v1v1d/Latexify_v1_clean · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 43 1.19k	text stringlengths 25 1.67k
	D _ { 2 w } = { \frac { 1 } { { \rho } } } { \epsilon } _ { i j k } { \sigma } _ { i } n _ { j } ^ { F } L _ { k } ^ { R } .
	S _ { P } [ { \bar { x } } ; { \hat { g } } ] = { \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 2 n \pi } { \mathrm { s i n h } ( 2 n \pi / l ) } } \left[ ( \| x _ { n } ^ { i } \| ^ { 2 } + \| x _ { n } ^ { f } \| ^ { 2 } ) \mathrm { C o s h } ( 2 n \pi / l ) - 2 \mathrm { R e } ( x _ { n } ^ { i } \cdot x _ { n } ^ { f * } ) \right] \quad .
	\tilde { T } _ { k } ( x , D ) \varphi ( x ) \ = \ \varepsilon \varphi ( q x ) ,
	\xi _ { S } = { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { G S } \langle K ^ { \prime } ( S + \bar { S } ) \rangle M _ { P } ^ { 2 } ,
	\delta B = - \partial _ { \mu } { \lambda } _ { \mu } - \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } + \alpha _ { 0 } } \lambda ,
	e _ { M \dot { M } } ^ { A \dot { A } } = e ^ { \frac { \rho ( x ) } { 2 } } \delta _ { M } ^ { A } \delta _ { \dot { M } } ^ { \dot { A } } , \quad \omega _ { A \dot { A } , B C } = - \frac { 1 } { 4 } e ^ { - \frac { \rho ( x ) } { 2 } } ( \epsilon _ { B A } \partial _ { \dot { A } C } \rho ( x ) + \epsilon _ { C A } \partial _ { \dot { A } B } \rho ( x ) ) ,
	2 \pi i \omega _ { r p } = k _ { r } \delta _ { r p } + \int _ { C _ { r } } D ( t ) J _ { p } ( t ; L ) J _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i }
	\Psi ( P _ { 0 } ) = \frac { \Phi ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Phi ( P _ { 0 } ) } + \frac 1 \kappa ,
	( u ^ { + } ) ^ { ( m } ( u ^ { - } ) ^ { n ) } \equiv u ^ { + ( i _ { 1 } } \cdots u ^ { + i _ { m } } u ^ { - j _ { 1 } } u ^ { - j _ { n ) } }
	\frac { d L ^ { \alpha \beta } } { d s } = 0
	\left\{ \begin{array} { r c l } { { \cal G } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \partial c ^ { ( 0 ) } + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } C ^ { ( 1 ) } - { \textstyle \frac { m } { 2 } } b , , } \\ { } & { } & { } \\ { { \cal G } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { 3 \partial c ^ { ( 2 ) } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } C ^ { ( 3 ) } - 3 C ^ { ( 1 ) } { \cal F } + 3 { \textstyle \frac { m } { 2 } } \ ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \ b \partial b \, , } \\ { } & { } & { } \\ { { \cal G } ^ { ( 5 ) } } & { = } & { 5 \partial c ^ { ( 4 ) } + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } C ^ { ( 5 ) } - 1 0 C ^ { ( 3 ) } { \cal F } + 1 5 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) C ^ { ( 1 ) } { \cal F } { \cal F } } \\ { } & { } & { } \\ { } & { } & { - 2 0 \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } b \partial b \partial b \, . } \\ \end{array} \right.
	A ^ { ( i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { n } ) } \equiv \frac { 1 } { n ! } \left( A ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { n } } + A ^ { i _ { 2 } i _ { 1 } \ldots i _ { n } } + \ldots + A ^ { i _ { n } i _ { n - 1 } \ldots i _ { 1 } } \right) .
	\alpha ^ { \prime } m ^ { 2 } \approx 5 . 9 \; n , \quad n \in N _ { 0 }
	T _ { n } ^ { \alpha \beta } Z ( \tau ) = \frac { - ( - \alpha \beta ) ^ { n } } { n } \sum _ { d \| n } \sum _ { 0 \leq k < d } \alpha ^ { \frac { n } { d } } \beta ^ { d k + d + k } Z \left( \frac { n \tau + k d } { d ^ { 2 } } \right)
	{ \frac { - i n g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } } } { \frac { \pi } { 2 } } + ( - 1 ) { \frac { - i g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } } } 2 ^ { 1 2 } \pi = 0 \qquad \Rightarrow \qquad n = 2 ^ { 1 3 } .
	U _ { A } ( 1 ) : \qquad W _ { a } ^ { \alpha } \rightarrow W _ { a } ^ { \alpha } , \qquad Q \rightarrow e ^ { i \alpha } Q , \qquad \tilde { Q } \rightarrow e ^ { i \alpha } \tilde { Q } \ .
	{ \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } = - \int _ { S ^ { 1 } } \! \! d y \ m \, \eta ( y ) \ \bar { \psi } \psi \; .
	\psi ^ { \prime } ( x ) = e ^ { i \Lambda \sum _ { \mu } r _ { \mu } } \psi ( x + r ) .
	w _ { 4 } = c _ { - 2 } ^ { ( 1 ) } z ^ { 2 } + c _ { - 2 } ^ { ( 2 ) } x z + c _ { - 2 } ^ { ( 3 ) } y z + c _ { - 2 } ^ { ( 4 ) } x ^ { 2 } + c _ { - 2 } ^ { ( 5 ) } x y + c _ { - 2 } ^ { ( 6 ) } y ^ { 2 } ,
	P ^ { 2 } - m ^ { 2 } \approx 0 ; ~ ~ ~ \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } S _ { \mu \nu } P _ { \lambda } - m j \approx 0 .
	( x _ { \Phi } ^ { U V } - x _ { \Phi } ^ { I R } ) \langle \Phi \rangle = - { \frac { 1 } { S _ { d } } } \int \langle \Theta ( x ) \Phi ( 0 ) \rangle _ { c } \, d ^ { d } \! x ,
	\bigg \| \frac { \pi _ { i } } { \pi _ { 1 } } \bigg \| ^ { 2 } \sim 1 + \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { G _ { S } W _ { \mathrm { e f f } ; \lambda } ^ { \ast } ( 1 - \alpha _ { B } ) + \beta _ { B } X _ { B } } ,
	\frac { d s _ { i n d } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } = - U ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } + \left( U ^ { 2 } + \frac { \left( \partial _ { \sigma } U \right) ^ { 2 } } { U ^ { 2 } } \right) d \sigma ^ { 2 } .
	\mathrm { A d } \psi _ { - } H = \sum _ { n \geq 0 } \lambda ^ { - n } Q _ { n } .
	{ \cal L } = \partial ^ { \mu } \varphi ^ { \ast } \partial _ { \mu } \varphi + i e A ^ { \mu } \left( \varphi ^ { \ast } \partial _ { \mu } \varphi - \varphi \partial _ { \mu } \varphi ^ { \ast } \right) + e ^ { 2 } A ^ { \mu } A _ { \mu } \varphi \varphi ^ { \ast } - m ^ { 2 } \varphi ^ { \ast } \varphi ,
	G ( z _ { 2 } , \cdots , z _ { n } , z _ { 1 } \tau ^ { 2 n } ) ^ { n \cdots \hat { i } \cdots 1 i } = \delta _ { i } G ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) ^ { i n \cdots \hat { i } \cdots 1 } , ~ ~ ~ ~ \delta _ { i } = \delta _ { 1 } \tau ^ { 2 - 2 i } .
	{ \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { \bar { e } } _ { \beta } ^ { \; \; j } \left[ { B } _ { i j } ^ { \bar { g } ^ { \prime } ( 2 ) } \right] = { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { \bar { e } } _ { \beta } ^ { \; \; j } \frac { \partial } { \partial \bar { g } ^ { i j } } [ \Gamma ^ { ( 2 ) } ] + { K } _ { \alpha \beta } ^ { g ^ { \prime } }
	\left( \dot { A } + \frac { \dot { \chi } } { 2 \chi } \right) { \cal A } = 0 \; ,
	( \sigma _ { \alpha } ) _ { a } ^ { ~ a } = ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ a } ^ { a } = 0 , \; \; \; \varepsilon ^ { a d } \delta _ { c } ^ { b } + \varepsilon ^ { b d } \delta _ { c } ^ { a } = - ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ c } ^ { d } \, ,
	{ \tilde { g } } _ { \mu \nu } \equiv \Omega ^ { 2 } g _ { \mu \nu } = e ^ { - 2 \Phi } g _ { \mu \nu } .
	J _ { \alpha } ^ { \mu } = - 2 \bar { \Psi } \gamma _ { \alpha \mu } \Psi
	\rho = { \frac { 4 \kappa N ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 ( N - 1 ) } } { \left( 1 + \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 N } \right) ^ { 2 } } }
	\eta _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } ( r , \varphi ) = N _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } \left( \begin{matrix} { \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } \\ { - i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } \\ { \pm \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } \\ { \pm i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } \\ \end{matrix} \right)
	\frac { D _ { \perp } r } { r } = - \frac { { \bar { \kappa } } ^ { 2 } } { 2 n } \rho , \quad ( n - 1 ) \frac { D _ { \perp } r } { r } - K _ { \tau } ^ { \tau } = \frac { { \bar { \kappa } } ^ { 2 } } { 2 } p ,
	R _ { k } ( z ) = { \frac { 2 a z e ^ { - 2 a z / k ^ { 2 } } } { 1 - e ^ { - 2 a z / k ^ { 2 } } } } \ ,
	\rho = \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i j } \lbrack \Phi ^ { i } , _ { z } + \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { j } } \rbrack \lbrack \Phi ^ { j } , _ { z } + \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { i } } \rbrack - \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { i } } \Phi ^ { i } , _ { z } ,
	\varepsilon \left( L ^ { ( \pm ) } \scriptstyle { { a \atop a } } \right) = 1 \quad \mathrm { a n d \ z e r o \ f o r \ a l l \ o t h e r s } .
	\chi _ { \infty , N } ( x ) = ( ( N - 1 ) ! ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { x ^ { - 1 } } t ^ { N - 1 } e ^ { - t } d t
	t r \{ \frac { 1 } { 2 } a \gamma _ { 5 } D f ( \frac { ( \gamma _ { 5 } D ) ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) \}
	\nabla ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 2 \phi } F ^ { 2 } = 0 ~ ~ ,
	H = \int _ { S ^ { 2 } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \Pi _ { i } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon _ { i j } A _ { j } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B _ { M } ^ { 2 } \right\}
	R _ { \mu \rho \sigma \nu } = - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } ( g _ { \mu \sigma } g _ { \nu \rho } - g _ { \mu \nu } g _ { \sigma \rho } ) ,
	M e _ { \nu } ( z + i n \pi , h ) = e x p ( i n \nu \pi ) M e _ { \nu } ( z , h )
	\langle 0 \| \hat { A } _ { \mu } \| 0 \rangle = \bar { A } _ { \mu } .
	i { \dot { a } } _ { i } ( t ) = \{ g ( \vec { a } , \vec { a } ^ { \, * } ) , \, a _ { i } ( t ) \} _ { + } = \sum _ { j } G _ { i j } a _ { j } ( t ) .
	E _ { M } \, = \, \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \, \left( \dot { { \bf x } } _ { 1 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 1 } ^ { 2 } \right) \, + \, \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \, \left( \dot { { \bf x } } _ { 2 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 2 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 2 } ^ { 2 } \right) .
	\int _ { 0 } ^ { \infty } e _ { q } ^ { - r } r ^ { n } d _ { q } r = [ n ] ! \, .
	r _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 } { \sqrt { - K } } \frac { k } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } , \; \; \; \; \; T _ { \tau } = 4 K ( k ) / \mu .
	P _ { x } \rightarrow 0 , \; \; \; \; \; P _ { y } \rightarrow 0 \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \; \; L \rightarrow \infty
	\ell _ { t _ { i } } ( \omega ^ { k } ) = ( i _ { t _ { i } } d + d i _ { t _ { i } } ) \omega ^ { k } .
	d s ^ { 2 } = M ^ { 2 } ( \rho ) [ d t ^ { 2 } - d \vec { x } ^ { 2 } ] - d \rho ^ { 2 } - L ^ { 2 } ( \rho ) d \theta ^ { 2 } .
	Q _ { ~ \mu \nu } ^ { \sigma } ( \tilde { \Gamma } ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { \Gamma } _ { ~ \mu \nu } ^ { \sigma } - \tilde { \Gamma } _ { ~ \nu \mu } ^ { \sigma } \right)
	\delta F = \frac { \delta \rho } { 9 6 \pi } \int d ^ { 2 } x \sqrt { g } R \tilde { N } \sigma ,
	{ \bf a } _ { \; \; \mu } ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { p _ { 1 } } & { 0 } & { p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 p _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { 1 } } & { - 2 p _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { p _ { 2 } } & { - 2 p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) .
	\begin{array} { c c c c c c } { \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } & { \ldots } & { \phi _ { 1 } ^ { a } } & { \ldots } & { \phi _ { 1 } ^ { m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { } & { } & { } & { } & { } & { \phi _ { N _ { m } } ^ { m } } \\ { \vdots } & { \phi _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } } & { } & { \vdots } \\ { \phi _ { N _ { 1 } } ^ { 1 } } \\ { \ } & { } & { } & { \phi _ { N _ { a } } ^ { a } } \\ \end{array}
	B = { \cal O } _ { \omega _ { 1 } } + { \cal O } _ { \omega _ { 2 } } .
	\Phi = - 2 e ^ { - \phi _ { 0 } / 2 } X ^ { 0 } + \phi _ { 0 } \equiv - 2 Q X ^ { 0 } + \phi _ { 0 }
	[ \Lambda _ { i \alpha } , \Lambda _ { \dot { \alpha } \ddot { \alpha } } ] = [ \Lambda _ { i \dot { \alpha } } , \Lambda _ { \alpha \ddot { \alpha } } ] = [ \Lambda _ { i \ddot { \alpha } } , \Lambda _ { \alpha \dot { \alpha } } ] = T _ { i \alpha \dot { \alpha } \ddot { \alpha } } , \nonumber
	\partial _ { x } ^ { 2 } \Phi _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( x , \bar { x } , z , \bar { z } ) = 0 ~ ,
	G ( \vec { A } , \vec { A } ^ { * } ) = G _ { 0 } - \sum _ { l } \sum _ { m } \left( G ^ { - 1 } \right) _ { l m } \tilde { g } _ { l } ^ { * } \tilde { g } _ { m } + \sum _ { l } \sum _ { m } G _ { l m } A _ { l } ^ { * } A _ { m } ,
	S = c N ^ { 2 } T ^ { 9 / 5 } ( M ^ { 3 } N ) ^ { - 3 / 5 }
	D _ { r ( c ) } ^ { m ( a ) } G _ { n ( b ) } ^ { r ( c ) } ( x , x ^ { \prime } ; \bar { \sigma } ) = - \frac { \partial } { \partial \bar { \sigma } } G _ { n ( b ) } ^ { m ( a ) } ( x , x ^ { \prime } ; \bar { \sigma } )
	< n \| n ^ { \prime } > = - \int d x _ { e } d x _ { n } \frac { e ^ { i x _ { e } ( n + n ^ { \prime } ) } } { 4 \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( x _ { e } / 2 ) }
	\delta _ { \lambda } \mathrm { { \bf ~ A } } = \nabla \lambda ,
	a _ { q _ { i } } ^ { ( 0 ) } ( t ) = m p _ { i } ( t ) - e \, A _ { i } ( t , \vec { q } )
	[ { \frac { m _ { \mu } } { m _ { e } } } ] _ { 0 } = 2 1 0 = [ { \frac { m _ { \nu _ { \mu } } } { m _ { \nu _ { e } } } } ] _ { 0 }
	\hbar \frac { \partial } { \partial t } \psi ( y , t ) + \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + V ( y ) \right] \psi ( y , t ) \equiv { \cal S } _ { \mathrm { E } } \psi ( y , t ) = 0 \, .
	D _ { 0 } ( y ) = P _ { 0 } \, \, \, y ^ { - \frac { b } { 2 } } F \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( a + b \right) , 1 - b , y \right] + Q _ { 0 } \, \, \, y ^ { \frac { b } { 2 } } F \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( a - b \right) , 1 + b , y \right] ,
	A = ( N d N ^ { + } - d N N ^ { + } ) - T r ( N d N ^ { + } - d N N ^ { + } ) I .
	\hat { T } _ { g _ { \lambda } } ( z ; d ) = \hat { T } _ { g _ { \lambda } } ( z ) + d ^ { a } \frac { \hat { J } _ { a } ^ { ( 0 ) } ( z ) } { z } + \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } \hat { k } \eta _ { a b } d ^ { a } d ^ { b } , \ \ \forall d
	\sum _ { M \in \{ l , l - 2 , l - 4 , . . . \} } \frac { G _ { M } ^ { ( l ) } } { G _ { l } ^ { ( l ) } } u ^ { \frac { 1 } { 2 } ( l - M ) } \sum _ { n , m = 0 } ^ { \infty } \tilde { A } _ { n m } ^ { ( M ) } \frac { u ^ { n } ( 1 - v ) ^ { m } } { n ! m ! } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { n } } { n ! } G _ { n } ( \lambda , l ; v ) .
	\mathrm { K B : } \ \ t = \frac { 1 } { 4 l } , \qquad \mathrm { M S : } \ \ t = \frac { 1 } { 8 l } , \qquad \mathrm { C : } \ \ t = \frac { 1 } { 2 l } .
	I ( a ) ^ { 1 } \equiv I ( a , 1 , - 1 ) = - \frac { 2 } { \sqrt { M } } ( \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { M } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 1 } { M } \sqrt { \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { M } } ) ,
	\lambda = 6 \kappa ^ { - 2 } \alpha ^ { \prime } ( 0 ) , \quad \bar { \lambda } = - 6 \kappa ^ { - 2 } \alpha ^ { \prime } ( L ) .
	{ \cal M } = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ \end{array} \right) .
	S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \{ e ^ { - 2 \phi } [ R + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - ( \nabla T ) ^ { 2 } - V ( T ) + 4 \lambda ^ { 2 } ] \}
	b _ { l } ^ { 2 } = - l ( l + 3 ) - 2 , \quad D _ { l } ^ { 2 } = \frac 1 2 l ( 2 l + 3 ) ( l + 3 ) , \quad l = 1 , 2 , . . .
	{ \Omega _ { G } } ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } + \frac { 3 \lambda } { 2 \Omega _ { G } } .
	I ( p ^ { 2 } ) = \int d ^ { 4 } \ell \beta ^ { \prime } ( \ell _ { 0 } ) f ( \beta ^ { 2 } ( \ell _ { 0 } ) - \vec { \ell } ^ { 2 } , \beta ^ { 2 } ( p _ { 0 } ) - \vec { p } ^ { 2 } )
	{ \cal R } _ { \alpha \nu \mu } ^ { \ \ \ \ \beta } = \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \nu \mu } ^ { \beta } - \partial _ { \nu } \Gamma _ { \alpha \mu } ^ { \beta } + \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \beta } \Gamma _ { \nu \mu } ^ { \rho } - \Gamma _ { \nu \rho } ^ { \beta } \Gamma _ { \alpha \mu } ^ { \rho } ,
	D _ { 2 } ( t ) = { \frac { 1 } { 1 6 } } t ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 8 } } t ^ { 4 } + { \frac { 5 } { 1 6 } } t ^ { 6 } ,
	w _ { k } ^ { - 1 } = \frac 1 m \left[ 1 - \frac { \vec { k } ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } + \frac 3 8 \frac { \vec { k } ^ { 4 } } { m ^ { 4 } } - \ldots \right] ,
	\omega _ { 0 } ^ { \underline { 0 } \underline { m } } = e ^ { - U } \partial _ { m } ( e ^ { - 2 U } ) , \qquad \omega _ { m } ^ { \underline { n } \underline { p } } = \delta _ { m } ^ { \ n } \partial _ { p } U - \delta _ { m } ^ { \ p } \partial _ { n } U
	[ i R ( \partial _ { t } + \partial _ { x } ) + m \sigma _ { 3 } ] \Psi ^ { \prime } ( t , x ) = 0 .
	x _ { \pm } = x _ { \pm } ( \tau ) , \quad \mathrm { d } x _ { \pm } = \dot { x } _ { \pm } \, \mathrm { d } \tau .
	n ^ { \mu } { \cal W } _ { \mu } Z ^ { \mathrm { \small ~ c } } = - \int d ^ { 2 } x \, j _ { b } ^ { a } \, \Big ( \underbrace { - \, j _ { c } ^ { a } + n ^ { \mu } \partial _ { \mu } \frac { \delta Z ^ { \mathrm { \small ~ c } } } { \delta j _ { \bar { c } } ^ { a } } } _ { X ^ { a } } \Big ) = 0 \quad ,
	Q ^ { k A } \ = \ \left( { 1 \atop 0 } \right) ^ { k } Q _ { + } ^ { A } + \left( { 0 \atop 1 } \right) ^ { k } Q _ { - } ^ { A } \ .
	z ^ { \sigma ( \Lambda ) } = z _ { 1 } ^ { \Lambda _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots z _ { m } ^ { \Lambda _ { \sigma ( m ) } } z _ { m + 1 } ^ { \Lambda _ { \sigma ( m + 1 ) } } \cdots z _ { N } ^ { \Lambda _ { \sigma ( N ) } } \quad \mathrm { { a n d } } \quad \theta ^ { \sigma ( 1 , \ldots , m ) } = \theta _ { \sigma ( 1 ) } \cdots \theta _ { \sigma ( m ) } \, .
	\left( \beta ^ { \mu , n - k } c ^ { n - k } + \gamma ^ { \mu , n - k } c ^ { - n + k } \right) = \left( \beta ^ { \mu , - n - k } c ^ { - n - k } + \gamma ^ { \mu , - n - k } c ^ { n + k } \right)
	\alpha _ { D } ^ { ( \pm ) } = - \frac { Q } { 2 } \pm \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } }
	\gamma _ { q } = \{ \gamma _ { q } ( s ) \mid \gamma _ { q } ( 0 ) = q _ { 0 } , \ \gamma _ { q } ( 1 ) = q \} ,
	( \prod _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { \mu _ { i } } ) x _ { a } = x _ { a } ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { \mu _ { i } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta _ { a \mu _ { i } } ( \prod _ { j \ne i } ^ { n } \partial _ { \mu _ { j } } ) .
	\{ \Gamma _ { \alpha } \, , \, \Gamma _ { \beta } \} \; = \; 2 \, \delta _ { \alpha \beta } \; \; \; , \; \; \; \forall \alpha , \beta = 0 , 1 , \ldots , D \; .
	S ( q _ { 1 b } , q _ { 1 a } ; \tau ) = - A \tau + S ( q _ { 1 b } , q _ { 1 a } ; A )
	a ( \eta ) = \ell _ { 0 } \sqrt { 1 + \biggl ( \frac { \eta } { \eta _ { 0 } } \biggr ) ^ { 2 } } .
	g \bigr \| _ { r \to \infty } = g _ { 0 } ~ ~ ~ ,
	\delta d ^ { \mu } = h ^ { \mu } ( 1 + T ) ( \rho _ { R } - \rho _ { L } ) .
	\eta \cdot k = i \| k ^ { 2 } \| \biggl [ 1 \pm \sqrt { { \frac { 1 } { 1 - \lambda } } \biggl ( 1 + { \frac { \| \eta ^ { 2 } \| } { \| k ^ { 2 } \| } } \biggr ) } \biggr ]
	{ \frac { \partial u } { \partial t } } = 6 u { \frac { \partial u } { \partial x } } + { \frac { \partial ^ { 3 } u } { \partial x ^ { 3 } } }
	\bigg ( \delta _ { 0 } + \sum _ { n } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { n } \delta _ { n } \bigg ) \bigg ( S _ { 0 } + \sum _ { n } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { n } S _ { n } \bigg ) = 0 \, .

D _ { 2 w } = { \frac { 1 } { { \rho } } } { \epsilon } _ { i j k } { \sigma } _ { i } n _ { j } ^ { F } L _ { k } ^ { R } .

S _ { P } [ { \bar { x } } ; { \hat { g } } ] = { \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 2 n \pi } { \mathrm { s i n h } ( 2 n \pi / l ) } } \left[ ( | x _ { n } ^ { i } | ^ { 2 } + | x _ { n } ^ { f } | ^ { 2 } ) \mathrm { C o s h } ( 2 n \pi / l ) - 2 \mathrm { R e } ( x _ { n } ^ { i } \cdot x _ { n } ^ { f * } ) \right] \quad .

\tilde { T } _ { k } ( x , D ) \varphi ( x ) \ = \ \varepsilon \varphi ( q x ) ,

\xi _ { S } = { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { G S } \langle K ^ { \prime } ( S + \bar { S } ) \rangle M _ { P } ^ { 2 } ,

\delta B = - \partial _ { \mu } { \lambda } _ { \mu } - \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } + \alpha _ { 0 } } \lambda ,

e _ { M \dot { M } } ^ { A \dot { A } } = e ^ { \frac { \rho ( x ) } { 2 } } \delta _ { M } ^ { A } \delta _ { \dot { M } } ^ { \dot { A } } , \quad \omega _ { A \dot { A } , B C } = - \frac { 1 } { 4 } e ^ { - \frac { \rho ( x ) } { 2 } } ( \epsilon _ { B A } \partial _ { \dot { A } C } \rho ( x ) + \epsilon _ { C A } \partial _ { \dot { A } B } \rho ( x ) ) ,

2 \pi i \omega _ { r p } = k _ { r } \delta _ { r p } + \int _ { C _ { r } } D ( t ) J _ { p } ( t ; L ) J _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i }

\Psi ( P _ { 0 } ) = \frac { \Phi ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Phi ( P _ { 0 } ) } + \frac 1 \kappa ,

( u ^ { + } ) ^ { ( m } ( u ^ { - } ) ^ { n ) } \equiv u ^ { + ( i _ { 1 } } \cdots u ^ { + i _ { m } } u ^ { - j _ { 1 } } u ^ { - j _ { n ) } }

\frac { d L ^ { \alpha \beta } } { d s } = 0

\left\{ \begin{array} { r c l } { { \cal G } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \partial c ^ { ( 0 ) } + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } C ^ { ( 1 ) } - { \textstyle \frac { m } { 2 } } b , , } \\ { } & { } & { } \\ { { \cal G } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { 3 \partial c ^ { ( 2 ) } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } C ^ { ( 3 ) } - 3 C ^ { ( 1 ) } { \cal F } + 3 { \textstyle \frac { m } { 2 } } \ ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \ b \partial b \, , } \\ { } & { } & { } \\ { { \cal G } ^ { ( 5 ) } } & { = } & { 5 \partial c ^ { ( 4 ) } + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } C ^ { ( 5 ) } - 1 0 C ^ { ( 3 ) } { \cal F } + 1 5 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) C ^ { ( 1 ) } { \cal F } { \cal F } } \\ { } & { } & { } \\ { } & { } & { - 2 0 \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } b \partial b \partial b \, . } \\ \end{array} \right.

A ^ { ( i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { n } ) } \equiv \frac { 1 } { n ! } \left( A ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { n } } + A ^ { i _ { 2 } i _ { 1 } \ldots i _ { n } } + \ldots + A ^ { i _ { n } i _ { n - 1 } \ldots i _ { 1 } } \right) .

\alpha ^ { \prime } m ^ { 2 } \approx 5 . 9 \; n , \quad n \in N _ { 0 }

T _ { n } ^ { \alpha \beta } Z ( \tau ) = \frac { - ( - \alpha \beta ) ^ { n } } { n } \sum _ { d | n } \sum _ { 0 \leq k < d } \alpha ^ { \frac { n } { d } } \beta ^ { d k + d + k } Z \left( \frac { n \tau + k d } { d ^ { 2 } } \right)

{ \frac { - i n g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } } } { \frac { \pi } { 2 } } + ( - 1 ) { \frac { - i g ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 6 } } } 2 ^ { 1 2 } \pi = 0 \qquad \Rightarrow \qquad n = 2 ^ { 1 3 } .

U _ { A } ( 1 ) : \qquad W _ { a } ^ { \alpha } \rightarrow W _ { a } ^ { \alpha } , \qquad Q \rightarrow e ^ { i \alpha } Q , \qquad \tilde { Q } \rightarrow e ^ { i \alpha } \tilde { Q } \ .

{ \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } = - \int _ { S ^ { 1 } } \! \! d y \ m \, \eta ( y ) \ \bar { \psi } \psi \; .

\psi ^ { \prime } ( x ) = e ^ { i \Lambda \sum _ { \mu } r _ { \mu } } \psi ( x + r ) .

w _ { 4 } = c _ { - 2 } ^ { ( 1 ) } z ^ { 2 } + c _ { - 2 } ^ { ( 2 ) } x z + c _ { - 2 } ^ { ( 3 ) } y z + c _ { - 2 } ^ { ( 4 ) } x ^ { 2 } + c _ { - 2 } ^ { ( 5 ) } x y + c _ { - 2 } ^ { ( 6 ) } y ^ { 2 } ,

P ^ { 2 } - m ^ { 2 } \approx 0 ; ~ ~ ~ \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } S _ { \mu \nu } P _ { \lambda } - m j \approx 0 .

( x _ { \Phi } ^ { U V } - x _ { \Phi } ^ { I R } ) \langle \Phi \rangle = - { \frac { 1 } { S _ { d } } } \int \langle \Theta ( x ) \Phi ( 0 ) \rangle _ { c } \, d ^ { d } \! x ,

\bigg | \frac { \pi _ { i } } { \pi _ { 1 } } \bigg | ^ { 2 } \sim 1 + \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { G _ { S } W _ { \mathrm { e f f } ; \lambda } ^ { \ast } ( 1 - \alpha _ { B } ) + \beta _ { B } X _ { B } } ,

\frac { d s _ { i n d } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } = - U ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } + \left( U ^ { 2 } + \frac { \left( \partial _ { \sigma } U \right) ^ { 2 } } { U ^ { 2 } } \right) d \sigma ^ { 2 } .

\mathrm { A d } \psi _ { - } H = \sum _ { n \geq 0 } \lambda ^ { - n } Q _ { n } .

{ \cal L } = \partial ^ { \mu } \varphi ^ { \ast } \partial _ { \mu } \varphi + i e A ^ { \mu } \left( \varphi ^ { \ast } \partial _ { \mu } \varphi - \varphi \partial _ { \mu } \varphi ^ { \ast } \right) + e ^ { 2 } A ^ { \mu } A _ { \mu } \varphi \varphi ^ { \ast } - m ^ { 2 } \varphi ^ { \ast } \varphi ,

G ( z _ { 2 } , \cdots , z _ { n } , z _ { 1 } \tau ^ { 2 n } ) ^ { n \cdots \hat { i } \cdots 1 i } = \delta _ { i } G ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) ^ { i n \cdots \hat { i } \cdots 1 } , ~ ~ ~ ~ \delta _ { i } = \delta _ { 1 } \tau ^ { 2 - 2 i } .

{ \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { \bar { e } } _ { \beta } ^ { \; \; j } \left[ { B } _ { i j } ^ { \bar { g } ^ { \prime } ( 2 ) } \right] = { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { \bar { e } } _ { \beta } ^ { \; \; j } \frac { \partial } { \partial \bar { g } ^ { i j } } [ \Gamma ^ { ( 2 ) } ] + { K } _ { \alpha \beta } ^ { g ^ { \prime } }

\left( \dot { A } + \frac { \dot { \chi } } { 2 \chi } \right) { \cal A } = 0 \; ,

( \sigma _ { \alpha } ) _ { a } ^ { ~ a } = ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ a } ^ { a } = 0 , \; \; \; \varepsilon ^ { a d } \delta _ { c } ^ { b } + \varepsilon ^ { b d } \delta _ { c } ^ { a } = - ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { ~ c } ^ { d } \, ,

{ \tilde { g } } _ { \mu \nu } \equiv \Omega ^ { 2 } g _ { \mu \nu } = e ^ { - 2 \Phi } g _ { \mu \nu } .

J _ { \alpha } ^ { \mu } = - 2 \bar { \Psi } \gamma _ { \alpha \mu } \Psi

\rho = { \frac { 4 \kappa N ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 ( N - 1 ) } } { \left( 1 + \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 N } \right) ^ { 2 } } }

\eta _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } ( r , \varphi ) = N _ { \nu ^ { \pm } , \lambda } \left( \begin{matrix} { \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } \\ { - i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } \\ { \pm \zeta ^ { \pm 1 } J _ { n - 1 } ( q r ) e ^ { i ( n - 1 ) \varphi } } \\ { \pm i J _ { n } ( q r ) e ^ { i n \varphi } } \\ \end{matrix} \right)

\frac { D _ { \perp } r } { r } = - \frac { { \bar { \kappa } } ^ { 2 } } { 2 n } \rho , \quad ( n - 1 ) \frac { D _ { \perp } r } { r } - K _ { \tau } ^ { \tau } = \frac { { \bar { \kappa } } ^ { 2 } } { 2 } p ,

R _ { k } ( z ) = { \frac { 2 a z e ^ { - 2 a z / k ^ { 2 } } } { 1 - e ^ { - 2 a z / k ^ { 2 } } } } \ ,

\rho = \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i j } \lbrack \Phi ^ { i } , _ { z } + \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { j } } \rbrack \lbrack \Phi ^ { j } , _ { z } + \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { i } } \rbrack - \frac { \partial W } { \partial \Phi ^ { i } } \Phi ^ { i } , _ { z } ,

\varepsilon \left( L ^ { ( \pm ) } \scriptstyle { { a \atop a } } \right) = 1 \quad \mathrm { a n d \ z e r o \ f o r \ a l l \ o t h e r s } .

\chi _ { \infty , N } ( x ) = ( ( N - 1 ) ! ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { x ^ { - 1 } } t ^ { N - 1 } e ^ { - t } d t

t r \{ \frac { 1 } { 2 } a \gamma _ { 5 } D f ( \frac { ( \gamma _ { 5 } D ) ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) \}

\nabla ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 2 \phi } F ^ { 2 } = 0 ~ ~ ,

H = \int _ { S ^ { 2 } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \Pi _ { i } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon _ { i j } A _ { j } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B _ { M } ^ { 2 } \right\}

R _ { \mu \rho \sigma \nu } = - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } ( g _ { \mu \sigma } g _ { \nu \rho } - g _ { \mu \nu } g _ { \sigma \rho } ) ,

M e _ { \nu } ( z + i n \pi , h ) = e x p ( i n \nu \pi ) M e _ { \nu } ( z , h )

\langle 0 | \hat { A } _ { \mu } | 0 \rangle = \bar { A } _ { \mu } .

i { \dot { a } } _ { i } ( t ) = \{ g ( \vec { a } , \vec { a } ^ { \, * } ) , \, a _ { i } ( t ) \} _ { + } = \sum _ { j } G _ { i j } a _ { j } ( t ) .

E _ { M } \, = \, \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \, \left( \dot { { \bf x } } _ { 1 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 1 } ^ { 2 } \right) \, + \, \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \, \left( \dot { { \bf x } } _ { 2 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 2 } ^ { 2 } \, + \, { \bf x } _ { 2 } ^ { 2 } \right) .

\int _ { 0 } ^ { \infty } e _ { q } ^ { - r } r ^ { n } d _ { q } r = [ n ] ! \, .

r _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 1 } { \sqrt { - K } } \frac { k } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } , \; \; \; \; \; T _ { \tau } = 4 K ( k ) / \mu .

P _ { x } \rightarrow 0 , \; \; \; \; \; P _ { y } \rightarrow 0 \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \; \; L \rightarrow \infty

\ell _ { t _ { i } } ( \omega ^ { k } ) = ( i _ { t _ { i } } d + d i _ { t _ { i } } ) \omega ^ { k } .

d s ^ { 2 } = M ^ { 2 } ( \rho ) [ d t ^ { 2 } - d \vec { x } ^ { 2 } ] - d \rho ^ { 2 } - L ^ { 2 } ( \rho ) d \theta ^ { 2 } .

Q _ { ~ \mu \nu } ^ { \sigma } ( \tilde { \Gamma } ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { \Gamma } _ { ~ \mu \nu } ^ { \sigma } - \tilde { \Gamma } _ { ~ \nu \mu } ^ { \sigma } \right)

\delta F = \frac { \delta \rho } { 9 6 \pi } \int d ^ { 2 } x \sqrt { g } R \tilde { N } \sigma ,

{ \bf a } _ { \; \; \mu } ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { p _ { 1 } } & { 0 } & { p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 p _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { p _ { 1 } } & { - 2 p _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { p _ { 2 } } & { - 2 p _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) .

\begin{array} { c c c c c c } { \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } & { \ldots } & { \phi _ { 1 } ^ { a } } & { \ldots } & { \phi _ { 1 } ^ { m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { } & { } & { } & { } & { } & { \phi _ { N _ { m } } ^ { m } } \\ { \vdots } & { \phi _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } } & { } & { \vdots } \\ { \phi _ { N _ { 1 } } ^ { 1 } } \\ { \ } & { } & { } & { \phi _ { N _ { a } } ^ { a } } \\ \end{array}

B = { \cal O } _ { \omega _ { 1 } } + { \cal O } _ { \omega _ { 2 } } .

\Phi = - 2 e ^ { - \phi _ { 0 } / 2 } X ^ { 0 } + \phi _ { 0 } \equiv - 2 Q X ^ { 0 } + \phi _ { 0 }

[ \Lambda _ { i \alpha } , \Lambda _ { \dot { \alpha } \ddot { \alpha } } ] = [ \Lambda _ { i \dot { \alpha } } , \Lambda _ { \alpha \ddot { \alpha } } ] = [ \Lambda _ { i \ddot { \alpha } } , \Lambda _ { \alpha \dot { \alpha } } ] = T _ { i \alpha \dot { \alpha } \ddot { \alpha } } , \nonumber

\partial _ { x } ^ { 2 } \Phi _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( x , \bar { x } , z , \bar { z } ) = 0 ~ ,

G ( \vec { A } , \vec { A } ^ { * } ) = G _ { 0 } - \sum _ { l } \sum _ { m } \left( G ^ { - 1 } \right) _ { l m } \tilde { g } _ { l } ^ { * } \tilde { g } _ { m } + \sum _ { l } \sum _ { m } G _ { l m } A _ { l } ^ { * } A _ { m } ,

S = c N ^ { 2 } T ^ { 9 / 5 } ( M ^ { 3 } N ) ^ { - 3 / 5 }

D _ { r ( c ) } ^ { m ( a ) } G _ { n ( b ) } ^ { r ( c ) } ( x , x ^ { \prime } ; \bar { \sigma } ) = - \frac { \partial } { \partial \bar { \sigma } } G _ { n ( b ) } ^ { m ( a ) } ( x , x ^ { \prime } ; \bar { \sigma } )

< n | n ^ { \prime } > = - \int d x _ { e } d x _ { n } \frac { e ^ { i x _ { e } ( n + n ^ { \prime } ) } } { 4 \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( x _ { e } / 2 ) }

\delta _ { \lambda } \mathrm { { \bf ~ A } } = \nabla \lambda ,

a _ { q _ { i } } ^ { ( 0 ) } ( t ) = m p _ { i } ( t ) - e \, A _ { i } ( t , \vec { q } )

[ { \frac { m _ { \mu } } { m _ { e } } } ] _ { 0 } = 2 1 0 = [ { \frac { m _ { \nu _ { \mu } } } { m _ { \nu _ { e } } } } ] _ { 0 }

\hbar \frac { \partial } { \partial t } \psi ( y , t ) + \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + V ( y ) \right] \psi ( y , t ) \equiv { \cal S } _ { \mathrm { E } } \psi ( y , t ) = 0 \, .

D _ { 0 } ( y ) = P _ { 0 } \, \, \, y ^ { - \frac { b } { 2 } } F \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( a + b \right) , 1 - b , y \right] + Q _ { 0 } \, \, \, y ^ { \frac { b } { 2 } } F \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( a - b \right) , 1 + b , y \right] ,

A = ( N d N ^ { + } - d N N ^ { + } ) - T r ( N d N ^ { + } - d N N ^ { + } ) I .

\hat { T } _ { g _ { \lambda } } ( z ; d ) = \hat { T } _ { g _ { \lambda } } ( z ) + d ^ { a } \frac { \hat { J } _ { a } ^ { ( 0 ) } ( z ) } { z } + \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } \hat { k } \eta _ { a b } d ^ { a } d ^ { b } , \ \ \forall d

\sum _ { M \in \{ l , l - 2 , l - 4 , . . . \} } \frac { G _ { M } ^ { ( l ) } } { G _ { l } ^ { ( l ) } } u ^ { \frac { 1 } { 2 } ( l - M ) } \sum _ { n , m = 0 } ^ { \infty } \tilde { A } _ { n m } ^ { ( M ) } \frac { u ^ { n } ( 1 - v ) ^ { m } } { n ! m ! } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { n } } { n ! } G _ { n } ( \lambda , l ; v ) .

\mathrm { K B : } \ \ t = \frac { 1 } { 4 l } , \qquad \mathrm { M S : } \ \ t = \frac { 1 } { 8 l } , \qquad \mathrm { C : } \ \ t = \frac { 1 } { 2 l } .

I ( a ) ^ { 1 } \equiv I ( a , 1 , - 1 ) = - \frac { 2 } { \sqrt { M } } ( \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { M } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 1 } { M } \sqrt { \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { M } } ) ,

\lambda = 6 \kappa ^ { - 2 } \alpha ^ { \prime } ( 0 ) , \quad \bar { \lambda } = - 6 \kappa ^ { - 2 } \alpha ^ { \prime } ( L ) .

{ \cal M } = \left( \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ \end{array} \right) .

S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \{ e ^ { - 2 \phi } [ R + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - ( \nabla T ) ^ { 2 } - V ( T ) + 4 \lambda ^ { 2 } ] \}

b _ { l } ^ { 2 } = - l ( l + 3 ) - 2 , \quad D _ { l } ^ { 2 } = \frac 1 2 l ( 2 l + 3 ) ( l + 3 ) , \quad l = 1 , 2 , . . .

{ \Omega _ { G } } ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } + \frac { 3 \lambda } { 2 \Omega _ { G } } .

I ( p ^ { 2 } ) = \int d ^ { 4 } \ell \beta ^ { \prime } ( \ell _ { 0 } ) f ( \beta ^ { 2 } ( \ell _ { 0 } ) - \vec { \ell } ^ { 2 } , \beta ^ { 2 } ( p _ { 0 } ) - \vec { p } ^ { 2 } )

{ \cal R } _ { \alpha \nu \mu } ^ { \ \ \ \ \beta } = \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \nu \mu } ^ { \beta } - \partial _ { \nu } \Gamma _ { \alpha \mu } ^ { \beta } + \Gamma _ { \alpha \rho } ^ { \beta } \Gamma _ { \nu \mu } ^ { \rho } - \Gamma _ { \nu \rho } ^ { \beta } \Gamma _ { \alpha \mu } ^ { \rho } ,

D _ { 2 } ( t ) = { \frac { 1 } { 1 6 } } t ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 8 } } t ^ { 4 } + { \frac { 5 } { 1 6 } } t ^ { 6 } ,

w _ { k } ^ { - 1 } = \frac 1 m \left[ 1 - \frac { \vec { k } ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } + \frac 3 8 \frac { \vec { k } ^ { 4 } } { m ^ { 4 } } - \ldots \right] ,

\omega _ { 0 } ^ { \underline { 0 } \underline { m } } = e ^ { - U } \partial _ { m } ( e ^ { - 2 U } ) , \qquad \omega _ { m } ^ { \underline { n } \underline { p } } = \delta _ { m } ^ { \ n } \partial _ { p } U - \delta _ { m } ^ { \ p } \partial _ { n } U

[ i R ( \partial _ { t } + \partial _ { x } ) + m \sigma _ { 3 } ] \Psi ^ { \prime } ( t , x ) = 0 .

x _ { \pm } = x _ { \pm } ( \tau ) , \quad \mathrm { d } x _ { \pm } = \dot { x } _ { \pm } \, \mathrm { d } \tau .

n ^ { \mu } { \cal W } _ { \mu } Z ^ { \mathrm { \small ~ c } } = - \int d ^ { 2 } x \, j _ { b } ^ { a } \, \Big ( \underbrace { - \, j _ { c } ^ { a } + n ^ { \mu } \partial _ { \mu } \frac { \delta Z ^ { \mathrm { \small ~ c } } } { \delta j _ { \bar { c } } ^ { a } } } _ { X ^ { a } } \Big ) = 0 \quad ,

Q ^ { k A } \ = \ \left( { 1 \atop 0 } \right) ^ { k } Q _ { + } ^ { A } + \left( { 0 \atop 1 } \right) ^ { k } Q _ { - } ^ { A } \ .

z ^ { \sigma ( \Lambda ) } = z _ { 1 } ^ { \Lambda _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots z _ { m } ^ { \Lambda _ { \sigma ( m ) } } z _ { m + 1 } ^ { \Lambda _ { \sigma ( m + 1 ) } } \cdots z _ { N } ^ { \Lambda _ { \sigma ( N ) } } \quad \mathrm { { a n d } } \quad \theta ^ { \sigma ( 1 , \ldots , m ) } = \theta _ { \sigma ( 1 ) } \cdots \theta _ { \sigma ( m ) } \, .

\left( \beta ^ { \mu , n - k } c ^ { n - k } + \gamma ^ { \mu , n - k } c ^ { - n + k } \right) = \left( \beta ^ { \mu , - n - k } c ^ { - n - k } + \gamma ^ { \mu , - n - k } c ^ { n + k } \right)

\alpha _ { D } ^ { ( \pm ) } = - \frac { Q } { 2 } \pm \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } }

\gamma _ { q } = \{ \gamma _ { q } ( s ) \mid \gamma _ { q } ( 0 ) = q _ { 0 } , \ \gamma _ { q } ( 1 ) = q \} ,

( \prod _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { \mu _ { i } } ) x _ { a } = x _ { a } ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { \mu _ { i } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta _ { a \mu _ { i } } ( \prod _ { j \ne i } ^ { n } \partial _ { \mu _ { j } } ) .

\{ \Gamma _ { \alpha } \, , \, \Gamma _ { \beta } \} \; = \; 2 \, \delta _ { \alpha \beta } \; \; \; , \; \; \; \forall \alpha , \beta = 0 , 1 , \ldots , D \; .

S ( q _ { 1 b } , q _ { 1 a } ; \tau ) = - A \tau + S ( q _ { 1 b } , q _ { 1 a } ; A )

a ( \eta ) = \ell _ { 0 } \sqrt { 1 + \biggl ( \frac { \eta } { \eta _ { 0 } } \biggr ) ^ { 2 } } .

g \bigr | _ { r \to \infty } = g _ { 0 } ~ ~ ~ ,

\delta d ^ { \mu } = h ^ { \mu } ( 1 + T ) ( \rho _ { R } - \rho _ { L } ) .

\eta \cdot k = i | k ^ { 2 } | \biggl [ 1 \pm \sqrt { { \frac { 1 } { 1 - \lambda } } \biggl ( 1 + { \frac { | \eta ^ { 2 } | } { | k ^ { 2 } | } } \biggr ) } \biggr ]

{ \frac { \partial u } { \partial t } } = 6 u { \frac { \partial u } { \partial x } } + { \frac { \partial ^ { 3 } u } { \partial x ^ { 3 } } }

\bigg ( \delta _ { 0 } + \sum _ { n } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { n } \delta _ { n } \bigg ) \bigg ( S _ { 0 } + \sum _ { n } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { n } S _ { n } \bigg ) = 0 \, .