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Unsloth AI 663

{ \frac { N } { M } } \in { \bf Z } , { \frac { M } { P } } \in { \bf Z } , { \frac { P } { Q } } \in { \bf Z }

D _ { \mu } ^ { \alpha \beta } \bar { A } _ { \mu } ^ { \alpha \beta } = 0 ,

H ^ { \prime } = \beta N \int d \lambda \biggl \{ \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } N ^ { 2 } } \partial _ { \lambda } \zeta ^ { \dagger } \partial _ { \lambda } \zeta + V ( \lambda ) \zeta ^ { \dagger } \zeta \biggr \} \ .

\sigma ^ { \mu } \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } A _ { \mu } ^ { a } .

\eta ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) = \alpha ( - 1 ) ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n }

( 4 \pi { \bar { N } } \dot { \xi } ^ { 2 } ( s ) ) ^ { - 1 } F _ { \mu } [ \xi | s ] = - { \cal D } ^ { \nu } ( s ) L _ { \mu \nu } [ \xi | s ] ,

p _ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { S \rightarrow A V } = 2 m i T _ { \nu } ^ { S \rightarrow P V }

F [ \tau _ { - \varepsilon } ( \alpha ) ] =

f _ { 9 } ^ { A } = V _ { 1 1 } \sum _ { ( n ^ { 1 } , n ^ { 2 } ) \ne ( 0 , 0 ) } \left( n ^ { I } g _ { I J } n ^ { J } \right) ^ { - 3 / 2 } \ , \quad V _ { 1 1 } = \sqrt { \det g _ { I J } }

u _ { \mathrm { t o t } } = { \frac { 1 } { a ^ { 4 } } } \sum _ { i } \left[ \alpha _ { i } \ln ( a / L _ { \mathrm { P l } } ) + \gamma _ { i } \right] \approx { \frac { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } { a ^ { 4 } } } ,

[ [ B _ { n } ^ { + } , b _ { 2 } ^ { - } ] , b _ { 2 } ^ { + } ] = n B _ { n } ^ { + } , \quad [ [ B _ { n } ^ { - } , b _ { 2 } ^ { + } ] , b _ { 2 } ^ { - } ] = n B _ { n } ^ { - } .

a _ { n } ( t ) = a _ { n } ( t _ { 0 } ) + O ( \frac { 1 } { \sqrt { g } } )

\frac { d \varphi _ { s p h } } { d r } ( r \rightarrow \infty ) \rightarrow 0

T _ { \mu \nu } = \mathrm { c o n s t . } F _ { \mu \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } ^ { + } F _ { \nu \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } ^ { - } .

| A _ { \mu } \rangle \to | A _ { \mu } ^ { I } \rangle = { \mathbf { \tilde { I } } } | A _ { \mu } \rangle = - { \mathcal I } ( f \delta _ { \mu \nu } ^ { \perp } - g R _ { \mu \nu } ) | A _ { \nu } \rangle

{ \ln } J _ { \theta } = { \frac { 1 } { 3 c { \cal A } } } \int _ { \theta } ^ { 1 } d \theta ^ { \prime } a _ { 5 / 2 } ( \phi , P _ { \theta ^ { \prime } } ) ,

[ { \cal D } \mu ] = { \cal D } A _ { \mu } { \cal D } \phi { \cal D } \theta { \cal D } \xi \prod _ { \beta = 1 } ^ { 2 } \delta \left( \Gamma _ { \beta } [ A _ { 0 } + \xi , A _ { 1 } , \theta ] \right) \det \mid \{ \tilde { \Omega } _ { \alpha } , \Gamma _ { \beta } \} \mid .

H = - i \alpha ^ { r } \partial _ { r } - i r ^ { - 1 } \alpha ^ { \varphi } ( \partial _ { \varphi } - i \Phi ^ { ( 0 ) } ) + \beta m ,

f ( z ) \propto z ^ { l } \ , \quad n = L _ { 1 2 } = l \ .

R - { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \Phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } \Phi = 0 .

c _ { \Delta } \sim \frac { \lambda ^ { \Delta / 2 } } { N } .

+ \frac { 8 \alpha k _ { 1 } } { M ^ { 2 } A } ( - \xi ^ { \prime } + A ( k _ { 2 } \eta - k _ { 1 } \xi ) ) \bigg ] _ { z _ { 1 } = 0 + } = 0 ,

T _ { \mu \nu \rho } : = \partial ^ { \sigma } \phi _ { \mu \nu \rho \sigma } - \frac { 3 } { 2 } \partial _ { ( \mu } \phi _ { \nu \rho ) } ^ { \prime } = 0

+ \int d ^ { 3 } x { \bar { J } } _ { \mu } ^ { \prime } ( x ) a _ { \mu } ( x ) + \int d ^ { 3 } x { \bar { J } } _ { s } ^ { \prime } ( x ) \varphi ( x ) ,

< \psi _ { 1 } | \psi _ { 2 } > _ { n e w } = \frac { 1 } { i } < \psi _ { 1 } | \psi _ { 2 } >

\left( \begin{array} { c c } { \alpha } & { \beta } \\ { \gamma } & { \delta } \\ \end{array} \right)

{ \gamma } ^ { 0 } = { \sigma } ^ { 1 } , { \gamma } ^ { 1 } = i { \sigma } ^ { 2 } , { \gamma } ^ { 5 } = { \gamma } ^ { 0 } { \gamma } ^ { 1 } , \partial _ { \pm } = \partial _ { 0 } \pm \partial _ { 1 } , A _ { \pm } = A _ { 0 } \pm A _ { 1 }

\phi ^ { ( D + 2 ) } = { \frac { 1 } { R } } { \frac { d } { d \tau } } \phi ^ { ( D ) } .

M = \frac { V _ { p } \Omega _ { d - 1 } } { 1 6 \pi G } \rho _ { 0 } ^ { d - 2 } \Big [ d - 1 + ( d - 2 ) \sinh ^ { 2 } \alpha \Big ] \ .

\frac 2 3 < a ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \leq 1 .

0 = \frac { \partial \left\langle V , V \right\rangle } { \partial \lambda _ { m } }

T _ { m } ( x ) \equiv \int _ { 0 } ^ { x } d x ^ { \prime } ( t a n h x ^ { \prime } ) ^ { m } = - \frac { ( t a n h x ) ^ { m - 1 } } { m - 1 } + T _ { m - 2 } ( x ) .

\left( i \not \! \partial - \not \! \! A \right) \Psi = 0 \qquad \vec { H } = \vec { \nabla } \wedge \vec { A } = \frac { \kappa } { r } \delta ( r ) \check { e } _ { z }

\int d ^ { d } x \left( \Phi _ { b } ^ { \dagger } \Phi _ { b } \right) ^ { 2 } = \sum _ { r s } ^ { \prime } \Phi _ { r } ^ { \dagger } \Phi _ { r } I _ { r s } \Phi _ { s } ^ { \dagger } \Phi _ { s }

\left[ \begin{array} { c c c } { } & { } & { } \\ { 3 \times 3 } & { } & { X , Y } \\ { } & { } & { } \\ \hline { } & { } & { } \\ { X , Y } & { } & { 2 \times 2 } \\ { } & { } & { } \\ \end{array} \right]

{ \mathrm { T r } } ( \gamma _ { 1 , 9 } ) = { \mathrm { T r } } ( \gamma _ { 1 , 5 } ) = 0 .

\xi _ { ( 1 ) } ^ { \mu } = [ \tau , \xi ^ { 1 } ( \tau , \sigma ) , \xi ^ { 2 } ( \tau , \sigma ) , \sigma ] , \xi _ { ( 2 ) } ^ { \mu } = [ \tau , - \xi ^ { 1 } ( \tau , \sigma ) , - \xi ^ { 2 } ( \tau , \sigma ) , \sigma ] .

B _ { \mu \nu \rho } = \partial _ { \mu } B _ { \nu \rho } + \partial _ { \rho } B _ { \mu \nu } + \partial _ { \nu } B _ { \rho \mu } \ .

d { \hat { s } } ^ { 2 } = { \frac { | d w | ^ { 2 } } { ( \mathrm { I m } w ) ^ { 2 } } } .

\lambda _ { R } \equiv { \frac { 1 } { 3 ! } } { \frac { d ^ { 4 } { \cal V } ( \Phi ) } { d \Phi ^ { 4 } } } \biggr | _ { \Phi = 0 } = \lambda { \frac { 1 - 6 \lambda I _ { ( 2 ) } [ m _ { R } ^ { 2 } ] } { 1 + 3 \lambda I _ { ( 2 ) } [ m _ { R } ^ { 2 } ] } } ,

- i B _ { T } ^ { \mu \alpha \beta \gamma } = - i B ^ { \mu \alpha \beta \gamma } + i B _ { L } ^ { \mu \alpha \beta \gamma } .

V _ { F } = \frac { e ^ { \alpha G } } { \kappa ^ { 4 } } \lbrack \alpha ^ { 2 } G _ { \bar { A } } G ^ { \bar { A } D } G _ { D } - 3 \rbrack ,

{ \cal L } _ { I } = i e A ^ { \mu } \left( \varphi ^ { \ast } \partial _ { \mu } \varphi - \partial _ { \mu } \left( \varphi ^ { \ast } \right) \varphi \right) ,

a = \frac { 1 } { 2 \kappa } , \kappa = - \frac { 2 ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) } { r _ { 1 } + 2 r _ { 2 } }

H = - \frac { 1 } { 2 \rho } \frac { \partial } { \partial \rho } \rho \frac { \partial } { \partial \rho } + V ( \rho ^ { 2 } )

E _ { 1 } ^ { - } ( j _ { 2 } ) = ( - 1 ) ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { n } c _ { k } { \cal E } ^ { n } ( \bar { y } _ { 1 } , \dots , \bar { y } _ { n } ) \ + \mathrm { o t h e r t e r m s } .

r ^ { l } ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { { \frac { 1 - l } { 2 } } } \leq \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } ,

y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + a \cdot x \cdot z ^ { 4 } + b \cdot z ^ { 6 }

g ( r ) = { \frac { ( r - r _ { + } ) ( r - r _ { - } ) } { R ^ { 2 } } } , \ R ^ { 2 } = r ^ { 2 } - D ^ { 2 }

{ \cal L } = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } \theta { \cal K } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \int d ^ { 2 } \theta { \cal W } + \mathrm { h . c . } \right] ,

\mathcal { K } ( p , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } p ^ { n } \sum _ { d | n } \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { d } } { 2 d } K \left( \frac { n t } { d ^ { 2 } } \right)

v o l ( G ) = \int _ { G } \ D g = \int _ { \raise 1 p t \mathrm { \scriptstyle G } / \lower 1 p t \mathrm { \scriptstyle H _ x } } D [ g ] v o l ( H _ { x } ) = v o l ( H _ { x } ) v o l \bigl ( \! \! \raise 4 p t \mathrm { \ G } \! / \! \! \! \lower 4 p t \mathrm { \ H _ x } \bigr )

E = { \frac { 2 \pi } { e ^ { 2 } r _ { 0 } } } \left( { \frac { r + r _ { 0 } } { r } } \right) \dot { r } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \mu \left( { \frac { r + r _ { 0 } } { r } } \right) \dot { r } ^ { 2 } ,

\mathrm { P f a f f i a n } \left( { \frac { x _ { i } - x _ { j } } { 1 - x _ { i } x _ { j } } } \right) _ { 1 \le i , j \le N } = \prod _ { 1 \le i < j \le N } { \frac { x _ { i } - x _ { j } } { 1 - x _ { i } x _ { j } } }

Z ( { \bf p } ) = \frac { 2 m M \left[ \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } + \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } \right] } { \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } \left[ \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } + \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } + E \right] }

T r _ { w } K _ { H _ { 2 } } = { \frac { e ^ { - { \bar { s } / 4 } } } { ( 4 \pi \bar { s } ) ^ { 1 / 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d y \cosh y e ^ { - { y ^ { 2 } / \bar { s } } } } { ( \sinh ^ { 2 } y + \sin ^ { 2 } { \frac { w } { 2 } } ) } } .

A _ { 0 } ^ { q _ { 0 } } ( x ) = \mathbf { a } _ { | 0 | } ^ { q _ { 0 } i _ { 0 } } A _ { i _ { 0 } } ^ { | 0 | } ( x ) ,

( \gamma _ { \mu } ) ^ { \alpha \beta } L _ { \alpha } S _ { \beta } \Psi _ { + } = V _ { \mu } \Psi _ { + } ,

I = \frac { 3 \pi ( 8 \Lambda a - 1 ) } { G \Lambda }

\Phi ( x , t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tilde { k } \cos ( k x ) ( a ^ { + } ( k ) e ^ { i \omega ( k ) t } + a ( k ) e ^ { - i \omega ( k ) t } ) .

z _ { 0 } = e ^ { 2 \pi i / m } Z _ { 2 } , z _ { 1 } = e ^ { - 2 \pi i a / m } Z _ { 1 } ^ { - 1 } , u _ { 0 } = e ^ { 2 \pi i n / m } U _ { 2 } , u _ { 1 } = e ^ { 2 \pi i / m } U _ { 1 } .

\Phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { - \phi _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \phi _ { 2 } } \\ { \phi _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \phi _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ \end{array} \right) , \qquad \Phi _ { 2 } = \Phi _ { 1 } ( \phi _ { 1 } \to - \phi _ { 3 } , \phi _ { 2 } \to - \phi _ { 4 } ) ,

{ \bf G _ { + + + } ^ { - 1 } } = 2 { \bf I } _ { 1 } \oplus ( { \bf I } _ { D } - \frac { 1 } { D - 2 } { \bf \Xi } _ { D } ) .

D _ { 0 } ( \xi ^ { \mu } , \upsilon ^ { k } ) \equiv { \tilde { \cal L } } _ { \xi } \omega ^ { k } + D \upsilon ^ { k } \ .

F ( \beta ) = ( N _ { B } - N _ { F } ) f _ { B } ( \beta ) + N _ { F } f _ { S } ( \beta )

\left( m _ { \mathrm { Z M } } ^ { 2 } - \partial _ { \perp } ^ { 2 } \right) \pi _ { 0 } = \int _ { - L } ^ { L } d x ^ { - } \mu ^ { 2 } f ( x ^ { - } , x _ { \perp } ) .

\beta _ { 0 } = \beta ( 0 ) , \quad \beta _ { \pi } = \beta ( \pi ) ,

C = e _ { \alpha } \otimes e _ { \beta } c ^ { \alpha \beta } .

{ \bar { \theta } } = \theta _ { s } + \arg ( \det M )

\delta _ { \perp } X ^ { \prime \prime } = ( \delta _ { \perp } \kappa _ { 1 } ) \eta _ { 1 } + \kappa _ { 1 } \delta _ { \perp } \eta _ { 1 } .

\Gamma _ { \psi \psi } ^ { x } = - { \frac { u x } { v } } , \Gamma _ { x x } ^ { x } = + { \frac { v ^ { \prime } } { 2 v } } , \Gamma _ { \psi x } ^ { x } = { \frac { \dot { v } } { 2 v } } ,

Q ( x , \psi ) = x _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } + \cdots + x _ { d + 1 } ^ { d _ { d + 1 } } - k \psi \cdot x _ { 1 } \cdots x _ { d + 1 } ,

\hspace { + 5 e m } [ F _ { i j } , x _ { k } ] = h ( g _ { j k } x _ { i } - g _ { i k } x _ { j } ) ,

\hspace { - 1 c m } \frac { 2 } { k ^ { + } k ^ { ' + } } \left[ \left( m ^ { 2 } + k _ { \perp } k _ { \perp } ^ { \prime } e ^ { + i \lambda ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } \right) \delta _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { \lambda } - m \lambda \left( k _ { \perp } ^ { \prime } e ^ { + i \lambda \varphi ^ { \prime } } - k _ { \perp } e ^ { + i \lambda \varphi } \right) \delta _ { - \lambda ^ { \prime } } ^ { \lambda } \right]

\sum _ { r = 1 } ^ { l } r ^ { s } g _ { A , - n } ^ { ( r , l - r ) } = 0

0 = \left. \left[ J ^ { A } \delta _ { \xi } \Phi _ { A } + \delta _ { \xi } S _ { G F } \right] \right| _ { \Phi _ { A } \rightarrow \frac { \delta } { \delta J ^ { A } } } W ( J ) + d i s c o n n e c t e d t e r m s .

M ^ { ( 1 ) } = \prod \gamma ^ { 6 } \gamma ^ { 7 } \gamma ^ { 8 } \gamma ^ { 9 } \gamma ^ { 1 1 }

r = 0 . 9 8 7 9 1 9 - 0 . 0 0 8 0 5 6 4 9 \times ( 2 \pi - x _ { 0 } ) ^ { 2 . 0 1 5 9 3 } .

\hat { H } = \frac 1 2 \hat { P } ^ { 2 } + V ( \hat { U } , \hat { U } ^ { \dagger } ) ,

\psi _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } [ \psi \mp \gamma _ { 5 } \psi \gamma _ { 2 1 } ]

S = \sum _ { \bf p } \left( - \mathrm { l n } n ( \epsilon ) + ( 1 - n ( \epsilon ) ) \mathrm { l n } x + \mathrm { l n } ( 1 + 2 x ) \right) ,

\zeta = \frac { m _ { W } ^ { 7 / 2 } } { g } \delta \left( \frac { \lambda } { g ^ { 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { - 4 \pi m _ { W } \epsilon / g ^ { 2 } } .

D ^ { + + } \rightarrow \nabla ^ { + + } = D ^ { + + } + i g V ^ { + + } ( x _ { A } , \theta ^ { + } , \bar { \theta } ^ { + } , u )

\eta _ { k } ^ { 1 } ( x ) = \frac { i } { \omega _ { 1 } } \left( \frac { d } { d x } - m \tanh m x \right) e ^ { i k x } = - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } ( k + i m \tanh m x ) e ^ { i k x }

\kappa _ { r } = \log { \frac { \mu _ { I } } { \mu _ { I I } } } = \log { \frac { 1 - \xi } { 1 + \xi } } = - 2 \xi - 2 { \frac { \xi ^ { 3 } } { 3 } } + . . .

M = \int _ { 0 } ^ { m } { \frac { d } { d m } } ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) .

( \alpha , \beta , u , v ) \sim ( u , v , \alpha , \beta ) .

< A ^ { 1 } ( x ) > = \frac { 2 \pi } { e \lambda L } \lambda _ { \pm } = \frac { 2 \pi } { e L } \alpha _ { \pm } \ .

J \equiv \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } \epsilon _ { a b c d e } \phi ^ { e } \nabla _ { \alpha } \phi ^ { a } \nabla _ { \beta } \phi ^ { b } \nabla _ { \gamma } \phi ^ { c } \nabla _ { \delta } \phi ^ { d } ,

z = - \frac { ( P _ { 0 } - P ) } { ( P _ { \infty } - P ) } \frac { ( P _ { \infty } - P _ { - 1 } ) } { ( P _ { 0 } - P _ { - 1 } ) }

W ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { V } \sum _ { { \bf k } } \frac { e ^ { - i k ( x - x ^ { \prime } ) } } { 2 \omega _ { { \bf k } } } .

G : = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \int d ^ { 2 } x ( - 1 ) ^ { \alpha + 1 } \epsilon ^ { \alpha } ( x ) \widetilde \Omega _ { \alpha } ( x ) ,

\delta _ { \epsilon } R _ { 4 } = 0 \ ; \qquad R _ { 4 } = d c _ { 3 } \ ; \qquad \delta _ { \epsilon } c _ { 3 } = d c _ { 2 } ( \epsilon ) \ .

\check { s } _ { \rho } \Phi _ { 0 } = \Phi _ { 0 } , \quad \check { s } _ { \rho } W = W , \qquad \forall \rho \in \Delta ,

\sigma _ { n c } ^ { 2 } = a E ^ { 2 } \ ,

\hat { g } _ { i j } = A _ { i } ^ { k } g _ { k l } A _ { j } ^ { l } .

f _ { o } ^ { ( \pm ) } ( k , x ) = e ^ { \mp i k x } + \int _ { x } ^ { \infty } d y A _ { o } ( x , y ) e ^ { \mp i k y } .

\ddot { \Phi } - \dot { \Phi } ^ { 2 } + 2 H ^ { 2 } + \dot { H } + 2 H \dot { \Phi } - 6 \lambda ^ { \prime } \alpha ( 2 \dot { H } H ^ { 2 } + H ^ { 4 } ) = 0

\eta _ { l } \left( 0 \right) = n _ { l } \pi ,

F ( k , \ell ) = \mathrm { t r } \left[ \gamma _ { \mu } S ( k ) \hat { \Gamma } _ { \mu } ^ { \mathrm { T } } ( k , \ell ) S ( \ell ) \right] .