. Equipe cada arco analítico abierto en 0° con un orien- tación. La orientación induce ±-lados en cada arco, donde el +-lado está encendido la izquierda al atravesar el arco de acuerdo a su orientación, y el lado − está a la izquierda. La medida de limitación μ0 se da entonces por dμ0() = zj+() zj−() d/23370/. (1.12) en la que d es el elemento de línea compleja en ­0 (tomado de acuerdo con el orien- ) y donde zj±(l), l r ° ° ° °, es el valor límite de zj(l ′) como →  desde el lado ± del arco. Estos valores limitantes existen para cada uno de los valores siguientes:.............................................................................................................................................................. con la posible excepción del número finito de puntos excepcionales. Tenga en cuenta que el lado derecho de (1.12) es a priori una medida compleja y no está inmediatamente claro que se trate de una medida de probabilidad. En el original [5] y en el libro [1, Teorema 11.16], los autores dan un expresión diferente para la densidad limitante, de la que está claro que el la medida no es negativa. Preferimos trabajar con la expresión compleja (1.12), ya que permite una generalización directa que necesitaremos en este papel. Tenga en cuenta también que si revertimos la orientación en un arco en 0, entonces el ±- los lados están invertidos. Puesto que el complejo elemento de línea d♥ cambia el signo también, la expresión (1.12) no depende de la elección de la orientación. El siguiente es un ejemplo muy simple, que sin embargo sirve como un moti- la evaluación de los resultados en el papel. Ejemplo 1.1. Considere el símbolo a(z) = z+1/z. En este caso encontramos que En el caso de la Lebesgue, los valores de 0 = [−2, 2] y μ0 son absolutamente continuos. mide y tiene densidad dμ0() 4 - 2 (−2, 2). (1.13) 4 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Esta medida es bien conocida en teoría potencial y se llama el arcsine medida o la medida de equilibrio de 0, véase, por ejemplo, [9]. Tiene la propiedad que minimiza la energía funcional que definí por I(μ) = x− y dμ(x) dμ(y), (1.14) entre todas las medidas de probabilidad de Borel μ en [−2, 2]. La medida μ0 es también caracterizado por la condición de equilibrio log x− dμ0() = 0, x [−2, 2], (1,15) que es la condición de variación Euler-Lagrange para el prob de minimización El hecho de que μ0 es la medida de equilibrio de 0 es especial para los símbolos a con p = q = 1. En ese caso se puede pensar en los valores propios de Tn(a) como partículas cargadas en 0, cada valor propio que tiene una carga total 1/n, que repelen el uno al otro con interacción logarítmica. Las partículas buscan minimizar el energía funcional (1.14). Como n → ­, se distribuyen de acuerdo a μ0 y μ0 es el minimizador de (1.14) entre todas las medidas de probabilidad se apoya en el punto 0. El objetivo de este artículo es caracterizar μ0 para los símbolos generales a de la forma (1.3) también en términos de un problema de equilibrio de la teoría potencial. El problema de equilibrio correspondiente es más complicado ya que implica no sólo la medida μ0, sino una secuencia de p+ q − 1 medidas q+1, q+2,. ......................................................................... .., μp−2, μp−1 que juntos minimizan una energía funcional. 2. Declaración de resultados 2.1. La energía funcional. Para expresar nuestros resultados tenemos que introducir algunas nociones de la teoría potencial. Principales referencias para la teoría potencial en el plano complejo es [8] y [9]. Trabajaremos principalmente con medidas positivas finitas en C, pero también • la utilización de medidas positivas en los casos en que se trate de medidas positivas. No es necesario que las medidas tienen un apoyo limitado. Si tiene un apoyo ilimitado, entonces suponemos que log(1 + x) d/(x) < فارسى. (2.1) En ese caso, la energía logarítmica de ν se define como I( v) = x− y d(x)d(y) (2.2) y el apartado 1 del artículo 1 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 5 Definición 2.1. Me definimos como la colección de medidas positivas C satisfacción (2.1) y tener energía finita, es decir, I( v) <. Para c > 0 nosotros definir Me(c) = Me(C) = c}. 2.3) El Tribunal de Primera Instancia decidió: I(/l, ν2) = x− y d/1(x)d/2(y). (2.4) Es bien definido y finito si ν1, &2 ~ Yo y en ese caso tenemos I (/l) = I (/l) + I (/l) − 2I (/l) (2.5) Si ν1, ν2 me(c) para algunos c > 0, entonces I( v.1 − ν2) ≥ 0, (2.6) con igualdad si y sólo si ν1 = ν2. Se trata de un resultado bien conocido si se trata de los siguientes puntos: tienen soporte compacto [9]. Para las medidas en Me(c) con apoyo ilimitado, este es un resultado reciente de Simeónov [11], que obtuvo esto de una muy elegante representación integral de la I(l − ν 2). Es una consecuencia de (2.6) que yo es estrictamente convexo en Me(c), desde /1 + /2 (I / 1 + I / 2) − I /1 - /2 (I/l) + (I/l2), por el /1, ν2 • Me(c), con igualdad si y sólo si ν1 = ν2. Antes de que podamos declarar el problema del equilibrio también tenemos que introducir los conjuntos C , k = −q + 1,...., p− 1, (2.7) que para k = 0 se reduce a la definición (1.10) de ­0. Vamos a demostrar que la unión de un número finito de arcos analíticos abiertos y un número finito de puntos excepcionales. Todos los KK están sin límite, excepto 0K que es compacto. El problema de equilibrio se definirá para un vector de medidas denotadas por = (q+1,. ......................................................... El componente νk es una medida que satisface algunas propiedades adicionales que se dan en la siguiente definición. Definición 2.2. Llamamos a un vector de medidas = (q+1,. ............................................ Si se me permite, se apoya en la palabra «k», y νk(k) = si k ≤ 0, si k ≥ 0, (2.8) por cada k = −q + 1,..., p − 1. Ahora estamos listos para declarar nuestro primer resultado. La prueba se presenta en la sección 6 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Teorema 2.3. Dejar que el símbolo un satisfacer (1.3) y (1.4), y dejar que las curvas Se entenderá por «k» lo que se indica en el punto 2.7). Para cada k q + 1,...., p − 1}, defina la medir μk en k por dμk() = zj+() zj−() d/23370/, (2.9) donde d♥ es el elemento de línea compleja en cada arco analítico de Łk según a una orientación escogida de Kk (cf. debate después de (1.12)). Entonces a) = (q+1,. .., μp−1) es admisible. b) Existen constantes tales que log x dμk(x) = log x dμk+1(x) + log x dμk−1(x) + lk, (2.10) para k = −q + 1,...., p − 1, y Aquí dejamos que q y μp ser las medidas cero. c) = (q+1,. ..., μp−1) es el minimizador único de la func- ciones en el ámbito de la salud y la seguridad en el trabajo, así como en el ámbito de la salud y la seguridad en el lugar de trabajo. J() = k=−q+1 I( vk)− k=−q+1 I( vk, vk+1) (2.11) para vectores admisibles de medidas = (q+1,. ......................................................... Las relaciones (2.10) son las condiciones de variación Euler-Lagrange para el problema de minimización para J entre vectores admisibles de medidas. Puede no ser obvio que la energía funcional (2.11) está limitada de abajo. Esto se puede ver en la representación alternativa J() = I( v0) + k(k + 1) I q+k − q+k+1 k + 1 k(k + 1) I − νp−k−1 k + 1 . (2.12) Dejamos el cálculo que conduce a esta identidad al lector. Debajo de la normalizacións (2.8) se sigue por (2.6) que cada término en las dos sumas finitas en el lado derecho de (2.12) no es negativo, de modo que J() ≥ I( v0). Dado que ν0 es una medida de probabilidad de Borel en 0 y 0 es compacto, de hecho tener que la energía funcional está limitada desde abajo en vectores admisibles de medidas. La representación alternativa (2.12) desempeñará un papel en la prueba de orem 2.3. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 7 Otra representación para J es J() = j,k=−q+1 Ajk I (/j, /k) (2.13) donde la matriz de interacción A tiene entradas Ajk = 1, si j = k, , si j − k = 1, 0, si j − k ≥ 2. (2.14) La energía funcional en la forma (2.13) y (2.14) también aparece en el teoría de la aproximación racional simultánea, donde es la interacción matriz para un sistema Nikishin [7, capítulo 5]. Permite la siguiente interpretación física: en cada una de las curvas uno pone partículas cargadas con carga total (q+k)/q o (p−k)/p, dependiendo en k ≤ 0 o k ≥ 0. Partículas que se encuentran en la misma curva repelen cada una otro. Las partículas en dos curvas consecutivas interactúan en el sentido de que se atraen entre sí pero de una manera que es la mitad de fuerte que la repulsión en una sola curva. Partículas en diferentes curvas que no son consecutivas no interactúen entre sí de una manera directa. 2.2. Las medidas μk como medidas limitantes de la ues. Por (1.12) y Teorema 2.3 sabemos que la medida μ0 que aparece en el minimizador de la energía funcional J es la medida limitante para el valores propios de Tn(a). Es natural preguntar sobre las otras medidas μk que aparecen en el minimizador. En nuestro segundo resultado mostramos que las medidas μk se puede obtener como medidas de conteo limitantes para ciertos valores propios. Deja k q+1,. .., p− 1}. Utilizamos Tn(z−k(a) para denotar el Toeplitz matriz con el símbolo z 7→ z−k(a(z) − Por ejemplo, para k = 1, q = 1 y p = 2, tenemos −k(a) = a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a−1 ... ... ... ... a2 a1 a0 − a−1 a2 a1 a0 − a2 a1 Definición 2.4. Para k q + 1,...., p − 1} y n ≥ 1, definimos la polinomio Pk,n por Pk,n() = detTn(z −k(a− )) (2.15) y definimos el espectro generalizado kth de Tn(a) por spk Tn(a) = C Pk,n(♥) = 0}. (2.16) 8 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Finalmente, definimos μk,n como la medida de conteo cero normalizada de spk Tn(a) μk,n = spk Tn(a) (2.17) donde en la suma cada uno se cuenta de acuerdo a su multiplicidad como un cero de Pk,n. Nótese que el valor propio generalizado (en el sentido habitual) de فارسى spk Tn(a) es un valor propio generalizado (en el sentido habitual) para el lápiz de matriz (Tn(z) −ka), Tn(z −k)), es decir, det(A − B) = 0 con A = −ka) y B = Tn(z −k). Si k = 0, entonces B = I y sp0 Tn(a) = spTn(a). Si k 6= 0, entonces B no es invertible y el problema generalizado del valor propio es singular, causando que hay menos de n autovalores generalizados. De hecho, desde Tn(z −k(a)) tiene exactamente nk entradas a0, obtenemos fácilmente que el grado de Pk,n es a lo sumo n- k y por lo tanto hay a lo sumo n- k generalizado valores propios. Debido a la estructura de banda de Tn(z −k(a)) el número real de los valores propios generalizados es sustancialmente menor. Proposición 2.5. Deja k q+1,. .., p−1}. Let Pk,n() = γk,n/23370/dk,n + · · · tienen grado dk,n y coeficiente principal γk,n 6= 0. Entonces dk,n ≤ n, si k < 0, n, si k > 0. (2.18) La igualdad se mantiene en (2.18) si k > 0 y n es un múltiplo de p, o k < 0 y n es un múltiplo de q, y en esos casos tenemos γk,n = (−1)(k+1)nakn/q−q, si k < 0 y n+ 0 mod q, (−1)(k+1)nakn/pp, si k > 0 y n+ 0 mod p. (2.19) Llegamos ahora a nuestro segundo resultado principal. Es el análogo de los resultados de Schmidt-Spitzer e Hirschman para los valores propios generalizados. Teorema 2.6. Let k q + 1,..., p− 1}. Entonces lim inf spk Tn(a) = lim sup spk Tn(a) = Łk, (2.20) (z) dμk,n(z) = (z) dμk(z) (2.21) se mantiene para cada función continua limitada en C. El elemento clave en la prueba de Teorema 2.6 es una fórmula hermosa de Widom [14], véase [1, Teorema 2.8], para el determinante de una banda Toeplitz matriz. En la situación actual, la fórmula de Widom produce lo siguiente. Vamos. * C sea tal que las soluciones zj(♥) de la ecuación algebraica (1.7) sean Se distinguen entre sí. Entonces Pk,n() = detTn(z −k(a− )) = CM (l) (m) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) (l) () (l) (l) () (l) (l) (l) () () ()) () () () () () () () () ()) () () () () () () () () ())) () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())))) () () () () ())))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( , (2.22) EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 9 donde la suma es sobre todos los subconjuntos M {1, 2,...., p+ q} de cardinalidad M = p- k y para cada M, tenemos wM (♥) := (−1)p−kap zj(l), (2.23) y (con M := {1, 2,...., p+ q} \M), CM (­) := zj() (zj(l)− zl(l)−1. (2.24) La fórmula (2.22) muestra que para n grandes, la principal contribución proviene de los M para los cuales wM () es el más grande posible. Para C único tal M, a saber: M = Mk := {q + k + 1, q + k + 2,...., p + q} (2,25) debido a la orden (1.8). 2.3. Resumen del resto del periódico. En la sección 3 indicaremos algunos resultados preliminares sobre las propiedades analíticas de las soluciones zj de al- ecuación gebraica (1.7). Estos resultados serán necesarios en la prueba de Teorema 2.3, que figura en la sección 4. En la sección 5 probaremos la Proposición 2.5 y Teorema 2.6. Por último, concluimos el documento dando algunos ejemplos. en la sección 6. 3. Preliminares En esta sección recogemos una serie de propiedades de las curvas k y el soluciones z1(l),. ..., zp+q() de la ecuación algebraica (1.7). Para mayor comodidad definimos a lo largo del resto del papel q = p =, y q = μp = 0. (la medida cero). Ocasionalmente también usamos z0(l) = 0, zp+q+1(l) =. 3.1. La estructura de las curvas. Comenzamos con una definición, cf. [1, §11.2]. Definición 3.1. Se denomina punto C un punto de rama si a(z) − فارسى0 = 0 tiene una raíz múltiple. Un punto 0 es un punto excepcional del punto 1 si el punto 0 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto de 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto 1 es un punto punto de la rama, o si no hay un barrio abierto U de tal manera que un arco analítico que comienza y termina en U. Si es un punto de rama, entonces hay un z0 tal que a(z0) = Ł0 y a′(z0) = 0. Entonces podemos asumir que z0 = zq+k(­0) = zq+k+1(­0) para algunos k y ­0 â € € € € € · k. Para un símbolo a de la forma (1.3), la derivada a′ tiene exactamente p+q ceros (contado con multiplicidad), de modo que hay exactamente p+q rama puntos contados con multiplicidad. 10 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS Las soluciones zk() también tienen ramificación en el infinito (a menos que p = 1 o q = 1). Hay soluciones de p de (1.7) que tienden al infinito como que tienden a 0. De hecho, tenemos zk() = −1/q(1 +O(1/q)), para k = 1,..., q, 1/p(1 +O(1/p)), para k = q + 1,..., p + q, (3.1) como ♥ → فارسى. Aquí c1,. ..., cq son las soluciones q distintas de cq = a−q (tomado en un poco de orden dependiendo de ♥), y cq+1,. .., cp+q son las soluciones distintas p de cp = a−1p (de nuevo se toma en algún orden dependiendo de ). La siguiente proposición da la estructura de k en el infinito. Proposición 3.2. Deja k q+1,. .............................................................................................. Luego hay un R > 0 De tal manera que la unión finita de los arcos analíticos, cada uno se extiende de = R hasta el infinito. Prueba. La prueba es similar a la prueba de [1, Proposición 11.8] donde un Teorema de estructura similar se demostró para los puntos de rama finitos. Omitimos el detalles. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De la Proposición 3.2 se deduce que los puntos excepcionales de la letra k) son los siguientes: Conjunto limitado. Dado que el conjunto de puntos excepcionales es discreto, concluimos que sólo hay finitamente muchos puntos excepcionales. Entonces tenemos lo siguiente resultado acerca de la estructura de k. Proposición 3.3. Por cada k q + 1,...., p − 1}, el set k es el unión disjunta de un número finito de arcos analíticos abiertos y un número finito de puntos excepcionales. El set no tiene puntos aislados. Prueba. Esto se demostró para k = 0 en [10] y [1, Teorema 11.9]. Por cuestiones generales k, sólo hay finitamente muchos puntos excepcionales y la prueba sigue en un De manera similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.2. La superficie de Riemann. De la Proposición 3.3 se deduce que las curvas Se pueden tomar como cortes para la superficie p + q-hoja de Riemann de la alge- ecuación bráica (1.7). Numeramos las hojas de 1 a p+ q, donde la kth hoja de la superficie de Riemann es Rk = C zk−1(l) < zk(l) < zk+1(l) = C \ (q+k−1 q+k). (3.2) Por lo tanto zk es bien definido y analítico en Rk. El caso más fácil de visualizar es el caso en el que los cortes consecutivos son disjuntos, es decir, q+k−1 q+k = فارسى por cada k = 2,...., p+ q− 2. En ese caso nosotros tener que Rk está conectado a Rk+1 vía q+k en la forma transversal habitual, y zk+1 es la continuación analítica de zk a través de q+k. El caso general se describe en la siguiente propuesta. Proposición 3.4. Supongamos que A es un arco analítico abierto de tal manera que A q+k, para k = k1,. ..., k2, y A.» (q+k1−1 q+k2+1) >.............................................................................................................................................................................................................................................. Entonces para k = EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 11 k1,. .., k2+1, tenemos que la continuación analítica de zk a través de A es igual a zk1+k2−k+1. Por lo tanto a través de A, tenemos que Rk está conectado a Rk1+k2−k+1. Prueba. Tenemos eso. zk1(♥) = zk1+1(l) = · · · = zk2(l) = zk2+1(l) en el caso de A, con desigualdades estrictas (<) en el caso de A, a ambos lados de A. Elija una orientación para A. Luego hay una permutación η de {k1,. ............................................................... que zη(k) es la continuación analítica de zk desde el +-lado de A a la - Parte de A. Asumir que hay k, k′ {k1,. ............................................................... η(k) < η(k′). Toma un regular de 0 A y un pequeño barrio U de 0 tal que Aâ € ~ U = q+k â € ~ U = q+k′ â € ~ U y Aâ ~ U es un arco analítico que comienza y terminando en U. Entonces tenemos una unión desarticulada U = UU(AU) donde U+ (U−) es la parte de U en el lado + (−) de A. La función * Definido por: En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa. zk() zk′ () , en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental, en el caso de los países de Europa Central y Oriental. zl(k)(l) zl(k′)(l) , a favor de U−, tiene una continuación analítica a U, y satisface ( y () = 1 para فارسى A U. Esto contradice el principio máximo para funciones analíticas. Por lo tanto, η(k) > η(k′) por cada k, k′ {k1,. ............................................................... con k < k′, y esto implica que η(k) = k1 + k2 − k + 1 para cada k = k1,. .., k2 + 1, y la proposición sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3.3. Las funciones wk(♥). Un papel importante es jugado por las funciones wk, que para k q + 1,..., p − 1}, se definen por wk() = zj(l), para  C \ k. (3.3) Tenga en cuenta que wk = (−1)p−ka−1p w{1,...,k} en la notación de (2.23). Proposición 3.5. La función wk es analítica en C \ Łk. Prueba. Dado que zj es analítico en Rj = C \ (q+j−1 q+j), ver (3.2), nosotros obtener de su definición que wk es analítico en C \ j=1 q+j. Dejad en paz un arco analítico en q+j \ k para algunos j < k + q. Elegir una orientación en A. Dado que el arco es desconectado de Łk, tenemos que zj+( * A y j = 1,........................................................................................................................................................................................................................................................... Desde wk es simétrico en el zj ’s para j = 1,...., q + k, se sigue que wk+(l) = wk−(l), en el caso de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b). que muestra la analítica en C k con la posible excepción de aislado singularidades en los puntos excepcionales de q+1, q+2,. ............................................................................... Sin embargo, cada zj, y por lo tanto también wk, está limitado cerca de un punto tan excepcional, para que cualquier singularidad aislada sea removible. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 12 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS En el resto del papel hacemos uso frecuente de la logarítmica de- Rivative w′k/wk de wk. Por el hecho de que el wk no desaparece en C \ Proposición 3.5, se deduce que w′k/wk es analítico en C \ Łk. Por proposición 3.4 Además, tiene una continuación analítica en cada arco analítico abierto A â € â € TM ak. Cerca de los puntos excepcionales que no son puntos de rama w′k/wk re- Mando delimitado. En los puntos de rama sin embargo puede tener singularidades de un cierto orden. Proposición 3.6. Deja que sea un punto de rama de la letra de la letra °k. Entonces existe an m ° N de tal manera que w′k() wk(l) ( 0)-m/(m+1) , (3.4) como  → 0 con  C \ Łk. Prueba. Dejar 1 ≤ j ≤ q+k. Investigamos el comportamiento de zj(e) cuando....................................................................................................................................................... de tal manera que se mantenga en un componente conectado de C \ (j−1 j). Entonces zj() → z0 para algunos z0 C con a(z0) = 0. Que m0 + 1 sea la multiplicidad de z0 como solución de a(z) = 0. Entonces a(z) = 0 + c0(z − z0)m0+1(1 + O(z − z0)), z → z0, (3.5) para algunas constantes no cero c0. Por lo tanto, zj() = z0 +O(( 0)1/(m0+1)), (3.6) z′j() = O(( 0)−m0/(m0+1)), (3.7) en el caso de los  → 0 de tal manera que  permanezca en el mismo componente conectado de C \ (j−1 j). Dejar m ser el máximo de todas las multiplicidades de las raíces de a(z) = 0. Entonces se deduce de (3.6) y (3.7) que z′j() zj() = O(( 0)−m/(m+1)) como  → 0 con  C \ Łk. Entonces obtenemos (3.4) en vista de (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Terminamos esta sección dando las asintóticas de w′k/wk para Proposición 3.7. Como ♥ → con فارسى C \ k, tenemos w′k() wk(l) − q+k 1 +O 1−1/q , para k = −q + 1,...,−1, 1 +O(2), para k = 0, 1 +O 1−1/p , para k = 1,..., p − 1. (3.8) Prueba. Esto sigue directamente de (3.1) y (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 13 4. Prueba del teorema 2.3 Utilizamos la función wk introducida en (3.3). Definimos μk por la fórmula (2.9) y observamos que dμk() = w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) d/23370/. (4.1) Proposición 4.1. Para cada k = −q + 1,..., p − 1, tenemos que μk es un medida en ­k con masa total μk(­k) = (q + k)/q si k ≥ 0, y μk(­k) = (p− k)/p si k ≥ 0. Prueba. Primero mostramos que μk es una medida, es decir, que no es negativo en cada arco analítico de k. Dejar A ser un arco analítico en k que consiste sólo de puntos regulares. Let t 7→ (t) ser una parametrización de A en la dirección de la orientación de Łk. Entonces dμk() = w′k+((t)) wk+(l(t)) w′k−(l(t)) wk−(l(t)) (t)dt wk+(l(t)) wk−(l(t)) Para concluir que μk no es negativo en A, basta con demostrar que Volver a registrar wk+() wk−(l) = 0, en el caso de las letras A, (4.2) Im log wk+() wk−(l) aumenta a lo largo de A. (4.3) Desde que wk+(el) = wk−(el) para el A, tenemos (4.2) de modo que sólo queda para demostrar (4.3). Hay un barrio U de tal manera que U \ k tiene dos componentes, denotado U+ y U−, donde U+ está en el lado + de Łk y U− en el lado −. De la Proposición 3.4 se deduce que wk tiene una continuación analítica de U- a U, que denotamos por k, y que wk(l) < k(l), y la igualdad wk+(l) = k(l) se sostiene en el caso de A. Así pues, se deduce que Volver a registrar wk(l) *Kk*............................................................................................................................................................................................................................................................. ≤ 0, en el caso de la letra A, donde ♥ indica la derivada normal a A en la dirección de U+. Entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que Im log wk+() •k+(l) está aumentando a lo largo de A. Puesto que k+(l) = wk−(l) para A, obtenemos (4.3). Por lo tanto, μk es un medida. A continuación mostramos que μk es una medida finita, lo que significa que tenemos que mostrar que w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) (4.4) 14 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS Gráfico 1 Ilustración de las pruebas de las Propuestas 4.1 y 4.2. La línea sólida es un bosquejo de un posible contorno. Los línea discontinua es el contorno k,R y la línea punteada es la límite de un disco de radio R alrededor de 0. es integrable cerca del infinito en el k y cerca de cada punto de rama en el k. Esto sigue de las Proposiciones 3.7 y 3.6. De hecho, de la Proposición 3.7 se desprende w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) 1 a partir de la fecha de entrada en vigor del presente Acuerdo, la Comisión podrá adoptar actos delegados con arreglo a lo dispuesto en el artículo 4, apartado 1, del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, a más tardar el 31 de diciembre de 2017. (4.5) en los que  = 1/q si k < 0 y  = 1/p si k > 0. Desde el principio, vemos eso. (4.4) es integrable cerca del infinito. Para un punto de sucursal ­0 de ­k, tenemos de Proposición 3.6 que existe un m ≥ 1 tal que w′k+() wk+() w′k−() wk−(l) ( 0)-m/(m+1) a partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión. (4.6) Esto muestra que (4.4) es integrable cerca de cada punto de rama. Por lo tanto, μk es un medida finita. Finalmente calculamos la masa total de μk. LetD(0, R) = {z C < R}. Entonces para R lo suficientemente grande, de modo que D(0, R) contiene todos los puntos excepcionales de «K» y todos los componentes conectados de «C» (si los hay), μk(k D(0, R)) = D(0,R) w′k+() wk+() D(0,R) w′k−() wk−(l) (4.7) donde hemos utilizado el comportamiento (4.6) cerca de los puntos de rama para ser capaz de dividir las integrales. Otra vez usando (4.6) podemos girar los dos integrales en el contorno integral sobre el contorno k,R como en la Figura 1. Los contorno k,R pasa a lo largo de los ±-lados de k D(0, R) y si elegimos la orientación que también se muestra en la Figura 1 (y que es independiente de la EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 15 elección de la orientación para k), a continuación, μk(k D(0, R)) = k,R w′k() wk(l) d/23370/. (4.8) Las partes de k,R que pertenecen a los componentes delimitados de C k forma cerrada contornos a lo largo del límite de cada componente limitado. Por Cauchy’s teorema su contribución a la integral (4.8) desaparece. Las partes de k,R que pertenecen a los componentes sin límite de C k se puede deformar a la circulo D(0, R) con la orientación en sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, si utilizamos el positivo orientación sobre ŁD(0, R) como en la Figura 1, entonces obtenemos de (4.8) μk(k+D(0, R)) = − D(0,R) w′k() wk(l) Dejando R → y usando la Proposición 3.7, entonces encontramos que μk es una medida en k) con masa total μk () = (q + k)/q si k ≤ 0, y μk () = (p− k)/p si k ≥ 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La siguiente propuesta es el siguiente paso para demostrar que las medidas μk de (2.9) satisfacen las ecuaciones (2.10). Proposición 4.2. Para k = −q + 1,..., p− 1, tenemos que dμk(x) x−  = w′k() wk(l) , en el caso de la letra c) del apartado 4 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 4, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 7, en el caso de la letra c) del apartado 1 del artículo 8, en el caso de la letra c) del artículo 8, en el caso de la letra c) del apartado 1, en el apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c), en el caso de la letra c), en el apartado 1, en el caso de la letra c) del apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c) del apartado 1, en el caso de la letra c), en el caso de la letra c). log x dμk(x) = − log wk( donde αk es la constante log a−q kq log a−q, si k ≤ 0, log a−q − kp log ap, si k ≥ 0. (4.11) Prueba. Para probar (4.9), seguimos los mismos argumentos que en el cálculo al final de la prueba de la Proposición 4.1. Dejemos que C, C y K, y elegir R > 0 como en la prueba de la Proposición 4.1. Podemos asumir R >. Entonces similar a (4.7) y (4.8) podemos escribir D(0,R) dμk(x) x−  = k,R w′k(x) wk(x)(x− ) donde k,R tiene el mismo significado que en la prueba de la Proposición 4.1, véase también Gráfico 1 Como en la prueba de la Proposición 4.1 nos deformamos a una integral sobre D(0, R), pero ahora tenemos que tener en cuenta que el integrand tiene un polo a x =  con residuo w′k()/wk(). Por lo tanto, por el teorema de Cauchy D(0,R) dμk(x) x−  = w′k() wk(l) D(0,R) w′k(x) wk(x)(x− ) dx. (4.12) Dejando R → y usando la Proposición 3.7 da (4.9). 16 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS A continuación nos integramos (4.9) sobre una curva jordana J en C \ Łk de x− dμk(x) d/23370/ = − ∫ ∫ 2 x−  d dμk(x) (log 1 − x − log 2 − x iJ [arg( x)]) dμk(x), (4.13) donde ŁJ [arg(♥ − x)] denota el cambio en el argumento de ♥ − x como cuando ♥ varía por encima de J de 1 a 2. Por (4.9) la integral (4.13) es igual a w′k() wk(l) ............................................................................................................................................................................................................................................................... (4.14) Ecuando las partes reales de (4.13) y (4.14) obtenemos (log 1 − x − log 2 − x) dμk(x) = − log wk(l) log wk(l). (4.15) Puesto que el 1 y el 2 pueden ser tomados arbitrariamente en un componente conectado de Ck, nos encontramos con que existe una constante αk R (que a priori podría depender de el componente conectado) de tal manera que log x dμk(x) = − log wk(♥) αk, (4.16) para todos los elementos de un componente conectado de C \ Łk. Por continuidad la ecuación (4.16) se extiende al cierre del componente conectado, lo que demuestra que la misma constante αk es válida para todos los componentes conectados. Así (4.16) Sostiene para todos los puntos C. El valor exacto de αk puede entonces ser determinado por la expansión (4.16) para grande........................................................................................................... Supongamos, por ejemplo, que k < 0. Luego por (3.1) y (3.3) wk(♥) = zj(♥) = a−q(q+k)/q(q+k)/q 1 +O(1/q) como ♥ → فارسى. Por lo tanto − log wk(♥) = q + k log − q + k log a−qO(1/q). (4.17) Desde log x dμk(x) = log k(Łk) + o(1) = q + k log o(1) (4.18) como  → فارسى, el valor (4.11) para αk sigue de (4.16), (4.17), y (4.18). Los argumento para k > 0 es similar. Esto completa la prueba de la proposición. Para probar la parte c) del Teorema 2.3 también necesitamos el siguiente lema. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 17 Lemma 4.3. Let 1 = ( v1,−q+1. ........................................................................ ................................................................................... dos vectores admisibles de medidas. Entonces J(1 − 2) está bien definido y J(1 − 2) ≥ 0, (4.19) con igualdad si y sólo si 1 = 2. Prueba. Puesto que tanto 1 como 2 tienen energía finita, encontramos que J(1 − 2) es bien definido. Según la representación alternativa (2.12), tenemos J(1 − 2) = I(/1,0 - /2,0) k(k + 1)I /1, -q+k - /2, -q+k − ν1,−q+k+1 k + 1 v2, -q+k+1 k + 1 k(k + 1)I /1,p−k /2,p−k /1,p−k−1 k + 1 /2,p−k−1 k + 1 (4.20) Usando (2.6) y (2.8), vemos que todos los términos en (4.20) no son negativos y por lo tanto (4.19) sostiene. Supongamos ahora que J(1 − 2) = 0. Entonces todos los términos en el lado derecho de (4.20) son cero, por lo que /1,0 = /2,0, (4.21) /1, -q+k v2, -q+k+1 k + 1 /1, -q+k+1 k + 1 /2, -q+k , para k = 1,...., q − 1, (4.22) /1,p−k /2,p−k−1 k + 1 /1,p−k−1 k + 1 /2,p−k , para k = 1,..., p− 1. (4.23) Usando (4.21) en (4.22) con k = q − 1, encontramos v1, −1 = v2, −1. Proceder inductivamente obtenemos entonces de (4.22) que v1,k = ν2,k para todos k = −q + 1,..., 0. Del mismo modo, a partir de (4.21) y (4.23) se deduce que ν1,k = ν2,k para k = 0,..., p− 1, de modo que 1 = 2 como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos listos para la prueba del Teorema 2.3. Prueba de Teorema 2.3. a) Habida cuenta de la Proposición 4.1, sólo queda mostrar que μk Me por cada k = −q + 1,...., p − 1. Estimación de la desintegración (4.5) implica que log(1 + ) dμk( El hecho de que I(μk) < es consecuencia de (4.10). De hecho, I(μk) = − log xdμk(x)dμk(l) = (log wk(l) − αk)dμk(l) 18 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS y esto es finito ya que μk es una medida finita en k con una densidad que decae como en (4.5) y log wk( times log as Así es admisible y parte (a) es probada. (b) Según (4.10) tenemos log x dμk(x)− log x dμk+1()− log x dμk−1() = −2 log wk(♥) 2αk + log wk+1(♥) − αk+1 + log wk−1(♥) − αk−1 = log wk+1(l)wk−1(l) wk(l) + 2αk − αk+1 − αk−1 = log zq+k+1() zq+k() + 2αk − αk+1 − αk−1. (4.24) Desde zq+k(l) = zq+k+1(l) para Ł k, vemos a partir de (4.24) que (2.10) mantiene con constante lk = 2αk − αk−1 + αk+1. (4.25) Tenga en cuenta que para k = −q + 1 y k = p − 1, estamos utilizando la convención que q = μp = 0, y también hemos puesto q = αp = 0. Esto demuestra la parte b). (c) Let = (q+1,. ............................................................... Desde la representación (2.13) obtenemos J() = J( − ) = J() + J( − ) + 2 j,k=−q+1 AjkI(μj, vk − μk). (4.26) Usando (2.14), encontramos desde (4.26) J() = J() + J( − ) + k=−q+1 I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) (4,27) Para cada k = −q + 1,..., p − 1, tenemos I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) log x d(2μk − μk−1 − μk+1)(x) d( vk − μk)(l) (4.28) Por (2.10) la integral interna en el lado derecho de (4.28) es constante para * * *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* *K.* Dado que νk y μk son medidas finitas en ­k con νk(k) = μk(k), nos encontramos de (4.28) que I(2μk − μk−1 − μk+1, vk − μk) = 0, para k = −q + 1,...., p− 1. Entonces (4.27) muestra que J() = J()+J(), que por Lemma 4.3 implica que J() ≥ J() y la igualdad sostiene si y sólo si =. Esto completa la prueba del Teorema 2.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 19 5. Pruebas de la Proposición 2.5 y el Teorema 2.6 5.1. Prueba de la Proposición 2.5. Ahora probaremos la Proposición 2.5, que sigue por un argumento combinatorio. Prueba de la Proposición 2.5. Demostramos (2.18) y (2.19) para k > 0. El caso k < 0 es similar. Expandamos primero el determinante en la definición de Pk,n() = detTn(z −k(a− )) = (a-)j(j)+k. (5.1) Aquí Sn denota el conjunto de todas las permutaciones en {1,..., n}. Por la estructura de la banda... ración de Tn(z −k(a •)) se deduce que sólo tenemos contribuciones distintas de cero a partir de permutaciones η que satisfagan k − p ≤ η(j) − j ≤ q + k, para todos j = 1,..., n. (5.2) Definir para Nη = {j η(j) = j + k}. (5.3) y denotar el número de elementos de Nη por N. Por cada Sn que tenemos j=1(a)j(j)+k es un polinomio en ♥ de grado a lo sumo N. Así que por (5.1) dk,n = degPk,n ≤ máx. N (5.4) donde maximizamos sobre permutaciones Deja que Sn se satisfaga (5.2). Demostramos (2.18) dando un límite superior por N. Desde j=1((j) − j) = 0 obtenemos (η(j) − j)+ = (j) (j) (j)+, (5.5) donde (·)+ se define como (a)+ = max(0, a) para un R. contribución k a la izquierda de (5.5). Por lo tanto, el lado izquierdo es por lo menos kN. Por (5.2) tenemos que cada término en el lado derecho es a lo sumo p- k. Por otra parte, hay a lo sumo n- N términos no cero en este suma. Combinando esto con (5.5) conduce a kN ≤ (η(j) − j)+ = (j) (j) (j) + ≤ (n) (p) (k). (5.6) Por lo tanto, si  es una permutación satisfactoria (5.2) N ≤ n(p− k) . (5.7) Ahora (2.18) sigue combinando (5.7) y (5.4). Para probar (2.19), suponemos que n • 0 mod p. Afirmamos que existe un η único tal que la igualdad se mantiene en (5.7). Entonces la igualdad se mantiene en ambos 20 DUIs de Maurice y Arno B.J. KUIJLAARS las desigualdades de (5.6) y los argumentos anteriores muestran que esto sólo puede suceder η(j) = j + k, o η(j) = j − p+ k, (5.8) por cada j = 1,..., n. Alegamos que existe una permutación única, a saber: η(j) = j + k, si j • 1,.............................................................................................................................................. j − p+ k, si j فارسى (p− k + 1),. .., p mod p. (5.9) Para ver esto deje que π sea una permutación satisfactoria (5.8). Los números 1,..., p− k no puede satisfacer η(j) = j−p+k y así satisfacer η(j) = j+k. Por otro lado mano, los números 1,..., k no puede ser la imagen de los números j satisfactoria η(j) = j + k, y así η(j) = j − p + k para j = p − k + 1,..., p. So (5.9) ......, p. Esto significa, en particular, que la restricción de {p + 1,..., n} es de nuevo una permutación, pero ahora en {p + 1,..., n}. Por el los mismos argumentos encontramos entonces que (5.9) se sostiene para j = p + 1,..., 2p, y así En adelante. El resultado es que (5.9) es de hecho la única permutación que satisface (5.8). Por último, un cálculo sencillo muestra que el coeficiente de (p-k)n/p j=1(a − )j(j)+k con π como en (5.9) es distinto de cero y dado por (2.19). Esto prueba la proposición. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.2. Prueba de Teorema 2.6. Antes de empezar con la prueba de Teorema 2.6 En primer lugar probamos la siguiente proposición relativa a la asintótica para Pk,n para n → فارسى. Proposición 5.1. Dejar Mk = {q + k + 1,..., p+ q}. Tenemos eso. Pk,n(l) = (wMk(l)) nCMk() (1 +O(exp(−cKn)), n → فارسى, (5.10) uniformemente en subconjuntos compactos K de C \ Łk. Aquí cK es una constante positiva dependiendo de K. Prueba. Primera reescritura (2.22) como Pk,n(l) = (wMk(l)) nCMk(l) (1 +Rk,n(l)). (5.11) con Rk,n definido por Rk,n() = M 6=Mk (wM ()) nCM () (wMk()) nCMk() . (5.12) Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Si K no contiene puntos de rama entonces existe A,B > 0 tal que A < CM () < B (5.13) para todos los de K y M. Por otra parte, tenemos wM () wMk() zq+k() zq+k+1() ≤ sup zq+k() zq+k+1() < 1, (5.14) EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 21 para todos los tipos de M6= Mk. Por lo tanto, uno verifica fácilmente a partir de (5.11) que existe cK de tal manera que Rk,n(♥) ≤ exp(−cKn) para todos Lo suficientemente grande. Esto demuestra la afirmación en el caso de que K no contenga rama puntos. Supongamos que K contiene puntos de rama. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que todos los puntos de rama se encuentran en el interior de K (de lo contrario reemplazar K por un conjunto compacto más grande). El límite K de K es un com- pacto establecido sin puntos de rama y, por lo tanto, (5.10) se mantiene para por encima de los argumentos. Puesto que wMk y CMk son analíticos en K, encontramos por (5.11) que Rk,n es analítico en K. El principio de módulo máximo para el análisis funciones establece que supzÃ3K Rk,n(z) = supzK Rk,n(z) y por lo tanto nosotros obtener que (5.10) también se mantiene para K con la misma constante cK = cK. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora decimos dos consecuencias particulares de (5.10). Corollary 5.2. Let k q + 1,..., p − 1}. Para cada set compacto K â € ¢ Tenemos que μk,n(K) = 0 para n lo suficientemente grande. Prueba. Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Por (5.10) se deduce que Pk,n no tiene ceros en K para n grande. Puesto que nμk,n(K) es igual al número de ceros de Pk, y en K el corolario sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 5.3. Let k q + 1,..., p− 1}. Tenemos eso. dμk,n(x) x−  = dμk(x) x− , (5.15) uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Łk. Prueba. Deja que K sea un subconjunto compacto de C \ Łk. Tenga en cuenta que dμk,n(x) x−  = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * P ′k,n() nPk,n(l) , (5.16) con Mk y cK como en la Proposición 5.1 obtenemos de (5.10) P ′k,n() nPk,n(l) w′Mk() wMk() +O(1/n), n → •, (5.17) uniformemente en K. Reescribamos el lado derecho de (5.17). Expandiendo ambos lados de zq(a(z)− ) = ap j=1(z − zj()) y recoger la constante términos que obtenemos (−zj()) = . (5.18) Desde el principio, podemos dividir este producto en dos partes, tomar el logarítmico derivado y uso (3.3) y (2.23) para obtener z′j() zj() j=q+k+1 z′j() zj() w′k() wk(l) w′Mk() wMk() . (5.19) 22 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS Combinando (5.16), (5.17) y (5.19), obtenemos dμk,n(x) x−  = w′k() wk(l) (5.20) uniformemente en K. Entonces (5.15) sigue de (5.20) y (4.9). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos listos para la prueba del Teorema 2.6. Prueba de Teorema 2.6. Primero probamos (2.21). Por la Proposición 2.5 y el hecho de que es admisible, tenemos (véase (2.8)) μk,n(C) = degPk,n ≤ μk(C), (5.21) por cada n.o N.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E.o E. Que C0(C) sea el espacio Banach de las funciones continuas en C que desaparecen en el infinito. El espacio dual C0(C) * de C0(C) es el espacio del complejo regular Borel medidas en C. Por (5.21) la secuencia (μk,n)nÃ3nÃ3n pertenece a la bola en C0(C) * centrado en el origen con radio μk(C), que es débil * compacto por el teorema de Banach-Alaoglu. Dejemos que μk, sea el límite de un débil ∗ convergente subsecuencia de (μk,n)nâ € N. Por convergencia débil* y corolario 5.2 obtenemos que μk, en la kk. Combinando esto con (5.15) y los débiles ∗ La convergencia conduce a dμk(x) x−  = dμk (x) x− , (5.22) por cada "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "" de "C" de "C" de "" de "C" de "" de "C" de "C" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "C" de "" de "" de "" de "C" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" "" "" de "" "" "" de "" "" "" "" "" "" de "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" de "" "" de "" "" "" "" "" "" "" de "" Las integrales en (5.22) son conocidas en la literatura como el Cauchy se transforma de las medidas μk y μk. La transformación de Cauchy en?k es un mapa inyector que mapea las medidas en?k a las funciones que son análisis en C \ Łk (se puede encontrar fórmulas explícitas de inversión, ver por ejemplo los argumentos de [9, Teorema II.1.4] o la fórmula de inversión Stieltjes-Perron en el caso especial «k R»). Por lo tanto, se deduce de (5,22) que μk, = μk. Por lo tanto μk,n = μk (5.23) en el sentido de convergencia débil* en C0(C) ∗. Por lo tanto (2.21) se mantiene si función continua que desaparece en el infinito. De (5.21) y (5.23) también se desprende que μk,n(C) = μk(C), (5.24) A continuación, la secuencia (μk,n)n®N es estrecha. Es decir, por cada > 0 existe un K compacto de tal manera que μk,n(C \K) < argumento de proximación ahora se puede demostrar que (2.21) se mantiene para cada límite función continuum  on C. Teniendo (2.21) y Proposición 5.1, podemos probar (2.20) como en [1, Theo- rem 11.17]. De hecho, los sets lim infnÃ3 spk Tn(a) y lim supnà spk Tn(a) igualar el soporte de μk, que es k. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 23 –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 lambda –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 lambda Gráfico 2 Ilustración para el ejemplo 1: Las densidades del medidas μ0 (izquierda) y μ1 (derecha) para a = 4(z+1)3 6. Ejemplos 6.1. Ejemplo 1. Como primer ejemplo considere el símbolo un definido por a(z) = 4(z + 1)3 . (6.1) En este caso tenemos p = 2 y q = 1. Así que obtenemos dos contornos •1 con dos medidas asociadas: μ0 y μ1. Este ejemplo apareció en [3], en la que los autores dieron expresiones explícitas para el valor 0 y el valor μ0. Lo siguiente: la proposición también contiene expresiones para el 1 y el μ1. En lo que sigue tomamos las ramas principales para todos los poderes fraccionarios. Proposición 6.1. Con un como en (6.1), tenemos que 0 = [0, 1] y dμ0() = d/23370/. (6.2) Por otra parte, 1 ° = (, 0] y dμ1() = )1/3 − 1 - 1 ()2/3 d/23370/. (6.3) Prueba. Un cálculo sencillo muestra que  = 0 y  = 1 son los puntos de rama. Dejemos que el punto de partida no sea un punto de rama, y supongamos que el punto de partida no es un punto de rama. Existen Y1, y2 C tal que y1 6= y2, y1 = y2 y a(y1) = a(y2) = ♥. Entonces... sigue de (6.1) que y1+1 = y2+1. Por lo tanto y1 y y2 son intersección puntos de un círculo centrado en −1 y un círculo centrado en el origen. Desde y1 6= y2, esto significa que y1 = y2 y, por lo tanto, a(y1) = a(y2) = a(y1) = Una nueva investigación muestra que a(z) tiene 3 diferentes ceros reales si  > 1. Si  < 1 y  6= 0 entonces a(z) −  tiene exactamente 1 real cero y 2 conjugar ceros complejos. Por lo tanto, "0 " " 1 " = ( ", 1 " ). 24 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 k = 0 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 k = 1 Gráfico 3 Ilustración para el ejemplo 1: El espectro spT50(a) (top) y el espectro generalizado sp1T50(a) (bot- tom), para el símbolo a = 4(z+1)3 Ahora vamos a mostrar que 0 = [0, 1] y 1 = (, 0]. Por Cardano’s fórmula las soluciones de la ecuación algebraica a(z) = zj(♥) = −1− 3ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 1 + (1− )1/2 + j 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 2 (6.4) en el caso de la letra a) de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento será la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento. zj() = −1+ 3()1/3 1 + (1− )1/2 − j−2 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1--1--1--1--1--1-1-1-1-1-1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1--1- (6.5) en lugar de la letra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En este caso, el valor de la unidad de medida es el valor de la unidad de medida de la unidad de medida. Uno puede comprobar que z1(el) = z2(el) < z3(♥) para فارسى (0, 1) y z1(l) < z2(l) = z3(l) para Más... sobre, para  = 0 tenemos z1(0) = z2(0) = z3(0) = −1. Por lo tanto, 0 ° = [0, 1] + 1 = (+, 0). La densidad (6.2) ya fue dada en [3] y (6.3) sigue en un similar Camino. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En la Figura 2 trazamos las densidades de μ0 y μ1. Tenga en cuenta que, debido a la interacción entre μ0 y μ1 en la energía funcional, hay más masa de μ0 cerca de 0 que cerca de 1. También vemos que las singularidades de las densidades para μ0 y μ1 son de orden O(2/3) para  → 0, mientras que la naturaleza típica de una singularidad en cada una de las medidas es una singularidad raíz cuadrada. Los la singularidad más fuerte se debe al hecho de que a(z) − tiene una raíz triple para  = 0. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 25 –4 –2 2 4 lambda –4 –2 2 4 lambda Gráfico 4 Ilustración para Ejemplo 2: Las densidades del medidas μ0 (izquierda) y μ1 = 1 (derecha) para a(z) = z 2 + z + z−1 + z−2. En la Figura 3 trazamos los valores propios y los valores propios generalizados para n = 50. Se sabe que los valores propios son simples y positivos [3, §2.3], que también vemos en la Figura 3. 6.2. Ejemplo 2. Para el símbolo un definido por a(z) = z2 + z + z−1 + z−2. (6.6) tenemos p = q = 2. De la simetría a(1/z) = a(z) se desprende que 1 = 1 y 1 = μ1. La característica interesante de este ejemplo es que los contornos 0 y 1 solapamiento. Para ser precisos, el intervalo (−9/4, 0) está contenido en las tres con- tours 1,0 y 1. Esto se puede ver más fácilmente mediante la investigación de la imagen del círculo de la unidad bajo una. Considerar a(eit) = 2 cos 2t+ 2cos t, para t [0, 2η]. (6.7) Un análisis directo muestra que por cada (−9/4, 0), la ecuación a(eit) =  tiene cuatro soluciones diferentes para t en [0, 2η]. Esto significa que la cuatro soluciones de la ecuación a(z) = ♥ están en el círculo de la unidad, y así en particular tienen el mismo valor absoluto. La ecuación a(z) −  = 0 se puede resolver explícitamente mediante la introducción de la variable y = z + 1/z. De la misma manera que en el ejemplo anterior se pueden obtener las medidas de limitación. No daremos las fórmulas explícitas, pero sólo trazar las densidades en la Figura 4. Los puntos de la rama son  = −9/4, * = 0 y * = 4. Los contornos son dados por * 0 = [−9/4, 4], * 1 = * 1 = (­, 0]. (6.8) Las densidades tienen singularidades en los puntos de rama en el interior de su apoyos. Las singularidades sólo se sienten a un lado de los puntos de rama. Considere primero μ0, cuya densidad tiene una singularidad en 0. Sin embargo, la limitación valor cuando 0 se acerca desde el eje real positivo es finito. El cambio en el comportamiento de μ0 tiene que ver con el hecho de que z1 es analítico en (0, 4), pero no 26 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS el (−9/4, 0). Por lo tanto, encontramos en (1.12) que dμ0() = z1+() z2+() z1−() z2−() d/23370/ (6,9) el (−9/4, 0), y dμ0() = z2+() z2−() d/23370/ (6.10) en (0, 4). Para 1 = μ1 un fenómeno similar ocurre en ♥ = −9/4. Esto es un consecuencia del hecho de que z1 tiene una continuación analítica en z2 cuando cruzamos (,-9/4), pero tiene una continuación analítica en z4 cuando cruz (−9/4, 0). 6.3. Ejemplo 3. Como ejemplo final, considere el símbolo a(z) = zp + z−q, (6.11) con p, q ≥ 1 y gcd(p, q) = 1. Este ejemplo apareció en [10], donde el los autores mencionaron que la estrella da 0 *0 = {r­j j = 1,....................................................................................................................................................................................................................................................... con فارسى = e2πi/(p+q) y R = (p + q)p−p/(p+q)q−q/(p+q). Los otros contornos también tienen una forma de estrella, a saber: k = {(−1)kr­j j = 1,...., p+ q, 0 ≤ r < (6.13) para k 6= 0. Tenga en cuenta que la estrella de k 6= 0 no está limitada. En la Figura 5 trazamos los valores propios y los valores propios generalizados para p = 2, q = 3 y n = 50. Todos los valores propios (generalizados) aparecen para tumbarse exactamente en los contornos. En el caso especial p = 1 se sabe que los valores propios de Tn(a) se encuentran precisamente en la estrella (6.12) y son todos simple (posiblemente excepto 0) [4, Teorema 3.2], véase también [6] para una conexión a la cuadratura tipo Chebyshev. 6.4. Estabilidad numérica. En la Figura 3 y la Figura 5 los valores propios y los valores propios generalizados de T50(a) se computaron numéricamente. Controlar la estabilidad del cálculo numérico de los valores propios uno necesita a analizar el pseudo-espectro. Para la banda de matrices Toeplitz el pseudo- espectro es bien entendido [12, Th. 7.2]. Hasta la fecha, un análisis similar del pseudo-espectro para el lápiz de matriz (Tn(z) −ka), Tn(z −k))) no se han llevado a cabo. Véase [12, §X.45] para algunas observaciones sobre el pseudo-espectro para el problema generalizado del valor propio. EGENVALUOS DE LOS MATRICES DE TOEPLITZ BANDADOS 27 −5 0 5 k = −2 −5 0 5 k = −1 −5 0 5 k = 0 −5 0 5 k = 1 Gráfico 5 Ilustración para el ejemplo 3: Los contornos los valores propios y los valores propios generalizados para T50(a) para el símbolo a = z2 + z−3. Bibliografía 1. A. Böttcher y S. M. Grudsky, Propiedades espectrales de las matrices Toeplitz SIAM, Philadelphia, PA, 2005. 2. A. Böttcher y S. M. Grudsky, Puede valores espectrales conjuntos de matrices de banda Toeplitz salto?, Álgebra Lineal Appl., 351-352 (2002), pp. 99 a 116. 3. E. Coussement, J. Coussement y W. Van Assche, distribución cero asintótica para una clase de polinomios ortogonales múltiples, Trans. Amer. Matemáticas. Soc., (aparecer) 4. M. Eiermann y R. Varga, Zeros y puntos extremos locales de los polinomios Faber asociado con dominios hipocicloidales, Electron. Trans. Numer. Anal., 1 (1993), pp. 49-71. 5. I. I. Hirschman, Jr., El espectro de ciertas matrices Toeplitz, Illinois J. Math., 11 (1967), pp. 145-159. 6. A. Kuijlaars, Cuadrada de Chebyshev para medidas con una fuerte singularidad, J. Comput. Appl. Math., 65 (1995), pp. 207-214. 7. E. Nikishin y V. Sorokin, Aproximaciones racionales y ortogonalidad, traducciones de las monografías matemáticas 92, American Mathematical Society, Providence, RI, (1991). 8. T. Ransford, teoría potencial en el plano complejo, Sociedad Matemática de Londres Student Texts 28, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. 9. E.B. Saff y V. Totik, Potenciales Logartihmic con campos externos, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 316, Springer-Verlag, Berlín, 1997. 10. P. Schmidt y F. Spitzer, las matrices Toeplitz de un polinomio Laurent arbitrario, Matemáticas. Scand., 8 (1960), pp. 15-38. 28 MAURICE DUITS Y ARNO B.J. KUIJLAARS 11. P. Simeonov, Un problema de energía para una clase de pesos admisibles, Houston J. Math., 31 (2005), pp. 1245-1260. 12. L.N. Trefethen y M. Embree, Spectra y Pseudoespectra, Universidad de Princeton Press, Princeton, NJ, 2005. 13. J.L. Ullman, un problema de Schmidt y Spitzer, Bull. Amer. Matemáticas. Soc., 73 (1967), pp. 883-885. 14. H. Widom, Sobre los valores propios de ciertos operadores hermitanos, Trans. Amer. Matemáticas. Soc., 88 (1958), pp. 491-522. 1. Introducción 2. Declaración de resultados 2.1. La energía funcional 2.2. Las medidas k como medidas limitantes de los valores propios generalizados 2.3. Resumen del resto del documento 3. Preliminares 3.1. La estructura de las curvas k 3.2. La superficie de Riemann 3.3. Las funciones wk() 4. Prueba del teorema 2.3 5. Pruebas de la Proposición 2.5 y el Teorema 2.6 5.1. Prueba de la Propuesta 2.5 5.2. Prueba del teorema 2.6 6. Ejemplos 6.1. Ejemplo 1 6.2. Ejemplo 2 6.3. Ejemplo 3 6.4. Estabilidad numérica Bibliografía

Capturing knots in polymers

FIG. 1. Polímero de resorte de grano anudado: Configuración inicial con perlas N=16384; después de 6 pasos de reducción (N=265); final configuración después de 15 iteraciones (N=8) con la región anudada (trefoil) en rojo; y magnificado. (mejorado en línea) Captura de nudos en polímeros Peter Virnau, Mehran Kardar Departamento de Física, MIT, Cambridge, MA 02139-4307, EE.UU. Yacov Kantor Escuela de Física y Astronomía, Tel Aviv Universidad, 69978 Tel Aviv, Israel (recibido, publicado) [DOI: 10.1063/1.2130690] Visualizar las propiedades topológicas es un tarea difícil. Aunque los algoritmos normalmente pueden determinar si un bucle contiene un nudo, encontrando su lugar exacto es difícil (y no necesariamente bien definido). Aquí, aplicamos un método de reducción por Koniaris Muthukumar y Muthukumar , que se propuso originalmente simplificar polímeros antes de calcular el nudo invariantes. Comenzamos con un extremo y consideramos triángulos consecutivos formados por tres adyacentes monómeros. Si el triángulo no es cruzado por cualquiera de los enlaces restantes, la partícula en el centro es removido. Ir y venir entre ambos extremos procederemos hasta que la configuración no pueda ser reducir aún más (véase la figura 1). Aunque el método no es perfecto (a veces regiones entrelazadas, pero descompuestas permanecen), nos da una valiosa impresión sobre el número típico de nudos, su ubicación respectiva y tamaños Este trabajo contó con el apoyo de la subvención del GRD Vi237/1. P. Virnau, Y. Kantor, y M. Kardar, J. Soy. Chem. Soc., en la prensa (2005). W. G. Taylor, Nature 406, 916 (2000). K. Koniaris y M. Muthukumar, J.Chem. Phys. 95, 2873 (1991). Fotos y películas fueron generadas usando el VMD paquete de visualización; vea W. Humphrey, A. Dalke, y K. Schulten, J. Molec. Gráficos 14, 33 (1996). Copyright (2005) American Institute of Physics. Este artículo puede ser descargado para uso personal Sólo. Cualquier otro uso requiere autorización previa de el autor y el Instituto Americano de Física. El siguiente artículo apareció en la Galería de Imágenes en Caos 15, 041103 (2005) y se puede encontrar en http://chaos.aip.org/chaos/gallery/toc_Dec05.jsp Esta versión también contiene una película del algoritmo.

Este artículo visualiza un algoritmo de reducción de nudos

FIG. 1. Polímero de resorte de grano anudado: Configuración inicial con perlas N=16384; después de 6 pasos de reducción (N=265); final configuración después de 15 iteraciones (N=8) con la región anudada (trefoil) en rojo; y magnificado. (mejorado en línea) Captura de nudos en polímeros Peter Virnau, Mehran Kardar Departamento de Física, MIT, Cambridge, MA 02139-4307, EE.UU. Yacov Kantor Escuela de Física y Astronomía, Tel Aviv Universidad, 69978 Tel Aviv, Israel (recibido, publicado) [DOI: 10.1063/1.2130690] Visualizar las propiedades topológicas es un tarea difícil. Aunque los algoritmos normalmente pueden determinar si un bucle contiene un nudo, encontrando su lugar exacto es difícil (y no necesariamente bien definido). Aquí, aplicamos un método de reducción por Koniaris Muthukumar y Muthukumar , que se propuso originalmente simplificar polímeros antes de calcular el nudo invariantes. Comenzamos con un extremo y consideramos triángulos consecutivos formados por tres adyacentes monómeros. Si el triángulo no es cruzado por cualquiera de los enlaces restantes, la partícula en el centro es removido. Ir y venir entre ambos extremos procederemos hasta que la configuración no pueda ser reducir aún más (véase la figura 1). Aunque el método no es perfecto (a veces regiones entrelazadas, pero descompuestas permanecen), nos da una valiosa impresión sobre el número típico de nudos, su ubicación respectiva y tamaños Este trabajo contó con el apoyo de la subvención del GRD Vi237/1. P. Virnau, Y. Kantor, y M. Kardar, J. Soy. Chem. Soc., en la prensa (2005). W. G. Taylor, Nature 406, 916 (2000). K. Koniaris y M. Muthukumar, J.Chem. Phys. 95, 2873 (1991). Fotos y películas fueron generadas usando el VMD paquete de visualización; vea W. Humphrey, A. Dalke, y K. Schulten, J. Molec. Gráficos 14, 33 (1996). Copyright (2005) American Institute of Physics. Este artículo puede ser descargado para uso personal Sólo. Cualquier otro uso requiere autorización previa de el autor y el Instituto Americano de Física. El siguiente artículo apareció en la Galería de Imágenes en Caos 15, 041103 (2005) y se puede encontrar en http://chaos.aip.org/chaos/gallery/toc_Dec05.jsp Esta versión también contiene una película del algoritmo.

Exponential growth rates in a typed branching diffusion

Tasas de crecimiento exponencial en una difusión de ramificaciones mecanografiadas Los Anales de Probabilidad Aplicada 2007, Vol. 17, No. 2, 609–653 DOI: 10.1214/105051606000000853 c© Instituto de Estadística Matemática, 2007 TIPOS DE CRECIMIENTO EXPONENCIAL EN UN TIPO DIFUSIÓN DE BRANQUEO Por Y. Git, J. W. Harris1 y S. C. Harris Universidad de Cambridge, Universidad de Bristol y Universidad de Bath Estudiamos la fase de alta temperatura de una familia de ramas mecanografiadas. difusiónes inicialmente estudiadas en [Astérisque 236 (1996) 133-154] y [Notas de Lectura en Matemáticas. 1729 (2000) 239–256 Springer, Berlín]. Los El objetivo principal es establecer algunos resultados de límite de casi seguridad para el largo plazo. término comportamiento de este sistema de partículas, a saber, la velocidad a la que el población de partículas coloniza tanto el espacio como las dimensiones de tipo, como así como la tasa de crecimiento de la población dentro de este asymp- Forma tótica. Nuestro enfoque incluirá la identificación de un mecanismo de dos fases por el cual las partículas pueden acumularse en suficiente números con posiciones espaciales cerca de t y posiciones de tipo cerca de t en grandes tiempos t. Las pruebas implican la aplicación de una variedad de las técnicas martingale — lo más importante es una construcción “espinal” que implique un cambio de medida con un martingale aditivo. En... dad al interés intrínseco del modelo, las metodologías presentadas contienen ideas que se adaptarán a otras configuraciones de ramificación. Nosotros también. discutir brevemente las aplicaciones a las soluciones de ondas itinerantes de un associ- Ecuación reacción-difusión. 1. Introducción. En este artículo vamos a considerar una cierta familia de mecanografiado ramificaciones que tienen partículas que se mueven (independientemente de cada otro) en el espacio según un movimiento browniano con varianza controlada por proceso de tipo de la partícula. El tipo de cada partícula evoluciona como un Ornstein– Uhlenbeck proceso y este tipo también controla la velocidad a la que ocurren los nacimientos. La forma particular de este modelo permite muchos cálculos explícitos, pero a lo largo de todo nos esforzaremos por desarrollar técnicas que dependan de Cípulas tanto como sea posible, por lo que podrían adaptarse fácilmente a otras situaciones. Este modelo fue considerado previamente en [12, 13]; estos documentos son esenciales las bases de esta labor, aunque recordaremos varios resultados según sea necesario. Recibido en diciembre de 2004; revisado en noviembre de 2006. 1Apoyado en parte por una beca EPSRC. Clasificación por materias de la AMS 2000. 60J80. Palabras y frases clave. Proceso de ramificación espacial, difusión de ramificaciones, multitipo proceso de ramificación, martingales aditivos, descomposición de la columna vertebral. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 609–653. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0380v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000853 http://www.imstat.org http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000853 2 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Vamos a hacer algunas aplicaciones significativas de la teoría de la columna vertebral para la rama- los procesos de comercialización. Inspirado en la serie de papeles Lyons, Pemantle y Peres [19], Lyons [18] y Kurtz, Lyons, Pemantle y Peres [16], técnicas de columna vertebral han sido instrumentales en los últimos años en proporcionar intuitiva y elegante pruebas de muchos importantes resultados clásicos y nuevos en la teoría de la rama- los procesos de comercialización. En este artículo utilizamos la reciente reformulación de la columna vertebral método presentado en [8], que sigue en espíritu similar a la ramificación Estudio de movimiento browniano de Kyprianou [17]. Para una selección de otras aplicaciones ciones de las técnicas de la columna vertebral, por ejemplo, véase [1, 6, 7, 23] y referencias en ellas. 1.1. El modelo de ramificación. Definimos Nt como el conjunto de partículas vivas a la hora t ≥ 0. Para una partícula u â € Nt, Xu(t) â € R es su posición espacial, y Yu(t) R es el tipo de u. Marcaremos a las crías usando el Ulam-Harris convención donde, por ejemplo, si u = 21 entonces la partícula u es el primer hijo del segundo hijo del ancestro inicial, y escribiremos v > u si partícula v es un descendiente de partícula u. La configuración de la difusión de ramificaciones en el momento t se da por el proceso de punto Xt := {(Xu(t), Yu(t)) :u Nt}. El tipo de partícula evoluciona como un proceso Ornstein-Uhlenbeck con un invari- ant medida dada por la densidad normal normal estándar (y) y un asociado operador diferencial (generador) Q. := - y- y- donde se considera que la temperatura del sistema es la temperatura del sistema. El espacio movimiento de una partícula de tipo y es un movimiento Brownian sin deriva en R con variación A(y) := ay2, donde a≥ 0. Una partícula de tipo y es reemplazada por dos crías a una velocidad R(y) := ry2 + ♥, donde r, 0. Cada descendencia hereda el tipo actual y la posición espacial de sus padres, y luego se mueve independientemente de todos los demás. Utilizamos P x, y y Ex, y con x, y # R para representar la probabilidad y la expectativa cuando el proceso de Markov comienza con una sola partícula en posición (x, y). Se encuentra la tasa casi segura de crecimiento exponencial, D(γ), de par- ticles que se encuentran simultáneamente con las posiciones espaciales cerca de t y posiciones de tipo cerca de ♥ t en grandes tiempos t. De esto podemos deducir la velocidad de partículas extremas y por lo tanto la forma asintótica del sistema de partículas. El principal esfuerzo es necesario para identificar a D(γ) como el límite casi seguro de t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 3 En particular, las propiedades de convergencia de dos familias diferentes de adi- los martingales asociados a la difusión de ramificaciones conducirán directamente a las tasas de crecimiento exponencial espacial y un límite superior del tipo espacial crecimiento. Para el límite inferior restante, describimos un explícito de dos fases mecanismo para acumular el número requerido de partículas con posiciones de tipo espacial. La primera fase consiste en la creación de un «exceso» de partículas, cada una cubriendo una cierta proporción del espacio necesario distancia. Durante su segunda fase, bastantes de estas partículas deben tener éxito en la realización de un ascenso difícil y rápido a la posición requerida. Esta última fase se demuestra utilizando una técnica intuitiva de cambio de medida que induce una construcción de columna vertebral. La familia de modelos que estamos considerando es específica, pero sin embargo tienen algunas características de importancia fundamental que motivan las elecciones para Q R y A. Si el movimiento espacial es ignorado, hemos investigado un binario ramificando el proceso Ornstein-Uhlenbeck en un potencial de reproducción cuadrático. In contraste, Enderle y Hering [5] considerado una ramificación Ornstein-Uhlenbeck con tasa de ramificación constante pero distribución aleatoria de la descendencia. Un cuadrático El potencial de reproducción es una tasa crítica para las explosiones en la población de cles. En un movimiento browniano ramificado en R con división binaria que ocurre a la velocidad xp en la posición x, la población explotará casi seguramente en finito tiempo si p > 2, mientras que para p = 2 el número esperado de partículas explota mientras que la población total permanece finita para todos los tiempos con probabilidad 1 (ver [15], capítulo 5.12). El proceso Ornstein-Uhlenbeck no es sólo un canoni- difusión ergódica, pero este tipo de movimiento tiene exactamente la deriva correcta para ayudar contrarrestar la tasa cuadrática de reproducción. Para temperaturas altas,................................................................................................................. es una media de reversión suficientemente fuerte en los procesos de tipo para garantizar que el tamaño total de la población esperada no explota; pero para las temperaturas La reproducción cuadrática domina la atracción hacia el origen, el población esperada explota en un tiempo finito y las partículas se comportan muy dif- Ferentmente. A lo largo de este artículo consideramos sólo las altas temperaturas. postergar los regímenes de temperatura baja y crítica a la labor futura. Dado otras opciones, el coeficiente de difusión espacial cuadrático ahora se vuelve muy natural, que nos permite encontrar familias explícitas de (fundamental) tingales ya que la ecuación linealizada de onda-viaje se puede vincular a la ecuaciones osciladoras armónicas clásicas de la física. La ramificación binaria el mecanismo se adoptó para la simplicidad; en principio, nuestro enfoque podría a las distribuciones generales de descendencia, aunque nuevas características surgirían de posibles extinciones y condiciones de momento de la descendencia necesarias. Todos estos las elecciones hacen que los modelos ricos en estructura, poseyendo algunos muy desafiantes características sin dejar de ser suficientemente tratable. 4 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS 1.2. Aplicación a ecuaciones de reacción-difusión. Siguiendo en el pie... pasos de McKean [20], la solución de la ecuación reacción-difusión +R(y)u(u−1) + − usted con la condición inicial f(x, y) [0,1] para todas las x, y R, puede ser representado por u(t, x, y) =Ex,y f(Xu(t), Yu(t)) De gran importancia para las ecuaciones de reacción-difusión son onda-viaje tan- luciones (por ejemplo, véase [21]). En el contexto actual, una solución a la ecuación (1) de la forma u(t, x, y) := w(x− ct, y) se dice que es una onda viajero de velocidad c, donde w(x, y) resuelve la ecuación de onda-viaje +R(y)w(w − 1) + - Sí. = 0.3) Para nuestro estudio de la difusión de las ramificaciones son fundamentales dos familias de “ad- ditive” martingales, Z (t) [definido en (6)], que están vinculados a la linealiza- sión de (1). Cuando se determina que el valor de la sustancia problema es superior a 8r, Harris y Williams [13], se determina cuándo Z es igual o superior al valor de la sustancia problema. uniformemente integrable (véase el Teorema 17) y luego w♥(x, y) :=E x,y exp(−Z ()) produce una onda itinerante de velocidad c. Esto da la existencia de viajar ondas para todas las velocidades c mayor que algún umbral c Además, combinando la representación McKean (2) con la casi- seguro resultado de convergencia establecido en [12] (mirar hacia adelante al Teorema 18) puede dar resultados sobre la atracción hacia las ondas de viaje a partir de datos iniciales dados. Por ejemplo, si − lnf(x, y) • eŁxg(y) uniformemente en y como x • para algún traje- • L2(­), la solución u(x, y) a (1) con las condiciones iniciales f u(t, x− c t, y)→w se determinará a partir de g. En la labor futura esperamos desarrollar el enfoque utilizado para la BBM estándar y la ecuación de FKPP en [11], y probar que las ondas viajantes de un dado speed c > c?(?) son únicos (hasta la traducción) y que no hay olas de viaje existen para las velocidades c < c(). Prevemos que nuestros nuevos resultados sobre el crecimiento las tasas de partículas ayudarán a establecer algunas estimaciones difíciles en la cola comportamiento de cualquier ola de viaje, y por lo tanto ayudar a probar el conjeturado singularidad. Además, esperamos que nuestros resultados de la tasa de crecimiento sean esenciales en la obtención de clases más amplias de condiciones iniciales que se atraen hacia olas de viaje. En cada uno de estos problemas, las dificultades surgen de espacio de tipo limitado donde, por ejemplo, se debe obtener cierto control sobre las posibles contribuciones a nt log f(Xu(t) − ct, Yu(t)) de partículas que tienen grandes posiciones tipo, además de grandes posiciones espaciales. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 5 2. Principales resultados. En esta sección, vamos a presentar nuestros principales resultados que identificar las tasas de crecimiento encontradas en la difusión de las ramificaciones. Daremos una visión general de nuestras pruebas, identificando las ideas y técnicas clave utilizadas, así como la introducción de alguna intuición para el comportamiento dominante de las partículas que sustenta nuestro enfoque. 2.1. Martingales. Las principales herramientas utilizadas a lo largo de este trabajo son: dos familias fundamentales de martingales “additivos”, que se introdujeron en [13]. Antes de definir los martingales damos algunas definiciones clave. Vamos. min :=− 8r Dejemos que se haga con la siguiente convención que siempre usamos para hacer con la siguiente convención: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Además, definir := ( 8r− 4a.2), := E := , c  :=−E - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.5) Will escribirá ocasionalmente E como E ±(l) con el fin de enfatizar que E son funciones reales de ♥; los superíndices ± siempre distinguirán estos de operadores de expectación. Nótese que el punto más allá del cual es no más tiempo un número real. Los martingales son Z y Z , definido para  (­min,0] como Z (t) := v (Yu(t)e) Xu(t)−E t,(6) donde v (y) := exp( 2) son funciones propias estrictamente positivas de la ópera- Ql+ + 12 2A+R, con los correspondientes valores propios E <E  y A,R son las funciones definidas en la sección 1.1. Este operador es auto-adjunta en L2(­) con el producto interior , donde f, g := La densidad normal es fg-dy y la densidad normal. Nota que v L2(l), mientras que v Por lo tanto, no es normalizable. Los cálculos de la Sección 3 hacen que sea fácil ver que estos son martingales, y a lo largo de todo el documento necesitaremos una variedad de convergencia martingale los resultados que se recogen en la sección 8. En particular, necesitaremos saber precisamente cuando Z es uniformemente integrable con una estrictamente positiva límite, algunos resultados de convergencia más fuertes para otras sumas estrechamente relacionadas sobre partículas (también identificando qué partículas contribuyen no trivialmente a su límites), y la tasa de convergencia a cero de los Z martingales. 6 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS 2.2. La tasa de crecimiento asintótico de partículas a lo largo de los rayos espaciales. Como un paso inicial esencial hacia la determinación de la tasa de crecimiento de las partículas en el dominio de tipo espacial bidimensional, primero nos fijamos en la tasa de crecimiento de par- ticles en la dimensión espacial solamente. Para γ ≥ 0 y C+R, definir Nt(γ;C) := 1 {Xu(t)t;Yu(t)C}.7).................................................................................................................................................. El límite que da la tasa de crecimiento esperada, t−1 logE(Nt(γ;R)) se puede demostrar que existe y su valor se puede calcular para ser (γ) := inf (­min,0) {E + a−1( − 8r)(4γ2 + Ła). En la sección 3 figura un esbozo de este cálculo de las expectativas. Ahora es tentador adivinar que la velocidad asintótica de la la mayor parte de la partícula izquierda, c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * r+ 2(2r+)2 8r Recordemos que c­(­) = inf(­)min,0) c  es también el umbral mínimo para viajar olas. En esta situación particular, la suposición de que la “expectación” y “casi seguro” la mayoría de las velocidades de partículas de acuerdo primero se demostró rigurosamente utilizando un el cambio martingale de la técnica de medida en [13]. En este documento, extendemos y demostrar que las tasas “esperadas” y “casi seguras” de crecimiento de partículas con velocidades determinadas (Teorema 1) y de tipo espacial las ubicaciones (Teorema 3) están de acuerdo. Teorema 1. Dejar γ ≥ 0 e y0 < y1. Bajo cada ley P x, y, el límite D(γ) := lim t−1 logNt(γ; [y0, y1]) existe casi con seguridad y es dada por D(γ) = (γ), si es 0≤ γ < c •, si γ ≥ c UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 7 Tenga en cuenta que la simetría en el proceso significa que hay una re- sulf para partículas con velocidades espaciales superiores a (correspondiente a valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores positivos de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de De vez en cuando podemos hacer uso de tal simetría de proceso- lo intenta sin más comentarios. Entonces, puesto que Nt(γ;R) es valorado entero, el la velocidad asintótica de la partícula más derecha sigue inmediatamente: Corollario 2. Casi seguro, t−1 sup{Xu(t) :u {Nt}= c Este resultado de la tasa de crecimiento espacial se demuestra en la sección 10 utilizando el martin- resultados de la Sección 8. De hecho, es muy fácil obtener el límite superior dominando primero la función indicadora con exponenciales para revelar que Nt(γ;R) ≤ exp{(E + )t}Z  (t), recordando que Z Es un mar convergente. tingale, y a continuación, la optimización sobre la elección de ♥. Para el límite inferior, nosotros usará un fuerte resultado de convergencia obtenido en [12], combinado con la idea que cada martingale Z uniformemente integrable esencialmente “cuenta” sólo el partículas de la velocidad correspondiente. 2.3. La forma asintótica y el crecimiento de la difusión ramificada. Los El principal resultado de este trabajo es la tasa de crecimiento casi segura de las partículas que están en las proximidades de t en el espacio y cerca de t en posición de tipo en general veces t. Para γ, 0, se puede mostrar que el límite t−1 logE(Nt(γ; [ t)(10) existe y toma el valor (γ) := inf (­min,0) {E + − # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # # # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # () ( 8r)(4a2 + a2()2)2). En la sección 3 figura un esbozo de este cálculo de las expectativas. Una vez más, encontraremos que la tasa “casi segura” de crecimiento de partículas está de acuerdo con esta tasa "esperada" exactamente donde hay crecimiento en números de partículas. Teorema 3. Let γ, ≥ 0 with Ł(γ,) 6= 0. Bajo cada ley P x, y, la límite D(γ) := lim t−1 logNt(γ; [ t)) existe casi con seguridad y es dada por D(γ) = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.(12) 8 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Para probar el difícil límite inferior del Teorema 3, que equivale a la gran trabajo de este documento, vamos a exhibir un mecanismo explícito de dos fases por que la difusión de ramificación puede construir por lo menos el exponencial requerido número de partículas cercanas a t en el espacio y t en posición de tipo grande veces t. Durante la primera fase, a lo largo de un gran tiempo t el proceso se acumula un ini- Exceso tial de aproximadamente partículas exp(­(α)t) con posición espacial en como mínimo, como ya se conoce en el Teorema 1. En esta fase “ergódica”, Las partículas “típicas” que se encuentran cerca de la Tierra en el espacio habrán ido a la deriva con una velocidad espacial de α mientras que sus historias tipo se han comportado más o menos como OU procesos con la deriva interna de y para una cierta elección óptima ♥(α) de parametr. ♥. Para la segunda fase, vamos a mostrar que la probabilidad de cualquier individuo partícula tiene al menos un descendiente que hace un “ascenso rápido” en ambos espacio y dimensiones de tipo desde la posición inicial (0,0) hasta la posición final cercana (t, t) es aproximadamente exp((β, • (β), • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( 8r) (a2o4 +4a2) ,(13) y el tiempo tomado para este “ascenso rápido” es un intervalo [0, ♥ ]. Demostramos que esta vez puede ser elegido de tal manera que 2 log t, y por lo tanto el adicional tiempo es asintóticamente insignificante en comparación con t. Intuitivamente, vamos a ver que dado a una prole que ha hecho con éxito tan difícil “rápida Ascenso”, lo más probable es que haya tenido su tipo de proceso comportándose como un Proceso OU con una deriva hacia el exterior de y y el movimiento browniano de conducción su movimiento espacial habrá tenido una deriva ♥ [correspondiente a un espacio en tiempo real deriva A(y) que aumenta en fuerza a medida que aumenta la posición del tipo y], para algunos optima elección del parámetro ♥(β,♥). El resultado preciso requerido será el siguiente: formularse rigurosamente como un límite inferior de gran desviación en el Teorema 7 de la sección 5, y se demuestra utilizando una técnica de cambio de medida “espinal” íntimamente relacionados con los Z martingales. Combinando estas dos fases y utilizando la independencia de las partículas, nosotros puede ver que el número de partículas cerca (t,0) en el tiempo t que subse quently proceder a tener por lo menos un descendiente cerca (-(α + β)t, t) es aproximadamente Poisson con media exp((α)(β,)}t). Optimizando para una velocidad espacial global fija γ, algunos cálculos revelan que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α,0 (α)(β, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA DE TIPO 9 con parámetros óptimos γ Ł2 y = γ Ł2 .(15) Por lo tanto, podremos demostrar un mecanismo explícito de dos fases a favor de que induce el número requerido de partículas, con este argumento de esquema más adelante guiando nuestra rigurosa prueba. Además, es interesante observar que el las opciones óptimas para  en cada fase también coinciden en un solo valor () (). Una gran desviación informativa heurística para el rápido ascenso también puede ser se encuentra en la sección 4, con esta sección que contiene también algunos óptimos esenciales cálculos de trayectoria. De hecho, probamos el mecanismo de dos fases para el inferior Teorema 3 en la sección 5, aunque aplazamos la prueba de la gran- desviación del límite inferior hasta la sección 7 después de presentar la “espina” necesaria los antecedentes de la sección 6. Demostramos el límite superior de la tasa de crecimiento del tipo espacial en la Sección 9, una vez más haciendo un uso crucial de los resultados de martingale de la sección 8. Del mismo modo que el caso de crecimiento espacial, podemos encontrar un límite superior usando el Z mar- tingales, es decir, Nt(γ; ))) ≤ exp{(E + − Z  (t). Sin embargo, como cada Z martingale converge a cero, debemos demostrar que su tasa de decaimiento exponencial es (E −E Antes de ser capaz de optimizar a través de la elección de  para obtener el límite superior requerido. Teniendo en cuenta el Teorema 3, y observando las simetrías, se vuelve recuperar lo siguiente: Corolario 4. Para cualquier F+R2, definir Nt(F ) := 1{(Xu(t)/t,Yu(t)/ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Si B+R2 es cualquier conjunto abierto y C+R2 es cualquier conjunto cerrado, entonces casi seguro bajo cualquier P x, y lim inf logNt(B)≥ sup (γ,­)­B D(γ,­), lim sup logNt(C)≤ sup (γ)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(**)(**)(**)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*(*(*(*)(*(*)(*)(*)(* D(γ,­), con la tasa de crecimiento D(γ,) dada en la ecuación (12). También podemos recuperar la casi segura forma asintótica de la región occu- Pied por las partículas en la difusión de ramificaciones. 10 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Corolario 5. Deja que B+R2 sea cualquier conjunto abierto. Casi seguro, debajo de cada uno P x, y la ley, Nt(B)→ 0, si S • B = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •, si S • B 6 = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • donde S â € R2 es el conjunto dado por S: = {(γ,­) {R2(γ,­)> 0}. 3. Algunos cálculos de expectativas. Esta sección discute cómo el ex- Se pueden obtener las tasas de crecimiento previstas en la sección anterior. Para esto, se utiliza el lema “muchos a uno” (véase, por ejemplo, [8]) y los cambios de una partícula de medida. En el proceso vamos a empezar a ganar valiosa intuición en cómo las partículas dentro de la difusión ramificada se comportan, así como ver pistas como que son los martingales “correctos” a utilizar para probar el crecimiento casi seguro los resultados de las tasas. Para la simplicidad, asumimos a lo largo de esta sección que la ramificación dif- fusión comienza con una partícula en el origen tanto en el espacio como en el tipo en el tiempo cero, a menos que se indique lo contrario. También introducimos una familia de una sola partícula medidas de probabilidad Pμ,l con las expectativas asociadas Eμ,l donde, bajo Es un proceso Ornstein-Uhlenbeck con varianza y deriva μ, y • t = B( 0 A(ηs)ds) donde B es un movimiento browniano con deriva. Lemma 6 (Muchos a uno). Si f :R2 7→R es Borel medible entonces f(Xu(t), Yu(t)) = E/23370//2,0 R(ηs)ds f(t, ηt) .16) Usando el lema de muchos a uno, y cambiando la medida para alterar la deriva de Movimiento browniano, vemos que f(Xu(t), Yu(t)) = E/23370//2,0 R(ηs)ds f(t, ηt) = E/23370//2,0 et exp R(ηs) + A(ηs) × f(t, ηt) · et A(ηs)ds = E­g/2,­ t + R(ηs) + A(ηs) f(t, ηt) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 11 Para realizar un nuevo cambio de medida en el proceso de OU para deshacerse de la integrales de tiempo en la exponencial de la expectativa, recordamos que dP,· • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,/2 := exp η t −E t+ R(ηs) + 2A(ηs) y luego f(Xu(t), Yu(t)) = E. 2 (exp( t η) = E. 2 (exp( t η) = E. 2 (exp( t t η) = E. 2 (exp t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t (t)f (t, ηt) ·M ,/2 t )17) = E,♥(exp(t −) (e, ηt)). Tenga en cuenta que el lema de muchos a uno, combinado con la erty, inmediatamente sugiere cómo conseguir martingales “additivos” para la rama- difusión de una sola partícula martingales—por ejemplo, tomando f(x, y) = expx+ y2} en la ecuación (17) conduce rápidamente al martingale Z Ahora podemos proceder a calcular las tasas de crecimiento previstas. Sin embargo, para claridad y brevedad dejaremos detalles rigurosos a los interesados lector, notando que la intuición que ganaremos de nuestros cálculos aproximados será más adelante invaluable en la guía de nuestra prueba rigurosa de la correspondiente tasas de crecimiento casi seguras. 3.1. La tasa esperada de crecimiento a lo largo de los rayos espaciales. Primero damos el esquema de algunos cálculos para encontrar la tasa de crecimiento en el número previsto de partículas cerca de t en el espacio en el tiempo t. Usando la fórmula de (17), para 1 {t−1Xu(t)(,)} = E,l(e) t η 1 {t - 1 {t - 1 {t )}) ≤ e(E) )tE, + γ â € (, â €) ≥ e(E) )tE, η2t ; + γ â € (, â €) donde, con algún abuso de notación que vamos a seguir utilizando a lo largo de en esta sección, abreviaremos esto a 1 {Xu(t)t} = E, t η (La sesión, interrumpida a las 10.00 h., se reanuda a las 13.00 h.) e(E) )t E,l(e) t ; t t) 12 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS , en el entendimiento de que cualquier argumento posterior para identificar expo- Las tasas de crecimiento se pueden hacer fácilmente rigurosas mediante el uso de la límites superior e inferior, y así sucesivamente. Ahora, teniendo en cuenta E−(l) :=E como una función de ♥, tenemos a partir de (8) que (γ) = inf(lmin,0){E−(l) + = E−(l) +, donde satisface () =, por lo tanto = ( 8r) a2 +4aγ2 .(19) Por supuesto, la elección de este valor óptimo en (18) significa que debemos tener si- multáneamente maximizado la expectativa E, t ); t t), y confirmar que este valor no está decayendo exponencialmente en t es ahora relativamente - Sí, claro. Bajo P,, η es un proceso Ornstein-Uhlenbeck con un medida invariante dada por la densidad de probabilidad,, de la distribución normal bution N(0, فارسى/(2)); y t =B( 0 A(ηs)ds), donde B es un BM con deriva - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nótese también que al diferenciar • (Q­+ (1/2)­2A+R­E­)v , v  = 0 con respecto a Ł, utilizando la auto-adjuntividad, y observando que (v )2 nos encontramos con que Av, v Véase la sentencia del Tribunal de Primera Instancia en el asunto C-472/99, ECLI:EU:C:2000:45, apartado 51. A(y)(y)dy. Entonces casi seguro bajo P, 0 A(ηs)ds) 0 A(ηs)ds 0 A(ηs)ds A dy = ,(20) y así cuando usamos el valor óptimo de obtenemos exactamente la deriva deseada, desde el 1 de enero de 2002 () =. Entonces E, (e η2t ; t t) → lim E,(e) η2t ) (y)dy. De esta manera, podemos obtener la tasa exacta de crecimiento exponencial para el expectación, t−1 logE(Nt(γ;R)) = (γ). Los cambios de medida utilizados anteriormente sugieren en realidad mucho sobre las partículas dominantes que se encuentran en las proximidades de un rayo dado en el espacio. Una discusión alternativa de este resultado de la expectativa, que implica un doble enfoque a través de la gran desviación de la teoría de densidades de ocupación, también puede se encuentra en [13]. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 13 3.2. La forma asintótica esperada. Damos un esbozo aproximado de calcula- ciones que producirán el crecimiento exponencial correcto en el número esperado de partículas tanto cerca de t en el espacio y t en el tipo a grandes tiempos t. Uso la fórmula de (17) y abusar de la notación a lo largo de la misma manera que Sección 3.1, encontramos que 1 {Xu(t)t;Yu(t) = E,l(e) t η 1tt;ηt e(E) 2 P,l(t t;ηt ≥ Ahora, desde límites estándar en la cola de la distribución normal, P,l(t t;ηt ≥ = P, t) P,l(t tt ≥ t)21) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * y, desde + (/) = *, esto da resultados * 1 {Xu(t)t;Yu(t) e(E) 2 P,(t tt ≥ Recordando que :=inf(­min,0){E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Simple cálculo re- terneras este infimum se alcanza en un valor de (γ,) = ( 8r) a2(­2 + ­)2 + 4aγ2 • (­min,0),(23) y el uso de este valor óptimo en la ecuación (22) conducirá al límite superior limsup t−1 logE 1 {Xu(t)t;Yu(t) t} (γ,). También está claro de la ecuación (22) que cuando se minimiza E + − Simultáneamente maximizamos la probabilidad P, t). In particular, para obtener un límite inferior que coincida, no queremos esta probabilidad para tener cualquier decaimiento exponencial en el tiempo cuando elegimos el parámetro óptimo para el nombre y la dirección de la persona. De hecho, al menos hasta la tasa exponencial de decadencia en el tiempo, se puede mostrar utilizando argumentos de grandes desviaciones que # P, # # P, # # P, # # P, # # P, # # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # (t t;ηt ≥ t) • exp 14 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS De hecho, inmediatamente obtenemos el límite superior requerido de (21). Por la Comisión límite inferior, considere la siguiente heurística donde rompemos caminos en dos secciones: comportamiento ergódico normal durante un largo período de tiempo [0, t] seguido de una Ascenso rápido a la posición de tipo t a lo largo de un período mucho más corto [t, t+  ]. i) Comportamiento ergódico. En un gran tiempo t, la densidad de ocupación de η lo más probable es que se haya asentado cerca de la medida invariante. Por lo tanto para grande t, casi con toda seguridad debajo de PŁ,, η2s ds→ ii) Ascenso rápido. A lo largo de un gran tiempo, pero donde, la probabilidad que η comienza cerca del origen y termina cerca de t, habiendo seguido de cerca a la trayectoria y a lo largo de todo el período de tiempo, es más o menos dada por (s) + y(s)}2 ds en virtud de la ley de la Ley de la República Popular Democrática de Corea. Véase, por ejemplo, [24], capítulo 6, o [4], capítulo 5.6. Después de una cierta optimización Euler-Lagrange, la ruta y(s) =  sinhs sinh da 0 y(s) La probabilidad de que este camino sea más o menos exp(−(/ Combinando estos dos tipos de comportamiento, podemos encontrar caminos con posiciones finales ηt # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n ∫ t η2s ds y, por otra parte, al sustituir el valor óptimo de plifying, esto realmente da t t. Además, uno de estos caminos ocurre con una probabilidad de aproximadamente exp(−(/  = o(t). Así vemos que a orden exponencial, la probabilidad P, (­ > t > > t;ηt ≥ t) debe ser, como mínimo, exp(−(/l)­2t), según sea necesario. Este argumento heurístico puede hacerse riguroso para probar, como se afirma, que t−1 logE 1 {Xu(t)t;Yu(t) =-(γ,-). Si escalamos todas las coordenadas espaciales por t−1 y todas las coordenadas tipo por t)−1 en el momento t, la forma asintótica esperada puede ser considerada región S := {(γ,­) :­(γ,­) ≥ 0} donde, por término medio, tenemos un crecimiento en el número de partículas (escalonadas). UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 15 4. Escalada corta heurística gran desviación. En esta sección, damos un heuris- tic cálculo que sugiere por qué la probabilidad de una sola partícula maneja tener al menos un descendiente en las proximidades de (t, t ) cerca de tiempo es más o menos exp((β,­)t) para t muy grande, donde se da en equa- ión (13). Para estos heurísticos, vamos a pensar en.......................................................................................................................................................................................................................................................... orden más pequeño que t (más tarde, en nuestro enfoque riguroso, vamos a elegir proporcional a log t). Destacamos que los heurísticos en esta sección son No se pretende que sea preciso ni riguroso, sin embargo, proporcionarán invalu- intuición capaz, guía y motivación para nuestro enfoque riguroso más adelante. De particular importancia será el problema de optimización que el heuris- tics sugieren. De hecho, muchos de los cálculos exactos de las secciones 4.2 y 4.3 será esencial más adelante en el periódico. Supongamos que empezamos la difusión de ramificaciones con una sola partícula en (0,0). En primer lugar, deseamos saber la probabilidad de que haya al menos una partícula en tiempo que tiene una posición espacial cerca de t habiendo seguido cerca de la trayectoria x(s) para 0≤ s≤ t haber seguido de cerca la ruta y(s) para 0≤ s≤  para t arbitrariamente grande. Recordamos de la gran teoría de la desviación de Ventcel-Freidlin (véase [24], Chap- ter 6, o [4], capítulo 5.6), que la probabilidad de que una sola partícula seguir de cerca tanto la ruta de tipo y(s) como la ruta espacial x(s) para 0≤ s≤ es más o menos dada por (s) + ds− 1 (s)2 ay(s)2 cuando x(0) = 0, x(l) = t, y(0) = 0, y(l) = l t y t es muy grande. Esto la probabilidad suele ser muy pequeña, pero si estos caminos son seguidos por partículas en la difusión de ramificaciones, también tenemos que tener en cuenta la grandes tasas de reproducción que se encuentran lejos del tipo de origen. Si dejamos que X(s) represente el número de partículas en la difusión ramificada que están vivos en el tiempo s y han viajado “cerca” del camino (x(u), y(u)) para 0 ≤ u ≤ s, entonces podemos obtener una idea aproximada de cómo X podría comportarse por considerando el siguiente proceso de nacimiento-muerte. 4.1. Un proceso de nacimiento-muerte. Para los caminos fijos dados x(·) e y(·), dejar M ser un proceso de nacimiento-muerte dependiente del tiempo en el que en el momento las partículas o bien dan nacimiento de una sola descendencia con un índice de reproducción (s) = ry(s)2, o las partículas mueren con la tasa de mortalidad μ(s) dada por μ(s) = (s) + (s)2 ay(s)2 16 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS (Tenga en cuenta que la probabilidad de la partícula inicial de este proceso de nacimiento-muerte sur- vive todo el período de tiempo [0, ] es consistente con la desviación áspera grande probabilidad para la difusión de ramificaciones en la ecuación (24).) Una cantidad importante es la tasa de mortalidad total efectiva hasta el tiempo t que se define por v(s) := Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh /(s) = J(x, y, s) (w) + (w)2 ay(w)2 − ry(w)2 − Distribución del número total de descendencias que sobreviven, El proceso de nacimiento-muerte dependiente del tiempo es bien conocido, por ejemplo, véase [14]. A continuación, definir W. := e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * μ(s) e(s) d(s) d(s) U.E. := 1− e(­)W−1♥, V­:= 1­W­1­1, Tenemos P(M() = 0) = U♥, P(M() = n) = (1−U/23370/ )(1− V/23370/ )V n−1, n= 1,2,............................................................................................................................................................................................................................................. con EM(l) = e(l) y E(l)(l) = M(l) = 1 = W. En nuestro caso particular, tenemos E(M()) = exp(−J(x, y, )). Definir la mayor tasa efectiva de mortalidad total antes de tiempo L(x, y, ) := sup sâ € TM [0, € ] J(x, y, s)≥ 0. Si nos encontramos en un caso en el que L(x, y) es muy grande, lo que sugiere una alta probabilidad de la extinción, entonces P(M()≥ 1) = 1 0 μ(s)e /(s) ds (-L(x, y, )),(25) donde K−1 0 μ(s) exp(L(x, y, ♥) − J(x, y, s)})ds. Si hay al menos una partícula viva, entonces esperaríamos tener E(M(l), M(l), ≥ 1), K-l), exp(L(x, y, ♥)- J(x, y, l)). Por lo tanto, podríamos suponer que la probabilidad de cualquier partícula en la ramificación difusión logran hacer el ascenso difícil y rápido a lo largo del camino (x, y) para terminar hasta cerca (t, t ) puede estimarse, de forma muy aproximada, por exp(−L(x, y, ♥)). [A] UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 17 ayudar a ver esto, intente escribir x(s) = tf(s) y y(s) = tg(s), pensando en f, g como rutas fijas y recordar que t es muy grande y ♥ = o(t), a continuación, el papel de K en (25) es insignificante al lado de la exp(−L(x, y)).] Entonces podríamos adivinar que la posibilidad de que las partículas se las arreglan para Permanecer cerca de la posición (t, t) durante un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a debería parecerse más o menos − inf L(x, y, ) donde permitimos todos los caminos posibles x e y satisfaciendo x(0) = 0, x() =t y y(0) = 0, y( t para el tiempo fijo . (Vamos a declarar y demostrar un límite inferior preciso que corresponde a esta suposición en el Teorema 7.) 4.2. Encontrar el camino óptimo y la probabilidad. Procedemos a calcular L(x, y, ) sobre caminos x e y satisfaciendo x(0) = 0, x(l) = t e y(0) = 0, y(l) =  para el tiempo fijo . En primer lugar, tomamos nota de que L(x, y, ) = inf sâ € TM [0, € ] J(x, y, s)≥ inf J(x, y, Ł)(26) y ahora procedemos a calcular infx, y J(x, y, ♥). Podemos optimizar fácilmente sobre la elección de la función x dada y, encontrando que (s)(s)ay(s)2(s)(s)x(s)=(s)a(s) y(u)2 du donde  es la constante de proporcionalidad y debe satisfacer 0 y(s) ,(27) rendimiento (s)2 ay(s)2 0 y(s) Esto es exactamente como se anticipa desde, al seguir la ruta y en el espacio de tipo, la posición espacial de una partícula está siguiendo un movimiento browniano con total de la diferencia en el período 0 y(s) 2 ds. Por lo tanto, la proba- bilidad de que una partícula que sigue la trayectoria y en el espacio de tipo también se encontrará cerca de βt en el espacio en el tiempo ♥ es aproximadamente ( 2t2 0 y(s) 18 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Presentación de la notación I(y) := (s) + − ry(s)2 Estamos a la izquierda para encontrar I(y) + 0 y(s) = inf I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ sup I(y)− 1 y(s)2 ds− t donde la primera igualdad es trivialmente verdadera maximizando la cuadrática en , cuya introducción elimina convenientemente la torpe integral en el denominador. Algunos más Euler–Lagrange optimización ahora da la ruta óptima como yl(s) = l(s) sinhs sinh (0≤ s≤ ),(29) donde ( 8r - 4ao2) y luego I(y)− 1 y(s)2 ds− t = sup coth − t La opción óptima del parámetro (que depende de a continuación, satisface los parámetros) = 2t cotμ 2 sinh2 μ s)2 ds.(30) Entonces hemos demostrado que 0 y(s) ≥ inf I(y) + 0 y(s) = inf I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ sup I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ I(y s)2 ds− t, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 19 y, de hecho, vemos que los lados izquierdo y derecho de los anteriores son iguales Recordando (30). De ello se deduce que el supremo y el infimum anteriores pueden ser libremente intercambiados, preservando realmente la igualdad en la desigualdad (28). Entonces, con la ruta espacial óptima * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ye(u) 2 du=t sinh2s− 2s sinh2 − 2 ,(31) y la definición de xâ € := x , ŷ := y , tenemos J(x, y, = t sup coth cotμ − −. Por último, es fácil comprobar que J(xá, ŷ, Ł) = L(xá, ŷ, ♥), de dónde J(x, y, )≥ inf L(x, y, ), y, combinando con la ecuación (26), hemos encontrado que L(x, y, ) = inf J(x, y, 4.3. Una nota importante sobre los caminos óptimos. Al igual que en la mayoría de los casos, tenemos coth ↑ sup # 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # − β, donde los parámetros de optimización de los supremas también convergen con = ( 8r) a2o4 + 4a2 2+ 2+ 2+ .(32) Tenga en cuenta el acuerdo con valores óptimos anteriores en ecuaciones (23) y (15). Entonces dejar que *(β,­) := sup. 2 − ( 8r) (a2o4 +4a2) y la escritura de x̄ := x y := y, notamos que para todos , μ > 0 Tal que para todos los t > 0 y  > − inf J(x, y, ♥) ≥ exp(−J(x̄,, )) = exp coth − ≥ exp(−t( 20 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Por otra parte (en el caso de los casos en los que el valor de referencia sea superior a 0), en el caso de todos los tipos de s............................................................................................................................................................................................................................................... (s)≥(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)()()()(s)(s)(s)(s)(s)(s)()()()()(s)()()()(s)(s)(s)()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(s)(s)()()()()()()()()()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s)(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(((((((()()(((()()()()()()()()()()((()()()()()()()( t, x̄(s)(β − ♥)t. En particular, los senderos permanecen cerca de las posiciones requeridas para algunos duración del tiempo con la probabilidad correspondiente al menos tan grande como sea necesario. 5. Prueba de Teorema 3. Abajo. En esta sección vamos a declarar un pre- resultado de la probabilidad de subida corta y mostrar cómo combinarlo con casi tasa de crecimiento espacial (únicamente) segura para demostrar el límite inferior de la tasa de crecimiento en Teorema 3. Esto hará riguroso el mecanismo de dos fases descrito en la sección 2 y sugerido por los cálculos de expectativas en la sección 3. La primera fase requiere el conocimiento de las tasas de crecimiento de partículas en la dimensión espacial solamente. Con este fin, ya vamos a hacer pleno uso del Teorema 1 a lo largo de esta sección, postergando su prueba hasta la Sección 10. La segunda fase requiere un límite inferior para la probabilidad de que una sola la partícula hace una subida rápida en el espacio de tipo durante el intervalo de tiempo [0,  ]. Esto es el límite inferior encontrado en la heurística de la Sección 4, pero necesitamos algunos anotación adicional antes de que pueda indicarse el resultado exacto. Nota, durante todo el período en esta sección, sólo estaremos interesados en el valor óptimo de parámetro tal como se introduce en la sección 4.3. Queremos fijar la relación entre lo suficientemente grande t y */(2) e = ♥ t(34) y por lo tanto definan ♥ = (t) por (t) := (2) − 1 log(2t/l), para 2t > 0, de lo contrario. Recordar los caminos óptimos (x̄, ) sobre s â € TM s [0,? ], donde (s) = ♥ sinhs sinh ,(36) x̄(s) = a (w)2 dw=t sinh2s− 2s sinh2 − 2 ,(37) con puntos finales fijos t y x̄(♥) =t. Para los tiempos grandes t y............................................................................................................................................................................................................................................................ t (u) := s»,[0,l(t)] Yu(s)− (s) t; sup s»,[0,l(t)] Xu(s)− x̄(s) ♥t .38) Usaremos la notación u-N-(t) t (u)(39) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA DE TIPO 21 para el evento que existe una partícula en la difusión ramificada que hace la subida corta. Por último, recordando lo que se ha dicho en el apartado 33, ahora podemos indica el teorema de subida corta: Teorema 7. Arreglar cualquier y1 > y0 > 0, x â € R, y dejar â € 0 > 0. Entonces para cualquier Existen T > 0 de tal manera que para todos y [y0, y1], t–1 logP x,y(A­,­t )(­β,­) + ­0) para todos t > T. Demostraremos el Teorema 7 usando un cambio de medida de la columna vertebral. Esto requiere introducir la notación para la instalación de la columna vertebral en detalle antes de proceder, por lo que esta y otras cuestiones técnicas se aplazan a las secciones 6 y 7. Observación 8. Observamos que el Teorema 7 es en realidad un resultado más fuerte que necesario para probar el teorema 3 porque identificamos los caminos específicos seguidos por partículas que están cerca de la posición (βt, t ) en el momento t+ , en lugar de simplemente teniendo en cuenta las posiciones de la partícula cerca del tiempo t+ . En la combinación de las dos fases, tendremos un gran número de independientes ensayos cada uno con una pequeña probabilidad de éxito, intuitivamente dando lugar a un Aproximación de Poisson para un gran número de partículas exitosas. De hecho, en nuestra prueba del límite inferior de Teorema 3 abajo, vamos a utilizar realmente el siguiente resultado sobre el comportamiento de secuencias de sumas de independientes Bernoulli variables aleatorias. Lemma 9. Para cada n, definir la variable aleatoria Bn := fn 1En(u) donde los eventos {En(u) :u â € Fn} son independientes. Let pn(u) := P (En(u)) y Sn := El Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 3, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 3, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos. (Sn)21 Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.(40) A continuación, la secuencia de (posiblemente dependiente) variables aleatorias {B1,B2,. ..} tiene Bn − Sn (Sn) v sólo finitamente muchos n, casi seguro. En particular, para cualquier............................................................................................................................................................................................................................................................ con probabilidad uno, > 1−  para todos los n > N.41) Prueba. Por el contrario, la desigualdad de Chebyshev P(Bn − Sn (Sn) /)≤ fn pn(u)(1− pn(u)) 21, 22 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS y por lo tanto los lemas Borel-Cantelli, combinados con la hipótesis (40), implican Sn (Sn) / Comisión de las Comunidades Europeas sólo finitamente muchos n, casi seguro. La ecuación (41) sigue ahora a la división por Sn, y darse cuenta de la suposición (40) implica que limnÃ3Sn =. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 3. Abajo. Define f−1(t) := t− (t), not- , que tanto f(t)/t→ 1 y f−1(t)/t→ 1 Además, en el caso de N+N y μ > 0, definir Tn := (n+ 1)μ. Queremos estimar el número de partículas que se encuentran cerca de la posición grande (−(α + β)Tn, Tn) durante el intervalo de tiempo [Tn−1, Tn]. Para esto, vamos a considerar las partículas que viajan con una velocidad • durante el período de tiempo [0, f−1(Tn)] antes de comenzar su rápido ascenso de (relativamente breve) duración (Tn) para estar en la posición final en el momento Tn. Entonces [Tn−1,Tn] Ns((β − )Tn; [( ♥) Tn. +NTn + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + [Tn−1,Tn] {Xu(s)()Tn;Yu(s)≥() Tnáš(42) uâ € ~ Fαn 1 {N;n (u)>0} donde Fαn := {u Nf−1(Tn) :Xu(f −1(Tn))Tn, Yu(f−1(Tn)) [y0, y1]} y, en el caso de u • Fαn, Ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, V.N.T.N.n. [Tn−1,Tn] {Xv(s)−Xv(f−1(Tn))()Tn;Yv(s)≥() Tnó. Ahora vamos a mostrar que la suma en (42) crece tan rápido como se esperaba: Lemma 10. Para cualquiera de los فارسى > 0, podemos elegir μ > 0 de tal manera que exista un N+N aleatorio en el que uâ € ~ Fαn 1 {N;n (u)>0} (α)(β, para todos n > N con probabilidad uno. Prueba. Podremos aplicar Lemma 9 con suficiente información. sobre el crecimiento de Fαn y la decadencia de las probabilidades pβ,ln (u) := P (N̄ n (u)> 0Ff−1(Tn)), UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 23 en el que u Fαn Nf−1(Tn). Se sigue fácilmente del Teorema 1, f−1(Tn)/Tn → 1 y la continuidad de •(α) que log Fαn (α)− ♥ para todos lo suficientemente grandes n. La definición de la invarianza de la traducción espacial y de la traducción espacial implica que, para cada u Fαn, la probabilidad de subida rápida pβ, posición inicial del tipo Yu(f) −1(Tn)). En el caso de los productos de la partida 0, defínase: t (u) := sà                                                  {Xu(s)−Xu(0)(β- )t;Yu(s)≥ () u-N-(t) t u).(43) Recordando los comentarios de la sección 4.3, existen, > 0 y podemos elegir 0 suficientemente pequeño, tal que pβ,ln (u) = P 0,Yu(f) −1(Tn))(B )≥ P 0,Yu(f−1(Tn))(A ) =: p̄n(u) para todos u â € ¢ Fαn cuando n es lo suficientemente grande. Junto con el Teorema 7 y desde Yu(f) -1(Tn)) - [y0, y1] para u - Fαn, esto revela log pβ,­n (u) ≥ log p̄n(u) (β, para todos para u â € ¢ Fαn y todo lo suficientemente grande n, casi seguro. Entonces podemos combinar las observaciones anteriores para obtener uâ € ~ Fαn pβ,ln (u)(α)(β,l)− Tomando esta última línea juntos la afirmación de Lemma 9 en la ecuación (41) da el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora es sencillo combinar Lemma 10 con la desigualdad en (42) para ver que, dados los valores de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra; t -1 logNt((-) β -)t; [() t,)))(α)(β, para todos t > T, casi seguro. Puesto que los dos pueden ser tomados arbitrariamente pequeños, usando el óptimo y según ecuaciones (14)–(15), encontramos lim inf t−1 logNt(γ, [ t)) (γ) casi seguro, 24 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS según sea necesario. [También es interesante notar que = = = (γ) de equa- ciones (19), (23) y (32), por lo que los parámetros óptimos están de acuerdo con los de los cálculos de expectación en la sección 3 y el camino ciones en la sección 4.] - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. La configuración y los resultados de la columna vertebral. En esta sección, describimos cómo construir una difusión enriquecida de ramificaciones con un “espine” o “back- hueso” partícula y discutir cómo realizar algunos cambios extremadamente útiles de medida (relacionada estrechamente con el aditivo martingales) que esencialmente “fuerza” la columna vertebral realizar la subida corta, mientras da a luz en un accel- tasa de eritrogenación para las crías que se comportan como si se tratara de la medida original. Estos Las técnicas de la columna vertebral están en el corazón mismo de nuestra prueba de Teorema 7 en Sec- tion 5. Las ideas de la columna vertebral se vieron por primera vez para ramificar el movimiento browniano en [3] y desarrollado para los procesos de Galton-Watson en [16, 18, 19]. Kyprianou [17] y Englander y Kyprianou [6], desarrollaron la técnica para algunas familias de difusión de ramificaciones; y, más recientemente, el enfoque de la columna vertebral ha sido icantly mejoró en [8]. Este enfoque utiliza varias filtraciones diferentes en un espacio de probabilidad ampliado que transporta la difusión de ramificaciones, y permite algunas técnicas y resultados muy útiles a desarrollar. Por ejemplo, “addi- tiva” (muchas partículas) martingales pueden ser representados como condiciones adecuadas expectativas de martingales “espinales” (de una sola partícula) y, en consecuencia, son interpretaciones claras para cualquier cambio de medida y todas las medidas en participamos en nuestra configuración “espine” son medidas de probabilidad con construc- ciones. Siguiendo a Hardy y Harris [8], primero esbozaremos la notación y a continuación, describir los cambios de medida. La notación descrita en esta sección se generaliza para permitir que cada partícula u tenga 1 + Au descendencia, donde cada Au es una copia independiente de una variable aleatoria con valores en {0,1,2,...}. Las técnicas de columna vertebral desarrolladas en este artículo podrían ser fácilmente generalizadas a tales modelos. Todas las medidas de probabilidad deben definirse en el espacio T Árboles Galton-Watson con espinas; antes de definir con precisión lo que este espacio es que tenemos que establecer alguna otra notación. Recordamos el conjunto de Ulam-Harris etiquetas, , definidas por  := N(N) n, donde N := {1,2,3,.. .}. Por dos palabras u, v, uv denota la palabra concatenada, donde tomamos uu= u. Por lo tanto, contiene elementos tales como “412,” que representa “el individuo siendo el segundo hijo del primer hijo del cuarto hijo del antepasado inicial Para las etiquetas u, v la notación v < u significa que v es un antepasado de u, y u denota la longitud de u. Definimos un árbol de Galton-Watson para ser un conjunto de tal manera que: i) El ancestro inicial único; (ii) si u, v, entonces vu sus nodos; UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 25 (iii) para todos los u................................................................................................................................................. si y solo si 1≤ j ≤ 1 + Au. El conjunto de todos estos árboles es T, y vamos a utilizar el símbolo de un particular árbol. Como nuestro trabajo se refiere a la ramificación de las difusiones a menudo nos referiremos a la las etiquetas de las partículas. Tenga en cuenta que para el mecanismo de ramificación binario en este el papel, P (Au = 1) 1; por supuesto, aquí hay sólo un T—el binario árbol. Un árbol Galton-Watson por sí solo sólo registra la estructura familiar de la individuos, por lo que a cada individuo u..... le damos una marca (Xu, Yu,................................................................................................................................................................................................................................................. contiene la siguiente información: Es la vida útil de la partícula u, que también determina la fisión. tiempo de la partícula como Su := v≤u v. También podemos referirnos al Su como tiempos de muerte; • la función Xu(t) : [Su − Su, Su)→R describe el mo- espacial de la partícula en R durante su vida útil; • la función Yu(t) : [Su− u, Su)→R describe la evolución de los parti- tipo de cle en R durante su vida útil. En aras de la claridad, debemos decidir si existe o no una partícula en su tiempo de muerte: nuestra convención será que una partícula muere “infinitamente ser- por lo que Xu y Yu se definen en [Suu, Su) y no [Suu, Su]—de modo que en el momento Su la partícula u ha desaparecido y ha han sido reemplazados por sus dos hijos. Denotamos un árbol marcado en particular por (l,X,Y,l), o la abreviatura (l,M), y el conjunto de todos los árboles marcados Galton-Watson por T. Para cada uno T, el conjunto de partículas vivas en el momento t se define como Nt := {u Su ≤ t < Su < Su >. Para cualquier árbol marcado dado (,M) T podemos distinguir- guish líneas individuales de descenso desde el antepasado inicial: Ł, u1, u2, u3,. ............................................................................... *, donde ui es un hijo de ui−1 para todos {2,3,....} y u1 es un hijo de la individual inicial. Llamamos a tal línea de descenso una columna vertebral y la denotamos por - Sí. En un ligero abuso de la notación nos referimos a "T" como el nodo único en "T" que es viva en el momento t, y también para la posición de la partícula que constituye el columna vertebral en el tiempo t; es decir, t :=Xu(t), donde u Nt. Sin embargo, aunque la la interpretación de la palabra siempre debe ser clara desde el contexto, introdujimos la siguiente notación para su uso cuando pueda surgir cierta ambigüedad: • nodet((l,M, )) := u si u es el nodo en la columna vertebral vivo en el momento t. Es natural pensar en la columna vertebral como una sola partícula difusora, o, estrictamente hablando, el par (t, ηt), donde ηt es el tipo de la columna vertebral en el momento t. Definimos nt para ser una función de conteo que nos dice qué generación de la columna vertebral está actualmente viva, o equivalente al número de veces de fisión allí han estado en la columna vertebral: nt = nodet(). 26 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS La colección de todos los árboles marcados con una espina distinguida es el espacio En el que nuestras medidas de probabilidad eventualmente serán definidas, pero primero nosotros definir cuatro filtraciones en este espacio que contienen diferentes niveles de información sobre la difusión de ramificaciones. • Filtración (Ft)t≥0. Definimos una filtración de T Ft := ((u,Xu, Yu, u) :Su ≤ t; (u,Xu(s), Yu(s) : s â € [Su â °u, t] : t â € [Su â °u, Su]), lo que significa que Ft se genera por la información relativa a todos los ticles que han vivido y muerto antes del tiempo t, y también los que son todavía vivo en el tiempo t. Cada uno de estos -álgebras es un subconjunto del límite F. := ( t≥0Ft). • Filtración (Fūt)t≥0. Definimos la filtración (Fût)t≥0 mediante el aumento de la filtración Ft con el conocimiento de qué nódulo es la columna vertebral en el momento t; que es, (Fśt)t≥0 := (Ft,nodet()) y F := ( t≥0 Fœt), de modo que esta filtración sabe todo sobre la difusión ramificada y todo sobre el columna vertebral. • Filtración (Gt)t≥0. (Gt)t≥0 es una filtración de T s≤ t), y G t≥0 Gt). Estos -álgebras son generados sólo por el movimiento de la columna vertebral y por lo tanto no contienen la información sobre qué nodos del árbol, la columna vertebral. • Filtración (Gūt)t≥0. Como hicimos al ir de Ft a Fût creamos (Gût)t≥0 a partir de (Gt)t≥0 incluyendo el conocimiento de qué ganglios componen la columna vertebral: (Gūt)t≥0 := (Gt,nodet()) y G := ( t≥0 Gśt). Esto significa que Gût también sabe cuándo ocurrieron los tiempos de fisión en la columna vertebral, mientras que Gt no. Ahora que hemos definido el espacio subyacente y las filtraciones, podemos de- multar las medidas de probabilidad de interés. Dejamos que la difusión de ramificación mecanografiada ser como se describe en la sección 1.1, con las medidas de probabilidad {P x,y :x,y {R} en la que se representa la ley de esta difusión mecanografiada de ramificaciones cuando ini- tially comenzó con una sola partícula en (x, y). Recordamos de [18] que, si f es una función mensurable, podemos escribir fu1t=u},(44) donde el fu es Ft-mesurable. Ahora podemos extender P x, y a una medida P (T, F) eligiendo la partícula que continúa la columna vertebral uniformemente cada uno tiempo hay un nacimiento en la columna vertebral; más precisamente, para cualquier f representación como (44), tenemos: f dP贸 x,y(l,M, ) := dP x,y(l,M). UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 27 Construimos el martingale (t) mensurable como (t) := v (ηt)e {R(ηs)+1/2/23370/2A(ηs)}ds−E t × 2nte− R(ηs)ds × et−1/2 A(ηs)ds(45) = v (ηt)2 ntet−E Obsérvese que se trata de un producto de martingales de una sola partícula, cuyos detalles se puede encontrar en [17] o [10]. Se puede pensar en estos como h-transformas de la P la ley de la columna vertebral: la primera hace η un Ornstein-Uhlenbeck hacia el exterior proceso con parámetro de deriva ; el segundo aumenta la tasa de reproducción en la columna vertebral a 2R(·); y la tercera añade una deriva espacial a. Usando el martingale (t) podemos definir una medida Q (T, F ) por dP. X. Y. (t) (0) v (y) v (ηt)2 ntet−E t.(46) Y puesto que (t) es un producto de h-transformas, bajo Q El proceso puede ser Reconstruido en el sentido de la trayectoria de acuerdo con la siguiente descripción: • a partir de la posición espacial x y tipo y la columna vertebral (t, ηt) difuso spa- tialmente como un movimiento browniano con varianza infinitesimal A(ηt) e infinitos- deriva imal (A(ηt); • el tipo de columna vertebral, ηt, comienza en y y se mueve en el espacio tipo como un proceso Ornstein-Uhlenbeck con generador + y • las ramas de la columna vertebral a la velocidad 2R(ηt), produciendo 2 partículas; • una de estas partículas se selecciona uniformemente al azar; • la descendencia elegida repite estocásticamente el comportamiento de su padre; • la otra partícula descendencia inicia una P ·,·-BBM desde su posición de nacimiento y tipo. El cambio de medida (46) se proyecta en el sub-álgebra Ft como condición expectación a nivel nacional: dP. X. Y. v (y) P­x,y(v (ηt)2 ntet−E tFt), y es un cálculo corto utilizando los métodos de, por ejemplo, Hardy y Harris [10] para mostrar que: 28 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Teorema 11. Si definimos Q  := Q Entonces, Q. Se trata de una medida relativa a: ¿Qué es lo que satisface? dP x,y = (t) := Z (t) Z (0) Por otra parte, en la sección Q ♥, la construcción de la difusión de ramificaciones en el camino es el mismo que debajo de Q. Aunque la construcción de la difusión de ramificaciones es la misma en el punto Q  y Q , sólo la medida Q ♥ “sabe” acerca de la columna vertebral. Lo es. claro, sin embargo, que tenemos Q  (A) =Q (A) para cualquier A. (A) F. (A). En virtud de la medida Q Sólo el comportamiento de la columna vertebral se altera, y combinando esta observación con acondicionamiento en el camino de la columna y fisión- tiempos nos da una representación muy útil para Z (t) bajo Q - No, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. se refiere a la descomposición de la columna vertebral: (t)G) = v (ηSu)e Su−E Su + v (ηt)e t−E t.(47) A lo largo del resto de este artículo nos referiremos a las dos piezas de esta de- composición como el “término de suma” y el “término de la columna vertebral”. Esta descomposición se discute en detalle para una amplia variedad de difusiones de ramificación en [9], pero para derivarlo simplemente notamos que las contribuciones a Z (t) de la sub- árboles que se ramifican de la columna vertebral tienen constante Q -expectación porque ellos comportarse como si bajo la medida original P, y sabemos que Z (t) es un P - martingale. La descomposición de la columna vertebral reduce muchos cálculos sobre el comportamiento de Z (t) bajo Q Cálculos de una partícula sobre la columna vertebral, y esta observación se explota en las pruebas de columna vertebral de Lp-bounds para algunos familias de martingales aditivos en [9]. 7. Prueba de Teorema 7. La probabilidad de subida corta. Con la columna vertebral bases firmemente establecidas en la Sección 6, podemos proceder con la prueba de la probabilidad de subida corta más bajo límite de Teorema 7. En primer lugar, recordar las definiciones (38) y (39), donde A t es el evento que allí existe una partícula que hace la subida corta a lo largo del camino óptimo (x̄, ), y t () es el evento que la columna vertebral hace la subida corta. Tenga en cuenta que los controles de • la proximidad a x̄ y ♥ la proximidad a. Lo que es más importante, sólo seremos interesado en tomar a lo largo de esta sección, aunque por lo general vamos a sólo escribir.... para la simplicidad notorial. Recuerda también a lo largo de todo eso. están relacionados a través de (/(2)) exp(2) = UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 29 Prueba de Teorema 7. El paso clave en la prueba de esto es el siguiente uso del cambio de la columna vertebral de medida: para cualquier función g :R+ →R+ tenemos P x,y(A) t ) =Q (­) (­) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. (­) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. (­) ; sup sâ € TM [0, € ] (s)≤ g(l) ≥ g()−1Q • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g(l) Esencialmente, sólo tenemos que hacer la elección “correcta” tanto para (48), aunque seguirá habiendo una serie de tecnicismos a resolver. La primera idea es asegurar el (originalmente raro) evento A t realmente ocurre con arreglo a la nueva medida Q Al hacer que la columna vertebral siga cerca de la necesaria ruta (x̄, ); esto se logra mediante la elección del valor óptimo para estar en la escala de tiempo natural tomaría la columna vertebral para llegar a la posición t. En particular, esta opción significará que en la primera línea del conjunto anterior de las desigualdades no hay pérdida significativa de masa al sustituir el evento t con A t.................................................................................................................................................................... A continuación, queremos elegir el g más pequeño posible que todavía dejar alguna probabilidad positiva en la última línea del argumento anterior. Por lo tanto, deseamos identificar la tasa de crecimiento del martingale Z bajo , y esto se regirá esencialmente por la contribución de la columna vertebral a sí mismo. Con esto está la mente, y recordando las diversas propiedades de la óptima rutas y parámetros a partir de la sección 4, para ­0 > 0 definimos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e2 − ( y 2 + x) y recordar de (35) que la escala entre t y ♥ se fija en todo, en los que Ł2t= (l/(2)e)e 2 para t grande, por lo tanto t+ فارسى t. Tenga en cuenta que desde que son sólo teniendo en cuenta el valor óptimo , tenemos e2 = (2 − )t=(β,). Entonces de (48) tenemos P x,y(A) t )≥ g­o(­)­1Q­0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) .(49) Nuestra estrategia para el resto de esta prueba es demostrar que el Q -probabilidad en (49) es al menos algo > 0 para todos los t suficientemente grandes, uniformemente para y [y0, y1], 30 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS para que la parte de la tasa de desintegración de (49) coincida con la tasa deseada en la instrucción del teorema. Acondicionamiento en el camino de la columna vertebral y los tiempos de nacimiento, G, y luego hacer uso de algunas propiedades estándar de la expectativa condicional que tenemos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) desde A t () es G-mensurable. A continuación observamos que, condicionado a G, podemos escribir (t) como (t) = e Y2x) (t- Su) + f(t) ,(50) donde la Z  son copias independientes de Z  comenzó a partir de una sola partícula at (Su, ηSu); y f(t) es la contribución a Z  (t) de la columna vertebral, que, condicional en G, es una función conocida de t. Ahora si pudiéramos mostrar, para 0 < 0 < 0, sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > y sup sâ € TM [0, € ] ( (s)− (s)(s)≤ g­0(­) donde fó(t) := e−( Y2x)f(t), nosotros tendríamos sups[0,? ]  (s) ≤ g­o(l). Por lo tanto, definir (s) := - (s) - (s), tenemos sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ; sup sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) 1(s)(s)(s) ≤g0(l)/2} sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) puesto que, condicionado a G, se conoce el máximo de f en [0, ♥ ]. Vemos de (50) que, condicional en G, (t) es un submartingale. Esto es porque el Q - expectación condicional de cada uno de los Z En la suma que figura a continuación: Y2x) (t- Su)(51) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 31 es constante, por lo que la expectativa de la suma no puede disminuir, y de hecho esto la expectativa aumenta cada vez que hay un nacimiento en la columna vertebral. Entonces por La desigualdad submartingale de Doob que tenemos sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) = 1 - Q.x.y.c. sâ € TM [0, € ] (s)≥ g­0(­) ≥ 1− 2 g­0(­)  () ()G). Debemos señalar aquí que la expectativa en la línea anterior no es a priori finito. Sin embargo, la expectativa de cada término en la suma (51) está limitada por sups â € TM € TM TM s, que tenemos control sobre a través de una función de indicador y así No tenemos que preocuparnos de que esta expectativa explote. Así que tenemos que demostrar que para todos lo suficientemente grande y todos y y [y0, y1], () [0, ] fó(s) ≤g0 ()/2} g­0(­)  () * () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () ()) () () ()) () () () () () (l) () () () () (l) () () () () () () () ()) ()) () () () () () ()) () () ()) () ()) () ()) () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () ())))) () () () ())) () ()))) () () ()) () () () () () () () () () () () ())) () () () () () ()))))) () () () () () ()) () () () () () () () () ())) () () ()) () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () >, y, por lo tanto, también • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) según sea necesario. A continuación se combinarán ambas partes del siguiente resultado. Lemma 12. Fijar y1 > y0 > 0 y ≤0 > 0 > 0. (i) Para todos los lo suficientemente pequeños, (+ > 0), existen algunos > 0 y (+ > 0) De tal manera que para todos [y0, y1] y todos t > T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. ii) En la forma en que: g­0(­)  () En el caso de los productos de origen animal, el importe de la ayuda se calculará sobre la base de los datos disponibles en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de conformidad con el artículo 21, apartado 3, del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que se refiere a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > uniformemente por encima de y [y0, y1]. A continuación, hemos demostrado que, para cualquier Ł0 > 0, y1 > y0 > 0, y lo suficiente pequeño, 0, existe un T > 0 de tal manera que, para todos y [y0, y1] y todos t > T, t−1 logP x,y(A­,­t )(­β,­) + ­0). 32 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Finalmente, observamos que la probabilidad P x,y(A) t ) es trivialmente monotona aumento tanto en Ł y ♥, y por lo que se deduce que si el resultado es cierto para todos lo suficientemente pequeño, es, de hecho, cierto para todos, 0. Esto completa la prueba del Teorema 7. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Lemma 12(i). Demostraremos Lemma 12(i) en una secuencia de otros lemas, utilizando un acoplamiento conveniente para el proceso de tipo de columna vertebral. En primer lugar, recordar que, en virtud de Q , ηs resuelve el SDE dηs = DBs + s ds, donde Bs es un movimiento Q-Brownian. Tomando nota de que d(e) sηs) = e فارسى dBs, podemos construir esηs como un cambio de tiempo de un movimiento browniano con esηs − η0 = Ew dBw = B‡(1− e−2s), donde B? es también un Q? El movimiento browniano comenzó en el origen. De esta manera, construiremos ηy bajo P de un movimiento browniano por comenzado en y 2, donde, para s â € [0, â € ¬], ηy(s) = esBy(1− e−2s). Construir simultáneamente todos los procesos tipo ηy bajo la misma medida P, primero construimos el proceso By0 como un movimiento Browniano independiente comenzado en y0 2/. Segundo, construimos el proceso B y1 ejecutando una movimiento browniano independiente comenzó en y1 2/ hasta que llegue por primera vez a la ruta de By0, en cuyo punto se unen los dos procesos juntos. Siguiente, para cualquier otro y â € (y0, y1), realizamos una moción Brownian independiente por hasta que primero se reúne con el proceso By0 abajo o By1 arriba, en cuyo punto Lo emparejamos con el proceso que primero golpea. Finalmente, construimos todos los procesos espaciales correspondientes. de un único movimiento browniano W al definir •y(s) =W ηy(w)2 dw ηy(w)2 dw,(52) donde W se inicia en x y es independiente de los procesos By. Construida de esta manera, para cada y [y0, y1], la P-ley de (y, ηy) es la igual que el Q Leyes de la República Federal de Alemania (en lo sucesivo, «Ley»). Fijando μ (0,1) y K > máx{y1,1}, definimos los eventos y detenemos veces ¡Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay! Por(s)........................................................................................................................................ 1-(1- μ,1) T0 := inf{t :By0(t) = 0}, TK := inf{t :By1(t) =K}, ,K :=A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 33 Entonces, claramente P(,K)> 0 y, en el evento,K, el acoplamiento da 0< ηy0(s)≤ ηy(s)≤ ηy1(s)≤K es, para todos los s≥ 0 e y+ [y0, y1]. Tenga en cuenta que nuestra construcción también asegura que si event Ay0o, Ay1o, Ay1o se produce entonces, así que debe ser Ay9o para cualquier y y [y0, y1], por lo tanto Ay9o, Ay9o, K. Lemma 13. Dejemos que el valor de 0 °C sea > 0. En el evento,K, existe un tiempo determinista s0 = s0()> 0 de tal manera que para todos los  > s0, sâ € TM [0, € ] y(s)− (s)(s) ≤ para todos y [y0, y1]. Prueba. Conjunto s1 =− 12 logμ y, a continuación, en el evento,K, para todos ♥ ≥ s > s1 Tenemos ηy(s)− es, para todos y [y0, y1]. Escribiendo (s) = 1− e−2s 1− e−2 es, Vemos que existe s2 = s2()> 0 de tal manera que, para  ≥ s > s2, (s)− es. Tomando s3(l) = max{s1, s2(l)} ahora rendimientos y(s)−(s)(s) es ≤  t(53) para todos los tipos de productos de la partida  ≥ s > s3 y todos los productos de la partida y [y0, y1]. Ahora considere s [0, s3]. En,K tenemos y(s)− (s) ≤ es3(1 +K), y por lo tanto para algunos s4()> 0 tenemos y(s)− (s) ≤ t para todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad y grupos de edad s [0, s3], y todos y [y0, y1]. Tomando s0(­) = max{s3, s4} produce el resultado. 34 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Lemma 14. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño, existe un Determinista ­0 = ­0(­, ­)> 0 tal que, en, K, tenemos sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw− (w)2 dw < t(54) para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Prueba. Teniendo en cuenta cualquier فارسى > 0, primero fijamos un فارسى > 0 suficientemente pequeño tales que فارسى(2+ ) ; esto produce un s3 correspondiente = s3(­), que se elige como en la ecuación (53). Teniendo en cuenta este s3, nos encontramos con 1 ° = 1 ° ( ° ° ° ° ° ° °) > 0 tales que, para todos  > l, (K2 + 1) E2w dw < Ahora fijamos el valor de 0 = 0 (e, e) = max{s3, e1}. Con esta elección de................................................................................................................. proceder a demostrar que la desigualdad (54) está satisfecha. Nótese que el valor 0 es disuasorio. minista e independiente de y. De la ecuación (53) vemos que, en,K y para s > s3, ηy(w)2 dw ≥ ηy(w)2 dw+ (w)− ♥ (w)2 dw− (w)2 dw− 2 E2w dw (w)2 dw− e2w dw− (+2) (w)2 dw− para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Del mismo modo ηy(w)2 dw ≤ ηy(w)2 dw+ (w) + (w)2 dw+ (w)2 dw+K2 e2w dw+ (w)2 dw+ UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 35 para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Por último, para s [0, s3], en,K tenemos ηy(w)2 dw− (w)2 dw ηy(w)2 dw+ (w)2 dw ≤ (K2 + 1) E2w dw < t para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 15. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño فارسى > 0, existe P-casi en todas partes en,K un tiempo aleatorio S0 = S0( sâ € TM [0, € ] •y(s)−(s)a(s) ηy(w)2 dw < t, para todos y y [y0, y1] y para todos los S0. Prueba. Teniendo en cuenta lo siguiente: 0, elige cualquier, > 0 tal que (/ )< ♥. Recordando la construcción de la casa en (52), vemos a partir de las propiedades estándar de Movimiento browniano que casi seguramente existe algún S1 = S1 ′) tales [0,t] W (s) para todos los t > S1. sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw ηy(w)2 dw para todos, de tal manera que una y(w)2 dw > S1, y por la construcción del acoplamiento, en,K esto es cierto para todos y [y0, y1] si a y0(w)2 dw > S1. Entonces, ahí está. existe (P-casi en todas partes en,K) un tiempo aleatorio S2 = S2( ′), que depende de By0 y S1, de tal manera que un y(w)2 dw > S1 para todos los y [y0, y1] cuando  > S2. Ahora por Lemma 14, dado y un lo suficientemente pequeño, existe un Determinista ­0 = ­0(­, ­ ′′)> 0 tales que, en,K, ηy(w)2 dw ≤ a (s)2 ds+ t= + t(56) para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Combinando las desigualdades en (55) y (56), Vemos ahora que, para S0 > S0 = S0( ′, ) = máx{S2, فارسى0}, sâ € TM [0, € ] •y(s)−(s)a(s) ηy(w)2 dw = sup sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw para todos y [y0, y1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 36 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Sobre la combinación de Lemmas 14 y 15 y recordando la definición de óptimo ruta x̄ en (37), obtenemos lo siguiente: Lemma 16. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño فارسى > 0, existe P-casi en todas partes en,K un tiempo aleatorio S sâ € TM [0, € ] y(s)− x̄(s) ♥t, para todos y y [y0, y1], y para todos y. Ahora podemos reunir todo para terminar la prueba de Lemma 12(i). En primer lugar observamos que desde  < 0, en el evento A t (), sâ € TM [0, € ] y2x) exp( η s + s −Es) ≤ e−(­) y2x) exp( ( ) 2t+ ( −)t), y por lo tanto, dado 0, podemos elegir primero y luego lo suficientemente pequeño para que t () sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > y, a partir de Lemmas 13 y 16, existe un tiempo aleatorio T tal que en,K tenemos sâ € TM [0, € ] y(s)−(s)(s) sâ € TM [0, € ] y(s)− x̄(s) ♥t para todos los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de edad de los grupos de edad. Es decir,,K {T y [y0, y1], con el ligero abuso de la notación que s»,[0,l(t)] y(s)−(s)(s) t; sup s»,[0,l(t)] y(s)− x̄(s) ♥t Nótese también que P(,K)> ′ para algunos > 0. Combinando lo anterior, para cualquier y [y0, y1] tenemos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > t ()) = P(A ≥ P(,K; T < )→ P(,K) según sea necesario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 37 Prueba de Lemma 12 ii). Considere la expectativa del “término de suma”. Tenemos  () * () G) = e Y2x) (t- Su) = e−(­) Y2x) (t- Su)G) ≤ e−(­) y2x)nŁ max{e η(Su) 2(Su)−E Su :u < ≤ no sup sâ € TM [0, € ] fâr(es). Por lo tanto g­0(­)  () En el caso de los productos de origen animal, el importe de la ayuda se calculará sobre la base de los datos disponibles en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de conformidad con el artículo 21, apartado 3, del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que se refiere a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ≤ Q.x.y.c. g0(l) g­0(­) ; sup sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ≤ e−(­00)tQ y ahora podemos calcular Q  (n ) = Q  (Q) En la mayoría de los casos, se trata de un caso en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo y se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el lugar de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo. -álgebra generada por la trayectoria de la columna vertebral (sin incluir los tiempos de nacimiento). Condicional en G.o, n.o es una variable aleatoria de Poisson con la media dada por 0 2 rη y usando el teorema de Fubini tenemos 2 rη2s + l)ds s)ds+2 e2 − − r + 2 2y2 t+ o(l). Así que el Q La expectación de nl crece sólo linealmente en t. Entonces desde l0− 0 > 0, la expresión en (57) tiende a 0 como tÃ3r. Por otra parte, la expectativa en (57) está limitado por el Q -expectación, y por lo tanto la convergencia es uniforme sobre y â € [y0, y1], como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8. Resultados de Martingale. En esta sección recordamos algunos existentes y probamos algunos nuevos resultados martingale que son pasos intermedios en las pruebas de 38 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Teorema 1 y el límite superior del Teorema 3. Recordamos de [13] que E [también escrito E−()] y (γ) son conjugados Legendre con (γ) = inf {E−(l) +, E−(l) = sup (γ)−.(58) Si, para 0, escribimos para el valor γ que alcanza el supremamum en el lado derecho de la ecuación (58), a continuación, las funciones  7→ de (min,0) a (0,), y γ 7→ de (0,) a (min,0) son inversas de el uno al otro y, por supuesto, es el valor de ♥ que logra el infimum en el lado izquierdo de la ecuación (58). Además, tomamos nota de que =− E−() = A2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2 8r− 4a/23370/2,(59) que E-(l) y E-(l) son funciones convexas, y que * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = inf{c :lmin < 0}= c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde c :=−E ♥ /e y * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2( 8r)( 2­2 + r­) a(4l)2 • (­min,0). En la ecuación (9). Los siguientes principios fundamentales son los siguientes: resultado de la proximidad para el Z martingale se demostró por primera vez en parte en [13], pero También véase [9] para una prueba más completa utilizando técnicas “espinales”. Teorema 17. Supongan que se trata de Ł (­min,0). (i) Si el martingale Z es uniformemente integrable y tiene un límite casi seguro estrictamente positivo. (ii) Si (­), entonces Z (­) = 0 casi seguro. El siguiente resultado de convergencia se demostró en [12] utilizando martingales basado en polinomios de Hermite. Teorema 18. Dejemos que ♥ ((),0) y 1/4. Para cada ley inicial de P x, y y cada función limitada continua f :R 7→R, tenemos f(Yu(t)e)e αYu(t) 2(Xu(t)+c  (­), UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 39 donde f0 := )1/4 f(y)eαy y2o(y)dy(62) es la densidad normal estándar. En este artículo, requerimos un corolario a este teorema que especifica más exactamente qué partículas contribuyen al límite final. Corolario 19. Let Ł (),0] y α < 1/4. Para cada punto de partida de P x, y ley y cada función limitada continua f :R 7→ R, tenemos para cada N.o CAS: +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 f(Yu(t)) e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1Xu(t)/ta.s. f0Z * (l)(63) donde =− E −(l) y f0 se da en la ecuación (62). Este último resultado nos permitirá mostrar en la sección 10 que el casi seguro La tasa de crecimiento es al menos tan grande como la tasa de crecimiento esperada, D(γ)(γ). Lo siento. es fácil de ver del corolario 19 que cuando Z ()> 0, debe existir en al menos una partícula cerca de t en el espacio. Además, debido a la tasa de deterioro de cada término en la suma sobre las partículas en la ecuación (63), será relativamente sencillo para mejorar esto para obtener los números exponenciales requeridos de partículas, exp((γ)t), cerca de t durante grandes períodos [siempre y cuando Z ()> 0]. El siguiente resultado se refiere a la tasa a la que los martingales Z y Z convergen a cero. Teorema 20. Dejemos que se ponga en marcha el proceso de paz. Por cada ley inicial, P x, y, logZ (t) → (c − c A.S. donde c se da en (5), y c := (l), si se trata de una sustancia que se utiliza en la fabricación de un producto de la misma forma, c, si (♥)≤  < 0. Corolario 21. Si  (­min,0), entonces Z (t)→ 0 P x,y-casi seguro. La tasa de convergencia del Z martingale en parte (i) del Teorema 20 es crucial en la sección 9 para obtener el límite superior en el crecimiento casi seguro tasa, D(γ,­) ≤ (γ,­) ≤ (γ,­). También comentamos que si el corolario 19 fuera cierto para todos α < , entonces podríamos haber ganado este límite superior en ese punto. 40 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS Aunque el corolario 19 sólo está probado para α < 1/4 (donde podemos utilizar expansiones de Hermite adecuados), conjeturamos que tiene para todos α . Prueba del corolario 19. Que el valor de 0 sea pequeño, μ :=, f ser una función limitada positiva, continua, 1/4 y note que >. Entonces tenemos f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1 {Xu(t)t} ≤ e(E) μ −E )t f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1 {Xu(t)t} f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t −E +())t. Recordemos que E−() es convexo con ♥ E−()≥ 0 y  E−() =, por lo tanto, a partir de la expansión de Taylor, E −E μ + ( ) E−(l) ()2 E−(l) + o(l)(l)2. A continuación, tomando فارسى > 0 lo suficientemente pequeño para que E −E +() > 0, y utilizando Teorema 18, nos encontramos con que para cualquier  > 0 limsup f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1{Xu(t)()t} = 0. Del mismo modo, podemos mostrar limsup f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1{Xu(t)()t} = 0, y por lo tanto la única contribución al límite proviene de las partículas cercanas t en el espacio. Combinando esto con el Teorema 18 tenemos En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor. f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t = lim f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1Xu(t)/t. Prueba de Teorema 20. Utilizamos una técnica útil traída a nuestro la atención en [22]. Let p (0,1) de modo que, por la desigualdad de Jensen, Z (t)p es un supermartingale; entonces para u, v > 0 tenemos (u+ v)p ≤ up + vp, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 41 y, por lo tanto, Z (t) Yu(t) 2(Xu(t)+c Yu(t) 2+p(Xu(t)+c Para cualquier فارسى > 0, la desigualdad de Doob supermartingale dice s≤w≤s+t Z (w) p > p  (s) ≤ p Yu(s) 2+p(Xu(s)+c y luego s≤w≤s+t (v) >............................................................................................................................................................................................................................................................ s≤w≤s+t Z (w) p > e­p­(s+t)­p ≤ pepŁt Yu(s) 2+p(Xu(s)+c p((c± ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ahora, si podemos elegir p • (0,1) de tal manera que •(c − c • • • • < 0 y • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # Debemos tener e # (u)→ 0 casi seguro usando un Borel familiar– Cantelli discute. [La condición p < • garantizar que los Estados miembros de la Unión Europea y los Estados miembros de la Unión Europea adopten las medidas necesarias para garantizar el cumplimiento de las obligaciones que les incumben en virtud del Tratado de la Unión Europea, en particular en lo que se refiere a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea, así como en lo que se refiere a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea; tación en la última línea anterior tiende a un valor límite finito, por lo tanto se queda s, como puede comprobarse utilizando la fórmula (17), para ex- amplio.] Para todos los 0 ≤ p < 1 encontramos p < p/23370/. Considerando el gráfico de c ver rápidamente que, para [(),0), teniendo p tan cerca de 1 como nos gusta da la La mejor tarifa. Para  [ln, (ln)) podemos elegir p de modo que p= (ln), que da la mejor tarifa. Recordemos del Teorema 17 que Z ()> 0 cuando Entonces, hasta ahora, hemos demostrado lo siguiente: Lemma 22. Para cada ley de partida, P x,y, y para todos et e(c) )tZ (t)→ 0 a.s. 42 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS donde c := (l), si se trata de una sustancia que se utiliza en la fabricación de un producto de la misma forma, c, si (♥)≤  < 0. Es evidente que esto da el límite superior requerido de lim sup logZ (t) ≤ (c − c Ahora, para cualquier Ł > 0, si Yu(t) 2(Xu(t)+c ya que sabemos que Lt := inf{Xu(t) : u N(t)} satisface Lt/t→ −c De lo contrario, con ((),0), Yu(t) 2(Xu(t)+c t) ≥ etZ (t) a.s. desde aquí Z ()> 0 a.s. Así, en todos los casos, lim inf logZ (t) ≥ (c − c que completa la prueba del Teorema 20. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9. Prueba de Teorema 3. En el límite superior. La idea para el límite superior prueba es sobreestimar la función indicadora por exponenciales, y luego re- organizar las expresiones para formar términos martingale. Sencillamente observen que para la letra.......................................................................................................................................................................................................................................................... Nt(γ, [ t)) = 1 {Xu(t)t;Yu(t) 1 {Xu(t)t;Yu(t)22t}e (Yu(t) 22t)(Xu(t)t) ≤ e(E) 2 )t Yu(t) 2Xu(t)−E t ≤ e(c) )tZ (t)e 2 donde E =c Recordemos de las ecuaciones (11) y (32) que E + − Tiene un mínimo. El valor de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de Puesto que el valor mínimo es c­(­) teorema 20 implica que lim sup t−1 logZ (t)≤ (c) -c (65) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 43 casi con toda seguridad para todos. En los casos en los que se puede utilizar el valor óptimo para el teorema 20 y tenga en cuenta trivialmente que Nt(γ, t)) es el número entero valorado para deducir que 1{Yu(t) t;Xu(t)t} = 0 Con el tiempo, casi seguro. Por lo tanto, D(γ, De lo contrario, tenemos un valor de 0, lo que de hecho garantiza que el valor de 0, c. y por lo tanto (γ, Entonces desde lim sup t−1 logNt(γ, [ t)) ≤ lim sup t−1 log(e(c) )tZ (t)) + (E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 ) podemos de nuevo hacer uso del teorema 20 y el valor de minimización de para llegar al límite limsup t−1 logNt(γ, [ t)) (γ) casi seguro, como se desee. Nótese que, cuando (γ,) = 0, el lado derecho de la desigualdad en (64) tenderá al infinito (véase el corolario 19). Entonces, en el límite, tenemos sólo se ha demostrado que lim sup t−1 logNt(γ, n.c.o.p. 10. Prueba de Teorema 1. La tasa de crecimiento espacial. Primero atamos a la tasa de crecimiento espacial por encima. Suponga que C-R es Borel-mesurable con y2o(y)dy > 0. Dejemos que se ponga en marcha el procedimiento de selección. 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≤ 1 {Yu(t){C}e (Xu(t)t) = e(E) )t 1 {Yu(t) {C} e Xu(t)−E t ≤ e(E) )tZ (t). Recordando las ecuaciones (8) y (19), por lo tanto tenemos 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≤ e *(γ)tZ (t). Ahora si γ ≥ c Sabemos de Teorema 17 que Z () = 0 casi seguro. Entonces, γ > c 1{Xu(t)t;Yu(t)C} = 0 eventualmente, a.s. 44 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS De lo contrario, si γ (0, c(l)), correspondientes a ((l),0) y que tengan γ(l)> 0, Teorema 17 nos dice que Z ()> 0 casi seguro, por lo tanto lim sup t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} (γ). Ahora limitamos la tasa de crecimiento desde abajo. Que Ł > 0 sean pequeños, (♥) <  < 0, y μ = Recordamos ahora que E es tan convexo ≥ 0 y >. Entonces eXu(t)−E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} (−()t)−E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} = e(E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} ≤ e(E 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C}. t−1 log 1 {Yu(t){C}e Xu(t)−E t 1Xu(t)/t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −1 log 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C}. Dejando tÃo, usando el corolario 19 y recordando que para ()< 0 tenemos Z ()> 0 a.s., encontramos 0 −E − lim inft® t −1 log 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C} y como فارسى > 0 puede ser arbitrariamente pequeño que tenemos lim inf t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≥E  +. Equivalentemente, lim inf t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≥E + =(γ) y por lo tanto el lim sup y lim inf están de acuerdo según sea necesario. Observamos que estas pruebas se adaptarán fácilmente para cubrir una ramificación multi-tipo Movimiento browniano donde los tipos evolucionan como una cadena de Markov de estado finito, tal como se encuentra en [2], donde también será posible probar el análogo UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 45 Teorema de convergencia requerido cuando tenemos un espacio de tipo finito mediante la adaptación la prueba del Teorema 18 encontrada en [12]. En el caso de movimiento browniano ramificado estándar las cosas son aún más simples la adaptación (donde, por supuesto, no hay necesidad de un resultado de convergencia similar a Teorema 18). Toda la información necesaria está contenida en los martingales {Nt exp} {Xu(t)− {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp}(Nt exp}(Nt exp} {Nt exp} {Nt exp}(Nt exp}(Nt {Nt exp}(Nt exp}(Nt exp(Nt)(Nt exp}(Nt exp}(Nt {Nt exp}(Nt exp} 2/2 + r)t) estudiado por Neveu [22] y, como primero vino a nuestra atención durante las conversaciones con J. Warren, el martingale con el parámetro  sólo puede ser capaz de “contar” partículas cerca de t en el espacio a grandes tiempos t, por lo que cuando este martingale es uniformemente integrable partículas debe encontrarse perpetuamente con la velocidad correspondiente. Por supuesto, en este también existen resultados más precisos, en el espíritu de Watanabe [25]. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a dos árbitros anónimos por proporcionar críticas extremadamente útiles y exhaustivas de encarnaciones anteriores de este manuscrito. Sus numerosos comentarios invaluables condujeron a mejora de la presentación de este trabajo. REFERENCIAS [1] Athreya, K. B. (2000). Cambio de medidas para las cadenas Markov y la L logL teorema para procesos de ramificación. Bernoulli 6 323-338. MR1748724 [2] Champneys, A., Harris, S. C., Toland, J., Warren, J. y Williams, D. (1995). Álgebra, análisis y probabilidad de un sistema acoplado de reacción-difusión ecua- ciones. Philos. Trans. Roy. Soc. Londres 350 69-112. MR1325205 [3] Chauvin, B. y Rouault, A. (1988). Ecuación KPP y ramificación supercrítica Movimiento browniano en el área de velocidad subcrítica. Aplicación a árboles espaciales. Probando. Campos relacionados con la teoría 80 299-314. MR0968823 [4] Dembo, A. y Zeitouni, O. (1998). Grandes Desviaciones Técnicas y Aplicaciones, 2nd ed. Springer, Nueva York. 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Git Laboratorio estadístico Universidad de Cambridge 22 Mill Street Cambridge CB1 2HP Correo electrónico: Yoav.Git@gmail.com J. W. Harris Departamento de Matemáticas Universidad de Bristol Paseo por la Universidad Bristol BS8 1TW Correo electrónico: john.harris@bristol.ac.uk S. C. Harris Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Bath Bath BA2 7AY Correo electrónico: s.c.harris@bath.ac.uk URL: http://people.bath.ac.uk/massch/ http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1417979 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1991122 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0199891 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1601737 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2037473 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1601749 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1349164 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0400428 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1952568 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1046418 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1659492 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0758258 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0237007 mailto:Yoav.Git@gmail.com mailto:john.harris@bristol.ac.uk mailto:s.c.harris@bath.ac.uk http://people.bath.ac.uk/massch/ Introducción El modelo de ramificación Aplicación a ecuaciones de reacción-difusión Principales resultados Martingales La tasa de crecimiento asintótico de partículas a lo largo de los rayos espaciales La forma asintótica y el crecimiento de la difusión ramificada Algunos cálculos de expectativas La tasa esperada de crecimiento a lo largo de los rayos espaciales La forma asintótica esperada Escalada corta gran desviación heurística Un proceso de nacimiento y muerte Encontrar el camino óptimo y la probabilidad Una nota importante sobre los caminos óptimos Prueba de Teorema 3. Límite inferior La configuración y los resultados de la columna vertebral Prueba de Teorema 7. La probabilidad de subida corta Resultados de Martingale Prueba de Teorema 3. Límite superior Prueba de Teorema 1. Tasa de crecimiento espacial Agradecimientos Bibliografía Dirección del autor

Estudiamos la fase de alta temperatura de una familia de difusiones de ramificaciones mecanografiadas inicialmente estudiados en [Ast\'{e}risque 236 (1996) 133--154] y [Notas de Matemáticas. 1729 (2000) 239--256 Springer, Berlín]. El objetivo principal es establecer algunos resultados de límite de casi seguridad para el comportamiento a largo plazo de esta partícula sistema, es decir, la velocidad a la que la población de partículas coloniza ambos espacio y dimensiones tipo, así como el ritmo de crecimiento de la población dentro de esta forma asintótica. Nuestro enfoque incluirá la identificación de un mecanismo explícito de dos fases por el cual las partículas pueden acumularse en suficiente números con posiciones espaciales cerca de $-\gamma t$ y escribir posiciones cerca de $\kappa \sqrt{t}$ en grandes veces $t$. Las pruebas implican la aplicación de una variedad de las técnicas martingale - lo más importante es una construcción ``espina'' que implica un cambio de medida con un martingale aditivo. Además de la del modelo interés intrínseco, las metodologías presentadas contienen ideas que se adaptarán a otros ajustes de ramificación. También discutimos brevemente las aplicaciones para viajar soluciones de onda de una reacción asociada--ecuación de difusión.

Introducción. En este artículo vamos a considerar una cierta familia de mecanografiado ramificaciones que tienen partículas que se mueven (independientemente de cada otro) en el espacio según un movimiento browniano con varianza controlada por proceso de tipo de la partícula. El tipo de cada partícula evoluciona como un Ornstein– Uhlenbeck proceso y este tipo también controla la velocidad a la que ocurren los nacimientos. La forma particular de este modelo permite muchos cálculos explícitos, pero a lo largo de todo nos esforzaremos por desarrollar técnicas que dependan de Cípulas tanto como sea posible, por lo que podrían adaptarse fácilmente a otras situaciones. Este modelo fue considerado previamente en [12, 13]; estos documentos son esenciales las bases de esta labor, aunque recordaremos varios resultados según sea necesario. Recibido en diciembre de 2004; revisado en noviembre de 2006. 1Apoyado en parte por una beca EPSRC. Clasificación por materias de la AMS 2000. 60J80. Palabras y frases clave. Proceso de ramificación espacial, difusión de ramificaciones, multitipo proceso de ramificación, martingales aditivos, descomposición de la columna vertebral. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 609–653. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0380v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000853 http://www.imstat.org http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000853 2 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Vamos a hacer algunas aplicaciones significativas de la teoría de la columna vertebral para la rama- los procesos de comercialización. Inspirado en la serie de papeles Lyons, Pemantle y Peres [19], Lyons [18] y Kurtz, Lyons, Pemantle y Peres [16], técnicas de columna vertebral han sido instrumentales en los últimos años en proporcionar intuitiva y elegante pruebas de muchos importantes resultados clásicos y nuevos en la teoría de la rama- los procesos de comercialización. En este artículo utilizamos la reciente reformulación de la columna vertebral método presentado en [8], que sigue en espíritu similar a la ramificación Estudio de movimiento browniano de Kyprianou [17]. Para una selección de otras aplicaciones ciones de las técnicas de la columna vertebral, por ejemplo, véase [1, 6, 7, 23] y referencias en ellas. 1.1. El modelo de ramificación. Definimos Nt como el conjunto de partículas vivas a la hora t ≥ 0. Para una partícula u â € Nt, Xu(t) â € R es su posición espacial, y Yu(t) R es el tipo de u. Marcaremos a las crías usando el Ulam-Harris convención donde, por ejemplo, si u = 21 entonces la partícula u es el primer hijo del segundo hijo del ancestro inicial, y escribiremos v > u si partícula v es un descendiente de partícula u. La configuración de la difusión de ramificaciones en el momento t se da por el proceso de punto Xt := {(Xu(t), Yu(t)) :u Nt}. El tipo de partícula evoluciona como un proceso Ornstein-Uhlenbeck con un invari- ant medida dada por la densidad normal normal estándar (y) y un asociado operador diferencial (generador) Q. := - y- y- donde se considera que la temperatura del sistema es la temperatura del sistema. El espacio movimiento de una partícula de tipo y es un movimiento Brownian sin deriva en R con variación A(y) := ay2, donde a≥ 0. Una partícula de tipo y es reemplazada por dos crías a una velocidad R(y) := ry2 + ♥, donde r, 0. Cada descendencia hereda el tipo actual y la posición espacial de sus padres, y luego se mueve independientemente de todos los demás. Utilizamos P x, y y Ex, y con x, y # R para representar la probabilidad y la expectativa cuando el proceso de Markov comienza con una sola partícula en posición (x, y). Se encuentra la tasa casi segura de crecimiento exponencial, D(γ), de par- ticles que se encuentran simultáneamente con las posiciones espaciales cerca de t y posiciones de tipo cerca de ♥ t en grandes tiempos t. De esto podemos deducir la velocidad de partículas extremas y por lo tanto la forma asintótica del sistema de partículas. El principal esfuerzo es necesario para identificar a D(γ) como el límite casi seguro de t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 3 En particular, las propiedades de convergencia de dos familias diferentes de adi- los martingales asociados a la difusión de ramificaciones conducirán directamente a las tasas de crecimiento exponencial espacial y un límite superior del tipo espacial crecimiento. Para el límite inferior restante, describimos un explícito de dos fases mecanismo para acumular el número requerido de partículas con posiciones de tipo espacial. La primera fase consiste en la creación de un «exceso» de partículas, cada una cubriendo una cierta proporción del espacio necesario distancia. Durante su segunda fase, bastantes de estas partículas deben tener éxito en la realización de un ascenso difícil y rápido a la posición requerida. Esta última fase se demuestra utilizando una técnica intuitiva de cambio de medida que induce una construcción de columna vertebral. La familia de modelos que estamos considerando es específica, pero sin embargo tienen algunas características de importancia fundamental que motivan las elecciones para Q R y A. Si el movimiento espacial es ignorado, hemos investigado un binario ramificando el proceso Ornstein-Uhlenbeck en un potencial de reproducción cuadrático. In contraste, Enderle y Hering [5] considerado una ramificación Ornstein-Uhlenbeck con tasa de ramificación constante pero distribución aleatoria de la descendencia. Un cuadrático El potencial de reproducción es una tasa crítica para las explosiones en la población de cles. En un movimiento browniano ramificado en R con división binaria que ocurre a la velocidad xp en la posición x, la población explotará casi seguramente en finito tiempo si p > 2, mientras que para p = 2 el número esperado de partículas explota mientras que la población total permanece finita para todos los tiempos con probabilidad 1 (ver [15], capítulo 5.12). El proceso Ornstein-Uhlenbeck no es sólo un canoni- difusión ergódica, pero este tipo de movimiento tiene exactamente la deriva correcta para ayudar contrarrestar la tasa cuadrática de reproducción. Para temperaturas altas,................................................................................................................. es una media de reversión suficientemente fuerte en los procesos de tipo para garantizar que el tamaño total de la población esperada no explota; pero para las temperaturas La reproducción cuadrática domina la atracción hacia el origen, el población esperada explota en un tiempo finito y las partículas se comportan muy dif- Ferentmente. A lo largo de este artículo consideramos sólo las altas temperaturas. postergar los regímenes de temperatura baja y crítica a la labor futura. Dado otras opciones, el coeficiente de difusión espacial cuadrático ahora se vuelve muy natural, que nos permite encontrar familias explícitas de (fundamental) tingales ya que la ecuación linealizada de onda-viaje se puede vincular a la ecuaciones osciladoras armónicas clásicas de la física. La ramificación binaria el mecanismo se adoptó para la simplicidad; en principio, nuestro enfoque podría a las distribuciones generales de descendencia, aunque nuevas características surgirían de posibles extinciones y condiciones de momento de la descendencia necesarias. Todos estos las elecciones hacen que los modelos ricos en estructura, poseyendo algunos muy desafiantes características sin dejar de ser suficientemente tratable. 4 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS 1.2. Aplicación a ecuaciones de reacción-difusión. Siguiendo en el pie... pasos de McKean [20], la solución de la ecuación reacción-difusión +R(y)u(u−1) + − usted con la condición inicial f(x, y) [0,1] para todas las x, y R, puede ser representado por u(t, x, y) =Ex,y f(Xu(t), Yu(t)) De gran importancia para las ecuaciones de reacción-difusión son onda-viaje tan- luciones (por ejemplo, véase [21]). En el contexto actual, una solución a la ecuación (1) de la forma u(t, x, y) := w(x− ct, y) se dice que es una onda viajero de velocidad c, donde w(x, y) resuelve la ecuación de onda-viaje +R(y)w(w − 1) + - Sí. = 0.3) Para nuestro estudio de la difusión de las ramificaciones son fundamentales dos familias de “ad- ditive” martingales, Z (t) [definido en (6)], que están vinculados a la linealiza- sión de (1). Cuando se determina que el valor de la sustancia problema es superior a 8r, Harris y Williams [13], se determina cuándo Z es igual o superior al valor de la sustancia problema. uniformemente integrable (véase el Teorema 17) y luego w♥(x, y) :=E x,y exp(−Z ()) produce una onda itinerante de velocidad c. Esto da la existencia de viajar ondas para todas las velocidades c mayor que algún umbral c Además, combinando la representación McKean (2) con la casi- seguro resultado de convergencia establecido en [12] (mirar hacia adelante al Teorema 18) puede dar resultados sobre la atracción hacia las ondas de viaje a partir de datos iniciales dados. Por ejemplo, si − lnf(x, y) • eŁxg(y) uniformemente en y como x • para algún traje- • L2(­), la solución u(x, y) a (1) con las condiciones iniciales f u(t, x− c t, y)→w se determinará a partir de g. En la labor futura esperamos desarrollar el enfoque utilizado para la BBM estándar y la ecuación de FKPP en [11], y probar que las ondas viajantes de un dado speed c > c?(?) son únicos (hasta la traducción) y que no hay olas de viaje existen para las velocidades c < c(). Prevemos que nuestros nuevos resultados sobre el crecimiento las tasas de partículas ayudarán a establecer algunas estimaciones difíciles en la cola comportamiento de cualquier ola de viaje, y por lo tanto ayudar a probar el conjeturado singularidad. Además, esperamos que nuestros resultados de la tasa de crecimiento sean esenciales en la obtención de clases más amplias de condiciones iniciales que se atraen hacia olas de viaje. En cada uno de estos problemas, las dificultades surgen de espacio de tipo limitado donde, por ejemplo, se debe obtener cierto control sobre las posibles contribuciones a nt log f(Xu(t) − ct, Yu(t)) de partículas que tienen grandes posiciones tipo, además de grandes posiciones espaciales. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 5 2. Principales resultados. En esta sección, vamos a presentar nuestros principales resultados que identificar las tasas de crecimiento encontradas en la difusión de las ramificaciones. Daremos una visión general de nuestras pruebas, identificando las ideas y técnicas clave utilizadas, así como la introducción de alguna intuición para el comportamiento dominante de las partículas que sustenta nuestro enfoque. 2.1. Martingales. Las principales herramientas utilizadas a lo largo de este trabajo son: dos familias fundamentales de martingales “additivos”, que se introdujeron en [13]. Antes de definir los martingales damos algunas definiciones clave. Vamos. min :=− 8r Dejemos que se haga con la siguiente convención que siempre usamos para hacer con la siguiente convención: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Además, definir := ( 8r− 4a.2), := E := , c  :=−E - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.5) Will escribirá ocasionalmente E como E ±(l) con el fin de enfatizar que E son funciones reales de ♥; los superíndices ± siempre distinguirán estos de operadores de expectación. Nótese que el punto más allá del cual es no más tiempo un número real. Los martingales son Z y Z , definido para  (­min,0] como Z (t) := v (Yu(t)e) Xu(t)−E t,(6) donde v (y) := exp( 2) son funciones propias estrictamente positivas de la ópera- Ql+ + 12 2A+R, con los correspondientes valores propios E <E  y A,R son las funciones definidas en la sección 1.1. Este operador es auto-adjunta en L2(­) con el producto interior , donde f, g := La densidad normal es fg-dy y la densidad normal. Nota que v L2(l), mientras que v Por lo tanto, no es normalizable. Los cálculos de la Sección 3 hacen que sea fácil ver que estos son martingales, y a lo largo de todo el documento necesitaremos una variedad de convergencia martingale los resultados que se recogen en la sección 8. En particular, necesitaremos saber precisamente cuando Z es uniformemente integrable con una estrictamente positiva límite, algunos resultados de convergencia más fuertes para otras sumas estrechamente relacionadas sobre partículas (también identificando qué partículas contribuyen no trivialmente a su límites), y la tasa de convergencia a cero de los Z martingales. 6 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS 2.2. La tasa de crecimiento asintótico de partículas a lo largo de los rayos espaciales. Como un paso inicial esencial hacia la determinación de la tasa de crecimiento de las partículas en el dominio de tipo espacial bidimensional, primero nos fijamos en la tasa de crecimiento de par- ticles en la dimensión espacial solamente. Para γ ≥ 0 y C+R, definir Nt(γ;C) := 1 {Xu(t)t;Yu(t)C}.7).................................................................................................................................................. El límite que da la tasa de crecimiento esperada, t−1 logE(Nt(γ;R)) se puede demostrar que existe y su valor se puede calcular para ser (γ) := inf (­min,0) {E + a−1( − 8r)(4γ2 + Ła). En la sección 3 figura un esbozo de este cálculo de las expectativas. Ahora es tentador adivinar que la velocidad asintótica de la la mayor parte de la partícula izquierda, c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * r+ 2(2r+)2 8r Recordemos que c­(­) = inf(­)min,0) c  es también el umbral mínimo para viajar olas. En esta situación particular, la suposición de que la “expectación” y “casi seguro” la mayoría de las velocidades de partículas de acuerdo primero se demostró rigurosamente utilizando un el cambio martingale de la técnica de medida en [13]. En este documento, extendemos y demostrar que las tasas “esperadas” y “casi seguras” de crecimiento de partículas con velocidades determinadas (Teorema 1) y de tipo espacial las ubicaciones (Teorema 3) están de acuerdo. Teorema 1. Dejar γ ≥ 0 e y0 < y1. Bajo cada ley P x, y, el límite D(γ) := lim t−1 logNt(γ; [y0, y1]) existe casi con seguridad y es dada por D(γ) = (γ), si es 0≤ γ < c •, si γ ≥ c UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 7 Tenga en cuenta que la simetría en el proceso significa que hay una re- sulf para partículas con velocidades espaciales superiores a (correspondiente a valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores positivos de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores positivos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de De vez en cuando podemos hacer uso de tal simetría de proceso- lo intenta sin más comentarios. Entonces, puesto que Nt(γ;R) es valorado entero, el la velocidad asintótica de la partícula más derecha sigue inmediatamente: Corollario 2. Casi seguro, t−1 sup{Xu(t) :u {Nt}= c Este resultado de la tasa de crecimiento espacial se demuestra en la sección 10 utilizando el martin- resultados de la Sección 8. De hecho, es muy fácil obtener el límite superior dominando primero la función indicadora con exponenciales para revelar que Nt(γ;R) ≤ exp{(E + )t}Z  (t), recordando que Z Es un mar convergente. tingale, y a continuación, la optimización sobre la elección de ♥. Para el límite inferior, nosotros usará un fuerte resultado de convergencia obtenido en [12], combinado con la idea que cada martingale Z uniformemente integrable esencialmente “cuenta” sólo el partículas de la velocidad correspondiente. 2.3. La forma asintótica y el crecimiento de la difusión ramificada. Los El principal resultado de este trabajo es la tasa de crecimiento casi segura de las partículas que están en las proximidades de t en el espacio y cerca de t en posición de tipo en general veces t. Para γ, 0, se puede mostrar que el límite t−1 logE(Nt(γ; [ t)(10) existe y toma el valor (γ) := inf (­min,0) {E + − # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # # 2 # # # # # # 2 # # # 2 # # 2 # # 2 # # # 2 # # # 2 # 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # () ( 8r)(4a2 + a2()2)2). En la sección 3 figura un esbozo de este cálculo de las expectativas. Una vez más, encontraremos que la tasa “casi segura” de crecimiento de partículas está de acuerdo con esta tasa "esperada" exactamente donde hay crecimiento en números de partículas. Teorema 3. Let γ, ≥ 0 with Ł(γ,) 6= 0. Bajo cada ley P x, y, la límite D(γ) := lim t−1 logNt(γ; [ t)) existe casi con seguridad y es dada por D(γ) = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.(12) 8 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Para probar el difícil límite inferior del Teorema 3, que equivale a la gran trabajo de este documento, vamos a exhibir un mecanismo explícito de dos fases por que la difusión de ramificación puede construir por lo menos el exponencial requerido número de partículas cercanas a t en el espacio y t en posición de tipo grande veces t. Durante la primera fase, a lo largo de un gran tiempo t el proceso se acumula un ini- Exceso tial de aproximadamente partículas exp(­(α)t) con posición espacial en como mínimo, como ya se conoce en el Teorema 1. En esta fase “ergódica”, Las partículas “típicas” que se encuentran cerca de la Tierra en el espacio habrán ido a la deriva con una velocidad espacial de α mientras que sus historias tipo se han comportado más o menos como OU procesos con la deriva interna de y para una cierta elección óptima ♥(α) de parametr. ♥. Para la segunda fase, vamos a mostrar que la probabilidad de cualquier individuo partícula tiene al menos un descendiente que hace un “ascenso rápido” en ambos espacio y dimensiones de tipo desde la posición inicial (0,0) hasta la posición final cercana (t, t) es aproximadamente exp((β, • (β), • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( 8r) (a2o4 +4a2) ,(13) y el tiempo tomado para este “ascenso rápido” es un intervalo [0, ♥ ]. Demostramos que esta vez puede ser elegido de tal manera que 2 log t, y por lo tanto el adicional tiempo es asintóticamente insignificante en comparación con t. Intuitivamente, vamos a ver que dado a una prole que ha hecho con éxito tan difícil “rápida Ascenso”, lo más probable es que haya tenido su tipo de proceso comportándose como un Proceso OU con una deriva hacia el exterior de y y el movimiento browniano de conducción su movimiento espacial habrá tenido una deriva ♥ [correspondiente a un espacio en tiempo real deriva A(y) que aumenta en fuerza a medida que aumenta la posición del tipo y], para algunos optima elección del parámetro ♥(β,♥). El resultado preciso requerido será el siguiente: formularse rigurosamente como un límite inferior de gran desviación en el Teorema 7 de la sección 5, y se demuestra utilizando una técnica de cambio de medida “espinal” íntimamente relacionados con los Z martingales. Combinando estas dos fases y utilizando la independencia de las partículas, nosotros puede ver que el número de partículas cerca (t,0) en el tiempo t que subse quently proceder a tener por lo menos un descendiente cerca (-(α + β)t, t) es aproximadamente Poisson con media exp((α)(β,)}t). Optimizando para una velocidad espacial global fija γ, algunos cálculos revelan que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # α,0 (α)(β, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA DE TIPO 9 con parámetros óptimos γ Ł2 y = γ Ł2 .(15) Por lo tanto, podremos demostrar un mecanismo explícito de dos fases a favor de que induce el número requerido de partículas, con este argumento de esquema más adelante guiando nuestra rigurosa prueba. Además, es interesante observar que el las opciones óptimas para  en cada fase también coinciden en un solo valor () (). Una gran desviación informativa heurística para el rápido ascenso también puede ser se encuentra en la sección 4, con esta sección que contiene también algunos óptimos esenciales cálculos de trayectoria. De hecho, probamos el mecanismo de dos fases para el inferior Teorema 3 en la sección 5, aunque aplazamos la prueba de la gran- desviación del límite inferior hasta la sección 7 después de presentar la “espina” necesaria los antecedentes de la sección 6. Demostramos el límite superior de la tasa de crecimiento del tipo espacial en la Sección 9, una vez más haciendo un uso crucial de los resultados de martingale de la sección 8. Del mismo modo que el caso de crecimiento espacial, podemos encontrar un límite superior usando el Z mar- tingales, es decir, Nt(γ; ))) ≤ exp{(E + − Z  (t). Sin embargo, como cada Z martingale converge a cero, debemos demostrar que su tasa de decaimiento exponencial es (E −E Antes de ser capaz de optimizar a través de la elección de  para obtener el límite superior requerido. Teniendo en cuenta el Teorema 3, y observando las simetrías, se vuelve recuperar lo siguiente: Corolario 4. Para cualquier F+R2, definir Nt(F ) := 1{(Xu(t)/t,Yu(t)/ - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Si B+R2 es cualquier conjunto abierto y C+R2 es cualquier conjunto cerrado, entonces casi seguro bajo cualquier P x, y lim inf logNt(B)≥ sup (γ,­)­B D(γ,­), lim sup logNt(C)≤ sup (γ)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(**)(**)(**)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*(*(*(*)(*(*)(*)(*)(* D(γ,­), con la tasa de crecimiento D(γ,) dada en la ecuación (12). También podemos recuperar la casi segura forma asintótica de la región occu- Pied por las partículas en la difusión de ramificaciones. 10 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Corolario 5. Deja que B+R2 sea cualquier conjunto abierto. Casi seguro, debajo de cada uno P x, y la ley, Nt(B)→ 0, si S • B = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •, si S • B 6 = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • donde S â € R2 es el conjunto dado por S: = {(γ,­) {R2(γ,­)> 0}. 3. Algunos cálculos de expectativas. Esta sección discute cómo el ex- Se pueden obtener las tasas de crecimiento previstas en la sección anterior. Para esto, se utiliza el lema “muchos a uno” (véase, por ejemplo, [8]) y los cambios de una partícula de medida. En el proceso vamos a empezar a ganar valiosa intuición en cómo las partículas dentro de la difusión ramificada se comportan, así como ver pistas como que son los martingales “correctos” a utilizar para probar el crecimiento casi seguro los resultados de las tasas. Para la simplicidad, asumimos a lo largo de esta sección que la ramificación dif- fusión comienza con una partícula en el origen tanto en el espacio como en el tipo en el tiempo cero, a menos que se indique lo contrario. También introducimos una familia de una sola partícula medidas de probabilidad Pμ,l con las expectativas asociadas Eμ,l donde, bajo Es un proceso Ornstein-Uhlenbeck con varianza y deriva μ, y • t = B( 0 A(ηs)ds) donde B es un movimiento browniano con deriva. Lemma 6 (Muchos a uno). Si f :R2 7→R es Borel medible entonces f(Xu(t), Yu(t)) = E/23370//2,0 R(ηs)ds f(t, ηt) .16) Usando el lema de muchos a uno, y cambiando la medida para alterar la deriva de Movimiento browniano, vemos que f(Xu(t), Yu(t)) = E/23370//2,0 R(ηs)ds f(t, ηt) = E/23370//2,0 et exp R(ηs) + A(ηs) × f(t, ηt) · et A(ηs)ds = E­g/2,­ t + R(ηs) + A(ηs) f(t, ηt) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 11 Para realizar un nuevo cambio de medida en el proceso de OU para deshacerse de la integrales de tiempo en la exponencial de la expectativa, recordamos que dP,· • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,/2 := exp η t −E t+ R(ηs) + 2A(ηs) y luego f(Xu(t), Yu(t)) = E. 2 (exp( t η) = E. 2 (exp( t η) = E. 2 (exp( t t η) = E. 2 (exp t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t η) = E. 2 (exp t t (t)f (t, ηt) ·M ,/2 t )17) = E,♥(exp(t −) (e, ηt)). Tenga en cuenta que el lema de muchos a uno, combinado con la erty, inmediatamente sugiere cómo conseguir martingales “additivos” para la rama- difusión de una sola partícula martingales—por ejemplo, tomando f(x, y) = expx+ y2} en la ecuación (17) conduce rápidamente al martingale Z Ahora podemos proceder a calcular las tasas de crecimiento previstas. Sin embargo, para claridad y brevedad dejaremos detalles rigurosos a los interesados lector, notando que la intuición que ganaremos de nuestros cálculos aproximados será más adelante invaluable en la guía de nuestra prueba rigurosa de la correspondiente tasas de crecimiento casi seguras. 3.1. La tasa esperada de crecimiento a lo largo de los rayos espaciales. Primero damos el esquema de algunos cálculos para encontrar la tasa de crecimiento en el número previsto de partículas cerca de t en el espacio en el tiempo t. Usando la fórmula de (17), para 1 {t−1Xu(t)(,)} = E,l(e) t η 1 {t - 1 {t - 1 {t )}) ≤ e(E) )tE, + γ â € (, â €) ≥ e(E) )tE, η2t ; + γ â € (, â €) donde, con algún abuso de notación que vamos a seguir utilizando a lo largo de en esta sección, abreviaremos esto a 1 {Xu(t)t} = E, t η (La sesión, interrumpida a las 10.00 h., se reanuda a las 13.00 h.) e(E) )t E,l(e) t ; t t) 12 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS , en el entendimiento de que cualquier argumento posterior para identificar expo- Las tasas de crecimiento se pueden hacer fácilmente rigurosas mediante el uso de la límites superior e inferior, y así sucesivamente. Ahora, teniendo en cuenta E−(l) :=E como una función de ♥, tenemos a partir de (8) que (γ) = inf(lmin,0){E−(l) + = E−(l) +, donde satisface () =, por lo tanto = ( 8r) a2 +4aγ2 .(19) Por supuesto, la elección de este valor óptimo en (18) significa que debemos tener si- multáneamente maximizado la expectativa E, t ); t t), y confirmar que este valor no está decayendo exponencialmente en t es ahora relativamente - Sí, claro. Bajo P,, η es un proceso Ornstein-Uhlenbeck con un medida invariante dada por la densidad de probabilidad,, de la distribución normal bution N(0, فارسى/(2)); y t =B( 0 A(ηs)ds), donde B es un BM con deriva - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Nótese también que al diferenciar • (Q­+ (1/2)­2A+R­E­)v , v  = 0 con respecto a Ł, utilizando la auto-adjuntividad, y observando que (v )2 nos encontramos con que Av, v Véase la sentencia del Tribunal de Primera Instancia en el asunto C-472/99, ECLI:EU:C:2000:45, apartado 51. A(y)(y)dy. Entonces casi seguro bajo P, 0 A(ηs)ds) 0 A(ηs)ds 0 A(ηs)ds A dy = ,(20) y así cuando usamos el valor óptimo de obtenemos exactamente la deriva deseada, desde el 1 de enero de 2002 () =. Entonces E, (e η2t ; t t) → lim E,(e) η2t ) (y)dy. De esta manera, podemos obtener la tasa exacta de crecimiento exponencial para el expectación, t−1 logE(Nt(γ;R)) = (γ). Los cambios de medida utilizados anteriormente sugieren en realidad mucho sobre las partículas dominantes que se encuentran en las proximidades de un rayo dado en el espacio. Una discusión alternativa de este resultado de la expectativa, que implica un doble enfoque a través de la gran desviación de la teoría de densidades de ocupación, también puede se encuentra en [13]. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 13 3.2. La forma asintótica esperada. Damos un esbozo aproximado de calcula- ciones que producirán el crecimiento exponencial correcto en el número esperado de partículas tanto cerca de t en el espacio y t en el tipo a grandes tiempos t. Uso la fórmula de (17) y abusar de la notación a lo largo de la misma manera que Sección 3.1, encontramos que 1 {Xu(t)t;Yu(t) = E,l(e) t η 1tt;ηt e(E) 2 P,l(t t;ηt ≥ Ahora, desde límites estándar en la cola de la distribución normal, P,l(t t;ηt ≥ = P, t) P,l(t tt ≥ t)21) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * y, desde + (/) = *, esto da resultados * 1 {Xu(t)t;Yu(t) e(E) 2 P,(t tt ≥ Recordando que :=inf(­min,0){E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Simple cálculo re- terneras este infimum se alcanza en un valor de (γ,) = ( 8r) a2(­2 + ­)2 + 4aγ2 • (­min,0),(23) y el uso de este valor óptimo en la ecuación (22) conducirá al límite superior limsup t−1 logE 1 {Xu(t)t;Yu(t) t} (γ,). También está claro de la ecuación (22) que cuando se minimiza E + − Simultáneamente maximizamos la probabilidad P, t). In particular, para obtener un límite inferior que coincida, no queremos esta probabilidad para tener cualquier decaimiento exponencial en el tiempo cuando elegimos el parámetro óptimo para el nombre y la dirección de la persona. De hecho, al menos hasta la tasa exponencial de decadencia en el tiempo, se puede mostrar utilizando argumentos de grandes desviaciones que # P, # # P, # # P, # # P, # # P, # # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # P, # (t t;ηt ≥ t) • exp 14 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS De hecho, inmediatamente obtenemos el límite superior requerido de (21). Por la Comisión límite inferior, considere la siguiente heurística donde rompemos caminos en dos secciones: comportamiento ergódico normal durante un largo período de tiempo [0, t] seguido de una Ascenso rápido a la posición de tipo t a lo largo de un período mucho más corto [t, t+  ]. i) Comportamiento ergódico. En un gran tiempo t, la densidad de ocupación de η lo más probable es que se haya asentado cerca de la medida invariante. Por lo tanto para grande t, casi con toda seguridad debajo de PŁ,, η2s ds→ ii) Ascenso rápido. A lo largo de un gran tiempo, pero donde, la probabilidad que η comienza cerca del origen y termina cerca de t, habiendo seguido de cerca a la trayectoria y a lo largo de todo el período de tiempo, es más o menos dada por (s) + y(s)}2 ds en virtud de la ley de la Ley de la República Popular Democrática de Corea. Véase, por ejemplo, [24], capítulo 6, o [4], capítulo 5.6. Después de una cierta optimización Euler-Lagrange, la ruta y(s) =  sinhs sinh da 0 y(s) La probabilidad de que este camino sea más o menos exp(−(/ Combinando estos dos tipos de comportamiento, podemos encontrar caminos con posiciones finales ηt # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n ∫ t η2s ds y, por otra parte, al sustituir el valor óptimo de plifying, esto realmente da t t. Además, uno de estos caminos ocurre con una probabilidad de aproximadamente exp(−(/  = o(t). Así vemos que a orden exponencial, la probabilidad P, (­ > t > > t;ηt ≥ t) debe ser, como mínimo, exp(−(/l)­2t), según sea necesario. Este argumento heurístico puede hacerse riguroso para probar, como se afirma, que t−1 logE 1 {Xu(t)t;Yu(t) =-(γ,-). Si escalamos todas las coordenadas espaciales por t−1 y todas las coordenadas tipo por t)−1 en el momento t, la forma asintótica esperada puede ser considerada región S := {(γ,­) :­(γ,­) ≥ 0} donde, por término medio, tenemos un crecimiento en el número de partículas (escalonadas). UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 15 4. Escalada corta heurística gran desviación. En esta sección, damos un heuris- tic cálculo que sugiere por qué la probabilidad de una sola partícula maneja tener al menos un descendiente en las proximidades de (t, t ) cerca de tiempo es más o menos exp((β,­)t) para t muy grande, donde se da en equa- ión (13). Para estos heurísticos, vamos a pensar en.......................................................................................................................................................................................................................................................... orden más pequeño que t (más tarde, en nuestro enfoque riguroso, vamos a elegir proporcional a log t). Destacamos que los heurísticos en esta sección son No se pretende que sea preciso ni riguroso, sin embargo, proporcionarán invalu- intuición capaz, guía y motivación para nuestro enfoque riguroso más adelante. De particular importancia será el problema de optimización que el heuris- tics sugieren. De hecho, muchos de los cálculos exactos de las secciones 4.2 y 4.3 será esencial más adelante en el periódico. Supongamos que empezamos la difusión de ramificaciones con una sola partícula en (0,0). En primer lugar, deseamos saber la probabilidad de que haya al menos una partícula en tiempo que tiene una posición espacial cerca de t habiendo seguido cerca de la trayectoria x(s) para 0≤ s≤ t haber seguido de cerca la ruta y(s) para 0≤ s≤  para t arbitrariamente grande. Recordamos de la gran teoría de la desviación de Ventcel-Freidlin (véase [24], Chap- ter 6, o [4], capítulo 5.6), que la probabilidad de que una sola partícula seguir de cerca tanto la ruta de tipo y(s) como la ruta espacial x(s) para 0≤ s≤ es más o menos dada por (s) + ds− 1 (s)2 ay(s)2 cuando x(0) = 0, x(l) = t, y(0) = 0, y(l) = l t y t es muy grande. Esto la probabilidad suele ser muy pequeña, pero si estos caminos son seguidos por partículas en la difusión de ramificaciones, también tenemos que tener en cuenta la grandes tasas de reproducción que se encuentran lejos del tipo de origen. Si dejamos que X(s) represente el número de partículas en la difusión ramificada que están vivos en el tiempo s y han viajado “cerca” del camino (x(u), y(u)) para 0 ≤ u ≤ s, entonces podemos obtener una idea aproximada de cómo X podría comportarse por considerando el siguiente proceso de nacimiento-muerte. 4.1. Un proceso de nacimiento-muerte. Para los caminos fijos dados x(·) e y(·), dejar M ser un proceso de nacimiento-muerte dependiente del tiempo en el que en el momento las partículas o bien dan nacimiento de una sola descendencia con un índice de reproducción (s) = ry(s)2, o las partículas mueren con la tasa de mortalidad μ(s) dada por μ(s) = (s) + (s)2 ay(s)2 16 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS (Tenga en cuenta que la probabilidad de la partícula inicial de este proceso de nacimiento-muerte sur- vive todo el período de tiempo [0, ] es consistente con la desviación áspera grande probabilidad para la difusión de ramificaciones en la ecuación (24).) Una cantidad importante es la tasa de mortalidad total efectiva hasta el tiempo t que se define por v(s) := Oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh, oh /(s) = J(x, y, s) (w) + (w)2 ay(w)2 − ry(w)2 − Distribución del número total de descendencias que sobreviven, El proceso de nacimiento-muerte dependiente del tiempo es bien conocido, por ejemplo, véase [14]. A continuación, definir W. := e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * μ(s) e(s) d(s) d(s) U.E. := 1− e(­)W−1♥, V­:= 1­W­1­1, Tenemos P(M() = 0) = U♥, P(M() = n) = (1−U/23370/ )(1− V/23370/ )V n−1, n= 1,2,............................................................................................................................................................................................................................................. con EM(l) = e(l) y E(l)(l) = M(l) = 1 = W. En nuestro caso particular, tenemos E(M()) = exp(−J(x, y, )). Definir la mayor tasa efectiva de mortalidad total antes de tiempo L(x, y, ) := sup sâ € TM [0, € ] J(x, y, s)≥ 0. Si nos encontramos en un caso en el que L(x, y) es muy grande, lo que sugiere una alta probabilidad de la extinción, entonces P(M()≥ 1) = 1 0 μ(s)e /(s) ds (-L(x, y, )),(25) donde K−1 0 μ(s) exp(L(x, y, ♥) − J(x, y, s)})ds. Si hay al menos una partícula viva, entonces esperaríamos tener E(M(l), M(l), ≥ 1), K-l), exp(L(x, y, ♥)- J(x, y, l)). Por lo tanto, podríamos suponer que la probabilidad de cualquier partícula en la ramificación difusión logran hacer el ascenso difícil y rápido a lo largo del camino (x, y) para terminar hasta cerca (t, t ) puede estimarse, de forma muy aproximada, por exp(−L(x, y, ♥)). [A] UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 17 ayudar a ver esto, intente escribir x(s) = tf(s) y y(s) = tg(s), pensando en f, g como rutas fijas y recordar que t es muy grande y ♥ = o(t), a continuación, el papel de K en (25) es insignificante al lado de la exp(−L(x, y)).] Entonces podríamos adivinar que la posibilidad de que las partículas se las arreglan para Permanecer cerca de la posición (t, t) durante un intervalo de tiempo muy pequeño cercano a debería parecerse más o menos − inf L(x, y, ) donde permitimos todos los caminos posibles x e y satisfaciendo x(0) = 0, x() =t y y(0) = 0, y( t para el tiempo fijo . (Vamos a declarar y demostrar un límite inferior preciso que corresponde a esta suposición en el Teorema 7.) 4.2. Encontrar el camino óptimo y la probabilidad. Procedemos a calcular L(x, y, ) sobre caminos x e y satisfaciendo x(0) = 0, x(l) = t e y(0) = 0, y(l) =  para el tiempo fijo . En primer lugar, tomamos nota de que L(x, y, ) = inf sâ € TM [0, € ] J(x, y, s)≥ inf J(x, y, Ł)(26) y ahora procedemos a calcular infx, y J(x, y, ♥). Podemos optimizar fácilmente sobre la elección de la función x dada y, encontrando que (s)(s)ay(s)2(s)(s)x(s)=(s)a(s) y(u)2 du donde  es la constante de proporcionalidad y debe satisfacer 0 y(s) ,(27) rendimiento (s)2 ay(s)2 0 y(s) Esto es exactamente como se anticipa desde, al seguir la ruta y en el espacio de tipo, la posición espacial de una partícula está siguiendo un movimiento browniano con total de la diferencia en el período 0 y(s) 2 ds. Por lo tanto, la proba- bilidad de que una partícula que sigue la trayectoria y en el espacio de tipo también se encontrará cerca de βt en el espacio en el tiempo ♥ es aproximadamente ( 2t2 0 y(s) 18 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Presentación de la notación I(y) := (s) + − ry(s)2 Estamos a la izquierda para encontrar I(y) + 0 y(s) = inf I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ sup I(y)− 1 y(s)2 ds− t donde la primera igualdad es trivialmente verdadera maximizando la cuadrática en , cuya introducción elimina convenientemente la torpe integral en el denominador. Algunos más Euler–Lagrange optimización ahora da la ruta óptima como yl(s) = l(s) sinhs sinh (0≤ s≤ ),(29) donde ( 8r - 4ao2) y luego I(y)− 1 y(s)2 ds− t = sup coth − t La opción óptima del parámetro (que depende de a continuación, satisface los parámetros) = 2t cotμ 2 sinh2 μ s)2 ds.(30) Entonces hemos demostrado que 0 y(s) ≥ inf I(y) + 0 y(s) = inf I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ sup I(y)− 1 y(s)2 ds− t ≥ I(y s)2 ds− t, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 19 y, de hecho, vemos que los lados izquierdo y derecho de los anteriores son iguales Recordando (30). De ello se deduce que el supremo y el infimum anteriores pueden ser libremente intercambiados, preservando realmente la igualdad en la desigualdad (28). Entonces, con la ruta espacial óptima * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ye(u) 2 du=t sinh2s− 2s sinh2 − 2 ,(31) y la definición de xâ € := x , ŷ := y , tenemos J(x, y, = t sup coth cotμ − −. Por último, es fácil comprobar que J(xá, ŷ, Ł) = L(xá, ŷ, ♥), de dónde J(x, y, )≥ inf L(x, y, ), y, combinando con la ecuación (26), hemos encontrado que L(x, y, ) = inf J(x, y, 4.3. Una nota importante sobre los caminos óptimos. Al igual que en la mayoría de los casos, tenemos coth ↑ sup # 2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # − β, donde los parámetros de optimización de los supremas también convergen con = ( 8r) a2o4 + 4a2 2+ 2+ 2+ .(32) Tenga en cuenta el acuerdo con valores óptimos anteriores en ecuaciones (23) y (15). Entonces dejar que *(β,­) := sup. 2 − ( 8r) (a2o4 +4a2) y la escritura de x̄ := x y := y, notamos que para todos , μ > 0 Tal que para todos los t > 0 y  > − inf J(x, y, ♥) ≥ exp(−J(x̄,, )) = exp coth − ≥ exp(−t( 20 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Por otra parte (en el caso de los casos en los que el valor de referencia sea superior a 0), en el caso de todos los tipos de s............................................................................................................................................................................................................................................... (s)≥(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)()()()(s)(s)(s)(s)(s)(s)()()()()(s)()()()(s)(s)(s)()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(s)(s)()()()()()()()()()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s)(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(((((((()()(((()()()()()()()()()()((()()()()()()()( t, x̄(s)(β − ♥)t. En particular, los senderos permanecen cerca de las posiciones requeridas para algunos duración del tiempo con la probabilidad correspondiente al menos tan grande como sea necesario. 5. Prueba de Teorema 3. Abajo. En esta sección vamos a declarar un pre- resultado de la probabilidad de subida corta y mostrar cómo combinarlo con casi tasa de crecimiento espacial (únicamente) segura para demostrar el límite inferior de la tasa de crecimiento en Teorema 3. Esto hará riguroso el mecanismo de dos fases descrito en la sección 2 y sugerido por los cálculos de expectativas en la sección 3. La primera fase requiere el conocimiento de las tasas de crecimiento de partículas en la dimensión espacial solamente. Con este fin, ya vamos a hacer pleno uso del Teorema 1 a lo largo de esta sección, postergando su prueba hasta la Sección 10. La segunda fase requiere un límite inferior para la probabilidad de que una sola la partícula hace una subida rápida en el espacio de tipo durante el intervalo de tiempo [0,  ]. Esto es el límite inferior encontrado en la heurística de la Sección 4, pero necesitamos algunos anotación adicional antes de que pueda indicarse el resultado exacto. Nota, durante todo el período en esta sección, sólo estaremos interesados en el valor óptimo de parámetro tal como se introduce en la sección 4.3. Queremos fijar la relación entre lo suficientemente grande t y */(2) e = ♥ t(34) y por lo tanto definan ♥ = (t) por (t) := (2) − 1 log(2t/l), para 2t > 0, de lo contrario. Recordar los caminos óptimos (x̄, ) sobre s â € TM s [0,? ], donde (s) = ♥ sinhs sinh ,(36) x̄(s) = a (w)2 dw=t sinh2s− 2s sinh2 − 2 ,(37) con puntos finales fijos t y x̄(♥) =t. Para los tiempos grandes t y............................................................................................................................................................................................................................................................ t (u) := s»,[0,l(t)] Yu(s)− (s) t; sup s»,[0,l(t)] Xu(s)− x̄(s) ♥t .38) Usaremos la notación u-N-(t) t (u)(39) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA DE TIPO 21 para el evento que existe una partícula en la difusión ramificada que hace la subida corta. Por último, recordando lo que se ha dicho en el apartado 33, ahora podemos indica el teorema de subida corta: Teorema 7. Arreglar cualquier y1 > y0 > 0, x â € R, y dejar â € 0 > 0. Entonces para cualquier Existen T > 0 de tal manera que para todos y [y0, y1], t–1 logP x,y(A­,­t )(­β,­) + ­0) para todos t > T. Demostraremos el Teorema 7 usando un cambio de medida de la columna vertebral. Esto requiere introducir la notación para la instalación de la columna vertebral en detalle antes de proceder, por lo que esta y otras cuestiones técnicas se aplazan a las secciones 6 y 7. Observación 8. Observamos que el Teorema 7 es en realidad un resultado más fuerte que necesario para probar el teorema 3 porque identificamos los caminos específicos seguidos por partículas que están cerca de la posición (βt, t ) en el momento t+ , en lugar de simplemente teniendo en cuenta las posiciones de la partícula cerca del tiempo t+ . En la combinación de las dos fases, tendremos un gran número de independientes ensayos cada uno con una pequeña probabilidad de éxito, intuitivamente dando lugar a un Aproximación de Poisson para un gran número de partículas exitosas. De hecho, en nuestra prueba del límite inferior de Teorema 3 abajo, vamos a utilizar realmente el siguiente resultado sobre el comportamiento de secuencias de sumas de independientes Bernoulli variables aleatorias. Lemma 9. Para cada n, definir la variable aleatoria Bn := fn 1En(u) donde los eventos {En(u) :u â € Fn} son independientes. Let pn(u) := P (En(u)) y Sn := El Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 3, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 3, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, el artículo 5, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71, debe interpretarse en el sentido de que, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos, en el caso de autos. (Sn)21 Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.(40) A continuación, la secuencia de (posiblemente dependiente) variables aleatorias {B1,B2,. ..} tiene Bn − Sn (Sn) v sólo finitamente muchos n, casi seguro. En particular, para cualquier............................................................................................................................................................................................................................................................ con probabilidad uno, > 1−  para todos los n > N.41) Prueba. Por el contrario, la desigualdad de Chebyshev P(Bn − Sn (Sn) /)≤ fn pn(u)(1− pn(u)) 21, 22 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS y por lo tanto los lemas Borel-Cantelli, combinados con la hipótesis (40), implican Sn (Sn) / Comisión de las Comunidades Europeas sólo finitamente muchos n, casi seguro. La ecuación (41) sigue ahora a la división por Sn, y darse cuenta de la suposición (40) implica que limnÃ3Sn =. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Teorema 3. Abajo. Define f−1(t) := t− (t), not- , que tanto f(t)/t→ 1 y f−1(t)/t→ 1 Además, en el caso de N+N y μ > 0, definir Tn := (n+ 1)μ. Queremos estimar el número de partículas que se encuentran cerca de la posición grande (−(α + β)Tn, Tn) durante el intervalo de tiempo [Tn−1, Tn]. Para esto, vamos a considerar las partículas que viajan con una velocidad • durante el período de tiempo [0, f−1(Tn)] antes de comenzar su rápido ascenso de (relativamente breve) duración (Tn) para estar en la posición final en el momento Tn. Entonces [Tn−1,Tn] Ns((β − )Tn; [( ♥) Tn. +NTn + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + [Tn−1,Tn] {Xu(s)()Tn;Yu(s)≥() Tnáš(42) uâ € ~ Fαn 1 {N;n (u)>0} donde Fαn := {u Nf−1(Tn) :Xu(f −1(Tn))Tn, Yu(f−1(Tn)) [y0, y1]} y, en el caso de u • Fαn, Ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, ni, V.N.T.N.n. [Tn−1,Tn] {Xv(s)−Xv(f−1(Tn))()Tn;Yv(s)≥() Tnó. Ahora vamos a mostrar que la suma en (42) crece tan rápido como se esperaba: Lemma 10. Para cualquiera de los فارسى > 0, podemos elegir μ > 0 de tal manera que exista un N+N aleatorio en el que uâ € ~ Fαn 1 {N;n (u)>0} (α)(β, para todos n > N con probabilidad uno. Prueba. Podremos aplicar Lemma 9 con suficiente información. sobre el crecimiento de Fαn y la decadencia de las probabilidades pβ,ln (u) := P (N̄ n (u)> 0Ff−1(Tn)), UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 23 en el que u Fαn Nf−1(Tn). Se sigue fácilmente del Teorema 1, f−1(Tn)/Tn → 1 y la continuidad de •(α) que log Fαn (α)− ♥ para todos lo suficientemente grandes n. La definición de la invarianza de la traducción espacial y de la traducción espacial implica que, para cada u Fαn, la probabilidad de subida rápida pβ, posición inicial del tipo Yu(f) −1(Tn)). En el caso de los productos de la partida 0, defínase: t (u) := sà                                                  {Xu(s)−Xu(0)(β- )t;Yu(s)≥ () u-N-(t) t u).(43) Recordando los comentarios de la sección 4.3, existen, > 0 y podemos elegir 0 suficientemente pequeño, tal que pβ,ln (u) = P 0,Yu(f) −1(Tn))(B )≥ P 0,Yu(f−1(Tn))(A ) =: p̄n(u) para todos u â € ¢ Fαn cuando n es lo suficientemente grande. Junto con el Teorema 7 y desde Yu(f) -1(Tn)) - [y0, y1] para u - Fαn, esto revela log pβ,­n (u) ≥ log p̄n(u) (β, para todos para u â € ¢ Fαn y todo lo suficientemente grande n, casi seguro. Entonces podemos combinar las observaciones anteriores para obtener uâ € ~ Fαn pβ,ln (u)(α)(β,l)− Tomando esta última línea juntos la afirmación de Lemma 9 en la ecuación (41) da el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora es sencillo combinar Lemma 10 con la desigualdad en (42) para ver que, dados los valores de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra, de la palabra; t -1 logNt((-) β -)t; [() t,)))(α)(β, para todos t > T, casi seguro. Puesto que los dos pueden ser tomados arbitrariamente pequeños, usando el óptimo y según ecuaciones (14)–(15), encontramos lim inf t−1 logNt(γ, [ t)) (γ) casi seguro, 24 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS según sea necesario. [También es interesante notar que = = = (γ) de equa- ciones (19), (23) y (32), por lo que los parámetros óptimos están de acuerdo con los de los cálculos de expectación en la sección 3 y el camino ciones en la sección 4.] - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 6. La configuración y los resultados de la columna vertebral. En esta sección, describimos cómo construir una difusión enriquecida de ramificaciones con un “espine” o “back- hueso” partícula y discutir cómo realizar algunos cambios extremadamente útiles de medida (relacionada estrechamente con el aditivo martingales) que esencialmente “fuerza” la columna vertebral realizar la subida corta, mientras da a luz en un accel- tasa de eritrogenación para las crías que se comportan como si se tratara de la medida original. Estos Las técnicas de la columna vertebral están en el corazón mismo de nuestra prueba de Teorema 7 en Sec- tion 5. Las ideas de la columna vertebral se vieron por primera vez para ramificar el movimiento browniano en [3] y desarrollado para los procesos de Galton-Watson en [16, 18, 19]. Kyprianou [17] y Englander y Kyprianou [6], desarrollaron la técnica para algunas familias de difusión de ramificaciones; y, más recientemente, el enfoque de la columna vertebral ha sido icantly mejoró en [8]. Este enfoque utiliza varias filtraciones diferentes en un espacio de probabilidad ampliado que transporta la difusión de ramificaciones, y permite algunas técnicas y resultados muy útiles a desarrollar. Por ejemplo, “addi- tiva” (muchas partículas) martingales pueden ser representados como condiciones adecuadas expectativas de martingales “espinales” (de una sola partícula) y, en consecuencia, son interpretaciones claras para cualquier cambio de medida y todas las medidas en participamos en nuestra configuración “espine” son medidas de probabilidad con construc- ciones. Siguiendo a Hardy y Harris [8], primero esbozaremos la notación y a continuación, describir los cambios de medida. La notación descrita en esta sección se generaliza para permitir que cada partícula u tenga 1 + Au descendencia, donde cada Au es una copia independiente de una variable aleatoria con valores en {0,1,2,...}. Las técnicas de columna vertebral desarrolladas en este artículo podrían ser fácilmente generalizadas a tales modelos. Todas las medidas de probabilidad deben definirse en el espacio T Árboles Galton-Watson con espinas; antes de definir con precisión lo que este espacio es que tenemos que establecer alguna otra notación. Recordamos el conjunto de Ulam-Harris etiquetas, , definidas por  := N(N) n, donde N := {1,2,3,.. .}. Por dos palabras u, v, uv denota la palabra concatenada, donde tomamos uu= u. Por lo tanto, contiene elementos tales como “412,” que representa “el individuo siendo el segundo hijo del primer hijo del cuarto hijo del antepasado inicial Para las etiquetas u, v la notación v < u significa que v es un antepasado de u, y u denota la longitud de u. Definimos un árbol de Galton-Watson para ser un conjunto de tal manera que: i) El ancestro inicial único; (ii) si u, v, entonces vu sus nodos; UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 25 (iii) para todos los u................................................................................................................................................. si y solo si 1≤ j ≤ 1 + Au. El conjunto de todos estos árboles es T, y vamos a utilizar el símbolo de un particular árbol. Como nuestro trabajo se refiere a la ramificación de las difusiones a menudo nos referiremos a la las etiquetas de las partículas. Tenga en cuenta que para el mecanismo de ramificación binario en este el papel, P (Au = 1) 1; por supuesto, aquí hay sólo un T—el binario árbol. Un árbol Galton-Watson por sí solo sólo registra la estructura familiar de la individuos, por lo que a cada individuo u..... le damos una marca (Xu, Yu,................................................................................................................................................................................................................................................. contiene la siguiente información: Es la vida útil de la partícula u, que también determina la fisión. tiempo de la partícula como Su := v≤u v. También podemos referirnos al Su como tiempos de muerte; • la función Xu(t) : [Su − Su, Su)→R describe el mo- espacial de la partícula en R durante su vida útil; • la función Yu(t) : [Su− u, Su)→R describe la evolución de los parti- tipo de cle en R durante su vida útil. En aras de la claridad, debemos decidir si existe o no una partícula en su tiempo de muerte: nuestra convención será que una partícula muere “infinitamente ser- por lo que Xu y Yu se definen en [Suu, Su) y no [Suu, Su]—de modo que en el momento Su la partícula u ha desaparecido y ha han sido reemplazados por sus dos hijos. Denotamos un árbol marcado en particular por (l,X,Y,l), o la abreviatura (l,M), y el conjunto de todos los árboles marcados Galton-Watson por T. Para cada uno T, el conjunto de partículas vivas en el momento t se define como Nt := {u Su ≤ t < Su < Su >. Para cualquier árbol marcado dado (,M) T podemos distinguir- guish líneas individuales de descenso desde el antepasado inicial: Ł, u1, u2, u3,. ............................................................................... *, donde ui es un hijo de ui−1 para todos {2,3,....} y u1 es un hijo de la individual inicial. Llamamos a tal línea de descenso una columna vertebral y la denotamos por - Sí. En un ligero abuso de la notación nos referimos a "T" como el nodo único en "T" que es viva en el momento t, y también para la posición de la partícula que constituye el columna vertebral en el tiempo t; es decir, t :=Xu(t), donde u Nt. Sin embargo, aunque la la interpretación de la palabra siempre debe ser clara desde el contexto, introdujimos la siguiente notación para su uso cuando pueda surgir cierta ambigüedad: • nodet((l,M, )) := u si u es el nodo en la columna vertebral vivo en el momento t. Es natural pensar en la columna vertebral como una sola partícula difusora, o, estrictamente hablando, el par (t, ηt), donde ηt es el tipo de la columna vertebral en el momento t. Definimos nt para ser una función de conteo que nos dice qué generación de la columna vertebral está actualmente viva, o equivalente al número de veces de fisión allí han estado en la columna vertebral: nt = nodet(). 26 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS La colección de todos los árboles marcados con una espina distinguida es el espacio En el que nuestras medidas de probabilidad eventualmente serán definidas, pero primero nosotros definir cuatro filtraciones en este espacio que contienen diferentes niveles de información sobre la difusión de ramificaciones. • Filtración (Ft)t≥0. Definimos una filtración de T Ft := ((u,Xu, Yu, u) :Su ≤ t; (u,Xu(s), Yu(s) : s â € [Su â °u, t] : t â € [Su â °u, Su]), lo que significa que Ft se genera por la información relativa a todos los ticles que han vivido y muerto antes del tiempo t, y también los que son todavía vivo en el tiempo t. Cada uno de estos -álgebras es un subconjunto del límite F. := ( t≥0Ft). • Filtración (Fūt)t≥0. Definimos la filtración (Fût)t≥0 mediante el aumento de la filtración Ft con el conocimiento de qué nódulo es la columna vertebral en el momento t; que es, (Fśt)t≥0 := (Ft,nodet()) y F := ( t≥0 Fœt), de modo que esta filtración sabe todo sobre la difusión ramificada y todo sobre el columna vertebral. • Filtración (Gt)t≥0. (Gt)t≥0 es una filtración de T s≤ t), y G t≥0 Gt). Estos -álgebras son generados sólo por el movimiento de la columna vertebral y por lo tanto no contienen la información sobre qué nodos del árbol, la columna vertebral. • Filtración (Gūt)t≥0. Como hicimos al ir de Ft a Fût creamos (Gût)t≥0 a partir de (Gt)t≥0 incluyendo el conocimiento de qué ganglios componen la columna vertebral: (Gūt)t≥0 := (Gt,nodet()) y G := ( t≥0 Gśt). Esto significa que Gût también sabe cuándo ocurrieron los tiempos de fisión en la columna vertebral, mientras que Gt no. Ahora que hemos definido el espacio subyacente y las filtraciones, podemos de- multar las medidas de probabilidad de interés. Dejamos que la difusión de ramificación mecanografiada ser como se describe en la sección 1.1, con las medidas de probabilidad {P x,y :x,y {R} en la que se representa la ley de esta difusión mecanografiada de ramificaciones cuando ini- tially comenzó con una sola partícula en (x, y). Recordamos de [18] que, si f es una función mensurable, podemos escribir fu1t=u},(44) donde el fu es Ft-mesurable. Ahora podemos extender P x, y a una medida P (T, F) eligiendo la partícula que continúa la columna vertebral uniformemente cada uno tiempo hay un nacimiento en la columna vertebral; más precisamente, para cualquier f representación como (44), tenemos: f dP贸 x,y(l,M, ) := dP x,y(l,M). UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 27 Construimos el martingale (t) mensurable como (t) := v (ηt)e {R(ηs)+1/2/23370/2A(ηs)}ds−E t × 2nte− R(ηs)ds × et−1/2 A(ηs)ds(45) = v (ηt)2 ntet−E Obsérvese que se trata de un producto de martingales de una sola partícula, cuyos detalles se puede encontrar en [17] o [10]. Se puede pensar en estos como h-transformas de la P la ley de la columna vertebral: la primera hace η un Ornstein-Uhlenbeck hacia el exterior proceso con parámetro de deriva ; el segundo aumenta la tasa de reproducción en la columna vertebral a 2R(·); y la tercera añade una deriva espacial a. Usando el martingale (t) podemos definir una medida Q (T, F ) por dP. X. Y. (t) (0) v (y) v (ηt)2 ntet−E t.(46) Y puesto que (t) es un producto de h-transformas, bajo Q El proceso puede ser Reconstruido en el sentido de la trayectoria de acuerdo con la siguiente descripción: • a partir de la posición espacial x y tipo y la columna vertebral (t, ηt) difuso spa- tialmente como un movimiento browniano con varianza infinitesimal A(ηt) e infinitos- deriva imal (A(ηt); • el tipo de columna vertebral, ηt, comienza en y y se mueve en el espacio tipo como un proceso Ornstein-Uhlenbeck con generador + y • las ramas de la columna vertebral a la velocidad 2R(ηt), produciendo 2 partículas; • una de estas partículas se selecciona uniformemente al azar; • la descendencia elegida repite estocásticamente el comportamiento de su padre; • la otra partícula descendencia inicia una P ·,·-BBM desde su posición de nacimiento y tipo. El cambio de medida (46) se proyecta en el sub-álgebra Ft como condición expectación a nivel nacional: dP. X. Y. v (y) P­x,y(v (ηt)2 ntet−E tFt), y es un cálculo corto utilizando los métodos de, por ejemplo, Hardy y Harris [10] para mostrar que: 28 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Teorema 11. Si definimos Q  := Q Entonces, Q. Se trata de una medida relativa a: ¿Qué es lo que satisface? dP x,y = (t) := Z (t) Z (0) Por otra parte, en la sección Q ♥, la construcción de la difusión de ramificaciones en el camino es el mismo que debajo de Q. Aunque la construcción de la difusión de ramificaciones es la misma en el punto Q  y Q , sólo la medida Q ♥ “sabe” acerca de la columna vertebral. Lo es. claro, sin embargo, que tenemos Q  (A) =Q (A) para cualquier A. (A) F. (A). En virtud de la medida Q Sólo el comportamiento de la columna vertebral se altera, y combinando esta observación con acondicionamiento en el camino de la columna y fisión- tiempos nos da una representación muy útil para Z (t) bajo Q - No, no, no, no. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. se refiere a la descomposición de la columna vertebral: (t)G) = v (ηSu)e Su−E Su + v (ηt)e t−E t.(47) A lo largo del resto de este artículo nos referiremos a las dos piezas de esta de- composición como el “término de suma” y el “término de la columna vertebral”. Esta descomposición se discute en detalle para una amplia variedad de difusiones de ramificación en [9], pero para derivarlo simplemente notamos que las contribuciones a Z (t) de la sub- árboles que se ramifican de la columna vertebral tienen constante Q -expectación porque ellos comportarse como si bajo la medida original P, y sabemos que Z (t) es un P - martingale. La descomposición de la columna vertebral reduce muchos cálculos sobre el comportamiento de Z (t) bajo Q Cálculos de una partícula sobre la columna vertebral, y esta observación se explota en las pruebas de columna vertebral de Lp-bounds para algunos familias de martingales aditivos en [9]. 7. Prueba de Teorema 7. La probabilidad de subida corta. Con la columna vertebral bases firmemente establecidas en la Sección 6, podemos proceder con la prueba de la probabilidad de subida corta más bajo límite de Teorema 7. En primer lugar, recordar las definiciones (38) y (39), donde A t es el evento que allí existe una partícula que hace la subida corta a lo largo del camino óptimo (x̄, ), y t () es el evento que la columna vertebral hace la subida corta. Tenga en cuenta que los controles de • la proximidad a x̄ y ♥ la proximidad a. Lo que es más importante, sólo seremos interesado en tomar a lo largo de esta sección, aunque por lo general vamos a sólo escribir.... para la simplicidad notorial. Recuerda también a lo largo de todo eso. están relacionados a través de (/(2)) exp(2) = UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 29 Prueba de Teorema 7. El paso clave en la prueba de esto es el siguiente uso del cambio de la columna vertebral de medida: para cualquier función g :R+ →R+ tenemos P x,y(A) t ) =Q (­) (­) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. (­) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. (­) ; sup sâ € TM [0, € ] (s)≤ g(l) ≥ g()−1Q • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g(l) Esencialmente, sólo tenemos que hacer la elección “correcta” tanto para (48), aunque seguirá habiendo una serie de tecnicismos a resolver. La primera idea es asegurar el (originalmente raro) evento A t realmente ocurre con arreglo a la nueva medida Q Al hacer que la columna vertebral siga cerca de la necesaria ruta (x̄, ); esto se logra mediante la elección del valor óptimo para estar en la escala de tiempo natural tomaría la columna vertebral para llegar a la posición t. En particular, esta opción significará que en la primera línea del conjunto anterior de las desigualdades no hay pérdida significativa de masa al sustituir el evento t con A t.................................................................................................................................................................... A continuación, queremos elegir el g más pequeño posible que todavía dejar alguna probabilidad positiva en la última línea del argumento anterior. Por lo tanto, deseamos identificar la tasa de crecimiento del martingale Z bajo , y esto se regirá esencialmente por la contribución de la columna vertebral a sí mismo. Con esto está la mente, y recordando las diversas propiedades de la óptima rutas y parámetros a partir de la sección 4, para ­0 > 0 definimos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * e2 − ( y 2 + x) y recordar de (35) que la escala entre t y ♥ se fija en todo, en los que Ł2t= (l/(2)e)e 2 para t grande, por lo tanto t+ فارسى t. Tenga en cuenta que desde que son sólo teniendo en cuenta el valor óptimo , tenemos e2 = (2 − )t=(β,). Entonces de (48) tenemos P x,y(A) t )≥ g­o(­)­1Q­0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) .(49) Nuestra estrategia para el resto de esta prueba es demostrar que el Q -probabilidad en (49) es al menos algo > 0 para todos los t suficientemente grandes, uniformemente para y [y0, y1], 30 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS para que la parte de la tasa de desintegración de (49) coincida con la tasa deseada en la instrucción del teorema. Acondicionamiento en el camino de la columna vertebral y los tiempos de nacimiento, G, y luego hacer uso de algunas propiedades estándar de la expectativa condicional que tenemos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) desde A t () es G-mensurable. A continuación observamos que, condicionado a G, podemos escribir (t) como (t) = e Y2x) (t- Su) + f(t) ,(50) donde la Z  son copias independientes de Z  comenzó a partir de una sola partícula at (Su, ηSu); y f(t) es la contribución a Z  (t) de la columna vertebral, que, condicional en G, es una función conocida de t. Ahora si pudiéramos mostrar, para 0 < 0 < 0, sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > y sup sâ € TM [0, € ] ( (s)− (s)(s)≤ g­0(­) donde fó(t) := e−( Y2x)f(t), nosotros tendríamos sups[0,? ]  (s) ≤ g­o(l). Por lo tanto, definir (s) := - (s) - (s), tenemos sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) ≥ Q.x.,y.e. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x.,y. ≥ Q.x. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ; sup sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) 1(s)(s)(s) ≤g0(l)/2} sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) puesto que, condicionado a G, se conoce el máximo de f en [0, ♥ ]. Vemos de (50) que, condicional en G, (t) es un submartingale. Esto es porque el Q - expectación condicional de cada uno de los Z En la suma que figura a continuación: Y2x) (t- Su)(51) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 31 es constante, por lo que la expectativa de la suma no puede disminuir, y de hecho esto la expectativa aumenta cada vez que hay un nacimiento en la columna vertebral. Entonces por La desigualdad submartingale de Doob que tenemos sâ € TM [0, € ] (s)≤ g­0(­) = 1 - Q.x.y.c. sâ € TM [0, € ] (s)≥ g­0(­) ≥ 1− 2 g­0(­)  () ()G). Debemos señalar aquí que la expectativa en la línea anterior no es a priori finito. Sin embargo, la expectativa de cada término en la suma (51) está limitada por sups â € TM € TM TM s, que tenemos control sobre a través de una función de indicador y así No tenemos que preocuparnos de que esta expectativa explote. Así que tenemos que demostrar que para todos lo suficientemente grande y todos y y [y0, y1], () [0, ] fó(s) ≤g0 ()/2} g­0(­)  () * () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () ()) () () ()) () () () () () (l) () () () () (l) () () () () () () () ()) ()) () () () () () ()) () () ()) () ()) () ()) () () () ()) () () () () () ()) () () () () () () () ())))) () () () ())) () ()))) () () ()) () () () () () () () () () () () ())) () () () () () ()))))) () () () () () ()) () () () () () () () () ())) () () ()) () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () >, y, por lo tanto, también • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] (s)≤ g-0(l) según sea necesario. A continuación se combinarán ambas partes del siguiente resultado. Lemma 12. Fijar y1 > y0 > 0 y ≤0 > 0 > 0. (i) Para todos los lo suficientemente pequeños, (+ > 0), existen algunos > 0 y (+ > 0) De tal manera que para todos [y0, y1] y todos t > T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >. ii) En la forma en que: g­0(­)  () En el caso de los productos de origen animal, el importe de la ayuda se calculará sobre la base de los datos disponibles en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de conformidad con el artículo 21, apartado 3, del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que se refiere a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > uniformemente por encima de y [y0, y1]. A continuación, hemos demostrado que, para cualquier Ł0 > 0, y1 > y0 > 0, y lo suficiente pequeño, 0, existe un T > 0 de tal manera que, para todos y [y0, y1] y todos t > T, t−1 logP x,y(A­,­t )(­β,­) + ­0). 32 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Finalmente, observamos que la probabilidad P x,y(A) t ) es trivialmente monotona aumento tanto en Ł y ♥, y por lo que se deduce que si el resultado es cierto para todos lo suficientemente pequeño, es, de hecho, cierto para todos, 0. Esto completa la prueba del Teorema 7. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Prueba de Lemma 12(i). Demostraremos Lemma 12(i) en una secuencia de otros lemas, utilizando un acoplamiento conveniente para el proceso de tipo de columna vertebral. En primer lugar, recordar que, en virtud de Q , ηs resuelve el SDE dηs = DBs + s ds, donde Bs es un movimiento Q-Brownian. Tomando nota de que d(e) sηs) = e فارسى dBs, podemos construir esηs como un cambio de tiempo de un movimiento browniano con esηs − η0 = Ew dBw = B‡(1− e−2s), donde B? es también un Q? El movimiento browniano comenzó en el origen. De esta manera, construiremos ηy bajo P de un movimiento browniano por comenzado en y 2, donde, para s â € [0, â € ¬], ηy(s) = esBy(1− e−2s). Construir simultáneamente todos los procesos tipo ηy bajo la misma medida P, primero construimos el proceso By0 como un movimiento Browniano independiente comenzado en y0 2/. Segundo, construimos el proceso B y1 ejecutando una movimiento browniano independiente comenzó en y1 2/ hasta que llegue por primera vez a la ruta de By0, en cuyo punto se unen los dos procesos juntos. Siguiente, para cualquier otro y â € (y0, y1), realizamos una moción Brownian independiente por hasta que primero se reúne con el proceso By0 abajo o By1 arriba, en cuyo punto Lo emparejamos con el proceso que primero golpea. Finalmente, construimos todos los procesos espaciales correspondientes. de un único movimiento browniano W al definir •y(s) =W ηy(w)2 dw ηy(w)2 dw,(52) donde W se inicia en x y es independiente de los procesos By. Construida de esta manera, para cada y [y0, y1], la P-ley de (y, ηy) es la igual que el Q Leyes de la República Federal de Alemania (en lo sucesivo, «Ley»). Fijando μ (0,1) y K > máx{y1,1}, definimos los eventos y detenemos veces ¡Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay, Ay! Por(s)........................................................................................................................................ 1-(1- μ,1) T0 := inf{t :By0(t) = 0}, TK := inf{t :By1(t) =K}, ,K :=A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 33 Entonces, claramente P(,K)> 0 y, en el evento,K, el acoplamiento da 0< ηy0(s)≤ ηy(s)≤ ηy1(s)≤K es, para todos los s≥ 0 e y+ [y0, y1]. Tenga en cuenta que nuestra construcción también asegura que si event Ay0o, Ay1o, Ay1o se produce entonces, así que debe ser Ay9o para cualquier y y [y0, y1], por lo tanto Ay9o, Ay9o, K. Lemma 13. Dejemos que el valor de 0 °C sea > 0. En el evento,K, existe un tiempo determinista s0 = s0()> 0 de tal manera que para todos los  > s0, sâ € TM [0, € ] y(s)− (s)(s) ≤ para todos y [y0, y1]. Prueba. Conjunto s1 =− 12 logμ y, a continuación, en el evento,K, para todos ♥ ≥ s > s1 Tenemos ηy(s)− es, para todos y [y0, y1]. Escribiendo (s) = 1− e−2s 1− e−2 es, Vemos que existe s2 = s2()> 0 de tal manera que, para  ≥ s > s2, (s)− es. Tomando s3(l) = max{s1, s2(l)} ahora rendimientos y(s)−(s)(s) es ≤  t(53) para todos los tipos de productos de la partida  ≥ s > s3 y todos los productos de la partida y [y0, y1]. Ahora considere s [0, s3]. En,K tenemos y(s)− (s) ≤ es3(1 +K), y por lo tanto para algunos s4()> 0 tenemos y(s)− (s) ≤ t para todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad, todos los grupos de edad y grupos de edad s [0, s3], y todos y [y0, y1]. Tomando s0(­) = max{s3, s4} produce el resultado. 34 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Lemma 14. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño, existe un Determinista ­0 = ­0(­, ­)> 0 tal que, en, K, tenemos sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw− (w)2 dw < t(54) para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Prueba. Teniendo en cuenta cualquier فارسى > 0, primero fijamos un فارسى > 0 suficientemente pequeño tales que فارسى(2+ ) ; esto produce un s3 correspondiente = s3(­), que se elige como en la ecuación (53). Teniendo en cuenta este s3, nos encontramos con 1 ° = 1 ° ( ° ° ° ° ° ° °) > 0 tales que, para todos  > l, (K2 + 1) E2w dw < Ahora fijamos el valor de 0 = 0 (e, e) = max{s3, e1}. Con esta elección de................................................................................................................. proceder a demostrar que la desigualdad (54) está satisfecha. Nótese que el valor 0 es disuasorio. minista e independiente de y. De la ecuación (53) vemos que, en,K y para s > s3, ηy(w)2 dw ≥ ηy(w)2 dw+ (w)− ♥ (w)2 dw− (w)2 dw− 2 E2w dw (w)2 dw− e2w dw− (+2) (w)2 dw− para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Del mismo modo ηy(w)2 dw ≤ ηy(w)2 dw+ (w) + (w)2 dw+ (w)2 dw+K2 e2w dw+ (w)2 dw+ UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 35 para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Por último, para s [0, s3], en,K tenemos ηy(w)2 dw− (w)2 dw ηy(w)2 dw+ (w)2 dw ≤ (K2 + 1) E2w dw < t para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma 15. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño فارسى > 0, existe P-casi en todas partes en,K un tiempo aleatorio S0 = S0( sâ € TM [0, € ] •y(s)−(s)a(s) ηy(w)2 dw < t, para todos y y [y0, y1] y para todos los S0. Prueba. Teniendo en cuenta lo siguiente: 0, elige cualquier, > 0 tal que (/ )< ♥. Recordando la construcción de la casa en (52), vemos a partir de las propiedades estándar de Movimiento browniano que casi seguramente existe algún S1 = S1 ′) tales [0,t] W (s) para todos los t > S1. sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw ηy(w)2 dw para todos, de tal manera que una y(w)2 dw > S1, y por la construcción del acoplamiento, en,K esto es cierto para todos y [y0, y1] si a y0(w)2 dw > S1. Entonces, ahí está. existe (P-casi en todas partes en,K) un tiempo aleatorio S2 = S2( ′), que depende de By0 y S1, de tal manera que un y(w)2 dw > S1 para todos los y [y0, y1] cuando  > S2. Ahora por Lemma 14, dado y un lo suficientemente pequeño, existe un Determinista ­0 = ­0(­, ­ ′′)> 0 tales que, en,K, ηy(w)2 dw ≤ a (s)2 ds+ t= + t(56) para todos los tipos de cambio (+) y todos los tipos de cambio (+) [y0, y1]. Combinando las desigualdades en (55) y (56), Vemos ahora que, para S0 > S0 = S0( ′, ) = máx{S2, فارسى0}, sâ € TM [0, € ] •y(s)−(s)a(s) ηy(w)2 dw = sup sâ € TM [0, € ] ηy(w)2 dw para todos y [y0, y1]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 36 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Sobre la combinación de Lemmas 14 y 15 y recordando la definición de óptimo ruta x̄ en (37), obtenemos lo siguiente: Lemma 16. Vamos a فارسى > 0. Entonces para todo lo suficientemente pequeño فارسى > 0, existe P-casi en todas partes en,K un tiempo aleatorio S sâ € TM [0, € ] y(s)− x̄(s) ♥t, para todos y y [y0, y1], y para todos y. Ahora podemos reunir todo para terminar la prueba de Lemma 12(i). En primer lugar observamos que desde  < 0, en el evento A t (), sâ € TM [0, € ] y2x) exp( η s + s −Es) ≤ e−(­) y2x) exp( ( ) 2t+ ( −)t), y por lo tanto, dado 0, podemos elegir primero y luego lo suficientemente pequeño para que t () sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > y, a partir de Lemmas 13 y 16, existe un tiempo aleatorio T tal que en,K tenemos sâ € TM [0, € ] y(s)−(s)(s) sâ € TM [0, € ] y(s)− x̄(s) ♥t para todos los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de edad de los grupos de edad de los grupos de edad de edad de los grupos de edad. Es decir,,K {T y [y0, y1], con el ligero abuso de la notación que s»,[0,l(t)] y(s)−(s)(s) t; sup s»,[0,l(t)] y(s)− x̄(s) ♥t Nótese también que P(,K)> ′ para algunos > 0. Combinando lo anterior, para cualquier y [y0, y1] tenemos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > t ()) = P(A ≥ P(,K; T < )→ P(,K) según sea necesario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 37 Prueba de Lemma 12 ii). Considere la expectativa del “término de suma”. Tenemos  () * () G) = e Y2x) (t- Su) = e−(­) Y2x) (t- Su)G) ≤ e−(­) y2x)nŁ max{e η(Su) 2(Su)−E Su :u < ≤ no sup sâ € TM [0, € ] fâr(es). Por lo tanto g­0(­)  () En el caso de los productos de origen animal, el importe de la ayuda se calculará sobre la base de los datos disponibles en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de conformidad con el artículo 21, apartado 3, del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que se refiere a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a los productos de origen animal y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ≤ Q.x.y.c. g0(l) g­0(­) ; sup sâ € TM [0, € ] ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ≤ e−(­00)tQ y ahora podemos calcular Q  (n ) = Q  (Q) En la mayoría de los casos, se trata de un caso en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo y se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo en el lugar de trabajo en el que se ha producido un accidente de trabajo. -álgebra generada por la trayectoria de la columna vertebral (sin incluir los tiempos de nacimiento). Condicional en G.o, n.o es una variable aleatoria de Poisson con la media dada por 0 2 rη y usando el teorema de Fubini tenemos 2 rη2s + l)ds s)ds+2 e2 − − r + 2 2y2 t+ o(l). Así que el Q La expectación de nl crece sólo linealmente en t. Entonces desde l0− 0 > 0, la expresión en (57) tiende a 0 como tÃ3r. Por otra parte, la expectativa en (57) está limitado por el Q -expectación, y por lo tanto la convergencia es uniforme sobre y â € [y0, y1], como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 8. Resultados de Martingale. En esta sección recordamos algunos existentes y probamos algunos nuevos resultados martingale que son pasos intermedios en las pruebas de 38 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS Teorema 1 y el límite superior del Teorema 3. Recordamos de [13] que E [también escrito E−()] y (γ) son conjugados Legendre con (γ) = inf {E−(l) +, E−(l) = sup (γ)−.(58) Si, para 0, escribimos para el valor γ que alcanza el supremamum en el lado derecho de la ecuación (58), a continuación, las funciones  7→ de (min,0) a (0,), y γ 7→ de (0,) a (min,0) son inversas de el uno al otro y, por supuesto, es el valor de ♥ que logra el infimum en el lado izquierdo de la ecuación (58). Además, tomamos nota de que =− E−() = A2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2o2 8r− 4a/23370/2,(59) que E-(l) y E-(l) son funciones convexas, y que * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * = inf{c :lmin < 0}= c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * donde c :=−E ♥ /e y * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2( 8r)( 2­2 + r­) a(4l)2 • (­min,0). En la ecuación (9). Los siguientes principios fundamentales son los siguientes: resultado de la proximidad para el Z martingale se demostró por primera vez en parte en [13], pero También véase [9] para una prueba más completa utilizando técnicas “espinales”. Teorema 17. Supongan que se trata de Ł (­min,0). (i) Si el martingale Z es uniformemente integrable y tiene un límite casi seguro estrictamente positivo. (ii) Si (­), entonces Z (­) = 0 casi seguro. El siguiente resultado de convergencia se demostró en [12] utilizando martingales basado en polinomios de Hermite. Teorema 18. Dejemos que ♥ ((),0) y 1/4. Para cada ley inicial de P x, y y cada función limitada continua f :R 7→R, tenemos f(Yu(t)e)e αYu(t) 2(Xu(t)+c  (­), UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 39 donde f0 := )1/4 f(y)eαy y2o(y)dy(62) es la densidad normal estándar. En este artículo, requerimos un corolario a este teorema que especifica más exactamente qué partículas contribuyen al límite final. Corolario 19. Let Ł (),0] y α < 1/4. Para cada punto de partida de P x, y ley y cada función limitada continua f :R 7→ R, tenemos para cada N.o CAS: +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 f(Yu(t)) e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1Xu(t)/ta.s. f0Z * (l)(63) donde =− E −(l) y f0 se da en la ecuación (62). Este último resultado nos permitirá mostrar en la sección 10 que el casi seguro La tasa de crecimiento es al menos tan grande como la tasa de crecimiento esperada, D(γ)(γ). Lo siento. es fácil de ver del corolario 19 que cuando Z ()> 0, debe existir en al menos una partícula cerca de t en el espacio. Además, debido a la tasa de deterioro de cada término en la suma sobre las partículas en la ecuación (63), será relativamente sencillo para mejorar esto para obtener los números exponenciales requeridos de partículas, exp((γ)t), cerca de t durante grandes períodos [siempre y cuando Z ()> 0]. El siguiente resultado se refiere a la tasa a la que los martingales Z y Z convergen a cero. Teorema 20. Dejemos que se ponga en marcha el proceso de paz. Por cada ley inicial, P x, y, logZ (t) → (c − c A.S. donde c se da en (5), y c := (l), si se trata de una sustancia que se utiliza en la fabricación de un producto de la misma forma, c, si (♥)≤  < 0. Corolario 21. Si  (­min,0), entonces Z (t)→ 0 P x,y-casi seguro. La tasa de convergencia del Z martingale en parte (i) del Teorema 20 es crucial en la sección 9 para obtener el límite superior en el crecimiento casi seguro tasa, D(γ,­) ≤ (γ,­) ≤ (γ,­). También comentamos que si el corolario 19 fuera cierto para todos α < , entonces podríamos haber ganado este límite superior en ese punto. 40 Y. GIT, J. W. HARRIS y S. C. HARRIS Aunque el corolario 19 sólo está probado para α < 1/4 (donde podemos utilizar expansiones de Hermite adecuados), conjeturamos que tiene para todos α . Prueba del corolario 19. Que el valor de 0 sea pequeño, μ :=, f ser una función limitada positiva, continua, 1/4 y note que >. Entonces tenemos f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1 {Xu(t)t} ≤ e(E) μ −E )t f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1 {Xu(t)t} f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t −E +())t. Recordemos que E−() es convexo con ♥ E−()≥ 0 y  E−() =, por lo tanto, a partir de la expansión de Taylor, E −E μ + ( ) E−(l) ()2 E−(l) + o(l)(l)2. A continuación, tomando فارسى > 0 lo suficientemente pequeño para que E −E +() > 0, y utilizando Teorema 18, nos encontramos con que para cualquier  > 0 limsup f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1{Xu(t)()t} = 0. Del mismo modo, podemos mostrar limsup f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1{Xu(t)()t} = 0, y por lo tanto la única contribución al límite proviene de las partículas cercanas t en el espacio. Combinando esto con el Teorema 18 tenemos En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor. f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t = lim f(Yu(t)e)e αYu(t) 2Xu(t)−E t 1Xu(t)/t. Prueba de Teorema 20. Utilizamos una técnica útil traída a nuestro la atención en [22]. Let p (0,1) de modo que, por la desigualdad de Jensen, Z (t)p es un supermartingale; entonces para u, v > 0 tenemos (u+ v)p ≤ up + vp, UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 41 y, por lo tanto, Z (t) Yu(t) 2(Xu(t)+c Yu(t) 2+p(Xu(t)+c Para cualquier فارسى > 0, la desigualdad de Doob supermartingale dice s≤w≤s+t Z (w) p > p  (s) ≤ p Yu(s) 2+p(Xu(s)+c y luego s≤w≤s+t (v) >............................................................................................................................................................................................................................................................ s≤w≤s+t Z (w) p > e­p­(s+t)­p ≤ pepŁt Yu(s) 2+p(Xu(s)+c p((c± ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ahora, si podemos elegir p • (0,1) de tal manera que •(c − c • • • • < 0 y • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • # Debemos tener e # (u)→ 0 casi seguro usando un Borel familiar– Cantelli discute. [La condición p < • garantizar que los Estados miembros de la Unión Europea y los Estados miembros de la Unión Europea adopten las medidas necesarias para garantizar el cumplimiento de las obligaciones que les incumben en virtud del Tratado de la Unión Europea, en particular en lo que se refiere a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea, así como en lo que se refiere a la protección de los intereses de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea y de los ciudadanos de la Unión Europea; tación en la última línea anterior tiende a un valor límite finito, por lo tanto se queda s, como puede comprobarse utilizando la fórmula (17), para ex- amplio.] Para todos los 0 ≤ p < 1 encontramos p < p/23370/. Considerando el gráfico de c ver rápidamente que, para [(),0), teniendo p tan cerca de 1 como nos gusta da la La mejor tarifa. Para  [ln, (ln)) podemos elegir p de modo que p= (ln), que da la mejor tarifa. Recordemos del Teorema 17 que Z ()> 0 cuando Entonces, hasta ahora, hemos demostrado lo siguiente: Lemma 22. Para cada ley de partida, P x,y, y para todos et e(c) )tZ (t)→ 0 a.s. 42 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS donde c := (l), si se trata de una sustancia que se utiliza en la fabricación de un producto de la misma forma, c, si (♥)≤  < 0. Es evidente que esto da el límite superior requerido de lim sup logZ (t) ≤ (c − c Ahora, para cualquier Ł > 0, si Yu(t) 2(Xu(t)+c ya que sabemos que Lt := inf{Xu(t) : u N(t)} satisface Lt/t→ −c De lo contrario, con ((),0), Yu(t) 2(Xu(t)+c t) ≥ etZ (t) a.s. desde aquí Z ()> 0 a.s. Así, en todos los casos, lim inf logZ (t) ≥ (c − c que completa la prueba del Teorema 20. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 9. Prueba de Teorema 3. En el límite superior. La idea para el límite superior prueba es sobreestimar la función indicadora por exponenciales, y luego re- organizar las expresiones para formar términos martingale. Sencillamente observen que para la letra.......................................................................................................................................................................................................................................................... Nt(γ, [ t)) = 1 {Xu(t)t;Yu(t) 1 {Xu(t)t;Yu(t)22t}e (Yu(t) 22t)(Xu(t)t) ≤ e(E) 2 )t Yu(t) 2Xu(t)−E t ≤ e(c) )tZ (t)e 2 donde E =c Recordemos de las ecuaciones (11) y (32) que E + − Tiene un mínimo. El valor de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de Puesto que el valor mínimo es c­(­) teorema 20 implica que lim sup t−1 logZ (t)≤ (c) -c (65) UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 43 casi con toda seguridad para todos. En los casos en los que se puede utilizar el valor óptimo para el teorema 20 y tenga en cuenta trivialmente que Nt(γ, t)) es el número entero valorado para deducir que 1{Yu(t) t;Xu(t)t} = 0 Con el tiempo, casi seguro. Por lo tanto, D(γ, De lo contrario, tenemos un valor de 0, lo que de hecho garantiza que el valor de 0, c. y por lo tanto (γ, Entonces desde lim sup t−1 logNt(γ, [ t)) ≤ lim sup t−1 log(e(c) )tZ (t)) + (E * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 ) podemos de nuevo hacer uso del teorema 20 y el valor de minimización de para llegar al límite limsup t−1 logNt(γ, [ t)) (γ) casi seguro, como se desee. Nótese que, cuando (γ,) = 0, el lado derecho de la desigualdad en (64) tenderá al infinito (véase el corolario 19). Entonces, en el límite, tenemos sólo se ha demostrado que lim sup t−1 logNt(γ, n.c.o.p. 10. Prueba de Teorema 1. La tasa de crecimiento espacial. Primero atamos a la tasa de crecimiento espacial por encima. Suponga que C-R es Borel-mesurable con y2o(y)dy > 0. Dejemos que se ponga en marcha el procedimiento de selección. 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≤ 1 {Yu(t){C}e (Xu(t)t) = e(E) )t 1 {Yu(t) {C} e Xu(t)−E t ≤ e(E) )tZ (t). Recordando las ecuaciones (8) y (19), por lo tanto tenemos 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≤ e *(γ)tZ (t). Ahora si γ ≥ c Sabemos de Teorema 17 que Z () = 0 casi seguro. Entonces, γ > c 1{Xu(t)t;Yu(t)C} = 0 eventualmente, a.s. 44 Y. GIT, J. W. HARRIS Y S. C. HARRIS De lo contrario, si γ (0, c(l)), correspondientes a ((l),0) y que tengan γ(l)> 0, Teorema 17 nos dice que Z ()> 0 casi seguro, por lo tanto lim sup t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} (γ). Ahora limitamos la tasa de crecimiento desde abajo. Que Ł > 0 sean pequeños, (♥) <  < 0, y μ = Recordamos ahora que E es tan convexo ≥ 0 y >. Entonces eXu(t)−E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} (−()t)−E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} = e(E 1()t≤Xu(t)()t;Yu(t)C} ≤ e(E 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C}. t−1 log 1 {Yu(t){C}e Xu(t)−E t 1Xu(t)/t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −1 log 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C}. Dejando tÃo, usando el corolario 19 y recordando que para ()< 0 tenemos Z ()> 0 a.s., encontramos 0 −E − lim inft® t −1 log 1 {Xu(t)()t;Yu(t)C} y como فارسى > 0 puede ser arbitrariamente pequeño que tenemos lim inf t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≥E  +. Equivalentemente, lim inf t−1 log 1 {Xu(t)t;Yu(t)C} ≥E + =(γ) y por lo tanto el lim sup y lim inf están de acuerdo según sea necesario. Observamos que estas pruebas se adaptarán fácilmente para cubrir una ramificación multi-tipo Movimiento browniano donde los tipos evolucionan como una cadena de Markov de estado finito, tal como se encuentra en [2], donde también será posible probar el análogo UNA DIFUSIÓN DE GARANTÍA TIPO 45 Teorema de convergencia requerido cuando tenemos un espacio de tipo finito mediante la adaptación la prueba del Teorema 18 encontrada en [12]. En el caso de movimiento browniano ramificado estándar las cosas son aún más simples la adaptación (donde, por supuesto, no hay necesidad de un resultado de convergencia similar a Teorema 18). Toda la información necesaria está contenida en los martingales {Nt exp} {Xu(t)− {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp} {Nt exp}(Nt exp}(Nt exp} {Nt exp} {Nt exp}(Nt exp}(Nt {Nt exp}(Nt exp}(Nt exp(Nt)(Nt exp}(Nt exp}(Nt {Nt exp}(Nt exp} 2/2 + r)t) estudiado por Neveu [22] y, como primero vino a nuestra atención durante las conversaciones con J. Warren, el martingale con el parámetro  sólo puede ser capaz de “contar” partículas cerca de t en el espacio a grandes tiempos t, por lo que cuando este martingale es uniformemente integrable partículas debe encontrarse perpetuamente con la velocidad correspondiente. Por supuesto, en este también existen resultados más precisos, en el espíritu de Watanabe [25]. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a dos árbitros anónimos por proporcionar críticas extremadamente útiles y exhaustivas de encarnaciones anteriores de este manuscrito. Sus numerosos comentarios invaluables condujeron a mejora de la presentación de este trabajo. REFERENCIAS [1] Athreya, K. B. (2000). Cambio de medidas para las cadenas Markov y la L logL teorema para procesos de ramificación. Bernoulli 6 323-338. MR1748724 [2] Champneys, A., Harris, S. C., Toland, J., Warren, J. y Williams, D. (1995). Álgebra, análisis y probabilidad de un sistema acoplado de reacción-difusión ecua- ciones. Philos. Trans. Roy. Soc. Londres 350 69-112. MR1325205 [3] Chauvin, B. y Rouault, A. (1988). Ecuación KPP y ramificación supercrítica Movimiento browniano en el área de velocidad subcrítica. Aplicación a árboles espaciales. Probando. Campos relacionados con la teoría 80 299-314. MR0968823 [4] Dembo, A. y Zeitouni, O. (1998). Grandes Desviaciones Técnicas y Aplicaciones, 2nd ed. Springer, Nueva York. 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Una prueba de columna vertebral de un principio de grandes desviaciones para ramificar el movimiento browniano. Proceso estocástico. Appl. 116 1992–2013. [11] Harris, S. C. (1999). Las ondas itinerantes para la ecuación FKPP vía probabilística ar- Guments. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 129 503-517. MR1693633 [12] Harris, S. C. (2000). Convergencia de una medida aleatoria “Gibbs–Boltzmann” para una difusión de ramificaciones mecanografiadas. Séminaire de Probabilités XXXIV. Notas de conferencias en Matemáticas. 1729 239–256. Springer, Berlín. 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Git Laboratorio estadístico Universidad de Cambridge 22 Mill Street Cambridge CB1 2HP Correo electrónico: Yoav.Git@gmail.com J. W. Harris Departamento de Matemáticas Universidad de Bristol Paseo por la Universidad Bristol BS8 1TW Correo electrónico: john.harris@bristol.ac.uk S. C. Harris Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Bath Bath BA2 7AY Correo electrónico: s.c.harris@bath.ac.uk URL: http://people.bath.ac.uk/massch/ http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1417979 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1991122 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0199891 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1601737 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2037473 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1601749 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1349164 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0400428 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1952568 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1046418 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1659492 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0758258 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0237007 mailto:Yoav.Git@gmail.com mailto:john.harris@bristol.ac.uk mailto:s.c.harris@bath.ac.uk http://people.bath.ac.uk/massch/ Introducción El modelo de ramificación Aplicación a ecuaciones de reacción-difusión Principales resultados Martingales La tasa de crecimiento asintótico de partículas a lo largo de los rayos espaciales La forma asintótica y el crecimiento de la difusión ramificada Algunos cálculos de expectativas La tasa esperada de crecimiento a lo largo de los rayos espaciales La forma asintótica esperada Escalada corta gran desviación heurística Un proceso de nacimiento y muerte Encontrar el camino óptimo y la probabilidad Una nota importante sobre los caminos óptimos Prueba de Teorema 3. Límite inferior La configuración y los resultados de la columna vertebral Prueba de Teorema 7. La probabilidad de subida corta Resultados de Martingale Prueba de Teorema 3. Límite superior Prueba de Teorema 1. Tasa de crecimiento espacial Agradecimientos Bibliografía Dirección del autor

The collision velocity of the bullet cluster in conventional and modified dynamics

Mon. No, no. R. Astron. Soc. 000, 1–8 (2007) Impreso el 27 de octubre de 2018 (archivo de estilo MN LATEX v2.2) La velocidad de colisión del cúmulo de balas en convencional y dinámica modificada G. W. Angus1, S. S. McGaugh2† 1SUPA, Escuela de Física y Astronomía, Universidad de St. Andrews, Escocia KY16 9SS 2Departamento de Astronomía, Universidad de Maryland, College Park, MD 20742-242 EE.UU. Aceptada... Recibido... ; en forma original... RESUMEN Consideramos que la órbita del grupo de balas 1E 0657-56 tanto en el MDL como en el MOND modelos de masa precisos apropiados para cada caso con el fin de determinar el máximo velocidad de colisión plausible. Velocidades de impacto consistentes con la velocidad de choque 4700 kms ) ocurren de forma natural en MOND. CDM puede generar velocidades de colisión de la mayor parte de los 3800 km s−1, y sólo es coherente con los datos siempre que el choque La velocidad se ha visto sustancialmente aumentada por los efectos hidrodinámicos. Palabras clave: gravitación - materia oscura - galaxias: cúmulos: individuo (1E 0657-56) 1 INTRODUCCIÓN Muchas líneas de evidencia observacional ahora nos obligan a ser... que el universo está lleno de una forma nueva, invisible de masa que domina gravitacionalmente sobre la bariónica normal materia. Además, un componente de energía oscura que ejerce presión negativa para acelerar la expansión del universo También es necesario (Chernin et al. 2007). Aunque este CDM paradigma está bien establecido, todavía tenemos sólo ideas sobre lo que estos componentes oscuros podrían ser, y ningún laboratorio Detecciones de los mismos. Una posible alternativa a la CDM es la nueva modificación tonian Dynamics (MOND; Milgrom 1983a,b,c). Este hy- la potesis ha tenido más éxito de lo que parece ser ampliamente (McGaugh & de Blok 1998; Sanders & Mc- Gaugh 2002), y ha recibido un impulso teórico de la introducción de formulaciones generalmente covariantes (Bekenstein 2004; Sanders 2005; Zlosnik, Ferreira, & Starkman 2006,7). La materia oscura y los paradigmas de gravedad alternativos son rad- ticamente diferente, por lo que cada observación que podría distinguir entre ellos es valioso. CDM es conocido por trabajar bien en grandes escalas (por ejemplo, Spergel et al. 2006) mientras que MOND es conocido por trabajar bien en galaxias divididas (Sanders y McGaugh 2002). Este éxito, incorporación de la estrecha correlación entre la oscuridad y el lumi- nous masa en el marco de DM (McGaugh 2005; Famaey et al. 2007b) se extiende a lo largo de cinco décadas en masa (Fig.1) de enanas diminutas (por ejemplo, Milgrom & Sanders 2007) a espirales de bajo brillo superficial (de Blok & McGaugh 1998), nuestra propia Vía Láctea (Famaey & Binney 2005) y otros altos Correo electrónico: gwa2@st-andrews.ac.uk † correo electrónico: ssm@astro.umd.edu brillo de la superficie (Sanders 1996; Sanders & Noordermeer 2007) a las elípticas masivas (Milgrom & Sanders 2003). Los observaciones recientes de galaxias enanas de marea por Bournaud et al. (2007) plantea un grave problema al MDL, pero rally explicado en MOND con cero parámetros libres (Mil- grom 2007; Gentile et al. 2007). Dicho esto, MOND persistentemente no explica completamente la discrepancia de masa en ricos cúmulos de galaxias. En consecuencia, los grupos requieren cantidades sustanciales de materia no luminosa en MOND. Que los cúmulos ricos contienen más masa de la que se encuentra con el en MOND se remonta a los documentos originales de Milgrom (Mil- grom 1983c). En ese momento, la discrepancia era muy grande más grande de lo que es hoy en día, ya que no era entonces ampliamente ated cuánta masa bariónica reside en el intra-cluster Medio. Labor ulterior sobre el gas de rayos X (por ejemplo, Sanders 1994, 1999) y con dispersiones de velocidad (McGaugh & de Blok 1998) mostró que el MOND estaba al menos dentro de un factor de pocos, pero la inspección cercana reveló una discrepancia persistente de un factor de dos o tres en masa (por ejemplo, Gerbal et al. 1992; El & White 1998; Pointecouteau & Silk 2005, Buote & Canizares 1994). Lentes gravitacionales débiles (Angus et al. 2007a; Takahashi & Chiba 2007; Famaey, Angus et al. 2007) proporciona un resultado similar. Para empeorar las cosas, la distribución de lo invisible La masa no rastrea la de las galaxias ni la de la X- gas de rayo (Aguirre y otros 2001; Sanders 2003; Angus et al. 2007b; Sanders 2007). In Fig. 1 trazamos la masa bariónica de muchas galaxias espirales y cúmulos contra su circular velocidad junto con las predicciones de MOND y CDM. MOND falta masa en la escala de racimos. CDM sufre una problema de baryon perdido análogo en la escala de la persona galaxias. El grupo de balas en colisión 1E-0657-56 (Clowe et al. c© 2007 RAS http://arxiv.org/abs/0704.0381v2 2 G. W. Angus y S. S. McGaugh 2004-2006, Bradac et al. 2006, Markevitch et al. 2004, Markevitch & Vikhlinin 2007) ilustra en un espectacular forma la discrepancia de masa residual en MOND. Mientras que cer- En el caso de MOND, que es una teoría bastante problemática, no se trata de un problema. crear una falsificación de la misma. De hecho, dado que la necesidad de masa adicional en los clusters ya estaba bien establecido, lo haría han sido sorprendentes si este efecto no se manifestara también- yo mismo en el grupo de balas. La nueva información de la bala cluster proporciona es que la masa adicional debe estar en algunos Forma sin colisión. Es una falacia lógica concluir que porque extra masa es requerida por MOND en racimos, que la materia oscura se requiere en todo el universo. Mientras que undeni- la diferencia de masa residual en el MOND se limita a grupos y ricos cúmulos de galaxias: estos son los únicos sistemas en los que sistemáticamente no puede remediar la discrepancia de masa dinámica (ver discusión en Sanders 2003). ¿Podríamos estar absolutamente seguros de que habíamos contado para todos los bariones en clusters, entonces MOND ser falsificado. Pero el CDM sufre una desaparición análoga de baryon. problema en las galaxias (Fig.1) además de la habitual dinam- Sin embargo, esto no se percibe ampliamente como problemático. En cualquier caso, estamos obligados a invocar la ex- istencia de alguna masa oscura que es presumiblemente bariónica (o Tal vez neutrinos) en el caso de MOND. En ninguno de los dos casos ¿Hay algún peligro de violar la nucleosíntesis de Big Bang? limitaciones. La densidad de masa bariónica integrada de ricos clusters es mucho menos que el de todos los bariones; tener el masa requerida de bariones en racimos sería el proverbial caída en el cubo con respecto al barón global perdido problema. Una pregunta urgente es la aparentemente alta relativa ve- Locidad entre los dos grupos que componen la bala clúster 1E 0657-56 (Clowe et al. 2006, Bradac et al. 2006, Markevitch et al. 2004, Markevitch & Vikhlinin 2007). Los velocidad relativa derivada de la onda de choque del gas es vrel = 4740+710 −550 kms −1 (Clowe et al. 2006). Tomado al valor nominal, esto es muy alto, y parece difícil de conciliar con el CDM (Hyashi & White 2006). El problema es suficientemente grande. que se ha utilizado para argumentar por un largo rango adicional fuerza en el sector oscuro (Farrar y Rosen 2007). Aquí ex- aminorar la posibilidad de una velocidad tan grande en ambos MDL y MOND. Un punto crítico que hace muy poco ha sido vestido es como la velocidad de choque se relaciona con la colisión ve- Locidad de los cúmulos. Ingenuamente, uno podría esperar el dissipa- la colisión de las nubes de gas para desacelerar las cosas de modo que la velocidad de choque proporcionaría un límite inferior en el colli- Velocidad de la sión. Simulaciones hidrodinámicas recientes (Springel & Farrar 2007; Milosavljevic et al. 2007) sugieren lo contrario. Una combinación de efectos en los dos sim hidrodinámicos ulaciones muestran que la velocidad de choque puede ser más alta que la velocidad de impacto. Los resultados de los dos hy- Las simulaciones drodinámicas no parecen estar en perfecta con- cordón, y el resultado exacto parece ser más bien un modelo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Sin embargo, parece que el velocidad se encuentra en algún lugar en el rango 3500-4500 kms−1. Las dificultades que plantea una alta velocidad de colisión para El MDL ha sido discutido previamente por Hayashi & White (2006) y Farrar & Rosen (2007). Mientras que Springel y Far- rar (2007) y Milosavljevic et al. (2007) considerar la com- respuesta hidrodinámica plex de las dos nubes de gas durante Gráfico 1 Muestra masa bariónica contra velocidad circular. Rotar... ing galaxias (círculos azules) son de McGaugh (2005) y cúmulos (triángulos verdes) son de Sanders (2003) utilizando el tem- peratura para estimar la velocidad circular asumiendo la isotermalidad. La línea naranja sólida es la relación CDM M-V (Steinmetz & Navarro 1999) asumiendo Mb = fbMvir con fb = 0,17 (Spergel et al. 2006) y la línea roja es la predicción del MOND. Los las espirales se encuentran directamente en la predicción del MOND, pero los generalmente 2-3 veces en masa por debajo de ella. La expectativa del MDL es: muy consistente con los cúmulos, pero implica muchos bariones oscuros en espirales además de la materia oscura no bariónica. la colisión en curso, aquí investigamos la capacidad de dos clusters como los que componen el cluster de bala para acelerar a una velocidad relativa tan alta en el caso del MDL y MOND antes de la fusión. Calculamos una simple caída libre modelo para los dos cúmulos en un universo en expansión con modelos de masa realistas, y preguntar si el colli observado La velocidad de la sión puede ser generada dentro del tiempo disponible. Nosotros tener cuidado de emparejar los modelos de masa con el observado específico propiedades del sistema adecuadas a cada sabor de grav- ity con el fin de evaluar de manera realista la órbita de los cúmulos antes de su colisión. 2 MODIFICACION DE LA FUERZA GRATUITA Deseamos abordar una pregunta sencilla. Teniendo en cuenta lo observado masas de los dos grupos, es posible dar cuenta de la ¿La velocidad relativa medida de su caída gravitacional? La expansión del universo se mitiga contra grandes veloc- ciones, ya que los clusters deben desvincularse del flujo del Hubble antes de caer juntos. Presumiblemente se necesita algún tiempo para forma tales objetos masivos, aunque se espera que esto ocurra en el MOND que en el CDM (Sanders 1998, 2001; Gaugh 1999, 2004; Nusser 2002; Stachniewicz & Kutschera 2002; Knebe & Gibson 2004; Dodelson & Liguori 2006). Los los racimos se observan en z=0,3, dando como máximo 9Gyrs para para acelerar el uno hacia el otro. Esto impone un aumento. por límite a la velocidad que se puede generar gravitación- Ally. Sin hacer el cálculo, no es obvio si las masas más grandes de los clusters en el MDL o el más fuerte largo La fuerza de rango en MOND inducirá velocidades relativas mayores. Desde que conocemos el estado del sistema directamente anterior a la colisión, tiene sentido comenzar nuestras simulaciones desde el estado final y trabajar hacia atrás en el tiempo hacia cuando la velocidad relativa era cero. Este punto, donde el crus- c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 La velocidad de colisión del cúmulo de balas en la dinámica convencional y modificada 3 ters tienen velocidad relativa cero, es cuando se dio la vuelta del flujo del Hubble y comenzó su largo viaje gravi- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Trabajar hacia atrás en el tiempo lleva a debates potencialmente contrarios a la intuición (como el Hubble contracción), que tratamos de limitar. Debemos dar cuenta de la expansión del Hubble de una manera representando el universo antes de z=0,3. La forma detallada de la historia de expansión del universo a(t) no se conoce en el caso de MOND, por lo que tomamos el factor de escala de CDM en ambos modelos da(t) + a . 1).......................................................................................................................................................... Donde tomamos Ho = 72 kms −1Mpc−1, m=0,27 y = 0,73. El aspecto importante es el hecho básico de que la verso se está expandiendo y la atracción mutua de los cúmulos debe superar esto antes de que puedan sumergirse juntos en lo alto velocidad. Implementamos el factor de escala en las simulaciones a través de la ecuación de movimiento [a(t)v] = g. (2) Computando esto numéricamente, de paso de tiempo a paso de tiempo nosotros calcular la relación del factor de escala en el tiempo anterior paso al paso de tiempo actual (es decir, • = a(ti−1)/a(ti); utilizamos pasos de tiempo negativo para moverse hacia atrás en el tiempo desde el configuración actualmente conocida, por lo que • > 1 (mayor i significa universo anterior). Entonces tenemos v(ti) = v(ti−1) gÃ3t. El lado derecho de Eq. 2 diferencias en MOND y MDL no sólo porque la ley de la gravedad está alterada, sino también causa que las masas gravitantes sean más altas en el CDM. Las condiciones iniciales son el quid del problema, con al menos 4 incógnitas. Estos incluyen a las masas de los dos clusters, la velocidad relativa de los clusters, y el dis- dad de separación entre los dos cuando tenían este velocidad relativa. La separación es la misma en MOND y La gravedad newtoniana, pero la masa newtoniana es más alta. La velocidad relativa de los dos grupos puede ser mea- asegurado porque, en los últimos 100Myrs, el menos masivo subcluster ha pasado por el centro de la mas- clúster principal. La presión del ariete ha impuesto un suave shock de arco (Markevitch et al. 2004, Markevitch & Vikhlinin 2007) sobre el gas del subcluster. Desde la relativa veloc- ity es la base del problema lo dejamos libre y lo intentamos para estimarlo fijando otras variables. En nuestra simulación, pensamos que es sensato considerar la separación de los dos clusters (es decir, clusters) de los dos centros de masa) cuando tenían la velocidad relativa calculada para ser cuando el borde la nube de gas del subcluster comenzó a pasar a través de la densa región de gas perteneciente al grupo principal y separada de la materia oscura. Al parecer, el centro de la la nube de gas del clúster (la ubicación de la bala) es anterior por el choque de la proa alrededor de 200kpc más adelante en la direc- ciones de viaje. Tomamos 200kpc para ser también el radio dentro que el gas del clúster 1 era lo suficientemente denso como para imprimir el Un golpe de proa. De hecho, la masa de gas del conglomerado principal (sub clúster) sólo se mide a 180kpc (100kpc) y podría no se encuentra más detallada en la literatura. Sin embargo, la incertidumbre es lo suficientemente grande como para aclarar el impacto de las diferentes separaciones iniciales utilizando siempre una gama de separaciones iniciales de entre 350-500kpc. Esto Gráfico 2 El total de masas cerradas para el grupo principal (negro) y subconjunto (rojo) del MDL (sólido), MOND con μ estándar (dashed) y μ simple (puntos). separación se define como cuando los dos grupos pre-colisión tenía la velocidad relativa de vrel relacionada con la velocidad de choque 4740+710 −550 kms −1. Ahora, por supuesto, están en lo contrario lados en el cielo después de haber pasado uno a través del otro y el gas ha sido compensado por el DM. 3 LA COLISIÓN EN EL MDL En el marco del MDL, no es problema generar dos clusters en una simulación de cuerpo-N y calcular todos los gravi- aceleraciones táctiles exactamente. Sin embargo, en MOND estamos la gravedad no lineal y las herramientas para este tipo de pur- las poses sólo se están desarrollando ahora (Nipoti et al. 2007a). Además, ya que comenzamos nuestras simulaciones con el sobre- vuelta de los dos clusters, no está garantizado que los clusters preservar sus formas a medida que se separan. Por otra parte, era no es posible incluir simplemente la historia de la acreción (Wechsler et al. 2002) en las simulaciones de cuerpo-N o varían fácilmente la radio de truncación del halo DM según fuera necesario. Por lo tanto, un método mejor fue semi-analíticamente ac- cuenta para estos aspectos en una simulación donde la gravedad de uno clúster que actúa sobre el otro es sólo la masa encerrada por un esfera alrededor del centro de masa del cuerpo gravitante con radio igual a la separación de los dos centros de masa. Para este procedimiento, las únicas dos incógnitas son las sep- aración, que es inicialmente conocida y computada cada vez- paso; y la masa cerrada. La masa cerrada depende de el perfil de densidad de los dos racimos y fue instalado por Clowe et al. (2006) utilizando perfiles NFW de la forma (ver Angus & Zhao 2007) (r) = m200r r + r200c = ln(1+c)− c 1 + c donde c es la concentración. La masa cerrada va como c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 4 G. W. Angus y S. S. McGaugh Gráfico 3 El total de masas cerradas para el clúster principal como un función del tiempo, donde 9.3Gyr marca la colisión de los dos clusters y 0Gyr representan el Big Bang. Las tres líneas corre- Espong a diferentes tasas de montaje de masa α=0,5 (negro), 1,0 (azul) y 1.5 (rojo). La pérdida de masa se detiene en m200/50. m(r) = Am200 − 1 + Para el clúster principal dan m200 = 1,5 × 1015M®, r200 = 2100kpc y concentración c=1,94. Para el subclus- ter, m200 = 1,5 × 1014M®, r200 = 1000kpc y c= 7,12. Nosotros aumentar la DM con una fracción de barión del 17% (Spergel et al. 2006) que fue parte de la masa total durante la caída libre. Ejecutamos pasos dinámicos de tiempo (negativos) de tal manera que T = 10 d[pc]Myr (5) Donde d es la separación de los dos centros de masa y Tiene un valor máximo de 1Myr. Desde el principio, 400kpc, los pasos del tiempo de inicio son 0.06Myr. Las simulaciones fueron: correr hasta que hubiera transcurrido 9Gyr. Las distribuciones de masa como funciones de radio para el dos clusters en el MDL y los utilizados en el ulaciones se muestran en la Fig.2. Un punto sutil sobre el total masas de los dos grupos es que no esperamos la masa para permanecer constantes a medida que retrocedemos en el tiempo. Presumiblemente ellos creció a partir de una semilla de masa insignificante en alto corrimiento al rojo (ver discusión en Cameron & Driver 2007). Esto tiende a im- su caída libre, reduciendo la velocidad máxima de colisión a 2900 kms-1 por la estimación de Farrar & Rosen (2007). Para incluir esto, sin la impedancia, utilizamos el proce- dure de Wechsler et al. (2002) que utilizaron la relación M(z) = M(z = 0,3)e • (z−0.3) donde α obviamente codifica la velocidad de la acreción o la asamblea del halo. Los valores típicos utilizados en su trabajo son: 0,5 < α < 2,0. En la Fig.3 trazamos la masa encerrada dentro de r200 para los dos grupos como funciones de cambio para α=0,5,1.0 y 1.5. Tenga en cuenta que siempre mantenemos un valor de suelo de masa de racimo de m200/50 por lo que el halo nunca está completamente desmontado. Otro punto importante es si la masa integrada hacia fuera se debe incluir más allá de r200, ya que la dius depende tanto de la cosmología como del cambio al rojo (Bullock et al. 2001). De hecho, la gravedad interna del grupo principal no alcanzado ao por r200 = 2100kpc, es decir, el dy- La masa nímica aún no se ha saturado. Sin embargo, recordemos que = (2100kpc−400kpc)/3400 kms−1 • 500Myr para que los clusters se separen lo suficiente para este extra hasta empezar a manifestarse. El clúster es también pérdida de masa (retraso en el tiempo) debido a la acumulación acoplada con el hecho de que debe haber excesivas densidades en el lado opuesto del universo contrarrestando la influencia de estos superdensi- corbatas. Sin embargo, usando Eq.4 es directo para incluir todos la masa cerrada a cualquier radio porque los parámetros r200 y m200 no obligan explícitamente a la masa cerrada a truncate a r200, simplemente definen la forma del perfil. 4 LA COLLISIÓN EN MOND En MOND, la modificación básica de la di- namics es μ(x)g = gN, (7) donde gN es la aceleración newtoniana computada en el forma habitual de la distribución de la masa bariónica, g es el ac- aceleración tual (incluida la amplificación efectiva debida a MOND convencionalmente atribuido a DM), ao es el char- aceleración acterística en la que la modificación se convierte eficaz (+ 10-10 m s−2), x = g/ao, y μ(x) es un inter- función de la polación que conecta sin problemas el Newtonian y Regímenes del MOND. En el límite de grandes aceleraciones, g â € ao, μ → 1 y el límite newtoniano se obtiene: todo ser- tiene normalmente. El límite del MOND sólo se aplica a los casos en que se superen los límites establecidos en el artículo 1, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. aceleraciones muy bajas, con μ → x para g â € ao. Nosotros im- Implementar dos posibles versiones de la función de interpolación: la función «estándar» utilizada tradicionalmente en la rotación de la instalación curvas: 1 + x2 (por ejemplo, Sanders & McGaugh 2002), y la función «simple» encontrado por Famaey & Binney (2005) para proporcionar un buen ajuste a la curva de velocidad terminal de la Galaxia: 1 + x . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Un problema bien conocido con la aplicación del MOND ley de fuerza en los cálculos numéricos es que el original para- la muulación (Eq 7) no conserva el impulso (Felten 1984; Bekenstein 2007). Esto se corrigió con la introducción de una formulación lagrangiana de MOND (Bekenstein y Mil- grom 1984; Milgrom 1986) que tiene el Poisson modificado ecuación · [μ(/ao)] = 4 (10) Se ha demostrado que esta formulación obedece a lo necesario leyes de conservación (Bekenstein & Milgrom 1984; Bekenstein 2007). Con algún reordenamiento, lleva a μ(x)g = gN h, (11) c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 La velocidad de colisión del cúmulo de balas en la dinámica convencional y modificada 5 que reconocemos como Eq 7 con la adición de un campo de rizos. Por desgracia, la aplicación de una formulación numérica de la ecuación modificada de Poisson no es un simple cambio de una línea a los códigos N-cuerpo típicos: esto no obedece a la conservación leyes. En su lugar, se necesita un ap numérico completamente diferente. proa de lo que se emplea comúnmente. Se han hecho progresos en este sentido (por ejemplo, Brada & Milgrom 1995, 1999; Ciotti, Londrillo, & Nipoti 2006; Nipoti, Londrillo & Ciotti 2007ab; Tiret & Combes 2007; ver también Nusser 2002; Knebe & Gib- hijo 2004), pero no buscamos aquí un tratamiento completo de N-cuerpo de sistemas complejos. Más bien, deseamos desarrollar y aplicar una herramienta simple (Angus & McGaugh, en preparación) que puede proporcionar una visión física de los problemas básicos. Por la Comisión caso específico de la gran velocidad de colisión de la bala clus- ter, basta con tratar el campo de rizos como una pequeña corrección al centro del movimiento de masas (Milgrom 1986). El exterior efecto campo (véase Milgrom 1983a, Bekenstein 2007) es crudo aproximadamente como una constante de magnitud apropiada (Mc- Gaugh 2004). Hemos comprobado el efecto de la variación de la externa campo, que es modesto. No es posible hacerlo mejor sin conocimiento completo de la distribución masiva en el entorno mento de los clusters. Al modelar el cúmulo de balas en MOND, Angus et al. (2007a) se ajustaba al mapa de convergencia de Clowe y otros. (2006) utilizando modelos esféricos potenciales para las cuatro composi- nents. Su mejor ajuste da masas para los cuatro componentes en MOND y gravedad estándar. Desafortunadamente, el mapa es sólo sensible a 250kpc de los centros respectivos que glects una gran porción de la masa dinámica. Así que, en o... para mantener la coherencia con las simulaciones del CDM, tomamos el perfil NFW y calcular lo que el dinámico MOND masas para las dos funciones de interpolación comúnmente utilizadas (Eq.8 y 9) son, como se muestra en la Fig.2. La masa newtoniana para el clúster principal es el doble del de la masa dinámica del MOND con el estándar μ y tres veces cuando el simple μ es utilizado. La gravedad mutua impuesta al subgrupo por el clúster principal es gsub + gex gsub = gn,sub = −GMmain(d)/d2 (12) y simplemente intercambiamos los subíndices alrededor para encontrar el mutuo gravedad del subgrupo sobre el grupo principal. A continuación a partir de arriba, d es la distancia entre los dos centros de masa y Mmain(d) es la masa encerrada dentro de un radio d desde el centro de masa del clúster principal. El gex es el campo externo que limita la corrección MOND que viene de la estructura a gran escala y siempre se asume ortogonal a la dirección de gsub, haciendo el argumento de la μ func- ciones más fáciles de expresar como (g2sub+g . La dirección y la amplitud de la gex es desconocida en todo momento. El MON- Dian aceleración adicional se vuelve menor cuando el accel- la ración cae por debajo de gex. Utilizamos gex = ao/30 (Aguirre et al. 2001; McGaugh 2004) que es aproximadamente el campo externo impuesto a la Vía Láctea por M31 y viceversa (Famaey et al. 2007a, Wu et al. 2007). 5 COLISIÓN DE N-CÓDIGO Nuestro primer intento de simular la colisión en Newtonian La gravedad estaba usando un código de árbol N-cuerpo estándar. La prestación da es que en principal, podemos calcular con más precisión la gravedad mutua al comienzo de la simulación cuando los dos grupos se superponen. Sin embargo, esto está lleno de diffici- Cultivos e inconsistencias. El primero es que los efectos de las mareas Sin duda, estirar los dos grupos y 2 cuerpos interac- ciones pueden expulsar partículas de los dos halos. Por lo tanto, tiene más sentido para comenzar tal simulación desde arriba corrimiento al rojo donde los cúmulos están muy separados y las mareas los efectos son insignificantes y dejar que caigan libremente en la expansión universo y cuando chocan, los efectos de las mareas estarán bien Contemplado. Por supuesto, el problema es que no es trivial. ial a continuación muestra velocidades de colisión debido a la separación y el tiempo en que los dos grupos comenzaron su caída libre no es simplemente relacionado. Por otra parte, la truncación de los dos halos y los diferentes modelos de masa no son fácilmente variados. Nunca... menos, intentamos un modelo CDM de cuerpo-N con truncamiento a r200 para ambos halos. Encontramos un resultado similar al de los modelos semianalíticos de 3800 kms−1. 6 RESULTADOS La capacidad de los dos grupos que componen la bala para se detienen en un tiempo finito en el pasado es sen- el sabor de la gravedad en el trabajo y el verdadero velocidad relativa. Para velocidades superiores al máximo, la velocidad relativa nunca llega a cero y aumenta bruscamente en los primeros tiempos (large z). Los dos grupos no gravitan lo suficientemente fuerte como para generar tan altas velocidades y tienen que haber tenido una velocidad relativa enorme el uno hacia el otro en el universo primitivo con el fin de superar la expansión del Hubble- sión y caída junto con una velocidad relativa tan alta a z=0,3. La figura 4 muestra cómo la velocidad relativa de los dos clus- El tiempo varía con el tiempo para una gran muestra de inicial (lo que significa velocidad relativa para una muestra de MDL y MOND simulación. Una diferencia de sólo 100 km s−1 puede tener un signif- impacto en el tiempo necesario para generar un velocidad y por la misma razón, cuanto más tiempo los dos cúmulos caída libre, cuanto mayor sea la velocidad que pueden generar. Tristemente, allí es sólo un tiempo finito ( 9Gyr)) desde el Big Bang para este para que suceda. En la Tabla 1 hemos puesto los resultados clave de las simulaciones con el fin de dar al lector una idea de lo que la máxima rela- velocidad que se puede lograr es. Cada velocidad es la siguiente: con una separación inicial de 425kpc, 350 o 500kpc induce un aumento o disminución de 100 kms−1 que tomamos como el error mínimo. El más extremo El modelo CDM no debe tener truncamiento de los halos DM, ex- tendiéndolos a r1. Este absurdo extremo permite un maxi- mom velocidad relativa de 4500 kms−1. Entonces, si todavía lo permitimos los halos para extender a r1, pero dar cuenta de alguna asamblea de los halos con α = 1 entonces la velocidad relativa se reduce a 4200 kms−1. Más realista, si truncamos los halos en r200 y intentar cuatro diferentes tasas de montaje de halo tales que α = 0,0, 0,5, 1.0 y 1.5 obtenemos las velocidades relativas máximas respectivas de 4000, 3900, 3800 y 3800 km s−1. Estos números representan... envió las velocidades relativas máximas plausibles en el MDL marco. Para el caso MOND realizamos simulaciones con ambos funciones simples (Eq.9) y estándar (Eq.9) μ. El Stan... función dard conduce a masas dinámicas más altas de la c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 6 G. W. Angus y S. S. McGaugh Gráfico 4 Muestra la velocidad relativa de los dos grupos trazados contra el tiempo (a) CDM y (b) MOND. Time=0Myr es la corriente (z=0.3) velocidad relativa de los dos cúmulos con mayores tiempos correspondientes a corrimientos al rojo más altos. Líneas negras corresponden a velocidades relativas que son alcanzables, mientras que las líneas rojas no lo son. En (a) utilizamos la simulación (CDM2c) para la cual α=1.0, d=425kpc y truncamos los halos en r200. Las velocidades relativas utilizadas son vrel=3500-4200 kms −1 en intervalos de 100 km s−1. En (b) utilizamos la simulación (MONDst2) que utiliza la función μ estándar y α=0,5, d=425kpc. Las velocidades relativas utilizadas son vrel=4100-4800 kms −1 en intervalos de 100 km s−1. Los 4 líneas discontinuas son las velocidades relativas predichas de acuerdo con la media y el error de la velocidad relativa original de Markevitch & Vikhlinin (2007) en azul, las simulaciones de Milosavljevic (2007) en verde y Springel & Farrar (2007) en turquesa. El alto observado La velocidad de colisión se obtiene más fácilmente en MOND que en CDM. Modelo Max Vrel [ kms s −1) Radio de la tracción α Gravedad CDM1a 4500 r1 0,0 newtoniano CDM1b 4200 r1 1.0 Newtoniano CDM2a 4000 r200 0,0 Newtoniano CDM2b 3900 r200 0,5 newtoniano CDM2c 3800 r200 1.0 Newtoniano CDM2d 3800 r200 1,5 newtoniano MONDst1 4800 r200 0,0 estándar MOND μ MONDst2 4500 r200 0,5 estándar MOND μ MONDsi1 4600 r200 0,0 MOND-simple μ MONDsi2 4500 r200 0,5 MOND-simple μ Cuadro 1 Muestra los parámetros utilizados en los diferentes modelos y da la máxima velocidad relativa alcanzable para cada uno. Perfil NFW, pero menor gravedad de 2 cuerpos. La norma (sim- función sin acreción y con α = 0,5 4800 (4600) y 4600 (4500) kms−1 respectivamente y para comparación, la velocidad máxima del MDL con los reducidos las masas son sólo 2700 (2300) kms−1. Esto es una demostración clara... sión de la expectativa en el MOND para un nivel más alto de ciones. Utilizamos el parámetro de montaje inferior α = 0.5 ser- Se espera que la estructura de causa se forme más rápidamente en MOND (Sanders 1998, 2001). Un factor importante es el de la densidad NFW ajustada el perfil del mapa de convergencia, en el que la materia es Lated a 2100kpc y 1000kpc para el clúster principal y sub respectivamente. Presumiblemente la importancia de la detección de Esta masa es insignificante y el ajuste de NFW se ha hecho como... sumando si sabemos los detalles en el central 250kpc, entonces nosotros conocer la densidad a r200. La degeneración de la hoja de masa es roto mediante la restricción de la masa en los bordes del ajuste basado en la pendiente del perfil en las regiones interiores - pero si la perfil de masa está mal entonces podría conducir a la medición incorrecta del valor de la hoja de masa (Clowe, de Lucia y King 2004). Todo esto significa que los perfiles de densidad de los dos clusters podrían ser moderadamente diferentes en la realidad. Sin embargo, la forma real de cualquier perfil es menos importante para la rela- velocidad que simplemente la normalización de la masa total. Con este fin hemos simulado la colisión con un 10% más y un 10% menos de masa para ambos grupos (con eter α = 1). El efecto es aumentar (10% más de masa) o disminuir (10% menos de masa) la velocidad relativa en 200 kms−1 a partir de 4800 kms−1 para el modelo MONDst1. Otra preocupación es que es poco probable que las agrupaciones sean esféricamente simétrica (Buote & Canizares 1996) y son presumiblemente alargado en la dirección del movimiento. Otra vez esto. podría conducir a un perfil de densidad incorrecto, mientras que la elipticidad en sí mismo tendría poco efecto en nuestros resultados. c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 La velocidad de colisión del cúmulo de balas en la dinámica convencional y modificada 7 Resumen Hemos construido modelos de masa específicos para la bala c) El grupo temático del MDL y el MOND. Nos integramos hacia atrás de las condiciones observadas para comprobar si el (+ 4700 km s−1) velocidad transversa aparente puede ser a- en cualquiera de los dos contextos. Nos parece que es difícil de lograr vrel > 4500 kms −1 bajo cualquier condición. Nunca... sin embargo, dentro de la gama de las incertidumbres, la La velocidad se produce de forma bastante natural en MOND. En cambio, Los modelos CDM pueden alcanzar a lo sumo 3800 kms-1 y son más cómodo con velocidades considerablemente más pequeñas. Tomada al valor nominal, una velocidad de colisión de 4700 km s−1 constituye una contradicción directa con el Acuerdo sobre el Comercio de Mercancías. Irónicamente, esto cluster, ampliamente publicitado como una observación fatal a MOND debido a la discrepancia de masa residual que muestra, parece que plantear un problema comparablemente grave para el ODM. A menudo lo ha hecho. ha sido el caso de que las observaciones que se pretende falsificar MOND resulta no tener más sentido en términos de oscuridad materia. Quedan por aclarar dos cuestiones fundamentales pendientes. El primero es los perfiles exactos de densidad y masas virial de la dos clusters y el segundo es cómo el choque observado ve- Locity se relaciona con la velocidad de colisión real de las dos grav- itating masa. Las recientes simulaciones de Springel & Farrar (2007) y Milosavljevic et al. (2007) parece sugerir que, contrariamente a las expectativas ingenuas, los efectos hidrodinámicos reducen la velocidad relativa de la masa con respecto al choque. Una combinación de efectos es responsable, siendo apenas lo suficiente para conciliar los datos con los datos de.......................................................................................................................................................................................................................................................... Hidrodinam... Las simulaciones icales son notoriamente difíciles, y de hecho estas dos recientes no están de acuerdo en detalle. Sería excelente. para ver una simulación totalmente auto-consistente incluyendo ambos hy- efectos drodinámicos y un modelo de masa adecuado y orbital computación como la que se presenta aquí. Hay una serie de aspectos desconcertantes a la hidrodi- simulaciones námicas. En primer lugar, Springel & Farrar (2007) utilizar perfiles de Hernquist para la distribución de DM en el clus- ters y no halos NFW. Además, encuentran que la morfología de la bala se reproduce sólo para una observación- Colisión de cabeza muerta. Si el parámetro de impacto es uniforme 12kpc: objetivo menor que el diámetro del lecho lácteo Manera — se producen diferencias morfológicas bastante notables. Esto puede evitarse si la separación de los centros de lápices para estar a lo largo de nuestra línea de visión — una gran coincidencia en un sistema ya notable para tener el vector de su velocidad de colisión casi totalmente en el plano del cielo. Piel... termo, los modelos de masa requieren ajustes significativos de que infieren del mapa de convergencia y no pueden volver a producir las posiciones actualmente observadas, después de la fusión de la gas y DM. Nos parece que sólo el primero en lugar de el último capítulo ha sido escrito sobre este tema. Obtener Este derecho es de suma importancia, ya que la validez de ambos los paradigmas descansan en el borde del cuchillo, separados por pocos cientos de km s−1. En términos más generales, la frecuencia de los cúmulos parecidos a las balas puede proporcionar una prueba adicional. La probabilidad de una alta colisión Las velocidades disminuyen con una rapidez dramática en el CDM (Hyashi & Blanco 2006). En contraste, las velocidades algo más altas parecen natural para MOND. Ingenuamente parecería que el alto impacto sistemas de velocidad como la bala sería parte y paquete de lo que podría esperarse de un universo MOND. Con esto en mente, es bastante intrigante que muchos racimo de balas como sistemas han sido detectados (aunque ninguno es tan único). El anillo oscuro alrededor de Cl0024+17 observado tentativamente por Jee et al. (2007; véase también Famaey et al. 2007c), el núcleo oscuro creado por el "tren naufrago" en Abell 520 por Mahdavi et al. (2007), Cl0152+1357 (Jee et al. 2005a), MS1054+0321 (Jee et al. 2005b) y la línea de fusión visual con > 3000 kms−1 velocidad relativa observada por Dupke et al. (2007) para Abell 576 pueden proporcionar ejemplos y pruebas potenciales. AGRADECIMIENTOS Reconocemos las conversaciones con Benoit Famaey, Tom Zlos... nik, Douglas Clowe, HongSheng Zhao, Greg Bothun, Moti Milgrom, Bob Sanders y Ewan Cameron. GWA gracias Steve Vine por su código del árbol N-body. GWA cuenta con el apoyo de una beca del PPARC. El trabajo de SSM es apoyado en parte por subvención de NSF AST0505956. REFERENCIAS Aguirre A., Schaye J., Quataert E., 2001, ApJ, 561, 550 Angus G.W., Famaey B., Zhao H.S., 2006, MNRAS, 371, Angus G.W., Zhao H.S., 2007, MNRAS, 375, 1146 Angus G.W., Shan H.Y., Zhao H.S., Famaey B., 2007a, ApJ, 654, L13 Angus G.W., Famaey B., Buote D.L., 2007b, presentado Angus G.W., McGaugh S.S., 2007, presentado Bekenstein J.D., 2004, PhRvD, 70, 083509 Bekenstein J.D., 2006, Física contemporánea, 47, 387 Bekenstein J., Milgrom M., 1984, ApJ, 286, 7 Bournaud F., et al., 2007, Science, 311, 1166 Brada R., Milgrom M., 1995, MNRAS, 276, 453 Brada R., Milgrom M., 1999, ApJ, 519, 590 Bradac M., et al., 2006, ApJ, 652, 937 Bullock J.S., Kolatt T.S., Sigad Y., Somerville R.S., Kravtsov A.V., Klypin A.A., Primack J.R., Dekel A., 2001, MNRAS, 321, 559 Buote D.A., Canizares C.R., 1994, ApJ, 427, 86 Buote D.A., Canizares C.R., 1996, ApJ, 457, 565 Cameron E., Driver S.P., 2007, presentado Chernin A.D., et al. 2007, (arXiv:0706.4171) Ciotti L., Londrillo P., Nipoti C., 2006, ApJ, 640, 741 Clowe D., de Lucia G., King L., 2004, MNRAS, 350, 1038 Clowe D., et al., 2004, ApJ, 604, 596 Clowe D., et al., 2006, ApJ, 648, L109 de Blok, W.J.G., McGaugh, S.S., 1998, ApJ, 508, 132 Dodelson S., Ligori M., 2006, Phys. Rev. Lett, 97, 231301 Dupke R.A.,Mirabal N., Bregman J.N., Evrard A.E., 2007, (arXiv:0706.1073) Famaey B., Binney J., 2005, MNRAS, 363, 603 Famaey B., Bruneton J.P., Zhao H.S., 2007a, MNRAS, 377, Famaey B., Gentile G., Bruneton J-P., Zhao, H.S., 2007b, PhRvD, 75, 063002 Famaey B., Angus G.W., Gentile G., Zhao, H.S., 2007c, (arXiv:0706.1279) Farrar G.R., Rosen R.A., 2007, Phys. Rev. Lett, 98, 171302 Felten J.E., 1984, ApJ, 286, 3 c© 2007 RAS, MNRAS 000, 1-8 http://arxiv.org/abs/0706.4171 http://arxiv.org/abs/0706.1073 http://arxiv.org/abs/0706.1279 8 G. W. Angus y S. S. McGaugh Gerbal, D., Durret, F., Lachieze-Rey, M., Lima-Neto, G., 1992, A&A, 262, 395 Gentil G., Famaey B., Combes F., Kroupa P., Zhao, H.S., Tiret O., 2007, (arXiv:0706.1976) Hayashi E., White S., 2006, MNRAS, 370, L38 Jee M.J. et al., 2005a, ApJ, 618, 46 Jee M.J. et al., 2005b, ApJ, 634, 813 Jee M.J. et al., 2007, ApJ, 661, 728 Knebe A., Gibson B.K. 2004, MNRAS, 347, 1055 Mahdavi A., Hoeskstra H., Babul A., Balam D., Capak P., 2007, (arXiv:0706.3048) Markevitch M., et al., 2004, ApJ, 606.819 Markevitch M., Vikhlinin A., 2007, PhR, 443, 1 Milgrom M., 1983a, ApJ, 270, 365 Milgrom M., 1983b, ApJ, 270, 371 Milgrom M., 1983c, ApJ, 270, 384 Milgrom M., 1986, ApJ, 302, 617 Milgrom M., 1994, Ann. 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Consideramos la órbita del grupo de balas 1E 0657-56 tanto en el MDL como en el MOND utilizando modelos exactos de masa adecuados a cada caso con el fin de determinar la velocidad máxima de colisión plausible. Velocidades de impacto compatibles con el La velocidad de choque (~ 4700 km/s) ocurre naturalmente en MOND. CDM puede generar colisión velocidades de como máximo ~ 3800 km/s, y sólo es coherente con los datos proporcionados que la velocidad de choque se ha visto sustancialmente aumentada por la hidrodinámica efectos.

Introducción Modelando la caída libre La colisión en el MDL La colisión en MOND Colisión N-cuerpo Resultados Resumen

On Some Subgroup Chains Related to Kneser's Theorem

En algunas cadenas de subgrupos relacionadas con el teorema de Kneser Yahya O. Hamidoune* Oriol Serra† Gilles Zémor‡ 28 de marzo de 2007 Resumen Un resultado reciente de Balandraud muestra que para cada subconjunto S de un grupo abeliano G existe un subgrupo no trivial H tal que TS ≤ T S − 2 se sostiene sólo si H Stab(TS). Observe que el teorema de Kneser sólo da {0} 6= Puño (TS). Esta forma fuerte del teorema de Kneser sigue de algunas propiedades agradables de cierta poseta investigada por Balandraud. Consideramos que un análogo poset para grupos no abelios y, mediante el uso de herramientas clásicas de Aditivo Teoría de Números, extender algunos de los resultados anteriores. En particular obtenemos pruebas cortas de los resultados de Balandraud en el caso de Abelian. 1 Introducción Para evitar pasar de la notación multiplicativa a la aditiva, todos los grupos se escribirá multiplicativamente. Teorema de adición de Kneser afirma que si S, T son subconjuntos finitos de un abeliano grupo G entonces ST ≤ S + T − 2 sostiene sólo si ST es periódico (es decir, allí es un subgrupo no trivial H tal que HST = ST.) Teorema de Kneser es un herramienta fundamental en la teoría del número aditivo. Las pruebas de este resultado pueden ser encontrado en [4, 5, 6, 7, 9]. En todas las pruebas previamente conocidas del Teorema de Kneser, el subgrupo H depende crucialmente en ambos sets S y T. Con el objetivo de romper este doble depen- dence en S y T, Balandraud investigó en trabajos recientes [1, 2] las propiedades de una propuesta combinatoria que ahora presentamos. Dejar S ser un subconjunto finito que contiene 1 de un grupo G. Siguiendo Balandraud, dejar definimos una celda de S como un subconjunto finito X de tal manera que, para todos z /+ X, sostiene que zS 6° XS. Esta noción se define en [1, 2] y es equivalente a la noción de Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, Combinatoire et Optimization - case 189, 4 lugar Jussieu, 75252 París Cedex 05. yha@ccr.jussieu.fr Universitat Politècnica de Catalunya, Matemàtica Aplicada IV, Campus Nord - Edif. C3, C. Jordi Girona, 1-3, 08034 Barcelona, España. oserra@mat.upc.es Université de Bordeaux 1, Institut de Mathématiques de Bordeaux, 351 cours de la Libération, 33405 Talence. zemor@math.u-bordeaux1.fr http://arxiv.org/abs/0704.0382v1 subconjunto no extensible utilizado en [3]. A lo largo del periódico, por una celda siempre significa una célula de S. Una celda X se llama u-cell si XS − X = u. Una u-célula con una cardinalidad mínima se llama u-kernel (de S). Balandraud mostró que, para un conjunto finito S en un grupo abeliano G, en el poset de j–células que contengan la unidad ordenada por inclusión con 1 ≤ j ≤ S − 2, la conjunto de núcleos forman una cadena de subgrupos. Además, si existe una u-cell, entonces hay un u-kernel único que contiene el elemento de unidad que está contenido en todos U-células que contienen el elemento unitario. Una de las consecuencias de este trabajo es una nueva prueba y la siguiente fuerza: ening del Teorema de Kneser: Teorema 1 (Balandraud) Para cualquier subconjunto finito no vacío S de un abeliano grupo G, existe un subgrupo finito H de G tal que para cualquier subconjunto finito T de G una de las condiciones siguientes: • TS ≥ T S − 1 • HTS = TS y TS ≤ HS HT − H Por lo que los autores saben esta es una formulación sorprendente y fuerte que no se observó antes y no sigue directamente de la clásica formas del Teorema de Kneser. El propósito de la presente nota es dar una breve prueba para el nonabelian en el caso de que, en el poset de j-células que son subgrupos ordenados por inclusión con 0 ≤ j ≤ S − 1, el conjunto de núcleos forman una cadena de subgrupos. Además, cada uno u-kernel de este poset es único y está contenido en todas las u-células de este poset. De esta declaración el teorema de Kneser permite deducir el re- de Balandraud sults para el caso Abelian, y en particular el Teorema 1. Teorema de Kneser tiene varias formas equivalentes. Utilizamos el siguiente; véase, por ejemplo, [4, 7]: Teorema 2 (Kneser [5]) Deja que G sea un grupo abeliano y X,Y G sea finito Subconjuntos tales que XY ≤ X + Y − 2. Entonces # XY # # # # HY # # # HY # # # HY # # # HY # # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # donde H = puñalada (XY ) = {x : xXY = XY }. Nuestra herramienta principal es el siguiente Teorema de Olson[8, Teorema 2]. Damos un formulación equivalente aquí donde usamos los cosetes de la izquierda en lugar de los cosetes de la derecha. Teorema 3 (Olson [8]) Dejar X,Y ser subconjuntos finitos de un grupo G, y dejar H y K ser subgrupos tales que HX = X, KY = Y y KX 6 = X, HY 6 = Y. X \ Y Y \ X ≥ H K − 2H K. En particular X \ Y ≥ H − H K o Y \X ≥ K − H K. Usaremos el siguiente lema. Lemma 4 ([1, 2]) Let G ser un grupo y 1 â € S â € G ser un subconjunto finito. Entonces la intersección de dos células M1,M2 de S es una célula de S. Prueba. Vamos a x / + M1 + M2. Hay i con x /â € Mi. Luego xS 6o MiS. Por lo tanto xS 6° (M1°M2)S. Ahora podemos declarar nuestro resultado principal, a saber, el Teorema 5 a continuación. 2 Una aplicación del teorema de Olson Balandraud [1, 2] demostró que, en el caso de Abelian, el conjunto de granos que contienen el elemento unitario y ordenado por inclusión es una cadena de subgrupos. En el non caso abeliano podemos probar sólo que el conjunto de núcleos que son subgrupos formas una cadena. El caso abeliano se puede recuperar fácilmente, ya que el Teorema de Kneser implica (como veremos a continuación) que un núcleo que contiene el elemento de unidad es un subgrupo. Teorema 5 Dejar S ser un subconjunto finito que contiene 1 de un grupo G. Dejar M ser un u-kernel de S que es un subgrupo. Dejar N ser un subgrupo que es una v-célula y Supongamos que u, v ≤ S − 1. i) Si N es una v-kernel o u = v, entonces M • N o N • M. ii) Si N es una v-kernel y v ≤ u, entonces M + N. Prueba. Supongamos que M 6o N y N 6o M. Tenga en cuenta que, puesto que M es una celda, si NMS = MS entonces NM = M, por lo tanto N • M contra nuestra suposición. Por lo tanto, nosotros puede asumir NMS 6 = MS y MNS 6 = NS de manera similar. Por el teorema 3 tenemos uno de los dos casos siguientes. Caso 1: MS − (MS) (NS) = (MS) \ (NS) ≥ M − M N. De ello se desprende: que (M)N)S − M)N ≤ (MS) (NS) − M)N ≤ MS − M. En el otra mano tenemos u = MS − M < S ≤ (M N)S. Puesto que MS − M es un múltiplo de M N tenemos u = MS − M = (M N)S − M N. Por Lemma 4, M+N es una celda. Puesto que M es una u-kernel, tenemos M N = M, a contradicción. Caso 2: NS − (NS) (MS) = (NS) \ (MS) ≥ N − N M. De ello se desprende: que (N M)S − N M ≤ (NS) (MS) − N M ≤ NS − N. Activar la otra mano tenemos NS − N < S ≤ (N M)S. Puesto que NS − N es un múltiplo de N M tenemos NS − N = (N M)S − N M. 1).......................................................................................................................................................... Asumir primero u = v. Entonces u = MSM = NSN = (NOM)SNM. Puesto que M es una u-kernel, tenemos M N = M, una contradicción. Supongamos que N es una v-kernel. Entonces (1) implica N â € M = N, una contradicción. Esto demuestra (i). Asumir ahora que v ≤ u. Suponga M 6° N. Por (i) tenemos N ° M, que implica en particular que MS − M es un múltiplo de N. Por lo tanto, de U = MS − M < S ≤ NS tenemos u = MS − M ≤ NS − N = v que da u = v. Pero entonces M 6o N y N M implican N < M, y desde entonces N es ahora una u-cell, esto contradice M siendo una u-kernel. Ahora podemos deducir la descripción de Balandraud para núcleos y células : Corollary 6 (Balandraud [1, 2]) Deja que G sea un grupo abeliano y S â € G ser un subconjunto finito con 1 S. Dejar que M sea un u-kernel de S que contenga 1 con 1 ≤ u ≤ S − 2. Entonces, i) M es un subgrupo. ii) Cada u-celda es M-periódica. (iii) Cada v-kernel con u < v ≤ S − 2 es un subgrupo apropiado de M. Prueba. Que X sea una u-célula con u ≤ S − 2. Por el Teorema de Kneser, el desigualdad XS − X = u ≤ S − 2 implica u = XS − HX = HS − H, (2) donde H es el estabilizador de XS. Dado que X es una celda y HXS = XS, nosotros tienen X = HX. Nótese que, puesto que G es abeliano, ({y} H)S = SA implica Esta observación y (2) implican que H es una u-cell. En particular, tomando X = M, el período K de EM es un u-cell. Puesto que KMS = MS y M es una u-cell, tenemos K â € ¢ KM â € M. M es una u-kernel tenemos M = K. Esto prueba (i). Ahora deja que H sea el estabilizador de XS, donde X es una u-célula. Como se muestra en el cuadro que precede al párrafo H es también una u-celda. Por Teorema 5 tenemos M â € H y Así MH = H. Puesto que X es una célula y HXS = XS, tenemos X = HX = MHX. Por lo tanto X • MX • MHX = X implica X = MX. Esto demuestra (ii). Por último, por (i), un v-kernel N es un subgrupo. Por Teorema 5 tenemos N â € M. Desde el corolario 6, se puede deducir el teorema 1. Prueba del Teorema 1: Podemos asumir sin pérdida de la generalidad que 1 S. Caso 1: No hay m-celda para cualquier 1 ≤ m ≤ S − 2. • o tenemos ≥ S T -1 para cualquier T finito no vacío, en el que caso el teorema se sostiene claramente con H = {1}. • o existe alguna T finita no vacía tal que TS ≤ S + T − 2. Sin la pérdida de la generalidad, también podemos suponer 1 T. Ahora T debe ser contenido en una célula m con m ≤ S − 2, pero dado que no existe tal célula para 1 ≤ m, tenemos que T en sí debe ser una célula (una 0-célula) es decir. TS = T. Nosotros por lo tanto tienen HT = TH = T = TS = HTS donde H es el (necesariamente finito) subgrupo generado por S. Acabamos de demostrar que el teorema se mantiene en este caso con H = S®. Caso 2: Existe una célula m con 1 ≤ m ≤ S − 2. Podemos, por lo tanto, considerar el mayor entero u ≤ S − 2 para el cual S admite una u-celda. Dejad en paz a H. el u-kernel que contiene 1. Note que u ≤ S2 implica que H es diferente de {1}. Ahora que T sea cualquier subconjunto finito no vacío tal que TS − T ≤ S − 2. Demostraremos que HTS = TS. Al añadir elementos a T el tiempo que sea necesario, podemos encontrar una celda X que contiene T y tal que XS = TS. Note que entonces tenemos XS − X ≤ TS − T ≤ S − 2, de modo que X es una v-celda para algunos v ≤ u. Por corolario 6 (ii) tenemos TS = XS = MXS = MTS donde M es el núcleo v que contiene 1. Por parte i) de Corollary 6, H es un subgrupo de M por lo que TS = XS = HTS también. Finalmente, ST ≤ HS HT − H sigue de ST siendo un múltiplo de H. 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Vu, Aditivo Combinatoria, Cambridge Estudios en Ad- Matemáticas a la vanguardia 105 (2006), Cambridge University Press. Introducción Una aplicación del Teorema de Olson

Un resultado reciente de Balandraud muestra que para cada subconjunto S de un abeliano grupo G, existe un subgrupo no trivial H tal que TS < TS-2 sólo se mantiene si el estabilizador de TS contiene H. Note que el Teorema de Kneser sólo dice que el estabilizador de TS debe ser un subgrupo no cero. Esta forma fuerte del teorema de Kneser sigue de algunas propiedades agradables de un cierta poseta investigada por Balandraud. Consideramos un postulado análogo para grupos no abelianos y, mediante el uso de herramientas clásicas de la teoría de números aditivos, ampliar algunos de los resultados anteriores. En particular, obtenemos pruebas cortas de Los resultados de Balandraud en el caso Abelian.

Introducción Para evitar pasar de la notación multiplicativa a la aditiva, todos los grupos se escribirá multiplicativamente. Teorema de adición de Kneser afirma que si S, T son subconjuntos finitos de un abeliano grupo G entonces ST ≤ S + T − 2 sostiene sólo si ST es periódico (es decir, allí es un subgrupo no trivial H tal que HST = ST.) Teorema de Kneser es un herramienta fundamental en la teoría del número aditivo. Las pruebas de este resultado pueden ser encontrado en [4, 5, 6, 7, 9]. En todas las pruebas previamente conocidas del Teorema de Kneser, el subgrupo H depende crucialmente en ambos sets S y T. Con el objetivo de romper este doble depen- dence en S y T, Balandraud investigó en trabajos recientes [1, 2] las propiedades de una propuesta combinatoria que ahora presentamos. Dejar S ser un subconjunto finito que contiene 1 de un grupo G. Siguiendo Balandraud, dejar definimos una celda de S como un subconjunto finito X de tal manera que, para todos z /+ X, sostiene que zS 6° XS. Esta noción se define en [1, 2] y es equivalente a la noción de Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, Combinatoire et Optimization - case 189, 4 lugar Jussieu, 75252 París Cedex 05. yha@ccr.jussieu.fr Universitat Politècnica de Catalunya, Matemàtica Aplicada IV, Campus Nord - Edif. C3, C. Jordi Girona, 1-3, 08034 Barcelona, España. oserra@mat.upc.es Université de Bordeaux 1, Institut de Mathématiques de Bordeaux, 351 cours de la Libération, 33405 Talence. zemor@math.u-bordeaux1.fr http://arxiv.org/abs/0704.0382v1 subconjunto no extensible utilizado en [3]. A lo largo del periódico, por una celda siempre significa una célula de S. Una celda X se llama u-cell si XS − X = u. Una u-célula con una cardinalidad mínima se llama u-kernel (de S). Balandraud mostró que, para un conjunto finito S en un grupo abeliano G, en el poset de j–células que contengan la unidad ordenada por inclusión con 1 ≤ j ≤ S − 2, la conjunto de núcleos forman una cadena de subgrupos. Además, si existe una u-cell, entonces hay un u-kernel único que contiene el elemento de unidad que está contenido en todos U-células que contienen el elemento unitario. Una de las consecuencias de este trabajo es una nueva prueba y la siguiente fuerza: ening del Teorema de Kneser: Teorema 1 (Balandraud) Para cualquier subconjunto finito no vacío S de un abeliano grupo G, existe un subgrupo finito H de G tal que para cualquier subconjunto finito T de G una de las condiciones siguientes: • TS ≥ T S − 1 • HTS = TS y TS ≤ HS HT − H Por lo que los autores saben esta es una formulación sorprendente y fuerte que no se observó antes y no sigue directamente de la clásica formas del Teorema de Kneser. El propósito de la presente nota es dar una breve prueba para el nonabelian en el caso de que, en el poset de j-células que son subgrupos ordenados por inclusión con 0 ≤ j ≤ S − 1, el conjunto de núcleos forman una cadena de subgrupos. Además, cada uno u-kernel de este poset es único y está contenido en todas las u-células de este poset. De esta declaración el teorema de Kneser permite deducir el re- de Balandraud sults para el caso Abelian, y en particular el Teorema 1. Teorema de Kneser tiene varias formas equivalentes. Utilizamos el siguiente; véase, por ejemplo, [4, 7]: Teorema 2 (Kneser [5]) Deja que G sea un grupo abeliano y X,Y G sea finito Subconjuntos tales que XY ≤ X + Y − 2. Entonces # XY # # # # HY # # # HY # # # HY # # # HY # # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # # HY # donde H = puñalada (XY ) = {x : xXY = XY }. Nuestra herramienta principal es el siguiente Teorema de Olson[8, Teorema 2]. Damos un formulación equivalente aquí donde usamos los cosetes de la izquierda en lugar de los cosetes de la derecha. Teorema 3 (Olson [8]) Dejar X,Y ser subconjuntos finitos de un grupo G, y dejar H y K ser subgrupos tales que HX = X, KY = Y y KX 6 = X, HY 6 = Y. X \ Y Y \ X ≥ H K − 2H K. En particular X \ Y ≥ H − H K o Y \X ≥ K − H K. Usaremos el siguiente lema. Lemma 4 ([1, 2]) Let G ser un grupo y 1 â € S â € G ser un subconjunto finito. Entonces la intersección de dos células M1,M2 de S es una célula de S. Prueba. Vamos a x / + M1 + M2. Hay i con x /â € Mi. Luego xS 6o MiS. Por lo tanto xS 6° (M1°M2)S. Ahora podemos declarar nuestro resultado principal, a saber, el Teorema 5 a continuación. 2 Una aplicación del teorema de Olson Balandraud [1, 2] demostró que, en el caso de Abelian, el conjunto de granos que contienen el elemento unitario y ordenado por inclusión es una cadena de subgrupos. En el non caso abeliano podemos probar sólo que el conjunto de núcleos que son subgrupos formas una cadena. El caso abeliano se puede recuperar fácilmente, ya que el Teorema de Kneser implica (como veremos a continuación) que un núcleo que contiene el elemento de unidad es un subgrupo. Teorema 5 Dejar S ser un subconjunto finito que contiene 1 de un grupo G. Dejar M ser un u-kernel de S que es un subgrupo. Dejar N ser un subgrupo que es una v-célula y Supongamos que u, v ≤ S − 1. i) Si N es una v-kernel o u = v, entonces M • N o N • M. ii) Si N es una v-kernel y v ≤ u, entonces M + N. Prueba. Supongamos que M 6o N y N 6o M. Tenga en cuenta que, puesto que M es una celda, si NMS = MS entonces NM = M, por lo tanto N • M contra nuestra suposición. Por lo tanto, nosotros puede asumir NMS 6 = MS y MNS 6 = NS de manera similar. Por el teorema 3 tenemos uno de los dos casos siguientes. Caso 1: MS − (MS) (NS) = (MS) \ (NS) ≥ M − M N. De ello se desprende: que (M)N)S − M)N ≤ (MS) (NS) − M)N ≤ MS − M. En el otra mano tenemos u = MS − M < S ≤ (M N)S. Puesto que MS − M es un múltiplo de M N tenemos u = MS − M = (M N)S − M N. Por Lemma 4, M+N es una celda. Puesto que M es una u-kernel, tenemos M N = M, a contradicción. Caso 2: NS − (NS) (MS) = (NS) \ (MS) ≥ N − N M. De ello se desprende: que (N M)S − N M ≤ (NS) (MS) − N M ≤ NS − N. Activar la otra mano tenemos NS − N < S ≤ (N M)S. Puesto que NS − N es un múltiplo de N M tenemos NS − N = (N M)S − N M. 1).......................................................................................................................................................... Asumir primero u = v. Entonces u = MSM = NSN = (NOM)SNM. Puesto que M es una u-kernel, tenemos M N = M, una contradicción. Supongamos que N es una v-kernel. Entonces (1) implica N â € M = N, una contradicción. Esto demuestra (i). Asumir ahora que v ≤ u. Suponga M 6° N. Por (i) tenemos N ° M, que implica en particular que MS − M es un múltiplo de N. Por lo tanto, de U = MS − M < S ≤ NS tenemos u = MS − M ≤ NS − N = v que da u = v. Pero entonces M 6o N y N M implican N < M, y desde entonces N es ahora una u-cell, esto contradice M siendo una u-kernel. Ahora podemos deducir la descripción de Balandraud para núcleos y células : Corollary 6 (Balandraud [1, 2]) Deja que G sea un grupo abeliano y S â € G ser un subconjunto finito con 1 S. Dejar que M sea un u-kernel de S que contenga 1 con 1 ≤ u ≤ S − 2. Entonces, i) M es un subgrupo. ii) Cada u-celda es M-periódica. (iii) Cada v-kernel con u < v ≤ S − 2 es un subgrupo apropiado de M. Prueba. Que X sea una u-célula con u ≤ S − 2. Por el Teorema de Kneser, el desigualdad XS − X = u ≤ S − 2 implica u = XS − HX = HS − H, (2) donde H es el estabilizador de XS. Dado que X es una celda y HXS = XS, nosotros tienen X = HX. Nótese que, puesto que G es abeliano, ({y} H)S = SA implica Esta observación y (2) implican que H es una u-cell. En particular, tomando X = M, el período K de EM es un u-cell. Puesto que KMS = MS y M es una u-cell, tenemos K â € ¢ KM â € M. M es una u-kernel tenemos M = K. Esto prueba (i). Ahora deja que H sea el estabilizador de XS, donde X es una u-célula. Como se muestra en el cuadro que precede al párrafo H es también una u-celda. Por Teorema 5 tenemos M â € H y Así MH = H. Puesto que X es una célula y HXS = XS, tenemos X = HX = MHX. Por lo tanto X • MX • MHX = X implica X = MX. Esto demuestra (ii). Por último, por (i), un v-kernel N es un subgrupo. Por Teorema 5 tenemos N â € M. Desde el corolario 6, se puede deducir el teorema 1. Prueba del Teorema 1: Podemos asumir sin pérdida de la generalidad que 1 S. Caso 1: No hay m-celda para cualquier 1 ≤ m ≤ S − 2. • o tenemos ≥ S T -1 para cualquier T finito no vacío, en el que caso el teorema se sostiene claramente con H = {1}. • o existe alguna T finita no vacía tal que TS ≤ S + T − 2. Sin la pérdida de la generalidad, también podemos suponer 1 T. Ahora T debe ser contenido en una célula m con m ≤ S − 2, pero dado que no existe tal célula para 1 ≤ m, tenemos que T en sí debe ser una célula (una 0-célula) es decir. TS = T. Nosotros por lo tanto tienen HT = TH = T = TS = HTS donde H es el (necesariamente finito) subgrupo generado por S. Acabamos de demostrar que el teorema se mantiene en este caso con H = S®. Caso 2: Existe una célula m con 1 ≤ m ≤ S − 2. Podemos, por lo tanto, considerar el mayor entero u ≤ S − 2 para el cual S admite una u-celda. Dejad en paz a H. el u-kernel que contiene 1. Note que u ≤ S2 implica que H es diferente de {1}. Ahora que T sea cualquier subconjunto finito no vacío tal que TS − T ≤ S − 2. Demostraremos que HTS = TS. Al añadir elementos a T el tiempo que sea necesario, podemos encontrar una celda X que contiene T y tal que XS = TS. Note que entonces tenemos XS − X ≤ TS − T ≤ S − 2, de modo que X es una v-celda para algunos v ≤ u. Por corolario 6 (ii) tenemos TS = XS = MXS = MTS donde M es el núcleo v que contiene 1. Por parte i) de Corollary 6, H es un subgrupo de M por lo que TS = XS = HTS también. Finalmente, ST ≤ HS HT − H sigue de ST siendo un múltiplo de H. Bibliografía [1] E. Balandraud, Une variantee de la méthode isopérimetrique de Hamidoune, appliquée au Theoreme de Kneser, Preprint, diciembre de 2005. [2] E. Balandraud, Quelques résultats combinatoires en Théorie Aditive des Nombres, Thèse de Doctorat de l’Université de Bordeaux I, mayo de 2006. [3] D. Grynkiewicz, Un paso más allá de Kempermann estructura Teorema, Preprint Mayo de 2006. [4] J. H. B. Kemperman, En pequeñas sumas en grupos Abelianos, Acta Math. 103 (1960), 66–88. [5] M. Kneser, Summenmengen in lokalkompakten abelesche Gruppen, Math. Zeit. 66 (1956), 88–110. [6] H.B. Mann, Teoremas de adición, R.E. Krieger, Nueva York, 1976. [7] M. B. Nathanson, Teoría del Número Aditivo. Los problemas inversos y la ge- La métrica de las sumas, Grad. Textos en matemáticas. 165, Springer, 1996. [8] J.E. Olson, En la diferencia simétrica de dos conjuntos en un grupo. Comunidades J. Combin. 7 (1986), No. 1, 43–54. [9] T. Tao y V.H. Vu, Aditivo Combinatoria, Cambridge Estudios en Ad- Matemáticas a la vanguardia 105 (2006), Cambridge University Press. Introducción Una aplicación del Teorema de Olson

The Exact Boundary Condition to Solve the Schrodinger Equation of Many Electron System

Microsoft Word - arxiv_prasadtext.doc __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 1 de 21) La condición límite exacta para resolver el Schrödinger Ecuación de muchos sistemas de electrones Rajendra Prasad Pueblo + Correo: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India Correo electrónico: Theochem@gmail.com En un intento de eludir el problema de signos en la simulación cuántica de Monte Carlo de sistemas electrónicos en el marco del enfoque de nodo fijo, derivamos la exclusión principio “Dos electrones no pueden estar en la misma superficie isopotencial externa al mismo tiempo” utilizando el primer postulado de la mecánica cuántica. Proponemos la exacta Coulomb-Exchange nodal surface, es decir, la condición límite exacta para resolver el no- la ecuación relativista de Schrödinger para el estado terrestre no degenerado de los átomos y moléculas. Esta condición límite se aplicó para calcular las energías del estado de tierra de Sistemas N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2 y H2O que utilizan la difusión Monte Carlo método. Las energías del estado del suelo así obtenidas concuerdan bien con la estimación exacta de energías no relativistas. INTRODUCCIÓN Un objetivo ideal de un químico/físico cuántico es resolver lo no relativista La ecuación de Schrödinger exactamente como describe gran parte del mundo de la química. Si podemos resolver esta ecuación a un costo realista, podemos hacer predicciones muy precisas. En la actualidad, sólo está disponible el método completo de CI para obtener la función exacta de onda dentro de un determinado base establecida, pero este método es demasiado exigente computacionalmente y por lo tanto no es asequible incluso para un sistema pequeño. En los últimos años se ha llamado cada vez más la atención sobre el enfoque de caminar al azar llamado método de difusión Monte Carlo (DMC)1 2 3 4 para resolver la ecuación de Schrödinger. Los __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 2 de 21) atractivo del método DMC radica en que puede tratar muchos problemas del cuerpo exactamente. Los El método DMC es un método de proyección basado en la combinación del tiempo imaginario Ecuación de Schrödinger, proceso de difusión estocástica generalizada, y Monte Carlo integración. La solución, que produce sólo tiene error estadístico, que puede ser correctamente estimado y, en principio, hecho tan pequeño como se desee. Desde que en el método DMC la onda función tiene que ser una densidad de población, por lo tanto, el método DMC sólo puede describir la solución de signo constante de la ecuación de Schrödinger. Esto plantea un problema grave si uno es interesado en la solución de un sistema de muchos electrones donde la función de onda es conocida por ser antisimétricos (es decir, tanto positivo como negativo) con respecto al intercambio de dos electrones. Esta situación se conoce como problema de signo de fermión en el cuántico Monte Carlo literatura1-4. La solución de este problema es una de las más sobresalientes de todas las física/química computacional. Este problema a menudo se entiende (mal) como un problema técnico. detalle que derrotar a los simuladores numéricos. A lo mejor de nuestro conocimiento no La metodología está disponible para manejar este problema de manera sistemática y controlada. Sin embargo, pensamos que es esencialmente un problema de límite exacto, que no se conoce para muchos sistemas de electrones para obtener soluciones de buen comportamiento de no relativistas Ecuación de Schrödinger. Entendemos que la frontera debe derivarse de la enlace entre las matemáticas formales y la física del mundo real. En este artículo, derivaremos la condición límite para la atómica y molecular sistemas para obtener soluciones de buen comportamiento (es decir, la solución de estado consolidado se valora en un solo valor, continua, cuadráticamente integrable y diferenciable) de electrónica no relativista Ecuación de Schrödinger. Para empezar, nos estamos ocupando de situaciones en las que el terreno el estado no es degenerado solamente. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 3 de 21) LA EXACTA CONDICIÓN BUNDARIA Tenemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: EH.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. donde es el operador electrónico no relativista independiente del tiempo Hamiltonian en el Aproximación de Born-Oppenheimer, E0 es el valor propio del suelo multielectrón completo Estado 0.............................................................................................................. El se define en unidades atómicas como sigue: = electrones electrones electrones 2 1)) 1° r...........(2) donde el potencial externo, Nuclei rV )( ,.............3) 2o es laplaciano, ZI denota carga nuclear, y rIi y rij simbolizan el electrón-núcleo y distancia electrón-electrón, respectivamente. Siguiendo el teorema de Hohenberg-Kohn I, una prueba sólo de la existencia5, el electrón densidad )(0 r En el estado del suelo 0° es un funcional de ) rV , es decir, )0 r * = )]([0 rV * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * .................................................................................................................................................... 4) Además, el estado de tierra de muchos electrones 0o es funcional único de )0 r ................................................................................................... = )]([ 00 r * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ....................................(5) Evidentemente podemos decir que 0o es un funcional de )rV i.e. = )]([0 rV * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............................................ 6) Tenemos la opción de expresar la densidad exacta: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 4 de 21) )]([0 rV ...................................................................................... 2 )]([ *....................(7)................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Donde N denota número de electrones. Las funciones, { }NirVi....1)],([ = Son exactos. funciones de un electrón ortonormal de la función ) rV , que dan exacta )]([0 rV (Precaución al lector!! Por el momento, aquí no hay nada que ver con los llamados s, p, d, f,..etc. tipo orbitales. Las funciones { }NirVi....1)],([ = • son completamente diferentes de los orbitales obtenidos de Kohn-Sham6 o formalismos similares.) Ahora podemos escribir la función exacta de la onda de estado de tierra de N electrones como una función de N funciones exactas de un electrón { }NirVi....1)],([ = [[)]]([)],...,([)],([]],[[ 10 NN rVrVrV ......(8) o [[22110 NN rVrVrV]]([)],...,([)],([[22110 NN rVrVrV .......(9) Puesto que cada electrón funciona en { }NirVi....1)],([ = Es una función de external potencial ) rV , también podemos escribir la función exacta de onda de estado de tierra de N electrones en forma funcional, según se indica: 1 = )](),...,(),([ 210 NrVrVrV •................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto, la función exacta de la onda de estado de tierra no degenerada del electrón N es una única funcional del potencial externo experimentado por cada electrón, es decir, funcional de )),...,(),(21 NrVrVrV Hasta ahora, no está claro: • Si la función de onda es simétrica o antisimétrica con respecto a intercambio de cualquiera de los dos electrones. • ¿Cuáles son las formas analíticas de { }NirVi....1)],([ = • ¿Cuál es la forma analítica de la función de onda exacta? __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 5 de 21) • Cómo obtener la función de onda exacta de la densidad exacta. Sin embargo, tenemos una idea de la topología de un estado no- función de onda degenerada y funciones de distribución en un potencial externo dado ) rV En particular: “La probabilidad de encontrar n-electrones (donde n = 2..N) simultáneamente en la superficie isopotencial de un potencial externo ) rV Es lo mismo. independientemente de las posiciones de los electrones en la superficie. Ahora procedemos a decidir la naturaleza (simétrico o antisimétrico con respecto a intercambio de cualquiera de los dos electrones) de una función bien comportada de muchas ondas de electrones. Definir la energía local, EL: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # electrones electrones electrones Nuclei 11 10 .............(11) Los términos III rZ y ijr1 en la ecuación (11) explotarán si 0→Ir y 0→ijr a menos que las llamadas condiciones de cúspide son obedecidas por 0. El 0o es exacto y obedece al núcleo de electrones (e-N) y condiciones de cúspide de electrón (e-e). La función de onda de un sistema de partículas idénticas N debe ser simétrica o antisimétrico con respecto al intercambio de cualquiera de las dos partículas idénticas, i y j. Puesto que las partículas N son todas idénticas, no podríamos tener la función de onda simétrica con respecto a algunos intercambios y antisimétricos con respecto a otros intercambios. Por lo tanto, la función de onda de N partículas idénticas debe ser simétrica o antisimétrico con respecto a cada posible intercambio de dos partículas. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 6 de 21) Asumamos que 0o es simétrico con respecto al intercambio de electrones i y j. Hay una cúspide en 0° en rij = 0. Esto implica que 0- no es diferenciable en rij = 0. Por lo tanto, 0-, simétrico con respecto al intercambio de cualquiera de los dos electrones no es un bien- La solución se comportó. Para hacer una función de onda bien comportada de 0°, 0° debe ser cero cuando rij = 0 y también debe cambiar el signo con respecto al intercambio de dos electrones, es decir. si ji rr = a continuación, 0-= 0. Esta condición es universal e independiente del tipo de potencial. Sin embargo, estamos interesados en una solución de buen comportamiento de un Estado vinculado en un dado el potencial externo ) rV . Desde el argumento anterior, sabemos que el probabilidad simultánea de encontrar dos electrones es igual en todas partes en el isopotencial superficie. Por lo tanto, si ) irV - ) jrV = 0, entonces 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Extendiéndose al sistema de electrones N, tenemos Si ( ) 0()() =−= Π rVrVf entonces 0- = 0. También podemos expresar f como determinante de Vandermonde: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 11...11 rVrVrVrVrV rVrVrVrVrV rVrVrVrVrV rVrVf =−= Π...(12) En consecuencia, tenemos el principio de exclusión en la forma siguiente: “Dos electrones no pueden estar en la misma superficie isopotencial externa simultáneamente.” Vemos que si estamos interesados en una solución bien comportada de la época ecuación independiente de Schrödinger, la condición límite (12) (es decir, ondas antisimétricas función) se obtiene naturalmente debido a la singularidad en el potencial de interacción e-e, que respeta el principio de exclusión de Pauli. Si los electrones i y j son de giro opuesto entonces decimos __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 7 de 21) que ) irV - ) jrV = 0 representa la superficie de Coulomb (nodal). Si los electrones i y j son de la misma spin a continuación ) irV - ) jrV = 0 representa la superficie nodal de Coulomb-Exchange. Todos juntos, el ( ) 0()() =−= Π rVrVf representa la superficie nodal Coulomb-Exchange de N sistema de electrones. En lo sucesivo, llamaremos a f como ExchangeCoulombf − superficie nodal. Sin embargo, el solución obtenida para el Hamiltoniano (2) dentro del límite ExchangeCoulombf − = 0 no Háblenos de la multiplicidad de giros del sistema de electrones N. Además, podemos reescribir la función f en términos de polinomios de Hermite, )]([ rVH k )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ 1112111 2122212 1112111 0102010 NNNNNN rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * =.....(13) En particular, si multiplicamos un electrón funcional optimizable )]([ rV ecuación (13) y obtenemos una función de onda de electrones N: )]([)]([)]......([)]([)]([ 21 rVfrVrVrVNormrV N rrrrr ............................................(14) La densidad de un electrón funcional corresponde a la función de onda (14): ′′ = ′ 1111 )]([)]([)]([)]([)](]);([ kkk rVHrVHARVrVrVrVrVrVrV rrrrrr ...................(15) donde Ak es constante de normalización de )]([)]([ rVrV k La densidad de dos electrones funcional en términos de densidad de un electrón funcional: )]();([)]();([)]();([)]();([ )](),();(),([ 21122211 rVrVrVrVrVrVrVrVrVrVrV rVrVrVrVrV = rrrrrrrr ......(16) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 8 de 21) Aquí parece que podemos obtener energía exacta del estado del suelo optimizando sólo una- electrón funcional )]([ rV», en la ecuación (14). Una física muy interesante y nueva obtenida de la ecuación (13) es que cada uno fila en el determinante representa diferente nivel (k) de Kamalpur respiración (anarmónica respiración cuántica) de nube de electrones en un potencial externo dado (rV y cada nivel, k está ocupado por un electrón (la partícula elemental). PASANDO EL PROBLEMA DE LA SEÑAL Podemos evitar el problema del signo de fermión en la difusión electrónica de la estructura Método Monte Carlo (DMC) usando enfoque de nodo fijo. Aquí uno asume un prior conocimiento de la superficie nodal, es decir, 0(R) = 0. Debido a las propiedades de alicatado 7 del terreno exacto función de onda de estado, la ecuación de Schrödinger se resuelve en el volumen abrazado por el superficie nodal, donde la función de onda tiene un signo constante y de esta manera el fermión El problema de la señal se pasa por alto. El conocimiento exacto de Coulomb Exchange superficie nodal nos permite una solución estocástica exacta de la ecuación de Schrödinger. La restricción en el paseo aleatorio RR â € durante la difusión electrónica de la estructura Monte Carlo la simulación es la siguiente: rechazar aceptar RfRf ExchangeCoulombExchangeCoulomb )().............(17) Hemos aplicado la condición de frontera (17) para el estado de tierra electrónica difusión de la estructura simulación de Monte Carlo de N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2, y Sistemas H2O. Los cálculos de Monte Carlo se pueden realizar utilizando conjuntos de puntos aleatorios seleccionados de cualquier distribución de probabilidad arbitraria. La elección de la distribución hace obviamente una __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 9 de 21) diferencia con respecto a la eficiencia del método. Si se realizan los cálculos de Montecarlo utilizando distribuciones de probabilidad uniformes, estimaciones muy pobres de integrales de alta dimensión se obtienen, que no es un método útil de aproximación. Estos problemas son manejados introduciendo el método de muestreo de importancia8 9. En este enfoque, el muestreo los puntos se eligen de una distribución de prueba, que se concentra en los puntos donde el ensayo función, ΦT(R) es grande. En los cálculos DMC actuales, hemos elegido la función de ensayo, ΦT en el forma: ΦT = Φ.F,....(18) donde Φ denota el campo de autoconsistencia de Hartree Fock (HF) o de configuración múltiple (MCSCF) función de onda y F es una función de correlación que depende de inter-partículas distancias. Las funciones de onda HF y MCSCF se obtuvieron utilizando el GAMESS paquete10 y empleo de la base atómica cc-VTZ de Dunning conjunto 11. Con el fin de satisfacer la núcleo electrónico (e-N) cúspide condición, todas las funciones de base Gaussian tipo s fueron reemplazados con ocho funciones de base de tipo Slater. Los exponentes de las funciones de tipo Slater fueron: tomado de Koga et al. 12 y satisfacer la condición e-N cúspide. Hemos elegido la correlación Schmidt, Moskowitz, Boys y Handy (SMBH) función FSMBH 13. Para la función de correlación SMBH, Eqn. (19), hemos incluido términos hasta el segundo orden, donde el orden, s se define como s = l + m + n. ( ) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * átomos electrones iAASMBH rrrrrcF exp...........(19) donde .............(20) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 10 de 21) y r denota distancia entre partículas. Seis parámetros no redundantes del total de diez se optimizaron manteniendo b = 1,0 como sigue: 1) Primero obtuvimos parámetros óptimos minimizando la energía y varianza en el nivel de variación de Monte Carlo (VMC). 2) Utilizando esta función de ensayo óptima VMC, la función de ensayo nodo fijo DMC El cálculo se llevó a cabo y los caminantes fueron recogidos después de cada 2000 pasos. Además, los parámetros de correlación fueron reoptimizados para minimizar la varianza con - 100.000 caminantes. Aquí la energía de referencia se estableció en el nodo fijo de la función de prueba Energía DMC. Estas funciones de ensayo optimizadas fueron utilizadas para el muestreo de importancia en el DMC simulación y una caminata al azar RR fue aceptado si 0)) RfRf ExchangeCoulombExchangeCoulomb. Los cálculos de DMC se realizaron utilizando el cuántico de código abierto Monte Programa Carlo, ZORI14. Se utilizaron alrededor de 10.000 caminantes para los sistemas estudiados. Los El algoritmo Umrigar et al.15 fue usado para caminatas DMC y Caffarel Assaraf et al.16 algoritmo para el control de población. Hemos permitido que sólo un electrón camine a la vez. Los Los cálculos de DMC se realizaron en varias etapas. Sólo informamos de esas energías. extrapolado a cero paso de tiempo. Presentamos las energías DMC del estado de tierra de N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2, Sistemas H2O y H2O del cuadro I. Las energías DMC obtenidas usando nuestro nuevo derivado límite ExchangeCoulombf − = 0 son mucho mejores que la función de ensayo nodo fijo DMC Energias17 y comparar bien con la contraparte experimental. Sin embargo, en la actualidad simulaciones eran ruidosas y desagradables en comparación con la función de ensayo convencional fijo simulaciones DMC de nodo. Vale la pena señalar que hemos obtenido la energía DMC incluso menor que el valor exacto en pasos de menor tiempo para los átomos de relativamente mayor atómico __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 11 de 21) radio tal vez debido a la falla de las distribuciones para alcanzar el estado estacionario o equilibrio distribuciones en un número finito de pasos. Este problema se puede tratar en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial. función cuántica Monte Carlo (GFQMC) método ya que toma la ventaja de la propiedades de las funciones de Green en la eliminación de paso de tiempo completamente en el tratamiento de la constante ecuación de estado. El GFQMC es muy adecuado si los límites son exactamente conocidos18. Si el juicio límite de la función y el ExchangeCoulombf − = 0 no coincide y también valores distintos de cero de la función de ensayo son muy diferentes de la solución exacta, que podría conducir a grandes fluctuaciones estadísticas desde un muestreo deficiente y, posiblemente, a una eficacia no ergódica proceso de difusión debido al tiempo de proyección finito en cálculos prácticos. Por lo tanto, nosotros están buscando una alternativa bien comportada función de prueba cuyo límite coincide con los de ExchangeCoulombf −. CONCLUSIÓN Este artículo presenta un avance de la investigación del autor con el fin de obtener exacto solución de la ecuación Schrödinger no relativista de muchos sistemas de electrones. Una conclusión de esto en la investigación en curso es que hemos derivado el principio de exclusión “Dos electrones no puede estar en la misma superficie isopotencial externa simultáneamente” utilizando el primer postulado de la mecánica cuántica. Proponemos la superficie nodal exacta de Coulomb-Exchange, es decir. la límite exacto para resolver la ecuación no relativista de Schrödinger para no degenerar estado terrestre de los átomos y moléculas. Usando esta condición límite recién derivada, uno puede pasar por alto el problema de signo de fermión en la estructura electrónica Quantum Monte Carlo simulación y por lo tanto la energía exacta del estado del suelo, así como la densidad exacta de electrones. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 12 de 21) REFERENCIAS 1. Anderson, J. B. Una simulación de caminata aleatoria de la ecuación de Schrödinger: +3H. J. Chem. Phys. 63, 1499-1503 (1975) 2. Ceperley, D. M. & Mitas, L. en Nuevos Métodos en Mecánica Cuántica, I. Prigogine, S. A. Rice, Eds., (John Wiley and Sons, Nueva York, 1996), Vol. 93. 3. Hammond, B. L., Lester, Jr, W. A. & Reynolds, P. J. Monte Carlo Métodos en Ab Initio Quántum Chemistry; World Scientific: Singapur, 1994. 4. Ceperley, D. & Alder, B. Quantum Monte Carlo. Ciencia 231, 555-560 (1986) 5. Hohenberg, P. & Kohn, W. Inhomogeneous Electron Gas. Phys. Rev. 136, B864- B871 (1964) 6. Kohn, W. & Sham, L. J. Ecuaciones auto-consistentes que incluyen intercambio y Efectos de la correlación. Phys. Rev. 140, A1133-A1138 (1965) 7. Cepereley, D. M. Fermion nodos. J. Stat. Phys. 63, 1237-1267 (1991) 8. Metrópolis, N. A., Rosenbluth, W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H. & Teller, E. Ecuación de cálculos de estado por máquinas de computación rápida. J. Chem. Phys. 21, 1087- 1092 (1953) 9. Grimm, R. C. & Storer, R. G. Monte-Carlo solución de la ecuación de Schrödinger. J. Comput. Phys. 7, 134-156 (1971) 10. Schmidt, M. W. et al. Sistema general de estructura electrónica atómica y molecular. J Comput Chem 14, 1347-1363 (1993) 11. Dunning, Jr., T. H. Gaussian conjuntos de base para su uso en cálculos moleculares correlacionados. I. Los átomos boro a través de neón e hidrógeno. J. Chem. Phys. 90, 1007-1023 (1989) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 13 de 21) 12. Koga, T., Kanayama, K., Watanabe, S. & Thakkar, A. J. Analytical Hartree-Fock funciones de onda sujetas a cúspide y restricciones asintóticas: He a Xe, Li+ a Cs+, H- a I-. Int. J. Quantum Chem. 71, 491-497 (1999) 13. Schmidt, K. E. & Moskowitz, J. W. Correlated Monte Carlo funciones de la onda para el átomos Él a través de Ne. J. Chem. Phys. 93, 4172-4178 (1990) 14. Aspuru-Guzik, A. et al. Zori 1.0: Un electrónico cuántico paralelo de Monte Carlo paquete de estructura. J. Comp. Chem. 26, 856-862 (2005) 15. Umrigar, C. J., Nightingale, M.P. & Runge, K.J. Un algoritmo de difusión de Monte Carlo con pequeños errores en el paso del tiempo. J. Chem. Phys. 99.2865-2890 (1993) 16. Assaraf, R., Caffarel, M. & Khelif, A. Diffusion Monte Carlo métodos con un fijo número de caminantes. Phys. Rev. E. 61, 4566-4575 (2000) 17. Filippi, C. & Umrigar, C. J. Funciones de onda multiconfiguración para Monte cuántico Carlo cálculos de moléculas diatómicas de primera fila. J. Chem. Phys. 105, 213-226 (1996) 18. Kalos, M. H., Monte Carlo Cálculos del Estado de Tierra de Tres y Cuatro- Cuerpo Nuclei. Phys. Rev. 128, 1791-1795 (1962) AGRADECIMIENTOS Los cálculos de QMC se llevaron a cabo en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley, Berkeley. El autor agradece al Profesor W. A. Lester su apoyo durante la estancia en Berkeley. El autor está en deuda con el profesor P. Chandra de Banaras Universidad Hindu, Varanasi por su interés y discusión útil durante la preparación del manuscrito. Profesor S. K. Sengupta de la Universidad Hindú de Banaras, Varanasi es reconocido por la lectura cuidadosa del manuscrito. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 14 de 21) CUADRO I. Las energías totales del estado del suelo obtenidas a partir del cálculo de DMC de nodo fijo. Átomo / Molécula Bono longitud CSF,D ETFN-DMC (Ref. 17) ECEN-DMC (Extrapolado a 0) E0 -, 111 -54.5753(3) -54.5841(5) -54.5902(11) -54.5892 Ne 1,1-128.9216(15) -128,938(1) -128,9375 Li2 5,051 -14.9911(1) -14.9938(1) -14.9955(5) -14.9954 Be2 4,63 5,16 -29.3176(4) -29.3301(2) -29.3378(15) -29.33854(5) B2 3.005 6,11 -49.3778(8) -49.3979(6) -49.41655(45) -49.415(2) C2 2,3481 4,16 77, 314 -75.8613(8) -75.8901(7) -75.9035(9) -75.9229(19) -75.923(5) 2.068 4,17 -, 552 -109.487.1 -109.505(1) -109.520(3) -109.5424(15) -109.5423 O2 2.282 -150.268(1) -150.277.1 -150.3274(15) -150.3268 F2 2,68 -199.478(2) -199.487.1 -199.5289(25) -199.5299 -199.52891(4) H2O -, 300 -76.4175(4) -76.429(1) -76.4376(11) -76.438(3) -76.4376 Las longitudes de enlace y las energías están en unidades atómicas. En la tercera columna, enumeramos el número de funciones de estado de configuración (CSF) y número de determinantes (D) en la función de ensayo (ΦT). ETFN-DMC denota la energía DMC con ΦT = 0. ECEN-DMC denota la energía DMC con ExchangeCoulombf − = 0. E0 denota la masa nuclear exacta, no relativista, infinita energía. Los números mostrados en el soporte son barras de error. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 15 de 21) Nota complementaria para los revisores: 1. La teoría propuesta es tratar sólo real interactuando muchos sistemas de electrones. A empezar con sólo estado de tierra no degenerado de muchos sistemas de electrones son considerándolo. El autor no está interesado ni tiene la intención de tratar ningún tipo de no- sistemas de interacción tales como fermión libre, gases electrónicos libres, o partículas libres porque el autor piensa que ninguno del sistema real pertenece a ninguna de estas clases. Autor ha elegido construir la condición de límite desde el enlace entre el matemáticas formales y la física de muchos sistemas de electrones. 2. Diferencia entre los nodos espaciales y la superficie nodal de intercambio de Coulomb: Espero que la gente pueda distinguir los nodos espaciales y Coulomb Exchange nodos y la física detrás de los diferentes tipos de nodos. Lo que sea que he discutido en este papel es sólo sobre Coulomb-Exchange superficies nodales. No hay analogía. con una partícula en un nodo de caja y superficies nodales Coulomb-Exchange. Por ejemplo: La función f(r1,r2)=(r1-1)(r2-1)(r1-r2)exp(-2 r1-2 r2) es antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Sin embargo, el nodo (r1-1)(r2-1) es simétrico con respecto al intercambio de dos electrones y fijo y este nodo se puede comparar con los nodos de partícula en una caja. El nodo Coulomb-Exchange (r1-r2) es antisimétrico con respecto al intercambio de dos electrones y responsable de la eliminación de la singularidad en el potencial de interacción e-e. El Coulomb... Las superficies nodales de intercambio sólo ocurren en un sistema de más de un electrón sistemas. Autor entiende que las superficies nodal Coulomb-Exchange son directamente responsable de la existencia de muchos sistemas de electrones reales. 3. Una consecuencia de la solución propuesta del problema de los signos es que el terreno el estado del átomo de helio en el límite no relativista tiene una superficie nodal. Sin embargo, se entiende que la función de la onda del estado de tierra es simétrica y no tiene tal nodo. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 16 de 21) Una consecuencia de la solución propuesta para el problema de los signos es que el estado del suelo del átomo de Helio en el límite no relativista tiene nodal Coulomb-Exchange superficie, r1-r2=0. Un entendimiento de que la función de la onda del estado de tierra del átomo es simétrica y tiene ningún nodo de este tipo es sólo una ilusión. Esta ilusión surge debido a una práctica que el Personas QMC que usan la función de ensayo phi(1)*phi(2)*Jastrow, donde phi(r) es orbital 1. La función de ensayo es simétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Los función de ensayo también satisface la condición de cúspide del núcleo electrónico. También esperamos que la solución final cumplirá la condición de e-e cúspide. Puesto que la función de ensayo es simétrica, la gente obtuvo energía precisa y asumió que la solución final es también simétrica y no tiene ningún nodo también función de onda es no cero en el punto de coincidencia de dos electrones. ¿Dónde está el agujero de Coulomb? Sin embargo, puede demostrar que una solución simétrica no es aceptable. Las pruebas son las siguientes: “Prueba de la existencia del nodo Coulomb-Exchange en el suelo función de onda exacta del estado” A.) Asumamos ),( 21 rrsym Es una función exacta de onda simétrica. i.e. ),( 21 rrsym • = ),( 12 rrsym Desde ),( 21 rrsym Es exacto, debe satisfacer la condición de cúspide a 21 rr =. Claramente. hay una cúspide a 21 rr Ya que hay una cúspide a 21 rr = en ),( 21 rrsym *, la segunda derivada 2 ),( xrrsym no se define a 21 rr Por lo tanto ),( 21 rrsym No es una solución bien comportada y, por lo tanto, no es una función de onda aceptable. La única opción que queda es la solución antisimétrica. B.) Otra prueba: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 17 de 21) ),( 21 rr # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )()( 21 rrc ............(S-1) Donde { })(rr forma una verdadera base infinita de un electrón. Desde ),( 21 rr Se expande sobre la base infinita establecida y por lo tanto es exacto. Esto implica que ),( 21 rr Cumple la condición de cúspide a 21 rr ),( 21 = )()(21) 1 rrc . ............(S-2) El segundo derivado ),( 21 es continuo a 21 rr = porque cada término en la expansión es continua (las reglas de continuidad para las combinaciones algebraicas). Esto implica que no hay cúspide en ),( 21 rr A 21 rr PERO ),( 21 rr Tiene que cumplir la condición de cúspide a 21 rr Esto sólo es posible si ),( 21 rr • cambia el signo a 21 rr Y por lo tanto el exacto ),( 21 rr Tiene nodo de intercambio independientemente de su giro multiplicidad. C.) Ejemplo más ilustrativo: Hamiltoniano para el átomo: H =...............(S-3) y )2,1()2,1( EH.............(S-4) Let expand )2()1()2,1( c.............(S-5) Donde { })(r es un conjunto completo de funciones propias del Hamiltoniano 1+ 2 = con ecuación de valor propio )()(• rrh =. Reescribiendo el He Hamiltonian: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 18 de 21) H = = hh ++............(S-6) )2,1( )2()1()( )2,1( )2,1() )2,1( )2,1(­ > EL ............(S-7) Puesto que ) r es una función eigen de . Podemos escribir )2,1( )2()1() EL ............(S-8) dE ++= dE −+...............(S-9) )2,1( )2()1() EL ............(S-10) )2,1( )2()1( )2,1( )2()1( EL * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............(S-11) )2,1( )2()1( )2,1( )2,1( EL ............(S-12) )2,1( )2()1( EEL ............(S-13) Si )2,1(­ es exacto entonces ELE = __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 19 de 21) y )2,1( )2()1( ............(S-14) Ahora supongamos que la solución exacta es simétrica con respecto al intercambio de dos electrones. )2,1( y ) r se comportan bien y diferenciable. Del normas de continuidad para las combinaciones algebraicas, el término en la ecuación (S-14), )2,1( )2()1( dc es continuo y finito y no debe diferir cuando 012 →r. Por lo tanto, la solución simétrica no es aceptable. Sin embargo, si )2,1(­ = 0 a r12=0 entonces )2,1( )2()1( dc también divergirá y puede compensar la divergencia en 1/r12 término. Por lo tanto, la única solución aceptable es antisimétrica (con respecto al intercambio de dos electrones) solución. D.) Otro ejemplo: Casi todas las personas de QMC creen (su creencia se basa en algunas suposiciones y aproximaciones) que la función de la onda del estado de tierra del átomo es simétrica. Esto es un Ilusión. Esto puede entenderse de la siguiente manera: Tomemos funciones de prueba de dos sistemas de electrones: ( )221 1 xxb xxg 21 211 ),( = __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 20 de 21) ( ) eeexx Uxxxxg 21 22212 221),( ( ) eeexx Uxxxxg 21 22213 21),( − = Si alguien afirma que El estado de tierra es simétrico, ¿qué tipo de exacta ¿Las funciones de onda simétrica que finalmente están recibiendo? Las funciones g1 y g2 son simétrico con respecto al intercambio de dos electrones. Las funciones como g1, g2, y g3 puede satisfacer la condición de cúspide. Las funciones g1 y g2 no son diferenciables en x1=x2 y por lo tanto estos no son aceptables. La función antisimétrica g3 son diferenciable a x1=x2. Sin embargo, la gente tiene energía de estado de tierra muy precisa para el átomo que utiliza HF*La función de prueba de Jastrow y llegaron a la conclusión de que el átomo no tiene nodo sin examinar la probabilidad simultánea de encontrar dos electrones exactamente en el mismo lugar. Creo que obtuvieron buenos resultados debido a la belleza inherente de la técnica DMC. Las funciones g2 es simétrica y g3 es antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Sin embargo, g2*g2 y g3*g3 dan exactamente la misma probabilidad distribución, es decir, La misma física. Las funciones g2 y g3 desaparecen cuando x1=x2. Además, el El cálculo de VMC para g2 y g3 dará exactamente la misma energía. ¿Puede alguien predecir que las energías VMC obtenidas de g2 y g3 representan un estado singlet o triplet? I Estoy seguro de que no es posible. Una función de onda antisimétrica puede satisfacer la condición cúspide, así como es la derivada será continua simultáneamente en el punto de coincidencia. Toma. funciones de ondas simétricas y antisimétricas sirven a la misma distribución. ¿Por qué yo? no debe preferir la función de onda antisimétrica para la cual una condición de límite ¿Se puede imponer fácilmente? 4. Además, si asumo el argumento “La función de la onda de estado de tierra es simétrico y no tiene tal nodo” es correcto. El final será una tontería, que es el siguiente: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 21 de 21) Es muy común en el cálculo de QMC tomar el ensayo Hartree-Fock función como producto de los determinantes alfa-beta. Por ejemplo, átomo N: PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Det(1,2,3,4,5,6,7). PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Detα (1,2,3,4,5)*Detβ(6,7). PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Detα(1,2,3,4,5)*Detβ(6,7). Detα(1,2,3,4,5)*Detβ(6,7) فارسىDetα(1,2,3,4,7)*Detβ(6,5) La función de ensayo PSIT no es claramente simétrica ni antisimétrica con respeto al intercambio de electrones alfa-beta. No está claro para mí qué tipo de solución final (es decir, simétrico o antisimétrico) que vamos a obtener con este ensayo función nodo fijo DMC? El hecho de que no podemos escribir PSIexact = Phiα*Phiβ. 5. Es natural preguntar qué es el nodo de 3S Él átomo y por qué la gente está recibiendo energía muy precisa con nodo de intercambio r1-r2=0? Por el momento, sólo puedo decir que esto se debe al artefacto de la toma de muestras de importancia porque la gente ha usado la función de prueba de HF*Jastrow. La energía de correlación para He(3S) átomo es alrededor de 2mH y la superposición de la función de prueba de HF con la onda exacta se puede prever que la función sea superior al 99%. Tal vez por razones técnicas La solución final de DMC puede haber convergido con He(3S). He visto algunos recientes documentos sobre el nodo del sistema He(3S). Se afirma ampliamente que el nodo r1-r2=0 pertenece al sistema He(3S) y es exacto. Difiero con su argumento y probé que el nodo de intercambio r1-r2=0 pertenece al estado de tierra He. No sé si cualquier persona ha realizado el cálculo de DMC con una función de ensayo como psit(r1,r2)=(r1- r2)*exp(-2*r1)*exp(-2*r2) e informó de la energía para He( 3S). De todos modos, en la actualidad Sólo me interesa el estado terrestre no degenerado de los átomos y moléculas. El autor da la bienvenida a otros comentarios, preguntas y sugerencias, en su caso. Theochem@gmail.com

En un intento de eludir el problema de signos en la simulación cuántica de Monte Carlo de sistemas electrónicos en el marco del enfoque de nodo fijo, derivamos el principio de exclusión "Dos electrones no pueden estar en el mismo isopotencial externo superficie simultáneamente" utilizando el primer postulado de la mecánica cuántica. Nosotros proponer la superficie nodal exacta de Coulomb-Exchange, es decir. el límite exacto condición para resolver la ecuación Schrodinger no relativista para el estado terrestre no degenerado de átomos y moléculas. Esta condición límite era aplicado para calcular las energías del estado del suelo de N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, Sistemas O2, F2 y H2O utilizando el método de difusión Monte Carlo. El estado del suelo las energías así obtenidas concuerdan bien con la estimación exacta de no relativistas energías.

Microsoft Word - arxiv_prasadtext.doc __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 1 de 21) La condición límite exacta para resolver el Schrödinger Ecuación de muchos sistemas de electrones Rajendra Prasad Pueblo + Correo: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India Correo electrónico: Theochem@gmail.com En un intento de eludir el problema de signos en la simulación cuántica de Monte Carlo de sistemas electrónicos en el marco del enfoque de nodo fijo, derivamos la exclusión principio “Dos electrones no pueden estar en la misma superficie isopotencial externa al mismo tiempo” utilizando el primer postulado de la mecánica cuántica. Proponemos la exacta Coulomb-Exchange nodal surface, es decir, la condición límite exacta para resolver el no- la ecuación relativista de Schrödinger para el estado terrestre no degenerado de los átomos y moléculas. Esta condición límite se aplicó para calcular las energías del estado de tierra de Sistemas N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2 y H2O que utilizan la difusión Monte Carlo método. Las energías del estado del suelo así obtenidas concuerdan bien con la estimación exacta de energías no relativistas. INTRODUCCIÓN Un objetivo ideal de un químico/físico cuántico es resolver lo no relativista La ecuación de Schrödinger exactamente como describe gran parte del mundo de la química. Si podemos resolver esta ecuación a un costo realista, podemos hacer predicciones muy precisas. En la actualidad, sólo está disponible el método completo de CI para obtener la función exacta de onda dentro de un determinado base establecida, pero este método es demasiado exigente computacionalmente y por lo tanto no es asequible incluso para un sistema pequeño. En los últimos años se ha llamado cada vez más la atención sobre el enfoque de caminar al azar llamado método de difusión Monte Carlo (DMC)1 2 3 4 para resolver la ecuación de Schrödinger. Los __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 2 de 21) atractivo del método DMC radica en que puede tratar muchos problemas del cuerpo exactamente. Los El método DMC es un método de proyección basado en la combinación del tiempo imaginario Ecuación de Schrödinger, proceso de difusión estocástica generalizada, y Monte Carlo integración. La solución, que produce sólo tiene error estadístico, que puede ser correctamente estimado y, en principio, hecho tan pequeño como se desee. Desde que en el método DMC la onda función tiene que ser una densidad de población, por lo tanto, el método DMC sólo puede describir la solución de signo constante de la ecuación de Schrödinger. Esto plantea un problema grave si uno es interesado en la solución de un sistema de muchos electrones donde la función de onda es conocida por ser antisimétricos (es decir, tanto positivo como negativo) con respecto al intercambio de dos electrones. Esta situación se conoce como problema de signo de fermión en el cuántico Monte Carlo literatura1-4. La solución de este problema es una de las más sobresalientes de todas las física/química computacional. Este problema a menudo se entiende (mal) como un problema técnico. detalle que derrotar a los simuladores numéricos. A lo mejor de nuestro conocimiento no La metodología está disponible para manejar este problema de manera sistemática y controlada. Sin embargo, pensamos que es esencialmente un problema de límite exacto, que no se conoce para muchos sistemas de electrones para obtener soluciones de buen comportamiento de no relativistas Ecuación de Schrödinger. Entendemos que la frontera debe derivarse de la enlace entre las matemáticas formales y la física del mundo real. En este artículo, derivaremos la condición límite para la atómica y molecular sistemas para obtener soluciones de buen comportamiento (es decir, la solución de estado consolidado se valora en un solo valor, continua, cuadráticamente integrable y diferenciable) de electrónica no relativista Ecuación de Schrödinger. Para empezar, nos estamos ocupando de situaciones en las que el terreno el estado no es degenerado solamente. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 3 de 21) LA EXACTA CONDICIÓN BUNDARIA Tenemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: EH.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. donde es el operador electrónico no relativista independiente del tiempo Hamiltonian en el Aproximación de Born-Oppenheimer, E0 es el valor propio del suelo multielectrón completo Estado 0.............................................................................................................. El se define en unidades atómicas como sigue: = electrones electrones electrones 2 1)) 1° r...........(2) donde el potencial externo, Nuclei rV )( ,.............3) 2o es laplaciano, ZI denota carga nuclear, y rIi y rij simbolizan el electrón-núcleo y distancia electrón-electrón, respectivamente. Siguiendo el teorema de Hohenberg-Kohn I, una prueba sólo de la existencia5, el electrón densidad )(0 r En el estado del suelo 0° es un funcional de ) rV , es decir, )0 r * = )]([0 rV * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * .................................................................................................................................................... 4) Además, el estado de tierra de muchos electrones 0o es funcional único de )0 r ................................................................................................... = )]([ 00 r * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ....................................(5) Evidentemente podemos decir que 0o es un funcional de )rV i.e. = )]([0 rV * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............................................ 6) Tenemos la opción de expresar la densidad exacta: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 4 de 21) )]([0 rV ...................................................................................... 2 )]([ *....................(7)................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Donde N denota número de electrones. Las funciones, { }NirVi....1)],([ = Son exactos. funciones de un electrón ortonormal de la función ) rV , que dan exacta )]([0 rV (Precaución al lector!! Por el momento, aquí no hay nada que ver con los llamados s, p, d, f,..etc. tipo orbitales. Las funciones { }NirVi....1)],([ = • son completamente diferentes de los orbitales obtenidos de Kohn-Sham6 o formalismos similares.) Ahora podemos escribir la función exacta de la onda de estado de tierra de N electrones como una función de N funciones exactas de un electrón { }NirVi....1)],([ = [[)]]([)],...,([)],([]],[[ 10 NN rVrVrV ......(8) o [[22110 NN rVrVrV]]([)],...,([)],([[22110 NN rVrVrV .......(9) Puesto que cada electrón funciona en { }NirVi....1)],([ = Es una función de external potencial ) rV , también podemos escribir la función exacta de onda de estado de tierra de N electrones en forma funcional, según se indica: 1 = )](),...,(),([ 210 NrVrVrV •................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto, la función exacta de la onda de estado de tierra no degenerada del electrón N es una única funcional del potencial externo experimentado por cada electrón, es decir, funcional de )),...,(),(21 NrVrVrV Hasta ahora, no está claro: • Si la función de onda es simétrica o antisimétrica con respecto a intercambio de cualquiera de los dos electrones. • ¿Cuáles son las formas analíticas de { }NirVi....1)],([ = • ¿Cuál es la forma analítica de la función de onda exacta? __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 5 de 21) • Cómo obtener la función de onda exacta de la densidad exacta. Sin embargo, tenemos una idea de la topología de un estado no- función de onda degenerada y funciones de distribución en un potencial externo dado ) rV En particular: “La probabilidad de encontrar n-electrones (donde n = 2..N) simultáneamente en la superficie isopotencial de un potencial externo ) rV Es lo mismo. independientemente de las posiciones de los electrones en la superficie. Ahora procedemos a decidir la naturaleza (simétrico o antisimétrico con respecto a intercambio de cualquiera de los dos electrones) de una función bien comportada de muchas ondas de electrones. Definir la energía local, EL: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # electrones electrones electrones Nuclei 11 10 .............(11) Los términos III rZ y ijr1 en la ecuación (11) explotarán si 0→Ir y 0→ijr a menos que las llamadas condiciones de cúspide son obedecidas por 0. El 0o es exacto y obedece al núcleo de electrones (e-N) y condiciones de cúspide de electrón (e-e). La función de onda de un sistema de partículas idénticas N debe ser simétrica o antisimétrico con respecto al intercambio de cualquiera de las dos partículas idénticas, i y j. Puesto que las partículas N son todas idénticas, no podríamos tener la función de onda simétrica con respecto a algunos intercambios y antisimétricos con respecto a otros intercambios. Por lo tanto, la función de onda de N partículas idénticas debe ser simétrica o antisimétrico con respecto a cada posible intercambio de dos partículas. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 6 de 21) Asumamos que 0o es simétrico con respecto al intercambio de electrones i y j. Hay una cúspide en 0° en rij = 0. Esto implica que 0- no es diferenciable en rij = 0. Por lo tanto, 0-, simétrico con respecto al intercambio de cualquiera de los dos electrones no es un bien- La solución se comportó. Para hacer una función de onda bien comportada de 0°, 0° debe ser cero cuando rij = 0 y también debe cambiar el signo con respecto al intercambio de dos electrones, es decir. si ji rr = a continuación, 0-= 0. Esta condición es universal e independiente del tipo de potencial. Sin embargo, estamos interesados en una solución de buen comportamiento de un Estado vinculado en un dado el potencial externo ) rV . Desde el argumento anterior, sabemos que el probabilidad simultánea de encontrar dos electrones es igual en todas partes en el isopotencial superficie. Por lo tanto, si ) irV - ) jrV = 0, entonces 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Extendiéndose al sistema de electrones N, tenemos Si ( ) 0()() =−= Π rVrVf entonces 0- = 0. También podemos expresar f como determinante de Vandermonde: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 11...11 rVrVrVrVrV rVrVrVrVrV rVrVrVrVrV rVrVf =−= Π...(12) En consecuencia, tenemos el principio de exclusión en la forma siguiente: “Dos electrones no pueden estar en la misma superficie isopotencial externa simultáneamente.” Vemos que si estamos interesados en una solución bien comportada de la época ecuación independiente de Schrödinger, la condición límite (12) (es decir, ondas antisimétricas función) se obtiene naturalmente debido a la singularidad en el potencial de interacción e-e, que respeta el principio de exclusión de Pauli. Si los electrones i y j son de giro opuesto entonces decimos __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 7 de 21) que ) irV - ) jrV = 0 representa la superficie de Coulomb (nodal). Si los electrones i y j son de la misma spin a continuación ) irV - ) jrV = 0 representa la superficie nodal de Coulomb-Exchange. Todos juntos, el ( ) 0()() =−= Π rVrVf representa la superficie nodal Coulomb-Exchange de N sistema de electrones. En lo sucesivo, llamaremos a f como ExchangeCoulombf − superficie nodal. Sin embargo, el solución obtenida para el Hamiltoniano (2) dentro del límite ExchangeCoulombf − = 0 no Háblenos de la multiplicidad de giros del sistema de electrones N. Además, podemos reescribir la función f en términos de polinomios de Hermite, )]([ rVH k )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ )]([)]([....)]([)]([ 1112111 2122212 1112111 0102010 NNNNNN rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH rVHrVHrVHrVH * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * =.....(13) En particular, si multiplicamos un electrón funcional optimizable )]([ rV ecuación (13) y obtenemos una función de onda de electrones N: )]([)]([)]......([)]([)]([ 21 rVfrVrVrVNormrV N rrrrr ............................................(14) La densidad de un electrón funcional corresponde a la función de onda (14): ′′ = ′ 1111 )]([)]([)]([)]([)](]);([ kkk rVHrVHARVrVrVrVrVrVrV rrrrrr ...................(15) donde Ak es constante de normalización de )]([)]([ rVrV k La densidad de dos electrones funcional en términos de densidad de un electrón funcional: )]();([)]();([)]();([)]();([ )](),();(),([ 21122211 rVrVrVrVrVrVrVrVrVrVrV rVrVrVrVrV = rrrrrrrr ......(16) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 8 de 21) Aquí parece que podemos obtener energía exacta del estado del suelo optimizando sólo una- electrón funcional )]([ rV», en la ecuación (14). Una física muy interesante y nueva obtenida de la ecuación (13) es que cada uno fila en el determinante representa diferente nivel (k) de Kamalpur respiración (anarmónica respiración cuántica) de nube de electrones en un potencial externo dado (rV y cada nivel, k está ocupado por un electrón (la partícula elemental). PASANDO EL PROBLEMA DE LA SEÑAL Podemos evitar el problema del signo de fermión en la difusión electrónica de la estructura Método Monte Carlo (DMC) usando enfoque de nodo fijo. Aquí uno asume un prior conocimiento de la superficie nodal, es decir, 0(R) = 0. Debido a las propiedades de alicatado 7 del terreno exacto función de onda de estado, la ecuación de Schrödinger se resuelve en el volumen abrazado por el superficie nodal, donde la función de onda tiene un signo constante y de esta manera el fermión El problema de la señal se pasa por alto. El conocimiento exacto de Coulomb Exchange superficie nodal nos permite una solución estocástica exacta de la ecuación de Schrödinger. La restricción en el paseo aleatorio RR â € durante la difusión electrónica de la estructura Monte Carlo la simulación es la siguiente: rechazar aceptar RfRf ExchangeCoulombExchangeCoulomb )().............(17) Hemos aplicado la condición de frontera (17) para el estado de tierra electrónica difusión de la estructura simulación de Monte Carlo de N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2, y Sistemas H2O. Los cálculos de Monte Carlo se pueden realizar utilizando conjuntos de puntos aleatorios seleccionados de cualquier distribución de probabilidad arbitraria. La elección de la distribución hace obviamente una __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 9 de 21) diferencia con respecto a la eficiencia del método. Si se realizan los cálculos de Montecarlo utilizando distribuciones de probabilidad uniformes, estimaciones muy pobres de integrales de alta dimensión se obtienen, que no es un método útil de aproximación. Estos problemas son manejados introduciendo el método de muestreo de importancia8 9. En este enfoque, el muestreo los puntos se eligen de una distribución de prueba, que se concentra en los puntos donde el ensayo función, ΦT(R) es grande. En los cálculos DMC actuales, hemos elegido la función de ensayo, ΦT en el forma: ΦT = Φ.F,....(18) donde Φ denota el campo de autoconsistencia de Hartree Fock (HF) o de configuración múltiple (MCSCF) función de onda y F es una función de correlación que depende de inter-partículas distancias. Las funciones de onda HF y MCSCF se obtuvieron utilizando el GAMESS paquete10 y empleo de la base atómica cc-VTZ de Dunning conjunto 11. Con el fin de satisfacer la núcleo electrónico (e-N) cúspide condición, todas las funciones de base Gaussian tipo s fueron reemplazados con ocho funciones de base de tipo Slater. Los exponentes de las funciones de tipo Slater fueron: tomado de Koga et al. 12 y satisfacer la condición e-N cúspide. Hemos elegido la correlación Schmidt, Moskowitz, Boys y Handy (SMBH) función FSMBH 13. Para la función de correlación SMBH, Eqn. (19), hemos incluido términos hasta el segundo orden, donde el orden, s se define como s = l + m + n. ( ) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * átomos electrones iAASMBH rrrrrcF exp...........(19) donde .............(20) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 10 de 21) y r denota distancia entre partículas. Seis parámetros no redundantes del total de diez se optimizaron manteniendo b = 1,0 como sigue: 1) Primero obtuvimos parámetros óptimos minimizando la energía y varianza en el nivel de variación de Monte Carlo (VMC). 2) Utilizando esta función de ensayo óptima VMC, la función de ensayo nodo fijo DMC El cálculo se llevó a cabo y los caminantes fueron recogidos después de cada 2000 pasos. Además, los parámetros de correlación fueron reoptimizados para minimizar la varianza con - 100.000 caminantes. Aquí la energía de referencia se estableció en el nodo fijo de la función de prueba Energía DMC. Estas funciones de ensayo optimizadas fueron utilizadas para el muestreo de importancia en el DMC simulación y una caminata al azar RR fue aceptado si 0)) RfRf ExchangeCoulombExchangeCoulomb. Los cálculos de DMC se realizaron utilizando el cuántico de código abierto Monte Programa Carlo, ZORI14. Se utilizaron alrededor de 10.000 caminantes para los sistemas estudiados. Los El algoritmo Umrigar et al.15 fue usado para caminatas DMC y Caffarel Assaraf et al.16 algoritmo para el control de población. Hemos permitido que sólo un electrón camine a la vez. Los Los cálculos de DMC se realizaron en varias etapas. Sólo informamos de esas energías. extrapolado a cero paso de tiempo. Presentamos las energías DMC del estado de tierra de N, Ne, Li2, Be2, B2, C2, N2, O2, F2, Sistemas H2O y H2O del cuadro I. Las energías DMC obtenidas usando nuestro nuevo derivado límite ExchangeCoulombf − = 0 son mucho mejores que la función de ensayo nodo fijo DMC Energias17 y comparar bien con la contraparte experimental. Sin embargo, en la actualidad simulaciones eran ruidosas y desagradables en comparación con la función de ensayo convencional fijo simulaciones DMC de nodo. Vale la pena señalar que hemos obtenido la energía DMC incluso menor que el valor exacto en pasos de menor tiempo para los átomos de relativamente mayor atómico __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 11 de 21) radio tal vez debido a la falla de las distribuciones para alcanzar el estado estacionario o equilibrio distribuciones en un número finito de pasos. Este problema se puede tratar en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial de la Comisión de Asuntos Económicos y de Política Industrial. función cuántica Monte Carlo (GFQMC) método ya que toma la ventaja de la propiedades de las funciones de Green en la eliminación de paso de tiempo completamente en el tratamiento de la constante ecuación de estado. El GFQMC es muy adecuado si los límites son exactamente conocidos18. Si el juicio límite de la función y el ExchangeCoulombf − = 0 no coincide y también valores distintos de cero de la función de ensayo son muy diferentes de la solución exacta, que podría conducir a grandes fluctuaciones estadísticas desde un muestreo deficiente y, posiblemente, a una eficacia no ergódica proceso de difusión debido al tiempo de proyección finito en cálculos prácticos. Por lo tanto, nosotros están buscando una alternativa bien comportada función de prueba cuyo límite coincide con los de ExchangeCoulombf −. CONCLUSIÓN Este artículo presenta un avance de la investigación del autor con el fin de obtener exacto solución de la ecuación Schrödinger no relativista de muchos sistemas de electrones. Una conclusión de esto en la investigación en curso es que hemos derivado el principio de exclusión “Dos electrones no puede estar en la misma superficie isopotencial externa simultáneamente” utilizando el primer postulado de la mecánica cuántica. Proponemos la superficie nodal exacta de Coulomb-Exchange, es decir. la límite exacto para resolver la ecuación no relativista de Schrödinger para no degenerar estado terrestre de los átomos y moléculas. Usando esta condición límite recién derivada, uno puede pasar por alto el problema de signo de fermión en la estructura electrónica Quantum Monte Carlo simulación y por lo tanto la energía exacta del estado del suelo, así como la densidad exacta de electrones. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 12 de 21) REFERENCIAS 1. Anderson, J. B. Una simulación de caminata aleatoria de la ecuación de Schrödinger: +3H. J. Chem. Phys. 63, 1499-1503 (1975) 2. Ceperley, D. M. & Mitas, L. en Nuevos Métodos en Mecánica Cuántica, I. Prigogine, S. A. Rice, Eds., (John Wiley and Sons, Nueva York, 1996), Vol. 93. 3. Hammond, B. L., Lester, Jr, W. A. & Reynolds, P. J. 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Gaussian conjuntos de base para su uso en cálculos moleculares correlacionados. I. Los átomos boro a través de neón e hidrógeno. J. Chem. Phys. 90, 1007-1023 (1989) __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 13 de 21) 12. Koga, T., Kanayama, K., Watanabe, S. & Thakkar, A. J. Analytical Hartree-Fock funciones de onda sujetas a cúspide y restricciones asintóticas: He a Xe, Li+ a Cs+, H- a I-. Int. J. Quantum Chem. 71, 491-497 (1999) 13. Schmidt, K. E. & Moskowitz, J. W. Correlated Monte Carlo funciones de la onda para el átomos Él a través de Ne. J. Chem. Phys. 93, 4172-4178 (1990) 14. Aspuru-Guzik, A. et al. Zori 1.0: Un electrónico cuántico paralelo de Monte Carlo paquete de estructura. J. Comp. Chem. 26, 856-862 (2005) 15. Umrigar, C. J., Nightingale, M.P. & Runge, K.J. Un algoritmo de difusión de Monte Carlo con pequeños errores en el paso del tiempo. J. Chem. Phys. 99.2865-2890 (1993) 16. Assaraf, R., Caffarel, M. & Khelif, A. Diffusion Monte Carlo métodos con un fijo número de caminantes. Phys. Rev. E. 61, 4566-4575 (2000) 17. Filippi, C. & Umrigar, C. J. Funciones de onda multiconfiguración para Monte cuántico Carlo cálculos de moléculas diatómicas de primera fila. J. Chem. Phys. 105, 213-226 (1996) 18. Kalos, M. H., Monte Carlo Cálculos del Estado de Tierra de Tres y Cuatro- Cuerpo Nuclei. Phys. Rev. 128, 1791-1795 (1962) AGRADECIMIENTOS Los cálculos de QMC se llevaron a cabo en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley, Berkeley. El autor agradece al Profesor W. A. Lester su apoyo durante la estancia en Berkeley. El autor está en deuda con el profesor P. Chandra de Banaras Universidad Hindu, Varanasi por su interés y discusión útil durante la preparación del manuscrito. Profesor S. K. Sengupta de la Universidad Hindú de Banaras, Varanasi es reconocido por la lectura cuidadosa del manuscrito. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 14 de 21) CUADRO I. Las energías totales del estado del suelo obtenidas a partir del cálculo de DMC de nodo fijo. Átomo / Molécula Bono longitud CSF,D ETFN-DMC (Ref. 17) ECEN-DMC (Extrapolado a 0) E0 -, 111 -54.5753(3) -54.5841(5) -54.5902(11) -54.5892 Ne 1,1-128.9216(15) -128,938(1) -128,9375 Li2 5,051 -14.9911(1) -14.9938(1) -14.9955(5) -14.9954 Be2 4,63 5,16 -29.3176(4) -29.3301(2) -29.3378(15) -29.33854(5) B2 3.005 6,11 -49.3778(8) -49.3979(6) -49.41655(45) -49.415(2) C2 2,3481 4,16 77, 314 -75.8613(8) -75.8901(7) -75.9035(9) -75.9229(19) -75.923(5) 2.068 4,17 -, 552 -109.487.1 -109.505(1) -109.520(3) -109.5424(15) -109.5423 O2 2.282 -150.268(1) -150.277.1 -150.3274(15) -150.3268 F2 2,68 -199.478(2) -199.487.1 -199.5289(25) -199.5299 -199.52891(4) H2O -, 300 -76.4175(4) -76.429(1) -76.4376(11) -76.438(3) -76.4376 Las longitudes de enlace y las energías están en unidades atómicas. En la tercera columna, enumeramos el número de funciones de estado de configuración (CSF) y número de determinantes (D) en la función de ensayo (ΦT). ETFN-DMC denota la energía DMC con ΦT = 0. ECEN-DMC denota la energía DMC con ExchangeCoulombf − = 0. E0 denota la masa nuclear exacta, no relativista, infinita energía. Los números mostrados en el soporte son barras de error. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 15 de 21) Nota complementaria para los revisores: 1. La teoría propuesta es tratar sólo real interactuando muchos sistemas de electrones. A empezar con sólo estado de tierra no degenerado de muchos sistemas de electrones son considerándolo. El autor no está interesado ni tiene la intención de tratar ningún tipo de no- sistemas de interacción tales como fermión libre, gases electrónicos libres, o partículas libres porque el autor piensa que ninguno del sistema real pertenece a ninguna de estas clases. Autor ha elegido construir la condición de límite desde el enlace entre el matemáticas formales y la física de muchos sistemas de electrones. 2. Diferencia entre los nodos espaciales y la superficie nodal de intercambio de Coulomb: Espero que la gente pueda distinguir los nodos espaciales y Coulomb Exchange nodos y la física detrás de los diferentes tipos de nodos. Lo que sea que he discutido en este papel es sólo sobre Coulomb-Exchange superficies nodales. No hay analogía. con una partícula en un nodo de caja y superficies nodales Coulomb-Exchange. Por ejemplo: La función f(r1,r2)=(r1-1)(r2-1)(r1-r2)exp(-2 r1-2 r2) es antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Sin embargo, el nodo (r1-1)(r2-1) es simétrico con respecto al intercambio de dos electrones y fijo y este nodo se puede comparar con los nodos de partícula en una caja. El nodo Coulomb-Exchange (r1-r2) es antisimétrico con respecto al intercambio de dos electrones y responsable de la eliminación de la singularidad en el potencial de interacción e-e. El Coulomb... Las superficies nodales de intercambio sólo ocurren en un sistema de más de un electrón sistemas. Autor entiende que las superficies nodal Coulomb-Exchange son directamente responsable de la existencia de muchos sistemas de electrones reales. 3. Una consecuencia de la solución propuesta del problema de los signos es que el terreno el estado del átomo de helio en el límite no relativista tiene una superficie nodal. Sin embargo, se entiende que la función de la onda del estado de tierra es simétrica y no tiene tal nodo. __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 16 de 21) Una consecuencia de la solución propuesta para el problema de los signos es que el estado del suelo del átomo de Helio en el límite no relativista tiene nodal Coulomb-Exchange superficie, r1-r2=0. Un entendimiento de que la función de la onda del estado de tierra del átomo es simétrica y tiene ningún nodo de este tipo es sólo una ilusión. Esta ilusión surge debido a una práctica que el Personas QMC que usan la función de ensayo phi(1)*phi(2)*Jastrow, donde phi(r) es orbital 1. La función de ensayo es simétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Los función de ensayo también satisface la condición de cúspide del núcleo electrónico. También esperamos que la solución final cumplirá la condición de e-e cúspide. Puesto que la función de ensayo es simétrica, la gente obtuvo energía precisa y asumió que la solución final es también simétrica y no tiene ningún nodo también función de onda es no cero en el punto de coincidencia de dos electrones. ¿Dónde está el agujero de Coulomb? Sin embargo, puede demostrar que una solución simétrica no es aceptable. Las pruebas son las siguientes: “Prueba de la existencia del nodo Coulomb-Exchange en el suelo función de onda exacta del estado” A.) Asumamos ),( 21 rrsym Es una función exacta de onda simétrica. i.e. ),( 21 rrsym • = ),( 12 rrsym Desde ),( 21 rrsym Es exacto, debe satisfacer la condición de cúspide a 21 rr =. Claramente. hay una cúspide a 21 rr Ya que hay una cúspide a 21 rr = en ),( 21 rrsym *, la segunda derivada 2 ),( xrrsym no se define a 21 rr Por lo tanto ),( 21 rrsym No es una solución bien comportada y, por lo tanto, no es una función de onda aceptable. La única opción que queda es la solución antisimétrica. B.) Otra prueba: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 17 de 21) ),( 21 rr # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # )()( 21 rrc ............(S-1) Donde { })(rr forma una verdadera base infinita de un electrón. Desde ),( 21 rr Se expande sobre la base infinita establecida y por lo tanto es exacto. Esto implica que ),( 21 rr Cumple la condición de cúspide a 21 rr ),( 21 = )()(21) 1 rrc . ............(S-2) El segundo derivado ),( 21 es continuo a 21 rr = porque cada término en la expansión es continua (las reglas de continuidad para las combinaciones algebraicas). Esto implica que no hay cúspide en ),( 21 rr A 21 rr PERO ),( 21 rr Tiene que cumplir la condición de cúspide a 21 rr Esto sólo es posible si ),( 21 rr • cambia el signo a 21 rr Y por lo tanto el exacto ),( 21 rr Tiene nodo de intercambio independientemente de su giro multiplicidad. C.) Ejemplo más ilustrativo: Hamiltoniano para el átomo: H =...............(S-3) y )2,1()2,1( EH.............(S-4) Let expand )2()1()2,1( c.............(S-5) Donde { })(r es un conjunto completo de funciones propias del Hamiltoniano 1+ 2 = con ecuación de valor propio )()(• rrh =. Reescribiendo el He Hamiltonian: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 18 de 21) H = = hh ++............(S-6) )2,1( )2()1()( )2,1( )2,1() )2,1( )2,1(­ > EL ............(S-7) Puesto que ) r es una función eigen de . Podemos escribir )2,1( )2()1() EL ............(S-8) dE ++= dE −+...............(S-9) )2,1( )2()1() EL ............(S-10) )2,1( )2()1( )2,1( )2()1( EL * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............(S-11) )2,1( )2()1( )2,1( )2,1( EL ............(S-12) )2,1( )2()1( EEL ............(S-13) Si )2,1(­ es exacto entonces ELE = __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 19 de 21) y )2,1( )2()1( ............(S-14) Ahora supongamos que la solución exacta es simétrica con respecto al intercambio de dos electrones. )2,1( y ) r se comportan bien y diferenciable. Del normas de continuidad para las combinaciones algebraicas, el término en la ecuación (S-14), )2,1( )2()1( dc es continuo y finito y no debe diferir cuando 012 →r. Por lo tanto, la solución simétrica no es aceptable. Sin embargo, si )2,1(­ = 0 a r12=0 entonces )2,1( )2()1( dc también divergirá y puede compensar la divergencia en 1/r12 término. Por lo tanto, la única solución aceptable es antisimétrica (con respecto al intercambio de dos electrones) solución. D.) Otro ejemplo: Casi todas las personas de QMC creen (su creencia se basa en algunas suposiciones y aproximaciones) que la función de la onda del estado de tierra del átomo es simétrica. Esto es un Ilusión. Esto puede entenderse de la siguiente manera: Tomemos funciones de prueba de dos sistemas de electrones: ( )221 1 xxb xxg 21 211 ),( = __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 20 de 21) ( ) eeexx Uxxxxg 21 22212 221),( ( ) eeexx Uxxxxg 21 22213 21),( − = Si alguien afirma que El estado de tierra es simétrico, ¿qué tipo de exacta ¿Las funciones de onda simétrica que finalmente están recibiendo? Las funciones g1 y g2 son simétrico con respecto al intercambio de dos electrones. Las funciones como g1, g2, y g3 puede satisfacer la condición de cúspide. Las funciones g1 y g2 no son diferenciables en x1=x2 y por lo tanto estos no son aceptables. La función antisimétrica g3 son diferenciable a x1=x2. Sin embargo, la gente tiene energía de estado de tierra muy precisa para el átomo que utiliza HF*La función de prueba de Jastrow y llegaron a la conclusión de que el átomo no tiene nodo sin examinar la probabilidad simultánea de encontrar dos electrones exactamente en el mismo lugar. Creo que obtuvieron buenos resultados debido a la belleza inherente de la técnica DMC. Las funciones g2 es simétrica y g3 es antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones. Sin embargo, g2*g2 y g3*g3 dan exactamente la misma probabilidad distribución, es decir, La misma física. Las funciones g2 y g3 desaparecen cuando x1=x2. Además, el El cálculo de VMC para g2 y g3 dará exactamente la misma energía. ¿Puede alguien predecir que las energías VMC obtenidas de g2 y g3 representan un estado singlet o triplet? I Estoy seguro de que no es posible. Una función de onda antisimétrica puede satisfacer la condición cúspide, así como es la derivada será continua simultáneamente en el punto de coincidencia. Toma. funciones de ondas simétricas y antisimétricas sirven a la misma distribución. ¿Por qué yo? no debe preferir la función de onda antisimétrica para la cual una condición de límite ¿Se puede imponer fácilmente? 4. Además, si asumo el argumento “La función de la onda de estado de tierra es simétrico y no tiene tal nodo” es correcto. El final será una tontería, que es el siguiente: __________________________________________________________________________________________________________ La condición límite exacta para resolver la ecuación de Schrödinger de muchos sistemas eléctricos Por Rajendra Prasad, Village + Post: Kamalpur, Distrito: Chandauli, Uttar Pradesh, PIN: 232106, India E-mail: Theochem@gmail.com 4/3/2007 (Página 21 de 21) Es muy común en el cálculo de QMC tomar el ensayo Hartree-Fock función como producto de los determinantes alfa-beta. Por ejemplo, átomo N: PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Det(1,2,3,4,5,6,7). PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Detα (1,2,3,4,5)*Detβ(6,7). PSIT(1,2,3,4,5,6,7) = Detα(1,2,3,4,5)*Detβ(6,7). Detα(1,2,3,4,5)*Detβ(6,7) فارسىDetα(1,2,3,4,7)*Detβ(6,5) La función de ensayo PSIT no es claramente simétrica ni antisimétrica con respeto al intercambio de electrones alfa-beta. No está claro para mí qué tipo de solución final (es decir, simétrico o antisimétrico) que vamos a obtener con este ensayo función nodo fijo DMC? El hecho de que no podemos escribir PSIexact = Phiα*Phiβ. 5. Es natural preguntar qué es el nodo de 3S Él átomo y por qué la gente está recibiendo energía muy precisa con nodo de intercambio r1-r2=0? Por el momento, sólo puedo decir que esto se debe al artefacto de la toma de muestras de importancia porque la gente ha usado la función de prueba de HF*Jastrow. La energía de correlación para He(3S) átomo es alrededor de 2mH y la superposición de la función de prueba de HF con la onda exacta se puede prever que la función sea superior al 99%. Tal vez por razones técnicas La solución final de DMC puede haber convergido con He(3S). He visto algunos recientes documentos sobre el nodo del sistema He(3S). Se afirma ampliamente que el nodo r1-r2=0 pertenece al sistema He(3S) y es exacto. Difiero con su argumento y probé que el nodo de intercambio r1-r2=0 pertenece al estado de tierra He. No sé si cualquier persona ha realizado el cálculo de DMC con una función de ensayo como psit(r1,r2)=(r1- r2)*exp(-2*r1)*exp(-2*r2) e informó de la energía para He( 3S). De todos modos, en la actualidad Sólo me interesa el estado terrestre no degenerado de los átomos y moléculas. El autor da la bienvenida a otros comentarios, preguntas y sugerencias, en su caso. Theochem@gmail.com

Clustering features of $^9$Be, $^{14}$N, $^7$Be, and $^8$B nuclei in relativistic fragmentation

Características de agrupamiento de los núcleos 9Be, 14N, 7Be y 8B en relativista fragmentación D. A. Artemenkov,* T. V. Shchedrina, R. Stanoeva, y P. I. Zarubin† Iniciativa conjunta para la investigación nuclear, Dubna (Rusia) (Fecha: 10 de noviembre de 2021) Resumen Estudios recientes de agrupamiento en núcleos de luz con una energía inicial superior a 1 A GeV en arqueta nuclear La emulsión es una visión general. Los resultados de las investigaciones de la fragmentación de núcleos 9Be relativista en emulsión, que implica la producción de fragmentos He, se presentan. Se muestra que la mayoría medidas angulares precisas proporcionadas por esta técnica juegan un papel crucial en la restauración de la espectro de excitación del sisytem de partículas α. En las interacciones periféricas los núcleos 9Be están disociados prácticamente totalmente a través de los estados 0+ y 2+ del núcleo 8Be. Los resultados de las investigaciones de la disociación de un núcleo de impulso de 14N 2.86 A GeV/c en emulsión se presentan como ejemplo de sistema más complicado. El impulso y la correlación características de las partículas α para el canal 14N→3α +X en el sistema de laboratorio y el resto se consideraron en detalle los sistemas de partículas 3α. Topología de fragmentos cargados producidos en disociación relativista periférica de 8B radioactivos, 7Se estudian los núcleos de la emulsión. Números PACS: 21.45.+v, 23.60+e, 25.10.+s * Dirección electrónica: artemenkov@lhe.jinr.ru †Dirección electrónica: zarubin@lhe.jinr.ru; URL: http://becquerel.lhe.jinr.ru http://arxiv.org/abs/0704.0384v1 mailto:artemenkov@lhe.jinr.ru mailto:zarubin@lhe.jinr.ru http://becquerel.lhe.jinr.ru I. INTRODUCCIÓN La fragmentación periférica de los núcleos relativistas de la luz puede servir como miento sobre sus salidas por encima de los umbrales de decaimiento de partículas, incluido el final de muchos cuerpos estados. Las interacciones de este tipo son provocadas ya sea en electromagnético y difracción procesos, o en colisiones de nucleones a pequeña superposición de las densidades del núcleo colisionante. A el núcleo fragmentante obtiene un espectro de excitación cerca de los umbrales de disociación de racimos. En la región cinética de fragmentación de un núcleo relativista se producen nucleares sistemas de fragmentos, la carga total de la misma está cerca de la carga de núcleo padre. Un pariente intensidad de formación de fragmentos de diversas configuraciones hace posible estimar la importancia de los diferentes modos de agrupación. El ángulo de apertura del cono de fragmentación relativista está determinado por el Fermi- momento de los cúmulos de nucleones en un núcleo. Estar normalizados a los números de masa se concentran con una dispersión de unos pocos por ciento cerca del impulso normalizado de el núcleo primario. Al seleccionar eventos con disociación de un proyectil en un estrecho fragmentación del cono vemos que los fragmentos no relativistas del nucleo-objetivo están ausentes “White”stars in Ref.[1]), o su número es insignificante. Los fragmentos del objetivo son fácilmente separado de los fragmentos de un proyectil relativista desde su fracción en el ángulo angular El cono de fragmentación relativista es pequeño y poseen valores de impulso no relativista. En la fragmentación periférica de un núcleo relativista con carga Z la ionización inducido por los fragmentos puede disminuir a un factor Z, mientras que la ionización por uno pista – hasta Z2. Por lo tanto, el experimento debe proporcionar un rango de detección adecuado. In para reconstruir un evento, una información cinemática completa sobre las partículas en el Cono de fragmentación relativista es necesario que, por ejemplo, permite calcular la invariante masa del sistema. La exactitud de su estimación depende decisivamente de la exactitud de la resolución angular de la pista. Para garantizar la mejor resolución angular, es necesario que La detección de fragmentos relativistas debe realizarse con la mejor resolución espacial. La técnica de la emulsión nuclear, que subyace al proyecto BECQUEREL en el JINR Nuclotron [2] cumple bien los requisitos antes mencionados. Está dirigido a un sistema sistemático búsqueda de modos de fragmentación periférica con provisión estadística a un nivel de decenas eventos, su clasificación y metrología angular. Las emulsiones proporcionan las mejores res- olución (aproximadamente 0,5 μm) que permite separar las vías de partículas cargadas en el FIG. 1: Un evento del tipo de estrella “blanca” de la fragmentación de un núcleo relativista 9Be en dos Se fragmenta en emulsión. La fotografía fue obtenida en el complejo PAVIKOM(FIAN). imagen tridimensional de un evento dentro de un espesor de una capa (600 μm) y garantizar un alto precisión de las mediciones del ángulo. Las vías de los núcleos relativistas H y He están separadas por la vista. Como regla general, en la fragmentación periférica de un núcleo de luz su carga puede ser determinado por la suma de los cargos de fragmentos relativistas. Dispersión de partículas múltiples Las mediciones en las huellas de fragmentos de luz permiten separar los isótopos H y He. Análisis de los productos de la fragmentación relativista de isótopos con deficiencia de neutrones tiene algunas ventajas adicionales debido a una mayor fracción de nucleones observables y min- distorsiones de Coulomb imal. Detalles de irradiación y un análisis especial de las interacciones en el La emulsión BR-2 se presenta en Ref. [3, 4]. En lo que sigue, damos los primeros resultados de el estudio de la fragmentación de los núcleos 9Be,8B, 7Be 14N con unas pocas energías A GeV que son obtenido con el uso de una parte del material analizado. II. FRAGMENTACIÓN DE 9BE NUCLEI El núcleo 9Be es un sistema flojo n. El umbral de energía de la 9Be→n canal de disociación es 1.57 MeV. El estudio de la fragmentación 9Be en energía relativista da la posibilidad de observar los fragmentos de reacción, que son los productos de desintegración de unbound 8Be y 5He núcleos. El método de las emulsiones nucleares utilizado en el presente documento permite observar componente cargado del canal de fragmentación 9Be→2He+n relativista. Debido a una buena resolución angular de este método es posible separar la fragmentación 9Be eventos, que acompañados de la producción de un núcleo inestable 8Be con su posterior la separación a dos unas partículas. En este caso, la ausencia de un fondo combinatorio (de tres y más partículas α) para 9Be, que es típico para núcleos Nα más pesados 12C y 16O lo hace posible observar claramente este cuadro. Las emulsiones nucleares fueron expuestas a núcleos relativistas 9Be en el Núclotrón JINR. A haz de núcleos 9Be relativistas se obtuvo en la reacción de fragmentación 10B→9Be utilizando un objetivo de polietileno. Los núcleos 9Be constituían alrededor del 80% del haz, el 20% restante cayó sobre los núcleos de Li y He.[5] Los eventos fueron buscados por el microscopio escaneando las placas de emulsión. En total 362 eventos de la fragmentación 9Be que involucra a los dos fragmenta la producción en el frente fragmen- se encontró cono de tensión dentro de un ángulo polar de 6o (0,1 rad). El requisito de la conservación de la carga del fragmento en el cono de fragmentación se cumplió para los eventos detectados. In selección de eventos 5 - 7 pistas de varios tipos fueron permitidas en un cono ancho (más grande que 6o) a aumentar las estadísticas. Un ejemplo del evento de fragmentación 9Be→2He en la emulsión se da en Fig. 1 [2]. Este evento pertenece a la clase de estrellas “blancas” en la medida en que no contiene ningún objetivo fragmentos de núcleo, ni mesons producidos. Esta muestra incluye 144 estrellas “blancas. ” Los ángulos de las vías en emulsión para los eventos detectados se obtuvieron mediante una medición fina microscopio. Las mediciones angulares de los 362 eventos se realizaron con precisión no peor que 4,5×10−3 rad. Al analizar los datos observados en los fragmentos de He en el canal 9Be→2He+n Se supone que son unas partículas. Esta suposición está motivada por el hecho de que en pequeños ángulos la 9Be→ 24He+n canal de fragmentación con un umbral de energía de 1,57 MeV debe dominar el canal 9Be→3He+4He+n cuyo umbral de energía es de 22.15 MeV. La fracción 3He lo hará no excedan de unos pocos por ciento en este rango de energía [6] y todos los fragmentos de He en el detectado los acontecimientos pueden ser considerados como partículas α. In Fig. 2a la distribución del impulso transversal del PT de las partículas α en el laboratorio marco de referencia se calcula sin la cuenta de las pérdidas de energía de partículas en la emulsión por la ecuación PT = p0 · A · pecado • (1) donde p0, A y  son el impulso por nucleón, la masa del fragmento y la emisión polar ángulo, respectivamente. El contorno exterior corresponde a todos los eventos. El histograma interior es obtenidos para eventos acompañados de protones de retroceso del objetivo de emulsión (área afectada). Los valor medio del impulso transversal para la muestra total del evento en el sistema de laboratorio es igual a < PT 103 MeV/c con FWHM Esto puede ser una indicación del hecho de que los datos experimentales no son del mismo tipo que pueden ser pronunciados cuando vaya a las C.M.s. de dos partículas α. La distribución del impulso transversal P*T de partículas α en la c.m.s. de dos partículas α , MeV/cTP 0 50 100 150 200 250 300 350 , MeV/c 0 50 100 150 200 250 300 350 FIG. 2: La distribución del impulso transversal del PT de las partículas α en el sistema de laboratorio (a), y la distribución del impulso del P*T en los c.m.s. de un par de partículas α (b). El contorno exterior corresponde a todos los acontecimientos. El histograma interior se obtiene para eventos, que van acompañados de los protones retroceden del objetivo de la emulsión (área afectada). descrito por la ecuación = PT i − donde PT i es el impulso transversal de una partícula i-th α en el sistema de laboratorio nα=2 se administra en la Fig. 2b. Se observa un agrupamiento de eventos alrededor de dos picos con los valores < P ∗T i 24 MeV/c y < P T i 101 MeV/c. En Ref [7], los valores medios adecuados de la α fragmentos transversos son < P ∗T i 121 MeV/c para 16O→4α,< P ∗T i 141 MeV/c [8] para 12C→3α y < P ∗T i 200 MeV/ para 22Ne→5α (procesamiento de los datos disponibles). Allí vemos claramente una tendencia hacia un aumento del impulso medio de partículas α con el aumento de su multiplicidad. Esto implica un crecimiento de la interacción total de Coulomb de cúmulos alfa que surgen en los núcleos. En la distribución del ángulo de apertura (Fig. 3) también se pueden ver dos picos con valores medios 4.6×10−3rad. y 26,8×10−3rad. La proporción de los números de los eventos en los picos es cerca de la unidad. La distribución de la energía invariante Q2α, que se calcula como una diferencia entre la masa invariante efectiva M2α de un par de fragmentos α y el doble α masa de partículas por las ecuaciones M22α = −( Q2α = M2α − 2 ·mα (3) rad.-310×, 0 10 20 30 40 50 60 70 80 FIG. 3: La distribución del ángulo de apertura de las partículas α en la reacción de fragmentación 9Be→2α en 1.2 Una energía GeV. El contorno exterior corresponde a todos los eventos. Se obtiene el histograma interno para los acontecimientos, que van acompañados de protones que retroceden del objetivo de emulsión (área afectada). donde Pj es la partícula α 4-momento. En la distribución de energía invariante Q2α (Fig. 4) hay dos picos en los rangos 0 a 1 MeV y 2 a 4 MeV. La forma de la distribución no contradice la sugerencia sobre la fragmentación 9Be que implica la producción de un núcleo inestable 8Be que decae en los estados 0+ y 2+. Los valores de los picos de la energía invariante Q2α y el momento transversala P*T en las C.M.s. se relacionan entre sí. Para el rango Q2α de 0 a 1 MeV con un pico a 100 keV corresponde a un pico P*T con < P T i 24 MeV/c, y al rango Q2α de 2 a 4 MeV corresponde un pico con < P T i 101 MeV/c. III. FRAGMENTACIÓN DE 14N NUCLEI Una pila de capas de emulsión BR-2 fue expuesta a un haz de núcleos 14N acelerados [9] a un impulso de 2,86 A GeV/c en el Nuclotron del Laboratorio de Alta Energía Física (JINR). Ya se han encontrado 950 eventos inelásticos en los que el fragmento total la carga fue igual a la carga de fragmento Z0=7 y no hubo partículas producidas. Acontecimientos se buscaban observando la longitud de la vía que proporcionaba la acumulación de estadísticas , MeVα2Q 0 2 4 6 8 10 12 , keV 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000 FIG. 4: La distribución de energía invariante Q2α de pares de partículas α en el 9Be→2α fragmentación reacción a 1.2 Una energía GeV. En la intersección: el rango Q2α de 0 a 1 MeV. Flechas marca los niveles del núcleo de 8Be (0+ y 2+). El contorno exterior corresponde a todos los eventos. El interior histograma se obtiene para eventos, que acompañados de protones retroceso del objetivo de emulsión (dashed area). sin selección. Los eventos seleccionados se dividen en dos clases. Los eventos del tipo de estrella “blanca” y las interacciones que implican la producción de uno o varios núcleos diana fragmentos pertenecen a la primera clase. La Tabla I muestra la topología de multifragmentación de carga que se estudió para los eventos que cumplan las condiciones antes mencionadas. La línea superior es la carga de fragmento Z>2, la segunda línea es el número de fragmentos de carga única, la tercera el número de dos- fragmentos cargados, y las líneas cuarta y quinta son el número de eventos detectados con una topología dada para las estrellas y eventos “blancos” con excitación de nucleo objetivo para cada canal, respectivamente. Las dos últimas líneas presentan el número total de interacciones calculadas en valores absolutos y en porcentaje. El análisis de los datos de la Tabla I muestra que el número de canales que involucran a Z>3 fragmentos para las estrellas “blancas” es más grande por alrededor de un factor de 1,5 que para los eventos acompañado de una ruptura del objetivo. Por el contrario, para la configuración de carga 2+2+2+1 CUADRO I: La distribución de la topología de carga de las estrellas “blancas” y las interacciones producción de fragmentos de nucleo objetivo en la disociación de 14N a 2,86 A GeV/c momentum. Zfr 6 5 5 4 3 3 – – NZ=1 1 – 2 1 4 2 3 1 NZ=2 – 1 – 1 – 1 2 3 NW.S. 13 4 3 1 1 1 6 17 Nt.f. 15 1 3 3 – 2 5 32 NP 28 5 6 4 1 3 11 49 NP, % 26 5 5 4 1 3 10 46 canal este número es más pequeño por alrededor de un factor de 1.5. Por lo tanto, en los acontecimientos con objetivo ruptura, el proyectil se fragmenta más fuertemente que en las estrellas “blancas”. Los datos del cuadro I señala el predominio del canal con la configuración de carga 2+2+2+1 (49 ) que se ha estudiado con más detalle. Los resultados obtenidos muestran que el 14N núcleo constituye una fuente muy eficaz para la producción del sistema 3α. Con el fin de estimar la escala energética de producción de los sistemas de partículas 3α en el Canal 14N→3+X, presentamos la distribución de energía de excitación invariante Q3α con re- spec to the 12C ground state: M23α = −( Q3α = M 3α −M( 12C) (4) donde M(12C) es la masa del estado del suelo correspondiente a la carga y el peso del sistema que se está analizando, M*3α la masa invariante del sistema de fragmentos. Estadística se aumentó a 132 eventos 14N→3+X incluyendo 50 estrellas “blancas ” placas de emulsión. La parte principal de los eventos se concentra en el área Q3α de 10 a 14 MeV, cubriendo los niveles conocidos de 12C (fig. 5). Suavizar las condiciones de la selección 3He + H, para la cual la producción de fragmentos objetivo está permitida, no da lugar a un cambio del pico de excitación 3α. Este hecho sugiere la universalidad del mecanismo de población estatal 3α. Para estimar la fracción de los eventos que implican la producción de un intermediario 8Be núcleo en las reacciones 14N→8Be+X→3+X presentamos la energía de excitación invariante Q3α, MeV 0 10 20 30 40 50 FIG. 5: La energía de excitación invariante Q3α distribución de tres partículas α con respecto a la Estado de tierra 12C para el proceso 14N→3+X. Se usa la siguiente notación: 1) todos los eventos de la disociación dada, 2) estrellas “blancas”. distribución para un par de partículas α con respecto al estado del suelo 8Be (Fig. 6). La primera El pico de distribución se relaciona con el valor que cabe esperar para los productos de desintegración de un producto inestable. 8Ser núcleo en el estado del suelo 0+. Se considera que el centro de distribución coincide bien con el energía de desintegración del estado de tierra 8Be. La fracción de las partículas α originarias de la 8Se decaimiento es 25-30%. IV. FRAGMENTACIÓN DE 7BE, Y 8B NUCLEI Los resultados de las investigaciones sobre la topología de carga de los fragmentos producidos en la disociación periférica de los núcleos 8B relativistas, 7Be en emulsión se presentan en Ref [2, 10, 11, 12]. La Tabla II presenta el número de eventos detectados en varios canales de la 7Be , MeVα2Q 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 , keVα2Q 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 FIG. 6: La energía de excitación invariante Q2α distribución de pares de partículas α para el proceso 14N→3°X. En el conjunto: una fracción de la distribución a 0-500 keV. fragmentación. De ellos, el canal 3He+4He domina notablemente, los canales 4He+d+p y 6Li+p constituyen 10% cada uno. Dos eventos que no implican ninguna emisión de neutrones en los tres- Los canales corporales 3He+t+p y 3He+d+d fueron registrados. La reacción del intercambio de cargas de 7Be núcleos a 7Li núcleos no fueron detectados entre los eventos no acompañados de otros partículas cargadas secundarias.Los eventos que no involucran fragmentos objetivo (nb=0) están separados de los acontecimientos que implican uno o algunos fragmentos (nb >0). Por primera vez, las emulsiones nucleares fueron expuestas a un haz de núcleos 8B relativistas. Hemos obtenido datos sobre las probabilidades de los canales de fragmentación 8B en interacciones. 55 acontecimientos de la disociación periférica 8B que no implican la producción Se seleccionaron los fragmentos de nucleo objetivo y los mesons (estrellas blancas). Un líder la contribución del modo 8B→7Be+p con el umbral de energía más bajo se reveló en la base de estos acontecimientos. Información sobre una probabilidad relativa de modos de disociación con mayor multiplicidad se han obtenido. Entre los eventos encontrados hay 320 estrellas en que satisface la carga total de los fragmentos relativistas en un cono de fragmentación de 8o la condición de Zfr > 3. Estas estrellas fueron atribuidas al número de dissocia periféricas. ciones Npf. La distribución de fragmentos relativistas de Npf sobre cargos NZ se da en CUADRO II: 7 Ser canal de fragmentación (número de acontecimientos) Canal 2He 2He He+2H He+2H 4H 4H Li+H Li+H Sum nb =0 nb >0 nb =0 nb >0 nb =0 nb >0 nb =0 nb >0 3He+4He 30 11 41 3He+3He 11 7 18 4He+2p 13 9 22 4He+d+p 10 5 15 3He+2p 9 9 18 3He+d+p 8 10 18 3He+2d 1 1 3He+t+p 1 1 3p+d 2 2 2p+2d 1 1 6Li+p 9 3 12 Suma 41 18 42 33 2 1 9 3 149 Cuadro III Se dan los datos de 256 eventos que contienen los fragmentos de los nucleos diana - Ntf, así como para 64 eventos que no contienen fragmentos de nucleo objetivo (“estrellas blancas”)– Npf. El papel de los canales con múltiples fragmentos relativistas NZ > 2 se revela como dominante para las estrellas N “blancas”. De los acontecimientos periféricos, las estrellas “blancas” Nws (cuadro III) son de un interés muy particular. No están acompañados por el fragmento de nucleo objetivo. y permite aclarar el papel de los diferentes grados de libertad de los mínima excitación de la estructura nuclear. La Tabla IV muestra la distribución de carga de fragmentos relativistas en las estrellas “blancas” de 7Be y núcleos 8B. Los eventos 8B se presentan sin un solo fragmento relativista cargado, Eso es un supuesto halo de protones. La fracción idéntica de los dos principales 2He y He+2H Los canales de disociación se observan en los núcleos 7Be y 8B, lo que indica que el núcleo 8Be la excitación es independiente de la presencia de un protón adicional atado libremente en el 8B núcleo. CUADRO III: Distribución de la topología de carga del número de interacciones de la Npf periférica tipo (Npf=Ntf+Nws), que se detectaron en una emulsión expuesta a un segundo Viga del núcleo 8B. Aquí Zfr es la carga total de fragmentos relativistas en un 8 Cono angular en un evento, NZ el número de fragmentos con carga Z en un evento, Nws el número de estrellas “blancas”, Ntf el número de eventos que involucran los fragmentos objetivo, Nws el número de estrellas “blancas”. Zfr N5 N4 N3 N2 N1 Ntf Nws 7 – – – 1 5 1 – 6 – – – 2 2 8 2 6 – – – 1 4 6 4 6 – – – – 6 1 – 5 – – – 1 3 61 14 5 – – – 2 1 44 12 5 – – 1 – 2 8 – 5 – – 1 1 – 1 – 5 - 1 - - 1 17 24 5 1 – – – – 17 1 5 – – – – 5 21 4 4 – – – – 4 5 1 4 – – – 2 – 24 1 4 – – – 1 2 42 – CUADRO IV: La distribución del modo de disociación cargado de las estrellas “blancas” producidas por el 7Be y núcleos 8B. Para hacer la comparación más conveniente, para el núcleo 8B un núcleo H es se eliminan del modo cargado y se indican las fracciones de canal. Zfr=4 7Be % 8B (+H) % 2He 41 43 12 40 He+2H 42 45 14 47 4H 2 2 4 13 V. CONCLUSIONES El grado de disociación de los núcleos relativistas en las interacciones periféricas puede alcanzar una destrucción total en nucleones y fragmentos cargados individualmente y doblemente. La emulsión técnica permite observar estos sistemas a los más pequeños detalles y da la posibilidad de estudiarlos experimentalmente. Nuevas observaciones experimentales se reportan a partir de las exposiciones de emulsión a 14N, 9Be, 8B, 7Be núcleos con energía superior a 1 A GeV. Las principales características de 9Be→2He relativistic frag- Se presenta la recomendación. Para el caso particular de la disociación del núcleo relativista 9Be se demuestra que las mediciones angulares precisas desempeñan un papel crucial en la restauración de la espectro de excitación de los fragmentos de partículas alfa. Este núcleo está disociado prácticamente totalmente a través de los estados 0+ y 2+ del núcleo 8Be. Los datos obtenidos de 9Be angular medidas pueden ser utilizados para la estimación del papel de 8Be en más complicado Sistemas Nα. Los resultados del estudio de la disociación de los núcleos 14N de un impulso primario de 2.86 También se presenta un GeV/c en sus interacciones con los núcleos de emulsión. El presente la investigación indica el papel principal del canal de configuración de carga 2+2+2+1. Los Se ha estimado la escala de energía de la producción del sistema 3α. De acuerdo con la utilidad... estadísticas capaces El 80% de las interacciones se concentran en 10-14 MeV. La fracción de la 14N→8Be+X→3°X canal que implica la producción de un núcleo intermedio 8Be es alrededor del 25%. Las ventajas de la técnica de la emulsión se explotan más completamente en el estudio de la fragmentación de núcleos ligeros estables y con deficiencia de neutrones. Los resultados de las investigaciones se ocupa de la topología de carga de los fragmentos producidos en la disociación periférica de 7Be relativista, núcleos 8B en emulsión se presentan. Información sobre la probabilidad relativa se obtuvo de modos de disociación con una multiplicidad mayor. La disociación de un núcleo 7Be en 8B indica una analogía con la del núcleo 7Be libre. [1] N. P. Andreeva, et al., Phys. A. Nucl. 68, 455–465 (2005). [2] Sitio web del Proyecto BECQUEREL: http://becquerel.jinr.ru (2006). [3] M. I. Adamovich, et al., Phys. A. Nucl. 62, 1378–1387 (1999). [4] M. I. Adamovich, et al., Phys. A. Nucl. 62, 514-517” (2004). [5] D. A. Artemenkov, arXiv:nucl-ex/0605018 (2006). [6] V. V. Belaga, et al., Phys. A. Nucl. 59, 869 a 877 (1996). [7] F. A. Avetyan, et al., Phys. A. Nucl. 59, 110-116 (1996). [8] V. V. Belaga, et al., Phys. A. Nucl. 58, 2014–2020 (1995). [9] T. V. Shchedrina, et al., arXiv:nucl-ex/0605022 (2006). [10] R. Stanoeva, et al., arXiv:nucl-ex/0605013 (2006). [11] N. G.Peresadko, et al., arXiv:nucl-ex/0605014 (2006). [12] N. P. Andreeva, et al., arXiv:nucl-ex/0604003 (2006). http://becquerel.jinr.ru Introducción Fragmentación de núcleos de 9Be Fragmentación de núcleos de 14N Fragmentación de los núcleos 7Be y 8B Conclusiones Bibliografía

Estudios recientes de agrupamiento en núcleos de luz con una energía inicial superior a 1 A El GeV en la emulsión de atraque nuclear es una visión general. Los resultados de las investigaciones de el relativista $^9$Ser fragmentación de núcleos en la emulsión, lo que implica la producción de fragmentos de Él, se presentan. Se demuestra que lo más preciso las medidas angulares proporcionadas por esta técnica juegan un papel crucial en el restauración del espectro de excitación del sistema de partículas $\alpha$. In interacciones periféricas $^9$Se los núcleos se disocian prácticamente totalmente a través de los estados 0$ y 2$ del núcleo $^8$Be. Los resultados de las investigaciones de la disociación de un núcleo de impulso 2.86 Un GeV/c en emulsión se presentan como ejemplo de más complicado sistema. El impulso y las características de correlación de las partículas $\alpha$ para el canal de $$$14}$N$\to3\alpha+X$ en el sistema de laboratorio y el resto Los sistemas de partículas de 3$\alpha$ fueron considerados en detalle. Topología de fragmentos cargados producidos en relativistas periféricos Se estudia la disociación de los núcleos radioactivos $^8$B, $^7$Be en emulsión.

Introducción Fragmentación de núcleos de 9Be Fragmentación de núcleos de 14N Fragmentación de los núcleos 7Be y 8B Conclusiones Bibliografía

Super-shell structures and pairing in ultracold trapped Fermi gases

Super-shell stru ciones y emparejamiento en ultra gases Fermi viejos atrapados Magnus Ögren y Henning Heiselberg Mathemati al Physi s, Lund Instituto de Te hnology, P.O. Box 118, SE-22100 Lund, Suecia Universidad de Dinamarca Meridional, Campusvej 55, DK-5230 Odense M, Dinamarca (Fecha: 3 de abril de 2007) Nosotros al densidades de nivel de ula y espacios de emparejamiento para un ultra gas diluido antiguo de fermioni átomos en harmoni trampas debajo de la in uen e de eldo medio y anarmoni quarti los potenciales de la trampa. Súper... stru shell ciones, h fueron encontrados en Hartree-Fo k al ulaciones, son al analyti celular aliada en el interior periodi teoría de órbita, así como de WKB al ulaciones. Por attra tiva ciones, la base nivel de densidades son ru ial para emparejamiento y super-shell stru ciones en las brechas son predi Ted. Números PACS: 03.75.Ss, 05.30.Fk Ultra viejo atomi los gases tienen re ently se ha utilizado para re- se comieron nuevos sistemas cuánticos de muchos cuerpos su h tan fuerte intera de fermiones a alta temperatura, Bose-Einstein odensatos, aisladores de mott en opti al lat- ti es, et . Estos fenómenos de laboratorio tienen un fuerte exceso... vuelta con materia ondensada [1, nu lear [2 y neutrones] fisico estelar s [3. Finite fermion systems su h como átomos en trampas, n.c.o.p. Lei, helio y metal lustres, semi ondu tor puntos cuánticos, super ondu tintes de cereales, et .., tienen adi- stru cuántico interesante ciones su h como nivel spe - ¡No! - ¡No! tra, densidades y emparejamiento. Estos serán observables como las temperaturas se reducen aún más en atomi trap experi- ciones. El alto grado de ontrol sobre fisico al param- eters, en luding intera la fuerza y la densidad de la ión, hace el atomi trampas maravillosos sistemas modelo para general fenómenos cuánticos. El propósito aquí es al ulula el nivel spe tra, densidades y emparejamiento para gases Fermi de temperatura cero en harmoni os trampas de ilador (HO) con anharmoni y Me refiero a las perturbaciones de eld, y para mostrar esa novela super- stru shell Las ciones aparecen tanto en densidades de nivel como en emparejamiento. In al nivel de aislamiento spe tra por analyti al periodi órbita teoría y WKB, así como numeri al Hartree-Fo k, nosotros También se relacionan estos teoreti di erent al approa Hes a uno otro. Tratamos un gas de N fermioni átomos de masa en un HO potencial a temperatura cero, intera a través de un bi-cuerpo intera ión con onda s s attering longitud a. Lo haremos. la mayoría de las veces uss un spheri ally symmetri trampa y un diluido gas (es decir, gas) donde la densidad obedece a la ondition a3 1) de la parte les con dos estados de rotación de población igual. El Hamiltoniano es entonces dado por má2r2i + U(ri) , (1) Lo haremos. onder ambos anharmoni externo potencial de el formulario U = Łr4 y parti le intera ciones: U(ri) = (22a/m) j 6=i 3 (ri−rj). Cuando intera ciones son débiles, estos últimos un ser aproximado por el poten medio de eld- U(r) = 22a * (r). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para un gran número de parti les y U = 0 los Fermi energía es EF = ñF donde nF = ñF − 3/2 (3N)1/3 es el número cuántico de HO en el Fermi Surba e. El Las conchas HO son altamente degeneradas con estados que tienen... gular momenta l = nF, nF −2,...,mod(nF, 2), debido a la Simetría U(3) del spheri 3D ally symmetri HO po- Tential. Sin embargo, intera ciones dividieron este degenera y. In la aproximación de Thomas-Fermi (TF) (véase, por ejemplo, [4) la La energía de Fermi es 2k2F (r) m+2r2 + U(r). 3) Densidad (r) = k3F (r)/3 l(r) = l(0) 1− r2/R2TF , (4) dentro de la fuerte r ≤ RTF = aosc 2 ñF, en el que?0 = (2 ñF ) 3/2/3η2a3osc es el densidad entral [5. Por onve- nien y ponemos el os longitud del illator aosc = ~/m• = 1 pulg. lo siguiente. Taylor expandiendo la densidad y por lo tanto también el Eldo medio de Eq. (2) alrededor de la entrar da * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r)) (r) ()) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) () (r) () (r) () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ) () () () () ) () () ) () () () () () () () () () () () ) () () () () () () ) () () () ) ) ) () () () () () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) )) ) () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( r2/R2TF + r4/R4TF +... , (5) el primer término simplemente en orporato a cambio onstant en energías mientras que el término quadrati en radio renor- maliza la frecuencia de HO y as?eff =? 1 - 6° a/R2TF. El tercer término es quarti en radio y es por lo tanto también de la misma forma que el potencial externo U(r) Łr4, (6) con = (32a/4m)œ0/R TF. Tanto el quarti puro potencial y el potencial medio de eld de Eq. 2) son a- harmoni y colgar la densidad de nivel mediante la división de la l degenera y de la concha de HO nF en el Fermi surfa e. Ahora lo haremos. al ula analyti ally el nivel spe tra del período de perturbacióni teoría de órbita para el quarti potencial y, posteriormente, dentro de lassi al WKB Diversión en las olas ciones para los dos quarti y el olfato medio potencial de Eq. 2). Empezaremos con el repulsivo inter- a ciones en las que el emparejamiento no está presente. http://arxiv.org/abs/0704.0385v1 In periodi teoría de órbita [6, la densidad de nivel a ser escrito (para dirigir el orden en ~ ) en términos de perturba- tivo HO tra e fórmula [7, 8 g(E) = 1 +Re (−1)k M ei2γkE/ . 7).................................................................................................................................................. Para el HO no perturbado (U = 0) la modulación fa Tor es M = 1. Por un quarti potencial perturbado, como en Eq. 6), modulación fa Tor fue al en [8 e-i2kÔ/iň/2 + e-i3k , (8) con  = E2/~2­3, siendo un pequeño lassi al a tion. Los dos términos surgen de la colgar en un ciones para el período comprendido entre el 1 de enero y el 31 de diciembre de 1991. ir le y órbitas de diámetro respe ticamente debido al quarti po- tential [8. Densidad de nivel resultante a ser escrito en el fa forma atrised [9 g(E) = ()3 (−1)k . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, el rst término es la densidad de nivel promedio, el osine fa Tor da la rápida caparazón de HO os illations (mod- i ed por la perturbación) h, sin embargo, son lentamente modulada por el seno fa Tor resultando en una golpiza... tern. Por otra parte, el límite de HO no perturbado, equivalente a M = 1 en Eq. (7), es re sobrepasado en el límite de → 0, donde se restablece la simetría U (3). El término k = 1 en Eq. (9) da el mayor os illations en la densidad de nivel y se muestra en la Fig. 1 a). El patrón de golpes o super- las conchas son Learly observado. El caparazón os illaciones desaparecen cuando el argumento del seno en Eq. (9) es un entero S = 1, 2, 3,... veces η, es decir, E2/2()3 = S. Esto da el supernodo ondition nF = E/ = 2S/. (10) Pasamos ahora a una alternativa. al ración del nivel densidad con WKB. La división de las conchas de Ho degen- niveles de rate l = nF, nF −2,...,mod (nF, 2) en la cáscara nF por el potencial medio-eld a ser al perturba- tily en el límite diluido. Un ex Aproximación elente para la diversión radial de la onda HO ión con impulso angular l y (nF − l)/2 nodos radiales en la cáscara de HO cuando nF + 1 es el WKB uno [10, 11: RnF l(r) sin(kl(r)r + ) l (r)r , (11) entre los puntos de giro r2± = ñF ± ñ2F − l(l + 1). Aquí, ñF = nF + 3/2 y el número de onda WKB kl(r) es k2l (r) = 2ñF − r2 − l(l+ 1)/r2. (12) Cuando nF 1 la diversión de la ola tion tiene muchos nodos 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l â € nF y el os illaciones en R2nl(r) un promediod «Sin2(kl(r)r)» = 1/2 [10. Entonces, la fase........................................................................................................................... Portant. El partido único le energys for the anharmoni potencial de Eq. 6) son simplemente EnF,l − ñF = U(r)RnF l(r)2r2dr (13) ηkl(r) 3ñ2F − l(l + 1) .(14) Es spe ial para el quarti perturbación de que el nivel las energías son lineales en l(l+1). El nivel resultante spa ing en rease como (2l+1) al igual que el nivel degenera y para SO(3) Simetría. Por lo tanto, la densidad de nivel es onstant en el interior el ancho de banda • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sobre energía s Ales mayores de 2D/nF pero menores de D. La densidad de nivel desaparece entre los anchos de banda de dos proyectiles n vecinos y, por lo tanto, en general tiene un os fuerte comportamiento iliatorio como se muestra en la Fig. 1 a). Su La amplitud es mayor cuando D /2. Sin embargo, cuando D la densidad de nivel es onstant y el os illa- El comportamiento tory desaparece. Este fenómeno se repite cuando D = S pecado e el nivel spe después se superponen S veces. Con el ancho de banda de Eq. (15) en este apartado ondition, nosotros obtener exa Tly el mismo supernodo ondición como para pe- riodi teoría de órbita, Eq. (10). Nosotros el lude que Craig's Período de perturbacióni teoría de la órbita [7 está en exa Estoy de acuerdo. con un WKB perturbativo para un quarti Ally perturbado spheri al simmetri HO en tres dimensiones. Ahora nos dirigimos a los un poco más ompli media de ataduras potencial de Eq. 2). Su nivel spe trum a también ser al aislado de la diversión de la onda WKB ciones de Eq. (11). Insertándolos en Eq. (13), obtenemos EnF,l − ñF = 2/ F I. 16) Aquí, la integral I es 1– l(l+1)/ñ2F 1− x2 donde x = (r2F )/ ñ2F − l(l + 1). Esta integral es I = η para l nF e I = 8 2/3 para l = 0. El ancho de banda es por lo tanto D = 2/ 2/3− . (18) Insertar este ancho de banda en el supernodo ondition D = S da 2/3− F = S. (19) Por ejemplo, en el ase 2ηa = 1 los supernodos S = 1, 2, 3,.. debe o nF 28, 44, 58, et . Los Hartree-Fo k (HF) al ulaciones del os parte illante de la energía total, h es proporcional al nivel de den- sity en el nivel de Fermi [6, resulta en su- pernodos, como en la figura 1 b). El di eren s urge ser ause el WKB al las ulaciones son perturbativas en el intera ión fuerza, mientras que en el HF al la MF poten- tial U en ludes a s grandes longitud de attering whi h, por ejemplo, leads a orre ciones para la e ciones frecuencia del illator y. También para el quarti puramente Término "perturbativo" h subestima el exa t supernodos (véase Fig. 3 de [8). Para los intera más débiles ciones 2ηa = 0,1, el rst supernodo S = 1 debe o ur en nF = 130 a Ording to the ondi- sión de Eq. (19), en acuerdo de perdedores con el resultado de HF de Fig. 1 ( ). Por omparison, la expansión de Taylor del olfato medio potencial conduce al supernodo ondición de Eq. (10) con = (32a/4m)œ0/R TF. Es de Eq. (19) por el prefa tor, whi h es un 34% más pequeño. Es un mejor aproximación para ampliar, por ejemplo. alrededor de r = RTF /2 nF /2, donde el o prefa correspondiente Tor es sólo el 8% más pequeño, su h que el supernodo de la figura 1 ( ) es predi ted a nF = 137. Ahora expandiendo I de Eq. (17) para los pequeños l â € nF, 1 nds I = (8/3) 2 - l2/ 2n2F, (20) resultando en el nivel spe trum [10] EnF,l − = − l(l+ 1) . (21) Esta densidad de nivel es onstant a bajo l como para el potencial en Eq. (14). Sin embargo, cerca de l ° nF la densidad de lev- Els es ligeramente más pequeño como a ser visto desde el ancho de banda ocorrespondiente a Eq. (21), h es un 12% más grande, para una dado nF, que el ancho de banda de Eq. (18). Que el nivel densidad no es ompletely onstant dentro del ancho de banda tiene la e e t que un pequeño períodoi ity permanece incluso en la superconcha ondition D = S. Por lo tanto, la cáscara os illaciones no desaparecen omplemente en la supern- odes, como a ser visto en la Fig. 1 b) ), mientras que para el puramente quarti ase (a) el os illaciones desaparecen ompletemente en los supernodos. La mayoría de atomi las trampas no son spheri al pero Con forma de igar (prologar) con Łz Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Las energías inalteradas de HO E = nzz + n conducirá generalmente a una onstant densidad de nivel para la energía s Ales más grande que z pero más pequeño que. Cuando el os frecuencia del illator cociente y /z es un número racional, nivel degenera enes y os más grandes illations will o u en el s ale z. Intera ciones, sin embargo, frotis de esta densidad de nivel. En cualquier ase, super-shell stru tura no es expe como en el spheri al simmetri Ase. In trampas muy oblatas el potencial medio del eld es e e bidimensional y cuadráticamente , es decir, Sí, lo hace. no dividir las conchas HO [10, 13. Por lo tanto, podemos expe t fuerte os illaciones en la densidad de nivel en el s ale, pero de nuevo no hay super-shell stru tura. 0 20 40 60 80 100 −1000 1000 a) 0 20 40 60 80 100 120 140 200 c) 0 20 40 60 80 100 40 b) Figura 1: ( olor en línea) La gure superior (a) muestra el líder término (k = 1) del os parte illante del nivel de perturbación densidad de Eq. (9) como una diversión de nF = E/, para la ase de un potencial externo V = VHO®r con فارسى = 2/402 فارسى 0,0013. Las grutas medias e inferiores (b, ) mostrar el os parte illante de la energía total a ording a un numeri al HF al ula [12, con intera resistencia a la tracción 2ηa = 1 y 2ηa = 0,1, como a diversión ión del número de shell de HO (~ = • = 1). Esto ilustra cualitativamente que un supernodo, por ejemplo. a nF = 40, a ser debido a intera b) y/o un cuarti adicional plazo a la Potencial de HO (a). Attra tiva ciones llevan al emparejamiento por una cantidad que es exponencialmente sensible al nivel subyacente de sity cerca de la Fermi Surba e [2, 10, 11, 14. La guarida de nivel... sity es la misma para repulsivo y attra tiva ciones ex ept que los niveles se invierten cuando el signo de (Eqs. 9) y (13)) o a ahorcado (Eq. (16)). Por lo tanto nosotros un uso de las densidades de nivel y anchos de banda al ula arriba para el emparejamiento al ulaciones. Maridaje en sistemas de nite es des cosido por el Bogoliubov-de Gennes (BdG) equa- ciones [15 y tomar pla e entre estados tiempo invertidos. Como se muestra en [14 estos estados un ser aproximado por HO diversión de la onda ciones en trampas diluidas de HO siempre y cuando la brecha lo hace no ex ed el os energía del illator,. Resolviendo BdG para s.............................................................................................................................................................................................................................................................. Los sistemas nite son numeri ally ompli ated y nosotros se aplicarán, por tanto, nuevas aproximaciones simplificadas; a saber, que la brecha de emparejamiento nl y la diversión de la ola ión los elementos de la matriz de superposición varían lentamente con el nivel l en un shell n. Ambas aproximaciones son justas para los átomos atrapados como se argumenta en [11 y desviaciones Un ser entendido. As resultado llegamos a un mu h ecuación de brecha ed simpli ed ∫ â € ¢ 2nF g(E) dE (E − μ)2 (μ)2 . (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, el supergap G = 32 2nF a/15η2 fue al- en [10 como la brecha de emparejamiento cuando todos los estados en un caparazón un par; este es el ase para una región de in- tera ciones y en particular le número donde la brecha es grande como omparado al nivel de división, pero pequeño 0 10 20 30 40 50 60 =(3N)1/3 38 40 42 44 Figura 2: ( olor online) Espacios de emparejamiento multi-shell para una trampa HO con un quarti adicional Término en el potencial con • = 2/402, es decir, para la densidad de nivel de la Fig. 1 a) con supernodos en nF 40, 40 2 • 57, etc. Los intera la fuerza de la ión es a = −0,05 (rojo superior) urva), a = −0,03 (azul medio) urve, con la inset gure alrededor del rst supernodo) y a = −0,01 (inferior verde urve). En la trama inset es learly visto que el lo al Mínimos para l â € nF y l â € 0 antes de que el supernodo gire en lo al máximo después del supernodo, como un onsequen e de Conchas superpuestas. La línea discontinua (roja) es la brecha multi-shell • = G/(1−2G ln(nF)/) para a = −0,05 y la parte superior/inferior Línea sólida delgada (bla) k) son el único apareamiento medio/final para a = −0,01 (ver texto). ompared a la división de la cáscara. • (μ) = • nl es la brecha en el Fermi Surba e. g(E) = n2F /D es la densidad de nivel dentro de ea h bandgap D alrededor de ev- ery shell n = 0, 1,...,2nF pero desaparece entre los bandgaps. La ecuación de brecha así redu es a 1 = (G/D) 2nF (E + n − μ)2 2. Los hemi potencial μ se determinará a partir del nivel spe trum; como poco a poco ll parti les en la cáscara nF en el Fermi Surba e, μ en reases de nF a nFD. Los ut-o n2nF en la suma de los modelos de ecuación de brecha como una primera aproximación la regularización más rigurosa pro edure des acanalado en Ref. [16 que se requiere para una delta-diversión Seudo-potencial. Resolviendo esta ecuación de brecha ed simpli de Eq. (22), nosotros y que todavía ontains y muestra lo esencial interacción entre la variación en la densidad de nivel y el par- ing. Para ilustrar el super-shell stru en el emparejamiento, Tomamos el fuerte anarmoni potencial de trampa utilizado para el nivel spe tra en Fig. 1 a), y al pulir el emparejamiento surgida de un débil attra ciones longitud de attering a < 0. Para su ínteramente débil ciones su h que el emparejamiento sólo toma pla e en la cáscara en el Fermi surfa e, obtenemos la expe resultado ted de la ecuación de brecha: • = G cuando D • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • midshell (μ = nF + D/2) y فارسى = 2D exp(−D/G) endshell (μ = nF o μ = nF +D). El emparejamiento es así más fuerte en el medio de la cáscara que en el extremo, donde hay menos estados a par [11, y fuerte cáscara os illations fol- baja como se muestra en la Fig. 2. Por más fuerte intera ciones, emparejamiento También toma plá e entre estados en conchas alrededor del Fermi shell y Eq. (22) da: • = G/ (1− 2G ln (nF ) /) para ancho de banda pequeño [14. In Fig. 2 esto urve es omparina con el resultado nite de ancho de banda, h tiene fuerte os il- laciones ex ept en los supernodos donde la densidad de nivel es ontinuo. En un supernodo D = y la brecha equa- ión (22) conduce a una brecha = 2nF exp(/2G) [11. En resumen, densidades de nivel, shell-os illations y Super-shell stru ciones en anharmoni trampas al ula de numeri al Hartree-Fo k y analyti al periodi o- teoría de bits, así como WKB se encontró a mate h para liderar... En orden. stru super-shell analógico se encontraron las ciones en el emparejamiento de una BdG aproximada al ulation. Los media del eldo en atomi nu lei también tienen un gran anharmoni potencial y los proyectiles HO comienzan a superponerse (el rst supernodo) ya para el peso nu lei con nF 5 − 6. La interacción de nivel spe tra y emparejamiento multishell es, Sin embargo, di ult de desenredar en nu lear emparejamiento debido a Órbita de giro fuerte e e t y pequeñas partes el número. Ul- tra viejo atomi trampas, sin embargo, proporcionan sistemas ideales para observación de la ri h stru cuántico ciones su h como nivel de den- sities y emparejamiento. Dis ussions con Matthias Bra k en periodi orbita el- ory, Ben Mottelson en (nu lear) teoría de conchas y emparejamiento, y la lectura de prueba por Joel Corney, son agradecidamente un Lo sé. Borded. [1 J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. S Hrie er, Phys. Rev. 108, 1175 (1957). [2 A. Bohr y B. R. Mottelson, Nu lear Stru tura Vols. I+II, Benjamin, Nueva York 1969. [3 A. Bohr, B. R. Mottelson, D. Pines, Phys. Rev. 110, 936 (1958). [4 C. J. Pethi k y H. Smith, Bose-Einstein Condensación en Dilute Gases, Cambridge Univ. Prensa 2002. [5 Para un número mínimo de parti les the fa tor ñ = nF + 3/2 en ludes a orre ión a nF, whi h ha sido él ked nu- meri aliada para mejorar la aproximación de TF y ligeramente colgar el predi ión de supernodos. [6 M. Bra k y R. K. Bhaduri, Semi lassi al Physi s, re- vised edn (Boulder, CO: Westview) (2003). [7 S. C. Creagh, Ann. Phys., NY 248 60 (1996). [8 M. Bra k et al., J. Phys. A 38, 9941 (2005). [9 M. Ögren, inédito (2006): www.magnus.ogren.se/notes/pot/derivationofgpert.pdf [10 H. Heiselberg y B. R. Mottelson, Phys. Rev. Lett. 88, 190401 (2002). [11 H. Heiselberg, Phys. Rev. A 68, 053616 (2003). Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de kl faltaba en Eq. 6) de la presente Ref. como Omparado a Eq. (11). [12 Y. Yu et al., Phys. Rev. A 72, 051602(R) (2005). [13 B. P. van Zyl et al., Phys. Rev. A 67, 023609 (2003). [14 G. M. Bruun y H. Heiselberg, Phys. Rev. A 65, 053407 (2002). [15 P. G. de Gennes, Super ondu dad de Metales y Aleaciones (Addison-Wesley, Nueva York, 1989). [16 G. M. Bruun et al., Eur. Phys. J. D9, 433 (1999).

Calculamos densidades de nivel y espacios de emparejamiento para un gas diluido ultrafrío de átomos fermónicos en trampas armónicas bajo la influencia del campo medio y Potenciales de trampa quártica anarmónica. Estructuras super-shell, que se encontraron en Cálculos Hartree-Fock, se calculan analíticamente en órbita periódica teoría, así como de los cálculos de WKB. Para interacciones atractivas, la Las densidades de nivel subyacentes son cruciales para el emparejamiento y las estructuras super-shell en las brechas se predicen.

Super-shell stru ciones y emparejamiento en ultra gases Fermi viejos atrapados Magnus Ögren y Henning Heiselberg Mathemati al Physi s, Lund Instituto de Te hnology, P.O. Box 118, SE-22100 Lund, Suecia Universidad de Dinamarca Meridional, Campusvej 55, DK-5230 Odense M, Dinamarca (Fecha: 3 de abril de 2007) Nosotros al densidades de nivel de ula y espacios de emparejamiento para un ultra gas diluido antiguo de fermioni átomos en harmoni trampas debajo de la in uen e de eldo medio y anarmoni quarti los potenciales de la trampa. Súper... stru shell ciones, h fueron encontrados en Hartree-Fo k al ulaciones, son al analyti celular aliada en el interior periodi teoría de órbita, así como de WKB al ulaciones. Por attra tiva ciones, la base nivel de densidades son ru ial para emparejamiento y super-shell stru ciones en las brechas son predi Ted. Números PACS: 03.75.Ss, 05.30.Fk Ultra viejo atomi los gases tienen re ently se ha utilizado para re- se comieron nuevos sistemas cuánticos de muchos cuerpos su h tan fuerte intera de fermiones a alta temperatura, Bose-Einstein odensatos, aisladores de mott en opti al lat- ti es, et . Estos fenómenos de laboratorio tienen un fuerte exceso... vuelta con materia ondensada [1, nu lear [2 y neutrones] fisico estelar s [3. Finite fermion systems su h como átomos en trampas, n.c.o.p. Lei, helio y metal lustres, semi ondu tor puntos cuánticos, super ondu tintes de cereales, et .., tienen adi- stru cuántico interesante ciones su h como nivel spe - ¡No! - ¡No! tra, densidades y emparejamiento. Estos serán observables como las temperaturas se reducen aún más en atomi trap experi- ciones. El alto grado de ontrol sobre fisico al param- eters, en luding intera la fuerza y la densidad de la ión, hace el atomi trampas maravillosos sistemas modelo para general fenómenos cuánticos. El propósito aquí es al ulula el nivel spe tra, densidades y emparejamiento para gases Fermi de temperatura cero en harmoni os trampas de ilador (HO) con anharmoni y Me refiero a las perturbaciones de eld, y para mostrar esa novela super- stru shell Las ciones aparecen tanto en densidades de nivel como en emparejamiento. In al nivel de aislamiento spe tra por analyti al periodi órbita teoría y WKB, así como numeri al Hartree-Fo k, nosotros También se relacionan estos teoreti di erent al approa Hes a uno otro. Tratamos un gas de N fermioni átomos de masa en un HO potencial a temperatura cero, intera a través de un bi-cuerpo intera ión con onda s s attering longitud a. Lo haremos. la mayoría de las veces uss un spheri ally symmetri trampa y un diluido gas (es decir, gas) donde la densidad obedece a la ondition a3 1) de la parte les con dos estados de rotación de población igual. El Hamiltoniano es entonces dado por má2r2i + U(ri) , (1) Lo haremos. onder ambos anharmoni externo potencial de el formulario U = Łr4 y parti le intera ciones: U(ri) = (22a/m) j 6=i 3 (ri−rj). Cuando intera ciones son débiles, estos últimos un ser aproximado por el poten medio de eld- U(r) = 22a * (r). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para un gran número de parti les y U = 0 los Fermi energía es EF = ñF donde nF = ñF − 3/2 (3N)1/3 es el número cuántico de HO en el Fermi Surba e. El Las conchas HO son altamente degeneradas con estados que tienen... gular momenta l = nF, nF −2,...,mod(nF, 2), debido a la Simetría U(3) del spheri 3D ally symmetri HO po- Tential. Sin embargo, intera ciones dividieron este degenera y. In la aproximación de Thomas-Fermi (TF) (véase, por ejemplo, [4) la La energía de Fermi es 2k2F (r) m+2r2 + U(r). 3) Densidad (r) = k3F (r)/3 l(r) = l(0) 1− r2/R2TF , (4) dentro de la fuerte r ≤ RTF = aosc 2 ñF, en el que?0 = (2 ñF ) 3/2/3η2a3osc es el densidad entral [5. Por onve- nien y ponemos el os longitud del illator aosc = ~/m• = 1 pulg. lo siguiente. Taylor expandiendo la densidad y por lo tanto también el Eldo medio de Eq. (2) alrededor de la entrar da * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) * (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r)) (r) ()) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) () (r) () (r) () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ) () () () () ) () () ) () () () () () () () () () () () ) () () () () () () ) () () () ) ) ) () () () () () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) )) ) () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( r2/R2TF + r4/R4TF +... , (5) el primer término simplemente en orporato a cambio onstant en energías mientras que el término quadrati en radio renor- maliza la frecuencia de HO y as?eff =? 1 - 6° a/R2TF. El tercer término es quarti en radio y es por lo tanto también de la misma forma que el potencial externo U(r) Łr4, (6) con = (32a/4m)œ0/R TF. Tanto el quarti puro potencial y el potencial medio de eld de Eq. 2) son a- harmoni y colgar la densidad de nivel mediante la división de la l degenera y de la concha de HO nF en el Fermi surfa e. Ahora lo haremos. al ula analyti ally el nivel spe tra del período de perturbacióni teoría de órbita para el quarti potencial y, posteriormente, dentro de lassi al WKB Diversión en las olas ciones para los dos quarti y el olfato medio potencial de Eq. 2). Empezaremos con el repulsivo inter- a ciones en las que el emparejamiento no está presente. http://arxiv.org/abs/0704.0385v1 In periodi teoría de órbita [6, la densidad de nivel a ser escrito (para dirigir el orden en ~ ) en términos de perturba- tivo HO tra e fórmula [7, 8 g(E) = 1 +Re (−1)k M ei2γkE/ . 7).................................................................................................................................................. Para el HO no perturbado (U = 0) la modulación fa Tor es M = 1. Por un quarti potencial perturbado, como en Eq. 6), modulación fa Tor fue al en [8 e-i2kÔ/iň/2 + e-i3k , (8) con  = E2/~2­3, siendo un pequeño lassi al a tion. Los dos términos surgen de la colgar en un ciones para el período comprendido entre el 1 de enero y el 31 de diciembre de 1991. ir le y órbitas de diámetro respe ticamente debido al quarti po- tential [8. Densidad de nivel resultante a ser escrito en el fa forma atrised [9 g(E) = ()3 (−1)k . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, el rst término es la densidad de nivel promedio, el osine fa Tor da la rápida caparazón de HO os illations (mod- i ed por la perturbación) h, sin embargo, son lentamente modulada por el seno fa Tor resultando en una golpiza... tern. Por otra parte, el límite de HO no perturbado, equivalente a M = 1 en Eq. (7), es re sobrepasado en el límite de → 0, donde se restablece la simetría U (3). El término k = 1 en Eq. (9) da el mayor os illations en la densidad de nivel y se muestra en la Fig. 1 a). El patrón de golpes o super- las conchas son Learly observado. El caparazón os illaciones desaparecen cuando el argumento del seno en Eq. (9) es un entero S = 1, 2, 3,... veces η, es decir, E2/2()3 = S. Esto da el supernodo ondition nF = E/ = 2S/. (10) Pasamos ahora a una alternativa. al ración del nivel densidad con WKB. La división de las conchas de Ho degen- niveles de rate l = nF, nF −2,...,mod (nF, 2) en la cáscara nF por el potencial medio-eld a ser al perturba- tily en el límite diluido. Un ex Aproximación elente para la diversión radial de la onda HO ión con impulso angular l y (nF − l)/2 nodos radiales en la cáscara de HO cuando nF + 1 es el WKB uno [10, 11: RnF l(r) sin(kl(r)r + ) l (r)r , (11) entre los puntos de giro r2± = ñF ± ñ2F − l(l + 1). Aquí, ñF = nF + 3/2 y el número de onda WKB kl(r) es k2l (r) = 2ñF − r2 − l(l+ 1)/r2. (12) Cuando nF 1 la diversión de la ola tion tiene muchos nodos 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • l â € nF y el os illaciones en R2nl(r) un promediod «Sin2(kl(r)r)» = 1/2 [10. Entonces, la fase........................................................................................................................... Portant. El partido único le energys for the anharmoni potencial de Eq. 6) son simplemente EnF,l − ñF = U(r)RnF l(r)2r2dr (13) ηkl(r) 3ñ2F − l(l + 1) .(14) Es spe ial para el quarti perturbación de que el nivel las energías son lineales en l(l+1). El nivel resultante spa ing en rease como (2l+1) al igual que el nivel degenera y para SO(3) Simetría. Por lo tanto, la densidad de nivel es onstant en el interior el ancho de banda • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sobre energía s Ales mayores de 2D/nF pero menores de D. La densidad de nivel desaparece entre los anchos de banda de dos proyectiles n vecinos y, por lo tanto, en general tiene un os fuerte comportamiento iliatorio como se muestra en la Fig. 1 a). Su La amplitud es mayor cuando D /2. Sin embargo, cuando D la densidad de nivel es onstant y el os illa- El comportamiento tory desaparece. Este fenómeno se repite cuando D = S pecado e el nivel spe después se superponen S veces. Con el ancho de banda de Eq. (15) en este apartado ondition, nosotros obtener exa Tly el mismo supernodo ondición como para pe- riodi teoría de órbita, Eq. (10). Nosotros el lude que Craig's Período de perturbacióni teoría de la órbita [7 está en exa Estoy de acuerdo. con un WKB perturbativo para un quarti Ally perturbado spheri al simmetri HO en tres dimensiones. Ahora nos dirigimos a los un poco más ompli media de ataduras potencial de Eq. 2). Su nivel spe trum a también ser al aislado de la diversión de la onda WKB ciones de Eq. (11). Insertándolos en Eq. (13), obtenemos EnF,l − ñF = 2/ F I. 16) Aquí, la integral I es 1– l(l+1)/ñ2F 1− x2 donde x = (r2F )/ ñ2F − l(l + 1). Esta integral es I = η para l nF e I = 8 2/3 para l = 0. El ancho de banda es por lo tanto D = 2/ 2/3− . (18) Insertar este ancho de banda en el supernodo ondition D = S da 2/3− F = S. (19) Por ejemplo, en el ase 2ηa = 1 los supernodos S = 1, 2, 3,.. debe o nF 28, 44, 58, et . Los Hartree-Fo k (HF) al ulaciones del os parte illante de la energía total, h es proporcional al nivel de den- sity en el nivel de Fermi [6, resulta en su- pernodos, como en la figura 1 b). El di eren s urge ser ause el WKB al las ulaciones son perturbativas en el intera ión fuerza, mientras que en el HF al la MF poten- tial U en ludes a s grandes longitud de attering whi h, por ejemplo, leads a orre ciones para la e ciones frecuencia del illator y. También para el quarti puramente Término "perturbativo" h subestima el exa t supernodos (véase Fig. 3 de [8). Para los intera más débiles ciones 2ηa = 0,1, el rst supernodo S = 1 debe o ur en nF = 130 a Ording to the ondi- sión de Eq. (19), en acuerdo de perdedores con el resultado de HF de Fig. 1 ( ). Por omparison, la expansión de Taylor del olfato medio potencial conduce al supernodo ondición de Eq. (10) con = (32a/4m)œ0/R TF. Es de Eq. (19) por el prefa tor, whi h es un 34% más pequeño. Es un mejor aproximación para ampliar, por ejemplo. alrededor de r = RTF /2 nF /2, donde el o prefa correspondiente Tor es sólo el 8% más pequeño, su h que el supernodo de la figura 1 ( ) es predi ted a nF = 137. Ahora expandiendo I de Eq. (17) para los pequeños l â € nF, 1 nds I = (8/3) 2 - l2/ 2n2F, (20) resultando en el nivel spe trum [10] EnF,l − = − l(l+ 1) . (21) Esta densidad de nivel es onstant a bajo l como para el potencial en Eq. (14). Sin embargo, cerca de l ° nF la densidad de lev- Els es ligeramente más pequeño como a ser visto desde el ancho de banda ocorrespondiente a Eq. (21), h es un 12% más grande, para una dado nF, que el ancho de banda de Eq. (18). Que el nivel densidad no es ompletely onstant dentro del ancho de banda tiene la e e t que un pequeño períodoi ity permanece incluso en la superconcha ondition D = S. Por lo tanto, la cáscara os illaciones no desaparecen omplemente en la supern- odes, como a ser visto en la Fig. 1 b) ), mientras que para el puramente quarti ase (a) el os illaciones desaparecen ompletemente en los supernodos. La mayoría de atomi las trampas no son spheri al pero Con forma de igar (prologar) con Łz Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Las energías inalteradas de HO E = nzz + n conducirá generalmente a una onstant densidad de nivel para la energía s Ales más grande que z pero más pequeño que. Cuando el os frecuencia del illator cociente y /z es un número racional, nivel degenera enes y os más grandes illations will o u en el s ale z. Intera ciones, sin embargo, frotis de esta densidad de nivel. En cualquier ase, super-shell stru tura no es expe como en el spheri al simmetri Ase. In trampas muy oblatas el potencial medio del eld es e e bidimensional y cuadráticamente , es decir, Sí, lo hace. no dividir las conchas HO [10, 13. Por lo tanto, podemos expe t fuerte os illaciones en la densidad de nivel en el s ale, pero de nuevo no hay super-shell stru tura. 0 20 40 60 80 100 −1000 1000 a) 0 20 40 60 80 100 120 140 200 c) 0 20 40 60 80 100 40 b) Figura 1: ( olor en línea) La gure superior (a) muestra el líder término (k = 1) del os parte illante del nivel de perturbación densidad de Eq. (9) como una diversión de nF = E/, para la ase de un potencial externo V = VHO®r con فارسى = 2/402 فارسى 0,0013. Las grutas medias e inferiores (b, ) mostrar el os parte illante de la energía total a ording a un numeri al HF al ula [12, con intera resistencia a la tracción 2ηa = 1 y 2ηa = 0,1, como a diversión ión del número de shell de HO (~ = • = 1). Esto ilustra cualitativamente que un supernodo, por ejemplo. a nF = 40, a ser debido a intera b) y/o un cuarti adicional plazo a la Potencial de HO (a). Attra tiva ciones llevan al emparejamiento por una cantidad que es exponencialmente sensible al nivel subyacente de sity cerca de la Fermi Surba e [2, 10, 11, 14. La guarida de nivel... sity es la misma para repulsivo y attra tiva ciones ex ept que los niveles se invierten cuando el signo de (Eqs. 9) y (13)) o a ahorcado (Eq. (16)). Por lo tanto nosotros un uso de las densidades de nivel y anchos de banda al ula arriba para el emparejamiento al ulaciones. Maridaje en sistemas de nite es des cosido por el Bogoliubov-de Gennes (BdG) equa- ciones [15 y tomar pla e entre estados tiempo invertidos. Como se muestra en [14 estos estados un ser aproximado por HO diversión de la onda ciones en trampas diluidas de HO siempre y cuando la brecha lo hace no ex ed el os energía del illator,. Resolviendo BdG para s.............................................................................................................................................................................................................................................................. Los sistemas nite son numeri ally ompli ated y nosotros se aplicarán, por tanto, nuevas aproximaciones simplificadas; a saber, que la brecha de emparejamiento nl y la diversión de la ola ión los elementos de la matriz de superposición varían lentamente con el nivel l en un shell n. Ambas aproximaciones son justas para los átomos atrapados como se argumenta en [11 y desviaciones Un ser entendido. As resultado llegamos a un mu h ecuación de brecha ed simpli ed ∫ â € ¢ 2nF g(E) dE (E − μ)2 (μ)2 . (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Aquí, el supergap G = 32 2nF a/15η2 fue al- en [10 como la brecha de emparejamiento cuando todos los estados en un caparazón un par; este es el ase para una región de in- tera ciones y en particular le número donde la brecha es grande como omparado al nivel de división, pero pequeño 0 10 20 30 40 50 60 =(3N)1/3 38 40 42 44 Figura 2: ( olor online) Espacios de emparejamiento multi-shell para una trampa HO con un quarti adicional Término en el potencial con • = 2/402, es decir, para la densidad de nivel de la Fig. 1 a) con supernodos en nF 40, 40 2 • 57, etc. Los intera la fuerza de la ión es a = −0,05 (rojo superior) urva), a = −0,03 (azul medio) urve, con la inset gure alrededor del rst supernodo) y a = −0,01 (inferior verde urve). En la trama inset es learly visto que el lo al Mínimos para l â € nF y l â € 0 antes de que el supernodo gire en lo al máximo después del supernodo, como un onsequen e de Conchas superpuestas. La línea discontinua (roja) es la brecha multi-shell • = G/(1−2G ln(nF)/) para a = −0,05 y la parte superior/inferior Línea sólida delgada (bla) k) son el único apareamiento medio/final para a = −0,01 (ver texto). ompared a la división de la cáscara. • (μ) = • nl es la brecha en el Fermi Surba e. g(E) = n2F /D es la densidad de nivel dentro de ea h bandgap D alrededor de ev- ery shell n = 0, 1,...,2nF pero desaparece entre los bandgaps. La ecuación de brecha así redu es a 1 = (G/D) 2nF (E + n − μ)2 2. Los hemi potencial μ se determinará a partir del nivel spe trum; como poco a poco ll parti les en la cáscara nF en el Fermi Surba e, μ en reases de nF a nFD. Los ut-o n2nF en la suma de los modelos de ecuación de brecha como una primera aproximación la regularización más rigurosa pro edure des acanalado en Ref. [16 que se requiere para una delta-diversión Seudo-potencial. Resolviendo esta ecuación de brecha ed simpli de Eq. (22), nosotros y que todavía ontains y muestra lo esencial interacción entre la variación en la densidad de nivel y el par- ing. Para ilustrar el super-shell stru en el emparejamiento, Tomamos el fuerte anarmoni potencial de trampa utilizado para el nivel spe tra en Fig. 1 a), y al pulir el emparejamiento surgida de un débil attra ciones longitud de attering a < 0. Para su ínteramente débil ciones su h que el emparejamiento sólo toma pla e en la cáscara en el Fermi surfa e, obtenemos la expe resultado ted de la ecuación de brecha: • = G cuando D • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • midshell (μ = nF + D/2) y فارسى = 2D exp(−D/G) endshell (μ = nF o μ = nF +D). El emparejamiento es así más fuerte en el medio de la cáscara que en el extremo, donde hay menos estados a par [11, y fuerte cáscara os illations fol- baja como se muestra en la Fig. 2. Por más fuerte intera ciones, emparejamiento También toma plá e entre estados en conchas alrededor del Fermi shell y Eq. (22) da: • = G/ (1− 2G ln (nF ) /) para ancho de banda pequeño [14. In Fig. 2 esto urve es omparina con el resultado nite de ancho de banda, h tiene fuerte os il- laciones ex ept en los supernodos donde la densidad de nivel es ontinuo. En un supernodo D = y la brecha equa- ión (22) conduce a una brecha = 2nF exp(/2G) [11. En resumen, densidades de nivel, shell-os illations y Super-shell stru ciones en anharmoni trampas al ula de numeri al Hartree-Fo k y analyti al periodi o- teoría de bits, así como WKB se encontró a mate h para liderar... En orden. stru super-shell analógico se encontraron las ciones en el emparejamiento de una BdG aproximada al ulation. Los media del eldo en atomi nu lei también tienen un gran anharmoni potencial y los proyectiles HO comienzan a superponerse (el rst supernodo) ya para el peso nu lei con nF 5 − 6. La interacción de nivel spe tra y emparejamiento multishell es, Sin embargo, di ult de desenredar en nu lear emparejamiento debido a Órbita de giro fuerte e e t y pequeñas partes el número. Ul- tra viejo atomi trampas, sin embargo, proporcionan sistemas ideales para observación de la ri h stru cuántico ciones su h como nivel de den- sities y emparejamiento. Dis ussions con Matthias Bra k en periodi orbita el- ory, Ben Mottelson en (nu lear) teoría de conchas y emparejamiento, y la lectura de prueba por Joel Corney, son agradecidamente un Lo sé. Borded. [1 J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. S Hrie er, Phys. Rev. 108, 1175 (1957). [2 A. Bohr y B. R. Mottelson, Nu lear Stru tura Vols. I+II, Benjamin, Nueva York 1969. [3 A. Bohr, B. R. Mottelson, D. Pines, Phys. Rev. 110, 936 (1958). [4 C. J. Pethi k y H. Smith, Bose-Einstein Condensación en Dilute Gases, Cambridge Univ. Prensa 2002. [5 Para un número mínimo de parti les the fa tor ñ = nF + 3/2 en ludes a orre ión a nF, whi h ha sido él ked nu- meri aliada para mejorar la aproximación de TF y ligeramente colgar el predi ión de supernodos. [6 M. Bra k y R. K. Bhaduri, Semi lassi al Physi s, re- vised edn (Boulder, CO: Westview) (2003). [7 S. C. Creagh, Ann. Phys., NY 248 60 (1996). [8 M. Bra k et al., J. Phys. A 38, 9941 (2005). [9 M. Ögren, inédito (2006): www.magnus.ogren.se/notes/pot/derivationofgpert.pdf [10 H. Heiselberg y B. R. Mottelson, Phys. Rev. Lett. 88, 190401 (2002). [11 H. Heiselberg, Phys. Rev. A 68, 053616 (2003). Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de kl faltaba en Eq. 6) de la presente Ref. como Omparado a Eq. (11). [12 Y. Yu et al., Phys. Rev. A 72, 051602(R) (2005). [13 B. P. van Zyl et al., Phys. Rev. A 67, 023609 (2003). [14 G. M. Bruun y H. Heiselberg, Phys. Rev. A 65, 053407 (2002). [15 P. G. de Gennes, Super ondu dad de Metales y Aleaciones (Addison-Wesley, Nueva York, 1989). [16 G. M. Bruun et al., Eur. Phys. J. D9, 433 (1999).

Quantum non-local effects with Bose-Einstein condensates

Efectos cuantitativos no locales con condensados de Bose-Einstein F. Laloë a y W. J. Mullin b Laboratoire Kastler Brossel, ENS, UPMC, CNRS; 24 rue Lhomond, 75005 Paris, Francia Departamento de Física, Universidad de Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003 EE.UU. Estudiamos teóricamente las propiedades de dos condensados de Bose-Einstein en diferentes estados de rotación, representado por un estado Fock doble. Las mediciones individuales de los giros de las partículas son por- formado en direcciones transversales, dando acceso a la fase relativa de los condensados. En un principio, este fase está completamente indefinido, y las primeras mediciones proporcionan resultados aleatorios. Pero un valor fijo de esta fase emerge rápidamente bajo el efecto de las mediciones cuánticas sucesivas, dando lugar a a una situación cuasi-clásica donde todos los giros tienen orientaciones transversales paralelas. Si el número de las mediciones alcanzan su máximo (el número de partículas), los efectos cuánticos aparecen de nuevo, dando aumento de las violaciones de las desigualdades del tipo Bell. La violación de las desigualdades de BCHSH con un gran número de giros puede ser comparable (o incluso igual) a la obtenida con dos giros. Números PACS: 03.65.Ta,03.65.Ud,03.75.Gg,03.75.Mn La noción de no-localidad en la mecánica cuántica (QM) toma sus raíces en una cadena de dos teoremas, el Teorema de EPR (Einstein Podolsky Rosen) [1] y su continuación ica, el teorema de Bell. El teorema del EPR parte de tres supuestos (realismo Einstein, localidad, las predicciones de la mecánica cuántica con respecto a algunos correlaciones perfectas son correctas) y prueba que QM es incompletos: cantidades adicionales, tradicionalmente denominadas son necesarios para completar la descripción de la re- física dad. El teorema de la campana [2, 3] entonces prueba que, si existe, las predicciones de QM con respecto a otras correcciones imperfectas Las laciones no siempre pueden ser correctas. El conjunto de la tres suposiciones: Einstein realismo, localidad, todos predic- ciones de QM son correctas, por lo tanto es auto-contradictorio; Si el realismo de Einstein es válido, QM no es local. Bohr [4] rechaza el realismo de Einstein porque, en su opinión, el no- de la realidad física no se podía aplicar correctamente a sistemas cuánticos microscópicos, definidos independientemente de los aparatos de medición. En efecto, desde el momento en que el EPR sider un sistema de dos partículas microscópicas, que puede ser “visto” únicamente con la ayuda de aparatos de medida, la noción de su realidad física independiente es abierta a la discusión. Sin embargo, se ha señalado recientemente [5, 6] que el teorema de la EPR se aplica también a los sistemas macroscópicos En la mayoría de los casos, los niveles de concentración de la sustancia problema son más bajos que los niveles de concentración de la sustancia problema (por ejemplo, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema y la concentración de la sustancia problema. estados internos feroces. En el caso de que el EPR se haya introducido en el futuro, la Comisión podrá adoptar una decisión sobre la base de la información facilitada por el EPR en el plazo de dos meses a partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión. responde a la fase relativa de los condensados, es decir. a orientaciones de giro transversal macroscópicas, a escala humana; entonces parece más difícil negar la existencia de su realidad, incluso en la ausencia de los dispositivos de medición. Esto da aún más fuerza al argumento del EPR y debilita la refutación de Bohr. Lo siento. entonces es natural preguntar si el teorema de Bell puede ser Transpuesto a este caso más fuerte. El propósito de este artículo es mostrar que puede. Nosotros considerar un conjunto de partículas N+ en un estado definido por un estado orbital u y un estado de espín +, y partículas N− en el mismo estado con la orientación de giro −. El conjunto sistema se describe cuántica mecánicamente por un doble Estado Fock, es decir, un “condensado doble BE”: Φ > = (au,+) [ ]N+ [ (au,−) vac. > (1) donde au,+ y au,− son los operadores de destrucción asso- ciada con los dos Estados poblados de una sola partícula y vac. > es el estado de vacío. Introducimos una secuencia de las mediciones de giro transversales que conducen a la predicciones que violan el llamado BCHSH [7, 8] Bell in- igualdad. Esto recuerda a la obra de Mermín [9], que encuentra violaciones exponenciales del realismo local en igualdad de condiciones ciones con N -partícula spin estados que son al máximo en- Enredado. Por el contrario, aquí consideramos la manera más simple en el que muchos bosones pueden ser puestos en dos diferentes in- niveles tenales, con un estado de N -partículas que contiene sólo el correlaciones mínimas posibles, las debidas a las estadísticas. Nosotros encontrar las violaciones de las desigualdades que son el mismo orden de magnitud como con el estado habitual de giro singlet y puede realmente saturar el Cirel’son limitado [10]. Los estados de Double Fock son experimentalmente más accessi- ble y mucho menos sensible a la disipación y descohe- En consecuencia, que los estados enredados al máximo [11]. Considerando Un sistema en un estado de Fock doble, suponemos que un se- se pueden realizar mediciones de giro rápido y descrito por el postulado habitual de medición de QM, sin preocuparse por la decoherencia entre los mea- seguridades, efectos térmicos, etc. Los operadores asociados con la densidad local de par- ticles y giros se pueden expresar como funciones de la dos campos operadores (r) asociados a los dos in- estados terminales ± como: n(r) = (r)(r) + −(r)(r), z(r) =  +(r)(r) −(r)(r), mientras que el spin com- poniente en la dirección del plano xOy haciendo un ángulo con Ox es: (r) = e +(r)(r)+ e −(r)(r). Considerar ahora una medición de este componente por- formado en el punto r y con resultado η = ±1. Los http://arxiv.org/abs/0704.0386v4 el proyector correspondiente es: Pη=±1(r, ) = [n(r) + η (r)] (2) y, porque las medidas se supone que son por- formados en diferentes puntos (asegurando que estos proyectores todos los viajes) la probabilidad P(η1, η2,...ηN ) para una serie de los resultados ηi± 1 para las mediciones de los giros en los puntos ri a lo largo las instrucciones pueden ser escritas como: < Φ Pη1(r1,?1)× Pη2(r2,?2)×....PηN (rN,?N) Φ > Ahora sustituimos la expresión de (r) en (2) y (3), exactamente como en el cálculo de ref. [5], pero con uno diferencia: aquí no suponemos que el número de mediciones es mucho menor que N±, pero igual a su valor máximo N = N+ + N−. En el producto de los proyectores que aparecen en (3), porque todos los rs son diferentes, la conmutación nos permite empujar a todos los operadores de campo a la derecha, todos sus conjugados a la izquierda; uno puede entonces ver fácilmente que cada (r) que actúa sobre Φ > puede ser re- colocado por u(r) × au,±, y de manera similar para el Hermiciano conjugados. Con nuestro estado inicial, un resultado no cero puede sólo se obtendrán si exactamente N+ operadores au,+ aparecen en el término considerado, y N- operadores au, la condición existe para los operadores conjugados ermitaños. Para expresar estas condiciones, introducimos dos adicionales variables. Al igual que en [5], la primera variable número de operadores de creación y destrucción en estados ternales ± a través de la identidad matemática: n,0 (4) = n,0 (4) = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 La segunda variable se expresa de una manera similar que la diferencia entre el número de operadores de destrucción en estados + y − es exactamente NN−, a través de la integral: e-en-ei(NN−)- = Łn,NN− (5) La introducción de las exponenciales correspondientes en el producto de los proyectores (2) en (3) proporciona la expres- sión (c.c. significa conjugado complejo): u(rj)2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ei(j) + c.c. donde, después de la integración de más y más, el único superviviente términos están todos asociados con el mismo elemento de matriz en Estado Φ > (el del producto de los operadores N+ a†u,+ y N - operadores a u,− seguido de la misma secuencia de los operadores de destrucción, proporcionando el resultado constante N+!N−!). Así podemos escribir la probabilidad como: P(η1, η2,...ηN ) ei(NN−) u(rj)2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ei(j) + c.c. o, mediante el uso de la paridad y el cambio de una variable de integración ( = ), como: P(η1, η2,...ηN ) = cos [(N+ −N−)] {cos (?) + ηj cos ( −?j)} (8) El coeficiente de normalización CN se obtiene fácilmente escribiendo que la suma de probabilidades de todas las secuencias posibles de η es 1 (este paso requiere discusión; volvemos a este punto al final de este artículo): cos [(N+ −N−)] Finalmente, generalizamos (8) a cualquier número de mediciones M < N. Una secuencia de mediciones M siempre puede ser completado con mediciones adicionales de N − M, lo que conduce a la probabilidad (8). Por lo tanto, podemos tomar la suma de (8) sobre todos los resultados posibles de las mediciones adicionales de N-M para obtener la probabilidad de cualquier M como: P(η1, η2,...ηM ) = cos [(N+ −N−) {cos (?) + ηj cos ( −?j)} (10) La integral puede ser sustituida por dos veces la integral entre /2 (un cambio de por (−1)NNN−M+M = 1). Si M+N, la gran potencia de cos® en la primera integral concentra su contribución alrededor de 0, de modo que una buena aproximación es 0. A continuación, recuperamos los resultados de los refs [5, 6], con una sola integral sobre  definir la fase relativa de los condensados (fase Anderson), inicialmente completamente indeterminado, de modo que la primera medición de giro proporciona un resultado completamente aleatorio. Pero la fase emerge rápidamente bajo el efecto de un pocas mediciones, y permanece constante [12, 13, 14]; toma un valor diferente para cada realización del experimento, como si estuviera revelando el valor preexistente de una cantidad clásica. Por otra parte, cuando se sustituyó el co ́ por 1, cada uno de los factores del producto sobre j permanece positivo (o cero), dando lugar a un resultado similar al de las teorías realistas locales estocásticas; las desigualdades Bell pueden entonces ser obtenidas. Sin embargo, cuando N − M es pequeño o incluso desaparece, porque puede tomar valores que son menores de 1 y los factores pueden llegar a ser negativos, lo que abre la posibilidad de violaciones. En cierto sentido, el La variable adicional • controla la cantidad de efectos cuánticos en la serie de mediciones. Ahora discutimos cuando estas predicciones estándar de QM violan las desigualdades Bell. Necesitamos el valor de la cuántica media del producto de los resultados, es decir, la suma de η1, η2,...ηM × P(η1, η2,...ηM ) sobre todos los valores posibles de los η, que de acuerdo con (10) está dada por: E(­1, ­2,.. M ) = cos [(N+ −N−) Considere un experimento de pensamiento donde dos condensaciones en diferentes estados de giro (dos estados propios del giro Oz componente) solapamiento en dos regiones remotas del espacio A y B, con dos experimentalistas Alice y Bob; ellos medir los giros de las partículas en el transverso arbitrario direcciones (perpendicular a Oz) en los puntos del espacio donde las funciones de onda orbital de los dos condensados son igual. Todas las mediciones realizadas por Alice se realizan a lo largo de una sola dirección, que juega aquí el habitual papel del “establecimiento” a, mientras que todos los realizados por Bob se hacen a lo largo del ángulo b. Asumimos que Alice retiene sólo el producto A de todas sus medidas, mientras que Bob conserva sólo el producto B de su; A y B son ambos ±1. Ahora asumimos dos posibles orientaciones: para Alice, dos posibles orientaciones............................................................................................................................................................................................................................................................ b para Bob. Dentro del realismo local determinista, para cada realización de el experimento, es posible definir dos números A, A′, ambos iguales a ±1, asociados con los dos posibles productos de resultados η que Alice observará, dependiendo de su elección de orientación; lo mismo es obviamente cierto para Bob, introduciendo B y B′. Dentro de estocástico local realismo [8, 15], A y A′ son la diferencia de probabilidades asociado con la observación de Alice +1 o −1, es decir, números que tienen valores entre +1 y −1. En ambos casos, el se obedecen las siguientes desigualdades (BCHSH): − 2 ≤ AB +AB′ ± (A′B − A′B′) ≤ 2 (12) En la mecánica cuántica estándar, por supuesto, “menos- Experimentos formados no tienen resultados” [16], y varios de los números que aparecen en (12) no están definidos; sólo dos de ellos se puede definir después de que el experimento ha sido realizado con una determinada elección de las orientaciones. Por lo tanto, mientras que uno puede calcular a partir de (11) el promedio cuántico valor < Q > de la suma de los productos de los resultados que aparecen en (12), no hay ninguna razón especial por la que < Q > debería ser limitado entre +2 y −2. Situaciones en las que el límite se supera se llaman “cuantum non-local”. Hemos visto que las situaciones más interesantes o... cuando los cosenos no introducen su efecto pico alrededor de 0, es decir, cuando N+ = N− y M tiene su maxi- valor de la madre N. Entonces, para un N dado, el único que queda elección es cómo se comparte el número de mediciones ser- Entre las mediciones de Na para Alice y Nb para Bob. Suponga primero que Na = 1 (Alice hace una medida- ) y, por lo tanto, Nb = N − 1 (Bob ers). Puesto que suponemos que N+ = N− y M = N, el La integral en (11) desaparece, y la integral en (11) contiene sólo el producto de cos ( − Ła) por el (N − 1) o potencia de cos ( − Łb), que es directo y proporciona cos (?a −?b) multiplicado por la CN integral de normalización. Los promedio cuántico asociado con el producto AB es por lo tanto simplemente igual a cos (?a −?b), exactamente como el caso habitual de dos vueltas en un estado singlet. Entonces es bien sabido que, cuando los ángulos formen un “fan” [17] espaciado por χ = η/4, una fuerte violación de (12) ocurre, por un factor 2, sat- urar el Cirel’son atado [10]. Un cálculo similar se puede realizar cuando Alice hace 2 mediciones y Bob N − 2, y muestra que el promedio cuántico es ahora igual a 1 1 + 1 + (1 − 1 ) cos 2 (­ • • • b) ya no independiente de N. Si N = 4, el máximo de < Q > es 2,28 < 2 2, y se eleva a 2,41 como N →. Una expresión para la generalización de la av cuántica eliminar a cualquier número P y N − P de las mediciones por Alice y Bob, respectivamente, son (con χ = E(χ) = {P/2} ¡P!(N − 2k)! ¡K!(P − 2k)!(N - ¡K)! sin2k χ cosP−2k χ donde {P/2} es la parte entera de P/2. El máximo de < Q > se puede encontrar usando una matemática numérica rutina. Los resultados se muestran para varios valores de P en la Fig. 1. Los ángulos maximizando la cantidad cuántica Bell siempre ocurren en la forma del ventilador, aunque el ángulo básico χ cambia con P y N. Todas las curvas donde P es mantenido fijo tienen un límite finito < Q > con el aumento de N, y los valores óptimos de las constantes de aproximación de ángulos. Para la curva P = N/2, el límite es de 2.32 cuando N → y la apertura del ventilador disminuye como 1/ 10080604020 P FIG. 1: El máximo del promedio cuántico < Q > para Alice haciendo experimentos P y Bob N − P, en función de el número total de partículas N. La situación habitual de Bell es obtenido para N = 2, P = 1. Teorías realistas locales predicen un límite superior de 2; se obtienen grandes violaciones de este límite, incluso con sistemas macroscópicos (N → فارسى). Si P = 1, la la violación satura el límite de Cirel’son para cualquier N. También podemos estudiar casos en los que el número de medidas es M < N : si Bob hace todas sus medidas, pero ignora uno o dos de ellos (independientemente de la de las medidas), cuando correlaciona sus resultados con Alice, la desigualdad BCHSH nunca es violada. Todos las mediciones deben tenerse en cuenta para obtener violaciones. Además, si el número de partículas en el dos condensados no son iguales, tampoco hay violación. Por último, es posible considerar los casos en los que alize los ángulos considerados: la experimentadora Carole hace las mediciones a los niveles de Cd y Cd c, y David en los d y Entonces encontramos que una maximización de < Q > se reduce a los casos ya estudiados, donde los nuevos ángulos colapsan a los ángulos anteriores?a, · · · ·, b. Por el bien de la simplicidad, aún no hemos discutido algunos temas importantes que subyacen a nuestros cálculos. Uno está relacionado con la llamada “brecha de sesgo de muestra” (o “detección/objeción de eficiencia”) y a la normalización condición (9), que supone que se detecta un giro en cada punto de medición. Un estudio más detallado (véase segundo ref. [5]) debe incluir la integración de cada r en un pequeño volumen de detección y la posibilidad de que no se detecta ninguna partícula en ella. Este es un bien conocido dif- ficultad, que ya aparece en el habitual dos-fotón experimentos [8], donde la mayoría de los fotones son detectores. Si esta laguna sigue levantando un verdadero experimento... la dificultad se puede resolver en teoría por suponiendo la presencia de más spin-independent de- tectores [2, 8], que garantizan la detección de una partícula en cada detector y crear las condiciones iniciales adecuadas (véase, por ejemplo, [18] para una descripción de un experimento con detectores de veto). Aplazamos esta discusión a un... otro artículo [19]. Una segunda cuestión se refiere a la definición de las cantidades realistas locales A, B, etc. Por dos condensaciones... sates, tenemos una situación ligeramente diferente que en el situación habitual de EPR: el razonamiento realista local conduce a la existencia de una fase bien definida entre la densatos [5], no necesariamente a propiedades deterministas de las partículas individuales. Afortunadamente, las desigualdades de Bell También puede derivarse dentro de teorías realistas locales estocásticas [3, 8] (véanse también, por ejemplo, [9] o apéndice I de [15]), y esta diferencia no es un problema [19]. En conclusión, las fuertes violaciones del realismo local pueden se producen para los sistemas cuánticos grandes, incluso si el estado es un simple estado de Fock doble con poblaciones iguales; dentro técnicas experimentales actuales, esto parece alcanzable con N° 10 ó 20. Hemos supuesto que el mea- cantidad segura es el producto de muchos microscópicos mea- no su suma, que sería macroscópica; un producto de los resultados sigue siendo sensible a la última medida , incluso después de una larga secuencia de otros. Curiosamente, por muy pocas mediciones sólo los resultados son cuánticos, para muchas medidas que se pueden interpretar en términos de una fase clásica, pero volver a ser fuertemente cuántica cuando se alcance el número máximo de mediciones, una especie de reavivamiento de la cuántica naturaleza del sistema. Laboratoire Kastler Brossel es “UMR 8552 du CNRS, de l’ENS, et de l’Université Pierre et Marie Curie”. [1] A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935). [2] J.S. Bell, Physics 1, 195 (1964), reimpreso en [3]. [3] J.S. Bell, “Hablable e indescriptible en mí cuántico- chanics", Cambridge University Press (1987). [4] N. Bohr, Phys. Rev. 48, 696 (1935). [5] F. Laloë, Europ. Phys. J. D, 33, 87 (2005); véase también cond-mat/0611043. [6] W.J. Mullin, R. Krotkov y F. Laloë, Phys. Rev. A74, 023610 (2006). [7] J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony y R.A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). [8] J.F. Clauser y A. Shimony, representante sobre el progreso en Phys. 41, 1883 (1978). [9] N.D. Mermin, Phys. Rev. Lett. 65, 1838 (1990). [10] B.S. Cirel’son, Letras en matemáticas. Phys. 4, 93 (1980). [11] J.A. Dunningham, K. Burnett y S.M. Barnett, Phys. Rev. Lett. 89, 150401 (2002). [12] J. Javanainen y Sung Mi Yoo, Phys. Rev. Lett. 76, 161 (1996). [13] Y. Castin y J. Dalibard, Phys. Rev. A55, 4330 (1997). [14] I. Cirac, C. Gardiner, M. Naraschewski y P. Zoller, Phys. Rev. A54, R3714 (1996) y referencias en [6] [15] F. Laloë, Am. J. Phys. 69, 655 (2001). [16] A. Peres, Am. J. Phys. 46, 745 (1978). [17] El término “fan” se refiere a los ángulos dispuestos como Łba = El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 8401.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.02.b de la partida 84.a.b de la partida 84. [18] J.S. Bell, comentarios en el. y mol. Phys. 9, 121 (1979); reimpreso en [3]. [19] W.J. Mullin y F. Laloë, por publicar http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611043

Estudiamos teóricamente las propiedades de dos condensados de Bose-Einstein en diferentes estados de giro, representados por un estado Fock doble. Individual Las mediciones de los giros de las partículas se realizan en el transverso direcciones, dando acceso a la fase relativa de los condensados. Al principio, esta fase es completamente indefinida, y las primeras mediciones proporcionan al azar resultados. Pero un valor fijo de esta fase emerge rápidamente bajo el efecto de las medidas cuánticas sucesivas, dando lugar a una situación cuasiclásica donde todos los giros tienen orientaciones transversales paralelas. Si el número de las mediciones alcanzan su máximo (el número de partículas), los efectos cuánticos aparecen de nuevo, dando lugar a violaciones de las desigualdades tipo Bell. Los la violación de las desigualdades de BCHSH con un número arbitrariamente grande de giros puede ser comparable (o incluso igual) a la obtenida con dos giros.

Efectos cuantitativos no locales con condensados de Bose-Einstein F. Laloë a y W. J. Mullin b Laboratoire Kastler Brossel, ENS, UPMC, CNRS; 24 rue Lhomond, 75005 Paris, Francia Departamento de Física, Universidad de Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003 EE.UU. Estudiamos teóricamente las propiedades de dos condensados de Bose-Einstein en diferentes estados de rotación, representado por un estado Fock doble. Las mediciones individuales de los giros de las partículas son por- formado en direcciones transversales, dando acceso a la fase relativa de los condensados. En un principio, este fase está completamente indefinido, y las primeras mediciones proporcionan resultados aleatorios. Pero un valor fijo de esta fase emerge rápidamente bajo el efecto de las mediciones cuánticas sucesivas, dando lugar a a una situación cuasi-clásica donde todos los giros tienen orientaciones transversales paralelas. Si el número de las mediciones alcanzan su máximo (el número de partículas), los efectos cuánticos aparecen de nuevo, dando aumento de las violaciones de las desigualdades del tipo Bell. La violación de las desigualdades de BCHSH con un gran número de giros puede ser comparable (o incluso igual) a la obtenida con dos giros. Números PACS: 03.65.Ta,03.65.Ud,03.75.Gg,03.75.Mn La noción de no-localidad en la mecánica cuántica (QM) toma sus raíces en una cadena de dos teoremas, el Teorema de EPR (Einstein Podolsky Rosen) [1] y su continuación ica, el teorema de Bell. El teorema del EPR parte de tres supuestos (realismo Einstein, localidad, las predicciones de la mecánica cuántica con respecto a algunos correlaciones perfectas son correctas) y prueba que QM es incompletos: cantidades adicionales, tradicionalmente denominadas son necesarios para completar la descripción de la re- física dad. El teorema de la campana [2, 3] entonces prueba que, si existe, las predicciones de QM con respecto a otras correcciones imperfectas Las laciones no siempre pueden ser correctas. El conjunto de la tres suposiciones: Einstein realismo, localidad, todos predic- ciones de QM son correctas, por lo tanto es auto-contradictorio; Si el realismo de Einstein es válido, QM no es local. Bohr [4] rechaza el realismo de Einstein porque, en su opinión, el no- de la realidad física no se podía aplicar correctamente a sistemas cuánticos microscópicos, definidos independientemente de los aparatos de medición. En efecto, desde el momento en que el EPR sider un sistema de dos partículas microscópicas, que puede ser “visto” únicamente con la ayuda de aparatos de medida, la noción de su realidad física independiente es abierta a la discusión. Sin embargo, se ha señalado recientemente [5, 6] que el teorema de la EPR se aplica también a los sistemas macroscópicos En la mayoría de los casos, los niveles de concentración de la sustancia problema son más bajos que los niveles de concentración de la sustancia problema (por ejemplo, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema, los niveles de concentración de la sustancia problema y la concentración de la sustancia problema. estados internos feroces. En el caso de que el EPR se haya introducido en el futuro, la Comisión podrá adoptar una decisión sobre la base de la información facilitada por el EPR en el plazo de dos meses a partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión. responde a la fase relativa de los condensados, es decir. a orientaciones de giro transversal macroscópicas, a escala humana; entonces parece más difícil negar la existencia de su realidad, incluso en la ausencia de los dispositivos de medición. Esto da aún más fuerza al argumento del EPR y debilita la refutación de Bohr. Lo siento. entonces es natural preguntar si el teorema de Bell puede ser Transpuesto a este caso más fuerte. El propósito de este artículo es mostrar que puede. Nosotros considerar un conjunto de partículas N+ en un estado definido por un estado orbital u y un estado de espín +, y partículas N− en el mismo estado con la orientación de giro −. El conjunto sistema se describe cuántica mecánicamente por un doble Estado Fock, es decir, un “condensado doble BE”: Φ > = (au,+) [ ]N+ [ (au,−) vac. > (1) donde au,+ y au,− son los operadores de destrucción asso- ciada con los dos Estados poblados de una sola partícula y vac. > es el estado de vacío. Introducimos una secuencia de las mediciones de giro transversales que conducen a la predicciones que violan el llamado BCHSH [7, 8] Bell in- igualdad. Esto recuerda a la obra de Mermín [9], que encuentra violaciones exponenciales del realismo local en igualdad de condiciones ciones con N -partícula spin estados que son al máximo en- Enredado. Por el contrario, aquí consideramos la manera más simple en el que muchos bosones pueden ser puestos en dos diferentes in- niveles tenales, con un estado de N -partículas que contiene sólo el correlaciones mínimas posibles, las debidas a las estadísticas. Nosotros encontrar las violaciones de las desigualdades que son el mismo orden de magnitud como con el estado habitual de giro singlet y puede realmente saturar el Cirel’son limitado [10]. Los estados de Double Fock son experimentalmente más accessi- ble y mucho menos sensible a la disipación y descohe- En consecuencia, que los estados enredados al máximo [11]. Considerando Un sistema en un estado de Fock doble, suponemos que un se- se pueden realizar mediciones de giro rápido y descrito por el postulado habitual de medición de QM, sin preocuparse por la decoherencia entre los mea- seguridades, efectos térmicos, etc. Los operadores asociados con la densidad local de par- ticles y giros se pueden expresar como funciones de la dos campos operadores (r) asociados a los dos in- estados terminales ± como: n(r) = (r)(r) + −(r)(r), z(r) =  +(r)(r) −(r)(r), mientras que el spin com- poniente en la dirección del plano xOy haciendo un ángulo con Ox es: (r) = e +(r)(r)+ e −(r)(r). Considerar ahora una medición de este componente por- formado en el punto r y con resultado η = ±1. Los http://arxiv.org/abs/0704.0386v4 el proyector correspondiente es: Pη=±1(r, ) = [n(r) + η (r)] (2) y, porque las medidas se supone que son por- formados en diferentes puntos (asegurando que estos proyectores todos los viajes) la probabilidad P(η1, η2,...ηN ) para una serie de los resultados ηi± 1 para las mediciones de los giros en los puntos ri a lo largo las instrucciones pueden ser escritas como: < Φ Pη1(r1,?1)× Pη2(r2,?2)×....PηN (rN,?N) Φ > Ahora sustituimos la expresión de (r) en (2) y (3), exactamente como en el cálculo de ref. [5], pero con uno diferencia: aquí no suponemos que el número de mediciones es mucho menor que N±, pero igual a su valor máximo N = N+ + N−. En el producto de los proyectores que aparecen en (3), porque todos los rs son diferentes, la conmutación nos permite empujar a todos los operadores de campo a la derecha, todos sus conjugados a la izquierda; uno puede entonces ver fácilmente que cada (r) que actúa sobre Φ > puede ser re- colocado por u(r) × au,±, y de manera similar para el Hermiciano conjugados. Con nuestro estado inicial, un resultado no cero puede sólo se obtendrán si exactamente N+ operadores au,+ aparecen en el término considerado, y N- operadores au, la condición existe para los operadores conjugados ermitaños. Para expresar estas condiciones, introducimos dos adicionales variables. Al igual que en [5], la primera variable número de operadores de creación y destrucción en estados ternales ± a través de la identidad matemática: n,0 (4) = n,0 (4) = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 = n,0 La segunda variable se expresa de una manera similar que la diferencia entre el número de operadores de destrucción en estados + y − es exactamente NN−, a través de la integral: e-en-ei(NN−)- = Łn,NN− (5) La introducción de las exponenciales correspondientes en el producto de los proyectores (2) en (3) proporciona la expres- sión (c.c. significa conjugado complejo): u(rj)2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ei(j) + c.c. donde, después de la integración de más y más, el único superviviente términos están todos asociados con el mismo elemento de matriz en Estado Φ > (el del producto de los operadores N+ a†u,+ y N - operadores a u,− seguido de la misma secuencia de los operadores de destrucción, proporcionando el resultado constante N+!N−!). Así podemos escribir la probabilidad como: P(η1, η2,...ηN ) ei(NN−) u(rj)2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ei(j) + c.c. o, mediante el uso de la paridad y el cambio de una variable de integración ( = ), como: P(η1, η2,...ηN ) = cos [(N+ −N−)] {cos (?) + ηj cos ( −?j)} (8) El coeficiente de normalización CN se obtiene fácilmente escribiendo que la suma de probabilidades de todas las secuencias posibles de η es 1 (este paso requiere discusión; volvemos a este punto al final de este artículo): cos [(N+ −N−)] Finalmente, generalizamos (8) a cualquier número de mediciones M < N. Una secuencia de mediciones M siempre puede ser completado con mediciones adicionales de N − M, lo que conduce a la probabilidad (8). Por lo tanto, podemos tomar la suma de (8) sobre todos los resultados posibles de las mediciones adicionales de N-M para obtener la probabilidad de cualquier M como: P(η1, η2,...ηM ) = cos [(N+ −N−) {cos (?) + ηj cos ( −?j)} (10) La integral puede ser sustituida por dos veces la integral entre /2 (un cambio de por (−1)NNN−M+M = 1). Si M+N, la gran potencia de cos® en la primera integral concentra su contribución alrededor de 0, de modo que una buena aproximación es 0. A continuación, recuperamos los resultados de los refs [5, 6], con una sola integral sobre  definir la fase relativa de los condensados (fase Anderson), inicialmente completamente indeterminado, de modo que la primera medición de giro proporciona un resultado completamente aleatorio. Pero la fase emerge rápidamente bajo el efecto de un pocas mediciones, y permanece constante [12, 13, 14]; toma un valor diferente para cada realización del experimento, como si estuviera revelando el valor preexistente de una cantidad clásica. Por otra parte, cuando se sustituyó el co ́ por 1, cada uno de los factores del producto sobre j permanece positivo (o cero), dando lugar a un resultado similar al de las teorías realistas locales estocásticas; las desigualdades Bell pueden entonces ser obtenidas. Sin embargo, cuando N − M es pequeño o incluso desaparece, porque puede tomar valores que son menores de 1 y los factores pueden llegar a ser negativos, lo que abre la posibilidad de violaciones. En cierto sentido, el La variable adicional • controla la cantidad de efectos cuánticos en la serie de mediciones. Ahora discutimos cuando estas predicciones estándar de QM violan las desigualdades Bell. Necesitamos el valor de la cuántica media del producto de los resultados, es decir, la suma de η1, η2,...ηM × P(η1, η2,...ηM ) sobre todos los valores posibles de los η, que de acuerdo con (10) está dada por: E(­1, ­2,.. M ) = cos [(N+ −N−) Considere un experimento de pensamiento donde dos condensaciones en diferentes estados de giro (dos estados propios del giro Oz componente) solapamiento en dos regiones remotas del espacio A y B, con dos experimentalistas Alice y Bob; ellos medir los giros de las partículas en el transverso arbitrario direcciones (perpendicular a Oz) en los puntos del espacio donde las funciones de onda orbital de los dos condensados son igual. Todas las mediciones realizadas por Alice se realizan a lo largo de una sola dirección, que juega aquí el habitual papel del “establecimiento” a, mientras que todos los realizados por Bob se hacen a lo largo del ángulo b. Asumimos que Alice retiene sólo el producto A de todas sus medidas, mientras que Bob conserva sólo el producto B de su; A y B son ambos ±1. Ahora asumimos dos posibles orientaciones: para Alice, dos posibles orientaciones............................................................................................................................................................................................................................................................ b para Bob. Dentro del realismo local determinista, para cada realización de el experimento, es posible definir dos números A, A′, ambos iguales a ±1, asociados con los dos posibles productos de resultados η que Alice observará, dependiendo de su elección de orientación; lo mismo es obviamente cierto para Bob, introduciendo B y B′. Dentro de estocástico local realismo [8, 15], A y A′ son la diferencia de probabilidades asociado con la observación de Alice +1 o −1, es decir, números que tienen valores entre +1 y −1. En ambos casos, el se obedecen las siguientes desigualdades (BCHSH): − 2 ≤ AB +AB′ ± (A′B − A′B′) ≤ 2 (12) En la mecánica cuántica estándar, por supuesto, “menos- Experimentos formados no tienen resultados” [16], y varios de los números que aparecen en (12) no están definidos; sólo dos de ellos se puede definir después de que el experimento ha sido realizado con una determinada elección de las orientaciones. Por lo tanto, mientras que uno puede calcular a partir de (11) el promedio cuántico valor < Q > de la suma de los productos de los resultados que aparecen en (12), no hay ninguna razón especial por la que < Q > debería ser limitado entre +2 y −2. Situaciones en las que el límite se supera se llaman “cuantum non-local”. Hemos visto que las situaciones más interesantes o... cuando los cosenos no introducen su efecto pico alrededor de 0, es decir, cuando N+ = N− y M tiene su maxi- valor de la madre N. Entonces, para un N dado, el único que queda elección es cómo se comparte el número de mediciones ser- Entre las mediciones de Na para Alice y Nb para Bob. Suponga primero que Na = 1 (Alice hace una medida- ) y, por lo tanto, Nb = N − 1 (Bob ers). Puesto que suponemos que N+ = N− y M = N, el La integral en (11) desaparece, y la integral en (11) contiene sólo el producto de cos ( − Ła) por el (N − 1) o potencia de cos ( − Łb), que es directo y proporciona cos (?a −?b) multiplicado por la CN integral de normalización. Los promedio cuántico asociado con el producto AB es por lo tanto simplemente igual a cos (?a −?b), exactamente como el caso habitual de dos vueltas en un estado singlet. Entonces es bien sabido que, cuando los ángulos formen un “fan” [17] espaciado por χ = η/4, una fuerte violación de (12) ocurre, por un factor 2, sat- urar el Cirel’son atado [10]. Un cálculo similar se puede realizar cuando Alice hace 2 mediciones y Bob N − 2, y muestra que el promedio cuántico es ahora igual a 1 1 + 1 + (1 − 1 ) cos 2 (­ • • • b) ya no independiente de N. Si N = 4, el máximo de < Q > es 2,28 < 2 2, y se eleva a 2,41 como N →. Una expresión para la generalización de la av cuántica eliminar a cualquier número P y N − P de las mediciones por Alice y Bob, respectivamente, son (con χ = E(χ) = {P/2} ¡P!(N − 2k)! ¡K!(P − 2k)!(N - ¡K)! sin2k χ cosP−2k χ donde {P/2} es la parte entera de P/2. El máximo de < Q > se puede encontrar usando una matemática numérica rutina. Los resultados se muestran para varios valores de P en la Fig. 1. Los ángulos maximizando la cantidad cuántica Bell siempre ocurren en la forma del ventilador, aunque el ángulo básico χ cambia con P y N. Todas las curvas donde P es mantenido fijo tienen un límite finito < Q > con el aumento de N, y los valores óptimos de las constantes de aproximación de ángulos. Para la curva P = N/2, el límite es de 2.32 cuando N → y la apertura del ventilador disminuye como 1/ 10080604020 P FIG. 1: El máximo del promedio cuántico < Q > para Alice haciendo experimentos P y Bob N − P, en función de el número total de partículas N. La situación habitual de Bell es obtenido para N = 2, P = 1. Teorías realistas locales predicen un límite superior de 2; se obtienen grandes violaciones de este límite, incluso con sistemas macroscópicos (N → فارسى). Si P = 1, la la violación satura el límite de Cirel’son para cualquier N. También podemos estudiar casos en los que el número de medidas es M < N : si Bob hace todas sus medidas, pero ignora uno o dos de ellos (independientemente de la de las medidas), cuando correlaciona sus resultados con Alice, la desigualdad BCHSH nunca es violada. Todos las mediciones deben tenerse en cuenta para obtener violaciones. Además, si el número de partículas en el dos condensados no son iguales, tampoco hay violación. Por último, es posible considerar los casos en los que alize los ángulos considerados: la experimentadora Carole hace las mediciones a los niveles de Cd y Cd c, y David en los d y Entonces encontramos que una maximización de < Q > se reduce a los casos ya estudiados, donde los nuevos ángulos colapsan a los ángulos anteriores?a, · · · ·, b. Por el bien de la simplicidad, aún no hemos discutido algunos temas importantes que subyacen a nuestros cálculos. Uno está relacionado con la llamada “brecha de sesgo de muestra” (o “detección/objeción de eficiencia”) y a la normalización condición (9), que supone que se detecta un giro en cada punto de medición. Un estudio más detallado (véase segundo ref. [5]) debe incluir la integración de cada r en un pequeño volumen de detección y la posibilidad de que no se detecta ninguna partícula en ella. Este es un bien conocido dif- ficultad, que ya aparece en el habitual dos-fotón experimentos [8], donde la mayoría de los fotones son detectores. Si esta laguna sigue levantando un verdadero experimento... la dificultad se puede resolver en teoría por suponiendo la presencia de más spin-independent de- tectores [2, 8], que garantizan la detección de una partícula en cada detector y crear las condiciones iniciales adecuadas (véase, por ejemplo, [18] para una descripción de un experimento con detectores de veto). Aplazamos esta discusión a un... otro artículo [19]. Una segunda cuestión se refiere a la definición de las cantidades realistas locales A, B, etc. Por dos condensaciones... sates, tenemos una situación ligeramente diferente que en el situación habitual de EPR: el razonamiento realista local conduce a la existencia de una fase bien definida entre la densatos [5], no necesariamente a propiedades deterministas de las partículas individuales. Afortunadamente, las desigualdades de Bell También puede derivarse dentro de teorías realistas locales estocásticas [3, 8] (véanse también, por ejemplo, [9] o apéndice I de [15]), y esta diferencia no es un problema [19]. En conclusión, las fuertes violaciones del realismo local pueden se producen para los sistemas cuánticos grandes, incluso si el estado es un simple estado de Fock doble con poblaciones iguales; dentro técnicas experimentales actuales, esto parece alcanzable con N° 10 ó 20. Hemos supuesto que el mea- cantidad segura es el producto de muchos microscópicos mea- no su suma, que sería macroscópica; un producto de los resultados sigue siendo sensible a la última medida , incluso después de una larga secuencia de otros. Curiosamente, por muy pocas mediciones sólo los resultados son cuánticos, para muchas medidas que se pueden interpretar en términos de una fase clásica, pero volver a ser fuertemente cuántica cuando se alcance el número máximo de mediciones, una especie de reavivamiento de la cuántica naturaleza del sistema. Laboratoire Kastler Brossel es “UMR 8552 du CNRS, de l’ENS, et de l’Université Pierre et Marie Curie”. [1] A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935). [2] J.S. Bell, Physics 1, 195 (1964), reimpreso en [3]. [3] J.S. Bell, “Hablable e indescriptible en mí cuántico- chanics", Cambridge University Press (1987). [4] N. Bohr, Phys. Rev. 48, 696 (1935). [5] F. Laloë, Europ. Phys. J. D, 33, 87 (2005); véase también cond-mat/0611043. [6] W.J. Mullin, R. Krotkov y F. Laloë, Phys. Rev. A74, 023610 (2006). [7] J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony y R.A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). [8] J.F. Clauser y A. Shimony, representante sobre el progreso en Phys. 41, 1883 (1978). [9] N.D. Mermin, Phys. Rev. Lett. 65, 1838 (1990). [10] B.S. Cirel’son, Letras en matemáticas. Phys. 4, 93 (1980). [11] J.A. Dunningham, K. Burnett y S.M. Barnett, Phys. Rev. Lett. 89, 150401 (2002). [12] J. Javanainen y Sung Mi Yoo, Phys. Rev. Lett. 76, 161 (1996). [13] Y. Castin y J. Dalibard, Phys. Rev. A55, 4330 (1997). [14] I. Cirac, C. Gardiner, M. Naraschewski y P. Zoller, Phys. Rev. A54, R3714 (1996) y referencias en [6] [15] F. Laloë, Am. J. Phys. 69, 655 (2001). [16] A. Peres, Am. J. Phys. 46, 745 (1978). [17] El término “fan” se refiere a los ángulos dispuestos como Łba = El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 8401.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.02.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.a.b de la partida 84.02.b de la partida 84.a.b de la partida 84. [18] J.S. Bell, comentarios en el. y mol. Phys. 9, 121 (1979); reimpreso en [3]. [19] W.J. Mullin y F. Laloë, por publicar http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611043

Low mass visual binaries in the solar neighbourhood: The case of HD141272

Astron. Nachr. / AN Volume, No. Edición, 0 – 5 (Año de publicación) / DOI DOI Los binarios visuales de baja masa en el barrio solar: El caso de HD141272 T. Eisenbeiss1, A. Seifahrt1,2, M. Mugrauer1, T. O. B. Schmidt1, R. Neuhäuser1, y T. Roell1 1 Astrophysicalisches Institut und Universitäts-Sternwarte Jena, Schillergässchen 2-3, 07745 Jena, Alemania 2 Observatorio Europeo Austral, Karl-Schwarzschild-Str. 2, 85748, Garching, Alemania Recibido 15.08.06, aceptado 29.03.07 Publicado en línea... Palabras clave binarios: visual – estrellas: tipo tardío, baja masa – astrometría Buscamos compañeros estelares y subestelares de estrellas jóvenes cercanas para investigar la multiplicidad estelar y formación de compañeros estelares y subestelares. Detectamos compañeros de movimiento propios comunes de las estrellas a través de imágenes multi-epoch. Su compañía finalmente se confirma con fotometría y espectroscopia. Aquí vamos. informan el descubrimiento de un nuevo compañero estelar de co-movimiento (13?) 17.8 arcsec (350AU en sepa- ración) al norte de la estrella cercana HD141272 (21 pc). Con espectroscopia óptica EMMI/NTT determinamos el tipo espectral del acompañante a ser M3±0,5V. El tipo espectral derivado, así como el infrarrojo cercano La fotometría de la compañera son totalmente consistentes con una enana de 0,26+0,07−0,06M® situada a la distancia de HD141272 (21 uds). Además, los datos de fotometría descartan el estado de secuencia pre-principal, ya que la el sistema es consistente con el ZAMS de las Pléyades. c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim 1 Introducción HD141272 es un enano cercano del G8 con una masa de 0,83+0,07 −0.03M® (Nordström et al. 2004) situado en el constelación Serpens Caput (αJ2000.0 = 15 h 48m 09.4s, J2000.0 = +01 34′ 18′′). Su movimiento apropiado ( cos ♥ = −176,19 ± 1,08mas/año, = −166,72 ± 1,13mas/año) y paralaje (η = 46,84± 1,05mas, es decir, 21 pc) son ambos bien determinado por el satélite europeo de astrometría Hipparcos (Perryman et al. 1997). Mientras que Montes et al. (2001) lista HD 141272 como miembro de la Asociación Local ciación con una edad de 120Myr (Martn et al. 2001), Fuhrmann (2004) sugirió que esta estrella pertenece a el joven grupo de movimiento Her-Lyr, según su UV- velocidades. La edad de algunos miembros de Her-Lyr es... apareado por Fuhrmann (2004) a aproximadamente 100Myr (por ejemplo: HR857, HD 82443, HD113449 y HR5829) recientemente alcanzó su posición principal de la secuencia, mientras que otros parecían ser mayores de 200Myr (Fuhrmann 2004). También Fuhrmann (2004) sostuvo que HD141272, con una temperatura efectiva de Teff = (5270±80)K, una magnitud bolométrica absolutaMbol = (5,54±0,07)mag y metalicidad de [Fe/H] = (−0,08± 0,07) el dex parece un poco demasiado brillante para su quence, lo que indica que podría no ser único o joven. • Basado en las observaciones obtenidas sobre La Silla en los programas ESO 77.C-0572(A) y número de proyecto de Calar Alto F06-3.5-016. Correo electrónico: eisen@astro.uni-jena.de Por otro lado, Gaidos, Henry & Henry (2000) medida una anchura de Liequivalente corregida por Fe de W6708 = 3.9 ± 1,9mÅ y una velocidad de rotación de V sn i 4,0 km/s, que podría ser demasiado pequeño para un 100Myr vieja estrella. Además Chen et al. (2005) servía HD141272 usando el telescopio espacial infrarrojo Spitzer y no encontró ningún exceso de IR a 24μm y 70μm, lo que indica que HD141272 no está rodeado por un disco ópticamente grueso. Finalmente López-Santiago et al. (2006) revisó la lista de sus miembros y candidatos de Fuhrmann (2004) y clasificado HD141272 como un miembro dudoso, debido a su agotamiento de litio. En nuestro programa buscamos compañeros para Ella. Los miembros de Lyr y los candidatos y los primeros resultados son pre- enviado aquí. Encontramos un compañero de co-movimiento de HD 141272 por una combinación de archivo de la primera época im- edades y observaciones recientes. Presentamos nuestras imágenes, los datos astrométricos y las técnicas de reducción en ciones 2 y 3, seguidas de una descripción de los espectros análisis escopico y fotométrico del nuevo compañero en la sección 4. Los resultados se examinan en la sección 5. 2 Datos de la primera época del archivo La Astrometría es un método eficaz para encontrar compañeros de estrellas, comparando dos imágenes tomadas con sufi- diferencia de época cientificamente larga. Con el fin de encontrar el tipo tardío objetos estelares y subestelares, concentramos nuestra búsqueda c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim http://arxiv.org/abs/0704.0387v1 Astron. Nachr. / AN (Año de publicación) 1 Fig. 1 POSS-I E imagen de HD141272 del 17 de junio 1950. La estrella se encuentra en αJ2000.0 = 15 h 48m 09.4s, J2000.0 = +01 34′ 18′′. Un objeto débil se encuentra en el al norte de HD141272, que es difícilmente reconocible debido a los picos de difracción de la estrella primaria inducidos por saturación. Con un tamaño de píxel de 10 micras el píxel La escala de la placa es de 6,72 arcsec/píxeles. sobre compañeros de estrellas jóvenes. Los objetos jóvenes son todavía en contracción y son más brillantes que los objetos más antiguos de la misma masa por lo tanto, objetos de masa baja son más fáciles de detectar. Encontramos HD141272 en tres épocas del Super- COSMOS-Sky-Survey, es decir, un POSS-I (Palomar Ob- ) placa de 1950, así como en UKST (United Kingdom Schmidt Telescope) infrarrojo observaciones rojas de 1981 y 1992. En los tres placas detectamos por inspección ocular un objeto débil, situado aproximadamente 18 arcos al norte de HD141272, que no fue detectado por el SuperCOSMOS ma- China debido a su pequeña separación angular a la estrella más brillante y debido a su superposición con la difracción pico (Fig. 1). El pico de difracción de HD141272 se cruza la objeto norteño en las tres placas, por lo tanto, el detec- de este objeto sería inexacto por medio de las técnicas de detección más comunes. Sin embargo, nosotros obtuvo una medición de la posición de la didato en la placa POSS-I, utilizando el Extractor de origen el paquete (Bertin & Arnouts 1996), incluido en el link application GAIA (Gray et al. 2004). La fuente El extractor utiliza el umbral y la deformación del punto- funciones de difusión por lo tanto el método es más preciso que otras técnicas de detección (por ejemplo: Montaje gaussiano) bajo las circunstancias de la Fig. 1. Sin embargo, un sistema error atical es posible, debido a la perturbación de la el pico de primaria. Este error es más grande en la adhesión correcta que en declinación y afectaría a la medición del ángulo de posición en lugar de la separación (véase sección 3, fig. 4), debido a la orientación del sistema (Fig. 1 y 3). Debido a su brillo HD141272 satura el POSS- Me platé. Además el PSF (función de propagación de puntos) está contaminado por la luz perdida del compañero Por lo tanto, la medición de la posición a través de PSF cen- El tratamiento no funciona lo suficiente. Usamos el difrac- picos de la primaria saturada para determinar su posición, ya que no se ven afectados por el compañero. Hemos determinado el centro de intensidad de una toma de pico • 30 mediciones para cada pico utilizando los datos re- el paquete de producción y análisis ESO-MIDAS. La aplicación cation de una regresión lineal da la posición de la estrella como intersección de los dos picos y conduce a muy pequeñas incertidumbres astrométricas (H = 0,047 arcsec y H = 0.050 arcsec). Además de la detección en la placa POSS-I HD 141272 y su acompañante-candidato son también de- Tected en 2MASS imágenes de la época de observación 2000. El catálogo de fuentes puntuales 2MASS (Cutri et al. 2003) lista la posición de ambos objetos con astro- precisión métrica, véase Tbl. 1. Equipados con estos datos determinamos el movimiento de todas las estrellas en una caja de 15 arcmin alrededor de HD141272 que se detectan en la placa POSS-I y se enumeran en el catálogo de fuentes 2MASS (véase Fig. 2). Nosotros de- rived el movimiento apropiado de todas las estrellas en el campo por comparar las posiciones de todos los objetos detectados. Los la mayoría de las fuentes sólo muestra un pequeño movimiento adecuado siguiendo una distribución normal, ya que estas estrellas son lo más probable es que a grandes distancias. Usando el Lilliefors prueba para la distribución normal derivamos la submuestra de estrellas pertenecientes a las estrellas de fondo, ya que su el movimiento correcto sigue una distribución normal (no ing estrellas de fondo). La desviación típica de la estrellas de fondo da la estadísticamente derivada apropiada error de movimiento (por la tarde, α = 8,8mas/año, mas/año). Objetos que no pertenecen a las estrellas de fondo se consideran como candidatos acompañantes, si son ly- cerca de HD141272 (elipse en la Fig. 2). Otros objetos se omiten, ya que estos son falsos Detecciones o estrellas de alta movilidad que se mueven en otros lugares direcciones. El movimiento adecuado de la estrella cercana HD141272 está claramente separado de las estrellas de fondo. Los compañero candidato claramente comparte la moción adecuada de HD 141272 y será denotado HD141272B, aquí- Después. Fig. 2 muestra con alta confianza ( 13?) que HD141272A y B están co-moviéndose durante aproximadamente 50 años. Debido a las incertidumbres astrométricas discutidas anteriormente HD 141272B este análisis da una primera indicación de un nuevo sistema de estrellas dobles jóvenes cercanos www.an-journal.org c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim 2 T. Eisenbeiss y otros: Los binarios visuales de baja masa en el barrio solar: El caso de HD141272 −300−250−200−150−100−50050 Ra/año [mas/año] error estándar radio de búsqueda HD141272 compañero candidato Estrellas de fondo no móviles Fig. 2 Gráfico de movimiento adecuado de HD141272 (cross) y su compañero candidato (círculo) y no volver- estrellas terrestres (arriba a la izquierda). Los ejes X e Y muestran la cambio de posición (en mas/año). La trama está basada en la placa POSS-I Schmidt (17 de junio de 1950) y 2MASS datos de catálogo (29 de abril de 2000). Se toman estimaciones de errores como errores de 2-O de las estrellas de fondo. Puntos de datos tumbado fuera de las estrellas de fondo y fuera de un 5- las proximidades de HD141272 (elipse grande) se omiten, ya que Estas son falsas detecciones o movimientos altos y apropiados. estrellas moviéndose en otras direcciones. El error estadístico de todos los puntos de datos se muestra por la cruz de error grueso en la parte inferior izquierda. El diagrama muestra el proprio común movimiento de HD141272 y su nuevo compañero con un la confianza de la población de 13o........................................................................................................................................................................................................................................................... Además, usamos las estrellas de fondo no móviles. para estimar el error de posición de las detecciones en el Plato POSS-I. La media de la distribución muestra la error sistemático de las mediciones de la POSS-I (sys, α = • 4,5mas/año y • sys, • = − 4,9mas/año, en comparación con (0, 0). Todo el conjunto de puntos de datos en la Fig. 2 se desplaza por esa compensación para corregir los errores de calibración entre Datos POSS-I y 2MASS. La desviación estándar muestra el error de medición estadística (­stat = p.m.) por lo tanto, se puede aplicar como error de detección estándar. El total error de detección derivado para la placa POSS-I es = 0.29 arcsec y = 0.25 arcsec. Los sistemas adicionales: error temático para el candidato acompañante debido a la pico de difracción de HD141272 no está incluido en este análisis de errores. Fig. 3 Imagen de banda H de HD 141272 y su compan- candidato de ion tomada con la cámara infrarroja cercana. Cass en el telescopio de 3,5 m del Calar Alto obser- vatoriano en España. La separación entre HD141272 y su compañero candidato es de 17.8 arcsec en un ángulo de posición de 352,62 € con una escala de píxeles de € 0,2 arcsec/pixel. Tenga en cuenta que HD141272 es ligeramente satu- Calificado. 3 Observaciones de seguimiento Con el fin de conseguir una tercera época en nuestra re- astrométrica y para detectar o descartar más compañeros que observó de nuevo HD141272 en abril de 2006 (Fig. 3). Nosotros realización de observaciones de la banda H y de la banda estrecha (1,644μm) con la cámara infrarroja cercana parado en el foco de Cassegrain del telescopio de 3,5 m de el observatorio de Calar Alto en España. -Cass está equipado con un detector de 1024 × 1024 HgTeCd con escala de píxeles de 0,2 arcsec por píxel. Siempre usábamos el corto... tiempo de integración del detector (0,84 s) para limitar fuertes efectos de saturación debido a la estrella brillante. Por resta de fondo aplicamos el jitter estándar técnica y eligió 12 posiciones nerviosas. En cada jitter posición 49 integraciones (0,84 s) fueron co-adicionados, rendimiento- un tiempo total de integración en la banda H de 8,2min. Todas las imágenes fueron flatfielded con una imagen skyflat tomada durante el crepúsculo. La reducción total de los datos (background) restación, flatfielding, y shift+add) se llevó a cabo con el paquete de reducción de datos de ESO Eclipse (Devil- lard 2001). Hemos calibrado nuestra imagen de Cass para el astrom relativo. etry, utilizando los bien conocidos sistemas binarios HIP 63322 y HIP 82817, que observamos durante el mismo noche y con la misma instrumentación que nuestra ciencia En consecuencia, imagen. Usando la astrometría de Hipparcos (Perry- c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA, Weinheim www.an-journal.org Astron. Nachr. AN (Año de publicación) 3 Tabla 1 Separación y ángulo de posición del compañero de co-movimiento HD141272B en relación con su primario HD141272A para todas las épocas de observación. También mostramos el esperado cambio de separación y ángulo de posición en caso de que el acompañante es una fuente de fondo no móvil, derivado con el bien conocido adecuado y paraláctico movimiento de la primaria. telescopio de época / sepobs de la banda de la escala del píxel. Sepifback PAobs. PAifback [dd/mm/aaa] catálogos [arcsec] [arcsec] [arcsec] 17/07/1950 POSS-I 1,0 E (6442Å) 17,85±0,31 − 353,6±1,1 − 29/04/2000 2MASS 0,7 JHKS 17,83±0,150 26,92±0,33 352,42±0,48 14,61±0,75 20/04/2006 3,5m CA 0,2 H 17,851±0,041 28,12±0,31 352,62±0,18 16,48±0,68 man et al. 1997) y teniendo en cuenta el orbital máximo movimiento de los binarios de calibración estimamos la escala de píxeles (192 ± 0,43mas/píxeles) y la orientación (−1,86±0,18 ) de las imágenes de -Cass. Esto cede a la parámetros astrométricos relativos del sistema (Tbl. 1). Para la detección de ambos objetos se utilizó el Gaussian técnica de centroides, implementada en ESO-MIDAS. Otros compañeros de co-movimiento podrían ser descartados alrededor de HD141272 dentro de una separación angular de 5 a 73 arcsec (1500AU de separación proyectada) con H- magnitudes de banda hasta 18,3mag (S/N= 3). HD 141272A y B se separan por 17,8 arcsec (Fig. 3), de ahí la separación proyectada del sistema es de aproximadamente 380AU y su período orbital puede ser estimado con la tercera ley de Kepler para ser aproximadamente 7000 años (utilizamos 0,83M+ para HD 141272A y 0,26M+ en lugar de B). Durante 56 años de la diferencia de época entre el POSS-I y nuestra observación de la banda H, esto produce movimiento orbital máximo tan grande como 0,5 arcsec en sep- aración (on órbita de borde supuesto) o 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° gle (se asume la órbita frontal). Por lo tanto, derivamos la separación y el ángulo de posición del acompañante para las tres épocas de observación que se resumen en Tab. 1. Estos resultados también se visualizan en la Fig. 4. Nota que los datos astrométricos absolutos calibrados, derivados para la imagen POSS-I tal como se describe en la sección 2, así como Los datos de catálogo del catálogo 2MASS se utilizan en la Fig. 4, mientras que los datos de la tercera época se basan en etri, por lo tanto, las incertidumbres de ese punto de datos son sig- Nicuamente más pequeño. Mientras que la separación entre HD141272A y B no cambió durante 56 años, encontramos un ligero de- pliegue de su ángulo de posición. Este efecto es muy probable. debido a la perturbación de los compañeros PSF por el pico de difracción de la primaria (ver sección 2 y Fig. 1). Sin embargo, Fig. 4 asegura el compañerismo de HD 141272B, ya que todos los puntos de datos se encuentran dentro de la dado las barras de error de la primera época. 4 Fotometría y espectroscopia Los colores infrarrojos de ambos componentes de la nueva bi- sistema nary HD141272AB se enumeran en el 2MASS catálogo de fuentes puntuales, es decir, banda precisa J, H, y KS 2,43 2,44 2,45 2,46 JD−2400000.5 2,43 2,44 2,45 2,46 JD−2400000.5 Fig. 4 Separación (sep) y ángulo de posición (PA) para HD 141272A y B de 1950 a 2006 (tres datos puntos). Las líneas superiores muestran los cambios de la los lazos bajo la suposición HD141272B era una espalda- estrella terrestre (incluido el movimiento paraláctico de A) la recta, las líneas de apertura dan el rango de la bi- movimiento, teniendo en cuenta el movimiento orbital máximo- mento. Mientras que la separación se mantiene aproximadamente con- fuerte hay un cambio en el ángulo de posición, causado por la perturbación de los compañeros PSF debido a la picos de difracción de la primaria. Cuadro 2 Fotometría 2MASS de HD141272A y B Comp. J H KS [mag] [mag] [mag] A 5,991±0,021 5,610±0,027 5,501±0,018 B 9,298±0,020 8,725±0,055 8,456±0,023 La fotometría está disponible para el primario y su co- compañero móvil, que se resume en Tab. 2. Ad- dimensionalmente la magnitud de la banda I de ambos componentes (mI = 8,59 ± 0,02mag para A e mI = 10,572 ± 0,02mag para B) se mide en la segunda liberación de la Base de datos DENIS, mientras que la precisión para HD141272A se limita debido a los efectos de saturación, por lo que la Ror es probablemente subestimado. Con el fin de obtener también imágenes insaturadas de la primaria se observó el sistema binario con -Cass www.an-journal.org c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim 4 T. Eisenbeiss y otros: Los binarios visuales de baja masa en el barrio solar: El caso de HD141272 en el filtro de banda estrecha FeII (1,644μm). Por lo tanto, nosotros utilizado de nuevo el patrón de 12 puntos de agitación, pero co-añadido 15 integraciones (4 s) por posición de jitter, dando un total in- tiempo de tegración de 12min. La primaria brillante, así como su compañero de co-movimiento más débil son ambos bien detectados en esta imagen de banda estrecha y sus flujos no ex- cedí el nivel de linealidad del detector -Cass. Por lo tanto, podríamos usar esta imagen para derivar la magnitud diferenci- entre la estrella primaria y su compañero y obtenido •HFeII = 3,166± 0,005mag, totalmente consistente con la diferencia de magnitud derivada del 2MASS datos en la banda H (+H = 3,115± 0,061mag.) Además, adquirimos una óptica de baja resolución espectro con EMMI en el NTT en La Silla a de- Termine el tipo espectral de HD141272B y probar su distancia común con HD141272A. El espectro era tomado en modo RILD y REMD cubriendo una longitud de onda de 400-900nm con una resolución de R • 3000 a 600nm. La reducción de datos siguió el procedimiento estándar para espectros ópticos de baja resolución: después de la sustracción del sesgo, campo plano y calibración de longitud de onda con un arco HeAr espectro corregido para la respuesta instrumental y para las características telúricas utilizando un espectro de HR5501 tomada con la misma masa de aire que HD141272B. Determinamos el tipo espectral comparando nuestro espectro con una secuencia estándar de enanas M en el el mismo rango espectral y con res espectrales comparables olución (Bochanski et al. 2006), véase Fig. 5. El mejor el ajuste dio lugar a un tipo espectral de M3.25 ± 0,25 que es consistente con un tipo espectral de M3,0± 0,5 extraída del índice espectral de TiO5 de 0,49 a continuación Cruz & Reid (2002). Adoptando este último tipo espectral como final derivamos una distancia espectrofotométrica de 24,4±4,2 pc MJ relación dada en Cruz & Reid (2002) y el J magnitud de 2MASS, asumiendo que el compañero está en la secuencia principal. La distancia determinada está en excelente acuerdo con el HIPPARCOS medido distancia de 21,35±0,48 pc para HD 141272A, confirmando su distancia común. Por lo tanto, llamamos al compañero HD141272B. 5 Conclusiones Con la tecnología de reducción y análisis de datos astrométricos Niques presentados en este trabajo, podríamos verificar la com- movimiento adecuado de ambos componentes del binario sistema HD141272AB durante 56 años de la época difieren- entre la primera observación exitosa de este sistema en las placas POSS-I tomadas en julio de 1950 y nuestra Imágenes de la banda H obtenidas con el -Cass en abril de 2006. Además obtuvimos un espectro óptico de la y derivaron su tipo espectral a rango entre M2.5V y M3.5V. El infrarrojo aparente mag... nitudes de la compañera de co-movimiento son totalmente consis- tienda con una enana M3 que se encuentra a la distancia 400 500 600 700 800 900 HD 141272 B Longitud de onda [nm] Fig. 5 Flujo relativo de la secuencia espectral de M1 a M5 (Bochanski et al. 2006) en comparación con el Espectro EMMI de HD141272B, que oscila entre 400 y 900 nm. Las resoluciones son comparables (R + 3000 para el espectro EMMI y R + 6000 para el estándar espectros a 600 nm). HD 141272B muestra un buen acuerdo- con una estrella M3. de HD141272A que finalmente confirma el compañero- nave de este nuevo sistema binario. El compañero es un adición al Catálogo de Estrellas cercanas dentro de 25 uds. (Gliese & Jahreiß 1991). Con el fin de obtener una estimación de la edad del sistema que comparación de la fotometría infrarroja de HD 141272A y B con 1300 miembros del grupo Pléyades que figuran en la base de datos WEBDA (Mermilliod 1998). Todos los objetos están trazados en una magnitud de color J-K vs. MH diagrama (Fig. 6). Los colores de todos los objetos se obtienen del catálogo 2MASS y derivamos el absoluto Las magnitudes H-Band de todas las estrellas de comparación utilizando su Fotometría de banda H 2MASS y una distancia media mod- ule de las Pléyades de 5,97mag (base de datos WEBDA). La incertidumbre esperada de la distancia del mem- bers que da lugar a una incertidumbre de su absoluta H- magnitudes de banda se aproximaron con el ángulo angular diámetro del cúmulo de Pléyades en el cielo, asumiendo un una extensión similar del conglomerado también en la direc- tion. Las magnitudes absolutas de la banda H de HD141272A y B se derivan con fotometría 2MASS y la Paralaje Hipparcos del sistema binario. Comparado con las Pléyades del mismo color J-K HD141272A y B aparece un poco más débil, lo que indica que el sistema es ya en el ZAMS, que es similar a los resultados de trabajos anteriores (Gaidos 1998; Wright et al. 2004). Si asumimos que ambos componentes del binario El sistema ya ha llegado a la ZAMS que podemos disuadir- mina la masa de la secundaria utilizando la ecuación (11) de Kirkpatrick & McCarthy (1994) con el dado c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA, Weinheim www.an-journal.org Astron. Nachr. AN (Año de publicación) 5 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 J−K [mag] 0,75 0,8 0,85 0,90,95 1 J−K [mag] HD 141272 A HD 141272 B Fig. 6 J-K vs. MH diagrama para las Pléyades y HD141272A y B (rectángulos simbolizan el error , casillas). El gráfico insertado muestra HD141272B y el alrededor de las Pléyades las estrellas dibujadas a una escala más grande. Los se puede ver la secuencia principal del cluster aunque allí son algunos valores atípicos debido al módulo de distancia media (5.97mag para Pléyades) aplicado. El error medio de la Pléyades se muestra por la cruz de error en la parte inferior izquierda. HD 141272A y B aparecen un poco más débiles que Pléyades estrellas del mismo color J-K. Esto indica, que el El sistema ya llegó al ZAMS. errores para las constantes a y b y el rango de la Tipo espectral. Derivamos una masa de M* = 0,26 +0,07 −0,06 millones de libras esterlinas. La labor futura debería determinar la edad del sistema y derivar más propiedades de la enana M, que en- amplia la lista de estrellas de baja masa cercanas encuadernadas en binario sistemas. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a los técnicos personal de la ESO NTT en La Silla, así como del Centro Astronómico Hispano Alemán (CAHA) en Calar Alto para todos su ayuda y asistencia en la realización de las observaciones. Además, nos gustaría dar las gracias a John Bochanski, An- draw West, Suzanne Hawley y Kevin Covey por proporcionar la secuencia electrónica de espectros compuestos de estrellas M. T.O.B. Schmidt reconoce el apoyo de un Thur- Beca estatal ingiana y de una beca del Evan- gelisches Studienwerk e.V. Villigst. Esta publicación hace uso de los productos de datos de la Dos Micron All Sky Survey, que es un proyecto conjunto de la Universidad de Massachusetts y el Proceso de Infrarrojos Centro de ing y análisis/Instituto Tecnológico de California, financiado por la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio y la Fundación Nacional de Ciencia. Usamos datos de imágenes del SuperCOSMOS Sky Sur... vey, preparado y acogido por la Astronomía de Campo Amplio Unidad, Instituto de Astronomía, Universidad de Edimburgo, que está financiado por el Reino Unido de Física de Partículas y Astron- Mi Consejo de Investigación. Esta investigación ha hecho uso del catálogo VizieR herramienta de acceso y la base de datos Simbad, ambos operados en el Observatorio de Estrasburgo, así como de la WEBDA base de datos, operado en el Instituto de Astronomía de la Universidad de Viena. El proyecto DENIS ha sido financiado en parte por el LIC- ENCE y los planes de HCM de la Comisión Europea en virtud de las subvenciones CT920791 y CT940627. Es apoyado por INSU, HOMBRES y CNRS en Francia, por el Estado de Baden- Württemberg en Alemania, por DGICYT en España, por CNR en Italia, por FFwFBWF en Austria, por FAPESP en Brasil, por OTKA concede F-4239 y F-013990 en Hungría, y por la subvención de ESO C&EE A-04-046. Jean Claude Renault del IAP era el hombre del proyecto... Ager. Las observaciones se llevaron a cabo gracias a la contri- bution de numerosos estudiantes y jóvenes científicos de todos los institutos implicados, bajo la supervisión de P. Fouqué, Vey astrónomo residente en Chile. Bibliografía Bertin, E., Arnouts, S.: 1996, A&AS 117, 393 Bochanski, J.J., West, A.A., Hawley, et al.: 2007, AJ 133, Chen, C.H., Patten, B.M., Werner, M.W., et al.: 2005, ApJ 634, 1372 Cruz, K.L., Reid, I.N.: 2002, AJ 123, 2828 Cutri, R.M. Skrutskie, M.F., van Dyk, S., et al.: 2003, 2MASS Catálogo de fuentes puntuales para todo el cielo. (El IRSA) 2MASS Catálogo de fuentes de punto de cielo, NASA/IPAC In- Frared Science Archive. http://irsa.ipac.caltech.edu) Devilard, N.: 2001, en ASP Conf. Ser. 238: Astronómico Software y sistemas de análisis de datos X, ed. F. R. Harn- den, Jr., F. A. Primini, & H. E. Payne, 525–+ Fuhrmann, K.: 2004, AN 325,3 Gaidos, E.J.: 1998, PASP 110, 1259 Gaidos, E.J. Henry, G.W., Henry, S.M.: 2000, AJ 120, 1006 Gliese, W., Jahreisß, H.: 1991, versión preliminar de la Tercer Catálogo de Estrellas Cercanas, Tech. rep. Gray, N., Jenness, T. Allan, A., et al.: 2005, en Astronomical Society of the Pacific Conference Series, ed. P. Shopbell, M. Britton, & R. 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Buscamos compañeros estelares y subestelares de jóvenes estrellas cercanas a investigar la multiplicidad estelar y la formación de estelares y subestelares Compañeros. Detectamos compañeros de movimiento propios comunes de las estrellas a través de multi-epoch Imágenes. Su compañerismo es finalmente confirmado con fotometría y espectroscopia. Aquí reportamos el descubrimiento de una nueva co-movimiento (13 sigma) compañero estelar ~17,8 arcsec (350 UA en la separación proyectada) al norte de la estrella cercana HD141272 (21 uds). Con espectroscopia óptica EMMI/NTT determinamos el tipo espectral del acompañante a ser M3+-0,5V. El tipo espectral derivado como así como la fotometría infrarroja cercana de la compañera son ambos totalmente consistentes con una enana Mhol de 0,26+-0,07 situada a la distancia de HD141272 (21 uds). Además, los datos de fotometría descartan el estado de secuencia pre-principal, ya que el sistema es consistente con el ZAMS de las Pléyades.

Introducción HD141272 es un enano cercano del G8 con una masa de 0,83+0,07 −0.03M® (Nordström et al. 2004) situado en el constelación Serpens Caput (αJ2000.0 = 15 h 48m 09.4s, J2000.0 = +01 34′ 18′′). Su movimiento apropiado ( cos ♥ = −176,19 ± 1,08mas/año, = −166,72 ± 1,13mas/año) y paralaje (η = 46,84± 1,05mas, es decir, 21 pc) son ambos bien determinado por el satélite europeo de astrometría Hipparcos (Perryman et al. 1997). Mientras que Montes et al. (2001) lista HD 141272 como miembro de la Asociación Local ciación con una edad de 120Myr (Martn et al. 2001), Fuhrmann (2004) sugirió que esta estrella pertenece a el joven grupo de movimiento Her-Lyr, según su UV- velocidades. La edad de algunos miembros de Her-Lyr es... apareado por Fuhrmann (2004) a aproximadamente 100Myr (por ejemplo: HR857, HD 82443, HD113449 y HR5829) recientemente alcanzó su posición principal de la secuencia, mientras que otros parecían ser mayores de 200Myr (Fuhrmann 2004). También Fuhrmann (2004) sostuvo que HD141272, con una temperatura efectiva de Teff = (5270±80)K, una magnitud bolométrica absolutaMbol = (5,54±0,07)mag y metalicidad de [Fe/H] = (−0,08± 0,07) el dex parece un poco demasiado brillante para su quence, lo que indica que podría no ser único o joven. • Basado en las observaciones obtenidas sobre La Silla en los programas ESO 77.C-0572(A) y número de proyecto de Calar Alto F06-3.5-016. Correo electrónico: eisen@astro.uni-jena.de Por otro lado, Gaidos, Henry & Henry (2000) medida una anchura de Liequivalente corregida por Fe de W6708 = 3.9 ± 1,9mÅ y una velocidad de rotación de V sn i 4,0 km/s, que podría ser demasiado pequeño para un 100Myr vieja estrella. Además Chen et al. (2005) servía HD141272 usando el telescopio espacial infrarrojo Spitzer y no encontró ningún exceso de IR a 24μm y 70μm, lo que indica que HD141272 no está rodeado por un disco ópticamente grueso. Finalmente López-Santiago et al. (2006) revisó la lista de sus miembros y candidatos de Fuhrmann (2004) y clasificado HD141272 como un miembro dudoso, debido a su agotamiento de litio. En nuestro programa buscamos compañeros para Ella. Los miembros de Lyr y los candidatos y los primeros resultados son pre- enviado aquí. Encontramos un compañero de co-movimiento de HD 141272 por una combinación de archivo de la primera época im- edades y observaciones recientes. Presentamos nuestras imágenes, los datos astrométricos y las técnicas de reducción en ciones 2 y 3, seguidas de una descripción de los espectros análisis escopico y fotométrico del nuevo compañero en la sección 4. Los resultados se examinan en la sección 5. 2 Datos de la primera época del archivo La Astrometría es un método eficaz para encontrar compañeros de estrellas, comparando dos imágenes tomadas con sufi- diferencia de época cientificamente larga. Con el fin de encontrar el tipo tardío objetos estelares y subestelares, concentramos nuestra búsqueda c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim http://arxiv.org/abs/0704.0387v1 Astron. Nachr. / AN (Año de publicación) 1 Fig. 1 POSS-I E imagen de HD141272 del 17 de junio 1950. La estrella se encuentra en αJ2000.0 = 15 h 48m 09.4s, J2000.0 = +01 34′ 18′′. Un objeto débil se encuentra en el al norte de HD141272, que es difícilmente reconocible debido a los picos de difracción de la estrella primaria inducidos por saturación. Con un tamaño de píxel de 10 micras el píxel La escala de la placa es de 6,72 arcsec/píxeles. sobre compañeros de estrellas jóvenes. Los objetos jóvenes son todavía en contracción y son más brillantes que los objetos más antiguos de la misma masa por lo tanto, objetos de masa baja son más fáciles de detectar. Encontramos HD141272 en tres épocas del Super- COSMOS-Sky-Survey, es decir, un POSS-I (Palomar Ob- ) placa de 1950, así como en UKST (United Kingdom Schmidt Telescope) infrarrojo observaciones rojas de 1981 y 1992. En los tres placas detectamos por inspección ocular un objeto débil, situado aproximadamente 18 arcos al norte de HD141272, que no fue detectado por el SuperCOSMOS ma- China debido a su pequeña separación angular a la estrella más brillante y debido a su superposición con la difracción pico (Fig. 1). El pico de difracción de HD141272 se cruza la objeto norteño en las tres placas, por lo tanto, el detec- de este objeto sería inexacto por medio de las técnicas de detección más comunes. Sin embargo, nosotros obtuvo una medición de la posición de la didato en la placa POSS-I, utilizando el Extractor de origen el paquete (Bertin & Arnouts 1996), incluido en el link application GAIA (Gray et al. 2004). La fuente El extractor utiliza el umbral y la deformación del punto- funciones de difusión por lo tanto el método es más preciso que otras técnicas de detección (por ejemplo: Montaje gaussiano) bajo las circunstancias de la Fig. 1. Sin embargo, un sistema error atical es posible, debido a la perturbación de la el pico de primaria. Este error es más grande en la adhesión correcta que en declinación y afectaría a la medición del ángulo de posición en lugar de la separación (véase sección 3, fig. 4), debido a la orientación del sistema (Fig. 1 y 3). Debido a su brillo HD141272 satura el POSS- Me platé. Además el PSF (función de propagación de puntos) está contaminado por la luz perdida del compañero Por lo tanto, la medición de la posición a través de PSF cen- El tratamiento no funciona lo suficiente. Usamos el difrac- picos de la primaria saturada para determinar su posición, ya que no se ven afectados por el compañero. Hemos determinado el centro de intensidad de una toma de pico • 30 mediciones para cada pico utilizando los datos re- el paquete de producción y análisis ESO-MIDAS. La aplicación cation de una regresión lineal da la posición de la estrella como intersección de los dos picos y conduce a muy pequeñas incertidumbres astrométricas (H = 0,047 arcsec y H = 0.050 arcsec). Además de la detección en la placa POSS-I HD 141272 y su acompañante-candidato son también de- Tected en 2MASS imágenes de la época de observación 2000. El catálogo de fuentes puntuales 2MASS (Cutri et al. 2003) lista la posición de ambos objetos con astro- precisión métrica, véase Tbl. 1. Equipados con estos datos determinamos el movimiento de todas las estrellas en una caja de 15 arcmin alrededor de HD141272 que se detectan en la placa POSS-I y se enumeran en el catálogo de fuentes 2MASS (véase Fig. 2). Nosotros de- rived el movimiento apropiado de todas las estrellas en el campo por comparar las posiciones de todos los objetos detectados. Los la mayoría de las fuentes sólo muestra un pequeño movimiento adecuado siguiendo una distribución normal, ya que estas estrellas son lo más probable es que a grandes distancias. Usando el Lilliefors prueba para la distribución normal derivamos la submuestra de estrellas pertenecientes a las estrellas de fondo, ya que su el movimiento correcto sigue una distribución normal (no ing estrellas de fondo). La desviación típica de la estrellas de fondo da la estadísticamente derivada apropiada error de movimiento (por la tarde, α = 8,8mas/año, mas/año). Objetos que no pertenecen a las estrellas de fondo se consideran como candidatos acompañantes, si son ly- cerca de HD141272 (elipse en la Fig. 2). Otros objetos se omiten, ya que estos son falsos Detecciones o estrellas de alta movilidad que se mueven en otros lugares direcciones. El movimiento adecuado de la estrella cercana HD141272 está claramente separado de las estrellas de fondo. Los compañero candidato claramente comparte la moción adecuada de HD 141272 y será denotado HD141272B, aquí- Después. Fig. 2 muestra con alta confianza ( 13?) que HD141272A y B están co-moviéndose durante aproximadamente 50 años. Debido a las incertidumbres astrométricas discutidas anteriormente HD 141272B este análisis da una primera indicación de un nuevo sistema de estrellas dobles jóvenes cercanos www.an-journal.org c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim 2 T. Eisenbeiss y otros: Los binarios visuales de baja masa en el barrio solar: El caso de HD141272 −300−250−200−150−100−50050 Ra/año [mas/año] error estándar radio de búsqueda HD141272 compañero candidato Estrellas de fondo no móviles Fig. 2 Gráfico de movimiento adecuado de HD141272 (cross) y su compañero candidato (círculo) y no volver- estrellas terrestres (arriba a la izquierda). Los ejes X e Y muestran la cambio de posición (en mas/año). La trama está basada en la placa POSS-I Schmidt (17 de junio de 1950) y 2MASS datos de catálogo (29 de abril de 2000). Se toman estimaciones de errores como errores de 2-O de las estrellas de fondo. Puntos de datos tumbado fuera de las estrellas de fondo y fuera de un 5- las proximidades de HD141272 (elipse grande) se omiten, ya que Estas son falsas detecciones o movimientos altos y apropiados. estrellas moviéndose en otras direcciones. El error estadístico de todos los puntos de datos se muestra por la cruz de error grueso en la parte inferior izquierda. El diagrama muestra el proprio común movimiento de HD141272 y su nuevo compañero con un la confianza de la población de 13o........................................................................................................................................................................................................................................................... Además, usamos las estrellas de fondo no móviles. para estimar el error de posición de las detecciones en el Plato POSS-I. La media de la distribución muestra la error sistemático de las mediciones de la POSS-I (sys, α = • 4,5mas/año y • sys, • = − 4,9mas/año, en comparación con (0, 0). Todo el conjunto de puntos de datos en la Fig. 2 se desplaza por esa compensación para corregir los errores de calibración entre Datos POSS-I y 2MASS. La desviación estándar muestra el error de medición estadística (­stat = p.m.) por lo tanto, se puede aplicar como error de detección estándar. El total error de detección derivado para la placa POSS-I es = 0.29 arcsec y = 0.25 arcsec. Los sistemas adicionales: error temático para el candidato acompañante debido a la pico de difracción de HD141272 no está incluido en este análisis de errores. Fig. 3 Imagen de banda H de HD 141272 y su compan- candidato de ion tomada con la cámara infrarroja cercana. Cass en el telescopio de 3,5 m del Calar Alto obser- vatoriano en España. La separación entre HD141272 y su compañero candidato es de 17.8 arcsec en un ángulo de posición de 352,62 € con una escala de píxeles de € 0,2 arcsec/pixel. Tenga en cuenta que HD141272 es ligeramente satu- Calificado. 3 Observaciones de seguimiento Con el fin de conseguir una tercera época en nuestra re- astrométrica y para detectar o descartar más compañeros que observó de nuevo HD141272 en abril de 2006 (Fig. 3). Nosotros realización de observaciones de la banda H y de la banda estrecha (1,644μm) con la cámara infrarroja cercana parado en el foco de Cassegrain del telescopio de 3,5 m de el observatorio de Calar Alto en España. -Cass está equipado con un detector de 1024 × 1024 HgTeCd con escala de píxeles de 0,2 arcsec por píxel. Siempre usábamos el corto... tiempo de integración del detector (0,84 s) para limitar fuertes efectos de saturación debido a la estrella brillante. Por resta de fondo aplicamos el jitter estándar técnica y eligió 12 posiciones nerviosas. En cada jitter posición 49 integraciones (0,84 s) fueron co-adicionados, rendimiento- un tiempo total de integración en la banda H de 8,2min. Todas las imágenes fueron flatfielded con una imagen skyflat tomada durante el crepúsculo. La reducción total de los datos (background) restación, flatfielding, y shift+add) se llevó a cabo con el paquete de reducción de datos de ESO Eclipse (Devil- lard 2001). Hemos calibrado nuestra imagen de Cass para el astrom relativo. etry, utilizando los bien conocidos sistemas binarios HIP 63322 y HIP 82817, que observamos durante el mismo noche y con la misma instrumentación que nuestra ciencia En consecuencia, imagen. Usando la astrometría de Hipparcos (Perry- c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA, Weinheim www.an-journal.org Astron. Nachr. AN (Año de publicación) 3 Tabla 1 Separación y ángulo de posición del compañero de co-movimiento HD141272B en relación con su primario HD141272A para todas las épocas de observación. También mostramos el esperado cambio de separación y ángulo de posición en caso de que el acompañante es una fuente de fondo no móvil, derivado con el bien conocido adecuado y paraláctico movimiento de la primaria. telescopio de época / sepobs de la banda de la escala del píxel. Sepifback PAobs. PAifback [dd/mm/aaa] catálogos [arcsec] [arcsec] [arcsec] 17/07/1950 POSS-I 1,0 E (6442Å) 17,85±0,31 − 353,6±1,1 − 29/04/2000 2MASS 0,7 JHKS 17,83±0,150 26,92±0,33 352,42±0,48 14,61±0,75 20/04/2006 3,5m CA 0,2 H 17,851±0,041 28,12±0,31 352,62±0,18 16,48±0,68 man et al. 1997) y teniendo en cuenta el orbital máximo movimiento de los binarios de calibración estimamos la escala de píxeles (192 ± 0,43mas/píxeles) y la orientación (−1,86±0,18 ) de las imágenes de -Cass. Esto cede a la parámetros astrométricos relativos del sistema (Tbl. 1). Para la detección de ambos objetos se utilizó el Gaussian técnica de centroides, implementada en ESO-MIDAS. Otros compañeros de co-movimiento podrían ser descartados alrededor de HD141272 dentro de una separación angular de 5 a 73 arcsec (1500AU de separación proyectada) con H- magnitudes de banda hasta 18,3mag (S/N= 3). HD 141272A y B se separan por 17,8 arcsec (Fig. 3), de ahí la separación proyectada del sistema es de aproximadamente 380AU y su período orbital puede ser estimado con la tercera ley de Kepler para ser aproximadamente 7000 años (utilizamos 0,83M+ para HD 141272A y 0,26M+ en lugar de B). Durante 56 años de la diferencia de época entre el POSS-I y nuestra observación de la banda H, esto produce movimiento orbital máximo tan grande como 0,5 arcsec en sep- aración (on órbita de borde supuesto) o 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° gle (se asume la órbita frontal). Por lo tanto, derivamos la separación y el ángulo de posición del acompañante para las tres épocas de observación que se resumen en Tab. 1. Estos resultados también se visualizan en la Fig. 4. Nota que los datos astrométricos absolutos calibrados, derivados para la imagen POSS-I tal como se describe en la sección 2, así como Los datos de catálogo del catálogo 2MASS se utilizan en la Fig. 4, mientras que los datos de la tercera época se basan en etri, por lo tanto, las incertidumbres de ese punto de datos son sig- Nicuamente más pequeño. Mientras que la separación entre HD141272A y B no cambió durante 56 años, encontramos un ligero de- pliegue de su ángulo de posición. Este efecto es muy probable. debido a la perturbación de los compañeros PSF por el pico de difracción de la primaria (ver sección 2 y Fig. 1). Sin embargo, Fig. 4 asegura el compañerismo de HD 141272B, ya que todos los puntos de datos se encuentran dentro de la dado las barras de error de la primera época. 4 Fotometría y espectroscopia Los colores infrarrojos de ambos componentes de la nueva bi- sistema nary HD141272AB se enumeran en el 2MASS catálogo de fuentes puntuales, es decir, banda precisa J, H, y KS 2,43 2,44 2,45 2,46 JD−2400000.5 2,43 2,44 2,45 2,46 JD−2400000.5 Fig. 4 Separación (sep) y ángulo de posición (PA) para HD 141272A y B de 1950 a 2006 (tres datos puntos). Las líneas superiores muestran los cambios de la los lazos bajo la suposición HD141272B era una espalda- estrella terrestre (incluido el movimiento paraláctico de A) la recta, las líneas de apertura dan el rango de la bi- movimiento, teniendo en cuenta el movimiento orbital máximo- mento. Mientras que la separación se mantiene aproximadamente con- fuerte hay un cambio en el ángulo de posición, causado por la perturbación de los compañeros PSF debido a la picos de difracción de la primaria. Cuadro 2 Fotometría 2MASS de HD141272A y B Comp. J H KS [mag] [mag] [mag] A 5,991±0,021 5,610±0,027 5,501±0,018 B 9,298±0,020 8,725±0,055 8,456±0,023 La fotometría está disponible para el primario y su co- compañero móvil, que se resume en Tab. 2. Ad- dimensionalmente la magnitud de la banda I de ambos componentes (mI = 8,59 ± 0,02mag para A e mI = 10,572 ± 0,02mag para B) se mide en la segunda liberación de la Base de datos DENIS, mientras que la precisión para HD141272A se limita debido a los efectos de saturación, por lo que la Ror es probablemente subestimado. Con el fin de obtener también imágenes insaturadas de la primaria se observó el sistema binario con -Cass www.an-journal.org c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co. KGaA, Weinheim 4 T. Eisenbeiss y otros: Los binarios visuales de baja masa en el barrio solar: El caso de HD141272 en el filtro de banda estrecha FeII (1,644μm). Por lo tanto, nosotros utilizado de nuevo el patrón de 12 puntos de agitación, pero co-añadido 15 integraciones (4 s) por posición de jitter, dando un total in- tiempo de tegración de 12min. La primaria brillante, así como su compañero de co-movimiento más débil son ambos bien detectados en esta imagen de banda estrecha y sus flujos no ex- cedí el nivel de linealidad del detector -Cass. Por lo tanto, podríamos usar esta imagen para derivar la magnitud diferenci- entre la estrella primaria y su compañero y obtenido •HFeII = 3,166± 0,005mag, totalmente consistente con la diferencia de magnitud derivada del 2MASS datos en la banda H (+H = 3,115± 0,061mag.) Además, adquirimos una óptica de baja resolución espectro con EMMI en el NTT en La Silla a de- Termine el tipo espectral de HD141272B y probar su distancia común con HD141272A. El espectro era tomado en modo RILD y REMD cubriendo una longitud de onda de 400-900nm con una resolución de R • 3000 a 600nm. La reducción de datos siguió el procedimiento estándar para espectros ópticos de baja resolución: después de la sustracción del sesgo, campo plano y calibración de longitud de onda con un arco HeAr espectro corregido para la respuesta instrumental y para las características telúricas utilizando un espectro de HR5501 tomada con la misma masa de aire que HD141272B. Determinamos el tipo espectral comparando nuestro espectro con una secuencia estándar de enanas M en el el mismo rango espectral y con res espectrales comparables olución (Bochanski et al. 2006), véase Fig. 5. El mejor el ajuste dio lugar a un tipo espectral de M3.25 ± 0,25 que es consistente con un tipo espectral de M3,0± 0,5 extraída del índice espectral de TiO5 de 0,49 a continuación Cruz & Reid (2002). Adoptando este último tipo espectral como final derivamos una distancia espectrofotométrica de 24,4±4,2 pc MJ relación dada en Cruz & Reid (2002) y el J magnitud de 2MASS, asumiendo que el compañero está en la secuencia principal. La distancia determinada está en excelente acuerdo con el HIPPARCOS medido distancia de 21,35±0,48 pc para HD 141272A, confirmando su distancia común. Por lo tanto, llamamos al compañero HD141272B. 5 Conclusiones Con la tecnología de reducción y análisis de datos astrométricos Niques presentados en este trabajo, podríamos verificar la com- movimiento adecuado de ambos componentes del binario sistema HD141272AB durante 56 años de la época difieren- entre la primera observación exitosa de este sistema en las placas POSS-I tomadas en julio de 1950 y nuestra Imágenes de la banda H obtenidas con el -Cass en abril de 2006. Además obtuvimos un espectro óptico de la y derivaron su tipo espectral a rango entre M2.5V y M3.5V. El infrarrojo aparente mag... nitudes de la compañera de co-movimiento son totalmente consis- tienda con una enana M3 que se encuentra a la distancia 400 500 600 700 800 900 HD 141272 B Longitud de onda [nm] Fig. 5 Flujo relativo de la secuencia espectral de M1 a M5 (Bochanski et al. 2006) en comparación con el Espectro EMMI de HD141272B, que oscila entre 400 y 900 nm. Las resoluciones son comparables (R + 3000 para el espectro EMMI y R + 6000 para el estándar espectros a 600 nm). HD 141272B muestra un buen acuerdo- con una estrella M3. de HD141272A que finalmente confirma el compañero- nave de este nuevo sistema binario. El compañero es un adición al Catálogo de Estrellas cercanas dentro de 25 uds. (Gliese & Jahreiß 1991). Con el fin de obtener una estimación de la edad del sistema que comparación de la fotometría infrarroja de HD 141272A y B con 1300 miembros del grupo Pléyades que figuran en la base de datos WEBDA (Mermilliod 1998). Todos los objetos están trazados en una magnitud de color J-K vs. MH diagrama (Fig. 6). Los colores de todos los objetos se obtienen del catálogo 2MASS y derivamos el absoluto Las magnitudes H-Band de todas las estrellas de comparación utilizando su Fotometría de banda H 2MASS y una distancia media mod- ule de las Pléyades de 5,97mag (base de datos WEBDA). La incertidumbre esperada de la distancia del mem- bers que da lugar a una incertidumbre de su absoluta H- magnitudes de banda se aproximaron con el ángulo angular diámetro del cúmulo de Pléyades en el cielo, asumiendo un una extensión similar del conglomerado también en la direc- tion. Las magnitudes absolutas de la banda H de HD141272A y B se derivan con fotometría 2MASS y la Paralaje Hipparcos del sistema binario. Comparado con las Pléyades del mismo color J-K HD141272A y B aparece un poco más débil, lo que indica que el sistema es ya en el ZAMS, que es similar a los resultados de trabajos anteriores (Gaidos 1998; Wright et al. 2004). Si asumimos que ambos componentes del binario El sistema ya ha llegado a la ZAMS que podemos disuadir- mina la masa de la secundaria utilizando la ecuación (11) de Kirkpatrick & McCarthy (1994) con el dado c© Año de publicación WILEY-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA, Weinheim www.an-journal.org Astron. Nachr. AN (Año de publicación) 5 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 J−K [mag] 0,75 0,8 0,85 0,90,95 1 J−K [mag] HD 141272 A HD 141272 B Fig. 6 J-K vs. MH diagrama para las Pléyades y HD141272A y B (rectángulos simbolizan el error , casillas). El gráfico insertado muestra HD141272B y el alrededor de las Pléyades las estrellas dibujadas a una escala más grande. Los se puede ver la secuencia principal del cluster aunque allí son algunos valores atípicos debido al módulo de distancia media (5.97mag para Pléyades) aplicado. El error medio de la Pléyades se muestra por la cruz de error en la parte inferior izquierda. HD 141272A y B aparecen un poco más débiles que Pléyades estrellas del mismo color J-K. Esto indica, que el El sistema ya llegó al ZAMS. errores para las constantes a y b y el rango de la Tipo espectral. Derivamos una masa de M* = 0,26 +0,07 −0,06 millones de libras esterlinas. La labor futura debería determinar la edad del sistema y derivar más propiedades de la enana M, que en- amplia la lista de estrellas de baja masa cercanas encuadernadas en binario sistemas. Agradecimientos. Nos gustaría dar las gracias a los técnicos personal de la ESO NTT en La Silla, así como del Centro Astronómico Hispano Alemán (CAHA) en Calar Alto para todos su ayuda y asistencia en la realización de las observaciones. Además, nos gustaría dar las gracias a John Bochanski, An- draw West, Suzanne Hawley y Kevin Covey por proporcionar la secuencia electrónica de espectros compuestos de estrellas M. T.O.B. Schmidt reconoce el apoyo de un Thur- Beca estatal ingiana y de una beca del Evan- gelisches Studienwerk e.V. Villigst. Esta publicación hace uso de los productos de datos de la Dos Micron All Sky Survey, que es un proyecto conjunto de la Universidad de Massachusetts y el Proceso de Infrarrojos Centro de ing y análisis/Instituto Tecnológico de California, financiado por la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio y la Fundación Nacional de Ciencia. Usamos datos de imágenes del SuperCOSMOS Sky Sur... vey, preparado y acogido por la Astronomía de Campo Amplio Unidad, Instituto de Astronomía, Universidad de Edimburgo, que está financiado por el Reino Unido de Física de Partículas y Astron- Mi Consejo de Investigación. Esta investigación ha hecho uso del catálogo VizieR herramienta de acceso y la base de datos Simbad, ambos operados en el Observatorio de Estrasburgo, así como de la WEBDA base de datos, operado en el Instituto de Astronomía de la Universidad de Viena. El proyecto DENIS ha sido financiado en parte por el LIC- ENCE y los planes de HCM de la Comisión Europea en virtud de las subvenciones CT920791 y CT940627. Es apoyado por INSU, HOMBRES y CNRS en Francia, por el Estado de Baden- Württemberg en Alemania, por DGICYT en España, por CNR en Italia, por FFwFBWF en Austria, por FAPESP en Brasil, por OTKA concede F-4239 y F-013990 en Hungría, y por la subvención de ESO C&EE A-04-046. Jean Claude Renault del IAP era el hombre del proyecto... Ager. Las observaciones se llevaron a cabo gracias a la contri- bution de numerosos estudiantes y jóvenes científicos de todos los institutos implicados, bajo la supervisión de P. Fouqué, Vey astrónomo residente en Chile. Bibliografía Bertin, E., Arnouts, S.: 1996, A&AS 117, 393 Bochanski, J.J., West, A.A., Hawley, et al.: 2007, AJ 133, Chen, C.H., Patten, B.M., Werner, M.W., et al.: 2005, ApJ 634, 1372 Cruz, K.L., Reid, I.N.: 2002, AJ 123, 2828 Cutri, R.M. Skrutskie, M.F., van Dyk, S., et al.: 2003, 2MASS Catálogo de fuentes puntuales para todo el cielo. (El IRSA) 2MASS Catálogo de fuentes de punto de cielo, NASA/IPAC In- Frared Science Archive. http://irsa.ipac.caltech.edu) Devilard, N.: 2001, en ASP Conf. Ser. 238: Astronómico Software y sistemas de análisis de datos X, ed. F. R. Harn- den, Jr., F. A. Primini, & H. E. Payne, 525–+ Fuhrmann, K.: 2004, AN 325,3 Gaidos, E.J.: 1998, PASP 110, 1259 Gaidos, E.J. Henry, G.W., Henry, S.M.: 2000, AJ 120, 1006 Gliese, W., Jahreisß, H.: 1991, versión preliminar de la Tercer Catálogo de Estrellas Cercanas, Tech. rep. Gray, N., Jenness, T. Allan, A., et al.: 2005, en Astronomical Society of the Pacific Conference Series, ed. P. Shopbell, M. Britton, & R. 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Sterile neutrinos at the CNGS

IFT-UAM/CSIC-07-16 Neutrinos estériles en el CNGS Andrea Donini, a Michele Maltoni, a Davide Meloni, b Pasquale Migliozzi, c Francesco Terranova d aInstituto Fsica Teórica UAM/CSIC, Cantoblanco, E-28049 Madrid, España BI.N.F.N., Sezione di Roma I y Dip. Fisica, Univ. Roma “La Sapienza”, Pl. A. Moro 2, I-00185, Roma (Italia) CI.N.F.N., Sezione di Napoli, I-80126, Nápoles, Italia dI.N.F.N., Laboratori Nazionali Frascati, Via E. Fermi 40, I-00044, Frascati, Italia PACS: 14.60.Pq, 14.60.Lm Resumen Estudiamos el potencial del haz GNCS para limitar el espacio de parámetros de un modelo con un neutrino estéril separado de tres activos por una masa de O(eV2) diferencia cuadrada, m2 . Realizamos nuestro análisis utilizando el detector OPERA como una referencia (nuestro análisis puede actualizarse incluyendo una simulación detallada de la Detector ICARUS). Señalamos que el canal con el mayor potencial para limitar el espacio del parámetro neutrino estéril en el haz GNCS es → . Los razón de esto es doble: en primer lugar, el ángulo de mezcla activo-estéril que rige esto oscilación es la menos limitada por los experimentos actuales; en segundo lugar, esta es la señal para los que se han diseñado tanto OPERA como ICARUS y, por lo tanto, se benefician de un fondo extremadamente bajo. En nuestro análisis también hemos tenido en cuenta → νe oscilaciones. Encontramos que el potencial de GNCS para buscar neutrinos estériles es limitado con intensidad nominal del haz, pero se aumenta significativamente con un factor 2 a 10 aumento del flujo de neutrinos. Los datos de ambos canales nos permiten, en este caso, para limitar aún más el espacio del parámetro del modelo de cuatro neutrinos. Nuestros resultados se mantienen para cualquier valor de m2 & 0.1 eV2, es decir. cuando oscilaciones impulsadas por este cuadrado de masa la diferencia se promedia. También hemos comprobado que el límite en 13 que puede ser puesto en el CNGS no se ve afectado por la posible existencia de neutrinos estériles. http://arxiv.org/abs/0704.0388v2 1 Introducción Los resultados de la energía solar [1,2,3,4,5,6], atmosférica [7,8], reactor [9,10,11,12] y acelera- [13,14,15] los experimentos con neutrinos muestran que la mezcla de aromas no sólo se produce en el El sector hadrónico, como se conoce desde hace mucho tiempo, pero también en el sector leptónico. Los la comprensión completa de la matriz de mezcla leptonica constituye, junto con la criminación del carácter dirac/mayorana de los neutrinos y con la medida de su escala de masa absoluta, el principal objetivo de la física de neutrinos para la próxima década. Los resultados experimentales apuntan a dos diferencias muy distintas entre masa y cuadrado, 7.9 × 10-5 eV2 y m2 2,4 × 10−3 eV2. Por otro lado, sólo dos de los cuatro parámetros de la matriz de mezcla leptonica de tres familias UPMNS [16,17,18,19] son conocidos: 12 años, 34 años * y *23 * 43 • [20]. Los otros dos parámetros, el 13 y el 13 son todavía desconocido: para el ángulo de mezcla ­13 búsquedas directas en reactores [9,10,11] y tres familias El análisis global de los datos experimentales da el límite superior 13 ≤ 11.5 Considerando lo siguiente: la fase leptonica de la PC-violación.... no tenemos ninguna información (ver, sin embargo, Ref. [20]). Los datos LSND [21,22,23], por otro lado, indicarían una oscilación → e con una tercera diferencia entre la masa del neutrino y el cuadrado: • 0,3 − 6 eV2, aproximadamente dos órdenes de magnitud superior a m2 . Dada la fuerte jerarquía entre la energía solar, atmosférica y las divisiones cuadradas en masa de LSND, ­m2 # # # # m2 # # # # # m2 # , no es posible explicar todos estos datos con sólo tres neutrinos masivos, como se ha demostrado con cálculos detallados en Ref. [24]. Una condición necesaria para explicar todo el conjunto de datos en términos de oscilaciones de neutrinos es, por lo tanto, la introducción de al menos un cuarto estado de neutrinos ligeros. Este nuevo neutrino luminoso debe ser un singlet electrodébil [18] con el fin de cumplir con los límites fuertes en el ancho de desintegración invisible Z0 [25,26]. Por esta razón, la señal LSND se ha considerado a menudo como una evidencia de la existencia de un neutrino estéril. En los últimos años, los análisis mundiales de la energía solar, atmosférica, de base corta [27,28,29,30] Se han llevado a cabo datos de ions y LSND para determinar si los modelos de cuatro neutrinos realmente puede conciliar los datos y resolver el rompecabezas [31,32,33,34,35,36,37,38]. El punto es que proporcionar una diferencia adecuada de masa cuadrada a cada clase de experimentos no es suficiente: también es necesario demostrar que la estructura intrínseca de la mezcla de neutrinos matriz es compatible con todos los datos. Esto resultó ser muy difícil de lograr. In Ref. [39] se demostró que los modelos de cuatro neutrinos sólo estaban marginalmente permitidos, con el mejor ajuste alrededor de m2 1 eV2 y sin2 2­LSND 10 −3. Genéricamente hablando, el análisis globales indicaron que un único estado de neutrino estéril no era suficiente para reconciliar LSND con los otros experimentos. Por esta razón, para mejorar la compatibilidad estadística bilidad entre los resultados de LSND y el resto de los datos de oscilación, modelos con se han probado dos estados estériles de neutrinos (véase, por ejemplo, Ref. [40] y referencias en ella). Aunque se logró un ajuste global ligeramente mejor, una fuerte tensión entre Los datos de LSND y los resultados de los experimentos atmosféricos y de línea de base corta fueron: Todavía está presente. Hasta ahora, la señal LSND no ha sido confirmada por ningún otro experimento [41]. Lo es. por lo tanto, es posible que la anomalía LSND surge de algún problema aún desconocido en el conjunto de datos en sí. Para cerrar el tema, la colaboración MiniBooNE [42] en FermiLab ha realizado recientemente una búsqueda para → νe apariencia con una línea de base de 540 m y una energía media de neutrinos de alrededor de 700 MeV. El propósito principal de este experimento fue para probar la evidencia de → e oscilación observada en LSND con un L/E muy similar Rango. No se ha encontrado evidencia de la señal esperada, por lo que se descarta una vez y para toda la interpretación de cuatro neutrinos de la anomalía LSND. Sin embargo, los datos de MiniBooNE son ellos mismos no concluyentes: aunque ninguna evidencia para → νe oscilación ha sido notificada en la región del espectro compatible con los resultados de LSND, un exceso inexplicable se ha observado para neutrinos de baja energía. Además, dentro de un modelo de cinco neutrinos este exceso puede explicarse fácilmente, e incluso reconciliarse con LSND y todos los demás experimentos de apariencia [43]. Por otro lado, un análisis global post-MiniBooNE incluyendo también datos de desaparición muestran que los modelos de cinco neutrinos sufren de la misma problemas como los sistemas de cuatro neutrinos, y en particular ahora son sólo marginalmente permitido – una situación muy similar a la de los modelos de cuatro neutrinos antes de MiniBooNE datos. Añadir un tercer neutrino estéril 1 no ayuda [43], y en general los análisis globales Parece indicar que los neutrinos estériles por sí solos no son suficientes para conciliar todos los datos. Por lo tanto, se han propuesto modelos con neutrinos estériles y física exótica (véase: ejemplo, Ref. [46]). En resumen, la situación experimental actual sigue siendo confusa. Por lo tanto, vale la pena... wile para entender si, aparte de MiniBooNE, nuevos experimentos de neutrinos en curso o en construcción puede investigar la existencia de neutrinos estériles separados de los activos por O(eV2) diferencias cuadradas en masa. En este artículo exploramos en detalle la capacidad del haz GNCS para realizar esta búsqueda. Para la definitividad nos enfocamos en el caso más simple con un único neutrino extra estéril. Tenga en cuenta que este modelo es perfectamente viable una vez que el resultado de LSND se ha eliminado, ya que contiene como un caso limitante el habitual Escenario de tres neutrinos. Además, es fácilmente generalizable mediante la adición de nuevos estériles estados de neutrino, y se puede utilizar como base para modelos con estados extra “estériles” fuertemente desconectados de neutrinos activos (como en modelos extra-dimensiones con un neutrino derecho a granel [47]). El haz GNCS [48] ha sido construido para probar la (supuestamente) oscilación dominante en datos de neutrinos musfericos, → . Con el fin de hacer posible la producción a través de CC las interacciones, la energía media del neutrino, E = 17 GeV, está mucho por encima de la atmósfera pico de oscilación del CERN a Gran Sasso basal, L = 732 Km. Dos detectores son iluminada por el haz GNCS: OPERA (véase Ref. [49] y refs. en ella) se iniciarán los datos tomar con el objetivo de emulsión de plomo en 2007; ICARUS-T600 (véase Ref. [50] y refs. en ella) comenzará a funcionar en 2008. Ambos detectores han sido especialmente diseñados para buscar la oscilación de la producción de........................................................................................................................................................................................................................................................... 1 Un escenario bastante interesante es, en nuestra opinión, aquel en el que tres majoranas diestros Los neutrinos se añaden a los tres de interacción débil. Si el término masa majoranana M es O(eV), (3+3) luz Majorana neutrinos están presentes en baja energía [44,45]. antecedentes. El número de eventos esperados después de la selección de la señal en un experimento como OPERA (después de cinco años de toma de datos con luminosidad nominal de GNCS) es O(10) eventos con O(1) evento de fondo. A la distancia y energía de GNCS, oscilaciones de neutrino mediadas por una masa de O(eV2) diferencia aparecerá como un término constante en la probabilidad de oscilación. En cuatro neutrino modelos, fluctuaciones inducidas por este término sobre la oscilación atmosférica → lata ser tan grande como 100% para puntos específicos del espacio de parámetros permitido. Esto se debe a la hecho de que el ángulo principal para esta oscilación es el menos limitado. El → canal, por lo tanto, es extremadamente prometedor como un “neutrino estéril” fumar arma, como lo ha hecho se han comentado en otros lugares (véase, por ejemplo, Refs. [51,52] y refs. en ella). Para probar el modelo también haremos uso del canal → νe. Nótese que los antecedentes a esta señal que viene de la desintegración de e se modifica en los modelos de cuatro neutrinos con respecto a oscilaciones estándar de tres familias. De hecho, ya que → oscilaciones se agotan por mezcla activo-estéril con respecto a los estándares, el fondo a → νe Las oscilaciones también se agotan. Análisis combinado de los dos canales en cuatro neutrinos se han realizado modelos en el detector OPERA, teniendo debidamente en cuenta todos los de los fondos. Destacamos, sin embargo, que el mismo análisis podría ser realizado en ICARUS, también. Las consideraciones anteriores se aplican a cualquier instalación que funcione bien más allá del umbral cinemático para la producción. En el caso específico del haz GNCS, el flujo limitado implica una modesta mejora en el parámetro exclusión de espacio, véase Sec. 6. Un aumento en la exposición de tales las instalaciones, sin embargo, permitirían mejorar los límites actuales de los parámetros de modelos de cuatro neutrinos y, en particular, para limitar el ángulo de orientación en → oscilaciones a nivel de los otros parámetros de mezcla. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. 2 repasamos brevemente las principales características de modelos de cuatro neutrinos e introducimos nuestra parametrización de la matriz de mezcla. In Sec. 3 calculamos las probabilidades de oscilación de vacío en el régimen atmosférico y revisamos los límites actuales en los ángulos de mezcla activo-estéril. In Sec. 4 recordamos el los parámetros más relevantes de GNCS. In Sec. 5 estudiamos teóricamente las expectativas de los canales → y → νe en el CNGS. In Sec. 6 presentamos nuestros resultados utilizando estos canales en el detector OPERA y el haz GNCS. Finalmente, en Sec. 7 sacamos nuestras conclusiones. 2 Cuatro esquemas de masa de neutrinos En los modelos de cuatro neutrinos, se añade un estado estéril adicional a los tres que interactúan débilmente. Uno. La relación entre el sabor y los eigenstatos de masa se describe entonces por un Matriz unitaria U de 4×4, que generaliza la matriz UPMNS habitual de 3×3 [16,17,18,19]. As en la introducción, en este trabajo sólo consideramos el caso cuando la cuarta masa eigenstato está separado por los otros tres por un espacio cuadrado en masa O(eV2). Hay seis posibles esquemas de cuatro neutrinos, mostrados en la Fig. 1, que puede acomodar los resultados (3+1) (2+2) Fig. 1. Las dos clases de espectros de masa de cuatro neutrinos, (3+1) y (2+2). de los experimentos de neutrinos solares y atmosféricos y contienen un tercio mucho más grande. Se pueden dividir en dos clases: (3+1) y (2+2). En los regímenes (3+1), hay un grupo de tres masas cercanas de neutrinos que se separa de la cuarta por la brecha más grande. En los esquemas (2+2), hay dos pares de masas cercanas separadas por el gran brecha. Mientras que diferentes esquemas dentro de la misma clase son actualmente indistinguibles, los esquemas pertenecientes a diferentes clases conducen a escenarios fenomenológicos muy diferentes. Una característica de los esquemas (2+2) es que el estado estéril extra no puede ser desacoplamiento simultáneo de las oscilaciones solar y atmosférica. Para entender ¿Por qué, vamos a definir ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! Usi 2 y cs = j atm Usj 2 (1) donde las sumas en i y j pasan por encima de los estados propios de masa implicados en la energía solar y atmosférica oscilaciones de neutrinos, respectivamente. Claramente, las cantidades ηs y cs describen la fracción de neutrino estéril relevante para cada clase de experimento. Resultados de las actividades atmosféricas y Los datos de neutrino solar implican que en ambos tipos de experimentos la oscilación tiene lugar principalmente entre neutrinos activos. Específicamente, de Fig. 46 de Ref. [20] Obtenemos ηs ≤ 0,30 y cs ≤ 0,36 en el nivel 3 Sin embargo, en los regímenes (2+2) la unitariedad implica ηs + cs = 1, como se puede entender fácilmente mirando la Fig. 1. Por lo tanto, se descartan estos modelos en un nivel de confianza muy alto [53], y en el resto de este trabajo no vamos a considerar Ellos ya más. Por otra parte, los regímenes (3+1) no se ven afectados por este problema. A pesar de que el los límites experimentales en ηs y cs citados anteriormente siguen vigentes, la condición ηs + cs = 1 n se aplica durante más tiempo. Para lo que se refiere a las oscilaciones de neutrinos, los modelos (3+1) son esencialmente infalsificable, ya que se reducen al escenario convencional de tres neutrinos cuando el la mezcla entre los estados activos y estériles es lo suficientemente pequeña. La matriz de mezcla U puede ser convenientemente parametrizada en términos de seis independientes Ángulos de rotación Łij y tres (si los neutrinos son fermiones Dirac) o seis (si los neutrinos son Majorana fermions) fases En experimentos de oscilación, sólo el llamado “Dirac fases” se puede medir, el efecto de las “fases mayorana” se suprime por Por lo tanto, la Comisión considera que, en el caso de autos, el importe de la ayuda de que se trate es inferior al importe de la ayuda de que se trate. La naturaleza majoranana o dirac de los neutrinos sólo se puede probar En el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.b.a., en el subartículo 6A001.a.b.a. violar decaimientos [25]. En el siguiente análisis, sin pérdida en general, vamos a restringir nosotros mismos al caso de 4 neutrinos tipo Dirac solamente. Se puede obtener una rotación genérica en un espacio de cuatro dimensiones realizando seis dif- rotaciones feroces a lo largo de los ejes Euler. Desde el orden de las matrices de rotación Rij (donde ij se refiere al plano en el que tiene lugar la rotación) es arbitrario, un montón de se permiten diferentes parametrizaciones de la matriz de mezcla U. El parámetro grande espacio (6 ángulos y 3 fases, a comparar con la mezcla estándar de tres familias caso de 3 ángulos y 1 fase) se reduce sin embargo a un subespacio siempre que algunos de las diferencias de masa se vuelven insignificantes. Si los estados autóctonos i y j son degenerados, ro- las taciones en el ij-plano se vuelven antifísicas y el ángulo de mezcla correspondiente debe caída de probabilidades de oscilación. Si la matriz Rij es la más a la derecha el ángulo La matriz desaparece automáticamente, ya que la matriz se desplaza con el vacío hamilto- Nian. Por lo tanto, el espacio de parámetro se reduce a los ángulos físicos y fases. Si se toma un orden diferente de las matrices de rotación, ningún ángulo desaparece explícitamente de las fórmulas de oscilación, pero el espacio del parámetro físico es todavía más pequeño que el Uno original. En este caso, se necesita una redefinición de parámetro para reducir el parámetro espacio para el sector observable. En Refs. [55.56] se mostró cómo el domi- nance (­sol → 0 y •atm → 0, donde • = •m 2L/4E [57]) y dominio de dos masas Las aproximaciones pueden ser implementadas de manera transparente (en el sentido de que sólo los parámetros físicos aparecen en las probabilidades de oscilación) utilizando una parametriza- en la que las rotaciones se realizan en los planos correspondientes a la masa más pequeña diferencia primero: USBL = R14(l+14) R24(l+24) R34(l+34) R23(l+23, n+3) R13(l+13, n+2) R12(l+12, n+1). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta parametrización demostró ser particularmente útil a la hora de maximizar ciones impulsadas por una diferencia de masa de O(eV2). Las expresiones analíticas para la oscilación probabilidades en el modelo (3+1) en la aproximación del dominio de una masa en este parametrización se han presentado en Ref. [51]. En este documento, sin embargo, estamos interesados en un régimen totalmente diferente: la “atmosférica régimen”, con oscilaciones impulsadas por la diferencia de masa atmosférica, L/E η/2. A continuación, haremos uso de la siguiente parametrización, adoptada en Ref. [43]: Uatm = R34(­34) R24(·24) R23(·23, ·3) R14(·14) R13(·13, ·2) R12(·12, ·1). 3) Es conveniente poner fases en R12 (de modo que automáticamente cae en la masa de dos y R13 (por lo que se reduce a la "estándar" de tres familias Dirac fase cuando se desacopla neutrinos estériles). La tercera fase puede colocarse en cualquier lugar; Lo colocaremos en R23. Nótese que en el régimen de dominio de una masa todas las fases desaparecen de las probabilidades de oscilación. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Fig. 2. Regiones permitidas al 90%, 95%, 99% y 3 A partir de los resultados de los actuales neutrinos atmosféricos, de los reactores y de los LBL, el avión (derecha) experimentos. Los parámetros no mostrados 23 y 3 están marginados. 3 Probabilidades de oscilación y espacio de parámetros permitido Consideremos en primer lugar la desaparición en L/E de tal manera que se pueda descuidar con seguridad al Sr. Sol. por lo que respecta a los acuerdos de asociación y de asociación. Tenemos esta probabilidad en el vacío: Peinar = 1− pecado 2 2o 14o pecado • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • pecado2 2o 13o pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (4) donde cij = cos Łij y sij = sin Łij. Está claro desde Eq. 4) que el reactor experimenta como Bugey y Chooz pueden poner límites estrictos a 13 y 14 años, en esta parametriza- tion. Esto está representado en la Fig. 2, izquierda), donde el 90%, el 95%, el 99% y el plano se muestra en el caso de los vehículos de las categorías •sol → 0 y •m = 2,4 × 10−3 eV2. El tercero diferencia de masa, m2 , es libre de variar por encima de 0,1 eV2. Note que la desaparición la probabilidad no depende de los valores de 23, 24 y 34. Se puede ver claramente que los tres... La familia Chooz unida a Karabaj13 está ligeramente modulada por Karabaj14. Ambos ángulos, sin embargo, no pueden ser mucho más grande que 10o. Por lo tanto, ampliaremos estos dos parámetros para deducir las demás probabilidades de oscilación relevantes. En las oscilaciones atmosféricas del haz GNCS son grandes, oscilaciones solares pueden ser ne- Las oscilaciones de O(eV2) son extremadamente rápidas y pueden ser promediadas. Es útil para escribir la probabilidad de oscilación (en vacío) en la L/E atmosférica típica, en el Aproximación de los métodos de análisis de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero > 0, > > > > >, > >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, > >, >, >, > >, >, > >, > >, > >, > >, > >,, > >, > >,,,, > > >,,, > >,,,,,,,,,, > > >,,,, > > > >,,, >,,,, > >,, > >,,,,,,,,,,, > >, > > > >,, >,,,,,,,,,, > > >, > > > > > > >,,, > > > > > > > > > > > > >,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, En este régimen: P ( → ) = − 4R β3 ( − U α3Uβ3 − U α4Uβ4) Uα4U β4 − Uα4 2Uβ4 α4Uβ4 synor23L, donde + significa neutrinos y − para antineutrinos, respectivamente. Hasta el segundo orden en 13 y 14 obtenemos para la probabilidad de la oscilación de la desaparición : Pa = 1− 2c (1− c2 )− s2 − 2c3 s23(1− 2s )s13s14s24 cos(­2 − ­3) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Un resultado "negativo" en un experimento de desaparición de L/E atmosférico (como, por ejemplo, ejemplo, K2K), en el que las oscilaciones pueden estar muy bien encajadas en términos de tres familias oscilaciones, pondrá un límite estricto en el ángulo de mezcla ­24. El obligado de tales En la Fig. 2, derecha), donde 90%, 95%, 99% y 3 se muestran los contornos en el plano de •sol → 0 y •m = 2,4× 10−3 eV2. La tercera diferencia de masa, m2 , es libre de variar por encima de 0,1 eV2. Los ángulos de mezcla no se han fijado en: ­23 = 45 *; *13 = *14 = 0 (en esta hipótesis, P® no lo hace) en función de las fases). Note que la probabilidad de desaparición no depende de De la figura, podemos ver que el 24 no puede ser mucho mayor que 10 - Tampoco. Lo haremos. considerar, por lo tanto, que los tres ángulos de mezcla ­13, ·14 y ·24 son del mismo orden, y expandirse en los poderes de los tres. En el segundo orden en 13, 14 y 24, obtenemos: Pa = 1− 2s − 4s2 (1-2) )− s2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . 7).................................................................................................................................................. Dado que tanto la desaparición como la desaparición no dependen de la supresión de 34 años, debemos preguntarnos qué mea. las garantías dan el límite superior a este ángulo que se puede observar en la Fig. 2 (derecha). Esto es realmente un resultado de búsquedas indirectas para → → s conversión en exper atmosférico imentos, utilizando la interacción diferente con la materia de neutrinos activos y estériles. Esto se puede entender de la (vacuum) → → s probabilidad de oscilación en la atmósfera L/E para los cuales, en el segundo orden en los puntos 13, 14 y 24, obtenemos: Pμs = 2c sin2 2­23(c) + 2c34 sin 2­23s34 s24(1− 2s ) cos Ł3 + 2s23s13s14 cos ♥2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± c34 pecado 2­23s24s34 pecado ­3 sin­atmL. Como se puede ver, la unión en el 34 surge de una medida de distorsión espectral (es decir, del término “atmosférico” proporcional al sin2atmL/2). Por otra parte, los límites de los puntos 13, 14 y 24 se dibujan principalmente mediante una medición de la normalización del flujo. Como consecuencia de ello, el límite en el 34 que podemos dibujar por la no observación de → \ s La oscilación en los experimentos atmosféricos es menos estricta que las que hemos mostrado antes. Por esta razón, el número 34 puede ser algo mayor que el número 13, el número 14 y el número 24, pero aún así está limitado a: estar por debajo de 40 °C. A continuación, ampliaremos los poderes de los cuatro ángulos de mezcla Se considerará que son comparativamente pequeñas. Hasta el cuarto orden en 13, 14, 24 y 34, la probabilidad de aparición en el el régimen atmosférico es: Pμe = 4 [1− s2 ) + s23s13s14s24 cos(­2 − ­3) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± 2s23s13s14s24 sin( Eventualmente, la probabilidad de aparición de → hasta el cuarto orden en los años 13, 14, 24 y En el régimen atmosférico, el número 34 es el siguiente: P = 2s sin2 2o 23o [c − 4 sin 2­23s13s14[s23s34 cos ­2 + c23s24 cos (­2­3)] + 2 sin 2­23s24s34c c34[c − 2c2 [ ] cos فارسى3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * pecado 2­23s24s34c c34 sin فارسى3 sin ŁatmL. Como se muestra en Refs. [51,52], el canal de apariencia → es un buen lugar para buscar neutrinos estériles. Esto se puede entender como sigue: considerar el → probabilidad de oscilación de tres familias en el régimen atmosférico, hasta el cuarto orden en P 3 = P (i4 = 0) c sin2 2o 23o pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (11) Los efectos genuinos de la mezcla de neutrinos estériles activos son: # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P ) sin2 2o 23o + 2o 2o 23o(1− 2o )s24s34 cos •3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * pecado 2­23s24s34 pecado ­3 sin­atmL+................................................................................................................................................ que es de segundo orden en los ángulos pequeños 13, 14, 24 y 34. Obtendríamos un resultado similar. por la desaparición, también. Por otro lado, computando la cantidad correspondiente en el canal → νe, obtenemos: Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe = s23s13s14s24 cos(­2 − ­3) pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± 2s23s13s14s24 sin(­2 − ­3) sin{atmL+.................................................................................................................................................................................................................................................. que es de tercer orden en los mismos parámetros. Note, eventualmente, que todas las probabilidades de oscilación comienzan con una energía independiente término y, por lo tanto, no van a desaparecer para L = 0, como resultado de nuestra suposición de que SBL → SBL. 0 10 20 30 40 50 E/(GeV) anti antie Fig. 3. Flujos de neutrinos de GNCS (en unidades arbitrarias) en función de la energía de neutrinos. Ambas cosas. se ilustran los flujos de muón y neutrinos electrónicos. 4 La instalación de GNCS El CNGS es un haz de neutrinos convencional en el que los neutrinos son producidos por el Decaimiento de piones y caones secundarios, obtenidos a partir de colisiones de 400 protones GeV de el CERN-SPS en un blanco de grafito. Los neutrinos resultantes están dirigidos a los Gran Sasso Laboratory (LNGS), situado a 730 Km del CERN. Esta instalación proporcionó los primeros neutrinos en agosto de 2006 [49]. Diferentemente de otras bases de referencia largas experimentos, los neutrinos de GNCS pueden ser explotados para buscar directamente → oscilaciones, ya que tienen una media de energía mucho más allá del umbral cinemático para producción. Por otra parte, la contaminación rápida (principalmente decaimientos Ds) es negligi- ble. La contaminación esperada es también relativamente pequeña en comparación con la dominante componente, permitiendo así la búsqueda de sub-dominante → νe oscilaciones a través de un exceso de eventos CC. Los espectros de energía del haz de neutrinos GNCS se muestran (en unidades arbitrarias) en Fig. 3 [58]. En el presente trabajo asumimos la intensidad nominal para el CNGS, correspondiente a 4,5× 1019 pote/año. OPERA ha sido diseñado para la búsqueda de la apariencia a través de la identificación de la interacción CC sobre una base de evento-por-evento. En particular, se etiquetan los de la identificación explícitamente su descomposición a través de emulsiones nucleares de alta resolución entrelazadas con hojas de plomo. Para este detector, podemos aprovechar los estudios detallados de la → señal (véase Ref. [59]) y de la señal → νe (véase Ref. [60]). Las tasas totales de eventos de CC no oscilados para un objetivo de plomo de 1 Kton con flujo de neutrinos 669,0 13,7 5,9 0,3 Cuadro 1 Rendimiento nominal del haz de referencia GNCS [58]. El evento total de CC no oscilado las tasas se calculan asumiendo 1019 olla y 1 Kton masa objetivo de plomo. normalizado a 1019 olla se muestran en Tab. 1 y se evalúan de acuerdo con d(E) (E) dE, (14) en el que es el flujo del sabor de neutrino y la cruz correspondiente sección de plomo. 5 canales de aparición en el CNGS 5.1 → oscilaciones Desde los experimentos de GNCS se han diseñado para buscar oscilación → en la región del parámetro indicado por los datos de neutrino atmosféricos, podemos tomar ventaja de ellos para limitar (y, posiblemente, estudiar) el parámetro de cuatro familias espacio. El número de taus de → oscilaciones es dado por la convolución del flujo d(E)/dE con la sección transversal carga-corriente sobre plomo, (E), ponderado por la probabilidad de oscilación →, P (E), veces la eficiencia para el OPERA detector, : N = A d(E) P (E) (E) dE. (15) A es un factor de normalización que tiene en cuenta la masa objetivo y la malización del flujo en unidades físicas. Especializar nuestro análisis para el OPERA detector, hemos considerado una eficiencia global 13%, [59]. Esta eficiencia requiere teniendo en cuenta que OPERA es capaz de explotar varios modos de desintegración del estado final utilizando las llamadas decaídas cortas y largas. Las fuentes dominantes del fondo para la señal → son decaimientos del encanto y Reinteracciones hadrónicas. Ambos sólo dependen del flujo total de neutrinos y no en las probabilidades de oscilación. El experimento OPERA en el haz GNCS ha sido diseñado precisamente para medir este canal, y por lo tanto los fondos correspondientes son extremadamente bajos. En Tab. 2 reportamos el número esperado de eventos de OPERA en el detector, según a Eq. (15), para los diferentes valores de los puntos ­13, ·14, ·24 y ·34. Se han elegido puntos de entrada según las regiones permitidas en el espacio de parámetros mostrado en Sec. 3. El otro (­13; ­14;­24;­34) N­trastorno (­13;­14;­24;­34) N­trastorno (­13;­14;­24;­34) N­trastorno 5,9 1,0 10,0 10,0 5, 5, 5, 5, 5, 5, 20 ) 8.5 1,0 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 6o,9o, 10o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 6o, 9o, 9o, 9o, 9o, 10o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 30o, 6o, 6o,o, 9o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 6o,o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o,9, 6o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 9o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 9o, 9o, 9o, 9o, 9o, 6o, 5,0 1,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 20,0 7,9 1,0 10,5 1,0 (10», 5», 10,3 1,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 3 familias 15,1 1,0 3 familias 14,4 1,0 Cuadro 2 Tasas de eventos y antecedentes esperados para el canal → en el detector OPERA, para diferentes valores de los puntos 14, 24 y 34 en el esquema (3+1). El otro ángulo desconocido, se ha fijado en: 13 °C = 5 *, 10*. Las fases de violación de la CP son: - Sí. As a referencia, el valor esperado en el caso de la oscilación estándar de las tres familias (es decir, para el valor de 0) se muestra para la fase máxima violatoria de la CP. Las tasas se calculan según Eq. (15). los parámetros son: •12 = 34 •; •23 = 45 # #; # m2 # = 7,9× 10−5 eV2; ­m2 = 2,4× 10−3 eV2 y 2 m2 = 1 eV2 (todas las diferencias de masa se consideran positivas). Eventualmente, fases se han fijado en: ­1 = ­2 = 0; ­3 = 90 - Sí. También se muestran los antecedentes previstos. Tasas se refiere a un flujo normalizado a 4,5× 1019 pot/año (la intensidad nominal del GNCS), una masa objetivo de plomo activa de 1,8 Kton y 5 años de toma de datos. Para la comparación, nosotros también reportan el número esperado de eventos en el escenario habitual de 3 familias. Como se puede ver, en la mayor parte del espacio de parámetros esperamos un agotamiento significativo de la señal con respecto a las oscilaciones estándar de tres neutrinos. Sin embargo, la diferencia por lo que entre el modelo (3+1) → oscilaciones y estándar es mucho más grande que los antecedentes esperados. Por lo tanto, se puede utilizar una buena separación de señal/ruido para probar el modelo. 5.2 → → /e oscilaciones El número de electrones de la oscilación → νe es dado por la convolución de el flujo d(E)/dE con la sección transversal de corriente cargada sobre plomo, peso ponderado por la probabilidad de oscilación → νe, Pμe(E), veces la eficiencia para el Detector de OPERA, e(E) [60]: Nμe = A d(E) Pμe(E) (E) e(E) dE, (16) donde A se define como anterior. La eficiencia global de la señal e es la convolución de la Eficiencia cinemática (que oscila entre el 60% y el 80% para las energías de neutrinos entre 5 a 20 GeV) y varias contribuciones (casi factorizables). Entre ellos, los más relevantes son las eficiencias de activación, los efectos debidos a cortes de volumen fiducial, vértice y ladrillo encontrar eficiencias y la capacidad de identificación de electrones. Se traducen en un factor constante ­factμe ­ 48%. No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la Decisión impugnada con el Derecho comunitario. El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. 5,4 5,3 2,8 0,9 (a 5°; 5°; 5°; 30°) 3,5 19,4 5,3 2,1 0,9 5,4 5,3 2,3 0,9 5,4 5,4 5,4 2,4 0,9 3 familias 3,7 19,7 5,3 4,6 0,9 10,6 19,4 5,3 2,7 0,9 10,4 19,4 5,3 2,0 0,9 (10o; 5o; 10o; 20o) 8,8 19,4 5,3 2,2 0,9 (10o; 5o; 10o; 30o) 8,6 19,4 5,3 2,4 0,9 3 familias 15,1 19,7 5,3 4,8 0,9 Cuadro 3 Tasas de eventos y antecedentes esperados para el canal → νe en el detector OPERA, para diferentes valores de los puntos 14, 24 y 34 en el esquema (3+1). El otro ángulo desconocido, se ha fijado en: 13 °C = 5 *, 10*. Las fases de violación de la CP son: - Sí. As a referencia, el valor esperado en el caso de la oscilación estándar de las tres familias (es decir, para el valor de 0) se muestra para la fase máxima violatoria de la CP. Las tasas se calculan según Eq. (16). Los antecedentes se han calculado después de Ref. [60]. Las fuentes dominantes de fondo a la señal → νe son, en orden de importancia: 1) contaminación de los haz; (2) electrones falsos debidos a decaimientos de η0 a partir de interacciones NC; (3) electrones producidos a través del decaimiento, donde el decaimiento viene de oscilaciones → ; (4) CC eventos donde se pierde el muón y una pista imita un electrón. Los antecedentes (1), (2) y (4) dependen muy poco de los parámetros de oscilación. En el Por otra parte, el fondo de e depende fuertemente de los ángulos de mezcla activo-estéril. Como hemos visto en Sec. 5.1, en la región permitida del espacio del parámetro → las oscilaciones se agotan significativamente con respecto a los tres neutrinos estándar. Como consecuencia, este fondo se agota, también. En Tab. 3 reportamos el número esperado de electrones en el detector OPERA, según a Eq. (16), para los diferentes valores de los puntos ­13, ·14, ·24 y ·34. Se han elegido puntos de entrada según las regiones permitidas en el espacio de parámetros mostrado en Sec. 3. El otro los parámetros son: •12 = 34 •; •23 = 45 # #; # m2 # = 7,9× 10−5 eV2; ­m2 = 2,4× 10−3 eV2 y 2 m2 = 1 eV2 (todas las diferencias de masa se consideran positivas). Eventualmente, fases se han fijado en: ­1 = ­2 = 0; ­3 = 90 - Sí. Los antecedentes se han calculado en consecuencia a Ref. [60]. Las tasas se refieren a un flujo normalizado a 4,5×1019 maceta/año (la intensidad nominal del CNGS), un objetivo de masa activa de 1,8 Kton y 5 años de toma de datos. Por comparación, también reportamos el número esperado de eventos en el escenario habitual de 3 familias. Como se puede ver en Tab. 3, la diferencia entre el modelo (3+1) y el Las oscilaciones de tres neutrinos son más pequeñas en este canal que en el → uno. Por otra parte, dependen linealmente de 13 libras esterlinas, como se desprende claramente de Eq. (13). En el caso de la letra a) del apartado 1 del presente artículo, el importe de los ingresos afectados se consignará en la columna 060 de la plantilla CR SA. # Esto # canal no será de ayuda para probar el espacio de parámetros permitido del modelo (3+1). Activar la otra mano, para Ł13 saturando la unión de Chooz-Bugey, tanto → y → → νe podría cooperar. Sin embargo, note que los fondos de esta señal son mucho más grandes que la diferencia entre el modelo (3+1) y las oscilaciones estándar de tres neutrinos para cualquier un valor de 13 libras esterlinas. 6 Sensibilidad a (3 + 1) neutrinos estériles en OPERA En esta sección se estudia la sensibilidad a Ł13 y a los ángulos de mezcla activo-estéril En la viga de GNCS, los números 14, 24 y 34 utilizan tanto la apariencia como la apariencia. canales en el detector OPERA. En el resto de esta sección, las tres familias conocidas Los ángulos subespaciales se han fijado a: •; •23 = 45 - Sí. Las diferencias de masa tienen se ha fijado en: = 7,9× 10−5 eV2 y ­m2 = 2,4× 10−3 eV2. La PC-violante se han mantenido fijas las fases 1 y 2 a 1 ° = 2 ° = 0. Por el contrario, el PC-violante la fase 3 se fija a dos valores: 3 ° = 0 o 90 - Sí. Note que esta fase todavía está presente en las probabilidades de oscilación, incluso cuando se desvanecen 12 y 13 años, véase Eq. (10). A la atmósfera L/E, oscilaciones impulsadas por una diferencia de masa O(eV2) son promediadas. Lo hemos comprobado. que nuestros resultados se aplican para cualquier valor de m2 ≥ 0,1 eV2. In Fig. 4 se muestra el límite de sensibilidad en el 99% CL en el plano (­13, ­14) (izquierda) y en el plano (derecha) de un resultado nulo del experimento OPERA, suponiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces la intensidad nominal de 4.5 × 1019 macetas/año. Los colores las regiones muestran los límites actuales en el 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y 3 = 0 * (arriba) o *3 = 90 • (abajo). La sensibilidad se define como la región para la cual un (poissonian) 2 d.o.f. χ2 es compatible con un “resultado nulo” en el 99% CL. Nos referimos a “resultado nulo” cuando se desvanecen el número 13 y los tres ángulos de mezcla activo-estéril, el número 14, el número 24 y el número 34 Simultáneamente. Tanto → y → → νe oscilaciones se han considerado, con el fondos correspondientes tratados adecuadamente como en Sec. 5. Un error sistemático general se ha tenido en cuenta el 10%. En los paneles izquierdos de la Fig. 4 podemos ver que OPERA puede mejorar sólo un poco el límite en el punto 13 después de 5 años de datos que funcionan a la intensidad nominal del haz de GNCS, ambos en el caso de los puntos 0 (panel superior) o °3 = 90 • (panel inferior). Aumento de la intensidad nominal, Sin embargo, se logra una mejora significativa en el límite para cualquier valor de 14 libras esterlinas. Notificación que el límite de 14 libras esterlinas casi no se ve afectado por los datos de OPERA. Esto es porque para el → y → → νe oscilación probabilidades en la L/E atmosférica, la dependencia siempre surge en el tercer orden en los pequeños parámetros 13, 14, 24 y 34 (véase Eqs. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y (10) para la expresión explícita en la parametrización adoptada, Eq. 3)). En el por el contrario, las dependencias de la misma oscilación en las mismas probabilidades de oscilación son de 13-, 24- y 34- cuadrático en los pequeños parámetros. En caso de desaparición de los ángulos de mezcla activo-estéril, 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° × 5× 10 Fig. 4. Límite de sensibilidad al 99% CL en el plano (de 13 a 14 años) y en el plano (de 24 años). (derecha) de un resultado nulo del experimento OPERA, asumiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces el intensidad nominal de 4,5 × 1019 macetas/año. Las regiones coloreadas muestran los límites actuales en 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y •3 = 0 * (arriba) o *3 = 90 • (abajo). En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas. [60]. En los paneles de la derecha de la Fig. 4 se muestra la sensibilidad de OPERA a los valores de 24 y 34. Primero de todos, note que la sensibilidad se ve fuertemente afectada por la intensidad del haz. No se logra ninguna mejora en los límites existentes en estos dos parámetros después de 5 años de toma de datos a la intensidad nominal del haz de GNCS, para cualquiera de los valores considerados de 3 libras esterlinas. Ya con una intensidad de flujo duplicada, se puede lograr cierta sensibilidad a 24 libras, 34 libras. La mejora de la sensibilidad depende en gran medida del valor de la fase de violación de la CP Sin embargo. En el caso de la opción 3 = 0, el OPERA puede excluir una pequeña parte del 99% de CL permitido. región, sólo. Por otra parte, en el caso de la letra a) 3 = 90 • El doble del flujo nominal de GNCS es suficiente 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° Fig. 5. Límite de sensibilidad al 99% CL en el plano (de 13 a 14 años) y en el plano (de 24 años). (derecha) del análisis combinado de los datos actuales y de un resultado nulo del experimento OPERA, suponiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces la intensidad nominal de 4,5 × 1019 macetas/año. Los colores las regiones muestran los límites actuales en el 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y •3 = 0 (arriba) o Ł3 = 90 • (abajo). para encuadernar el valor de 34 °C ≤ 25 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a 99% CL. Para la CP-violación máxima El aumento del flujo de CNGS puede limitar significativamente el flujo de CNGS. espacio de parámetros. Note, con el tiempo, la fuerte correlación entre el 24 y el 34 en el Paneles de la derecha de la Fig. 4. Esta es una indicación de que el canal dominante que limita estos ángulos son → . Como se puede ver en Eq. (10), los dos ángulos siempre aparecen en combinación, con una simetría de intercambio aproximada Las regiones permitidas en el 99% CL en el plano (de 13, 14) (izquierda) y en el plano (de 24, 34) (derecha) del análisis combinado de los datos actuales y de un resultado nulo del OPERA experimentar después de 5 años de toma de datos (asumiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces el valor nominal La intensidad del GNCS de 4,5 × 1019 pot/año) se muestra finalmente en la Fig. 5. Los colores las regiones se refieren a los límites actuales en el 90% y el 99% de CL, para ­23 = 45 • y •3 = 0 • (arriba) o Ł3 = 90 • (abajo). Como se puede ver, la sensibilidad de OPERA beneficia fuertemente de la información complementaria sobre los parámetros de los neutrinos proporcionada por otros experimentos. En este caso, incluso con la intensidad de haz nominal la extensión de la las regiones permitidas se reducen en una cantidad moderada pero no insignificante. 7 Conclusiones Los resultados de los experimentos con neutrinos atmosféricos, solares, aceleradores y reactores muestran que la mezcla de aromas se produce no sólo en el sector quark, como se ha conocido por largo, pero también en el sector leptonico. Los datos experimentales encajan bien en una familia de tres escenario. La existencia de nuevos estados neutrinos “estériles” con masas en el rango de eV es no excluidos, sin embargo, siempre que sus acoplamientos con neutrinos activos sean pequeños Suficiente. En este artículo, hemos tratado de probar el potencial del experimento OPERA en el El haz GNCS mejorará los límites actuales en los parámetros de los llamados cuatro- modelos de neutrinos. El modelo, en el que sólo se añade un neutrino estéril a los tres activos responsables de oscilaciones solares y atmosféricas, es la extensión mínima del escenario estándar de oscilación de tres familias. Hemos determinado las regiones actualmente permitidas para todos los ángulos de mezcla activo-estéril y estudió la capacidad de OPERA para limitar aún más utilizando tanto el → νe y canales →. Hemos realizado nuestro análisis utilizando el detector OPERA como una referencia. Se puede ampliar incluyendo una simulación detallada del detector ICARUS en el haz de GNCS. Nuestras conclusiones son las siguientes: si el detector OPERA está expuesto al Intensidad del haz de GNCS, un resultado nulo puede mejorar un poco el actual encuadernado en Ł13, pero no los que están en los ángulos de mezcla activo-estéril,....................................................................................................................................................................................................................................................... Si la intensidad del haz es aumentada en un factor 2 o más, no sólo la sensibilidad a •13 aumenta en consecuencia, pero se puede lograr una sensibilidad significativa a los valores 24 y 34. La sensibilidad (de 24 años a 34 años) depende del valor de la fase de violación de la CP......................................................................................................................................................................................................................................................... valores de 3°C aproximándose a 2°C. Sólo una mejora marginal es alcanzable en el límite el 14 de diciembre, esto debería verse limitado por experimentos de desaparición de alta intensidad. Tenga en cuenta que nuestros resultados se mantienen para cualquier valor de m2 ≥ 0,1 eV2, es decir, en la región de L/E para los cuales las oscilaciones impulsadas por esta diferencia de masa se promedian efectivamente. Agradecimientos Reconocemos a E. Fernández-Martnez, P. Hernández, J. López-Pavón, M. Sorel y P. Strolin para discusiones y comentarios útiles. Agradecemos a T. Schwetz por señalarlo. para nosotros un error en la primera versión del documento y para comentarios útiles sobre él. Los El trabajo ha sido parcialmente apoyado por la UE. a través de la red BENE-CARE actividad MRTN-CT-2004-506395. A.D. recibió apoyo parcial de CiCYT a través de el proyecto FPA2006-05423. M.M. recibió apoyo parcial de CiCYT a través del proyecto FPA2006-01105 y el MCYT a través del programa Ramón y Cajal. A.D. y M.M. reconocer también el apoyo financiero de la Comunidad Autónoma de Madrid a través del proyecto P-ESP-00346. D.M. quisiera dar las gracias al CERN, donde parte de El trabajo se ha realizado. Bibliografía [1] B. T. Cleveland et al., Astrophys. J. 496 (1998) 505. [2] J. N. Abdurashitov et al. [Colaboración SAGE], Phys. Rev. C 60 (1999) 055801 [arXiv:astro-ph/9907113]. [3] W. Hampel et al. [Colaboración GALLEX], Phys. Lett. B 447 (1999) 127. [4] S. Fukuda et al. [Colaboración Super-Kamiokande], Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 5651 [arXiv:hep-ex/0103032]. [5] Q. 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Estudiamos el potencial del haz GNCS para limitar el espacio de parámetros de un modelo con un neutrino estéril separado de tres activos por una $\mathcal{O}(\eVq)$ diferencia cuadrada en masa, $\Dmq_\Sbl$. Realizamos nuestro análisis utilizando el detector OPERA como referencia (nuestro análisis se puede actualizar incluyendo una simulación detallada del detector ICARUS). Nosotros señalamos que el canal con mayor potencial para limitar el parámetro neutrino estéril espacio en el haz de GNCS es $\nu_\mu \to \nu_\tau$. La razón de ello es que dos veces: en primer lugar, el ángulo de mezcla activo-estéril que rige esta oscilación es el menos limitado por los experimentos actuales; en segundo lugar, esta es la señal para que tanto OPERA como ICARUS han sido diseñados y, por lo tanto, se benefician de una fondo extremadamente bajo. En nuestro análisis también hemos tenido en cuenta \nu_\mu \a \nu_e$ oscilaciones. Encontramos que el potencial de GNCS para buscar estériles neutrinos está limitado con la intensidad nominal del haz, pero es aumenta significativamente con un aumento de factor 2 a 10 en el flujo de neutrinos. Los datos de ambos canales nos permiten, en este caso, limitar aún más la espacio de parámetros del modelo de cuatro neutrinos. Nuestros resultados se mantienen para cualquier valor de $\Dmq_\Sbl \gtrsim 0.1 \eVq$, \textit{i.e.} cuando oscilaciones impulsadas por esto La diferencia masa-cuadrado se promedia. También hemos comprobado que el límite de $\theta_{13}$ que se puede poner en el GNCS no se ve afectado por la posible existencia de neutrinos estériles.

Introducción Los resultados de la energía solar [1,2,3,4,5,6], atmosférica [7,8], reactor [9,10,11,12] y acelera- [13,14,15] los experimentos con neutrinos muestran que la mezcla de aromas no sólo se produce en el El sector hadrónico, como se conoce desde hace mucho tiempo, pero también en el sector leptónico. Los la comprensión completa de la matriz de mezcla leptonica constituye, junto con la criminación del carácter dirac/mayorana de los neutrinos y con la medida de su escala de masa absoluta, el principal objetivo de la física de neutrinos para la próxima década. Los resultados experimentales apuntan a dos diferencias muy distintas entre masa y cuadrado, 7.9 × 10-5 eV2 y m2 2,4 × 10−3 eV2. Por otro lado, sólo dos de los cuatro parámetros de la matriz de mezcla leptonica de tres familias UPMNS [16,17,18,19] son conocidos: 12 años, 34 años * y *23 * 43 • [20]. Los otros dos parámetros, el 13 y el 13 son todavía desconocido: para el ángulo de mezcla ­13 búsquedas directas en reactores [9,10,11] y tres familias El análisis global de los datos experimentales da el límite superior 13 ≤ 11.5 Considerando lo siguiente: la fase leptonica de la PC-violación.... no tenemos ninguna información (ver, sin embargo, Ref. [20]). Los datos LSND [21,22,23], por otro lado, indicarían una oscilación → e con una tercera diferencia entre la masa del neutrino y el cuadrado: • 0,3 − 6 eV2, aproximadamente dos órdenes de magnitud superior a m2 . Dada la fuerte jerarquía entre la energía solar, atmosférica y las divisiones cuadradas en masa de LSND, ­m2 # # # # m2 # # # # # m2 # , no es posible explicar todos estos datos con sólo tres neutrinos masivos, como se ha demostrado con cálculos detallados en Ref. [24]. Una condición necesaria para explicar todo el conjunto de datos en términos de oscilaciones de neutrinos es, por lo tanto, la introducción de al menos un cuarto estado de neutrinos ligeros. Este nuevo neutrino luminoso debe ser un singlet electrodébil [18] con el fin de cumplir con los límites fuertes en el ancho de desintegración invisible Z0 [25,26]. Por esta razón, la señal LSND se ha considerado a menudo como una evidencia de la existencia de un neutrino estéril. En los últimos años, los análisis mundiales de la energía solar, atmosférica, de base corta [27,28,29,30] Se han llevado a cabo datos de ions y LSND para determinar si los modelos de cuatro neutrinos realmente puede conciliar los datos y resolver el rompecabezas [31,32,33,34,35,36,37,38]. El punto es que proporcionar una diferencia adecuada de masa cuadrada a cada clase de experimentos no es suficiente: también es necesario demostrar que la estructura intrínseca de la mezcla de neutrinos matriz es compatible con todos los datos. Esto resultó ser muy difícil de lograr. In Ref. [39] se demostró que los modelos de cuatro neutrinos sólo estaban marginalmente permitidos, con el mejor ajuste alrededor de m2 1 eV2 y sin2 2­LSND 10 −3. Genéricamente hablando, el análisis globales indicaron que un único estado de neutrino estéril no era suficiente para reconciliar LSND con los otros experimentos. Por esta razón, para mejorar la compatibilidad estadística bilidad entre los resultados de LSND y el resto de los datos de oscilación, modelos con se han probado dos estados estériles de neutrinos (véase, por ejemplo, Ref. [40] y referencias en ella). Aunque se logró un ajuste global ligeramente mejor, una fuerte tensión entre Los datos de LSND y los resultados de los experimentos atmosféricos y de línea de base corta fueron: Todavía está presente. Hasta ahora, la señal LSND no ha sido confirmada por ningún otro experimento [41]. Lo es. por lo tanto, es posible que la anomalía LSND surge de algún problema aún desconocido en el conjunto de datos en sí. Para cerrar el tema, la colaboración MiniBooNE [42] en FermiLab ha realizado recientemente una búsqueda para → νe apariencia con una línea de base de 540 m y una energía media de neutrinos de alrededor de 700 MeV. El propósito principal de este experimento fue para probar la evidencia de → e oscilación observada en LSND con un L/E muy similar Rango. No se ha encontrado evidencia de la señal esperada, por lo que se descarta una vez y para toda la interpretación de cuatro neutrinos de la anomalía LSND. Sin embargo, los datos de MiniBooNE son ellos mismos no concluyentes: aunque ninguna evidencia para → νe oscilación ha sido notificada en la región del espectro compatible con los resultados de LSND, un exceso inexplicable se ha observado para neutrinos de baja energía. Además, dentro de un modelo de cinco neutrinos este exceso puede explicarse fácilmente, e incluso reconciliarse con LSND y todos los demás experimentos de apariencia [43]. Por otro lado, un análisis global post-MiniBooNE incluyendo también datos de desaparición muestran que los modelos de cinco neutrinos sufren de la misma problemas como los sistemas de cuatro neutrinos, y en particular ahora son sólo marginalmente permitido – una situación muy similar a la de los modelos de cuatro neutrinos antes de MiniBooNE datos. Añadir un tercer neutrino estéril 1 no ayuda [43], y en general los análisis globales Parece indicar que los neutrinos estériles por sí solos no son suficientes para conciliar todos los datos. Por lo tanto, se han propuesto modelos con neutrinos estériles y física exótica (véase: ejemplo, Ref. [46]). En resumen, la situación experimental actual sigue siendo confusa. Por lo tanto, vale la pena... wile para entender si, aparte de MiniBooNE, nuevos experimentos de neutrinos en curso o en construcción puede investigar la existencia de neutrinos estériles separados de los activos por O(eV2) diferencias cuadradas en masa. En este artículo exploramos en detalle la capacidad del haz GNCS para realizar esta búsqueda. Para la definitividad nos enfocamos en el caso más simple con un único neutrino extra estéril. Tenga en cuenta que este modelo es perfectamente viable una vez que el resultado de LSND se ha eliminado, ya que contiene como un caso limitante el habitual Escenario de tres neutrinos. Además, es fácilmente generalizable mediante la adición de nuevos estériles estados de neutrino, y se puede utilizar como base para modelos con estados extra “estériles” fuertemente desconectados de neutrinos activos (como en modelos extra-dimensiones con un neutrino derecho a granel [47]). El haz GNCS [48] ha sido construido para probar la (supuestamente) oscilación dominante en datos de neutrinos musfericos, → . Con el fin de hacer posible la producción a través de CC las interacciones, la energía media del neutrino, E = 17 GeV, está mucho por encima de la atmósfera pico de oscilación del CERN a Gran Sasso basal, L = 732 Km. Dos detectores son iluminada por el haz GNCS: OPERA (véase Ref. [49] y refs. en ella) se iniciarán los datos tomar con el objetivo de emulsión de plomo en 2007; ICARUS-T600 (véase Ref. [50] y refs. en ella) comenzará a funcionar en 2008. Ambos detectores han sido especialmente diseñados para buscar la oscilación de la producción de........................................................................................................................................................................................................................................................... 1 Un escenario bastante interesante es, en nuestra opinión, aquel en el que tres majoranas diestros Los neutrinos se añaden a los tres de interacción débil. Si el término masa majoranana M es O(eV), (3+3) luz Majorana neutrinos están presentes en baja energía [44,45]. antecedentes. El número de eventos esperados después de la selección de la señal en un experimento como OPERA (después de cinco años de toma de datos con luminosidad nominal de GNCS) es O(10) eventos con O(1) evento de fondo. A la distancia y energía de GNCS, oscilaciones de neutrino mediadas por una masa de O(eV2) diferencia aparecerá como un término constante en la probabilidad de oscilación. En cuatro neutrino modelos, fluctuaciones inducidas por este término sobre la oscilación atmosférica → lata ser tan grande como 100% para puntos específicos del espacio de parámetros permitido. Esto se debe a la hecho de que el ángulo principal para esta oscilación es el menos limitado. El → canal, por lo tanto, es extremadamente prometedor como un “neutrino estéril” fumar arma, como lo ha hecho se han comentado en otros lugares (véase, por ejemplo, Refs. [51,52] y refs. en ella). Para probar el modelo también haremos uso del canal → νe. Nótese que los antecedentes a esta señal que viene de la desintegración de e se modifica en los modelos de cuatro neutrinos con respecto a oscilaciones estándar de tres familias. De hecho, ya que → oscilaciones se agotan por mezcla activo-estéril con respecto a los estándares, el fondo a → νe Las oscilaciones también se agotan. Análisis combinado de los dos canales en cuatro neutrinos se han realizado modelos en el detector OPERA, teniendo debidamente en cuenta todos los de los fondos. Destacamos, sin embargo, que el mismo análisis podría ser realizado en ICARUS, también. Las consideraciones anteriores se aplican a cualquier instalación que funcione bien más allá del umbral cinemático para la producción. En el caso específico del haz GNCS, el flujo limitado implica una modesta mejora en el parámetro exclusión de espacio, véase Sec. 6. Un aumento en la exposición de tales las instalaciones, sin embargo, permitirían mejorar los límites actuales de los parámetros de modelos de cuatro neutrinos y, en particular, para limitar el ángulo de orientación en → oscilaciones a nivel de los otros parámetros de mezcla. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. 2 repasamos brevemente las principales características de modelos de cuatro neutrinos e introducimos nuestra parametrización de la matriz de mezcla. In Sec. 3 calculamos las probabilidades de oscilación de vacío en el régimen atmosférico y revisamos los límites actuales en los ángulos de mezcla activo-estéril. In Sec. 4 recordamos el los parámetros más relevantes de GNCS. In Sec. 5 estudiamos teóricamente las expectativas de los canales → y → νe en el CNGS. In Sec. 6 presentamos nuestros resultados utilizando estos canales en el detector OPERA y el haz GNCS. Finalmente, en Sec. 7 sacamos nuestras conclusiones. 2 Cuatro esquemas de masa de neutrinos En los modelos de cuatro neutrinos, se añade un estado estéril adicional a los tres que interactúan débilmente. Uno. La relación entre el sabor y los eigenstatos de masa se describe entonces por un Matriz unitaria U de 4×4, que generaliza la matriz UPMNS habitual de 3×3 [16,17,18,19]. As en la introducción, en este trabajo sólo consideramos el caso cuando la cuarta masa eigenstato está separado por los otros tres por un espacio cuadrado en masa O(eV2). Hay seis posibles esquemas de cuatro neutrinos, mostrados en la Fig. 1, que puede acomodar los resultados (3+1) (2+2) Fig. 1. Las dos clases de espectros de masa de cuatro neutrinos, (3+1) y (2+2). de los experimentos de neutrinos solares y atmosféricos y contienen un tercio mucho más grande. Se pueden dividir en dos clases: (3+1) y (2+2). En los regímenes (3+1), hay un grupo de tres masas cercanas de neutrinos que se separa de la cuarta por la brecha más grande. En los esquemas (2+2), hay dos pares de masas cercanas separadas por el gran brecha. Mientras que diferentes esquemas dentro de la misma clase son actualmente indistinguibles, los esquemas pertenecientes a diferentes clases conducen a escenarios fenomenológicos muy diferentes. Una característica de los esquemas (2+2) es que el estado estéril extra no puede ser desacoplamiento simultáneo de las oscilaciones solar y atmosférica. Para entender ¿Por qué, vamos a definir ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! Usi 2 y cs = j atm Usj 2 (1) donde las sumas en i y j pasan por encima de los estados propios de masa implicados en la energía solar y atmosférica oscilaciones de neutrinos, respectivamente. Claramente, las cantidades ηs y cs describen la fracción de neutrino estéril relevante para cada clase de experimento. Resultados de las actividades atmosféricas y Los datos de neutrino solar implican que en ambos tipos de experimentos la oscilación tiene lugar principalmente entre neutrinos activos. Específicamente, de Fig. 46 de Ref. [20] Obtenemos ηs ≤ 0,30 y cs ≤ 0,36 en el nivel 3 Sin embargo, en los regímenes (2+2) la unitariedad implica ηs + cs = 1, como se puede entender fácilmente mirando la Fig. 1. Por lo tanto, se descartan estos modelos en un nivel de confianza muy alto [53], y en el resto de este trabajo no vamos a considerar Ellos ya más. Por otra parte, los regímenes (3+1) no se ven afectados por este problema. A pesar de que el los límites experimentales en ηs y cs citados anteriormente siguen vigentes, la condición ηs + cs = 1 n se aplica durante más tiempo. Para lo que se refiere a las oscilaciones de neutrinos, los modelos (3+1) son esencialmente infalsificable, ya que se reducen al escenario convencional de tres neutrinos cuando el la mezcla entre los estados activos y estériles es lo suficientemente pequeña. La matriz de mezcla U puede ser convenientemente parametrizada en términos de seis independientes Ángulos de rotación Łij y tres (si los neutrinos son fermiones Dirac) o seis (si los neutrinos son Majorana fermions) fases En experimentos de oscilación, sólo el llamado “Dirac fases” se puede medir, el efecto de las “fases mayorana” se suprime por Por lo tanto, la Comisión considera que, en el caso de autos, el importe de la ayuda de que se trate es inferior al importe de la ayuda de que se trate. La naturaleza majoranana o dirac de los neutrinos sólo se puede probar En el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.a.a., en el subartículo 6A001.a.a., en el subartículo 6A001.a.b.a., en el subartículo 6A001.a.b.a. violar decaimientos [25]. En el siguiente análisis, sin pérdida en general, vamos a restringir nosotros mismos al caso de 4 neutrinos tipo Dirac solamente. Se puede obtener una rotación genérica en un espacio de cuatro dimensiones realizando seis dif- rotaciones feroces a lo largo de los ejes Euler. Desde el orden de las matrices de rotación Rij (donde ij se refiere al plano en el que tiene lugar la rotación) es arbitrario, un montón de se permiten diferentes parametrizaciones de la matriz de mezcla U. El parámetro grande espacio (6 ángulos y 3 fases, a comparar con la mezcla estándar de tres familias caso de 3 ángulos y 1 fase) se reduce sin embargo a un subespacio siempre que algunos de las diferencias de masa se vuelven insignificantes. Si los estados autóctonos i y j son degenerados, ro- las taciones en el ij-plano se vuelven antifísicas y el ángulo de mezcla correspondiente debe caída de probabilidades de oscilación. Si la matriz Rij es la más a la derecha el ángulo La matriz desaparece automáticamente, ya que la matriz se desplaza con el vacío hamilto- Nian. Por lo tanto, el espacio de parámetro se reduce a los ángulos físicos y fases. Si se toma un orden diferente de las matrices de rotación, ningún ángulo desaparece explícitamente de las fórmulas de oscilación, pero el espacio del parámetro físico es todavía más pequeño que el Uno original. En este caso, se necesita una redefinición de parámetro para reducir el parámetro espacio para el sector observable. En Refs. [55.56] se mostró cómo el domi- nance (­sol → 0 y •atm → 0, donde • = •m 2L/4E [57]) y dominio de dos masas Las aproximaciones pueden ser implementadas de manera transparente (en el sentido de que sólo los parámetros físicos aparecen en las probabilidades de oscilación) utilizando una parametriza- en la que las rotaciones se realizan en los planos correspondientes a la masa más pequeña diferencia primero: USBL = R14(l+14) R24(l+24) R34(l+34) R23(l+23, n+3) R13(l+13, n+2) R12(l+12, n+1). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Esta parametrización demostró ser particularmente útil a la hora de maximizar ciones impulsadas por una diferencia de masa de O(eV2). Las expresiones analíticas para la oscilación probabilidades en el modelo (3+1) en la aproximación del dominio de una masa en este parametrización se han presentado en Ref. [51]. En este documento, sin embargo, estamos interesados en un régimen totalmente diferente: la “atmosférica régimen”, con oscilaciones impulsadas por la diferencia de masa atmosférica, L/E η/2. A continuación, haremos uso de la siguiente parametrización, adoptada en Ref. [43]: Uatm = R34(­34) R24(·24) R23(·23, ·3) R14(·14) R13(·13, ·2) R12(·12, ·1). 3) Es conveniente poner fases en R12 (de modo que automáticamente cae en la masa de dos y R13 (por lo que se reduce a la "estándar" de tres familias Dirac fase cuando se desacopla neutrinos estériles). La tercera fase puede colocarse en cualquier lugar; Lo colocaremos en R23. Nótese que en el régimen de dominio de una masa todas las fases desaparecen de las probabilidades de oscilación. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Fig. 2. Regiones permitidas al 90%, 95%, 99% y 3 A partir de los resultados de los actuales neutrinos atmosféricos, de los reactores y de los LBL, el avión (derecha) experimentos. Los parámetros no mostrados 23 y 3 están marginados. 3 Probabilidades de oscilación y espacio de parámetros permitido Consideremos en primer lugar la desaparición en L/E de tal manera que se pueda descuidar con seguridad al Sr. Sol. por lo que respecta a los acuerdos de asociación y de asociación. Tenemos esta probabilidad en el vacío: Peinar = 1− pecado 2 2o 14o pecado • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • pecado2 2o 13o pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , (4) donde cij = cos Łij y sij = sin Łij. Está claro desde Eq. 4) que el reactor experimenta como Bugey y Chooz pueden poner límites estrictos a 13 y 14 años, en esta parametriza- tion. Esto está representado en la Fig. 2, izquierda), donde el 90%, el 95%, el 99% y el plano se muestra en el caso de los vehículos de las categorías •sol → 0 y •m = 2,4 × 10−3 eV2. El tercero diferencia de masa, m2 , es libre de variar por encima de 0,1 eV2. Note que la desaparición la probabilidad no depende de los valores de 23, 24 y 34. Se puede ver claramente que los tres... La familia Chooz unida a Karabaj13 está ligeramente modulada por Karabaj14. Ambos ángulos, sin embargo, no pueden ser mucho más grande que 10o. Por lo tanto, ampliaremos estos dos parámetros para deducir las demás probabilidades de oscilación relevantes. En las oscilaciones atmosféricas del haz GNCS son grandes, oscilaciones solares pueden ser ne- Las oscilaciones de O(eV2) son extremadamente rápidas y pueden ser promediadas. Es útil para escribir la probabilidad de oscilación (en vacío) en la L/E atmosférica típica, en el Aproximación de los métodos de análisis de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero > 0, > > > > >, > >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, >, > >, >, >, > >, >, > >, > >, > >, > >, > >,, > >, > >,,,, > > >,,, > >,,,,,,,,,, > > >,,,, > > > >,,, >,,,, > >,, > >,,,,,,,,,,, > >, > > > >,, >,,,,,,,,,, > > >, > > > > > > >,,, > > > > > > > > > > > > >,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, En este régimen: P ( → ) = − 4R β3 ( − U α3Uβ3 − U α4Uβ4) Uα4U β4 − Uα4 2Uβ4 α4Uβ4 synor23L, donde + significa neutrinos y − para antineutrinos, respectivamente. Hasta el segundo orden en 13 y 14 obtenemos para la probabilidad de la oscilación de la desaparición : Pa = 1− 2c (1− c2 )− s2 − 2c3 s23(1− 2s )s13s14s24 cos(­2 − ­3) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Un resultado "negativo" en un experimento de desaparición de L/E atmosférico (como, por ejemplo, ejemplo, K2K), en el que las oscilaciones pueden estar muy bien encajadas en términos de tres familias oscilaciones, pondrá un límite estricto en el ángulo de mezcla ­24. El obligado de tales En la Fig. 2, derecha), donde 90%, 95%, 99% y 3 se muestran los contornos en el plano de •sol → 0 y •m = 2,4× 10−3 eV2. La tercera diferencia de masa, m2 , es libre de variar por encima de 0,1 eV2. Los ángulos de mezcla no se han fijado en: ­23 = 45 *; *13 = *14 = 0 (en esta hipótesis, P® no lo hace) en función de las fases). Note que la probabilidad de desaparición no depende de De la figura, podemos ver que el 24 no puede ser mucho mayor que 10 - Tampoco. Lo haremos. considerar, por lo tanto, que los tres ángulos de mezcla ­13, ·14 y ·24 son del mismo orden, y expandirse en los poderes de los tres. En el segundo orden en 13, 14 y 24, obtenemos: Pa = 1− 2s − 4s2 (1-2) )− s2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . 7).................................................................................................................................................. Dado que tanto la desaparición como la desaparición no dependen de la supresión de 34 años, debemos preguntarnos qué mea. las garantías dan el límite superior a este ángulo que se puede observar en la Fig. 2 (derecha). Esto es realmente un resultado de búsquedas indirectas para → → s conversión en exper atmosférico imentos, utilizando la interacción diferente con la materia de neutrinos activos y estériles. Esto se puede entender de la (vacuum) → → s probabilidad de oscilación en la atmósfera L/E para los cuales, en el segundo orden en los puntos 13, 14 y 24, obtenemos: Pμs = 2c sin2 2­23(c) + 2c34 sin 2­23s34 s24(1− 2s ) cos Ł3 + 2s23s13s14 cos ♥2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± c34 pecado 2­23s24s34 pecado ­3 sin­atmL. Como se puede ver, la unión en el 34 surge de una medida de distorsión espectral (es decir, del término “atmosférico” proporcional al sin2atmL/2). Por otra parte, los límites de los puntos 13, 14 y 24 se dibujan principalmente mediante una medición de la normalización del flujo. Como consecuencia de ello, el límite en el 34 que podemos dibujar por la no observación de → \ s La oscilación en los experimentos atmosféricos es menos estricta que las que hemos mostrado antes. Por esta razón, el número 34 puede ser algo mayor que el número 13, el número 14 y el número 24, pero aún así está limitado a: estar por debajo de 40 °C. A continuación, ampliaremos los poderes de los cuatro ángulos de mezcla Se considerará que son comparativamente pequeñas. Hasta el cuarto orden en 13, 14, 24 y 34, la probabilidad de aparición en el el régimen atmosférico es: Pμe = 4 [1− s2 ) + s23s13s14s24 cos(­2 − ­3) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± 2s23s13s14s24 sin( Eventualmente, la probabilidad de aparición de → hasta el cuarto orden en los años 13, 14, 24 y En el régimen atmosférico, el número 34 es el siguiente: P = 2s sin2 2o 23o [c − 4 sin 2­23s13s14[s23s34 cos ­2 + c23s24 cos (­2­3)] + 2 sin 2­23s24s34c c34[c − 2c2 [ ] cos فارسى3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * pecado 2­23s24s34c c34 sin فارسى3 sin ŁatmL. Como se muestra en Refs. [51,52], el canal de apariencia → es un buen lugar para buscar neutrinos estériles. Esto se puede entender como sigue: considerar el → probabilidad de oscilación de tres familias en el régimen atmosférico, hasta el cuarto orden en P 3 = P (i4 = 0) c sin2 2o 23o pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . (11) Los efectos genuinos de la mezcla de neutrinos estériles activos son: # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P # P ) sin2 2o 23o + 2o 2o 23o(1− 2o )s24s34 cos •3 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * pecado 2­23s24s34 pecado ­3 sin­atmL+................................................................................................................................................ que es de segundo orden en los ángulos pequeños 13, 14, 24 y 34. Obtendríamos un resultado similar. por la desaparición, también. Por otro lado, computando la cantidad correspondiente en el canal → νe, obtenemos: Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe Pμe = s23s13s14s24 cos(­2 − ­3) pecado * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ± 2s23s13s14s24 sin(­2 − ­3) sin{atmL+.................................................................................................................................................................................................................................................. que es de tercer orden en los mismos parámetros. Note, eventualmente, que todas las probabilidades de oscilación comienzan con una energía independiente término y, por lo tanto, no van a desaparecer para L = 0, como resultado de nuestra suposición de que SBL → SBL. 0 10 20 30 40 50 E/(GeV) anti antie Fig. 3. Flujos de neutrinos de GNCS (en unidades arbitrarias) en función de la energía de neutrinos. Ambas cosas. se ilustran los flujos de muón y neutrinos electrónicos. 4 La instalación de GNCS El CNGS es un haz de neutrinos convencional en el que los neutrinos son producidos por el Decaimiento de piones y caones secundarios, obtenidos a partir de colisiones de 400 protones GeV de el CERN-SPS en un blanco de grafito. Los neutrinos resultantes están dirigidos a los Gran Sasso Laboratory (LNGS), situado a 730 Km del CERN. Esta instalación proporcionó los primeros neutrinos en agosto de 2006 [49]. Diferentemente de otras bases de referencia largas experimentos, los neutrinos de GNCS pueden ser explotados para buscar directamente → oscilaciones, ya que tienen una media de energía mucho más allá del umbral cinemático para producción. Por otra parte, la contaminación rápida (principalmente decaimientos Ds) es negligi- ble. La contaminación esperada es también relativamente pequeña en comparación con la dominante componente, permitiendo así la búsqueda de sub-dominante → νe oscilaciones a través de un exceso de eventos CC. Los espectros de energía del haz de neutrinos GNCS se muestran (en unidades arbitrarias) en Fig. 3 [58]. En el presente trabajo asumimos la intensidad nominal para el CNGS, correspondiente a 4,5× 1019 pote/año. OPERA ha sido diseñado para la búsqueda de la apariencia a través de la identificación de la interacción CC sobre una base de evento-por-evento. En particular, se etiquetan los de la identificación explícitamente su descomposición a través de emulsiones nucleares de alta resolución entrelazadas con hojas de plomo. Para este detector, podemos aprovechar los estudios detallados de la → señal (véase Ref. [59]) y de la señal → νe (véase Ref. [60]). Las tasas totales de eventos de CC no oscilados para un objetivo de plomo de 1 Kton con flujo de neutrinos 669,0 13,7 5,9 0,3 Cuadro 1 Rendimiento nominal del haz de referencia GNCS [58]. El evento total de CC no oscilado las tasas se calculan asumiendo 1019 olla y 1 Kton masa objetivo de plomo. normalizado a 1019 olla se muestran en Tab. 1 y se evalúan de acuerdo con d(E) (E) dE, (14) en el que es el flujo del sabor de neutrino y la cruz correspondiente sección de plomo. 5 canales de aparición en el CNGS 5.1 → oscilaciones Desde los experimentos de GNCS se han diseñado para buscar oscilación → en la región del parámetro indicado por los datos de neutrino atmosféricos, podemos tomar ventaja de ellos para limitar (y, posiblemente, estudiar) el parámetro de cuatro familias espacio. El número de taus de → oscilaciones es dado por la convolución del flujo d(E)/dE con la sección transversal carga-corriente sobre plomo, (E), ponderado por la probabilidad de oscilación →, P (E), veces la eficiencia para el OPERA detector, : N = A d(E) P (E) (E) dE. (15) A es un factor de normalización que tiene en cuenta la masa objetivo y la malización del flujo en unidades físicas. Especializar nuestro análisis para el OPERA detector, hemos considerado una eficiencia global 13%, [59]. Esta eficiencia requiere teniendo en cuenta que OPERA es capaz de explotar varios modos de desintegración del estado final utilizando las llamadas decaídas cortas y largas. Las fuentes dominantes del fondo para la señal → son decaimientos del encanto y Reinteracciones hadrónicas. Ambos sólo dependen del flujo total de neutrinos y no en las probabilidades de oscilación. El experimento OPERA en el haz GNCS ha sido diseñado precisamente para medir este canal, y por lo tanto los fondos correspondientes son extremadamente bajos. En Tab. 2 reportamos el número esperado de eventos de OPERA en el detector, según a Eq. (15), para los diferentes valores de los puntos ­13, ·14, ·24 y ·34. Se han elegido puntos de entrada según las regiones permitidas en el espacio de parámetros mostrado en Sec. 3. El otro (­13; ­14;­24;­34) N­trastorno (­13;­14;­24;­34) N­trastorno (­13;­14;­24;­34) N­trastorno 5,9 1,0 10,0 10,0 5, 5, 5, 5, 5, 5, 20 ) 8.5 1,0 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 6o,9o, 10o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 6o, 9o, 9o, 9o, 9o, 10o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 5o, 30o, 6o, 6o,o, 9o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 6o,o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o, 6o,9, 6o, 6o, 6o, 6o, 9o, 6o, 9o, 6o, 9o, 6o, 6o, 6o, 9o, 9o, 9o, 9o, 9o, 6o, 5,0 1,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 20,0 7,9 1,0 10,5 1,0 (10», 5», 10,3 1,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 3 familias 15,1 1,0 3 familias 14,4 1,0 Cuadro 2 Tasas de eventos y antecedentes esperados para el canal → en el detector OPERA, para diferentes valores de los puntos 14, 24 y 34 en el esquema (3+1). El otro ángulo desconocido, se ha fijado en: 13 °C = 5 *, 10*. Las fases de violación de la CP son: - Sí. As a referencia, el valor esperado en el caso de la oscilación estándar de las tres familias (es decir, para el valor de 0) se muestra para la fase máxima violatoria de la CP. Las tasas se calculan según Eq. (15). los parámetros son: •12 = 34 •; •23 = 45 # #; # m2 # = 7,9× 10−5 eV2; ­m2 = 2,4× 10−3 eV2 y 2 m2 = 1 eV2 (todas las diferencias de masa se consideran positivas). Eventualmente, fases se han fijado en: ­1 = ­2 = 0; ­3 = 90 - Sí. También se muestran los antecedentes previstos. Tasas se refiere a un flujo normalizado a 4,5× 1019 pot/año (la intensidad nominal del GNCS), una masa objetivo de plomo activa de 1,8 Kton y 5 años de toma de datos. Para la comparación, nosotros también reportan el número esperado de eventos en el escenario habitual de 3 familias. Como se puede ver, en la mayor parte del espacio de parámetros esperamos un agotamiento significativo de la señal con respecto a las oscilaciones estándar de tres neutrinos. Sin embargo, la diferencia por lo que entre el modelo (3+1) → oscilaciones y estándar es mucho más grande que los antecedentes esperados. Por lo tanto, se puede utilizar una buena separación de señal/ruido para probar el modelo. 5.2 → → /e oscilaciones El número de electrones de la oscilación → νe es dado por la convolución de el flujo d(E)/dE con la sección transversal de corriente cargada sobre plomo, peso ponderado por la probabilidad de oscilación → νe, Pμe(E), veces la eficiencia para el Detector de OPERA, e(E) [60]: Nμe = A d(E) Pμe(E) (E) e(E) dE, (16) donde A se define como anterior. La eficiencia global de la señal e es la convolución de la Eficiencia cinemática (que oscila entre el 60% y el 80% para las energías de neutrinos entre 5 a 20 GeV) y varias contribuciones (casi factorizables). Entre ellos, los más relevantes son las eficiencias de activación, los efectos debidos a cortes de volumen fiducial, vértice y ladrillo encontrar eficiencias y la capacidad de identificación de electrones. Se traducen en un factor constante ­factμe ­ 48%. No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la Decisión impugnada con el Derecho comunitario. El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. 5,4 5,3 2,8 0,9 (a 5°; 5°; 5°; 30°) 3,5 19,4 5,3 2,1 0,9 5,4 5,3 2,3 0,9 5,4 5,4 5,4 2,4 0,9 3 familias 3,7 19,7 5,3 4,6 0,9 10,6 19,4 5,3 2,7 0,9 10,4 19,4 5,3 2,0 0,9 (10o; 5o; 10o; 20o) 8,8 19,4 5,3 2,2 0,9 (10o; 5o; 10o; 30o) 8,6 19,4 5,3 2,4 0,9 3 familias 15,1 19,7 5,3 4,8 0,9 Cuadro 3 Tasas de eventos y antecedentes esperados para el canal → νe en el detector OPERA, para diferentes valores de los puntos 14, 24 y 34 en el esquema (3+1). El otro ángulo desconocido, se ha fijado en: 13 °C = 5 *, 10*. Las fases de violación de la CP son: - Sí. As a referencia, el valor esperado en el caso de la oscilación estándar de las tres familias (es decir, para el valor de 0) se muestra para la fase máxima violatoria de la CP. Las tasas se calculan según Eq. (16). Los antecedentes se han calculado después de Ref. [60]. Las fuentes dominantes de fondo a la señal → νe son, en orden de importancia: 1) contaminación de los haz; (2) electrones falsos debidos a decaimientos de η0 a partir de interacciones NC; (3) electrones producidos a través del decaimiento, donde el decaimiento viene de oscilaciones → ; (4) CC eventos donde se pierde el muón y una pista imita un electrón. Los antecedentes (1), (2) y (4) dependen muy poco de los parámetros de oscilación. En el Por otra parte, el fondo de e depende fuertemente de los ángulos de mezcla activo-estéril. Como hemos visto en Sec. 5.1, en la región permitida del espacio del parámetro → las oscilaciones se agotan significativamente con respecto a los tres neutrinos estándar. Como consecuencia, este fondo se agota, también. En Tab. 3 reportamos el número esperado de electrones en el detector OPERA, según a Eq. (16), para los diferentes valores de los puntos ­13, ·14, ·24 y ·34. Se han elegido puntos de entrada según las regiones permitidas en el espacio de parámetros mostrado en Sec. 3. El otro los parámetros son: •12 = 34 •; •23 = 45 # #; # m2 # = 7,9× 10−5 eV2; ­m2 = 2,4× 10−3 eV2 y 2 m2 = 1 eV2 (todas las diferencias de masa se consideran positivas). Eventualmente, fases se han fijado en: ­1 = ­2 = 0; ­3 = 90 - Sí. Los antecedentes se han calculado en consecuencia a Ref. [60]. Las tasas se refieren a un flujo normalizado a 4,5×1019 maceta/año (la intensidad nominal del CNGS), un objetivo de masa activa de 1,8 Kton y 5 años de toma de datos. Por comparación, también reportamos el número esperado de eventos en el escenario habitual de 3 familias. Como se puede ver en Tab. 3, la diferencia entre el modelo (3+1) y el Las oscilaciones de tres neutrinos son más pequeñas en este canal que en el → uno. Por otra parte, dependen linealmente de 13 libras esterlinas, como se desprende claramente de Eq. (13). En el caso de la letra a) del apartado 1 del presente artículo, el importe de los ingresos afectados se consignará en la columna 060 de la plantilla CR SA. # Esto # canal no será de ayuda para probar el espacio de parámetros permitido del modelo (3+1). Activar la otra mano, para Ł13 saturando la unión de Chooz-Bugey, tanto → y → → νe podría cooperar. Sin embargo, note que los fondos de esta señal son mucho más grandes que la diferencia entre el modelo (3+1) y las oscilaciones estándar de tres neutrinos para cualquier un valor de 13 libras esterlinas. 6 Sensibilidad a (3 + 1) neutrinos estériles en OPERA En esta sección se estudia la sensibilidad a Ł13 y a los ángulos de mezcla activo-estéril En la viga de GNCS, los números 14, 24 y 34 utilizan tanto la apariencia como la apariencia. canales en el detector OPERA. En el resto de esta sección, las tres familias conocidas Los ángulos subespaciales se han fijado a: •; •23 = 45 - Sí. Las diferencias de masa tienen se ha fijado en: = 7,9× 10−5 eV2 y ­m2 = 2,4× 10−3 eV2. La PC-violante se han mantenido fijas las fases 1 y 2 a 1 ° = 2 ° = 0. Por el contrario, el PC-violante la fase 3 se fija a dos valores: 3 ° = 0 o 90 - Sí. Note que esta fase todavía está presente en las probabilidades de oscilación, incluso cuando se desvanecen 12 y 13 años, véase Eq. (10). A la atmósfera L/E, oscilaciones impulsadas por una diferencia de masa O(eV2) son promediadas. Lo hemos comprobado. que nuestros resultados se aplican para cualquier valor de m2 ≥ 0,1 eV2. In Fig. 4 se muestra el límite de sensibilidad en el 99% CL en el plano (­13, ­14) (izquierda) y en el plano (derecha) de un resultado nulo del experimento OPERA, suponiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces la intensidad nominal de 4.5 × 1019 macetas/año. Los colores las regiones muestran los límites actuales en el 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y 3 = 0 * (arriba) o *3 = 90 • (abajo). La sensibilidad se define como la región para la cual un (poissonian) 2 d.o.f. χ2 es compatible con un “resultado nulo” en el 99% CL. Nos referimos a “resultado nulo” cuando se desvanecen el número 13 y los tres ángulos de mezcla activo-estéril, el número 14, el número 24 y el número 34 Simultáneamente. Tanto → y → → νe oscilaciones se han considerado, con el fondos correspondientes tratados adecuadamente como en Sec. 5. Un error sistemático general se ha tenido en cuenta el 10%. En los paneles izquierdos de la Fig. 4 podemos ver que OPERA puede mejorar sólo un poco el límite en el punto 13 después de 5 años de datos que funcionan a la intensidad nominal del haz de GNCS, ambos en el caso de los puntos 0 (panel superior) o °3 = 90 • (panel inferior). Aumento de la intensidad nominal, Sin embargo, se logra una mejora significativa en el límite para cualquier valor de 14 libras esterlinas. Notificación que el límite de 14 libras esterlinas casi no se ve afectado por los datos de OPERA. Esto es porque para el → y → → νe oscilación probabilidades en la L/E atmosférica, la dependencia siempre surge en el tercer orden en los pequeños parámetros 13, 14, 24 y 34 (véase Eqs. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. y (10) para la expresión explícita en la parametrización adoptada, Eq. 3)). En el por el contrario, las dependencias de la misma oscilación en las mismas probabilidades de oscilación son de 13-, 24- y 34- cuadrático en los pequeños parámetros. En caso de desaparición de los ángulos de mezcla activo-estéril, 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° × 5× 10 Fig. 4. Límite de sensibilidad al 99% CL en el plano (de 13 a 14 años) y en el plano (de 24 años). (derecha) de un resultado nulo del experimento OPERA, asumiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces el intensidad nominal de 4,5 × 1019 macetas/año. Las regiones coloreadas muestran los límites actuales en 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y •3 = 0 * (arriba) o *3 = 90 • (abajo). En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los vehículos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas. [60]. En los paneles de la derecha de la Fig. 4 se muestra la sensibilidad de OPERA a los valores de 24 y 34. Primero de todos, note que la sensibilidad se ve fuertemente afectada por la intensidad del haz. No se logra ninguna mejora en los límites existentes en estos dos parámetros después de 5 años de toma de datos a la intensidad nominal del haz de GNCS, para cualquiera de los valores considerados de 3 libras esterlinas. Ya con una intensidad de flujo duplicada, se puede lograr cierta sensibilidad a 24 libras, 34 libras. La mejora de la sensibilidad depende en gran medida del valor de la fase de violación de la CP Sin embargo. En el caso de la opción 3 = 0, el OPERA puede excluir una pequeña parte del 99% de CL permitido. región, sólo. Por otra parte, en el caso de la letra a) 3 = 90 • El doble del flujo nominal de GNCS es suficiente 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 0° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° 0 2 4 6 8 10 12 14 = 45°, = 90° Fig. 5. Límite de sensibilidad al 99% CL en el plano (de 13 a 14 años) y en el plano (de 24 años). (derecha) del análisis combinado de los datos actuales y de un resultado nulo del experimento OPERA, suponiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces la intensidad nominal de 4,5 × 1019 macetas/año. Los colores las regiones muestran los límites actuales en el 90% y 99% CL. Suponemos que el valor de la suma de 23 °C = 45 = • y •3 = 0 (arriba) o Ł3 = 90 • (abajo). para encuadernar el valor de 34 °C ≤ 25 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a 99% CL. Para la CP-violación máxima El aumento del flujo de CNGS puede limitar significativamente el flujo de CNGS. espacio de parámetros. Note, con el tiempo, la fuerte correlación entre el 24 y el 34 en el Paneles de la derecha de la Fig. 4. Esta es una indicación de que el canal dominante que limita estos ángulos son → . Como se puede ver en Eq. (10), los dos ángulos siempre aparecen en combinación, con una simetría de intercambio aproximada Las regiones permitidas en el 99% CL en el plano (de 13, 14) (izquierda) y en el plano (de 24, 34) (derecha) del análisis combinado de los datos actuales y de un resultado nulo del OPERA experimentar después de 5 años de toma de datos (asumiendo 1, 2, 3, 5 y 10 veces el valor nominal La intensidad del GNCS de 4,5 × 1019 pot/año) se muestra finalmente en la Fig. 5. Los colores las regiones se refieren a los límites actuales en el 90% y el 99% de CL, para ­23 = 45 • y •3 = 0 • (arriba) o Ł3 = 90 • (abajo). Como se puede ver, la sensibilidad de OPERA beneficia fuertemente de la información complementaria sobre los parámetros de los neutrinos proporcionada por otros experimentos. En este caso, incluso con la intensidad de haz nominal la extensión de la las regiones permitidas se reducen en una cantidad moderada pero no insignificante. 7 Conclusiones Los resultados de los experimentos con neutrinos atmosféricos, solares, aceleradores y reactores muestran que la mezcla de aromas se produce no sólo en el sector quark, como se ha conocido por largo, pero también en el sector leptonico. Los datos experimentales encajan bien en una familia de tres escenario. La existencia de nuevos estados neutrinos “estériles” con masas en el rango de eV es no excluidos, sin embargo, siempre que sus acoplamientos con neutrinos activos sean pequeños Suficiente. En este artículo, hemos tratado de probar el potencial del experimento OPERA en el El haz GNCS mejorará los límites actuales en los parámetros de los llamados cuatro- modelos de neutrinos. El modelo, en el que sólo se añade un neutrino estéril a los tres activos responsables de oscilaciones solares y atmosféricas, es la extensión mínima del escenario estándar de oscilación de tres familias. Hemos determinado las regiones actualmente permitidas para todos los ángulos de mezcla activo-estéril y estudió la capacidad de OPERA para limitar aún más utilizando tanto el → νe y canales →. Hemos realizado nuestro análisis utilizando el detector OPERA como una referencia. Se puede ampliar incluyendo una simulación detallada del detector ICARUS en el haz de GNCS. Nuestras conclusiones son las siguientes: si el detector OPERA está expuesto al Intensidad del haz de GNCS, un resultado nulo puede mejorar un poco el actual encuadernado en Ł13, pero no los que están en los ángulos de mezcla activo-estéril,....................................................................................................................................................................................................................................................... Si la intensidad del haz es aumentada en un factor 2 o más, no sólo la sensibilidad a •13 aumenta en consecuencia, pero se puede lograr una sensibilidad significativa a los valores 24 y 34. La sensibilidad (de 24 años a 34 años) depende del valor de la fase de violación de la CP......................................................................................................................................................................................................................................................... valores de 3°C aproximándose a 2°C. Sólo una mejora marginal es alcanzable en el límite el 14 de diciembre, esto debería verse limitado por experimentos de desaparición de alta intensidad. Tenga en cuenta que nuestros resultados se mantienen para cualquier valor de m2 ≥ 0,1 eV2, es decir, en la región de L/E para los cuales las oscilaciones impulsadas por esta diferencia de masa se promedian efectivamente. Agradecimientos Reconocemos a E. Fernández-Martnez, P. Hernández, J. López-Pavón, M. Sorel y P. Strolin para discusiones y comentarios útiles. Agradecemos a T. Schwetz por señalarlo. para nosotros un error en la primera versión del documento y para comentarios útiles sobre él. Los El trabajo ha sido parcialmente apoyado por la UE. a través de la red BENE-CARE actividad MRTN-CT-2004-506395. A.D. recibió apoyo parcial de CiCYT a través de el proyecto FPA2006-05423. M.M. recibió apoyo parcial de CiCYT a través del proyecto FPA2006-01105 y el MCYT a través del programa Ramón y Cajal. A.D. y M.M. reconocer también el apoyo financiero de la Comunidad Autónoma de Madrid a través del proyecto P-ESP-00346. D.M. quisiera dar las gracias al CERN, donde parte de El trabajo se ha realizado. Bibliografía [1] B. T. Cleveland et al., Astrophys. J. 496 (1998) 505. [2] J. N. Abdurashitov et al. [Colaboración SAGE], Phys. Rev. C 60 (1999) 055801 [arXiv:astro-ph/9907113]. [3] W. Hampel et al. [Colaboración GALLEX], Phys. Lett. B 447 (1999) 127. [4] S. Fukuda et al. [Colaboración Super-Kamiokande], Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 5651 [arXiv:hep-ex/0103032]. [5] Q. 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Evolution of the Carter constant for inspirals into a black hole: effect of the black hole quadrupole

Para referencia, el siguiente erratum corrige la versión publicada del artículo. Estos errores se han corregido en esta versión arxiv (el artículo que comienza en la página 2 tiene las expresiones corregidas). Erratum: Evolución de la constante Carter para los inspirales en un agujero negro: Efecto de la agujero negro cuádruplo [Phys. Rev. D 75, 124007 (2007)] Éanna É. Flanagan, Tanja Hinderer En Eqs. (3.16), (3.17), (3.18), (3.24), (3.25) y (3.26) de este artículo, la variable r debe ser reemplazada en todas partes por la variable rū, y la variable ♥ debe ser reemplazada por todas partes por la variable. Las definiciones de rû y son: se administra en Eq. 2.11). Estos reemplazos no afectan a ninguno de los resultados posteriores en el documento. También, el lado derecho de Eq. (B3) falta un término −4SLzr y Eq. (2.24) falta un factor de d de Q. Faltan algunos términos en Eqs. (3.18), (3.26) y (3.30) - (3.33). Los términos adicionales en Eqs. (3.18) y (3.26) 15r‡7 −75K2 + 2Kr 15p2r‡7 25p3(3p− 4r 11− 51e2 + 32pr贸3 1− e2 + 6r‡4 1− e2 respectivamente. Esto da lugar a correcciones fraccionarias adicionales a Eq. (3.30) dada por y la expresión completa reemplazando los términos O(Q) en Eq. (3.30) es entonces K = − (1− e2)3/2 Cos(2^) +O(S), O(S2)− términos. Las ecuaciones (3.31), (3.32) y (3.33) contienen errores tipográficos en los términos O(S) y O(Q), se dan las expresiones corregidas abajo. Agradecemos a P. Komorowski por señalar esto. La ecuación (3.31) debe sustituirse por la siguiente: = −64 (1− e2)3/2 − S cos(l) 96p3/2 1064 + 1516e2 + 475e4 149e2 469e2 227e4 Cos(2^) + e2 + [13− cos(2^)] , (0.1) La ecuación (3.32) debe sustituirse por la siguiente: = −304 e(1− e2)3/2 121e2 Se(1− e2)3/2 cos(l) 5p11/2 1172 + 932e2 + 1313e4 Q(1− e2)3/2 785e2 − 219e + 13e6 + 2195e2 + 251e4 + 218e6 Cos(2^) 2e(1− e2)3/2 2 + 3e2 + [13− cos(2^)], (0.2) y el Eq corregido. (3.33) es = S sin(l)(1 − e 2)3/2 p11/2 1− e2 S2 sin(2^) 240p6 8 + 3e2 8 + e2 Q cot(^)(1 − e2)3/2 312 + 736e2 − 83e4 − 408 + 1268e2 + 599e4 Cos(2^) . (0.3) http://arxiv.org/abs/0704.0389v8 Evolución de la constante Carter para los inspirales en un agujero negro: efecto del agujero negro cuadrupol Éanna É. Flanagan1,2 y Tanja Hinderer1 Centro de Radiofísica e Investigación Espacial, Universidad de Cornell, Ítaca, NY 14853, EE.UU. Laboratorio de Física Primaria de Partículas, Universidad de Cornell, Ítaca, NY 14853, EE.UU. (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Analizamos el efecto de la reacción de radiación gravitacional en órbitas genéricas alrededor de un cuerpo con una axisimmétrica masa cuádrupolo momento Q a orden lineal en Q, a la orden post-Newtoniana principal, y al orden lineal en la relación de masa. Este sistema admite tres constantes del movimiento en ausencia de la reacción de radiación: energía, impulso angular a lo largo del eje de simetría, y una tercera constante análogo a la constante Carter. Calculamos las tasas de cambio instantáneas y promediadas por el tiempo de estas tres constantes. Para una partícula de punto orbitando un agujero negro, Ryan [15] ha calculado el la evolución del orden principal de la constante Carter de la órbita, que es lineal en el giro. Nuestro resultado, cuando combinado con una interacción cuadrática en el giro (el acoplamiento del giro del agujero negro a su propio campo de reacción a la radiación), da el siguiente orden de evolución. El efecto del cuádruple, como el del término de giro lineal, es circularizar las órbitas excéntricas y conducir el plano orbital hacia antialineación con el eje de simetría. Además consideramos un sistema de masas de dos puntos donde un cuerpo tiene una sola masa multipolo o multipolo actual de orden l. A orden lineal en la relación de masa, a orden lineal en el multipolo, y a la principal orden post-Newtoniana, demostramos que no existe un análogo de la Carter constante para tal sistema (excepto para los casos de un l = 1 momento actual y un l = 2 masa momento). Por lo tanto, la existencia de la constante Carter en Kerr depende de los efectos de interacción entre los diferentes multipolos. Con suposiciones adicionales leves, este resultado falsifica la conjetura de que todo vacío, espacio-tiempos aximmétricos plantea una tercera constante del movimiento para el movimiento geodésico. Números PACS: 04.25.Nx, 04.30.Db I. INTRODUCCIÓN Y RESUMEN La inspiración de los objetos compactos de masa estelar con masas μ en el rango μ â € 1 â € TM 100 Mâ € en masa agujeros negros con masas M â € ¢ 105 − 107Mâ € es uno de las fuentes más importantes para el futuro espacio-basado Detector de ondas gravitacionales LISA. Observar esos acontecimientos proporcionará una variedad de información: (i) las masas y Los giros de agujeros negros se pueden medir con alta precisión ( 10−4); que puede limitar el crecimiento del agujero negro historia [1]; ii) las observaciones darán una prueba precisa de la relatividad general en el fuerte régimen sobre el terreno y unam- Identifica bigúamente si el objeto central es un negro agujero [2]; y (iii) la tasa de eventos medida dará en- a la compleja dinámica estelar en el nu- clei [1]. Las inspiraciones analógicas también pueden ser interesantes para las etapas avanzadas de los detectores basados en tierra: tiene se estima que el avanzado LIGO podría detectar hasta • 10 − 30 inspirales por año de masa estelar compacta objetos en agujeros negros de masa intermedia con masas M + 102 − 104M+ en cúmulos globulares [3]. Detectar... la información que se extrae de la El flujo de datos requerirá modelos precisos de la gravedad- forma de onda como plantillas para el filtrado emparejado. Por plantillas informáticas, por lo tanto, necesitamos un detallado un- derstanding de la forma en que la reacción a la radiación influye en la evolución de las órbitas atadas alrededor de los agujeros negros Kerr [4–7]. Hay tres parámetros adimensionales caracteriz- ing inspirales de cuerpos en agujeros negros: • el parámetro de giro adimensional a = S/M2 de el agujero negro, donde S es el giro. • la fuerza del potencial de interacción GM/rc2, es decir, el parámetro de expansión utilizado en post- La teoría newtoniana (PN). • la relación de masa μ/M. Para el análisis de datos LISA necesitaremos formas de onda que sean exacto a todos los pedidos en un y â € ~ 2, y a dirigir el orden en μ/M. Sin embargo, es útil tener resultados analíticos en los regímenes a) 1 y/o b) 2 y c) 1. Semejante aproximación los resultados pueden ser útiles como un control de los esquemas numéricos que calculan formas de onda más precisas, para Requisitos de análisis de datos de LISA [1, 6], y para evaluar la precisión del orden principal en μ/M o adiabático aproximación [8-10]. Hay una gran cantidad de literatura sobre tales resultados analíticos aproximados, y en este artículo extenderá algunos de estos resultados a un orden superior. Una dificultad de larga data en la computación de la evolución de órbitas genéricas ha sido la evolución de la órbita “Constante de carro”, una constante de movimiento que gobierna la forma orbital y la inclinación. Un prescrip teórico. Ahora existe para calcular la evolución constante de Carter a todos los pedidos en y en el límite adiabático [9, 11-13], pero todavía no se ha implementado numer- En pocas palabras. En este trabajo nos centramos en la computación analíticamente la evolución de la constante de Carter en el régimen de un 1, 1, μ/M 1, extensión de los resultados anteriores de Ryan [14, 15]. A continuación examinamos la labor analítica existente sobre los efectos de momentos multipolo en formas de onda inspirales. Por non- masas de punto de hilado, la fase de la l = 2 pieza de la forma de onda es conocida por O(+7) más allá del orden principal [16], mientras que las correcciones de giro no se conocen a tan alto Orden. Para estudiar los efectos de orden principal de la central los momentos multipolo del cuerpo en la forma de onda inspiral, en el límite de la masa de ensayo μ + M, uno tiene que corregir tanto el piezas conservadoras y disipativas de las fuerzas en el cuerpos. Para las piezas conservadoras, basta con utilizar el Acción newtoniana para un binario con un multi- adicional potencial de interacción de polos. Para las piezas disipativas, el correcciones multipolo a los flujos en el infinito de la con- cantidades servidas se pueden añadir simplemente a la PN conocida resultados de la masa de puntos. El acoplamiento de giro-órbita de orden más bajo efectos sobre la radiación gravitacional se derivaron por primera vez por Kidder [17], luego extendido por Ryan [14, 15], Gergely [18], y Will [19]. Últimamente, las correcciones de O(+2) más allá de el orden que conduce a los efectos de giro-órbita sobre los flujos se derivaron [20, 21]. Correcciones a la forma de onda debida a la interacción monopolo de la masa del cuádruplo fueron primero considerado por Poisson [22], que derivó el efecto sobre el tiempo promedio de flujo de energía para órbitas ecuatoriales circulares. Gergely [23] extendió este trabajo a las órbitas genéricas y calculado el radiativo instantáneo y el tiempo promediod Tasas de cambio de la energía E, magnitud de mo- el mentum L, y el ángulo فارسى = cos−1(S ·L) entre el spin S y el impulso angular orbital L. En lugar de la Constante Carter, Gergely identificó el promedio angular de la magnitud del momento angular orbital, L̄, como una constante de movimiento. El hecho de que a post-2-Newtonian el orden (2PN) no hay una evolución secular mediada por el tiempo de el giro permitió a Gergely obtener expresiones para Ló y de la fórmula cuádruple para la evolución de la momento angular total J = L+S. En un artículo diferente, Gergely [18] mostró que además del cuádruplo, efectos de giro de auto-interacción también contribuyen a la orden 2PN, que fue visto anteriormente en la perturbación del agujero negro cálculos de Shibata et al. [24]. Calculado gergely el efecto de esta interacción sobre lo instantáneo y tiempo-promedio de los flujos de E y L pero no derivaron el evolución de la tercera constante de movimiento. En este documento, reexaminaremos los efectos de la momento cuádrupole del agujero negro y de la delantera orden spin auto-interacción. Para un agujero negro, nuestro análisis por lo tanto, contendrá todos los efectos que son cuadráticos en el giro a el orden principal en â € 2 y en μ/M. Nuestro trabajo se extenderá trabajos anteriores por • Considerar las órbitas genéricas. • El uso de una generalización natural del tipo Carter constante que se puede definir para dos partículas de punto cuando uno de ellos tiene un cuádruple. Esto facilita Aplicando nuestro análisis a los inspirales de Kerr. • Cálculo instantáneo, así como promedio de tiempo flujos para las tres constantes de movimiento: energía E, componente z de impulso angular Lz, y Constante tipo Carter K. Para la mayoría de los propósitos, sólo los flujos de tiempo-promedio son necesarios como sólo ellos son calibrador invariante y físicamente relevante. Sin embargo, hay un efecto para el cual el tiempo promedio Los flujos son insuficientes, es decir, las resonancias transitorias que se producen durante una inhalación en Kerr en la vicina- ity de geodésicos para los cuales el radial y azimutal las frecuencias son proporcionales [10, 25]. El estado... los flujos taneos derivados en este artículo se utilizarán en [10] para estudiar el efecto de estas resonancias sobre la fase de la onda gravitacional. Analizaremos el efecto de la radiación gravitacional re- acción en órbitas alrededor de un cuerpo con una aximmetría masa cuádruple momento Q a llevar el orden en Q, a la el orden post-Newtoniano, y a dirigir el orden en el relación de masa. Con estas aproximaciones el ap- la proximación sostiene: la reacción gravitacional de la radiación toma lugar sobre una escala de tiempo mucho más largo que el orbital pe- Disturbio, así que la órbita parece geodésica en escalas de tiempo cortas. Nosotros seguir el método de cálculo de Ryan [14]: En primer lugar, cal- Cular el movimiento orbital en ausencia de radiación re- acción y las constantes de movimiento asociadas. Siguiente, nosotros utilizar las aceleraciones de reacción de radiación de orden principal que actuar sobre la partícula (dada por la fórmula Burke-Thorne [26] aumentadas por las correcciones de rotación pertinentes [14]) a calcular la evolución de las constantes de movimiento. En el límite adiabático, las tasas de cambio medias en el tiempo de la constantes de movimiento se pueden utilizar para inferir lo secular o- Evolución bital. Nuestros resultados muestran que un cuádruple de masa tiene el mismo efecto cualitativo en la evolución que el giro: tiende a circular órbitas excéntricas y conducir el orbital plano hacia el antialineamiento con el eje de simetría de el cuádruple. La relevancia de nuestro resultado para las partículas puntuales inspi- entrar en agujeros negros es como sigue. El espacio de vacío... geometría del tiempo alrededor de cualquier cuerpo estacionario es completamente caracterizado por los momentos multipolo de masa del cuerpo IL = Ia1,a2...al y actuales momentos multipolo SL = Sa1,a2...al [27]. Estos momentos se definen como coeficientes en una expansión de serie de potencia de la métrica en el cuerpo Marco de reposo asintótico local [28]. Para casi newtoniano fuentes, son dadas por integrales sobre la fuente como IL Ia1,...al = * x < a1. xal>d 3x, (1.1) SL Sa1,...al = * xpvq* pq<a1xa2. xal>d 3x.(1.2) Aquí está la densidad de masa y vq es la velocidad, y ”< · · · >” significa “simmerizar y eliminar todos los rastros”. Por situaciones aximétricas, los momentos tensores multipolo IL (SL) contiene sólo un único componente independiente, convencionalmente denotado por Il (Sl) [27]. Para un negro Kerr agujero de la masa M y el giro S, estos momentos son dados por Il + iSl =M l+1(ia)l, (1.3) donde a es el parámetro spin adimensional definido por a = S/M2. Nótese que Sl = 0 para par l e Il = 0 para impar l. Considere ahora los inspirales en un cuerpo axiemmétrico que tiene una masa arbitraria y varios polos actuales Il y Sl. Entonces podemos considerar los efectos que son lineales en II y Sl para cada l, efectos que son cuadráticos en el mul- tipoles proporcionales a los efectos Ill′, IlSl′, SlSl′, que son cúbica, etc. Para un cuerpo general, todos estos efectos pueden ser sep- Agradado usando sus escalas, pero para un agujero negro, Il para l par y sl al para l impar [ver Eq.(1.3)], por lo que el ef- los efectos no pueden separarse. Por ejemplo, un efecto físico que escalas como O(a2) podría ser un efecto que es cuadrático en el giro o lineal en el cuádruplo; un análisis en Kerr no puede distinguir estas dos posibilidades. Para esto razón, es útil analizar los tiempos espaciales que son más general que Kerr, caracterizado por la arbitrariedad Il y Sl, como lo hacemos en este periódico. Para trabajos recientes en computación métricas exactas caracterizadas por conjuntos de momentos Il y Sl, Véase Refs. [29, 30] y sus referencias. El efecto de orden principal de los multipolos del agujero negro en el inspiral es el efecto O(a) calculado por Ryan [15]. Este efecto O(a) depende linealmente del giro S1 y es independiente de los más altos multipolos Sl e Il desde estos todas las escalas como O(a2) o más pequeñas. En este artículo computamos el efecto O(a2) sobre el inspiral, que incluye el ing efecto lineal del cuádrupolo del agujero negro (lin- oído en el I2 Q) y el orden principal giro auto-interacción (cuadrado en S1). A continuación discutimos cómo estos efectos O(a2) escala con el Parámetro de expansión post-Newtonian. Considerar primero la dinámica orbital conservadora. Aquí es fácil de ver. que las correcciones fraccionarias que son lineales en la escala I2 como O(a2+4), mientras que los cuadráticos en la escala S1 como O(a 2o, 6o, 6o, 6o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o. Por lo tanto, los dos tipos de términos se separan limpiamente. Vamos a... poner sólo la orden principal, O(a2+4), término. Por la dissi- contribuciones al movimiento orbital, sin embargo, el Las escalas son diferentes. Hay correcciones en el radio. aceleración de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción son O(a2+4) de ambos tipos de efectos lineales en I2 y Cuadrático en S1. Los efectos cuadráticos en S1 se deben a el esparcimiento de la radiación del trozo de espacio... curvatura del tiempo debido al giro del agujero negro. Este efecto fue señalado por primera vez por Shibata et al. [24], que com- puso el flujo de energía promedio de tiempo para órbitas circulares y ángulos de inclinación pequeños basados en una expansión PN de Perturbaciones del agujero negro. Más tarde, Gergely [18] analizó este efecto sobre los flujos instantáneos y medios de tiempo de energía y magnitud del impulso angular orbital en el marco de la PN. La organización del presente documento es la siguiente. In Sec. II, estudiamos la dinámica orbital conservadora de dos partículas de punto cuando una partícula está dotada de un hacha- cuádrupolo isimmétrico, en el débil régimen de campo, y a el orden principal en la proporción de masa. In Sec. III, nos com- Pute las aceleraciones de la reacción de radiación y el estado- Flujos taneos y promedio de tiempo. Con el fin de tener todo las contribuciones en O(a2+4) para un agujero negro, incluimos en nuestros cálculos de aceleración de la reacción a la radiación la interacción que es cuadrática en el giro S1. El ap- aplicación a agujeros negros en Sec. IV examina brevemente la predicciones cualitativas de nuestros resultados y también compara con resultados anteriores. Los métodos utilizados en este artículo sólo se pueden aplicar a la vuelta del agujero negro (como fue analizado por Ryan [14]) y el agujero negro cuádrupolo (como se analiza aquí). Mostramos in Sec. V que para la masa de orden superior y corriente momentos multipolo tomados individualmente, un análogo de la Carter constante no se puede definir al orden de nuestra aproximaciones. Entonces demostramos que bajo un suave assump... ciones, este resultado de la no existencia se puede extender a espacio, falsificando así la conjetura de que todos los vac- uum axisymmetric espaciotiempos poseen una tercera constante de movimiento geodésico. II. EFECTO DE UNA MASA AXISIMÉTRICA CUADRUPOLE SOBRE LA CONSERVACIÓN DINÁMICA ORBITAL Considerar dos partículas de punto m1 y m2 interactuando en Gravedad newtoniana, donde m2 o m1 y donde la masa m1 tiene un Qij de momento cuádrupole que es aximmétrico: Qij = d3xl(r) xixj − r2đij (2.1) ninj − . (2.2) Para un agujero negro Kerr de masa M y giro adimensional parámetro a con eje de giro a lo largo de n, el escalar cuádrupolo es Q = −M3a2. La acción que describe este sistema, a llevar el orden en m2/m1, es μv2 − (r) , (2.3) donde v = es la velocidad, el potencial es Φ(r) = −M xixjQij, (2.4) μ es la masa reducida y M la masa total de la bi- nary, y estamos usando unidades con G = c = 1. Trabajamos para orden lineal en Q, a orden lineal en m2/m1, y el orden en M/r. En este régimen, la acción (2.3) también describe el efecto conservador de la masa del agujero negro Cuadrupol en partículas de ensayo unidas en Kerr, como se discutió en la introducción. Asumimos que el cuádruple Qij es constante en el tiempo. En realidad, el cuádruple evolucionar debido a los pares que actúan para cambiar la orientación del cuerpo central. Una estimación basada en el tratamiento de m1 como un cuerpo rígido en el campo newtoniano dem2 da la escala de la escala de tiempo para que el cuádruplo evolucione en comparación con tiempo de reacción a la radiación como (para más detalles, véase el apéndice I) Tevol (2.5) Aquí, hemos denotado el giro adimensional y cuádruple del cuerpo por S̄ y Q̄ respectivamente, y la última relación se aplica a un agujero negro Kerr. Desde μ/M + 1, el primer factor en Eq. (2.5) será grande, y desde 1/a ≥ 1 y para el régimen relativista M/r + 1, el tiempo de evolución es largo en comparación con la radiación re- tiempo de acción. Por lo tanto podemos descuidar la evolución de el cuádruple a la orden principal. Este sistema admite tres cantidades conservadas, la μv2 + (r), (2.6) el componente z del impulso angular Lz = ez · (μr× v), (2,7) y la constante tipo Carter K = μ2(r× v)2 − 2Qμ (n · r)2 (n · v)2 − . (2.8) (Vea abajo una derivación de esta expresión para K). A. Dinámica orbital conservadora en una Sistema de coordenadas tipo Boyer-Lindquist A continuación nos especializamos en unidades donde M = 1. Nosotros también. definir las cantidades conservadas reescaladas en = E/μ, L­z = Lz/μ, K­ = K/μ 2, y soltar los tildos. Estos spe- cializaciones y definiciones tienen el efecto de eliminar todos los factores de μ y M del análisis. En esférico Coordenadas polares (r, ­, ­) las constantes de movimiento E y Lz se convierte en (2 + r22 + r2 sin2 2)− (1− 3 cos2 Ł), (2.9) Lz = r 2 sin2. (2.10) En estas coordenadas, la ecuación Hamilton-Jacobi no es separado, por lo que una constante de separación K no puede ser fácilmente Derivado. Por esta razón cambiamos a un coordi diferente. sistema nato (r­,, ­) definido por r cos ♥ = rū cos r pecado? = r? pecado . (2.11) También definimos una nueva variable de tiempo cos(2) dt. (2.12) La acción (2.3) en términos de las nuevas variables a lineal orden en Q es rû2 sin2 Sin2 . (2.13) Sin embargo, una dificultad es que la acción (2.13) no dar la misma dinámica que la acción original (2.3). Los razón es que para las soluciones de las ecuaciones de movimiento para la acción (2.3), la variación de la acción desaparece para rutas con puntos finales fijos para los que el intervalo de tiempo Łt está arreglado. Del mismo modo, para las soluciones de las ecuaciones de movimiento para la acción (2.13), la variación de la acción desaparece para rutas con puntos finales fijos para los cuales el intervalo de tiempo - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los dos conjuntos de caminos variados no son el igual, ya que 6 ° ° ° ° ° en general. Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones Euler-Lagrange para la acción (2.3) no corresponden a las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para la acción (2.13). Sin embargo, en el caso especial de cero- movimientos de energía, los términos adicionales en la variación de la la acción desaparece. Por lo tanto, una manera de evitar esta dificultad es modificar la acción original a ser μv2 − (r) + E . (2.14) Esta acción tiene los mismos extremos que la acción (2.3), y para el movimiento con la energía física E, la energía com- puesto con esta acción es cero. Transformación a la nueva las variables rinden, al orden lineal en Q: rû2 sin2 Sin2 + E − QE cos(2) . (2.15) Los movimientos de energía cero para esta acción coinciden con el mociones de cero energía para la acción (2.14). Usamos esto. acción (2.15) como la base para el resto de nuestra análisis en esta sección. El componente z del impulso angular en términos de las nuevas variables (r.,,., t.) es Lz = r 2 sin2 Sin2 . (2.16) Ahora nos transformamos al Hamiltoniano: p2r − − E − Q Sin2 +QE cos(2) (2.17) y resolver la ecuación hamiltoniana Jacobi. Denotando la constante de separación por K obtenemos lo siguiente dos ecuaciones para los movimientos rû y : = 2E + , (2.18) = K − L Sin2 −QE cos(2). (2.19) Tenga en cuenta que las ecuaciones de movimiento (2.18) y (2.19) tienen la misma estructura que las ecuaciones de movimiento para Kerr movimiento geodésico. Usando Eqs. (2.18), (2.19) y (2.16) junto con la inversa de la transformación (2.11) a orden lineal en Q, obtenemos la expresión para K en Coordenadas polares esféricas: K = r4(2 + sin2 2) +Q( cos (2 + r2 2 + r2 sin2 2)− 2Q Cos2 Ł. (2.20) Esto es equivalente a la fórmula (2.8) citada anteriormente. B. Efectos lineales en el giro en el orbital conservador dinámica Para incluir el lineal en efectos de giro, repetimos Ryan’s análisis [14, 15] (sólo da el final, tiempo medio flujos; también daremos los flujos instantáneos). Nosotros puede simplemente añadir estos lineales en términos de giro a nuestros resultados porque cualquier término de orden O(SQ) será más alto que el orden a2 al que estamos trabajando. La corrección a la acción (2.3) debida al acoplamiento spin-orbit es Sspin−orbit = −2μSn iijkxj k . (2.21) Limitaremos nuestro análisis al caso cuando la unidad vectores ni correspondientes al cuádruplo aximétrico Qij y al giro Si coinciden, como lo hacen en Kerr. Incluyendo el término spin-orbit en los resultados de la acción (2.3) en las siguientes expresiones modificadas para Lz y K: Lz = n · (μr× v)− [r2 − (n · r)2], (2.22) K = (r× v)2 − 4S n · (r× v)− 2Q (n · r)2 (n · v)2 − 1 . (2.23) En términos de la Boyer-Lindquist como coordenadas, el con- cantidades servidas con el lineal en términos de rotación incluidos Lz = r 2 sin2 Sin2 −Q sin4 (2.24) K = r4(2 + sin2 2)− 4Sr sin2 + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + QM + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (2 + r22 + r2 sin2 2). (2.25) Las ecuaciones del movimiento son = 2E+ − 4SLz , (2.26) = K − Sin2 −QE cos(2). (2.27) III. EFECTOS LINERALES EN QUADRUPOLE Y QUADRÁTICO EN ESPÍRITU SOBRE LA EVOLUCIÓN DE LOS CONSTANTES DE LA MOCIÓN A. Evaluación de la fuerza de reacción a la radiación La aceleración relativa de los dos cuerpos se puede escribir- 10 como a = (r) + arr, (3.1) donde arr es la aceleración de la reacción a la radiación. Combinar... Esto con Eqs. (2.6), (2.22) y (2.23) para E, Lz y K da las siguientes fórmulas para los derivados de tiempo de las cantidades conservadas: • = v · arr, (3.2) LÃ3z = n · (r× arr), (3.3) Kâ = 2 (r× v) · (r× arr)− n · (r× arr) +2Q(n · v) (n · arr)−Qv · arr. (3.4) La expresión estándar para la radiación de orden principal La aceleración de reacción que actúa sobre uno de los cuerpos es [31]: ajrr = − jk xk + jpqS pk xkxq + jpqS pk xkvq •pq[jS xqvk. (3.5) Aquí los superíndices entre paréntesis indican el número Derivados temporales y corchetes de los índices denotan antisimetría. Los momentos multipolo Ijk(t) y Sjk(t) en Eq. (3.5) son los momentos multipolo totales del espacio-tiempo, es decir. aproximadamente los del agujero negro más los debidos a el movimiento orbital. La expresión (3.5) está formulada en la masa cartesiana asintóticamente centrada (ACMC) co- el sistema, que son desplazados de la coordenadas utilizadas en Sec. II por un importe [28] r(t) = − μ r(t). (3.6) Este desplazamiento contribuye a la reacción de radiación aceleración de las siguientes maneras: 1. El agujero negro multipolo momentos Il y Sl, que son independientes del tiempo en las coordenadas utilizadas en Sec. II, será desplazado por la República Federal de Alemania y, por lo tanto, tributo a la (l + 1) de ACMC multipolo radiativo [28]. 2. Las constantes de movimiento se definen en términos de la coordenadas centradas en el agujero negro utilizadas en Sec. II, así que la aceleración que necesitamos en Eqs. (3.2) – (3.4) es la aceleración relativa. Esto requiere calculat- la aceleración tanto del agujero negro como del masa de punto en las coordenadas ACMC utilizando (3,5), y luego restando para encontrar arr = a rr − aMr [14]. Al primer orden en μ, el único efecto de la aceleración el agujero negro es a través de una reacción posterior de la campo de radiación: el lth agujero negro momentos pareja al (l+1)momentos radiativos, produciendo así una contribución adicional a la aceleración. Para nuestros cálculos en O(S1) 3), O(I2+) 4), O(S21+) 4), nosotros puede hacer las siguientes simplificaciones: • Correcciones cuádruples: Las correcciones fraccionarias lineal en I2 = Q que escala como O(a 2o 4) sólo requieren el efecto de I2 sobre la dinámica orbital conservadora como se calcula en Sec. IIA y el Burke-Thorne por... mula para la aceleración de la reacción de radiación [dada por el primer término en Eq. (3.5)]. • spin-spin correcciones: Como se discutió en la introducción la reducción, las correcciones fraccionarias cuadráticas en S1 a la escala de dinámica conservadora como O(a2+6) y son efectos de orden subalternos que descuidamos. En O(a2+4), el único efecto cuadrático en S1 es el Retrodispersión de la radiación en el espacio-tiempo curvatura debido al giro. Como se examina en el punto 1. arriba, el dipolo de corriente del agujero negro Si = S1 (tomando el eje z para ser el eje de simetría) contribuir al cuadrúpolo radiativo actual un Monto ij = − S1xilj3. (3.7) El dipolo Si actual del agujero negro se emparejará con el campo de radiación gravitomagnético debido a Sij como , examinado en el punto 2 supra, y contribuir a la aceleración relativa como [14]: aj spinrr = S1-(i3S)-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-('-(')-('-(')-('-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-(')-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-('-(' ij. (3.8) Para nuestros propósitos de computación términos cuadráticos en el giro, sustituimos S ij para Sij en Eq. (3.8). Evaluar estos cuadráticos en términos de giro requiere sólo la dinámica conservadora newtoniana, es decir. la resultados de Sec. II y Eqs. (3.2) – (3.4) con el Cuádruple a cero. • correcciones lineales en las tiradas: Aportaciones a estos los efectos son de Eq. (3.5) con la corriente Cuadrupole reemplazado por sólo la contribución de giro (3.7), y de Eq. (3.8) evaluado utilizando sólo el Cuádruplo de corriente orbital. Con estas simplificaciones, reemplazamos la expresión (3.5) para la aceleración de la reacción de radiación con ajrr = − jk xk + jpqS (6) Giro pk xkxq jpqS (5) spin pk xkvq + •pq[jS (5) spin S1Łi3 5) órbita ij + S (5) spin . (3.9) Para justificar estas aproximaciones, considere la escala de la contribución de la aceleración del agujero negro a la órbita Dinámica. La masa y los multipolos actuales del negro agujero contribuyen términos a la Hamiltonian que escala con 2l+3 + 2l+2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + (3.10) Desde las escalas de energía newtonianas como â € 2, el fraccionario corrección a la escala de dinámica orbital como • H/E • Sl+2l+1 & Il+2l. (3.11) A O(4), los únicos momentos radiativos multipolo que con- tributo a la aceleración (3.5) son el cuádruplo de masa I2, el pulpolo de masa I3, y el cuádruplo actual S2 (cf. [17]). Ya que nos estamos centrando sólo en el líder o... der términos cuadráticos en spin (estos simplemente se pueden añadir a la partícula de punto conocido 2PN y 1,5PN lineal en rotación resultados), los únicos términos en Eq. (3.5) relevante para nuestro pur- las poses son las dadas en Eq. (3.9). Los resultados de un estudio cálculo de la perturbación métrica totalmente relativista para los inspirales del agujero negro [24] muestran que cuadrático en la vuelta correcciones a la l = 2 piezas en comparación con el espacio plano La fórmula Burke-Thorne aparece por primera vez en O(a2+4), que es concordante con los argumentos anteriores. B. Flujos instantáneos Evaluamos la fuerza de reacción a la radiación de la siguiente manera. La masa total y el momento cuádruple actual de la sistema son QTij = Qij + μxixj, (3.12) STij = S ij + xijkmxkm, (3.13) donde de Eq. (2.11) rì sin porque, rн sin sin................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... rì cos . (3.14) Sólo el segundo término en Eq. (3.12) contribuye a la tiempo derivado del cuádruplo. Distinguimos cinco veces mediante el uso cos(2) , (3.15) a la orden que estamos trabajando como se discutió anteriormente. Af- cada diferenciación, eliminamos cualquier ocurrencia de d.a/dt.a utilizando Eq. (2.24), y eliminamos cualquier ocurrencia Derivados del segundo tiempo de pedido d2r.o/dt.o2 y d2/dt.o2 a favor de los derivados de tiempo de primer orden utilizando (el tiempo Derivados de) Eqs. (2.26) y (2.27). Para computar la términos lineales y cuadráticos en S1, establecemos el cuádruple Q a cero en todas las fórmulas. Insertamos el resultado ex- presión en la fórmula (3.9) para la autoaceleración, y luego en Eqs. (3.2) – (3.4). Eliminamos (dr./dt....)2, (d/dt?)2, y (dl/dt?) a favor de E, Lz, y K utilizando Eqs. (2.24) – (2.27). En las expresiones finales para el in- flujos estantáneos, mantenemos sólo los términos que son de O(S), O(Q) y O(S2) y obtener los siguientes resultados: 15r‡4 − 40K 272KE 196K2 + rœ2 − 3668 Kr. − 352KEr. + 1024 Erс3 + E2r­4 −49K2 − 169KL2z + r + 2r + 47KE + − 152 r­3E − 16r­4E2 −562K2 + Krū − rû2 + KErœ2 − r­3E − 160r­04E2 cos(2) sin(2) 439K − 926 r. − 1528 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −K2 + 22 Krū − 28 rû2 + KErû2 − 236 rœ3E − 32 rœ4E2 cos(2)− rœ3 sin(2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −49K2 + 6KL2z + 2r 63K − 16 L2z − + r‡2 112KE − 48 − 1652 rœ3E − 224 rœ4E2 , (3.16) Lóšz = 144LzE − 24KLz −50K2 + 240KL2z + Kr. − 7376 L2z rс + r­2 + 56KEr­2 − 1824 EL2z r Erс3 + E2r­4 50K2 − 62 Krс − 316 rû2 − 56KErû2 − 624 Erû3 − 128 E2r­4 cos(2) −104K + 64r sin(2) r 660Erû2 + 753r 360L2z − 435K + 1601r 1512r‡2E − 1185K cos 2 174QLz sin(2) r 2S2Lz Er­2 + 16r­ − 9K , (3.17) 20rс + 18rс2E − 15K 280K2 − 14008 Krû + rû2 + Erû3 − 2528 KErû2 + E2r­4 −45K2 + r­L2z(83 + 80r­E)− 115KL2z + 14Kr­(6 + 5r­E) 15r‡7 cos(2) −2175K2 + 2975Kr 80r 15r‡4 3075K − 20r. − 192Er. sin(2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7K − 2L2z −3K + 16 +K cos(2) 3K − 16 r. − 24 sin(2) −4K + *.............................................................................................................. (3.18) C. Conjunto alternativo de constantes del movimiento Un cuerpo en una órbita enlazada genérica en Kerr traza un abrir elipse precessing sobre el eje de giro del agujero. Por órbitas estables el movimiento se limita a una región toroidal cuya forma está determinada por E, Lz, K. El movimiento puede caracterizarse equivalentemente por el conjunto de constantes ángulo de inclinación, excentricidad e y recto semilatus p definida por Hughes [32]. Las constantes ι, p y e son definido por cos ^ = Lz/ K, y por r = p/(1± e), donde r son los puntos de inflexión del movimiento radial, y r es la coordenada radial Boyer-Lindquist. Este param... eterización tiene una interpretación física simple: en el Newtonian límite de p grande, la órbita de la partícula es un elipse de excentricidad e y semilatus recto p en un plano cuyo ángulo de inclinación al plano ecuatorial del agujero es - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! En el régimen relativista p â € M, esta interpretación de las constantes e, p, y ι ya no son válidas porque la órbita no es una elipse y no es el ángulo en el que la objeto cruza el plano ecuatorial (ver Ryan [14] para un debate). Adoptamos aquí definiciones análogas de constantes de motion ('), e y p, a saber: cos(l) = Lz/ K, (3.19) = r. (3.20) Aquí K es la cantidad conservada (2.23) o (2.25), y r son los puntos de inflexión del movimiento radial usando el r Coordenada definida por Eq. (2.11), dado por la desaparición del lado derecho de Eq. (2.26). Ahora reescribimos nuestros resultados en términos de la nueva Estantes de la moción e, p y i. Podemos usar Eq. (2.26) junto con las ecuaciones (3.19) y (3.20) para escribir E, Lz y K como funciones de p, e y i. Para dirigir el orden en Q y S que obtenemos K = p 1 - 2S cos 3 + e2 1 + e2 ) 2Q cos2 3 + e2 , (3.21) E = − (1− e 2S cos 1− e2 1− e2 cos2 1 , (3.22) p cos ^ 1− S cos ^ (3 + e2)− 1 + e2 ) Q cos2 3 + e2 . (3.23) Como se explica en la introducción, los efectos cuadráticos en S en la escala de dinámica conservadora como O(a2+6) y por lo tanto no se incluyen en este análisis a O(a2+4). Insertar estas relaciones en las expresiones (3.16)– (3.18) da, bajando los términos de O(QS), O(Q2) y O(QS2): • = − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15p2r‡7 75p4 − 100p3r 11− 51e2 + 32pr贸3 1− e2 )− 6r‡4 1− e2 4S cos 15p7/2r 735p6 − 2751p5rс + 10p4rс2(365− 6e2)− 128prс5(1− e2)2 − 48rс6(e2− 1)3 64S cos ι 15p3/2r‡6 5p(−23 + 3e2)− 3r(−9 + e2 + 8e4) 15p4r 4005p6 − 6499p5r 1577-1977e2 − 24r‡6 1− e2 )3 − 32p3r 8− 33e2 + 64pr‡5 1− 2e2 + e4 15p4r 24p2r‡4 5− 27e2 + 22e4 − pr贸3 sin(2) 6585p2 − 4630pr 2292r‡2(1 − e2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 15p4r 2p2 cos(2) 4215p4 − 7495p3rс + 4p2rс2(1151− 951e2)− 1012prс3(1− e2) + 300rс4(1− 2e2 + e4) 15p4r Cos(2^) 2535p6 − 3307p5rс + 12p4rс2(37− 237e2)− 48rс6(1− e2)3 + 800p3rс3(1 + e2) + 128prс5(1− 2e2 + e4) 15p2r‡5 Cos(2^) 1 + 2e2 − 3e4 15p2r 84r‡4(1− e2)2(1 + e2)2 + 345p4 − 905p3r 15p2r cos(2) 15p4 − 110p3rс + 4p2rс2(47− 12e2)− 118prс3(1− e2) + 24rс4(1− e2)2(1 + e2)2 15rс9 Cos(2^) 45p2 − 80prû + 36rû2(1− e2) 15pr‡6 sin(2) r 15p2 + 10pr , (3.24) Lóšz = − 8 cos 15p2 − 20prû + 9rû2(1 − e2) 15p2r‡7 525p4 − 1751p3rс + 34p2rс2(61− 6e2) + 12prс3(−69 + 29e2) + 6rс4(17 + 2e2 − 19e4) 15p2r‡7 375p4 − 93p3rс + 468prс3(1− e2)− 10p2rс2(58 + 21e2)− 48rс4(1 − 2e2 + e4) cos(2) 15p2r‡7 450p4 − 922p3rс − 60prс3(3 + e2)− 9p2rс2(−83 + 23e2) + 27rс4(1 + 2e2 − 3e4) Cos(2^) 13p2 − 8prû + 4rû2(1− e2) sin(2) r − Q cos 5p5/2r‡7 615p4 − 753p3r 19− 31e2 + 20pr贸3 1 + 3e2 + 9r‡4 1− 6e2 + 5e4 − Q cos 5p1/2r cos(2) 1185p2 − 1601pr 756r‡2(1− e2) − 2Q cos 5p5/2r‡7 2 cos(2^) 45p4 − 18r?4e2(1− e2)− 45p2r?2(1 + e2) + 20pr?3(1 + e2) − 435p3rØ3 sin(2) r 2 cos p1/2r‡7 9p2 − 16pr + 36 rœ2(1− e2) , (3.25) 20pr贸 − 15p2 − 9rс2(1− e2) 8S cos ^ 15p3/2r‡7 525p4 − 1751p3rс + 2p2rс2(1172− 57e2) + 12prс3(−99 + 19e2)− 24rс4(−11 + 4e2 + 7e4) 5p2r‡7 −615p4 + 753p3rс + 30p2rс2(17e2 − 9) + 72rс4e2(1− e2)− 40prс3(1 + 3e2) 5p2r‡7 Cos(2^) −345p4 + 249p3rс − 160prс3(1 + e2) + 120p2rс2(1 + 3e2) + 36rс4(1 + 2e2 − 3e4) 15p2r‡7 2 cos(2) 2175p4 − 2975p3rс − 56prс3(1 − e2) + 2p2rс2(713− 753e2) + 42rс4(1 − 2e2 + e4) 15pr‡4 sin(2) 3075p2 − 20prû + 96rû2(1 − e2) −9p2 + 16pr rœ2(1− e2) cos(2) + cos(2^) 3p2 − 16 prū + rœ2(1 − e2) sin(2) r −2p2 + 7 − 4 rœ2(1− e2) . (3.26) D. Flujos medios de tiempo En esta sección vamos a calcular el tiempo infinito- promedios de los flujos. Estos promedios se definen por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ∫ T/2 • (t)dt. (3.27) Estos flujos de tiempo-promedio son suficientes para evolucionar o- bits en el régimen adiabático (excepto por el efecto de res- oncences) [12, 25]. En el Apéndice II, presentamos dos dif- formas feroces de calcular los promedios de tiempo. La primera el enfoque se basa en desacoplar el movimiento rì y nos- ing el análogo del parámetro de tiempo Mino para geodésico movimiento en Kerr [12]. El segundo enfoque utiliza la ex- plicit Newtonian parametrización del movimiento orbital. Ambos métodos de promedio dan los siguientes resultados: = −32 (1− e2)3/2 e4 − S Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) ,(3.28) # Lóz # # # Lóz # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (1 − e2)3/2 Cos e2 − S 2p3/2 cos + 7e2 + Cos(2^) 45 + 148e2 + Cos(2^) 1 + 3e2 + , (3.29) K = −64 (1 − e2)3/2 e2 − S 2p3/2 + 37e2 + Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) . (3.30) Usando Eqs. (3.21) y (3.23), obtenemos de (3.28) – (3.30) las tasas medias de cambio del tiempo siguiente elementos orbitales e, p, i: = −64 (1− e2)3/2 − S cos(l) 96p3/2 1064 + 1516e2 + 475e4 149e2 469e2 227e4 Cos(2^) + e2 + [13− cos(2^)] , (3.31) = − e(1− e2)3/2 121e2 Se(1− e2)3/2 cos(l) 5p11/2 1172 + 932e2 + 1313e4 Q(1− e2)3/2 785e2 219e4 + 13e6 + 2195e2 + 251e4 + 218e6 Cos(2^) S2e(1− e2)3/2 2 + 3e2 + [13− cos(2^)], (3.32) = S sin(l)(1 − e 2)3/2 p11/2 1− e2 S2 sin(2^) 240p6 8 + 3e2 8 + e2 Q cot(^)(1 − e2)3/2 312 + 736e2 − 83e4 − 408 + 1268e2 + 599e4 Cos(2^) . (3.33) IV. APLICACIÓN A LOS HOLOS NEGROS A. Examen cualitativo de los resultados Los resultados anteriores para los flujos, Eqs. (3.31), (3.32) y (3.33) muestran que los términos de corrección en O(a2­4) debido al cuádruplo tienen el mismo tipo de efecto sobre el evolución como la corrección de giro lineal computada por Ryan: tienden a circular órbitas excéntricas y cambiar la ángulo tal que se haga antialineado con la simetría eje del cuádruple. Los efectos de los términos cuadráticos en spin son quali- Tativalmente diferente. En la expresión (3.28) para, el Coeficiente de cos(2^) debido a la rotación de la auto-interacción ha el mismo signo que el término cuádruple, mientras que los términos que no impliquen la señal opuesta. Los términos en- En el caso de las empresas que participan en el mercado de la información, el importe de la ayuda se estima en 2 000 millones de ecus, lo que supone un aumento de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información, lo que supone un aumento de la capacidad de producción y de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información, lo que supone un aumento de la capacidad de producción y de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información y en el mercado de la información. (3.30) para K de O(Q) y O(S2) los términos tienen el mismo signo, mientras que los términos no implican Tienen la señal opuesta. El spin-spin-spin fraccionario cor- rection to â â € € TM TM â € TM TM â TM TM â TM TM TM â TM TM TM â TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (3.29), no tiene ninguna dependencia, y en expresión (3.33) para, la dependencia de efectos O(Q) y O(S2) también es diferente. Esto no es... sublevación ya que los efectos O(Q) incluidos aquí son correcciones a la dinámica orbital conservadora, mientras que los efectos de O(S2) que incluimos se deben a la reacción de radiación. B. Comparación con los resultados anteriores Los términos lineales en el giro en nuestros resultados para el tiempo flujos promedio, Eqs. (3.28) – (3.33), estar de acuerdo con los Calculado por Ryan, Eqs. (14a) – (15c) de [15], y con los dados en Eqs. (2.5) – (2.7) de Ref. [33], cuando utilizamos las transformaciones a las variables utilizadas por Ryan dadas en Eqs. (2.3) – (2.4) en [33]. Ecuación (3.28) para el tiempo promedio de flujo de energía está de acuerdo con Eq. (3.10) de Gergely [23] y Eq. (4.15) de [18] cuando utilizamos las siguientes transformaciones: K = L̄2 -1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = L̄2 E cos2 (1 + 2L̄2) sin2 , (4.1) Cos ^ = cos E cos2 (1 + 2L̄2) sin2 , (4.2) (­) + (­), (4.3) 0 = (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + , (4.4) donde las cantidades utilizadas por los Estados miembros son las siguientes: Gergely. La primera relación aquí se obtiene de la curva- los puntos ing del movimiento radial como sigue. Calculamos r en términos de E y K y mapear estas expresiones hacia atrás a r usando Eqs. 2.11). El resultado puede ser com- con los puntos de inflexión en las variables de Gergely, Eq. (2.19) de [23], utilizando el hecho de que E es el mismo en ambos casos. En lugar de la evolución de las constantes de movimiento K y Lz, Gergely calcula las tasas de cambio de la magnitud L del impulso angular orbital y del Ángulo de referencia definido por el punto de referencia (L · S)/L. Usando el trans- las formaciones (4.1) – (4.4) y la definición de que nuestro Eq. (3.29) está de acuerdo con el cálculo Eqs de Gergely. (3.23) y (3.35) en [23] y Eq. (4.30) de [18]. En el límite de las órbitas ecuatoriales circulares analizadas por Poisson [22], nuestro Eq. (3.28) está de acuerdo con el Eq de Poisson. (22) cuando utilizamos las transformaciones y especializaciones: , (4.5) ^ = 0, (4.6) e2 = 0, (4,7) cosαA = 1, (4.8) donde v y αA son las variables utilizadas por Poisson y el relación (4.5) se obtiene comparando las expresiones para las constantes de movimiento en los dos conjuntos de variables. La principal mejora de nuestro análisis sobre Gergely’s es que expresamos los resultados en términos del tipo Carter constante K, que facilita la comparación de nuestros resultados con otros análisis de los agujeros negros inspirales. Nuestros cálculos también incluyen los efectos de dispersión de curvatura de giro para todos tres constantes de movimiento; Gergely [18] sólo considera estos efectos para dos de ellos: la energía y la magnitud de impulso angular, no para la tercera cantidad conservada Tity. Cuando expandamos Eq. (3.28) para pequeñas inclinaciones y gles y se especializan en órbitas circulares, luego después de la conversión p al parámetro v usando Eq. (4.5), obtenemos = − 32 11Q− S = − 32 33 a 527 . (4.9) Este resultado concuerda con los términos atO(a2v4) de Eq. (3.13) de Shibata y otros [24], cuyos cálculos se basaron en las expresiones totalmente relativistas. Este acuerdo es un comprobar que hemos tenido en cuenta todas las contribuciones ciones en O(a2­4). El análisis en Ref. [24] No podía tinguish entre los efectos debidos al cuádruplo y los la debida dispersión de la curvatura, pero podemos ver desde Eq. (4.9) que esas dos interacciones tienen la dependencia opuesta el 1 de enero. Comparando (4.9) con Eq. (3.7) de [24] (que da los flujos hacia los diferentes modos (l = 2,m, n), donde m y n son los múltiplos de las frecuencias de que los términos en los modos (2,±2, 0) y (2,±1,±1) son enteramente debido al cuádruple, mientras que el giro-giro en- los efectos de la teracción están completamente contenidos en los niveles (2,±1,0) y Modos (2, 0, ±1). V. NO EXISTENCIA DE UN TIPO DE CARTERA CONSTANTE PARA MULTIPOLACIONES SUPERIORES En esta sección, mostramos que para un único ejemimétrico interacción multipolo, no es posible encontrar un ana- log de la constante Carter (una cantidad conservada que no corresponde a una simetría del lagrangiano), excepto en los casos de giro (tratado por Ryan [15]) y momento de cuádruple en masa (tratado en este artículo). Nuestro prueba es válida sólo en las aproximaciones en las que nosotros trabajo – expandiendo a orden lineal en la relación de masa, a el principal orden post-Newtoniano, y al orden lineal en el multipolo. Sin embargo vamos a mostrar a continuación que con muy suaves suposiciones de suavidad adicional, nuestra no- el resultado de la existencia se extiende al movimiento geodésico exacto espacio-tiempos de vacío. Empezamos en Sec. VA al demostrar que no hay co- sistema coordinado en el que la ecuación Hamilton-Jacobi es separable. Separabilidad del Hamilton-Jacobi la ecuación es una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de una cantidad conservada adicional. Por lo tanto, este resultado no da información sobre la existencia o la inexistencia de una constante adicional. Sin embargo encontramos que es un resultado sugestivo. Nuestra derivación real de la no-existencia se basa en Poisson bracket compu- tas, y se da en Sec. VB. A. Análisis de la separabilidad Considerar un binario de dos puntos masas m1 y m2, donde la masa m1 esté dotada de un solo axisimmet- ric momento multipolo Sl o masa axiemmétrica momento multipolo Il. En esta sección, mostramos que el Hamilton-Jacobi ecuación para este movimiento, a orden lineal en los multipolos, al orden lineal en la relación de masa y a la principal orden post-Newtoniana, es separable sólo para los casos S1 y I2. Elegimos el eje de simetría para ser el eje z y escribir la acción por un multipolo general como 2 + r22 + r2 sin2 2 + f(r, ) + g(r, ) E]. (5.1) Para momentos de masa, g(r, ­) = 0, mientras que para mo- f(r, ­) = 0. Para un multipolo aximétrico de orden l, las funciones f y g serán de la forma f(r, فارسى) = clilpl(cos) , g(r, ) = dlSl sin Pl(cos ♥) (5.2) donde Pl(cos) son los polinomios de Legendre y cl y dl son constantes. Trabajaremos en orden lineal en f y g. En Eq. (5.1), hemos añadido el término de energía necesario cuando haciendo un cambio de variables de tiempo, cf. el debate anterior Eq. (2.14) en la sección III. Puesto que Ł es una coordenada cíclica, = Lz es una constante de movimiento y el sistema tiene efectivamente sólo dos grados de libertad. Tenga en cuenta que en el caso de un momento actual, habrá término de corrección en Lz: Lz = r 2 sin2 g(r, فارسى). (5.3) A continuación, cambiamos a un sistema de coordenadas diferente (r.,.,........................................................................................................................................................................................................................................................... r = r. + α(r.,, Lz), (5.4) * = + β(r,, Lz), (5.5) donde las funciones α y β aún no están determinadas. Nosotros también definir una nueva variable de tiempo t 1 + γ(r,, Lz) dt. (5.6) Puesto que trabajamos en orden lineal en f y g, podemos trabajar a orden lineal en α, β y γ. A continuación, computamos el acción en las nuevas coordenadas y soltar los tilos. Los Hamiltonian es dado por p2r(1 + γ − 2α,r) + (1− 2α) − 2β, + γ) E(1 + γ) 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna (1− α) + γ)− f − gLz r2 sin2 (5.7) y la ecuación correspondiente Hamilton-Jacobi es â € 1 + + 2V®, (5.8) donde hemos denotado • 1 = J(r, ­) [1 + γ − 2α,r] = 1 + γ − 2α,r + j, (5,9) •2 = J(r, •) 1− 2α − 2β, + γ = 1− 2α − 2β, + γ + j, (5.10) •3 = J(r, •) - r2β,r - r2β,r, (5.11) Vâ = J(r, ­) 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna + γ)− E(1 + γ) − f − gLz r2 sin2 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna  + j) −E(1 + γ + j)− 1 (1− α) + γ + j) −f − gLz r2 sin2 . (5.12) El problema no perturbado es separable, así que problema perturbado separable, hemos multiplicado el Ecuación Hamilton-Jacobi por una función arbitraria J(r), que se puede ampliar como J(r, فارسى) = 1 + j(r, ), donde j(r, ♥) es una pequeña perturbación. Para encontrar una solución de la forma W =Wr(r)+W en primer lugar se especializa en el caso en el que â € 3 = 0: − • 3 = β,rr2 + α, • = 0. (5.13) Distinguimos Eq. (5.8) con respecto a la letra فارسى, utilizando Eq. (5.8) para escribir (dWr/dr) 2 en términos de (dW-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- 2 y luego diferenciar el resultado con respecto a r para obtener 2 1 2V® 1 â € ¢ 1â € 2 . (5.14) Expandiendo Eq. (5.14) a orden lineal en el pequeño entonces produce las dos condiciones para la cinética y la parte potencial del Hamiltoniano para ser separable: 0 = Łr 2α,r − − 2β, , (5.15) sin2 2β,r cuna 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sin2 + α,r r Pl(cos فارسى) + dlSlLz rl sin Pl(cos) 2α,r- − + 2Er2α,r , (5.16) donde hemos usado Eq. (5.2) para f y g. Por lo tanto, la deberán cumplirse las siguientes condiciones: M4()−N(r) = + 2α,r, (5.17) M1() = 2β cuna 2  + β csc2  + β, -3β,-Cuna-, (5.18) M2() = r 2r(r 2β,r), (5.19) M3(­) = 2rα,r­ − α,­ + Pl(cos) −Silz (csc) Pl(cos)). (5.20) Aquí, las funciones M y N son la integración arbitraria constantes. Resolver la condición para que el término cinético sea sep- cultivable, Eq. (5.17), junto con Eq. (5.13) da la solución general que va a cero en general r como Cos(n/23370/ + /), (5.21) β = − A Sin(n/23370/ + /), (5.22) donde A y ν son arbitrarios y n es un entero. Estos las funciones deben cumplir las condiciones (5.18) – (5.20) en orden para que el término potencial sea separable también. A ver cuando este será el caso, empezamos por considerar Eq. (5.20). Sustitución del ansatz general α = a1(r)a2(l) muestra que a′2 = P l o a 2 = (csc-P) ′ dependiendo de si una masa o una corriente multipolo está presente. Los función a1(r) se determina a partir de 0 = 2ra′1 − a1 + clil/r (l−1) dlSlLz/r (5.23) Por lo tanto, [cll/(2l)] r (1–l) [dlSlz/(2l+ 1)] r (5.24) para que obtengamos momentos de misa Pl(cos) , β = P ′l (cos فارسى) (5.25) y para los momentos actuales dlSlLz 2l+ 1 csc P ′l (cos) , (5.26) dlSlLz (2l+ 1)(l + 1) (csc  P ′l (cos)) , (5.27) donde hemos utilizado la condición (5.13) para resolver para β. Sustitución de esto en Eq. (5.19) determina que l = 2 para momentos de masa y l+1 = 2 para momentos actuales. Por a l = 2 momento de masa, las condiciones (5,17) y (5,18) son satisfecho también, con n = 2 y ν = 0. Para el caso de un l = 1 momento actual, el término adicional inH es independiente De todos modos. Pero para cualquier otra interacción multipolo, la ecuación Hamilton-Jacobi no será separable. Por ejemplo, para el actual pulpole Sijk, el último término en Eq. (5.7) es proporcional a S3Lz(5 cos 2 - 1)/r5 y Por lo tanto, no es separable. De Eq. (5.2) se puede ver que, para un multipolo general, las funciones f o g contienen diferentes poderes de porque aparece con el mismo poder de r ya que los polinomios de Legendre se pueden ampliar como [34]: Pl(cos ♥) = (−1)n(2l−2n)! ¡2ln!(I − n)!(I − 2n)! (cos.)l−2n, (5.28) donde N = l/2 para l par y N = (l + 1)/2 para l impar. No será posible cancelar todos estos términos con (5.21) – (5.22) para l > 2. El caso en el que â € 3 es no-desavanecimiento sólo será sepa- ble si todos los coeficientes son funciones de r o de  solamente, y si además, el potencial también depende sólo de r o en la línea de correo electrónico: Lograr esto para nuestro problema no será posible. porque el potencial no puede ser transformado a la forma necesario para la separabilidad. B. Derivación de la inexistencia de constantes del movimiento En esta subsección, mostramos usando los corchetes de Poisson que para una única interacción aximétrica multipolo, a lineal orden en el multipolo y la relación de masa, una primera integral análogo a la constante Carter no existe, excepto para los casos de masa de cuádruple y spin. Supongamos que tal constante existe. Nosotros escribimos el Hamiltoniano correspondiente a la acción (5.1) como H = H0 + H y la constante tipo Carter como K = K0 + (pr., p., p., Lz, r.), donde: 2r2 sin2 , (5.29) H = − clil Pl(cos)− dlSlLz rl+2 sin Pl(cos)(5.30) K0 = p sin2 . (5.31) Computando el soporte Poisson da, al orden lineal en las perturbaciones 0 = {H0, K H, K0} (5,32a) * K + H,K0}, (5.32b) donde hemos utilizado que {H0,K0} = 0 y el hecho de que {H0, ♥K} = d(K)/dt. Aquí, d/dt denota el tiempo total derivado a lo largo de una órbita (r(t), (t), pr(t), p/23370/(t)) de H0 en espacio de fase. La ecuación diferencial parcial (5.32a) para Por lo tanto, K se reduce a un conjunto de equa- ciones que pueden integrarse a lo largo de las órbitas individuales en el espacio de fase. El movimiento no perturbado para una órbita atada está en una plano, así que podemos cambiar de esférico a plano polar co- ergonomias (r, ). En términos de estas coordenadas, tenemos H0 = p r/2+p •/2, K0 = p *, y cos. * = pecado* sin(0), con cos ^ = Lz/ K y la constante â € ~ 0 que denota el ángulo entre la dirección del periastro y el intersección entre el plano orbital y ecuatorial. Luego Eq. (5.32) pasa a ser K = η(t), (5.33) η(t) = − 2pÃ3s dlSlLz sin ι rl+2(t) Pl(pecado)(t)+(0)) cos((t) + 0) 2pÃ3sito clill rl+1(t) Pl(pecado)(t)+(0)). (5.34) Para las órbitas no enlazadas, siempre se puede integrar Eq. (5.33) para determinar el valor de K. Sin embargo, para los periódicos consolidados órbitas hay una posible obstrucción: la solución para la cantidad conservada K0 + K se valorará por sí sola si y sólo si la integral de la fuente sobre la órbita cerrada desaparece, • Torb η(t)dt = 0. (5.35) Aquí, Torb es el período orbital. En otras palabras, la par- Ecuación diferencial de tial (5.32) tiene una solución sólo si se cumple la condición (5.35). Esto es lo mismo. condición obtenida por el Poincare-Mel'nikov-Arnold método, una técnica para mostrar la no integrabilidad y la existencia de caos en ciertas clases de dy- sistemas náuticos [35]. Por lo tanto, basta con demostrar que la condición (5.35) es violado para todos los multipolos que no sean el giro y la masa Cuádruple. Para realizar la integral en Eq. (5.35), utilizamos la parametrización para el movimiento no perturbado, r = = K3/2/(1+ e cosá)2, de modo que la condición de existencia de una cantidad conservada K0 + K se convierte en clil(1 + e cos l - 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - dlSlLz K sine (1 + e cos)l Pl(pecado) cos( + 0) (5.36) En términos de la variable χ = • + • 0 − η/2, Eq. (5.36) puede ser escrito como dχcll [1 + e(sin °0 cos cos °0 sin °x)]l−1 Pl(sin ^ cosχ) dlSlLz Sin [1 + e(sin °0 cos cos °0 sin °x)]l Pl(sin ^ cosχ) . (5.37) Insertando la expansión (5.28) para Pl(cosχ), tomando los derivados, y utilizando la expansión binomial para el primer término en Eq. (5.37), obtenemos 0 = clil Alnjk e j(pecado)l−2n(pecado)0 k(cos'0) dχ (sinχ)j−k+1(cosχ)k+l−2n−1 dlSlLz Blnjk e j(sin)l−2n−1(sin}0) k(cos'0) dχ (sinχ)j−k+1(cosχ)k+l−2n−2. (5.38) Los coeficientes Alnkj y Blnkj son Alnkj = (−1)n+k+1(l − 1)!(2l − 2n)! ¡2ln!(I − 1− j)!k!(j − k)!(I − n)!(I − 2n− 1)! , Blnkj = (−1)n+kl!(2l - 2n)! ¡2ln!(I − j)!k!(j − k)!(I − n)!(I − 2n− 2)! . (5.39) La única contribución no evasiva a las integrales en Eq. (5.38) vendrá de los términos con los poderes pares de ambos cosxx y sinxx. Estos pueden ser evaluados como múltiplos de la función beta: 0 = clil Clnjk e j(pecado)l−2n(pecado)0 k(cos'0) j−k ♥(j−k+1),even (l+k−1),even dlSlLz Dlnjk e j(sin)l−2n−1(sin}0) k(cos'0) j−k ♥(j−k+1),even (l+k),even. (5.40) Aquí, los coeficientes son Clnjk = 2o( j) + 1)(k) − n+ 1) Alnkj, Dlnjk = 2o( j) + 1)(k) − n− 1 − n+ 3 Blnkj (5.41) Eq. (5.40) muestra que para l par, términos con j = even (odd) y k =odd (even) dan un contribu- para el caso de una masa (corriente) multipolo, y por lo tanto K0°K no es una cantidad conservada para el mo- tion. Tenga en cuenta que los términos con j = even y k = odd para par l ocurre sólo para l > 3, por lo que para l = 2 la masa cuádrupolo término en Eq. (5.40) desaparece y por lo tanto existe un análogo de la constante Carter, que es consistente con nuestros resultados de Sec. II y nuestro análisis de separabilidad. Por impar l, términos con j =odd (even) y k =even (even) son finito para Il (Sl). Tenga en cuenta que para el caso l = 1 de la vuelta, los derivados con respecto a χ en Eq. (5.37) evaluar a cero, por lo que en este caso también existe un tipo Carter con- Stant. Estos resultados muestran que para un multipolo general salvo I2 y S1, no habrá un tipo Carter constante para tal sistema. 1. Tiempos de vacío exactos Nuestro resultado sobre la no-existencia de una con- stant se puede extender, con suave suavidad assump- ciones, para falsificar la conjetura de que todo exacto, axisymmet- ric vacuum spacetimes plantea una tercera constante de la ión para el movimiento geodésico. Específicamente, arreglamos un multipolo orden l, y asumimos: • Existe una familia de un parámetro (M, gab(l)) de espaciotiempos, que es suave en el parámetro , De tal manera que ♥ = 0 es Schwarzschild, y cada espacio- time gab() es estacionario y aximmétrico con de los campos de matanzas y de los campos de que todos los momentos de masa y multipolo actuales de el espacio tiempo desaparece excepto por el de orden l. Por motivos físicos, se espera un parámetro familia de métricas con estas propiedades para existir. • Denotamos por H(l) el hamiltoniano en el bronceado- gent haz overM para el movimiento geodésico en el met- ric gab(l). Por hipótesis, existe para cada uno una cantidad conservada M() que es funcionalmente independiente de la energía conservada y angular impulso. Nuestra segunda suposición es que M( es diferenciable en el caso de  en el caso de  = 0. Uno esperaría esto es cierto por motivos físicos. • Asumimos que la cantidad conservada M( invariante bajo las simetrías del sistema: LM() = LM() = 0, donde y son las extensiones naturales a la 8 espacio de fase dimensional de los vectores Killing y el Sr. Esta es una suposición muy natural. Estas suposiciones, cuando se combinan con nuestro resultado de la sección anterior, conducen a una contradicción, mostrando que la conjetura es falsa bajo nuestras suposiciones. Para demostrar esto, empezamos señalando que M(0) es una cantidad servida para el movimiento geodésico en Schwarzschild, así que debe ser posible expresarlo como alguna función f de las tres cantidades conservadas independientes: M(0) = f(E,Lz,K0). (5.42) Aquí E es la energía, Lz es el momento angular, y K0 es la constante Carter. Diferenciando la re- exacta {H(l),M(l)} = 0 y la evaluación en l = 0 da {H0,M1} = {E,H1 {Lz, H1 {K0, H1}, (5.43) donde H0 = H(0), H1 = H ′(0), y M1 = M ′(0). As Antes, podemos considerar que se trata de un equa diferencial parcial. sión que determina M1, y una condición necesaria para soluciones para existir y ser un solo valor es que la integral del lado derecho sobre cualquier órbita cerrada deberá desaparecer: {E,H1 {Lz, H1 {K0, H1} (5.44) Ahora estrictamente hablando, no hay órbitas cerradas en el espacio de fase de ocho dimensiones. Sin embargo, la ar- la sección anterior se aplica a las órbitas que se cierran en el espacio de cuatro dimensiones con coordenadas (r, ­, p, p­), ya que por la tercera suposición por encima de todas y cada una de las la cosa es independiente de t y ♥, y pt y p Servido. Aquí (t, r,.................................................................................. (pt, pr, p., p., p.) son los correspondientes conjugados momenta. A continuación, podemos tirar de los derivados parciales F/E etc. fuera de la integral. Entonces es fácil ver que el primero dos términos desaparecen, ya que existe una energía conservada y un componente z conservado de impulso angular para el sistema perturbado. Así, Eq. (5.44) se reduce a {K0, H1} = 0. (5.45) Puesto que M(0) es funcionalmente independiente de E y Lz, la prefabricado Łf/K0 debe ser distinto de cero, por lo que obtenemos {K0, H1} = 0. (5.46) El resultado (5.46) se aplica a las órbitas totalmente relativistas en Schwarzschild. Tenemos que tomar el límite newtoniano de este resultado con el fin de utilizar el resultado que derivamos en el sección anterior. Sin embargo, el límite newtoniano es una luz... sutiles ya que las órbitas newtonianas son cerradas y genéricas Las órbitas relativistas no están cerradas. Ahora discutimos cómo el Se toma el límite. La integral (5.46) es tomada sobre cualquier órbita cerrada en el espacio de cuatro fases dimensionales (r, ­, pr, p­) que responde a una geodésica en Schwarzschild. Tales órbitas son no genéricos; son las órbitas para las que la entre las frecuencias radial y angular es una Número racional. Denotamos por qr y q los perceptores correspondientes a las mociones r y ♥ [36]. Estos las variables evolucionan con el tiempo adecuado qr = qr,0 + q.47b) = q.47b) donde qr,0 y q.o,0 son los valores iniciales. Denotamos el integrand en Eq. (5.46) por I(qr, qo, a, ­, ^), donde yo es alguna función, y a, y a son el parame- ters de la geodésica definida por Hughes [32] (funciones de E, Lz y K0). El resultado (5.46) se puede escribir como ∫ T/2 d I[qr(l), q­(l), a, ­, ^] = 0, (5,48) donde T = T (a, ­, ^) es el período de la moción r, ­. Puesto que las variables qr y q 2η, podemos expresar la función I como una serie de Fourier I(qr, q­o, a, ­, ^) = n,m= Inm(a, l, l)einqr+imql. (5.49) Ahora combinando Eqs. (5.47), (5.48) y (5.49) da n,m= Inm(a, l', l')einqr,0+imq,0 ×Si [(nÃ3r +m)T/2], (5.50) donde Si(x) = sin(x)/x. Desde las condiciones iniciales qr,0 y q.0 son arbitrarios, se deduce que Inm(a, ­, ■)Si [(n­ñr +m)T/2] = 0 (5,51) para todos n, m. A continuación, para las órbitas cerradas la relación de las frecuencias debe ser un número racional, así que , (5.52) donde p y q son enteros sin factor en común. Estos números enteros dependen de a,... y......................................................................................................................... El período T es dados por 2η/T = q.......................................................................................................................................................................................................................................................... El segundo factor en Eq. (5.51) ahora simplifica (np+mq) , (5.53) que desaparece si y sólo si n = n̄q, m = m̄p, n m̄ 6 = 0, (5,54) para números enteros n̄, m̄. De ello se deduce que Inm(a, ­, ^) = 0 (5,55) para todos los n, m excepto para los valores de n, m que satisfagan condición (5,54) Considere ahora el límite newtoniano, que es el límite a → • manteniendo fijas y la masa de la agujero negro. Denominamos por IN(qr, q.a,.a,.a) el newtoniano límite de la función I(qr, q La integral (5.48) en el límite newtoniano es dado por el cálculo anterior con p = q = 1, ya que r = en este límite. Esto da d-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N-)-(N)-(N-(N)-(N-(N)-(N)-(N-(N)-(N-(N)-(N)-(N)-(N)-(N-(N)-(N-)-(N-(N)-(N-)-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-)-(N-(N-(-)-)-(N-)-(-1-)-(N-ona-)-)-ona-ona-ona-(-1-(-1-ona-)-ona-) INn,-n(a, ­, ■) ein(qr,0−q­o,0), (5.56) donde INnm son los componentes Fourier de IN. En el subsección anterior, mostramos que esta función no es cero, lo que implica que existe un valor k de n para que EN k,−k 6= 0. Ahora, como un →, tenemos r/ → 1, y por lo tanto de Eq. (5.52) existe un valor crítico ac de un tal que los valores de p y q exceden de k para todas las órbitas cerradas con a > ac. (Estamos manteniendo fijos los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores fijos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los Lo siento. sigue de Eqs. (5.54) y (5.55) que Ik,­k(a, ­, ^) IN k,­k(a, ­, ^) = 0 (5,57) para todos esos valores de a. Sin embargo, esto contradice el hecho Ik,­k(a, ­, ^) IN k,­k(a, ­, ^) → 1 (5.58) como a→ فارسى. Esto completa la prueba. Por lo tanto, si los tres supuestos enumerados al comienzo de esta subsección están satisfechos, entonces la conjetura de que todos el vacío, el espacio-tiempos axiemmétricos poseen un tercer con- Constante de la moción es falsa. Por último, a veces se afirma en el clásico dinam- ic literatura que la teoría de la perturbación no es suficiente potente herramienta para evaluar si la integrabilidad de un sistema se conserva bajo deformaciones. Un ejemplo que se cita a menudo es el Toda celosía Hamiltoniano [38, 39]. Este sistema es integrable y admite un conjunto completo de Estantes de movimiento en involución. Sin embargo, si uno aprox- imita al Hamiltoniano de Taylor expandiendo el poder... sobre el origen al tercer orden, se obtiene un sys- tem que no es integrable. Esto parece indicar que la teoría de la perturbación puede indicar una no integrabilidad, mientras que el sistema exacto todavía es integrable. De hecho, el ejemplo Toda celosía no invalida el método de prueba que utilizamos aquí. Si escribimos la Toda lattice Hamiltonian como H(q,p), entonces la situación es que H(­q,p) es integrable para ­ = 1, pero no es integrable para 0 <  < 1. Expansión de H(lq,p) al tercer orden en l le da a un hamiltoniano no integrable. Por lo tanto, la perturba- El resultado no está en desacuerdo con el resultado exacto sólo no está de acuerdo con el resultado exacto para  = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 En otras palabras, el ejemplo muestra que teoría de la bación puede fallar en dar el resultado correcto para finito los valores de , pero no hay ninguna indicación de que falle en ar- barrios bitralmente pequeños de ♥ = 0. Nuestra aplicación es cualitativamente diferente del ejemplo Toda celosía ya que tenemos una familia de un parámetro de Hamiltonians H(l) que, por supuesto, son integrables para todos los valores de . VI. CONCLUSIÓN Hemos examinado el efecto de un axisimmétrico momento cuádrupole Q de un cuerpo central en la prueba parti- a los inspirales, al orden lineal en Q, a la dirección post- Orden newtoniano, y al orden lineal en la proporción de masa. Nuestro análisis muestra que una generalización natural de la La constante Carter se puede definir para el inter- acción. También hemos analizado el giro de orden principal auto- efecto de interacción debido a la dispersión de la radiación la curvatura del espacio-tiempo debido al giro. Combinación de la efectos del cuádruplo y los efectos de orden principal lineal y cuadrática en el giro, hemos obtenido ex- las presiones para el instantánea, así como el tiempo-promedio evolución de las constantes de movimiento de las órbitas genéricas der reacción de radiación gravitacional, completada en O(a2+4). También hemos demostrado que para una única interacción multipolo Aparte de Q o giro, en nuestras aproximaciones, un Carter- tipo constante no existe. Con leve adicional como... Supuestos, este resultado se puede extender al espacio exacto- tiempos y falsifica la conjetura de que todos los axisimmétricos espacio de vacío posee una tercera constante de movimiento para movimiento geodésico. VII. AGRADECIMIENTOS Esta investigación fue parcialmente apoyada por la subvención NSF PHY-0457200. Damos las gracias a Jeandrew Brink por su útil colaboración. respuesta. Apéndice A: Variaciones de tiempo del cuádruplo: orden de Estimaciones de magnitud En este apéndice, damos una estimación de la escala de tiempo Tevol para que el cuádruple cambie. El análisis en el el cuerpo de este documento es válido sólo cuando Tevol Trr, donde Trr es el tiempo de reacción a la radiación, ya que hemos descuidado la evolución temporal del cuádruplo. Distinguimos ser... Entre dos casos: i) cuando el organismo central no es exactamente spinning pero tiene un cuádruplo, y (ii) cuando el centro cuerpo tiene giro finito, además del cuádrupolo. 1. Estimación de la escala para el caso no pendiente A los efectos de una estimación bruta, la la reacción es la interacción mareal con la energía QijEij Q̄I cos2 Ł, (A1) donde Eij es el campo de mareas, es el ángulo entre el eje de simetría y lo normal al plano orbital de m2, y hemos escrito el cuádrupole como Q-Q-I, donde Q̄ es adimensional y yo es el momento de inercia. Para pequeñas desviaciones del equilibrio, la pieza correspondiente del Lagrangian es esquemáticamente L I2 + Q̄I m2 - ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (A2) Definimos la escala de tiempo de la evolución Tevol como el tiempo se necesita para que el ángulo para cambiar por una cantidad de orden unidad, y desde la amplitud de las escalas de oscilación más o menos como m2/m1, las escalas de tiempo de la evolución como T−2evol •2orbita, (A3) en los que •2orbita = M/r 3. Por lo tanto, la relación de la evolución escala de tiempo en comparación con la escala de tiempo de reacción a la radiación básculas como Tevol/Trr . (A4) 2. Estimación de la escala para el caso de hilado Cuando el cuerpo está girando el efecto de la marea cou- El plomeo es causar una precesión. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: estimación, calculamos el par en m1 debido a la com- el campo newtoniano de panión. Las escalas de par N como Ni.................................................................................................................... (A5) Asumimos que la precesión es lenta, es decir. S̄/m1 , (A6) donde Łprec es la frecuencia de precesión y S̄ = S/m es el giro adimensional. Esto da el aproximado escala de tiempo de precesión como (cf. [37]) Tprec/Trr . (A7) y la escala de tiempo de la evolución es así Tevol/Trr . (A8) Debido a nuestra suposición (A6) de que la precesión es lento, la ecuación (A8) es válida sólo cuando ) S̄2 . (A9) Cuando S̄ es suficientemente pequeño que la condición (A9) es violado, la escala de tiempo pertinente es dada en su lugar por Eq. (A3). 3. Aplicación a los inspirales Kerr Para los inspirales Kerr, S̄ a, Q̄ a2, μ/M â 1 y r â M. (A10) Por lo tanto, la condición (A9) se cumple, y la pre- tiempo de cesión es más largo que el tiempo de reacción a la radiación Tprec/Trr . (A11) Tenga en cuenta que para los inspirales Kerr, ya que r â € TM M ambas fórmulas (A3) y (A7) dan la misma escala. Por otra parte, para los inspirados Kerr, la amplitud de la pre- la cesión será pequeña, de orden la relación de masa μ/M. Esto es a causa de la conservación de los impulsos angulares: régimen tivístico, el impulso angular orbital es un factor de μ/M menor que el momento angular del negro y por lo tanto no puede causar una gran ampliación de la precesión Tude. Incluso si el momento angular orbital en el infinito es grande, la mayor parte se irradiará como saliente ondas gravitacionales durante la fase anterior de la inspi- Ral. Este factor de μ/M se tiene en cuenta cuando considerar la escala de tiempo de evolución, que para los inspirales Kerr reduce a Tevol/Trr . (A12) Desde 1/a ≥ 1, M/r + 1 y M/μ + 1, la evolución tiempo es largo en comparación con el tiempo de reacción a la radiación y podemos descuidar la variación del tiempo del cuádruple en orden principal. Apéndice B: Cálculo de los flujos de tiempo medios 1. Método de verificación que se paraleliza completamente Mediación relativista Comenzamos señalando que las ecuaciones diferenciales (2.26) y (2.27) que rigen las mociones rû y desacoplamiento si definimos un nuevo parámetro de tiempo dtá = dt. (B1) Este es el análogo del parámetro de tiempo Mino para movimiento geodésico en Kerr [12]. Las ecuaciones del movimiento (2.26)–(2.24) se convierten entonces en = Várс(rс), (B2) Várс(rс) = 2Er 4 + 2rс3 − Krс2 − 4SLzr 2L2z , (B3) = V(), (B4) V() = K − Sin2 −QE cos 2, (B5) = Vrū(rū) + V(), (B6) Vrū(rś) = , V() = Sin2 . (B7) Los parámetros t y t+ están relacionados por: = VÃ3trс(rс) + Vátt() (B8) VÃ3trñ(rñ) = rñ 2, Vášt() = Cos 2. (B9) Se sigue de Eqs. (B2) y (B4) que las funciones son periódicos; y denotamos sus periodos por los Estados Unidos y el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. Definimos el movimiento fiducial asociado con las constantes de movimiento E, Lz y K para ser el movimiento con las condiciones iniciales r­(0) = r­min y (0) = min, donde rûmin y min son dados por la desaparición de los lados derecho de Eqs. (B2) y (B4) respectivamente. Las funciones ró (tó) y (tó) asociadas con este fiducial motion son dados por ∫ râ râ râ (tâ ) r贸min Várс(rс) = t, (B10) ∫ (t) min V() = tâ € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (B11) De Eq. (B8) se deduce que t(t) = t0 + VÃ3trñ[rс(t) ′)] + Vt[(t , (B12) donde t0 = t(0). A continuación, definimos la constante de ser el valor medio siguiente: dt′VÃ3r también[rÃ3n(t) ′)] + dd′Vt[(t) ′)]. (B13) Entonces podemos escribir t(t+) como una suma de un término lineal y términos que son periódicos: t(t) = t0 + (B14) en el caso de los términos oscilatorios en Eq. (B12). Para promediar una función a lo largo del parámetro de tiempo conveniente parametrizar rû y en términos de angular variables de la siguiente manera. Para el promedio sobre introducimos el parámetro χ por cos2 (t) = z− cos 2 χ, (B15) donde z− = cos 2 con z− siendo la raíz más pequeña de Eq. (B4): K + 3QE ± (K −QE)2 + 4QEL2z (B16) y donde β = 2QE. Entonces de la definición (B11) de junto con Eq. (B4) y el requisito de que aumenta monótonamente con tá Ão obtenemos β (z+ − z− cos2 χ). (B17) Entonces podemos escribir el promedio sobre tÃo de una funciÃ3n F(tÃo) que es periódico con el período en términos de χ como # F # t # # # # F # t # # # # # F # # # F # # # # F # # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # F # # # # # # # # F # # # # # # # # # F # # # # F # # # # # F # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ddâ € € F(tâ € € € € ~ F[t(χ)] β (z+ − z− cos2 χ) , (B18) donde = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 β (z+ − z− cos2 χ) . (B19) Similarmente, para promedio una función Fr periodo de tiempo, introducimos un parámetro a través de 1 + e cos , (B20) donde el parámetro • varía de 0 a 2η como va r a través de un ciclo completo. Entonces, = P (), (B21) P () Várс[rс()] Pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe... (1 + e cos â € € ~) (B22) El promedio sobre tÃ3 r de Frñ(tà r) se puede calcular a partir de # Frt # # # # Frt # # # Frt # # Frt # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # dâ € € TM Frœ/P (â € ~ € ~ ~ € ~ d/P () . (B23) Ahora, una función genérica Fr., [r.(t.), (t.)] será biperiódica. = Fr.,[r.(t.r."), (t.)] = Fr.,[r.(t."), (t. Combinar... en los resultados (B18) y (B23) podemos escribir su promedio como una doble integral sobre la χ y # Fr... # # t... # # # # # Fr... # # # t... # # # # # # # # #... r Fr., [r.(), (χ)] β (z+ − z− cos2 χ) (B24) Para calcular el promedio de tiempo de...................................................................................................................................... para convertir la media de una función sobre tâ € calculada a partir de (B24) a la media sobre t. Como se explica en detalle en [9], en el límite adiabático podemos elegir un intervalo de tiempo Es largo en comparación con la escala de tiempo orbital, pero corto en comparación con el tiempo de reacción a la radiación. Desde Eq. (B12) tenemos t = osc.terms. El oscilador los términos serán limitados y, por lo tanto, serán insignificantes en el límite adiabático, por lo que tenemos que una buena aproximación t = Váñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáññññáñáñññáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñññññáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáññáñáñáñáñáñáñáñáñáññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññ en los que Vóct Óct Vórtró + Vóttó, cf. Eq. (B8), y de manera similar en el caso de Lóšz y Kóš. Los resultados explícitos que obtenemos utilizando este método son: figura en la sección III, Eqs. (3.28), (3.29) y (3.30). 2. Método de average usando el explícito parametrización de las órbitas newtonianas Para realizar el ahorro de tiempo utilizando este método, nosotros definir un parámetro • via 1 + e cos , (B26) donde el parámetro • varía de 0 a 2η como va r a través de un ciclo completo. Nótese que en Eqs. (3.16) – (3.18) sólo en términos que son lineales en Q, por lo que puede escribir en términos de • usando la relación newtoniana x3 = r cos (B27) Aquí, â € ¢ 0 es el ángulo entre la dirección de la peri- helion y la intersección del orbital y ecuatorial avión. Del mismo modo, para los términos en Eqs. (3.17) y (3.26) podemos utilizar las relaciones newtonianas = e/ p pecado...................................................................................................................................................................... y = p/r2. De Eqs. (2.27) y (B20) (1 + e cos â € € ~)2 −3 + e2 − 2e cos • + 2 cos2 •(8 − e2 + 8e cos • + e2 cos 2 •) , (B28) y de Eq. (2.12) (1 + e cos â € € ~) 2 sin2 ■ sin2(­ + 0)− 1 . (B29) Utilizando estas expresiones, calculamos los flujos promedio de tiempo de = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (dt/dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (dt/dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (B30) y obtener: = −32 (1− e2)3/2 e4 − S Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) cos(2-0) sin cos(2-0) sin , (B31) # Lóz # # # Lóz # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (1− e2)3/2 Cos e2 − S 2p3/2 cos + 7e2 + Cos(2^) −3− 45 45 + 148e2 + Cos(2^) 1 + 3e2 + e2 cos(2+0) sin , (B32) K = −64 (1 − e2)3/2 e2 − S 2p3/2 + 37e2 + Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) e2 cos(2+0) sin . (B33) En el límite adiabático, los términos que implican cos(2+0) pueden se omiten porque promedian a cero. Como se explicó por Ryan [15], la escala de tiempo de reacción a la radiación para términos La participación de 0 es mucho más larga que el plazo de precesión para la mayoría de las órbitas, por lo que los términos que implican - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Esto es consistente con nuestros resultados para la adia- batic infinito flujo de tiempo promedio utilizando el tiempo Mino parámetro. El método de promedio Mino-tiempo se basó en en el supuesto de que las frecuencias fundamentales son incommensurable y el movimiento llena todo el toro, lo que equivale a un promedio superior a 0 %. [1] L. Barack y C. Cutler, Phys. Rev. D 69, 082005 (2004) [2] K. Glampedakis y S. Babak, Class. Quantum Grav. 23, 4167 (2006) [3] D. A. Brown, et al. gr-qc/0612060 [4] E. Poisson, Living Rev. 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Analizamos el efecto de la reacción de radiación gravitacional en órbitas genéricas alrededor de un cuerpo con una masa aximétrica momento cuádruplo Q a orden lineal en Q, al orden post-Newtoniano líder, y al orden lineal en la proporción de masa. Este sistema admite tres constantes del movimiento en ausencia de radiación reacción: energía, momento angular, y una tercera constante análoga a la Carter constante. Calculamos tasas de cambio instantáneas y medias de tiempo de estas tres constantes. Para una partícula de punto orbitando un agujero negro, Ryan tiene computar la evolución del orden principal de la constante Carter de la órbita, que es lineal en el giro. Nuestro resultado, cuando se combina con una interacción cuadrática en el giro (el acoplamiento del giro del agujero negro a su propia reacción de radiación campo), da el siguiente a la evolución de orden líder. El efecto de la Cuadrupole, como el del término de giro lineal, es circularizar excéntrico órbitas y para conducir el plano orbital hacia el antialineamiento con la simetría eje. Además consideramos un sistema de masas de dos puntos donde un cuerpo tiene un masa única multipolo o corriente multipolo. A orden lineal en la relación de masa, a orden lineal en el multipolo, y a la principal orden post-Newtonian, nosotros muestra que no existe un análogo de la constante Carter para tal sistema (excepto en los casos de giro y masa de cuádruple). Con leve adicional suposiciones, este resultado falsifica la conjetura de que todo el vacío, axiemmétrico espaciotiempos plantea una tercera constante de movimiento geodésico.

Para referencia, el siguiente erratum corrige la versión publicada del artículo. Estos errores se han corregido en esta versión arxiv (el artículo que comienza en la página 2 tiene las expresiones corregidas). Erratum: Evolución de la constante Carter para los inspirales en un agujero negro: Efecto de la agujero negro cuádruplo [Phys. Rev. D 75, 124007 (2007)] Éanna É. Flanagan, Tanja Hinderer En Eqs. (3.16), (3.17), (3.18), (3.24), (3.25) y (3.26) de este artículo, la variable r debe ser reemplazada en todas partes por la variable rū, y la variable ♥ debe ser reemplazada por todas partes por la variable. Las definiciones de rû y son: se administra en Eq. 2.11). Estos reemplazos no afectan a ninguno de los resultados posteriores en el documento. También, el lado derecho de Eq. (B3) falta un término −4SLzr y Eq. (2.24) falta un factor de d de Q. Faltan algunos términos en Eqs. (3.18), (3.26) y (3.30) - (3.33). Los términos adicionales en Eqs. (3.18) y (3.26) 15r‡7 −75K2 + 2Kr 15p2r‡7 25p3(3p− 4r 11− 51e2 + 32pr贸3 1− e2 + 6r‡4 1− e2 respectivamente. Esto da lugar a correcciones fraccionarias adicionales a Eq. (3.30) dada por y la expresión completa reemplazando los términos O(Q) en Eq. (3.30) es entonces K = − (1− e2)3/2 Cos(2^) +O(S), O(S2)− términos. Las ecuaciones (3.31), (3.32) y (3.33) contienen errores tipográficos en los términos O(S) y O(Q), se dan las expresiones corregidas abajo. Agradecemos a P. Komorowski por señalar esto. La ecuación (3.31) debe sustituirse por la siguiente: = −64 (1− e2)3/2 − S cos(l) 96p3/2 1064 + 1516e2 + 475e4 149e2 469e2 227e4 Cos(2^) + e2 + [13− cos(2^)] , (0.1) La ecuación (3.32) debe sustituirse por la siguiente: = −304 e(1− e2)3/2 121e2 Se(1− e2)3/2 cos(l) 5p11/2 1172 + 932e2 + 1313e4 Q(1− e2)3/2 785e2 − 219e + 13e6 + 2195e2 + 251e4 + 218e6 Cos(2^) 2e(1− e2)3/2 2 + 3e2 + [13− cos(2^)], (0.2) y el Eq corregido. (3.33) es = S sin(l)(1 − e 2)3/2 p11/2 1− e2 S2 sin(2^) 240p6 8 + 3e2 8 + e2 Q cot(^)(1 − e2)3/2 312 + 736e2 − 83e4 − 408 + 1268e2 + 599e4 Cos(2^) . (0.3) http://arxiv.org/abs/0704.0389v8 Evolución de la constante Carter para los inspirales en un agujero negro: efecto del agujero negro cuadrupol Éanna É. Flanagan1,2 y Tanja Hinderer1 Centro de Radiofísica e Investigación Espacial, Universidad de Cornell, Ítaca, NY 14853, EE.UU. Laboratorio de Física Primaria de Partículas, Universidad de Cornell, Ítaca, NY 14853, EE.UU. (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Analizamos el efecto de la reacción de radiación gravitacional en órbitas genéricas alrededor de un cuerpo con una axisimmétrica masa cuádrupolo momento Q a orden lineal en Q, a la orden post-Newtoniana principal, y al orden lineal en la relación de masa. Este sistema admite tres constantes del movimiento en ausencia de la reacción de radiación: energía, impulso angular a lo largo del eje de simetría, y una tercera constante análogo a la constante Carter. Calculamos las tasas de cambio instantáneas y promediadas por el tiempo de estas tres constantes. Para una partícula de punto orbitando un agujero negro, Ryan [15] ha calculado el la evolución del orden principal de la constante Carter de la órbita, que es lineal en el giro. Nuestro resultado, cuando combinado con una interacción cuadrática en el giro (el acoplamiento del giro del agujero negro a su propio campo de reacción a la radiación), da el siguiente orden de evolución. El efecto del cuádruple, como el del término de giro lineal, es circularizar las órbitas excéntricas y conducir el plano orbital hacia antialineación con el eje de simetría. Además consideramos un sistema de masas de dos puntos donde un cuerpo tiene una sola masa multipolo o multipolo actual de orden l. A orden lineal en la relación de masa, a orden lineal en el multipolo, y a la principal orden post-Newtoniana, demostramos que no existe un análogo de la Carter constante para tal sistema (excepto para los casos de un l = 1 momento actual y un l = 2 masa momento). Por lo tanto, la existencia de la constante Carter en Kerr depende de los efectos de interacción entre los diferentes multipolos. Con suposiciones adicionales leves, este resultado falsifica la conjetura de que todo vacío, espacio-tiempos aximmétricos plantea una tercera constante del movimiento para el movimiento geodésico. Números PACS: 04.25.Nx, 04.30.Db I. INTRODUCCIÓN Y RESUMEN La inspiración de los objetos compactos de masa estelar con masas μ en el rango μ â € 1 â € TM 100 Mâ € en masa agujeros negros con masas M â € ¢ 105 − 107Mâ € es uno de las fuentes más importantes para el futuro espacio-basado Detector de ondas gravitacionales LISA. Observar esos acontecimientos proporcionará una variedad de información: (i) las masas y Los giros de agujeros negros se pueden medir con alta precisión ( 10−4); que puede limitar el crecimiento del agujero negro historia [1]; ii) las observaciones darán una prueba precisa de la relatividad general en el fuerte régimen sobre el terreno y unam- Identifica bigúamente si el objeto central es un negro agujero [2]; y (iii) la tasa de eventos medida dará en- a la compleja dinámica estelar en el nu- clei [1]. Las inspiraciones analógicas también pueden ser interesantes para las etapas avanzadas de los detectores basados en tierra: tiene se estima que el avanzado LIGO podría detectar hasta • 10 − 30 inspirales por año de masa estelar compacta objetos en agujeros negros de masa intermedia con masas M + 102 − 104M+ en cúmulos globulares [3]. Detectar... la información que se extrae de la El flujo de datos requerirá modelos precisos de la gravedad- forma de onda como plantillas para el filtrado emparejado. Por plantillas informáticas, por lo tanto, necesitamos un detallado un- derstanding de la forma en que la reacción a la radiación influye en la evolución de las órbitas atadas alrededor de los agujeros negros Kerr [4–7]. Hay tres parámetros adimensionales caracteriz- ing inspirales de cuerpos en agujeros negros: • el parámetro de giro adimensional a = S/M2 de el agujero negro, donde S es el giro. • la fuerza del potencial de interacción GM/rc2, es decir, el parámetro de expansión utilizado en post- La teoría newtoniana (PN). • la relación de masa μ/M. Para el análisis de datos LISA necesitaremos formas de onda que sean exacto a todos los pedidos en un y â € ~ 2, y a dirigir el orden en μ/M. Sin embargo, es útil tener resultados analíticos en los regímenes a) 1 y/o b) 2 y c) 1. Semejante aproximación los resultados pueden ser útiles como un control de los esquemas numéricos que calculan formas de onda más precisas, para Requisitos de análisis de datos de LISA [1, 6], y para evaluar la precisión del orden principal en μ/M o adiabático aproximación [8-10]. Hay una gran cantidad de literatura sobre tales resultados analíticos aproximados, y en este artículo extenderá algunos de estos resultados a un orden superior. Una dificultad de larga data en la computación de la evolución de órbitas genéricas ha sido la evolución de la órbita “Constante de carro”, una constante de movimiento que gobierna la forma orbital y la inclinación. Un prescrip teórico. Ahora existe para calcular la evolución constante de Carter a todos los pedidos en y en el límite adiabático [9, 11-13], pero todavía no se ha implementado numer- En pocas palabras. En este trabajo nos centramos en la computación analíticamente la evolución de la constante de Carter en el régimen de un 1, 1, μ/M 1, extensión de los resultados anteriores de Ryan [14, 15]. A continuación examinamos la labor analítica existente sobre los efectos de momentos multipolo en formas de onda inspirales. Por non- masas de punto de hilado, la fase de la l = 2 pieza de la forma de onda es conocida por O(+7) más allá del orden principal [16], mientras que las correcciones de giro no se conocen a tan alto Orden. Para estudiar los efectos de orden principal de la central los momentos multipolo del cuerpo en la forma de onda inspiral, en el límite de la masa de ensayo μ + M, uno tiene que corregir tanto el piezas conservadoras y disipativas de las fuerzas en el cuerpos. Para las piezas conservadoras, basta con utilizar el Acción newtoniana para un binario con un multi- adicional potencial de interacción de polos. Para las piezas disipativas, el correcciones multipolo a los flujos en el infinito de la con- cantidades servidas se pueden añadir simplemente a la PN conocida resultados de la masa de puntos. El acoplamiento de giro-órbita de orden más bajo efectos sobre la radiación gravitacional se derivaron por primera vez por Kidder [17], luego extendido por Ryan [14, 15], Gergely [18], y Will [19]. Últimamente, las correcciones de O(+2) más allá de el orden que conduce a los efectos de giro-órbita sobre los flujos se derivaron [20, 21]. Correcciones a la forma de onda debida a la interacción monopolo de la masa del cuádruplo fueron primero considerado por Poisson [22], que derivó el efecto sobre el tiempo promedio de flujo de energía para órbitas ecuatoriales circulares. Gergely [23] extendió este trabajo a las órbitas genéricas y calculado el radiativo instantáneo y el tiempo promediod Tasas de cambio de la energía E, magnitud de mo- el mentum L, y el ángulo فارسى = cos−1(S ·L) entre el spin S y el impulso angular orbital L. En lugar de la Constante Carter, Gergely identificó el promedio angular de la magnitud del momento angular orbital, L̄, como una constante de movimiento. El hecho de que a post-2-Newtonian el orden (2PN) no hay una evolución secular mediada por el tiempo de el giro permitió a Gergely obtener expresiones para Ló y de la fórmula cuádruple para la evolución de la momento angular total J = L+S. En un artículo diferente, Gergely [18] mostró que además del cuádruplo, efectos de giro de auto-interacción también contribuyen a la orden 2PN, que fue visto anteriormente en la perturbación del agujero negro cálculos de Shibata et al. [24]. Calculado gergely el efecto de esta interacción sobre lo instantáneo y tiempo-promedio de los flujos de E y L pero no derivaron el evolución de la tercera constante de movimiento. En este documento, reexaminaremos los efectos de la momento cuádrupole del agujero negro y de la delantera orden spin auto-interacción. Para un agujero negro, nuestro análisis por lo tanto, contendrá todos los efectos que son cuadráticos en el giro a el orden principal en â € 2 y en μ/M. Nuestro trabajo se extenderá trabajos anteriores por • Considerar las órbitas genéricas. • El uso de una generalización natural del tipo Carter constante que se puede definir para dos partículas de punto cuando uno de ellos tiene un cuádruple. Esto facilita Aplicando nuestro análisis a los inspirales de Kerr. • Cálculo instantáneo, así como promedio de tiempo flujos para las tres constantes de movimiento: energía E, componente z de impulso angular Lz, y Constante tipo Carter K. Para la mayoría de los propósitos, sólo los flujos de tiempo-promedio son necesarios como sólo ellos son calibrador invariante y físicamente relevante. Sin embargo, hay un efecto para el cual el tiempo promedio Los flujos son insuficientes, es decir, las resonancias transitorias que se producen durante una inhalación en Kerr en la vicina- ity de geodésicos para los cuales el radial y azimutal las frecuencias son proporcionales [10, 25]. El estado... los flujos taneos derivados en este artículo se utilizarán en [10] para estudiar el efecto de estas resonancias sobre la fase de la onda gravitacional. Analizaremos el efecto de la radiación gravitacional re- acción en órbitas alrededor de un cuerpo con una aximmetría masa cuádruple momento Q a llevar el orden en Q, a la el orden post-Newtoniano, y a dirigir el orden en el relación de masa. Con estas aproximaciones el ap- la proximación sostiene: la reacción gravitacional de la radiación toma lugar sobre una escala de tiempo mucho más largo que el orbital pe- Disturbio, así que la órbita parece geodésica en escalas de tiempo cortas. Nosotros seguir el método de cálculo de Ryan [14]: En primer lugar, cal- Cular el movimiento orbital en ausencia de radiación re- acción y las constantes de movimiento asociadas. Siguiente, nosotros utilizar las aceleraciones de reacción de radiación de orden principal que actuar sobre la partícula (dada por la fórmula Burke-Thorne [26] aumentadas por las correcciones de rotación pertinentes [14]) a calcular la evolución de las constantes de movimiento. En el límite adiabático, las tasas de cambio medias en el tiempo de la constantes de movimiento se pueden utilizar para inferir lo secular o- Evolución bital. Nuestros resultados muestran que un cuádruple de masa tiene el mismo efecto cualitativo en la evolución que el giro: tiende a circular órbitas excéntricas y conducir el orbital plano hacia el antialineamiento con el eje de simetría de el cuádruple. La relevancia de nuestro resultado para las partículas puntuales inspi- entrar en agujeros negros es como sigue. El espacio de vacío... geometría del tiempo alrededor de cualquier cuerpo estacionario es completamente caracterizado por los momentos multipolo de masa del cuerpo IL = Ia1,a2...al y actuales momentos multipolo SL = Sa1,a2...al [27]. Estos momentos se definen como coeficientes en una expansión de serie de potencia de la métrica en el cuerpo Marco de reposo asintótico local [28]. Para casi newtoniano fuentes, son dadas por integrales sobre la fuente como IL Ia1,...al = * x < a1. xal>d 3x, (1.1) SL Sa1,...al = * xpvq* pq<a1xa2. xal>d 3x.(1.2) Aquí está la densidad de masa y vq es la velocidad, y ”< · · · >” significa “simmerizar y eliminar todos los rastros”. Por situaciones aximétricas, los momentos tensores multipolo IL (SL) contiene sólo un único componente independiente, convencionalmente denotado por Il (Sl) [27]. Para un negro Kerr agujero de la masa M y el giro S, estos momentos son dados por Il + iSl =M l+1(ia)l, (1.3) donde a es el parámetro spin adimensional definido por a = S/M2. Nótese que Sl = 0 para par l e Il = 0 para impar l. Considere ahora los inspirales en un cuerpo axiemmétrico que tiene una masa arbitraria y varios polos actuales Il y Sl. Entonces podemos considerar los efectos que son lineales en II y Sl para cada l, efectos que son cuadráticos en el mul- tipoles proporcionales a los efectos Ill′, IlSl′, SlSl′, que son cúbica, etc. Para un cuerpo general, todos estos efectos pueden ser sep- Agradado usando sus escalas, pero para un agujero negro, Il para l par y sl al para l impar [ver Eq.(1.3)], por lo que el ef- los efectos no pueden separarse. Por ejemplo, un efecto físico que escalas como O(a2) podría ser un efecto que es cuadrático en el giro o lineal en el cuádruplo; un análisis en Kerr no puede distinguir estas dos posibilidades. Para esto razón, es útil analizar los tiempos espaciales que son más general que Kerr, caracterizado por la arbitrariedad Il y Sl, como lo hacemos en este periódico. Para trabajos recientes en computación métricas exactas caracterizadas por conjuntos de momentos Il y Sl, Véase Refs. [29, 30] y sus referencias. El efecto de orden principal de los multipolos del agujero negro en el inspiral es el efecto O(a) calculado por Ryan [15]. Este efecto O(a) depende linealmente del giro S1 y es independiente de los más altos multipolos Sl e Il desde estos todas las escalas como O(a2) o más pequeñas. En este artículo computamos el efecto O(a2) sobre el inspiral, que incluye el ing efecto lineal del cuádrupolo del agujero negro (lin- oído en el I2 Q) y el orden principal giro auto-interacción (cuadrado en S1). A continuación discutimos cómo estos efectos O(a2) escala con el Parámetro de expansión post-Newtonian. Considerar primero la dinámica orbital conservadora. Aquí es fácil de ver. que las correcciones fraccionarias que son lineales en la escala I2 como O(a2+4), mientras que los cuadráticos en la escala S1 como O(a 2o, 6o, 6o, 6o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o, 7o. Por lo tanto, los dos tipos de términos se separan limpiamente. Vamos a... poner sólo la orden principal, O(a2+4), término. Por la dissi- contribuciones al movimiento orbital, sin embargo, el Las escalas son diferentes. Hay correcciones en el radio. aceleración de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción de la reacción son O(a2+4) de ambos tipos de efectos lineales en I2 y Cuadrático en S1. Los efectos cuadráticos en S1 se deben a el esparcimiento de la radiación del trozo de espacio... curvatura del tiempo debido al giro del agujero negro. Este efecto fue señalado por primera vez por Shibata et al. [24], que com- puso el flujo de energía promedio de tiempo para órbitas circulares y ángulos de inclinación pequeños basados en una expansión PN de Perturbaciones del agujero negro. Más tarde, Gergely [18] analizó este efecto sobre los flujos instantáneos y medios de tiempo de energía y magnitud del impulso angular orbital en el marco de la PN. La organización del presente documento es la siguiente. In Sec. II, estudiamos la dinámica orbital conservadora de dos partículas de punto cuando una partícula está dotada de un hacha- cuádrupolo isimmétrico, en el débil régimen de campo, y a el orden principal en la proporción de masa. In Sec. III, nos com- Pute las aceleraciones de la reacción de radiación y el estado- Flujos taneos y promedio de tiempo. Con el fin de tener todo las contribuciones en O(a2+4) para un agujero negro, incluimos en nuestros cálculos de aceleración de la reacción a la radiación la interacción que es cuadrática en el giro S1. El ap- aplicación a agujeros negros en Sec. IV examina brevemente la predicciones cualitativas de nuestros resultados y también compara con resultados anteriores. Los métodos utilizados en este artículo sólo se pueden aplicar a la vuelta del agujero negro (como fue analizado por Ryan [14]) y el agujero negro cuádrupolo (como se analiza aquí). Mostramos in Sec. V que para la masa de orden superior y corriente momentos multipolo tomados individualmente, un análogo de la Carter constante no se puede definir al orden de nuestra aproximaciones. Entonces demostramos que bajo un suave assump... ciones, este resultado de la no existencia se puede extender a espacio, falsificando así la conjetura de que todos los vac- uum axisymmetric espaciotiempos poseen una tercera constante de movimiento geodésico. II. EFECTO DE UNA MASA AXISIMÉTRICA CUADRUPOLE SOBRE LA CONSERVACIÓN DINÁMICA ORBITAL Considerar dos partículas de punto m1 y m2 interactuando en Gravedad newtoniana, donde m2 o m1 y donde la masa m1 tiene un Qij de momento cuádrupole que es aximmétrico: Qij = d3xl(r) xixj − r2đij (2.1) ninj − . (2.2) Para un agujero negro Kerr de masa M y giro adimensional parámetro a con eje de giro a lo largo de n, el escalar cuádrupolo es Q = −M3a2. La acción que describe este sistema, a llevar el orden en m2/m1, es μv2 − (r) , (2.3) donde v = es la velocidad, el potencial es Φ(r) = −M xixjQij, (2.4) μ es la masa reducida y M la masa total de la bi- nary, y estamos usando unidades con G = c = 1. Trabajamos para orden lineal en Q, a orden lineal en m2/m1, y el orden en M/r. En este régimen, la acción (2.3) también describe el efecto conservador de la masa del agujero negro Cuadrupol en partículas de ensayo unidas en Kerr, como se discutió en la introducción. Asumimos que el cuádruple Qij es constante en el tiempo. En realidad, el cuádruple evolucionar debido a los pares que actúan para cambiar la orientación del cuerpo central. Una estimación basada en el tratamiento de m1 como un cuerpo rígido en el campo newtoniano dem2 da la escala de la escala de tiempo para que el cuádruplo evolucione en comparación con tiempo de reacción a la radiación como (para más detalles, véase el apéndice I) Tevol (2.5) Aquí, hemos denotado el giro adimensional y cuádruple del cuerpo por S̄ y Q̄ respectivamente, y la última relación se aplica a un agujero negro Kerr. Desde μ/M + 1, el primer factor en Eq. (2.5) será grande, y desde 1/a ≥ 1 y para el régimen relativista M/r + 1, el tiempo de evolución es largo en comparación con la radiación re- tiempo de acción. Por lo tanto podemos descuidar la evolución de el cuádruple a la orden principal. Este sistema admite tres cantidades conservadas, la μv2 + (r), (2.6) el componente z del impulso angular Lz = ez · (μr× v), (2,7) y la constante tipo Carter K = μ2(r× v)2 − 2Qμ (n · r)2 (n · v)2 − . (2.8) (Vea abajo una derivación de esta expresión para K). A. Dinámica orbital conservadora en una Sistema de coordenadas tipo Boyer-Lindquist A continuación nos especializamos en unidades donde M = 1. Nosotros también. definir las cantidades conservadas reescaladas en = E/μ, L­z = Lz/μ, K­ = K/μ 2, y soltar los tildos. Estos spe- cializaciones y definiciones tienen el efecto de eliminar todos los factores de μ y M del análisis. En esférico Coordenadas polares (r, ­, ­) las constantes de movimiento E y Lz se convierte en (2 + r22 + r2 sin2 2)− (1− 3 cos2 Ł), (2.9) Lz = r 2 sin2. (2.10) En estas coordenadas, la ecuación Hamilton-Jacobi no es separado, por lo que una constante de separación K no puede ser fácilmente Derivado. Por esta razón cambiamos a un coordi diferente. sistema nato (r­,, ­) definido por r cos ♥ = rū cos r pecado? = r? pecado . (2.11) También definimos una nueva variable de tiempo cos(2) dt. (2.12) La acción (2.3) en términos de las nuevas variables a lineal orden en Q es rû2 sin2 Sin2 . (2.13) Sin embargo, una dificultad es que la acción (2.13) no dar la misma dinámica que la acción original (2.3). Los razón es que para las soluciones de las ecuaciones de movimiento para la acción (2.3), la variación de la acción desaparece para rutas con puntos finales fijos para los que el intervalo de tiempo Łt está arreglado. Del mismo modo, para las soluciones de las ecuaciones de movimiento para la acción (2.13), la variación de la acción desaparece para rutas con puntos finales fijos para los cuales el intervalo de tiempo - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Los dos conjuntos de caminos variados no son el igual, ya que 6 ° ° ° ° ° en general. Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones Euler-Lagrange para la acción (2.3) no corresponden a las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para la acción (2.13). Sin embargo, en el caso especial de cero- movimientos de energía, los términos adicionales en la variación de la la acción desaparece. Por lo tanto, una manera de evitar esta dificultad es modificar la acción original a ser μv2 − (r) + E . (2.14) Esta acción tiene los mismos extremos que la acción (2.3), y para el movimiento con la energía física E, la energía com- puesto con esta acción es cero. Transformación a la nueva las variables rinden, al orden lineal en Q: rû2 sin2 Sin2 + E − QE cos(2) . (2.15) Los movimientos de energía cero para esta acción coinciden con el mociones de cero energía para la acción (2.14). Usamos esto. acción (2.15) como la base para el resto de nuestra análisis en esta sección. El componente z del impulso angular en términos de las nuevas variables (r.,,., t.) es Lz = r 2 sin2 Sin2 . (2.16) Ahora nos transformamos al Hamiltoniano: p2r − − E − Q Sin2 +QE cos(2) (2.17) y resolver la ecuación hamiltoniana Jacobi. Denotando la constante de separación por K obtenemos lo siguiente dos ecuaciones para los movimientos rû y : = 2E + , (2.18) = K − L Sin2 −QE cos(2). (2.19) Tenga en cuenta que las ecuaciones de movimiento (2.18) y (2.19) tienen la misma estructura que las ecuaciones de movimiento para Kerr movimiento geodésico. Usando Eqs. (2.18), (2.19) y (2.16) junto con la inversa de la transformación (2.11) a orden lineal en Q, obtenemos la expresión para K en Coordenadas polares esféricas: K = r4(2 + sin2 2) +Q( cos (2 + r2 2 + r2 sin2 2)− 2Q Cos2 Ł. (2.20) Esto es equivalente a la fórmula (2.8) citada anteriormente. B. Efectos lineales en el giro en el orbital conservador dinámica Para incluir el lineal en efectos de giro, repetimos Ryan’s análisis [14, 15] (sólo da el final, tiempo medio flujos; también daremos los flujos instantáneos). Nosotros puede simplemente añadir estos lineales en términos de giro a nuestros resultados porque cualquier término de orden O(SQ) será más alto que el orden a2 al que estamos trabajando. La corrección a la acción (2.3) debida al acoplamiento spin-orbit es Sspin−orbit = −2μSn iijkxj k . (2.21) Limitaremos nuestro análisis al caso cuando la unidad vectores ni correspondientes al cuádruplo aximétrico Qij y al giro Si coinciden, como lo hacen en Kerr. Incluyendo el término spin-orbit en los resultados de la acción (2.3) en las siguientes expresiones modificadas para Lz y K: Lz = n · (μr× v)− [r2 − (n · r)2], (2.22) K = (r× v)2 − 4S n · (r× v)− 2Q (n · r)2 (n · v)2 − 1 . (2.23) En términos de la Boyer-Lindquist como coordenadas, el con- cantidades servidas con el lineal en términos de rotación incluidos Lz = r 2 sin2 Sin2 −Q sin4 (2.24) K = r4(2 + sin2 2)− 4Sr sin2 + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + QM + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + QM + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (2 + r22 + r2 sin2 2). (2.25) Las ecuaciones del movimiento son = 2E+ − 4SLz , (2.26) = K − Sin2 −QE cos(2). (2.27) III. EFECTOS LINERALES EN QUADRUPOLE Y QUADRÁTICO EN ESPÍRITU SOBRE LA EVOLUCIÓN DE LOS CONSTANTES DE LA MOCIÓN A. Evaluación de la fuerza de reacción a la radiación La aceleración relativa de los dos cuerpos se puede escribir- 10 como a = (r) + arr, (3.1) donde arr es la aceleración de la reacción a la radiación. Combinar... Esto con Eqs. (2.6), (2.22) y (2.23) para E, Lz y K da las siguientes fórmulas para los derivados de tiempo de las cantidades conservadas: • = v · arr, (3.2) LÃ3z = n · (r× arr), (3.3) Kâ = 2 (r× v) · (r× arr)− n · (r× arr) +2Q(n · v) (n · arr)−Qv · arr. (3.4) La expresión estándar para la radiación de orden principal La aceleración de reacción que actúa sobre uno de los cuerpos es [31]: ajrr = − jk xk + jpqS pk xkxq + jpqS pk xkvq •pq[jS xqvk. (3.5) Aquí los superíndices entre paréntesis indican el número Derivados temporales y corchetes de los índices denotan antisimetría. Los momentos multipolo Ijk(t) y Sjk(t) en Eq. (3.5) son los momentos multipolo totales del espacio-tiempo, es decir. aproximadamente los del agujero negro más los debidos a el movimiento orbital. La expresión (3.5) está formulada en la masa cartesiana asintóticamente centrada (ACMC) co- el sistema, que son desplazados de la coordenadas utilizadas en Sec. II por un importe [28] r(t) = − μ r(t). (3.6) Este desplazamiento contribuye a la reacción de radiación aceleración de las siguientes maneras: 1. El agujero negro multipolo momentos Il y Sl, que son independientes del tiempo en las coordenadas utilizadas en Sec. II, será desplazado por la República Federal de Alemania y, por lo tanto, tributo a la (l + 1) de ACMC multipolo radiativo [28]. 2. Las constantes de movimiento se definen en términos de la coordenadas centradas en el agujero negro utilizadas en Sec. II, así que la aceleración que necesitamos en Eqs. (3.2) – (3.4) es la aceleración relativa. Esto requiere calculat- la aceleración tanto del agujero negro como del masa de punto en las coordenadas ACMC utilizando (3,5), y luego restando para encontrar arr = a rr − aMr [14]. Al primer orden en μ, el único efecto de la aceleración el agujero negro es a través de una reacción posterior de la campo de radiación: el lth agujero negro momentos pareja al (l+1)momentos radiativos, produciendo así una contribución adicional a la aceleración. Para nuestros cálculos en O(S1) 3), O(I2+) 4), O(S21+) 4), nosotros puede hacer las siguientes simplificaciones: • Correcciones cuádruples: Las correcciones fraccionarias lineal en I2 = Q que escala como O(a 2o 4) sólo requieren el efecto de I2 sobre la dinámica orbital conservadora como se calcula en Sec. IIA y el Burke-Thorne por... mula para la aceleración de la reacción de radiación [dada por el primer término en Eq. (3.5)]. • spin-spin correcciones: Como se discutió en la introducción la reducción, las correcciones fraccionarias cuadráticas en S1 a la escala de dinámica conservadora como O(a2+6) y son efectos de orden subalternos que descuidamos. En O(a2+4), el único efecto cuadrático en S1 es el Retrodispersión de la radiación en el espacio-tiempo curvatura debido al giro. Como se examina en el punto 1. arriba, el dipolo de corriente del agujero negro Si = S1 (tomando el eje z para ser el eje de simetría) contribuir al cuadrúpolo radiativo actual un Monto ij = − S1xilj3. (3.7) El dipolo Si actual del agujero negro se emparejará con el campo de radiación gravitomagnético debido a Sij como , examinado en el punto 2 supra, y contribuir a la aceleración relativa como [14]: aj spinrr = S1-(i3S)-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-(')-('-(')-('-(')-('-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-(')-(')-('-(')-(')-('-(')-(')-('-(' ij. (3.8) Para nuestros propósitos de computación términos cuadráticos en el giro, sustituimos S ij para Sij en Eq. (3.8). Evaluar estos cuadráticos en términos de giro requiere sólo la dinámica conservadora newtoniana, es decir. la resultados de Sec. II y Eqs. (3.2) – (3.4) con el Cuádruple a cero. • correcciones lineales en las tiradas: Aportaciones a estos los efectos son de Eq. (3.5) con la corriente Cuadrupole reemplazado por sólo la contribución de giro (3.7), y de Eq. (3.8) evaluado utilizando sólo el Cuádruplo de corriente orbital. Con estas simplificaciones, reemplazamos la expresión (3.5) para la aceleración de la reacción de radiación con ajrr = − jk xk + jpqS (6) Giro pk xkxq jpqS (5) spin pk xkvq + •pq[jS (5) spin S1Łi3 5) órbita ij + S (5) spin . (3.9) Para justificar estas aproximaciones, considere la escala de la contribución de la aceleración del agujero negro a la órbita Dinámica. La masa y los multipolos actuales del negro agujero contribuyen términos a la Hamiltonian que escala con 2l+3 + 2l+2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + (3.10) Desde las escalas de energía newtonianas como â € 2, el fraccionario corrección a la escala de dinámica orbital como • H/E • Sl+2l+1 & Il+2l. (3.11) A O(4), los únicos momentos radiativos multipolo que con- tributo a la aceleración (3.5) son el cuádruplo de masa I2, el pulpolo de masa I3, y el cuádruplo actual S2 (cf. [17]). Ya que nos estamos centrando sólo en el líder o... der términos cuadráticos en spin (estos simplemente se pueden añadir a la partícula de punto conocido 2PN y 1,5PN lineal en rotación resultados), los únicos términos en Eq. (3.5) relevante para nuestro pur- las poses son las dadas en Eq. (3.9). Los resultados de un estudio cálculo de la perturbación métrica totalmente relativista para los inspirales del agujero negro [24] muestran que cuadrático en la vuelta correcciones a la l = 2 piezas en comparación con el espacio plano La fórmula Burke-Thorne aparece por primera vez en O(a2+4), que es concordante con los argumentos anteriores. B. Flujos instantáneos Evaluamos la fuerza de reacción a la radiación de la siguiente manera. La masa total y el momento cuádruple actual de la sistema son QTij = Qij + μxixj, (3.12) STij = S ij + xijkmxkm, (3.13) donde de Eq. (2.11) rì sin porque, rн sin sin................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... rì cos . (3.14) Sólo el segundo término en Eq. (3.12) contribuye a la tiempo derivado del cuádruplo. Distinguimos cinco veces mediante el uso cos(2) , (3.15) a la orden que estamos trabajando como se discutió anteriormente. Af- cada diferenciación, eliminamos cualquier ocurrencia de d.a/dt.a utilizando Eq. (2.24), y eliminamos cualquier ocurrencia Derivados del segundo tiempo de pedido d2r.o/dt.o2 y d2/dt.o2 a favor de los derivados de tiempo de primer orden utilizando (el tiempo Derivados de) Eqs. (2.26) y (2.27). Para computar la términos lineales y cuadráticos en S1, establecemos el cuádruple Q a cero en todas las fórmulas. Insertamos el resultado ex- presión en la fórmula (3.9) para la autoaceleración, y luego en Eqs. (3.2) – (3.4). Eliminamos (dr./dt....)2, (d/dt?)2, y (dl/dt?) a favor de E, Lz, y K utilizando Eqs. (2.24) – (2.27). En las expresiones finales para el in- flujos estantáneos, mantenemos sólo los términos que son de O(S), O(Q) y O(S2) y obtener los siguientes resultados: 15r‡4 − 40K 272KE 196K2 + rœ2 − 3668 Kr. − 352KEr. + 1024 Erс3 + E2r­4 −49K2 − 169KL2z + r + 2r + 47KE + − 152 r­3E − 16r­4E2 −562K2 + Krū − rû2 + KErœ2 − r­3E − 160r­04E2 cos(2) sin(2) 439K − 926 r. − 1528 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −K2 + 22 Krū − 28 rû2 + KErû2 − 236 rœ3E − 32 rœ4E2 cos(2)− rœ3 sin(2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −49K2 + 6KL2z + 2r 63K − 16 L2z − + r‡2 112KE − 48 − 1652 rœ3E − 224 rœ4E2 , (3.16) Lóšz = 144LzE − 24KLz −50K2 + 240KL2z + Kr. − 7376 L2z rс + r­2 + 56KEr­2 − 1824 EL2z r Erс3 + E2r­4 50K2 − 62 Krс − 316 rû2 − 56KErû2 − 624 Erû3 − 128 E2r­4 cos(2) −104K + 64r sin(2) r 660Erû2 + 753r 360L2z − 435K + 1601r 1512r‡2E − 1185K cos 2 174QLz sin(2) r 2S2Lz Er­2 + 16r­ − 9K , (3.17) 20rс + 18rс2E − 15K 280K2 − 14008 Krû + rû2 + Erû3 − 2528 KErû2 + E2r­4 −45K2 + r­L2z(83 + 80r­E)− 115KL2z + 14Kr­(6 + 5r­E) 15r‡7 cos(2) −2175K2 + 2975Kr 80r 15r‡4 3075K − 20r. − 192Er. sin(2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7K − 2L2z −3K + 16 +K cos(2) 3K − 16 r. − 24 sin(2) −4K + *.............................................................................................................. (3.18) C. Conjunto alternativo de constantes del movimiento Un cuerpo en una órbita enlazada genérica en Kerr traza un abrir elipse precessing sobre el eje de giro del agujero. Por órbitas estables el movimiento se limita a una región toroidal cuya forma está determinada por E, Lz, K. El movimiento puede caracterizarse equivalentemente por el conjunto de constantes ángulo de inclinación, excentricidad e y recto semilatus p definida por Hughes [32]. Las constantes ι, p y e son definido por cos ^ = Lz/ K, y por r = p/(1± e), donde r son los puntos de inflexión del movimiento radial, y r es la coordenada radial Boyer-Lindquist. Este param... eterización tiene una interpretación física simple: en el Newtonian límite de p grande, la órbita de la partícula es un elipse de excentricidad e y semilatus recto p en un plano cuyo ángulo de inclinación al plano ecuatorial del agujero es - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! En el régimen relativista p â € M, esta interpretación de las constantes e, p, y ι ya no son válidas porque la órbita no es una elipse y no es el ángulo en el que la objeto cruza el plano ecuatorial (ver Ryan [14] para un debate). Adoptamos aquí definiciones análogas de constantes de motion ('), e y p, a saber: cos(l) = Lz/ K, (3.19) = r. (3.20) Aquí K es la cantidad conservada (2.23) o (2.25), y r son los puntos de inflexión del movimiento radial usando el r Coordenada definida por Eq. (2.11), dado por la desaparición del lado derecho de Eq. (2.26). Ahora reescribimos nuestros resultados en términos de la nueva Estantes de la moción e, p y i. Podemos usar Eq. (2.26) junto con las ecuaciones (3.19) y (3.20) para escribir E, Lz y K como funciones de p, e y i. Para dirigir el orden en Q y S que obtenemos K = p 1 - 2S cos 3 + e2 1 + e2 ) 2Q cos2 3 + e2 , (3.21) E = − (1− e 2S cos 1− e2 1− e2 cos2 1 , (3.22) p cos ^ 1− S cos ^ (3 + e2)− 1 + e2 ) Q cos2 3 + e2 . (3.23) Como se explica en la introducción, los efectos cuadráticos en S en la escala de dinámica conservadora como O(a2+6) y por lo tanto no se incluyen en este análisis a O(a2+4). Insertar estas relaciones en las expresiones (3.16)– (3.18) da, bajando los términos de O(QS), O(Q2) y O(QS2): • = − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15p2r‡7 75p4 − 100p3r 11− 51e2 + 32pr贸3 1− e2 )− 6r‡4 1− e2 4S cos 15p7/2r 735p6 − 2751p5rс + 10p4rс2(365− 6e2)− 128prс5(1− e2)2 − 48rс6(e2− 1)3 64S cos ι 15p3/2r‡6 5p(−23 + 3e2)− 3r(−9 + e2 + 8e4) 15p4r 4005p6 − 6499p5r 1577-1977e2 − 24r‡6 1− e2 )3 − 32p3r 8− 33e2 + 64pr‡5 1− 2e2 + e4 15p4r 24p2r‡4 5− 27e2 + 22e4 − pr贸3 sin(2) 6585p2 − 4630pr 2292r‡2(1 − e2) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 15p4r 2p2 cos(2) 4215p4 − 7495p3rс + 4p2rс2(1151− 951e2)− 1012prс3(1− e2) + 300rс4(1− 2e2 + e4) 15p4r Cos(2^) 2535p6 − 3307p5rс + 12p4rс2(37− 237e2)− 48rс6(1− e2)3 + 800p3rс3(1 + e2) + 128prс5(1− 2e2 + e4) 15p2r‡5 Cos(2^) 1 + 2e2 − 3e4 15p2r 84r‡4(1− e2)2(1 + e2)2 + 345p4 − 905p3r 15p2r cos(2) 15p4 − 110p3rс + 4p2rс2(47− 12e2)− 118prс3(1− e2) + 24rс4(1− e2)2(1 + e2)2 15rс9 Cos(2^) 45p2 − 80prû + 36rû2(1− e2) 15pr‡6 sin(2) r 15p2 + 10pr , (3.24) Lóšz = − 8 cos 15p2 − 20prû + 9rû2(1 − e2) 15p2r‡7 525p4 − 1751p3rс + 34p2rс2(61− 6e2) + 12prс3(−69 + 29e2) + 6rс4(17 + 2e2 − 19e4) 15p2r‡7 375p4 − 93p3rс + 468prс3(1− e2)− 10p2rс2(58 + 21e2)− 48rс4(1 − 2e2 + e4) cos(2) 15p2r‡7 450p4 − 922p3rс − 60prс3(3 + e2)− 9p2rс2(−83 + 23e2) + 27rс4(1 + 2e2 − 3e4) Cos(2^) 13p2 − 8prû + 4rû2(1− e2) sin(2) r − Q cos 5p5/2r‡7 615p4 − 753p3r 19− 31e2 + 20pr贸3 1 + 3e2 + 9r‡4 1− 6e2 + 5e4 − Q cos 5p1/2r cos(2) 1185p2 − 1601pr 756r‡2(1− e2) − 2Q cos 5p5/2r‡7 2 cos(2^) 45p4 − 18r?4e2(1− e2)− 45p2r?2(1 + e2) + 20pr?3(1 + e2) − 435p3rØ3 sin(2) r 2 cos p1/2r‡7 9p2 − 16pr + 36 rœ2(1− e2) , (3.25) 20pr贸 − 15p2 − 9rс2(1− e2) 8S cos ^ 15p3/2r‡7 525p4 − 1751p3rс + 2p2rс2(1172− 57e2) + 12prс3(−99 + 19e2)− 24rс4(−11 + 4e2 + 7e4) 5p2r‡7 −615p4 + 753p3rс + 30p2rс2(17e2 − 9) + 72rс4e2(1− e2)− 40prс3(1 + 3e2) 5p2r‡7 Cos(2^) −345p4 + 249p3rс − 160prс3(1 + e2) + 120p2rс2(1 + 3e2) + 36rс4(1 + 2e2 − 3e4) 15p2r‡7 2 cos(2) 2175p4 − 2975p3rс − 56prс3(1 − e2) + 2p2rс2(713− 753e2) + 42rс4(1 − 2e2 + e4) 15pr‡4 sin(2) 3075p2 − 20prû + 96rû2(1 − e2) −9p2 + 16pr rœ2(1− e2) cos(2) + cos(2^) 3p2 − 16 prū + rœ2(1 − e2) sin(2) r −2p2 + 7 − 4 rœ2(1− e2) . (3.26) D. Flujos medios de tiempo En esta sección vamos a calcular el tiempo infinito- promedios de los flujos. Estos promedios se definen por • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ∫ T/2 • (t)dt. (3.27) Estos flujos de tiempo-promedio son suficientes para evolucionar o- bits en el régimen adiabático (excepto por el efecto de res- oncences) [12, 25]. En el Apéndice II, presentamos dos dif- formas feroces de calcular los promedios de tiempo. La primera el enfoque se basa en desacoplar el movimiento rì y nos- ing el análogo del parámetro de tiempo Mino para geodésico movimiento en Kerr [12]. El segundo enfoque utiliza la ex- plicit Newtonian parametrización del movimiento orbital. Ambos métodos de promedio dan los siguientes resultados: = −32 (1− e2)3/2 e4 − S Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) ,(3.28) # Lóz # # # Lóz # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (1 − e2)3/2 Cos e2 − S 2p3/2 cos + 7e2 + Cos(2^) 45 + 148e2 + Cos(2^) 1 + 3e2 + , (3.29) K = −64 (1 − e2)3/2 e2 − S 2p3/2 + 37e2 + Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) . (3.30) Usando Eqs. (3.21) y (3.23), obtenemos de (3.28) – (3.30) las tasas medias de cambio del tiempo siguiente elementos orbitales e, p, i: = −64 (1− e2)3/2 − S cos(l) 96p3/2 1064 + 1516e2 + 475e4 149e2 469e2 227e4 Cos(2^) + e2 + [13− cos(2^)] , (3.31) = − e(1− e2)3/2 121e2 Se(1− e2)3/2 cos(l) 5p11/2 1172 + 932e2 + 1313e4 Q(1− e2)3/2 785e2 219e4 + 13e6 + 2195e2 + 251e4 + 218e6 Cos(2^) S2e(1− e2)3/2 2 + 3e2 + [13− cos(2^)], (3.32) = S sin(l)(1 − e 2)3/2 p11/2 1− e2 S2 sin(2^) 240p6 8 + 3e2 8 + e2 Q cot(^)(1 − e2)3/2 312 + 736e2 − 83e4 − 408 + 1268e2 + 599e4 Cos(2^) . (3.33) IV. APLICACIÓN A LOS HOLOS NEGROS A. Examen cualitativo de los resultados Los resultados anteriores para los flujos, Eqs. (3.31), (3.32) y (3.33) muestran que los términos de corrección en O(a2­4) debido al cuádruplo tienen el mismo tipo de efecto sobre el evolución como la corrección de giro lineal computada por Ryan: tienden a circular órbitas excéntricas y cambiar la ángulo tal que se haga antialineado con la simetría eje del cuádruple. Los efectos de los términos cuadráticos en spin son quali- Tativalmente diferente. En la expresión (3.28) para, el Coeficiente de cos(2^) debido a la rotación de la auto-interacción ha el mismo signo que el término cuádruple, mientras que los términos que no impliquen la señal opuesta. Los términos en- En el caso de las empresas que participan en el mercado de la información, el importe de la ayuda se estima en 2 000 millones de ecus, lo que supone un aumento de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información, lo que supone un aumento de la capacidad de producción y de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información, lo que supone un aumento de la capacidad de producción y de la capacidad de producción de las empresas que participan en el mercado de la información y en el mercado de la información. (3.30) para K de O(Q) y O(S2) los términos tienen el mismo signo, mientras que los términos no implican Tienen la señal opuesta. El spin-spin-spin fraccionario cor- rection to â â € € TM TM â € TM TM â TM TM â TM TM TM â TM TM TM â TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (3.29), no tiene ninguna dependencia, y en expresión (3.33) para, la dependencia de efectos O(Q) y O(S2) también es diferente. Esto no es... sublevación ya que los efectos O(Q) incluidos aquí son correcciones a la dinámica orbital conservadora, mientras que los efectos de O(S2) que incluimos se deben a la reacción de radiación. B. Comparación con los resultados anteriores Los términos lineales en el giro en nuestros resultados para el tiempo flujos promedio, Eqs. (3.28) – (3.33), estar de acuerdo con los Calculado por Ryan, Eqs. (14a) – (15c) de [15], y con los dados en Eqs. (2.5) – (2.7) de Ref. [33], cuando utilizamos las transformaciones a las variables utilizadas por Ryan dadas en Eqs. (2.3) – (2.4) en [33]. Ecuación (3.28) para el tiempo promedio de flujo de energía está de acuerdo con Eq. (3.10) de Gergely [23] y Eq. (4.15) de [18] cuando utilizamos las siguientes transformaciones: K = L̄2 -1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = L̄2 E cos2 (1 + 2L̄2) sin2 , (4.1) Cos ^ = cos E cos2 (1 + 2L̄2) sin2 , (4.2) (­) + (­), (4.3) 0 = (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + , (4.4) donde las cantidades utilizadas por los Estados miembros son las siguientes: Gergely. La primera relación aquí se obtiene de la curva- los puntos ing del movimiento radial como sigue. Calculamos r en términos de E y K y mapear estas expresiones hacia atrás a r usando Eqs. 2.11). El resultado puede ser com- con los puntos de inflexión en las variables de Gergely, Eq. (2.19) de [23], utilizando el hecho de que E es el mismo en ambos casos. En lugar de la evolución de las constantes de movimiento K y Lz, Gergely calcula las tasas de cambio de la magnitud L del impulso angular orbital y del Ángulo de referencia definido por el punto de referencia (L · S)/L. Usando el trans- las formaciones (4.1) – (4.4) y la definición de que nuestro Eq. (3.29) está de acuerdo con el cálculo Eqs de Gergely. (3.23) y (3.35) en [23] y Eq. (4.30) de [18]. En el límite de las órbitas ecuatoriales circulares analizadas por Poisson [22], nuestro Eq. (3.28) está de acuerdo con el Eq de Poisson. (22) cuando utilizamos las transformaciones y especializaciones: , (4.5) ^ = 0, (4.6) e2 = 0, (4,7) cosαA = 1, (4.8) donde v y αA son las variables utilizadas por Poisson y el relación (4.5) se obtiene comparando las expresiones para las constantes de movimiento en los dos conjuntos de variables. La principal mejora de nuestro análisis sobre Gergely’s es que expresamos los resultados en términos del tipo Carter constante K, que facilita la comparación de nuestros resultados con otros análisis de los agujeros negros inspirales. Nuestros cálculos también incluyen los efectos de dispersión de curvatura de giro para todos tres constantes de movimiento; Gergely [18] sólo considera estos efectos para dos de ellos: la energía y la magnitud de impulso angular, no para la tercera cantidad conservada Tity. Cuando expandamos Eq. (3.28) para pequeñas inclinaciones y gles y se especializan en órbitas circulares, luego después de la conversión p al parámetro v usando Eq. (4.5), obtenemos = − 32 11Q− S = − 32 33 a 527 . (4.9) Este resultado concuerda con los términos atO(a2v4) de Eq. (3.13) de Shibata y otros [24], cuyos cálculos se basaron en las expresiones totalmente relativistas. Este acuerdo es un comprobar que hemos tenido en cuenta todas las contribuciones ciones en O(a2­4). El análisis en Ref. [24] No podía tinguish entre los efectos debidos al cuádruplo y los la debida dispersión de la curvatura, pero podemos ver desde Eq. (4.9) que esas dos interacciones tienen la dependencia opuesta el 1 de enero. Comparando (4.9) con Eq. (3.7) de [24] (que da los flujos hacia los diferentes modos (l = 2,m, n), donde m y n son los múltiplos de las frecuencias de que los términos en los modos (2,±2, 0) y (2,±1,±1) son enteramente debido al cuádruple, mientras que el giro-giro en- los efectos de la teracción están completamente contenidos en los niveles (2,±1,0) y Modos (2, 0, ±1). V. NO EXISTENCIA DE UN TIPO DE CARTERA CONSTANTE PARA MULTIPOLACIONES SUPERIORES En esta sección, mostramos que para un único ejemimétrico interacción multipolo, no es posible encontrar un ana- log de la constante Carter (una cantidad conservada que no corresponde a una simetría del lagrangiano), excepto en los casos de giro (tratado por Ryan [15]) y momento de cuádruple en masa (tratado en este artículo). Nuestro prueba es válida sólo en las aproximaciones en las que nosotros trabajo – expandiendo a orden lineal en la relación de masa, a el principal orden post-Newtoniano, y al orden lineal en el multipolo. Sin embargo vamos a mostrar a continuación que con muy suaves suposiciones de suavidad adicional, nuestra no- el resultado de la existencia se extiende al movimiento geodésico exacto espacio-tiempos de vacío. Empezamos en Sec. VA al demostrar que no hay co- sistema coordinado en el que la ecuación Hamilton-Jacobi es separable. Separabilidad del Hamilton-Jacobi la ecuación es una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de una cantidad conservada adicional. Por lo tanto, este resultado no da información sobre la existencia o la inexistencia de una constante adicional. Sin embargo encontramos que es un resultado sugestivo. Nuestra derivación real de la no-existencia se basa en Poisson bracket compu- tas, y se da en Sec. VB. A. Análisis de la separabilidad Considerar un binario de dos puntos masas m1 y m2, donde la masa m1 esté dotada de un solo axisimmet- ric momento multipolo Sl o masa axiemmétrica momento multipolo Il. En esta sección, mostramos que el Hamilton-Jacobi ecuación para este movimiento, a orden lineal en los multipolos, al orden lineal en la relación de masa y a la principal orden post-Newtoniana, es separable sólo para los casos S1 y I2. Elegimos el eje de simetría para ser el eje z y escribir la acción por un multipolo general como 2 + r22 + r2 sin2 2 + f(r, ) + g(r, ) E]. (5.1) Para momentos de masa, g(r, ­) = 0, mientras que para mo- f(r, ­) = 0. Para un multipolo aximétrico de orden l, las funciones f y g serán de la forma f(r, فارسى) = clilpl(cos) , g(r, ) = dlSl sin Pl(cos ♥) (5.2) donde Pl(cos) son los polinomios de Legendre y cl y dl son constantes. Trabajaremos en orden lineal en f y g. En Eq. (5.1), hemos añadido el término de energía necesario cuando haciendo un cambio de variables de tiempo, cf. el debate anterior Eq. (2.14) en la sección III. Puesto que Ł es una coordenada cíclica, = Lz es una constante de movimiento y el sistema tiene efectivamente sólo dos grados de libertad. Tenga en cuenta que en el caso de un momento actual, habrá término de corrección en Lz: Lz = r 2 sin2 g(r, فارسى). (5.3) A continuación, cambiamos a un sistema de coordenadas diferente (r.,.,........................................................................................................................................................................................................................................................... r = r. + α(r.,, Lz), (5.4) * = + β(r,, Lz), (5.5) donde las funciones α y β aún no están determinadas. Nosotros también definir una nueva variable de tiempo t 1 + γ(r,, Lz) dt. (5.6) Puesto que trabajamos en orden lineal en f y g, podemos trabajar a orden lineal en α, β y γ. A continuación, computamos el acción en las nuevas coordenadas y soltar los tilos. Los Hamiltonian es dado por p2r(1 + γ − 2α,r) + (1− 2α) − 2β, + γ) E(1 + γ) 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna (1− α) + γ)− f − gLz r2 sin2 (5.7) y la ecuación correspondiente Hamilton-Jacobi es â € 1 + + 2V®, (5.8) donde hemos denotado • 1 = J(r, ­) [1 + γ − 2α,r] = 1 + γ − 2α,r + j, (5,9) •2 = J(r, •) 1− 2α − 2β, + γ = 1− 2α − 2β, + γ + j, (5.10) •3 = J(r, •) - r2β,r - r2β,r, (5.11) Vâ = J(r, ­) 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna + γ)− E(1 + γ) − f − gLz r2 sin2 2r2 sin2 (1 + γ − 2α) − 2β cuna  + j) −E(1 + γ + j)− 1 (1− α) + γ + j) −f − gLz r2 sin2 . (5.12) El problema no perturbado es separable, así que problema perturbado separable, hemos multiplicado el Ecuación Hamilton-Jacobi por una función arbitraria J(r), que se puede ampliar como J(r, فارسى) = 1 + j(r, ), donde j(r, ♥) es una pequeña perturbación. Para encontrar una solución de la forma W =Wr(r)+W en primer lugar se especializa en el caso en el que â € 3 = 0: − • 3 = β,rr2 + α, • = 0. (5.13) Distinguimos Eq. (5.8) con respecto a la letra فارسى, utilizando Eq. (5.8) para escribir (dWr/dr) 2 en términos de (dW-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- 2 y luego diferenciar el resultado con respecto a r para obtener 2 1 2V® 1 â € ¢ 1â € 2 . (5.14) Expandiendo Eq. (5.14) a orden lineal en el pequeño entonces produce las dos condiciones para la cinética y la parte potencial del Hamiltoniano para ser separable: 0 = Łr 2α,r − − 2β, , (5.15) sin2 2β,r cuna 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • sin2 + α,r r Pl(cos فارسى) + dlSlLz rl sin Pl(cos) 2α,r- − + 2Er2α,r , (5.16) donde hemos usado Eq. (5.2) para f y g. Por lo tanto, la deberán cumplirse las siguientes condiciones: M4()−N(r) = + 2α,r, (5.17) M1() = 2β cuna 2  + β csc2  + β, -3β,-Cuna-, (5.18) M2() = r 2r(r 2β,r), (5.19) M3(­) = 2rα,r­ − α,­ + Pl(cos) −Silz (csc) Pl(cos)). (5.20) Aquí, las funciones M y N son la integración arbitraria constantes. Resolver la condición para que el término cinético sea sep- cultivable, Eq. (5.17), junto con Eq. (5.13) da la solución general que va a cero en general r como Cos(n/23370/ + /), (5.21) β = − A Sin(n/23370/ + /), (5.22) donde A y ν son arbitrarios y n es un entero. Estos las funciones deben cumplir las condiciones (5.18) – (5.20) en orden para que el término potencial sea separable también. A ver cuando este será el caso, empezamos por considerar Eq. (5.20). Sustitución del ansatz general α = a1(r)a2(l) muestra que a′2 = P l o a 2 = (csc-P) ′ dependiendo de si una masa o una corriente multipolo está presente. Los función a1(r) se determina a partir de 0 = 2ra′1 − a1 + clil/r (l−1) dlSlLz/r (5.23) Por lo tanto, [cll/(2l)] r (1–l) [dlSlz/(2l+ 1)] r (5.24) para que obtengamos momentos de misa Pl(cos) , β = P ′l (cos فارسى) (5.25) y para los momentos actuales dlSlLz 2l+ 1 csc P ′l (cos) , (5.26) dlSlLz (2l+ 1)(l + 1) (csc  P ′l (cos)) , (5.27) donde hemos utilizado la condición (5.13) para resolver para β. Sustitución de esto en Eq. (5.19) determina que l = 2 para momentos de masa y l+1 = 2 para momentos actuales. Por a l = 2 momento de masa, las condiciones (5,17) y (5,18) son satisfecho también, con n = 2 y ν = 0. Para el caso de un l = 1 momento actual, el término adicional inH es independiente De todos modos. Pero para cualquier otra interacción multipolo, la ecuación Hamilton-Jacobi no será separable. Por ejemplo, para el actual pulpole Sijk, el último término en Eq. (5.7) es proporcional a S3Lz(5 cos 2 - 1)/r5 y Por lo tanto, no es separable. De Eq. (5.2) se puede ver que, para un multipolo general, las funciones f o g contienen diferentes poderes de porque aparece con el mismo poder de r ya que los polinomios de Legendre se pueden ampliar como [34]: Pl(cos ♥) = (−1)n(2l−2n)! ¡2ln!(I − n)!(I − 2n)! (cos.)l−2n, (5.28) donde N = l/2 para l par y N = (l + 1)/2 para l impar. No será posible cancelar todos estos términos con (5.21) – (5.22) para l > 2. El caso en el que â € 3 es no-desavanecimiento sólo será sepa- ble si todos los coeficientes son funciones de r o de  solamente, y si además, el potencial también depende sólo de r o en la línea de correo electrónico: Lograr esto para nuestro problema no será posible. porque el potencial no puede ser transformado a la forma necesario para la separabilidad. B. Derivación de la inexistencia de constantes del movimiento En esta subsección, mostramos usando los corchetes de Poisson que para una única interacción aximétrica multipolo, a lineal orden en el multipolo y la relación de masa, una primera integral análogo a la constante Carter no existe, excepto para los casos de masa de cuádruple y spin. Supongamos que tal constante existe. Nosotros escribimos el Hamiltoniano correspondiente a la acción (5.1) como H = H0 + H y la constante tipo Carter como K = K0 + (pr., p., p., Lz, r.), donde: 2r2 sin2 , (5.29) H = − clil Pl(cos)− dlSlLz rl+2 sin Pl(cos)(5.30) K0 = p sin2 . (5.31) Computando el soporte Poisson da, al orden lineal en las perturbaciones 0 = {H0, K H, K0} (5,32a) * K + H,K0}, (5.32b) donde hemos utilizado que {H0,K0} = 0 y el hecho de que {H0, ♥K} = d(K)/dt. Aquí, d/dt denota el tiempo total derivado a lo largo de una órbita (r(t), (t), pr(t), p/23370/(t)) de H0 en espacio de fase. La ecuación diferencial parcial (5.32a) para Por lo tanto, K se reduce a un conjunto de equa- ciones que pueden integrarse a lo largo de las órbitas individuales en el espacio de fase. El movimiento no perturbado para una órbita atada está en una plano, así que podemos cambiar de esférico a plano polar co- ergonomias (r, ). En términos de estas coordenadas, tenemos H0 = p r/2+p •/2, K0 = p *, y cos. * = pecado* sin(0), con cos ^ = Lz/ K y la constante â € ~ 0 que denota el ángulo entre la dirección del periastro y el intersección entre el plano orbital y ecuatorial. Luego Eq. (5.32) pasa a ser K = η(t), (5.33) η(t) = − 2pÃ3s dlSlLz sin ι rl+2(t) Pl(pecado)(t)+(0)) cos((t) + 0) 2pÃ3sito clill rl+1(t) Pl(pecado)(t)+(0)). (5.34) Para las órbitas no enlazadas, siempre se puede integrar Eq. (5.33) para determinar el valor de K. Sin embargo, para los periódicos consolidados órbitas hay una posible obstrucción: la solución para la cantidad conservada K0 + K se valorará por sí sola si y sólo si la integral de la fuente sobre la órbita cerrada desaparece, • Torb η(t)dt = 0. (5.35) Aquí, Torb es el período orbital. En otras palabras, la par- Ecuación diferencial de tial (5.32) tiene una solución sólo si se cumple la condición (5.35). Esto es lo mismo. condición obtenida por el Poincare-Mel'nikov-Arnold método, una técnica para mostrar la no integrabilidad y la existencia de caos en ciertas clases de dy- sistemas náuticos [35]. Por lo tanto, basta con demostrar que la condición (5.35) es violado para todos los multipolos que no sean el giro y la masa Cuádruple. Para realizar la integral en Eq. (5.35), utilizamos la parametrización para el movimiento no perturbado, r = = K3/2/(1+ e cosá)2, de modo que la condición de existencia de una cantidad conservada K0 + K se convierte en clil(1 + e cos l - 1 / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - dlSlLz K sine (1 + e cos)l Pl(pecado) cos( + 0) (5.36) En términos de la variable χ = • + • 0 − η/2, Eq. (5.36) puede ser escrito como dχcll [1 + e(sin °0 cos cos °0 sin °x)]l−1 Pl(sin ^ cosχ) dlSlLz Sin [1 + e(sin °0 cos cos °0 sin °x)]l Pl(sin ^ cosχ) . (5.37) Insertando la expansión (5.28) para Pl(cosχ), tomando los derivados, y utilizando la expansión binomial para el primer término en Eq. (5.37), obtenemos 0 = clil Alnjk e j(pecado)l−2n(pecado)0 k(cos'0) dχ (sinχ)j−k+1(cosχ)k+l−2n−1 dlSlLz Blnjk e j(sin)l−2n−1(sin}0) k(cos'0) dχ (sinχ)j−k+1(cosχ)k+l−2n−2. (5.38) Los coeficientes Alnkj y Blnkj son Alnkj = (−1)n+k+1(l − 1)!(2l − 2n)! ¡2ln!(I − 1− j)!k!(j − k)!(I − n)!(I − 2n− 1)! , Blnkj = (−1)n+kl!(2l - 2n)! ¡2ln!(I − j)!k!(j − k)!(I − n)!(I − 2n− 2)! . (5.39) La única contribución no evasiva a las integrales en Eq. (5.38) vendrá de los términos con los poderes pares de ambos cosxx y sinxx. Estos pueden ser evaluados como múltiplos de la función beta: 0 = clil Clnjk e j(pecado)l−2n(pecado)0 k(cos'0) j−k ♥(j−k+1),even (l+k−1),even dlSlLz Dlnjk e j(sin)l−2n−1(sin}0) k(cos'0) j−k ♥(j−k+1),even (l+k),even. (5.40) Aquí, los coeficientes son Clnjk = 2o( j) + 1)(k) − n+ 1) Alnkj, Dlnjk = 2o( j) + 1)(k) − n− 1 − n+ 3 Blnkj (5.41) Eq. (5.40) muestra que para l par, términos con j = even (odd) y k =odd (even) dan un contribu- para el caso de una masa (corriente) multipolo, y por lo tanto K0°K no es una cantidad conservada para el mo- tion. Tenga en cuenta que los términos con j = even y k = odd para par l ocurre sólo para l > 3, por lo que para l = 2 la masa cuádrupolo término en Eq. (5.40) desaparece y por lo tanto existe un análogo de la constante Carter, que es consistente con nuestros resultados de Sec. II y nuestro análisis de separabilidad. Por impar l, términos con j =odd (even) y k =even (even) son finito para Il (Sl). Tenga en cuenta que para el caso l = 1 de la vuelta, los derivados con respecto a χ en Eq. (5.37) evaluar a cero, por lo que en este caso también existe un tipo Carter con- Stant. Estos resultados muestran que para un multipolo general salvo I2 y S1, no habrá un tipo Carter constante para tal sistema. 1. Tiempos de vacío exactos Nuestro resultado sobre la no-existencia de una con- stant se puede extender, con suave suavidad assump- ciones, para falsificar la conjetura de que todo exacto, axisymmet- ric vacuum spacetimes plantea una tercera constante de la ión para el movimiento geodésico. Específicamente, arreglamos un multipolo orden l, y asumimos: • Existe una familia de un parámetro (M, gab(l)) de espaciotiempos, que es suave en el parámetro , De tal manera que ♥ = 0 es Schwarzschild, y cada espacio- time gab() es estacionario y aximmétrico con de los campos de matanzas y de los campos de que todos los momentos de masa y multipolo actuales de el espacio tiempo desaparece excepto por el de orden l. Por motivos físicos, se espera un parámetro familia de métricas con estas propiedades para existir. • Denotamos por H(l) el hamiltoniano en el bronceado- gent haz overM para el movimiento geodésico en el met- ric gab(l). Por hipótesis, existe para cada uno una cantidad conservada M() que es funcionalmente independiente de la energía conservada y angular impulso. Nuestra segunda suposición es que M( es diferenciable en el caso de  en el caso de  = 0. Uno esperaría esto es cierto por motivos físicos. • Asumimos que la cantidad conservada M( invariante bajo las simetrías del sistema: LM() = LM() = 0, donde y son las extensiones naturales a la 8 espacio de fase dimensional de los vectores Killing y el Sr. Esta es una suposición muy natural. Estas suposiciones, cuando se combinan con nuestro resultado de la sección anterior, conducen a una contradicción, mostrando que la conjetura es falsa bajo nuestras suposiciones. Para demostrar esto, empezamos señalando que M(0) es una cantidad servida para el movimiento geodésico en Schwarzschild, así que debe ser posible expresarlo como alguna función f de las tres cantidades conservadas independientes: M(0) = f(E,Lz,K0). (5.42) Aquí E es la energía, Lz es el momento angular, y K0 es la constante Carter. Diferenciando la re- exacta {H(l),M(l)} = 0 y la evaluación en l = 0 da {H0,M1} = {E,H1 {Lz, H1 {K0, H1}, (5.43) donde H0 = H(0), H1 = H ′(0), y M1 = M ′(0). As Antes, podemos considerar que se trata de un equa diferencial parcial. sión que determina M1, y una condición necesaria para soluciones para existir y ser un solo valor es que la integral del lado derecho sobre cualquier órbita cerrada deberá desaparecer: {E,H1 {Lz, H1 {K0, H1} (5.44) Ahora estrictamente hablando, no hay órbitas cerradas en el espacio de fase de ocho dimensiones. Sin embargo, la ar- la sección anterior se aplica a las órbitas que se cierran en el espacio de cuatro dimensiones con coordenadas (r, ­, p, p­), ya que por la tercera suposición por encima de todas y cada una de las la cosa es independiente de t y ♥, y pt y p Servido. Aquí (t, r,.................................................................................. (pt, pr, p., p., p.) son los correspondientes conjugados momenta. A continuación, podemos tirar de los derivados parciales F/E etc. fuera de la integral. Entonces es fácil ver que el primero dos términos desaparecen, ya que existe una energía conservada y un componente z conservado de impulso angular para el sistema perturbado. Así, Eq. (5.44) se reduce a {K0, H1} = 0. (5.45) Puesto que M(0) es funcionalmente independiente de E y Lz, la prefabricado Łf/K0 debe ser distinto de cero, por lo que obtenemos {K0, H1} = 0. (5.46) El resultado (5.46) se aplica a las órbitas totalmente relativistas en Schwarzschild. Tenemos que tomar el límite newtoniano de este resultado con el fin de utilizar el resultado que derivamos en el sección anterior. Sin embargo, el límite newtoniano es una luz... sutiles ya que las órbitas newtonianas son cerradas y genéricas Las órbitas relativistas no están cerradas. Ahora discutimos cómo el Se toma el límite. La integral (5.46) es tomada sobre cualquier órbita cerrada en el espacio de cuatro fases dimensionales (r, ­, pr, p­) que responde a una geodésica en Schwarzschild. Tales órbitas son no genéricos; son las órbitas para las que la entre las frecuencias radial y angular es una Número racional. Denotamos por qr y q los perceptores correspondientes a las mociones r y ♥ [36]. Estos las variables evolucionan con el tiempo adecuado qr = qr,0 + q.47b) = q.47b) donde qr,0 y q.o,0 son los valores iniciales. Denotamos el integrand en Eq. (5.46) por I(qr, qo, a, ­, ^), donde yo es alguna función, y a, y a son el parame- ters de la geodésica definida por Hughes [32] (funciones de E, Lz y K0). El resultado (5.46) se puede escribir como ∫ T/2 d I[qr(l), q­(l), a, ­, ^] = 0, (5,48) donde T = T (a, ­, ^) es el período de la moción r, ­. Puesto que las variables qr y q 2η, podemos expresar la función I como una serie de Fourier I(qr, q­o, a, ­, ^) = n,m= Inm(a, l, l)einqr+imql. (5.49) Ahora combinando Eqs. (5.47), (5.48) y (5.49) da n,m= Inm(a, l', l')einqr,0+imq,0 ×Si [(nÃ3r +m)T/2], (5.50) donde Si(x) = sin(x)/x. Desde las condiciones iniciales qr,0 y q.0 son arbitrarios, se deduce que Inm(a, ­, ■)Si [(n­ñr +m)T/2] = 0 (5,51) para todos n, m. A continuación, para las órbitas cerradas la relación de las frecuencias debe ser un número racional, así que , (5.52) donde p y q son enteros sin factor en común. Estos números enteros dependen de a,... y......................................................................................................................... El período T es dados por 2η/T = q.......................................................................................................................................................................................................................................................... El segundo factor en Eq. (5.51) ahora simplifica (np+mq) , (5.53) que desaparece si y sólo si n = n̄q, m = m̄p, n m̄ 6 = 0, (5,54) para números enteros n̄, m̄. De ello se deduce que Inm(a, ­, ^) = 0 (5,55) para todos los n, m excepto para los valores de n, m que satisfagan condición (5,54) Considere ahora el límite newtoniano, que es el límite a → • manteniendo fijas y la masa de la agujero negro. Denominamos por IN(qr, q.a,.a,.a) el newtoniano límite de la función I(qr, q La integral (5.48) en el límite newtoniano es dado por el cálculo anterior con p = q = 1, ya que r = en este límite. Esto da d-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N)-(N-)-(N)-(N-(N)-(N-(N)-(N)-(N-(N)-(N-(N)-(N)-(N)-(N)-(N-(N)-(N-)-(N-(N)-(N-)-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-(N-)-)-(N-(N-(-)-)-(N-)-(-1-)-(N-ona-)-)-ona-ona-ona-(-1-(-1-ona-)-ona-) INn,-n(a, ­, ■) ein(qr,0−q­o,0), (5.56) donde INnm son los componentes Fourier de IN. En el subsección anterior, mostramos que esta función no es cero, lo que implica que existe un valor k de n para que EN k,−k 6= 0. Ahora, como un →, tenemos r/ → 1, y por lo tanto de Eq. (5.52) existe un valor crítico ac de un tal que los valores de p y q exceden de k para todas las órbitas cerradas con a > ac. (Estamos manteniendo fijos los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores fijos de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los Lo siento. sigue de Eqs. (5.54) y (5.55) que Ik,­k(a, ­, ^) IN k,­k(a, ­, ^) = 0 (5,57) para todos esos valores de a. Sin embargo, esto contradice el hecho Ik,­k(a, ­, ^) IN k,­k(a, ­, ^) → 1 (5.58) como a→ فارسى. Esto completa la prueba. Por lo tanto, si los tres supuestos enumerados al comienzo de esta subsección están satisfechos, entonces la conjetura de que todos el vacío, el espacio-tiempos axiemmétricos poseen un tercer con- Constante de la moción es falsa. Por último, a veces se afirma en el clásico dinam- ic literatura que la teoría de la perturbación no es suficiente potente herramienta para evaluar si la integrabilidad de un sistema se conserva bajo deformaciones. Un ejemplo que se cita a menudo es el Toda celosía Hamiltoniano [38, 39]. Este sistema es integrable y admite un conjunto completo de Estantes de movimiento en involución. Sin embargo, si uno aprox- imita al Hamiltoniano de Taylor expandiendo el poder... sobre el origen al tercer orden, se obtiene un sys- tem que no es integrable. Esto parece indicar que la teoría de la perturbación puede indicar una no integrabilidad, mientras que el sistema exacto todavía es integrable. De hecho, el ejemplo Toda celosía no invalida el método de prueba que utilizamos aquí. Si escribimos la Toda lattice Hamiltonian como H(q,p), entonces la situación es que H(­q,p) es integrable para ­ = 1, pero no es integrable para 0 <  < 1. Expansión de H(lq,p) al tercer orden en l le da a un hamiltoniano no integrable. Por lo tanto, la perturba- El resultado no está en desacuerdo con el resultado exacto sólo no está de acuerdo con el resultado exacto para  = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 En otras palabras, el ejemplo muestra que teoría de la bación puede fallar en dar el resultado correcto para finito los valores de , pero no hay ninguna indicación de que falle en ar- barrios bitralmente pequeños de ♥ = 0. Nuestra aplicación es cualitativamente diferente del ejemplo Toda celosía ya que tenemos una familia de un parámetro de Hamiltonians H(l) que, por supuesto, son integrables para todos los valores de . VI. CONCLUSIÓN Hemos examinado el efecto de un axisimmétrico momento cuádrupole Q de un cuerpo central en la prueba parti- a los inspirales, al orden lineal en Q, a la dirección post- Orden newtoniano, y al orden lineal en la proporción de masa. Nuestro análisis muestra que una generalización natural de la La constante Carter se puede definir para el inter- acción. También hemos analizado el giro de orden principal auto- efecto de interacción debido a la dispersión de la radiación la curvatura del espacio-tiempo debido al giro. Combinación de la efectos del cuádruplo y los efectos de orden principal lineal y cuadrática en el giro, hemos obtenido ex- las presiones para el instantánea, así como el tiempo-promedio evolución de las constantes de movimiento de las órbitas genéricas der reacción de radiación gravitacional, completada en O(a2+4). También hemos demostrado que para una única interacción multipolo Aparte de Q o giro, en nuestras aproximaciones, un Carter- tipo constante no existe. Con leve adicional como... Supuestos, este resultado se puede extender al espacio exacto- tiempos y falsifica la conjetura de que todos los axisimmétricos espacio de vacío posee una tercera constante de movimiento para movimiento geodésico. VII. AGRADECIMIENTOS Esta investigación fue parcialmente apoyada por la subvención NSF PHY-0457200. Damos las gracias a Jeandrew Brink por su útil colaboración. respuesta. Apéndice A: Variaciones de tiempo del cuádruplo: orden de Estimaciones de magnitud En este apéndice, damos una estimación de la escala de tiempo Tevol para que el cuádruple cambie. El análisis en el el cuerpo de este documento es válido sólo cuando Tevol Trr, donde Trr es el tiempo de reacción a la radiación, ya que hemos descuidado la evolución temporal del cuádruplo. Distinguimos ser... Entre dos casos: i) cuando el organismo central no es exactamente spinning pero tiene un cuádruplo, y (ii) cuando el centro cuerpo tiene giro finito, además del cuádrupolo. 1. Estimación de la escala para el caso no pendiente A los efectos de una estimación bruta, la la reacción es la interacción mareal con la energía QijEij Q̄I cos2 Ł, (A1) donde Eij es el campo de mareas, es el ángulo entre el eje de simetría y lo normal al plano orbital de m2, y hemos escrito el cuádrupole como Q-Q-I, donde Q̄ es adimensional y yo es el momento de inercia. Para pequeñas desviaciones del equilibrio, la pieza correspondiente del Lagrangian es esquemáticamente L I2 + Q̄I m2 - ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! (A2) Definimos la escala de tiempo de la evolución Tevol como el tiempo se necesita para que el ángulo para cambiar por una cantidad de orden unidad, y desde la amplitud de las escalas de oscilación más o menos como m2/m1, las escalas de tiempo de la evolución como T−2evol •2orbita, (A3) en los que •2orbita = M/r 3. Por lo tanto, la relación de la evolución escala de tiempo en comparación con la escala de tiempo de reacción a la radiación básculas como Tevol/Trr . (A4) 2. Estimación de la escala para el caso de hilado Cuando el cuerpo está girando el efecto de la marea cou- El plomeo es causar una precesión. A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por: estimación, calculamos el par en m1 debido a la com- el campo newtoniano de panión. Las escalas de par N como Ni.................................................................................................................... (A5) Asumimos que la precesión es lenta, es decir. S̄/m1 , (A6) donde Łprec es la frecuencia de precesión y S̄ = S/m es el giro adimensional. Esto da el aproximado escala de tiempo de precesión como (cf. [37]) Tprec/Trr . (A7) y la escala de tiempo de la evolución es así Tevol/Trr . (A8) Debido a nuestra suposición (A6) de que la precesión es lento, la ecuación (A8) es válida sólo cuando ) S̄2 . (A9) Cuando S̄ es suficientemente pequeño que la condición (A9) es violado, la escala de tiempo pertinente es dada en su lugar por Eq. (A3). 3. Aplicación a los inspirales Kerr Para los inspirales Kerr, S̄ a, Q̄ a2, μ/M â 1 y r â M. (A10) Por lo tanto, la condición (A9) se cumple, y la pre- tiempo de cesión es más largo que el tiempo de reacción a la radiación Tprec/Trr . (A11) Tenga en cuenta que para los inspirales Kerr, ya que r â € TM M ambas fórmulas (A3) y (A7) dan la misma escala. Por otra parte, para los inspirados Kerr, la amplitud de la pre- la cesión será pequeña, de orden la relación de masa μ/M. Esto es a causa de la conservación de los impulsos angulares: régimen tivístico, el impulso angular orbital es un factor de μ/M menor que el momento angular del negro y por lo tanto no puede causar una gran ampliación de la precesión Tude. Incluso si el momento angular orbital en el infinito es grande, la mayor parte se irradiará como saliente ondas gravitacionales durante la fase anterior de la inspi- Ral. Este factor de μ/M se tiene en cuenta cuando considerar la escala de tiempo de evolución, que para los inspirales Kerr reduce a Tevol/Trr . (A12) Desde 1/a ≥ 1, M/r + 1 y M/μ + 1, la evolución tiempo es largo en comparación con el tiempo de reacción a la radiación y podemos descuidar la variación del tiempo del cuádruple en orden principal. Apéndice B: Cálculo de los flujos de tiempo medios 1. Método de verificación que se paraleliza completamente Mediación relativista Comenzamos señalando que las ecuaciones diferenciales (2.26) y (2.27) que rigen las mociones rû y desacoplamiento si definimos un nuevo parámetro de tiempo dtá = dt. (B1) Este es el análogo del parámetro de tiempo Mino para movimiento geodésico en Kerr [12]. Las ecuaciones del movimiento (2.26)–(2.24) se convierten entonces en = Várс(rс), (B2) Várс(rс) = 2Er 4 + 2rс3 − Krс2 − 4SLzr 2L2z , (B3) = V(), (B4) V() = K − Sin2 −QE cos 2, (B5) = Vrū(rū) + V(), (B6) Vrū(rś) = , V() = Sin2 . (B7) Los parámetros t y t+ están relacionados por: = VÃ3trс(rс) + Vátt() (B8) VÃ3trñ(rñ) = rñ 2, Vášt() = Cos 2. (B9) Se sigue de Eqs. (B2) y (B4) que las funciones son periódicos; y denotamos sus periodos por los Estados Unidos y el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. Definimos el movimiento fiducial asociado con las constantes de movimiento E, Lz y K para ser el movimiento con las condiciones iniciales r­(0) = r­min y (0) = min, donde rûmin y min son dados por la desaparición de los lados derecho de Eqs. (B2) y (B4) respectivamente. Las funciones ró (tó) y (tó) asociadas con este fiducial motion son dados por ∫ râ râ râ (tâ ) r贸min Várс(rс) = t, (B10) ∫ (t) min V() = tâ € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (B11) De Eq. (B8) se deduce que t(t) = t0 + VÃ3trñ[rс(t) ′)] + Vt[(t , (B12) donde t0 = t(0). A continuación, definimos la constante de ser el valor medio siguiente: dt′VÃ3r también[rÃ3n(t) ′)] + dd′Vt[(t) ′)]. (B13) Entonces podemos escribir t(t+) como una suma de un término lineal y términos que son periódicos: t(t) = t0 + (B14) en el caso de los términos oscilatorios en Eq. (B12). Para promediar una función a lo largo del parámetro de tiempo conveniente parametrizar rû y en términos de angular variables de la siguiente manera. Para el promedio sobre introducimos el parámetro χ por cos2 (t) = z− cos 2 χ, (B15) donde z− = cos 2 con z− siendo la raíz más pequeña de Eq. (B4): K + 3QE ± (K −QE)2 + 4QEL2z (B16) y donde β = 2QE. Entonces de la definición (B11) de junto con Eq. (B4) y el requisito de que aumenta monótonamente con tá Ão obtenemos β (z+ − z− cos2 χ). (B17) Entonces podemos escribir el promedio sobre tÃo de una funciÃ3n F(tÃo) que es periódico con el período en términos de χ como # F # t # # # # F # t # # # # # F # # # F # # # # F # # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # F # # # # # # # # F # # # # # # # # # F # # # # F # # # # # F # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ddâ € € F(tâ € € € € ~ F[t(χ)] β (z+ − z− cos2 χ) , (B18) donde = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 β (z+ − z− cos2 χ) . (B19) Similarmente, para promedio una función Fr periodo de tiempo, introducimos un parámetro a través de 1 + e cos , (B20) donde el parámetro • varía de 0 a 2η como va r a través de un ciclo completo. Entonces, = P (), (B21) P () Várс[rс()] Pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe, pe... (1 + e cos â € € ~) (B22) El promedio sobre tÃ3 r de Frñ(tà r) se puede calcular a partir de # Frt # # # # Frt # # # Frt # # Frt # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # # Fr # dâ € € TM Frœ/P (â € ~ € ~ ~ € ~ d/P () . (B23) Ahora, una función genérica Fr., [r.(t.), (t.)] será biperiódica. = Fr.,[r.(t.r."), (t.)] = Fr.,[r.(t."), (t. Combinar... en los resultados (B18) y (B23) podemos escribir su promedio como una doble integral sobre la χ y # Fr... # # t... # # # # # Fr... # # # t... # # # # # # # # #... r Fr., [r.(), (χ)] β (z+ − z− cos2 χ) (B24) Para calcular el promedio de tiempo de...................................................................................................................................... para convertir la media de una función sobre tâ € calculada a partir de (B24) a la media sobre t. Como se explica en detalle en [9], en el límite adiabático podemos elegir un intervalo de tiempo Es largo en comparación con la escala de tiempo orbital, pero corto en comparación con el tiempo de reacción a la radiación. Desde Eq. (B12) tenemos t = osc.terms. El oscilador los términos serán limitados y, por lo tanto, serán insignificantes en el límite adiabático, por lo que tenemos que una buena aproximación t = Váñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáññññáñáñññáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñññññáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáññáñáñáñáñáñáñáñáñáññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññññ en los que Vóct Óct Vórtró + Vóttó, cf. Eq. (B8), y de manera similar en el caso de Lóšz y Kóš. Los resultados explícitos que obtenemos utilizando este método son: figura en la sección III, Eqs. (3.28), (3.29) y (3.30). 2. Método de average usando el explícito parametrización de las órbitas newtonianas Para realizar el ahorro de tiempo utilizando este método, nosotros definir un parámetro • via 1 + e cos , (B26) donde el parámetro • varía de 0 a 2η como va r a través de un ciclo completo. Nótese que en Eqs. (3.16) – (3.18) sólo en términos que son lineales en Q, por lo que puede escribir en términos de • usando la relación newtoniana x3 = r cos (B27) Aquí, â € ¢ 0 es el ángulo entre la dirección de la peri- helion y la intersección del orbital y ecuatorial avión. Del mismo modo, para los términos en Eqs. (3.17) y (3.26) podemos utilizar las relaciones newtonianas = e/ p pecado...................................................................................................................................................................... y = p/r2. De Eqs. (2.27) y (B20) (1 + e cos â € € ~)2 −3 + e2 − 2e cos • + 2 cos2 •(8 − e2 + 8e cos • + e2 cos 2 •) , (B28) y de Eq. (2.12) (1 + e cos â € € ~) 2 sin2 ■ sin2(­ + 0)− 1 . (B29) Utilizando estas expresiones, calculamos los flujos promedio de tiempo de = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (dt/dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (dt/dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (dt...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (d...) (B30) y obtener: = −32 (1− e2)3/2 e4 − S Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) cos(2-0) sin cos(2-0) sin , (B31) # Lóz # # # Lóz # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # # Lóz # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # Lóz # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # Lóz # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # (1− e2)3/2 Cos e2 − S 2p3/2 cos + 7e2 + Cos(2^) −3− 45 45 + 148e2 + Cos(2^) 1 + 3e2 + e2 cos(2+0) sin , (B32) K = −64 (1 − e2)3/2 e2 − S 2p3/2 + 37e2 + Cos(l) Cos(2^) Cos(2^) e2 cos(2+0) sin . (B33) En el límite adiabático, los términos que implican cos(2+0) pueden se omiten porque promedian a cero. Como se explicó por Ryan [15], la escala de tiempo de reacción a la radiación para términos La participación de 0 es mucho más larga que el plazo de precesión para la mayoría de las órbitas, por lo que los términos que implican - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Esto es consistente con nuestros resultados para la adia- batic infinito flujo de tiempo promedio utilizando el tiempo Mino parámetro. El método de promedio Mino-tiempo se basó en en el supuesto de que las frecuencias fundamentales son incommensurable y el movimiento llena todo el toro, lo que equivale a un promedio superior a 0 %. [1] L. Barack y C. Cutler, Phys. Rev. D 69, 082005 (2004) [2] K. Glampedakis y S. Babak, Class. Quantum Grav. 23, 4167 (2006) [3] D. A. Brown, et al. gr-qc/0612060 [4] E. Poisson, Living Rev. 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Simulation of Robustness against Lesions of Cortical Networks

Simulación de la robustez contra las lesiones de las redes corticales Título abreviado: Simulación de Robustia de Redes Corticales Marcus Kaiser1,2,3,a, Robert Martin2,4,a, Peter Andras1,2 y Malcolm P. Young2 1 Escuela de Ciencias de la Computación, Universidad de Newcastle, Torre Claremont, Newcastle upon Tyne, NE1 7RU, UK 2 Edificio Henry Wellcome para Neuroecología, Instituto de Neurociencia, Universidad de Newcastle, Framlington Place, Newcastle upon Tyne, NE2 4HH, Reino Unido 3 Universidad Jacobs Bremen, Escuela de Ingeniería y Ciencia, Campus Ring 6, 28759 Bremen, Alemania 4 FR 2-1, NI, Informatik, Technische Universität Berlin, Franklinstr. 28/29, 10587 Berlín, Alemania a Los autores contribuyeron igualmente a este documento Correspondencia: Marcus Kaiser; Escuela de Ciencias de la Computación, Universidad de Newcastle, Claremont Torre, Newcastle upon Tyne, NE1 7RU, Reino Unido; correo electrónico: m.kaiser@ncl.ac.uk Palabras clave: gato, mono macaco, resiliencia, redes libres de escala, redes de mundo pequeño RESUMEN Estructura implica función y por lo tanto una descripción estructural del cerebro ayudará a entender su función y puede proporcionar información sobre muchas propiedades de los sistemas cerebrales, desde su robustez y recuperación del daño, a su dinámica e incluso a su evolución. Avances en el análisis de las redes complejas proporcionan nuevos enfoques útiles para comprender propiedades de las redes cerebrales. Las propiedades estructurales de las redes recientemente descritas permiten caracterización como mundo pequeño, aleatorio (exponencial) y libre de escala. Se complementan con el conjunto de otras propiedades que se han explorado en el contexto de la conectividad cerebral, como la topología, hodología, agrupamiento y organización jerárquica. Aquí aplicamos nuevos métodos de análisis de red a redes corticales de conectividad interareal para los cerebros de gatos y macacos. Comparamos estos redes de fibra corticocortical para comparar redes reconectadas, pequeñas, libres de escala y aleatorias, utilizando dos estrategias de análisis, en las que se miden los efectos de la eliminación de nodos y conexiones en las propiedades estructurales de las redes corticales. La estructura de las redes cerebrales La decadencia es en la mayoría de los aspectos similar a la de las redes libres de escala. Los resultados implican altamente Nodos de hub conectados y conexiones de cuello de botella como base estructural para algunos de los condicionales robustez de los sistemas cerebrales. Esto informa la comprensión del desarrollo de las redes cerebrales». conectividad. INTRODUCCIÓN El cerebro puede ser notablemente robusto para el daño físico. Pérdida significativa del tejido neural puede ser compensada en un tiempo relativamente corto por la adaptación a gran escala de las partes cerebrales restantes (por ejemplo, Spear et al., 1988; Stromswold, 2000; Young, 2000). Por otro lado, la eliminación de la pequeña cantidades de tejido (por ejemplo, en el área de Broca) puede conducir a un grave déficit funcional. Estas conclusiones proporcionar una imagen algo contradictoria de la robustez del cerebro y sugerir una serie de preguntas. ¿Podemos evaluar la robustez efectiva dada esta variabilidad en los efectos de las lesiones cerebrales? ¿Son predecibles la gravedad y la naturaleza de los efectos de los daños localizados? Evaluamos aquí cómo la conectividad los datos de la conectividad del área del cerebro se pueden llevar a cabo en estas preguntas. La funcionalidad de cualquier sistema se basa en sus propiedades estructurales. Para las neurociencias, esto tiene llevó a la exploración de las propiedades estructurales de las redes cerebrales, como la topología, la hodología, la agrupación y la organización jerárquica (por ejemplo, Nicolelis y otros, 1990; Felleman y van Essen, 1991); Young, 1992; Young et al., 1994; Hilgetag et al., 1996; Hilgetag et al., 2000; Sporns et al., 2000; Young, 2000; Petroni y otros, 2001; Sporns y otros, 2004; Kaiser y Hilgetag, 2006). Anticipos recientes en el estudio de las redes han ampliado esas descripciones estructurales tradicionales (Strogatz, 2001), permitiendo caracterizar las redes como mundo pequeño (Watts y Strogatz, 1998), al azar y sin escala (por ejemplo, Barabási y Albert, 1999; Albert y otros, 2000). Las redes del pequeño mundo comprenden barrios locales bien conectados con menos distancias de largo alcance conexiones entre barrios. La longitud de una ruta entre dos nodos, es decir, el número de conexiones que tienen que ser cruzadas para ir de un nodo a otro, es comparable tan bajo como para un red organizada al azar. Las redes libres de escala se caracterizan por su distribución específica de connectividades o grados: el número de conexiones que tiene cada nodo. La distribución de los títulos sigue una ley de poder. Mientras que estas redes pueden tener nodos o centros altamente conectados también redes en las que los nodos tienen al máximo 20 conexiones se han descrito como libres de escala la distribución de los títulos de derecho de poder (Jeong y otros, 2001). Las propiedades de pequeño mundo y libre de escala son compatible, pero no equivalente (véase, por ejemplo, Amaral y otros, 2000). Las redes libres de escala tienen mayor robustez que las aleatorias contra daños localizados al azar, siendo sensibles a los daños dirigidos a sus nodos más ampliamente conectados (Barabási y Albert, 1999; Young, 2000). Esto recuerda las propiedades del cerebro descritas anteriormente. Estudios anteriores han demostrado que las redes funcionales del cerebro humano están libres de escala (Eguiluz et al., 2005). Sin embargo, a nivel de las redes estatales de descanso entre las zonas corticales, se argumentó que Estas redes no son libres de escala (Achard et al., 2006). Aquí analizamos qué patrón ocurre en el nivel de conectividad estructural. Con el fin de establecer, si el cerebro tiene propiedades de libre de escala la integridad y robustez de la estructura de las redes cerebrales se compara con la de las redes aleatorias y libres de escala (una versión anterior de este trabajo se había presentado como un Conference abstract, véase Martin et al., 2001). MATERIALES Y MÉTODOS Datos de conectividad de la estructura cerebral. Utilizamos datos de conectividad inter-areales de Macaque y Cat Cortical (Young, 1993; Young et al., 1994; Scannell et al., 1995) Datos sobre primates (Stephan y otros, 2001; Kötter, 2004). En ambas especies, los datos incluían conexiones entre las regiones corticales del neocórtex. Para el cerebro macaco, consideramos 66 estructuras cerebrales con 608 conexiones entre ellas. En el caso del cerebro del gato, consideramos 56 estructuras y 814 conexiones. Excluimos el cruce... conexiones hemisféricas. Los datos fueron representados como la matriz de conectividad binaria de un gráfico. Los nodos correspondían a las estructuras cerebrales consideradas y a los bordes de las conexiones reportadas entre ellos. Tenga en cuenta que debido a la naturaleza dirigida de las conexiones cerebrales, la matriz de conectividad es no necesariamente simétrico y el gráfico resultante ha dirigido los bordes también. La densidad del borde de el gráfico cerebral macaco, es decir, el número de conexiones reportadas dividido por el número de todos posibles conexiones, es 26,4% (Tab. 1). Para el cerebro del gato, la densidad del borde es del 14,2%. Los hay encendidos. 9.2 conexiones promedio para cada estructura en el cerebro macaco y 14,5 conexiones para el gato estructuras cerebrales (ver material suplementario para las matrices de conectividad). [Cuadro 1 cerca de aquí] Redes de referencia para la comparación. Construimos cableado, sin escala, mundo pequeño, y al azar redes que coincidan con el número de nodos y conexiones de las dos redes cerebrales correspondientes (Tab. 1). La figura 1 muestra ejemplos de pequeñas redes aleatorias y libres de escala para demostrar diferencias en su topología. Para redes aleatorias, el número de conexiones de un nodo está cerca de el valor promedio sobre todos los nodos. Para redes libres de escala, sin embargo, nodos con un mucho mayor número de conexiones puede ocurrir; ver hub en la Fig. 1b. [Figura 1 cerca de aquí] Redes reconectadas. Para redes reconectadas, cada nodo tiene el mismo número de conexiones que en el red original, sin embargo, los objetivos o las fuentes de conexiones podrían haber cambiado. redes cableadas se derivaron de las redes corticales originales del gato y el macaco mediante el intercambio de conexiones de modo que el número total de conexiones de cada nodo siga siendo el mismo (el método para La aleatorización se describe en Milo et al., 2002). Considerando que la distribución del grado sigue sin encadenarse, la arquitectura del clúster se pierde durante el cableado. Por lo tanto, redes reconectadas permiten ver los efectos de la distribución de los títulos por separado. Redes libres de escala. El algoritmo para generar redes de referencia sin escala se basa en Barabási y Albert (1999). Sin embargo, en una modificación de su enfoque empezamos con un gráfico inicial de seis y ocho nodos totalmente conectados, respectivamente, para las redes de referencia de Macaque y Cat. Esto era necesario para garantizar que el coeficiente de agrupamiento (porcentaje medio de conexiones) entre los vecinos de un nodo; véase la definición a continuación) del gráfico inicial coincide con el más alto Coeficiente de agrupación encontrado en la red cerebral correspondiente. Como propusieron Barabási y Albert (1999), se añadieron otros nodos uno por uno al gráfico mediante un accesorio preferencial. En el inicio de este proceso, la probabilidad de que un nuevo nodo está conectado a un nodo existente i es iP ), donde kj es el número de conexiones del nodo j (Barabási y Albert, 1999). Tras el establecimiento de una conexión al nodo i*, las probabilidades se vuelven a calcular para reflejar la naturaleza de la escala libre redes: si i está conectado a j, entonces es más probable que i está conectado a nodos que ya están conectado a j y es menos probable que i esté conectado a nodos que no están conectados a j. Los reescalado se llevó a cabo de acuerdo con next areandif,() conectadoareyif),( iiiPk La probabilidad de las conexiones en ambas direcciones es la misma. Confirmamos que esta modificación La rutina de generación de redes libres de escala ha permitido obtener un grado de distribución de la ley de poder (cf. material suplementario). Redes del mundo pequeño. Las redes del mundo pequeño fueron generadas por redes regulares rewiring como descrito en la literatura (Watts y Strogatz, 1998). La probabilidad de reenlazamiento se ajustó de modo que las redes resultantes tenían un coeficiente de agrupación similar al de las redes corticales respectivas (Tab. Redes aleatorias. Mientras que todas las redes de referencia son generadas por un proceso aleatorio, denotamos Erdös-Renyi redes aleatorias (Erdös y Rényi, 1960) como redes aleatorias en el resto manuscrito. Se generaron redes aleatorias estableciendo cada posible conexión entre nodos con probabilidad p. Esta probabilidad era la densidad de conexión deseada, que significa, el densidad de conexión de las redes cerebrales correspondientes, 14,2% del número de todos los posibles conexiones para el macaco y el 26,4% para el gato. La distribución de los grados en estos aleatorios las redes siguieron una distribución binomial de probabilidad. Para un gran número de nodos esto puede ser aproximadamente por una distribución de Poisson y, por lo tanto, el término «distribución de grado exponencial» es también utilizado (Bollobas, 1985). Similitud gráfica. Para evaluar la discrepancia en la conectividad entre dos redes, primero sus nodos se permutan de acuerdo a su número de conexiones. En segundo lugar, permutado cortical y de referencia las matrices se comparan mirando qué proporción de bordes dirigidos en la matriz de adyacencia que ocurrió en la misma posición en ambas matrices y en el número total de bordes dirigidos. Este porcentaje es entonces la similitud gráfica S entre el gráfico A y B dado el número de conexiones (dirigidas) E: donde es la multiplicación elemento por elemento con un elemento en la matriz resultante no cero si ambos elementos son no-cero; es la suma de todos los elementos en la matriz y por lo tanto produce el número de bordes dirigidos existentes en ambas matrices, ya que estos se denotan por un valor de uno en la matriz. Nota: que las redes de referencia podrían ser más similares de lo que parecen para esta medida como no todas las posibles se probaron los arreglos de los nodos. Probando todas las posibilidades (1092 para el macaco y 1074 para el cat) habría sido computacionalmente inviable. Caracterización de la red. El coeficiente de agrupación muestra la fragmentación de la red. Los coeficiente es la relación del número de bordes existentes entre los vecinos de un nodo i y el número de posibles bordes entre todos estos vecinos. Se consideraron nodos vecinos del nodo i ser todos los nodos que tienen conexiones entrantes o salientes entre ellos y el nodo i. Si un nodo i tiene ki vecinos, a continuación, el número de todos los posibles en- y los bordes salientes entre los vecinos nodos es ki * (ki – 1). El coeficiente en sí es una propiedad local de cada nodo y definimos el promedio coeficiente de todos los nodos para ser el coeficiente de agrupación de la gráfica. Esta es una medida de lo bien que conectados los nodos de la red son. Siguiendo a Albert et al. (2000), consideramos el camino más corto promedio (ASP) o camino característico longitud para caracterizar la conectividad e integridad de la red. La ASP entre cualquiera de los dos nodos en el red es el número de conexiones secuenciales que son necesarias, en promedio, para vincular un nodo a otro por la ruta más corta posible (Diestel, 1997). En caso de que una red se desconecta en el proceso de eliminación de bordes/nodos y no hay ruta entre dos nodos, el par de nodos es ignorado. Si no quedan dos puntos conectados, la ruta media más corta es cero. Usamos Floyd’s algoritmo para determinar la matriz de los caminos más cortos entre cada par de nodos (Cormen et al., 2001). Tenga en cuenta que debido a los bordes dirigidos, la ruta más corta del nodo i al nodo j puede no ser la misma como que de nodo j a nodo i. Determinación del objetivo. Con el fin de determinar la importancia de un nodo para la red general estructura, se ha utilizado una métrica simple, es decir, el número de conexiones formadas por este nodo. In experimentos que requieren la eliminación selectiva de nodos de las redes, los más altamente conectados Nodo fue eliminado. Para proporcionar la métrica correspondiente para la eliminación dirigida de conexiones (bordes) de la red, elegimos la diferencia de borde (Girvan y Newman, 2002), es decir, el número de más corto rutas entre todos los pares de nodos que pasan por el borde. Bordes con alto borde entrelazado son elegido para un ataque selectivo. De hecho, se ha demostrado que la relación entre los bordes se correlaciona altamente con daños estructurales de la red para las redes corticales y otras redes biológicas (Kaiser e Hilgetag, 2004). Métodos de análisis. Utilizamos la eliminación iterativa aleatoria y dirigida de nodos y conexiones a analizar la robustez de las redes contra los daños. Eliminación aleatoria significa que hemos seleccionado un nodo o conexión y lo borró del gráfico independientemente del grado del nodo. En el caso de: eliminación dirigida, hemos seleccionado el nodo o la conexión más importante que queda en la red (véase más arriba). Después de cada eliminación, calculamos la ASP del gráfico resultante. Continuamos la eliminación de nodos o conexiones hasta que todos los nodos fueron eliminados de la red. Para obtener estimaciones de la variabilidad en estas medidas de conectividad, consideramos 50 redes de referencia para cada condición. En los casos de extracción aleatoria, se repitió el análisis de las redes cerebrales 50 veces también. RESULTADOS Distribución por grados de las redes corticales Fig. 2 muestra las distribuciones de grado de macaco y gato en comparación con una distribución de azar redes. En comparación con las redes aleatorias, la red cortical macaca ha estado altamente conectada nodos pero también nodos más escasamente conectados, que recuerdan a redes sin escala. Esto también es cierto. para la red de gatos que muestra un número notable de áreas con pocas conexiones en comparación con redes aleatorias. La tabla 2 muestra los cinco nodos más conectados para el gato y el macaco redes. [Cuadro 2 cerca de aquí] La forma estándar de observar si la red cortical se asemeja a una red libre de escala sería buscar una ley de poder en la distribución de los títulos. Sin embargo, este enfoque sería inapropiado para las redes corticales por tres razones. En primer lugar, el número máximo de conexiones de un nodo es igual al número de regiones en la red menos una, es decir, 65 (macaque) o 55 (cat). Por lo tanto, la distribución de grados sólo consta de dos escalas. En segundo lugar, donde distribuciones de grados con un grado máximo bajo se había estudiado antes (Jeong et al., 2001), el número de nodos fue considerablemente más alto (> 1.800). Como menos de 100 grados forman la distribución de grados, los resultados son Es poco probable que sea robusto. En tercer lugar, existe un problema de muestreo en que la cantidad de desconocido o no las conexiones incluidas podrían cambiar la forma de la distribución del grado (Stumpf et al., 2005). Por lo tanto, utilizaremos medidas indirectas para determinar si las redes corticales son similares a las de escala. redes libres. [Figura 2 cerca de aquí] Similitud del gráfico Mientras que la distribución de grados es una abstracción de la red subyacente, miramos un directo comparación entre las redes corticales y de referencia. Considerando que una medida directa de la red la similitud fue computacionalmente inviable (ver Métodos), comparamos las matrices de adyacencia después de ordenar nodos por sus grados (ver métodos). Luego examinamos la similitud de las redes corticales con diferentes redes de referencia (Fig. 3). Para redes corticales reconectadas, el porcentaje de Los bordes idénticos fueron del 23% para macaco cableado y del 38% para la red de gatos cableado. Curiosamente, las redes sin escala de referencia son tan similares a las redes corticales como las redes corticales reconectadas redes. Por el contrario, la similitud entre las redes aleatorias y las pequeñas del mundo es significativamente menor. Esto puede atribuirse a que la distribución de las redes sin escalas y corticales es comparable como la red reconectada sólo tiene la distribución de grados en común con la red cortical original. Después de estas propiedades estructurales, probamos el efecto de los cambios topológicos en la red general propiedades. [Figura 3 cerca de aquí] Eliminación secuencial de nodos Probamos la influencia de la eliminación secuencial de nodos en la estructura de la red. Nodos fueron eliminado uno por uno de la red, ya sea al azar o apuntado. Trazar el ASP como una función de la fracción de nodos eliminados ilustra la desintegración estructural característica de cada red (Véase la Fig. 4 para el ejemplo de eliminación dirigida de nodos del punto de referencia Macaque redes. El conjunto completo de curvas para los diferentes tipos de análisis está disponible como suplemento material). [Figura 4 cerca de aquí] Fig. 4A ilustra el efecto de la eliminación aleatoria y dirigida de los nodos del cerebro Macaque network. Claramente, la disminución específica de ASP es diferente para las dos estrategias de análisis. Mientras que el eliminación aleatoria causa sólo un aumento lento en el ASP, eliminación dirigida de nodos altamente conectados ha un efecto mucho más fuerte en la estructura de red de la red cerebral. Después de un fuerte aumento en ASP el fragmentos de red en componentes más pequeños. Los caminos más cortos restantes, que son los caminos entre los nodos dentro de los componentes, son más pequeños que en la red original. Este proceso conduce a una red con pares de nodos que están conectados entre sí pero no a otros nodos de la red. En estos los casos, el camino más corto disminuye a un valor de uno. Finalmente, también se eliminan los nodos dentro de pares conduce a un ASP de cero. Fig. 4B-C contrastan esta curva específica con las observadas al eliminar los nodos de los diferentes las redes de referencia de una manera específica. Mientras que el ASP en las redes aleatorias y del mundo pequeño apenas se ve afectada por la eliminación dirigida de una gran proporción de nodos, en la escala libre, como en las redes cerebrales, el efecto de la eliminación de nodos apuntados se manifiesta en un fuerte aumento en este medida. Por otra parte, tanto la escala libre como las redes cerebrales muestran una disminución en el ASP alrededor de la fracción de deleciones, y el comportamiento característico de la red cerebral está dentro del 95% Intervalo de confianza encontrado para el conjunto de redes de referencia sin escala. Este no es el caso para las demás redes de referencia consideradas (véase Fig. 4). Para la red cerebral del gato (Fig. 5), las redes aleatorias y de mundo pequeño muestran un comportamiento diferente para la eliminación de nodos específicos que la red cortical original. Aunque la respuesta del gato a blanco la eliminación de nodos se encuentra en gran medida dentro del intervalo de confianza del 95% para las redes de referencia libres de escala, el valor máximo ASP y la fracción de nodos eliminados donde se produce el pico es menor para el gato red cortical. [Figura 5 cerca de aquí] La disminución de la ASP en una etapa posterior durante el proceso de eliminación, como se observó para el cerebro y las redes libres de escala pueden parecer inusuales y merecer cierta atención adicional. Puede tener dos razones. En primer lugar, podría ser que la red se fragmenta en diferentes componentes desconectados. Cada uno de ellos es más pequeño, y es probable que tenga un ASP más corto. En segundo lugar, la disminución general de la red tamaño con sucesivas eliminaciones puede conducir a una disminución en el camino más corto. Sin embargo, es probable que ser un proceso lento, ya que por lo general se verá compensado por un aumento de la ASP debido a la naturaleza específica de la eliminación. Con el fin de comparar cuantitativamente los diferentes gráficos, consideramos dos medidas. La primera es la máxima ASP medida durante la eliminación de nodos; la segunda es la fracción de nodos eliminados, para que se produce el pico ASP (Fig. 6). Para la fracción del pico ASP, sólo el valor de referencia libre de escala las redes están próximas a la fracción cortical, mientras que todas las demás redes de referencia muestran fracciones más altas. Esto significa que tanto en el cortical como en las redes libres de escala la eliminación de nodos altamente conectados conduce a un rápido aumento de ASP de modo que la fracción de nodos eliminados en que el ASP máximo se produce es más temprano que para otras redes. Sin embargo, el valor máximo para Las redes libres de escala son mayores que las redes corticales. [Figura 6 cerca de aquí] Eliminación secuencial de conexiones También probamos la similitud de la eliminación secuencial de la conexión. Las conexiones fueron eliminadas una después de otro, ya sea al azar o en el blanco. Los detalles completos de la desintegración de las redes se muestran en el material suplementario. Una vez más comparamos el ASP máximo medido durante la eliminación de conexiones y la fracción de conexiones eliminadas, para las que se produce el pico ASP (Fig. 7). [Figura 7 cerca de aquí] Solo las redes de referencia sin escala producen valores similares para la red de gatos y macacos mientras que otras redes producen valores similares para una sola de las redes corticales. DEBATE Hemos comparado las redes de conectividad interárea del cerebro con diferentes tipos de referencia redes, incluyendo redes aleatorias, libres de escala, y pequeñas del mundo, y encontró fuertes indicios de que las redes de conectividad cerebral comparten algunas de sus propiedades estructurales con redes sin escala. Además de una evaluación formal de la conectividad de la red (distribución de grados y similitud gráfica, Ver Figuras 3 y 4), el análisis se basa en un enfoque novedoso, que mide el efecto de eliminación de los componentes de las diferentes redes sobre su integridad estructural. En particular, nosotros comparó el efecto que la eliminación de los ganglios y conexiones tenía en el ASP encontrado en el cerebro redes de conectividad y sus homólogos de referencia. Cabe señalar, sin embargo, que este análisis se basa en sobre conectividad cortical dentro de un hemisferio. Conexiones entre hemisferios y entre los No se incluyeron la corteza ni estructuras subcorticales como las regiones talámicas. La razón de la falta de conexiones interhemisféricas fue que pocos estudios de rastreo probados para y por lo tanto informó de los tractos de fibra hacia el hemisferio contralateral. Mientras que la información sobre las conexiones talamocorticales han estado disponibles, regiones con información disponible sobre los tractos de fibra diferían entre el gato y macaco. Para ser consistentes entre especies, no se incluyeron los datos. Para cada especie, una la inclusión de estas regiones produjo resultados similares en relación con la eliminación de nodos o bordes (material complementario). La robustez simulada y su relación con los estudios de lesiones ¿Cómo se relacionan nuestras simulaciones con los estudios experimentales de lesiones? La eliminación del nodo corresponde a indirectamente a la inactivación o lesión de las áreas cerebrales correspondientes, y desde esta perspectiva, puede interpretar este análisis en términos de la robustez del cerebro ante el daño regional. La eliminación de conexiones corresponden indirectamente a lesiones cerebrales localizadas que dañan la materia blanca y interrumpir la comunicación entre las estructuras cerebrales normalmente conectadas. El ASP ofrece una medida qué tan bien está conectado el cerebro y qué tan bien se pueden integrar diferentes flujos de información. El análisis de la organización espacial de las redes corticales muestra que el cerebro está optimizado hacia un bajo ASP (Kaiser e Hilgetag, 2006). Un estudio clínico reciente de la red de correlación EEG en Los pacientes de Alzheimer sugieren que los aumentos en la ASP conducen a un rendimiento reducido en tareas de memoria (Stam et al., 2007). En este estudio, la ASP de la red de sincronización EEG ha sido más alta en Pacientes con Alzheimer comparados con el grupo control. Además, hubo una correlación negativa entre el ASP de los pacientes y su desempeño en una prueba de memoria clínica estándar. Considerando lo siguiente: estudio se basó en redes funcionales más bien estructurales/anatómicas, estudios recientes utilizando la difusión Las imágenes de tensores han demostrado que los cambios en la conectividad cerebral pueden estar relacionados con enfermedades como Esquizofrenia y Alzheimer. Todas las observaciones se han hecho igualmente durante el análisis de las redes cerebrales del gato y macaco, a pesar de diferentes densidades de borde en las dos redes. Por lo tanto, es prudente concluir que puede extenderse a otras redes cerebrales de mamíferos. Por lo tanto, la robustez condicional del cerebro la función puede basarse en gran medida en dos propiedades estructurales bastante simples de las redes cerebrales: En primer lugar, el número de conexiones de nodos individuales (Young, 2000), es decir, su naturaleza libre de escala, y, en segundo lugar, las agrupaciones locales fuertemente conectadas con menos «cuellos de botella» importantes entre ellas (Kaiser e Hilgetag, 2004). En consecuencia, parece factible determinar las estructuras cerebrales que son los más importantes para el mantenimiento de la función de red. Por lo general, las redes cerebrales deben ser capaz de funcionar robustamente frente a los daños a estructuras que tienen pocas conexiones y daños a conexiones que no forman parte de muchas conexiones más cortas entre pares de áreas. En el Por otra parte, los efectos funcionales deben ser dramáticos cuando las estructuras con muchas conexiones (hubs) están dañados y cuando las conexiones entre estructuras con patrones de conectividad muy diferentes (interesación de borde grande, cf. Girvan y Newman, 2002) están dañados. ¿El cerebro es una red libre de escala? Una característica importante de nuestro enfoque es que el control riguroso de una serie de puntos de referencia las redes permiten evaluar la importancia de cualquier similitud con otros tipos de red encontrados. En el estudio de una red cerebral mucho más simple, se ha establecido previamente que el cerebro de C. Elegans es un mundo pequeño, pero no libre de escala (Amaral et al., 2000). Sin embargo, encontramos que los efectos de Los daños en las redes de conectividad cerebral de gatos y macacos modelados son en gran medida similares a los observados en redes libres de escala. Además, la similitud de la escala libre y cortical original las redes, medidas por similitud gráfica, fueron superiores a las de otras redes de referencia. Esto concuerda con otros hallazgos: se ha encontrado una arquitectura de red libre de escala para el cerebro funcional redes en seres humanos (Eguiluz y otros, 2005). Además, la red de estado de reposo humano de 90 corticales y las regiones subcorticales mostraron un comportamiento similar después de la eliminación de los nodos que nuestro estructural network (Achard et al., 2006). Esto podría explicarse ahora por la estructura estructural subyacente. conectividad. Observamos que esta cuestión sigue siendo controvertida. Un estudio de la red de estado de reposo humano entre áreas corticales (Achard et al., 2006), concluyeron que la red de estado de reposo no es una red libre de escala red como (a) es más resistente al ataque selectivo en comparación con un punto de referencia libre de escala (b) la distribución de títulos no es una ley de poder, y (c) áreas de desarrollo tardío como la La corteza prefrontal dorsolateral se encuentra entre los centros de la red. La red estructural que nosotros analizada, sin embargo, difería de la red funcional del estado de reposo. En primer lugar, la resiliencia hacia Los ataques dirigidos eran comparables a los de una red libre de escala. En segundo lugar, aunque el grado lo hace no seguir una distribución de la ley de poder esto podría ser debido al pequeño tamaño de la red y muestreo incompleto de las conexiones entre regiones. Un diseño para la robustez o subproducto de las limitaciones funcionales? ¿El cerebro está optimizado para una alta robustez o es la robustez un subproducto de otras restricciones? En nuestro vista, la aparición de áreas altamente conectadas es más probable que sea un efecto secundario de la evolución del cerebro y estructuras generadoras de desarrollo para un procesamiento eficiente. Por ejemplo, zonas altamente conectadas (hubs) en el cerebro podría desempeñar un papel funcional como integradores o difusores de la información (pornos y Zwi, 2004). ¿Cuáles podrían ser las razones de desarrollo para que algunas regiones tengan una conectividad más alta que otras? Hay varios mecanismos de desarrollo potenciales para producir redes cerebrales con Nodos conectados. El trabajo en la evolución cerebral sugiere que cuando se forman nuevas estructuras funcionales por especialización de partes de estructuras filogenéticamente más antiguas, las nuevas estructuras heredan en gran medida la patrón de conectividad de la estructura matriz (por ejemplo, Preuss, 2000). Esto significa que los patrones son modificaciones repetidas y pequeñas se añaden durante los pasos evolutivos que pueden surgir por duplicación de las zonas existentes (Krubitzer y Kahn, 2003). Tal herencia de conectividad por La copia de los módulos se propone para dar lugar a sistemas metabólicos sin escala (Ravasz y otros, 2002). A mecanismo de desarrollo para variar el grado de borde de las regiones podría ser el ancho de la ventana de tiempo de desarrollo para la sinaptogénesis en diferentes regiones (Kaiser e Hilgetag, 2007). En conclusión, hemos introducido un método cuantitativo para caracterizar la robustez del cerebro y compararlo con el de los tipos de red estándar. Hemos demostrado que las redes corticales se ven afectados de manera similar a las redes libres de escala relativas a la eliminación de nodos o conexiones. Sin embargo, una comparación directa de las distribuciones de grados ha sido imposible. Nuestro análisis puede ampliarse para emplear más estrategias de eliminación o utilizar diferentes propiedades para caracterizar la redes dañadas. En el futuro, sería interesante comparar el efecto de lesiones con las lesiones simuladas de nuestro enfoque. Por lo tanto, esperamos que este enfoque teórico será útil para modelar la robustez hacia las lesiones. Agradecimientos Apoyado por Wellcome Trust, EU Framework Five (R.M), así como por el Mérito Nacional Alemán Fundación y Fritz-ter-Meer-Foundation (M.K.). Abreviaturas ASP, ruta media más corta; ORI, red original (cerebro); RND, (Erdös-Renyi) Red aleatoria; SF, Red sin escalas; SW, Red del mundo pequeño; Bibliografía Achard S, Salvador R, Whitcher B, Suckling J, Bullmore E (2006) red funcional del cerebro humano mundial con núcleos corticales de asociación altamente conectados. J Neurosci 26:63-72. Albert R, Jeong H, Barabási A-L (2000) Error y tolerancia de ataque de las redes complejas. Naturaleza 406:378-382. Amaral LAN, Scala A, Barthélémy M, Stanley HE (2000) Clases de redes del mundo pequeño. Proc Natl Acad Sci 97:11149-11152. Barabási A-L, Albert R (1999) Emergencia de escalado en redes aleatorias. Ciencia 286:509-512. Bollobas B (1985) Gráficos aleatorios. Cormen TH, Leiserson CE, Rivest RL, Stein C (2001) Introducción a los algoritmos. Diestel R (1997) Graph Theory. Nueva York: Springer. Eguiluz VM, Chialvo DR, Cecchi GA, Baliki M, Apkarian AV (2005) redes. Phys Rev Lett 94:018102. 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Sporns O, Zwi JD (2004) El pequeño mundo de la Cortex cerebral. Neuroinformática 2:145-162. Sporns O, Tononi G, Edelman GM (2000) Neuroanatomía teórica: relación anatómica y Conectividad funcional en gráficos y matrices de conexión cortical. Cereb Cortex 10:127- Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, Hilgetag CC (2004) Organización, desarrollo y función de redes cerebrales complejas. Tendencias Cogn Sci 8:418-425. Stam CJ, Jones BF, Nolte G, Breakspear M, Scheltens P (2007) conectividad funcional en la enfermedad de Alzheimer. Cereb Cortex 17:92-99. Stephan KE, Kamper L, Bozkurt A, Burns GA, Young MP, Kotter R (2001) Base de datos avanzada metodología para la recopilación de datos de conectividad en el cerebro de Macaque (CoCoMac). Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci 356:1159-1186. Strogatz SH (2001) Explorando redes complejas. Naturaleza 410:268-276. Stromswold K (2000) La neurociencia cognitiva de la adquisición del lenguaje. En: El nuevo cognitivo Neurociencias (Gazzaniga M, ed), pp 909-932. Cambridge, MA. Stumpf MPH, Wiuf C, May RM (2005) Las subredes de redes libres de escala no son libres de escala: Muestreo de propiedades de las redes. Proc Natl Acad Sci USA 102:4221-4224. Watts DJ, Strogatz SH (1998) Dinámica colectiva de las redes del "pequeño mundo". Naturaleza 393:440-442. Young MP (1992) Análisis Objetivo de la Organización Topológica del Cortical Primado Sistema visual. Naturaleza 358:152-155. Joven MP (1993) La organización de los sistemas neuronales en la corteza cerebral de primates. Phil Trans R Soc 252:13-18. Young MP (2000) La arquitectura de la corteza visual y los procesos inferenciales en la visión. Espacio Visión 13:137-146. Young MP, Scannell JW, Burns GA, Blakemore C (1994) Análisis de conectividad: sistemas neuronales en la corteza cerebral. Rev Neurosci 5:227-250. Cuadros Cuadro 1 Comparación de redes cerebrales y redes de referencia. La tabla muestra la ruta media más corta y las estadísticas del coeficiente de agrupamiento para el macaco y redes de estructura cerebral de gato, y para los respectivos benchmark aleatorios, cableados, mundo pequeño, y redes libres de escala. Para las redes de referencia, los datos muestran el valor medio y la desviación estándar de 50 redes generadas. Coeficiente de agrupamiento medio más corto Macaque 2,414 0,453 Media aleatoria 2,093 ± 0,009 0,142 ± 0,004 Media de cableado 2,118 ± 0,010 0,239 ± 0,009 Media mundial pequeño 2,439 ± 0,054 0,416 ± 0,022 Media libre de escala 2,078 ± 0,042 0,564 ± 0,042 Cat. 1,961 0,542 Media aleatoria 1,749 ± 0,002 0,265 ± 0,003 Media cableada 1,803 ± 0,006 0,381 ± 0,006 Media mundial pequeño 1,868 ± 0,017 0,461 ± 0,016 Media libre de escala 1,768 ± 0,014 0,535 ± 0,029 Cuadro 2 Visión general de las regiones más conectadas en la red de gatos y macacos. La tabla muestra el número total de conexiones de la región (grado) así como el número de conexiones entrantes / aferentes (en grado) y salientes / eferentes (en grado). El máximo posible número de conexiones habría sido 110 conexiones para el gato y 130 conexiones para el macaco. Área de clasificación Total de salidas entrantes 1 AES 59 30 29 2 Ia 55 29 26 3 7 54 28 26 4 Ig 52 22 30 5 5al 49 30 19 Macaque Área de clasificación Total de salidas entrantes 1 A7B 43 23 20 2 LIP 42 19 23 3 A46 42 23 19 4 FEF 38 19 19 5 TPT 37 18 19 Figuras Gráfico 1 Ejemplos de redes aleatorias y libres de escala. Vista esquemática de la conectividad de red características. (A) Red sencilla libre de escala con nodos altamente conectados (hubs) centro. (B) Red aleatoria simple; ambas redes tienen el mismo número de nodos y bordes. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 grado s Macaque Aleatorio 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 grado s Gato Aleatorio Gráfico 2 Comparación directa de la distribución de los grados. (A) Histograma de la distribución del grado de el macaco (gris) en comparación con la distribución de redes aleatorias (distribución la probabilidad p=0.1417 de que ocurra un borde, negro). (B) Histograma de la distribución del grado de la cat (gris) en comparación con la distribución de redes aleatorias (distribución probabilidad p=0,2643 de que ocurra un borde, negro). mundo pequeño al azar sin escalas cableado Macaque Gráfico 3 Similitud de la conectividad de red. Para cada tipo de red de referencia, 1.000 se generaron redes. Como la red de gatos tiene un mayor número de bordes, los porcentajes de bordes similares también son más altos. La similitud con las redes corticales es tan buena para el libre de escala redes como para las redes corticales reconectadas. En contraste, la similitud entre el azar y el mundo pequeño las redes son significativamente más bajas. Gráfico 4 Eliminaciones de nodos secuenciales en redes corticales Macaque. La fracción de suprimida nodos (cero para la red intacta) se traza contra la ruta media más corta (ASP) después del nodo Expulsiones. Los nodos fueron eliminados en orden de conectividad, empezando por los más altamente conectados los nodos (eliminación dirigida) o el orden de los nodos se determinó aleatoriamente (eliminación aleatoria). A) Red cortical durante la eliminación de destino (dashed) y aleatoria (línea sólida). En la siguiente sesión plenaria, el Sr. parcelas B, C y D, la línea discontinua muestra el efecto medio de eliminación objetivo y el delgado líneas discontinuas el intervalo de confianza del 95% para las redes generadas. La línea sólida representa la efecto medio de eliminación aleatoria. La línea gris rayada representa la eliminación de destino en el red cortical de A para la comparación. B) Red de referencia para el mundo pequeño. C) Libre de escala red de referencia. D) Red aleatoria de referencia. (El conjunto completo de cifras para gatos y macaco con eliminación de nodo y borde y el efecto sobre ASP está disponible en el suplemento material). Gráfico 5 Eliminaciones de nodos secuenciales en redes corticales de gatos. La fracción de nodos eliminados (cero para la red intacta) se traza contra la ruta media más corta (ASP) después de la eliminación de nodos. Los nodos fueron eliminados en orden de conectividad, comenzando con los nodos más conectados (eliminación dirigida) o el orden de los nodos se determinó aleatoriamente (eliminación aleatoria). A) Red cortical durante la eliminación de destino (dashed) y aleatoria (línea sólida). Las líneas en B-C tienen la el mismo significado que en la Fig. 4. B) Red de referencia para el mundo pequeño. (C) Red de referencia sin escalas. D) Red aleatoria de referencia. A Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Gráfico 6 Fracción y valor del pico ASP para la eliminación de nodos dirigidos. Los valores medios y Las desviaciones estándar se muestran para las 50 redes de referencia generadas. (A) Fracción de eliminados nodos, en los que se alcanzó el mayor ASP. Para la red cortical del gato, sólo la fracción del pico ASP para la red libre de escala está cerca de la red de gatos, mientras que las fracciones de otros benchmark las redes son más altas. Lo mismo ocurre con la red cortical macaca. (B) Valor máximo de la ASP. Es mayor para las redes sin escala que para las redes corticales, en contraste con las redes más similares. valores para las demás redes de referencia. A Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Gráfico 7 Fracción y valor del pico ASP para la eliminación de la conexión dirigida. El promedio se muestran valores y desviaciones estándar para las 50 redes de referencia generadas. A) Fracción de eliminar las conexiones, en las que se alcanzó el mayor ASP. Para la red de gatos, libre de escala y las fracciones de mundo pequeño son similares al valor cortical, mientras que las fracciones de cableadas y aleatorias las redes son significativamente más elevadas. Para la red macaque, sin embargo, todas las redes de referencia excepto para la red de mundo pequeño mostrar una fracción similar de pico ASP. (B) Valores máximos de la ASP. El valor máximo de la red cortical del gato puede ser emparejado por el azar y reconectado redes, casi por la escala libre, pero significativamente no por la red del mundo pequeño. Por la Comisión macaque, todas las redes excepto la red libre de escala muestran valores significativamente diferentes.

La estructura implica la función y, por lo tanto, una descripción estructural del cerebro ayudará a entender su función y puede proporcionar información sobre muchos propiedades de los sistemas cerebrales, desde su robustez y recuperación de daños, hasta su dinámica e incluso su evolución. Avances en el análisis de complejos las redes proporcionan nuevos enfoques útiles para comprender los aspectos estructurales y propiedades funcionales de las redes cerebrales. Propiedades estructurales de las redes recientemente descrito permiten su caracterización como mundo pequeño, al azar (exponencial) y sin escala. Complementan el conjunto de otras propiedades que se han explorado en el contexto de la conectividad cerebral, como la topología, hodología, agrupamiento y organización jerárquica. Aquí aplicamos nueva red métodos de análisis a las redes de conectividad interareal cortical para el gato y Cerebros macacos. Comparamos estas redes de fibra corticocortical con la referencia redes reconectadas, de pequeño mundo, libres de escala y aleatorias, utilizando dos análisis estrategias, en las que se miden los efectos de la eliminación de nodos y conexiones en las propiedades estructurales de las redes corticales. El cerebro El deterioro estructural de las redes es, en la mayoría de los aspectos, similar al de las redes sin escalas redes. Los resultados implican nodos muy conectados y cuello de botella conexiones como base estructural para parte de la robustez condicional del cerebro sistemas. Esto informa la comprensión del desarrollo de las redes cerebrales' conectividad.

Introducción a los algoritmos. Diestel R (1997) Graph Theory. Nueva York: Springer. Eguiluz VM, Chialvo DR, Cecchi GA, Baliki M, Apkarian AV (2005) redes. Phys Rev Lett 94:018102. Erdös P, Rényi A (1960) Sobre la evolución de los gráficos aleatorios. Publ Math Inst Hung Acad Sci 5:17- Felleman DJ, van Essen DC (1991) Procesamiento jerárquico distribuido en el cerebro de primates Cortex. Cereb Cortex 1:1-47. Girvan M, Newman MEJ (2002) Estructura comunitaria en redes sociales y biológicas. Proc Natl Acad Sci 99:7821-7826. Hilgetag CC, O'Neill MA, Young MP (1996) Indeterminación de la corteza visual. Ciencia 271:776- Hilgetag CC, Burns GAPC, O'Neill MA, Scannell JW, Young MP (2000) Conectividad anatómica Define la Organización de Clústeres de Áreas Corticales en el Mono Macaque y el Gato. Phil Trans R Soc Lond B 355:91-110. Jeong H, Mason SP, Barabási A-L, Oltvai ZN (2001) Letalidad y centralidad en las redes de proteínas. Naturaleza 411:41-42. 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Young MP, Scannell JW, Burns GA, Blakemore C (1994) Análisis de conectividad: sistemas neuronales en la corteza cerebral. Rev Neurosci 5:227-250. Cuadros Cuadro 1 Comparación de redes cerebrales y redes de referencia. La tabla muestra la ruta media más corta y las estadísticas del coeficiente de agrupamiento para el macaco y redes de estructura cerebral de gato, y para los respectivos benchmark aleatorios, cableados, mundo pequeño, y redes libres de escala. Para las redes de referencia, los datos muestran el valor medio y la desviación estándar de 50 redes generadas. Coeficiente de agrupamiento medio más corto Macaque 2,414 0,453 Media aleatoria 2,093 ± 0,009 0,142 ± 0,004 Media de cableado 2,118 ± 0,010 0,239 ± 0,009 Media mundial pequeño 2,439 ± 0,054 0,416 ± 0,022 Media libre de escala 2,078 ± 0,042 0,564 ± 0,042 Cat. 1,961 0,542 Media aleatoria 1,749 ± 0,002 0,265 ± 0,003 Media cableada 1,803 ± 0,006 0,381 ± 0,006 Media mundial pequeño 1,868 ± 0,017 0,461 ± 0,016 Media libre de escala 1,768 ± 0,014 0,535 ± 0,029 Cuadro 2 Visión general de las regiones más conectadas en la red de gatos y macacos. La tabla muestra el número total de conexiones de la región (grado) así como el número de conexiones entrantes / aferentes (en grado) y salientes / eferentes (en grado). El máximo posible número de conexiones habría sido 110 conexiones para el gato y 130 conexiones para el macaco. Área de clasificación Total de salidas entrantes 1 AES 59 30 29 2 Ia 55 29 26 3 7 54 28 26 4 Ig 52 22 30 5 5al 49 30 19 Macaque Área de clasificación Total de salidas entrantes 1 A7B 43 23 20 2 LIP 42 19 23 3 A46 42 23 19 4 FEF 38 19 19 5 TPT 37 18 19 Figuras Gráfico 1 Ejemplos de redes aleatorias y libres de escala. Vista esquemática de la conectividad de red características. (A) Red sencilla libre de escala con nodos altamente conectados (hubs) centro. (B) Red aleatoria simple; ambas redes tienen el mismo número de nodos y bordes. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 grado s Macaque Aleatorio 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 grado s Gato Aleatorio Gráfico 2 Comparación directa de la distribución de los grados. (A) Histograma de la distribución del grado de el macaco (gris) en comparación con la distribución de redes aleatorias (distribución la probabilidad p=0.1417 de que ocurra un borde, negro). (B) Histograma de la distribución del grado de la cat (gris) en comparación con la distribución de redes aleatorias (distribución probabilidad p=0,2643 de que ocurra un borde, negro). mundo pequeño al azar sin escalas cableado Macaque Gráfico 3 Similitud de la conectividad de red. Para cada tipo de red de referencia, 1.000 se generaron redes. Como la red de gatos tiene un mayor número de bordes, los porcentajes de bordes similares también son más altos. La similitud con las redes corticales es tan buena para el libre de escala redes como para las redes corticales reconectadas. En contraste, la similitud entre el azar y el mundo pequeño las redes son significativamente más bajas. Gráfico 4 Eliminaciones de nodos secuenciales en redes corticales Macaque. La fracción de suprimida nodos (cero para la red intacta) se traza contra la ruta media más corta (ASP) después del nodo Expulsiones. Los nodos fueron eliminados en orden de conectividad, empezando por los más altamente conectados los nodos (eliminación dirigida) o el orden de los nodos se determinó aleatoriamente (eliminación aleatoria). A) Red cortical durante la eliminación de destino (dashed) y aleatoria (línea sólida). En la siguiente sesión plenaria, el Sr. parcelas B, C y D, la línea discontinua muestra el efecto medio de eliminación objetivo y el delgado líneas discontinuas el intervalo de confianza del 95% para las redes generadas. La línea sólida representa la efecto medio de eliminación aleatoria. La línea gris rayada representa la eliminación de destino en el red cortical de A para la comparación. B) Red de referencia para el mundo pequeño. C) Libre de escala red de referencia. D) Red aleatoria de referencia. (El conjunto completo de cifras para gatos y macaco con eliminación de nodo y borde y el efecto sobre ASP está disponible en el suplemento material). Gráfico 5 Eliminaciones de nodos secuenciales en redes corticales de gatos. La fracción de nodos eliminados (cero para la red intacta) se traza contra la ruta media más corta (ASP) después de la eliminación de nodos. Los nodos fueron eliminados en orden de conectividad, comenzando con los nodos más conectados (eliminación dirigida) o el orden de los nodos se determinó aleatoriamente (eliminación aleatoria). A) Red cortical durante la eliminación de destino (dashed) y aleatoria (línea sólida). Las líneas en B-C tienen la el mismo significado que en la Fig. 4. B) Red de referencia para el mundo pequeño. (C) Red de referencia sin escalas. D) Red aleatoria de referencia. A Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Gráfico 6 Fracción y valor del pico ASP para la eliminación de nodos dirigidos. Los valores medios y Las desviaciones estándar se muestran para las 50 redes de referencia generadas. (A) Fracción de eliminados nodos, en los que se alcanzó el mayor ASP. Para la red cortical del gato, sólo la fracción del pico ASP para la red libre de escala está cerca de la red de gatos, mientras que las fracciones de otros benchmark las redes son más altas. Lo mismo ocurre con la red cortical macaca. (B) Valor máximo de la ASP. Es mayor para las redes sin escala que para las redes corticales, en contraste con las redes más similares. valores para las demás redes de referencia. A Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Cortical sin escala cableado al azar mundo pequeño Macaque Gráfico 7 Fracción y valor del pico ASP para la eliminación de la conexión dirigida. El promedio se muestran valores y desviaciones estándar para las 50 redes de referencia generadas. A) Fracción de eliminar las conexiones, en las que se alcanzó el mayor ASP. Para la red de gatos, libre de escala y las fracciones de mundo pequeño son similares al valor cortical, mientras que las fracciones de cableadas y aleatorias las redes son significativamente más elevadas. Para la red macaque, sin embargo, todas las redes de referencia excepto para la red de mundo pequeño mostrar una fracción similar de pico ASP. (B) Valores máximos de la ASP. El valor máximo de la red cortical del gato puede ser emparejado por el azar y reconectado redes, casi por la escala libre, pero significativamente no por la red del mundo pequeño. Por la Comisión macaque, todas las redes excepto la red libre de escala muestran valores significativamente diferentes.

A thermodynamic model for the melting of supported metal nanoparticles

Un modelo termodinámico para la fusión de metal soporte nanopartículas S. C. Hendy* Industrial Research Ltd, Lower Hutt, Nueva Zelanda y Instituto MacDiarmid de Materiales Avanzados y Nanotecnología, Escuela de Ciencias Químicas y Físicas, Universidad Victoria de Wellington, Nueva Zelanda (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Resumen Construimos un modelo termodinámico simple para describir la fusión de un metal soportado nanopartícula con una superficie libre esféricamente curvada con y sin fusión superficial. Nosotros utilizar el modelo para investigar los resultados de simulaciones recientes de la dinámica molecular, que sugieren la temperatura de fusión de una partícula metálica soportada es la misma que la de una esférica libre partícula con la misma curvatura superficial. Nuestro modelo muestra que esto es sólo el caso cuando el Los ángulos de contacto de las partículas sólidas y líquidas soportadas son similares. Este es también el caso de la temperatura a la que comienza la fusión superficial. http://arxiv.org/abs/0704.0393v1 INTRODUCCIÓN A pesar de décadas de estudio, la fusión de nanopartículas sigue generando interés [1, 2, 3, 4]. En general, se ha encontrado la temperatura de fusión de las nanopartículas esféricas disminuir en proporción a la superficie y la relación volumen de la partícula [5], como la la energía libre de superficie de una gota fundida es inferior a la de la partícula sólida correspondiente. Aunque la calorimetría de nanopartículas libres ha avanzado considerablemente en los últimos años [6, 7], la mayoría de las determinaciones experimentales de los puntos de fusión de las nanopartículas se realizan con partículas apoyadas (oro [8], plomo [9] y estaño [10], por ejemplo). El derretimiento de los soportes nanopartículas también es importante en el crecimiento de nanotubos de carbono y otros procesos catalíticos [11, 12], y para la estabilidad de los dispositivos montados a partir de nanopartículas [13, 14]. Por lo tanto es de interés en estudiar el efecto del sustrato sobre el punto de fusión de una nanopartícula apoyada. Simulaciones recientes de dinámica molecular [15] de nanopartículas de hierro soportadas con una sustrato que interactúa fuertemente encontró que el punto de fusión de las partículas se redujo en proporción inversa a la curvatura de la superficie de equilibrio que resulta a medida que se relajan a la humedad el sustrato. Esta declaración también se mantiene en el límite libre de partículas desde la curvatura de un partícula esférica libre de radio a es proporcional a su relación superficie/volumen, 3/a. Inter- estingly, las simulaciones en Ref. [15] concluyó que la constante de proporcionalidad entre el disminución del punto de fusión y la curvatura de la superficie no dependía de si la partícula fue apoyado o libre. En otras palabras, la temperatura de fusión de una partícula apoyada que tiene una superficie libre con radio de curvatura a, se encontró que es el mismo que el de un libre partícula esférica con la misma curvatura superficial. Las nanopartículas simuladas en Ref. [15] también exhibió la fusión de la superficie antes de la fusión completa. El derretimiento superficial es un fenómeno se cree que ocurren tanto en ciertas superficies metálicas a granel [16] como en ciertas nanopartículas metálicas [17, 18]. En este artículo utilizamos un modelo termodinámico simple para investigar el papel de la sub- Estratega tanto en fusión como en fusión superficial de nanopartículas metálicas. Nuestro modelo sugiere que el resultado en Ref. [15], que la disminución relativa en el punto de fusión es proporcional al sólido curvatura de la superficie de partículas, sólo se mantiene cuando los ángulos de contacto de los sólidos y Las partículas líquidas con el sustrato son similares. También mostramos que los clusters apoyados se derriten en la superficie en determinadas circunstancias, y que la superficie de fusión tempera- en partículas libres y apoyadas en racimos con la misma curvatura superficial es la misma solamente cuando los ángulos de contacto de las fases sólida y líquida soportadas coincidan. GEOMETRÍA DE LAS PARTICULAS APOYADAS Comenzamos considerando una nanopartícula sólida, inicialmente esférica con radio a, es decir colocado sobre un sustrato plano. Dejamos de lado el efecto de la superficie dependiente de la curvatura facetada energías y tensiones internas debidas al desajuste epitaxial con el sustrato. Además, nosotros asumirá que la partícula se ha relajado a su geometría de equilibrio, es decir. que el nanopar... ticle se ha relajado para “mojar” el sustrato. Siempre que la nanopartícula esté suficientemente calentada lentamente, la partícula debe relajarse a esta geometría antes de la fusión. Con estas simplificaciones suposiciones, la geometría de la partícula relajada se puede aproximar por una tapa esférica, como se muestra en la Fig. 1, con dimensiones parametrizadas por la altura de la tapa H, o el radio de curvatura de la superficie libre R, que minimiza la energía superficial de la nanopartícula y sustrato. La energía superficial del sistema se puede escribir como:  = 2ηRHγs + ηH(2R−H)(γsb − γb) + b (1) donde γs es la densidad de energía superficial de la superficie libre de partículas, γb es la energía superficial densidad del sustrato, γsb es la densidad de energía interfacial de partículas-sustrato y energía total del sustrato desnudo. Asumiremos que la densidad de la partícula no depende del ángulo de contacto de modo que el volumen de la partícula soportada siga siendo el igual que la de la partícula libre. Escribir el volumen de la partícula en función de H y R, es entonces sencillo para demostrar que se reduce al mínimo el valor de H = − (sb/γs)R donde sb = γb − γs − γsb. Tomamos nota que sb es a menudo llamado el parámetro de propagación en el contexto de los fenómenos de humectación: si sb > 0 entonces la partícula se relajará para mojar completamente el sustrato. Aquí estamos interesados en el en caso de que la partícula no humedezca completamente el sustrato (ángulos de contacto superiores a cero) i.e. cuando sb < 0 y H/R = sb/γs > 0 en equilibrio. De hecho, este valor mínimo se puede escribir como = 2s a2 + Łb, (2) donde R*s es el radio correspondiente de curvatura de la nanopartícula sólida soportada, dado R*s = (3 + sb/γs) . 3) Así y R*s son la energía superficial de equilibrio y el radio de curvatura de la partícula respectivamente. Tenga en cuenta que el ángulo de contacto de la partícula puede variar de 0 a 180 grados dependiendo del valor del parámetro de propagación sb. MELTING Y SURFACE MELTING En lo que sigue asumiremos que la densidad de las fases sólida y líquida son idénticas i.e. ................................................................................................ En primer lugar, consideramos la situación en la que no hay fusión superficial. En este caso, la fusión se producirá a una temperatura cuando la energía libre de la mojadura de partículas sólidas el sustrato es igual al de la gota líquida correspondiente humedeciendo el sustrato. Si γl es la densidad de energía superficial de la gota líquida libre y R l es el correspondiente radio de equilibrio de curvatura, a continuación, la diferencia en la energía libre entre el sólido y Líquido es fs − fl + 3 donde fs (fl) es la densidad de energía libre a granel del sólido (líquido). Ahora, usando fl − fs = L (1- T/Tc), donde L es el calor latente de la fusión y Tc es la temperatura de fusión a granel, encontramos que la temperatura de fusión Tm de la partícula apoyada es dada por: Tm = Tc = T freem (R R*sL Tc (5) Así, si R*s = R l = R * Entonces recuperamos el resultado de Ref. [15], es decir, que Tm = T En otras palabras, si los ángulos de contacto de las gotitas sólidas y líquidas son iguales, la fusión la temperatura de la partícula soportada es la misma que la de una partícula libre con una idéntica curvatura superficial, a = R*. Sin embargo, si la curvatura de la partícula líquida soportada es dif- ferent de la de la partícula sólida soportada, se puede ver que la temperatura de fusión se desviará de lo encontrado en Ref. [15]. Ahora consideramos la fusión de la superficie como se ilustra en la figura 1 que se cree que ocurre en muchos metales antes de la fusión [16]. Estamos interesados en determinar el comienzo de la fusión, cuando la partícula sólida se humedezca por una fina capa de derretimiento (espesor ) en la interfaz sólido-vapor. Asumimos que este derretimiento forma una capa de espesor uniforme con una geometría como esa representado en la figura 1 con R = R = r = H − h. La energía libre total de la superficie se derritió la partícula es entonces una función de: F (­) = Vs(­))(fs − fl) + V fl (­) donde Vs(l) es el volumen del sólido (líquido) y de la energía de la superficie dependiente del espesor. En particular 2RHγl + r(2r − h)γsb + (2R− )γlb + 2rhγsl(l) donde γsl() = γslsl exp (/) es una longitud de correlación que describe el espesor dependencia de la energía interfacial en las películas líquidas metálicas delgadas [16] (en Pb, por ejemplo, se ha medido que es de 0,6 nm [19]). A medida que avanza el derretimiento de la superficie, la curvatura de la partícula se relajará para reducir al mínimo la energía libre, es decir, R* = R* energía libre F para un determinado ♥. En una nanopartícula esférica aislada de radio a, minimizando la energía libre F ( con respecto a los valores de la altura y de la temperatura, se puede demostrar que la fusión de la superficie comienza a una temperatura, Ts(a) dada por T libera (a) = Tc (γs − γl) . 6) siempre que sl > 0 y a > γs − γl)/sl (si a es menor que esto, la fusión completa precederá fusión superficial, es decir, T libera > T m [17], y la ecuación (5) se mantendrá). Para que la fusión superficial ocurra en una nanopartícula sólida soportada con curvatura de equilibrio Rs, un mínimo en la energía libre F (­) debe aparecer en ­ = 0. Es sencillo de mostrar que a la temperatura Ts se produce un mínimo en F a  = 0: Ts (Rs) = T s (Rs) + γslb − γlsb = T libera (Rs) + Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos-Cos- 1− cos فارسىs donde los ángulos de contacto de las partículas sólidas y líquidas, respectivamente, son los de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de las partículas sólidas y los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de las partículas líquidas y de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de las partículas sólidas y de las partículas líquidas, respectivamente. (definido a través de la relación de Young γs(l) cos Łs(l) = γb − γs(l)b). Una vez más, si los ángulos de contacto de las gotitas sólidas y líquidas son iguales, entonces la temperatura a la que se produce la fusión superficial es idéntica a la de una partícula libre con la misma curvatura superficial, Rs es decir. Ts = T s (Rs). Por otra parte, si cos فارسىs > cos Łl, de modo que el sustrato favorece el contacto con el sólido sobre el con el líquido, los Ts correspondientes aumenta y viceversa. La fusión completa ocurrirá una vez que la energía libre de la partícula derretida de la superficie, F, es igual a la de la gota líquida correspondiente, Fl i.e. a la temperatura Tm y película líquida Espesor de los Mg que satisfacen F (m) = Fl. No es posible obtener una expresión analítica para m o Tm, pero las soluciones numéricas a las ecuaciones resultantes se muestran en la figura 2 como una función de Rs para partículas Pb. Las cifras muestran claramente la fuerte dependencia de la temperatura de fusión en el ángulo de contacto de la gota líquida: una diferencia de 10o en la masa fundida El ángulo de contacto de partículas puede desplazar el punto de fusión en 100 K. Tenga en cuenta que el punto de fusión de una partícula libre con radio Rs ya no coincide con la de una partícula soportada con radio de curvatura Rs cuando se cos Łs = cos Łl, como en general el radio de curvatura de la superficie crítica gotita derretida no será la de la partícula sólida (aunque las curvas mienten cerca el uno del otro). CONCLUSIÓN Concluimos que la temperatura de fusión (y la temperatura de fusión superficial, si el par- ticle muestra fusión superficial) de nanopartículas apoyadas depende del radio de curvatura (o el ángulo de contacto) de las partículas sólidas y líquidas soportadas. En general, lo hacemos. no esperen que estas curvaturas sean las mismas: en un sustrato sólido no ideal, por ejemplo, Los efectos epitaxiales pueden favorecer una fase sobre la otra. Es probable que el sustrato ideal utilizado en Ref [15] dio lugar a ángulos de contacto de partículas sólidas y líquidas muy similares. Hemos mostrado que es sólo en este caso “ideal” que la temperatura de fusión de partículas libres y apoyadas con la misma curvatura es coincidente, ya sea que exhiban fusión superficial o de otro modo. Por lo tanto, resulta de la fusión libre de partículas, donde la curvatura de las partículas sólidas y líquidas se mantienen sustancialmente iguales, sólo tienen una aplicabilidad limitada a la fusión de partículas soportadas. * Dirección electrónica: s.hendy@irl.cri.nz [1] H. Haberland, en Clústeres Atómicos y Nanopartículas: Sesión de Les Houches LXXIII (Primavera, Berlín, 2002). [2] H. Haberland, J. Donges, O. Kostko, M. Schmidt, y B. von Issendorff, Phys. Rev. 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Asumimos que la partícula es una tapa esférica de altura H y radio de curvatura R (izquierda - las líneas discontinuas simplemente ilustran el radio de curvatura). Al comienzo de la fusión de la superficie, suponemos que la geometría es cerca de la de la partícula sólida en su geometría de equilibrio y que la partícula sólida (radius de curvatura r y altura h) inicialmente se humedezca mediante una capa fundida de espesor uniforme  = R−r = H−h (derecha). 2 4 6 8 10 12 14 γlb=0,05 γlb=0,15 γlb=0,10 Rs (nm) 2 4 6 8 10 12 14 cos Łs=cos Łl γlb=0,05 γlb=0,15 γlb=0,10 Rs (nm) 2 4 6 8 10 12 14 γlb=0,05 γlb=0,15 γlb=0,10 Rs (nm) 2 4 6 8 10 12 14 γlb=0,05 γlb=0,15 γlb=0,10 FIG. 2: La temperatura de fusión Tm y el espesor crítico de la película líquida m para los racimos de Pb soportados en función del radio de curvatura Rs de la partícula sólida relajada para γlb = 0,05, 0,10, 0,15 J m−2 y, en el caso de los cos فارسىs = cos Łl (γlb 0,13 J m −2). También se muestra la temperatura de fusión de una partícula libre con radio Rs. Otras energías superficiales utilizadas son γsv = 0,61, γlv = 0,48, γsl = 0,05, γb = 0,25 y γsb = 0,1 J m −2 dando un ángulo de contacto de 75.8o para el clúster de soporte sólido, y ángulos de contacto para las gotitas líquidas que oscilan entre 78,0o y 65,4o respectivamente. Otros parámetros Los valores utilizados fueron de 0,63 nm, de 10950 kg m−3, de L = 22930 J kg−1 y de Tc = 600,65 K [9]. Introducción Geometría de partículas apoyadas Derretir y derretir la superficie Conclusión Bibliografía

Construimos un modelo termodinámico simple para describir el derretimiento de un nanopartícula metálica con una superficie libre esféricamente curvada, ambas con y sin fusión superficial. Utilizamos el modelo para investigar los resultados de recientes simulaciones de la dinámica molecular, que sugieren la temperatura de fusión de una partícula metálica soportada es la misma que la de una partícula esférica libre con la misma curvatura superficial. Nuestro modelo muestra que este es sólo el caso cuando los ángulos de contacto de las partículas sólidas y líquidas soportadas sean similar. Este es también el caso de la temperatura a la que se derrite la superficie comienza.

Introducción Geometría de partículas apoyadas Derretir y derretir la superficie Conclusión Bibliografía

Average optimality for risk-sensitive control with general state space

Optimidad media para el control sensible al riesgo con espacio de estado general Los Anales de Probabilidad Aplicada 2007, Vol. 17, No. 2, 654–675 DOI: 10.1214/105051606000000790 c© Instituto de Estadística Matemática, 2007 OPTIMALIDAD MEDIA PARA EL CONTROL SENSIBLE DEL RIESGO CON ESPACIO GENERAL DE ESTADO1 Por Anna Jaśkiewicz Wroc Universidad de Derecho Tecnológico Este artículo trata de los procesos de control de Markov en tiempo discreto en un espacio estatal general. Un criterio de coste medio sensible al riesgo a largo plazo: rion se utiliza como medida de rendimiento. La función de costo de un solo paso es no negativo y posiblemente sin límite. Usando el descuento de desaparición enfoque factorial, la desigualdad de optimalidad y un óptimo estacionario Se establece una estrategia para el responsable de la toma de decisiones. 1. Introducción y modelo. Este artículo trata sobre el tiempo discreto Procesos de control de Markov en un espacio estatal general. La función de costo de una sola etapa no es negativo y posiblemente no está limitado. Se supone que el responsable de la toma de decisiones ser contrario al riesgo con un coeficiente de riesgo constante γ > 0. La aver sensible al riesgo... El criterio del costo de la edad se utiliza como medida del rendimiento. El objetivo del trabajo es: establecer la desigualdad óptima para la programación dinámica sensible al riesgo; y derivar una política estacionaria óptima. El resultado se demuestra bajo dos diferentes conjuntos de suposiciones de compacidad-continuidad, a saber, para Markov procesos de control con probabilidades de transición débilmente continua [Condición (W)], así como las probabilidades de transición que son continuas con respeto para fijar la convergencia [Condición (S)]. Un problema similar para la neutralidad del riesgo Los modelos de control estocásticos han sido examinados en [27] utilizando el dis- aproximación de factor de recuento. Sin embargo, es bien sabido que, en el caso de las empresas sensibles a los riesgos, modelos trol, una aproximación análoga del coste medio a través de una secuencia de los correspondientes modelos descontados no funcionan. En lugar de esto, fol- Lowing [9, 15, 16], introducimos un problema de minimax con descuento auxiliar. Una fórmula variacional que expresa la relación mutua entre el función de entropía relativa y la función generadora de momentos logarítmicos nos permite conectar el modelo minimax con descuento con el modelo original. Recibido en marzo de 2006; revisado en septiembre de 2006. 1Apoyado por MEiN Grant 1 P03A 01030. Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60J05, 90C39; secundaria 60A10. Palabras y frases clave. Control sensible al riesgo, espacio estatal Borel, costo medio óptimo- ity desigualdad. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 654–675. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0394v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000790 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000790 2 A. JAÔKIEWICZ A continuación, suponiendo que una determinada familia de funciones está limitada [Condición (B)] y utilizando el lema de Fatou (para medidas convergentes débil o setwise), obtener la desigualdad de optimalidad. El predecesor de nuestro resultado es Teorema 4.1 en [16], donde la optimidad desigualdad para la programación dinámica sensible al riesgo con un estado contable se estableció el espacio. En lugar de suposición de límites (B), Hernández- Hernández y Marcus [16] asumen que existe una política estacionaria que induce un costo promedio finito que es igual a alguna constante en cada Estado. Por otro lado, es bien sabido que una óptima sensibilidad a los riesgos el coste medio puede depender del estado inicial (véase el ejemplo 1). Este comportamiento ocurre si el factor de riesgo es demasiado grande. En lugar de esta restricción a la coeficiente de riesgo, utilizamos Condición (B), lo que hace que el proceso alcance “bueno estados” suficientemente rápido. Hay una rica literatura en control sensible al riesgo, volviendo al menos a las obras seminales de Howard y Matheson [18] y Jacobson [19], que cubrió el caso del horizonte finito. El criterio de coste medio en el infinito horizonte fue estudiado en [5, 8, 14, 15, 16, 31] para un espacio de estado denumerable y en [10, 11, 20] para un espacio estatal general. También vale la pena mencionarlo. que el control sensible al riesgo encuentre aplicaciones naturales en la gestión de carteras, donde el objetivo es maximizar la tasa de crecimiento de la utilidad esperada de riqueza; véase [3, 4, 30] y las referencias citadas en él. El documento se organiza de la siguiente manera. Debajo de un modelo de control Markov con el criterio de coste medio a largo plazo como medida de rendimiento se describe, como así como alguna notación básica se establece. En la Sección 2 introducimos preliminares y presentar el problema de minimax con descuento auxiliar, que es, a su vez, resuelto en la sección 3. El resultado principal se establece en la sección 4. Sección 5 contiene una discusión de la Condición (B), y en el Apéndice una variación fórmula para la función generadora de momentos logarítmicos se indica. Un proceso de control de Markov de tiempo discreto se especifica por el siguiente ob- jects: i) El espacio estatal X es un espacio estándar Borel (es decir, un Borel no vacío) subconjunto de un poco de espacio polaco). (ii) A es un espacio de acción Borel. (iii) K es un subconjunto no vacío de Borel de X×A. Asumimos que, para cada uno x X, la sección X no vacía A(x) = {a â € : (x,a) â € € {K} de K es compacto y representa el conjunto de acciones disponibles en estado x. iv) q es una distribución condicional regular de K a X. v) La función de costo de una sola etapa c es una cartografía mensurable de Borel a partir de K a [0,]. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 3 A continuación, los espacios de la historia se definen como H0 = X, Hk = (X × A) k ×X y H. = (X × A) - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como de costumbre, una política η = k, k = 0,1,...} Π es una secuencia de las probabilidades de transición de Hk a A tal que ηk(A(xk)hk) = 1, donde hk = (x0, a0,. .., xk) â € ¢Hk. La clase de políticas estacionarias se identifica con la clase F de funciones medibles f de X a A de tal manera que f(x) A(x). Lo siento. es bien sabido que F no está vacía [6]. Por el teorema de Ionescu–Tulcea [24], para cada política η y cada estado inicial x0 = x, una medida de probabilidad P y un proceso estocástico {(xk, ak)} se definen en H® de una manera canónica, donde xk y ak describen el estado y la decisión en la fase k, respectivamente. Por Eηx denotamos el operador de expectación con respecto a la probabilidad medidas Pηx. Dejar γ > 0 ser un factor de riesgo dado. Para cualquier estado inicial x â € TM x y la política D, definimos el siguiente criterio de coste medio sensible al riesgo: J(x,η) = lim sup logEηx exp c(xk, ak) Nuestro objetivo es minimizar J(x,η) dentro de la clase de todas las políticas y encontrar un política exterior y de seguridad común, para la cual J*(x) := inf J(x,η) = J(x,). A lo largo del documento se supone que la siguiente suposición se llevará a cabo verdadero incluso sin referencia explícita: J(x, ) <.(G) Observación 1. A lo largo del resto, suponemos que el factor de riesgo γ > 0 es arbitrario y fijo. Por lo tanto, aquí y posteriormente, no lo haremos indican que algunas cantidades dependen de γ [por ejemplo, escribimos J(x, Jγ(x,l), descendiendo el índice γ]. 2. Preliminares. Que Pr(X) sea el conjunto de todas las medidas de probabilidad en X. Arreglar el asunto Pr(X). La función relativa de la entropía R() es un mapeo de Pr(X) en R definido como sigue: R() := dμ, ν, De lo contrario. Es bien sabido que R() no es negativo para cualquier μ Pr(X) y R() = 0 si y sólo si μ = / (consulte Lemma 1.4.1 en [12]). Consideraremos el siguiente problema auxiliar de minimax, asociado con nuestro proceso de control original de Markov. El conjunto X es el espacio de estado, 4 A. JAÔKIEWICZ mientras que A y Pr(X) son los conjuntos de acción para el Ponent, respectivamente. El proceso funciona entonces de la siguiente manera. En un estado xn, n = 0,1,....., el controlador elige una acción un A(xn), mientras que la oppo- nent selecciona μn(·)[xn, an] • Pr(X). Como consecuencia, el controlador paga γc(xn, an)−R(μnÃ3q(xn, an)) a su oponente, y el sistema se mueve a la siguiente estado según la distribución de probabilidad μn(·)[xn, an]. Nos ocuparemos de las siguientes clases de estrategias. No causará confusión si seguimos utilizando las mismas letras para denotar estrategias para el controlador. Es decir, η significa una estrategia de control aleatorio (política), mientras que f denota una estrategia estacionaria. Escribimos Π y F para denotar los conjuntos de las estrategias correspondientes. Para la clase de estrategias del oponente, confinamos a la estacionaria, que se identifica con la clase P de granos estocásticos p en X dado K. Que sea el espacio medible que consiste en el espacio de la muestra (X × A)- y su producto F-álgebra. Luego para un estado inicial x X, y estrategias η y p, existe una medida de probabilidad única Pηpx y, una vez más, se define un proceso estocástico {(xk, ak)} de una manera canónica, donde xk denota el estado en el momento k y ak es la acción para el controlador. Con un poco de abuso de notación, dejamos que hk representa la historia del proceso hasta el estado Kth, es decir, hk = (x0, a0, x1,. .., ak−1, xk). El operador de expectación correspondiente es denotado por Eγpx. Para fijas x x x, η + + + y p + P, definimos las siguientes funciones: Costes: Vβ(x,, p) = βkEγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)],(1) donde β + (0,1) es el factor de descuento, y j(x,, p) = lim sup Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)]. Tenga en cuenta que, puesto que la función R() es inferior semicontinua en Pr(X) × Pr(X) y p y q son núcleos estocásticos [es decir, funciones medibles de (x,a)], se deduce que el mapeo (x,a) 7→R(p(x,a)q(x,a)) es mensurable [Lemma 1.4.3(f) en [12]]. Obsérvese que Vβ(x,, p) y j(x,, p) puede ser indeterminado, porque c puede ser ilimitado. Por lo tanto, limitamos la conjunto de estrategias admisibles para el oponente de la siguiente manera. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 5 Definición 1. Teniendo en cuenta que η = k} Π, decimos que p P es un η-admisible estrategia iff A(xk) R(p(xk, a)q(xk, a)) y, además, existe una constante C ≥ 0, posiblemente dependiendo de η y p, de tal manera que A(xk) [γc(xk, a) −R(p(xk, a)q(xk, a))]γk(dahk) + C ≥ 0, para todas las historias del proceso hk, k ≥ 0, inducidas por p y Denotamos este conjunto por Q(l). [Tenga en cuenta que este conjunto es no vacío, ya que p = q Q( Π.] Vamos a introducir la siguiente notación. Para cualquiera de los tipos de η, Π, p. Q(l) y n≥ 1, definir Jn(x,l) = logE x exp c(xk, ak) jn(x,l, p) = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)]. Ahora estamos listos para presentar el resultado que fue probado originalmente en [16] para las estrategias de Markov. Sin embargo, sigue siendo válida cuando es arbitraria se consideran estrategias para el responsable de la toma de decisiones. Por lo tanto, por el bien de claridad, declaramos el resultado con su prueba. Proposición 1. Dejemos que xâ € € ~ y p â € € ~ Q(η). Entonces: a) supp°Q(l) jn(x,l, p) ≤ Jn(x,l) por cada n≥ 1, b) lim supná ° suppá ° Q(l) jn(x,l, p) ≤ γJ(x,l). Prueba. (a) Que p • Q(l) sea cualquier kernel estocástico. Para n = 1, con- conclude j1(x,, p) ≤ E x (γc(x,a0)) ≤ logE γc(x,a0) = J1(x, donde la primera desigualdad se mantiene ya que la entropía relativa no es negativa, y el segundo se debe a la desigualdad de Jensen. Ahora supongamos que la hipótesis es cierto para algunos n≥ 1. Claramente, jn+1(x,l, p) = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)] = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)], n≥ 1. 6 A. JAÔKIEWICZ Denotar la estrategia “1-shifted”, es decir, (hk) = ηk+1(x0, a0, hk), k ≥ 0. Entonces, tenemos jn+1(x,l, p) = Eγpx [γc(x,a0) + jn(x1, η (1), p) −R(p(x,a0)q(x,a0))] ≤ Eγpx (γc(x,a0)) + Eγpx (E x {[Jn(x1, 1) − R(p(x,a0)q(x,a0))]a0} = Log de Eηx e γc(x,a0) + Eγpx Jn(x1, η (1)) p(dx1x,a0) − R(p(x,a0)q(x,a0)) log eγc(x,a0)η0(da0x) eJn(x1, (1))q(dx1x,a0)η0(da0x) eγc(x,a0)+ γc(xk,ak)q(dx1x,a0)η0(da0x) ≤ log eγc(x,a0)+ γc(xk,ak)q(dx1x,a0)η0(da0x) = Jn+1(x, Claramente, la primera desigualdad se deriva de la hipótesis de inducción. El tercero la desigualdad se debe a la desigualdad de Jensen, mientras que la segunda Lemma A en el Apéndice. Puesto que p Q(l) es arbitrario, obtenemos el deseado conclusión. La parte b) se deriva directamente de la parte a). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 2. Note que en la prueba de la Proposición 1 no lo hicimos realmente tener que utilizar el hecho de que p • Q(l). La única suposición que juega un función esencial es la condición (2). Es decir, garantiza que jn(x, definido para todos los n≥ 1, x â € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Sin embargo, en la definición 1 restringimos la clase de estrategias del oponente para el conjunto Q(l) con el fin de ser capaz de aplicar el teorema Hardy-Littlewood. De hecho, más adelante quedará claro que el conjunto Q(l), donde η Π, es lo suficientemente grande. Es decir, el máximo de algunos costes funcionales descontados sobre el conjunto Q(l) no cambiará si nosotros añadir nuevos elementos a Q(l); ver las pruebas de Lemmas 1 y 2. CONTROL DE RIESGO SENTSITIVO 7 Let ser como en la suposición (G) y let p Q(). Luego desde el Hardy– Teorema de madera pequeña (Teorema H.2 en [13]), obtenemos lim sup (1 − β)Vβ(x,, p) ≤ lim sup jn(x,, p) y de la Proposición 1(b), lim sup ÍNDICE (continuación) jn(x,, p) ≤ γJ(x, ). Combinando estas dos desigualdades, concluimos que lim sup (1- β)Vβ(x,, p) ≤ γJ(x, ) por cada p Q(). Esto a su vez produce lim sup (1- β)Vβ(x) ≤ γJ(x, ),(4) donde Vβ(x) es el valor superior del coste funcional (1), es decir, Vβ(x) = inf ÍNDICE (continuación) Vβ(x,, p). En consecuencia, la desigualdad (4) y la suposición (G) en conjunto conducen a Loading: Vβ(x) < فارسى(5) para cada x x x y β + (0,1). Además, Vβ(x) ≥ 0. Ahora definir l:= inf J(x,η), mβ := inf Vβ(x) , y observando que lim sup (1 − β)mβ ≤,(6) se puede deducir que existe una secuencia de factores de descuento n} con- a 1 para el cual (1- βn)mβn = l,(7) donde yo es una cierta constante no negativa. 8 A. JAÔKIEWICZ 3. Una solución al problema de minimax con descuento auxiliar. El principal empuje de esta sección es para resolver el problema de minimax con descuento auxiliar introducido en la sección anterior. En otras palabras, buscamos un descuento ecuación funcional cuya solución es la función Vβ. Esto lo hace un ap- proximación de los modelos minimax antes mencionados por los modelos con límites funciones de coste. Estos modelos a su vez se resuelven mediante un argumento de punto fijo en Proposición 1. A continuación, mostramos en Lemma 1 que las soluciones correspondientes igualar los valores superiores de algunos costes descontados en el horizonte infinito. Fi- nally, el paso límite en Lemma 2 da el deseado descuento funcional ecuación con la función Vβ como solución. Necesitaremos los siguientes dos conjuntos de compacidad-semicontinuidad como... Supuestos, que se utilizarán alternativamente. Condición (S). i) El conjunto A(x) es compacto. (ii) Para cada x x x y cada conjunto de Borel D x, la función q(Dx, ·) es continua en A(x). (iii) La función de costo c(x, ·) es inferior semicontinua para cada x â € x. Condición (W). (i) El conjunto A(x) es compacto y la asignación de valor conjunto x 7→ A(x) es semicontinuo superior, es decir, {x â € € ~ X : A(x) â € ~ B 6= â € ~ está cerrado para cada conjunto cerrado B en A. ii) La ley de transición q es débilmente continua en K, es decir, la función (x,a) 7→ u(y)q(dyx,a), (x,a) K, es función continua para cada función continua limitada u. iii) La función de costos c es menos semicontinua en K. Por Lb(X) y Bb(X), denotamos el conjunto de todas las semicontin- funciones de Borel medibles en X, respectivamente. Además, dejar que N soporte el conjunto de números enteros positivos. Elija N â € N y definir el Función de costo truncado cN (x,a) = min{N,c(x,a)}. El siguiente resultado se demostró con arreglo a la condición (W) de coste limitado funciones mediante un argumento de punto fijo; véase la página 72 en [10]. Sin embargo, un simple y obvia modificación de la prueba da la conclusión bajo condición (S) también. CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 9 Proposición 2. Con arreglo a la letra W) [(S)], para cualquier factor de descuento β ≤ (0,1) y un número N + N, existe una función única wNβ + Lb(X) [w β Bb(X)] de tal manera que = min aâ € A(x) N (x,a) q(dyx,a) para cada x +X, y 0 ≤ (1 − β)wNβ (x) ≤Nγ.(9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por otra parte, existe una estrategia estacionaria f0 • F (posiblemente dependiendo de β y N) que alcanza el mínimo en (8). Dejar que β y N se fijen justo en el siguiente lema. Lemma 1. Suponga (W) o (S). Entonces, se mantiene wNβ (x) = inf ÍNDICE (continuación) Eγpx β k[γcN (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))] para cualquier estado inicial x x x. Prueba. Tenga en cuenta que (8) puede ser reescrita en la siguiente forma equivalente: wNβ (x) = min aâ € A(x) γcN (x,a) + log q(dyx,a) .(11) Aplicando Lemma A en el Apéndice a (11), obtenemos wNβ (x) = min aâ € A(x) (x,a) γcN (x,a) −R(q(x,a)) + β wNβ (y)μ(dy) (x,a) := Pr(X) :R(q(x,a)) <, (x,a) K. Además, la medida μ0(dy)[x,a] = q(dyx,a) q(dyx,a) alcanza el máximo en (12). Poner p0(dyx,a) = μ0(dy)[x,a] para cada (x,a) K.(13).............................................................................................................................................................................................................................................................. 10 A. JAÔKIEWICZ Nótese que p0-Q(l) para cualquier estrategia. Esto se sigue directamente de la definición de R(p0(x,a)q(x,a)) y (9). Los cálculos simples dejan de... por encuadernación R(p0(x,a)q(x,a)) ≤ 2 1 − β por cada (x,a) K. Dejar que p0 se defina como en (13). Para (12), entonces tenemos wNβ (x) ≤ γc N (x,a) −R(p0(x,a)q(x,a)) + β wNβ (y)p 0(dyx,a). Por iteración de esta desigualdad n veces, sigue wNβ (x) ≤ βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))] + βn+1Eηp β (xn+1), donde η es cualquier estrategia para el controlador. Ahora, dejar que no y hacer uso de (9), concluimos wNβ (x) ≤ βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))]. Puesto que η es arbitrario, obtenemos wNβ (x) ≤ inf βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))] ≤ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak)(14) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. Nótese que la desigualdad (14) es válida porque p0 â € € ¬ Q(l). Por otro lado, por (12), podemos escribir wNβ (x) ≥ γc N (x, f0(x)) -R(p(x, f0(x))-q(x, f0(x)) wNβ (y)p(dyx, f 0(x)), con f0 como en la Proposición 2 y cualquier p-Q(f0). Proceder a lo largo de la misma línea, inferimos wNβ (x) ≥ x [γc N (xk, f 0(xk)) −R(p(xk, f 0(xk))q(xk, f 0(xk))]. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 11 Puesto que p â € ¢Q(f0) es arbitrario, fácilmente deducir wNβ (x) ≥ sup pâ € Q(f0) x [γc N (xk, f 0(xk)) −R(p(xk, f 0(xk))q(xk, f 0 (xk))] ≥ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. Finalmente, combinar (14) con (15) completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En el resto del documento, utilizaremos la siguiente anotación. Vamos. L(X) indica el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores en X, mientras que B(X) representa el conjunto de todas las funciones medibles de Borel en X. Lemma 2. Dejar (W) [(S)] mantener y β â € (0,1). Entonces, tenemos el siguiente... a) La función wβ(x) := lim wNβ (x) es finito y no negativo para cada x x x. Además, wβ â € L(X) [wβ â € B(X)]. b) La ecuación funcional se mantiene ewβ(x) = min aâ € A(x) eγc(x,a) eβwβ(y)q(dyx,a) para todos los x x x x. Además, existe un selector mensurable de Borel fβ F de los mínimos en (16). c) Para cualquier x x x, wβ(x) = Vβ(x). Prueba. Que se fijen x x x y β + (0,1). A partir de (10), se ve fácilmente que la secuencia {wNβ (x)} no disminuye en N. Por lo tanto, wβ(x) = limN®w β (x) existe y por (9), no es negativo. Claramente, bajo (S), wβ B(X), mientras que, bajo (W), wβ L(X); véase la Proposición 10.1 en [26]. Con el fin de probar que wβ(x) es finito para cada x X, observar primero que, en el caso de cualquier tipo de η + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Vβ(x,, p) = βkEγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)] βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. 12 A. JAÔKIEWICZ Además, desde Lemma 1, tenemos Vβ(x) = inf ÍNDICE (continuación) Vβ(x,, p) ≥ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))] = wNβ (x). Por lo tanto, dejando que Nó, sigue Vβ(x) ≥ lim wNβ (x) = wβ(x).(17) Por (5), Vβ(x) es finito para cada x ÓX, así es wβ(x). Esto termina la prueba de parte a). Para probar la parte b), tenga en cuenta que en 11) y en la parte a) el límite aâ € A(x) γcN (x,a) + log q(dyx,a) existe. Puesto que el primer y el segundo término en (18) son no decrecientes y (W) o (S) se mantiene, entonces podemos intercambiar el límite con el mínimo (véase la Proposición 10.1 en [26]). Por otra parte, el uso de la Lebesgue teorema de convergencia monotona, concluimos (16). La existencia de un Borel selector medible fβ • F se deriva de la compacidad–semicontinuidad los supuestos y la Proposición D.5 en [17]. Pasamos ahora a probar la parte c). Una vez más, tomar un logaritmo en ambos lados de 16), sigue: wβ(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβwβ(y)q(dyx,a) .(19) Aplicando Lemma A en el Apéndice de (19), obtenemos fácilmente wβ(x) = min aâ € A(x) (x,a) γc(x,a) −R(q(x,a)) + β wβ(y)μ(dy) (x,a) = Pr(X) :R(q(x,a)) <, (x,a) K. Obsérvese que por (20), para cualquier p-Q(fβ), se mantiene lo siguiente: wβ(x) ≥ γc(x, fβ(x)) -R(p(x, fβ(x))-q(x, fβ(x)) wβ(y)p(dyx, fβ(x)). CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 13 Iterando esta desigualdad n veces, inmediatamente obtenemos wβ(x) ≥ x [γc(xk, fβ(xk)] −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] + βn+1E x wβ(xn+1)(21) x [γc(xk, fβ(xk)] −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))]. Ahora note que, por definición 1, x [γc(xk, fβ(xk)) −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] C, para algunos C ≥ 0 y k ≥ 1. Por lo tanto, dejando no en (21), sigue wβ(x) ≥ x [γc(xk, fβ(xk)) −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] = Vβ(x, fβ, p). Puesto que p â € ¢Q(fβ) es arbitrario, vemos que wβ(x) ≥ sup p-Q(fβ) Vβ(x, fβ, p) ≥ Vβ(x).(22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Las desigualdades (17) y (22) combinadas concluyen la prueba de la parte c). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Una solución al problema de control sensible al riesgo. Para cualquier x â € € TM y cualquier factor de descuento β + (0,1), definir hβ(x) := Vβ(x) −mβ con mβ = infx+X Vβ(x). Obviamente, hβ no es negativo. Se supone que la siguiente suposición de límites tiene que ser cierta. Como hombres... En la introducción, posponemos la discusión hasta la sección 5: Condición (B). Para cualquier x x x, sup(0,1) hβ(x) <. Observación 3. Se utilizó una hipótesis similar y sus variantes equivalentes estudiar el criterio de coste medio previsto para los procesos de decisión de Markov en la situación de neutralidad en cuanto al riesgo [17, 27, 28]. En términos aproximados, Hernández-Lerma Lasserre [17], Schäl [27] y Sennott [28] asumen que la familia del las llamadas funciones de costo de β-descuento normalizadas están limitadas. Este imbécil... Sin embargo, en el caso de los procesos de decisión ergódicos de Markov, sólo cabe esperar que los procesos de decisión sean ergódicos. Más 14 A. JAÔKIEWICZ precisamente, si las probabilidades de transición n-paso convergen a la Variante probabilidad medida geométricamente rápido, y las funciones de costo son limitada (o más generalmente satisfacer una cierta hipótesis de crecimiento), a continuación, el La familia de funciones antes mencionada es puntualmente relativamente compacta [21, 22]. Cabe señalar que este requisito es crucial para obtener el opti- la desigualdad de la malidad en el caso de la neutralidad del riesgo; véase [27, 28]. En la Sección 5 proporcionamos un ejemplo que ilustra que también en el caso sensible al riesgo Condición (B) no se puede debilitar. Necesitaremos las dos versiones siguientes del lema de Fatou para la convergencia medidas. Lemma 3. Que n} sea una secuencia de medidas de probabilidad convergente a μ Pr(X) y dejar que {hn} sea una secuencia de funciones no negativas medibles en X. Entonces, h(y)μ(dy) ≤ lim inf hn(y)μn(dy) en los casos siguientes: a) n} converge setwise a μ [es decir, f(y)dμn(y) → f(y)dμ(y) Bb(X)], y h(x) = lim infnà hn(x); (b) n} converge débilmente a μ, y h(x) = inf{lim infn hn(xn) :xn → x}; además, h • L(X). Prueba. La parte a) se debe a Royden [25], página 231, mientras que la parte b) fue probado por Serfozo [29]. Para la prueba de la semicontinuidad inferior de h, el lector se refiere a Lemma 3.1 en [22]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos en condiciones de declarar el resultado principal del documento. Este... rem se refiere a un estudio de la desigualdad de rentabilidad media sensible al riesgo, que es suficiente para establecer la existencia de una política estacionaria óptima. Teorema 1. Asumir (B) y (W) [o (S)]. Luego, para cada factor de riesgo γ > 0, existe una constante lâ € y una función no negativa h â € L(X) [h â € € B(X)] y F(F) de tal manera que: h(x) + l+ ≥ min aâ € A(x) γc(x,a) + log Eh(y)q(dyx,a) = γc(x, f(x)) + log eh(y)q(dyx, f®(x)) CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 15 para todos los x x x x. Además, = inf J(x,l) = J(x, f®). En otras palabras, el coste medio óptimo, sensible al riesgo, y el política estacionaria óptima de costes medios sensible al riesgo. Observación 4. a) Hay dos documentos [16, 27] que pueden tratarse como antecesores de nuestro trabajo. Ambos se ocupan de la desigualdad de optimalidad, pero dentro de dos marcos diferentes. El primer trabajo [16] establece la ity ecuación para la programación dinámica sensible al riesgo en un denumerable espacio estatal. En el otro, el resultado se obtiene para el control de Markov pro- cestos en un espacio de estado incontable para el factor de riesgo γ = 0. De aquí punto de vista, nuestro resultado es una extensión de Teorema 4.1 en [16] a un general el espacio de estado y el teorema 3.8 en [27] en el caso sensible al riesgo. Por otra parte, el característica común de los resultados discutidos es que sus pruebas se basan en el la desaparición del enfoque del factor de descuento. Nuestra prueba también se basa en este método, y similarmente, como en [27] o [21, 22], hace uso de los lemas Fatou para y medidas débilmente convergentes. b) Por último, también vale la pena mencionar que hay documentos que estudian la Ecuación de optimidad en la programación dinámica sensible al riesgo, que es de el siguiente formulario: h(x) + l = min aâ € A(x) γc(x,a) + log Eh(y)q(dyx,a) .(24) La constante lâ ° es (según hipótesis adecuadas) un coste óptimo con respecto a al criterio de coste medio sensible al riesgo. Mencionemos y discutamos algunos documentos representativos que tratan de la ecuación (24). En [8, 15] control de Markov modelos que cumplen una condición Doeblin simultánea, en un finito y contable espacio estatal, respectivamente, se consideran. Las funciones de costo se supone que estar limitado y el factor de riesgo debe ser suficientemente pequeño. De lo contrario, como argumentado en [8], la ecuación de optimidad no necesita tener una solución. En [10] Di Masi y Stettner extienden el resultado a un espacio estatal general manteniendo las funciones de coste limitado y sustituyendo un Doeblin simultáneo condición con una suposición muy fuerte sobre las probabilidades de transición. En [11], Sin embargo, sustituyen esta suposición por una impuesta a la coefi- Científico. Por último, la clase de modelos de control Markov que no requiere condiciones de ergodicidad ni la pequeñez del factor de riesgo fue señalado por Jaśkiewicz en [20]. Bastante recientemente Borkar y Meyn [5] consideraron los procesos de decisión de Markov con funciones de coste sin límite en un espacio de estado denumerable. Su resultado 16 A. JAÔKIEWICZ asume lo siguiente: el espacio estatal es irreductible bajo todas las políticas de Markov. cia, los costes son similares a las normas, y existe una política que induce a un finito coste medio sensible al riesgo. Por otra parte, su prueba se basa en un multiplicativo teorema ergódico que se estudió con más detalle en [1]. Prueba de Teorema 1. Que n} sea una secuencia de factores de descuento convergiendo a 1 para el cual (7) se mantiene. Definición l+D := l = lim (1 − βn)mβn y aplicando (6), observamos que ≤ inf J(x,η)(25) para cualquier x x x x. Asumir por un tiempo que la desigualdad (23) está satisfecho y allí existe fâ â € F como en la declaración de Teorema 1. Demostramos que fó ́ es un óptimo política. Desde (23), tenemos h(x) ≥ γc(x, fâr(x)) − lâr + log eh(y)q(dyx, f(x)). Por iteración de esta desigualdad n veces, obtenemos h(x) ≥ logEηx exp γc(xk, fó(xk)) + h(xn+1) − (n + 1) Puesto que h es no negativo, inferimos + l Jn+1(x, fÃ3r) con Jn+1(x, f+) definido en (3). Dejando que no, sigue ≥ J(x, fó), x ÓX.26) Por lo tanto, (25) y (26) juntos implican = J(x, f+) = inf J(x,Π) para cada x x x x. A continuación nos centramos en mostrar la desigualdad (23). Dejar n≥ 1 y poner hn := hβn, fn := fβn. Tenga en cuenta que (19) puede ser reescrita en la forma siguiente: (1 − βn)mβn + hn(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβnhn(y)q(dyx,a) = γc(x, fn(x)) + log eβnhn(y)q(dyx, fn(x)). CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 17 i) Asumir primero (S) y definir h(x) = lim inf hn(x). Tomando el lim inf en ambos lados de (27), obtenemos lim inf ((1 − βn)mβn + hn(x)) = l + h(x) = lim inf aâ € A(x) γc(x,a) + log eβnhn(y)q(dyx,a) Utilizando Lemma 3(a) y el teorema de selección medible (véase Propo- Situación D.5(a) en [17]), se puede probar que existe fà r à r F tal que (23) Espera. ii) Asumir ahora (W). Arreglar x0 x x y elegir cualquier xn → x0, n®. Toma a subsecuencia {nk} de números enteros positivos de tal manera que lim inf hn(xn) = lim hnk(xnk). Entonces por (27), lim inf ((1− βn)mβn + hn(xn)) = lÃ3 + lim inf hn(xn) = l+ lim hnk(xnk) = lim a(xnk ) γc(xnk, a) + log eβnkhnk (y)q(dyxnk, a) = lim γc(xnk, fnk(xnk)) + log eβnkhnk (y)q(dyxnk, fnk(xnk)) Tenga en cuenta que G = {x0} {xn} es compacto en X. Desde la semicontinu- ity de x 7→A(x), la compacidad de cada A(z) y el teorema de Berge (véase [2] o Teorema 7.4.2 en [23]), se deduce que zÃ3rga(z) es compacto en A. Hay- En primer lugar, {fnk(xnk)} tiene una subsecuencia que converge con algunos a0 A. Por (W)(i), a0 A(x0), es decir, (x0, a0) K. Sin pérdida de generalidad, asumir que fnk(xnk) → a0, k. Por la semicontinuidad inferior de la función de costo c y (28), tenemos lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + lim eβnkhnk (y)q(dyxnk, fnk(xnk)). Esto y Lemma 3(b) implican que lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + log ehh(y)q(dyx0, a0), donde eh? es el lim inf generalizado de la secuencia eh?k = ehnk. Claramente, h≤ h Por Lemma 3(b), h â € L(X). Por lo tanto, lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + log eh(y)q(dyx0, a0).29).............................................................................................................................................................................................................................................................. 18 A. JAÔKIEWICZ Puesto que xn → x0 fue elegido arbitrariamente, inferimos de (29) que + h(x0) ≥ γc(x0, a0) + log eh(y)q(dyx0, a0). La última desigualdad muestra que, para cualquier x x x, existe un ax A(x) tal + h(x) ≥ γc(x,ax) + log Eh(y)q(dyx,ax) ≥ min aâ € A(x) γc(x,a) + eh(y)(y)q(dyx,a) Por nuestras suposiciones de compacidad-semicontinuidad y Proposición D.5(b) en [17], existe un poco de Fâ â ° F tal que (23) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Una discusión. Esta sección está dedicada a una discusión de la Condición (B). Comenzamos con la revisión del Ejemplo 3.1 en [8]. Ejemplo 1. Puso X = {0,1}, A = {a}, c(x) := c(x,a) = x y el tran- la matriz de la posición es la siguiente: - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - en los que.................................................................................................................................................. Recordemos que se demostró lo siguiente. Consideremos tres casos para el factor de riesgo γ: (I) γ log(1− (II) γ = − log(1− (III) γ log(1−) Entonces si (I) o (II) se mantiene, el costo medio óptimo sensible al riesgo es igual a 0 y es independiente del estado inicial. En el caso (III) tenemos J*(0) = 0 y J*(1) = 1 + log(1) > 0. Además, es interesante observar que, para (II) y (III) casos, no existe una función h :X 7→ R tal que se satisface la desigualdad de optimidad (23). De hecho, para ver esta toma x = 1 y considerar (III). La desigualdad óptima es entonces la siguiente: γJ*(1) + h(1) = γ + log(1 − Tenga en cuenta que el lado derecho es estrictamente mayor que γ + log(eh (1)1 − que es igual al lado izquierdo. Cálculos similares para el caso (II) también conducen a una contradicción. Por lo tanto, aunque un costo óptimo es constante, el la desigualdad de optimalidad no necesita tener una solución. Ahora pasamos a comprobar Condición (B). Que Vβ sea como en Lemma 2. Claramente, Vβ = w β para N ≥ 1 y Vβ(0) = 0. Entonces, por (8) bajo (I), obtenemos Vβ(1) = γ + log[e βVβ(1)1 − l) + l] < γ + log[eVβ(1)1 − l) + l]. CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 19 Por lo tanto, Vβ(1) < log eγ(1− l) 1− eγ(1− (0,1), y, en consecuencia, sup(0,1) hβ(x) <. Ahora que el factor de riesgo γ sea como en (III). Luego, por (8), Vβ(1) > γ + log(1 − ) + βVβ(1) que a su vez implica que Vβ(1) > γ + log(1− Así, hβ(1) = Vβ(1) va a la infinidad cuando β 1. Para el caso (II), obtenemos Vβ(1) = − log(1− ) + log[e βVβ(1)(1− = βVβ(1) + log 1 + eVβ(1) 1 − Si Vβ(1) cuando β 1, entonces el lado derecho de (31) también va a la El infinito. Por el contrario, asumir que sup(0,1) Vβ(1) ≤C para alguna constante C > 0. Entonces, Vβ(1) ≥ log[1 + e−C que lleva a una contradicción cuando β 1. En consecuencia, en el caso II familia {hβ(1)} tampoco satisface la Condición (B). Por lo tanto, puede extraerse la siguiente conclusión. La condición (B) es nec- Essary para obtener una solución a la desigualdad de optimalidad. Para una verificación de la Condición (B), se puede usar Lemma 4 abajo. Por una resultado similar en el riesgo-neutral, caso al que nos referimos [27, 28]. Para algunos η ≥ 0, definir el tiempo de parada En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Lemma 4. Para η ≥ 0, β â € (0,1) y x â € X, hβ(x) ≤ η + inf logEηx exp γc(xk, ak) Prueba. Por Lemma 2(b), (c) y el hecho de que Vβ(y) ≥ 0, y Vβ(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβVβ(y)q(dyx,a) < γc(x,a) + log eVβ(y)q(dyx,a) 20 A. JAÔKIEWICZ para cada x x x x. Restando mβ de ambos lados en (32), obtenemos Vβ(x) −mβ < γc(x,a) + log e(Vβ(y)-mβ )q(dyx,a). Iteración de esta desigualdad hasta el tiempo de parada Vβ(x) −mβ < logE c(xk,ak) = η + logEηx exp c(xk, ak) Dado que el apartado Π es una política arbitraria, podemos llegar fácilmente a la conclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenga en cuenta que el hecho Exportación Eηx γc(xk, ak) < •(33) tiene la siguiente interpretación: antes de que el proceso llegue a “buenos estados”, los costes incurridos en las “etapas iniciales” no deberían ser demasiado elevados. De hecho, vamos a definir un conjunto D de la siguiente manera. Nosotros decimos que x D if Vβ(x) ≤mβ + η para un determinado η ≥ 0. Claramente, D 6=. Denotar por D la primera hora de retorno de el proceso, regido por fβ, para fijar D. Ciertamente, si (33) se mantiene con entonces la Condición (B) se cumple. En el ejemplo 1 podemos tomar D = {0} y η = 0, ya que Vβ(0) ≤ 0 + 0. Si γ es como en (I), entonces (33) sostiene: E1 exp - - - - - - - - - - - ¿Qué? γc(xk) enγ(1− eγ(1− l) 1− eγ(1− En otros casos (33) no se mantiene y, además, los cálculos anteriores mostrar que hβ(1) =. Resumiendo, el ejemplo presentado muestra que, sin condición (B) se impone a la familia de funciones {hβ(x)}, β(0,1), una solución a la la inequidad óptima no necesita existir, y además, la el coste medio puede depender del estado inicial. Habida cuenta de lo que antecede, La condición (B) está diseñada para evitar el devengo de los costes previstos infinitos. Es decir, los costes incurridos en los estados transitorios, que sólo pueden ser ocupados en “primeras etapas”, tienen una influencia importante y definitiva en un medición de la ejecución. Por lo tanto, Condición (B) requiere que el modelo sea una especie de comunicación en la medida en que se alcancen ciertos conjuntos de “buenos Estados” lo suficientemente rápido. Entonces, el coste medio óptimo sensible al riesgo es constante y la desigualdad de optimalidad tiene lugar. Además, vale la pena mencionar que CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 21 la ergodicidad misma de un proceso/cadena de Markov no ayuda tanto como en el caso de la neutralidad del riesgo. En otras palabras, para una cadena ergódica de Markov, puede que el coste medio óptimo sensible al riesgo depende de la Estado como en el ejemplo 1. Por otra parte, en este ejemplo uno puede incluso probar en una forma sencilla de que en el caso (I) [ya sea bajo la condición (B) o para factores de riesgo suficientemente pequeños], se cumple la ecuación de optimidad (24). Por lo tanto, sería interesante saber si Condición (B) (juntos con algunos supuestos de compacidad-continuidad) es suficiente para obtener un solución a la ecuación de optimidad. Hay una conjetura que, ya que en el En caso de neutralidad del riesgo, una contrapartida de la Condición (B) no es suficiente [7], ni tampoco ¿Se encuentra en un entorno sensible al riesgo? Pero esta cuestión está más allá del alcance de el papel y permanece abierto. APÉNDICE El lema siguiente establece una fórmula variacional para el logarítmico función generadora de momento. El lector se refiere al teorema 4.5.1 y Proposición 1.4.2 en [12] para su prueba. Lemma A. Que X sea un espacio polaco, h un mapeo de funciones medibles en X en R, que está limitada desde abajo o limitada desde arriba, y contra una medida de probabilidad en X. (a) Entonces, tenemos la fórmula variacional ehd v = sup −R() + donde Pr(X) :R() <. b) Dejar que μ0 denote la medida de probabilidad en X, que es μ0 Satisface (x) = eh(x) eh d'i Entonces, el máximo en la fórmula variacional se alcanza de forma única en μ0. Agradecimientos. Una parte de esta investigación se hizo mientras el autor fue un investigador de Humboldt y visitó la Universidad de Ulm. Los autor agradece el apoyo del Alexander von Humboldt Fundación. La segunda parte de este documento fue escrito en el Instituto de Matemáticas e Informática, Universidad de Derecho Wroc de Tecnología. El autor está muy en deuda con el profesor Ulrich Rieder por el dibujo su atención al papel [16], sugiriendo el problema y para varios conversaciones. 22 A. JAÔKIEWICZ REFERENCIAS [1] Balaji, S. y Meyn, S. P. (2000). Ergodicidad multiplicativa y grandes desviaciones para unas cadenas de Markov irreductibles. Proceso estocástico. Appl. 90 123–144. MR1787128 [2] Berge, E. (1963). Espacios Topológicos. MacMillan, Nueva York. [3] Bielecki, T., Hernández-Hernández, D. y Pliska, S. (1999). Sensibilización a los riesgos control de las cadenas de Markov estado finito en tiempo discreto, con aplicaciones a puerto- folio managment. Matemáticas. Métodos Oper. Res. 50 167–188. 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Técnica Informe de la Universidad de Derecho Wroc de Tecnología. [21] Jaśkiewicz, A. y Nowak, A. S. (2006). En la ecuación de optimidad para el promedio costes Markov procesos de control con las probabilidades de transición Feller. J. Matemáticas. Anal. Appl. 316 495-509. MR2206685 [22] Jaśkiewicz, A. y Nowak, A. S. (2006). Juegos estocásticos ergódicos de suma cero con Probabilidades de transición Feller. SIAM J. Control Optim. 45 773–789. MR2247715 [23] Klein, E. y Thompson, A. C. (1984). Teoría de las Correspondencias. Wiley, nuevo York. MR0752692 [24] Neveu, J. (1965). Fundamentos matemáticos del cálculo de la probabilidad. Holden... Day, San Francisco, CA. MR0198505 [25] Royden, H. L. (1968). Análisis real. MacMillan, Nueva York. MR0151555 [26] Schäl, M. (1975). Condiciones para la optimización en la programación dinámica y para la limitar las políticas óptimas en fase n para que sean óptimas. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 32 179– 196. MR0378841 [27] Schäl, M. (1993). 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MR1093001 Instituto de Matemáticas e Informática Wroc Universidad de Derecho Tecnológico Wybrzeże Wyspiańskiego 27 PL-50-370 Derecho Wroc Polonia Correo electrónico: ajaskiew@im.pwr.wroc.pl http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2206685 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2247715 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0752692 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0198505 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0151555 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0378841 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1250112 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1645435 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0705462 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1731299 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1093001 mailto:ajaskiew@im.pwr.wroc.pl Introducción y modelo Preliminares Una solución al problema de minimax con descuento auxiliar Una solución al problema de control sensible al riesgo Debate Apéndice Agradecimientos Bibliografía Dirección del autor

Este artículo trata de los procesos de control de Markov en tiempo discreto sobre un general espacio estatal. Se utiliza como criterio de coste medio sensible al riesgo a largo plazo medición de la ejecución. La función de costo de un solo paso no es negativa y posiblemente sin límite. Utilizando el enfoque del factor de descuento de desaparición, la optimidad desigualdad y una estrategia estacionaria óptima para el responsable de la toma de decisiones son establecido.

Introducción y modelo. Este artículo trata sobre el tiempo discreto Procesos de control de Markov en un espacio estatal general. La función de costo de una sola etapa no es negativo y posiblemente no está limitado. Se supone que el responsable de la toma de decisiones ser contrario al riesgo con un coeficiente de riesgo constante γ > 0. La aver sensible al riesgo... El criterio del costo de la edad se utiliza como medida del rendimiento. El objetivo del trabajo es: establecer la desigualdad óptima para la programación dinámica sensible al riesgo; y derivar una política estacionaria óptima. El resultado se demuestra bajo dos diferentes conjuntos de suposiciones de compacidad-continuidad, a saber, para Markov procesos de control con probabilidades de transición débilmente continua [Condición (W)], así como las probabilidades de transición que son continuas con respeto para fijar la convergencia [Condición (S)]. Un problema similar para la neutralidad del riesgo Los modelos de control estocásticos han sido examinados en [27] utilizando el dis- aproximación de factor de recuento. Sin embargo, es bien sabido que, en el caso de las empresas sensibles a los riesgos, modelos trol, una aproximación análoga del coste medio a través de una secuencia de los correspondientes modelos descontados no funcionan. En lugar de esto, fol- Lowing [9, 15, 16], introducimos un problema de minimax con descuento auxiliar. Una fórmula variacional que expresa la relación mutua entre el función de entropía relativa y la función generadora de momentos logarítmicos nos permite conectar el modelo minimax con descuento con el modelo original. Recibido en marzo de 2006; revisado en septiembre de 2006. 1Apoyado por MEiN Grant 1 P03A 01030. Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60J05, 90C39; secundaria 60A10. Palabras y frases clave. Control sensible al riesgo, espacio estatal Borel, costo medio óptimo- ity desigualdad. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 654–675. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0394v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000790 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000790 2 A. JAÔKIEWICZ A continuación, suponiendo que una determinada familia de funciones está limitada [Condición (B)] y utilizando el lema de Fatou (para medidas convergentes débil o setwise), obtener la desigualdad de optimalidad. El predecesor de nuestro resultado es Teorema 4.1 en [16], donde la optimidad desigualdad para la programación dinámica sensible al riesgo con un estado contable se estableció el espacio. En lugar de suposición de límites (B), Hernández- Hernández y Marcus [16] asumen que existe una política estacionaria que induce un costo promedio finito que es igual a alguna constante en cada Estado. Por otro lado, es bien sabido que una óptima sensibilidad a los riesgos el coste medio puede depender del estado inicial (véase el ejemplo 1). Este comportamiento ocurre si el factor de riesgo es demasiado grande. En lugar de esta restricción a la coeficiente de riesgo, utilizamos Condición (B), lo que hace que el proceso alcance “bueno estados” suficientemente rápido. Hay una rica literatura en control sensible al riesgo, volviendo al menos a las obras seminales de Howard y Matheson [18] y Jacobson [19], que cubrió el caso del horizonte finito. El criterio de coste medio en el infinito horizonte fue estudiado en [5, 8, 14, 15, 16, 31] para un espacio de estado denumerable y en [10, 11, 20] para un espacio estatal general. También vale la pena mencionarlo. que el control sensible al riesgo encuentre aplicaciones naturales en la gestión de carteras, donde el objetivo es maximizar la tasa de crecimiento de la utilidad esperada de riqueza; véase [3, 4, 30] y las referencias citadas en él. El documento se organiza de la siguiente manera. Debajo de un modelo de control Markov con el criterio de coste medio a largo plazo como medida de rendimiento se describe, como así como alguna notación básica se establece. En la Sección 2 introducimos preliminares y presentar el problema de minimax con descuento auxiliar, que es, a su vez, resuelto en la sección 3. El resultado principal se establece en la sección 4. Sección 5 contiene una discusión de la Condición (B), y en el Apéndice una variación fórmula para la función generadora de momentos logarítmicos se indica. Un proceso de control de Markov de tiempo discreto se especifica por el siguiente ob- jects: i) El espacio estatal X es un espacio estándar Borel (es decir, un Borel no vacío) subconjunto de un poco de espacio polaco). (ii) A es un espacio de acción Borel. (iii) K es un subconjunto no vacío de Borel de X×A. Asumimos que, para cada uno x X, la sección X no vacía A(x) = {a â € : (x,a) â € € {K} de K es compacto y representa el conjunto de acciones disponibles en estado x. iv) q es una distribución condicional regular de K a X. v) La función de costo de una sola etapa c es una cartografía mensurable de Borel a partir de K a [0,]. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 3 A continuación, los espacios de la historia se definen como H0 = X, Hk = (X × A) k ×X y H. = (X × A) - ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Como de costumbre, una política η = k, k = 0,1,...} Π es una secuencia de las probabilidades de transición de Hk a A tal que ηk(A(xk)hk) = 1, donde hk = (x0, a0,. .., xk) â € ¢Hk. La clase de políticas estacionarias se identifica con la clase F de funciones medibles f de X a A de tal manera que f(x) A(x). Lo siento. es bien sabido que F no está vacía [6]. Por el teorema de Ionescu–Tulcea [24], para cada política η y cada estado inicial x0 = x, una medida de probabilidad P y un proceso estocástico {(xk, ak)} se definen en H® de una manera canónica, donde xk y ak describen el estado y la decisión en la fase k, respectivamente. Por Eηx denotamos el operador de expectación con respecto a la probabilidad medidas Pηx. Dejar γ > 0 ser un factor de riesgo dado. Para cualquier estado inicial x â € TM x y la política D, definimos el siguiente criterio de coste medio sensible al riesgo: J(x,η) = lim sup logEηx exp c(xk, ak) Nuestro objetivo es minimizar J(x,η) dentro de la clase de todas las políticas y encontrar un política exterior y de seguridad común, para la cual J*(x) := inf J(x,η) = J(x,). A lo largo del documento se supone que la siguiente suposición se llevará a cabo verdadero incluso sin referencia explícita: J(x, ) <.(G) Observación 1. A lo largo del resto, suponemos que el factor de riesgo γ > 0 es arbitrario y fijo. Por lo tanto, aquí y posteriormente, no lo haremos indican que algunas cantidades dependen de γ [por ejemplo, escribimos J(x, Jγ(x,l), descendiendo el índice γ]. 2. Preliminares. Que Pr(X) sea el conjunto de todas las medidas de probabilidad en X. Arreglar el asunto Pr(X). La función relativa de la entropía R() es un mapeo de Pr(X) en R definido como sigue: R() := dμ, ν, De lo contrario. Es bien sabido que R() no es negativo para cualquier μ Pr(X) y R() = 0 si y sólo si μ = / (consulte Lemma 1.4.1 en [12]). Consideraremos el siguiente problema auxiliar de minimax, asociado con nuestro proceso de control original de Markov. El conjunto X es el espacio de estado, 4 A. JAÔKIEWICZ mientras que A y Pr(X) son los conjuntos de acción para el Ponent, respectivamente. El proceso funciona entonces de la siguiente manera. En un estado xn, n = 0,1,....., el controlador elige una acción un A(xn), mientras que la oppo- nent selecciona μn(·)[xn, an] • Pr(X). Como consecuencia, el controlador paga γc(xn, an)−R(μnÃ3q(xn, an)) a su oponente, y el sistema se mueve a la siguiente estado según la distribución de probabilidad μn(·)[xn, an]. Nos ocuparemos de las siguientes clases de estrategias. No causará confusión si seguimos utilizando las mismas letras para denotar estrategias para el controlador. Es decir, η significa una estrategia de control aleatorio (política), mientras que f denota una estrategia estacionaria. Escribimos Π y F para denotar los conjuntos de las estrategias correspondientes. Para la clase de estrategias del oponente, confinamos a la estacionaria, que se identifica con la clase P de granos estocásticos p en X dado K. Que sea el espacio medible que consiste en el espacio de la muestra (X × A)- y su producto F-álgebra. Luego para un estado inicial x X, y estrategias η y p, existe una medida de probabilidad única Pηpx y, una vez más, se define un proceso estocástico {(xk, ak)} de una manera canónica, donde xk denota el estado en el momento k y ak es la acción para el controlador. Con un poco de abuso de notación, dejamos que hk representa la historia del proceso hasta el estado Kth, es decir, hk = (x0, a0, x1,. .., ak−1, xk). El operador de expectación correspondiente es denotado por Eγpx. Para fijas x x x, η + + + y p + P, definimos las siguientes funciones: Costes: Vβ(x,, p) = βkEγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)],(1) donde β + (0,1) es el factor de descuento, y j(x,, p) = lim sup Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)]. Tenga en cuenta que, puesto que la función R() es inferior semicontinua en Pr(X) × Pr(X) y p y q son núcleos estocásticos [es decir, funciones medibles de (x,a)], se deduce que el mapeo (x,a) 7→R(p(x,a)q(x,a)) es mensurable [Lemma 1.4.3(f) en [12]]. Obsérvese que Vβ(x,, p) y j(x,, p) puede ser indeterminado, porque c puede ser ilimitado. Por lo tanto, limitamos la conjunto de estrategias admisibles para el oponente de la siguiente manera. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 5 Definición 1. Teniendo en cuenta que η = k} Π, decimos que p P es un η-admisible estrategia iff A(xk) R(p(xk, a)q(xk, a)) y, además, existe una constante C ≥ 0, posiblemente dependiendo de η y p, de tal manera que A(xk) [γc(xk, a) −R(p(xk, a)q(xk, a))]γk(dahk) + C ≥ 0, para todas las historias del proceso hk, k ≥ 0, inducidas por p y Denotamos este conjunto por Q(l). [Tenga en cuenta que este conjunto es no vacío, ya que p = q Q( Π.] Vamos a introducir la siguiente notación. Para cualquiera de los tipos de η, Π, p. Q(l) y n≥ 1, definir Jn(x,l) = logE x exp c(xk, ak) jn(x,l, p) = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)]. Ahora estamos listos para presentar el resultado que fue probado originalmente en [16] para las estrategias de Markov. Sin embargo, sigue siendo válida cuando es arbitraria se consideran estrategias para el responsable de la toma de decisiones. Por lo tanto, por el bien de claridad, declaramos el resultado con su prueba. Proposición 1. Dejemos que xâ € € ~ y p â € € ~ Q(η). Entonces: a) supp°Q(l) jn(x,l, p) ≤ Jn(x,l) por cada n≥ 1, b) lim supná ° suppá ° Q(l) jn(x,l, p) ≤ γJ(x,l). Prueba. (a) Que p • Q(l) sea cualquier kernel estocástico. Para n = 1, con- conclude j1(x,, p) ≤ E x (γc(x,a0)) ≤ logE γc(x,a0) = J1(x, donde la primera desigualdad se mantiene ya que la entropía relativa no es negativa, y el segundo se debe a la desigualdad de Jensen. Ahora supongamos que la hipótesis es cierto para algunos n≥ 1. Claramente, jn+1(x,l, p) = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)] = Eγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)], n≥ 1. 6 A. JAÔKIEWICZ Denotar la estrategia “1-shifted”, es decir, (hk) = ηk+1(x0, a0, hk), k ≥ 0. Entonces, tenemos jn+1(x,l, p) = Eγpx [γc(x,a0) + jn(x1, η (1), p) −R(p(x,a0)q(x,a0))] ≤ Eγpx (γc(x,a0)) + Eγpx (E x {[Jn(x1, 1) − R(p(x,a0)q(x,a0))]a0} = Log de Eηx e γc(x,a0) + Eγpx Jn(x1, η (1)) p(dx1x,a0) − R(p(x,a0)q(x,a0)) log eγc(x,a0)η0(da0x) eJn(x1, (1))q(dx1x,a0)η0(da0x) eγc(x,a0)+ γc(xk,ak)q(dx1x,a0)η0(da0x) ≤ log eγc(x,a0)+ γc(xk,ak)q(dx1x,a0)η0(da0x) = Jn+1(x, Claramente, la primera desigualdad se deriva de la hipótesis de inducción. El tercero la desigualdad se debe a la desigualdad de Jensen, mientras que la segunda Lemma A en el Apéndice. Puesto que p Q(l) es arbitrario, obtenemos el deseado conclusión. La parte b) se deriva directamente de la parte a). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación 2. Note que en la prueba de la Proposición 1 no lo hicimos realmente tener que utilizar el hecho de que p • Q(l). La única suposición que juega un función esencial es la condición (2). Es decir, garantiza que jn(x, definido para todos los n≥ 1, x â € € € € € € € € € € € € € € € € € €. Sin embargo, en la definición 1 restringimos la clase de estrategias del oponente para el conjunto Q(l) con el fin de ser capaz de aplicar el teorema Hardy-Littlewood. De hecho, más adelante quedará claro que el conjunto Q(l), donde η Π, es lo suficientemente grande. Es decir, el máximo de algunos costes funcionales descontados sobre el conjunto Q(l) no cambiará si nosotros añadir nuevos elementos a Q(l); ver las pruebas de Lemmas 1 y 2. CONTROL DE RIESGO SENTSITIVO 7 Let ser como en la suposición (G) y let p Q(). Luego desde el Hardy– Teorema de madera pequeña (Teorema H.2 en [13]), obtenemos lim sup (1 − β)Vβ(x,, p) ≤ lim sup jn(x,, p) y de la Proposición 1(b), lim sup ÍNDICE (continuación) jn(x,, p) ≤ γJ(x, ). Combinando estas dos desigualdades, concluimos que lim sup (1- β)Vβ(x,, p) ≤ γJ(x, ) por cada p Q(). Esto a su vez produce lim sup (1- β)Vβ(x) ≤ γJ(x, ),(4) donde Vβ(x) es el valor superior del coste funcional (1), es decir, Vβ(x) = inf ÍNDICE (continuación) Vβ(x,, p). En consecuencia, la desigualdad (4) y la suposición (G) en conjunto conducen a Loading: Vβ(x) < فارسى(5) para cada x x x y β + (0,1). Además, Vβ(x) ≥ 0. Ahora definir l:= inf J(x,η), mβ := inf Vβ(x) , y observando que lim sup (1 − β)mβ ≤,(6) se puede deducir que existe una secuencia de factores de descuento n} con- a 1 para el cual (1- βn)mβn = l,(7) donde yo es una cierta constante no negativa. 8 A. JAÔKIEWICZ 3. Una solución al problema de minimax con descuento auxiliar. El principal empuje de esta sección es para resolver el problema de minimax con descuento auxiliar introducido en la sección anterior. En otras palabras, buscamos un descuento ecuación funcional cuya solución es la función Vβ. Esto lo hace un ap- proximación de los modelos minimax antes mencionados por los modelos con límites funciones de coste. Estos modelos a su vez se resuelven mediante un argumento de punto fijo en Proposición 1. A continuación, mostramos en Lemma 1 que las soluciones correspondientes igualar los valores superiores de algunos costes descontados en el horizonte infinito. Fi- nally, el paso límite en Lemma 2 da el deseado descuento funcional ecuación con la función Vβ como solución. Necesitaremos los siguientes dos conjuntos de compacidad-semicontinuidad como... Supuestos, que se utilizarán alternativamente. Condición (S). i) El conjunto A(x) es compacto. (ii) Para cada x x x y cada conjunto de Borel D x, la función q(Dx, ·) es continua en A(x). (iii) La función de costo c(x, ·) es inferior semicontinua para cada x â € x. Condición (W). (i) El conjunto A(x) es compacto y la asignación de valor conjunto x 7→ A(x) es semicontinuo superior, es decir, {x â € € ~ X : A(x) â € ~ B 6= â € ~ está cerrado para cada conjunto cerrado B en A. ii) La ley de transición q es débilmente continua en K, es decir, la función (x,a) 7→ u(y)q(dyx,a), (x,a) K, es función continua para cada función continua limitada u. iii) La función de costos c es menos semicontinua en K. Por Lb(X) y Bb(X), denotamos el conjunto de todas las semicontin- funciones de Borel medibles en X, respectivamente. Además, dejar que N soporte el conjunto de números enteros positivos. Elija N â € N y definir el Función de costo truncado cN (x,a) = min{N,c(x,a)}. El siguiente resultado se demostró con arreglo a la condición (W) de coste limitado funciones mediante un argumento de punto fijo; véase la página 72 en [10]. Sin embargo, un simple y obvia modificación de la prueba da la conclusión bajo condición (S) también. CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 9 Proposición 2. Con arreglo a la letra W) [(S)], para cualquier factor de descuento β ≤ (0,1) y un número N + N, existe una función única wNβ + Lb(X) [w β Bb(X)] de tal manera que = min aâ € A(x) N (x,a) q(dyx,a) para cada x +X, y 0 ≤ (1 − β)wNβ (x) ≤Nγ.(9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por otra parte, existe una estrategia estacionaria f0 • F (posiblemente dependiendo de β y N) que alcanza el mínimo en (8). Dejar que β y N se fijen justo en el siguiente lema. Lemma 1. Suponga (W) o (S). Entonces, se mantiene wNβ (x) = inf ÍNDICE (continuación) Eγpx β k[γcN (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))] para cualquier estado inicial x x x. Prueba. Tenga en cuenta que (8) puede ser reescrita en la siguiente forma equivalente: wNβ (x) = min aâ € A(x) γcN (x,a) + log q(dyx,a) .(11) Aplicando Lemma A en el Apéndice a (11), obtenemos wNβ (x) = min aâ € A(x) (x,a) γcN (x,a) −R(q(x,a)) + β wNβ (y)μ(dy) (x,a) := Pr(X) :R(q(x,a)) <, (x,a) K. Además, la medida μ0(dy)[x,a] = q(dyx,a) q(dyx,a) alcanza el máximo en (12). Poner p0(dyx,a) = μ0(dy)[x,a] para cada (x,a) K.(13).............................................................................................................................................................................................................................................................. 10 A. JAÔKIEWICZ Nótese que p0-Q(l) para cualquier estrategia. Esto se sigue directamente de la definición de R(p0(x,a)q(x,a)) y (9). Los cálculos simples dejan de... por encuadernación R(p0(x,a)q(x,a)) ≤ 2 1 − β por cada (x,a) K. Dejar que p0 se defina como en (13). Para (12), entonces tenemos wNβ (x) ≤ γc N (x,a) −R(p0(x,a)q(x,a)) + β wNβ (y)p 0(dyx,a). Por iteración de esta desigualdad n veces, sigue wNβ (x) ≤ βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))] + βn+1Eηp β (xn+1), donde η es cualquier estrategia para el controlador. Ahora, dejar que no y hacer uso de (9), concluimos wNβ (x) ≤ βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))]. Puesto que η es arbitrario, obtenemos wNβ (x) ≤ inf βkEγp x [γc N (xk, ak) −R(p 0(xk, ak)q(xk, ak))] ≤ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak)(14) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. Nótese que la desigualdad (14) es válida porque p0 â € € ¬ Q(l). Por otro lado, por (12), podemos escribir wNβ (x) ≥ γc N (x, f0(x)) -R(p(x, f0(x))-q(x, f0(x)) wNβ (y)p(dyx, f 0(x)), con f0 como en la Proposición 2 y cualquier p-Q(f0). Proceder a lo largo de la misma línea, inferimos wNβ (x) ≥ x [γc N (xk, f 0(xk)) −R(p(xk, f 0(xk))q(xk, f 0(xk))]. CONTROL DE RIESGO SENSITIVO 11 Puesto que p â € ¢Q(f0) es arbitrario, fácilmente deducir wNβ (x) ≥ sup pâ € Q(f0) x [γc N (xk, f 0(xk)) −R(p(xk, f 0(xk))q(xk, f 0 (xk))] ≥ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. Finalmente, combinar (14) con (15) completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En el resto del documento, utilizaremos la siguiente anotación. Vamos. L(X) indica el conjunto de todas las funciones semicontinuas inferiores en X, mientras que B(X) representa el conjunto de todas las funciones medibles de Borel en X. Lemma 2. Dejar (W) [(S)] mantener y β â € (0,1). Entonces, tenemos el siguiente... a) La función wβ(x) := lim wNβ (x) es finito y no negativo para cada x x x. Además, wβ â € L(X) [wβ â € B(X)]. b) La ecuación funcional se mantiene ewβ(x) = min aâ € A(x) eγc(x,a) eβwβ(y)q(dyx,a) para todos los x x x x. Además, existe un selector mensurable de Borel fβ F de los mínimos en (16). c) Para cualquier x x x, wβ(x) = Vβ(x). Prueba. Que se fijen x x x y β + (0,1). A partir de (10), se ve fácilmente que la secuencia {wNβ (x)} no disminuye en N. Por lo tanto, wβ(x) = limN®w β (x) existe y por (9), no es negativo. Claramente, bajo (S), wβ B(X), mientras que, bajo (W), wβ L(X); véase la Proposición 10.1 en [26]. Con el fin de probar que wβ(x) es finito para cada x X, observar primero que, en el caso de cualquier tipo de η + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Vβ(x,, p) = βkEγpx [γc(xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak)] βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))]. 12 A. JAÔKIEWICZ Además, desde Lemma 1, tenemos Vβ(x) = inf ÍNDICE (continuación) Vβ(x,, p) ≥ inf ÍNDICE (continuación) βkEγpx [γc N (xk, ak) −R(p(xk, ak)q(xk, ak))] = wNβ (x). Por lo tanto, dejando que Nó, sigue Vβ(x) ≥ lim wNβ (x) = wβ(x).(17) Por (5), Vβ(x) es finito para cada x ÓX, así es wβ(x). Esto termina la prueba de parte a). Para probar la parte b), tenga en cuenta que en 11) y en la parte a) el límite aâ € A(x) γcN (x,a) + log q(dyx,a) existe. Puesto que el primer y el segundo término en (18) son no decrecientes y (W) o (S) se mantiene, entonces podemos intercambiar el límite con el mínimo (véase la Proposición 10.1 en [26]). Por otra parte, el uso de la Lebesgue teorema de convergencia monotona, concluimos (16). La existencia de un Borel selector medible fβ • F se deriva de la compacidad–semicontinuidad los supuestos y la Proposición D.5 en [17]. Pasamos ahora a probar la parte c). Una vez más, tomar un logaritmo en ambos lados de 16), sigue: wβ(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβwβ(y)q(dyx,a) .(19) Aplicando Lemma A en el Apéndice de (19), obtenemos fácilmente wβ(x) = min aâ € A(x) (x,a) γc(x,a) −R(q(x,a)) + β wβ(y)μ(dy) (x,a) = Pr(X) :R(q(x,a)) <, (x,a) K. Obsérvese que por (20), para cualquier p-Q(fβ), se mantiene lo siguiente: wβ(x) ≥ γc(x, fβ(x)) -R(p(x, fβ(x))-q(x, fβ(x)) wβ(y)p(dyx, fβ(x)). CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 13 Iterando esta desigualdad n veces, inmediatamente obtenemos wβ(x) ≥ x [γc(xk, fβ(xk)] −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] + βn+1E x wβ(xn+1)(21) x [γc(xk, fβ(xk)] −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))]. Ahora note que, por definición 1, x [γc(xk, fβ(xk)) −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] C, para algunos C ≥ 0 y k ≥ 1. Por lo tanto, dejando no en (21), sigue wβ(x) ≥ x [γc(xk, fβ(xk)) −R(p(xk, fβ(xk))q(xk, fβ(xk))] = Vβ(x, fβ, p). Puesto que p â € ¢Q(fβ) es arbitrario, vemos que wβ(x) ≥ sup p-Q(fβ) Vβ(x, fβ, p) ≥ Vβ(x).(22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Las desigualdades (17) y (22) combinadas concluyen la prueba de la parte c). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Una solución al problema de control sensible al riesgo. Para cualquier x â € € TM y cualquier factor de descuento β + (0,1), definir hβ(x) := Vβ(x) −mβ con mβ = infx+X Vβ(x). Obviamente, hβ no es negativo. Se supone que la siguiente suposición de límites tiene que ser cierta. Como hombres... En la introducción, posponemos la discusión hasta la sección 5: Condición (B). Para cualquier x x x, sup(0,1) hβ(x) <. Observación 3. Se utilizó una hipótesis similar y sus variantes equivalentes estudiar el criterio de coste medio previsto para los procesos de decisión de Markov en la situación de neutralidad en cuanto al riesgo [17, 27, 28]. En términos aproximados, Hernández-Lerma Lasserre [17], Schäl [27] y Sennott [28] asumen que la familia del las llamadas funciones de costo de β-descuento normalizadas están limitadas. Este imbécil... Sin embargo, en el caso de los procesos de decisión ergódicos de Markov, sólo cabe esperar que los procesos de decisión sean ergódicos. Más 14 A. JAÔKIEWICZ precisamente, si las probabilidades de transición n-paso convergen a la Variante probabilidad medida geométricamente rápido, y las funciones de costo son limitada (o más generalmente satisfacer una cierta hipótesis de crecimiento), a continuación, el La familia de funciones antes mencionada es puntualmente relativamente compacta [21, 22]. Cabe señalar que este requisito es crucial para obtener el opti- la desigualdad de la malidad en el caso de la neutralidad del riesgo; véase [27, 28]. En la Sección 5 proporcionamos un ejemplo que ilustra que también en el caso sensible al riesgo Condición (B) no se puede debilitar. Necesitaremos las dos versiones siguientes del lema de Fatou para la convergencia medidas. Lemma 3. Que n} sea una secuencia de medidas de probabilidad convergente a μ Pr(X) y dejar que {hn} sea una secuencia de funciones no negativas medibles en X. Entonces, h(y)μ(dy) ≤ lim inf hn(y)μn(dy) en los casos siguientes: a) n} converge setwise a μ [es decir, f(y)dμn(y) → f(y)dμ(y) Bb(X)], y h(x) = lim infnà hn(x); (b) n} converge débilmente a μ, y h(x) = inf{lim infn hn(xn) :xn → x}; además, h • L(X). Prueba. La parte a) se debe a Royden [25], página 231, mientras que la parte b) fue probado por Serfozo [29]. Para la prueba de la semicontinuidad inferior de h, el lector se refiere a Lemma 3.1 en [22]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Ahora estamos en condiciones de declarar el resultado principal del documento. Este... rem se refiere a un estudio de la desigualdad de rentabilidad media sensible al riesgo, que es suficiente para establecer la existencia de una política estacionaria óptima. Teorema 1. Asumir (B) y (W) [o (S)]. Luego, para cada factor de riesgo γ > 0, existe una constante lâ € y una función no negativa h â € L(X) [h â € € B(X)] y F(F) de tal manera que: h(x) + l+ ≥ min aâ € A(x) γc(x,a) + log Eh(y)q(dyx,a) = γc(x, f(x)) + log eh(y)q(dyx, f®(x)) CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 15 para todos los x x x x. Además, = inf J(x,l) = J(x, f®). En otras palabras, el coste medio óptimo, sensible al riesgo, y el política estacionaria óptima de costes medios sensible al riesgo. Observación 4. a) Hay dos documentos [16, 27] que pueden tratarse como antecesores de nuestro trabajo. Ambos se ocupan de la desigualdad de optimalidad, pero dentro de dos marcos diferentes. El primer trabajo [16] establece la ity ecuación para la programación dinámica sensible al riesgo en un denumerable espacio estatal. En el otro, el resultado se obtiene para el control de Markov pro- cestos en un espacio de estado incontable para el factor de riesgo γ = 0. De aquí punto de vista, nuestro resultado es una extensión de Teorema 4.1 en [16] a un general el espacio de estado y el teorema 3.8 en [27] en el caso sensible al riesgo. Por otra parte, el característica común de los resultados discutidos es que sus pruebas se basan en el la desaparición del enfoque del factor de descuento. Nuestra prueba también se basa en este método, y similarmente, como en [27] o [21, 22], hace uso de los lemas Fatou para y medidas débilmente convergentes. b) Por último, también vale la pena mencionar que hay documentos que estudian la Ecuación de optimidad en la programación dinámica sensible al riesgo, que es de el siguiente formulario: h(x) + l = min aâ € A(x) γc(x,a) + log Eh(y)q(dyx,a) .(24) La constante lâ ° es (según hipótesis adecuadas) un coste óptimo con respecto a al criterio de coste medio sensible al riesgo. Mencionemos y discutamos algunos documentos representativos que tratan de la ecuación (24). En [8, 15] control de Markov modelos que cumplen una condición Doeblin simultánea, en un finito y contable espacio estatal, respectivamente, se consideran. Las funciones de costo se supone que estar limitado y el factor de riesgo debe ser suficientemente pequeño. De lo contrario, como argumentado en [8], la ecuación de optimidad no necesita tener una solución. En [10] Di Masi y Stettner extienden el resultado a un espacio estatal general manteniendo las funciones de coste limitado y sustituyendo un Doeblin simultáneo condición con una suposición muy fuerte sobre las probabilidades de transición. En [11], Sin embargo, sustituyen esta suposición por una impuesta a la coefi- Científico. Por último, la clase de modelos de control Markov que no requiere condiciones de ergodicidad ni la pequeñez del factor de riesgo fue señalado por Jaśkiewicz en [20]. Bastante recientemente Borkar y Meyn [5] consideraron los procesos de decisión de Markov con funciones de coste sin límite en un espacio de estado denumerable. Su resultado 16 A. JAÔKIEWICZ asume lo siguiente: el espacio estatal es irreductible bajo todas las políticas de Markov. cia, los costes son similares a las normas, y existe una política que induce a un finito coste medio sensible al riesgo. Por otra parte, su prueba se basa en un multiplicativo teorema ergódico que se estudió con más detalle en [1]. Prueba de Teorema 1. Que n} sea una secuencia de factores de descuento convergiendo a 1 para el cual (7) se mantiene. Definición l+D := l = lim (1 − βn)mβn y aplicando (6), observamos que ≤ inf J(x,η)(25) para cualquier x x x x. Asumir por un tiempo que la desigualdad (23) está satisfecho y allí existe fâ â € F como en la declaración de Teorema 1. Demostramos que fó ́ es un óptimo política. Desde (23), tenemos h(x) ≥ γc(x, fâr(x)) − lâr + log eh(y)q(dyx, f(x)). Por iteración de esta desigualdad n veces, obtenemos h(x) ≥ logEηx exp γc(xk, fó(xk)) + h(xn+1) − (n + 1) Puesto que h es no negativo, inferimos + l Jn+1(x, fÃ3r) con Jn+1(x, f+) definido en (3). Dejando que no, sigue ≥ J(x, fó), x ÓX.26) Por lo tanto, (25) y (26) juntos implican = J(x, f+) = inf J(x,Π) para cada x x x x. A continuación nos centramos en mostrar la desigualdad (23). Dejar n≥ 1 y poner hn := hβn, fn := fβn. Tenga en cuenta que (19) puede ser reescrita en la forma siguiente: (1 − βn)mβn + hn(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβnhn(y)q(dyx,a) = γc(x, fn(x)) + log eβnhn(y)q(dyx, fn(x)). CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 17 i) Asumir primero (S) y definir h(x) = lim inf hn(x). Tomando el lim inf en ambos lados de (27), obtenemos lim inf ((1 − βn)mβn + hn(x)) = l + h(x) = lim inf aâ € A(x) γc(x,a) + log eβnhn(y)q(dyx,a) Utilizando Lemma 3(a) y el teorema de selección medible (véase Propo- Situación D.5(a) en [17]), se puede probar que existe fà r à r F tal que (23) Espera. ii) Asumir ahora (W). Arreglar x0 x x y elegir cualquier xn → x0, n®. Toma a subsecuencia {nk} de números enteros positivos de tal manera que lim inf hn(xn) = lim hnk(xnk). Entonces por (27), lim inf ((1− βn)mβn + hn(xn)) = lÃ3 + lim inf hn(xn) = l+ lim hnk(xnk) = lim a(xnk ) γc(xnk, a) + log eβnkhnk (y)q(dyxnk, a) = lim γc(xnk, fnk(xnk)) + log eβnkhnk (y)q(dyxnk, fnk(xnk)) Tenga en cuenta que G = {x0} {xn} es compacto en X. Desde la semicontinu- ity de x 7→A(x), la compacidad de cada A(z) y el teorema de Berge (véase [2] o Teorema 7.4.2 en [23]), se deduce que zÃ3rga(z) es compacto en A. Hay- En primer lugar, {fnk(xnk)} tiene una subsecuencia que converge con algunos a0 A. Por (W)(i), a0 A(x0), es decir, (x0, a0) K. Sin pérdida de generalidad, asumir que fnk(xnk) → a0, k. Por la semicontinuidad inferior de la función de costo c y (28), tenemos lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + lim eβnkhnk (y)q(dyxnk, fnk(xnk)). Esto y Lemma 3(b) implican que lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + log ehh(y)q(dyx0, a0), donde eh? es el lim inf generalizado de la secuencia eh?k = ehnk. Claramente, h≤ h Por Lemma 3(b), h â € L(X). Por lo tanto, lÃ3 + lim inf hn(xn) ≥ γc(x0, a0) + log eh(y)q(dyx0, a0).29).............................................................................................................................................................................................................................................................. 18 A. JAÔKIEWICZ Puesto que xn → x0 fue elegido arbitrariamente, inferimos de (29) que + h(x0) ≥ γc(x0, a0) + log eh(y)q(dyx0, a0). La última desigualdad muestra que, para cualquier x x x, existe un ax A(x) tal + h(x) ≥ γc(x,ax) + log Eh(y)q(dyx,ax) ≥ min aâ € A(x) γc(x,a) + eh(y)(y)q(dyx,a) Por nuestras suposiciones de compacidad-semicontinuidad y Proposición D.5(b) en [17], existe un poco de Fâ â ° F tal que (23) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5. Una discusión. Esta sección está dedicada a una discusión de la Condición (B). Comenzamos con la revisión del Ejemplo 3.1 en [8]. Ejemplo 1. Puso X = {0,1}, A = {a}, c(x) := c(x,a) = x y el tran- la matriz de la posición es la siguiente: - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1 - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - en los que.................................................................................................................................................. Recordemos que se demostró lo siguiente. Consideremos tres casos para el factor de riesgo γ: (I) γ log(1− (II) γ = − log(1− (III) γ log(1−) Entonces si (I) o (II) se mantiene, el costo medio óptimo sensible al riesgo es igual a 0 y es independiente del estado inicial. En el caso (III) tenemos J*(0) = 0 y J*(1) = 1 + log(1) > 0. Además, es interesante observar que, para (II) y (III) casos, no existe una función h :X 7→ R tal que se satisface la desigualdad de optimidad (23). De hecho, para ver esta toma x = 1 y considerar (III). La desigualdad óptima es entonces la siguiente: γJ*(1) + h(1) = γ + log(1 − Tenga en cuenta que el lado derecho es estrictamente mayor que γ + log(eh (1)1 − que es igual al lado izquierdo. Cálculos similares para el caso (II) también conducen a una contradicción. Por lo tanto, aunque un costo óptimo es constante, el la desigualdad de optimalidad no necesita tener una solución. Ahora pasamos a comprobar Condición (B). Que Vβ sea como en Lemma 2. Claramente, Vβ = w β para N ≥ 1 y Vβ(0) = 0. Entonces, por (8) bajo (I), obtenemos Vβ(1) = γ + log[e βVβ(1)1 − l) + l] < γ + log[eVβ(1)1 − l) + l]. CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 19 Por lo tanto, Vβ(1) < log eγ(1− l) 1− eγ(1− (0,1), y, en consecuencia, sup(0,1) hβ(x) <. Ahora que el factor de riesgo γ sea como en (III). Luego, por (8), Vβ(1) > γ + log(1 − ) + βVβ(1) que a su vez implica que Vβ(1) > γ + log(1− Así, hβ(1) = Vβ(1) va a la infinidad cuando β 1. Para el caso (II), obtenemos Vβ(1) = − log(1− ) + log[e βVβ(1)(1− = βVβ(1) + log 1 + eVβ(1) 1 − Si Vβ(1) cuando β 1, entonces el lado derecho de (31) también va a la El infinito. Por el contrario, asumir que sup(0,1) Vβ(1) ≤C para alguna constante C > 0. Entonces, Vβ(1) ≥ log[1 + e−C que lleva a una contradicción cuando β 1. En consecuencia, en el caso II familia {hβ(1)} tampoco satisface la Condición (B). Por lo tanto, puede extraerse la siguiente conclusión. La condición (B) es nec- Essary para obtener una solución a la desigualdad de optimalidad. Para una verificación de la Condición (B), se puede usar Lemma 4 abajo. Por una resultado similar en el riesgo-neutral, caso al que nos referimos [27, 28]. Para algunos η ≥ 0, definir el tiempo de parada En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Lemma 4. Para η ≥ 0, β â € (0,1) y x â € X, hβ(x) ≤ η + inf logEηx exp γc(xk, ak) Prueba. Por Lemma 2(b), (c) y el hecho de que Vβ(y) ≥ 0, y Vβ(x) = min aâ € A(x) γc(x,a) + log eβVβ(y)q(dyx,a) < γc(x,a) + log eVβ(y)q(dyx,a) 20 A. JAÔKIEWICZ para cada x x x x. Restando mβ de ambos lados en (32), obtenemos Vβ(x) −mβ < γc(x,a) + log e(Vβ(y)-mβ )q(dyx,a). Iteración de esta desigualdad hasta el tiempo de parada Vβ(x) −mβ < logE c(xk,ak) = η + logEηx exp c(xk, ak) Dado que el apartado Π es una política arbitraria, podemos llegar fácilmente a la conclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Tenga en cuenta que el hecho Exportación Eηx γc(xk, ak) < •(33) tiene la siguiente interpretación: antes de que el proceso llegue a “buenos estados”, los costes incurridos en las “etapas iniciales” no deberían ser demasiado elevados. De hecho, vamos a definir un conjunto D de la siguiente manera. Nosotros decimos que x D if Vβ(x) ≤mβ + η para un determinado η ≥ 0. Claramente, D 6=. Denotar por D la primera hora de retorno de el proceso, regido por fβ, para fijar D. Ciertamente, si (33) se mantiene con entonces la Condición (B) se cumple. En el ejemplo 1 podemos tomar D = {0} y η = 0, ya que Vβ(0) ≤ 0 + 0. Si γ es como en (I), entonces (33) sostiene: E1 exp - - - - - - - - - - - ¿Qué? γc(xk) enγ(1− eγ(1− l) 1− eγ(1− En otros casos (33) no se mantiene y, además, los cálculos anteriores mostrar que hβ(1) =. Resumiendo, el ejemplo presentado muestra que, sin condición (B) se impone a la familia de funciones {hβ(x)}, β(0,1), una solución a la la inequidad óptima no necesita existir, y además, la el coste medio puede depender del estado inicial. Habida cuenta de lo que antecede, La condición (B) está diseñada para evitar el devengo de los costes previstos infinitos. Es decir, los costes incurridos en los estados transitorios, que sólo pueden ser ocupados en “primeras etapas”, tienen una influencia importante y definitiva en un medición de la ejecución. Por lo tanto, Condición (B) requiere que el modelo sea una especie de comunicación en la medida en que se alcancen ciertos conjuntos de “buenos Estados” lo suficientemente rápido. Entonces, el coste medio óptimo sensible al riesgo es constante y la desigualdad de optimalidad tiene lugar. Además, vale la pena mencionar que CONTROL DE LOS RIESGO SENSITIVO 21 la ergodicidad misma de un proceso/cadena de Markov no ayuda tanto como en el caso de la neutralidad del riesgo. En otras palabras, para una cadena ergódica de Markov, puede que el coste medio óptimo sensible al riesgo depende de la Estado como en el ejemplo 1. Por otra parte, en este ejemplo uno puede incluso probar en una forma sencilla de que en el caso (I) [ya sea bajo la condición (B) o para factores de riesgo suficientemente pequeños], se cumple la ecuación de optimidad (24). Por lo tanto, sería interesante saber si Condición (B) (juntos con algunos supuestos de compacidad-continuidad) es suficiente para obtener un solución a la ecuación de optimidad. Hay una conjetura que, ya que en el En caso de neutralidad del riesgo, una contrapartida de la Condición (B) no es suficiente [7], ni tampoco ¿Se encuentra en un entorno sensible al riesgo? Pero esta cuestión está más allá del alcance de el papel y permanece abierto. APÉNDICE El lema siguiente establece una fórmula variacional para el logarítmico función generadora de momento. El lector se refiere al teorema 4.5.1 y Proposición 1.4.2 en [12] para su prueba. Lemma A. Que X sea un espacio polaco, h un mapeo de funciones medibles en X en R, que está limitada desde abajo o limitada desde arriba, y contra una medida de probabilidad en X. (a) Entonces, tenemos la fórmula variacional ehd v = sup −R() + donde Pr(X) :R() <. b) Dejar que μ0 denote la medida de probabilidad en X, que es μ0 Satisface (x) = eh(x) eh d'i Entonces, el máximo en la fórmula variacional se alcanza de forma única en μ0. Agradecimientos. Una parte de esta investigación se hizo mientras el autor fue un investigador de Humboldt y visitó la Universidad de Ulm. Los autor agradece el apoyo del Alexander von Humboldt Fundación. La segunda parte de este documento fue escrito en el Instituto de Matemáticas e Informática, Universidad de Derecho Wroc de Tecnología. El autor está muy en deuda con el profesor Ulrich Rieder por el dibujo su atención al papel [16], sugiriendo el problema y para varios conversaciones. 22 A. JAÔKIEWICZ REFERENCIAS [1] Balaji, S. y Meyn, S. P. (2000). Ergodicidad multiplicativa y grandes desviaciones para unas cadenas de Markov irreductibles. Proceso estocástico. Appl. 90 123–144. MR1787128 [2] Berge, E. (1963). Espacios Topológicos. MacMillan, Nueva York. [3] Bielecki, T., Hernández-Hernández, D. y Pliska, S. (1999). Sensibilización a los riesgos control de las cadenas de Markov estado finito en tiempo discreto, con aplicaciones a puerto- folio managment. Matemáticas. Métodos Oper. Res. 50 167–188. 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MR1093001 Instituto de Matemáticas e Informática Wroc Universidad de Derecho Tecnológico Wybrzeże Wyspiańskiego 27 PL-50-370 Derecho Wroc Polonia Correo electrónico: ajaskiew@im.pwr.wroc.pl http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2206685 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2247715 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0752692 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0198505 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0151555 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0378841 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1250112 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1645435 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0705462 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1731299 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1093001 mailto:ajaskiew@im.pwr.wroc.pl Introducción y modelo Preliminares Una solución al problema de minimax con descuento auxiliar Una solución al problema de control sensible al riesgo Debate Apéndice Agradecimientos Bibliografía Dirección del autor

A Study of $B_{d}^0 \to J/\Psi \eta^{(\prime)}$ Decays in the pQCD Approach

ZJOU-PHY-TH-07-02 NJNU-TH-07-11 Un estudio de los decaimientos de B0d → J/(′) en el enfoque pQCD Xin Liua*, Zhen-Jun Xiaob†, Hui-Sheng Wangc a. Departamento de Física, Universidad Oceánica de Zhejiang, Zhoushan, Zhejiang 316000, P.R. China b. Departamento de Física e Instituto de Física Teórica, Nanjing Normal University, Nanjing, Jiangsu 210097, P.R. China y c. Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física, Universidad de Tecnología y Ciencia de Anhui, Wuhu, Anhui 241000, P.R. China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Resumen Motivado por la medida muy reciente de la relación de ramificación de B0d → J/ decaimiento, nosotros calcular las relaciones de ramificación de Bd 0 → J/ y Bd0 → J/ decae en la perturbación Enfoque de QCD (pQCD). Las predicciones de PCQCD para las relaciones de ramificación de decaimientos considerados son: BR(B0d → J/) = (1.96) +9.68 −0,65) × 10−6, que es consistente con el primer experimento medición dentro de errores; mientras que BR(B0d → J/) = (1.09 +3,76 −0,25) × 10−6, muy similar con B0d → J/ decaimiento y puede ser probado por los próximos experimentos LHC. Las mediciones de estos canales de desintegración puede ayudarnos a entender la dinámica de QCD en el correspondiente escala de energía, especialmente la fiabilidad del enfoque de pQCD a este tipo de meson B decae. Números PACS: 13.25.Hw, 12.38.Bx, 14.40.Nd ∗ liuxin@zjou.edu.cn † xiaozhenjun@njnu.edu.cn http://arxiv.org/abs/0704.0395v1 Muy recientemente, la primera observación de la decadencia de B0d → J/ fue reportada por Belle Collab- oración [1], y la relación de ramificación medida es BR(B0d → J/) = 9,5± 1,7(stato)± 0,8(sist)× 10−6, (1) que es coherente con las predicciones teóricas actualmente disponibles [1, 2, 3]. Hasta ahora, los cálculos teóricos para las relaciones de ramificación de Bd → J/(′) decaen se obtuvieron utilizando la aproximación de factorización de quarks pesados en Ref. [2] o a partir de los coeficientes de ramificación medidos J/0 y J/K0[3, 4, 5] basados en el supuesto de la simetría del sabor SU(3) de interacción fuerte. En este artículo, vamos a calcular el las relaciones de ramificación de B0d → J/ y B0d → J/(′) decaen directamente empleando la Hamiltoniano [6] de bajo rendimiento energético y factorización de QCD (pQCD) perturbativa aproximación [7, 8, 9]. El trabajo se organiza de la siguiente manera: presentamos el formalismo utilizado en el cálculo de B0d → J/(′) decae en Sec. I. In Sec. II, mostramos los resultados numéricos y comparamos con los valores medidos. Un breve verano y algunas conclusiones también se incluyen en esta sección. I. FORMALISMO Y CÁLULAS PERTURBATIVAS El enfoque PQCD se ha desarrollado anteriormente a partir de la ap- proach [7], y se ha utilizado con frecuencia para calcular varios canales de desintegración de meson B [7, 8, 9, 10]. Para dos cuerpo sin encanto hadronic Bd,s → Mη(′) (aquí M significa el mesons de luz seudoescalar o vector compuesto de los quarks de luz u, d, s) decae, el Las predicciones pQCD generalmente concuerdan bien con los valores medidos [9, 10, 11]. En Refs. [12, 13], los autores calcularon B → D*sK,D s y Bs → D(*)+D(*)− decaimientos y encontró que el enfoque de PQCD funciona bien para tales decaimientos. Aquí tratamos de aplicar el enfoque pQCD para calcular las desintegraciones del mesón B que involucran el peso más pesado Meson como uno de los dos últimos mesons estatales. A. Formulismo En el enfoque de pQCD, la amplitud de desintegración de B → J/­P (P = η, η(′) aquí) puede decaer bo escrito conceptualmente como la convolución, A(B →M1M2) d4k1d 4k3 Tr C(t)ΦB(k1)ΦJ(k2)ΦP (k3)H(k1, k2, k3, t) , (2) donde el término “Tr” denota el rastro sobre Dirac y los índices de color. C(t) es el Wilson coeficiente que resulta de las correcciones radiativas a corta distancia. En lo anterior: convolution, C(t) incluye la dinámica más difícil a mayor escala que la escala de MB y describe la evolución de los operadores locales de 4-Fermi desde mW (la masa de bosón W) hasta t MB) escala, donde MB −mb. La función H(k1, k2, k3, t) es la parte dura y se puede calcular perturbativamente. La función ΦM es la función de onda que describe hadronización del quark y anti-cuark a la mesonM. Mientras que la funciónH depende sobre el proceso considerado, la función de onda ΦM es independiente del proceso específico. Usando las funciones de onda determinadas de otros procesos bien medidos, uno puede hacer las predicciones cuantitativas aquí. Usando el cono-luz coordina el mesón B y los dos últimos momentos del mesón del estadoa puede ser escrito como (1, 1, 0T ), P2 = (1, r2, 0T ), P3 = (0, 1− r2, 0T ), (3) respectivamente, donde r = MJ/­/MB, y las masas de meson de la luz m η han sido ne- Gledged. El vector de polarización longitudinal del mesón J/........................................................................................................................................................ 2MJ/ (1,−r2, 0T ). Colocar la luz (anti-) quark momentaa en B, J y η( ′) mesones como k1, k2, y k3, respectivamente, podemos elegir k1 = (x1P 1, 0,k1T ), k2 = (x2P 2, 0,k2T ), k3 = (0, x3P 3,k3T ). 4) Entonces, para B → J/ decaimiento por ejemplo, la integración sobre k−1, k−2, y k+3 en eq.2.............................................................................................................................................................................................................................................................. conducirá a A(B → J/) dx1dx2dx3b1db1b2db2b3db3 C(t)ΦB(x1, b1)ΦJ(x2, b2)(x3, b3)H(xi, bi, t)St(xi)e −S(t)],(5) donde bi es la coordinación espacio conjugado de kiT, y t es la escala de energía más grande en funciónH(xi, bi, t). Los grandes logaritmos ln(mW/t) están incluidos en los coeficientes Wilson C(t). Los grandes logaritmos dobles (ln2 xi) en la dirección longitudinal se resumen por la reanudación del umbral [14], y conducen a St(xi) que unta el punto final singularidades en xi. El último término, e −S(t), es el factor de forma Sudakov que suprime el dinámica suave con eficacia [15]. Por lo tanto, hace que el cálculo perturbador de la dura Parte H aplicable a escala intermedia, es decir, a escala de MB. Vamos a calcular analíticamente el función H(xi, bi, t) para las decaídas consideradas en el primer orden en la expansión αs y dar las amplitudes enrevesadas en la siguiente sección. B. El B0d → J/( ′) Decaimientos El Hamiltoniano de baja energía eficaz para los modos de desintegración B0d → J/( ′) se puede escribir como Heff = [VcbV cd [C1(μ)O 1(μ) + C2(μ)O 2(μ))], (6) con los operadores de cuatro fermiones Oc1 = d μ(1− γ5)cβ · c(1− γ5)bα, Oc2 = d(1− γ5)cα · c(1− γ5)bβ (7) donde los coeficientes Wilson Ci(μ) (i = 1, 2), utilizaremos el orden principal (LO) expres- sions, aunque los resultados del orden siguiente a líder (NLO) ya existen en la literatura [6]. Esta es la forma consistente de cancelar la dependencia explícita de μ en las fórmulas teóricas. Para la evolución del grupo de renormalización de los coeficientes Wilson de escala superior a escala inferior, utilizamos las fórmulas como se indica en Ref.[16] directamente. FIG. 1: Diagramas típicos de Feynman que contribuyen al Cabibbo- y el color-suprimido B0d → J/( ′) decae. En cuanto a la función de onda de meson B, hacemos uso de las mismas parametrizaciones como se utiliza en los estudios de diferentes procesos [16]. Para el vector J / meson, en términos de la nota- en Ref. [17], descomponemos los elementos no locales de la matriz para el longitudinal y Transversalmente polarizados J / mesones en ΦJ(x) = mJ// L L(x) + â €/ LP/â € , (8) En este caso, el valor L se refiere a las amplitudes de distribución twist-2, y el valor L se refiere a la distribución twist-3 distri- bution amplitudes. x representa la fracción de impulso del quark encanto dentro de la Charmonium. Las amplitudes de distribución asintóticas del mesón de J/ dicen que son [18] L(x) = 9,58 x(1− x) x(1 − x) 1− 2,8x(1− x) T(x) = 10,94 (1 a 2 x)2 x(1− x) 1− 2,8x(1− x) . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Es fácil ver que los DAs twist-2 y twist-3 desaparecen en los puntos finales debido a el factor [x(1− x)]0.7. Desde el Hamiltoniano eficaz (6), los diagramas de Feynman correspondientes a la En la figura 1 se muestra el decaimiento sidered. Con las funciones de la onda meson y factores Sudakov, la amplitud dura se da como Feη = 8ηCFm dx1dx3 b1db1b3db3 B(x1, b1) (1− r2) (1 + x3(1− r2))lAη (x3, b3) + r0(1− 2x3) Pη (x3, b3) (1− 2x3) + r2(1 + 2x3) Tη (x3, b3) s(t1e) he(x1, x3, b1, b3) exp[−Sab(t1e)] 1− (1− x1)r2­Pη (x3, b3)­ x1r2­Aη (x3, b3) s(t2e)he(x3, x1, b3, b1) exp[−Sab(t2e)] . (10) donde r0 = m 0/mB; CF = 4/3 es un factor de color. La función él, las escalas t e y la Los factores de Sudakov Sab se muestran en el Apéndice A. Para los diagramas no factorizables 1(c) y 1(d), las tres funciones de onda meson son: Envuelto. La integración de b3 puede llevarse a cabo utilizando la función  (b3 − b1), dejando sólo integración de b1 y b2. Para los operadores afectados, la amplitud de desintegración correspondiente Meη = dx1dx2 dx3 b1db1b2db2 Bs(x1, b1) 2rrc (x2, b2) η (x3, b2)− 4rr0rclütJ/­(x2, b2)­Tη (x3, b2) 2 + x3(1− 2r2) * LJ/* (x2, b2) η (x3, b2) x3r0 + (x2 − x3)r0r2 * LJ/* (x2, b2) η (x3, b2) s(tf )hf(x1, x2, x3, b1, b2) exp[−Scd(tf )]}. (11) donde rc = mc/mB,mc es la masa de c quark. Para el decaimiento B0d → J/, los diagramas de Feynman se obtienen sustituyendo el η Meson in Fig. 1 con el mesón. Las expresiones correspondientes de amplitudes de desintegración serán ser similares a las indicadas en Eqs.(10-11), ya que el η y son todos luz pseudoescalar mesones y tienen las funciones de onda similares. Las expresiones de B0d → J/ decaimiento puede se obtendrán simplemente mediante las sustituciones siguientes: En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de tres o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas. (12) Para el sistema, existen dos bases de mezcla popular: la base de octeto-singlet y la base de sabor a quark [19, 20]. Aquí usamos la base de sabor a quark [19] y definimos ηq = (u dd̄)/ 2, ηs = ss̄. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los estados físicos η y están relacionados con ηq y ηs a través de un único ángulo de mezcla = U(­) cos- − sin sin فارسى cos ♥ . (14) Se han extraído los tres parámetros de entrada fq, fs y  en la base de sabor a quark. de varios experimentos relacionados [19, 20] fq = (1,07± 0,02)fη, fs = (1,34± 0,06)f donde fη = 130 MeV. En los cálculos numéricos, utilizaremos estos parámetros de mezcla como insumos. Vale la pena mencionar que los efectos de posible componente gluónico de meson no será considerado aquí ya que es pequeño en tamaño [10, 21, 22]. Para B0d → J/ decaimiento, combinando las contribuciones de diferentes diagramas, el amplitud de desintegración total puede ser escrito como M(B0d → J/) = VcbV FeηfJ/ +MeηC2 donde el parámetro de mezcla pertinente es F1( Cabe mencionar que los coeficientes Wilson Ci = Ci(t) en Eq. 16) debería se calcularán a la escala t apropiada utilizando las ecuaciones indicadas en los apéndices de Ref. [16]. Aquí la escala t en los coeficientes Wilson debe tomarse como la misma escala apareció en las expresiones de las amplitudes de decadencia en Eqs. (10) y (11). Este es el camino. en el enfoque de PQCD para eliminar la dependencia de la escala. Con el fin de estimar el efecto de mayor orden de corrección, sin embargo, se introduce un factor de escala = 1,0± 0,2 y variar la escala tmax como se describe en el apéndice A. Del mismo modo, las amplitudes de desintegración para B0d → J/ decaimiento se puede obtener fácilmente de Eq.(16) por las siguientes sustituciones de F1(l) → F ′1(l) = sin II. RESULTADOS Y DEBATE NUMERICOS En esta sección, vamos a calcular los ratios de ramificación para los modos de desintegración considerados. Los parámetros de entrada y las funciones de onda que se utilizarán figuran en el apéndice B. In cálculos numéricos, los valores centrales de los parámetros de entrada se utilizarán implícitamente a menos que se indique lo contrario. Con las amplitudes de decaimiento completas, podemos obtener el ancho de decaimiento para el decaimientos, (B0d → J/( ′)) = (1− r2) M(B0d → J/( . (17) Empleando el esquema quark-sabor del sistema y usando los parámetros de mezcla como se indica en Eq. (15), uno encuentra las relaciones de ramificación para los dos decaimientos considerados con Barras de error como sigue: Br( B0d → J/) = 1,96+0,71−0,50(l)b) +9.65 −0,39(at) +0,32 +0.13(a2) +0.14 −0.13(fJ) × 10−6, (18) Br( B0d → J/) = 1,09+0,32−0,24(l)b) +3,73 +0,01(at) +0,28 +0,01(a2) +0,08 −0,07(fJ/ × 10−6, (19) donde los principales errores son inducidos por las incertidumbres de Łb = 0,40 ± 0,05 GeV, a = 1,0 ± 0,2, a2 = 0,115 ± 0,115 y fJ = 0,405 ± 0,014 GeV, respectivamente. Uno puede ver que las predicciones de PQCD son sensibles a las variaciones de B y en. Para B0d → J/ decaimiento, el valor central de la predicción pQCD para Br(B0d → J/) es un factor de 4 menor que el valor medido dado en Eq. (1) [1]. Pero el PQCD la predicción es de hecho todavía consistente con la primera medición de Belle si tomamos el grande errores teóricos y experimentales en cuenta. Variando el factor de escala en el rango de = [0.8, 1.0], por ejemplo, el valor central de Br(B → J/) cambiará en la rango de [0.2, 1.1]×10−5 en consecuencia. No es difícil entender tal dependencia. Puesto que el mesón J/­ es mucho más pesado que los mesones ligeros, y por lo tanto no se mueve tan rápido como los meson de luz cuando B meson está decayendo. Así que una pequeña disminución de la escala ti llevar a un mayor Wilson coeficientes C1,2(t) y αs(ti), y en consecuencia resulta en un mayor tasa de decaimiento. Para B0d → J/ decaimiento, sólo límite superior experimental (a 90% C.L) está disponible ahora: BR(B0 → J/) < 6.3 × 10−5 [4, 5]. La predicción pQCD para la relación de ramificación de B0d → J/ decaimiento es muy similar en magnitud con la de B0d → J/, consistente con el límite superior y se probará en los próximos experimentos de LHC. En el orden principal, sólo el árbol Feynman diagramas como se muestra en la Fig. 1 contribuir a B0d → J/(′) decae. No existe ninguna violación del PC en estas decaimientos dentro de la norma modelo, ya que sólo hay un tipo de Cabibbo-Kabayashi-Muskawa (CKM) fase implicada en las amplitudes de desintegración correspondientes, como se puede ver desde eq. (16). En resumen, calculamos las relaciones de ramificación de B0d → J/ y B0d → J/ decae en el orden principal utilizando el enfoque de factorización pQCD. Además del factoriz usual... diagramas capaces, los diagramas de espectadores no factorizables también se calculan analíticamente en el enfoque PQCD. Manteniendo el impulso transversal kT, la singularidad de punto final desaparece en nuestro cálculo. A partir de nuestros cálculos y análisis fenomenológicos, encontramos los siguientes resultados: • Usando el esquema de sabor a quark, las predicciones de pQCD para las relaciones de ramificación son: Br(B0d → J/) = 1,96+9.68−0,65 × 10−6, (20) Br(B0d → J/) = 1,09+3,76−0,25 × 10−6, (21) donde los diversos errores especificados anteriormente se han añadido en cuadratura. • Los principales errores teóricos de las predicciones del PQCD son inducidos por la incertidumbre- los lazos de la escala de energía dura ti’s y los parámetros. Agradecimientos X. Liu desea agradecer el apoyo financiero de la Investigación Científica Fondo para la puesta en marcha de la Universidad Oceánica de Zhejiang con la subvención No 21065010706. Este trabajo fue parcialmente con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China en el marco de la subvención No 10575052, y por el Fondo de Investigación Especializada para el Programa de Doctorado de la Enseñanza Superior La educación (SRFDP) en virtud de la subvención No. 20050319008. APÉNDICE A: FUNCIONES CONEXAS Mostramos aquí la función his, viniendo de las transformaciones de Fourier de la función H(0), he(x1, x3, b1, b3) = K0 x1x3(1− r2)mBb1 (b1 − b3)K0 x3(1− r2)mBb1 x3(1− r2)mBb3 + (b3 − b1)K0 x3(1− r2)mBb3 x3(1− r2)mBb1 St(x3), (A1) hf(x1, x2, x3, b1, b2) = (b2 − b1)I0(MB) x1x3(1− r2)b1)K0(MB x1x3(1− r2)b2) + (b1 ↔ b2) K0(MBF(1)b2), para F (1) > 0 0 (MB) b2), para F 2(1) < 0 , (A2) donde J0 es la función Bessel, K0 e I0 son las funciones Bessel modificadas con K0(−ix) = −(l/2)Y0(x) + i(l/2)J0(x), y F(j) se definen por F 2(1) = (x1 − x2)x3(1− r2) + r2c, (A3) F 2(2) = (x1 − x2)x3(1− r2) + r2c. (A4) El factor St(xi) del formulario de recapitulación del umbral se adopta de Ref. [17] St(x) = 21 + 2c®(3/2 + c) (1 + c) [x(1 − x)]c, (A5) donde el parámetro c = 0.3. Esta función se normaliza a la unidad. Los factores Sudakov utilizados en el texto se definen como Sab(t) = s x1mB/ 2, b1 x3mB/ 2, b3 (1 a x 3) mB/ 2, b3 ln(t) − En (b1)................................................................................................................................................................. ln(t) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − - − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − , (A6) Scd(t) = s x1mB/ 2, b1 x2mB/ 2, b2 (1 a x2) mB/ 2, b2 x3mB/ 2, b1 (1 a x 3) mB/ 2, b1 ln(t) − En (b1)................................................................................................................................................................. ln(t) − ln(b2) , (A7) donde la función s(q, b) se define en el apéndice A de Ref. [16]. La escala ti’s en el por encima de las ecuaciones se eligen como t1e = a ·max( x3(1− r2)MB, 1/b1, 1/b3), t2e = a ·max( x1(1− r2)MB, 1/b1, 1/b3), tf = a ·max( x1x3(1− r2)MB, (x1 − x2)x3(1− r2) + r2cMB, 1/b1, 1/b2), (A8) donde a = 1,0±0,2 y r =MJ/ Las escalas se eligen como la energía máxima escala que aparece en cada diagrama para matar las grandes correcciones radiativas logarítmicas. APÉNDICE B: PARAMETROS INPORTADOS Y FUNCIONES DE LA OLA Las masas, las constantes de decadencia, la escala QCD y la vida del mesón B0d son (f=4) = 250MeV, fη = 130MeV, fJ/l = 405MeV, 0 = 1,08GeV, MB0d = 5,28MeV, MJ/+ = 3,097GeV, MW = 80,41GeV, B0 = 1,54× 10−12s. (B1) Para los elementos de la matriz CKM, aquí adoptamos la parametrización de Wolfenstein para el Matriz de CKM, y toma  = 0,2272, A = 0,818,  = 0,221 y η = 0,340 [4]. Para la función de onda meson B, adoptamos el modelo B(x, b) = NBx 2(1− x)2exp (lbb) , (B2) donde Łb es un parámetro libre y tomamos Łb = 0.40± 0.05 GeV en cálculos numéricos, y NB = 91.745 es el factor de normalización para el mesón B. La función de onda para dd̄ componentes de η(′) mesón es dada por dd̄(p, x, (x) +m (x) + Łm 0 (v/n/− v · n) , (B3) donde p y x son el impulso y la fracción de impulso de ηdd̄ respectivamente, mientras que ?Aηdd̄,? y Tηdd̄ representan el vector axial, pseudoescalar y los componentes tensores de la función de onda, respectivamente. Aquí suponemos que la función de onda de ηdd̄ es la misma que la Función de onda γ basada en la simetría del sabor SU(3). El parámetro • es +1 o −1 dependiendo de la asignación de la fracción de impulso x. La expresión explícita de la escala de realce quiral m 0 = m 0 se indica por [21] [m2η cos 2 m2 pecado (m2 −m2η) cos y numéricamente m 0 = 1,07MeV para mη = 547.5MeV, m = 957,8MeV, fq = 1,07f fs = 1,34f Para la amplitud de distribución......................................................................................................... y Tηq, utilizamos los resultados para η mesón obtenido de la regla de la suma del cono ligero [23], incluidas las contribuciones twist-3: Aηq(x) = fqx(1 − x) 1 + a 5(1− 2x)2 − 1 21(1− 2x)4 − 14(1− 2x)2 + 1 , (B5) Pηq(x) = 30η3 − 3(1− 2x)2 − 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ­2ηq − π2ηq(s)a 35(1− 2x)4 − 30(1− 2x)2 + 3 ,(B6) Tηq(x) = fq(1− 2x) + (5η3 − η3­3 − ­2ηq − ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2 )(10x 2 − 10x+ 1) , (B7) con los momentos actualizados de Gegenbauer [24] 2 = 0,115, a 4 = −0,015, q = 2mq/mqq, η3 = 0,015, 3 = −3,0. 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Motivado por la medición muy reciente de la relación de ramificación de ${B_d^0} \to J/\psi \eta$ decaimiento, calculamos los ratios de ramificación de ${B_d­0 \to J/\psi \eta$ y ${B_d®0 \to J/\Psi \eta'$ decae en el QCD perturbativo (pQCD). Las predicciones de PCQCD para las relaciones de ramificación de Las desintegraciones son: $BR(B_d^0 \to J/\Psi \eta) = (1.96 9.68}_{-0.65}) \times 10-60, que es consistente con la primera medición experimental dentro de errores; mientras que $BR(B_d^0 \to J/\Psi \eta') = (1.09 3.76}_{-0.25}) \times 10\-6}$, muy similar con $B_d^0 \to \jpsi \eta$ decaimiento y puede ser probado por los próximos experimentos de LHC. Las mediciones de estos canales de desintegración pueden nos ayudan a entender la dinámica QCD en la escala de energía correspondiente, especialmente la fiabilidad del enfoque de PQCD a este tipo de decaimientos del meson B.

ZJOU-PHY-TH-07-02 NJNU-TH-07-11 Un estudio de los decaimientos de B0d → J/(′) en el enfoque pQCD Xin Liua*, Zhen-Jun Xiaob†, Hui-Sheng Wangc a. Departamento de Física, Universidad Oceánica de Zhejiang, Zhoushan, Zhejiang 316000, P.R. China b. Departamento de Física e Instituto de Física Teórica, Nanjing Normal University, Nanjing, Jiangsu 210097, P.R. China y c. Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física, Universidad de Tecnología y Ciencia de Anhui, Wuhu, Anhui 241000, P.R. China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Resumen Motivado por la medida muy reciente de la relación de ramificación de B0d → J/ decaimiento, nosotros calcular las relaciones de ramificación de Bd 0 → J/ y Bd0 → J/ decae en la perturbación Enfoque de QCD (pQCD). Las predicciones de PCQCD para las relaciones de ramificación de decaimientos considerados son: BR(B0d → J/) = (1.96) +9.68 −0,65) × 10−6, que es consistente con el primer experimento medición dentro de errores; mientras que BR(B0d → J/) = (1.09 +3,76 −0,25) × 10−6, muy similar con B0d → J/ decaimiento y puede ser probado por los próximos experimentos LHC. Las mediciones de estos canales de desintegración puede ayudarnos a entender la dinámica de QCD en el correspondiente escala de energía, especialmente la fiabilidad del enfoque de pQCD a este tipo de meson B decae. Números PACS: 13.25.Hw, 12.38.Bx, 14.40.Nd ∗ liuxin@zjou.edu.cn † xiaozhenjun@njnu.edu.cn http://arxiv.org/abs/0704.0395v1 Muy recientemente, la primera observación de la decadencia de B0d → J/ fue reportada por Belle Collab- oración [1], y la relación de ramificación medida es BR(B0d → J/) = 9,5± 1,7(stato)± 0,8(sist)× 10−6, (1) que es coherente con las predicciones teóricas actualmente disponibles [1, 2, 3]. Hasta ahora, los cálculos teóricos para las relaciones de ramificación de Bd → J/(′) decaen se obtuvieron utilizando la aproximación de factorización de quarks pesados en Ref. [2] o a partir de los coeficientes de ramificación medidos J/0 y J/K0[3, 4, 5] basados en el supuesto de la simetría del sabor SU(3) de interacción fuerte. En este artículo, vamos a calcular el las relaciones de ramificación de B0d → J/ y B0d → J/(′) decaen directamente empleando la Hamiltoniano [6] de bajo rendimiento energético y factorización de QCD (pQCD) perturbativa aproximación [7, 8, 9]. El trabajo se organiza de la siguiente manera: presentamos el formalismo utilizado en el cálculo de B0d → J/(′) decae en Sec. I. In Sec. II, mostramos los resultados numéricos y comparamos con los valores medidos. Un breve verano y algunas conclusiones también se incluyen en esta sección. I. FORMALISMO Y CÁLULAS PERTURBATIVAS El enfoque PQCD se ha desarrollado anteriormente a partir de la ap- proach [7], y se ha utilizado con frecuencia para calcular varios canales de desintegración de meson B [7, 8, 9, 10]. Para dos cuerpo sin encanto hadronic Bd,s → Mη(′) (aquí M significa el mesons de luz seudoescalar o vector compuesto de los quarks de luz u, d, s) decae, el Las predicciones pQCD generalmente concuerdan bien con los valores medidos [9, 10, 11]. En Refs. [12, 13], los autores calcularon B → D*sK,D s y Bs → D(*)+D(*)− decaimientos y encontró que el enfoque de PQCD funciona bien para tales decaimientos. Aquí tratamos de aplicar el enfoque pQCD para calcular las desintegraciones del mesón B que involucran el peso más pesado Meson como uno de los dos últimos mesons estatales. A. Formulismo En el enfoque de pQCD, la amplitud de desintegración de B → J/­P (P = η, η(′) aquí) puede decaer bo escrito conceptualmente como la convolución, A(B →M1M2) d4k1d 4k3 Tr C(t)ΦB(k1)ΦJ(k2)ΦP (k3)H(k1, k2, k3, t) , (2) donde el término “Tr” denota el rastro sobre Dirac y los índices de color. C(t) es el Wilson coeficiente que resulta de las correcciones radiativas a corta distancia. En lo anterior: convolution, C(t) incluye la dinámica más difícil a mayor escala que la escala de MB y describe la evolución de los operadores locales de 4-Fermi desde mW (la masa de bosón W) hasta t MB) escala, donde MB −mb. La función H(k1, k2, k3, t) es la parte dura y se puede calcular perturbativamente. La función ΦM es la función de onda que describe hadronización del quark y anti-cuark a la mesonM. Mientras que la funciónH depende sobre el proceso considerado, la función de onda ΦM es independiente del proceso específico. Usando las funciones de onda determinadas de otros procesos bien medidos, uno puede hacer las predicciones cuantitativas aquí. Usando el cono-luz coordina el mesón B y los dos últimos momentos del mesón del estadoa puede ser escrito como (1, 1, 0T ), P2 = (1, r2, 0T ), P3 = (0, 1− r2, 0T ), (3) respectivamente, donde r = MJ/­/MB, y las masas de meson de la luz m η han sido ne- Gledged. El vector de polarización longitudinal del mesón J/........................................................................................................................................................ 2MJ/ (1,−r2, 0T ). Colocar la luz (anti-) quark momentaa en B, J y η( ′) mesones como k1, k2, y k3, respectivamente, podemos elegir k1 = (x1P 1, 0,k1T ), k2 = (x2P 2, 0,k2T ), k3 = (0, x3P 3,k3T ). 4) Entonces, para B → J/ decaimiento por ejemplo, la integración sobre k−1, k−2, y k+3 en eq.2.............................................................................................................................................................................................................................................................. conducirá a A(B → J/) dx1dx2dx3b1db1b2db2b3db3 C(t)ΦB(x1, b1)ΦJ(x2, b2)(x3, b3)H(xi, bi, t)St(xi)e −S(t)],(5) donde bi es la coordinación espacio conjugado de kiT, y t es la escala de energía más grande en funciónH(xi, bi, t). Los grandes logaritmos ln(mW/t) están incluidos en los coeficientes Wilson C(t). Los grandes logaritmos dobles (ln2 xi) en la dirección longitudinal se resumen por la reanudación del umbral [14], y conducen a St(xi) que unta el punto final singularidades en xi. El último término, e −S(t), es el factor de forma Sudakov que suprime el dinámica suave con eficacia [15]. Por lo tanto, hace que el cálculo perturbador de la dura Parte H aplicable a escala intermedia, es decir, a escala de MB. Vamos a calcular analíticamente el función H(xi, bi, t) para las decaídas consideradas en el primer orden en la expansión αs y dar las amplitudes enrevesadas en la siguiente sección. B. El B0d → J/( ′) Decaimientos El Hamiltoniano de baja energía eficaz para los modos de desintegración B0d → J/( ′) se puede escribir como Heff = [VcbV cd [C1(μ)O 1(μ) + C2(μ)O 2(μ))], (6) con los operadores de cuatro fermiones Oc1 = d μ(1− γ5)cβ · c(1− γ5)bα, Oc2 = d(1− γ5)cα · c(1− γ5)bβ (7) donde los coeficientes Wilson Ci(μ) (i = 1, 2), utilizaremos el orden principal (LO) expres- sions, aunque los resultados del orden siguiente a líder (NLO) ya existen en la literatura [6]. Esta es la forma consistente de cancelar la dependencia explícita de μ en las fórmulas teóricas. Para la evolución del grupo de renormalización de los coeficientes Wilson de escala superior a escala inferior, utilizamos las fórmulas como se indica en Ref.[16] directamente. FIG. 1: Diagramas típicos de Feynman que contribuyen al Cabibbo- y el color-suprimido B0d → J/( ′) decae. En cuanto a la función de onda de meson B, hacemos uso de las mismas parametrizaciones como se utiliza en los estudios de diferentes procesos [16]. Para el vector J / meson, en términos de la nota- en Ref. [17], descomponemos los elementos no locales de la matriz para el longitudinal y Transversalmente polarizados J / mesones en ΦJ(x) = mJ// L L(x) + â €/ LP/â € , (8) En este caso, el valor L se refiere a las amplitudes de distribución twist-2, y el valor L se refiere a la distribución twist-3 distri- bution amplitudes. x representa la fracción de impulso del quark encanto dentro de la Charmonium. Las amplitudes de distribución asintóticas del mesón de J/ dicen que son [18] L(x) = 9,58 x(1− x) x(1 − x) 1− 2,8x(1− x) T(x) = 10,94 (1 a 2 x)2 x(1− x) 1− 2,8x(1− x) . (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Es fácil ver que los DAs twist-2 y twist-3 desaparecen en los puntos finales debido a el factor [x(1− x)]0.7. Desde el Hamiltoniano eficaz (6), los diagramas de Feynman correspondientes a la En la figura 1 se muestra el decaimiento sidered. Con las funciones de la onda meson y factores Sudakov, la amplitud dura se da como Feη = 8ηCFm dx1dx3 b1db1b3db3 B(x1, b1) (1− r2) (1 + x3(1− r2))lAη (x3, b3) + r0(1− 2x3) Pη (x3, b3) (1− 2x3) + r2(1 + 2x3) Tη (x3, b3) s(t1e) he(x1, x3, b1, b3) exp[−Sab(t1e)] 1− (1− x1)r2­Pη (x3, b3)­ x1r2­Aη (x3, b3) s(t2e)he(x3, x1, b3, b1) exp[−Sab(t2e)] . (10) donde r0 = m 0/mB; CF = 4/3 es un factor de color. La función él, las escalas t e y la Los factores de Sudakov Sab se muestran en el Apéndice A. Para los diagramas no factorizables 1(c) y 1(d), las tres funciones de onda meson son: Envuelto. La integración de b3 puede llevarse a cabo utilizando la función  (b3 − b1), dejando sólo integración de b1 y b2. Para los operadores afectados, la amplitud de desintegración correspondiente Meη = dx1dx2 dx3 b1db1b2db2 Bs(x1, b1) 2rrc (x2, b2) η (x3, b2)− 4rr0rclütJ/­(x2, b2)­Tη (x3, b2) 2 + x3(1− 2r2) * LJ/* (x2, b2) η (x3, b2) x3r0 + (x2 − x3)r0r2 * LJ/* (x2, b2) η (x3, b2) s(tf )hf(x1, x2, x3, b1, b2) exp[−Scd(tf )]}. (11) donde rc = mc/mB,mc es la masa de c quark. Para el decaimiento B0d → J/, los diagramas de Feynman se obtienen sustituyendo el η Meson in Fig. 1 con el mesón. Las expresiones correspondientes de amplitudes de desintegración serán ser similares a las indicadas en Eqs.(10-11), ya que el η y son todos luz pseudoescalar mesones y tienen las funciones de onda similares. Las expresiones de B0d → J/ decaimiento puede se obtendrán simplemente mediante las sustituciones siguientes: En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de tres o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas. (12) Para el sistema, existen dos bases de mezcla popular: la base de octeto-singlet y la base de sabor a quark [19, 20]. Aquí usamos la base de sabor a quark [19] y definimos ηq = (u dd̄)/ 2, ηs = ss̄. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Los estados físicos η y están relacionados con ηq y ηs a través de un único ángulo de mezcla = U(­) cos- − sin sin فارسى cos ♥ . (14) Se han extraído los tres parámetros de entrada fq, fs y  en la base de sabor a quark. de varios experimentos relacionados [19, 20] fq = (1,07± 0,02)fη, fs = (1,34± 0,06)f donde fη = 130 MeV. En los cálculos numéricos, utilizaremos estos parámetros de mezcla como insumos. Vale la pena mencionar que los efectos de posible componente gluónico de meson no será considerado aquí ya que es pequeño en tamaño [10, 21, 22]. Para B0d → J/ decaimiento, combinando las contribuciones de diferentes diagramas, el amplitud de desintegración total puede ser escrito como M(B0d → J/) = VcbV FeηfJ/ +MeηC2 donde el parámetro de mezcla pertinente es F1( Cabe mencionar que los coeficientes Wilson Ci = Ci(t) en Eq. 16) debería se calcularán a la escala t apropiada utilizando las ecuaciones indicadas en los apéndices de Ref. [16]. Aquí la escala t en los coeficientes Wilson debe tomarse como la misma escala apareció en las expresiones de las amplitudes de decadencia en Eqs. (10) y (11). Este es el camino. en el enfoque de PQCD para eliminar la dependencia de la escala. Con el fin de estimar el efecto de mayor orden de corrección, sin embargo, se introduce un factor de escala = 1,0± 0,2 y variar la escala tmax como se describe en el apéndice A. Del mismo modo, las amplitudes de desintegración para B0d → J/ decaimiento se puede obtener fácilmente de Eq.(16) por las siguientes sustituciones de F1(l) → F ′1(l) = sin II. RESULTADOS Y DEBATE NUMERICOS En esta sección, vamos a calcular los ratios de ramificación para los modos de desintegración considerados. Los parámetros de entrada y las funciones de onda que se utilizarán figuran en el apéndice B. In cálculos numéricos, los valores centrales de los parámetros de entrada se utilizarán implícitamente a menos que se indique lo contrario. Con las amplitudes de decaimiento completas, podemos obtener el ancho de decaimiento para el decaimientos, (B0d → J/( ′)) = (1− r2) M(B0d → J/( . (17) Empleando el esquema quark-sabor del sistema y usando los parámetros de mezcla como se indica en Eq. (15), uno encuentra las relaciones de ramificación para los dos decaimientos considerados con Barras de error como sigue: Br( B0d → J/) = 1,96+0,71−0,50(l)b) +9.65 −0,39(at) +0,32 +0.13(a2) +0.14 −0.13(fJ) × 10−6, (18) Br( B0d → J/) = 1,09+0,32−0,24(l)b) +3,73 +0,01(at) +0,28 +0,01(a2) +0,08 −0,07(fJ/ × 10−6, (19) donde los principales errores son inducidos por las incertidumbres de Łb = 0,40 ± 0,05 GeV, a = 1,0 ± 0,2, a2 = 0,115 ± 0,115 y fJ = 0,405 ± 0,014 GeV, respectivamente. Uno puede ver que las predicciones de PQCD son sensibles a las variaciones de B y en. Para B0d → J/ decaimiento, el valor central de la predicción pQCD para Br(B0d → J/) es un factor de 4 menor que el valor medido dado en Eq. (1) [1]. Pero el PQCD la predicción es de hecho todavía consistente con la primera medición de Belle si tomamos el grande errores teóricos y experimentales en cuenta. Variando el factor de escala en el rango de = [0.8, 1.0], por ejemplo, el valor central de Br(B → J/) cambiará en la rango de [0.2, 1.1]×10−5 en consecuencia. No es difícil entender tal dependencia. Puesto que el mesón J/­ es mucho más pesado que los mesones ligeros, y por lo tanto no se mueve tan rápido como los meson de luz cuando B meson está decayendo. Así que una pequeña disminución de la escala ti llevar a un mayor Wilson coeficientes C1,2(t) y αs(ti), y en consecuencia resulta en un mayor tasa de decaimiento. Para B0d → J/ decaimiento, sólo límite superior experimental (a 90% C.L) está disponible ahora: BR(B0 → J/) < 6.3 × 10−5 [4, 5]. La predicción pQCD para la relación de ramificación de B0d → J/ decaimiento es muy similar en magnitud con la de B0d → J/, consistente con el límite superior y se probará en los próximos experimentos de LHC. En el orden principal, sólo el árbol Feynman diagramas como se muestra en la Fig. 1 contribuir a B0d → J/(′) decae. No existe ninguna violación del PC en estas decaimientos dentro de la norma modelo, ya que sólo hay un tipo de Cabibbo-Kabayashi-Muskawa (CKM) fase implicada en las amplitudes de desintegración correspondientes, como se puede ver desde eq. (16). En resumen, calculamos las relaciones de ramificación de B0d → J/ y B0d → J/ decae en el orden principal utilizando el enfoque de factorización pQCD. Además del factoriz usual... diagramas capaces, los diagramas de espectadores no factorizables también se calculan analíticamente en el enfoque PQCD. Manteniendo el impulso transversal kT, la singularidad de punto final desaparece en nuestro cálculo. A partir de nuestros cálculos y análisis fenomenológicos, encontramos los siguientes resultados: • Usando el esquema de sabor a quark, las predicciones de pQCD para las relaciones de ramificación son: Br(B0d → J/) = 1,96+9.68−0,65 × 10−6, (20) Br(B0d → J/) = 1,09+3,76−0,25 × 10−6, (21) donde los diversos errores especificados anteriormente se han añadido en cuadratura. • Los principales errores teóricos de las predicciones del PQCD son inducidos por la incertidumbre- los lazos de la escala de energía dura ti’s y los parámetros. Agradecimientos X. Liu desea agradecer el apoyo financiero de la Investigación Científica Fondo para la puesta en marcha de la Universidad Oceánica de Zhejiang con la subvención No 21065010706. Este trabajo fue parcialmente con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China en el marco de la subvención No 10575052, y por el Fondo de Investigación Especializada para el Programa de Doctorado de la Enseñanza Superior La educación (SRFDP) en virtud de la subvención No. 20050319008. APÉNDICE A: FUNCIONES CONEXAS Mostramos aquí la función his, viniendo de las transformaciones de Fourier de la función H(0), he(x1, x3, b1, b3) = K0 x1x3(1− r2)mBb1 (b1 − b3)K0 x3(1− r2)mBb1 x3(1− r2)mBb3 + (b3 − b1)K0 x3(1− r2)mBb3 x3(1− r2)mBb1 St(x3), (A1) hf(x1, x2, x3, b1, b2) = (b2 − b1)I0(MB) x1x3(1− r2)b1)K0(MB x1x3(1− r2)b2) + (b1 ↔ b2) K0(MBF(1)b2), para F (1) > 0 0 (MB) b2), para F 2(1) < 0 , (A2) donde J0 es la función Bessel, K0 e I0 son las funciones Bessel modificadas con K0(−ix) = −(l/2)Y0(x) + i(l/2)J0(x), y F(j) se definen por F 2(1) = (x1 − x2)x3(1− r2) + r2c, (A3) F 2(2) = (x1 − x2)x3(1− r2) + r2c. (A4) El factor St(xi) del formulario de recapitulación del umbral se adopta de Ref. [17] St(x) = 21 + 2c®(3/2 + c) (1 + c) [x(1 − x)]c, (A5) donde el parámetro c = 0.3. Esta función se normaliza a la unidad. Los factores Sudakov utilizados en el texto se definen como Sab(t) = s x1mB/ 2, b1 x3mB/ 2, b3 (1 a x 3) mB/ 2, b3 ln(t) − En (b1)................................................................................................................................................................. ln(t) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − - − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − , (A6) Scd(t) = s x1mB/ 2, b1 x2mB/ 2, b2 (1 a x2) mB/ 2, b2 x3mB/ 2, b1 (1 a x 3) mB/ 2, b1 ln(t) − En (b1)................................................................................................................................................................. ln(t) − ln(b2) , (A7) donde la función s(q, b) se define en el apéndice A de Ref. [16]. La escala ti’s en el por encima de las ecuaciones se eligen como t1e = a ·max( x3(1− r2)MB, 1/b1, 1/b3), t2e = a ·max( x1(1− r2)MB, 1/b1, 1/b3), tf = a ·max( x1x3(1− r2)MB, (x1 − x2)x3(1− r2) + r2cMB, 1/b1, 1/b2), (A8) donde a = 1,0±0,2 y r =MJ/ Las escalas se eligen como la energía máxima escala que aparece en cada diagrama para matar las grandes correcciones radiativas logarítmicas. APÉNDICE B: PARAMETROS INPORTADOS Y FUNCIONES DE LA OLA Las masas, las constantes de decadencia, la escala QCD y la vida del mesón B0d son (f=4) = 250MeV, fη = 130MeV, fJ/l = 405MeV, 0 = 1,08GeV, MB0d = 5,28MeV, MJ/+ = 3,097GeV, MW = 80,41GeV, B0 = 1,54× 10−12s. (B1) Para los elementos de la matriz CKM, aquí adoptamos la parametrización de Wolfenstein para el Matriz de CKM, y toma  = 0,2272, A = 0,818,  = 0,221 y η = 0,340 [4]. Para la función de onda meson B, adoptamos el modelo B(x, b) = NBx 2(1− x)2exp (lbb) , (B2) donde Łb es un parámetro libre y tomamos Łb = 0.40± 0.05 GeV en cálculos numéricos, y NB = 91.745 es el factor de normalización para el mesón B. La función de onda para dd̄ componentes de η(′) mesón es dada por dd̄(p, x, (x) +m (x) + Łm 0 (v/n/− v · n) , (B3) donde p y x son el impulso y la fracción de impulso de ηdd̄ respectivamente, mientras que ?Aηdd̄,? y Tηdd̄ representan el vector axial, pseudoescalar y los componentes tensores de la función de onda, respectivamente. Aquí suponemos que la función de onda de ηdd̄ es la misma que la Función de onda γ basada en la simetría del sabor SU(3). El parámetro • es +1 o −1 dependiendo de la asignación de la fracción de impulso x. La expresión explícita de la escala de realce quiral m 0 = m 0 se indica por [21] [m2η cos 2 m2 pecado (m2 −m2η) cos y numéricamente m 0 = 1,07MeV para mη = 547.5MeV, m = 957,8MeV, fq = 1,07f fs = 1,34f Para la amplitud de distribución......................................................................................................... y Tηq, utilizamos los resultados para η mesón obtenido de la regla de la suma del cono ligero [23], incluidas las contribuciones twist-3: Aηq(x) = fqx(1 − x) 1 + a 5(1− 2x)2 − 1 21(1− 2x)4 − 14(1− 2x)2 + 1 , (B5) Pηq(x) = 30η3 − 3(1− 2x)2 − 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ­2ηq − π2ηq(s)a 35(1− 2x)4 − 30(1− 2x)2 + 3 ,(B6) Tηq(x) = fq(1− 2x) + (5η3 − η3­3 − ­2ηq − ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2 )(10x 2 − 10x+ 1) , (B7) con los momentos actualizados de Gegenbauer [24] 2 = 0,115, a 4 = −0,015, q = 2mq/mqq, η3 = 0,015, 3 = −3,0. (B8) [1] B. Aubert et al. (Colaboración BaBar), Phys. Rev. Lett. 98, 131803 (2007). [2] A. Deandrea et al., Phys. Lett. B 318, 549 (1993). [3] P.Z. Skands, J. Phys de alta energía. 0101 (2001) 008. [4] W.-M. Yao et al. (Grupo de Datos sobre Partículas), J. Phys. G 33, 1 (2006). [5] Heavy Flavor Averaging Group, E. Barberio et al., hep-ex/0603003; y actualización en línea en http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag. [6] G. Buchalla, A.J. Buras, y M.E. Lautenbacher, Rev. Mod. Phys. 68, 1125 (1996). [7] G.P. Lepage y S.J. Brodsky, Phys. Rev. D 22, 2157 (1980). [8] C.-H. V. Chang y H.N. Li, Phys. Rev. D 55, 5577 (1997); T.-W. Yeh y H.N. Li, Phys. Rev. D 56, 1615 (1997). [9] H.N. Li, Prog.Part.& Nucl.Phys. 51, 85 (2003), y referencia en él. H.N. Li y H.L. Yu, Phys. Rev. Lett. 74, 4388 (1995); Phys. Lett. B 353, 301 (1995); Phys. Rev. D 53, 2480 (1996). [10] X. Liu, H.S. Wang, Z.J. Xiao, L.B. Guo y C.D. Lü, Phys. Rev. D 73, 074002 (2006); H.S. Wang, X. Liu, Z.J. Xiao, L.B. Guo y C.D. Lü, Nucl. Phys. B 738. 243 (2006); Z.J. Xiao, X.F. Chen y D.Q. Guo, Eur Phys.J. C 50 (2007) en prensa; Z.J. Xiao, D.Q Guo y X.F. Chen, Phys. Rev. D 75, 014018 (2007); Z.J. Xiao, X. Liu y H.S. Wang, Phys. Rev. D 75034017 (2007); Z.J. Xiao, X.F. Chen y D.Q. Guo, hep-ph/0701146. [11] A. Ali, G. Kramer, Y. Li, C.D. Lü, Y.L. Shen, W. Wang, y Y.M. Wang, hep-ph/0703162. [12] Y. Li y C.D. Lü, J. Phys. G 29, 2115 (2003); High Energy & Nucl.Phys. 27, 1061 (2003). [13] Y. Li, C.D. Lü, y Z.J. Xiao, J. Phys. G 31, 273 (2005). [14] H.N. Li, Phys. Rev. D 66, 094010 (2002). [15] H.N. Li y B. Tseng, Phys. Rev. D 57, 443, (1998). [16] C.-D. Lü, K. Ukai y M.Z. Yang, Phys. Rev. D 63, 074009 (2001). [17] T. Kurimoto, H.N. Li, y A.I. Sanda, Phys. Rev. D 65, 014007 (2002); Phys. Rev. D 67, 054028 (2003). [18] A.E. Bondar y V.L. Chernyak, Phys. Lett. B 612, 215 (2005). [19] Th. Feldmann, P. Kroll y B. Stech, Phys. Rev. D 58, 114006 (1998). [20] R. Escribano y J.M. Frere, J. 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Finite-temperature phase transitions in a two-dimensional boson Hubbard model

Transiciones de fase finita-temperatura en un modelo de bosón Hubbard bidimensional Min-Chul Cha1 y Ji-Woo Lee2 Departamento de Física Aplicada, Universidad de Hanyang, Ansan 426-791, Corea Departamento de Física, Universidad de Myongji, Yongin 449-728, Corea Estudiamos transiciones de fase de temperatura finita en un modelo de bosón Hubbard bidimensional con Fluctuaciones cuánticas de punto cero a través de simulaciones de Monte Carlo del modelo de rotor cuántico, y construcción el diagrama de fase correspondiente. La compressibilidad muestra un comportamiento de separación térmicamente activado en el régimen aislante. Escalado de tamaño finito de la rigidez superfluida muestra claramente la naturaleza de la Kosterlitz-Thouless transición. La temperatura de transición, Tc, confirma una relación de escala con x = 1,0. Se presentan algunas evidencias de comportamiento cuántico anómalo a bajas temperaturas. Números PACS: 73.43.Nq, 74.25.Dw, 05.30.Jp Recientemente las transiciones de fase cuántica[1, 2] han dibujado un mucha atención en sistemas de partículas que interactúan. Typ... la itinerancia de la par- ticles para inducir una fase aislante fuertemente correlacionada, mientras que con interacciones débiles una fase de conducción es Estable. La criticidad de esta fase de cero temperaturas las transiciones pueden ser investigadas a baja, pero finita, tem- Peraturas. Cómo se asocian las fluctuaciones cuánticas con una punto crítico cuántico (QCP) tiene influencia en las fases en temperaturas finitas [3, 4, 5] es teóricamente interesante y una cuestión de importancia experimental. A temperaturas finitas, se espera que un transición de fase se convierte en una clásica con el mismo ordenar parámetro o desaparece. Fluc cuántico remanente... las teaciones cercanas a un QCP pueden traer propiedades anómalas[3], que pueden ser capturados escalando las relaciones, y liderar a los comportamientos cruzados a medida que la temperatura sube. Algunos pos... sibilidades tales como comportamientos reentrantes debido a la inter- el juego de las fluctuaciones cuánticas y térmicas han sido propuesta[6]. Estas cuestiones pueden aclararse mediante investigaciones directas de un modelo mecánico cuántico genérico. Hasta ahora la mayoría de los las investigaciones teóricas se basan en gran medida en el solu- sión del modelo cuántico Ising, disponible estrictamente en uno dimensión[4]. Sistemas bosónicos de interacción simulados a través de Métodos de Monte Carlo, no sufriendo de signo negativo problemas, será un lugar ideal para estudiar estos problemas. En trabajos anteriores, un modelo XY cuántico, equivalente a Bosones de núcleo duro a mitad de llenado, mostró el Kosterlitz- Transición Thouless(KT)[7] a temperatura finita en dos dimensiones[8, 9]. En el modelo con el vecino más cercano repulsión, destrucción del orden sólido, así como el se observó superfluidez por fluctuaciones térmicas [10]. Sin embargo, los diagramas genéricos de fase de temperatura finita tienen no se ha construido. En este trabajo, investigamos la fase de accionamiento térmico transiciones de un modelo de rotor cuántico bidimensional, que se cree que comparten las mismas propiedades críticas de un bosón genérico de núcleo blando modelo Hubbard[11], vía Monte Simulaciones de Carlo. Los resultados se resumen en el diagrama de fase como se muestra en la Fig. 1. Escalado de tamaño finito Las propiedades de la rigidez superfluida confirman que la la transición de la fase clásica asociada con la destrucción de la superfluidez es consistente con la de la KT transición, y claramente apoyar el escenario de la salto universal en el punto crítico[12]. Terma finita... , T, establece el tamaño en la dirección temporal, lo que conduce a un comportamiento de escalado[4, 11] Tc â ¬0x con x = 1,0, donde Tc es la temperatura de transición y................................................................................................................................................ a temperatura cero. La compresibilidad diverge en la transición. En el régimen aislante a baja temperatura comportamiento de la compresibilidad activada térmicamente con una brecha de energía finita se observa. Algunos anómalos de- pendencia de energía y calor específico en T, posiblemente debido a las fluctuaciones cuánticas, se observan para T < 0,25U. El hamiltoniano de un bosón modelo Hubbard lee nj(nj − 1)− μ nj − w ibj + b jbi),(1) donde bj(b) j) es el operador de aniquilación (creación) del bosón 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 μ=0,9 Líquido normal Aislador de mott Superfluido Transición de KT Líquido vacío FIG. 1: (Color en línea) Diagrama de fase en el espacio de lúpulo fuerza de ping, t(= n0(n0 + 1)w), y temperatura, T, en unidad de U. La línea sólida denota la fase clásica transi- ciones, que termina en un QCP en T = 0. La línea punteada representa el cruce entre el fluido separado y el líquido normal. http://arxiv.org/abs/0704.0396v1 en el sitio j-th, y nj es el operador de números. U y w defender las fortalezas de la repulsión in situ y de el vecino más cercano saltando, respectivamente, y μ es el potencial químico. Es conveniente poner μ/U + 1/2 = n0 + n̄ con un entero n0 y −1/2 < n̄ ≤ 1/2 de modo que n0 representa la fondo número de bosones por sitio y n̄ es una carga offset. Cuando n̄ = 0, la densidad de los bosones se fija a un llenado proporcional a lo largo de la transición. Por non- entero n̄, sin embargo, un relleno entero en un aislador de Mott cambia a un relleno no integrado en un líquido comprimible. Nosotros estudiar la transición de fase de este último caso en (2+1)- retículas cuadradas dimensionales L×L×L/23370/, donde L denota el tamaño en una dimensión espacial y el tamaño en el temporal dimensión. Desde la transición de fase del modelo en Eq. 1).......................................................................................................................................................... se caracteriza por el establecimiento de la fase coher- Por lo tanto, podemos reescribir el Hamiltoniano en términos de el ángulo de fase de los bosones sustituyendo bj(b) j) = −iŁj ( nj + 1e ) con nj = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = = 1 = = = = = = 1 = = = . Debajo de los... suposición de que la naturaleza de la transición se rige sólo por las fluctuaciones de la j, no las del lúpulo fuerza de ping, reemplazamos nj → n0 para que bj(b†j) = −iŁj ( n0 + 1e ), y en particular el Sr. Entonces, el Hamiltoniano es re- a un modelo de rotor cuántico nj(nj − 1)− μ nj − 2t cos(l-j),(2) donde t = n0(n0 + 1)w. Aquí tomamos el número de bosones nj ≥ 0. A través de un mapeo integral de ruta, podemos construir la acción clásica correspondiente[14] J. J. R. (J.) • 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • con la función de partición ~J=0 { ~Jr} ~J], (4) donde = β/L♥ es una constante de celosía en el imaginario eje de tiempo para una temperatura inversa β, ~Jr es un entero corriente en el sitio r = (j, ) con un índice espacial j y un tem- Índice poral de la zona de conservación de cada sitio, tal como se indica por · ~J = 0, e Im(x) es la función de Bessel modificada ciones dadas por la relación eK cos • = m= Im(K)e En este trabajo, investigamos las propiedades del modelo en Eq. 3 a través de simulaciones de Monte Carlo utilizando un algoritmo de gusano propuesto [13]. Con el fin de reducir la errores sistemáticos en la discordancia del eje temporal imaginario, Tenemos que tomar tU â â € 1. Tomamos Uâ = 0,5 - 2 para t U y establecer la unidad de energía U = 1. La rigidez superfluida en un sistema finito está dada por[14] L = β −1L2−dâ € € € 2x € €, (5) 0,02 0,03 0,04 0,05 L=128 0 0,5 1 L exp(-b (t) ) μ=0,9 =0,0409 b=1,85 0 10 20 30 40 50 60 0,005 0,015 L=128 0 0,1 0,2 0,3 0,4 L exp(-b (β) ) μ=0,9 t=0,034 t=0,034 b=3,35 =28,8 FIG. 2: (Color en línea) Comportamientos de escala de tamaño finito de los su- rigidez perfluida en función de (a) resistencia al salto y b) la temperatura. Para ambos casos, los datos colapsando en un pecado- gle curve funciona bien en términos del parámetro de escalado L/+ como se muestra en insets, en consonancia con la naturaleza de la transición de KT sión y el salto universal en el punto crítico. donde Wx = L r y â € â € ¬ denota los promedios sobre los probabilites determinados por la función de partición sión de Eq. (4), y d es la dimensión espacial. Sim... ilarmente la compresibilidad es * = βL−d[­n2­n2­n2­n2], (6) con N = L−1 r. Se da la expectativa de energía # H # = L - 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y el calor específico es CV = L −d(HÃ3r/T ). Consideramos el caso para μ = 0,9 de modo que n0 = 1 y n̄ = 0,4. La Figura 2 muestra el behav de escala de tamaño finito- io de la rigidez superfluida en función de (a) t y (b) β. Propiedades de escala de tamaño finito de la transición puede se obtiene trazando las curvas en términos de una escala ing variable L/+, donde + es la longitud de la correlación. Toma. Suponemos una singularidad esencial[15] â € € â € exp(b1/2), donde el parámetro de afinación es t − tc (o β − βc) y b es un factor de escala no universal. En términos de esta escala... ing variable, obtenemos datos de alta calidad colapsando en una curva única para diferentes tamaños, consistente con el na- de la transición de KT. El comportamiento de escala también sup- puertos el escenario del salto universal del superfluido rigidez[12], (η/2)βc = 1, en el punto crítico en el límite termodinámico. Extrapolando las curvas individuales hasta el punto crítico, encontramos que ( y b)1.06. Sin embargo, estas cifras son sensibles a parámetros de ajuste b y tc(βc). La Figura 3a muestra el comportamiento de la compresibilidad. El tamaño finito de escalar ansatz de la compresibilidad es escrita en la forma * = Lz−dX(L(t− tc)1//, β/Lz), (8) donde X es una función de escalado adimensional y z es la exponente crítico dinámico. Para el superfluido genérico- transición del aislante (GSIT), z = 2 se espera[11]. Los Comportamiento cruzado de las curvas de compresibilidad para diferenciar- ent tamaños en el punto crítico t0c = 0,023±0,001, por lo tanto, representa las propiedades de escalado cerca del QCP, donde t0c es la fuerza crítica de salto a temperatura cero. Por diferentes valores de μ, tenemos resultados similares con t0c sólo Desplazado. Encontramos que la compresibilidad diverge en el transi- tion. En el lado superfluido, 1(t− t0c). Esto es muy importante. soporta que las fluctuaciones de la densidad de largo alcance la transición. En el lado aislante, la compresibilidad tiene una forma activada egap/T con un espacio de energía finito - ¿Qué es eso? - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Esta dependencia se muestra en la Fig. 3b para diferentes t, a partir de la cual podemos calcular la diferencia como se muestra en el in- Listo. Para la pequeña t, necesitamos un gran número de Monte Carlo pasos para obtener el equilibrio y tener barras de error más grandes en determinación de las diferencias. La brecha desaparece alrededor de t = t como se esperaba. Así que tenemos un llamado diagrama de fase en forma de "V" (Fig.1). En el régimen aislante, el aislador Mott existe en T = 0, que se convierte en una brecha activada fluido con un vacío de energía finito a baja temperatura. Lo siento. desaparece gradualmente en un líquido normal de alta temperatura. Esta línea transversal puede ser especificada por la condición # Gap/T # 1. La coherencia de fase en un superfluido en T = 0 se destruye por fluctuaciones cuánticas para formar un QCP o por fluctuaciones térmicas a T > 0 para definir transiciones de fase sical. El límite de fase en la Fig. 1 es obtenido por afinación t para dado T (círculos negros) así como afinando β para una t dada (cuadrados rojos). Tenga en cuenta que la el límite de la fase sigue una relación de escala Tc t− t0c zν, que implica que β determina la longitud de la correlación en la dirección temporal, donde ν es la longitud de la correlación 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 L=12 L=18 L=16 L=32 L=20 L=50 L=24 L=72 L=28 L=98 μ=0,9 0 50 100 150 200 1e-05 0,0001 0,001 0 0,01 0,02 μ=0,9 t=.005 t=0,010 t=0,015 t=0,020 t=0,021 t=0,022 t=0,023(b) FIG. 3: (Color en línea) (a) Compresibilidad del bosón Hub- modelo bard muestra el comportamiento del GSIT con z = 2.0, diverg- En el momento de la transición. b) En el régimen de aislamiento, tenemos Comportamientos térmicamente activados, de los cuales: Se pueden evaluar las diferencias. Insitución: En función de t, van- Ishing en el QCP. exponente crítico. El límite en la Fig. 1 es consistente con la expectativa z v = 1[11] para el GSIT. Es interesante comprobar la relación de escala predicha [4, 11] Tc â € ¢0x en este modelo. La figura 4 muestra que la rigidez superfluida de temperatura cero............................................................................................................................................... línea punteada, que se obtiene mediante extrapolación de valores en T > 0, sigue a................................................................................... Lo es. consistente con el argumento de hiperescalado[11] que sugiere x = z/(d+ z − 2). Esperamos que esta criticidad cuántica desaparezca a medida que aumenta la temperatura, lo que significa fluctuaciones cuánticas posiblemente dejar algunas pistas en propiedades a granel a baja tem- Peraturas. La figura 5 muestra el calor específico, CV, y el valores de expectación de energía, H-H-, en función de T para dif- ferent t. aumentos agudos de CV en el régimen de conducción o en el régimen aislante son seguidas por las regiones indicadas por N, que, al parecer, comportamiento anómalo debido a fluctuaciones cuánticas y desaparecen a altas temperaturas para T & 0,25. Esto característica sugiere fuertemente un cruce en el líquido normal de Mecánica cuántica al régimen clásico. Del mismo modo, el las curvas de H® muestran protuberancias, indicadas por H, sólo en el rango donde se esperan fluctuaciones críticas cuánticas para tener efectos. En resumen, hemos investigado la fase transi- ciones a temperatura finita en un quan bidimensional modelo de rotor de tum en el que fluctua- ciones están presentes. Escalado de tamaño finito del superfluido rigidez muestra una singularidad esencial de la fase KT transición y el salto universal en el punto crítico. La compresibilidad difiere en la transición. En el régimen aislante, la compresibilidad muestra un comportamiento activado, de la cual podemos evaluar con éxito la brecha. Esto indica que el comportamiento de aislamiento a baja temperatura cruza gradualmente sobre el comportamiento del líquido normal como temperatura en- pliegues. La temperatura de transición Tc muestra un escalado comportamiento Tc t − t0c, mostrando que T finito limita el longitud de las fluctuaciones cuánticas en la dirección temporal, y una relación de hiperescalado Tc. El comportamiento de la calor específico y la energía sugiere que, como tempera- se eleva, el régimen crítico cuántico cerca de una cruz QCP al régimen clásico. MCC agradece a Gerardo Ortiz por su ayuda. debates y la hospitalidad del Departamento de Física, Universidad de Indiana, donde parte de este trabajo se llevó a cabo Fuera. Este trabajo fue apoyado por el Fondo de Investigación de Corea Grant No. R05-2004-000-11004-0. 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 β=200 β=400 μ=0,9 FIG. 4: (Color online) Rigidez superfluida para diferentes β. As β aumenta, la dependencia del tamaño se vuelve menor. Esto permite nosotros para extrapolar las curvas para obtener cero-temperatura su- Rigidez perfluida,?0, en el límite termodinámico tal como se denota por línea punteada. Demuestra que?0? t− t c con t c 0,22. [1] S. Sachdev, Transiciones de Fase Cuántica (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). [2] S. L. Sondhi, S. M. Girvin, J. P. Carini, y D. Sahar, Rev. Mod. Phys. 69, 315 (1997). [3] P. Coleman y A. J. Schofield, Nature (Londres) 433, 226 (2005). [4] A. Kopp y S. Chakravarty, Nature Phys. 1, 53 (2005). [5] S. Sachdev, Phys. Rev. B 55, 142 (1997). [6] S. Kim y M. Y. Choi, Phys. Rev. B 41, 111 (1990). [7] J. M. Kosterlitz y D. J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973). [8] H.-Q. Ding y M. S. Makivić, Phys. Rev. B, 42, R6827 (1990). [9] K. Harada y N. Kawashima, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 2768 (1998); A. W. Sandvik y C. J. Hamer, 60 6588 (1999). [10] G. Schmid, S. Todo, M. Troyer, y A. Dorneich, Phys. Rev. Lett., 88, 167208 (2002). [11] M. P. A. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein, y D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989). [12] D. R. Nelson y J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett., 39, 1201 (1977). [13] F. Alet y E. S. Sørensen, Phys. Rev. E 67, 015701(R) (2003); Phys. Rev. E 68, 026702 (2003). [14] M. Wallin, E. S. Sørensen, S. M. Girvin, y A. P. Young, Phys. Rev. B 49, 12115 (1994). [15] J. M. Kosterlitz, J. Phys. C 7, 1046 (1974). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t = 0,005 t = 0,020 t = 0,040 t = 0,050 t = 0,070 t = 0,100 -0,85 t = 0,005 t = 0,010 t = 0,020 t = 025 t = 0,030 t = 040 0 0,1 0,2 0,3 0,4 t = 040 t = 0,050 t = 060 t = 0,070 t = 0,080 t = 0,090 t = 0,010 FIG. 5: (Color en línea) Calor específico, CV, en función de T para diferentes t. Afiladas subidas en el régimen de conducción, signa- de la transición superfluida, o de la subida redondeada del CV en el El régimen aislante va seguido de guiones que desaparecen en región de alta temperatura, T & 0,25. Insets: Las curvas de la Los valores de expectación energética, "H", tienen protuberancias a baja temperatura. ciones posiblemente debido a los efectos de las fluctuaciones cuánticas.

Estudiamos transiciones de fase finita-temperatura en un bosón bidimensional Modelo Hubbard con fluctuaciones cuánticas de punto cero a través de simulaciones de Monte Carlo del modelo de rotor cuántico, y construir el diagrama de fase correspondiente. La compressibilidad muestra un comportamiento de separación activada térmicamente en el aislamiento régimen. Escalado de tamaño finito de la rigidez superfluida muestra claramente el naturaleza de la transición Kosterlitz-Thouless. La temperatura de transición, $T_c$, confirma una relación de escalado $T_c \propto \rho_0^x$ con $x=1.0$. Algunos Se presentan evidencias de comportamiento cuántico anómalo a bajas temperaturas.

Transiciones de fase finita-temperatura en un modelo de bosón Hubbard bidimensional Min-Chul Cha1 y Ji-Woo Lee2 Departamento de Física Aplicada, Universidad de Hanyang, Ansan 426-791, Corea Departamento de Física, Universidad de Myongji, Yongin 449-728, Corea Estudiamos transiciones de fase de temperatura finita en un modelo de bosón Hubbard bidimensional con Fluctuaciones cuánticas de punto cero a través de simulaciones de Monte Carlo del modelo de rotor cuántico, y construcción el diagrama de fase correspondiente. La compressibilidad muestra un comportamiento de separación térmicamente activado en el régimen aislante. Escalado de tamaño finito de la rigidez superfluida muestra claramente la naturaleza de la Kosterlitz-Thouless transición. La temperatura de transición, Tc, confirma una relación de escala con x = 1,0. Se presentan algunas evidencias de comportamiento cuántico anómalo a bajas temperaturas. Números PACS: 73.43.Nq, 74.25.Dw, 05.30.Jp Recientemente las transiciones de fase cuántica[1, 2] han dibujado un mucha atención en sistemas de partículas que interactúan. Typ... la itinerancia de la par- ticles para inducir una fase aislante fuertemente correlacionada, mientras que con interacciones débiles una fase de conducción es Estable. La criticidad de esta fase de cero temperaturas las transiciones pueden ser investigadas a baja, pero finita, tem- Peraturas. Cómo se asocian las fluctuaciones cuánticas con una punto crítico cuántico (QCP) tiene influencia en las fases en temperaturas finitas [3, 4, 5] es teóricamente interesante y una cuestión de importancia experimental. A temperaturas finitas, se espera que un transición de fase se convierte en una clásica con el mismo ordenar parámetro o desaparece. Fluc cuántico remanente... las teaciones cercanas a un QCP pueden traer propiedades anómalas[3], que pueden ser capturados escalando las relaciones, y liderar a los comportamientos cruzados a medida que la temperatura sube. Algunos pos... sibilidades tales como comportamientos reentrantes debido a la inter- el juego de las fluctuaciones cuánticas y térmicas han sido propuesta[6]. Estas cuestiones pueden aclararse mediante investigaciones directas de un modelo mecánico cuántico genérico. Hasta ahora la mayoría de los las investigaciones teóricas se basan en gran medida en el solu- sión del modelo cuántico Ising, disponible estrictamente en uno dimensión[4]. Sistemas bosónicos de interacción simulados a través de Métodos de Monte Carlo, no sufriendo de signo negativo problemas, será un lugar ideal para estudiar estos problemas. En trabajos anteriores, un modelo XY cuántico, equivalente a Bosones de núcleo duro a mitad de llenado, mostró el Kosterlitz- Transición Thouless(KT)[7] a temperatura finita en dos dimensiones[8, 9]. En el modelo con el vecino más cercano repulsión, destrucción del orden sólido, así como el se observó superfluidez por fluctuaciones térmicas [10]. Sin embargo, los diagramas genéricos de fase de temperatura finita tienen no se ha construido. En este trabajo, investigamos la fase de accionamiento térmico transiciones de un modelo de rotor cuántico bidimensional, que se cree que comparten las mismas propiedades críticas de un bosón genérico de núcleo blando modelo Hubbard[11], vía Monte Simulaciones de Carlo. Los resultados se resumen en el diagrama de fase como se muestra en la Fig. 1. Escalado de tamaño finito Las propiedades de la rigidez superfluida confirman que la la transición de la fase clásica asociada con la destrucción de la superfluidez es consistente con la de la KT transición, y claramente apoyar el escenario de la salto universal en el punto crítico[12]. Terma finita... , T, establece el tamaño en la dirección temporal, lo que conduce a un comportamiento de escalado[4, 11] Tc â ¬0x con x = 1,0, donde Tc es la temperatura de transición y................................................................................................................................................ a temperatura cero. La compresibilidad diverge en la transición. En el régimen aislante a baja temperatura comportamiento de la compresibilidad activada térmicamente con una brecha de energía finita se observa. Algunos anómalos de- pendencia de energía y calor específico en T, posiblemente debido a las fluctuaciones cuánticas, se observan para T < 0,25U. El hamiltoniano de un bosón modelo Hubbard lee nj(nj − 1)− μ nj − w ibj + b jbi),(1) donde bj(b) j) es el operador de aniquilación (creación) del bosón 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 μ=0,9 Líquido normal Aislador de mott Superfluido Transición de KT Líquido vacío FIG. 1: (Color en línea) Diagrama de fase en el espacio de lúpulo fuerza de ping, t(= n0(n0 + 1)w), y temperatura, T, en unidad de U. La línea sólida denota la fase clásica transi- ciones, que termina en un QCP en T = 0. La línea punteada representa el cruce entre el fluido separado y el líquido normal. http://arxiv.org/abs/0704.0396v1 en el sitio j-th, y nj es el operador de números. U y w defender las fortalezas de la repulsión in situ y de el vecino más cercano saltando, respectivamente, y μ es el potencial químico. Es conveniente poner μ/U + 1/2 = n0 + n̄ con un entero n0 y −1/2 < n̄ ≤ 1/2 de modo que n0 representa la fondo número de bosones por sitio y n̄ es una carga offset. Cuando n̄ = 0, la densidad de los bosones se fija a un llenado proporcional a lo largo de la transición. Por non- entero n̄, sin embargo, un relleno entero en un aislador de Mott cambia a un relleno no integrado en un líquido comprimible. Nosotros estudiar la transición de fase de este último caso en (2+1)- retículas cuadradas dimensionales L×L×L/23370/, donde L denota el tamaño en una dimensión espacial y el tamaño en el temporal dimensión. Desde la transición de fase del modelo en Eq. 1).......................................................................................................................................................... se caracteriza por el establecimiento de la fase coher- Por lo tanto, podemos reescribir el Hamiltoniano en términos de el ángulo de fase de los bosones sustituyendo bj(b) j) = −iŁj ( nj + 1e ) con nj = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = = 1 = = = = = = 1 = = = . Debajo de los... suposición de que la naturaleza de la transición se rige sólo por las fluctuaciones de la j, no las del lúpulo fuerza de ping, reemplazamos nj → n0 para que bj(b†j) = −iŁj ( n0 + 1e ), y en particular el Sr. Entonces, el Hamiltoniano es re- a un modelo de rotor cuántico nj(nj − 1)− μ nj − 2t cos(l-j),(2) donde t = n0(n0 + 1)w. Aquí tomamos el número de bosones nj ≥ 0. A través de un mapeo integral de ruta, podemos construir la acción clásica correspondiente[14] J. J. R. (J.) • 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • con la función de partición ~J=0 { ~Jr} ~J], (4) donde = β/L♥ es una constante de celosía en el imaginario eje de tiempo para una temperatura inversa β, ~Jr es un entero corriente en el sitio r = (j, ) con un índice espacial j y un tem- Índice poral de la zona de conservación de cada sitio, tal como se indica por · ~J = 0, e Im(x) es la función de Bessel modificada ciones dadas por la relación eK cos • = m= Im(K)e En este trabajo, investigamos las propiedades del modelo en Eq. 3 a través de simulaciones de Monte Carlo utilizando un algoritmo de gusano propuesto [13]. Con el fin de reducir la errores sistemáticos en la discordancia del eje temporal imaginario, Tenemos que tomar tU â â € 1. Tomamos Uâ = 0,5 - 2 para t U y establecer la unidad de energía U = 1. La rigidez superfluida en un sistema finito está dada por[14] L = β −1L2−dâ € € € 2x € €, (5) 0,02 0,03 0,04 0,05 L=128 0 0,5 1 L exp(-b (t) ) μ=0,9 =0,0409 b=1,85 0 10 20 30 40 50 60 0,005 0,015 L=128 0 0,1 0,2 0,3 0,4 L exp(-b (β) ) μ=0,9 t=0,034 t=0,034 b=3,35 =28,8 FIG. 2: (Color en línea) Comportamientos de escala de tamaño finito de los su- rigidez perfluida en función de (a) resistencia al salto y b) la temperatura. Para ambos casos, los datos colapsando en un pecado- gle curve funciona bien en términos del parámetro de escalado L/+ como se muestra en insets, en consonancia con la naturaleza de la transición de KT sión y el salto universal en el punto crítico. donde Wx = L r y â € â € ¬ denota los promedios sobre los probabilites determinados por la función de partición sión de Eq. (4), y d es la dimensión espacial. Sim... ilarmente la compresibilidad es * = βL−d[­n2­n2­n2­n2], (6) con N = L−1 r. Se da la expectativa de energía # H # = L - 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y el calor específico es CV = L −d(HÃ3r/T ). Consideramos el caso para μ = 0,9 de modo que n0 = 1 y n̄ = 0,4. La Figura 2 muestra el behav de escala de tamaño finito- io de la rigidez superfluida en función de (a) t y (b) β. Propiedades de escala de tamaño finito de la transición puede se obtiene trazando las curvas en términos de una escala ing variable L/+, donde + es la longitud de la correlación. Toma. Suponemos una singularidad esencial[15] â € € â € exp(b1/2), donde el parámetro de afinación es t − tc (o β − βc) y b es un factor de escala no universal. En términos de esta escala... ing variable, obtenemos datos de alta calidad colapsando en una curva única para diferentes tamaños, consistente con el na- de la transición de KT. El comportamiento de escala también sup- puertos el escenario del salto universal del superfluido rigidez[12], (η/2)βc = 1, en el punto crítico en el límite termodinámico. Extrapolando las curvas individuales hasta el punto crítico, encontramos que ( y b)1.06. Sin embargo, estas cifras son sensibles a parámetros de ajuste b y tc(βc). La Figura 3a muestra el comportamiento de la compresibilidad. El tamaño finito de escalar ansatz de la compresibilidad es escrita en la forma * = Lz−dX(L(t− tc)1//, β/Lz), (8) donde X es una función de escalado adimensional y z es la exponente crítico dinámico. Para el superfluido genérico- transición del aislante (GSIT), z = 2 se espera[11]. Los Comportamiento cruzado de las curvas de compresibilidad para diferenciar- ent tamaños en el punto crítico t0c = 0,023±0,001, por lo tanto, representa las propiedades de escalado cerca del QCP, donde t0c es la fuerza crítica de salto a temperatura cero. Por diferentes valores de μ, tenemos resultados similares con t0c sólo Desplazado. Encontramos que la compresibilidad diverge en el transi- tion. En el lado superfluido, 1(t− t0c). Esto es muy importante. soporta que las fluctuaciones de la densidad de largo alcance la transición. En el lado aislante, la compresibilidad tiene una forma activada egap/T con un espacio de energía finito - ¿Qué es eso? - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Esta dependencia se muestra en la Fig. 3b para diferentes t, a partir de la cual podemos calcular la diferencia como se muestra en el in- Listo. Para la pequeña t, necesitamos un gran número de Monte Carlo pasos para obtener el equilibrio y tener barras de error más grandes en determinación de las diferencias. La brecha desaparece alrededor de t = t como se esperaba. Así que tenemos un llamado diagrama de fase en forma de "V" (Fig.1). En el régimen aislante, el aislador Mott existe en T = 0, que se convierte en una brecha activada fluido con un vacío de energía finito a baja temperatura. Lo siento. desaparece gradualmente en un líquido normal de alta temperatura. Esta línea transversal puede ser especificada por la condición # Gap/T # 1. La coherencia de fase en un superfluido en T = 0 se destruye por fluctuaciones cuánticas para formar un QCP o por fluctuaciones térmicas a T > 0 para definir transiciones de fase sical. El límite de fase en la Fig. 1 es obtenido por afinación t para dado T (círculos negros) así como afinando β para una t dada (cuadrados rojos). Tenga en cuenta que la el límite de la fase sigue una relación de escala Tc t− t0c zν, que implica que β determina la longitud de la correlación en la dirección temporal, donde ν es la longitud de la correlación 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 L=12 L=18 L=16 L=32 L=20 L=50 L=24 L=72 L=28 L=98 μ=0,9 0 50 100 150 200 1e-05 0,0001 0,001 0 0,01 0,02 μ=0,9 t=.005 t=0,010 t=0,015 t=0,020 t=0,021 t=0,022 t=0,023(b) FIG. 3: (Color en línea) (a) Compresibilidad del bosón Hub- modelo bard muestra el comportamiento del GSIT con z = 2.0, diverg- En el momento de la transición. b) En el régimen de aislamiento, tenemos Comportamientos térmicamente activados, de los cuales: Se pueden evaluar las diferencias. Insitución: En función de t, van- Ishing en el QCP. exponente crítico. El límite en la Fig. 1 es consistente con la expectativa z v = 1[11] para el GSIT. Es interesante comprobar la relación de escala predicha [4, 11] Tc â € ¢0x en este modelo. La figura 4 muestra que la rigidez superfluida de temperatura cero............................................................................................................................................... línea punteada, que se obtiene mediante extrapolación de valores en T > 0, sigue a................................................................................... Lo es. consistente con el argumento de hiperescalado[11] que sugiere x = z/(d+ z − 2). Esperamos que esta criticidad cuántica desaparezca a medida que aumenta la temperatura, lo que significa fluctuaciones cuánticas posiblemente dejar algunas pistas en propiedades a granel a baja tem- Peraturas. La figura 5 muestra el calor específico, CV, y el valores de expectación de energía, H-H-, en función de T para dif- ferent t. aumentos agudos de CV en el régimen de conducción o en el régimen aislante son seguidas por las regiones indicadas por N, que, al parecer, comportamiento anómalo debido a fluctuaciones cuánticas y desaparecen a altas temperaturas para T & 0,25. Esto característica sugiere fuertemente un cruce en el líquido normal de Mecánica cuántica al régimen clásico. Del mismo modo, el las curvas de H® muestran protuberancias, indicadas por H, sólo en el rango donde se esperan fluctuaciones críticas cuánticas para tener efectos. En resumen, hemos investigado la fase transi- ciones a temperatura finita en un quan bidimensional modelo de rotor de tum en el que fluctua- ciones están presentes. Escalado de tamaño finito del superfluido rigidez muestra una singularidad esencial de la fase KT transición y el salto universal en el punto crítico. La compresibilidad difiere en la transición. En el régimen aislante, la compresibilidad muestra un comportamiento activado, de la cual podemos evaluar con éxito la brecha. Esto indica que el comportamiento de aislamiento a baja temperatura cruza gradualmente sobre el comportamiento del líquido normal como temperatura en- pliegues. La temperatura de transición Tc muestra un escalado comportamiento Tc t − t0c, mostrando que T finito limita el longitud de las fluctuaciones cuánticas en la dirección temporal, y una relación de hiperescalado Tc. El comportamiento de la calor específico y la energía sugiere que, como tempera- se eleva, el régimen crítico cuántico cerca de una cruz QCP al régimen clásico. MCC agradece a Gerardo Ortiz por su ayuda. debates y la hospitalidad del Departamento de Física, Universidad de Indiana, donde parte de este trabajo se llevó a cabo Fuera. Este trabajo fue apoyado por el Fondo de Investigación de Corea Grant No. R05-2004-000-11004-0. 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 β=200 β=400 μ=0,9 FIG. 4: (Color online) Rigidez superfluida para diferentes β. As β aumenta, la dependencia del tamaño se vuelve menor. Esto permite nosotros para extrapolar las curvas para obtener cero-temperatura su- Rigidez perfluida,?0, en el límite termodinámico tal como se denota por línea punteada. Demuestra que?0? t− t c con t c 0,22. [1] S. Sachdev, Transiciones de Fase Cuántica (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). [2] S. L. Sondhi, S. M. Girvin, J. P. Carini, y D. Sahar, Rev. Mod. Phys. 69, 315 (1997). [3] P. Coleman y A. J. Schofield, Nature (Londres) 433, 226 (2005). [4] A. Kopp y S. Chakravarty, Nature Phys. 1, 53 (2005). [5] S. Sachdev, Phys. Rev. B 55, 142 (1997). [6] S. Kim y M. Y. Choi, Phys. Rev. B 41, 111 (1990). [7] J. M. Kosterlitz y D. J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973). [8] H.-Q. Ding y M. S. Makivić, Phys. Rev. B, 42, R6827 (1990). [9] K. Harada y N. Kawashima, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 2768 (1998); A. W. Sandvik y C. J. Hamer, 60 6588 (1999). [10] G. Schmid, S. Todo, M. Troyer, y A. Dorneich, Phys. Rev. Lett., 88, 167208 (2002). [11] M. P. A. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein, y D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989). [12] D. R. Nelson y J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett., 39, 1201 (1977). [13] F. Alet y E. S. Sørensen, Phys. Rev. E 67, 015701(R) (2003); Phys. Rev. E 68, 026702 (2003). [14] M. Wallin, E. S. Sørensen, S. M. Girvin, y A. P. Young, Phys. Rev. B 49, 12115 (1994). [15] J. M. Kosterlitz, J. Phys. C 7, 1046 (1974). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t = 0,005 t = 0,020 t = 0,040 t = 0,050 t = 0,070 t = 0,100 -0,85 t = 0,005 t = 0,010 t = 0,020 t = 025 t = 0,030 t = 040 0 0,1 0,2 0,3 0,4 t = 040 t = 0,050 t = 060 t = 0,070 t = 0,080 t = 0,090 t = 0,010 FIG. 5: (Color en línea) Calor específico, CV, en función de T para diferentes t. Afiladas subidas en el régimen de conducción, signa- de la transición superfluida, o de la subida redondeada del CV en el El régimen aislante va seguido de guiones que desaparecen en región de alta temperatura, T & 0,25. Insets: Las curvas de la Los valores de expectación energética, "H", tienen protuberancias a baja temperatura. ciones posiblemente debido a los efectos de las fluctuaciones cuánticas.

Conditional generation of path-entangled optical NOON states

APS/123-QED Generación condicional de estados ópticos de NOON en ángulo de trayectoria Anne E. B. Nielsen y Klaus Mølmer Centro Teórico de Investigación de Sistemas Cuánticos de la Fundación Lundbeck, Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Aarhus, DK-8000 Århus C, Dinamarca (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Proponemos un protocolo de medición para generar estados de NOON enredados en ruta condicionalmente desde dos osciladores ópticos paramétricos tipo II pulsados. Calculamos la fidelidad de los estados producidos y la probabilidad de éxito del protocolo. Los detectores de gatillo se supone que tienen finito muerto tiempo, y para campos de activación de pulso corto se modelan como detectores encendidos/apagados con eficiencia finita. También se considera la operación de onda continua de los osciladores paramétricos. Números PACS: 03.65.Wj, 03.67.-a, 42.50.Dv I. INTRODUCCIÓN Los estados de luz no clásicos tienen muchas aplicaciones, y una serie de protocolos diferentes existen para los géneros- de las diversas clases de Estados. El máximo de dos modos Estados N-fotón enredados # NOON # # # # NOON # # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # # NOON # N, 0 ei0, N , (1) los llamados estados de la NOON, son particularmente interesantes a causa de un cambio de fase de fotón único de la χ inducida en una de las los dos componentes cambian la fase relativa de los dos términos por Nχ. Esta propiedad especial de los estados de la NOON puede se utilicen para mejorar la resolución espacial en (cuantum) mi- croscopia y litografía [1], y en interferometría tiene se ha demostrado que una cierta estrategia de medición, utilizando NOON estados, conduce a una escala de error de estimación de fase como L−1/4N T si se conoce la fase que debe estimarse se encuentran dentro de un intervalo de /L a η/L, donde NT es el número total de fotones utilizados en las mediciones [2]. Esto es mejor que el clásico límite de ruido de disparo de N y los estados de la NOON son por lo tanto útiles para realizar con precisión medidas y puede ser un valioso recurso de campo en sensores. Los estados de la NOON también son una fuente de enredo con aplicaciones en protocolos de información cuántica y en estudios fundamentales tales como pruebas de desigualdad Bells Por lo tanto, es de gran interés poder producir NOON estados, y varios esquemas de generación estatal de la NOON han se sugirió teóricamente [4, 5, 6, 7, 8, 9] y se estudió en experimentos [7, 8, 10, 11]. N = 1 y N = 2 Los estados de la NOON pueden ser generados combinando fotón único y un estado de vacío o dos fotón único establece en un divisor de 50 : 50 haz, pero este sencillo enfoque no es directamente extensible a N > 2, y por lo tanto se refiere principalmente a la generación de N = 3 NOON en el presente documento, a pesar de que la propuesta protocolo es, en principio, aplicable a todos los N. Mitchell, Lundeen, y Steinberg han generado estados de NOON con N = 3 de un par de fotones convertidos hacia abajo y un fotón oscilador local usando cierta polarización la transformación de los componentes y la postselección [10]. En este el experimento, sin embargo, la generación exitosa de la El estado de NOON es presenciado por una detección destructiva de el estado. En el presente trabajo proponemos y analizamos en detalle un protocolo de generación no destructiva, que ditions la generación exitosa del N -fotón NOON sobre el registro de eventos de detección de fotos N en otros modos de campo, y que utiliza como recurso sólo lineal óptica y la salida de dos oscil ópticos paramétricos Lators (OPOs). El protocolo no se basa en la eficiencia detección de fotos. El análisis se lleva a cabo en términos de: Formalismo de la función de Wigner, y efectos del detector finito eficiencia y tiempo muerto detector finito se consideran. Generación condicional de estados no clásicos que ocupan un único modo ha sido investigado tanto experimentalmente y teóricamente [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Con la salida correlacionada de una única OPO no degenerada es posible, por ejemplo, generar fock de n-fotón estados de luz en el haz de señal condicionado en n foto Detecciones en el haz de arrastre [16, 19, 20], y En principio, el enredo de un dos altamente apretado- campo de modo de una OPO permite preparar cualquier estado en el haz de señal que puede medirse como un estado propio de un observador adecuado de la viga del ralentí, o producido como el estado final de una medición generalizada. La idea básica del protocolo propuesto en el presente papel es mezclar la salida de dos OPOs y emplear el enredo para preparar un estado de dos modos en dos de los haces de salida mediante la detección del estado de salida deseado en las vigas restantes. In Sec. II explicamos la generación estatal de NOON pro- tocol en detalle. In Sec. III analizamos el rendimiento del protocolo cuantitativamente para fuentes OPO pulsadas. Proporcionamos la fidelidad de los estados generados y el probabilidad de éxito. In Sec. IV consideramos la producción de Los estados de la NOON de las fuentes de OPO de onda continua, y Sec. V concluye el documento. II. CONJUNTO EXPERIMENTAL PARA EL NOON GENERACIÓN ESTATAL La configuración experimental se ilustra en la Fig. 1. Dos los pulsos de los estados exprimidos de dos modos son generados por dos OPO idénticos mediante conversión paramétrica hacia abajo tipo II. Los operadores de modo de campo de los modos generados por el http://arxiv.org/abs/0704.0397v2 primero OPO se denotan y, respectivamente, mientras que el los operadores del modo de campo de los modos generados por el sec- ond OPO se denotan b y b, respectivamente. Por... initeness, suponemos que los modos más son verticalmente polarizado y que los modos menos son horizontalmente po- Larizado. Los modos están separados espacialmente por el primero dos divisores polarizantes de haz, y el tercero polarizador viga splitter combina los modos y b, que son posteriormente sometido a la medición del estado de NOON propuesta en [21] e ilustrada para N = 3 en la Fig. 1. Los La idea detrás de esta medición es aplicar la altamente no- operador lineal ÂN = â − − (beiŁ)N al estado. Los resultado es sólo no cero si o bien el modo o el b el modo contiene al menos N fotones. Por otra parte, si el apretón es suficientemente pequeño, es poco probable que tenga más de un total de fotones N en los dos modos de disparo, y condicionando la aplicación exitosa de ÂN, seleccionamos los pulsos del sistema donde pares de fotones N se generan en una OPO y cero pares de fotones en el otro. Es igualmente probable que los fotones se originan de la primera OPO o de la segunda OPO, y, como nosotros ver en detalle a continuación, el resultado es que un estado de NOON se genera condicionalmente en los modos de salida y Como se indica en [21], ÂN puede ser reescrita como un simple producto de operadores de aniquilación de fotones únicos # N # # # N # # # N # # # N # # # # N # # # # N # # # # N # # # # N # # # N # # # # N # # # # # N # # # # # N # # # # # # N # # # # # # N # # # # # # N # # # # # # # # N # # # # # # # # # # N # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ei2ηn/N , (2) y por lo tanto es posible implementar ÂN por medio de Divisores de rayos y detectores de fotos. Primero consideramos extraño. los valores de N. Los divisores de haz se utilizan para dividir la entrada en N modos espaciales distintos etiquetados por n = 1,..., N. Las reflectividades del divisor de haz se eligen para obtener el igual valor de expectativa de la intensidad en cada uno de los modos. Los modos polarizados verticalmente son entonces fase desplazado por el factor ei2ln/N+iη relativo al horizonte- los modos polarizados de conteo, es decir, b → −bei2ln/N, y finalmente divisores de haz polarizantes con planos principales orientados a 45° relativa a la transformación de la polarización horizontal y −bei2ln/N en ( bei2ln/N )/ 2 (el trans- y ( + be) y ( + be) i2ηn/N )/ 2 (el modo) [22]. La aniquilación de un fotón en cada uno de los los modos transmitidos por los testigos de los divisores de haz la aplicación general del operador ÂN. Si un ob- sirve los modos reflejados y transmitidos simultane- En la mayoría de los casos, se ha observado una sola condición en la detección de eventos en todos los trans- modos de emisión y no eventos de detección en todos los reflejados modos. Si en lugar de ello se observan acontecimientos de detección en todos los los modos reflejados y en ninguno de los modos transmitidos, También se obtiene un operador del formulario (2), pero se trata de transformados fectivamente en  + η debido al cambio de fase en el divisor de haz polarizante, y el valor de los estados de NOON generados se modifican por Nη (véase más abajo). Por lo tanto, la probabilidad de éxito se incrementa por un factor de dos si se aceptan ambos resultados. FIG. 1: Configuración experimental para la generación del estado de NOON. OPO, oscilador óptico paramétrico; PBS, haz polarizador divisor; PS, cambiador de fase; y APD, diodo fotográfico de avalancha. La parte de la configuración incluida en la caja despuntada realiza la Medición del estado de NOON, y aquí se muestra para N = 3. Tenga en cuenta que los divisores de haz polarizante dentro de la caja son ori- Entró en 45o. Los números denotan reflectividades de divisor de haz de 1/3 y 1/2, y los cambiadores de tres fases transforman b en −be 2γin/3, donde n = 1, 2, 3, respectivamente. Ver texto para detalles. Para los valores pares de N un esquema de medición similar es aplicable, pero es suficiente dividir el campo en N/2 modos espaciales inicialmente, y en este caso el NOON la generación del estado está condicionada a los eventos de detección en modos transmitidos y reflejados (véase [21]). III. EJECUCIÓN DEL PROTOCOLO Después de esta presentación de la idea básica y el phys- ica que ahora consideramos el resultado real de la proceso de detección. Para la salida OPO de pulso corto el muerto tiempo de los detectores de fotos normalmente puede ser más largo que la duración del pulso, y por lo tanto asumiremos que es imposible obtener más de un único evento de detección por detector por pulso, es decir, si la eficiencia del detector es unidad, los detectores sólo son capaces de distinguir entre vacío y estados diferentes del estado de vacío. Semejante Los detectores se denotan encendidos/apagados, y son dis- insultado en detalle en Ref. [23]. El tiempo muerto finito de la Los detectores no son severos al procedimiento de medición de- en [21] porque el modelo de detector encendido/apagado y el modelo convencional de fotodetector, representado por el operador de aniquilación, llevar a estados de señal idénticos si el Se garantiza el número total de fotones en los modos de ralentí ser inferior o igual al número de acondicionamientos eventos de detección, es decir, N. Analizamos el rendimiento de la configuración usando Gaus- sian Wigner función formalismo [15, 19, 20], que es aplicable porque los estados exprimidos generados por el OPOs y los estados de vacío acoplados al sistema a través de los divisores de haz son todos gaussianos. En general, el Función Wigner de un estado gaussiano n-modo con cero la amplitud media del campo toma la forma WV (x1, p1,. .., xn, pn) = det(V ) TV −1y, (3) donde y (x1, p1,. .., xn, pn)T y V es el 2n × 2n matriz de covarianza. Si se denota el modo de campo annihi- el operador de la relación del modo i, los elementos de V se dan en términos de las partes reales e imaginarias de la expecta- los valores de los i jó y ijó. Tenga en cuenta que para un modo múltiple Estado gaussiano somos libres de incluir sólo los modos de interés en (3) porque la operación de rastreo parcial sobre un- los modos observados equivalen a la integración sobre la respuesta a las variables de cuadratura. Una unidad de eficiencia «on» detección en modo i proyecto modo i en el subespacio de Hilbert espacio que es ortogonal al estado de vacío, es decir, la función Wigner se multiplica por (1− 2γW0(xi, pi)), donde W0(x, p) = exp(−x2−p2)/ es la función Wigner del estado de vacío, las variables xi y pi se integran fuera, y el estado se vuelve a normalizar. Desde el Gaussian la naturaleza de un estado se preserva bajo la transformación lineal ciones, y desde un detector con eficiencia de un solo fotón η es equivalente a un divisor de haz con transmisión η fol- bajada por un detector de eficiencia de la unidad [23], efectos de la no unidad eficiencia del detector se incluyen fácilmente en la covarianza matriz. Para calcular explícitamente i jáñ y ijáñ, tomamos nota de que el estado generado por las OPO es [24] i = (1− r2) rn+mÃ3n, n,m,mÃ3n, (4) donde r es el parámetro de apretón y los modos son lista en el orden:,, b, b. Asumimos que N es impar y considerar los modos de activación transmitidos (que Número de 1 a N), el modo (modo N + 1), y el modo b (modo N + 2). Al expresar el campo los operadores de los modos de activación (los observados por el detectores de eficiencia unitaria) en términos de, b, y campo operadores que representan estados de vacío que encontramos j k = i − − e−2 ( − e2 1 + e2πi(k−j)/N , (5) donde j {1, 2,...., N}, k {1, 2,................................................................................................................................................................................................................................................... r2), y permitimos de un cambio de fase constante de b relativo a. Además N+1N+1 = i i = r2/(1− r2), (6) N+2N+2 = ib −bi = r2/(1− r2), (7) # N+1 # # # # # # N+1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ( − e2 1− r2 , (8) # N+2 # # # # # # N+2 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ( − e2 1− r2 e2đik/N+i/23370/, (9) N+1 N+1 = N+2 N+2 = N+1 N+2 = N+1 N+2 = N+2 = N+1N+2 = k N+1 = k N+2 = 0. (10) Para valores pares de N los factores η/(2N) se sustituye por el texto siguiente: η/N. Tenga en cuenta que la pérdida en el haz de señal puede ser tomada en cuenta realizando las transformaciones ηs y b → ηsb en las expresiones anteriores, donde 1− ηs es la pérdida. La fidelidad del estado de la NOON FN del estado de la señal con- adicionado en los eventos de detección de fotos N en la transmisión modos de activación es WNOON(xN+1, pN+1, xN+2, pN+2) (1− 2γW0(xi, pi)) WV (x1, p1,. .., xN+2, pN+2) dxidpi , (11) donde WNOON es la función Wigner del estado NOON 1), y (1− 2γW0(xi, pi)) WV (x1, p1,. .., xN+2, pN+2) dxidpi , (12) es la probabilidad de éxito, es decir, la probabilidad de obtener los eventos de detección de acondicionamiento y producir el NOON estado en un pulso dado del sistema OPO. Nos expandimos. el producto (1− 2γW0(xi, pi)) = (−2ηW0(xi, pi))di, donde la suma es superior a todo d Ł (d1, d2,. ........................................................................ {0, 1}, y definir la matriz diagonal Jd = diag(d1, d1, d2, d2,. .., dN, dN ) y la identidad n×n ma- Trix In. Además, dividimos la matriz de covarianza en cuatro partes Vtt Vts V Tts Vss , (14) donde Vtt es la matriz de covarianza 2N×2N del gatillo modos, Vss es la matriz de covarianza 4 × 4 de la señal modos, mientras que Vts contiene las correlaciones entre el activador y los modos de señal, y definimos el vector ys = (xN+1, pN+1, xN+2, pN+2) T y la matriz Ud = Vss − V Tts Jd(JdVttJd + I2N )−1JdVts. (15) Esto nos permite escribir Eqs. 11) y 12) en lo siguiente: formas compactas [25] det(I2N + JdVtt) WNOON(ys)WUd(ys)dys, (16) det(I2N + JdVtt) . (17) Desde WNOON es un producto de un polinomio y un Gaus- Sian la integral en Eq. (16) puede evaluarse analíticamente y para N = 3 y η = 1 encontramos (1− r2)2(2− r2)2(3− 2r2)(6− 5r2) 18(4− 3r2) , (18) en los que el valor óptimo es  = N + η + 2ηn, n Z, se asume. Las expresiones para PN se dan en la tabla I para N = 1, 2, 3 y 4, y FN y PN se trazan para N = 3 en Figs. 2 y 3, respectivamente. Observamos que la alta prob- habilidades sólo se encuentran en el régimen de parámetros, donde la fidelidad es baja. Si, por ejemplo, queremos una NOON fidelidad de estado de al menos 0.9, elegimos r = 0.14, y si η = 0,25, P3 es de orden 10 −8. Con una tasa de repetición de orden 106 s−1 (véase [16]) se produce un estado cada segundo minuto en promedio. La tasa de producción es muy alta. en función de la eficiencia del detector, y si se aumenta η a unidad, la tasa se incrementa en aproximadamente un factor de Para valores impares de N podemos observar ambos reflejados y transmisión de modos de activación y condición en detec- ciones en todos los modos de activación transmitidos y no eventos de detección en todos los modos de activación reflejados, o, vicio versa. En este caso también incluimos el disparador reflejado modos en la matriz de covarianza, que ahora denotamos por V +. Por un análisis similar al anterior obtenemos el éxito probabilidad P+N = 2 2N (−2) det(I4N + J , (19) N PN P (+1)2 (+1)2 3(4) (+2)2(+3)(+6) 2­3(3­4) (+1)2(+2)2(+3)(+6) * 4 (* 2 + 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° 6 ° (­)2(­2)2(­2+8­8) CUADRO I: Probabilidades de éxito calculadas a partir de Eqs. (17) y (19). (1- r2). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 FIG. 2: fidelidad del estado de NOON F3 (líneas sólidas) y F 3 (abarcado) en función del parámetro r para η = 1 (superior) líneas), η = 0,25 (líneas intermedias), y η → 0 (líneas inferiores). Nota que en este último caso F3 = F donde J+d فارسى diag(d1, d1,. ., dN, dN, 1, 1,.., 1, 1), mientras que la fidelidad del estado de NOON F+N es dada por Eq. (11) con V sustituido por la matriz V − (V + R ) T (V + RR + I2N ) −1V +R, (20) donde V + RR es la matriz de covarianza del trig- ger modos y V + R consiste en las correlaciones entre los modos de activación reflejados y la señal y transmisión- modos de activación de ted. Los resultados explícitos de P+N se dan en Cuadro I para N = 1 y 3. F+3 y P 3 se comparan con F3 y P3 en Figs. 2 y 3, y se observa que F y P+3 son más grandes que F3 y P3 si r no es grande (y η > 0). Para r → 1, P+3 → 0 porque en este límite es muy poco probable que no obtenga ningún evento de detección en todos los reflejado o en todos los modos de activación transmitidos. En el límite de la eficiencia del detector muy pequeño un simple expresión para la fidelidad del estado de NOON para el caso de N Los detectores de gatillo se obtienen fácilmente sin usar Wigner el formalismo de la función. En general, si el estado de interés se expresa en la base del número de fotones, el mathemat- la operación ica correspondiente a una detección «on» es multiplicar cada término por 1− (1 − η)n, donde n es número de fotones en el modo observado por el no- detector de eficiencia de la unidad, rastrear el modo detectado, y renormalizar. Si nη° 1 para todas las condiciones de contribución, 1 - 1 - 1 - η)n.......................................................................................................................................................................................................................................................... n, y el detector de encendido/apagado 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 FIG. 3: Probabilidad de éxito P3 (líneas sólidas) y P 3 (abarcado) líneas) en función de apretar para η = 1 (líneas superiores) y η = 0,25 (líneas inferiores). Las líneas punteadas representan la expresión imate (23). modelo se convierte en equivalente al modelo de fotodetector. En este caso el operador de densidad del estado de salida es obtenidos como π = M * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i(()N − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (1− r2)N+2 2N!r2N (r2)n+m (N-N)! n,mn,m −e−iN ¡N!(m+N)! (N-N)m! n,mn−N,m+N (r2)n+m (m-N)! n,mn,m −ein (n+N)m! ¡N!(m-N)! n,mn+N,m−N donde M es una constante de normalización y los rastros son sobre los modos y b. Esto lleva al estado de NOON fidelidad N = NOONÓNOONÓNOONÓ = (1− r 2)N+2, (22) donde de nuevo se supone que se ha dado por sentado el valor de N­ + η + 2­n, n+ Z. Es interesante comparar este resultado con la fidelidad (1 − r2)N+1 obtenido para la producción de estados N-fotón de un solo estado de dos modos exprimido por acondicionamiento sobre los eventos de detección de N en el haz de ralentí y utilizando detec- tors con muy poca eficiencia. Si un estado de un solo fotón es producido por este método y transformado en un N = 1 ESTADO NOON como se explica en la Introducción, el NOON la fidelidad del estado es F1,s = (1-r2)2, y el éxito probabil- ity es P1,s = Elección de parámetros de apretón tal que F1,s = F1, encontramos que P 1 = (4/3)P1, s en la alto límite de fidelidad. Por lo tanto, es posible alcanzar un nivel más alto probabilidad de éxito utilizando el esquema con dos OPO, pero el precio a pagar es una configuración más técnicamente implicada, y los estados de la NOON con dos valores diferentes de Sin embargo, en el caso de las importaciones procedentes de los países en vías de desarrollo, las importaciones procedentes de los países en vías de desarrollo evolucionaron de forma similar a las procedentes de los países en vías de desarrollo. Para N = 2 el presente protocolo y combinación de dos estados de un solo fotón en un divisor de 50 : 50 haz, cada uno producido condicionalmente a partir de una única OPO, conduce a fidelidades idénticas y probabilidades de éxito. Por fin nota que el modelo de fotodetector subestima a FN para η > 0 porque 1 − (1 − η)n = η i=0 (1 − η)i < nη para n = 2, 3,... mientras que 1− (1− η)n = nη para n = 0, 1, es decir, los términos «equivocados» que contienen más de N fotones son con un peso demasiado grande. Esto es también lo que observamos en Fig. 2. En el límite de r pequeño y para los valores impares de N la probabilidad de éxito es dada aproximadamente por el simple expresión i(()N − −i/23370/)N) (â Nâ â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (2N)N N (N impar). 23) Una vez más η/(2N) debe ser sustituido por η/N para obtener PN para valores pares de N. La aproximación a P3 se muestra en Fig. 3. IV. NOON STATES DESDE FUENTES CONTINUAS DE OPO Nuestro protocolo no se limita a campos pulsados, y para En la actualidad, consideramos brevemente que el estado de la NOON ración de OPOs conducidas continuamente. Asumimos que N = 3. Para campos de onda continua cada uno de los tres los haces de disparo detectados y los dos haces de señal son descrita por los operadores de campo dependientes del tiempo. Los Las detecciones de desencadenantes se llevan a cabo en determinados modos locales. en torno a los tres tiempos de detección tc1, tc2, y tc3, y queremos determinar la fidelidad del estado de NOON de un estado de salida que ocupa un modo temporal en cada uno haz de señal. Después del modo multimodo general formal- sm en Refs. [15, 20], los cinco modos relevantes son spec- ified por las funciones de modo fi(t), y la correspondencia- = cinco operadores de modo único son f (t)(t)(t)dt. En general, somos libres de elegir el modo de salida dos funciones a voluntad, y en el presente caso es natural elegir la función de modo que da lugar a la mayor fidelidad del estado de tres fotones cuando los estados de tres fotones son generado a partir de una única OPO de onda continua tipo II. Dado que estamos principalmente interesados en la región de parámetros donde el apretón es pequeño y la fidelidad del estado de NOON es grande, utilizamos el modo de estado de tres fotones óptimo función derivada de una intensidad de haz muy baja en [20], es decir, f4(t) = f5(t) = k=1 ck γ/2 exp(t− tck/2), donde 0 0,05 0,1 0,15 FIG. 4: La fidelidad del estado de la NOON en función de /γ para los estados generado a partir de un par de fuentes OPO de onda continua cuando acondicionamiento en tres eventos simultáneos de detección de disparadores tc1 = tc2 = tc3. 0 0,5 1 1,5 2 FIG. 5: Fidelidad de los estados de NOON de la OPO de onda continua fuentes en función de la separación entre la detección del disparador acontecimientos (tc3 − tc1)γ para N = 3, tc3 − tc2 = tc2 − tc1, y 0,01. los coeficientes ck son funciones de los intervalos entre los tiempos de detección y γ es el índice de fugas de la OPO espejo de salida. Además, suponemos que el disparador las funciones del modo no son cero sólo en un tiempo infinitesimal intervalo centrado en el tiempo de detección, que es válido si las detecciones de gatillo tienen lugar en una escala de tiempo mucho menor que 1. Dado que consideramos una con- viga tinua, y ya que formalmente suponemos que el los detectores de gatillo sólo registran el campo de luz en infinitesi- intervalos de tiempo en torno a los tiempos de detección, el anni- modelo de detector de operador de hilación es perfectamente válido en este El tiempo muerto del caso y del detector es insignificante. Ahora podemos proceder como arriba y eliminar todos los modos irrelevantes del análisis mediante la anotación de la Gaussian Wigner función de los cinco modos interesantes. La única diferencia es que esta vez i jáñá y iáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñá expresado en términos de las dos funciones de correlación temporal de la salida OPO. Además, los operadores aplicaron a la Wigner función para tener en cuenta el condicionamiento son diferente porque se utiliza el modelo del detector de aniquilación. El lector se refiere a Refs. [15, 20] para más detalles. La fidelidad resultante se muestra como una función de Fig. 4, donde es la ganancia no lineal en la OPO, y como un función de la distancia temporal entre la condición- ión de detección en la Fig. 5. Como en el caso pulsado el la fidelidad disminuye cuando aumenta el grado de apretón. La fidelidad también disminuye cuando la distancia temporal entre los eventos de detección de acondicionamiento aumenta desde cero, pero es permisible tener un pequeño intervalo de tiempo entre los eventos de detección del gatillo. Tomamos nota de que la curvas representan un límite inferior a la teóricamente achiev- fidelidad capaz, ya que una mejor fidelidad se puede obtener para otra opción de funciones de modo de estado de salida. V. CONCLUSIÓN En conclusión hemos analizado un método para ate path enredado estados de NOON de la salida de dos osciladores ópticos paramétricos. El método se basa en sobre la detección conjunta de fotones en una serie de trig- ger haces, y se presentó un análisis teórico de la papel de la eficiencia del detector y el tiempo muerto para la fidelidad de los estados obtenidos y la probabilidad de éxito de la protocolo. Nuestro protocolo específico del estado de NOON aplica para números generales de fotones de los estados, pero en la práctica no es realista ir más allá del caso de N = 3, estudiado Aquí. Esto se debe a la reducción de la fidelidad debida a contribuciones no deseadas de los estados de mayor número, cuando la potencia de salida OPO consigue demasiado alto, combinado con el reducción severa de la probabilidad de obtener el número de los eventos de detección de acondicionamiento necesarios cuando la OPO La potencia de salida es demasiado baja. El N = 3 NOON declara, que se puede producir a 90% de fidelidad a la tasa de un estado producidos cada 10- 100 segundos, parecen estar en el límite de experimentos realistas del tipo propuesto. Por último, nosotros también determinó la fidelidad del estado de NOON para campos de onda, donde el mejor estado de NOON ocupa un par de funciones de modo temporal adecuadamente seleccionadas, y encontramos altas fidelidades siempre y cuando ocurran los eventos desencadenantes dentro de un corto plazo en comparación con la vida útil de el campo de cavidades de la OPO. Presentamos este análisis para la producción de op- tic NOON afirma, pero observamos que los recientes teoreti- propuestas de cal y experimentos con mezcla de cuatro ondas de ondas de materia [26], interacciones cuadráticas diseñadas entre los iones atrapados [27], y el enredo entre el campo y los grados atómicos de libertad [28, 29] generación condicional similar de especies atómicas e interespecies Los estados del campo atómico de la NOON. Este trabajo contó con el apoyo de la Unión Europea Integrada Proyecto SCALA. [1] A. N. Boto, P. Kok, D. S. Abrams, S. L. Braunstein, C. P. Williams, y J. P. Dowling, Phys. Rev. Lett. 85, 2733 (2000). [2] L. Pezzé y A. Smerzi, quant-ph/0508158. [3] M. D’Angelo, A. Zavatta, V. Parigi, y M. Bellini, Phys. Rev. A 74, 052114. [4] P. Kok, H. Lee, y J. P. Dowling, Phys. Rev. A 65, 052104 (2002). [5] J. Fiurasek, Phys. Rev. A 65, 053818 (2002). [6] H. F. Hofmann, Phys. Rev. A 70, 023812 (2004). [7] P. Walther, J. Pan, M. Aspelmeyer, R. Ursin, S. Gaspa- roni, y A. Zeilinger, Nature (Londres) 429, 158 (2004). [8] H. S. Eisenberg, J. F. Hodelin, G. Khoury, y D. Bouwmeester, Phys. Rev. Lett. 94, 090502 (2005). [9] N. M. VanMeter, P. Lougovski, D. B. Uskov, K. Kieling, J. Eisert, y J. P. Dowling, quant-ph/0612154. [10] M. W. Mitchell, J. S. Lundeen, y A. M. Steinberg, Nature (Londres) 429, 161 (2004). [11] A. Ourjoumtsev, A. Dantan, R. Tualle-Brouri, y P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 98, 030502 (2007). [12] M. Dakna, T. Anhut, T. Opatrný, L. Knöll y D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 55, 3184 (1997). [13] A. B. URen, C. Silberhorn, J. L. Ball, K. Banaszek, y I. A. Walmsley, Phys. Rev. A 72, 021802(R) (2005). [14] A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat, y P. Grangier, Science 312, 83 (2006). [15] K. Mølmer, Phys. Rev. A 73, 063804 (2006). [16] A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, y P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 96, 213601 (2006). [17] J. S. Neergaard-Nielsen, B. M. Nielsen, C. Hettich, K. Mølmer, y E. S. Polzik, Phys. Rev. Lett. 97, 083604 (2006). [18] K. Wakui, H. Takahashi, A. Furusawa y M. Sasaki, Opt. Express 15, 3568 (2007). [19] A. E. B. Nielsen y K. Mølmer, Phys. Rev. A 75, 023806 (2007). [20] A. E. B. Nielsen y K. Mølmer, Phys. Rev. A 75, 043801 (2007). [21] F. W. Sun, Z. Y. Ou, y G. C. Guo, Phys. Rev. A 73, 023808 (2006). [22] P. Hariharan, N. Brown, y B. C. Sanders, J. Mod. Opt. 40, 1573 (1993). [23] P. P. Rohde y T. C. Ralph, J. Mod. Opt. 53, 1589 (2006). [24] A. Ekert y P. Knight, Am. J. Phys. 63, 415 (1995). [25] J. Eisert y M. B. Plenio, Int. J. Quantum Inf. 1, 479 (2003). [26] G. K. Campbell, J. Mun, M. Boyd, E. W. Streed, W. Ket- Terle, y D.E. Pritchard, Phys. Rev. Lett. 96, 020406 (2006) [27] D. Porras y J. I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 93, 263602 (2004). [28] B. B. Blinov, D. L. Moehring, L. M. Duan y C. Mon- huevas, Nature, 428, 153 (2004). [29] J. Volz, M. Weber, D. Schlenk, W. Rosenfeld, J. Vrana, K. Saucke, C. Kurtsiefer, y H. Weinfurter, Phys. Rev. Lett. 96, 030404 (2006). http://arxiv.org/abs/quant-ph/5508158 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0612154

Proponemos un protocolo de medición para generar estados de NOON enredados en la ruta condicionalmente a partir de dos osciladores ópticos paramétricos tipo II pulsados. Nosotros calcular la fidelidad de los estados producidos y la probabilidad de éxito de el protocolo. Los detectores de gatillo se supone que tienen tiempo muerto finito, y para campos de activación de pulso corto se modelan como detectores encendidos/apagados con finitos eficiencia. La operación de onda continua de los osciladores paramétricos es también considerándolo.

Introducción, el NOON la fidelidad del estado es F1,s = (1-r2)2, y el éxito probabil- ity es P1,s = Elección de parámetros de apretón tal que F1,s = F1, encontramos que P 1 = (4/3)P1, s en la alto límite de fidelidad. Por lo tanto, es posible alcanzar un nivel más alto probabilidad de éxito utilizando el esquema con dos OPO, pero el precio a pagar es una configuración más técnicamente implicada, y los estados de la NOON con dos valores diferentes de Sin embargo, en el caso de las importaciones procedentes de los países en vías de desarrollo, las importaciones procedentes de los países en vías de desarrollo evolucionaron de forma similar a las procedentes de los países en vías de desarrollo. Para N = 2 el presente protocolo y combinación de dos estados de un solo fotón en un divisor de 50 : 50 haz, cada uno producido condicionalmente a partir de una única OPO, conduce a fidelidades idénticas y probabilidades de éxito. Por fin nota que el modelo de fotodetector subestima a FN para η > 0 porque 1 − (1 − η)n = η i=0 (1 − η)i < nη para n = 2, 3,... mientras que 1− (1− η)n = nη para n = 0, 1, es decir, los términos «equivocados» que contienen más de N fotones son con un peso demasiado grande. Esto es también lo que observamos en Fig. 2. En el límite de r pequeño y para los valores impares de N la probabilidad de éxito es dada aproximadamente por el simple expresión i(()N − −i/23370/)N) (â Nâ â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM (2N)N N (N impar). 23) Una vez más η/(2N) debe ser sustituido por η/N para obtener PN para valores pares de N. La aproximación a P3 se muestra en Fig. 3. IV. NOON STATES DESDE FUENTES CONTINUAS DE OPO Nuestro protocolo no se limita a campos pulsados, y para En la actualidad, consideramos brevemente que el estado de la NOON ración de OPOs conducidas continuamente. Asumimos que N = 3. Para campos de onda continua cada uno de los tres los haces de disparo detectados y los dos haces de señal son descrita por los operadores de campo dependientes del tiempo. Los Las detecciones de desencadenantes se llevan a cabo en determinados modos locales. en torno a los tres tiempos de detección tc1, tc2, y tc3, y queremos determinar la fidelidad del estado de NOON de un estado de salida que ocupa un modo temporal en cada uno haz de señal. Después del modo multimodo general formal- sm en Refs. [15, 20], los cinco modos relevantes son spec- ified por las funciones de modo fi(t), y la correspondencia- = cinco operadores de modo único son f (t)(t)(t)dt. En general, somos libres de elegir el modo de salida dos funciones a voluntad, y en el presente caso es natural elegir la función de modo que da lugar a la mayor fidelidad del estado de tres fotones cuando los estados de tres fotones son generado a partir de una única OPO de onda continua tipo II. Dado que estamos principalmente interesados en la región de parámetros donde el apretón es pequeño y la fidelidad del estado de NOON es grande, utilizamos el modo de estado de tres fotones óptimo función derivada de una intensidad de haz muy baja en [20], es decir, f4(t) = f5(t) = k=1 ck γ/2 exp(t− tck/2), donde 0 0,05 0,1 0,15 FIG. 4: La fidelidad del estado de la NOON en función de /γ para los estados generado a partir de un par de fuentes OPO de onda continua cuando acondicionamiento en tres eventos simultáneos de detección de disparadores tc1 = tc2 = tc3. 0 0,5 1 1,5 2 FIG. 5: Fidelidad de los estados de NOON de la OPO de onda continua fuentes en función de la separación entre la detección del disparador acontecimientos (tc3 − tc1)γ para N = 3, tc3 − tc2 = tc2 − tc1, y 0,01. los coeficientes ck son funciones de los intervalos entre los tiempos de detección y γ es el índice de fugas de la OPO espejo de salida. Además, suponemos que el disparador las funciones del modo no son cero sólo en un tiempo infinitesimal intervalo centrado en el tiempo de detección, que es válido si las detecciones de gatillo tienen lugar en una escala de tiempo mucho menor que 1. Dado que consideramos una con- viga tinua, y ya que formalmente suponemos que el los detectores de gatillo sólo registran el campo de luz en infinitesi- intervalos de tiempo en torno a los tiempos de detección, el anni- modelo de detector de operador de hilación es perfectamente válido en este El tiempo muerto del caso y del detector es insignificante. Ahora podemos proceder como arriba y eliminar todos los modos irrelevantes del análisis mediante la anotación de la Gaussian Wigner función de los cinco modos interesantes. La única diferencia es que esta vez i jáñá y iáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñáñá expresado en términos de las dos funciones de correlación temporal de la salida OPO. Además, los operadores aplicaron a la Wigner función para tener en cuenta el condicionamiento son diferente porque se utiliza el modelo del detector de aniquilación. El lector se refiere a Refs. [15, 20] para más detalles. La fidelidad resultante se muestra como una función de Fig. 4, donde es la ganancia no lineal en la OPO, y como un función de la distancia temporal entre la condición- ión de detección en la Fig. 5. Como en el caso pulsado el la fidelidad disminuye cuando aumenta el grado de apretón. La fidelidad también disminuye cuando la distancia temporal entre los eventos de detección de acondicionamiento aumenta desde cero, pero es permisible tener un pequeño intervalo de tiempo entre los eventos de detección del gatillo. Tomamos nota de que la curvas representan un límite inferior a la teóricamente achiev- fidelidad capaz, ya que una mejor fidelidad se puede obtener para otra opción de funciones de modo de estado de salida. V. CONCLUSIÓN En conclusión hemos analizado un método para ate path enredado estados de NOON de la salida de dos osciladores ópticos paramétricos. El método se basa en sobre la detección conjunta de fotones en una serie de trig- ger haces, y se presentó un análisis teórico de la papel de la eficiencia del detector y el tiempo muerto para la fidelidad de los estados obtenidos y la probabilidad de éxito de la protocolo. Nuestro protocolo específico del estado de NOON aplica para números generales de fotones de los estados, pero en la práctica no es realista ir más allá del caso de N = 3, estudiado Aquí. Esto se debe a la reducción de la fidelidad debida a contribuciones no deseadas de los estados de mayor número, cuando la potencia de salida OPO consigue demasiado alto, combinado con el reducción severa de la probabilidad de obtener el número de los eventos de detección de acondicionamiento necesarios cuando la OPO La potencia de salida es demasiado baja. El N = 3 NOON declara, que se puede producir a 90% de fidelidad a la tasa de un estado producidos cada 10- 100 segundos, parecen estar en el límite de experimentos realistas del tipo propuesto. Por último, nosotros también determinó la fidelidad del estado de NOON para campos de onda, donde el mejor estado de NOON ocupa un par de funciones de modo temporal adecuadamente seleccionadas, y encontramos altas fidelidades siempre y cuando ocurran los eventos desencadenantes dentro de un corto plazo en comparación con la vida útil de el campo de cavidades de la OPO. Presentamos este análisis para la producción de op- tic NOON afirma, pero observamos que los recientes teoreti- propuestas de cal y experimentos con mezcla de cuatro ondas de ondas de materia [26], interacciones cuadráticas diseñadas entre los iones atrapados [27], y el enredo entre el campo y los grados atómicos de libertad [28, 29] generación condicional similar de especies atómicas e interespecies Los estados del campo atómico de la NOON. Este trabajo contó con el apoyo de la Unión Europea Integrada Proyecto SCALA. [1] A. N. Boto, P. Kok, D. S. Abrams, S. L. Braunstein, C. P. Williams, y J. P. Dowling, Phys. Rev. Lett. 85, 2733 (2000). [2] L. Pezzé y A. Smerzi, quant-ph/0508158. [3] M. D’Angelo, A. Zavatta, V. Parigi, y M. Bellini, Phys. Rev. A 74, 052114. [4] P. Kok, H. Lee, y J. P. Dowling, Phys. Rev. A 65, 052104 (2002). [5] J. Fiurasek, Phys. Rev. A 65, 053818 (2002). [6] H. F. Hofmann, Phys. Rev. A 70, 023812 (2004). [7] P. Walther, J. Pan, M. Aspelmeyer, R. Ursin, S. Gaspa- roni, y A. Zeilinger, Nature (Londres) 429, 158 (2004). [8] H. S. Eisenberg, J. F. Hodelin, G. Khoury, y D. Bouwmeester, Phys. Rev. Lett. 94, 090502 (2005). [9] N. M. VanMeter, P. Lougovski, D. B. Uskov, K. Kieling, J. Eisert, y J. P. Dowling, quant-ph/0612154. [10] M. W. Mitchell, J. S. Lundeen, y A. M. Steinberg, Nature (Londres) 429, 161 (2004). [11] A. Ourjoumtsev, A. Dantan, R. Tualle-Brouri, y P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 98, 030502 (2007). [12] M. Dakna, T. Anhut, T. Opatrný, L. Knöll y D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 55, 3184 (1997). [13] A. B. URen, C. Silberhorn, J. L. Ball, K. Banaszek, y I. A. Walmsley, Phys. Rev. A 72, 021802(R) (2005). [14] A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat, y P. Grangier, Science 312, 83 (2006). [15] K. Mølmer, Phys. Rev. A 73, 063804 (2006). [16] A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, y P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 96, 213601 (2006). [17] J. S. Neergaard-Nielsen, B. M. Nielsen, C. Hettich, K. Mølmer, y E. S. Polzik, Phys. Rev. Lett. 97, 083604 (2006). [18] K. Wakui, H. Takahashi, A. Furusawa y M. Sasaki, Opt. Express 15, 3568 (2007). [19] A. E. B. Nielsen y K. Mølmer, Phys. Rev. A 75, 023806 (2007). [20] A. E. B. Nielsen y K. Mølmer, Phys. Rev. A 75, 043801 (2007). [21] F. W. Sun, Z. Y. Ou, y G. C. Guo, Phys. Rev. A 73, 023808 (2006). [22] P. Hariharan, N. Brown, y B. C. Sanders, J. Mod. Opt. 40, 1573 (1993). [23] P. P. Rohde y T. C. Ralph, J. Mod. Opt. 53, 1589 (2006). [24] A. Ekert y P. Knight, Am. J. Phys. 63, 415 (1995). [25] J. Eisert y M. B. Plenio, Int. J. Quantum Inf. 1, 479 (2003). [26] G. K. Campbell, J. Mun, M. Boyd, E. W. Streed, W. Ket- Terle, y D.E. Pritchard, Phys. Rev. Lett. 96, 020406 (2006) [27] D. Porras y J. I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 93, 263602 (2004). [28] B. B. Blinov, D. L. Moehring, L. M. Duan y C. Mon- huevas, Nature, 428, 153 (2004). [29] J. Volz, M. Weber, D. Schlenk, W. Rosenfeld, J. Vrana, K. Saucke, C. Kurtsiefer, y H. Weinfurter, Phys. Rev. Lett. 96, 030404 (2006). http://arxiv.org/abs/quant-ph/5508158 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0612154

Renewals for exponentially increasing lifetimes, with an application to digital search trees

Renovaciones para vidas exponencialmente crecientes, con una aplicación a árboles de búsqueda digital Los Anales de Probabilidad Aplicada 2007, Vol. 17, No. 2, 676–687 DOI: 10.1214/105051606000000862 c© Instituto de Estadística Matemática, 2007 RENOVACIONES PARA AUMENTAR EXPONENCIALMENTE LA VIDA, CON UNA SOLICITUD A LOS TRATADOS DE BÚSQUEDA DIGITAL Por Florian Dennert y Rudolf Grübel Universität Hannover Demostramos que el número de renovaciones hasta el tiempo t exhibe distri- fluctuaciones busionales como tâ ° si los períodos de vida subyacentes aumentan a una tasa exponencial en un sentido distributivo. Esto proporciona un proba- explicación bilistica para la asintótica de la profundidad de inserción al azar árboles generados por una estrategia de comparación de bits a partir de entradas uniformes; también obtenemos una representación para la familia resultante de leyes límite a lo largo de subsecuencias. Nuestro enfoque también se puede utilizar para obtener tarifas de convergencia. 1. Introducción. Que (Yk)kÃ3n sea una secuencia de independientes, no negativos variables aleatorias y dejar (Sn)n+N0, S0 := 0, Sn := Yk para todos n â € N, ser la secuencia asociada de sumas parciales. Con respecto a los Yk como sucesivos vidas y Sn como el tiempo de la n o renovación, interpretamos Nt := sup{n N0 :Sn ≤ t} como el número de renovaciones hasta el tiempo t incluido; (Nt)t≥0 es la renovación proceso. La teoría de la renovación estándar asume que el Yk todos tienen el mismo la distribución, en cuyo caso Nt, adecuadamente reescalonada, es asintóticamente ni- mal como tÃo. Para este resultado, y para la teoría de la renovación en general, nos referimos el lector de la sección XI en [3]. En esta nota consideramos aumentar exponencialmente las vidas. Demostramos que En tal caso, la distribución de Nt no converge y que asymp- (Sección 2). Esas fluctuaciones se producen con frecuencia en el análisis de algoritmos. El marco teórico de la renovación Recibido en enero de 2006. Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60K05; secundaria 68Q25. Palabras y frases clave. Comportamiento distributivo asintótico, periodicidades limitantes, re- nuevos procesos. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 676–687. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0398v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000862 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000862 2 F. DENNERT Y R. GRÜBEL ofrece una visión probabilística de este fenómeno en relación con buscar árboles (sección 3). También indicamos cómo nuestro enfoque puede ser utilizado para obtener índices de convergencia (sección 4). 2. Renovaciones para aumentar vidas. Asumimos que las vidas en... aumentar exponencialmente con la tasa α, donde 1 se fija a lo largo de la secuela, en el sentido de que kYk →distr Yفارسى y kEYk →EY•(1) para algunas variables aleatorias y como kó. Aquí “→distr” denota conver- gencia en la distribución, de modo que la primera parte de (1) significa que Ef(kYk) =Ef(YŁ) para todas las funciones continuas delimitadas f :R→ R. A continuación utilizaremos el hecho que para probar Xn →distr X es suficiente demostrar que Ef(Xn)→ Ef(X) se mantiene para todas las funciones limitadas y uniformemente continuas. Para más detalles y un tratamiento general de la convergencia en la distribución nos referimos al lector a [1]. Por supuesto, sólo la distribución μ = L(Y) de Y importa, por lo que escribirá ocasionalmente kYk →distr μ en su lugar. Por último, a lo largo de esta nota una condición que involucra momentos implica que estos momentos son finito. Un papel importante será desempeñado por S. := kY,k, donde (Y­,k)k­N0 es una secuencia de distribución independiente e idéntica Variables aleatorias con L(Y.0) = L(Y.O.), Y.O. como en (1). De EY nosotros obtener ES = α(α − 1)-1EY y, por lo tanto, P (S ) = 1; más se acabó, entonces también tenemos que −kY®,k converge casi con seguridad y por lo tanto, en la distribución a S.o.p. como n.o.p. También vamos a asumir que L(Y+) ha no hay átomos, es decir, P (Y­ = y) = 0 para todos los y+R.2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Por último, es un hecho analítico elemental que, para una secuencia (xn)nó números con límite x â € ¢ R, kxn−k = El siguiente lema puede ser considerado como una versión aleatoria de (3). Lemma 1. Si (1) y (2) están satisfechos, entonces nSn →distr S y P (S. = y) = 0 para todos los años. RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 3 Prueba. Supongamos que (Uk)kÃ3n es una secuencia de aleatorios independientes variables en algún espacio de probabilidad (l,A, P ), todas uniformemente distribuidas en el intervalo unitario. Deja que Fk sea la función de distribución de Yk, F la distribución función de Y. Utilizamos una variante de la construcción cuantil: k := F k (Uk),,k := F −1(Uk) para todos los k-N. Entonces tenemos L(1,. ......................................... .., Yn) para todos los n °N, lo que implica L(nSn) =L(nS Usando nSśn = k=0 α −k((n−k)n−k) obtenemos nSūn − k,n−k kE(n−k)n−k −,n−k.4) Con Y ′k := F k (U1) e Y • := F −1(U1) tenemos Ekk −,k=EkY ′k − Y.5) De (1) se deduce que kY ′k →distr Y y EkY ′k → EY. Porque de Y ′k, Y Se aplica el teorema 5.4 en [1] y da la convergencia L1 de kY ′k a Y *, es decir, EkY ′k − Y → 0 como k. Usando esto juntos con (3), (4) y (5) obtenemos nSūn − k,n−k = 0.6) Ahora dejar f :R→R ser limitada y uniformemente continua. Tenemos Ef(nSn)−Ef(S)= Ef(nSśn)−Ef k,n−k k,k k,k f(nSśn)− f k,n−k k,k k,k Para la primera integral en el lado derecho usamos (6), para la segunda una estimación elemental muestra que la diferencia entre los argumentos de f Converge a 0 en probabilidad. En ambos casos, ahora utilizamos una continuidad uniforme. 4 F. DENNERT Y R. GRÜBEL cuando los argumentos de f están cerca unos de otros y el límite de lo contrario. Esto lleva a Ef(nSn) =Ef(SŁ), que da la convergencia en la distribución. La declaración sobre los átomos de S.B. se deriva de (2) y el hecho de que S.B. es igual en distribución a I + α −1S­ con Y­ y S­independent. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba anterior se basa en argumentos clásicos de convergencia débil. Un prueba alternativa se puede obtener a través de la distancia de Wasserstein dW (μ, ν) = inf{EX − Y :L(X) = μ,L(Y ) =, su conocida relación con la convergencia débil y la convergencia de los primeros momentos, y la misma variante de la construcción cuantil, que en este contexto es conocido como el acoplamiento de comonotona. Escribimos "x" para el mayor entero menor o igual a x y {x} para la parte fraccionaria de x â € ¢ R. Teorema 2. Supongamos que (1) y (2) están satisfechos y dejar Qη := L( logαS/23370/ + ), 0≤ η ≤ 1.7).................................................................................................................................................. Si (tn)nN es una secuencia de números reales con tn y tal que {logα tn η para algunos η ° [0,1], entonces Ntn − logα tndistr Qη como n. Prueba. Utilizamos las abreviaturas kn := logα tn y ηn := {logα tn}. In particular, logα tn = kn + ηn. Además, vamos a Z. := − logαS. Por norma argumento teórico de renovación, P (Nt = j) = P (Sj ≤ t)−P (Sj+1 ≤ t) para todos los t ≥ 0, j â € N0, por lo tanto P (Ntn − kn = j) = P (Skn+j ≤ tn)− P (Skn+j+1 ≤ tn) = P (− logα(kn−jSkn+j) + ηn ≥ j) −P (− logα(kn−j−1Skn+j+1) + ηn ≥ j + 1) → P (Z + j) como n, donde en el último paso Lemma 1 y tres hechos generales sobre la convergencia en la distribución se utilizaron: En primer lugar, el teorema de mapeo continuo, que Esto implica que − logα(mSm)→distr − logαS terplay con convergencia de probabilidad, véase Teorema 4.1 en [1], que rinde RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 5 − logα(nSn)+ ηn →distr − logαS η como nÃ3; por lo tanto también L(− logαS) asignar probabilidad 0 a puntos individuales y que esto implica P (− logα(nSn) + ηn ≥ z) = P (− logαS Una consecuencia estructural de la representación (7) es la →distr-continuidad de η 7→Qη en el intervalo de unidad abierta; en η = 0 esta función es derecha continua, a η = 1 se deja continuo. Los miembros extremos se traducen de cada uno otro en el sentido de que Q0({j}) =Q1({j + 1}) para todos j Z. La distancia total de variación dTV de las medidas de probabilidad se define por dTV(μ, v) := sup (B)− /(B), para μ, / concentrado en Z esto se puede escribir como dTV(μ, v) = ({j})− /({j}).(8) Para una secuencia de medidas de probabilidad que se concentran en un fijo conjunto contable El lema de Scheffé implica que la convergencia débil es equivalente a la convergencia en la distancia total de variación, por lo tanto (7) puede ser reescrita como dTV(L(Ntn − logα tn®),Q{log tn}) = 0. Debido a la continuidad de [0,1] η 7→Qη esto a su vez conduce a una declaración que evite el uso de subsecuencias, dTV(L(Nt − logα t),Q{log t}) = 0.(9).............................................................................................................................................................................................................................................................. En la sección 4 vamos a investigar el índice de convergencia en (9) en un particular caso. 3. Una aplicación para los árboles de búsqueda digital. Los nodos de un (arraigado, di- rectificado) árbol binario puede ser representado por cadenas finitas de 0’s y 1’s si nos interpretar 0 como un movimiento a la izquierda y 1 como un movimiento a la derecha. La duración de la cadena es la profundidad (o nivel) del nodo que representa, el nodo raíz corre- sponds a la cadena vacía y tiene nivel 0. La secuencia (Tn)n+N asociada con una secuencia (xn)n+N de números a partir del intervalo unitario por el DST (dig- ital search tree) algoritmo se obtiene de la siguiente manera: Para T1, ponemos x1 en el Nodo raíz. Si x1,. .., xn se han almacenado en Tn entonces la posición de xn+1 es determinado por viajar a través del árbol con la dirección dada por el bi- expansión nary de xn+1 hasta que se ha encontrado un nodo vacío. Este algoritmo y sus propiedades se discuten en los textos estándar de la zona, para el examen- plé, [8, 10, 11]. Como ejemplo consideramos los primeros diez números dados en [8], 6 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Fig. 1. Árbol binario. Apéndice A, ( 2, log 2, log 3, log 10). Que xi sea el parte fraccionaria de la entrada ith, 1≤ i≤ 10; los cuatro primeros bits pertinentes de la las expansiones binarias respectivas se dan por (0110,1011,0011,0010, 0100,0111, 0011.1011.0001.010. Esto lleva al árbol binario dado en la Figura 1. Consideremos ahora la secuencia (Tn)n+N0 de árboles aleatorios que el DST algo- ritmo asociado con una secuencia (Un)n+N de variables aleatorias independientes, donde suponemos que las Un’s se distribuyen uniformemente en la unidad inter- Val y que T0 es el árbol vacío. Que Xn(­) sea la profundidad de la primera libre nodo de Tn a lo largo de la ruta determinada por una secuencia de {0,1}N. define una familia de intervalos anidados de longitud 2-k, k = 1,2,3,...., y es Es fácil de ver que (Xn(el))nN0 es una cadena de Markov con X0(el)0 y tran- sition probabilities pk,k+1 = 1− pk,k = 2−k para todos los k + N0. Acondicionamiento en el valor de Un+1 vemos que la distribución de Xn( distribución de Zn+1, la profundidad de inserción de Un+1. Esta cantidad se conoce como “búsqueda sin éxito” en la literatura sobre el análisis de algoritmos. [De por supuesto, esta igualdad distributiva no se mantiene para las distribuciones conjuntas: n 7→Xn() está aumentando, n 7→ Zn+1 no lo es.] Por ejemplo, el siguiente número en la lista de Knuth es x11 = 1/ log 2, la expansión binaria de la parte fraccionaria {x11} comienza con 011100 y por lo tanto x11 se insertaría en el nivel 4 como la hijo derecho de x6. La cadena de Markov (Xn(Ł))n®N0 es del tipo de nacimiento simple y puede allí- se describirán por sus respectivos tiempos de retención Y1, Y2, Y3,. .. en los estados k = 0,12,..................................................................................................... Estos son independientes, y Yk tiene una distribución geométrica con el parámetro pk−1,k, es decir, para todos los k +N, P (Yk = j) = (1− 2−k+1)j−12−k+1 para todos los j+N. Aquí interpretamos el caso k = 1 como Y1, el tiempo de retención en 0, siendo constante e igual a 1. Como resultado de su simple dinámica estocástica, (Xn( es igual al proceso de renovación N asociado con la secuencia (Yk)k+N, observado en momentos discretos, es decir, (Xn(­))nÃ3nÃ3n0 = (nn)nÃ3n0. Es fácil de ver que para esta secuencia (Yk)k°N de las condiciones de vida (1) y (2) son satisfecho y que L(Y) = Exp(2), con Exp() la distribución exponencial RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 7 con el parámetro  (y media 1/l). Por lo tanto, el teorema 2 se puede aplicar: Si el secuencia (n(m))mÃ3n â nâ n es tal que n(m) â nâ y {log2 n(m)} → η como Más, entonces Xn(m)(l)− log2 n(m)distr Qη.(10) Aquí Qη, 0≤ η ≤ 1, es la distribución de log2 S, S := k=0 2 −kY®,k e Y­,k, k N0, son independientes y se distribuyen de forma idéntica con L(Y­,1) = Exp(2). Alternativamente, podemos escribir S. := k=1 k con k, k N, de nuevo en- dependiente y L(k) = Exp(2k) para todos los k N. La representación explícita de la familia de las distribuciones de límites sobre la base del producto de la convolución de las distribuciones Exp(2k), k+N, se puede utilizar para obtener una expansión de serie para las funciones de distribución asociadas con Qη, 0 ≤ η ≤ 1. Para esto, comenzamos con una expansión parcial de la fracción: Para todos n N y todas las z C con R(z) 2, (1− 2−kz)−1 = an,k(1− 2−kz)−1,(11) donde an,k := j=1(1− 2j)−1 j=1 (1− 2−j)−1. La lectura (11) como igualdad funciones características relacionadas que obtenemos Exp(21) Exp(22) Exp(2n) = an,kExp(2 k).(12) Obsérvese, sin embargo, que el lado derecho en (12) no es la mezcla habitual de distribuciones de probabilidad como los coeficientes alternan en signo. Con ak := b (1− 2j)−1, b := (1− 2−j)−1, dejar entrar a nó (12) lleva a L(S) = k=1 akExp(2 k), de modo que Qη((­, x]) = P ( log2(S­) + ≤ x) = P (S. > 2 1−x(13) ak exp(−2k1−x) para todas las x Z. Esta representación de la distribución limitante funciona como una alternancia serie ya ha sido obtenido por Louchard [9] en el contexto de buscar árboles y por Flajolet [4] en el contexto del conteo aproximado; véase También la sección 6.4 en [10] y la sección 6.3 en [8] para los resultados relacionados. Estos autores utilizar un enfoque completamente diferente, más analítico en sabor y confiar en identidades combinatoria debido a Euler. 8 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Nuestro punto principal aquí, sin embargo, no es una rederivación de (13) sino el rep- Resensación de la familia {Qη : 0≤ η < 1} en términos de un determinado azar variable, que es primero desplazado por η y luego discretizado. Esta representación puede, por ejemplo, ser utilizado para obtener información sobre el comportamiento de la cola de las distribuciones de límite. Janson [7] señala que (13) por sí solo sólo daría una tasa exponencial de disminución para las probabilidades de cola, que luego proporciona un argumento analítico que mejora esto a una tasa superexponencial por show- ing que la transformada de Fourier asociada es una función entera. Usando el Representación en la Oficina de las Naciones Unidas de Servicios para Proyectos k=1 2 −kZk con Zk independiente y L(Zk) = Exp(1) junto con el hecho de que Exp(1) tiene una densidad limitada por 1, obtenemos P (S/23370/ ≤ 2−j)≤ P (Z1 ≤ 2−j+1)P (Z2 ≤ 2−j+2) · · ·P (Zj−1 ≤ 2−1) ≤ 2−j+12−j+2 · ·2−1 = 2−j(j−1)/2 para todos los j • N. Debido a Qη([k,­)) ≤ P (S­ ≤ 2­k+1) para todos los k • N, k ≥ 2, esto lleva a Qη([x,)) = o(exp(x2)) como x, para todos ♥ < (log 2)/2. El hecho de que una representación por discretización es posible en aciones donde las fluctuaciones se encontraron por primera vez por el cálculo parece pertenecer a el folclore del tema, al menos en casos simples como el asymp- comportamiento de distribución tótica del máximo de una muestra a partir de un punto geométrico distribución. El caso geométrico junto con alguna tecnología teórica de renovación- niques (para vidas distribuidas idénticamente) se utilizó en [5] para obtener resultados del tipo anterior para la adición de von Neumann. En [2] una discre- dad se produce en el nivel de los procesos estocásticos, lo que conduce a una probabilística enfoque de los fenómenos de fluctuación en el contexto de las múltiples máximo en una muestra aleatoria de una distribución discreta. En un reciente pa- por, Janson [7] estudia los efectos de las variables aleatorias discordantes y la fluctuaciones distribucionales resultantes y da una gama de interesantes exámenes- ples. Por supuesto, la explicación de las periodicidades puede ser, y de hecho a menudo es, muy diferentes y los mecanismos distintos de la discretización pueden ser responsables; Véase, por ejemplo, [6] y las referencias que allí se dan. 4. Tasas de convergencia. El enfoque teórico de la renovación también puede ser utilizado para obtener tasas de convergencia. Nosotros esbozamos una de las posibilidades, para una elección particular de las distancias, y dar detalles para la situación de DST desde Sección 3. Let, para t > 0, k(t) := logα t y η(t) := {logα t}. La distancia Kolmogorov-Smirnov de dos medidas de probabilidad μ y / en la línea real se define por dKS(μ, v) := sup ((, x])− /(, x]). RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 9 Si X e Y son variables aleatorias reales, entonces abreviamos dKS(L(X),L(Y)) a dKS(X,Y ); si F y G son las funciones de distribución asociadas, entonces dKS(X,Y) = F − G, donde la norma suprema para los límites generales funciones f :R → R es dada por f := supxR f(x). El Kolmogorov– La distancia de Smirnov es obviamente invariante bajo estrictamente monotono transfor- mations. Por ejemplo, dKS(αX + β,αY + β) = dKS(X,Y) para todos los α,β-R, α 6= 0, y para X,Y > 0, dKS(X,Y) = dKS(logX,logY). Con la notación como en la prueba de Teorema 2, P (Nt − k(t) = j)−P ( logα(S) + η(t) = j) ≤ P (− logα(k(t)−jSk(t)+j) + η(t)≥ j)−P (− logα(S/23370/) + η(t)≥ j) + P (− logα(k(t)−j−1Sk(t)+j+1) + η(t)≥ j +1) − P (− logα(S/23370/) + η(t)≥ j + 1). Con las cantidades auxiliares Zt := logα(S­) + η(t)­, (m) := dKS(mSm, S­) y las propiedades anteriores de la distancia Kolmogorov-Smirnov esto lleva a P (Nt − k(t) = j)−P (Zt = j) ≤ (14) A menudo es posible obtener un límite superior para j negativo, decir j k(t)/2, directamente. En tales casos el argumento teórico de renovación elemental anterior lleva a un límite para la distancia entre las funciones de masa de probabilidad de Nt − k(t) y Zt, por ejemplo; tenga en cuenta que esta última variable tiene distribución Qη(t) donde Qη, 0≤ η ≤ 1, es el conjunto de distribuciones límite a lo largo de las subsecuencias que aparece en el Teorema 2. El argumento anterior cubre el paso de (mSm)mÃ3n a (Nt)t≥0. ¿Cómo...? en una aplicación, el punto de partida suele ser la convergencia de las vidas escalonadas en (1), lo que significa que también necesitamos un análogo para Lemma 1 que da tasas de convergencia. Llevamos a cabo esto en el contexto específico de los árboles de búsqueda digital. El fol- blooding general limits resultará ser útil: Si X tiene densidad fX y si P (Y ≤ c) = 1, entonces dKS(X,X + Y )≤ cáfX.(15) En efecto: para todos los z â € R, P (X ≤ z− c) ≤ P (X+Y ≤ z) ≤ P (X ≤ z+ c), de modo que P (X + Y ≤ z)−P (X ≤ z) ≤máx{P (X ≤ z + c)−P (X ≤ z), P (X ≤ z)−P (X ≤ z − c)}, 10 F. DENNERT Y R. GRÜBEL y, por supuesto, P (X) (a, b) ≤ (b − a)fX. Esta unión puede ser fácilmente generalización a dKS(X,X + Y )≤ cfX +P (Y c) para todos los c > 0,(16) donde todavía suponemos que X tiene densidad fX, pero Y puede ser arbitrario. Tenga en cuenta que X e Y no necesitan ser independientes en (15) y (16). Si lo son independiente entonces es fácil demostrar que dKS(X,X + Y )≤ fXEY.(17) En (17) el límite de Y no es necesario, pero el límite obviamente tiene sentido sólo si Y tiene el primer momento finito. Por último, en relación con los límites de densidad la interacción con la convolución es de interés: Tenemos para todas las densidades de probabilidad f, g. Por ejemplo, si una suma de aleatorio independiente variables contiene un sumando con la distribución Exp(l), a continuación, la densidad de la suma está limitada por el importe de la suma. Lemma 3. Con (Yk)kÃ3n y SÃ, como en la secciÃ3n 3, dKS(2 − nSn, Sl) = O(n2 Prueba. Dejar (Zk)kÃ3n ser una secuencia de variables aleatorias independientes, todos distribuido exponencialmente con el parámetro 1. Entonces S.O. es igual en distribución. k=1 2 −kZk. Recordamos que la vida Kth Yk tiene una distribución geométrica ión con el parámetro 2−k+1. Sobre la base de (Zk)kÃ3n definimos una secuencia (k)kN por k:= kZk1 para todos los k N, con α1 := 0, αk := (− log(1− 2−k+1))−1 para k > 1. Es fácil comprobar que (k)kÃ3n =distr (Yk)kÃ3n, 2 2k−1Zk =distr 2-kZk. Por lo tanto, con la letra n) que denota la distancia dKS de 2 − nSn y S En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá ser superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. con un valor de 1, 2 y 3 definido por: *1(n) := dKS k,2 *2(n) := dKS αkZk,2 2k−1Zk *3(n) := dKS 2-kZk, 2-kZk RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 11 Para las variables aleatorias en Ł1 tenemos Vn ≤ 2−n k ≤ Vn + n2−n con Vn := 2−n αkZk. Es fácil demostrar que las densidades de Vn, n+N, pueden ser delimitadas uniformemente para todos n por alguna constante finita C1, por lo tanto (15) implica que فارسى1(n)≤C1n2−n para todos los Estados miembros. Los límites elementales − 1 log(1− x) para 0< x≤ junto con α1 = 0 implican supkN k − 2k−1= 1, por lo tanto tenemos αkZk − 2−n 2k−1Zk ≤ 2−n La combinación familiar de la desigualdad de Markov y la generación de momentos funciones da Zk ≥ (1 + Ł)n =O(2−n) si se elige el tamaño suficiente, para que podamos usar (16) con c = c(n) = (1 + n2-n para obtener esa °2(n)≤C2n2−n para todos los n °N, para alguna constante finita Para 3 finalmente usamos (17): Para las densidades de las sumas finitas de nuevo tienen un uniforme finito atado para todos n, y k=n+1 2-kZk k=n+1 2-kEZk = 2 de modo que el valor de 3(n) ≤ C32−n para todos los n+N con un poco de C3. Poniendo esto a... Llegamos a ella. (n)≤Cn2−n para todos los n+N con alguna constante finita C. En la solicitud en cuestión obtenemos un índice de convergencia resultado con respecto a la distancia total de variación, que es más fuerte que un resultado para la distancia de norma suprema de la probabilidad correspondiente funciones de masa que mencionamos en relación con (14). Teorema 4. Con (Xn())nÃ3nN y Qη como en la secciÃ3n 3, dTV(L(Xn(Ł)− log2 n),Q{log2 n}) = o(n ) para todos γ < 1. 12 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Prueba. Utilizamos las abreviaturas k(n) := log2 n y η(n) := {log2 n}. Dejar γ < 1 ser dado y elegir  > 0 tal que  < 1− γ. Lemma 3 juntos con (14) da jk(n) P (Nn − k(n) = j)−Qη(n)({j}) ≤C j≥(1)k(n) N con alguna constante finita C. Nuestra elección de • implica que la límite superior tiene la tasa deseada o (n). Para la parte restante de la suma infinita en (8) reemplazamos el absoluto diferencia de las probabilidades por su suma, lo que significa que es ahora lo suficiente para demostrar que P (Nn ≤ (1− Ł)k(n)) = o(n),(18) P (− log2(SŁ)k(n) + 1) = o(n).(19) Aquí hemos utilizado que Qη es la distribución de log2(S)+. Es fácil. para demostrar que la función generadora del momento para S.O. existe en un vecino... capó de 0, por lo tanto P (S/23370/ > x) = o(e) x) para todas las x > 0(20) con un poco de > 0. Las manipulaciones directas muestran que (20) implica (19); De hecho, la probabilidad converge más rápido a 0 que cualquier potencia negativa de n. Usando una vez más la relación entre el número de renovaciones y el parcial las sumas de las vidas que obtenemos más adelante, con m(n, فارسى) := (1−)k(n), P (Nn ≤ (1− Ł)k(n)) ≤ P (Sm(n, = P (2 -m(n,-)Sm(n,-) ≥ n2 -m(n,-) ≤ dKS(2−m(n, Para la distancia Kolmogorov-Smirnov usamos Lemma 3, para la cola de S la tasa deseada sigue con (20). Esto da (18) y por lo tanto completa el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. REFERENCIAS [1] Billingsley, P. (1968). Convergencia de las medidas de probabilidad. Wiley, Nueva York. MR0233396 [2] Bruss, F. Th. y Grübel, R. (2003). Sobre la multiplicidad del máximo en una muestra aleatoria discreta. Ann. Appl. Probando. 13 1252–1263. MR2023876 [3] Feller, W. (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones II, 2nd ed. Wiley, Nueva York. MR0270403 [4] Flajolet, Ph. (1985). Conteo aproximado: Un análisis detallado. BIT 25 113–134. MR0785808 [5] Grübel, R. y Reimers, A. (2001). Sobre el número de iteraciones requeridas por von Adición Neumann. Teor. Informa. Appl. 35 187–206. 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MR1140708 [11] Sedgewick, R. y Flajolet, Ph. (1996). Introducción al análisis de la Gorithms. Addison-Wesley, Reading, MA. Institut für Mathematische Stochastik Universität Hannover Postfach 60 09 D-30060 Hannover Alemania Correo electrónico: dennert@stochastik.uni-hannover.de rgrubel@stochastik.uni-hannover.de http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2040966 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0445948 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0928772 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1140708 mailto:dennert@stochastik.uni-hannover.de mailto:rgrubel@stochastik.uni-hannover.de Introducción Renovaciones para aumentar la vida útil Una aplicación a los árboles de búsqueda digital Tasas de convergencia Bibliografía Dirección del autor

Demostramos que el número de renovaciones hasta el tiempo $t$ exhibe distribución fluctuaciones como $t\to\infty$ si las vidas subyacentes aumentan en un tasa exponencial en un sentido distributivo. Esto proporciona una probabilística explicación de la asintótica de la profundidad de inserción en árboles aleatorios generados por una estrategia de comparación de bits de entrada uniforme; también obtenemos una representación para la familia resultante de leyes de límites a lo largo de las subsecuencias. Nuestro enfoque puede También se utilizará para obtener tasas de convergencia.

Introducción. Que (Yk)kÃ3n sea una secuencia de independientes, no negativos variables aleatorias y dejar (Sn)n+N0, S0 := 0, Sn := Yk para todos n â € N, ser la secuencia asociada de sumas parciales. Con respecto a los Yk como sucesivos vidas y Sn como el tiempo de la n o renovación, interpretamos Nt := sup{n N0 :Sn ≤ t} como el número de renovaciones hasta el tiempo t incluido; (Nt)t≥0 es la renovación proceso. La teoría de la renovación estándar asume que el Yk todos tienen el mismo la distribución, en cuyo caso Nt, adecuadamente reescalonada, es asintóticamente ni- mal como tÃo. Para este resultado, y para la teoría de la renovación en general, nos referimos el lector de la sección XI en [3]. En esta nota consideramos aumentar exponencialmente las vidas. Demostramos que En tal caso, la distribución de Nt no converge y que asymp- (Sección 2). Esas fluctuaciones se producen con frecuencia en el análisis de algoritmos. El marco teórico de la renovación Recibido en enero de 2006. Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60K05; secundaria 68Q25. Palabras y frases clave. Comportamiento distributivo asintótico, periodicidades limitantes, re- nuevos procesos. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 676–687. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0398v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000862 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000862 2 F. DENNERT Y R. GRÜBEL ofrece una visión probabilística de este fenómeno en relación con buscar árboles (sección 3). También indicamos cómo nuestro enfoque puede ser utilizado para obtener índices de convergencia (sección 4). 2. Renovaciones para aumentar vidas. Asumimos que las vidas en... aumentar exponencialmente con la tasa α, donde 1 se fija a lo largo de la secuela, en el sentido de que kYk →distr Yفارسى y kEYk →EY•(1) para algunas variables aleatorias y como kó. Aquí “→distr” denota conver- gencia en la distribución, de modo que la primera parte de (1) significa que Ef(kYk) =Ef(YŁ) para todas las funciones continuas delimitadas f :R→ R. A continuación utilizaremos el hecho que para probar Xn →distr X es suficiente demostrar que Ef(Xn)→ Ef(X) se mantiene para todas las funciones limitadas y uniformemente continuas. Para más detalles y un tratamiento general de la convergencia en la distribución nos referimos al lector a [1]. Por supuesto, sólo la distribución μ = L(Y) de Y importa, por lo que escribirá ocasionalmente kYk →distr μ en su lugar. Por último, a lo largo de esta nota una condición que involucra momentos implica que estos momentos son finito. Un papel importante será desempeñado por S. := kY,k, donde (Y­,k)k­N0 es una secuencia de distribución independiente e idéntica Variables aleatorias con L(Y.0) = L(Y.O.), Y.O. como en (1). De EY nosotros obtener ES = α(α − 1)-1EY y, por lo tanto, P (S ) = 1; más se acabó, entonces también tenemos que −kY®,k converge casi con seguridad y por lo tanto, en la distribución a S.o.p. como n.o.p. También vamos a asumir que L(Y+) ha no hay átomos, es decir, P (Y­ = y) = 0 para todos los y+R.2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Por último, es un hecho analítico elemental que, para una secuencia (xn)nó números con límite x â € ¢ R, kxn−k = El siguiente lema puede ser considerado como una versión aleatoria de (3). Lemma 1. Si (1) y (2) están satisfechos, entonces nSn →distr S y P (S. = y) = 0 para todos los años. RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 3 Prueba. Supongamos que (Uk)kÃ3n es una secuencia de aleatorios independientes variables en algún espacio de probabilidad (l,A, P ), todas uniformemente distribuidas en el intervalo unitario. Deja que Fk sea la función de distribución de Yk, F la distribución función de Y. Utilizamos una variante de la construcción cuantil: k := F k (Uk),,k := F −1(Uk) para todos los k-N. Entonces tenemos L(1,. ......................................... .., Yn) para todos los n °N, lo que implica L(nSn) =L(nS Usando nSśn = k=0 α −k((n−k)n−k) obtenemos nSūn − k,n−k kE(n−k)n−k −,n−k.4) Con Y ′k := F k (U1) e Y • := F −1(U1) tenemos Ekk −,k=EkY ′k − Y.5) De (1) se deduce que kY ′k →distr Y y EkY ′k → EY. Porque de Y ′k, Y Se aplica el teorema 5.4 en [1] y da la convergencia L1 de kY ′k a Y *, es decir, EkY ′k − Y → 0 como k. Usando esto juntos con (3), (4) y (5) obtenemos nSūn − k,n−k = 0.6) Ahora dejar f :R→R ser limitada y uniformemente continua. Tenemos Ef(nSn)−Ef(S)= Ef(nSśn)−Ef k,n−k k,k k,k f(nSśn)− f k,n−k k,k k,k Para la primera integral en el lado derecho usamos (6), para la segunda una estimación elemental muestra que la diferencia entre los argumentos de f Converge a 0 en probabilidad. En ambos casos, ahora utilizamos una continuidad uniforme. 4 F. DENNERT Y R. GRÜBEL cuando los argumentos de f están cerca unos de otros y el límite de lo contrario. Esto lleva a Ef(nSn) =Ef(SŁ), que da la convergencia en la distribución. La declaración sobre los átomos de S.B. se deriva de (2) y el hecho de que S.B. es igual en distribución a I + α −1S­ con Y­ y S­independent. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba anterior se basa en argumentos clásicos de convergencia débil. Un prueba alternativa se puede obtener a través de la distancia de Wasserstein dW (μ, ν) = inf{EX − Y :L(X) = μ,L(Y ) =, su conocida relación con la convergencia débil y la convergencia de los primeros momentos, y la misma variante de la construcción cuantil, que en este contexto es conocido como el acoplamiento de comonotona. Escribimos "x" para el mayor entero menor o igual a x y {x} para la parte fraccionaria de x â € ¢ R. Teorema 2. Supongamos que (1) y (2) están satisfechos y dejar Qη := L( logαS/23370/ + ), 0≤ η ≤ 1.7).................................................................................................................................................. Si (tn)nN es una secuencia de números reales con tn y tal que {logα tn η para algunos η ° [0,1], entonces Ntn − logα tndistr Qη como n. Prueba. Utilizamos las abreviaturas kn := logα tn y ηn := {logα tn}. In particular, logα tn = kn + ηn. Además, vamos a Z. := − logαS. Por norma argumento teórico de renovación, P (Nt = j) = P (Sj ≤ t)−P (Sj+1 ≤ t) para todos los t ≥ 0, j â € N0, por lo tanto P (Ntn − kn = j) = P (Skn+j ≤ tn)− P (Skn+j+1 ≤ tn) = P (− logα(kn−jSkn+j) + ηn ≥ j) −P (− logα(kn−j−1Skn+j+1) + ηn ≥ j + 1) → P (Z + j) como n, donde en el último paso Lemma 1 y tres hechos generales sobre la convergencia en la distribución se utilizaron: En primer lugar, el teorema de mapeo continuo, que Esto implica que − logα(mSm)→distr − logαS terplay con convergencia de probabilidad, véase Teorema 4.1 en [1], que rinde RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 5 − logα(nSn)+ ηn →distr − logαS η como nÃ3; por lo tanto también L(− logαS) asignar probabilidad 0 a puntos individuales y que esto implica P (− logα(nSn) + ηn ≥ z) = P (− logαS Una consecuencia estructural de la representación (7) es la →distr-continuidad de η 7→Qη en el intervalo de unidad abierta; en η = 0 esta función es derecha continua, a η = 1 se deja continuo. Los miembros extremos se traducen de cada uno otro en el sentido de que Q0({j}) =Q1({j + 1}) para todos j Z. La distancia total de variación dTV de las medidas de probabilidad se define por dTV(μ, v) := sup (B)− /(B), para μ, / concentrado en Z esto se puede escribir como dTV(μ, v) = ({j})− /({j}).(8) Para una secuencia de medidas de probabilidad que se concentran en un fijo conjunto contable El lema de Scheffé implica que la convergencia débil es equivalente a la convergencia en la distancia total de variación, por lo tanto (7) puede ser reescrita como dTV(L(Ntn − logα tn®),Q{log tn}) = 0. Debido a la continuidad de [0,1] η 7→Qη esto a su vez conduce a una declaración que evite el uso de subsecuencias, dTV(L(Nt − logα t),Q{log t}) = 0.(9).............................................................................................................................................................................................................................................................. En la sección 4 vamos a investigar el índice de convergencia en (9) en un particular caso. 3. Una aplicación para los árboles de búsqueda digital. Los nodos de un (arraigado, di- rectificado) árbol binario puede ser representado por cadenas finitas de 0’s y 1’s si nos interpretar 0 como un movimiento a la izquierda y 1 como un movimiento a la derecha. La duración de la cadena es la profundidad (o nivel) del nodo que representa, el nodo raíz corre- sponds a la cadena vacía y tiene nivel 0. La secuencia (Tn)n+N asociada con una secuencia (xn)n+N de números a partir del intervalo unitario por el DST (dig- ital search tree) algoritmo se obtiene de la siguiente manera: Para T1, ponemos x1 en el Nodo raíz. Si x1,. .., xn se han almacenado en Tn entonces la posición de xn+1 es determinado por viajar a través del árbol con la dirección dada por el bi- expansión nary de xn+1 hasta que se ha encontrado un nodo vacío. Este algoritmo y sus propiedades se discuten en los textos estándar de la zona, para el examen- plé, [8, 10, 11]. Como ejemplo consideramos los primeros diez números dados en [8], 6 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Fig. 1. Árbol binario. Apéndice A, ( 2, log 2, log 3, log 10). Que xi sea el parte fraccionaria de la entrada ith, 1≤ i≤ 10; los cuatro primeros bits pertinentes de la las expansiones binarias respectivas se dan por (0110,1011,0011,0010, 0100,0111, 0011.1011.0001.010. Esto lleva al árbol binario dado en la Figura 1. Consideremos ahora la secuencia (Tn)n+N0 de árboles aleatorios que el DST algo- ritmo asociado con una secuencia (Un)n+N de variables aleatorias independientes, donde suponemos que las Un’s se distribuyen uniformemente en la unidad inter- Val y que T0 es el árbol vacío. Que Xn(­) sea la profundidad de la primera libre nodo de Tn a lo largo de la ruta determinada por una secuencia de {0,1}N. define una familia de intervalos anidados de longitud 2-k, k = 1,2,3,...., y es Es fácil de ver que (Xn(el))nN0 es una cadena de Markov con X0(el)0 y tran- sition probabilities pk,k+1 = 1− pk,k = 2−k para todos los k + N0. Acondicionamiento en el valor de Un+1 vemos que la distribución de Xn( distribución de Zn+1, la profundidad de inserción de Un+1. Esta cantidad se conoce como “búsqueda sin éxito” en la literatura sobre el análisis de algoritmos. [De por supuesto, esta igualdad distributiva no se mantiene para las distribuciones conjuntas: n 7→Xn() está aumentando, n 7→ Zn+1 no lo es.] Por ejemplo, el siguiente número en la lista de Knuth es x11 = 1/ log 2, la expansión binaria de la parte fraccionaria {x11} comienza con 011100 y por lo tanto x11 se insertaría en el nivel 4 como la hijo derecho de x6. La cadena de Markov (Xn(Ł))n®N0 es del tipo de nacimiento simple y puede allí- se describirán por sus respectivos tiempos de retención Y1, Y2, Y3,. .. en los estados k = 0,12,..................................................................................................... Estos son independientes, y Yk tiene una distribución geométrica con el parámetro pk−1,k, es decir, para todos los k +N, P (Yk = j) = (1− 2−k+1)j−12−k+1 para todos los j+N. Aquí interpretamos el caso k = 1 como Y1, el tiempo de retención en 0, siendo constante e igual a 1. Como resultado de su simple dinámica estocástica, (Xn( es igual al proceso de renovación N asociado con la secuencia (Yk)k+N, observado en momentos discretos, es decir, (Xn(­))nÃ3nÃ3n0 = (nn)nÃ3n0. Es fácil de ver que para esta secuencia (Yk)k°N de las condiciones de vida (1) y (2) son satisfecho y que L(Y) = Exp(2), con Exp() la distribución exponencial RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 7 con el parámetro  (y media 1/l). Por lo tanto, el teorema 2 se puede aplicar: Si el secuencia (n(m))mÃ3n â nâ n es tal que n(m) â nâ y {log2 n(m)} → η como Más, entonces Xn(m)(l)− log2 n(m)distr Qη.(10) Aquí Qη, 0≤ η ≤ 1, es la distribución de log2 S, S := k=0 2 −kY®,k e Y­,k, k N0, son independientes y se distribuyen de forma idéntica con L(Y­,1) = Exp(2). Alternativamente, podemos escribir S. := k=1 k con k, k N, de nuevo en- dependiente y L(k) = Exp(2k) para todos los k N. La representación explícita de la familia de las distribuciones de límites sobre la base del producto de la convolución de las distribuciones Exp(2k), k+N, se puede utilizar para obtener una expansión de serie para las funciones de distribución asociadas con Qη, 0 ≤ η ≤ 1. Para esto, comenzamos con una expansión parcial de la fracción: Para todos n N y todas las z C con R(z) 2, (1− 2−kz)−1 = an,k(1− 2−kz)−1,(11) donde an,k := j=1(1− 2j)−1 j=1 (1− 2−j)−1. La lectura (11) como igualdad funciones características relacionadas que obtenemos Exp(21) Exp(22) Exp(2n) = an,kExp(2 k).(12) Obsérvese, sin embargo, que el lado derecho en (12) no es la mezcla habitual de distribuciones de probabilidad como los coeficientes alternan en signo. Con ak := b (1− 2j)−1, b := (1− 2−j)−1, dejar entrar a nó (12) lleva a L(S) = k=1 akExp(2 k), de modo que Qη((­, x]) = P ( log2(S­) + ≤ x) = P (S. > 2 1−x(13) ak exp(−2k1−x) para todas las x Z. Esta representación de la distribución limitante funciona como una alternancia serie ya ha sido obtenido por Louchard [9] en el contexto de buscar árboles y por Flajolet [4] en el contexto del conteo aproximado; véase También la sección 6.4 en [10] y la sección 6.3 en [8] para los resultados relacionados. Estos autores utilizar un enfoque completamente diferente, más analítico en sabor y confiar en identidades combinatoria debido a Euler. 8 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Nuestro punto principal aquí, sin embargo, no es una rederivación de (13) sino el rep- Resensación de la familia {Qη : 0≤ η < 1} en términos de un determinado azar variable, que es primero desplazado por η y luego discretizado. Esta representación puede, por ejemplo, ser utilizado para obtener información sobre el comportamiento de la cola de las distribuciones de límite. Janson [7] señala que (13) por sí solo sólo daría una tasa exponencial de disminución para las probabilidades de cola, que luego proporciona un argumento analítico que mejora esto a una tasa superexponencial por show- ing que la transformada de Fourier asociada es una función entera. Usando el Representación en la Oficina de las Naciones Unidas de Servicios para Proyectos k=1 2 −kZk con Zk independiente y L(Zk) = Exp(1) junto con el hecho de que Exp(1) tiene una densidad limitada por 1, obtenemos P (S/23370/ ≤ 2−j)≤ P (Z1 ≤ 2−j+1)P (Z2 ≤ 2−j+2) · · ·P (Zj−1 ≤ 2−1) ≤ 2−j+12−j+2 · ·2−1 = 2−j(j−1)/2 para todos los j • N. Debido a Qη([k,­)) ≤ P (S­ ≤ 2­k+1) para todos los k • N, k ≥ 2, esto lleva a Qη([x,)) = o(exp(x2)) como x, para todos ♥ < (log 2)/2. El hecho de que una representación por discretización es posible en aciones donde las fluctuaciones se encontraron por primera vez por el cálculo parece pertenecer a el folclore del tema, al menos en casos simples como el asymp- comportamiento de distribución tótica del máximo de una muestra a partir de un punto geométrico distribución. El caso geométrico junto con alguna tecnología teórica de renovación- niques (para vidas distribuidas idénticamente) se utilizó en [5] para obtener resultados del tipo anterior para la adición de von Neumann. En [2] una discre- dad se produce en el nivel de los procesos estocásticos, lo que conduce a una probabilística enfoque de los fenómenos de fluctuación en el contexto de las múltiples máximo en una muestra aleatoria de una distribución discreta. En un reciente pa- por, Janson [7] estudia los efectos de las variables aleatorias discordantes y la fluctuaciones distribucionales resultantes y da una gama de interesantes exámenes- ples. Por supuesto, la explicación de las periodicidades puede ser, y de hecho a menudo es, muy diferentes y los mecanismos distintos de la discretización pueden ser responsables; Véase, por ejemplo, [6] y las referencias que allí se dan. 4. Tasas de convergencia. El enfoque teórico de la renovación también puede ser utilizado para obtener tasas de convergencia. Nosotros esbozamos una de las posibilidades, para una elección particular de las distancias, y dar detalles para la situación de DST desde Sección 3. Let, para t > 0, k(t) := logα t y η(t) := {logα t}. La distancia Kolmogorov-Smirnov de dos medidas de probabilidad μ y / en la línea real se define por dKS(μ, v) := sup ((, x])− /(, x]). RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 9 Si X e Y son variables aleatorias reales, entonces abreviamos dKS(L(X),L(Y)) a dKS(X,Y ); si F y G son las funciones de distribución asociadas, entonces dKS(X,Y) = F − G, donde la norma suprema para los límites generales funciones f :R → R es dada por f := supxR f(x). El Kolmogorov– La distancia de Smirnov es obviamente invariante bajo estrictamente monotono transfor- mations. Por ejemplo, dKS(αX + β,αY + β) = dKS(X,Y) para todos los α,β-R, α 6= 0, y para X,Y > 0, dKS(X,Y) = dKS(logX,logY). Con la notación como en la prueba de Teorema 2, P (Nt − k(t) = j)−P ( logα(S) + η(t) = j) ≤ P (− logα(k(t)−jSk(t)+j) + η(t)≥ j)−P (− logα(S/23370/) + η(t)≥ j) + P (− logα(k(t)−j−1Sk(t)+j+1) + η(t)≥ j +1) − P (− logα(S/23370/) + η(t)≥ j + 1). Con las cantidades auxiliares Zt := logα(S­) + η(t)­, (m) := dKS(mSm, S­) y las propiedades anteriores de la distancia Kolmogorov-Smirnov esto lleva a P (Nt − k(t) = j)−P (Zt = j) ≤ (14) A menudo es posible obtener un límite superior para j negativo, decir j k(t)/2, directamente. En tales casos el argumento teórico de renovación elemental anterior lleva a un límite para la distancia entre las funciones de masa de probabilidad de Nt − k(t) y Zt, por ejemplo; tenga en cuenta que esta última variable tiene distribución Qη(t) donde Qη, 0≤ η ≤ 1, es el conjunto de distribuciones límite a lo largo de las subsecuencias que aparece en el Teorema 2. El argumento anterior cubre el paso de (mSm)mÃ3n a (Nt)t≥0. ¿Cómo...? en una aplicación, el punto de partida suele ser la convergencia de las vidas escalonadas en (1), lo que significa que también necesitamos un análogo para Lemma 1 que da tasas de convergencia. Llevamos a cabo esto en el contexto específico de los árboles de búsqueda digital. El fol- blooding general limits resultará ser útil: Si X tiene densidad fX y si P (Y ≤ c) = 1, entonces dKS(X,X + Y )≤ cáfX.(15) En efecto: para todos los z â € R, P (X ≤ z− c) ≤ P (X+Y ≤ z) ≤ P (X ≤ z+ c), de modo que P (X + Y ≤ z)−P (X ≤ z) ≤máx{P (X ≤ z + c)−P (X ≤ z), P (X ≤ z)−P (X ≤ z − c)}, 10 F. DENNERT Y R. GRÜBEL y, por supuesto, P (X) (a, b) ≤ (b − a)fX. Esta unión puede ser fácilmente generalización a dKS(X,X + Y )≤ cfX +P (Y c) para todos los c > 0,(16) donde todavía suponemos que X tiene densidad fX, pero Y puede ser arbitrario. Tenga en cuenta que X e Y no necesitan ser independientes en (15) y (16). Si lo son independiente entonces es fácil demostrar que dKS(X,X + Y )≤ fXEY.(17) En (17) el límite de Y no es necesario, pero el límite obviamente tiene sentido sólo si Y tiene el primer momento finito. Por último, en relación con los límites de densidad la interacción con la convolución es de interés: Tenemos para todas las densidades de probabilidad f, g. Por ejemplo, si una suma de aleatorio independiente variables contiene un sumando con la distribución Exp(l), a continuación, la densidad de la suma está limitada por el importe de la suma. Lemma 3. Con (Yk)kÃ3n y SÃ, como en la secciÃ3n 3, dKS(2 − nSn, Sl) = O(n2 Prueba. Dejar (Zk)kÃ3n ser una secuencia de variables aleatorias independientes, todos distribuido exponencialmente con el parámetro 1. Entonces S.O. es igual en distribución. k=1 2 −kZk. Recordamos que la vida Kth Yk tiene una distribución geométrica ión con el parámetro 2−k+1. Sobre la base de (Zk)kÃ3n definimos una secuencia (k)kN por k:= kZk1 para todos los k N, con α1 := 0, αk := (− log(1− 2−k+1))−1 para k > 1. Es fácil comprobar que (k)kÃ3n =distr (Yk)kÃ3n, 2 2k−1Zk =distr 2-kZk. Por lo tanto, con la letra n) que denota la distancia dKS de 2 − nSn y S En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá ser superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. con un valor de 1, 2 y 3 definido por: *1(n) := dKS k,2 *2(n) := dKS αkZk,2 2k−1Zk *3(n) := dKS 2-kZk, 2-kZk RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 11 Para las variables aleatorias en Ł1 tenemos Vn ≤ 2−n k ≤ Vn + n2−n con Vn := 2−n αkZk. Es fácil demostrar que las densidades de Vn, n+N, pueden ser delimitadas uniformemente para todos n por alguna constante finita C1, por lo tanto (15) implica que فارسى1(n)≤C1n2−n para todos los Estados miembros. Los límites elementales − 1 log(1− x) para 0< x≤ junto con α1 = 0 implican supkN k − 2k−1= 1, por lo tanto tenemos αkZk − 2−n 2k−1Zk ≤ 2−n La combinación familiar de la desigualdad de Markov y la generación de momentos funciones da Zk ≥ (1 + Ł)n =O(2−n) si se elige el tamaño suficiente, para que podamos usar (16) con c = c(n) = (1 + n2-n para obtener esa °2(n)≤C2n2−n para todos los n °N, para alguna constante finita Para 3 finalmente usamos (17): Para las densidades de las sumas finitas de nuevo tienen un uniforme finito atado para todos n, y k=n+1 2-kZk k=n+1 2-kEZk = 2 de modo que el valor de 3(n) ≤ C32−n para todos los n+N con un poco de C3. Poniendo esto a... Llegamos a ella. (n)≤Cn2−n para todos los n+N con alguna constante finita C. En la solicitud en cuestión obtenemos un índice de convergencia resultado con respecto a la distancia total de variación, que es más fuerte que un resultado para la distancia de norma suprema de la probabilidad correspondiente funciones de masa que mencionamos en relación con (14). Teorema 4. Con (Xn())nÃ3nN y Qη como en la secciÃ3n 3, dTV(L(Xn(Ł)− log2 n),Q{log2 n}) = o(n ) para todos γ < 1. 12 F. DENNERT Y R. GRÜBEL Prueba. Utilizamos las abreviaturas k(n) := log2 n y η(n) := {log2 n}. Dejar γ < 1 ser dado y elegir  > 0 tal que  < 1− γ. Lemma 3 juntos con (14) da jk(n) P (Nn − k(n) = j)−Qη(n)({j}) ≤C j≥(1)k(n) N con alguna constante finita C. Nuestra elección de • implica que la límite superior tiene la tasa deseada o (n). Para la parte restante de la suma infinita en (8) reemplazamos el absoluto diferencia de las probabilidades por su suma, lo que significa que es ahora lo suficiente para demostrar que P (Nn ≤ (1− Ł)k(n)) = o(n),(18) P (− log2(SŁ)k(n) + 1) = o(n).(19) Aquí hemos utilizado que Qη es la distribución de log2(S)+. Es fácil. para demostrar que la función generadora del momento para S.O. existe en un vecino... capó de 0, por lo tanto P (S/23370/ > x) = o(e) x) para todas las x > 0(20) con un poco de > 0. Las manipulaciones directas muestran que (20) implica (19); De hecho, la probabilidad converge más rápido a 0 que cualquier potencia negativa de n. Usando una vez más la relación entre el número de renovaciones y el parcial las sumas de las vidas que obtenemos más adelante, con m(n, فارسى) := (1−)k(n), P (Nn ≤ (1− Ł)k(n)) ≤ P (Sm(n, = P (2 -m(n,-)Sm(n,-) ≥ n2 -m(n,-) ≤ dKS(2−m(n, Para la distancia Kolmogorov-Smirnov usamos Lemma 3, para la cola de S la tasa deseada sigue con (20). Esto da (18) y por lo tanto completa el prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. REFERENCIAS [1] Billingsley, P. (1968). Convergencia de las medidas de probabilidad. Wiley, Nueva York. MR0233396 [2] Bruss, F. Th. y Grübel, R. (2003). Sobre la multiplicidad del máximo en una muestra aleatoria discreta. Ann. Appl. Probando. 13 1252–1263. MR2023876 [3] Feller, W. (1971). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones II, 2nd ed. Wiley, Nueva York. MR0270403 [4] Flajolet, Ph. (1985). Conteo aproximado: Un análisis detallado. BIT 25 113–134. MR0785808 [5] Grübel, R. y Reimers, A. (2001). Sobre el número de iteraciones requeridas por von Adición Neumann. Teor. Informa. Appl. 35 187–206. MR1862462 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0233396 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2023876 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0270403 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0785808 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1862462 RENOVACIONES PARA AUMENTAR LA VIDA 13 [6] Janson, S. (2004). Teoremas de límite funcional para procesos de ramificación multitipo y Urnas Pólya generalizadas. Proceso estocástico. Appl. 110 177–245. MR2040966 [7] Janson, S. (2006). Redondeo de variables aleatorias continuas y asimpismo oscilatorio- Tóticos. Ann. Probando. 34 1807–1826. [8] Knuth, D. E. (1973). El arte de la programación informática 3. Ordenar y buscar. Addison-Wesley, Reading, MA. MR0445948 [9] Louchard, G. (1987). Distribuciones exactas y asintóticas en la búsqueda binaria digital árboles. Teor. Informa. Appl. 21 479–496. MR0928772 [10] Mahmoud, H. M. (1992). Evolución de los árboles de búsqueda aleatoria. Wiley, Nueva York. MR1140708 [11] Sedgewick, R. y Flajolet, Ph. (1996). Introducción al análisis de la Gorithms. Addison-Wesley, Reading, MA. Institut für Mathematische Stochastik Universität Hannover Postfach 60 09 D-30060 Hannover Alemania Correo electrónico: dennert@stochastik.uni-hannover.de rgrubel@stochastik.uni-hannover.de http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2040966 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0445948 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0928772 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1140708 mailto:dennert@stochastik.uni-hannover.de mailto:rgrubel@stochastik.uni-hannover.de Introducción Renovaciones para aumentar la vida útil Una aplicación a los árboles de búsqueda digital Tasas de convergencia Bibliografía Dirección del autor

Hawking radiation of linear dilaton black holes

LAPTH-1178/07 Radiación de halcón de agujeros negros de dilato lineal G. Clémenta*, J.C. Fabrisb† y G.T. Marquesa,b‡ aLaboratoire de Physique Théorique LAPTH (CNRS), B.P.110, F-74941 Annecy-le-Vieux cedex, Francia b Departamento de Física, Universidad Federal del Esrito Santo, Vitória, 29060-900, Esrito Santo, Brasil 3 de abril de 2007 Resumen Calculamos exactamente el espectro de radiación semiclásico para un clase de agujeros negros de dilaton no asintóticamente plano, el tan- llamado dilaton lineal agujeros negros. En el régimen de alta frecuencia, el temperatura para estos agujeros negros concuerda genéricamente con la superficie el resultado de gravedad. En el caso especial donde el agujero negro es sin masa, muestra que, aunque la gravedad superficial sigue siendo finita, hay sin radiación, de acuerdo con el hecho de que los objetos sin masa no pueden irradiar. Correo electrónico: gclement@lapp.in2p3.fr Correo electrónico: fabris@cce.ufes.br Correo electrónico: gtadaiesky@cce.ufes.br http://arxiv.org/abs/0704.0399v1 La teoría cuántica del campo en el espacio-tiempo curvo predice nuevos fenómenos tales como emisión de partículas por un agujero negro [1]. Esto se debe al hecho de que el vac- uum para un campo cuántico cerca del horizonte es diferente de la del observador vacío en el infinito espacial. Un observador lejano recibe así de un negro un flujo constante de partículas que exhiben, en el régimen de alta frecuencia, un espectro corporal negro con una temperatura proporcional a la superficie grav- ity [2]. Aunque la derivación original de Hawking de este agujero negro evaporación unruh [3] mostró que el mismo los resultados se obtienen cuando el colapso se sustituye por un límite adecuado condiciones en el horizonte de un eterno agujero negro. En el semiclásico ap- proximación, el espectro de radiación del agujero negro puede ser evaluado por com- por la que se ponen los coeficientes de Bogoliubov relativos a las dos vacuas. Un equivalente procedimiento es calcular los coeficientes de reflexión y absorción de una onda por el agujero negro. Por lo general, la ecuación de onda no se puede resolver exactamente, y hay que recurrir a las soluciones coincidentes en una región de solapamiento entre el regiones cercanas al horizonte y asintóticas [4, 5]. En el caso especial de la (2+1)- dimensional BTZ agujero negro [6], una solución exacta de la ecuación de onda es disponible, que permite un cálculo exacto del espectro de radiación, que conduce a la temperatura de Hawking [7, 8, 9]. En esta carta, discutimos otro caso de agujeros negros también permitiendo un cálculo semiclásico exacto de su espectro de radiación, el de lin- soluciones de agujeros negros de dilato de oído a la teoría de dilato de Einstein-Maxwell (EMD) en cuatro dimensiones. Los agujeros de dilatón lineal negro son un caso especial de la clase más general de soluciones de agujero negro no asintóticamente planas a EMD [10, 11], que presentamos por primera vez brevemente. Discutimos la evaporación de estos no asintóticamente planos agujeros negros y mostrar que o se derrumban a un singularidad desnuda en un tiempo finito, o evaporarse en un tiempo infinito. Nosotros entonces. especializado en dilaton lineal agujeros negros, y esbozar la computa- sión de su espectro de radiación. Para agujeros negros masivos, este cálculo En el régimen de alta frecuencia, conduce a la misma temperatura que es ob- contenido en la gravedad de la superficie. Sin embargo, en el caso de extrema masa agujeros negros, encontramos que, aunque la gravedad de la superficie sigue siendo finita, allí no hay radiación, de acuerdo con el hecho de que un objeto sin masa no puede irradiar. La DME se define mediante la siguiente acción: R - 2 e - 2 F , (1) en el que el campo electromagnético es el campo electromagnético, y el campo dilatónico, con cou- plling constante α. Esta teoría admite soluciones estáticas esféricas simétricas Representando agujeros negros. Entre estas soluciones de agujero negro hay asymp- tóticamente planos [12, 13] así como configuraciones planas no asintóticas [10, 11]. En el presente trabajo, estamos interesados en el no-asintótico soluciones de agujeros negros planos ds2 = rγ(r − b) dt2 − rγ(r − b) dr2 + r(r − b)d , (2) 1 + γ Dr. Dtt, e2 = ν2 . 3) 1− α2 1 + α2 . 4) Las constantes b y r0 están relacionadas con la masa y con la carga eléctrica de el agujero negro a través M = (1− γ)b/4, Q = 1 + γ . 5) Las soluciones (2),(3) interpolan entre la solución de Schwarzschild para γ = −1 (α2 → فارسى) y la solución de Bertotti-Robinson para γ = +1 (α2 = 0). Para b > 0 el horizonte en r = b oculta la singularidad en r = 0, mientras que en el agujero negro extremo caso b = 0 el horizonte coincide con la singularidad. Este es un caso curioso, con una masa que desaparece pero una carga eléctrica finita. Por −1 < γ < 0 (α2 > 1) la singularidad central es temporal y claramente desnuda [11]. Por otra parte, para 0 ≤ γ < 1 (0 < α2 ≤ 1), la singularidad central es nulo y marginalmente atrapado [14], por lo que las señales procedentes del centro nunca llegar a los observadores externos. Así, en este caso, los agujeros negros extremos pueden seguir siendo considerados como agujeros negros de hecho. La temperatura estadística de Hawking de los agujeros negros (2), computada como habitual dividiendo la gravedad de la superficie por 2η es dada por . 6) Es finito para todos γ si b 6= 0. Para b = 0 y −1 < γ < 0 ( singularidad desnuda). la temperatura es infinita, mientras que para b = 0 y 0 < γ < 1 (negro extremo) agujero), la temperatura desaparece. El caso b = γ = 0 es intrigante. Aunque esto es un negro extremo agujero, la situación es diferente de la de negro extremo asintóticamente plano agujeros. La geometría euclidiana extrema cerca del horizonte Reissner-Nordström es cilíndrico, en lugar de cónico, por lo que su temperatura estadística es ar- bitrary, contrariamente al valor cero derivado de la gravedad superficial [15]. En el presente caso la continuación euclidiana bidimensional de la métrica (2) con γ = 0 claramente tiene una singularidad cónica en r = b para todos los valores de b, incluyendo b = 0, llevando para este agujero negro extremo particular a lo finito temperatura TH = 1/4ηr0, de acuerdo con el valor (6). Sin embargo, este El resultado es cuestionable. Un agujero negro con horizonte puntiagudo y masa cero claramente no puede irradiar, por lo que uno debería esperar más bien que su temperatura sea cero. Volveremos a esta cuestión en este momento. A medida que los agujeros negros (2) irradian, pierden masa de acuerdo con la ley de Stefan = AhT 4H, (7) donde es la constante de Stefan, y Ah = 4 1 es el área del horizonte. Suponiendo que sólo se irradian quanta eléctricamente neutrales, (7) implica que la superficie del horizonte disminuye según (4η)3(1− γ) −3(1) 1+3γ, (8) que se resuelve por b(t) = r0 t− t0 )-1/3γ (γ 6= 0), b(t) = r0 exp t− t0 (γ = 0), (9) donde c = 3▼/16η3, y t0 es una constante de integración. El resultado de Apunta en el signo de γ. Para γ < 0, la temperatura de Hawking aumenta con disminución de la masa y el agujero negro colapsa a una singularidad desnuda (o eva- se aleja por completo en el caso Schwarzschild γ = −1) en un tiempo finito de acuerdo con b (t0 − t)1/3. Por otra parte, para γ ≥ 0, el Hawking disminución de la temperatura (o es constante para γ = 0) con masa decreciente, y el agujero negro se evapora en un tiempo infinito, alcanzando el extremo negro estado del agujero b = 0 sólo asintóticamente. Ahora procedemos a una evaluación más precisa de la temperatura de asintóticamente planos agujeros negros del estudio de la dispersión de la onda en estos Tiempos espaciales. La ecuación de la onda 2 ° = 0 (10) no permite genéricamente una solución exacta en los tiempos espaciales (2). ¿Cómo...? siempre, se puede resolver analíticamente [16] en el caso del dilatón lineal negro agujeros con γ = 0 y b 6= 0, con la métrica ds2 = r − b dt2 − r − b dr2 + r(r − b)d , (11) Considerando los eigenmodes armónicos * (x) = * (r, t) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −t, (12) Obtenemos la siguiente ecuación radial: r − b) r − b − l(l + 1) R = 0 (13) (2 2r20). Poniendo , R = yif, (14) reduce (13) a la ecuación y(1−y)Ł2yf+ 1+2i2(1+ i)y 2− i 2−1/4 f = 0, (15) 2 = 2 − (l + 1/2)2. 16) Esta es una ecuación hipergeométrica y(1− y)­2yf + c− (a+ b+ 1)y •yf − abf = 0, (17) + i( + ), b = + i( − ), c = 1 + 2i. (18) Se deduce que la solución general de la ecuación (13) es R = C1 r − b + i( + ), + i( − ), 1 + 2i; b− r r − b ) -i − i( + ), 1 − i( − ), 1 − 2i; b− r .(19) Poniendo r − b = ex/r0, (20) la onda parcial cerca del horizonte (x→ ) es así (x−t) +C2e−iفارسى(x+t). (21) Para obtener el comportamiento de la onda parcial cerca de infinito espacial, debemos ampliar las soluciones de (15) en las funciones hipergeométricas del argumento 1/y. La transformación relevante es F (a, b, c; y) = (c)(b)(a) b) c - a) (−y)−aF (a, a+1−c, a+1−b; 1/y) (c)(a − b) * a) c - b) (−y)−bF (b, b+ 1− c, b+ 1− a; 1/y). (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esto lleva al comportamiento asintótico )-1/2( i(lxt) +B2e −i(lxt) (l= /r0), donde las amplitudes de la salida y entrada asintótica las ondas B1 y B2 están relacionadas con las amplitudes de la y las ondas entrantes C1 y C2 por B1 = (2i) (1 + 2i) (1/2 + i( + ))2 (1 - 2i) (1/2 − i( − ))2 B2 = (−2i) (1 + 2i) (1/2 + i( − ))2 (1 - 2i) (1/2− i( + ))2 . (24) La radiación de Hawking puede ser considerada como el proceso inverso de dispersión por el agujero negro, con la condición límite asintótica B1 = 0 (la el modo de salida está ausente). El coeficiente de reflexión por el agujero negro es a continuación, dado por C12 C22 (1/2 + i( + ))22 (1/2 + i( − ))22 Cosh2 ( − ) Cosh2 ( + ) . (25) El espectro de radiación resultante es = (e•/TH − 1)−1. 26) Para frecuencias altas, = /r0, y nos recuperamos de (25) el Hawking temperatura calculada a partir de la gravedad superficial, . (27) El cálculo anterior falla en el caso de vacío de dilaton lineal b = 0. La cuestión de asignar una temperatura a tales agujeros negros sin masa podría de ser evacuados argumentando que no pueden ser formados, ya sea a través de colapso tral de la materia, o (como hemos visto anteriormente) a través de la evaporación de agujeros negros masivos. No obstante, como cuestión de principio, hay que sider la posibilidad de agujeros negros sin masa primordial. Del General ley de temperatura (6) estos deben tener una temperatura finita. Por otro lado mano, siendo sin masa no pueden irradiar energía lejos, por lo que su temperatura Debería desaparecer. La cuestión se puede resolver resolviendo el sin masa Klein-Gordon equa- en la métrica (11) con b = 0, ds2 = dt2 − r0 dr2 − r0rd (28) Esta métrica puede ser reescrita como ds2 = Ł2 d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- , (29) x = ln(r/r0), x/2, (30) mostrando que la métrica de vacío de dilaton lineal es conforme al producto M2 × S2 de un espacio-tiempo Minkowski bidimensional con la dos-esfera. Realizar también la redefinición * = 1, (31) la ecuación Klein-Gordon (10) se reduce a 2 ° = 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • = 0, (32) donde el laplaciano es el operador de la laplacia en la dos-esfera. Para un armónico esférico dado con el número cuántico orbital l, el re- la ecuación de Klein-Gordon es por lo tanto (l + 1/2)2°l = 0, (33) con el operador Dalembertian 22 en M2. También, para un determinado esférico armónico la norma cuatro-dimensional Klein-Gordon reduce a la norma M2: 2 = 1 gg0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Dxl * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (34) Por lo tanto, el problema de la propagación de ondas en el vacío de dilato lineal reduce a la propagación de eigenmodes de un campo libre Klein-Gordon en dos dimensiones siones, con masa efectiva μ = l+1/2. Es evidente que no hay reflexión, por lo que el vacío de dilaton lineal no irradia y por lo tanto su temple Hawking- ature desaparece, contrariamente al valor de gravedad superficial ingenuo (6). A similar el razonamiento se mantiene en las dimensiones 2+1 para el vacío BTZ [6] (M = L = 0), que es conforme a M2 × S1. Hemos demostrado que un cálculo analítico completo de la radia- espectro de ciones es posible para soluciones lineales de agujeros negros dilaton de EMD. Por agujeros negros masivos, esto lleva en el régimen de alta frecuencia a un Planckian distribución con una temperatura independiente de la masa del agujero negro, en ac- cordón con el valor de gravedad de la superficie. Por otro lado, encontramos que los agujeros negros extremos, sin masa no irradian, resolviendo así la paradoja presentado por aparentemente caliente (si se toma la temperatura de gravedad superficial en serio) pero agujeros negros sin masa. Agradecimientos: J.C.F. agradece al LAPTH por la cálida hospitalidad durante la elaboración de este trabajo. También agradece a CNPq (Brasil) por apoyo parcial. J.C.F. y G.T.M. gracias a los científicos franco-brasileños CAPES/COFECUB para una ayuda financiera parcial. Bibliografía [1] N.D. Birrell y P.C.W. Davies, Campos cuánticos en espacio curvo, Cambridge University Press, Cambridge (1982). [2] S.W. Hawking, Commun. Matemáticas. Phys. 43 (1975) 199. [3] W.G. Unruh, Phys. Rev. D14 (1976) 870. [4] D. Page, Phys. Rev. D13 (1976) 198. [5] W.G. Unruh, Phys. Rev. D14 (1976) 3251. [6] M. Bañados, C. Teitelboim y J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1849. [7] K. Ghoroku y A.L. Larsen, Phys. Lett. B328 (1994) 28. [8] M. Natsuume, N. Sakai y M. Sato, Mod. Phys. Lett. A11 (1996) 1467. [9] D. Birmingham, I. Sachs y S. Sen, Phys. Lett. B413 (1997) 281. [10] K.C.K. Chan, J.H. Horne y R.B. Mann, Nucl. Phys. B447 (1995) [11] G. Clément y C. Leygnac, Phys. Rev. D70 (2004) 084018. [12] G.W. 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Calculamos exactamente el espectro de radiación semiclásico para una clase de no asintóticamente plana carga agujeros negros dilaton, el llamado lineal agujeros negros dilaton. En el régimen de alta frecuencia, la temperatura para estos los agujeros negros concuerdan genéricamente con el resultado de la gravedad superficial. En el especial caso donde el agujero negro es sin masa, mostramos que, aunque la superficie gravedad sigue siendo finita, no hay radiación, de acuerdo con el hecho de que Los objetos sin masa no pueden irradiar.

LAPTH-1178/07 Radiación de halcón de agujeros negros de dilato lineal G. Clémenta*, J.C. Fabrisb† y G.T. Marquesa,b‡ aLaboratoire de Physique Théorique LAPTH (CNRS), B.P.110, F-74941 Annecy-le-Vieux cedex, Francia b Departamento de Física, Universidad Federal del Esrito Santo, Vitória, 29060-900, Esrito Santo, Brasil 3 de abril de 2007 Resumen Calculamos exactamente el espectro de radiación semiclásico para un clase de agujeros negros de dilaton no asintóticamente plano, el tan- llamado dilaton lineal agujeros negros. En el régimen de alta frecuencia, el temperatura para estos agujeros negros concuerda genéricamente con la superficie el resultado de gravedad. En el caso especial donde el agujero negro es sin masa, muestra que, aunque la gravedad superficial sigue siendo finita, hay sin radiación, de acuerdo con el hecho de que los objetos sin masa no pueden irradiar. Correo electrónico: gclement@lapp.in2p3.fr Correo electrónico: fabris@cce.ufes.br Correo electrónico: gtadaiesky@cce.ufes.br http://arxiv.org/abs/0704.0399v1 La teoría cuántica del campo en el espacio-tiempo curvo predice nuevos fenómenos tales como emisión de partículas por un agujero negro [1]. Esto se debe al hecho de que el vac- uum para un campo cuántico cerca del horizonte es diferente de la del observador vacío en el infinito espacial. Un observador lejano recibe así de un negro un flujo constante de partículas que exhiben, en el régimen de alta frecuencia, un espectro corporal negro con una temperatura proporcional a la superficie grav- ity [2]. Aunque la derivación original de Hawking de este agujero negro evaporación unruh [3] mostró que el mismo los resultados se obtienen cuando el colapso se sustituye por un límite adecuado condiciones en el horizonte de un eterno agujero negro. En el semiclásico ap- proximación, el espectro de radiación del agujero negro puede ser evaluado por com- por la que se ponen los coeficientes de Bogoliubov relativos a las dos vacuas. Un equivalente procedimiento es calcular los coeficientes de reflexión y absorción de una onda por el agujero negro. Por lo general, la ecuación de onda no se puede resolver exactamente, y hay que recurrir a las soluciones coincidentes en una región de solapamiento entre el regiones cercanas al horizonte y asintóticas [4, 5]. En el caso especial de la (2+1)- dimensional BTZ agujero negro [6], una solución exacta de la ecuación de onda es disponible, que permite un cálculo exacto del espectro de radiación, que conduce a la temperatura de Hawking [7, 8, 9]. En esta carta, discutimos otro caso de agujeros negros también permitiendo un cálculo semiclásico exacto de su espectro de radiación, el de lin- soluciones de agujeros negros de dilato de oído a la teoría de dilato de Einstein-Maxwell (EMD) en cuatro dimensiones. Los agujeros de dilatón lineal negro son un caso especial de la clase más general de soluciones de agujero negro no asintóticamente planas a EMD [10, 11], que presentamos por primera vez brevemente. Discutimos la evaporación de estos no asintóticamente planos agujeros negros y mostrar que o se derrumban a un singularidad desnuda en un tiempo finito, o evaporarse en un tiempo infinito. Nosotros entonces. especializado en dilaton lineal agujeros negros, y esbozar la computa- sión de su espectro de radiación. Para agujeros negros masivos, este cálculo En el régimen de alta frecuencia, conduce a la misma temperatura que es ob- contenido en la gravedad de la superficie. Sin embargo, en el caso de extrema masa agujeros negros, encontramos que, aunque la gravedad de la superficie sigue siendo finita, allí no hay radiación, de acuerdo con el hecho de que un objeto sin masa no puede irradiar. La DME se define mediante la siguiente acción: R - 2 e - 2 F , (1) en el que el campo electromagnético es el campo electromagnético, y el campo dilatónico, con cou- plling constante α. Esta teoría admite soluciones estáticas esféricas simétricas Representando agujeros negros. Entre estas soluciones de agujero negro hay asymp- tóticamente planos [12, 13] así como configuraciones planas no asintóticas [10, 11]. En el presente trabajo, estamos interesados en el no-asintótico soluciones de agujeros negros planos ds2 = rγ(r − b) dt2 − rγ(r − b) dr2 + r(r − b)d , (2) 1 + γ Dr. Dtt, e2 = ν2 . 3) 1− α2 1 + α2 . 4) Las constantes b y r0 están relacionadas con la masa y con la carga eléctrica de el agujero negro a través M = (1− γ)b/4, Q = 1 + γ . 5) Las soluciones (2),(3) interpolan entre la solución de Schwarzschild para γ = −1 (α2 → فارسى) y la solución de Bertotti-Robinson para γ = +1 (α2 = 0). Para b > 0 el horizonte en r = b oculta la singularidad en r = 0, mientras que en el agujero negro extremo caso b = 0 el horizonte coincide con la singularidad. Este es un caso curioso, con una masa que desaparece pero una carga eléctrica finita. Por −1 < γ < 0 (α2 > 1) la singularidad central es temporal y claramente desnuda [11]. Por otra parte, para 0 ≤ γ < 1 (0 < α2 ≤ 1), la singularidad central es nulo y marginalmente atrapado [14], por lo que las señales procedentes del centro nunca llegar a los observadores externos. Así, en este caso, los agujeros negros extremos pueden seguir siendo considerados como agujeros negros de hecho. La temperatura estadística de Hawking de los agujeros negros (2), computada como habitual dividiendo la gravedad de la superficie por 2η es dada por . 6) Es finito para todos γ si b 6= 0. Para b = 0 y −1 < γ < 0 ( singularidad desnuda). la temperatura es infinita, mientras que para b = 0 y 0 < γ < 1 (negro extremo) agujero), la temperatura desaparece. El caso b = γ = 0 es intrigante. Aunque esto es un negro extremo agujero, la situación es diferente de la de negro extremo asintóticamente plano agujeros. La geometría euclidiana extrema cerca del horizonte Reissner-Nordström es cilíndrico, en lugar de cónico, por lo que su temperatura estadística es ar- bitrary, contrariamente al valor cero derivado de la gravedad superficial [15]. En el presente caso la continuación euclidiana bidimensional de la métrica (2) con γ = 0 claramente tiene una singularidad cónica en r = b para todos los valores de b, incluyendo b = 0, llevando para este agujero negro extremo particular a lo finito temperatura TH = 1/4ηr0, de acuerdo con el valor (6). Sin embargo, este El resultado es cuestionable. Un agujero negro con horizonte puntiagudo y masa cero claramente no puede irradiar, por lo que uno debería esperar más bien que su temperatura sea cero. Volveremos a esta cuestión en este momento. A medida que los agujeros negros (2) irradian, pierden masa de acuerdo con la ley de Stefan = AhT 4H, (7) donde es la constante de Stefan, y Ah = 4 1 es el área del horizonte. Suponiendo que sólo se irradian quanta eléctricamente neutrales, (7) implica que la superficie del horizonte disminuye según (4η)3(1− γ) −3(1) 1+3γ, (8) que se resuelve por b(t) = r0 t− t0 )-1/3γ (γ 6= 0), b(t) = r0 exp t− t0 (γ = 0), (9) donde c = 3▼/16η3, y t0 es una constante de integración. El resultado de Apunta en el signo de γ. Para γ < 0, la temperatura de Hawking aumenta con disminución de la masa y el agujero negro colapsa a una singularidad desnuda (o eva- se aleja por completo en el caso Schwarzschild γ = −1) en un tiempo finito de acuerdo con b (t0 − t)1/3. Por otra parte, para γ ≥ 0, el Hawking disminución de la temperatura (o es constante para γ = 0) con masa decreciente, y el agujero negro se evapora en un tiempo infinito, alcanzando el extremo negro estado del agujero b = 0 sólo asintóticamente. Ahora procedemos a una evaluación más precisa de la temperatura de asintóticamente planos agujeros negros del estudio de la dispersión de la onda en estos Tiempos espaciales. La ecuación de la onda 2 ° = 0 (10) no permite genéricamente una solución exacta en los tiempos espaciales (2). ¿Cómo...? siempre, se puede resolver analíticamente [16] en el caso del dilatón lineal negro agujeros con γ = 0 y b 6= 0, con la métrica ds2 = r − b dt2 − r − b dr2 + r(r − b)d , (11) Considerando los eigenmodes armónicos * (x) = * (r, t) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * −t, (12) Obtenemos la siguiente ecuación radial: r − b) r − b − l(l + 1) R = 0 (13) (2 2r20). Poniendo , R = yif, (14) reduce (13) a la ecuación y(1−y)Ł2yf+ 1+2i2(1+ i)y 2− i 2−1/4 f = 0, (15) 2 = 2 − (l + 1/2)2. 16) Esta es una ecuación hipergeométrica y(1− y)­2yf + c− (a+ b+ 1)y •yf − abf = 0, (17) + i( + ), b = + i( − ), c = 1 + 2i. (18) Se deduce que la solución general de la ecuación (13) es R = C1 r − b + i( + ), + i( − ), 1 + 2i; b− r r − b ) -i − i( + ), 1 − i( − ), 1 − 2i; b− r .(19) Poniendo r − b = ex/r0, (20) la onda parcial cerca del horizonte (x→ ) es así (x−t) +C2e−iفارسى(x+t). (21) Para obtener el comportamiento de la onda parcial cerca de infinito espacial, debemos ampliar las soluciones de (15) en las funciones hipergeométricas del argumento 1/y. La transformación relevante es F (a, b, c; y) = (c)(b)(a) b) c - a) (−y)−aF (a, a+1−c, a+1−b; 1/y) (c)(a − b) * a) c - b) (−y)−bF (b, b+ 1− c, b+ 1− a; 1/y). (22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Esto lleva al comportamiento asintótico )-1/2( i(lxt) +B2e −i(lxt) (l= /r0), donde las amplitudes de la salida y entrada asintótica las ondas B1 y B2 están relacionadas con las amplitudes de la y las ondas entrantes C1 y C2 por B1 = (2i) (1 + 2i) (1/2 + i( + ))2 (1 - 2i) (1/2 − i( − ))2 B2 = (−2i) (1 + 2i) (1/2 + i( − ))2 (1 - 2i) (1/2− i( + ))2 . (24) La radiación de Hawking puede ser considerada como el proceso inverso de dispersión por el agujero negro, con la condición límite asintótica B1 = 0 (la el modo de salida está ausente). El coeficiente de reflexión por el agujero negro es a continuación, dado por C12 C22 (1/2 + i( + ))22 (1/2 + i( − ))22 Cosh2 ( − ) Cosh2 ( + ) . (25) El espectro de radiación resultante es = (e•/TH − 1)−1. 26) Para frecuencias altas, = /r0, y nos recuperamos de (25) el Hawking temperatura calculada a partir de la gravedad superficial, . (27) El cálculo anterior falla en el caso de vacío de dilaton lineal b = 0. La cuestión de asignar una temperatura a tales agujeros negros sin masa podría de ser evacuados argumentando que no pueden ser formados, ya sea a través de colapso tral de la materia, o (como hemos visto anteriormente) a través de la evaporación de agujeros negros masivos. No obstante, como cuestión de principio, hay que sider la posibilidad de agujeros negros sin masa primordial. Del General ley de temperatura (6) estos deben tener una temperatura finita. Por otro lado mano, siendo sin masa no pueden irradiar energía lejos, por lo que su temperatura Debería desaparecer. La cuestión se puede resolver resolviendo el sin masa Klein-Gordon equa- en la métrica (11) con b = 0, ds2 = dt2 − r0 dr2 − r0rd (28) Esta métrica puede ser reescrita como ds2 = Ł2 d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-e-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- , (29) x = ln(r/r0), x/2, (30) mostrando que la métrica de vacío de dilaton lineal es conforme al producto M2 × S2 de un espacio-tiempo Minkowski bidimensional con la dos-esfera. Realizar también la redefinición * = 1, (31) la ecuación Klein-Gordon (10) se reduce a 2 ° = 3 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # • = 0, (32) donde el laplaciano es el operador de la laplacia en la dos-esfera. Para un armónico esférico dado con el número cuántico orbital l, el re- la ecuación de Klein-Gordon es por lo tanto (l + 1/2)2°l = 0, (33) con el operador Dalembertian 22 en M2. También, para un determinado esférico armónico la norma cuatro-dimensional Klein-Gordon reduce a la norma M2: 2 = 1 gg0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Dxl * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (34) Por lo tanto, el problema de la propagación de ondas en el vacío de dilato lineal reduce a la propagación de eigenmodes de un campo libre Klein-Gordon en dos dimensiones siones, con masa efectiva μ = l+1/2. Es evidente que no hay reflexión, por lo que el vacío de dilaton lineal no irradia y por lo tanto su temple Hawking- ature desaparece, contrariamente al valor de gravedad superficial ingenuo (6). A similar el razonamiento se mantiene en las dimensiones 2+1 para el vacío BTZ [6] (M = L = 0), que es conforme a M2 × S1. Hemos demostrado que un cálculo analítico completo de la radia- espectro de ciones es posible para soluciones lineales de agujeros negros dilaton de EMD. Por agujeros negros masivos, esto lleva en el régimen de alta frecuencia a un Planckian distribución con una temperatura independiente de la masa del agujero negro, en ac- cordón con el valor de gravedad de la superficie. Por otro lado, encontramos que los agujeros negros extremos, sin masa no irradian, resolviendo así la paradoja presentado por aparentemente caliente (si se toma la temperatura de gravedad superficial en serio) pero agujeros negros sin masa. Agradecimientos: J.C.F. agradece al LAPTH por la cálida hospitalidad durante la elaboración de este trabajo. También agradece a CNPq (Brasil) por apoyo parcial. J.C.F. y G.T.M. gracias a los científicos franco-brasileños CAPES/COFECUB para una ayuda financiera parcial. Bibliografía [1] N.D. Birrell y P.C.W. Davies, Campos cuánticos en espacio curvo, Cambridge University Press, Cambridge (1982). [2] S.W. Hawking, Commun. Matemáticas. Phys. 43 (1975) 199. [3] W.G. Unruh, Phys. Rev. D14 (1976) 870. [4] D. Page, Phys. Rev. D13 (1976) 198. [5] W.G. Unruh, Phys. Rev. D14 (1976) 3251. [6] M. Bañados, C. Teitelboim y J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1849. [7] K. Ghoroku y A.L. Larsen, Phys. Lett. B328 (1994) 28. [8] M. Natsuume, N. Sakai y M. Sato, Mod. Phys. Lett. A11 (1996) 1467. [9] D. Birmingham, I. Sachs y S. Sen, Phys. Lett. B413 (1997) 281. [10] K.C.K. Chan, J.H. Horne y R.B. Mann, Nucl. Phys. B447 (1995) [11] G. Clément y C. Leygnac, Phys. Rev. D70 (2004) 084018. [12] G.W. 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The S-Matrix of AdS/CFT and Yangian Symmetry

arXiv:0704.400v4 [nlin.SI] 27 Mar 2008 arxiv:0704.400 AEI-2007-019 La matriz S de AdS/CFT y la simetría Yangiana Niklas Beisert Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik Albert-Einstein-Institut Am Mühlenberg 1, 14476 Potsdam, Alemania nbeisert@aei.mpg.de Resumen Revisamos la construcción algebraica de la matriz S de AdS/CFT. Nosotros también presentar su álgebra de simetría que resulta ser un Yangian de la su(22) superálgebra extendida centralmente. 1 Introducción y panorama general El ansatz de Bethe [1] para resolver un modelo unidimensional integrable fue y sigue siendo un potente herramienta en la física teórica contemporánea: hace 75 años resolvió uno de los los primeros modelos de la mecánica cuántica, la cadena de hilado Heisenberg [2]; hoy en día proporciona soluciones exactas para los espectros de ciertas teorías de calibrador y cuerdas y por lo tanto nos ayuda entender mejor su dualidad [3]. Desde el descubrimiento de estructuras integrables en plano N = 4 teoría del calibrador supersimétrico [4] y en teoría de cuerdas IIB plana sobre AdS5×S5 [5] las herramientas para calcular y comparar los espectros de ambos modelos han evolucionado rápidamente. Ahora tenemos ecuaciones completas de Betes asintóticas [6, 7] que interpolan suavemente entre los regímenes perturbadores en la teoría del calibrador y de las cuerdas y que están de acuerdo con todos datos disponibles. En esta nota nos centraremos en la S-matriz [8] en la imagen de excitación por encima de un ferro- estado magnético del suelo. Comenzamos por revisar la construcción algebraica de la S-matriz in Sec. 2. In Sec. 3 posteriormente mostramos que esta S-matriz tiene de hecho una simetría más grande álgebra: un Yangian. http://arxiv.org/abs/0704.400v4 2 La álgebra envolvente universal U(su(22)R2) En esta sección, los resultados sobre la matriz S de AdS/CFT se revisarán a partir de Punto de vista gebraico. La simetría aplicable es una extensión central h de la Mentira su(22) superálgebra que consideramos primero. Continuamos presentando el Hopf al- estructura de gebra de su álgebra envolvente universal y su representación fundamental. Finalmente, comentamos sobre la S-matriz y su factor de fase de apósito. Mentira Superálgebra. La simetría en la imagen de excitación para la teoría de cuerdas de cono de luz sobre AdS5×S5 y para operadores locales de una sola trayectoria en N = 4 teoría del gálibo supersimétrico es dado por dos copias de la Lie superálgebra [9, 10] h := su(22) R2 = psu(22) R3. (2.1) Es una extensión central de los superálgebras de Lie estándar su(22) o psu(22), véase [11]. Se genera por los generadores su(2)× su(2) Rab, L®, las supercargas Qαb, Saβ y las cargas centrales C, P, K. Los soportes Lie de los generadores su(2) toman el estándar [Rab,R d] =  d • adRcb, [Lâ,Lâ,Lâ,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá) L − L, [Rab, Q d] = adQγb + 12 d, [L d] = d − 12 [Rab,S (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) - 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- , [L Scβ + 12 - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? (2.2) Los soportes de la mentira de dos supercargas de rendimiento {Qαb,Sc = ­cbL + Rcb + ­cb C, {Qαb,Qγd} = bdP, {Saβ,Sc = ŁacK. 2.3) Los soportes de Mentira restantes desaparecen. Cuando proceda, utilizaremos el símbolo colectivo JA para los generadores. La mentira a continuación, los corchetes toman la forma estándar [JA, JB] = FABC J C. (2.4) Para la simplicidad de la notación, pretenderemos que todos los generadores son bosónicos; el general- sión a los generadores fermiónicos mediante la inserción de signos adecuados y conmutadores graduados es - Sí, claro. Hopf Álgebra. A continuación consideramos el álgebra envolvente universal U(h) de h. la construcción del producto es estándar, y uno identifica los soportes de la mentira (2.4) con Conmutadores clasificados. Para el coproducto se puede introducir un trenzado no trivial [12,13] JA = JA 1 + U [A] JA (2.5) Rab = R b 1 + 1 Rab, L = L β 1 + 1 L®, Qαb = Q b 1 + U+1 Qαb, Saβ = S β 1 + U−1 Saβ, C = C 1 + 1 C, P = P 1 + U+2 P, K = K 1 + U−2 K, U = U U. Tabla 1: Coproducto del álgebra envolvente universal trenzada U(h). con algunos abelian1 generador U (a priori no relacionado con el álgebra) y la clasificación [R] = [L] = [C] = 0, [Q] = +1, [S] = −1, [P] = +2, [K] = −2. (2.6) El coproducto se escribe en Tab. 1 para los generadores individuales. La clasificación anterior se deriva de la carga Cartana del automorfismo sl(2) [11] del álgebra h y Por lo tanto, el coproducto es compatible con las relaciones de álgebra. Debemos definir las estructuras restantes del álgebra Hopf: el antipode S y la counidad [12,13]. El antipodo es un anti-homomorfismo que actúa sobre los generadores S(1) = 1, S(U) = U−1, S(JA) = −U−[A]JA. (2.7) La unidad actúa no trivialmente sólo en 1 y U *(1) = (U) = 1, (JA) = 0. (2.8) Cocomputatividad. Este coproducto no es, en general, cuasi-cocommutativo como puede ser Ily ser visto por considerar los cargos centrales P, K en Tab. 1. Para que sea cuasi-cocommu- itative tenemos que satisfacer las limitaciones [12] 1− U+2 1− U+2 P, K 1− U−2 1− U−2 K. (2.9) Se resuelven identificando las cargas centrales P, K con el factor de trenzado U como sigue [13] P = gα 1− U+2 , K = g1 1− U−2 . (2.10) Esto conduce a la siguiente restricción cuadrática PK− g1P− gαK = 0. (2.11) Además, en [14] se demostró que el coproducto es cuasi-triangular, al menos en el nivel de las cargas centrales, véase también [15]. 1Curiosamente, podemos incluir la clasificación supersimétrica (−1)F en el generador U para imponer manualmente las estadísticas correctas. Esto es útil para una implementación dentro de un sistema de álgebra computacional. En este El caso U se anticomputaría con generadores fermiónicos. Representación fundamental. El álgebra h tiene una representación de cuatro dimensiones [10] que llamaremos fundamental. El múltiplo correspondiente tiene dos estados bosónicos a y dos estados fermiónicos. La acción de los dos conjuntos de generadores su(2) tiene que ser canónico Rabâcá = lâcb aâ − 12 b c, L = − 12 β. (2.12) Los generadores de supersimetría también deben actuar de manera covariante manifiestamente su(2)×su(2) Qαab = un ba, Qαa = b abb, Sab = c ab, Sa = d a. (2.13) Podemos escribir los cuatro parámetros a, b, c, d usando los parámetros x±, γ y las constantes g, α como g γ, b = , c = , d = . (2.14) Los parámetros x± (junto con γ) etiquetan la representación y deben obedecer la restricción − x− − 1 . (2.15) Las tres cargas centrales C, P, K y U están representadas por los valores C, P, K y U que decía: 1 + 1/x+x− 1− 1/x+x−, P = gα , K = , U = . (2.16) Además obedecen la relación cuadrática C2−PK = 1 . Tenga en cuenta que el correspondiente Combinación cuadrática de las cargas centrales C2−PK se distingue por ser invariante bajo el automorfismo externo sl(2). Fundamental S-Matrix. En [10,14] una matriz S que actúa sobre el producto tensor de dos se derivaron representaciones fundamentales. Se construyó mediante la imposición de la invarianza bajo el álgebra h [JA,S] = 0. (2.17) No vamos a reproducir el resultado aquí, se da en [14]. Tenga en cuenta que tenemos que arreglar el Parámetros • = U = x+/x− para que la acción de los generadores sea compatible con el coproducto (2.5).2 2Esta identificación elimina todos los factores de trenzado de la matriz S en [14] que satisfarán así el ecuación estándar Yang-Baxter (matriz), véase también [10, 16, 17]. Esta S-matrix tiene varias propiedades interesantes. En primer lugar, no es de forma diferente; no puede escribirse en función de la diferencia de algunos parámetros espectrales. Sec- A la vez, la matriz S podría determinarse de forma única hasta una función general meramente por imponer una simetría de tipo de mentira (2.17) [10]. Este hecho inusual está relacionado con un hecho inusual característica de la teoría de la representación del álgebra h: El producto tensor de dos fundamentales las representaciones son irreductibles en casi todos los casos [14]. Es curioso que esta matriz S sea equivalente a la matriz R de Shastry [18] de la matriz monodimen- modelo scional Hubbard [19]. Además, las ecuaciones de Bethe [10] contienen dos copias de las ecuaciones Lieb-Wu para el modelo Hubbard [20]. Estas observaciones de [14] • un vínculo entre un importante modelo de física de la materia condensada y la teoría de las cuerdas; (complementaria a la de [21]). Finalmente, notemos que uno puede derivar (asintótico) las ecuaciones de Bethe de la S- matriz y así confirmar la conjetura en [6]. Hasta ahora este paso se ha realizado en dos maneras diferentes: por medio de la coordenada anidada [10] y el algebraico [17] Bethe Ansatz. Factor de fase. El factor de fase global restante de la matriz S claramente no puede ser El factor de fase se calculó a algunos aproximación de la teoría del calibrador [22] y de la teoría de cuerdas [23]. El problema de un factor de fase algebraicamente indeterminado es de hecho genérico. Usualmente se impone otro cruce de la relación de simetría para obtener una restricción sobre ella. De hecho, la fase de cadena conocida el factor es consistente con la simetría de cruce [24], como se demostró en [25]. Sustituyendo una ansatz adecuado [26] para el factor de fase en la relación de simetría de cruce una conjetura para el factor de fase de todos los pedidos en el acoplamiento fuerte se hizo en [27]. En [7] se presentó una correspondiente expansión de todos los pedidos en el acoplamiento débil. Los se obtuvo por una especie de continuación analítica en la perturbación orden de la serie. Ilustremos este principio a través de un ejemplo muy simple: Considere la función racional f(x) = 1/(1−x). Tiene las siguientes expansiones en x = 0 y en x = n, f(x) −n (2.18) con a = 1 y bn = −1. Cuando consideramos a y bn como funciones analíticas de la índice, podemos hacer la observación (“reciprocidad”) a = −b−n. (2.19) Por supuesto hay varias maneras en que las dos funciones +1 y −1 podrían estar relacionadas, ¡pero la elección (2.19) parece funcionar para una clase sorprendentemente grande de funciones!3 En el [30] se demostró que sí se aplica a la expansión conjeturada del factor fase. Muy frecuentes expresiones integrales útiles para la fase han aparecido recientemente en [31]. El análisis expresión de la fase de apósito se puede obtener formalmente de la psu(2, 24) Bethe 3Entre otros ejemplos físicos, hemos identificado bucles circulares Maldacena-Wilson [28] y no- teoría crítica de cuerdas [29] en la que se puede aplicar esta reciprocidad. Por otra parte, el resumen de la Euler- La fórmula MacLaurin (también conocida como regularización de la función zeta) es coherente con ella. Le doy las gracias a Curt. Callan, Marcos Mariño y Tristan McLoughlin para discutir este principio. ecuaciones [32] (véase, sin embargo, el apéndice D en [33]) en analogía con el enfoque covariante de [34, 21, 35]. Si bien esta propuesta puede parecer alentadora en general, está en al mismo tiempo extraño desde el punto de vista del álgebra Hopf para utilizar una matriz S que hace no obedecer la relación de cruce [32]. Esto requiere nuevas investigaciones. Varias pruebas de la fase han aparecido recientemente, se basan en cuatro bucles unitarios métodos de dispersión [36], evaluación numérica [37, 38], métodos analíticos [37, 30, 39] y al tomar un determinado límite altamente no trivial [40]. 3 El Yangian Y(su(22) R2) En la sección investigamos la simetría Yangiana [41,42] para la matriz S arriba mencionada. Lo haremos. comenzar con una revisión muy breve de la simetría Yangiana para las matrices S genéricas (véase [43] para más extensas revisiones), y luego aplicamos el marco a la matriz S discutida arriba. Yangians y S-Matrices. Típicamente las simetrías de S-Matrices racionales son de Tipo Yangian. El Yangian Y(g) de una Lie álgebra g es una deformación de la universal álgebra envolvente de la mitad de la extensión afín de g. Más claramente, es generada por los g-generadores JA y los generadores Yangian A. Sus conmutadores toman la forma genérica [JA, JB] = FABC J [J.A., B.A.] = F.A.B.C. C, (3.1) y deben obedecer a las relaciones Jacobi y Serre J[A, [JB, JC]] J[A, [JB, â € ¢C]] [A, [B, JC]] 2fAGD f F FGHKJ {DJEJF}. (3.2) El símbolo fABC = gADgBEf C representa las constantes de la estructura f C con dos índices bajada por medio de la inversa de las formas cartán-matar gAD y gBE. Los corchetes { } y [ ] a nivel de los índices implica la simetría total y la antisimetría, respectivamente. Finalmente, ~ es un parámetro de escala cuyo valor no juega ningún papel físico. La primera dos relaciones conducen a una restricción en las constantes de la estructura fABC. La tercera relación una deformación de la relación Serre para extensiones afín de álgebras de Lie. El Yangian es un álgebra Hopf y el coproducto toma la forma estándar JA = JA 1 + 1 JA, A = A 1 + 1 A + 1 ~fABCJ B JC. (3.3) donde fABC = gBDf C. El antipodio S está definido por S(JA) = −JA, S(A) = A + 1 ~fABCf D, (3.4) 4Para g = su(2) tiene que ser reemplazado por una relación quártica. y la counidad toma la forma estándar *(1) = 1, *(JA) = *(A) = 0. (3.5) Para el estudio de sistemas integrables, las representaciones de evaluación del Yangian son de especial interés. Para estos la acción de los generadores Yangian â € A es proporcional a los generadores de Lie "Auá" = ~uJAuá. (3.6) Aquí u® es algún estado del módulo de evaluación con parámetro espectral u. Este Yangian representación es finita-dimensional si la g-representación es. Sólo hay que asegurarse de que que la relación de Serre (3.2) está satisfecha. Este no es el caso de todas las representaciones de todos los álgebras de Lie. El poder de la simetría Yangiana reside en el hecho de que el tensor los productos de las representaciones de evaluación son normalmente irreductibles (excepto para los valores especiales) de sus parámetros espectrales). Esto permite pruebas simples (p. ej. para el Yang-Baxter relación) por argumentos de la teoría de la representación. Consideremos finalmente la conexión con la matriz S. La matriz S es una permutación operador; actúa intercambiando dos módulos del álgebra S : V1 V2 → V2 V1. (3.7) En particular, para el producto tensor de dos módulos de evaluación uno tiene Su1, u2á u2, u1á. (3.8) Invarianza de la matriz S bajo los medios Yangian [JA,S] = [A,S] = 0 (3.9) para todos los generadores JA, â € A. La existencia de una matriz S de este tipo es equivalente a cocommutatividad de Y(g). Tenga en cuenta que sólo la diferencia de los parámetros espectrales aparece en la condición de invarianza: Podemos escribir la acción del coproducto de generadores Yangian sobre el módulo de evaluación A (u1 − u2)JA 1 + u2JA + ~fABCJB JC. (3.10) Aquí la primera ecuación en (3.9) asegura que el término proporcional a u2 cae de la segunda ecuación. Por lo tanto, la matriz S normalmente depende de la diferencia u1 − u2 de parámetros espectrales únicamente. Yangianos en AdS/CFT. Las simetrías Yangianas para el planar AdS/CFT han sido inves- tentado en [44], tanto para la teoría clásica de cuerdas como para la teoría de calibrado en el orden principal, Véase también [45] La simetría Yangiana también persiste en órdenes de perturbación más altas en ambos mod- els [22, 46] y es probable que también exista en el acoplamiento finito. Este Yangian puede ser entendido como una simetría del Hamiltoniano en una hoja infinita del mundo o como una extensión- sión de la matriz monodrómica completa. La simetría de la Mentira en esta imagen es psu(2, 24) y el Yangian sería Y(psu(2, 24)). Aquí consideramos una imagen diferente de excitaciones bien separadas en un ferromagnético estado del suelo y de su matriz de dispersión. En esta imagen la simetría de la mentira se reduce a dos copias de h y el Yangian correspondiente sería Y(h). Nuestro Yangian debería levantarse. como subalgebra de la Y Yangiana completa (psu(2, 24)) cuando actúa sobre la excitación asintótica estados. Hopf Álgebra. Consideremos ahora Y(h). Ya hemos estudiado lo universal. envolviendo álgebra U(h). Todo lo que todavía tenemos que hacer es introducir un generador A para cada uno JA obedeciendo las relaciones (3.1,3.2), y define su coproducto, el antipodo así como la counidad. En (2.5) hemos definido un coproducto trenzado para el álgebra envolvente universal. Para la coherencia con las relaciones Serre, también tenemos que aplicar un trenzado análogo a el coproducto estándar Yangian A = A 1 + U [A] A + ~fABCJBU [C] JC. (3.11) Tenga en cuenta que bajar un índice requiere utilizar la forma inversa Cartan-Matar del álgebra. En el caso de h la forma cartán-matar es degenerado y tenemos que extender el álgebra por el automorfismo externo sl(2), véase [14]. En efecto, la reducción de un índice conduce a una intercambio de los generadores de automorfismo con las cargas centrales. Nos abstenemos de deletreando la forma Cartan-Matar o las constantes de la estructura modificada. En lugar de eso, nosotros presentar el conjunto completo de coproductos de generadores Yangian en Tab. 2, donde nosotros también fijar el valor de ~. Por el bien de la integridad declaramos el antipode5 y la unidad S(A) = −U−[A]â € A, â € (A) = 0. (3.12) Cocomputatividad. Una pregunta importante es si este coproducto puede ser cuasi-cocom- Un primer paso es considerar los grupos electrógenos centrales. A tal efecto, es favorable a elegir combinaciones adecuadas = 1 g1P− 1 P = P C P− 2gα K = K C K− 2g1 , (3.13) para los cuales el coproducto casi trivializa = 1 + 1 , P = P 1 + U+2 P, K = K 1 + U−2 K. (3.14) La combinación ya es cocommutativa, y para hacer los generadores P, K cocommutativo tenemos que establecer como arriba en (2.9,2.10) P = iguPP, K® ′ = iguKK (3.15) con dos constantes universales uP y uK. Con esta elección, â € ¬, Pâ ·, Kâ € también se convierten en cocom- porque difieren de, P, K sólo por elementos centrales. 5Obsérvese que fA = 0 aquí, por lo que no hay ninguna contribución de los generadores de Lie. 6Los factores de trenzado en (3.11) resultan ser muy importantes para el Yangian. Puede ser fácilmente visto que sin ellos el coproducto no puede ser cuasi-cocommutativo. Esto está en contradistinción. al álgebra envolvente universal donde el trenzado, así como el coproducto sin trenzar son casi- cocommutativo. Rab = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R b 1 + 1 Rab Rac Rcb − 12R b Rac SaγU+1 Qγb − 12Q bU−1 Saγ ♥ab S γU+1 Qγd + 14 dU−1 Sdγ, * L = L = L = L = L = L = L = L = L = L = L = L β 1 + 1 L LÃ3 LÃ + 12L β L® QαcU−1 Scβ + 12S βU+1 Qαc Q cU−1 Sc ­U+1 Qoc, B = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = = Q = Q = Q = Q = Q = = = = = Q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b 1 + U+1 Qb La U+1 Qγb + 12Q b L RcbU+1 Qαc + 12Q c Rcb CU+1 Qαb + 12Q b C bdPU−1 Sdγ − 12 bdS γU+2 P, aβ = β 1 + U−1 aβ RacU−1 Scβ − 12S β Rac LU−1 Saγ − 12S γ L CU−1 Saβ − 12S β C AKU+1 AQC + 12 acQ cU−2 K, = 1 + 1 PU−2 K− 1 KU+2 P, P = P = 1 + U + 2 + P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − CU+2 P+P C, K = K 1 + U−2 K = K = + CU−2 K− K C. Cuadro 2: Coproducto de los generadores Yangian en Y(h). Representación de la evaluación fundamental. Por lo que respecta a la representación de la evaluación fundamental Enviamos el ansatz7 # AX # = ig(u+ u0) JAX # (3.16) En comparación con (3.13,3.15) podemos inferir que u tiene que estar relacionado con los parámetros de la representación fundamental por u = x+ + = x− + (x+ + x−)(1 + 1/x+x−). (3.17) Además uP y uK en (3.15) tienen que coincidir con la constante universal u0 = uP = uK. Como un aparte indicamos el valor propio de la combinación cuadrática − 1 PK® − 1 KP® = 1 ig(u+ u0). (3.18) Fundamental S-Matrix. Usando los coproductos en Tab. 2 hemos confirmado que el S-matrix también es invariante bajo todos los generadores Yangian [A,S] = 0. (3.19) Hemos utilizado un sistema de álgebra computacional para evaluar la acción del genero Yangian- Ators y la S-matriz.9 Para mostrar la invarianza se requiere un uso intensivo de la identidad (2.15). Superficialmente es muy sorprendente encontrar todas estas simetrías adicionales de la matriz S. Sin embargo, la razón más profunda debería ser que el coproducto es cuasi-cocommutativo. Nosotros han demostrado, por tanto, una cuasicocommutatividad al actuar sobre las representaciones fundamentales. Es interesante ver que la S-matriz se basa en la evaluación estándar represen- los estados del Yangian. Sin embargo, no es una función de la diferencia de espectral parámetros. Esta propiedad inusual se remonta al vínculo entre el param espectral- eter u y los parámetros de representación h x± en (3.17). Esta última está de nuevo relacionada con el trenzado en el coproducto (3.11). Como nuestra matriz S es equivalente [14] a la matriz R de Shastry, nuestro Yangian es presumiblemente una extensión de la simetría su(2)×su(2) Yangiana del modelo Hubbard encontrada en [47]. 4 Conclusiones y perspectivas En esta nota hemos revisado la construcción de la matriz S con la ampliación central su(22) simetría que aparece en el contexto de la correspondencia planar AdS/CFT y el modelo unidimensional Hubbard. Además, hemos demostrado que la S-matriz tiene una simetría Yangian adicional cuya estructura de álgebra Hopf que hemos presentado. Este Yangian no es un Yangian estándar, pero su coproducto necesita ser trenzado en orden de ser cuasi-cocommutativo. Este hecho está íntimamente relacionado con la existencia de un 7Creemos, pero no hemos verificado que esto sea compatible con las relaciones de Serre (3.2). 8Es concebible que un requisito de coherencia adicional fije el valor de u0, presumiblemente a cero. 9También hemos confirmado la invarianza del estado singlet encontrado en [10]. trillizo de cargas centrales con coproducto no trivial y conduce a la riqueza de inusual características de la S-matrix. En relación con el Yangian quedan muchos puntos por aclarar. La mayoría im- Portantemente la teoría de la representación necesita ser entendida. ¿Qué representaciones de h elevar a las representaciones de evaluación de Y(h)? A qué valores de los parámetros espectrales hacen sus productos tensores se vuelven reducibles? Esta información podría utilizarse para demostrar que el coproducto es cuasi-cocommutativo. También la ecuación Yang-Baxter para la matriz S debe seguir directamente. También podría dar un poco más de comprensión de la obligación de declara [48]. Entonces sería altamente deseable construir una matriz R universal para este Yangian y demostrar que es cuasi-triangular. Esto pondría grandes partes de la estructura integrable para las representaciones arbitrarias de este álgebra en tierra sólida mucho como para el caso de álgebras genéricas simples de Lie. Algunas preguntas más interesantes incluyen: ¿Es este Yangian el único cuasi-co- álgebra conmutativa Hopf basada en h? ¿Existe el doble Yangian [42] y lo que es ¿Su estructura? ¿Puede el sl(2) automorfismo del álgebra ser incluido en el Yangian nivel tal que el coproducto sea cuasi-cocommutativo? ¿Qué harían las representaciones? estar en este caso? Agradecimientos. Agradezco a C. Callan, D. Erkal, A. Kleinschmidt, P. Ko- roteev, N. MacKay, M. Mariño, T. McLoughlin, J. Plefka, F. Spill y B. Zwiebel para discusiones interesantes. Bibliografía [1] H. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931). [2] W. Heisenberg, Z. 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Revisamos la construcción algebraica de la matriz S de AdS/CFT. Nosotros también. presentar su álgebra de simetría que resulta ser un Yangian de la central extended su(22) superálgebra.

Introducción y panorama general El ansatz de Bethe [1] para resolver un modelo unidimensional integrable fue y sigue siendo un potente herramienta en la física teórica contemporánea: hace 75 años resolvió uno de los los primeros modelos de la mecánica cuántica, la cadena de hilado Heisenberg [2]; hoy en día proporciona soluciones exactas para los espectros de ciertas teorías de calibrador y cuerdas y por lo tanto nos ayuda entender mejor su dualidad [3]. Desde el descubrimiento de estructuras integrables en plano N = 4 teoría del calibrador supersimétrico [4] y en teoría de cuerdas IIB plana sobre AdS5×S5 [5] las herramientas para calcular y comparar los espectros de ambos modelos han evolucionado rápidamente. Ahora tenemos ecuaciones completas de Betes asintóticas [6, 7] que interpolan suavemente entre los regímenes perturbadores en la teoría del calibrador y de las cuerdas y que están de acuerdo con todos datos disponibles. En esta nota nos centraremos en la S-matriz [8] en la imagen de excitación por encima de un ferro- estado magnético del suelo. Comenzamos por revisar la construcción algebraica de la S-matriz in Sec. 2. In Sec. 3 posteriormente mostramos que esta S-matriz tiene de hecho una simetría más grande álgebra: un Yangian. http://arxiv.org/abs/0704.400v4 2 La álgebra envolvente universal U(su(22)R2) En esta sección, los resultados sobre la matriz S de AdS/CFT se revisarán a partir de Punto de vista gebraico. La simetría aplicable es una extensión central h de la Mentira su(22) superálgebra que consideramos primero. Continuamos presentando el Hopf al- estructura de gebra de su álgebra envolvente universal y su representación fundamental. Finalmente, comentamos sobre la S-matriz y su factor de fase de apósito. Mentira Superálgebra. La simetría en la imagen de excitación para la teoría de cuerdas de cono de luz sobre AdS5×S5 y para operadores locales de una sola trayectoria en N = 4 teoría del gálibo supersimétrico es dado por dos copias de la Lie superálgebra [9, 10] h := su(22) R2 = psu(22) R3. (2.1) Es una extensión central de los superálgebras de Lie estándar su(22) o psu(22), véase [11]. Se genera por los generadores su(2)× su(2) Rab, L®, las supercargas Qαb, Saβ y las cargas centrales C, P, K. Los soportes Lie de los generadores su(2) toman el estándar [Rab,R d] =  d • adRcb, [Lâ,Lâ,Lâ,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá,Lá) L − L, [Rab, Q d] = adQγb + 12 d, [L d] = d − 12 [Rab,S (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) - 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- 12- , [L Scβ + 12 - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? (2.2) Los soportes de la mentira de dos supercargas de rendimiento {Qαb,Sc = ­cbL + Rcb + ­cb C, {Qαb,Qγd} = bdP, {Saβ,Sc = ŁacK. 2.3) Los soportes de Mentira restantes desaparecen. Cuando proceda, utilizaremos el símbolo colectivo JA para los generadores. La mentira a continuación, los corchetes toman la forma estándar [JA, JB] = FABC J C. (2.4) Para la simplicidad de la notación, pretenderemos que todos los generadores son bosónicos; el general- sión a los generadores fermiónicos mediante la inserción de signos adecuados y conmutadores graduados es - Sí, claro. Hopf Álgebra. A continuación consideramos el álgebra envolvente universal U(h) de h. la construcción del producto es estándar, y uno identifica los soportes de la mentira (2.4) con Conmutadores clasificados. Para el coproducto se puede introducir un trenzado no trivial [12,13] JA = JA 1 + U [A] JA (2.5) Rab = R b 1 + 1 Rab, L = L β 1 + 1 L®, Qαb = Q b 1 + U+1 Qαb, Saβ = S β 1 + U−1 Saβ, C = C 1 + 1 C, P = P 1 + U+2 P, K = K 1 + U−2 K, U = U U. Tabla 1: Coproducto del álgebra envolvente universal trenzada U(h). con algunos abelian1 generador U (a priori no relacionado con el álgebra) y la clasificación [R] = [L] = [C] = 0, [Q] = +1, [S] = −1, [P] = +2, [K] = −2. (2.6) El coproducto se escribe en Tab. 1 para los generadores individuales. La clasificación anterior se deriva de la carga Cartana del automorfismo sl(2) [11] del álgebra h y Por lo tanto, el coproducto es compatible con las relaciones de álgebra. Debemos definir las estructuras restantes del álgebra Hopf: el antipode S y la counidad [12,13]. El antipodo es un anti-homomorfismo que actúa sobre los generadores S(1) = 1, S(U) = U−1, S(JA) = −U−[A]JA. (2.7) La unidad actúa no trivialmente sólo en 1 y U *(1) = (U) = 1, (JA) = 0. (2.8) Cocomputatividad. Este coproducto no es, en general, cuasi-cocommutativo como puede ser Ily ser visto por considerar los cargos centrales P, K en Tab. 1. Para que sea cuasi-cocommu- itative tenemos que satisfacer las limitaciones [12] 1− U+2 1− U+2 P, K 1− U−2 1− U−2 K. (2.9) Se resuelven identificando las cargas centrales P, K con el factor de trenzado U como sigue [13] P = gα 1− U+2 , K = g1 1− U−2 . (2.10) Esto conduce a la siguiente restricción cuadrática PK− g1P− gαK = 0. (2.11) Además, en [14] se demostró que el coproducto es cuasi-triangular, al menos en el nivel de las cargas centrales, véase también [15]. 1Curiosamente, podemos incluir la clasificación supersimétrica (−1)F en el generador U para imponer manualmente las estadísticas correctas. Esto es útil para una implementación dentro de un sistema de álgebra computacional. En este El caso U se anticomputaría con generadores fermiónicos. Representación fundamental. El álgebra h tiene una representación de cuatro dimensiones [10] que llamaremos fundamental. El múltiplo correspondiente tiene dos estados bosónicos a y dos estados fermiónicos. La acción de los dos conjuntos de generadores su(2) tiene que ser canónico Rabâcá = lâcb aâ − 12 b c, L = − 12 β. (2.12) Los generadores de supersimetría también deben actuar de manera covariante manifiestamente su(2)×su(2) Qαab = un ba, Qαa = b abb, Sab = c ab, Sa = d a. (2.13) Podemos escribir los cuatro parámetros a, b, c, d usando los parámetros x±, γ y las constantes g, α como g γ, b = , c = , d = . (2.14) Los parámetros x± (junto con γ) etiquetan la representación y deben obedecer la restricción − x− − 1 . (2.15) Las tres cargas centrales C, P, K y U están representadas por los valores C, P, K y U que decía: 1 + 1/x+x− 1− 1/x+x−, P = gα , K = , U = . (2.16) Además obedecen la relación cuadrática C2−PK = 1 . Tenga en cuenta que el correspondiente Combinación cuadrática de las cargas centrales C2−PK se distingue por ser invariante bajo el automorfismo externo sl(2). Fundamental S-Matrix. En [10,14] una matriz S que actúa sobre el producto tensor de dos se derivaron representaciones fundamentales. Se construyó mediante la imposición de la invarianza bajo el álgebra h [JA,S] = 0. (2.17) No vamos a reproducir el resultado aquí, se da en [14]. Tenga en cuenta que tenemos que arreglar el Parámetros • = U = x+/x− para que la acción de los generadores sea compatible con el coproducto (2.5).2 2Esta identificación elimina todos los factores de trenzado de la matriz S en [14] que satisfarán así el ecuación estándar Yang-Baxter (matriz), véase también [10, 16, 17]. Esta S-matrix tiene varias propiedades interesantes. En primer lugar, no es de forma diferente; no puede escribirse en función de la diferencia de algunos parámetros espectrales. Sec- A la vez, la matriz S podría determinarse de forma única hasta una función general meramente por imponer una simetría de tipo de mentira (2.17) [10]. Este hecho inusual está relacionado con un hecho inusual característica de la teoría de la representación del álgebra h: El producto tensor de dos fundamentales las representaciones son irreductibles en casi todos los casos [14]. Es curioso que esta matriz S sea equivalente a la matriz R de Shastry [18] de la matriz monodimen- modelo scional Hubbard [19]. Además, las ecuaciones de Bethe [10] contienen dos copias de las ecuaciones Lieb-Wu para el modelo Hubbard [20]. Estas observaciones de [14] • un vínculo entre un importante modelo de física de la materia condensada y la teoría de las cuerdas; (complementaria a la de [21]). Finalmente, notemos que uno puede derivar (asintótico) las ecuaciones de Bethe de la S- matriz y así confirmar la conjetura en [6]. Hasta ahora este paso se ha realizado en dos maneras diferentes: por medio de la coordenada anidada [10] y el algebraico [17] Bethe Ansatz. Factor de fase. El factor de fase global restante de la matriz S claramente no puede ser El factor de fase se calculó a algunos aproximación de la teoría del calibrador [22] y de la teoría de cuerdas [23]. El problema de un factor de fase algebraicamente indeterminado es de hecho genérico. Usualmente se impone otro cruce de la relación de simetría para obtener una restricción sobre ella. De hecho, la fase de cadena conocida el factor es consistente con la simetría de cruce [24], como se demostró en [25]. Sustituyendo una ansatz adecuado [26] para el factor de fase en la relación de simetría de cruce una conjetura para el factor de fase de todos los pedidos en el acoplamiento fuerte se hizo en [27]. En [7] se presentó una correspondiente expansión de todos los pedidos en el acoplamiento débil. Los se obtuvo por una especie de continuación analítica en la perturbación orden de la serie. Ilustremos este principio a través de un ejemplo muy simple: Considere la función racional f(x) = 1/(1−x). Tiene las siguientes expansiones en x = 0 y en x = n, f(x) −n (2.18) con a = 1 y bn = −1. Cuando consideramos a y bn como funciones analíticas de la índice, podemos hacer la observación (“reciprocidad”) a = −b−n. (2.19) Por supuesto hay varias maneras en que las dos funciones +1 y −1 podrían estar relacionadas, ¡pero la elección (2.19) parece funcionar para una clase sorprendentemente grande de funciones!3 En el [30] se demostró que sí se aplica a la expansión conjeturada del factor fase. Muy frecuentes expresiones integrales útiles para la fase han aparecido recientemente en [31]. El análisis expresión de la fase de apósito se puede obtener formalmente de la psu(2, 24) Bethe 3Entre otros ejemplos físicos, hemos identificado bucles circulares Maldacena-Wilson [28] y no- teoría crítica de cuerdas [29] en la que se puede aplicar esta reciprocidad. Por otra parte, el resumen de la Euler- La fórmula MacLaurin (también conocida como regularización de la función zeta) es coherente con ella. Le doy las gracias a Curt. Callan, Marcos Mariño y Tristan McLoughlin para discutir este principio. ecuaciones [32] (véase, sin embargo, el apéndice D en [33]) en analogía con el enfoque covariante de [34, 21, 35]. Si bien esta propuesta puede parecer alentadora en general, está en al mismo tiempo extraño desde el punto de vista del álgebra Hopf para utilizar una matriz S que hace no obedecer la relación de cruce [32]. Esto requiere nuevas investigaciones. Varias pruebas de la fase han aparecido recientemente, se basan en cuatro bucles unitarios métodos de dispersión [36], evaluación numérica [37, 38], métodos analíticos [37, 30, 39] y al tomar un determinado límite altamente no trivial [40]. 3 El Yangian Y(su(22) R2) En la sección investigamos la simetría Yangiana [41,42] para la matriz S arriba mencionada. Lo haremos. comenzar con una revisión muy breve de la simetría Yangiana para las matrices S genéricas (véase [43] para más extensas revisiones), y luego aplicamos el marco a la matriz S discutida arriba. Yangians y S-Matrices. Típicamente las simetrías de S-Matrices racionales son de Tipo Yangian. El Yangian Y(g) de una Lie álgebra g es una deformación de la universal álgebra envolvente de la mitad de la extensión afín de g. Más claramente, es generada por los g-generadores JA y los generadores Yangian A. Sus conmutadores toman la forma genérica [JA, JB] = FABC J [J.A., B.A.] = F.A.B.C. C, (3.1) y deben obedecer a las relaciones Jacobi y Serre J[A, [JB, JC]] J[A, [JB, â € ¢C]] [A, [B, JC]] 2fAGD f F FGHKJ {DJEJF}. (3.2) El símbolo fABC = gADgBEf C representa las constantes de la estructura f C con dos índices bajada por medio de la inversa de las formas cartán-matar gAD y gBE. Los corchetes { } y [ ] a nivel de los índices implica la simetría total y la antisimetría, respectivamente. Finalmente, ~ es un parámetro de escala cuyo valor no juega ningún papel físico. La primera dos relaciones conducen a una restricción en las constantes de la estructura fABC. La tercera relación una deformación de la relación Serre para extensiones afín de álgebras de Lie. El Yangian es un álgebra Hopf y el coproducto toma la forma estándar JA = JA 1 + 1 JA, A = A 1 + 1 A + 1 ~fABCJ B JC. (3.3) donde fABC = gBDf C. El antipodio S está definido por S(JA) = −JA, S(A) = A + 1 ~fABCf D, (3.4) 4Para g = su(2) tiene que ser reemplazado por una relación quártica. y la counidad toma la forma estándar *(1) = 1, *(JA) = *(A) = 0. (3.5) Para el estudio de sistemas integrables, las representaciones de evaluación del Yangian son de especial interés. Para estos la acción de los generadores Yangian â € A es proporcional a los generadores de Lie "Auá" = ~uJAuá. (3.6) Aquí u® es algún estado del módulo de evaluación con parámetro espectral u. Este Yangian representación es finita-dimensional si la g-representación es. Sólo hay que asegurarse de que que la relación de Serre (3.2) está satisfecha. Este no es el caso de todas las representaciones de todos los álgebras de Lie. El poder de la simetría Yangiana reside en el hecho de que el tensor los productos de las representaciones de evaluación son normalmente irreductibles (excepto para los valores especiales) de sus parámetros espectrales). Esto permite pruebas simples (p. ej. para el Yang-Baxter relación) por argumentos de la teoría de la representación. Consideremos finalmente la conexión con la matriz S. La matriz S es una permutación operador; actúa intercambiando dos módulos del álgebra S : V1 V2 → V2 V1. (3.7) En particular, para el producto tensor de dos módulos de evaluación uno tiene Su1, u2á u2, u1á. (3.8) Invarianza de la matriz S bajo los medios Yangian [JA,S] = [A,S] = 0 (3.9) para todos los generadores JA, â € A. La existencia de una matriz S de este tipo es equivalente a cocommutatividad de Y(g). Tenga en cuenta que sólo la diferencia de los parámetros espectrales aparece en la condición de invarianza: Podemos escribir la acción del coproducto de generadores Yangian sobre el módulo de evaluación A (u1 − u2)JA 1 + u2JA + ~fABCJB JC. (3.10) Aquí la primera ecuación en (3.9) asegura que el término proporcional a u2 cae de la segunda ecuación. Por lo tanto, la matriz S normalmente depende de la diferencia u1 − u2 de parámetros espectrales únicamente. Yangianos en AdS/CFT. Las simetrías Yangianas para el planar AdS/CFT han sido inves- tentado en [44], tanto para la teoría clásica de cuerdas como para la teoría de calibrado en el orden principal, Véase también [45] La simetría Yangiana también persiste en órdenes de perturbación más altas en ambos mod- els [22, 46] y es probable que también exista en el acoplamiento finito. Este Yangian puede ser entendido como una simetría del Hamiltoniano en una hoja infinita del mundo o como una extensión- sión de la matriz monodrómica completa. La simetría de la Mentira en esta imagen es psu(2, 24) y el Yangian sería Y(psu(2, 24)). Aquí consideramos una imagen diferente de excitaciones bien separadas en un ferromagnético estado del suelo y de su matriz de dispersión. En esta imagen la simetría de la mentira se reduce a dos copias de h y el Yangian correspondiente sería Y(h). Nuestro Yangian debería levantarse. como subalgebra de la Y Yangiana completa (psu(2, 24)) cuando actúa sobre la excitación asintótica estados. Hopf Álgebra. Consideremos ahora Y(h). Ya hemos estudiado lo universal. envolviendo álgebra U(h). Todo lo que todavía tenemos que hacer es introducir un generador A para cada uno JA obedeciendo las relaciones (3.1,3.2), y define su coproducto, el antipodo así como la counidad. En (2.5) hemos definido un coproducto trenzado para el álgebra envolvente universal. Para la coherencia con las relaciones Serre, también tenemos que aplicar un trenzado análogo a el coproducto estándar Yangian A = A 1 + U [A] A + ~fABCJBU [C] JC. (3.11) Tenga en cuenta que bajar un índice requiere utilizar la forma inversa Cartan-Matar del álgebra. En el caso de h la forma cartán-matar es degenerado y tenemos que extender el álgebra por el automorfismo externo sl(2), véase [14]. En efecto, la reducción de un índice conduce a una intercambio de los generadores de automorfismo con las cargas centrales. Nos abstenemos de deletreando la forma Cartan-Matar o las constantes de la estructura modificada. En lugar de eso, nosotros presentar el conjunto completo de coproductos de generadores Yangian en Tab. 2, donde nosotros también fijar el valor de ~. Por el bien de la integridad declaramos el antipode5 y la unidad S(A) = −U−[A]â € A, â € (A) = 0. (3.12) Cocomputatividad. Una pregunta importante es si este coproducto puede ser cuasi-cocom- Un primer paso es considerar los grupos electrógenos centrales. A tal efecto, es favorable a elegir combinaciones adecuadas = 1 g1P− 1 P = P C P− 2gα K = K C K− 2g1 , (3.13) para los cuales el coproducto casi trivializa = 1 + 1 , P = P 1 + U+2 P, K = K 1 + U−2 K. (3.14) La combinación ya es cocommutativa, y para hacer los generadores P, K cocommutativo tenemos que establecer como arriba en (2.9,2.10) P = iguPP, K® ′ = iguKK (3.15) con dos constantes universales uP y uK. Con esta elección, â € ¬, Pâ ·, Kâ € también se convierten en cocom- porque difieren de, P, K sólo por elementos centrales. 5Obsérvese que fA = 0 aquí, por lo que no hay ninguna contribución de los generadores de Lie. 6Los factores de trenzado en (3.11) resultan ser muy importantes para el Yangian. Puede ser fácilmente visto que sin ellos el coproducto no puede ser cuasi-cocommutativo. Esto está en contradistinción. al álgebra envolvente universal donde el trenzado, así como el coproducto sin trenzar son casi- cocommutativo. Rab = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R = R b 1 + 1 Rab Rac Rcb − 12R b Rac SaγU+1 Qγb − 12Q bU−1 Saγ ♥ab S γU+1 Qγd + 14 dU−1 Sdγ, * L = L = L = L = L = L = L = L = L = L = L = L β 1 + 1 L LÃ3 LÃ + 12L β L® QαcU−1 Scβ + 12S βU+1 Qαc Q cU−1 Sc ­U+1 Qoc, B = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = Q = = Q = Q = Q = Q = Q = = = = = Q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b 1 + U+1 Qb La U+1 Qγb + 12Q b L RcbU+1 Qαc + 12Q c Rcb CU+1 Qαb + 12Q b C bdPU−1 Sdγ − 12 bdS γU+2 P, aβ = β 1 + U−1 aβ RacU−1 Scβ − 12S β Rac LU−1 Saγ − 12S γ L CU−1 Saβ − 12S β C AKU+1 AQC + 12 acQ cU−2 K, = 1 + 1 PU−2 K− 1 KU+2 P, P = P = 1 + U + 2 + P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 − CU+2 P+P C, K = K 1 + U−2 K = K = + CU−2 K− K C. Cuadro 2: Coproducto de los generadores Yangian en Y(h). Representación de la evaluación fundamental. Por lo que respecta a la representación de la evaluación fundamental Enviamos el ansatz7 # AX # = ig(u+ u0) JAX # (3.16) En comparación con (3.13,3.15) podemos inferir que u tiene que estar relacionado con los parámetros de la representación fundamental por u = x+ + = x− + (x+ + x−)(1 + 1/x+x−). (3.17) Además uP y uK en (3.15) tienen que coincidir con la constante universal u0 = uP = uK. Como un aparte indicamos el valor propio de la combinación cuadrática − 1 PK® − 1 KP® = 1 ig(u+ u0). (3.18) Fundamental S-Matrix. Usando los coproductos en Tab. 2 hemos confirmado que el S-matrix también es invariante bajo todos los generadores Yangian [A,S] = 0. (3.19) Hemos utilizado un sistema de álgebra computacional para evaluar la acción del genero Yangian- Ators y la S-matriz.9 Para mostrar la invarianza se requiere un uso intensivo de la identidad (2.15). Superficialmente es muy sorprendente encontrar todas estas simetrías adicionales de la matriz S. Sin embargo, la razón más profunda debería ser que el coproducto es cuasi-cocommutativo. Nosotros han demostrado, por tanto, una cuasicocommutatividad al actuar sobre las representaciones fundamentales. Es interesante ver que la S-matriz se basa en la evaluación estándar represen- los estados del Yangian. Sin embargo, no es una función de la diferencia de espectral parámetros. Esta propiedad inusual se remonta al vínculo entre el param espectral- eter u y los parámetros de representación h x± en (3.17). Esta última está de nuevo relacionada con el trenzado en el coproducto (3.11). Como nuestra matriz S es equivalente [14] a la matriz R de Shastry, nuestro Yangian es presumiblemente una extensión de la simetría su(2)×su(2) Yangiana del modelo Hubbard encontrada en [47]. 4 Conclusiones y perspectivas En esta nota hemos revisado la construcción de la matriz S con la ampliación central su(22) simetría que aparece en el contexto de la correspondencia planar AdS/CFT y el modelo unidimensional Hubbard. Además, hemos demostrado que la S-matriz tiene una simetría Yangian adicional cuya estructura de álgebra Hopf que hemos presentado. Este Yangian no es un Yangian estándar, pero su coproducto necesita ser trenzado en orden de ser cuasi-cocommutativo. Este hecho está íntimamente relacionado con la existencia de un 7Creemos, pero no hemos verificado que esto sea compatible con las relaciones de Serre (3.2). 8Es concebible que un requisito de coherencia adicional fije el valor de u0, presumiblemente a cero. 9También hemos confirmado la invarianza del estado singlet encontrado en [10]. trillizo de cargas centrales con coproducto no trivial y conduce a la riqueza de inusual características de la S-matrix. En relación con el Yangian quedan muchos puntos por aclarar. La mayoría im- Portantemente la teoría de la representación necesita ser entendida. ¿Qué representaciones de h elevar a las representaciones de evaluación de Y(h)? A qué valores de los parámetros espectrales hacen sus productos tensores se vuelven reducibles? Esta información podría utilizarse para demostrar que el coproducto es cuasi-cocommutativo. También la ecuación Yang-Baxter para la matriz S debe seguir directamente. También podría dar un poco más de comprensión de la obligación de declara [48]. Entonces sería altamente deseable construir una matriz R universal para este Yangian y demostrar que es cuasi-triangular. Esto pondría grandes partes de la estructura integrable para las representaciones arbitrarias de este álgebra en tierra sólida mucho como para el caso de álgebras genéricas simples de Lie. Algunas preguntas más interesantes incluyen: ¿Es este Yangian el único cuasi-co- álgebra conmutativa Hopf basada en h? ¿Existe el doble Yangian [42] y lo que es ¿Su estructura? ¿Puede el sl(2) automorfismo del álgebra ser incluido en el Yangian nivel tal que el coproducto sea cuasi-cocommutativo? ¿Qué harían las representaciones? estar en este caso? Agradecimientos. Agradezco a C. Callan, D. Erkal, A. Kleinschmidt, P. Ko- roteev, N. MacKay, M. Mariño, T. McLoughlin, J. Plefka, F. Spill y B. Zwiebel para discusiones interesantes. Bibliografía [1] H. Bethe, Z. Phys. 71, 205 (1931). [2] W. Heisenberg, Z. 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Modelling the Near-IR Spectra of Red Supergiant-dominated Populations

Poblaciones estelares como bloques de construcción de galaxias Actuaciones Simposio de la UAI No. 241, 2007 A. Vazdekis et alr., eds. c© 2007 Unión Astronómica Internacional DOI: 9000/X000000000000X Modelando el espectro cercano al IR del rojo Poblaciones dominadas por supergigantes Ariane Lançon1, Jay S. Gallagher2, Richard de Grijs3, Peter Hauschildt4, Djazia Ladjal5, Mustapha Mouhcine6, Linda J. Smith7, Peter R. Wood8, Natascha Förster Schreiber9 1Observatoire de Strasbourg (UMR 7550), 11 rue de l’Université, 67000 Strasbourg, Francia Correo electrónico: lancon@astro.u-strasbg.fr 2Dept. de Astronomía, 5534 Sterling, Universidad de Wisconsin, Madison, WI 53706, EE.UU. 3Dept. de Física y Astronomía, Universidad de Sheffield, Edificio Hicks, Honusfield Rd., Sheffield S3 7RH, Reino Unido 4Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburgo, Alemania 5Instituto de Astronomía, Katholieke Universiteit, Celestijnenlaan 200B, 3001 Lovaina, Bélgica 6Instituto de Investigación en Astrofísica, Universidad John Moores de Liverpool, Doce muelles, Egerton Wharf, Birkenhead, CH41 1LD, Reino Unido 7Space Telescope Science Institute, 3700 San Martin Drive, Baltimore, MD 21218, EE.UU. 8RSAA, Observatorio Mt Stromlo, Cotter Road, Weston Creek, ACT 2611, Australia 9MPI für Extraterrestrische Physik, Giessenbachstrasse, 85741 Garching, Alemania Resumen. Informamos sobre los avances recientes en la modelización de los espectros cercanos al IR de los jóvenes estelares poblaciones, es decir, poblaciones en las que predominan los supergigantes rojos (RSG). En primer lugar, discutimos la determinación de parámetros fundamentales de RSGs del modelo Phoenix se ajusta a su cercano IR espectros; se contabilizan las abundancias superficiales específicas de RSG y los efectos de la microturbulencia se explore el parámetro. A continuación se describen las nuevas predicciones de síntesis de la población y, como ejemplo, se muestra que los espectros de cúmulos de estrellas jóvenes en M82 se pueden reproducir muy bien de 0,5 a 2,4μm. Advertimos de las incertidumbres que quedan en las edades de los grupos. Palabras clave. galaxias: contenido estelar, galaxias: explosión estelar, galaxias: cúmulos estelares, galaxias: indi- video (M82), infrarrojos: galaxias, infrarrojos: estrellas, estrellas: supergigantes 1. Introducción Las estrellas supergigantes rojas (RSGs) proporcionan la mayor parte de la luz cercana al IR emitida por jóvenes estrellas poblaciones, como las de las galaxias de explosión estelar. A medida que los entornos formadores de estrellas tienden a ser polvorientos, los análisis ópticos del marco de descanso son incompletos (las poblaciones altamente oscurecidas son y es crucial mejorar nuestra comprensión de los espectros en longitudes de onda más largas. In el pasado, el análisis cercano al IR de las poblaciones estelares jóvenes se ha limitado a menudo a la determinación de las propiedades medias de las estrellas dominantes, como sus tipos espectrales o abundancias. La interpretación posterior de estos resultados en términos de estelares precisos las edades de la población y las historias de formación estelar siguen siendo un enorme desafío, i) una buena comprensión de los espectros cercanos al IR de los distintos GSR, y ii) Las huellas de la evolución estelar. Hemos puesto en marcha un programa cuyo objetivo es proporcionar el estado de las predicciones artísticas para la emisión de poblaciones dominadas por RSG y a la caracterización las incertidumbres que subsisten. Actualmente, el proyecto se centra en longitudes de onda entre 0,81 y 2,4μm y resoluciones espectrales de orden / = 103. http://arxiv.org/abs/0704.0401v1 2 A. Lançon y otros 2. Espectros empíricos y sintéticos de supergigantes rojos En principio, los espectros estelares sintéticos son más prácticos para la predicción de galaxias espectros que empíricos, porque la teoría nos permite muestras de espacio de parámetros sin sesgos. Lançon et al. (2007) muestran que los espectros teóricos modernos pueden reproducir Emisión IR (+óptica) de estrellas gigantes hasta temperaturas efectivas Teff 3400K, pero que todavía no son satisfactorias a temperaturas más bajas y luminosidades más altas. Ellos utiliza nuevos modelos Phoenix para calcular espectros en la resolución necesaria (0.1 Å antes alisado), con abundancias solares y con las abundancias específicas de RSG obtenidas como el resultado de la mezcla interna a lo largo de pistas de evolución estelar; los modelos incluyen unos 109 líneas moleculares y atómicas individuales, asumen la simetría esférica, y permiten que el polvo se forme si se cumplen las condiciones. Las limitaciones del modelo incluyen las suposiciones de la temperatura local equilibrio (LTE) y del equilibrio hidrostático. Una muestra de 101 espectros empíricos se utilizaron longitudes de onda de cobertura entre 0,51, 0,81 ó 0,90μm y 2,4μm para la comparación (Lançon & Wood 2000, Lançon et al. en preparación). Los datos se adquirieron con CASPIR en el telescopio ANU de 2.3m en Siding Spring y con SpeX en IRTF, Hawaii. Debajo de Teff 3400K, las listas de líneas de entrada inciertas son un problema en los modelos (especialmente para bandas moleculares alrededor de 1μm). A alta luminosidad (clases de luminosidad Ia e Iab), la principal dificultad es reproducir simultáneamente bandas de naftalenos clorados extremadamente profundos y el concentraciones de los cabezales de la banda de CO alrededor de 1,7μm y a 2,3μm. Abundancias específicas de los GSR mejorar los ajustes a las bandas de naftalenos clorados. Los cálculos exploratorios muestran que los valores cercanos a 10 km/s para la “microturbulencia” (un parámetro 1D-modelo que oculta mal entendido 3D físico fenómenos) pueden ser capaces de resolver ambos problemas (Fig. 1, arriba a la izquierda). El cálculo de un Se ha puesto en marcha una nueva red para explorar más a fondo esta cuestión. En el tiempo medio, el estudio muestra que la comunidad de síntesis de población todavía tiene que confiar en espectros empíricos para los GSR, y advierte que la falta de modelos estelares satisfactorios implica grandes incertidumbres sobre los parámetros fundamentales derivados de las estrellas observadas. 3. Síntesis de la población utilizando espectros estelares promedio Con el fin de calcular espectros de poblaciones sintéticas, hemos construido tres se- quences de espectros empíricos medios, correspondientes a las clases de luminosidad Ia, Iab y Ib/II. Cada subconjunto fue clasificado en contenedores de acuerdo con el estimado Teff, los espectros fueron Derivado (una estimación de la reddening es proporcionada por los ajustes del modelo), y promedios fueron computadas. Las secuencias mostradas en la Fig. 1 (arriba a la derecha) cuenta para turbulencia de una manera preliminar, basado en el número limitado de alta microturbulencia modelos disponibles para nosotros en el momento de esta escritura. Elegimos marcar cualquier estrella con una inicial masa por encima de 7M® como supergigante, lo que implica que los nuevos espectros afectan a las predicciones hasta la edad de aproximadamente 75Myr (Fig. 1, medio a la izquierda). Observamos que las predicciones varían signif- dependiendo de las vías evolutivas adoptadas; diferentes autores predicen diferentes vidas supergigantes rojas, y rotación de la secuencia principal afecta tanto a las abundancias de la superficie y los números supergigantes rojos (y azules) finales. 4. Grupos estelares en M82 Los espectros sintéticos de las poblaciones estelares únicas (SSP) en la metalicidad solar son com- junto con los de los cúmulos de estrellas jóvenes en ráfagas estelares, como M82-L y M82-F (Smith & Gallagher 1999). Los clusters seleccionados son masivos (muy por encima de 105M®), es decir. estocástico se evitan los efectos debidos a una rama de RSG subpoblada. Algunos han determinado bien edades ópticas (basadas en pistas evolutivas estándar no rotativas). Figura 1 (a la derecha) Modelado de las poblaciones supergigantes rojas 3 3000 4000 5000 Edad = 18 Myr Av = 1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Edad=18 Av=3,7 Rv=2,4 chi2=1,58934 1,0 1,5 2,0 Longitud de onda (micrón) 12 CO [FeII] 1,55 1,60 1,65 1,70 Longitud de onda (micrón) píxeles malos 2.1 2.2 2.3 Gráfico 1 Arriba a la izquierda: Espectro de un RSG M0Ia comparado con modelos con vmicroturb=2km/s (arriba: 4200K, log(g)=-1, AV=4.4) y con vmicroturb=10 km/s (abajo: 4500K, log(g)=0, AV = 4,7; observe la mejoría de la naftalenos clorados a 1,1μm y CO alrededor de 1,6 y 2,3μm). Arriba a la derecha: Param- eters asignados a las nuevas secuencias de espectros promedio, superpuestas a la metalicidad solar huellas de Bressan et al. (1993). Izquierda Media: Comparación de un nuevo espectro SSP (negro) con las predicciones estándar de Pegasa.2 (las diferencias son mayores entre 10 y 20Myr). Medio a la derecha: El mejor ajuste cercano al IR al espectro del clúster M82-L. La ley de extinción de Cardelli et al. (1989) con RV = 2,4 nos permite reproducir también el espectro óptico (de Smith & Gallagher 1999). Se muestran el espectro de errores y la función de ponderación χ2. Abajo: Zoom-ins de la Ventanas H y K. 4 A. Lançon y otros e inferior) muestra el clúster L, el clúster observado con SpeX con la mejor señal-a- relación ruido: se obtiene un ajuste excelente en toda la gama disponible en longitud de onda. Estos resultados hacen de los nuevos modelos herramientas valiosas para fines como la línea de emisión débil medidas. La prueba χ2 se limita a longitudes de onda próximas al IR no afectadas por la La absorción lurica muestra que la edad se determina formalmente a una precisión de aproximadamente ±10Myr. Debido a la fuerte enrojecimiento, la edad óptica del clúster L no se puede determinar también. como el del grupo F: 50-70Myr (Gallagher & Smith 2001, McCrady et al. 2005, Bastian et al. 2007). Para F, nuestros modelos actuales ofrecen un rango de edad cercano al IR de 32 a 46Myr. Este pequeño pero significativo desacuerdo requiere varios comentarios. i) Ser- de la microturbulencia dependiente de la luminosidad, encontramos una edad cercana al IR de 10 años. a 20Myr; esperamos que nuestra próxima generación de espectros estelares sintéticos sea significativamente reducir las incertidumbres originadas en parámetros fundamentales inciertos de las estrellas. ii) Las espectro utilizado para las citas de edad óptica y nuestro espectro cercano al IR tienen diferentes pendientes en la región de superposición. Esto sugiere que se observaron posiciones ligeramente diferentes: la escuración a través de M82-F no es uniforme en absoluto. Además, un grupo más joven situado en muy pequeña distancia proyectada podría contaminar los datos cercanos al IR. iii) Estelar modificado pistas (por ejemplo: incluyendo la rotación) podría afectar tanto a las edades ópticas como a las cercanas al IR. 5. Conclusiones Los espectros de poblaciones estelares jóvenes en la metalicidad solar, observados en RÃ3 103, pueden Ahora se modela bien desde la óptica a través del cercano IR. Sin embargo, las edades se basan en Los espectros cercanos al IR siguen gravemente afectados por las incertidumbres. Se deben principalmente a que el sistema errores áticos, que el trabajo adicional necesita caracterizar y reducir. Los errores están asociados en una mano con los parámetros fundamentales de las estrellas supergigantes rojas (espectro teórico, microturbulencia, abundancias superficiales de C, N y O, no LTE, variabilidad, vientos, transición supergigante), y en el otro con pistas evolutivas (convección, opacidades, rotación, binariedad, efectos de un ambiente denso). Esperamos un rápido progreso en estelar en... modelos de la atmósfera para proporcionarnos herramientas para probar más pistas estelares. Completa óptica y espectros cercanos al IR de cúmulos masivos como los de M82 son casos de prueba útiles para el identificación y corrección de errores sistemáticos, pero incluso no son triviales de explotar (debido a poblaciones de fondo inhomógenas y extinción, segregación masiva, etc.). Bibliografía Bastian, N., Konstantopoulos, I., Smith, L.J. & Gallagher, J.S. 2007, MNRAS en la prensa Cardelli, J.A., Clayton, G.C. & Mathis, J.S. 1989 ApJ 345, 245 Gallagher, J.S. & Smith, L.J. 1999 MNRAS 304, 540 Lançon, A. & Wood, P.R. 2000, A&AS 146, 217 Lançon, A., Hauschildt, P., Ladjal, D. & Mouhcine, M. 2007, A&A en la prensa McCrady, N., Graham, J.R. & Vacca, W.D. 2005 ApJ 621, 278 Smith, L. J. & Gallagher, J. S. 2001 MNRAS 326, 1027 Discusión Gustafsson: ¿Los modelos con alta microturbulencia incluyen la presión turbulenta en un ¿De manera consistente? Lançon (después de hablar con P.H. y H. Lamers): No. Pero el microturbu... las velocidades prestadas necesarias para reproducir los espectros con modelos 1D son supersónicas, que sugiere que el proceso real no es la microturbulencia... Por lo tanto, no está claro cómo relacionar este parámetro de los modelos 1D con la presión. Introducción Espectros empíricos y sintéticos de supergigantes rojos Síntesis de la población utilizando espectros estelares promedio Grupos estelares en M82 Conclusiones

Informamos sobre los avances recientes en la modelización de los espectros cercanos al IR de los jóvenes Poblaciones estelares, es decir, poblaciones en las que se encuentran los supergigantes rojos (RSGs) dominante. En primer lugar, discutimos la determinación de los parámetros fundamentales de los GSR el uso de ajustes a sus espectros cercanos a IR con nuevos espectros del modelo PHOENIX; Se contabilizan las abundancias de superficie específicas de RSG y los efectos de la se explora el parámetro de microturbulencia. Nuevas predicciones de síntesis de población A continuación se describen y, como ejemplo, se muestra que los espectros de jóvenes Los cúmulos estelares en M82 se pueden reproducir muy bien de 0,5 a 2,4 micrómetros. Advertimos de las incertidumbres que quedan en las edades de los grupos.

Introducción Las estrellas supergigantes rojas (RSGs) proporcionan la mayor parte de la luz cercana al IR emitida por jóvenes estrellas poblaciones, como las de las galaxias de explosión estelar. A medida que los entornos formadores de estrellas tienden a ser polvorientos, los análisis ópticos del marco de descanso son incompletos (las poblaciones altamente oscurecidas son y es crucial mejorar nuestra comprensión de los espectros en longitudes de onda más largas. In el pasado, el análisis cercano al IR de las poblaciones estelares jóvenes se ha limitado a menudo a la determinación de las propiedades medias de las estrellas dominantes, como sus tipos espectrales o abundancias. La interpretación posterior de estos resultados en términos de estelares precisos las edades de la población y las historias de formación estelar siguen siendo un enorme desafío, i) una buena comprensión de los espectros cercanos al IR de los distintos GSR, y ii) Las huellas de la evolución estelar. Hemos puesto en marcha un programa cuyo objetivo es proporcionar el estado de las predicciones artísticas para la emisión de poblaciones dominadas por RSG y a la caracterización las incertidumbres que subsisten. Actualmente, el proyecto se centra en longitudes de onda entre 0,81 y 2,4μm y resoluciones espectrales de orden / = 103. http://arxiv.org/abs/0704.0401v1 2 A. Lançon y otros 2. Espectros empíricos y sintéticos de supergigantes rojos En principio, los espectros estelares sintéticos son más prácticos para la predicción de galaxias espectros que empíricos, porque la teoría nos permite muestras de espacio de parámetros sin sesgos. Lançon et al. (2007) muestran que los espectros teóricos modernos pueden reproducir Emisión IR (+óptica) de estrellas gigantes hasta temperaturas efectivas Teff 3400K, pero que todavía no son satisfactorias a temperaturas más bajas y luminosidades más altas. Ellos utiliza nuevos modelos Phoenix para calcular espectros en la resolución necesaria (0.1 Å antes alisado), con abundancias solares y con las abundancias específicas de RSG obtenidas como el resultado de la mezcla interna a lo largo de pistas de evolución estelar; los modelos incluyen unos 109 líneas moleculares y atómicas individuales, asumen la simetría esférica, y permiten que el polvo se forme si se cumplen las condiciones. Las limitaciones del modelo incluyen las suposiciones de la temperatura local equilibrio (LTE) y del equilibrio hidrostático. Una muestra de 101 espectros empíricos se utilizaron longitudes de onda de cobertura entre 0,51, 0,81 ó 0,90μm y 2,4μm para la comparación (Lançon & Wood 2000, Lançon et al. en preparación). Los datos se adquirieron con CASPIR en el telescopio ANU de 2.3m en Siding Spring y con SpeX en IRTF, Hawaii. Debajo de Teff 3400K, las listas de líneas de entrada inciertas son un problema en los modelos (especialmente para bandas moleculares alrededor de 1μm). A alta luminosidad (clases de luminosidad Ia e Iab), la principal dificultad es reproducir simultáneamente bandas de naftalenos clorados extremadamente profundos y el concentraciones de los cabezales de la banda de CO alrededor de 1,7μm y a 2,3μm. Abundancias específicas de los GSR mejorar los ajustes a las bandas de naftalenos clorados. Los cálculos exploratorios muestran que los valores cercanos a 10 km/s para la “microturbulencia” (un parámetro 1D-modelo que oculta mal entendido 3D físico fenómenos) pueden ser capaces de resolver ambos problemas (Fig. 1, arriba a la izquierda). El cálculo de un Se ha puesto en marcha una nueva red para explorar más a fondo esta cuestión. En el tiempo medio, el estudio muestra que la comunidad de síntesis de población todavía tiene que confiar en espectros empíricos para los GSR, y advierte que la falta de modelos estelares satisfactorios implica grandes incertidumbres sobre los parámetros fundamentales derivados de las estrellas observadas. 3. Síntesis de la población utilizando espectros estelares promedio Con el fin de calcular espectros de poblaciones sintéticas, hemos construido tres se- quences de espectros empíricos medios, correspondientes a las clases de luminosidad Ia, Iab y Ib/II. Cada subconjunto fue clasificado en contenedores de acuerdo con el estimado Teff, los espectros fueron Derivado (una estimación de la reddening es proporcionada por los ajustes del modelo), y promedios fueron computadas. Las secuencias mostradas en la Fig. 1 (arriba a la derecha) cuenta para turbulencia de una manera preliminar, basado en el número limitado de alta microturbulencia modelos disponibles para nosotros en el momento de esta escritura. Elegimos marcar cualquier estrella con una inicial masa por encima de 7M® como supergigante, lo que implica que los nuevos espectros afectan a las predicciones hasta la edad de aproximadamente 75Myr (Fig. 1, medio a la izquierda). Observamos que las predicciones varían signif- dependiendo de las vías evolutivas adoptadas; diferentes autores predicen diferentes vidas supergigantes rojas, y rotación de la secuencia principal afecta tanto a las abundancias de la superficie y los números supergigantes rojos (y azules) finales. 4. Grupos estelares en M82 Los espectros sintéticos de las poblaciones estelares únicas (SSP) en la metalicidad solar son com- junto con los de los cúmulos de estrellas jóvenes en ráfagas estelares, como M82-L y M82-F (Smith & Gallagher 1999). Los clusters seleccionados son masivos (muy por encima de 105M®), es decir. estocástico se evitan los efectos debidos a una rama de RSG subpoblada. Algunos han determinado bien edades ópticas (basadas en pistas evolutivas estándar no rotativas). Figura 1 (a la derecha) Modelado de las poblaciones supergigantes rojas 3 3000 4000 5000 Edad = 18 Myr Av = 1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Edad=18 Av=3,7 Rv=2,4 chi2=1,58934 1,0 1,5 2,0 Longitud de onda (micrón) 12 CO [FeII] 1,55 1,60 1,65 1,70 Longitud de onda (micrón) píxeles malos 2.1 2.2 2.3 Gráfico 1 Arriba a la izquierda: Espectro de un RSG M0Ia comparado con modelos con vmicroturb=2km/s (arriba: 4200K, log(g)=-1, AV=4.4) y con vmicroturb=10 km/s (abajo: 4500K, log(g)=0, AV = 4,7; observe la mejoría de la naftalenos clorados a 1,1μm y CO alrededor de 1,6 y 2,3μm). Arriba a la derecha: Param- eters asignados a las nuevas secuencias de espectros promedio, superpuestas a la metalicidad solar huellas de Bressan et al. (1993). Izquierda Media: Comparación de un nuevo espectro SSP (negro) con las predicciones estándar de Pegasa.2 (las diferencias son mayores entre 10 y 20Myr). Medio a la derecha: El mejor ajuste cercano al IR al espectro del clúster M82-L. La ley de extinción de Cardelli et al. (1989) con RV = 2,4 nos permite reproducir también el espectro óptico (de Smith & Gallagher 1999). Se muestran el espectro de errores y la función de ponderación χ2. Abajo: Zoom-ins de la Ventanas H y K. 4 A. Lançon y otros e inferior) muestra el clúster L, el clúster observado con SpeX con la mejor señal-a- relación ruido: se obtiene un ajuste excelente en toda la gama disponible en longitud de onda. Estos resultados hacen de los nuevos modelos herramientas valiosas para fines como la línea de emisión débil medidas. La prueba χ2 se limita a longitudes de onda próximas al IR no afectadas por la La absorción lurica muestra que la edad se determina formalmente a una precisión de aproximadamente ±10Myr. Debido a la fuerte enrojecimiento, la edad óptica del clúster L no se puede determinar también. como el del grupo F: 50-70Myr (Gallagher & Smith 2001, McCrady et al. 2005, Bastian et al. 2007). Para F, nuestros modelos actuales ofrecen un rango de edad cercano al IR de 32 a 46Myr. Este pequeño pero significativo desacuerdo requiere varios comentarios. i) Ser- de la microturbulencia dependiente de la luminosidad, encontramos una edad cercana al IR de 10 años. a 20Myr; esperamos que nuestra próxima generación de espectros estelares sintéticos sea significativamente reducir las incertidumbres originadas en parámetros fundamentales inciertos de las estrellas. ii) Las espectro utilizado para las citas de edad óptica y nuestro espectro cercano al IR tienen diferentes pendientes en la región de superposición. Esto sugiere que se observaron posiciones ligeramente diferentes: la escuración a través de M82-F no es uniforme en absoluto. Además, un grupo más joven situado en muy pequeña distancia proyectada podría contaminar los datos cercanos al IR. iii) Estelar modificado pistas (por ejemplo: incluyendo la rotación) podría afectar tanto a las edades ópticas como a las cercanas al IR. 5. Conclusiones Los espectros de poblaciones estelares jóvenes en la metalicidad solar, observados en RÃ3 103, pueden Ahora se modela bien desde la óptica a través del cercano IR. Sin embargo, las edades se basan en Los espectros cercanos al IR siguen gravemente afectados por las incertidumbres. Se deben principalmente a que el sistema errores áticos, que el trabajo adicional necesita caracterizar y reducir. Los errores están asociados en una mano con los parámetros fundamentales de las estrellas supergigantes rojas (espectro teórico, microturbulencia, abundancias superficiales de C, N y O, no LTE, variabilidad, vientos, transición supergigante), y en el otro con pistas evolutivas (convección, opacidades, rotación, binariedad, efectos de un ambiente denso). Esperamos un rápido progreso en estelar en... modelos de la atmósfera para proporcionarnos herramientas para probar más pistas estelares. Completa óptica y espectros cercanos al IR de cúmulos masivos como los de M82 son casos de prueba útiles para el identificación y corrección de errores sistemáticos, pero incluso no son triviales de explotar (debido a poblaciones de fondo inhomógenas y extinción, segregación masiva, etc.). Bibliografía Bastian, N., Konstantopoulos, I., Smith, L.J. & Gallagher, J.S. 2007, MNRAS en la prensa Cardelli, J.A., Clayton, G.C. & Mathis, J.S. 1989 ApJ 345, 245 Gallagher, J.S. & Smith, L.J. 1999 MNRAS 304, 540 Lançon, A. & Wood, P.R. 2000, A&AS 146, 217 Lançon, A., Hauschildt, P., Ladjal, D. & Mouhcine, M. 2007, A&A en la prensa McCrady, N., Graham, J.R. & Vacca, W.D. 2005 ApJ 621, 278 Smith, L. J. & Gallagher, J. S. 2001 MNRAS 326, 1027 Discusión Gustafsson: ¿Los modelos con alta microturbulencia incluyen la presión turbulenta en un ¿De manera consistente? Lançon (después de hablar con P.H. y H. Lamers): No. Pero el microturbu... las velocidades prestadas necesarias para reproducir los espectros con modelos 1D son supersónicas, que sugiere que el proceso real no es la microturbulencia... Por lo tanto, no está claro cómo relacionar este parámetro de los modelos 1D con la presión. Introducción Espectros empíricos y sintéticos de supergigantes rojos Síntesis de la población utilizando espectros estelares promedio Grupos estelares en M82 Conclusiones

Locating the peaks of least-energy solutions to a quasilinear elliptic Neumann problem

LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS UN PROBLEMA DE NEUMANN ELÍPICO CUASILINEAR YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Resumen. En este trabajo estudiamos la forma de las soluciones de menor energía a la problema cuasilineal m−1 + f (u) = 0 con Neumann homogéneo condición límite. Utilizamos un método de variación intrínseca para mostrar que como El punto máximo global de las soluciones de menor energía es el de 0+. punto en el límite a la velocidad de o(­) y este punto en el límite enfoques a un punto donde la curvatura media de alcanza su máximo. También damos una prueba completa de la decadencia exponencial de las soluciones menos energéticas. 1. Introducción y exposición de los resultados En este artículo se estudia la forma de ciertas soluciones a la siguiente cuasilineal problema elíptico Neumann: (1.1) 1 + f (u) = 0, u > 0 en , = 0 en, donde m (2 ≤ m < N) y 0 <  ≤ 1 son constantes y  RN (N ≥ 3) es un dominio limitado suave. El operador mu = div(um−2 u) es el m- El operador laplaciano, y / es la unidad exterior normal a. Problema (1.1) aparece en el estudio de los fluidos no newtonianos, quimiotaxis y formación de patrones biológicos. Por ejemplo, en el estudio de los fluidos no neotonianos, la cantidad m es una característica del medio: los medios con m > 2 se llaman Los fluidos dilatantes, y aquellos con m < 2 se denominan pseudoplásticos. Si m = 2, son fluidos newtonianos (véase [3] y su bibliografía para más fondos). Por el caso m = 2, (1.1) también se conoce como la ecuación estacionaria del Keller– Sistema segal en quimiotaxis [14] o la ecuación estacionaria limitante de la llamada Sistema Gierer-Meinhardt en formación de patrones biológicos (véase [23]. Primero recordemos algunos resultados relacionados con nuestro problema. En una serie de notables , C.-S. Lin, W.-M. Ni e I. Takagi [14], Ni y Takagi [17], [18] estudiaron la Neumann problema para ciertas ecuaciones elípticas, incluyendo (1.2) d-u-u+ hacia arriba = 0, u > 0 en , = 0 en, donde d > 0, p > 1 son constantes, y p es subcrítico, es decir, p < N+2 . Primero, Lin, Ni y Takagi [14] aplicaron el lema de paso de montaña [1] para mostrar la existencia de Palabras y frases clave. Problema cuasilineal de Neumann, operador de m-laplacia, menor energía solución, descomposición exponencial, curvatura media. http://arxiv.org/abs/0704.0402v1 2 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO una solución de menor energía ud a (1.2), por lo que se quiere decir que ud tiene la menor energía entre todas las soluciones a (1.2) con la energía funcional Id (u) = u2 + 1 u2 − 1 definido en el punto W 1,2. En lo sucesivo u+ = max {u, 0} y u− = min {u, 0}. Luego en [17], [18], Ni y Takagi investigaron la forma de la solución menos energética como d se vuelve suficientemente pequeño, y demostró que ud tiene exactamente un pico (es decir, local máximo de ud) en Pd. Además, como d tiende a cero, Pd se acerca a un punto donde la curvatura media de alcanza su máximo. Véase [15] para una revisión en Este campo. Véase también [16] para el caso crítico p = N+2 , y [5], [6], [7], [8], [9] para existencia y propiedades de soluciones de múltiples habla a (1.2). A partir de ahora hacemos algunas hipótesis sobre f : R → R, como sigue. (H2) f (t) • 0 para t ≤ 0 y f • C1 (R). (H3) f(t) = O (t) p) como t→ con m− 1 < p < N (m− 1) +m N −m. (H4) Let F (t) = f s) ds. Entonces existe una constante............................................................ que F (t) ≤ tf (t) para t > 0. f t) aumenta estrictamente para t > 0 y f (t) = O tm−1 como t→ 0+ con una constante  > 0. (H6) Let g (u) = (m− 1)um−1 − uf ′ (u) um−1 − f (u) . Entonces g (u) no está aumentando en (uc), donde uc es la solución positiva única para f (t) = t A continuación presentamos algunos conocimientos preliminares sobre las soluciones menos energéticas de la el siguiente problema: (1.3) •mu− um−1 + f(u) = 0 en RN u > 0 en RN Como antes de definir un "funcional de energía" I:W 1,m(RN) R asociado con 1.3) por (1.4) I() = (m m + m)− F () A continuación vamos a hacer una observación sobre el terreno sobre el problema 1.3. Aquí por un estado del suelo nos referimos a una solución de distribución no trivial C1 no negativa que Tiende a cero en Ł. Para el caso m = 2, es bien sabido que el problema 1.3 tiene un estado de base único (hasta traducciones) radialmente simétrico [4]. Por El caso 2 < m < N la unicidad y la simetría radial de los estados del suelo todavía están abiertos. Pero la simetría Steiner nos dice que las soluciones menos energéticas deben ser radialmente simétrica (ciertamente las soluciones menos energéticas son estados terrestres). Nuestras suposiciones garantizar que la singularidad (hasta traducciones) de los estados terrestres radiales (véase [20]), lo que implica la singularidad de las soluciones menos energéticas del problema (1.3). Decaimiento exponencial exacto de los estados terrestres radiales se dio en [11], por lo que tenemos la siguiente propuesta sobre la solución radial única de menor energía al problema 1.3: Proposición 1.1. Bajo supuestos (H2)–(H6), hay una menor energía única solución w(x) para (1.3) que satisfaga: LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS 3 ( i ) w es radial, es decir, w(x) = w(x) = w(r) y w • C1(RN ) con w(0) = máx.X+RN w(x), w ′(0) = 0 y w′(r) < 0, r > 0. ii) limr w(r)r m(m−1) e( m r = C0 > 0 para algunas constantes C0 y limr w′(r) Observación 1.1. Un buen ejemplo de f (t) que satisface todas las hipótesis (H2)–(H6) es f (t) = tp para m− 1 < p < N (m− 1) +m A continuación definimos un "funcional de energía" J. : W. 1,m () → R asociado con (1.1) (1.5) (v) = (m vm + vm)− F (v+) con F (v+) = f s) ds. Entonces el conocido lema de paso de montaña [1] implica (1.6) c. = inf. [0,1] J/23370/ (h (t)) es un valor crítico positivo de Jl, donde l es el conjunto de todos los caminos continuos que se unen el origen y un elemento fijo distinto del cero e â € W 1,m (­) de tal manera que e ≥ 0 y J miren (e) ≤ 0. Resulta que también se puede caracterizar de la siguiente manera: e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = J/23370/ (u) u â € € TM W 1,m (­) ; u ≥ 0, u 6â € 0, (m um + um) dx = f (u)u dx (1.7) cŁ = inf M [u] u â € € € ° W 1,m (­), u 6â € 0 y u ≥ 0 en ­ M [u] = sup J. (tu). Por lo tanto, es el valor crítico menos positivo y un punto crítico u.o. de J.o. con crítica. el valor de c­o se llama una solución de menos energía. Note también que si lo permitimos c* = I(w) = (wm + wm) dx− F (w) dx, donde w es la solución de menor energía única de (1,3), entonces c* también se puede caracterizar (1.8) c* = inf M* [v] contra W 1,m , v 6-0 y v ≥ 0 en RN M* [v] = sup I (tv). Se refiere a Lemma 2.1 de [13] para las caracterizaciones anteriores. A continuación consideramos el siguiente problema: 4 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO v â € ¢ W 1,m con RN+ = (x1, · · ·, xN ) • RN, xN ≥ 0 y satisface (1.9) •mv − vm−1 + f (v) = 0, v > 0 en RN+, = 0 en xN = 0. Las soluciones de (1.9) se pueden caracterizar como puntos críticos de la definición funcional Sobre W 1,m del siguiente modo. () = m + m) dx− F () dx. Del mismo modo que por encima del valor crítico menos positivo C* correspondiente a la menor energía soluciones de (1,9) se pueden caracterizar como (1.10) C* = inf W 1,m(RN+),0,60 (t) y además (1.11) C* = debido a la condición límite en (1.9) y el hecho de que w es radial y por lo tanto = 0. También nos referimos a Lemma 2.1 de [13] para la caracterización anterior de C*. En Teorema 1.3 de [13], probamos el siguiente teorema. Teorema 1.1. En las hipótesis (H2)–(H6), que u (1.1). A continuación, todos los puntos máximos locales (si más de uno) de u el punto máximo P.o.p., a razón de o(l) y dist(P.o.p., )/ 0, dist(·, ·) es la función de distancia general. Además, tenemos los siguientes niveles superiores: estimaciones consolidadas para el cálculo de la cifra de 0+: (1.12) c-≤-N c* − (N − 1) máx. H (P ) o (­) donde H (P ) denota la curvatura media de en P, γ > 0 es una constante positiva dado por (1.13) γ = N + 1 w′ (z)m zN dz. Nuestro objetivo en este documento es localizar la posición en donde el máximo global En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no sea superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo de motor y no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Para el caso m = 2, Ni y Takagi [18] localizaron el pico mediante la linealización de la ecuación d-u-u+f (u) = 0 alrededor del estado del suelo w. Pero este método falla para nuestro problema con m 6 = 2 debido a la no linealidad fuerte del operador m-laplaciano mu = div(um−2 u). Así que tenemos que utilizar el método variacional intrínseco creado por Del Pino y Felmer en [2] para atacarlo. También damos una prueba completa de la decadencia exponencial de la solución de menor energía. Observamos que nuestra prueba es completa y no requieren la no degeneración de la solución radial única de menor energía w como se indica en la Proposición 1.1, y por lo tanto es diferente de la obra de Ni y Takagi [17]. Ahora nuestros resultados pueden ser expresados de la siguiente manera: Teorema 1.2. En las hipótesis (H2)–(H6), que u (1.1) y P con dist(P., P.) = dist(P., ). Entonces como 0+, después de pasar a la secuencia P se acerca P̄ con LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS ii) H = máx. H (P ), donde H (P ) denota la curvatura media de en P como se ha dicho antes, y además (iii) el valor crítico asociado a la C.E. puede calcularse como 0+ como sigue: (1.14) c* − (N − 1)H o (­) donde c*, γ son como se indica en el Teorema 1.1. La organización de este documento es la siguiente: En la sección 2, probaremos algunos lemas que se utilizarán para probar el teorema 1.2. La prueba de Teorema 1.2 será se indicará en la sección 3. 2. Algunos lemas y decaimiento exponencial de u Primero probamos el siguiente lema relacionado con la decaimiento exponencial de los menos- solución de energía. Lemma 2.1. Dejemos que sea lo suficientemente pequeño y que la solución menos energética alcanza su máximo global en algún punto P. Entonces existen dos contra- Estantes c3 y c4 independientes de los demás (2.1) (x) ≤ c3 exp c4 x− P / u(x) ≤ c31 expc4x− P/. Antes de empezar a probar este lema, hacemos una observación al respecto. Observación 2.1. Para el caso m = 2, bajo el supuesto de no degeneración de la operador linealizado 1 + f ′ (w), donde w es el estado único del suelo de (1,3), Ni Takagi y Takagi [18] mostraron que u (2.2) u. (x) = w. (x) + 1 (x) + o (l) y Ł1 (x) disfruta de la propiedad exponencial-decadencia ([18]). Claramente no podemos derivar decaimiento exponencial de uŁ (x) como se indica en Lemma (2.1) de (2.2), a pesar de que ambos w (x) y 1 (x) tienen propiedades exponenciales de desintegración. Prueba de Lemma 2.1. Puesto que es un submanifold compacto suave de RN, sigue del teorema del barrio tubular [10] de que existe una constante que depende sólo de............................................................................................................................................................................................................................................................. x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # es difeomor- phic al haz normal interno I = {(x, y) : x , y (), 0] νx}, aquí vx es la unidad normal exterior de en x, y el difeomorfismo se define como sigue: x x I, existe un único x tal que d (x, x ) = d (x, ), entonces : x (xá,−d (x, xá) νxá). Por otra parte este difeomorfismo satisface = Identidad. Similarmente, vamos a O = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . Entonces O es diffeo- morfo al haz normal exterior O = {(x, y) : x â € € € € {x, y) : x â € € {0, â € € }, y el difeomorfismo se da de la siguiente manera. * x * * * O, existe un único x̄ tal que d(x, x̄) = d (x, ), y luego : x (x̄, d (x, x̄) νx̄) y = Identidad. Tenga en cuenta que ()NI es claramente difeomórfico a () O via la siguiente reflexión : () I () O definida por Φ * (x, y) = (x, − y). 6 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Por lo tanto, Φ = 1* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = Identidad. Por otra parte, si dejamos x = Φ(z) = (Φ1(z), · · ·,ΦN(z), z â € €, y z = ­(x) = 1(x) = (­1(x), · · · ·,­N(x)), x ­­I, gij = gij = (Φ (z)), tenemos gij = gij = símbolo de cuello. Nota G = y A = G− Yo siendo la identidad de N ×N matriz, g(x) = det (gij) y (x) = u Entonces (x) satisface la Ecuaciones siguientes: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gûm−1 + gf () = 0, > 0 en O = 0, en, donde L = s,l=1 G ()T g ()G donde Tr significa tomar el rastro de una matriz cuadrada. En el caso de 0 < ≤ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . Sabemos que AC0 puede ser hecho arbitrariamente pequeño haciendo suficientemente pequeño. A continuación definimos = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 u.x., x....................................................................................................................................... (x), x(+) O, g‡ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gij, x â € ¢ O, g‡ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gij, x â € ¢ O, y Ã(x, â € = Ã1(x, ), · · · ·, ÃN (x, ) para • = ( • 1, · · · ·, • N ) con Ãi(x, •) = s,l=1 ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! g.ij.j.g.j.j.g.j.j.g.j.j.g.j.j.j.g.j.j.j.j.g.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j. y gś = det(gśij), B(x, u) = −um−1 + f(u) . Entonces (x) satisface (2.3) m div Ã(x,) +B(x, ) = 0 en  en el sentido débil. LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS Para cualquier bola de Br(x0) O con el radio r y el centro x0 ° °, let ° = x− x0. A continuación, para cualquier función de aumento suave.......................................................................................................................................................................................................................................................... ()G()T g()G (I + A)()T det(I + A)−1(I + A) = m−2 (I + tA)()T det(I + tA)−1(I + tA) = m−2 (I + tA)()T ()A()T det(I + tA)−1(I + tA)dt (I + tA)()T det(I + tA)−1 det(I + tA)−1 (I + tA)dt (I + tA)()T det(I + tA)−1()Adt. Por lo tanto (2.4) ()G()T g()G 3 (N − 1) +K Tomando suficientemente pequeño, aquí K > 0 es una constante dependiendo sólo de, por lo tanto sólo en  y = (l) (l) A partir de ahora = (♥) se fija de tal manera que (i) 3 ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g , ii) (2.4) cualquier función radial que aumente sin problemas 3 m ≤ Ã(x, ) · ≤ 5 m para an = (+1, · · · ·, +N ). Denotación =  O. Let = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Entonces u.................................................................................. al problema siguiente: (2.5) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = 0, en, donde n es la unidad normal exterior de. Similarmente, vamos a − P (x) = (PŁ + Łx) para x . Puesto que converge a la única radial menos- solución de energía w de (1.3) en C1loc(R) N ) O 1,m (RN ) como • → 0+ (véase la prueba de Teorema 1.2 de [13]) y w satisface: i) w es radial, es decir, w(x) = w(x) = w(r) > 0 ii) lim w(r)r m(m−1) e( m−1 ) m r = C0 > 0 (véase el teorema 1 de [11]) que rinde w(r) ≤ . Primero fijamos una constante η > 0 tal que 1 tm−1 > f(t) (0, η). De la hipótesis (H5) se deduce que tal η existe. Entonces existe 0 > 0 lo suficientemente pequeño y R0 lo suficientemente grande como para que 4° expR0} < η y 8 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO − wâ °C0(BR0(0)) ≤ expR0}, que rinde = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Tenga en cuenta que • − 7 m−1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 − 1 − 1 + 0 en \BR0(0), = 0 en \BR0(0), • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces tenemos (x) ≤ 2° expR0}, para x \BR0(0) debido al fuerte principio del máximo ([22]). Retomamos eso. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (2.6) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ≤ 2° expx en el caso de x â € € € € € € € € € € € € € € € € Bâ € R0(0). De la definición de sabemos (x) ≤ 2 exp μ (x − 2dist (PŁ, )) } ≤ 4........................................................................................................................................................................ } para x â € € € TM € € TM € € TM € € € € € € € € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM en lugar de 0, 0, 0, con 0, lo suficientemente pequeño debido al hecho dist(P­, ) = o(­) 0+. Tenga en cuenta que BŁR0 (0) ≤ 4 expR0}. La elección de R0 y nos dice para cualquier 0 < t ≤ 4 exp R0} B(x, t) = −tm−1 + f(t) tm−1. Definir: lx0 lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0 * (x) = * (l) = * (x− x0) BŁR0 (0) donde > 0 es una constante que se determinará más adelante. Los cálculos simples muestran que i) (l) > 0 y 3 (N−1) +K (m-1) ()m ))m−2 tanh( ) ( ) () ))m−1 LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS ADELANTADA 9 para cualquier 0 < ≤, donde > 0 es una pequeña constante dependiendo sólo de m y A través de K. Observamos que hemos utilizado el hecho maxr[0, tanhr En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. m ≥ 2. A partir de ahora elegimos =. Por lo tanto tenemos (x,)− ūm−1 ≥ 0 en Br(x0), (x,)− m−1 ≤ 0 en Br(x0). Claramente. Br(x0) ≥ Br(x0). Entonces del Teorema de Comparación (Teorema 10.1 de [19]) se deduce que (x) ≥ (x) en Br(x0). En particular, (x0) ≥ (x0). Por lo tanto, tenemos ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ BŁR0(0) expr Elegir r = d x0, ♥ \B­R0(0) ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. (x0) ≤ 4° expR0 − } ≤ 2 exp (­R0 + r) con = min,. Tenga en cuenta que x0 pertenece a uno de los dos casos siguientes: i) d x0, ♥ \B­R0(0) = d (x0, B­R0(0)), ii) d x0, ♥ \B­R0(0) x0, Para el caso (i) tenemos d(x0, P/23370/) ≤ ŁR0 + r y, por lo tanto, (2,7) u-(x0) ≤ 4° exp d(x0, P♥) Para el caso (ii) tenemos r ≥ y por lo tanto (2.8) (x0) ≤ 4° exp R0 + r } ≤ 4................................................................................................................................................. ≤ 4° exp diam() · d(x0, P/23370/) Combinando (2.6), (2.7) y (2.8) juntos y dejando c rendimientos (2.9) u.x. ≤ c. 3 exp. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A continuación mostramos la estimación para u sostiene. En primer lugar de (2.5) se deduce que (2.10) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m−1 − f(u­), uü > 0 in Para x y dist(x, ) ≥ 1, considerar (2.10) en la unidad de bola centrada en x, es decir, B1(x). Entonces por una C Estimación 1,α (véase [21], por ejemplo) hay dos constantes 10 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO C > 0 y • (0, 1) que son independientes de • tal que (2.11) (B 1 (x)) ≤ C (B1(x)) + (u) m−1 − f(u I+D(B1(x)) ≤ c*3 expc*4x− P, donde hemos utilizado (2.9) y el hecho de que uo(x) = uo(P/23370/ + Łx) para x . Especialmente lo hemos hecho. (2.12) u(x) ≤ c*3 expc*4x− P, para x y dist(x, ) ≥ 1. Para x con dist(x, ) < 1. Let x0 ser un punto tal que dist(x, x0) = dist(x, ) y considerar ū * (x) = (p) + (x) en B2(x0), la bola del radio 2 centrada en x0, luego a partir de (2.3) sigue que ū Satisface (2.13) div Ã(PÃ3n + à rx,) +B(P­+ ­x, ū (+) = 0 en B2(x0) en el sentido débil. A continuación, aplicando una estimación C1,α (véase [21], por ejemplo) de nuevo rendimientos como por encima de que hay dos constantes C > 0 y (0, 1) que son independiente de los Estados miembros de tal manera que C1,(B1(x0)) ≤ C (B2(x0)) + (B(P­+ ­x, û) (B2(x0)) ≤ c*3 expc*4x− P mediante el ajuste de c*3 y c 4 si es necesario. Especialmente lo hemos hecho. (2.14) u(x) ≤ c*3 expc*4x− P, Así combinando (2.11) y (2.14) juntos y escalonando hacia atrás tenemos para x (x) ≤ c*31 expc*4 x− P La prueba de Lemma 2.1 se completa dejando c3 = máx{c­o3, c*3} y c4 = min{c­04, c*4}. Observación 2.2. Nuestra prueba de la Lemma 2.1 con las modificaciones menores necesarias también funciona bien para los sistemas elípticos. A continuación presentamos un lema relacionado con las extensiones de u. Lemma 2.2. Existe un C1-extensión de uo que tiene soporte compacto en N y satisface (ii) W 1,m(RN ) ≤ c5 uW 1,m() y C1(RN ) ≤ c5 uC1(), (iii) también tiene la propiedad de la decadencia exponencial como se indica en Lemma 2.1, es decir,, existe una constante absoluta  ≥ 1 tal que (2.15) 0 ≤ ≤ c3 exp x− P (x) ≤ c31 exp x− P LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS (iv) existe una constante positiva = () de tal manera que para cualquier P , B (P ) es el reflejo de u a través de. Prueba. Let d? = d , y 0 ≤ ≤ (x) ≤ 1 es una función de corte suave de este tipo (x) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))))) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) () () () () () () () () () () ( } y • (x) • 0 para x • RN \ Entonces = satisface (ii), (iii) y (iv) automáticamente. La prueba de este lema se ha completado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Similar a la densidad de energía introducida en [2], definimos la densidad de energía associ- atendido con (1.1) como sigue: E (w, y′) = (wm + wm)− F (w) (y′, 0) en el caso de y′ ≤ RN−1. Entonces tenemos el siguiente lema. Lemma 2.3. Que G sea una función C2 en un barrio del origen de RN−1. i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′ = 2°G (0) γ, donde γ es la constante definida en (1.13), y y′ = (y1,. .., yN−1), y Gij (0) = Łyiđyj (0). Prueba. En Lemma 2.4 de [13], mostramos que (2.16) γ = (wm) + wm − F (w) zN dz. A continuación introducimos las coordenadas polares z1 = r pecado N−1 pecado N−2 · · · pecado z2 = r pecado ­N−1 pecado ­N−2 · · · pecado ­2 cos ­1, z3 = r sin ­N−1 sin ­N−2 · · · cos ­2, ..., zN = r cos N−1, y advierta que (r, Ł1,. .................................................................................................................... 0 ≤ lj < η para j = 2,....................................................................................................................................................................................................................................................... y que dz = rN−1 pecado 2 N­2 N­1 dr d·1 · · d·N­1. Después de los cálculos elementales se obtiene (2.17) γ = w′ (r)m + wm (r) − F (w (r)) rN dr · N−2, donde N−2 es el volumen de la bola de la unidad en R N−2. Aquí usamos el hecho de que w es radialmente simétrica. 12 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Usando la simetría radial de w de nuevo, obtenemos i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′(2.18) Gii (0) y iE (w, y ′) dy′ Gii (0) · N − 1 y2E (w, y′) dy′ = G (0) · E (w, r) rN dr · N−2, donde E (w, r) = (1/m) w′ (r)m + wm (r) − F (w (r)). Comparación (2.17) y (2.18) rendimientos i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′ = 2°G (0) γ. Se completa la prueba de Lemma 2.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3. Prueba del teorema 1.2 Con la ayuda de los lemas de la Sección 2, ahora podemos dar la prueba de Teorema Prueba de Teorema 1.2. Puesto que como 0+, P/23370/ → a la tasa de o(­), se deduce que d(P., P.)/ → 0, donde P. es el punto más cercano en a P. luego pasando a una secuencia, P → P̄ . Después de una rotación y traducción dependiente de............................................................................................................................................... podemos asumir que P está en el origen y ♥ se puede describir en un cúbico fijo barrio V de P̄ como el conjunto { (x′, xN ) xN > (x′) } con x′ = (x1,. .., xN−1), donde es suave, (0) = 0, (0) = 0. Además, podemos suponer que converge localmente en la C 2 sentido a, una correspondiente parametrización en P̄. Tenga en cuenta que ya que P es el origen, por lo que tenemos P Así que tenemos (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) x- P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P → w(x) en C1loc como فارسى → 0+. Del en la sección 1, tenemos NJŁ (uŁ) ≥ NJŁ (tuŁ) = I (tu/23370/) para todos los t > 0. En lo sucesivo I (v) = (vm + vm) dx− F v) dx. I (tu *) = I (t................................................................................................................................................ (+) ≥ I (t) + I(V)\RN+ (t)− I(RNV (3)(3.1) = I + II - III, LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS con V............................................................................................................... V. Escojamos t = t (t) maximiza en t. Entonces de la definición de C* en (1.10), igualdad (1.11) y Lemma 2.2 se deduce que I = I (t *) ≥ c* e-c6/ para alguna constante c6 > 0 independiente de . A continuación le damos una estimación de t. Lemma 3.1. Hay un tÃ3nico tá â â â € (0,â € TM ) de tal manera que () () () () () () () () () () () () () + ()m) dx − F (t (+) dx = sup TM (m + ()m) dx− F (t) dx y además (3.2) tŁ = 1 + o (1) como 0+. Prueba. Bajo suposición (H5), la existencia y la singularidad de t Simultáneamente a la prueba de Lemma 2.1 de [13]. Aquí sólo necesitamos espectáculo (3.2). Vamos. (3.3) hŁ (t) = (m + ()m) dx− F (t) dx. (3.4) h (t) = t (m + ()m) dx− f (t) dx = tm−1 (wm + wm) dx− wf (tw) dx+ o(1) aquí hemos utilizado la decaimiento exponencial de en Lemma 2.2, decaimiento exponencial de w y → w en C1loc como فارسى → 0+. Por otra parte, el término o (1) → 0 uniformemente en t en cada intervalo compacto como  → 0+. (3.3) nos dice h............................................................................................................................................................................................................................................................ los rendimientos que tŁ está limitado y lejos de 0. También de (3.4) se deduce que (3.5) h (t) = t wf (w) dx− w f (tw) dx+ o (1) = tm−1 f w) − f (tw) dx+ o (1). Por lo tanto en t = t (3.6) f w) − f (tŁw) (t.o.p.) dx = o (1). Dado que f(t)/tm−1 está aumentando estrictamente (véase (H5)), se deduce de (3.6) que t 1 + o (1). Se completa la prueba de Lemma 3.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 14 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO La prueba de Teorema 1.2 continuó. Usando de nuevo el decaimiento exponencial de Lemma 2.1 y la expansión de la tŁ en Lemma 3.1, obtenemos −II = − (RN−10} dy′(3.7) ((y′)) () () () () () () () () () () () () () + () ) - F (t) (y′, yN ) dyN = − (1 + o (1)) (RN−10} ((y′)) (um + (u)m)− F (uŁ) (y′, yN) dyN. Del mismo modo, (3.8) III = (1 + o (1)) V(RN−10}) ((y) (m + ()m)− F () (y′, yN) dyN. En a+ = max{a, 0}, a− = min{a, 0}. Desde (0) = 0, (0) = 0 y converge en la C 2 sentido local a, y → w en el sentido local C1 en RN con decaimiento exponencial uniforme con respecto a.......................................................................................................................................................................................................................................................... teorema de convergencia que (-II + III) i,j=1 * ij (0) yiyj (wm + wm)− F (w) (y′, 0) dy′ = (0) γ = (N − 1)H γ (por Lemma 2.3). Así que tenemos n.c.o.p. c* − (N − 1)H o (­) Pero (1.12) en Teorema 1.1 nos dice ≤ 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C c* − (N − 1) máx. H (P ) o (­) Por lo tanto tenemos ii) H = máx. H (P ), que es ii) del Teorema 1.2, iii) c. =............................................................................................................................................................................................................................................................ c* − (N − 1)H o (­) como 0+, que es parte iii) del Teorema 1.2. Se completa la prueba de Teorema 1.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Agradecimiento. Los autores quieren dar las gracias al anónimo árbitro para algunos comentarios útiles. LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS Bibliografía [1] A. Ambrosetti y P.H. Rabinowitz, métodos de variación dual en la teoría de puntos críticos y aplicaciones, J. Functional Analysis 14 (1973), 349-381. MR 51 #6412 [2] M. Del Pino y P.L. 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MR 98e:35076 Departamento de Matemáticas, La Universidad de Iowa, Iowa City, IA 52242 16 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Departamento de Matemáticas, Universidad Normal de Hunan, Changsha, Hunan Dirección de correo electrónico: yi-li@uiowa.edu Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad del Sur de Georgia, Statesboro, GA 30460 Dirección de correo electrónico: czhao@GeorgiaSouthern.edu 1. Introducción y exposición de los resultados 2. Algunos lemas y decaimiento exponencial de u0=x"0122 3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía

En este trabajo estudiamos la forma de las soluciones de menor energía a un singular problema perturbado cuasilineal con la condición homogénea de la frontera Neumann. Nosotros utilizar un método de variación intrínseca para demostrar que en el límite, el máximo global punto de soluciones de menor energía va a un punto en el límite más rápido que el velocidad lineal y este punto en el límite se aproxima a un punto donde la media la curvatura de la frontera alcanza su máximo. También damos una prueba completa de desintegración exponencial de las soluciones menos energéticas.

Introducción y exposición de los resultados En este artículo se estudia la forma de ciertas soluciones a la siguiente cuasilineal problema elíptico Neumann: (1.1) 1 + f (u) = 0, u > 0 en , = 0 en, donde m (2 ≤ m < N) y 0 <  ≤ 1 son constantes y  RN (N ≥ 3) es un dominio limitado suave. El operador mu = div(um−2 u) es el m- El operador laplaciano, y / es la unidad exterior normal a. Problema (1.1) aparece en el estudio de los fluidos no newtonianos, quimiotaxis y formación de patrones biológicos. Por ejemplo, en el estudio de los fluidos no neotonianos, la cantidad m es una característica del medio: los medios con m > 2 se llaman Los fluidos dilatantes, y aquellos con m < 2 se denominan pseudoplásticos. Si m = 2, son fluidos newtonianos (véase [3] y su bibliografía para más fondos). Por el caso m = 2, (1.1) también se conoce como la ecuación estacionaria del Keller– Sistema segal en quimiotaxis [14] o la ecuación estacionaria limitante de la llamada Sistema Gierer-Meinhardt en formación de patrones biológicos (véase [23]. Primero recordemos algunos resultados relacionados con nuestro problema. En una serie de notables , C.-S. Lin, W.-M. Ni e I. Takagi [14], Ni y Takagi [17], [18] estudiaron la Neumann problema para ciertas ecuaciones elípticas, incluyendo (1.2) d-u-u+ hacia arriba = 0, u > 0 en , = 0 en, donde d > 0, p > 1 son constantes, y p es subcrítico, es decir, p < N+2 . Primero, Lin, Ni y Takagi [14] aplicaron el lema de paso de montaña [1] para mostrar la existencia de Palabras y frases clave. Problema cuasilineal de Neumann, operador de m-laplacia, menor energía solución, descomposición exponencial, curvatura media. http://arxiv.org/abs/0704.0402v1 2 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO una solución de menor energía ud a (1.2), por lo que se quiere decir que ud tiene la menor energía entre todas las soluciones a (1.2) con la energía funcional Id (u) = u2 + 1 u2 − 1 definido en el punto W 1,2. En lo sucesivo u+ = max {u, 0} y u− = min {u, 0}. Luego en [17], [18], Ni y Takagi investigaron la forma de la solución menos energética como d se vuelve suficientemente pequeño, y demostró que ud tiene exactamente un pico (es decir, local máximo de ud) en Pd. Además, como d tiende a cero, Pd se acerca a un punto donde la curvatura media de alcanza su máximo. Véase [15] para una revisión en Este campo. Véase también [16] para el caso crítico p = N+2 , y [5], [6], [7], [8], [9] para existencia y propiedades de soluciones de múltiples habla a (1.2). A partir de ahora hacemos algunas hipótesis sobre f : R → R, como sigue. (H2) f (t) • 0 para t ≤ 0 y f • C1 (R). (H3) f(t) = O (t) p) como t→ con m− 1 < p < N (m− 1) +m N −m. (H4) Let F (t) = f s) ds. Entonces existe una constante............................................................ que F (t) ≤ tf (t) para t > 0. f t) aumenta estrictamente para t > 0 y f (t) = O tm−1 como t→ 0+ con una constante  > 0. (H6) Let g (u) = (m− 1)um−1 − uf ′ (u) um−1 − f (u) . Entonces g (u) no está aumentando en (uc), donde uc es la solución positiva única para f (t) = t A continuación presentamos algunos conocimientos preliminares sobre las soluciones menos energéticas de la el siguiente problema: (1.3) •mu− um−1 + f(u) = 0 en RN u > 0 en RN Como antes de definir un "funcional de energía" I:W 1,m(RN) R asociado con 1.3) por (1.4) I() = (m m + m)− F () A continuación vamos a hacer una observación sobre el terreno sobre el problema 1.3. Aquí por un estado del suelo nos referimos a una solución de distribución no trivial C1 no negativa que Tiende a cero en Ł. Para el caso m = 2, es bien sabido que el problema 1.3 tiene un estado de base único (hasta traducciones) radialmente simétrico [4]. Por El caso 2 < m < N la unicidad y la simetría radial de los estados del suelo todavía están abiertos. Pero la simetría Steiner nos dice que las soluciones menos energéticas deben ser radialmente simétrica (ciertamente las soluciones menos energéticas son estados terrestres). Nuestras suposiciones garantizar que la singularidad (hasta traducciones) de los estados terrestres radiales (véase [20]), lo que implica la singularidad de las soluciones menos energéticas del problema (1.3). Decaimiento exponencial exacto de los estados terrestres radiales se dio en [11], por lo que tenemos la siguiente propuesta sobre la solución radial única de menor energía al problema 1.3: Proposición 1.1. Bajo supuestos (H2)–(H6), hay una menor energía única solución w(x) para (1.3) que satisfaga: LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS 3 ( i ) w es radial, es decir, w(x) = w(x) = w(r) y w • C1(RN ) con w(0) = máx.X+RN w(x), w ′(0) = 0 y w′(r) < 0, r > 0. ii) limr w(r)r m(m−1) e( m r = C0 > 0 para algunas constantes C0 y limr w′(r) Observación 1.1. Un buen ejemplo de f (t) que satisface todas las hipótesis (H2)–(H6) es f (t) = tp para m− 1 < p < N (m− 1) +m A continuación definimos un "funcional de energía" J. : W. 1,m () → R asociado con (1.1) (1.5) (v) = (m vm + vm)− F (v+) con F (v+) = f s) ds. Entonces el conocido lema de paso de montaña [1] implica (1.6) c. = inf. [0,1] J/23370/ (h (t)) es un valor crítico positivo de Jl, donde l es el conjunto de todos los caminos continuos que se unen el origen y un elemento fijo distinto del cero e â € W 1,m (­) de tal manera que e ≥ 0 y J miren (e) ≤ 0. Resulta que también se puede caracterizar de la siguiente manera: e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = J/23370/ (u) u â € € TM W 1,m (­) ; u ≥ 0, u 6â € 0, (m um + um) dx = f (u)u dx (1.7) cŁ = inf M [u] u â € € € ° W 1,m (­), u 6â € 0 y u ≥ 0 en ­ M [u] = sup J. (tu). Por lo tanto, es el valor crítico menos positivo y un punto crítico u.o. de J.o. con crítica. el valor de c­o se llama una solución de menos energía. Note también que si lo permitimos c* = I(w) = (wm + wm) dx− F (w) dx, donde w es la solución de menor energía única de (1,3), entonces c* también se puede caracterizar (1.8) c* = inf M* [v] contra W 1,m , v 6-0 y v ≥ 0 en RN M* [v] = sup I (tv). Se refiere a Lemma 2.1 de [13] para las caracterizaciones anteriores. A continuación consideramos el siguiente problema: 4 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO v â € ¢ W 1,m con RN+ = (x1, · · ·, xN ) • RN, xN ≥ 0 y satisface (1.9) •mv − vm−1 + f (v) = 0, v > 0 en RN+, = 0 en xN = 0. Las soluciones de (1.9) se pueden caracterizar como puntos críticos de la definición funcional Sobre W 1,m del siguiente modo. () = m + m) dx− F () dx. Del mismo modo que por encima del valor crítico menos positivo C* correspondiente a la menor energía soluciones de (1,9) se pueden caracterizar como (1.10) C* = inf W 1,m(RN+),0,60 (t) y además (1.11) C* = debido a la condición límite en (1.9) y el hecho de que w es radial y por lo tanto = 0. También nos referimos a Lemma 2.1 de [13] para la caracterización anterior de C*. En Teorema 1.3 de [13], probamos el siguiente teorema. Teorema 1.1. En las hipótesis (H2)–(H6), que u (1.1). A continuación, todos los puntos máximos locales (si más de uno) de u el punto máximo P.o.p., a razón de o(l) y dist(P.o.p., )/ 0, dist(·, ·) es la función de distancia general. Además, tenemos los siguientes niveles superiores: estimaciones consolidadas para el cálculo de la cifra de 0+: (1.12) c-≤-N c* − (N − 1) máx. H (P ) o (­) donde H (P ) denota la curvatura media de en P, γ > 0 es una constante positiva dado por (1.13) γ = N + 1 w′ (z)m zN dz. Nuestro objetivo en este documento es localizar la posición en donde el máximo global En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no sea superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, siempre que el valor de los vehículos de motor no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo de motor y no exceda del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Para el caso m = 2, Ni y Takagi [18] localizaron el pico mediante la linealización de la ecuación d-u-u+f (u) = 0 alrededor del estado del suelo w. Pero este método falla para nuestro problema con m 6 = 2 debido a la no linealidad fuerte del operador m-laplaciano mu = div(um−2 u). Así que tenemos que utilizar el método variacional intrínseco creado por Del Pino y Felmer en [2] para atacarlo. También damos una prueba completa de la decadencia exponencial de la solución de menor energía. Observamos que nuestra prueba es completa y no requieren la no degeneración de la solución radial única de menor energía w como se indica en la Proposición 1.1, y por lo tanto es diferente de la obra de Ni y Takagi [17]. Ahora nuestros resultados pueden ser expresados de la siguiente manera: Teorema 1.2. En las hipótesis (H2)–(H6), que u (1.1) y P con dist(P., P.) = dist(P., ). Entonces como 0+, después de pasar a la secuencia P se acerca P̄ con LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS ii) H = máx. H (P ), donde H (P ) denota la curvatura media de en P como se ha dicho antes, y además (iii) el valor crítico asociado a la C.E. puede calcularse como 0+ como sigue: (1.14) c* − (N − 1)H o (­) donde c*, γ son como se indica en el Teorema 1.1. La organización de este documento es la siguiente: En la sección 2, probaremos algunos lemas que se utilizarán para probar el teorema 1.2. La prueba de Teorema 1.2 será se indicará en la sección 3. 2. Algunos lemas y decaimiento exponencial de u Primero probamos el siguiente lema relacionado con la decaimiento exponencial de los menos- solución de energía. Lemma 2.1. Dejemos que sea lo suficientemente pequeño y que la solución menos energética alcanza su máximo global en algún punto P. Entonces existen dos contra- Estantes c3 y c4 independientes de los demás (2.1) (x) ≤ c3 exp c4 x− P / u(x) ≤ c31 expc4x− P/. Antes de empezar a probar este lema, hacemos una observación al respecto. Observación 2.1. Para el caso m = 2, bajo el supuesto de no degeneración de la operador linealizado 1 + f ′ (w), donde w es el estado único del suelo de (1,3), Ni Takagi y Takagi [18] mostraron que u (2.2) u. (x) = w. (x) + 1 (x) + o (l) y Ł1 (x) disfruta de la propiedad exponencial-decadencia ([18]). Claramente no podemos derivar decaimiento exponencial de uŁ (x) como se indica en Lemma (2.1) de (2.2), a pesar de que ambos w (x) y 1 (x) tienen propiedades exponenciales de desintegración. Prueba de Lemma 2.1. Puesto que es un submanifold compacto suave de RN, sigue del teorema del barrio tubular [10] de que existe una constante que depende sólo de............................................................................................................................................................................................................................................................. x # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # es difeomor- phic al haz normal interno I = {(x, y) : x , y (), 0] νx}, aquí vx es la unidad normal exterior de en x, y el difeomorfismo se define como sigue: x x I, existe un único x tal que d (x, x ) = d (x, ), entonces : x (xá,−d (x, xá) νxá). Por otra parte este difeomorfismo satisface = Identidad. Similarmente, vamos a O = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + . Entonces O es diffeo- morfo al haz normal exterior O = {(x, y) : x â € € € € {x, y) : x â € € {0, â € € }, y el difeomorfismo se da de la siguiente manera. * x * * * O, existe un único x̄ tal que d(x, x̄) = d (x, ), y luego : x (x̄, d (x, x̄) νx̄) y = Identidad. Tenga en cuenta que ()NI es claramente difeomórfico a () O via la siguiente reflexión : () I () O definida por Φ * (x, y) = (x, − y). 6 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Por lo tanto, Φ = 1* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # = Identidad. Por otra parte, si dejamos x = Φ(z) = (Φ1(z), · · ·,ΦN(z), z â € €, y z = ­(x) = 1(x) = (­1(x), · · · ·,­N(x)), x ­­I, gij = gij = (Φ (z)), tenemos gij = gij = símbolo de cuello. Nota G = y A = G− Yo siendo la identidad de N ×N matriz, g(x) = det (gij) y (x) = u Entonces (x) satisface la Ecuaciones siguientes: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gûm−1 + gf () = 0, > 0 en O = 0, en, donde L = s,l=1 G ()T g ()G donde Tr significa tomar el rastro de una matriz cuadrada. En el caso de 0 < ≤ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * . Sabemos que AC0 puede ser hecho arbitrariamente pequeño haciendo suficientemente pequeño. A continuación definimos = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 u.x., x....................................................................................................................................... (x), x(+) O, g‡ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gij, x â € ¢ O, g‡ij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * gij, x â € ¢ O, y Ã(x, â € = Ã1(x, ), · · · ·, ÃN (x, ) para • = ( • 1, · · · ·, • N ) con Ãi(x, •) = s,l=1 ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! g.ij.j.g.j.j.g.j.j.g.j.j.g.j.j.j.g.j.j.j.j.g.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j.j. y gś = det(gśij), B(x, u) = −um−1 + f(u) . Entonces (x) satisface (2.3) m div Ã(x,) +B(x, ) = 0 en  en el sentido débil. LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS Para cualquier bola de Br(x0) O con el radio r y el centro x0 ° °, let ° = x− x0. A continuación, para cualquier función de aumento suave.......................................................................................................................................................................................................................................................... ()G()T g()G (I + A)()T det(I + A)−1(I + A) = m−2 (I + tA)()T det(I + tA)−1(I + tA) = m−2 (I + tA)()T ()A()T det(I + tA)−1(I + tA)dt (I + tA)()T det(I + tA)−1 det(I + tA)−1 (I + tA)dt (I + tA)()T det(I + tA)−1()Adt. Por lo tanto (2.4) ()G()T g()G 3 (N − 1) +K Tomando suficientemente pequeño, aquí K > 0 es una constante dependiendo sólo de, por lo tanto sólo en  y = (l) (l) A partir de ahora = (♥) se fija de tal manera que (i) 3 ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g ≤ 1 g , ii) (2.4) cualquier función radial que aumente sin problemas 3 m ≤ Ã(x, ) · ≤ 5 m para an = (+1, · · · ·, +N ). Denotación =  O. Let = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Entonces u.................................................................................. al problema siguiente: (2.5) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • = 0, en, donde n es la unidad normal exterior de. Similarmente, vamos a − P (x) = (PŁ + Łx) para x . Puesto que converge a la única radial menos- solución de energía w de (1.3) en C1loc(R) N ) O 1,m (RN ) como • → 0+ (véase la prueba de Teorema 1.2 de [13]) y w satisface: i) w es radial, es decir, w(x) = w(x) = w(r) > 0 ii) lim w(r)r m(m−1) e( m−1 ) m r = C0 > 0 (véase el teorema 1 de [11]) que rinde w(r) ≤ . Primero fijamos una constante η > 0 tal que 1 tm−1 > f(t) (0, η). De la hipótesis (H5) se deduce que tal η existe. Entonces existe 0 > 0 lo suficientemente pequeño y R0 lo suficientemente grande como para que 4° expR0} < η y 8 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO − wâ °C0(BR0(0)) ≤ expR0}, que rinde = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Tenga en cuenta que • − 7 m−1 = 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 − 1 − 1 + 0 en \BR0(0), = 0 en \BR0(0), • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces tenemos (x) ≤ 2° expR0}, para x \BR0(0) debido al fuerte principio del máximo ([22]). Retomamos eso. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (2.6) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ≤ 2° expx en el caso de x â € € € € € € € € € € € € € € € € Bâ € R0(0). De la definición de sabemos (x) ≤ 2 exp μ (x − 2dist (PŁ, )) } ≤ 4........................................................................................................................................................................ } para x â € € € TM € € TM € € TM € € € € € € € € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM en lugar de 0, 0, 0, con 0, lo suficientemente pequeño debido al hecho dist(P­, ) = o(­) 0+. Tenga en cuenta que BŁR0 (0) ≤ 4 expR0}. La elección de R0 y nos dice para cualquier 0 < t ≤ 4 exp R0} B(x, t) = −tm−1 + f(t) tm−1. Definir: lx0 lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0lx0 * (x) = * (l) = * (x− x0) BŁR0 (0) donde > 0 es una constante que se determinará más adelante. Los cálculos simples muestran que i) (l) > 0 y 3 (N−1) +K (m-1) ()m ))m−2 tanh( ) ( ) () ))m−1 LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS ADELANTADA 9 para cualquier 0 < ≤, donde > 0 es una pequeña constante dependiendo sólo de m y A través de K. Observamos que hemos utilizado el hecho maxr[0, tanhr En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. m ≥ 2. A partir de ahora elegimos =. Por lo tanto tenemos (x,)− ūm−1 ≥ 0 en Br(x0), (x,)− m−1 ≤ 0 en Br(x0). Claramente. Br(x0) ≥ Br(x0). Entonces del Teorema de Comparación (Teorema 10.1 de [19]) se deduce que (x) ≥ (x) en Br(x0). En particular, (x0) ≥ (x0). Por lo tanto, tenemos ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ BŁR0(0) expr Elegir r = d x0, ♥ \B­R0(0) ¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos. (x0) ≤ 4° expR0 − } ≤ 2 exp (­R0 + r) con = min,. Tenga en cuenta que x0 pertenece a uno de los dos casos siguientes: i) d x0, ♥ \B­R0(0) = d (x0, B­R0(0)), ii) d x0, ♥ \B­R0(0) x0, Para el caso (i) tenemos d(x0, P/23370/) ≤ ŁR0 + r y, por lo tanto, (2,7) u-(x0) ≤ 4° exp d(x0, P♥) Para el caso (ii) tenemos r ≥ y por lo tanto (2.8) (x0) ≤ 4° exp R0 + r } ≤ 4................................................................................................................................................. ≤ 4° exp diam() · d(x0, P/23370/) Combinando (2.6), (2.7) y (2.8) juntos y dejando c rendimientos (2.9) u.x. ≤ c. 3 exp. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A continuación mostramos la estimación para u sostiene. En primer lugar de (2.5) se deduce que (2.10) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m−1 − f(u­), uü > 0 in Para x y dist(x, ) ≥ 1, considerar (2.10) en la unidad de bola centrada en x, es decir, B1(x). Entonces por una C Estimación 1,α (véase [21], por ejemplo) hay dos constantes 10 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO C > 0 y • (0, 1) que son independientes de • tal que (2.11) (B 1 (x)) ≤ C (B1(x)) + (u) m−1 − f(u I+D(B1(x)) ≤ c*3 expc*4x− P, donde hemos utilizado (2.9) y el hecho de que uo(x) = uo(P/23370/ + Łx) para x . Especialmente lo hemos hecho. (2.12) u(x) ≤ c*3 expc*4x− P, para x y dist(x, ) ≥ 1. Para x con dist(x, ) < 1. Let x0 ser un punto tal que dist(x, x0) = dist(x, ) y considerar ū * (x) = (p) + (x) en B2(x0), la bola del radio 2 centrada en x0, luego a partir de (2.3) sigue que ū Satisface (2.13) div Ã(PÃ3n + à rx,) +B(P­+ ­x, ū (+) = 0 en B2(x0) en el sentido débil. A continuación, aplicando una estimación C1,α (véase [21], por ejemplo) de nuevo rendimientos como por encima de que hay dos constantes C > 0 y (0, 1) que son independiente de los Estados miembros de tal manera que C1,(B1(x0)) ≤ C (B2(x0)) + (B(P­+ ­x, û) (B2(x0)) ≤ c*3 expc*4x− P mediante el ajuste de c*3 y c 4 si es necesario. Especialmente lo hemos hecho. (2.14) u(x) ≤ c*3 expc*4x− P, Así combinando (2.11) y (2.14) juntos y escalonando hacia atrás tenemos para x (x) ≤ c*31 expc*4 x− P La prueba de Lemma 2.1 se completa dejando c3 = máx{c­o3, c*3} y c4 = min{c­04, c*4}. Observación 2.2. Nuestra prueba de la Lemma 2.1 con las modificaciones menores necesarias también funciona bien para los sistemas elípticos. A continuación presentamos un lema relacionado con las extensiones de u. Lemma 2.2. Existe un C1-extensión de uo que tiene soporte compacto en N y satisface (ii) W 1,m(RN ) ≤ c5 uW 1,m() y C1(RN ) ≤ c5 uC1(), (iii) también tiene la propiedad de la decadencia exponencial como se indica en Lemma 2.1, es decir,, existe una constante absoluta  ≥ 1 tal que (2.15) 0 ≤ ≤ c3 exp x− P (x) ≤ c31 exp x− P LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS (iv) existe una constante positiva = () de tal manera que para cualquier P , B (P ) es el reflejo de u a través de. Prueba. Let d? = d , y 0 ≤ ≤ (x) ≤ 1 es una función de corte suave de este tipo (x) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)))))) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) () (+) () () () () () () () () () () ( } y • (x) • 0 para x • RN \ Entonces = satisface (ii), (iii) y (iv) automáticamente. La prueba de este lema se ha completado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Similar a la densidad de energía introducida en [2], definimos la densidad de energía associ- atendido con (1.1) como sigue: E (w, y′) = (wm + wm)− F (w) (y′, 0) en el caso de y′ ≤ RN−1. Entonces tenemos el siguiente lema. Lemma 2.3. Que G sea una función C2 en un barrio del origen de RN−1. i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′ = 2°G (0) γ, donde γ es la constante definida en (1.13), y y′ = (y1,. .., yN−1), y Gij (0) = Łyiđyj (0). Prueba. En Lemma 2.4 de [13], mostramos que (2.16) γ = (wm) + wm − F (w) zN dz. A continuación introducimos las coordenadas polares z1 = r pecado N−1 pecado N−2 · · · pecado z2 = r pecado ­N−1 pecado ­N−2 · · · pecado ­2 cos ­1, z3 = r sin ­N−1 sin ­N−2 · · · cos ­2, ..., zN = r cos N−1, y advierta que (r, Ł1,. .................................................................................................................... 0 ≤ lj < η para j = 2,....................................................................................................................................................................................................................................................... y que dz = rN−1 pecado 2 N­2 N­1 dr d·1 · · d·N­1. Después de los cálculos elementales se obtiene (2.17) γ = w′ (r)m + wm (r) − F (w (r)) rN dr · N−2, donde N−2 es el volumen de la bola de la unidad en R N−2. Aquí usamos el hecho de que w es radialmente simétrica. 12 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Usando la simetría radial de w de nuevo, obtenemos i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′(2.18) Gii (0) y iE (w, y ′) dy′ Gii (0) · N − 1 y2E (w, y′) dy′ = G (0) · E (w, r) rN dr · N−2, donde E (w, r) = (1/m) w′ (r)m + wm (r) − F (w (r)). Comparación (2.17) y (2.18) rendimientos i,j=1 Gij (0) yiyjE (w, y ′) dy′ = 2°G (0) γ. Se completa la prueba de Lemma 2.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3. Prueba del teorema 1.2 Con la ayuda de los lemas de la Sección 2, ahora podemos dar la prueba de Teorema Prueba de Teorema 1.2. Puesto que como 0+, P/23370/ → a la tasa de o(­), se deduce que d(P., P.)/ → 0, donde P. es el punto más cercano en a P. luego pasando a una secuencia, P → P̄ . Después de una rotación y traducción dependiente de............................................................................................................................................... podemos asumir que P está en el origen y ♥ se puede describir en un cúbico fijo barrio V de P̄ como el conjunto { (x′, xN ) xN > (x′) } con x′ = (x1,. .., xN−1), donde es suave, (0) = 0, (0) = 0. Además, podemos suponer que converge localmente en la C 2 sentido a, una correspondiente parametrización en P̄. Tenga en cuenta que ya que P es el origen, por lo que tenemos P Así que tenemos (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) = (x) x- P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P → w(x) en C1loc como فارسى → 0+. Del en la sección 1, tenemos NJŁ (uŁ) ≥ NJŁ (tuŁ) = I (tu/23370/) para todos los t > 0. En lo sucesivo I (v) = (vm + vm) dx− F v) dx. I (tu *) = I (t................................................................................................................................................ (+) ≥ I (t) + I(V)\RN+ (t)− I(RNV (3)(3.1) = I + II - III, LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKS DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS con V............................................................................................................... V. Escojamos t = t (t) maximiza en t. Entonces de la definición de C* en (1.10), igualdad (1.11) y Lemma 2.2 se deduce que I = I (t *) ≥ c* e-c6/ para alguna constante c6 > 0 independiente de . A continuación le damos una estimación de t. Lemma 3.1. Hay un tÃ3nico tá â â â € (0,â € TM ) de tal manera que () () () () () () () () () () () () () + ()m) dx − F (t (+) dx = sup TM (m + ()m) dx− F (t) dx y además (3.2) tŁ = 1 + o (1) como 0+. Prueba. Bajo suposición (H5), la existencia y la singularidad de t Simultáneamente a la prueba de Lemma 2.1 de [13]. Aquí sólo necesitamos espectáculo (3.2). Vamos. (3.3) hŁ (t) = (m + ()m) dx− F (t) dx. (3.4) h (t) = t (m + ()m) dx− f (t) dx = tm−1 (wm + wm) dx− wf (tw) dx+ o(1) aquí hemos utilizado la decaimiento exponencial de en Lemma 2.2, decaimiento exponencial de w y → w en C1loc como فارسى → 0+. Por otra parte, el término o (1) → 0 uniformemente en t en cada intervalo compacto como  → 0+. (3.3) nos dice h............................................................................................................................................................................................................................................................ los rendimientos que tŁ está limitado y lejos de 0. También de (3.4) se deduce que (3.5) h (t) = t wf (w) dx− w f (tw) dx+ o (1) = tm−1 f w) − f (tw) dx+ o (1). Por lo tanto en t = t (3.6) f w) − f (tŁw) (t.o.p.) dx = o (1). Dado que f(t)/tm−1 está aumentando estrictamente (véase (H5)), se deduce de (3.6) que t 1 + o (1). Se completa la prueba de Lemma 3.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 14 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO La prueba de Teorema 1.2 continuó. Usando de nuevo el decaimiento exponencial de Lemma 2.1 y la expansión de la tŁ en Lemma 3.1, obtenemos −II = − (RN−10} dy′(3.7) ((y′)) () () () () () () () () () () () () () + () ) - F (t) (y′, yN ) dyN = − (1 + o (1)) (RN−10} ((y′)) (um + (u)m)− F (uŁ) (y′, yN) dyN. Del mismo modo, (3.8) III = (1 + o (1)) V(RN−10}) ((y) (m + ()m)− F () (y′, yN) dyN. En a+ = max{a, 0}, a− = min{a, 0}. Desde (0) = 0, (0) = 0 y converge en la C 2 sentido local a, y → w en el sentido local C1 en RN con decaimiento exponencial uniforme con respecto a.......................................................................................................................................................................................................................................................... teorema de convergencia que (-II + III) i,j=1 * ij (0) yiyj (wm + wm)− F (w) (y′, 0) dy′ = (0) γ = (N − 1)H γ (por Lemma 2.3). Así que tenemos n.c.o.p. c* − (N − 1)H o (­) Pero (1.12) en Teorema 1.1 nos dice ≤ 1 °C ≤ 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C + 1 °C c* − (N − 1) máx. H (P ) o (­) Por lo tanto tenemos ii) H = máx. H (P ), que es ii) del Teorema 1.2, iii) c. =............................................................................................................................................................................................................................................................ c* − (N − 1)H o (­) como 0+, que es parte iii) del Teorema 1.2. Se completa la prueba de Teorema 1.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Agradecimiento. Los autores quieren dar las gracias al anónimo árbitro para algunos comentarios útiles. LOCALIZACIÓN DE LOS PEAKES DE LAS SOLUCIONES DE ENERGIA MENOS Bibliografía [1] A. Ambrosetti y P.H. Rabinowitz, métodos de variación dual en la teoría de puntos críticos y aplicaciones, J. Functional Analysis 14 (1973), 349-381. MR 51 #6412 [2] M. Del Pino y P.L. 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MR 98e:35076 Departamento de Matemáticas, La Universidad de Iowa, Iowa City, IA 52242 16 YI LI Y CHUNSHAN ZHAO Departamento de Matemáticas, Universidad Normal de Hunan, Changsha, Hunan Dirección de correo electrónico: yi-li@uiowa.edu Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad del Sur de Georgia, Statesboro, GA 30460 Dirección de correo electrónico: czhao@GeorgiaSouthern.edu 1. Introducción y exposición de los resultados 2. Algunos lemas y decaimiento exponencial de u0=x"0122 3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Bibliografía

Review: Semiconductor Quantum Light Sources

Microsoft Word - preprint.doc Versión preimpresa de Nature Photonics 1, 215 (2007) Revisión: Semiconductor Fuentes de Luz Cuántica Andrew J Shields Toshiba Research Europe Limited, 260 Cambridge Science Park, Cambridge CB4 0WE, Reino Unido Resumen Los láseres y LEDs muestran una distribución estadística en el número de fotones emitidos en un intervalo de tiempo determinado. Nuevo aplicaciones que explotan las propiedades cuánticas de la luz requieren fuentes para las cuales los fotones individuales, o pares, son generado en una corriente regulada. Aquí repasamos investigaciones recientes sobre fuentes de un solo fotón basadas en la emisión de un punto cuántico semiconductor único. En pocos años se han logrado progresos notables en la generación de Indistinguibles fotones simples y pares de fotones enredados utilizando tales estructuras. Sugiere que puede ser posible realizar dispositivos semiconductores compactos, robustos y similares al LED para la generación de luz cuántica. Aplicaciones de fotónica cuántica Aplicar estados de luz cuántica a aplicaciones fotónicas permite funcionalidades que no son posibles usando ‘ordinarios’ luz clásica. Por ejemplo, el transporte de información con fotones simples proporciona un medio para probar el secreto de comunicaciones, que pronto podría aplicarse al problema de compartir claves criptográficas digitales.1 2 Aunque seguras ya se han realizado sistemas cuánticos de distribución de claves basados en pulsos láser débiles para enlaces simples punto a punto, Por otra parte, las fuentes de luz cuántica son importantes para futuros protocolos cuánticos de comunicación como la teletransportación cuántica. 4 Aquí compartir redes cuánticas El enredo podría ser usado para distribuir claves a mayor distancia o a través de topologías más complejas.5 Una progresión natural sería utilizar fotones para el procesamiento cuántico de la información, así como la comunicación. En este considerar que es relativamente sencillo codificar y manipular la información cuántica en un fotón. Por otra parte, los fotones simples no interactúan fuertemente con uno-otro, un prerrequisito para una simple puerta lógica de fotones. En óptica lineal computación cuántica67 (LOQC) este problema se resuelve utilizando mediciones proyectivas para inducir una interacción efectiva entre los fotones. Aquí se requieren fuentes disparadas de fotones simples y pares entrelazados como el qubit Portaviones, así como fuentes auxiliares para probar el funcionamiento exitoso de las puertas. Aunque las necesidades de los componentes para LOQC son desafiantes, recientemente se han relajado significativamente por nuevos esquemas teóricos. 7 Luz cuántica También es probable que los estados sean cada vez más importantes para diversos tipos de medición óptica de precisión8. Para estas aplicaciones lo ideal sería como fuentes de luz que generan puros estados de un solo fotón “bajo demanda” en respuesta a una señal de activación externa. Las principales medidas de la ejecución para esa fuente son la eficiencia, definida como la fracción de fotones recogidos en el experimento o aplicación por disparador, y la función de correlación de segundo orden en retardo cero, ver cuadro de texto. Este último es esencialmente una medida de la tasa de dos fotones en comparación con una fuente clásica con tiempos de emisión aleatorios de la misma intensidad media. Con el fin de construir aplicaciones que impliquen más de una fotón, también es importante que los fotones emitidos de la fuente (en diferentes momentos), así como los de diferentes fuentes, son de otro modo indistinguibles. En ausencia de una conveniente fuente de fotón único activada, la mayoría de los experimentos en óptica cuántica se basan en no lineales procesos ópticos para generar estados de luz cuántica. El bombeo óptico de un cristal con una no linealidad χ(2) tiene un finito probabilidad de generar un par de fotones de menor energía a través de la conversión paramétrica hacia abajo. Esto se puede utilizar para preparar pares de fotones con enredo de la time-bin,9 polarizaciones enrejadas,1011 o, alternativamente, estados de un solo fotón «heredados» por El segundo fotón en el par.12 También se ha utilizado una no linealidad χ(3) en un semiconductor para generar enrejados pares.13 Como estos procesos no lineales ocurren al azar, siempre hay una probabilidad finita de generar dos pares que aumenta con la potencia de la bomba. Como los pares dobles degradan la fidelidad de las puertas ópticas cuánticas, la potencia láser de la bomba debe se restringe a reducir la tasa de pares dobles a un nivel aceptable, que tiene un efecto perjudicial sobre la eficiencia 14 Esto significa que, aunque las fuentes de conversión descendente siguen teniendo mucho éxito en la demostración pocas puertas ópticas cuánticas de fotón, escalando a grandes números puede ser problemático. Se han propuesto soluciones basadas en al conectar múltiples fuentes15, o al almacenar fotones en un bucle de fibra conmutada16. Lo ideal sería una fuente de luz cuántica que genera exactamente un solo fotón, o par enredado, por excitación Pulso disparador. Esto puede lograrse utilizando la emisión de un único sistema cuántico. Después de la relajación, un cuántico sistema ya no es por definición excitado y por lo tanto incapaz de volver a emitir. Anti-golpeo de fotones, la tendencia de un fuente cuántica para emitir fotones separados en el tiempo, se demostró por primera vez en la fluorescencia de resonancia de una baja densidad vapor de átomos Na,17 y posteriormente para un solo ion.18 Los puntos cuánticos a menudo se denominan “átomos artificiales”, ya que su movimiento de electrones se cuantifica en los tres espacios espaciales. direcciones, resultando en un espectro de nivel de energía discreto, como el de un átomo. Proporcionan un sistema cuántico que se puede cultivar dentro de dispositivos semiconductores robustos y monolíticos y se puede diseñar para tener una amplia gama de propiedades. A continuación repasamos los avances recientes hacia la realización de una tecnología de semiconductores para fotónica cuántica. Un excelente relato del trabajo temprano se puede encontrar en Ref. 19. Limitación de las restricciones de espacio de trabajo en otros sistemas cuantificados. Para ello, remitimos al lector a la revisión completa en Ref 20. Propiedades ópticas de puntos cuánticos únicos Los puntos cuánticos a nanoescala con buenas propiedades ópticas se pueden fabricar utilizando un modo de crecimiento natural de capa tensada semiconductores.21 Cuando InAs se deposita en GaAs inicialmente crece como una hoja bidimensional tensada, pero más allá algún espesor crítico, islas diminutas como las que se muestran en la figura 1a con el fin de minimizar la tensión superficial. El sobrecrecimiento de las islas conduce a la incorporación coherente de puntos InxGa1-xAs en la estructura cristalina del dispositivo, como puede verse en la imagen transversal de la Fig.1c. Los más intensamente estudiados son pequeños puntos de InAs en GaAs emitiendo alrededor de 900-950nm a bajas temperaturas, que se puede medir convenientemente con bajo ruido Si foton simple detectores. Una característica menos deseable de la técnica de auto-organización es que los puntos se forman en posiciones aleatorias en la superficie de crecimiento. Sin embargo, recientemente se ha avanzado considerablemente en el control de la posición del punto (Fig.1b) dentro del dispositivo estructura mediante el diseño de pozos de tamaño nanómetro en la superficie de crecimiento.2223 Como InGaAs tiene un bandgap de energía menor que GaAs, el punto cuántico forma una trampa potencial para electrones y agujeros. Si suficientemente pequeño, el punto contiene sólo unos pocos niveles cuantificados en las bandas de conducción y valencia, cada uno de los cuales tiene dos electrones o agujeros de giro opuesto. Iluminación por un picosegundo pulso láser excita electrones y agujeros que Relájese rápidamente a los estados de energía más bajos a ambos lados de la banda. Un punto cuántico puede así capturar dos electrones y dos agujeros para formar el estado de biexciton, que decae por una cascada radiativa, como se muestra esquemáticamente en la Fig.2a. Uno de los electrones atrapados recombina con uno de los agujeros y genera un primer fotón (llamado el fotón biexcitón, X2). Esto deja un solo par electrón-agujero en el punto (el estado excitón), que posteriormente también recombina para generar un segundo fotón (exciton, X). Los fotones biexcitón y excitón tienen energías distintas, como se puede ver en el bajo espectro fotoluminiscente de temperatura de la Fig.2a, debido a las diferentes energías Coulomb de su inicial y final estados. A menudo un número de otras líneas más débiles también se puede ver debido a la recombinación de excitones cargados que forman intermitentemente cuando el punto captura un exceso de electrón o agujero.24 Puntos cuánticos más grandes, con varios electrones confinados y los niveles de agujeros, tienen una firma óptica más rica debido al gran número de complejos de exciton que pueden ser confinados. La espectroscopia de alta resolución revela que las transiciones X2 y X de un punto son de hecho ambos dobles con linealmente componentes polarizados paralelos a los ejes [110] y [1-10] del cristal semiconductor, etiquetados aquí H y V, 2526 El origen de esta polarización es una asimetría en la interacción de intercambio electrón-ojo del punto que produce una división de los estados de spin exciton. La asimetría deriva de una elongación del punto a lo largo de uno eje de cristal y tensión incorporada en el cristal. Mezcla los eigenstatos exciton de un punto simétrico con el z-spin total Jz = +1 y -1 en combinaciones simétricas y antisimétricas, que unen a dos H o dos V fotones polarizados, respectivamente, como se muestra en la figura 2. El estado excitón del punto tiene una vida típica de ~1ns, que se debe puramente a la decadencia radiativa. Ya que esto es mucho más largo que la duración del emocionante pulso láser, o la vida útil de la población portadora foto-excitada en el semiconductores circundantes, sólo se puede emitir un fotón X por impulso láser. Esto se puede probar, como se informó por primera vez27 por Peter Michler, Atac Imamoglu y sus colegas en Santa Bárbara, midiendo la correlación de segundo orden función, g(2)) de la fotoluminiscencia de exciton,2829 ver cuadro de texto. De hecho, cada uno de los complejos de exciton del punto genera como máximo un fotón por ciclo de excitación, lo que permite la emisión de un solo fotón también del biexciton o transiciones de excitón cargadas.30 Las mediciones de correlación cruzada313233 entre los fotones X y X2 confirman la correlación de tiempo esperada para la cascada en la Fig.2a, es decir, el fotón X sigue el X2. De hecho, la forma de la función de correlación cruzada para ambos CW y excitación pulsada se puede describir con precisión con un modelo de ecuación de velocidad simple y la medida experimental X y tasas de decaimiento X2. 34 Microcavidades semiconductoras Una gran ventaja de usar puntos cuánticos autoensamblados para la generación de un solo fotón es que pueden ser fácilmente incorporado en cavidades utilizando técnicas estándar de crecimiento y procesamiento de semiconductores. Los efectos de la cavidad son útiles para dirigir la emisión del punto hacia un experimento o aplicación, así como para modificar la emisión de fotones Dinámica. 3536 Purcell37 predijo una emisión espontánea mejorada de una fuente en una cavidad cuando su energía coincide con el modo de la cavidad, debido a la mayor densidad de los estados ópticos a emitir en. Para una cavidad ideal, en la que el el emisor se encuentra en el máximo del campo eléctrico con su dipolo alineado con el campo eléctrico local, el aumento de la tasa de decaimiento se da por Fp = (3/4 2) (l/n)3 Q/V, donde Q es el factor de calidad, una medida del tiempo a El fotón está atrapado en la cavidad, y V es el volumen de modo efectivo. Por lo tanto alta eficiencia de la colección de fotones, y Decaimiento radiativo rápido simultáneamente, requiere pequeñas cavidades con espejos altamente reflectantes y un alto grado de estructura perfección. Sin embargo, sin controlar la ubicación del punto en la cavidad, como se explica a continuación, puede ser difícil lograr la mejora completa predicha por la fórmula Purcell. La Figura 3 muestra imágenes de algunas de las estructuras de cavidades de punto cuántica única que han demostrado ser más exitosas. Pilar microcavidades, formadas por el grabado de pilares cilíndricos en espejos semiconductores Bragg colocados a ambos lados de la capa de punto, han mostrado grandes mejoras de Purcell y tienen un perfil de emisión altamente direccional, haciendo así un buen fotón único fuentes.38394041 Los factores de Purcell de alrededor de 6 se han medido directamente,4041 a través de la tasa de radiación potenciada por cavidades decaimiento comparado con el de un punto sin cavidad, lo que implica un acoplamiento al modo de cavidad de β = Fp/(1+Fp) > 85%, si asumir que los modos de fuga no se ven afectados por la cavidad. Sin embargo, la colección de fotones determinada experimentalmente eficiencia, que es un parámetro más pertinente para las aplicaciones, es típicamente ~10%, debido al hecho de que no toda la cavidad modo se puede acoplar en un experimento y dispersión del modo por los bordes de los pilares ásperos. Podemos esperar que la La eficiencia de la colección de fotones aumentará con mejoras en la tecnología de procesamiento o nuevos diseños de microcavidad. Otro medio de formar una cavidad es grabar una serie de agujeros en una losa suspendida de semiconductores, con el fin de formar un variación lateral en el índice de refracción que crea un vacío de energía prohibido para los modos fotónicos en los que la luz no puede Los fotones pueden entonces ser atrapados en una irregularidad central en esta estructura: generalmente una porción sin grabar de la losa. Tales cavidades de defectos de banda fotónica se han fabricado en Si con valores Q que se aproximan a 106.4344 de alta calidad cavidades activas también se han demostrado en GaAs que contienen puntos cuánticos InAs. 45464748 Una vida útil radiativa de 86 ps, correspondiente a un factor de Purcell de Fp~12, ha sido reportado. 47 Muy recientemente se midió una vida de 60p para un cavidad en el acoplamiento fuerte regeme.48 Si el valor Q es suficientemente grande, el sistema entra en el régimen de acoplamiento fuerte donde oscila la excitación coherentemente entre un exciton en el punto y un fotón en la cavidad. La firma espectral del acoplamiento fuerte, un anti- cruce entre la línea de punto y el modo de cavidad, se ha observado para puntos cuánticos en microcavidades de pilares,49 cavidades de defecto de bandgap fotónico,50 microdiscos51 y microesferas.52 Se ha demostrado para las cavidades atómicas que El acoplamiento fuerte permite la generación determinista de fotones únicos.5354 Fuentes de fotones únicos en el acoplamiento fuerte Se puede esperar que el régimen tenga eficiencias de extracción muy altas y sea limitado el ancho de banda temporal55. Recientemente se ha informado de emisiones de un solo fotón para un punto en una microcavidad de pilar fuertemente acoplada. 56 Otro interesante desarrollo reciente es la capacidad de localizar un punto cuántico único dentro de la cavidad, ya que esto asegura el el acoplamiento más grande posible y elimina la emisión de fondo, así como otros efectos indeseables, debido a otros puntos en la cavidad. Arriba discutimos técnicas para controlar la posición del punto en la superficie de crecimiento. La otra manera es a colocar la cavidad alrededor del punto. Una técnica combina espectroscopia de microfotoluminiscencia para localizar el punto posición, con fotolitografía láser in situ a los marcadores de patrón en la superficie de la oblea.57 Una alternativa implica el crecimiento una pila vertical de puntos para que su ubicación pueda ser revelada escaneando la superficie de la oblea, 58 como se muestra en la Fig.3. Recientemente esta técnica ha permitido mayores energías de acoplamiento para un solo punto en una cavidad de defecto de banda fotónica48. Indistinguibilidad de los fotones Los efectos de la cavidad son importantes para hacer diferentes fotones de la fuente indistinguibles, que es esencial para muchas aplicaciones en la información cuántica. Cuando dos fotones idénticos son incidentes simultáneamente en el contrario puertos de entrada de un beisplitter 50/50, siempre saldrán a través del mismo puerto de salida, 59 como se muestra esquemáticamente en la Fig.4a. Esto ocurre debido a una interferencia destructiva en la amplitud de probabilidad del estado final en el que sale un fotón a través de cada puerto de salida. La amplitud del caso donde ambos fotones se reflejan exactamente se cancela con que donde ambos se transmiten, debido al cambio de fase η/2 tras la reflexión, siempre que los dos fotones sean completamente idénticos. Interferencia de dos fotones de dos fotones simples emitidos sucesivamente desde un punto cuántico en un pilar débilmente acoplado La microcavidad fue reportada por primera vez por el grupo de Stanford.60 Fig. 4b muestra un esquema de su experimento. Nótese que reducción de la tasa de co-incidencia medida entre detectores en cada puerto de salida, cuando los dos fotones son inyectado simultáneamente (Fig.4c). La inmersión no se extiende completamente a cero, lo que indica que los dos fotones en algún momento salir de la viga en puertos opuestos. La reducción medida de la tasa de coincidencia con un retraso cero del 69%, implica un solapamiento para los paquetes de onda de un solo fotón de 0,81, después de corregir para la imperfecta visibilidad de un solo fotón de la interferómetro. Bennett et al61 y Vauroutsis et al. 62 Se han obtenido resultados similares para un solo punto en una cavidad de defecto de bandgap fotónico63. Esta visibilidad de interferencia de dos fotones está limitada por el tiempo de coherencia finita de los fotones emitidos por el cuántico punto 64, que los hace distinguibles. La profundidad de la inmersión en la Fig.4c depende de la relación de tiempo de desintegración radiativa al tiempo de coherencia del punto, es decir, R=2­decay/­coh. Cuando la unidad, el tiempo de coherencia está limitado por la decadencia radiativa y el fuente mostrará perfecta interferencia 2-fotón. El enfoque más exitoso hasta ahora ha sido el de ampliar la cooperación la excitación óptica resonante del punto y reducir la decadencia utilizando el efecto Purcell en una microcavidad de pilar, a los valores R~1.5. la futura mayor visibilidad se puede lograr con una mejora de Purcell más grande, utilizando una única cavidad de punto en el régimen de acoplamiento o con rejilla eléctrica descrito en la sección siguiente. Fattal et al utilizaron una fuente de fotones únicos indistinguibles para generar enredo entre post-seleccionados parejas. 65 66 Esto implica simplemente la rotación de la polarización de uno de los fotones incidente en el Fig.4a por 90o. Pos-seleccionando los resultados donde los dos fotones llegan al raysplitter al mismo tiempo y donde hay un fotón en cada brazo de salida (marcado 1 y 2), los pares medidos deben corresponder al estado Bell = 1 / 2 (­H1 V2 > - ­ V1 H2 >) Eq.1 Tenga en cuenta que sólo si los dos fotones son indistinguibles y por lo tanto el enredo es sólo en la polarización de los fotones, son los dos términos en Eq1 capaces de interferir. El análisis de la matriz de densidad publicado por Fattal et al65 revela una fidelidad de la pares post-seleccionados al estado en Eq.1 de 0,69, más allá del límite clásico de 0,5. Esta fuente de pares enredados tiene un diferencia de importancia con respecto a la basada en la cascada de biexciton que se describe a continuación. Post-selección implica que los fotones se destruyen cuando este plan tiene éxito. Este es un problema para algunas aplicaciones de información cuántica como LOQC, pero podría aplicarse útilmente a la distribución cuántica de claves.65 LEDs de un solo foton Una propuesta temprana de Kim et al67 para una fuente eléctrica de un solo fotón se basó en el grabado de un semiconductor Heteroestructura con bloqueo de Coulomb. Sin embargo, la emisión de luz de esta estructura grabada era demasiado débil para permitir que se estudie la función de correlación de segundo orden. Recientemente se han hecho progresos alentadores hacia el logro de los objetivos de desarrollo del Milenio. realización de una fuente de un solo fotón basada en la cuantificación de una corriente de inyección eléctrica lateral.6869 Hasta ahora, el enfoque exitoso ha sido integrar puntos cuánticos autoensamblados en uniones dopadas convencionales de p-i-n. En el primer informe de emisión de un solo fotón accionado eléctricamente por Yuan et al,70 la electroluminiscencia de un solo punto se aisló formando una abertura de emisión de micron-diámetro en el contacto superior opaco del diodo p-i-n. Figura 5a muestra un LED de un solo fotón de apertura de emisión mejorada después de Bennett et al, 71 que incorpora una cavidad óptica formada entre un espejo Bragg de alta reflectividad y la interfaz semiconductora/aire en la abertura. Esta estructura forma un débil cavidad, que mejora la eficiencia de la recolección medida 10 veces en comparación con los dispositivos sin cavidad. 72 Los pulsos de un solo fotón son generados por excitar el diodo con un tren de pulsos de corto voltaje. El segundo orden La función de correlación g(2)) de la electroluminiscencia X o X2 (Fig.5c) muestra la supresión del retardo cero pico indicativo de emisión de un solo fotón.71 La tasa finita de pulsos multifotón se debe principalmente al fondo emisión de capas distintas del punto, que también se observa para la excitación óptica no resonante. Contactos eléctricos también permitir que se adapten las características temporales de la fuente monofotónica. Aplicando un sesgo negativo al diodo entre los pulsos de inyección eléctrica, Bennett et al73 redujeron el nerviosismo en el tiempo de emisión de fotón < 100ps. Esto permite aumentar la tasa de repetición de la fuente de un solo fotón a 1,07GHz (Fig.5d) mientras se mantiene buena Características de las emisiones de fotón (Fig.5e). El gating eléctrico podría proporcionar una técnica para producir ancho de banda de tiempo- fotones únicos limitados a partir de puntos cuánticos. Otro enfoque prometedor es abrir la corriente que fluye a través del dispositivo.7475 Esto se logra mediante el crecimiento de un capa delgada de AlAs dentro de la región intrínseca de la unión p-i-n y más tarde exponer la mesa a la oxidación húmeda en una horno, convirtiendo la capa de AlAs alrededor del borde exterior de la mesa en óxido de aluminio aislante. Por cuidado control del tiempo de oxidación, se puede formar una abertura conductora de μm-diámetro dentro del anillo aislante de AlOx. Tales estructuras tienen la ventaja de excitar sólo un punto dentro de la estructura, reduciendo así la cantidad de emisiones de fondo. El óxido anular también limita el modo óptico lateralmente dentro de la estructura, potencialmente permitiendo una alta eficiencia de extracción de fotones. Alterar la nanoestructura o los materiales que componen el punto cuántico permite un control considerable de la emisión longitud de onda y otras características. La mayor parte del trabajo experimental realizado hasta la fecha se ha concentrado en pequeñas InAs puntos cuánticos que emiten alrededor de 900-950nm, ya que estos tienen propiedades ópticas bien entendidas y se pueden detectar con Detectores de un solo fotón de bajo ruido. Por otro lado, los potenciales de confinamiento superficial de este sistema significa que emitir sólo a bajas temperaturas. En longitudes de onda más cortas se ha demostrado la emisión óptica de un solo fotón a ~350nm utilizando GaN/AlGaN,76 500nm usando CdSe/ZnSSe77 y 682nm InP/GaInP78 punto cuántico. Los dos primeros Se ha demostrado que los sistemas funcionan a 200K. Es muy importante que las comunicaciones cuánticas desarrollen fuentes a longitudes de onda más largas en la fibra óptica. bandas de transmisión a 1,3 y 1,55μm. Esto puede lograrse utilizando heteroestructuras InAs/GaAs depositando más InEn cuanto a formar puntos cuánticos más grandes. Estos puntos más grandes ofrecen potenciales de confinamiento más profundos que aquellos a 900nm y por lo tanto a menudo mostrar emisiones de temperatura ambiente.79 Emisiones de un solo fotón bombeadas ópticamente en longitudes de onda de las telecomunicaciones alcanzado utilizando una serie de técnicas para preparar bajas densidades de puntos de longitud de onda más larga, incluido un crecimiento bimodal modo en MBE para formar densidades bajas de puntos grandes, 80 tasa de crecimiento ultra-baja MBE81 y MOCVD.82 Recientemente, el primero Se ha demostrado que una fuente de fotón monofotón accionada eléctricamente en una longitud de onda de las telecomunicaciones83. Generación de fotones enredados Al recoger los fotones X2 y X emitidos por la cascada de biexciton, un solo punto cuántico también puede ser utilizado como un fuente de pares de fotones. Las mediciones de correlación de polarización en estos pares descubrieron que los dos fotones eran clásico-correlacionado con la misma polarización lineal.848586 Esto ocurre porque la cascada puede proceder a través de uno de los dos estados intermedios de spin exciton, como se describe anteriormente y se muestra en la Fig.2a, uno de los cuales se une a dos H- y el otros dos fotones polarizados en V. La emisión es así una mezcla estadística de HX2HX> y VX2VX>, aunque exciton la dispersión de la rotación durante la cascada (discutida abajo) asegura que también hay algunos pares transversales polarizados. La división de spin87,88 del estado excitón del punto distingue los pares polarizados H y V y evita la emisión de pares enredados predichos por Benson et al. 89 Si se pudiera eliminar esta división, los componentes H y V serían interferir en experimentos diseñados adecuadamente. El estado de 2-fotón emitido debe escribirse como una superposición de HH y VV, que pueden refundirse en las bases de polarización diagonales (espejadas por D, A) o circulares (, -), es decir, = 1 / 2 (el HX2 HX > + el VX2 VX >) = 1 / 2 (-DX2 DX > + X2 XX >) = 1 / 2 (X2 ) X > + X >) Eq.2. Equivalente ponderación de los términos HH y VV asume la fuente para ser despolarizada, como se indica por experimental medidas. Eq.2 sugiere que, para la división de giro de cero exciton, la cascada de biexciton genera pares de fotones enredados, similar a 90 El enredo de los fotones X o X2 fue observado recientemente experimentalmente por primera vez por Stevenson, Young y compañeros de trabajo, 9192 usando dos esquemas diferentes para cancelar la división de giros exciton. Una alternativa aproximación de Akopian et al, 93 usando puntos con división finita de excitón, post-selecciona fotones emitidos en un estrecho espectral banda donde las dos líneas de polarización se superponen. La división del giro de excitón depende de la energía de emisión de excitón, tendiendo a cero para puntos InAs que emiten cerca de 1.4eV y luego invertir para una mayor emisión de energía. 94 95 Estos corresponden a puntos cuánticos poco profundos para los que el portador Las funciones de onda se extienden hacia el material de barrera que reduce el intercambio electrón-ojo. La división cero se puede lograr por o bien un control cuidadoso de las condiciones de crecimiento para lograr puntos que emitan cerca de la energía deseada, o bien mediante recocido Las muestras que emitan a menor energía.94 La división de los giros de excitón se puede ajustar continuamente mediante la aplicación de un campo magnético. en el plano del punto.96 Se ha observado que las firmas de enredo aparecen entonces sólo cuando el excitón La división es cercana a cero.91 Otros esquemas prometedores para afinar la división de excitón están emergiendo ahora, incluyendo aplicación de la cepa97 y el campo eléctrico.9899 Figura 6a parcelas correlaciones de polarización notificadas por Young et al92 para un punto con división de excitón cero (por control de la condiciones de crecimiento). Los pares emitidos en la misma cascada (es decir, retardo cero) muestran una correlación positiva muy llamativa (co- polarización) medida en bases rectilíneas o diagonales y anticorrelación (polarización cruzada) al medir en forma circular. Este es exactamente el comportamiento esperado para el estado enredado de Eq.2. En contraste, un punto con finito división muestra correlación de polarización sólo para la base rectilínea, sin correlación para diagonal o circular mediciones, ver Figura 6b. Las fuertes correlaciones observadas para las tres bases en la Fig.6a no pudieron ser producidas por ninguna fuente de luz clásica o mezcla de fuentes clásicas y es la prueba de que la fuente genera fotones enredados. Los medida92 proyectos de matriz de densidad de dos fotones (Fig.6c) en el estado previsto 1/.02 (el HX2 HX > +.VX2 VX >) con fidelidad (es decir, probabilidad) 0,702 ± 0,022, superando el límite clásico (0,5) por 9 desviaciones estándar. Dos procesos contribuyen a los pares ‘equivocadamente’ correlacionados que menoscaban la fidelidad de la fuente de fotones enredado. La primera de ellas se debe a la emisión de fondo de capas de la muestra distintas del punto. Este contexto la emisión, que es despolarizada y diluye los fotones enredados del punto, limitó la fidelidad observada en el primer informe91 de pares de fotones enredados disparados de un punto cuántico y se ha reducido posteriormente con mejor muestra design.92 El segundo mecanismo, que es una característica intrínseca del punto, es la dispersión de spin exciton durante el biexciton cascada. Es interesante que este proceso no parece depender fuertemente de la división de giro de exciton. Puede ser reducido mediante la supresión de la dispersión utilizando excitación resonante o alternativamente utilizando efectos de cavidad para reducir el tiempo necesario para la cascada radiativa. Perspectivas En los últimos años se han registrado progresos notables en la generación de luz cuántica mediante dispositivos semiconductores. Sin embargo, a pesar de los considerables progresos, aún quedan muchos problemas por resolver. La integridad estructural de las cavidades debe continuar mejorar, mejorando así los factores de calidad. Esto, combinado con la capacidad de colocar puntos únicos de forma fiable dentro de la cavidad, mejorará aún más la eficiencia de recogida de fotones y la energía Rabi en el régimen de acoplamiento fuerte. También lo es. es importante realizar todos los beneficios de estos efectos de cavidad en fuentes eléctricas más prácticas. Mientras tanto la ingeniería de la estructura de banda de los puntos cuánticos permitirá acceder a una gama más amplia de longitudes de onda para ambos y fuentes de fotones enredados, así como estructuras que pueden funcionar a temperaturas más altas. Técnicas de ajuste fino las características de los emisores individuales también serán importantes. Uno de los aspectos más interesantes de la óptica cuántica de semiconductores es que podemos ser capaces de utilizar puntos cuánticos no sólo como emisores de luz cuántica, pero también como los elementos lógicos y de memoria que se requieren en la información cuántica procesamiento. Aunque LOQC es escalable teóricamente, la computación cuántica con fotones sería mucho más fácil con un útil no linealidad de un fotón. Tal no linealidad se puede lograr con un punto cuántico en una cavidad en el fuerte régimen de acoplamiento. El acoplamiento alentadormente fuerte de un único punto cuántico con varios tipos de cavidad ya ha sido observado en el dominio espectral. Eventualmente puede incluso ser posible integrar emisión de fotones, lógica, memoria y Elementos de detección en chips semiconductores simples para formar un circuito integrado fotónico de información cuántica procesamiento. El autor agradece a Mark Stevenson, Robert Young, Anthony Bennett, Martin Ward y Andy Hudson por sus útiles comentarios durante la preparación del manuscrito y el DTI del Reino Unido “Optimal Systems for Digital Age”, EPSRC y EC Future and Emerging Technologies programas de apoyo a la investigación sobre fuentes de luz cuántica. Cuadro de texto : Mediciones de correlación de fotones Las estadísticas de fotones de la luz se pueden estudiar a través de la función de correlación de segundo orden, g(2)), que describe el correlación entre la intensidad del campo de luz con que después de un retraso Esta función se puede medir directamente utilizando el interferómetro Hanbury-Brown y Twiss101, que comprende un 50/50 Viesplitter y dos detectores de un solo fotón, mostrados en la figura. Para los retrasos mucho menos que el tiempo medio entre los eventos de detección (es decir, para las intensidades bajas), la distribución en los retrasos entre clics en cada uno de los dos detectores es proporcional a g(2)). Para una fuente de luz continua con tiempos de emisión aleatorios, tales como un láser o LED ideal, g(2)(e)=1. Demuestra que no hay correlación en el tiempo de emisión de cualquiera de los dos fotones de la fuente. Una fuente para la cual g (2)=0)>1 se describe como 'golpeado' ya que hay una mayor probabilidad de que se emitan dos fotones dentro de un corto intervalo de tiempo. Fotones Las fuentes de luz cuántica son típicamente 'anti-golpeadas' (g(2)=0)<1) y tienden a separarse en el tiempo. En los sistemas de comunicación y computación, estamos interesados en las fuentes de luz pulsadas, para las cuales la emisión se produce en tiempos definidos por un reloj externo. En este caso g(2)) se compone de una serie de picos separados por un período de reloj. Para una fuente ideal de un solo fotón, el pico en cero tiempo de retraso está ausente, g (2)=0)=0; ya que la fuente no puede producir más de un fotón por período de excitación, claramente los dos detectores no pueden disparar simultáneamente. La figura muestra g(2)) registrado para la excitación óptica pulsada por resonante de la emisión X de un único punto cuántico en una microcavidad de pilar. Nótese la ausencia casi total del pico con un retraso cero: la firma definitiva de un Fuente de fotones. El pico débil que se ve en 0 demuestra que la tasa de emisión de dos fotón es 50 veces menor que eso de un láser ideal con la misma intensidad media. El comportamiento de agrupamiento observado para los picos de retardo finito es explicado por el atrapamiento intermitente de un portador de carga en el punto.102 Este rastro fue tomado para láser cuasi-resonante excitación del punto que evita la creación de portadores en los semiconductores circundantes. Para láser de energía superior excitación, la supresión en g (2)0) se reduce normalmente indicando pulsos ocasionales de 2-fotón debido a la emisión de las capas que rodean el punto, pero se pueden minimizar con el diseño cuidadoso de la muestra. Cuadro de texto de la figura: a) Esquema de la configuración utilizada para las mediciones de correlación de fotones, b) correlación de segundo orden función de la emisión de excitón de un solo punto en una microcavidad de pilar. Títulos de la figura Figura 1: Puntos cuánticos automontados (a) Imagen de una capa de puntos cuánticos automontados InAs/GaAs Microscopio de la Fuerza Atómica (AFM). Cada mancha amarilla corresponde a un punto con diámetros laterales típicos de 20-30nm y una altura de 4-8nm. (b) Imagen AFM23 de una capa de puntos cuánticos InAs cuyas ubicaciones han sido sembradas por una matriz de hoyos de tamaño nanómetro diseñados sobre la superficie de la oblea. En condiciones óptimas, hasta el 60% de los pozos de etch contienen un punto único (Cortesía de P Atkinson & D A Ritchie, Cambridge). (c) Imagen STM transversal de un punto InAs dentro de un Dispositivo GaAs (Cortesía de P. Koenraad, Eindhoven). Figura 2: Espectro óptico de un punto cuántico. a) Esquema de la cascada de biexciton de un punto cuántico. b) Típico espectro fotoluminiscente de un único punto cuántico que muestra la emisión de línea nítida debido al biexciton X2 y exciton X Fotón emitido por la cascada. El conjunto muestra la división de polarización de las transiciones originadas por el giro división del nivel de excitón. Figura 3: Imágenes SEM de cavidades semiconductoras, incluidas las microcavidades de pilares (a)56 y b), microdisco (c)51 y cavidades de defectos de banda fotónica (d)47, (e) y (f).48 (Estructuras fabricadas en la Univ Wuerzburg (a), CNRS-LPN (UPR- 20), Marcoussis (b, c, e), Univ Cambridge (d), UCSB/ETHZ Zurich (f)) Figura 4: Interferencia de dos fotones. a) Si los dos fotones son indistinguibles, los dos resultados se traducen en el fotón en cualquiera de los brazos interfiere destructivamente. Esto resulta en que los dos fotones siempre salen juntos del raysplitter. b) Esquema de un experimento que utiliza dos fotones emitidos sucesivamente a partir de un punto cuántico, (c) datos experimentales que muestran supresión de la tasa de coincidencia en (b) cuando el retraso entre fotones de entrada es cero debido a dos fotones interferencia.60 (Cortesía de Y Yamamoto, Stanford Univ.) Figura 5: Emisión de un fotón accionada eléctricamente. a) Esquema de un LED de un solo fotón. b) Electroluminiscencia espectros del dispositivo. Observe que los espectros están dominados por las líneas exciton X y biexciton X2, que tienen lineal y dependencia cuadrática de la corriente de accionamiento, respectivamente. Otras líneas débiles se deben a excitones cargados. c) Segundo orden función de correlación registrada para las líneas de emisión de exciton (i) y biexciton (ii), d) electroluminiscencia resuelta en el tiempo desde un dispositivo funcionan con una tasa de repetición de 1,07GHz, (e) medida (i) y modelada (ii) correlación de segundo orden función de la electroluminiscencia de biexciton a 1,07GHz. (adaptado de Refs. 71 y 73) Figura 6: Generación de fotones enredados por un punto cuántico. a) Grado de correlación medido para un punto con excitón división de la polarización S=0 μeV en bases de polarización lineales (i), diagonales (ii) y circulares (iii) en función del retraso entre los fotones X y X2 (en unidades del ciclo de repetición). La correlación se define como la tasa de copolarización pares menos la tasa de pares polarizados cruzados divididos por la tasa total. Note que los valores en el retraso finito no muestran correlación, como se esperaba para pares emitidos en diferentes ciclos de excitación láser. Más interesantes son los picos cerca de retardo de tiempo cero, correspondiente al fotón X y X2 emitido desde la misma cascada. La presencia de fuertes correlaciones para los tres tipos de medición para el punto con división de exciton cero sólo se puede explicar si el X y X2 Las polarizaciones están entrelazadas. b) Grado de correlaciones medidas para el punto en a) sujeto al campo magnético en el plano de modo que como para producir una división de polarización de excitón de S=25 μeV. Observe que la correlación en las bases diagonales y circulares han desaparecido, indicando sólo correlaciones clásicas en la división finita. c) Matriz de densidad de dos fotones del dispositivo emisión en la letra a). Los fuertes términos diagonales aparecen debido al enredo. (adaptado a partir de Ref. 92) Bibliografía 1 Gisin, N., Ribordy, G., Tittel, W. & Zbinden, H. Cryptography Quantum. Rev. Mod Physics 74, 145-195 (2001). 2 Dusek, M., Lutkenhaus, N. & Hendrych, M. Cryptography Quantum. Progreso en Óptica 49, Edt. E. Wolf (Elsevier 2006). 3 Waks, E., Inoue, K., Santori, C., Fattal, D., Vucković, J., Solomono, G. 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B 69, 205324 (2004). 500 nm 500 nm Fig. 1 1375 1380 1385 Polarización de detección: Vertical Horizontal Energía de fotones (meV) 1378,0 1378,5 1380,0 1380,5 b) a) Fig. 2 estado del suelo 500 nm 500nm c) a) b) e) f) Fig. 3 a) b) Fig. 4 sustrato/buffer n-ohmic contacto InAs QD Aislador Al p-ohmic contacto Emisión n+ Espejo Bragg capa de cavidad contacto metal p+ GaAs Semicon/aire interfaz 905 910 915 X X-X x100 0,11μA 12,0μA longitud de onda (nm) 95,1μ A X+(b) -40 -20 0 20 40 Tiempo (ns) -40 -20 0 20 40 retardo (ns) ii) X c) i) -10 -5 5 10 retardo (ns) i) calculados ii) medidas tiempo (ns) Fig. 5 -0,05 c) Parte imaginaria real Errores (magnitud) S = 0μeV plazo de demora (12,5 ns) a) i) ii) iii) -15 0 15 S = 25μeV b) i) iii) -15 0 15 Fig. 6 detector raysplitter detector dispositivo Emisión -40 -20 0 20 40 retardo, [ns] a) b) Fig. cuadro de texto

Los láseres y LEDs muestran una distribución estadística en el número de fotones emitido en un intervalo de tiempo determinado. Nuevas aplicaciones que explotan el cuántico las propiedades de la luz requieren fuentes para las que los fotones individuales, o pares, se generan en una corriente regulada. Aquí revisamos la investigación reciente sobre Fuentes de un solo fotón basadas en la emisión de un único semiconductor cuántico punto. En pocos años se han logrado progresos notables en la generación de Los fotones simples indistinguibles y los pares de fotones entrelazados que utilizan dichos fotones estructuras. Sugiere que puede ser posible realizar compacto, robusto, como el LED dispositivos semiconductores para la generación de luz cuántica.

Microsoft Word - preprint.doc Versión preimpresa de Nature Photonics 1, 215 (2007) Revisión: Semiconductor Fuentes de Luz Cuántica Andrew J Shields Toshiba Research Europe Limited, 260 Cambridge Science Park, Cambridge CB4 0WE, Reino Unido Resumen Los láseres y LEDs muestran una distribución estadística en el número de fotones emitidos en un intervalo de tiempo determinado. Nuevo aplicaciones que explotan las propiedades cuánticas de la luz requieren fuentes para las cuales los fotones individuales, o pares, son generado en una corriente regulada. Aquí repasamos investigaciones recientes sobre fuentes de un solo fotón basadas en la emisión de un punto cuántico semiconductor único. En pocos años se han logrado progresos notables en la generación de Indistinguibles fotones simples y pares de fotones enredados utilizando tales estructuras. Sugiere que puede ser posible realizar dispositivos semiconductores compactos, robustos y similares al LED para la generación de luz cuántica. Aplicaciones de fotónica cuántica Aplicar estados de luz cuántica a aplicaciones fotónicas permite funcionalidades que no son posibles usando ‘ordinarios’ luz clásica. Por ejemplo, el transporte de información con fotones simples proporciona un medio para probar el secreto de comunicaciones, que pronto podría aplicarse al problema de compartir claves criptográficas digitales.1 2 Aunque seguras ya se han realizado sistemas cuánticos de distribución de claves basados en pulsos láser débiles para enlaces simples punto a punto, Por otra parte, las fuentes de luz cuántica son importantes para futuros protocolos cuánticos de comunicación como la teletransportación cuántica. 4 Aquí compartir redes cuánticas El enredo podría ser usado para distribuir claves a mayor distancia o a través de topologías más complejas.5 Una progresión natural sería utilizar fotones para el procesamiento cuántico de la información, así como la comunicación. En este considerar que es relativamente sencillo codificar y manipular la información cuántica en un fotón. Por otra parte, los fotones simples no interactúan fuertemente con uno-otro, un prerrequisito para una simple puerta lógica de fotones. En óptica lineal computación cuántica67 (LOQC) este problema se resuelve utilizando mediciones proyectivas para inducir una interacción efectiva entre los fotones. Aquí se requieren fuentes disparadas de fotones simples y pares entrelazados como el qubit Portaviones, así como fuentes auxiliares para probar el funcionamiento exitoso de las puertas. Aunque las necesidades de los componentes para LOQC son desafiantes, recientemente se han relajado significativamente por nuevos esquemas teóricos. 7 Luz cuántica También es probable que los estados sean cada vez más importantes para diversos tipos de medición óptica de precisión8. Para estas aplicaciones lo ideal sería como fuentes de luz que generan puros estados de un solo fotón “bajo demanda” en respuesta a una señal de activación externa. Las principales medidas de la ejecución para esa fuente son la eficiencia, definida como la fracción de fotones recogidos en el experimento o aplicación por disparador, y la función de correlación de segundo orden en retardo cero, ver cuadro de texto. Este último es esencialmente una medida de la tasa de dos fotones en comparación con una fuente clásica con tiempos de emisión aleatorios de la misma intensidad media. Con el fin de construir aplicaciones que impliquen más de una fotón, también es importante que los fotones emitidos de la fuente (en diferentes momentos), así como los de diferentes fuentes, son de otro modo indistinguibles. En ausencia de una conveniente fuente de fotón único activada, la mayoría de los experimentos en óptica cuántica se basan en no lineales procesos ópticos para generar estados de luz cuántica. El bombeo óptico de un cristal con una no linealidad χ(2) tiene un finito probabilidad de generar un par de fotones de menor energía a través de la conversión paramétrica hacia abajo. Esto se puede utilizar para preparar pares de fotones con enredo de la time-bin,9 polarizaciones enrejadas,1011 o, alternativamente, estados de un solo fotón «heredados» por El segundo fotón en el par.12 También se ha utilizado una no linealidad χ(3) en un semiconductor para generar enrejados pares.13 Como estos procesos no lineales ocurren al azar, siempre hay una probabilidad finita de generar dos pares que aumenta con la potencia de la bomba. Como los pares dobles degradan la fidelidad de las puertas ópticas cuánticas, la potencia láser de la bomba debe se restringe a reducir la tasa de pares dobles a un nivel aceptable, que tiene un efecto perjudicial sobre la eficiencia 14 Esto significa que, aunque las fuentes de conversión descendente siguen teniendo mucho éxito en la demostración pocas puertas ópticas cuánticas de fotón, escalando a grandes números puede ser problemático. Se han propuesto soluciones basadas en al conectar múltiples fuentes15, o al almacenar fotones en un bucle de fibra conmutada16. Lo ideal sería una fuente de luz cuántica que genera exactamente un solo fotón, o par enredado, por excitación Pulso disparador. Esto puede lograrse utilizando la emisión de un único sistema cuántico. Después de la relajación, un cuántico sistema ya no es por definición excitado y por lo tanto incapaz de volver a emitir. Anti-golpeo de fotones, la tendencia de un fuente cuántica para emitir fotones separados en el tiempo, se demostró por primera vez en la fluorescencia de resonancia de una baja densidad vapor de átomos Na,17 y posteriormente para un solo ion.18 Los puntos cuánticos a menudo se denominan “átomos artificiales”, ya que su movimiento de electrones se cuantifica en los tres espacios espaciales. direcciones, resultando en un espectro de nivel de energía discreto, como el de un átomo. Proporcionan un sistema cuántico que se puede cultivar dentro de dispositivos semiconductores robustos y monolíticos y se puede diseñar para tener una amplia gama de propiedades. A continuación repasamos los avances recientes hacia la realización de una tecnología de semiconductores para fotónica cuántica. Un excelente relato del trabajo temprano se puede encontrar en Ref. 19. Limitación de las restricciones de espacio de trabajo en otros sistemas cuantificados. Para ello, remitimos al lector a la revisión completa en Ref 20. Propiedades ópticas de puntos cuánticos únicos Los puntos cuánticos a nanoescala con buenas propiedades ópticas se pueden fabricar utilizando un modo de crecimiento natural de capa tensada semiconductores.21 Cuando InAs se deposita en GaAs inicialmente crece como una hoja bidimensional tensada, pero más allá algún espesor crítico, islas diminutas como las que se muestran en la figura 1a con el fin de minimizar la tensión superficial. El sobrecrecimiento de las islas conduce a la incorporación coherente de puntos InxGa1-xAs en la estructura cristalina del dispositivo, como puede verse en la imagen transversal de la Fig.1c. Los más intensamente estudiados son pequeños puntos de InAs en GaAs emitiendo alrededor de 900-950nm a bajas temperaturas, que se puede medir convenientemente con bajo ruido Si foton simple detectores. Una característica menos deseable de la técnica de auto-organización es que los puntos se forman en posiciones aleatorias en la superficie de crecimiento. Sin embargo, recientemente se ha avanzado considerablemente en el control de la posición del punto (Fig.1b) dentro del dispositivo estructura mediante el diseño de pozos de tamaño nanómetro en la superficie de crecimiento.2223 Como InGaAs tiene un bandgap de energía menor que GaAs, el punto cuántico forma una trampa potencial para electrones y agujeros. Si suficientemente pequeño, el punto contiene sólo unos pocos niveles cuantificados en las bandas de conducción y valencia, cada uno de los cuales tiene dos electrones o agujeros de giro opuesto. Iluminación por un picosegundo pulso láser excita electrones y agujeros que Relájese rápidamente a los estados de energía más bajos a ambos lados de la banda. Un punto cuántico puede así capturar dos electrones y dos agujeros para formar el estado de biexciton, que decae por una cascada radiativa, como se muestra esquemáticamente en la Fig.2a. Uno de los electrones atrapados recombina con uno de los agujeros y genera un primer fotón (llamado el fotón biexcitón, X2). Esto deja un solo par electrón-agujero en el punto (el estado excitón), que posteriormente también recombina para generar un segundo fotón (exciton, X). Los fotones biexcitón y excitón tienen energías distintas, como se puede ver en el bajo espectro fotoluminiscente de temperatura de la Fig.2a, debido a las diferentes energías Coulomb de su inicial y final estados. A menudo un número de otras líneas más débiles también se puede ver debido a la recombinación de excitones cargados que forman intermitentemente cuando el punto captura un exceso de electrón o agujero.24 Puntos cuánticos más grandes, con varios electrones confinados y los niveles de agujeros, tienen una firma óptica más rica debido al gran número de complejos de exciton que pueden ser confinados. La espectroscopia de alta resolución revela que las transiciones X2 y X de un punto son de hecho ambos dobles con linealmente componentes polarizados paralelos a los ejes [110] y [1-10] del cristal semiconductor, etiquetados aquí H y V, 2526 El origen de esta polarización es una asimetría en la interacción de intercambio electrón-ojo del punto que produce una división de los estados de spin exciton. La asimetría deriva de una elongación del punto a lo largo de uno eje de cristal y tensión incorporada en el cristal. Mezcla los eigenstatos exciton de un punto simétrico con el z-spin total Jz = +1 y -1 en combinaciones simétricas y antisimétricas, que unen a dos H o dos V fotones polarizados, respectivamente, como se muestra en la figura 2. El estado excitón del punto tiene una vida típica de ~1ns, que se debe puramente a la decadencia radiativa. Ya que esto es mucho más largo que la duración del emocionante pulso láser, o la vida útil de la población portadora foto-excitada en el semiconductores circundantes, sólo se puede emitir un fotón X por impulso láser. Esto se puede probar, como se informó por primera vez27 por Peter Michler, Atac Imamoglu y sus colegas en Santa Bárbara, midiendo la correlación de segundo orden función, g(2)) de la fotoluminiscencia de exciton,2829 ver cuadro de texto. De hecho, cada uno de los complejos de exciton del punto genera como máximo un fotón por ciclo de excitación, lo que permite la emisión de un solo fotón también del biexciton o transiciones de excitón cargadas.30 Las mediciones de correlación cruzada313233 entre los fotones X y X2 confirman la correlación de tiempo esperada para la cascada en la Fig.2a, es decir, el fotón X sigue el X2. De hecho, la forma de la función de correlación cruzada para ambos CW y excitación pulsada se puede describir con precisión con un modelo de ecuación de velocidad simple y la medida experimental X y tasas de decaimiento X2. 34 Microcavidades semiconductoras Una gran ventaja de usar puntos cuánticos autoensamblados para la generación de un solo fotón es que pueden ser fácilmente incorporado en cavidades utilizando técnicas estándar de crecimiento y procesamiento de semiconductores. Los efectos de la cavidad son útiles para dirigir la emisión del punto hacia un experimento o aplicación, así como para modificar la emisión de fotones Dinámica. 3536 Purcell37 predijo una emisión espontánea mejorada de una fuente en una cavidad cuando su energía coincide con el modo de la cavidad, debido a la mayor densidad de los estados ópticos a emitir en. Para una cavidad ideal, en la que el el emisor se encuentra en el máximo del campo eléctrico con su dipolo alineado con el campo eléctrico local, el aumento de la tasa de decaimiento se da por Fp = (3/4 2) (l/n)3 Q/V, donde Q es el factor de calidad, una medida del tiempo a El fotón está atrapado en la cavidad, y V es el volumen de modo efectivo. Por lo tanto alta eficiencia de la colección de fotones, y Decaimiento radiativo rápido simultáneamente, requiere pequeñas cavidades con espejos altamente reflectantes y un alto grado de estructura perfección. Sin embargo, sin controlar la ubicación del punto en la cavidad, como se explica a continuación, puede ser difícil lograr la mejora completa predicha por la fórmula Purcell. La Figura 3 muestra imágenes de algunas de las estructuras de cavidades de punto cuántica única que han demostrado ser más exitosas. Pilar microcavidades, formadas por el grabado de pilares cilíndricos en espejos semiconductores Bragg colocados a ambos lados de la capa de punto, han mostrado grandes mejoras de Purcell y tienen un perfil de emisión altamente direccional, haciendo así un buen fotón único fuentes.38394041 Los factores de Purcell de alrededor de 6 se han medido directamente,4041 a través de la tasa de radiación potenciada por cavidades decaimiento comparado con el de un punto sin cavidad, lo que implica un acoplamiento al modo de cavidad de β = Fp/(1+Fp) > 85%, si asumir que los modos de fuga no se ven afectados por la cavidad. Sin embargo, la colección de fotones determinada experimentalmente eficiencia, que es un parámetro más pertinente para las aplicaciones, es típicamente ~10%, debido al hecho de que no toda la cavidad modo se puede acoplar en un experimento y dispersión del modo por los bordes de los pilares ásperos. Podemos esperar que la La eficiencia de la colección de fotones aumentará con mejoras en la tecnología de procesamiento o nuevos diseños de microcavidad. Otro medio de formar una cavidad es grabar una serie de agujeros en una losa suspendida de semiconductores, con el fin de formar un variación lateral en el índice de refracción que crea un vacío de energía prohibido para los modos fotónicos en los que la luz no puede Los fotones pueden entonces ser atrapados en una irregularidad central en esta estructura: generalmente una porción sin grabar de la losa. Tales cavidades de defectos de banda fotónica se han fabricado en Si con valores Q que se aproximan a 106.4344 de alta calidad cavidades activas también se han demostrado en GaAs que contienen puntos cuánticos InAs. 45464748 Una vida útil radiativa de 86 ps, correspondiente a un factor de Purcell de Fp~12, ha sido reportado. 47 Muy recientemente se midió una vida de 60p para un cavidad en el acoplamiento fuerte regeme.48 Si el valor Q es suficientemente grande, el sistema entra en el régimen de acoplamiento fuerte donde oscila la excitación coherentemente entre un exciton en el punto y un fotón en la cavidad. La firma espectral del acoplamiento fuerte, un anti- cruce entre la línea de punto y el modo de cavidad, se ha observado para puntos cuánticos en microcavidades de pilares,49 cavidades de defecto de bandgap fotónico,50 microdiscos51 y microesferas.52 Se ha demostrado para las cavidades atómicas que El acoplamiento fuerte permite la generación determinista de fotones únicos.5354 Fuentes de fotones únicos en el acoplamiento fuerte Se puede esperar que el régimen tenga eficiencias de extracción muy altas y sea limitado el ancho de banda temporal55. Recientemente se ha informado de emisiones de un solo fotón para un punto en una microcavidad de pilar fuertemente acoplada. 56 Otro interesante desarrollo reciente es la capacidad de localizar un punto cuántico único dentro de la cavidad, ya que esto asegura el el acoplamiento más grande posible y elimina la emisión de fondo, así como otros efectos indeseables, debido a otros puntos en la cavidad. Arriba discutimos técnicas para controlar la posición del punto en la superficie de crecimiento. La otra manera es a colocar la cavidad alrededor del punto. Una técnica combina espectroscopia de microfotoluminiscencia para localizar el punto posición, con fotolitografía láser in situ a los marcadores de patrón en la superficie de la oblea.57 Una alternativa implica el crecimiento una pila vertical de puntos para que su ubicación pueda ser revelada escaneando la superficie de la oblea, 58 como se muestra en la Fig.3. Recientemente esta técnica ha permitido mayores energías de acoplamiento para un solo punto en una cavidad de defecto de banda fotónica48. Indistinguibilidad de los fotones Los efectos de la cavidad son importantes para hacer diferentes fotones de la fuente indistinguibles, que es esencial para muchas aplicaciones en la información cuántica. Cuando dos fotones idénticos son incidentes simultáneamente en el contrario puertos de entrada de un beisplitter 50/50, siempre saldrán a través del mismo puerto de salida, 59 como se muestra esquemáticamente en la Fig.4a. Esto ocurre debido a una interferencia destructiva en la amplitud de probabilidad del estado final en el que sale un fotón a través de cada puerto de salida. La amplitud del caso donde ambos fotones se reflejan exactamente se cancela con que donde ambos se transmiten, debido al cambio de fase η/2 tras la reflexión, siempre que los dos fotones sean completamente idénticos. Interferencia de dos fotones de dos fotones simples emitidos sucesivamente desde un punto cuántico en un pilar débilmente acoplado La microcavidad fue reportada por primera vez por el grupo de Stanford.60 Fig. 4b muestra un esquema de su experimento. Nótese que reducción de la tasa de co-incidencia medida entre detectores en cada puerto de salida, cuando los dos fotones son inyectado simultáneamente (Fig.4c). La inmersión no se extiende completamente a cero, lo que indica que los dos fotones en algún momento salir de la viga en puertos opuestos. La reducción medida de la tasa de coincidencia con un retraso cero del 69%, implica un solapamiento para los paquetes de onda de un solo fotón de 0,81, después de corregir para la imperfecta visibilidad de un solo fotón de la interferómetro. Bennett et al61 y Vauroutsis et al. 62 Se han obtenido resultados similares para un solo punto en una cavidad de defecto de bandgap fotónico63. Esta visibilidad de interferencia de dos fotones está limitada por el tiempo de coherencia finita de los fotones emitidos por el cuántico punto 64, que los hace distinguibles. La profundidad de la inmersión en la Fig.4c depende de la relación de tiempo de desintegración radiativa al tiempo de coherencia del punto, es decir, R=2­decay/­coh. Cuando la unidad, el tiempo de coherencia está limitado por la decadencia radiativa y el fuente mostrará perfecta interferencia 2-fotón. El enfoque más exitoso hasta ahora ha sido el de ampliar la cooperación la excitación óptica resonante del punto y reducir la decadencia utilizando el efecto Purcell en una microcavidad de pilar, a los valores R~1.5. la futura mayor visibilidad se puede lograr con una mejora de Purcell más grande, utilizando una única cavidad de punto en el régimen de acoplamiento o con rejilla eléctrica descrito en la sección siguiente. Fattal et al utilizaron una fuente de fotones únicos indistinguibles para generar enredo entre post-seleccionados parejas. 65 66 Esto implica simplemente la rotación de la polarización de uno de los fotones incidente en el Fig.4a por 90o. Pos-seleccionando los resultados donde los dos fotones llegan al raysplitter al mismo tiempo y donde hay un fotón en cada brazo de salida (marcado 1 y 2), los pares medidos deben corresponder al estado Bell = 1 / 2 (­H1 V2 > - ­ V1 H2 >) Eq.1 Tenga en cuenta que sólo si los dos fotones son indistinguibles y por lo tanto el enredo es sólo en la polarización de los fotones, son los dos términos en Eq1 capaces de interferir. El análisis de la matriz de densidad publicado por Fattal et al65 revela una fidelidad de la pares post-seleccionados al estado en Eq.1 de 0,69, más allá del límite clásico de 0,5. Esta fuente de pares enredados tiene un diferencia de importancia con respecto a la basada en la cascada de biexciton que se describe a continuación. Post-selección implica que los fotones se destruyen cuando este plan tiene éxito. Este es un problema para algunas aplicaciones de información cuántica como LOQC, pero podría aplicarse útilmente a la distribución cuántica de claves.65 LEDs de un solo foton Una propuesta temprana de Kim et al67 para una fuente eléctrica de un solo fotón se basó en el grabado de un semiconductor Heteroestructura con bloqueo de Coulomb. Sin embargo, la emisión de luz de esta estructura grabada era demasiado débil para permitir que se estudie la función de correlación de segundo orden. Recientemente se han hecho progresos alentadores hacia el logro de los objetivos de desarrollo del Milenio. realización de una fuente de un solo fotón basada en la cuantificación de una corriente de inyección eléctrica lateral.6869 Hasta ahora, el enfoque exitoso ha sido integrar puntos cuánticos autoensamblados en uniones dopadas convencionales de p-i-n. En el primer informe de emisión de un solo fotón accionado eléctricamente por Yuan et al,70 la electroluminiscencia de un solo punto se aisló formando una abertura de emisión de micron-diámetro en el contacto superior opaco del diodo p-i-n. Figura 5a muestra un LED de un solo fotón de apertura de emisión mejorada después de Bennett et al, 71 que incorpora una cavidad óptica formada entre un espejo Bragg de alta reflectividad y la interfaz semiconductora/aire en la abertura. Esta estructura forma un débil cavidad, que mejora la eficiencia de la recolección medida 10 veces en comparación con los dispositivos sin cavidad. 72 Los pulsos de un solo fotón son generados por excitar el diodo con un tren de pulsos de corto voltaje. El segundo orden La función de correlación g(2)) de la electroluminiscencia X o X2 (Fig.5c) muestra la supresión del retardo cero pico indicativo de emisión de un solo fotón.71 La tasa finita de pulsos multifotón se debe principalmente al fondo emisión de capas distintas del punto, que también se observa para la excitación óptica no resonante. Contactos eléctricos también permitir que se adapten las características temporales de la fuente monofotónica. Aplicando un sesgo negativo al diodo entre los pulsos de inyección eléctrica, Bennett et al73 redujeron el nerviosismo en el tiempo de emisión de fotón < 100ps. Esto permite aumentar la tasa de repetición de la fuente de un solo fotón a 1,07GHz (Fig.5d) mientras se mantiene buena Características de las emisiones de fotón (Fig.5e). El gating eléctrico podría proporcionar una técnica para producir ancho de banda de tiempo- fotones únicos limitados a partir de puntos cuánticos. Otro enfoque prometedor es abrir la corriente que fluye a través del dispositivo.7475 Esto se logra mediante el crecimiento de un capa delgada de AlAs dentro de la región intrínseca de la unión p-i-n y más tarde exponer la mesa a la oxidación húmeda en una horno, convirtiendo la capa de AlAs alrededor del borde exterior de la mesa en óxido de aluminio aislante. Por cuidado control del tiempo de oxidación, se puede formar una abertura conductora de μm-diámetro dentro del anillo aislante de AlOx. Tales estructuras tienen la ventaja de excitar sólo un punto dentro de la estructura, reduciendo así la cantidad de emisiones de fondo. El óxido anular también limita el modo óptico lateralmente dentro de la estructura, potencialmente permitiendo una alta eficiencia de extracción de fotones. Alterar la nanoestructura o los materiales que componen el punto cuántico permite un control considerable de la emisión longitud de onda y otras características. La mayor parte del trabajo experimental realizado hasta la fecha se ha concentrado en pequeñas InAs puntos cuánticos que emiten alrededor de 900-950nm, ya que estos tienen propiedades ópticas bien entendidas y se pueden detectar con Detectores de un solo fotón de bajo ruido. Por otro lado, los potenciales de confinamiento superficial de este sistema significa que emitir sólo a bajas temperaturas. En longitudes de onda más cortas se ha demostrado la emisión óptica de un solo fotón a ~350nm utilizando GaN/AlGaN,76 500nm usando CdSe/ZnSSe77 y 682nm InP/GaInP78 punto cuántico. Los dos primeros Se ha demostrado que los sistemas funcionan a 200K. Es muy importante que las comunicaciones cuánticas desarrollen fuentes a longitudes de onda más largas en la fibra óptica. bandas de transmisión a 1,3 y 1,55μm. Esto puede lograrse utilizando heteroestructuras InAs/GaAs depositando más InEn cuanto a formar puntos cuánticos más grandes. Estos puntos más grandes ofrecen potenciales de confinamiento más profundos que aquellos a 900nm y por lo tanto a menudo mostrar emisiones de temperatura ambiente.79 Emisiones de un solo fotón bombeadas ópticamente en longitudes de onda de las telecomunicaciones alcanzado utilizando una serie de técnicas para preparar bajas densidades de puntos de longitud de onda más larga, incluido un crecimiento bimodal modo en MBE para formar densidades bajas de puntos grandes, 80 tasa de crecimiento ultra-baja MBE81 y MOCVD.82 Recientemente, el primero Se ha demostrado que una fuente de fotón monofotón accionada eléctricamente en una longitud de onda de las telecomunicaciones83. Generación de fotones enredados Al recoger los fotones X2 y X emitidos por la cascada de biexciton, un solo punto cuántico también puede ser utilizado como un fuente de pares de fotones. Las mediciones de correlación de polarización en estos pares descubrieron que los dos fotones eran clásico-correlacionado con la misma polarización lineal.848586 Esto ocurre porque la cascada puede proceder a través de uno de los dos estados intermedios de spin exciton, como se describe anteriormente y se muestra en la Fig.2a, uno de los cuales se une a dos H- y el otros dos fotones polarizados en V. La emisión es así una mezcla estadística de HX2HX> y VX2VX>, aunque exciton la dispersión de la rotación durante la cascada (discutida abajo) asegura que también hay algunos pares transversales polarizados. La división de spin87,88 del estado excitón del punto distingue los pares polarizados H y V y evita la emisión de pares enredados predichos por Benson et al. 89 Si se pudiera eliminar esta división, los componentes H y V serían interferir en experimentos diseñados adecuadamente. El estado de 2-fotón emitido debe escribirse como una superposición de HH y VV, que pueden refundirse en las bases de polarización diagonales (espejadas por D, A) o circulares (, -), es decir, = 1 / 2 (el HX2 HX > + el VX2 VX >) = 1 / 2 (-DX2 DX > + X2 XX >) = 1 / 2 (X2 ) X > + X >) Eq.2. Equivalente ponderación de los términos HH y VV asume la fuente para ser despolarizada, como se indica por experimental medidas. Eq.2 sugiere que, para la división de giro de cero exciton, la cascada de biexciton genera pares de fotones enredados, similar a 90 El enredo de los fotones X o X2 fue observado recientemente experimentalmente por primera vez por Stevenson, Young y compañeros de trabajo, 9192 usando dos esquemas diferentes para cancelar la división de giros exciton. Una alternativa aproximación de Akopian et al, 93 usando puntos con división finita de excitón, post-selecciona fotones emitidos en un estrecho espectral banda donde las dos líneas de polarización se superponen. La división del giro de excitón depende de la energía de emisión de excitón, tendiendo a cero para puntos InAs que emiten cerca de 1.4eV y luego invertir para una mayor emisión de energía. 94 95 Estos corresponden a puntos cuánticos poco profundos para los que el portador Las funciones de onda se extienden hacia el material de barrera que reduce el intercambio electrón-ojo. La división cero se puede lograr por o bien un control cuidadoso de las condiciones de crecimiento para lograr puntos que emitan cerca de la energía deseada, o bien mediante recocido Las muestras que emitan a menor energía.94 La división de los giros de excitón se puede ajustar continuamente mediante la aplicación de un campo magnético. en el plano del punto.96 Se ha observado que las firmas de enredo aparecen entonces sólo cuando el excitón La división es cercana a cero.91 Otros esquemas prometedores para afinar la división de excitón están emergiendo ahora, incluyendo aplicación de la cepa97 y el campo eléctrico.9899 Figura 6a parcelas correlaciones de polarización notificadas por Young et al92 para un punto con división de excitón cero (por control de la condiciones de crecimiento). Los pares emitidos en la misma cascada (es decir, retardo cero) muestran una correlación positiva muy llamativa (co- polarización) medida en bases rectilíneas o diagonales y anticorrelación (polarización cruzada) al medir en forma circular. Este es exactamente el comportamiento esperado para el estado enredado de Eq.2. En contraste, un punto con finito división muestra correlación de polarización sólo para la base rectilínea, sin correlación para diagonal o circular mediciones, ver Figura 6b. Las fuertes correlaciones observadas para las tres bases en la Fig.6a no pudieron ser producidas por ninguna fuente de luz clásica o mezcla de fuentes clásicas y es la prueba de que la fuente genera fotones enredados. Los medida92 proyectos de matriz de densidad de dos fotones (Fig.6c) en el estado previsto 1/.02 (el HX2 HX > +.VX2 VX >) con fidelidad (es decir, probabilidad) 0,702 ± 0,022, superando el límite clásico (0,5) por 9 desviaciones estándar. Dos procesos contribuyen a los pares ‘equivocadamente’ correlacionados que menoscaban la fidelidad de la fuente de fotones enredado. La primera de ellas se debe a la emisión de fondo de capas de la muestra distintas del punto. Este contexto la emisión, que es despolarizada y diluye los fotones enredados del punto, limitó la fidelidad observada en el primer informe91 de pares de fotones enredados disparados de un punto cuántico y se ha reducido posteriormente con mejor muestra design.92 El segundo mecanismo, que es una característica intrínseca del punto, es la dispersión de spin exciton durante el biexciton cascada. Es interesante que este proceso no parece depender fuertemente de la división de giro de exciton. Puede ser reducido mediante la supresión de la dispersión utilizando excitación resonante o alternativamente utilizando efectos de cavidad para reducir el tiempo necesario para la cascada radiativa. Perspectivas En los últimos años se han registrado progresos notables en la generación de luz cuántica mediante dispositivos semiconductores. Sin embargo, a pesar de los considerables progresos, aún quedan muchos problemas por resolver. La integridad estructural de las cavidades debe continuar mejorar, mejorando así los factores de calidad. Esto, combinado con la capacidad de colocar puntos únicos de forma fiable dentro de la cavidad, mejorará aún más la eficiencia de recogida de fotones y la energía Rabi en el régimen de acoplamiento fuerte. También lo es. es importante realizar todos los beneficios de estos efectos de cavidad en fuentes eléctricas más prácticas. Mientras tanto la ingeniería de la estructura de banda de los puntos cuánticos permitirá acceder a una gama más amplia de longitudes de onda para ambos y fuentes de fotones enredados, así como estructuras que pueden funcionar a temperaturas más altas. Técnicas de ajuste fino las características de los emisores individuales también serán importantes. Uno de los aspectos más interesantes de la óptica cuántica de semiconductores es que podemos ser capaces de utilizar puntos cuánticos no sólo como emisores de luz cuántica, pero también como los elementos lógicos y de memoria que se requieren en la información cuántica procesamiento. Aunque LOQC es escalable teóricamente, la computación cuántica con fotones sería mucho más fácil con un útil no linealidad de un fotón. Tal no linealidad se puede lograr con un punto cuántico en una cavidad en el fuerte régimen de acoplamiento. El acoplamiento alentadormente fuerte de un único punto cuántico con varios tipos de cavidad ya ha sido observado en el dominio espectral. Eventualmente puede incluso ser posible integrar emisión de fotones, lógica, memoria y Elementos de detección en chips semiconductores simples para formar un circuito integrado fotónico de información cuántica procesamiento. El autor agradece a Mark Stevenson, Robert Young, Anthony Bennett, Martin Ward y Andy Hudson por sus útiles comentarios durante la preparación del manuscrito y el DTI del Reino Unido “Optimal Systems for Digital Age”, EPSRC y EC Future and Emerging Technologies programas de apoyo a la investigación sobre fuentes de luz cuántica. Cuadro de texto : Mediciones de correlación de fotones Las estadísticas de fotones de la luz se pueden estudiar a través de la función de correlación de segundo orden, g(2)), que describe el correlación entre la intensidad del campo de luz con que después de un retraso Esta función se puede medir directamente utilizando el interferómetro Hanbury-Brown y Twiss101, que comprende un 50/50 Viesplitter y dos detectores de un solo fotón, mostrados en la figura. Para los retrasos mucho menos que el tiempo medio entre los eventos de detección (es decir, para las intensidades bajas), la distribución en los retrasos entre clics en cada uno de los dos detectores es proporcional a g(2)). Para una fuente de luz continua con tiempos de emisión aleatorios, tales como un láser o LED ideal, g(2)(e)=1. Demuestra que no hay correlación en el tiempo de emisión de cualquiera de los dos fotones de la fuente. Una fuente para la cual g (2)=0)>1 se describe como 'golpeado' ya que hay una mayor probabilidad de que se emitan dos fotones dentro de un corto intervalo de tiempo. Fotones Las fuentes de luz cuántica son típicamente 'anti-golpeadas' (g(2)=0)<1) y tienden a separarse en el tiempo. En los sistemas de comunicación y computación, estamos interesados en las fuentes de luz pulsadas, para las cuales la emisión se produce en tiempos definidos por un reloj externo. En este caso g(2)) se compone de una serie de picos separados por un período de reloj. Para una fuente ideal de un solo fotón, el pico en cero tiempo de retraso está ausente, g (2)=0)=0; ya que la fuente no puede producir más de un fotón por período de excitación, claramente los dos detectores no pueden disparar simultáneamente. La figura muestra g(2)) registrado para la excitación óptica pulsada por resonante de la emisión X de un único punto cuántico en una microcavidad de pilar. Nótese la ausencia casi total del pico con un retraso cero: la firma definitiva de un Fuente de fotones. El pico débil que se ve en 0 demuestra que la tasa de emisión de dos fotón es 50 veces menor que eso de un láser ideal con la misma intensidad media. El comportamiento de agrupamiento observado para los picos de retardo finito es explicado por el atrapamiento intermitente de un portador de carga en el punto.102 Este rastro fue tomado para láser cuasi-resonante excitación del punto que evita la creación de portadores en los semiconductores circundantes. Para láser de energía superior excitación, la supresión en g (2)0) se reduce normalmente indicando pulsos ocasionales de 2-fotón debido a la emisión de las capas que rodean el punto, pero se pueden minimizar con el diseño cuidadoso de la muestra. Cuadro de texto de la figura: a) Esquema de la configuración utilizada para las mediciones de correlación de fotones, b) correlación de segundo orden función de la emisión de excitón de un solo punto en una microcavidad de pilar. Títulos de la figura Figura 1: Puntos cuánticos automontados (a) Imagen de una capa de puntos cuánticos automontados InAs/GaAs Microscopio de la Fuerza Atómica (AFM). Cada mancha amarilla corresponde a un punto con diámetros laterales típicos de 20-30nm y una altura de 4-8nm. (b) Imagen AFM23 de una capa de puntos cuánticos InAs cuyas ubicaciones han sido sembradas por una matriz de hoyos de tamaño nanómetro diseñados sobre la superficie de la oblea. En condiciones óptimas, hasta el 60% de los pozos de etch contienen un punto único (Cortesía de P Atkinson & D A Ritchie, Cambridge). (c) Imagen STM transversal de un punto InAs dentro de un Dispositivo GaAs (Cortesía de P. Koenraad, Eindhoven). Figura 2: Espectro óptico de un punto cuántico. a) Esquema de la cascada de biexciton de un punto cuántico. b) Típico espectro fotoluminiscente de un único punto cuántico que muestra la emisión de línea nítida debido al biexciton X2 y exciton X Fotón emitido por la cascada. El conjunto muestra la división de polarización de las transiciones originadas por el giro división del nivel de excitón. Figura 3: Imágenes SEM de cavidades semiconductoras, incluidas las microcavidades de pilares (a)56 y b), microdisco (c)51 y cavidades de defectos de banda fotónica (d)47, (e) y (f).48 (Estructuras fabricadas en la Univ Wuerzburg (a), CNRS-LPN (UPR- 20), Marcoussis (b, c, e), Univ Cambridge (d), UCSB/ETHZ Zurich (f)) Figura 4: Interferencia de dos fotones. a) Si los dos fotones son indistinguibles, los dos resultados se traducen en el fotón en cualquiera de los brazos interfiere destructivamente. Esto resulta en que los dos fotones siempre salen juntos del raysplitter. b) Esquema de un experimento que utiliza dos fotones emitidos sucesivamente a partir de un punto cuántico, (c) datos experimentales que muestran supresión de la tasa de coincidencia en (b) cuando el retraso entre fotones de entrada es cero debido a dos fotones interferencia.60 (Cortesía de Y Yamamoto, Stanford Univ.) Figura 5: Emisión de un fotón accionada eléctricamente. a) Esquema de un LED de un solo fotón. b) Electroluminiscencia espectros del dispositivo. Observe que los espectros están dominados por las líneas exciton X y biexciton X2, que tienen lineal y dependencia cuadrática de la corriente de accionamiento, respectivamente. Otras líneas débiles se deben a excitones cargados. c) Segundo orden función de correlación registrada para las líneas de emisión de exciton (i) y biexciton (ii), d) electroluminiscencia resuelta en el tiempo desde un dispositivo funcionan con una tasa de repetición de 1,07GHz, (e) medida (i) y modelada (ii) correlación de segundo orden función de la electroluminiscencia de biexciton a 1,07GHz. (adaptado de Refs. 71 y 73) Figura 6: Generación de fotones enredados por un punto cuántico. a) Grado de correlación medido para un punto con excitón división de la polarización S=0 μeV en bases de polarización lineales (i), diagonales (ii) y circulares (iii) en función del retraso entre los fotones X y X2 (en unidades del ciclo de repetición). La correlación se define como la tasa de copolarización pares menos la tasa de pares polarizados cruzados divididos por la tasa total. Note que los valores en el retraso finito no muestran correlación, como se esperaba para pares emitidos en diferentes ciclos de excitación láser. Más interesantes son los picos cerca de retardo de tiempo cero, correspondiente al fotón X y X2 emitido desde la misma cascada. La presencia de fuertes correlaciones para los tres tipos de medición para el punto con división de exciton cero sólo se puede explicar si el X y X2 Las polarizaciones están entrelazadas. b) Grado de correlaciones medidas para el punto en a) sujeto al campo magnético en el plano de modo que como para producir una división de polarización de excitón de S=25 μeV. Observe que la correlación en las bases diagonales y circulares han desaparecido, indicando sólo correlaciones clásicas en la división finita. c) Matriz de densidad de dos fotones del dispositivo emisión en la letra a). Los fuertes términos diagonales aparecen debido al enredo. (adaptado a partir de Ref. 92) Bibliografía 1 Gisin, N., Ribordy, G., Tittel, W. & Zbinden, H. Cryptography Quantum. Rev. Mod Physics 74, 145-195 (2001). 2 Dusek, M., Lutkenhaus, N. & Hendrych, M. Cryptography Quantum. Progreso en Óptica 49, Edt. E. Wolf (Elsevier 2006). 3 Waks, E., Inoue, K., Santori, C., Fattal, D., Vucković, J., Solomono, G. 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B 69, 205324 (2004). 500 nm 500 nm Fig. 1 1375 1380 1385 Polarización de detección: Vertical Horizontal Energía de fotones (meV) 1378,0 1378,5 1380,0 1380,5 b) a) Fig. 2 estado del suelo 500 nm 500nm c) a) b) e) f) Fig. 3 a) b) Fig. 4 sustrato/buffer n-ohmic contacto InAs QD Aislador Al p-ohmic contacto Emisión n+ Espejo Bragg capa de cavidad contacto metal p+ GaAs Semicon/aire interfaz 905 910 915 X X-X x100 0,11μA 12,0μA longitud de onda (nm) 95,1μ A X+(b) -40 -20 0 20 40 Tiempo (ns) -40 -20 0 20 40 retardo (ns) ii) X c) i) -10 -5 5 10 retardo (ns) i) calculados ii) medidas tiempo (ns) Fig. 5 -0,05 c) Parte imaginaria real Errores (magnitud) S = 0μeV plazo de demora (12,5 ns) a) i) ii) iii) -15 0 15 S = 25μeV b) i) iii) -15 0 15 Fig. 6 detector raysplitter detector dispositivo Emisión -40 -20 0 20 40 retardo, [ns] a) b) Fig. cuadro de texto

To the origin of the difference of FSI phases in $B\to\pi\pi$ and $B\to\rho\rho$ decays

arXiv:0704.0404v1 [hep-ph] 3 Abr 2007 Al origen de la diferencia de las fases FSI en B → • y B → • decaimientos A.B. Kaidalov* y M.I. Vysotsky† ITEP, Moscú, Rusia Resumen El modelo de interacciones de estado final (FSI) en el que se reesparce suavemente de los estados intermedios de baja masa se sugiere. Explica por qué las fases de interacción fuerte son grandes en el canal de Bd → y son considerablemente más pequeños en el Bd → â € uno. Asimilación directa de la PC- Metries de Bd → • decaimientos que se determinan por fases FSI son Considerado también. 1 Introducción Hay tres razones para estudiar el FSI en decaimientos B: predecir (o explicar) el patrón de las relaciones de ramificación, para estudiar interacciones fuertes, y para consultar en lo que decae directamente CPV será grande. En vista de esta necesidad un modelo para FSI en B decae a dos mesones ligeros se sugiere y explora en el presente papel. Se miden las probabilidades de decaimiento de tres B → y tres B → ahora con buena precisión. Las relaciones de ramificación C-promedio de estas decaimientos se presentan en el cuadro 1 [1]. Echemos un vistazo a la relación de la carga promediada Probabilidades de decaimiento de Bd a los mesons cargados y neutrales: Br(Bd → ) Br(Bd → * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * Br(Bd → ) Br(Bd → 4. 1).......................................................................................................................................................... ∗kaidalov@itep.ru †vysotsky@itep.ru http://arxiv.org/abs/0704.0404v1 Cuadro 1 Modo Br(10−6) Modo Br(10−6) Bd → 5,2± 0,2 Bd → 23,1± 3,3 Bd → η0η0 1,3± 0,2 Bd → η00,0 1.16± 0.46 Bu → 0 5,7± 0,4 Bu → 0 18,2± 3,0 Coeficiente de ramificación C promediado de B → • y B → • decae. La gran diferencia de Rl y Rl se debe a la diferencia de las fases FSI en B → y B → decae (véase más adelante). En la Sección 2 determinaremos las diferencias de las fases FSI de amplitudes de árboles que describen B → y B → • decae en los estados con isospins cero y dos de los datos presentado en el cuadro 1. Como siguiente paso sugeriremos un mecanismo que produce tales fases. Una vez definido este mecanismo se hace posible calcular las fases FSI de las amplitudes de desintegración en estados con un isospin definido (no sólo sus diferencias). Una pregunta central es: qué estados intermedios producir fases FSI en decaimientos de melón B en dos mesons ligeros. En los débiles decaimiento b → uū(dd̄)d en el marco de reposo de un quark pesado (que es B-meson también se producen tres quarks de luz rápida. Sus energías son del orden de MB/3 y momenta se orientan más o menos isotrópicamente. La energía del cuarto quark (espectador) es de la orden del QCD. Estos cuatro. estado quark se transforma principalmente en estado final multi-pi-meson con el promedio la multiplicidad de piones alrededor de 9 (este número sigue de la partículas cargadas multiplicidad en e+e− aniquilación en Ecm = 3GeV multiplicado por 1.5 * 1.5 para tener en cuenta los piones neutros y el jet del tercer quark). La relación de ramificación total de tales decaimientos es de aproximadamente 10-2. Sin embargo, tal mesón estado no se transforma en el estado compuesto de dos mesones de luz moviéndose en direcciones opuestas con momenta MB/2. Lo que meson dice se transforma en dos mesons de luz pueden ser entendidos desde el inverso reacción de dos meson luz dispersando en el centro de la energía de masa igual a la masa de B-meson. El estado hadrónico producido consta de dos chorros de partículas moviéndose en direcciones opuestas. Cada jet debe originarse de un par quark-antiquark producido en la débil decadencia de b-quark. El cuadrado de masa invariante del chorro que contiene quark del espectador no exceda El CBM y es mucho más pequeño que M B. La energía de este jet está determinada por el de un quark compañero y es sobre MB/2. Es por eso que la plaza de la masa invariante del segundo chorro tampoco supera el MBCQCD. Así que para B-decae la masa de un clúster de hadrones que se transforma en luz mesón en el estado final no debe exceder de 1,5 GeV. A raíz de estos argumentos, el cálculo de las partes imaginarias de las amplitudes de desintegración que tomaremos sólo dos estados intermedios de partículas (relativamente ligeros) para los que las relaciones de ramificación de B-meson son máximas. En la Sección 3 calcularemos las fases FSI de las amplitudes de los árboles que describen B → • desintegraciones teniendo en cuenta los estados intermedios •, • y ηa1 que por los intercambios de t(u)-canal se convierten en. Vamos a encontrar que grande probabilidad de B → decaimiento explica alrededor de la mitad de las fases de FSI de B → se decae. Relativamente pequeña probabilidad de B → decaimiento impide la generación de la fase FSI notable de B → • amplitudes a través de B → → • cadena. Demostraremos que la fase de interacción fuerte del pingüino la amplitud es opuesta al resultado del cálculo del bucle de quark, que es muy importante para el valor de una asimetría CPV directa C C discutido en la sección 4. Se presentarán predicciones para las asimetrías CPV C00 y S00 en la sección 4 también y el valor del ángulo del triángulo unitarity α será extraído de los datos experimentales sobre la asimetría CPV S. Sujeto de decaimientos raros B es un objeto de estudio intensivo hoy en día y un El lector interesado puede encontrar una extensa lista de referencias en un artículo reciente [2]. 2 Fenomenología; 0 − 2 y 0 −  Presentemos las amplitudes de decaimiento de B en la llamada “t-convención”, en que la amplitud del pingüino con el c-cuarco intermedio multiplicado por ud + VcbV cd + VtbV td = 0 se resta de las amplitudes de desintegración [3]: MB̄d = VubV ∗udm2Bfηf+(0) i2 + + e-iγ i0 + V ∗tdVtb eiβPei( 0 ) , (2) MB̄d0η0 = VubV ∗udm2Bfηf+(0) i2 − − e−iγ 1 i0 − V ∗tdVtb eiβPei( 0 ) , (3) MB̄u0 = VubV ∗udm2Bfηf+(0) e-iγA2e , (4) donde Vik son los elementos de la matriz CKM, γ y β son el triángulo de unidad ángulos y factorizamos el producto m2Bfηf+(0) que aparece cuando el Las amplitudes de desintegración se calculan en la aproximación de factorización. A2 y A0 son los valores absolutos de las amplitudes de desintegración en los estados con I = 2 y 0, generados por los operadores O1 y O2 (amplitudes de árboles), mientras que P es la valor absoluto de la amplitud del pingüino QCD (generado por los operadores O3 − O6 de Hamiltoniano no leptónico eficaz que describe b quark decae en el estados sin encanto y quarks extraños). # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 y 0 son fases FSI de estas tres amplitudes, y es muy importante para lo que sigue que todo de Son diferentes. Es fácil de entender por qué 0 es diferente de 2 : fuerte La interacción depende del isóspino y es diferente para I = 0 e I = 2. Por por ejemplo, definitivamente hay resonancias quark-antiquark con I = 0, mientras que las resonancias exóticas con I = 2 deben hacerse a partir de al menos cuatro quarks y su existencia es cuestionable. La razón por la cual 0 difiere de 0 es más sub- tle. Consideremos el estado intermedio hecho de dos mesons cargados que contribuye a las fases de FSI: Bd → →. estado intermedio La contribución a las fases FSI puede ser grande ya que Br(Bd → ) es grande. Ambas cosas. árbol y pingüino inducido amplitudes consiguen fases FSI a través de esta cadena. Su contribución a 0 es proporcional a (BrBd → )T/(BrBd → )T (BrBd → )/(BrBd → ) 2.1, mientras que eso a 0 es proporcional a (BrBd → )P/(BrBd → )P. ¿Cómo podemos determinar las contribuciones del pingüino a las probabilidades de Bd → y Bd → -decays? La forma más sencilla sugerido en la literatura es extraerlos de las probabilidades de Bu → K0 y Bu → K0 decaimientos a los que las amplitudes de los árboles casi no lo hacen contribuir [4, 5]1: Br(Bd → )P = η2 + (1− l)2 [ ]2 Bd Br(K0) • 0,34·10−6, 1La contribución de las amplitudes de los árboles a estas decaimientos proviene de la redispersión (Bu → K0)T, K 0 → K0, y teniendo en cuenta la supresión CKM del árbol am- plitudes de B → Kη(K) decae en relación a las amplitudes del pingüino que podemos con cautela estimar la contribución de los árboles como no más del 10% del pingüino uno. Br(Bd → )P = η2 + (1− l)2 [ ]2 Bd Br(K0) 0.59·10−6, donde el vector meson decaimiento es el vector meson = 209 MeV y fK* = 218 MeV constantes,  = 0,23, η = 0,34 y  = 0,20 son los parámetros de la matriz de CKM en la parametrización de Wolfenstein [6], fK/fη = 1,2 y los valores centrales de Br(Bu → K0) = (9.2±1.5)·10-6 y Br(Bu → K0) = (23.1±1.0)·10-6 [1] se utilizaron. La precisión de las ecuaciones (5) y (6) depende de la exactitud de d ↔ s simetría de intercambio (simetría U -spin) de b → d(s) transición Amplitudes descritas por el pingüino QCD, sin embargo cuando la relación de (5) a (6) se calculan factores de incertidumbre cancelan parcialmente y obtenemos más bien resultado estable: en lugar de ser encantado como en el caso de la amplitud del árbol contribución de los mesons vectores intermedios en el pingüino Bd → amplitud se suprime, (0 ) 1⁄2.8(0 ). Teniendo en cuenta esa fracción de Los mesons vectoriales polarizados longitudinalmente producidos en Bu → K0 decaes es alrededor del 50% obtenemos la supresión adicional de (0 ) por factor Finalmente, la fase P viene de la parte imaginaria del lazo del pingüino con la propagación de c-cuarco en ella [8]. Con el fin de calcular P vamos a considerar diagrama de quark correspondiente. La encantadora contribución del pingüino es dada por la siguiente expresión: P = −Pc(k2) = ) + i 1-4 m , (7) donde k es la suma de momenta de dos quarks a los que gluon irradiado desde decaimientos del pingüino: k = p1 + p2. Uno de estos quarks forma el meson con el espectador quark, así que descuidando el impulso de espectador quark en el marco de descanso de B-meson tenemos p1 = ( ). El segundo quark forma otro meson con d̄-cuarco irradiado del pingüino: p2 = x( ) donde 0 < x < 1 es la fracción de momentum transportada por u-quark. Sustitución de k2 = xm2b en (7) e integrarlo con la función de distribución de quarks asintóticos en η-meson (x) = x(1−x) obtenemos el valor de P que depende de la relación 4m2c/m b. En particular, para mb = 5,3 GeV y MC = 1,9 GeV (que se corresponden con las masas de los estados físicos) obtenemos P 10o, un pequeño valor positivo. Un cálculo no perturbativo de P descrito en la sección 3 demuestra que el signo de P puede ser negativo. Nuestra siguiente tarea es determinar la diferencia de las fases FSI 0 − 2 (la gran valor de la misma es responsable de un valor relativamente pequeño de Rη). Si descuidamos la contribución del pingüino, entonces de (2) - (4) obtenemos la siguiente expresión: cos(0 − 2 ) = B − 2B00 + 23 B +B00 − 23 , (8) donde los de Bik son los coeficientes de ramificación C-promedios, mientras que los de 0,92. Sustituyendo los valores centrales de la Tabla 1 obtenemos 0 − 2 = 48o. Las contribuciones de los pingüinos a Bik no interfieren con las de los árboles porque α = η − β − γ es casi igual a η/2. Teniendo en cuenta las condiciones P 2 ayuda de (6) (sustracción de 0,59 y 0,30 de la primera y segunda líneas de Tabla 1 números que describen B → • datos correspondientes) obtenemos: 0 − 2 = 37o ± 10o. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. La precisión de esta disminución de 11o del valor absoluto de la diferencia de fases está determinada por la precisión de (6) y no es alta. En un documento reciente [2] ajuste global de los datos de decaimiento de B → • y B → ηK se hizo. Las amplitudes de los árboles Las desintegraciones fueron designadas en [2] por T para B → y por C para B → η0η0. Según [2] la diferencia de fases del ISF entre C y T es igual a C = −58o ± 10o, C = 0,37 ± 0,05, T = 0,57 ± 0,05 en las unidades de 104 eV. El cambio de fase entre las amplitudes isospinas está determinado por estas cantidades: tan(l0 − l2) = 3TC sin(C) 2T 2 + TC cos C − C2 , (10) y sustituyendo los números que obtenemos: (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + el resultado muy cercano a (9). Sin embargo, la misma d ↔ s simetría de intercambio se utilizó en [2] cuando se relacionaba B → y B → decaimientos de K Fit [2] fue hecho en el mismo "t-convenio" que utilizamos (véase la declaración al final de la página 3 del documento [2]: “por simplicidad, asumiremos... Ptc = Ptu”), Por lo tanto, los resultados obtenidos pueden compararse directamente con los nuestros. Ahora consideremos B → • decaimientos. Según BABAR y BELLE Los mesons producidos en decaimientos B son casi totalmente longitudinales polarizado (fL() = 0,98± 0,03[9], fL(0) = 0,91± 0,4 [10], fL( 0,86 ± 0,12 [11]). Para B decae en los melones polarizados longitudinalmente podemos escribir fórmulas análogas a (2) - (4) y podemos encontrar fases FSI diferencia con la ayuda de análogo de (8). Sustitución de los valores centrales de las relaciones de ramificación de B → • decaimientos de la Tabla 1 obtenemos: 0 2 = 21o. In orden de restar la contribución del pingüino con la ayuda de (5) que debemos tomar en cuenta que en Bu → K0 decae la fracción de la longitudinalmente vector polarizado mesones es igual a aproximadamente 50% [12], por lo que debemos restar 0,17 · 10-6 en caso de decaimiento a y 0,08 · 10-6 en caso de decaimiento a In de esta manera obtenemos: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 = 20o+8 −20o, (12) y la diferencia de factor 2 entre (12) y (9) o (11) es responsable de los diferentes patrones de B → • y B → • probabilidades de decaimiento • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Déjanos enfatizar que mientras que 0 − 2 siendo sólo una desviación estándar de cero puede ser muy pequeño esto no es así para 0 − 2. 3 Cálculo de las fases de FSI de B → y B → • amplitudes de decaimiento Entre las tres amplitudes de B → • decaimientos (2)–(4) sólo dos son independientes. Calcularemos las fases FSI de B → 0 y B → amplitudes y extraer de ellos fases FSI de amplitudes con un isospin definido. Nuestra tarea es tener en cuenta las contribuciones estatales intermedias en las fases FSI. Como se arguyó en la Introducción, debemos considerar únicamente dos estados intermedios de partículas con G-paridad positiva a los que B-mesons tienen probabilidades de decaimiento relativamente grandes. Junto con â € TM y â € TM hay sólo uno de estos estados: ηa1. Así que vamos a considerar el estado intermedio que se transforma en por η intercambio en t-canal, ηa1 estado intermedio que se transforma en por el intercambio en t-canal y tendrá en cuenta la canal elástico B → • → • • también. Este enfoque es análogo al del Consideración del FSI realizada en el documento [13]. Sin embargo en [13] 2 → 2 dispersión Se consideró que las amplitudes se debían a intercambios elementales de partículas en T-canal. Para las partículas vectoriales se intercambian amplitudes de onda parcial de canal s se comportan como sJ−1 • s0 y por lo tanto no disminuyen con la energía (meson en decadencia masa). Sin embargo, es bien sabido que el comportamiento correcto es dado por Regge teoría: sαi(0)−1. En el caso de los tipos de cambio (0) (0) ( 1/2) y la disminución de la amplitud con energía como 1/ s. Este efecto es muy espectacular para B → DD → cadena con D*(D*2) intercambio en t-canal: αD*(0) • −1 y reggeized D* el intercambio de mesón se amortigua como s−2 • 10−3 en comparación con el elemental D* intercambio (véase, por ejemplo, [14]). Para el intercambio, que da un contribución a la transición (véase más adelante), en la pequeña región del pion está cerca de la caparazón de masa y su reggeización no es importante. Usaremos el enfoque del diagrama de Feynman para calcular las fases de FSI desde el diagrama del triángulo con los estados intermedios de baja masa X e Y (ver Gráfico 1 Integrando sobre el bucle momenta d4k asumimos que las integrales sobre las masas de los estados intermedios X e Y disminuyen rápidamente con el aumento de estos masas. A continuación, la elección de eje z en la dirección de momenta de la producción meson M1 podemos transformar la integral sobre k0 y kz en la integral sobre las masas invariantes de cúmulos de partículas intermedias X e Y dk0dkz = dsXdsY (13) y deformar los contornos de integración de tal manera que sólo interme de baja masa Las contribuciones de los Estados miembros se tienen en cuenta mientras que la contribución de Estados pesados siendo pequeños es descuidado. De esta manera obtenemos: M = M XY (XY + iT XY), (14) donde M XY son los elementos de la matriz de desintegración sin interacciones FSI y T J=0XY es la amplitud de onda parcial J = 0 del proceso XY → (T J = (SJ − 1)/(2i)) que se origina de la integral sobre d2k. Para el T real (14) coincide con la aplicación de la condición de unidad para el cálculo de la parte imaginaria de M mientras que para el imaginario T la Se generan correcciones a la parte real de M. Calculemos las partes imaginarias de B → • amplitudes de desintegración que oriundo de la cadena B → • → • • con la ayuda de la condición de unidad 2: ImM(B → ) = d cos ♥ M(• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • en el que se encuentra el ángulo entre el punto y el punto momentánea. Para valores pequeños de  o t El intercambio en t-canal domina y el cálculo del diagrama de Feynman En esta sección se omiten las fases que se originan a partir de elementos de la matriz CKM. Figura 1: Diagrama que describe el FSI en la descomposición del pesado meson MQq en dos mesons de luz M1 y M2. X e Y son los cúmulos de partículas con pequeñas masas invariantes sX, sY ≤ MQ­QCD, k es el 4-momento de un virtual Propagación de partículas en el canal T. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ser de confianza, como se ha señalado anteriormente. Ya se ha subrayado que los Estados miembros están a favor de la aplicación de la legislación comunitaria en materia de seguridad y salud en el lugar de trabajo. los descensos en B están casi totalmente polarizados longitudinalmente. Es por eso que vamos a tener en cuenta sólo la polarización longitudinal para el intermedio Los mesons y las amplitudes de los descensos en B y L están simplemente relacionados MB0 = − MB0, MBd = − MBd. 16) Para la amplitud de 0 → η0 transición tenemos: iM(0 → η0) = −i g2 (p1 − k1)2 −m2 +)k2 0), (17) donde p1, k1 y k2 son +, η0 y momenta. A partir de la anchura del melón Obtenemos g2/16η = 2.85. Para los melones polarizados longitudinalmente en sus centro del sistema de masas tenemos: + = k2 0 = − 1 (t-m2η)(1 + ) +m2 , (18) donde t = (p1 − k1)2. Cambiar la variable de integración en (15) a t con la ayuda de dt = (1 a 2 m) )d cos فارسى e introducción de la exp(t/μ2) del factor de conformación con 3 signo negativo relativo de las amplitudes sigue de las expresiones para la transición formfactores en la aproximación de factorización, ver por ejemplo [15]. el parámetro μ2 + 1 GeV 2 que obtenemos: ImMB0 = + (m2m g2dt 16ηM2B * 4m2 (t-m2η)(1 + + 2 m2o(1 + t-m2 exp(t/μ2) MB0. (19) Para μ2 = 2m2? las contribuciones de los dos primeros términos entre corchetes cancelar, mientras que el tercer término da: ImMB0 = − g2 3.1MB0, (20) Y a partir de (4) obtenemos: 2 () = −4,9o. (21) Tengamos en cuenta que en el límite MB → • la relación Br(Bd → • • •)/Br(Bd → • •) crece como M2B, es por eso que la fase FSI 2 (­) (y ­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)))) (—) (—)) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)))))))) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (— 0 ()) disminuye como 1/MB. La consideración análoga de estado intermedio lleva a la pos- itive fase FSI de Bd → amplitud que se aumenta relativamente a 2 () según (16): () = +5,7 o, (22) y para la fase FSI de la amplitud con isospin cero en la aproximación lineal Mation tenemos: 0 () = () + ()− 2 () . 23) Somos capaces de extraer la relación A2/A0 de la de C-promedio Br(Bd → ), Br(Bd → η0η0) y Br(Bu → 0), restando contribu- como lo hicimos derivando (9): B + B­00 − 1, (24) = 0,80± 0,09, (25) y, finalmente: 0 () = 15 o, 0 ()− 2 () = 20o. 26) De esta manera vemos que la cadena B → • → • • genera la mitad de los experi- mentalmente observado FSI fase diferencia de B → • amplitudes de los árboles. Es notable que las fases FSI generadas por B → • → • • cadena son amortiguado por las relaciones Br(B →, 0)/Br(B →, 0) y son unos pocos grados: 2 = = * 2 () = −1,4o, () = * () = 1,2o, (A0/A2) 0() = 2,9 o, ♥ 0()−  2.............................................................................................................................................................................................................................................................. (27) A continuación tendremos en cuenta el estado intermedio. Del análisis de Regge... hermanita de la dispersión elástica sabemos que la buena descripción de la experimental los datos se obtienen cuando los intercambios de las trayectorias de pomeron, el canal se tiene en cuenta [16]. El intercambio de pomeron domina en elástico Se dispersan a altas energías. Para αP (0) = 1 el correspondiente amplitud T es puramente imaginario y las fases de los elementos de la matriz no cambio [3]. Sin embargo, teniendo en cuenta que el pomeron es “supercrítico”, αP (0) 1.1, obtenemos la fase de la amplitud generada por el pomeron intercambio 4 que cancela las fases generadas por I = 2. En el caso de I = 0, la suma de los intercambios de datos y f produce la la amplitud inaria T y la fase de la amplitud M se debe al pomeron “supercrítica”: 0 () = 5,0 o, 2 () = 0 o. (28) En papel [3] se consideró que la amplitud de intercambio de pomerones era puramente imaginario. Como resultado, aunque importante para la diferencia de fase de las relaciones de ramificación 0 ()2 () fue el mismo (contribución pomeron es cancelaciones universales en la diferencia de fases) vino principalmente de 2 () valor negativo. In 4La amplitud del proceso 2 → 2 debido al intercambio de pomeron supercrítico es T • (s/s0) αP (t)(1 + exp(-i+P (t)))/(− sin(­P (t))) = (s/s0)(1)(i+ /2), donde en el se sustituyó la última expresión t = 0 y se utilizó αP (0) = 1. este resultado de esta manera para el valor absoluto de CP-asimmetría directa C fue subestimado, ver abajo. Por último, debe tenerse en cuenta el estado intermedio de la letra a). Grandes ramificaciones proporción de Bd → a1 -decay ( Br(Bd → a1 ) = (40 ± 4) ∗ 10-6) es parcialmente compensado por la pequeña constante de acoplamiento a1 (es 1/3 de uno). As a resultado de las contribuciones del estado intermedio ηa1 (que se transforma en por el intercambio de la trayectoria en t-canal) a fases FSI igual aproximadamente la parte de las contribuciones intermedias del Estado que se deba a la intercambio. Suponiendo que el signo de la contribución intermedia del Estado en fases es el mismo que el de canal elástico que obtenemos: 0 (πa1) = 4 o, 2 (πa1) = −2o. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Resumiendo las partes imaginarias de las amplitudes que siguen de (21), (26), (28) y (29) finalmente obtenemos: 0 = 23 o, 2 = −7o, 0 − 2 = 30o, (30) y la exactitud de estos números no es alta, al nivel del 50%. La consideración análoga de las partes reales del bucle correcciones a B → Las amplitudes de decaimiento conducen a la disminución del (real) árbol am- plitudes en un 30%, y podemos explicar el valor observado experimentalmente 0 − 2 40o en nuestro modelo, mientras que para estado final la diferencia análoga es unas tres veces más pequeño, 0 −  2 o 15o. Estimamos la fase de la amplitud del pingüino P considerando encantado estados intermedios de mesons: B → D̄D, DD, D̄D*, DD* → 5. En Regge todas estas amplitudes son descritas a altas energías por los intercambios de D*(D*2)-trayectorias. Una intercepción de estas trayectorias degeneradas por el intercambio puede obtenerse utilizando el método de [17] o a partir de masas de D*(2007) – 1− y D*2(2460) – 2 + resonancias, asumiendo linealidad de estas trayectorias Regge. Ambos métodos dan αD*(0) = −0.81 y la pendiente â € € ¢ 0.5GeV −2. La amplitud de D+D− → reacción en el modelo de Regge propuesto en documentos [18, 19] se puede escribir en la forma siguiente: TDD(s, t) = − e) i) t) 1 - αD* t)) s/scd) αD* t), (31) 5Estas amplitudes se consideran como pingüinos debido a la combinación adecuada de CKM elementos de matriz. donde Ł(x) es la función gamma. La t-dependencia de Regge-residues se elige de acuerdo con el dual modelos y se prueba para la luz (u,d,s) quarks [18]. De acuerdo con [19] scd 2.2GeV 2. Tenga en cuenta que el signo de la amplitud se fija por la unitariedad en la t- canal (cerca de la D*-resonancia). La constante g20 está determinada por la ancho de la D* → Decaimiento de Dη: g20/(16η) = 6.6. Usando (14), análogo de (15), (31) y la razón de ramificación Br(B → DD̄) • 2 · 10−4 [20] obtenemos la parte imaginaria de P y comparándola con la contribución de P en B → probabilidad de decaimiento (6) obtenemos P −3.5o6. Una pequeñez de la fase se debe a la baja interceptación de D*-trayectoria. El signo de P es negativo - contrario al signo positivo que se obtuvo en la teoría de la perturbación (7). Dado que el canal DD̄-decadencia constituye sólo el 10% de todo el encanto de dos cuerpos- anticharm decaimientos de Bd-meson [20] teniendo en cuenta estos canales podemos Obtener fácilmente -10o, (32) que puede ser muy importante para la interpretación de los datos experimentales sobre la asimetría directa de CP C discutido en la siguiente sección. 4 asimetrías de PC de Bd(B̄d) → Las asimetrías del PC están dadas por: Câ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 - 2 1 + 2 , Sâ € €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €............................................................... 2Im() 1 + 2 ...................................................................................... MB MB , (33) donde es o η0η0. De (2) para la asimetría directa de CP en Bd(B̄d) → decae fácilmente obtener: C = − sinα[ 2A0 sin(l0 − 0 − P) + A2 sin(l2 − 0 − P)]/ cos(l0 − l2)− A0P­ cosα cos(­0 − 0 − P )­ 6En la integración sobre cos la región domina. Representación en esta región (31) es válido. − A2P cosα cos(­2 − 0 − P ) + P­2], (34) donde V ∗tdVtb P. (35) Con el fin de hacer una estimación numérica que debe saber los ratios A0/A2 y P/A2. La primera es dada por (25) mientras que la segunda se puede extraer a partir de la relación Br(Bu → K0)/Br(Bu → η0) asumiendo d ↔ s invarianza de las interacciones fuertes: Br(Bu → K0) Br(Bu → η0) f 2KP 2V ∗tsVtb2 A22V ∗udVub2 , (36) = 0,092(0.009). (37) Los valores numéricos de A0 y A2 se dan con buena precisión por factor- cálculo de la expansión, mientras que P parece ser 2,5 veces mayor que la factorización resultado [3]. En vista de esto, la validez del factor fK en (36) que se origina del cálculo de factorización de la amplitud del pingüino es questinable. Si factorización de las amplitudes del pingüino no se asume entonces la relación fK/f en (36) debe ser reemplazado por la unidad. De esta manera obtenemos 20% mayor valor de P/A2 en (37) y vamos a tomar este valor de incertidumbre como una estimación de la precisión teórica de la determinación de P : = 0,21(0,04), (38) Teniendo en cuenta que el ángulo del triángulo de unitaridad α 90o y los ángulos 0 y P son del orden de pocos grados a partir de (34) obtenemos: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -0.56 sin((-0 + -2)/2- -0 − -P ). (39) Para determinar el límite inferior en el valor de C supongamos que فارسى0 = 37 o, Ł2 = 0 o (mantenemos la diferencia entre 0 y 2 o = 37o, como se desprende de los datos sobre las probabilidades de deterioro de B → (9), y descuidar los valores pequeños de 0 y P : C > −0.18. (40) En cuanto al número experimental, bien podría suceder que finalmente estar considerablemente por debajo de nuestro límite. En este caso, el resultado de la no-perturbación se confirmará el cálculo de la fase del pingüino. Reemplazando en (39) ­0 = 30o, 2o = −7o y P a partir de (32) obtenemos el siguiente valor central: C = −0.21. 41) Es instructivo comparar los números obtenidos con el valor de C que se deriva de la asimetría ACP (K ) si d ↔ s simetría es sup- planteado [21]: C = ACP (K) (B → K) (B → ) sin(β + γ) sin(γ) = 1,2(−2)(−0,093± 0,015)19,8 sin 82o sin 60o 0,87 = −0,24±0,04. (42) Tengamos en cuenta que un factor fη/fK en la última ecuación aparece de la elemento de matriz del operador del árbol, el segundo - del elemento de matriz del operador de pingüinos. Si debido a la no factorización de las amplitudes de pingüinos omitiremos el factor que aparece del pingüino [5], luego los números en los lados derecho de (40, 41) y (42) se convertirá en 20% más pequeño. Los resultados experimentales obtenidos por Belle [22] y BABAR [23] son: contradictorio CBelle = −0.55(0.09), CBABAR = −0.21(0.09), (43) El número de Belle está muy por debajo (40) y (41). Para la asimetría directa de CP en Bd(B̄d) → obtener: C00 = − P­ sinα[A0 sin(­0 − 0 − ­P )­ 2A2 sin(l)(l) − 0 − (l)P)]/ A0A2 cos(----(-)-2)− A0P贸 cosα cos(­0 − 0 − ♥P ) + A2P­ cosα cos(­­­­0­­­P) + P­2], (44) — 1,06[0,8 − 0,0 − 0,0 − 0,0 P )— 1,4 sin(0,0 − 0,0 P )] — 0,6, (45) considerablemente más pequeño que C. Este CPV directo inusualmente grande (medido por C00) es una tarea intrigante para las mediciones futuras desde el presente exper- El error mental es demasiado grande: exper 00 = −0,36(0,32). (46) Belle y BABAR están ahora de acuerdo en el valor de otra asimetría CPV medida en Bd(B̄d) → decaídas: Sexper = −0,62 ± 0,09 [22, 23]. Desde esta medición se puede extraer el valor del ángulo del triángulo unitarity α. Descuidando la contribución del pingüino que obtenemos: sin 2αT = S, (47) αT = 109o ± 3o. (48) El pingüino cambia el valor de α. La fórmula exacta se parece a: S = [sin 2α( cos(de 0 a 2 años)− A2P sinα cos(el 2 − el 0 − el 1 ° P )− A0P贸 sinα cos(­0 − 0 − ♥P )]/ cos(l0 − l2)− A0P­ cosα cos(­0 − 0 − P )­ A2P cosα cos(­2 − 0 − P ) + P­2], (49) y ya que todos los cambios de fase no son grandes los valores de cosenos en (49) son bastante estable en relación con sus variaciones. Para estimaciones numéricas tomamos ­0 = 30 o, Ł2 = −7o y negligencia 0 y ♥P. De esta manera obtenemos: (α) = 88 o ± 40(exper)± 50(theor), (50) donde el primer error proviene de la incertidumbre en S exper mientras que el segundo viene de eso en el valor de la amplitud del pingüino, (38). Relativamente grande la incertidumbre teórica en el valor de P‡ no impide determinar α con buena precisión. La pequeñez relativa de la contribución de los pingüinos a B → plitudes nos permiten determinar α con mejor precisión teórica de la la medición experimental de (S) tal como se hizo en [24]. Con el ayuda de (5) obtenemos: ) = 0,060(0,012), (51) donde se supone la misma incertidumbre del 20% en la extracción de la amplitud del pingüino. El uso de la relación (A0/A2)® determinado en (27) de la (49) descuidando fuerte fases (que son mucho más pequeñas que en el caso de B → • decaimientos) y teniendo en cuenta el reciente resultado experimental (S exper = −0,06± 0,18 [1] Obtenemos: (α)+ = 87 o ± 50(exper)± 10(theor). (52) Señalemos que un error teórico considerablemente mayor citado en [4] se desprende de la incertidumbre teórica más grande en el valor de los pingüinos ampli- Tude asumió en ese papel. Nuestros resultados para α deben ser comparados con los números que siguen de el ajuste global del triángulo de unidad [6, 7]: αCKMfitter = (99,0+4,0−9.4) o, αUTfit = (93±4)o. (53) Concluimos esta sección con la predicción del valor de la asimetría CPV- metría S00: S00 = [sin 2α( 2A0A2 cos(­0 − ­2)) + 2A2P sinα cos(el 2 − el 0 − el 1 ° P )− A0P贸 sinα cos(­0 − 0 − ♥P )]/ 2A0A2 cos(l0 − l2)− A0P贸 cosα cos(­0 − 0 − ♥P ) + 2A2P cosα cos(­2 − 0 − ­P ) + P­2] = 0,70± 0,15, (54) una gran asimetría con el signo opuesto a la de S. 5 Conclusiones FSI parecía ser muy importante en B → • decaimientos. La descripción de estas interacciones presentada en el artículo permite explicar la diferencia observada experimentalmente de las proporciones de decaimiento proba- bilidades para los modos neutros y cargados en B → • y B → • decae. Valor absoluto bastante grande de la asimetría directa de CP C (si se confirma experimentalmente) será una manifestación del signo negativo del pingüino FSI de acuerdo con el cálculo no perturbativo y contrario a la perturba- El resultado final es el siguiente: Estamos agradecidos a L.V.Akopyan por comprobar las fórmulas, José Ocariz para recomendación de incluir el resultado del ángulo α que se deriva de la CP la asimetría (S) y M.B.Voloshin para la discusión útil. Esta labor contó con el apoyo del Organismo Ruso de Energía Atómica; A.K. ha sido apoyado en parte por subvenciones RFBR 06-02-17012, RFBR 06-02- 72041-MNTI, INTAS 05-103-7515 y contrato estatal 02.445.11.7424; M.V. fue apoyado en parte por subvenciones RFBR 05-02-17203 y NSh-5603.2006.2. Bibliografía [1] HFAG, http://www.slac.stanford-edu/xorg/hfag. [2] C.-W. Chiang, Y.-F. Zhou, JHEP 0612 (2006) 027. [3] A.B. Kaidalov, M.I. Vysotsky, hep-ph/0603013, aceptado en Yad. Fiz. [4] M. Beneke, M. Gronau, J. Rohrer, M. Spranger, Phys.Lett. B638 (2006) 68. [5] M. Gronau, J.L. Rosner, Phys. Lett. B595 (2004) 339. [6] CKM fitter, http://ckmfitter.in2p3.fr. [7] UTfit, http://utfit.roma1.infn.it. [8] M. Bander, D. Silverman y A. Soni, Phys. Rev. Lett. 43, (1979) 242; G.M. Gérard y W.-S. Hou, Phys. Rev. D43, (1991) 2909. [9] B. Aubert y otros, BABAR Collaboration, hep-ex/0607098 (2006). [10] B. Aubert et al., BABAR Collaboration, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 261801. [11] B. Aubert y otros, BABAR Collaboration, hep-ex/0607097 (2006). [12] J. Zhong y otros Belle Collaboration, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 141801; B. Aubert et al., BABAR Collaboration, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 201801. [13] H-Y. Cheng, C-K. Chua y A. Soni, Phys. Rev. D71 (2005) 014030. [14] A.Deandrea et al., Int. J. Mod. 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El modelo de interacciones de estado final (FSI) en el que el reescattering suave de baja Se sugiere que los estados intermedios de masa dominen. Explica por qué los fuertes fases de interacción son grandes en el canal $B_d\to\pi\pi$ y son considerablemente más pequeño en el $B_d\to\rho\rho$ uno. Asimetrías CP directas de $B_d\to\pi\pi$ También se consideran las desintegraciones determinadas por las fases FSI.

Introducción Hay tres razones para estudiar el FSI en decaimientos B: predecir (o explicar) el patrón de las relaciones de ramificación, para estudiar interacciones fuertes, y para consultar en lo que decae directamente CPV será grande. En vista de esta necesidad un modelo para FSI en B decae a dos mesones ligeros se sugiere y explora en el presente papel. Se miden las probabilidades de decaimiento de tres B → y tres B → ahora con buena precisión. Las relaciones de ramificación C-promedio de estas decaimientos se presentan en el cuadro 1 [1]. Echemos un vistazo a la relación de la carga promediada Probabilidades de decaimiento de Bd a los mesons cargados y neutrales: Br(Bd → ) Br(Bd → * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * 20 años, * Br(Bd → ) Br(Bd → 4. 1).......................................................................................................................................................... ∗kaidalov@itep.ru †vysotsky@itep.ru http://arxiv.org/abs/0704.0404v1 Cuadro 1 Modo Br(10−6) Modo Br(10−6) Bd → 5,2± 0,2 Bd → 23,1± 3,3 Bd → η0η0 1,3± 0,2 Bd → η00,0 1.16± 0.46 Bu → 0 5,7± 0,4 Bu → 0 18,2± 3,0 Coeficiente de ramificación C promediado de B → • y B → • decae. La gran diferencia de Rl y Rl se debe a la diferencia de las fases FSI en B → y B → decae (véase más adelante). En la Sección 2 determinaremos las diferencias de las fases FSI de amplitudes de árboles que describen B → y B → • decae en los estados con isospins cero y dos de los datos presentado en el cuadro 1. Como siguiente paso sugeriremos un mecanismo que produce tales fases. Una vez definido este mecanismo se hace posible calcular las fases FSI de las amplitudes de desintegración en estados con un isospin definido (no sólo sus diferencias). Una pregunta central es: qué estados intermedios producir fases FSI en decaimientos de melón B en dos mesons ligeros. En los débiles decaimiento b → uū(dd̄)d en el marco de reposo de un quark pesado (que es B-meson también se producen tres quarks de luz rápida. Sus energías son del orden de MB/3 y momenta se orientan más o menos isotrópicamente. La energía del cuarto quark (espectador) es de la orden del QCD. Estos cuatro. estado quark se transforma principalmente en estado final multi-pi-meson con el promedio la multiplicidad de piones alrededor de 9 (este número sigue de la partículas cargadas multiplicidad en e+e− aniquilación en Ecm = 3GeV multiplicado por 1.5 * 1.5 para tener en cuenta los piones neutros y el jet del tercer quark). La relación de ramificación total de tales decaimientos es de aproximadamente 10-2. Sin embargo, tal mesón estado no se transforma en el estado compuesto de dos mesones de luz moviéndose en direcciones opuestas con momenta MB/2. Lo que meson dice se transforma en dos mesons de luz pueden ser entendidos desde el inverso reacción de dos meson luz dispersando en el centro de la energía de masa igual a la masa de B-meson. El estado hadrónico producido consta de dos chorros de partículas moviéndose en direcciones opuestas. Cada jet debe originarse de un par quark-antiquark producido en la débil decadencia de b-quark. El cuadrado de masa invariante del chorro que contiene quark del espectador no exceda El CBM y es mucho más pequeño que M B. La energía de este jet está determinada por el de un quark compañero y es sobre MB/2. Es por eso que la plaza de la masa invariante del segundo chorro tampoco supera el MBCQCD. Así que para B-decae la masa de un clúster de hadrones que se transforma en luz mesón en el estado final no debe exceder de 1,5 GeV. A raíz de estos argumentos, el cálculo de las partes imaginarias de las amplitudes de desintegración que tomaremos sólo dos estados intermedios de partículas (relativamente ligeros) para los que las relaciones de ramificación de B-meson son máximas. En la Sección 3 calcularemos las fases FSI de las amplitudes de los árboles que describen B → • desintegraciones teniendo en cuenta los estados intermedios •, • y ηa1 que por los intercambios de t(u)-canal se convierten en. Vamos a encontrar que grande probabilidad de B → decaimiento explica alrededor de la mitad de las fases de FSI de B → se decae. Relativamente pequeña probabilidad de B → decaimiento impide la generación de la fase FSI notable de B → • amplitudes a través de B → → • cadena. Demostraremos que la fase de interacción fuerte del pingüino la amplitud es opuesta al resultado del cálculo del bucle de quark, que es muy importante para el valor de una asimetría CPV directa C C discutido en la sección 4. Se presentarán predicciones para las asimetrías CPV C00 y S00 en la sección 4 también y el valor del ángulo del triángulo unitarity α será extraído de los datos experimentales sobre la asimetría CPV S. Sujeto de decaimientos raros B es un objeto de estudio intensivo hoy en día y un El lector interesado puede encontrar una extensa lista de referencias en un artículo reciente [2]. 2 Fenomenología; 0 − 2 y 0 −  Presentemos las amplitudes de decaimiento de B en la llamada “t-convención”, en que la amplitud del pingüino con el c-cuarco intermedio multiplicado por ud + VcbV cd + VtbV td = 0 se resta de las amplitudes de desintegración [3]: MB̄d = VubV ∗udm2Bfηf+(0) i2 + + e-iγ i0 + V ∗tdVtb eiβPei( 0 ) , (2) MB̄d0η0 = VubV ∗udm2Bfηf+(0) i2 − − e−iγ 1 i0 − V ∗tdVtb eiβPei( 0 ) , (3) MB̄u0 = VubV ∗udm2Bfηf+(0) e-iγA2e , (4) donde Vik son los elementos de la matriz CKM, γ y β son el triángulo de unidad ángulos y factorizamos el producto m2Bfηf+(0) que aparece cuando el Las amplitudes de desintegración se calculan en la aproximación de factorización. A2 y A0 son los valores absolutos de las amplitudes de desintegración en los estados con I = 2 y 0, generados por los operadores O1 y O2 (amplitudes de árboles), mientras que P es la valor absoluto de la amplitud del pingüino QCD (generado por los operadores O3 − O6 de Hamiltoniano no leptónico eficaz que describe b quark decae en el estados sin encanto y quarks extraños). # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 y 0 son fases FSI de estas tres amplitudes, y es muy importante para lo que sigue que todo de Son diferentes. Es fácil de entender por qué 0 es diferente de 2 : fuerte La interacción depende del isóspino y es diferente para I = 0 e I = 2. Por por ejemplo, definitivamente hay resonancias quark-antiquark con I = 0, mientras que las resonancias exóticas con I = 2 deben hacerse a partir de al menos cuatro quarks y su existencia es cuestionable. La razón por la cual 0 difiere de 0 es más sub- tle. Consideremos el estado intermedio hecho de dos mesons cargados que contribuye a las fases de FSI: Bd → →. estado intermedio La contribución a las fases FSI puede ser grande ya que Br(Bd → ) es grande. Ambas cosas. árbol y pingüino inducido amplitudes consiguen fases FSI a través de esta cadena. Su contribución a 0 es proporcional a (BrBd → )T/(BrBd → )T (BrBd → )/(BrBd → ) 2.1, mientras que eso a 0 es proporcional a (BrBd → )P/(BrBd → )P. ¿Cómo podemos determinar las contribuciones del pingüino a las probabilidades de Bd → y Bd → -decays? La forma más sencilla sugerido en la literatura es extraerlos de las probabilidades de Bu → K0 y Bu → K0 decaimientos a los que las amplitudes de los árboles casi no lo hacen contribuir [4, 5]1: Br(Bd → )P = η2 + (1− l)2 [ ]2 Bd Br(K0) • 0,34·10−6, 1La contribución de las amplitudes de los árboles a estas decaimientos proviene de la redispersión (Bu → K0)T, K 0 → K0, y teniendo en cuenta la supresión CKM del árbol am- plitudes de B → Kη(K) decae en relación a las amplitudes del pingüino que podemos con cautela estimar la contribución de los árboles como no más del 10% del pingüino uno. Br(Bd → )P = η2 + (1− l)2 [ ]2 Bd Br(K0) 0.59·10−6, donde el vector meson decaimiento es el vector meson = 209 MeV y fK* = 218 MeV constantes,  = 0,23, η = 0,34 y  = 0,20 son los parámetros de la matriz de CKM en la parametrización de Wolfenstein [6], fK/fη = 1,2 y los valores centrales de Br(Bu → K0) = (9.2±1.5)·10-6 y Br(Bu → K0) = (23.1±1.0)·10-6 [1] se utilizaron. La precisión de las ecuaciones (5) y (6) depende de la exactitud de d ↔ s simetría de intercambio (simetría U -spin) de b → d(s) transición Amplitudes descritas por el pingüino QCD, sin embargo cuando la relación de (5) a (6) se calculan factores de incertidumbre cancelan parcialmente y obtenemos más bien resultado estable: en lugar de ser encantado como en el caso de la amplitud del árbol contribución de los mesons vectores intermedios en el pingüino Bd → amplitud se suprime, (0 ) 1⁄2.8(0 ). Teniendo en cuenta esa fracción de Los mesons vectoriales polarizados longitudinalmente producidos en Bu → K0 decaes es alrededor del 50% obtenemos la supresión adicional de (0 ) por factor Finalmente, la fase P viene de la parte imaginaria del lazo del pingüino con la propagación de c-cuarco en ella [8]. Con el fin de calcular P vamos a considerar diagrama de quark correspondiente. La encantadora contribución del pingüino es dada por la siguiente expresión: P = −Pc(k2) = ) + i 1-4 m , (7) donde k es la suma de momenta de dos quarks a los que gluon irradiado desde decaimientos del pingüino: k = p1 + p2. Uno de estos quarks forma el meson con el espectador quark, así que descuidando el impulso de espectador quark en el marco de descanso de B-meson tenemos p1 = ( ). El segundo quark forma otro meson con d̄-cuarco irradiado del pingüino: p2 = x( ) donde 0 < x < 1 es la fracción de momentum transportada por u-quark. Sustitución de k2 = xm2b en (7) e integrarlo con la función de distribución de quarks asintóticos en η-meson (x) = x(1−x) obtenemos el valor de P que depende de la relación 4m2c/m b. En particular, para mb = 5,3 GeV y MC = 1,9 GeV (que se corresponden con las masas de los estados físicos) obtenemos P 10o, un pequeño valor positivo. Un cálculo no perturbativo de P descrito en la sección 3 demuestra que el signo de P puede ser negativo. Nuestra siguiente tarea es determinar la diferencia de las fases FSI 0 − 2 (la gran valor de la misma es responsable de un valor relativamente pequeño de Rη). Si descuidamos la contribución del pingüino, entonces de (2) - (4) obtenemos la siguiente expresión: cos(0 − 2 ) = B − 2B00 + 23 B +B00 − 23 , (8) donde los de Bik son los coeficientes de ramificación C-promedios, mientras que los de 0,92. Sustituyendo los valores centrales de la Tabla 1 obtenemos 0 − 2 = 48o. Las contribuciones de los pingüinos a Bik no interfieren con las de los árboles porque α = η − β − γ es casi igual a η/2. Teniendo en cuenta las condiciones P 2 ayuda de (6) (sustracción de 0,59 y 0,30 de la primera y segunda líneas de Tabla 1 números que describen B → • datos correspondientes) obtenemos: 0 − 2 = 37o ± 10o. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. La precisión de esta disminución de 11o del valor absoluto de la diferencia de fases está determinada por la precisión de (6) y no es alta. En un documento reciente [2] ajuste global de los datos de decaimiento de B → • y B → ηK se hizo. Las amplitudes de los árboles Las desintegraciones fueron designadas en [2] por T para B → y por C para B → η0η0. Según [2] la diferencia de fases del ISF entre C y T es igual a C = −58o ± 10o, C = 0,37 ± 0,05, T = 0,57 ± 0,05 en las unidades de 104 eV. El cambio de fase entre las amplitudes isospinas está determinado por estas cantidades: tan(l0 − l2) = 3TC sin(C) 2T 2 + TC cos C − C2 , (10) y sustituyendo los números que obtenemos: (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + el resultado muy cercano a (9). Sin embargo, la misma d ↔ s simetría de intercambio se utilizó en [2] cuando se relacionaba B → y B → decaimientos de K Fit [2] fue hecho en el mismo "t-convenio" que utilizamos (véase la declaración al final de la página 3 del documento [2]: “por simplicidad, asumiremos... Ptc = Ptu”), Por lo tanto, los resultados obtenidos pueden compararse directamente con los nuestros. Ahora consideremos B → • decaimientos. Según BABAR y BELLE Los mesons producidos en decaimientos B son casi totalmente longitudinales polarizado (fL() = 0,98± 0,03[9], fL(0) = 0,91± 0,4 [10], fL( 0,86 ± 0,12 [11]). Para B decae en los melones polarizados longitudinalmente podemos escribir fórmulas análogas a (2) - (4) y podemos encontrar fases FSI diferencia con la ayuda de análogo de (8). Sustitución de los valores centrales de las relaciones de ramificación de B → • decaimientos de la Tabla 1 obtenemos: 0 2 = 21o. In orden de restar la contribución del pingüino con la ayuda de (5) que debemos tomar en cuenta que en Bu → K0 decae la fracción de la longitudinalmente vector polarizado mesones es igual a aproximadamente 50% [12], por lo que debemos restar 0,17 · 10-6 en caso de decaimiento a y 0,08 · 10-6 en caso de decaimiento a In de esta manera obtenemos: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 = 20o+8 −20o, (12) y la diferencia de factor 2 entre (12) y (9) o (11) es responsable de los diferentes patrones de B → • y B → • probabilidades de decaimiento • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Déjanos enfatizar que mientras que 0 − 2 siendo sólo una desviación estándar de cero puede ser muy pequeño esto no es así para 0 − 2. 3 Cálculo de las fases de FSI de B → y B → • amplitudes de decaimiento Entre las tres amplitudes de B → • decaimientos (2)–(4) sólo dos son independientes. Calcularemos las fases FSI de B → 0 y B → amplitudes y extraer de ellos fases FSI de amplitudes con un isospin definido. Nuestra tarea es tener en cuenta las contribuciones estatales intermedias en las fases FSI. Como se arguyó en la Introducción, debemos considerar únicamente dos estados intermedios de partículas con G-paridad positiva a los que B-mesons tienen probabilidades de decaimiento relativamente grandes. Junto con â € TM y â € TM hay sólo uno de estos estados: ηa1. Así que vamos a considerar el estado intermedio que se transforma en por η intercambio en t-canal, ηa1 estado intermedio que se transforma en por el intercambio en t-canal y tendrá en cuenta la canal elástico B → • → • • también. Este enfoque es análogo al del Consideración del FSI realizada en el documento [13]. Sin embargo en [13] 2 → 2 dispersión Se consideró que las amplitudes se debían a intercambios elementales de partículas en T-canal. Para las partículas vectoriales se intercambian amplitudes de onda parcial de canal s se comportan como sJ−1 • s0 y por lo tanto no disminuyen con la energía (meson en decadencia masa). Sin embargo, es bien sabido que el comportamiento correcto es dado por Regge teoría: sαi(0)−1. En el caso de los tipos de cambio (0) (0) ( 1/2) y la disminución de la amplitud con energía como 1/ s. Este efecto es muy espectacular para B → DD → cadena con D*(D*2) intercambio en t-canal: αD*(0) • −1 y reggeized D* el intercambio de mesón se amortigua como s−2 • 10−3 en comparación con el elemental D* intercambio (véase, por ejemplo, [14]). Para el intercambio, que da un contribución a la transición (véase más adelante), en la pequeña región del pion está cerca de la caparazón de masa y su reggeización no es importante. Usaremos el enfoque del diagrama de Feynman para calcular las fases de FSI desde el diagrama del triángulo con los estados intermedios de baja masa X e Y (ver Gráfico 1 Integrando sobre el bucle momenta d4k asumimos que las integrales sobre las masas de los estados intermedios X e Y disminuyen rápidamente con el aumento de estos masas. A continuación, la elección de eje z en la dirección de momenta de la producción meson M1 podemos transformar la integral sobre k0 y kz en la integral sobre las masas invariantes de cúmulos de partículas intermedias X e Y dk0dkz = dsXdsY (13) y deformar los contornos de integración de tal manera que sólo interme de baja masa Las contribuciones de los Estados miembros se tienen en cuenta mientras que la contribución de Estados pesados siendo pequeños es descuidado. De esta manera obtenemos: M = M XY (XY + iT XY), (14) donde M XY son los elementos de la matriz de desintegración sin interacciones FSI y T J=0XY es la amplitud de onda parcial J = 0 del proceso XY → (T J = (SJ − 1)/(2i)) que se origina de la integral sobre d2k. Para el T real (14) coincide con la aplicación de la condición de unidad para el cálculo de la parte imaginaria de M mientras que para el imaginario T la Se generan correcciones a la parte real de M. Calculemos las partes imaginarias de B → • amplitudes de desintegración que oriundo de la cadena B → • → • • con la ayuda de la condición de unidad 2: ImM(B → ) = d cos ♥ M(• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • en el que se encuentra el ángulo entre el punto y el punto momentánea. Para valores pequeños de  o t El intercambio en t-canal domina y el cálculo del diagrama de Feynman En esta sección se omiten las fases que se originan a partir de elementos de la matriz CKM. Figura 1: Diagrama que describe el FSI en la descomposición del pesado meson MQq en dos mesons de luz M1 y M2. X e Y son los cúmulos de partículas con pequeñas masas invariantes sX, sY ≤ MQ­QCD, k es el 4-momento de un virtual Propagación de partículas en el canal T. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ser de confianza, como se ha señalado anteriormente. Ya se ha subrayado que los Estados miembros están a favor de la aplicación de la legislación comunitaria en materia de seguridad y salud en el lugar de trabajo. los descensos en B están casi totalmente polarizados longitudinalmente. Es por eso que vamos a tener en cuenta sólo la polarización longitudinal para el intermedio Los mesons y las amplitudes de los descensos en B y L están simplemente relacionados MB0 = − MB0, MBd = − MBd. 16) Para la amplitud de 0 → η0 transición tenemos: iM(0 → η0) = −i g2 (p1 − k1)2 −m2 +)k2 0), (17) donde p1, k1 y k2 son +, η0 y momenta. A partir de la anchura del melón Obtenemos g2/16η = 2.85. Para los melones polarizados longitudinalmente en sus centro del sistema de masas tenemos: + = k2 0 = − 1 (t-m2η)(1 + ) +m2 , (18) donde t = (p1 − k1)2. Cambiar la variable de integración en (15) a t con la ayuda de dt = (1 a 2 m) )d cos فارسى e introducción de la exp(t/μ2) del factor de conformación con 3 signo negativo relativo de las amplitudes sigue de las expresiones para la transición formfactores en la aproximación de factorización, ver por ejemplo [15]. el parámetro μ2 + 1 GeV 2 que obtenemos: ImMB0 = + (m2m g2dt 16ηM2B * 4m2 (t-m2η)(1 + + 2 m2o(1 + t-m2 exp(t/μ2) MB0. (19) Para μ2 = 2m2? las contribuciones de los dos primeros términos entre corchetes cancelar, mientras que el tercer término da: ImMB0 = − g2 3.1MB0, (20) Y a partir de (4) obtenemos: 2 () = −4,9o. (21) Tengamos en cuenta que en el límite MB → • la relación Br(Bd → • • •)/Br(Bd → • •) crece como M2B, es por eso que la fase FSI 2 (­) (y ­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)))) (—) (—)) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—)))))))) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (— 0 ()) disminuye como 1/MB. La consideración análoga de estado intermedio lleva a la pos- itive fase FSI de Bd → amplitud que se aumenta relativamente a 2 () según (16): () = +5,7 o, (22) y para la fase FSI de la amplitud con isospin cero en la aproximación lineal Mation tenemos: 0 () = () + ()− 2 () . 23) Somos capaces de extraer la relación A2/A0 de la de C-promedio Br(Bd → ), Br(Bd → η0η0) y Br(Bu → 0), restando contribu- como lo hicimos derivando (9): B + B­00 − 1, (24) = 0,80± 0,09, (25) y, finalmente: 0 () = 15 o, 0 ()− 2 () = 20o. 26) De esta manera vemos que la cadena B → • → • • genera la mitad de los experi- mentalmente observado FSI fase diferencia de B → • amplitudes de los árboles. Es notable que las fases FSI generadas por B → • → • • cadena son amortiguado por las relaciones Br(B →, 0)/Br(B →, 0) y son unos pocos grados: 2 = = * 2 () = −1,4o, () = * () = 1,2o, (A0/A2) 0() = 2,9 o, ♥ 0()−  2.............................................................................................................................................................................................................................................................. (27) A continuación tendremos en cuenta el estado intermedio. Del análisis de Regge... hermanita de la dispersión elástica sabemos que la buena descripción de la experimental los datos se obtienen cuando los intercambios de las trayectorias de pomeron, el canal se tiene en cuenta [16]. El intercambio de pomeron domina en elástico Se dispersan a altas energías. Para αP (0) = 1 el correspondiente amplitud T es puramente imaginario y las fases de los elementos de la matriz no cambio [3]. Sin embargo, teniendo en cuenta que el pomeron es “supercrítico”, αP (0) 1.1, obtenemos la fase de la amplitud generada por el pomeron intercambio 4 que cancela las fases generadas por I = 2. En el caso de I = 0, la suma de los intercambios de datos y f produce la la amplitud inaria T y la fase de la amplitud M se debe al pomeron “supercrítica”: 0 () = 5,0 o, 2 () = 0 o. (28) En papel [3] se consideró que la amplitud de intercambio de pomerones era puramente imaginario. Como resultado, aunque importante para la diferencia de fase de las relaciones de ramificación 0 ()2 () fue el mismo (contribución pomeron es cancelaciones universales en la diferencia de fases) vino principalmente de 2 () valor negativo. In 4La amplitud del proceso 2 → 2 debido al intercambio de pomeron supercrítico es T • (s/s0) αP (t)(1 + exp(-i+P (t)))/(− sin(­P (t))) = (s/s0)(1)(i+ /2), donde en el se sustituyó la última expresión t = 0 y se utilizó αP (0) = 1. este resultado de esta manera para el valor absoluto de CP-asimmetría directa C fue subestimado, ver abajo. Por último, debe tenerse en cuenta el estado intermedio de la letra a). Grandes ramificaciones proporción de Bd → a1 -decay ( Br(Bd → a1 ) = (40 ± 4) ∗ 10-6) es parcialmente compensado por la pequeña constante de acoplamiento a1 (es 1/3 de uno). As a resultado de las contribuciones del estado intermedio ηa1 (que se transforma en por el intercambio de la trayectoria en t-canal) a fases FSI igual aproximadamente la parte de las contribuciones intermedias del Estado que se deba a la intercambio. Suponiendo que el signo de la contribución intermedia del Estado en fases es el mismo que el de canal elástico que obtenemos: 0 (πa1) = 4 o, 2 (πa1) = −2o. 29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Resumiendo las partes imaginarias de las amplitudes que siguen de (21), (26), (28) y (29) finalmente obtenemos: 0 = 23 o, 2 = −7o, 0 − 2 = 30o, (30) y la exactitud de estos números no es alta, al nivel del 50%. La consideración análoga de las partes reales del bucle correcciones a B → Las amplitudes de decaimiento conducen a la disminución del (real) árbol am- plitudes en un 30%, y podemos explicar el valor observado experimentalmente 0 − 2 40o en nuestro modelo, mientras que para estado final la diferencia análoga es unas tres veces más pequeño, 0 −  2 o 15o. Estimamos la fase de la amplitud del pingüino P considerando encantado estados intermedios de mesons: B → D̄D, DD, D̄D*, DD* → 5. En Regge todas estas amplitudes son descritas a altas energías por los intercambios de D*(D*2)-trayectorias. Una intercepción de estas trayectorias degeneradas por el intercambio puede obtenerse utilizando el método de [17] o a partir de masas de D*(2007) – 1− y D*2(2460) – 2 + resonancias, asumiendo linealidad de estas trayectorias Regge. Ambos métodos dan αD*(0) = −0.81 y la pendiente â € € ¢ 0.5GeV −2. La amplitud de D+D− → reacción en el modelo de Regge propuesto en documentos [18, 19] se puede escribir en la forma siguiente: TDD(s, t) = − e) i) t) 1 - αD* t)) s/scd) αD* t), (31) 5Estas amplitudes se consideran como pingüinos debido a la combinación adecuada de CKM elementos de matriz. donde Ł(x) es la función gamma. La t-dependencia de Regge-residues se elige de acuerdo con el dual modelos y se prueba para la luz (u,d,s) quarks [18]. De acuerdo con [19] scd 2.2GeV 2. Tenga en cuenta que el signo de la amplitud se fija por la unitariedad en la t- canal (cerca de la D*-resonancia). La constante g20 está determinada por la ancho de la D* → Decaimiento de Dη: g20/(16η) = 6.6. Usando (14), análogo de (15), (31) y la razón de ramificación Br(B → DD̄) • 2 · 10−4 [20] obtenemos la parte imaginaria de P y comparándola con la contribución de P en B → probabilidad de decaimiento (6) obtenemos P −3.5o6. Una pequeñez de la fase se debe a la baja interceptación de D*-trayectoria. El signo de P es negativo - contrario al signo positivo que se obtuvo en la teoría de la perturbación (7). Dado que el canal DD̄-decadencia constituye sólo el 10% de todo el encanto de dos cuerpos- anticharm decaimientos de Bd-meson [20] teniendo en cuenta estos canales podemos Obtener fácilmente -10o, (32) que puede ser muy importante para la interpretación de los datos experimentales sobre la asimetría directa de CP C discutido en la siguiente sección. 4 asimetrías de PC de Bd(B̄d) → Las asimetrías del PC están dadas por: Câ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 1 - 2 1 + 2 , Sâ € €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €, Sâ €............................................................... 2Im() 1 + 2 ...................................................................................... MB MB , (33) donde es o η0η0. De (2) para la asimetría directa de CP en Bd(B̄d) → decae fácilmente obtener: C = − sinα[ 2A0 sin(l0 − 0 − P) + A2 sin(l2 − 0 − P)]/ cos(l0 − l2)− A0P­ cosα cos(­0 − 0 − P )­ 6En la integración sobre cos la región domina. Representación en esta región (31) es válido. − A2P cosα cos(­2 − 0 − P ) + P­2], (34) donde V ∗tdVtb P. (35) Con el fin de hacer una estimación numérica que debe saber los ratios A0/A2 y P/A2. La primera es dada por (25) mientras que la segunda se puede extraer a partir de la relación Br(Bu → K0)/Br(Bu → η0) asumiendo d ↔ s invarianza de las interacciones fuertes: Br(Bu → K0) Br(Bu → η0) f 2KP 2V ∗tsVtb2 A22V ∗udVub2 , (36) = 0,092(0.009). (37) Los valores numéricos de A0 y A2 se dan con buena precisión por factor- cálculo de la expansión, mientras que P parece ser 2,5 veces mayor que la factorización resultado [3]. En vista de esto, la validez del factor fK en (36) que se origina del cálculo de factorización de la amplitud del pingüino es questinable. Si factorización de las amplitudes del pingüino no se asume entonces la relación fK/f en (36) debe ser reemplazado por la unidad. De esta manera obtenemos 20% mayor valor de P/A2 en (37) y vamos a tomar este valor de incertidumbre como una estimación de la precisión teórica de la determinación de P : = 0,21(0,04), (38) Teniendo en cuenta que el ángulo del triángulo de unitaridad α 90o y los ángulos 0 y P son del orden de pocos grados a partir de (34) obtenemos: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -0.56 sin((-0 + -2)/2- -0 − -P ). (39) Para determinar el límite inferior en el valor de C supongamos que فارسى0 = 37 o, Ł2 = 0 o (mantenemos la diferencia entre 0 y 2 o = 37o, como se desprende de los datos sobre las probabilidades de deterioro de B → (9), y descuidar los valores pequeños de 0 y P : C > −0.18. (40) En cuanto al número experimental, bien podría suceder que finalmente estar considerablemente por debajo de nuestro límite. En este caso, el resultado de la no-perturbación se confirmará el cálculo de la fase del pingüino. Reemplazando en (39) ­0 = 30o, 2o = −7o y P a partir de (32) obtenemos el siguiente valor central: C = −0.21. 41) Es instructivo comparar los números obtenidos con el valor de C que se deriva de la asimetría ACP (K ) si d ↔ s simetría es sup- planteado [21]: C = ACP (K) (B → K) (B → ) sin(β + γ) sin(γ) = 1,2(−2)(−0,093± 0,015)19,8 sin 82o sin 60o 0,87 = −0,24±0,04. (42) Tengamos en cuenta que un factor fη/fK en la última ecuación aparece de la elemento de matriz del operador del árbol, el segundo - del elemento de matriz del operador de pingüinos. Si debido a la no factorización de las amplitudes de pingüinos omitiremos el factor que aparece del pingüino [5], luego los números en los lados derecho de (40, 41) y (42) se convertirá en 20% más pequeño. Los resultados experimentales obtenidos por Belle [22] y BABAR [23] son: contradictorio CBelle = −0.55(0.09), CBABAR = −0.21(0.09), (43) El número de Belle está muy por debajo (40) y (41). Para la asimetría directa de CP en Bd(B̄d) → obtener: C00 = − P­ sinα[A0 sin(­0 − 0 − ­P )­ 2A2 sin(l)(l) − 0 − (l)P)]/ A0A2 cos(----(-)-2)− A0P贸 cosα cos(­0 − 0 − ♥P ) + A2P­ cosα cos(­­­­0­­­P) + P­2], (44) — 1,06[0,8 − 0,0 − 0,0 − 0,0 P )— 1,4 sin(0,0 − 0,0 P )] — 0,6, (45) considerablemente más pequeño que C. Este CPV directo inusualmente grande (medido por C00) es una tarea intrigante para las mediciones futuras desde el presente exper- El error mental es demasiado grande: exper 00 = −0,36(0,32). (46) Belle y BABAR están ahora de acuerdo en el valor de otra asimetría CPV medida en Bd(B̄d) → decaídas: Sexper = −0,62 ± 0,09 [22, 23]. Desde esta medición se puede extraer el valor del ángulo del triángulo unitarity α. Descuidando la contribución del pingüino que obtenemos: sin 2αT = S, (47) αT = 109o ± 3o. (48) El pingüino cambia el valor de α. La fórmula exacta se parece a: S = [sin 2α( cos(de 0 a 2 años)− A2P sinα cos(el 2 − el 0 − el 1 ° P )− A0P贸 sinα cos(­0 − 0 − ♥P )]/ cos(l0 − l2)− A0P­ cosα cos(­0 − 0 − P )­ A2P cosα cos(­2 − 0 − P ) + P­2], (49) y ya que todos los cambios de fase no son grandes los valores de cosenos en (49) son bastante estable en relación con sus variaciones. Para estimaciones numéricas tomamos ­0 = 30 o, Ł2 = −7o y negligencia 0 y ♥P. De esta manera obtenemos: (α) = 88 o ± 40(exper)± 50(theor), (50) donde el primer error proviene de la incertidumbre en S exper mientras que el segundo viene de eso en el valor de la amplitud del pingüino, (38). Relativamente grande la incertidumbre teórica en el valor de P‡ no impide determinar α con buena precisión. La pequeñez relativa de la contribución de los pingüinos a B → plitudes nos permiten determinar α con mejor precisión teórica de la la medición experimental de (S) tal como se hizo en [24]. Con el ayuda de (5) obtenemos: ) = 0,060(0,012), (51) donde se supone la misma incertidumbre del 20% en la extracción de la amplitud del pingüino. El uso de la relación (A0/A2)® determinado en (27) de la (49) descuidando fuerte fases (que son mucho más pequeñas que en el caso de B → • decaimientos) y teniendo en cuenta el reciente resultado experimental (S exper = −0,06± 0,18 [1] Obtenemos: (α)+ = 87 o ± 50(exper)± 10(theor). (52) Señalemos que un error teórico considerablemente mayor citado en [4] se desprende de la incertidumbre teórica más grande en el valor de los pingüinos ampli- Tude asumió en ese papel. Nuestros resultados para α deben ser comparados con los números que siguen de el ajuste global del triángulo de unidad [6, 7]: αCKMfitter = (99,0+4,0−9.4) o, αUTfit = (93±4)o. (53) Concluimos esta sección con la predicción del valor de la asimetría CPV- metría S00: S00 = [sin 2α( 2A0A2 cos(­0 − ­2)) + 2A2P sinα cos(el 2 − el 0 − el 1 ° P )− A0P贸 sinα cos(­0 − 0 − ♥P )]/ 2A0A2 cos(l0 − l2)− A0P贸 cosα cos(­0 − 0 − ♥P ) + 2A2P cosα cos(­2 − 0 − ­P ) + P­2] = 0,70± 0,15, (54) una gran asimetría con el signo opuesto a la de S. 5 Conclusiones FSI parecía ser muy importante en B → • decaimientos. La descripción de estas interacciones presentada en el artículo permite explicar la diferencia observada experimentalmente de las proporciones de decaimiento proba- bilidades para los modos neutros y cargados en B → • y B → • decae. Valor absoluto bastante grande de la asimetría directa de CP C (si se confirma experimentalmente) será una manifestación del signo negativo del pingüino FSI de acuerdo con el cálculo no perturbativo y contrario a la perturba- El resultado final es el siguiente: Estamos agradecidos a L.V.Akopyan por comprobar las fórmulas, José Ocariz para recomendación de incluir el resultado del ángulo α que se deriva de la CP la asimetría (S) y M.B.Voloshin para la discusión útil. Esta labor contó con el apoyo del Organismo Ruso de Energía Atómica; A.K. ha sido apoyado en parte por subvenciones RFBR 06-02-17012, RFBR 06-02- 72041-MNTI, INTAS 05-103-7515 y contrato estatal 02.445.11.7424; M.V. fue apoyado en parte por subvenciones RFBR 05-02-17203 y NSh-5603.2006.2. 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An invariance principle for semimartingale reflecting Brownian motions in domains with piecewise smooth boundaries

Un principio de invarianza para semimartingale que refleja los movimientos brownianos en dominios con límites lisos por partes Los Anales de Probabilidad Aplicada 2007, Vol. 17, No. 2, 741-779 DOI: 10.1214/105051606000000899 c© Instituto de Estadística Matemática, 2007 PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LA SEMIMARTINGALE REFLEJANDO MOCIONES BROWNIANAS EN DOMAINS CON BOLSAS PIECÉCICAS1 Por W. Kang y R. J. Williams Universidad Carnegie Mellon y Universidad de California, San Diego Semimartingale refleja movimientos brownianos (SRBMs) que viven en los cierres de dominios con bordes lisos por partes son de in- la probabilidad aplicada debido a su papel como tráfico pesado ap- Proximaciones para algunas redes estocásticas. En este artículo, asumiendo ciertas condiciones en los dominios y direcciones de reflexión, un El resultado de la distorsión, o principio de la invarianza, para los SRBM está probado. Esto proporciona condiciones suficientes para un proceso que cumpla la definición de un SRBM, excepto para pequeñas perturbaciones aleatorias en la definición condiciones, para estar cerca en la distribución a un SRBM. Un ingredi crucial. ent en la prueba de este resultado es una desigualdad de oscilación para las soluciones de un problema perturbado de Skorokhod. Usamos el principio de invarianza para demostrar la existencia débil de SRBM en condiciones leves. Nosotros también. utilizar el principio de invarianza, en conjunción con la singularidad conocida resultados para los SRBM, para dar algunas condiciones suficientes para la validación aproximaciones que impliquen i) BSR en poliedros convexos con un campo vector de reflexión constante en cada cara del poliedro, y (ii) SRBM en dominios delimitados con límites lisos por partes y posiblemente campos vectoriales de reflexión no constantes en el límite superficies. 1. Introducción. Semimartingale que refleja las mociones brownianas (SRBMs) vivir en los cierres de los dominios con los límites lisos por partes son de interés en la probabilidad aplicada debido a su papel como difusión del tráfico pesado aproximaciones para algunas redes estocásticas. La insensibilidad de la límite para tal dominio, combinado con discontinuidades en el oblicuo direcciones de reflexión en intersecciones de superficies lisas de contorno, presentes Recibido en mayo de 2006; revisado en noviembre de 2006. 1Apoyado en parte por las subvenciones NSF DMS-03-05272 y DMS-06-04537. Clasificaciones de temas AMS 2000. 60F17, 60J60, 60K25, 90B15, 93E03. Palabras y frases clave. Semimartingale refleja el movimiento browniano, suave a trozos dominio, principio de invarianza, desigualdad de oscilación, problema de Skorokhod, red estocástica funciona. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 741–779. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0405v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000899 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000899 2 W. Kang y R. J. Williams desafíos en el desarrollo de una teoría rigurosa de la existencia, singularidad y la aproximación de esas medidas de fomento de la confianza. Cuando el espacio de estado es un ortodoncia y la dirección de la reflexión es con- stant en cada cara de la frontera, una condición necesaria y suficiente para débil se conoce la existencia y singularidad de un SRBM [14]. Esta condición implica una llamada condición completamente S en la matriz formada por la reflexión direcciones. En [15] se estableció un principio de invarianza para esas medidas. y utilizado en [16] para justificar aproximaciones de la difusión del tráfico existen redes de colas multiclase abiertas. Hablando vagamente, la invarianza principio muestra que, suponiendo singularidad en la legislación para el SRBM, un proceso que satisfagan la definición de SRBM, excepto en el caso de las pequeñas perturbaciones en el definir las condiciones, está cerca en la distribución al SRBM. Para dominios más generales con límites lisos a medida, algunos Se conocen las características de la existencia y la singularidad de los SRBM. En particular, para poliedros convexos con una dirección constante de reflexión en cada límite cara, condiciones necesarias y suficientes para la existencia débil y singularidad de Los SRBM son conocidos por poliedros convexos simples (donde con precisión d caras se reúnen en cada vértice en d-dimensiones) y se conocen las condiciones suficientes para los poliedros convexos no simples, véase [4]. Para un dominio limitado que puede ser representado como una intersección finita de dominios, cada uno de los cuales tiene un C1- límite y un vector de reflexión continua Lipschitz asociado uniformemente campo, condiciones suficientes para una existencia fuerte y singularidad por Dupuis e Ishii [6]; de hecho, estos autores estudian diferencial estocástico ecuaciones con reflexión que incluyen SRBM. A pesar de esta existencia y resultados de singularidad, un principio general de invarianza para los SRBM que viven en el No se han demostrado los cierres de dominios con límites lisos a partes hasta la fecha. (Notamos que para el caso especial cuando las direcciones de reflexión son normales, es decir, perpendiculares a la frontera, hay un número de resultados de perturbación para reflejar movimientos brownianos. Nuestro énfasis aquí es sobre el tratamiento de una amplia gama de direcciones de reflexión oblicuas.) Motivado por su potencial para su uso en la aproximación de stochas pesadamente cargadas- tic redes que son más generales que redes de colas multiclase abiertas, en este documento, formulamos y probamos un principio de invarianza para los MSR viviendo en los cierres de dominios con bordes lisos posibles direcciones de reflexión no constantes en cada uno de los enlaces lisos- superficies ary. Una aplicación de los resultados de este trabajo al análisis de un modelo de control de la congestión de internet puede encontrarse en [13]. Un esquema de la El documento actual es el siguiente. La definición de un MSR y las suposiciones sobre los dominios y direc- ciones de reflexión se dan en las secciones 2 y 3, respectivamente. Algunos son suficientes. En la sección 3 se establecen las condiciones para la celebración de estas hipótesis. Sección 4 se dedica a demostrar el resultado principal de este documento, a saber, la invari- principio de la ancianidad. Un elemento clave para nuestra prueba de este resultado es una oscilación PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 3 desigualdad para la solución de un problema perturbado de Skorokhod; esta desigualdad, que pueden ser de interés independiente, se demuestra en la sección 4.1. En la sección 5 Damos algunas aplicaciones del principio de invarianza. Demostramos debilidad ex- istencia de los MSR en las condiciones especificadas en la sección 3. También usamos el principio de invarianza, en conjunción con los resultados de singularidad conocidos para BSR, para dar condiciones suficientes para validar aproximaciones que impliquen i) BSR en poliedros convexos con un campo vectorial de reflexión constante sobre cada cara del poliedro, y (ii) SRBMs en dominios delimitados con piezas- límites suaves sabios y posiblemente no constantes campos de vectores de reflexión en las superficies de los límites. Más allá de su posible uso para justificar aproximaciones SRBM para estocástico de las redes, el principio de invarianza podría ser utilizado para justificar proximaciones a los SRBM. Otra posible ampliación de los resultados declarados aquí implicaría un principio de invarianza para el equa diferencial estocástico ciones con reflexión. La desigualdad de oscilación para el perturbado Skorokhod problema y criterios asociados para la estanqueidad C descritos en las secciones 4.1 Es probable que sea útil para ello. No hemos desarrollado un ex- la tensión aquí, ya que esto implicaría la introducción de suposiciones adicionales que haría que el resultado fuera menos relevante para las posibles aplicaciones a la estocástica redes. En particular, los procesos de aproximación implicarían tic integrales impulsadas por un movimiento browniano, mientras que en red estocástica aplicaciones, el movimiento browniano típicamente sólo aparece en el límite. 1.1. Notación, terminología y preliminares. Que N denote el conjunto de todos enteros positivos, es decir, N = {1,2,...}, R denotan el conjunto de números reales, que también es denotado por (), R+ denotar la media línea no negativa, que también es denotado por [0,]. Para x R, escribimos x para el absoluto valor de x, [x] para el entero más grande menos o igual a x, x+ para el parte positiva de x. Para cualquier entero positivo d, dejamos que Rd denote d-dimensional Espacio euclidiano, donde cualquier elemento en Rd es denotado por un vector de columna. Vamos a denotar la norma euclidiana en Rd, es decir, x = ( i=1 x 1/2 para x Rd, y, denotan el producto interior en Rd, es decir, x, y= i=1 xiyi, para x, y â € Rd. Notamos que para cualquier x â € TM TM Rd, â € TM x â TM ≤ i=1 xi. Let R + denotar el ortonte positivo en Rd, es decir, Rd+ = {x + R d :xi ≥ 0,1 ≤ i ≤ d}. Vamos. B(S) denotan el Borel-álgebra en S-Rd, es decir, la colección formada intersectando todos los conjuntos de Borel en Rd con S. Let dist(x,S) denotar la distancia entre x Rd y S Rd, es decir, dist(x,S) = infx−y® :y S}, con la la convención que dist(x,) = para x Rd. Deje que Ur(S) denote el conjunto cerrado {x #Rd : dist(x,S)≤ r} para cualquier r > 0 y S #Rd, donde si S =., Ur(S) =. para todos los r > 0. Deje que Br(x) denote la bola cerrada {y R d: • • • • ≤ r } para cualquier • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x+Rd y r > 0. Para cualquier conjunto S â € ¢ Rd, escribimos S para el cierre de S, Así que para el interior de S y S?S = S \So. Para un conjunto finito S, S denota el número 4 W. Kang y R. J. Williams de elementos en S. Para cualquier v â € Rd, v′ denota la transpuesta de v. Desigualdades entre vectores en Rd debe interpretarse en el sentido de componentes, es decir, si u, v d, entonces u ≤ (<)v significa que ui ≤ (<)vi para cada i ≤ {1,...., d}. Para cualquier matriz A, dejar A′ denotar la transposición de A. Para cualquier función x :R+ → R x(t−) indica el límite izquierdo de x en t > 0 cuando x tiene un límite izquierdo en t; a menos que se indique explícitamente lo contrario, x(0−)-0, donde 0 es el vector cero en Rd. Para cualquier función x :R+ → R d, dejamos que x(t) = x(t)− x(t−) x(t−) existe. Dejamos que 0 sea la función determinista constante x :R+ → R tal que x(t) = 0 para todos t â € R+. Un dominio en Rd es un subconjunto abierto conectado de Rd. Para cada uno continuamente función diferenciable f definida en algunos dominios no vacíos S â € ¢ Rd, â € TM f(x) es el gradiente de f en x â € ¢ S. Por cada x â € TM Rd, un barrio Vx de x es un dominio limitado en Rd que contiene x. Para cualquier dominio no vacío S â € Rd, decimos que el límite S de S es C1, si para cada x S existe un Sistema de coordenadas euclidiana Cx para R d centrado en x, un rx > 0, y una vez función continuamente diferenciable x :R d−1 →R de tal manera que فارسىx(0) = 0 y S Brx(x) = {z = (z1,. ............................................................... ′ en Cx : zd x(z1,. ............................................................... Entonces, para x â € ¢ S, se da la unidad interna normal a â € TM S en z â € € TM S â € Brx(x) en el sistema de coordenadas Cx por n(z) = (1 + x(z1,. .., zd−1) 2)1/2 (x(z1,. .., zd−1) donde x(z1,. .., zd−1) = ( ,. .., 0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0 )′(z1,. .., zd−1). Para cualquier no vacío convex set S+Rd, llamamos un vector n+Rd+0} un vector normal de unidad interna a S a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + vector no tiene que ser único. Todos los procesos estocásticos utilizados en este artículo se supone que tienen rutas que son derecho continuo con límites finitos a la izquierda (abreviado en adelante como r.c.l.l.). Un proceso se llama continuo si es casi seguro que sus trayectorias de muestra son continuas. Denotamos por D([0,].Rd) el espacio de r.c.l.l. funciones de [0,) en Rd y dotamos este espacio con el habitual Skorokhod J1-topología (cf. Capítulo 3 de [7]). Denotamos por C([0,),R d) el espacio de las funciones continuas de [0-] a Rd. El Borel-álgebra en cualquiera de los dos D([0,l),Rd) o C([0,l),Rd) serán denotados por Md. Abreviatura u.o.c. estará de pie uniformemente en los compactos y se utilizará para indicar que una secuencia de funciones en D([0,­),Rd) (o C([0,­),­Rd)) es converg- • uniformemente en intervalos de tiempo compactos hasta un límite en D([0,­),Rd) (o C([0,l),Rd)]. Considere W 1, W 2,..., W, cada uno de los cuales es un d-dimensional proceso (posiblemente definido en diferentes espacios de probabilidad). La secuencia {W nn=1 se dice que es apretado si las medidas de probabilidad inducida por el W n en el espacio medible (D([0,­),Rd),Md) forman una secuencia estrecha, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 5 es decir, forman una secuencia débilmente relativamente compacta en el espacio de las medidas de probabilidad en (D([0,­),Rd),Md). La notación “W n W” significa que, como n → •, la secuencia de las medidas de probabilidad inducidas en (D([0,),Rd),Md) por {W n} converge débilmente a la medida de probabilidad inducido en el mismo espacio por W. Vamos a describir esto con palabras diciendo que W n converge débilmente (o en la distribución) a W como n →. El se- quence de los procesos {W nn=1 se llama C-ajustado si es apretado, y si cada débil punto límite, obtenido como un límite débil a lo largo de una subsecuencia, casi seguro ha rutas de muestreo en C([0,­),Rd). La siguiente propuesta proporciona un útil criterio para comprobar la estanqueidad C. Proposición 1.1. Supongamos que, para cada n-N, W n es un d-dimensional proceso definido en el espacio de probabilidad (ln, Fn, Pn). La secuencia {W nn=1 es apretada C si y sólo si se mantienen las dos condiciones siguientes: (i) Para cada η > 0 y T ≥ 0, existe una constante finita Mη,T > 0 de tal manera que lim inf 0≤t≤T W n(t) ≤Mη,T ≥ 1− η.1).......................................................................................................................................................... ii) Por cada uno de los tipos de cambio siguientes: 0, η > 0 y T > 0, existe un tipo de cambio de 0, T tal que: lim sup Pn{wT (W n, )≥ ≤ η,(2) donde para x D([0,­),Rd), wT (x,) = sup u,vó[t,t] *x(u)− x(v): 0≤ t < t+ T Prueba. Véase la Proposición VI.3.26 en [12]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Un proceso d-dimensional W se dice que es localmente de variación limitada si todas las trayectorias de muestra de W son de variación limitada en cada intervalo de tiempo finito. Para tal proceso W, definimos V(W) = {V(W)(t), t≥ 0} de tal manera que para cada uno t≥ 0, V(W)(t) = «W (0)» + sup •W (ti)−W (ti−1) •: 0 = t0 < t1 < · · tl = t, l≥ 1 Se denominará un espacio filtrado a un triple (el Ft, t ≥ 0} si el Ft es un conjunto, F es una algebra de subconjuntos de , y {Ft, t≥ 0} es una familia creciente de sub-e-álgebras de F, es decir, una filtración. A partir de ahora, la filtración {Ft, t≥ 0} se escribirá simplemente como {Ft}. Si P es una medida de probabilidad en (........................................................................................................................................................................................................................................................... 6 W. Kang y R. J. Williams Se llama espacio de probabilidad filtrado. Un proceso d-dimensional X = {X(t), t ≥ 0} definido en (,F, P ) se llama {Ft}-adaptado si para cada t ≥ 0, X(t) : Rd es mensurable cuando  está dotado de la -álgebra Dado un espacio filtrado de probabilidad (­,F,{Ft}, P ), un vector μ ­R d, a d× d matriz definida simétrica, estrictamente positiva, y una distribución de probabilidad ü en (Rd, B(Rd)), un movimiento {Ft}-browniano con vector de deriva μ, covarianza Matriz y distribución inicial es un proceso d-dimensional {Ft}-adaptado Definido en el punto (­, F, {Ft}, P ) de modo que la siguiente posición en el punto P: (a) X es un movimiento d-dimensional browniano cuyos caminos de muestra son casi sin duda continua y que tiene la distribución inicial ν, b) {Xi(t)−Xi(0)− μit,Ft, t≥ 0} es un martingale para i= 1,...., d, y (c) {(Xi(t)−Xi(0)it)(Xj(t)−Xj(0)jt)ijt,Ft, t≥0} es un tingale para i, j = 1,..., d. En esta definición, la filtración {Ft} puede ser mayor que la generada por X ; sin embargo, para cada t ≥ 0, bajo P, el Ft de algebra es independiente de los incrementos de X a partir de t en adelante. Este último sigue del martingale propiedades de X. Si \ = x, la masa de la unidad en x + R d, decimos que X comienza de x. 2. Definición de un SRBM. Let G= I+I Gi ser un dominio no vacío en d, donde yo es un conjunto de índice finito no vacío y para cada i - I, Gi es un dominio no vacío en Rd. Por simplicidad, suponemos que I = {1,2,..., I} y luego II= I. Para cada i • I, dejar que γi(·) sea una función de valor vectorial definida de Rd a Rd. Fijar μ â € ¢Rd, â € a d × d simétrico y estrictamente positivo una matriz de covarianza definida y una medida de probabilidad en [G,B(G)], donde B(G) denota los subconjuntos de -álgebra de Borel del cierre G de G. Definición 2.1 (Semimartingale que refleja el movimiento browniano). Un semi- martingale refleja movimiento browniano (abreviado como SRBM) asociado con los datos (G,μ,i, i I}, ν) es un {Ft}-adaptado, d-dimensional pro- cess W definido en algún espacio filtrado de probabilidad (­, F, {Ft}, P ) de tal manera que: i) P -a.s., W (t) =X(t) + (0,t) γ i(W (s))dYi(s) para todos los t≥ 0, ii) P -a.s., W tiene trayectorias continuas y W (t) G para todos los t ≥ 0, (iii) bajo P, X es un movimiento d-dimensional {Ft}-browniano con deriva vector μ, matriz de covarianza y distribución inicial (iv) para cada i • I, Yi es un proceso {Ft}-adaptado, unidimensional tal que P -A.S., a) Yi(0) = 0, b) El yi es continuo y no disminuye, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 7 c) Yi(t) = (0,t] 1{W (s)GiG} dYi(s) para todos los t≥ 0. A menudo nos referiremos a Y = {Yi, i ® I} como el “proceso de empuje” asociado con el SRBM W. Cuando \ = x, podemos alternativamente decir que W es un SRBM asociado con los datos (G,μ,i, i I}) que comienzan a partir de x. Nosotros llama a (W,X,Y) satisfacer la definición 2.1 un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, /). Hablando en voz baja, un SRBM se comporta como un movimiento browniano en el inte- rior del dominio G y se limita a G por “reflexión” instantánea (o “pushing”) en el límite, donde las direcciones permitidas de “reflejo” en x • • G son combinaciones convexas de los vectores γi(x) para i de tal manera que x • • Gi. Con arreglo a los supuestos impuestos a G y i, i I} en las secciones 3.1 y 3.2 abajo, en cada punto en el límite de G hay una dirección permitida de reflexión que se puede utilizar allí que “señala en el interior de G.” Nosotros terminar esta sección mediante la introducción de un conjunto de valores relacionados función I(·) y mostrar una propiedad clave de ella. Definición 2.2. Para cada x+Rd, deje I(x) = {i • I :x • • Gi}. La función set-valued I(·) tiene la siguiente propiedad llamada semi- superior continuidad en el G. Lemma 2.1. Por cada x â € ¢ G, hay un barrio abierto Vx de x en d de tal manera que I(y)® I(x) para todos y • Vx.4) Prueba. Demostramos este lema por contradicción. Supongamos que el func... ·) no satisface (4). Entonces hay un punto x â € ¢ G tal que hay no es un barrio abierto Vx de x de tal manera que I(y) I(x) para todos y Vx. Desde el conjunto de índice I es finito, hay un índice k I \ I(x) y una secuencia de puntos {yn} # Tal que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # tal que # # # # # # # # # # # # # que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y k • I(yn) por cada n≥ 1. Por lo tanto • Gk para todos los n≥ 1. Dado que el Gk está cerrado y sin → x como n- concluyéndolo x â € ¬ Gk. Esto implica que k • I(x), que es una contradicción, como deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3. Supuestos sobre el dominio G y los campos vectoriales de reflexión i}. 3.1. Supuestos sobre el dominio G. A partir de ahora suponemos que el dominio G satisface supuestos (A1)–(A3) infra. En el caso de que G sea de los supuestos (A2)–(A3) se desprenden de la hipótesis (A1) (véase Lem- mas A.1 y A.2 en el apéndice para más detalles). Si el dominio G es un convexo suposición satisfactoria de poliedro (A1), luego suposiciones (A2)–(A3) por Lemma A.3 en el apéndice. 8 W. Kang y R. J. Williams (A1) G es un dominio no vacío en Rd con representación Gi,(5) donde para cada i I, Gi es un dominio no vacío, Gi 6=R d, y el límite Gi de Gi es C 1. Para cada i I, dejamos que ni(·) sea el campo vectorial normal de la unidad en Gi que apunta a Gi. (A2) Por cada uno de ellos existe R(­) > 0 tal que para cada uno de los i > I, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * Ni(x), y − xâ x− yâ.6) (A3) La función D : [0,­)→ [0,­] definió de tal manera que D(0) = 0 y D(r) = sup J 6 =............................................................................................................................................................................................................................................................. (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) para r > 0, satisface D(r)→ 0 como r→ 0.(8) Observación. La Asunción (A2) es una reminiscencia del cono exterior uniforme condición (cf. [9], página 195). Decimos que una región G-Rd satisface un uni- forma condición de cono exterior si para cada x0 â € € ¢ G, hay un truncado cerrado cono circular derecho Vx0, con interior no vacío y vértice x0, satisfactorio Vx0 G= {x0}, y los conos truncados Vx0 son todos congruentes con algunos fijos cono circular derecho cerrado truncado V. Al comparar la suposición (A2) con la condición de cono exterior uniforme, vemos que la suposición (A2) implica la condición de cono exterior uniforme. Por otra parte, bajo suposición (A1), suposición (A2) está implícita por una familia de cono exterior uniforme condi- ciones en las que, para cada uno de los puntos (0,1), el eje de la circular derecha cerrada truncada cono en x â € ¢ G es a lo largo del vector −ni(x) y todo el truncado cerrado los conos circulares derecho son congruentes a un cono circular derecho cerrado truncado cuya altura y radio de base sean R(l) y R(l)(1) − 1)1/2 respectivamente. La Asunción (A2) se sostiene automáticamente si G es convexa. También tomamos nota de que: La suposición (A2) es estrictamente más débil que la condición uniforme de la esfera exterior. La definición de la condición de esfera exterior uniforme es similar a la de la condición de cono exterior uniforme donde una bola cerrada con x0 en su ary toma el lugar del cono circular derecho cerrado truncado Vx0. Puede comprobar que para el dominio G = {(x, y) • R2 :y < x con α • (1,2), la condición uniforme de la esfera exterior no se mantiene, pero la suposición (A2) Espera. De hecho, en el punto (0,0) R2, no hay r > 0 e y R2 de tal manera que Br(y)• G= {(0,0)}. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 9 Observación. Para la definición de D(·) en (A3), adoptamos la convención que el máximo sobre un conjunto vacío es cero y dist(x, Desde Gi.. Gi.. La función D(·) satisface la función limrÃ3D(r) =. Además, D(r1)≤D(r2) siempre que se trate de r1, r2 â € ¬ y r1 ≤ r2. Assumir... tion (A3) requiere que para cualquier subconjunto no vacío J I, la intersección de los barrios tubulares de los límites jÃ3J Ur(là                  «converge » a la intersección de los là mites dado por el conjunto J.J. (l.g.j.g.) a medida que r se aproxima a 0. Necesidad de bienes (8) no siempre aguantar. Por ejemplo, dejar que G1 = {(x, y) 2 :y < e−x 2/2, x + R} y G2 = {(x, y) + R 2 :y > 0, x â € R}. Luego, G1 G2 =. Pero para cada r > 0, Ur(­G1)­Ur(­G2) 6=­. Por lo tanto, D(r) =+ para cada r > 0. 3.2. Supuestos sobre los campos vectoriales de reflexión i}. A partir de ahora, como... sume que hay campos vectoriales i(·), i I} que satisfacen suposiciones (A4)– (A5) infra. (A4) Hay una constante L > 0 tal que para cada i • I, γi(·) es un uni- Lipschitz función continua de Rd en Rd con Lipschitz con- stant L y i(x) 1 por cada x Rd. (A5) Hay una constante a â € (0,1), y funciones de valor vectorial b(·) = (b1(·),. .., bI(·)) y c(·) = (c1(·),. ............................................................... + tal que para cada x â € ¢ G, I(x) bi(x) = 1, i(x) I+I(x) bi(x)n i(x), γj(x) ≥ a,(9) I(x) ci(x) = 1, i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(x) ≥ a.(10) Notamos aquí para el uso futuro que por (A4), si establecemos l0 = , entonces para cualquier x, y # Rd satisfaciendo # x # y # # # # tenemos # i(x) − γi(y)® < a/4 para Cada uno de ellos. Por lo tanto, para cada 0<.o <.o.o.o, por (9)–(10) y la normalización de b(·), c(·), γi(·), nj(·) para i, j I, obtenemos i(x) y-B4­(x) I+I(x) bi(x)n i(x), γj(y) ≥ a/2(11) i(x) y-B4­(x) I+I(x) ci(x)γ i(y), nj(x) ≥ a/2.(12) 10 W. Kang y R. J. Williams El uso de B4/23370/(x) aquí está relacionado con la forma en la que se utiliza en la sección Observación. La Asunción (A4) es equivalente a (3.4) en [6] cuando G está limitada. Propiedad (10) significa que, en cada punto x • • G, hay un combi convex nación γ(x) = I(x) ci(x)γ i(x) de los vectores i(x), i(x)} que pueden ser utilizado allí de tal manera que γ(x) "puntos en" G. Propiedad (9) es en cierto sentido un doble condición a la propiedad (10), donde los papeles de γi y ni se invierten para i â € I(x). Esta propiedad (9) se utiliza para mostrar la desigualdad de oscilación en el teorema 4.1 infra. La Asunción (A5) es un análogo de la Asunción 1.1 en [4]. Cuando G está limitado, (10) es similar a la condición (3.6) en [6] (nosotros como la falta de dependencia de un sistema de Es sencillo ver usando la desigualdad del triángulo que el siguiente condición (A5)′ implica (A5). (A5)′ Hay un â € (0,1) y funciones valoradas vectoriales b, c de â € G a RI+ De tal manera que para cada x â € ¬ G, I(x) bi(x) = 1, y para cada i(x), bi(x)n i(x), γi(x)® ≥ a+ # I (x) # # i # bj(x)n j(x), γi(x),(13) I(x) ci(x) = 1, y para cada i(x), ci(x) i(x), ni(x)® ≥ a+ # I (x) # # i # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j(x), ni(x).(14) La condición (A5)′(ii) es similar a la condición (3.8) en [6], aunque aquí asumir la uniformidad adicional a través de la falta de dependencia de a en x. As en [6], su condición (3.8) puede expresarse en términos de un nonsingu- Lar M-matriz requisito [2]. (Esto a veces también se llama un Tipo de condición Harrison-Reiman [10].) Desde esa matriz M no-singular propiedad es invariante en transpuesta, y esta propiedad para la transpuesta corresponde a una forma local de (A5)′(i), se podría conjeturar que hay un equivalencia entre la existencia de una función valorada vector no negativa b tal que [A5]′(i) se mantenga para cada x â € € ¬ G y la existencia de un no negativo función valorada vector c de tal manera que (A5)′(ii) se mantiene para cada x â € ¬ G. De hecho Tenemos el siguiente lema. Hemos indicado las dos condiciones (equivalentes) ciones i) y ii) en la especificación (A5)′ para preservar un paralelo con (A5) y ya que ambas propiedades pueden ser útiles en pruebas. Por otra parte, a la luz de la después del lema, verificar cualquiera de las dos condiciones es suficiente para que ambas se mantengan. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 11 Lemma 3.1. Hay una constante a â € (0,1) y una función de valor vectorial b :­G → RI+ de tal manera que (A5) ′(i) se mantiene para cada x â € € ¢ G si y sólo si hay es una constante a â € (0,1) y una función valorada vector c :â € G→ RI+ tal que (A5)′(ii) se mantiene para cada x â € ¬ G. Prueba. Simplemente probamos la parte “si”; la parte “solo si” se puede probar de una manera similar. Suponemos que hay una constante a â € (0,1) y una función de valor vectorial c :­G → RI+ de tal manera que (A5) ′(ii) se mantiene para cada x â € € ¬ G. En el caso de las unidades fijas de x a G, considerar la matriz cuadrada A(x) cuyas entradas diagonales son dadas por el «elementos positivos», «ni»(x), «γi(x)», «i»(x)», «i»(x) y cuyas entradas no diagonales son dados porni(x), γj(x) para i (x), j (x), j (x), j 6= i. Deja que E sea el cuadrado matriz con las mismas dimensiones que A(x) y cuyas entradas son todas iguales a uno. Por la teoría de M-Matrices (véase [2], capítulo 6, especialmente condición (M35), condición ii) de (A5) ′ implica que A(x)− un E es un M- no-singular matriz, es decir, A(x)− a E tiene entradas diagonales no negativas y no positivas entradas off-diagonales y se puede escribir en el formulario s(x)I −B(x) donde B(x) es una matriz con entradas no negativas y s(x)> 0 es una constante que es estrictamente más grande que el radio espectral de B(x). Puesto que la propiedad M-matriz no-singular es invariante en transpuesta (cf. (G21) en el capítulo 6 de [2]), a continuación A ′(x)− a E es también una matriz M singular. Por lo tanto, hay un vector b?(x) = (b?i(x) : i(x)) con entradas no negativas tales que [A′(x)− a E)bś(x)> 0 (cf. (I27) en el capítulo 6 de [2]. Podemos extender bū(x) a un vector I-dimensional b(x) y normalizarlo para que I(x) bi(x) = 1. A continuación (A5)′(i) se mantiene con un en lugar de una. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Principio de invarianza. En esta sección declaramos y probamos una invarianza principio para un SRBM que vive en el cierre de un dominio G límite liso y que tengan campos de reflexión asociados i, i I}, donde G, i, i I} satisfacen los supuestos (A1)–(A5) de la sección 3. (Estos assump- a lo largo de esta sección.) En primer lugar vamos a declarar un resultado preliminar llamada desigualdad de oscilación (ver Teorema 4.1), entonces lo usamos para probar un resultado de opresión (ver Teorema 4.2). Finalmente, establecemos la invarianza principio (ver Teorema 4.3). 4.1. Desigualdad de oscilación. La siguiente desigualdad de oscilación es la clave a la prueba del resultado de tirantez reclamado en Teorema 4.2. En este subsec... ión, para cualquier 0≤ t1 < t2 y cualquier entero k ≥ 1, D([t1, t2],R k) Denota: el conjunto de funciones w : [t1, t2]→R k que son correctos continuos en [t1, t2) y tienen límites finitos de la izquierda en (t1, t2]. En el caso de w D([t1, t2],R Osc(w, [t1, t2]) = supw(t)−w(s): t1 ≤ s < t≤ t2},(15) Osc(w, [t1, t2)) = supw(t)−w(s): t1 ≤ s < t < t2}.16) 12 W. Kang y R. J. Williams Tenga en cuenta que no indicamos explícitamente la dependencia de k en la notación. Recuerde las constantes a,L de supuestos (A4)–(A5), las funciones R(·) de la suposición (A2) y D(·) de (7). Dejemos que......................................................................................................................................................................... Teorema 4.1 (Desigualdad de orientación). Existe una función no decreciente. Π: (0,­)→ (0,­)satisfecho Π(u)→ 0 como u→ 0, de modo que Π depende sólo en las constantes I, a y la función D(·), y tal que siempre que 0 <  < min{ R(a/4) }, 0 <  < , 0 ≤ s < t < فارسى, w,x • D([s, t],Rd) y y D([s, t],RI) satisfacen: i) b) b) b) x 0) u) g) para todos los u [s, t], para algunos x 0 g), ii) w(u) = w(s) + x(u) − x(s) + (s,u] γ i(w(v))dyi(v) para todos u [s, t], iii ) para cada uno de ellos, a) yi(s) ≥ 0, b) no disminuyen y no disminuyen ni disminuyen ni disminuyen en todos los casos (s, t), c) yi(u) = yi(s) + (s,u) 1 {w(v) {u(GiG)} dyi(v) para todos los u [s, t], iv) D(Π(Osc(x, [s, t]) + ))< Entonces tenemos que la siguiente bodega: Osc(w, [s, t])(Osc(x, [s, t]) + Osc(y, [s, t])(Osc(x, [s, t]) + (18) Prueba. Vamos. Π0(u) = u para todos los u > 0. Definir Πm : (0,­)→ (0,­], m=1,...., I, inductivamente de tal manera que Πm(u) = Πm−1(u) + (I+2)u+ (D(Πm−1(u) + (I+2)u) + 2u). Aquí se define la suma de cualquier elemento de [0, a igual Ł. Para cada m= 0,1,...., I, la función Πm es no decreciente y depende sólo de I, a y D(·). Para cada m= 1,............................................................................................................................................................................................................................................................ Πm(u). Por suposición (A3), concluimos (usando una prueba de inducción) que Πm(u)→ 0 como u→ 0, para m= 0,1,...., I. Let Π(·) = ΠI(·). Fijar 0 <................................................................................................................................................. R(a/4) }, 0 <  < , 0 ≤ s < t < Supón que w,x D([s, t],Rd) y y D(s, t],RI) satisfacen (i)–(iv) en la declaración de: Teorema 4.1. Para cada intervalo no vacío [t1, t2] I[t1,t2] = {i) I :w(u) • U{(u) • Gi • • G) para algunos u • [t1, t2]}, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 13 los índices de las superficies de límite que w(·) se acerca en el tiempo intervalo [t1, t2]. Para cada 0 ≤ m ≤ I, defina Tm = {[t1, t2] [s, t]: I[t1,t2] ≤ m}. Tenga en cuenta que bajo el orden parcial de la inclusión de conjuntos, Tm aumenta con m. Para probar el teorema, probaremos por inducción que para cada 0≤m≤I y cada intervalo [t1, t2] Tm, (17)–(18) mantener con [t1, t2] en lugar de [s, t] y Π m(·) en lugar de Π(·). El resultado para m= I produce el teorema. Supongamos que m= 0. Entonces T0 = {[t1, t2][s, t]: I[t1,t2]= 0}. Arreglar un inter- val [t1, t2] T0. Puesto que I[t1,t2] =­ y (iii)(c) mantiene, la función y no aumento en el intervalo de tiempo (t1, t2], es decir, yi(t2)− yi(t1) = 0 para todos los i+ I. A continuación, para t1 ≤ u < v ≤ t2, w(v)−w(u) = x(v)− x(u).(19) Así que en este caso, Osc(w, [t1, t2]) = Osc(x, [t1, t2])≤Osc(x, [t1, t2]) + Osc(y, [t1, t2]) = 0≤Osc(x, [t1, t2]) + (21) Así, (17)–(18) mantener con Π0(·) en lugar de Π(·) y [t1, t2] en lugar de [s, t] para cada intervalo [t1, t2] ≤ T0. Para el paso de inducción, dejar 1 ≤ m ≤ I y suponer que (17)–(18) mantener con Πm−1(·) en lugar de Π(·) y [t1, t2] en lugar de [s, t] para cada intervalo [t1, t2] Tm−1. Ahora arreglar [t1, t2] Tm. Si I[t1,t2] ≤ m − 1, entonces [t1, t2] Tm−1 y así por la suposición de inducción que tenemos que (17)–(18) mantener con [t1, t2] en su lugar de [s, t] y Πm-1(·) [y, por tanto, Πm(·)] en lugar de Π(·). Por lo tanto, es suficiente considerar [t1, t2] [s, t] tal que I[t1,t2] =m. En el caso de las letras i) a i), por el inciso iii) c), yi(t2)− yi(t1) = 0, y así por (ii), para t1 ≤ u < v ≤ t2, tenemos w(v)−w(u) = x(v)− x(u) + [t1,t2] (u,v] γi(w(r))dyi(r).(22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Let Πm(u) = Πm−1(u) + (I + 2)u para todos los u > 0, y η = Osc(x, [t1, t2]) + Para cualquier M â € TM a (0, â TM a] y cualquier conjunto no vacío J â TM a I, vamos FMJ = {z R d : dist(z, Tenga en cuenta que FMJ = • cuando hay un i • J de tal manera que •Gi • • G = •. Desde Πm(·)m(·)(·), D(·) y Π(·) no disminuyen, y Osc(x, [t1, t2]≤ Osc(x, [s, t]), tenemos por iv) que D(Πm(η))≤D(Πm(η))≤D(Π(η))< .23) Obsérvese que esto implica Πm(η) desde D(l) =l. Ahora consideramos dos casos. 14 W. Kang y R. J. Williams Caso 1. Suponga que w(r) â € ¢ F Πm(η) I[t1,t2] para todos los r â € [t1, t2]. Fijar u, v tal que t1 ≤ u < v ≤ t2. Ya que tenemos eso w(v) â € ~ i[t1,t2] Πm(η) (lggggggggggggfggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg por la definición de D(·) y (23), hay z i[t1,t2] (lgjgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg •w(v)− z≤D(Πm(η))< .(24) Para cada r [t1, t2], por (i) tenemos que w(r) (G), y por lo que hay z de tal manera que •w(r)− zrÃ3 ≤ 2­. Por lo tanto, por (i) y (24) tenemos • zr • zr • zr ≤ • zr • w(r) • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr ≤ 1 °C + 1 °C ≤ 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 > 1 °C > 1 > 1 °C > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 •w(r)− z ≤ •w(r)− x0 •x0 •w(v) •w(v)− z •w(v)− ≤ Por (6) y (25) tenemos Nj(z), z − zr® ≤ Para cada uno de los grupos I (z) y r (t1) [t2].(27) Tenga en cuenta que I(z) I[t1,t2]. Recordando la definición de b(·) de suposición (A5), al puntear el vector i(z) bj(z)n j(z) con ambos lados de (22) y reorganizando, obtenemos [t1,t2] (u,v] jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), γi(w(r)) dyi(r) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z),w(v)−w(u)®(28) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), x(v)− x(u)». Así por (11), (22), (24)–(28), y el hecho de que i(z) bj(z) = 1, bj(z) ≥ 0 para # Yo, tenemos # [t1,t2] (yi(v)- yi(u)) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 15 [t1,t2] (u,v] jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), γi(w(r)) dyi(r) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z),w(v)− z jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), z − zu® jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), zu −w(u)® − jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), x(v)− x(u) ≤D(Πm(η)) + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ≤D(Πm(η)) + 2 (z −w(v) w(v)−w(u) w(u)− zu®) ≤D(Πm(η)) + 2 D(Πm(η)) + x(v)− x(u) [t1,t2] (yi(v)− yi(u)) + 2 {D(Πm(η)) + 2 + x(v)− x(u) [t1,t2] yi(v)- yi(u)). Por lo tanto [t1,t2] (yi(v)− yi(u))≤ {D(Πm(η)) + 2 + x(v)− x(u) {D(Πm(η)) + 2. Al multiplicarse por 4 , obtenemos [t1,t2] (yi(v)− yi(u))≤ {D(Πm(η)) + 2 m(η).29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por lo tanto, por (29) y el hecho de que para cualquier x â € ~ Red, â € ~ x ≤ i=1 xi, tenemos Osc(y, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + Ł),(30) y por (22), (29) y las definiciones de Πm(·) y Πm(·), tenemos Osc(w, [t1, t2])≤Osc(x, [t1, t2]) + {D(Πm(η)) + 2 m(Osc(x, [t1, t2]) + ), como se desee. 16 W. Kang y R. J. Williams Caso 2. Suponga que hay t3 [t1, t2] de tal manera que w(t3) / F Πm(η) I[t1,t2] Definir  = inf{u [t1, t2] :w(u) / F Πm(η) I[t1,t2] }. A continuación,  ≤ t2. Por cada u [t1, ), w(u) F Πm(η) I[t1,t2] y así por un análisis similar a que para el caso 1, nosotros obtener para cada v â € [t1, ¬], Osc(w, [t1, v])≤ (D(Πm(η)) + 2η) Osc(y, [t1, v])≤ (D(Πm(η)) + 2η). Por la continuidad correcta de los caminos tenemos w( Πm(η) I[t1,t2] . Entonces hay un i) I[t1,t2] de tal manera que dist(w( no llega a U.G.O.G. durante el intervalo [, t2]. Para ver esto, vamos En el caso de que se trate de un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, se considerará que el contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera no es un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, sino un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, de conformidad con lo dispuesto en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (CE) n.o 659/1999. infimum de un conjunto vacío es فارسى. En el caso de que se trate de un sistema de control de la calidad de los productos, se considerará que el sistema de control de la calidad de los productos es un sistema de control de la calidad de los productos y de la calidad de los productos. w(·) y desde Πm(η)> Además, desde I[t1,t2]m, tenemos [ Por inducción suposición y dejando u→ , tenemos w()−w() m−1(η). Por ii), (iii)(b) y desde i(·)1, tenemos = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Entonces las manipulaciones simples producen dist(w(l), ♥Gi ŁG)≤ w(l)−w(l) w(l) dist(l), l m−1(η) + I m(η). Esto contradice el hecho de que dist(w( que w no llega a U............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto, debemos tener [l, t2] Tm−1. Por lo tanto tenemos por la suposición de inducción que Osc(w, [t1, t2])≤ sup vÃ3Â[t1,f] Osc(w, [t1, v]) + w( ≤ η + (D(Πm(η)) + 2η) + Im−1(η) m(Osc(x, [t1, t2]) + ) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 17 Osc(y, [t1, t2])≤ sup vÃ3Â[t1,f] Osc(y, [t1, v]) + y( (D(Πm(η)) + 2η) + Im−1(η) m(Osc(x, [t1, t2]) + ). Al combinar todos los casos anteriores, tenemos Osc(w, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + Ł),(31) Osc(y, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + (32) Esto completa el paso de inducción. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. La prueba del teorema anterior fue inspirada por la prueba de Lemma 4.3 de [4]. Debido a la condición (i) en el teorema 4.1, la oscila- La inequidad de las ciones dada aquí está localizada. Oscilación similar, pero no localizada, las desigualdades se probaron en [15] cuando G = Rd+ y en [3] para una secuencia de poliedros convexos; en estos casos, la dirección de la reflexión era constante en cada cara de frontera. 4.2. Resultado de la estanqueidad C. A lo largo de esta subsección y la siguiente, nosotros Supóngase que la suposición siguiente se mantiene además de (A1)–(A5). Suposición 4.1. Hay una secuencia de constantes estrictamente positivas nn=1 Tal que para cada número entero positivo n, hay procesos W n, W n,Xn, αn que tengan trayectorias en D([0,»,Rd) y procesos Y n, n, βn que tengan trayectorias en D([0-),RI) definido en algún espacio de probabilidad (­n, Fn, Pn) de tal manera que: i) Pn-a.s., W n = W ii) Pn-a.s., W n(t) =Xn(t)+ (0,t) γ i,n(W n(s−),W n(s)dY ni(s) para todos los t ≥ 0, en los que para cada i+ I, γi,n :Rd ×Rd → Rd es Borel mensurable y i,n(y,x)â = 1 para todas las x, y â € ~ Rd, iii) Y n = nÃ3n, donde βn es localmente de variaciÃ3n limitada y Pn-a.s., para cada uno de ellos, a) ni (0) = 0, (b) ni es no decreciente y i (t)≤  n para todos los t > 0, c) ni (t) = (0,t] 1{W­n(s)­U­n (­GiG)} d ni (s), iv) No → No 0 como n → No, y, para cada uno de ellos, no hay > 0 y no > 0 Tal que para cada uno de ellos, yo, i,n(y,x)− γi(x) n≥ n, 18 W. Kang y R. J. Williams v) αn → 0 y V(βn)→ 0 en probabilidad, como nó, vi) {Xn} está apretada C. Observación. Un caso simple en el que (iv) arriba se sostiene es donde γi,n(y,x) γi(y). En v), V(βn) es el proceso de variación total para βn (cf. Sección 1.1). El siguiente teorema desempeñará un papel importante en la prueba de principio de varianza. Se utilizará para mostrar que una secuencia de procesos sat- Isfiting versiones adecuadamente perturbadas de las condiciones de definición de un SRBM [cf. i)–vi) supra] es hermética. Teorema 4.2 (estrechez C). Supongamos que la Asunción 4.1 se mantiene. Definir Zn = (W n,Xn,Y n) para cada n. A continuación, la secuencia de procesos {Znn=1 es Apretada. Observación. Nótese que la estanqueidad C de {W n}, {Xn} e {Y n} implica C- rigidez de {Zn} (para más detalles, véase el capítulo VI, corolario 3.33 de [12]). Prueba de Teorema 4.2. Las referencias a los incisos i) a vi) son las siguientes: ciones en la Asunción 4.1. Manipulaciones algebraicas simples producen Pn-a.s., W­n(t) = X­n(t) + (0,t] γi,n(W n(s−),W n(s)d ni(s)(33) = Xūn(t) + n(t) + (0,t] γi(W n(s))d ni(s),(34) donde X?n(t) =Xn(t) + n(t) + (0,t] γi,n(W n(s−),W n(s))dβni(s) n(t) = (0,t] (γi,n(W n(s-),W n(s))− γi(W n(s)))d ni(s) (0,t] (γi(W n(s))− γi(Wû n(s)))d ni(s). Las hipótesis sobre αn, el proceso de variación total V(βn) de βn, y el hecho de que i,n(y,x) = 1 para todos x, y Rd y cada i I, implican que el proceso n(·) + (0,·] γi,n(W n(s−),W n(s))dβni(s) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 19 Converge a 0 en probabilidad como nÃ3r. Combinando esto con el hecho de que {Xnn=1 es C-ajustado, obtenemos que {X nn=1 es C-ajustado. Recordemos la función positiva no decreciente Π(·) del teorema 4.1, y las constantes a, L y funciones R(·) y D(·) de supuestos (A1)–(A5) en la sección 3. Recordemos también que ­0 = Fijar, η, η, T de tal manera que 0 < η < min{ R(a/4) },  > 0, η > 0 y T > 0. Por suposición (A3), hay una constante r1 > 0 tal que D(r)<min para todos los r â € (0, r1).(37) Desde Π(u) → 0 como u → 0, hay constantes 0 < r3 < r2 < min{r1, de tal manera que Π(r)< para todos los r â € (0, r3].38) Por iv), hay 0 < < min{ } y n0 > 0 tales que para todos los n≥ n0, # Y-x2 # i,n(y,x)− γi(x) .(39) Por (iv)–(vi), y Proposición 1.1, existe un entero n1 > n0, un con- stant M,T > 0 y (0, T ), de manera que para todos n≥ n1, 0≤s≤T Índice(s) ≤ M,T ≥ 1− η/2,(40) Pn{wT (X n, )≥ ≤ η/4,(41) 0≤s≤T n(s) 6ILr2 ≥ 1− η/4,(42) n <min 8(1 + I) .(43) Para demostrar la estanqueidad C de {O n} y n} (y, por tanto, de {O n}, {Y n}), por la Proposición 1.1, basta con demostrar que existe una constante Nη,T > 0 de tal manera que para todos n≥ n1, Pn{wT (W n, )≥ ≤ η,(44) Pn{wT ( n, )≥ ≤ η,(45) 0≤s≤T ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ ≤ Nη,T(s) ≥ 1− η,(46) 0≤s≤T n(s) ≤Nη,T ≥ 1− η.(47) 20 W. Kang y R. J. Williams Para cada n≥ 1, dejar Fn ser un conjunto en Fn tal que Pn(Fn) = 1 y en Fn, propiedades iii)a)–c) Hold, 33)–(36) Hold, y W Fijar un t tal que 0≤ t < t+ T. N = inf{s≥ t :W­n(s) ­ U­n(­«Gi» · G) para algunos i · I}.(48) Para cada n≥ n1, dejar wT (X n, ) <, sup 0≤s≤T n(s) 6ILr2 0≤s≤T Índice(s) ≤ M,T Luego por (40)–(42) y la definición de Fn, P{Hn} ≥ 1− η.(50) Arreglar n n Hn. Por la definición de wT (x,♥) en (3), tenemos que, r,sâ[t,t] # Xūn(s), # # Xūn(r, # n) # # # Xūn(r, # n) # # # # # Xūn(r, # n) # # # # # Xūn(s, # n) # # Xūn(s, # n) # # Xūn(r, # n) # # # # Xūn(s, # n) # # # Xūn(s, # # # # Xūn(s, # # # # # # # Xūn(s, # # # # Xūn(s, # # # # # # Xūn(r, # # # # # # # # # # # # # Xūn(s, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #(51) Ahora hay dos casos a considerar para n ≥ n1 y u, v fijado de tal manera que t≤ u < v ≤ t+. Caso 1. En este caso, por iii) c), n(·, n) no aumenta en el intervalo (u, v), es decir, ni (v, n)− ni (u, n) = 0 para todos los i â € I. Entonces por (34) y (36), W. n.v.n.)- W. n.u.n.) = X.n.v.n.)- X.n.(52) Por lo tanto, por (51), (v,n)­W­n(u,n)­ ≤ sup r,sâ[t,t] Índice(s), Índice(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s). y también tenemos n(v,­n)­ n(u,­n)­= 0< Ł/2. Caso 2............................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces hay un i â € TM ~ I tal que W? n (? n,? n) â € TM ~ Desde el set de U. Gi. Gi. G. está cerrado y W. G. n(·, ­n) es correcto continua. De ello se deduce que hay algunos x0 â € € ¬ G (que depende de â € € De tal manera que W. n. n. n. n. n. está en la bola cerrada B. n. x. 0. B. n. n. n. n. n. n. n. n.) está en la bola cerrada B. n. x. 0. Para aplicar la PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 21 desigualdad de oscilación en Teorema 4.1, primero demostramos lo siguiente: Para todas las personas que reúnan las condiciones siguientes: n ≤ r ≤ v.(53) Para la prueba de (53), vamos n = inf{r ≥ ♥n :W­n(r,­n)/B­(x0)}/V.(54) Según la definición de «n», «n» (r), «B» (x0) para cada «r» (l) n, n). Con el fin de aplicar la desigualdad de oscilación en el teorema 4.1 en el intervalo de tiempo [ Demostramos que D(Π(Osc(X?n(·,?n) + n(·,?n), [?n,?n)) +?n))< .(55) Para cada r (0, T ], por (i)–(iii) y (33), (49), (43), tenemos que N(r–, N(r–) N(r–) ≤ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ X?n(r,n)2 sup 0≤s≤T n(s) Iđn ≤ < 2. Por lo tanto por (39), para cada r â € (0, T ], i,n(W n(r-, ­n),W n(r,­n))− γi(W n(r,­n) ≤ .(56) Para (36), (56), Asunción (A4), (i) y (49), tenemos que para cualquier s1, s2 De modo que u≤ s1 < s2 ≤ v, n(s2), n)− n(s1), (s1,s2] i,n(W n(r-, ­n),W n(r,­n)) - γi(W n(r,­n))­d ni (r,­) (s1,s2] i(W n(r,­n))­ γi(W­n(r,­n))­d ni (r,­g) ( ni (s2, ) n)− ni (s1, (s1,s2] N(r), N(r), N(r), N(r)d ni (r, N(r) ( ni (s2, ) n)− ni (s1, 6ILr2 ( ni (s2, ) n)− ni (s1, 22 W. Kang y R. J. Williams n(s2), n)− n(s1), n = inf{s≥ n :Osc( n(·, Łn), [ln, s))> r2}.(58) Obsérvese que Osc( n(·, Łn), [ln, s)) como una función de s definida en izquierda continua con límites finitos a la derecha y no disminuye. Por la derecha continuidad de n, sabemos que Osc( n(·, Łn), [ln, s))→ 0 como ↓ Łn. Por lo tanto, n > n, n, n, n, n)) ≤ r2 y on n, Osc( n(·, n), ≥ r2. Por (57), (51), (43), la elección de N ≤ N ≤ N ≤ v ≤ t+, tenemos Osc(X?n(·,?n) + n(·,?n), [ ≤Osc(X +Osc( n(·, ≤Osc(X Osc( n(·, ≤ r2 +  n < r3. Entonces por (38) y la monotonicidad de D(·), tenemos D(Π(Osc(X ≤D(r2)≤D(r1)< Nosotros afirmamos que N ≥ n.o.p.(61) Para probar (61), procedemos por contradicción y suponemos que Entonces por (60), con x= X?n(·,?n) + n(·,?n) y?n =?n, condición (iv) de la orem 4.1 se mantiene con [s, t] = [ln, ln − 1/m] para todos los m suficientemente grandes. Por aplicando el teorema 4.1 y dejando má, obtenemos utilizando (34), (38) y (59) que, Osc( n(·,?n), [ln,?n)) (Osc(X (r3)< PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 23 Para (62), iii) b) y 43), obtenemos que Osc( n(·, Łn), [ln, ln])≤ + I­n < r2. Esto contradice el hecho de que Osc( n(·, n <, y así (61) mantiene y (55) sigue por (60). Mediante la aplicación del teorema 4.1 en [lán, ñán − 1/m] y luego dejar que má, nosotros obtener utilizando (61), (59) y (38), que Osc(W­n(·, ­ñn), [­ñn, ­ñn)) (Osc(X y de manera similar, Osc( n(·, .(63) Entonces tenemos # No, no, no... # # # No, no, no, no, no... # # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ≤.W.N. (n.,.n.)− W.N. (n.,.n.).W.N. (n.,.n.)− x0 + n. Utilizando hipótesis (ii), (iii) b) y (33), (51), obtenemos # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ≤ xn(n, n)− xn(n), n) i,n(W n(n−, n),W n(n, n)) × ( ni N, N)- ni n−, Łn)) ≤ I♥n. Por lo tanto N(N, N)-x0° ≤ °W n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (n, n)— (n), (n), (n)— (n), (n) + ♥n + I♥n ≤ (I+1) < l/8 + l/8 + l/8 < l/2. 24 W. Kang y R. J. Williams De esto se deduce que n = v y (53) sostiene, como se desee. Entonces, por (33), (51), (iii) b), (iii) c), (63) y (43), tenemos (v) (n) (n) (n) (u) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) ≤ sup r,sâ[u,v] # X?n(s) # # X?n(r) # # # # X?n(s) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ( ni (v, n)− ni (u, ≤ ( ni (v, n)− ni (uâ n)) ( ni (u â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° n, n)− ni (u, n)(64) ≤ IOsc( n(·, ni (v, n) + I♥n ≤ I + I.n. + I.n. < n(v,­n)­ n(u,­n)­ ≤ ( ni (v, n)− ni (u, ( ni (v, n)− ni (uâ n)) ( ni (u â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° n, n)− ni (u, Aquí hemos utilizado el hecho de que i no aumenta en (u, n ° u) y puede saltar a lo sumo por ln en ln, por la definición de ln y (iii)(c). Al combinar los resultados del Caso 1 y del Caso 2, obtenemos que para cada uno n≥ n1, u,vó[t,t] N(v,n)­N(u,n)­: 0≤ t≤ t+ T < (66) u,vó[t,t] n(v,­n)­ n(u,­n)­: 0≤ t≤ t+ T < ♥.(67) Por lo tanto, desde que fue arbitrario, por (50), tenemos que (44) y (45) para todos n≥ n1. A continuación mostramos que hay una constante Nη,T > 0 tales que (46) y (47) mantener para todos n≥ n1. Por (66)–(67) arriba, tenemos que para cada n≥ n1, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 25 Hn, t tales que 0≤ t < t+ T y t≤ u < v ≤ t+, N(v, n)-N(u, n)-N(u, n)-(68) n(v,n)− n(u,(69) Entonces, para cada 0≤ s≤ T, por (68), (69), (49) y (33), tenemos No obstante, en el caso de que se trate de una operación de concentración, el valor de la operación de concentración será inferior o igual al valor de la operación de concentración. [T/]+1 No obstante, en el caso de que se trate de una operación de concentración, se considerará que no se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración en una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de ≤ ([T/] + 1) n,n) ≤ n,n)− n(0,n) [T/]+1 n(i s,n)− n(i− 1) s,n) ≤ ([T/] + 1) Aquí [T/] es el mayor entero menor o igual a T/. Que Nη,T = ([T/] + 1) M,T. Entonces obtenemos que para n≥ n1 y n â € ¢ Hn, 0≤s≤T ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) 0≤s≤T n(s) ≤Nη,T.(71) Entonces para (50), tenemos que (46) y (47) mantener para todos n≥ n1. Finalmente mediante la aplicación de la Proposición 1.1, tenemos la estanqueidad C de {W n} y n}. Entonces se deduce que {(W n,Xn, n)n=1 es C-ajustado. Desde Z (W n,Xn, n) + (αn,0, βn) donde αn,V(βn) → 0 en probabilidad como n®, entonces {Znn=1 es también apretada C. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.3. Principio de invarianza para las medidas de fomento de la confianza. El principal teorema del papel es lo siguiente. Teorema 4.3 (Principio de variación de las medidas de fomento de la confianza). Supongamos que Assump- sión 4.1 espera. Definir Zn = (W n, Xn, Y n) para cada n. A continuación, la secuencia de 26 W. Kang y R. J. Williams procesos {Znn=1 es C apretado y cualquier punto límite (débil) de esta secuencia es de la forma Z = (W,X,Y ) donde procesos d-dimensionales continuos W,X y un proceso continuo I-dimensional Y se definen en alguna probabilidad de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0≤ s≤ t}, t≥ 0. Si, además, las siguientes condiciones (vi)′ y (vii) mantienen, entonces cualquier punto límite débil de la secuencia {Znn=1 es un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, /). Si además la siguiente condición: (viii) se mantiene, entonces W n O como n O donde W es un SRBM asociado con (G,μ,,i, i I}, /). (vi)′ {Xn} converge en distribución a un mo- ión con deriva μ, matriz de covarianza y distribución inicial vii) Para cada punto límite (débil) Z = (W,X,Y) de {Znn=1, {X(t)− X(0)− μt, Ft, t≥ 0} es un martingale. viii) Si un proceso W satisface las propiedades de la definición 2.1, la ley de W es único, es decir, la ley de un SRBM asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, ν) es único. Observación. Observamos que (vi)′ implica que (vi) de la Asunción 4.1 se mantiene. Prueba de Teorema 4.3. Por Teorema 4.2, tenemos que la secuencia {Znn=1 es C-ajustado. Que Z = (W,X,Y) sea un punto límite (débil) de {Z nn=1, es decir, hay una subsecuencia {nk} de {n} tal que Z nk Z como k. Lo siento. También se deduce de ello que Zūnk (Wū nk,Xnk, nk) Por la estrechez de la C de {Zn}, obtenemos que Z tiene rutas continuas a.s. A los efectos de verificar que Z satisface las propiedades enumeradas en la definición 2.1, se puede invocar el teorema de representación de Skorokhod para asumir, sin pérdida de generalidad, que Znk y Zūnk convergen u.o.c. a Z a.s. como k y V(βnk) Converge u.o.c. a 0 a.s. como k → فارسى. Con esta simplificación, es fácil verificó que las propiedades de {Znk} y {Zūnk} implican que Z tiene propiedades ii) y iv) a) a b) de la definición 2.1. Para la verificación de los bienes i) Definición 2.1, tenga en cuenta que para cada k, a.s. para cada t ≥ 0, W nk(t) =Xnk(t) + (0,t] γi,nk(W nk(s-),W nk(s))dβ i s) (0,t] (γi,nk(W nk(s-),W nk(s))− γi(W nk(s)))d i s) (0,t] γi(W nk(s))d i s). La suma de los dos primeros términos en el lado derecho de la igualdad antedicha Converge a.s. a X(t) como k → فارسى. El tercer término en el lado derecho PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 27 Converge a.s. a 0 como kÃ3, por la propiedad (iv) y el hecho de que a.s., sâ €(0,t] W nk(s)-W nk(s) ≤ sup sâ €(0,t] Xnk(s) I sup sâ €(0,t] Y nk(s) 0 como k. Queda por demostrar que para cada i â € I y t ≥ 0, a.s., (0,t] γi(W nk(s))d i s)→ (0,t] γi(W(s))dYi(s) como k®. Esto sigue directamente de Lemma A.4. Para la verificación de los bienes (iv) c) de la definición 2.1, basta con mostrar que para cada i + I, m= 1,2,..... a.s. para cada t ≥ 0, Yi(t) = (0,t] fm(W(s))dYi(s),(72) donde {fm} m=1 es una secuencia de funciones continuas reales valoradas definidas En Rd de tal manera que para cada m, el rango de fm es [0,1], fm(x) = 1 para x.» U1/m(de Gi-G) y fm(x) = 0 para x/ U2/m(de Gi-G). La existencia de tal secuencia de funciones continuas {fm} m=1 se puede mostrar usando El lema de Urysohn (cf. [8], página 122). Entonces (72) es una consecuencia de Lemma A.4, propiedad iii) de i y el hecho de que nk → 0 como kÃ3r. En efecto, a.s., para cada t ≥ 0, Yi(t) = lim i (t) = lim (0,t] {W­nk (s)­U nk (GiG)} i s) = lim (0,t] fm(W nk(s)d i s) (0,t] fm(s)(s)dYi(s). Así, Z satisface las propiedades i), ii) y iv) de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0≤ s≤ t}, t≥ 0. Suponiendo las propiedades vi)′ y vii) holding, Z satisface iii) de la definición 2.1. Entonces Z es un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,i, i I}, /). Si además, la propiedad (viii) tiene, entonces la ley de W es única. Desde cada límite débil W es un SRBM asociado a los datos (G,μ, I}, /) y la ley de tal SRBM es única, entonces por un argumento estándar, W n.o W como n.o W, donde W es un SRBM asociado con (G,μ,i, i I}, /). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Algunas condiciones suficientes para (vii) mantener se dan en la Proposición 4.2 de [15] para un ajuste más simple donde G=Rd+. Dos de esas condiciones generalizan a nuestro entorno aquí y se puede probar de la misma manera que en [15]. Por exhaustividad, declaramos el resultado resultante aquí. 28 W. Kang y R. J. Williams Proposición 4.1. Supóngase que la Asunción 4.1 y vi)′ de Teorema 4.3 Espera. Si, además, una de las siguientes condiciones (I)-(II) se mantiene, entonces condición vii) del teorema 4.3 se cumple, y cualquier punto límite débil de {Znn=1 es un SRBM extendido asociado con (G,μ, I, I, I, /). (I) Para cualquier triple de procesos d-dimensionales {Ft}-adaptados (W,X,Y) Definido en algún espacio filtrado de probabilidad (­, F, {Ft}, P ) y satisfactorio los incisos i), ii) y iv) de la definición 2.1, junto con la condición de que X, bajo P, es un movimiento d-dimensional browniano con vector de deriva μ, co- matriz de varianza y distribución inicial v, el par (W,Y) se adapta a la filtración generada por X y los conjuntos P-null. (II) Xn = Xñn + Ñn1, Y n = Y n + Łn2, W n = W­n + ­n3, donde ­ 1, ♥ 2, ♥ 3 son los procesos que converjan a 0 en probabilidad como nó, y: a) xn(t) − xn(0)n=1 es uniformemente integrable para cada t ≥ 0, (b) hay una secuencia de constantes nn=1 en R d de tal manera que limn n = μ, (c) por cada n, {XÃ3n(t)− XÃ3n(0)nt, t≥ 0} es un Pn-martingale con respeto a la filtración generada por (Wó n, Xón, Yó n). En el resto de este trabajo, nos centramos en las aplicaciones de la invarianza prin- y, en particular, sobre la concesión de condiciones suficientes para la propiedad viii) de Teorema 4.3 a la espera. 5. Aplicación del principio de invarianza. En la sección 5.1, resultamos débiles. Existencia de medidas de salvaguardia del medio ambiente asociadas a los datos (G,μ,i, i I}, //) satisfactorias (A1)–(A5) de la sección 3. Esto se logra mediante la construcción de una secuencia de aproximaciones cuyos puntos límite débiles son SRBM. La invarianza prin- Cícleo se utiliza para probar la estanqueidad C de las aproximaciones y que cualquier punto límite débil es un SRBM. En las secciones 5.2 y 5.3, utilizando resultados conocidos sobre la singularidad en la ley para los SRBM, ilustramos el principio de invarianza para ciertos dominios y direcciones de reflexión. 5.1. Debilidad de las medidas de fomento de la confianza. Teorema 5.1. Suponga que las suposiciones (A1)–(A5) de la Sección 3 se mantienen. A continuación, existe un SRBM asociado a los datos (G,μ,i, i I}, /). Prueba. Construimos una secuencia de aproximaciones a un SRBM y utilizar el principio de invarianza para establecer una convergencia débil a lo largo de una subse- Quence a un SRBM. En lo siguiente usaremos R(·) de suposición (A2), L > 0 de as- Supuesto (A4), a > 0 de suposición (A5), y?0 = . Arreglar el valor superior a 0 y PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 29 0 <  < min{ R(a/4) }. Por suposición (A3), hay una constante r1 > 0 de tal manera que D(r)<min para todos los r â € (0, r1). Recordar las propiedades de Π(·) del Teorema 4.1. Desde Π(u)→ 0 como u→ 0, hay constantes 0< r3 < r2 < min{r1, } tal que Π(r)< para todos los r â € (0, r3]. Fijar y tal que 0 < < min{ 24ILr2 } y 0 < 2o < min{r3 8(1+I) Construiremos un proceso estocástico d-dimensionalW y un I-dimensional “Empujar” proceso Y ♥, de tal manera que W ♥ aproximadamente satisface las condiciones la definición de un SRBM para los datos (G,μ,i, i I}, ν) (cf. Suposición 4.1). La idea para esta construcción es usar un movimiento browniano X con deriva vector μ, matriz de covarianza y distribución inicial v. Lejos de G, el los incrementos de W son determinados por los de X. Para cualquier momento t ≥ 0 tales que W (t−) â € ¢ G, añadimos un salto instantáneo a W (t−) para obtener W (t) (G. Aquí W (0−) =X(0). El tamaño del salto es tal que W (t) es una distancia estrictamente positiva (dependiendo de Ł) del límite de G. El vector de salto se obtiene como una función medible de W (t−). Asegurarse de que la mensurabilidad, cada punto x en G se asocia con un punto cercano x̄, elegido de manera mensurable a partir de un conjunto de puntos contables fijos en G. Los vector de salto para x es uno asociado con x̄. Ahora especificamos la asignación x→ x̄ y el vector de salto asociado con más precisión. Por suposición (A5)(ii), para cada x â € € ¢ G, hay c(x) â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. I+I(x) ci(x) = 1 y min i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(x) ≥ a.(73) Por (73), Lemma 2.1 y el hecho de que ni(·) es continuo en i I, tenemos que para cada x â € € ¢ G hay rx â € (0, € € TM ) de tal manera que para cada y #Brx(x) #G, I (y)(i)(x)(74) i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(y) .(75) A continuación, utilizando la naturaleza C1 de Gi y el hecho de que n i(y) es el interior unidad normal a Gi en y • G para cada i • I(y), que (al elegir rx even 30 W. Kang y R. J. Williams más pequeño si es necesario) para cada x x x x G hay m(x) > 0 y rx que para cada y-Brx(x)-G, (74)-(75) mantener y y + ♥ I+I(x) ci(x)γ i(x) â € € € € para todos â € € (0,m(x)).(76) Deje que Borx(x) denote el interior de la bola cerrada Brx(x) para cada x. Los colección {Borx(x) :x {G} es una cubierta abierta de ŁG y se deduce que allí es un conjunto contable {xk} de tal manera que kBrxk (xk) y {xk} conjunto finito para cada entero N ≥ 1. Podemos elegir el conjunto {xk} para ser mínimo en el sentido de que para cada subconjunto C estricto de {xk}, {Brx(x) :x {C} no cubre G. Dejar Dk = (Brxk (xk) \ ( i=1 Brxi (xi)) â € ¬ G por cada k. Entonces Dk 6 = para cada k, {Dk} es una partición de hay un índice único i(x) de tal manera que x Di(x). Para cada x â € TM R d, let x, si x /»............................................................................................................................................................................................................................................................. xi(x), si x â € ¬ G. Nótese que para todos los x â € ¢ Rd, *x− x *.(77) Para cada i-I y x-Rd, vamos γi (x) = γi (x̄).(78) El mapeo x → x̄ es Borel medible en Rd y por lo tanto γi, función medible de Rd a Rd. Construimos (W, Y, Y) de la siguiente manera. Deja que X se defina en alguna proba filtrada. espacio de habilidad (,F,{Ft}, P ) ser un movimiento d-dimensional {Ft}-browniano con μ de deriva y matriz de covarianza tal que X es continua seguramente y X(0) tiene distribución contra. Vamos. *1 = inf{t≥ 0:X(t) W (t) = X (t), Y (t) = 0 para 0≤ t < Nótese que W existe en 1 ya que X tiene rutas continuas y en el caso de que 1 = 0, W *(0−)*X(0). En 1, definir Y-(l)i (­1) = 0, i /+ I(W ­(­1−)), ci(W)(­1−) m(W (­1−)) , i) I) (W) W (l+1) =X(l+1) m(W (­1−)) I+I(W) ci(W)(l-1−)γ i) (W) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 31 Así que W, Y, se han definido en [0, 1] y en 1 en 1, de tal manera que: i) W (t) = X (t) + - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! i)(W)(0−)Y)(0)(0)(0)(0)(0)(0))(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)((0)((0)((())((0)((())(((())(((()))((((((())))((((())))((()))(((((((()))))((((())))(((()))(((()))((((())))((())(((()))((())((()))((((()))((())()()()()(()))(()(((())((((())()))))))(()()()()()()()()()((((((()))(((()))())))))()()()())((((())))())))(((((()(((())))((()()())((((((())((())))(((((()(()))))()()()()()()(((()(((()()()()())()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() (0,t] γi,l(W)(s-))dY(s)i(s) para todos los t(s) [0,][1]], donde W (0−) =X(0), ii) W (t) (t) (G) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t). iii ) en el caso de i ° I, a) Y Łi (0) ≥ 0, b) El artículo Y no disminuye el [0,][1]] [0,...]; c) Y (t) = Y i (0) + (0,t] 1{W(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(es(s)(s)(es(s)(es((s)(s)(s)(s)(s)(es(s)((s)(s)(es(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((()(s)(s)(()()()()()()()()()()(()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())))()())()()(()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( i s) para t â € [0, â €] â € € [0,l), (iv) Y (t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t), ≤ (t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t). *(0−)* Nótese que (iii) c) supra contiene la expresión W (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s). Los el lector se preguntará por qué aparece en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de. La razón es que en un salto tiempo s de Y Łi, W (s-) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) dist(W)(s),(s),(G)(s)(s)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es()(es)(es()(es)(es()(s)(s)(es(es)(s)(s)(s)(s)()(s)(s)(s)(s)(es()()(s)(es()()(es()()(es()()()()()()()(s(es(es()()()()()(es(es)()()(es)(es)()()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s(s)()(s()()()()()()()()()()()(()()()((((((()()()(()()()()()()()()()()()(((()()(()()()()( W (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Procediendo por inducción, suponemos que para algunos n ≥ 2,............................................................................................................... se han definido, y W, Y, Y, se han definido en [0, el n−1, de tal manera que i)–(iv) por encima de la posición de Entonces Definimos a los "n =" en "n = 1", y a los "n = 1" definimos a los "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1 " n = inf{t≥ ­n−1 :W (ln−1) +X(t)−X(ln−1) • • G}. En el caso de los productos de la partida πn−1 ≤ t < Łn, Y (t) = Y (n−1), W (t) = W (n−1) +X (t)−X (n−1), y en n, vamos Y Łi (ln) = I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, O, I, I, I, I, I, فارسى(ln−)), Y ♥i (­ ) + ci(W) * (n−) m(W) , i) I) (W) W ♥(ln) =W - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? m(W) I+I(W+(­)) ci(W)(ln−)γ i) (W) 32 W. Kang y R. J. Williams De esta manera, W, Y, Y se han definido en [0, que i)-iv) mantener con ln en lugar de lnl. Por construcción n=1 es una secuencia no decreciente de tiempos de parada. Let ♥ = limnà à °n. En =, la construcción de (W Está completo. Ahora mostramos que < =. De hecho, si < 6, vamos a < Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La construcción antedicha da (W,(·, ), Y,(·, )) en el intervalo de tiempo [0, Por cada t [0, ()], tenemos W (t) =X(t) + γi,(W (0−, Ł))Y Łi (0, Ł) (0,t] γi,(W(s-, Ł))dY(s)i(s). Puesto que X es continua en [0,», «i», «x» = 1 para cada x «Rd» y # I # I # Y # I # I # I # I # I # I # I # I # I # i (0, En el caso de que se trate de un vehículo de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • i) (W)(0–, •)Y)(0, •), )< (80) 0≤t(­) X(·, ) + γi,(W (0−, Ł))Y Łi (0, Ł) M,(81) donde w (·, ·) se define en (3). Por la elección de, hecho al principio de Esta prueba, (77)–(78) y la propiedad Lipschitz uniforme de la γi(·), i â € I, it De ello se desprende que (39) y (43) se mantienen en lugar de γi (y) y (y) en lugar de γi (y,x) y n, respectivamente. A continuación, por un análisis de trayectoria similar al utilizado en el caso 1 y 2 de la prueba del teorema 4.2, con W. n = W. n = W., αn = 0, γi,n(y,x) = γi,(y) para cada i • I y x, y • Rd, Xn = X + - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! i)(W)(0−)Y)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0). Y n = Y ♥, n = Y se mantiene para cualquier T < ­(­) con «n = », Nη, T = ([­»(­)/] + 1) M­. De ello se desprende: que supi ́l sup ́ ́ [0, i (s) es finito. Por los bienes no decrecientes de Y (·, ­) el [0, ­(­)) por cada i · I, Y i) Existe y es finito para cada uno de ellos. i. I.............................................................................................................. Entonces por (79) y la continuidad de X, vemos que W.... (.................................................................................................................................................. y es finito. Por la construcción de Y Ł y el hecho de que I(x) ci(x) = 1 para todos los xâ â € TM TM, tenemos que Y Łi (­*(­)­, ­) = m(W)(­n(­)­, ­)) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.(82) Desde el punto de vista de la información, la información y las comunicaciones (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones»). Existe, de ello se deduce que {W} {W} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} } n=1 converge a W • G como n. → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Conse- quently, {W ­(­n(­)−, ­)} n=1 es una secuencia delimitada en G y así por el PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 33 definición de los conjuntos {Dk} que forman una partición de ŁG, hay un conjunto finito C tal que {W} {W} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} } n=1 Por lo tanto, m(W (ln(l)−, l))≤ Inf m(xk)> 0,83 Y así el lado derecho de (82) es infinito. Por otro lado, desde Supi ́I sups ́[0,­(­}) Y i (s) es finito, el lado izquierdo de (82) es finito. Esto produce la contradicción deseada y así < = y tenemos con- (W, I, I) el [0, I). Desde la construcción de arriba, podemos ver que W y Y están bien definidos Procesos estocásticos con trayectorias de muestra en D([0,­),Rd) y D([0,­),RI). Se adaptan a la filtración generada por X y satisfacen (i)–(iv) arriba con [0,]. en lugar de [0, 1]. Considerar una secuencia de lo suficientemente pequeño de, denotado por n}, tal que n ↓ 0 como n → فارسى. Para cada uno de los países, , Y ) ser el par construido como arriba para el mismo proceso X. Por las propiedades anteriores y el hecho de que para cada i â € € TM i y x, y â € € TM Rd, i, (y)— γi(x)­ ≤ i()­ γi(x)­ ≤ L × ≤ L( Obtenemos que la Asunción 4.1 se mantiene con W. n = W. n = W. , αn = 0, γi,n(y,x) = (y) para cada i+I y x, y+Rd, Xn =X+ - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! I.N(W.O.) (0−))Y i (0), Y n = Y , n = Y (0), βn = Y (0) y 2o en lugar de ♥n. Por invok... en la primera parte del Teorema 4.3, obtenemos que {Z n=1 = {(W) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. )n=1 es C-ajustado y cualquier punto de límite débil Z de esta secuencia satisface condiciones (i), (ii) y (iv) de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0 ≤ s ≤ t}, t≥ 0. Tenga en cuenta que la condición vi)′ del teorema 4.3 es trivial. Además, = {X t) − X (0)− μt, t≥ 0}= {X(t)−X(0)− μt, t≥ 0} tingale con respecto a la filtración generada por X. Desde el W. , Y adaptado a esta filtración, se deduce que M es un martingale con respeto a la filtración generada por W , Y (que de hecho es el mismo que que generado por X). Para cada t ≥ 0, X t) − X (0) =X(t)−X(0) y así que trivialmente esto forma una secuencia uniformemente integrable como n varía. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, mínimos de la Proposición 4.1 que la condición vii) del Teorema 4.3 sostiene. Por lo tanto, cualquier punto límite débil de {Z n=1 es un SRBM extendido con los datos (G,μ,,i, i I}, /). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.2. SRBM en poliedros convexos con campos de reflexión constante. Exis- tence y unicidad en la ley para los SRBM que viven en poliedros convexos con un campo de reflexión constante en cada cara de frontera ha sido estudiado por Dai y 34 W. Kang y R. J. Williams Williams [4]. En esta subsección, declaramos una consecuencia de nuestra invarianza principio de utilización de los resultados en [4] para establecer unicidad en la ley. En este caso, G se define en términos de vectores unitarios d-dimensionales I (I≥ 1) {ni, i < I} y un vector I-dimensional β = (β1,. .., βI) ′ de modo que En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.(84) Se supone que G es no vacío y que el conjunto {(n1, β1),. ................................................................................... I, βI)} es mínimo en el sentido de que ningún subconjunto adecuado define G. Para cada i â € TM i, dejar Fi denote la cara del límite: {x â € ¢ G : â € € TM ni, xâ € = βi}. Entonces, n i es la unidad interna normal a Fi. Un campo vectorial constante γ i de longitud de la unidad especifica la dirección de reflexión asociada con Fi. Definición 5.2. Definir FK = ¡Iâ € TM ~ KFi. Dejad que F. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. Un conjunto de Kâ € I es máximo si K 6 = €, FK 6 = € y FK 6 = FK ̄ para cualquier Kâ € ° K tales Que K̄ 6=K. En [4], Dai y Williams introdujeron la siguiente suposición. Suposición 5.1. Para cada máximo de Kâ ° I, (S.a) hay una combinación lineal positiva n= Papelera de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones. i (bi > 0) de los {ni, i {K} tales que {n,γi 0 para todos los {K), (S.b) hay una combinación lineal positiva γ = - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! i (ci > 0) de los i, i K} tales que ni, 0 para todos los K. Observación. Para los campos de vectores dados G y constantes i, i I}, As- Supuesto 5.1 es equivalente a suposición (A5). Definición 5.3. El poliedro convexo G es simple si para cada K.I. tales que K 6 = 6 y FK 6 = 6, exactamente K caras distintas contienen FK. Observación. El poliedro G es simple si y sólo si K es máximo para cada K de tal manera que 6= K+I y FK 6= فارسى. Se muestra en [4] que cuando G es simple, (S.a) se mantiene para todos los máximos de K. I si y sólo si (S.b) se mantiene para todos Máximo KÃ3 I. Dai y Williams [4] demostraron que la Asunción 5.1 es suficiente tence y unicidad en la ley de los SRBM que viven en G con los campos de reflexión i, i I} y punto de partida fijo. [También mostraron esa condición (S.b) es necesario para la existencia de un SRBM a partir de a partir de cada punto en G. En consecuencia, cuando G es simple, Asunción 5.1 es necesaria y suficiente para la existencia de un SRBM a partir de cada punto en G.] Esto produce la siguiente consecuencia de nuestro principio de invarianza. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 35 Teorema 5.4. Dejar G ser un dominio no vacío tal que G es un convexo poliedro de la forma (84) (con descripción mínima), y dejar que i, i I} ser una familia de campos vectoriales constantes de longitud de unidad que satisfagan la Asunción 5.1. Supóngase que la hipótesis 4.1 y vi)′, vii) del teorema 4.3 se mantiene. Entonces W n.o W como n.o W, donde W es un SRBM asociado con (G,μ,i, i I}, /). Prueba. Claramente (A1) sostiene. Supuestos (A2)–(A3) mantenidos por Lemma A.3. Puesto que para cada i I, γi(·) es un campo vector constante de longitud de la unidad, como- La suposición (A4) es trivial. La Asunción (A5) está implícita en la Asunción 5.1. Por lo tanto, por Teorema 4.3, lo único que tenemos que comprobar es la condición viii) del teorema 4.3, es decir, la singularidad jurídica de las medidas de fomento de la confianza en el medio ambiente en los países convexos hedrons con campos de reflexión constante de longitud de la unidad. Pero esto se demuestra en Teorema 1.3 de [4] para un punto de partida fijo en G y seguido por una norma Argumento condicionante para la distribución inicial - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.3. SRBMs en dominios delimitados con bordes lisos a medida. Dupuis e Ishii [6] han establecido condiciones suficientes para la existencia y el camino- Sabia singularidad de reflejar las difusiones que viven en los cierres de límites dominios con bordes lisos a medida. En esta subsección, declaramos un consecuencia de nuestro principio de invarianza utilizando los resultados en [6] para establecer singularidad en la ley. Teorema 5.5. Dejar G ser un dominio limitado y i, i I} ser una familia de campos de reflexión que satisfagan supuestos (A1)–(A4) y (A5)′ en la sección 3. Asumimos además que para cada i-I, γi(·) es una vez continuamente diferente- entiable con Lipschitz local continua primeros derivados parciales. Supón que la hipótesis 4.1 y vi)′, vii) del teorema 4.3 se mantiene. Entonces, W n.o W. en la medida en que W es un SRBM asociado a (G,μ,i, i I}, /). Observación. Recordamos al lector que en vista de Lemma 3.1, para verificar condición (A5)′, sólo hay que demostrar que (i) o (ii) se mantiene para todas las x â € ¬ G. Sin embargo, como se puede ver en la prueba de abajo, ambas formas de la condición puede ser útil. Prueba de Teorema 5.5. Este teorema se deriva del teorema 4.3 y singularidad en la ley para los SRBM asociados. Este último sigue una norma argumento de la singularidad de la trayectoria establecida en el corolario 5.2 de [6] para su caso 2. En particular, se cumplen las condiciones exigidas para este caso. porque [A5]′(ii) implica condición (3.8) de [6]. Esta condición (3.8) fácilmente implica condición (3.6) de [6]; y, por [5], bajo la suavidad adicional suposiciones impuestas al γi en la declaración de nuestro teorema, condición (3.8) también implica condición (3.7) en [6]. Además, (A5)′(i) implica que 36 W. Kang y R. J. Williams para cada x â € ¢ G, i(x), ni(x) 0 para cada i â € I(x), y además, desde (A5)′ implica (A5), tenemos por (A5)(i) que el origen no pertenece a el casco convexo del i(x) : i(x)}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. APÉNDICE: LEMMAS AUXILIAR Lemma A.1. Supongamos que G está limitado. Si la suposición (A1) se mantiene, entonces suposición (A2) se mantiene. Prueba. Para ver esto, supongamos que G está limitado y la suposición (A1) mantiene. Arreglar • • (0,1). Para cada uno de los grupos I y z de los grupos Gi y G, por la C 1 propiedad de Gi, hay un barrio Vz de z y una constante R(­, i, z) > 0 tal que para todas las x x x Vz x Gi Gi G y y Gi de tal manera que x y R(e, i, z), Ni(x), y − xâ y − xâ.(85) A continuación, la Asunción (A2) sigue un argumento de compacidad estándar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma A.2. Supongamos que G es un dominio limitado no vacío satisfactorio (5), donde para cada i • I, Gi es un dominio no vacío. Entonces suposición (A3) Espera. Prueba. Demostramos el lema por la contradicción. Supongamos que la suposición (A3) no se sostiene. Entonces, ya que sólo hay muchos finitos J â € I, J 6 = â € TM, hay un.............................................................................................................................................................................................................................................................. 0 como nâ °, una secuencia {xn} â € € TM R d De tal manera que para cada n, xn # J. Urn # # Gj # # G) y dist(xn, ) >............................................................................................................................................ Pero como G está limitado, {xn} es limitado y sin pérdida de generalidad podemos asumir que xn → x como nâ € para algunos x â € Rd. De ello se deduce que x , puesto que para cada uno de ellos j • J, ≤ xdist(xn, ŁGj ŁG)≤ x rn → 0 como nÃ3r. Esto es inconsistente con xn → x y dist(xn, J.J. (Gj G))> Lemma A.3. Suponga que (A1) mantiene donde Gi = {x+R d : ni, x βi} para i I,(86) {ni, i I} es una colección finita de vectores d-dimensionales de longitud de unidad, y para I= I, β= (β1,. .., βI) ′ es un vector I-dimensional. (Así, G es una convexa poliedro.) Asumir que para cada i â € I, â € Gi â € G 6 = â €. Entonces suposiciones (A2) y (A3) esperen. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 37 Prueba. La Asunción (A2) se mantiene automáticamente puesto que G es convexa. En o... der para demostrar que la suposición (A3) sostiene, sólo tenemos que demostrar que para cada J. I. con J. 6 = (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) → 0(87) como r→ 0. Arreglar J I tal que J 6 =. Entonces J (Gj G) es la colección de todas las soluciones x+Rd al siguiente sistema de desigualdades lineales: «ni», «xá» ≥ βi» para todos los i» I, ni, x ≥ i para todos los i J. Supón que J (Gj G) 6=, es decir, (LS) tiene al menos una solución. Por un teorema de Hoffman [11], con lemas de apoyo probados por Agmon [1], hay una constante C > 0 (dependiendo sólo de {ni, i I} y no de β) tal que para cualquier x â € ¢ Rd existe una solución x0 â € R d de (LS) con x-x-x-0- ≤C (βi − i, x+)+ + (i − n i, x+)+ .(88) Para r > 0, cualquier x j­J Ur(­Gj ­­G) satisface lo siguiente: •ni, x ≥ βi − r para todos los i • I, (r-LS) ni, x ≥ i − r para todos los i J. Entonces para (88), hay x0 J.J. (l.g.j., G.g.) de tal manera que: (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg ≤ x ≤ 2CIr. De ello se deduce que (87) se mantiene cuando J.J. (................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Ahora supongamos que J (Gj G) =, es decir, (LS) no tiene solución. Nosotros utilizar un argumento contradictorio para demostrar que para todos los r suficientemente pequeños. Supongamos que esto no es cierto. Entonces tenemos que J Ur(Gj G) 6= para todos los r (). Como hemos visto antes, cualquier J Ur(Gj G) es una solución a (r-LS). Ahora construimos un Cauchy. secuencia. Vamos a x1 J U1/2(Gj G). Entonces x1 es una solución a ( -LS). Puesto que ( 1 -LS) tiene al menos una solución, por el teorema de Hoffman [11] (usando el hecho de que la constante C depende sólo de {ni, i {I}), llegamos a la conclusión de que hay una solución x2 a ( -LS) de forma que â € ~ x1−x2â ≤ , donde C ′ = 2CI. Continuando de esta manera, podemos obtener una secuencia {xn} n=1 tal que para cada n ≥ 1, xn+1 ≤ y xn+1 es una solución de ( -LS). Los 38 W. Kang y R. J. Williams secuencia {xn} n=1 es Cauchy. Por lo tanto, hay una x * • Red tal que xn → x como n→ y x* es una solución a (LS). Esto contradice la suposición J.J. (l.g.j., G.g., G.) =. Así que tenemos que ) = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r todos r suficientemente pequeños, y para tales r, (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) por convención. Combinando lo anterior vemos que para cada J â € I con J 6 = €, (87) se mantiene y, por lo tanto, la suposición (A3) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. De hecho, bajo las suposiciones de Lemma A.3, hay una Estante C > 0 tal que D(u) ≤ Cu para cada u ≥ 0 y D(·) definido como: suposición (A3). Lemma A.4. Teniendo en cuenta T > 0, funciones en D([0,nn=1),R d), y χ,nn=1 en D([0,),R), supongamos que sup0≤s≤T n(s)− (s)® → 0 y Sup0≤s≤T n(s)(s) → 0 como nÃ3r. Suponga que la χn no disminuye n. Entonces para cualquier secuencia de funciones continuas reales valoradas {fnn=1 definido en Rd tal que fn converge uniformemente en cada conjunto compacto a un función continua f :Rd →R, tenemos (0,t] dxn(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(es)(s)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)()(s)(es)(s)(es)()(es)()(es)(es)()(es)()()(es)()()()()()()()()()(es)()(es)()(es)(es)(es)()()()()()()()()()()))()()()()()()()())))(es)(es)(es)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(es)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( (0,t] f(l(s))d(s) como nó(s),(89) uniformemente para t â € [0, T ]. Prueba. Con la sustitución de χn(·) y χn(·) por χn(·)- χn(0) y χn(·)- χ(0), respectivamente, podemos suponer que χn(0) = χ(0) = 0. Es directo a Véase por la convergencia uniforme de n} a χ en [0, T ] que χ hereda el propiedad no decreciente del n}. Por la desigualdad del triángulo, 0≤t≤T (0,t] fn(ln(s))dχn(s)− (0,t] f(l(s))d(s) ≤ sup 0≤t≤T (0,t] — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (90) + sup 0≤t≤T (0,t] f(l(s))d(χn(s)− χ(s) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para el primer término en el lado derecho de la desigualdad antedicha, tenemos 0≤t≤T (0,t] — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ≤ sup 0≤s≤T fn(ln(s))− f(l(s))n(T), PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 39 donde el miembro de la derecha de arriba tiende a cero como n → la convergencia uniforme de los valores de N a N en [0, T ] (lo que implica un límite uniforme de n} en [0, T ]), la convergencia uniforme de fn a f en conjuntos compactos, la la continuidad de f, y la convergencia de χn(T ) a χ(T ). Para el segundo mandato, note que desde f(l(·)) D([0,),R), por Teorema 3.5.6, Proposición 3.5.3 y Observación 3.5.4 de [7], hay una secuencia de funciones de paso {zkk=1 de la zk(·) = zk(tki )1[tk )·),(91) donde 1 ≤ lk < Ł, 0 = t 1 < t 2 < · · · < t < ­ y sup0≤s≤T f(s) − zk(s) → 0 como k. Entonces 0≤t≤T (0,t] f(l(s))d(χn(s)− χ(s) ≤ sup 0≤t≤T (0,t] - zk(s)d(χn(s)− χ(s) + sup 0≤t≤T (0,t] zk(s)d(χn(s)− χ(s) ≤ sup 0≤s≤T f(s)− zk(s)(xn(T) + χ(T) + sup 0≤t≤T zk(tki)(χ n − χ)(tki+1 • t)− (χ n − χ)(tki (t)−). Para k fijo, el último término anterior se puede hacer tan pequeño como nos gusta para todos n suficientemente grande ya que χn → χ uniformemente en [0, T ]. El resultado deseado sigue. Observación. La prueba de Lemma A.4 es una modificación de la prueba de la Lemma 2.4 relacionada en [4]. La diferencia en los supuestos es que en [4] es Asumió que en la J1-topología, en lugar de uniformemente en [0, T ], χn, χ °C([0,),R+) en lugar de χ n, χ D([0,),R), y hay una sola función f en lugar de una secuencia {fn}. REFERENCIAS [1] Agmon, S. (1954). El método de relajación para las desigualdades lineales. Canadian J. Matemáticas. 6 382-392. MR0062786 [2] Berman, A. y Plemmons, R. J. (1979). Las matrices no negativas en la matemática Ciencias. Academic Press, Nueva York. MR0544666 [3] Dai, J. G. y Dai, W. (1999). Un teorema de tráfico pesado límite para una clase de abierto redes de cola con buffers finitos. Sistemas de cola 32 5–40. MR1720547 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0062786 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0544666 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1720547 40 W. Kang y R. J. Williams [4] Dai, J. G. y Williams, R. J. (1995). Existencia y singularidad de semimartingale Reflejando el movimiento browniano en poliedros convexos. Teory Probab. 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Aproximaciones de difusión para la red abierta de colas multiclase- obras: Condiciones suficientes que implican colapso del espacio del estado. Sistemas de cola Teoria Appl. 30 27–88. MR1663759 Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad Carnegie Mellon Pittsburgh, Pennsylvania 15213 Correo electrónico: weikang@andrew.cmu.edu Departamento de Matemáticas Universidad de California en San Diego 9500 Gilman Drive La Jolla, California 92093 Correo electrónico: williams@math.ucsd.edu http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1346729 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2222685 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1096165 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1207237 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0838085 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1681462 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0473443 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0606992 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0051275 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0959133 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1231926 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1663755 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1663759 mailto:weikang@andrew.cmu.edu mailto:williams@math.ucsd.edu Introducción Notación, terminología y preliminares Definición de un mecanismo de fomento de la confianza social Supuestos sobre el dominio G y los campos vectoriales de reflexión {i} Supuestos sobre el dominio G Supuestos sobre los campos vectoriales de reflexión {i} Principio de invarianza Desigualdad de oscilación Resultado de la estanqueidad C Principio de invariabilidad de las medidas de fomento de la confianza Aplicación del principio de invarianza Debilidad de las medidas de fomento de la confianza SRBM en poliedros convexos con campos de reflexión constante SRBMs en dominios delimitados con bordes lisos a medida Apéndice: Lemas auxiliares Bibliografía Dirección del autor

Semimartingale refleja movimientos brownianos (SRBM) que viven en los cierres de dominios con límites lisos por partes son de interés en la probabilidad aplicada debido a su papel como aproximaciones de tráfico pesado para algo estocástico redes. En este trabajo, asumiendo ciertas condiciones en los dominios y direcciones de reflexión, un resultado de perturbación, o principio de invarianza, para Se ha demostrado la existencia de medidas de fomento de la confianza en el medio ambiente. Esto proporciona condiciones suficientes para un proceso que cumple la definición de un SRBM, excepto en el caso de pequeñas perturbaciones aleatorias en las condiciones de definición, para estar cerca en la distribución a un SRBM. Un punto crucial ingrediente en la prueba de este resultado es una desigualdad de oscilación para soluciones de un problema perturbado de Skorokhod. Usamos el principio de invarianza para mostrar la existencia débil de SRBM en condiciones leves. También usamos la invarianza principio, junto con los resultados conocidos de singularidad para los SRBM, para dar algunos condiciones suficientes para validar aproximaciones que impliquen: i) medidas de fomento de la confianza poliedros convexos con un campo vectorial de reflexión constante en cada cara de la poliedro, y (ii) SRBMs en dominios delimitados con bordes lisos por partes y posiblemente campos vectoriales de reflexión no constantes en las superficies del límite.

Introducción. Semimartingale que refleja las mociones brownianas (SRBMs) vivir en los cierres de los dominios con los límites lisos por partes son de interés en la probabilidad aplicada debido a su papel como difusión del tráfico pesado aproximaciones para algunas redes estocásticas. La insensibilidad de la límite para tal dominio, combinado con discontinuidades en el oblicuo direcciones de reflexión en intersecciones de superficies lisas de contorno, presentes Recibido en mayo de 2006; revisado en noviembre de 2006. 1Apoyado en parte por las subvenciones NSF DMS-03-05272 y DMS-06-04537. Clasificaciones de temas AMS 2000. 60F17, 60J60, 60K25, 90B15, 93E03. Palabras y frases clave. Semimartingale refleja el movimiento browniano, suave a trozos dominio, principio de invarianza, desigualdad de oscilación, problema de Skorokhod, red estocástica funciona. Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada, 2007, Vol. 17, No. 2, 741–779. Esta reimpresión difiere del original en paginación y detalles tipográficos. http://arxiv.org/abs/0704.0405v1 http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000899 http://www.imstat.org http://www.ams.org/msc/ http://www.imstat.org http://www.imstat.org/aap/ http://dx.doi.org/10.1214/105051606000000899 2 W. Kang y R. J. Williams desafíos en el desarrollo de una teoría rigurosa de la existencia, singularidad y la aproximación de esas medidas de fomento de la confianza. Cuando el espacio de estado es un ortodoncia y la dirección de la reflexión es con- stant en cada cara de la frontera, una condición necesaria y suficiente para débil se conoce la existencia y singularidad de un SRBM [14]. Esta condición implica una llamada condición completamente S en la matriz formada por la reflexión direcciones. En [15] se estableció un principio de invarianza para esas medidas. y utilizado en [16] para justificar aproximaciones de la difusión del tráfico existen redes de colas multiclase abiertas. Hablando vagamente, la invarianza principio muestra que, suponiendo singularidad en la legislación para el SRBM, un proceso que satisfagan la definición de SRBM, excepto en el caso de las pequeñas perturbaciones en el definir las condiciones, está cerca en la distribución al SRBM. Para dominios más generales con límites lisos a medida, algunos Se conocen las características de la existencia y la singularidad de los SRBM. En particular, para poliedros convexos con una dirección constante de reflexión en cada límite cara, condiciones necesarias y suficientes para la existencia débil y singularidad de Los SRBM son conocidos por poliedros convexos simples (donde con precisión d caras se reúnen en cada vértice en d-dimensiones) y se conocen las condiciones suficientes para los poliedros convexos no simples, véase [4]. Para un dominio limitado que puede ser representado como una intersección finita de dominios, cada uno de los cuales tiene un C1- límite y un vector de reflexión continua Lipschitz asociado uniformemente campo, condiciones suficientes para una existencia fuerte y singularidad por Dupuis e Ishii [6]; de hecho, estos autores estudian diferencial estocástico ecuaciones con reflexión que incluyen SRBM. A pesar de esta existencia y resultados de singularidad, un principio general de invarianza para los SRBM que viven en el No se han demostrado los cierres de dominios con límites lisos a partes hasta la fecha. (Notamos que para el caso especial cuando las direcciones de reflexión son normales, es decir, perpendiculares a la frontera, hay un número de resultados de perturbación para reflejar movimientos brownianos. Nuestro énfasis aquí es sobre el tratamiento de una amplia gama de direcciones de reflexión oblicuas.) Motivado por su potencial para su uso en la aproximación de stochas pesadamente cargadas- tic redes que son más generales que redes de colas multiclase abiertas, en este documento, formulamos y probamos un principio de invarianza para los MSR viviendo en los cierres de dominios con bordes lisos posibles direcciones de reflexión no constantes en cada uno de los enlaces lisos- superficies ary. Una aplicación de los resultados de este trabajo al análisis de un modelo de control de la congestión de internet puede encontrarse en [13]. Un esquema de la El documento actual es el siguiente. La definición de un MSR y las suposiciones sobre los dominios y direc- ciones de reflexión se dan en las secciones 2 y 3, respectivamente. Algunos son suficientes. En la sección 3 se establecen las condiciones para la celebración de estas hipótesis. Sección 4 se dedica a demostrar el resultado principal de este documento, a saber, la invari- principio de la ancianidad. Un elemento clave para nuestra prueba de este resultado es una oscilación PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 3 desigualdad para la solución de un problema perturbado de Skorokhod; esta desigualdad, que pueden ser de interés independiente, se demuestra en la sección 4.1. En la sección 5 Damos algunas aplicaciones del principio de invarianza. Demostramos debilidad ex- istencia de los MSR en las condiciones especificadas en la sección 3. También usamos el principio de invarianza, en conjunción con los resultados de singularidad conocidos para BSR, para dar condiciones suficientes para validar aproximaciones que impliquen i) BSR en poliedros convexos con un campo vectorial de reflexión constante sobre cada cara del poliedro, y (ii) SRBMs en dominios delimitados con piezas- límites suaves sabios y posiblemente no constantes campos de vectores de reflexión en las superficies de los límites. Más allá de su posible uso para justificar aproximaciones SRBM para estocástico de las redes, el principio de invarianza podría ser utilizado para justificar proximaciones a los SRBM. Otra posible ampliación de los resultados declarados aquí implicaría un principio de invarianza para el equa diferencial estocástico ciones con reflexión. La desigualdad de oscilación para el perturbado Skorokhod problema y criterios asociados para la estanqueidad C descritos en las secciones 4.1 Es probable que sea útil para ello. No hemos desarrollado un ex- la tensión aquí, ya que esto implicaría la introducción de suposiciones adicionales que haría que el resultado fuera menos relevante para las posibles aplicaciones a la estocástica redes. En particular, los procesos de aproximación implicarían tic integrales impulsadas por un movimiento browniano, mientras que en red estocástica aplicaciones, el movimiento browniano típicamente sólo aparece en el límite. 1.1. Notación, terminología y preliminares. Que N denote el conjunto de todos enteros positivos, es decir, N = {1,2,...}, R denotan el conjunto de números reales, que también es denotado por (), R+ denotar la media línea no negativa, que también es denotado por [0,]. Para x R, escribimos x para el absoluto valor de x, [x] para el entero más grande menos o igual a x, x+ para el parte positiva de x. Para cualquier entero positivo d, dejamos que Rd denote d-dimensional Espacio euclidiano, donde cualquier elemento en Rd es denotado por un vector de columna. Vamos a denotar la norma euclidiana en Rd, es decir, x = ( i=1 x 1/2 para x Rd, y, denotan el producto interior en Rd, es decir, x, y= i=1 xiyi, para x, y â € Rd. Notamos que para cualquier x â € TM TM Rd, â € TM x â TM ≤ i=1 xi. Let R + denotar el ortonte positivo en Rd, es decir, Rd+ = {x + R d :xi ≥ 0,1 ≤ i ≤ d}. Vamos. B(S) denotan el Borel-álgebra en S-Rd, es decir, la colección formada intersectando todos los conjuntos de Borel en Rd con S. Let dist(x,S) denotar la distancia entre x Rd y S Rd, es decir, dist(x,S) = infx−y® :y S}, con la la convención que dist(x,) = para x Rd. Deje que Ur(S) denote el conjunto cerrado {x #Rd : dist(x,S)≤ r} para cualquier r > 0 y S #Rd, donde si S =., Ur(S) =. para todos los r > 0. Deje que Br(x) denote la bola cerrada {y R d: • • • • ≤ r } para cualquier • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • x+Rd y r > 0. Para cualquier conjunto S â € ¢ Rd, escribimos S para el cierre de S, Así que para el interior de S y S?S = S \So. Para un conjunto finito S, S denota el número 4 W. Kang y R. J. Williams de elementos en S. Para cualquier v â € Rd, v′ denota la transpuesta de v. Desigualdades entre vectores en Rd debe interpretarse en el sentido de componentes, es decir, si u, v d, entonces u ≤ (<)v significa que ui ≤ (<)vi para cada i ≤ {1,...., d}. Para cualquier matriz A, dejar A′ denotar la transposición de A. Para cualquier función x :R+ → R x(t−) indica el límite izquierdo de x en t > 0 cuando x tiene un límite izquierdo en t; a menos que se indique explícitamente lo contrario, x(0−)-0, donde 0 es el vector cero en Rd. Para cualquier función x :R+ → R d, dejamos que x(t) = x(t)− x(t−) x(t−) existe. Dejamos que 0 sea la función determinista constante x :R+ → R tal que x(t) = 0 para todos t â € R+. Un dominio en Rd es un subconjunto abierto conectado de Rd. Para cada uno continuamente función diferenciable f definida en algunos dominios no vacíos S â € ¢ Rd, â € TM f(x) es el gradiente de f en x â € ¢ S. Por cada x â € TM Rd, un barrio Vx de x es un dominio limitado en Rd que contiene x. Para cualquier dominio no vacío S â € Rd, decimos que el límite S de S es C1, si para cada x S existe un Sistema de coordenadas euclidiana Cx para R d centrado en x, un rx > 0, y una vez función continuamente diferenciable x :R d−1 →R de tal manera que فارسىx(0) = 0 y S Brx(x) = {z = (z1,. ............................................................... ′ en Cx : zd x(z1,. ............................................................... Entonces, para x â € ¢ S, se da la unidad interna normal a â € TM S en z â € € TM S â € Brx(x) en el sistema de coordenadas Cx por n(z) = (1 + x(z1,. .., zd−1) 2)1/2 (x(z1,. .., zd−1) donde x(z1,. .., zd−1) = ( ,. .., 0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0 )′(z1,. .., zd−1). Para cualquier no vacío convex set S+Rd, llamamos un vector n+Rd+0} un vector normal de unidad interna a S a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + vector no tiene que ser único. Todos los procesos estocásticos utilizados en este artículo se supone que tienen rutas que son derecho continuo con límites finitos a la izquierda (abreviado en adelante como r.c.l.l.). Un proceso se llama continuo si es casi seguro que sus trayectorias de muestra son continuas. Denotamos por D([0,].Rd) el espacio de r.c.l.l. funciones de [0,) en Rd y dotamos este espacio con el habitual Skorokhod J1-topología (cf. Capítulo 3 de [7]). Denotamos por C([0,),R d) el espacio de las funciones continuas de [0-] a Rd. El Borel-álgebra en cualquiera de los dos D([0,l),Rd) o C([0,l),Rd) serán denotados por Md. Abreviatura u.o.c. estará de pie uniformemente en los compactos y se utilizará para indicar que una secuencia de funciones en D([0,­),Rd) (o C([0,­),­Rd)) es converg- • uniformemente en intervalos de tiempo compactos hasta un límite en D([0,­),Rd) (o C([0,l),Rd)]. Considere W 1, W 2,..., W, cada uno de los cuales es un d-dimensional proceso (posiblemente definido en diferentes espacios de probabilidad). La secuencia {W nn=1 se dice que es apretado si las medidas de probabilidad inducida por el W n en el espacio medible (D([0,­),Rd),Md) forman una secuencia estrecha, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 5 es decir, forman una secuencia débilmente relativamente compacta en el espacio de las medidas de probabilidad en (D([0,­),Rd),Md). La notación “W n W” significa que, como n → •, la secuencia de las medidas de probabilidad inducidas en (D([0,),Rd),Md) por {W n} converge débilmente a la medida de probabilidad inducido en el mismo espacio por W. Vamos a describir esto con palabras diciendo que W n converge débilmente (o en la distribución) a W como n →. El se- quence de los procesos {W nn=1 se llama C-ajustado si es apretado, y si cada débil punto límite, obtenido como un límite débil a lo largo de una subsecuencia, casi seguro ha rutas de muestreo en C([0,­),Rd). La siguiente propuesta proporciona un útil criterio para comprobar la estanqueidad C. Proposición 1.1. Supongamos que, para cada n-N, W n es un d-dimensional proceso definido en el espacio de probabilidad (ln, Fn, Pn). La secuencia {W nn=1 es apretada C si y sólo si se mantienen las dos condiciones siguientes: (i) Para cada η > 0 y T ≥ 0, existe una constante finita Mη,T > 0 de tal manera que lim inf 0≤t≤T W n(t) ≤Mη,T ≥ 1− η.1).......................................................................................................................................................... ii) Por cada uno de los tipos de cambio siguientes: 0, η > 0 y T > 0, existe un tipo de cambio de 0, T tal que: lim sup Pn{wT (W n, )≥ ≤ η,(2) donde para x D([0,­),Rd), wT (x,) = sup u,vó[t,t] *x(u)− x(v): 0≤ t < t+ T Prueba. Véase la Proposición VI.3.26 en [12]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Un proceso d-dimensional W se dice que es localmente de variación limitada si todas las trayectorias de muestra de W son de variación limitada en cada intervalo de tiempo finito. Para tal proceso W, definimos V(W) = {V(W)(t), t≥ 0} de tal manera que para cada uno t≥ 0, V(W)(t) = «W (0)» + sup •W (ti)−W (ti−1) •: 0 = t0 < t1 < · · tl = t, l≥ 1 Se denominará un espacio filtrado a un triple (el Ft, t ≥ 0} si el Ft es un conjunto, F es una algebra de subconjuntos de , y {Ft, t≥ 0} es una familia creciente de sub-e-álgebras de F, es decir, una filtración. A partir de ahora, la filtración {Ft, t≥ 0} se escribirá simplemente como {Ft}. Si P es una medida de probabilidad en (........................................................................................................................................................................................................................................................... 6 W. Kang y R. J. Williams Se llama espacio de probabilidad filtrado. Un proceso d-dimensional X = {X(t), t ≥ 0} definido en (,F, P ) se llama {Ft}-adaptado si para cada t ≥ 0, X(t) : Rd es mensurable cuando  está dotado de la -álgebra Dado un espacio filtrado de probabilidad (­,F,{Ft}, P ), un vector μ ­R d, a d× d matriz definida simétrica, estrictamente positiva, y una distribución de probabilidad ü en (Rd, B(Rd)), un movimiento {Ft}-browniano con vector de deriva μ, covarianza Matriz y distribución inicial es un proceso d-dimensional {Ft}-adaptado Definido en el punto (­, F, {Ft}, P ) de modo que la siguiente posición en el punto P: (a) X es un movimiento d-dimensional browniano cuyos caminos de muestra son casi sin duda continua y que tiene la distribución inicial ν, b) {Xi(t)−Xi(0)− μit,Ft, t≥ 0} es un martingale para i= 1,...., d, y (c) {(Xi(t)−Xi(0)it)(Xj(t)−Xj(0)jt)ijt,Ft, t≥0} es un tingale para i, j = 1,..., d. En esta definición, la filtración {Ft} puede ser mayor que la generada por X ; sin embargo, para cada t ≥ 0, bajo P, el Ft de algebra es independiente de los incrementos de X a partir de t en adelante. Este último sigue del martingale propiedades de X. Si \ = x, la masa de la unidad en x + R d, decimos que X comienza de x. 2. Definición de un SRBM. Let G= I+I Gi ser un dominio no vacío en d, donde yo es un conjunto de índice finito no vacío y para cada i - I, Gi es un dominio no vacío en Rd. Por simplicidad, suponemos que I = {1,2,..., I} y luego II= I. Para cada i • I, dejar que γi(·) sea una función de valor vectorial definida de Rd a Rd. Fijar μ â € ¢Rd, â € a d × d simétrico y estrictamente positivo una matriz de covarianza definida y una medida de probabilidad en [G,B(G)], donde B(G) denota los subconjuntos de -álgebra de Borel del cierre G de G. Definición 2.1 (Semimartingale que refleja el movimiento browniano). Un semi- martingale refleja movimiento browniano (abreviado como SRBM) asociado con los datos (G,μ,i, i I}, ν) es un {Ft}-adaptado, d-dimensional pro- cess W definido en algún espacio filtrado de probabilidad (­, F, {Ft}, P ) de tal manera que: i) P -a.s., W (t) =X(t) + (0,t) γ i(W (s))dYi(s) para todos los t≥ 0, ii) P -a.s., W tiene trayectorias continuas y W (t) G para todos los t ≥ 0, (iii) bajo P, X es un movimiento d-dimensional {Ft}-browniano con deriva vector μ, matriz de covarianza y distribución inicial (iv) para cada i • I, Yi es un proceso {Ft}-adaptado, unidimensional tal que P -A.S., a) Yi(0) = 0, b) El yi es continuo y no disminuye, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 7 c) Yi(t) = (0,t] 1{W (s)GiG} dYi(s) para todos los t≥ 0. A menudo nos referiremos a Y = {Yi, i ® I} como el “proceso de empuje” asociado con el SRBM W. Cuando \ = x, podemos alternativamente decir que W es un SRBM asociado con los datos (G,μ,i, i I}) que comienzan a partir de x. Nosotros llama a (W,X,Y) satisfacer la definición 2.1 un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, /). Hablando en voz baja, un SRBM se comporta como un movimiento browniano en el inte- rior del dominio G y se limita a G por “reflexión” instantánea (o “pushing”) en el límite, donde las direcciones permitidas de “reflejo” en x • • G son combinaciones convexas de los vectores γi(x) para i de tal manera que x • • Gi. Con arreglo a los supuestos impuestos a G y i, i I} en las secciones 3.1 y 3.2 abajo, en cada punto en el límite de G hay una dirección permitida de reflexión que se puede utilizar allí que “señala en el interior de G.” Nosotros terminar esta sección mediante la introducción de un conjunto de valores relacionados función I(·) y mostrar una propiedad clave de ella. Definición 2.2. Para cada x+Rd, deje I(x) = {i • I :x • • Gi}. La función set-valued I(·) tiene la siguiente propiedad llamada semi- superior continuidad en el G. Lemma 2.1. Por cada x â € ¢ G, hay un barrio abierto Vx de x en d de tal manera que I(y)® I(x) para todos y • Vx.4) Prueba. Demostramos este lema por contradicción. Supongamos que el func... ·) no satisface (4). Entonces hay un punto x â € ¢ G tal que hay no es un barrio abierto Vx de x de tal manera que I(y) I(x) para todos y Vx. Desde el conjunto de índice I es finito, hay un índice k I \ I(x) y una secuencia de puntos {yn} # Tal que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # tal que # # # # # # # # # # # # # que # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # y k • I(yn) por cada n≥ 1. Por lo tanto • Gk para todos los n≥ 1. Dado que el Gk está cerrado y sin → x como n- concluyéndolo x â € ¬ Gk. Esto implica que k • I(x), que es una contradicción, como deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 3. Supuestos sobre el dominio G y los campos vectoriales de reflexión i}. 3.1. Supuestos sobre el dominio G. A partir de ahora suponemos que el dominio G satisface supuestos (A1)–(A3) infra. En el caso de que G sea de los supuestos (A2)–(A3) se desprenden de la hipótesis (A1) (véase Lem- mas A.1 y A.2 en el apéndice para más detalles). Si el dominio G es un convexo suposición satisfactoria de poliedro (A1), luego suposiciones (A2)–(A3) por Lemma A.3 en el apéndice. 8 W. Kang y R. J. Williams (A1) G es un dominio no vacío en Rd con representación Gi,(5) donde para cada i I, Gi es un dominio no vacío, Gi 6=R d, y el límite Gi de Gi es C 1. Para cada i I, dejamos que ni(·) sea el campo vectorial normal de la unidad en Gi que apunta a Gi. (A2) Por cada uno de ellos existe R(­) > 0 tal que para cada uno de los i > I, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * Ni(x), y − xâ x− yâ.6) (A3) La función D : [0,­)→ [0,­] definió de tal manera que D(0) = 0 y D(r) = sup J 6 =............................................................................................................................................................................................................................................................. (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) para r > 0, satisface D(r)→ 0 como r→ 0.(8) Observación. La Asunción (A2) es una reminiscencia del cono exterior uniforme condición (cf. [9], página 195). Decimos que una región G-Rd satisface un uni- forma condición de cono exterior si para cada x0 â € € ¢ G, hay un truncado cerrado cono circular derecho Vx0, con interior no vacío y vértice x0, satisfactorio Vx0 G= {x0}, y los conos truncados Vx0 son todos congruentes con algunos fijos cono circular derecho cerrado truncado V. Al comparar la suposición (A2) con la condición de cono exterior uniforme, vemos que la suposición (A2) implica la condición de cono exterior uniforme. Por otra parte, bajo suposición (A1), suposición (A2) está implícita por una familia de cono exterior uniforme condi- ciones en las que, para cada uno de los puntos (0,1), el eje de la circular derecha cerrada truncada cono en x â € ¢ G es a lo largo del vector −ni(x) y todo el truncado cerrado los conos circulares derecho son congruentes a un cono circular derecho cerrado truncado cuya altura y radio de base sean R(l) y R(l)(1) − 1)1/2 respectivamente. La Asunción (A2) se sostiene automáticamente si G es convexa. También tomamos nota de que: La suposición (A2) es estrictamente más débil que la condición uniforme de la esfera exterior. La definición de la condición de esfera exterior uniforme es similar a la de la condición de cono exterior uniforme donde una bola cerrada con x0 en su ary toma el lugar del cono circular derecho cerrado truncado Vx0. Puede comprobar que para el dominio G = {(x, y) • R2 :y < x con α • (1,2), la condición uniforme de la esfera exterior no se mantiene, pero la suposición (A2) Espera. De hecho, en el punto (0,0) R2, no hay r > 0 e y R2 de tal manera que Br(y)• G= {(0,0)}. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 9 Observación. Para la definición de D(·) en (A3), adoptamos la convención que el máximo sobre un conjunto vacío es cero y dist(x, Desde Gi.. Gi.. La función D(·) satisface la función limrÃ3D(r) =. Además, D(r1)≤D(r2) siempre que se trate de r1, r2 â € ¬ y r1 ≤ r2. Assumir... tion (A3) requiere que para cualquier subconjunto no vacío J I, la intersección de los barrios tubulares de los límites jÃ3J Ur(là                  «converge » a la intersección de los là mites dado por el conjunto J.J. (l.g.j.g.) a medida que r se aproxima a 0. Necesidad de bienes (8) no siempre aguantar. Por ejemplo, dejar que G1 = {(x, y) 2 :y < e−x 2/2, x + R} y G2 = {(x, y) + R 2 :y > 0, x â € R}. Luego, G1 G2 =. Pero para cada r > 0, Ur(­G1)­Ur(­G2) 6=­. Por lo tanto, D(r) =+ para cada r > 0. 3.2. Supuestos sobre los campos vectoriales de reflexión i}. A partir de ahora, como... sume que hay campos vectoriales i(·), i I} que satisfacen suposiciones (A4)– (A5) infra. (A4) Hay una constante L > 0 tal que para cada i • I, γi(·) es un uni- Lipschitz función continua de Rd en Rd con Lipschitz con- stant L y i(x) 1 por cada x Rd. (A5) Hay una constante a â € (0,1), y funciones de valor vectorial b(·) = (b1(·),. .., bI(·)) y c(·) = (c1(·),. ............................................................... + tal que para cada x â € ¢ G, I(x) bi(x) = 1, i(x) I+I(x) bi(x)n i(x), γj(x) ≥ a,(9) I(x) ci(x) = 1, i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(x) ≥ a.(10) Notamos aquí para el uso futuro que por (A4), si establecemos l0 = , entonces para cualquier x, y # Rd satisfaciendo # x # y # # # # tenemos # i(x) − γi(y)® < a/4 para Cada uno de ellos. Por lo tanto, para cada 0<.o <.o.o.o, por (9)–(10) y la normalización de b(·), c(·), γi(·), nj(·) para i, j I, obtenemos i(x) y-B4­(x) I+I(x) bi(x)n i(x), γj(y) ≥ a/2(11) i(x) y-B4­(x) I+I(x) ci(x)γ i(y), nj(x) ≥ a/2.(12) 10 W. Kang y R. J. Williams El uso de B4/23370/(x) aquí está relacionado con la forma en la que se utiliza en la sección Observación. La Asunción (A4) es equivalente a (3.4) en [6] cuando G está limitada. Propiedad (10) significa que, en cada punto x • • G, hay un combi convex nación γ(x) = I(x) ci(x)γ i(x) de los vectores i(x), i(x)} que pueden ser utilizado allí de tal manera que γ(x) "puntos en" G. Propiedad (9) es en cierto sentido un doble condición a la propiedad (10), donde los papeles de γi y ni se invierten para i â € I(x). Esta propiedad (9) se utiliza para mostrar la desigualdad de oscilación en el teorema 4.1 infra. La Asunción (A5) es un análogo de la Asunción 1.1 en [4]. Cuando G está limitado, (10) es similar a la condición (3.6) en [6] (nosotros como la falta de dependencia de un sistema de Es sencillo ver usando la desigualdad del triángulo que el siguiente condición (A5)′ implica (A5). (A5)′ Hay un â € (0,1) y funciones valoradas vectoriales b, c de â € G a RI+ De tal manera que para cada x â € ¬ G, I(x) bi(x) = 1, y para cada i(x), bi(x)n i(x), γi(x)® ≥ a+ # I (x) # # i # bj(x)n j(x), γi(x),(13) I(x) ci(x) = 1, y para cada i(x), ci(x) i(x), ni(x)® ≥ a+ # I (x) # # i # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j(x), ni(x).(14) La condición (A5)′(ii) es similar a la condición (3.8) en [6], aunque aquí asumir la uniformidad adicional a través de la falta de dependencia de a en x. As en [6], su condición (3.8) puede expresarse en términos de un nonsingu- Lar M-matriz requisito [2]. (Esto a veces también se llama un Tipo de condición Harrison-Reiman [10].) Desde esa matriz M no-singular propiedad es invariante en transpuesta, y esta propiedad para la transpuesta corresponde a una forma local de (A5)′(i), se podría conjeturar que hay un equivalencia entre la existencia de una función valorada vector no negativa b tal que [A5]′(i) se mantenga para cada x â € € ¬ G y la existencia de un no negativo función valorada vector c de tal manera que (A5)′(ii) se mantiene para cada x â € ¬ G. De hecho Tenemos el siguiente lema. Hemos indicado las dos condiciones (equivalentes) ciones i) y ii) en la especificación (A5)′ para preservar un paralelo con (A5) y ya que ambas propiedades pueden ser útiles en pruebas. Por otra parte, a la luz de la después del lema, verificar cualquiera de las dos condiciones es suficiente para que ambas se mantengan. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 11 Lemma 3.1. Hay una constante a â € (0,1) y una función de valor vectorial b :­G → RI+ de tal manera que (A5) ′(i) se mantiene para cada x â € € ¢ G si y sólo si hay es una constante a â € (0,1) y una función valorada vector c :â € G→ RI+ tal que (A5)′(ii) se mantiene para cada x â € ¬ G. Prueba. Simplemente probamos la parte “si”; la parte “solo si” se puede probar de una manera similar. Suponemos que hay una constante a â € (0,1) y una función de valor vectorial c :­G → RI+ de tal manera que (A5) ′(ii) se mantiene para cada x â € € ¬ G. En el caso de las unidades fijas de x a G, considerar la matriz cuadrada A(x) cuyas entradas diagonales son dadas por el «elementos positivos», «ni»(x), «γi(x)», «i»(x)», «i»(x) y cuyas entradas no diagonales son dados porni(x), γj(x) para i (x), j (x), j (x), j 6= i. Deja que E sea el cuadrado matriz con las mismas dimensiones que A(x) y cuyas entradas son todas iguales a uno. Por la teoría de M-Matrices (véase [2], capítulo 6, especialmente condición (M35), condición ii) de (A5) ′ implica que A(x)− un E es un M- no-singular matriz, es decir, A(x)− a E tiene entradas diagonales no negativas y no positivas entradas off-diagonales y se puede escribir en el formulario s(x)I −B(x) donde B(x) es una matriz con entradas no negativas y s(x)> 0 es una constante que es estrictamente más grande que el radio espectral de B(x). Puesto que la propiedad M-matriz no-singular es invariante en transpuesta (cf. (G21) en el capítulo 6 de [2]), a continuación A ′(x)− a E es también una matriz M singular. Por lo tanto, hay un vector b?(x) = (b?i(x) : i(x)) con entradas no negativas tales que [A′(x)− a E)bś(x)> 0 (cf. (I27) en el capítulo 6 de [2]. Podemos extender bū(x) a un vector I-dimensional b(x) y normalizarlo para que I(x) bi(x) = 1. A continuación (A5)′(i) se mantiene con un en lugar de una. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4. Principio de invarianza. En esta sección declaramos y probamos una invarianza principio para un SRBM que vive en el cierre de un dominio G límite liso y que tengan campos de reflexión asociados i, i I}, donde G, i, i I} satisfacen los supuestos (A1)–(A5) de la sección 3. (Estos assump- a lo largo de esta sección.) En primer lugar vamos a declarar un resultado preliminar llamada desigualdad de oscilación (ver Teorema 4.1), entonces lo usamos para probar un resultado de opresión (ver Teorema 4.2). Finalmente, establecemos la invarianza principio (ver Teorema 4.3). 4.1. Desigualdad de oscilación. La siguiente desigualdad de oscilación es la clave a la prueba del resultado de tirantez reclamado en Teorema 4.2. En este subsec... ión, para cualquier 0≤ t1 < t2 y cualquier entero k ≥ 1, D([t1, t2],R k) Denota: el conjunto de funciones w : [t1, t2]→R k que son correctos continuos en [t1, t2) y tienen límites finitos de la izquierda en (t1, t2]. En el caso de w D([t1, t2],R Osc(w, [t1, t2]) = supw(t)−w(s): t1 ≤ s < t≤ t2},(15) Osc(w, [t1, t2)) = supw(t)−w(s): t1 ≤ s < t < t2}.16) 12 W. Kang y R. J. Williams Tenga en cuenta que no indicamos explícitamente la dependencia de k en la notación. Recuerde las constantes a,L de supuestos (A4)–(A5), las funciones R(·) de la suposición (A2) y D(·) de (7). Dejemos que......................................................................................................................................................................... Teorema 4.1 (Desigualdad de orientación). Existe una función no decreciente. Π: (0,­)→ (0,­)satisfecho Π(u)→ 0 como u→ 0, de modo que Π depende sólo en las constantes I, a y la función D(·), y tal que siempre que 0 <  < min{ R(a/4) }, 0 <  < , 0 ≤ s < t < فارسى, w,x • D([s, t],Rd) y y D([s, t],RI) satisfacen: i) b) b) b) x 0) u) g) para todos los u [s, t], para algunos x 0 g), ii) w(u) = w(s) + x(u) − x(s) + (s,u] γ i(w(v))dyi(v) para todos u [s, t], iii ) para cada uno de ellos, a) yi(s) ≥ 0, b) no disminuyen y no disminuyen ni disminuyen ni disminuyen en todos los casos (s, t), c) yi(u) = yi(s) + (s,u) 1 {w(v) {u(GiG)} dyi(v) para todos los u [s, t], iv) D(Π(Osc(x, [s, t]) + ))< Entonces tenemos que la siguiente bodega: Osc(w, [s, t])(Osc(x, [s, t]) + Osc(y, [s, t])(Osc(x, [s, t]) + (18) Prueba. Vamos. Π0(u) = u para todos los u > 0. Definir Πm : (0,­)→ (0,­], m=1,...., I, inductivamente de tal manera que Πm(u) = Πm−1(u) + (I+2)u+ (D(Πm−1(u) + (I+2)u) + 2u). Aquí se define la suma de cualquier elemento de [0, a igual Ł. Para cada m= 0,1,...., I, la función Πm es no decreciente y depende sólo de I, a y D(·). Para cada m= 1,............................................................................................................................................................................................................................................................ Πm(u). Por suposición (A3), concluimos (usando una prueba de inducción) que Πm(u)→ 0 como u→ 0, para m= 0,1,...., I. Let Π(·) = ΠI(·). Fijar 0 <................................................................................................................................................. R(a/4) }, 0 <  < , 0 ≤ s < t < Supón que w,x D([s, t],Rd) y y D(s, t],RI) satisfacen (i)–(iv) en la declaración de: Teorema 4.1. Para cada intervalo no vacío [t1, t2] I[t1,t2] = {i) I :w(u) • U{(u) • Gi • • G) para algunos u • [t1, t2]}, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 13 los índices de las superficies de límite que w(·) se acerca en el tiempo intervalo [t1, t2]. Para cada 0 ≤ m ≤ I, defina Tm = {[t1, t2] [s, t]: I[t1,t2] ≤ m}. Tenga en cuenta que bajo el orden parcial de la inclusión de conjuntos, Tm aumenta con m. Para probar el teorema, probaremos por inducción que para cada 0≤m≤I y cada intervalo [t1, t2] Tm, (17)–(18) mantener con [t1, t2] en lugar de [s, t] y Π m(·) en lugar de Π(·). El resultado para m= I produce el teorema. Supongamos que m= 0. Entonces T0 = {[t1, t2][s, t]: I[t1,t2]= 0}. Arreglar un inter- val [t1, t2] T0. Puesto que I[t1,t2] =­ y (iii)(c) mantiene, la función y no aumento en el intervalo de tiempo (t1, t2], es decir, yi(t2)− yi(t1) = 0 para todos los i+ I. A continuación, para t1 ≤ u < v ≤ t2, w(v)−w(u) = x(v)− x(u).(19) Así que en este caso, Osc(w, [t1, t2]) = Osc(x, [t1, t2])≤Osc(x, [t1, t2]) + Osc(y, [t1, t2]) = 0≤Osc(x, [t1, t2]) + (21) Así, (17)–(18) mantener con Π0(·) en lugar de Π(·) y [t1, t2] en lugar de [s, t] para cada intervalo [t1, t2] ≤ T0. Para el paso de inducción, dejar 1 ≤ m ≤ I y suponer que (17)–(18) mantener con Πm−1(·) en lugar de Π(·) y [t1, t2] en lugar de [s, t] para cada intervalo [t1, t2] Tm−1. Ahora arreglar [t1, t2] Tm. Si I[t1,t2] ≤ m − 1, entonces [t1, t2] Tm−1 y así por la suposición de inducción que tenemos que (17)–(18) mantener con [t1, t2] en su lugar de [s, t] y Πm-1(·) [y, por tanto, Πm(·)] en lugar de Π(·). Por lo tanto, es suficiente considerar [t1, t2] [s, t] tal que I[t1,t2] =m. En el caso de las letras i) a i), por el inciso iii) c), yi(t2)− yi(t1) = 0, y así por (ii), para t1 ≤ u < v ≤ t2, tenemos w(v)−w(u) = x(v)− x(u) + [t1,t2] (u,v] γi(w(r))dyi(r).(22).............................................................................................................................................................................................................................................................. Let Πm(u) = Πm−1(u) + (I + 2)u para todos los u > 0, y η = Osc(x, [t1, t2]) + Para cualquier M â € TM a (0, â TM a] y cualquier conjunto no vacío J â TM a I, vamos FMJ = {z R d : dist(z, Tenga en cuenta que FMJ = • cuando hay un i • J de tal manera que •Gi • • G = •. Desde Πm(·)m(·)(·), D(·) y Π(·) no disminuyen, y Osc(x, [t1, t2]≤ Osc(x, [s, t]), tenemos por iv) que D(Πm(η))≤D(Πm(η))≤D(Π(η))< .23) Obsérvese que esto implica Πm(η) desde D(l) =l. Ahora consideramos dos casos. 14 W. Kang y R. J. Williams Caso 1. Suponga que w(r) â € ¢ F Πm(η) I[t1,t2] para todos los r â € [t1, t2]. Fijar u, v tal que t1 ≤ u < v ≤ t2. Ya que tenemos eso w(v) â € ~ i[t1,t2] Πm(η) (lggggggggggggfggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg por la definición de D(·) y (23), hay z i[t1,t2] (lgjgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg •w(v)− z≤D(Πm(η))< .(24) Para cada r [t1, t2], por (i) tenemos que w(r) (G), y por lo que hay z de tal manera que •w(r)− zrÃ3 ≤ 2­. Por lo tanto, por (i) y (24) tenemos • zr • zr • zr ≤ • zr • w(r) • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr • zr ≤ 1 °C + 1 °C ≤ 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C < 1 °C > 1 °C < 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 °C > 1 > 1 °C > 1 > 1 °C > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 •w(r)− z ≤ •w(r)− x0 •x0 •w(v) •w(v)− z •w(v)− ≤ Por (6) y (25) tenemos Nj(z), z − zr® ≤ Para cada uno de los grupos I (z) y r (t1) [t2].(27) Tenga en cuenta que I(z) I[t1,t2]. Recordando la definición de b(·) de suposición (A5), al puntear el vector i(z) bj(z)n j(z) con ambos lados de (22) y reorganizando, obtenemos [t1,t2] (u,v] jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), γi(w(r)) dyi(r) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z),w(v)−w(u)®(28) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), x(v)− x(u)». Así por (11), (22), (24)–(28), y el hecho de que i(z) bj(z) = 1, bj(z) ≥ 0 para # Yo, tenemos # [t1,t2] (yi(v)- yi(u)) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 15 [t1,t2] (u,v] jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), γi(w(r)) dyi(r) jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z),w(v)− z jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), z − zu® jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), zu −w(u)® − jâ € € TM i(z) bj(z)n j(z), x(v)− x(u) ≤D(Πm(η)) + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ≤D(Πm(η)) + 2 (z −w(v) w(v)−w(u) w(u)− zu®) ≤D(Πm(η)) + 2 D(Πm(η)) + x(v)− x(u) [t1,t2] (yi(v)− yi(u)) + 2 {D(Πm(η)) + 2 + x(v)− x(u) [t1,t2] yi(v)- yi(u)). Por lo tanto [t1,t2] (yi(v)− yi(u))≤ {D(Πm(η)) + 2 + x(v)− x(u) {D(Πm(η)) + 2. Al multiplicarse por 4 , obtenemos [t1,t2] (yi(v)− yi(u))≤ {D(Πm(η)) + 2 m(η).29).............................................................................................................................................................................................................................................................. Por lo tanto, por (29) y el hecho de que para cualquier x â € ~ Red, â € ~ x ≤ i=1 xi, tenemos Osc(y, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + Ł),(30) y por (22), (29) y las definiciones de Πm(·) y Πm(·), tenemos Osc(w, [t1, t2])≤Osc(x, [t1, t2]) + {D(Πm(η)) + 2 m(Osc(x, [t1, t2]) + ), como se desee. 16 W. Kang y R. J. Williams Caso 2. Suponga que hay t3 [t1, t2] de tal manera que w(t3) / F Πm(η) I[t1,t2] Definir  = inf{u [t1, t2] :w(u) / F Πm(η) I[t1,t2] }. A continuación,  ≤ t2. Por cada u [t1, ), w(u) F Πm(η) I[t1,t2] y así por un análisis similar a que para el caso 1, nosotros obtener para cada v â € [t1, ¬], Osc(w, [t1, v])≤ (D(Πm(η)) + 2η) Osc(y, [t1, v])≤ (D(Πm(η)) + 2η). Por la continuidad correcta de los caminos tenemos w( Πm(η) I[t1,t2] . Entonces hay un i) I[t1,t2] de tal manera que dist(w( no llega a U.G.O.G. durante el intervalo [, t2]. Para ver esto, vamos En el caso de que se trate de un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, se considerará que el contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera no es un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, sino un contrato de servicios de transporte de mercancías por carretera, de conformidad con lo dispuesto en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (CE) n.o 659/1999. infimum de un conjunto vacío es فارسى. En el caso de que se trate de un sistema de control de la calidad de los productos, se considerará que el sistema de control de la calidad de los productos es un sistema de control de la calidad de los productos y de la calidad de los productos. w(·) y desde Πm(η)> Además, desde I[t1,t2]m, tenemos [ Por inducción suposición y dejando u→ , tenemos w()−w() m−1(η). Por ii), (iii)(b) y desde i(·)1, tenemos = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Entonces las manipulaciones simples producen dist(w(l), ♥Gi ŁG)≤ w(l)−w(l) w(l) dist(l), l m−1(η) + I m(η). Esto contradice el hecho de que dist(w( que w no llega a U............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto, debemos tener [l, t2] Tm−1. Por lo tanto tenemos por la suposición de inducción que Osc(w, [t1, t2])≤ sup vÃ3Â[t1,f] Osc(w, [t1, v]) + w( ≤ η + (D(Πm(η)) + 2η) + Im−1(η) m(Osc(x, [t1, t2]) + ) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 17 Osc(y, [t1, t2])≤ sup vÃ3Â[t1,f] Osc(y, [t1, v]) + y( (D(Πm(η)) + 2η) + Im−1(η) m(Osc(x, [t1, t2]) + ). Al combinar todos los casos anteriores, tenemos Osc(w, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + Ł),(31) Osc(y, [t1, t2])m(Osc(x, [t1, t2]) + (32) Esto completa el paso de inducción. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. La prueba del teorema anterior fue inspirada por la prueba de Lemma 4.3 de [4]. Debido a la condición (i) en el teorema 4.1, la oscila- La inequidad de las ciones dada aquí está localizada. Oscilación similar, pero no localizada, las desigualdades se probaron en [15] cuando G = Rd+ y en [3] para una secuencia de poliedros convexos; en estos casos, la dirección de la reflexión era constante en cada cara de frontera. 4.2. Resultado de la estanqueidad C. A lo largo de esta subsección y la siguiente, nosotros Supóngase que la suposición siguiente se mantiene además de (A1)–(A5). Suposición 4.1. Hay una secuencia de constantes estrictamente positivas nn=1 Tal que para cada número entero positivo n, hay procesos W n, W n,Xn, αn que tengan trayectorias en D([0,»,Rd) y procesos Y n, n, βn que tengan trayectorias en D([0-),RI) definido en algún espacio de probabilidad (­n, Fn, Pn) de tal manera que: i) Pn-a.s., W n = W ii) Pn-a.s., W n(t) =Xn(t)+ (0,t) γ i,n(W n(s−),W n(s)dY ni(s) para todos los t ≥ 0, en los que para cada i+ I, γi,n :Rd ×Rd → Rd es Borel mensurable y i,n(y,x)â = 1 para todas las x, y â € ~ Rd, iii) Y n = nÃ3n, donde βn es localmente de variaciÃ3n limitada y Pn-a.s., para cada uno de ellos, a) ni (0) = 0, (b) ni es no decreciente y i (t)≤  n para todos los t > 0, c) ni (t) = (0,t] 1{W­n(s)­U­n (­GiG)} d ni (s), iv) No → No 0 como n → No, y, para cada uno de ellos, no hay > 0 y no > 0 Tal que para cada uno de ellos, yo, i,n(y,x)− γi(x) n≥ n, 18 W. Kang y R. J. Williams v) αn → 0 y V(βn)→ 0 en probabilidad, como nó, vi) {Xn} está apretada C. Observación. Un caso simple en el que (iv) arriba se sostiene es donde γi,n(y,x) γi(y). En v), V(βn) es el proceso de variación total para βn (cf. Sección 1.1). El siguiente teorema desempeñará un papel importante en la prueba de principio de varianza. Se utilizará para mostrar que una secuencia de procesos sat- Isfiting versiones adecuadamente perturbadas de las condiciones de definición de un SRBM [cf. i)–vi) supra] es hermética. Teorema 4.2 (estrechez C). Supongamos que la Asunción 4.1 se mantiene. Definir Zn = (W n,Xn,Y n) para cada n. A continuación, la secuencia de procesos {Znn=1 es Apretada. Observación. Nótese que la estanqueidad C de {W n}, {Xn} e {Y n} implica C- rigidez de {Zn} (para más detalles, véase el capítulo VI, corolario 3.33 de [12]). Prueba de Teorema 4.2. Las referencias a los incisos i) a vi) son las siguientes: ciones en la Asunción 4.1. Manipulaciones algebraicas simples producen Pn-a.s., W­n(t) = X­n(t) + (0,t] γi,n(W n(s−),W n(s)d ni(s)(33) = Xūn(t) + n(t) + (0,t] γi(W n(s))d ni(s),(34) donde X?n(t) =Xn(t) + n(t) + (0,t] γi,n(W n(s−),W n(s))dβni(s) n(t) = (0,t] (γi,n(W n(s-),W n(s))− γi(W n(s)))d ni(s) (0,t] (γi(W n(s))− γi(Wû n(s)))d ni(s). Las hipótesis sobre αn, el proceso de variación total V(βn) de βn, y el hecho de que i,n(y,x) = 1 para todos x, y Rd y cada i I, implican que el proceso n(·) + (0,·] γi,n(W n(s−),W n(s))dβni(s) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 19 Converge a 0 en probabilidad como nÃ3r. Combinando esto con el hecho de que {Xnn=1 es C-ajustado, obtenemos que {X nn=1 es C-ajustado. Recordemos la función positiva no decreciente Π(·) del teorema 4.1, y las constantes a, L y funciones R(·) y D(·) de supuestos (A1)–(A5) en la sección 3. Recordemos también que ­0 = Fijar, η, η, T de tal manera que 0 < η < min{ R(a/4) },  > 0, η > 0 y T > 0. Por suposición (A3), hay una constante r1 > 0 tal que D(r)<min para todos los r â € (0, r1).(37) Desde Π(u) → 0 como u → 0, hay constantes 0 < r3 < r2 < min{r1, de tal manera que Π(r)< para todos los r â € (0, r3].38) Por iv), hay 0 < < min{ } y n0 > 0 tales que para todos los n≥ n0, # Y-x2 # i,n(y,x)− γi(x) .(39) Por (iv)–(vi), y Proposición 1.1, existe un entero n1 > n0, un con- stant M,T > 0 y (0, T ), de manera que para todos n≥ n1, 0≤s≤T Índice(s) ≤ M,T ≥ 1− η/2,(40) Pn{wT (X n, )≥ ≤ η/4,(41) 0≤s≤T n(s) 6ILr2 ≥ 1− η/4,(42) n <min 8(1 + I) .(43) Para demostrar la estanqueidad C de {O n} y n} (y, por tanto, de {O n}, {Y n}), por la Proposición 1.1, basta con demostrar que existe una constante Nη,T > 0 de tal manera que para todos n≥ n1, Pn{wT (W n, )≥ ≤ η,(44) Pn{wT ( n, )≥ ≤ η,(45) 0≤s≤T ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ Nη,T(s) ≤ ≤ Nη,T(s) ≥ 1− η,(46) 0≤s≤T n(s) ≤Nη,T ≥ 1− η.(47) 20 W. Kang y R. J. Williams Para cada n≥ 1, dejar Fn ser un conjunto en Fn tal que Pn(Fn) = 1 y en Fn, propiedades iii)a)–c) Hold, 33)–(36) Hold, y W Fijar un t tal que 0≤ t < t+ T. N = inf{s≥ t :W­n(s) ­ U­n(­«Gi» · G) para algunos i · I}.(48) Para cada n≥ n1, dejar wT (X n, ) <, sup 0≤s≤T n(s) 6ILr2 0≤s≤T Índice(s) ≤ M,T Luego por (40)–(42) y la definición de Fn, P{Hn} ≥ 1− η.(50) Arreglar n n Hn. Por la definición de wT (x,♥) en (3), tenemos que, r,sâ[t,t] # Xūn(s), # # Xūn(r, # n) # # # Xūn(r, # n) # # # # # Xūn(r, # n) # # # # # Xūn(s, # n) # # Xūn(s, # n) # # Xūn(r, # n) # # # # Xūn(s, # n) # # # Xūn(s, # # # # Xūn(s, # # # # # # # Xūn(s, # # # # Xūn(s, # # # # # # Xūn(r, # # # # # # # # # # # # # Xūn(s, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #(51) Ahora hay dos casos a considerar para n ≥ n1 y u, v fijado de tal manera que t≤ u < v ≤ t+. Caso 1. En este caso, por iii) c), n(·, n) no aumenta en el intervalo (u, v), es decir, ni (v, n)− ni (u, n) = 0 para todos los i â € I. Entonces por (34) y (36), W. n.v.n.)- W. n.u.n.) = X.n.v.n.)- X.n.(52) Por lo tanto, por (51), (v,n)­W­n(u,n)­ ≤ sup r,sâ[t,t] Índice(s), Índice(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s). y también tenemos n(v,­n)­ n(u,­n)­= 0< Ł/2. Caso 2............................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces hay un i â € TM ~ I tal que W? n (? n,? n) â € TM ~ Desde el set de U. Gi. Gi. G. está cerrado y W. G. n(·, ­n) es correcto continua. De ello se deduce que hay algunos x0 â € € ¬ G (que depende de â € € De tal manera que W. n. n. n. n. n. está en la bola cerrada B. n. x. 0. B. n. n. n. n. n. n. n. n.) está en la bola cerrada B. n. x. 0. Para aplicar la PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 21 desigualdad de oscilación en Teorema 4.1, primero demostramos lo siguiente: Para todas las personas que reúnan las condiciones siguientes: n ≤ r ≤ v.(53) Para la prueba de (53), vamos n = inf{r ≥ ♥n :W­n(r,­n)/B­(x0)}/V.(54) Según la definición de «n», «n» (r), «B» (x0) para cada «r» (l) n, n). Con el fin de aplicar la desigualdad de oscilación en el teorema 4.1 en el intervalo de tiempo [ Demostramos que D(Π(Osc(X?n(·,?n) + n(·,?n), [?n,?n)) +?n))< .(55) Para cada r (0, T ], por (i)–(iii) y (33), (49), (43), tenemos que N(r–, N(r–) N(r–) ≤ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ≤ X?n(r,n)2 sup 0≤s≤T n(s) Iđn ≤ < 2. Por lo tanto por (39), para cada r â € (0, T ], i,n(W n(r-, ­n),W n(r,­n))− γi(W n(r,­n) ≤ .(56) Para (36), (56), Asunción (A4), (i) y (49), tenemos que para cualquier s1, s2 De modo que u≤ s1 < s2 ≤ v, n(s2), n)− n(s1), (s1,s2] i,n(W n(r-, ­n),W n(r,­n)) - γi(W n(r,­n))­d ni (r,­) (s1,s2] i(W n(r,­n))­ γi(W­n(r,­n))­d ni (r,­g) ( ni (s2, ) n)− ni (s1, (s1,s2] N(r), N(r), N(r), N(r)d ni (r, N(r) ( ni (s2, ) n)− ni (s1, 6ILr2 ( ni (s2, ) n)− ni (s1, 22 W. Kang y R. J. Williams n(s2), n)− n(s1), n = inf{s≥ n :Osc( n(·, Łn), [ln, s))> r2}.(58) Obsérvese que Osc( n(·, Łn), [ln, s)) como una función de s definida en izquierda continua con límites finitos a la derecha y no disminuye. Por la derecha continuidad de n, sabemos que Osc( n(·, Łn), [ln, s))→ 0 como ↓ Łn. Por lo tanto, n > n, n, n, n, n)) ≤ r2 y on n, Osc( n(·, n), ≥ r2. Por (57), (51), (43), la elección de N ≤ N ≤ N ≤ v ≤ t+, tenemos Osc(X?n(·,?n) + n(·,?n), [ ≤Osc(X +Osc( n(·, ≤Osc(X Osc( n(·, ≤ r2 +  n < r3. Entonces por (38) y la monotonicidad de D(·), tenemos D(Π(Osc(X ≤D(r2)≤D(r1)< Nosotros afirmamos que N ≥ n.o.p.(61) Para probar (61), procedemos por contradicción y suponemos que Entonces por (60), con x= X?n(·,?n) + n(·,?n) y?n =?n, condición (iv) de la orem 4.1 se mantiene con [s, t] = [ln, ln − 1/m] para todos los m suficientemente grandes. Por aplicando el teorema 4.1 y dejando má, obtenemos utilizando (34), (38) y (59) que, Osc( n(·,?n), [ln,?n)) (Osc(X (r3)< PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 23 Para (62), iii) b) y 43), obtenemos que Osc( n(·, Łn), [ln, ln])≤ + I­n < r2. Esto contradice el hecho de que Osc( n(·, n <, y así (61) mantiene y (55) sigue por (60). Mediante la aplicación del teorema 4.1 en [lán, ñán − 1/m] y luego dejar que má, nosotros obtener utilizando (61), (59) y (38), que Osc(W­n(·, ­ñn), [­ñn, ­ñn)) (Osc(X y de manera similar, Osc( n(·, .(63) Entonces tenemos # No, no, no... # # # No, no, no, no, no... # # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ≤.W.N. (n.,.n.)− W.N. (n.,.n.).W.N. (n.,.n.)− x0 + n. Utilizando hipótesis (ii), (iii) b) y (33), (51), obtenemos # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ≤ xn(n, n)− xn(n), n) i,n(W n(n−, n),W n(n, n)) × ( ni N, N)- ni n−, Łn)) ≤ I♥n. Por lo tanto N(N, N)-x0° ≤ °W n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (n, n)— (n), (n), (n)— (n), (n) + ♥n + I♥n ≤ (I+1) < l/8 + l/8 + l/8 < l/2. 24 W. Kang y R. J. Williams De esto se deduce que n = v y (53) sostiene, como se desee. Entonces, por (33), (51), (iii) b), (iii) c), (63) y (43), tenemos (v) (n) (n) (n) (u) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) ≤ sup r,sâ[u,v] # X?n(s) # # X?n(r) # # # # X?n(s) # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ( ni (v, n)− ni (u, ≤ ( ni (v, n)− ni (uâ n)) ( ni (u â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° n, n)− ni (u, n)(64) ≤ IOsc( n(·, ni (v, n) + I♥n ≤ I + I.n. + I.n. < n(v,­n)­ n(u,­n)­ ≤ ( ni (v, n)− ni (u, ( ni (v, n)− ni (uâ n)) ( ni (u â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° n, n)− ni (u, Aquí hemos utilizado el hecho de que i no aumenta en (u, n ° u) y puede saltar a lo sumo por ln en ln, por la definición de ln y (iii)(c). Al combinar los resultados del Caso 1 y del Caso 2, obtenemos que para cada uno n≥ n1, u,vó[t,t] N(v,n)­N(u,n)­: 0≤ t≤ t+ T < (66) u,vó[t,t] n(v,­n)­ n(u,­n)­: 0≤ t≤ t+ T < ♥.(67) Por lo tanto, desde que fue arbitrario, por (50), tenemos que (44) y (45) para todos n≥ n1. A continuación mostramos que hay una constante Nη,T > 0 tales que (46) y (47) mantener para todos n≥ n1. Por (66)–(67) arriba, tenemos que para cada n≥ n1, PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 25 Hn, t tales que 0≤ t < t+ T y t≤ u < v ≤ t+, N(v, n)-N(u, n)-N(u, n)-(68) n(v,n)− n(u,(69) Entonces, para cada 0≤ s≤ T, por (68), (69), (49) y (33), tenemos No obstante, en el caso de que se trate de una operación de concentración, el valor de la operación de concentración será inferior o igual al valor de la operación de concentración. [T/]+1 No obstante, en el caso de que se trate de una operación de concentración, se considerará que no se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de una operación de concentración de concentración en una operación de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de concentración de la concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de concentración de la concentración de concentración de concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de la concentración de ≤ ([T/] + 1) n,n) ≤ n,n)− n(0,n) [T/]+1 n(i s,n)− n(i− 1) s,n) ≤ ([T/] + 1) Aquí [T/] es el mayor entero menor o igual a T/. Que Nη,T = ([T/] + 1) M,T. Entonces obtenemos que para n≥ n1 y n â € ¢ Hn, 0≤s≤T ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) ≤Nη,T(70) 0≤s≤T n(s) ≤Nη,T.(71) Entonces para (50), tenemos que (46) y (47) mantener para todos n≥ n1. Finalmente mediante la aplicación de la Proposición 1.1, tenemos la estanqueidad C de {W n} y n}. Entonces se deduce que {(W n,Xn, n)n=1 es C-ajustado. Desde Z (W n,Xn, n) + (αn,0, βn) donde αn,V(βn) → 0 en probabilidad como n®, entonces {Znn=1 es también apretada C. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4.3. Principio de invarianza para las medidas de fomento de la confianza. El principal teorema del papel es lo siguiente. Teorema 4.3 (Principio de variación de las medidas de fomento de la confianza). Supongamos que Assump- sión 4.1 espera. Definir Zn = (W n, Xn, Y n) para cada n. A continuación, la secuencia de 26 W. Kang y R. J. Williams procesos {Znn=1 es C apretado y cualquier punto límite (débil) de esta secuencia es de la forma Z = (W,X,Y ) donde procesos d-dimensionales continuos W,X y un proceso continuo I-dimensional Y se definen en alguna probabilidad de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0≤ s≤ t}, t≥ 0. Si, además, las siguientes condiciones (vi)′ y (vii) mantienen, entonces cualquier punto límite débil de la secuencia {Znn=1 es un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, /). Si además la siguiente condición: (viii) se mantiene, entonces W n O como n O donde W es un SRBM asociado con (G,μ,,i, i I}, /). (vi)′ {Xn} converge en distribución a un mo- ión con deriva μ, matriz de covarianza y distribución inicial vii) Para cada punto límite (débil) Z = (W,X,Y) de {Znn=1, {X(t)− X(0)− μt, Ft, t≥ 0} es un martingale. viii) Si un proceso W satisface las propiedades de la definición 2.1, la ley de W es único, es decir, la ley de un SRBM asociado con los datos (G,μ,,i, i I}, ν) es único. Observación. Observamos que (vi)′ implica que (vi) de la Asunción 4.1 se mantiene. Prueba de Teorema 4.3. Por Teorema 4.2, tenemos que la secuencia {Znn=1 es C-ajustado. Que Z = (W,X,Y) sea un punto límite (débil) de {Z nn=1, es decir, hay una subsecuencia {nk} de {n} tal que Z nk Z como k. Lo siento. También se deduce de ello que Zūnk (Wū nk,Xnk, nk) Por la estrechez de la C de {Zn}, obtenemos que Z tiene rutas continuas a.s. A los efectos de verificar que Z satisface las propiedades enumeradas en la definición 2.1, se puede invocar el teorema de representación de Skorokhod para asumir, sin pérdida de generalidad, que Znk y Zūnk convergen u.o.c. a Z a.s. como k y V(βnk) Converge u.o.c. a 0 a.s. como k → فارسى. Con esta simplificación, es fácil verificó que las propiedades de {Znk} y {Zūnk} implican que Z tiene propiedades ii) y iv) a) a b) de la definición 2.1. Para la verificación de los bienes i) Definición 2.1, tenga en cuenta que para cada k, a.s. para cada t ≥ 0, W nk(t) =Xnk(t) + (0,t] γi,nk(W nk(s-),W nk(s))dβ i s) (0,t] (γi,nk(W nk(s-),W nk(s))− γi(W nk(s)))d i s) (0,t] γi(W nk(s))d i s). La suma de los dos primeros términos en el lado derecho de la igualdad antedicha Converge a.s. a X(t) como k → فارسى. El tercer término en el lado derecho PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 27 Converge a.s. a 0 como kÃ3, por la propiedad (iv) y el hecho de que a.s., sâ €(0,t] W nk(s)-W nk(s) ≤ sup sâ €(0,t] Xnk(s) I sup sâ €(0,t] Y nk(s) 0 como k. Queda por demostrar que para cada i â € I y t ≥ 0, a.s., (0,t] γi(W nk(s))d i s)→ (0,t] γi(W(s))dYi(s) como k®. Esto sigue directamente de Lemma A.4. Para la verificación de los bienes (iv) c) de la definición 2.1, basta con mostrar que para cada i + I, m= 1,2,..... a.s. para cada t ≥ 0, Yi(t) = (0,t] fm(W(s))dYi(s),(72) donde {fm} m=1 es una secuencia de funciones continuas reales valoradas definidas En Rd de tal manera que para cada m, el rango de fm es [0,1], fm(x) = 1 para x.» U1/m(de Gi-G) y fm(x) = 0 para x/ U2/m(de Gi-G). La existencia de tal secuencia de funciones continuas {fm} m=1 se puede mostrar usando El lema de Urysohn (cf. [8], página 122). Entonces (72) es una consecuencia de Lemma A.4, propiedad iii) de i y el hecho de que nk → 0 como kÃ3r. En efecto, a.s., para cada t ≥ 0, Yi(t) = lim i (t) = lim (0,t] {W­nk (s)­U nk (GiG)} i s) = lim (0,t] fm(W nk(s)d i s) (0,t] fm(s)(s)dYi(s). Así, Z satisface las propiedades i), ii) y iv) de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0≤ s≤ t}, t≥ 0. Suponiendo las propiedades vi)′ y vii) holding, Z satisface iii) de la definición 2.1. Entonces Z es un SRBM extendido asociado con los datos (G,μ,i, i I}, /). Si además, la propiedad (viii) tiene, entonces la ley de W es única. Desde cada límite débil W es un SRBM asociado a los datos (G,μ, I}, /) y la ley de tal SRBM es única, entonces por un argumento estándar, W n.o W como n.o W, donde W es un SRBM asociado con (G,μ,i, i I}, /). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Algunas condiciones suficientes para (vii) mantener se dan en la Proposición 4.2 de [15] para un ajuste más simple donde G=Rd+. Dos de esas condiciones generalizan a nuestro entorno aquí y se puede probar de la misma manera que en [15]. Por exhaustividad, declaramos el resultado resultante aquí. 28 W. Kang y R. J. Williams Proposición 4.1. Supóngase que la Asunción 4.1 y vi)′ de Teorema 4.3 Espera. Si, además, una de las siguientes condiciones (I)-(II) se mantiene, entonces condición vii) del teorema 4.3 se cumple, y cualquier punto límite débil de {Znn=1 es un SRBM extendido asociado con (G,μ, I, I, I, /). (I) Para cualquier triple de procesos d-dimensionales {Ft}-adaptados (W,X,Y) Definido en algún espacio filtrado de probabilidad (­, F, {Ft}, P ) y satisfactorio los incisos i), ii) y iv) de la definición 2.1, junto con la condición de que X, bajo P, es un movimiento d-dimensional browniano con vector de deriva μ, co- matriz de varianza y distribución inicial v, el par (W,Y) se adapta a la filtración generada por X y los conjuntos P-null. (II) Xn = Xñn + Ñn1, Y n = Y n + Łn2, W n = W­n + ­n3, donde ­ 1, ♥ 2, ♥ 3 son los procesos que converjan a 0 en probabilidad como nó, y: a) xn(t) − xn(0)n=1 es uniformemente integrable para cada t ≥ 0, (b) hay una secuencia de constantes nn=1 en R d de tal manera que limn n = μ, (c) por cada n, {XÃ3n(t)− XÃ3n(0)nt, t≥ 0} es un Pn-martingale con respeto a la filtración generada por (Wó n, Xón, Yó n). En el resto de este trabajo, nos centramos en las aplicaciones de la invarianza prin- y, en particular, sobre la concesión de condiciones suficientes para la propiedad viii) de Teorema 4.3 a la espera. 5. Aplicación del principio de invarianza. En la sección 5.1, resultamos débiles. Existencia de medidas de salvaguardia del medio ambiente asociadas a los datos (G,μ,i, i I}, //) satisfactorias (A1)–(A5) de la sección 3. Esto se logra mediante la construcción de una secuencia de aproximaciones cuyos puntos límite débiles son SRBM. La invarianza prin- Cícleo se utiliza para probar la estanqueidad C de las aproximaciones y que cualquier punto límite débil es un SRBM. En las secciones 5.2 y 5.3, utilizando resultados conocidos sobre la singularidad en la ley para los SRBM, ilustramos el principio de invarianza para ciertos dominios y direcciones de reflexión. 5.1. Debilidad de las medidas de fomento de la confianza. Teorema 5.1. Suponga que las suposiciones (A1)–(A5) de la Sección 3 se mantienen. A continuación, existe un SRBM asociado a los datos (G,μ,i, i I}, /). Prueba. Construimos una secuencia de aproximaciones a un SRBM y utilizar el principio de invarianza para establecer una convergencia débil a lo largo de una subse- Quence a un SRBM. En lo siguiente usaremos R(·) de suposición (A2), L > 0 de as- Supuesto (A4), a > 0 de suposición (A5), y?0 = . Arreglar el valor superior a 0 y PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 29 0 <  < min{ R(a/4) }. Por suposición (A3), hay una constante r1 > 0 de tal manera que D(r)<min para todos los r â € (0, r1). Recordar las propiedades de Π(·) del Teorema 4.1. Desde Π(u)→ 0 como u→ 0, hay constantes 0< r3 < r2 < min{r1, } tal que Π(r)< para todos los r â € (0, r3]. Fijar y tal que 0 < < min{ 24ILr2 } y 0 < 2o < min{r3 8(1+I) Construiremos un proceso estocástico d-dimensionalW y un I-dimensional “Empujar” proceso Y ♥, de tal manera que W ♥ aproximadamente satisface las condiciones la definición de un SRBM para los datos (G,μ,i, i I}, ν) (cf. Suposición 4.1). La idea para esta construcción es usar un movimiento browniano X con deriva vector μ, matriz de covarianza y distribución inicial v. Lejos de G, el los incrementos de W son determinados por los de X. Para cualquier momento t ≥ 0 tales que W (t−) â € ¢ G, añadimos un salto instantáneo a W (t−) para obtener W (t) (G. Aquí W (0−) =X(0). El tamaño del salto es tal que W (t) es una distancia estrictamente positiva (dependiendo de Ł) del límite de G. El vector de salto se obtiene como una función medible de W (t−). Asegurarse de que la mensurabilidad, cada punto x en G se asocia con un punto cercano x̄, elegido de manera mensurable a partir de un conjunto de puntos contables fijos en G. Los vector de salto para x es uno asociado con x̄. Ahora especificamos la asignación x→ x̄ y el vector de salto asociado con más precisión. Por suposición (A5)(ii), para cada x â € € ¢ G, hay c(x) â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. I+I(x) ci(x) = 1 y min i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(x) ≥ a.(73) Por (73), Lemma 2.1 y el hecho de que ni(·) es continuo en i I, tenemos que para cada x â € € ¢ G hay rx â € (0, € € TM ) de tal manera que para cada y #Brx(x) #G, I (y)(i)(x)(74) i(x) I+I(x) ci(x)γ i(x), nj(y) .(75) A continuación, utilizando la naturaleza C1 de Gi y el hecho de que n i(y) es el interior unidad normal a Gi en y • G para cada i • I(y), que (al elegir rx even 30 W. Kang y R. J. Williams más pequeño si es necesario) para cada x x x x G hay m(x) > 0 y rx que para cada y-Brx(x)-G, (74)-(75) mantener y y + ♥ I+I(x) ci(x)γ i(x) â € € € € para todos â € € (0,m(x)).(76) Deje que Borx(x) denote el interior de la bola cerrada Brx(x) para cada x. Los colección {Borx(x) :x {G} es una cubierta abierta de ŁG y se deduce que allí es un conjunto contable {xk} de tal manera que kBrxk (xk) y {xk} conjunto finito para cada entero N ≥ 1. Podemos elegir el conjunto {xk} para ser mínimo en el sentido de que para cada subconjunto C estricto de {xk}, {Brx(x) :x {C} no cubre G. Dejar Dk = (Brxk (xk) \ ( i=1 Brxi (xi)) â € ¬ G por cada k. Entonces Dk 6 = para cada k, {Dk} es una partición de hay un índice único i(x) de tal manera que x Di(x). Para cada x â € TM R d, let x, si x /»............................................................................................................................................................................................................................................................. xi(x), si x â € ¬ G. Nótese que para todos los x â € ¢ Rd, *x− x *.(77) Para cada i-I y x-Rd, vamos γi (x) = γi (x̄).(78) El mapeo x → x̄ es Borel medible en Rd y por lo tanto γi, función medible de Rd a Rd. Construimos (W, Y, Y) de la siguiente manera. Deja que X se defina en alguna proba filtrada. espacio de habilidad (,F,{Ft}, P ) ser un movimiento d-dimensional {Ft}-browniano con μ de deriva y matriz de covarianza tal que X es continua seguramente y X(0) tiene distribución contra. Vamos. *1 = inf{t≥ 0:X(t) W (t) = X (t), Y (t) = 0 para 0≤ t < Nótese que W existe en 1 ya que X tiene rutas continuas y en el caso de que 1 = 0, W *(0−)*X(0). En 1, definir Y-(l)i (­1) = 0, i /+ I(W ­(­1−)), ci(W)(­1−) m(W (­1−)) , i) I) (W) W (l+1) =X(l+1) m(W (­1−)) I+I(W) ci(W)(l-1−)γ i) (W) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 31 Así que W, Y, se han definido en [0, 1] y en 1 en 1, de tal manera que: i) W (t) = X (t) + - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! i)(W)(0−)Y)(0)(0)(0)(0)(0)(0))(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)((0)((0)((())((0)((())(((())(((()))((((((())))((((())))((()))(((((((()))))((((())))(((()))(((()))((((())))((())(((()))((())((()))((((()))((())()()()()(()))(()(((())((((())()))))))(()()()()()()()()()((((((()))(((()))())))))()()()())((((())))())))(((((()(((())))((()()())((((((())((())))(((((()(()))))()()()()()()(((()(((()()()()())()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() (0,t] γi,l(W)(s-))dY(s)i(s) para todos los t(s) [0,][1]], donde W (0−) =X(0), ii) W (t) (t) (G) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t). iii ) en el caso de i ° I, a) Y Łi (0) ≥ 0, b) El artículo Y no disminuye el [0,][1]] [0,...]; c) Y (t) = Y i (0) + (0,t] 1{W(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(es(s)(s)(es(s)(es((s)(s)(s)(s)(s)(es(s)((s)(s)(es(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((()(s)(s)(()()()()()()()()()()(()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())))()())()()(()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( i s) para t â € [0, â €] â € € [0,l), (iv) Y (t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t), ≤ (t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t)(t). *(0−)* Nótese que (iii) c) supra contiene la expresión W (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s). Los el lector se preguntará por qué aparece en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de en lugar de. La razón es que en un salto tiempo s de Y Łi, W (s-) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) dist(W)(s),(s),(G)(s)(s)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es()(es)(es()(es)(es()(s)(s)(es(es)(s)(s)(s)(s)()(s)(s)(s)(s)(es()()(s)(es()()(es()()(es()()()()()()()(s(es(es()()()()()(es(es)()()(es)(es)()()()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(s(s)()(s()()()()()()()()()()()(()()()((((((()()()(()()()()()()()()()()()(((()()(()()()()( W (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Procediendo por inducción, suponemos que para algunos n ≥ 2,............................................................................................................... se han definido, y W, Y, Y, se han definido en [0, el n−1, de tal manera que i)–(iv) por encima de la posición de Entonces Definimos a los "n =" en "n = 1", y a los "n = 1" definimos a los "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1" en "n = 1 " n = inf{t≥ ­n−1 :W (ln−1) +X(t)−X(ln−1) • • G}. En el caso de los productos de la partida πn−1 ≤ t < Łn, Y (t) = Y (n−1), W (t) = W (n−1) +X (t)−X (n−1), y en n, vamos Y Łi (ln) = I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, O, I, I, I, I, I, فارسى(ln−)), Y ♥i (­ ) + ci(W) * (n−) m(W) , i) I) (W) W ♥(ln) =W - ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? m(W) I+I(W+(­)) ci(W)(ln−)γ i) (W) 32 W. Kang y R. J. Williams De esta manera, W, Y, Y se han definido en [0, que i)-iv) mantener con ln en lugar de lnl. Por construcción n=1 es una secuencia no decreciente de tiempos de parada. Let ♥ = limnà à °n. En =, la construcción de (W Está completo. Ahora mostramos que < =. De hecho, si < 6, vamos a < Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La construcción antedicha da (W,(·, ), Y,(·, )) en el intervalo de tiempo [0, Por cada t [0, ()], tenemos W (t) =X(t) + γi,(W (0−, Ł))Y Łi (0, Ł) (0,t] γi,(W(s-, Ł))dY(s)i(s). Puesto que X es continua en [0,», «i», «x» = 1 para cada x «Rd» y # I # I # Y # I # I # I # I # I # I # I # I # I # i (0, En el caso de que se trate de un vehículo de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas de dos ruedas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • i) (W)(0–, •)Y)(0, •), )< (80) 0≤t(­) X(·, ) + γi,(W (0−, Ł))Y Łi (0, Ł) M,(81) donde w (·, ·) se define en (3). Por la elección de, hecho al principio de Esta prueba, (77)–(78) y la propiedad Lipschitz uniforme de la γi(·), i â € I, it De ello se desprende que (39) y (43) se mantienen en lugar de γi (y) y (y) en lugar de γi (y,x) y n, respectivamente. A continuación, por un análisis de trayectoria similar al utilizado en el caso 1 y 2 de la prueba del teorema 4.2, con W. n = W. n = W., αn = 0, γi,n(y,x) = γi,(y) para cada i • I y x, y • Rd, Xn = X + - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! i)(W)(0−)Y)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0). Y n = Y ♥, n = Y se mantiene para cualquier T < ­(­) con «n = », Nη, T = ([­»(­)/] + 1) M­. De ello se desprende: que supi ́l sup ́ ́ [0, i (s) es finito. Por los bienes no decrecientes de Y (·, ­) el [0, ­(­)) por cada i · I, Y i) Existe y es finito para cada uno de ellos. i. I.............................................................................................................. Entonces por (79) y la continuidad de X, vemos que W.... (.................................................................................................................................................. y es finito. Por la construcción de Y Ł y el hecho de que I(x) ci(x) = 1 para todos los xâ â € TM TM, tenemos que Y Łi (­*(­)­, ­) = m(W)(­n(­)­, ­)) - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.(82) Desde el punto de vista de la información, la información y las comunicaciones (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones») y de la información (en lo sucesivo, «la información y las comunicaciones»). Existe, de ello se deduce que {W} {W} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} } n=1 converge a W • G como n. → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Conse- quently, {W ­(­n(­)−, ­)} n=1 es una secuencia delimitada en G y así por el PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 33 definición de los conjuntos {Dk} que forman una partición de ŁG, hay un conjunto finito C tal que {W} {W} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} {n} {n {n} {n} {n {n} {n} {n} {n {n} {n} {n} } n=1 Por lo tanto, m(W (ln(l)−, l))≤ Inf m(xk)> 0,83 Y así el lado derecho de (82) es infinito. Por otro lado, desde Supi ́I sups ́[0,­(­}) Y i (s) es finito, el lado izquierdo de (82) es finito. Esto produce la contradicción deseada y así < = y tenemos con- (W, I, I) el [0, I). Desde la construcción de arriba, podemos ver que W y Y están bien definidos Procesos estocásticos con trayectorias de muestra en D([0,­),Rd) y D([0,­),RI). Se adaptan a la filtración generada por X y satisfacen (i)–(iv) arriba con [0,]. en lugar de [0, 1]. Considerar una secuencia de lo suficientemente pequeño de, denotado por n}, tal que n ↓ 0 como n → فارسى. Para cada uno de los países, , Y ) ser el par construido como arriba para el mismo proceso X. Por las propiedades anteriores y el hecho de que para cada i â € € TM i y x, y â € € TM Rd, i, (y)— γi(x)­ ≤ i()­ γi(x)­ ≤ L × ≤ L( Obtenemos que la Asunción 4.1 se mantiene con W. n = W. n = W. , αn = 0, γi,n(y,x) = (y) para cada i+I y x, y+Rd, Xn =X+ - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! - ¡Oh, Dios mío! I.N(W.O.) (0−))Y i (0), Y n = Y , n = Y (0), βn = Y (0) y 2o en lugar de ♥n. Por invok... en la primera parte del Teorema 4.3, obtenemos que {Z n=1 = {(W) No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. )n=1 es C-ajustado y cualquier punto de límite débil Z de esta secuencia satisface condiciones (i), (ii) y (iv) de la definición 2.1 con Ft = Z(s) : 0 ≤ s ≤ t}, t≥ 0. Tenga en cuenta que la condición vi)′ del teorema 4.3 es trivial. Además, = {X t) − X (0)− μt, t≥ 0}= {X(t)−X(0)− μt, t≥ 0} tingale con respecto a la filtración generada por X. Desde el W. , Y adaptado a esta filtración, se deduce que M es un martingale con respeto a la filtración generada por W , Y (que de hecho es el mismo que que generado por X). Para cada t ≥ 0, X t) − X (0) =X(t)−X(0) y así que trivialmente esto forma una secuencia uniformemente integrable como n varía. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, mínimos de la Proposición 4.1 que la condición vii) del Teorema 4.3 sostiene. Por lo tanto, cualquier punto límite débil de {Z n=1 es un SRBM extendido con los datos (G,μ,,i, i I}, /). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.2. SRBM en poliedros convexos con campos de reflexión constante. Exis- tence y unicidad en la ley para los SRBM que viven en poliedros convexos con un campo de reflexión constante en cada cara de frontera ha sido estudiado por Dai y 34 W. Kang y R. J. Williams Williams [4]. En esta subsección, declaramos una consecuencia de nuestra invarianza principio de utilización de los resultados en [4] para establecer unicidad en la ley. En este caso, G se define en términos de vectores unitarios d-dimensionales I (I≥ 1) {ni, i < I} y un vector I-dimensional β = (β1,. .., βI) ′ de modo que En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.(84) Se supone que G es no vacío y que el conjunto {(n1, β1),. ................................................................................... I, βI)} es mínimo en el sentido de que ningún subconjunto adecuado define G. Para cada i â € TM i, dejar Fi denote la cara del límite: {x â € ¢ G : â € € TM ni, xâ € = βi}. Entonces, n i es la unidad interna normal a Fi. Un campo vectorial constante γ i de longitud de la unidad especifica la dirección de reflexión asociada con Fi. Definición 5.2. Definir FK = ¡Iâ € TM ~ KFi. Dejad que F. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. = G. Un conjunto de Kâ € I es máximo si K 6 = €, FK 6 = € y FK 6 = FK ̄ para cualquier Kâ € ° K tales Que K̄ 6=K. En [4], Dai y Williams introdujeron la siguiente suposición. Suposición 5.1. Para cada máximo de Kâ ° I, (S.a) hay una combinación lineal positiva n= Papelera de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones de iones. i (bi > 0) de los {ni, i {K} tales que {n,γi 0 para todos los {K), (S.b) hay una combinación lineal positiva γ = - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! i (ci > 0) de los i, i K} tales que ni, 0 para todos los K. Observación. Para los campos de vectores dados G y constantes i, i I}, As- Supuesto 5.1 es equivalente a suposición (A5). Definición 5.3. El poliedro convexo G es simple si para cada K.I. tales que K 6 = 6 y FK 6 = 6, exactamente K caras distintas contienen FK. Observación. El poliedro G es simple si y sólo si K es máximo para cada K de tal manera que 6= K+I y FK 6= فارسى. Se muestra en [4] que cuando G es simple, (S.a) se mantiene para todos los máximos de K. I si y sólo si (S.b) se mantiene para todos Máximo KÃ3 I. Dai y Williams [4] demostraron que la Asunción 5.1 es suficiente tence y unicidad en la ley de los SRBM que viven en G con los campos de reflexión i, i I} y punto de partida fijo. [También mostraron esa condición (S.b) es necesario para la existencia de un SRBM a partir de a partir de cada punto en G. En consecuencia, cuando G es simple, Asunción 5.1 es necesaria y suficiente para la existencia de un SRBM a partir de cada punto en G.] Esto produce la siguiente consecuencia de nuestro principio de invarianza. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 35 Teorema 5.4. Dejar G ser un dominio no vacío tal que G es un convexo poliedro de la forma (84) (con descripción mínima), y dejar que i, i I} ser una familia de campos vectoriales constantes de longitud de unidad que satisfagan la Asunción 5.1. Supóngase que la hipótesis 4.1 y vi)′, vii) del teorema 4.3 se mantiene. Entonces W n.o W como n.o W, donde W es un SRBM asociado con (G,μ,i, i I}, /). Prueba. Claramente (A1) sostiene. Supuestos (A2)–(A3) mantenidos por Lemma A.3. Puesto que para cada i I, γi(·) es un campo vector constante de longitud de la unidad, como- La suposición (A4) es trivial. La Asunción (A5) está implícita en la Asunción 5.1. Por lo tanto, por Teorema 4.3, lo único que tenemos que comprobar es la condición viii) del teorema 4.3, es decir, la singularidad jurídica de las medidas de fomento de la confianza en el medio ambiente en los países convexos hedrons con campos de reflexión constante de longitud de la unidad. Pero esto se demuestra en Teorema 1.3 de [4] para un punto de partida fijo en G y seguido por una norma Argumento condicionante para la distribución inicial - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 5.3. SRBMs en dominios delimitados con bordes lisos a medida. Dupuis e Ishii [6] han establecido condiciones suficientes para la existencia y el camino- Sabia singularidad de reflejar las difusiones que viven en los cierres de límites dominios con bordes lisos a medida. En esta subsección, declaramos un consecuencia de nuestro principio de invarianza utilizando los resultados en [6] para establecer singularidad en la ley. Teorema 5.5. Dejar G ser un dominio limitado y i, i I} ser una familia de campos de reflexión que satisfagan supuestos (A1)–(A4) y (A5)′ en la sección 3. Asumimos además que para cada i-I, γi(·) es una vez continuamente diferente- entiable con Lipschitz local continua primeros derivados parciales. Supón que la hipótesis 4.1 y vi)′, vii) del teorema 4.3 se mantiene. Entonces, W n.o W. en la medida en que W es un SRBM asociado a (G,μ,i, i I}, /). Observación. Recordamos al lector que en vista de Lemma 3.1, para verificar condición (A5)′, sólo hay que demostrar que (i) o (ii) se mantiene para todas las x â € ¬ G. Sin embargo, como se puede ver en la prueba de abajo, ambas formas de la condición puede ser útil. Prueba de Teorema 5.5. Este teorema se deriva del teorema 4.3 y singularidad en la ley para los SRBM asociados. Este último sigue una norma argumento de la singularidad de la trayectoria establecida en el corolario 5.2 de [6] para su caso 2. En particular, se cumplen las condiciones exigidas para este caso. porque [A5]′(ii) implica condición (3.8) de [6]. Esta condición (3.8) fácilmente implica condición (3.6) de [6]; y, por [5], bajo la suavidad adicional suposiciones impuestas al γi en la declaración de nuestro teorema, condición (3.8) también implica condición (3.7) en [6]. Además, (A5)′(i) implica que 36 W. Kang y R. J. Williams para cada x â € ¢ G, i(x), ni(x) 0 para cada i â € I(x), y además, desde (A5)′ implica (A5), tenemos por (A5)(i) que el origen no pertenece a el casco convexo del i(x) : i(x)}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. APÉNDICE: LEMMAS AUXILIAR Lemma A.1. Supongamos que G está limitado. Si la suposición (A1) se mantiene, entonces suposición (A2) se mantiene. Prueba. Para ver esto, supongamos que G está limitado y la suposición (A1) mantiene. Arreglar • • (0,1). Para cada uno de los grupos I y z de los grupos Gi y G, por la C 1 propiedad de Gi, hay un barrio Vz de z y una constante R(­, i, z) > 0 tal que para todas las x x x Vz x Gi Gi G y y Gi de tal manera que x y R(e, i, z), Ni(x), y − xâ y − xâ.(85) A continuación, la Asunción (A2) sigue un argumento de compacidad estándar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lemma A.2. Supongamos que G es un dominio limitado no vacío satisfactorio (5), donde para cada i • I, Gi es un dominio no vacío. Entonces suposición (A3) Espera. Prueba. Demostramos el lema por la contradicción. Supongamos que la suposición (A3) no se sostiene. Entonces, ya que sólo hay muchos finitos J â € I, J 6 = â € TM, hay un.............................................................................................................................................................................................................................................................. 0 como nâ °, una secuencia {xn} â € € TM R d De tal manera que para cada n, xn # J. Urn # # Gj # # G) y dist(xn, ) >............................................................................................................................................ Pero como G está limitado, {xn} es limitado y sin pérdida de generalidad podemos asumir que xn → x como nâ € para algunos x â € Rd. De ello se deduce que x , puesto que para cada uno de ellos j • J, ≤ xdist(xn, ŁGj ŁG)≤ x rn → 0 como nÃ3r. Esto es inconsistente con xn → x y dist(xn, J.J. (Gj G))> Lemma A.3. Suponga que (A1) mantiene donde Gi = {x+R d : ni, x βi} para i I,(86) {ni, i I} es una colección finita de vectores d-dimensionales de longitud de unidad, y para I= I, β= (β1,. .., βI) ′ es un vector I-dimensional. (Así, G es una convexa poliedro.) Asumir que para cada i â € I, â € Gi â € G 6 = â €. Entonces suposiciones (A2) y (A3) esperen. PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 37 Prueba. La Asunción (A2) se mantiene automáticamente puesto que G es convexa. En o... der para demostrar que la suposición (A3) sostiene, sólo tenemos que demostrar que para cada J. I. con J. 6 = (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) → 0(87) como r→ 0. Arreglar J I tal que J 6 =. Entonces J (Gj G) es la colección de todas las soluciones x+Rd al siguiente sistema de desigualdades lineales: «ni», «xá» ≥ βi» para todos los i» I, ni, x ≥ i para todos los i J. Supón que J (Gj G) 6=, es decir, (LS) tiene al menos una solución. Por un teorema de Hoffman [11], con lemas de apoyo probados por Agmon [1], hay una constante C > 0 (dependiendo sólo de {ni, i I} y no de β) tal que para cualquier x â € ¢ Rd existe una solución x0 â € R d de (LS) con x-x-x-0- ≤C (βi − i, x+)+ + (i − n i, x+)+ .(88) Para r > 0, cualquier x j­J Ur(­Gj ­­G) satisface lo siguiente: •ni, x ≥ βi − r para todos los i • I, (r-LS) ni, x ≥ i − r para todos los i J. Entonces para (88), hay x0 J.J. (l.g.j., G.g.) de tal manera que: (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg ≤ x ≤ 2CIr. De ello se deduce que (87) se mantiene cuando J.J. (................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Ahora supongamos que J (Gj G) =, es decir, (LS) no tiene solución. Nosotros utilizar un argumento contradictorio para demostrar que para todos los r suficientemente pequeños. Supongamos que esto no es cierto. Entonces tenemos que J Ur(Gj G) 6= para todos los r (). Como hemos visto antes, cualquier J Ur(Gj G) es una solución a (r-LS). Ahora construimos un Cauchy. secuencia. Vamos a x1 J U1/2(Gj G). Entonces x1 es una solución a ( -LS). Puesto que ( 1 -LS) tiene al menos una solución, por el teorema de Hoffman [11] (usando el hecho de que la constante C depende sólo de {ni, i {I}), llegamos a la conclusión de que hay una solución x2 a ( -LS) de forma que â € ~ x1−x2â ≤ , donde C ′ = 2CI. Continuando de esta manera, podemos obtener una secuencia {xn} n=1 tal que para cada n ≥ 1, xn+1 ≤ y xn+1 es una solución de ( -LS). Los 38 W. Kang y R. J. Williams secuencia {xn} n=1 es Cauchy. Por lo tanto, hay una x * • Red tal que xn → x como n→ y x* es una solución a (LS). Esto contradice la suposición J.J. (l.g.j., G.g., G.) =. Así que tenemos que ) = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r = r todos r suficientemente pequeños, y para tales r, (lggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg Ur(lgj rg rg rg) por convención. Combinando lo anterior vemos que para cada J â € I con J 6 = €, (87) se mantiene y, por lo tanto, la suposición (A3) se mantiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Observación. De hecho, bajo las suposiciones de Lemma A.3, hay una Estante C > 0 tal que D(u) ≤ Cu para cada u ≥ 0 y D(·) definido como: suposición (A3). Lemma A.4. Teniendo en cuenta T > 0, funciones en D([0,nn=1),R d), y χ,nn=1 en D([0,),R), supongamos que sup0≤s≤T n(s)− (s)® → 0 y Sup0≤s≤T n(s)(s) → 0 como nÃ3r. Suponga que la χn no disminuye n. Entonces para cualquier secuencia de funciones continuas reales valoradas {fnn=1 definido en Rd tal que fn converge uniformemente en cada conjunto compacto a un función continua f :Rd →R, tenemos (0,t] dxn(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(es)(s)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(s)(es)()(s)(es)(s)(es)()(es)()(es)(es)()(es)()()(es)()()()()()()()()()(es)()(es)()(es)(es)(es)()()()()()()()()()()))()()()()()()()())))(es)(es)(es)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(es)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()( (0,t] f(l(s))d(s) como nó(s),(89) uniformemente para t â € [0, T ]. Prueba. Con la sustitución de χn(·) y χn(·) por χn(·)- χn(0) y χn(·)- χ(0), respectivamente, podemos suponer que χn(0) = χ(0) = 0. Es directo a Véase por la convergencia uniforme de n} a χ en [0, T ] que χ hereda el propiedad no decreciente del n}. Por la desigualdad del triángulo, 0≤t≤T (0,t] fn(ln(s))dχn(s)− (0,t] f(l(s))d(s) ≤ sup 0≤t≤T (0,t] — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (90) + sup 0≤t≤T (0,t] f(l(s))d(χn(s)− χ(s) Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para el primer término en el lado derecho de la desigualdad antedicha, tenemos 0≤t≤T (0,t] — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ≤ sup 0≤s≤T fn(ln(s))− f(l(s))n(T), PRINCIPIO DE INVESTIGACIÓN PARA LOS SRBMS 39 donde el miembro de la derecha de arriba tiende a cero como n → la convergencia uniforme de los valores de N a N en [0, T ] (lo que implica un límite uniforme de n} en [0, T ]), la convergencia uniforme de fn a f en conjuntos compactos, la la continuidad de f, y la convergencia de χn(T ) a χ(T ). Para el segundo mandato, note que desde f(l(·)) D([0,),R), por Teorema 3.5.6, Proposición 3.5.3 y Observación 3.5.4 de [7], hay una secuencia de funciones de paso {zkk=1 de la zk(·) = zk(tki )1[tk )·),(91) donde 1 ≤ lk < Ł, 0 = t 1 < t 2 < · · · < t < ­ y sup0≤s≤T f(s) − zk(s) → 0 como k. Entonces 0≤t≤T (0,t] f(l(s))d(χn(s)− χ(s) ≤ sup 0≤t≤T (0,t] - zk(s)d(χn(s)− χ(s) + sup 0≤t≤T (0,t] zk(s)d(χn(s)− χ(s) ≤ sup 0≤s≤T f(s)− zk(s)(xn(T) + χ(T) + sup 0≤t≤T zk(tki)(χ n − χ)(tki+1 • t)− (χ n − χ)(tki (t)−). Para k fijo, el último término anterior se puede hacer tan pequeño como nos gusta para todos n suficientemente grande ya que χn → χ uniformemente en [0, T ]. El resultado deseado sigue. Observación. La prueba de Lemma A.4 es una modificación de la prueba de la Lemma 2.4 relacionada en [4]. La diferencia en los supuestos es que en [4] es Asumió que en la J1-topología, en lugar de uniformemente en [0, T ], χn, χ °C([0,),R+) en lugar de χ n, χ D([0,),R), y hay una sola función f en lugar de una secuencia {fn}. REFERENCIAS [1] Agmon, S. (1954). El método de relajación para las desigualdades lineales. Canadian J. Matemáticas. 6 382-392. MR0062786 [2] Berman, A. y Plemmons, R. J. (1979). Las matrices no negativas en la matemática Ciencias. Academic Press, Nueva York. MR0544666 [3] Dai, J. G. y Dai, W. (1999). Un teorema de tráfico pesado límite para una clase de abierto redes de cola con buffers finitos. Sistemas de cola 32 5–40. MR1720547 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0062786 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0544666 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1720547 40 W. Kang y R. J. Williams [4] Dai, J. G. y Williams, R. J. (1995). Existencia y singularidad de semimartingale Reflejando el movimiento browniano en poliedros convexos. Teory Probab. 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Sobre soluciones aproximadas de sistemas de desigualdades lineales. J. de Investigación de la Oficina Nacional de Normas 49 263-265. MR0051275 [12] Jacod, J. y Shiryaev, A. N. (1987). Limite los teoremas para los procesos estocásticos. Springer, Nueva York. MR0959133 [13] Kang, W., Kelly, F. P., Lee, N. H. y Williams, R. J. (2007). Espacio estatal el colapso y la aproximación de la difusión de una red que opera bajo una banda política de distribución de ancho. Preimpresión. [14] Taylor, L. M. y Williams, R. J. (1993). Existencia y singularidad de semi- martingale refleja movimientos brownianos en un ortodoncia. Probando. Teoría relacionada Campos 96 283-317. MR1231926 [15] Williams, R. J. (1998). Un principio de invarianza para el semimartingale que refleja la Nian motions en un ortodoncia. Sistemas de cola 30 5–25. MR1663755 [16] Williams, R. J. (1998). Aproximaciones de difusión para la red abierta de colas multiclase- obras: Condiciones suficientes que implican colapso del espacio del estado. Sistemas de cola Teoria Appl. 30 27–88. MR1663759 Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad Carnegie Mellon Pittsburgh, Pennsylvania 15213 Correo electrónico: weikang@andrew.cmu.edu Departamento de Matemáticas Universidad de California en San Diego 9500 Gilman Drive La Jolla, California 92093 Correo electrónico: williams@math.ucsd.edu http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1346729 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2222685 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1096165 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1207237 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0838085 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1681462 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0473443 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0606992 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0051275 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0959133 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1231926 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1663755 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1663759 mailto:weikang@andrew.cmu.edu mailto:williams@math.ucsd.edu Introducción Notación, terminología y preliminares Definición de un mecanismo de fomento de la confianza social Supuestos sobre el dominio G y los campos vectoriales de reflexión {i} Supuestos sobre el dominio G Supuestos sobre los campos vectoriales de reflexión {i} Principio de invarianza Desigualdad de oscilación Resultado de la estanqueidad C Principio de invariabilidad de las medidas de fomento de la confianza Aplicación del principio de invarianza Debilidad de las medidas de fomento de la confianza SRBM en poliedros convexos con campos de reflexión constante SRBMs en dominios delimitados con bordes lisos a medida Apéndice: Lemas auxiliares Bibliografía Dirección del autor

Finite Drude weight for 1D low temperature conductors

Peso de Drude Finito para conductores de baja temperatura 1D Dariush Heidarian y Sandro Sorella Istituto Nazionale di Fisica della Materia (INFM)-Democritos, Centro Nacional de Simulación, y Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA), I-34014 Trieste, Italia Aplicamos técnicas bien establecidas de temperatura finita QuantumMonte Carlo a una dimensión Sistemas Bose con restricción suave y hardcore, así como sistemas de fermiones sin spin. Damos evidencia numérica clara y sólida de que, como se esperaba, no hay densidad superfluida para Bosons o Meissner fracción para los fermiones. es posible a cualquier temperatura no cero en una dimensión interactuante Bose o modelos de celosía fermi, mientras que un peso finito de Drude se observa generalmente en sistemas sin brecha, en desacuerdo parcial con las expectativas anteriores. Números PACS: 74.25.Fy,71.27.+a,71.10.Fd I. INTRODUCCIÓN En las últimas décadas ha habido una gran cantidad de números y trabajos teóricos para entender el papel de correlación en el modelo de celosía Hamiltonianos. 1,2,3,4,5,6,7 Re- la cuestión ha recibido una atención cada vez mayor y notable importancia, debido a los recientes avances en la realización de celosías ópticas. En estos experimentos ultra- Los átomos fríos se comportan como partículas de bosón atrapadas en particu- sitios de celosía lar, mientras que la interacción y el salto los parámetros se pueden sintonizar continuamente. Esto es importante. ha abierto la posibilidad de verificar directamente el papel crucial desempeñado por la correlación de electrones en muy importante modelo Hamiltonians definido en una celosía. Un ejemplo importante es la realización de un aislamiento Mott en un sistema con fuerte repulsión in situ8,9. Más... sobre muy recientemente la posibilidad de incluir el Fermi estadísticas en celosías ópticas parecen muy prometedoras y interesante10. En los sistemas de fermiones sin spin-less 1D son equivalentes a los sistemas Bose activos con restricción de núcleo duro y son descrito por la misma teoría de baja energía - el Luttinger La teoría de los líquidos. De hecho, esta teoría también es válida para la bosones de núcleo, como se muestra en Ref.(7). Por lo tanto, en la medida en que las propiedades de transporte se refieren uno debe esperar el mismo comportamiento tanto para los fermiones como para los bosones. En el otra mano para los modelos de celosía, incluso en ausencia de disor- der, la corriente no se desplaza con el Hamiltoniano, implicando su posible decaimiento a temperatura finita debido a los procesos de retrodispersión11. En este caso el dinam... la función de correlación corriente-corriente ic también decae en tiempo, lo que conduce a una transformación actual de Fourier sin función a cero energía, es decir, sin un finito Drude peso dentro de la teoría de la respuesta lineal. Hasta hace pocas décadas la ausencia del peso de Drude fue el comportamiento esperado de todos los metales que interactúan en lat- modelos de tice o en sólidos reales a temperatura finita. ¿Cómo...? siempre se ha reportado una evidencia numérica bastante clara en Ref.12 que la corriente no debe decaer en 1D integrable modelos, a saber, para los Hamiltonianos que pueden ser resueltos por Técnicas de ansatz en 1D. Estos modelos esencialmente posee alguna ley de conservación oculta, que era conjec- para prohibir el actual proceso de desintegración.12,13 Más tarde sev- los grupos eral han reproducido este sorprendente efecto14,15, con una notable excepción que un peso finito Drude a temperatura finita se encontró también para no integrable Por otra parte, desde el punto de vista puramente teórico no se ha resuelto aún esta cuestión: en el documento Ref.11 se citan los siguientes motivos: que los procesos de retrodispersión también pueden ser eficaces a temperatura finita y en modelos 1D no integrables, , mientras que en el documento Ref.16, se propuso que también algunas partes modelo no integrable podría proporcionar un actual. En este trabajo proponemos que el comportamiento general de Sistemas sin brecha 1D se caracteriza finalmente por un finito Peso de Drude a temperatura finita, y hemos encontrado ninguna excepción en los modelos que hemos estudiado. Esto la conclusión se basa en un cálculo numérico cuidadoso y sistemático trabajo en Bose unidimensional bastante genérico y Fermi sistemas, que todos muestran el mismo comportamiento, aunque fuertes efectos de tamaño finito se observan en el no integrable casos. En lo siguiente investigamos el comportamiento de la Peso de Drude en sistemas 1D en el límite termodinámico y temperatura finita. Modelo y método : Hemos estudiado hardcore y Bosones blandos en una celosía 1D con límite periódico condiciones. El hamiltoniano estudiado lee, iai+1 + h.c.) + ni(ni − 1) +V nini+1 +Wnini+2 − μni La suma es sobre todos los sitios de celosía i, un i/ai es el bosón creación/aniquilación del operador en el sitio i, en adelante ni es El número de partículas en el sitio i y μ es el poten- Tial. t es la amplitud de salto que se establece en uno, U es la repulsión in situ, mientras que V y W son los más cercanos y las interacciones vecinas más próximas, respectivamente. Para los bosones hardcore en la U → nian puede ser mapeado en un sistema de giro S = 1/2 con Szi = ni − 1/2 y S i = a i. En este trabajo presentamos nuestros resultados para el caso medio lleno de hardcore y suave- modelos básicos. La mayoría de nuestros resultados han sido obtenidos por Quantum Monte Carlo (QMC), usando el se estocástico ries expansion (SSE)5,17 con la actualización del bucle dirigido18. http://arxiv.org/abs/0704.0406v1 Densidad superfluida (o rigidez de giro en el equiva- modelo de giro prestado), se define como la segunda derivada de la energía libre con respecto a un giro en el límite condiciones. Para calcular esta cantidad por QMC, es conveniente aplicar la teoría de la respuesta lineal, relacionando esta cantidad a la función actual de respuesta •(q, iün) = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • J es el operador actual y Łn es la frecuencia Matsubara. Entonces la siguiente expresión para la densidad superfluida se obtiene: (q = 0; Ín = 0) = # O 2 # donde es la energía cinética media por sitio, n = 2ηn/β son las frecuencias Matsubara y W es el viento- Número ing. Del mismo modo, el peso de Drude se obtiene con la misma expresión pero con un orden diferente en el límite 0 y q → 0, a saber15,19,20 D = KÃ3 − ReÃ3n(q = 0, â € → 0). 3) En SSE se puede obtener muy exactamente en términos de Frecuencias Matsubara. Por lo tanto, la continuación analítica los datos son necesarios. Con el fin de evitar dificultades de extrapolación a Ín → 0 a grandes temperaturas, tenemos trabajado a temperaturas relativamente bajas (β ≥ 10). En principio, debido al diferente orden de su, el peso de Drude y la densidad superfluida puede ser diferentes cuando la siguiente cantidad se mantiene fi- nite en el límite termodinámico15: D − ♥s = En=Em β exp(En)nJ m 2/L, donde, J es el operador actual, mientras que En y n son los n eigen- valor y el estado propio de los muchos sistema del cuerpo, respec- Tily. El operador actual se puede escribir como J(q = 0) = ) donde H+ al+1 y b es el enlace índice, correspondiente al índice de sitio l. El conjunto media del producto de dos operadores localesH1 y H/23370/2 ()H/23370/1 (0) = n,m=0 (- β)n(m) kH HmH/23370/1 kó (4) donde ♥ es el tiempo imaginario, Z es la función de partición Y la suma de n y m viene de Taylor... expansión de e()H y eH. Después de Ref.17 la la relación (4) puede simplificarse a (β − ­)ns−m−2­m (ns − 1)! (ns −m−2)!m! N b1b2, donde ns es la longitud de la secuencia de los operadores locales y cambia en cada muestreo QMC. N b1b2, número de veces que dos operadoresH y H/23370/2 Aparecer en esta secuencia con la distancia de los operadores locales m, y W indica un promedio aritmético usando la configuración- ciones con peso relativo W. En este trabajo introducimos una manera eficiente de muestrear por SSE la corriente-corriente función de respuesta. Con este fin, multiplicamos la expresión (5) por ei.n.o. e integrar a lo largo del tiempo imaginario. obtener: 1F1(m+1, ns; 2iηn)N b1b2e1e2 donde 1F1(m+ 1, n; z) = (n− 1)! (n−m−2)!m! dx exp(zx)xm(1− x)n−m−2 (7) es la función hipergeométrica confluente. Por lo tanto, la correlación corriente-corriente adquiere contribuciones determinadas por la longitud de la cadena del operador ns. Todas estas contribuciones son estocásticamente muestreadas de manera eficiente, y en cada medición estadística la función de correlación (q = 0, iŁn) tiene la siguiente: estimador: 1,2=± 1F 1(m+1, ns; 2iηn)N m (8) en los que N b1, b2 N b1b2, Discusión: A cero temperatura, para no degenerar estado del suelo, el peso de Drude y la superfluidez son Lo mismo. En un sistema 1D a cualquier temperatura finita es se espera que sea cero en el límite termodinámico, mientras que el peso de Drude puede ser no cero. Para el hardcore y el soft- bosones de núcleo en una celosía 1D, una escala de tamaño sistemática de la densidad de superfluidos muestra claramente que esta cantidad desaparece en el límite termodinámico y para cualquier finito temperatura (véanse los gráficos 1 y 2). Además, encontramos que, para un conjunto fijo de parámetros y a mitad de llenado, todos super- datos de fluidez frente a 1/L colapsan a una curva cuando el eje x se escala adecuadamente con la temperatura T (véanse los gráficos 1 y 2). Este análisis sugiere la • forma de transporte (β, L) • forma de transporte (β/L). Si uno toma el orden de límite T → 0 después de L → فارسى, la superfluidez sigue siendo cero incluso a cero temperatura. Nótese que tomando primero el límite T → 0 y luego L → • superfluidez tiene un finito valor para la fase sin brecha, pero esto no es una firma de superfluidez, más bien la aparición de un finito peso de la peratura Drude. Aunque en 1D no es posible tienen una densidad finita superfluida a cualquier temperatura no cero- , varios autores han identificado el finito cero tem- peratura Peso de Drude con la densidad superfluida para una superfluido con la desaparición de la temperatura crítica. Estaremos... Creo que esta identificación es un poco confusa y... preferimos pensar en la ausencia de superfluidez y superconductividad en sistemas 1D, como se informa comúnmente en los libros de texto. Fig. 3 muestra la correlación corriente-corriente versus en las fases metálicas y aislantes de un FIG. 1: (color online) Rigidez superfluida para una (a) integrable y un modelo no integrable (b) frente a β/L. El tamaño del sistema L va desde 50 a 1200. FIG. 2: (color online) Superfluidez de los bosones blandos versus el tamaño del sistema escalado a la mitad del llenado, la interacción in situ es U = 4 modelo (W = 0, U = فارسى). El valor de frecuencia cero es la densidad de superfluidos y el límite Peso druso D. Para W = 0 a temperatura cero, allí existe un valor crítico Vc/t = 2 por debajo del cual el Drude El peso es finito. En el primer caso (a) mostrado en la Fig.3) con V/t = 2 el peso de Drude tiene un valor finito en cualquier temperatura finita, que es coherente con el anterior funciona12. En la fase aislante (caso b) con V/t = 3, la densidad superfluida coincide con el peso de Drude y ambos tienden a cero a medida que aumenta el tamaño del sistema. En un modelo no integrable como los bosones de núcleo duro con las interacciones vecinas más cercanas y siguientes más cercanas trabajos anteriores han sugerido cero Drude peso como sistema el tamaño aumenta. Con SSE podemos ir a un sistema muy grande tamaños y bajas temperaturas y comprobar el depen- Dence del peso de Drude. In Fig. 4 hemos trazado correlación corriente-corriente versus frecuencia de Matsubara para diferentes L, y una temperatura fija T = 1/100. As se muestra en la misma Figura (4) también hemos encontrado un finito Peso de Drude en el finito T en el célebre Bose-Hubbard modelo con restricción de softcore y en varios otros mod- FIG. 3: (color en línea) (a) Correlación corriente para un Modelo integrable en la fase metálica. La frecuencia cero los datos muestran superfluidez mientras que la extrapolación a n → 0 es el peso de Drude. D sigue siendo finito con el aumento de L mientras que Se desvanece. b) En la fase de aislamiento D y el mismo valor y ambos tienden a cero aumentando L. FIG. 4: (color en línea) Función de respuesta vs. n para (a) bosones de núcleo con V/t = 1,5, W/t = 1, T/t = 1/100 y (b) Modelo Bose-Hubbard con restricción de softcore y U/t = 2, μ/t = −0,4, T/t = 1/25. Los tamaños del sistema varían de L = 100 a L = 800. els (no se muestra). Aunque algunas pruebas de que pocos par- modelos no integrables ticulares podrían tener un finito Drude el peso a temperatura finita se ha notificado anteriormente, aquí hemos encontrado una evidencia muy convincente de que este el comportamiento debe ser genérico para el sistema sin brechas 1D menos de su integrabilidad. Hemos apoyado esto. declaración por estado de la técnica cálculos numéricos ob- Mantenido para grandes tamaños de sistema y baja temperatura por lo que que todas las extrapolaciones posibles están perfectamente Trol. En conclusión, resulta que, a baja energía, toda la brecha- menos modelos de celosía estudiados escala al líquido Luttinger punto fijo donde el esparcimiento de la espalda es un marginalmente irrel- por lo tanto, la corriente se conserva en el punto fijo. Por lo tanto, se trata de un peculiar y genérico característica de 1D. De hecho en sistemas 2D, como el hardcore bosones con n.n. repulsión en cuadrado y triangular Enrejado, no encontramos ninguna diferencia entre el D y el D. Agradecimientos Damos las gracias al Sr. Troyer por sus útiles conversaciones. Este trabajo está parcialmente apoyado por COFIN-2005 y CNR. 1 E. L. Pollock y D. M. Ceperley Phys. Rev. B 36, 8343 (1987). 2 G. G. Batrouni, R. T. Scaletttar y G. T. Zimanyi Phys. Rev. Lett. 65, 1765 (1990), ibídem Phys. Rev. B 46, 9051 (1992). 3 L. I. Plimak, M. K. Olsen y M. Fleischlauer Phys. Rev. A 70, 013611 (2004). 4 S. Wessel, F. Alet, M. Troyer, y G. G. Batrouni, Phys. Rev. A 70, 053615 (2004). 5 A. W. Sandvik, Phys. Rev. B 56, 11678 (1997). 6 M. P. A. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein y D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989). 7 Véase, por ejemplo, M. A. Cazalilla J. Phys. B 37, S1 (2004) y En ese caso, se trata de una cuestión de orden. 8 M. Greiner y otros Nature (Londres) 415, 39 (2002). 9 M. Greiner y otros Nature (Londres) 426, 537 (2003). 10 Véase, por ejemplo, H. Moritz et al. Phys. Rev. Lett. 94, 210401 (2005) y sus referencias. 11 A. Rosch y N. Andrei Phys. Rev. Lett. 85, 1092 (2000). 12 X. Zotos y P. Prelovs̈ek Phys. Rev. B 53, 983 (1996). 13 H. Castella, X. Zotos y P. Prelovs̈ek Phys. Rev. Lett. 74, 972 (1995). 14 D. Poilblanc y otros, Europhys. Lett. 22, 537 (1993). 15 S. Kirchner, H. G. Evertz y W. Hanke Phys. Rev. B 59, 1825 (1999). 16 S. Fujimoto y N. Kawakami, Phys. Rev. Lett. 90, 197202 (2003); ibíd., S. Fujimoto y N. Kawakami Jour. Phys. A 31, 465 (1998). 17 A. W. Sandvik, J. Phys. A 25, 3667 (1992). 18 O. F. Syljuasen y A. W. Sandvik, Phys. Rev. E 66, 046701 (2002). 19 D. J. Scalapino, S. R. White y S. Zhang Phys. Rev. B 47, 7995 (1993). 20 En principio hay un asunto sutil relacionado con el • → 0 límite, que debe ser utilizado para las frecuencias reales. Nosotros asumir aquí que la continuación analítica de la función Es posible, ya que es evidente en cualquier grupo finito, y, por lo tanto, este límite puede obtenerse mediante interpolación de frecuencias Matsubara en torno a 0, es decir, a pequeñas suficiente temperatura.

Aplicamos las técnicas Quantum Monte Carlo de temperatura finita bien establecidas a un sistema Bose dimensional con restricción suave y hardcore, así como a sistemas de fermiones sin spin. Damos pruebas numéricas claras y sólidas de que, como se esperaba, no hay densidad superfluida para Bosons o fracción Meissner para fermiones. es posible a cualquier temperatura no cero en una dimensión interactuando Bose o modelos de celosía fermi, mientras que un peso finito de Drude es generalmente observados en sistemas sin brecha, en desacuerdo parcial con los anteriores expectativas.

Peso de Drude Finito para conductores de baja temperatura 1D Dariush Heidarian y Sandro Sorella Istituto Nazionale di Fisica della Materia (INFM)-Democritos, Centro Nacional de Simulación, y Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA), I-34014 Trieste, Italia Aplicamos técnicas bien establecidas de temperatura finita QuantumMonte Carlo a una dimensión Sistemas Bose con restricción suave y hardcore, así como sistemas de fermiones sin spin. Damos evidencia numérica clara y sólida de que, como se esperaba, no hay densidad superfluida para Bosons o Meissner fracción para los fermiones. es posible a cualquier temperatura no cero en una dimensión interactuante Bose o modelos de celosía fermi, mientras que un peso finito de Drude se observa generalmente en sistemas sin brecha, en desacuerdo parcial con las expectativas anteriores. Números PACS: 74.25.Fy,71.27.+a,71.10.Fd I. INTRODUCCIÓN En las últimas décadas ha habido una gran cantidad de números y trabajos teóricos para entender el papel de correlación en el modelo de celosía Hamiltonianos. 1,2,3,4,5,6,7 Re- la cuestión ha recibido una atención cada vez mayor y notable importancia, debido a los recientes avances en la realización de celosías ópticas. En estos experimentos ultra- Los átomos fríos se comportan como partículas de bosón atrapadas en particu- sitios de celosía lar, mientras que la interacción y el salto los parámetros se pueden sintonizar continuamente. Esto es importante. ha abierto la posibilidad de verificar directamente el papel crucial desempeñado por la correlación de electrones en muy importante modelo Hamiltonians definido en una celosía. Un ejemplo importante es la realización de un aislamiento Mott en un sistema con fuerte repulsión in situ8,9. Más... sobre muy recientemente la posibilidad de incluir el Fermi estadísticas en celosías ópticas parecen muy prometedoras y interesante10. En los sistemas de fermiones sin spin-less 1D son equivalentes a los sistemas Bose activos con restricción de núcleo duro y son descrito por la misma teoría de baja energía - el Luttinger La teoría de los líquidos. De hecho, esta teoría también es válida para la bosones de núcleo, como se muestra en Ref.(7). Por lo tanto, en la medida en que las propiedades de transporte se refieren uno debe esperar el mismo comportamiento tanto para los fermiones como para los bosones. En el otra mano para los modelos de celosía, incluso en ausencia de disor- der, la corriente no se desplaza con el Hamiltoniano, implicando su posible decaimiento a temperatura finita debido a los procesos de retrodispersión11. En este caso el dinam... la función de correlación corriente-corriente ic también decae en tiempo, lo que conduce a una transformación actual de Fourier sin función a cero energía, es decir, sin un finito Drude peso dentro de la teoría de la respuesta lineal. Hasta hace pocas décadas la ausencia del peso de Drude fue el comportamiento esperado de todos los metales que interactúan en lat- modelos de tice o en sólidos reales a temperatura finita. ¿Cómo...? siempre se ha reportado una evidencia numérica bastante clara en Ref.12 que la corriente no debe decaer en 1D integrable modelos, a saber, para los Hamiltonianos que pueden ser resueltos por Técnicas de ansatz en 1D. Estos modelos esencialmente posee alguna ley de conservación oculta, que era conjec- para prohibir el actual proceso de desintegración.12,13 Más tarde sev- los grupos eral han reproducido este sorprendente efecto14,15, con una notable excepción que un peso finito Drude a temperatura finita se encontró también para no integrable Por otra parte, desde el punto de vista puramente teórico no se ha resuelto aún esta cuestión: en el documento Ref.11 se citan los siguientes motivos: que los procesos de retrodispersión también pueden ser eficaces a temperatura finita y en modelos 1D no integrables, , mientras que en el documento Ref.16, se propuso que también algunas partes modelo no integrable podría proporcionar un actual. En este trabajo proponemos que el comportamiento general de Sistemas sin brecha 1D se caracteriza finalmente por un finito Peso de Drude a temperatura finita, y hemos encontrado ninguna excepción en los modelos que hemos estudiado. Esto la conclusión se basa en un cálculo numérico cuidadoso y sistemático trabajo en Bose unidimensional bastante genérico y Fermi sistemas, que todos muestran el mismo comportamiento, aunque fuertes efectos de tamaño finito se observan en el no integrable casos. En lo siguiente investigamos el comportamiento de la Peso de Drude en sistemas 1D en el límite termodinámico y temperatura finita. Modelo y método : Hemos estudiado hardcore y Bosones blandos en una celosía 1D con límite periódico condiciones. El hamiltoniano estudiado lee, iai+1 + h.c.) + ni(ni − 1) +V nini+1 +Wnini+2 − μni La suma es sobre todos los sitios de celosía i, un i/ai es el bosón creación/aniquilación del operador en el sitio i, en adelante ni es El número de partículas en el sitio i y μ es el poten- Tial. t es la amplitud de salto que se establece en uno, U es la repulsión in situ, mientras que V y W son los más cercanos y las interacciones vecinas más próximas, respectivamente. Para los bosones hardcore en la U → nian puede ser mapeado en un sistema de giro S = 1/2 con Szi = ni − 1/2 y S i = a i. En este trabajo presentamos nuestros resultados para el caso medio lleno de hardcore y suave- modelos básicos. La mayoría de nuestros resultados han sido obtenidos por Quantum Monte Carlo (QMC), usando el se estocástico ries expansion (SSE)5,17 con la actualización del bucle dirigido18. http://arxiv.org/abs/0704.0406v1 Densidad superfluida (o rigidez de giro en el equiva- modelo de giro prestado), se define como la segunda derivada de la energía libre con respecto a un giro en el límite condiciones. Para calcular esta cantidad por QMC, es conveniente aplicar la teoría de la respuesta lineal, relacionando esta cantidad a la función actual de respuesta •(q, iün) = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • J es el operador actual y Łn es la frecuencia Matsubara. Entonces la siguiente expresión para la densidad superfluida se obtiene: (q = 0; Ín = 0) = # O 2 # donde es la energía cinética media por sitio, n = 2ηn/β son las frecuencias Matsubara y W es el viento- Número ing. Del mismo modo, el peso de Drude se obtiene con la misma expresión pero con un orden diferente en el límite 0 y q → 0, a saber15,19,20 D = KÃ3 − ReÃ3n(q = 0, â € → 0). 3) En SSE se puede obtener muy exactamente en términos de Frecuencias Matsubara. Por lo tanto, la continuación analítica los datos son necesarios. Con el fin de evitar dificultades de extrapolación a Ín → 0 a grandes temperaturas, tenemos trabajado a temperaturas relativamente bajas (β ≥ 10). En principio, debido al diferente orden de su, el peso de Drude y la densidad superfluida puede ser diferentes cuando la siguiente cantidad se mantiene fi- nite en el límite termodinámico15: D − ♥s = En=Em β exp(En)nJ m 2/L, donde, J es el operador actual, mientras que En y n son los n eigen- valor y el estado propio de los muchos sistema del cuerpo, respec- Tily. El operador actual se puede escribir como J(q = 0) = ) donde H+ al+1 y b es el enlace índice, correspondiente al índice de sitio l. El conjunto media del producto de dos operadores localesH1 y H/23370/2 ()H/23370/1 (0) = n,m=0 (- β)n(m) kH HmH/23370/1 kó (4) donde ♥ es el tiempo imaginario, Z es la función de partición Y la suma de n y m viene de Taylor... expansión de e()H y eH. Después de Ref.17 la la relación (4) puede simplificarse a (β − ­)ns−m−2­m (ns − 1)! (ns −m−2)!m! N b1b2, donde ns es la longitud de la secuencia de los operadores locales y cambia en cada muestreo QMC. N b1b2, número de veces que dos operadoresH y H/23370/2 Aparecer en esta secuencia con la distancia de los operadores locales m, y W indica un promedio aritmético usando la configuración- ciones con peso relativo W. En este trabajo introducimos una manera eficiente de muestrear por SSE la corriente-corriente función de respuesta. Con este fin, multiplicamos la expresión (5) por ei.n.o. e integrar a lo largo del tiempo imaginario. obtener: 1F1(m+1, ns; 2iηn)N b1b2e1e2 donde 1F1(m+ 1, n; z) = (n− 1)! (n−m−2)!m! dx exp(zx)xm(1− x)n−m−2 (7) es la función hipergeométrica confluente. Por lo tanto, la correlación corriente-corriente adquiere contribuciones determinadas por la longitud de la cadena del operador ns. Todas estas contribuciones son estocásticamente muestreadas de manera eficiente, y en cada medición estadística la función de correlación (q = 0, iŁn) tiene la siguiente: estimador: 1,2=± 1F 1(m+1, ns; 2iηn)N m (8) en los que N b1, b2 N b1b2, Discusión: A cero temperatura, para no degenerar estado del suelo, el peso de Drude y la superfluidez son Lo mismo. En un sistema 1D a cualquier temperatura finita es se espera que sea cero en el límite termodinámico, mientras que el peso de Drude puede ser no cero. Para el hardcore y el soft- bosones de núcleo en una celosía 1D, una escala de tamaño sistemática de la densidad de superfluidos muestra claramente que esta cantidad desaparece en el límite termodinámico y para cualquier finito temperatura (véanse los gráficos 1 y 2). Además, encontramos que, para un conjunto fijo de parámetros y a mitad de llenado, todos super- datos de fluidez frente a 1/L colapsan a una curva cuando el eje x se escala adecuadamente con la temperatura T (véanse los gráficos 1 y 2). Este análisis sugiere la • forma de transporte (β, L) • forma de transporte (β/L). Si uno toma el orden de límite T → 0 después de L → فارسى, la superfluidez sigue siendo cero incluso a cero temperatura. Nótese que tomando primero el límite T → 0 y luego L → • superfluidez tiene un finito valor para la fase sin brecha, pero esto no es una firma de superfluidez, más bien la aparición de un finito peso de la peratura Drude. Aunque en 1D no es posible tienen una densidad finita superfluida a cualquier temperatura no cero- , varios autores han identificado el finito cero tem- peratura Peso de Drude con la densidad superfluida para una superfluido con la desaparición de la temperatura crítica. Estaremos... Creo que esta identificación es un poco confusa y... preferimos pensar en la ausencia de superfluidez y superconductividad en sistemas 1D, como se informa comúnmente en los libros de texto. Fig. 3 muestra la correlación corriente-corriente versus en las fases metálicas y aislantes de un FIG. 1: (color online) Rigidez superfluida para una (a) integrable y un modelo no integrable (b) frente a β/L. El tamaño del sistema L va desde 50 a 1200. FIG. 2: (color online) Superfluidez de los bosones blandos versus el tamaño del sistema escalado a la mitad del llenado, la interacción in situ es U = 4 modelo (W = 0, U = فارسى). El valor de frecuencia cero es la densidad de superfluidos y el límite Peso druso D. Para W = 0 a temperatura cero, allí existe un valor crítico Vc/t = 2 por debajo del cual el Drude El peso es finito. En el primer caso (a) mostrado en la Fig.3) con V/t = 2 el peso de Drude tiene un valor finito en cualquier temperatura finita, que es coherente con el anterior funciona12. En la fase aislante (caso b) con V/t = 3, la densidad superfluida coincide con el peso de Drude y ambos tienden a cero a medida que aumenta el tamaño del sistema. En un modelo no integrable como los bosones de núcleo duro con las interacciones vecinas más cercanas y siguientes más cercanas trabajos anteriores han sugerido cero Drude peso como sistema el tamaño aumenta. Con SSE podemos ir a un sistema muy grande tamaños y bajas temperaturas y comprobar el depen- Dence del peso de Drude. In Fig. 4 hemos trazado correlación corriente-corriente versus frecuencia de Matsubara para diferentes L, y una temperatura fija T = 1/100. As se muestra en la misma Figura (4) también hemos encontrado un finito Peso de Drude en el finito T en el célebre Bose-Hubbard modelo con restricción de softcore y en varios otros mod- FIG. 3: (color en línea) (a) Correlación corriente para un Modelo integrable en la fase metálica. La frecuencia cero los datos muestran superfluidez mientras que la extrapolación a n → 0 es el peso de Drude. D sigue siendo finito con el aumento de L mientras que Se desvanece. b) En la fase de aislamiento D y el mismo valor y ambos tienden a cero aumentando L. FIG. 4: (color en línea) Función de respuesta vs. n para (a) bosones de núcleo con V/t = 1,5, W/t = 1, T/t = 1/100 y (b) Modelo Bose-Hubbard con restricción de softcore y U/t = 2, μ/t = −0,4, T/t = 1/25. Los tamaños del sistema varían de L = 100 a L = 800. els (no se muestra). Aunque algunas pruebas de que pocos par- modelos no integrables ticulares podrían tener un finito Drude el peso a temperatura finita se ha notificado anteriormente, aquí hemos encontrado una evidencia muy convincente de que este el comportamiento debe ser genérico para el sistema sin brechas 1D menos de su integrabilidad. Hemos apoyado esto. declaración por estado de la técnica cálculos numéricos ob- Mantenido para grandes tamaños de sistema y baja temperatura por lo que que todas las extrapolaciones posibles están perfectamente Trol. En conclusión, resulta que, a baja energía, toda la brecha- menos modelos de celosía estudiados escala al líquido Luttinger punto fijo donde el esparcimiento de la espalda es un marginalmente irrel- por lo tanto, la corriente se conserva en el punto fijo. Por lo tanto, se trata de un peculiar y genérico característica de 1D. De hecho en sistemas 2D, como el hardcore bosones con n.n. repulsión en cuadrado y triangular Enrejado, no encontramos ninguna diferencia entre el D y el D. Agradecimientos Damos las gracias al Sr. Troyer por sus útiles conversaciones. Este trabajo está parcialmente apoyado por COFIN-2005 y CNR. 1 E. L. Pollock y D. M. Ceperley Phys. Rev. B 36, 8343 (1987). 2 G. G. Batrouni, R. T. Scaletttar y G. T. Zimanyi Phys. Rev. Lett. 65, 1765 (1990), ibídem Phys. Rev. B 46, 9051 (1992). 3 L. I. Plimak, M. K. Olsen y M. Fleischlauer Phys. Rev. A 70, 013611 (2004). 4 S. Wessel, F. Alet, M. Troyer, y G. G. Batrouni, Phys. Rev. A 70, 053615 (2004). 5 A. W. Sandvik, Phys. Rev. B 56, 11678 (1997). 6 M. P. A. Fisher, P. B. Weichman, G. Grinstein y D. S. Fisher, Phys. Rev. B 40, 546 (1989). 7 Véase, por ejemplo, M. A. Cazalilla J. Phys. B 37, S1 (2004) y En ese caso, se trata de una cuestión de orden. 8 M. Greiner y otros Nature (Londres) 415, 39 (2002). 9 M. Greiner y otros Nature (Londres) 426, 537 (2003). 10 Véase, por ejemplo, H. Moritz et al. Phys. Rev. Lett. 94, 210401 (2005) y sus referencias. 11 A. Rosch y N. Andrei Phys. Rev. Lett. 85, 1092 (2000). 12 X. Zotos y P. Prelovs̈ek Phys. Rev. B 53, 983 (1996). 13 H. Castella, X. Zotos y P. Prelovs̈ek Phys. Rev. Lett. 74, 972 (1995). 14 D. Poilblanc y otros, Europhys. Lett. 22, 537 (1993). 15 S. Kirchner, H. G. Evertz y W. Hanke Phys. Rev. B 59, 1825 (1999). 16 S. Fujimoto y N. Kawakami, Phys. Rev. Lett. 90, 197202 (2003); ibíd., S. Fujimoto y N. Kawakami Jour. Phys. A 31, 465 (1998). 17 A. W. Sandvik, J. Phys. A 25, 3667 (1992). 18 O. F. Syljuasen y A. W. Sandvik, Phys. Rev. E 66, 046701 (2002). 19 D. J. Scalapino, S. R. White y S. Zhang Phys. Rev. B 47, 7995 (1993). 20 En principio hay un asunto sutil relacionado con el • → 0 límite, que debe ser utilizado para las frecuencias reales. Nosotros asumir aquí que la continuación analítica de la función Es posible, ya que es evidente en cualquier grupo finito, y, por lo tanto, este límite puede obtenerse mediante interpolación de frecuencias Matsubara en torno a 0, es decir, a pequeñas suficiente temperatura.

Density dependent hadronic models and the relation between neutron stars and neutron skin thickness

arXiv:0704.0407v1 [nucl-th] 3 Abr 2007 Modelos hadrónicos dependientes de la densidad y la relación entre las estrellas de neutrones y espesor de la piel de neutrones S.S. Avancini,1 J.R. Marinelli,1 D.P. Menezes, 1 M.M.W. Moraes,1 y C. Providência2 Depto de Fsica - CFM - Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis - SC - CP. 476 - CEP 88.040 - 900 - Brasil Centro de Física Teórica - Dep. de Fsica - Universidade de Coimbra - P-3004 - 516 - Coimbra - Portugal En el presente trabajo investigamos las principales diferencias en el espesor de la piel de neutrones de plomo, Perfiles de energía, energía superficial y densidad obtenidos con dos hadron dependiente de densidad diferente modelos. Nuestros resultados se calculan dentro de la aproximación de Thomas-Fermi con dos diferentes prescripciones numéricas y comparadas con los resultados obtenidos con una parametrización común de la Modelo no lineal Walecka. El espesor de la piel de neutrones es un reflejo de la ecuación de las propiedades del estado. Por lo tanto, una correlación directa entre el espesor de la piel de neutrones y la pendiente de la simetría se encuentra la energía. Demostramos que dentro de las aproximaciones actuales el parámetro de asimetría para baja la dispersión de electrones polarizada de la transferencia de impulso no es sensible a las diferencias del modelo. Número(s) PACS: 21.65.+f,24.10.Jv,95.30.Tg,26.60.+c I. INTRODUCCIÓN La relación entre las propiedades de las estrellas de neutrones que son obtenido a partir de ecuaciones adecuadas de estado (EoS) y el El espesor de la piel de neutrones ha sido durante mucho tiempo un tema de investigación gation en la literatura. Los detalles de esta relación y las cantidades importantes a discutir han estado bien establecido en [1], donde se demostró que la diferencia entre el neutrón y el radio protón, el neutrón espesor de la piel, se correlaciona linealmente con la presión de materia de neutrones en densidades subnucleares. Esto es tan... porque las propiedades de las estrellas de neutrones se obtienen de apropiada EES cuya energía de simetría depende de la densidad y también controla el tamaño de la piel de neutrones espesor en núcleos pesados y asimétricos, como 208 Pb, para instancia. Es importante recordar que la EES en estrellas de neutrones también es muy isospina asimétrica debido a la Restricción de equilibrio β. Por lo tanto, la asimetría de isospin juega un papel importante en el derstanding de la dependencia de densidad de la simetría la energía y las consecuencias que puede tener [2]. En [3, 4] se demostró que los modelos que producen neutrones más pequeños pieles en núcleos pesados tienden a producir estrellas de neutrones más pequeñas radios debido a un EoS más suave. Se cree que las estrellas de neutrones tienen una corteza sólida formada por materia rica en neutrones no uniforme en β-equilibrio por encima de un manto líquido. En el interior de la corteza núcleos coex- ist con un gas de neutrones que han goteado. Los propiedades de esta corteza como, por ejemplo, su espesor y presión en la interfaz de la corteza-núcleo depende mucho de la la dependencia de densidad de la EES utilizada para describirla [4, 5]. Por otra parte, es bien sabido [6, 7] que el ex- istencia de las transiciones de fase de fase líquida a fase gaseosa en la materia nuclear asimétrica (ANM) está intrínsecamente relacionada con las regiones de inestabilidad que se ven limitadas por el spin- Odals. Las inestabilidades en ANM descritas dentro de relativista modelos de hadrones de campo medio, tanto con constantes como den- acoplamientos dependientes de sity a cero y temperaturas finitas ya han sido investigados [7] y se ha demostrado que las principales diferencias se producen a temperatura finita y grande isospin asimetría cerca del límite de la insta- regiones de capacidad. En neutrones neutros-protones-electrón (npe) materia los electrones también están incluidos. En un termo- cálculo námico de las inestabilidades casi por completo desaparecen debido al alto electrón de energía Fermi [8]. Sin embargo, en un cálculo dinámico que incluye la Interacción Coulomb y permite neutrones independientes, fluctuaciones de protones y electrones [9, 10], se ve que la dinámica de electrones tiende a restaurar la onda corta- las inestabilidades de longitud, aunque moderadas por la alta elec- Tron Fermi energía. Por otra parte, también se sabe que la fase de gas líquido la transición en ANM puede conducir a una destilación de isospina phe- nomenón, caracterizado por una fracción de protones más grande en la fase líquida que en la fase gaseosa. Esto se debe a el canal isovector repulsivo de la interacción nuclear [11-13]. En un trabajo reciente, la sección espinodal y los como el neutrones a las fluctuaciones de la densidad de protones re- esponsible para el efecto de destilación, se ha estudiado dentro de diferentes modelos relativistas [8]. Se demostró que el efecto de destilación dentro de la relativis dependiente de la densidad Los modelos tic disminuyen con una densidad por encima de una densidad nuclear de 0,02−0,03 fm−3, un resultado similar al obtenido con la parametrización SLy230a de la interacción Skyrme [14] y contrariamente a los resultados encontrados con Parametrizaciones relativistas sin densidad depen- parámetros de acoplamiento de abolladura. En el último caso, la destilación efecto se hace siempre más grande a medida que la densidad aumenta. Además, el comportamiento de la energía de simetría obtenida con modelos dependientes de densidad está más cerca de lo que un ob- Con modelos no relativistas que con otros modelos rel- modelos atívicos con acoplamientos constantes [7]. En un a- tentad a entender este comportamiento, una comparación ser- Entre la fuerza no relativista Skyrme y la fuerza efectiva Los modelos de campo medio atívicos en densidades de subsaturación fueron: realizado [15]. Se demostró que el modelo relativista els también podría reducirse a una densidad de energía funcional similar a la que describe la interacción Skyrme. http://arxiv.org/abs/0704.0407v1 Ya se han realizado algunos esfuerzos con el fin de la materia nuclear y las propiedades de los núcleos finitos obtenidos ambos con modelos relativistas y no relativistas [16, 17] Pero no hay explicaciones claras o obvias para la diferencia. Ences. A densidades muy bajas tanto, el relativista como el Los enfoques no relativistas predicen un no homogéneo fase comúnmente llamada fase de pasta, formada por un com- petición entre la repulsión Coulomb de largo alcance y la atracción nuclear de corto alcance [18]. Sobre la base de los argumentos anteriores, es muy importante que una medición experimental precisa de la neu- se alcanza el espesor de la piel. Esto depende de una precisión medición tanto de la carga como del radio de neutrones. El radio de carga ya se conoce con una precisión de uno por ciento para los núcleos más estables, utilizando el conocido Desperdicios de electrones elásticos de un solo brazo y no polarizados técnica así como la espectroscopia de átomos muónicos [19]. Para el radio de neutrones, nuestro conocimiento actual tiene una incertidumbre de aproximadamente 0,2 fm [20]. Sin embargo, utilizando po- haces de electrones larizados es posible obtener el neutrones distribución en núcleos de forma bastante independiente, como se examina por primera vez en [21] y, en consecuencia, para obtener el radio de neutrones deseado. De hecho, el Radio Paridad Experimento (PREX) en el Laboratorio Jefferson [22] es actualmente en ejecución para medir el radio de neutrones 208Pb con una precisión inferior a 0,05 fm, utilizando Desperdicios de electrones. En el presente trabajo, utilizamos dos hadronic diferentes modelos que incorporan la dependencia de densidad en diferen- Ent ways. La primera, a la que nos referimos a continuación como la El modelo TW es un modelo hadrónico dependiente de la densidad con los acoplamientos de mesón a nucleón que dependen explícitamente de la densidad [23, 24]. En lo siguiente se utiliza para cal- cular el espesor de la piel de neutrones de 208Pb, que es un núcleo pesado rico en neutrones. Este modelo fue elegido por... porque se basa en un cálculo microscópico, encaja bien muchas propiedades de los núcleos y, como se ha indicado anteriormente, ha demostrado proporcionar resultados que sean diferentes de los usuales NL3 [25] y TM1 [26] parametrizaciones para las no lineales Modelo Walecka (NLWM), con una densidad más rica dence de la energía de simetría que la mayoría de los rela- modelos nucleares tivíticos. La motivación original para el desarrollo de este modelo hadrónico dependiente de la densidad [27, 28] debía reproducir los resultados obtenidos con teoría atívica Dirac-Brueckner Hartree-Fock (DBHF) [29]. Más tarde los cálculos de DBHF para la materia nuclear se tomaron sólo como una guía para una parametrización adecuada de la dependencia de densidad del acoplamiento entre meson y nucleón operadores [24, 30]. Además, la densidad dependiente de hadronic modelos también puede ser una herramienta útil en la obtención de EoS para estrellas de neutrones, incluso si se consideran hiperones [32], que no es el caso si se utilizan NL3 o TM1. Ambos, NL3 y TM1, sólo se puede utilizar si la EES está restringida a ac- los neutrones, los protones y los leptones necesarios como comadatos para hacer cumplir la β-estabilidad. Una vez incluidos los hiperones, Los nucleones adquieren una masa efectiva negativa por encima de los 3-4-0 densidades [33, 34], donde la saturación nuclear es den- sity. El segundo modelo, al que nos referimos como modelo NL, incluye los acoplamientos no lineales (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( - 37] que permiten cambiar la dependencia de densidad de la energía de simetría de las parametrizaciones más comunes de la NLWM que muestran esencialmente un comportamiento lineal de la energía de simetría con densidad. Sin embargo, la simetría... prueba la energía determina el comportamiento de isospin asimétrico materia y por lo tanto está intrínsecamente relacionado con el char- acterística de la EES que puede describir estrellas de neutrones. Dentro de este modelo los autores de [3] han demostrado que el espesor de la piel de neutrones de 208Pb fue sensible a la canal isovector de la interacción nuclear y hubo una correlación entre el espesor de la piel de neutrones de los núcleos y propiedades de las estrellas de neutrones. En aras de la exhaustividad, los resultados trabajo, siempre que sea posible se comparan con los resultados obtenido con la parametrización NL3 del NLWM, conocidos para describir bien las propiedades de los núcleos finitos. Realizamos dos cálculos numéricos diferentes para tienen las propiedades 208Pb: a Thomas-Fermi aproxima- ión basada en la transición de fase líquido-gas desarrollada en [38] y una aproximación de Thomas-Fermi basada en una método propuesto en [39], donde un oscilador armónico ba- se usa hermatitis. Nos limitamos a los Thomas-Fermi. Aproximación porque, como se muestra en los resultados sec- al final del documento, con el fin de obtener correcta energía de la superficie y el espesor de la piel de neutrones, es casi tan bueno como la solución de la ecuación de Dirac. En este punto vale la pena mencionar que el escalar- Isovector Mesons, que desempeñan un papel importante en el canal isospin, también podría ser incorporado en nuestro trabajo como se hizo en [7, 9, 40] pero con el fin de hacer el compar- iones entre diferentes aproximaciones tan simples como possi- ble, se incluirán en un trabajo futuro. Por último, como estamos interesados en las propiedades de estado de suelo núcleos, todos los cálculos se realizan a temperatura cero. II. EL DEPENDIENTE DE LA DENSIDAD TW MODELO HADRÓNICO A continuación describimos las principales cantidades del modelo TW, que tenga parámetros de acoplamiento dependientes de la densidad. Los La densidad lagrangiana dice: L = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * • · bμ −e (1 + ♥i3) − (M • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( m2sŁ2)− m2vVμV • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m2?bμ ·b * (1) en los que , V μ, bμ y Aμ son la escalar-isoscalar, vector- los campos isoescalar y vector-isovector meson y el pho- ton campo, respectivamente, = Vν − Vμ, B = b/ − bμ − (bμ × b/), F{ = A/ − Aμ y * p3 = 1, y n3 = −1. Los parámetros del modelo son: la masa de nucleones M = 939 MeV, las masas de la mesons ms, mv, mz, el acoplamiento electromagnético con- stant e = 4η/137 y el acoplamiento dependiente de la densidad las constantes de orden, v y v, que se ajustan en reproducir algunas de las propiedades a granel de la materia nuclear se muestra en la Tabla I, utilizando la siguiente parametrización: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * hi(x) = ai 1 + bi(x+ di) 1 + ci(x + di)2 , i = s, v (3) hl(x) = exp[−a/23370/(x− 1)], (4) con los valores de los parámetros mi,?i(?sat), ai, bi, ci y di, i = s, v, Este modelo no incluir términos de auto-interacción para los campos de mesón (es decir, En el caso de las parametrizas NL3 o TM1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ) como en el caso de las parametrizas NL3 o TM1 ciones para el NLWM. Las ecuaciones de campo de movimiento siguen de la Euler- Ecuaciones Lagrange. Cuando se obtienen, algunos cuidados debe tomarse ya que los operadores de acoplamiento dependen de los campos baryon y a través de la densidad. Cuando el derivados parciales de L se realizan relativamente a la campos y, que producen términos adicionales debido a la func- dependencia de los operadores de acoplamiento. El nuevo los términos están ausentes en el habitual Hadrodinámico cuántico (QHD, NLWM) modelos [25, 26, 31]. Las ecuaciones de el texto de la moción relativa a los campos es el siguiente: μ +m2  +m2vV μ = v , (6) (+m2ob) , (7) (1 + Ł3)γ , (8) [(i♥] μ - ) - M*] = 0, (9) donde M* = Ms. Nótese que en la ecuación de mo- • el vector de auto-energía consiste en de dos términos, = μ +  μ, donde: •(0)μ = Vμ + bμ + (1 + Ł3)Aμ, (10) Rμ = V /j/+ b/ · j/ 3 − donde فارسى μ es el vector habitual de autoenergía, uμ = jμ con U2 = 1 j v =, j 3 = y, como resultado de la derivada de la Lagrangian con respecto a un nuevo término aparece, Rμ, que se llama reordenamiento auto- energía y se ha demostrado que juega un papel esencial en las aplicaciones de la teoría. Este término garantiza la Consistencia termodinámica y el momentum energético conservación. Para cálculos más detallados, a cero y temperaturas finitas, por favor consulte [41]. En el caso estático no hay corrientes en el núcleo y los componentes de vectores espaciales son cero. Por lo tanto, las ecuaciones mesónicas del movimiento se vuelven: 2 ° = m2ssssssssss, (12) +2V0 = m2vV0 − 2b0 = m2zb0 − *3, (14) 2A0 = −p, (15) donde la densidad escalar es la densidad escalar, la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la El protón y el neutrón son el protón y el neutrón. densidades. A. Acercamiento de Thomas-Fermi Primero definimos el funcionamiento  = E − μpBp − μnBn, (16) donde E es la energía, μp (μn) es el protón (neutrón) potencial químico y Bp (Bn) es el protón (neutrón) número. Dentro del semiclásico Thomas-Fermi ap- proximación, la energía del sistema nuclear con par- ticles descritos por la distribución de espacio-fase de un cuerpo función f(r,p, t) en la posición r, t instantánea con impulso p es dada por (2η)3 fi(r,p, t) p2 +M*2 + Vi ()2 +m2sŁ2 − (­V0)2 −m2vV 20 − (+b0)2 − m2­b20 − (+A0)2 donde Vp = ­vV0 + b0 + eA0, Vn = ­vV0 − γ = 2 se refiere a la multiplicidad de efectos y la distribución funciones de tion para protones y neutrones son fi = (k) Fi(r) − p2), i = p, n. En este enfoque, las densidades escalar, protón y neutrones convertirse en: ♥s(r) = i=p,n ∫ kFi(r) con = p2 +M*2 y d3r?i,?i(r) = k3Fi(r). De las expresiones anteriores obtenemos para (16) ()2 − (­V0)2 − (­B0)2 − (­A0)2 + Vef Vef = 2 −m2vV 20 −m2­b20 − μp.p. − μn. μn. μn. μp. μp. μp. μn. μp. μp. μp. μp. μn. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μ. μp. μ. μp. μ. μp. μ i=p,n ∫ kFi dpp2vV0 *3 + eA0-p (18) Minimización de  con respecto a kFi(r), i = p, n, da lugar a las siguientes condiciones: k2Fp +M ∗2 • vV0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • b0 − eA0 − R0 k2Fn +M ∗2 − ­vV0 + b0 − فارسىR0 donde el plazo de reorganización es R0 = V0 + • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De las ecuaciones anteriores obtenemos kFp = 0 y kFn = 0 o, para kFp o kFn diferentes de cero, k2Fp +M *2 + ­vV0 + b0 + eA0 0, (19) k2Fn +M *2 + ­vV0 − B0 0. (20) Los valores de kFp y kFn se obtienen invirtiendo estos dos últimas ecuaciones. Deficiencias de densidad en los parámetros de acoplamiento no afectan a la energía funcional, pero por supuesto afectan su derivado, como la densidad de presión y la potencialidades icales. Como ya se discutió en la literatura [7–9, 32], el término de reorganización es crucial para obtener diferentes comportamientos en las propiedades físicas relacionadas con el potenciales químicos o sus derivados con respecto a la densidad, como las regiones espinodales, en comparación con las parametrizaciones NL3 o TM1 más comunes. III. NL MODELO La densidad lagrangiana que incorpora el extra Acoplamientos no lineales [3, 35–37] L = i − gvV μ − * • · bμ −e (1 + ♥i3) − (M − gs ( m2sŁ2)− 3 − 1 4 − 1 m2vVμV μ − 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m2μbμ · bμ − +g2­bμ · bμ[­sg2s­l2 + ­vg2­vVμV μ], (21) donde , Bo y Fo se definen después de eq.(1). Los los parámetros del modelo son de nuevo las masas y el los acoplamientos, que ahora son constantes, es decir, gs sustituyen a gv substituye a v y g substituye a. Los términos no lineales son: También se incluye. Hemos seguido la prescripción de [3], donde el punto de partida fue la parametrización NL3 y se ajustó el enganche de g.g. para cada valor de la Acoplamiento estudiado de tal manera que para kF = 1.15 fm−1 (no el punto de saturación) la energía de simetría es 25.68 MeV. En el presente trabajo establecemos s = 0 como en [37]. Nótese que otras posibilidades para este modelo son las siguientes: • los acoplamientos ya han sido discutidos en el literatura como en [4], por ejemplo. Las ecuaciones mesónicas del movimiento en el Thomas-Fermi la aproximación pasa a ser 2 ° = m2s gsl + *3 (22) +2V0 = m2vV0 − gv 2­vg2v V0 g2­b20, (23) 2b0 = m2zb0 − 3 ° + 2° vg 0, (24) 2A0 = −p, (25) y la expresión de la energía lee ∫ kFi(r) (2η)3 p2 +M*2 ()2 +m2sŁ2 − (­V0)2 −m2vV 20 − (+b0)2 − m2­b20 − (+A0)2 +gvV0 3b0 + eA0­p - - - - - - - 20 g2°b20. . 26) Todas las demás expresiones son muy similares a las contenido en el modelo TW y se puede leer de que la densidad depende de la cou- Los anzuelos deben ser sustituidos por los acoplamientos constantes. In en particular, los potenciales químicos no contienen la re- término de acuerdo................................................................................................................... IV. RESULTADO NUMÉRICO VIA A PROCESO DE NUCLEACIÓN En este punto, eqs. (12-15) para el modelo TW y eqs. (22-25) para el modelo NL tiene que ser resuelto numéricamente de manera auto-consistente y, por lo tanto, inicial y límite las condiciones para cada ecuación son necesarias. Uno de los métodos que utilizamos aquí se basa en una prescripción dada en [38], cuando estas condiciones se obtienen de una situación de la coexistencia de fase en una aproximación de campo media con campos de mesón clásicos y sin interacción electromagnética. El método está bien explicado en [38] y, como estamos utilizando diferentes modelos aquí, sólo las ecuaciones principales están escritas Siguiente. Para el modelo TW, las ecuaciones de equilibrio para Las materias mogenéticas para los campos son: m2s Łs ♥s = 0, (27) m2vV0 − Łv  = 0, (28) m2zb0 − 3 ° = 0, (29) y para la densidad de energía y presión: E = 1 ∫ kFi p2 +M*2 V 20 + b20, (30) ∫ kFi V 20 + R0. 31) Para el modelo NL, las ecuaciones de equilibrio para ho- la materia mogenosa, la densidad de energía y la presión se convierten en: m2s gs/23370/s + •3 = 0, (32) m2vV0 − gv 2­vg2v V0 g2­b20 = 0, (33) m2zb0 − 3 ° + 2° vg 0 = 0, (34) E = 1 ∫ kFi p2 +M*2 2 −m2vV 20 −m2­b20 + gvV0 - - - - - - 20 g2ob20. (35) ∫ kFi V 20 + - - - - - - - - - ¿Qué? - ¿Qué? 4 °C + 5 °C + 5 °C 0. (36) Basado en la construcción geométrica y Gibbs con- ciones para la coexistencia de fases, es decir, la presión y ambas potenciales químicos son iguales en ambas fases, construimos la sección binodal que figura en la Fig. 1. Note que tenemos define la fracción de protones del sistema como . (37) La sección binodal da lugar a las condiciones límite que Necesitamos. Para la misma presión, dos puntos, con diferen- se encuentran fracciones de protones. Para cada uno de estos puntos, los campos de mesón y las densidades están bien definidos y utilizado como las condiciones iniciales y límite en eqs. (12-) 15), que luego se resuelven. Una vez que los campos de mesón son todas las cantidades que dependen de ellos, como el energía, densidades de presión, potencial químico, bariónico También se calculan densidades, etc. La solución es una gota con una cierta fracción de protón rodeada por un gas de neutrones. Si se calculan núcleos estables, el gas desaparece porque la energía del sistema se encuentra debajo del neutrón la línea de goteo y las propiedades de los núcleos finitos son fácilmente calcu- Tarde. Este es el método general, pero los resultados dependen en el modelo utilizado debido a las razones en la sección VI. V. RESULTADO NUMÉRICO EN UNA FUNDAMENTO DE OSCILLATOR HARMONICO Aquí una prescripción diferente para resolver las ecuaciones de movimiento y las cantidades termodinámicas dentro de la Se utiliza la aproximación Thomas-Fermi. Según [39], meson campo ecuaciones de movimiento del tipo Klein-Gordon con fuentes puede ser llevado a cabo por una expansión en un com- Un gran conjunto de estados de base. El funcionamiento del oscilador armónico... ciones con momentum angular orbital igual a cero son entonces elegido. La longitud del oscilador es dada por , b0 = , (38) donde M es la masa de nucleón y +0 es el oscilador frecuencia. Los campos de mesón y sus correspondientes en- parte homogénea se puede ampliar como (r) = ŁnRn0(r), S/23370/(r) = S/23370/nRn0(r), (39) en los que Ł(r) = (r), V0(r), b0(r) y Rnl(r) = l+1/2 n−1 (x 2)exp(−x2/2), (40) donde x = r/b0 es el radio medido en unidades de la longitud del oscilador, Nnl = 2 (n− 1)!/(l + n− 1/2)! 41) es la constante de normalización y Lmn (x 2) son el asso- polinomios Laguerre ciados. Para el cálculo de la meson fields l = 0 en las expresiones que se indican a continuación. Una vez el ansatz dado por eqs.(39) se sustituyen por eqs.(12-) 14), se obtiene un conjunto de ecuaciones inhomógenas: Hnnn′ = SŁn (42) donde Hnn′ = nn′ b−2B (2(n− 1) + 3/2) +m * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * n(n+ 1/2) + n+1n′b n′(n′ + 1/2). v. = 0.01 v. = 0,025 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 FIG. 1: Sección Binodal para los NL3, TW y NL parametrizaciones. Sólo los campos masivos se pueden calcular con esto método porque la convergencia del campo Coulomb, que tiene un largo alcance, es muy lento. El func- a continuación, se elige el método de determinación para describir el electromag- interacción neta: A0(r) = e r′2drp(r ′)Gc(r, r ′), (44) Gc(r, r 1/r para r > r′ 1/r′ para r′ > r. VI. RESULTADOS A. Paridad que viola la dispersión de electrones y la Radio de neutrones Comenzamos esta sección definiendo la asimetría para dispersión de electrones polarizados de un objetivo hadrónico como A = d/d d/d d/d d/d , (46) donde d/d♥ es la sección transversal diferencial para inicialmente electrones polarizados con positivo(+) y negativo (−) él- Licencias. Como la interacción electromagnética no es sensi- tiva a la diferencia anterior, la asimetría se convierte en de- pendent de la interacción débil entre el electrón y el objetivo. Por otra parte, sabemos por el modelo estándar que las parejas neutrales Z-boson más fuertemente a la neutrones que al protón. Esos razonamientos fueron entonces utilizado en [21] para proponer en primer lugar una forma limpia de determinar la distribución de neutrones en los núcleos. Si consideramos elástico dispersando en un núcleo objetivo uniforme, la asimetría puede ser escrito en la forma: V + β n(q) P(q) ]. (47) En la expresión anterior, G, α, a y β V son estándar Las constantes de acoplamiento del modelo, tal como se definen en [21], q es el trans- ferred momentum por el electrón al núcleo y, n(p)(q) = d3r j0(qr)?n(p)(r), (48) (p)(r) siendo la distribución de neutrones (protones) en con- espacio de la figuración y j0 la función esférica de Bessel Orden cero. Entonces está claro que una pequeña medición q de la asimetría da el radio de neutrones de la ditri- butión una vez que el radio de protones es bien conocido. El protón y radio cuadrado medio de neutrones se definen como R2i = d3rr2l(r) d3rÿi(r) , i = p, n. (49) El espesor de la piel de neutrones se define como  = Rn −Rp. (50) En el experimento PREX mencionado en el Introduc- sión, se espera que la asimetría se mida a q • 0,4 fm−1 [22]. También, porque el objetivo es un nu- cleus (208Pb), los resultados anteriores para la asimetría deben se reconsidere para una comparación detallada con el exper- mento, ya que se obtuvieron utilizando un Plane Wave Born Aproximación para el electrón [43]. Para nuestro presente pur- poses, eq. (47) es suficiente para ilustrar la sensibilidad a los diferentes modelos de parametrizaciones y se utiliza a continuación en la presentación de nuestros resultados numéricos. Energía de superficie por unidad de área de las gotitas en la pequeña aproximación del espesor de la superficie, con exclusión de la campo electromagnético, léase [38] . (51) Sin embargo, como la interacción electromagnética no tributo a las propiedades de la superficie directamente, hemos mantenido el la misma definición para la energía superficial. En la Tabla II mostramos el radio de neutrones y protones, el espesor de la piel de neutrones, la energía de unión y el sur- energía de cara obtenida dentro de la Thomas-Fermi aproxi- y las dos recetas numéricas diferentes de- en las secciones anteriores. Todos los resultados son sensi- tiva al cálculo numérico, aunque el análisis La aproximación es la misma. Cuando el método de nucleación se realiza, el radio de neutrones es sistemáticamente mayor, lo que resulta en una piel de neutrones más gruesa. Esto está correlacionado con el hecho de que la energía de la superficie es menor dentro de la cálculo de la nucleación que dentro de la oscila armónica- método tor. Dentro de la misma prescripción numérica, el espesor de la piel de neutrones es menor con el modelo TW que con el NL3. A medida que aumenta la resistencia del acoplamiento en el modelo NL, los resultados se mueven del original NL3 a los resultados TW para todas las cantidades, excepto los pro- radio de tonelada, que oscila un poco. También tenemos en... se suprimieron los resultados obtenidos con la parametrización del SA [44] porque hemos utilizado esta parametrización en orden comparar el TF y los resultados de Dirac para el sec- ciones, como se expone a continuación. Como esta parametriz... se sabe que no dan tan buenos resultados como el otro parametrizaciones del NLWM para núcleos finitos, lo hacemos no hacer comentarios sobre los resultados que proporciona. Nótese que el radio experimental para los protones se obtiene de la radio de carga Rc y es dada por Rp = R2c − 0,64 in fm [39]. Nuestros resultados se pueden comparar con los experimentales y otros resultados teóricos encontrados en la literatura. Los radio de protones, que se sabe que es mejor que 0,001 fm es mejor descrito dentro del modelo TW. Esta cantidad es prácticamente independiente de la fuerza de interacción en el modelo NL hasta el prescrip- ión se utiliza. El radio de neutrones, en el otro tenía, es fuerte modelo dependiente con consecuencias drásticas en el cálculo del espesor de la piel de neutrones. El experimento... Los valores de los datos para • son todavía muy inciertos y todos nuestros re- los sulfatos caen dentro del intervalo de confianza experimental. Nosotros comentará sobre posibles restricciones a la piel de neutrones espesor en la siguiente sección. NL3 proporciona la mejor re- Sulfatos para la energía de unión. En [25], los resultados mostrados para el protón y neutrones radio son respectivamente 5,52 y 5,85 fm, dando una piel de 0,33 fm, más grande que el nuestro. Note, sin embargo, que en [25] la ecuación de Dirac se resolvió explícitamente. En [4], la autores obtuvieron un valor de 0.21 fm para la piel de neutrones espesor y una energía de unión de -7.89 MeV dentro de una diferente parametrización del modelo NL. Otra vez en Este caso la ecuación de Dirac fue resuelta. In Fig. 2 mostramos la diferencia entre neutrones y densidades de protones en la superficie de Pb para los modelos dis- en el presente trabajo con el Thomas-Fermi ap- proximación resuelta en una base oscilante armónica. Mientras las curvas se desvían un poco entre 6,0 y 8,0 fm, en la superficie misma son similares, pero una pequeña discrepancia, refleja las diferencias en la piel de neutrones se puede ver. In Fig. 3 se muestra de nuevo la diferencia entre neu- densidades de tron y de protones dentro de ambas cálculas numéricas. ciones de los modelos TW y NL3. Estos dos Thomas... Los cálculos de Fermi deberían haber dado resultados más similares. Sin embargo, el método de nucleación predice una energía de cara para la parametrización NL3, y por lo tanto, un gran radio. Esto puede estar relacionado con la elección de la condiciones de frontera y una comparación más profunda entre se aplicarán los dos métodos. A continuación presentamos nuestros resultados para la asimetría dada por eq. (47) en función del impulso transferido. Comenzamos con la Fig.4 que muestra los resultados para el HS parametrización del modelo Walecka. La curva etiquetada sin estructura, el caso en el que Z­n(r) = N­p(r) y las otras dos curvas se obtienen dentro de la TF aprox- y la solución completa de la ecuación de Dirac en 6 7 8 9 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 NL ( v ) NL ( v ) r(fm) FIG. 2: Diferencia entre densidades de neutrones y de protones contenido con el enfoque Thomas-Fermi resuelto en un armónico base oscilante para los modelos discutidos en el presente trabajo. la aproximación a Hartree. En el momento en que trans- valores de interés experimental reciente (alrededor de 0,4) fm−1), las curvas son casi idénticas. Un análisis cuidadoso... Sis de los mismos resultados en una escala diferente nos muestra que la asimetría cambia el 12 y el 11 por ciento, respectivamente dentro de las aproximaciones de Dirac y TF en comparación con el caso sin estructura. Puesto que es la medida de la asimetría en esta región de baja transmisión de impulsos que proporcionará el resultado exacto para la piel de neutrones espesor, hemos restringido nuestros cálculos a la TF aproximación, como se indica en la introducción. In Fig. 5a mostramos la asimetría obtenida con la Modelo NL3 para ambos cálculos numéricos en el TF ap- proximación, es decir, nucleación y métodos de expansión HO. En este caso, el acuerdo es muy satisfactorio incluso para mayores q-valores, aunque el pequeño discrepan numérico- cia se refleja en una diferencia de 10 por ciento en la pre- espesor de la piel de neutrones dictados, como se puede ver en la Tabla II. Finalmente, en la Fig. 5b nuestros resultados para el NL (usando dos valores diferentes para la constante de acoplamiento de ) y los modelos TW dentro de la prescripción numérica HO son se muestra. Una vez más, en las transferencias de bajo impulso, todas las curvas co- Incidencia. Sin embargo, hay que tener en cuenta que incluso para dos diferentes modelos de parametrizaciones que nos llevan a identificar los espesores de la piel de neutrones cal, una medida de la metría en una región q más alta con un experimento modesto precisión, puede distinguir entre ellos. Además, deberíamos espera que la asimetría presenta más estructura en esta región de transferencia de alto impulso si resolvemos el Dirac ecuación en lugar de utilizar el enfoque TF, una vez que el alto q región de valor es mucho más sensible a la parte central de la distribución de neutrones, que se sabe que es plana en la aproximación del TF. Estas diferencias se pueden ver en Fig.4. NL3 nucl TW nucl NL3 HO TW HO r(fm) FIG. 3: Diferencia entre densidades de neutrones y de protones Con el enfoque de Thomas-Fermi resuelto con los dos nu- prescripciones mericales para el modelo TW. VII. EOS DIFERENTES, NEUTRON DIFERENTE SKINS En aras de la integridad, en este punto, discutimos algunas de las diferencias entre el TW, el NL mod- els y la parametrización NL3 del NLWM. De Fig. 1 se puede ver que el mayor posible pres- seguro para una coexistencia de fase en el modelo TW es mucho menor, y aparece en una fracción de protones más baja que la Modelo NL3. Esto da lugar a una corteza más delgada dentro de el modelo TW, que puede implicar que el más exótico Las formas de pasta no se formarán [5]. El modelo NL va en una dirección diferente, es decir, la presión se vuelve más alta que el obtenido con el NL3 como acoplamiento ­v está encendido. Aunque las propiedades de la materia nuclear parametrizar los modelos son bastante similares (véase el cuadro I), la forma en que la EES se comporta cuando se extrapola a más alto o densidades más bajas pueden variar mucho de una densidad de depen- modelo de dent hadron a una de las parametrizaciones de la NLWM. Por otra parte, como se observa en el cuadro I, aunque la masa fectiva a la densidad de saturación es menor con el TW que con el NL3, puede acomodar hiperones si un EES para la materia estelar es necesario, contrariamente a lo habitual 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 sin estructura HS-Dirac HS-TF A q(fm-1) 0,32 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 2,5x10-7 5,0x10-7 7,5x10-7 1,0x10-6 1,3x10-6 1,5x10-6 sin estructura HS-Dirac HS-TF q(fm-1) FIG. 4: Parametrización SA, comparación Thomas-Fermi-HO versus Dirac-HO Parametrización NL3 [32–34]. CUADRO I: Propiedades de la materia nuclear. NL3 NL TW [25] [36] [24] v = 0,01 v = 0,02 v = 0,025 B/A (MeV) 16,3 16,3 16,3 16,3 16,3 0 (fm) − 3) 0,148 0,148 0,148 0,148 0,153 K (MeV) 271 271 271 271 240 Esym. (MeV) 37,4 34,9 33,1 32,3 32,0 M*/M 0,60 0,60 0,60 0,60 0,56 L (MeV) 118 88 68 61 55 Ksym (MeV) 100 -46 -53 -34 -124 Otra cantidad de interés en la energía nuclear asimétrica materia es la energía de simetría nuclear a granel, se muestra en Cuadro I para el punto de saturación. Las diferencias en la energía de simetría en densidades más grandes que la energía nuclear sat- La densidad de orina todavía no está bien establecida, pero tiene al- listo se discutió extensamente en la literatura incluso 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 q(fm-1) NL3 nucl NL3 HO sin estructura 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 q(fm-1) NL ( v=0,01) NL ( v=0,025) FIG. 5: Asimetría obtenida con a) NL3 con y b) parametrizaciones NL y TW para el modelo TW [7, 8, 16, 32]. Otra vez, por el bien de de la integridad reproducimos estos resultados aquí porque el espesor de la piel de neutrones y la estrella de neutrones EoS son relacionado con esta cantidad [1–4], que normalmente se define como Esym = 12 * 2E/* , con ♥ = 3/­= 1 − 2yp. Los energía de simetría puede ser reescrita analíticamente como Esym = *, (52) para el modelo TW y como Esym = (53) con la masa de metón efectiva definida como [3] = m2 + 2g para el modelo NL. En ambos casos kFp = kF (1 + ) 1/3, kFn = kF (1− )1/3, con kF = (1,5η) 1/3 y F = k2F +M *2. En equa- ciones (52) y (53) el segundo mandato domina en general densidades. Se ve que los términos no lineales............................................................................................ introducir un comportamiento de densidad no lineal en la simetría- prueba la energía de las parametrizaciones NLWM como NL3 y TM1. En TW el comportamiento de densidad no lineal en- ters a través de los parámetros de acoplamiento dependientes de la densidad. Este comportamiento de densidad no lineal es importante porque el comportamiento lineal de las parametrizaciones NL3 y TM1 predice una energía de simetría demasiado alta a las densidades de impor- para la materia estelar de neutrones que tiene influencia directa en la dependencia de la fracción de protones con densidad. Desde Fig. 6, se ve fácilmente que la energía de la simetría ob- con el modelo TW se comporta de una manera muy diferente , en comparación con NL3. En [4] una relación entre la energía de simetría y la energía nuclear vinculante es discutido : cuanto más difícil es la EES, más la simetría (fm )−3 v. = 0.01 v. = 0,025 0 0,05 0,10 0,15 0,2 0,25 0,35 0,4 FIG. 6: Energía de simetría para los modelos NL3, TW y NL. la energía aumenta con la densidad. La dependencia de la densidad en [4] es del tipo introducido en [3, 36] a través de la inclusión de los acoplamientos y/o y, a continuación, similar con el modelo NL discutido aquí. Uno puede observar que a medida que aumenta la resistencia del acoplamiento, la energía de simetría se acerca a la curva TW. In hecho, en [8] se demostró que una vez que este tipo de acoplamiento se introduce con una fuerza razonable, la simetría energía a baja densidad tiende a comportarse como el modelo TW. La energía de simetría se puede expandir alrededor del nu- densidad de saturación clara y lee Esym(l) = Esym(l0) + l0 l0 donde L y Ksym son respectivamente la pendiente y la la curvatura de la energía de la simetría nuclear a 0 y se calculan a partir de L = 3­0 ­Esym(­) 0 Ksym = 9­20 2Esym(l) 0. Estas dos cantidades pueden proporcionar información importante sobre la energía de la simetría en alta y baja densi- porque caracterizan la dependencia de densidad de la simetría energética. En una obra reciente [49], los autores encontró una correlación entre la pendiente de la simetría energía y el espesor de la piel de neutrones. En su trabajo 21 los conjuntos del potencial no relativista de Skyrme eran inves- y sólo 4 de ellos mostraron tener valores de L Coherente con los valores extraídos de experimentos Datos de difusión de isóspin de colisiones de iones pesados. De hecho, el valor extraído fue L = 88 ± 25 MeV [50], que da una restricción muy fuerte en la dependencia de la densidad de la energía de simetría nuclear y, en consecuencia, EoS también. Un análisis detallado del cuadro I muestra que, si esta limitación debe tomarse en serio, ni el NL3 Ni el modelo TW lo satisface. Sin embargo, el NL la pendiente se interpola bellamente entre el NL3 y el TW valores de pendiente. Una vez más se observa que el aumento de Se aproximan los valores del modelo NL3 para la pendiente y simetría energética a los valores de TW. Por otra parte, tenemos también trató de encontrar una correlación entre los valores de en los valores de los cuadros II y L que figuran en el cuadro I. Encontramos que, en la medida en que algunas imprecisiones numéricas son consid- valores mayores de L corresponden a valores mayores de la piel de neutrones, como se ve en la Fig. 7. Volvamos ahora al problema de resolver el dif- ecuaciones ferenciales dentro de la nucleación numérica pre- scription. Como necesitamos las condiciones de frontera que surgen de la coexistencia fase gas-líquido con el fin de resolver eqs. (12-15) para el modelo TW y eqs. (22-25) para el NL modelo, las secciones binodales son esenciales y el spinodal que separan las regiones de ble materia también son de interés. Si hubiéramos mostrado el binodals en una trama?p versus?n, como se hace con el Espinodals en la Fig 8, pudimos ver que los espinodals sur- caras se encuentran dentro de las secciones binodales y compartir la crítica punto correspondiente a la presión más alta. In Fig. 8 los espinodales para los tres diferentes mod- els discutidos en este trabajo se muestran. Una vez más, algunos de estos resultados también se puede encontrar en la literatura reciente tura [7, 8], pero los incluimos aquí para hacer una enlace con los binodals. La inestabilidad de los sistemas ANM- En el caso de las emisiones de gases de efecto invernadero, las emisiones de gases de efecto invernadero se determinan esencialmente por las fluctuaciones de la densidad de las emisiones de gases de efecto invernadero y por las fluctuaciones de las emisiones de gases de efecto invernadero, así como por las variaciones de las emisiones de gases de efecto invernadero. el canal isoescalar. Aunque los espinodales son, por en sí mismos, no pertinentes en los cálculos realizados en el equilibrio termodinámico, el canal isospin es muy de las inestabilidades que se producen por debajo del nivel nuclear densidad de saturación. El espinodal está determinado por el valores de presión, fracción de protones y densidad para los cuales el determinante de Fij = ij , (56) donde F es la densidad de energía libre, va a cero. A de- El análisis de cola de esta cantidad se puede encontrar en [8, 42]. De Fig. 8, se ve que la región de inestabilidad en el Plano de p/n, definido por la sección interna del espinodal la curva es mayor para el TW que para el modelo NL3. Los tamaño de la región de inestabilidad depende de la derivada de los potenciales químicos con respecto al neutrón y densidades de protones. A baja densidad diferentes modelos exhiben diferentes comportamientos. La presencia del término de reorganización en el TW El modelo también desempeña un papel decisivo. A pesar de que un rela- Entre escalar y vec- mesons en los canales isoescalares dentro de la reordenación- término a baja densidad, se define la región espinodal por el derivado del potencial químico y, por lo tanto, del plazo de reorganización. A continuación se examinan los espinodales obtenidos con diferen- ent fuerzas de acoplamiento para el modelo NL. Como se ve en Fig. 8, no hay casi ninguna diferencia entre los diferentes curvas. Todos caen alrededor de la curva NL3 original, pero una vez más, tienden a la curva TW como el acoplamiento aumento de la fuerza. Sin embargo, contrariamente al modelo TW, se demostró en [9] que la dirección de la inestabilidad en • =0,01 • =0,02 • =0,025v 0,16 0,18 0,22 0,24 50 60 70 80 90 100 110 120 L (MeV) FIG. 7: Correlación entre la piel del neutrón y la pendiente de la energía de simetría L. NL aumenta la destilación a medida que aumenta la densidad, y Cuanto mayor sea el acoplamiento, mayor será el efecto. Finalmente, para terminar esta sección, vamos a dejar en claro nuestros puntos: Hemos utilizado un simple enfoque de teoría de campo medio para las condiciones límite para las ecuaciones de movimiento de los campos de meson en la prescripción de nucleación. Estos las condiciones de frontera dependen del modelo utilizado y son relacionados intrínsecamente con la transición de fase líquido-gas que, a su vez, puede ser bien entendido por el estudio de la superficies de coexistencia de los modelos correspondientes. Activar Por otra parte, el espesor de la piel de neutrones muestra un lin- correlación del oído con la pendiente de la energía de simetría, como ya se ha señalado en [49] para la mod- Els. Basado en los diferentes comportamientos encontrados con densidad modelos hadronic dependientes y el NLWM, un obvio consecuencia es el hecho de que el espesor de la piel de neutrones depende de la elección del modelo. VIII. CONCLUSIONES Hemos calculado el espesor de la piel de neutrones 208Pb con dos modelos hadrónicos dependientes de densidad diferentes, el TW y el modelo NL, y uno de los más utilizados Parametrizaciones del NLWM, el NL3. El calcu... las laciones se hicieron dentro de la Thomas-Fermi aproxima- sión, lo que da resultados bastante precisos para la asimetría. tratar en el rango de transferencia de impulso de interés para el cálculo de las pieles de neutrones. En la aplicación de la n- se utilizaron dos recetas diferentes: la el primero basado en el proceso de nucleación y el segundo uno basado en el método de la base del oscilador armónico. Nosotros han visto que cuando se realiza el método de nucleación, el radio de neutrones es sistemáticamente más grande, lo que resulta v. = 0.01 v. = 0,025 (fm)−3 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,02 0,04 0,06 0,08 FIG. 8: Sección espinodal en términos de p versus n para el NL3, Modelos TW y NL. en una piel de neutrones más gruesa. Esto es una consecuencia de la hecho de que la energía superficial es menor dentro de la nucleación cálculo que dentro del método del oscilador armónico. Dentro de la misma prescripción numérica, la piel de neutrones espesor es menor con el modelo TW que con el NL3. A medida que aumenta la fuerza de acoplamiento en el NL modelo, el espesor de la piel de neutrones se mueve desde el orig- il NL3 hacia los resultados de TW. También hemos encontrado que aunque el espesor de la piel de neutrones es densidad, la asimetría en las transferencias de bajo impulso (abajo 0.5 fm−1) es muy similar para todos los modelos y todos los números recetas. A medida que q aumenta, la asimetría también será- viene modelo dependiente. Perfiles de densidad obtenidos de la solución de la ecuación de Dirac exhibe oscil- laciones cerca del centro del núcleo, comportamiento que es no reproducida dentro de la aproximación Thomas-Fermi. Este hecho se manifiesta en la asimetría a gran impulso transferencias y, por lo tanto, todos los cálculos deben ser re- producido por la solución de la ecuación de Dirac. Este cálculo ya está bajo investigación. Vale la pena mencionar que el espesor de la piel de neutrones ha demostrado dar pistas sobre las ecuaciones de estado que son adecuados para describir estrellas de neutrones. Además, en [49] una correlación entre la pendiente de la energía de simetría y el espesor de la piel de neutrones fue encontrado para Skyrme- modelos de tipo. Hemos observado que esta correlación fue también presentes en los modelos dependientes de densidad que tenemos estudiados en el presente trabajo. AGRADECIMIENTOS Este trabajo fue parcialmente apoyado por CNPq (Brasil), CAPES(Brasil)/GRICES (Portugal) en el marco del proyecto 100/03 y FEDER/FCT (Portugal) en el marco de los proyectos POCTI/FP/63419/2005 y POCTI/FP/63918/2005. [1] S. Typel y B.A. Brown, Phys. Rev. C 64, 027302 (2001). [2] A.W. Steiner, M. Prakash, J.M. Lattimer y P.J. Ellis, Phys. Rep. 411, 325 (2005). [3] C.J. Horowitz y J.Piekarewicz, Phys. Rev. Lett. 86, 5647 (2001). [4] J.Piekarewicz, nucl-th/0607039. Actuaciones de la “In- Conferencia internacional sobre los problemas actuales en materia nuclear Física y Energía Atómica” (29 de mayo a 3 de junio de 2006) Kiev, UKRAINE. [5] F. Duchoin y Haensel, Phys. Lett. B 485, 107 (2000). [6] Ph. Chomaz, C. Colonna y J. Randrup, Phys. Rep. 389, 263 (2004). [7] S.S. Avancini, L. Brito, D. P. Menezes y C. Providencia, Phys. Rev. C 70, 015203 (2004). [8] S.S. Avancini, L. Brito, Ph. Chomaz, D. P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 74, 024317 (2006). [9] C. Providência, L. Brito, S.S. Avancini, D. P. Menezes y Ph. Chomaz, Phys. Rev. C 73, 025805 (2006). [10] L. Brito, C. Providência, A.M.S. Santos, S.S. Avancini, D. P. Menezes y Ph. Chomaz. Phys. Rev. C (2006), C 74, 045801 (2006); C. Providência, L. Brito, A.M.S. Santos, D.P. Menezes y S.S. Avancini, Phys. Rev. C 74, 045802 (2006). [11] Ph. Chomaz y F. Gulminelli, Phys. Lett. B447, 221 (1999) 221; H. S. Xu, et al, Phys. Rev. Lett. 85, 716 (2000). [12] C. Ducoin, Ph. Chomaz y F. 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Horowitz y J.Piekarewicz, Phys. Rev. C 64, 062802 (2001). [36] J.K. Bunta y S. Gmuca, Phys. Rev. C 68, 054318 (2003). [37] J.K. Bunta y S. Gmuca, Phys. Rev. C 70, 054309 (2004). [38] D.P. Menezes y C. Providência, Nucl. Phys. A 650, 283 (1999); D.P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 60, 024313 (1999); D.P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 64, 044306 (2001). [39] Y.K. Gambhir, P. Ring y A. Thimet, Ann. Phys. 198, 132 (1990). [40] T. Gaitanos, M. Di Toro, S. Typel, V. Baran, C. Fuchs, V. Greco y H. H. Wolter, Nucl. Phys. A 732, 24 (2004). [41] S.S. Avancini, M.E. Bracco, M. Chiapparini y D.P. Menezes, J. Phys. G 30, 27 (2004); S.S. Avancini, M.E. Bracco, M. Chiapparini y D.P. Menezes, Phys. Rev. C 67, 024301 (2003). [42] J. Margueron y P. Chomaz, Phys. Rev. C 67, 041602 (2003). [43] C.J. Horowitz, Phys. Rev. C57, 3430 (1998). [44] C.J. Horowitz y B.D. Serot, Nucl. Phys. A 368, 503 (1981). [45] G. Fricke, C. Bernhardt, K.Heilig, L.A. Schaller, L. Schellinberg, E.B. 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En el presente trabajo investigamos las principales diferencias en el neutrón de plomo espesor de la piel, energía de unión, energía superficial y perfiles de densidad obtenidos con dos modelos hadrónicos relativistas dependientes de densidad diferente, dentro del Aproximación Thomas-Fermi. Demostramos que el parámetro de asimetría para bajo la dispersión de electrones polarizada de la transferencia de impulso no es sensible al modelo diferencias de parametrización.

arXiv:0704.0407v1 [nucl-th] 3 Abr 2007 Modelos hadrónicos dependientes de la densidad y la relación entre las estrellas de neutrones y espesor de la piel de neutrones S.S. Avancini,1 J.R. Marinelli,1 D.P. Menezes, 1 M.M.W. Moraes,1 y C. Providência2 Depto de Fsica - CFM - Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis - SC - CP. 476 - CEP 88.040 - 900 - Brasil Centro de Física Teórica - Dep. de Fsica - Universidade de Coimbra - P-3004 - 516 - Coimbra - Portugal En el presente trabajo investigamos las principales diferencias en el espesor de la piel de neutrones de plomo, Perfiles de energía, energía superficial y densidad obtenidos con dos hadron dependiente de densidad diferente modelos. Nuestros resultados se calculan dentro de la aproximación de Thomas-Fermi con dos diferentes prescripciones numéricas y comparadas con los resultados obtenidos con una parametrización común de la Modelo no lineal Walecka. El espesor de la piel de neutrones es un reflejo de la ecuación de las propiedades del estado. Por lo tanto, una correlación directa entre el espesor de la piel de neutrones y la pendiente de la simetría se encuentra la energía. Demostramos que dentro de las aproximaciones actuales el parámetro de asimetría para baja la dispersión de electrones polarizada de la transferencia de impulso no es sensible a las diferencias del modelo. Número(s) PACS: 21.65.+f,24.10.Jv,95.30.Tg,26.60.+c I. INTRODUCCIÓN La relación entre las propiedades de las estrellas de neutrones que son obtenido a partir de ecuaciones adecuadas de estado (EoS) y el El espesor de la piel de neutrones ha sido durante mucho tiempo un tema de investigación gation en la literatura. Los detalles de esta relación y las cantidades importantes a discutir han estado bien establecido en [1], donde se demostró que la diferencia entre el neutrón y el radio protón, el neutrón espesor de la piel, se correlaciona linealmente con la presión de materia de neutrones en densidades subnucleares. Esto es tan... porque las propiedades de las estrellas de neutrones se obtienen de apropiada EES cuya energía de simetría depende de la densidad y también controla el tamaño de la piel de neutrones espesor en núcleos pesados y asimétricos, como 208 Pb, para instancia. Es importante recordar que la EES en estrellas de neutrones también es muy isospina asimétrica debido a la Restricción de equilibrio β. Por lo tanto, la asimetría de isospin juega un papel importante en el derstanding de la dependencia de densidad de la simetría la energía y las consecuencias que puede tener [2]. En [3, 4] se demostró que los modelos que producen neutrones más pequeños pieles en núcleos pesados tienden a producir estrellas de neutrones más pequeñas radios debido a un EoS más suave. Se cree que las estrellas de neutrones tienen una corteza sólida formada por materia rica en neutrones no uniforme en β-equilibrio por encima de un manto líquido. En el interior de la corteza núcleos coex- ist con un gas de neutrones que han goteado. Los propiedades de esta corteza como, por ejemplo, su espesor y presión en la interfaz de la corteza-núcleo depende mucho de la la dependencia de densidad de la EES utilizada para describirla [4, 5]. Por otra parte, es bien sabido [6, 7] que el ex- istencia de las transiciones de fase de fase líquida a fase gaseosa en la materia nuclear asimétrica (ANM) está intrínsecamente relacionada con las regiones de inestabilidad que se ven limitadas por el spin- Odals. Las inestabilidades en ANM descritas dentro de relativista modelos de hadrones de campo medio, tanto con constantes como den- acoplamientos dependientes de sity a cero y temperaturas finitas ya han sido investigados [7] y se ha demostrado que las principales diferencias se producen a temperatura finita y grande isospin asimetría cerca del límite de la insta- regiones de capacidad. En neutrones neutros-protones-electrón (npe) materia los electrones también están incluidos. En un termo- cálculo námico de las inestabilidades casi por completo desaparecen debido al alto electrón de energía Fermi [8]. Sin embargo, en un cálculo dinámico que incluye la Interacción Coulomb y permite neutrones independientes, fluctuaciones de protones y electrones [9, 10], se ve que la dinámica de electrones tiende a restaurar la onda corta- las inestabilidades de longitud, aunque moderadas por la alta elec- Tron Fermi energía. Por otra parte, también se sabe que la fase de gas líquido la transición en ANM puede conducir a una destilación de isospina phe- nomenón, caracterizado por una fracción de protones más grande en la fase líquida que en la fase gaseosa. Esto se debe a el canal isovector repulsivo de la interacción nuclear [11-13]. En un trabajo reciente, la sección espinodal y los como el neutrones a las fluctuaciones de la densidad de protones re- esponsible para el efecto de destilación, se ha estudiado dentro de diferentes modelos relativistas [8]. Se demostró que el efecto de destilación dentro de la relativis dependiente de la densidad Los modelos tic disminuyen con una densidad por encima de una densidad nuclear de 0,02−0,03 fm−3, un resultado similar al obtenido con la parametrización SLy230a de la interacción Skyrme [14] y contrariamente a los resultados encontrados con Parametrizaciones relativistas sin densidad depen- parámetros de acoplamiento de abolladura. En el último caso, la destilación efecto se hace siempre más grande a medida que la densidad aumenta. Además, el comportamiento de la energía de simetría obtenida con modelos dependientes de densidad está más cerca de lo que un ob- Con modelos no relativistas que con otros modelos rel- modelos atívicos con acoplamientos constantes [7]. En un a- tentad a entender este comportamiento, una comparación ser- Entre la fuerza no relativista Skyrme y la fuerza efectiva Los modelos de campo medio atívicos en densidades de subsaturación fueron: realizado [15]. Se demostró que el modelo relativista els también podría reducirse a una densidad de energía funcional similar a la que describe la interacción Skyrme. http://arxiv.org/abs/0704.0407v1 Ya se han realizado algunos esfuerzos con el fin de la materia nuclear y las propiedades de los núcleos finitos obtenidos ambos con modelos relativistas y no relativistas [16, 17] Pero no hay explicaciones claras o obvias para la diferencia. Ences. A densidades muy bajas tanto, el relativista como el Los enfoques no relativistas predicen un no homogéneo fase comúnmente llamada fase de pasta, formada por un com- petición entre la repulsión Coulomb de largo alcance y la atracción nuclear de corto alcance [18]. Sobre la base de los argumentos anteriores, es muy importante que una medición experimental precisa de la neu- se alcanza el espesor de la piel. Esto depende de una precisión medición tanto de la carga como del radio de neutrones. El radio de carga ya se conoce con una precisión de uno por ciento para los núcleos más estables, utilizando el conocido Desperdicios de electrones elásticos de un solo brazo y no polarizados técnica así como la espectroscopia de átomos muónicos [19]. Para el radio de neutrones, nuestro conocimiento actual tiene una incertidumbre de aproximadamente 0,2 fm [20]. Sin embargo, utilizando po- haces de electrones larizados es posible obtener el neutrones distribución en núcleos de forma bastante independiente, como se examina por primera vez en [21] y, en consecuencia, para obtener el radio de neutrones deseado. De hecho, el Radio Paridad Experimento (PREX) en el Laboratorio Jefferson [22] es actualmente en ejecución para medir el radio de neutrones 208Pb con una precisión inferior a 0,05 fm, utilizando Desperdicios de electrones. En el presente trabajo, utilizamos dos hadronic diferentes modelos que incorporan la dependencia de densidad en diferen- Ent ways. La primera, a la que nos referimos a continuación como la El modelo TW es un modelo hadrónico dependiente de la densidad con los acoplamientos de mesón a nucleón que dependen explícitamente de la densidad [23, 24]. En lo siguiente se utiliza para cal- cular el espesor de la piel de neutrones de 208Pb, que es un núcleo pesado rico en neutrones. Este modelo fue elegido por... porque se basa en un cálculo microscópico, encaja bien muchas propiedades de los núcleos y, como se ha indicado anteriormente, ha demostrado proporcionar resultados que sean diferentes de los usuales NL3 [25] y TM1 [26] parametrizaciones para las no lineales Modelo Walecka (NLWM), con una densidad más rica dence de la energía de simetría que la mayoría de los rela- modelos nucleares tivíticos. La motivación original para el desarrollo de este modelo hadrónico dependiente de la densidad [27, 28] debía reproducir los resultados obtenidos con teoría atívica Dirac-Brueckner Hartree-Fock (DBHF) [29]. Más tarde los cálculos de DBHF para la materia nuclear se tomaron sólo como una guía para una parametrización adecuada de la dependencia de densidad del acoplamiento entre meson y nucleón operadores [24, 30]. Además, la densidad dependiente de hadronic modelos también puede ser una herramienta útil en la obtención de EoS para estrellas de neutrones, incluso si se consideran hiperones [32], que no es el caso si se utilizan NL3 o TM1. Ambos, NL3 y TM1, sólo se puede utilizar si la EES está restringida a ac- los neutrones, los protones y los leptones necesarios como comadatos para hacer cumplir la β-estabilidad. Una vez incluidos los hiperones, Los nucleones adquieren una masa efectiva negativa por encima de los 3-4-0 densidades [33, 34], donde la saturación nuclear es den- sity. El segundo modelo, al que nos referimos como modelo NL, incluye los acoplamientos no lineales (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( - 37] que permiten cambiar la dependencia de densidad de la energía de simetría de las parametrizaciones más comunes de la NLWM que muestran esencialmente un comportamiento lineal de la energía de simetría con densidad. Sin embargo, la simetría... prueba la energía determina el comportamiento de isospin asimétrico materia y por lo tanto está intrínsecamente relacionado con el char- acterística de la EES que puede describir estrellas de neutrones. Dentro de este modelo los autores de [3] han demostrado que el espesor de la piel de neutrones de 208Pb fue sensible a la canal isovector de la interacción nuclear y hubo una correlación entre el espesor de la piel de neutrones de los núcleos y propiedades de las estrellas de neutrones. En aras de la exhaustividad, los resultados trabajo, siempre que sea posible se comparan con los resultados obtenido con la parametrización NL3 del NLWM, conocidos para describir bien las propiedades de los núcleos finitos. Realizamos dos cálculos numéricos diferentes para tienen las propiedades 208Pb: a Thomas-Fermi aproxima- ión basada en la transición de fase líquido-gas desarrollada en [38] y una aproximación de Thomas-Fermi basada en una método propuesto en [39], donde un oscilador armónico ba- se usa hermatitis. Nos limitamos a los Thomas-Fermi. Aproximación porque, como se muestra en los resultados sec- al final del documento, con el fin de obtener correcta energía de la superficie y el espesor de la piel de neutrones, es casi tan bueno como la solución de la ecuación de Dirac. En este punto vale la pena mencionar que el escalar- Isovector Mesons, que desempeñan un papel importante en el canal isospin, también podría ser incorporado en nuestro trabajo como se hizo en [7, 9, 40] pero con el fin de hacer el compar- iones entre diferentes aproximaciones tan simples como possi- ble, se incluirán en un trabajo futuro. Por último, como estamos interesados en las propiedades de estado de suelo núcleos, todos los cálculos se realizan a temperatura cero. II. EL DEPENDIENTE DE LA DENSIDAD TW MODELO HADRÓNICO A continuación describimos las principales cantidades del modelo TW, que tenga parámetros de acoplamiento dependientes de la densidad. Los La densidad lagrangiana dice: L = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * • · bμ −e (1 + ♥i3) − (M • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ( m2sŁ2)− m2vVμV • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m2?bμ ·b * (1) en los que , V μ, bμ y Aμ son la escalar-isoscalar, vector- los campos isoescalar y vector-isovector meson y el pho- ton campo, respectivamente, = Vν − Vμ, B = b/ − bμ − (bμ × b/), F{ = A/ − Aμ y * p3 = 1, y n3 = −1. Los parámetros del modelo son: la masa de nucleones M = 939 MeV, las masas de la mesons ms, mv, mz, el acoplamiento electromagnético con- stant e = 4η/137 y el acoplamiento dependiente de la densidad las constantes de orden, v y v, que se ajustan en reproducir algunas de las propiedades a granel de la materia nuclear se muestra en la Tabla I, utilizando la siguiente parametrización: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * hi(x) = ai 1 + bi(x+ di) 1 + ci(x + di)2 , i = s, v (3) hl(x) = exp[−a/23370/(x− 1)], (4) con los valores de los parámetros mi,?i(?sat), ai, bi, ci y di, i = s, v, Este modelo no incluir términos de auto-interacción para los campos de mesón (es decir, En el caso de las parametrizas NL3 o TM1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ) como en el caso de las parametrizas NL3 o TM1 ciones para el NLWM. Las ecuaciones de campo de movimiento siguen de la Euler- Ecuaciones Lagrange. Cuando se obtienen, algunos cuidados debe tomarse ya que los operadores de acoplamiento dependen de los campos baryon y a través de la densidad. Cuando el derivados parciales de L se realizan relativamente a la campos y, que producen términos adicionales debido a la func- dependencia de los operadores de acoplamiento. El nuevo los términos están ausentes en el habitual Hadrodinámico cuántico (QHD, NLWM) modelos [25, 26, 31]. Las ecuaciones de el texto de la moción relativa a los campos es el siguiente: μ +m2  +m2vV μ = v , (6) (+m2ob) , (7) (1 + Ł3)γ , (8) [(i♥] μ - ) - M*] = 0, (9) donde M* = Ms. Nótese que en la ecuación de mo- • el vector de auto-energía consiste en de dos términos, = μ +  μ, donde: •(0)μ = Vμ + bμ + (1 + Ł3)Aμ, (10) Rμ = V /j/+ b/ · j/ 3 − donde فارسى μ es el vector habitual de autoenergía, uμ = jμ con U2 = 1 j v =, j 3 = y, como resultado de la derivada de la Lagrangian con respecto a un nuevo término aparece, Rμ, que se llama reordenamiento auto- energía y se ha demostrado que juega un papel esencial en las aplicaciones de la teoría. Este término garantiza la Consistencia termodinámica y el momentum energético conservación. Para cálculos más detallados, a cero y temperaturas finitas, por favor consulte [41]. En el caso estático no hay corrientes en el núcleo y los componentes de vectores espaciales son cero. Por lo tanto, las ecuaciones mesónicas del movimiento se vuelven: 2 ° = m2ssssssssss, (12) +2V0 = m2vV0 − 2b0 = m2zb0 − *3, (14) 2A0 = −p, (15) donde la densidad escalar es la densidad escalar, la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la densidad escalar es la El protón y el neutrón son el protón y el neutrón. densidades. A. Acercamiento de Thomas-Fermi Primero definimos el funcionamiento  = E − μpBp − μnBn, (16) donde E es la energía, μp (μn) es el protón (neutrón) potencial químico y Bp (Bn) es el protón (neutrón) número. Dentro del semiclásico Thomas-Fermi ap- proximación, la energía del sistema nuclear con par- ticles descritos por la distribución de espacio-fase de un cuerpo función f(r,p, t) en la posición r, t instantánea con impulso p es dada por (2η)3 fi(r,p, t) p2 +M*2 + Vi ()2 +m2sŁ2 − (­V0)2 −m2vV 20 − (+b0)2 − m2­b20 − (+A0)2 donde Vp = ­vV0 + b0 + eA0, Vn = ­vV0 − γ = 2 se refiere a la multiplicidad de efectos y la distribución funciones de tion para protones y neutrones son fi = (k) Fi(r) − p2), i = p, n. En este enfoque, las densidades escalar, protón y neutrones convertirse en: ♥s(r) = i=p,n ∫ kFi(r) con = p2 +M*2 y d3r?i,?i(r) = k3Fi(r). De las expresiones anteriores obtenemos para (16) ()2 − (­V0)2 − (­B0)2 − (­A0)2 + Vef Vef = 2 −m2vV 20 −m2­b20 − μp.p. − μn. μn. μn. μp. μp. μp. μn. μp. μp. μp. μp. μn. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μn. μn. μn. μn. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μp. μ. μp. μ. μp. μ. μp. μ i=p,n ∫ kFi dpp2vV0 *3 + eA0-p (18) Minimización de  con respecto a kFi(r), i = p, n, da lugar a las siguientes condiciones: k2Fp +M ∗2 • vV0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • b0 − eA0 − R0 k2Fn +M ∗2 − ­vV0 + b0 − فارسىR0 donde el plazo de reorganización es R0 = V0 + • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De las ecuaciones anteriores obtenemos kFp = 0 y kFn = 0 o, para kFp o kFn diferentes de cero, k2Fp +M *2 + ­vV0 + b0 + eA0 0, (19) k2Fn +M *2 + ­vV0 − B0 0. (20) Los valores de kFp y kFn se obtienen invirtiendo estos dos últimas ecuaciones. Deficiencias de densidad en los parámetros de acoplamiento no afectan a la energía funcional, pero por supuesto afectan su derivado, como la densidad de presión y la potencialidades icales. Como ya se discutió en la literatura [7–9, 32], el término de reorganización es crucial para obtener diferentes comportamientos en las propiedades físicas relacionadas con el potenciales químicos o sus derivados con respecto a la densidad, como las regiones espinodales, en comparación con las parametrizaciones NL3 o TM1 más comunes. III. NL MODELO La densidad lagrangiana que incorpora el extra Acoplamientos no lineales [3, 35–37] L = i − gvV μ − * • · bμ −e (1 + ♥i3) − (M − gs ( m2sŁ2)− 3 − 1 4 − 1 m2vVμV μ − 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • m2μbμ · bμ − +g2­bμ · bμ[­sg2s­l2 + ­vg2­vVμV μ], (21) donde , Bo y Fo se definen después de eq.(1). Los los parámetros del modelo son de nuevo las masas y el los acoplamientos, que ahora son constantes, es decir, gs sustituyen a gv substituye a v y g substituye a. Los términos no lineales son: También se incluye. Hemos seguido la prescripción de [3], donde el punto de partida fue la parametrización NL3 y se ajustó el enganche de g.g. para cada valor de la Acoplamiento estudiado de tal manera que para kF = 1.15 fm−1 (no el punto de saturación) la energía de simetría es 25.68 MeV. En el presente trabajo establecemos s = 0 como en [37]. Nótese que otras posibilidades para este modelo son las siguientes: • los acoplamientos ya han sido discutidos en el literatura como en [4], por ejemplo. Las ecuaciones mesónicas del movimiento en el Thomas-Fermi la aproximación pasa a ser 2 ° = m2s gsl + *3 (22) +2V0 = m2vV0 − gv 2­vg2v V0 g2­b20, (23) 2b0 = m2zb0 − 3 ° + 2° vg 0, (24) 2A0 = −p, (25) y la expresión de la energía lee ∫ kFi(r) (2η)3 p2 +M*2 ()2 +m2sŁ2 − (­V0)2 −m2vV 20 − (+b0)2 − m2­b20 − (+A0)2 +gvV0 3b0 + eA0­p - - - - - - - 20 g2°b20. . 26) Todas las demás expresiones son muy similares a las contenido en el modelo TW y se puede leer de que la densidad depende de la cou- Los anzuelos deben ser sustituidos por los acoplamientos constantes. In en particular, los potenciales químicos no contienen la re- término de acuerdo................................................................................................................... IV. RESULTADO NUMÉRICO VIA A PROCESO DE NUCLEACIÓN En este punto, eqs. (12-15) para el modelo TW y eqs. (22-25) para el modelo NL tiene que ser resuelto numéricamente de manera auto-consistente y, por lo tanto, inicial y límite las condiciones para cada ecuación son necesarias. Uno de los métodos que utilizamos aquí se basa en una prescripción dada en [38], cuando estas condiciones se obtienen de una situación de la coexistencia de fase en una aproximación de campo media con campos de mesón clásicos y sin interacción electromagnética. El método está bien explicado en [38] y, como estamos utilizando diferentes modelos aquí, sólo las ecuaciones principales están escritas Siguiente. Para el modelo TW, las ecuaciones de equilibrio para Las materias mogenéticas para los campos son: m2s Łs ♥s = 0, (27) m2vV0 − Łv  = 0, (28) m2zb0 − 3 ° = 0, (29) y para la densidad de energía y presión: E = 1 ∫ kFi p2 +M*2 V 20 + b20, (30) ∫ kFi V 20 + R0. 31) Para el modelo NL, las ecuaciones de equilibrio para ho- la materia mogenosa, la densidad de energía y la presión se convierten en: m2s gs/23370/s + •3 = 0, (32) m2vV0 − gv 2­vg2v V0 g2­b20 = 0, (33) m2zb0 − 3 ° + 2° vg 0 = 0, (34) E = 1 ∫ kFi p2 +M*2 2 −m2vV 20 −m2­b20 + gvV0 - - - - - - 20 g2ob20. (35) ∫ kFi V 20 + - - - - - - - - - ¿Qué? - ¿Qué? 4 °C + 5 °C + 5 °C 0. (36) Basado en la construcción geométrica y Gibbs con- ciones para la coexistencia de fases, es decir, la presión y ambas potenciales químicos son iguales en ambas fases, construimos la sección binodal que figura en la Fig. 1. Note que tenemos define la fracción de protones del sistema como . (37) La sección binodal da lugar a las condiciones límite que Necesitamos. Para la misma presión, dos puntos, con diferen- se encuentran fracciones de protones. Para cada uno de estos puntos, los campos de mesón y las densidades están bien definidos y utilizado como las condiciones iniciales y límite en eqs. (12-) 15), que luego se resuelven. Una vez que los campos de mesón son todas las cantidades que dependen de ellos, como el energía, densidades de presión, potencial químico, bariónico También se calculan densidades, etc. La solución es una gota con una cierta fracción de protón rodeada por un gas de neutrones. Si se calculan núcleos estables, el gas desaparece porque la energía del sistema se encuentra debajo del neutrón la línea de goteo y las propiedades de los núcleos finitos son fácilmente calcu- Tarde. Este es el método general, pero los resultados dependen en el modelo utilizado debido a las razones en la sección VI. V. RESULTADO NUMÉRICO EN UNA FUNDAMENTO DE OSCILLATOR HARMONICO Aquí una prescripción diferente para resolver las ecuaciones de movimiento y las cantidades termodinámicas dentro de la Se utiliza la aproximación Thomas-Fermi. Según [39], meson campo ecuaciones de movimiento del tipo Klein-Gordon con fuentes puede ser llevado a cabo por una expansión en un com- Un gran conjunto de estados de base. El funcionamiento del oscilador armónico... ciones con momentum angular orbital igual a cero son entonces elegido. La longitud del oscilador es dada por , b0 = , (38) donde M es la masa de nucleón y +0 es el oscilador frecuencia. Los campos de mesón y sus correspondientes en- parte homogénea se puede ampliar como (r) = ŁnRn0(r), S/23370/(r) = S/23370/nRn0(r), (39) en los que Ł(r) = (r), V0(r), b0(r) y Rnl(r) = l+1/2 n−1 (x 2)exp(−x2/2), (40) donde x = r/b0 es el radio medido en unidades de la longitud del oscilador, Nnl = 2 (n− 1)!/(l + n− 1/2)! 41) es la constante de normalización y Lmn (x 2) son el asso- polinomios Laguerre ciados. Para el cálculo de la meson fields l = 0 en las expresiones que se indican a continuación. Una vez el ansatz dado por eqs.(39) se sustituyen por eqs.(12-) 14), se obtiene un conjunto de ecuaciones inhomógenas: Hnnn′ = SŁn (42) donde Hnn′ = nn′ b−2B (2(n− 1) + 3/2) +m * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * n(n+ 1/2) + n+1n′b n′(n′ + 1/2). v. = 0.01 v. = 0,025 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 FIG. 1: Sección Binodal para los NL3, TW y NL parametrizaciones. Sólo los campos masivos se pueden calcular con esto método porque la convergencia del campo Coulomb, que tiene un largo alcance, es muy lento. El func- a continuación, se elige el método de determinación para describir el electromag- interacción neta: A0(r) = e r′2drp(r ′)Gc(r, r ′), (44) Gc(r, r 1/r para r > r′ 1/r′ para r′ > r. VI. RESULTADOS A. Paridad que viola la dispersión de electrones y la Radio de neutrones Comenzamos esta sección definiendo la asimetría para dispersión de electrones polarizados de un objetivo hadrónico como A = d/d d/d d/d d/d , (46) donde d/d♥ es la sección transversal diferencial para inicialmente electrones polarizados con positivo(+) y negativo (−) él- Licencias. Como la interacción electromagnética no es sensi- tiva a la diferencia anterior, la asimetría se convierte en de- pendent de la interacción débil entre el electrón y el objetivo. Por otra parte, sabemos por el modelo estándar que las parejas neutrales Z-boson más fuertemente a la neutrones que al protón. Esos razonamientos fueron entonces utilizado en [21] para proponer en primer lugar una forma limpia de determinar la distribución de neutrones en los núcleos. Si consideramos elástico dispersando en un núcleo objetivo uniforme, la asimetría puede ser escrito en la forma: V + β n(q) P(q) ]. (47) En la expresión anterior, G, α, a y β V son estándar Las constantes de acoplamiento del modelo, tal como se definen en [21], q es el trans- ferred momentum por el electrón al núcleo y, n(p)(q) = d3r j0(qr)?n(p)(r), (48) (p)(r) siendo la distribución de neutrones (protones) en con- espacio de la figuración y j0 la función esférica de Bessel Orden cero. Entonces está claro que una pequeña medición q de la asimetría da el radio de neutrones de la ditri- butión una vez que el radio de protones es bien conocido. El protón y radio cuadrado medio de neutrones se definen como R2i = d3rr2l(r) d3rÿi(r) , i = p, n. (49) El espesor de la piel de neutrones se define como  = Rn −Rp. (50) En el experimento PREX mencionado en el Introduc- sión, se espera que la asimetría se mida a q • 0,4 fm−1 [22]. También, porque el objetivo es un nu- cleus (208Pb), los resultados anteriores para la asimetría deben se reconsidere para una comparación detallada con el exper- mento, ya que se obtuvieron utilizando un Plane Wave Born Aproximación para el electrón [43]. Para nuestro presente pur- poses, eq. (47) es suficiente para ilustrar la sensibilidad a los diferentes modelos de parametrizaciones y se utiliza a continuación en la presentación de nuestros resultados numéricos. Energía de superficie por unidad de área de las gotitas en la pequeña aproximación del espesor de la superficie, con exclusión de la campo electromagnético, léase [38] . (51) Sin embargo, como la interacción electromagnética no tributo a las propiedades de la superficie directamente, hemos mantenido el la misma definición para la energía superficial. En la Tabla II mostramos el radio de neutrones y protones, el espesor de la piel de neutrones, la energía de unión y el sur- energía de cara obtenida dentro de la Thomas-Fermi aproxi- y las dos recetas numéricas diferentes de- en las secciones anteriores. Todos los resultados son sensi- tiva al cálculo numérico, aunque el análisis La aproximación es la misma. Cuando el método de nucleación se realiza, el radio de neutrones es sistemáticamente mayor, lo que resulta en una piel de neutrones más gruesa. Esto está correlacionado con el hecho de que la energía de la superficie es menor dentro de la cálculo de la nucleación que dentro de la oscila armónica- método tor. Dentro de la misma prescripción numérica, el espesor de la piel de neutrones es menor con el modelo TW que con el NL3. A medida que aumenta la resistencia del acoplamiento en el modelo NL, los resultados se mueven del original NL3 a los resultados TW para todas las cantidades, excepto los pro- radio de tonelada, que oscila un poco. También tenemos en... se suprimieron los resultados obtenidos con la parametrización del SA [44] porque hemos utilizado esta parametrización en orden comparar el TF y los resultados de Dirac para el sec- ciones, como se expone a continuación. Como esta parametriz... se sabe que no dan tan buenos resultados como el otro parametrizaciones del NLWM para núcleos finitos, lo hacemos no hacer comentarios sobre los resultados que proporciona. Nótese que el radio experimental para los protones se obtiene de la radio de carga Rc y es dada por Rp = R2c − 0,64 in fm [39]. Nuestros resultados se pueden comparar con los experimentales y otros resultados teóricos encontrados en la literatura. Los radio de protones, que se sabe que es mejor que 0,001 fm es mejor descrito dentro del modelo TW. Esta cantidad es prácticamente independiente de la fuerza de interacción en el modelo NL hasta el prescrip- ión se utiliza. El radio de neutrones, en el otro tenía, es fuerte modelo dependiente con consecuencias drásticas en el cálculo del espesor de la piel de neutrones. El experimento... Los valores de los datos para • son todavía muy inciertos y todos nuestros re- los sulfatos caen dentro del intervalo de confianza experimental. Nosotros comentará sobre posibles restricciones a la piel de neutrones espesor en la siguiente sección. NL3 proporciona la mejor re- Sulfatos para la energía de unión. En [25], los resultados mostrados para el protón y neutrones radio son respectivamente 5,52 y 5,85 fm, dando una piel de 0,33 fm, más grande que el nuestro. Note, sin embargo, que en [25] la ecuación de Dirac se resolvió explícitamente. En [4], la autores obtuvieron un valor de 0.21 fm para la piel de neutrones espesor y una energía de unión de -7.89 MeV dentro de una diferente parametrización del modelo NL. Otra vez en Este caso la ecuación de Dirac fue resuelta. In Fig. 2 mostramos la diferencia entre neutrones y densidades de protones en la superficie de Pb para los modelos dis- en el presente trabajo con el Thomas-Fermi ap- proximación resuelta en una base oscilante armónica. Mientras las curvas se desvían un poco entre 6,0 y 8,0 fm, en la superficie misma son similares, pero una pequeña discrepancia, refleja las diferencias en la piel de neutrones se puede ver. In Fig. 3 se muestra de nuevo la diferencia entre neu- densidades de tron y de protones dentro de ambas cálculas numéricas. ciones de los modelos TW y NL3. Estos dos Thomas... Los cálculos de Fermi deberían haber dado resultados más similares. Sin embargo, el método de nucleación predice una energía de cara para la parametrización NL3, y por lo tanto, un gran radio. Esto puede estar relacionado con la elección de la condiciones de frontera y una comparación más profunda entre se aplicarán los dos métodos. A continuación presentamos nuestros resultados para la asimetría dada por eq. (47) en función del impulso transferido. Comenzamos con la Fig.4 que muestra los resultados para el HS parametrización del modelo Walecka. La curva etiquetada sin estructura, el caso en el que Z­n(r) = N­p(r) y las otras dos curvas se obtienen dentro de la TF aprox- y la solución completa de la ecuación de Dirac en 6 7 8 9 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 NL ( v ) NL ( v ) r(fm) FIG. 2: Diferencia entre densidades de neutrones y de protones contenido con el enfoque Thomas-Fermi resuelto en un armónico base oscilante para los modelos discutidos en el presente trabajo. la aproximación a Hartree. En el momento en que trans- valores de interés experimental reciente (alrededor de 0,4) fm−1), las curvas son casi idénticas. Un análisis cuidadoso... Sis de los mismos resultados en una escala diferente nos muestra que la asimetría cambia el 12 y el 11 por ciento, respectivamente dentro de las aproximaciones de Dirac y TF en comparación con el caso sin estructura. Puesto que es la medida de la asimetría en esta región de baja transmisión de impulsos que proporcionará el resultado exacto para la piel de neutrones espesor, hemos restringido nuestros cálculos a la TF aproximación, como se indica en la introducción. In Fig. 5a mostramos la asimetría obtenida con la Modelo NL3 para ambos cálculos numéricos en el TF ap- proximación, es decir, nucleación y métodos de expansión HO. En este caso, el acuerdo es muy satisfactorio incluso para mayores q-valores, aunque el pequeño discrepan numérico- cia se refleja en una diferencia de 10 por ciento en la pre- espesor de la piel de neutrones dictados, como se puede ver en la Tabla II. Finalmente, en la Fig. 5b nuestros resultados para el NL (usando dos valores diferentes para la constante de acoplamiento de ) y los modelos TW dentro de la prescripción numérica HO son se muestra. Una vez más, en las transferencias de bajo impulso, todas las curvas co- Incidencia. Sin embargo, hay que tener en cuenta que incluso para dos diferentes modelos de parametrizaciones que nos llevan a identificar los espesores de la piel de neutrones cal, una medida de la metría en una región q más alta con un experimento modesto precisión, puede distinguir entre ellos. Además, deberíamos espera que la asimetría presenta más estructura en esta región de transferencia de alto impulso si resolvemos el Dirac ecuación en lugar de utilizar el enfoque TF, una vez que el alto q región de valor es mucho más sensible a la parte central de la distribución de neutrones, que se sabe que es plana en la aproximación del TF. Estas diferencias se pueden ver en Fig.4. NL3 nucl TW nucl NL3 HO TW HO r(fm) FIG. 3: Diferencia entre densidades de neutrones y de protones Con el enfoque de Thomas-Fermi resuelto con los dos nu- prescripciones mericales para el modelo TW. VII. EOS DIFERENTES, NEUTRON DIFERENTE SKINS En aras de la integridad, en este punto, discutimos algunas de las diferencias entre el TW, el NL mod- els y la parametrización NL3 del NLWM. De Fig. 1 se puede ver que el mayor posible pres- seguro para una coexistencia de fase en el modelo TW es mucho menor, y aparece en una fracción de protones más baja que la Modelo NL3. Esto da lugar a una corteza más delgada dentro de el modelo TW, que puede implicar que el más exótico Las formas de pasta no se formarán [5]. El modelo NL va en una dirección diferente, es decir, la presión se vuelve más alta que el obtenido con el NL3 como acoplamiento ­v está encendido. Aunque las propiedades de la materia nuclear parametrizar los modelos son bastante similares (véase el cuadro I), la forma en que la EES se comporta cuando se extrapola a más alto o densidades más bajas pueden variar mucho de una densidad de depen- modelo de dent hadron a una de las parametrizaciones de la NLWM. Por otra parte, como se observa en el cuadro I, aunque la masa fectiva a la densidad de saturación es menor con el TW que con el NL3, puede acomodar hiperones si un EES para la materia estelar es necesario, contrariamente a lo habitual 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 sin estructura HS-Dirac HS-TF A q(fm-1) 0,32 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 2,5x10-7 5,0x10-7 7,5x10-7 1,0x10-6 1,3x10-6 1,5x10-6 sin estructura HS-Dirac HS-TF q(fm-1) FIG. 4: Parametrización SA, comparación Thomas-Fermi-HO versus Dirac-HO Parametrización NL3 [32–34]. CUADRO I: Propiedades de la materia nuclear. NL3 NL TW [25] [36] [24] v = 0,01 v = 0,02 v = 0,025 B/A (MeV) 16,3 16,3 16,3 16,3 16,3 0 (fm) − 3) 0,148 0,148 0,148 0,148 0,153 K (MeV) 271 271 271 271 240 Esym. (MeV) 37,4 34,9 33,1 32,3 32,0 M*/M 0,60 0,60 0,60 0,60 0,56 L (MeV) 118 88 68 61 55 Ksym (MeV) 100 -46 -53 -34 -124 Otra cantidad de interés en la energía nuclear asimétrica materia es la energía de simetría nuclear a granel, se muestra en Cuadro I para el punto de saturación. Las diferencias en la energía de simetría en densidades más grandes que la energía nuclear sat- La densidad de orina todavía no está bien establecida, pero tiene al- listo se discutió extensamente en la literatura incluso 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 q(fm-1) NL3 nucl NL3 HO sin estructura 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 q(fm-1) NL ( v=0,01) NL ( v=0,025) FIG. 5: Asimetría obtenida con a) NL3 con y b) parametrizaciones NL y TW para el modelo TW [7, 8, 16, 32]. Otra vez, por el bien de de la integridad reproducimos estos resultados aquí porque el espesor de la piel de neutrones y la estrella de neutrones EoS son relacionado con esta cantidad [1–4], que normalmente se define como Esym = 12 * 2E/* , con ♥ = 3/­= 1 − 2yp. Los energía de simetría puede ser reescrita analíticamente como Esym = *, (52) para el modelo TW y como Esym = (53) con la masa de metón efectiva definida como [3] = m2 + 2g para el modelo NL. En ambos casos kFp = kF (1 + ) 1/3, kFn = kF (1− )1/3, con kF = (1,5η) 1/3 y F = k2F +M *2. En equa- ciones (52) y (53) el segundo mandato domina en general densidades. Se ve que los términos no lineales............................................................................................ introducir un comportamiento de densidad no lineal en la simetría- prueba la energía de las parametrizaciones NLWM como NL3 y TM1. En TW el comportamiento de densidad no lineal en- ters a través de los parámetros de acoplamiento dependientes de la densidad. Este comportamiento de densidad no lineal es importante porque el comportamiento lineal de las parametrizaciones NL3 y TM1 predice una energía de simetría demasiado alta a las densidades de impor- para la materia estelar de neutrones que tiene influencia directa en la dependencia de la fracción de protones con densidad. Desde Fig. 6, se ve fácilmente que la energía de la simetría ob- con el modelo TW se comporta de una manera muy diferente , en comparación con NL3. En [4] una relación entre la energía de simetría y la energía nuclear vinculante es discutido : cuanto más difícil es la EES, más la simetría (fm )−3 v. = 0.01 v. = 0,025 0 0,05 0,10 0,15 0,2 0,25 0,35 0,4 FIG. 6: Energía de simetría para los modelos NL3, TW y NL. la energía aumenta con la densidad. La dependencia de la densidad en [4] es del tipo introducido en [3, 36] a través de la inclusión de los acoplamientos y/o y, a continuación, similar con el modelo NL discutido aquí. Uno puede observar que a medida que aumenta la resistencia del acoplamiento, la energía de simetría se acerca a la curva TW. In hecho, en [8] se demostró que una vez que este tipo de acoplamiento se introduce con una fuerza razonable, la simetría energía a baja densidad tiende a comportarse como el modelo TW. La energía de simetría se puede expandir alrededor del nu- densidad de saturación clara y lee Esym(l) = Esym(l0) + l0 l0 donde L y Ksym son respectivamente la pendiente y la la curvatura de la energía de la simetría nuclear a 0 y se calculan a partir de L = 3­0 ­Esym(­) 0 Ksym = 9­20 2Esym(l) 0. Estas dos cantidades pueden proporcionar información importante sobre la energía de la simetría en alta y baja densi- porque caracterizan la dependencia de densidad de la simetría energética. En una obra reciente [49], los autores encontró una correlación entre la pendiente de la simetría energía y el espesor de la piel de neutrones. En su trabajo 21 los conjuntos del potencial no relativista de Skyrme eran inves- y sólo 4 de ellos mostraron tener valores de L Coherente con los valores extraídos de experimentos Datos de difusión de isóspin de colisiones de iones pesados. De hecho, el valor extraído fue L = 88 ± 25 MeV [50], que da una restricción muy fuerte en la dependencia de la densidad de la energía de simetría nuclear y, en consecuencia, EoS también. Un análisis detallado del cuadro I muestra que, si esta limitación debe tomarse en serio, ni el NL3 Ni el modelo TW lo satisface. Sin embargo, el NL la pendiente se interpola bellamente entre el NL3 y el TW valores de pendiente. Una vez más se observa que el aumento de Se aproximan los valores del modelo NL3 para la pendiente y simetría energética a los valores de TW. Por otra parte, tenemos también trató de encontrar una correlación entre los valores de en los valores de los cuadros II y L que figuran en el cuadro I. Encontramos que, en la medida en que algunas imprecisiones numéricas son consid- valores mayores de L corresponden a valores mayores de la piel de neutrones, como se ve en la Fig. 7. Volvamos ahora al problema de resolver el dif- ecuaciones ferenciales dentro de la nucleación numérica pre- scription. Como necesitamos las condiciones de frontera que surgen de la coexistencia fase gas-líquido con el fin de resolver eqs. (12-15) para el modelo TW y eqs. (22-25) para el NL modelo, las secciones binodales son esenciales y el spinodal que separan las regiones de ble materia también son de interés. Si hubiéramos mostrado el binodals en una trama?p versus?n, como se hace con el Espinodals en la Fig 8, pudimos ver que los espinodals sur- caras se encuentran dentro de las secciones binodales y compartir la crítica punto correspondiente a la presión más alta. In Fig. 8 los espinodales para los tres diferentes mod- els discutidos en este trabajo se muestran. Una vez más, algunos de estos resultados también se puede encontrar en la literatura reciente tura [7, 8], pero los incluimos aquí para hacer una enlace con los binodals. La inestabilidad de los sistemas ANM- En el caso de las emisiones de gases de efecto invernadero, las emisiones de gases de efecto invernadero se determinan esencialmente por las fluctuaciones de la densidad de las emisiones de gases de efecto invernadero y por las fluctuaciones de las emisiones de gases de efecto invernadero, así como por las variaciones de las emisiones de gases de efecto invernadero. el canal isoescalar. Aunque los espinodales son, por en sí mismos, no pertinentes en los cálculos realizados en el equilibrio termodinámico, el canal isospin es muy de las inestabilidades que se producen por debajo del nivel nuclear densidad de saturación. El espinodal está determinado por el valores de presión, fracción de protones y densidad para los cuales el determinante de Fij = ij , (56) donde F es la densidad de energía libre, va a cero. A de- El análisis de cola de esta cantidad se puede encontrar en [8, 42]. De Fig. 8, se ve que la región de inestabilidad en el Plano de p/n, definido por la sección interna del espinodal la curva es mayor para el TW que para el modelo NL3. Los tamaño de la región de inestabilidad depende de la derivada de los potenciales químicos con respecto al neutrón y densidades de protones. A baja densidad diferentes modelos exhiben diferentes comportamientos. La presencia del término de reorganización en el TW El modelo también desempeña un papel decisivo. A pesar de que un rela- Entre escalar y vec- mesons en los canales isoescalares dentro de la reordenación- término a baja densidad, se define la región espinodal por el derivado del potencial químico y, por lo tanto, del plazo de reorganización. A continuación se examinan los espinodales obtenidos con diferen- ent fuerzas de acoplamiento para el modelo NL. Como se ve en Fig. 8, no hay casi ninguna diferencia entre los diferentes curvas. Todos caen alrededor de la curva NL3 original, pero una vez más, tienden a la curva TW como el acoplamiento aumento de la fuerza. Sin embargo, contrariamente al modelo TW, se demostró en [9] que la dirección de la inestabilidad en • =0,01 • =0,02 • =0,025v 0,16 0,18 0,22 0,24 50 60 70 80 90 100 110 120 L (MeV) FIG. 7: Correlación entre la piel del neutrón y la pendiente de la energía de simetría L. NL aumenta la destilación a medida que aumenta la densidad, y Cuanto mayor sea el acoplamiento, mayor será el efecto. Finalmente, para terminar esta sección, vamos a dejar en claro nuestros puntos: Hemos utilizado un simple enfoque de teoría de campo medio para las condiciones límite para las ecuaciones de movimiento de los campos de meson en la prescripción de nucleación. Estos las condiciones de frontera dependen del modelo utilizado y son relacionados intrínsecamente con la transición de fase líquido-gas que, a su vez, puede ser bien entendido por el estudio de la superficies de coexistencia de los modelos correspondientes. Activar Por otra parte, el espesor de la piel de neutrones muestra un lin- correlación del oído con la pendiente de la energía de simetría, como ya se ha señalado en [49] para la mod- Els. Basado en los diferentes comportamientos encontrados con densidad modelos hadronic dependientes y el NLWM, un obvio consecuencia es el hecho de que el espesor de la piel de neutrones depende de la elección del modelo. VIII. CONCLUSIONES Hemos calculado el espesor de la piel de neutrones 208Pb con dos modelos hadrónicos dependientes de densidad diferentes, el TW y el modelo NL, y uno de los más utilizados Parametrizaciones del NLWM, el NL3. El calcu... las laciones se hicieron dentro de la Thomas-Fermi aproxima- sión, lo que da resultados bastante precisos para la asimetría. tratar en el rango de transferencia de impulso de interés para el cálculo de las pieles de neutrones. En la aplicación de la n- se utilizaron dos recetas diferentes: la el primero basado en el proceso de nucleación y el segundo uno basado en el método de la base del oscilador armónico. Nosotros han visto que cuando se realiza el método de nucleación, el radio de neutrones es sistemáticamente más grande, lo que resulta v. = 0.01 v. = 0,025 (fm)−3 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,02 0,04 0,06 0,08 FIG. 8: Sección espinodal en términos de p versus n para el NL3, Modelos TW y NL. en una piel de neutrones más gruesa. Esto es una consecuencia de la hecho de que la energía superficial es menor dentro de la nucleación cálculo que dentro del método del oscilador armónico. Dentro de la misma prescripción numérica, la piel de neutrones espesor es menor con el modelo TW que con el NL3. A medida que aumenta la fuerza de acoplamiento en el NL modelo, el espesor de la piel de neutrones se mueve desde el orig- il NL3 hacia los resultados de TW. También hemos encontrado que aunque el espesor de la piel de neutrones es densidad, la asimetría en las transferencias de bajo impulso (abajo 0.5 fm−1) es muy similar para todos los modelos y todos los números recetas. A medida que q aumenta, la asimetría también será- viene modelo dependiente. Perfiles de densidad obtenidos de la solución de la ecuación de Dirac exhibe oscil- laciones cerca del centro del núcleo, comportamiento que es no reproducida dentro de la aproximación Thomas-Fermi. Este hecho se manifiesta en la asimetría a gran impulso transferencias y, por lo tanto, todos los cálculos deben ser re- producido por la solución de la ecuación de Dirac. Este cálculo ya está bajo investigación. Vale la pena mencionar que el espesor de la piel de neutrones ha demostrado dar pistas sobre las ecuaciones de estado que son adecuados para describir estrellas de neutrones. Además, en [49] una correlación entre la pendiente de la energía de simetría y el espesor de la piel de neutrones fue encontrado para Skyrme- modelos de tipo. Hemos observado que esta correlación fue también presentes en los modelos dependientes de densidad que tenemos estudiados en el presente trabajo. AGRADECIMIENTOS Este trabajo fue parcialmente apoyado por CNPq (Brasil), CAPES(Brasil)/GRICES (Portugal) en el marco del proyecto 100/03 y FEDER/FCT (Portugal) en el marco de los proyectos POCTI/FP/63419/2005 y POCTI/FP/63918/2005. [1] S. Typel y B.A. Brown, Phys. Rev. C 64, 027302 (2001). [2] A.W. Steiner, M. Prakash, J.M. Lattimer y P.J. Ellis, Phys. Rep. 411, 325 (2005). [3] C.J. Horowitz y J.Piekarewicz, Phys. Rev. Lett. 86, 5647 (2001). [4] J.Piekarewicz, nucl-th/0607039. Actuaciones de la “In- Conferencia internacional sobre los problemas actuales en materia nuclear Física y Energía Atómica” (29 de mayo a 3 de junio de 2006) Kiev, UKRAINE. [5] F. Duchoin y Haensel, Phys. Lett. B 485, 107 (2000). [6] Ph. Chomaz, C. Colonna y J. Randrup, Phys. Rep. 389, 263 (2004). [7] S.S. Avancini, L. Brito, D. P. Menezes y C. Providencia, Phys. Rev. C 70, 015203 (2004). [8] S.S. Avancini, L. Brito, Ph. Chomaz, D. P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 74, 024317 (2006). [9] C. Providência, L. Brito, S.S. Avancini, D. P. Menezes y Ph. Chomaz, Phys. Rev. C 73, 025805 (2006). [10] L. Brito, C. Providência, A.M.S. Santos, S.S. Avancini, D. P. Menezes y Ph. Chomaz. Phys. Rev. C (2006), C 74, 045801 (2006); C. Providência, L. Brito, A.M.S. Santos, D.P. Menezes y S.S. Avancini, Phys. Rev. C 74, 045802 (2006). [11] Ph. Chomaz y F. Gulminelli, Phys. Lett. B447, 221 (1999) 221; H. S. Xu, et al, Phys. Rev. Lett. 85, 716 (2000). [12] C. Ducoin, Ph. Chomaz y F. Gulminelli, Nucl. Phys. 771, 68 (2006). [13] Ph. Chomaz, Nucl. Phys. A 685, 274c (2001). [14] E. Chabanat, P. Bonche, P. Haensel, J. Meyer y R. Schaeffer, Nucl. Phys. A 627, 710 (1997). [15] C. Providência, D. P. Menezes, L. Brito y Ph. Chomaz, en preparación. [16] B.A. Li, C.M. Ko y W. Bauer, Inter. J. Mod. Phys. E 7, 147 (1998). [17] K. Pomorski, P. Ring, G.A. Lalazissis, A. Baran, Z. Lo- juwski, B. Nerlo-Pomorska, M. Warda, Nucl. Phys. A 624, 349 (1997). [18] D. G. Ravenhall, C. J. Pethick, y J. R. Wilson, Phys. Rev. Lett. 50, 2066 (1983); M. Hashimoto, H. Seki, y M. Yamada, Prog. Teor. Phys.71, 320 (1984). [19] H. de Vries, C.W. de Jager y C. de Vries, Atomic and Cuadros de datos nucleares 36 y 495 (1987). [20] C.J. Horowitz, S.J. Pollock, P.A. Souder y R. Michaels, Phys. Rev. C 63, 025501 (2001). [21] T.W. Donnelly, J. Dubach y yo. Enfermos, Nucl. Phys. A503 589 (1989). [22] K.A. Aniol et al. (HAPPEX) (2005), nucl- ex/0506010; ibídem, nucl-ex/0506011; R. Michaels, P.A. Souder y G.M. Urciuoli (2005), URL http://hallaweb.jlab.org/parity/prex. [23] H. Lenske y C. Fuchs, Phys. Lett. B 345, 355 (1995); C. Fuchs, H. Lenske y H.H. Wolter, Phys. Rev. C 52, 3043 (1995). [24] S. Typel y H. H. Wolter, Nucl. Phys. A656, 331 (1999). [25] G. A. Lalazissis, J. König y P. Ring, Phys. Rev. C 55, 540 (1997). [26] K. Sumiyoshi, H. Kuwabara, H. Toki, Nucl. Phys. A 581, 725 (1995). [27] C. Fuchs, H. Lenske y H.H. Wolter, Phys. Rev. C 52, 3043 (1995). [28] H. Lenske y C. Fuchs, Phys. Lett. B 345, 355 (1995). [29] B. ter Haar y R. Malfliet, Phys. Rep. 149, 207 (1987). [30] T. Niksčić, D. Vretenar, P. Finelli y P. Ring, Phys. Rev. C 66, 024303 (2002). [31] B. Serot y J.D. Walecka, Avances en Física Nuclear 16, Plenum-Press, (1986) 1. [32] S.S. Avancini y D.P. Menezes, Phys. Rev. C 74, 015201 (2006). [33] D.P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 68, 035804 (2003); Braz. J. Phys. 34, 724 (2004). [34] A.M.S. Santos y D.P. Menezes, Phys. Rev. C 69, 045803 (2004). [35] C.J. Horowitz y J.Piekarewicz, Phys. Rev. C 64, 062802 (2001). [36] J.K. Bunta y S. Gmuca, Phys. Rev. C 68, 054318 (2003). [37] J.K. Bunta y S. Gmuca, Phys. Rev. C 70, 054309 (2004). [38] D.P. Menezes y C. Providência, Nucl. Phys. A 650, 283 (1999); D.P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 60, 024313 (1999); D.P. Menezes y C. Providência, Phys. Rev. C 64, 044306 (2001). [39] Y.K. Gambhir, P. Ring y A. Thimet, Ann. Phys. 198, 132 (1990). [40] T. Gaitanos, M. Di Toro, S. Typel, V. Baran, C. Fuchs, V. Greco y H. H. Wolter, Nucl. Phys. A 732, 24 (2004). [41] S.S. Avancini, M.E. Bracco, M. Chiapparini y D.P. Menezes, J. Phys. G 30, 27 (2004); S.S. Avancini, M.E. Bracco, M. Chiapparini y D.P. Menezes, Phys. Rev. C 67, 024301 (2003). [42] J. Margueron y P. Chomaz, Phys. Rev. C 67, 041602 (2003). [43] C.J. Horowitz, Phys. Rev. C57, 3430 (1998). [44] C.J. Horowitz y B.D. Serot, Nucl. Phys. A 368, 503 (1981). [45] G. Fricke, C. Bernhardt, K.Heilig, L.A. Schaller, L. Schellinberg, E.B. Shera, C.W. de Jager, At. Data Nucl. Cuadros de datos 60 (1995)177. [46] G. Audi, A.H. Waptra, C. Thibault, Nucl. Phys. A 729, 337 (2003). [47] A. Krasznahorkay et a., Nucl. Phys. A 731, 224 (2004). [48] V.E. Starodubsky, N.M. Hintz, Phys. Rev. C49,2118(1994). [49] L. Chen, C.M. Ko y B. Li, nucl-th/0610057. [50] M.B. Tsang et al., Phys. Rev. Lett. 92, 062701 (2004). CUADRO II: 208 propiedades Pb Aproximación del modelo Rn Rp (fm) (fm) (fm) MeV Mev/fm2 NL3 TF+nucleación 5,88 5,65 0,24 -7,77 0,76 NL3 TF+HO 5,79 5,57 0,22 -7,79 0,96 NL, v = 0,01 TF+HO 5,77 5,57 0,20 -7,73 0,98 NL, v = 0,02 TF+HO 5,75 5,57 0,17 -7,65 0,99 NL, v = 0,025 TF+HO 5,74 5,58 0,16 -7,63 1,00 TW TF+nucleación 5,71 5,50 0,22 -6,42 1,08 TW TF+HO 5,68 5,52 0,16 -7,46 1,10 HS TF+HO 5,70 5,47 0,24 -6,10 1,37 exp.[45] 5.44 exp. [46] -7.87 exp. [47] 0,12± 0,07 exp. [48] 0,20± 0,04

On the over-barrier reflection in quantum mechanics with multiple degrees of freedom

CERN-PH-TH/2007-065 Sobre la reflexión sobre la barrera en la mecánica cuántica con múltiples grados de libertad D.G. Levkova1, A.G. Panina,b2, S.M. Sibiryakovc,a3 aInstituto de Investigación Nuclear de la Academia Rusa de Ciencias, 60o Octubre Aniversario perspectiva 7a, Moscú 117312, Rusia. bMoscú Instituto de Física y Tecnología, Institutskii per. 9, Dolgoprudny 141700, Región de Moscú, Rusia. cGrupo de Teoría, Departamento de Física, CERN, CH-1211 Ginebra 23, Suiza. Resumen Presentamos un ejemplo analítico del sistema mecánico cuántico bidimensional, donde cambia la supresión exponencial de la probabilidad de reflexión sobre la barrera no-monotónicamente con energía. La supresión es mínima en ciertos "óptimos" ener- gies donde la reflexión ocurre con una probabilidad exponencialmente mayor que en otras energías. 1 Introducción El túnel y la reflexión sobre la barrera son los fenómenos característicos no-perturbadores en Mecánica cuántica. Suelen ocurrir con probabilidades exponencialmente pequeñas, P • e−F/~, (1) donde F es el exponente de la supresión; sin embargo, los fenómenos anteriores son indispensables en una amplia variedad de situaciones físicas, desde la generación del número de bariones asimétricos. metría en el Universo temprano [1] a reacciones químicas [2] y procesos de ionización de átomos [3]. Durante las últimas décadas extensas investigaciones de procesos de túnel en sistemas con se han realizado muchos grados de libertad [2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Estos estudios 1levkov@ms2.inr.ac.ru 2panin@ms2.inr.ac.ru 3Sergey.Sibiryakov@cern.ch, sibir@ms2.inr.ac.ru http://arxiv.org/abs/0704.0409v2 reveló una rica variedad de características de túnel multidimensional que están en contraste llamativo a las propiedades de la tunelización unidimensional y la reflexión sobre la barrera. En particular, la Se ha observado el siguiente fenómeno: la probabilidad de tunelización puede depender de monotónicamente en la energía total del sistema y exhibe picos de resonancia. Uno puede prever tres mecanismos físicamente diferentes de este fenómeno. El primer mecanismo, presente ya en el caso unidimensional, es la túnel a través de la creación de un estado metaestable. En este caso la probabilidad de tunelización al máximo de la resonancia es exponencialmente más alto que en otras energías. Por otro lado, el ancho de la resonancia E es exponencialmente suprimida; por lo tanto, después de promediar con una distribución de energía de un ancho finito el efecto de la la resonancia se lava en el límite semiclásico ~ → 0. El segundo mecanismo posible de El comportamiento no monótono de P(E) es una interferencia cuántica [7, 13] (véase también [14]). En este caso el valor máximo de la probabilidad de tunelización es sólo por un factor de orden uno más alto que el valor medio, mientras que el ancho de las escalas de resonancia como E ~ ~. De nuevo, las resonancias se vuelven indiscernibles en el límite semiclásico. En ambos casos las resonancias pueden se atribuya a las correcciones semiclásicas subliminantes, es decir, comportamiento no-monotónico de el factor pre-exponencial omitido en Eq. (1). La tercera posibilidad es que la supresión El exponente F (E) no es monótono. En este caso la existencia de las “resonancias” es la efecto semiclásico: la probabilidad óptima de tunelización al máximo de la resonancia es exponencialmente más alto que la probabilidad de otras energías. Al mismo tiempo, la resonancia básculas de ancho as4 E - Sí. Esta última posibilidad de “túneles óptimos” es definitivamente de interés; sin embargo, no recibió mucha atención en la literatura. Somos conscientes de sólo unas pocas obras mencionando la dependencia no-monotónica del exponente de la supresión de la energía [15, 16, 14]. Vale la pena estudiar este fenómeno en detalle; esto puede proporcionar una nueva visión de la dinámica del túnel multidimensional. En este trabajo consideramos el proceso de reflexión sobre la barrera en un modelo simple con dos grados de libertad. Nuestra configuración es interesante en dos aspectos. En primer lugar, el modelo en estudio es esencialmente no-lineal y las variables no se pueden separar; todavía, sobre-barrera reflexiones en este modelo se puede describir analíticamente dentro del marco semiclásico. Por lo tanto, este modelo puede servir como laboratorio analítico para el estudio de túneles multidimensionales. Sec- ond, el exponente de supresión F del proceso de reflexión se comporta no-monotónicamente como el 4Esto se desprende de la representación P(E) • exp F (Eo) F ′′(Eo)(E − Eo)2 de la probabilidad de túnel en la proximidad del máximo. energía total E cambios. Demostramos que la función F (E) posee una serie de Mínimos locales E = Eo, donde la reflexión es óptima. Recalcamos que el proceso que estudiamos es exponencialmente preferible a las energías “óptimas” en comparación con otras energías. Nuestro modelo describe el movimiento de una partícula cuántica en el armónico bidimensional guía de onda (véase Refs. [8, 10, 14] para modelos similares). El Hamiltoniano es w2(x, y), donde x, y son las coordenadas cartesianas y m es la masa de la partícula. La función U = m­2w2/2 representa el potencial de la guía de onda en dos dimensiones: una partícula con pequeñas dimensiones la energía está destinada a moverse a lo largo de la línea w(x, y) 0. No introducimos una barrera potencial. a través de la guía de onda y considerar el caso cuando la línea w = 0 se extiende todo el camino desde x → • a x → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • También suponemos que la función w(x, y) es lineal en la inicial región asintótica, w(x, y) → y como x→ â €. En el presente trabajo consideramos dos casos particulares de la función w(x, y) describiendo guías de onda con una y dos curvas agudas5, ver Fig. 1. El movimiento de la partícula en x → es una superposición del movimiento de la traducción libre en x dirección y oscilaciones de frecuencia a lo largo de y coordenadas; el estado de tal partícula es completamente caracterizado por dos números cuánticos, la energía total E y excitación y-oscilador número N. La partícula enviada a la guía de onda de la región asintótica x→ con dado E, N puede seguir moviéndose hacia x → â €, o reflexionar de nuevo en la región x→ â € € TM. Estamos interesados en la probabilidad P(E,N) de la reflexión. Discutamos las reflexiones a nivel clásico. [Obsérvese que la contraparte clásica de N es la energía de las oscilaciones transversales.] Considere primero la guía de onda con un giro agudo (Fig. 1a). Uno observa que el resultado de la evolución clásica, es decir. independientemente de si se trata o no de la partícula refleja de la vuelta, depende no sólo de la energía total E, pero de otros cantidades dinámicas también. En particular, la dirección del impulso de la partícula en las proximidades de la vuelta (punto C en el gráfico) es importante. Esto significa que la totalidad la dinámica en la guía de onda debe tenerse en cuenta con el fin de determinar la posibilidad de la reflexión clásica. Esto está en marcado contraste con la situación en el caso unidimensional, donde la reflexión de la barrera potencial (o la transición a través de ella) está garantizada por el valor de la energía conservada de la partícula. 5Las expresiones explícitas para las funciones de guía de onda w(x, y) se presentarán en las secciones siguientes. Figura 1: El contorno Equipotencial U = E para las guías de onda con (a) uno y (b) dos giros agudos. Un ejemplo de trayectoria clásica se muestra en el caso (b). Ahora, considere la guía de onda con dos vueltas. El modelo se caracteriza por los ángulos de los giros y la distancia L entre ellos (ver Fig. 1b). Supongamos que la partícula comienza se mueve clásicamente de x → con N = 0 a lo largo del valle w = 0. Entonces, el transverso las oscilaciones se excitan sólo después de que la partícula cruza la primera vuelta, punto C ′ en la parcela, así que que en el momento de la llegada a la segunda vuelta (punto C) aproximadamente oscilaciones /2 se fabrican, donde m/2E es el tiempo de movimiento entre las dos vueltas. El estado de la partícula (coordenadas y momenta) en la que se encuentra la segunda vuelta depende periódicamente en la fase de oscilaciones transversales . Por lo tanto, se espera que el régimen de movimiento de la partícula clásica puede cambiar de la transmisión a la reflexión y de vuelta como el la energía crece (decrece); las energías donde sucede se pueden estimar aproximadamente como millones de libras esterlinas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Veremos que este es el caso de las guías de onda con ciertos ángulos de los giros. En algunos valores de E, N el proceso de reflexión no puede proceder clásicamente. Entonces, en el nivel mecánico cuántico su probabilidad es suprimida exponencialmente, F (E,N) > 0. Lo es. natural para llamar a tal proceso “reflexión sobre la barrera”6. La cantidad central a estudiar abajo está el exponente de supresión F (E,N) de este proceso. El debate anterior sugiere que F (E,N), siendo determinado por toda la dinámica en la guía de onda, puede ser altamente función no trivial. Para el caso particular de la guía de onda con regímenes alternativos de 6Por este término queremos enfatizar que el proceso está clásicamente prohibido. Recordemos, sin embargo, que allí no es una barrera potencial real a través de la guía de ondas en nuestra configuración. reflexiones y transmisiones clásicas F debe oscilar: F = 0 en las energías donde la se permiten reflexiones clásicas, y F > 0 en las energías donde las reflexiones son clásicas Prohibida. Uno puede esperar que el comportamiento oscilatorio similar del exponente de la supresión persiste para otros modelos de dos turnos también. Ahora, en lugar de llegar a cero, F puede poseer una serie de mínimos positivos locales que implican que la reflexión en las energías “óptimas” es sigue siendo un proceso de túnel. Enfaticemos la diferencia entre la “tunelización óptima” y la interferencia cuántica y fenómenos de resonancia en nuestro modelo de dos giros. La interferencia de las ondas de Broglie en principio, puede llevar a oscilaciones en la reflexión proba- capacidad P(E). Uno puede estimar las posiciones de los picos de interferencia igualando el De Longitud de onda broglie de la partícula a una fracción entera de la distancia entre las vueltas, 2mE L/n. Esto produce las energías de los picos de interferencia, Eintn (2ηn)2~2 Esta fórmula es completamente diferente de Eq. (2) para los picos debidos a la “tunelización óptima”. En particular, la distancia entre los picos de inteferencia adyacentes, # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # Eint # # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # escalas proporcionales a ~. Por lo tanto, estos picos deben ser promediados en el semiclásico límite. Además, la amplitud de los picos de interferencia es en la mayor parte del orden uno y lo hace no afecta al exponente de la supresión. De hecho, el aumento exponencial de la dispersión la amplitud puede surgir debido a la interferencia cuántica sólo en la presencia de un estado resonante con una vida exponencialmente larga. Este estado debe ser apoyado en algún lugar entre el gira y debe ser clásicamente estable. In Sec. 4.2 Demostramos que tales estados están ausentes en nuestro sistema. Uno concluye que la estructura de pico-como de la probabilidad P(E) de “optim túnel” es causada por razones físicas completamente diferentes en comparación con el caso de resonancia scattering en la teoría cuántica. Cabe señalar que el fenómeno de la “próxima construcción de túneles” tiene una importante Mentation en teoría de campo. Recientemente se argumentó [17] (véase también Ref. [16]) que la probabilidad de la tunelización inducida por colisiones de partículas [18, 19] alcanza su máximo en una cierta “op- energía timal” y permanece constante7 en energías superiores. Este resultado, si es genérico, proporciona la 7A diferencia del caso mecánico cuántico, la probabilidad de tunelización no disminuye en las energías más alto que el “óptimo”. Esto se debe a la posibilidad, específica de la configuración teórica de campo, de emitir el exceso de energía en unas pocas partículas duras, de modo que el túnel ocurre efectivamente en la energía “óptima”. respuesta a la pregunta de larga data [20] sobre el comportamiento de alta energía de la probabilidad de las transiciones no perturbativas inducidas por colisiones en teoría de campo. El mecánico cuántico modelo presentado aquí apoya el carácter genérico del fenómeno de “túnel óptimo- La simplicidad de nuestro modelo permite obtener una visión intuitiva de la naturaleza de Este fenómeno. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. 2 revisamos el método semiclásico de complejo trayectorias, que se explota en el resto del periódico. Reflexiones en las guías de onda con una y dos vueltas se consideran en Secs. 3 y 4 respectivamente. Discutimos nuestros resultados en Sec. 5. En el apéndice se analiza la validez de algunos supuestos hechos en el cuerpo principal de el periódico. 2 El método semiclásico Comenzamos describiendo el método semiclásico8 de las trayectorias complejas que se utilizarán en el estudio de los reflejos de sobrebarrera. Nos concentramos en la derivación de la fórmula para el exponente de supresión F (E,N) (véase Refs. [2, 8, 9] para los detalles del método y Ref. [19] para la formulación de la teoría de campo). En lo que sigue utilizamos el sistema de unidades ~ = m = فارسى = 1, donde el Hamiltoniano toma la forma, p2x + p y + w 2 x, y) . 3) Uno comienza con la amplitud de la reflexión en el estado con coordenadas definidas xf < 0, yf, A = xf, yf e−i(tf−ti)E, N. 4) Aquí E es el estado inicial de la partícula que se mueve en la región asintótica xi → con impulso de traducción fijo p0 = 2 (E − N) y el número de excitación del oscilador N. Semiclasicamente, xi, yiE, N = eip0xi cos ′)dy′ + η/4 , (5) 8Tenga en cuenta que el método ha sido confirmado por la comparación explícita con la mecánica cuántica exacta resultados en Refs. [8, 9, 14]; específicamente, la comprobación reciente [14] trata del caso cuando la dependencia de la El exponente de supresión de energía no es monotónico. donde xi, yi denota coordenadas iniciales, 2N − y′2, (6) y omitimos el factor pre-exponencial que es irrelevante para nuestros propósitos. Usando Eq. 5), se reescribe la amplitud (4) como un camino integral, dxidyi [dx] [dy] xf, yf xi, yi eiS+ip0xi cos ′)dy′ + η/4 , (7) donde S es la acción clásica del modelo (3). En el caso semiclásico la integral (7) está dominada por el sillín (generalmente complejo) punto. Tenga en cuenta que, a medida que continuamos el integrand en Eq. (7) en el plano de la coor- dinatos, uno de los exponentes que constituyen la función de onda oscilante inicial crece, mientras que el otro se vuelve insignificantemente pequeño. Dentro de la validez de nuestra aproximación, omitimos la exponente decadente por escrito ′)dy′ + η/4 → exp ′)dy′ , (8) con la opción estándar9 de la rama de la raíz cuadrada en Eq. 6). Uno procede encontrando el punto de sillín para la integral (7) con la sustitución (8). Extremización con respecto a x(t), y(t) conduce a las ecuaciones clásicas de movimiento, = −wwx, ÿ = −wwy. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Distinguir con respecto a xi. x(ti), yi. y(ti), se obtiene, i = p0 = 2 (E −N), i = py(yi) = 2N − y2i. Estas últimas ecuaciones son equivalentes a la fijación de la energía total E y la energía del oscilador inicial N de la trayectoria compleja, 2i +N, (10a) 2i + y . (10b) 9 La rama correcta se fija dibujando un corte entre los puntos de giro del oscilador y = ± 2N, y elegir Im py > 0 at y â € R, y > 2N, véase, por ejemplo, Refs. [21]. Sustitución de la configuración del sillín-punto10 por Eq. (7), se obtiene la amplitud de la proceso con precisión exponencial, A eiS+iB(xi, yi), cuando el término B(xi, yi) = p0xi + ′)dy′ (11) es la contribución inicial del Estado. Para la probabilidad de reflexión inclusiva uno escribe, dxfdyf A2 dxfdyf e iS-iSiB-iB*. La integral sobre los estados finales también puede ser evaluada por la técnica del punto de sillín; ex- con respecto a xf, x(tf), yf, y(tf) fija las condiciones límite en el futuro asintótico, Im f = Im xf = 0, Im f = Im yf = 0. (12) De esta manera se obtiene la expresión (1) para la probabilidad de reflexión, donde la supresión exponente F se da por el valor de la función funcional F (E, N) = 2 ImS + 2 ImB(xi, yi) evaluado en la configuración del sillín-punto — una trayectoria compleja que satisface el límite problema de valor (9), (10) y (12). La contribución B(xi, yi) del estado inicial se simplifica después de utilizar la asintótica forma de la solución en t→ â € (xi → â € €), x = p0t + x0, y = ae −it + āeit. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Ecuaciones (10) garantizan que las cantidades p0 = 2-E-N) y 2aā = N son reales, ya que E, N, R. Por lo tanto, uno puede introducir dos parámetros reales T, 2 Im x0 = −p0T, ā = a*eT. (14) Uno encuentra para el término inicial (11), 2 Im B(xi, yi) = Im 2p0xi − 2Narccos(yi/ 2N) + yi 2N − y2i = −p20T −N(T + ♥) + Im(yii), 10Para simplificar, suponemos que la configuración del sillín-punto es única. De lo contrario, uno debe tomar la punto de sillín correspondiente a la supresión exponencial más débil. y por lo tanto F = 2 Im S. −ET −N., (15) donde la acción clásica del sistema (3) está integrada por partes, S = −1 x yÿ + w2(x, y) . 16) Comentemos sobre el significado físico de los parámetros T,. Considere dos trayectorias que son soluciones al problema del valor límite (9), (10) y (12) a valores vecinos de E, N. El diferencial de la cantidad 2 Im Sс como uno deforma una trayectoria en la otra es d (2 Im S?) = d Im(2S + xii + yii) = Im(xidi − idxi + yidi − idyi) = EdT + Nd donde en la última igualdad usamos la forma asintótica (13), (14) de la solución. Entonces, de Eq. (15) se encuentra, dF (E,N) = −TdE − فارسىdN. (17) Por lo tanto, los parámetros T y ♥ son (hasta firmar) los derivados del exponente de supresión con respecto a la energía E y el número de excitación inicial del oscilador N, respectivamente. Nuestra observación final es que el problema del valor límite (9), (10) y (12) es invariante con respeto de la simetría trivial de la traducción temporal, t→ t+ ­t, ­t · R, (18) que se puede fijar de cualquier manera conveniente. 3 El modelo con un giro Para calentar, consideramos el modelo más simple, donde la guía de onda tiene un giro agudo, w = y ♥(−x+ y tg β) + cos β (x sin β + y cos β) (x− y tg β). (19) Aquí la función de paso (x). Es conveniente utilizar el sistema de coordenadas rotado, cos β − sin β sin β cos β La función de guía de onda toma la forma, w = η cos β − • sin β •(). (20) Figura 2: El contorno equipotencial w2(x, y) = 2N para la guía de onda (20) y la trayectoria de la solución crítica con energía N/ cos2 β. El contorno equipotencial w2 (, η) = const se muestra en la Fig. 2. Se observa que la moción de la partícula en dos regiones, â < 0 y â > 0, se descompone en el movimiento de la traducción y oscilaciones en las coordenadas x, y y, η respectivamente (ver. Eqs. (19) y (20)); frecuencia de η–oscilaciones en este último caso es cos β. Debido a la presencia de la función de paso, los primeros derivados del potencial (20) son discontinuo11 a = 0. Estrictamente hablando, el método semiclásico no es aplicable en esta situación [21]. Por lo tanto, la fórmula (20) debe considerarse como una aproximación a algunos función de guía de onda con giro suave. Genéricamente el ancho del giro alisado es caracterizado por un parámetro b; la aproximación nítida-giro (20) corresponde a b → 0. Un ejemplo de suavizado es proporcionado por la siguiente sustitución en Eq. (20), • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 + e/b . (21) La descripción semiclásica se puede utilizar siempre y cuando la longitud de onda de Broglie de la partícula es pequeño en comparación con el tamaño lineal del potencial12, 1/ E â € b. Concluimos que el Las aproximaciones nítidas y semiclásicas son válidas simultáneamente para guías de onda lisas 1 b) 1/ E. (22) 11Obsérvese que el potencial en sí mismo es continuo. 12Otra condición semiclásica es que la energía es suficiente para excitar una gran cantidad de niveles oscilantes, E â € 1. Está satisfecho siempre que Eq. (22) espera. Una propiedad importante del modelo (20) es la invarianza de las ecuaciones clásicas del movimiento (9) bajo el escalado de las coordenadas, x→ x, y → y. 23) Usando la transformación (23), se puede expresar una solución x(t), y(t) con energía E en términos del “normalizado”, x = x E, y = donde la solución x?(t),?(t) tiene energía unitaria; su número inicial de excitación oscilante es / = N/E. El exponente de la supresión (15) toma la forma, F (E, N) = Efβ( v), (24) donde fβ( v) es el exponente de la solución “normalizada”. Sustitución de la expresión (24) en Eq. (17), se obtiene, fβ( v) = −T − . (25) Vamos a explotar Eq. (25) al final de esta sección. Ahora, procedemos a encontrar el "normal- iza” trayectorias. En ciertos datos iniciales la partícula puede reflejarse desde el giro clásico, de modo que fβ(/ > /cr) = 0. Vamos a encontrar el valor de vcr. En la región â € < 0 la solución clásica toma la forma, x(t) = p0t+ x0, (26a) y(t) = A0 sin(t + ♥). (26 b) Después de haber cruzado la línea = 0 (línea AB en la Fig. 2), la partícula clásica nunca puede volver de vuelta a la región ≤ < 0. De hecho, en este caso se mueve a > 0 con un impulso constante < > 0. Por lo tanto, la partícula puede reflejar clásicamente sólo si su trayectoria toca la línea • = 0. El potencial de nuestro modelo tiene derivados mal definidos en = 0, y el destino de la El movimiento de partículas a lo largo de la línea AB depende de la elección particular del suavizado de el potencial. En el apéndice consideramos el movimiento de la partícula clásica en el caso de cuando Alisado no cero de la anchura b se activa. Para una clase de suavizados mostramos que en la pequeña vecindad ( b) de cualquier trayectoria que toca la línea = 0 hay algunos Trayectoria “alimentada”, que refleja clásicamente desde el giro. En consecuencia, a continuación asociar las trayectorias que tocan la línea = 0 con las soluciones clásicas reflejadas. Uno nota que la inclinación de la trayectoria (26) está limitada desde arriba Por lo tanto, la trayectoria clásica de la partícula puede tocar la línea • = 0, es decir, y/x = ctg β Únicamente en A0/p0 ≥ ctg β. (27) De Eqs. (27), (26), (10) se extrae la condición para que la partícula refleje clásicamente desde el turno, v ≥ νcr = cos2 β. (28) La solución clásica crítica en ν = νcr toca la línea • = 0 en η = 0 (punto C en la Fig. 2), donde su trayectoria xcr(t) = 2t sin β, (29) ycr(t) = 2 sin t cos β. tiene la inclinación más grande. Ahora nos remitimos a las reflexiones clásicamente prohibidas en < < νcr, que son descritas por el problema del valor límite (9), (10), (12). Uno hace la siguiente observación importante. La función waveguide (20) tiene la forma de dos funciones analíticas pegadas juntas en = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento (9) pueden continuar analíticamente a los valores complejos de coordenadas de dos maneras diferentes, a partir de las regiones â € < 0 y â € > 0, respectivamente. In de esta manera se obtienen dos soluciones complejas, (t), (t) y (t), (t). Estas soluciones y sus primeros derivados deben ser igualados en algún momento del tiempo t1, (t1) = 0. [Nota que el tiempo de coincidencia t1 no necesita ser real.] A continuación nos referimos convencionalmente a estos las soluciones como las que pertenecen a las regiones â € < 0 y â € > 0. Por el mismo razonamiento que arriba encontramos que una vez que la partícula llega a la región • > 0, nunca se refleja de nuevo en • < 0, a menos que p• = 0. Por lo tanto, en la región > 0 uno escribe, (t) = 0, (30a) (t) = cos β sin(t cos β + ), (30b) donde se ha utilizado explícitamente la condición de “normalización” E = 1. Debido a las condiciones en el futuro asintótico, Eqs. (12), el parámetro es real. Usamos la traducción invarianza (18) a establecer = 0. Nótese que de nuevo asociamos la trayectoria que va a lo largo de la línea = 0 con el reflejado. La imagen física de la reflexión sobre la barrera que viene a la mente coincide con la nueva mecanismo de túnel multidimensional propuesto recientemente en Refs. [9, 11]. El proceso Proceda en dos pasos. El primer paso, que se suprime exponencialmente, es la formación de la órbita clásica periódica (30) oscilando a lo largo de la línea = 0. Esta órbita es inestable. En el segundo paso del proceso la órbita inestable decae de forma clásica formando una trayectoria en marcha volver a x → â € en t → â € €. Es evidente que el segundo paso no afecta a la supresión exponente de todo el proceso, y no lo consideramos explícitamente. En lo que sigue concentrarse en la determinación de la trayectoria de túnel que describe el primer paso de la proceso. Uno debe encontrar la solución en â € < 0 e imponer las condiciones de frontera (10). Nota: Sin embargo, que la energía de nuestra solución ya está fija. En cuanto a la excitación del oscilador inicial número ν, no cambia durante la evolución en la región • < 0. Por lo tanto, uno puede arreglarlo a la hora de emparejar t = t1. Uno escribe, (2 + y2) = cos2 β + sin2 β sin2(t1 cos β). Esta ecuación compleja permite expresar t1 como sin(t1 cos β) = −i - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β , (31) donde la elección del signo está dictada por la condición de la nota 9. Es conveniente introducir la notación t1 = iT1, T1 â € R. Para encontrar el exponente de supresión fβ(v), es necesario evaluar los parámetros T. c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido. La solución tiene la forma < 0, x−(t) = p0(t− iT/2) + x′0, (32a) y-(t) = ae − + a*eTit, (32b) donde las definiciones (13), (14) se han tenido en cuenta explícitamente, de modo que p0, x 0 â € R. Uno evalúa p0, x 0, a, T,  emparejando las coordenadas x±, y± y sus primeros derivados vcr0.20.150.10.050 Figura 3: El exponente de supresión fβ( v) para la guía de onda (20); β = η/3. , en t = iT1; este rendimiento x′0 = 0, p0 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = = = 1 = = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = 1− c/ cos2 β T + ♥ cos2 β − / sin β Las dos últimas ecuaciones, junto con Eq.(25), definir la función fβ( v), fβ( v) = cos β arcsh - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β − c/ β arcsh - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β (vccr − /) 1 - /) esta finción está trazada en la Fig. 3. Se observa que, en el caso de autos, las cantidades T1, T,....................................................................................................................................................................................................................................................... tienden a cero, y la trayectoria compleja tiende a la solución crítica clásicamente permitida, cf. Eqs. (29), 2 sin β, a→ i cos β. A ν = 0 uno tiene, fβ(0) = −2 + cos β arcth (cos β). 33) Para resumir, obtuvimos el exponente de supresión para el reflejo de una partícula en el guía de onda más simple con un giro agudo. Figura 4: El contorno equipotencial w2(x, y) = 2N ′ para la guía de onda (35) y la trayectoria de la solución crítica con energía N′/ cos2 β > EB. Los puntos coincidentes C, C ′ se muestran por los puntos negros gruesos. 4 El modelo con dos giros 4.1 Introducción del sistema En el modelo de la sección anterior el exponente de supresión era proporcional a la energía debido a la simetría de escalamiento de coordenadas (23). Ahora, vamos a demostrar que pequeña violación de esta simetría resulta en un gráfico altamente no trivial para F (E). Uno introduce un segundo giro en la guía de onda, véase Fig. 4. Queremos considerar esto. girar como una pequeña perturbación, por lo que, asumimos su ángulo α para ser más pequeño que β. Es conveniente. introducir dos sistemas de coordenadas adicionales, x′, y′ y, η, unidos a la central y partes más a la derecha de la guía de onda, respectivamente. Están relacionados con la coordenada original sistema x, y como sigue, cosα sinα − sinα cosα cos β − sin β sin β cos β x′ − L Nótese que el origen del sistema de coordenadas, η es desplazado por la distancia L. La guía de onda función es w = ♥(−x′)()y + فارسى()/23370/(x′)y′ cosα + Ł()η cosα cos β ; (35) se compone de tres piezas encoladas de forma continua a x′ = 0 y a 0 (líneas A′B′ y AB en Fig. 4 respectivamente). En t→ la partícula viene volando de la región asintótica x′ < 0, donde w = y. En la región intermedia x′ > 0, ≤ < 0, la partícula se mueve en la x′ dirección oscilando a lo largo de la coordenada y′ con la frecuencia cosα. Por último, en la región • > 0 su movimiento es libre en las coordenadas •, η; la frecuencia de η–oscilaciones es cosα cos β. El modelo (35) ya no posee la simetría (23): reescalado de los cambios de coordenadas la longitud L de la parte central de la guía de onda. En lo que sigue es conveniente trabajar en términos de las variables dinámicas reescaladas, * = x/L, * = y/L. En nuevos términos el parámetro L desaparece de las ecuaciones clásicas del movimiento, entrando la teoría a través del coeficiente global L2 frente a la acción. El estado cuántico inicial los números también son proporcionales a L2, E = L2, N = L2Ñ. (36) Por lo tanto, las condiciones (22) para la validez de la aproximación semiclásica se cumplen en el límite L→ , , Ñ = fijo. El exponente de la supresión toma la forma F (E,N) = L2F (, Ñ). (37) Para simplificar las anotaciones, omitimos los tilos sobre las cantidades redimensionadas en el resto de este sec- tion. Rescatar de nuevo a las unidades físicas se puede realizar fácilmente en las fórmulas finales por la aplicación de las Eqs. 36), 37). 4.2 Evolución clásica Comencemos esta subsección demostrando que no hay soluciones clásicas estables localizado en la región entre los giros. Esto es importante para la determinación de la la probabilidad de tunelización, ya que tales soluciones estables podrían conducir a resonancias exponenciales en el la amplitud del túnel. El argumento sigue siendo el siguiente. Cualquier trayectoria que se localice en la región intermedia debe reflejar desde la línea AB infinitamente muchas veces. Cada reflexión implica tocar la órbita inestable que vive en la línea AB. Esto implica que la trayectoria en sí mismo es inestable. Procedemos a determinar la región de los datos iniciales E, N, que corresponden a la reflejos clásicos. [Por brevedad nos referiremos a esta región como el “clasicamente permitido región”, a diferencia de la “región clasicamente prohibida” donde las reflexiones se producen sólo en el nivel mecánico cuántico. Destacamos que estas son las regiones en el plano de la números E, N.] Busquemos las soluciones clásicas críticas que corresponden a la menor número inicial del oscilador N = Ncr(E) en la energía dada E. Como en la sección anterior, se encuentra que la partícula debe quedar atascado en la línea13 AB durante algún tiempo para reflejar Atrás. Hagamos primero una suposición inspirada en el estudio del modelo de un solo giro que el Las soluciones críticas tocan la línea AB en su punto de inclinación máximo (punto C en la Fig. 4). Pronto veremos que esto es cierto sólo en energías por encima de cierto valor EB, véase Eq. (50). Sin embargo, el análisis basado en el supuesto anterior permite captar las características cualitativas de la línea crítica N = Ncr(E). Además, el análisis se simplifica considerablemente en este caso; posponemos el estudio exacto hasta el final de esta subsección. Teniendo en cuenta lo anterior comentarios, uno escribe para la solución en la región intermedia, x′cr(t) = t 2E sin β + 1, (38a) y′cr(t) = cos β sin(t cosα). (38b) Antes de entrar en la región intermedia, la partícula cruza la línea A′B′ (punto C ′ en la Fig. 4). El número del oscilador inicial N se calcula más convenientemente en el momento t = t0 • − 2E sin β de cruzar. Usando las relaciones (34) se obtiene, cr(t0) = sin β cos cos β sinα cos cos 2E sin β , (39) y por lo tanto Ncr(E) = E − 2cr(t0) = E − E sin β cos cos β sinα cos cos 2E sin β , E > EB. 0,05 0,15 0,90,80,70,50,40,30,10 Figura 5: El límite N = Ncr(E) de la región clásicamente permitida en E > EB para el modelo de guía de onda (35); β = η/3, α = η/30. La región de los datos iniciales permitidos clásicamente yace por encima de este límite. Los círculos vacíos corresponden a las energías E = En, donde la curva N = Ncr(E) toca su envolvente inferior N = E cos 2(β + α). Como ejemplo, mostramos en la Fig. 5 la región de los datos iniciales permitidos clásicamente para β = η/3, α = η/30. Uno observa que la función Ncr(E) oscila entre dos sobres lineales, E cos2(β + α) y E cos2(β − α); el período de oscilaciones disminuye como E → 0. Además, la curva Ncr(E) tiene un número de mínimos en los puntos E = E n. Esto significa que el energías E = Ecrn son óptimas para la reflexión: en las proximidades de cualquier punto E = E n, N = Ncr(E) n ) las reflexiones se suprimen exponencialmente independientemente de si la energía aumenta o disminuye. Esta característica es particularmente pronunciada en el caso de: cuando la envolvente inferior coincida con la línea N = 0. Entonces, las reflexiones clásicas (es decir,. reflexiones con la probabilidad de orden 1) en N = 0 son posibles sólo en las vicinidades de la puntos 8η2(n− 1/2)2 Este es el caso que usamos en Introducción para ilustrar el efecto. Los mínimos E = Ecrn existen en otros valores de los parámetros también. Por ejemplo, vamos a 13No consideramos las reflexiones de la línea A′B′. Desaparecen en valores más grandes de N que los reflejos desde la línea AB si α es lo suficientemente pequeño. nos encontramos con las posiciones de estos mínimos en el caso α â € 1. Se diferencia Eq. (40) con respeto a la energía y a los productos, Ecrn = En η(n− 1/2) arcsin ctg β 2° (n− 1/2) +O(α2) , (41) donde 8γ2(n− 1/2)2 sin2 β son los puntos donde la curva N = Ncr(E) toca su envolvente inferior. El argumento de arcsine en Eq. (41) debe ser más pequeño que uno, por lo que el mínimo Ecrn sólo existe lo suficientemente grande n ≥ n0 ctg β + 1, (43) donde [·] representa la parte entera. Hagamos varios comentarios. En primer lugar, tenga en cuenta que n0 O(1/α), en consecuencia, todos los puntos óptimos Ecrn se encuentran en la región de las pequeñas energías E â € 1/n20 â € O(α2). En segundo lugar, como nosotros señalada anteriormente, la fórmula (40) para la función Ncr(E) tiene en E > EB. Comparación las expresiones (42), (43) y (50), se observa que En0 > EB si tg β > 1. Por lo tanto, allí existe un rango de energías donde el comportamiento no-monotónico de la función Ncr(E) puede se infiere de la fórmula (40). De hecho, la conclusión sobre la existencia de la los mínimos de Ncr(E), así como las expresiones (41), (42), (43) que determinan sus posiciones, seguir siendo válido también en E < EB. Esto se deriva del riguroso análisis de la frontera de la clásicamente permitida región a la que nos dirigimos ahora. El lector que está más interesado en el los procesos de túnel pueden saltarse esta parte y proceder directamente a la subsección 4.3. Ahora, no apelamos a los Ansatz (38). En su lugar, empezamos con la solución general en la región intermedia, x′ = p′0(t− t0), (44a) y′ = A′0 pecado [(t− t0) cos ]. (44b) Es conveniente parametrizarlo por la energía total E = p′20 /2 + cos 2 αA′20 /2 y el “inclinación” γ definida por la relación p′0/A 0 = tg γ cosα. Las expresiones (44) adoptan la siguiente forma: 2E (t− t0) sin γ, (45a) cos γ sin [(t− t0) cosα + ]. (45b) Las constantes t0 y ′ se fijan exigiendo la trayectoria (45) para reflejar clásicamente desde la segunda vuelta, es decir. tocar la línea = 0 en t = 0, (x′ − 1) cos β − y′ sin β = 0, = ctg β. Estas condiciones implican, t0 = − 2E sin γ tg2 β tg2 γ − 1, (46a) = − cos 2E sin γ tg2 β tg2 γ − 1− arccos . (46b) Uno ve que las reflexiones clásicas son posibles sólo en γ [0; β]; el valor límite γ = β reproduce la solución (38). Para encontrar Ncr(E), se debe minimizar el valor del oscilador entrante exci- γ en E fijo. En t = t0, cuando la partícula cruza la primera vuelta, = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2E(cosα sin γ − sinα cos γ cos). (47) Puesto que N = E − p20/2, se puede maximizar el valor del momento de traducción p0 en su lugar de minimizar N(γ). Fórmula (39) representa el valor γ = β que se encuentra en el límite de la γ–dominio accesible; este valor debe compararse con p0(γ) tomado en el máximo local. Consideremos el caso α â € 1. En energías lo suficientemente grandes, E â € 1, Eq. (47) está dominado por el primer término, que crece con γ, de modo que el máximo de p0(γ) se logra de hecho en γ = β. En energías pequeñas, sin embargo, el segundo término en Eq. (47) se convierte en esencial debido a el multiplicador cos oscilante rápidamente: la frecuencia de oscilaciones cos crece como E → 0, y en E α2, a pesar de la pequeña magnitud proporcional al sinα, el segundo término produce la secuencia de maxima local de la función p0(γ). Uno espera que los parámetros de la trayectoria a α pequeño no sean muy diferentes de la α = 0 (este último caso fue considerado en Sec. 3). Así que, escribimos, γ = β − , donde 0 < 1. Ampliación de las expresiones (46), (47) y teniendo en cuenta que E • α2 se obtiene, = − 2E sin β (1 + ctg β), (48a) 2E(sin β − cos β − α cos β cos). (48b) Ahora, el máximo local del impulso de traducción inicial se puede obtener explícitamente por diferenciando Eqs. (48) con respecto a. Uno encuentra la secuencia de ellos, n = −tg β + sin2 β cos β 2πn− π − arcsin 2E sin2 β α cos β . (49) Sólo debe tenerse en cuenta el máximo con n > 0. Los máximos locales existen cuando E ≤ EB α2 cos2 β 2 sin4 β . (50) Sustitución de Eq. (49) en las expresiones (48), se evalúan los valores de p0 en el local máximo, p0,n(E) =2 2E sin β − 2E sin 2 β 2πn− π − arcsin 2E sin2 β α cos β 2E cos β 1− 2E pecado α2 cos2 β Los gráficos Nn(E) = E − p20,n(E)/2 se muestran en la Fig. 6 para el caso β = η/3, α = η/30. Cada gráfico es trazado para el rango de energía E > EAn restringido por la condición n > 0. Se presentan junto con la curva dada por la fórmula (40). Por definición, el la solución crítica corresponde a la más baja de estas gráficas. Claramente, para cada curva “local” representa el n-ésimo mínimo local de N(γ) hay una gama de energías EAn < E < EBn donde se encuentra más abajo que la curva “global” (40). Esto significa que el parámetro γ de la la solución crítica cambia de forma discontinua en los puntos E = EBn. Correspondientemente, el curva Ncr(E) tiene una ruptura en estos puntos. Por otro lado, la función Ncr(E) es suave en los puntos A como los gráficos "locales" terminan exactamente en = 0, donde los parámetros de la n-ésima solución “local” coincide con la de la solución “global”. Para resumir, hemos observado que el límite de la región clásicamente permitida es dado por una colección de muchas ramas de soluciones clásicas, cada rama es relevante en su propio intervalo de energía. Veremos que una estructura de rama similar está presente en el complejo trayectorias que describen reflejos de sobre-barrera en la región clásicamente prohibida de E, N. 4.3 Reflexiones clásicamente prohibidas En esta subsección demostramos que el exponente de supresión F (E, N) visto como un función de la energía en N fija exhibe oscilaciones en el interior de la región clásicamente prohibida 0,02 0,04 0,06 0 0,05 0,15 0,15 0,2 Figura 6: Los gráficos Nn(E) correspondientes a los mínimos locales de la función N(γ) ) trazado junto con la curva “global”, Eq. (40) (línea sólida); β = η/3, α = η/30. La curva crítica N = Ncr(E) se obtiene tomando el mínimo entre todos los gráficos. de los datos iniciales. Este resultado llega sin sorpresa si se tiene en cuenta el no-monotónico comportamiento del límite Ncr(E) de la región clásicamente permitida. De hecho, la curva N = Ncr(E) coincide con la línea F (E,N) = 0. Uno tiene, = EF N=Ncr(E) para que (Ecrn, N n ) = 0. Concluimos que los puntos E = Ecrn son los mínimos locales de la función F (E) en fijo N = N crn. Es natural esperar que tales mínimos locales de F (E) existen en otros valores de N también. Para ilustrar este hecho explícitamente, estudiamos las trayectorias complejas, soluciones para Eqs. 9), 10), 12). Siguiendo las tácticas de la sección anterior, encontramos soluciones en tres regiones separadas: región inicial x′ < 0, región final > 0, y región intermedia x′ > 0, < 0. Estos las soluciones, junto con sus primeros derivados, deben pegarse en t = t0, cuando el complejo la trayectoria cruza la línea x′ = 0, y en t = t1, cuando = 0. Además, estamos buscando la solución de túnel que termina oscilando a lo largo de la línea AB, ver Fig. 4. Como se indica en Sec. 3 esto supone la existencia del segundo paso del proceso: decaimiento clásico de lo inestable órbita que vive en = 0; esta última decaimiento se describe por una trayectoria real14 va a x → at t→. La solución en la región final > 0 es (cf. Eqs. (30)), (t) = 0, (51a) (t) = cosα cos β sin(t cosα cos β), (51b) donde usamos la invarianza de la traducción del tiempo (18) para fijar la fase del oscilador final = 0. En la región intermedia x′ > 0, < 0 se escribe, x′(t) = p′0t + x 0, (52a) y′(t) = a′e−it cosα + eit cosα. (52b) Tenga en cuenta que la solución final (51) no contiene parámetros libres; por lo tanto, la coincidencia de x′, , y′, at t = t1 permite expresar todos los parámetros en Eqs. (52) en términos de uno variable compleja t1, p′0 = 2E sin β cos فارسى1, (53a) x′0 = 1 + [pecado............................................................................................................................................................................................................................................................. β (53c), (ei.1/ cos β [sin.] 1 + i cos β cos.1], (53c) = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (53d) donde introdujimos ­1 = t1 cosα cos β. Como la energía de la solución ya se ha fijado, la única condición inicial restante incluye el número inicial de excitación del oscilador a x′ < 0, véase Eqs. (10). Es conveniente. para imponer esta condición en el punto de coincidencia t = t0. Se recuerda la definición de tiempo de coincidencia t0, p′0t0 + x 0 = 0, 14Uno se pregunta por qué esta trayectoria no se refleja en el giro A′B′ en su camino de regreso. Esta preocupación es la siguiente: removido por la observación de que la trayectoria producida en la descomposición de la órbita inestable no es única: en el apéndice mostramos que la descomposición puede ocurrir en cualquier punto del segmento AC dando lugar a un montón de posibles trayectorias de desintegración. La mayoría de estas trayectorias pasan por el giro A′B′ sin reflexión. que, después de tener en cuenta las expresiones (53a), (53b), conduce a la siguiente ecuación, cos 2E sin β synoe1 cos β − cosl 1 = 0, (54) donde = cosα(t1 − t0). En t = t0 uno tiene, (t0) = p 0 cos (t0) sinα = 2-E-N), y, por lo tanto, = ctgα sin β cos (55) Como antes, v. = N/E. Dos ecuaciones complejas (54), (55) determinan los tiempos de coincidencia t0, t1, y, en consecuencia, la trayectoria compleja. Aunque estas ecuaciones no se pueden resolver explícitamente, pueden Se simplificará en el caso α â € 1, que consideramos a partir de ahora. Para la concreción, nosotros reflexiones de estudio en N = 0. Es importante tener en cuenta que en la región de interés E Ecrn O(α2); por lo tanto, uno debe considerar todas las amplitudes momenta p y oscilador a, ā, como las cantidades de orden O(α). Al mismo tiempo, para las distancias a lo largo de la guía de olas uno tiene x O(1), de modo que las partes reales de los intervalos de tiempo pueden ser parametralmente grandes, Re t x/p O(1/α). Más adelante, será conveniente trabajar en términos de variables reales, por lo que, representamos a 1 y como *1 = cosα cos β(­1 + iT1), = cosα(­+ i­T ). Nótese que las partes reales e imaginarias del intervalo de tiempo t1 − t0 que la gasto de partículas en la región intermedia. Ahora, la ecuación (54) permite a uno expresar 2E sin βch(T1 cos β) +O(α), (56) • 1 = − ♥ cos β cos β T cth(T1 cos β) +O(α3). (57) Nótese que O(α), O(1/α). Entonces, la parte real de Eq. (55) implica que ch(T1 cos β) = sin β 1 + α ctgβ cos +O(α2). (58) Al derivar esta fórmula se impuso T1 < 0 que se desprende del requisito de que en el límite α → 0 ecuación (31) debe ser recuperada; además, asumimos e-T-O(1). Sustitución de Eq. (58) en Eq. (56) y la parte imaginaria de Eq. (55), obtenemos el final conjunto de ecuaciones, 2E = α ctgβ cos (1 + T )eT = α ctg sin  + O(α). (59b) Estas dos ecuaciones no lineales, todavía, no se pueden resolver explícitamente. Sin embargo, uno puede conseguir una idea bastante precisa sobre la estructura de sus soluciones. Antes de proceder al análisis de las ecuaciones anteriores, vamos a derivar un conveniente expresión para el exponente de supresión F0(E) F (E,N = 0). Nótese que en general motivos que se espera obtener una expresión de la forma, F0(E) = E(fβ(0) +O(α)), donde fβ(0) es administrado por Eq. 33). Estamos interesados en la corrección O(α) en esta expresión, Por lo tanto, uno debe tener cuidado de mantener un registro de los términos subliminantes durante la derivación. Haciendo uso de las ecuaciones de movimiento, se obtiene para la acción incompleta (16) de la sistema, 2 Im S‡ = Im p′0 = 2E sin β Im(cosŁ1). Sustitución de Eqs. (56), (57), (58) en esta fórmula produce 2 Im S‡ = 2E − 1 T − α ctg β cos cos2 β + 2°T +O(α2) Para el parámetro T uno tiene (ver Eqs. (14), T = − 2 Im x 0 2 Im(x(t0)− p0t0) = 2 (T1 T) + sinα Im y′(t0), (60) donde en la última igualdad usamos Eqs. (34) y x′(t0) = 0. La cantidad Im y ′(t0) es evaluado utilizando Eqs. (52b), (53) y (58); se encuentra, Im y′(t0) = − ctg β cos Sustituyendo todo en la fórmula (15), obtenemos, F0(E) = E fβ(0)− 4α ctg β cos . (61) Esta expresión implica que la determinación de la corrección O(α) a la nent implica la búsqueda de, T con O(1)–exactitud. Este es precisamente el nivel de precisión de Eqs. (59). A continuación también necesitaremos las siguientes fórmulas, que se pueden obtener fácilmente por utilizando T = −F. y Eq. (60), = fβ(0) + 2(­T + 1) + O(α), (62) 2 + T + 1 + O(α)) . (63) Tenga en cuenta que, aunque el exponente de supresión difiere de que en el caso de una vuelta sólo por Corrección O(α), su derivado se modifica en el orden cero en α. Ahora, estamos listos para analizar Eqs. (59). Uno comienza por resolver Eq. (59b) gráficamente, Véase Fig. 7. La propiedad importante de esta ecuación es la siguiente. Uno nota que los l.h.s. de Eq. (59b) es siempre inferior a 1, el máximo que se alcanza en la T = 0. Por lo tanto, las soluciones a esta ecuación se limitan a las bandas * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin* * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Esto corresponde a * [0; 2η(n1 − 1) + n1 ] o * [2ňn−  − n; 2ηn + n], n ≥ n1 (64) donde n = arcsin 2° (n− 1/2) +O(α), + 1, (65) con [·] en la última fórmula para la parte entera. Las bandas prohibidas, donde En la Fig. 7 por sombreado amarillo. La propiedad (64) introduce un clasificación topológica de las soluciones............................................................................................................................................................................................................................................................ (59). Es decir, estas soluciones caen en un conjunto de ramas continuas: las ramas “locales” ­n(E), ­Tn(E) que viven dentro de la las tiras de las subpartidas del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2 y del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A.6.a.2 del presente artículo habitando en la primera banda de la primera banda de la [0; 2π(n1 − 1) + n1 ]. Como se desprende de la definición de El número topológico n cuenta el número de y′–oscilaciones durante la evolución en el región intermedia. Consideremos la rama “global”. De Eqs. (59) uno tiene, 1(n1 − 1) +O(α lnα), Tg → ln(tg β/α), E → 0, * g → 0, * Tg → − 1, * E → *. 10η 9η 8η 7η 6η 5η4η 3η 2η η 0 g 4 5 10η 9η 8η 7η 6η 5η4η 3η 2η η 0 g 4 5 Figura 7: Curvas que representan soluciones a Eq. (59b); β = η/3, α = η/30. Por inspección de la Fig. 7 se puede calcular el comportamiento cualitativo de las funciones Łg(E), •Tg(E). Alternativamente, estas funciones se pueden encontrar numéricamente. Están trazados en la Fig. 8 para el caso β = η/3, α = η/30 (las curvas marcadas con “g”). Uno observa que en Energias suficientemente altas la función Tg(E) exhibe oscilaciones alrededor de la línea T = −1. De acuerdo con la fórmula (63) esto significa que la función F0(E)/E es no-monotónica, alcanza mínimos locales en los puntos E ′n = 8η2(n− 1/2)2 1 + 2αe−1ctgβ +O(α2) . (66) Además, si n ≥ n′0 fβ(0) exp fβ(0) + 1 (67) existe Eon = E n(1 + O(α)), de tal manera que T (E) n) = −1 − fβ(0)/2. Entonces, de acuerdo con Eq. (62) los puntos Eon son las energías “óptimas” correspondientes a los mínimos locales de la exponente de supresión F0(E). A bajas energías la función Tg(E) deja de oscilar y se vuelve grande y positiva. Según Eq. (62) esto significa que el exponente de supresión F0,g(E) de la “global” La solución se vuelve negativa a bajas energías15, fig. 9. Esta es una señal clara de que el 15 Vale la pena mencionar que Eqs. (59) y la expresión (61) para el exponente de la supresión se convierten 0 0,1 0,2 0,3 0 0,1 0,2 0,3 0 0,1 0,2 0,3 E’4E’5 Figura 8: Varias primeras ramas de soluciones a Eqs. (59): subdivisión “global” (“g”) y dos Sucursales “locales” (“4”, “5”); β = η/3, α = η/30. 0,05 0,15 0,25 0 0,2 0,4 0,6 0,02 0,04 0,120.110.100.09 Figura 9: El exponente de supresión F0(E) para las ramas “global” y primera “local” (n = 4); β = η/3, α = η/30. La proximidad de la intersección de los gráficos se amplía en la parte superior derecha esquina. La solución “global” se vuelve antifísica ante estas energías y su contribución a la reflexión probabilidad debe ser descartada: exponente de supresión negativa contradice la unitariedad Requerimiento16, P < 1. Uno se ve obligado a concluir que a la reflexión de bajas energías se describe por las soluciones “locales”. Estudiémoslos en detalle. Para la rama n-a se obtiene, n → 2ηn+O(α lnα), tn → ln(tg β/α), E → 0, * n → 2ηn− π, * Tg → *, * E → *. De Fig. 7 uno aprende que la n-ésima solución pasa a través de los puntos * Tn = −1, * = 2ηn o * = 2ηn− η. (68) inaplicable en general T: la suposición de E+T O(1) que se utilizó en la derivación de estas ecuaciones se viole. Sin embargo, al analizar las ecuaciones completas (54), (55) se puede mostrar que dF0,g/dE = −Tg es grande y positivo en E → 0. Esto es suficiente para concluir que F0,g(E) es negativo en la baja energía dominio. 16Otra indicación de que la solución “global” es antifísica en la pequeña E es que la función Limitado desde arriba. De hecho, es el intervalo de tiempo que la partícula pasa en la parte intermedia de la guía de onda, se espera que tienda al infinito como E → 0 para una solución físicamente relevante. Por lo tanto, cada curva (Tn(E) tiene una inclinación aguda, su mínimo es menor que −1, ver Fig. 8. As en el caso de la rama “global”, los puntos (68) representan el extremo de las funciones F0,n(E)/E; las posiciones de los mínimos locales son dadas de nuevo por Eq. (66). Haciendo uso de Eq. (61), encontramos que las supresiones F0,n(E) de las ramas “locales” son grandes y positivos a altas energías. Por lo tanto, estas soluciones dan contribuciones subdominantes a la probabilidad de reflexión en tal E en comparación con la solución “global”. Como energía disminuye, F0,n(E) también disminuye, luego hace una oscilación y cae a valores negativos en E. Esta última propiedad significa que cada rama “local” se convierte en poco física en pequeña suficientes energías. El exponente de supresión de la primera rama “local” (correspondiente a n = 4 en el caso β = η/3, α = η/30) se presenta en la Fig. 9. Un lector de alerta puede que ya haya adivinado que hemos conocido aquí a los típicos Stokes. fenómeno [21]. De hecho, el fenómeno Stokes es específico de las situaciones en las que algunos integral (por ejemplo, la integral de ruta (7) en nuestro caso) se evalúa por el método de sillín-punto. Esencialmente, significa lo siguiente: a medida que uno cambia gradualmente los parámetros de la integral en cuestión, un punto de sillín determinado puede pasar a ser no contribuyente después de los valores de los parámetros cruzan una cierta curva dibujada en el espacio de parámetros, la línea Stokes. Desde el el resultado del cálculo debe ser continuo, este fenómeno se produce sólo para subdomi- nant puntos de sillín (trayectorias de spaddle-punto en nuestro caso). Por desgracia, aparte de varios conjeturas heurísticas [21, 12], a veces bastante sugerentes [13], actualmente no hay general método de tratar con el fenómeno Stokes en los cálculos semiclásicos. Sin embargo, en la situación que se encuentra arriba basta con utilizar la lógica más simple yace en el corazón de todos los demás enfoques17. Al reunir el resultado final para el exponente de la supresión, seguimos dos directrices. En primer lugar, está claro que, a medida que disminuye la energía, cada rama se vuelve antifísica antes de F0,n(E) Cruza cero. Por otro lado, a altas energías uno debe recoger la rama correspondiente al valor más pequeño del exponente de la supresión. Mirando a Fig. 9, uno de ellos señala que el las curvas F0,g(E), F0,4(E) tienen dos intersecciones, A y B. En E > EB se elige la Subdivisión “global”. En la región EA < E < EB cambiamos a la primera sucursal “local”, porque en esta región F0,4(E) < F0,g(E). Naivamente, en E = EA uno debe saltar de nuevo a la “global” rama; sin embargo, con el fin de preservar la unidad a las pequeñas energías, suponemos que en algún lugar entre los puntos B y A la rama “global” se convierte en no contribuyente, de modo que uno debe permanecer en la sucursal “local” en E < EA. Del mismo modo, las ramas “locales” adyacentes tienen 17La simplificación en el presente caso está relacionada con el hecho de que nos concentramos en la semi- contribución clásica, dejando a un lado las subdominantes. dos intersecciones; a medida que la energía disminuye, cambiamos de n-th rama a n + 1-th en el primera intersección, y permanecer allí hasta la intersección con la rama n+2-th. En general, uno obtiene el gráfico para el exponente de supresión trazado en la Fig. 10. El exponente de la supresión 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Figura 10: El resultado final del exponente de supresión F0(E) en la región de las pequeñas energías; β = η/3, α = η/30. Los puntos donde se fusionan diferentes ramas se muestran con negro grueso puntos. oscila entre dos sobres lineales, F = E(fβ(0) ± 4e−1α ctg β); las oscilaciones se acumulan en la región de bajas energías. El proceso de reflexión es óptimo en las proximidades de los mínimos de la función F0(E). 5 Debate Al considerar una clase de modelos de guía de onda bidimensional, hemos demostrado explícitamente que la probabilidad de reflexión de la barrera excesiva puede ser una función no-monotónica de la energía. Los origen del efecto radica en la dinámica clásica: los parámetros de la trayectoria compleja la descripción de la reflexión sobre la barrera cambia cuasiperiódicamente a medida que disminuye la energía. Esto resulta en el comportamiento oscilatorio del exponente de la supresión. La reflexión ocurre con exponencialmente mayor probabilidad en las vicinidades de las energías “óptimas” (mínimos locales de la el exponente de la supresión) mientras que es altamente suprimido en el medio. Nuestros resultados se obtienen para una clase bastante específica de guías de onda, a saber, los que con giros muy agudos. Sin embargo, las características cualitativas observadas en este trabajo deben ser válidas para modelos de guía de onda bastante generales: una partícula clásica con alta energía siente cualquier gran escala giro de la guía de onda como uno afilado18; si dos vueltas están separadas por un largo intervalo de libre movimiento, se llega al modelo (35). Observamos que el fenómeno del túnel óptimo se ha observado también en la investigación numérica de una guía de ondas lisas, véase Ref. [14]. La estructura ramificada de las soluciones observadas en la región de las pequeñas energías es interesante desde el punto de vista matemático. Hemos demostrado que existe una secuencia infinita de trayectorias complejas marcadas por el número topológico n. Cada rama produce físicamente resultado consistente para el exponente de supresión en algún intervalo de energía; fuera de este intervalo la rama n-th correspondería a transiciones altamente suprimidas (altas energías) o a la violación de la unitariaridad (energias bajas). Recopilamos el gráfico final para la supresión. exponente basado en las consideraciones empíricas, que difícilmente pueden ser reconocidas como satisfactoria. Nuestro estudio muestra claramente que el método de las trayectorias complejas debe ser equipado con una regla conveniente para recoger la trayectoria física entre el conjunto discreto de soluciones al problema del valor límite (9), (10), (12) (en otras palabras, el método para tratar con el fenómeno Stokes). En la actualidad, tal regla está ausente. Observamos que el fenómeno físico descrito de la tunelización óptima está presente inde- Pendentamente de la forma en que las ramas de las soluciones se pegan juntas. El resultado a un nivel relativamente bajo las altas energías son dadas por la rama “global”, que muestra un gran número de mínimos locales si n′0 > n1, véase Eqs. (67), (65). Este es el caso del ejemplo ilustrativo considerado. a lo largo de este papel, ver Fig. 9. Como observación final, señalamos algunas cuestiones pendientes. Hemos calculado la supresión. exponente de la reflexión utilizando la aproximación nítida-giro. Sería instructivo extender nuestro análisis al encontrar correcciones debido a los anchos de giro finitos. La motivación es doble. En primer lugar, el análisis realizado en el apéndice implica la existencia de una rica variedad de soluciones semiclásicas que contribuyen casi por igual a la probabilidad de reflexión. Esta fea... tura podría ser una manifestación de caos [7] que está presente en nuestro sistema, pero oculto por el aproximación de giro nítido. [Tenga en cuenta que el caos es inherente en un modelo de guía de onda muy similar 18Más precisamente, se debe comparar la anchura b de la vuelta a la cantidad 2 , donde p0 es el el momento de la traducción de la partícula y de representa la frecuencia de las oscilaciones transversales; si bÃ3r 2ηp0 uno está en la clase de modelos con giros agudos. con un potencial suave, véase Ref. [14].] Claramente, la estructura de las soluciones en las proximidades de Vale la pena seguir investigando los turnos. En segundo lugar, se propuso recientemente en Refs. [9, 11] que el proceso de túnel dinámico en sistemas cuánticos con múltiples grados de libertad (incluidos modelos teóricos de campo, Véase Refs. [19]) puede proceder de manera diferente al caso ordinario de túnel unidimensional- ing. Es decir, el estado clásicamente inestable se puede crear durante el proceso; este estado decae posteriormente en la región asintótica final. El análisis realizado en el presente documento naturalmente se ajusta a este mecanismo de túnel: todas nuestras trayectorias complejas están emparejadas con la órbita inestable viviendo en el giro. Sin embargo, la aproximación de giro brusco no permite para distinguir entre las trayectorias verdaderamente inestables que permanecen en el turno para siempre y los que reflejan desde el giro en un tiempo finito. Para decidir si el mecanismo de tunelización de Refs. [9, 11] es efectivamente realizado en nuestro modelo uno necesita ir más allá de la curva afilada aprox- imation. Entonces, el candidato para el estado inestable “mediador” es el “espalerón excitado”, la solución considerada en el apéndice. Presumiblemente, en nuestro modelo se puede responder analyti- a la cuestión de si el “espalerón excitado” actúa o no como estado intermedio del proceso de tunelización. Este estudio está bastante más allá del alcance del presente documento y nosotros Déjalo para futuras investigaciones. Agradecimientos. Estamos en deuda con F.L. Bezrukov y V.A. Rubakov por el en- Alentando el interés y sugerencias útiles. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de la Federación de Rusia. Fundación para la Investigación Básica, subvención 05-02-17363-a; Subvenciones del Presidente de Rusia Federación NS-7293.2006.2 (contrato gubernamental 02.445.11.7370), MK-2563.2006.2 (D.L.), MK-2205.2005.2 (S.S.); Subvenciones de la Fundación Rusa de Apoyo Científico (D.L. y S.S.); el compañerismo personal de la fundación “Dynasty” (concedido por el consejo científico de ICFPM) (A.P.) e INTAS beca YS 03-55-2362 (D.L.). D.L. está agradecido a la Universidad Libre de Bruxelles y EPFL (Lausanne) por su hospitalidad durante sus visitas. Un movimiento clásico cerca del giro En este apéndice analizamos el movimiento de la partícula cerca del giro agudo de la guía de onda (20) con un alisado no nulo de la curva, véase, por ejemplo, Eq. (21). Suponemos que en el pequeño la proximidad de la vuelta la función w(, η) se puede representar en la forma w(, η) = cos β (η − bv(/b)), (69) donde v(­) no depende explícitamente de b. Por otra parte, consideramos el caso cuando v() ha un máximo19, v′(­0) = 0. (70) Debido a la propiedad (70) se obtiene inmediatamente la solución periódica exacta a la ecuaciones de movimiento (9), que llamamos “espalerón excitado” [9], Sp = b+0, ηsp = Aη sin(t cos β + ) + bv(­0). (71) Vamos a demostrar que esta solución es inestable: una pequeña perturbación por encima de ella crece con el tiempo y la partícula vuela hacia cualquiera de los extremos de la guía de onda. En particular, hay soluciones que describen el decaimiento del espalerón a • • • tanto en t → • •. Claramente, tales soluciones corresponden a las reflexiones del turno. En las proximidades del espalerón la trayectoria de la partícula se puede representar en el forma, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • en los que se indicarán los siguientes puntos: Escribiendo las ecuaciones clásicas del movimiento (9) en el orden principal en b, se obtiene, Aη sin(2s)v ′(), (73) + 4° = 4[v(­)− v(­0)], (74) donde s = (t cos β )/2. Vale la pena señalar que el lado derecho de Eqs. (73), (74) son de diferente orden en b. Vamos a ver que debido a esta diferencia ­ = 0 en el orden principal en b. Consideremos primero las perturbaciones lineales por encima del espalerón excitado, * = 0 + , * 1.................................................................................................................... La ecuación (73) puede ser linealizada con respecto a que conduce a la ecuación de Mathieu + 2q sin(2s) = 0, con parámetro canónico q = −2v′′0Aη/b > 0. Como q â € ¢ O(1/b) â € ¢ 1, se puede aplicar el WKB fórmula, Un cosW dW/ds , (75) 19Para el alisado (21), las propiedades (69), (70) se mantienen con v( ,.............................................................................. donde A 1, y sin(2s′). Tenga en cuenta que hemos elegido la solución simétrica con respecto a las reflexiones de tiempo, (/2− s) = (s). (76) El exponente W es real y la partícula se queda atascada en el punto de oscilación. alrededor de este punto con dW/ds de alta frecuencia O(b−1/2). A s < 0 crece la solución (75) exponencialmente, lo que significa que la partícula vuela lejos del espalerón excitado, (s < 0) = A cos(W (0)− η/4) dW/ds eW (s)−W (0). En lo que sigue, elegimos A cos(W (0)− /4) < 0, de modo que < 0 en s < 0. Vamos a denotar por s1 < 0 el punto donde se vuelve formalmente igual a −1, A cos(W (0)− η/4) dW/ds eW (s1)−W (0) = −1. En lo que sigue suponemos que s1 O(1), por lo tanto, A es exponencialmente pequeño. Entonces, en el las proximidades de este punto, s− s1 1, uno tiene, = − exp −2q sin(2s1)(s1 − s) = − exp 4v′′0Aη sin(2s1) (s1 − s) . (77) Notamos que evoluciona de valores exponencialmente pequeños a O(1) durante el charac- tiempo terístico s− s1 O( Cuando O(1) la aproximación lineal se descompone y uno tiene que resolver el no lineal ecuación (73). Utilizando s = s1 +O( b) uno escribe Aη sin(2s1)v ′(). (78) Esta ecuación permite dibujar una analogía útil con la partícula unidimensional que se mueve en el potencial efectivo de Veff (­) = −4b−1Aη sin(2s1)v(­) (véase la Fig. 11). Esta partícula auxiliar comienza en la región cerca del máximo del potencial en (s − s1)/ b → • con energía E • Vmax y rueda hacia abajo hacia • → • a (s−s1)/ b→ â € € TM. En este límite v() → tg β y la solución toma la forma • = C1 + C2(s− s1) + 2b−1Aη sin(2s1) tg β (s− s1)2. Vmax Figura 11: El potencial efectivo de Eq. 78). Tenga en cuenta que los coeficientes C1, C2 aquí no son independientes: están determinados por el parámetro s1 a través de la coincidencia de la solución con Eq. (77) en (s− s1)/ b→ â € € TM. Lo hacemos. Sin embargo, no necesitan su forma explícita. Argumentemos que la función ♥ sigue siendo pequeña durante toda la evolución de la partícula en las proximidades del espalerón. De hecho, en el régimen lineal uno tiene 1 y el r.h.s. de Eq. (74) es pequeño. Por lo tanto, no se emociona. Por otro lado, la evolución no lineal en un breve intervalo de tiempo s = O( b); por lo que, de nuevo, es suprimido por algún poder de b. La trayectoria (72) encontrada en las proximidades del espalerón debe ser igualada a 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # con la solución libre en la región asintótica ≤ < 0, véase Eqs. (26). Es directo a comprobar que el emparejamiento se puede realizar hasta el segundo orden en (t− t1), lo que es consistente con nuestras aproximaciones. De esta manera se determina la solución asintótica libre que, a las correcciones del orden O(b), coincide con el sinusoide procedente de y tocar la línea = 0 en t = t1. Ahora recordamos que, por construcción, la solución obtenida es simétrica con respecto a reflexiones de tiempo, •(s) = (η/2− s), η(s) = η(η/2− s). Esto significa que satisface a la población en t → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Esta solución describe el reflejo de la partícula de la vuelta. El razonamiento presentado en este apéndice pone consideraciones del cuerpo principal de este papel sobre el terreno firme: hemos encontrado las soluciones “smoothed” que reflejan clásicamente a partir de la vuelta, y en el límite b→ 0 coinciden con las soluciones libres de Sec. 3 tocando el línea = 0. Cabe mencionar que, aparte de la solución reflejada que hemos encontrado, en la cerca de cualquier trayectoria que toca la línea = 0 existe una rica variedad de cualitativamente diferentes movimientos. En primer lugar, uno puede buscar con éxito soluciones que son extrañas con con respecto a las reflexiones sobre el tiempo (Eq. (76) con signo negativo). Tales soluciones, aunque cercanas a la los reflejados en t < 0, describir las transmisiones de la partícula a través de la vuelta aguda en la región asintótica • → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Relajando la simetría de reflexión del tiempo, uno puede encontrar soluciones dejando la proximidad de la vuelta en cualquier punto η < 0, que es diferente, en general, de la punto de partida η = η(s1). Otro tipo de soluciones se obtienen en el caso de la amplitud A de –oscilaciones en s [0; γ/2] es tan pequeña que no alcanza los valores de orden uno durante el período de tiempo s [/2; 0]. Si la partícula está todavía en las proximidades de la punto 0 en s = /2, permanece seguro en esta vecindad en s [; /2], porque la r.h.s. de Eq. (73) es positivo de nuevo. De esta manera se obtienen soluciones, que gastan dos, tres, etc. Períodos de esphaleron en el año de referencia antes de escapar a las regiones asintóticas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En el orden principal en b todas estas soluciones corresponden al estado inicial idéntico, y (en el caso de las transiciones clásicamente prohibidas) al mismo valor del exponente de la supresión. Sin embargo, un estudio preciso de la dinámica en las proximidades del espalerón se requiere genéricamente para obtener el valor correcto del exponente de supresión en el caso b â € 1, cf. Ref. [14]. Bibliografía [1] V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov y M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 155, 36 (1985). [2] W. Miller y T. George, J. Chem. Phys. 56, 5668 (1972); 57, 2458 (1972); W. H. Miller, Adv. Chem. Phys. 25, 69 (1974). [3] A. M. Perelomov, V. S. Popov y M. V. Terent’ev, ZHETF 51, 309 (1966); V. S. Popov, V. Kuznetsov y A. M. Perelomov, ZHETF 53, 331 (1967). [4] M. Davis y E. Heller, J.Chem.Phys. 75, 246 (1981). [5] M. Wilkinson, Physica 21D, 341 (1986); S. Takada y H. Nakamura, J. Chem. Phys. 100, 98 (1994); S. Takada, P. Walker y M. Wilkinson, Phys. Rev. A 52, 3546 (1995); S. Takada, J. Chem. Phys. 104, 3742 (1996). [6] W. Miller, J. Phys. Chem. A 105, 2942 (2001). [7] O. Bohigas, D. Boose, R.Egydio de Carvalho, V. Marvulle, Nucl. Phys. A560, 197 (1993); S. Tomsovic, D. Ullmo, Phys. Rev. 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Sibiryakov, “Trayectorias complejas en caóticas túnel dinámico”, arXiv:nlin.cd/0701063. [15] A. S. Ioselevich y E. I. Rashba, Sov. Phys. JETP 64, 1137 (1986) [Zh. Eksp. Teor. Fiz. 91, 1917 (1986)). [16] M. B. Voloshin, Phys. Rev. D 49, 2014 (1994). [17] D. G. Levkov y S. M. Sibiryakov, Phys. Rev. D 71, 025001 (2005) [arXiv:hep-th/0410198]; JETP Lett. 81, 53 (2005) [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 81, 60 (2005)] [arXiv:hep-th/0412253]. http://arxiv.org/abs/hep-ph/9901226 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0312144 http://arxiv.org/abs/quant-ph/0301022 http://arxiv.org/abs/nlin/0701063 http://arxiv.org/abs/hep-th/0410198 http://arxiv.org/abs/hep-th/0412253 [18] M. P. Mattis, Phys. Rept. 214, 159 (1992); P. G. Tinyakov, Int. J. Mod. Phys. A 8, 1823 (1993); V. A. Rubakov y M. E. Shaposhnikov, Usp. Fiz. Nauk 166, 493 (1996) [Phys. Usp. 39, 461 (1996)], [arXiv:hep-ph/9603208]. [19] V. A. Rubakov, D. T. Son y P. G. Tinyakov, Phys. Lett. B 287, 342 (1992); A. N. Kuznetsov y P. G. Tinyakov, Phys. Lett. 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Presentamos un ejemplo analítico del sistema mecánico cuántico bidimensional, donde la supresión exponencial de la probabilidad de reflexión sobre la barrera cambia no monotónicamente con energía. La supresión es mínima en ciertos casos. Energías "óptimas" donde la reflexión ocurre con una mayor exponencial probabilidad que en otras energías.

Introducción El túnel y la reflexión sobre la barrera son los fenómenos característicos no-perturbadores en Mecánica cuántica. Suelen ocurrir con probabilidades exponencialmente pequeñas, P • e−F/~, (1) donde F es el exponente de la supresión; sin embargo, los fenómenos anteriores son indispensables en una amplia variedad de situaciones físicas, desde la generación del número de bariones asimétricos. metría en el Universo temprano [1] a reacciones químicas [2] y procesos de ionización de átomos [3]. Durante las últimas décadas extensas investigaciones de procesos de túnel en sistemas con se han realizado muchos grados de libertad [2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Estos estudios 1levkov@ms2.inr.ac.ru 2panin@ms2.inr.ac.ru 3Sergey.Sibiryakov@cern.ch, sibir@ms2.inr.ac.ru http://arxiv.org/abs/0704.0409v2 reveló una rica variedad de características de túnel multidimensional que están en contraste llamativo a las propiedades de la tunelización unidimensional y la reflexión sobre la barrera. En particular, la Se ha observado el siguiente fenómeno: la probabilidad de tunelización puede depender de monotónicamente en la energía total del sistema y exhibe picos de resonancia. Uno puede prever tres mecanismos físicamente diferentes de este fenómeno. El primer mecanismo, presente ya en el caso unidimensional, es la túnel a través de la creación de un estado metaestable. En este caso la probabilidad de tunelización al máximo de la resonancia es exponencialmente más alto que en otras energías. Por otro lado, el ancho de la resonancia E es exponencialmente suprimida; por lo tanto, después de promediar con una distribución de energía de un ancho finito el efecto de la la resonancia se lava en el límite semiclásico ~ → 0. El segundo mecanismo posible de El comportamiento no monótono de P(E) es una interferencia cuántica [7, 13] (véase también [14]). En este caso el valor máximo de la probabilidad de tunelización es sólo por un factor de orden uno más alto que el valor medio, mientras que el ancho de las escalas de resonancia como E ~ ~. De nuevo, las resonancias se vuelven indiscernibles en el límite semiclásico. En ambos casos las resonancias pueden se atribuya a las correcciones semiclásicas subliminantes, es decir, comportamiento no-monotónico de el factor pre-exponencial omitido en Eq. (1). La tercera posibilidad es que la supresión El exponente F (E) no es monótono. En este caso la existencia de las “resonancias” es la efecto semiclásico: la probabilidad óptima de tunelización al máximo de la resonancia es exponencialmente más alto que la probabilidad de otras energías. Al mismo tiempo, la resonancia básculas de ancho as4 E - Sí. Esta última posibilidad de “túneles óptimos” es definitivamente de interés; sin embargo, no recibió mucha atención en la literatura. Somos conscientes de sólo unas pocas obras mencionando la dependencia no-monotónica del exponente de la supresión de la energía [15, 16, 14]. Vale la pena estudiar este fenómeno en detalle; esto puede proporcionar una nueva visión de la dinámica del túnel multidimensional. En este trabajo consideramos el proceso de reflexión sobre la barrera en un modelo simple con dos grados de libertad. Nuestra configuración es interesante en dos aspectos. En primer lugar, el modelo en estudio es esencialmente no-lineal y las variables no se pueden separar; todavía, sobre-barrera reflexiones en este modelo se puede describir analíticamente dentro del marco semiclásico. Por lo tanto, este modelo puede servir como laboratorio analítico para el estudio de túneles multidimensionales. Sec- ond, el exponente de supresión F del proceso de reflexión se comporta no-monotónicamente como el 4Esto se desprende de la representación P(E) • exp F (Eo) F ′′(Eo)(E − Eo)2 de la probabilidad de túnel en la proximidad del máximo. energía total E cambios. Demostramos que la función F (E) posee una serie de Mínimos locales E = Eo, donde la reflexión es óptima. Recalcamos que el proceso que estudiamos es exponencialmente preferible a las energías “óptimas” en comparación con otras energías. Nuestro modelo describe el movimiento de una partícula cuántica en el armónico bidimensional guía de onda (véase Refs. [8, 10, 14] para modelos similares). El Hamiltoniano es w2(x, y), donde x, y son las coordenadas cartesianas y m es la masa de la partícula. La función U = m­2w2/2 representa el potencial de la guía de onda en dos dimensiones: una partícula con pequeñas dimensiones la energía está destinada a moverse a lo largo de la línea w(x, y) 0. No introducimos una barrera potencial. a través de la guía de onda y considerar el caso cuando la línea w = 0 se extiende todo el camino desde x → • a x → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • También suponemos que la función w(x, y) es lineal en la inicial región asintótica, w(x, y) → y como x→ â €. En el presente trabajo consideramos dos casos particulares de la función w(x, y) describiendo guías de onda con una y dos curvas agudas5, ver Fig. 1. El movimiento de la partícula en x → es una superposición del movimiento de la traducción libre en x dirección y oscilaciones de frecuencia a lo largo de y coordenadas; el estado de tal partícula es completamente caracterizado por dos números cuánticos, la energía total E y excitación y-oscilador número N. La partícula enviada a la guía de onda de la región asintótica x→ con dado E, N puede seguir moviéndose hacia x → â €, o reflexionar de nuevo en la región x→ â € € TM. Estamos interesados en la probabilidad P(E,N) de la reflexión. Discutamos las reflexiones a nivel clásico. [Obsérvese que la contraparte clásica de N es la energía de las oscilaciones transversales.] Considere primero la guía de onda con un giro agudo (Fig. 1a). Uno observa que el resultado de la evolución clásica, es decir. independientemente de si se trata o no de la partícula refleja de la vuelta, depende no sólo de la energía total E, pero de otros cantidades dinámicas también. En particular, la dirección del impulso de la partícula en las proximidades de la vuelta (punto C en el gráfico) es importante. Esto significa que la totalidad la dinámica en la guía de onda debe tenerse en cuenta con el fin de determinar la posibilidad de la reflexión clásica. Esto está en marcado contraste con la situación en el caso unidimensional, donde la reflexión de la barrera potencial (o la transición a través de ella) está garantizada por el valor de la energía conservada de la partícula. 5Las expresiones explícitas para las funciones de guía de onda w(x, y) se presentarán en las secciones siguientes. Figura 1: El contorno Equipotencial U = E para las guías de onda con (a) uno y (b) dos giros agudos. Un ejemplo de trayectoria clásica se muestra en el caso (b). Ahora, considere la guía de onda con dos vueltas. El modelo se caracteriza por los ángulos de los giros y la distancia L entre ellos (ver Fig. 1b). Supongamos que la partícula comienza se mueve clásicamente de x → con N = 0 a lo largo del valle w = 0. Entonces, el transverso las oscilaciones se excitan sólo después de que la partícula cruza la primera vuelta, punto C ′ en la parcela, así que que en el momento de la llegada a la segunda vuelta (punto C) aproximadamente oscilaciones /2 se fabrican, donde m/2E es el tiempo de movimiento entre las dos vueltas. El estado de la partícula (coordenadas y momenta) en la que se encuentra la segunda vuelta depende periódicamente en la fase de oscilaciones transversales . Por lo tanto, se espera que el régimen de movimiento de la partícula clásica puede cambiar de la transmisión a la reflexión y de vuelta como el la energía crece (decrece); las energías donde sucede se pueden estimar aproximadamente como millones de libras esterlinas 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. Veremos que este es el caso de las guías de onda con ciertos ángulos de los giros. En algunos valores de E, N el proceso de reflexión no puede proceder clásicamente. Entonces, en el nivel mecánico cuántico su probabilidad es suprimida exponencialmente, F (E,N) > 0. Lo es. natural para llamar a tal proceso “reflexión sobre la barrera”6. La cantidad central a estudiar abajo está el exponente de supresión F (E,N) de este proceso. El debate anterior sugiere que F (E,N), siendo determinado por toda la dinámica en la guía de onda, puede ser altamente función no trivial. Para el caso particular de la guía de onda con regímenes alternativos de 6Por este término queremos enfatizar que el proceso está clásicamente prohibido. Recordemos, sin embargo, que allí no es una barrera potencial real a través de la guía de ondas en nuestra configuración. reflexiones y transmisiones clásicas F debe oscilar: F = 0 en las energías donde la se permiten reflexiones clásicas, y F > 0 en las energías donde las reflexiones son clásicas Prohibida. Uno puede esperar que el comportamiento oscilatorio similar del exponente de la supresión persiste para otros modelos de dos turnos también. Ahora, en lugar de llegar a cero, F puede poseer una serie de mínimos positivos locales que implican que la reflexión en las energías “óptimas” es sigue siendo un proceso de túnel. Enfaticemos la diferencia entre la “tunelización óptima” y la interferencia cuántica y fenómenos de resonancia en nuestro modelo de dos giros. La interferencia de las ondas de Broglie en principio, puede llevar a oscilaciones en la reflexión proba- capacidad P(E). Uno puede estimar las posiciones de los picos de interferencia igualando el De Longitud de onda broglie de la partícula a una fracción entera de la distancia entre las vueltas, 2mE L/n. Esto produce las energías de los picos de interferencia, Eintn (2ηn)2~2 Esta fórmula es completamente diferente de Eq. (2) para los picos debidos a la “tunelización óptima”. En particular, la distancia entre los picos de inteferencia adyacentes, # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # # Eint # Eint # # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # Eint # escalas proporcionales a ~. Por lo tanto, estos picos deben ser promediados en el semiclásico límite. Además, la amplitud de los picos de interferencia es en la mayor parte del orden uno y lo hace no afecta al exponente de la supresión. De hecho, el aumento exponencial de la dispersión la amplitud puede surgir debido a la interferencia cuántica sólo en la presencia de un estado resonante con una vida exponencialmente larga. Este estado debe ser apoyado en algún lugar entre el gira y debe ser clásicamente estable. In Sec. 4.2 Demostramos que tales estados están ausentes en nuestro sistema. Uno concluye que la estructura de pico-como de la probabilidad P(E) de “optim túnel” es causada por razones físicas completamente diferentes en comparación con el caso de resonancia scattering en la teoría cuántica. Cabe señalar que el fenómeno de la “próxima construcción de túneles” tiene una importante Mentation en teoría de campo. Recientemente se argumentó [17] (véase también Ref. [16]) que la probabilidad de la tunelización inducida por colisiones de partículas [18, 19] alcanza su máximo en una cierta “op- energía timal” y permanece constante7 en energías superiores. Este resultado, si es genérico, proporciona la 7A diferencia del caso mecánico cuántico, la probabilidad de tunelización no disminuye en las energías más alto que el “óptimo”. Esto se debe a la posibilidad, específica de la configuración teórica de campo, de emitir el exceso de energía en unas pocas partículas duras, de modo que el túnel ocurre efectivamente en la energía “óptima”. respuesta a la pregunta de larga data [20] sobre el comportamiento de alta energía de la probabilidad de las transiciones no perturbativas inducidas por colisiones en teoría de campo. El mecánico cuántico modelo presentado aquí apoya el carácter genérico del fenómeno de “túnel óptimo- La simplicidad de nuestro modelo permite obtener una visión intuitiva de la naturaleza de Este fenómeno. El documento se organiza de la siguiente manera. In Sec. 2 revisamos el método semiclásico de complejo trayectorias, que se explota en el resto del periódico. Reflexiones en las guías de onda con una y dos vueltas se consideran en Secs. 3 y 4 respectivamente. Discutimos nuestros resultados en Sec. 5. En el apéndice se analiza la validez de algunos supuestos hechos en el cuerpo principal de el periódico. 2 El método semiclásico Comenzamos describiendo el método semiclásico8 de las trayectorias complejas que se utilizarán en el estudio de los reflejos de sobrebarrera. Nos concentramos en la derivación de la fórmula para el exponente de supresión F (E,N) (véase Refs. [2, 8, 9] para los detalles del método y Ref. [19] para la formulación de la teoría de campo). En lo que sigue utilizamos el sistema de unidades ~ = m = فارسى = 1, donde el Hamiltoniano toma la forma, p2x + p y + w 2 x, y) . 3) Uno comienza con la amplitud de la reflexión en el estado con coordenadas definidas xf < 0, yf, A = xf, yf e−i(tf−ti)E, N. 4) Aquí E es el estado inicial de la partícula que se mueve en la región asintótica xi → con impulso de traducción fijo p0 = 2 (E − N) y el número de excitación del oscilador N. Semiclasicamente, xi, yiE, N = eip0xi cos ′)dy′ + η/4 , (5) 8Tenga en cuenta que el método ha sido confirmado por la comparación explícita con la mecánica cuántica exacta resultados en Refs. [8, 9, 14]; específicamente, la comprobación reciente [14] trata del caso cuando la dependencia de la El exponente de supresión de energía no es monotónico. donde xi, yi denota coordenadas iniciales, 2N − y′2, (6) y omitimos el factor pre-exponencial que es irrelevante para nuestros propósitos. Usando Eq. 5), se reescribe la amplitud (4) como un camino integral, dxidyi [dx] [dy] xf, yf xi, yi eiS+ip0xi cos ′)dy′ + η/4 , (7) donde S es la acción clásica del modelo (3). En el caso semiclásico la integral (7) está dominada por el sillín (generalmente complejo) punto. Tenga en cuenta que, a medida que continuamos el integrand en Eq. (7) en el plano de la coor- dinatos, uno de los exponentes que constituyen la función de onda oscilante inicial crece, mientras que el otro se vuelve insignificantemente pequeño. Dentro de la validez de nuestra aproximación, omitimos la exponente decadente por escrito ′)dy′ + η/4 → exp ′)dy′ , (8) con la opción estándar9 de la rama de la raíz cuadrada en Eq. 6). Uno procede encontrando el punto de sillín para la integral (7) con la sustitución (8). Extremización con respecto a x(t), y(t) conduce a las ecuaciones clásicas de movimiento, = −wwx, ÿ = −wwy. (9).............................................................................................................................................................................................................................................................. Distinguir con respecto a xi. x(ti), yi. y(ti), se obtiene, i = p0 = 2 (E −N), i = py(yi) = 2N − y2i. Estas últimas ecuaciones son equivalentes a la fijación de la energía total E y la energía del oscilador inicial N de la trayectoria compleja, 2i +N, (10a) 2i + y . (10b) 9 La rama correcta se fija dibujando un corte entre los puntos de giro del oscilador y = ± 2N, y elegir Im py > 0 at y â € R, y > 2N, véase, por ejemplo, Refs. [21]. Sustitución de la configuración del sillín-punto10 por Eq. (7), se obtiene la amplitud de la proceso con precisión exponencial, A eiS+iB(xi, yi), cuando el término B(xi, yi) = p0xi + ′)dy′ (11) es la contribución inicial del Estado. Para la probabilidad de reflexión inclusiva uno escribe, dxfdyf A2 dxfdyf e iS-iSiB-iB*. La integral sobre los estados finales también puede ser evaluada por la técnica del punto de sillín; ex- con respecto a xf, x(tf), yf, y(tf) fija las condiciones límite en el futuro asintótico, Im f = Im xf = 0, Im f = Im yf = 0. (12) De esta manera se obtiene la expresión (1) para la probabilidad de reflexión, donde la supresión exponente F se da por el valor de la función funcional F (E, N) = 2 ImS + 2 ImB(xi, yi) evaluado en la configuración del sillín-punto — una trayectoria compleja que satisface el límite problema de valor (9), (10) y (12). La contribución B(xi, yi) del estado inicial se simplifica después de utilizar la asintótica forma de la solución en t→ â € (xi → â € €), x = p0t + x0, y = ae −it + āeit. (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. Ecuaciones (10) garantizan que las cantidades p0 = 2-E-N) y 2aā = N son reales, ya que E, N, R. Por lo tanto, uno puede introducir dos parámetros reales T, 2 Im x0 = −p0T, ā = a*eT. (14) Uno encuentra para el término inicial (11), 2 Im B(xi, yi) = Im 2p0xi − 2Narccos(yi/ 2N) + yi 2N − y2i = −p20T −N(T + ♥) + Im(yii), 10Para simplificar, suponemos que la configuración del sillín-punto es única. De lo contrario, uno debe tomar la punto de sillín correspondiente a la supresión exponencial más débil. y por lo tanto F = 2 Im S. −ET −N., (15) donde la acción clásica del sistema (3) está integrada por partes, S = −1 x yÿ + w2(x, y) . 16) Comentemos sobre el significado físico de los parámetros T,. Considere dos trayectorias que son soluciones al problema del valor límite (9), (10) y (12) a valores vecinos de E, N. El diferencial de la cantidad 2 Im Sс como uno deforma una trayectoria en la otra es d (2 Im S?) = d Im(2S + xii + yii) = Im(xidi − idxi + yidi − idyi) = EdT + Nd donde en la última igualdad usamos la forma asintótica (13), (14) de la solución. Entonces, de Eq. (15) se encuentra, dF (E,N) = −TdE − فارسىdN. (17) Por lo tanto, los parámetros T y ♥ son (hasta firmar) los derivados del exponente de supresión con respecto a la energía E y el número de excitación inicial del oscilador N, respectivamente. Nuestra observación final es que el problema del valor límite (9), (10) y (12) es invariante con respeto de la simetría trivial de la traducción temporal, t→ t+ ­t, ­t · R, (18) que se puede fijar de cualquier manera conveniente. 3 El modelo con un giro Para calentar, consideramos el modelo más simple, donde la guía de onda tiene un giro agudo, w = y ♥(−x+ y tg β) + cos β (x sin β + y cos β) (x− y tg β). (19) Aquí la función de paso (x). Es conveniente utilizar el sistema de coordenadas rotado, cos β − sin β sin β cos β La función de guía de onda toma la forma, w = η cos β − • sin β •(). (20) Figura 2: El contorno equipotencial w2(x, y) = 2N para la guía de onda (20) y la trayectoria de la solución crítica con energía N/ cos2 β. El contorno equipotencial w2 (, η) = const se muestra en la Fig. 2. Se observa que la moción de la partícula en dos regiones, â < 0 y â > 0, se descompone en el movimiento de la traducción y oscilaciones en las coordenadas x, y y, η respectivamente (ver. Eqs. (19) y (20)); frecuencia de η–oscilaciones en este último caso es cos β. Debido a la presencia de la función de paso, los primeros derivados del potencial (20) son discontinuo11 a = 0. Estrictamente hablando, el método semiclásico no es aplicable en esta situación [21]. Por lo tanto, la fórmula (20) debe considerarse como una aproximación a algunos función de guía de onda con giro suave. Genéricamente el ancho del giro alisado es caracterizado por un parámetro b; la aproximación nítida-giro (20) corresponde a b → 0. Un ejemplo de suavizado es proporcionado por la siguiente sustitución en Eq. (20), • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 + e/b . (21) La descripción semiclásica se puede utilizar siempre y cuando la longitud de onda de Broglie de la partícula es pequeño en comparación con el tamaño lineal del potencial12, 1/ E â € b. Concluimos que el Las aproximaciones nítidas y semiclásicas son válidas simultáneamente para guías de onda lisas 1 b) 1/ E. (22) 11Obsérvese que el potencial en sí mismo es continuo. 12Otra condición semiclásica es que la energía es suficiente para excitar una gran cantidad de niveles oscilantes, E â € 1. Está satisfecho siempre que Eq. (22) espera. Una propiedad importante del modelo (20) es la invarianza de las ecuaciones clásicas del movimiento (9) bajo el escalado de las coordenadas, x→ x, y → y. 23) Usando la transformación (23), se puede expresar una solución x(t), y(t) con energía E en términos del “normalizado”, x = x E, y = donde la solución x?(t),?(t) tiene energía unitaria; su número inicial de excitación oscilante es / = N/E. El exponente de la supresión (15) toma la forma, F (E, N) = Efβ( v), (24) donde fβ( v) es el exponente de la solución “normalizada”. Sustitución de la expresión (24) en Eq. (17), se obtiene, fβ( v) = −T − . (25) Vamos a explotar Eq. (25) al final de esta sección. Ahora, procedemos a encontrar el "normal- iza” trayectorias. En ciertos datos iniciales la partícula puede reflejarse desde el giro clásico, de modo que fβ(/ > /cr) = 0. Vamos a encontrar el valor de vcr. En la región â € < 0 la solución clásica toma la forma, x(t) = p0t+ x0, (26a) y(t) = A0 sin(t + ♥). (26 b) Después de haber cruzado la línea = 0 (línea AB en la Fig. 2), la partícula clásica nunca puede volver de vuelta a la región ≤ < 0. De hecho, en este caso se mueve a > 0 con un impulso constante < > 0. Por lo tanto, la partícula puede reflejar clásicamente sólo si su trayectoria toca la línea • = 0. El potencial de nuestro modelo tiene derivados mal definidos en = 0, y el destino de la El movimiento de partículas a lo largo de la línea AB depende de la elección particular del suavizado de el potencial. En el apéndice consideramos el movimiento de la partícula clásica en el caso de cuando Alisado no cero de la anchura b se activa. Para una clase de suavizados mostramos que en la pequeña vecindad ( b) de cualquier trayectoria que toca la línea = 0 hay algunos Trayectoria “alimentada”, que refleja clásicamente desde el giro. En consecuencia, a continuación asociar las trayectorias que tocan la línea = 0 con las soluciones clásicas reflejadas. Uno nota que la inclinación de la trayectoria (26) está limitada desde arriba Por lo tanto, la trayectoria clásica de la partícula puede tocar la línea • = 0, es decir, y/x = ctg β Únicamente en A0/p0 ≥ ctg β. (27) De Eqs. (27), (26), (10) se extrae la condición para que la partícula refleje clásicamente desde el turno, v ≥ νcr = cos2 β. (28) La solución clásica crítica en ν = νcr toca la línea • = 0 en η = 0 (punto C en la Fig. 2), donde su trayectoria xcr(t) = 2t sin β, (29) ycr(t) = 2 sin t cos β. tiene la inclinación más grande. Ahora nos remitimos a las reflexiones clásicamente prohibidas en < < νcr, que son descritas por el problema del valor límite (9), (10), (12). Uno hace la siguiente observación importante. La función waveguide (20) tiene la forma de dos funciones analíticas pegadas juntas en = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento (9) pueden continuar analíticamente a los valores complejos de coordenadas de dos maneras diferentes, a partir de las regiones â € < 0 y â € > 0, respectivamente. In de esta manera se obtienen dos soluciones complejas, (t), (t) y (t), (t). Estas soluciones y sus primeros derivados deben ser igualados en algún momento del tiempo t1, (t1) = 0. [Nota que el tiempo de coincidencia t1 no necesita ser real.] A continuación nos referimos convencionalmente a estos las soluciones como las que pertenecen a las regiones â € < 0 y â € > 0. Por el mismo razonamiento que arriba encontramos que una vez que la partícula llega a la región • > 0, nunca se refleja de nuevo en • < 0, a menos que p• = 0. Por lo tanto, en la región > 0 uno escribe, (t) = 0, (30a) (t) = cos β sin(t cos β + ), (30b) donde se ha utilizado explícitamente la condición de “normalización” E = 1. Debido a las condiciones en el futuro asintótico, Eqs. (12), el parámetro es real. Usamos la traducción invarianza (18) a establecer = 0. Nótese que de nuevo asociamos la trayectoria que va a lo largo de la línea = 0 con el reflejado. La imagen física de la reflexión sobre la barrera que viene a la mente coincide con la nueva mecanismo de túnel multidimensional propuesto recientemente en Refs. [9, 11]. El proceso Proceda en dos pasos. El primer paso, que se suprime exponencialmente, es la formación de la órbita clásica periódica (30) oscilando a lo largo de la línea = 0. Esta órbita es inestable. En el segundo paso del proceso la órbita inestable decae de forma clásica formando una trayectoria en marcha volver a x → â € en t → â € €. Es evidente que el segundo paso no afecta a la supresión exponente de todo el proceso, y no lo consideramos explícitamente. En lo que sigue concentrarse en la determinación de la trayectoria de túnel que describe el primer paso de la proceso. Uno debe encontrar la solución en â € < 0 e imponer las condiciones de frontera (10). Nota: Sin embargo, que la energía de nuestra solución ya está fija. En cuanto a la excitación del oscilador inicial número ν, no cambia durante la evolución en la región • < 0. Por lo tanto, uno puede arreglarlo a la hora de emparejar t = t1. Uno escribe, (2 + y2) = cos2 β + sin2 β sin2(t1 cos β). Esta ecuación compleja permite expresar t1 como sin(t1 cos β) = −i - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β , (31) donde la elección del signo está dictada por la condición de la nota 9. Es conveniente introducir la notación t1 = iT1, T1 â € R. Para encontrar el exponente de supresión fβ(v), es necesario evaluar los parámetros T. c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido, c. el Reino Unido. La solución tiene la forma < 0, x−(t) = p0(t− iT/2) + x′0, (32a) y-(t) = ae − + a*eTit, (32b) donde las definiciones (13), (14) se han tenido en cuenta explícitamente, de modo que p0, x 0 â € R. Uno evalúa p0, x 0, a, T,  emparejando las coordenadas x±, y± y sus primeros derivados vcr0.20.150.10.050 Figura 3: El exponente de supresión fβ( v) para la guía de onda (20); β = η/3. , en t = iT1; este rendimiento x′0 = 0, p0 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = = 1 = 1 = = = 1 = = 1 = 1 = 1 = = = = = = = = 1− c/ cos2 β T + ♥ cos2 β − / sin β Las dos últimas ecuaciones, junto con Eq.(25), definir la función fβ( v), fβ( v) = cos β arcsh - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β − c/ β arcsh - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. sin β (vccr − /) 1 - /) esta finción está trazada en la Fig. 3. Se observa que, en el caso de autos, las cantidades T1, T,....................................................................................................................................................................................................................................................... tienden a cero, y la trayectoria compleja tiende a la solución crítica clásicamente permitida, cf. Eqs. (29), 2 sin β, a→ i cos β. A ν = 0 uno tiene, fβ(0) = −2 + cos β arcth (cos β). 33) Para resumir, obtuvimos el exponente de supresión para el reflejo de una partícula en el guía de onda más simple con un giro agudo. Figura 4: El contorno equipotencial w2(x, y) = 2N ′ para la guía de onda (35) y la trayectoria de la solución crítica con energía N′/ cos2 β > EB. Los puntos coincidentes C, C ′ se muestran por los puntos negros gruesos. 4 El modelo con dos giros 4.1 Introducción del sistema En el modelo de la sección anterior el exponente de supresión era proporcional a la energía debido a la simetría de escalamiento de coordenadas (23). Ahora, vamos a demostrar que pequeña violación de esta simetría resulta en un gráfico altamente no trivial para F (E). Uno introduce un segundo giro en la guía de onda, véase Fig. 4. Queremos considerar esto. girar como una pequeña perturbación, por lo que, asumimos su ángulo α para ser más pequeño que β. Es conveniente. introducir dos sistemas de coordenadas adicionales, x′, y′ y, η, unidos a la central y partes más a la derecha de la guía de onda, respectivamente. Están relacionados con la coordenada original sistema x, y como sigue, cosα sinα − sinα cosα cos β − sin β sin β cos β x′ − L Nótese que el origen del sistema de coordenadas, η es desplazado por la distancia L. La guía de onda función es w = ♥(−x′)()y + فارسى()/23370/(x′)y′ cosα + Ł()η cosα cos β ; (35) se compone de tres piezas encoladas de forma continua a x′ = 0 y a 0 (líneas A′B′ y AB en Fig. 4 respectivamente). En t→ la partícula viene volando de la región asintótica x′ < 0, donde w = y. En la región intermedia x′ > 0, ≤ < 0, la partícula se mueve en la x′ dirección oscilando a lo largo de la coordenada y′ con la frecuencia cosα. Por último, en la región • > 0 su movimiento es libre en las coordenadas •, η; la frecuencia de η–oscilaciones es cosα cos β. El modelo (35) ya no posee la simetría (23): reescalado de los cambios de coordenadas la longitud L de la parte central de la guía de onda. En lo que sigue es conveniente trabajar en términos de las variables dinámicas reescaladas, * = x/L, * = y/L. En nuevos términos el parámetro L desaparece de las ecuaciones clásicas del movimiento, entrando la teoría a través del coeficiente global L2 frente a la acción. El estado cuántico inicial los números también son proporcionales a L2, E = L2, N = L2Ñ. (36) Por lo tanto, las condiciones (22) para la validez de la aproximación semiclásica se cumplen en el límite L→ , , Ñ = fijo. El exponente de la supresión toma la forma F (E,N) = L2F (, Ñ). (37) Para simplificar las anotaciones, omitimos los tilos sobre las cantidades redimensionadas en el resto de este sec- tion. Rescatar de nuevo a las unidades físicas se puede realizar fácilmente en las fórmulas finales por la aplicación de las Eqs. 36), 37). 4.2 Evolución clásica Comencemos esta subsección demostrando que no hay soluciones clásicas estables localizado en la región entre los giros. Esto es importante para la determinación de la la probabilidad de tunelización, ya que tales soluciones estables podrían conducir a resonancias exponenciales en el la amplitud del túnel. El argumento sigue siendo el siguiente. Cualquier trayectoria que se localice en la región intermedia debe reflejar desde la línea AB infinitamente muchas veces. Cada reflexión implica tocar la órbita inestable que vive en la línea AB. Esto implica que la trayectoria en sí mismo es inestable. Procedemos a determinar la región de los datos iniciales E, N, que corresponden a la reflejos clásicos. [Por brevedad nos referiremos a esta región como el “clasicamente permitido región”, a diferencia de la “región clasicamente prohibida” donde las reflexiones se producen sólo en el nivel mecánico cuántico. Destacamos que estas son las regiones en el plano de la números E, N.] Busquemos las soluciones clásicas críticas que corresponden a la menor número inicial del oscilador N = Ncr(E) en la energía dada E. Como en la sección anterior, se encuentra que la partícula debe quedar atascado en la línea13 AB durante algún tiempo para reflejar Atrás. Hagamos primero una suposición inspirada en el estudio del modelo de un solo giro que el Las soluciones críticas tocan la línea AB en su punto de inclinación máximo (punto C en la Fig. 4). Pronto veremos que esto es cierto sólo en energías por encima de cierto valor EB, véase Eq. (50). Sin embargo, el análisis basado en el supuesto anterior permite captar las características cualitativas de la línea crítica N = Ncr(E). Además, el análisis se simplifica considerablemente en este caso; posponemos el estudio exacto hasta el final de esta subsección. Teniendo en cuenta lo anterior comentarios, uno escribe para la solución en la región intermedia, x′cr(t) = t 2E sin β + 1, (38a) y′cr(t) = cos β sin(t cosα). (38b) Antes de entrar en la región intermedia, la partícula cruza la línea A′B′ (punto C ′ en la Fig. 4). El número del oscilador inicial N se calcula más convenientemente en el momento t = t0 • − 2E sin β de cruzar. Usando las relaciones (34) se obtiene, cr(t0) = sin β cos cos β sinα cos cos 2E sin β , (39) y por lo tanto Ncr(E) = E − 2cr(t0) = E − E sin β cos cos β sinα cos cos 2E sin β , E > EB. 0,05 0,15 0,90,80,70,50,40,30,10 Figura 5: El límite N = Ncr(E) de la región clásicamente permitida en E > EB para el modelo de guía de onda (35); β = η/3, α = η/30. La región de los datos iniciales permitidos clásicamente yace por encima de este límite. Los círculos vacíos corresponden a las energías E = En, donde la curva N = Ncr(E) toca su envolvente inferior N = E cos 2(β + α). Como ejemplo, mostramos en la Fig. 5 la región de los datos iniciales permitidos clásicamente para β = η/3, α = η/30. Uno observa que la función Ncr(E) oscila entre dos sobres lineales, E cos2(β + α) y E cos2(β − α); el período de oscilaciones disminuye como E → 0. Además, la curva Ncr(E) tiene un número de mínimos en los puntos E = E n. Esto significa que el energías E = Ecrn son óptimas para la reflexión: en las proximidades de cualquier punto E = E n, N = Ncr(E) n ) las reflexiones se suprimen exponencialmente independientemente de si la energía aumenta o disminuye. Esta característica es particularmente pronunciada en el caso de: cuando la envolvente inferior coincida con la línea N = 0. Entonces, las reflexiones clásicas (es decir,. reflexiones con la probabilidad de orden 1) en N = 0 son posibles sólo en las vicinidades de la puntos 8η2(n− 1/2)2 Este es el caso que usamos en Introducción para ilustrar el efecto. Los mínimos E = Ecrn existen en otros valores de los parámetros también. Por ejemplo, vamos a 13No consideramos las reflexiones de la línea A′B′. Desaparecen en valores más grandes de N que los reflejos desde la línea AB si α es lo suficientemente pequeño. nos encontramos con las posiciones de estos mínimos en el caso α â € 1. Se diferencia Eq. (40) con respeto a la energía y a los productos, Ecrn = En η(n− 1/2) arcsin ctg β 2° (n− 1/2) +O(α2) , (41) donde 8γ2(n− 1/2)2 sin2 β son los puntos donde la curva N = Ncr(E) toca su envolvente inferior. El argumento de arcsine en Eq. (41) debe ser más pequeño que uno, por lo que el mínimo Ecrn sólo existe lo suficientemente grande n ≥ n0 ctg β + 1, (43) donde [·] representa la parte entera. Hagamos varios comentarios. En primer lugar, tenga en cuenta que n0 O(1/α), en consecuencia, todos los puntos óptimos Ecrn se encuentran en la región de las pequeñas energías E â € 1/n20 â € O(α2). En segundo lugar, como nosotros señalada anteriormente, la fórmula (40) para la función Ncr(E) tiene en E > EB. Comparación las expresiones (42), (43) y (50), se observa que En0 > EB si tg β > 1. Por lo tanto, allí existe un rango de energías donde el comportamiento no-monotónico de la función Ncr(E) puede se infiere de la fórmula (40). De hecho, la conclusión sobre la existencia de la los mínimos de Ncr(E), así como las expresiones (41), (42), (43) que determinan sus posiciones, seguir siendo válido también en E < EB. Esto se deriva del riguroso análisis de la frontera de la clásicamente permitida región a la que nos dirigimos ahora. El lector que está más interesado en el los procesos de túnel pueden saltarse esta parte y proceder directamente a la subsección 4.3. Ahora, no apelamos a los Ansatz (38). En su lugar, empezamos con la solución general en la región intermedia, x′ = p′0(t− t0), (44a) y′ = A′0 pecado [(t− t0) cos ]. (44b) Es conveniente parametrizarlo por la energía total E = p′20 /2 + cos 2 αA′20 /2 y el “inclinación” γ definida por la relación p′0/A 0 = tg γ cosα. Las expresiones (44) adoptan la siguiente forma: 2E (t− t0) sin γ, (45a) cos γ sin [(t− t0) cosα + ]. (45b) Las constantes t0 y ′ se fijan exigiendo la trayectoria (45) para reflejar clásicamente desde la segunda vuelta, es decir. tocar la línea = 0 en t = 0, (x′ − 1) cos β − y′ sin β = 0, = ctg β. Estas condiciones implican, t0 = − 2E sin γ tg2 β tg2 γ − 1, (46a) = − cos 2E sin γ tg2 β tg2 γ − 1− arccos . (46b) Uno ve que las reflexiones clásicas son posibles sólo en γ [0; β]; el valor límite γ = β reproduce la solución (38). Para encontrar Ncr(E), se debe minimizar el valor del oscilador entrante exci- γ en E fijo. En t = t0, cuando la partícula cruza la primera vuelta, = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2E(cosα sin γ − sinα cos γ cos). (47) Puesto que N = E − p20/2, se puede maximizar el valor del momento de traducción p0 en su lugar de minimizar N(γ). Fórmula (39) representa el valor γ = β que se encuentra en el límite de la γ–dominio accesible; este valor debe compararse con p0(γ) tomado en el máximo local. Consideremos el caso α â € 1. En energías lo suficientemente grandes, E â € 1, Eq. (47) está dominado por el primer término, que crece con γ, de modo que el máximo de p0(γ) se logra de hecho en γ = β. En energías pequeñas, sin embargo, el segundo término en Eq. (47) se convierte en esencial debido a el multiplicador cos oscilante rápidamente: la frecuencia de oscilaciones cos crece como E → 0, y en E α2, a pesar de la pequeña magnitud proporcional al sinα, el segundo término produce la secuencia de maxima local de la función p0(γ). Uno espera que los parámetros de la trayectoria a α pequeño no sean muy diferentes de la α = 0 (este último caso fue considerado en Sec. 3). Así que, escribimos, γ = β − , donde 0 < 1. Ampliación de las expresiones (46), (47) y teniendo en cuenta que E • α2 se obtiene, = − 2E sin β (1 + ctg β), (48a) 2E(sin β − cos β − α cos β cos). (48b) Ahora, el máximo local del impulso de traducción inicial se puede obtener explícitamente por diferenciando Eqs. (48) con respecto a. Uno encuentra la secuencia de ellos, n = −tg β + sin2 β cos β 2πn− π − arcsin 2E sin2 β α cos β . (49) Sólo debe tenerse en cuenta el máximo con n > 0. Los máximos locales existen cuando E ≤ EB α2 cos2 β 2 sin4 β . (50) Sustitución de Eq. (49) en las expresiones (48), se evalúan los valores de p0 en el local máximo, p0,n(E) =2 2E sin β − 2E sin 2 β 2πn− π − arcsin 2E sin2 β α cos β 2E cos β 1− 2E pecado α2 cos2 β Los gráficos Nn(E) = E − p20,n(E)/2 se muestran en la Fig. 6 para el caso β = η/3, α = η/30. Cada gráfico es trazado para el rango de energía E > EAn restringido por la condición n > 0. Se presentan junto con la curva dada por la fórmula (40). Por definición, el la solución crítica corresponde a la más baja de estas gráficas. Claramente, para cada curva “local” representa el n-ésimo mínimo local de N(γ) hay una gama de energías EAn < E < EBn donde se encuentra más abajo que la curva “global” (40). Esto significa que el parámetro γ de la la solución crítica cambia de forma discontinua en los puntos E = EBn. Correspondientemente, el curva Ncr(E) tiene una ruptura en estos puntos. Por otro lado, la función Ncr(E) es suave en los puntos A como los gráficos "locales" terminan exactamente en = 0, donde los parámetros de la n-ésima solución “local” coincide con la de la solución “global”. Para resumir, hemos observado que el límite de la región clásicamente permitida es dado por una colección de muchas ramas de soluciones clásicas, cada rama es relevante en su propio intervalo de energía. Veremos que una estructura de rama similar está presente en el complejo trayectorias que describen reflejos de sobre-barrera en la región clásicamente prohibida de E, N. 4.3 Reflexiones clásicamente prohibidas En esta subsección demostramos que el exponente de supresión F (E, N) visto como un función de la energía en N fija exhibe oscilaciones en el interior de la región clásicamente prohibida 0,02 0,04 0,06 0 0,05 0,15 0,15 0,2 Figura 6: Los gráficos Nn(E) correspondientes a los mínimos locales de la función N(γ) ) trazado junto con la curva “global”, Eq. (40) (línea sólida); β = η/3, α = η/30. La curva crítica N = Ncr(E) se obtiene tomando el mínimo entre todos los gráficos. de los datos iniciales. Este resultado llega sin sorpresa si se tiene en cuenta el no-monotónico comportamiento del límite Ncr(E) de la región clásicamente permitida. De hecho, la curva N = Ncr(E) coincide con la línea F (E,N) = 0. Uno tiene, = EF N=Ncr(E) para que (Ecrn, N n ) = 0. Concluimos que los puntos E = Ecrn son los mínimos locales de la función F (E) en fijo N = N crn. Es natural esperar que tales mínimos locales de F (E) existen en otros valores de N también. Para ilustrar este hecho explícitamente, estudiamos las trayectorias complejas, soluciones para Eqs. 9), 10), 12). Siguiendo las tácticas de la sección anterior, encontramos soluciones en tres regiones separadas: región inicial x′ < 0, región final > 0, y región intermedia x′ > 0, < 0. Estos las soluciones, junto con sus primeros derivados, deben pegarse en t = t0, cuando el complejo la trayectoria cruza la línea x′ = 0, y en t = t1, cuando = 0. Además, estamos buscando la solución de túnel que termina oscilando a lo largo de la línea AB, ver Fig. 4. Como se indica en Sec. 3 esto supone la existencia del segundo paso del proceso: decaimiento clásico de lo inestable órbita que vive en = 0; esta última decaimiento se describe por una trayectoria real14 va a x → at t→. La solución en la región final > 0 es (cf. Eqs. (30)), (t) = 0, (51a) (t) = cosα cos β sin(t cosα cos β), (51b) donde usamos la invarianza de la traducción del tiempo (18) para fijar la fase del oscilador final = 0. En la región intermedia x′ > 0, < 0 se escribe, x′(t) = p′0t + x 0, (52a) y′(t) = a′e−it cosα + eit cosα. (52b) Tenga en cuenta que la solución final (51) no contiene parámetros libres; por lo tanto, la coincidencia de x′, , y′, at t = t1 permite expresar todos los parámetros en Eqs. (52) en términos de uno variable compleja t1, p′0 = 2E sin β cos فارسى1, (53a) x′0 = 1 + [pecado............................................................................................................................................................................................................................................................. β (53c), (ei.1/ cos β [sin.] 1 + i cos β cos.1], (53c) = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (53d) donde introdujimos ­1 = t1 cosα cos β. Como la energía de la solución ya se ha fijado, la única condición inicial restante incluye el número inicial de excitación del oscilador a x′ < 0, véase Eqs. (10). Es conveniente. para imponer esta condición en el punto de coincidencia t = t0. Se recuerda la definición de tiempo de coincidencia t0, p′0t0 + x 0 = 0, 14Uno se pregunta por qué esta trayectoria no se refleja en el giro A′B′ en su camino de regreso. Esta preocupación es la siguiente: removido por la observación de que la trayectoria producida en la descomposición de la órbita inestable no es única: en el apéndice mostramos que la descomposición puede ocurrir en cualquier punto del segmento AC dando lugar a un montón de posibles trayectorias de desintegración. La mayoría de estas trayectorias pasan por el giro A′B′ sin reflexión. que, después de tener en cuenta las expresiones (53a), (53b), conduce a la siguiente ecuación, cos 2E sin β synoe1 cos β − cosl 1 = 0, (54) donde = cosα(t1 − t0). En t = t0 uno tiene, (t0) = p 0 cos (t0) sinα = 2-E-N), y, por lo tanto, = ctgα sin β cos (55) Como antes, v. = N/E. Dos ecuaciones complejas (54), (55) determinan los tiempos de coincidencia t0, t1, y, en consecuencia, la trayectoria compleja. Aunque estas ecuaciones no se pueden resolver explícitamente, pueden Se simplificará en el caso α â € 1, que consideramos a partir de ahora. Para la concreción, nosotros reflexiones de estudio en N = 0. Es importante tener en cuenta que en la región de interés E Ecrn O(α2); por lo tanto, uno debe considerar todas las amplitudes momenta p y oscilador a, ā, como las cantidades de orden O(α). Al mismo tiempo, para las distancias a lo largo de la guía de olas uno tiene x O(1), de modo que las partes reales de los intervalos de tiempo pueden ser parametralmente grandes, Re t x/p O(1/α). Más adelante, será conveniente trabajar en términos de variables reales, por lo que, representamos a 1 y como *1 = cosα cos β(­1 + iT1), = cosα(­+ i­T ). Nótese que las partes reales e imaginarias del intervalo de tiempo t1 − t0 que la gasto de partículas en la región intermedia. Ahora, la ecuación (54) permite a uno expresar 2E sin βch(T1 cos β) +O(α), (56) • 1 = − ♥ cos β cos β T cth(T1 cos β) +O(α3). (57) Nótese que O(α), O(1/α). Entonces, la parte real de Eq. (55) implica que ch(T1 cos β) = sin β 1 + α ctgβ cos +O(α2). (58) Al derivar esta fórmula se impuso T1 < 0 que se desprende del requisito de que en el límite α → 0 ecuación (31) debe ser recuperada; además, asumimos e-T-O(1). Sustitución de Eq. (58) en Eq. (56) y la parte imaginaria de Eq. (55), obtenemos el final conjunto de ecuaciones, 2E = α ctgβ cos (1 + T )eT = α ctg sin  + O(α). (59b) Estas dos ecuaciones no lineales, todavía, no se pueden resolver explícitamente. Sin embargo, uno puede conseguir una idea bastante precisa sobre la estructura de sus soluciones. Antes de proceder al análisis de las ecuaciones anteriores, vamos a derivar un conveniente expresión para el exponente de supresión F0(E) F (E,N = 0). Nótese que en general motivos que se espera obtener una expresión de la forma, F0(E) = E(fβ(0) +O(α)), donde fβ(0) es administrado por Eq. 33). Estamos interesados en la corrección O(α) en esta expresión, Por lo tanto, uno debe tener cuidado de mantener un registro de los términos subliminantes durante la derivación. Haciendo uso de las ecuaciones de movimiento, se obtiene para la acción incompleta (16) de la sistema, 2 Im S‡ = Im p′0 = 2E sin β Im(cosŁ1). Sustitución de Eqs. (56), (57), (58) en esta fórmula produce 2 Im S‡ = 2E − 1 T − α ctg β cos cos2 β + 2°T +O(α2) Para el parámetro T uno tiene (ver Eqs. (14), T = − 2 Im x 0 2 Im(x(t0)− p0t0) = 2 (T1 T) + sinα Im y′(t0), (60) donde en la última igualdad usamos Eqs. (34) y x′(t0) = 0. La cantidad Im y ′(t0) es evaluado utilizando Eqs. (52b), (53) y (58); se encuentra, Im y′(t0) = − ctg β cos Sustituyendo todo en la fórmula (15), obtenemos, F0(E) = E fβ(0)− 4α ctg β cos . (61) Esta expresión implica que la determinación de la corrección O(α) a la nent implica la búsqueda de, T con O(1)–exactitud. Este es precisamente el nivel de precisión de Eqs. (59). A continuación también necesitaremos las siguientes fórmulas, que se pueden obtener fácilmente por utilizando T = −F. y Eq. (60), = fβ(0) + 2(­T + 1) + O(α), (62) 2 + T + 1 + O(α)) . (63) Tenga en cuenta que, aunque el exponente de supresión difiere de que en el caso de una vuelta sólo por Corrección O(α), su derivado se modifica en el orden cero en α. Ahora, estamos listos para analizar Eqs. (59). Uno comienza por resolver Eq. (59b) gráficamente, Véase Fig. 7. La propiedad importante de esta ecuación es la siguiente. Uno nota que los l.h.s. de Eq. (59b) es siempre inferior a 1, el máximo que se alcanza en la T = 0. Por lo tanto, las soluciones a esta ecuación se limitan a las bandas * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin* * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin* * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Sin * Esto corresponde a * [0; 2η(n1 − 1) + n1 ] o * [2ňn−  − n; 2ηn + n], n ≥ n1 (64) donde n = arcsin 2° (n− 1/2) +O(α), + 1, (65) con [·] en la última fórmula para la parte entera. Las bandas prohibidas, donde En la Fig. 7 por sombreado amarillo. La propiedad (64) introduce un clasificación topológica de las soluciones............................................................................................................................................................................................................................................................ (59). Es decir, estas soluciones caen en un conjunto de ramas continuas: las ramas “locales” ­n(E), ­Tn(E) que viven dentro de la las tiras de las subpartidas del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A001.a.2 y del subartículo 6A001.a.2, del subartículo 6A.6.a.2 del presente artículo habitando en la primera banda de la primera banda de la [0; 2π(n1 − 1) + n1 ]. Como se desprende de la definición de El número topológico n cuenta el número de y′–oscilaciones durante la evolución en el región intermedia. Consideremos la rama “global”. De Eqs. (59) uno tiene, 1(n1 − 1) +O(α lnα), Tg → ln(tg β/α), E → 0, * g → 0, * Tg → − 1, * E → *. 10η 9η 8η 7η 6η 5η4η 3η 2η η 0 g 4 5 10η 9η 8η 7η 6η 5η4η 3η 2η η 0 g 4 5 Figura 7: Curvas que representan soluciones a Eq. (59b); β = η/3, α = η/30. Por inspección de la Fig. 7 se puede calcular el comportamiento cualitativo de las funciones Łg(E), •Tg(E). Alternativamente, estas funciones se pueden encontrar numéricamente. Están trazados en la Fig. 8 para el caso β = η/3, α = η/30 (las curvas marcadas con “g”). Uno observa que en Energias suficientemente altas la función Tg(E) exhibe oscilaciones alrededor de la línea T = −1. De acuerdo con la fórmula (63) esto significa que la función F0(E)/E es no-monotónica, alcanza mínimos locales en los puntos E ′n = 8η2(n− 1/2)2 1 + 2αe−1ctgβ +O(α2) . (66) Además, si n ≥ n′0 fβ(0) exp fβ(0) + 1 (67) existe Eon = E n(1 + O(α)), de tal manera que T (E) n) = −1 − fβ(0)/2. Entonces, de acuerdo con Eq. (62) los puntos Eon son las energías “óptimas” correspondientes a los mínimos locales de la exponente de supresión F0(E). A bajas energías la función Tg(E) deja de oscilar y se vuelve grande y positiva. Según Eq. (62) esto significa que el exponente de supresión F0,g(E) de la “global” La solución se vuelve negativa a bajas energías15, fig. 9. Esta es una señal clara de que el 15 Vale la pena mencionar que Eqs. (59) y la expresión (61) para el exponente de la supresión se convierten 0 0,1 0,2 0,3 0 0,1 0,2 0,3 0 0,1 0,2 0,3 E’4E’5 Figura 8: Varias primeras ramas de soluciones a Eqs. (59): subdivisión “global” (“g”) y dos Sucursales “locales” (“4”, “5”); β = η/3, α = η/30. 0,05 0,15 0,25 0 0,2 0,4 0,6 0,02 0,04 0,120.110.100.09 Figura 9: El exponente de supresión F0(E) para las ramas “global” y primera “local” (n = 4); β = η/3, α = η/30. La proximidad de la intersección de los gráficos se amplía en la parte superior derecha esquina. La solución “global” se vuelve antifísica ante estas energías y su contribución a la reflexión probabilidad debe ser descartada: exponente de supresión negativa contradice la unitariedad Requerimiento16, P < 1. Uno se ve obligado a concluir que a la reflexión de bajas energías se describe por las soluciones “locales”. Estudiémoslos en detalle. Para la rama n-a se obtiene, n → 2ηn+O(α lnα), tn → ln(tg β/α), E → 0, * n → 2ηn− π, * Tg → *, * E → *. De Fig. 7 uno aprende que la n-ésima solución pasa a través de los puntos * Tn = −1, * = 2ηn o * = 2ηn− η. (68) inaplicable en general T: la suposición de E+T O(1) que se utilizó en la derivación de estas ecuaciones se viole. Sin embargo, al analizar las ecuaciones completas (54), (55) se puede mostrar que dF0,g/dE = −Tg es grande y positivo en E → 0. Esto es suficiente para concluir que F0,g(E) es negativo en la baja energía dominio. 16Otra indicación de que la solución “global” es antifísica en la pequeña E es que la función Limitado desde arriba. De hecho, es el intervalo de tiempo que la partícula pasa en la parte intermedia de la guía de onda, se espera que tienda al infinito como E → 0 para una solución físicamente relevante. Por lo tanto, cada curva (Tn(E) tiene una inclinación aguda, su mínimo es menor que −1, ver Fig. 8. As en el caso de la rama “global”, los puntos (68) representan el extremo de las funciones F0,n(E)/E; las posiciones de los mínimos locales son dadas de nuevo por Eq. (66). Haciendo uso de Eq. (61), encontramos que las supresiones F0,n(E) de las ramas “locales” son grandes y positivos a altas energías. Por lo tanto, estas soluciones dan contribuciones subdominantes a la probabilidad de reflexión en tal E en comparación con la solución “global”. Como energía disminuye, F0,n(E) también disminuye, luego hace una oscilación y cae a valores negativos en E. Esta última propiedad significa que cada rama “local” se convierte en poco física en pequeña suficientes energías. El exponente de supresión de la primera rama “local” (correspondiente a n = 4 en el caso β = η/3, α = η/30) se presenta en la Fig. 9. Un lector de alerta puede que ya haya adivinado que hemos conocido aquí a los típicos Stokes. fenómeno [21]. De hecho, el fenómeno Stokes es específico de las situaciones en las que algunos integral (por ejemplo, la integral de ruta (7) en nuestro caso) se evalúa por el método de sillín-punto. Esencialmente, significa lo siguiente: a medida que uno cambia gradualmente los parámetros de la integral en cuestión, un punto de sillín determinado puede pasar a ser no contribuyente después de los valores de los parámetros cruzan una cierta curva dibujada en el espacio de parámetros, la línea Stokes. Desde el el resultado del cálculo debe ser continuo, este fenómeno se produce sólo para subdomi- nant puntos de sillín (trayectorias de spaddle-punto en nuestro caso). Por desgracia, aparte de varios conjeturas heurísticas [21, 12], a veces bastante sugerentes [13], actualmente no hay general método de tratar con el fenómeno Stokes en los cálculos semiclásicos. Sin embargo, en la situación que se encuentra arriba basta con utilizar la lógica más simple yace en el corazón de todos los demás enfoques17. Al reunir el resultado final para el exponente de la supresión, seguimos dos directrices. En primer lugar, está claro que, a medida que disminuye la energía, cada rama se vuelve antifísica antes de F0,n(E) Cruza cero. Por otro lado, a altas energías uno debe recoger la rama correspondiente al valor más pequeño del exponente de la supresión. Mirando a Fig. 9, uno de ellos señala que el las curvas F0,g(E), F0,4(E) tienen dos intersecciones, A y B. En E > EB se elige la Subdivisión “global”. En la región EA < E < EB cambiamos a la primera sucursal “local”, porque en esta región F0,4(E) < F0,g(E). Naivamente, en E = EA uno debe saltar de nuevo a la “global” rama; sin embargo, con el fin de preservar la unidad a las pequeñas energías, suponemos que en algún lugar entre los puntos B y A la rama “global” se convierte en no contribuyente, de modo que uno debe permanecer en la sucursal “local” en E < EA. Del mismo modo, las ramas “locales” adyacentes tienen 17La simplificación en el presente caso está relacionada con el hecho de que nos concentramos en la semi- contribución clásica, dejando a un lado las subdominantes. dos intersecciones; a medida que la energía disminuye, cambiamos de n-th rama a n + 1-th en el primera intersección, y permanecer allí hasta la intersección con la rama n+2-th. En general, uno obtiene el gráfico para el exponente de supresión trazado en la Fig. 10. El exponente de la supresión 0,02 0,04 0,06 0,08 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Figura 10: El resultado final del exponente de supresión F0(E) en la región de las pequeñas energías; β = η/3, α = η/30. Los puntos donde se fusionan diferentes ramas se muestran con negro grueso puntos. oscila entre dos sobres lineales, F = E(fβ(0) ± 4e−1α ctg β); las oscilaciones se acumulan en la región de bajas energías. El proceso de reflexión es óptimo en las proximidades de los mínimos de la función F0(E). 5 Debate Al considerar una clase de modelos de guía de onda bidimensional, hemos demostrado explícitamente que la probabilidad de reflexión de la barrera excesiva puede ser una función no-monotónica de la energía. Los origen del efecto radica en la dinámica clásica: los parámetros de la trayectoria compleja la descripción de la reflexión sobre la barrera cambia cuasiperiódicamente a medida que disminuye la energía. Esto resulta en el comportamiento oscilatorio del exponente de la supresión. La reflexión ocurre con exponencialmente mayor probabilidad en las vicinidades de las energías “óptimas” (mínimos locales de la el exponente de la supresión) mientras que es altamente suprimido en el medio. Nuestros resultados se obtienen para una clase bastante específica de guías de onda, a saber, los que con giros muy agudos. Sin embargo, las características cualitativas observadas en este trabajo deben ser válidas para modelos de guía de onda bastante generales: una partícula clásica con alta energía siente cualquier gran escala giro de la guía de onda como uno afilado18; si dos vueltas están separadas por un largo intervalo de libre movimiento, se llega al modelo (35). Observamos que el fenómeno del túnel óptimo se ha observado también en la investigación numérica de una guía de ondas lisas, véase Ref. [14]. La estructura ramificada de las soluciones observadas en la región de las pequeñas energías es interesante desde el punto de vista matemático. Hemos demostrado que existe una secuencia infinita de trayectorias complejas marcadas por el número topológico n. Cada rama produce físicamente resultado consistente para el exponente de supresión en algún intervalo de energía; fuera de este intervalo la rama n-th correspondería a transiciones altamente suprimidas (altas energías) o a la violación de la unitariaridad (energias bajas). Recopilamos el gráfico final para la supresión. exponente basado en las consideraciones empíricas, que difícilmente pueden ser reconocidas como satisfactoria. Nuestro estudio muestra claramente que el método de las trayectorias complejas debe ser equipado con una regla conveniente para recoger la trayectoria física entre el conjunto discreto de soluciones al problema del valor límite (9), (10), (12) (en otras palabras, el método para tratar con el fenómeno Stokes). En la actualidad, tal regla está ausente. Observamos que el fenómeno físico descrito de la tunelización óptima está presente inde- Pendentamente de la forma en que las ramas de las soluciones se pegan juntas. El resultado a un nivel relativamente bajo las altas energías son dadas por la rama “global”, que muestra un gran número de mínimos locales si n′0 > n1, véase Eqs. (67), (65). Este es el caso del ejemplo ilustrativo considerado. a lo largo de este papel, ver Fig. 9. Como observación final, señalamos algunas cuestiones pendientes. Hemos calculado la supresión. exponente de la reflexión utilizando la aproximación nítida-giro. Sería instructivo extender nuestro análisis al encontrar correcciones debido a los anchos de giro finitos. La motivación es doble. En primer lugar, el análisis realizado en el apéndice implica la existencia de una rica variedad de soluciones semiclásicas que contribuyen casi por igual a la probabilidad de reflexión. Esta fea... tura podría ser una manifestación de caos [7] que está presente en nuestro sistema, pero oculto por el aproximación de giro nítido. [Tenga en cuenta que el caos es inherente en un modelo de guía de onda muy similar 18Más precisamente, se debe comparar la anchura b de la vuelta a la cantidad 2 , donde p0 es el el momento de la traducción de la partícula y de representa la frecuencia de las oscilaciones transversales; si bÃ3r 2ηp0 uno está en la clase de modelos con giros agudos. con un potencial suave, véase Ref. [14].] Claramente, la estructura de las soluciones en las proximidades de Vale la pena seguir investigando los turnos. En segundo lugar, se propuso recientemente en Refs. [9, 11] que el proceso de túnel dinámico en sistemas cuánticos con múltiples grados de libertad (incluidos modelos teóricos de campo, Véase Refs. [19]) puede proceder de manera diferente al caso ordinario de túnel unidimensional- ing. Es decir, el estado clásicamente inestable se puede crear durante el proceso; este estado decae posteriormente en la región asintótica final. El análisis realizado en el presente documento naturalmente se ajusta a este mecanismo de túnel: todas nuestras trayectorias complejas están emparejadas con la órbita inestable viviendo en el giro. Sin embargo, la aproximación de giro brusco no permite para distinguir entre las trayectorias verdaderamente inestables que permanecen en el turno para siempre y los que reflejan desde el giro en un tiempo finito. Para decidir si el mecanismo de tunelización de Refs. [9, 11] es efectivamente realizado en nuestro modelo uno necesita ir más allá de la curva afilada aprox- imation. Entonces, el candidato para el estado inestable “mediador” es el “espalerón excitado”, la solución considerada en el apéndice. Presumiblemente, en nuestro modelo se puede responder analyti- a la cuestión de si el “espalerón excitado” actúa o no como estado intermedio del proceso de tunelización. Este estudio está bastante más allá del alcance del presente documento y nosotros Déjalo para futuras investigaciones. Agradecimientos. Estamos en deuda con F.L. Bezrukov y V.A. Rubakov por el en- Alentando el interés y sugerencias útiles. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de la Federación de Rusia. Fundación para la Investigación Básica, subvención 05-02-17363-a; Subvenciones del Presidente de Rusia Federación NS-7293.2006.2 (contrato gubernamental 02.445.11.7370), MK-2563.2006.2 (D.L.), MK-2205.2005.2 (S.S.); Subvenciones de la Fundación Rusa de Apoyo Científico (D.L. y S.S.); el compañerismo personal de la fundación “Dynasty” (concedido por el consejo científico de ICFPM) (A.P.) e INTAS beca YS 03-55-2362 (D.L.). D.L. está agradecido a la Universidad Libre de Bruxelles y EPFL (Lausanne) por su hospitalidad durante sus visitas. Un movimiento clásico cerca del giro En este apéndice analizamos el movimiento de la partícula cerca del giro agudo de la guía de onda (20) con un alisado no nulo de la curva, véase, por ejemplo, Eq. (21). Suponemos que en el pequeño la proximidad de la vuelta la función w(, η) se puede representar en la forma w(, η) = cos β (η − bv(/b)), (69) donde v(­) no depende explícitamente de b. Por otra parte, consideramos el caso cuando v() ha un máximo19, v′(­0) = 0. (70) Debido a la propiedad (70) se obtiene inmediatamente la solución periódica exacta a la ecuaciones de movimiento (9), que llamamos “espalerón excitado” [9], Sp = b+0, ηsp = Aη sin(t cos β + ) + bv(­0). (71) Vamos a demostrar que esta solución es inestable: una pequeña perturbación por encima de ella crece con el tiempo y la partícula vuela hacia cualquiera de los extremos de la guía de onda. En particular, hay soluciones que describen el decaimiento del espalerón a • • • tanto en t → • •. Claramente, tales soluciones corresponden a las reflexiones del turno. En las proximidades del espalerón la trayectoria de la partícula se puede representar en el forma, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • en los que se indicarán los siguientes puntos: Escribiendo las ecuaciones clásicas del movimiento (9) en el orden principal en b, se obtiene, Aη sin(2s)v ′(), (73) + 4° = 4[v(­)− v(­0)], (74) donde s = (t cos β )/2. Vale la pena señalar que el lado derecho de Eqs. (73), (74) son de diferente orden en b. Vamos a ver que debido a esta diferencia ­ = 0 en el orden principal en b. Consideremos primero las perturbaciones lineales por encima del espalerón excitado, * = 0 + , * 1.................................................................................................................... La ecuación (73) puede ser linealizada con respecto a que conduce a la ecuación de Mathieu + 2q sin(2s) = 0, con parámetro canónico q = −2v′′0Aη/b > 0. Como q â € ¢ O(1/b) â € ¢ 1, se puede aplicar el WKB fórmula, Un cosW dW/ds , (75) 19Para el alisado (21), las propiedades (69), (70) se mantienen con v( ,.............................................................................. donde A 1, y sin(2s′). Tenga en cuenta que hemos elegido la solución simétrica con respecto a las reflexiones de tiempo, (/2− s) = (s). (76) El exponente W es real y la partícula se queda atascada en el punto de oscilación. alrededor de este punto con dW/ds de alta frecuencia O(b−1/2). A s < 0 crece la solución (75) exponencialmente, lo que significa que la partícula vuela lejos del espalerón excitado, (s < 0) = A cos(W (0)− η/4) dW/ds eW (s)−W (0). En lo que sigue, elegimos A cos(W (0)− /4) < 0, de modo que < 0 en s < 0. Vamos a denotar por s1 < 0 el punto donde se vuelve formalmente igual a −1, A cos(W (0)− η/4) dW/ds eW (s1)−W (0) = −1. En lo que sigue suponemos que s1 O(1), por lo tanto, A es exponencialmente pequeño. Entonces, en el las proximidades de este punto, s− s1 1, uno tiene, = − exp −2q sin(2s1)(s1 − s) = − exp 4v′′0Aη sin(2s1) (s1 − s) . (77) Notamos que evoluciona de valores exponencialmente pequeños a O(1) durante el charac- tiempo terístico s− s1 O( Cuando O(1) la aproximación lineal se descompone y uno tiene que resolver el no lineal ecuación (73). Utilizando s = s1 +O( b) uno escribe Aη sin(2s1)v ′(). (78) Esta ecuación permite dibujar una analogía útil con la partícula unidimensional que se mueve en el potencial efectivo de Veff (­) = −4b−1Aη sin(2s1)v(­) (véase la Fig. 11). Esta partícula auxiliar comienza en la región cerca del máximo del potencial en (s − s1)/ b → • con energía E • Vmax y rueda hacia abajo hacia • → • a (s−s1)/ b→ â € € TM. En este límite v() → tg β y la solución toma la forma • = C1 + C2(s− s1) + 2b−1Aη sin(2s1) tg β (s− s1)2. Vmax Figura 11: El potencial efectivo de Eq. 78). Tenga en cuenta que los coeficientes C1, C2 aquí no son independientes: están determinados por el parámetro s1 a través de la coincidencia de la solución con Eq. (77) en (s− s1)/ b→ â € € TM. Lo hacemos. Sin embargo, no necesitan su forma explícita. Argumentemos que la función ♥ sigue siendo pequeña durante toda la evolución de la partícula en las proximidades del espalerón. De hecho, en el régimen lineal uno tiene 1 y el r.h.s. de Eq. (74) es pequeño. Por lo tanto, no se emociona. Por otro lado, la evolución no lineal en un breve intervalo de tiempo s = O( b); por lo que, de nuevo, es suprimido por algún poder de b. La trayectoria (72) encontrada en las proximidades del espalerón debe ser igualada a 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # con la solución libre en la región asintótica ≤ < 0, véase Eqs. (26). Es directo a comprobar que el emparejamiento se puede realizar hasta el segundo orden en (t− t1), lo que es consistente con nuestras aproximaciones. De esta manera se determina la solución asintótica libre que, a las correcciones del orden O(b), coincide con el sinusoide procedente de y tocar la línea = 0 en t = t1. Ahora recordamos que, por construcción, la solución obtenida es simétrica con respecto a reflexiones de tiempo, •(s) = (η/2− s), η(s) = η(η/2− s). Esto significa que satisface a la población en t → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Esta solución describe el reflejo de la partícula de la vuelta. El razonamiento presentado en este apéndice pone consideraciones del cuerpo principal de este papel sobre el terreno firme: hemos encontrado las soluciones “smoothed” que reflejan clásicamente a partir de la vuelta, y en el límite b→ 0 coinciden con las soluciones libres de Sec. 3 tocando el línea = 0. Cabe mencionar que, aparte de la solución reflejada que hemos encontrado, en la cerca de cualquier trayectoria que toca la línea = 0 existe una rica variedad de cualitativamente diferentes movimientos. En primer lugar, uno puede buscar con éxito soluciones que son extrañas con con respecto a las reflexiones sobre el tiempo (Eq. (76) con signo negativo). Tales soluciones, aunque cercanas a la los reflejados en t < 0, describir las transmisiones de la partícula a través de la vuelta aguda en la región asintótica • → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Relajando la simetría de reflexión del tiempo, uno puede encontrar soluciones dejando la proximidad de la vuelta en cualquier punto η < 0, que es diferente, en general, de la punto de partida η = η(s1). Otro tipo de soluciones se obtienen en el caso de la amplitud A de –oscilaciones en s [0; γ/2] es tan pequeña que no alcanza los valores de orden uno durante el período de tiempo s [/2; 0]. Si la partícula está todavía en las proximidades de la punto 0 en s = /2, permanece seguro en esta vecindad en s [; /2], porque la r.h.s. de Eq. (73) es positivo de nuevo. De esta manera se obtienen soluciones, que gastan dos, tres, etc. Períodos de esphaleron en el año de referencia antes de escapar a las regiones asintóticas • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • En el orden principal en b todas estas soluciones corresponden al estado inicial idéntico, y (en el caso de las transiciones clásicamente prohibidas) al mismo valor del exponente de la supresión. Sin embargo, un estudio preciso de la dinámica en las proximidades del espalerón se requiere genéricamente para obtener el valor correcto del exponente de supresión en el caso b â € 1, cf. Ref. [14]. Bibliografía [1] V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov y M. E. Shaposhnikov, Phys. Lett. B 155, 36 (1985). [2] W. Miller y T. George, J. Chem. Phys. 56, 5668 (1972); 57, 2458 (1972); W. H. Miller, Adv. Chem. Phys. 25, 69 (1974). [3] A. M. Perelomov, V. S. Popov y M. V. Terent’ev, ZHETF 51, 309 (1966); V. S. Popov, V. Kuznetsov y A. M. Perelomov, ZHETF 53, 331 (1967). [4] M. Davis y E. Heller, J.Chem.Phys. 75, 246 (1981). [5] M. Wilkinson, Physica 21D, 341 (1986); S. Takada y H. Nakamura, J. Chem. Phys. 100, 98 (1994); S. Takada, P. Walker y M. Wilkinson, Phys. Rev. A 52, 3546 (1995); S. Takada, J. Chem. Phys. 104, 3742 (1996). [6] W. Miller, J. Phys. Chem. A 105, 2942 (2001). [7] O. Bohigas, D. Boose, R.Egydio de Carvalho, V. Marvulle, Nucl. Phys. A560, 197 (1993); S. Tomsovic, D. Ullmo, Phys. Rev. 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Molecular circuits based on graphene nano-ribbon junctions

Microsoft Word - APL-Ribbon_junctions_20070328-Text_with_Figuras-ARXIV.doc Circuitos moleculares basados en uniones nano-ribbon de grafeno Zhiping Xu† Departamento de Mecánica de Ingeniería, Universidad Tsinghua, Beijing, 100084, China En esta carta se proponen dispositivos electrónicos basados en uniones de nano-ribbones de grafeno. Non- equilibrio Los cálculos de función de Green muestran que las uniones nano-ribbon a medida de El grafeno de una sola capa con diferentes formas de borde y anchura puede actuar como metal/semiconductor Se pueden implementar uniones y puntos cuánticos. En virtud de las posibilidades de modelaje grafeno monocapa hasta la precisión atómica, estas estructuras, muy diferentes de la los dispositivos a granel de grafeno o nanotubo de carbono notificados previamente, son: se espera que se utilice como los componentes básicos de la futura nanoelectrónica. Palabras clave: nano-ribbon de grafeno, transporte electrónico, unión metal/semiconductor, punto cuántico † Correo electrónico: xuzhiping@gmail.com Se ha propuesto la nanoelectrónica o la electrónica molecular como alternativa al silicio en las futuras aplicaciones técnicas1 y han despertado recientemente grandes intereses. En virtud de su singular estructuras y varias funciones, estas nanoestructuras poseen intriga electromagnética, características mecánicas y ópticas. Especialmente, nanoestructura basada en carbono, como fullereno, grafeno y nanotubos de carbono son las estructuras más interesantes debido a su rica variedad de excelentes propiedades físicas. Por ejemplo, efectos anómalos de la sala cuántica (QHE) y Dirac sin masa el comportamiento electrónico se han descubierto en los sistemas de grafeno2, 3, y estos desencadenó un montón de investigaciones sobre este único material bidimensional. Adecuado a partir de monocapa grafeno, cinta de grafeno (GNR) con anchura finita se ha demostrado para mantener electrónica inusual propiedades4, dependiendo de su forma de borde y anchura. En más detalles, cintas con bordes zigzag (ZGNRs) poseen estados de bordes peculiares polarizados por rotación y el estado electrónico polarizado por rotación proporciona semimetalicidad bajo campo eléctrico transversal y tiene un gran potencial en la aplicación como spintronics5. Por el contrario, las cintas de los bordes del sillón (AGNR) pueden ser metálicas o semiconductores en función de su anchura6, AGNR con anchura Na (llamado NaAGNR en el nomenclatura convencional) sólo se ha demostrado que es metálica si Na = 3k + 2 y semiconductores de lo contrario, donde k es un entero. Desde el punto de vista experimental, la característica fascinante de las cintas es que la El material de grafeno se puede modelar fácilmente utilizando litografía estándar de micro o nanoelectrónica métodos. A diferencia de los nanotubos de carbono u otras nanoestructuras de baja dimensión, los GNR con Las estructuras intrincadas de submicrómetros pueden fabricarse ahora7, 8, 9, y se cree que una combinación de de los métodos litográficos y químicos estándar ayudará a modelar el grafeno con atómico precisión hasta el nivel molecular. La alta movilidad μ = 2,7 m2/V.s, medio elástico grande libre trayectoria le = 600nm y longitudes de coherencia de fase l­= 1,1 μm observadas7 en el grafeno epitaxial patrón sugieren el uso de estructuras GNR puras como los bloques de construcción de la nanoescala confinada y circuitos electrónicos coherentes. Para realizar los componentes tales como transistores de campo9 y coulomb los dispositivos de bloqueo, las uniones de metal/semiconductores controlables experimentalmente y los puntos cuánticos ser esencial. Como proponen Chico et al.10, 11, estos se pueden lograr mediante la unión de diferentes carbonos nanotubos. Sin embargo, la fabricación y el control de la nanoestructura de cintas de grafeno son mucho más conveniente que introducir defectos de pentagón-heptagón en nanotubos de carbono como se ha discutido, Por lo tanto, es interesante investigar las posibilidades de nanocircuitos basados en la unión de cinta. Con este fin, hemos propuesto varios tipos de dispositivos electrónicos basados en GNR en este Carta. Demostramos que, mediante el control del proceso de sastrería de GNRs con diferente forma de borde y ancho, las uniones de metal/semiconductores y puntos cuánticos se pueden implementar fácilmente experimentalmente. Para validar esto, el cálculo de transporte electrónico utilizando el no-equilibrio Green’s el método de función se ha llevado a cabo siguiendo el enfoque de Landauer12. La estructura electrónica de la celosía de grafeno se describe utilizando el modelo de unión apretada más cercano al vecino η-orbital y el Se utiliza el parámetro de salto Vppl = 2.75 eV. Este simple modelo topológico da resultados cuantitativos comparación con los resultados de LDA, excepto en el caso de la apertura de la brecha a pequeña anchura como consecuencia de el cambio de longitud de los enlaces Al resolver la función de los Verdes, la conducción fue finalmente calculados como G = G0Tr[­LGR­RGA] y la densidad de estado se expresa como D = –ImTr[GR]/η11, donde G0 = 2e2/h es la unidad quanta de conductancia incluida la degeneración de la rotación, GR(A) es la retardada (avanzada) La función de Green del conductor y de L(R) es la densidad espectral que describe el acoplamiento entre el plomo izquierdo (derecha) y el conductor. En nuestro modelo, los leads están representados utilizando cintas de grafeno semi-infinito unidas a la región del conductor, con la misma forma y Anchura. En primer lugar, investigamos la unión metálica recta/semiconductora 11AGNR/10AGNR. Los la estructura de la unión se considera simplemente uniendo dos cintas rectas diferentes, dejar un desajuste de anchura en la interfaz. El resultado se muestra en la Fig. 1 indica una brecha Eg = 0,93 eV cerca de la energía Fermi y la imperfección en la interfaz induce una desviación de la conductancia de la curva escalonada de la cinta perfecta. Sin embargo, las singularidades van Hove que son se mantienen las características del sistema 1D. Para examinar la estructura electrónica detallada de la unión, un espacio-resuelto localizado El análisis de la densidad de los estados (LDOS) es útil. Hemos agrupado los átomos en rebanadas de acuerdo a su distancia de la interfaz. Cada rebanada larga de 4,26 Å (una unidad de célula del AGNR perfecto) en el 10AGNR, 11AGNR y parte de interfaz contienen 20, 22 y 21 átomos respectivamente. El LDOS promediado en diferentes rebanadas se trazan en la Fig. 1. Desde el lado semiconductor 10AGNR encontramos el LDOS se distorsiona cerca de la interfaz y el estado de brecha aparece a través del contacto con metal 11AGNR. Sin embargo en rebanadas lejos de la interfaz, en la rebanada 3 por ejemplo, el perfecto el comportamiento semiconductual se recupera en su mayoría. En la interfaz de dispersión las singularidades van Hove se han suavizado y la estructura metálica 1D emerge gradualmente como la distancia de la interfaz aumentos desde el lado 11AGNR. El surgimiento del estado de brecha cerca de la interfaz caracteriza el metal- unión de semiconductores y sugiere las posibilidades de construir dispositivos Schottky. Además, se pueden construir uniones GNR en forma de L con diferentes orientaciones. Por Por ejemplo, la unión LDOS de 8ZGNR/15AGNR con una articulación γ/6 se analiza en la Fig. 2. As espera, el estado del borde de la 8ZGNR se extiende en el lado semiconductor 15AGNR. Debido a la ZGNR posee una estructura polarizada, por lo que esta unión semi-metal/semiconductora inspira intereses en los dispositivos de spin-transport. Además de la unión metal/semiconductor, las uniones semiconductores/semiconductores también han sido investigados y los estados de defecto en la brecha aparecen en la interfaz. Por otra parte, en el Se han observado uniones de ZGNR/ZGNR, caídas de cero conductores13 cerca de la energía de Fermi, causadas por la dispersión hacia atrás completa. La unión metal-semiconductor también sugiere dispositivos de punto cuántico a través de peinar dos de ellos juntos. Ahora consideramos la unión 12AGNR/11AGNR/12AGNR. En esta estructura un cinta metálica central se intercala por dos barreras semiconductores donde los estados cuantificados pueden ser formado. Nuestros resultados de cálculo se muestran en la Fig. 3 muestran dos picos DOS agudos dentro de la brecha de 12AGNR semiconductores que contienen 7 células unitarias, con energía E1,2 = 0,2025 y -0,2025 eV. As visto desde el LDOS espacial-resuelto en E = 0.2025, el estado delimitado se localiza dentro de la Región 11AGNR. La estructura de los niveles cuánticos se puede ajustar aún más cambiando la longitud de 11AGNR. A partir de nuestro cálculo, a medida que cambia de 1 a 8 células unitarias, el espaciamiento de energía entre el los picos más cercanos alrededor de la energía Fermi, es decir, ΔE = E1-E2, disminuye gradualmente de 0,785 eV a 0,385 eV y su DOS se vuelve más alto y más agudo. También hemos observado estados de borde cuantificados dentro del 10AGNR/7ZGNR/10AGNR uniones a través de la introducción de dos articulaciones η/6. Los resultados se muestran en la Fig. 3 donde podemos encontrar 7 LDOS alcanza picos dentro de la brecha de conducta cero. Los estados cuantificados con E = -0,3525 -0,1625 - 0,05, 0,05, 0,1625 y 0,3525 corresponden a diferentes patrones LDOS (ver Fig. 4 para E = 0,3525). Cuanto más alta es la energía, más nodos tiene la onda de pie limitada. La onda de electrones El patrón cuantificado depende de la estructura de la región central. En conclusión, hemos propuesto circuitos nanoelectrónicos basados en nano-ribbon de grafeno Uniones. A través de la confección de GNRs en uniones de diferente forma de borde y anchura, podemos implementar en principio uniones metal/semiconductores y puntos cuánticos. En virtud de la posibilidad de patrón de nivel molecular basado en la litografía y los métodos químicos, estos dispositivos son se espera que se fabrique más fácilmente en comparación con otras estructuras como la molécula única o nanotubos de carbono, y se espera encontrar grandes aplicaciones en la gran escala integrada nanocircuitos en el futuro. El trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencia de China a través de subvenciones 10172051, 10252001, y 10332020 y el Consejo de Becas de Investigación de Hong Kong (NSFC/RGC N HKU 764/05 y HKU 7012/04P). ZX también agradece al Prof. Wenhui Duan, al Dr. Tao Zhou y al Dr. Haiyun Qian del Departamento de Física de la Universidad de Tsinghua por su ayuda en la cálculo. 1N. J. Tao, Nanotecnología de la Naturaleza 1 173 (2006). 2K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos y A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). 3Y. Zhang, Y. Tan, H. L. Stormer y P. Kim, Nature 438, 201 (2005). 4Y. Kobayashi, K. Fukui, T. Enoki, K. Kusakabe e Y. Kaburagi, Phys. Rev. B 71, 193406 (2005). 5Y. Son, M. L. Cohen y S. G. Louie, Nature 444, 347 (2006). 6Y. Hijo, M. L. Cohen y S. G. Louie, Phys. Rev. Lett. 97, 216803 (2006). 7C. Berger, Z. Song, X. Li, X. Wu, N. Brown, C. Naud, D. Mayou, T. Li, J. Hass, A. N. Marchenkov, E. H. Conrad, P. N. First y W. A. de Heer, Science 312, 119 (2006). 8S. Liu, F. Zhou, A. Jin, H. Yang, Y. Ma, H. Li, C. Gu, L. Lu, B. Jiang, Q. Zheng, S. Wang y L. Peng, Acta Physica Sinica 54, 4251 (2005). 9Z. Chen, Y. Lin, M. Rooks y P. Avouris, http://arvix.org/abs/cond-mat/0701599, (2007). 10L. Chico, V. H. Crespi, L. X. Benedict, S. G. Louie y M. L. Cohen, Phys. Rev. Lett. 76, 971 (1996). 11L. Chico, M. P. López Sancho y M. C. Muñoz, Phys. Rev. Lett. 81, 1278 (1998). 12J. Lu, J. Wu, W. Duan, F. Liu, B. Zhu y B. Gu, Phys. Rev. Lett. 90, 156601 (2003). 13K. Wakabayashi, Phys. Rev. B 64, 125428 (2001). FIG. 1. La unión metálica/semiconductora 11AGNR/10AGNR: (Top) Dirección y DOS de todo el sistema. LDOS en rebanadas cerca de la interfaz. Rebanada n (n = 1, 2 y 3) representa la n-ésimo corte más cercano a la interfaz y la escala vertical de DOS es 0.2. FIG. 2. LDOS espacial-resuelto en unión metal/semiconductora 8ZGNR/15AGNR, la vertical La escala de la DSS es de 0,2. FIG. 3. Estructura de punto cuántico basada en la unión 12AGNR/11AGNR/12AGNR: (Arriba) Conductancia y DOS en sesgo bajo, donde dos picos agudos aislados aparecen dentro de la brecha; (Bottom) Espacio- resuelto LDOS en E = 0,2025 eV, el punto gris representa el sitio iónico y el radio del círculo alrededor de ella corresponde al valor de LDOS. FIG. 4. Estructura de punto cuántico basada en la unión 10AGNR/7ZGNR/10AGNR: (Arriba) Conductancia y DOS; (Bottom) LDOS espacialmente resueltos en E = 0,3525 eV. Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4

Se proponen dispositivos electrónicos basados en nano-ribbones de grafeno en este Carta. No-equilibrio Los cálculos de función verde muestran que nano-ribbon uniones a medida de grafeno de una sola capa con forma de borde diferente y el ancho puede actuar como uniones metal-semiconductores y los puntos cuánticos pueden ser aplicada. En virtud de las posibilidades de modelado monocapa grafeno hasta la precisión atómica, estas estructuras, muy diferentes de las anteriores Se espera que los dispositivos bidimensionales de grafeno a granel o nanotubo de carbono informen ser utilizados como los pilares de la futura nanoelectrónica.

Microsoft Word - APL-Ribbon_junctions_20070328-Text_with_Figuras-ARXIV.doc Circuitos moleculares basados en uniones nano-ribbon de grafeno Zhiping Xu† Departamento de Mecánica de Ingeniería, Universidad Tsinghua, Beijing, 100084, China En esta carta se proponen dispositivos electrónicos basados en uniones de nano-ribbones de grafeno. Non- equilibrio Los cálculos de función de Green muestran que las uniones nano-ribbon a medida de El grafeno de una sola capa con diferentes formas de borde y anchura puede actuar como metal/semiconductor Se pueden implementar uniones y puntos cuánticos. En virtud de las posibilidades de modelaje grafeno monocapa hasta la precisión atómica, estas estructuras, muy diferentes de la los dispositivos a granel de grafeno o nanotubo de carbono notificados previamente, son: se espera que se utilice como los componentes básicos de la futura nanoelectrónica. Palabras clave: nano-ribbon de grafeno, transporte electrónico, unión metal/semiconductor, punto cuántico † Correo electrónico: xuzhiping@gmail.com Se ha propuesto la nanoelectrónica o la electrónica molecular como alternativa al silicio en las futuras aplicaciones técnicas1 y han despertado recientemente grandes intereses. En virtud de su singular estructuras y varias funciones, estas nanoestructuras poseen intriga electromagnética, características mecánicas y ópticas. Especialmente, nanoestructura basada en carbono, como fullereno, grafeno y nanotubos de carbono son las estructuras más interesantes debido a su rica variedad de excelentes propiedades físicas. Por ejemplo, efectos anómalos de la sala cuántica (QHE) y Dirac sin masa el comportamiento electrónico se han descubierto en los sistemas de grafeno2, 3, y estos desencadenó un montón de investigaciones sobre este único material bidimensional. Adecuado a partir de monocapa grafeno, cinta de grafeno (GNR) con anchura finita se ha demostrado para mantener electrónica inusual propiedades4, dependiendo de su forma de borde y anchura. En más detalles, cintas con bordes zigzag (ZGNRs) poseen estados de bordes peculiares polarizados por rotación y el estado electrónico polarizado por rotación proporciona semimetalicidad bajo campo eléctrico transversal y tiene un gran potencial en la aplicación como spintronics5. Por el contrario, las cintas de los bordes del sillón (AGNR) pueden ser metálicas o semiconductores en función de su anchura6, AGNR con anchura Na (llamado NaAGNR en el nomenclatura convencional) sólo se ha demostrado que es metálica si Na = 3k + 2 y semiconductores de lo contrario, donde k es un entero. Desde el punto de vista experimental, la característica fascinante de las cintas es que la El material de grafeno se puede modelar fácilmente utilizando litografía estándar de micro o nanoelectrónica métodos. A diferencia de los nanotubos de carbono u otras nanoestructuras de baja dimensión, los GNR con Las estructuras intrincadas de submicrómetros pueden fabricarse ahora7, 8, 9, y se cree que una combinación de de los métodos litográficos y químicos estándar ayudará a modelar el grafeno con atómico precisión hasta el nivel molecular. La alta movilidad μ = 2,7 m2/V.s, medio elástico grande libre trayectoria le = 600nm y longitudes de coherencia de fase l­= 1,1 μm observadas7 en el grafeno epitaxial patrón sugieren el uso de estructuras GNR puras como los bloques de construcción de la nanoescala confinada y circuitos electrónicos coherentes. Para realizar los componentes tales como transistores de campo9 y coulomb los dispositivos de bloqueo, las uniones de metal/semiconductores controlables experimentalmente y los puntos cuánticos ser esencial. Como proponen Chico et al.10, 11, estos se pueden lograr mediante la unión de diferentes carbonos nanotubos. Sin embargo, la fabricación y el control de la nanoestructura de cintas de grafeno son mucho más conveniente que introducir defectos de pentagón-heptagón en nanotubos de carbono como se ha discutido, Por lo tanto, es interesante investigar las posibilidades de nanocircuitos basados en la unión de cinta. Con este fin, hemos propuesto varios tipos de dispositivos electrónicos basados en GNR en este Carta. Demostramos que, mediante el control del proceso de sastrería de GNRs con diferente forma de borde y ancho, las uniones de metal/semiconductores y puntos cuánticos se pueden implementar fácilmente experimentalmente. Para validar esto, el cálculo de transporte electrónico utilizando el no-equilibrio Green’s el método de función se ha llevado a cabo siguiendo el enfoque de Landauer12. La estructura electrónica de la celosía de grafeno se describe utilizando el modelo de unión apretada más cercano al vecino η-orbital y el Se utiliza el parámetro de salto Vppl = 2.75 eV. Este simple modelo topológico da resultados cuantitativos comparación con los resultados de LDA, excepto en el caso de la apertura de la brecha a pequeña anchura como consecuencia de el cambio de longitud de los enlaces Al resolver la función de los Verdes, la conducción fue finalmente calculados como G = G0Tr[­LGR­RGA] y la densidad de estado se expresa como D = –ImTr[GR]/η11, donde G0 = 2e2/h es la unidad quanta de conductancia incluida la degeneración de la rotación, GR(A) es la retardada (avanzada) La función de Green del conductor y de L(R) es la densidad espectral que describe el acoplamiento entre el plomo izquierdo (derecha) y el conductor. En nuestro modelo, los leads están representados utilizando cintas de grafeno semi-infinito unidas a la región del conductor, con la misma forma y Anchura. En primer lugar, investigamos la unión metálica recta/semiconductora 11AGNR/10AGNR. Los la estructura de la unión se considera simplemente uniendo dos cintas rectas diferentes, dejar un desajuste de anchura en la interfaz. El resultado se muestra en la Fig. 1 indica una brecha Eg = 0,93 eV cerca de la energía Fermi y la imperfección en la interfaz induce una desviación de la conductancia de la curva escalonada de la cinta perfecta. Sin embargo, las singularidades van Hove que son se mantienen las características del sistema 1D. Para examinar la estructura electrónica detallada de la unión, un espacio-resuelto localizado El análisis de la densidad de los estados (LDOS) es útil. Hemos agrupado los átomos en rebanadas de acuerdo a su distancia de la interfaz. Cada rebanada larga de 4,26 Å (una unidad de célula del AGNR perfecto) en el 10AGNR, 11AGNR y parte de interfaz contienen 20, 22 y 21 átomos respectivamente. El LDOS promediado en diferentes rebanadas se trazan en la Fig. 1. Desde el lado semiconductor 10AGNR encontramos el LDOS se distorsiona cerca de la interfaz y el estado de brecha aparece a través del contacto con metal 11AGNR. Sin embargo en rebanadas lejos de la interfaz, en la rebanada 3 por ejemplo, el perfecto el comportamiento semiconductual se recupera en su mayoría. En la interfaz de dispersión las singularidades van Hove se han suavizado y la estructura metálica 1D emerge gradualmente como la distancia de la interfaz aumentos desde el lado 11AGNR. El surgimiento del estado de brecha cerca de la interfaz caracteriza el metal- unión de semiconductores y sugiere las posibilidades de construir dispositivos Schottky. Además, se pueden construir uniones GNR en forma de L con diferentes orientaciones. Por Por ejemplo, la unión LDOS de 8ZGNR/15AGNR con una articulación γ/6 se analiza en la Fig. 2. As espera, el estado del borde de la 8ZGNR se extiende en el lado semiconductor 15AGNR. Debido a la ZGNR posee una estructura polarizada, por lo que esta unión semi-metal/semiconductora inspira intereses en los dispositivos de spin-transport. Además de la unión metal/semiconductor, las uniones semiconductores/semiconductores también han sido investigados y los estados de defecto en la brecha aparecen en la interfaz. Por otra parte, en el Se han observado uniones de ZGNR/ZGNR, caídas de cero conductores13 cerca de la energía de Fermi, causadas por la dispersión hacia atrás completa. La unión metal-semiconductor también sugiere dispositivos de punto cuántico a través de peinar dos de ellos juntos. Ahora consideramos la unión 12AGNR/11AGNR/12AGNR. En esta estructura un cinta metálica central se intercala por dos barreras semiconductores donde los estados cuantificados pueden ser formado. Nuestros resultados de cálculo se muestran en la Fig. 3 muestran dos picos DOS agudos dentro de la brecha de 12AGNR semiconductores que contienen 7 células unitarias, con energía E1,2 = 0,2025 y -0,2025 eV. As visto desde el LDOS espacial-resuelto en E = 0.2025, el estado delimitado se localiza dentro de la Región 11AGNR. La estructura de los niveles cuánticos se puede ajustar aún más cambiando la longitud de 11AGNR. A partir de nuestro cálculo, a medida que cambia de 1 a 8 células unitarias, el espaciamiento de energía entre el los picos más cercanos alrededor de la energía Fermi, es decir, ΔE = E1-E2, disminuye gradualmente de 0,785 eV a 0,385 eV y su DOS se vuelve más alto y más agudo. También hemos observado estados de borde cuantificados dentro del 10AGNR/7ZGNR/10AGNR uniones a través de la introducción de dos articulaciones η/6. Los resultados se muestran en la Fig. 3 donde podemos encontrar 7 LDOS alcanza picos dentro de la brecha de conducta cero. Los estados cuantificados con E = -0,3525 -0,1625 - 0,05, 0,05, 0,1625 y 0,3525 corresponden a diferentes patrones LDOS (ver Fig. 4 para E = 0,3525). Cuanto más alta es la energía, más nodos tiene la onda de pie limitada. La onda de electrones El patrón cuantificado depende de la estructura de la región central. En conclusión, hemos propuesto circuitos nanoelectrónicos basados en nano-ribbon de grafeno Uniones. A través de la confección de GNRs en uniones de diferente forma de borde y anchura, podemos implementar en principio uniones metal/semiconductores y puntos cuánticos. En virtud de la posibilidad de patrón de nivel molecular basado en la litografía y los métodos químicos, estos dispositivos son se espera que se fabrique más fácilmente en comparación con otras estructuras como la molécula única o nanotubos de carbono, y se espera encontrar grandes aplicaciones en la gran escala integrada nanocircuitos en el futuro. El trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencia de China a través de subvenciones 10172051, 10252001, y 10332020 y el Consejo de Becas de Investigación de Hong Kong (NSFC/RGC N HKU 764/05 y HKU 7012/04P). ZX también agradece al Prof. Wenhui Duan, al Dr. Tao Zhou y al Dr. Haiyun Qian del Departamento de Física de la Universidad de Tsinghua por su ayuda en la cálculo. 1N. J. Tao, Nanotecnología de la Naturaleza 1 173 (2006). 2K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos y A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005). 3Y. Zhang, Y. Tan, H. L. Stormer y P. Kim, Nature 438, 201 (2005). 4Y. Kobayashi, K. Fukui, T. Enoki, K. Kusakabe e Y. Kaburagi, Phys. Rev. B 71, 193406 (2005). 5Y. Son, M. L. Cohen y S. G. Louie, Nature 444, 347 (2006). 6Y. Hijo, M. L. Cohen y S. G. Louie, Phys. Rev. Lett. 97, 216803 (2006). 7C. Berger, Z. Song, X. Li, X. Wu, N. Brown, C. Naud, D. Mayou, T. Li, J. Hass, A. N. Marchenkov, E. H. Conrad, P. N. First y W. A. de Heer, Science 312, 119 (2006). 8S. Liu, F. Zhou, A. Jin, H. Yang, Y. Ma, H. Li, C. Gu, L. Lu, B. Jiang, Q. Zheng, S. Wang y L. Peng, Acta Physica Sinica 54, 4251 (2005). 9Z. Chen, Y. Lin, M. Rooks y P. Avouris, http://arvix.org/abs/cond-mat/0701599, (2007). 10L. Chico, V. H. Crespi, L. X. Benedict, S. G. Louie y M. L. Cohen, Phys. Rev. Lett. 76, 971 (1996). 11L. Chico, M. P. López Sancho y M. C. Muñoz, Phys. Rev. Lett. 81, 1278 (1998). 12J. Lu, J. Wu, W. Duan, F. Liu, B. Zhu y B. Gu, Phys. Rev. Lett. 90, 156601 (2003). 13K. Wakabayashi, Phys. Rev. B 64, 125428 (2001). FIG. 1. La unión metálica/semiconductora 11AGNR/10AGNR: (Top) Dirección y DOS de todo el sistema. LDOS en rebanadas cerca de la interfaz. Rebanada n (n = 1, 2 y 3) representa la n-ésimo corte más cercano a la interfaz y la escala vertical de DOS es 0.2. FIG. 2. LDOS espacial-resuelto en unión metal/semiconductora 8ZGNR/15AGNR, la vertical La escala de la DSS es de 0,2. FIG. 3. Estructura de punto cuántico basada en la unión 12AGNR/11AGNR/12AGNR: (Arriba) Conductancia y DOS en sesgo bajo, donde dos picos agudos aislados aparecen dentro de la brecha; (Bottom) Espacio- resuelto LDOS en E = 0,2025 eV, el punto gris representa el sitio iónico y el radio del círculo alrededor de ella corresponde al valor de LDOS. FIG. 4. Estructura de punto cuántico basada en la unión 10AGNR/7ZGNR/10AGNR: (Arriba) Conductancia y DOS; (Bottom) LDOS espacialmente resueltos en E = 0,3525 eV. Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4

Unit groups of integral finite group rings with no noncyclic abelian finite subgroups

GRUPOS UNIDOS DE GRUPOS FINITARIOS INTEGRALES NINGÚN SUBGRÚPS FINALES NO CÍCICOS DE ABELIA MARTIN HERTWECK Resumen. Se muestra que en las unidades de aumento uno de un integral grupo anillo ZG de un grupo finito G, un subgrupo no cíclico de orden p2, para algunos impar prime p, existe sólo si tal subgrupo existe en G. El correspondiente declaración para p = 2 sostiene por el teorema Brauer-Suzuki, como se ha observado recientemente de W. Kimmerle. 1. Introducción Es un subgrupo finito H de unidades en el anillo de grupo integral ZG de un grupo finito G necesariamente isomórfico a un subgrupo de G? Por supuesto, la torsión viene de la anillo de coeficiente debe excluirse, es decir, sólo subgrupos finitos H en V (ZG), la grupo de unidades de aumento uno en ZG, se considerará. La cuestión era: planteado por Higman en su tesis (1940), donde dio una respuesta afirmativa cuando G es nilpotente metabeliano o el grupo afín sobre un campo primario; cf. Sandling (1981). En el estudio de Sandling (1984) se incluye como problema 5.4, y se señaló que un la respuesta afirmativa para el metabeliano G fue finalmente dada por Roggenkamp (1981); pero ver también Cliff, Sehgal y Weiss (1981), y Marciniak y Sehgal (2003) para un más resultado reciente, dando una generalización basada en un teorema de Weiss (1988). Estos los resultados son realmente sobre ciertos subgrupos normales «grandes» libres de torsión de V(ZG). Por una discusión más completa, véase el capítulo 4 en el libro de Sehgal (1993). Como una especie de conversación, uno puede fijar un grupo finito H y buscar grupos G para que H se incrusta en V(ZG), otra vez con la esperanza de lo mejor, pero poco se sabe en este respeto. Lo que se sabe es que si se incrusta un grupo cíclico H de orden de potencia primo en alguna unidad del grupo V(ZG), entonces H también se incrusta en G (debido a una observación de Cohn y Livingstone (1965); véase también Zassenhaus (1974)), y recientemente en Hertweck (2007b) se demostró que la restricción de la orden se puede eliminar si además se supone que G es solvable. En este espíritu, Marciniak, en un satélite en la conferencia del MIC 2006, preguntó si un grupo G tenía necesariamente un subgrupo isomórfico a los cuatro grupos de Klein siempre que este sea el caso de V(ZG). Kimmerle inmediatamente observó que esto está implícito por el teorema Brauer-Suzuki (representado en Kimmerle (2006)), véase la sección 2. Nuestro resultado complementario es el siguiente. Teorema A. Deja que G sea un grupo finito. Supongamos que V(ZG) tiene un abeliano no cíclico subgrupo de orden p2, para algunos impar p primo. Entonces lo mismo es cierto para G (es decir, Silow p-subgrupos de G no son cíclicos). Fecha: 30 de octubre de 2018. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 16S34, 16U60; secundaria 20C05. Palabras y frases clave. anillo de grupo integral, unidad de torsión, aumento parcial. http://arxiv.org/abs/0704.0412v1 2 MARTIN HERTWECK Es fácil verificar que un grupo-p finito sin subgrupo abeliano no cíclico es ya sea cíclico o un grupo de cuaternión (generalizado), véase Teorema 4.10 en Gorenstein (1968). Me viene a la mente que la teoría de los bloques cíclicos podría ser utilizada en el prueba, pero es bastante simple y sólo hace uso de un hecho sobre la desaparición de aumentos parciales de unidades de torsión, establecidos en Hertweck (2006, 2007a). Observamos que ambos resultados (si p es par o impar) para un grupo Solvable G están cubiertos por el Teorema 5.1 en Dokuchaev y Juriaans (1996). Tenga en cuenta que un grupo G cuyos 2 subgrupos Sylow son cíclicos tiene un normal 2-comple- Por el conocido criterio de Burnside, véase Teorema 4.3 en Gorenstein (1968). Obtenemos el siguiente corolario. Corollario 1. Que G sea un grupo finito que tenga subgrupos p Sylow cíclicos para algunos p primo. Entonces cualquier subgrupo de p finito de V(ZG) es isomórfico a un subgrupo de G. Por último, señalamos que, al igual que con otros resultados en este campo, el teorema puede ser formulado para anillos de coeficiente más generales que Z, especialmente para la semilocalización de Z en los principales divisores de la orden de G. Desafortunadamente, es definitivamente incorrecto para los anillos de coeficiente p-ádico. 2. Observación de Kimmerle Volviendo a la pregunta inicial, mencionamos que en la esperanza de resultados positivos, es natural imponer restricciones a los principales divisores de la subgrupo finito H, es decir, para considerar sólo grupos H para algunos conjuntos de primos (a singleton {p}, para empezar), como se ha hecho antes en el trabajo sobre el más fuerte Conjetura de Zassenhaus (ZC3), cf. Dokuchaev y Juriaans (1996). Es bien conocido. que entonces, uno puede asumir que O(G), el más grande normal ′-subgrupo de G, es trivial, porque H tiene una imagen isomórfica bajo el mapa natural ZG → ZG/O(G), Véase la observación después de Teorema 2.2 en Dokuchaev y Juriaans (1996). Esto deriva de la desaparición de ciertos aumentos parciales de los elementos de H. Recuerde que para un elemento de anillo de grupo u = ag (todos ag en Z), su parcial aumento con respecto a un elemento x de G, o más bien su clase de conjugación xG en G, es la suma gxG ag; vamos a denotarlo por x(u). El resultado de Cohn y Livingstone mencionado en la introducción realmente dice que si un elemento h de H es de primer orden de potencia, entonces existe un elemento x en G del mismo orden tal que Łx(h) 6= 0. Nótese que Łz(u) = az para un elemento z en el centro de G. An viejo pero fundamental resultado de Berman (1955) y Higman (1940) afirma que si 6= 0 para un elemento h en H y algo de z en el centro de G, luego h = z. Llegando a la pregunta de Marciniak, supongamos que G no tiene subgrupos isomórfico a El grupo cuatro de Klein. Para nuestro propósito, podemos asumir que O2′(G) = 1 y que Sylow Los 2 subgrupos de G no son cíclicos. Así Sylow 2 subgrupos de G son (generalizados) quaternion, y por el teorema Brauer-Suzuki, de Brauer y Suzuki (1959), G contiene una involución z única. Para una involución u en V(ZG), el Cohn-Livingstone resultado da 6= 0, y por lo tanto u = z por el resultado Berman-Higman, contestando Pregunta afirmativa de Marciniak. Teorema B (Kimmerle). Deja que G sea un grupo finito. Supongamos que V(ZG) tiene un subgrupo isomórfico a los cuatro grupos de Klein. Entonces lo mismo es cierto para G. No sabemos de una prueba que evite el uso del teorema Brauer-Suzuki. Supongamos que Sylow 2 subgrupos de G son grupos cuaterniones. Entonces el teorema implica que los 2 subgrupos finitos de V(ZG) son grupos cíclicos o cuaterniones. Tomando GRUPOS DE UNIDADES SIN SUBGRUPOS FINITARIOS NO CÍCICOS BÉLICOS 3 en cuenta la estructura de los grupos quaternion, y la Cohn-Livingstone resultado, se obtiene el corolario siguiente. Corollario 2. Que G sea un grupo finito cuyos 2 subgrupos Sylow son quaternion grupos (ordinarios o generalizados). Entonces cualquier subgrupo finito 2 de V(ZG) es isomor- phic a un subgrupo de G. 3. Prueba de Teorema A Las aumentaciones parciales de una unidad de torsión en V(ZG) codifican sus valores de carácter de forma que se establezca una conexión con elementos de grupo que respete una divisibilidad relación entre órdenes. Vamos a hacer uso de un lema que es una consecuencia fácil de este hecho. Lemma 3. Vamos a ser una unidad de torsión en V(ZG) de, por ejemplo, orden n. Vamos a ser un natural entero coprime a n, de modo que st 1 mod n para otro entero natural t. A continuación, para todos x en G cuyo orden divide n, tenemos Łx(u s) = xt(u). Prueba. Vamos a ser una primitiva n-ésima raíz compleja de la unidad, y vamos a ser el Galois auto- morfismo de Q() enviando a s. Let x1,. ........................................................................ clases de G cuyos elementos tienen orden dividiendo n. Tenga en cuenta que entonces xt1,. .., x k es un- otro sistema de representantes. Por el teorema 2.3 en Hertweck (2007a), el valor de 6 = 0 es sólo es posible para los elementos x cuyo orden divide n. Así para cualquier ordinario irreductible carácter χ de G, tenemos (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) () (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) () () () (b) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () ()) ()))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () s)χ(xi) = χ(u s) = χ(u) (XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX * x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i ) = (u)χ(xi). Puesto que la tabla de caracteres de G, despojada de cualquier información adicional, es un matriz invertible, se deduce que s) = Łxt (u) para todos los índices i, lo que demuestra Lemma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 4. Dejar u ser una unidad de torsión en V(ZG) de, por ejemplo, orden n. Entonces para cualquier x en G cuyo orden divide n, es(Z/nZ)× es(Z/nZ)× *xs(u). Corolario 5. Supongamos que para un divisor primario p del orden de G, todos los elementos de orden p en G se conjugan a una potencia de algún elemento fijo x. Vamos a ser un unidad de torsión en V(ZG) de orden p. Entonces i=1 u i y i=1 x Tengo lo mismo. aumentos parciales. Prueba. Que k sea el número de clases de conjugación de elementos de orden p en G. Por el corolario 4 y el teorema 2.3 en Hertweck (2007a), Łxi(u) = YG : yx® En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Aplicando de nuevo el Teorema 2.3 de Hertweck (2007a), el corolario sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 MARTIN HERTWECK Lo aplicaremos por medio de la siguiente fórmula relativa a los rangos de un idem- propiedades potentes a aritméticas del grupo. Corolario 6. Supongamos que para un divisor primario p del orden de G, todos los elementos de orden p en G se conjugan a una potencia de algún elemento fijo x. Suponga más que V(ZG) contiene un subgrupo elemental abeliano U de orden p2. Entonces para cualquier carácter ordinario χ de G, 1) χ χ(1) + (p+1) χ(xi) Pasamos ahora a la prueba del Teorema A. Supongamos que G tiene un Sylow cíclico p-subgrupo P (p = 2 está permitido). Dejar x ser un elemento de orden p en P, y set N = NG(x). Supongamos además que V(ZG) contiene un abeliano elemental subgrupo U del orden p2. Que la χ sea el carácter de G que se induce de la principal carácter irreductible de P. Entonces el rango en (1) es (G: P N: P (p2 − 1)). Si la χ es un carácter de G inducido por un carácter irreductible fiel de P, el rango en (1) es (G: P − N: P (p+ 1)). La diferencia de estas filas es N : P (p2 + p)/p2, que no es un entero. Esto la contradicción prueba el teorema. En vista de los corolarios 1 y 2, uno puede ser tentado a investigar el análogo problema para grupos con diedral Sylow 2 subgrupos. Estos grupos fueron clasificados por Gorenstein y Walter, y enumerado, por ejemplo, en la página 462 en Gorenstein (1968). Para indicar lo que se puede hacer a estas alturas, terminamos con un ejemplo. Tenga en cuenta que el orden de un subgrupo finito de V(ZG) divide el orden de G, véase Lemma 37.3 en Sehgal (1993); un hecho que, sorprendentemente bastante desde el punto de vista actual de vista, está en esta generalidad no registrada en la tesis de Higman. Ejemplo 7. Para el grupo alternante A7, cualquier subgrupo finito 2 de V(ZA7) es isomórfico a un subgrupo de A7. Prueba. Sylow 2 subgrupos de A7 son diedral de orden 8. Deja que x sea un elemento de Orden 4 en A7. Entonces x G y (x2)G son las únicas clases de conjugación de elementos de orden 4 y 2, respectivamente. Hay un carácter (irreducible) χ de A7 de grado 6 que es proporcionado por una representación de permutación eliminada. Tenemos χ(x) = 0 y χ(x2) = 2. Dejar U ser un finito 2 subgrupo de V(ZA7). Si U es de orden 2, entonces U es racionalmente conjugado a un subgrupo de A7 por el corolario 3.5 en Hertweck (2006). Si U es de orden 4, el método Luthar-Passi descrito en Hertweck (2007a) no es suficiente garantizar la conjugación racional a un subgrupo de A7: para una unidad u del orden 4 en V(ZA7) no se puede excluir la posibilidad de tener (­x2(u), ­x(u)) = (2,−1) cuando χ(u) = 4. En este caso, también χ(u−1) = 4. De todos modos, U es isomórfico a un subgrupo de A7, y lo mismo es cierto si U es el grupo cuatro de Klein. Supongamos que U es abeliano del orden 8. Por el resultado de Cohn-Livingstone, U no es cíclico. Conjunto e = 1 uâ U u. Puesto que e es un idempotente, χ(u) es un entero racional. Si U es abeliano elemental, luego χ(e) = 1 (χ(1) + 7χ(x2)) = 20 , lo cual es imposible. GRUPOS DE UNIDADES QUE NO CONSTITUYEN SUBGRÚPS FINALES NO CÍCICOS 5 Así U contiene 3 elementos de orden 2 y 4 elementos de orden 4. Probando todo posibilidades muestran que de nuevo χ(e) no es un entero racional. Queda por considerar el caso cuando U es el grupo cuaternión. Vamos a ser un elemento del orden 4 en U. Puesto que χ(u2) = χ(x2), la restricción del carácter χ a U es la suma de cuatro caracteres lineales y el uno de grado dos. Pero esto es no es posible, puesto que la χ está garantizada por una representación racional, mientras que el carácter de grado dos del grupo quaternion viene del bloque del quaternion racional álgebra (de ahí el nombre del grupo). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía Berman, S. D. (1955). En la ecuación xm = 1 en un anillo de grupo integral. Ukrain. Mat. Ž. 7:253–261. Brauer, R., Suzuki, M. (1959). En grupos finitos de orden uniforme cuyo grupo 2-Sylow es un Grupo cuaternión. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 45:1757–1759. Cliff, G. H., Sehgal, S. K., Weiss, A. R. (1981). Unidades de anillos de grupo integral de metabel- Ian groups. J. Álgebra 73.1:167-185. Cohn, J. A., Livingstone, D. (1965). En la estructura de álgebras de grupo. I. Canad. J. Matemáticas. 17:583-593. Dokuchaev, M. A., Juriaans, S. O. (1996). Subgrupos finitos en anillos de grupos integrales. Puede... ad. J. Matemáticas. 48(6):1170–1179. Gorenstein, D. (1968). Grupos finitos. Nueva York: Harper & Row. Hertweck, M. (2006). En las unidades de torsión de algunos anillos de grupo integral. Álgebra Colloq. 13(2):329–348. Hertweck, M. (2007a). Aumentos parciales y valores de carácter Brauer de unidades de torsión en anillos de grupo. Comm. Álgebra, a aparecer (e-print arXiv:math.RA/0612429v2). Hertweck, M. (2007b). Las órdenes de unidades de torsión en anillos de grupo integral de solvable finito grupos. Comm. Álgebra, a aparecer (e-print arXiv:math.RT/0703541). Higman, G. (1940). Unidades en anillos de grupo. Tesis de doctorado. Universidad de Oxford (Balliol) Universidad). Kimmerle, W. (2006). Propiedades aritméticas de los grupos finitos. Charla pronunciada en el Math Coloquio de la Vrije Universiteit Brussel. Marciniak, Z., Sehgal, S. K. (2003). 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En las unidades de torsión de anillos de grupo finitos. En: Estudios en mathe- matics (en honor a A. Almeida Costa). Lisboa: Instituto de Alta Cultura, pp. 119–126. Universität Stuttgart, Fachbereich Mathematik, IGT, Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart (Alemania) Dirección de correo electrónico: hertweck@mathematik.uni-stuttgart.de arXiv:math.RA/0612429v2 arXiv:math.RT/0703541 1. Introducción 2. Observación de Kimmerle 3. Prueba de Teorema A Bibliografía

Se muestra que en las unidades de aumento uno de un anillo de grupo integral $\mathbb{Z} G$ de un grupo finito $G$, un subgrupo no cíclico de orden $p}2$, para algunos primos impares $p$, existe sólo si tal subgrupo existe en $G$. Los la declaración correspondiente por $p=2$ se mantiene por el Brauer--Teorema de Suzuki, como observado recientemente por W. Kimmerle.

Introducción Es un subgrupo finito H de unidades en el anillo de grupo integral ZG de un grupo finito G necesariamente isomórfico a un subgrupo de G? Por supuesto, la torsión viene de la anillo de coeficiente debe excluirse, es decir, sólo subgrupos finitos H en V (ZG), la grupo de unidades de aumento uno en ZG, se considerará. La cuestión era: planteado por Higman en su tesis (1940), donde dio una respuesta afirmativa cuando G es nilpotente metabeliano o el grupo afín sobre un campo primario; cf. Sandling (1981). En el estudio de Sandling (1984) se incluye como problema 5.4, y se señaló que un la respuesta afirmativa para el metabeliano G fue finalmente dada por Roggenkamp (1981); pero ver también Cliff, Sehgal y Weiss (1981), y Marciniak y Sehgal (2003) para un más resultado reciente, dando una generalización basada en un teorema de Weiss (1988). Estos los resultados son realmente sobre ciertos subgrupos normales «grandes» libres de torsión de V(ZG). Por una discusión más completa, véase el capítulo 4 en el libro de Sehgal (1993). Como una especie de conversación, uno puede fijar un grupo finito H y buscar grupos G para que H se incrusta en V(ZG), otra vez con la esperanza de lo mejor, pero poco se sabe en este respeto. Lo que se sabe es que si se incrusta un grupo cíclico H de orden de potencia primo en alguna unidad del grupo V(ZG), entonces H también se incrusta en G (debido a una observación de Cohn y Livingstone (1965); véase también Zassenhaus (1974)), y recientemente en Hertweck (2007b) se demostró que la restricción de la orden se puede eliminar si además se supone que G es solvable. En este espíritu, Marciniak, en un satélite en la conferencia del MIC 2006, preguntó si un grupo G tenía necesariamente un subgrupo isomórfico a los cuatro grupos de Klein siempre que este sea el caso de V(ZG). Kimmerle inmediatamente observó que esto está implícito por el teorema Brauer-Suzuki (representado en Kimmerle (2006)), véase la sección 2. Nuestro resultado complementario es el siguiente. Teorema A. Deja que G sea un grupo finito. Supongamos que V(ZG) tiene un abeliano no cíclico subgrupo de orden p2, para algunos impar p primo. Entonces lo mismo es cierto para G (es decir, Silow p-subgrupos de G no son cíclicos). Fecha: 30 de octubre de 2018. 2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 16S34, 16U60; secundaria 20C05. Palabras y frases clave. anillo de grupo integral, unidad de torsión, aumento parcial. http://arxiv.org/abs/0704.0412v1 2 MARTIN HERTWECK Es fácil verificar que un grupo-p finito sin subgrupo abeliano no cíclico es ya sea cíclico o un grupo de cuaternión (generalizado), véase Teorema 4.10 en Gorenstein (1968). Me viene a la mente que la teoría de los bloques cíclicos podría ser utilizada en el prueba, pero es bastante simple y sólo hace uso de un hecho sobre la desaparición de aumentos parciales de unidades de torsión, establecidos en Hertweck (2006, 2007a). Observamos que ambos resultados (si p es par o impar) para un grupo Solvable G están cubiertos por el Teorema 5.1 en Dokuchaev y Juriaans (1996). Tenga en cuenta que un grupo G cuyos 2 subgrupos Sylow son cíclicos tiene un normal 2-comple- Por el conocido criterio de Burnside, véase Teorema 4.3 en Gorenstein (1968). Obtenemos el siguiente corolario. Corollario 1. Que G sea un grupo finito que tenga subgrupos p Sylow cíclicos para algunos p primo. Entonces cualquier subgrupo de p finito de V(ZG) es isomórfico a un subgrupo de G. Por último, señalamos que, al igual que con otros resultados en este campo, el teorema puede ser formulado para anillos de coeficiente más generales que Z, especialmente para la semilocalización de Z en los principales divisores de la orden de G. Desafortunadamente, es definitivamente incorrecto para los anillos de coeficiente p-ádico. 2. Observación de Kimmerle Volviendo a la pregunta inicial, mencionamos que en la esperanza de resultados positivos, es natural imponer restricciones a los principales divisores de la subgrupo finito H, es decir, para considerar sólo grupos H para algunos conjuntos de primos (a singleton {p}, para empezar), como se ha hecho antes en el trabajo sobre el más fuerte Conjetura de Zassenhaus (ZC3), cf. Dokuchaev y Juriaans (1996). Es bien conocido. que entonces, uno puede asumir que O(G), el más grande normal ′-subgrupo de G, es trivial, porque H tiene una imagen isomórfica bajo el mapa natural ZG → ZG/O(G), Véase la observación después de Teorema 2.2 en Dokuchaev y Juriaans (1996). Esto deriva de la desaparición de ciertos aumentos parciales de los elementos de H. Recuerde que para un elemento de anillo de grupo u = ag (todos ag en Z), su parcial aumento con respecto a un elemento x de G, o más bien su clase de conjugación xG en G, es la suma gxG ag; vamos a denotarlo por x(u). El resultado de Cohn y Livingstone mencionado en la introducción realmente dice que si un elemento h de H es de primer orden de potencia, entonces existe un elemento x en G del mismo orden tal que Łx(h) 6= 0. Nótese que Łz(u) = az para un elemento z en el centro de G. An viejo pero fundamental resultado de Berman (1955) y Higman (1940) afirma que si 6= 0 para un elemento h en H y algo de z en el centro de G, luego h = z. Llegando a la pregunta de Marciniak, supongamos que G no tiene subgrupos isomórfico a El grupo cuatro de Klein. Para nuestro propósito, podemos asumir que O2′(G) = 1 y que Sylow Los 2 subgrupos de G no son cíclicos. Así Sylow 2 subgrupos de G son (generalizados) quaternion, y por el teorema Brauer-Suzuki, de Brauer y Suzuki (1959), G contiene una involución z única. Para una involución u en V(ZG), el Cohn-Livingstone resultado da 6= 0, y por lo tanto u = z por el resultado Berman-Higman, contestando Pregunta afirmativa de Marciniak. Teorema B (Kimmerle). Deja que G sea un grupo finito. Supongamos que V(ZG) tiene un subgrupo isomórfico a los cuatro grupos de Klein. Entonces lo mismo es cierto para G. No sabemos de una prueba que evite el uso del teorema Brauer-Suzuki. Supongamos que Sylow 2 subgrupos de G son grupos cuaterniones. Entonces el teorema implica que los 2 subgrupos finitos de V(ZG) son grupos cíclicos o cuaterniones. Tomando GRUPOS DE UNIDADES SIN SUBGRUPOS FINITARIOS NO CÍCICOS BÉLICOS 3 en cuenta la estructura de los grupos quaternion, y la Cohn-Livingstone resultado, se obtiene el corolario siguiente. Corollario 2. Que G sea un grupo finito cuyos 2 subgrupos Sylow son quaternion grupos (ordinarios o generalizados). Entonces cualquier subgrupo finito 2 de V(ZG) es isomor- phic a un subgrupo de G. 3. Prueba de Teorema A Las aumentaciones parciales de una unidad de torsión en V(ZG) codifican sus valores de carácter de forma que se establezca una conexión con elementos de grupo que respete una divisibilidad relación entre órdenes. Vamos a hacer uso de un lema que es una consecuencia fácil de este hecho. Lemma 3. Vamos a ser una unidad de torsión en V(ZG) de, por ejemplo, orden n. Vamos a ser un natural entero coprime a n, de modo que st 1 mod n para otro entero natural t. A continuación, para todos x en G cuyo orden divide n, tenemos Łx(u s) = xt(u). Prueba. Vamos a ser una primitiva n-ésima raíz compleja de la unidad, y vamos a ser el Galois auto- morfismo de Q() enviando a s. Let x1,. ........................................................................ clases de G cuyos elementos tienen orden dividiendo n. Tenga en cuenta que entonces xt1,. .., x k es un- otro sistema de representantes. Por el teorema 2.3 en Hertweck (2007a), el valor de 6 = 0 es sólo es posible para los elementos x cuyo orden divide n. Así para cualquier ordinario irreductible carácter χ de G, tenemos (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) () (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) () () () (b) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () ()) ()))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () s)χ(xi) = χ(u s) = χ(u) (XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX * x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i ) = (u)χ(xi). Puesto que la tabla de caracteres de G, despojada de cualquier información adicional, es un matriz invertible, se deduce que s) = Łxt (u) para todos los índices i, lo que demuestra Lemma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Corolario 4. Dejar u ser una unidad de torsión en V(ZG) de, por ejemplo, orden n. Entonces para cualquier x en G cuyo orden divide n, es(Z/nZ)× es(Z/nZ)× *xs(u). Corolario 5. Supongamos que para un divisor primario p del orden de G, todos los elementos de orden p en G se conjugan a una potencia de algún elemento fijo x. Vamos a ser un unidad de torsión en V(ZG) de orden p. Entonces i=1 u i y i=1 x Tengo lo mismo. aumentos parciales. Prueba. Que k sea el número de clases de conjugación de elementos de orden p en G. Por el corolario 4 y el teorema 2.3 en Hertweck (2007a), Łxi(u) = YG : yx® En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Aplicando de nuevo el Teorema 2.3 de Hertweck (2007a), el corolario sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. 4 MARTIN HERTWECK Lo aplicaremos por medio de la siguiente fórmula relativa a los rangos de un idem- propiedades potentes a aritméticas del grupo. Corolario 6. Supongamos que para un divisor primario p del orden de G, todos los elementos de orden p en G se conjugan a una potencia de algún elemento fijo x. Suponga más que V(ZG) contiene un subgrupo elemental abeliano U de orden p2. Entonces para cualquier carácter ordinario χ de G, 1) χ χ(1) + (p+1) χ(xi) Pasamos ahora a la prueba del Teorema A. Supongamos que G tiene un Sylow cíclico p-subgrupo P (p = 2 está permitido). Dejar x ser un elemento de orden p en P, y set N = NG(x). Supongamos además que V(ZG) contiene un abeliano elemental subgrupo U del orden p2. Que la χ sea el carácter de G que se induce de la principal carácter irreductible de P. Entonces el rango en (1) es (G: P N: P (p2 − 1)). Si la χ es un carácter de G inducido por un carácter irreductible fiel de P, el rango en (1) es (G: P − N: P (p+ 1)). La diferencia de estas filas es N : P (p2 + p)/p2, que no es un entero. Esto la contradicción prueba el teorema. En vista de los corolarios 1 y 2, uno puede ser tentado a investigar el análogo problema para grupos con diedral Sylow 2 subgrupos. Estos grupos fueron clasificados por Gorenstein y Walter, y enumerado, por ejemplo, en la página 462 en Gorenstein (1968). Para indicar lo que se puede hacer a estas alturas, terminamos con un ejemplo. Tenga en cuenta que el orden de un subgrupo finito de V(ZG) divide el orden de G, véase Lemma 37.3 en Sehgal (1993); un hecho que, sorprendentemente bastante desde el punto de vista actual de vista, está en esta generalidad no registrada en la tesis de Higman. Ejemplo 7. Para el grupo alternante A7, cualquier subgrupo finito 2 de V(ZA7) es isomórfico a un subgrupo de A7. Prueba. Sylow 2 subgrupos de A7 son diedral de orden 8. Deja que x sea un elemento de Orden 4 en A7. Entonces x G y (x2)G son las únicas clases de conjugación de elementos de orden 4 y 2, respectivamente. Hay un carácter (irreducible) χ de A7 de grado 6 que es proporcionado por una representación de permutación eliminada. Tenemos χ(x) = 0 y χ(x2) = 2. Dejar U ser un finito 2 subgrupo de V(ZA7). Si U es de orden 2, entonces U es racionalmente conjugado a un subgrupo de A7 por el corolario 3.5 en Hertweck (2006). Si U es de orden 4, el método Luthar-Passi descrito en Hertweck (2007a) no es suficiente garantizar la conjugación racional a un subgrupo de A7: para una unidad u del orden 4 en V(ZA7) no se puede excluir la posibilidad de tener (­x2(u), ­x(u)) = (2,−1) cuando χ(u) = 4. En este caso, también χ(u−1) = 4. De todos modos, U es isomórfico a un subgrupo de A7, y lo mismo es cierto si U es el grupo cuatro de Klein. Supongamos que U es abeliano del orden 8. Por el resultado de Cohn-Livingstone, U no es cíclico. Conjunto e = 1 uâ U u. Puesto que e es un idempotente, χ(u) es un entero racional. Si U es abeliano elemental, luego χ(e) = 1 (χ(1) + 7χ(x2)) = 20 , lo cual es imposible. GRUPOS DE UNIDADES QUE NO CONSTITUYEN SUBGRÚPS FINALES NO CÍCICOS 5 Así U contiene 3 elementos de orden 2 y 4 elementos de orden 4. Probando todo posibilidades muestran que de nuevo χ(e) no es un entero racional. Queda por considerar el caso cuando U es el grupo cuaternión. Vamos a ser un elemento del orden 4 en U. Puesto que χ(u2) = χ(x2), la restricción del carácter χ a U es la suma de cuatro caracteres lineales y el uno de grado dos. Pero esto es no es posible, puesto que la χ está garantizada por una representación racional, mientras que el carácter de grado dos del grupo quaternion viene del bloque del quaternion racional álgebra (de ahí el nombre del grupo). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Bibliografía Berman, S. D. (1955). En la ecuación xm = 1 en un anillo de grupo integral. Ukrain. Mat. Ž. 7:253–261. Brauer, R., Suzuki, M. (1959). En grupos finitos de orden uniforme cuyo grupo 2-Sylow es un Grupo cuaternión. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 45:1757–1759. Cliff, G. H., Sehgal, S. K., Weiss, A. R. (1981). Unidades de anillos de grupo integral de metabel- Ian groups. J. Álgebra 73.1:167-185. Cohn, J. A., Livingstone, D. (1965). En la estructura de álgebras de grupo. I. Canad. 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En las unidades de torsión de anillos de grupo finitos. En: Estudios en mathe- matics (en honor a A. Almeida Costa). Lisboa: Instituto de Alta Cultura, pp. 119–126. Universität Stuttgart, Fachbereich Mathematik, IGT, Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart (Alemania) Dirección de correo electrónico: hertweck@mathematik.uni-stuttgart.de arXiv:math.RA/0612429v2 arXiv:math.RT/0703541 1. Introducción 2. Observación de Kimmerle 3. Prueba de Teorema A Bibliografía

Exotic Hadron in Pole-dominated QCD Sum Rules

Hadron exótico en reglas de suma de QCD dominadas por el polo Toru Kojo 1,*), Daisuke Jido, 2 y Arata Hayashigaki 3 1 Departamento de Física, Universidad de Kyoto, Kyoto 606-8502, Japón 2 Instituto Yukawa de Física Teórica, Universidad de Kyoto, Kyoto 606–8502 Japón 3Institut für Theoretische Physik, J.W. Goethe Universität, D-60438 Frankfurt am Main, Alemania Estudiamos pentaquark (I = 0, J = 1/2) en las reglas de suma QCD enfatizando que nosotros no puede extraer ninguna propiedad del pentaquark fuera de la ventana de Borel. Para encontrar el apropiada ventana Borel, preparamos un establecimiento favorable de los correlatores y llevar a cabo la expansión del producto del operador hasta la dimensión 15 dentro de la hipótesis de factorización. Nuestro los procedimientos reducen las contaminaciones no deseadas de alta energía y mejoran la baja energía correlación. En la ventana de Borel, análisis independientes para la suma quiral-even y impar las reglas dan los valores consistentes de la masa de, 1,68±0,22 GeV, y el residuo. La paridad se considera positivo. § 1. Introducción El anuncio experimental para el descubrimiento del pentaquark (1540)1) desencadenó una enorme cantidad de trabajos teóricos y experimentales sobre lo exótico estados. Aunque la existencia de tales estados exóticos todavía no es tan obvia, los exóticos proporcionar una buena oportunidad para obtener la visión más profunda de las estructuras de hadrones y su conexión con QCD. Uno de los enfoques de QCD a los exóticos es la suma de QCD regla (QSR),2) que relaciona la información de QCD a las propiedades hadronic a través de el análisis del correlacionador para los campos de interpolación de los hadrones. El Borel transformado reglas de suma con el polo más simple + parametrización continuum se dan como (i = 0, 1 corresponden a la parte quiral par y impar, respectivamente) (ope) i (−Q) 2) = 2i e −m2/M2 + ds e−s/M (ope) i s), (1 donde se mantiene la relación ±m°20 = 21 debido a la estructura espinosa y la relativa signo del residuo que representa la paridad del estado de resonancia. Usando estos suma reglas, podemos derivar las expresiones aproximadas de la masa y el residuo como un función de M y sth. Extraer propiedades de las excitaciones de baja energía con buenas precisión, necesitamos tratar las reglas de suma en la región M2 apropiada, es decir, la ventana de Borel, donde la baja correlación energética es lo suficientemente grande en comparación con las contaminaciones de componentes de alta energía que no tienen relación con propiedades de baja altitud resonancias. La configuración de la ventana Borel es el paso más importante en QSR y, sólo dentro de esta ventana, podemos evaluar las cantidades físicas. En los casos exóticos, como se informa en Ref. 3), es extremadamente difícil de encontrar la ventana adecuada de Borel en contraste con los casos usuales de meson y baryon. *) Dirección de correo electrónico: torujj@ruby.scphys.kyoto-u.ac.jp typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.0413v1 2 Toru Kojo, Daisuke Jido y Arata Hayashigaki Esto se debe a que la convergencia de la OPI es muy lenta y la no deseada alta energía los componentes dominan la integral espectral. Además, a menudo nos encontramos con el estabilidad artificial de las cantidades físicas frente a la variación M2. Este es el caso. que las cantidades físicas dependen demasiado del parámetro umbral sth y no sobre las correlaciones de baja energía que queremos extraer. Para atacar a estos graves problemas comunes a los exóticos, proponemos un nuevo enfoque y aplicarlo a la, asumiendo su número cuántico como I = 0, J = 1/2, como un ejemplo de los exóticos.4) § 2. OPI y establecimiento favorable de los correlatores Para encontrar la ventana Borel, es necesario aumentar las informaciones de baja energía en la función espectral de manera eficiente y, al mismo tiempo, reducir el contami de alta energía naciones. Para estos propósitos, tomamos los siguientes tratamientos. La inclusión de los términos de mayor dimensión de la OPI es especialmente importante: porque reflejan fuertemente la dinámica de baja energía. Por ejemplo, en el caso de las reglas de suma para los mesons A1, los términos dim.0 y 4 son los mismos debido al quiral simetría realizada en la alta energía, y la división de las masas se explica sólo después de la inclusión de los términos dim.6, â € € ¢ qâ € 2, que aparecen debido a la quiral sym- Mediciones rotas. A partir de estas observaciones, realizamos el cálculo de OPI hasta dim.15 dentro de la hipótesis de factorización tanto para tener en cuenta la baja energía correlaciones y para la confirmación de una buena convergencia de la OPI. Como se demostró más tarde, la simple inclusión de las correlaciones de baja energía a través de la mayor términos de dimensión se encuentra que no es suficiente para encontrar la ventana de Borel porque las contaminaciones de alta energía son demasiado grandes en el QSR para los exóticos. Reducir las contaminaciones de alta energía, tomamos la diferencia entre correlatores para dos campos de interpolación con estructura similar pero quiralidad diferente entre sí, es decir, d4x eiq·x T [P (x)P̄ (0) − t S(x)S̄(0)] ds e−s/M Im[ΠP0 (s)− tΠS0 (s)] q + Im[ΠP1 (s)− tΠS1 (s)] , (2.1) donde Π0, Π1 corresponden a la parte quiral par y impar respectivamente, y P = «abc», «def», «cfg», «u TaCdb», «u Td C5de» «CsTg», (2.2) S = «abcâdef » {cfg{uTaCγ5dbuTd C5deCsTg. 2.3) Aquí la única diferencia en estos campos de interpolación es que las primeras estructuras de diquark tienen la quiralidad opuesta. Expliquemos primero en el caso de la parte quiral. Ya que muestran lo mismo comportamiento en alta energía debido a la simetría quiral, después de la sustracción de dos los correlatores (t = 1 caso), se espera que las altas contribuciones de energía irrelevantes sean cancelada de la misma manera que la suma de Weinberg reglas.5) En términos de la OPI, este la cancelación corresponde a la cancelación de los términos de dimensión inferior. No lo es. a priori evidente si las correlaciones de baja energía siguen siendo suficientes incluso después de la la resta porque la baja contribución energética también podría cancelarse. Nuestro Borel Hadron exótico en las reglas de suma de QCD dominadas por el Polo 3 análisis, sin embargo, revela que, en el caso de t = 1, la gran baja correlación de energía sigue siendo suficiente incluso después de la sustracción. Como resultado, podemos encontrar la ventana de Borel en la región M2 relativamente grande. Por otro lado, para la parte chiral impar, el procedimiento de sustracción corre- sponding a t = 1 caso no conduce a la cancelación de los componentes de alta energía porque la parte chiral impar está construida de los términos de ruptura de la simetría quiral. ¿Cómo...? siempre, en el caso de t = 1, la convergencia de la OPI se encuentra para ser muy bueno y entonces nosotros puede encontrar la ventana de Borel en la pequeña región M2 donde las contaminaciones de alta energía se suprimen debido al factor Borel e-s/M en la integral de la función espectral. § 3. Análisis de borel para masa y residuo Aquí explicamos nuestro criterio para la ventana de Borel. El límite inferior de la La ventana de Borel se da de modo que los términos más altos en la OPE truncada son inferiores al 10% de toda su OPI, mientras que el límite superior está determinado por el región donde el valor absoluto de la contribución del polo es mayor que el absoluto valor de la función espectral integrada en la región s ≥ sth. Tenga en cuenta que el 50% contribución del polo en nuestro criterio es extremadamente grande en comparación con cualquier anterior reglas de suma de pentaquark, donde las contribuciones de los polos no son más del 20%.3) Para reconocer los problemas en el caso de QSR para los exóticos, veamos Fig.1 para M2-dependencia de la masa en los casos de t = −1, 0, 10 correspondientes a PP̄ +SS̄, PP̄, SS̄ casos respectivamente. El valor umbral se fija al valor típico sth = 2,2 GeV. En estos casos, no encontramos estabilidades de la masa en la región M2 más baja. que el borde superior de la ventana de Borel. Las estabilidades por encima del límite superior son simplemente artefactos que a menudo aparecen en QSR. Fig.1 muestra que la masa típica de PP̄ caso es mucho más pequeño que el de SS̄, y luego podemos esperar que la baja energía correlación de PP̄ es mucho más grande que el de SS̄. Esta observación lleva a que incluso después de la resta PP̄ − SS̄ (t = 1 caso), la correlación de baja energía puede permanecer Suficiente. Ahora vemos el caso de alrededor de t = 1. Afinamos el valor de t alrededor de t = 1 a Conseguir la ventana más ancha de Borel. Como se esperaba, para una parte uniforme (t = 0,9), la alta energía SS (t = 10) PP (t = 0) PP (t = 0) SS (t = ‐1) SS (t = ‐1) SS (t = 10) Fig. 1. El comportamiento de la masa en función de M2 para t = −1, 0, 10. Las flechas de la izquierda representan el borde superior de la ventana de Borel. En la región M2 más pequeña que el límite superior, podemos no encontrar región estable de la masa. Las estabilidades por encima del límite superior son simplemente artefactos que a menudo aparecen en QSR. 4 Toru Kojo, Daisuke Jido y Arata Hayashigaki incluso impar (t=1,1)t=0,9) Fig. 2. El comportamiento de la masa en función de M2. Las flechas izquierdas (derecha) representan la parte superior Atado a la ventana de Borel. Tenemos éxito para encontrar la ventana de Borel y las estabilidades de masa. las contaminaciones se cancelan debido a la simetría quiral y encontramos el Borel ancho ventana en la región M2 relativamente grande. Por otra parte, para la parte impar (t = 1,1), gracias a la buena convergencia de la OPE, también encontramos la amplia ventana de Borel en el pequeña región M2. Los valores umbral se toman para hacer las cantidades físicas más estable en la ventana de Borel. La mejor estabilidad se logra con sth = 2.2 GeV (even) y 2.1 GeV (odd), dando m = 1,64 GeV (even) y 1,72 GeV (odd) respectivamente. Los valores de la El residuo también se obtiene a partir de las reglas de suma uniforme y impar del quiral como 10-9 GeV12 y Ł21/m = (3.4 ± 0.2) × 10−9 GeV12. Es notable que estos los números son bastante similares con la t cercana. Esto implica que nuestro análisis investiga el mismo estado en las dos reglas de la suma independiente. Tenga en cuenta que de la signo relativo de los residuos, asignamos la paridad positiva al estado observado. En conclusión, realizamos el análisis de Borel para con la configuración especial de la correladores para encontrar la ventana de Borel. Dentro de las incertidumbres del condensado valor, análisis independientes para el quiral-equilibrio y las reglas de suma impar dan la coherencia valores de la masa de, 1,68± 0,22 GeV, y el residuo. Se considera que la paridad es la siguiente: positivo. Agradecimientos Damos las gracias a los profesores. M. Oka, A. Hosaka y S.H. Lee para discusiones útiles sobre QSR para los exóticos durante el YKIS2006 en “New Frontiers on QCD” celebrado en el Instituto Yukawa de Física Teórica. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de la subvención a la investigación científica (n° 18042001) y la subvención en ayuda para el XXI Century COE “Centro para la Diversidad y Universalidad en Física” del Ministerio de Educación, Cultura, Deportes, Ciencia y Tecnología (MEXT) del Japón. Bibliografía 1) T. Nakano et al., Phys. Rev. Lett. 91 (2003), 012002. 2) M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, y V.I. Zakharow, Nucl. Phys. B 147 (1979), 385. 3) R.D. Matheus y S. Narison, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 152 (2006), 236. 4) T. Kojo, A. Hayashigaki, y D. Jido, Phys. Rev. C 74 (2006), 045206 5) S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 18 (1967), 507. Introducción OPI y establecimiento favorable de los correlatores Análisis de borel para masa y residuo

Estudiamos pentaquark $\Theta (I=0,J=1/2)$ en las reglas de suma QCD enfatizando que no podemos extraer ninguna propiedad del pentaquark fuera del Borel ventana. Para encontrar la ventana adecuada de Borel, preparamos un sistema favorable de los correladores y llevar a cabo la expansión del producto del operador hasta la dimensión 15 dentro de la hipótesis de factorización. Nuestros procedimientos reducen la alta energía no deseada contaminaciones y mejorar la baja correlación energética. En la ventana de Borel, análisis independientes para el quiral-equilibrio y las reglas de suma impar dan la coherencia valores de la masa de $\Theta$, $1,68\pm0,22$ GeV, y el residuo. La paridad se encuentra que es {\it positive}.

Introducción El anuncio experimental para el descubrimiento del pentaquark (1540)1) desencadenó una enorme cantidad de trabajos teóricos y experimentales sobre lo exótico estados. Aunque la existencia de tales estados exóticos todavía no es tan obvia, los exóticos proporcionar una buena oportunidad para obtener la visión más profunda de las estructuras de hadrones y su conexión con QCD. Uno de los enfoques de QCD a los exóticos es la suma de QCD regla (QSR),2) que relaciona la información de QCD a las propiedades hadronic a través de el análisis del correlacionador para los campos de interpolación de los hadrones. El Borel transformado reglas de suma con el polo más simple + parametrización continuum se dan como (i = 0, 1 corresponden a la parte quiral par y impar, respectivamente) (ope) i (−Q) 2) = 2i e −m2/M2 + ds e−s/M (ope) i s), (1 donde se mantiene la relación ±m°20 = 21 debido a la estructura espinosa y la relativa signo del residuo que representa la paridad del estado de resonancia. Usando estos suma reglas, podemos derivar las expresiones aproximadas de la masa y el residuo como un función de M y sth. Extraer propiedades de las excitaciones de baja energía con buenas precisión, necesitamos tratar las reglas de suma en la región M2 apropiada, es decir, la ventana de Borel, donde la baja correlación energética es lo suficientemente grande en comparación con las contaminaciones de componentes de alta energía que no tienen relación con propiedades de baja altitud resonancias. La configuración de la ventana Borel es el paso más importante en QSR y, sólo dentro de esta ventana, podemos evaluar las cantidades físicas. En los casos exóticos, como se informa en Ref. 3), es extremadamente difícil de encontrar la ventana adecuada de Borel en contraste con los casos usuales de meson y baryon. *) Dirección de correo electrónico: torujj@ruby.scphys.kyoto-u.ac.jp typeset usando PTPTEX.cls http://arxiv.org/abs/0704.0413v1 2 Toru Kojo, Daisuke Jido y Arata Hayashigaki Esto se debe a que la convergencia de la OPI es muy lenta y la no deseada alta energía los componentes dominan la integral espectral. Además, a menudo nos encontramos con el estabilidad artificial de las cantidades físicas frente a la variación M2. Este es el caso. que las cantidades físicas dependen demasiado del parámetro umbral sth y no sobre las correlaciones de baja energía que queremos extraer. Para atacar a estos graves problemas comunes a los exóticos, proponemos un nuevo enfoque y aplicarlo a la, asumiendo su número cuántico como I = 0, J = 1/2, como un ejemplo de los exóticos.4) § 2. OPI y establecimiento favorable de los correlatores Para encontrar la ventana Borel, es necesario aumentar las informaciones de baja energía en la función espectral de manera eficiente y, al mismo tiempo, reducir el contami de alta energía naciones. Para estos propósitos, tomamos los siguientes tratamientos. La inclusión de los términos de mayor dimensión de la OPI es especialmente importante: porque reflejan fuertemente la dinámica de baja energía. Por ejemplo, en el caso de las reglas de suma para los mesons A1, los términos dim.0 y 4 son los mismos debido al quiral simetría realizada en la alta energía, y la división de las masas se explica sólo después de la inclusión de los términos dim.6, â € € ¢ qâ € 2, que aparecen debido a la quiral sym- Mediciones rotas. A partir de estas observaciones, realizamos el cálculo de OPI hasta dim.15 dentro de la hipótesis de factorización tanto para tener en cuenta la baja energía correlaciones y para la confirmación de una buena convergencia de la OPI. Como se demostró más tarde, la simple inclusión de las correlaciones de baja energía a través de la mayor términos de dimensión se encuentra que no es suficiente para encontrar la ventana de Borel porque las contaminaciones de alta energía son demasiado grandes en el QSR para los exóticos. Reducir las contaminaciones de alta energía, tomamos la diferencia entre correlatores para dos campos de interpolación con estructura similar pero quiralidad diferente entre sí, es decir, d4x eiq·x T [P (x)P̄ (0) − t S(x)S̄(0)] ds e−s/M Im[ΠP0 (s)− tΠS0 (s)] q + Im[ΠP1 (s)− tΠS1 (s)] , (2.1) donde Π0, Π1 corresponden a la parte quiral par y impar respectivamente, y P = «abc», «def», «cfg», «u TaCdb», «u Td C5de» «CsTg», (2.2) S = «abcâdef » {cfg{uTaCγ5dbuTd C5deCsTg. 2.3) Aquí la única diferencia en estos campos de interpolación es que las primeras estructuras de diquark tienen la quiralidad opuesta. Expliquemos primero en el caso de la parte quiral. Ya que muestran lo mismo comportamiento en alta energía debido a la simetría quiral, después de la sustracción de dos los correlatores (t = 1 caso), se espera que las altas contribuciones de energía irrelevantes sean cancelada de la misma manera que la suma de Weinberg reglas.5) En términos de la OPI, este la cancelación corresponde a la cancelación de los términos de dimensión inferior. No lo es. a priori evidente si las correlaciones de baja energía siguen siendo suficientes incluso después de la la resta porque la baja contribución energética también podría cancelarse. Nuestro Borel Hadron exótico en las reglas de suma de QCD dominadas por el Polo 3 análisis, sin embargo, revela que, en el caso de t = 1, la gran baja correlación de energía sigue siendo suficiente incluso después de la sustracción. Como resultado, podemos encontrar la ventana de Borel en la región M2 relativamente grande. Por otro lado, para la parte chiral impar, el procedimiento de sustracción corre- sponding a t = 1 caso no conduce a la cancelación de los componentes de alta energía porque la parte chiral impar está construida de los términos de ruptura de la simetría quiral. ¿Cómo...? siempre, en el caso de t = 1, la convergencia de la OPI se encuentra para ser muy bueno y entonces nosotros puede encontrar la ventana de Borel en la pequeña región M2 donde las contaminaciones de alta energía se suprimen debido al factor Borel e-s/M en la integral de la función espectral. § 3. Análisis de borel para masa y residuo Aquí explicamos nuestro criterio para la ventana de Borel. El límite inferior de la La ventana de Borel se da de modo que los términos más altos en la OPE truncada son inferiores al 10% de toda su OPI, mientras que el límite superior está determinado por el región donde el valor absoluto de la contribución del polo es mayor que el absoluto valor de la función espectral integrada en la región s ≥ sth. Tenga en cuenta que el 50% contribución del polo en nuestro criterio es extremadamente grande en comparación con cualquier anterior reglas de suma de pentaquark, donde las contribuciones de los polos no son más del 20%.3) Para reconocer los problemas en el caso de QSR para los exóticos, veamos Fig.1 para M2-dependencia de la masa en los casos de t = −1, 0, 10 correspondientes a PP̄ +SS̄, PP̄, SS̄ casos respectivamente. El valor umbral se fija al valor típico sth = 2,2 GeV. En estos casos, no encontramos estabilidades de la masa en la región M2 más baja. que el borde superior de la ventana de Borel. Las estabilidades por encima del límite superior son simplemente artefactos que a menudo aparecen en QSR. Fig.1 muestra que la masa típica de PP̄ caso es mucho más pequeño que el de SS̄, y luego podemos esperar que la baja energía correlación de PP̄ es mucho más grande que el de SS̄. Esta observación lleva a que incluso después de la resta PP̄ − SS̄ (t = 1 caso), la correlación de baja energía puede permanecer Suficiente. Ahora vemos el caso de alrededor de t = 1. Afinamos el valor de t alrededor de t = 1 a Conseguir la ventana más ancha de Borel. Como se esperaba, para una parte uniforme (t = 0,9), la alta energía SS (t = 10) PP (t = 0) PP (t = 0) SS (t = ‐1) SS (t = ‐1) SS (t = 10) Fig. 1. El comportamiento de la masa en función de M2 para t = −1, 0, 10. Las flechas de la izquierda representan el borde superior de la ventana de Borel. En la región M2 más pequeña que el límite superior, podemos no encontrar región estable de la masa. Las estabilidades por encima del límite superior son simplemente artefactos que a menudo aparecen en QSR. 4 Toru Kojo, Daisuke Jido y Arata Hayashigaki incluso impar (t=1,1)t=0,9) Fig. 2. El comportamiento de la masa en función de M2. Las flechas izquierdas (derecha) representan la parte superior Atado a la ventana de Borel. Tenemos éxito para encontrar la ventana de Borel y las estabilidades de masa. las contaminaciones se cancelan debido a la simetría quiral y encontramos el Borel ancho ventana en la región M2 relativamente grande. Por otra parte, para la parte impar (t = 1,1), gracias a la buena convergencia de la OPE, también encontramos la amplia ventana de Borel en el pequeña región M2. Los valores umbral se toman para hacer las cantidades físicas más estable en la ventana de Borel. La mejor estabilidad se logra con sth = 2.2 GeV (even) y 2.1 GeV (odd), dando m = 1,64 GeV (even) y 1,72 GeV (odd) respectivamente. Los valores de la El residuo también se obtiene a partir de las reglas de suma uniforme y impar del quiral como 10-9 GeV12 y Ł21/m = (3.4 ± 0.2) × 10−9 GeV12. Es notable que estos los números son bastante similares con la t cercana. Esto implica que nuestro análisis investiga el mismo estado en las dos reglas de la suma independiente. Tenga en cuenta que de la signo relativo de los residuos, asignamos la paridad positiva al estado observado. En conclusión, realizamos el análisis de Borel para con la configuración especial de la correladores para encontrar la ventana de Borel. Dentro de las incertidumbres del condensado valor, análisis independientes para el quiral-equilibrio y las reglas de suma impar dan la coherencia valores de la masa de, 1,68± 0,22 GeV, y el residuo. Se considera que la paridad es la siguiente: positivo. Agradecimientos Damos las gracias a los profesores. M. Oka, A. Hosaka y S.H. Lee para discusiones útiles sobre QSR para los exóticos durante el YKIS2006 en “New Frontiers on QCD” celebrado en el Instituto Yukawa de Física Teórica. Este trabajo cuenta en parte con el apoyo de la subvención a la investigación científica (n° 18042001) y la subvención en ayuda para el XXI Century COE “Centro para la Diversidad y Universalidad en Física” del Ministerio de Educación, Cultura, Deportes, Ciencia y Tecnología (MEXT) del Japón. Bibliografía 1) T. Nakano et al., Phys. Rev. Lett. 91 (2003), 012002. 2) M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, y V.I. Zakharow, Nucl. Phys. B 147 (1979), 385. 3) R.D. Matheus y S. Narison, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 152 (2006), 236. 4) T. Kojo, A. Hayashigaki, y D. Jido, Phys. Rev. C 74 (2006), 045206 5) S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 18 (1967), 507. Introducción OPI y establecimiento favorable de los correlatores Análisis de borel para masa y residuo

Leaky modes of a left-handed slab

Modos fugaces de una losa zurda A. Moreau LASMEA, UMR CNRS 6602, Université Blaise Pascal, 24 avenue des Landais, 63177 Aubière, Francia. D. Felbacq GES UMR CNRS 5650, Université de Montpellier II, Bat. 21, CC074, Place E. Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 05, Francia. Usando análisis planos complejos mostramos que la losa zurda puede soportar cualquier fuga ondas de losa, que son hacia atrás debido a la refracción negativa, o ondas superficiales con fugas, que son hacia atrás o hacia adelante dependiendo de la dirección de propagación de la superficie agitarse a sí mismo. Por otra parte, existe una conexión general entre el coeficiente de reflexión de la losa zurda y la de la losa zurda correspondiente (con opuesta permite la permeabilidad y la permeabilidad) para que los modos de losas con fugas sean excitados por el mismo ángulo de incidencia del haz de impacto para ambas estructuras. Muchos cambios laterales gigantes negativos puede explicarse por la excitación de estos modos de fuga. Palabras clave: Materiales zurdos, modos con fugas, análisis de planos complejos 1 Introducción Los materiales zurdos [1] se han considerado desde hace mucho tiempo una rareza teórica. Desde que ha sido han demostrado que se pueden producir utilizando metamateriales [2], han atraído mucha atención. La física básica de los materiales zurdos (LHM) es realmente exótica y tiene completamente ignorado hasta hace poco, renueva la física de las estructuras laminares a la extender que una losa desnuda de LHM exhibe muchas propiedades sorprendentes: puede, por ejemplo soportar modos guiados inusuales [3,4] o comportarse como una lente perfecta [5]. En este artículo, estudiamos las propiedades exóticas de los diferentes tipos de ondas con fugas apoyadas por una losa zurda. Dada la importancia de la losa zurda para las obras fundamentales y aplicadas, Es evidente la necesidad de una comprensión clara de estas propiedades. En particular, mostramos que dos tipos de ondas con fugas están apoyadas por tal estructura. (i) las ondas de losa con fugas que siempre están hacia atrás debido a la refracción negativa y (ii) las fugas ondas superficiales que no existen para una losa diestro y que pueden ser hacia atrás o Adelante. La excitación de estos modos conduce a cambios laterales gigantes positivos o negativos, Esta última es bastante exótica [6]. http://arxiv.org/abs/0704.0414v3 2 modos fugaces y desplazamientos laterales gigantes Un modo de fuga [6] es una solución de la ecuación de onda que verifica la dispersión de la relación de una estructura pero con una solución propagativa por encima y (o) por debajo de la estructura. Considerando lo siguiente: un modo guiado tiene una constante de propagación real, la constante de propagación de una fuga modo es complejo porque la energía de las ondas se escapa de la estructura y el las ondas están atenuadas. Una onda goteada es, por lo tanto, una solución compleja de la relación de dispersión y un análisis plano complejo es, por lo tanto, particularmente relevante para un análisis exhaustivo de su propiedades. Subrayamos que un modo con fugas puede ser hacia adelante, lo cual es común, o hacia atrás, llevando a una constante de propagación que tiene un positivo (respectivamente negativo) parte imaginaria. Consideremos una losa que se caracteriza por Ł2 y μ2 rodeado de medios diestros con 1 y μ1 (resp. 3 y μ3) por encima (resp. debajo) la losa como se muestra en la figura 1. Los valores que hemos elegido para 2 y μ2 son arbitrarios pero realistas [7] por lo que esta estructura podría ser realizado utilizando resonadores de anillo dividido y cables.  μ3 3  μ1 1  μ2 2 Figura 1: La losa LHM de espesor h rodeada de medios diestros. Se puede suponer que el valor de 1 μ1 ≥ 3 μ3 sin pérdida de generalidad. La dispersión de la relación de tal estructura puede ser escrita r21 r23 = exp(−2iγ2 h) (1) donde γi = • μi μi k μi μi k μi μi μi μi k μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μ μ μi μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ 0 − α2, k0 = ­c = y rij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * con Łi = en la polarización TE (o i = en la polarización TM). Desde el 1o de μ1 ≥ el 3o de μ3 y estamos preocupados por las fugas. ondas, sólo vamos a considerar valores de α tales que α < En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. la solución siempre será propagativa al menos en el medio 1. Consideremos ahora el coeficiente de reflexión de una onda plana exp(i(αx z t)) que viene de arriba a arriba con un ángulo de incidencia de tal manera que α = n k0 peque. Su coeficiente de reflexión se puede escribir r23 exp(2iγ2 h)− r21 1− r21 r23 exp(2iγ2 h) utilizando las definiciones anteriores. Es obvio que cuando se verifica la dispersión de la relación, entonces el coeficiente de reflexión presenta un poste. Un modo con fugas corresponde así a un polo del coeficiente de reflexión. Un cero, situado en el otro lado del eje real, corresponde a cada polo. Como lo haremos ver en el siguiente, una zona donde la fase de r varía rápidamente se encuentra entre un polo y su correspondiente cero. Esta zona cruza el eje real, por lo que la presencia de un polo es responsable de una rápida variación de la fase en el eje real. Al considerar el reflejo de una viga gaussiana sobre una estructura cuya reflexión co- eficiente tiene un módulo igual a uno (de modo que se puede escribir r = ei desplazamiento del baricentro del haz reflejado a lo largo de la interfaz es dado por el pozo Fórmula conocida * = −d . 3) Este desplazamiento lateral es la señal de que una ola goteada ha sido excitada por el incidente. Viga. El haz reflejado entonces tiene dos componentes : la parte que se refleja por la primera interfaz de la estructura (cuyo baricentro no está particularmente desplazado) y la propia ola goterada [6]. El rayo reflejado está fuertemente distorsionado por la ola goteada y presenta una cola exponencialmente decreciente por lo que su baricentro se desplaza en gran medida : este es el llamado desplazamiento lateral gigante. Este efecto se llama a veces un efecto gigante Goos-Hänchen, pero en este caso el cambio es debido a la excitación de un modo con fugas [6] y no, como en el efecto real Goos-Hänchen [8,9], a la reflexión total. 3 La losa zurda Con materiales zurdos, sin embargo, los cambios laterales negativos parecen ser mucho más comunes [10–14] más de lo esperado [6]. Aquí vamos a considerar el caso de una losa zurda (es decir. en caso de que el valor de los valores de referencia sea inferior o igual a 2 °C y μ2 < 0) y explique por qué los modos de fugas soportados por dicha estructura son Por lo general, hacia atrás. Nuestras explicaciones serán apoyadas por un análisis plano complejo de la modos con fugas. Aquí la expresión (2) del coeficiente de reflexión sigue siendo perfectamente válida. Ahora lo haremos. distinguir dos casos : el caso cuando la solución es propagativa en el medio zurdo y el caso cuando la solución es evanescente en la región 2. 3.1 Modos de losas filtrantes Cuando el campo es propagativo en la losa zurda, grandes cambios laterales negativos tienen se ha informado pero no se ha interpretado [13]. Estos cambios se deben a la excitación de losas goteadas modos o resonancias Perot-Fabry de la losa a una incidencia no normal. Modos de fugas de este tipo ya han sido estudiados para una losa diestro [15] y pueden ser considerados como interferencias constructivas de los múltiples haces que se producen por las reflexiones sobre el interfaces de la losa. En el caso de una losa zurda, puesto que la primera viga se somete a una refracción negativa como se muestra en la figura 2 estas interferencias constructivas generarán lógicamente un modo con goteras hacia atrás. Por lo tanto, podemos concluir que la existencia de tal retroceso El modo fugado está vinculado a la refracción negativa. Figura 2: Módulo del campo para una losa zurda gruesa con â € 1 = â € 3 = μ 1 = μ 3 = 1, •2 = −3,μ2 = −1 y h = 60 • utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20 • y un ángulo de incidencia de  = 45. Este argumento no es una prueba, sin embargo: se han reportado cambios laterales inesperados cuando las vigas interfieren destructivamente [16]. Pero si los modos de fuga son hacia atrás, entonces el soluciones correspondientes de la relación de dispersión y los polos del coeficiente de reflexión debería tener una parte imaginaria negativa. Esto es lo que se muestra en la figura 3. Figura 3: Fase del coeficiente de reflexión en una parte del plan complejo [0, n1 k0] + i[−k0 ]. Cada punto negro representa un polo y cada punto blanco un cero. La línea de corte es claramente visible aquí. La rápida variación de la fase que se debe a cada polo es obvia. Dos tipos de ondas de losa con fugas deben distinguirse: i) las ondas L2 que tienen fugas en tanto el medio superior como el inferior y (ii) las ondas L1 que tienen fugas sólo en la parte superior medio y evanescente en el inferior. Estos últimos corresponden a los polos situados bajo la línea de corte. Usando análisis planos complejos trataremos ahora de demostrar que todas las soluciones del disper- sión relación 1 se encuentran en la parte inferior del plano complejo, lo que significa que todos los Los modos con fugas son retrógrados. Cuando la dispersión de la relación se satisface, entonces la siguiente condición mantiene: r23 r21 = e2 γ h. (4) Como se demuestra en el anexo, rij > 1 siempre que uno de los medios es zurdo. Desde medio 2 es zurdo entonces la condición h > 1 (5) debe ser satisfecho, que es posible para 2 > 0 y por lo tanto para α ′′ < 0 (véase el anexo para más detalles). El hecho de que rij > 1 es por lo tanto la razón principal por la que los polos de r están bajo el eje y por qué los modos de losas goteadas son hacia atrás. Debemos subrayar el hecho de que nuestra demostración es válida sólo para el primer Riemann hoja : nuestra prueba no puede excluir que puede haber algunos polos en la otra hoja de Riemann por encima del eje real, correspondiente a las ondas de losa con fugas L1 hacia delante, cuando se trate de una o varias ondas de losa con fugas L1 cuando se trate de una o varias ondas de losa con fugas L1 cuando se trate de una o dos ondas de losa con fugas L1 μ1 > μ3 μ3. Pero No pudimos encontrar ninguno. 3.2 Modos de superficie fugaz Consideremos ahora la situación en la que el campo es evanescente en el zurdo Medio. Entonces γ2 es puramente imaginario en el eje real. Desde que e 2 h tiende hacia el infinito entonces la relación (4) sólo puede ser verificada si r23 tiene un polo (r21 no puede tener uno ya que el campo es siempre propagativo en el medio superior). Esto significa que la estructura puede soportar un modo con fugas sólo si la interfaz entre medio 2 y 3 puede soportar un modo guiado. Ahora es bien sabido que tal interfaz realmente soporta un modo de superficie [17,18] que puede, dependiendo de los medios 2 y 3, ser hacia atrás (resp. adelante) correspondiente a un polo bajo el eje real (resp. por encima del eje real, pero en el otro Hoja de Riemann). La onda gotera siempre tiene la misma dirección de propagación que la superficie. modo, cualquiera que sea el espesor de la losa, como se muestra en la figura 4. En el caso de una fuga hacia adelante onda, sólo el cero pertenece a la primera hoja de Riemann, justo debajo del eje real. El poste la figura 4 pertenece a la otra hoja de Riemann. 0,05 0,15 0,25 0,35 1,05 1,1 1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 −0.45 −0,35 −0.25 −0.15 −0,05 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 2,05 2,1 2,15 2,2 Figura 4: Ubicación de los polos en el α plano complejo para diferentes valores de h con •1 = 9, μ1 = μ3 = •3 = 1 y (a) •2 = −0,5 y μ2 = −1,5, mostrando una superficie delantera modo y (b) Ł2 = −5 y μ2 = −0,5, mostrando un modo de superficie hacia atrás. La Figura 5 finalmente muestra la excitación de una ola superficial goteada hacia atrás por un gaussiano Viga. Los valores elegidos de μ2 pueden obtenerse con resonadores simples de anillo dividido [19] para instancia. Figura 5: Módulo del campo para una losa zurda con â € 1 = 9,â € 3 = μ1 = μ3 = 1, *2 = −0,5,μ2 = −1,5 y h = 0,6* utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20* y un ángulo de incidencia de  = 21.496. El polo correspondiente al modo de fugas está localizado a αp = (1,0993 + 0,001267i) k0. 4 Propiedad fundamental Consideremos una estructura con materiales zurdos. Llamaremos a los correspondientes. estructura derecha, la estructura obtenida sustituyendo cualquier medio zurdo por un medio con permiso opuesto y permeabilidad, sin cambiar la geometría parámetros. En esta sección, nos centraremos en el vínculo entre el coeficiente de reflexión de un losa zurda y la de su correspondiente estructura diestro. Consideremos la interfaz entre un medio diestro etiquetado i y un zurdo medio j. El coeficiente de reflexión de tal interfaz es rij. Ahora definiremos r+ij coeficiente de reflexión de una interfaz entre medio i y medio diestro caracterizado por j y muj. No es difícil de ver, de la expresión de rij que . 6) Esto permite entender por qué el cambio de Goos-Hänchen de una interfaz entre y un médium zurdo es lo contrario de la correspondiente estructura zurda [11] ya que las fases de ambas estructuras son opuestas en el eje real. El coeficiente de reflexión r ahora se puede escribir e2iγ2 h 1− e2iγ2 h r+23 e −2iγ2 h − r+21 1− r+21 r+23 e−2iγ2 h Desde excepto cuando z está en la línea de corte, entonces γ(z*) = γ(z)* y por lo tanto r+ij(z) *) a fin de que: r(z)* = *) e2iγ2(z ∗)h − r+21(z)*) 1− r+21(z*) r+23(z*) e2iγ2(z , (10) que simplemente se puede escribir r(z)* = r+(z*), (11) donde r+ es el reflejo del coeficiente de la losa derecha correspondiente. Tenga en cuenta que esta relación no se mantiene en la línea de corte, sino que se mantiene para las dos hojas de Riemann. Esto significa que los polos de la losa zurda y los polos de la correspondiente la losa derecha son simétricas con respecto al eje real. Esto significa que L2 las ondas pueden ser excitadas por el mismo ángulo de incidencia para ambas estructuras. Este no es el caso para los modos L1 : la función r en el eje real es continua con la parte inferior de la primera hoja Riemann sea cual sea la situación y los polos que están por encima de la línea de corte Por lo tanto, no tienen ningún efecto en el eje real. Como ejemplo, hemos calculado el campo de polarización TE dentro y alrededor de la losa cuando se ilumina con una viga gaussiana para la losa zurda y su correspondiente estructura diestro. Los resultados se muestran en los gráficos 6 y 7. Figura 6: Módulo del campo para una losa simétrica con +1 = +3 = 9, μ1 = μ3 = 1, •2 = 1,5, μ2 = 1 y h = 1,3, utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20 y un ángulo de incidencia de  = 22,78. Figura 7: Módulo del campo para una losa simétrica con +1 = +3 = 9, μ1 = μ3 = 1, •2 = −1,5, μ2 = −1. y h = 1,3  utilizando un haz de cruce gaussiano con una cintura de 20  y un ángulo de incidencia de  = 22,78. El polo correspondiente al modo de fugas está localizado a αp = (1.16823− 0,01125i) k0 5 La losa zurda asentada La losa zurda asentada es una estructura mucho más simple para (i) no hay necesidad de distinguir dos tipos diferentes de modos de losa con fugas y (ii) la estructura no puede soportar cualquier modo de superficie con fugas. Todos los modos de fuga son entonces modos de losa y se encuentran para α < n2 k0. El coeficiente de reflexión de la losa de tierra se da por (2) con r23 = −1 para la polarización TE y r23 = 1 para la polarización TM de modo que la dispersión de la relación da r12 = e2 γ h. (12) Desde r12 > 1 entonces todas las soluciones de la relación de dispersión se encuentran en el inferior parte del plano complejo para que todos estén atrasados. Entonces es fácil demostrar que la relación r+(z)* = r(z*) todavía mantiene. En consecuencia, los modos de goteo de una losa zurda asentada y de su correspondiente diestro la estructura puede ser excitada por el mismo ángulo de incidencia del haz de impacto. 6 Conclusión En este artículo, hemos estudiado a fondo los modos de fuga de una losa zurda para ser realistas valores de la permeabilidad y la permeabilidad del medio zurdo [7,19,20] que pueden se obtendrán utilizando estructuras como resonadores de anillo dividido. Nuestros resultados pueden resumirse de la siguiente manera: sigue. La losa zurda puede soportar dos tipos de modos con fugas: • Modos de losas filtrantes, que siempre están atrasados debido a la refracción negativa fenómeno. Cuando la transmisión no es nula, los modos de fuga de la zurda losa y su correspondiente estructura derecha se excitan por el mismo ángulo de incidencia. • Modos de superficie fugaz, que pueden ser hacia atrás o hacia adelante dependiendo de la propa- dirección de la onda superficial misma. Este trabajo podría ayudar a interpretar muchos cambios laterales gigantes como excitaciones de fugas exóticas ondas [12, 13, 16]. Dado que la existencia de ondas de losa hacia atrás está vinculada a la propiedad de refracción negativa, y puesto que estas ondas filtrantes constituyen una firma de un zurdo Comportamiento de losas pensamos que podrían ser utilizados para caracterizar la zurda de Estructuras de metamaterial o cristal fotónico mucho mejor que otros métodos [21]. Agradecimientos Este trabajo ha sido apoyado por el proyecto de la Agencia Nacional de Investigación de Francia (ANR), 030/POEM. Los autores agradecen a Alexandru Cabuz y Kevin Vynck por su Ayuda. Anexo En este anexo, definiremos claramente la elección que hemos hecho para la definición de la raíz cuadrada compleja y demostrar que para z en la primera hoja de Riemann (pero no en el corte línea) tenemos rij(z) > 1 cuando los medios i y j no son ambos diestros. Puesto que la raíz cuadrada se puede continuar en el plano complejo, r y rij se puede continuar También. Hemos elegido tomar 2 con z = r ei........................................................................................................................................................................................................................................................... de la raíz cuadrada. Esto significa que hemos colocado la línea de corte en la parte negativa de el eje real y si x es un real positivo, −x = i x. Esto define la raíz cuadrada en el plano complejo entero, al que nos referimos como la primera hoja de Riemann. Cuando escribimos eso z está en la segunda hoja de Riemann, significará que hemos tomado lo contrario de Definido anteriormente. Con esta opción, tenemos (i) R( z) ≥ 0 (ii) para z en ambas hojas pero no en la línea de corte iii) si I(z) < 0, I( z) < 0 y si I(z) > 0, I( z) > 0 (iv) la función γ(z) = • μ k20 − z2 tiene una línea de corte en el eje real (en ] • • • • • n k0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • precisa) y la función γ en el eje real es continua con la parte del complejo plano que está debajo de la línea de corte : cuando z pasa a través de la línea de corte desde el primero Hoja de Riemann (que viene de la parte inferior del plano) a la segunda hoja de Riemann, γ(z) es continuo. Cuando una función que se puede escribir usando γ(z) presenta un polo, debe ser encontrado (i) para z en la primera hoja de Riemann y bajo el eje real (nosotros dirá que el polo en sí está en la primera hoja de Riemann en este caso) o (ii) para z en el segunda hoja de Riemann pero por encima del eje real. Tenemos rij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. El módulo de rij dice como rij2 = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) () (—) (—) () (—) (—) () () (—) () () ()) (—) ()) (—) () ()) (—) () ()) ()) () ()) () ()) ()) () () ()) () () () ) () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () () () ) () () ) ( ) () () () () () () () () () () ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) (l+j) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+) (l+) + + + + + + + + + + + + + + + + i + ♥ i2 + j2 − 2 (i j + i j) i2 + j2 + 2 (i j + i j) , (15) en la que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros. Definimos x e y la parte real e imaginaria de z = x + i y en el primer Riemann hoja. Supongamos que x > 0. Tenemos n2 k20 − z2 = n2 k20 − x2 + y2 − 2 i x y. (17) Si y > 0, entonces x y > 0 y así I(n2 k20 − z2) < 0 para que finalmente I(γ) < 0. Si y < 0, entonces x y < 0 para que I(γ) > 0. Puesto que γ(−z) = γ(z) el resultado se mantendrá para x < 0 también y para x = 0, γ(z) es real y positivo de modo que el resultado obviamente sostiene. Así que el imaginario parte de γ(z) es positiva (resp. negativo) cuando la parte imaginaria de z es negativa (resp. positivo). Para cualquier médium diestro, Ł tiene la misma propiedad que γ. Para un médium zurdo, desde el punto de vista de los valores de referencia (e) = los valores de referencia (e) γ o  = γ dependiendo de la polarización, la parte imaginaria de............................................................................................................... de I(z). Puesto que i y j no son ambos diestros, entonces i y j no tienen el mismo signo y el producto j es siempre negativo. Desde R( z) > 0 para todos los z en el primer Riemann hoja entonces i j es siempre negativo también. Por último, desde el principio. j + ♥ j < 0, tenemos rij > 1 para todos z excepto en el eje real. Por favor. note que rij no es, en el caso particular de un médium zurdo, el coeficiente de reflexión en la interfaz [22]. REFERENCIAS [1] V. Veselago, “La electrodinámica de sustancias con valores simultáneamente negativos de y μ”, Usp. Fiz. Nauk. 92 517 (1967). [2] R. Shelby, D. Smith, y S. Shultz, “Verificación experimental de un índice negativo de la refracción", Science 292 77 (2001). [3] I. Shadrivov, A. Sukhorukov, y Y. Kivshar, “Modos guiados en la refracción negativa- guías de ondas de índice”, Phys. Rev. E 67 057602 (2003). [4] P. Tichit, A. Moreau, y G. Granet, “Localización de la luz en una estructura laminar con medio zurdo: la Rueda Ligera”, Opt. 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Introducción Modos fugaces y desplazamientos laterales gigantes La losa zurda Modos de losa filtrante Modos de superficie fugaz Propiedad fundamental La losa zurda asentada Conclusión

Utilizando análisis planos complejos mostramos que la losa zurda puede soportar cualquiera de los dos ondas de losa goteadas, que son hacia atrás debido a refracción negativa, o fugas ondas superficiales, que son hacia atrás o hacia adelante dependiendo de la propagación dirección de la onda superficial misma. Además, hay una conexión general entre el coeficiente de reflexión de la losa zurda y el de la losas derechas correspondientes (con permiso y permeabilidad opuestos) de modo que los modos de losa con fugas se excitan por el mismo ángulo de incidencia de la viga de impacto para ambas estructuras. Muchos cambios laterales gigantes negativos pueden ser explicado por la excitación de estos modos de fuga.

Introducción Los materiales zurdos [1] se han considerado desde hace mucho tiempo una rareza teórica. Desde que ha sido han demostrado que se pueden producir utilizando metamateriales [2], han atraído mucha atención. La física básica de los materiales zurdos (LHM) es realmente exótica y tiene completamente ignorado hasta hace poco, renueva la física de las estructuras laminares a la extender que una losa desnuda de LHM exhibe muchas propiedades sorprendentes: puede, por ejemplo soportar modos guiados inusuales [3,4] o comportarse como una lente perfecta [5]. En este artículo, estudiamos las propiedades exóticas de los diferentes tipos de ondas con fugas apoyadas por una losa zurda. Dada la importancia de la losa zurda para las obras fundamentales y aplicadas, Es evidente la necesidad de una comprensión clara de estas propiedades. En particular, mostramos que dos tipos de ondas con fugas están apoyadas por tal estructura. (i) las ondas de losa con fugas que siempre están hacia atrás debido a la refracción negativa y (ii) las fugas ondas superficiales que no existen para una losa diestro y que pueden ser hacia atrás o Adelante. La excitación de estos modos conduce a cambios laterales gigantes positivos o negativos, Esta última es bastante exótica [6]. http://arxiv.org/abs/0704.0414v3 2 modos fugaces y desplazamientos laterales gigantes Un modo de fuga [6] es una solución de la ecuación de onda que verifica la dispersión de la relación de una estructura pero con una solución propagativa por encima y (o) por debajo de la estructura. Considerando lo siguiente: un modo guiado tiene una constante de propagación real, la constante de propagación de una fuga modo es complejo porque la energía de las ondas se escapa de la estructura y el las ondas están atenuadas. Una onda goteada es, por lo tanto, una solución compleja de la relación de dispersión y un análisis plano complejo es, por lo tanto, particularmente relevante para un análisis exhaustivo de su propiedades. Subrayamos que un modo con fugas puede ser hacia adelante, lo cual es común, o hacia atrás, llevando a una constante de propagación que tiene un positivo (respectivamente negativo) parte imaginaria. Consideremos una losa que se caracteriza por Ł2 y μ2 rodeado de medios diestros con 1 y μ1 (resp. 3 y μ3) por encima (resp. debajo) la losa como se muestra en la figura 1. Los valores que hemos elegido para 2 y μ2 son arbitrarios pero realistas [7] por lo que esta estructura podría ser realizado utilizando resonadores de anillo dividido y cables.  μ3 3  μ1 1  μ2 2 Figura 1: La losa LHM de espesor h rodeada de medios diestros. Se puede suponer que el valor de 1 μ1 ≥ 3 μ3 sin pérdida de generalidad. La dispersión de la relación de tal estructura puede ser escrita r21 r23 = exp(−2iγ2 h) (1) donde γi = • μi μi k μi μi k μi μi μi μi k μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μi μ μ μi μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ 0 − α2, k0 = ­c = y rij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * con Łi = en la polarización TE (o i = en la polarización TM). Desde el 1o de μ1 ≥ el 3o de μ3 y estamos preocupados por las fugas. ondas, sólo vamos a considerar valores de α tales que α < En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. la solución siempre será propagativa al menos en el medio 1. Consideremos ahora el coeficiente de reflexión de una onda plana exp(i(αx z t)) que viene de arriba a arriba con un ángulo de incidencia de tal manera que α = n k0 peque. Su coeficiente de reflexión se puede escribir r23 exp(2iγ2 h)− r21 1− r21 r23 exp(2iγ2 h) utilizando las definiciones anteriores. Es obvio que cuando se verifica la dispersión de la relación, entonces el coeficiente de reflexión presenta un poste. Un modo con fugas corresponde así a un polo del coeficiente de reflexión. Un cero, situado en el otro lado del eje real, corresponde a cada polo. Como lo haremos ver en el siguiente, una zona donde la fase de r varía rápidamente se encuentra entre un polo y su correspondiente cero. Esta zona cruza el eje real, por lo que la presencia de un polo es responsable de una rápida variación de la fase en el eje real. Al considerar el reflejo de una viga gaussiana sobre una estructura cuya reflexión co- eficiente tiene un módulo igual a uno (de modo que se puede escribir r = ei desplazamiento del baricentro del haz reflejado a lo largo de la interfaz es dado por el pozo Fórmula conocida * = −d . 3) Este desplazamiento lateral es la señal de que una ola goteada ha sido excitada por el incidente. Viga. El haz reflejado entonces tiene dos componentes : la parte que se refleja por la primera interfaz de la estructura (cuyo baricentro no está particularmente desplazado) y la propia ola goterada [6]. El rayo reflejado está fuertemente distorsionado por la ola goteada y presenta una cola exponencialmente decreciente por lo que su baricentro se desplaza en gran medida : este es el llamado desplazamiento lateral gigante. Este efecto se llama a veces un efecto gigante Goos-Hänchen, pero en este caso el cambio es debido a la excitación de un modo con fugas [6] y no, como en el efecto real Goos-Hänchen [8,9], a la reflexión total. 3 La losa zurda Con materiales zurdos, sin embargo, los cambios laterales negativos parecen ser mucho más comunes [10–14] más de lo esperado [6]. Aquí vamos a considerar el caso de una losa zurda (es decir. en caso de que el valor de los valores de referencia sea inferior o igual a 2 °C y μ2 < 0) y explique por qué los modos de fugas soportados por dicha estructura son Por lo general, hacia atrás. Nuestras explicaciones serán apoyadas por un análisis plano complejo de la modos con fugas. Aquí la expresión (2) del coeficiente de reflexión sigue siendo perfectamente válida. Ahora lo haremos. distinguir dos casos : el caso cuando la solución es propagativa en el medio zurdo y el caso cuando la solución es evanescente en la región 2. 3.1 Modos de losas filtrantes Cuando el campo es propagativo en la losa zurda, grandes cambios laterales negativos tienen se ha informado pero no se ha interpretado [13]. Estos cambios se deben a la excitación de losas goteadas modos o resonancias Perot-Fabry de la losa a una incidencia no normal. Modos de fugas de este tipo ya han sido estudiados para una losa diestro [15] y pueden ser considerados como interferencias constructivas de los múltiples haces que se producen por las reflexiones sobre el interfaces de la losa. En el caso de una losa zurda, puesto que la primera viga se somete a una refracción negativa como se muestra en la figura 2 estas interferencias constructivas generarán lógicamente un modo con goteras hacia atrás. Por lo tanto, podemos concluir que la existencia de tal retroceso El modo fugado está vinculado a la refracción negativa. Figura 2: Módulo del campo para una losa zurda gruesa con â € 1 = â € 3 = μ 1 = μ 3 = 1, •2 = −3,μ2 = −1 y h = 60 • utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20 • y un ángulo de incidencia de  = 45. Este argumento no es una prueba, sin embargo: se han reportado cambios laterales inesperados cuando las vigas interfieren destructivamente [16]. Pero si los modos de fuga son hacia atrás, entonces el soluciones correspondientes de la relación de dispersión y los polos del coeficiente de reflexión debería tener una parte imaginaria negativa. Esto es lo que se muestra en la figura 3. Figura 3: Fase del coeficiente de reflexión en una parte del plan complejo [0, n1 k0] + i[−k0 ]. Cada punto negro representa un polo y cada punto blanco un cero. La línea de corte es claramente visible aquí. La rápida variación de la fase que se debe a cada polo es obvia. Dos tipos de ondas de losa con fugas deben distinguirse: i) las ondas L2 que tienen fugas en tanto el medio superior como el inferior y (ii) las ondas L1 que tienen fugas sólo en la parte superior medio y evanescente en el inferior. Estos últimos corresponden a los polos situados bajo la línea de corte. Usando análisis planos complejos trataremos ahora de demostrar que todas las soluciones del disper- sión relación 1 se encuentran en la parte inferior del plano complejo, lo que significa que todos los Los modos con fugas son retrógrados. Cuando la dispersión de la relación se satisface, entonces la siguiente condición mantiene: r23 r21 = e2 γ h. (4) Como se demuestra en el anexo, rij > 1 siempre que uno de los medios es zurdo. Desde medio 2 es zurdo entonces la condición h > 1 (5) debe ser satisfecho, que es posible para 2 > 0 y por lo tanto para α ′′ < 0 (véase el anexo para más detalles). El hecho de que rij > 1 es por lo tanto la razón principal por la que los polos de r están bajo el eje y por qué los modos de losas goteadas son hacia atrás. Debemos subrayar el hecho de que nuestra demostración es válida sólo para el primer Riemann hoja : nuestra prueba no puede excluir que puede haber algunos polos en la otra hoja de Riemann por encima del eje real, correspondiente a las ondas de losa con fugas L1 hacia delante, cuando se trate de una o varias ondas de losa con fugas L1 cuando se trate de una o varias ondas de losa con fugas L1 cuando se trate de una o dos ondas de losa con fugas L1 μ1 > μ3 μ3. Pero No pudimos encontrar ninguno. 3.2 Modos de superficie fugaz Consideremos ahora la situación en la que el campo es evanescente en el zurdo Medio. Entonces γ2 es puramente imaginario en el eje real. Desde que e 2 h tiende hacia el infinito entonces la relación (4) sólo puede ser verificada si r23 tiene un polo (r21 no puede tener uno ya que el campo es siempre propagativo en el medio superior). Esto significa que la estructura puede soportar un modo con fugas sólo si la interfaz entre medio 2 y 3 puede soportar un modo guiado. Ahora es bien sabido que tal interfaz realmente soporta un modo de superficie [17,18] que puede, dependiendo de los medios 2 y 3, ser hacia atrás (resp. adelante) correspondiente a un polo bajo el eje real (resp. por encima del eje real, pero en el otro Hoja de Riemann). La onda gotera siempre tiene la misma dirección de propagación que la superficie. modo, cualquiera que sea el espesor de la losa, como se muestra en la figura 4. En el caso de una fuga hacia adelante onda, sólo el cero pertenece a la primera hoja de Riemann, justo debajo del eje real. El poste la figura 4 pertenece a la otra hoja de Riemann. 0,05 0,15 0,25 0,35 1,05 1,1 1.15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 −0.45 −0,35 −0.25 −0.15 −0,05 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 2,05 2,1 2,15 2,2 Figura 4: Ubicación de los polos en el α plano complejo para diferentes valores de h con •1 = 9, μ1 = μ3 = •3 = 1 y (a) •2 = −0,5 y μ2 = −1,5, mostrando una superficie delantera modo y (b) Ł2 = −5 y μ2 = −0,5, mostrando un modo de superficie hacia atrás. La Figura 5 finalmente muestra la excitación de una ola superficial goteada hacia atrás por un gaussiano Viga. Los valores elegidos de μ2 pueden obtenerse con resonadores simples de anillo dividido [19] para instancia. Figura 5: Módulo del campo para una losa zurda con â € 1 = 9,â € 3 = μ1 = μ3 = 1, *2 = −0,5,μ2 = −1,5 y h = 0,6* utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20* y un ángulo de incidencia de  = 21.496. El polo correspondiente al modo de fugas está localizado a αp = (1,0993 + 0,001267i) k0. 4 Propiedad fundamental Consideremos una estructura con materiales zurdos. Llamaremos a los correspondientes. estructura derecha, la estructura obtenida sustituyendo cualquier medio zurdo por un medio con permiso opuesto y permeabilidad, sin cambiar la geometría parámetros. En esta sección, nos centraremos en el vínculo entre el coeficiente de reflexión de un losa zurda y la de su correspondiente estructura diestro. Consideremos la interfaz entre un medio diestro etiquetado i y un zurdo medio j. El coeficiente de reflexión de tal interfaz es rij. Ahora definiremos r+ij coeficiente de reflexión de una interfaz entre medio i y medio diestro caracterizado por j y muj. No es difícil de ver, de la expresión de rij que . 6) Esto permite entender por qué el cambio de Goos-Hänchen de una interfaz entre y un médium zurdo es lo contrario de la correspondiente estructura zurda [11] ya que las fases de ambas estructuras son opuestas en el eje real. El coeficiente de reflexión r ahora se puede escribir e2iγ2 h 1− e2iγ2 h r+23 e −2iγ2 h − r+21 1− r+21 r+23 e−2iγ2 h Desde excepto cuando z está en la línea de corte, entonces γ(z*) = γ(z)* y por lo tanto r+ij(z) *) a fin de que: r(z)* = *) e2iγ2(z ∗)h − r+21(z)*) 1− r+21(z*) r+23(z*) e2iγ2(z , (10) que simplemente se puede escribir r(z)* = r+(z*), (11) donde r+ es el reflejo del coeficiente de la losa derecha correspondiente. Tenga en cuenta que esta relación no se mantiene en la línea de corte, sino que se mantiene para las dos hojas de Riemann. Esto significa que los polos de la losa zurda y los polos de la correspondiente la losa derecha son simétricas con respecto al eje real. Esto significa que L2 las ondas pueden ser excitadas por el mismo ángulo de incidencia para ambas estructuras. Este no es el caso para los modos L1 : la función r en el eje real es continua con la parte inferior de la primera hoja Riemann sea cual sea la situación y los polos que están por encima de la línea de corte Por lo tanto, no tienen ningún efecto en el eje real. Como ejemplo, hemos calculado el campo de polarización TE dentro y alrededor de la losa cuando se ilumina con una viga gaussiana para la losa zurda y su correspondiente estructura diestro. Los resultados se muestran en los gráficos 6 y 7. Figura 6: Módulo del campo para una losa simétrica con +1 = +3 = 9, μ1 = μ3 = 1, •2 = 1,5, μ2 = 1 y h = 1,3, utilizando un haz incidente gaussiano con una cintura de 20 y un ángulo de incidencia de  = 22,78. Figura 7: Módulo del campo para una losa simétrica con +1 = +3 = 9, μ1 = μ3 = 1, •2 = −1,5, μ2 = −1. y h = 1,3  utilizando un haz de cruce gaussiano con una cintura de 20  y un ángulo de incidencia de  = 22,78. El polo correspondiente al modo de fugas está localizado a αp = (1.16823− 0,01125i) k0 5 La losa zurda asentada La losa zurda asentada es una estructura mucho más simple para (i) no hay necesidad de distinguir dos tipos diferentes de modos de losa con fugas y (ii) la estructura no puede soportar cualquier modo de superficie con fugas. Todos los modos de fuga son entonces modos de losa y se encuentran para α < n2 k0. El coeficiente de reflexión de la losa de tierra se da por (2) con r23 = −1 para la polarización TE y r23 = 1 para la polarización TM de modo que la dispersión de la relación da r12 = e2 γ h. (12) Desde r12 > 1 entonces todas las soluciones de la relación de dispersión se encuentran en el inferior parte del plano complejo para que todos estén atrasados. Entonces es fácil demostrar que la relación r+(z)* = r(z*) todavía mantiene. En consecuencia, los modos de goteo de una losa zurda asentada y de su correspondiente diestro la estructura puede ser excitada por el mismo ángulo de incidencia del haz de impacto. 6 Conclusión En este artículo, hemos estudiado a fondo los modos de fuga de una losa zurda para ser realistas valores de la permeabilidad y la permeabilidad del medio zurdo [7,19,20] que pueden se obtendrán utilizando estructuras como resonadores de anillo dividido. Nuestros resultados pueden resumirse de la siguiente manera: sigue. La losa zurda puede soportar dos tipos de modos con fugas: • Modos de losas filtrantes, que siempre están atrasados debido a la refracción negativa fenómeno. Cuando la transmisión no es nula, los modos de fuga de la zurda losa y su correspondiente estructura derecha se excitan por el mismo ángulo de incidencia. • Modos de superficie fugaz, que pueden ser hacia atrás o hacia adelante dependiendo de la propa- dirección de la onda superficial misma. Este trabajo podría ayudar a interpretar muchos cambios laterales gigantes como excitaciones de fugas exóticas ondas [12, 13, 16]. Dado que la existencia de ondas de losa hacia atrás está vinculada a la propiedad de refracción negativa, y puesto que estas ondas filtrantes constituyen una firma de un zurdo Comportamiento de losas pensamos que podrían ser utilizados para caracterizar la zurda de Estructuras de metamaterial o cristal fotónico mucho mejor que otros métodos [21]. Agradecimientos Este trabajo ha sido apoyado por el proyecto de la Agencia Nacional de Investigación de Francia (ANR), 030/POEM. Los autores agradecen a Alexandru Cabuz y Kevin Vynck por su Ayuda. Anexo En este anexo, definiremos claramente la elección que hemos hecho para la definición de la raíz cuadrada compleja y demostrar que para z en la primera hoja de Riemann (pero no en el corte línea) tenemos rij(z) > 1 cuando los medios i y j no son ambos diestros. Puesto que la raíz cuadrada se puede continuar en el plano complejo, r y rij se puede continuar También. Hemos elegido tomar 2 con z = r ei........................................................................................................................................................................................................................................................... de la raíz cuadrada. Esto significa que hemos colocado la línea de corte en la parte negativa de el eje real y si x es un real positivo, −x = i x. Esto define la raíz cuadrada en el plano complejo entero, al que nos referimos como la primera hoja de Riemann. Cuando escribimos eso z está en la segunda hoja de Riemann, significará que hemos tomado lo contrario de Definido anteriormente. Con esta opción, tenemos (i) R( z) ≥ 0 (ii) para z en ambas hojas pero no en la línea de corte iii) si I(z) < 0, I( z) < 0 y si I(z) > 0, I( z) > 0 (iv) la función γ(z) = • μ k20 − z2 tiene una línea de corte en el eje real (en ] • • • • • n k0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • precisa) y la función γ en el eje real es continua con la parte del complejo plano que está debajo de la línea de corte : cuando z pasa a través de la línea de corte desde el primero Hoja de Riemann (que viene de la parte inferior del plano) a la segunda hoja de Riemann, γ(z) es continuo. Cuando una función que se puede escribir usando γ(z) presenta un polo, debe ser encontrado (i) para z en la primera hoja de Riemann y bajo el eje real (nosotros dirá que el polo en sí está en la primera hoja de Riemann en este caso) o (ii) para z en el segunda hoja de Riemann pero por encima del eje real. Tenemos rij = * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. . (13).............................................................................................................................................................................................................................................................. El módulo de rij dice como rij2 = (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (­) (—) () (—) (—) () (—) (—) () () (—) () () ()) (—) ()) (—) () ()) (—) () ()) ()) () ()) () ()) ()) () () ()) () () () ) () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () () () ) () () ) ( ) () () () () () () () () () () ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) (l+j) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i) (l+i+i) (l+i) (l+) (l+) + + + + + + + + + + + + + + + + i + ♥ i2 + j2 − 2 (i j + i j) i2 + j2 + 2 (i j + i j) , (15) en la que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que respecta a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros en lo que se refiere a la posición de los Estados miembros. Definimos x e y la parte real e imaginaria de z = x + i y en el primer Riemann hoja. Supongamos que x > 0. Tenemos n2 k20 − z2 = n2 k20 − x2 + y2 − 2 i x y. (17) Si y > 0, entonces x y > 0 y así I(n2 k20 − z2) < 0 para que finalmente I(γ) < 0. Si y < 0, entonces x y < 0 para que I(γ) > 0. Puesto que γ(−z) = γ(z) el resultado se mantendrá para x < 0 también y para x = 0, γ(z) es real y positivo de modo que el resultado obviamente sostiene. Así que el imaginario parte de γ(z) es positiva (resp. negativo) cuando la parte imaginaria de z es negativa (resp. positivo). Para cualquier médium diestro, Ł tiene la misma propiedad que γ. Para un médium zurdo, desde el punto de vista de los valores de referencia (e) = los valores de referencia (e) γ o  = γ dependiendo de la polarización, la parte imaginaria de............................................................................................................... de I(z). Puesto que i y j no son ambos diestros, entonces i y j no tienen el mismo signo y el producto j es siempre negativo. Desde R( z) > 0 para todos los z en el primer Riemann hoja entonces i j es siempre negativo también. Por último, desde el principio. j + ♥ j < 0, tenemos rij > 1 para todos z excepto en el eje real. Por favor. note que rij no es, en el caso particular de un médium zurdo, el coeficiente de reflexión en la interfaz [22]. REFERENCIAS [1] V. Veselago, “La electrodinámica de sustancias con valores simultáneamente negativos de y μ”, Usp. Fiz. Nauk. 92 517 (1967). [2] R. Shelby, D. Smith, y S. Shultz, “Verificación experimental de un índice negativo de la refracción", Science 292 77 (2001). [3] I. Shadrivov, A. Sukhorukov, y Y. Kivshar, “Modos guiados en la refracción negativa- guías de ondas de índice”, Phys. Rev. E 67 057602 (2003). [4] P. Tichit, A. Moreau, y G. Granet, “Localización de la luz en una estructura laminar con medio zurdo: la Rueda Ligera”, Opt. 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Introducción Modos fugaces y desplazamientos laterales gigantes La losa zurda Modos de losa filtrante Modos de superficie fugaz Propiedad fundamental La losa zurda asentada Conclusión

Coulomb blockade of field emission from nanoscale conductors

sin título Bloqueo de Coulomb de emisiones de campo de conductores a nanoescala O. E. Raichev* Instituto de Física de Semiconductores, Academia Nacional de Ciencias de Ucrania, Prospekt Nauki 45, 03028, Kiev, Ucrania Recibido el 9 de febrero de 2006 Descripción teórica de la emisión de electrones de campo de objetos nanoescala débilmente acoplado a la Cathode se presenta. Se demuestra que la corriente de emisiones sobre el terreno aumenta de forma gradual debido a carga de electrones que conduce a cambios bruscos del campo eléctrico eficaz responsable de la emisión de campo. Una consideración detallada de las características de tensión de corriente se lleva a cabo para un nanocluster modelado por un partícula esférica metálica en las proximidades del cátodo y para un nanohilo de silicio cilíndrico cultivado en la superficie del cátodo. PACS número s : 79.70. q, 73.23.Hk, 73.40.Gk I. INTRODUCCIÓN La naturaleza discreta de la carga eléctrica se revela en el transporte de electrones a través de pequeños conductores nanopar- ticles u otros objetos a nanoescala débilmente acoplados a la electrodos de fuente y desagüe que transportan corriente el efecto de bloqueo Coulomb. Numerosas manifestaciones de la cuantificación de la carga en propiedades de transporte, la más fa- miliar de ellos son las oscilaciones de bloqueo Coulomb de la corriente eléctrica en función de la tensión de la puerta y el Escalera de Coulomb en las características de corriente-tensión, , han atraído considerable atención en los últimos años1. los fundamentos de la teoría del transporte en el Coulomb El régimen de bloqueo se ha establecido,2-4 el Coulomb física basada en el bloqueo se ha aplicado a diversas cuestiones de transporte de electrones en sistemas mesoscópicos, y el campo de su las aplicaciones se expanden en línea con los avances en nanotecnología Nología. Por lo general, la influencia del bloqueo Coulomb en el corriente en dispositivos dos-terminales se considera en el assump- que el acoplamiento entre el objeto de nanoescala y el plomos no es sensible al número de electrones N determinin- & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp;. & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; Esto corresponde a la introducción ciones de resistencias ohmicas o casi ohmicas eficaces descri- • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. Aunque esta suposición a menudo funciona bien, puede ser violado, por ejemplo, en nanomecánica sistemas,5–7 donde la carga del objeto da lugar a su desplazamiento hacia una de las pistas cambiando así su Tunel de acoplamiento a ambas pistas. En este trabajo estudiamos un estudio situ- cuando la sensibilidad del acoplamiento del túnel a la num- ber de electrones no requiere un desplazamiento mecánico y está determinado por la naturaleza del túnel. Esto implica un disposición del dispositivo y condiciones similares a las utilizadas en el recientes experimentos sobre la emisión de electrones en el campo de mí- nanoclusters de silicio, 8–10 nanohilos de silicio11–15 y nanoconos,16,17 y nanotubos de carbono, véase, por ejemplo, Refs. 11 y 18–26, cuando los objetos pequeños de nanoescala son formado en el cátodo de electrodo de origen, este último es entonces sesgada negativamente con respecto al ánodo del electrodo de drenaje en vacío. La corriente entre los flujos de electrodos debidos a la emisión de electrones en el campo de objetos a nanoescala, porque el campo eléctrico F en las puntas de los objetos es más alto que en los otros lugares del dispositivo. La emisión sobre el terreno la corriente es descrita por la fórmula Fowler-Nordheim27 I = ASF2 exp − F , F = 4 2m 3 e W3/2, 1 donde m es la masa libre de electrones, W es la función de trabajo de el material emisor, S es la zona emisora efectiva, y A es una constante expresada a través de la función de trabajo y Fermi energía F del material emisor e 3 F/W 4 2 F + W . 2 El campo F eficaz, que describe el acoplamiento del túnel entre el objeto nanoescala y el ánodo, depende de la carga del objeto, que es inducida por la tensión aplicada V =V1−V2, donde V1 y V2 son el cátodo y el ánodo poten- tials, respectivamente. En condiciones de bloqueo Coulomb, Es decir, cuando la conexión eléctrica entre el cátodo y el objeto es débil y la energía de carga del objeto considerablemente supera la temperatura T, el continuo variación de la tensión V conduce a cambios discretos de la carga del objeto en unidades de e, y, en consecuencia, a corresponder- Por lo tanto, es posible que se produzcan cambios discretos en el campo F. Por lo tanto, troduce el campo FN, que es una función de la num- ber N y variable continua V. A continuación, si la corriente en el dispositivo está limitado por la emisión de campo, el uni-electrón los procesos de túnel se vuelven importantes. Esto significa que, en un voltaje fijo V, el objeto permanece principalmente en los estados con N y N−1 electrones, el número N está determinado por el volt- edad. En el estado N-electrón, ningún electrón puede llegar a la objeto desde el cátodo hasta que un electrón deja el objeto por túnel a través de la barrera, véase Fig. 1 a. Entonces el objeto aparece en el estado N−1-electrón y vuelve a la Estado N-electrón antes del siguiente túnel Fowler-Nordheim el evento tiene lugar. La corriente de emisiones sobre el terreno en estas condiciones ciones es dada por Eq. 1 con F=FN y se puede denotar como Adentro. Si el sesgo eV aumenta, el estado con electrones N+1 se vuelve más favorable, y los cambios actuales en un paso- como la moda de IN a IN+1. Esto conduce a la escalera como características de tensión de corriente, que pueden parecer similares a la Escaleras de Coulomb habituales.28–30 Sin embargo, desde la sensibilidad de la tunelización al número de electrones está involucrado, el las características de corriente-tensión pueden existir bajo condiciones bastante peculiares, cuando el sesgo fuente-fuga es o- Ders de magnitud más grande que la energía de carga. El resto del trabajo está dedicado a estudios cuantitativos basado en la idea física descrita anteriormente. In Sec. II damos las ecuaciones básicas y calcular la corriente en el más simple caja de un emisor idealizado que se muestra en la Fig. 1 b. In Sec. III calcular la corriente a partir de un nanocluster modelado por un spheri- partículas cal en la superficie metálica del cátodo y de un semi- cable conductor nanowhisker crecido perpendicular a la superficie catódica. El debate y las observaciones finales son: en la última sección. II. EXAMEN GENERAL Consideramos el caso de Coulomb clásico o metálico bloqueo, cuando la separación de nivel de energía de los electrones en el objeto nanoescala se puede descuidar en comparación con ambos temperatura y energía de carga. Puesto que el objeto se asume para ser débilmente acoplado al cátodo, estudiamos la secuencia el proceso de túnel y no el coherente. Es conveniente. para investigar el transporte de electrones mediante la aplicación de la cinética ecuación2 Ecuación maestra para la función de distribución PN describiendo la probabilidad de que el objeto esté en el estado con electrones N. Suponiendo que la conexión eléctrica sea... entre el cátodo y el objeto se caracteriza por el con- conducto G, esta ecuación está escrita como = QN+1 − QN, 3 donde 1 − exp − EN/T PN − PN−1 exp − EN/T + PNIN/ e. 4 Aquí EN= e 2 /C N−1/2−C2V /e es la diferencia en las energías lomb para los objetos con N y N-1 electrones, C es la capacitancia total, y C2 es la capacitancia del objeto con respecto al ánodo la capacitancia con respecto al cátodo se administra por C1=C−C2. El primer término en expresión 4 tiene la forma habitual2 y corresponde a la actual be- entre el objeto y el cátodo. Está escrito como una diferencia de las contribuciones que describen la salida de un electrón desde el objeto en el estado N-electrón y la llegada de un elec- tron en el objeto en el estado N−1-electrón. El segundo mandato corresponde a la corriente de emisión de campo del objeto en el estado N-electrón. Puesto que no hay electrones que lleguen al objeto del ánodo, este término no contiene una contribución describiendo la llegada de electrones. En el caso estacionario, Eq. 3 se reduce a la forma QN=const, donde la constante puede ser elegido igual a cero. Después de determinar PN a partir de la ecuación QN=0 con el uso de la condición de normalización NPN=1, la corriente total es dada por PNIN. 5 Bajo la condición GT e IN, lo que significa que el objeto está en equilibrio térmico con el cátodo, el estacionario solución de Eq. 3 está escrito como PN=Z −1 exp −EN /T, donde EN= e 2 /2C N−C2V /e 2 es la energía Coulomb, y Z N exp −EN /T es la función de partición. La corriente en este caso se determina por la expresión J = Z−1 IN exp − EN/T. 6 Apliquemos la solución 6 al modelo idealizado de Emisor, Fig. 1 b, cuando la emisión se produzca a partir de una nanopartículas esféricas de radio R, situadas a distancia d del cátodo. La distancia entre el cátodo y un... oda es L. La conexión c-p denota un con- tacto, por ejemplo, barrera del túnel entre la partícula y el catódeo, que no contribuye a la emisión sobre el terreno propiedades y electrostáticas del dispositivo. Suponiendo que d R, tenemos C=R, C2=Rd /L, y descuidamos la carga polariza- sión de la partícula porque esta polarización es pequeña en parison a la carga total eN inducida por la tensión aplicada. El número de electrones se estima como N C2V /e =RdF0 / e, donde F0=−V /L es el campo eléctrico aplicado. Los campo eficaz para la nanopartícula con electrones N es FN = e N /R2, y las corrientes parciales IN en estas condiciones son dado por IN = AS eN/R 2 2exp − FR2/ e N, 7 donde la zona de emisión S, en el modelo idealizado considerado aquí, se puede aproximar por la superficie total de la nanopartícula, S=4 R2. In Fig. 2 trazamos la tensión de corriente características del emisor idealizado, calculadas según a Eqs. 6 y 7, donde A es dada por Eq. 2 con W =5.1 eV y F=5.5 eV tomados para Au, y el geométrico los parámetros se eligen como R=5 nm y d=0,5 m. El char- Las acterísticas parecen escaleras con mesetas de regiones planas. entre los escalones, que son visibles incluso a temperatura ambiente. Es posible estimar las alturas relativas de los pasos por cálculo de la relación de las corrientes IN e IN−1 emitidas a partir de la nanopartícula con electrones N y N−1 exp FR2 e N N − 1 . 8 A pesar del hecho de que la nanopartícula cargada típicamente contiene un gran número de electrones, N 100, uno puede al- FIG. 1. a El mecanismo de túnel de un solo electrón en el Régimen Fowler-Nordheim. b Representación esquemática de la Emisor alizado. maneras de encontrar un régimen cuando la proporción IN / IN−1 no es pequeña en comparación con la unidad. Esto implica necesariamente un Fowler débil. Tunelización de Nordheim, cuando F /F=FR2 / e N 1. En los cálculos descritos anteriormente, la aplicabilidad de la fórmula Fowler-Nordheim requiere R W / e F, que es reescrito como R e2N /W, o, según N RdF0 / e, como e F0 W /d, independiente del radio de nanopartículas. Esto condición se satisface a tensiones aplicadas lo suficientemente altas. Si e F0=eV /L W /d, la aproximación de un poten- la barrera de tial no es del todo buena, y uno debe considerar la túnel a través de la barrera descrita por el potencial en- ergy W−e2N 1/R−1/r a r R, donde r es la distancia desde el centro de la nanopartícula esférica; el túnel a través de la barrera potencial de esta forma se describe en Ref. 31. Incluso bajo la condición e F0 W /d, que está satisfecho en los cálculos que figuran en la Fig. 2, el cambio relativo de la actual por un paso, IN / IN−1−1, parece ser significativo, porque el exponente FR2 / e N N−1 en Eq. Se estima que 8 como c W / e F0d 2, donde la constante adimensional c =4/3 2me4 / 2W es notablemente más grande que la unidad. Si la corriente es lo suficientemente alta, la emisión de campo no puede sigue siendo el cuello de botella para la transferencia de electrones desde el cath- oda al ánodo, y una resistencia finita G−1 se convierte en essen- Tial. La nanopartícula en estas condiciones ya no está en equi- librio con el cátodo. Esto significa que la distribución PN se establece cinéticamente, y varios estados con diferentes las cargas coexisten a una tensión fija ver el inset en la Fig. 2. As una consecuencia, las características de bloqueo Coulomb se lavan Fuera. Este caso requiere una solución numérica de la ecuación QN=0. Las características de corriente-tensión correspondientes de el emisor idealizado calculado utilizando el tiempo RC C /G =100 ps también se muestran en la Fig. 2. La degradación de la los pasos actuales parecen ser más fuertes con el aumento de la tensión, porque la corriente aumenta y el nanopartícula-cátodo link se vuelve más importante. La forma de los pasos en este El caso se parece a la escalera de Coulomb habitual. III. EJEMPLOS MÁS COMPLEJOS Después de demostrar la posibilidad de la Coulomb- escalera de bloqueo de la emisión de campo en un ejemplo de modelo, vale la pena considerar casos más complejos. De hecho, la ejemplo modelo discutido anteriormente tiene ciertas desventajas. En primer lugar, difícilmente es posible conectar una partícula colocada lejos de la superficie del cátodo por un enlace c-p en la Fig. 1 b que no contribuye a las propiedades electrostáticas de el dispositivo. En segundo lugar, el modelo de tarificación uniforme es insuf- ficiente: la polarización de carga del objeto de nanoescala ap- Las peras deben ser importantes y siempre deben ser tomadas en ac- cuenta, ver abajo en esta sección. Por lo tanto, el modelo mostrado en Fig. 1 b es adecuado sólo para los fines de la ilustración de la física básica descrita por Eqs. 3 – 6. Para tener un más cerca acercamiento a la realidad, señalamos que los objetos de nanoescala investigados en los experimentos mencionados anteriormente sobre emisiones sobre el terreno se pueden dividir aproximadamente en dos clases: los objetos las dimensiones en todas las direcciones son nanoclusters comparables o nanopartículas, y los objetos cuya longitud en la dirección del campo aplicado es mucho más grande que su tamaño transversal nanowires o nanowhiskers. La consideración siguiente es la siguiente: realizado para los casos de nanoclusters y nanowires de la geometrías más simples, cuando los campos eléctricos FN y la ca- Las paciancias C y C2 pueden ser determinadas de forma consistente por solv- ing problemas electrostáticos correspondientes. La corriente es cal- culado de acuerdo con Eq. 6, en el supuesto de que la los objetos están en equilibrio con el cátodo. A. Emisiones de campo de los nanoclusters A continuación consideramos la emisión de campo de un nanocluster modelado por una partícula metálica esférica de radio R depos- en la superficie plana del cátodo. Para proporcionar una capaci- dad C, se debe asumir una separación finita d-R entre la partícula y la placa metálica del cátodo, por ejemplo, una puede imaginar que la partícula reside en una superficie oxidada, ver el conjunto de la Fig. 3. Además, esta suposición ofrece aislamiento eléctrico de la partícula del cátodo, que es FIG. 2. Corriente del emisor idealizado en función del campo aplicado F0=−V /L para el caso de nanopartículas pequeñas C/G en equilibrio térmico con el cátodo, curvas superiores y para el caso de C /G=100 ps curvas inferiores, a las temperaturas T=77 K sólido y T=293 K rayado. El conjunto muestra la distribución función PN en F0=5 10 5 V/cm para el segundo caso. FIG. 3. Densidad de carga por unidad de longitud en dirección z para un spheri- Cal nanocluster metálico colocado a la distancia 0.1 R de la me- cátodo tallico. Toma. 0=F0R /2. El conjunto muestra la geometría de el problema y las direcciones de las flechas de emisión de campo. una condición necesaria para el bloqueo Coulomb. El elec- se conocen los trostáticos del sistema plano-esfera, y el campo y distribuciones de carga en este caso se puede encontrar en el formulario de las series infinitas convergentes que surgen del poten- tas de las cargas de los puntos de la imagen y de los dipolos de los puntos.32 la sideración permite presentar la distribución de la elec- energía potencial trostática cerca de la partícula en el aproximado U r, W + e F0R 1 + cos − 1 − eN − C2V /C r − R , 9 donde r y son las coordenadas radial y azimutal de la sistema de coordenadas esféricas con el origen en el centro de la partícula, y, , y son las constantes adimensionales del orden de la unidad, que se determinará a partir de cálculos mericos. Tales cálculos también nos dan la ca- Pactancias C y C2. 33 Tenga en cuenta que si la cuantificación de la carga es descuidado de modo que N=C2V /e cuando la partícula está en equilibrio- rio con el cátodo, se identifica con la mejora del campo- factor convencionalmente utilizado en la física de campo emis- sión. La expresión 9 proporciona una excelente descripción de el potencial electrostático a r−R R /2 y a pequeña. Lo siento. permite tener en cuenta las desviaciones del potencial energía de la forma lineal W- e F r-R y, por lo tanto, a encontrar correcciones al exponente de túnel Fowler-Nordheim. Descuidando tales correcciones en el prefactor, obtenemos el expresión siguiente para las corrientes parciales IN = ASFN 2 exp − F e FNR x = x2 x − 1 2 − arctan x − 1 − x, 10 donde A es dada por Eq. 2, la función adimensional x describe las correcciones al exponente del túnel, y el zona de emisión efectiva S=2 R2 FN 2 / F F0 2 R2 FN / F se reduce debido a la dependencia angular de el campo radial descrito por Eq. 9. El campo FN es dado por FN = F0 + e N − Cû2F0 , 11 donde la cantidad C2=C2L no depende de la distancia L entre el cátodo y el ánodo. Tenga en cuenta que, ya que siempre asumir que L es mucho más grande que cualquier dimensión de la objeto nanoescala, la capacitancia C2 es siempre proporcional a 1 /L, y es más conveniente reemplazar C2 V por C2F0. Esta sustitución también nos permite representar a la Coulomb energía de pie en Eq. 6 como N − C­2F0/ e 2. 12 Se hacen más cálculos para la separación d-R =0,1R, cuando C=2,16R, C̃2=1,74R 2, =4,32, =1,22, y =0,66. El gráfico 3 muestra la distribución de las cargas negativas en la superficie de la partícula esférica que permanece en equilibrio con el cátodo para este caso e N= C2F0 se asume. Los distribución del campo radial F z en la superficie de la par- ticle se administra por la misma dependencia, F z /F0= z / La corriente de emisión sobre el terreno del nanocluster descrito anteriormente se ha calculado de acuerdo con Eqs. 6 y 10 – 12 a R=5 nm. Los resultados de los cálculos mostrados en la Fig. 4 demostrar el comportamiento similar a la escalera causado por el Cou- Bloqueo de la lomba. Sin embargo, en contraste con las escaleras que se muestran en Fig. 2, la corriente sigue aumentando entre los pasos. Esto ocurre debido a la polarización electrostática de la nano- partícula. Según Eq. 11, cuando la carga de partículas es constante, el aumento en el campo aplicado F0 conduce a un in- aumento en el campo efectivo FN porque el factor − La tasa de mortalidad crónica es positiva. Para el radio de partículas elegido, el los pasos de la corriente son claramente visibles en peratura pero poco visible a temperatura ambiente. Nunca... menos, el bloqueo Coulomb características a temperatura ambiente ser- vienen muy distintos en las parcelas de la derivada de la corriente, como se muestra en el conjunto de la Fig. 4. B. Emisiones de campo de nanohilos Consideremos la emisión de campo de un pequeño semicon- alambre de conductos modelado por un cilindro de radio R y longitud d, que termina con una punta hemisférica del mismo radio, ver la entrada a la Fig. 5. El sustrato cátodo sobre el cual el El alambre se cultiva se supone que es un metal o un muy dopado semiconductores para que se pueda utilizar el método de imagen en lugar de resolver el problema electrostático en el todo el espacio. El aislamiento eléctrico del cable del cateterismo... oda en este caso tiene lugar de una manera natural, porque un Barrera Schottky se forma entre el alambre y el metal catódico en el caso de catódico semiconductor puede haber una heterobarrera o una barrera p-n interbanda. En otras palabras, FIG. 4. Corriente del nanocluster esférico del radio R =5 nm en función del campo aplicado F0=−V /L en T=4,2 K sólido y 77 K despegado. El inset muestra la derivada de la corriente a T=293 K. la región de alambre adyacente al cátodo se agota de electrones y cargados positivamente debido a la presencia de los donantes asumimos que el alambre es uniformemente dopado con densidad de donante a granel nD. Cuando se aplica un sesgo eV entre el cátodo y el ánodo, el alambre adquiere un con- una carga negativa siderable debido a la tunelización o a la emisión onic de electrones desde el cátodo a través de la barrera. Cuando la emisión de campo del alambre de nan- oscale radio se convierte en esencial, la densidad de inducido cargas negativas por unidad de longitud del alambre parecen ser mucho más grande que la densidad de carga de equilibrio = R2 e nD incluso si nD es del orden de 10 18 cm−3. Por esta razón, se puede utilizar la aproximación “metálica” suponiendo que las cargas en el cable se colocan principalmente en su superficie. Esto significa que la distribución de densidad de electrones n,z, que depende de la coordinación radial de la ci- sistema de coordenadas lindricale conectado con el cable, se da por n,z = 2 e −1 −R z + nD para z d y n,z = 2 e −1 − R2− z−d 2 z + nD para d z d+R, donde z es la densidad de cargas negativas en la superficie por unidad de longitud. Dado que esta aproximación se basa en el suposición de que la duración del cribado es pequeña en comparación con el radio de alambre, funciona mejor para alambres más anchos. Por alambres de silicio, cuyas propiedades de emisión sobre el terreno son actualmente el objeto de las investigaciones,11-15 la aproximación metálica sigue siendo adecuado incluso para el radio de varios nanómetros, porque, debido a las grandes masas efectivas y seis valles degeneración, la densidad de los estados de electrones en n-Si parece ser lo suficientemente alto como para proporcionar la proyección de Thomas-Fermi longitud inferior a un nanómetro para energías Fermi F 0,01 eV. La aproximación metálica, por supuesto, no logra describir la región del alambre en las inmediaciones de la cátodo, donde se produce el agotamiento. Sin embargo, desde entonces región es una pequeña parte de todo el cable, ver la carga dis- Atribución en la Fig. 5, su presencia no puede modificar considerablemente los parámetros calculados como se describe a continuación. De acuerdo con la discusión dada aquí, buscamos la distribución de la carga z satisfacer la ecuación integral U z = U0 − e F0z + dz K z,z z, 13 donde U z es la energía potencial contada desde el Fermi nivel en el material cátodo, U0 es la altura de la barrera, y K z,z es el potencial de interacción entre los electrones en los puntos z y z de la superficie del alambre en presencia de la placa catódica, véase el apéndice. Ecuación 13 es accom- con necesidades adicionales: U z = 0 a z z0 y z =− D en z z0, donde z0 es el borde de agotamiento coordi- Nate, que se encuentra auto-consistentemente. El primero de ellos los requisitos correspondientes a una selección completa de la tential U0− e F0z por las cargas inducidas del alambre, mientras que el segundo modela la presencia de las cargas positivas en la región de agotamiento z z0. Una vez que la distribución z es encontrado, la carga total del alambre, − 0 d+Rdz z, así como la distribución del campo eléctrico alrededor del alambre, puede ser cal- Culado. Para encontrar la capacitancia C y describir la modificación del campo efectivo bajo carga de un solo electrón, uno puede calcular la variación de la carga total y el campo en el extremidad a z=d+R con respecto a una pequeña variación de U0. Equa- tion 13 se resuelve numéricamente utilizando el método de itera- ciones. La dependencia del campo FN efectivo de F0 y N puede ser representado en la forma similar a Eq. 11 FN = F0 F0 + e N + B − Cû2F0 C F0 R , 14 mientras que la energía Coulomb está escrita como 2C F0 N + B − C­2F0/ e 2. 15 Estas ecuaciones tienen en cuenta un finito aunque débil dependencia de la capacitancia C y mejora de campo fac- en el campo aplicado F0. La dependencia del param- eters Cœ2 y en F0 parece ser mucho más débil y puede ser descuidado. La constante adimensional positiva B refleja la hecho de que el número medio de cargas inducidas es menor que Cû2F0 / e. Estas características aparecen porque el sistema un- la consideración no es enteramente metálica y contiene un región de agotamiento cuya longitud cambia con F0. Los cálculos numéricos que condujeron a los resultados pre- se envían a continuación para U0=0,7 eV, que aproximadamente corresponde a la altura de barrera Schottky para n-Si en contacto con Al.34 La densidad del donante elegido es nD=2 10 18 cm−3. Los parámetros de pie en Eqs. 14 y 15, sin embargo, son no sensibles a la nD, excepto la capacitancia C, que cambios dentro del 10% cuando la nD varía de 10 18 cm−3 a 2 1018 cm−3. En la figura 5 se muestra la distribución de la densidad de carga. ión para el alambre de radio R=5 nm y longitud d=0,1 m en F0=10 6 y 2 106 V/cm. La densidad de carga muestra un crecimiento casi lineal a través de la parte principal del alambre y una fuerte mejora en la punta hemisférica de que se produce la emisión de campo. La dependencia de la factor de mejora sobre el terreno y capacitancia en la aplicación campo eléctrico se muestra en la Fig. 6, y el otro calcu- Los parámetros lated son Cû2=2,44 dR, =0,414, y B=12,14. FIG. 5. Densidad de carga por unidad de longitud para el alambre cilíndrico cuya geometría se muestra en el conjunto ver parámetros en el texto. Las parcelas de la corriente de emisión de campo calculadas con el el uso de los parámetros que se enumeran aquí se dan en la Fig. 7. Los los cálculos se hacen de acuerdo con Eqs. 6, 14, y 15, y la fórmula Fowler-Nordheim para la corriente parcial, IN=ASFN 2 exp −F /FN. Desde el cálculo radial eléctrico campo en la región de la punta débilmente depende de z en contraste al caso del nanocluster estudiado más arriba y bruscamente disminución en la región de transición a la parte cilíndrica de el alambre, la zona de emisión eficaz S se estima por el área total de la punta hemisférica, S=2 R2. El func de trabajo... ión se toma para el silicio, W=4,2 eV. A continuación, la energía Fermi de pie en la expresión para A, véase Eq. 2, se estima de la ecuación F e FinrTF, donde Fin F0 / es el campo dentro del semiconductor cerca del final de la punta, rTF es la longitud de tamizado Thomas-Fermi, y es el dieléctrico constante del semiconductor. Tal estimación, realizada para n-Si, conduce a F 0.1 eV a F0 2 10 6 V/cm. La foto... tura de la escalera de Coulomb se muestra en la Fig. 7 es básicamente la igual que en la Fig. 4. Una vez más, el aumento de la corriente con el campo aplicado está determinado por el aumento de la eficacia campo tivo 14 debido a ambos pasos de carga de un solo electrón y la polarización de la carga bajo una carga constante regiones ser- Entre los escalones. La principal diferencia es que el intervalo de el campo aplicado necesario para la adición de un electrón a la alambre se reduce considerablemente, debido a la capacidad más grande C2, y parece ser de 1,2 V/ m de reducción adicional de este intervalo se lleva a cabo con el aumento del alambre longitud, ver abajo. A continuación, ya que la capacitancia C aumenta considerablemente en comparación con el caso del nanocluster de la El mismo radio, el bloqueo Coulomb características en la sala tem- peratura son poco visibles incluso en la parcela derivada, ver la inset. Sin embargo, estas características siguen siendo pronunciadas en T =77 K. Con el aumento de la longitud del alambre d, los parámetros Entrando a Eqs. 14 y 15 se modifican como se muestra en la Fig. 8. El factor de mejora sobre el terreno y el aumento de capacidades casi de una manera lineal, mientras que el parámetro, que charac- asegura una contribución relativa de la carga en el sector eficaz, la comparación, el emi- en la sección anterior se describe por los parámetros =d /R, =1, C=R, y C̃2=dR, donde d es la distancia desde el cátodo hasta la esfera emisora. El aumento de la capacitancia total C dificulta la observación de la Coulomb escalera en cables largos. Por ejemplo, en d=1 m uno debe tienen temperaturas considerablemente inferiores a 77 K. valor del campo aplicado correspondiente a la adición de uno El electrón es inversamente proporcional a Cû2. Este intervalo de- arruga muy rápido con el aumento de d y se convierte en igual a 2,5 102 V/cm a d=1 m. FIG. 6. Dependencia sobre el terreno del factor de mejora y de la capaci- para el alambre cilíndrico con R=5 nm y d=0,1 m. FIG. 7. Corriente del alambre cilíndrico de radio R=5 nm y longitud 0,1 m en función del campo aplicado F0=−V /L en T =4,2 K sólido y 77 K despegado. El conjunto muestra la derivada de la corriente en T=293 K. FIG. 8. Depende de los parámetros,, C, y C longitud del alambre para R=5 nm y F0=5 10 5 V/cm. IV. CONCLUSIONES El punto clave del estudio teórico presentado es el posibilidad de modificación notable de la electricidad efectiva campo que causa la emisión de campo de un conductor a nanoescala por la adición de sólo un electrón a este conductor. Formalmente, esta modificación se describe mediante la introducción de la campo FN, que determina la corriente parcial IN, y por evaluar la dependencia de este campo en el sesgo aplicado entre el cátodo y el ánodo, véase Eqs. 11 y 14. As a resultado de este efecto, las características de corriente-tensión de la Las emisiones sobre el terreno muestran los pasos en el régimen de bloqueo de Coulomb. En otras palabras, las características de tensión de corriente escalonada relacionadas con la carga de un electrón Las escaleras Coulomb pueden existen incluso en las condiciones de las emisiones sobre el terreno experi- Cuando el sesgo aplicado es órdenes de magnitud más grandes que la energía de carga. Los pasos en la tensión de corriente características pueden ser visibles a 77 K en el caso del campo Emisión de nanoclusters y nanohilos de 10 nm de diámetro longitud de eter y submicrón. En las regiones entre las etapas, donde la carga total del objeto nanoescala es constante, la aumentos actuales debidos al aumento del sesgo aplicado para cargar la polarización. Las escaleras descritas en esta obra son similares a las habituales Coulomb escaleras obtenidas en el transporte a través de pequeñas islas metálicas28–30 o puntos cuánticos véase Ref. 35 para revisión con una fuerte asimetría en las barreras. En ambos casos, cada paso de la corriente se asocia con la adición de un electrón al objeto nanoescala, y el drenaje de origen aplicado tensión baja sobre todo a través de la barrera de baja transparencia barrera entre el objeto y el drenaje. Por lo tanto, el pe- riodicidad de los pasos en ambos casos se determina por la capacitancia de drenaje de objetos C2. Sin embargo, los pasos en la segunda fase de la ond caso se forman debido a los cambios de N-dependiente eficaz potencial electroquímico del objeto con respecto a Potenciales troquímicos de la fuente y drenaje. Por esto... hijo, la escalera de Coulomb usual muestra pasos bien definidos cuando C2 es mayor que la capacitancia de origen de objeto C1, Mientras que en la situación opuesta, C1 C2, los pasos son sup- prensado y los enfoques característicos de corriente-tensión a un dependencia lineal.29,30 En cambio, en el caso descrito en este trabajo los pasos se forman debido a los cambios en la prob- capacidad de Fowler-Nordheim túnel desde el objeto a la drenar ánodo. Es por eso que los pasos son claramente visibles bajo la condición C1 C2, impuesta por el campo- esquema de emisiones considerado en este documento. Para resumir, la sensibilidad de la emisión de campo al número de electrones en el objeto nanoescala permite obtener el Coulomb escaleras en las condiciones en que tales escaleras no pueden ser observados en el transporte a través de pequeñas islas metálicas o puntos cuánticos. La consideración cuantitativa se ha aplicado aquí a algunos modelos simples de los objetos de nanoescala, cuyos electro- propiedades estáticas necesarias para la descripción del campo en- se han determinado de manera coherente las condiciones de apalancamiento y carga. En consecuencia, el número de parámetros geométricos se ha minimizado la terización de los objetos. Por ejemplo, la nanowire se ha caracterizado sólo por su longitud d y radio R. En realidad, la estructura geométrica de los objetos es más complicado. Por ejemplo, sus consejos pueden contener regiones que proporcionan una emisión sobre el terreno más eficiente. In de hecho, las altas corrientes de emisiones de campo de los objetos a nanoescala son normalmente observados en los campos aplicados del orden de 105 V/cm, que requiere los factores de mejora sobre el terreno mucho más grandes que los calculados en este artículo. Por otro lado mano, la presencia de puntas agudas no puede modificar fuertemente la capacitancias de los objetos. El cuadro general de la de las emisiones sobre el terreno y de las emisiones sobre el terreno Fichas válidas. Para la posible aplicación a los experimentos, la mejora de campo debido a la carga puede ser descrito por equa- ciones del tipo de Eqs. 11 y 14, donde y debe se considerarán como parámetros que deben determinarse experimen- Contelly. En la actualidad, no hay pruebas experimentales de el fenómeno de la escalera de Coulomb bajo la emisión de campo. Aunque las características de tensión actual a veces muestran características steplike, véase, por ejemplo, Ref. 11, estas características son no regular y, lo más probable, debe atribuirse a insta- bilidades del proceso de emisión y la quema de la emisión material de ting. Hay numerosas razones que hacen que la Servación de los fenómenos considerados en este artículo difícil. En primer lugar, en la mayoría de los casos, los objetos a nanoescala en el cath- la superficie de oda forman conjuntos densos. Esto significa que el campo la emisión se produce a partir de un número macroscópico de objetos que están acoplados electrostáticamente. La carga y el campo... las propiedades de emisión parecen ser considerablemente diferentes36 de los objetos individuales. El bloqueo de Coulomb fenómenos en este caso deberían ser suprimidos dramáticamente por la dispersión del tamaño de los objetos y por los efectos de Proyección. Investigación de las emisiones sobre el terreno procedentes de en los casos de nanoclusters metálicos8–10 y Sin embargo, existe el problema de los nanotubos de carbono26. aislamiento eléctrico de estos objetos del cátodo, que es una de las condiciones necesarias para el bloqueo de Coulomb. No los intentos especiales de lograr ese aislamiento sobre el terreno Hasta la fecha se han llevado a cabo experimentos de emisiones, excepto para el sistema nanomecánico investigado en Ref. 7, donde la emisión de electrones de una isla Au aislada a una se ha observado electrodo de tamaño submicrón. La mayor parte de las Los experimentos sobre emisiones de campo se llevan a cabo en la sala tem- peratura, aunque las técnicas experimentales existentes también permiten mediciones a temperatura de nitrógeno líquido. Esto significa que los fenómenos de bloqueo Coulomb sólo pueden ser observados para objetos de pequeño tamaño cuyas capacidades sean suficientemente bajas ver los resultados de Sec. III. Además, el intervalo de la ap- plied campo correspondiente a la adición de un electrón fuertemente disminuciones en el caso de emisiones de nanohilos largos, que requiere una alta resolución con respecto al terreno. En suma... mary, una búsqueda de las características del bloqueo Coulomb en el la corriente de emisiones sobre el terreno requeriría una planificación especial de experimento. El autor espera que el El estudio estimulará las investigaciones experimentales en esta direc- tion. AGRADECIMIENTOS El autor agradece a A. I. Klimovskaya por • la creación de una red europea de información sobre el medio ambiente. Apéndice: KERNEL DE EQUACIÓN (13) Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 −z,z, donde K0 z,z = z − z 2 + 2R2 1 − cos . A1 Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 −z,z, donde K0 z,z = d − z 2 + 2R d − z cos + 2R2 1 − sin cos . A2 Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 z,−z, donde K0 z,z = d − z 2 + 2R d − z cos + 2R2 1 − sin cos . A3 Finalmente, si z d y z d, K z,z = e 2R2 1 − cos cos − sin pecado cos 4d2 + 4dR cos + cos + 2R2 1 + cos cos − sin pecado cos. A4 En Eqs. A2 – A4, cos = z−d /R y cos = z −d /R, así y son los ángulos azimutales. Las integrales son asumidas el ángulo polar. La función K z,z también es representable en forma de integrales elípticas completas. *Dirección electrónica: raichev@isp.kiev.ua 1 Túnel de carga única, editado por H. Grabert y M. H. De- voret, OTAN Serie ASI B 294 Plenum Press, Nueva York, 1992. 2 I. O. Kulik y R. I. Shekhter, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 623 1975 Sov. Phys. JETP 41, 308 1975. 3 D. V. Averin y K. K. Likharev, J. Baja temperatura. Phys. 62, 345 1986 ; y en Fenómenos Mesoscópicos en Sólidos, editado por B. L. Altshuler, P. A. Lee, y R. A. Webb Elsevier, Amsterdam, 1991. 4 C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. B 44, 1646 1991. 5 L. Y. Gorelik, A. Isacsson, M. V. Voinova, B. Kasemo, R. I. Shekhter, y M. Jonson, Phys. Rev. Lett. 80, 4526 1998. 6 A. Erbe, C. Weiss, W. Zwerger, y R. H. Blick, Phys. Rev. Lett. 87, 096106 2001. 7 D. V. Scheible, C. Weiss, J. P. Kotthaus, y R. H. Blick, Phys. Rev. Lett. 93, 186801 2004. 8 M. E. Lin, R. P. Andres, y R. Reifenberger, Phys. Rev. Lett. 67, 477 1991. 9 M. E. Lin, R. Reifenberger, y R. P. Andres, Phys. Rev. B 46, 15490 1992. 10 M. E. Lin, R. Reifenberger, A. Ramachandra, y R. P. Andres, Phys. Rev. B 46, 15498 1992. 11 C. S. Chang, S. Chattopadhyay, L. C. Chen, K. H. Chen, C. W. Chen, Y. F. Chen, R. Collazo, y Z. Sitar, Phys. Rev. B 68, 125322 2003. 12 S. Johnson, A. Markwitz, M. Rudolphi, H. Baumann, S. P. Oei, K. B. K. Teo, y W. I. Milne, Appl. Phys. Lett. 85, 3277 2004. 13 N. N. Kulkarni, J. Bae, C.-K. Shih, S. K. Stanley, S. S. y J. G. Ekerdt, Appl. Phys. Lett. 87, 213115 2005. 14 J. C. She, K. Zhao, S. Z. Deng, J. Chen, y N. S. Xu, Appl. Phys. Lett. 87, 052105 2005. 15 J. C. She, S. Z. Deng, N. S. Xu, R. H. Yao, y J. Chen, Appl. Phys. Lett. 88, 013112 2006. 16 Q. Wang, J. J. Li, Y. J. Ma, Z. L. Wang, P. Xu, C. Y. Shi, B. G. Quan, S. L. Yue, y C. Z. Gu, Nanotechnology 16, 2919 2005. 17 Y. L. Chueh, L. J. Chou, S. L. Cheng, J. H. He, W. W. Wu, y L. J. Chen, Appl. Phys. Lett. 86, 133112 2005 18 A. G. Rinzler, J. H. Hafner, P. Nikolaev, L. Lou, S. G. Kim, D. Tomanek, P. Nordlander, D. T. Colbert, y R. E. Smalley, Sci- ence 269, 1550 1995. 19 P. G. Collins y A. Zettl, Appl. Phys. Lett. 69, 1969 1996. 20 Q. H. Wang, A. A. Setlur, J. M. Lauerhaas, J. Y. Dai, E. W. Seelig, y R. P. H. Chang, Appl. Phys. Lett. 72, 2912 1998 21 S. Fan, M. G. Chapline, N. R. Franklin, T. W. Tombler, A. M. Cassell, y H. Dai, Science 283, 512 1999. 22 R. H. Baughman, A. A. Zakhidov, y W. A. de Heer, Ciencia 297, 787 2002. 23 S. H. Jo, Y. Tu, Z. P. Huang, D. L. Carnahan, J. Y. Huang, D. Z. Wang, y Z. F. Ren, Appl. Phys. Lett. 84, 413 2004. 24 M. Mauger, V. T. Binh, A. Levesque, y D. Guillot, Appl. Phys. Lett. 85, 305 2004. 25 N. de Jonge, M. Allioux, M. Doytcheva, M. Kaiser, K. B. K. Teo, R. G. Lacerda, y W. I. Milne, Appl. Phys. Lett. 85, 1607 2004. 26 Z. Xu, X. D. Bai, E. G. Wang, y Z. L. Wang, Appl. Phys. Lett. 87, 163106 2005 27 R. H. Fowler y L. W. Nordheim, Proc. R. Soc. Londres, Ser. A 119, 173 1928. 28 J. B. Barner y S. T. Ruggiero, Phys. Rev. Lett. 59, 807 1987. 29 K. Mullen, E. Ben-Jacob, R. C. Jaklevic, y Z. Schuss, Phys. Rev. B 37, 98 1988. 30 R. Wilkins, E. Ben-Jacob, y R. C. Jaklevic, Phys. Rev. Lett. 63, 801 1989. 31 L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mecánica Cuántica mon, Oxford, 1977. 32 W. R. Smythe, Electricidad estática y dinámica McGraw-Hill, Nueva York, 1968. 33 Si d=R, los parámetros se obtienen analíticamente: =7 3 /2 4,21, =93 5 /56 3 −3/4, = 2 /8, y C2= 2 / 6 R2 /L, pero C es igual a infinito C diverge de una manera logarítmica como el separación d-R va a cero. 34 Interfaces Metal-Semiconductor, editada por A. Hiraki IOS Press, Amsterdam, 1995. 35 L. P. Kouwenhoven, C. M. Marcus, P. L. McEuen, S. Tarucha, R. M. Westervelt, y N. S. Wingreen, Transporte de electrones en Quan- tum Dots, en Actas del Instituto de Estudios Avanzados sobre Transporte electrónico mesoscópico, editado por L. L. Sohn, L. P. Kou- wenhoven, y G. Schön Kluwer, 1997. 36 T. A. Sedrakyan, E. G. Mishchenko, y M. E. Raikh, cond-mat/ 0504042 sin publicar.

Descripción teórica de la emisión de electrones de campo a partir de nanoescala se presentan objetos débilmente acoplados al cátodo. Se muestra que el campo- la corriente de emisión aumenta de forma escalonada debido a un solo electrón carga que conduce a cambios bruscos del campo eléctrico eficaz responsable de la emisión sobre el terreno. Examen detallado de la las características de tensión de corriente se llevan a cabo para un nanocluster modelado por un partículas esféricas metálicas en las proximidades del cátodo y para una nanohilo de silicio cilíndrico cultivado en la superficie del cátodo.

sin título Bloqueo de Coulomb de emisiones de campo de conductores a nanoescala O. E. Raichev* Instituto de Física de Semiconductores, Academia Nacional de Ciencias de Ucrania, Prospekt Nauki 45, 03028, Kiev, Ucrania Recibido el 9 de febrero de 2006 Descripción teórica de la emisión de electrones de campo de objetos nanoescala débilmente acoplado a la Cathode se presenta. Se demuestra que la corriente de emisiones sobre el terreno aumenta de forma gradual debido a carga de electrones que conduce a cambios bruscos del campo eléctrico eficaz responsable de la emisión de campo. Una consideración detallada de las características de tensión de corriente se lleva a cabo para un nanocluster modelado por un partícula esférica metálica en las proximidades del cátodo y para un nanohilo de silicio cilíndrico cultivado en la superficie del cátodo. PACS número s : 79.70. q, 73.23.Hk, 73.40.Gk I. INTRODUCCIÓN La naturaleza discreta de la carga eléctrica se revela en el transporte de electrones a través de pequeños conductores nanopar- ticles u otros objetos a nanoescala débilmente acoplados a la electrodos de fuente y desagüe que transportan corriente el efecto de bloqueo Coulomb. Numerosas manifestaciones de la cuantificación de la carga en propiedades de transporte, la más fa- miliar de ellos son las oscilaciones de bloqueo Coulomb de la corriente eléctrica en función de la tensión de la puerta y el Escalera de Coulomb en las características de corriente-tensión, , han atraído considerable atención en los últimos años1. los fundamentos de la teoría del transporte en el Coulomb El régimen de bloqueo se ha establecido,2-4 el Coulomb física basada en el bloqueo se ha aplicado a diversas cuestiones de transporte de electrones en sistemas mesoscópicos, y el campo de su las aplicaciones se expanden en línea con los avances en nanotecnología Nología. Por lo general, la influencia del bloqueo Coulomb en el corriente en dispositivos dos-terminales se considera en el assump- que el acoplamiento entre el objeto de nanoescala y el plomos no es sensible al número de electrones N determinin- & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp;. & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; & nbsp; Esto corresponde a la introducción ciones de resistencias ohmicas o casi ohmicas eficaces descri- • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. • el acoplamiento. Aunque esta suposición a menudo funciona bien, puede ser violado, por ejemplo, en nanomecánica sistemas,5–7 donde la carga del objeto da lugar a su desplazamiento hacia una de las pistas cambiando así su Tunel de acoplamiento a ambas pistas. En este trabajo estudiamos un estudio situ- cuando la sensibilidad del acoplamiento del túnel a la num- ber de electrones no requiere un desplazamiento mecánico y está determinado por la naturaleza del túnel. Esto implica un disposición del dispositivo y condiciones similares a las utilizadas en el recientes experimentos sobre la emisión de electrones en el campo de mí- nanoclusters de silicio, 8–10 nanohilos de silicio11–15 y nanoconos,16,17 y nanotubos de carbono, véase, por ejemplo, Refs. 11 y 18–26, cuando los objetos pequeños de nanoescala son formado en el cátodo de electrodo de origen, este último es entonces sesgada negativamente con respecto al ánodo del electrodo de drenaje en vacío. La corriente entre los flujos de electrodos debidos a la emisión de electrones en el campo de objetos a nanoescala, porque el campo eléctrico F en las puntas de los objetos es más alto que en los otros lugares del dispositivo. La emisión sobre el terreno la corriente es descrita por la fórmula Fowler-Nordheim27 I = ASF2 exp − F , F = 4 2m 3 e W3/2, 1 donde m es la masa libre de electrones, W es la función de trabajo de el material emisor, S es la zona emisora efectiva, y A es una constante expresada a través de la función de trabajo y Fermi energía F del material emisor e 3 F/W 4 2 F + W . 2 El campo F eficaz, que describe el acoplamiento del túnel entre el objeto nanoescala y el ánodo, depende de la carga del objeto, que es inducida por la tensión aplicada V =V1−V2, donde V1 y V2 son el cátodo y el ánodo poten- tials, respectivamente. En condiciones de bloqueo Coulomb, Es decir, cuando la conexión eléctrica entre el cátodo y el objeto es débil y la energía de carga del objeto considerablemente supera la temperatura T, el continuo variación de la tensión V conduce a cambios discretos de la carga del objeto en unidades de e, y, en consecuencia, a corresponder- Por lo tanto, es posible que se produzcan cambios discretos en el campo F. Por lo tanto, troduce el campo FN, que es una función de la num- ber N y variable continua V. A continuación, si la corriente en el dispositivo está limitado por la emisión de campo, el uni-electrón los procesos de túnel se vuelven importantes. Esto significa que, en un voltaje fijo V, el objeto permanece principalmente en los estados con N y N−1 electrones, el número N está determinado por el volt- edad. En el estado N-electrón, ningún electrón puede llegar a la objeto desde el cátodo hasta que un electrón deja el objeto por túnel a través de la barrera, véase Fig. 1 a. Entonces el objeto aparece en el estado N−1-electrón y vuelve a la Estado N-electrón antes del siguiente túnel Fowler-Nordheim el evento tiene lugar. La corriente de emisiones sobre el terreno en estas condiciones ciones es dada por Eq. 1 con F=FN y se puede denotar como Adentro. Si el sesgo eV aumenta, el estado con electrones N+1 se vuelve más favorable, y los cambios actuales en un paso- como la moda de IN a IN+1. Esto conduce a la escalera como características de tensión de corriente, que pueden parecer similares a la Escaleras de Coulomb habituales.28–30 Sin embargo, desde la sensibilidad de la tunelización al número de electrones está involucrado, el las características de corriente-tensión pueden existir bajo condiciones bastante peculiares, cuando el sesgo fuente-fuga es o- Ders de magnitud más grande que la energía de carga. El resto del trabajo está dedicado a estudios cuantitativos basado en la idea física descrita anteriormente. In Sec. II damos las ecuaciones básicas y calcular la corriente en el más simple caja de un emisor idealizado que se muestra en la Fig. 1 b. In Sec. III calcular la corriente a partir de un nanocluster modelado por un spheri- partículas cal en la superficie metálica del cátodo y de un semi- cable conductor nanowhisker crecido perpendicular a la superficie catódica. El debate y las observaciones finales son: en la última sección. II. EXAMEN GENERAL Consideramos el caso de Coulomb clásico o metálico bloqueo, cuando la separación de nivel de energía de los electrones en el objeto nanoescala se puede descuidar en comparación con ambos temperatura y energía de carga. Puesto que el objeto se asume para ser débilmente acoplado al cátodo, estudiamos la secuencia el proceso de túnel y no el coherente. Es conveniente. para investigar el transporte de electrones mediante la aplicación de la cinética ecuación2 Ecuación maestra para la función de distribución PN describiendo la probabilidad de que el objeto esté en el estado con electrones N. Suponiendo que la conexión eléctrica sea... entre el cátodo y el objeto se caracteriza por el con- conducto G, esta ecuación está escrita como = QN+1 − QN, 3 donde 1 − exp − EN/T PN − PN−1 exp − EN/T + PNIN/ e. 4 Aquí EN= e 2 /C N−1/2−C2V /e es la diferencia en las energías lomb para los objetos con N y N-1 electrones, C es la capacitancia total, y C2 es la capacitancia del objeto con respecto al ánodo la capacitancia con respecto al cátodo se administra por C1=C−C2. El primer término en expresión 4 tiene la forma habitual2 y corresponde a la actual be- entre el objeto y el cátodo. Está escrito como una diferencia de las contribuciones que describen la salida de un electrón desde el objeto en el estado N-electrón y la llegada de un elec- tron en el objeto en el estado N−1-electrón. El segundo mandato corresponde a la corriente de emisión de campo del objeto en el estado N-electrón. Puesto que no hay electrones que lleguen al objeto del ánodo, este término no contiene una contribución describiendo la llegada de electrones. En el caso estacionario, Eq. 3 se reduce a la forma QN=const, donde la constante puede ser elegido igual a cero. Después de determinar PN a partir de la ecuación QN=0 con el uso de la condición de normalización NPN=1, la corriente total es dada por PNIN. 5 Bajo la condición GT e IN, lo que significa que el objeto está en equilibrio térmico con el cátodo, el estacionario solución de Eq. 3 está escrito como PN=Z −1 exp −EN /T, donde EN= e 2 /2C N−C2V /e 2 es la energía Coulomb, y Z N exp −EN /T es la función de partición. La corriente en este caso se determina por la expresión J = Z−1 IN exp − EN/T. 6 Apliquemos la solución 6 al modelo idealizado de Emisor, Fig. 1 b, cuando la emisión se produzca a partir de una nanopartículas esféricas de radio R, situadas a distancia d del cátodo. La distancia entre el cátodo y un... oda es L. La conexión c-p denota un con- tacto, por ejemplo, barrera del túnel entre la partícula y el catódeo, que no contribuye a la emisión sobre el terreno propiedades y electrostáticas del dispositivo. Suponiendo que d R, tenemos C=R, C2=Rd /L, y descuidamos la carga polariza- sión de la partícula porque esta polarización es pequeña en parison a la carga total eN inducida por la tensión aplicada. El número de electrones se estima como N C2V /e =RdF0 / e, donde F0=−V /L es el campo eléctrico aplicado. Los campo eficaz para la nanopartícula con electrones N es FN = e N /R2, y las corrientes parciales IN en estas condiciones son dado por IN = AS eN/R 2 2exp − FR2/ e N, 7 donde la zona de emisión S, en el modelo idealizado considerado aquí, se puede aproximar por la superficie total de la nanopartícula, S=4 R2. In Fig. 2 trazamos la tensión de corriente características del emisor idealizado, calculadas según a Eqs. 6 y 7, donde A es dada por Eq. 2 con W =5.1 eV y F=5.5 eV tomados para Au, y el geométrico los parámetros se eligen como R=5 nm y d=0,5 m. El char- Las acterísticas parecen escaleras con mesetas de regiones planas. entre los escalones, que son visibles incluso a temperatura ambiente. Es posible estimar las alturas relativas de los pasos por cálculo de la relación de las corrientes IN e IN−1 emitidas a partir de la nanopartícula con electrones N y N−1 exp FR2 e N N − 1 . 8 A pesar del hecho de que la nanopartícula cargada típicamente contiene un gran número de electrones, N 100, uno puede al- FIG. 1. a El mecanismo de túnel de un solo electrón en el Régimen Fowler-Nordheim. b Representación esquemática de la Emisor alizado. maneras de encontrar un régimen cuando la proporción IN / IN−1 no es pequeña en comparación con la unidad. Esto implica necesariamente un Fowler débil. Tunelización de Nordheim, cuando F /F=FR2 / e N 1. En los cálculos descritos anteriormente, la aplicabilidad de la fórmula Fowler-Nordheim requiere R W / e F, que es reescrito como R e2N /W, o, según N RdF0 / e, como e F0 W /d, independiente del radio de nanopartículas. Esto condición se satisface a tensiones aplicadas lo suficientemente altas. Si e F0=eV /L W /d, la aproximación de un poten- la barrera de tial no es del todo buena, y uno debe considerar la túnel a través de la barrera descrita por el potencial en- ergy W−e2N 1/R−1/r a r R, donde r es la distancia desde el centro de la nanopartícula esférica; el túnel a través de la barrera potencial de esta forma se describe en Ref. 31. Incluso bajo la condición e F0 W /d, que está satisfecho en los cálculos que figuran en la Fig. 2, el cambio relativo de la actual por un paso, IN / IN−1−1, parece ser significativo, porque el exponente FR2 / e N N−1 en Eq. Se estima que 8 como c W / e F0d 2, donde la constante adimensional c =4/3 2me4 / 2W es notablemente más grande que la unidad. Si la corriente es lo suficientemente alta, la emisión de campo no puede sigue siendo el cuello de botella para la transferencia de electrones desde el cath- oda al ánodo, y una resistencia finita G−1 se convierte en essen- Tial. La nanopartícula en estas condiciones ya no está en equi- librio con el cátodo. Esto significa que la distribución PN se establece cinéticamente, y varios estados con diferentes las cargas coexisten a una tensión fija ver el inset en la Fig. 2. As una consecuencia, las características de bloqueo Coulomb se lavan Fuera. Este caso requiere una solución numérica de la ecuación QN=0. Las características de corriente-tensión correspondientes de el emisor idealizado calculado utilizando el tiempo RC C /G =100 ps también se muestran en la Fig. 2. La degradación de la los pasos actuales parecen ser más fuertes con el aumento de la tensión, porque la corriente aumenta y el nanopartícula-cátodo link se vuelve más importante. La forma de los pasos en este El caso se parece a la escalera de Coulomb habitual. III. EJEMPLOS MÁS COMPLEJOS Después de demostrar la posibilidad de la Coulomb- escalera de bloqueo de la emisión de campo en un ejemplo de modelo, vale la pena considerar casos más complejos. De hecho, la ejemplo modelo discutido anteriormente tiene ciertas desventajas. En primer lugar, difícilmente es posible conectar una partícula colocada lejos de la superficie del cátodo por un enlace c-p en la Fig. 1 b que no contribuye a las propiedades electrostáticas de el dispositivo. En segundo lugar, el modelo de tarificación uniforme es insuf- ficiente: la polarización de carga del objeto de nanoescala ap- Las peras deben ser importantes y siempre deben ser tomadas en ac- cuenta, ver abajo en esta sección. Por lo tanto, el modelo mostrado en Fig. 1 b es adecuado sólo para los fines de la ilustración de la física básica descrita por Eqs. 3 – 6. Para tener un más cerca acercamiento a la realidad, señalamos que los objetos de nanoescala investigados en los experimentos mencionados anteriormente sobre emisiones sobre el terreno se pueden dividir aproximadamente en dos clases: los objetos las dimensiones en todas las direcciones son nanoclusters comparables o nanopartículas, y los objetos cuya longitud en la dirección del campo aplicado es mucho más grande que su tamaño transversal nanowires o nanowhiskers. La consideración siguiente es la siguiente: realizado para los casos de nanoclusters y nanowires de la geometrías más simples, cuando los campos eléctricos FN y la ca- Las paciancias C y C2 pueden ser determinadas de forma consistente por solv- ing problemas electrostáticos correspondientes. La corriente es cal- culado de acuerdo con Eq. 6, en el supuesto de que la los objetos están en equilibrio con el cátodo. A. Emisiones de campo de los nanoclusters A continuación consideramos la emisión de campo de un nanocluster modelado por una partícula metálica esférica de radio R depos- en la superficie plana del cátodo. Para proporcionar una capaci- dad C, se debe asumir una separación finita d-R entre la partícula y la placa metálica del cátodo, por ejemplo, una puede imaginar que la partícula reside en una superficie oxidada, ver el conjunto de la Fig. 3. Además, esta suposición ofrece aislamiento eléctrico de la partícula del cátodo, que es FIG. 2. Corriente del emisor idealizado en función del campo aplicado F0=−V /L para el caso de nanopartículas pequeñas C/G en equilibrio térmico con el cátodo, curvas superiores y para el caso de C /G=100 ps curvas inferiores, a las temperaturas T=77 K sólido y T=293 K rayado. El conjunto muestra la distribución función PN en F0=5 10 5 V/cm para el segundo caso. FIG. 3. Densidad de carga por unidad de longitud en dirección z para un spheri- Cal nanocluster metálico colocado a la distancia 0.1 R de la me- cátodo tallico. Toma. 0=F0R /2. El conjunto muestra la geometría de el problema y las direcciones de las flechas de emisión de campo. una condición necesaria para el bloqueo Coulomb. El elec- se conocen los trostáticos del sistema plano-esfera, y el campo y distribuciones de carga en este caso se puede encontrar en el formulario de las series infinitas convergentes que surgen del poten- tas de las cargas de los puntos de la imagen y de los dipolos de los puntos.32 la sideración permite presentar la distribución de la elec- energía potencial trostática cerca de la partícula en el aproximado U r, W + e F0R 1 + cos − 1 − eN − C2V /C r − R , 9 donde r y son las coordenadas radial y azimutal de la sistema de coordenadas esféricas con el origen en el centro de la partícula, y, , y son las constantes adimensionales del orden de la unidad, que se determinará a partir de cálculos mericos. Tales cálculos también nos dan la ca- Pactancias C y C2. 33 Tenga en cuenta que si la cuantificación de la carga es descuidado de modo que N=C2V /e cuando la partícula está en equilibrio- rio con el cátodo, se identifica con la mejora del campo- factor convencionalmente utilizado en la física de campo emis- sión. La expresión 9 proporciona una excelente descripción de el potencial electrostático a r−R R /2 y a pequeña. Lo siento. permite tener en cuenta las desviaciones del potencial energía de la forma lineal W- e F r-R y, por lo tanto, a encontrar correcciones al exponente de túnel Fowler-Nordheim. Descuidando tales correcciones en el prefactor, obtenemos el expresión siguiente para las corrientes parciales IN = ASFN 2 exp − F e FNR x = x2 x − 1 2 − arctan x − 1 − x, 10 donde A es dada por Eq. 2, la función adimensional x describe las correcciones al exponente del túnel, y el zona de emisión efectiva S=2 R2 FN 2 / F F0 2 R2 FN / F se reduce debido a la dependencia angular de el campo radial descrito por Eq. 9. El campo FN es dado por FN = F0 + e N − Cû2F0 , 11 donde la cantidad C2=C2L no depende de la distancia L entre el cátodo y el ánodo. Tenga en cuenta que, ya que siempre asumir que L es mucho más grande que cualquier dimensión de la objeto nanoescala, la capacitancia C2 es siempre proporcional a 1 /L, y es más conveniente reemplazar C2 V por C2F0. Esta sustitución también nos permite representar a la Coulomb energía de pie en Eq. 6 como N − C­2F0/ e 2. 12 Se hacen más cálculos para la separación d-R =0,1R, cuando C=2,16R, C̃2=1,74R 2, =4,32, =1,22, y =0,66. El gráfico 3 muestra la distribución de las cargas negativas en la superficie de la partícula esférica que permanece en equilibrio con el cátodo para este caso e N= C2F0 se asume. Los distribución del campo radial F z en la superficie de la par- ticle se administra por la misma dependencia, F z /F0= z / La corriente de emisión sobre el terreno del nanocluster descrito anteriormente se ha calculado de acuerdo con Eqs. 6 y 10 – 12 a R=5 nm. Los resultados de los cálculos mostrados en la Fig. 4 demostrar el comportamiento similar a la escalera causado por el Cou- Bloqueo de la lomba. Sin embargo, en contraste con las escaleras que se muestran en Fig. 2, la corriente sigue aumentando entre los pasos. Esto ocurre debido a la polarización electrostática de la nano- partícula. Según Eq. 11, cuando la carga de partículas es constante, el aumento en el campo aplicado F0 conduce a un in- aumento en el campo efectivo FN porque el factor − La tasa de mortalidad crónica es positiva. Para el radio de partículas elegido, el los pasos de la corriente son claramente visibles en peratura pero poco visible a temperatura ambiente. Nunca... menos, el bloqueo Coulomb características a temperatura ambiente ser- vienen muy distintos en las parcelas de la derivada de la corriente, como se muestra en el conjunto de la Fig. 4. B. Emisiones de campo de nanohilos Consideremos la emisión de campo de un pequeño semicon- alambre de conductos modelado por un cilindro de radio R y longitud d, que termina con una punta hemisférica del mismo radio, ver la entrada a la Fig. 5. El sustrato cátodo sobre el cual el El alambre se cultiva se supone que es un metal o un muy dopado semiconductores para que se pueda utilizar el método de imagen en lugar de resolver el problema electrostático en el todo el espacio. El aislamiento eléctrico del cable del cateterismo... oda en este caso tiene lugar de una manera natural, porque un Barrera Schottky se forma entre el alambre y el metal catódico en el caso de catódico semiconductor puede haber una heterobarrera o una barrera p-n interbanda. En otras palabras, FIG. 4. Corriente del nanocluster esférico del radio R =5 nm en función del campo aplicado F0=−V /L en T=4,2 K sólido y 77 K despegado. El inset muestra la derivada de la corriente a T=293 K. la región de alambre adyacente al cátodo se agota de electrones y cargados positivamente debido a la presencia de los donantes asumimos que el alambre es uniformemente dopado con densidad de donante a granel nD. Cuando se aplica un sesgo eV entre el cátodo y el ánodo, el alambre adquiere un con- una carga negativa siderable debido a la tunelización o a la emisión onic de electrones desde el cátodo a través de la barrera. Cuando la emisión de campo del alambre de nan- oscale radio se convierte en esencial, la densidad de inducido cargas negativas por unidad de longitud del alambre parecen ser mucho más grande que la densidad de carga de equilibrio = R2 e nD incluso si nD es del orden de 10 18 cm−3. Por esta razón, se puede utilizar la aproximación “metálica” suponiendo que las cargas en el cable se colocan principalmente en su superficie. Esto significa que la distribución de densidad de electrones n,z, que depende de la coordinación radial de la ci- sistema de coordenadas lindricale conectado con el cable, se da por n,z = 2 e −1 −R z + nD para z d y n,z = 2 e −1 − R2− z−d 2 z + nD para d z d+R, donde z es la densidad de cargas negativas en la superficie por unidad de longitud. Dado que esta aproximación se basa en el suposición de que la duración del cribado es pequeña en comparación con el radio de alambre, funciona mejor para alambres más anchos. Por alambres de silicio, cuyas propiedades de emisión sobre el terreno son actualmente el objeto de las investigaciones,11-15 la aproximación metálica sigue siendo adecuado incluso para el radio de varios nanómetros, porque, debido a las grandes masas efectivas y seis valles degeneración, la densidad de los estados de electrones en n-Si parece ser lo suficientemente alto como para proporcionar la proyección de Thomas-Fermi longitud inferior a un nanómetro para energías Fermi F 0,01 eV. La aproximación metálica, por supuesto, no logra describir la región del alambre en las inmediaciones de la cátodo, donde se produce el agotamiento. Sin embargo, desde entonces región es una pequeña parte de todo el cable, ver la carga dis- Atribución en la Fig. 5, su presencia no puede modificar considerablemente los parámetros calculados como se describe a continuación. De acuerdo con la discusión dada aquí, buscamos la distribución de la carga z satisfacer la ecuación integral U z = U0 − e F0z + dz K z,z z, 13 donde U z es la energía potencial contada desde el Fermi nivel en el material cátodo, U0 es la altura de la barrera, y K z,z es el potencial de interacción entre los electrones en los puntos z y z de la superficie del alambre en presencia de la placa catódica, véase el apéndice. Ecuación 13 es accom- con necesidades adicionales: U z = 0 a z z0 y z =− D en z z0, donde z0 es el borde de agotamiento coordi- Nate, que se encuentra auto-consistentemente. El primero de ellos los requisitos correspondientes a una selección completa de la tential U0− e F0z por las cargas inducidas del alambre, mientras que el segundo modela la presencia de las cargas positivas en la región de agotamiento z z0. Una vez que la distribución z es encontrado, la carga total del alambre, − 0 d+Rdz z, así como la distribución del campo eléctrico alrededor del alambre, puede ser cal- Culado. Para encontrar la capacitancia C y describir la modificación del campo efectivo bajo carga de un solo electrón, uno puede calcular la variación de la carga total y el campo en el extremidad a z=d+R con respecto a una pequeña variación de U0. Equa- tion 13 se resuelve numéricamente utilizando el método de itera- ciones. La dependencia del campo FN efectivo de F0 y N puede ser representado en la forma similar a Eq. 11 FN = F0 F0 + e N + B − Cû2F0 C F0 R , 14 mientras que la energía Coulomb está escrita como 2C F0 N + B − C­2F0/ e 2. 15 Estas ecuaciones tienen en cuenta un finito aunque débil dependencia de la capacitancia C y mejora de campo fac- en el campo aplicado F0. La dependencia del param- eters Cœ2 y en F0 parece ser mucho más débil y puede ser descuidado. La constante adimensional positiva B refleja la hecho de que el número medio de cargas inducidas es menor que Cû2F0 / e. Estas características aparecen porque el sistema un- la consideración no es enteramente metálica y contiene un región de agotamiento cuya longitud cambia con F0. Los cálculos numéricos que condujeron a los resultados pre- se envían a continuación para U0=0,7 eV, que aproximadamente corresponde a la altura de barrera Schottky para n-Si en contacto con Al.34 La densidad del donante elegido es nD=2 10 18 cm−3. Los parámetros de pie en Eqs. 14 y 15, sin embargo, son no sensibles a la nD, excepto la capacitancia C, que cambios dentro del 10% cuando la nD varía de 10 18 cm−3 a 2 1018 cm−3. En la figura 5 se muestra la distribución de la densidad de carga. ión para el alambre de radio R=5 nm y longitud d=0,1 m en F0=10 6 y 2 106 V/cm. La densidad de carga muestra un crecimiento casi lineal a través de la parte principal del alambre y una fuerte mejora en la punta hemisférica de que se produce la emisión de campo. La dependencia de la factor de mejora sobre el terreno y capacitancia en la aplicación campo eléctrico se muestra en la Fig. 6, y el otro calcu- Los parámetros lated son Cû2=2,44 dR, =0,414, y B=12,14. FIG. 5. Densidad de carga por unidad de longitud para el alambre cilíndrico cuya geometría se muestra en el conjunto ver parámetros en el texto. Las parcelas de la corriente de emisión de campo calculadas con el el uso de los parámetros que se enumeran aquí se dan en la Fig. 7. Los los cálculos se hacen de acuerdo con Eqs. 6, 14, y 15, y la fórmula Fowler-Nordheim para la corriente parcial, IN=ASFN 2 exp −F /FN. Desde el cálculo radial eléctrico campo en la región de la punta débilmente depende de z en contraste al caso del nanocluster estudiado más arriba y bruscamente disminución en la región de transición a la parte cilíndrica de el alambre, la zona de emisión eficaz S se estima por el área total de la punta hemisférica, S=2 R2. El func de trabajo... ión se toma para el silicio, W=4,2 eV. A continuación, la energía Fermi de pie en la expresión para A, véase Eq. 2, se estima de la ecuación F e FinrTF, donde Fin F0 / es el campo dentro del semiconductor cerca del final de la punta, rTF es la longitud de tamizado Thomas-Fermi, y es el dieléctrico constante del semiconductor. Tal estimación, realizada para n-Si, conduce a F 0.1 eV a F0 2 10 6 V/cm. La foto... tura de la escalera de Coulomb se muestra en la Fig. 7 es básicamente la igual que en la Fig. 4. Una vez más, el aumento de la corriente con el campo aplicado está determinado por el aumento de la eficacia campo tivo 14 debido a ambos pasos de carga de un solo electrón y la polarización de la carga bajo una carga constante regiones ser- Entre los escalones. La principal diferencia es que el intervalo de el campo aplicado necesario para la adición de un electrón a la alambre se reduce considerablemente, debido a la capacidad más grande C2, y parece ser de 1,2 V/ m de reducción adicional de este intervalo se lleva a cabo con el aumento del alambre longitud, ver abajo. A continuación, ya que la capacitancia C aumenta considerablemente en comparación con el caso del nanocluster de la El mismo radio, el bloqueo Coulomb características en la sala tem- peratura son poco visibles incluso en la parcela derivada, ver la inset. Sin embargo, estas características siguen siendo pronunciadas en T =77 K. Con el aumento de la longitud del alambre d, los parámetros Entrando a Eqs. 14 y 15 se modifican como se muestra en la Fig. 8. El factor de mejora sobre el terreno y el aumento de capacidades casi de una manera lineal, mientras que el parámetro, que charac- asegura una contribución relativa de la carga en el sector eficaz, la comparación, el emi- en la sección anterior se describe por los parámetros =d /R, =1, C=R, y C̃2=dR, donde d es la distancia desde el cátodo hasta la esfera emisora. El aumento de la capacitancia total C dificulta la observación de la Coulomb escalera en cables largos. Por ejemplo, en d=1 m uno debe tienen temperaturas considerablemente inferiores a 77 K. valor del campo aplicado correspondiente a la adición de uno El electrón es inversamente proporcional a Cû2. Este intervalo de- arruga muy rápido con el aumento de d y se convierte en igual a 2,5 102 V/cm a d=1 m. FIG. 6. Dependencia sobre el terreno del factor de mejora y de la capaci- para el alambre cilíndrico con R=5 nm y d=0,1 m. FIG. 7. Corriente del alambre cilíndrico de radio R=5 nm y longitud 0,1 m en función del campo aplicado F0=−V /L en T =4,2 K sólido y 77 K despegado. El conjunto muestra la derivada de la corriente en T=293 K. FIG. 8. Depende de los parámetros,, C, y C longitud del alambre para R=5 nm y F0=5 10 5 V/cm. IV. CONCLUSIONES El punto clave del estudio teórico presentado es el posibilidad de modificación notable de la electricidad efectiva campo que causa la emisión de campo de un conductor a nanoescala por la adición de sólo un electrón a este conductor. Formalmente, esta modificación se describe mediante la introducción de la campo FN, que determina la corriente parcial IN, y por evaluar la dependencia de este campo en el sesgo aplicado entre el cátodo y el ánodo, véase Eqs. 11 y 14. As a resultado de este efecto, las características de corriente-tensión de la Las emisiones sobre el terreno muestran los pasos en el régimen de bloqueo de Coulomb. En otras palabras, las características de tensión de corriente escalonada relacionadas con la carga de un electrón Las escaleras Coulomb pueden existen incluso en las condiciones de las emisiones sobre el terreno experi- Cuando el sesgo aplicado es órdenes de magnitud más grandes que la energía de carga. Los pasos en la tensión de corriente características pueden ser visibles a 77 K en el caso del campo Emisión de nanoclusters y nanohilos de 10 nm de diámetro longitud de eter y submicrón. En las regiones entre las etapas, donde la carga total del objeto nanoescala es constante, la aumentos actuales debidos al aumento del sesgo aplicado para cargar la polarización. Las escaleras descritas en esta obra son similares a las habituales Coulomb escaleras obtenidas en el transporte a través de pequeñas islas metálicas28–30 o puntos cuánticos véase Ref. 35 para revisión con una fuerte asimetría en las barreras. En ambos casos, cada paso de la corriente se asocia con la adición de un electrón al objeto nanoescala, y el drenaje de origen aplicado tensión baja sobre todo a través de la barrera de baja transparencia barrera entre el objeto y el drenaje. Por lo tanto, el pe- riodicidad de los pasos en ambos casos se determina por la capacitancia de drenaje de objetos C2. Sin embargo, los pasos en la segunda fase de la ond caso se forman debido a los cambios de N-dependiente eficaz potencial electroquímico del objeto con respecto a Potenciales troquímicos de la fuente y drenaje. Por esto... hijo, la escalera de Coulomb usual muestra pasos bien definidos cuando C2 es mayor que la capacitancia de origen de objeto C1, Mientras que en la situación opuesta, C1 C2, los pasos son sup- prensado y los enfoques característicos de corriente-tensión a un dependencia lineal.29,30 En cambio, en el caso descrito en este trabajo los pasos se forman debido a los cambios en la prob- capacidad de Fowler-Nordheim túnel desde el objeto a la drenar ánodo. Es por eso que los pasos son claramente visibles bajo la condición C1 C2, impuesta por el campo- esquema de emisiones considerado en este documento. Para resumir, la sensibilidad de la emisión de campo al número de electrones en el objeto nanoescala permite obtener el Coulomb escaleras en las condiciones en que tales escaleras no pueden ser observados en el transporte a través de pequeñas islas metálicas o puntos cuánticos. La consideración cuantitativa se ha aplicado aquí a algunos modelos simples de los objetos de nanoescala, cuyos electro- propiedades estáticas necesarias para la descripción del campo en- se han determinado de manera coherente las condiciones de apalancamiento y carga. En consecuencia, el número de parámetros geométricos se ha minimizado la terización de los objetos. Por ejemplo, la nanowire se ha caracterizado sólo por su longitud d y radio R. En realidad, la estructura geométrica de los objetos es más complicado. Por ejemplo, sus consejos pueden contener regiones que proporcionan una emisión sobre el terreno más eficiente. In de hecho, las altas corrientes de emisiones de campo de los objetos a nanoescala son normalmente observados en los campos aplicados del orden de 105 V/cm, que requiere los factores de mejora sobre el terreno mucho más grandes que los calculados en este artículo. Por otro lado mano, la presencia de puntas agudas no puede modificar fuertemente la capacitancias de los objetos. El cuadro general de la de las emisiones sobre el terreno y de las emisiones sobre el terreno Fichas válidas. Para la posible aplicación a los experimentos, la mejora de campo debido a la carga puede ser descrito por equa- ciones del tipo de Eqs. 11 y 14, donde y debe se considerarán como parámetros que deben determinarse experimen- Contelly. En la actualidad, no hay pruebas experimentales de el fenómeno de la escalera de Coulomb bajo la emisión de campo. Aunque las características de tensión actual a veces muestran características steplike, véase, por ejemplo, Ref. 11, estas características son no regular y, lo más probable, debe atribuirse a insta- bilidades del proceso de emisión y la quema de la emisión material de ting. Hay numerosas razones que hacen que la Servación de los fenómenos considerados en este artículo difícil. En primer lugar, en la mayoría de los casos, los objetos a nanoescala en el cath- la superficie de oda forman conjuntos densos. Esto significa que el campo la emisión se produce a partir de un número macroscópico de objetos que están acoplados electrostáticamente. La carga y el campo... las propiedades de emisión parecen ser considerablemente diferentes36 de los objetos individuales. El bloqueo de Coulomb fenómenos en este caso deberían ser suprimidos dramáticamente por la dispersión del tamaño de los objetos y por los efectos de Proyección. Investigación de las emisiones sobre el terreno procedentes de en los casos de nanoclusters metálicos8–10 y Sin embargo, existe el problema de los nanotubos de carbono26. aislamiento eléctrico de estos objetos del cátodo, que es una de las condiciones necesarias para el bloqueo de Coulomb. No los intentos especiales de lograr ese aislamiento sobre el terreno Hasta la fecha se han llevado a cabo experimentos de emisiones, excepto para el sistema nanomecánico investigado en Ref. 7, donde la emisión de electrones de una isla Au aislada a una se ha observado electrodo de tamaño submicrón. La mayor parte de las Los experimentos sobre emisiones de campo se llevan a cabo en la sala tem- peratura, aunque las técnicas experimentales existentes también permiten mediciones a temperatura de nitrógeno líquido. Esto significa que los fenómenos de bloqueo Coulomb sólo pueden ser observados para objetos de pequeño tamaño cuyas capacidades sean suficientemente bajas ver los resultados de Sec. III. Además, el intervalo de la ap- plied campo correspondiente a la adición de un electrón fuertemente disminuciones en el caso de emisiones de nanohilos largos, que requiere una alta resolución con respecto al terreno. En suma... mary, una búsqueda de las características del bloqueo Coulomb en el la corriente de emisiones sobre el terreno requeriría una planificación especial de experimento. El autor espera que el El estudio estimulará las investigaciones experimentales en esta direc- tion. AGRADECIMIENTOS El autor agradece a A. I. Klimovskaya por • la creación de una red europea de información sobre el medio ambiente. Apéndice: KERNEL DE EQUACIÓN (13) Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 −z,z, donde K0 z,z = z − z 2 + 2R2 1 − cos . A1 Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 −z,z, donde K0 z,z = d − z 2 + 2R d − z cos + 2R2 1 − sin cos . A2 Si z d y z d, K z,z =K0 z,z −K0 z,−z, donde K0 z,z = d − z 2 + 2R d − z cos + 2R2 1 − sin cos . A3 Finalmente, si z d y z d, K z,z = e 2R2 1 − cos cos − sin pecado cos 4d2 + 4dR cos + cos + 2R2 1 + cos cos − sin pecado cos. A4 En Eqs. A2 – A4, cos = z−d /R y cos = z −d /R, así y son los ángulos azimutales. Las integrales son asumidas el ángulo polar. La función K z,z también es representable en forma de integrales elípticas completas. *Dirección electrónica: raichev@isp.kiev.ua 1 Túnel de carga única, editado por H. Grabert y M. H. De- voret, OTAN Serie ASI B 294 Plenum Press, Nueva York, 1992. 2 I. O. Kulik y R. I. Shekhter, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 68, 623 1975 Sov. Phys. JETP 41, 308 1975. 3 D. V. Averin y K. K. Likharev, J. Baja temperatura. Phys. 62, 345 1986 ; y en Fenómenos Mesoscópicos en Sólidos, editado por B. L. Altshuler, P. A. Lee, y R. A. Webb Elsevier, Amsterdam, 1991. 4 C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. B 44, 1646 1991. 5 L. Y. Gorelik, A. Isacsson, M. V. Voinova, B. Kasemo, R. I. Shekhter, y M. Jonson, Phys. Rev. Lett. 80, 4526 1998. 6 A. Erbe, C. Weiss, W. Zwerger, y R. H. Blick, Phys. Rev. Lett. 87, 096106 2001. 7 D. V. Scheible, C. Weiss, J. P. Kotthaus, y R. H. Blick, Phys. Rev. Lett. 93, 186801 2004. 8 M. E. Lin, R. P. Andres, y R. Reifenberger, Phys. Rev. Lett. 67, 477 1991. 9 M. E. Lin, R. Reifenberger, y R. P. Andres, Phys. Rev. B 46, 15490 1992. 10 M. E. Lin, R. Reifenberger, A. Ramachandra, y R. P. Andres, Phys. Rev. B 46, 15498 1992. 11 C. S. Chang, S. Chattopadhyay, L. C. Chen, K. H. Chen, C. W. Chen, Y. F. Chen, R. Collazo, y Z. Sitar, Phys. Rev. B 68, 125322 2003. 12 S. Johnson, A. Markwitz, M. Rudolphi, H. Baumann, S. P. Oei, K. B. K. Teo, y W. I. Milne, Appl. Phys. Lett. 85, 3277 2004. 13 N. N. Kulkarni, J. Bae, C.-K. Shih, S. K. Stanley, S. S. y J. G. Ekerdt, Appl. Phys. Lett. 87, 213115 2005. 14 J. C. She, K. Zhao, S. Z. Deng, J. Chen, y N. S. Xu, Appl. Phys. Lett. 87, 052105 2005. 15 J. C. She, S. Z. Deng, N. S. Xu, R. H. Yao, y J. Chen, Appl. Phys. Lett. 88, 013112 2006. 16 Q. Wang, J. J. Li, Y. J. Ma, Z. L. Wang, P. Xu, C. Y. Shi, B. G. Quan, S. L. Yue, y C. Z. Gu, Nanotechnology 16, 2919 2005. 17 Y. L. Chueh, L. J. Chou, S. L. Cheng, J. H. He, W. W. Wu, y L. J. Chen, Appl. Phys. Lett. 86, 133112 2005 18 A. G. Rinzler, J. H. Hafner, P. Nikolaev, L. Lou, S. G. Kim, D. Tomanek, P. Nordlander, D. T. Colbert, y R. E. Smalley, Sci- ence 269, 1550 1995. 19 P. G. Collins y A. Zettl, Appl. Phys. Lett. 69, 1969 1996. 20 Q. H. Wang, A. A. Setlur, J. M. Lauerhaas, J. Y. Dai, E. W. Seelig, y R. P. H. Chang, Appl. Phys. Lett. 72, 2912 1998 21 S. Fan, M. G. Chapline, N. R. Franklin, T. W. Tombler, A. M. Cassell, y H. Dai, Science 283, 512 1999. 22 R. H. Baughman, A. A. Zakhidov, y W. A. de Heer, Ciencia 297, 787 2002. 23 S. H. Jo, Y. Tu, Z. P. Huang, D. L. Carnahan, J. Y. Huang, D. Z. Wang, y Z. F. Ren, Appl. Phys. Lett. 84, 413 2004. 24 M. Mauger, V. T. Binh, A. Levesque, y D. Guillot, Appl. Phys. Lett. 85, 305 2004. 25 N. de Jonge, M. Allioux, M. Doytcheva, M. Kaiser, K. B. K. Teo, R. G. Lacerda, y W. I. Milne, Appl. Phys. Lett. 85, 1607 2004. 26 Z. Xu, X. D. Bai, E. G. Wang, y Z. L. Wang, Appl. Phys. Lett. 87, 163106 2005 27 R. H. Fowler y L. W. Nordheim, Proc. R. Soc. Londres, Ser. A 119, 173 1928. 28 J. B. Barner y S. T. Ruggiero, Phys. Rev. Lett. 59, 807 1987. 29 K. Mullen, E. Ben-Jacob, R. C. Jaklevic, y Z. Schuss, Phys. Rev. B 37, 98 1988. 30 R. Wilkins, E. Ben-Jacob, y R. C. Jaklevic, Phys. Rev. Lett. 63, 801 1989. 31 L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mecánica Cuántica mon, Oxford, 1977. 32 W. R. Smythe, Electricidad estática y dinámica McGraw-Hill, Nueva York, 1968. 33 Si d=R, los parámetros se obtienen analíticamente: =7 3 /2 4,21, =93 5 /56 3 −3/4, = 2 /8, y C2= 2 / 6 R2 /L, pero C es igual a infinito C diverge de una manera logarítmica como el separación d-R va a cero. 34 Interfaces Metal-Semiconductor, editada por A. Hiraki IOS Press, Amsterdam, 1995. 35 L. P. Kouwenhoven, C. M. Marcus, P. L. McEuen, S. Tarucha, R. M. Westervelt, y N. S. Wingreen, Transporte de electrones en Quan- tum Dots, en Actas del Instituto de Estudios Avanzados sobre Transporte electrónico mesoscópico, editado por L. L. Sohn, L. P. Kou- wenhoven, y G. Schön Kluwer, 1997. 36 T. A. Sedrakyan, E. G. Mishchenko, y M. E. Raikh, cond-mat/ 0504042 sin publicar.

Origamis with non congruence Veech groups

Origamis con no congruencia Grupos Veech Gabriela Schmithüsen En este artículo damos una introducción a origamis (a menudo también llamado las superficies) y sus grupos Veech. Como teorema principal probamos que en cada género existen origamis, cuyos grupos Veech son subgrupos de no congruencia de SL2(Z). La idea básica de un origami es obtener una superficie topológica de unas pocas combina- datos toriales pegando finitamente muchos cuadrados de unidades euclidianas de acuerdo con los especificados reglas. Estas superficies vienen con una estructura de traducción natural. Uno asigna en general a una superficie de traducción un subgrupo de GL2(R) llamado el grupo Veech. In el caso de las superficies definidas por origamis, los grupos Veech son índice finito sub- grupos de SL2(Z). Estos grupos son los objetos que estudiamos en este artículo. Una motivación para interesarse por los grupos Veech es su relación con Teichmüller los discos y las curvas de Teichmüller, véase, por ejemplo, el artículo [H 06] de F. Herrlich en el mismo volumen: Una superficie de traducción del género g define de manera geométrica un Incrustación del plano de la mitad superior en el espacio de Teichmüller Tg de Rie- mann superficies del género g. La imagen se llama disco Teichmüller. Su proyección a el espacio modoli Mg es a veces una curva algebraica compleja, llamada Teichmüller curva. Más precisamente esto sucede, si y sólo si el grupo Veech es una celosía en SL2(R). En este caso la curva algebraica se puede determinar a partir del grupo Veech hasta la biracionalidad. Es difícil determinar el grupo Veech para una superficie de traducción general. ¿Cómo...? siempre, si la superficie de la traducción viene de un origami hay un enfoque especial a este problema. Se basa en la idea de describir origamis por índice finito sub- grupos de F2, el grupo libre en dos generadores. Esto lleva a una caracterización de origami Veech agrupa como imágenes en SL2(Z) de ciertos subgrupos de Aut(F2), el grupo de automorfismo de F2. Usando este enfoque vamos a calcular los grupos Veech de dos origamis explícitamente. Resultan ser grupos de no congruencia. A partir de estos ejemplos nosotros obtener secuencias infinitas de origamis todos cuyos grupos Veech no son congruencia grupos. Esto lleva al siguiente teorema. Teorema 1. Cada módulo de espacio Mg (g ≥ 2) contiene una curva de origami El grupo Veech es un grupo de no congruencia. En la Sección 1 introducimos origamis y presentamos diferentes formas equivalentes de de- Escríbelos. En la Sección 2 echamos un vistazo al contexto matemático. Nosotros describir, cómo un origami define una familia de superficies de traducción y explicar aproximadamente, cómo se obtiene una curva Teichmüller en el espacio modulo a partir de http://arxiv.org/abs/0704.0416v1 un origami. Presentamos a los grupos Veech y en breve señalamos su relación con Teichmüller curvas. En la Sección 3 nos dirigimos a los grupos Veech de origamis y presentes una caracterización de ellos en términos de automorfismos del grupo libre F2 en dos Generadores. Utilizamos esta caracterización para calcular dos ejemplos explícitamente. Finalmente, en la Sección 4 mostramos que estos dos ejemplos producen grupos Veech que son grupos de no congruencia y dan un método para construir fuera de ellos infinito secuencias de grupos Veech que son de nuevo grupos de no congruencia. La primera parte (Sección 1 -Sección 3) de este artículo tiene por objeto dar un útil in- troducción a origamis y una visión general de algunos de nuestros resultados sobre su Veech grupos. En la segunda parte declaramos y probamos el Teorema 1 basado en los resultados en la tesis doctoral [S 05] del autor. Para una introducción más amplia y una visión general de las curvas de origamis y Teichmüller así como para las referencias al contexto más amplio, nos referimos al lector e.g. a [HeSc 06], [S 04] y [S 05]. Agradecimientos: Me gustaría dar las gracias a Frank Herrlich por su apoyo en respeto del contenido y por su lectura de pruebas, Stefan Kühnlein para ayudar a debates y sugerencias especialmente sobre los grupos de no congruencia y los organizadores de la conferencia por darme la oportunidad de contribuir a estos trabajos. Esta labor contó con el apoyo parcial de una beca del Programa Postdoc. del Servicio Alemán de Intercambio Académico (DAAD). 1 ORIGAMIS 3 1 Origamis Hay varias maneras de definir origamis. Comenzamos con el de alguna manera juguetón descripción que hemos aprendido de [Lo 05], donde también el nombre origami fue introducido: Un origami se obtiene pegando los bordes de muchas copias finitas Q1,. .., Qd de la plaza euclidiana Q a través de traducciones de acuerdo con lo siguiente normas: • Cada borde izquierdo se identificará a un borde derecho y viceversa. • Del mismo modo, cada borde superior se identificará a uno inferior. • Se conectará la superficie X cerrada emergente. Sólo estudiamos lo que se llama origamis orientado en [Lo 05] y los llamamos simplemente origamis. Ejemplo 1.1. a) El ejemplo más simple es el origami que está hecho de un solo cuadrado. Hay precisamente una posibilidad de pegar sus bordes de acuerdo con las reglas. Se obtiene un toro E. Llamamos a esto origami el origami trivial O0. Figura 1: El origami trivial. Los bordes opuestos están pegados. Observe que los cuatro vértices del cuadrado están todos identificados y se convierten en un punto en la superficie cerrada E. Llamamos a este punto. b) Ahora consideramos un origami hecho de cuatro cuadrados, ver Figura 2. Algunos Las identificaciones de los bordes ya se hacen en la imagen. Para todos los demás los bordes los que tienen las mismas etiquetas están pegados. El origami se llama L(2, 3) para razones obvias. 2 3 4 a b c Figura 2: El origami L(2, 3). Los bordes opuestos están pegados. 1 ORIGAMIS 4 Observe que en este caso los vértices etiquetados con • y los vértices etiquetados se identifican respectivamente y se convierten en dos puntos en la superficie cerrada X. Calculando la característica Euler se obtiene, que el género de la superficie X es 2. c) Finalmente, consideramos un ejemplo con cinco cuadrados, ver Figura 3. Aquí, se identifican los bordes con las mismas etiquetas. Para los bordes sin etiquetar, los que son opuestos el uno al otro están pegados. Llamamos al origami D. 1 2 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Figura 3: El origami D. Bordes con la misma etiqueta y bordes sin etiqueta que son opuestos están pegados. En este caso, obtenemos las tres clases de identificación: vértices. El género de la superficie cerrada X es de nuevo 2. Origamis como revestimientos de un toro Observar, que el origami trivial O0 del Ejemplo 1.1 a) es universal en el sentido siguiente: Si X es la superficie cerrada que surge de un origami arbitrario O y E el toro que surge de O0, entonces tenemos un mapa natural X → E por mapeando cada uno de los cuadrados unitarios del O de origami que forman la superficie X a el cuadrado de una unidad de O0 que forma el toro E. Este mapa es una cubierta que es no ramified excepto sobre el punto unidireccional E. Por el contrario, dada una superficie cerrada X junto con tal cubierta p : X → E, obtenemos una descomposición de X en cuadrados cortando X a lo largo de las preimágenes de los bordes del un cuadrado de O0 que forma E. Esto motiva la siguiente definición de origamis. Definición 1.2. Un O de origami del género g y grado d es una cubierta p : X → E de grado d desde la superficie cerrada (topológica) X del género g hasta el toro E que se ramifica sobre a lo sumo en un punto marcado. Recordemos que hemos fijado aquí un toro E y un punto E. En particular Además, podemos fijar un punto M 6 = • en E y un conjunto de generadores estándar del grupo fundamental η1(E,M) que no pasan a través de ♥. De esa manera nosotros obtener un isomorfismo fijo *) = F2, (1) 1 ORIGAMIS 5 donde E* = E® y F2 = F2(x, y) es el grupo libre en dos generadores x e y. Describiendo E pegando los bordes del cuadrado de la unidad a través de traducciones, elegimos M será el punto medio de la plaza de la unidad y los generadores estándar será el horizontal y vertical simplemente cerrada curva a través de M, ver Figura 4. Figura 4: Grupos electrógenos de η1(E) Ejemplo 1.3. En el ejemplo 1.1, en a) la cubierta es la identidad id : E → E. En b) tenemos una cubierta p : X → E de grado 4 que se ramifica en los dos puntos etiquetados por • y •. Recordemos que el género de X es 2. En c) tenemos una cubierta p : X → E de grado 5 ramificado en los dos puntos etiquetados por • y •. Obsérvese que aunque el punto en X etiquetado por â € € TM es una preimagen de â € TM, la cubierta no está ramificada en este punto. El género X es de nuevo 2. Definición 1.4. Decimos que dos origamis O1 = (p1 : X1 → E) y O2 = (p2 : X2 → E) son equivalentes, si hay un homeomorfismo p1 = p2. Descripción por un par de permutaciones Un origami O = p : (X → E) de grado d define (hasta la conjugación en Sd) • un homomorfismo m : F2 = F2(x, y) → Sd o equivalente • un par de permutaciones en Sd de la siguiente manera: Deja que M1,. ............................................................... Además, vamos a m : η1(E) ∗,M) → Sym(M1,. ..,Md) ser el mapa de monodromia definido por p, es decir. para la trayectoria cerrada c • η1(E) ∗,M) punto Mi se asigna a Mj por m(c) si y sólo si el levantamiento de la curva c a X vía p, que comienza en Mi, termina en Mj. Elegir un isomorfismo Sym(M1,. ..,Md) = Sd y utilizando el isomorfismo *) = F2 fijado en (1) hace m en un homomorfismo de F2 a Sd. Nos pusimos a = m(x) y b = m(y). Observe que este homomorfismo depende del isomorfismo elegido a Sd y sobre la elección del origami en su clase de equivalencia sólo hasta la conjugación en Sd. Por lo tanto consideramos dos homomorfismos m1 : F2 → Sd y m2 : F2 → Sd a ser equivalente, si se conjugan por un elemento en Sd. Similarmente llamamos a dos pares (a, b) y ( b) en equivalente de Sd, si se conjugan simultáneamente, i.e. hay algunos s? Sd tales que?a = s? −1 y b = s 1 ORIGAMIS 6 Ejemplo 1.5. En el ejemplo 1.1 obtenemos para el origami L(2, 3) en b) el mon- homomorfismo odromiológico m : F2 → S4, x 7→ (2 3 4) y 7→ (2 1), y, por lo tanto, a = (2 3 4) y b = (2 1). Para el origami D en c) obtenemos de manera similar las permutaciones A = (1 2 3) y B = (1 4 5)(2 3). Descripción como subgrupos de índice finitos de F2 Origamis puede ser descrito equivalentemente como subgrupos índice finitos de F2, el libre grupo en dos grupos electrógenos, como se indica en la siguiente observación. La caracterización de los grupos Veech de origamis se basa principalmente en esta observación. Observación 1.6. Tenemos una correspondencia uno a uno: origamis hasta la equivalencia ↔ subgrupos de índice finito de F2 hasta la conjugación. Más precisamente, esta correspondencia se da de la siguiente manera: Que O = (p : X → E) sea un origami. Definir E* = E − y X* = X − p−1 (­). Por lo tanto, podemos restringir p a la cobertura no estratificada p : X* → E*. Esto define una integración de los grupos fundamentales correspondientes: U = η1(X *) η1(E) *) = F2 De nuevo usamos el isomorfismo fijo en (1), véase también la Figura 4. Cambiar el origami en su clase de equivalencia conduce a una conjugación de U con un elemento en F2. El índice del subgrupo de F2 es el grado d de la cubierta p. Por el contrario, dado un índice finito subgrupo U de F2 recuperamos el origami en la siguiente manera: Let v : → E* ser una cobertura universal de E*. Por el teorema de la cubierta universal, η1(E) *) es isomórfico a Deck(/E*), el grupo de transformaciones de cubierta de /E*. Además, el subgrupo del índice finito U de Deck(/E*) corresponde a una cubierta no estratificada p : X* → E* de finito grado. Esto se puede extender a una cubierta X → E, donde X es una superficie cerrada. Ejemplo 1.7. En el Ejemplo 1.1, obtenemos los siguientes subgrupos de F2: En a), X* es el toro una vez perforado y U = F2. En b), X* es una superficie del género 2 con 2 punciones. Por lo tanto U = η1(X *) es un grupo libre del rango 5. Teniendo en cuenta que utilizamos la identificación η1(E * = F2 = F2(x, y) que se describe en la Figura 4, se puede leer de la imagen en la Figura 2 que U = < x3, xyx−1, x2yx−2, yxy−1, y2 > En c), X* es una superficie del género 2 con tres punciones. Así U es un grupo libre de rango 6. Más precisamente, leemos la imagen en la Figura 3, que U = < x3, xyx−2, x2yx−1, yxy−1, y2xy−2, y3 > 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 7 Descripción como gráfico finito Finalmente, a veces es conveniente describir un origami O = (p : X → E) como un gráfico finito, orientado etiquetado: A saber, dejar U ser el subgrupo índice finito de F2 (único hasta la conjugación) que corresponde a O como se describe en el último párrafo. Entonces representamos el origami por el Cayley-Grafo de U F2: Los vértices del gráfico son los representantes del coset. Están etiquetados con un representante del coset. Los bordes están etiquetados con x e y. Para cada vértice (con la etiqueta w F2) hay un borde de x de ella al vértice que pertenece a la coset de wx. Y de manera similar hay un borde y al vértice que pertenece a la Coset Wy. Ejemplo 1.8. La siguiente figura muestra el Cayley-graph para el origami L(2, 3) del ejemplo 1.1: ?=<89: GFED@ABCīd x //?=<89:;x̄ x // GFED@ABC Figura 5: Gráfico para O = L(2, 3). 2 Estructuras de traducción y grupos Veech Estructuras de traducción Recuerde que un atlas en una superficie se llama atlas de traducción, si todos los mapas de transición son traducciones. Un origamiO = (p : X → E) define naturalmente una familia SL2(R) de las estructuras de traducción μA (A-SL2(R)) en X * = X − p−1(­) como se indica a continuación: • Como primer paso, observe que cada una de las A SL2(R) define naturalmente una traducción estructura ηA en el propio toro E, identificándolo con C / A, donde y A es la celosía < > en C (2) • A continuación, definir la estructura de traducción μA en X * mediante el levantamiento de ηA a través de p, es decir, μA = p Utilizando la primera descripción de un origami que dimos por pegar cuadrados, obtenemos la estructura de traducción μI (donde I es la matriz de identidad), si identificamos la cuadrados con el cuadrado de unidad euclidiana en C. Obtenemos μA para una matriz general 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 8 A SL2(R) de esto identificando los cuadrados con el paralelogramo extendido por los dos vectores Así, las variaciones SL2(R) de la estructura de traducción μI se pueden considerar como cizallamiento afín de los cuadrados de la unidad, ver Figura 6. Figura 6: Estructura de traducción esquilada para el origami L(2, 3). De un origami a una curva de Teichmüller en el espacio modulo Por la familia SL2(R) de estructuras de traducción, el origami O = (p : X → E) define una curva algebraica compleja específica llamada curva de Teichmüller en el modulo espacio Mg de las superficies cerradas de Riemann del género g. Indicamos esta construcción aquí sólo brevemente como motivación y referirse, por ejemplo. al artículo general [HeSc 06] para una descripción detallada y enlaces a las referencias. Una configuración particular agradable de Estas curvas de Teichmüller se describen en [H 06] en este volumen. La curva de Teichmüller en Mg se obtiene del origami de la siguiente manera: • La estructura de traducción μA descrita en el párrafo anterior está en par- una estructura compleja en la superficie X* que se puede extender a la superficie cerrada X. La superficie de Riemann (X, μA) junto con la identidad mapa id : X → X como marca entonces define un punto en el espacio de Teichmüller Tg. Así obtenemos el mapa: : SL2(R) → Tg, A 7→ [(X, μA), id]. • Si A • SO2(R), entonces el mapa afín z 7→ A ·z es holomórfico. Por lo tanto, el mapa factores a través de SO2(R). Además, utilizando ese módulo SL2(R) SO2(R) es isomórfico a la mitad superior plano H, se obtiene un mapa ■ : H • = SO2(R)\SL2(R) → Tg De hecho, este mapa es una incrustación que es al mismo tiempo holomórfico y isométrico. Un mapa con esta propiedad se llama Teichmüller incrustación y su imagen en el espacio de Teichmüller se llama un disco de Teichmüller o un geodésico disco. 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 9 • Por último, se puede componer el mapa con la proyección al espacio modulo Mg. La imagen en Mg es una curva algebraica compleja. Una curva en Mg que surge así como la imagen de un disco de Teichmüller se llama Teichmüller curva. Nota: De manera más general, se obtiene un disco Teichmüller de manera similar a partir de de una superficie de traducción arbitraria (o un poco más general: de una superficie plana). Sin embargo, la imagen de un disco de este tipo en el espacio modulo no siempre es un complejo curva algebraica; de hecho su cierre Zariski tiende a ser de mayor dimensión. Lo siento. es una pregunta interesante cómo decidir si una superficie de la traducción conduce a un Curva de Teichmüller. Una posible respuesta a esto es dada por el grupo Veech que Presentamos en el párrafo siguiente. Grupos Veech Que X* sea una superficie conectada y μ una estructura de traducción en ella. Uno asigna a es un subgrupo de GL2(R) llamado grupo Veech como se describe en el siguiente: sider el grupo Aff+(X*, μ) de toda orientación conservando difeomorfismos afín, i.e. orientación preservando difeomorfismos que son localmente afín mapas de la plano C, véase la figura 7. Aquí – y a lo largo de todo el artículo – identificamos C con R2 por el mapa z 7→ (Re(z), Im(z))t. Así un difeomorfismo afín f can escribir en términos de gráficos locales como f : z = (Re(z), Im(z))t 7→ A · (Re(z), Im(z))t+ z0 con A â € GL2(R) y z0 â € C. Observe que A no depende del gráfico, ya que μ es una estructura de traducción. Así se obtiene un mapa bien definido D : Aff+(X*, μ) → GL2(R), f 7→ A llamado Mapa Derivativo. Definición 2.1. El grupo Veech (X*, μ) de la superficie de traducción (X*, μ) es la imagen del mapa derivado D: (X*, μ) = D(Aff+(X*, μ)) z 7→ Az + z0 Figura 7: Difeomorfismo afín de una superficie de traducción 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 10 Ejemplo 2.2. Let (X*, μ) ser C / I con la estructura natural de la traducción. Toma. I es la matriz de identidad y I es la celosía correspondiente tal como se define en (2). Un difeomorfismos afín de C / I eleva a un difeomorfismos afín de C respeto- En la celosía. Por el contrario, cada tal difeomorfismo desciende a C / I. Por lo tanto, tenemos en este caso (X*, μ) = SL2(Z). Grupos Veech y curvas Teichmüller Como se indica en el párrafo sobre las curvas de Teichmüller, el grupo Veech “sabe” si una superficie de traducción define una curva de Teichmüller en el espacio modulo o no. Más precisamente, uno tiene la siguiente declaración: Hecho: Que X sea una superficie del género g y X* = XP1,. .., Pn} para muchos finitos puntos P1,. .............................................................. Además dejar μ ser una estructura de traducción en X A continuación (X*, μ) define una curva C de Teichmüller si y sólo si el grupo Veech (X*, μ) es una celosía en SL2(R). En este caso, la curva C es (antiholomórfica) biracional a H/Ł(X*, μ). Describimos la relación con las curvas de Teichmüller aquí como motivación y en para echar un vistazo al marco general. Por lo tanto, hemos reanudado los teoremas contribuido por varios autores condensado en lo que aquí se llama "hecho". Una buena Se puede encontrar acceso a él, por ejemplo. en [EG 97] o [Z 06]. Una visión más amplia sobre Se dan grupos Veech de superficies de traducción, por ejemplo. en [HuSc 01] y en [Le 02]. Los discos Teichmüller, las curvas Teichmüller y los grupos Veech han sido intensamente estudiado por numerosos autores, a partir de Thurston [T 88] y Veech mismo [V 89]. Nos referimos a [S 04] y [HeSc 06] para una visión más completa sobre referencias. 3 Grupos Veech de origamis Que O = p : (X → E) sea un origami. Hemos visto en la sección 2 que O define un SL2(R)-familia de estructuras de traducción μA (A) SL2(R) en X * = X − p−1(l). Los grupos Veech correspondientes no son muy diferentes. De hecho, todos son conjugado el uno con el otro. Más precisamente, tenemos: * (X*, μA) = A* (X) *, μI)A Por lo tanto, podemos restringir al caso donde A = I que justifica lo siguiente: definición. Definición 3.1. El grupo Veech (O) de la origamiO se define como "X*, μI". Del ejemplo 2.2 se desprende que el grupo Veech del origami trivial O0 (de- multada en el ejemplo 1.1) es SL2(Z). Para un origami general se puede demostrar que •(O) 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 11 es un subgrupo de índice finito de SL2(Z). De hecho, también lo contrario es cierto como era mostrado por Gutkin y Judge en [GJ 00]: Un grupo Veech es un subgrupo de índice finito de SL2(Z) si y sólo si procede de un origami. De ello se desprende, en particular, el hecho expuesto en la sección 2 de la página 10 que un origami siempre define una curva de Teichmüller en el espacio modulo. Caracterización de los grupos Veech de origami Recordemos de la sección 1 que una O de origami corresponde (hasta la equivalencia) a una índice finito subgrupo U de F2 = F2(x, y), el grupo libre en dos generadores (hasta conjugación). Esta descripción nos permite dar una caracterización de su Veech grupo enteramente en términos de F2 y sus automorfismos. Para ello necesitamos los dos ingredientes siguientes: • Let : Aut(F2) → Out(F2) • = GL2(Z) ser la proyección natural. Los hecho de que sólo consideramos la orientación preservando difeomorfismos se aplica a tomar sólo automorfismos de Aut(F2) que se asignan a los elementos en SL2(Z). Denotamos Aut +(F2) = −1(SL2(Z)) y restringir al mapa : Aut+(F2) → SL2(Z). • Let Stab(U) = Aut+(F2)(U) = U} Utilizando estos ingredientes, se demostró en [S 04] que los grupos Veech de origamis pueden se describirá como se indica en el siguiente teorema. Teorema 2 (Proposición 1 en [S 04]). Por el grupo Veech (O) del origami O sostiene: (O) = (Stab(U)) Hagamos dos comentarios sobre esta descripción: Una consecuencia es que se obtiene un algoritmo que puede calcular el Veech grupo de un origami arbitrario explícitamente. Este algoritmo se describe en detalle en [S 04]. Como otra consecuencia, ahora tenemos una caracterización de todo el origami Veech grupos según se indica en el corolario siguiente. Corolario 3.2. Un subgrupo índice finito de SL2(Z) ocurre como grupo Veech origami si y sólo si es la imagen del grupo estabilizador Stab(U) Aut+(F2) para algún subgrupo índice finito U en F2. Así, la pregunta, que subgrupos índice finitos de SL2(Z) son los grupos Veech ser- viene más o menos hablando de la misma pregunta que los subgrupos de Aut+(F2) son grupos estabilizadores. Hasta ahora, no se conoce ninguna respuesta general. 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 12 En [S 05] se demostró que muchos subgrupos de congruencia de SL2(Z) son Veech grupos. Recordemos que un grupo de congruencia de nivel n es un subgrupo de SL2(Z) que es la preimagen completa de algún subgrupo de SL2(Z/nZ) bajo el homomor natural phism SL2(Z) → SL2(Z/nZ) y n serán mínimos con esta propiedad. Para prime grupos de congruencia de nivel la siguiente declaración se muestra en [S 05, Teorema 4] Teorema 3. Dejemos que p sea primo. Todos los grupos de congruencia de nivel p son Veech salvo que, posiblemente, el valor de p {2, 3, 5, 7, 11} y el valor de p en SL2(Z). Este resultado se generaliza a una declaración para arbitraria n en [S 05, Teorema 5] Presentando el grupo Veech y el cociente H/Ł para un origami Como se mencionó anteriormente, usando Teorema 2 el grupo Veech de un origami puede ser calculado explícitamente. Los grupos Veech se describen como subgrupos de SL2(Z) por grupos electrógenos y representantes de los cosets. Utilizamos para la notación que SL2(Z) es generado por S y T, con y T = Recordemos además el debate sobre los grupos Veech y las curvas de Teichmüller en la sección 2 de la página 10 que para un grupo Veech estamos especialmente interesados en el cociente H/l, ya que este cociente es biracional a la Te- ichmüller curva. Aquí actúa como grupo Fuchsian en la mitad superior del plano H, que está dotado con la métrica de Poincaré. Puesto que un grupo Veech de origami es un subgrupo índice finito de SL2(Z), el cociente H/® viene con una triangulación natural. Más precisamente, elegimos la funda- dominio mental para la acción de SL2(Z) en H que es el pseudo-triángulo geodésico • con vértices P = −1 i, Q = 1 i y P.o.p. = 0.o.p. Figura 8: Ámbito fundamental de SL2(Z). La superficie H/SL2(Z) se obtiene mediante la identificación de los bordes verticales vía T y el borde PQ consigo mismo (con punto fijo i) vía S. Para un subgrupo arbitrario de SL2(Z) de índice finito obtenemos un dominio como una unión de las traducciones del triángulo •: para cada coset A tomamos la 3 GRUPOS DE ORIGAMIS triángulo A, donde A es un representante del coset. La identificación de los bordes son dados por los elementos en فارسى. Pegar los bordes da el cociente la superficie H/., el relleno en el cusps conduce a una superficie Riemann cerrada dotada de una triangulación. Dibujamos imágenes estilizadas de los dominios fundamentales que indicar los triángulos (véanse las figuras 9 y 10). Los triángulos están etiquetados con un Coset representativo, los bordes que se identifican están etiquetados con la misma letra y vértices que se identifican con el mismo número. Vértices que vienen de cúspides (es decir, cúspides) los puntos en la letra •) se marcan con •. En particular, se puede leer de estas imágenes estilizadas el género y el número de cúspides de la superficie del cociente H/­. Dos ejemplos: el origami L(2,3) y el origami D El origami L(2,3): En [S 04, Ejemplo 3.5] el grupo Veech se calcula de la siguiente manera: (L(2, 3)) = < Más precisamente, se obtienen los generadores presentados como productos de S y T como así como una lista de representantes coset. • Lista de generadores: = T 3, = TST 2ST−1T−1, = TSTST−1S, = T 2STST−1S−1T−2, • Lista de representantes: I, T, S, T 2, TS, ST, T 2S, TST, T 2ST Por lo tanto, Ł(L(2, 3)) es un subgrupo del índice 9 en SL2(Z). La imagen estilizada del cociente H/Ł(L(2, 3)) se determina en [S 04, Ejemplo 3.6] y se muestra aquí en la Figura 9. 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 15 TTSTT Figura 9: Ámbito fundamental de la letra L(2, 3)). A partir de esto se puede leer que el género del cociente H (L(2, 3)) es 0 y que tiene 3 cúspides, a saber, los vértices etiquetados por 1,4 y 5. A continuación figura, a título de ejemplo, el texto siguiente: particularmente que la curva correspondiente de Teichmüller tiene el género 0. El origami D: El grupo Veech del origami D se calcula en [S 05, sección 7.3.2]. Lo ha hecho. índice 24 en SL2(Z) y los siguientes generadores: = −I, A1 = = T 3, = ST 6S−1, A3 = −7 16 = (T 2S)T 4(T 2S)−1. = (TS)T 4(TS)−1, A5 = −20 11 = (TST 2S)T 5(TST 2S)−1, −18 −5 = (ST 3S)T 2(ST 3S)−1, El siguiente es un sistema de cosets representantes: I, T, S, T 2, TS, ST, T 2S, TST, ST 2, STS, T 2ST, TST 2, ST 5, ST 3, T 2S, TST 3, TST 2S, ST 4, ST 3S, TST 2ST-1, TST 2ST−2, TST 2ST−3 ; TST 2ST−4, ST 3ST 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 15 La curva de origami C(D) correspondiente tiene el género 0. Se muestra con su natu- triangulación ral en la Figura 10. Tiene seis cúspides, a saber, C1, C2, C3, C4, C5 y C6. TT TTS TTSTT STTSTT TSTTS TSTTST−1 3ST ST Figura 10: Curva de origami a D. 4 Grupos Veech que no son grupos de congruencia Teorema 3 implica que hay muchos grupos de congruencia que son Veech grupos. ¿Qué tal grupos de no congruencia? En esta sección veremos que los grupos Veech para los dos ejemplos, el origami L(2, 3) y el origami D, Los dos grupos estudiados en el último párrafo son grupos de no congruencia. Además, Damos una construcción que produce para ambos una secuencia infinita de origamis cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Usamos esto con el fin de prueba nuestro teorema principal. 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 16 Otra generalización del ejemplo L(2, 3) fue dada por Hubert y Lelièvre en [HL 05], donde se muestran para ciertos origamis “en forma de L” o rostros, cómo se les llama allí, que sus grupos Veech no son congruencia grupos. Estas superficies son todas del género 2, por lo tanto se deduce que hay infinitamente muchos origamis del género 2 cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Recordemos que un grupo es un grupo de congruencia, cuyo nivel es un divisor de n, si y sólo si contiene el grupo principal de congruencia (n) = { mod n} = kernel(proj : SL2(Z) → SL2(Z/nZ)) En [S 04, Proposición 3.8] se mostró utilizando una prueba de Stefan Kühnlein que el El grupo Veech de L(2,3) es un grupo de no congruencia. La herramienta básica para esto es el nivel general que se define para cualquier subgrupo de SL2(Z) de la siguiente manera: cúspide definimos su amplitud para ser el número natural más pequeño n tal que allí es un elemento de ♥ conjugado en SL2(Z) a la matriz que fija la cúspide. Observe que esto es igual al número de triángulos alrededor el vértice que representa la cúspide en nuestra imagen estilizada de la superficie cociente (véanse las figuras 9 y 10). El nivel general de es el múltiplo menos común de la Amplitudes de todos sus cúspides. Un teorema de Wohlfahrt [W 64, Teorema 2] declara que el nivel y el nivel general de un grupo de congruencia coinciden. La amplitud de los tres cúspides de H/­(L(2, 3)) etiquetados con 1, 4 y 5 en la Fig- ure 9 es 3, 2 y 4 respectivamente. Por lo tanto, el nivel general de L(2, 3) es 12. Entonces se muestra en la prueba de que el punto L(2, 3)) no contiene el punto 12) que da la contradicción. El mismo método se puede utilizar para demostrar que •(D) es una no congruencia grupo. Aquí llevamos a cabo la prueba de ello. Observar de la Figura 10 que los seis cúspides C1,. .., C6 tienen la amplitud 3, 6, 4, 4, 5 y 2, respectivamente. Por lo tanto, la El nivel general es de 60. Proposición 4.1. El grupo Veech (D) es un grupo de no congruencia. Prueba. Supóngase que (D) es un grupo de congruencia. Desde el nivel general de * es 60, tenemos por el teorema de Wohlfahrt mencionado anteriormente, que * (60) es un Subgrupo de los países de Europa Central y Oriental. Utilizaremos los siguientes datos, que se pueden comprobar, por ejemplo. En la figura 10: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A6 # # # # # # # A6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # −18 −5 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 17 Para verificarlo en la figura 10, utilice: A1 = T 3 y A6 = S −1T 2S−1T−1S−1TS−1T−3S−1. Vamos a encontrar un elemento en cuya proyección a SL2(Z/60Z) es igual a la de T, que nos da la contradicción deseada. Recordemos que SL2(Z/60Z) = SL2(Z/4Z)× SL2(Z/3Z)× SL2(Z/5Z). Nos identificamos en los siguientes dos grupos. Además denotamos por p4, p3, p5 y p60 la proyección de SL2(Z) a SL2(Z/4Z), SL2(Z/3Z), SL2(Z/5Z) y SL2 (Z/60Z), respectivamente. Luego p60 = p4 × p3 × p5. Tenemos p60(A1) = ( ) y p60(A6) = ( El orden de p4(A1) en SL2(Z/4Z) es 4, el orden de p3(A1) en SL2(Z/3Z) es 1 y el orden de p5(A1) en SL2(Z/5Z) es 5. También decimos: El orden de p60(A1) es (4, 1, 5). Desde el 7 hasta el 3 mod 4 y el 7 hasta el 2 mod 5 tenemos p60(A) 1) = ( ) (4) Además: p60(A) 6) = ( y con la misma notación que arriba p60(A) 6) tiene el orden (1, 3, 5). Por lo tanto p60(A) 6 ) = ( ). 5) De los apartados 4 y 5 se desprende que p60(A) 6 · A 1) = ( ) = p60( ) = p60(T ) Pero A206 · A 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por lo tanto, no puede ser un grupo de congruencia de nivel 60. ¡Contradicción! 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 18 Secuencias de origamis con no congruencia Grupos Veech A partir de la origamis L(2, 3) y D definiremos respectivamente una secuencia En, de tal manera que para cada n â € N el grupo Veech â € (On) de nuevo es una no congruencia grupo. La idea básica es “copiar y pegar”: vamos a cortar el origami a lo largo de un Segmento, tomar n copias de él y pegarlos a lo largo de los cortes. En la Figura 11 se muestra el origami On para L(2, 3): 1 3 4 5 7 8 . 4n-7 4n-5 4n-4 4n-3 4n-1 4n Figura 11: n copias de L(2, 3). Los bordes opuestos están pegados. Usando la descripción de un origami por un par de permutaciones de la Sección 1, On se administra como: 4n−3 4n−1 4n), b = (1 2)(5 6). . (4n−3 4n−2). Observe que el género de On es n + 1 y tiene 2n cusps: n de orden 3 (todos n marcado por • en la figura 11), y n del orden 1 (todos n marcados por • en la figura 11). Finalmente, queremos presentar el origami por el subgrupo índice finito Hn = *) de F2, que corresponde a On por Observación 1.6. Recordemos del ejemplo 1.7 que para O1 = L(2, 3), obtenemos el grupo libre de rango 5: U = H1 = < g1 = x 3, g2 = xyx −1, g3 = x 2yx−2, g4 = yxy −1, g5 = y 2 > F5. El grupo Hn se obtiene de la siguiente manera: Hn = < g 1, g 1 gjg {0,............................................................................................................................................................................................................................................................. En la Figura 12, mostramos el Dn de origami: 1 2 3 6 7 8 ................................................................................................... 5n-4 5n-3 5n-2 b1 a2 b2 an • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Figura 12: n copias de D. Bordes con la misma etiqueta o Los bordes opuestos sin etiqueta están pegados. 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 19 El par de permutaciones que describen Dn es: 5n− 4 5n− 3 5n− 2), b = (1 4 5)(6 9 10). . (5n− 4 5n− 1 5n(2 3)(7 8)..................................................................................................................................................................................................................................................... . (5n− 3 5n− 2) El género de Dn es 2n y tiene n+2 cúspides: 2 de orden 2n (marcado como • y فارسى) y n del orden 1 (todos n marcados por ). Una vez más, presentamos On por el correspondiente índice finito subgrupo Hn de F2. Nosotros tienen del ejemplo 1.7 que U = H1 = F6, el grupo libre del rango 6: U = < g′1 = x 3, g′2 = xyx −2, g′3 = x 2yx−1, g′4 = yxy −1, g′5 = y 2xy−2, g′6 = y 3 > = F6 Y de la misma manera que arriba, obtenemos: Hn = < g 1, g {0,............................................................................................................................................................................................................................................................. Veremos en el siguiente que para ambas secuencias todos los grupos de Veech son grupos de no congruencia. Más precisamente, vamos a mostrar: Proposición 4.2. Para ambas secuencias En las siguientes bodegas: • (On) (On) (O1), que es para ambas secuencias un grupo de no congruencia. • En términos más generales, uno tiene: n divide m  (Om) (Om) (On). • Diferentes origamis en una secuencia tienen diferentes grupos Veech, es decir.: (On) 6= (Om) para n 6= m. Para demostrar esto, detectemos que estamos en el siguiente contexto más general. Configuración A: • Dejar U ser un subgrupo índice finito de F2. Entonces U es un grupo libre de rango k para algunos k ≥ 2, es decir, U = < g1,. .., gk > = Fk • Let α : Fk → Z ser la proyección w 7→ g1w donde g1w es el número de g1 en la palabra w = w(g1,. .., gk) con g cuenta como −1. • Que Hn sea el núcleo de pn α, donde pn : Z → Z/nZ es el natural proyección, es decir, Hn = < g 1, g 1 gjg {0,................................................................................................................................................................... 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 20 • Finalmente, dejar que H0 sea el núcleo de α, es decir.: Hn = g2,. ............................................................... es el subgrupo normal en U generado por g2,. .., gk. Observe que estamos en este entorno con U = η1(X *) = < x3, xyx−1, x2yx−2, yxy−1, y2 > para el origami L(2, 3) y U = η1(X *) = < x3, xyx−2, x2yx−1, yxy−1, y2xy−2, y3 > para el origami D. Para probar las propiedades de la Proposición 4.2, necesitaremos que U cumpla la siguiente condición técnica: Propiedad B: Let U = < g1,. ..., gk > (k ≥ 2) estar por encima de un índice finito Subgrupo de F2 de rango k y {wi}ióI un sistema de coset representantes con w1 = id. Supongamos que U tiene la siguiente propiedad: I - {1} : wj - g2,........................................................................................................................................ .............................................................. j 6 U. Uno puede comprobar a mano que para ambos origamis, L(2, 3) y D, esta propiedad es Cumplido. En este contexto obtenemos las siguientes conclusiones. Proposición 4.3. Let n â € N â € {0}. Dejar U ser un subgrupo índice finito de F2 el cumplimiento de la propiedad B. Con las anotaciones de la configuración A, tenemos: a) El normalizador de Hn en F2 es igual a U : NormaF2(Hn) = U b) Apuñalamiento (Hn) StabAut+(F2) c) Recuerde que U = Fk, el grupo libre en generadores k. Let βn : Aut(Fk) → GLk(Z/nZ) ser la proyección natural. Entonces Apuñala. (Hn) es igual a 1n ({A = (ai,j)1≤i,j≤k GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0}) G. Aquí utilizamos la notación Z/(0Z) = Z por lo tanto β0 es la proyección natural Aut(Fk) → GLk(Z). Prueba. Por definición Hn es normal en U, es decir. U NormF2(Hn). Ahora w ser un elemento de F2\U. Por lo tanto, w = wj ·u para algunos j • I1}, u • U. Por propiedad B, hay algunos h0 â € ¬ g2,. .., gk >>U = H0, de tal manera que wjh0w j 6o U. Por lo tanto tenemos w(u −1h0u)w -1 6 U. Pero u-1h0u H0 Hn, ya que H0 es normal en U. Esto muestra que w 6o NormF2 (Hn). 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 21 Esto se deriva de a), ya que para un subgrupo H de F2 en general sostiene: (H) Apuñalamiento (NormF2(H)), véase, por ejemplo, [S 06, Observación 3.1]. Definir M = {A = (ai,j)1≤i,j≤k • GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0}. Vamos a γ G. Tenemos que demostrar que γ(Hn) = Hn si y sólo si βn(γ) • M. Además pkn : Fk → (Z/nZ) k ser la proyección natural. Considere el siguiente diagrama conmutativo: Hn = p n(Hn) (Z/nZ) βn(γ) // (Z/nZ)k pkn(Hn) = Hn Puesto que pkn es sujetivo y Hn es la preimagen completa de Hn = p n(Hn), se deduce que γ(Hn) = Hn si y sólo si βn(γ)(Hn) = Hn. Obsérvese finalmente que: Hn = {(0, x2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... k} y StabGLk(Z/nZ)(Hn) = { A = (ai,j)1≤i,j≤k GLk(Z/nZ) (y1,. .., yk) = A · (0, x2,. .., xk) y1 = 0 } = {A = (ai,j) • GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0} El teorema 2 sugiere la siguiente notación. Definición 4.4. Dejar U ser un subgrupo de F2. Con : Aut+(F2) → SL2(Z) como en Teorema 2, se define (U) = (Stab) y llamen a (U) el grupo Veech de U. Ahora obtenemos de la Proposición 4.3 las siguientes conclusiones. Corollary 4.5. Supongamos que estamos en la misma situación que en la Proposición 4.3, en particular que U es un subgrupo índice finito de F2 cumpliendo la propiedad B. Entonces tenemos para todos n â € N: a) Apuñalamiento (H0) StabAut+(F2) (Hn) y (H0) (Hn). 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 22 b) Si m N con nm, entonces: (Hm) StabAut+(F2) (Hn) y (Hm) (Hn). (H0) = (Hn) y Ł(H0) = (Hn) Prueba. a) y b): Por la Proposición 4.3 tenemos que * N: γ * Apuñalamiento. (Hn) βn(γ) = A = (ai,j) con a1,2 فارسى. .......................................................................................................................... Apuñalamiento (H0) α β0(γ) = A = (ai,j) con a1,2 =. .. = a1,k = 0. Así que tenemos para todos n â € N y para todos m â € N con nm, que (H0) StabAut+(F2)(Hm) StabAut+(F2)(Hn). Tenemos en particular por la definición del grupo Veech de un subgrupo de F2: * (H0) * (Hm) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) (Hn) * (Hn) * (Hn) (Hn) (Hn) * (Hn) (Hn) * (Hn) (Hn) (Hn) (Hn). sigue de a). sigue de Observación [S 06, Observación 3.1]. Ahora volvemos al lenguaje de origamis: Que O sea un origami, U el corre- sponding subgrupo de F2. Definir para U los subgrupos Hn (n N) como en el ajuste A y dejar ser los origamis correspondientes a los grupos Hn. Por corolario 4.5 y Teorema 2 obtenemos inmediatamente el siguiente resultado. Proposición 4.6. Si U tiene la propiedad B, entonces N: (Om) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O). En particular, si •(O) es un grupo de no congruencia, cada •(O) es una no congruencia grupo. Así, en este caso, obtenemos infinitamente muchos origamis cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Con el fin de concluir la Proposición 4.2, ahora sólo queda probar el último punto. Pero esto sigue, ya que tenemos (véase [S 05]) para ambas secuencias En, la que viene del origami L(2, 3) y del origami D, que 3n divide s. (6) 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 23 Esto termina la prueba de la Proposición 4.2. Además, el teorema 1 se deriva de la Proposición 4.2. Observación: Del corolario 4.5 y (6) se deduce que el índice infinito de SL2(Z). Además no es trivial, ya que contiene para L(2, 3), respectivamente B3 = para D. REFERENCIAS 24 Bibliografía [EG 97] C.J. Earle, F.P. Gardiner: Discos Teichmüller y estructuras F de Veech. Sociedad Americana de Matemáticas. Matemáticas contemporáneas 201, 1997 (p. 165–189). [GJ 00] E. Gutkin, C. Juez: Mapas afín de superficies de traducción. Duke Diario Matemático 103 No. 2, 2000 (págs. 191 a 212). [HeSc 06] F. Herrlich, G. Schmithüsen: En el límite de los discos de Teichmüller en Teichmüller y en el espacio Schottky. Aparecer en el Manual de Teichmüller teoría. Ed. A. Papadopoulos, European Mathematical Society, 2006. [H 06] F. Herrlich: Un peine de curvas de origami en M3. Deliberaciones del Simposio sobre Grupos de Transformación, Yokohama, noviembre de 2006. [HL 05] P. Hubert, S. Lelièvre: Subgrupos de incongruencia en H(2). Internacionales Avisos de investigación matemática 2005, No.1, 2005 (p. 47–64). [HuSc 01] P. Hubert, T. Schmidt: Invariantes de las superficies de traducción. Annales de l’Institut Fourier 51 No. 2, 2001 (págs. 461 a 495). [Le 02] S. Lelièvre: Superficies Veech asociadas con billares racionales. Preimpresión, 2002. arXiv:math.GT/0205249. [Lo 05] P. Lochak: En curvas aritméticas en el espacio modulo de curvas. J. Inst. Matemáticas. Jussieu 4, No. 3, 2005 (p. 443–508). [S 04] G. Schmithüsen: Un algoritmo para encontrar el grupo Veech de un origami. Matemáticas experimentales 13 No. 4, 2004 (págs. 459 a 472). [S 05] G. Schmithüsen: Grupos Veech de Origamis. Disertación (tesis de PhD), Karlsruhe 2005. Elektronisches Volltextarchiv EVA Universität Karlsruhe. http://www.ubka.uni-karlsruhe.de/eva/ [S 06] Schmithüsen,G.: Ejemplos para grupos Veech de origamis. En: El Geome- prueba de Riemann Surfaces y Abelian Variedades. Contemporaneo. Matemáticas. 397, 2006 (pág. 193–206). [T 88] W. Thurston: Sobre la geometría y dinámica de los difeomorfismos del sur- Caras. Boletín (Nueva Serie) de la American Mathematical Society 19 No. 2, 1988 (p. 417–431). [V 89] W.A. Veech: Teichmüller curvas en el espacio modulo, serie Eisenstein y una aplicación al billar triangular. Invenciones Mathematicae 97 No.3 1989, (p. 553–583). REFERENCIAS 25 [W 64] K. Wohlfahrt: Una extensión del concepto de nivel de F. Klein. Illinois Journal de Matemáticas 8, 1964 (págs. 529 a 535). [Z 06] A. Zorich: Superficies planas en colección ”Frontiers in Number Theory, Física y geometría. Volumen 1: En matrices aleatorias, funciones zeta y sistemas dinámicos”, Ed. P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove, Springer- Verlag, 2006 (págs. 439 a 586). Origamis Estructuras de traducción y grupos Veech Grupos veech de origamis Grupos Veech que no son grupos de congruencia

Como resultado principal mostramos que para cada g > 1 hay alguna superficie de traducción de género g cuyo grupo Veech es un subgrupo de no congruencia de SL(2,Z). Usamos origamis/superficies cuadradas para producir nuestros ejemplos. El artículo está dividido en dos partes: En la primera parte introducimos superficies de traducción, origamis, Grupos Veech y Teichmueller curvas y muestran para dos origamis en el género 2 que sus grupos Veech son grupos de no congruencia; en la segunda parte proporcionamos un técnica que produce secuencias de origamis cuyos grupos Veech son Disminución. Esto se utiliza para probar el resultado principal.

Origamis con no congruencia Grupos Veech Gabriela Schmithüsen En este artículo damos una introducción a origamis (a menudo también llamado las superficies) y sus grupos Veech. Como teorema principal probamos que en cada género existen origamis, cuyos grupos Veech son subgrupos de no congruencia de SL2(Z). La idea básica de un origami es obtener una superficie topológica de unas pocas combina- datos toriales pegando finitamente muchos cuadrados de unidades euclidianas de acuerdo con los especificados reglas. Estas superficies vienen con una estructura de traducción natural. Uno asigna en general a una superficie de traducción un subgrupo de GL2(R) llamado el grupo Veech. In el caso de las superficies definidas por origamis, los grupos Veech son índice finito sub- grupos de SL2(Z). Estos grupos son los objetos que estudiamos en este artículo. Una motivación para interesarse por los grupos Veech es su relación con Teichmüller los discos y las curvas de Teichmüller, véase, por ejemplo, el artículo [H 06] de F. Herrlich en el mismo volumen: Una superficie de traducción del género g define de manera geométrica un Incrustación del plano de la mitad superior en el espacio de Teichmüller Tg de Rie- mann superficies del género g. La imagen se llama disco Teichmüller. Su proyección a el espacio modoli Mg es a veces una curva algebraica compleja, llamada Teichmüller curva. Más precisamente esto sucede, si y sólo si el grupo Veech es una celosía en SL2(R). En este caso la curva algebraica se puede determinar a partir del grupo Veech hasta la biracionalidad. Es difícil determinar el grupo Veech para una superficie de traducción general. ¿Cómo...? siempre, si la superficie de la traducción viene de un origami hay un enfoque especial a este problema. Se basa en la idea de describir origamis por índice finito sub- grupos de F2, el grupo libre en dos generadores. Esto lleva a una caracterización de origami Veech agrupa como imágenes en SL2(Z) de ciertos subgrupos de Aut(F2), el grupo de automorfismo de F2. Usando este enfoque vamos a calcular los grupos Veech de dos origamis explícitamente. Resultan ser grupos de no congruencia. A partir de estos ejemplos nosotros obtener secuencias infinitas de origamis todos cuyos grupos Veech no son congruencia grupos. Esto lleva al siguiente teorema. Teorema 1. Cada módulo de espacio Mg (g ≥ 2) contiene una curva de origami El grupo Veech es un grupo de no congruencia. En la Sección 1 introducimos origamis y presentamos diferentes formas equivalentes de de- Escríbelos. En la Sección 2 echamos un vistazo al contexto matemático. Nosotros describir, cómo un origami define una familia de superficies de traducción y explicar aproximadamente, cómo se obtiene una curva Teichmüller en el espacio modulo a partir de http://arxiv.org/abs/0704.0416v1 un origami. Presentamos a los grupos Veech y en breve señalamos su relación con Teichmüller curvas. En la Sección 3 nos dirigimos a los grupos Veech de origamis y presentes una caracterización de ellos en términos de automorfismos del grupo libre F2 en dos Generadores. Utilizamos esta caracterización para calcular dos ejemplos explícitamente. Finalmente, en la Sección 4 mostramos que estos dos ejemplos producen grupos Veech que son grupos de no congruencia y dan un método para construir fuera de ellos infinito secuencias de grupos Veech que son de nuevo grupos de no congruencia. La primera parte (Sección 1 -Sección 3) de este artículo tiene por objeto dar un útil in- troducción a origamis y una visión general de algunos de nuestros resultados sobre su Veech grupos. En la segunda parte declaramos y probamos el Teorema 1 basado en los resultados en la tesis doctoral [S 05] del autor. Para una introducción más amplia y una visión general de las curvas de origamis y Teichmüller así como para las referencias al contexto más amplio, nos referimos al lector e.g. a [HeSc 06], [S 04] y [S 05]. Agradecimientos: Me gustaría dar las gracias a Frank Herrlich por su apoyo en respeto del contenido y por su lectura de pruebas, Stefan Kühnlein para ayudar a debates y sugerencias especialmente sobre los grupos de no congruencia y los organizadores de la conferencia por darme la oportunidad de contribuir a estos trabajos. Esta labor contó con el apoyo parcial de una beca del Programa Postdoc. del Servicio Alemán de Intercambio Académico (DAAD). 1 ORIGAMIS 3 1 Origamis Hay varias maneras de definir origamis. Comenzamos con el de alguna manera juguetón descripción que hemos aprendido de [Lo 05], donde también el nombre origami fue introducido: Un origami se obtiene pegando los bordes de muchas copias finitas Q1,. .., Qd de la plaza euclidiana Q a través de traducciones de acuerdo con lo siguiente normas: • Cada borde izquierdo se identificará a un borde derecho y viceversa. • Del mismo modo, cada borde superior se identificará a uno inferior. • Se conectará la superficie X cerrada emergente. Sólo estudiamos lo que se llama origamis orientado en [Lo 05] y los llamamos simplemente origamis. Ejemplo 1.1. a) El ejemplo más simple es el origami que está hecho de un solo cuadrado. Hay precisamente una posibilidad de pegar sus bordes de acuerdo con las reglas. Se obtiene un toro E. Llamamos a esto origami el origami trivial O0. Figura 1: El origami trivial. Los bordes opuestos están pegados. Observe que los cuatro vértices del cuadrado están todos identificados y se convierten en un punto en la superficie cerrada E. Llamamos a este punto. b) Ahora consideramos un origami hecho de cuatro cuadrados, ver Figura 2. Algunos Las identificaciones de los bordes ya se hacen en la imagen. Para todos los demás los bordes los que tienen las mismas etiquetas están pegados. El origami se llama L(2, 3) para razones obvias. 2 3 4 a b c Figura 2: El origami L(2, 3). Los bordes opuestos están pegados. 1 ORIGAMIS 4 Observe que en este caso los vértices etiquetados con • y los vértices etiquetados se identifican respectivamente y se convierten en dos puntos en la superficie cerrada X. Calculando la característica Euler se obtiene, que el género de la superficie X es 2. c) Finalmente, consideramos un ejemplo con cinco cuadrados, ver Figura 3. Aquí, se identifican los bordes con las mismas etiquetas. Para los bordes sin etiquetar, los que son opuestos el uno al otro están pegados. Llamamos al origami D. 1 2 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Figura 3: El origami D. Bordes con la misma etiqueta y bordes sin etiqueta que son opuestos están pegados. En este caso, obtenemos las tres clases de identificación: vértices. El género de la superficie cerrada X es de nuevo 2. Origamis como revestimientos de un toro Observar, que el origami trivial O0 del Ejemplo 1.1 a) es universal en el sentido siguiente: Si X es la superficie cerrada que surge de un origami arbitrario O y E el toro que surge de O0, entonces tenemos un mapa natural X → E por mapeando cada uno de los cuadrados unitarios del O de origami que forman la superficie X a el cuadrado de una unidad de O0 que forma el toro E. Este mapa es una cubierta que es no ramified excepto sobre el punto unidireccional E. Por el contrario, dada una superficie cerrada X junto con tal cubierta p : X → E, obtenemos una descomposición de X en cuadrados cortando X a lo largo de las preimágenes de los bordes del un cuadrado de O0 que forma E. Esto motiva la siguiente definición de origamis. Definición 1.2. Un O de origami del género g y grado d es una cubierta p : X → E de grado d desde la superficie cerrada (topológica) X del género g hasta el toro E que se ramifica sobre a lo sumo en un punto marcado. Recordemos que hemos fijado aquí un toro E y un punto E. En particular Además, podemos fijar un punto M 6 = • en E y un conjunto de generadores estándar del grupo fundamental η1(E,M) que no pasan a través de ♥. De esa manera nosotros obtener un isomorfismo fijo *) = F2, (1) 1 ORIGAMIS 5 donde E* = E® y F2 = F2(x, y) es el grupo libre en dos generadores x e y. Describiendo E pegando los bordes del cuadrado de la unidad a través de traducciones, elegimos M será el punto medio de la plaza de la unidad y los generadores estándar será el horizontal y vertical simplemente cerrada curva a través de M, ver Figura 4. Figura 4: Grupos electrógenos de η1(E) Ejemplo 1.3. En el ejemplo 1.1, en a) la cubierta es la identidad id : E → E. En b) tenemos una cubierta p : X → E de grado 4 que se ramifica en los dos puntos etiquetados por • y •. Recordemos que el género de X es 2. En c) tenemos una cubierta p : X → E de grado 5 ramificado en los dos puntos etiquetados por • y •. Obsérvese que aunque el punto en X etiquetado por â € € TM es una preimagen de â € TM, la cubierta no está ramificada en este punto. El género X es de nuevo 2. Definición 1.4. Decimos que dos origamis O1 = (p1 : X1 → E) y O2 = (p2 : X2 → E) son equivalentes, si hay un homeomorfismo p1 = p2. Descripción por un par de permutaciones Un origami O = p : (X → E) de grado d define (hasta la conjugación en Sd) • un homomorfismo m : F2 = F2(x, y) → Sd o equivalente • un par de permutaciones en Sd de la siguiente manera: Deja que M1,. ............................................................... Además, vamos a m : η1(E) ∗,M) → Sym(M1,. ..,Md) ser el mapa de monodromia definido por p, es decir. para la trayectoria cerrada c • η1(E) ∗,M) punto Mi se asigna a Mj por m(c) si y sólo si el levantamiento de la curva c a X vía p, que comienza en Mi, termina en Mj. Elegir un isomorfismo Sym(M1,. ..,Md) = Sd y utilizando el isomorfismo *) = F2 fijado en (1) hace m en un homomorfismo de F2 a Sd. Nos pusimos a = m(x) y b = m(y). Observe que este homomorfismo depende del isomorfismo elegido a Sd y sobre la elección del origami en su clase de equivalencia sólo hasta la conjugación en Sd. Por lo tanto consideramos dos homomorfismos m1 : F2 → Sd y m2 : F2 → Sd a ser equivalente, si se conjugan por un elemento en Sd. Similarmente llamamos a dos pares (a, b) y ( b) en equivalente de Sd, si se conjugan simultáneamente, i.e. hay algunos s? Sd tales que?a = s? −1 y b = s 1 ORIGAMIS 6 Ejemplo 1.5. En el ejemplo 1.1 obtenemos para el origami L(2, 3) en b) el mon- homomorfismo odromiológico m : F2 → S4, x 7→ (2 3 4) y 7→ (2 1), y, por lo tanto, a = (2 3 4) y b = (2 1). Para el origami D en c) obtenemos de manera similar las permutaciones A = (1 2 3) y B = (1 4 5)(2 3). Descripción como subgrupos de índice finitos de F2 Origamis puede ser descrito equivalentemente como subgrupos índice finitos de F2, el libre grupo en dos grupos electrógenos, como se indica en la siguiente observación. La caracterización de los grupos Veech de origamis se basa principalmente en esta observación. Observación 1.6. Tenemos una correspondencia uno a uno: origamis hasta la equivalencia ↔ subgrupos de índice finito de F2 hasta la conjugación. Más precisamente, esta correspondencia se da de la siguiente manera: Que O = (p : X → E) sea un origami. Definir E* = E − y X* = X − p−1 (­). Por lo tanto, podemos restringir p a la cobertura no estratificada p : X* → E*. Esto define una integración de los grupos fundamentales correspondientes: U = η1(X *) η1(E) *) = F2 De nuevo usamos el isomorfismo fijo en (1), véase también la Figura 4. Cambiar el origami en su clase de equivalencia conduce a una conjugación de U con un elemento en F2. El índice del subgrupo de F2 es el grado d de la cubierta p. Por el contrario, dado un índice finito subgrupo U de F2 recuperamos el origami en la siguiente manera: Let v : → E* ser una cobertura universal de E*. Por el teorema de la cubierta universal, η1(E) *) es isomórfico a Deck(/E*), el grupo de transformaciones de cubierta de /E*. Además, el subgrupo del índice finito U de Deck(/E*) corresponde a una cubierta no estratificada p : X* → E* de finito grado. Esto se puede extender a una cubierta X → E, donde X es una superficie cerrada. Ejemplo 1.7. En el Ejemplo 1.1, obtenemos los siguientes subgrupos de F2: En a), X* es el toro una vez perforado y U = F2. En b), X* es una superficie del género 2 con 2 punciones. Por lo tanto U = η1(X *) es un grupo libre del rango 5. Teniendo en cuenta que utilizamos la identificación η1(E * = F2 = F2(x, y) que se describe en la Figura 4, se puede leer de la imagen en la Figura 2 que U = < x3, xyx−1, x2yx−2, yxy−1, y2 > En c), X* es una superficie del género 2 con tres punciones. Así U es un grupo libre de rango 6. Más precisamente, leemos la imagen en la Figura 3, que U = < x3, xyx−2, x2yx−1, yxy−1, y2xy−2, y3 > 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 7 Descripción como gráfico finito Finalmente, a veces es conveniente describir un origami O = (p : X → E) como un gráfico finito, orientado etiquetado: A saber, dejar U ser el subgrupo índice finito de F2 (único hasta la conjugación) que corresponde a O como se describe en el último párrafo. Entonces representamos el origami por el Cayley-Grafo de U F2: Los vértices del gráfico son los representantes del coset. Están etiquetados con un representante del coset. Los bordes están etiquetados con x e y. Para cada vértice (con la etiqueta w F2) hay un borde de x de ella al vértice que pertenece a la coset de wx. Y de manera similar hay un borde y al vértice que pertenece a la Coset Wy. Ejemplo 1.8. La siguiente figura muestra el Cayley-graph para el origami L(2, 3) del ejemplo 1.1: ?=<89: GFED@ABCīd x //?=<89:;x̄ x // GFED@ABC Figura 5: Gráfico para O = L(2, 3). 2 Estructuras de traducción y grupos Veech Estructuras de traducción Recuerde que un atlas en una superficie se llama atlas de traducción, si todos los mapas de transición son traducciones. Un origamiO = (p : X → E) define naturalmente una familia SL2(R) de las estructuras de traducción μA (A-SL2(R)) en X * = X − p−1(­) como se indica a continuación: • Como primer paso, observe que cada una de las A SL2(R) define naturalmente una traducción estructura ηA en el propio toro E, identificándolo con C / A, donde y A es la celosía < > en C (2) • A continuación, definir la estructura de traducción μA en X * mediante el levantamiento de ηA a través de p, es decir, μA = p Utilizando la primera descripción de un origami que dimos por pegar cuadrados, obtenemos la estructura de traducción μI (donde I es la matriz de identidad), si identificamos la cuadrados con el cuadrado de unidad euclidiana en C. Obtenemos μA para una matriz general 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 8 A SL2(R) de esto identificando los cuadrados con el paralelogramo extendido por los dos vectores Así, las variaciones SL2(R) de la estructura de traducción μI se pueden considerar como cizallamiento afín de los cuadrados de la unidad, ver Figura 6. Figura 6: Estructura de traducción esquilada para el origami L(2, 3). De un origami a una curva de Teichmüller en el espacio modulo Por la familia SL2(R) de estructuras de traducción, el origami O = (p : X → E) define una curva algebraica compleja específica llamada curva de Teichmüller en el modulo espacio Mg de las superficies cerradas de Riemann del género g. Indicamos esta construcción aquí sólo brevemente como motivación y referirse, por ejemplo. al artículo general [HeSc 06] para una descripción detallada y enlaces a las referencias. Una configuración particular agradable de Estas curvas de Teichmüller se describen en [H 06] en este volumen. La curva de Teichmüller en Mg se obtiene del origami de la siguiente manera: • La estructura de traducción μA descrita en el párrafo anterior está en par- una estructura compleja en la superficie X* que se puede extender a la superficie cerrada X. La superficie de Riemann (X, μA) junto con la identidad mapa id : X → X como marca entonces define un punto en el espacio de Teichmüller Tg. Así obtenemos el mapa: : SL2(R) → Tg, A 7→ [(X, μA), id]. • Si A • SO2(R), entonces el mapa afín z 7→ A ·z es holomórfico. Por lo tanto, el mapa factores a través de SO2(R). Además, utilizando ese módulo SL2(R) SO2(R) es isomórfico a la mitad superior plano H, se obtiene un mapa ■ : H • = SO2(R)\SL2(R) → Tg De hecho, este mapa es una incrustación que es al mismo tiempo holomórfico y isométrico. Un mapa con esta propiedad se llama Teichmüller incrustación y su imagen en el espacio de Teichmüller se llama un disco de Teichmüller o un geodésico disco. 2 ESTRUCTURAS DE TRADUCCIÓN Y GRUPOS DE PRÉSTAMOS 9 • Por último, se puede componer el mapa con la proyección al espacio modulo Mg. La imagen en Mg es una curva algebraica compleja. Una curva en Mg que surge así como la imagen de un disco de Teichmüller se llama Teichmüller curva. Nota: De manera más general, se obtiene un disco Teichmüller de manera similar a partir de de una superficie de traducción arbitraria (o un poco más general: de una superficie plana). Sin embargo, la imagen de un disco de este tipo en el espacio modulo no siempre es un complejo curva algebraica; de hecho su cierre Zariski tiende a ser de mayor dimensión. Lo siento. es una pregunta interesante cómo decidir si una superficie de la traducción conduce a un Curva de Teichmüller. Una posible respuesta a esto es dada por el grupo Veech que Presentamos en el párrafo siguiente. Grupos Veech Que X* sea una superficie conectada y μ una estructura de traducción en ella. Uno asigna a es un subgrupo de GL2(R) llamado grupo Veech como se describe en el siguiente: sider el grupo Aff+(X*, μ) de toda orientación conservando difeomorfismos afín, i.e. orientación preservando difeomorfismos que son localmente afín mapas de la plano C, véase la figura 7. Aquí – y a lo largo de todo el artículo – identificamos C con R2 por el mapa z 7→ (Re(z), Im(z))t. Así un difeomorfismo afín f can escribir en términos de gráficos locales como f : z = (Re(z), Im(z))t 7→ A · (Re(z), Im(z))t+ z0 con A â € GL2(R) y z0 â € C. Observe que A no depende del gráfico, ya que μ es una estructura de traducción. Así se obtiene un mapa bien definido D : Aff+(X*, μ) → GL2(R), f 7→ A llamado Mapa Derivativo. Definición 2.1. El grupo Veech (X*, μ) de la superficie de traducción (X*, μ) es la imagen del mapa derivado D: (X*, μ) = D(Aff+(X*, μ)) z 7→ Az + z0 Figura 7: Difeomorfismo afín de una superficie de traducción 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 10 Ejemplo 2.2. Let (X*, μ) ser C / I con la estructura natural de la traducción. Toma. I es la matriz de identidad y I es la celosía correspondiente tal como se define en (2). Un difeomorfismos afín de C / I eleva a un difeomorfismos afín de C respeto- En la celosía. Por el contrario, cada tal difeomorfismo desciende a C / I. Por lo tanto, tenemos en este caso (X*, μ) = SL2(Z). Grupos Veech y curvas Teichmüller Como se indica en el párrafo sobre las curvas de Teichmüller, el grupo Veech “sabe” si una superficie de traducción define una curva de Teichmüller en el espacio modulo o no. Más precisamente, uno tiene la siguiente declaración: Hecho: Que X sea una superficie del género g y X* = XP1,. .., Pn} para muchos finitos puntos P1,. .............................................................. Además dejar μ ser una estructura de traducción en X A continuación (X*, μ) define una curva C de Teichmüller si y sólo si el grupo Veech (X*, μ) es una celosía en SL2(R). En este caso, la curva C es (antiholomórfica) biracional a H/Ł(X*, μ). Describimos la relación con las curvas de Teichmüller aquí como motivación y en para echar un vistazo al marco general. Por lo tanto, hemos reanudado los teoremas contribuido por varios autores condensado en lo que aquí se llama "hecho". Una buena Se puede encontrar acceso a él, por ejemplo. en [EG 97] o [Z 06]. Una visión más amplia sobre Se dan grupos Veech de superficies de traducción, por ejemplo. en [HuSc 01] y en [Le 02]. Los discos Teichmüller, las curvas Teichmüller y los grupos Veech han sido intensamente estudiado por numerosos autores, a partir de Thurston [T 88] y Veech mismo [V 89]. Nos referimos a [S 04] y [HeSc 06] para una visión más completa sobre referencias. 3 Grupos Veech de origamis Que O = p : (X → E) sea un origami. Hemos visto en la sección 2 que O define un SL2(R)-familia de estructuras de traducción μA (A) SL2(R) en X * = X − p−1(l). Los grupos Veech correspondientes no son muy diferentes. De hecho, todos son conjugado el uno con el otro. Más precisamente, tenemos: * (X*, μA) = A* (X) *, μI)A Por lo tanto, podemos restringir al caso donde A = I que justifica lo siguiente: definición. Definición 3.1. El grupo Veech (O) de la origamiO se define como "X*, μI". Del ejemplo 2.2 se desprende que el grupo Veech del origami trivial O0 (de- multada en el ejemplo 1.1) es SL2(Z). Para un origami general se puede demostrar que •(O) 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 11 es un subgrupo de índice finito de SL2(Z). De hecho, también lo contrario es cierto como era mostrado por Gutkin y Judge en [GJ 00]: Un grupo Veech es un subgrupo de índice finito de SL2(Z) si y sólo si procede de un origami. De ello se desprende, en particular, el hecho expuesto en la sección 2 de la página 10 que un origami siempre define una curva de Teichmüller en el espacio modulo. Caracterización de los grupos Veech de origami Recordemos de la sección 1 que una O de origami corresponde (hasta la equivalencia) a una índice finito subgrupo U de F2 = F2(x, y), el grupo libre en dos generadores (hasta conjugación). Esta descripción nos permite dar una caracterización de su Veech grupo enteramente en términos de F2 y sus automorfismos. Para ello necesitamos los dos ingredientes siguientes: • Let : Aut(F2) → Out(F2) • = GL2(Z) ser la proyección natural. Los hecho de que sólo consideramos la orientación preservando difeomorfismos se aplica a tomar sólo automorfismos de Aut(F2) que se asignan a los elementos en SL2(Z). Denotamos Aut +(F2) = −1(SL2(Z)) y restringir al mapa : Aut+(F2) → SL2(Z). • Let Stab(U) = Aut+(F2)(U) = U} Utilizando estos ingredientes, se demostró en [S 04] que los grupos Veech de origamis pueden se describirá como se indica en el siguiente teorema. Teorema 2 (Proposición 1 en [S 04]). Por el grupo Veech (O) del origami O sostiene: (O) = (Stab(U)) Hagamos dos comentarios sobre esta descripción: Una consecuencia es que se obtiene un algoritmo que puede calcular el Veech grupo de un origami arbitrario explícitamente. Este algoritmo se describe en detalle en [S 04]. Como otra consecuencia, ahora tenemos una caracterización de todo el origami Veech grupos según se indica en el corolario siguiente. Corolario 3.2. Un subgrupo índice finito de SL2(Z) ocurre como grupo Veech origami si y sólo si es la imagen del grupo estabilizador Stab(U) Aut+(F2) para algún subgrupo índice finito U en F2. Así, la pregunta, que subgrupos índice finitos de SL2(Z) son los grupos Veech ser- viene más o menos hablando de la misma pregunta que los subgrupos de Aut+(F2) son grupos estabilizadores. Hasta ahora, no se conoce ninguna respuesta general. 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 12 En [S 05] se demostró que muchos subgrupos de congruencia de SL2(Z) son Veech grupos. Recordemos que un grupo de congruencia de nivel n es un subgrupo de SL2(Z) que es la preimagen completa de algún subgrupo de SL2(Z/nZ) bajo el homomor natural phism SL2(Z) → SL2(Z/nZ) y n serán mínimos con esta propiedad. Para prime grupos de congruencia de nivel la siguiente declaración se muestra en [S 05, Teorema 4] Teorema 3. Dejemos que p sea primo. Todos los grupos de congruencia de nivel p son Veech salvo que, posiblemente, el valor de p {2, 3, 5, 7, 11} y el valor de p en SL2(Z). Este resultado se generaliza a una declaración para arbitraria n en [S 05, Teorema 5] Presentando el grupo Veech y el cociente H/Ł para un origami Como se mencionó anteriormente, usando Teorema 2 el grupo Veech de un origami puede ser calculado explícitamente. Los grupos Veech se describen como subgrupos de SL2(Z) por grupos electrógenos y representantes de los cosets. Utilizamos para la notación que SL2(Z) es generado por S y T, con y T = Recordemos además el debate sobre los grupos Veech y las curvas de Teichmüller en la sección 2 de la página 10 que para un grupo Veech estamos especialmente interesados en el cociente H/l, ya que este cociente es biracional a la Te- ichmüller curva. Aquí actúa como grupo Fuchsian en la mitad superior del plano H, que está dotado con la métrica de Poincaré. Puesto que un grupo Veech de origami es un subgrupo índice finito de SL2(Z), el cociente H/® viene con una triangulación natural. Más precisamente, elegimos la funda- dominio mental para la acción de SL2(Z) en H que es el pseudo-triángulo geodésico • con vértices P = −1 i, Q = 1 i y P.o.p. = 0.o.p. Figura 8: Ámbito fundamental de SL2(Z). La superficie H/SL2(Z) se obtiene mediante la identificación de los bordes verticales vía T y el borde PQ consigo mismo (con punto fijo i) vía S. Para un subgrupo arbitrario de SL2(Z) de índice finito obtenemos un dominio como una unión de las traducciones del triángulo •: para cada coset A tomamos la 3 GRUPOS DE ORIGAMIS triángulo A, donde A es un representante del coset. La identificación de los bordes son dados por los elementos en فارسى. Pegar los bordes da el cociente la superficie H/., el relleno en el cusps conduce a una superficie Riemann cerrada dotada de una triangulación. Dibujamos imágenes estilizadas de los dominios fundamentales que indicar los triángulos (véanse las figuras 9 y 10). Los triángulos están etiquetados con un Coset representativo, los bordes que se identifican están etiquetados con la misma letra y vértices que se identifican con el mismo número. Vértices que vienen de cúspides (es decir, cúspides) los puntos en la letra •) se marcan con •. En particular, se puede leer de estas imágenes estilizadas el género y el número de cúspides de la superficie del cociente H/­. Dos ejemplos: el origami L(2,3) y el origami D El origami L(2,3): En [S 04, Ejemplo 3.5] el grupo Veech se calcula de la siguiente manera: (L(2, 3)) = < Más precisamente, se obtienen los generadores presentados como productos de S y T como así como una lista de representantes coset. • Lista de generadores: = T 3, = TST 2ST−1T−1, = TSTST−1S, = T 2STST−1S−1T−2, • Lista de representantes: I, T, S, T 2, TS, ST, T 2S, TST, T 2ST Por lo tanto, Ł(L(2, 3)) es un subgrupo del índice 9 en SL2(Z). La imagen estilizada del cociente H/Ł(L(2, 3)) se determina en [S 04, Ejemplo 3.6] y se muestra aquí en la Figura 9. 3 GRUPOS DE ORIGAMIS 15 TTSTT Figura 9: Ámbito fundamental de la letra L(2, 3)). A partir de esto se puede leer que el género del cociente H (L(2, 3)) es 0 y que tiene 3 cúspides, a saber, los vértices etiquetados por 1,4 y 5. A continuación figura, a título de ejemplo, el texto siguiente: particularmente que la curva correspondiente de Teichmüller tiene el género 0. El origami D: El grupo Veech del origami D se calcula en [S 05, sección 7.3.2]. Lo ha hecho. índice 24 en SL2(Z) y los siguientes generadores: = −I, A1 = = T 3, = ST 6S−1, A3 = −7 16 = (T 2S)T 4(T 2S)−1. = (TS)T 4(TS)−1, A5 = −20 11 = (TST 2S)T 5(TST 2S)−1, −18 −5 = (ST 3S)T 2(ST 3S)−1, El siguiente es un sistema de cosets representantes: I, T, S, T 2, TS, ST, T 2S, TST, ST 2, STS, T 2ST, TST 2, ST 5, ST 3, T 2S, TST 3, TST 2S, ST 4, ST 3S, TST 2ST-1, TST 2ST−2, TST 2ST−3 ; TST 2ST−4, ST 3ST 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 15 La curva de origami C(D) correspondiente tiene el género 0. Se muestra con su natu- triangulación ral en la Figura 10. Tiene seis cúspides, a saber, C1, C2, C3, C4, C5 y C6. TT TTS TTSTT STTSTT TSTTS TSTTST−1 3ST ST Figura 10: Curva de origami a D. 4 Grupos Veech que no son grupos de congruencia Teorema 3 implica que hay muchos grupos de congruencia que son Veech grupos. ¿Qué tal grupos de no congruencia? En esta sección veremos que los grupos Veech para los dos ejemplos, el origami L(2, 3) y el origami D, Los dos grupos estudiados en el último párrafo son grupos de no congruencia. Además, Damos una construcción que produce para ambos una secuencia infinita de origamis cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Usamos esto con el fin de prueba nuestro teorema principal. 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 16 Otra generalización del ejemplo L(2, 3) fue dada por Hubert y Lelièvre en [HL 05], donde se muestran para ciertos origamis “en forma de L” o rostros, cómo se les llama allí, que sus grupos Veech no son congruencia grupos. Estas superficies son todas del género 2, por lo tanto se deduce que hay infinitamente muchos origamis del género 2 cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Recordemos que un grupo es un grupo de congruencia, cuyo nivel es un divisor de n, si y sólo si contiene el grupo principal de congruencia (n) = { mod n} = kernel(proj : SL2(Z) → SL2(Z/nZ)) En [S 04, Proposición 3.8] se mostró utilizando una prueba de Stefan Kühnlein que el El grupo Veech de L(2,3) es un grupo de no congruencia. La herramienta básica para esto es el nivel general que se define para cualquier subgrupo de SL2(Z) de la siguiente manera: cúspide definimos su amplitud para ser el número natural más pequeño n tal que allí es un elemento de ♥ conjugado en SL2(Z) a la matriz que fija la cúspide. Observe que esto es igual al número de triángulos alrededor el vértice que representa la cúspide en nuestra imagen estilizada de la superficie cociente (véanse las figuras 9 y 10). El nivel general de es el múltiplo menos común de la Amplitudes de todos sus cúspides. Un teorema de Wohlfahrt [W 64, Teorema 2] declara que el nivel y el nivel general de un grupo de congruencia coinciden. La amplitud de los tres cúspides de H/­(L(2, 3)) etiquetados con 1, 4 y 5 en la Fig- ure 9 es 3, 2 y 4 respectivamente. Por lo tanto, el nivel general de L(2, 3) es 12. Entonces se muestra en la prueba de que el punto L(2, 3)) no contiene el punto 12) que da la contradicción. El mismo método se puede utilizar para demostrar que •(D) es una no congruencia grupo. Aquí llevamos a cabo la prueba de ello. Observar de la Figura 10 que los seis cúspides C1,. .., C6 tienen la amplitud 3, 6, 4, 4, 5 y 2, respectivamente. Por lo tanto, la El nivel general es de 60. Proposición 4.1. El grupo Veech (D) es un grupo de no congruencia. Prueba. Supóngase que (D) es un grupo de congruencia. Desde el nivel general de * es 60, tenemos por el teorema de Wohlfahrt mencionado anteriormente, que * (60) es un Subgrupo de los países de Europa Central y Oriental. Utilizaremos los siguientes datos, que se pueden comprobar, por ejemplo. En la figura 10: # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A6 # # # # # # # A6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # −18 −5 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 17 Para verificarlo en la figura 10, utilice: A1 = T 3 y A6 = S −1T 2S−1T−1S−1TS−1T−3S−1. Vamos a encontrar un elemento en cuya proyección a SL2(Z/60Z) es igual a la de T, que nos da la contradicción deseada. Recordemos que SL2(Z/60Z) = SL2(Z/4Z)× SL2(Z/3Z)× SL2(Z/5Z). Nos identificamos en los siguientes dos grupos. Además denotamos por p4, p3, p5 y p60 la proyección de SL2(Z) a SL2(Z/4Z), SL2(Z/3Z), SL2(Z/5Z) y SL2 (Z/60Z), respectivamente. Luego p60 = p4 × p3 × p5. Tenemos p60(A1) = ( ) y p60(A6) = ( El orden de p4(A1) en SL2(Z/4Z) es 4, el orden de p3(A1) en SL2(Z/3Z) es 1 y el orden de p5(A1) en SL2(Z/5Z) es 5. También decimos: El orden de p60(A1) es (4, 1, 5). Desde el 7 hasta el 3 mod 4 y el 7 hasta el 2 mod 5 tenemos p60(A) 1) = ( ) (4) Además: p60(A) 6) = ( y con la misma notación que arriba p60(A) 6) tiene el orden (1, 3, 5). Por lo tanto p60(A) 6 ) = ( ). 5) De los apartados 4 y 5 se desprende que p60(A) 6 · A 1) = ( ) = p60( ) = p60(T ) Pero A206 · A 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por lo tanto, no puede ser un grupo de congruencia de nivel 60. ¡Contradicción! 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 18 Secuencias de origamis con no congruencia Grupos Veech A partir de la origamis L(2, 3) y D definiremos respectivamente una secuencia En, de tal manera que para cada n â € N el grupo Veech â € (On) de nuevo es una no congruencia grupo. La idea básica es “copiar y pegar”: vamos a cortar el origami a lo largo de un Segmento, tomar n copias de él y pegarlos a lo largo de los cortes. En la Figura 11 se muestra el origami On para L(2, 3): 1 3 4 5 7 8 . 4n-7 4n-5 4n-4 4n-3 4n-1 4n Figura 11: n copias de L(2, 3). Los bordes opuestos están pegados. Usando la descripción de un origami por un par de permutaciones de la Sección 1, On se administra como: 4n−3 4n−1 4n), b = (1 2)(5 6). . (4n−3 4n−2). Observe que el género de On es n + 1 y tiene 2n cusps: n de orden 3 (todos n marcado por • en la figura 11), y n del orden 1 (todos n marcados por • en la figura 11). Finalmente, queremos presentar el origami por el subgrupo índice finito Hn = *) de F2, que corresponde a On por Observación 1.6. Recordemos del ejemplo 1.7 que para O1 = L(2, 3), obtenemos el grupo libre de rango 5: U = H1 = < g1 = x 3, g2 = xyx −1, g3 = x 2yx−2, g4 = yxy −1, g5 = y 2 > F5. El grupo Hn se obtiene de la siguiente manera: Hn = < g 1, g 1 gjg {0,............................................................................................................................................................................................................................................................. En la Figura 12, mostramos el Dn de origami: 1 2 3 6 7 8 ................................................................................................... 5n-4 5n-3 5n-2 b1 a2 b2 an • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • * • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Figura 12: n copias de D. Bordes con la misma etiqueta o Los bordes opuestos sin etiqueta están pegados. 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 19 El par de permutaciones que describen Dn es: 5n− 4 5n− 3 5n− 2), b = (1 4 5)(6 9 10). . (5n− 4 5n− 1 5n(2 3)(7 8)..................................................................................................................................................................................................................................................... . (5n− 3 5n− 2) El género de Dn es 2n y tiene n+2 cúspides: 2 de orden 2n (marcado como • y فارسى) y n del orden 1 (todos n marcados por ). Una vez más, presentamos On por el correspondiente índice finito subgrupo Hn de F2. Nosotros tienen del ejemplo 1.7 que U = H1 = F6, el grupo libre del rango 6: U = < g′1 = x 3, g′2 = xyx −2, g′3 = x 2yx−1, g′4 = yxy −1, g′5 = y 2xy−2, g′6 = y 3 > = F6 Y de la misma manera que arriba, obtenemos: Hn = < g 1, g {0,............................................................................................................................................................................................................................................................. Veremos en el siguiente que para ambas secuencias todos los grupos de Veech son grupos de no congruencia. Más precisamente, vamos a mostrar: Proposición 4.2. Para ambas secuencias En las siguientes bodegas: • (On) (On) (O1), que es para ambas secuencias un grupo de no congruencia. • En términos más generales, uno tiene: n divide m  (Om) (Om) (On). • Diferentes origamis en una secuencia tienen diferentes grupos Veech, es decir.: (On) 6= (Om) para n 6= m. Para demostrar esto, detectemos que estamos en el siguiente contexto más general. Configuración A: • Dejar U ser un subgrupo índice finito de F2. Entonces U es un grupo libre de rango k para algunos k ≥ 2, es decir, U = < g1,. .., gk > = Fk • Let α : Fk → Z ser la proyección w 7→ g1w donde g1w es el número de g1 en la palabra w = w(g1,. .., gk) con g cuenta como −1. • Que Hn sea el núcleo de pn α, donde pn : Z → Z/nZ es el natural proyección, es decir, Hn = < g 1, g 1 gjg {0,................................................................................................................................................................... 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 20 • Finalmente, dejar que H0 sea el núcleo de α, es decir.: Hn = g2,. ............................................................... es el subgrupo normal en U generado por g2,. .., gk. Observe que estamos en este entorno con U = η1(X *) = < x3, xyx−1, x2yx−2, yxy−1, y2 > para el origami L(2, 3) y U = η1(X *) = < x3, xyx−2, x2yx−1, yxy−1, y2xy−2, y3 > para el origami D. Para probar las propiedades de la Proposición 4.2, necesitaremos que U cumpla la siguiente condición técnica: Propiedad B: Let U = < g1,. ..., gk > (k ≥ 2) estar por encima de un índice finito Subgrupo de F2 de rango k y {wi}ióI un sistema de coset representantes con w1 = id. Supongamos que U tiene la siguiente propiedad: I - {1} : wj - g2,........................................................................................................................................ .............................................................. j 6 U. Uno puede comprobar a mano que para ambos origamis, L(2, 3) y D, esta propiedad es Cumplido. En este contexto obtenemos las siguientes conclusiones. Proposición 4.3. Let n â € N â € {0}. Dejar U ser un subgrupo índice finito de F2 el cumplimiento de la propiedad B. Con las anotaciones de la configuración A, tenemos: a) El normalizador de Hn en F2 es igual a U : NormaF2(Hn) = U b) Apuñalamiento (Hn) StabAut+(F2) c) Recuerde que U = Fk, el grupo libre en generadores k. Let βn : Aut(Fk) → GLk(Z/nZ) ser la proyección natural. Entonces Apuñala. (Hn) es igual a 1n ({A = (ai,j)1≤i,j≤k GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0}) G. Aquí utilizamos la notación Z/(0Z) = Z por lo tanto β0 es la proyección natural Aut(Fk) → GLk(Z). Prueba. Por definición Hn es normal en U, es decir. U NormF2(Hn). Ahora w ser un elemento de F2\U. Por lo tanto, w = wj ·u para algunos j • I1}, u • U. Por propiedad B, hay algunos h0 â € ¬ g2,. .., gk >>U = H0, de tal manera que wjh0w j 6o U. Por lo tanto tenemos w(u −1h0u)w -1 6 U. Pero u-1h0u H0 Hn, ya que H0 es normal en U. Esto muestra que w 6o NormF2 (Hn). 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 21 Esto se deriva de a), ya que para un subgrupo H de F2 en general sostiene: (H) Apuñalamiento (NormF2(H)), véase, por ejemplo, [S 06, Observación 3.1]. Definir M = {A = (ai,j)1≤i,j≤k • GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0}. Vamos a γ G. Tenemos que demostrar que γ(Hn) = Hn si y sólo si βn(γ) • M. Además pkn : Fk → (Z/nZ) k ser la proyección natural. Considere el siguiente diagrama conmutativo: Hn = p n(Hn) (Z/nZ) βn(γ) // (Z/nZ)k pkn(Hn) = Hn Puesto que pkn es sujetivo y Hn es la preimagen completa de Hn = p n(Hn), se deduce que γ(Hn) = Hn si y sólo si βn(γ)(Hn) = Hn. Obsérvese finalmente que: Hn = {(0, x2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... k} y StabGLk(Z/nZ)(Hn) = { A = (ai,j)1≤i,j≤k GLk(Z/nZ) (y1,. .., yk) = A · (0, x2,. .., xk) y1 = 0 } = {A = (ai,j) • GLk(Z/nZ) a1,2 =. .. = a1,k = 0} El teorema 2 sugiere la siguiente notación. Definición 4.4. Dejar U ser un subgrupo de F2. Con : Aut+(F2) → SL2(Z) como en Teorema 2, se define (U) = (Stab) y llamen a (U) el grupo Veech de U. Ahora obtenemos de la Proposición 4.3 las siguientes conclusiones. Corollary 4.5. Supongamos que estamos en la misma situación que en la Proposición 4.3, en particular que U es un subgrupo índice finito de F2 cumpliendo la propiedad B. Entonces tenemos para todos n â € N: a) Apuñalamiento (H0) StabAut+(F2) (Hn) y (H0) (Hn). 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 22 b) Si m N con nm, entonces: (Hm) StabAut+(F2) (Hn) y (Hm) (Hn). (H0) = (Hn) y Ł(H0) = (Hn) Prueba. a) y b): Por la Proposición 4.3 tenemos que * N: γ * Apuñalamiento. (Hn) βn(γ) = A = (ai,j) con a1,2 فارسى. .......................................................................................................................... Apuñalamiento (H0) α β0(γ) = A = (ai,j) con a1,2 =. .. = a1,k = 0. Así que tenemos para todos n â € N y para todos m â € N con nm, que (H0) StabAut+(F2)(Hm) StabAut+(F2)(Hn). Tenemos en particular por la definición del grupo Veech de un subgrupo de F2: * (H0) * (Hm) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) * (Hn) (Hn) * (Hn) * (Hn) (Hn) (Hn) * (Hn) (Hn) * (Hn) (Hn) (Hn) (Hn). sigue de a). sigue de Observación [S 06, Observación 3.1]. Ahora volvemos al lenguaje de origamis: Que O sea un origami, U el corre- sponding subgrupo de F2. Definir para U los subgrupos Hn (n N) como en el ajuste A y dejar ser los origamis correspondientes a los grupos Hn. Por corolario 4.5 y Teorema 2 obtenemos inmediatamente el siguiente resultado. Proposición 4.6. Si U tiene la propiedad B, entonces N: (Om) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O) (O). En particular, si •(O) es un grupo de no congruencia, cada •(O) es una no congruencia grupo. Así, en este caso, obtenemos infinitamente muchos origamis cuyo grupo Veech es un grupo de no congruencia. Con el fin de concluir la Proposición 4.2, ahora sólo queda probar el último punto. Pero esto sigue, ya que tenemos (véase [S 05]) para ambas secuencias En, la que viene del origami L(2, 3) y del origami D, que 3n divide s. (6) 4 GRUPOS DE VECES QUE NO SON GRUPOS DE CONGRUNAS 23 Esto termina la prueba de la Proposición 4.2. Además, el teorema 1 se deriva de la Proposición 4.2. Observación: Del corolario 4.5 y (6) se deduce que el índice infinito de SL2(Z). Además no es trivial, ya que contiene para L(2, 3), respectivamente B3 = para D. REFERENCIAS 24 Bibliografía [EG 97] C.J. Earle, F.P. Gardiner: Discos Teichmüller y estructuras F de Veech. Sociedad Americana de Matemáticas. Matemáticas contemporáneas 201, 1997 (p. 165–189). [GJ 00] E. Gutkin, C. Juez: Mapas afín de superficies de traducción. Duke Diario Matemático 103 No. 2, 2000 (págs. 191 a 212). [HeSc 06] F. Herrlich, G. Schmithüsen: En el límite de los discos de Teichmüller en Teichmüller y en el espacio Schottky. Aparecer en el Manual de Teichmüller teoría. Ed. A. Papadopoulos, European Mathematical Society, 2006. [H 06] F. Herrlich: Un peine de curvas de origami en M3. Deliberaciones del Simposio sobre Grupos de Transformación, Yokohama, noviembre de 2006. [HL 05] P. Hubert, S. Lelièvre: Subgrupos de incongruencia en H(2). Internacionales Avisos de investigación matemática 2005, No.1, 2005 (p. 47–64). [HuSc 01] P. Hubert, T. Schmidt: Invariantes de las superficies de traducción. Annales de l’Institut Fourier 51 No. 2, 2001 (págs. 461 a 495). [Le 02] S. Lelièvre: Superficies Veech asociadas con billares racionales. Preimpresión, 2002. arXiv:math.GT/0205249. [Lo 05] P. Lochak: En curvas aritméticas en el espacio modulo de curvas. J. Inst. Matemáticas. Jussieu 4, No. 3, 2005 (p. 443–508). [S 04] G. Schmithüsen: Un algoritmo para encontrar el grupo Veech de un origami. Matemáticas experimentales 13 No. 4, 2004 (págs. 459 a 472). [S 05] G. Schmithüsen: Grupos Veech de Origamis. Disertación (tesis de PhD), Karlsruhe 2005. Elektronisches Volltextarchiv EVA Universität Karlsruhe. http://www.ubka.uni-karlsruhe.de/eva/ [S 06] Schmithüsen,G.: Ejemplos para grupos Veech de origamis. En: El Geome- prueba de Riemann Surfaces y Abelian Variedades. Contemporaneo. Matemáticas. 397, 2006 (pág. 193–206). [T 88] W. Thurston: Sobre la geometría y dinámica de los difeomorfismos del sur- Caras. Boletín (Nueva Serie) de la American Mathematical Society 19 No. 2, 1988 (p. 417–431). [V 89] W.A. Veech: Teichmüller curvas en el espacio modulo, serie Eisenstein y una aplicación al billar triangular. Invenciones Mathematicae 97 No.3 1989, (p. 553–583). REFERENCIAS 25 [W 64] K. Wohlfahrt: Una extensión del concepto de nivel de F. Klein. Illinois Journal de Matemáticas 8, 1964 (págs. 529 a 535). [Z 06] A. Zorich: Superficies planas en colección ”Frontiers in Number Theory, Física y geometría. Volumen 1: En matrices aleatorias, funciones zeta y sistemas dinámicos”, Ed. P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove, Springer- Verlag, 2006 (págs. 439 a 586). Origamis Estructuras de traducción y grupos Veech Grupos veech de origamis Grupos Veech que no son grupos de congruencia

Thermodynamic Stability - A note on a footnote in Ruelle's book

UWThPh-2007-09 Estabilidad termodinámica – Una nota sobre una nota al pie del libro de Ruelle Bernhard Baumgartner1 Institut für Theoretische Physik, Universität Wien Boltzmanngasse 5, A-1090 Viena, Austria 3 de abril de 2007 Resumen Potenciales de par de interacciones termodinámicas estables que no son de la forma “función positiva + función continua real de tipo positivo” son presentado en la dimensión uno. Construcción de tal potencial en dimensión dos está dibujado. Estas construcciones utilizan sólo cálculos elementales. Los los antecedentes matemáticos se discuten por separado. Números PACS: 05.20.-y, 02.20.-a, 02.40.Ft Palabras clave: estabilidad termodinámica, cono convexo 1 Introducción En el libro de Ruelle [R69] sobre la mecánica estadística, en la sección 3.2 relativa a una las especies de partículas clásicas en R v, se puede leer: 1 PROPUESTA. Si el potencial de par Φ se puede escribir en la forma Φ = Φ1 + Φ2 (1) donde Φ1 es positivo, y Φ2 es una función continua real de tipo positivo, entonces Φ es estable. 1Bernhard.Baumgartner@univie.ac.at http://arxiv.org/abs/0704.0417v1 TDS BB 3 de abril de 2007 2 "Positivo" se refiere aquí y a lo largo de este documento como nada negativo, “estable” significa N, x1...xN} R / U(x1 · · · xN) N · E0, (2) donde U(x1 · · ·xN ) = i 6=j Φ(xj − xi). 3) Esta propuesta va acompañada de la 2 FOOTNOTE. Parece ser un problema abierto construir un potencial estable que no es de la forma (1). Solucionamos este problema en la dimensión 1, considerando partículas en Z o en R, dando una prueba detallada. En la dimensión 2 el problema también se puede resolver, pero sólo damos un bosquejo de las ideas. 1 Para simplificarlo, consideramos que sólo los potenciales de par que están limitados con- funciones tinuas y declarar la propiedad de estabilidad como 3 DEFINICIÓN. Una función de valor real continua limitada V en R v es estable, E(l) := (x)V (x- y)(y)d vx d vyy ≥ 0 (4) Para cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, debe interpretarse en el sentido de que, para cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre el volumen de negocios de los vehículos de motor y por cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre el volumen de negocios de los vehículos de motor y por cada medida finita positiva. Una función de valor real limitada V en Z v es estable, si E(l) := (~m)V (~m−) (~n)(~n) ≥ 0 (5) por cada función limitada positiva (~m) en Z v. La propiedad de estabilidad utilizada en el Teorema de Ruelle es una consecuencia inmediata. Con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % en peso i=1 (xi − xj) puesto en la ecuación (4) uno consigue U(x1 · · ·xN ) = E(l)−N · V (0) ≥ −N · V (0). El principal resultado de nuestras consideraciones es el siguiente: 4 Theorem. Cada una de las siguientes funciones es un potencial de par estable, pero no una suma de una función positiva y una función definida real valorada positiva. 1. La función V : Z → R, definida como V (0) = V (2) = V (−2) = 1, V (1) = V (−1) = −1, (6) V n) = 0 n con n ≥ 3, 2. La función W : R → R, definida como W (x) = V (n)f(n− x+ y)f(y)dy, (7) con f una función continua positiva (−1 ) → R y V tal como se definen en (6). 1 La construcción en dimensiones superiores sigue siendo un problema abierto. TDS BB 3 de abril de 2007 3 2 Propiedades de los potenciales de interacción Prueba. De la parte (1) de 4 Teorema. Denotar la distribución de partículas en la cadena por la “densidad” Z → Z+. La energía de interacción U se vuelve más pequeña, cuando el sistema se corta en piezas que no interactúen: si (n) ≥ (n+1) dividen la cadena, cortando entre n+1 y n+ 2. Mover las piezas aparte, uno pierde la energía 2[l(n)­(n + 1)]­(n+ 2) + 2­(n+ 1)­(n + 3) ≥ 0. El procedimiento simétrico de corte entre n − 2 y n − 1 reduce la energía si (n− 1) ≤ (n). Ahora queda un conjunto de piezas de no más de tres puntos de celosía, con densidades como 0 ≤ (n− 1) ≤ (n) ≥ (n+ 1) ≥ 0. Incluyendo las "auto-energias" N · V (0) se obtiene por cada pieza, centrada alrededor de n, E = (n−1)2(n)2(n+1)2+2[ = [l(n− 1)− l(n) + l(n+ 1)]2 ≥ 0. Demostrando la estabilidad de V. Si V fuera la suma de una función definida positiva y positiva, daría V (n)μ(n) ≥ 0, (8) por cada μ siendo tanto positiva como positiva definida. Ahora considere μ(5 v) = 1, μ(5 v ± 1) = , μ(5 v ± 2) = 0, (9) Lo cual es obviamente positivo. Definitividad positiva se ve mediante el uso de Bochner el- orem [RN55] y el cálculo de la transformación de Fourier, con α (,]: (α) = μ(n)e−inα 5 (α) + )( )( ) > 0. (10) Pero no da un valor positivo en (8): V (n)μ(n) = 2− 5 < 0. TDS BB 3 de abril de 2007 4 La aparición de los números 5 y 5 puede parecer misterioso. Desmitificando es la siguiente sección, donde presentamos el “origen” de estos V y μ. En esta sección desarrollamos el uso adicional de estas funciones en R y en R2. Prueba. De la parte (2) de 4 Teorema. Para partículas N a x1. xN considerar la medida (x) = (x− xj). (11) Añadiendo las energías propias N ·W (0), estudiamos (x)W (x− y) V n) f (x+ n)f (x) dx, (12) con lf(x) := f (x − y)(y) dy. Dividir la integral en (12) en trozos de intervalos con la longitud de la unidad y la definición de lf,x(m) = lf(x+m) da V (n)lf (x+m+ n)lf(x+m) lf,x(p)V (p-m)f,x(m) ≥ 0, por parte (1) del teorema. Así que el potencial W es estable. Ahora considere la distribución μD(x) = μ(m)/23370/(x−m), (13) utilizando la secuencia μ definida en (9). Esta distribución es positiva y positiva definitiva, como se puede ver en su transformación de Fourier, que es (hasta un factor) la lo mismo que en (10), ahora con D(2η) = D(α) se extiende periódicamente a todos los α R. Esta μD se utiliza para demostrar que el potencial no es una suma de positivo y positivo funciones definidas: W (x)μD(x)dx V n) ∫ + 1 dx (x−m)f(n− x+ y)f(y) V (n)μ(n) f 2(y)dy < 0. (14) En el último paso el apoyo final de f es esencial. TDS BB 3 de abril de 2007 5 Construcción de un potencial de par estable en R2 siendo una función de la partícula las distancias sólo pueden hacerse de la siguiente manera: • Usar W (x) definido en (7), ahora con f soportado (−1 ), envolviéndolo dos veces con la distribución h(x) = en(x− 5n) : W1(x) = h(x− y)W (y − z)h(z)dy dz. • Tome el valor medio (tiempos 2η) de todas las versiones rotadas: Wr(~x) = 1rW1(x). • Aligerar Wr con una función positiva continua g(r) con soporte en [0, 1 W2(~x) = g(x− ~y) W1(y − ~z) ~ ~ ~ z g(z)d2y d2z. Que la estabilidad no es destruida por la doble convolución con h sigue de una consideración como se utiliza en la ecuación (12). Escrito de manera formal: W1 = h ∗W ∗ h− = ∗ hW ∗ h. Teniendo en cuenta sólo densidades suaves (~x) uno puede tomar W1(x1)o(x2) como un estable distribución en R2: W1 · ♥ dim=2 = yW1 ydim=1 d y ≥ 0. Ahora girar los ejes y tomar el valor medio no destruye la estabilidad. Una vez más se hace una doble convolución, ahora con g con el fin de obtener W2 como un potencial continuo limitado que actúa en R2. W2 = g*W*W*g− = *gW*g *g ≥ 0. El suavizado por convolución con g permite considerar de nuevo conjuntos de partículas rep- resentido por el delta-funciones en. Para refutar la posibilidad de dividir W2 en una suma de un positivo y un función definida positiva se puede utilizar la μD de equ. (13) integrado en R μD(x, y) = μD(x)(y). Debido a la suavización de Wr por g y debido a su disminución dada por la disminución de h, la integral W2μD es finito: W2μD(x) dx = W2(0) + 2W2(1)μ(1) + 2 · W2(5 / + n)μ(n) TDS BB 3 de abril de 2007 6 El soporte limitado de f y g es necesario aquí como era en equ. (14). Los disminución exponencial implica W2(5/ + n) = const. · e - 5 · / V n) 1 + O( El factor “const.” implica las integrales sobre f 2 y g2, el término de error O( 1 da la diferencia entre e­5­5­5­5 y e­5­5­n)/(5­ + n). Los resúmenes Sobre / y n dar 2 ° Const. · V (n)μ(n) · log(1/) +O e-5° / Comisión de las Comunidades Europeas La primera parte es negativa y aumenta sin límite cuando • → 0, mientras que la otra término sigue siendo finito. Así que W2 con pequeño no puede ser una suma de positivo y positivo funciones definidas. 3 Antecedentes matemáticos Sólo al aplicar la Proposición 1 en la mecánica estadística el Límite Termodinámico se considera, aún no en las investigaciones de la “estabilidad”. Por otra parte, en la re- formulación en 3 Definición no hay mención de "partículas". Qué se utiliza de las propiedades del espacio son: Una relación de distancia entre los puntos y un invariante medida. Esto permite una versión más general de la definición, relativa a funciones en grupos. Mantenemos la notación que usamos arriba: x e y son elementos del grupo, su “producto del grupo” es x + y, el “inverso” de x es − x. 5 DEFINICIÓN. Considerar una función de valor real limitada V en un localmente compacto grupo abeliano G que tiene la medida de Haar dx. V es estable, si V := (x)V (x− y)(y)dx dy ≥ 0 (15) para cada medida de Borel finito positivo ♥(x)dx. Se pueden añadir funciones estables, multiplicadas por números positivos, y límites puede ser formado. Así que forman un cono convexo cerrado, que llamamos STB. Esto cono STB contiene POS, el cono de funciones positivas, también PDF, el cono de funciones definidas positivas y sumas correspondientes. STB • POS + PDF (16) Una investigación de las relaciones entre estos conos puede proceder a través de la investigación gation de los conos duales (véase [V64, R62, G03]). Los conos duales son subconjuntos de V ′, el espacio de Borel finito mide μ(x)dx, que es el espacio dual a V, el TDS BB 3 de abril de 2007 7 Espacio Banach de funciones continuas delimitadas. El cono dual a POS es POS′, el conjunto de medidas finitas positivas Borel, dual a PDF es PDF′, el conjunto de finitos medidas positivas definitivas Borel. El cono STB′ se da como el cierre de la cono de combinaciones convexas de “medidas de correlación” μ(x) = (x)(y + x)dy, (17) i.e. convolu- ciones de las medidas finitas de Borel positivo (x)dx con su ver- sión (−x)dx. Estas medidas de correlación son tanto positivas como positivas definidas: STB′ • POS′ • PDF′ (18) Ahora la cuestión de la igualdad o la desigualdad en esta relación está relacionada con la problema central que es nuestra preocupación en esta investigación, la cuestión de la igualdad o desigualdad en (16). Si el cono cerrado POSPDF′ contiene un elemento μ que no está en el cono cerrado STB′, entonces, por definición de “dual cono”, existe un elemento V • STB de tal manera que V μ < 0, incompatible con una descomposición V = f + g, f â € POS, g â € PDF. Para los grupos Z2, Z3, Z4 hay igualdad en las ecuaciones (16) y (18), pero no para Z5. 6 Propuesta. La intersección de POS′ • PDF′ con el plano {(μ(−2). .. μ(2))(0) = 1} se caracteriza completamente por sus puntos extremos (0, 0, 1, 0, 0), (0, γ, 1, γ, 0), (γ, 0, 1, 0, γ), (1, 1, 1, 1), con γ = ( 5 - 1)/2 = 1/(2 cos 4γ/5). Prueba. Usando el teorema de Bochner y analizando la transformación de Fourier (k) = μ(n)e−2η k n/5. (19) Por otro lado, hay un límite para STB′ que corta un subconjunto triangular de este cuadrilátero convexo: 7 LEMMA. Cada elemento de STB′ obedece a la desigualdad μ(1) ≤ μ(n)/4. (20) Prueba. STB′ se define por sus rayos extremos, formados como medidas de correlación de densidades positivas. μ • STB′, μ extremal • ≥ 0, μ(n) = (m)(m + n). TDS BB 3 de abril de 2007 8 Supóngase, w.l.o.g., que.o(−1) ≥.o(−2). entonces μ(1) = [l(−1) + l((1)]] · [l(−2) + l(0) + l((2)]− [l(−1)− l(−2)] − x) s + x) ≤ s Aquí s = m (m), x = [l(−2) + l(0) + l((2))− l(−1)− l((1)] /2. Observar n μ(n) = s Observación: También μ(2) obedece a esta desigualdad y μ(−1) = μ(1), μ(−2) = μ(2). Una inspección más estrecha revela además dos bordes redondeados de STB′. Ahora el punto extremo con μ(n) como en la ecuación (9) con v = 0 está fuera Este límite. Y V (n) como en la ecuación (6) es un elemento de STB, pero fuera de POS+PDF. 4 Conclusión Para los potenciales de pares que están limitada funciones continuas la propiedad de ser “estable” se puede reformular sin mencionar las partículas. De esta manera puede ser estudiado para grupos abelianos abstractos. En el centro de la presente investigación está la observación de una función V en Z5 que es estable, pero indecomposable en una suma de funciones definidas positivas y positivas. Esta función V también se puede utilizar en Z. Con un poco de suavizado se puede utilizar en R, y en húmedo periódicamente forma extendida, rotacionalmente simetrizada y suavizada de nuevo en R2. Por supuesto. es posible encontrar conjuntos de otros ejemplos cerca. Así que V (−1) = V (1) en el teorema 4 podría ser un poco más alto que −1. Sólo a −( 5+1)/4-0,8 se convierte en descompuestable. La construcción de un ejemplo rotacionalmente invariante para la dimensión dos no es Así de simple. Uno más agradable, o uno para la dimensión superior, todavía no se conoce. Bibliografía [R69] D. Ruelle: Mecánica estadística: Resultados rigurosos (W. A. Benjamin, inc. Nueva York), 1969. [RN55] F. Riesz y B. Sz. Nagy: Análisis funcional (Ungar, Nueva York) 1955 [V64] Frederick A. Valentine: Sets convexos (McGraw-Hill, NY (McGraw-Hill se- (en matemáticas superiores)) 1964 [R62] W. Rudin: Fourier Analysis on Groups (Interscience, Nueva York) 1962 [G03] “Conos convexos y sus caras” Capítulo 3 en: H. Glöckner: Positive Def- funciones inite en los conos convexos de dimensión infinita; memorias AMS, 166, número 789, 2003 Introducción Propiedades de los potenciales de interacción Antecedentes matemáticos Conclusión

Potenciales de par de interacciones termodinámicas estables que no son de la forma ``función positiva + función continua real de tipo positivo'' se presentan en la dimensión uno. La construcción de tal potencial en la dimensión dos es boceto. Estas construcciones utilizan sólo cálculos elementales. Los los antecedentes matemáticos se discuten por separado.

Introducción En el libro de Ruelle [R69] sobre la mecánica estadística, en la sección 3.2 relativa a una las especies de partículas clásicas en R v, se puede leer: 1 PROPUESTA. Si el potencial de par Φ se puede escribir en la forma Φ = Φ1 + Φ2 (1) donde Φ1 es positivo, y Φ2 es una función continua real de tipo positivo, entonces Φ es estable. 1Bernhard.Baumgartner@univie.ac.at http://arxiv.org/abs/0704.0417v1 TDS BB 3 de abril de 2007 2 "Positivo" se refiere aquí y a lo largo de este documento como nada negativo, “estable” significa N, x1...xN} R / U(x1 · · · xN) N · E0, (2) donde U(x1 · · ·xN ) = i 6=j Φ(xj − xi). 3) Esta propuesta va acompañada de la 2 FOOTNOTE. Parece ser un problema abierto construir un potencial estable que no es de la forma (1). Solucionamos este problema en la dimensión 1, considerando partículas en Z o en R, dando una prueba detallada. En la dimensión 2 el problema también se puede resolver, pero sólo damos un bosquejo de las ideas. 1 Para simplificarlo, consideramos que sólo los potenciales de par que están limitados con- funciones tinuas y declarar la propiedad de estabilidad como 3 DEFINICIÓN. Una función de valor real continua limitada V en R v es estable, E(l) := (x)V (x- y)(y)d vx d vyy ≥ 0 (4) Para cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, debe interpretarse en el sentido de que, para cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre el volumen de negocios de los vehículos de motor y por cada medida finita positiva, la letra d) del apartado 2 del artículo 2 de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre el volumen de negocios de los vehículos de motor y por cada medida finita positiva. Una función de valor real limitada V en Z v es estable, si E(l) := (~m)V (~m−) (~n)(~n) ≥ 0 (5) por cada función limitada positiva (~m) en Z v. La propiedad de estabilidad utilizada en el Teorema de Ruelle es una consecuencia inmediata. Con un contenido de materias grasas superior o igual al 85 % en peso i=1 (xi − xj) puesto en la ecuación (4) uno consigue U(x1 · · ·xN ) = E(l)−N · V (0) ≥ −N · V (0). El principal resultado de nuestras consideraciones es el siguiente: 4 Theorem. Cada una de las siguientes funciones es un potencial de par estable, pero no una suma de una función positiva y una función definida real valorada positiva. 1. La función V : Z → R, definida como V (0) = V (2) = V (−2) = 1, V (1) = V (−1) = −1, (6) V n) = 0 n con n ≥ 3, 2. La función W : R → R, definida como W (x) = V (n)f(n− x+ y)f(y)dy, (7) con f una función continua positiva (−1 ) → R y V tal como se definen en (6). 1 La construcción en dimensiones superiores sigue siendo un problema abierto. TDS BB 3 de abril de 2007 3 2 Propiedades de los potenciales de interacción Prueba. De la parte (1) de 4 Teorema. Denotar la distribución de partículas en la cadena por la “densidad” Z → Z+. La energía de interacción U se vuelve más pequeña, cuando el sistema se corta en piezas que no interactúen: si (n) ≥ (n+1) dividen la cadena, cortando entre n+1 y n+ 2. Mover las piezas aparte, uno pierde la energía 2[l(n)­(n + 1)]­(n+ 2) + 2­(n+ 1)­(n + 3) ≥ 0. El procedimiento simétrico de corte entre n − 2 y n − 1 reduce la energía si (n− 1) ≤ (n). Ahora queda un conjunto de piezas de no más de tres puntos de celosía, con densidades como 0 ≤ (n− 1) ≤ (n) ≥ (n+ 1) ≥ 0. Incluyendo las "auto-energias" N · V (0) se obtiene por cada pieza, centrada alrededor de n, E = (n−1)2(n)2(n+1)2+2[ = [l(n− 1)− l(n) + l(n+ 1)]2 ≥ 0. Demostrando la estabilidad de V. Si V fuera la suma de una función definida positiva y positiva, daría V (n)μ(n) ≥ 0, (8) por cada μ siendo tanto positiva como positiva definida. Ahora considere μ(5 v) = 1, μ(5 v ± 1) = , μ(5 v ± 2) = 0, (9) Lo cual es obviamente positivo. Definitividad positiva se ve mediante el uso de Bochner el- orem [RN55] y el cálculo de la transformación de Fourier, con α (,]: (α) = μ(n)e−inα 5 (α) + )( )( ) > 0. (10) Pero no da un valor positivo en (8): V (n)μ(n) = 2− 5 < 0. TDS BB 3 de abril de 2007 4 La aparición de los números 5 y 5 puede parecer misterioso. Desmitificando es la siguiente sección, donde presentamos el “origen” de estos V y μ. En esta sección desarrollamos el uso adicional de estas funciones en R y en R2. Prueba. De la parte (2) de 4 Teorema. Para partículas N a x1. xN considerar la medida (x) = (x− xj). (11) Añadiendo las energías propias N ·W (0), estudiamos (x)W (x− y) V n) f (x+ n)f (x) dx, (12) con lf(x) := f (x − y)(y) dy. Dividir la integral en (12) en trozos de intervalos con la longitud de la unidad y la definición de lf,x(m) = lf(x+m) da V (n)lf (x+m+ n)lf(x+m) lf,x(p)V (p-m)f,x(m) ≥ 0, por parte (1) del teorema. Así que el potencial W es estable. Ahora considere la distribución μD(x) = μ(m)/23370/(x−m), (13) utilizando la secuencia μ definida en (9). Esta distribución es positiva y positiva definitiva, como se puede ver en su transformación de Fourier, que es (hasta un factor) la lo mismo que en (10), ahora con D(2η) = D(α) se extiende periódicamente a todos los α R. Esta μD se utiliza para demostrar que el potencial no es una suma de positivo y positivo funciones definidas: W (x)μD(x)dx V n) ∫ + 1 dx (x−m)f(n− x+ y)f(y) V (n)μ(n) f 2(y)dy < 0. (14) En el último paso el apoyo final de f es esencial. TDS BB 3 de abril de 2007 5 Construcción de un potencial de par estable en R2 siendo una función de la partícula las distancias sólo pueden hacerse de la siguiente manera: • Usar W (x) definido en (7), ahora con f soportado (−1 ), envolviéndolo dos veces con la distribución h(x) = en(x− 5n) : W1(x) = h(x− y)W (y − z)h(z)dy dz. • Tome el valor medio (tiempos 2η) de todas las versiones rotadas: Wr(~x) = 1rW1(x). • Aligerar Wr con una función positiva continua g(r) con soporte en [0, 1 W2(~x) = g(x− ~y) W1(y − ~z) ~ ~ ~ z g(z)d2y d2z. Que la estabilidad no es destruida por la doble convolución con h sigue de una consideración como se utiliza en la ecuación (12). Escrito de manera formal: W1 = h ∗W ∗ h− = ∗ hW ∗ h. Teniendo en cuenta sólo densidades suaves (~x) uno puede tomar W1(x1)o(x2) como un estable distribución en R2: W1 · ♥ dim=2 = yW1 ydim=1 d y ≥ 0. Ahora girar los ejes y tomar el valor medio no destruye la estabilidad. Una vez más se hace una doble convolución, ahora con g con el fin de obtener W2 como un potencial continuo limitado que actúa en R2. W2 = g*W*W*g− = *gW*g *g ≥ 0. El suavizado por convolución con g permite considerar de nuevo conjuntos de partículas rep- resentido por el delta-funciones en. Para refutar la posibilidad de dividir W2 en una suma de un positivo y un función definida positiva se puede utilizar la μD de equ. (13) integrado en R μD(x, y) = μD(x)(y). Debido a la suavización de Wr por g y debido a su disminución dada por la disminución de h, la integral W2μD es finito: W2μD(x) dx = W2(0) + 2W2(1)μ(1) + 2 · W2(5 / + n)μ(n) TDS BB 3 de abril de 2007 6 El soporte limitado de f y g es necesario aquí como era en equ. (14). Los disminución exponencial implica W2(5/ + n) = const. · e - 5 · / V n) 1 + O( El factor “const.” implica las integrales sobre f 2 y g2, el término de error O( 1 da la diferencia entre e­5­5­5­5 y e­5­5­n)/(5­ + n). Los resúmenes Sobre / y n dar 2 ° Const. · V (n)μ(n) · log(1/) +O e-5° / Comisión de las Comunidades Europeas La primera parte es negativa y aumenta sin límite cuando • → 0, mientras que la otra término sigue siendo finito. Así que W2 con pequeño no puede ser una suma de positivo y positivo funciones definidas. 3 Antecedentes matemáticos Sólo al aplicar la Proposición 1 en la mecánica estadística el Límite Termodinámico se considera, aún no en las investigaciones de la “estabilidad”. Por otra parte, en la re- formulación en 3 Definición no hay mención de "partículas". Qué se utiliza de las propiedades del espacio son: Una relación de distancia entre los puntos y un invariante medida. Esto permite una versión más general de la definición, relativa a funciones en grupos. Mantenemos la notación que usamos arriba: x e y son elementos del grupo, su “producto del grupo” es x + y, el “inverso” de x es − x. 5 DEFINICIÓN. Considerar una función de valor real limitada V en un localmente compacto grupo abeliano G que tiene la medida de Haar dx. V es estable, si V := (x)V (x− y)(y)dx dy ≥ 0 (15) para cada medida de Borel finito positivo ♥(x)dx. Se pueden añadir funciones estables, multiplicadas por números positivos, y límites puede ser formado. Así que forman un cono convexo cerrado, que llamamos STB. Esto cono STB contiene POS, el cono de funciones positivas, también PDF, el cono de funciones definidas positivas y sumas correspondientes. STB • POS + PDF (16) Una investigación de las relaciones entre estos conos puede proceder a través de la investigación gation de los conos duales (véase [V64, R62, G03]). Los conos duales son subconjuntos de V ′, el espacio de Borel finito mide μ(x)dx, que es el espacio dual a V, el TDS BB 3 de abril de 2007 7 Espacio Banach de funciones continuas delimitadas. El cono dual a POS es POS′, el conjunto de medidas finitas positivas Borel, dual a PDF es PDF′, el conjunto de finitos medidas positivas definitivas Borel. El cono STB′ se da como el cierre de la cono de combinaciones convexas de “medidas de correlación” μ(x) = (x)(y + x)dy, (17) i.e. convolu- ciones de las medidas finitas de Borel positivo (x)dx con su ver- sión (−x)dx. Estas medidas de correlación son tanto positivas como positivas definidas: STB′ • POS′ • PDF′ (18) Ahora la cuestión de la igualdad o la desigualdad en esta relación está relacionada con la problema central que es nuestra preocupación en esta investigación, la cuestión de la igualdad o desigualdad en (16). Si el cono cerrado POSPDF′ contiene un elemento μ que no está en el cono cerrado STB′, entonces, por definición de “dual cono”, existe un elemento V • STB de tal manera que V μ < 0, incompatible con una descomposición V = f + g, f â € POS, g â € PDF. Para los grupos Z2, Z3, Z4 hay igualdad en las ecuaciones (16) y (18), pero no para Z5. 6 Propuesta. La intersección de POS′ • PDF′ con el plano {(μ(−2). .. μ(2))(0) = 1} se caracteriza completamente por sus puntos extremos (0, 0, 1, 0, 0), (0, γ, 1, γ, 0), (γ, 0, 1, 0, γ), (1, 1, 1, 1), con γ = ( 5 - 1)/2 = 1/(2 cos 4γ/5). Prueba. Usando el teorema de Bochner y analizando la transformación de Fourier (k) = μ(n)e−2η k n/5. (19) Por otro lado, hay un límite para STB′ que corta un subconjunto triangular de este cuadrilátero convexo: 7 LEMMA. Cada elemento de STB′ obedece a la desigualdad μ(1) ≤ μ(n)/4. (20) Prueba. STB′ se define por sus rayos extremos, formados como medidas de correlación de densidades positivas. μ • STB′, μ extremal • ≥ 0, μ(n) = (m)(m + n). TDS BB 3 de abril de 2007 8 Supóngase, w.l.o.g., que.o(−1) ≥.o(−2). entonces μ(1) = [l(−1) + l((1)]] · [l(−2) + l(0) + l((2)]− [l(−1)− l(−2)] − x) s + x) ≤ s Aquí s = m (m), x = [l(−2) + l(0) + l((2))− l(−1)− l((1)] /2. Observar n μ(n) = s Observación: También μ(2) obedece a esta desigualdad y μ(−1) = μ(1), μ(−2) = μ(2). Una inspección más estrecha revela además dos bordes redondeados de STB′. Ahora el punto extremo con μ(n) como en la ecuación (9) con v = 0 está fuera Este límite. Y V (n) como en la ecuación (6) es un elemento de STB, pero fuera de POS+PDF. 4 Conclusión Para los potenciales de pares que están limitada funciones continuas la propiedad de ser “estable” se puede reformular sin mencionar las partículas. De esta manera puede ser estudiado para grupos abelianos abstractos. En el centro de la presente investigación está la observación de una función V en Z5 que es estable, pero indecomposable en una suma de funciones definidas positivas y positivas. Esta función V también se puede utilizar en Z. Con un poco de suavizado se puede utilizar en R, y en húmedo periódicamente forma extendida, rotacionalmente simetrizada y suavizada de nuevo en R2. Por supuesto. es posible encontrar conjuntos de otros ejemplos cerca. Así que V (−1) = V (1) en el teorema 4 podría ser un poco más alto que −1. Sólo a −( 5+1)/4-0,8 se convierte en descompuestable. La construcción de un ejemplo rotacionalmente invariante para la dimensión dos no es Así de simple. Uno más agradable, o uno para la dimensión superior, todavía no se conoce. Bibliografía [R69] D. Ruelle: Mecánica estadística: Resultados rigurosos (W. A. Benjamin, inc. Nueva York), 1969. [RN55] F. Riesz y B. Sz. Nagy: Análisis funcional (Ungar, Nueva York) 1955 [V64] Frederick A. Valentine: Sets convexos (McGraw-Hill, NY (McGraw-Hill se- (en matemáticas superiores)) 1964 [R62] W. Rudin: Fourier Analysis on Groups (Interscience, Nueva York) 1962 [G03] “Conos convexos y sus caras” Capítulo 3 en: H. Glöckner: Positive Def- funciones inite en los conos convexos de dimensión infinita; memorias AMS, 166, número 789, 2003 Introducción Propiedades de los potenciales de interacción Antecedentes matemáticos Conclusión

Entanglement entropy at infinite randomness fixed points in higher dimensions

Entropía de enredo en puntos fijos de aleatoriedad infinita en dimensiones superiores Yu-Cheng Lin1, Ferenc Iglói2,3 y Heiko Rieger1 Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, 66041 Saarbrücken, Alemania Instituto de Investigación de Física y Óptica del Estado Sólido, H-1525 Budapest (Hungría) Instituto de Física Teórica, Universidad de Szeged, H-6720 Szeged, Hungría (Fecha: 3 de noviembre de 2018) La entropía de enredo del modelo de Ising aleatorio bidimensional se estudia con una implementación numérica del grupo de renormalización del trastorno fuerte. El comportamiento asintótico de la entropía por área de superficie diverge en, y sólo en, la transición de fase cuántica que es gobernado por un punto fijo de aleatoriedad infinita. Aquí identificamos un multiplicativo doble-logarítmico corrección a la ley de área para la entropía de enredo. Esto contrasta con la ley del área pura válida en el punto fijo de aleatoriedad infinita en el modelo transversal diluido Ising en dimensiones superiores. Números PACS: Los PACS válidos aparecen aquí Últimamente se han dedicado amplios estudios a la Enredo de estado de pie en cuerpo cuántico de muchos sistemas [1]. En particular, el comportamiento de varios entan- medidas de glement en las transiciones de fase cuántica/cerca de ha sido de especial interés. Uno de los ampliamente utilizados entan- von Neumann entropía, que cuantifica el enredo de un estado cuántico puro en un bi- sistema partite. Estados de base críticos en una dimensión (1D) se sabe que tiene entropía de enredo que di- El tamaño del subsistema con un uni- coeficiente versal determinado por la carga central de la teoría de campo conformal asociada [2]. Lejos del crit... ical punto, la entropía del enredo satura a un finito valor, que está relacionado con la longitud de correlación finita. En dimensiones superiores, el comportamiento de escala del entan- La entropía de glement es mucho menos clara. Una expectativa estándar es que las escalas de entropía de enredo no crítico como la área del límite entre los subsistemas, conocida como la “ley del área” [3, 4]. Esta relación de área es conocida por para los sistemas fermónicos sin brecha [5] en los que un Se encuentra corrección multiplicativa logarítmica. Uno podría sospecha que si el derecho de zona tiene o no depende sobre si la longitud de correlación es finita o diverge. Sin embargo, ha resultado que la situación es más complejo: conclusiones numéricas [7] y un análisis reciente estudio [8] han demostrado que el derecho de área se sostiene incluso para sistemas bosónicos críticos, a pesar de una correlación divergente longitud. Esto indica que la escala de longitud asociada con enredo puede diferir de la longitud de la correlación. Otra actividad de investigación en curso para el enredo en dimensiones espaciales superiores es entender topológica contribuciones a la entropía del enredo [9]. La naturaleza de las transiciones de fase cuántica con aleatoriedad apagada es en muchos sistemas bastante diferente del caso puro. Por ejemplo, en una clase de sistemas el comportamiento crítico es gobernado por un llamado infinito- punto fijo de aleatoriedad (IRFP), en el que la escala de energía y la escala de longitud L están relacionados como: 0 < • < 1. En estos sistemas, las regiones no críticas también son sin espacio y las energías de excitación en estos así- llamada escala de fases de Griffiths como L-z con un nonuni- exponente dinámico vertical z. Aun así, algunos corrieron... dom puntos críticos en 1D se muestra tener logaritmo- divergencias de la entropía del enredo con universal coeficientes, como en el caso puro; estos incluyen infinito- al azar puntos fijos en el aleatorio-singlet universal- clase ity [12, 13, 14, 15, 16] y una clase de singlet aperiódico fases [17]. En este artículo consideramos el cuántico aleatorio Ising modelo en dos dimensiones (2D), y examinar el trastorno- Entropía de enredo promedio. El comportamiento crítico de Este sistema se rige por un IRFP [10, 11] lo que implica que la fuerza del trastorno crece sin límite como el sistema es granulado grueso en el sentido del grupo de renormalización (RG). En nuestro estudio, el estado del sistema y el Entropía de enredo se calcula numéricamente usando un método RG fuerte-trastorno [18, 19], que produce asymp- resultados toticalmente exactos en un IRFP. Que nosotros sepamos esto. es el primer estudio del enredo en dimensiones superiores la interacción de los sistemas cuánticos con el trastorno. El modelo de Ising al azar es definido por el Hamiltonian H = − # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # i. 1).......................................................................................................................................................... Aquí los i } son spin-1/2 Pauli matrices en el sitio i de una L × L retícula cuadrada con condiciones de contorno periódicas. Los enlaces vecinos más cercanos Jij(≥ 0) son independientes variables aleatorias, mientras que los campos transversales hi(≥ 0) son Al azar o constante. Para una realización dada de... ness consideramos un bloque cuadrado A de tamaño lineal l, y calcular el enredo entre A y el resto de el sistema B, que es cuantificado por el von Neumann Entropía de la matriz de densidad reducida para cualquiera de los subsistemas tems: S = −Tr(lA log2 A) = −Tr(lB log2 B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. La idea básica del trastorno fuerte RG (SDRG) ap- proach es el siguiente [18, 19]: El estado de base de los sistemas tem se calcula eliminando sucesivamente el mayor http://arxiv.org/abs/0704.0418v2 FIG. 1: (color en línea). Un ejemplo de estado de suelo típico en el modelo cuántico aleatorio Ising (a) en 1D, y (b) en 2D; contiene una colección de spin clusters de varios tamaños, que están formados y diezmados durante el RG. El enredo de un bloque (área sombreada) se da por el número de diezmados clusters (indicados por bucles rojos) que conectan el bloque con el resto del sistema. términos locales en el Hamiltoniano y mediante la generación de un nuevo Hamiltoniano eficaz en el marco de la perturbación teoría. Si el vínculo más fuerte es Jij, los dos giros en i y j se combinan en un clúster ferromagnético con un efecto campo transversal h­(ij) = . Si, por otro lado, el término más grande es el campo hi, el giro en i es diezmado y se genera un vínculo efectivo entre su vecino- sitios de ing, digamos j y k, con fuerza J­jk = JijJik . Después diezmando todos los grados de libertad, obtenemos el suelo el estado del sistema, que consiste en una colección de indepen- abollamiento de racimos ferromagnéticos de varios tamaños; cada racimo de n spins se congela en un estado enredado de la forma: ( · · · · · } n veces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n veces â € € ¢). 3) En esta representación, la entropía del enredo de un bloque es dado por el número de clusters que se conectan sitios dentro de sitios fuera del bloque [Fig. 1]. Tomamos nota que las correlaciones entre sitios remotos también contribuyen a la entropía debida a los enlaces efectivos a largo plazo generados bajo renormalización. En 1D el cálculo RG se puede llevar a cabo analyti- Cally y la entropía promedio del trastorno Sl de un segmento de longitud l se ha obtenido como Sl = log2 l [12]. En dimensiones superiores, el método RG sólo puede ser Remendado numéricamente. La mayor complicación en este caso es que el modelo no es auto-dual y por lo tanto la ubicación de el punto crítico no se conoce exactamente. Para localizar el crit- -1,5 -1 -0,5 -1,5 -1 -0,5 0 -0,15 -0,1 -0,05 0 L = 16 L = 32 L = 64 -1,5 -1 -0,5 -1,5 -1 -0,5 0 a) b) d) e) =1,175 h =1,175 =1,175 =1,18 h0=1,17 Sustitución de PSfrag ln ‡h ln ‡h ln ‡J ln ‡J ln ‡h /L0.55 FIG. 2: (color en línea). La distribución del último deci- los campos logarítmicos eficaces y la distribución de la Últimos lazos logarítmicos eficaces diezmados en el RG calcula- ciones. En h0 = 1.175, las distribuciones, indicadas en las letras a) y b), ampliación con el aumento de los tamaños del sistema, indicando el RG fluir hacia la aleatoriedad infinita, es decir. El sistema es crítico. Gráfico de escalado de los datos en a) utilizando escalado de longitud de energía lneh L En la letra c) se presenta el valor de la suma de 0,55 ° con el valor de la suma de 0.55 °. La línea sólida es sólo una guía para el ojo. Las subfiguras (d) y (e) muestran la distribución de log-field en h0 = 1,18 y el log-bond des- Atribución a h0 = 1,17, respectivamente; las distribuciones muestran una cola decadente de la ley de poder en la región de baja energía, que es evidencia clara de que el sistema está en las fases Griffiths. ical punto, podemos hacer uso del hecho de que la excitación la energía del sistema tiene el comportamiento de escala en la criticidad, mientras que sigue a L−z en el fuera de crítica regiones. En la implementación numérica del SDRG método, las excitaciones de baja energía de una muestra determinada puede ser identificado con el campo transversal eficaz h de la último clúster de centrifugado diezmado, o con el acoplamiento efectivo J de la última pareja de racimo diezmada. En nuestra implementación nos fijamos para conveniencia el campos transversales para ser una constante h0 y el azar Las variables de enlace fueron tomadas de una distribución rectangular ión centrada en J = 1 con una anchura de 0,5. La crítica punto fue abordado variando el control único pa- rameter h0. Aunque este trastorno inicial parece ser = 1,170 = 1,175 = 1,180 = 1,185 = 1,190 L = 16 L = 24 L = 32 L = 40 L = 64 = 1,175 Sustitución de PSfrag En l ll FIG. 3: (color en línea). Panel izquierdo: El trastorno promediado Entropía de bloque por unidad de superficie Sl/l vs. el tamaño lineal de la bloque l para un tamaño de sistema L = 64 para varios valores de h0. Nosotros observar que la entropía para l = L/2 alcanza su máximo en el punto crítico hc = 1,175 (cf. Fig. Panel derecho: La entropía de bloque por superficie vs. ln l en una escala de troncos para diferentes tamaños de sistema L en el punto crítico. Los datos muestran una línea recta (guiada por la línea discontinua), correspondiente a el escalado obedeciendo la ley de área con un doble-logarítmico corrección, como se indica en Eq. 4). débil, el campo renormalizado y las distribuciones de bonos ser- vienen extremadamente amplios incluso en una escala logarítmica [Fig. 2] en el punto crítico h0 = hc = 1,175. Esto indica la RG fluye hacia la aleatoriedad infinita. Ligeramente lejos de el punto crítico, ambos en la fase de Griffiths desordenada con h0 = 1,18 y en la fase de Griffiths ordenada con h0 = 1,17, las distribuciones tienen un ancho finito y obedecen escala de grífidos cuánticos h- L-z. En la crítica El punto uno tiene escalado IRFP lnh el exponente de escalado como = 0,55, bastante cerca del valor • = 0,5 para el caso 1D [18]. Ahora consideramos la entropía del enredo cerca de la in- aleatoriedad finita punto crítico. Para obtener el trastorno... entropía de enredo promedio de un bloque cuadrado de tamaño l, hemos promediado las entropías sobre bloques en diferentes posiciones de todo el sistema para un trastorno dado real- y luego promedió más de unos pocos miles de muestras. In Fig. 3 se muestra la entropía por unidad de superficie Sl/l = sl para diferentes valores de h0. Esta densidad media de entropía se encuentra saturado fuera del punto crítico, que corresponde a la ley de área. En el punto crítico sl en- arruga monótonamente con l, y los datos numéricos son consistente con una dependencia de log-log: Sl ° l log2 log2 l (4) como se ilustra en la Fig. 3. De esta manera hemos identificado un ruta alternativa para localizar la aleatoriedad infinita criti- punto cal: se indica por el campo h0 para el cual la media la entropía del bloque en l = L/2 es máxima. De hecho, el nu- resultados mericos en Fig. 3 predice el mismo valor de hc que obtenidos a partir de la ampliación de las lagunas. Tomamos nota de que la la misma cantidad, la posición del máximo de la media entropía, se puede utilizar para la cadena cuántica aleatoria Ising para localizar puntos de transición de tamaño finito [21]. La dependencia del tamaño logarítmico de la entropía media en Eq.(4) en la criticidad es completamente nuevo; difiere de la comportamiento de escalado observado en sistemas puros 2D, como el el Derecho de la zona, Sl ° l, para los sistemas bosónicos críticos [7, 8], o una corrección multiplicativa logarítmica a la ley de área, Sl â € l log2 l, tal como se encuentra en los fermiones libres [5, 6, 7, 8]. Esto corrección doble-logarítmica se puede entender a través de un Argumento SDRG: En el caso 1D una longitud característica escala r en un paso RG dado se identifica con la longitud de edad de los bonos efectivos, es decir, el tamaño medio de los grupos eficaces. En la escala r(< l) el frac- el número total de giros, nr, que no han sido el diezmado es dado por nr 1/r [18]; estos activos (es decir, los giros indecimados) tienen una probabilidad finita de formar un cluster a través del límite del bloque (un segmento l en el caso 1D) y, por lo tanto, aportar contribuciones a la Entropía de enredo. Repetir la renormalización hasta la escala r l, las contribuciones a la entropía son Resumen: Dr. nr. En l, que conduce a la bitácora. dependencia arítmica del modelo 1D [12]. Para el 2D caso con el mismo tipo de transformación RG con una escala de longitud r < l, la fracción de los giros activos en el la capa superficial renormalizada del bloque es nr â € l/r. Toma. Tenemos que considerar la situación en la que algunos de estos los giros activos de la superficie formarían clusters dentro del sur- capa facial y, por lo tanto, aportar entropía de enredo cero; el número de giros activos que ya están activados en racimos en la superficie a escala RG r es proporcional a ln r, como se conoce en el caso 1D, y sólo O(1) de los giros activos de la superficie formarían clusters que conectaban el bloque con el resto del sistema. En consecuencia, la contribución de la entropía en 2D puede estimarse como: dr nr/ ln ln ln ln lnl, es decir, un doble-logarítmico l- dependencia, como se refleja en los datos numéricos de la Fig. 3. Sobre la base del argumento del SDRG descrito anteriormente, la corrección doble-logarítmica a la ley de área parece ser aplicable a una amplia clase de puntos críticos en 2D con Aleatoriedad infinita. Por ejemplo, los puntos críticos de cuántico Ising gafas de giro se cree que pertenecen a la la misma clase de universalidad que los ferromagnets desde la sión se convierte en irrelevante bajo la transformación de RG, y el mismo tipo de formaciones de racimo que se observa en nuestro se espera que se generen números numéricos para la ferromagnet durante la acción del RG. La entropía del enredo en el IRFP está completamente determinado por el clúster ge- ometrías que ocurren durante el SDRG. Otro tipo de IRFP en dimensiones superiores ocurre en el ferromagnet de ising cuántico diluido por enlace: Hamiltonian es de nuevo dado por (1), pero ahora Jij = 0 con probabilidad p y Jij = J > 0 con probabilidad 1− p. umbral de percolación p = pc hay un crítico cuántico línea a lo largo de pequeños campos transversales no cero, que es con- p = 0,49 = 0,50 p = 0,52 1 10 10010 L = 128 L = 256 L = 512 = 0,5 Sustitución de PSfrag FIG. 4: (color en línea). La entropía por superficie Sl/l = sl vs. l cerca del umbral de percolación pc = 0,5 para el modelo 2D de ising diluido por enlace en pequeños campos transversales para L = 512. Las curvas convergen a los valores finitos para l → correspondiente a la ley de zona. El conjunto muestra sl − s una función de l. s-o se estima a partir de sL/2 en L = 512. Los línea discontinua corresponde a l−1. laminado por el punto fijo clásico de la percolación, y el escala de energía a través de esta línea de transición obedece a ln â â € € TM Lâ, Esto implica un IRFP [20]. El estado del sistema en tierra es dada por un conjunto de clusters ordenados en el mismo geom- etry como en el modelo clásico de percolación – sólo más cercano Los sitios vecinos se combinan en un clúster. En este estructura de clúster, la entropía de bloque, determinada por el número de los clusters que conectan el bloque y el resto del sistema, está limitado por el área del bloque, es decir, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Tem. Para examinar esto, determinamos el enredo entropía mediante el análisis de la geometría de racimo de la unión- modelo de ising transversal diluido. Fig. 4 muestra nuestros resultados para la celosía cuadrada, que sigue una ley de área pura con una constante de aditivo: Sl = al+ b+O(1/l). Para resumir, hemos encontrado que el enredo propiedades en transiciones de fase cuántica de trastornos sistemas en dimensiones más grandes que uno pueden comportarse bastante diferentemente. Generalizando nuestros argumentos para el caso 2D, esperamos para los sistemas transversales de enlace aleatorio Ising una corrección logarítmica multiplicativa d-fold en el área en d dimensiones en el punto crítico, mientras que para modelo de ising diluido en pequeños campos transversales de la zona ley se mantendrá en cualquier dimensión d > 1 en la percolación umbral. Aunque ambos puntos críticos se describen por aleatoriedad infinita puntos fijos, la estructura de la En ambos casos, las agrupaciones fuertemente acopladas son fundamentalmente diferente, reflejando los diferentes grados de cuántico yo- Enredo mecánico en el estado del suelo de los dos sistemas- Tems. Este comportamiento parece estar en contraste con uno- sistemas dimensionales regidos por IRFP [12]. Otros sistemas cuánticos desordenados en dimensiones más altas Sions también puede mostrar interesante utilería de enredo. erties: Por ejemplo, el SDRG numérico también ha sido aplicado al azar de mayor dimensión Heisenberg anti- ferromagnetas que no muestren un IRFP [22]. Los estados de tierra implican tanto giros singlet y clusters con momentos más grandes; por lo tanto, esperamos que la corrección a el derecho de zona a ser más débil que un loga multiplicativo ritmo y diferente del enredo de enlace de valencia Entropía en la fase Néel [23]. Las conversaciones útiles con Cécile Montsus están agradecidas Reconozco. Esta labor ha contado con el apoyo de las Naciones Unidas. Oficina de Investigación y Tecnología con cargo a la subvención No. ASEP1111, por un intercambio alemán-húngaro pro- gram (DAAD-MÖB), por el Consejo Nacional Húngaro Fondo de búsqueda en virtud de la subvención no OTKA TO48721, K62588, MO45596. [1] Para una revisión véase: L. Amico et al., quant-ph/0703044. [2] P. Calabrese y J. Cardy, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2004, P06002 (2004). [3] M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993). [4] M.B. Plenio et al., Phys. Rev. Lett. 94, 060503 (2005); M. Cramer et al., Phys. Rev. A 73, 012309 (2006); M. Cramer y J. Eisert, New J. Phys 8 71 (2006). [5] M.M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, 010404 (2006); D. Gioev y I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, 100503 (2006). [6] W. Li et al, Phys. Rev. B 74, 073103 (2006). [7] T. Barthel, M.-C. Chung, y U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006). [8] M. Cramer, J. Eisert, y M.B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 98, 220603 (2007). [9] A. Kitaev y J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 110404 (2006); M. Levin y X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 96, 110405 (2006); E. Fradkin y J.E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006). [10] C. Pich et al., Phys. Rev. Lett. 81, 5916 (1998). [11] O. Motrunich et al., Phys. Rev. B 61, 1160 (2000); Y.- C. Lin et al., Prog. Teor. Phys. Suppl. 138, 479 (2000). [12] G. Refael y J.E. Moore, Phys. Rev. Lett. 93, 260602 (2004). [13] G. Refael y J.E. Moore, Phys. Rev. B 76, 024419 (2007). [14] R. Santachiara, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2006, L06002 (2006). [15] N.E. Bonesteel y K. Yang, cond-mat/0612503. [16] A. Saguia et al., Phys. Rev. A 75, 052329 (2007). [17] F. Iglói, R. Juhász y Z. Zimborás, Europhys. Lett. 79, 37001 (2007); R. Juhász y Z. Zimborás, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2007, P04004 (2007). [18] D.S. Fisher, Phys. Rev. B 50, 3799 (1994). D.S. Fisher, Phys. Rev. B 51, 6411 (1995). [19] F. Iglói y C. Monthus, Phys. Rep. 412, 277 (2005). [20] T. Senthil y S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 77, 5292 (1996). [21] F. Iglói, Y.-C. Lin, H. Rieger, y C. Monthus, Phys. Rev. B 76, 064421 (2007). [22] Y.-C. Lin et al, Phys. Rev. B 68, 024424 (2003); Y.- C. Lin et al, Phys. Rev. B 74, 024427 (2006). [23] F. Alet et al, cond-mat/0703027. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703044 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0612503 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0703027

La entropía del enredo del modelo transversal aleatorio bidimensional Ising se estudia con una aplicación numérica del trastorno fuerte grupo de renormalización. Comportamiento asintótico de la entropía por superficie diverge en, y sólo en, la transición de fase cuántica que se rige por un punto fijo de aleatoriedad infinita. Aquí identificamos un doble logarítmico corrección multiplicativa a la ley de área para la entropía del enredo. Esto contrasta con la ley del área pura válida en el punto fijo de la aleatoriedad infinita en el modelo transversal diluido Ising en dimensiones superiores.

Entropía de enredo en puntos fijos de aleatoriedad infinita en dimensiones superiores Yu-Cheng Lin1, Ferenc Iglói2,3 y Heiko Rieger1 Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, 66041 Saarbrücken, Alemania Instituto de Investigación de Física y Óptica del Estado Sólido, H-1525 Budapest (Hungría) Instituto de Física Teórica, Universidad de Szeged, H-6720 Szeged, Hungría (Fecha: 3 de noviembre de 2018) La entropía de enredo del modelo de Ising aleatorio bidimensional se estudia con una implementación numérica del grupo de renormalización del trastorno fuerte. El comportamiento asintótico de la entropía por área de superficie diverge en, y sólo en, la transición de fase cuántica que es gobernado por un punto fijo de aleatoriedad infinita. Aquí identificamos un multiplicativo doble-logarítmico corrección a la ley de área para la entropía de enredo. Esto contrasta con la ley del área pura válida en el punto fijo de aleatoriedad infinita en el modelo transversal diluido Ising en dimensiones superiores. Números PACS: Los PACS válidos aparecen aquí Últimamente se han dedicado amplios estudios a la Enredo de estado de pie en cuerpo cuántico de muchos sistemas [1]. En particular, el comportamiento de varios entan- medidas de glement en las transiciones de fase cuántica/cerca de ha sido de especial interés. Uno de los ampliamente utilizados entan- von Neumann entropía, que cuantifica el enredo de un estado cuántico puro en un bi- sistema partite. Estados de base críticos en una dimensión (1D) se sabe que tiene entropía de enredo que di- El tamaño del subsistema con un uni- coeficiente versal determinado por la carga central de la teoría de campo conformal asociada [2]. Lejos del crit... ical punto, la entropía del enredo satura a un finito valor, que está relacionado con la longitud de correlación finita. En dimensiones superiores, el comportamiento de escala del entan- La entropía de glement es mucho menos clara. Una expectativa estándar es que las escalas de entropía de enredo no crítico como la área del límite entre los subsistemas, conocida como la “ley del área” [3, 4]. Esta relación de área es conocida por para los sistemas fermónicos sin brecha [5] en los que un Se encuentra corrección multiplicativa logarítmica. Uno podría sospecha que si el derecho de zona tiene o no depende sobre si la longitud de correlación es finita o diverge. Sin embargo, ha resultado que la situación es más complejo: conclusiones numéricas [7] y un análisis reciente estudio [8] han demostrado que el derecho de área se sostiene incluso para sistemas bosónicos críticos, a pesar de una correlación divergente longitud. Esto indica que la escala de longitud asociada con enredo puede diferir de la longitud de la correlación. Otra actividad de investigación en curso para el enredo en dimensiones espaciales superiores es entender topológica contribuciones a la entropía del enredo [9]. La naturaleza de las transiciones de fase cuántica con aleatoriedad apagada es en muchos sistemas bastante diferente del caso puro. Por ejemplo, en una clase de sistemas el comportamiento crítico es gobernado por un llamado infinito- punto fijo de aleatoriedad (IRFP), en el que la escala de energía y la escala de longitud L están relacionados como: 0 < • < 1. En estos sistemas, las regiones no críticas también son sin espacio y las energías de excitación en estos así- llamada escala de fases de Griffiths como L-z con un nonuni- exponente dinámico vertical z. Aun así, algunos corrieron... dom puntos críticos en 1D se muestra tener logaritmo- divergencias de la entropía del enredo con universal coeficientes, como en el caso puro; estos incluyen infinito- al azar puntos fijos en el aleatorio-singlet universal- clase ity [12, 13, 14, 15, 16] y una clase de singlet aperiódico fases [17]. En este artículo consideramos el cuántico aleatorio Ising modelo en dos dimensiones (2D), y examinar el trastorno- Entropía de enredo promedio. El comportamiento crítico de Este sistema se rige por un IRFP [10, 11] lo que implica que la fuerza del trastorno crece sin límite como el sistema es granulado grueso en el sentido del grupo de renormalización (RG). En nuestro estudio, el estado del sistema y el Entropía de enredo se calcula numéricamente usando un método RG fuerte-trastorno [18, 19], que produce asymp- resultados toticalmente exactos en un IRFP. Que nosotros sepamos esto. es el primer estudio del enredo en dimensiones superiores la interacción de los sistemas cuánticos con el trastorno. El modelo de Ising al azar es definido por el Hamiltonian H = − # # # I, j # # # # # I, j # # # # I, j # # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # # # I, j # # I, j # i. 1).......................................................................................................................................................... Aquí los i } son spin-1/2 Pauli matrices en el sitio i de una L × L retícula cuadrada con condiciones de contorno periódicas. Los enlaces vecinos más cercanos Jij(≥ 0) son independientes variables aleatorias, mientras que los campos transversales hi(≥ 0) son Al azar o constante. Para una realización dada de... ness consideramos un bloque cuadrado A de tamaño lineal l, y calcular el enredo entre A y el resto de el sistema B, que es cuantificado por el von Neumann Entropía de la matriz de densidad reducida para cualquiera de los subsistemas tems: S = −Tr(lA log2 A) = −Tr(lB log2 B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. La idea básica del trastorno fuerte RG (SDRG) ap- proach es el siguiente [18, 19]: El estado de base de los sistemas tem se calcula eliminando sucesivamente el mayor http://arxiv.org/abs/0704.0418v2 FIG. 1: (color en línea). Un ejemplo de estado de suelo típico en el modelo cuántico aleatorio Ising (a) en 1D, y (b) en 2D; contiene una colección de spin clusters de varios tamaños, que están formados y diezmados durante el RG. El enredo de un bloque (área sombreada) se da por el número de diezmados clusters (indicados por bucles rojos) que conectan el bloque con el resto del sistema. términos locales en el Hamiltoniano y mediante la generación de un nuevo Hamiltoniano eficaz en el marco de la perturbación teoría. Si el vínculo más fuerte es Jij, los dos giros en i y j se combinan en un clúster ferromagnético con un efecto campo transversal h­(ij) = . Si, por otro lado, el término más grande es el campo hi, el giro en i es diezmado y se genera un vínculo efectivo entre su vecino- sitios de ing, digamos j y k, con fuerza J­jk = JijJik . Después diezmando todos los grados de libertad, obtenemos el suelo el estado del sistema, que consiste en una colección de indepen- abollamiento de racimos ferromagnéticos de varios tamaños; cada racimo de n spins se congela en un estado enredado de la forma: ( · · · · · } n veces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # n veces â € € ¢). 3) En esta representación, la entropía del enredo de un bloque es dado por el número de clusters que se conectan sitios dentro de sitios fuera del bloque [Fig. 1]. Tomamos nota que las correlaciones entre sitios remotos también contribuyen a la entropía debida a los enlaces efectivos a largo plazo generados bajo renormalización. En 1D el cálculo RG se puede llevar a cabo analyti- Cally y la entropía promedio del trastorno Sl de un segmento de longitud l se ha obtenido como Sl = log2 l [12]. En dimensiones superiores, el método RG sólo puede ser Remendado numéricamente. La mayor complicación en este caso es que el modelo no es auto-dual y por lo tanto la ubicación de el punto crítico no se conoce exactamente. Para localizar el crit- -1,5 -1 -0,5 -1,5 -1 -0,5 0 -0,15 -0,1 -0,05 0 L = 16 L = 32 L = 64 -1,5 -1 -0,5 -1,5 -1 -0,5 0 a) b) d) e) =1,175 h =1,175 =1,175 =1,18 h0=1,17 Sustitución de PSfrag ln ‡h ln ‡h ln ‡J ln ‡J ln ‡h /L0.55 FIG. 2: (color en línea). La distribución del último deci- los campos logarítmicos eficaces y la distribución de la Últimos lazos logarítmicos eficaces diezmados en el RG calcula- ciones. En h0 = 1.175, las distribuciones, indicadas en las letras a) y b), ampliación con el aumento de los tamaños del sistema, indicando el RG fluir hacia la aleatoriedad infinita, es decir. El sistema es crítico. Gráfico de escalado de los datos en a) utilizando escalado de longitud de energía lneh L En la letra c) se presenta el valor de la suma de 0,55 ° con el valor de la suma de 0.55 °. La línea sólida es sólo una guía para el ojo. Las subfiguras (d) y (e) muestran la distribución de log-field en h0 = 1,18 y el log-bond des- Atribución a h0 = 1,17, respectivamente; las distribuciones muestran una cola decadente de la ley de poder en la región de baja energía, que es evidencia clara de que el sistema está en las fases Griffiths. ical punto, podemos hacer uso del hecho de que la excitación la energía del sistema tiene el comportamiento de escala en la criticidad, mientras que sigue a L−z en el fuera de crítica regiones. En la implementación numérica del SDRG método, las excitaciones de baja energía de una muestra determinada puede ser identificado con el campo transversal eficaz h de la último clúster de centrifugado diezmado, o con el acoplamiento efectivo J de la última pareja de racimo diezmada. En nuestra implementación nos fijamos para conveniencia el campos transversales para ser una constante h0 y el azar Las variables de enlace fueron tomadas de una distribución rectangular ión centrada en J = 1 con una anchura de 0,5. La crítica punto fue abordado variando el control único pa- rameter h0. Aunque este trastorno inicial parece ser = 1,170 = 1,175 = 1,180 = 1,185 = 1,190 L = 16 L = 24 L = 32 L = 40 L = 64 = 1,175 Sustitución de PSfrag En l ll FIG. 3: (color en línea). Panel izquierdo: El trastorno promediado Entropía de bloque por unidad de superficie Sl/l vs. el tamaño lineal de la bloque l para un tamaño de sistema L = 64 para varios valores de h0. Nosotros observar que la entropía para l = L/2 alcanza su máximo en el punto crítico hc = 1,175 (cf. Fig. Panel derecho: La entropía de bloque por superficie vs. ln l en una escala de troncos para diferentes tamaños de sistema L en el punto crítico. Los datos muestran una línea recta (guiada por la línea discontinua), correspondiente a el escalado obedeciendo la ley de área con un doble-logarítmico corrección, como se indica en Eq. 4). débil, el campo renormalizado y las distribuciones de bonos ser- vienen extremadamente amplios incluso en una escala logarítmica [Fig. 2] en el punto crítico h0 = hc = 1,175. Esto indica la RG fluye hacia la aleatoriedad infinita. Ligeramente lejos de el punto crítico, ambos en la fase de Griffiths desordenada con h0 = 1,18 y en la fase de Griffiths ordenada con h0 = 1,17, las distribuciones tienen un ancho finito y obedecen escala de grífidos cuánticos h- L-z. En la crítica El punto uno tiene escalado IRFP lnh el exponente de escalado como = 0,55, bastante cerca del valor • = 0,5 para el caso 1D [18]. Ahora consideramos la entropía del enredo cerca de la in- aleatoriedad finita punto crítico. Para obtener el trastorno... entropía de enredo promedio de un bloque cuadrado de tamaño l, hemos promediado las entropías sobre bloques en diferentes posiciones de todo el sistema para un trastorno dado real- y luego promedió más de unos pocos miles de muestras. In Fig. 3 se muestra la entropía por unidad de superficie Sl/l = sl para diferentes valores de h0. Esta densidad media de entropía se encuentra saturado fuera del punto crítico, que corresponde a la ley de área. En el punto crítico sl en- arruga monótonamente con l, y los datos numéricos son consistente con una dependencia de log-log: Sl ° l log2 log2 l (4) como se ilustra en la Fig. 3. De esta manera hemos identificado un ruta alternativa para localizar la aleatoriedad infinita criti- punto cal: se indica por el campo h0 para el cual la media la entropía del bloque en l = L/2 es máxima. De hecho, el nu- resultados mericos en Fig. 3 predice el mismo valor de hc que obtenidos a partir de la ampliación de las lagunas. Tomamos nota de que la la misma cantidad, la posición del máximo de la media entropía, se puede utilizar para la cadena cuántica aleatoria Ising para localizar puntos de transición de tamaño finito [21]. La dependencia del tamaño logarítmico de la entropía media en Eq.(4) en la criticidad es completamente nuevo; difiere de la comportamiento de escalado observado en sistemas puros 2D, como el el Derecho de la zona, Sl ° l, para los sistemas bosónicos críticos [7, 8], o una corrección multiplicativa logarítmica a la ley de área, Sl â € l log2 l, tal como se encuentra en los fermiones libres [5, 6, 7, 8]. Esto corrección doble-logarítmica se puede entender a través de un Argumento SDRG: En el caso 1D una longitud característica escala r en un paso RG dado se identifica con la longitud de edad de los bonos efectivos, es decir, el tamaño medio de los grupos eficaces. En la escala r(< l) el frac- el número total de giros, nr, que no han sido el diezmado es dado por nr 1/r [18]; estos activos (es decir, los giros indecimados) tienen una probabilidad finita de formar un cluster a través del límite del bloque (un segmento l en el caso 1D) y, por lo tanto, aportar contribuciones a la Entropía de enredo. Repetir la renormalización hasta la escala r l, las contribuciones a la entropía son Resumen: Dr. nr. En l, que conduce a la bitácora. dependencia arítmica del modelo 1D [12]. Para el 2D caso con el mismo tipo de transformación RG con una escala de longitud r < l, la fracción de los giros activos en el la capa superficial renormalizada del bloque es nr â € l/r. Toma. Tenemos que considerar la situación en la que algunos de estos los giros activos de la superficie formarían clusters dentro del sur- capa facial y, por lo tanto, aportar entropía de enredo cero; el número de giros activos que ya están activados en racimos en la superficie a escala RG r es proporcional a ln r, como se conoce en el caso 1D, y sólo O(1) de los giros activos de la superficie formarían clusters que conectaban el bloque con el resto del sistema. En consecuencia, la contribución de la entropía en 2D puede estimarse como: dr nr/ ln ln ln ln lnl, es decir, un doble-logarítmico l- dependencia, como se refleja en los datos numéricos de la Fig. 3. Sobre la base del argumento del SDRG descrito anteriormente, la corrección doble-logarítmica a la ley de área parece ser aplicable a una amplia clase de puntos críticos en 2D con Aleatoriedad infinita. Por ejemplo, los puntos críticos de cuántico Ising gafas de giro se cree que pertenecen a la la misma clase de universalidad que los ferromagnets desde la sión se convierte en irrelevante bajo la transformación de RG, y el mismo tipo de formaciones de racimo que se observa en nuestro se espera que se generen números numéricos para la ferromagnet durante la acción del RG. La entropía del enredo en el IRFP está completamente determinado por el clúster ge- ometrías que ocurren durante el SDRG. Otro tipo de IRFP en dimensiones superiores ocurre en el ferromagnet de ising cuántico diluido por enlace: Hamiltonian es de nuevo dado por (1), pero ahora Jij = 0 con probabilidad p y Jij = J > 0 con probabilidad 1− p. umbral de percolación p = pc hay un crítico cuántico línea a lo largo de pequeños campos transversales no cero, que es con- p = 0,49 = 0,50 p = 0,52 1 10 10010 L = 128 L = 256 L = 512 = 0,5 Sustitución de PSfrag FIG. 4: (color en línea). La entropía por superficie Sl/l = sl vs. l cerca del umbral de percolación pc = 0,5 para el modelo 2D de ising diluido por enlace en pequeños campos transversales para L = 512. Las curvas convergen a los valores finitos para l → correspondiente a la ley de zona. El conjunto muestra sl − s una función de l. s-o se estima a partir de sL/2 en L = 512. Los línea discontinua corresponde a l−1. laminado por el punto fijo clásico de la percolación, y el escala de energía a través de esta línea de transición obedece a ln â â € € TM Lâ, Esto implica un IRFP [20]. El estado del sistema en tierra es dada por un conjunto de clusters ordenados en el mismo geom- etry como en el modelo clásico de percolación – sólo más cercano Los sitios vecinos se combinan en un clúster. En este estructura de clúster, la entropía de bloque, determinada por el número de los clusters que conectan el bloque y el resto del sistema, está limitado por el área del bloque, es decir, • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Tem. Para examinar esto, determinamos el enredo entropía mediante el análisis de la geometría de racimo de la unión- modelo de ising transversal diluido. Fig. 4 muestra nuestros resultados para la celosía cuadrada, que sigue una ley de área pura con una constante de aditivo: Sl = al+ b+O(1/l). Para resumir, hemos encontrado que el enredo propiedades en transiciones de fase cuántica de trastornos sistemas en dimensiones más grandes que uno pueden comportarse bastante diferentemente. Generalizando nuestros argumentos para el caso 2D, esperamos para los sistemas transversales de enlace aleatorio Ising una corrección logarítmica multiplicativa d-fold en el área en d dimensiones en el punto crítico, mientras que para modelo de ising diluido en pequeños campos transversales de la zona ley se mantendrá en cualquier dimensión d > 1 en la percolación umbral. Aunque ambos puntos críticos se describen por aleatoriedad infinita puntos fijos, la estructura de la En ambos casos, las agrupaciones fuertemente acopladas son fundamentalmente diferente, reflejando los diferentes grados de cuántico yo- Enredo mecánico en el estado del suelo de los dos sistemas- Tems. Este comportamiento parece estar en contraste con uno- sistemas dimensionales regidos por IRFP [12]. Otros sistemas cuánticos desordenados en dimensiones más altas Sions también puede mostrar interesante utilería de enredo. erties: Por ejemplo, el SDRG numérico también ha sido aplicado al azar de mayor dimensión Heisenberg anti- ferromagnetas que no muestren un IRFP [22]. Los estados de tierra implican tanto giros singlet y clusters con momentos más grandes; por lo tanto, esperamos que la corrección a el derecho de zona a ser más débil que un loga multiplicativo ritmo y diferente del enredo de enlace de valencia Entropía en la fase Néel [23]. Las conversaciones útiles con Cécile Montsus están agradecidas Reconozco. Esta labor ha contado con el apoyo de las Naciones Unidas. Oficina de Investigación y Tecnología con cargo a la subvención No. ASEP1111, por un intercambio alemán-húngaro pro- gram (DAAD-MÖB), por el Consejo Nacional Húngaro Fondo de búsqueda en virtud de la subvención no OTKA TO48721, K62588, MO45596. [1] Para una revisión véase: L. Amico et al., quant-ph/0703044. [2] P. Calabrese y J. Cardy, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2004, P06002 (2004). [3] M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993). [4] M.B. Plenio et al., Phys. Rev. Lett. 94, 060503 (2005); M. Cramer et al., Phys. Rev. A 73, 012309 (2006); M. Cramer y J. Eisert, New J. Phys 8 71 (2006). [5] M.M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, 010404 (2006); D. Gioev y I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, 100503 (2006). [6] W. Li et al, Phys. Rev. B 74, 073103 (2006). [7] T. Barthel, M.-C. Chung, y U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006). [8] M. Cramer, J. Eisert, y M.B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 98, 220603 (2007). [9] A. Kitaev y J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 110404 (2006); M. Levin y X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 96, 110405 (2006); E. Fradkin y J.E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006). [10] C. Pich et al., Phys. Rev. Lett. 81, 5916 (1998). [11] O. Motrunich et al., Phys. Rev. B 61, 1160 (2000); Y.- C. Lin et al., Prog. Teor. Phys. Suppl. 138, 479 (2000). [12] G. Refael y J.E. Moore, Phys. Rev. Lett. 93, 260602 (2004). [13] G. Refael y J.E. Moore, Phys. Rev. B 76, 024419 (2007). [14] R. Santachiara, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2006, L06002 (2006). [15] N.E. Bonesteel y K. Yang, cond-mat/0612503. [16] A. Saguia et al., Phys. Rev. A 75, 052329 (2007). [17] F. Iglói, R. Juhász y Z. Zimborás, Europhys. Lett. 79, 37001 (2007); R. Juhász y Z. Zimborás, J. Stat. Mech. Teor. Exp. 2007, P04004 (2007). [18] D.S. Fisher, Phys. Rev. B 50, 3799 (1994). D.S. Fisher, Phys. Rev. B 51, 6411 (1995). [19] F. Iglói y C. Monthus, Phys. Rep. 412, 277 (2005). [20] T. Senthil y S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 77, 5292 (1996). [21] F. Iglói, Y.-C. Lin, H. Rieger, y C. Monthus, Phys. Rev. B 76, 064421 (2007). [22] Y.-C. Lin et al, Phys. Rev. B 68, 024424 (2003); Y.- C. Lin et al, Phys. Rev. B 74, 024427 (2006). [23] F. Alet et al, cond-mat/0703027. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703044 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0612503 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0703027

Ultrasound attenuation of superfluid $^{3}$He in aerogel

Ultrasonido Atenuación de Superfluido 3He en Aerogel H.C. Choi, N. Masuhara, B.H. Moon, P. Bhupathi, M.W. Meisel, y Y. Lee* Laboratorio Microkelvin, Departamento de Física, Universidad de Florida, Gainesville, FL 32611-8440, EE.UU. N. Mulders Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Delaware, Newark, DE 19716, EE.UU. S. Higashitani, M. Miura y K. Nagai Facultad de IAS, Universidad de Hiroshima, Kagamiyama 1-7-1, Higashi-Hiroshima 739-8521, Japón (Fecha: 27 de octubre de 2018) Hemos realizado mediciones de atenuación de ultrasonido longitudinal (9,5 MHz) en la fase B aerogel de porosidad 98% hasta el límite de temperatura cero para un amplio rango de presiones a campo magnético cero. La atenuación absoluta fue determinada por transmisión directa de pulsos sonoros. En comparación con el fluido a granel, nuestros resultados revelaron un comportamiento drásticamente diferente en atenuación, que es consistente con cuentas teóricas con excitaciones sin diferencia y una colisión efecto arrastre. Líquido 3Ha atraído un intenso interés para muchos décadas en el campo de la física de bajas temperaturas [1]. In su estado normal, líquido 3Ha servido como paradigma para un líquido Fermi cuya naturaleza trasciende la física. Las fases superfluidas de 3Expone exótico e intrigu- características asociadas con las simetrías rotas en el condensado, con una estructura no convencional del o- parámetro der con spin triplet p-wave emparejamiento. Líquido 3Se puede decir que es el sistema más bien entendido, principalmente debido a su pureza intrínseca extrema a baja temperatura- Atures. Por lo tanto, ha proporcionado ideas importantes en la comprensión de otros superconductores no convencionales tales como los superconductores de alta temperatura, el pesado Los superconductores de fermión, y en particular los más re- cently descubierto Sr2RuO4, que también se cree que tiene la simetría de onda p [2]. Sin embargo, la misma virtud tiene en la búsqueda de respuestas a un importante problema pregunta general: ¿cómo hace la naturaleza de un cuántico condensado (spin triplet de onda p superfluida en este caso) responder al aumento de la impureza o el desorden? Observación de transiciones superfluidas en líquido 3He im- preñada en aerogel de alta porosidad en 1995 [3, 4] abierto un camino novedoso para introducir el trastorno estático en el líquido 3He. Aerogel posee una estructura única, cuya topología es en el antipode de medios porosos ampliamente estudiados, tales como Vidrio Vycor y sinters metálicos. Debido a su estructura abierta , no hay poros bien definidos en el aerogel y conse- Quently, el líquido está en la proximidad de la masa. Noventa 8 por ciento de porosidad aerogel, que se ha utilizado en La mayoría de los estudios incluyendo este trabajo, ofrece un corre- red tardía de agregados hebrados de moléculas SiO2 cuya estructura se puede caracterizar por la geométrica la trayectoria libre media (l 100 - 200 nm), el diámetro de la hebra (r • 3 nm), y la distancia media entre líneas (d 25) - 40 nm). La longitud de coherencia de superfluido puro 3He, 0, que varía de 20 nm (34 bar) a 80 nm (0 bar), es al menos un orden de magnitud más grande que el hilo diámetro pero es comparable a l y d. Como resultado, la la dispersión de la hebra de aerogel tendría un significativo influencia en el superfluido. Ahora está bien establecido. que la temperatura de transición superfluida es significativa Deprimido por el de la masa, y el efecto de par- la rotura se aumenta progresivamente a presiones más bajas, lo que conduce a la posibilidad de una transición de fase cuántica en la casilla 6 de los bares [5]. Hasta la fecha, tres superfluidos distintos las fases se han identificado experimentalmente, a saber, el A-como, B-como, y A1-como fases [4, 6, 7, 8, 9]. El tipo B fase y la fase similar a A1 en aerogel muestran ilaridad a sus contrapartes en el superfluido a granel [9, 10]. Estudios detallados de RMN [7, 8, 10] sugieren que el aerogel B-fase tiene la misma estructura de parámetros de orden que la Fase B a granel. La fase A1 del aerogel sólo aparece en el presencia de campo magnético, como es el caso en el caso de la masa [9]. Sin embargo, el aerogel A-fase exhibe una muy diferente comportamiento de la fase A a granel (por ejemplo, en frecuencia NMR cambio y densidad superfluida), aunque la abrumadora evidencia experimental sugiere que es un giro igual Estado de emparejamiento. Distintas interpretaciones o propuestas novedosas ciones sobre la posible estructura de parámetros de orden han sido propuesta para esta fase [11, 12, 13]. Resonancia magnética nuclear y ecografía. troscopía se han utilizado en concierto para investigar el mi- estructura croscópica de las fases superfluidas [1, 14]. Estos dos métodos experimentales abarcan la complementariedad de formación en el orbital (ultrasonido) y espín (RMN) estructura de los pares Cooper. Espectros ricos de orden modos colectivos de parámetros en superfluidos a granel, que son las huellas dactilares de simetrías rotas específicas en el sistema, han sido cartografiados por ultrasonido espectroscópico técnicas [14]. En 2000, Nomura et al. [15] ul- medidas de atenuación del trassonido en el 98% de aerogel nosotros- con una técnica de impedancia acústica cw de 16,5 MHz. Sus el trabajo se limitó a una sola presión a 16 bares y a 0,6 mK. Aunque su técnica no fue adecuada en determinar la atenuación absoluta, lograron ex- la atenuación absoluta del sonido después de la fabricación de auxil- http://arxiv.org/abs/0704.0419v1 Tiempo (μs) FIG. 1: Respuesta acústica del receptor vs. tiempo a los 34 barras para determinadas temperaturas que van desde 0,3 mK a 2,5 mK. La transición aerogel superfluida está marcada por una pequeña flecha. Asuntos jurídicos. Un grupo de Bayreuth [16] realizó ab- medidas de atenuación del sonido soluto en aerogel (97%) porosidad) utilizando una técnica de transmisión directa de sonido en 10 MHz. Experimentó una respuesta deficiente de los transductores, y se observó autocalentamiento y ninguna depresión en el aire- transición de gel superfluido. Hemos llevado a cabo una alta frecuencia Experimentos de transmisión de sonido en el 98% de la porosidad gel, cubriendo todo el diagrama de fase del superfluido fases en el aerogel, de 8 a 34 bares y desde el transi- ión temperaturas de hasta 200 μK. En este experimento, dos coinciden con LiNbO3 longitudi- transductores de sonido nal con la resonancia fundamental en Se utilizaron 9,5 MHz como transmisor y receptor. Los Los transductores de 6,3 mm de diámetro fueron separados por espaciador de cor manteniendo una trayectoria de sonido de 3,05 (± 0,02) mm entre los transductores donde estaba la muestra de aerogel crecido in situ. Este sistema garantiza el mejor contacto posible. entre la superficie del transductor y el aerogel, que es crucial para la transmisión de sonido limpio en los límites. Un pulso de 1 μs fue generado por el transmisor y de- Teccionado por el receptor. La temperatura fue determinada por un termómetro de presión de fusión (MPT) para T ≥ 1 mK y un termómetro Pt NMR para T ≤ 1 mK, que fue calibrado contra el MPT. Sin respuesta no lineal o autocalentamiento se observó en el nivel de excitación utilizado en Este trabajo. Todos los datos presentados aquí, excepto 8 barras, fueron tomadas durante el calentamiento con una tasa de calentamiento típica de 3 μK/min. Una descripción detallada del experimento: Las células tal y las técnicas experimentales se pueden encontrar de otra manera. donde [17, 18]. Las respuestas temporales del receptor tomadas en 34 barras se muestran en la Fig. 1 para determinadas temperaturas que van desde 0,3 a 2,5 mK. La respuesta primaria, que comienza a aumentar alrededor de 8 μs, muestra una respuesta bastante amplia debido a En el caso del transductor Q alto (Q + 103). El paso-como la estructura de la señal del receptor es causada por coinciden en los espectros de los transductores [18]. Debajo de la aerogel transición superfluida (marcado alrededor de 2,1 mK por una flecha en la Fig. 1) la respuesta primaria comienza a crecer y los ecos que siguen emergen del fondo, como la atenuación del sonido disminuye en el superfluido. No cambio en la señal del receptor se observó a granel transición superfluida. Los ecos múltiples siguen una bona fide decaimiento exponencial en el tiempo. Sonido absoluto attenua- sión se obtuvo de la siguiente manera [19]. En primer lugar, la se calculó la atenuación relativa a cada temperatura utilizando el área bajo la curva de respuesta primaria por inte- rallar la señal desde el borde ascendente hasta un punto fijo en tiempo (23 μs punto). La atenuación absoluta a 0,4 mK y 29 barras, obtenidas utilizando la señal primaria y la ecoes, se utilizó como punto de referencia en la conversión de la atenuación relativa en la atenuación absoluta. Sumas adeudadas a un drástico desajuste en la impedancia acústica en el el límite transductor-aerogel/3He, la señal absorbe- sión en la superficie de los transductores fue ignorada [19]. Los posibles contribuciones de antecedentes a la atenuación de la cuasipartícula que se dispersa de la pared de la cavidad [20] y la alineación no paralela de los dos transductores es es- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Las atenuaciones absolutas sobre el calentamiento para varios pres- los seguros son trazados en función de la temperatura en la Fig. 2 a). La transición superfluida está marcada por la suave caída en atenuación. Nuestro aerogel superfluido transición tem- peratures están en excelente acuerdo con el anterior valores comunicados para todas las presiones [5, 21]. A 9,5 MHz en la fase B a granel, un pico de atenuación fuerte aparece a la derecha por debajo de la transición superfluida. Este pico es el resultado de las contribuciones combinadas de par-romper y cou- pling al parámetro de orden modos colectivos. Por encima de la presión policrítica, la transición de B a A sobre el calentamiento se registra como un paso brusco en la atenuación. In aero- gel, ninguna de estas características existen. Sin embargo, hicimos ob- servir un paso nítido en la atenuación en la refrigeración para P > 14 barras, lo que implica la existencia de la super-enfriado A- fase [19]. Pudimos identificar un B bastante suave. a Una transición sobre el calentamiento de 29 y 34 bares dentro de 150 μK por debajo de la transición superfluida. Esta observación es coherente con los resultados anteriores obtenidos utilizando una Técnica de impedancia acústica transversal [13]. Por lo tanto, la mayoría de los datos de atenuación presentados aquí están en el fase B de aerogel. En la fase B a granel con un hueco limpio, la atenuación sigue α e(T)/kBT por debajo de la aten- pico de eliminación, llegando prácticamente a cero atenuación por debajo T/Tc 0,6, debido a cuasipartículas activadas térmicamente, donde •(T ) es el espacio dependiente de la temperatura y kB es la constante Boltzmann. Por el contrario, la atenuación en aerogel disminuye bastante lentamente con la temperatura y sigue siendo alta, incluso en T/Tc 0,2. Por otra parte, un pe- función del hombro culiar aparece en T/Tc 0.6 para mayor presiones. Esta característica se debilita gradualmente y eventualmente desaparece a presiones más bajas, fig. 2 a). Propagación de sonido para armónicos superiores de hasta 96 MHz se midió para varias temperaturas y presiones, pero no se encontraron pruebas de propagación del sonido arriba 30 MHz incluso a 0,3 mK, donde la atenuación más baja se espera. Abajo de unos 10 mK, el proceso de dispersión está dominado por la impureza independiente de la temperatura dispersando el aerogel, y a 9,5 MHz, i 0,1 para todas las presiones en los casos en los que el valor de i = l/vf (véase más abajo para el valor de l). Ahí... En primer lugar, el modo de sonido debe permanecer en la hidrodinámica límite. Esta reclamación se ve reforzada por la observación de la fuerte dependencia de la frecuencia en la atenuación y la ab- sence de una dependencia de la temperatura en el líquido normal atenuación [15]. El acoplamiento entre el com- normal Poniente del superfluido 3Él y la masa de los elas- tic aerogel modifica la hidrodi- ecuaciones namicas [22, 23]. Esta consideración lleva a dos (lento y rápido) modos de sonido longitudinal con diferentes velocidades de sonido, cs = ca En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 1 as/lnl 1a/ln Aquí, cf(s) representa la velocidad del modo rápido (lento), n(s) es la densidad normal del fluido (superfluido) ( A es la densidad de aerogel, c1 es la velocidad de hidrodinámica sonido en 3He, y finalmente ca es la velocidad de sonido de los desnudos aerogel. Desde el momento de las mediciones de vuelo, encontramos la velocidad del sonido en aerogel constantemente más baja (en un 20%) que c1 para todas las presiones estudiadas y de acuerdo con los valores obtenidos utilizando la expresión anterior [24]. Análisis detallado de la velocidad del sonido para diversas presiones se presentará en una publicación separada. Baja densidad de masa y la naturaleza compatible de gel requiere la consideración de un impulso eficaz transferencia sobre cuasi-partículas dispersando del aerogel, que genera movimiento arrastrado de aerogel. Ichikawa et al. [25] incorpora el efecto de arrastre de colisión en calculat- • la relación de dispersión en el fluido normal. Sus modelo ofreció una explicación exitosa para el experimento- los resultados del grupo noroccidental [15]. Últimamente, hola. gashitani et al. [26, 27] amplió este modelo para estudiar la sonido longitudinal (modo rápido) propagación en superfluido 3He/aerogel en el marco del modelo de dos fluidos. El efecto de arrastre se puede describir fenomenológicamente por una fuerza de fricción, ~Fd = (~vn va), la introducción de un adi- tiempo de relajación de la capacidad, donde ~vn(a) es el líquido normal velocidad del componente (aerogel). Este efecto es de importancia cuando i < 1, y la atenuación total (Eq. (130) de ref. [27]) es 2/2 cf 1 +?a?s/?n? 2 a f/n 1 +?a/?n 4η/3/lc21 1 +?a?s/?n? ), 1) donde η es la viscosidad de corte del líquido 3He. La primera término (αf ) surge de la amortiguación por fricción causada por el movimiento aerogel relativo a la composición normal del líquido nent, y el segundo término (αv) del convencional amortiguación del sonido hidrodinámico asociada con los viscos- ity. Esta expresión nos permite extraer l en este sistema de nuestra atenuación absoluta en el temple de transición- ature, αc. La entrada de la Fig. 3 muestra nuestros resultados de αc para 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 10 bar 14 bar 20 bar 25 bar 33 bar 34 bar T / T 10 bar 12 bar 14 bar 21 bar 25 bar 34 bar T (mK) FIG. 2: (a) Atenuación absoluta para diversas presiones vs. temperatura (color en versión en línea). Líneas delgadas y sólidas son los resultados de un ajuste cuadrático a la parte de baja temperatura (T/Tc 0.4) de los datos a cada presión. b) Normalizado atenuación del sonido frente a temperatura normalizada. Resultados de cálculo teórico (líneas sólidas, color en versión on-line) se trazan junto con los resultados experimentales en 34 bares para comparación. diversas presiones. Las líneas sólidas son el resultado de calcu- ración utilizando Eq. (1) para tres caminos libres distintos, l = 100, 120 y 140 nm. Como se puede ver, l = 120 nm produce un excelente ajuste a nuestros datos para todos los pres- el rango seguro, que está en buen acuerdo con el val- ión obtenida a partir de la conductividad térmica (90 nm) [28] y difusión de giros (130 nm) [29] mediciones. Con el conocimiento del camino libre medio, uno puede calcular la dependencia a plena temperatura de la atenuación del sonido en la fase superfluida. Los resultados del cálculo (en el límite unitario) después de la prescripción descrita en ref. [27] se muestran en la Fig. 2 b) junto con la experiencia resultados mentales en 34 bares. El cálculo reproduce todo las características importantes observadas en nuestras mediciones. In particular, la estructura visible del hombro que aparece cerca de T/Tc 0,6 a 33 bares se suaviza a presiones más bajas y se absorbe completamente en una temperatura casi lineal dependencia por debajo de 20 bars. Este comportamiento es el... teristica de αf [27]. Disminución rápida por debajo de la Tc produce el bulto en αf, y αf → 0 como T → 0. Activar la otra mano, αv disminuye monótonamente y alcanza un valor finito debido a los estados de impurezas que no son cero 0 5 10 15 20 25 30 35 0 10 20 30 P (bar) 100 nm 120 nm 140 nm P (bar) FIG. 3: Atenuación de la temperatura cero normalizada vs. pres- Claro. La línea discontinua es una guía para los ojos. Inicio: Presión dependencia de la atenuación del sonido en Tc. Las líneas sólidas (color en línea) son los resultados de ajuste teórico para l = 100, 120, y 140 nm (véase el texto). inducido dentro de la brecha como T → 0. El acuerdo cuantitativo entre la teoría y el experimento, sin embargo, no es Sin embargo, satisfactorio. El cálculo utiliza el ho- isotrópico modelo de dispersión molecular (IHSM) [30], que tiende a sobreestimar los niveles de T y T en comparación con los niveles de experimen- los valores determinados [3, 23]. Como se muestra en ref. [31], la inhomogeneidad da lugar a la reducción de la valor de edad del parámetro de orden y, por consiguiente, rendimientos mayor η y ln, que a su vez aumenta α0 pero disminuye la contribución de fricción. También se espera que el Los componentes de dispersión de ondas no S hacen que no sean triviales. Atribuciones a los tiempos de relajación viscosos y friccionales en una dirección que mejore el acuerdo cuantitativo. Cálculos teóricos basados en el IHSM [27, 32] predice que los estados de impureza llenarían completamente el brecha, lo que conduce a un superfluido sin separación cuando ŁiTc < 1 para el Fase B en el límite unitario. Estimamos 0,3 < ŁiTc < 1 para 10 < P < 34 barras con l = 120 nm. Los normalizados atenuación de la temperatura cero (α0/αc) obtenida por ex- trapolating la parte de baja temperatura de la atenuación (líneas sólidas en la Fig. 2 (a)) está trazado en la Fig. 3, donde α0/αc aumenta a medida que la presión de la muestra se reduce y parece para acercarse a la unidad cerca de Pc 6 bares. Desde la viscosidad relación está directamente relacionado con la densidad de los estados en cero energía a través de η(0)/η(Tc) = n(0) z, z = {2,4} {Nacido, unitario} límite donde n(0) sity de estados a cero energía [27], el finito α0/αc es fuerte evidencia de un finito n(0). El comportamiento sin brechas ha sido experimentalmente sugerido por la conductividad térmica reciente (para P ≤ 10 bares) [28] y capacidad térmica (para 11 ≤ P ≤ 29 bars) [33] mediciones. La dependencia de la presión de α0/αc está en acuerdo cualitativo con el re- sults de Fisher et al. y Choi et al. Aunque todo de Estas técnicas experimentales (incluyendo las nuestras) son lim- para sondear los estados de impurezas cerca del nivel de Fermi, el comportamiento es consistente con las predicciones teóricas con excitaciones sin brecha. A diferencia de la termodinámica y mediciones de transporte, el ultrasonido de alta frecuencia la medición tiene el potencial de revelar una porción mayor del perfil de los estados de impureza de la frecuencia depen- Dence. Reconocemos el apoyo de un tal Alfred P. Sloan Re- becas de búsqueda (YL), subvenciones NSF DMR-0239483 (YL), DMR-0305371 (MWM), y una beca de ayuda científica Investigación sobre las esferas prioritarias (No. 17071009) DE MEXT de Japón (SH y KN). Nos gustaría dar las gracias a J.-H. Parque para su asistencia técnica, y Jim Sauls, Peter Wölfle, y Bill Halperin para discusiones útiles. ∗ yoonslee@phys.ufl.edu [1] D. Vollhardt y P. Wölfle, las fases superfluidas de Helio Tres, (Taylor y Francis, Londres, 1990). [2] A.P. Mackenzie e Y. Maeno, Rev. Mod. Phys. 75, 657 (2003). [3] J.V. Porto y J.M. Parpia, Phys. Rev. Lett. 74, 4667 (1995). [4] D. T. Sprague y otros, Phys. Rev. Lett. 75, 661 (1995). [5] K. Matsumoto y otros, Phys. Rev. Lett. 79, 253 (1997). [6] D.T. Sprague et al., Phys. Rev. Lett. 77, 4568 (1996). [7] H. Alles et al., Phys. Rev. Lett. 83, 1367 (1999). [8] B.I. Barker et al., Phys. Rev. Lett. 85, 2140 (2000). [9] H.C. Choi et al., Phys. Rev. Lett. 93, 145302 (2004). [10] V.V. Dmitriev et al., JETP Lett. 76, 312 (2002); V.V. Dmitriev y otros, Physica B 329, 324 (2003). [11] G.E. Volovik, JETP Lett. 63, 301 (1996). [12] I.A. Fomin, J. Baja temperatura. Phys. 134, 769 (2004). [13] C. L. Vicente et al., Phys. Rev. B 72, 094519 (2005). [14] W.P. Halperin y E. Varoquaux, en Helio Tres, ed. por W.P. Halperin y L.P. Pitaevski (Elsevier, Amster- represa, 1990). [15] R. Nomura et al., Phys. Rev. Lett. 85, 4325 (2000). [16] L. Hristakos, tesis doctoral, Universidad de Bayreuth (2001). [17] H.C. Choi et al., aparecerá en J. Baja temperatura. Phys. [18] H.C. Choi, tesis doctoral, Universidad de Florida (2007). [19] Y. Lee et al., aparecerán en J. Baja temperatura. Phys. [20] G. Eska y otros, Phys. Rev. B 27, 5534 (1983). [21] G. Gervais y otros, Phys. Rev. B 66, 054528 (2002). [22] M.J. McKenna, T. Slawecki, y J.D. Maynard, Phys. Rev. Lett. 66, 1878 (1991). [23] A. Golov y otros Phys. Rev. Lett. 82, 3492 (1999). [24] Por ejemplo, c = 350 (± 10) m/s a 34 bares de nuestro medición, y cf = 370 m/s. [25] T. Ichikawa y otros, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 3483 (2001). [26] M. Miura y otros, J. Baja temperatura. Phys. 134, 843 (2004). [27] S. Higashitani y otros, Phys. Rev. B 71, 134508 (2005). [28] S. N. Fisher y otros, Phys. Rev. Lett. 91, 105303 (2003). [29] J.A. Sauls et al., Phys. Rev. B 72, 024507 (2005). [30] E. V. Thuneberg et al., Phys. Rev. Lett. 80, 2861 (1998). [31] R. Hänninen y E.V. Thuneberg, Phys. Rev. B 67, 214507 (2003). [32] P. Sharma y J.A. Sauls, Physica B 329-333, 313 (2003). [33] H. Choi y otros, Phys. Rev. Lett. 93, 145301 (2004). mailto:yoonslee@phys.ufl.edu

Hemos realizado mediciones de atenuación de ultrasonido longitudinal (9,5 MHz) en la fase B de superfluido $^3$He en 98% porosidad aerogel hasta el cero límite de temperatura para un amplio rango de presiones a campo magnético cero. Los la atenuación absoluta fue determinada por la transmisión directa de pulsos sonoros. En comparación con el fluido a granel, nuestros resultados revelaron un comportamiento en la atenuación, que es coherente con las cuentas teóricas con Excitaciones sin separación y un efecto de arrastre de colisión.

Ultrasonido Atenuación de Superfluido 3He en Aerogel H.C. Choi, N. Masuhara, B.H. Moon, P. Bhupathi, M.W. Meisel, y Y. Lee* Laboratorio Microkelvin, Departamento de Física, Universidad de Florida, Gainesville, FL 32611-8440, EE.UU. N. Mulders Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Delaware, Newark, DE 19716, EE.UU. S. Higashitani, M. Miura y K. Nagai Facultad de IAS, Universidad de Hiroshima, Kagamiyama 1-7-1, Higashi-Hiroshima 739-8521, Japón (Fecha: 27 de octubre de 2018) Hemos realizado mediciones de atenuación de ultrasonido longitudinal (9,5 MHz) en la fase B aerogel de porosidad 98% hasta el límite de temperatura cero para un amplio rango de presiones a campo magnético cero. La atenuación absoluta fue determinada por transmisión directa de pulsos sonoros. En comparación con el fluido a granel, nuestros resultados revelaron un comportamiento drásticamente diferente en atenuación, que es consistente con cuentas teóricas con excitaciones sin diferencia y una colisión efecto arrastre. Líquido 3Ha atraído un intenso interés para muchos décadas en el campo de la física de bajas temperaturas [1]. In su estado normal, líquido 3Ha servido como paradigma para un líquido Fermi cuya naturaleza trasciende la física. Las fases superfluidas de 3Expone exótico e intrigu- características asociadas con las simetrías rotas en el condensado, con una estructura no convencional del o- parámetro der con spin triplet p-wave emparejamiento. Líquido 3Se puede decir que es el sistema más bien entendido, principalmente debido a su pureza intrínseca extrema a baja temperatura- Atures. Por lo tanto, ha proporcionado ideas importantes en la comprensión de otros superconductores no convencionales tales como los superconductores de alta temperatura, el pesado Los superconductores de fermión, y en particular los más re- cently descubierto Sr2RuO4, que también se cree que tiene la simetría de onda p [2]. Sin embargo, la misma virtud tiene en la búsqueda de respuestas a un importante problema pregunta general: ¿cómo hace la naturaleza de un cuántico condensado (spin triplet de onda p superfluida en este caso) responder al aumento de la impureza o el desorden? Observación de transiciones superfluidas en líquido 3He im- preñada en aerogel de alta porosidad en 1995 [3, 4] abierto un camino novedoso para introducir el trastorno estático en el líquido 3He. Aerogel posee una estructura única, cuya topología es en el antipode de medios porosos ampliamente estudiados, tales como Vidrio Vycor y sinters metálicos. Debido a su estructura abierta , no hay poros bien definidos en el aerogel y conse- Quently, el líquido está en la proximidad de la masa. Noventa 8 por ciento de porosidad aerogel, que se ha utilizado en La mayoría de los estudios incluyendo este trabajo, ofrece un corre- red tardía de agregados hebrados de moléculas SiO2 cuya estructura se puede caracterizar por la geométrica la trayectoria libre media (l 100 - 200 nm), el diámetro de la hebra (r • 3 nm), y la distancia media entre líneas (d 25) - 40 nm). La longitud de coherencia de superfluido puro 3He, 0, que varía de 20 nm (34 bar) a 80 nm (0 bar), es al menos un orden de magnitud más grande que el hilo diámetro pero es comparable a l y d. Como resultado, la la dispersión de la hebra de aerogel tendría un significativo influencia en el superfluido. Ahora está bien establecido. que la temperatura de transición superfluida es significativa Deprimido por el de la masa, y el efecto de par- la rotura se aumenta progresivamente a presiones más bajas, lo que conduce a la posibilidad de una transición de fase cuántica en la casilla 6 de los bares [5]. Hasta la fecha, tres superfluidos distintos las fases se han identificado experimentalmente, a saber, el A-como, B-como, y A1-como fases [4, 6, 7, 8, 9]. El tipo B fase y la fase similar a A1 en aerogel muestran ilaridad a sus contrapartes en el superfluido a granel [9, 10]. Estudios detallados de RMN [7, 8, 10] sugieren que el aerogel B-fase tiene la misma estructura de parámetros de orden que la Fase B a granel. La fase A1 del aerogel sólo aparece en el presencia de campo magnético, como es el caso en el caso de la masa [9]. Sin embargo, el aerogel A-fase exhibe una muy diferente comportamiento de la fase A a granel (por ejemplo, en frecuencia NMR cambio y densidad superfluida), aunque la abrumadora evidencia experimental sugiere que es un giro igual Estado de emparejamiento. Distintas interpretaciones o propuestas novedosas ciones sobre la posible estructura de parámetros de orden han sido propuesta para esta fase [11, 12, 13]. Resonancia magnética nuclear y ecografía. troscopía se han utilizado en concierto para investigar el mi- estructura croscópica de las fases superfluidas [1, 14]. Estos dos métodos experimentales abarcan la complementariedad de formación en el orbital (ultrasonido) y espín (RMN) estructura de los pares Cooper. Espectros ricos de orden modos colectivos de parámetros en superfluidos a granel, que son las huellas dactilares de simetrías rotas específicas en el sistema, han sido cartografiados por ultrasonido espectroscópico técnicas [14]. En 2000, Nomura et al. [15] ul- medidas de atenuación del trassonido en el 98% de aerogel nosotros- con una técnica de impedancia acústica cw de 16,5 MHz. Sus el trabajo se limitó a una sola presión a 16 bares y a 0,6 mK. Aunque su técnica no fue adecuada en determinar la atenuación absoluta, lograron ex- la atenuación absoluta del sonido después de la fabricación de auxil- http://arxiv.org/abs/0704.0419v1 Tiempo (μs) FIG. 1: Respuesta acústica del receptor vs. tiempo a los 34 barras para determinadas temperaturas que van desde 0,3 mK a 2,5 mK. La transición aerogel superfluida está marcada por una pequeña flecha. Asuntos jurídicos. Un grupo de Bayreuth [16] realizó ab- medidas de atenuación del sonido soluto en aerogel (97%) porosidad) utilizando una técnica de transmisión directa de sonido en 10 MHz. Experimentó una respuesta deficiente de los transductores, y se observó autocalentamiento y ninguna depresión en el aire- transición de gel superfluido. Hemos llevado a cabo una alta frecuencia Experimentos de transmisión de sonido en el 98% de la porosidad gel, cubriendo todo el diagrama de fase del superfluido fases en el aerogel, de 8 a 34 bares y desde el transi- ión temperaturas de hasta 200 μK. En este experimento, dos coinciden con LiNbO3 longitudi- transductores de sonido nal con la resonancia fundamental en Se utilizaron 9,5 MHz como transmisor y receptor. Los Los transductores de 6,3 mm de diámetro fueron separados por espaciador de cor manteniendo una trayectoria de sonido de 3,05 (± 0,02) mm entre los transductores donde estaba la muestra de aerogel crecido in situ. Este sistema garantiza el mejor contacto posible. entre la superficie del transductor y el aerogel, que es crucial para la transmisión de sonido limpio en los límites. Un pulso de 1 μs fue generado por el transmisor y de- Teccionado por el receptor. La temperatura fue determinada por un termómetro de presión de fusión (MPT) para T ≥ 1 mK y un termómetro Pt NMR para T ≤ 1 mK, que fue calibrado contra el MPT. Sin respuesta no lineal o autocalentamiento se observó en el nivel de excitación utilizado en Este trabajo. Todos los datos presentados aquí, excepto 8 barras, fueron tomadas durante el calentamiento con una tasa de calentamiento típica de 3 μK/min. Una descripción detallada del experimento: Las células tal y las técnicas experimentales se pueden encontrar de otra manera. donde [17, 18]. Las respuestas temporales del receptor tomadas en 34 barras se muestran en la Fig. 1 para determinadas temperaturas que van desde 0,3 a 2,5 mK. La respuesta primaria, que comienza a aumentar alrededor de 8 μs, muestra una respuesta bastante amplia debido a En el caso del transductor Q alto (Q + 103). El paso-como la estructura de la señal del receptor es causada por coinciden en los espectros de los transductores [18]. Debajo de la aerogel transición superfluida (marcado alrededor de 2,1 mK por una flecha en la Fig. 1) la respuesta primaria comienza a crecer y los ecos que siguen emergen del fondo, como la atenuación del sonido disminuye en el superfluido. No cambio en la señal del receptor se observó a granel transición superfluida. Los ecos múltiples siguen una bona fide decaimiento exponencial en el tiempo. Sonido absoluto attenua- sión se obtuvo de la siguiente manera [19]. En primer lugar, la se calculó la atenuación relativa a cada temperatura utilizando el área bajo la curva de respuesta primaria por inte- rallar la señal desde el borde ascendente hasta un punto fijo en tiempo (23 μs punto). La atenuación absoluta a 0,4 mK y 29 barras, obtenidas utilizando la señal primaria y la ecoes, se utilizó como punto de referencia en la conversión de la atenuación relativa en la atenuación absoluta. Sumas adeudadas a un drástico desajuste en la impedancia acústica en el el límite transductor-aerogel/3He, la señal absorbe- sión en la superficie de los transductores fue ignorada [19]. Los posibles contribuciones de antecedentes a la atenuación de la cuasipartícula que se dispersa de la pared de la cavidad [20] y la alineación no paralela de los dos transductores es es- • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Las atenuaciones absolutas sobre el calentamiento para varios pres- los seguros son trazados en función de la temperatura en la Fig. 2 a). La transición superfluida está marcada por la suave caída en atenuación. Nuestro aerogel superfluido transición tem- peratures están en excelente acuerdo con el anterior valores comunicados para todas las presiones [5, 21]. A 9,5 MHz en la fase B a granel, un pico de atenuación fuerte aparece a la derecha por debajo de la transición superfluida. Este pico es el resultado de las contribuciones combinadas de par-romper y cou- pling al parámetro de orden modos colectivos. Por encima de la presión policrítica, la transición de B a A sobre el calentamiento se registra como un paso brusco en la atenuación. In aero- gel, ninguna de estas características existen. Sin embargo, hicimos ob- servir un paso nítido en la atenuación en la refrigeración para P > 14 barras, lo que implica la existencia de la super-enfriado A- fase [19]. Pudimos identificar un B bastante suave. a Una transición sobre el calentamiento de 29 y 34 bares dentro de 150 μK por debajo de la transición superfluida. Esta observación es coherente con los resultados anteriores obtenidos utilizando una Técnica de impedancia acústica transversal [13]. Por lo tanto, la mayoría de los datos de atenuación presentados aquí están en el fase B de aerogel. En la fase B a granel con un hueco limpio, la atenuación sigue α e(T)/kBT por debajo de la aten- pico de eliminación, llegando prácticamente a cero atenuación por debajo T/Tc 0,6, debido a cuasipartículas activadas térmicamente, donde •(T ) es el espacio dependiente de la temperatura y kB es la constante Boltzmann. Por el contrario, la atenuación en aerogel disminuye bastante lentamente con la temperatura y sigue siendo alta, incluso en T/Tc 0,2. Por otra parte, un pe- función del hombro culiar aparece en T/Tc 0.6 para mayor presiones. Esta característica se debilita gradualmente y eventualmente desaparece a presiones más bajas, fig. 2 a). Propagación de sonido para armónicos superiores de hasta 96 MHz se midió para varias temperaturas y presiones, pero no se encontraron pruebas de propagación del sonido arriba 30 MHz incluso a 0,3 mK, donde la atenuación más baja se espera. Abajo de unos 10 mK, el proceso de dispersión está dominado por la impureza independiente de la temperatura dispersando el aerogel, y a 9,5 MHz, i 0,1 para todas las presiones en los casos en los que el valor de i = l/vf (véase más abajo para el valor de l). Ahí... En primer lugar, el modo de sonido debe permanecer en la hidrodinámica límite. Esta reclamación se ve reforzada por la observación de la fuerte dependencia de la frecuencia en la atenuación y la ab- sence de una dependencia de la temperatura en el líquido normal atenuación [15]. El acoplamiento entre el com- normal Poniente del superfluido 3Él y la masa de los elas- tic aerogel modifica la hidrodi- ecuaciones namicas [22, 23]. Esta consideración lleva a dos (lento y rápido) modos de sonido longitudinal con diferentes velocidades de sonido, cs = ca En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 1 as/lnl 1a/ln Aquí, cf(s) representa la velocidad del modo rápido (lento), n(s) es la densidad normal del fluido (superfluido) ( A es la densidad de aerogel, c1 es la velocidad de hidrodinámica sonido en 3He, y finalmente ca es la velocidad de sonido de los desnudos aerogel. Desde el momento de las mediciones de vuelo, encontramos la velocidad del sonido en aerogel constantemente más baja (en un 20%) que c1 para todas las presiones estudiadas y de acuerdo con los valores obtenidos utilizando la expresión anterior [24]. Análisis detallado de la velocidad del sonido para diversas presiones se presentará en una publicación separada. Baja densidad de masa y la naturaleza compatible de gel requiere la consideración de un impulso eficaz transferencia sobre cuasi-partículas dispersando del aerogel, que genera movimiento arrastrado de aerogel. Ichikawa et al. [25] incorpora el efecto de arrastre de colisión en calculat- • la relación de dispersión en el fluido normal. Sus modelo ofreció una explicación exitosa para el experimento- los resultados del grupo noroccidental [15]. Últimamente, hola. gashitani et al. [26, 27] amplió este modelo para estudiar la sonido longitudinal (modo rápido) propagación en superfluido 3He/aerogel en el marco del modelo de dos fluidos. El efecto de arrastre se puede describir fenomenológicamente por una fuerza de fricción, ~Fd = (~vn va), la introducción de un adi- tiempo de relajación de la capacidad, donde ~vn(a) es el líquido normal velocidad del componente (aerogel). Este efecto es de importancia cuando i < 1, y la atenuación total (Eq. (130) de ref. [27]) es 2/2 cf 1 +?a?s/?n? 2 a f/n 1 +?a/?n 4η/3/lc21 1 +?a?s/?n? ), 1) donde η es la viscosidad de corte del líquido 3He. La primera término (αf ) surge de la amortiguación por fricción causada por el movimiento aerogel relativo a la composición normal del líquido nent, y el segundo término (αv) del convencional amortiguación del sonido hidrodinámico asociada con los viscos- ity. Esta expresión nos permite extraer l en este sistema de nuestra atenuación absoluta en el temple de transición- ature, αc. La entrada de la Fig. 3 muestra nuestros resultados de αc para 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 10 bar 14 bar 20 bar 25 bar 33 bar 34 bar T / T 10 bar 12 bar 14 bar 21 bar 25 bar 34 bar T (mK) FIG. 2: (a) Atenuación absoluta para diversas presiones vs. temperatura (color en versión en línea). Líneas delgadas y sólidas son los resultados de un ajuste cuadrático a la parte de baja temperatura (T/Tc 0.4) de los datos a cada presión. b) Normalizado atenuación del sonido frente a temperatura normalizada. Resultados de cálculo teórico (líneas sólidas, color en versión on-line) se trazan junto con los resultados experimentales en 34 bares para comparación. diversas presiones. Las líneas sólidas son el resultado de calcu- ración utilizando Eq. (1) para tres caminos libres distintos, l = 100, 120 y 140 nm. Como se puede ver, l = 120 nm produce un excelente ajuste a nuestros datos para todos los pres- el rango seguro, que está en buen acuerdo con el val- ión obtenida a partir de la conductividad térmica (90 nm) [28] y difusión de giros (130 nm) [29] mediciones. Con el conocimiento del camino libre medio, uno puede calcular la dependencia a plena temperatura de la atenuación del sonido en la fase superfluida. Los resultados del cálculo (en el límite unitario) después de la prescripción descrita en ref. [27] se muestran en la Fig. 2 b) junto con la experiencia resultados mentales en 34 bares. El cálculo reproduce todo las características importantes observadas en nuestras mediciones. In particular, la estructura visible del hombro que aparece cerca de T/Tc 0,6 a 33 bares se suaviza a presiones más bajas y se absorbe completamente en una temperatura casi lineal dependencia por debajo de 20 bars. Este comportamiento es el... teristica de αf [27]. Disminución rápida por debajo de la Tc produce el bulto en αf, y αf → 0 como T → 0. Activar la otra mano, αv disminuye monótonamente y alcanza un valor finito debido a los estados de impurezas que no son cero 0 5 10 15 20 25 30 35 0 10 20 30 P (bar) 100 nm 120 nm 140 nm P (bar) FIG. 3: Atenuación de la temperatura cero normalizada vs. pres- Claro. La línea discontinua es una guía para los ojos. Inicio: Presión dependencia de la atenuación del sonido en Tc. Las líneas sólidas (color en línea) son los resultados de ajuste teórico para l = 100, 120, y 140 nm (véase el texto). inducido dentro de la brecha como T → 0. El acuerdo cuantitativo entre la teoría y el experimento, sin embargo, no es Sin embargo, satisfactorio. El cálculo utiliza el ho- isotrópico modelo de dispersión molecular (IHSM) [30], que tiende a sobreestimar los niveles de T y T en comparación con los niveles de experimen- los valores determinados [3, 23]. Como se muestra en ref. [31], la inhomogeneidad da lugar a la reducción de la valor de edad del parámetro de orden y, por consiguiente, rendimientos mayor η y ln, que a su vez aumenta α0 pero disminuye la contribución de fricción. También se espera que el Los componentes de dispersión de ondas no S hacen que no sean triviales. Atribuciones a los tiempos de relajación viscosos y friccionales en una dirección que mejore el acuerdo cuantitativo. Cálculos teóricos basados en el IHSM [27, 32] predice que los estados de impureza llenarían completamente el brecha, lo que conduce a un superfluido sin separación cuando ŁiTc < 1 para el Fase B en el límite unitario. Estimamos 0,3 < ŁiTc < 1 para 10 < P < 34 barras con l = 120 nm. Los normalizados atenuación de la temperatura cero (α0/αc) obtenida por ex- trapolating la parte de baja temperatura de la atenuación (líneas sólidas en la Fig. 2 (a)) está trazado en la Fig. 3, donde α0/αc aumenta a medida que la presión de la muestra se reduce y parece para acercarse a la unidad cerca de Pc 6 bares. Desde la viscosidad relación está directamente relacionado con la densidad de los estados en cero energía a través de η(0)/η(Tc) = n(0) z, z = {2,4} {Nacido, unitario} límite donde n(0) sity de estados a cero energía [27], el finito α0/αc es fuerte evidencia de un finito n(0). El comportamiento sin brechas ha sido experimentalmente sugerido por la conductividad térmica reciente (para P ≤ 10 bares) [28] y capacidad térmica (para 11 ≤ P ≤ 29 bars) [33] mediciones. La dependencia de la presión de α0/αc está en acuerdo cualitativo con el re- sults de Fisher et al. y Choi et al. Aunque todo de Estas técnicas experimentales (incluyendo las nuestras) son lim- para sondear los estados de impurezas cerca del nivel de Fermi, el comportamiento es consistente con las predicciones teóricas con excitaciones sin brecha. A diferencia de la termodinámica y mediciones de transporte, el ultrasonido de alta frecuencia la medición tiene el potencial de revelar una porción mayor del perfil de los estados de impureza de la frecuencia depen- Dence. Reconocemos el apoyo de un tal Alfred P. Sloan Re- becas de búsqueda (YL), subvenciones NSF DMR-0239483 (YL), DMR-0305371 (MWM), y una beca de ayuda científica Investigación sobre las esferas prioritarias (No. 17071009) DE MEXT de Japón (SH y KN). Nos gustaría dar las gracias a J.-H. Parque para su asistencia técnica, y Jim Sauls, Peter Wölfle, y Bill Halperin para discusiones útiles. ∗ yoonslee@phys.ufl.edu [1] D. Vollhardt y P. Wölfle, las fases superfluidas de Helio Tres, (Taylor y Francis, Londres, 1990). [2] A.P. Mackenzie e Y. Maeno, Rev. Mod. Phys. 75, 657 (2003). [3] J.V. Porto y J.M. Parpia, Phys. Rev. Lett. 74, 4667 (1995). [4] D. T. Sprague y otros, Phys. Rev. Lett. 75, 661 (1995). [5] K. Matsumoto y otros, Phys. Rev. Lett. 79, 253 (1997). [6] D.T. Sprague et al., Phys. Rev. Lett. 77, 4568 (1996). [7] H. Alles et al., Phys. Rev. Lett. 83, 1367 (1999). [8] B.I. Barker et al., Phys. Rev. Lett. 85, 2140 (2000). [9] H.C. Choi et al., Phys. Rev. Lett. 93, 145302 (2004). [10] V.V. 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The Hourglass - Consequences of Pure Hamiltonian Evolution of a Radiating System

El reloj de arena: consecuencias de la pureza Evolución hamiltoniana de un sistema de radiación Donald McCartor RESUMEN El reloj de arena es el nombre dado aquí a un sistema cuántico aislado formal que puede irradiar. A partir de un momento en que define el sistema que representa claramente y no hay radiación presente, se le da una clara evolución Hamiltoniana. Se plantea la cuestión de la importancia de los clepsidras, y esta cuestión se propone que sea más consecuente que el problema de la medición. 1 reloj de arena 2 Física sin historias verdaderas 3 Pero las historias a veces son buenas 4 Phlogiston y oxígeno 5 Una mirada más de cerca a la ingeniería cuántica 6 Conclusión Pero quiero saber la particular marcha de la misma. – la súplica de James Clerk Maxwell cuando era un niño pequeño acerca de, entre muchas cosas, las campanas que tocan las campanas que convocan a los sirvientes. [Mahon] 1 reloj de arena Supongamos que la teoría se desarrolla de tal manera que los campos cuánticos pueden ser manejados como la mecánica cuántica no relativista. Entonces si estamos interesados en algo, tal vez arbustos de grosella, podemos modelar uno como lo concebiríamos para estar en algún instante y luego seguir su desarrollo a través del tiempo. Y no sólo el átomos y moléculas serían modelados, pero también la radiación. Esto es un plan para la imaginación. El arbusto de grosella, aunque no aislada, crecería dentro de un ambiente adecuado que sería un sistema, completo en sí mismo. Aprendemos bien de sistemas aislados, ambos reales. los del laboratorio y los previstos en nuestras reflexiones teóricas. Proporcionaremos aire, tierra y agua al arbusto. Y puede haber La luz del sol que da vida brilla sobre ella. En cuanto a la luz que se había reflejado o Emitida desde el arbusto antes del momento presente, vamos a dejar eso fuera. Semejante luz se apaga y se va, por lo que sólo podría importar como información sobre lo que el http://arxiv.org/abs/0704.0420v1 Bush había estado haciendo. Tomaremos el arbusto tal como es ahora. El arbusto de grosella se desarrolla entonces hacia adelante en el tiempo. Lagrange o Hamilton habría reconocido lo que estamos haciendo, porque estamos haciendo física de la manera clásica. Tenemos una condición inicial y estamos descubriendo lo que Pasará a continuación. A medida que avanzamos hacia el futuro, la luz sale del arbusto, como nosotros Espera. Pero, desconcertantemente, el arbusto empieza a perder definición. Sus partes pierden sus lugares precisos. Dentro de unas semanas es un desastre apenas reconocible. Retrocedamos en el tiempo, entonces. Esto es terriblemente peor. El arbusto ha sido el sujeto de una vasta conspiración. La luz ha estado fluyendo en él desde todo el universo. El arbusto se lo traga. Entonces en el momento presente esto de repente todo Detente. La simetría del tiempo del Hamiltoniano hace que suceda así. Este es el reloj de arena. Es realmente más como un cono, con el flujo de luz antes de que el tiempo de puesta en marcha que forma una napa y la luz que fluye después Es la otra. Pero el reloj de arena es un nombre más colorido. ¿Qué hacer? Intentaremos rescatar a la mecánica cuántica. Haremos lo que se llama convencionalmente una medida, pero con cautela. A lugar se elige bien fuera del arbusto de grosella, y un momento elegido que es más tarde que cuando establecemos el estado del arbusto. Se realiza un control de si hay en este lugar y el tiempo cualquier fotones que vienen de la dirección de el arbusto. Al hacer las cosas de esta manera, no vamos a perturbar el arbusto en absoluto, y no nos importa si perturbamos la luz que escapa. Obtenemos de esto, por supuesto, un distribución de probabilidad sobre varias posibilidades para los fotones en este lugar y Tiempo. Animados por este pequeño éxito, elegimos otro lugar y tiempo y Haz lo mismo. Y esto es lo bueno: las dos medidas son compatibles. Así obtenemos correlaciones entre ellos, también. Envalentonado por esta oportunidad, hacemos millones de ellos, que se combinan formalmente en una sola medida con un único conjunto de posibles resultados. Cada posible resultado del único, combinado la medición es una combinación de los resultados de todas las mediciones individuales de luz hecha en los diversos tiempos y lugares. Así, cada resultado combinado constituye una especie de película del arbusto de la grosella. ¿Cómo será el más probable de estos resultados? Este es el problema. del reloj de arena. Para empezar, sin embargo, puede ser que no haya reloj de arena. La teoría cuántica más profunda podría no proporcionar un sistema con un estado y su evolución. O si lo hace, todavía podría ser objetado que el Hamiltonian no se debería haber permitido que la evolución funcionara descontroladamente. Debería haber han sido muchos saltos cuánticos. Dejándolos fuera, mecánica cuántica ha sido mal utilizado, y lo que los resultados no importa. Pero Lagrange y Hamilton y habría sido mejor si estos las objeciones no eran válidas. Y seguramente entonces esperaríamos ver en cada uno de los resultados más probables algo así como una película de un arbusto que produce grosellas: La física funciona bien. Los arbustos en estas películas se verían muy parecidos en el comienzo pero luego gradualmente difieren, como el azar lo tiene. Aprenderíamos algo. ¡Sobre cómo los arbustos de grosella cultivan grosellas! Ciertamente Lagrange y Hamilton habrían pensado el problema de la un reloj de arena uno de los principales, si hubieran sabido de la mecánica cuántica. De hecho, a cada físico le gustaría tomar una puñalada para adivinar su solución, sólo para orientar ellos mismos en su ciencia. ¿El reloj de arena falla, y si es así, dónde y por qué? O si produce películas fieles a nuestro mundo, pero no de un estado cuántico que podría ser la verdadera historia de un arbusto de grosella, más bien de una “historia” que en un momento representa un arbusto de grosella, pero pronto es diferente a cualquier cosa que haya existido, entonces, ¿cómo puede ser esto? 2 Física sin historias verdaderas Esto es lo que pienso al respecto. Pero antes de entrar en eso, ver si usted no está de acuerdo que la cuestión del reloj de arena tiene gravedad, y esto independientemente de las ideas que yo o cualquiera podría tener su respuesta. Ahora supongo que la mecánica cuántica nos dará películas de maduración grosellas, producidas por un reloj de arena a través de los medios descritos o algo así. Y creo que para entender los clepsidras, no para resolver el problema de la medición, es la cuestión central para la comprensión de la mecánica cuántica. Porque el problema de la medición plantea una pregunta, que lo hace inútil. Lo siento. asume que aprendemos de la física simplemente porque la física describe bien cosas que existen. Como este ejemplo de la física clásica. Existe en un gas una multitud de moléculas zipping. En cualquier momento dado, cada partícula tiene su posición e impulso particulares, y con el tiempo esto forma su historia. La física nos ha dicho lo que es un gas—precisamente lo que existe allí. Esto es lo que nos permite aprender acerca de los gases. Sin duda, así es como Boltzmann lo vio. Pero cuando nos fijamos en la mecánica estadística que produjo, e incluso más en el de Gibbs, una persona adquirirá profundos reparos sobre esta visión- punto. El análisis de Boltzmann de la colisión de moléculas parece ser directo para... El sentido común. Él está mirando lo que es probable que hagan. Pero cuando La objeción de reversibilidad de Loschmidt se presenta, la lucidez desaparece. La mecánica estadística más abstracta de Gibbs hizo que el problema fuera aún más grave. Gibbs encontró una hermosa forma matemática en Boltzmann (y Maxwell) trabajo, que él generalizó. Sostuvo que los sistemas termodinámicos deben ser se representan como en los estados que tienen la forma de cierta probabilidad dis- Atribuciones sobre los estados clásicos. Gibbs no podía entender bien lo que estos las probabilidades estaban alrededor, pero él vio que su teoría era buena sin embargo. A mantener esta falta de comprensión clara de envenenamiento trabajo con la teoría, él ideó una solución. Los axiomas de la teoría de la probabilidad se reflejan en el axiomas de la teoría de conjuntos finitos. Uno puede resolver eficazmente los problemas de probabilidad pensando en conjuntos finitos. Así que Gibbs sugirió que simplemente pensemos en estas probabilidades en términos de conjuntos. La palabra que usó fueron conjuntos. Gibbs describió su intención con estas palabras: “La aplicación de este prin- ciples no se limita a los casos en los que existe una referencia formal y explícita a un conjunto de sistemas. Sin embargo, la concepción de tal conjunto puede servir para dar precisión a las nociones de probabilidad. De hecho, es habitual en el disco- sión de probabilidades de describir cualquier cosa que se conoce imperfectamente como cosa tomada al azar de un gran número de cosas que son completamente descrito.” [Gibbs] Pero los físicos nunca han sido capaces de aceptar con gracia que no lo hacen entender los elementos de su ciencia. Así que se han movido a pensar que sí entienden las probabilidades de Gibbs de alguna manera, y esto ha llevado a Dos pasos en falso. Uno ha sido considerar las probabilidades en la teoría de Gibbs como el resultado de nuestra ignorancia del estado detallado del sistema que estamos considerando. Pero cuando una distribución de probabilidad es útil, este es un gran paso hacia arriba en orden del caos. La ignorancia no puede crear orden. Si el agua siempre hierve en el la misma temperatura, no es culpa nuestra. En lugar de ser tan explicada, para ella No lo es, la teoría de Gibbs muestra que hay algo profundamente mal con classi- Mecánica de cal. La mecánica estadística clásica no es realmente una forma de clásica Mecánica. Es la mecánica cuántica naciendo. Las siguientes palabras de Gibbs parecen mostrar que Gibbs mismo tomó la la vista acaba de escocesar. “Los estados de los cuerpos que manejamos no son ciertamente lo conocemos exactamente. Lo que sabemos de un cuerpo generalmente se puede describir más exactamente y más simplemente diciendo que es uno tomado al azar de un gran número (ensamblaje) de cuerpos que están completamente descritos.” [Gibbs] La impresión que tengo, sin embargo, es que Gibbs es cautelosamente cobertura. Lo es. no diciendo claramente, como él podría haber, que un cuerpo que manejamos será en algunos estado completamente descrito, de modo que si lo describimos con un conjunto, el las probabilidades en el conjunto simplemente representan nuestra ignorancia parcial sobre eso Estado. Dice claramente que su método parece funcionar. El otro error se ha producido porque la teoría cuántica es un espejo de la mecánica estadística de Gibbs en el sentido de que se basa en lo que son prob- habilidades en forma (en otras palabras, conjuntos de números reales no negativos que añaden hasta uno) y no sabemos lo que significan en general. Es cierto que nosotros puede tener buen sentido de ellos como probabilidades reales en varios casos especiales. Por ejemplo, cuando la mecánica cuántica se aplica al experimento Stern-Gerlach, ver al detector reaccionar es como ver una moneda arrojada. Pero en el caso general no tal tipo de experiencia está directamente implicada por estas formas de probabilidad. Ahí está. son, por ejemplo, distribuciones canónicas en la mecánica cuántica también, y nosotros nunca esperes ver a un detector escoger un estado puro de una taza caliente de café. Entonces a veces pensamos en estas probabilidades formales en términos de conjuntos, al igual que Gibbs, y por la misma razón. En caso de que el las probabilidades son más altas y los miembros del conjunto más numerosos, allí estará el mayor significado, sea lo que sea. Esto está bien. Pero muy a menudo los físicos dicen que los conjuntos (es decir, el trabajo de Gibbs) proporcionar los medios para entender la teoría cuántica. Esto está claramente mal. Pero para volver al problema de la medición. Como bien sabes, pero para la explicitación lo diré de todos modos, para ver un problema en la medición es Supongamos que la mecánica cuántica puede describir el equipo en el laboratorio como existe al comienzo de un experimento, pero cuando la representación se continúa, el equipo se enreda con los sistemas microscópicos que está examinando y se mancha. Entonces la mecánica cuántica ha dejado de describir lo que nosotros saber que existe en el laboratorio y necesita ser corregido para que continúe Describa lo que existe. Pero no es para que la mecánica cuántica, si es para mostrarnos algunos pre- dictabilidad en la naturaleza, debe proporcionarnos directamente con historias de la existencia de cosas, como por un paquete de onda en desarrollo. Como prueba, ofrezco el reloj de arena. 3 Pero las historias a veces son buenas Si la física no funciona simplemente porque describe lo que existe, y si, más bien, el camino del reloj de arena es correcto, entonces un corolario es que cómo aprendemos sobre la naturaleza se vuelve necesariamente más indirecta. Se nos da tal información como: La radiación proporciona algo, no se dice directamente lo que existe allí. Y con el propósito de inferir reglas útiles del comportamiento de la naturaleza, con lo que tratamos son situaciones imaginadas que pensamos típicas de lo que queremos aprender, no descripciones fieles de las cosas reales. Ningún sistema de radiación real es como un reloj de arena, excepto momentáneamente cerca del cuello del reloj de arena. Pero la ingeniería cuántica puede templar la verdad de ese juicio Un poco. Porque también hay un uso de ingeniería de la mecánica cuántica donde, algo como lo hace la mecánica clásica, por un tiempo podemos utilizar un paquete de onda para representar el desarrollo de una situación real que estamos tratando. Pero esto es más bien más especial, porque debemos tener cuidado de establecer las cosas para que esto funcione. Los El vacío debe ser excelente, etc. El aislamiento es importante. Un simple ejemplo de ingeniería cuántica es un ion que alternablemente parpadea para un hechizo y permanece oscuro para un hechizo mientras se sienta en una trampa de iones que es irradi- Atentado por láseres. Usted puede imaginar el ion bastante bien pensando en Schrödinger evolución de un paquete de ondas con saltos cuánticos ocasionales intercalados. Tú puede entonces ser tentado a pensar que todo se puede manejar con eficacia en de la misma manera, al menos en principio. Simplemente no hemos sido lo suficientemente inteligentes como para encontrar el paquete de ondas de la ciudad de Nueva York y sus colapsos de medición. Esto es un problema. Lo peor de todo es que serás llevado a ignorar los relojes de arena. y lo que implican, ya que claramente los relojes de arena no pueden representar la historia de las cosas de la misma manera que usted ha representado ventajosamente el historia del ión parpadeante. Por otro lado, imaginen que hace décadas los físicos habían tardado una hora... Gafas a sus corazones, también creo que podrían haberlo hecho. Entonces podrían haberlo hecho. de Schrödinger ha sido tentado a ver la representación de un ión en una trampa por parte de Schrödinger evolu. sión de un paquete de ondas con saltos cuánticos como ‘siguiendo la filosofía equivocada’ (tratando de representar las historias reales de las cosas con paquetes de onda), y podría haber desdeñado hacerlo. Hay una lección aquí. No tome su philo- ideas soficas demasiado en serio, no somos lo suficientemente buenos para eso. Creo, sin embargo, que a partir de los clepsidras usted sería capaz de inferir que La evolución de Schrödinger con saltos es una manera simple y efectiva (no perfecta) para ver un ión parpadeante en una trampa. Los clepsidras serían entonces en este sentido la teoría más fundamental. 4 Phlogiston y oxígeno Pero, ¿qué es un salto cuántico? Aquí es donde creo que la comunidad de fis... Los cists han sido descuidados en el uso de palabras, quizás mezclados con un verdadero misun- Derstanding. Se han formulado dos principios de la física cuántica. Los El primer principio (promovido por Dirac y von Neumann) es el siguiente: se hace en un sistema, una medición inmediatamente siguiente dará la el mismo resultado. Por lo tanto, justo después de cualquier medición el sistema debe estar en el eigenstate correspondiente al valor encontrado. El segundo principio es que si las probabilidades de los posibles resultados de todas las mediciones que se pueden hacer en un sistema se definen, a continuación, allí será un estado cuántico (único) que se puede decir que el sistema está en ese que den lugar a estas probabilidades. Añadir a esto que a veces dos mediciones pueden se hacen en un sistema sin interferir entre sí. Entonces cuando uno de los dos mediciones tiene un cierto resultado esto definirá una probabilidad condicional para cualquier resultado de la otra medición (simplemente dividir la probabilidad de que ambos resultados se producen por la probabilidad de que este resultado de la primera medición se produce). De acuerdo con el segundo principio, entonces, habrá un estado cuántico que produce estas probabilidades (para los posibles resultados de cualquier medición que puede hacerse sin interferir con, o sufrir interferencia de, un determinado medición que ha tenido un determinado resultado). Tenga en cuenta que el argumento anterior supone que el conjunto de todos los las mediciones compatibles con una medida determinada constituyen efectivamente «todos las mediciones que pueden realizarse en un sistema», según sea necesario por el segundo principio. Ahora considere un sistema A en el estado α. Se compone de dos subsistemas, B y C, en los estados reducidos β y γ, respectivamente. Una medición se realiza en Subsistema B y tiene un resultado. Por el primer principio, hay un cuántico Estado que producirá las probabilidades de los posibles resultados de cualquier immedi- después de la medición que pueda realizarse en el subsistema B. Y por el segundo principio, hay un estado cuántico que producirá las probabilidades de los posibles resultados de cualquier medición compatible realizada en el subsistema C. Para la suplantación en las consideraciones de uno de β por hay el histórico nombre ‘colapso del paquete de onda’. Para la suplantación en las consideraciones de uno de α por la mayoría de los físicos utilizan la misma frase (o cualquiera de sus varios sinónimos). Sería más fácil pensar en estas cosas si se usaran diferentes nombres para el Dos. ‘El colapso del paquete de onda’ podría ser retenido para el primero y, digamos, «acondicionamiento del paquete de onda» adoptado para el segundo. Esto es tanto más importante porque el primer principio es una salida y el error de Dirac y von Neumann, mientras que el segundo es un parte de la mecánica cuántica. A esos dos con mentalidad matemática, y así lógicamente, gente, la dignidad de la mecánica cuántica requería que allí ser medidas, por lo que la mecánica cuántica podría ser física real. Y ya que la mecánica cuántica no dijo que un sistema tenía que tener, antes de la medición, el valor encontrado en la medición, la dignidad de la medición requiere que al menos tenga ese valor después, o qué tipo de medición ¿Era esto de todos modos? El hecho de que Schrödinger estuviera tan angustiado... Los ets se propagan interminablemente. Si un paquete de onda en desarrollo representara la la historia de un sistema, que asumieron que era necesario, y luego la difusión tuvo que ser comprobado, y un salto cuántico ocasional como su medida La teoría presupone que podría hacer eso. Y el experimento prestó algo de apoyo. Sobre todo, si un electrón se estropea En algún lugar de una pantalla, que ellos consideraban como una medida por el experi- menter de la posición del electrón, entonces la conservación de la carga sugirió fuertemente que el electrón podría ser encontrado posteriormente allí. Este fue el origen de la frase «colapso del paquete de ondas». También, el famoso Stern-Gerlach experimento permite una siguiente medición de giro, que dará la misma resultado como el primero si la detección de la primera medición ha sido lo suficientemente delicada. Pero la idea de una medición rápida no está bien definida. en general. Y hay casos en los que el principio debe ser falso bajo cualquier definición razonable de una medición siguiente. Por ejemplo, una partícula podría perder la mayor parte de su energía en esas colisiones que midieron su energía. O si el impulso de una partícula cargada se midieron por la curvatura de su trayectoria en un campo magnético, la partícula podría terminar yendo en la dirección equivocada, aunque Esto es, para estar seguros, corregible. Esos eventos llamados “mediciones” son lo que lo son, y si se quedan cortos de ser realmente medidas de propiedades, así que ¡Que así sea! Si el primer principio es un error, entonces eso nos deja con un solo principio, el segundo, y la gente podría entonces inclinarse a seguir utilizando el tradicional frase ‘colapso del paquete de onda’, pero ahora significa los reemplazos de la el segundo principio define. Esto daría lugar a la transferencia, en el curso de historia, del significado de la frase del primer principio al segundo. I pensar que esto tendría el mismo efecto infeliz como si Lavoisier, no deseando para cargar al mundo con un neologismo, había dado en cambio a la palabra phlogiston un nuevo sentido. 5 Una mirada más de cerca a la ingeniería cuántica El segundo principio tiene un sabor muy diferente del primero. Porque lleva a probabilidades condicionales, y éstas se prestan al pensamiento imaginativo. In esta mentalidad usted es libre de tomar puntos de vista de acuerdo a lo que usted desea aprender. El primer principio, sin embargo, conduce a las probabilidades que se piensan ser las propiedades de eventos reales, como un lanzamiento real de una moneda. Tú lo eres. ahora en una realidad mental. Esa probabilidad es tanto una parte de la tirada de la moneda como es la plata de la moneda, y debes lidiar con ella. No tienes elección. Pero no quiero decir que esta es una diferencia absoluta entre los dos principios. Más bien, tienden a conducirnos a estos respectivos modos de pensamiento, y viceversa. Teniendo esto en cuenta, vamos a mirar el reloj de arena y cuántico ingeniería. Primero considere el reloj de arena que representa un arbusto de grosella. Por elección... uno de los más probables de los resultados del curso de observación de luz, vamos a seleccionar lo que es en efecto una película probable de tal arbusto. Podemos Mira la película, y los maravillosos algoritmos de nuestros cerebros construirán una idea de un arbusto de grosella y seguirlo a través de su historia. Hemos llegado a algo bueno de esto, y no hemos hecho uso de la proba condicional las posibilidades que ofrece el segundo principio en absoluto. Sin embargo, si no nos limitamos a una película entonces podemos utilizar probabilidades condicionales como se utilizan normalmente, explorar varias posibilidades interesantes teniendo en cuenta la probabilidad de lo son cuando se nos proporciona cierta información. Note que hemos estado pensando imaginativamente. Nadie podría suponerlo. que hemos comprendido directamente la realidad de un arbusto de grosella en nuestro jardín en de esta manera, sobre todo porque los arbustos reales de grosella no comienzan a existir en un tiempo especial. Ahora considere la ingeniería cuántica. Por medio de una construcción cuidadosa del equipo puede establecerse una situación claramente definida cuando la potencia de paquetes de onda para dar comprensión será mejorado. Por otra parte, aquí puede haber un enredo significativo. El poder de nuestras mentes para lograr la comprensión a través de sus métodos cotidianos será puesta en cero. Luego para la ingeniería cuántica, una historia formada por el desarrollo de paquetes de onda... Por lo que se refiere a los productos alimenticios, la Comisión de Medio Ambiente, Salud Pública y Protección del Consumidor ha presentado una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de etiquetado, etiquetado y etiquetado de los productos alimenticios. Nos gustaría tomar esta idea de lo que existe simplemente porque es lo suficientemente bueno para Ayúdanos con el trabajo que tenemos a mano. Y para este caso, donde nos parece adecuado pensar que estamos tratando con un sistema real que es un paquete de ondas en evolución, y con saltaciones que consideramos como acontecimientos reales, pero de una manera tan diferente de la intención de Dirac y von Neumann, entonces tal vez un tercer término, decir, ‘cambio del paquete de la onda’, sería apropiado para las salaciones. Estos cambios del paquete de onda diferirían de los colapsos de la onda paquete porque, aunque se les consideraría como eventos reales como col- los lapsus han sido, se derivarían del acondicionamiento de los paquetes de onda, en de la siguiente manera. Cuando un sistema envía radiación (o cualquier otra cosa) que no va a volver, de una manera se puede considerar el sistema de interés para ser el todo, incluyendo la radiación, y de otra manera se puede considerar ser el sistema reducido que no incluye la radiación. En observación de la radiación que derivará del resultado y del paquete de ondas de todo el sistema un paquete de onda para el sistema menos la radiación, y esto nosotros han llamado acondicionamiento del paquete de la onda. Pero si antes de la observación tu el interés se había centrado en el sistema menos la radiación, y por lo tanto en su paquete de onda reducida, entonces habrá pasado de un paquete de onda a otro paquete de onda para el sistema menos la radiación. Y ya que estás calculando estos paquetes de onda como porciones de la historia del sistema, esto parece un Salto cuántico. Esto es lo que se entiende por un cambio del paquete de onda. Ahí está. no es necesario definir tal cambio del paquete de onda con precisión, por supuesto. Ya no hay necesidad de suponer que se puede definir con precisión. 6 Conclusión Si los clepsidras no pueden ser historias verdaderas, ¿cómo puede ser que podamos aprender de ¿Ellos? ¿Qué les permite decirnos cómo crecen los arbustos de grosella, cuando son sólo momentáneamente como un arbusto de grosella? Aún no he dicho una palabra sobre esto. En primer lugar, hay una suposición oculta detrás de este desconcierto nuestro. La suposición es que no tenemos razón para estar perplejos de que podamos aprender de cosas que pueden ser historias verdaderas. Porque si no parecía tan perfectamente natural a nosotros que aprendemos de las historias verdaderas, entonces no parecería antinatural a aprender de lo que claramente no puede ser una historia verdadera. Pero creo que esta suposición El nuestro es irreflexivo, y trataré de explicar por qué. Hacemos juicios sobre cuándo estamos mejor informados y cuándo menos. Las ideas que tenemos ciertas cuando se piensa que están mejor informados se comparan con los que teníamos cuando no tan bien informados. De esta manera, a través del dispositivo de tomar las ideas en las que actualmente tenemos más confianza como confiables, Tratamos de reunir lo exitosamente que nuestras ideas tienden a apilarse contra la realidad. Lo siento. no es tan simple, sin embargo, ya que sabemos por experiencia triste que el Las ideas en las que confiamos ahora pueden fallarnos. Pero tenemos la convicción, o la esperanza, de que si Sucede que podemos aterrizar de nuevo. Vamos a buscar aún mejor ideas hasta que encontremos algo que funcione. Somos capaces de dar a esta situación un reparto lógico. Es decir, postulando que hay una mejor de todas las ideas posibles en cuya dirección nos dirigimos. Esto positive puede ser útil. Puede darnos una mayor confianza en nuestra búsqueda de mejores ideas. Si adivinamos que esta mejor idea tendrá una cierta forma, y adivinamos Bueno, puede guiar nuestra búsqueda. Pero no hay necesidad para este postulado; todos nosotros realmente saber es lo que se dijo arriba. Otra cosa que nos gusta hacer es encontrar dónde están las cosas y cuándo. Nuestro la visión, el tacto y la audición hacen esto automáticamente todo el tiempo, y a menudo damos ellos alguna ayuda consciente, digamos girando la cabeza. Cuando somos adolescentes Es probable que se nos ocurra que debe haber una mejor de todas estas ideas posibles, mapa completo de dónde está todo, y ha estado, y tal vez también lo estará. Un pensamiento más puede cruzar la mente. Tal vez esto es todo lo que es nuestro mundo. Por ejemplo, si a una persona le gusta otra, esto debe aparecer en el acciones, que el mapa definirá completamente. Tal vez el gusto simplemente son esos acciones. Ahora voy a proponer algo de física, la teoría del polvo rojo. De acuerdo con esto teoría el mundo se compone de un número extremadamente grande de motas muy finas de un polvo escarlata. Debido a su rudeza, el polvo es extremadamente hermoso, si Sólo nosotros podríamos verlo, pero no nos preocuparemos por eso. El polvo rojo teoría difiere de la mayoría de la física en que el vuelo de las partículas no tiene para satisfacer una ecuación diferencial, es simplemente continuo. La interpretación de la teoría es bastante simple. Donde encontramos cosas habrá una multitud de estas motas, y donde encontramos la vacante serán - Mucho más escalofriante. Pero, ¿puede nuestro mundo ser como dice esta teoría? Seguro que sí. Ahí está. será entre sus soluciones una que mapee toda la historia de nuestro universo con Una precisión extraordinaria. Las colisiones de las galaxias, la evolución de las ballenas, los experimentos en los laboratorios, todos estarán allí y se mostrarán correctamente. Ahora usted puede pensar que la teoría del polvo rojo es física irremediablemente mala y debe ser ignorado. Puede ser irremediablemente malo, pero no debe ser ignorado. Es un punto de referencia. Si se propone otra teoría de la física, ¿es mejor que la teoría del polvo rojo, y si es así, ¿por qué? Esto es especialmente pertinente si el otro la teoría pretende, al igual que la teoría del polvo rojo, dar una descripción precisa de todos que existe. La mecánica cuántica bohmiana es un ejemplo. Pero lo que pretendo enfrentarme al punto de referencia es la mecánica clásica. Todos estarán de acuerdo en que la mecánica clásica es mucho mejor que el polvo rojo teoría. Puedes hacer cosas con la mecánica clásica; no puedes hacer nada con la teoría del polvo rojo. Por ejemplo, usted puede tirar de un péndulo a un lado y déjalo ir. Se balanceará. La mecánica clásica puede darte la historia de eso. swing por delante del tiempo. La teoría del polvo rojo tiene tantas soluciones compatibles con la forma en que las cosas son al principio que no le dirá nada útil sobre ¿Cómo van las cosas? Nuestra experiencia con la mecánica clásica es que es práctica, pero por qué ¿Es así? La idea más natural es que el mundo debe ser en el fondo clas- Mecánica sica. Desde que entendimos el péndulo asignando un clásico estado mecánico a él y la evolución del estado, entonces debe haber una evolución estado mecánico clásico que todo el mundo está en, y eso explicaría por qué la mecánica clásica es tan útil. Cuando nos fijamos en la historia de nuestro universo, sin embargo, y particularmente en la evolución de la vida a lo largo de miles de millones de años, y cuando consideramos los recursos que es probable que la mecánica clásica tiene que ofrecer en sus soluciones, no realmente parece posible que hay cualquier historia mecánica clásica que podría coinciden con la historia de nuestro universo, no importa cuán exquisitamente las condiciones iniciales son elegidos. Para las estructuras más detalladas de la representación clásica con el tiempo debe disolverse en un caos duradero, y pensaría con bastante rapidez. Sin embargo, esto depende de un punto al que no conozco la respuesta. Porque con el fin de hacer que el universo se comporte como usted desea, es decir, dar un buen relato de continentes grietando y colibríes alimentando, podría ser que para obtener cada segundo adicional de la historia deseada es siempre suficiente calcular correctamente otro, digamos, mil decimales para las posiciones y momenta de las moléculas en el estado inicial. O al contrario, el primero mil decimales podrían darte un segundo, el siguiente mil sólo un otro medio segundo, luego un cuarto de segundo, y así sucesivamente. Sin embargo, incluso si me equivoco en esto, simplemente iríamos de Scylla a Charybdis. Porque en ese caso la mecánica clásica debe ser como la teoría del polvo rojo, donde, Desde nuestro punto de vista, cualquier cosa es posible, o demasiado cerca de cualquier cosa. En cualquiera de los dos caso el conjunto de soluciones clásicas no implicaría ninguna estructura como la que experimentamos en la vida. No hay dunas esculpidas, no hay hormigas cargándose bocados, no hay lluvia de granizo Sal de ahí. Tampoco se puede imaginar ninguna razón por la que el conjunto de soluciones mostraría una preferencia por representar criaturas que aprenden mecánica clásica, o si lo hacen Beneficiarse de ello. En resumen, hay una total desconexión entre el hecho de que la mecánica clásica es útil y la hipótesis de que el universo en su conjunto es un sistema mecánico clásico. Eso nos deja con un misterio sin resolver: ¿por qué la mecánica clásica ¿Trabajar para nosotros? Y la mecánica clásica es el arquetipo del tipo de física donde aprendemos de lo que puede ser historias verdaderas de las cosas. En mi mente, el reloj de arena con la observación de su luz emitida es profundamente física conservadora. Hace que la mecánica cuántica sea una continuación sin fisuras de la física de los siglos anteriores como es posible. Esto es porque de la forma matemática del reloj de arena, que es un desarrollo continuo de las condiciones iniciales, así como la forma de las observaciones, que tan poco como pueda ser. Y cuando esto lleva a que nos den películas en lugar de historias directas, entonces estoy sorprendido (y divertido) por esto, pero aceptarlo para el por las cualidades mencionadas, que considero virtudes que prometen. La naturaleza nos está enseñando otra lección. La vieja teoría cuántica de Bohr se basó en saltos cuánticos, y creo que Esta fue una maravillosa pieza de exploración en la oscuridad. Cuando el nuevo Heisenberg La mecánica cuántica llegó, se mantuvieron los saltos cuánticos. Los saltos serían permitir que las historias directas se conserven como la base de nuestra física, aunque a expensas de la continua evolución hamiltoniana de los paquetes de onda (y a expensas de una definición clara, ya que nadie ha sido capaz de especificar justo cuándo y dónde y cuáles son los saltos cuánticos). Como Schrödinger, Esto me enfurece. Si se nos da la opción de preservar la filosofía principio o forma matemática, creo que deberíamos preferir la forma matemática. ¿No es esto lo que hizo Copérnico? Un pensamiento final: Si aprender de las películas proporcionadas por los clepsidras es cómo hacemos física, entonces para saber por qué la mecánica cuántica funciona sería para saber por qué todas las inferencias que podemos hacer de las películas encajarán con suficiente coherencia. Pero saber esto requeriría que sepamos todo lo que cosas que podríamos pensar. Es inútil. Aunque podríamos mordisquear en el problema, al demostrar que los clepsidras tienen algunas características necesarias. Así que Creo que los relojes de arena nos dejarán con un misterio insondable. Bibliografía Gibbs, J. Willard [1981]: Principios elementales en la mecánica estadística, Wood- bridge, CT: Ox Bow Press, p. 17 y p. 163. Mahon, Basil [2003]: El hombre que cambió todo, Chichester, Reino Unido: John Wiley & Sons Ltd. Los relojes de arena sugieren que la teoría de medición de von Neumann debería ser refundición para uso imaginativo y no para la descripción de situaciones reales. Esto le da a uno una libertad adicional en la configuración de la misma, y entonces puede funcionar más con eficacia. Aquí hay un esbozo: McCartor, Donald [2004]: ‘Los experimentos de pensamiento cuántico pueden definir tura», Conceptos de Física, Vol. Yo, no. 1, pp. 105–150 y quant-ph 0702192. donaldamccartor@earthlink.net

El reloj de arena es el nombre dado aquí a un sistema cuántico aislado formal que puede irradiar. A partir de un momento en que define el sistema que representa claramente y no hay radiación presente, se le da una clara evolución Hamiltoniana. Se plantea la cuestión de la importancia de los clepsidras, y esta cuestión se propone que sea más consecuente que el problema de la medición.

El reloj de arena: consecuencias de la pureza Evolución hamiltoniana de un sistema de radiación Donald McCartor RESUMEN El reloj de arena es el nombre dado aquí a un sistema cuántico aislado formal que puede irradiar. A partir de un momento en que define el sistema que representa claramente y no hay radiación presente, se le da una clara evolución Hamiltoniana. Se plantea la cuestión de la importancia de los clepsidras, y esta cuestión se propone que sea más consecuente que el problema de la medición. 1 reloj de arena 2 Física sin historias verdaderas 3 Pero las historias a veces son buenas 4 Phlogiston y oxígeno 5 Una mirada más de cerca a la ingeniería cuántica 6 Conclusión Pero quiero saber la particular marcha de la misma. – la súplica de James Clerk Maxwell cuando era un niño pequeño acerca de, entre muchas cosas, las campanas que tocan las campanas que convocan a los sirvientes. [Mahon] 1 reloj de arena Supongamos que la teoría se desarrolla de tal manera que los campos cuánticos pueden ser manejados como la mecánica cuántica no relativista. Entonces si estamos interesados en algo, tal vez arbustos de grosella, podemos modelar uno como lo concebiríamos para estar en algún instante y luego seguir su desarrollo a través del tiempo. Y no sólo el átomos y moléculas serían modelados, pero también la radiación. Esto es un plan para la imaginación. El arbusto de grosella, aunque no aislada, crecería dentro de un ambiente adecuado que sería un sistema, completo en sí mismo. Aprendemos bien de sistemas aislados, ambos reales. los del laboratorio y los previstos en nuestras reflexiones teóricas. Proporcionaremos aire, tierra y agua al arbusto. Y puede haber La luz del sol que da vida brilla sobre ella. En cuanto a la luz que se había reflejado o Emitida desde el arbusto antes del momento presente, vamos a dejar eso fuera. Semejante luz se apaga y se va, por lo que sólo podría importar como información sobre lo que el http://arxiv.org/abs/0704.0420v1 Bush había estado haciendo. Tomaremos el arbusto tal como es ahora. El arbusto de grosella se desarrolla entonces hacia adelante en el tiempo. Lagrange o Hamilton habría reconocido lo que estamos haciendo, porque estamos haciendo física de la manera clásica. Tenemos una condición inicial y estamos descubriendo lo que Pasará a continuación. A medida que avanzamos hacia el futuro, la luz sale del arbusto, como nosotros Espera. Pero, desconcertantemente, el arbusto empieza a perder definición. Sus partes pierden sus lugares precisos. Dentro de unas semanas es un desastre apenas reconocible. Retrocedamos en el tiempo, entonces. Esto es terriblemente peor. El arbusto ha sido el sujeto de una vasta conspiración. La luz ha estado fluyendo en él desde todo el universo. El arbusto se lo traga. Entonces en el momento presente esto de repente todo Detente. La simetría del tiempo del Hamiltoniano hace que suceda así. Este es el reloj de arena. Es realmente más como un cono, con el flujo de luz antes de que el tiempo de puesta en marcha que forma una napa y la luz que fluye después Es la otra. Pero el reloj de arena es un nombre más colorido. ¿Qué hacer? Intentaremos rescatar a la mecánica cuántica. Haremos lo que se llama convencionalmente una medida, pero con cautela. A lugar se elige bien fuera del arbusto de grosella, y un momento elegido que es más tarde que cuando establecemos el estado del arbusto. Se realiza un control de si hay en este lugar y el tiempo cualquier fotones que vienen de la dirección de el arbusto. Al hacer las cosas de esta manera, no vamos a perturbar el arbusto en absoluto, y no nos importa si perturbamos la luz que escapa. Obtenemos de esto, por supuesto, un distribución de probabilidad sobre varias posibilidades para los fotones en este lugar y Tiempo. Animados por este pequeño éxito, elegimos otro lugar y tiempo y Haz lo mismo. Y esto es lo bueno: las dos medidas son compatibles. Así obtenemos correlaciones entre ellos, también. Envalentonado por esta oportunidad, hacemos millones de ellos, que se combinan formalmente en una sola medida con un único conjunto de posibles resultados. Cada posible resultado del único, combinado la medición es una combinación de los resultados de todas las mediciones individuales de luz hecha en los diversos tiempos y lugares. Así, cada resultado combinado constituye una especie de película del arbusto de la grosella. ¿Cómo será el más probable de estos resultados? Este es el problema. del reloj de arena. Para empezar, sin embargo, puede ser que no haya reloj de arena. La teoría cuántica más profunda podría no proporcionar un sistema con un estado y su evolución. O si lo hace, todavía podría ser objetado que el Hamiltonian no se debería haber permitido que la evolución funcionara descontroladamente. Debería haber han sido muchos saltos cuánticos. Dejándolos fuera, mecánica cuántica ha sido mal utilizado, y lo que los resultados no importa. Pero Lagrange y Hamilton y habría sido mejor si estos las objeciones no eran válidas. Y seguramente entonces esperaríamos ver en cada uno de los resultados más probables algo así como una película de un arbusto que produce grosellas: La física funciona bien. Los arbustos en estas películas se verían muy parecidos en el comienzo pero luego gradualmente difieren, como el azar lo tiene. Aprenderíamos algo. ¡Sobre cómo los arbustos de grosella cultivan grosellas! Ciertamente Lagrange y Hamilton habrían pensado el problema de la un reloj de arena uno de los principales, si hubieran sabido de la mecánica cuántica. De hecho, a cada físico le gustaría tomar una puñalada para adivinar su solución, sólo para orientar ellos mismos en su ciencia. ¿El reloj de arena falla, y si es así, dónde y por qué? O si produce películas fieles a nuestro mundo, pero no de un estado cuántico que podría ser la verdadera historia de un arbusto de grosella, más bien de una “historia” que en un momento representa un arbusto de grosella, pero pronto es diferente a cualquier cosa que haya existido, entonces, ¿cómo puede ser esto? 2 Física sin historias verdaderas Esto es lo que pienso al respecto. Pero antes de entrar en eso, ver si usted no está de acuerdo que la cuestión del reloj de arena tiene gravedad, y esto independientemente de las ideas que yo o cualquiera podría tener su respuesta. Ahora supongo que la mecánica cuántica nos dará películas de maduración grosellas, producidas por un reloj de arena a través de los medios descritos o algo así. Y creo que para entender los clepsidras, no para resolver el problema de la medición, es la cuestión central para la comprensión de la mecánica cuántica. Porque el problema de la medición plantea una pregunta, que lo hace inútil. Lo siento. asume que aprendemos de la física simplemente porque la física describe bien cosas que existen. Como este ejemplo de la física clásica. Existe en un gas una multitud de moléculas zipping. En cualquier momento dado, cada partícula tiene su posición e impulso particulares, y con el tiempo esto forma su historia. La física nos ha dicho lo que es un gas—precisamente lo que existe allí. Esto es lo que nos permite aprender acerca de los gases. Sin duda, así es como Boltzmann lo vio. Pero cuando nos fijamos en la mecánica estadística que produjo, e incluso más en el de Gibbs, una persona adquirirá profundos reparos sobre esta visión- punto. El análisis de Boltzmann de la colisión de moléculas parece ser directo para... El sentido común. Él está mirando lo que es probable que hagan. Pero cuando La objeción de reversibilidad de Loschmidt se presenta, la lucidez desaparece. La mecánica estadística más abstracta de Gibbs hizo que el problema fuera aún más grave. Gibbs encontró una hermosa forma matemática en Boltzmann (y Maxwell) trabajo, que él generalizó. Sostuvo que los sistemas termodinámicos deben ser se representan como en los estados que tienen la forma de cierta probabilidad dis- Atribuciones sobre los estados clásicos. Gibbs no podía entender bien lo que estos las probabilidades estaban alrededor, pero él vio que su teoría era buena sin embargo. A mantener esta falta de comprensión clara de envenenamiento trabajo con la teoría, él ideó una solución. Los axiomas de la teoría de la probabilidad se reflejan en el axiomas de la teoría de conjuntos finitos. Uno puede resolver eficazmente los problemas de probabilidad pensando en conjuntos finitos. Así que Gibbs sugirió que simplemente pensemos en estas probabilidades en términos de conjuntos. La palabra que usó fueron conjuntos. Gibbs describió su intención con estas palabras: “La aplicación de este prin- ciples no se limita a los casos en los que existe una referencia formal y explícita a un conjunto de sistemas. Sin embargo, la concepción de tal conjunto puede servir para dar precisión a las nociones de probabilidad. De hecho, es habitual en el disco- sión de probabilidades de describir cualquier cosa que se conoce imperfectamente como cosa tomada al azar de un gran número de cosas que son completamente descrito.” [Gibbs] Pero los físicos nunca han sido capaces de aceptar con gracia que no lo hacen entender los elementos de su ciencia. Así que se han movido a pensar que sí entienden las probabilidades de Gibbs de alguna manera, y esto ha llevado a Dos pasos en falso. Uno ha sido considerar las probabilidades en la teoría de Gibbs como el resultado de nuestra ignorancia del estado detallado del sistema que estamos considerando. Pero cuando una distribución de probabilidad es útil, este es un gran paso hacia arriba en orden del caos. La ignorancia no puede crear orden. Si el agua siempre hierve en el la misma temperatura, no es culpa nuestra. En lugar de ser tan explicada, para ella No lo es, la teoría de Gibbs muestra que hay algo profundamente mal con classi- Mecánica de cal. La mecánica estadística clásica no es realmente una forma de clásica Mecánica. Es la mecánica cuántica naciendo. Las siguientes palabras de Gibbs parecen mostrar que Gibbs mismo tomó la la vista acaba de escocesar. “Los estados de los cuerpos que manejamos no son ciertamente lo conocemos exactamente. Lo que sabemos de un cuerpo generalmente se puede describir más exactamente y más simplemente diciendo que es uno tomado al azar de un gran número (ensamblaje) de cuerpos que están completamente descritos.” [Gibbs] La impresión que tengo, sin embargo, es que Gibbs es cautelosamente cobertura. Lo es. no diciendo claramente, como él podría haber, que un cuerpo que manejamos será en algunos estado completamente descrito, de modo que si lo describimos con un conjunto, el las probabilidades en el conjunto simplemente representan nuestra ignorancia parcial sobre eso Estado. Dice claramente que su método parece funcionar. El otro error se ha producido porque la teoría cuántica es un espejo de la mecánica estadística de Gibbs en el sentido de que se basa en lo que son prob- habilidades en forma (en otras palabras, conjuntos de números reales no negativos que añaden hasta uno) y no sabemos lo que significan en general. Es cierto que nosotros puede tener buen sentido de ellos como probabilidades reales en varios casos especiales. Por ejemplo, cuando la mecánica cuántica se aplica al experimento Stern-Gerlach, ver al detector reaccionar es como ver una moneda arrojada. Pero en el caso general no tal tipo de experiencia está directamente implicada por estas formas de probabilidad. Ahí está. son, por ejemplo, distribuciones canónicas en la mecánica cuántica también, y nosotros nunca esperes ver a un detector escoger un estado puro de una taza caliente de café. Entonces a veces pensamos en estas probabilidades formales en términos de conjuntos, al igual que Gibbs, y por la misma razón. En caso de que el las probabilidades son más altas y los miembros del conjunto más numerosos, allí estará el mayor significado, sea lo que sea. Esto está bien. Pero muy a menudo los físicos dicen que los conjuntos (es decir, el trabajo de Gibbs) proporcionar los medios para entender la teoría cuántica. Esto está claramente mal. Pero para volver al problema de la medición. Como bien sabes, pero para la explicitación lo diré de todos modos, para ver un problema en la medición es Supongamos que la mecánica cuántica puede describir el equipo en el laboratorio como existe al comienzo de un experimento, pero cuando la representación se continúa, el equipo se enreda con los sistemas microscópicos que está examinando y se mancha. Entonces la mecánica cuántica ha dejado de describir lo que nosotros saber que existe en el laboratorio y necesita ser corregido para que continúe Describa lo que existe. Pero no es para que la mecánica cuántica, si es para mostrarnos algunos pre- dictabilidad en la naturaleza, debe proporcionarnos directamente con historias de la existencia de cosas, como por un paquete de onda en desarrollo. Como prueba, ofrezco el reloj de arena. 3 Pero las historias a veces son buenas Si la física no funciona simplemente porque describe lo que existe, y si, más bien, el camino del reloj de arena es correcto, entonces un corolario es que cómo aprendemos sobre la naturaleza se vuelve necesariamente más indirecta. Se nos da tal información como: La radiación proporciona algo, no se dice directamente lo que existe allí. Y con el propósito de inferir reglas útiles del comportamiento de la naturaleza, con lo que tratamos son situaciones imaginadas que pensamos típicas de lo que queremos aprender, no descripciones fieles de las cosas reales. Ningún sistema de radiación real es como un reloj de arena, excepto momentáneamente cerca del cuello del reloj de arena. Pero la ingeniería cuántica puede templar la verdad de ese juicio Un poco. Porque también hay un uso de ingeniería de la mecánica cuántica donde, algo como lo hace la mecánica clásica, por un tiempo podemos utilizar un paquete de onda para representar el desarrollo de una situación real que estamos tratando. Pero esto es más bien más especial, porque debemos tener cuidado de establecer las cosas para que esto funcione. Los El vacío debe ser excelente, etc. El aislamiento es importante. Un simple ejemplo de ingeniería cuántica es un ion que alternablemente parpadea para un hechizo y permanece oscuro para un hechizo mientras se sienta en una trampa de iones que es irradi- Atentado por láseres. Usted puede imaginar el ion bastante bien pensando en Schrödinger evolución de un paquete de ondas con saltos cuánticos ocasionales intercalados. Tú puede entonces ser tentado a pensar que todo se puede manejar con eficacia en de la misma manera, al menos en principio. Simplemente no hemos sido lo suficientemente inteligentes como para encontrar el paquete de ondas de la ciudad de Nueva York y sus colapsos de medición. Esto es un problema. Lo peor de todo es que serás llevado a ignorar los relojes de arena. y lo que implican, ya que claramente los relojes de arena no pueden representar la historia de las cosas de la misma manera que usted ha representado ventajosamente el historia del ión parpadeante. Por otro lado, imaginen que hace décadas los físicos habían tardado una hora... Gafas a sus corazones, también creo que podrían haberlo hecho. Entonces podrían haberlo hecho. de Schrödinger ha sido tentado a ver la representación de un ión en una trampa por parte de Schrödinger evolu. sión de un paquete de ondas con saltos cuánticos como ‘siguiendo la filosofía equivocada’ (tratando de representar las historias reales de las cosas con paquetes de onda), y podría haber desdeñado hacerlo. Hay una lección aquí. No tome su philo- ideas soficas demasiado en serio, no somos lo suficientemente buenos para eso. Creo, sin embargo, que a partir de los clepsidras usted sería capaz de inferir que La evolución de Schrödinger con saltos es una manera simple y efectiva (no perfecta) para ver un ión parpadeante en una trampa. Los clepsidras serían entonces en este sentido la teoría más fundamental. 4 Phlogiston y oxígeno Pero, ¿qué es un salto cuántico? Aquí es donde creo que la comunidad de fis... Los cists han sido descuidados en el uso de palabras, quizás mezclados con un verdadero misun- Derstanding. Se han formulado dos principios de la física cuántica. Los El primer principio (promovido por Dirac y von Neumann) es el siguiente: se hace en un sistema, una medición inmediatamente siguiente dará la el mismo resultado. Por lo tanto, justo después de cualquier medición el sistema debe estar en el eigenstate correspondiente al valor encontrado. El segundo principio es que si las probabilidades de los posibles resultados de todas las mediciones que se pueden hacer en un sistema se definen, a continuación, allí será un estado cuántico (único) que se puede decir que el sistema está en ese que den lugar a estas probabilidades. Añadir a esto que a veces dos mediciones pueden se hacen en un sistema sin interferir entre sí. Entonces cuando uno de los dos mediciones tiene un cierto resultado esto definirá una probabilidad condicional para cualquier resultado de la otra medición (simplemente dividir la probabilidad de que ambos resultados se producen por la probabilidad de que este resultado de la primera medición se produce). De acuerdo con el segundo principio, entonces, habrá un estado cuántico que produce estas probabilidades (para los posibles resultados de cualquier medición que puede hacerse sin interferir con, o sufrir interferencia de, un determinado medición que ha tenido un determinado resultado). Tenga en cuenta que el argumento anterior supone que el conjunto de todos los las mediciones compatibles con una medida determinada constituyen efectivamente «todos las mediciones que pueden realizarse en un sistema», según sea necesario por el segundo principio. Ahora considere un sistema A en el estado α. Se compone de dos subsistemas, B y C, en los estados reducidos β y γ, respectivamente. Una medición se realiza en Subsistema B y tiene un resultado. Por el primer principio, hay un cuántico Estado que producirá las probabilidades de los posibles resultados de cualquier immedi- después de la medición que pueda realizarse en el subsistema B. Y por el segundo principio, hay un estado cuántico que producirá las probabilidades de los posibles resultados de cualquier medición compatible realizada en el subsistema C. Para la suplantación en las consideraciones de uno de β por hay el histórico nombre ‘colapso del paquete de onda’. Para la suplantación en las consideraciones de uno de α por la mayoría de los físicos utilizan la misma frase (o cualquiera de sus varios sinónimos). Sería más fácil pensar en estas cosas si se usaran diferentes nombres para el Dos. ‘El colapso del paquete de onda’ podría ser retenido para el primero y, digamos, «acondicionamiento del paquete de onda» adoptado para el segundo. Esto es tanto más importante porque el primer principio es una salida y el error de Dirac y von Neumann, mientras que el segundo es un parte de la mecánica cuántica. A esos dos con mentalidad matemática, y así lógicamente, gente, la dignidad de la mecánica cuántica requería que allí ser medidas, por lo que la mecánica cuántica podría ser física real. Y ya que la mecánica cuántica no dijo que un sistema tenía que tener, antes de la medición, el valor encontrado en la medición, la dignidad de la medición requiere que al menos tenga ese valor después, o qué tipo de medición ¿Era esto de todos modos? El hecho de que Schrödinger estuviera tan angustiado... Los ets se propagan interminablemente. Si un paquete de onda en desarrollo representara la la historia de un sistema, que asumieron que era necesario, y luego la difusión tuvo que ser comprobado, y un salto cuántico ocasional como su medida La teoría presupone que podría hacer eso. Y el experimento prestó algo de apoyo. Sobre todo, si un electrón se estropea En algún lugar de una pantalla, que ellos consideraban como una medida por el experi- menter de la posición del electrón, entonces la conservación de la carga sugirió fuertemente que el electrón podría ser encontrado posteriormente allí. Este fue el origen de la frase «colapso del paquete de ondas». También, el famoso Stern-Gerlach experimento permite una siguiente medición de giro, que dará la misma resultado como el primero si la detección de la primera medición ha sido lo suficientemente delicada. Pero la idea de una medición rápida no está bien definida. en general. Y hay casos en los que el principio debe ser falso bajo cualquier definición razonable de una medición siguiente. Por ejemplo, una partícula podría perder la mayor parte de su energía en esas colisiones que midieron su energía. O si el impulso de una partícula cargada se midieron por la curvatura de su trayectoria en un campo magnético, la partícula podría terminar yendo en la dirección equivocada, aunque Esto es, para estar seguros, corregible. Esos eventos llamados “mediciones” son lo que lo son, y si se quedan cortos de ser realmente medidas de propiedades, así que ¡Que así sea! Si el primer principio es un error, entonces eso nos deja con un solo principio, el segundo, y la gente podría entonces inclinarse a seguir utilizando el tradicional frase ‘colapso del paquete de onda’, pero ahora significa los reemplazos de la el segundo principio define. Esto daría lugar a la transferencia, en el curso de historia, del significado de la frase del primer principio al segundo. I pensar que esto tendría el mismo efecto infeliz como si Lavoisier, no deseando para cargar al mundo con un neologismo, había dado en cambio a la palabra phlogiston un nuevo sentido. 5 Una mirada más de cerca a la ingeniería cuántica El segundo principio tiene un sabor muy diferente del primero. Porque lleva a probabilidades condicionales, y éstas se prestan al pensamiento imaginativo. In esta mentalidad usted es libre de tomar puntos de vista de acuerdo a lo que usted desea aprender. El primer principio, sin embargo, conduce a las probabilidades que se piensan ser las propiedades de eventos reales, como un lanzamiento real de una moneda. Tú lo eres. ahora en una realidad mental. Esa probabilidad es tanto una parte de la tirada de la moneda como es la plata de la moneda, y debes lidiar con ella. No tienes elección. Pero no quiero decir que esta es una diferencia absoluta entre los dos principios. Más bien, tienden a conducirnos a estos respectivos modos de pensamiento, y viceversa. Teniendo esto en cuenta, vamos a mirar el reloj de arena y cuántico ingeniería. Primero considere el reloj de arena que representa un arbusto de grosella. Por elección... uno de los más probables de los resultados del curso de observación de luz, vamos a seleccionar lo que es en efecto una película probable de tal arbusto. Podemos Mira la película, y los maravillosos algoritmos de nuestros cerebros construirán una idea de un arbusto de grosella y seguirlo a través de su historia. Hemos llegado a algo bueno de esto, y no hemos hecho uso de la proba condicional las posibilidades que ofrece el segundo principio en absoluto. Sin embargo, si no nos limitamos a una película entonces podemos utilizar probabilidades condicionales como se utilizan normalmente, explorar varias posibilidades interesantes teniendo en cuenta la probabilidad de lo son cuando se nos proporciona cierta información. Note que hemos estado pensando imaginativamente. Nadie podría suponerlo. que hemos comprendido directamente la realidad de un arbusto de grosella en nuestro jardín en de esta manera, sobre todo porque los arbustos reales de grosella no comienzan a existir en un tiempo especial. Ahora considere la ingeniería cuántica. Por medio de una construcción cuidadosa del equipo puede establecerse una situación claramente definida cuando la potencia de paquetes de onda para dar comprensión será mejorado. Por otra parte, aquí puede haber un enredo significativo. El poder de nuestras mentes para lograr la comprensión a través de sus métodos cotidianos será puesta en cero. Luego para la ingeniería cuántica, una historia formada por el desarrollo de paquetes de onda... Por lo que se refiere a los productos alimenticios, la Comisión de Medio Ambiente, Salud Pública y Protección del Consumidor ha presentado una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de etiquetado, etiquetado y etiquetado de los productos alimenticios. Nos gustaría tomar esta idea de lo que existe simplemente porque es lo suficientemente bueno para Ayúdanos con el trabajo que tenemos a mano. Y para este caso, donde nos parece adecuado pensar que estamos tratando con un sistema real que es un paquete de ondas en evolución, y con saltaciones que consideramos como acontecimientos reales, pero de una manera tan diferente de la intención de Dirac y von Neumann, entonces tal vez un tercer término, decir, ‘cambio del paquete de la onda’, sería apropiado para las salaciones. Estos cambios del paquete de onda diferirían de los colapsos de la onda paquete porque, aunque se les consideraría como eventos reales como col- los lapsus han sido, se derivarían del acondicionamiento de los paquetes de onda, en de la siguiente manera. Cuando un sistema envía radiación (o cualquier otra cosa) que no va a volver, de una manera se puede considerar el sistema de interés para ser el todo, incluyendo la radiación, y de otra manera se puede considerar ser el sistema reducido que no incluye la radiación. En observación de la radiación que derivará del resultado y del paquete de ondas de todo el sistema un paquete de onda para el sistema menos la radiación, y esto nosotros han llamado acondicionamiento del paquete de la onda. Pero si antes de la observación tu el interés se había centrado en el sistema menos la radiación, y por lo tanto en su paquete de onda reducida, entonces habrá pasado de un paquete de onda a otro paquete de onda para el sistema menos la radiación. Y ya que estás calculando estos paquetes de onda como porciones de la historia del sistema, esto parece un Salto cuántico. Esto es lo que se entiende por un cambio del paquete de onda. Ahí está. no es necesario definir tal cambio del paquete de onda con precisión, por supuesto. Ya no hay necesidad de suponer que se puede definir con precisión. 6 Conclusión Si los clepsidras no pueden ser historias verdaderas, ¿cómo puede ser que podamos aprender de ¿Ellos? ¿Qué les permite decirnos cómo crecen los arbustos de grosella, cuando son sólo momentáneamente como un arbusto de grosella? Aún no he dicho una palabra sobre esto. En primer lugar, hay una suposición oculta detrás de este desconcierto nuestro. La suposición es que no tenemos razón para estar perplejos de que podamos aprender de cosas que pueden ser historias verdaderas. Porque si no parecía tan perfectamente natural a nosotros que aprendemos de las historias verdaderas, entonces no parecería antinatural a aprender de lo que claramente no puede ser una historia verdadera. Pero creo que esta suposición El nuestro es irreflexivo, y trataré de explicar por qué. Hacemos juicios sobre cuándo estamos mejor informados y cuándo menos. Las ideas que tenemos ciertas cuando se piensa que están mejor informados se comparan con los que teníamos cuando no tan bien informados. De esta manera, a través del dispositivo de tomar las ideas en las que actualmente tenemos más confianza como confiables, Tratamos de reunir lo exitosamente que nuestras ideas tienden a apilarse contra la realidad. Lo siento. no es tan simple, sin embargo, ya que sabemos por experiencia triste que el Las ideas en las que confiamos ahora pueden fallarnos. Pero tenemos la convicción, o la esperanza, de que si Sucede que podemos aterrizar de nuevo. Vamos a buscar aún mejor ideas hasta que encontremos algo que funcione. Somos capaces de dar a esta situación un reparto lógico. Es decir, postulando que hay una mejor de todas las ideas posibles en cuya dirección nos dirigimos. Esto positive puede ser útil. Puede darnos una mayor confianza en nuestra búsqueda de mejores ideas. Si adivinamos que esta mejor idea tendrá una cierta forma, y adivinamos Bueno, puede guiar nuestra búsqueda. Pero no hay necesidad para este postulado; todos nosotros realmente saber es lo que se dijo arriba. Otra cosa que nos gusta hacer es encontrar dónde están las cosas y cuándo. Nuestro la visión, el tacto y la audición hacen esto automáticamente todo el tiempo, y a menudo damos ellos alguna ayuda consciente, digamos girando la cabeza. Cuando somos adolescentes Es probable que se nos ocurra que debe haber una mejor de todas estas ideas posibles, mapa completo de dónde está todo, y ha estado, y tal vez también lo estará. Un pensamiento más puede cruzar la mente. Tal vez esto es todo lo que es nuestro mundo. Por ejemplo, si a una persona le gusta otra, esto debe aparecer en el acciones, que el mapa definirá completamente. Tal vez el gusto simplemente son esos acciones. Ahora voy a proponer algo de física, la teoría del polvo rojo. De acuerdo con esto teoría el mundo se compone de un número extremadamente grande de motas muy finas de un polvo escarlata. Debido a su rudeza, el polvo es extremadamente hermoso, si Sólo nosotros podríamos verlo, pero no nos preocuparemos por eso. El polvo rojo teoría difiere de la mayoría de la física en que el vuelo de las partículas no tiene para satisfacer una ecuación diferencial, es simplemente continuo. La interpretación de la teoría es bastante simple. Donde encontramos cosas habrá una multitud de estas motas, y donde encontramos la vacante serán - Mucho más escalofriante. Pero, ¿puede nuestro mundo ser como dice esta teoría? Seguro que sí. Ahí está. será entre sus soluciones una que mapee toda la historia de nuestro universo con Una precisión extraordinaria. Las colisiones de las galaxias, la evolución de las ballenas, los experimentos en los laboratorios, todos estarán allí y se mostrarán correctamente. Ahora usted puede pensar que la teoría del polvo rojo es física irremediablemente mala y debe ser ignorado. Puede ser irremediablemente malo, pero no debe ser ignorado. Es un punto de referencia. Si se propone otra teoría de la física, ¿es mejor que la teoría del polvo rojo, y si es así, ¿por qué? Esto es especialmente pertinente si el otro la teoría pretende, al igual que la teoría del polvo rojo, dar una descripción precisa de todos que existe. La mecánica cuántica bohmiana es un ejemplo. Pero lo que pretendo enfrentarme al punto de referencia es la mecánica clásica. Todos estarán de acuerdo en que la mecánica clásica es mucho mejor que el polvo rojo teoría. Puedes hacer cosas con la mecánica clásica; no puedes hacer nada con la teoría del polvo rojo. Por ejemplo, usted puede tirar de un péndulo a un lado y déjalo ir. Se balanceará. La mecánica clásica puede darte la historia de eso. swing por delante del tiempo. La teoría del polvo rojo tiene tantas soluciones compatibles con la forma en que las cosas son al principio que no le dirá nada útil sobre ¿Cómo van las cosas? Nuestra experiencia con la mecánica clásica es que es práctica, pero por qué ¿Es así? La idea más natural es que el mundo debe ser en el fondo clas- Mecánica sica. Desde que entendimos el péndulo asignando un clásico estado mecánico a él y la evolución del estado, entonces debe haber una evolución estado mecánico clásico que todo el mundo está en, y eso explicaría por qué la mecánica clásica es tan útil. Cuando nos fijamos en la historia de nuestro universo, sin embargo, y particularmente en la evolución de la vida a lo largo de miles de millones de años, y cuando consideramos los recursos que es probable que la mecánica clásica tiene que ofrecer en sus soluciones, no realmente parece posible que hay cualquier historia mecánica clásica que podría coinciden con la historia de nuestro universo, no importa cuán exquisitamente las condiciones iniciales son elegidos. Para las estructuras más detalladas de la representación clásica con el tiempo debe disolverse en un caos duradero, y pensaría con bastante rapidez. Sin embargo, esto depende de un punto al que no conozco la respuesta. Porque con el fin de hacer que el universo se comporte como usted desea, es decir, dar un buen relato de continentes grietando y colibríes alimentando, podría ser que para obtener cada segundo adicional de la historia deseada es siempre suficiente calcular correctamente otro, digamos, mil decimales para las posiciones y momenta de las moléculas en el estado inicial. O al contrario, el primero mil decimales podrían darte un segundo, el siguiente mil sólo un otro medio segundo, luego un cuarto de segundo, y así sucesivamente. Sin embargo, incluso si me equivoco en esto, simplemente iríamos de Scylla a Charybdis. Porque en ese caso la mecánica clásica debe ser como la teoría del polvo rojo, donde, Desde nuestro punto de vista, cualquier cosa es posible, o demasiado cerca de cualquier cosa. En cualquiera de los dos caso el conjunto de soluciones clásicas no implicaría ninguna estructura como la que experimentamos en la vida. No hay dunas esculpidas, no hay hormigas cargándose bocados, no hay lluvia de granizo Sal de ahí. Tampoco se puede imaginar ninguna razón por la que el conjunto de soluciones mostraría una preferencia por representar criaturas que aprenden mecánica clásica, o si lo hacen Beneficiarse de ello. En resumen, hay una total desconexión entre el hecho de que la mecánica clásica es útil y la hipótesis de que el universo en su conjunto es un sistema mecánico clásico. Eso nos deja con un misterio sin resolver: ¿por qué la mecánica clásica ¿Trabajar para nosotros? Y la mecánica clásica es el arquetipo del tipo de física donde aprendemos de lo que puede ser historias verdaderas de las cosas. En mi mente, el reloj de arena con la observación de su luz emitida es profundamente física conservadora. Hace que la mecánica cuántica sea una continuación sin fisuras de la física de los siglos anteriores como es posible. Esto es porque de la forma matemática del reloj de arena, que es un desarrollo continuo de las condiciones iniciales, así como la forma de las observaciones, que tan poco como pueda ser. Y cuando esto lleva a que nos den películas en lugar de historias directas, entonces estoy sorprendido (y divertido) por esto, pero aceptarlo para el por las cualidades mencionadas, que considero virtudes que prometen. La naturaleza nos está enseñando otra lección. La vieja teoría cuántica de Bohr se basó en saltos cuánticos, y creo que Esta fue una maravillosa pieza de exploración en la oscuridad. Cuando el nuevo Heisenberg La mecánica cuántica llegó, se mantuvieron los saltos cuánticos. Los saltos serían permitir que las historias directas se conserven como la base de nuestra física, aunque a expensas de la continua evolución hamiltoniana de los paquetes de onda (y a expensas de una definición clara, ya que nadie ha sido capaz de especificar justo cuándo y dónde y cuáles son los saltos cuánticos). Como Schrödinger, Esto me enfurece. Si se nos da la opción de preservar la filosofía principio o forma matemática, creo que deberíamos preferir la forma matemática. ¿No es esto lo que hizo Copérnico? Un pensamiento final: Si aprender de las películas proporcionadas por los clepsidras es cómo hacemos física, entonces para saber por qué la mecánica cuántica funciona sería para saber por qué todas las inferencias que podemos hacer de las películas encajarán con suficiente coherencia. Pero saber esto requeriría que sepamos todo lo que cosas que podríamos pensar. Es inútil. Aunque podríamos mordisquear en el problema, al demostrar que los clepsidras tienen algunas características necesarias. Así que Creo que los relojes de arena nos dejarán con un misterio insondable. Bibliografía Gibbs, J. Willard [1981]: Principios elementales en la mecánica estadística, Wood- bridge, CT: Ox Bow Press, p. 17 y p. 163. Mahon, Basil [2003]: El hombre que cambió todo, Chichester, Reino Unido: John Wiley & Sons Ltd. Los relojes de arena sugieren que la teoría de medición de von Neumann debería ser refundición para uso imaginativo y no para la descripción de situaciones reales. Esto le da a uno una libertad adicional en la configuración de la misma, y entonces puede funcionar más con eficacia. Aquí hay un esbozo: McCartor, Donald [2004]: ‘Los experimentos de pensamiento cuántico pueden definir tura», Conceptos de Física, Vol. Yo, no. 1, pp. 105–150 y quant-ph 0702192. donaldamccartor@earthlink.net

The Sigma-D Relation for Planetary Nebulae: Preliminary Analysis

Serbio. Astron. J. } 174 (2007), 73 – 76 Informe preliminar D RELACIÓN CON LOS NÉBULAS PLANETARIAS: ANÁLISIS PRELIMINAR D. Urošević1, B. Vukotić2, B. Arbutina1,2 y D. Ilić1 1Departamento de Astronomía, Facultad de Matemáticas, Universidad de Belgrado Studentski trg 16, 11000 Belgrado, Serbia 2Observatorio Astronómico, Volgina 7, 11160 Belgrado 74, Serbia (Recibido: 22 de febrero de 2007; Aceptado: 30 de marzo de 2007) RESUMEN: Análisis de la relación entre el brillo de la superficie de radio y diámetro, así llamada relación D, para nebulosas planetarias (PNe) se presenta: i) Teóricamente, la relación D para la evolución del brillo de la superficie de bremsstrahlung se deriva; ii) contrario a los resultados obtenidos anteriormente para la supernova galáctica muestras remanentes (SNR), nuestros resultados muestran que la muestra actualizada de Galáctico PNe no sufre gravemente de efecto de selección de volumen - Sesgo de Malmquist (mismo en cuanto a las muestras extragalácticas de SNR) y; iii) concluimos que la La relación D para PNe derivada en este artículo no es útil para la determinación válida. de distancias para todos los PNe observados con distancias desconocidas. Palabras clave. nebulosas planetarias: general – Radiocontinuum: ISM – Métodos: ana- lytical – Métodos: estadística 1. INTRODUCCIÓN La relación entre la superficie de radio brillante... neses y diámetros de los restos de supernova (SNR), la así llamada relación D, ha sido objeto de la extensos debates en los últimos más de cuarenta años años. Debido a las mejoras de la observación técnicas (radio-interferómetros), los diversos hun- nebulosas planetarias (PNe) se resolvieron en el las dos últimas décadas en las frecuencias de radio, pero el D la relación para PNe no fue discutida hasta ahora. Por Algunos de los métodos estadísticos utilizados para la obtención de datos radiofónicos fueron los siguientes: tablished con el fin de determinar las distancias a PNe. El método principal se relacionó con la correlación entre radio de PNe y temperatura de brillo – R − Relación Tb (Van de Steene y Zijlstra 1995, Zhang 1995, Phillips 2002). Las diferentes muestras de PNe Galáctico con distancias conocidas fueron definidas en estos periódicos. Todos los datos empíricos obtenidos R − Tb relaciones se utilizaron para la determinación de distancias a PNe para los que las distancias independientes (en orden de La dependencia de R− Tb) no se obtuvo antes. Las muestras de PNe Galáctico son mejores para análisis estadístico que las muestras de Galáctica SNRs. Los efectos de selección deben ser menores en el caso de las muestras PN. Sin embargo, la selección seguramente influyen en las muestras PN Galácticas y la determinación estadística de distancias a la Galáctica PNe tiene que ser muy incierto. Los principales objetivos de este documento son los siguientes: Loading: i) derivar una forma simple de la teoría D relación para PNe mediante el análisis de la evolución de brillo de la superficie de radio Bremsstrahlung, ii) examinar si la muestra actualizada de radio PNe se ve afectado por los efectos de selección, y, iii) para comprobar si la relación D es válida para la determinación de distancias a PNe. http://arxiv.org/abs/0704.0421v3 D. UROŠEVIĆ y otros 2. ANÁLISIS Y RESULTADOS 2.1. Relación teórica D para PNe El mecanismo térmico de bremsstrahlung es re- esponsible para la radiación de las regiones HII en la onda de radio- longitudes. La emisividad del volumen de Bremsstrahlung a Se puede demostrar que la PN es (Rohlfs y Wilson 1996): [ergs s − 1 cm− 3 Hz−1 • n2T−1/2, (1) donde n es la densidad de volumen y T es el termo- temperatura dinámica del medio interestelar (ISM). El brillo de la superficie se puede expresar como: D, (2) donde D es el diámetro de PN. Combinando Eqs. 1).......................................................................................................................................................... y (2), obtenemos: # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. D. (3) Nuestro siguiente paso es expresar la dependencia de n y T en D. Para un flujo de masa de velocidad constante distribución de la sity es = 4ηr2v , es decir, n-D-x, donde x = 2. Por otra parte, para el sobre isotérmico con una distribución de densidad de electrón de ley de poder hay re- la relación entre la forma de la densidad distri- bution y el índice de poder-ley de la radio contin- uum spectra (véanse Gruenwald y Aleman 2007, y las referencias que figuran en el mismo). Suponiendo que n-D-2 y T=const. (Las regiones HII son aproximadamente isotérmicas) en T + 104 K), obtenemos la forma más simple de la relación teórica D para PNe: # D # −3. 4) Esta es una forma estándar de ley de poder de la D relación que puede ser escrita en forma general como = AD, que es el mismo que en el caso de los SNRs. Es posible que x en la distribución de densidad es ligeramente más alto, x & 2, y que la temperatura es no es estrictamente constante en toda la nebulosa. Podemos esperar ver los gradientes de temperatura en PNe que surgen del endurecimiento de la radiación. Más fotones energéticos viajará más lejos y cuando son absorbidos por el PN impartirán mayor energía cinética a los iones produciendo así una temperatura más alta. Usando el resultados del modelo numérico dado por Evans y Dopita (1985), calculamos la dependencia entre logTe y logD y encontrar la pendiente baja ( 0.1). Por lo tanto, esto sólo cambia ligeramente la pendiente de la teoría Relación D. El valor β = 3 es entonces un teórico límite inferior, y la relación de • − D sólo podría ser más empinada, como se puede ver desde Eq. (3). 2.2. La relación empírica D para PNe El requisito previo más importante para la obtención de una relación empírica apropiada • − D es la definición de un muestra representativa de PNe. Las distancias a la Los calibradores tienen que ser determinados por meta exacta. ods, por ejemplo. paralajes trigonométricos o espectroscópicos de estrellas centrales en PNe, o por un método que utiliza el expansión de las nebulosas. Por otro lado, todos los Sam- ples sufren de los graves efectos de selección que surgen de la limitación de la sensibilidad y la resolución, pero la efecto de selección más severo para las muestras Galácticas de PNe es el sesgo de Malmquist, es decir. intrínsecamente brillante PNe son favorecidos porque son muestreados a partir de un mayor volumen espacial en comparación con cualquier flujo lim- ited encuesta. El resultado es un sesgo contra la superficie baja nebulosas brillo tales como PNe viejo altamente evolucionado. En este artículo utilizamos la muestra actualizada de PNe en las distancias inferiores a 0,7 kpc recogidas por Phillips (2002). La influencia del sesgo de Malmquist en esta sam- la limitación de las distancias a PNe. Además, suponemos que las distancias son determinado con precisión para esta muestra de relativamente Cerca de PNe. La relación empírica D a 5 GHz para 44 calibradores con distancias inferiores a 0,7 kpc (Phillips 2002) tiene la forma: •56Hz = 2,33 +0,88 −0,64 · 10 −2,07±0.19 . 5) Los parámetros A y β se calculan por procedimiento de fijación de cuadrados con coeficiente de correlación −0,86. Se muestra el diagrama correspondiente −D en Fig. 1. 0,01 0,1 1 10 D [pc] Fig. 1. El diagrama D a 5 GHz para 44 Galac- tic PNe con distancias inferiores a 0,7 kpc. La forma de Eq. (5) está muy cerca de la tan- forma trivial D con β = 2 (para más detalles véase Arbutina et al. 2004). El ensayo adicional con el fin de estimar la validez de Eq. (5) se refiere a la possi- ble dependencia entre la luminosidad y el diámetro de PNe. El diagrama de LD se muestra en la Fig. 2. Los scatter en L v − D plano muestra que la correlación entre L v y D es pobre (coeficiente de correlación = - 0,06) y, por lo tanto, la dependencia física entre L y D no pudieron confirmarse con esta estadística procedimiento. LA RELACIÓN D PARA LOS NÉBULAS PLANETARIAS 0,01 0,1 1 10 D [pc] Fig. 2. La trama L −D a 5 GHz para 44 Galácticos PNe con distancias inferiores a 0,7 kpc. 3. DEBATE La relación teórica −D (Eq. 4) PNe, derivado de este trabajo, describe una tendencia de de- aumento del brillo de la superficie de radio con aumento de di- ametro de un objeto. El mecanismo de radiación utilizado en esta derivación simple es bremsstrahlung térmico. Este es el proceso básico de producción de la radio radiación en las regiones HII. Derivados teóricamente pendiente (β = 3) es más pronunciada que la pendiente de la relación pirical dada por Eq. 5). Esta discrepancia puede explicarse por la baja calidad de la muestra de PNe Galáctico o por las suposiciones utilizadas en deriva- sión de la relación teórica. Debido a una pequeña variación en la distribución de densidad power-law con x & 2 (Gru- enwald y Aleman 2007, y sus referencias) y aproximadamente temperatura constante de expansión- ing envolvente de PNe, pendiente teórica puede ser ligeramente más empinada que en Eq. 4). Por lo tanto, concluimos que la relación teórica tiene la forma correcta, Pero nuestra relación empírica está bajo la influencia de la bi- ases que podría hacer la pendiente más superficial. En el Por otra parte, hay algunos intentos de demostrar que la evolución de PNe no son lineales en las escalas logarítmicas (p. ej. Phillips 2004). Estas diferentes dependencias no pueden se derivan de la radia termal bremsstrahlung- fórmula de tion (Eq. 1)). Una característica muy interesante con respecto a la em- relación pirical para el PNe Galáctico (Eq. 5) es que la pendiente es aproximadamente igual a la pendiente de triv- ial - Relación D. Por lo tanto, concluimos que El sesgo de Malmquist no es tan grave como en los casos de Galac- tic muestras de SNR. Esta pendiente (β • 2) se obtuvo para las muestras extragalácticas de SNR (excepto M82) muestra) donde el sesgo de Malmquist es pequeño, porque todos los SNR están aproximadamente a la misma distancia (véase Urošević 2002, Urošević y otros 2005). La gran dispersión en el plano D (Fig. 2) sugiere que la pendiente en Eq. 5) no tiene interpretación física real y válida. Es una especie de un artefacto de dispersión de diámetro de luminosidad que pro- produce la forma trivial D−2. Por lo tanto, la rela- sión definida por Eq. 5) no es lo suficientemente precisa para de- terminación de distancias válidas a PNe Galáctico. Esto es debido a los diferentes sesgos: las limitaciones en sen- la sitividad y la resolución de los sondeos radiofónicos, la fuente confusión, sesgo de Malmquist (en forma leve), mezcla de diferentes tipos de PNe en la misma muestra, y precisión insuficiente en la determinación de las distancias a los 44 calibradores. 4. Resumen Los principales resultados de este documento pueden ser: mariscado de la manera siguiente: i) La relación teórica −D para la radio evolución de la superficie térmica de bremsstrahlung brillo de PNe en forma de D −3 es de- Rived. ii) Nuestros resultados muestran que la muestra actualizada de Galáctico PNe no sufre gravemente de vol- efecto de selección del sume - Sesgo de Malmquist (mismo como en los casos de las muestras extragalácticas de SNR). Esto es contrario a los resultados obtenidos anteriormente para las muestras del SNR Galáctico. iii) Debido al análisis de la dependencia L/D, nosotros concluir que la relación −D para Galáctico PNe no es útil para la determinación fiable de distancias para todos los PNe observados con desconocido distancias. La observación anterior lleva a la eral comentar que PNe puede tener muy diferentes ini- condiciones que conducen a la evolución independiente Caminos. Estos caminos podrían seguir el mismo teoreti- curva cal D pero con diferentes intercepciones, llevando a la dispersión como la que se encuentra en este documento. Agradecimientos – Los autores agradecen el árbitro Prof. Nebojsa Duric para el valioso com- Por lo que se refiere a la propuesta de la Comisión, la Comisión ha presentado una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, así como una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios. Esta investigación ha recibido el apoyo del Ministerio de Ciencia y Tecnología Protección del medio ambiente de la República de Serbia (Proyectos: n° 146002, n° 146003, n° 146012, n° 146012) 146016). D. UROŠEVIĆ y otros REFERENCIAS Arbutina, B., Urošević, D., Stanković, M. y Tešić, Lj.: 2004, Mon. No, no. R. Astron. Soc., 350, Evans, I.N. y Dopita, M.A.: 1985, Astrophys. J. Suppl. Series, 58, 125 Gruenwald, R. y Aleman, A.: 2007, Astron. Como... trofeos., 461, 1019. Phillips, J.P.: 2002, Astrophys. J. Suppl. Serie, 139, 199. Phillips, J.P.: 2004, Mon. No, no. R. Astron. Soc., 353, 589. Rohlfs, K. y Wilson, T.L.: 1996, Herramientas de Radio Astronomía, Springer Urošević, D.: 2002, Serbio. Astron. J., 165, 27 Urošević, D., Pannuti, T. G., Duric, N., Theodorou, A.: 2005, Astron. Astrofias., 435, 437. Van de Steene, G.C. y Zijlstra, A.A.: 1995, As- Tron. Astrofias., 293, 541. Zhang, C.Y.: 1995, Astrophys. J. Suppl. Series, 98, D RELACIJA ZA PLANETARNE MAGLINE: ANALIZA PRELIMINARNA D. Urošević1, B. Vukotić2, B. Arbutina1,2 y D. Ilić1 1Departamento de Astronomía, Facultad de Matemáticas, Universidad de Belgrado Studentski trg 16, 11000 Belgrado, Serbia 2Observatorio Astronómico, Volgina 7, 11160 Belgrado 74, Serbia UDK 524.37–77–54 Prethodno saopxtenje Prikazana je analiza tzv. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lacije izme u povrxinskog sjaja na radio- frekvencijama i dijametra planetarnih maglina (PM): i) izvedena je teorijska relacija za evoluciju povrxinskog sjaja stvorenog zakoqnim zraqenjem; ii) suprotno rezultatima dobijenim ranije za uzorke Saqinjene od Galaktiqkih ostataka super- novih, naxi redultati pokazuju da najnovije formirani uzorak Galaktiqkih PM ne trpi veliki uticaj zbog zapreminskog selekcionog efekta, tzv. Malmkvistovog selekcionog efekta (isto vaçi za vangalaktiqke uzorake ostataka supernovih); i iii) zakljuqujemo da • D relacija za PM izvedena u ovom radu nije upotrebljiva za pouzdana odre ivanja daljina do svih posmatranih PM sa nepoznatim daljinama.

Un análisis de la relación entre el brillo de la superficie de radio y el diámetro, se presenta la llamada relación Sigma-D, para nebulosas planetarias (PNe): i) la relación teórica Sigma-D para la evolución de la superficie bremsstrahlung brillo se obtiene; ii) contrario a los resultados obtenidos anteriormente para el Muestras de restos de supernovas galácticas (SNR), nuestros resultados muestran que la actualización muestra de PNe Galáctico no sufre gravemente de efecto de selección de volumen - Sesgo de Malmquist (igual que para las muestras extragalácticas SNR) y; iii) nosotros concluir que la relación empírica Sigma-D para PNe derivado en este artículo es no útil para la determinación válida de distancias para todos los PNe observados con distancias desconocidas.

Serbio. Astron. J. } 174 (2007), 73 – 76 Informe preliminar D RELACIÓN CON LOS NÉBULAS PLANETARIAS: ANÁLISIS PRELIMINAR D. Urošević1, B. Vukotić2, B. Arbutina1,2 y D. Ilić1 1Departamento de Astronomía, Facultad de Matemáticas, Universidad de Belgrado Studentski trg 16, 11000 Belgrado, Serbia 2Observatorio Astronómico, Volgina 7, 11160 Belgrado 74, Serbia (Recibido: 22 de febrero de 2007; Aceptado: 30 de marzo de 2007) RESUMEN: Análisis de la relación entre el brillo de la superficie de radio y diámetro, así llamada relación D, para nebulosas planetarias (PNe) se presenta: i) Teóricamente, la relación D para la evolución del brillo de la superficie de bremsstrahlung se deriva; ii) contrario a los resultados obtenidos anteriormente para la supernova galáctica muestras remanentes (SNR), nuestros resultados muestran que la muestra actualizada de Galáctico PNe no sufre gravemente de efecto de selección de volumen - Sesgo de Malmquist (mismo en cuanto a las muestras extragalácticas de SNR) y; iii) concluimos que la La relación D para PNe derivada en este artículo no es útil para la determinación válida. de distancias para todos los PNe observados con distancias desconocidas. Palabras clave. nebulosas planetarias: general – Radiocontinuum: ISM – Métodos: ana- lytical – Métodos: estadística 1. INTRODUCCIÓN La relación entre la superficie de radio brillante... neses y diámetros de los restos de supernova (SNR), la así llamada relación D, ha sido objeto de la extensos debates en los últimos más de cuarenta años años. Debido a las mejoras de la observación técnicas (radio-interferómetros), los diversos hun- nebulosas planetarias (PNe) se resolvieron en el las dos últimas décadas en las frecuencias de radio, pero el D la relación para PNe no fue discutida hasta ahora. Por Algunos de los métodos estadísticos utilizados para la obtención de datos radiofónicos fueron los siguientes: tablished con el fin de determinar las distancias a PNe. El método principal se relacionó con la correlación entre radio de PNe y temperatura de brillo – R − Relación Tb (Van de Steene y Zijlstra 1995, Zhang 1995, Phillips 2002). Las diferentes muestras de PNe Galáctico con distancias conocidas fueron definidas en estos periódicos. Todos los datos empíricos obtenidos R − Tb relaciones se utilizaron para la determinación de distancias a PNe para los que las distancias independientes (en orden de La dependencia de R− Tb) no se obtuvo antes. Las muestras de PNe Galáctico son mejores para análisis estadístico que las muestras de Galáctica SNRs. Los efectos de selección deben ser menores en el caso de las muestras PN. Sin embargo, la selección seguramente influyen en las muestras PN Galácticas y la determinación estadística de distancias a la Galáctica PNe tiene que ser muy incierto. Los principales objetivos de este documento son los siguientes: Loading: i) derivar una forma simple de la teoría D relación para PNe mediante el análisis de la evolución de brillo de la superficie de radio Bremsstrahlung, ii) examinar si la muestra actualizada de radio PNe se ve afectado por los efectos de selección, y, iii) para comprobar si la relación D es válida para la determinación de distancias a PNe. http://arxiv.org/abs/0704.0421v3 D. UROŠEVIĆ y otros 2. ANÁLISIS Y RESULTADOS 2.1. Relación teórica D para PNe El mecanismo térmico de bremsstrahlung es re- esponsible para la radiación de las regiones HII en la onda de radio- longitudes. La emisividad del volumen de Bremsstrahlung a Se puede demostrar que la PN es (Rohlfs y Wilson 1996): [ergs s − 1 cm− 3 Hz−1 • n2T−1/2, (1) donde n es la densidad de volumen y T es el termo- temperatura dinámica del medio interestelar (ISM). El brillo de la superficie se puede expresar como: D, (2) donde D es el diámetro de PN. Combinando Eqs. 1).......................................................................................................................................................... y (2), obtenemos: # No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. D. (3) Nuestro siguiente paso es expresar la dependencia de n y T en D. Para un flujo de masa de velocidad constante distribución de la sity es = 4ηr2v , es decir, n-D-x, donde x = 2. Por otra parte, para el sobre isotérmico con una distribución de densidad de electrón de ley de poder hay re- la relación entre la forma de la densidad distri- bution y el índice de poder-ley de la radio contin- uum spectra (véanse Gruenwald y Aleman 2007, y las referencias que figuran en el mismo). Suponiendo que n-D-2 y T=const. (Las regiones HII son aproximadamente isotérmicas) en T + 104 K), obtenemos la forma más simple de la relación teórica D para PNe: # D # −3. 4) Esta es una forma estándar de ley de poder de la D relación que puede ser escrita en forma general como = AD, que es el mismo que en el caso de los SNRs. Es posible que x en la distribución de densidad es ligeramente más alto, x & 2, y que la temperatura es no es estrictamente constante en toda la nebulosa. Podemos esperar ver los gradientes de temperatura en PNe que surgen del endurecimiento de la radiación. Más fotones energéticos viajará más lejos y cuando son absorbidos por el PN impartirán mayor energía cinética a los iones produciendo así una temperatura más alta. Usando el resultados del modelo numérico dado por Evans y Dopita (1985), calculamos la dependencia entre logTe y logD y encontrar la pendiente baja ( 0.1). Por lo tanto, esto sólo cambia ligeramente la pendiente de la teoría Relación D. El valor β = 3 es entonces un teórico límite inferior, y la relación de • − D sólo podría ser más empinada, como se puede ver desde Eq. (3). 2.2. La relación empírica D para PNe El requisito previo más importante para la obtención de una relación empírica apropiada • − D es la definición de un muestra representativa de PNe. Las distancias a la Los calibradores tienen que ser determinados por meta exacta. ods, por ejemplo. paralajes trigonométricos o espectroscópicos de estrellas centrales en PNe, o por un método que utiliza el expansión de las nebulosas. Por otro lado, todos los Sam- ples sufren de los graves efectos de selección que surgen de la limitación de la sensibilidad y la resolución, pero la efecto de selección más severo para las muestras Galácticas de PNe es el sesgo de Malmquist, es decir. intrínsecamente brillante PNe son favorecidos porque son muestreados a partir de un mayor volumen espacial en comparación con cualquier flujo lim- ited encuesta. El resultado es un sesgo contra la superficie baja nebulosas brillo tales como PNe viejo altamente evolucionado. En este artículo utilizamos la muestra actualizada de PNe en las distancias inferiores a 0,7 kpc recogidas por Phillips (2002). La influencia del sesgo de Malmquist en esta sam- la limitación de las distancias a PNe. Además, suponemos que las distancias son determinado con precisión para esta muestra de relativamente Cerca de PNe. La relación empírica D a 5 GHz para 44 calibradores con distancias inferiores a 0,7 kpc (Phillips 2002) tiene la forma: •56Hz = 2,33 +0,88 −0,64 · 10 −2,07±0.19 . 5) Los parámetros A y β se calculan por procedimiento de fijación de cuadrados con coeficiente de correlación −0,86. Se muestra el diagrama correspondiente −D en Fig. 1. 0,01 0,1 1 10 D [pc] Fig. 1. El diagrama D a 5 GHz para 44 Galac- tic PNe con distancias inferiores a 0,7 kpc. La forma de Eq. (5) está muy cerca de la tan- forma trivial D con β = 2 (para más detalles véase Arbutina et al. 2004). El ensayo adicional con el fin de estimar la validez de Eq. (5) se refiere a la possi- ble dependencia entre la luminosidad y el diámetro de PNe. El diagrama de LD se muestra en la Fig. 2. Los scatter en L v − D plano muestra que la correlación entre L v y D es pobre (coeficiente de correlación = - 0,06) y, por lo tanto, la dependencia física entre L y D no pudieron confirmarse con esta estadística procedimiento. LA RELACIÓN D PARA LOS NÉBULAS PLANETARIAS 0,01 0,1 1 10 D [pc] Fig. 2. La trama L −D a 5 GHz para 44 Galácticos PNe con distancias inferiores a 0,7 kpc. 3. DEBATE La relación teórica −D (Eq. 4) PNe, derivado de este trabajo, describe una tendencia de de- aumento del brillo de la superficie de radio con aumento de di- ametro de un objeto. El mecanismo de radiación utilizado en esta derivación simple es bremsstrahlung térmico. Este es el proceso básico de producción de la radio radiación en las regiones HII. Derivados teóricamente pendiente (β = 3) es más pronunciada que la pendiente de la relación pirical dada por Eq. 5). Esta discrepancia puede explicarse por la baja calidad de la muestra de PNe Galáctico o por las suposiciones utilizadas en deriva- sión de la relación teórica. Debido a una pequeña variación en la distribución de densidad power-law con x & 2 (Gru- enwald y Aleman 2007, y sus referencias) y aproximadamente temperatura constante de expansión- ing envolvente de PNe, pendiente teórica puede ser ligeramente más empinada que en Eq. 4). Por lo tanto, concluimos que la relación teórica tiene la forma correcta, Pero nuestra relación empírica está bajo la influencia de la bi- ases que podría hacer la pendiente más superficial. En el Por otra parte, hay algunos intentos de demostrar que la evolución de PNe no son lineales en las escalas logarítmicas (p. ej. Phillips 2004). Estas diferentes dependencias no pueden se derivan de la radia termal bremsstrahlung- fórmula de tion (Eq. 1)). Una característica muy interesante con respecto a la em- relación pirical para el PNe Galáctico (Eq. 5) es que la pendiente es aproximadamente igual a la pendiente de triv- ial - Relación D. Por lo tanto, concluimos que El sesgo de Malmquist no es tan grave como en los casos de Galac- tic muestras de SNR. Esta pendiente (β • 2) se obtuvo para las muestras extragalácticas de SNR (excepto M82) muestra) donde el sesgo de Malmquist es pequeño, porque todos los SNR están aproximadamente a la misma distancia (véase Urošević 2002, Urošević y otros 2005). La gran dispersión en el plano D (Fig. 2) sugiere que la pendiente en Eq. 5) no tiene interpretación física real y válida. Es una especie de un artefacto de dispersión de diámetro de luminosidad que pro- produce la forma trivial D−2. Por lo tanto, la rela- sión definida por Eq. 5) no es lo suficientemente precisa para de- terminación de distancias válidas a PNe Galáctico. Esto es debido a los diferentes sesgos: las limitaciones en sen- la sitividad y la resolución de los sondeos radiofónicos, la fuente confusión, sesgo de Malmquist (en forma leve), mezcla de diferentes tipos de PNe en la misma muestra, y precisión insuficiente en la determinación de las distancias a los 44 calibradores. 4. Resumen Los principales resultados de este documento pueden ser: mariscado de la manera siguiente: i) La relación teórica −D para la radio evolución de la superficie térmica de bremsstrahlung brillo de PNe en forma de D −3 es de- Rived. ii) Nuestros resultados muestran que la muestra actualizada de Galáctico PNe no sufre gravemente de vol- efecto de selección del sume - Sesgo de Malmquist (mismo como en los casos de las muestras extragalácticas de SNR). Esto es contrario a los resultados obtenidos anteriormente para las muestras del SNR Galáctico. iii) Debido al análisis de la dependencia L/D, nosotros concluir que la relación −D para Galáctico PNe no es útil para la determinación fiable de distancias para todos los PNe observados con desconocido distancias. La observación anterior lleva a la eral comentar que PNe puede tener muy diferentes ini- condiciones que conducen a la evolución independiente Caminos. Estos caminos podrían seguir el mismo teoreti- curva cal D pero con diferentes intercepciones, llevando a la dispersión como la que se encuentra en este documento. Agradecimientos – Los autores agradecen el árbitro Prof. Nebojsa Duric para el valioso com- Por lo que se refiere a la propuesta de la Comisión, la Comisión ha presentado una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, así como una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios. Esta investigación ha recibido el apoyo del Ministerio de Ciencia y Tecnología Protección del medio ambiente de la República de Serbia (Proyectos: n° 146002, n° 146003, n° 146012, n° 146012) 146016). D. UROŠEVIĆ y otros REFERENCIAS Arbutina, B., Urošević, D., Stanković, M. y Tešić, Lj.: 2004, Mon. No, no. R. Astron. Soc., 350, Evans, I.N. y Dopita, M.A.: 1985, Astrophys. J. Suppl. Series, 58, 125 Gruenwald, R. y Aleman, A.: 2007, Astron. Como... trofeos., 461, 1019. Phillips, J.P.: 2002, Astrophys. J. Suppl. Serie, 139, 199. Phillips, J.P.: 2004, Mon. No, no. R. Astron. Soc., 353, 589. Rohlfs, K. y Wilson, T.L.: 1996, Herramientas de Radio Astronomía, Springer Urošević, D.: 2002, Serbio. Astron. J., 165, 27 Urošević, D., Pannuti, T. G., Duric, N., Theodorou, A.: 2005, Astron. Astrofias., 435, 437. Van de Steene, G.C. y Zijlstra, A.A.: 1995, As- Tron. Astrofias., 293, 541. Zhang, C.Y.: 1995, Astrophys. J. Suppl. Series, 98, D RELACIJA ZA PLANETARNE MAGLINE: ANALIZA PRELIMINARNA D. Urošević1, B. Vukotić2, B. Arbutina1,2 y D. Ilić1 1Departamento de Astronomía, Facultad de Matemáticas, Universidad de Belgrado Studentski trg 16, 11000 Belgrado, Serbia 2Observatorio Astronómico, Volgina 7, 11160 Belgrado 74, Serbia UDK 524.37–77–54 Prethodno saopxtenje Prikazana je analiza tzv. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lacije izme u povrxinskog sjaja na radio- frekvencijama i dijametra planetarnih maglina (PM): i) izvedena je teorijska relacija za evoluciju povrxinskog sjaja stvorenog zakoqnim zraqenjem; ii) suprotno rezultatima dobijenim ranije za uzorke Saqinjene od Galaktiqkih ostataka super- novih, naxi redultati pokazuju da najnovije formirani uzorak Galaktiqkih PM ne trpi veliki uticaj zbog zapreminskog selekcionog efekta, tzv. Malmkvistovog selekcionog efekta (isto vaçi za vangalaktiqke uzorake ostataka supernovih); i iii) zakljuqujemo da • D relacija za PM izvedena u ovom radu nije upotrebljiva za pouzdana odre ivanja daljina do svih posmatranih PM sa nepoznatim daljinama.

Polarization conversion in a silica microsphere

Conversión de polarización en una microesfera de sílice Pablo Bianucci, Chris Fietz, John W. Robertson, Gennady Shvets y Chih-Kang Shih* Departamento de Física, Universidad de Texas en Austin, Austin, Texas 78712 (Fecha: 22 de mayo de 2007) Resumen Demostramos experimentalmente fenómenos selectivos de polarización controlados en un susurro resonador de modo galería. Observamos una conversión eficiente de la polarización de la luz en una sílice (+ 75%) microesfera acoplada a una fibra óptica cónica con la optimización adecuada de la polarización de la Propagando luz. Un modelo sencillo que trata la microesfera como un resonador de anillo proporciona un buen ajuste a la conducta observada. En los últimos años, los microrresonadores han recibido mucha atención1. Whis... resonadores de modo galería pering (WGM)2, tales como microesferas,3 microtoroides4 y Los microrings5 han sido el objeto de inten- La investigación en sí misma, tanto en su utilería fundamental como en su (como factores de calidad, no lineales) efectos6,7 y acoplamiento a sistemas cuánticos8 entre muchos) y aplicaciones que incluyen Láseres9,10, químicos11 y biológicos12 ing y dispositivos fotónicos13. Microsphere res- onators, especialmente cuando se acoplan a un ta- fibra óptica perada14,15, son muy útiles para caracterizar estas propiedades y probar nuevas ideas debido a sus altos factores Q y la facilidad de fabricación. En informes recientes se ha dado un paso más, teniendo en cuenta la diferencia entre modos con diferentes polarizaciones en micro- esferas. En particular, los cambios en los productos polarización después del acoplamiento en el resonador se han observado16 y transverso eléctrico (TE) y modos magnéticos transversales (TM) han sido discriminados17. Se ha observado la conversión de la polarización en microrings5 y explicado como resonante mejora del acoplamiento de polarización causado por la curvatura de la guía de onda. Sin embargo, el modo estructura de microesferas hace posible para desacoplar completamente las polarizaciones y todavía obtener la conversión. En este artículo, re- puerto sobre la observación de eficiente, controlado conversión de la polarización mediante el uso de un mi- de sílice Resonador crosósfera acoplado a una operación cónica. Fibra tica. Demostramos que altamente ef- Conversión de la polarización científica (75% para nuestra caso particular, más alto para una mejor optimización condiciones) está habilitada por una orientación específica entre la polarización de la luz entrante y desplazamiento de fibra-resonador. Especific- http://arxiv.org/abs/0704.0422v2 cally, para un apilado horizontalmente, fuertemente cou- combinación de pled, fibra y resonador, un 45° la polarización incidente resulta en el mayor conversión. El resultado de la conversión es un fuerte caída de la luz transmitida con el polarización original y un fuerte pico en el transmisión polarizada ortogonal. Fabricamos la fibra cónica usando el Técnica de “brocha de llama”18. Esta técnica implica el estiramiento mecánico de la óptica fibra al escanear una llama (oxi-hidrógeno en nuestro caso) sobre la región a disminuir. Debido a las restricciones en la tracción máxima longitud, los conectores de fibra no son completamente adiabático, pero las pérdidas típicas nunca son mayores más del 50%. Los estudios SEM de las cónicas revelan un diámetro característico cercano a 1 μm. Los microesfera fue fabricada usando un láser de CO2 para estirar y fundir una punta de fibra óptica19. In de esta manera es fácil obtener esferas con di- ametros que van de 10 μm a 200 μm. Por este experimento en particular la esfera diame- ter se midió utilizando un microscopio óptico a 52 μm (correspondiente a una estimación rango espectral libre de 1,2 THz). Montamos la microesfera en un piezo... escáner eléctrico que nos permitió colocar la esfera sobre un rango de unos pocos micrómetros, y la contracción de fibra estirada en un andador piezoeléctrico de stick-slip que permite posicionamiento grueso y fino de la fibra Conéctese al lado de la esfera. Tanto la esfera como PD PC2 PC1 Cintas Fibra Laser PR FC Microsfera 10 um FIG. 1: Esquema experimental de la configuración. PR es un rotador de polarización, FC un acoplador de fibra, PC1 y 2 son controladores de polarización de fibra, P a po- Larizador y PD es un fotodiodo amplificado. Inset: Imagen de una esfera cerca de una fibra cónica. a continuación, se situó en el interior de un compacto, cámara cerrada. Usamos un cav externo... ity tunable diodo láser comprado de Nuevo Enfoque como la fuente de excitación, centrado en una longitud de onda cercana a 927,85 nm. La polariza... El rotador de iones establece la polarización del láser que luego fue acoplado en la fibra óptica utilizando un acoplador de espacio libre. Un polarizador y un fotodiodo amplificado en la salida de fibra se utilizaron para analizar la luz transmitida. Limitaciones de espacio en la cámara y en la itaciones sobre la disposición de la óptica fibra causó flexión de la fibra en diferen- ent ubicaciones y posterior scrambling de la polarización de entrada. Como una forma de compen- sate para estos cambios en la polarización, nosotros utiliza dos controladores de polarización. La primera uno precedió a la contracción de la fibra, compensando para los cambios de polarización hasta la posición de la microesfera. El segundo controlador era colocado después de la contracción de la fibra para asegurar oído de la polarización de la salida. Gráfico 1 muestra un esquema de esta configuración experimental. Usamos el siguiente procedimiento para... seguro el grado de polarización de la conversión. En primer lugar, se seleccionó la polarización entrante utilizando el rotador de polarización. Entonces nosotros ajustó el primer controlador de polarización a asegurar la polarización en el cónico de fibra fue lineal y emparejado a un conjunto de modos (“x- polarizado”). El siguiente paso fue desacoplar el cónico de la esfera y asegúrese de que el la polarización de la salida era lineal (logramos esto girando el polarizador de detección a su posición para la transmisión mínima y luego minimizar aún más esta transmisión con el segundo controlador de polarización). Esta orientación... de la detección polarizador es el que nosotros se llama “ortogonal”. Rotando el polarizador 90 (la orientación “paralela”) resultó en la transmisión máxima, con un contraste del 95% aproximadamente, confirmando el sión de la luz de salida. Por último, nos posi- tionó la esfera y la fibra cónica intentó... para optimizar el acoplamiento, mientras que measur- espectros de transmisión para ambas orientaciones del polarizador de detección. Repetimos el procedimiento para otras dos polarizas entrantes- ciones: una coincide con el otro conjunto de esferas los modos (“y-polarizados”) y otro a 45o entre el eje de polarización x- e y- (“xy- polarizado”). La figura 2 muestra la transmisión resultante -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 Cambio de frecuencia (GHz) Detección de entradas polariz. polariz. FIG. 2: espectros de transmisión para diferentes in- Pon las polarizaciones. Las frecuencias resonantes cor- responder a los modos con l • 496. La x- y Las y-polarizaciones son ortogonales y corresponden a los eigenmodes de polarización del resonador. La xy-polarización está orientada a 45 grados de x e y. Los rastros oscuros corresponden al polarizador de detección paralelo a la entrada polarización y las trazas de luz corresponden a un polarización de detección cruzada. espectros para las diferentes configuraciones. Los casos tanto para la luz polarizada x- como y- mostrar el mismo comportamiento: un conjunto de transmisión se hunde cada vez que la frecuencia láser golpea un whis- resonancia de galería de pering cuando la detección la polarización es paralela y no hay señal cuando es perpendicular. El caso xy-polarizado es más interesante: la detección paralela po- larización muestra dips para ambos conjuntos de modos, mientras que el ortogonal muestra la transmisión picos en las resonancias de la galería susurrante. En el pico más alto, más del 70% de la luz incidente se convirtió en polarización. La mayor parte de la polarización observada conver- sión se puede entender mediante el uso de un anillo simple modelo resonador para la galería susurrante modos. En este modelo, la transmisión de luz polarizada a través del resonador se da por14,20 En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa. r − aei 1− raei , (1) donde r es el coeficiente de acoplamiento de campo entre el resonador y la guía de onda, a es la atenuación debida al resonador intrínseco Las pérdidas y el TRT es el cambio de fase. El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, que el Tribunal de Primera Instancia se pronunciará sobre la interpretación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre los impuestos sobre el volumen de negocios y sobre los impuestos sobre el volumen de negocios. la frecuencia de la luz y la frecuencia de resonancia... quency, respectivamente, mientras que tRT es la ronda- tiempo de viaje en el resonador). El modelo es escalar, pero podemos incluir la polarización por simplemente asumiendo que los modos con ortogonal las polarizaciones son independientes y descuidan acoplamientos polarizados cruzados (utilizando un análisis similar a la de Little y Chu21). En este la forma en que obtenemos la misma expresión, con pos- parámetros bastante diferentes, para la transmis- sión de ambas polarizaciones. En nuestra particu- Lar caso de susurrar modos de galería en mi- crospheres, podemos asumir con seguridad que los modos con diferentes polarizaciones no son degener- comió, así que una de las polarizaciones será unaf- flecado por la presencia de una resonancia. Esto se diferencia del caso de los microrings5, en el que el la conversión depende del acoplamiento entre TE y modos TM. La esencia del efecto reside en la diferencia: respuesta del resonador para cada polarización. Para una fibra y microesfera fuertemente acopladas, 1, pero el cambio de fase = arg(l) es cambiado por =  como la frecuencia es barrida a través de la resonancia. Porque el La polarización ortogonal se transmite unal- la polarización transmitida gira por tanto como 90o para la polarización xy inicial. Cuando la fibra y el resonador son horizonte- cuenta apilada, el efecto se maximiza cuando la polarización incidente está a 45° grados con respecto al plano horizontal. Eficiencias de conversión de hasta el 25% si una de las polarizaciones es crítica. ticamente acoplado al anillo, es decir. está completamente absorto en + el resonador. Alcanzar un nivel más alto eficiencia requiere aumentar el resonador- Enganche de guía de onda para obtener un cambio de fase dependiente de la larización que cambiar el estado de polarización final en uno más cerca de la deseada. Podemos ver con más detalle los datos al concentrarse en un par de modos mostrar- ing buena conversión, ahora la contabilidad para el láser deriva de frecuencia entre exploraciones usando un Fabry- Interferómetro Perot como referencia. Esto es... espectro de cola se puede ver en la Fig. 3. Los resonancia en el lado derecho de la Fig. 3, cerca de una cambio de 31 GHz, muestra una polarización conver- sión de alrededor del 60%. La resonancia del lado izquierdo muestra una conversión cercana al 75%. El más alto ef- ficiency se debe a que el modo más a la izquierda es 26 27 28 29 30 31 Cambio de frecuencia (GHz) 30,5 31 26 26,5 27 27,5 28 FIG. 3: Vista detallada de dos modos que muestran Conversión de polarización. Las líneas discontinuas son encaja usando ecuaciones de la forma de la ecuación 1. Los parámetros de ajuste para las características más a la izquierda son a = 0,99997, r = 0,99977. Los correspondientes los de la característica más derecha son a = 0.99999, r = 0,99993. más fuertemente acoplado (que muestra un función) a la fibra cónica que la derecha- La mayoría. Consistente con la predic- ciones, en ambos casos una de las polarizaciones está demasiado acoplado al anillo. La falta de un cambio en la frecuencia central de las características también indica que cada par de pico y inmersión corresponde a un único modo de resonancia. Este fenómeno podría ser útil para control de larización en dispositivos fotónicos, tales como filtro dependiente de la polarización de banda estrecha ing o conmutación, como se muestra en la Fig. 4 o incluso manipulación arbitraria de la polarización. Hemos observado una polarización eficiente. conversión en un resonador de microesfera cou- PBSPBS a) b) FIG. 4: Esquema de un resonador trabajando como Interruptor de polarización selectivo de longitud de onda. a) Dos señales con diferentes longitudes de onda+ (verde) y azul) y las polarizaciones ortogonales pasan un- cambiado a través de la guía de onda y el un- Resonador acoplado. Un vibrador de polarización a continuación, las rutas de las señales a diferentes caminos. b) La polarización de la señal resonante (azul) es convertido por el resonador acoplado, y ambos las señales se envían a través del mismo camino. Los el acoplamiento resonador-guía de onda se puede cambiar en diferentes formas, incluidas las mecánicas u ópticas22 significa. pléd a una fibra óptica cónica y utilizó un modelo teórico simple para entender el fenómeno. El modelo no implica acoplamiento recto de las polarizaciones ortogonales, sino más bien un cambio de fase polarizado-selectivo inducido por el resonador. Este efecto debería ser común a todos los modos de la galería susurrando resonadores y podría ser útil para polariza- control de la ión en dispositivos fotónicos. Agradecimientos Este trabajo fue apoyado por NSF-NIRT (DMR-0210383), el Texas Advanced Tech- programa de nología, y el W.M. Keck Foun... dation. G.S. y C.F. reconocer el apoyo de la subvención de ARO MURI no. W911NF-04-01- 0203. * Dirección electrónica: shih@physics.utexas.edu 1 K. J. Vahala, Nature (Londres) 424, 839 (2003). 2 A. B. Matsko y V. S. Ilchenko, IEEE J. Sel. Arriba. Electron cuántico. 12, 3 (2006). 3 M. L. Gorodetsky, A. A. Savchenkov, y V. S. Ilchenko, Opt. Lett. 21, 453 (1996). 4 D. K. Armani, T. J. Kippenberg, S. M. Spillane, y K. J. Vahala, Nature (Londres) 421, 925 (2003). 5 A. Melloni, F. Morichetti y M. Martinelli, Opt. Lett. 29, 2785 (2004). 6 A. E. Fomin, M. L. Gorodetsky, I. S. Gru- dinin, y V. S. Ilchenko, J. Opt. Soc. Soy. B 22, 459 (2005). 7 T. Carmon, H. Rokhsari, L. Yang, T. Kip- Penberg, y K. J. Vahala, Phys. Rev. Lett. 94, 223902 (2005). 8 Y.-S. Park, A. K. Cook, y H. Wang, Nano. Lett. 6, 2075 (2006). 9 M. Cai y K. Vahala, Opt. Lett. 26, 884 (2001). 10 S. I. Shopova, G. Farca, A. T. Rosenberger, W. M. Wickramanayake, y N. A. Kotov, Appl. Phys. Lett. 85, 6101 (2004). 11 A. M. Armani y K. J. Vahala, Opt. Lett. 31, 1896 (2006). 12 S. Arnold, M. Khoshsima, I. Teraoka, S. Holler, y F. Vollmer, Opt. Lett. 28, 272 (2003). 13 F. Michelotti, A. Driessen y M. Bertolotti, eds., Microresonadores como bloques de construcción para Fotónica VLSI, vol. 709 de la Conferencia de la AIP Proceedings (Instituto Americano de Física, Melville, Nueva York, 2003). 14 M. Cai, O. Painter, y K. J. Vahala, Phys. Rev. Lett. 85, 74 (2000). 15 J. C. Knight, G. Cheung, F. Jacques, y T. A. Birks, Opt. Lett. 22, 1129 (1997). 16 G. Guan y F. Vollmer, Appl. Phys. Lett. 86, 121115 (2005). 17 H. Konishi, H. Fujiwara, S. Takeuchi, y K. Sasaki, Appl. Phys. Lett. 89, 121107 (2006). 18 T. A. Birks e Y. W. Li, J. Lightwave Tech- Nol. 10, 432 (1992). 19 D. S. Weiss, V. Sandoghar, J. Hare, V. Lefèvre-Seguin, J.-M. Raimond, y S. Haroche, Opt. Lett. 20, 1835 (1995). 20 D. D. Smith, H. Chang, y K. A. Fuller, J. mailto:shih@physics.utexas.edu Opt. Soc. Soy. B 20, 1967 (2003). 21 B. E. Little y S. T. Chu, IEEE Photon. Technol. Lett. 12, 401 (2000). 22 V. R. Almeida, C. A. Barrios, R. R. Panepucci, y M. Lipson, Nature (Londres) 431, 1081 (2004).

Demostramos experimentalmente fenómenos selectivos de polarización controlada en un resonador de modo galería susurrante. Observamos eficiente ($\aprox. 75%$) polarización conversión de la luz en una microesfera de sílice acoplada a una cónica fibra óptica con la optimización adecuada de la polarización de la propagación luz. Un modelo sencillo que trata la microesfera como un resonador de anillo proporciona un buen ajuste al comportamiento observado.

Conversión de polarización en una microesfera de sílice Pablo Bianucci, Chris Fietz, John W. Robertson, Gennady Shvets y Chih-Kang Shih* Departamento de Física, Universidad de Texas en Austin, Austin, Texas 78712 (Fecha: 22 de mayo de 2007) Resumen Demostramos experimentalmente fenómenos selectivos de polarización controlados en un susurro resonador de modo galería. Observamos una conversión eficiente de la polarización de la luz en una sílice (+ 75%) microesfera acoplada a una fibra óptica cónica con la optimización adecuada de la polarización de la Propagando luz. Un modelo sencillo que trata la microesfera como un resonador de anillo proporciona un buen ajuste a la conducta observada. En los últimos años, los microrresonadores han recibido mucha atención1. Whis... resonadores de modo galería pering (WGM)2, tales como microesferas,3 microtoroides4 y Los microrings5 han sido el objeto de inten- La investigación en sí misma, tanto en su utilería fundamental como en su (como factores de calidad, no lineales) efectos6,7 y acoplamiento a sistemas cuánticos8 entre muchos) y aplicaciones que incluyen Láseres9,10, químicos11 y biológicos12 ing y dispositivos fotónicos13. Microsphere res- onators, especialmente cuando se acoplan a un ta- fibra óptica perada14,15, son muy útiles para caracterizar estas propiedades y probar nuevas ideas debido a sus altos factores Q y la facilidad de fabricación. En informes recientes se ha dado un paso más, teniendo en cuenta la diferencia entre modos con diferentes polarizaciones en micro- esferas. En particular, los cambios en los productos polarización después del acoplamiento en el resonador se han observado16 y transverso eléctrico (TE) y modos magnéticos transversales (TM) han sido discriminados17. Se ha observado la conversión de la polarización en microrings5 y explicado como resonante mejora del acoplamiento de polarización causado por la curvatura de la guía de onda. Sin embargo, el modo estructura de microesferas hace posible para desacoplar completamente las polarizaciones y todavía obtener la conversión. En este artículo, re- puerto sobre la observación de eficiente, controlado conversión de la polarización mediante el uso de un mi- de sílice Resonador crosósfera acoplado a una operación cónica. Fibra tica. Demostramos que altamente ef- Conversión de la polarización científica (75% para nuestra caso particular, más alto para una mejor optimización condiciones) está habilitada por una orientación específica entre la polarización de la luz entrante y desplazamiento de fibra-resonador. Especific- http://arxiv.org/abs/0704.0422v2 cally, para un apilado horizontalmente, fuertemente cou- combinación de pled, fibra y resonador, un 45° la polarización incidente resulta en el mayor conversión. El resultado de la conversión es un fuerte caída de la luz transmitida con el polarización original y un fuerte pico en el transmisión polarizada ortogonal. Fabricamos la fibra cónica usando el Técnica de “brocha de llama”18. Esta técnica implica el estiramiento mecánico de la óptica fibra al escanear una llama (oxi-hidrógeno en nuestro caso) sobre la región a disminuir. Debido a las restricciones en la tracción máxima longitud, los conectores de fibra no son completamente adiabático, pero las pérdidas típicas nunca son mayores más del 50%. Los estudios SEM de las cónicas revelan un diámetro característico cercano a 1 μm. Los microesfera fue fabricada usando un láser de CO2 para estirar y fundir una punta de fibra óptica19. In de esta manera es fácil obtener esferas con di- ametros que van de 10 μm a 200 μm. Por este experimento en particular la esfera diame- ter se midió utilizando un microscopio óptico a 52 μm (correspondiente a una estimación rango espectral libre de 1,2 THz). Montamos la microesfera en un piezo... escáner eléctrico que nos permitió colocar la esfera sobre un rango de unos pocos micrómetros, y la contracción de fibra estirada en un andador piezoeléctrico de stick-slip que permite posicionamiento grueso y fino de la fibra Conéctese al lado de la esfera. Tanto la esfera como PD PC2 PC1 Cintas Fibra Laser PR FC Microsfera 10 um FIG. 1: Esquema experimental de la configuración. PR es un rotador de polarización, FC un acoplador de fibra, PC1 y 2 son controladores de polarización de fibra, P a po- Larizador y PD es un fotodiodo amplificado. Inset: Imagen de una esfera cerca de una fibra cónica. a continuación, se situó en el interior de un compacto, cámara cerrada. Usamos un cav externo... ity tunable diodo láser comprado de Nuevo Enfoque como la fuente de excitación, centrado en una longitud de onda cercana a 927,85 nm. La polariza... El rotador de iones establece la polarización del láser que luego fue acoplado en la fibra óptica utilizando un acoplador de espacio libre. Un polarizador y un fotodiodo amplificado en la salida de fibra se utilizaron para analizar la luz transmitida. Limitaciones de espacio en la cámara y en la itaciones sobre la disposición de la óptica fibra causó flexión de la fibra en diferen- ent ubicaciones y posterior scrambling de la polarización de entrada. Como una forma de compen- sate para estos cambios en la polarización, nosotros utiliza dos controladores de polarización. La primera uno precedió a la contracción de la fibra, compensando para los cambios de polarización hasta la posición de la microesfera. El segundo controlador era colocado después de la contracción de la fibra para asegurar oído de la polarización de la salida. Gráfico 1 muestra un esquema de esta configuración experimental. Usamos el siguiente procedimiento para... seguro el grado de polarización de la conversión. En primer lugar, se seleccionó la polarización entrante utilizando el rotador de polarización. Entonces nosotros ajustó el primer controlador de polarización a asegurar la polarización en el cónico de fibra fue lineal y emparejado a un conjunto de modos (“x- polarizado”). El siguiente paso fue desacoplar el cónico de la esfera y asegúrese de que el la polarización de la salida era lineal (logramos esto girando el polarizador de detección a su posición para la transmisión mínima y luego minimizar aún más esta transmisión con el segundo controlador de polarización). Esta orientación... de la detección polarizador es el que nosotros se llama “ortogonal”. Rotando el polarizador 90 (la orientación “paralela”) resultó en la transmisión máxima, con un contraste del 95% aproximadamente, confirmando el sión de la luz de salida. Por último, nos posi- tionó la esfera y la fibra cónica intentó... para optimizar el acoplamiento, mientras que measur- espectros de transmisión para ambas orientaciones del polarizador de detección. Repetimos el procedimiento para otras dos polarizas entrantes- ciones: una coincide con el otro conjunto de esferas los modos (“y-polarizados”) y otro a 45o entre el eje de polarización x- e y- (“xy- polarizado”). La figura 2 muestra la transmisión resultante -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 Cambio de frecuencia (GHz) Detección de entradas polariz. polariz. FIG. 2: espectros de transmisión para diferentes in- Pon las polarizaciones. Las frecuencias resonantes cor- responder a los modos con l • 496. La x- y Las y-polarizaciones son ortogonales y corresponden a los eigenmodes de polarización del resonador. La xy-polarización está orientada a 45 grados de x e y. Los rastros oscuros corresponden al polarizador de detección paralelo a la entrada polarización y las trazas de luz corresponden a un polarización de detección cruzada. espectros para las diferentes configuraciones. Los casos tanto para la luz polarizada x- como y- mostrar el mismo comportamiento: un conjunto de transmisión se hunde cada vez que la frecuencia láser golpea un whis- resonancia de galería de pering cuando la detección la polarización es paralela y no hay señal cuando es perpendicular. El caso xy-polarizado es más interesante: la detección paralela po- larización muestra dips para ambos conjuntos de modos, mientras que el ortogonal muestra la transmisión picos en las resonancias de la galería susurrante. En el pico más alto, más del 70% de la luz incidente se convirtió en polarización. La mayor parte de la polarización observada conver- sión se puede entender mediante el uso de un anillo simple modelo resonador para la galería susurrante modos. En este modelo, la transmisión de luz polarizada a través del resonador se da por14,20 En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa. r − aei 1− raei , (1) donde r es el coeficiente de acoplamiento de campo entre el resonador y la guía de onda, a es la atenuación debida al resonador intrínseco Las pérdidas y el TRT es el cambio de fase. El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, que el Tribunal de Primera Instancia se pronunciará sobre la interpretación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre los impuestos sobre el volumen de negocios y sobre los impuestos sobre el volumen de negocios. la frecuencia de la luz y la frecuencia de resonancia... quency, respectivamente, mientras que tRT es la ronda- tiempo de viaje en el resonador). El modelo es escalar, pero podemos incluir la polarización por simplemente asumiendo que los modos con ortogonal las polarizaciones son independientes y descuidan acoplamientos polarizados cruzados (utilizando un análisis similar a la de Little y Chu21). En este la forma en que obtenemos la misma expresión, con pos- parámetros bastante diferentes, para la transmis- sión de ambas polarizaciones. En nuestra particu- Lar caso de susurrar modos de galería en mi- crospheres, podemos asumir con seguridad que los modos con diferentes polarizaciones no son degener- comió, así que una de las polarizaciones será unaf- flecado por la presencia de una resonancia. Esto se diferencia del caso de los microrings5, en el que el la conversión depende del acoplamiento entre TE y modos TM. La esencia del efecto reside en la diferencia: respuesta del resonador para cada polarización. Para una fibra y microesfera fuertemente acopladas, 1, pero el cambio de fase = arg(l) es cambiado por =  como la frecuencia es barrida a través de la resonancia. Porque el La polarización ortogonal se transmite unal- la polarización transmitida gira por tanto como 90o para la polarización xy inicial. Cuando la fibra y el resonador son horizonte- cuenta apilada, el efecto se maximiza cuando la polarización incidente está a 45° grados con respecto al plano horizontal. Eficiencias de conversión de hasta el 25% si una de las polarizaciones es crítica. ticamente acoplado al anillo, es decir. está completamente absorto en + el resonador. Alcanzar un nivel más alto eficiencia requiere aumentar el resonador- Enganche de guía de onda para obtener un cambio de fase dependiente de la larización que cambiar el estado de polarización final en uno más cerca de la deseada. Podemos ver con más detalle los datos al concentrarse en un par de modos mostrar- ing buena conversión, ahora la contabilidad para el láser deriva de frecuencia entre exploraciones usando un Fabry- Interferómetro Perot como referencia. Esto es... espectro de cola se puede ver en la Fig. 3. Los resonancia en el lado derecho de la Fig. 3, cerca de una cambio de 31 GHz, muestra una polarización conver- sión de alrededor del 60%. La resonancia del lado izquierdo muestra una conversión cercana al 75%. El más alto ef- ficiency se debe a que el modo más a la izquierda es 26 27 28 29 30 31 Cambio de frecuencia (GHz) 30,5 31 26 26,5 27 27,5 28 FIG. 3: Vista detallada de dos modos que muestran Conversión de polarización. Las líneas discontinuas son encaja usando ecuaciones de la forma de la ecuación 1. Los parámetros de ajuste para las características más a la izquierda son a = 0,99997, r = 0,99977. Los correspondientes los de la característica más derecha son a = 0.99999, r = 0,99993. más fuertemente acoplado (que muestra un función) a la fibra cónica que la derecha- La mayoría. Consistente con la predic- ciones, en ambos casos una de las polarizaciones está demasiado acoplado al anillo. La falta de un cambio en la frecuencia central de las características también indica que cada par de pico y inmersión corresponde a un único modo de resonancia. Este fenómeno podría ser útil para control de larización en dispositivos fotónicos, tales como filtro dependiente de la polarización de banda estrecha ing o conmutación, como se muestra en la Fig. 4 o incluso manipulación arbitraria de la polarización. Hemos observado una polarización eficiente. conversión en un resonador de microesfera cou- PBSPBS a) b) FIG. 4: Esquema de un resonador trabajando como Interruptor de polarización selectivo de longitud de onda. a) Dos señales con diferentes longitudes de onda+ (verde) y azul) y las polarizaciones ortogonales pasan un- cambiado a través de la guía de onda y el un- Resonador acoplado. Un vibrador de polarización a continuación, las rutas de las señales a diferentes caminos. b) La polarización de la señal resonante (azul) es convertido por el resonador acoplado, y ambos las señales se envían a través del mismo camino. Los el acoplamiento resonador-guía de onda se puede cambiar en diferentes formas, incluidas las mecánicas u ópticas22 significa. pléd a una fibra óptica cónica y utilizó un modelo teórico simple para entender el fenómeno. El modelo no implica acoplamiento recto de las polarizaciones ortogonales, sino más bien un cambio de fase polarizado-selectivo inducido por el resonador. Este efecto debería ser común a todos los modos de la galería susurrando resonadores y podría ser útil para polariza- control de la ión en dispositivos fotónicos. Agradecimientos Este trabajo fue apoyado por NSF-NIRT (DMR-0210383), el Texas Advanced Tech- programa de nología, y el W.M. Keck Foun... dation. G.S. y C.F. reconocer el apoyo de la subvención de ARO MURI no. W911NF-04-01- 0203. * Dirección electrónica: shih@physics.utexas.edu 1 K. J. Vahala, Nature (Londres) 424, 839 (2003). 2 A. B. Matsko y V. S. Ilchenko, IEEE J. Sel. Arriba. Electron cuántico. 12, 3 (2006). 3 M. L. Gorodetsky, A. A. Savchenkov, y V. S. Ilchenko, Opt. Lett. 21, 453 (1996). 4 D. K. Armani, T. J. Kippenberg, S. M. Spillane, y K. J. Vahala, Nature (Londres) 421, 925 (2003). 5 A. Melloni, F. Morichetti y M. Martinelli, Opt. Lett. 29, 2785 (2004). 6 A. E. Fomin, M. L. Gorodetsky, I. S. Gru- dinin, y V. S. Ilchenko, J. Opt. Soc. Soy. B 22, 459 (2005). 7 T. Carmon, H. Rokhsari, L. Yang, T. Kip- Penberg, y K. J. Vahala, Phys. Rev. Lett. 94, 223902 (2005). 8 Y.-S. Park, A. K. Cook, y H. Wang, Nano. Lett. 6, 2075 (2006). 9 M. Cai y K. Vahala, Opt. Lett. 26, 884 (2001). 10 S. I. Shopova, G. Farca, A. T. Rosenberger, W. M. Wickramanayake, y N. A. Kotov, Appl. Phys. Lett. 85, 6101 (2004). 11 A. M. Armani y K. J. Vahala, Opt. Lett. 31, 1896 (2006). 12 S. Arnold, M. Khoshsima, I. Teraoka, S. Holler, y F. Vollmer, Opt. Lett. 28, 272 (2003). 13 F. Michelotti, A. Driessen y M. Bertolotti, eds., Microresonadores como bloques de construcción para Fotónica VLSI, vol. 709 de la Conferencia de la AIP Proceedings (Instituto Americano de Física, Melville, Nueva York, 2003). 14 M. Cai, O. Painter, y K. J. Vahala, Phys. Rev. Lett. 85, 74 (2000). 15 J. C. Knight, G. Cheung, F. Jacques, y T. A. Birks, Opt. Lett. 22, 1129 (1997). 16 G. Guan y F. Vollmer, Appl. Phys. Lett. 86, 121115 (2005). 17 H. Konishi, H. Fujiwara, S. Takeuchi, y K. Sasaki, Appl. Phys. Lett. 89, 121107 (2006). 18 T. A. Birks e Y. W. Li, J. Lightwave Tech- Nol. 10, 432 (1992). 19 D. S. Weiss, V. Sandoghar, J. Hare, V. Lefèvre-Seguin, J.-M. Raimond, y S. Haroche, Opt. Lett. 20, 1835 (1995). 20 D. D. Smith, H. Chang, y K. A. Fuller, J. mailto:shih@physics.utexas.edu Opt. Soc. Soy. B 20, 1967 (2003). 21 B. E. Little y S. T. Chu, IEEE Photon. Technol. Lett. 12, 401 (2000). 22 V. R. Almeida, C. A. Barrios, R. R. Panepucci, y M. Lipson, Nature (Londres) 431, 1081 (2004).

Limits on WIMP-nucleon interactions with CsI(Tl) crystal detectors

Límites de las interacciones WIMP-nucleón con los detectores de cristal CsI(Tl) H.S. Lee,1 H.C. Bhang,1 J.H. Choi,1 H. Dao,7 I.S. Hahn,4 M.J. Hwang,5 S.W. Jung, 2 W.G. Kang,3 D.W. Kim,1 H.J. Kim,2 S.C. Kim,1 S.K. Kim,1, ∗ Y.D. Kim,3 J.W. Kwak,1, † Y.J. Kwon,5 J. Lee,1, ‡ J.H. Lee, 1 J.I. Lee,3 M.J. Lee,1 S.J. Lee,1 J. Li,7 X. Li,7 Y.J. Li,7 S.S. Myung,1 S. Ryu,1 J.H. Entonces,2 Q. Yue,7 y J.J. Zhu7 (Colaboración KIMS) DMRC y Departamento de Física y Astronomía, Universidad Nacional de Seúl, Seúl (Corea) Departamento de Física, Universidad Nacional de Kyungpook, Daegu, Corea Departamento de Física, Universidad de Sejong, Seúl, Corea Departamento de Educación Científica, Universidad de Mujeres Ewha, Seúl (Corea) Departamento de Física, Universidad de Younsei, Seúl, Corea Departamento de Ingeniería Física, Tsinghua Universuty, Beijing, China Departamento de Física de Ingeniería, Universidad de Tsinghua, Beijing, China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) El experimento Korea Invisible Mass Search (KIMS) presenta nuevos límites al núcleo WIMP sección transversal utilizando datos de una exposición de 3409 kg·d tomada con cristales de fondo bajo CsI(Tl) en Yangyang Underground Laboratory. El límite más estricto de la interacción dependiente de los giros para un caso de protones puros se obtiene. La región de la señal DAMA tanto para spin-independiente como para spin- interacciones dependientes para las masas WIMP mayores de 20 GeV/c2 se excluye por el único experimentar con centelleadores de cristal. Números PACS: 95.35.+d, 14.80.Ly La existencia de la materia oscura ha sido ampliamente sup- portado por muchas observaciones astronómicas sobre vari- escamas ous [1][2][3]. Interactuando débilmente... cles (WIMPs) son un buen candidato para la materia oscura bien motivadas por la cosmología y los modelos supersimétricos [4]. El experimento Korea Invisible Mass Search (KIMS) ha desarrollo de cristales de bajo fondo CsI(Tl) para detectar la señales de la dispersión elástica de WIMP fuera de la nu- cleus [5][6][7]. Tanto 133Cs como 127I son sensibles a la spin-independiente (SI) e spin-dependiente (SD) interac- ciones de WIMPS. Últimamente, el papel de la CSI en el búsqueda de SD WIMP para el acoplamiento de protones puro ha sido señalada [8]. Vale la pena señalar que 127I es el dom- objetivo inant para las interacciones del SI en la experiencia de DAMA íntes. La técnica de discriminación de la forma del pulso (PSD) nos permite separar estadísticamente el retroceso nuclear (NR) sig- nales de las interacciones WIMP del retroceso de electrones (ER) señales debidas al fondo de rayos gamma [9][10]. El experimento KIMS se encuentra en el Yangyang Un- laboratorio de tierra (Y2L) a una profundidad de 700 m bajo una sobrecarga de la tierra. Detalles del experimento KIMS y el primer límite con los datos de exposición de 237 kg·d se puede encontrar en la publicación anterior [11]. Cuatro fondos bajos Los cristales CsI(Tl) están instalados en el Y2L y funcionan a una temperatura de T = 0°C. A lo largo de la exposición período, la temperatura del detector se mantuvo sta- ble a ±0,1 °C. Fotomultiplicador mejorado en verde los tubos (PMT) se montan en ambos extremos de cada cristal. Las señales de los PMT se amplifican y registran por un FADC de 500 MHz. Cada evento se graba para un pe- Riod de 32 μs. Ambos PMTs en cada cristal deben tener en al menos dos fotoelectrones dentro de una ventana de 2 μs para formar un el disparador del evento. Obtuvimos 3409 kg·d datos de búsqueda WIMP CUADRO I: Cristales utilizados en este análisis y cantidad de datos para cada cristal Datos de masa de cristal (kg) (kg·días) S0501A 8.7 1147 S0501B 8.7 1030 B0510A 8.7 616 B0510B 8.7 616 Total 34,8 3409 con cuatro cristales, como se muestra en el cuadro I. La energía es cali- brated usando 59,5 keV rayos gamma de una fuente 241Am. Para la calibración del tiempo medio, una variable utilizada para la PSD, los eventos NR se obtienen con cristales pequeños ( 3 cm × 3 cm × 3 cm ) utilizando una fuente de neutrones Am-Be. Compton eventos de dispersión tomados con los cristales de búsqueda WIMP utilizando la fuente 137Cs se utilizan para determinar la media distribución temporal del fondo gamma. Compton los eventos de dispersión también se toman con los cristales pequeños verificar que las distribuciones de tiempo medio para ambos ensayos los cristales y los cristales de búsqueda WIMP son los mismos. In para comprender la naturaleza de los antecedentes de la PMT, un fondo dominante a baja energía, las cajas de acrílico son montado en los mismos PMT utilizados para los cristales. Los los datos obtenidos utilizando esta configuración se utilizan para desarrollar los cortes para el rechazo de los antecedentes de la PMT. Desde el tiempo de decadencia de la luz centelleante en el El cristal CsI(Tl) es bastante largo, los fotoelectrones están bien Separados a bajas energías y permitiendo así la recon- estructuración de cada fotoelectrón. La distribución del tiempo fotoelectrones en un evento se instala en una doble exposición- http://arxiv.org/abs/0704.0423v2 seg)μMean Time ( FIG. 1: (color en línea). MT distribución de eventos NR (abiertos) cuadrados), eventos ER (círculos abiertos) y búsqueda WIMP datos (triángulos llenos) de cristal S0501A en el intervalo de 5-6 keV. Las funciones PDF ajustadas están superpuestas. χ2/DOF =0.8 y 1.3 con DOF=38 y 35 para eventos de NR y ER respectivamente. función tial dada por f(t) = − (t− t0) − (t− t0) donde los f y los f son constantes de tiempo de decaimiento de rápido y componentes lentos, respectivamente, R es la relación entre dos componentes, y t0 es el momento del primer fotoelectrón en el caso. El tiempo medio (MT) de cada evento es entonces calculadas utilizando estas cantidades como t · f(t)dt/ f(t)dt. Con este método, se logra una mejora en la División del Sector Privado sobre el análisis anterior donde usamos una matemática simple... media emática [11]. Con el fin de rechazar el PMT de nuevo- tierra, aplicamos los cortes a la variable de ajuste, f. La relación entre el valor máximo de probabilidad logarítmica del dou- ajuste exponencial ble y el del ajuste exponencial único también se utiliza para rechazar el fondo PMT, ya que PMT Los acontecimientos de fondo tienden a configurarse como una sola exposición. Decaimiento tial. Rechazar el fondo que se origina de la radioactividad del PMT, la asimetría entre se aplican las señales de dos PMT. Por último, los acontecimientos en que las señales se registran en más de un cristal son Rechazada. Se estimó la eficiencia en la selección de eventos aplicando los mismos cortes de análisis al neutrón y muestras de calibración gamma. La eficiencia depende de la energía medida y oscila entre el 30% a 3 keV y 60% por encima de 5 keV. La estimación de la tasa de eventos NR se realiza en cada 1 contenedor de keV de 3 a 11 keV por cada cristal. TheMT se comparan las distribuciones de eventos NR y eventos ER con los datos de búsqueda WIMP en la Fig. 1 para el 5-6 keV rango de energía. Las funciones de densidad de probabilidad (PDF) para los eventos ER y NR se obtienen mediante el ajuste de estos distribuciones. Un ajuste de máxima probabilidad sin encuadernar es Energía equivalente de electrones (keV) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 FIG. 2: (color en línea). Tasas de eventos NR extraídos de la S0501A (círculos abiertos), S0501B (círculos llenos), B0510A (llenado) los cuadrados), y los cristales B05010B (triángulos rellenos) y Se muestran los errores tisticos (1). Los puntos se desplazan con respeto mutuo en el eje x para evitar solapamientos. realizado con la distribución log(MT) del WIMP datos de búsqueda utilizando la función de probabilidad, × exp(NNR,i +NER,i)} [NNR,iPDFNR,i(xk) +NER,iPDFER,i(xk)], donde el índice i denota el cubo de energía i-th; n = NNR,i +NER,i es el número total de eventos; NNR,i y NER, son los números de eventos NR y ER, respec- tily; PDFNR,i y PDFER,i son PDFs de NR y ER eventos, respectivamente; y xk = log(MT ) para cada evento. Las tasas de eventos NR obtenidas para cada contenedor y para cada uno cristal después de la corrección de la eficiencia se muestran en la Fig. 2. Las tasas de eventos NR extraídas son consistentes con un null observación de la señal WIMP. Con el fin de obtener la especificación de energía medida espera- trum de una señal WIMP, incluidos los efectos instrumentales, una simulación de Monte Carlo (MC) con GEANT4 [12] es utilizado. Se genera un espectro de energía de retroceso para cada uno Masa WIMP con la sección transversal diferencial, forma fac- tor, y factor de enfriamiento, según se describe en Ref. [13]. Los factor de forma dependiente de spin para 133Cs calculado por Toiva- nen [14] se utiliza, mientras que para 127I, Ressell y Dean culación [15] se utiliza. Los fotones generados con el función de desintegración ajustada descrita anteriormente se propagan a el PMT y digitalizado de la misma manera que en el ex- Perimento. Posteriormente, los fotoelectrones dentro de las ventanas de tiempo se cuentan para comprobar la condición del disparador y calcular la energía. De esta manera, el disparador ef- la resolución de la energía y de la competencia se contabiliza en el espectro de energía seccionado. Se encuentra la eficiencia del gatillo a ser superior al 99% por encima de 3 keV. La simulación es verificado con el espectro energético obtenido utilizando 59,5 Rayos gamma keV de 241Am. La posición de pico y CUADRO II: Valores de expectativa de giro para 133C y 127I Isotope J < Sp > < Sn > Referencia 133Cs 7/2 -0,370 0,003 [16] 127I 5/2 0,309 0,075 [15] ancho de la distribución se reproducen muy bien para cada cristal como se describe en Ref [11]. La tasa WIMP total, R, para cada masa WIMP es el espectro de energía medido en el simulado uno. El límite del nivel de confianza (CL) del 90% R se calcula por el enfoque de Feldman-Cousins en el caso de Gaussian con un límite en el origen [17] y luego convertido a la sección transversal WIMP-núcleo, W−A. Posteriormente, los límites de la cruz WIMP-núcleo se obtiene a partir de Ref. [13][18] como sigue: W−n = W−A donde μn,A son las masas reducidas del núcleo WIMP y núcleo blanco WIMP del número de masa A. CA/Cn = A2 para las interacciones SI y CA/Cn = 4/3{ap < Sp > +an < Sn +2(J + 1)/J para las interacciones SD. Aquí ap, a son acoplamientos WIMP-protón y WIMP-neutron SD respectivamente. Los valores de expectativa de giro utilizados para esto El análisis se muestra en el cuadro II. Después de la “modelo- “independent” marco [18], informamos de la re- gion en dos casos para la interacción SD: uno para un = 0, y el otro para ap = 0. Expresamos el nucleón WIMP sección transversal como sigue: ΔSIW−n = W−A ΔSDW−n,p = W−A μ2n,p (J + 1) < Sn,p >2 donde indicamos protón puro (p, an = 0) y puro acoplamiento de neutrones (n, ap = 0) para la interacción SD. Nosotros también. presente la región permitida en el ap − un avión con el la siguiente relación [18]: donde GF es la constante de acoplamiento Fermi. La incertidumbre en la distribución del MT resulta en incertidumbre de la tasa de eventos NR. Las estadísticas limitadas de los datos de calibración y de los diferentes cristales utilizados La calibración de neutrones y los datos de búsqueda WIMP son las principales fuentes de esta incertidumbre. El primero se investiga variando los parámetros ajustados en la función PDF dentro de errores. El latter se estima cambiando la media de MT por la diferencia entre los cristales. El sistema... las incertidumbres áticas de estos dos souces se combinan en Cuadratura que da lugar a un 20-30% de incertidumbre estadística lazos dependiendo de los contenedores de energía. Además, hay Masa WIMP (GeV) 210 310 410 DAMA region FIG. 3: (color en línea). Gráfico de exclusión para la interacción SD en el caso del acoplamiento puro de protones (an = 0) al 90% nivel de confianza Masa WIMP (GeV) 210 310 410 DAMA region FIG. 4: (color en línea). Plot de exclusión para la interac- en el caso del acoplamiento de neutrones puro (ap = 0) al 90% nivel de confianza son incertidumbres en la estimación MC de la las tasas de eventos debido a las incertidumbres en el y la diferencia de resolución de la energía entre el Simulación MC y los datos. El error sistemático de la simulación MC se estima en el 13,3% de los límites. Estos errores sistemáticos se combinan con la estadística error en la cuadratura en los resultados presentados. Los límites de las interacciones SD se muestran en la Fig. 3 y 4 en los casos de acoplamiento de protones puros y Enganche de tron, respectivamente. También mostramos los resultados procedentes de CDMS [19], NAIAD [20], SIMPLE [21], y -6 -4 -2 0 2 4 6 FIG. 5: (color en línea). Región permitida (nivel de confianza del 90%) en ap − un plano por datos KIMS (dentro del contorno de la línea sólida) para 50 GeV WIMP masa. Resultados de CDMS [19] (línea punteada) y también se muestran NAIAD [20] (línea punteada). Masa WIMP (GeV) 210 310 410 FIG. 6: (color en línea). Gráfico de exclusión para las interacciones SI al nivel de confianza del 90 %. PICASSO [22]. La región de la señal DAMA se toma de Ref [23]. Nuestro límite proporciona el límite más bajo en el Interacciones SD en el caso del acoplamiento de protones puros para un Masa WIMP superior a 30 GeV/c2. La región permitida en el ap − un plano para la masa WIMP de 50 GeV/c2 es También se muestra en la Fig. 5 junto con los límites de los CDMS y NAIAD. Se muestra el límite para las interacciones SI en Fig. 6 junto con los resultados de CDMS [24], EDEL- WEISS [25], CRESST [26], ZEPLIN I [27], y el 3 región de señal de DAMA (1-4) [28]. A pesar de que hay varios experimentos que rechazan la región de señales DAMA, Esta es la primera vez que es descartada por un cristal de- tector que contiene 127I, que es el núcleo dominante para las interacciones del SI en el cristal NAI(Tl). En resumen, informamos de nuevos límites a la WIMP- Sección transversal de nucleón con detectores de cristal CsI(Tl) utilizando Datos de exposición de 3409 kg·d. Las regiones de la señal DAMA para Se excluyen las interacciones SI y SD para el WIMP masas superiores a 20 GeV/c2 por el único experimento. El límite más estricto de la interacción SD en el se obtiene el caso de un acoplamiento puramente WIMP-protón. Los autores agradecen al Dr. J. Toivanen y al Sr. lainen para el cálculo del factor de formulario SD también en cuanto a las útiles discusiones. Este trabajo cuenta con el apoyo de el Programa de la Iniciativa de Investigación Creativa de Corea Fundación de Ciencia e Ingeniería. Estamos agradecidos a la Korea Middland Power Co. Ltd. y el personal mem- bers de la planta de energía de almacenamiento bombeada YangYang para brindándonos el espacio de laboratorio subterráneo. ∗ skkim@hep1.snu.ac.kr † Dirección actual: Centro Nacional del Cáncer, Ilsan, Corea ‡ Dirección actual: Departamento de Física, Mujeres Ewha Universidad de Seúl (Corea) [1] K. G. Begeman, A. H. Broeils, y R. H. Sanders, Mon. No, no. Roy. Astron. Soc. 249 y 523 (1991). [2] D. N. Spergel et al., Astrophys. J. Suppl. 148, 175 (2003). [3] M. Tegmark et al., Phys. Rev. D 69, 103501 (2004). [4] G. Jungman, M. Kamionkowski, y K. Griest, Phys. Rep. 267, 195 (1996). [5] H. S. Lee y otros, Nucl. Instr. Meth. A 571, 644 (2007). [6] Y. D. Kim et al., J. Korean. Phys. Soc. 40, 520 (2002). [7] Y. D. Kim et al., Nucl. Instr. Meth. A 552, 456 (2005). [8] T. A. Girard y F. Giuliani, Phys. Rev. D 75, 043512 (2007). [9] H. J. Kim y otros, Nucl. Instr. Meth. A 457, 471 (2001). [10] H. Park et al., Nucl. Instr. Meth. A 491, 460 (2002). [11] H. S. Lee y otros, Phys. Lett. B 633, 201 (2006). [12] S. Agostinelli y otros, Nucl. Instr. Meth. A 506, 250 (2003). [13] J. D. Lewin y P. F. Smith, Astropart. Phys. 6, 87 (1996). [14] J. Toivanen y M. Kortalainen (2006), comunicaciones privadas En este contexto, la Comisión considera que la ayuda concedida por el Estado miembro de que se trate no es compatible con el mercado interior ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior. [15] M. T. Ressell y D. J. Dean, Phys. Rev. C 56, 535 (1997). [16] F. Iachello, L.M.Krauss, y G. Maino, Phys. Lett. B 254, 220 (1991). [17] G. J. Feldman y R. D. Cousins, Phys. Rev. D 57, 3873 (1998). [18] D. R. Tovey et al., Phys. Lett. B 488, 17 (2000). [19] D. S. Akerib et al., Phys. Rev. D 73, 011102 (2006). [20] G. J. Alner et al., Phys. Lett. B 624, 186 (2005). [21] T. A. Girard y otros, Phys. Lett. B 621, 233 (2005). [22] M. Barnabe-Heider et al., Phys. Lett. B 624, 186 (2005). [23] C. Savage, P. Gondolo, y K. Freese, Phys. Rev. D 70, 123513 (2004). [24] D. S. Akerib y otros, Phys. Rev. Lett. 96, 011302 (2006). [25] V. Sanglard y otros, Phys. Rev. D 71, 122002 (2005). [26] G. Angloher et al., Astropart. Phys. 23, 325 (2005). [27] G. J. Alner y otros, Astropart. Phys. 23, 444 (2005). [28] R. Bernabei y otros, Phys. Lett. B 480, 23 (2000); R. Bern- abei et al., Riv. Nuovo. Cim. 26, 1 (2003). mailto:skkim@hep1.snu.ac.kr

El experimento Korea Invisible Mass Search(KIMS) presenta nuevos límites sobre Sección transversal WIMP-núcleo utilizando los datos de una exposición de 3409 kgd tomada con cristales de fondo bajo CsI(Tl) en el laboratorio subterráneo Yangyang. Los el límite más estricto de la interacción dependiente del giro para el caso del protón puro es obtenido. La región de señales DAMA tanto para giros independientes como dependientes de giros las interacciones para la masa WIMP superior a 20 GeV/c^2 se excluyen por el único experimentar con centelleadores de cristal.

Límites de las interacciones WIMP-nucleón con los detectores de cristal CsI(Tl) H.S. Lee,1 H.C. Bhang,1 J.H. Choi,1 H. Dao,7 I.S. Hahn,4 M.J. Hwang,5 S.W. Jung, 2 W.G. Kang,3 D.W. Kim,1 H.J. Kim,2 S.C. Kim,1 S.K. Kim,1, ∗ Y.D. Kim,3 J.W. Kwak,1, † Y.J. Kwon,5 J. Lee,1, ‡ J.H. Lee, 1 J.I. Lee,3 M.J. Lee,1 S.J. Lee,1 J. Li,7 X. Li,7 Y.J. Li,7 S.S. Myung,1 S. Ryu,1 J.H. Entonces,2 Q. Yue,7 y J.J. Zhu7 (Colaboración KIMS) DMRC y Departamento de Física y Astronomía, Universidad Nacional de Seúl, Seúl (Corea) Departamento de Física, Universidad Nacional de Kyungpook, Daegu, Corea Departamento de Física, Universidad de Sejong, Seúl, Corea Departamento de Educación Científica, Universidad de Mujeres Ewha, Seúl (Corea) Departamento de Física, Universidad de Younsei, Seúl, Corea Departamento de Ingeniería Física, Tsinghua Universuty, Beijing, China Departamento de Física de Ingeniería, Universidad de Tsinghua, Beijing, China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) El experimento Korea Invisible Mass Search (KIMS) presenta nuevos límites al núcleo WIMP sección transversal utilizando datos de una exposición de 3409 kg·d tomada con cristales de fondo bajo CsI(Tl) en Yangyang Underground Laboratory. El límite más estricto de la interacción dependiente de los giros para un caso de protones puros se obtiene. La región de la señal DAMA tanto para spin-independiente como para spin- interacciones dependientes para las masas WIMP mayores de 20 GeV/c2 se excluye por el único experimentar con centelleadores de cristal. Números PACS: 95.35.+d, 14.80.Ly La existencia de la materia oscura ha sido ampliamente sup- portado por muchas observaciones astronómicas sobre vari- escamas ous [1][2][3]. Interactuando débilmente... cles (WIMPs) son un buen candidato para la materia oscura bien motivadas por la cosmología y los modelos supersimétricos [4]. El experimento Korea Invisible Mass Search (KIMS) ha desarrollo de cristales de bajo fondo CsI(Tl) para detectar la señales de la dispersión elástica de WIMP fuera de la nu- cleus [5][6][7]. Tanto 133Cs como 127I son sensibles a la spin-independiente (SI) e spin-dependiente (SD) interac- ciones de WIMPS. Últimamente, el papel de la CSI en el búsqueda de SD WIMP para el acoplamiento de protones puro ha sido señalada [8]. Vale la pena señalar que 127I es el dom- objetivo inant para las interacciones del SI en la experiencia de DAMA íntes. La técnica de discriminación de la forma del pulso (PSD) nos permite separar estadísticamente el retroceso nuclear (NR) sig- nales de las interacciones WIMP del retroceso de electrones (ER) señales debidas al fondo de rayos gamma [9][10]. El experimento KIMS se encuentra en el Yangyang Un- laboratorio de tierra (Y2L) a una profundidad de 700 m bajo una sobrecarga de la tierra. Detalles del experimento KIMS y el primer límite con los datos de exposición de 237 kg·d se puede encontrar en la publicación anterior [11]. Cuatro fondos bajos Los cristales CsI(Tl) están instalados en el Y2L y funcionan a una temperatura de T = 0°C. A lo largo de la exposición período, la temperatura del detector se mantuvo sta- ble a ±0,1 °C. Fotomultiplicador mejorado en verde los tubos (PMT) se montan en ambos extremos de cada cristal. Las señales de los PMT se amplifican y registran por un FADC de 500 MHz. Cada evento se graba para un pe- Riod de 32 μs. Ambos PMTs en cada cristal deben tener en al menos dos fotoelectrones dentro de una ventana de 2 μs para formar un el disparador del evento. Obtuvimos 3409 kg·d datos de búsqueda WIMP CUADRO I: Cristales utilizados en este análisis y cantidad de datos para cada cristal Datos de masa de cristal (kg) (kg·días) S0501A 8.7 1147 S0501B 8.7 1030 B0510A 8.7 616 B0510B 8.7 616 Total 34,8 3409 con cuatro cristales, como se muestra en el cuadro I. La energía es cali- brated usando 59,5 keV rayos gamma de una fuente 241Am. Para la calibración del tiempo medio, una variable utilizada para la PSD, los eventos NR se obtienen con cristales pequeños ( 3 cm × 3 cm × 3 cm ) utilizando una fuente de neutrones Am-Be. Compton eventos de dispersión tomados con los cristales de búsqueda WIMP utilizando la fuente 137Cs se utilizan para determinar la media distribución temporal del fondo gamma. Compton los eventos de dispersión también se toman con los cristales pequeños verificar que las distribuciones de tiempo medio para ambos ensayos los cristales y los cristales de búsqueda WIMP son los mismos. In para comprender la naturaleza de los antecedentes de la PMT, un fondo dominante a baja energía, las cajas de acrílico son montado en los mismos PMT utilizados para los cristales. Los los datos obtenidos utilizando esta configuración se utilizan para desarrollar los cortes para el rechazo de los antecedentes de la PMT. Desde el tiempo de decadencia de la luz centelleante en el El cristal CsI(Tl) es bastante largo, los fotoelectrones están bien Separados a bajas energías y permitiendo así la recon- estructuración de cada fotoelectrón. La distribución del tiempo fotoelectrones en un evento se instala en una doble exposición- http://arxiv.org/abs/0704.0423v2 seg)μMean Time ( FIG. 1: (color en línea). MT distribución de eventos NR (abiertos) cuadrados), eventos ER (círculos abiertos) y búsqueda WIMP datos (triángulos llenos) de cristal S0501A en el intervalo de 5-6 keV. Las funciones PDF ajustadas están superpuestas. χ2/DOF =0.8 y 1.3 con DOF=38 y 35 para eventos de NR y ER respectivamente. función tial dada por f(t) = − (t− t0) − (t− t0) donde los f y los f son constantes de tiempo de decaimiento de rápido y componentes lentos, respectivamente, R es la relación entre dos componentes, y t0 es el momento del primer fotoelectrón en el caso. El tiempo medio (MT) de cada evento es entonces calculadas utilizando estas cantidades como t · f(t)dt/ f(t)dt. Con este método, se logra una mejora en la División del Sector Privado sobre el análisis anterior donde usamos una matemática simple... media emática [11]. Con el fin de rechazar el PMT de nuevo- tierra, aplicamos los cortes a la variable de ajuste, f. La relación entre el valor máximo de probabilidad logarítmica del dou- ajuste exponencial ble y el del ajuste exponencial único también se utiliza para rechazar el fondo PMT, ya que PMT Los acontecimientos de fondo tienden a configurarse como una sola exposición. Decaimiento tial. Rechazar el fondo que se origina de la radioactividad del PMT, la asimetría entre se aplican las señales de dos PMT. Por último, los acontecimientos en que las señales se registran en más de un cristal son Rechazada. Se estimó la eficiencia en la selección de eventos aplicando los mismos cortes de análisis al neutrón y muestras de calibración gamma. La eficiencia depende de la energía medida y oscila entre el 30% a 3 keV y 60% por encima de 5 keV. La estimación de la tasa de eventos NR se realiza en cada 1 contenedor de keV de 3 a 11 keV por cada cristal. TheMT se comparan las distribuciones de eventos NR y eventos ER con los datos de búsqueda WIMP en la Fig. 1 para el 5-6 keV rango de energía. Las funciones de densidad de probabilidad (PDF) para los eventos ER y NR se obtienen mediante el ajuste de estos distribuciones. Un ajuste de máxima probabilidad sin encuadernar es Energía equivalente de electrones (keV) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 FIG. 2: (color en línea). Tasas de eventos NR extraídos de la S0501A (círculos abiertos), S0501B (círculos llenos), B0510A (llenado) los cuadrados), y los cristales B05010B (triángulos rellenos) y Se muestran los errores tisticos (1). Los puntos se desplazan con respeto mutuo en el eje x para evitar solapamientos. realizado con la distribución log(MT) del WIMP datos de búsqueda utilizando la función de probabilidad, × exp(NNR,i +NER,i)} [NNR,iPDFNR,i(xk) +NER,iPDFER,i(xk)], donde el índice i denota el cubo de energía i-th; n = NNR,i +NER,i es el número total de eventos; NNR,i y NER, son los números de eventos NR y ER, respec- tily; PDFNR,i y PDFER,i son PDFs de NR y ER eventos, respectivamente; y xk = log(MT ) para cada evento. Las tasas de eventos NR obtenidas para cada contenedor y para cada uno cristal después de la corrección de la eficiencia se muestran en la Fig. 2. Las tasas de eventos NR extraídas son consistentes con un null observación de la señal WIMP. Con el fin de obtener la especificación de energía medida espera- trum de una señal WIMP, incluidos los efectos instrumentales, una simulación de Monte Carlo (MC) con GEANT4 [12] es utilizado. Se genera un espectro de energía de retroceso para cada uno Masa WIMP con la sección transversal diferencial, forma fac- tor, y factor de enfriamiento, según se describe en Ref. [13]. Los factor de forma dependiente de spin para 133Cs calculado por Toiva- nen [14] se utiliza, mientras que para 127I, Ressell y Dean culación [15] se utiliza. Los fotones generados con el función de desintegración ajustada descrita anteriormente se propagan a el PMT y digitalizado de la misma manera que en el ex- Perimento. Posteriormente, los fotoelectrones dentro de las ventanas de tiempo se cuentan para comprobar la condición del disparador y calcular la energía. De esta manera, el disparador ef- la resolución de la energía y de la competencia se contabiliza en el espectro de energía seccionado. Se encuentra la eficiencia del gatillo a ser superior al 99% por encima de 3 keV. La simulación es verificado con el espectro energético obtenido utilizando 59,5 Rayos gamma keV de 241Am. La posición de pico y CUADRO II: Valores de expectativa de giro para 133C y 127I Isotope J < Sp > < Sn > Referencia 133Cs 7/2 -0,370 0,003 [16] 127I 5/2 0,309 0,075 [15] ancho de la distribución se reproducen muy bien para cada cristal como se describe en Ref [11]. La tasa WIMP total, R, para cada masa WIMP es el espectro de energía medido en el simulado uno. El límite del nivel de confianza (CL) del 90% R se calcula por el enfoque de Feldman-Cousins en el caso de Gaussian con un límite en el origen [17] y luego convertido a la sección transversal WIMP-núcleo, W−A. Posteriormente, los límites de la cruz WIMP-núcleo se obtiene a partir de Ref. [13][18] como sigue: W−n = W−A donde μn,A son las masas reducidas del núcleo WIMP y núcleo blanco WIMP del número de masa A. CA/Cn = A2 para las interacciones SI y CA/Cn = 4/3{ap < Sp > +an < Sn +2(J + 1)/J para las interacciones SD. Aquí ap, a son acoplamientos WIMP-protón y WIMP-neutron SD respectivamente. Los valores de expectativa de giro utilizados para esto El análisis se muestra en el cuadro II. Después de la “modelo- “independent” marco [18], informamos de la re- gion en dos casos para la interacción SD: uno para un = 0, y el otro para ap = 0. Expresamos el nucleón WIMP sección transversal como sigue: ΔSIW−n = W−A ΔSDW−n,p = W−A μ2n,p (J + 1) < Sn,p >2 donde indicamos protón puro (p, an = 0) y puro acoplamiento de neutrones (n, ap = 0) para la interacción SD. Nosotros también. presente la región permitida en el ap − un avión con el la siguiente relación [18]: donde GF es la constante de acoplamiento Fermi. La incertidumbre en la distribución del MT resulta en incertidumbre de la tasa de eventos NR. Las estadísticas limitadas de los datos de calibración y de los diferentes cristales utilizados La calibración de neutrones y los datos de búsqueda WIMP son las principales fuentes de esta incertidumbre. El primero se investiga variando los parámetros ajustados en la función PDF dentro de errores. El latter se estima cambiando la media de MT por la diferencia entre los cristales. El sistema... las incertidumbres áticas de estos dos souces se combinan en Cuadratura que da lugar a un 20-30% de incertidumbre estadística lazos dependiendo de los contenedores de energía. Además, hay Masa WIMP (GeV) 210 310 410 DAMA region FIG. 3: (color en línea). Gráfico de exclusión para la interacción SD en el caso del acoplamiento puro de protones (an = 0) al 90% nivel de confianza Masa WIMP (GeV) 210 310 410 DAMA region FIG. 4: (color en línea). Plot de exclusión para la interac- en el caso del acoplamiento de neutrones puro (ap = 0) al 90% nivel de confianza son incertidumbres en la estimación MC de la las tasas de eventos debido a las incertidumbres en el y la diferencia de resolución de la energía entre el Simulación MC y los datos. El error sistemático de la simulación MC se estima en el 13,3% de los límites. Estos errores sistemáticos se combinan con la estadística error en la cuadratura en los resultados presentados. Los límites de las interacciones SD se muestran en la Fig. 3 y 4 en los casos de acoplamiento de protones puros y Enganche de tron, respectivamente. También mostramos los resultados procedentes de CDMS [19], NAIAD [20], SIMPLE [21], y -6 -4 -2 0 2 4 6 FIG. 5: (color en línea). Región permitida (nivel de confianza del 90%) en ap − un plano por datos KIMS (dentro del contorno de la línea sólida) para 50 GeV WIMP masa. Resultados de CDMS [19] (línea punteada) y también se muestran NAIAD [20] (línea punteada). Masa WIMP (GeV) 210 310 410 FIG. 6: (color en línea). Gráfico de exclusión para las interacciones SI al nivel de confianza del 90 %. PICASSO [22]. La región de la señal DAMA se toma de Ref [23]. Nuestro límite proporciona el límite más bajo en el Interacciones SD en el caso del acoplamiento de protones puros para un Masa WIMP superior a 30 GeV/c2. La región permitida en el ap − un plano para la masa WIMP de 50 GeV/c2 es También se muestra en la Fig. 5 junto con los límites de los CDMS y NAIAD. Se muestra el límite para las interacciones SI en Fig. 6 junto con los resultados de CDMS [24], EDEL- WEISS [25], CRESST [26], ZEPLIN I [27], y el 3 región de señal de DAMA (1-4) [28]. A pesar de que hay varios experimentos que rechazan la región de señales DAMA, Esta es la primera vez que es descartada por un cristal de- tector que contiene 127I, que es el núcleo dominante para las interacciones del SI en el cristal NAI(Tl). En resumen, informamos de nuevos límites a la WIMP- Sección transversal de nucleón con detectores de cristal CsI(Tl) utilizando Datos de exposición de 3409 kg·d. Las regiones de la señal DAMA para Se excluyen las interacciones SI y SD para el WIMP masas superiores a 20 GeV/c2 por el único experimento. El límite más estricto de la interacción SD en el se obtiene el caso de un acoplamiento puramente WIMP-protón. Los autores agradecen al Dr. J. Toivanen y al Sr. lainen para el cálculo del factor de formulario SD también en cuanto a las útiles discusiones. Este trabajo cuenta con el apoyo de el Programa de la Iniciativa de Investigación Creativa de Corea Fundación de Ciencia e Ingeniería. Estamos agradecidos a la Korea Middland Power Co. Ltd. y el personal mem- bers de la planta de energía de almacenamiento bombeada YangYang para brindándonos el espacio de laboratorio subterráneo. ∗ skkim@hep1.snu.ac.kr † Dirección actual: Centro Nacional del Cáncer, Ilsan, Corea ‡ Dirección actual: Departamento de Física, Mujeres Ewha Universidad de Seúl (Corea) [1] K. G. Begeman, A. H. Broeils, y R. H. Sanders, Mon. No, no. Roy. Astron. Soc. 249 y 523 (1991). [2] D. N. Spergel et al., Astrophys. J. Suppl. 148, 175 (2003). [3] M. Tegmark et al., Phys. Rev. D 69, 103501 (2004). [4] G. Jungman, M. Kamionkowski, y K. Griest, Phys. Rep. 267, 195 (1996). [5] H. S. Lee y otros, Nucl. Instr. Meth. A 571, 644 (2007). [6] Y. D. Kim et al., J. Korean. Phys. Soc. 40, 520 (2002). [7] Y. D. Kim et al., Nucl. Instr. Meth. A 552, 456 (2005). [8] T. A. Girard y F. Giuliani, Phys. Rev. D 75, 043512 (2007). [9] H. J. Kim y otros, Nucl. Instr. Meth. A 457, 471 (2001). [10] H. Park et al., Nucl. Instr. Meth. A 491, 460 (2002). [11] H. S. Lee y otros, Phys. Lett. B 633, 201 (2006). [12] S. Agostinelli y otros, Nucl. Instr. Meth. A 506, 250 (2003). [13] J. D. Lewin y P. F. Smith, Astropart. Phys. 6, 87 (1996). [14] J. Toivanen y M. Kortalainen (2006), comunicaciones privadas En este contexto, la Comisión considera que la ayuda concedida por el Estado miembro de que se trate no es compatible con el mercado interior ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior, ni con el mercado interior. [15] M. T. Ressell y D. J. Dean, Phys. Rev. C 56, 535 (1997). [16] F. Iachello, L.M.Krauss, y G. Maino, Phys. Lett. B 254, 220 (1991). [17] G. J. Feldman y R. D. Cousins, Phys. Rev. D 57, 3873 (1998). [18] D. R. Tovey et al., Phys. Lett. B 488, 17 (2000). [19] D. S. Akerib et al., Phys. Rev. D 73, 011102 (2006). [20] G. J. Alner et al., Phys. Lett. B 624, 186 (2005). [21] T. A. Girard y otros, Phys. Lett. B 621, 233 (2005). [22] M. Barnabe-Heider et al., Phys. Lett. B 624, 186 (2005). [23] C. Savage, P. Gondolo, y K. Freese, Phys. Rev. D 70, 123513 (2004). [24] D. S. Akerib y otros, Phys. Rev. Lett. 96, 011302 (2006). [25] V. Sanglard y otros, Phys. Rev. D 71, 122002 (2005). [26] G. Angloher et al., Astropart. Phys. 23, 325 (2005). [27] G. J. Alner y otros, Astropart. Phys. 23, 444 (2005). [28] R. Bernabei y otros, Phys. Lett. B 480, 23 (2000); R. Bern- abei et al., Riv. Nuovo. Cim. 26, 1 (2003). mailto:skkim@hep1.snu.ac.kr

Stopping effects in U+U collisions with a beam energy of 520 MeV/nucleon

Efectos de parada en colisiones de U+U con una energía de haz de 520 MeV/nucleón Xiao-Feng Luo,1, ∗ Xin Dong,1 Ming Shao,1 Ke-Jun Wu,2 Cheng Li,1 Hong-Fang Chen,1 y Hu-Shan Xu3 Universidad de Ciencia y Tecnología de China, Hefei, Anhui 230026, China Instituto de Física de Partículas, Universidad Normal Hua-Zhong, Wuhan, Hubei 430079, China Instituto de Física Moderna, Academia China de Ciencias, LanZhou, Gansu 730000, China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Se aplica un modelo de transporte relativista (ART1.0) para simular los efectos de parada en punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo U+U, a una energía cinética de haz de 520 MeV/nucleón. Nuestra simulación resultados han demostrado que ambas colisiones centrales de las dos orientaciones extremas pueden lograr y también forman una gran cantidad de materia nuclear caliente y densa con un volumen suficientemente grande y de larga duración, debido a los núcleos de uranio en gran parte deformados. El flujo lateral del nucleón en las colisiones tip-tip son casi 3 veces mayores que las de las colisiones cuerpo-cuerpo con impacto normalizado parámetro b/bmax < 0,5, y que las colisiones centrales cuerpo-cuerpo tienen un nucleón negativo más grande flujo elíptico v2 = −12% en contraste con cero en tip-tip. Por lo tanto la circunstancia extrema y el nuevos observables experimentales en las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo pueden proporcionar una buena condición y sonda sensible para estudiar la EES nuclear, respectivamente. El anillo de almacenamiento de refrigeración (CSR) externo Instalación objetivo (ETF) que se construirá en Lanzhou, China, entregando el haz de uranio hasta 520 Se espera que el MeV/núcleo haga una contribución significativa para explorar la ecuación nuclear del estado (EoS). Números PACS: 24.10.Lx,25.75.Ld,25.75.Nq,24.85.+p I. INTRODUCCIÓN En los últimos años, la alta energía ultra-relativista pesado colisiones de iones realizadas en SPS/CERN y RHIC/BNL sNN 10 − 200 GeV) se centran en la alta temperatura región de baja densidad de bariones en la fase de la materia nuclear diagrama [1] para buscar una nueva forma de materia con par- grado tónico de la libertad-el plasma de quark-gluón (QGP) [2, 3, 4, 5]. Sin embargo, no hay cambios dramáticos de experiencia. los objetos observables, como la quema de chorros, el flujo elíptico y aumento de la extrañeza, se han observado todavía [6]. Activar la otra mano, las fuertes colisiones de iones realizadas en el BEVALAC/LBNL y SIS/GSI [7, 8] en las dos últimas décadas se utilizaron para producir estera nuclear caliente y comprimida ter para aprender más sobre la ecuación nuclear del estado (EoS) [13, 14] a alta densidad bariónica y bajo temple- región ature del diagrama de fase. A pesar de que tenemos se esforzó mucho por estudiar la EE nuclear, la teoreti- Callosa y experimentalmente, una conclusión sólida difícilmente puede que se haga. Entonces, todavía vale la pena sistemáticamente estudio sobre la dinámica de colisión, así como la observación de EoS Capaz. Últimamente, para una mayor comprensión de la energía nuclear Diagrama de fase de la materia y EoS a alta densidad de región, se propone colisionar uranio sobre uranio Objetivo en el Mecanismo de Orientación Externa (ETF) de Refrigeración anillo de edad (RSC) en Lanzhou, China con un haz cinético energía de 520 MeV/nucleón. [10]. El uranio es el núcleo estable deformado más grande, y tiene aproximadamente una forma elipsoide con el largo y semieje corto dado por Rl = R0(1 + 2­3/3) y Rs = * autor de contacto: science@mail.ustc.edu.cn FIG. 1: (Color en línea) (a) colisiones cuerpo-cuerpo (b) punta-punta colisiones R0(1 − ♥/3), respectivamente, donde R0 = 7 fm es el efec- El radio esférico y la deformación pa- = 0.27 es la deformación pa- rameter [9]. En consecuencia, uno tiene Rl/Rs = 1.3. En nuestro simulación, consideramos dos orientaciones extremas: el así- llamada punta-tip y patrones cuerpo-cuerpo con el largo y ejes cortos de dos núcleos están alineados con la direc- ión, respectivamente [12], véase Fig. 1 para ilustración. Los Se pueden identificar dos tipos de orientaciones en ori- entaciones de colisiones de U+U haciendo cortes adecuados en datos experimentales, como las multiplicidades de partículas, flujo líptico y así sucesivamente [10, 11]. Con los dos extremos orientaciones de colisión, algunos nuevos efectos de parada que se creen responsables de algunos experimentos significativos observables, como la producción de partículas, miento, así como las densidades centrales alcanzables, pueden ser Enterado. Debido a la gran deformación del uranio núcleos [11, 12], se espera que las colisiones tip-tip puede formar una mayor densidad de materia nuclear con más tiempo duración que en el cuerpo-cuerpo o en los núcleos esféricos colli- ions, que se considera una herramienta poderosa para estudiar http://arxiv.org/abs/0704.0424v2 la transición de la fase de la materia nuclear en sity [12], y las colisiones centrales cuerpo-cuerpo pueden revelar un flujo elíptico fuera del plano más grande (v2 negativo) a alta densidades, que puede ser una sonda sensible para extraer la primeros EES de la materia nuclear caliente y densa [12, 17]. Los nuevos observables experimentales pueden ser utilizados eficazmente estudiar la posible transición de la fase de la materia nuclear y el EoS nuclear [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Por en comparación con las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo, un tipo de las colisiones de la "esfera-esfera" sin deforma- ciones de núcleos de uranio también se incluyen en la simulación. tion. El modelo ART1.0 [21, 22] derivado de Boltzmann- El modelo Uehling-Uhlenbeck (BUU) [23] tiene un mejor tratamiento. del campo medio y de los efectos Pauli-Blocking [23] que modelos en cascada [24]. Los fragmentos de producción mech- el anismo y el grado parcial de libertad no están presentes en el modelo ART1.0. Un EES suave con compresibilidad Coeficiente K = 200 MeV se utiliza en todo el simu- ión y la energía cinética de haz de los núcleos de uranio es establecer en 520 MeV/núcleo si no se indica específicamente. In en la siguiente sección, discutimos sobre el poder de parada relación y selección del parámetro de impacto b. In Sec. 3, la evolución de las densidades bariónicas y energéticas, así como se estudia la termalización de los sistemas de colisión central. In Sec. 4, algunos observables experimentales, como el nucleón También se investiga el flujo lateral y el flujo elíptico. Nosotros resumen nuestros resultados en Sec. 5. II. EJECUCIÓN DEL PODER DE TIP-TIP Y COLISIONES DE LOS ÓRGANOS Gran potencia de frenado puede conducir a una presión notable gradiente en la materia densa comprimida. Es generalmente También se considera responsable de la el movimiento tivo [25], el barión máximo posible y densidades de energía, así como la termalización de sistemas de colisión Tems. Así, el estudio de la potencia de parada en U+U las colisiones pueden proporcionar información importante para de pie la EES nuclear y la dinámica de colisión. A. Selección del parámetro de impacto La energía nuclear de parada y los efectos geométricos en Las colisiones de U+U dependen en gran medida del parámetro de impacto b. Considerando el diseño conceptual de la RSC-ETF detector [10], dos métodos se invocan aquí para estimar el parámetro de impacto. La primera es la multiplicidad de neutrones delanteros con un ángulo polar inferior o igual a 20o en el laboratorio marco que puede ser cubierto por una pared de neutrones hacia adelante. El otro método es hacer uso del parámetro Erat [26], que es la proporción de la cinética transversa total en- ergy a la longitudinal total. Las partículas también son en el marco del laboratorio, mientras que las dos cualidades se calculan dentro del centro de la masa 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 tip-tip cuerpo-cuerpo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 10 maxb/b FIG. 2: Superior: adelante multiplicidad de neutrones e inferior: Erat, en función del parámetro de impacto normalizado b/bmax en tanto las colisiones de punta y cuerpo-cuerpo. sistema (c.m.s.). Erat = Ezi (1) El parámetro de impacto normalizado b/bmax se utiliza la centralidad resentida de las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo y el bmax de los dos casos son muy diferentes de cada uno otro. Como se muestra en la Fig. 2, con cualquiera de los dos métodos, obvio dependencia lineal del parámetro de impacto normalizado se demuestran tanto en la punta-punta como en el cuerpo-cuerpo cerca de colisiones centrales. Entonces, los dos métodos pueden ser com- bined para determinar el parámetro de impacto para identificar el la mayoría de los eventos de colisión central tanto en punta-punta como en cuerpo- colisiones de cuerpos. B. Detener la definición y evolución de la relación de potencia Es difícil obtener una estimación universalmente aceptada de la energía de parada nuclear en las colisiones de iones pesados debidas a una proliferación de definiciones del concepto [27]. Los la relación de potencia de parada R [28] se utiliza para medir la grado de parada y definido como: Ptj / Pzj (2) , el impulso transversal total de nucleón Ptj dividido por el valor absoluto total de momen longitudinal de nucleón tum Pzj en los c.m.s.. La relación se utiliza salvajemente para de- el grado de termalización y de parada nuclear por bajas e intermedias energías colisiones de iones pesados. Es una multi-partícula observable en un evento-por-evento ba- sis, que para una distribución isotrópica es unidad. Fig. 3 muestra el tiempo y el impacto normalizado param- la dependencia de la relación de parada R para tres con- dicciones: colisiones tip-tip, cuerpo-cuerpo y esfera-esfera. 0 10 20 30 40 =0máx(a)b/b tip-tip cuerpo-cuerpo esfera-esfera 0,2 0,4 0,6 0,8 1 b) Minibias tip-tip cuerpo-cuerpo esfera-esfera t(fm/c) maxb/b FIG. 3: (Color en línea) (a)La evolución del tiempo de la parada relación R en punta-tip, cuerpo-cuerpo y esfera-esfera central colli- y (b) la relación de parada R en función de b/bmax en mínima de colisiones sesgadas. Cuando la relación R alcanza el valor de 1, parada completa de el sistema de colisión se considera alcanzado, y el momenta es también isotropía, que no son suficientes pero Essary para el equilibrio térmico de los sistemas de colisión [28]. Para R > 1, se puede explicar por la preponderancia de mo- flujo de mentum perpendicular a la dirección del haz [29]. Lo siento. se demuestra que todas las tres condiciones pueden lograr parar cuando la relación de parada R=1, la correspondencia- El tiempo de funcionamiento de las colisiones centrales cuerpo-cuerpo y punta-tip son aproximadamente 15 fm/c y 25 fm/c, respectivamente. Parada más grande relación y evolución más rápida a la parada completa se observan para colisiones cuerpo-cuerpo centrales que punta-punta y esfera- esfera uno en la etapa temprana, lo que puede indicar un más violento proceso de colisión para colisiones cuerpo-cuerpo centrales debido a la importante región de superposición transversal inicial. Al- aunque la relación de parada de las colisiones centrales de punta y punta es más bajo que los otros dos casos en el momento temprano, se eleva bruscamente más tarde e incluso más allá de uno. Por lo tanto, significa que la reacción más larga y el tiempo de paso se pueden obtener en colisiones centrales de punta que cuerpo-cuerpo y esfera-esfera , que puede indicar los nucleones en punta-tip-colli- sions pueden sufrir más colisiones binarias para llegar más alto impulso transversal. In Fig. 3 b), la R de las tres condiciones son gradu- disminución aliada con el aumento del impacto normalizado parámetro. Cuando b/bmax < 0,5, la relación es siempre mayor para colisiones tip-tip que los otros dos casos, mientras que para b/bmax > 0,5 todas las tres condiciones tienen casi la la misma relación de potencia de parada. III. BARYON, DENSIDAD ENERGÉTICA Y EQUILIBRIO TÉRMICO Teniendo en cuenta la discrepancia de la energía de parada ser- tween tip-tip y cuerpo-cuerpo colisiones, es interesante 4 a) Densidad de Bayon tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au 0 10 20 30 40 50 b) Densidad energética tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au t(fm/c) FIG. 4: La evolución de (a) baryon y (b) densidades de energía en las colisiones centrales de punta, cuerpo y cuerpo y Au+Au. para estudiar más a fondo sobre las densidades bariónica y energética evolución en ambos casos. Como la parada completa y de- efectos de formación en colisiones U+U, se cree que más alto baryon local y sistema de densidades de energía con ración puede ser creado, que se considera como un signo condición de icant para estudiar la EES nuclear en alta bayónica región de densidad. A. La evolución de las densidades bariónica y energética La evolución de las densidades bariónicas y energéticas en el zona central de punta-tip y cuerpo-cuerpo, así como Au+Au Las colisiones centrales se ilustran en la Fig. 4. In Fig. 4, se observa el máximo alcanzable baryon y densidades de energía tanto para la punta como para el cuerpo. las colisiones centrales del cuerpo son de 3,2°0 y 0,8 GeV/fm respectivamente, mientras que el Au+Au es de aproximadamente 2,6°0 y 0.6 GeV/fm3. Tanto el barión como las densidades de energía en Las colisiones de U+U son más altas que las de Au+Au. Una vez a se requiere un umbral de densidad de baryón de 2,5 °0, la duración correspondiente en las colisiones centrales de punta de punta + 20 fm/c (de 8 fm/c a 28 fm/c) es más largo que 10 fm/c ( de 8 fm/c a 18 fm/c) de cuerpo a cuerpo uno, que es como se predijo. Pero las densidades pico tienen no hay discrepancia significativa entre los dos casos a diferencia de los de la región energética del Gradient Alternativo Sincrotrón (AGS) [12], que puede atribuirse a la Parada completa en la energía de la RSC. B. Termalización de los sistemas de colisión U+U Como se mencionó anteriormente, la relación de parada R = 1 es un condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio térmico librio del sistema de colisión. Con el fin de aproximarse a un equilibrio térmico, una larga duración de la reacción es necesaria para que los nucleones sufran suficientes colisiones binarias. As 0 10 20 30 40 50 tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au 0 10 20 30 40 50 tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au t(fm/c) FIG. 5: La evolución de (a) volumen con alta densidad 2.5.0) en las colisiones centrales de punta, cuerpo y cuerpo y Au+Au, y b) la energía cinética media escalonada 2 < Ek >, dentro de una esfera de radio 2fm alrededor del centro de masa del sistema. se muestra en la Fig. 4 a), la larga duración ha sido evidente en las colisiones centrales tanto de punta como de cuerpo a cuerpo. Por lo tanto, es posible equilibrio térmico en el momento se puede lograr la congelación. La Fig. 5(a) es la evolución del volumen con el alta densidad de bariones para la punta, cuerpo y cuerpo y colisiones centrales Au+Au, respectivamente. Ambas puntas... las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo tienen volúmenes más grandes que Au+Au uno en el mismo haz de energía cinética 520 MeV/nucleon. Aunque el volumen máximo alcanza- capaz de colisiones centrales cuerpo-cuerpo (+ 220 fm3) es aproximadamente dos veces más grande que el tip-tip one (+ 120 fm3), el pico El volumen de colisiones centrales de punta y punta dura mucho más tiempo tiempo de 10 fm/c (de 15 fm/c a 25 fm/c) y mucho más estable que el cuerpo-cuerpo uno. Para estimar la temperatura en el tiempo de congelación, la media escalada ki- energía neta de todos los hadrones en una esfera de radio 2fm alrededor del centro de masa del sistema se calcula como 2 < Ek > [22], que se utiliza para reflejar la tem- la peratura T del sistema de colisión aproximadamente. As ilustrada en la Fig. 5 b), tanto la punta como el cuerpo colisiones centrales muestran una región plana alrededor de 75 MeV y el intervalo de tiempo correspondiente es de aproximadamente 10 fm/c a 28 fm/c y 10 fm/c a 18 fm/c, respectivamente. Considerando el intervalo de tiempo de la región plana en la Fig. 5 b) associat- ing con el rango correspondiente en la Fig. 5 a) y también Mirando hacia atrás a Fig. 4, obtenemos un gran volumen de caliente, materia nuclear densa, tanto en punta como en cuerpo-cuerpo. colisiones tral. En consecuencia, la circunstancia extrema de temperatura y densidad suficientemente altas para un signif- icant de gran volumen y larga duración [12, 22] ha sido formado en las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo, que puede proporcionar una buena oportunidad para estudiar la EES nuclear así como partículas en propiedades medianas, especialmente para Estuche de punta. El tiempo de congelación debe determinarse con cautela (a)tip-tip *N 0 10 20 30 40 50 60 80 b) Cuerpo-cuerpo *N t(fm/c) FIG. 6: Evolución de la multiplicidad del pion libre, N* + En el apartado a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) y en el apartado b) de la letra c) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra b) de la letra c) de la letra a) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c Sions. para estimar la temperatura de termalización de los colli- Sistema de iones. In Fig. 6 la evolución de la multiplicidad de libre pion que no están limitados en resonancias bariónicas y Pion todavía limitado dentro de las resonancias bariónicas excitadas Se muestra el pion no nacido. En el Lanzhou CSR región energética (520 MeV/núcleo), la producción y la destrucción de las resonancias son principalmente a través de Las reacciones NN N­ y N­ → N­ en las que el decaimiento tasa es siempre más alta que la de la formación de este resonancia y la producción de pion es predominante por el decaimiento de las resonancias de.... (...................................................................................................................................................................................................................................................... El total la multiplicidad de los piones, de los piones y de los N* se aproximan a un saturado nivel después de un período de evolución, indicando la tiempo de salida sobre t=28 fm/c y t=18 fm/c para tip-tip y colisiones centrales cuerpo-cuerpo, respectivamente. Cuanto más grande multiplicidad total máxima alcanzable de piones, naftalenos, naftalenos y naftalenos y congelarse antes indica la existencia de evo- la contaminación y el proceso de reacción más violenta para el cuerpo- colisiones centrales del cuerpo que el caso de punta-punta que consiste en la discusión de antes. La temperatura correspondiente alrededor de 75 MeV en El tiempo de congelación puede extraerse de la Fig. 5 b), para tanto las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo. A continuación confirmar esta estimación, tanto el espectro energético de la nucleón y pión con carga negativa se estudian en el rango de ángulo polar de 900±100 en los c.m.s.. El termo... modelo dinámico [31] predice que los espectros de energía estar representado por una temperatura T que caracteriza a Gas Maxwell-Boltzmann PEdEd = const× e−Ekin/T (3) , donde P y E son el impulso de partículas y total energía en los C.M.s.. Tanto los espectros de energía como el Los resultados de ajuste de Boltzmann se muestran en la Fig. 7. La inversa pendiente (por ejemplo, pendiente) temperatura T ) de los nucleones en la punta y Las colisiones centrales cuerpo-cuerpo son alrededor de 73 MeV y 70 0 0,2 0,4 0,6 0,8 310 tip-tip cuerpo-cuerpo a) Nucleon 0 0,2 0,4 0,6 0,8 -lb) (GeV)kinE FIG. 7: a) Núcleo y b) energía de pión con carga negativa espectro a 900 ± 100 en los c.m.s. junto con un Maxwell... Boltzmann apto tanto para punta-punta y cuerpo-cuerpo central colli- Sions. Temperatura de ajuste del nucleón para punta y cuerpo-cuerpo son alrededor de 73 MeV y 70 MeV, respectivamente, y el de pion son aproximadamente 56 MeV y 52 MeV, respectivamente. MeV, respectivamente, que están de acuerdo con el temperatura extraída de la Fig. 5 b) en el momento de la congelación Tiempo fuera. Los espectros de los piones con carga negativa muestran un diferente temperatura inferior a la del nucleón que puede explicarse considerando un equilibrio N y • sistema de congelación térmica y teniendo en cuenta la cinemática de la descomposición [32]. La temperatura del nucleón refleja estrechamente la temperatura de congelación de la punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo centrales. En conclusión, la termalización (o cerca de la termalización) del sistema de colisión correspondiente a un la peratura alrededor de 75 MeV es probable que se alcance en ambos Colisiones centrales tip-tip y cuerpo-cuerpo. Sin embargo, es También es posible que el sistema de colisión todavía esté en un no- proceso de transporte de equilibrio en su camino hacia la cinética Equilibración [30]. IV. EL FLUJO COLECTIVO DE U+U COLLISIONES La parada de núcleos en una fuerte colisión de iones puede conducir a gradiente de presión a lo largo de diferentes direcciones, resultado- En el movimiento colectivo como espectadores rebotan [34] y los participantes efectos de exprimir [35]. Desde el último dos décadas, en las energías Bevalac/LBNL y SIS/GSI el análisis llamado “flujo colectivo” ha sido estab- , 34, 35, 36, 37] para estudiar la sión de los productos en colisiones de iones pesadas. El collec... flujo tivo resultante del rebote y la extrusión ef- efectos, que se puede explicar bien por la hidrodinámica modelo [34, 38], y también estar de acuerdo con el se han observado datos experimentales [39, 40]. Debido a la gran deformación de los núcleos de uranio, un -1 -0,5 0 0,5 1 Suave:tip-tip Suave:cuerpo-cuerpo Cascada:tip-tip Cascada: cuerpo-cuerpo a)b/b -1 -0,5 0 0,5 1 b) b/b FIG. 8: El impulso transversal medio por nucleón pro- inyectado en el plano de reacción, < px/A >, como función de las C.M.S. la rapidez normalizada se ilustra para la punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo. Con parámetro de impacto normalizado corte:(a)b/bmax <= 0,5 (b)b/bmax > 0,5. se espera que el movimiento lácteo [12], que se utilizará para extraer el propiedades medianas y materia nuclear información EES. [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Para realizar el análisis de flujo, es necesario construir un plano de reacción imaginario definido por la dirección del haz (z) y el parámetro de impacto vector b [43, 45, 46]. En nuestro simulación, el plano x- z se define como la reacción plano con la dirección del haz a lo largo de z dirección positiva y el vector del parámetro de impacto b a lo largo de x direc- tion. En las últimas dos décadas, hay principalmente dos métodos estudiar el flujo colectivo en los niveles bajo e intermedio energías. Uno es el método de la esfericidad [28, 34, 41, 42] que produce el ángulo de flujo en relación con el eje del haz de el eje principal del elipsoide de energía cinética más adecuado, y el otro es emplear el impulso transversal medio por nucleón proyectado en el plano de reacción, < px/A >, para realizar un análisis de flujo lateral de nucleón [43, 44] que refleja los efectos de rebote del espectador en la reacción avión. En los últimos años, es habitual utilizar un anisotrópico Método de análisis de flujo transversal. Con una extensión de Fourier... sión [47, 48] del ángulo azimutal de la partícula sión con respecto al plano de reacción, diferente har- coeficientes monicos pueden ser extraídos, entre los cuales el primer coeficiente armónico v1, llamado flujo dirigido (simi- lar a flujo lateral) y el segundo coeficiente armónico v2, llamado flujo elíptico están principalmente interesados. La elip- tic refleja la anisotropía de las partículas de emisión en el plano perpendicular al plano de reacción mientras el flujo dirigido describe la anisotropía en el plano de reacción. La expansión de Fourier se puede expresar como 1 + 2vncos(nŁ) (4) Fig. 8 muestra flujo lateral de nucleón, < px/A >, para Colisiones sesgadas tanto de punta como de cuerpo a cuerpo a) Parámetro de flujo de núcleo tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au(500MeV/A) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 10 2 b) Nucleon v tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au(500MeV/A) maxb/b FIG. 9: (a)El parámetro de flujo de nucleón F y (b)los c.m.s. rapididad media ( −0,5 < y0 < 0,5 ), flujo elíptico nucleónico v2 de tres condiciones de colisión en función del impacto normalizado parámetro b/bmax con EoS suave. en función de la rapidez normalizada, y(0) = Ycm/ycm, en que Ycm representa la rapidez de las partículas en c.m.s. y ycm es la rapidez del centro de masa del sistema. A la ex- la información nuclear de la EES y también demostrar las discrepancias del flujo lateral del nucleón en la punta de la punta y colisiones cuerpo-cuerpo, los eventos en cascada [49], que descuidar el campo medio y los efectos de bloqueo pauli son em- aquí para compararlo con el caso suave de EoS. In Fig. 8(a),(b), con un EoS suave, se observa que cualquiera de las puntas o colisiones cuerpo-cuerpo muestran a un espectador rebote ef- que revela una obvia forma de “S” [15, 49] a mediados de región de velocidad de −0,5 < y0 < 0,5, mientras que la cascada uno Aparece un flujo lateral de nucleones casi desapareciendo. Puede entender por el flujo lateral nucleón está relacionado al sector medio, que es el principal responsable de la gradiente de presión de los núcleos de parada, mientras que la media El campo tiene una fuerte dependencia de la EES nuclear. Ahí... antes, el flujo de nucleón hacia el lado se cree que es un buen sonda indirecta para extraer la información de la EES nuclear, especialmente el caso de tip-tip por su lado en gran medida notable fluir. Un corte en el parámetro de impacto normalizado es también aplicación para explorar la dependencia de los parámetros de impacto de flujo de nucleón hacia el lado. Como se muestra en la Fig. 8 b), cuando b/bmax > 0,5 las curvas de EoS suave y cascada son al- la mayoría superpuestas entre sí, mientras que para b/bmax < 0,5 Se observa una gran discrepancia. La situación es bastante sim- ilar a Fig. 3 b), casi la misma potencia de parada para b/bmax > 0,5 y gran discrepancia para b/bmax < 0,5 tip-tip y cuerpo-cuerpo mínima de colisiones sesgadas, que significa que existe una correlación entre la detención nuclear potencia y flujo lateral [33]. La dependencia del parámetro de impacto normalizado de la se estudia más a fondo el flujo colectivo de nucleón, mediante el análisis el “parametro de flujo” F [49] y también el flujo elíptico v2 para Consejo y cuerpo, así como mínimo Au+Au colisiones sesgadas. El parámetro de flujo F es un calidad utilizada para describir el flujo de nucleón hacia el lado Definida por título como: d < px/A > dy(0) y(0)=0 la pendiente del impulso transversal medio por nucleón proyectado en el plano de reacción en y(0) = 0. In Fig. 9 a), con b/bmax > 0,5, el flujo de nucleón pa- el rametro F de las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo son con valor similar. Esta similitud, junto con la casi misma parar ratioR en la Fig. 3 b), indica la existencia de sim- Efectos de gradiente de presión ilar sobre el flujo lateral de nucleón en las dos orientaciones de colisión. Mientras que para b/bmax < 0,5, el parámetro de flujo F de las colisiones tip-tip es casi 3 veces más grande que el caso cuerpo-cuerpo. Incluso el lado. flujo de colisiones Au+Au es más grande que el cuerpo-cuerpo Uno. Se confirma además el nucleón de punta hacia el lado flujo es una sonda más sensible para extraer la información de EES nuclear que la de cuerpo-cuerpo uno. El promi- nence alto del flujo lateral del nucleón en la punta de punta colli- sions pueden ser resultado del gradiente de presión más fuerte entre los participantes y los espectadores en la reacción plano que cuerpo-cuerpo uno, debido a la mayor parte deformado núcleos. El parámetro de impacto normalizado dependiente de nu- flujo elíptico cleon v2 en la región de rapididad media ( −0,5 < y0 < 0,5) se muestra en la Fig. 9 b). Un negativo significativo... flujo elíptico ativo v2 en esta región de energía es consistente con la función de excitación del flujo elíptico estudiado antes de [50]. Un v2 negativo más grande alrededor de −12% en el cuerpo colisiones centrales del cuerpo se observa que refleja la gran efectos geométricos y exprimidos en las colisiones. Mientras para tip-tip y Au+Au que el máximo negativo v2 son obtenido a mitad de la centralidad. Desde los dos baryon alto, en- densidades ergias y grandes efectos de flujo elíptico, que reflejan una temprana EES de la materia nuclear de compresión densa caliente [17], están disponibles en colisiones cuerpo-cuerpo centrales. Por lo tanto el flujo elíptico cuerpo-cuerpo nucleón también se puede tomar como una sonda sensible de EoS nuclear. Los comportamientos novedosos de flujo colectivo de nucleones en la punta de la punta y cuerpo-cuerpo lisiones se atribuyen principalmente a la gran deformación de los núcleos de uranio. V. RESUMEN En resumen, el CSR-ETF en Lanzhou proporciona una buena la oportunidad de estudiar sistemáticamente la EES nuclear en la región de alta densidad neta de la materia nuclear diagrama de fase. Debido a los nuevos efectos de parada en gran parte deformadas colisiones U+U, la simulación basada en ART1.0 demuestra que se puede lograr una parada completa y también una gran parte de la materia nuclear caliente, de alta densidad con gran volumen y larga duración se han formado en ambos Colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo. Gran nucleón hacia el lado flujo en colisiones tip-tip y el n- El flujo elíptico de células en las colisiones centrales cuerpo-cuerpo puede pro- vide una sonda sensible para extraer la información nuclear de la EES. Así la circunstancia extrema y el colectivo novedoso flujo tanto en la punta como en las colisiones cuerpo-cuerpo puede proporcionar una buena condición y sonda sensible para estudiar el nu- claro EoS, respectivamente. Más observables experimentales de la dinámica de colisión de U+U debe estudiarse más a fondo, debido a los efectos geométricos. VI. AGRADECIMIENTO Este trabajo cuenta con el apoyo de National Natural Sci- Fundación de China (10575101,10675111) y la Programa de Asociación Internacional CAS/SAFEA para Equipo de Investigación Creativa con el número de subvención CXTD-J2005-1. Queremos agradecer a Bao-an Li, Feng Liu, Qun Wang, Zhi-Gang Xiao y Nu Xu por su valioso comentarios y sugerencias. [1] M. A. Stephanov, Int. J. Mod. Phys. A20.4387 (2005); [2] C. Lourenco et al, Nuclear Physics A698,13-22 (2002); [3] N. Xu et al, Nucl. Phys. A751,109-126 (2005) [4] J. Adams et al, Nucl. Phys. A757,102-183 (2005); [5] K. Adcox et al, Nucl. Phys. A757,184-283 (2005); [6] P. Jacobs, X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 433- 534(2005) [7] E. K. Hyde, Phys. Scr. 10 30-35 (1974) ; [8] C. Höhne, Nucl. Phys. A749,141c-149c (2005); [9] A. Bohr y B. Mottelson, Estructura Nuclear 2.133 (1975); [10] Z. G. Xiao, charla presentada en QM2006,ShangHai; [11] E. V. Shuryak, Phys. Rev. C 61.034905 (2000); [12] Bao-An Li, Phys. Rev. C 61,021903(R) (2000); [13] P. Danielewicz, nucl-th/0512009; [14] P. Danielewicz y otros, Science 298,1592-1596 (2002); [15] K. G. R. Doss et al, Phys. Rev. Lett. 57.302 (1986); [16] J. J. Molitoris et al, Nucl. Phys. A447,13c (1985); [17] P. Danielewicz et al, Phy. Rev. Lett. 81,2438 (1998); [18] J. Hofmann et al, Phys. Rev. Lett. 36,88 (1976); [19] H. Stöocker y W. Greiner, Phys. Rep. 137.277 (1986); [20] H. Stöocker et al, Z. Phys. A 290.297 (1979); [21] Bao-An Li y C. M. Ko, Phys. Rev. C 52,2037 (1995); [22] Bao-An Li et al, Inter. Jour. Mod. Phys. E10.267 (2001); [23] G. F. Bertsch y S. D. Gupta, Phys.Rep. 160.189 (1988); [24] J. Cugnon, Phys. Rev. C 22,1885 (1980) [25] A. Andronic et al, Eur. Phys. J. A30.1 (2006); [26] B. Hong et al, Phys. Rev. C 66.034901 (2002); [27] S. P. Sorensen y otros, CONF-91092221-3: DE92009006 (1991); [28] H. Ströbele et al, Phys. 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Se aplica un modelo de transporte relativista (ART1.0) para simular la parada efectos en las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo U+U, a una energía cinética de haz de 520 MeV/nucleón. Nuestros resultados de simulación han demostrado que ambos colisiones de las dos orientaciones extremas pueden lograr la parada completa, y también forma una masa de materia nuclear caliente y densa con un volumen suficientemente grande y de larga duración, debido a los núcleos de uranio en gran parte deformados. El nucleón hacia el lado el flujo en las colisiones de punta-punta es casi 3 veces mayor que en el cuerpo-cuerpo uno en el parámetro de impacto normalizado $b/b_{max+0.5$, y que el cuerpo-cuerpo colisiones centrales tienen un mayor flujo elíptico negativo de nucleón $v_{2}=-12%$ en contraste con cero en tip-tip. Por lo tanto la circunstancia extrema y el nuevos observables experimentales en las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo pueden proporcionar una buena condición y una sonda sensible para estudiar la EES nuclear, respectivamente. El anillo de almacenamiento de refrigeración (CSR) instalación de destino externo (ETF) que se construirá en Lanzhou, China, entregando el haz de uranio hasta 520 MeV/núcleo para hacer una contribución significativa a la exploración de la ecuación nuclear del Estado (EoS).

Efectos de parada en colisiones de U+U con una energía de haz de 520 MeV/nucleón Xiao-Feng Luo,1, ∗ Xin Dong,1 Ming Shao,1 Ke-Jun Wu,2 Cheng Li,1 Hong-Fang Chen,1 y Hu-Shan Xu3 Universidad de Ciencia y Tecnología de China, Hefei, Anhui 230026, China Instituto de Física de Partículas, Universidad Normal Hua-Zhong, Wuhan, Hubei 430079, China Instituto de Física Moderna, Academia China de Ciencias, LanZhou, Gansu 730000, China (Fecha: 4 de noviembre de 2018) Se aplica un modelo de transporte relativista (ART1.0) para simular los efectos de parada en punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo U+U, a una energía cinética de haz de 520 MeV/nucleón. Nuestra simulación resultados han demostrado que ambas colisiones centrales de las dos orientaciones extremas pueden lograr y también forman una gran cantidad de materia nuclear caliente y densa con un volumen suficientemente grande y de larga duración, debido a los núcleos de uranio en gran parte deformados. El flujo lateral del nucleón en las colisiones tip-tip son casi 3 veces mayores que las de las colisiones cuerpo-cuerpo con impacto normalizado parámetro b/bmax < 0,5, y que las colisiones centrales cuerpo-cuerpo tienen un nucleón negativo más grande flujo elíptico v2 = −12% en contraste con cero en tip-tip. Por lo tanto la circunstancia extrema y el nuevos observables experimentales en las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo pueden proporcionar una buena condición y sonda sensible para estudiar la EES nuclear, respectivamente. El anillo de almacenamiento de refrigeración (CSR) externo Instalación objetivo (ETF) que se construirá en Lanzhou, China, entregando el haz de uranio hasta 520 Se espera que el MeV/núcleo haga una contribución significativa para explorar la ecuación nuclear del estado (EoS). Números PACS: 24.10.Lx,25.75.Ld,25.75.Nq,24.85.+p I. INTRODUCCIÓN En los últimos años, la alta energía ultra-relativista pesado colisiones de iones realizadas en SPS/CERN y RHIC/BNL sNN 10 − 200 GeV) se centran en la alta temperatura región de baja densidad de bariones en la fase de la materia nuclear diagrama [1] para buscar una nueva forma de materia con par- grado tónico de la libertad-el plasma de quark-gluón (QGP) [2, 3, 4, 5]. Sin embargo, no hay cambios dramáticos de experiencia. los objetos observables, como la quema de chorros, el flujo elíptico y aumento de la extrañeza, se han observado todavía [6]. Activar la otra mano, las fuertes colisiones de iones realizadas en el BEVALAC/LBNL y SIS/GSI [7, 8] en las dos últimas décadas se utilizaron para producir estera nuclear caliente y comprimida ter para aprender más sobre la ecuación nuclear del estado (EoS) [13, 14] a alta densidad bariónica y bajo temple- región ature del diagrama de fase. A pesar de que tenemos se esforzó mucho por estudiar la EE nuclear, la teoreti- Callosa y experimentalmente, una conclusión sólida difícilmente puede que se haga. Entonces, todavía vale la pena sistemáticamente estudio sobre la dinámica de colisión, así como la observación de EoS Capaz. Últimamente, para una mayor comprensión de la energía nuclear Diagrama de fase de la materia y EoS a alta densidad de región, se propone colisionar uranio sobre uranio Objetivo en el Mecanismo de Orientación Externa (ETF) de Refrigeración anillo de edad (RSC) en Lanzhou, China con un haz cinético energía de 520 MeV/nucleón. [10]. El uranio es el núcleo estable deformado más grande, y tiene aproximadamente una forma elipsoide con el largo y semieje corto dado por Rl = R0(1 + 2­3/3) y Rs = * autor de contacto: science@mail.ustc.edu.cn FIG. 1: (Color en línea) (a) colisiones cuerpo-cuerpo (b) punta-punta colisiones R0(1 − ♥/3), respectivamente, donde R0 = 7 fm es el efec- El radio esférico y la deformación pa- = 0.27 es la deformación pa- rameter [9]. En consecuencia, uno tiene Rl/Rs = 1.3. En nuestro simulación, consideramos dos orientaciones extremas: el así- llamada punta-tip y patrones cuerpo-cuerpo con el largo y ejes cortos de dos núcleos están alineados con la direc- ión, respectivamente [12], véase Fig. 1 para ilustración. Los Se pueden identificar dos tipos de orientaciones en ori- entaciones de colisiones de U+U haciendo cortes adecuados en datos experimentales, como las multiplicidades de partículas, flujo líptico y así sucesivamente [10, 11]. Con los dos extremos orientaciones de colisión, algunos nuevos efectos de parada que se creen responsables de algunos experimentos significativos observables, como la producción de partículas, miento, así como las densidades centrales alcanzables, pueden ser Enterado. Debido a la gran deformación del uranio núcleos [11, 12], se espera que las colisiones tip-tip puede formar una mayor densidad de materia nuclear con más tiempo duración que en el cuerpo-cuerpo o en los núcleos esféricos colli- ions, que se considera una herramienta poderosa para estudiar http://arxiv.org/abs/0704.0424v2 la transición de la fase de la materia nuclear en sity [12], y las colisiones centrales cuerpo-cuerpo pueden revelar un flujo elíptico fuera del plano más grande (v2 negativo) a alta densidades, que puede ser una sonda sensible para extraer la primeros EES de la materia nuclear caliente y densa [12, 17]. Los nuevos observables experimentales pueden ser utilizados eficazmente estudiar la posible transición de la fase de la materia nuclear y el EoS nuclear [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Por en comparación con las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo, un tipo de las colisiones de la "esfera-esfera" sin deforma- ciones de núcleos de uranio también se incluyen en la simulación. tion. El modelo ART1.0 [21, 22] derivado de Boltzmann- El modelo Uehling-Uhlenbeck (BUU) [23] tiene un mejor tratamiento. del campo medio y de los efectos Pauli-Blocking [23] que modelos en cascada [24]. Los fragmentos de producción mech- el anismo y el grado parcial de libertad no están presentes en el modelo ART1.0. Un EES suave con compresibilidad Coeficiente K = 200 MeV se utiliza en todo el simu- ión y la energía cinética de haz de los núcleos de uranio es establecer en 520 MeV/núcleo si no se indica específicamente. In en la siguiente sección, discutimos sobre el poder de parada relación y selección del parámetro de impacto b. In Sec. 3, la evolución de las densidades bariónicas y energéticas, así como se estudia la termalización de los sistemas de colisión central. In Sec. 4, algunos observables experimentales, como el nucleón También se investiga el flujo lateral y el flujo elíptico. Nosotros resumen nuestros resultados en Sec. 5. II. EJECUCIÓN DEL PODER DE TIP-TIP Y COLISIONES DE LOS ÓRGANOS Gran potencia de frenado puede conducir a una presión notable gradiente en la materia densa comprimida. Es generalmente También se considera responsable de la el movimiento tivo [25], el barión máximo posible y densidades de energía, así como la termalización de sistemas de colisión Tems. Así, el estudio de la potencia de parada en U+U las colisiones pueden proporcionar información importante para de pie la EES nuclear y la dinámica de colisión. A. Selección del parámetro de impacto La energía nuclear de parada y los efectos geométricos en Las colisiones de U+U dependen en gran medida del parámetro de impacto b. Considerando el diseño conceptual de la RSC-ETF detector [10], dos métodos se invocan aquí para estimar el parámetro de impacto. La primera es la multiplicidad de neutrones delanteros con un ángulo polar inferior o igual a 20o en el laboratorio marco que puede ser cubierto por una pared de neutrones hacia adelante. El otro método es hacer uso del parámetro Erat [26], que es la proporción de la cinética transversa total en- ergy a la longitudinal total. Las partículas también son en el marco del laboratorio, mientras que las dos cualidades se calculan dentro del centro de la masa 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 tip-tip cuerpo-cuerpo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 10 maxb/b FIG. 2: Superior: adelante multiplicidad de neutrones e inferior: Erat, en función del parámetro de impacto normalizado b/bmax en tanto las colisiones de punta y cuerpo-cuerpo. sistema (c.m.s.). Erat = Ezi (1) El parámetro de impacto normalizado b/bmax se utiliza la centralidad resentida de las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo y el bmax de los dos casos son muy diferentes de cada uno otro. Como se muestra en la Fig. 2, con cualquiera de los dos métodos, obvio dependencia lineal del parámetro de impacto normalizado se demuestran tanto en la punta-punta como en el cuerpo-cuerpo cerca de colisiones centrales. Entonces, los dos métodos pueden ser com- bined para determinar el parámetro de impacto para identificar el la mayoría de los eventos de colisión central tanto en punta-punta como en cuerpo- colisiones de cuerpos. B. Detener la definición y evolución de la relación de potencia Es difícil obtener una estimación universalmente aceptada de la energía de parada nuclear en las colisiones de iones pesados debidas a una proliferación de definiciones del concepto [27]. Los la relación de potencia de parada R [28] se utiliza para medir la grado de parada y definido como: Ptj / Pzj (2) , el impulso transversal total de nucleón Ptj dividido por el valor absoluto total de momen longitudinal de nucleón tum Pzj en los c.m.s.. La relación se utiliza salvajemente para de- el grado de termalización y de parada nuclear por bajas e intermedias energías colisiones de iones pesados. Es una multi-partícula observable en un evento-por-evento ba- sis, que para una distribución isotrópica es unidad. Fig. 3 muestra el tiempo y el impacto normalizado param- la dependencia de la relación de parada R para tres con- dicciones: colisiones tip-tip, cuerpo-cuerpo y esfera-esfera. 0 10 20 30 40 =0máx(a)b/b tip-tip cuerpo-cuerpo esfera-esfera 0,2 0,4 0,6 0,8 1 b) Minibias tip-tip cuerpo-cuerpo esfera-esfera t(fm/c) maxb/b FIG. 3: (Color en línea) (a)La evolución del tiempo de la parada relación R en punta-tip, cuerpo-cuerpo y esfera-esfera central colli- y (b) la relación de parada R en función de b/bmax en mínima de colisiones sesgadas. Cuando la relación R alcanza el valor de 1, parada completa de el sistema de colisión se considera alcanzado, y el momenta es también isotropía, que no son suficientes pero Essary para el equilibrio térmico de los sistemas de colisión [28]. Para R > 1, se puede explicar por la preponderancia de mo- flujo de mentum perpendicular a la dirección del haz [29]. Lo siento. se demuestra que todas las tres condiciones pueden lograr parar cuando la relación de parada R=1, la correspondencia- El tiempo de funcionamiento de las colisiones centrales cuerpo-cuerpo y punta-tip son aproximadamente 15 fm/c y 25 fm/c, respectivamente. Parada más grande relación y evolución más rápida a la parada completa se observan para colisiones cuerpo-cuerpo centrales que punta-punta y esfera- esfera uno en la etapa temprana, lo que puede indicar un más violento proceso de colisión para colisiones cuerpo-cuerpo centrales debido a la importante región de superposición transversal inicial. Al- aunque la relación de parada de las colisiones centrales de punta y punta es más bajo que los otros dos casos en el momento temprano, se eleva bruscamente más tarde e incluso más allá de uno. Por lo tanto, significa que la reacción más larga y el tiempo de paso se pueden obtener en colisiones centrales de punta que cuerpo-cuerpo y esfera-esfera , que puede indicar los nucleones en punta-tip-colli- sions pueden sufrir más colisiones binarias para llegar más alto impulso transversal. In Fig. 3 b), la R de las tres condiciones son gradu- disminución aliada con el aumento del impacto normalizado parámetro. Cuando b/bmax < 0,5, la relación es siempre mayor para colisiones tip-tip que los otros dos casos, mientras que para b/bmax > 0,5 todas las tres condiciones tienen casi la la misma relación de potencia de parada. III. BARYON, DENSIDAD ENERGÉTICA Y EQUILIBRIO TÉRMICO Teniendo en cuenta la discrepancia de la energía de parada ser- tween tip-tip y cuerpo-cuerpo colisiones, es interesante 4 a) Densidad de Bayon tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au 0 10 20 30 40 50 b) Densidad energética tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au t(fm/c) FIG. 4: La evolución de (a) baryon y (b) densidades de energía en las colisiones centrales de punta, cuerpo y cuerpo y Au+Au. para estudiar más a fondo sobre las densidades bariónica y energética evolución en ambos casos. Como la parada completa y de- efectos de formación en colisiones U+U, se cree que más alto baryon local y sistema de densidades de energía con ración puede ser creado, que se considera como un signo condición de icant para estudiar la EES nuclear en alta bayónica región de densidad. A. La evolución de las densidades bariónica y energética La evolución de las densidades bariónicas y energéticas en el zona central de punta-tip y cuerpo-cuerpo, así como Au+Au Las colisiones centrales se ilustran en la Fig. 4. In Fig. 4, se observa el máximo alcanzable baryon y densidades de energía tanto para la punta como para el cuerpo. las colisiones centrales del cuerpo son de 3,2°0 y 0,8 GeV/fm respectivamente, mientras que el Au+Au es de aproximadamente 2,6°0 y 0.6 GeV/fm3. Tanto el barión como las densidades de energía en Las colisiones de U+U son más altas que las de Au+Au. Una vez a se requiere un umbral de densidad de baryón de 2,5 °0, la duración correspondiente en las colisiones centrales de punta de punta + 20 fm/c (de 8 fm/c a 28 fm/c) es más largo que 10 fm/c ( de 8 fm/c a 18 fm/c) de cuerpo a cuerpo uno, que es como se predijo. Pero las densidades pico tienen no hay discrepancia significativa entre los dos casos a diferencia de los de la región energética del Gradient Alternativo Sincrotrón (AGS) [12], que puede atribuirse a la Parada completa en la energía de la RSC. B. Termalización de los sistemas de colisión U+U Como se mencionó anteriormente, la relación de parada R = 1 es un condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio térmico librio del sistema de colisión. Con el fin de aproximarse a un equilibrio térmico, una larga duración de la reacción es necesaria para que los nucleones sufran suficientes colisiones binarias. As 0 10 20 30 40 50 tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au 0 10 20 30 40 50 tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au t(fm/c) FIG. 5: La evolución de (a) volumen con alta densidad 2.5.0) en las colisiones centrales de punta, cuerpo y cuerpo y Au+Au, y b) la energía cinética media escalonada 2 < Ek >, dentro de una esfera de radio 2fm alrededor del centro de masa del sistema. se muestra en la Fig. 4 a), la larga duración ha sido evidente en las colisiones centrales tanto de punta como de cuerpo a cuerpo. Por lo tanto, es posible equilibrio térmico en el momento se puede lograr la congelación. La Fig. 5(a) es la evolución del volumen con el alta densidad de bariones para la punta, cuerpo y cuerpo y colisiones centrales Au+Au, respectivamente. Ambas puntas... las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo tienen volúmenes más grandes que Au+Au uno en el mismo haz de energía cinética 520 MeV/nucleon. Aunque el volumen máximo alcanza- capaz de colisiones centrales cuerpo-cuerpo (+ 220 fm3) es aproximadamente dos veces más grande que el tip-tip one (+ 120 fm3), el pico El volumen de colisiones centrales de punta y punta dura mucho más tiempo tiempo de 10 fm/c (de 15 fm/c a 25 fm/c) y mucho más estable que el cuerpo-cuerpo uno. Para estimar la temperatura en el tiempo de congelación, la media escalada ki- energía neta de todos los hadrones en una esfera de radio 2fm alrededor del centro de masa del sistema se calcula como 2 < Ek > [22], que se utiliza para reflejar la tem- la peratura T del sistema de colisión aproximadamente. As ilustrada en la Fig. 5 b), tanto la punta como el cuerpo colisiones centrales muestran una región plana alrededor de 75 MeV y el intervalo de tiempo correspondiente es de aproximadamente 10 fm/c a 28 fm/c y 10 fm/c a 18 fm/c, respectivamente. Considerando el intervalo de tiempo de la región plana en la Fig. 5 b) associat- ing con el rango correspondiente en la Fig. 5 a) y también Mirando hacia atrás a Fig. 4, obtenemos un gran volumen de caliente, materia nuclear densa, tanto en punta como en cuerpo-cuerpo. colisiones tral. En consecuencia, la circunstancia extrema de temperatura y densidad suficientemente altas para un signif- icant de gran volumen y larga duración [12, 22] ha sido formado en las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo, que puede proporcionar una buena oportunidad para estudiar la EES nuclear así como partículas en propiedades medianas, especialmente para Estuche de punta. El tiempo de congelación debe determinarse con cautela (a)tip-tip *N 0 10 20 30 40 50 60 80 b) Cuerpo-cuerpo *N t(fm/c) FIG. 6: Evolución de la multiplicidad del pion libre, N* + En el apartado a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) y en el apartado b) de la letra c) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra b) de la letra c) de la letra a) de la letra b) de la letra c) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra a) de la letra a) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c) de la letra c Sions. para estimar la temperatura de termalización de los colli- Sistema de iones. In Fig. 6 la evolución de la multiplicidad de libre pion que no están limitados en resonancias bariónicas y Pion todavía limitado dentro de las resonancias bariónicas excitadas Se muestra el pion no nacido. En el Lanzhou CSR región energética (520 MeV/núcleo), la producción y la destrucción de las resonancias son principalmente a través de Las reacciones NN N­ y N­ → N­ en las que el decaimiento tasa es siempre más alta que la de la formación de este resonancia y la producción de pion es predominante por el decaimiento de las resonancias de.... (...................................................................................................................................................................................................................................................... El total la multiplicidad de los piones, de los piones y de los N* se aproximan a un saturado nivel después de un período de evolución, indicando la tiempo de salida sobre t=28 fm/c y t=18 fm/c para tip-tip y colisiones centrales cuerpo-cuerpo, respectivamente. Cuanto más grande multiplicidad total máxima alcanzable de piones, naftalenos, naftalenos y naftalenos y congelarse antes indica la existencia de evo- la contaminación y el proceso de reacción más violenta para el cuerpo- colisiones centrales del cuerpo que el caso de punta-punta que consiste en la discusión de antes. La temperatura correspondiente alrededor de 75 MeV en El tiempo de congelación puede extraerse de la Fig. 5 b), para tanto las colisiones centrales de punta y cuerpo-cuerpo. A continuación confirmar esta estimación, tanto el espectro energético de la nucleón y pión con carga negativa se estudian en el rango de ángulo polar de 900±100 en los c.m.s.. El termo... modelo dinámico [31] predice que los espectros de energía estar representado por una temperatura T que caracteriza a Gas Maxwell-Boltzmann PEdEd = const× e−Ekin/T (3) , donde P y E son el impulso de partículas y total energía en los C.M.s.. Tanto los espectros de energía como el Los resultados de ajuste de Boltzmann se muestran en la Fig. 7. La inversa pendiente (por ejemplo, pendiente) temperatura T ) de los nucleones en la punta y Las colisiones centrales cuerpo-cuerpo son alrededor de 73 MeV y 70 0 0,2 0,4 0,6 0,8 310 tip-tip cuerpo-cuerpo a) Nucleon 0 0,2 0,4 0,6 0,8 -lb) (GeV)kinE FIG. 7: a) Núcleo y b) energía de pión con carga negativa espectro a 900 ± 100 en los c.m.s. junto con un Maxwell... Boltzmann apto tanto para punta-punta y cuerpo-cuerpo central colli- Sions. Temperatura de ajuste del nucleón para punta y cuerpo-cuerpo son alrededor de 73 MeV y 70 MeV, respectivamente, y el de pion son aproximadamente 56 MeV y 52 MeV, respectivamente. MeV, respectivamente, que están de acuerdo con el temperatura extraída de la Fig. 5 b) en el momento de la congelación Tiempo fuera. Los espectros de los piones con carga negativa muestran un diferente temperatura inferior a la del nucleón que puede explicarse considerando un equilibrio N y • sistema de congelación térmica y teniendo en cuenta la cinemática de la descomposición [32]. La temperatura del nucleón refleja estrechamente la temperatura de congelación de la punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo centrales. En conclusión, la termalización (o cerca de la termalización) del sistema de colisión correspondiente a un la peratura alrededor de 75 MeV es probable que se alcance en ambos Colisiones centrales tip-tip y cuerpo-cuerpo. Sin embargo, es También es posible que el sistema de colisión todavía esté en un no- proceso de transporte de equilibrio en su camino hacia la cinética Equilibración [30]. IV. EL FLUJO COLECTIVO DE U+U COLLISIONES La parada de núcleos en una fuerte colisión de iones puede conducir a gradiente de presión a lo largo de diferentes direcciones, resultado- En el movimiento colectivo como espectadores rebotan [34] y los participantes efectos de exprimir [35]. Desde el último dos décadas, en las energías Bevalac/LBNL y SIS/GSI el análisis llamado “flujo colectivo” ha sido estab- , 34, 35, 36, 37] para estudiar la sión de los productos en colisiones de iones pesadas. El collec... flujo tivo resultante del rebote y la extrusión ef- efectos, que se puede explicar bien por la hidrodinámica modelo [34, 38], y también estar de acuerdo con el se han observado datos experimentales [39, 40]. Debido a la gran deformación de los núcleos de uranio, un -1 -0,5 0 0,5 1 Suave:tip-tip Suave:cuerpo-cuerpo Cascada:tip-tip Cascada: cuerpo-cuerpo a)b/b -1 -0,5 0 0,5 1 b) b/b FIG. 8: El impulso transversal medio por nucleón pro- inyectado en el plano de reacción, < px/A >, como función de las C.M.S. la rapidez normalizada se ilustra para la punta-tip y colisiones cuerpo-cuerpo. Con parámetro de impacto normalizado corte:(a)b/bmax <= 0,5 (b)b/bmax > 0,5. se espera que el movimiento lácteo [12], que se utilizará para extraer el propiedades medianas y materia nuclear información EES. [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Para realizar el análisis de flujo, es necesario construir un plano de reacción imaginario definido por la dirección del haz (z) y el parámetro de impacto vector b [43, 45, 46]. En nuestro simulación, el plano x- z se define como la reacción plano con la dirección del haz a lo largo de z dirección positiva y el vector del parámetro de impacto b a lo largo de x direc- tion. En las últimas dos décadas, hay principalmente dos métodos estudiar el flujo colectivo en los niveles bajo e intermedio energías. Uno es el método de la esfericidad [28, 34, 41, 42] que produce el ángulo de flujo en relación con el eje del haz de el eje principal del elipsoide de energía cinética más adecuado, y el otro es emplear el impulso transversal medio por nucleón proyectado en el plano de reacción, < px/A >, para realizar un análisis de flujo lateral de nucleón [43, 44] que refleja los efectos de rebote del espectador en la reacción avión. En los últimos años, es habitual utilizar un anisotrópico Método de análisis de flujo transversal. Con una extensión de Fourier... sión [47, 48] del ángulo azimutal de la partícula sión con respecto al plano de reacción, diferente har- coeficientes monicos pueden ser extraídos, entre los cuales el primer coeficiente armónico v1, llamado flujo dirigido (simi- lar a flujo lateral) y el segundo coeficiente armónico v2, llamado flujo elíptico están principalmente interesados. La elip- tic refleja la anisotropía de las partículas de emisión en el plano perpendicular al plano de reacción mientras el flujo dirigido describe la anisotropía en el plano de reacción. La expansión de Fourier se puede expresar como 1 + 2vncos(nŁ) (4) Fig. 8 muestra flujo lateral de nucleón, < px/A >, para Colisiones sesgadas tanto de punta como de cuerpo a cuerpo a) Parámetro de flujo de núcleo tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au(500MeV/A) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 10 2 b) Nucleon v tip-tip cuerpo-cuerpo Au-Au(500MeV/A) maxb/b FIG. 9: (a)El parámetro de flujo de nucleón F y (b)los c.m.s. rapididad media ( −0,5 < y0 < 0,5 ), flujo elíptico nucleónico v2 de tres condiciones de colisión en función del impacto normalizado parámetro b/bmax con EoS suave. en función de la rapidez normalizada, y(0) = Ycm/ycm, en que Ycm representa la rapidez de las partículas en c.m.s. y ycm es la rapidez del centro de masa del sistema. A la ex- la información nuclear de la EES y también demostrar las discrepancias del flujo lateral del nucleón en la punta de la punta y colisiones cuerpo-cuerpo, los eventos en cascada [49], que descuidar el campo medio y los efectos de bloqueo pauli son em- aquí para compararlo con el caso suave de EoS. In Fig. 8(a),(b), con un EoS suave, se observa que cualquiera de las puntas o colisiones cuerpo-cuerpo muestran a un espectador rebote ef- que revela una obvia forma de “S” [15, 49] a mediados de región de velocidad de −0,5 < y0 < 0,5, mientras que la cascada uno Aparece un flujo lateral de nucleones casi desapareciendo. Puede entender por el flujo lateral nucleón está relacionado al sector medio, que es el principal responsable de la gradiente de presión de los núcleos de parada, mientras que la media El campo tiene una fuerte dependencia de la EES nuclear. Ahí... antes, el flujo de nucleón hacia el lado se cree que es un buen sonda indirecta para extraer la información de la EES nuclear, especialmente el caso de tip-tip por su lado en gran medida notable fluir. Un corte en el parámetro de impacto normalizado es también aplicación para explorar la dependencia de los parámetros de impacto de flujo de nucleón hacia el lado. Como se muestra en la Fig. 8 b), cuando b/bmax > 0,5 las curvas de EoS suave y cascada son al- la mayoría superpuestas entre sí, mientras que para b/bmax < 0,5 Se observa una gran discrepancia. La situación es bastante sim- ilar a Fig. 3 b), casi la misma potencia de parada para b/bmax > 0,5 y gran discrepancia para b/bmax < 0,5 tip-tip y cuerpo-cuerpo mínima de colisiones sesgadas, que significa que existe una correlación entre la detención nuclear potencia y flujo lateral [33]. La dependencia del parámetro de impacto normalizado de la se estudia más a fondo el flujo colectivo de nucleón, mediante el análisis el “parametro de flujo” F [49] y también el flujo elíptico v2 para Consejo y cuerpo, así como mínimo Au+Au colisiones sesgadas. El parámetro de flujo F es un calidad utilizada para describir el flujo de nucleón hacia el lado Definida por título como: d < px/A > dy(0) y(0)=0 la pendiente del impulso transversal medio por nucleón proyectado en el plano de reacción en y(0) = 0. In Fig. 9 a), con b/bmax > 0,5, el flujo de nucleón pa- el rametro F de las colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo son con valor similar. Esta similitud, junto con la casi misma parar ratioR en la Fig. 3 b), indica la existencia de sim- Efectos de gradiente de presión ilar sobre el flujo lateral de nucleón en las dos orientaciones de colisión. Mientras que para b/bmax < 0,5, el parámetro de flujo F de las colisiones tip-tip es casi 3 veces más grande que el caso cuerpo-cuerpo. Incluso el lado. flujo de colisiones Au+Au es más grande que el cuerpo-cuerpo Uno. Se confirma además el nucleón de punta hacia el lado flujo es una sonda más sensible para extraer la información de EES nuclear que la de cuerpo-cuerpo uno. El promi- nence alto del flujo lateral del nucleón en la punta de punta colli- sions pueden ser resultado del gradiente de presión más fuerte entre los participantes y los espectadores en la reacción plano que cuerpo-cuerpo uno, debido a la mayor parte deformado núcleos. El parámetro de impacto normalizado dependiente de nu- flujo elíptico cleon v2 en la región de rapididad media ( −0,5 < y0 < 0,5) se muestra en la Fig. 9 b). Un negativo significativo... flujo elíptico ativo v2 en esta región de energía es consistente con la función de excitación del flujo elíptico estudiado antes de [50]. Un v2 negativo más grande alrededor de −12% en el cuerpo colisiones centrales del cuerpo se observa que refleja la gran efectos geométricos y exprimidos en las colisiones. Mientras para tip-tip y Au+Au que el máximo negativo v2 son obtenido a mitad de la centralidad. Desde los dos baryon alto, en- densidades ergias y grandes efectos de flujo elíptico, que reflejan una temprana EES de la materia nuclear de compresión densa caliente [17], están disponibles en colisiones cuerpo-cuerpo centrales. Por lo tanto el flujo elíptico cuerpo-cuerpo nucleón también se puede tomar como una sonda sensible de EoS nuclear. Los comportamientos novedosos de flujo colectivo de nucleones en la punta de la punta y cuerpo-cuerpo lisiones se atribuyen principalmente a la gran deformación de los núcleos de uranio. V. RESUMEN En resumen, el CSR-ETF en Lanzhou proporciona una buena la oportunidad de estudiar sistemáticamente la EES nuclear en la región de alta densidad neta de la materia nuclear diagrama de fase. Debido a los nuevos efectos de parada en gran parte deformadas colisiones U+U, la simulación basada en ART1.0 demuestra que se puede lograr una parada completa y también una gran parte de la materia nuclear caliente, de alta densidad con gran volumen y larga duración se han formado en ambos Colisiones tip-tip y cuerpo-cuerpo. Gran nucleón hacia el lado flujo en colisiones tip-tip y el n- El flujo elíptico de células en las colisiones centrales cuerpo-cuerpo puede pro- vide una sonda sensible para extraer la información nuclear de la EES. Así la circunstancia extrema y el colectivo novedoso flujo tanto en la punta como en las colisiones cuerpo-cuerpo puede proporcionar una buena condición y sonda sensible para estudiar el nu- claro EoS, respectivamente. Más observables experimentales de la dinámica de colisión de U+U debe estudiarse más a fondo, debido a los efectos geométricos. VI. AGRADECIMIENTO Este trabajo cuenta con el apoyo de National Natural Sci- Fundación de China (10575101,10675111) y la Programa de Asociación Internacional CAS/SAFEA para Equipo de Investigación Creativa con el número de subvención CXTD-J2005-1. Queremos agradecer a Bao-an Li, Feng Liu, Qun Wang, Zhi-Gang Xiao y Nu Xu por su valioso comentarios y sugerencias. [1] M. A. Stephanov, Int. J. Mod. Phys. A20.4387 (2005); [2] C. Lourenco et al, Nuclear Physics A698,13-22 (2002); [3] N. Xu et al, Nucl. Phys. A751,109-126 (2005) [4] J. Adams et al, Nucl. Phys. A757,102-183 (2005); [5] K. Adcox et al, Nucl. Phys. A757,184-283 (2005); [6] P. Jacobs, X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 433- 534(2005) [7] E. K. Hyde, Phys. Scr. 10 30-35 (1974) ; [8] C. Höhne, Nucl. Phys. A749,141c-149c (2005); [9] A. Bohr y B. Mottelson, Estructura Nuclear 2.133 (1975); [10] Z. G. Xiao, charla presentada en QM2006,ShangHai; [11] E. V. Shuryak, Phys. Rev. C 61.034905 (2000); [12] Bao-An Li, Phys. Rev. C 61,021903(R) (2000); [13] P. Danielewicz, nucl-th/0512009; [14] P. Danielewicz y otros, Science 298,1592-1596 (2002); [15] K. G. R. Doss et al, Phys. Rev. Lett. 57.302 (1986); [16] J. J. Molitoris et al, Nucl. Phys. A447,13c (1985); [17] P. Danielewicz et al, Phy. Rev. Lett. 81,2438 (1998); [18] J. Hofmann et al, Phys. Rev. Lett. 36,88 (1976); [19] H. Stöocker y W. Greiner, Phys. Rep. 137.277 (1986); [20] H. Stöocker et al, Z. Phys. A 290.297 (1979); [21] Bao-An Li y C. M. Ko, Phys. Rev. C 52,2037 (1995); [22] Bao-An Li et al, Inter. Jour. Mod. Phys. E10.267 (2001); [23] G. F. Bertsch y S. D. Gupta, Phys.Rep. 160.189 (1988); [24] J. Cugnon, Phys. Rev. C 22,1885 (1980) [25] A. Andronic et al, Eur. Phys. J. A30.1 (2006); [26] B. Hong et al, Phys. Rev. C 66.034901 (2002); [27] S. P. Sorensen y otros, CONF-91092221-3: DE92009006 (1991); [28] H. Ströbele et al, Phys. 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