Datasets:

tomekkorbak

/

pii-pile-chunk3-1050000-1100000

like 0

[ "<?", "xml version=\"1.0\" encoding=\"utf-8\"?", ">\n<Project ToolsVersion=\"4.0\" xmlns=\"http://schemas.microsoft.com/developer/msbuild/2003\">\n <PropertyGroup>\n <MonoGamePlatform>WindowsStoreApp</MonoGamePlatform>\n </PropertyGroup>\n</Project>\n" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0, 0.02857142857142857, 0.00510204081632653 ]

[ "If you've turned on SBS this week, you might have noticed there's a comedy back on TV about a Chinese-Australian family in the midst of divorce called The Family Law (yes, I co-wrote it and agree it's excellent, please nominate us for Logies).", "\n\nBecause it's still relatively new to see non-white people as main characters in drama or comedy, I'm often asked about diversity on Australian TV in interviews – a conversation I'm happy to have.", "\n\nBenjamin Law. ", "Credit:James Brickwood\n\n\"Still, don't we live in a white country?\" ", "interviewers sometimes say. \"", "Isn't 'diversity' just being overly PC?\" ", "I get similar queries before I give talks about workplace diversity, too. \"", "We live in a meritocracy. ", "Isn't it reverse racism to look for non-white candidates? ", "And isn't Australia, well, mostly white anyway?\"", "\n\nRecently, someone tweeted similar sentiments in response to an article noting the whiteness of a writers' festival audience. \"", "It shouldn't be surprising that the audience is mostly white,\" the tweeter said. \"", "If the stats I've read are correct the Aust population is 92 per cent white.\"" ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.00411522633744856, 0, 0.0625, 0.014925373134328358, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "What's left for next year? ", "Nothing, as far as we can tell. ", "Maybe an upgrade to Mac Pro, but who cares? ", "Maybe a redesigned iPad, but after refreshing it twice this year, it's hard to imagine a new iPad coming anytime before October. ", "We're expecting an iPhone 5S, not an iPhone 6." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0, 0.022727272727272728, 0.015503875968992248, 0 ]

[ "Q:\n\nThe submit button for styles in Geoserver\n\nSay I have a layer L in Geoserver to which i attach a style S (in the GS backend i published L using S). ", "Of course, If I use the style editor in the GS backend and change the SLD for S and then 'submit' the new style, my layer looks different next time I load it in a browser.", "\nNow, I am planning to re-generate the SLD for S regularly directly into the Geoserver styles folder using php : each time the database has a new entry, it is queried, the appropriate style/legend is calculated and my php is parsed and prints the SLD code for S in the styles folder, overwriting the previous version of S in the process. ", "\nIt does not work, i.e. if I modify or overwrite S directly in the styles folder and then reload my layer in a browser the style is not updated. ", "\nHence my question: what does the 'submit' button in the GS backend style editor do and how can it be simulated using code instead of manually.", "\nHope this makes sense. ", "Thanks for your help. ", "\nB\n\nA:\n\nU can use the geoserver restful interface to change all the catalog objects on-the-fly including styles. ", "Check the documentation for examples, its quite straigthfoward.", "\ncurl -u admin:geoserver -XPUT -H 'Content-type: application/vnd.ogc.sld+xml' -d @roads.sld http://localhost:8080/geoserver/rest/styles/roads_style\n\nwhere \"roads.sld\" is a file with all the SLD xml content.", "\n\nA:\n\nThe link to the rest interface curl examples:\nhttp://docs.geoserver.org/2.0.0/user/extensions/rest/rest-config-examples-curl.html\nIf you upload the stylesheet through the rest API, it will be reloaded.", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0.006578947368421052, 0.005847953216374269, 0.0029585798816568047, 0, 0.006993006993006993, 0, 0, 0, 0, 0.009708737864077669, 0.00966183574879227, 0 ]

[ "@extends('layouts.backend')\n\n@section('title','文章分类修改');\n\n@section('header')\n <h1>\n 文章分类修改\n </h1>\n@endsection\n\n@section('content')\n <div class=\"row\">\n @include('backend.alert.warning')\n <div class=\"col-xs-12\">\n <div class=\"box box-solid\">\n <form role=\"form\" method=\"post\" action=\"{{ route('backend.category.update', ['id' => $category->id]) }}\" id=\"category-form\">\n <div class=\"box-body\">\n <div class=\"form-group\">\n <label for=\"name\">分类名称</label>\n <div class=\"row\">\n <div class='col-md-6'>\n <input type='text' value=\"{{ $category->name }}\" class='form-control' name=\"name\" id='name' placeholder='请输入分类名称'>\n </div>\n </div>\n </div>\n <div class=\"form-group\">\n <label for=\"title\">上级分类</label>\n <div class=\"row\">\n <div class='col-md-6'>\n @inject('categoryPresenter', 'App\\Presenters\\CategoryPresenter')\n {!! ", "$categoryPresenter->getSelect($category->parent_id, '顶级分类') !!}", "\n </div>\n </div>\n </div>\n </div>\n\n {{ csrf_field() }}\n {{ method_field('PUT') }}\n\n <div class=\"box-footer\">\n <button type=\"submit\" class=\"btn btn-primary\">确定</button>\n <button type=\"button\" class=\"btn btn-warning\" id=\"reset-btn\">重置</button>\n </div>\n </form>\n </div>\n <!-- ", "/.box -->\n </div>\n </div>\n@endsection" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0.00859375, 0, 0.0018832391713747645, 0.02127659574468085 ]

[ "Ed Frankovic\n\nEd has a long history in sports as a media member from 1984-1987 covering sports for The Prince George's Post-Sentinel and then did a 10 year stint as a Washington Capitals statistician (1987-1997). ", "His favorite sports are hockey, football, and golf. ", "Follow Ed on TWITTER: @EdFrankovic" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.018779342723004695, 0, 0.08823529411764706 ]

[ "What to Watch For, Presented by Arby's\n\nAfter one week at home, Ahtyba Rubin and the Cleveland Browns head to the West Coast for a Sunday afternoon game against Carson Palmer and the Oakland Raiders at the O.co Coliseum.", "\n\nThe Cleveland Browns return to the road with a trip to the West Coast for a Sunday afternoon game against the Oakland Raiders at the O.co Coliseum this weekend.", "\n\nWith Sunday’s game, the Browns and Raiders will have played in three of the last four seasons and in Oakland in five of the last six meetings.", "\n\nThe Browns are 8-11-0 all-time against the Raiders dating back to the first meeting between the teams, a 23-20 Oakland road win on Nov. 8, 1970. ", "The Browns are 6-7-0 all-time in road games against the Raiders.", "\n\nThe Browns are 2-3-0 against the Raiders since the team’s move back to Oakland from Los Angeles.", "\n\nWhen the Browns traveled to Oakland last fall, the Raiders earned a 24-17 victory after building a 17-point lead with tight end Kevin Boss’ 35-yard touchdown reception from punter Shane Lechler on a fake field goal attempt.", "\n\nThen-Raiders quarterback Jason Campbell suffered a season-ending injury in the first half after completing six of nine attempts for 52 yards. ", "In his place, Kyle Boller completed eight of 14 passes for 100 yards. ", "Following Campbell’s injury, the Raiders traded draft picks to the Cincinnati Bengals for quarterback Carson Palmer.", "\n\nBrowns quarterback Colt McCoy completed 21 of 45 attempts for 215 yards and matched a career high with two touchdown passes, one to tight end Alex Smith and a second to wide receiver Mohamed Massaquoi with 1:06 remaining in the game, a score which allowed the Browns to attempt and recover an onside kick. ", "However, the Browns failed to convert a first down on the ensuing possession and the Raiders ran out the remaining time on the clock.", "\n\nAs the game unfolds, here are several things to keep an eye on:\n\nDefensive tackle Ahtyba Rubin. ", "Rubin returned to the lineup at Dallas two weeks ago after missing three of the previous four games due to an injured calf muscle. ", "However, since his return, he has registered a sack for a nine-yard loss at Dallas and forced a fumble in the win over Pittsburgh.", "\n\nRubin has registered 194 total tackles since the start of the 2010 regular season, the most among all NFL defensive linemen.", "\n\nWith Rubin in the lineup, the Browns are looking to hold their third straight opponent to 65 or fewer rushing yards for the first time since 1954 when they did so against four straight teams.", "\n\nThe Browns also need five sacks to eclipse the total of 32 they had during the 2011 season.", "\n\nRunning back Trent Richardson. ", "Through 11 games this season, Richardson has rushed for 755 yards and six touchdowns on 209 carries. ", "He also leads the team with 41 receptions for 316 yards. ", "He has scored the second-most points (42) by a rookie in the NFL.", "\n\nRichardson’s 1,071 yards of total offense rank second behind Tampa Bay’s Doug Martin (1,382), while his 755 yards rushing are third in the league among first-year players. ", "He is second in the NFL in receptions by a rookie and third with 39 first downs.", "\n\nWith 100 yards rushing against the Raiders, Richardson would be the first Browns rookie ever to rush for 100 or more yards in four games during a single season. ", "With 188 yards rushing, Richardson would pass Pro Football Hall of Famer, Jim Brown (942), for the most rushing yards by a Browns rookie. ", "Browns Legend Kevin Mack rushed for 1,104 yards as a first-year player in 1985.", "\n\nWide receiver Josh Gordon. ", "Gordon leads the Browns with 530 yards and four touchdown catches on his 28 receptions this season.", "\n\nGordon is tied for second among all NFL rookies with the four touchdown catches and ranks second with 530 yards receiving. ", "Gordon is first with the most receptions of at least 20 yards (nine) among all first-year NFL players. ", "His 18.9 yards per reception average is fourth among all NFL players with at least 20 catches.", "\n\nWith a touchdown Sunday, Gordon would be the first Browns rookie to have five or more receiving touchdowns in a season since Andre’ Davis caught six in 2002.", "\n\nKicker Phil Dawson. ", "The 14-year veteran is 21 of 21 on field goal attempts this season after making both of his kicks against Pittsburgh last Sunday. ", "He is 10 of 10 from 40 or more yards, including a league-best five for five mark from 50-plus. ", "Since the start of the 2011 season, Dawson has converted a league-leading 12 of 13 field goals from 50 or more yards. ", "His 27 straight field goals made is the longest active streak in the NFL and tied for the longest of Dawson’s career.", "\n\nDawson has converted 297 of 353 career field goal attempts with the Browns and ranks second in team history with 1,238 points. ", "His 84.1 field goal percentage is first all-time in team history and the sixth-best total among NFL kickers with at least 100 career field goals made.", "\n\nDawson needs three field goals to be the 25th kicker in NFL history to make 300 or more field goals in a career. ", "Three field goals of 50 or more yards would tie Dawson with Morten Anderson (1995) and Jason Hanson (2008) for the most 50-yarders (eight) in a single season.", "\n\nDawson is 12 of 15 on field goal attempts and 12 of 12 on extra-point tries in seven games against the Raiders. ", "He converted a 37-yard game-winning field goal as time expired in the team’s 9-7 victory at Oakland on Dec. 18, 2005.", "\n\nWide receiver Joshua Cribbs. ", "The two-time Pro Bowler has 9,689 kickoff return yards, which stands sixth on the NFL’s all-time list. ", "He is 100 yards away from passing Glyn Milburn (9,788) for fifth on the all-time list and 257 yards shy of being the sixth player in NFL history to gain 12,000 kickoff return yards.", "\n\nCribbs’ 11,743 combined kickoff and punt return yards rank sixth on the NFL’s career list. ", "His eight kickoff returns for touchdowns are tied for an NFL record and he has added three more scores on punt returns. ", "The combined 11 touchdowns are fifth all-time and with one more, Cribbs would equal Dante Hall and Eric Metcalf for third place. ", "Cribbs is also 96 yards away from passing Dennis Northcutt’s mark for the most punt return yards (2,149) in franchise history.", "\n\nCribbs currently ranks seventh in the NFL in kickoff return average and fifth in punt return average. ", "He has averaged 12.8 yards over 28 punt returns and 28.4 yards on 30 kickoffs. ", "Since the start of the 2011 season, Cribbs has nine returns of at least 40 yards. ", "Each of those returns led to Browns scores -- five touchdowns and four field goals.", "\n\nIn seven games against Oakland, Cribbs has three receptions for 37 yards, 28 yards on five carries and 11 kickoffs for 420 yards, including a 99-yard touchdown at Oakland on Sept. 23, 2007. ", "He has registered 73 yards on seven punt returns against the Raiders in his career.", "\n\nQuarterback Brandon Weeden. ", "Weeden completed 17 of 26 attempts for 158 yards and one touchdown in a win over the Steelers last Sunday. ", "In the win, Weeden passed Tim Couch for the most single-season passing yards by a Browns rookie. ", "Couch threw for 2,447 yards during the 1999 season.", "\n\nOn the year, Weeden has completed 222 of 397 attempts for 2,456 yards with 12 touchdowns and 13 interceptions. ", "Weeden has thrown for 300 or more yards twice in 11 games and has three of the top four single-game passing yardage totals ever by a Browns rookie.", "\n\nWeeden also has thrown the second and fifth-longest touchdowns by a Browns rookie quarterback. ", "He has completed 71-yard and 62-yard touchdown passes to wide receiver Josh Gordon. ", "Weeden ranks third among NFL rookies in passing yards, second in passing first downs (128), and third in completions of 20 or more yards (33).", "\n\nWith a 300-yard game against the Raiders, Weeden would join Derek Anderson, Bernie Kosar, Brian Sipe and Pro Football Hall of Famer, the late Otto Graham, as the only quarterbacks in team history to throw for 300 or more yards at least three times in a single season. ", "Anderson (three in 2007) and Graham (three in 1950) each accomplished the feat once, while Kosar (three each in 1986 and 1987) reached the mark twice. ", "Sipe tossed four 300-yard games in 1979, and again in 1983, and six in 1980.", "\n\nBrowns offensive linemen Joe Thomas and Alex Mack. ", "Thomas has started each of the 91 games he has played since the Browns selected him in the first round of the 2007 NFL Draft and currently ranks tied for sixth for most consecutive starts among active offensive linemen in the NFL. ", "Mack has started 59 straight games for the Browns.", "\n\nDefensive back Sheldon Brown. ", "The 11-year NFL veteran has played in 171 consecutive regular-season games, a mark that ranks fifth among all active defensive players. ", "He has caught at least one interception in each of his 11 NFL seasons.", "\n\nBrown has 25 career interceptions and is tied for the fourth-longest active streak of consecutive seasons with an interception. ", "Green Bay’s Charles Woodson has had an interception in 15 straight seasons, while Denver’s Champ Bailey (14) and Cincinnati’s Nate Clements (12) rank ahead of Brown and Baltimore’s Ed Reed (11).", "\n\nCarson Palmer. ", "Palmer has completed 271 of 449 pass attempts (60.4 percent) for 3,181 yards and 18 touchdowns against 12 interceptions this season. ", "He has been sacked 24 times for 182 yards, but still carries an 84.1 quarterback rating.", "\n\nThe former Cincinnati quarterback has a 9-3 record against the Browns. ", "He has completed 249 of 396 attempts for 2,835 yards and 25 touchdowns against 14 interceptions and been sacked 20 times in those starts.", "\n\nRaiders wide receiver Denarius Moore. ", "Moore’s 36 catches rank third on the Raiders and he has turned those receptions into 604 yards and six touchdowns, both team bests. ", "In his two-year career with the Raiders, Moore has caught 69 passes for 1,222 yards with 11 touchdowns and scored one rushing touchdown on six carries.", "\n\nDefensive end Matt Shaughnessy and linebacker Philip Wheeler. ", "Wheeler leads the team with 84 total and 61 solo tackles this season. ", "He has also registered two sacks and forced a pair of fumbles. ", "Shaughnessy has collected 28 total tackles and a team-leading 3.5 sacks.", "\n\nThe Browns come into Sunday’s game at 3-8 overall after a 20-14 victory over the Steelers last Sunday afternoon. ", "The Raiders (3-8) continue on their tour of the AFC North Division after a 34-10 loss at the Cincinnati Bengals.", "\n\nCONNECTIONS\n\nBrowns coach Pat Shurmur coached the offensive linemen at Stanford University in 1998, while defensive assistant Chuck Bullough served as both the linebackers coach (2006-08) and defensive coordinator (2009-10) at the University of California-Los Angeles.", "\n\nWide receivers coach Mike Wilson was the Raiders’ wide receivers coach from 1995-96, while defensive line coach Dwaine Board spent the 2009 season in the same capacity with Oakland.", "\n\nWilson was Stanford’s wide receivers/tight ends coach from 1992-94 and defensive backs coach Tim Hauck mentored UCLA’s safeties in 2008. ", "Browns tight ends coach Steve Hagen spent two seasons as the offensive coordinator/quarterbacks coach/recruiting coordinator (1997-98) at San Jose State and one year as the offensive coordinator and quarterbacks coach at Fresno State University (2006).", "\n\nDawson was signed by the Raiders as an undrafted free agent in April 1998, and was later claimed off waivers by the New England Patriots that year.", "\n\nBrowns fullback Owen Marecic, fullback/tight end Alex Smith and cornerback Johnson Bademosi went to Stanford. ", "Mack and Schwartz went to the University of California-Berkeley.", "\n\nRaiders quarterbacks coach John DeFilippo is a Youngstown native. ", "Defensive line coach Terrell Williams coached at both Youngstown State University (2002-03) and The University of Akron (2004-05) in the same capacity.", "\n\nRaiders defensive back Coye Francies was selected by the Browns in the sixth round (No. ", "191 overall) of the 2009 NFL Draft.", "\n\nOakland quarterback Terrelle Pryor (The Ohio State University), defensive back Mike Mitchell (Ohio University) and cornerback Brandian Ross (Youngstown State) went to college in Ohio.", "\n\nMEDIA\n\nFans can watch Sunday’s game at 4:25 p.m. ET on local CBS affiliate WOIO-TV 19. ", "Bill Macatee will provide the play-by-play, while former Buffalo Bills’ special teams standout Steve Tasker (color analysis) will join him on the call.", "\n\nThe game is also available along the PNC Bank Browns Radio Network with Jim Donovan (play-by-play), Doug Dieken (color) and Jamir Howerton (sideline reporter) on the call.", "\n\nWhat to Watch For is brought to you by Arby’s -- Arby’s Value Menu starting at one dollar will have you coming back for more without emptying your wallet." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.02727272727272727, 0.018518518518518517, 0.006944444444444444, 0, 0.015625, 0, 0.013333333333333334, 0.006944444444444444, 0.014285714285714285, 0.02586206896551724, 0.00974025974025974, 0.007518796992481203, 0.01020408163265306, 0.007633587786259542, 0, 0.015873015873015872, 0.010362694300518135, 0.010752688172043012, 0, 0.009900990099009901, 0, 0.015384615384615385, 0.011494252873563218, 0.0125, 0.012269938650306749, 0.028985507246376812, 0.02531645569620253, 0.034482758620689655, 0.020202020202020204, 0.016, 0.019417475728155338, 0.010638297872340425, 0.018867924528301886, 0.045454545454545456, 0, 0, 0, 0.017094017094017096, 0.015503875968992248, 0.006666666666666667, 0.008695652173913044, 0.012658227848101266, 0.008771929824561403, 0, 0.03225806451612903, 0.019417475728155338, 0.011049723756906077, 0.010752688172043012, 0.008333333333333333, 0.015503875968992248, 0.007936507936507936, 0.009615384615384616, 0, 0, 0.012048192771084338, 0, 0, 0.03333333333333333, 0.009345794392523364, 0.030927835051546393, 0, 0, 0.006802721088435374, 0.010309278350515464, 0.011904761904761904, 0.014084507042253521, 0.022222222222222223, 0.019867549668874173, 0, 0.03773584905660377, 0.012987012987012988, 0.02, 0.03125, 0.007352941176470588, 0.014285714285714285, 0.007692307692307693, 0.02577319587628866, 0.058823529411764705, 0.007518796992481203, 0, 0.0136986301369863, 0, 0.025, 0, 0.006622516556291391, 0.03125, 0, 0, 0.013888888888888888, 0.017391304347826087, 0.017857142857142856, 0.014814814814814815, 0.01092896174863388, 0.02877697841726619, 0.007936507936507936, 0.013422818791946308, 0.03571428571428571, 0.03125, 0.029411764705882353, 0.019867549668874173, 0.022222222222222223, 0.02857142857142857, 0.02702702702702703, 0.02247191011235955, 0.019867549668874173, 0.023121387283236993, 0.01282051282051282 ]

[ "MOM vs Business Trip\n\nInspirations\n\nThe minute I knew I was pregnant, I submitted my resignation letter to my boss at Helen Keller International. ", "It was my dream job, helping special needs children and doing something real to change the world to be a better place for those special children, and getting paid for it *I know right? ", "helping other and you get a paycheck? ", "awesome!*", "\nLong story short for personal and health reasons I resigned, and embraced my new role in this world: Mother.", "\n\nI was 25, and all of my friends seemed to have an awesome job that made them travel around the world (getting paid to travel? ", "more awesomeness)\nBut I held my head up high and focus on raising a heaven sent for me.", "\n\nUntil one day, my other baby (my business in photography) starting to grew big and bigger and needed me to fly across Indonesia and abroad. (", "helping mothers to remember their precious miracle and get to travel. ", "Double awesomeness)\n\nSo the first time I needed to leave my precious son for 3 days, it’s scary. ", "But I learned here and there, and read lot’s of posts online and books. ", "Decided to believe that a child can feel our nervous feeling and that will make them cranky. ", "And telling him in advanced when I leave, where I’m going and what I expect from him when I’m not around. ", "And every night I whisper to his ear with my deep voice, telling him to be good and healthy when I am away for work. ", "The day I leave for the first time I tried so hard to stay positive, and kept telling myself: Aaron is fine, he is with my husband (one of the perks being married to a photographer we can adjust our schedule, even if we must leave Aaron, we have our beloved mother :D)\n\nSo the results of all my actions: he was happy and healthy. ", "And he was very nice, no mommy-missing-sickness.", "\nStay positive mommies! ", "we can do this 😀\n\nTell me about your tips and tricks when you’re planning for business trip 😀" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.0136986301369863, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006060606060606061, 0, 0, 0 ]

[ "The present invention relates to vending apparatus in general, and more particularly to automated devices for filling reclosable bags.", "\nMany vendable products are stored as intermingled quantities of goods, and are then dispensed to customers in bags. ", "When carried out by hand this packaging approach can be labor intensive or unhygienic. ", "An example of this type of product is cube ice.", "\nAlthough the home freezer is capable of producing ice cubes, sometimes the occasion requires a greater quantity of ice than can be readily produced. ", "Moreover, in some localities, the tap water may not be of a desired purity for producing optimal ice cubes to be placed in drinks. ", "Hence it has long been known to make ice available in bags either as blocks or cubes for consumer purchase. ", "Often this ice is produced off-site and shipped to the retail facility for vending. ", "Where ice production apparatus is available on-site, manual filling of the bags is usually required, which dictates preparation of the bagged ice in batches. ", "Typically the loaded bags of ice will then be stored in a freezer for sale as customers require throughout the day.", "\nIce cubes which are freshly frozen are often more attractive in terms of clarity and surface character. ", "Moreover, by being stored at freezing temperature, but not significantly below freezing temperature, cubes can be kept from freezing to one another.", "\nIce machines which dispense ice cubes into plastic bags are known which heat seal the plastic bag to retain the cubes therein. ", "Heat sealed bags have the drawback that they may not be resealed after the initial opening. ", "Resealable plastic bags, such as those offered by S. C. Johnson & Son, Inc. as Ziploc® Brand with Easy Zipper storage bags or the Hefty Slide-Rite® closure from Pactiv Corporation, provide convenient opening and closing of a plastic bag by hand. ", "However, where such bags are filled with product in advance of sale in an automated form, fill, and seal machine, the components of the zipper bag are usually assembled into the final bag after the bag has been filled with product. ", "For example, the bags may be filled inverted through an open bottom, after which a bottom seal is formed, or, alternatively, the zipper assembly may be sealed to one side of the bag at its mouth, the product introduced, and then the zipper assembly is connected to the opposite side of the bag. ", "Such processes usually employ heat sealing and are complicated in that apparatus for actually assembling the bag itself is required.", "\nAutomated bag filling apparatus of the heat sealing type can perform advantageously in a controlled environment under the supervision of skilled personnel. ", "However, when placed in a remote position, such as in a retail environment, heat sealing equipment can pose problems, as variations in the plastic composition of the bags and environmental conditions can interfere with optimal performance.", "\nWhat is needed is a device which can automatically operate and fill a preformed zippered bag without human intervention for rapid, convenient and effective filling." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.016260162601626018, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "New York (CNN Business) Tough times for the toy industry could turn downright miserable next year if the trade war keeps escalating.", "\n\nThe American toy industry is trying to recover from Toys \"R\" Us going out of business , but toymakers are worried that they could soon be hit with tariffs that will drive up the prices on almost all their products.", "\n\nAbout 85% of the toys sold in the United States are made in China, according to the Toy Association, the industry's trade group. ", "Although those products have escaped the escalating trade war between China and the Trump administration so far, the next round of tariffs is widely expected to include all imports from China that haven't already been taxed.", "\n\nIf that happens, there's no way toys will escape.", "\n\n\"This could not come at a less opportune time for our industry,\" said Rebecca Mond the vice president of governmental affairs for the Toy Association. \"", "We're still reeling from that bankruptcy.\"", "\n\nShe argues that the solution to tariffs -- bringing toy manufacturing back to the United States -- wouldn't make sense.", "\n\n\"It's a labor-intensive industry that cannot be easily automated,\" she said. ", "Much of the manufacturing that has been brought back to America in recent years has gone into very automated plants with high productivity.", "\n\nIt's also a seasonal industry that has to to ramp up production closer to the holiday season, she said. ", "That makes building new American factories impractical, she said.", "\n\nHasbro CEO Brian Goldner has spoken to analysts about moving production away from China, but he's made clear that would shift to other low-wage countries -- not back to the United States. ", "He said that it will takes years to shift even a fraction of its Chinese production elsewhere.", "\n\n\"There is absolutely no way that Hasbro (HAS) and Mattel (MAT) can shift from China to another low cost country overnight,\" said Lutz Mueller, CEO Klosters Trading and an expert on the industry. \"", "They don't have the infrastructure or supply chain in place.\"", "\n\nLeading toy manufacturers declined to respond to questions about the threat of tariffs. ", "But when some of the items they sell, including high chairs and cribs, were initially put on earlier tariff lists, they filed comments with US trade officials arguing tariffs would end up costing American jobs. ", "Mattel said it employs 5,000 Americans to its toys.", "\n\nThose arguments worked, and the juvenile products were not included in earlier rounds of tariffs - for now.", "\n\nLutz said a number of smaller toy companies could go out of business if tariffs are imposed. ", "Many are struggling to recover from the Toys \"R\" bankruptcy.", "\n\nAs for the larger companies, Mattel was already struggling even before the Toys \"R\" Us bankruptcy. ", "Its shares are down 20% since June. ", "In July in the wake of the closure of Toys \"R\" Us, it announced it would cut 2,200 US jobs in an effort to control costs.", "\n\nLutz says that Mattel wouldn't go out of business, but the imposition of tariffs could revive talks about it being purchased by a rival, namely Hasbro.", "\n\n\"Mattel is already teetering on the edge,\" he said. \"", "Hasbro has been trying to buy it for a while. ", "Whether it can survive as an independent company with tariffs is a question mark.\"" ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.007575757575757576, 0, 0.007633587786259542, 0.004464285714285714, 0, 0.012987012987012988, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.010526315789473684, 0, 0.025252525252525252, 0, 0, 0, 0.0196078431372549, 0, 0, 0, 0.009900990099009901, 0, 0, 0.013071895424836602, 0.01818181818181818, 0.021739130434782608, 0 ]

[ "---\nauthor:\n- |\n Jacek Syska[^1]\\\n \\\n Institute of Physics, University of Silesia, Uniwersytecka 4, 40-007 Katowice, Poland\\\n \\\n \\\n \\\n \\\n \\\n \\\n \\\n \\\n \\\n Skrypt dla studentów ekonofizyki[^2]\\\n \\\n \\\n \\\ntitle: |\n Metoda najwiêkszej wiarygodnoœci i informacja Fisher’a w fizyce\\\n i ekonofizyce\\\n \\\n---\n\nAbstract {#abstract .unnumbered}\n========\n\nThree steps in the development of the maximum likelihood (ML) method are presented. ", "At first, the application of the ML method and Fisher information notion in the model selection analysis is described (Chapter 1). ", "The fundamentals of differential geometry in the construction of the statistical space are introduced, illustrated also by examples of the estimation of the exponential models.\\\nAt second, the notions of the relative entropy and the information channel capacity are introduced (Chapter 2). ", "The observed and expected structural information principle (IP) and the variational IP of the modified extremal physical information (EPI) method of Frieden and Soffer are presented and discussed (Chapter 3). ", "The derivation of the structural IP based on the analyticity of the logarithm of the likelihood function and on the metricity of the statistical space of the system is given.\\\nAt third, the use of the EPI method is developed (Chapters 4-5). ", "The information channel capacity is used for the field theory models classification. ", "Next, the modified Frieden and Soffer EPI method, which is a nonparametric estimation that enables the statistical selection of the equation of motions of various field theory models (Chapter 4) or the distribution generating equations of statistical physics models (Chapter 5) is discussed. ", "The connection between entanglement of the momentum degrees of freedom and the mass of a particle is analyzed. ", "The connection between the Rao-Cram[é]{}r inequality, the causality property of the processes in the Minkowski space-time and the nonexistence of tachions is shown. ", "The generalization of the Aoki-Yoshikawa sectoral productivity econophysical model is also presented (Chapter 5). ", "Finally, the Frieden EPI method of the analysis of the EPR-Bhom experiment is presented. ", "It differs from the Frieden approach by the use of the information geometry methods. ", "This work is destined mainly for students in physics and econophysics. (", "At present only Polish version is available).", "\n\nWstêp {#wstêp .unnumbered}\n=====\n\nTematem skryptu jest metoda najwiêkszej wiarygodnoœci (MNW) oraz informacja Fishera (IF) w fizyce i statystyce. ", "Problem dotyczy bardzo aktualnego sposobu konstrukcji modeli fizycznych, który wywodzi siê ze statystycznego opisu zjawisk, którego formalizm pozwala na opis ca³ego spektrum ró¿nych teorii pola, klasycznych i kwantowych. ", "Kluczowe w tym podejœciu pojêcie (oczekiwanej) IF wprowadzi³ Fisher na gruncie w³asnych rozwa¿añ zwi¹zanych z oszacowywaniem parametrów modeli, podlegaj¹cych badaniu statystycznemu w ramach ogólnej metody ekstremalnej wartoœci funkcji wiarygodnoœci $L$. IF opisuje lokalne w³asnoœci funkcji wiarygodnoœci $L \\equiv P(y|\\Theta)$, która formalnie jest ³¹cznym prawdopodobieñstwem (lub ³¹czn¹ gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa) danych $y$, lecz jest rozumiana jako funkcja zbioru parametrów $\\Theta$, który z kolei tworzy wspó³rzêdne w przestrzeni statystycznej. ", "Analiza statystyczna modeli fizycznych idzie jak dot¹d dwoma nurtami.", "\n\nPierwszy z nich, geometryczny, próbuje opisaæ metodê statystyczn¹ wprowadzon¹ w latach 20 poprzedniego wieku przez Fishera [@Fisher], twórcê podstaw techniki statystycznej otrzymywania dobrych estymatorów MNW, w jak siê okaza³o naturalnym dla niej œrodowisku geometrii ró¿niczkowej. ", "Rozwijaj¹c MNW, ju¿ w 1945 roku C.R. Rao [@Rao] zauwa¿y³, ¿e macierz informacji Fishera okreœla metrykê Riemanna i bada³ strukturê modeli statystycznych z punktu wiedzenia geometrii Riemanowskiej. ", "Z kolei B. Efron [@Efron] badaj¹c jednoparametrowe modele i analizuj¹c ich asymptotyczne w³asnoœci dla procedur estymacyjnych, wprowadzi³ i odkry³ u¿ytecznoœæ pojêcia statystycznej krzywizny. ", "A.P. Dawid [@Dawid] wprowadzi³ pojêcie koneksji na przestrzeni wszystkich dodatnio okreœlonych rozk³adów prawdopodobieñstwa, pokazuj¹c, ¿e ze wzglêdu na t¹ koneksjê statystyczna krzywizna jest krzywizn¹ zewnêtrzn¹. Jednak problemem Dawida by³ nieskoñczony wymiar przestrzeni rozk³adów. ", "W roku 1980 S. Amari [@Amari] opublikowa³ systematyczne ujêcie teorii Dawida dla modeli skoñczenie wymiarowych i poda³ spójne okreœlenie $\\alpha$-koneksji (wprowadzonej wczeœniej poza kontekstem statystycznej estymacji przez N.N. Chentsova). ", "W 1982 S. Amari wraz z H. Nagaoka [@Amari; @Nagaoka; @book] wykazali dualnoœæ p³askich przestrzeni modeli eksponencjalnych z e-koneksj¹ i modeli mieszanych z m-koneksj¹.\\\nProcedury estymacyjne statystycznego opisu mechaniki kwantowej (falowej) posz³y dwoma drogami. ", "Pierwsza z nich zwi¹zana jest z naturalnym dla mechaniki kwantowej formalizmem macierzy gêstoœci, druga z konstrukcj¹ zasad informacyjnych (entropijnych). ", "W przypadku formalizmu macierzy gêstoœci, ich zbiór $S = \\bigcup_{r=1}^{k} S_{r}$ ($S_{r} \\cup S_{i} =\\emptyset $, $ i \\neq r $) dla przypadku skoñczenie wymiarowych przestrzeni Hilberta ${\\cal H}$, tworzy zbiór wypuk³y. ", "Dla stanów czystych, podzbiór $S_{1}$ tego zbioru tworz¹ punkty ekstremalne, a przestrzeñ stanów czystych zwi¹zana z nim mo¿e byæ uto¿samiona z zespolon¹ przestrzeni¹ rzutow¹ $CP^{k-1}$, ($k=dim$ ${\\cal H}$). ", "Na przestrzeni tej mo¿na wprowadziæ (z dok³adnoœci¹ do sta³ej) metrykê Riemannowsk¹ nazywan¹ metryk¹ Fubiniego-Study, która jest kwantow¹ wersj¹ metryki Rao-Fishera. ", "Statystyczn¹ estymacj¹ w modelach dla stanów czystych zajmowali siê miêdzy innymi Fujiwara, Nagaoka i Matsumoto [@Fujiwara; @Nagaoka; @Matsumoto]. ", "Natomiast w przypadku podzbioru $S_{k}$ zbioru $S$ dualna struktura z metryk¹ mo¿ne byæ traktowana jako kwantowy analog metryki Rao-Fishera z $\\pm \\alpha$-koneksj¹.\n\nDrugim nurtem, który wy³oni³ siê w ostatnich kilkunastu latach i którym szed³ rozwój zastosowañ MNW oraz pojêcia obserwowanej i oczekiwanej IF w fizyce jest formalizm ekstremalnej fizycznej informacji (EFI) opracowany przez Friedena i jego wspó³pracowników, w szczególnoœci Soffera [@Frieden]. ", "Konstrukcjê modeli fizycznych z wykorzystaniem informacji Fishera zapocz¹tkowa³ Frieden, podaj¹c metodê wyprowadzenia z informacji Fishera cz³onu kinetycznego modeli fizycznych. ", "Nastêpnie zapostulowa³ wprowadzenie dwóch zasad informacyjnych s³u¿¹cych do ustalenia zwi¹zku pomiêdzy pojemnoœci¹ kana³u informacyjnego $I$ oraz informacj¹ strukturaln¹ $Q$, tzn. ", "poprzez zapostulowan¹ now¹ strukturaln¹ zasadê informacyjn¹ skonstruowa³ on cz³ony strukturalne rozwa¿anych przez siebie modeli. ", "W odró¿nieniu od Friedena stosujemy jednak inne [@Dziekuje; @informacja_1], bardziej fizyczne a mniej informacyjne, podejœcie do konstrukcji podstawowych zasad informacyjnych, pos³uguj¹c siê pojêciem ca³kowitej fizycznej informacji $K = I + Q$, a nie wprowadzonym przez Friedena pojêciem zmiany fizycznej informacji. ", "Ró¿nica ta, chocia¿ nie powoduje zasadniczo rachunkowych zmian w sposobie wyprowadzenia równañ ruchu b¹dŸ równañ generuj¹cych rozk³ad dla rozwa¿anych do tej pory problemów, jednak zmieniaj¹c pojêcie informacji fizycznej oraz jej rozk³adu na kinetyczne i strukturalne stopnie swobody, idzie w linii prowadzonych ostatnio badañ nad konstrukcj¹ zasady ekwipartycji dla entropii. ", "To inne ni¿ Friedenowskie podejœcie do pojêcia fizycznej informacji powoduje równie¿ zmiany w pojmowaniu istoty przekazu informacji w procesie pomiaru przy jej przekazie od strukturalnych do kinetycznych stopni swobody. ", "Pomimo ró¿nic sam¹ metodê bêdziemy dalej nazywaæ podejœciem Friedenowskim. ", "Gdyby pomin¹æ chwilowo proces pomiaru, w metodzie Friedena próbkowanie przestrzeni jest wykonywane przez uk³ad, który poprzez w³aœciwe dla niego pole (i zwi¹zane z nim amplitudy) o randze $N$ bêd¹cej wielkoœci¹ próby, próbkuje jego kinetycznymi (Fisherowskimi) stopniami swobody dostêpn¹ mu przestrzeñ konfiguracyjn¹. Nastêpnie, poniewa¿ IF jest infinitezymalnym typem entropii Kulbacka-Leiblera, to zauwa¿aj¹c, ¿e entropia Kulbacka-Leiblera jest wykorzystywana w statystyce do przeprowadzania testów wyboru modeli, pojawia siê przypuszczenie, ¿e IF mo¿e poprzez narzucenie na ni¹ odpowiednich dodatkowych ograniczeñ, zapostulowanych w postaci wspomnianych dwóch zasad informacyjnych, wariacyjnej (skalarnej) oraz strukturalnej (wewnêtrznej), doprowadziæ do wyprowadzenia równañ ruchu b¹dŸ równañ stanu uk³adów fizycznych, najlepszych z punktu widzenia owych informacyjnych zasad. ", "Na tym zasadza siê Friedenowska idea estymacji fizycznych modeli.", "\n\nZasady informacyjne maj¹ uniwersaln¹ postaæ, jednak ich konkretne realizacje zale¿¹ od fizyki rozwa¿anego zagadnienia. ", "Pierwsza z zasad informacyjnych, strukturalna, opisuje wewnêtrzne charakterystyki uk³adu zwi¹zane np. ", "z jego spinem. ", "Druga, wariacyjna, prowadzi do otrzymania w³aœciwej relacji dyspersyjnej dla uk³adu. ", "Ciekaw¹ spraw¹ jest, ¿e wiele rachunków mo¿na wykonaæ dla przypadku, dla którego ca³kowita fizyczna informacja uk³adu (oraz jej gêstoœæ) dzieli siê na dwie równe (lub z czynnikiem $1/2$) czêœci, tzn. ", "pojemnoœæ kana³u informacyjnego oraz informacjê strukturaln¹, maj¹c swoj¹ ca³kowit¹ wartoœæ równ¹ zero. ", "Frieden poda³ informacyjne wyprowadzenie równania Kleina-Gordona dla ogólnego modelu pola z rang¹ $N$, z szczególnym uwzglêdnieniem przypadku pola skalarnego z $N$=2. ", "Dla pola spinorowego z $N$=8 otrzyma³ równanie Diraca a dla $N$=4 równania Maxwella. ", "Procedura jest na tyle ogólna, ¿e umo¿liwia opis pól Rarity-Schwingera, ogólnej teorii wzglêdnoœci oraz wprowadzenie transformacji cechowania [@Frieden]. ", "W oparciu o wprowadzone zasady informacyjne Frieden poda³ równie¿ informacyjne wyprowadzenie zasady nieoznaczonoœci Heisenberga oparte ze statystycznego punktu widzenia o twierdzenie Rao-Cram[é]{}ra dla informacji Fishera oraz jej relacjê z pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu zapisan¹ w reprezentacji pêdowej, czyli po dokonaniu transformacji Fouriera. ", "Transformacja Fouriera pe³ni zreszt¹ w ca³ym formalizmie Friedenowskim rolê wyj¹tkow¹, bêd¹c jednym z typów samospl¹tania wewn¹trz przestrzeni konfiguracyjnej uk³adu, o czym wspomnimy nieco poni¿ej. ", "Frieden poda³ równie¿ wyprowadzenie klasycznej fizyki statystycznej, tzn. ", "jej podstawowych rozk³adów, Boltzmanna dla energii oraz Maxwella-Boltzmanna dla pêdu jak równie¿ pewnych rozk³adów, które zinterpretowa³ jako odpowiadaj¹ce przypadkom nierównowagowym. ", "Kolejn¹ spraw¹ by³o wyprowadzenie górnego ograniczenia na tempo zmiany entropii uk³adu dla przyk³adów klasycznego strumienia cz¹stek, gêstoœci rozk³adu ³adunku, czteropotencja³u elektrodynamicznego oraz strumienia cz¹stek o spinie $1/2$ [@Frieden]. ", "Poda³ równie¿ opis teorii pomiaru z szumem wykorzystuj¹c wariacyjny formalizm EFI pozwalaj¹cy na opis redukcji funkcji falowej w trakcie pomiaru urz¹dzeniem daj¹cym swój w³asny szum. ", "Mianowicie po dokonaniu ekstremalizacji sumy informacji fizycznej $K$ niemierzonego uk³adu oraz funkcjona³u opisuj¹cego w³asnoœci uk³adu pomiarowego (a bêd¹cego splotem funkcji log-wiarygodnoœci dla funkcji przyrz¹du splecionej nieliniowo z rozk³adem uk³adu), otrzyma³ równanie ruchu, które (po przejœciu do nierelatywistycznej granicy Schrödingera) daje równanie typu Feynmana-Mensky’ego z nieliniowym cz³onem opisuj¹cym kolaps funkcji falowej w pomiarze. ", "Ciekawe jest to, ¿e w tym przypadku w pe³ni ujawnia siê traktowanie czasu na równi ze zmiennymi przestrzennymi, czyli jako zmiennej losowej z rozk³adem prawdopodobieñstwa. ", "Przedstawiona w skrypcie postaæ zasad informacyjnych [@Dziekuje; @informacja_2] daje formalnie te same równania ewolucji funkcji falowej uk³adu oplecionej funkcj¹ pomiarow¹ przyrz¹du, jednak otrzymana interpretacja jest zdecydowanie bardziej spójna ni¿ Friedenowska, pozwalaj¹c na jednoznaczne rozró¿nienie uk³adu poza pomiarem od uk³adu w pomiarze.\\\nPrzedstawione w skrypcie, fundamentalna postaæ [*obserwowanej*]{} strukturalnej zasady informacyjnej oraz jej postaæ [*oczekiwana*]{}, [@Dziekuje; @informacja_1; @Dziekuje; @informacja_2], wykorzystywane za Friedenem dla ka¿dego omawianego problemu, zosta³y ostatnio wyprowadzone dla wartoœci tzw. ", "wspó³czynnika efektywnoœci $\\kappa=1$ [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Zasada strukturalna sugeruje spl¹tanie przestrzeni danych obserwowanych z nieobserwowan¹ przestrzeni¹ konfiguracyjn¹ uk³adu [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Zatem informacja strukturalna $Q$ [@Dziekuje; @informacja_2] reprezentuje równie¿ informacjê o spl¹taniu widocznym w korelacji danych w przestrzeni pomiarowej, a EFI mo¿e byæ wykorzystywana jako mechanizm w estymacji stanów spl¹tanych. ", "Np. ", "w przypadku problemu EPR-Bohma, splatanie zachodzi pomiêdzy rzutem spinu obserwowanej cz¹stki i nieobserwowan¹ konfiguracj¹ ³¹czn¹ uk³adu, a w przypadku relatywistycznych równañ ruchu otrzymujemy spl¹tanie kinetycznych i strukturalnych (masa) stopni swobody, czego wyrazem jest zwi¹zek stanu obserwowanej cz¹stki w czasoprzestrzeni z jej w³asnym stanem w przestrzeni energetyczno-pêdowej. ", "Ten drugi przypadek jest przyk³adem wspomnianego samospl¹tania opisanego transformat¹ Fouriera. ", "Poniewa¿ $Q$ zwi¹zane jest tu z mas¹ cz¹stki, zatem w podejœciu informacyjnym mo¿na wyci¹gn¹æ równie¿ wniosek, ¿e samospl¹tanie powinno pomóc w odczytaniu struktury wewnêtrznej cz¹stek. ", "W koñcu pojêcie informacji Fishera i jej reinterpretacja przez Friedena jako cz³onu kinetycznego teorii, pozwoli³a na przeprowadzenie informacyjnego dowodu [@Dziekuje; @informacja_1] o niewyprowadzalnoœci mechaniki kwantowej (falowej) oraz ka¿dej teorii pola, dla której ranga pola $N$ jest skoñczona, z mechaniki klasycznej.\\\n[*Temat skryptu*]{} dotyczy wiêc fundamentalnego zagadnienia zwi¹zanego z okreœleniem statystycznej procedury estymacji modeli fizycznych. ", "Jego realizacja wymaga znajomoœci problemów zwi¹zanych z stosowaniem statystycznej MNW oraz fizycznej EFI dla konstrukcji modeli fizycznych, jak równie¿ podstaw metod geometrii ró¿niczkowej.\\\nNa koniec uwaga s³ownikowa i podsumowanie treœci metody EFI. ", "Pojêcie “likelihood function” zosta³o wprowadzony przez Fishera jako maj¹ce zwi¹zek z prawdopodobieñstwem. ", "Równie¿ s³ownikowo powinno byæ ono przet³umaczone jako “funkcja mo¿liwoœci”. ", "Zastosowano jednak t³umaczenie “funkcja wiarygodnoœci”. ", "Jako posumowanie istoty przedstawionej metody, powiedzmy, ¿e jest ona wyrazem [*zastosowania informacji Fishera w teorii pola w ujêciu Friedena, którego inspiracja pochodzi z obszaru optyki.*]{}", "\n\nTemat skryptu zwi¹zany jest z dociekaniami, które dane mi by³o prowadziæ wspólnie ze S³awomirem Mani¹, Dorot¹ Mroziakiewicz, Janem S³adkowskim, Robertem Szafronem i Sebastianem Zaj¹cem, którym za te dociekania i rozmowy dziêkujê.\\\n\\\nDziêkujê mojej ¿onie Gra¿ynie za uwa¿ne przeczytanie tekstu skryptu.", "\n\nMetoda najwiêkszej wiarygodnoœci {#MNW}\n================================\n\nZ powodu mo¿liwoœci zastosowania [*metody najwiêkszej wiarygodnoœci*]{} (MNW) do rozwi¹zania wielu, bardzo ró¿nych problemów estymacyjnych, sta³a siê ona obecnie zarówno metod¹ podstawow¹ jak równie¿ punktem wyjœcia dla ró¿nych metod analizy statystycznej. ", "Jej wszechstronnoœæ zwi¹zana jest, po pierwsze z mo¿liwoœci¹ przeprowadzenia analizy statystycznej dla ma³ej próbki, opisu zjawisk nieliniowych oraz zastosowania zmiennych losowych posiadaj¹cych zasadniczo dowolny [*rozk³ad prawdopodobieñstwa*]{} [@Nowak], oraz po drugie, szczególnymi w³asnoœciami otrzymywanych przez ni¹ estymatorów, które okazuj¹ siê byæ zgodne, asymptotycznie nieobci¹¿one, efektywne oraz dostateczne [@Nowak]. ", "MNW zasadza siê na intuicyjnie jasnym postulacie przyjêcia za prawdziwe takich wartoœci parametrów rozk³adu prawdopodobieñstwa zmiennej losowej, które maksymalizuj¹ funkcjê wiarygodnoœci realizacji konkretnej próbki.", "\n\nPodstawowe pojêcia MNW\n----------------------\n\nRozwa¿my zmienn¹ losow¹ $Y$ [@Nowak], która przyjmuje wartoœci ${\\bf y}$ zgodnie z rozk³adem prawdopodobieñstwa $p\\left({\\bf y}|\\theta \\right)$, gdzie $\\theta = (\\vartheta_{1},\\vartheta_{2},...,\\vartheta_{k})^{T}\\equiv(\\vartheta_{s})_{s=1}^{k}$, jest zbiorem $k$ parametrów tego rozk³adu ($T$ oznacza transpozycjê). ", "Zbiór wszystkich mo¿liwych wartoœci ${\\bf y}$ zmiennej $Y$ oznaczmy przez ${\\cal Y}$.\\\nGdy $k>1$ wtedy $\\theta$ nazywamy parametrem [*wektorowym*]{}. ", "W szczególnym przypadku $k=1$ mamy $\\theta=\\vartheta$. Mówimy wtedy, ¿e parametr $\\theta$ jest parametrem [*skalarnym*]{}.\\\n\\\n[**Pojêcie próby i próbki**]{}: Rozwa¿my [*zbiór danych*]{} $\\,{{\\bf y}_{1},{\\bf y}_{2},...,{\\bf y}_{N}}$ otrzymanych w $N$ obserwacjach zmiennej losowej $Y$.\\\nKa¿da z danych ${\\bf y}_{n}$, $n=1,2,...,N$, jest generowana z rozk³adu $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$ zmiennej losowej $Y$ w populacji, któr¹ charakteryzuje wartoœæ parametru wektorowego $\\theta_{n} = (\\vartheta_{1},\\vartheta_{2},...,\\vartheta_{k})_{n}^{T}\\equiv((\\vartheta_{s})_{s=1}^{k})_{n}$, $n=1,2,...,N$. St¹d zmienn¹ $Y$ w $n$-tej populacji oznaczymy $Y_{n}$. Zbiór zmiennych losowych $\\widetilde{Y} = (Y_{1},Y_{2},...,Y_{N}) \\equiv( Y_{n})_{n=1}^{N}$ nazywamy $N$-wymiarow¹ [*prób¹*]{}.\\\nKonkretn¹ realizacjê $y=({{\\bf y}_{1},{\\bf y}_{2},...,{\\bf y}_{N}})\\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$ próby $\\widetilde{Y}$ nazywamy [*próbk¹*]{}. ", "Zbiór wszystkich mo¿liwych realizacji $y$ próby $\\widetilde{Y}$ tworzy przestrzeñ próby (uk³adu) oznaczan¹ jako ${\\cal B}$.\\\n[**Okreœlenie**]{}: Ze wzglêdu na to, ¿e $n$ jest indeksem konkretnego punktu pomiarowego próby, rozk³ad $p_{n}({{\\bf y}_{n}|\\theta_{n}})$ bêdziemy nazywali rozk³adem [*punktowym*]{} (czego nie nale¿y myliæ z np. ", "rozk³adem dyskretnym).", "\n\n[**Okreœlenie funkcji wiarygodnoœci**]{}: $\\;\\;\\;$ Centralnym pojêciem MNW jest [*funkcja wiarygodnoœci*]{} $L\\left(y;\\Theta\\right)$ (pojawienia siê) próbki $y = ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$, nazywana te¿ [*wiarygodnoœci¹ próbki*]{}. ", "Jest ona funkcj¹ parametru $\\Theta$.\\\nPrzez wzgl¹d na zapis stosowany w fizyce, bêdziemy stosowali oznaczenie $P(y\\,|\\Theta)\\equiv L\\left(y;\\Theta\\right)$, które podkreœla, ¿e formalnie [*funkcja wiarygodnoœci jest ³¹cznym rozk³adem prawdopodobieñstwa*]{}[^3] pojawienia siê realizacji $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$ próby $\\widetilde{Y} \\equiv( Y_{n})_{n=1}^{N}$, to znaczy: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja wiarygodnoœci proby - def}\nP(\\Theta) \\equiv P\\left({y|\\Theta}\\right) = \\prod\\limits_{n=1}^{N} {p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta_{n}}\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Zwrócenie uwagi w (\\[funkcja wiarygodnoœci proby - def\\]) na wystêpowanie $y$ w argumencie funkcji wiarygodnoœci oznacza, ¿e mo¿e byæ ona rozumiana jako statystyka $P\\left({\\widetilde{Y}|\\Theta}\\right)$. Z kolei skrócone oznaczenie $P(\\Theta)$ podkreœla, ¿e centraln¹ spraw¹ w MNW jest fakt, ¿e funkcja wiarygodnoœci jest funkcj¹ nieznanych parametrów: $$\\begin{aligned}\n\\label{parametr Theta}\n\\Theta = (\\theta_{1},\\theta_{2},...,\\theta_{N})^{T} \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N} \\;\\;\\;\\; {\\rm przy\\; czym} \\;\\;\\; \\theta_{n} = (\\vartheta_{1n},\\vartheta_{2n},...,\\vartheta_{kn})^{T} \\equiv ((\\vartheta_{s})_{s=1}^{k})_{n} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\theta_{n}$ jest wektorowym parametrem populacji okreœlonej przez indeks próby $n$. W toku analizy chcemy oszacowaæ wektorowy parametr $\\Theta$.\\\nZbiór wartoœci parametrów $\\Theta=(\\theta_{n})_{n=1}^{N}$ tworzy wspó³rzêdne rozk³adu prawdopodobieñstwa rozumianego jako punkt w $d=k \\times N$ - wymiarowej (podprzestrzeni) przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Temat ten rozwiniemy w Rozdziale \\[alfa koneksja\\].\\\n\\\n[**Uwaga o postaci rozk³adów punktowych**]{}: W skrypcie zak³adamy, ¿e “[*punktowe*]{}” rozk³ady $p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta_{n}}\\right)$ dla poszczególnych pomiarów $n$ w $N$ elementowej próbie s¹ [*niezale¿ne*]{}[^4].\\\nW ogólnoœci w treœci skryptu, rozk³ady punktowe $p_{n} \\left({\\bf y}_{n}|\\theta_{n} \\right)$ zmiennych $Y_{n}$ chocia¿ s¹ [*tego samego typu*]{}, jednak nie spe³niaj¹ warunku (\\[rozklady pn\\]) charakterystycznego dla próby prostej. ", "Taka ogólna sytuacja ma np. ", "miejsce w analizie regresji (Rozdzia³ \\[regresja klasyczna\\]).\\\n\\\n\\\n[**Pojêcie estymatora parametru**]{}: Za³ó¿my, ¿e dane $y = ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$ s¹ generowane losowo z punktowych rozk³adów prawdopodobieñstwa $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$, $n=1,2,...,N$, które chocia¿ nie s¹ znane, to jednak za³o¿ono o nich, ¿e dla ka¿dego $n$ nale¿¹ do okreœlonej, tej samej klasy modeli. ", "Zatem funkcja wiarygodnoœci (\\[funkcja wiarygodnoœci proby - def\\]) nale¿y do okreœlonej, $d = k \\times N$ - wymiarowej, przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$.\\\nCelem analizy jest oszacowanie nieznanych parametrów $\\Theta$, (\\[parametr Theta\\]), poprzez funkcjê: $$\\begin{aligned}\n\\label{estymator parametrow Theta}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\hat{\\Theta} \\equiv \\hat{\\Theta}(\\widetilde{Y}) =(\\hat{\\theta}_{1},\\hat{\\theta}_{2},...,\\hat{\\theta}_{N})^{T}\\equiv (\\hat{\\theta}_{n})_{n=1}^{N} \\; \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\hat{\\theta}_{n} = (\\hat{\\vartheta}_{1n},\\hat{\\vartheta}_{2n},...,\\hat{\\vartheta}_{kn})^{T} \\equiv ((\\hat{\\vartheta}_{s})_{s=1}^{k})_{n} \\; , \\;\\end{aligned}$$ maj¹c¹ $d = k \\times N$ sk³adowych.\\\nKa¿da z funkcji $\\hat{\\vartheta}_{kn} \\equiv \\hat{\\vartheta}_{kn}(\\widetilde{Y})$ jako funkcja próby jest [*statystyk¹*]{}, któr¹ przez wzgl¹d na to, ¿e s³u¿y do oszacowywania wartoœci parametru $\\vartheta_{kn}$ nazywamy estymatorem tego parametru. [*", "Estymator parametru nie mo¿e zale¿eæ od parametru, który oszacowuje*]{}[^5].\\\n\\\nPodsumowuj¹c, odwzorowanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{estymator jako odwzorowanie}\n\\hat{\\Theta}: {\\cal B} \\rightarrow \\mathbf{R}^{d} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\cal B}$ jest przestrzeni¹ próby, jest estymatorem parametru (wektorowego) $\\Theta$.\\\n\\\n[**Równania wiarygodnoœci**]{}: Bêd¹c funkcj¹ $\\Theta=(\\theta_{n})_{n=1}^{N}$, funkcja wiarygodnoœci s³u¿y do konstrukcji estymatorów $\\hat{\\Theta}=(\\hat{\\theta}_{1},\\hat{\\theta}_{2},...,\\hat{\\theta}_{N})^{T}\\equiv(\\hat{\\theta}_{n})_{n=1}^{N}$ parametrów $\\Theta \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N}$. Procedura polega na wyborze takich $(\\hat{\\theta}_{n})_{n=1}^{N}$ , dla których funkcja wiarygodnoœci przyjmuje maksymaln¹ wartoœæ, sk¹d statystyki te nazywamy estymatorami MNW.\\\nZatem warunek konieczny otrzymania estymatorów $\\hat{\\Theta}$ MNW sprowadza siê do znalezienia rozwi¹zania uk³adu $d=k \\times N$ tzw. [*", "równañ wiarygodnoœci*]{} [@Fisher]: $$\\begin{aligned}\n\\label{rown wiaryg}\nS\\left(\\Theta\\right)_{\\left|\\Theta = \\hat{\\Theta} \\right.} ", "\\equiv\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}\\ln P(y\\,|\\Theta)_{\\left|\\Theta = \\hat{\\Theta} \\right.} ", "= 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie zagadnienie maksymalizacji funkcji wiarygodnoœci $P(y\\,|\\Theta)$ sprowadzono do (na ogó³) analitycznie równowa¿nego mu problemu maksymalizacji jej logarytmu $\\ln P(y\\,|\\Theta)$.\\\n\\\n[**Okreœlenie funkcji wynikowej**]{}: Funkcjê $S\\left(\\Theta\\right)$ bêd¹c¹ gradientem logarytmu funkcji wiarygodnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja wynikowa}\nS\\left(\\Theta\\right)\\equiv\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}\\ln P(y\\,|\\Theta) = \\left(\\begin{array}{c}\n \\frac{\\partial \\ln P(y|\\Theta)}{\\partial \\theta_{1}} \\\\\n \\vdots \\\\\n \\frac{\\partial \\ln P(y|\\Theta)}{\\partial \\theta_{N}} \\\\\n\\end{array}\\right) \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\frac{\\partial \\ln P(y|\\Theta)}{\\partial \\theta_{n}} = \\left(\\begin{array}{c}\n \\frac{\\partial \\ln P(y|\\Theta)}{\\partial \\vartheta_{1n}} \\\\\n \\vdots \\\\\n \\frac{\\partial \\ln P(y|\\Theta)}{\\partial \\vartheta_{kn}} \\\\\n\\end{array}\\right) \\; , \\end{aligned}$$ nazywamy [*funkcj¹ wynikow¹*]{}.\\\n\\\nPo otrzymaniu (wektora) estymatorów $\\hat{\\Theta}$, [*zmaksymalizowan¹*]{} wartoœæ funkcji wiarygodnoœci definiujemy jako numeryczn¹ wartoœæ funkcji wiarygodnoœci powsta³¹ przez podstawienie do $P(y \\,|\\Theta)$ wartoœci oszacowanej $\\hat{\\Theta}$ w miejsce parametru $\\Theta$.\\\n\\\n[**Przyk³ad**]{}: Rozwa¿my problem estymacji skalarnego parametru, tzn. ", "$\\Theta = \\theta$ (tzn. ", "$k=1$ oraz $N=1$), dla zmiennej losowej $Y$ opisanej rozk³adem dwumianowym (Bernoulliego): $$\\begin{aligned}\n\\label{Bernoulliego rozklad}\nP \\left( y|\\theta \\right) = \\left( \\begin{array}{l}\nm \\\\\ny \n\\end{array} \\right) \\theta^{y} \\left(1 - \\theta \\right)^{m-y} \\; .\\end{aligned}$$ Estymacji parametru $\\theta$ dokonamy na podstawie [*pojedynczej*]{} obserwacji (d³ugoœæ próby $N=1$) zmiennej $Y$, której iloraz $Y/m$ nazywamy [*czêstoœci¹*]{}. ", "Parametr $m$ charakteryzuje rozk³ad zmiennej Bernoulliego $Y$ (i nie ma zwi¹zku z d³ugoœci¹ $N$ próby).\\\nZatem poniewa¿ $y \\equiv \\left( {\\bf y}_{1} \\right)$, wiêc $P\\left(y|\\theta \\right)$ jest funkcj¹ wiarygodnoœci dla $N=1$ wymiarowej próby. ", "Jej logarytm wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{ln wiaryg dla Bernoulliego}\n\\ln P\\left(y|\\theta\\right)=\\ln\\left(\\begin{array}{l}\nm\\\\\ny \\end{array}\\right) + y \\ln \\theta + \n{\\left(m-y \\right)\\ln} \\left({1-\\theta}\\right) \\; .\\end{aligned}$$\\\nW rozwa¿anym przypadku otrzymujemy jedno równanie wiarygodnoœci (\\[rown wiaryg\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{r.wiaryg dla Bernoulliego}\nS(\\theta)=\\frac{1}{\\theta}{y}-\\frac{1}{{1-\\theta}}{\\left({m-y}\\right)\\left|\\begin{array}{l}\n_{\\theta=\\hat{\\theta}}\\end{array}\\right.} ", "= 0 \\end{aligned}$$ a jego rozwi¹zanie daje estymator MNW parametru $\\theta$ rozk³adu dwumianowego, równy: $$\\begin{aligned}\n\\hat{\\theta}=\\frac{y}{m}\\label{estymator theta dla Bernoulliego}\\end{aligned}$$ Ilustracj¹ powy¿szej procedury znajdowania wartoœci estymatora parametru $\\theta$ jest Rysunek 1.1 (gdzie przyjêto $m=5$), przy czym na skutek pomiaru zaobserwowano wartoœæ $Y$ równ¹ $y=1$.\n\n\\[rysunek dla rozk dwumianowego\\] ![", "Graficzna ilustracja metody najwiêkszej wiarygodnoœci dla $P\\left(y|\\theta\\right)$ okreœlonego wzorem (\\[Bernoulliego rozklad\\]) dla rozk³adu dwumianowego. ", "Przyjêto wartoœæ parametru $m=5$. Na skutek pomiaru zaobserwowano wartoœæ $Y$ równ¹ $y=1$. Maksimum $P\\left(y|\\theta\\right)$ przypada na wartoœæ $\\theta$ równ¹ punktowemu oszacowaniu $\\hat{\\theta}=y/m=1/5$ tego parametru. ", "Maksymalizowana wartoœæ funkcji wiarygodnoœci wynosi $P\\left(y|\\hat{\\theta}\\right)$.[]{data-label=\"PBernoulli\"}](PBernoulli.eps \"fig:\"){width=\"65mm\"}\n\nWnioskowanie w MNW {#Wnioskowanie w MNW}\n------------------\n\nZ powy¿szych rozwa¿añ wynika, ¿e konstrukcja punktowego oszacowania parametru w MNW oparta jest o postulat maksymalizacji funkcji wiarygodnoœci przedstawiony powy¿ej. ", "Jest on wstêpem do statystycznej procedury wnioskowania. ", "Kolejnym krokiem jest konstrukcja przedzia³u wiarygodnoœci. ", "Jest on odpowiednikiem przedzia³u ufnoœci, otrzymywanego w czêstotliwoœciowym podejœciu statystyki klasycznej do procedury estymacyjnej. ", "Do jego konstrukcji niezbêdna jest znajomoœæ rozk³adu prawdopodobieñstwa estymatora parametru, co (dziêki “porz¹dnym” granicznym w³asnoœciom stosowanych estymatorów) jest mo¿liwe niejednokrotnie jedynie asymptotycznie, tzn. ", "dla wielkoœci próby d¹¿¹cej do nieskoñczonoœci. ", "Znajomoœæ rozk³adu estymatora jest te¿ niezbêdna we wnioskowaniu statystycznym odnosz¹cym siê do weryfikacji hipotez.\\\nW sytuacji, gdy nie dysponujemy wystarczaj¹c¹ iloœci¹ danych, potrzebnych do przeprowadzenia skutecznego czêstotliwoœciowego wnioskowania, Fisher [@Pawitan] zaproponowa³ do okreœlenia niepewnoœci dotycz¹cej parametru $\\Theta$ wykorzystanie maksymalizowanej wartoœæ funkcji wiarygodnoœci.\\\n\\\n[**Przedzia³ wiarygodnoœci**]{} jest zdefiniowany jako zbiór wartoœci parametru $\\Theta$, dla których funkcja wiarygodnoœci osi¹ga (umownie) wystarczaj¹co wysok¹ wartoœæ, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{przedzial wiarygodnosci}\n\\left\\{ {\\Theta, \\; \\frac{{P\\left({y|\\Theta}\\right)}}{{P\\left({y|\\hat{\\Theta}}\\right)}}> c} \\right\\} \\; ,\\end{aligned}$$ dla pewnego [*parametru obciêcia*]{} $c$, nazywanego [*poziomem wiarygodnoœci*]{}.\\\n\\\n[**Iloraz wiarygodnoœci**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{iloraz wiarygodnosci}\nP(y|\\Theta)/P(y|\\hat{\\Theta})\\end{aligned}$$ reprezentuje pewien typ unormowanej wiarygodnoœci i jako taki jest wielkoœci¹ skalarn¹. Jednak z powodu niejasnego znaczenia okreœlonej wartoœci parametru obciêcia $c$ pojêcie to wydaje siê byæ na pierwszy rzut oka za s³abe, aby dostarczyæ tak¹ precyzjê wypowiedzi jak¹ daje analiza czêstotliwoœciowa.\\\nIstotnie, wartoœæ $c$ nie odnosi siê do ¿adnej wielkoœci obserwowanej, tzn. ", "na przyk³ad $1\\%$-we ($c=0,01$) obciêcie nie ma œcis³ego probabilistycznego znaczenia. ", "Inaczej ma siê sprawa dla czêstotliwoœciowych przedzia³ów ufnoœci. ", "W tym przypadku wartoœæ wspó³czynnika $\\alpha=0,01$ oznacza, ¿e gdybyœmy rozwa¿yli realizacjê przedzia³u ufnoœci na poziomie ufnoœci $1-\\alpha=0,99$, to przy pobraniu nieskoñczonej (w praktyce wystarczaj¹co du¿ej) liczby próbek, $99\\%$ wszystkich wyznaczonych przedzia³ów ufnoœci pokry³oby prawdziw¹ (teoretyczn¹) wartoœæ parametru $\\Theta$ w populacji generalnej (sk³adaj¹cej siê z $N$ podpopulacji). ", "Pomimo tej s³aboœci MNW zobaczymy, ¿e rozbudowanie analizy stosunku wiarygodnoœci okazuje siê byæ istotne we wnioskowaniu statystycznym analizy doboru modeli i to a¿ po konstrukcjê równañ teorii pola.", "\n\n### Wiarygodnoœciowy przedzia³ ufnoœci {#Wiarygodnosciowy przedzial ufnosci}\n\n[**Przyk³ad rozk³adu normalnego z jednym estymowanym parametrem**]{}: Istnieje przypadek pozwalaj¹cy na prost¹ [*interpretacjê przedzia³u wiarygodnoœciowego jako przedzia³u ufnoœci*]{}. ", "Dotyczy on zmiennej $Y$ posiadaj¹cej rozk³ad Gaussa oraz sytuacji gdy (dla próby prostej) interesuje nas estymacja skalarnego parametru $\\theta$ bêd¹cego wartoœci¹ oczekiwan¹ $E(Y)$ zmiennej $Y$. Przypadek ten omówimy poni¿ej. ", "W ogólnoœci, przedzia³ wiarygodnoœci posiadaj¹cy okreœlony poziom ufnoœci jest nazywany przedzia³em ufnoœci.\\\nCzêstotliwoœciowe wnioskowanie o nieznanym parametrze $\\theta$ wymaga okreœlenia rozk³adu jego estymatora, co jest zazwyczaj mo¿liwe jedynie granicznie [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Podobnie w MNW, o ile to mo¿liwe, korzystamy przy du¿ych próbkach z twierdzeñ granicznych dotycz¹cych rozk³adu ilorazu wiarygodnoœci [@Amari; @Nagaoka; @book; @Pawitan]. ", "W przypadku rozk³adu normalnego i parametru skalarnego okazuje siê, ¿e mo¿liwa jest konstrukcja skoñczenie wymiarowa.\\\nNiech wiêc zmienna $Y$ ma rozk³ad normalny $N\\left({\\theta,\\sigma^{2}}\\right)$: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad norm theta sigma2}\np\\left({\\bf y}|\\theta, \\sigma^{2}\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi \\, \\sigma^2}} \\; \\exp \\left( - \\, {\\frac{({\\bf y} - \\theta)^{2}}{2 \\, \\sigma^2}} \\right) \\;\\, .\\end{aligned}$$ Rozwa¿my próbkê $y \\equiv ({\\bf y}_{1},\\ldots, {\\bf y}_{N})$, która jest realizacj¹ próby prostej $\\widetilde{Y}$ i za³ó¿my, ¿e [*wariancja $\\sigma^{2}$ jest znana*]{}. ", "Logarytm funkcji wiarygodnoœci dla $N\\left({\\theta,\\sigma^{2}}\\right)$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{log wiaryg rozklad norm jeden par}\n\\ln P\\left(y|\\theta\\right) = - \\frac{N}{2}\\ln(2 \\pi \\sigma^{2}) - \\frac{1}{{2\\sigma^{2}}} \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n} - \\theta}\\right)^{2}} \\;\\, ,\\end{aligned}$$ gdzie ze wzglêdu na próbê prost¹, w argumencie funkcji wiarygodnoœci wpisano w miejsce $\\Theta~\\equiv~(\\theta)_{n=1}^{N}$ parametr $\\theta$, jedyny który podlega estymacji.\\\n\\\nKorzystaj¹c z funkcji wiarygodnoœci (\\[log wiaryg rozklad norm jeden par\\]) otrzymujemy oszacowanie MNW parametru $\\theta$ równe[^6] $\\hat{\\theta} = \\bar{{\\bf y}} = \\frac{1}{{N}}\\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\bf y}_{n}$, co pozwala na zapisanie równoœci $\\sum_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n} - \\theta} \\right)^{2}}$ $ = \\sum_{n=1}^{N}{\\left({({\\bf y}_{n} - \\hat{\\theta}) + (\\hat{\\theta} - \\theta)} \\right)^{2}}$ $= \\sum_{n=1}^{N}({\\bf y}_{n} - \\hat{\\theta})^{2} + \\sum_{n=1}^{N} (\\hat{\\theta} - \\theta)^{2}$. W koñcu, nieskomplikowane przekszta³cenia prowadz¹ do nastêpuj¹cej postaci logarytmu ilorazu wiarygodnoœci (\\[iloraz wiarygodnosci\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{iloraz wiaryg dla normalnego}\n\\ln \\frac{{P\\left( {y|\\theta}\\right)}}{{P( {y|\\hat{\\theta}} )}} = - \\frac{N}{{2\\sigma^{2}}}\\left({\\hat{\\theta} - \\theta}\\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Statystyka Wilka**]{}: Widaæ, ¿e po prawej stronie (\\[iloraz wiaryg dla normalnego\\]) otrzymaliœmy wyra¿enie kwadratowe. ", "Poniewa¿ $\\bar{Y}$ jest nieobci¹¿onym estymatorem parametru $\\theta$, co oznacza, ¿e wartoœæ oczekiwana ${E(\\bar{Y})=\\theta}$, zatem (dla rozk³adu $Y \\sim N\\left( \\theta, \\sigma^{2} \\right)$) œrednia arytmetyczna $\\bar{Y}$ ma rozk³ad normalny $N\\left({\\theta,\\frac{\\sigma^{2}}{N}}\\right)$.\\\nZ normalnoœci rozk³adu $\\bar{Y}$ wynika, ¿e tzw. [*", "statystyka ilorazu wiarygodnoœci Wilka*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{1}\nW \\equiv 2 \\ln \\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta}\\right)}}\\sim\\chi_{1}^{2} \\; ,\\end{aligned}$$ ma rozk³ad $\\chi^{2}$, w tym przypadku z jednym stopniem swobody [@Pawitan].\\\n\\\n[**Wyskalowanie statystyki Wilka w przypadku normalnym**]{}: Wykorzystuj¹c (\\[1\\]) mo¿emy wykonaæ wyskalowanie wiarygodnoœci oparte o mo¿liwoœæ powi¹zania przedzia³u wiarygodnoœci z jego czêstotliwoœciowym odpowiednikiem.\\\n\\\nMianowicie z (\\[1\\]) otrzymujemy, ¿e dla ustalonego (chocia¿ nieznanego) parametru $\\theta$ prawdopodobieñstwo, ¿e iloraz wiarygodnoœci znajduje siê w wyznaczonym dla parametru obciêcia $c,$ wiarygodnoœciowym przedziale ufnoœci, wynosi:\\\n$$\\begin{aligned}\n\\label{rownosc prawdop dla zdarzenia z c}\nP\\left({\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}>c}\\right)=P\\left({2\\ln\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta}\\right)}}<-2\\ln c}\\right)=P\\left({\\chi_{1}^{2}<-2\\ln c}\\right) \\; .\\end{aligned}$$\\\nZatem jeœli dla jakiegoœ $0<\\alpha<1$ wybierzemy parametr obciêcia: $$\\begin{aligned}\n\\label{2}\nc = e^{-\\frac{1}{2}\\chi_{1,\\left({1-\\alpha}\\right)}^{2}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\chi_{1,\\left({1-\\alpha}\\right)}^{2}}$ jest kwantylem rzêdu $100(1-\\alpha)\\%$ rozk³adu $\\chi$-kwadrat, to spe³nienie przez $\\theta$ zwi¹zku: $$\\begin{aligned}\n\\label{1 minus alfa}\nP\\left( {\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta}\\right)}}{\n{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}>c} \\right) = P \\left({\\chi_{1}^{2}<\\chi_{1,\\left({1-\\alpha}\\right)}^{2}}\\right) = 1-\\alpha \\;\\end{aligned}$$ oznacza, ¿e przyjêcie wartoœci $c$ zgodnej z (\\[2\\]) daje zbiór mo¿liwych wartoœci parametru $\\theta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{przedzial wiarygod theta dla rozkl norm}\n\\left\\{ {\\theta,\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}>c}\\right\\} \\; , \\end{aligned}$$ nazywany 100$(1-\\alpha)\\%$-owym [*wiarygodnoœciowym przedzia³em ufnoœci*]{}. ", "Jest on odpowiednikiem wyznaczonego na poziomie ufnoœci $(1-\\alpha)$ czêstotliowœciowego przedzia³u ufnoœci dla $\\theta$. Dla analizowanego przypadku rozk³adu normalnego z estymacj¹ skalarnego parametru $\\theta$ oczekiwanego poziomu zjawiska, otrzymujemy po skorzystaniu z wzoru (\\[2\\]) wartoœæ parametru obciêcia równego $c=0.15$ lub $c=0.04$ dla odpowiednio $95\\%$-owego ($1-\\alpha=0.95$) b¹dŸ $99\\%$-owego ($1-\\alpha=0.99$) przedzia³u ufnoœci. ", "Tak wiêc w przypadku, [*gdy przedzia³ wiarygodnoœci da siê wyskalowaæ rozk³adem prawdopodobieñstwa, parametr obciêcia $c$ posiada w³asnoœæ wielkoœci obserwowanej interpretowanej czêstotliwoœciowo poprzez zwi¹zek z poziomem ufnoœci*]{}.\\\nZwróæmy uwagê, ¿e chocia¿ konstrukcje czêstotliwoœciowego i wiarygodnoœciowego przedzia³u ufnoœci s¹ ró¿ne, to [*ich losowoœæ wynika*]{} w obu przypadkach [*z rozk³adu prawdopodobieñstwa estymatora*]{} $\\hat{\\theta}$.\\\n\\\n[**Æwiczenie**]{}: W oparciu o powy¿sze rozwa¿ania wyznaczyæ, korzystaj¹c z (\\[iloraz wiaryg dla normalnego\\]) ogóln¹ postaæ przedzia³u wiarygodnoœci dla skalarnego parametru $\\theta$ rozk³adu normalnego.", "\n\n### Rozk³ady regularne {#Rozklady regularne}\n\nDla zmiennych o innym rozk³adzie ni¿ rozk³ad normalny, statystyka Wilka $W$ ma w ogólnoœci inny rozk³ad ni¿ $\\chi^{2}$ [@Pawitan]. ", "Jeœli wiêc zmienne nie maj¹ dok³adnie rozk³adu normalnego lub dysponujemy za ma³¹ próbk¹ by móc odwo³ywaæ siê do (wynikaj¹cych z twierdzeñ granicznych) rozk³adów granicznych dla estymatorów parametrów, wtedy zwi¹zek (\\[1\\]) (wiêc i (\\[2\\])) daje jedynie przybli¿one wyskalowanie przedzia³u wiarygodnoœci rozk³adem $\\chi^{2}$.\\\nJednak¿e w przypadkach wystarczaj¹co [*regularnych rozk³adów*]{}, zdefiniowanych jako takie, w których mo¿emy zastosowaæ przybli¿enie kwadratowe: $$\\begin{aligned}\n\\label{log wiaryg dla regularnego}\n\\ln\\frac{{P\\left({y|\\theta}\\right)}}{{P\\left({y|\\hat{\\theta}}\\right)}} \\approx - \\frac{1}{2} \\texttt{i\\!F} \\left(\\hat{\\theta}\\right)\\left(\\hat{\\theta}-\\theta\\right)^{2} \\; , \\end{aligned}$$ powy¿sze rozumowanie oparte o wyskalowanie wiarygodnoœci rozk³adem $\\chi^{2}_{1}$ jest w przybli¿eniu s³uszne. ", "Wielkoœæ $\\texttt{i\\!F}\\left(\\hat{\\theta}\\right)$, która pojawi³a siê powy¿ej jest [*obserwowan¹*]{} informacj¹ Fishera, a powy¿sza formu³a stanowi powa¿ne narzêdzie w analizie doboru modeli. ", "Mo¿na powiedzieæ, ¿e ca³y skrypt koncentruje siê na analizie zastosowania (wartoœci oczekiwanej) tego wyra¿enia i jego uogólnieñ. ", "Do sprawy tej wrócimy dalej.\\\n\\\n[**Przyk³ad**]{}: Rozwa¿my przypadek parametru skalarnego $\\theta$ w jednym eksperymencie ($N=1$) ze zmienn¹ $Y$ posiadaj¹c¹ rozk³ad Bernoulliego z $m=15$. W wyniku pomiaru zaobserwowaliœmy wartoœæ $Y={\\bf y}=3$. Prosta analiza pozwala wyznaczyæ wiarygodnoœciowy przedzia³ ufnoœci dla parametru $\\theta$. Poniewa¿ przestrzeñ $V_{\\theta}$ parametru $\\theta$ wynosi $V_{\\theta}=(0,1)$, zatem ³atwo pokazaæ, ¿e dla $c=0,01$, $c=0,1$ oraz $c=0,5$ mia³by on realizacjê odpowiednio $(0,019;0,583)$, $(0,046;0,465)$ oraz $(0,098;0,337)$. Widaæ, ¿e wraz ze wzrostem wartoœci $c$, przedzia³ wiarygodnoœci zacieœnia siê wokó³ wartoœci oszacowania punktowego $\\hat{\\theta}=y/m=1/5$ parametru $\\theta$ i nic dziwnego, bo wzrost wartoœci $c$ oznacza akceptowanie jako mo¿liwych do przyjêcia tylko takich [*modelowych wartoœci parametru*]{} $\\theta$, które gwarantuj¹ wystarczaj¹co wysok¹ wiarygodnoœæ próbki.\\\nPowy¿szy przyk³ad pozwala nabyæ pewnej intuicji co do sensu stosowania ilorazu funkcji wiarygodnoœci. ", "Mianowicie po otrzymaniu w pomiarze okreœlonej wartoœci $y/m$ oszacowuj¹cej parametr $\\theta$, jesteœmy sk³onni preferowaæ model z tak¹ wartoœci¹ parametru $\\theta$, która daje wiêksz¹ wartoœæ (logarytmu) ilorazu wiarygodnoœci $P(y|\\theta)/P(y|\\hat{\\theta})$. Zgodnie z podejœciem statystyki klasycznej [*nie oznacza to jednak*]{}, ¿e uwa¿amy, ¿e parametr $\\theta$ ma jakiœ rozk³ad. ", "Jedynie wobec niewiedzy co do modelowej (populacyjnej) wartoœæ parametru $\\theta$ preferujemy ten model, który daje wiêksz¹ wartoœæ ilorazu wiarygodnoœci w próbce.", "\n\n### Weryfikacja hipotez z wykorzystaniem ilorazu wiarygodnoœci {#weryfikacja hipotez z ilorazem wiaryg}\n\nPowy¿ej wykorzystaliœmy funkcjê wiarygodnoœci do [*estymacji wartoœci parametru*]{} $\\Theta$. Funkcjê wiarygodnoœci mo¿na równie¿ wykorzystaæ w drugim typie wnioskowania statystycznego, tzn. ", "w [*weryfikacji hipotez statystycznych*]{}.\\\n\\\nRozwa¿my prost¹ hipotezê zerow¹ $H_{0}: \\Theta = \\Theta_{0}$ wobec z³o¿onej hipotezy alternatywnej $H_{1}: \\Theta \\neq \\Theta_{0}$. W celu przeprowadzenia [*testu statystycznego*]{} wprowadŸmy unormowan¹ funkcjê wiarygodnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{unorm fun wiaryg}\n\\frac{{P\\left({y|\\Theta_{0}}\\right)}}{{P\\left({y|\\hat{\\Theta}}\\right)}} \\;\\, ,\\end{aligned}$$ skonstruowan¹ przy za³o¿eniu prawdziwoœci hipotezy zerowej. ", "Hipotezê zerowa $H_{0}$ odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, jeœli jej wiarygodnoœæ $P\\left({y|\\Theta_{0}}\\right)$ jest “za ma³a”. ", "Sugerowa³oby to, ¿e z³o¿ona hipoteza alternatywna $H_{1}$ zawiera pewn¹ hipotezê prost¹, która jest lepiej poparta przez dane otrzymane w próbce, ni¿ hipoteza zerowa.\\\nJak o tym wspomnieliœmy powy¿ej, np. ", "$5\\%$-owe obciêcie $c$ w zagadnieniu estymacyjnym, samo w sobie nie mówi nic o frakcji liczby przedzia³ów wiarygodnoœci pokrywaj¹cych nieznan¹ wartoœæ szacowanego parametru. ", "Potrzebne jest wyskalowanie ilorazu wiarygodnoœci. ", "Równie¿ dla weryfikacji hipotez skalowanie wiarygodnoœci jest istotne. ", "Stwierdziliœmy, ¿e takie skalowanie jest mo¿liwe wtedy gdy mamy do czynienia z jednoparametrowym przypadkiem rozk³adu Gaussa, a przynajmniej z przypadkiem wystarczaj¹co regularnym.\\\n\\\n[**Empiryczny poziom istotnoœci**]{}: W przypadku jednoparametrowego, regularnego problemu z ($\\Theta \\equiv (\\theta)_{n=1}^{N})$ jak w Przyk³adzie z Rozdzia³u \\[Wiarygodnosciowy przedzial ufnosci\\], skalowanie poprzez wykorzystanie statystki Wilka s³u¿y otrzymaniu empirycznego poziomu istotnoœci $p$. Ze zwi¹zku (\\[1\\]) otrzymujemy wtedy przybli¿ony (a dok³adny dla rozk³adu normalnego) [*empiryczny poziom istotnoœci*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{poziom istotnosci wiaryg}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!", "\np &\\approx& P\\left(\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta_{0}}\\right)}} \\geq \\frac{{P\\left({y|\\hat{\\theta}_{obs}}\\right)}}{{P\\left({y|\\theta_{0}}\\right)}} \\right) = P\\left({2\\ln\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\theta}}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\theta_{0}}\\right)}} \\geq -2\\ln c_{obs}}\\right) \\nonumber \\\\ \n&=& P\\left({\\chi_{1}^{2} \\geq -2\\ln c_{obs}}\\right) \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\;\\; c_{obs} \\equiv \\frac{{P\\left({y|\\theta_{0}}\\right)}}{{P\\left({y|\\hat{\\theta}_{obs}}\\right)}} \n \\; ,\\end{aligned}$$ przy czym $\\hat{\\theta}_{obs}$ jest wartoœci¹ estymatora MNW $\\hat{\\theta}$ wyznaczon¹ w obserwowanej (obs) próbce $y$. Powy¿sze okreœlenie empirycznego poziomu istotnoœci $p$ oznacza, ¿e w przypadku wystarczaj¹co regularnego problemu [@Pawitan], istnieje typowy zwi¹zek pomiêdzy prawdopodobieñstwem (\\[1 minus alfa\\]), a empirycznym poziomem istotnoœci $p$, podobny do zwi¹zku jaki istnieje pomiêdzy poziomem ufnoœci $1-\\alpha$, a poziomem istotnoœci $\\alpha$ w analizie czêstotliwoœciowej. ", "I tak, np. ", "w przypadku jednoparametrowego rozk³adu normalnego mo¿emy wykorzystaæ wartoœæ empirycznego poziomu istotnoœci $p$ do stwierdzenia, ¿e gdy $p \\leq \\alpha$ to hipotezê $H_{0}$ odrzucamy na rzecz hipotezy $H_{1}$, a w przypadku $p > \\alpha$ nie mamy podstawy do odrzucenia $H_{0}$.\\\n\\\n[**Problem b³êdu pierwszego i drugiego rodzaju**]{}: Jednak¿e podobne skalowanie ilorazu wiarygodnoœci okazuje siê byæ znacznie trudniejsze ju¿ chocia¿by tylko w przypadku dwuparametrowego rozk³adu normalnego, gdy obok $\\theta$ estymujemy $\\sigma^{2}$ [@Pawitan]. ", "Wtedy okreœlenie co oznacza sformu³owanie ,,zbyt ma³a” wartoœæ $c$ jest doœæ dowolne i zale¿y od rozwa¿anego problemu lub wczeœniejszej wiedzy wynikaj¹cej z innych Ÿróde³ ni¿ prowadzone statystyczne wnioskowanie. ", "Wybór du¿ego parametru obciêcia $c$ spowoduje, ¿e istnieje wiêksze prawdopodobieñstwo pope³nienia [*b³êdu pierwszego rodzaju*]{} polegaj¹cego na odrzuceniu hipotezy zerowej w przypadku, gdy jest ona prawdziwa. ", "Wybór ma³ego $c$ spowoduje zwiêkszenie prawdopodobieñstwa pope³nienia [*b³êdu drugiego rodzaju*]{}, tzn. ", "przyjêcia hipotezy zerowej w sytuacji, gdy jest ona b³êdna.", "\n\nMNW w analizie regresji {#regresja klasyczna}\n-----------------------\n\nAnaliza zawarta w ca³ym Rozdziale \\[regresja klasyczna\\] oparta jest na przedstawieniu metody MNW w analizie regresji klasycznej podanym w [@Kleinbaum] i [@Mroz].\\\n[**W metodzie regresji klasycznej**]{}, estymatory parametrów strukturalnych modelu regresji s¹ otrzymane arytmetyczn¹ metod¹ najmniejszych kwadratów (MNK). ", "Zmienne objaœniaj¹ce $X_{n} = x_{n}\\,$, $n=1,...,N$, nie maj¹ wtedy charakteru stochastycznego, co oznacza, ¿e eksperyment jest ze wzglêdu na nie kontrolowany.\\\n\\\n[**MNK polega na**]{} minimalizacji sumy kwadratów odchyleñ obserwowanych wartoœci zmiennej objaœnianej (tzw. ", "odpowiedzi) od ich wartoœci teoretycznych spe³niaj¹cych równanie regresji. ", "MNK ma znaczenie probabilistyczne tylko w przypadku analizy standardowej, gdy zmienna objaœniana $Y$ ma rozk³ad normalny. ", "Jej estymatory pokrywaj¹ siê wtedy z estymatorami MNW. ", "Poka¿emy, ¿e tak siê sprawy maj¹.\\\n\\\nZa³ó¿my, ¿e zmienne $\\,Y_{1},Y_{2},...,Y_{N}\\,$ odpowiadaj¹ce kolejnym wartoœciom zmiennej objaœniaj¹cej, $x_{1},$ $x_{2},...,x_{N}$, s¹ wzglêdem siebie niezale¿ne i maj¹ rozk³ad normalny ze œredni¹ $\\mu_{n}=E\\left({Y\\left|{x_{n}}\\right.}\\right) = E\\left(Y_{n}\\right)$ zale¿n¹ od wariantu zmiennej objaœniaj¹cej $x_{n}$, oraz tak¹ sam¹ wariancjê $\\sigma^{2}(Y_{n})=\\sigma^{2}(Y)$.\\\nFunkcja wiarygodnoœci próbki $\\left({y_{1},y_{2},...,y_{N}}\\right)$ dla normalnego klasycznego modelu regresji z parametrem $\\Theta = \\mu \\equiv (\\mu_{n})_{n=1}^{N}$, ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{wiaryg dla regr klas} \nP(\\mu) \\equiv P\\left({y}|\\mu \\right) &=& \\prod\\limits_{n=1}^{N} {f\\left({{\\bf y}_{n}|\\mu_{n}} \\right)} = \\prod\\limits_{n=1}^{N}{\\frac{1}{{\\sqrt{2\\pi\\sigma^{2}}}} \\, \\exp\\left\\{ {-\\frac{1}{{2\\sigma^{2}}} \\left({{\\bf y}_{n} - \\mu_{n}}\\right)^{2}} \\right\\} } \\nonumber \\\\\n&=& \\frac{1}{{\\left({2\\pi\\sigma^{2}}\\right)^{N/2}}}\\exp\\left\\{ { - \\frac{1}{{2\\sigma^{2}}} \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n}-\\mu_{n}}\\right)^{2}}}\\right\\} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $f\\left({{\\bf y}_{n}|\\mu_{n}} \\right)\\,$, $n=1,2...,N$, s¹ punktowymi rozk³adami gestoœci prawdopodobieñstwa Gaussa. ", "Widaæ, ¿e maksymalizacja $P(\\mu)$ ze wzglêdu na $(\\mu_{n})_{n=1}^{N}$ poci¹ga za sob¹ minimalizacjê sumy kwadratów reszt[^7] ($SKR$): $$\\begin{aligned}\n\\label{SKR}\nSKR = \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n}-\\mu_{n}}\\right)^{2}} \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\mu_{n}=E\\left({Y\\left|{x_{n}}\\right.}\\right)$ jest [*postulowanym modelem regresji*]{}. ", "Zatem w standardowej, klasycznej analizie regresji, estymatory MNW pokrywaj¹ siê z estymatorami MNK. ", "Widaæ, ¿e procedura minimalizacji dla $SKR$ prowadzi do liniowej w $Y_{n}$ postaci estymatorów $\\hat{\\mu}_{n}$ parametrów $\\mu_{n}$.\\\n\\\n[**Problem z nieliniowym uk³adem równañ wiarygodnoœci**]{}: Jednak rozwi¹zanie uk³adu równañ wiarygodnoœci (\\[rown wiaryg\\]) jest zazwyczaj nietrywialne. ", "Jest tak, gdy otrzymany w wyniku ekstremizacji uk³ad algebraicznych równañ wiarygodnoœci dla estymatorów jest nieliniowy, co w konsekwencji oznacza, ¿e mo¿emy nie otrzymaæ ich w zwartej analitycznej postaci. ", "Przyk³adem mo¿e byæ analiza regresji Poissona, w której do rozwi¹zania równañ wiarygodnoœci wykorzystujemy metody iteracyjne. ", "W takich sytuacjach wykorzystujemy na ogó³ jakiœ program komputerowy do analizy statystycznej, np. ", "zawarty w pakiecie SAS. ", "Po podaniu postaci funkcji wiarygodnoœci, program komputerowy dokonuje jej maksymalizacji rozwi¹zuj¹c uk³ad (\\[rown wiaryg\\]) np. ", "metod¹ Newton-Raphson’a [@Pawitan; @Mroz], wyznaczaj¹c numerycznie wartoœci estymatorów parametrów modelu.\\\n\\\n[**Testy statystyczne**]{}: Logarytm ilorazu wiarygodnoœci jest równie¿ wykorzystywany w analizie regresji do przeprowadzania testów statystycznych przy weryfikacji hipotez o nie wystêpowaniu braku dopasowania modelu mniej z³o¿onego, tzw. “", "ni¿szego”, o mniejszej liczbie parametrów, w stosunku do bardziej z³o¿onego modelu “wy¿szego”, posiadaj¹cego wiêksz¹ liczbê parametrów. ", "Statystyka wykorzystywana do tego typu testów ma postaæ [@Kleinbaum; @Pawitan; @Mroziakiewicz]: $$\\begin{aligned}\n\\label{prawie dewiancja}\n-2\\ln\\frac{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\Theta}_{1}}\\right)}}{{P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\Theta}_{2}}\\right)}}\\end{aligned}$$ gdzie ${P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\Theta}_{1}}\\right)}$ jest maksymalizowan¹ wartoœci¹ funkcji wiarygodnoœci dla modelu mniej z³o¿onego, a ${P\\left({\\widetilde{Y}|\\hat{\\Theta}_{2}}\\right)}$ dla modelu bardziej z³o¿onego. ", "Przy prawdziwoœci hipotezy zerowej $H_{0}$ o braku koniecznoœci rozszerzania modelu ni¿szego do wy¿szego, statystyka (\\[prawie dewiancja\\]) ma asymptotycznie rozk³ad $\\chi^{2}$ z liczb¹ stopni swobody równ¹ ró¿nicy liczby parametrów modelu wy¿szego i ni¿szego.\\\n\\\n[**Analogia wspó³czynnika determinacji**]{}: Maksymalizowana wartoœæ funkcji wiarygodnoœci zachowuje siê podobnie jak [*wspó³czynnik determinacji*]{} $R^{2}$ [@Kleinbaum; @Mroz], tzn. ", "roœnie wraz ze wzrostem liczby parametrów w modelu, zatem wielkoœæ pod logarytmem nale¿y do przedzia³u $\\left(0,1\\right)$ i statystyka (\\[prawie dewiancja\\]) przyjmuje wartoœci z przedzia³u $\\left(0,+\\infty\\right)$. St¹d (asymptotycznie) zbiór krytyczny dla $H_{0}$ jest prawostronny. ", "Im lepiej wiêc model wy¿szy dopasowuje siê do danych empirycznych w stosunku do modelu ni¿szego, tym wiêksza jest wartoœæ statystyki ilorazu wiarygodnoœci (\\[prawie dewiancja\\]) i wiêksza szansa, ¿e wpadnie ona w przedzia³ odrzuceñ hipotezy zerowej $H_{0}$, który le¿y w prawym ogonie wspomnianego rozk³adu $\\chi^{2}$ [@Kleinbaum; @Mroz].", "\n\n### Dewiancja jako miara dobroci dopasowania. ", "Rozk³ad Poissona. {#", "Dewiancja jako miara dobroci dopasowania}\n\nRozwa¿my zmienn¹ losow¹ $Y$ posiadaj¹c¹ rozk³ad Poissona. ", "Rozk³ad ten jest wykorzystywany do modelowania zjawisk zwi¹zanych z rzadko zachodz¹cymi zdarzeniami, jak na przyk³ad z liczb¹ rozpadaj¹cych siê niestabilnych j¹der w czasie [*t*]{}. ", "Ma on postaæ: $$\\label{rozklad Poissona} \np \\left(Y={\\bf y}|\\mu \\right)=\\frac{\\mu ^{{\\bf y}} e^{-\\mu } }{{\\bf y}\\, !} \\; , \\;\\;\\; {", "\\rm oraz} \\;\\;\\; {\\bf y} = 0,1,...,\\infty \\; ,$$ gdzie $\\mu $ jest parametrem rozk³adu. ", "Zmienna losowa podlegaj¹ca rozk³adowi Poissona mo¿e przyj¹æ tylko nieujemn¹ wartoœæ ca³kowit¹. Rozk³ad ten mo¿na wyprowadziæ z rozk³adu dwumianowego, b¹dŸ wykorzystuj¹c rozk³ady Erlanga i wyk³adniczy [@Nowak].\\\n\\\n[**Zwi¹zek wariancji z wartoœci¹ oczekiwan¹ rozk³ad Poissona**]{}: Rozk³ad Poissona posiada pewn¹ interesuj¹c¹ w³aœciwoœæ statystyczn¹, mianowicie jego wartoœæ oczekiwana, wariancja i trzeci moment centralny s¹ równe parametrowi rozk³adu $\\mu$: $$\\begin{aligned}\n\\label{E sigma trzeci Poissona}\nE(Y) = \\sigma ^{2} (Y) = \\mu _{3} =\\mu \\; .\\end{aligned}$$ Aby pokazaæ dwie pierwsze równoœci w (\\[E sigma trzeci Poissona\\]) skorzystajmy bezpoœrednio z definicji odpowiednich momentów, otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{E Y dla rozkl Poissona}\nE\\left(Y\\right)& =& \\sum _{{\\bf y}=0}^{\\infty }{\\bf y}\\cdot p\\left(Y={\\bf y}|\\mu \\right) =\\sum _{{\\bf y}=0}^{\\infty }{\\bf y}\\cdot \\frac{\\mu ^{{\\bf y}} e^{-\\mu } }{{\\bf y}!} ", " = e^{-\\mu } \\sum _{{\\bf y}=1}^{\\infty }\\frac{\\mu ^{{\\bf y}} }{\\left({\\bf y}-1\\right)!} ", "\\nonumber \\\\ \n& = & e^{-\\mu } \\mu \\sum _{{\\bf y}=1}^{\\infty }\\frac{\\mu ^{{\\bf y}-1} }{\\left({\\bf y}-1\\right)!} ", "=e^{-\\mu } \\mu \\sum _{l=0}^{\\infty }\\frac{\\mu ^{l} }{l!} ", "= e^{-\\mu } \\mu \\, e^{\\mu } = \\mu \\; , \\end{aligned}$$ oraz, korzystaj¹c z (\\[E Y dla rozkl Poissona\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{sigma2 dla rozkl Poissona}\n& &\\sigma^{2} \\left(Y\\right) = E\\left(Y^{2} \\right)-\\left[E\\left(Y\\right)\\right]^{2} = E\\left(Y^{2} \\right) - \\mu^{2} =\\sum _{{\\bf y}=0}^{\\infty }{\\bf y}^{2} \\cdot p\\left(Y={\\bf y}|\\mu \\right) - \\mu^{2} \n\\nonumber \\\\ \n& & = \\sum _{{\\bf y}=0}^{\\infty }{\\bf y}^{2} \\cdot \\frac{\\mu ^{{\\bf y}} e^{-\\mu } }{{\\bf y}!} - ", "\\mu^{2} = e^{-\\mu } \\sum _{{\\bf y}=1}^{\\infty }{\\bf y}\\frac{\\mu ^{{\\bf y}} }{\\left({\\bf y}-1\\right)!} - ", "\\mu^{2} = \\, e^{-\\mu } \\mu \\sum _{l=0}^{\\infty }\\left(l+1\\right)\\frac{\\mu ^{l} }{l!} ", " - \\mu^{2} \n\\nonumber \\\\ \n& & = e^{-\\mu } \\mu \\, \\left[\\sum _{l=0}^{\\infty }l\\frac{\\mu ^{l} }{l!} ", "+ \\, e^{\\mu } \\right] - \\mu^{2} = e^{-\\mu } \\mu \\, \\left[e^{\\mu } \\mu +e^{\\mu } \\right] - \\mu^{2} = (\\mu ^{2} +\\mu ) - \\mu^{2} = \\mu \\; . ", "\\end{aligned}$$\\\n[**Uwaga**]{}: [*Zatem otrzymaliœmy wa¿n¹ w³asnoœæ rozk³adu Poissona*]{}, która mówi, ¿e stosunek dyspersji $\\sigma$ do wartoœci oczekiwanej $E(Y)$ maleje pierwiastkowo wraz ze wzrostem poziomu zmiennej $Y$ opisanej tym rozk³adem: $$\\begin{aligned}\n\\label{sigma do E Poissona}\n\\frac{\\sigma}{E(Y)} = \\frac{1}{\\sqrt{\\mu}} \\;\\; .\\end{aligned}$$ Fakt ten oznacza z za³o¿enia [*inne zachowanie siê odchylenia standardowego*]{} w modelu regresji Poissona ni¿ w klasycznym modelu regresji normalnej (w którym zak³adamy jednorodnoœæ wariancji zmiennej objaœnianej w ró¿nych wariantach zmiennej objaœniaj¹cej).\\\n\\\n[**Æwiczenie**]{}: Pokazaæ (\\[E sigma trzeci Poissona\\]) dla trzeciego momentu.\\\n\\\n[**Przyczyna nielosowej zmiany wartoœci zmiennej objaœnianej**]{}: Rozwa¿my model regresji dla zmiennej objaœnianej $Y$ posiadaj¹cej rozk³ad Poissona. ", "Zmienne $Y_{n}$, $n=1, 2,...,N$ posiadaj¹ wiêc równie¿ rozk³ad Poissona i zak³adamy, ¿e s¹ [*parami wzajemnie niezale¿ne*]{}. ", "Niech $X$ jest zmienn¹ objaœniaj¹c¹ (tzw. ", "czynnikiem) kontrolowanego eksperymentu, w którym $X$ nie jest zmienn¹ losow¹, ale [*jej zmiana*]{}, jest rozwa¿ana jako mo¿liwa przyczyna warunkuj¹ca [*nielosow¹ zmianê wartoœci zmiennej*]{} $Y$.\\\nGdy czynników $X_{1} ,X_{2} ,...X_{k}$ jest wiêcej, wtedy dla ka¿dego punktu $n$ próby podane s¹ wszystkie ich wartoœci: $$\\label{wartoœci czynnikow x} \nx_{1n} ,x_{2n} ,...x_{kn} \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie}\\;\\;\\; n=1,2,...,N\\; ,$$ gdzie pierwszy indeks w $x_{in}$, $i=1,2,...,k$, numeruje zmienn¹ objaœniaj¹c¹.\\\n\\\n[**Brak mo¿liwoœci eksperymentalnej separacji podstawowego kana³u $n$**]{}: Niech $x_{n} = (x_{1n} ,x_{2n} ,...,$ $x_{kn})$ oznacza zbiór wartoœci jednego wariantu zmiennych $\\left(X_{1} ,X_{2} ,...,X_{k} \\right)$, tzn. ", "dla jednej konkretnej podgrupy $n$. Zwróæmy uwagê, ¿e [*indeks próby*]{} $n$ numeruje podgrupê, co oznacza, ¿e w pomiarze wartoœci $Y_{n}$ nie ma mo¿liwoœci eksperymentalnego siêgniêcia “w g³¹b” indeksu $n$ - tego kana³u, tzn. ", "do rozró¿nienia wp³ywów na wartoœæ ${\\bf y}_{n}$ p³yn¹cych z ró¿nych “pod-kana³ów” $i$, gdzie $i=1,2,...,k$.\\\n\\\n[**Model podstawowy**]{}: Zak³adaj¹c brak zale¿noœci zmiennej $Y$ od czynników $X_{1} ,X_{2} ,...X_{k}$, rozwa¿a siê tzw. [*", "model podstawowy*]{}. ", "Dla rozk³adu (\\[rozklad Poissona\\]) i próby $\\widetilde{Y} \\equiv (Y_{n})_{n=1}^{N}$, funkcja wiarygodnoœci przy parametrze $\\Theta = \\mu \\equiv (\\mu_{n})_{n=1}^{N}$, ma postaæ: $$\\label{f wiaryg Poissona dla modelu podstawowego} \nP\\left(\\widetilde{Y}|\\mu \\right) = \\prod_{n=1}^{N} \\frac{\\mu_{n}^{Y_{n} } e^{-\\mu_{n} } }{Y_{n} !} ", " = \\frac{\\left(\\prod_{n=1}^{N}\\mu_{n}^{Y_{n} } \\right)\\exp \\left(-\\sum_{n=1}^{N} \\mu_{n} \\right)}{\\prod_{n=1}^{N} Y_{n} ! } ", " \\; ,$$ jest wiêc wyra¿ona jako funkcja wektorowego parametru $\\mu \\equiv (\\mu_{n})_{n=1}^{N}$, gdzie ka¿dy z parametrów $\\mu_{n} = E(Y_{n})$ jest parametrem skalarnym. ", "Rozwa¿my uk³ad równañ MNW: $$\\label{uklad MNW rozklad Poissona podstawowy} \n\\frac{\\partial }{\\partial \\mu _{n} } \n\\left[\\ln P \\left(\\widetilde{Y}|\\mu \\right) \\right] = 0 \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; .$$ Dla funkcji wiarygodnoœci (\\[f wiaryg Poissona dla modelu podstawowego\\]) otrzymujemy: $$\\label{log f wiaryg Poissona dla modelu podstawowego} \n\\ln P \\left(\\widetilde{Y}|\\mu\\right)=\\sum_{n=1}^{N} Y_{n} \\ln \\mu_{n} - \\sum_{n=1}^{N} \\mu_{n} - \\sum_{n=1}^{N} \\ln Y_{n} ! ", " \\;\\, .$$ Zatem rozwi¹zanie uk³adu (\\[uklad MNW rozklad Poissona podstawowy\\]) daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{estymatory modelu podst dla Poissona}\n\\mu_{n} = \\hat{\\mu}_{n} = Y_{n} \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; ,\\end{aligned}$$ jako estymatory modelu postawowego. ", "Zatem funkcja wiarygodnoœci (\\[f wiaryg Poissona dla modelu podstawowego\\]) modelu podstawowego przyjmuje w punkcie $\\mu$ zadanym przez estymatory (\\[estymatory modelu podst dla Poissona\\]) wartoœæ maksymaln¹: $$\\label{wiaryg zmaksym rozklad Poissona model podstawowy} \nP \\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu}\\right)=\\frac{\\left(\\prod_{n=1}^{N} Y_{n}^{Y_{n}} \\right)\\exp \\left(-\\sum _{n=1}^{N} Y_{n} \\right)}{\\prod _{n=1}^{N} Y_{n} ! } ", " \\; ,$$ gdzie zastosowano oznaczenie $\\hat{\\mu }=\\left(\\hat{\\mu }_{1} ,\\hat{\\mu }_{2} ,...\\hat{\\mu }_{N} \\right)$.\n\n### Analiza regresji Poissona. {#", "Analiza regresji Poissona}\n\nNiech zmienna zale¿na $Y$ reprezentuje liczbê zliczeñ badanego zjawiska (np. ", "przypadków awarii okreœlonego zakupionego sprzêtu), otrzyman¹ dla ka¿dej z $N$ podgrup (np. ", "klienckich). ", "Ka¿da z tych podgrup wyznaczona jest przez komplet wartoœci zmiennych objaœniaj¹cych $X \\equiv \\left(X_{1} ,X_{2} ,...,X_{k} \\right) = x \\equiv \\left(x_{1} ,x_{2} ,...,x_{k} \\right)$ (np. ", "wiek, poziom wykszta³cenia, cel nabycia sprzêtu). ", "Zmienna $Y_{n} $ okreœla liczbê zliczeñ zjawiska w $n$-tej podgrupie, $n=1,2,...,N$. W konkretnej próbce $(Y_{n})_{n=1}^{N} = ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie modelu regresji Poissona**]{}: Rozwa¿my nastêpuj¹cy model regresji Poissona: $$\\label{regresja Poisson} \n\\mu_{n} \\equiv E\\left(Y_{n} \\right) = \\ell_{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right) \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; ,$$ opisuj¹cy zmianê wartoœci oczekiwanej liczby zdarzeñ $Y_{n}$ (dla rozk³adu Poissona) wraz ze zmian¹ [*wariantu*]{} $x_{n} = \\left(x_{1n} ,x_{2n} ,...,x_{kn} \\right)$.\\\n\\\nFunkcja regresji po prawej stronie (\\[regresja Poisson\\]) ma dwa czynniki. ", "Funkcyjny czynnik funkcji regresji, $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$, opisuje [*tempo zdarzeñ*]{} okreœlanych mianem pora¿ek (np. ", "awarii) w $n$-tej podgrupie (tzn. ", "jest czêstoœci¹ tego zjawiska), sk¹d $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)>0$, gdzie $\\beta \\equiv \\left(\\beta _{0} ,\\beta _{1} ,...,\\beta _{k} \\right)$ jest zbiorem nieznanych parametrów tego modelu regresji. ", "Natomiast czynnik $\\ell_{n}$ jest wspó³czynnikiem okreœlaj¹cym [*dla ka¿dej $\\,n$-tej podgrupy*]{} (np. ", "klientów) [*skumulowany czas prowadzenia badañ kontrolnych dla wszystkich jednostek tej podgrupy*]{}.\\\nPoniewa¿ funkcja regresji[^8] $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ przedstawia typow¹ liczbê pora¿ek na jednostkê czasu, zatem nazywamy j¹ [*ryzykiem*]{}.\\\n\\\n[**Uwaga o postaci funkcji regresji**]{}: Funkcjê $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ mo¿na zamodelowaæ na ró¿ne sposoby [@Pawitan]. ", "WprowadŸmy oznaczenie: $$\\begin{aligned}\n\\label{oznaczenie dla lambda regresji}\n\\lambda_{n}^{*} \\equiv \\beta _{0} + \\sum _{j=1}^{k}\\beta _{j} \\, x_{jn} \\; . ", "\\end{aligned}$$ Funkcja regresji $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ ma ró¿n¹ postaæ w zale¿noœci od typu danych. ", "Mo¿e mieæ ona postaæ charakterystyczn¹ dla regresji liniowej (wielokrotnej), $r\\left(x_{n}, \\beta \\right) = \\lambda_{n}^{*}$, któr¹ stosujemy szczególnie wtedy gdy zmienna $Y$ ma [*rozk³ad normalny*]{}. ", "Postaæ $r\\left(x_{n} \\beta \\right) = 1/\\lambda_{n}^{*}$ jest stosowana w analizie z danymi pochodz¹cymi z [*rozk³adu eksponentialnego*]{}, natomiast $r\\left(x_{n}, \\beta \\right) = 1/(1+ \\exp(-\\lambda_{n}^{*}))$ w modelowaniu regresji logistycznej dla opisu zmiennej [*dychotomicznej*]{} [@Kleinbaum; @Pawitan].\\\n\\\n[**Postaæ funkcji regresji u¿yteczna w regresji Poissona**]{} jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja reg Poissona}\nr\\left(x_{n}, \\beta \\right) = \\exp(\\lambda_{n}^{*}) \\; , \\;\\;\\; \\lambda_{n}^{*} = \\beta _{0} +\\sum _{j=1}^{k}\\beta _{j} x_{jn} \\; .\\end{aligned}$$ Ogólniej mówi¹c analiza regresji odnosi siê do modelowania wartoœci oczekiwanej zmiennej zale¿nej (objaœnianej) jako funkcji pewnych czynników. ", "Postaæ funkcji wiarygodnoœci stosowanej do estymacji wspó³czynników regresji $\\beta$ odpowiada za³o¿eniom dotycz¹cym rozk³adu zmiennej zale¿nej. ", "Tzn. ", "zastosowanie konkretnej funkcji regresji $r(x_{n}, \\beta )$, np. ", "jak w (\\[funkcja reg Poissona\\]), wymaga okreœlenia postaci funkcji czêstoœci $r(x_{n}, \\beta )$, zgodnie z jej postaci¹ dobran¹ do charakteru losowej zmiennej $Y$ przy której generowane s¹ dane w badanym zjawisku. ", "Na ogó³ przy konstrukcji $r(x_{n}, \\beta )$ pomocna jest uprzednia wiedza dotycz¹c¹ relacji miêdzy rozwa¿anymi zmiennymi.\\\n\\\n[**Funkcja wiarygodnoœci dla analizy regresji Poissona**]{}: Poniewa¿ $Y_{n} $ ma rozk³ad Poissona (\\[rozklad Poissona\\]) ze œredni¹ $\\mu _{n}$, $p\\left(Y_{n}|\\mu_{n} \\right) = \\frac{\\mu _{n}^{Y_{n} } }{Y_{n} !} \\, ", "e^{-\\mu _{n} }$, $n=1,\\, 2,...,N$, zatem dane $Y_{n} =0, 1,...,\\infty $ dla okreœlonego $n=1, 2,...,N$ s¹ generowane z rozk³adów warunkowych: $$\\label{prawd Poissona model regresji z li} \np\\left(Y_{n}| \\beta \\right)=\\frac{\\left[\\ell_{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right)\\right]^{\\, Y_{n} } }{Y_{n} !} ", "e^{-\\ell_{n}\\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right)} \\; ,$$ wokó³ funkcji regresji, (\\[regresja Poisson\\]), $\\mu_{n} = \\ell_{n} \\, r(x_{n}, \\beta )$, dla $n=1, 2,...,N$. Funkcja wiarygodnoœci dla analizy regresji Poissona ma wiêc postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja wiaryg regresja Poisson} \nP \\left(\\widetilde{Y}|\\beta \\right) &=& \\prod_{n=1}^{N} p\\left(Y_{n}|\\beta \\right) = \\prod _{n=1}^{N}\\frac{\\left(\\ell_{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right)\\right)^{Y_{n} } e^{-\\ell _{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right)} }{Y_{n} !} ", "\\nonumber \\\\\n&=& \\frac{ \\prod _{n=1}^{N}\\left(\\ell _{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right) \\right)^{Y_{n} } \\, \\exp \\left[ -\\sum _{n=1}^{N} \\ell_{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right) \\right] }{\\prod_{n=1}^{N} Y_{n} ! } ", " \\; .\\end{aligned}$$\\\nAby w praktyce pos³u¿yæ siê funkcj¹ regresji $r(x_{n}, \\beta )$ bêd¹c¹ okreœlon¹ funkcj¹ zmiennej $\\lambda_{n}^{*} = \\beta_{0} + \\sum_{j=1}^{k} \\beta_{j} x_{jn}$, parametry $\\beta_{0}, \\beta_{1} ,...,\\beta_{k}$ musz¹ byæ oszacowane. ", "Estymatory MNW, $\\hat{\\beta}_{0} ,\\hat{\\beta}_{1} ,..., \\hat{\\beta}_{k}$, tych parametrów otrzymuje siê rozwi¹zuj¹c $k+1$ równañ wiarygodnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{ukl row MNW dla beta fun regersji} \n\\frac{\\partial}{\\partial \\beta_{j} } \\ln P \\left(\\widetilde{Y}| \\beta \\right) = 0 \\; , \\;\\;\\; j=0 , 1, 2,...,k \\; .\\end{aligned}$$ W przypadku regresji Poissona $ P\\left(\\widetilde{Y}| \\beta \\right) $ jest okreœlona zgodnie z (\\[funkcja wiaryg regresja Poisson\\]).\\\n\\\n[**Algorytmy IRLS**]{}: Zauwa¿my, ¿e dla rozk³adu Poissona zachodzi zgodnie z (\\[E sigma trzeci Poissona\\]) oraz (\\[regresja Poisson\\]), $\\sigma^{2} \\left(Y_{n} \\right) = E\\left(Y_{n} \\right) = \\ell_{n} \\, r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$, [*co oznacza, ¿e wariancja $\\sigma^{2} \\left(Y_{n} \\right)$ zmiennej objaœnianej nie jest sta³a lecz zmienia siê jako funkcja $\\ell_{n} $ oraz $x_{n} $, wchodz¹c w analizê z ró¿nymi wagami wraz ze zmian¹ $n$*]{}. ", "Na fakt ten zwróciliœmy ju¿ uwagê przy okazji zwi¹zku (\\[sigma do E Poissona\\]). ", "Poniewa¿ uk³ad równañ wiarygodnoœci (\\[ukl row MNW dla beta fun regersji\\]) jest na ogó³ rozwi¹zywany iteracyjnymi metodami numerycznymi [@Kleinbaum], a wariancja $\\sigma^{2} \\left(Y_{n} \\right)$ jest równie¿ funkcj¹ $\\beta$, zatem na ka¿dym kroku procesu iteracyjnego [*wagi*]{} te zmieniaj¹ siê jako funkcja zmieniaj¹cych siê sk³adowych estymatora $\\hat{\\beta}$. Algorytmy takiej analizy okreœla siê ogólnym mianem [*algorytmów najmniejszych kwadratów[^9] iteracyjnie wa¿onych*]{} (IRLS).\\\n\\\n[**Uwaga o programach**]{}: Ró¿ne programy do analiz statystycznych, w tym SAS wykorzystuj¹cy procedurê PROC GENMOD, mog¹ byæ u¿yte do znajdowania estymatorów $\\hat{\\beta }$ MNW dla funkcji wiarygodnoœci . ", "Równie¿ [*obserwowana macierz kowariancji estymatorów*]{}[^10] oraz miary dobroci dopasowania modelu, takie jak omówiona dalej dewiancja, mog¹ byæ otrzymane przy u¿yciu powy¿ej wspomnianych programów.", "\n\n#### Test statystyczny dla doboru modelu w regresji Poissona {#Testy statystyczne doboru modelu}\n\n[**Uwaga o wiêkszej wiarygodnoœci modelu podstawowego**]{}: Maksymalna wartoœæ funkcji wiarygodnoœci $P \\left(y|\\mu \\right)$ wyznaczona w oparciu o bêdzie, dla ka¿dego zbioru danych i dla liczby parametrów $k+1< N $, wiêksza ni¿ otrzymana przez maksymalizacjê funkcji wiarygodnoœci . ", "Jest tak, poniewa¿ w wyra¿eniu na funkcjê wiarygodnoœci modelu podstawowego [*nie narzuca siê ¿adnych ograniczeñ na postaæ*]{} $\\mu _{n} $, natomiast wymaga aby $\\mu_{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$.\\\n\\\n[**Hipoteza zerowa o nie wystêpowaniu braku dopasowania w modelu ni¿szym**]{}: Zgodnie z powy¿szym zdaniem, analizê doboru modelu regresji mo¿na rozpocz¹æ od postawienia hipotezy zerowej wobec alternatywnej. ", "W hipotezie zerowej wyró¿nimy proponowany model regresji. ", "Wybór modelu badanego oznacza wybór funkcji wiarygodnoœci z nim zwi¹zanej. ", "Stawiamy wiêc hipotezê zerow¹: $$\\label{Ho dla regresji Poissona} \n{\\rm H}_{0} :\\mu _{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right), n=1, 2,...,N,$$ która odpowiada wyborowi modelu z funkcj¹ wiarygodnoœci , wobec hipotezy alternatywnej: $$\\label{H1 dla regresji Poissona} \n{\\rm H}_{A}: \\;\\; \\mu _{n} \\; {\\rm nie \\; ma \\; ograniczonej\\; postaci}, \\; n=1, 2,...,N \\; ,$$ która odpowiada wyborowi modelu podstawowego zawieraj¹cego tyle parametrów $\\mu_{n}$ ile jest punktów pomiarowych, tzn. *", "N*, z funkcj¹ wiarygodnoœci .\\\n\\\nNiech wiêc $P \\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta }\\right)$ jest maksymaln¹ wartoœci¹ funkcji wiarygodnoœci okreœlon¹ jak w . ", "Oznacza to, ¿e w miejsce parametrów $\\beta = \\left(\\beta _{0} ,\\beta _{1} ,...,\\beta _{k} \\right)$ podstawiono ich estymatory $\\hat{\\beta } = \\left( \\hat{\\beta}_{0}, \\hat{\\beta}_{1},..., \\hat{\\beta}_{k} \\right)$ wyznaczone przez MNW, jako te które maksymalizuj¹ funkcjê wiarygodnoœci . ", "Podobnie rozumiemy funkcjê wiarygodnoœci $P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right)$ modelu podstawowego.\\\n\\\nPoniewa¿ celem ka¿dej analizy jest otrzymanie mo¿liwie najprostszego opisu danych, model $\\mu _{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ zawieraj¹cy $k+1$ parametrów $\\beta $, bêdzie uznany za dobry, jeœli maksymalna wartoœæ funkcji wiarygodnoœci wyznaczona dla niego, bêdzie prawie tak du¿a, jak funkcji wiarygodnoœci dla nie nios¹cego ¿adnej informacji modelu podstawowego z liczb¹ parametrów $\\mu_{n}$ równ¹ licznie punktów pomiarowych $N$. Sformu³owanie „prawie tak du¿a” oznacza, ¿e wartoœæ funkcji wiarygodnoœci $P(y|\\hat{\\beta })$ nie mo¿e byæ istotnie statystycznie mniejsza od $P\\left(y|\\hat{\\mu }\\right)$. Zasadniczo powinno to oznaczaæ, ¿e musimy podaæ miary pozwalaj¹ce na okreœlenie statystycznej istotnoœci przy pos³ugiwaniu siê intuicyjnym parametrem obciêcia $c$ (Rozdzia³ \\[Wnioskowanie w MNW\\]). ", "Okazuje siê, ¿e dla du¿ej próby, miary typu (\\[stat ilorazu wiaryg modelu reg\\]), podane poni¿ej, uzyskuj¹ cechy pozwalaj¹ce na budownie wiarygodnoœciowych obszarów krytycznych nabywaj¹cych charakteru standardowego (czêstotliwoœciowego).\\\n\\\n[**Okreœlenie dewiancji**]{}: WprowadŸmy [*statystykê typu ilorazu wiarygodnoœci*]{}: $$\\label{stat ilorazu wiaryg modelu reg} \nD\\left(\\hat{\\beta }\\right) = \n-2\\ln \\left[\\frac{P(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta })}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right)} \\right]$$ nazywan¹ *dewiancj¹* (deviance) dla modelu regresji, w tym przypadku dla modelu Poissona z okreœlon¹ postaci¹ $\\mu _{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n} , \\beta \\right)$. S³u¿y ona do badania dobroci dopasowania modelu z zadan¹ postaci¹ $\\mu_{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ w stosunku do modelu podstawowego, bez narzuconej postaci na $\\mu _{n} $, tzn. ", "do stwierdzenia, czy $P(y|\\hat{\\beta })$ jest istotnie [*mniejsza*]{} od $P\\left(y|\\hat{\\mu }\\right)$, co sugerowa³oby istotny statystycznie brak dopasowania badanego modelu $\\mu _{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$, do danych empirycznych. ", "Jak poka¿emy poni¿ej dewiancja mo¿e byæ rozumiana jako *miara zmiennoœci reszt* (tzn. ", "odchylenia wartoœci obserwowanych w próbie od wartoœci szacowanych przez model) *wokó³ linii regresji*.\\\n\\\nPrzy prawdziwoœci hipotezy $H_{0} :\\mu _{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$, rozk³ad dewiancji $D\\left(\\hat{\\beta }\\right)$ dla regresji Poissona, mo¿na asymptotycznie przybli¿yæ rozk³adem chi-kwadrat (por. ", "dyskusja w [@Pawitan; @Kleinbaum]) z $N-k-1$ stopniami swobody.\\\n\\\nZatem statystyczny test dobroci dopasowania, tzn. ", "niewystêpowania braku dopasowania badanego modelu $H_{0}: \\mu_{n} =\\ell _{n} r\\left(x_{n} , \\beta \\right)$, w stosunku do modelu podstawowego, przebiega w regresji Poissona nastêpuj¹co: Porównujemy otrzyman¹ w próbie wartoœæ statystyki $D(\\hat{ \\beta })$ z wartoœci¹ krytyczn¹ le¿¹c¹ w prawym ogonie rozk³adu chi-kwadrat (o $N-k-1$ stopniach swobody). ", "Przyjêcie przez $D\\left(\\hat{\\beta }\\right)$ wartoœci równej lub wiêkszej od krytycznej skutkuje odrzuceniem hipotezy zerowej.\\\n\\\n[**Wyznaczenie liczby stopni swobody dewiancji**]{}: Podana liczba stopni swobody dewiancji $D\\left(\\hat{\\beta }\\right)$ wynika z nastêpuj¹cego rozumowania. ", "Zapiszmy (\\[stat ilorazu wiaryg modelu reg\\]) w postaci: $$\\label{stat ilorazu wiaryg modelu reg 2} \nD\\left(\\hat{\\beta }\\right) + 2\\ln P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta }\\right) = 2\\ln P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right) \\; ,$$ co po skorzystaniu z (\\[funkcja wiaryg regresja Poisson\\]) dla $\\beta=\\hat{\\beta}$ ma postaæ: $$\\label{stat ilorazu wiaryg modelu reg 3} \nD\\left(\\hat{\\beta }\\right) - 2\\sum _{n=1}^{N} \\ell _{n} r\\left(x_{n}, \\hat{ \\beta }\\right) = 2\\ln P \\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right) + 2\\ln \\left(\\prod_{n=1}^{N} Y_{n}! ", "\\right) - 2\\ln \\left(\\prod _{n=1}^{N} \\left(\\ell _{n} r \\left(x_{n} ,\\hat{\\beta }\\right)\\right)^{Y_{n}} \\right) \\; .$$ Mo¿na zauwa¿yæ, ¿e prawa strona tego równania ma $N$-stopni swobody. ", "Istotnie, ze wzglêdu na (\\[estymatory modelu podst dla Poissona\\])[^11], $\\hat{\\mu} \\equiv (\\hat{\\mu}_{n}) = (Y_{n}) \\,$, $n=1,2,...,N$, liczba niezale¿nych zmiennych po prawej strony powy¿szego równania, których wartoœci trzeba okreœliæ z eksperymentu, wynosi $N$. Natomiast drugi sk³adnik po lewej stronie ma liczbê stopni swobody równ¹ $k+1$, co jest liczb¹ estymatorów parametrów strukturalnych $\\hat{ \\beta }$ modelu regresji, których wartoœci trzeba okreœliæ z eksperymentu. ", "Poniewa¿ liczba stopni swobody po prawej i lewej stronie równania musi byæ taka sama, zatem liczba stopni swobody dewiancji $D(\\hat{\\beta })$ wynosi $N-k-1$.\\\n\\\n[**Testy ilorazu wiarygodnoœci**]{}: Dewiancje dla hierarchicznych klas modeli mog¹ s³u¿yæ do budowy testów stosunku wiarygodnoœci. ", "Zwróæmy szczególnie uwagê na funkcjê wiarygodnoœci zawieraj¹c¹ zbiór parametrów $\\beta =\\left(\\beta_{0} ,\\beta_{1} ,.....,\\beta_{k} \\right)$ z *dewiancj¹* $D\\left(\\hat{\\beta }\\right)$ dan¹ wyra¿eniem . ", "Przypuœæmy, ¿e chcemy zweryfikowaæ hipotezê o tym, ¿e $k-r$ (gdzie $0<r<k$) ostatnich parametrów bêd¹cych sk³adowymi wektora $\\beta $ jest równych [*zeru*]{}.\\\n\\\n[*Hipoteza zerowa*]{}, o nieistotnoœci rozszerzenia modelu ni¿szego do wy¿szego, ma wtedy postaæ: $$\\label{hip zerowa w testach hierarchicznych} \n{\\rm H}_{0}: \\beta _{r+1} =\\beta _{r+2} =...=\\beta _{k} = 0 \\; ,$$ [*Hipoteza alternatywna*]{} $H_{A}$ mówi, ¿e przynajmniej jeden z parametrów strukturalnych $\\beta_{r+1}, \\beta_{r+2},$ $...,\\beta_{k}\\,$ jest ró¿ny od [*zera*]{}.\\\n\\\nFunkcja wiarygodnoœci przy prawdziwoœci hipotezy zerowej $H_{0}$, , ma postaæ tak¹ jak w , tyle, ¿e zast¹piono w niej parametr $\\beta$ parametrem $\\beta_{(r)}$: $$\\label{parametr modelu nizszego} \n\\beta_{(r)} \\equiv \\left(\\beta _{0} ,\\beta _{1} ,...,\\beta _{r}; \\, 0,0,...,0 \\right) \\;\\;{\\rm gdzie \\;\\, liczba \\;\\, zer \\;\\, wynosi} \\;\\, k-r \\; .$$ Oznaczmy funkcje wiarygodnoœci tego modelu jako $P(\\widetilde{Y}|\\beta_{(r)})$, a $\\hat{ \\beta}_{(r)} $ niech bêdzie estymatorem MNW wektorowego parametru $\\beta_{(r)}$, wyznaczonym przez rozwi¹zanie odpowiadaj¹cego mu uk³adu równañ wiarygodnoœci (oczywiœcie dla niezerowych parametrów $\\beta_{0} ,\\beta_{1} ,...,\\beta_{r}$). ", "Estymator $\\hat{ \\beta}_{(r)} = (\\hat{\\beta}_{0}, \\hat{\\beta}_{1} ,...,$ $\\hat{\\beta }_{r};$ $0,0,...,0) $ maksymalizuje funkcjê wiarygodnoœci $P\\left(\\widetilde{Y}|\\beta_{(r)} \\right)$.\\\n\\\n[*Test ilorazu wiarygodnoœci*]{} dla weryfikacji hipotezy $H_{0} $ przeprowadzamy pos³uguj¹c siê *statystyk¹ ilorazu wiarygodnoœci*: $$\\label{statystyka ilorazu wiaryg} \n- 2 \\ln \\left[\\frac{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta}_{(r)} \\right)}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta }\\right)} \\right] \\; ,$$ która przy prawdziwoœci hipotezy zerowej ma asymptotycznie rozk³ad chi-kwadrat z $k-r$ stopniami swobody, co widaæ, gdy zapiszemy (\\[statystyka ilorazu wiaryg\\]) jako ró¿nicê dewiancji: $$\\label{roznica dewiancji} \n-2\\ln \\left[\\frac{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta}_{(r)} \\right)}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta }\\right)} \\right] = - 2\\ln \\left[\\frac{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta}_{(r)} \\right)}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right)} \\right] + 2\\ln \\left[\\frac{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta}\\right)}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right)} \\right] = D\\left(\\hat{\\beta}_{(r)} \\right) - D\\left(\\hat{\\beta }\\right) \\; ,$$ oraz skorzystamy z podobnej analizy jak dla (\\[stat ilorazu wiaryg modelu reg 3\\]).\\\n\\\nZatem, przy prawdziwoœci hipotezy zerowej , któr¹ mo¿na zapisaæ jako ${\\rm H}_{0}: \\beta_{r+1} =\\beta_{r+2} =...=\\beta_{k} =0$, ró¿nica $D(\\hat{\\beta}_{(r)}) - D(\\hat{\\beta })$ ma dla du¿ej próby w przybli¿eniu rozk³ad chi-kwadrat z $k-r$ stopniami swobody.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Jeœli u¿ywamy regresji Poissona do analizowania danych empirycznych, modele tworz¹ce hierarchiczne klasy mog¹ byæ porównywane miedzy sob¹ poprzez wyznaczenie statystyki ilorazu wiarygodnoœci (\\[statystyka ilorazu wiaryg\\]), lub co na jedno wychodzi, poprzez wyznaczenie ró¿nicy (\\[roznica dewiancji\\]) miêdzy parami dewiancji dla tych modeli. ", "Nale¿y przy tym pamiêtaæ o wniosku jaki ju¿ znamy z analizy dewiancji, ¿e [*im model gorzej dopasowuje siê do danych empirycznych tym jego dewiancja jest wiêksza.*]{}", "\n\n#### Podobieñstwo dewiancji do SKR analizy czêstotliwoœciowej {#Podobienstwo dewiancji do SKR}\n\nWarunkowe wartoœci oczekiwane $\\mu_{n} \\equiv E(Y_{n}) = \\ell _{n} \\, r(x_{n}, \\beta)$, $n=1,2,...,N$, (\\[regresja Poisson\\]), s¹ w analizie regresji przyjmowane jako teoretyczne przewidywania modelu regresji dla wartoœci zmiennej objaœnianej $Y_{n}$, zwanej odpowiedzi¹ (uk³adu). ", "W próbie odpowiadaj¹ im oszacowania, oznaczone jako $\\hat{Y}_{n}$, które w $n$-tej komórce s¹ nastêpuj¹ce: $$\\begin{aligned}\n\\label{przewidywania modelu regresji Poissona} \n\\hat{Y}_{n} = \\ell _{n} \\, r(x_{n} ,\\hat{\\beta }) \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; ,\\end{aligned}$$ zgodnie z wyestymowan¹ postaci¹ modelu regresji. ", "Wykorzystuj¹c (\\[przewidywania modelu regresji Poissona\\]) mo¿emy zapisaæ dewiancjê modelu (\\[stat ilorazu wiaryg modelu reg\\]) nastepuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{dewiancja poprzez przewidywania rachunek}\nD\\left(\\hat{ \\beta }\\right) &=& - 2 \\ln \\left[\\frac{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\beta}\\right)}{P\\left(\\widetilde{Y}|\\hat{\\mu }\\right)} \\right] = -2 \\ln \\left[\\frac{\\prod _{n=1}^{N} \\hat{Y}_{n}^{Y_{n} } \\exp \\left(-\\sum _{n=1}^{N} \\hat{Y}_{n} \\right) }{\\prod_{n=1}^{N}Y_{n}^{Y_{n} } \\exp \\left(-\\sum _{n=1}^{N}Y_{n} \\right) } \\right] \\nonumber \\\\ \n&=& -2\\left[\\sum _{n=1}^{N}Y_{n} \\ln \\hat{Y}_{n} - \\sum_{n=1}^{N}\\hat{Y}_{n} - \\sum_{n=1}^{N}Y_{n} \\ln Y_{n} + \\sum_{n=1}^{N} Y_{n} \\right]\\end{aligned}$$ tzn: $$\\begin{aligned}\n\\label{dewiancja poprzez przewidywania} \nD\\left(\\hat{\\beta }\\right) = 2\\sum _{n=1}^{N} \\left[Y_{n} \\ln \\left(\\frac{Y_{n} }{\\hat{Y}_{n} } \\right) - \\left(Y_{n} -\\hat{Y}_{n} \\right)\\right] \\; . ", " \\end{aligned}$$ [**Podobieñstwo $D$ do $SKR$**]{}: Powy¿sza postaæ dewiancji oznacza, ¿e $D(\\hat{ \\beta })$ zachowuje siê w poni¿szym sensie jak suma kwadratów reszt $SKR = \\sum_{n=1}^{N} (Y_{n} -\\hat{Y}_{n})^{2}$ w standardowej wielorakiej regresji liniowej. ", "Otó¿, gdy dopasowywany model dok³adnie przewiduje obserwowane wartoœci, tzn. ", "$\\hat{Y}_{n} =Y_{n} ,\\; n=1,2,..,N$ wtedy, jak $SKR$ w analizie standardowej, tak $D(\\hat{ \\beta })$ w analizie wiarygodnoœciowej jest równe zeru [@Kleinbaum; @Czerwik]. ", "Z drugiej strony wartoœæ $D(\\hat{ \\beta })$ jest tym wiêksza im wiêksza jest ró¿nica miêdzy wartoœciami obserwowanymi $Y_{n}$ i wartoœciami przewidywanymi $\\hat{Y}_{n} $ przez oszacowany model.\\\n\\\n[**Asymptotyczna postaæ $D$**]{}: W analizowanym modelu $Y_{n}$, $n=1,2,...,N$ s¹ niezale¿nymi zmiennymi Poissona (np. ", "zmiennymi czêstoœci), natomiast wartoœci $\\hat{Y}_{n} $ s¹ ich przewidywaniami. ", "Nietrudno przekonaæ siê, ¿e gdy wartoœci przewidywane maj¹ rozs¹dn¹ wartoœæ[^12], np. ", "$\\hat{Y}_{n} >3$ oraz $(Y_{n} -\\hat{Y}_{n}) << Y_{n}\\,$, $n=1,2,..,N\\,$ tak, ¿e $(Y_{n} -\\hat{Y}_{n})/Y_{n} << 1$, wtedy wyra¿enie w nawiasie kwadratowym w (\\[dewiancja poprzez przewidywania\\]) mo¿na przybli¿yæ przez $(Y_{n} -\\hat{Y}_{n})^{2}/(2 \\,Y_{n})$, a statystykê (\\[dewiancja poprzez przewidywania\\]) mo¿na przybli¿yæ statystyk¹ o postaci: $$\\label{dewinacja jak chi} \n\\chi ^{2} =\\sum _{n=1}^{N}\\frac{\\left(Y_{n} -\\hat{Y}_{n} \\right)^{2} }{\\hat{Y}_{n} } \\; ,$$ która (dla du¿ej próby) ma rozk³ad chi-kwadrat z $N-k-1$ stopniami swobody [@Kleinbaum].", "\n\nZasada niezmienniczoœci ilorazu funkcji wiarygodnoœci\n-----------------------------------------------------\n\nZ powy¿szych rozwa¿añ wynika, ¿e funkcja wiarygodnoœci reprezentuje niepewnoœæ dla ustalonego parametru. ", "Nie jest ona jednak gêstoœci¹ rozk³adu prawdopodobieñstwa dla tego parametru. ", "Pojêcie takie by³oby ca³kowicie obce statystyce klasycznej (nie w³¹czaj¹c procesów stochastycznych). ", "Inaczej ma siê sprawa w tzw. ", "statystyce Bayesowskiej. ", "Aby zrozumieæ ró¿nicê pomiêdzy podejœciem klasycznym i Bayesowskim [@Marek_statyst_Bayes] rozwa¿my transformacjê parametru.\\\n[**Przyk³ad transformacji parametru**]{}: Rozwa¿my eksperyment, w którym dokonujemy jednokrotnego pomiaru zmiennej o rozk³adzie dwumianowym (\\[Bernoulliego rozklad\\]). ", "Funkcja wiarygodnoœci ma wiêc postaæ $P(\\theta)=\\left(\\!\\! ", "\\begin{array}{l}\nm\\\\\nx\\end{array} \\!\\!\\! ", "\\right) \\theta^{x} (1-\\theta)^{m-x}$. Niech parametr $m=12$ a w pomiarze otrzymano $x=9$. Testujemy model, dla którego $\\theta = \\theta_{1} = 3/4$ wobec modelu z $\\theta = \\theta_{2} = 3/10$. Stosunek wiarygodnoœci wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{stosunek L skalowanie} \n\\frac{P(\\theta_{1} = 3/4)}{P(\\theta_{2} = 3/10)} = \\frac{\\left(\\begin{array}{l}\nm\\\\\nx\\end{array}\\right) \\theta_{1}^{9} \\, (1-\\theta_{1})^{3}}{\\left(\\begin{array}{l}\nm\\\\\nx\\end{array}\\right) \\theta_{2}^{9} \\, (1-\\theta_{2})^{3}} \\; = \\; 173.774\\end{aligned}$$ Dokonajmy hiperbolicznego wzajemnie jednoznacznego przekszta³cenia parametru: $$\\begin{aligned}\n\\label{transf parametru}\n\\psi = 1/\\theta \\; .\\end{aligned}$$ Funkcja wiarygodnoœci po transformacji parametru ma postaæ $\\tilde{P}(\\psi)\\!=\\!\\left( \\!\\! ", "\\begin{array}{l}\nm\\\\\nx\n\\end{array} \\!\\!\\! ", "\\right) (1/\\psi)^{x} (1-1/\\psi)^{m-x}$. Wartoœci parametru $\\psi$ odpowiadaj¹ce wartoœciom $\\theta_{1}$ i $\\theta_{2}$ wynosz¹ odpowiednio $\\psi_{1}=4/3$ oraz $\\psi_{2}=10/3$. £atwo sprawdziæ, ¿e transformacja (\\[transf parametru\\]) nie zmienia stosunku wiarygodnoœci, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{stosunek L po transformacji skalowanie} \n\\frac{\\tilde{P}(\\psi_{1} = 4/3)}{\\tilde{P}(\\psi_{2} = 10/3)} = \\frac{P(\\theta_{1} = 3/4)}{P(\\theta_{1} = 3/10)} = 173.774 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Niezmienniczoœæ stosunku wiarygodnoœci**]{}: Zatem widaæ, ¿e stosunek wiarygodnoœci jest niezmienniczy ze wzglêdu na wzajemnie jednoznacz¹ transformacjê parametru. ", "Gdyby transformacja parametru by³a np. ", "transformacj¹ “logit” $\\psi = \\ln(\\theta/(1 - \\theta))$ lub paraboliczn¹ $\\psi = \\theta^{2}$, to sytuacja tak¿e nie uleg³aby zmianie. ", "Równie¿ w ogólnym przypadku transformacji parametru w³asnoœæ [*niezmienniczoœci stosunku wiarygodnoœci*]{} pozostaje s³uszna. ", "Oznacza to, ¿e informacja zawarta w próbce jest niezmiennicza ze wzglêdu na wybór parametryzacji, tzn. ", "powinniœmy byæ w takiej samej sytuacji niewiedzy niezale¿nie od tego jak zamodelujemy zjawisko, o ile ró¿nica w modelowaniu sprowadza siê jedynie do transformacji parametru. ", "W omawianym przyk³adzie powinniœmy równie dobrze móc stosowaæ parametr $\\theta$, jak $1/\\theta$, $\\theta^{2}$, czy $\\ln(\\theta/(1 - \\theta))$.\\\n\\\n[**Uwaga o transformacji parametru w statystyce Bayesowskiej**]{}: Natomiast sytuacja ma siê zupe³nie inaczej w przypadku Bayesowskiego podejœcia do funkcji wiarygodnoœci [@Marek_statyst_Bayes], w którym funkcja wiarygodnoœci uwzglêdnia (Bayesowski) rozk³ad prawdopodobieñstwa $f(\\theta|x)$ parametru $\\theta$. Oznacza to, ¿e Jakobian transformacji $\\theta \\rightarrow \\psi$ parametru, modyfikuj¹c rozk³ad parametru, zmienia równie¿ funkcjê wiarygodnoœci. ", "Zmiana ta zale¿y od wartoœci parametru, ró¿nie zmieniaj¹c licznik i mianownik w (\\[stosunek L skalowanie\\]), co niszczy [*intuicyjn¹*]{} w³asnoœæ niezmienniczoœci ilorazu wiarygodnoœci ze wzglêdu na transformacjê parametru [@Pawitan].", "\n\nEntropia wzglêdna i informacja Fishera {#Entropia wzgledna i IF}\n======================================\n\nW pozosta³ych czêœciach skryptu nie bêdziemy zajmowali sie modelami regresyjnymi. ", "Oszacowywany wektorowy parametr $\\Theta$, od którego zale¿y funcja wiarygodnoœci $P(\\Theta)$ ma postaæ $\\Theta = (\\theta_{1},\\theta_{2},...,\\theta_{N})^{T} \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N}$ jak w (\\[parametr Theta\\]), gdzie $\\theta_{n} = (\\vartheta_{1n},\\vartheta_{2n},...,\\vartheta_{kn})^{T} \\equiv ((\\vartheta_{s})_{s=1}^{k})_{n}$, sk¹d liczba wszystkich parametrów wynosi $d=k \\times N$. [*Aby nie komplikowaæ zapisu bêdziemy stosowali oznaczenie*]{} $\\Theta \\equiv (\\theta_{1},\\theta_{2},...,\\theta_{d})^{T} \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, gdzie indeks $i=1,2,...,d$ zastapi³ parê indeksów $sn$.\\\n\\\nNiech $\\hat{\\Theta}=\\left({\\hat{\\theta}_{1}, \\hat{\\theta}_{2},..., \\hat{\\theta}_{d}}\\right)$ jest estymatorem MNW wektorowego parametru $\\Theta=\\left(\\theta_{1}, \\theta_{2},..., \\theta_{d}\\right)$, otrzymanym po rozwi¹zaniu uk³adu równañ wiarygodnoœci (\\[rown wiaryg\\]). ", "Rozwi¹zanie to, jako maksymalizuj¹ce funkcjê wiarygodnoœci, musi spe³niaæ warunek ujemnej okreœlonoœci formy kwadratowej[^13]: $$\\begin{aligned}\n\\label{forma kw dla P}\n\\sum_{i, \\,j=1}^{d} \\frac{\\partial^{2} \\ln P}{\\partial \\theta_{i} \\partial \\theta_{j}} {\\left|_{\\Theta = \\hat{\\Theta}} \\right.} ", "\\Delta\\theta_{i}\\Delta\\theta_{j} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie przyrosty $\\Delta\\theta_{i}$, $\\Delta\\theta_{j}$ nie zeruj¹ siê jednoczeœnie. ", "W przypadku skalarnym (tzn. ", "jednego parametru $\\Theta=\\theta=\\vartheta$) warunek ten oznacza ujemnoœæ drugiej pochodnej logarytmu funkcji wiarygodnoœci w punkcie $\\theta=\\hat{\\theta}$. Wiêksza wartoœæ $-\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial{\\theta}^{2}}} \\ln P\\left(y|\\theta\\right)\\left|_{\\theta=\\hat{\\theta}} \\right.$ oznacza wê¿sze maksimum $\\ln P$ w punkcie $\\theta=\\hat{\\theta}$, tzn. ", "wiêksz¹ krzywiznê funkcji wiarygodnoœci, a co za tym idzie mniejsz¹ niepewnoœæ okreœlenia parametru $\\theta$.\n\nObserwowana i oczekiwana informacja Fishera {#iF oraz I_definicje}\n-------------------------------------------\n\nPoniewa¿ $\\Theta$ mo¿e byæ w ogólnoœci parametrem wektorowym, wiêc jako uogólnienie przypadku skalarnego zdefiniujmy $d \\times d \\,$-wymiarow¹ macierz[^14]: $$\\begin{aligned}\n\\label{I jako krzywizna dla P}\n\\texttt{i\\!F}(\\Theta) \\equiv -\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial{\\Theta}} \\partial{\\Theta}^{T}} \\ln P\\left(y|\\Theta\\right) \\equiv - \\left( \\frac{\\partial^{2}\\ln P}{\\partial\\theta_{i}\\partial\\theta_{j}} \\right)_{d \\times d} \\; .\\end{aligned}$$ [**Okreœlenie obserwowanej informacji Fishera**]{}: Wartoœæ statystyki $\\texttt{i\\!F}(\\Theta)$ zdefiniowanej jak w (\\[I jako krzywizna dla P\\]) w punkcie $\\Theta=\\hat{\\Theta}$ (oznaczon¹ po prostu jako $\\texttt{i\\!F}$): $$\\begin{aligned}\n\\label{I obserwowana}\n\\texttt{i\\!F} = \\texttt{i\\!F}\\left(\\hat{\\Theta}\\right) = \\left. ", "\\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right)\\right|_{\\Theta=\\hat{\\Theta}} \\; ,\\end{aligned}$$ nazywamy [*obserwowan¹ informacj¹ Fishera*]{}. ", "W teorii wiarygodnoœci odgrywa ona kluczow¹ rolê. ", "Jako statystyka, czyli funkcja próby $\\widetilde{Y}$, jej realizacja w próbce $y \\equiv ({\\bf y}_{1}, {\\bf y}_{2}, ..., {\\bf y}_{N})$ jest macierz¹ liczbow¹. Z faktu wyznaczenia $\\texttt{i\\!F}$ w punkcie estymatora MNW wynika, ¿e jest ona dodatnio okreœlona, natomiast z (\\[I jako krzywizna dla P\\]) widaæ równie¿, ¿e $\\texttt{i\\!F}$ jest macierz¹ symetryczn¹.\\\n\\\nWe wspó³czesnych wyk³adach $\\texttt{i\\!F}$ jest zazwyczaj zapisane jako: $$\\begin{aligned}\n\\label{observed IF Amari}\n\\widetilde{\\texttt{i\\!F}} = \\left(\\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{i'}}\\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{i}}\\right) \\; . ", "\\end{aligned}$$ Obie definicje, tzn. (", "\\[observed IF Amari\\]) oraz (\\[I jako krzywizna dla P\\]), prowadz¹ na poziomie oczekiwanym do tych samych konkluzji, o ile $\\int \\! ", "dy$ $P(\\Theta)$ $\\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{i}} = 0\\,$, $\\,i=1,2,..,d$ (por. (", "\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\])). ", "Zasadnicz¹ zalet¹ zdefiniowania $\\texttt{i\\!F}$ poprzez (\\[observed IF Amari\\]) jest to, ¿e bardzo naturalne staje siê wtedy wprowadzenie tzw. ", "$\\alpha$-koneksji na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Pojêcie $\\alpha$-koneksji omówimy w Rozdziale \\[alfa koneksja\\].\\\n\\\n[**Przyk³ad estymacji wartoœci oczekiwanej w rozk³adzie normalnym**]{}: Jako przyk³ad ilustruj¹cy zwi¹zek wielkoœci obserwowanej informacji Fishera (IF) z niepewnoœci¹ oszacowania parametru, rozwa¿ny realizacjê próby prostej $y$ dla zmiennej $Y$ posiadaj¹cej rozk³ad $N\\left({\\theta,\\sigma^{2}}\\right)$.\\\n\\\nZa³ó¿my, ¿e [*wariancja $\\sigma^{2}$ jest znana*]{}, a [*estymowanym parametrem jest jedynie wartoœæ oczekiwana*]{} $\\theta=E\\left( Y \\right)$. Logarytm funkcji wiarygodnoœci ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{log wiaryg dla norm}\n\\ln P\\left(y|\\theta\\right) = -\\frac{N}{2} \\ln (2 \\pi \\sigma^{2})-\\frac{1}{{2\\sigma^{2}}} \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n}-\\theta}\\right)^{2}}\\end{aligned}$$ sk¹d funkcja wynikowa (\\[funkcja wynikowa\\]) jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{f wynikowa_1 wym N_1 par z definicji}\nS\\left(\\theta\\right) = \\frac{\\partial}{{\\partial\\theta}}\\ln P\\left({y|\\theta}\\right) = \\frac{1}{{\\sigma^{2}}}\\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n}-\\theta}\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Rozwi¹zuj¹c jedno równanie wiarygodnoœci, $S\\left(\\theta\\right)_{|\\theta=\\hat{\\theta}} =0$, otrzymujemy postaæ estymatora parametru $\\theta$ (por. (", "\\[srednia arytmet z MNW\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw r wiaryg dla mu w N}\n\\hat{\\theta} = \\bar{{\\bf y}} = \\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N}{\\bf y}_{n} \\; ,\\end{aligned}$$ sk¹d: $$\\begin{aligned}\n\\label{f wynikowa_1 wym N_1 par}\nS\\left(\\theta\\right) = \\frac{N}{{\\sigma^{2}}} \\left(\\hat{\\theta} - \\theta \\right) \\; .\\end{aligned}$$ Natomiast z (\\[I obserwowana\\]) oraz (\\[I jako krzywizna dla P\\]) otrzymujemy, ¿e obserwowana IF jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{I obserw dla N_parametr mu}\n\\texttt{i\\!F}\\left({\\hat{\\theta}}\\right) = - \\frac{\\partial^{2}\\, \\ln P\\left({y|\\theta}\\right)}{{\\partial \\theta^{2}}}\\left. ", "\\right|_{\\theta=\\hat{\\theta}} = - \\frac{\\partial\\, S\\left(\\theta \\right)}{{\\partial \\theta}}\\left. ", "\\right|_{\\theta=\\hat{\\theta}} = \\frac{N}{{\\sigma^{2}}} \\; .\\end{aligned}$$ Z (\\[rozw r wiaryg dla mu w N\\]) oraz z klasycznej analizy[^15] [@Nowak] wiemy, ¿e wariancja: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariancja dla sredniej y}\n{\\sigma^{2}}( \\hat{\\theta} ) = {\\sigma^{2}}({\\bar{{\\bf y}}})=\\sigma^{2}/N \\; ,\\end{aligned}$$ zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{rn}\n\\texttt{i\\!F}({\\hat{\\theta}}) = \\frac{1}{{\\sigma^{2}}({\\hat{\\theta}})} \\; .\\end{aligned}$$ [**Wniosek**]{}: Otrzymaliœmy wiêc wa¿ny zwi¹zek mówi¹cy, ¿e wiêksza obserwowana IF parametru $\\theta$ oznacza mniejsz¹ wariancjê jego estymatora $\\hat{\\theta}$.\\\n\\\nRównanie (\\[rn\\]) mo¿na zapisaæ w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{RC dla 1 N z 1 par}\n{\\sigma^{2}}({\\hat{\\theta}}) \\texttt{i\\!F}({\\hat{\\theta}}) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ co w przypadku estymacji wartoœci oczekiwanej rozk³adu normalnego, jest sygna³em osi¹gniêcia [*dolnego ograniczenia nierównoœci Rao-Cram[é]{}ra*]{} [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Temat ten bêdziemy rozwijaæ dalej.\\\n\\\n[**Okreœlenie oczekiwanej IF**]{}: Zdefiniujmy oczekiwan¹ informacjê Fishera nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{infoczekiwana}\nI_F \\left(\\Theta\\right) \\equiv E_{\\Theta} \\left(\\texttt{i\\!F}(\\Theta)\\right) = \\int_{\\cal B} dy P(y|\\Theta) \\, \\texttt{i\\!F}(\\Theta) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\cal B}$ jest przestrzeni¹ próby (uk³adu). ", "Oznaczenie $\\Theta$ w indeksie wartoœci oczekiwanej mówi, ¿e $\\Theta$ jest prawdziw¹ wartoœci¹ parametru, przy której generowane s¹ dane $y \\equiv ({\\bf y}_{1}, {\\bf y}_{2}, ..., {\\bf y}_{N})$, natomiast element ró¿niczkowy $dy$ oznacza: $$\\begin{aligned}\n\\label{element rozniczkowy dy}\ndy \\equiv d^{N}{\\bf y} = d{\\bf y}_{1} d{\\bf y}_{2} ... d{\\bf y}_{N} \\; .\\end{aligned}$$ [**Oczekiwana v.s. obserwowana IF**]{}: Istniej¹ znacz¹ce ró¿nice pomiêdzy oczekiwan¹ a obserwowan¹ informacj¹ Fishera [@Pawitan; @Mania]. ", "Oczekiwana informacja Fishera $I_F$ ma sens jako funkcja dopuszczalnych wartoœci $\\Theta$, nale¿¹cych do przestrzeni $V_{\\Theta}$ wartoœci $\\Theta$. Natomiast jak to wynika z MNW, obserwowana informacja Fishera, $\\texttt{i\\!F}(\\Theta)$, ma zasadniczo sens tylko w pobli¿u $\\hat{\\Theta}$. Jako zwi¹zana z obserwowan¹ wartoœci¹ wiarygodnoœci, $\\texttt{i\\!F}$ odnosi siê do pojedynczego zestawu danych i zmienia siê od próbki do próbki. ", "Oznacza to, ¿e nale¿y o niej myœleæ jako o pojedynczej realizacji statystyki $\\texttt{i\\!F}(\\hat{\\Theta})$ w próbce, a nie jako o funkcji parametru $\\Theta$. Natomiast oczekiwana informacja $I_F$ jest œredni¹ wartoœci¹ dla wszystkich mo¿liwych zestawów danych w ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$, generowanych przy prawdziwej wartoœci parametru. ", "Zatem $I_F(\\Theta)$ jest nie tyle u¿ytecznym wskaŸnikiem informacji dla konkretnego zbioru danych, ile funkcj¹ $\\Theta$ mówi¹c¹ jak trudno jest estymowaæ $\\Theta$, co oznacza, ¿e parametr z wiêksz¹ $I_F$ wymaga mniejszej próbki do osi¹gniêcia wymaganej precyzji jego oszacowania.\\\n\\\nKontynuuj¹c rozpoczêty powy¿ej Przyk³ad rozk³adu normalnego z estymacj¹ skalarnego parametru $\\theta$, otrzymujemy po skorzystaniu z (\\[I obserw dla N\\_parametr mu\\]) oraz unormowaniu funkcji wiarygodnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{unormowanie dla f wiaryg P}\n\\int dy\\, P(y|\\theta) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ wartoœæ oczekiwan¹ IF dla parametru $\\theta$ rozk³adu $N(\\theta, \\sigma^2$): $$\\begin{aligned}\n\\label{I oczekiwana dla N_parametr mu}\nI_F(\\theta) = \\int dy \\, P(y|\\theta) \\, \\texttt{i\\!F}\\left({\\theta}\\right) = \\int dy\\, P(y|\\theta) \\frac{N}{{\\sigma^{2}}} = \\frac{N}{{\\sigma^{2}}} \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na (\\[wariancja dla sredniej y\\]) wynik ten oznacza, ¿e zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{RC dla 1 N z 1 par oczekiwana IF}\n{\\sigma^{2}}({\\hat{\\theta}}) I_F(\\theta) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ co mówi, ¿e w estymacji wartoœci oczekiwanej rozk³adu normalnego osi¹gamy [*dolne ograniczenie nierównoœci Rao-Cram[é]{}ra*]{} [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Nierównoœæ ta daje najwa¿niejsze ograniczenie statystyki informacyjnej na jakoœæ estymacji w pojedynczym kanale informacyjnym. ", "Sprawie nierównoœci Rao-Cramera poœwiêcimy czêœæ rozwa¿añ skryptu.\\\n\\\n[**Przyk³ad estymacji obu parametrów rozk³adu normalnego**]{}: Rozwa¿my dwuparametrowy ($d=2$) rozk³ad normalny. ", "Niech ${\\bf y}_{1},...,{\\bf y}_{N}$ jest realizacj¹ próby prostej dla zmiennej $Y$ o rozk³adzie normalnym $N\\left({\\mu,\\sigma}\\right)$. Poniewa¿ $\\theta_{i}^{n}=\\theta_{i}$ dla $n=1,2,...,N$ zatem wektor parametrów przyjmujemy jako $\\Theta = ( (\\theta_{i}^{\\,n})_{i=1}^{2} )_{n=1}^{N} \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{2} = \\left( \\mu, \\sigma \\right)^{T}$. Funkcja wiarygodnoœci próby ma wtedy postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{fun wiaryg r normalnego 2 par}\n\\ln P \\left({y|\\Theta} \\right) = -N \\ln (\\sqrt{2 \\pi} \\; \\sigma) - \\frac{1}{{2\\, \\sigma^{2}}} \\sum_{n=1}^{N}{\\left({{\\bf y}_{n}-\\mu} \\right)^{2}} \\; .\\end{aligned}$$ Funkcja wynikowa z ni¹ zwi¹zana jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{fun wyn r normalnego 2 par}\nS \\left(\\Theta \\right) = \\left( \\begin{array}{l}\n\\frac{\\partial}{{\\partial \\mu}} \\ln P \\left({y|\\Theta} \\right)\\\\\n\\frac{\\partial}{{\\partial \\sigma}} \\ln P \\left({y|\\Theta} \\right) \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{l}\n\\frac{N}{{\\sigma^{2}}} \\left({\\bar{\\bf y}-\\mu} \\right) \\\\\n-\\frac{N}{{\\sigma}} + \\frac{{\\sum_{n=1}^{N} {\\left({{\\bf y}_{n}-\\mu}\\right)^{2}}}}{{\\sigma^{3}}}\n\\end{array}\n\\right) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\bar{\\bf y} = \\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} {\\bf y}_{n}$ jest œredni¹ arytmetyczn¹ w próbie. ", "Zatem postacie estymatorów MNW, tzn. ", "parametru wartoœci oczekiwanej $\\mu$ oraz odchylenia standardowego $\\sigma$ zmiennej $Y$, otrzymujemy rozwi¹zuj¹c uk³ad równañ wiarygodnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{fun wyn r normalnego 2 par = 0}\nS \\left(\\Theta \\right)|_{\\Theta={\\hat{\\Theta}}} = \\left( \\begin{array}{l}\n\\frac{N}{{\\sigma^{2}}} \\left({\\bar{\\bf y}-\\mu} \\right) \\\\\n-\\frac{N}{{\\sigma}} + \\frac{{\\sum_{n=1}^{N} {\\left({{\\bf y}_{n}-\\mu}\\right)^{2}}}}{{\\sigma^{3}}} \n\\end{array}\n\\right)|_{\\Theta={\\hat{\\Theta}}} = \n\\left( \\begin{array}{l}\n0 \\\\\n0\n\\end{array}\n\\right) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\hat{\\Theta}=\\left( \\hat{\\mu}, \\hat{\\sigma} \\right)^{T}$ i rozwi¹zanie to ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw ukl row MNW dla 2-wym rozkl norm}\n{\\hat{\\mu}} = \\bar{\\bf y} \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\;\\; \\hat{\\sigma} = \\sqrt{\\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} \\left({{\\bf y}_{n} - \\bar{\\bf y}}\\right)^{2}} \\; .\\end{aligned}$$ Obserwowana informacja Fishera (\\[I jako krzywizna dla P\\]) w punkcie ${\\hat{\\Theta}}$ wynosi wiêc: $$\\begin{aligned}\n\\label{obserw iF r normalnego 2 par}\n\\texttt{i\\!F}({\\hat{\\Theta}}) = \\left(\n\\begin{array}{cc}\n{\\frac{N}{{\\sigma^{2}}}} & {\\frac{2 N}{{\\sigma^{3}}} \\left({\\bar{\\bf y}-\\mu} \\right)} \\\\\n{\\frac{2 N}{{\\sigma^{3}}} \\left({\\bar{\\bf y}-\\mu} \\right)} & \\;\\; -\\frac{N}{{\\sigma^{2}}} + \\frac{3}{\\sigma^{4}} \\sum_{n=1}^{N} \\left({{\\bf y}_{n}-\\mu} \\right)^{2}\n\\end{array}\n\\right)|_{\\Theta={\\hat{\\Theta}}} = \\left({\\begin{array}{cc}\n{\\frac{N}{{\\hat{\\sigma}^{2}}}} & 0\\\\\n0 & {\\frac{2 N}{{\\hat{\\sigma}^{2}}}} \\end{array}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$\\\nW koñcu oczekiwana informacja Fishera jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{oczekiw iF r normalnego 2 par}\nI_{F} \\left(\\Theta \\right) = E_{\\Theta} \\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right) = \\int_{\\cal B} dy \\, P(y|\\Theta) \\, \\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right) = \\left({\\begin{array}{cc}\n{\\frac{N}{{\\sigma^{2}}}} & 0\\\\\n0 & {\\frac{2 N}{{\\sigma^{2}}}} \\end{array}}\\right) \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Uwaga o estymatorze $\\hat{\\sigma^{2}}$ MNW**]{}: Widz¹c powy¿szy rozk³ad jako $N\\left({\\mu,\\sigma^{2}}\\right)$ i w konsekwencji przyjmuj¹c wektor parametrów jako $(\\mu, \\sigma^{2})^{T}$, oraz przeprowadzaj¹c analogiczny rachunek jak powy¿ej, mo¿na pokazaæ, ¿e estymator wartoœci oczekiwanej ma postaæ $\\hat{\\mu} = \\bar{\\bf y}$, czyli tak jak w (\\[rozw ukl row MNW dla 2-wym rozkl norm\\]), natomiast estymator wariancji wynosi $\\hat{\\sigma^{2}}=\\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} \\left({{\\bf y}_{n} - \\bar{\\bf y}}\\right)^{2}$. W jego mianowniku wystêpuje czynnik $N$ a nie $N-1$ jak to ma miejsce w przypadku nieobci¹¿onego estymatora wariancji. ", "Estymator $\\hat{\\sigma^{2}}$ nie jest te¿ efektywny (tzn. ", "nie posiada najmniejszej z mo¿liwych wariancji). ", "Jednak w³asnoœci te posiada on asymptotycznie ($N \\rightarrow\\infty$), co jest charakterystyczne dla wszystkich estymatorów MNW [@Nowak].\\\nSprawdzenie, ¿e przy odpowiednio dobranych tzw. ", "oczekiwanych parametrach rozk³adu normalnego, estymacja obu parametrów jest efektywna dla skoñczonego $N$, pozostawiamy jako æwiczenie na koniec tego rozdzia³u, po tym jak zapoznamy siê z pojêciem dualnych uk³adów wpó³rzêdnych.", "\n\n### Wartoœæ oczekiwana i wariancja funkcji wynikowej {#E i var funkcji wynikowej}\n\nPoka¿my, ¿e wartoœæ oczekiwana funkcji wynikowej $S(\\Theta) \\equiv S(\\widetilde{Y}|\\Theta)$, tzn. ", "gradientu logarytmu naturalnego funkcji wiarygodnoœci, jest równa zeru: $$\\begin{aligned}\n\\label{znikanie ES}\nE_{\\Theta}S\\left(\\Theta\\right) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Istotnie, gdy skorzystamy z interpretacji funkcji wiarygodnoœci jako ³¹cznego rozk³adu prawdopodobieñstwa i jej unormowania do jednoœci, wtedy: $$\\begin{aligned}\n\\label{dow ES=0}\nE_{\\Theta}S\\left(\\Theta\\right) &=& \\int_{\\cal B}{dy P\\left(y|\\Theta\\right) S\\left(\\Theta\\right)} = \\int_{\\cal B} dy P\\left({y|\\Theta} \\right) \\left(\\frac{\\partial}{{\\partial\\Theta}} \\ln P\\left({y|\\Theta}\\right)\\right) \\nonumber \\\\\n&=& \\int_{\\cal B} dy P\\left({y|\\Theta} \\right) \\frac{{\\frac{\\partial}{{\\partial\\Theta}}P\\left(\\Theta\\right)}}{{P\\left(\\Theta\\right)}} = \\int_{\\cal B}{ dy \\frac{\\partial}{{\\partial\\Theta}} P\\left({y|\\Theta} \\right)} = \\frac{\\partial}{{\\partial\\Theta}} \\int_{\\cal B}{d{y}\\, P\\left({y|\\Theta}\\right)}=0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie zakres ca³kowania obejmuje ca³¹ przestrzeñ próby ${\\cal B}$. W przypadku gdy pierwotna zmienna $Y$ jest dyskretna, powy¿szy dowód przebiega podobnie.\\\n\\\n[**Za³o¿enie o regularnoœci rozk³adu**]{}: W (\\[dow ES=0\\]) wyci¹gnêliœmy ró¿niczkowanie po parametrze przed znak ca³ki. ", "Poprawnoœæ takiego przejœcia oznacza spe³nienie ¿¹dania, aby rozk³ad $P\\left({y|\\Theta}\\right)$ by³ wystarczaj¹co g³adki jako funkcja $\\Theta$ [@Pawitan]. ", "Oznacza to, ¿e $\\Theta$ [*nie mo¿e byæ brzegow¹ wartoœci¹, tzn. ", "istnieje taka funkcja $g\\left(y\\right)$ (której ca³ka $\\int_{\\cal B}{g\\left({y}\\right)dy}$ jest skoñczona), dla której w s¹siedztwie prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$ zachodzi $\\left|{{\\partial P\\left({y|\\Theta}\\right)} /{\\partial\\Theta}}\\right|\\le g\\left(y\\right)$ gdy ${{\\partial P}/{\\partial\\Theta}}$ jest traktowana jako funkcja*]{} $y$ [@Pawitan], sk¹d wynika skoñczonoœæ ca³ki $ \\int_{\\cal B} dy \\, \\partial P\\left({y|\\Theta}\\right) /{\\partial\\Theta} $.\\\nZauwa¿my równie¿, ¿e przy odpowiednim warunku regularnoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{2 poch po P}\n\\int_{\\cal B}{ dy\\, \\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\Theta^{2}} P\\left(y|\\Theta \\right)} = \\frac{\\partial^{2}}{\\partial\\Theta^{2}} \\int_{\\cal B}{ dy\\, P\\left(y|\\Theta \\right)} =0 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Twierdzenie o wariancji funkcji wynikowej:**]{} Zak³adaj¹c warunek regularnoœci pozwalaj¹cy na wyci¹gniêcie ró¿niczkowania po parametrze przed znak ca³ki, mo¿na pokazaæ, ¿e wariancja (precyzyjnie, macierz wariancji-kowariancji) funkcji wynikowej $S(\\Theta) \\equiv S(\\widetilde{Y}|\\Theta)$ jest równa oczekiwanej IF[^16]: $$\\begin{aligned}\n\\label{var S oraz IF}\n{\\sigma^{2}}_{\\!\\! ", "\\Theta} \\,S \\left( \\Theta \\right) = I_{F}(\\Theta) \\; .\\end{aligned}$$ Zauwa¿my, ¿e z powy¿szego wynika, ¿e $d\\times d$-wymiarowa macierz informacji $I_{F}(\\Theta)$ jest macierz¹ kowariancji, co oznacza, ¿e jest ona [*nieujemnie okreœlona*]{}[^17].\\\n\\\n[**Dowód**]{} twierdzenia (\\[var S oraz IF\\]). ", "Korzystaj¹c z (\\[znikanie ES\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{dow varS=I 1}\n{\\sigma^{2}}_{\\Theta} S\\left( \\Theta \\right) &=& \\int_{\\cal B} d{y} \\, P\\left(y|\\Theta\\right) \\left( S\\left(\\Theta\\right) - E_{\\Theta} S\\left(\\Theta \\right) \\right)^{2} \\\\\n&=& \\int{d{y} \\, P\\left({y|\\Theta}\\right)\\left({S\\left(\\Theta\\right)}\\right)^{2}} = \\int{d{y}\\, P\\left({y|\\Theta}\\right) \\left({\\frac{\\partial}{{\\partial\\Theta}} \\ln P\\left({y|\\Theta}\\right)}\\right)}^{2} \n\\nonumber \\\\\n&=&\\int{d{y}\\, P\\left(y|\\Theta\\right) \\left[\\left(\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}P\\left(y|\\Theta\\right)\\right)/P\\left(y|\\Theta\\right)\\right]^{2}} = \\int{dy\\,\\left[\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}P\\left(y|\\Theta\\right)\n\\right]^{2}/P\\left(y|\\Theta\\right)} \\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$\\\nNatomiast korzystaj¹c z (\\[2 poch po P\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{dow varS=I 2}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! & & ", "I_{F}(\\Theta) = E_{\\Theta}\\texttt{i\\!F}(\\Theta) = \\int_{\\cal B}{d{y} P\\left({y|\\Theta}\\right) \\texttt{i\\!F}(\\Theta)} = -\\int{d{y} P\\left({y|\\Theta}\\right) \\left(\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial\\Theta^{2}}}\\ln P\\left({y|\\Theta}\\right)\\right)} \\nonumber \\\\\n\\!\\!\\!\\!\\! &", "=&-\\int dy P\\left(y|\\Theta\\right) {\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta} }\\left[\\left(\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}P\\left(y|\\Theta\\right)\\right)/P\\left(y|\\Theta\\right)\\right] \\\\\n\\!\\!\\!\\!\\! &", "=&\\int dy P\\left(y|\\Theta\\right) \\frac{\\left[-\\left(\\frac{\\partial^{2}}{\\partial\\Theta^{2}}P\\left(y|\\Theta\\right)\\right)P\\left(y|\\Theta\\right)+ \\left(\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}P\\left(y|\\Theta\\right)\\right)^{2}\\right]}{\\left(P\\left(y|\\Theta\\right)\\right)^{2}} = \\int{ d{y} \\, \\left[\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta}P\\left(y|\\Theta\\right)\\right]^{2}/P\\left(y|\\Theta\\right)} \\; , \\;\\;\\; \\nonumber\n$$ co porównuj¹c z (\\[dow varS=I 1\\]) koñczy dowód twierdzenia (\\[var S oraz IF\\]).\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Dowodz¹c (\\[znikanie ES\\]) okaza³o siê, ¿e przy za³o¿eniu warunku reguralnoœci, wartoœæ oczekiwana na przestrzeni próby z funkcji wynikowej zeruje siê, tzn. ", "$E_{\\Theta}S\\left(\\Theta\\right)=0$ i rezultat ten jest s³uszny dla ogólnego przypadku wektorowego. ", "Z (\\[var S oraz IF\\]) wynika równie¿, ¿e macierz wariancji-kowariancji funkcji wynikowej jest równa IF, tzn. ", "${\\sigma^{2}}_{\\Theta} S \\left( \\Theta \\right)= I_{F}(\\Theta)$, co jak sprawdzimy poni¿ej, ma znaczenie dla dodatniej okreœlonoœci metryki Fishera $g_{ij}$ w teorii pola. ", "Skoro równoœci (\\[znikanie ES\\]) oraz (\\[var S oraz IF\\]) zachodz¹ dla przypadku wektorowego, zatem s¹ one równie¿ s³uszne w przypadku skalarnym.\\\n\\\n[**Æwiczenie**]{}: Przedstawione dowody dla w³asnoœci (\\[znikanie ES\\]) oraz (\\[var S oraz IF\\]) by³y ogólne. ", "Sprawdziæ bezpoœrednim rachunkiem, ¿e zachodz¹ one dla (\\[fun wyn r normalnego 2 par\\]) oraz (\\[oczekiw iF r normalnego 2 par\\]) w powy¿szym przyk³adzie estymacji obu parametrów rozk³adu normalnego.\\\n\\\n[**Wa¿ny zwi¹zek**]{}: Z (\\[dow varS=I 1\\])-(\\[dow varS=I 2\\]) widaæ, ¿e przy spe³nieniu wspomnianych w³asnoœci regularnoœci, zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{IF 2 poch na kwadrat pierwszej}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "I_{F}(\\Theta) = E_{\\Theta}\\texttt{i\\!F}(\\Theta) = - \\int_{\\cal B} \\! {", "d{y} P\\left({y|\\Theta}\\right) \\left(\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial\\Theta^{2}}}\\ln P\\left({y|\\Theta}\\right)\\right)} \n= \\int_{\\cal B} \\!{dy P\\left(y|\\Theta\\right) \\, \\left[\\frac{\\partial}{\\partial \\Theta} \\ln P\\left(y|\\Theta\\right)\\right]^{2} } . ", "\\;\\;\\;\\end{aligned}$$\\\n[**Uwaga o dodatniej okreœlonoœci obserwowanej IF**]{}: Niech $g_{ij}$ s¹ elementami $d\\times d$ - wymiarowej macierzy $I_{F}(\\Theta)$. Z (\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\]) otrzymujemy dla dowolnego $d$ - wymiarowego wektora $v=(v_{1},v_{2},...,v_{d})^{T}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{iF polokreslona}\nv^{T} I_{F}(\\Theta) \\,v = \\! ", "\\sum_{i=1}^{d} \\sum_{j=1}^{d} v_{i} g_{ij}(\\Theta) v_{j} = \\!\\int_{\\cal B} \\! ", "dy P(y|\\Theta) ( \\sum_{i=1}^{d} v_{i} \\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial \\theta_{i}} ) ( \\sum_{j=1}^{d} \\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial \\theta_{j}} \\,v_{j} ) \\geq 0 \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e oczekiwana informacja Fishera $I_{F}(\\Theta)$ jest [*dodatnio pó³okreœlona*]{} [@Pawitan], jak to zaznaczyliœmy poni¿ej (\\[var S oraz IF\\]). ", "Jednak w teorii pola interesuje nas zaostrzenie warunku (\\[iF polokreslona\\]) do w³asnoœci dodatniej okreœlonoœci.\\\n\\\nZ (\\[var S oraz IF\\]) (lub (\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\])) widaæ równie¿, ¿e w [*teorii pola, któr¹ da³oby siê sformu³owaæ dla ci¹g³ych, regularnych, unormowanych rozk³adów*]{}, co poci¹ga za sob¹ ci¹g³oœæ rozk³adu funkcji wynikowej na ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$, macierz $I_{F}(\\Theta)$ jest okreœlona dodatnio.\\\nPoniewa¿ w Rozdziale \\[alfa koneksja\\] zwrócimy uwagê na fakt, ¿e oczekiwana IF okreœla tzw. [*", "metrykê Fishera-Rao*]{} $(g_{ij}):=I_{F}(\\Theta)$ na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, zatem:\\\n\\\n[*W teorii pola z ci¹g³ymi, regularnych i unormowanymi rozk³adami, metryka Fishera-Rao $g_{ij}$ jest dodatnio okreœlona.*]{}", "\n\nWstêp do geometrii ró¿niczkowej na przestrzeni statystycznej i $\\alpha$-koneksja {#alfa koneksja}\n--------------------------------------------------------------------------------\n\nNiech zbiorem punktów $\\Omega$ reprezentuj¹cych konfiguracjê uk³adu bêdzie przestrzeñ próby uk³adu ${\\cal B}$. Np. ", "w przypadku próby jednowymiarowej ${\\cal B} \\equiv {\\cal Y}$, gdzie ${\\cal Y}$ jest zbiorem wszystkich mo¿liwych wartoœci ${\\bf y}$ zmiennej losowej $Y$. Niech $P$ jest miar¹ probabilistyczn¹ (prawdopodobieñstwem) na ${\\cal B}$. Zbiór wszystkich miar na ${\\cal B}$ oznaczmy $\\Sigma({\\cal B})$ i nazwijmy [*przestrzeni¹ stanów*]{} modelu.\\\n\\\n[**Okreœlenie modelu statystycznego**]{}: Rozwa¿my podzbiór ${\\cal S} \\subset \\Sigma({\\cal B})$, na którym jest zadany uk³ad wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ [@Amari; @Nagaoka; @book] tak, ¿e ${\\cal S}$ jest rozmaitoœci¹[^18]. ", "Niech na ${\\cal B}$ okreœlony jest $d$ - wymiarowy model statystyczny (tzn. ", "para $(y, P)$), a precyzyjniej: $$\\begin{aligned}\n\\label{model statystyczny S}\n{\\cal S} = \\{P_{\\Xi} \\equiv P(y|\\Xi), \\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d} \\in {V}_{\\Xi} \\subset \\mathbb{R}^{d} \\} \\; , \\end{aligned}$$ tzn. ", "rodzina rozk³adów prawdopodobieñstwa parametryzowana przez $d$ nielosowych zmiennych o wartoœciach rzeczywistych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ nale¿¹cych do przestrzeni parametru ${V}_{\\Xi}$, bêd¹cej podzbiorem $\\mathbb{R}^{d}$. Mówimy, ¿e ${\\cal S}$ jest $d$ - wymiarow¹ przestrzeni¹ statystyczn¹.\\\n\\\n[**Notacja**]{}: Poniewa¿ w danym modelu statystycznym wartoœæ parametru $\\Xi$ okreœla jednoznacznie rozk³ad prawdopodobieñstwa $P$ jako punkt na ${\\cal S}$, wiêc ze wzglêdu na wygodê i o ile nie bêdzie to prowadzi³o do nieporozumieñ, sformu³owania (punkt) $P_{\\Xi} \\in {\\cal S}$ oraz (punkt) $\\Xi \\in {\\cal S}$ bêdziemy stosowali zamiennie.\\\n\\\n[**Uwaga o niezale¿noœci $P$ od parametryzacji**]{}: Oczywiœcie rozk³ad prawdopodobieñstwa nie zale¿y od wyboru bazy w przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, tzn. ", "gdyby np. ", "$\\Theta$ by³ innym uk³adem wspó³rzêdnych (inn¹ parametryzacj¹) to $P = P_{\\Theta} \\equiv P(y|\\Theta) = P_{\\Xi} \\equiv P(y|\\Xi)$ dla ka¿dego $P \\in {\\cal S}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie macierzy informacyjnej Fishera**]{}: WprowadŸmy oznaczenie: $$\\begin{aligned}\n\\label{oznaczenie ln P}\n\\ell_{\\Xi} \\equiv l(y|\\Xi) \\equiv \\ln P_{\\Xi} \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; \\partial_{i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}} \\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; .\\end{aligned}$$ Dla ka¿dego punktu $P_{\\Xi}$, $d \\times d$ - wymiarowa macierz $(g_{ij}(\\Xi))$ o elementach: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher inf matrix}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "g_{ij}(\\Xi):= E_{\\Xi}(\\partial_{i} \\ell_{\\Xi} \\partial_{j} \\ell_{\\Xi}) = \\! ", "\\int_{{\\cal B}} \\! ", "dy \\, P(y|\\Xi) \\, \\partial_{i} l(y|\\Xi) \\partial_{j} l(y|\\Xi) \\; , \\;\\; i,j = 1,2,...,d \\; , \\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ jest nazywana [*macierz¹ informacyjn¹ Fishera*]{} na ${\\cal S}$ w punkcie $P_{\\Xi}$ [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Wielkoœæ $E_{\\Xi}(.)$ oznacza tutaj wartoœæ oczekiwan¹, a ca³kowanie przebiega po ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$.\\\nPrzy za³o¿eniu spe³nienia warunków regularnoœci (porównaj (\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\])), macierz $(g_{ij}(\\Xi))$ mo¿e zostaæ zapisana nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher inf matrix plus reg condition} \ng_{ij} = - E_{\\Xi}(\\partial_{i} \\partial_{j} \\ell_{\\Xi}) = - \\int_{{\\cal B}} dy \\, P(y|\\Xi) \\, \\partial_{i} \\partial_{j} \\ln P(y|\\Xi) \\; , \\;\\;\\; i,j = 1,2,...,d \\; , \\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Metryka Fishera**]{}: Macierz informacyjna Fishera okreœla na ${\\cal S}$ iloczyn wewnêtrzny nazywany [*metryk¹ Fishera*]{} $\\langle , \\rangle$ na ${\\cal S}$, definuj¹c go w uk³adzie wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ poprzez zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher metric poprzez macierz informacyjna} \n\\langle \\partial_{i} , \\partial_{j} \\rangle := g_{ij} \\; , \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie \\;\\; wektory \\;\\; bazowe} \\;\\;\\; \\partial_{i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}} \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Metryka $g_{ij}$ Fishera-Rao jest metryk¹ typu Riemannowskiego[^19]. ", "Warto zauwa¿yæ, ¿e na rozmaitoœci ${\\cal S}$ mo¿na zdefiniowaæ nieskoñczon¹ liczbê metryk Riemannowskich. ", "Jednak Chentsov pokaza³, ¿e [*metryka Fishera-Rao jest*]{} wyró¿niona spoœród wszystkich innych tym, ¿e (z dok³adnoœci¹ do sta³ego czynnika) jest ona [*jedyn¹, która jest redukowana*]{} (w znaczeniu zmniejszania siê odleg³oœci dowolnych dwóch stanów) [*w ka¿dym stochastycznym odwzorowaniu*]{} [@Bengtsson_Zyczkowski; @Streater].\\\n\\\n[**Okreœlenie koneksji afinicznej**]{}: Oznaczmy przez $T_{P}$ przestrzeñ styczn¹ do ${\\cal S}$ w punkcie $P_{\\Xi} \\in {\\cal S}$. Ka¿dy wektor $V \\in T_{P}$ mo¿na roz³o¿yæ na wektory bazowe $(\\partial_i)_{P}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{V w T Theta}\nV = \\sum_{i=1}^{d} V^{i} (\\partial_{i})_{P} \\;\\, , \\; \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; V \\in T_{P} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie dolny indeks $_{P}$ oznacza zale¿noœæ uk³adu wspó³rzêdnych $\\partial_{i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}$, $i=1,2,...,d$, od punktu $P_{\\Xi} \\in {\\cal S}$.\\\n\\\nNiech $\\gamma_{P P'}$ oznacza œcie¿kê w ${\\cal S}$ ³¹cz¹c¹ punkty $P$ oraz $P'$. Przyporz¹dkujmy, ka¿dej œcie¿ce $\\gamma_{P P'}$ w ${\\cal S}$, odwzorowanie $\\Pi_{\\gamma_{P P'}}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pi z Tr do Ts}\n\\gamma_{P P'} \\rightarrow \\Pi_{\\gamma_{P P'}}: T_{P} \\rightarrow T_{P'} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\; {\\rm i} \\; P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\end{aligned}$$ które przekszta³ca wektory z przestrzeni wektorowej $T_{P}$ do przestrzeni wektorowej $T_{P'}$.\\\n\\\nRozwa¿my trzy dowolne punkty $P$, $P'$ oraz $P''$ w ${\\cal S}$, oraz œcie¿ki $\\gamma_{P P'}$ z punktu $P$ do $P'$ i $\\gamma_{P' P''}$ z $P'$ do $P''$. [*Mówimy, ¿e przekszta³cenie $\\Pi$ jest koneksj¹ afiniczn¹ jeœli*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pi jako koneksja afiniczna}\n\\Pi_{\\gamma_{P P''}} = \\Pi_{\\gamma_{P' P''}} \\circ \\Pi_{\\gamma_{P P'}} \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; \\Pi_{\\gamma_{0}} \\equiv \\Pi_{\\gamma_{P P}} = id \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\; {\\rm i} \\;P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $id$ jest przekszta³ceniem identycznoœciowym.\\\n\\\nAby okreœliæ postaæ liniowego odwzorowania $\\Pi_{P P'}$ pomiêdzy $T_{P}$ a $T_{P'}$ musimy, dla ka¿dego $i \\in 1, 2,...,d$, okreœliæ $\\Pi_{P P'}((\\partial_i)_{P})$ jako liniow¹ kombinacjê wektorów bazowych $(\\partial_1)_{P'}, (\\partial_2)_{P'}, ..., (\\partial_{d})_{P'}$ w $T_{P'}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie przesuniêcia równoleg³ego**]{}: Niech $V_{P}$ bêdzie wektorem stycznym w $P$. Wektor $V_{P P'}$ nazywamy [*równoleg³ym przesuniêciem wektora*]{} $V_{P}$ z $P$ do $P'$ wzd³u¿ krzywej (œcie¿ki) $\\gamma_{P P'}$, wtedy gdy: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pi i rownolegle przesuniecie}\nV_{P} \\rightarrow V_{P P'} := \\Pi_{\\gamma_{P P'}} \\, V_{P}\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\; {\\rm i} \\;P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Okreœlenie równoleg³oœci wektorów**]{}: [*Dwa wektory $V_{P}$ oraz $V_{P'}$ styczne do ${\\cal S}$ w punktach $P$ i $P'$ s¹ równoleg³e*]{}, jeœli równoleg³e przesuniêcie (okreœlone w (\\[Pi i rownolegle przesuniecie\\])) wzd³u¿ wskazanej krzywej $\\gamma$ jednego z nich, powiedzmy $V_{P}$, do punktu $P'$ “zaczepienia” drugiego z nich, da wektor $V_{P P'}$, który jest [*proporcjonalny*]{} do $V_{P'}$ (i na odwrót).\\\nKoneksja afiniczna pozwala zdefiniowaæ pochodn¹ kowariantn¹ w nastêpuj¹cy sposób. ", "Niech $V$ jest dowolnym wektorem w przestrzeni stycznej $T_{P}$, oraz niech $\\gamma(t)$, gdzie $t \\in \\left\\langle 0,1 \\right\\rangle$, oznacza dowoln¹ œcie¿kê z $P$ do $P'$ w ${\\cal S}$, która wychodzi z $P$ w kierunku $W \\in T_{P}$.\\\n\\\n[**Pochodn¹ kowariantn¹**]{} (koneksji afinicznej $\\Pi$) wektora $V$ w punkcie $P$ i w kierunku $W \\in T_{P}$ definiujemy nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pi pochodna kowariantna}\n\\nabla_{W} V := \\frac{d}{dt} \\left(\\Pi_{\\gamma_{P \\gamma(t)}} V \\right)_{|_{t=0}} \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\gamma(t=0) = P \\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Pojêcie pochodnej kowariantnej pozwala wypowiedzieæ siê co do równoleg³oœci wektorów w punktach $P$ i $P'$.\\\n\\\n[**Okreœlenie geodezyjnej**]{}: Geodezyjn¹ nazywamy tak¹ krzyw¹ $\\gamma$ w ${\\cal S}$, której wszystkie wektory styczne s¹ do siebie równoleg³e. ", "W zwi¹zku z tym mówimy, ¿e geodezyjna jest [*samo-równoleg³¹*]{} krzyw¹ w ${\\cal S}$.\\\n\\\n\\\n[**Wspó³czynniki koneksji**]{}: Konkretna analityczna postaæ wspó³czynników koneksji [*musi byæ podana przy ustalonej parametryzacji*]{}[^20] $\\Xi \\rightarrow P$, tzn. ", "w okreœlonym uk³adzie wspó³rzêdnych $\\Xi = (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$.\\\nZak³adaj¹c, ¿e ró¿nica pomiêdzy $\\Pi_{P P'}((\\partial_j)_{P})$ oraz $(\\partial_j)_{P'}$ jest [*infinitezymalna*]{}, i ¿e mo¿e byæ wyra¿ona jako liniowa kombinacja [*ró¿niczek*]{} $d\\xi^{1}, d\\xi^{2},..., d\\xi^{d}$, gdzie: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozniczka theta dla theta}\nd\\xi^{i} = \\xi^{i}(P) - \\xi^{i}(P') \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; P_{\\Xi} \\;{\\rm i}\\; P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ mamy: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pi poprzez partial oraz d theta}\n\\Pi_{P P'}((\\partial_{j})_{P}) = (\\partial_j)_{P'} - \\sum_{i,\\,l=1}^{d} d\\xi^{i}(\\Gamma_{ij}^{l})_{P} (\\partial_l)_{P'} \\; , \\;\\;\\; j=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; P_{\\Xi} \\;{\\rm i}\\; P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $(\\Gamma_{ij}^{l})_{P}$, $i,j,l=1,2,...,d$, s¹ $d^{3}$ [*wspó³czynnikami koneksji*]{} zale¿¹cymi od punktu $P$. Koneksjê afiniczn¹ $\\Pi$, wiêc i wspó³czynniki koneksji, mo¿na (przy ustalonej parametryzacji $\\Xi$) okreœliæ na ró¿ne sposoby. ", "Jeden z nich zwi¹zany z koneksj¹ Levi-Civita podany jest w (\\[koneksja Levi-Civita\\]). ", "Jednak w analizie na przestrzeniach statystycznych szczególnie u¿yteczna okaza³a siê tzw. ", "$\\alpha$-koneksja.\\\n\\\n[**$\\alpha$-koneksja**]{}: [*W ka¿dym punkcie*]{} $P_{\\Xi} \\in {\\cal S}$, [*$\\alpha$-koneksja*]{} zadaje $d^{3}$ funkcji $\\Gamma^{(\\alpha)}_{ij,\\,r}\\!: ", "\\!\\Xi \\rightarrow \\! (", "\\Gamma^{(\\alpha)}_{ij,\\,r})_{\\Xi}$, $i,j,r=1,2,...,d$, przyporz¹dkowuj¹c mu wspó³czynniki koneksji o nastêpuj¹cej postaci [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{affine coefficients}\n(\\Gamma^{(\\alpha)}_{ij, \\, r})_{\\Xi} \\equiv (\\Gamma^{(\\alpha)}_{ij, \\, r})_{P_{\\Xi}} = E_{\\Xi}\\left[ \\left(\n\\partial_{i} \\partial_{j} \\ell_{\\Xi} + \\frac{1-\\alpha}{2}\n\\partial_{i} \\ell_{\\Xi} \\partial_{j} \\ell_{\\Xi} \\right) \\partial_{r} \\ell_{\\Xi} \\right]\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Koneksja $\\alpha$ jest [*symetryczna*]{}, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{koneksja symetryczna}\n\\Gamma^{(\\alpha)}_{ij,\\,l} = \\Gamma^{(\\alpha)}_{ji,\\,l} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j,l = 1,2,...,d\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ W koñcu, jeœli $g^{ij}(P)$ jest $(i,j)$-sk³adow¹ macierzy odwrotnej do macierzy informacyjnej $(g_{ij}(P))$, to wspó³czynniki $\\Gamma^{r\\, (\\alpha)}_{ij}$ s¹ równe: $$\\begin{aligned}\n\\label{wspolczynniki koneksji dla g i g-1}\n\\Gamma^{r\\, (\\alpha)}_{ij} = \\sum_{l=1}^{d} g^{rl} \\, \\Gamma^{(\\alpha)}_{ij,\\, l} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j,r = 1,2,...,d\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ [**$\\alpha$ - pochodna kowariantna**]{}: Maj¹c metrykê Fishera-Rao $g_{ij}$, (\\[Fisher metric poprzez macierz informacyjna\\]), zdefiniujmy $\\alpha$ - pochodn¹ kowariantn¹ $\\nabla^{(\\alpha)}$ na ${\\cal S}$ poprzez $\\alpha$-koneksjê afiniczn¹ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kowariantna i wspolczynniki koneksji}\n\\langle \\nabla_{\\partial_{i}}^{(\\alpha)} \\partial_{j}, \\, \n\\partial_{l}\\rangle := \\Gamma^{(\\alpha)}_{ij,\\, l} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j,l = 1,2,...,d\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Powy¿ej, poprzez koneksjê afiniczn¹ zdefiniowaliœmy pochodn¹ kowariantn¹. Ale i odwrotnie, pochodna kowariantna definiuje koneksjê [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "St¹d np. ", "mówimy, ¿e okreœliliœmy koneksjê $\\nabla$.\\\n\\\n[**Pole wektorowe na ${\\cal S}$**]{}: Niech $V: P \\rightarrow V_{P}$ jest odwzorowaniem przyporz¹dkowuj¹cym ka¿demu punktowi $P \\in {\\cal S}$ wektor styczny $V_{P} \\in T_{P}({\\cal S})$. Odwzorowanie to nazywamy [*polem wektorowym*]{}. ", "Na przyk³ad, jeœli $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ jest uk³adem wspó³rzêdnych, wtedy przyporz¹dkowanie $\\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}: P \\rightarrow \\left(\\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}\\right)_{P}$, $i=1,2,...,d$, okreœla $d\\,$ pól wektorowych na ${\\cal S}$.\\\nOznaczmy przez $T({\\cal S})$ rodzinê wszystkich pól wektorowych klasy $C^{\\infty}$ typu $V_{P} = \\sum_{i=1}^{d} V_{P}^{i} \\left(\\partial_{i}\\right)_{P} \\in T_{P}({\\cal S})$ na ${\\cal S}$, gdzie $d$ funkcji $V^{i}: P \\rightarrow V^{i}_{P}$ nazywamy wspó³rzêdnymi pola wektorowego $V$ ze wzglêdu na $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie pochodnej kowariantnej pola wektorowego**]{}: Rozwa¿my dwa pola wektorowe $V, W \\in T({\\cal S})$. Niech w bazie $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ pola te maj¹ postaæ $V = \\sum_{i=1}^{d} V^{i} \\partial_{i}$ oraz $W = \\sum_{i=1}^{d} W^{i} \\partial_{i}$. Pochodn¹ kowariantn¹ pola $V$ ze wzglêdu na $W$ nazywamy pole wektorowe $\\nabla_{W} V \\in T({\\cal S})$, które w bazie $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kowariantna V wzgledem W}\n\\nabla_{W} V = \\sum_{i=1}^{d} W^{i} \\, \\sum_{k=1}^{d} \\, \\{ \\, \\partial_{i} V^{k} + \\sum_{j=1}^{d} V^{j} \\, \\Gamma^{k}_{ij} \\, \\} \\, \\partial_{k} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Przyjmuj¹c $W = \\partial_{i}$ oraz $V=\\partial_{j}$ ³atwo sprawdziæ, ¿e zwi¹zek (\\[pochodna kowariantna V wzgledem W\\]) daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kowariantna partial wzgledem partial}\n\\nabla_{\\partial_{i}} \\partial_{j} = \\sum_{k=1}^{d} \\, \\Gamma^{k}_{ij} \\, \\, \\partial_{k} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ co po skorzystaniu z (\\[wspolczynniki koneksji dla g i g-1\\]) jest zgodne z okreœleniem koneksji $\\nabla$ w (\\[pochodna kowariantna i wspolczynniki koneksji\\]).\\\nMo¿na pokazaæ [@Amari; @Nagaoka; @book], ¿e zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{alfa conection + -}\n\\nabla^{(\\alpha)} = \\frac{1 + \\alpha}{2} \\, \\nabla^{(1)} + \\frac{1 -\n\\alpha}{2} \\, \\nabla^{(-1)}\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ [**Uwaga o p³askoœci ${\\cal S}$ ze wzglêdu na $\\nabla$**]{}: Mówimy, ¿e uk³ad wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ jest [*afinicznym uk³adem wspó³rzêdnych dla koneksji*]{} $\\nabla$ gdy zachodz¹ (równowa¿ne) warunki: $$\\begin{aligned}\n\\label{uklad afiniczny dla koneksji}\n\\nabla_{\\partial_{i}} \\partial_{j} = 0 \\;\\;\\;\\;\\;\\; {\\rm lub \\; r\\acute{o}wnowa\\dot{z}nie} \\;\\;\\;\\;\\; \\Gamma_{ij}^{l} = 0 \\;\\;\\;\\; i,j,l=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Jeœli dla zadanej koneksji $\\nabla$ odpowiadaj¹cy jej uk³ad wspó³rzêdnych jest afiniczny, to mówimy, ¿e koneksja $\\nabla$ jest p³aska[^21] lub, ¿e [*przestrzeñ statystyczna ${\\cal S}$ jest p³aska ze wzglêdu na*]{} $\\nabla$.\\\nP³askoœæ ${\\cal S}$ ze wzglêdu na $\\nabla$ oznacza, ¿e wszystkie wektory bazowe $\\partial_{i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}$, $i=1,2,...,d$ s¹ równoleg³e na ca³ej przestrzeni ${\\cal S}$.\\\n\\\nModele z koneksj¹ $\\nabla^{(\\alpha)}$, które s¹ $\\alpha = + 1$ b¹dŸ $-1$ p³askie, odgrywaj¹ szczególn¹ rolê w modelowaniu statystycznym [@Pawitan].\\\n\\\n[**Dwa przyk³ady rodzin rozk³adów prawdopodobieñstwa**]{}: Istniej¹ dwa przypadki rodzin modeli statystycznych, szczególnie istotnych w badaniu podstawowych geometrycznych w³asnoœci modeli statystycznych. ", "Pierwsza z nich to rodzina rozk³adów eksponentialnych, a druga, rozk³adów mieszanych.\\\n\\\n[**Rodzina modeli eksponentialnych**]{} okazuje siê wyj¹tkowo wa¿na, nie tylko dla badania w³asnoœci statystycznych, ale równie¿ w zwi¹zku z jej realizacj¹ w szeregu zagadnieniach fizycznych. ", "Niech wielkoœæ próby $N=1$. Niech zmienna losowa $Y$ bêdzie zmienn¹ typu ci¹g³ego lub dyskretnego. ", "Ogólna postaæ regularnej rodziny rozk³adów eksponentialnych[^22] jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{exponential family}\np_{\\Xi} \\equiv p({\\bf y}| \\Xi) = \\exp \\left[ C({\\bf y}) +\n\\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) - \\psi(\\Xi) \\right] \n= \\exp \\left[ \\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) - \\psi(\\Xi) \\right] \\, h({\\bf y}) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\xi^{i}$, $\\,i=1,2,...,d$, s¹ tzw. [*", "parametrami kanonicznymi*]{}, natomiast $h({\\bf y}) = \\exp (C({\\bf y}))$ jest nieujemn¹ funkcj¹, która nie zale¿y od wektorowego parametru $\\Xi$.\\\nW (\\[exponential family\\]) pojawi³a siê $d$-wymiarowa statystyka: $$\\begin{aligned}\n\\label{F dla exponential family}\nF(Y) = (F_{1}(Y),..., F_{d}(Y))^{T} \\equiv (F_{i}(Y))_{i=1}^{d} ,\\end{aligned}$$ nazywana statystyk¹ [*kanoniczn¹*]{}.\\\n\\\nCa³kuj¹c obustronnie (\\[exponential family\\]) po przestrzeni próby ${\\cal B} = {\\cal Y}$, a nastêpnie wykorzystuj¹c w³asnoœæ normalizacji $\\int_{\\cal Y} d {\\bf y}\\, p({\\bf y}| \\Xi) = 1$, otrzymujemy[^23]: $$\\begin{aligned}\n\\label{psi dla exponential family}\n\\psi(\\Xi) = \\ln \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\exp \\left[ C({\\bf y}) +\n\\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right] \\; .\\end{aligned}$$\\\nModele eksponentialne s¹ $\\alpha = 1$ - p³askie, co oznacza, ¿e [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{Gamma 1 dla exponential family}\n(\\Gamma^{(1)}_{ij,\\,k})_{\\Xi} = 0 \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm dla \\; modeli \\; eksponentialnych} \\; , \\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Istotnie, korzystaj¹c z oznaczenia wprowadzonego w (\\[oznaczenie ln P\\]), otrzymujemy dla modeli zadanych przez (\\[exponential family\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{partial l w F oraz partial psi dla exponential family}\n\\frac{\\partial l({\\bf y}|\\Xi)}{\\partial \\xi^{i}} = F_{i}({\\bf y}) - \\frac{\\partial \\psi(\\Xi)}{\\partial \\xi^{i}} \\; , \\end{aligned}$$ sk¹d (przy okazji) otrzymujemy obserwowan¹ informacjê Fishera dla rozk³adów eksponentialnych w parametryzacji kanonicznej: $$\\begin{aligned}\n\\label{partial l dla psi dla exponential family} \n\\texttt{i\\!F}\\left(\\Xi \\right) = - \\frac{\\partial^{2} l({\\bf y}|\\Xi)}{\\partial \\xi^{j} \\partial \\xi^{i}} = \\frac{\\partial^{2} \\psi(\\Xi)}{\\partial \\xi^{j} \\partial \\xi^{i}} \\; .\\end{aligned}$$ Podstawiaj¹c (\\[partial l dla psi dla exponential family\\]) do (\\[affine coefficients\\]), otrzymujemy dla $\\alpha=1$ wspó³czynniki $1$-koneksji, równe: $$\\begin{aligned}\n\\label{affine coefficients dla eksponentialnych}\n(\\Gamma^{(1)}_{ij, \\, r})_{\\Xi} = E_{\\Xi}\\left[ \\left(\\frac{\\partial^{2} l(Y|\\Xi)}{\\partial \\xi^{j} \\partial \\xi^{i}} \\right) \\frac{\\partial l(Y|\\Xi)}{\\partial \\xi_{r}} \\right] = - \\frac{\\partial^{2} \\psi(\\Xi)}{\\partial \\xi^{j} \\partial \\xi^{i}} E_{\\Xi}\\left[ \\frac{ \\partial l(Y|\\Xi)}{ \\partial \\xi_{r} } \\right] = 0 \\; , \\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\;\\;\\;\\end{aligned}$$ gdzie w ostatniej równoœci skorzystano z (\\[znikanie ES\\]) dla funkcji wynikowej.\\\n\\\nPonadto dla modeli eksponentialnych z (\\[Fisher inf matrix plus reg condition\\]) oraz (\\[partial l dla psi dla exponential family\\]) otrzymujemy nastêpuj¹c¹ postaæ metryki Fishera-Rao: $$\\begin{aligned}\n\\label{g dla exponential family}\ng_{ij} = - E_{\\Xi}(\\partial_{i} \\partial_{j} \\ell_{\\Xi}) = \\frac{\\partial^{2} \\psi(\\Xi)}{\\partial \\xi^{j} \\partial \\xi^{i}} \\; .\\end{aligned}$$ Zwróæmy uwagê na równoœæ prawych stron (\\[partial l dla psi dla exponential family\\]) oraz (\\[g dla exponential family\\]) dla rozk³adów eksponentialnych.\\\n\\\nPrzyk³adami modeli z eksponentialnej rodziny rozk³adów s¹:\\\n\\\ni) [*Rozk³ad normalny*]{}, (\\[rozklad norm theta sigma2\\]), $p\\left(Y={\\bf y}|\\mu, \\sigma^{2}\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi \\, \\sigma^2}} \\; \\exp \\left( - {\\frac{({\\bf y} - \\mu)^{2}}{2 \\, \\sigma^2}} \\right)$, ${\\bf y} \\in \\mathbf{R}$, dla którego: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad normalny parametry kanoniczne} \n& & C({\\bf y}) = 0 \\;, \\;\\;\\; F_{1}({\\bf y})={\\bf y} \\; , \\;\\; F_{2}({\\bf y})={\\bf y}^{2} \\; , \\;\\; \\xi^{1} = \\frac{\\mu}{\\sigma^{2}} \\; , \\;\\; \\xi^{2} = - \\frac{1}{2 \\sigma^{2}} \\; , \\nonumber \\\\\n& & \\psi(\\xi) = \\frac{\\mu^{2}}{2 \\sigma^{2}} + \\ln (\\sqrt{2 \\pi} \\, \\sigma) = - \\frac{(\\xi^{1})^{2}}{4 \\xi^{2}} + \\frac{1}{2}\\ln (- \\frac{\\pi}{\\xi^{2}} ) \\; . ", "\\end{aligned}$$\\\nii) [*Rozk³ad Poissona*]{} (\\[rozklad Poissona\\]), $p \\left(Y={\\bf y}|\\mu \\right)=\\frac{\\mu ^{{\\bf y}} \\exp({-\\mu }) }{{\\bf y}\\, !}", "\\,$, gdzie ${\\bf y} = 0,1,...,\\infty$, dla którego: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad Poissona parametry kanoniczne} \n& & C({\\bf y}) = - \\ln ({\\bf y}!) \\;, \\;\\;\\; ", "F({\\bf y})={\\bf y} \\; , \\;\\; \\xi = \\ln \\mu \\; , \\;\\; \\psi(\\xi) = \\mu = \\exp \\xi \\; . ", "\\end{aligned}$$\\\niii) ([*Standardowy*]{}) [*rozk³ad eksponentialny*]{}, $p \\left(Y={\\bf y}|\\mu \\right)= \\mu^{-1} \\exp(-{\\bf y}/\\mu)\\,$, gdzie ${\\bf y} > 0$, dla którego: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad eksponentialny parametry kanoniczne} \n& & C({\\bf y}) = 0 \\;, \\;\\;\\; F({\\bf y})= {\\bf y} \\; , \\;\\; \\xi = - \\frac{1}{\\mu} \\; , \\;\\; \\psi(\\xi) = \\ln \\mu = \\ln ( -\\frac{1}{\\xi}) \\; . ", "\\end{aligned}$$ Modele eksponentialne wyró¿nia fakt osi¹gania dolnego ograniczenia nierównoœci Rao-Cramera [@Streater] (porównaj zwi¹zek (\\[RC dla 1 N z 1 par oczekiwana IF\\])).\\\n\\\n[**Wymiar statystyki dostatecznej dla**]{} (\\[exponential family\\]): Dla modeli eksponentialnych zachodzi wa¿na w³asnoœæ zwi¹zana z wymiarem statystyki kanonicznej $F(Y)$, (\\[F dla exponential family\\]). ", "Rozwa¿my $N$-elementow¹ próbê $\\widetilde{Y} \\equiv( Y_{n})_{n=1}^{N}$, dla której ka¿dy punktowy rozk³ad ma postaæ (\\[exponential family\\]). ", "Wtedy funkcja wiarygodnoœci dla próby jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{exponential family N fun wiarygodnosci}\nP(y| \\Xi) = \\exp \\left[ \\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} \\sum_{n=1}^{N} F_{i}({\\bf y}_{n}) - N \\, \\psi(\\Xi) \\right] \\, \\exp \\left[ \\sum_{n=1}^{N} C({\\bf y}_{n}) \\right] \\; .\\end{aligned}$$ Dostateczna statystyka dla wektorowego parametru oczekiwanego $(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, gdzie $\\theta_{i} = E_{\\Xi}\\left[ F_{i}(Y) \\right]$, $i = 1,2,...,d $ (por. (", "\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]) w Rozdziale \\[Estymacja w modelach fizycznych na DORC\\]) ma zatem postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{F dostateczna dla exponential family dla proby N}\n\\left( \\sum_{n=1}^{N} F_{1}({\\bf y}_{n}), \\sum_{n=1}^{N} F_{2}({\\bf y}_{n}), ..., \\sum_{n=1}^{N} F_{d}({\\bf y}_{n}) \\right) \\; .\\end{aligned}$$ Jej wymiar jest równy $d$ i jak widaæ, dla konkretnych reprezentantów ogólnej rodziny eksponentialnej nie zale¿y on od wymiaru próby $N$. W³asnoœæ ta nie jest spe³niona np. ", "dla takich nieeksponentialnych rozk³adów jak rozk³adu Weibull’a oraz Pareto [@Nowak], dla których wymiar statystyki dostatecznej roœnie wraz z wymiarem próby. ", "Inn¹ wa¿n¹ w³asnoœci¹ rozk³adów nieeksponentialnych jest to, ¿e dziedzina (tzn. ", "noœnik) ich funkcji gêstoœci mo¿e zale¿eæ od parametru.\\\n\\\n[**Rodzina mieszanych rozk³adów prawdopodobieñstwa**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{mixture family} \np_{\\Delta} \\equiv p({\\bf y}|\\Delta) \n= C({\\bf y}) + \\sum_{i=1}^{d} \\delta^{i}\nF_{i}({\\bf y}) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\delta^{i}$ s¹ tzw. [*", "parametrami mieszanymi*]{}.\\\n\\\n[**Æwiczenie**]{}: Pokazaæ, ¿e przestrzeñ statystyczna rodziny rozk³adów mieszanych jest $\\alpha = - 1$ - p³aska [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{Gamma 1 dla mieszanej family}\n(\\Gamma^{(-1)}_{ij,\\,k})_{\\Xi} = 0 \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm dla \\; modeli \\; mieszanych} \\; , \\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Geometria przestrzeni ${\\cal S}$ a parametryzacja**]{}: Jako w³asnoœci geometryczne przestrzeni ${\\cal S}$ przyjmujemy te, które s¹ niezmiennicze ze wzglêdu na zmianê parametryzacji.\\\nNp. ", "w³asnoœci geometryczne rodziny modeli eksponentialnych nie zale¿¹ od tego czy pos³u¿ymy siê parametrami kanonicznymi $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ czy oczekiwanymi $\\theta_{i} = E_{\\Xi}\\left[ F_{i}(Y) \\right]$, $i = 1,2,...,d $ (por. (", "\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\])).", "\n\n### Przestrzeñ statystyczna dualnie p³aska {#Przestrzen dualnie plaska}\n\nZ (\\[Fisher inf matrix\\]) oraz (\\[affine coefficients\\]) wynika, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{0 - koneksja}\n\\partial_{r}g_{ij} = \\Gamma^{(0)}_{ri, \\, j} + \\Gamma^{(0)}_{rj, \\, i}\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e $0$-koneksja jest metryczna[^24] ze wzglêdu na metrykê Fishera-Rao [@Amari; @Nagaoka; @book].\\\n\\\n[*Jednak w ogólnoœci dla $\\alpha \\neq 0$, $\\alpha$-koneksja afiniczna nie jest metryczna, natomiast spe³nia warunek dualnoœci*]{} omówiony poni¿ej.\\\n\\\n[**Koneksje dualne**]{}: Niech na rozmaitoœci ${\\cal S}$ zadana jest pewna metryka Riemannowska $g=\\left\\langle , \\right\\rangle$ i dwie koneksje $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$. Metryka ta mo¿e byæ np. ", "metryk¹ $g$ Fishera-Rao. ", "Jeœli dla wszystkich pól wektorowych $V,W,Z\\in T({\\cal S})$, zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{def dualnych nabla}\nZ\\left\\langle V, W \\right\\rangle = \\left\\langle \\nabla_{Z} V, W \\right\\rangle + \\left\\langle V, \\nabla^{*}_{Z} W \\right\\rangle\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\end{aligned}$$ wtedy mówimy, ¿e $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$ s¹ ze wzglêdu ma metrykê $\\left\\langle , \\right\\rangle$ [*dualne*]{} (sprzê¿one) wzglêdem siebie. ", "W uk³adzie wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ metryka $g$ ma wspó³rzêdne $g_{ij}$, a koneksje $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$ maj¹ wspó³czynniki koneksji odpowiednio $\\Gamma_{ij,\\,r}$ oraz $\\Gamma^{*}_{ij, \\, r}$.\\\nWarunek dualnoœci (\\[def dualnych nabla\\]) mo¿emy teraz zapisaæ w postaci[^25]: $$\\begin{aligned}\n\\label{war dualnosci we wspolczynnikach}\n\\partial_{r}g_{ij} = \\Gamma_{ri, \\, j} + \\Gamma^{*}_{rj, \\, i}\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ bêd¹cej uogólnieniem warunku (\\[0 - koneksja\\]) istniej¹cego dla koneksji metrycznej.\\\nPonadto, koneksja $\\nabla^{met} \\equiv (\\nabla+\\nabla^{*})/2$ jest koneksj¹ metryczn¹, dla której zachodzi warunek $\\partial_{r}g_{ij} = \\Gamma^{met}_{ri, \\, j} + \\Gamma^{met}_{rj, \\, i}$ [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Mo¿na równie¿ sprawdziæ, ¿e (ze wzglêdu na $g$) zachodzi $(\\nabla^{*})^{*} = \\nabla$.\\\n\\\n[**Struktura dualna**]{}: Trójkê $(g, \\nabla, \\nabla^{*}) \\equiv ({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$ nazywamy [*struktur¹ dualn¹ na*]{} ${\\cal S}$. W ogólnoœci, maj¹c metrykê $g$ oraz koneksjê $\\nabla$ okreœlon¹ na ${\\cal S}$, koneksja dualna $\\nabla^{*}$ jest wyznaczona w sposób jednoznaczny, co jest treœci¹ poni¿szego twierdzenia.\\\n\\\n[**Twierdzenie o zwi¹zku pomiêdzy koneksjami dualnymi**]{}: Niech $P$ oraz $P'$ s¹ punktami brzegowymi œcie¿ki $\\gamma$, oraz niech przekszta³cenia $\\Pi_{\\gamma_{P P'}}$ oraz $\\Pi^{*}_{\\gamma_{P P'}}$ z $T_{P}(\\cal S)$ do $T_{P'}(\\cal S)$ opisuj¹ [*równoleg³e przesuniêcie wzd³u¿*]{} $\\gamma$, odpowiednio ze wzglêdu na koneksje afiniczne $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$. Wtedy dla wszystkich $V,W \\in T_{P}({\\cal S})$ zachodzi [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{koneksja warunek dualnosci ogolnie}\ng_{P'}(\\Pi_{\\gamma_{P P'}} V, \\, \\Pi^{*}_{\\gamma_{P P'}} W) = g_{P}(V,\\, W)\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi}\\;{\\rm i}\\;P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Warunek ten jest uogólnieniem warunku (\\[koneksja metryczna\\]) istniej¹cego dla koneksji metrycznej o [*niezmienniczoœci iloczynu wewnêtrznego ze wzglêdu na przesuniêcie równoleg³e*]{}. ", "Wyznacza on w sposób jednoznaczny zwi¹zek pomiêdzy $\\Pi_{\\gamma_{P P'}}$ oraz $\\Pi^{*}_{\\gamma_{P P'}}$.\\\n\\\n[**Niezmienniczoœæ iloczynu wewnêtrznego dla p³askich koneksji dualnych przy przesuniêciu równoleg³ym**]{}: [*Jeœli*]{} $\\Pi_{\\gamma_{P P'}}$ nie zale¿y na ${\\cal S}$ od œcie¿ki $\\gamma$, a tylko od punktów koñcowych[^26] $P$ oraz $ P'$, wtedy $\\Pi_{\\gamma_{P P'}}=\\Pi_{P P'}$ na ${\\cal S}$. Poniewa¿ przy okreœlonej metryce $g$, koneksja dualna $\\nabla^{*}$ jest jednoznacznie wyznaczona dla $\\nabla$, zatem równie¿ dla koneksji $\\nabla^{*}$ jest na ${\\cal S}$ spe³niony warunek $\\Pi^{*}_{\\gamma_{P P'}} = \\Pi^{*}_{P P'}$, sk¹d z (\\[koneksja warunek dualnosci ogolnie\\]) przy przesuniêciu równoleg³ym otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{koneksja warunek dualnosci ogolnie bez gamma}\ng_{P'}(\\Pi_{P P'} V, \\, \\Pi^{*}_{P P'} W) = g_{P}(V,\\, W)\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi}\\;{\\rm i}\\;P'_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ [**Zadanie**]{}: Korzystaj¹c z metryki (\\[g dla exponential family\\]) modelu eksponentialnego oraz z (\\[affine coefficients dla eksponentialnych\\]) i (\\[affine coefficients\\]), sprawdziæ bezpoœrednim rachunkiem w parametryzacji kanonicznej $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ warunek (\\[war dualnosci we wspolczynnikach\\]), otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{koneksja warunek dualnosci dla eksponent}\n\\partial_{r}g_{ij} = \\Gamma^{+1}_{ri, \\, j} + \\Gamma^{-1}_{rj, \\, i} = \\Gamma^{-1}_{rj, \\, i} = \\partial_{r} \\partial_{i} \\partial_{j} \\psi (\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\n\n### Dualne uk³ady wspó³rzêdnych {#Dualne uklady wspolrzednych}\n\n[**Okreœlenie dualnie p³askiej przestrzeni**]{}: Mówimy, ¿e $({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$ jest [*dualnie p³ask¹ przestrzeni¹*]{}, jeœli obie koneksje dualne, $\\nabla$ oraz $ \\nabla^{*}$, s¹ p³askie na ${\\cal S}$. Oznacza to, ¿e jeœli koneksja $\\nabla$ jest p³aska w pewnej bazie $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ to koneksja $\\nabla^{*}$ jest p³aska w pewnej bazie $(\\xi^{*\\,i})_{i=1}^{d}$, któr¹ nazywamy baz¹ dualn¹ do $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$.\\\n\\\n[**$\\alpha$ - koneksja dualnie p³aska**]{}:\\\nIstotnoœæ pojêcia $\\alpha$-koneksji pojawia siê wraz z rozwa¿eniem na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ nie tyle prostej pary $(g, \\nabla^{(\\alpha)}) \\equiv ({\\cal S}, g, \\nabla^{(\\alpha)})$ ale struktury potrójnej $(g, \\nabla^{(\\alpha)},$ $\\nabla^{(-\\alpha)}) \\equiv ({\\cal S}, g, \\nabla^{(\\alpha)}, \\nabla^{(-\\alpha)})$. Powodem jest istnienie poprzez metrykê Fishera-Rao [*dualnoœci pomiêdzy koneksjami*]{} $\\nabla^{(\\alpha)}$ oraz $\\nabla^{(-\\alpha)}$, która okazuje siê byæ wa¿na przy badaniu modeli statystycznych.\\\n\\\nPodsumowuj¹c, [*dla dowolnego modelu statystycznego ${\\cal S}$*]{}, zachodzi [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{podwojna plaskosc modelu} \n({\\cal S} \\;\\; {\\rm jest} \\;\\; \\alpha-p\\ell aska) \\Leftrightarrow ({\\cal S} \\;\\; {\\rm jest} \\;\\; (-\\alpha)-p\\ell aska) \\; \\; .\\end{aligned}$$ [**Przyk³ad**]{}: Model statystyczny eksponentialny ${\\cal S}$ jest p³aski w parametryzacji kanonicznej $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ dla $\\alpha=1$. Istnieje zatem [*parametryzacja dualna*]{}, w której jest on równie¿ $\\alpha=-1$ p³aski. ", "Np. ", "w Rozdziale \\[Estymacja w modelach fizycznych na DORC\\] oka¿e siê, ¿e dla modeli eksponentialnych spe³niaj¹cych warunek maksymalizacji entropii, baz¹ dualn¹ do bazy kanonicznej jest baza parametrów oczekiwanych.\\\nPodobnie jest dla rodziny rozk³adów mieszanych, tzn. ", "jest ona jednoczeœnie $\\pm 1$ p³aska.\\\n\\\n[**Okreœlenie dualnych uk³adów wspó³rzêdnych**]{}: Zastanówmy siê nad ogóln¹ struktur¹ przestrzeni $({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$, która by³aby dualnie [*p³aska*]{}.\\\nZ okreœlenia przestrzeni p³askiej ze wzglêdu na okreœlon¹ koneksjê (\\[uklad afiniczny dla koneksji\\]) oraz z (\\[podwojna plaskosc modelu\\]) wynika, ¿e jeœli istnieje uk³ad wspó³rzêdnych $\\Xi=(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ z wektorami bazowymi $\\partial_{\\xi^i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}$, ze wzglêdu na który koneksja $\\nabla$ jest p³aska, tzn. ", "$\\nabla_{\\partial_{\\xi^i}} \\partial_{\\xi^j} = 0$, $i,j=1,2,...,d$, to istnieje równie¿ uk³ad wspó³rzêdnych $\\Theta=(\\theta^{i})_{i=1}^{d}:=(\\xi^{*i})_{i=1}^{d}$ z wektorami bazowymi $\\partial_{\\theta^i} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\theta^{i}}$, ze wzglêdu na który koneksja $\\nabla^{*}$ jest p³aska, tzn. ", "$\\nabla_{\\partial_{\\theta^j}} \\partial_{\\theta^l} = 0$, $j,l=1,2,...,d$.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Zatem, gdy pole wektorowe $\\partial_{\\xi^i}$ jest $\\nabla$- p³askie, wiêc pole wektorowe $\\partial_{\\theta^j}$ jest $\\nabla^{*}$-p³askie i z (\\[koneksja warunek dualnosci ogolnie bez gamma\\]) [*wynika sta³oœæ*]{} $\\,g_{P_{\\Xi}}(\\partial_{\\xi^i}, \\partial_{\\theta^j})$ na ${\\cal S}$. Fakt ten, bior¹c pod uwagê wszystkie $d$ stopni swobody zawarte w afinicznym uk³adzie wspó³rzêdnych, (\\[uklad afiniczny dla koneksji\\]), mo¿na zapisaæ jako[^27]: $$\\begin{aligned}\n\\label{stalosc il wewn partial i dual partial}\n\\left\\langle \\partial_{\\xi^i}, \\partial_{\\theta^j} \\right\\rangle \\equiv g_{P_{\\Xi}}\\!\\left(\\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}}, \\, \\frac{\\partial}{\\partial \\theta^{j}} \\right) = \\delta_{i j} \\; , \\; \\; \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie iloczyn wewnêtrzny $\\left\\langle \\cdot, \\cdot \\right\\rangle$ jest wyznaczony w konkretnym uk³adzie wspó³rzêdnych, w tym przypadku w $\\Xi = (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$. Uk³ady wspó³rzêdnych $\\Xi = (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $\\Theta = (\\theta^{j})_{j=1}^{d}$ okreœlone na przestrzeni Riemannowskiej $({\\cal S}, g)$ i spe³niaj¹ce warunek (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]) nazywamy [*wzajemnie dualnymi*]{}. ", "Warunek (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]) oznacza [**sta³oœæ na ${\\cal S}$ iloczynu wewnêtrznego dla uk³adów dualnie p³askich**]{}.\\\n\\\nW ogólnoœci dla dowolnej przestrzeni Riemannowskiej $({\\cal S}, g)$ nie istniej¹ uk³ady wspó³rzêdnych wzajemnie dualne.\\\nJeœli jednak przestrzeñ Riemannowska z dualn¹ koneksj¹ $({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$ jest dualnie p³aska, to taka para uk³adów wspó³rzêdnych [*istnieje*]{}. ", "Ale i na odwrót. ", "Jeœli na przestrzeni Riemannowskiej $({\\cal S}, g)$ istniej¹ dwa uk³ady wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $(\\theta^{j})_{j=1}^{d}$ spe³niaj¹ce warunek (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]), wtedy koneksje $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$, wzglêdem których uk³ady te s¹ afiniczne, s¹ okreœlone, a $({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$ jest dualnie p³aska.\\\n\\\n\\\n\\\n[**Euklidesowy uk³ad wspó³rzêdnych**]{}: W przypadku Euklidesowego uk³adu wspó³rzêdnych na ${\\cal S}$ mamy (z definicji): $$\\begin{aligned}\n\\label{stalosc il wewn dla Euklidesowego ukl wsp}\n\\left\\langle \\partial_{\\xi^i}, \\partial_{\\xi^j} \\right\\rangle = \\delta_{ij}\\; , \\; \\; \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e jest on [*samo-dualny*]{}.\\\n\\\n[**Uwaga o wspó³czesnym zastosowaniu koneksji dualnych**]{}: Interesuj¹cym wydaje siê fakt, ¿e pojêcie koneksji dualnych ma coraz wiêksze zastosowanie w analizie uk³adów liniowych [@Ohara] i szeregów czasowych [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Przyk³adem mo¿e byæ jej zastosowanie w analizie szeregów czasowych ARMA(p,q) [@Brockwell_Machura], co jest zwi¹zane z faktem, ¿e zbiór wszystkich szeregów czasowych ARMA(p,q) ma skoñczon¹ parametryzacjê i w zwi¹zku z tym tworzy on skoñczenie wymiarow¹ rozmaitoœæ. ", "Aby dokonaæ analizy porównawczej dwóch szeregów czasowych bior¹c pod uwagê problemy ich aproksymacji, estymacji oraz redukcji wymiaru, analizowanie pojedynczego szeregu czasowego jest niewystarczaj¹ce i okazuje siê koniecznym rozwa¿anie w³asnoœci ca³ej przestrzeni tych szeregów wraz z ich struktur¹ geometryczn¹ [@Amari; @Nagaoka; @book].", "\n\n#### Transformacja Legendre’a pomiêdzy parametryzacjami dualnymi {#Potencjaly ukladow wspolrzednych}\n\nNiech $\\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $\\Theta \\equiv (\\theta^{i})_{i=1}^{d}$ s¹ wzajemnie dualnymi bazami na ${\\cal S}$, zgodnie z relacj¹ (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]). ", "Zdefiniujmy wspó³rzêdne metryki $g$ ze wzglêdu na uk³ad wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ jako: $$\\begin{aligned}\n\\label{ukl wsp ze wzgledu na theta}\ng^{\\xi}_{ij}:= \\left\\langle \\partial_{\\xi^i}, \\partial_{\\xi^j} \\right\\rangle \\; , \\; \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ a ze wzglêdu na uk³ad wspó³rzêdnych $(\\theta^{j})_{j=1}^{d}$ jako: $$\\begin{aligned}\n\\label{ukl wsp ze wzgledu na eta dla theta kowariantne}\ng^{\\theta}_{ij}:= \\left\\langle \\partial_{\\theta^i}, \\partial_{\\theta^j} \\right\\rangle \\; , \\; \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Przejœcie od wspó³rzêdnych kontrawariantnych $(\\theta^{j})_{j=1}^{d}$ w bazie $\\partial_{\\theta^j} \\equiv \\partial/\\partial\\theta^j$ do kowariantnych $(\\theta_{j})_{j=1}^{d}$ w bazie $\\partial^{\\theta_j} \\equiv \\partial/\\partial\\theta_j$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{ukl wsp theta kontrawariantne}\n\\theta_j := \\sum_{k=1}^{d} g^{\\theta}_{jk} \\, \\theta^k \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; \\partial^{\\theta_j} := \\sum_{k=1}^{d} g_{\\theta}^{jk} \\partial_{\\theta^k} \\; , \\; \\;\\;\\;\\; j,k=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $g_{\\theta}^{jk}$ jest $(j,k)$-sk³adow¹ macierzy odwrotnej do macierzy informacyjnej $(g^{\\theta}_{jk})$. Ze wzglêdu na uk³ad wspó³rzêdnych $(\\theta_{j})_{j=1}^{d}$, wspó³rzêdne metryki $g_{\\theta}^{ij}$ s¹ równe: $$\\begin{aligned}\n\\label{ukl wsp ze wzgledu na eta}\ng_{\\theta}^{ij} = \\left\\langle \\partial^{\\theta_i}, \\partial^{\\theta_j} \\right\\rangle \\; , \\; \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Podobnie okreœlamy macierz informacyjn¹ $(g_{\\xi}^{jk})$ jako odwrotn¹ do $(g^{\\xi}_{jk})$.\\\n\\\nRozwa¿my transformacje uk³adu wspó³rzêdnych: $$\\begin{aligned}\n\\label{transf bazy dualnej eta w theta}\n\\partial^{\\theta_{j}} \\equiv \\frac{\\partial }{\\partial \\theta_{j}} = \\sum_{i=1}^{d} \\frac{\\partial \\xi^{i} }{\\partial \\theta_{j}} \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{i}} \\equiv \\sum_{i=1}^{d} (\\partial^{\\theta_j} \\xi^{i}) \\partial_{\\xi^i} \\; , \\;\\;\\;\\; j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; \\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{transf bazy dualnej theta w eta}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\n\\partial_{\\xi^i} \\equiv \\frac{\\partial }{\\partial \\xi^{i}} = \\sum_{j=1}^{d} \\frac{\\partial \\theta_{j} }{\\partial \\xi^{i}} \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_{j}} \\equiv \\sum_{j=1}^{d} (\\partial_{\\xi^i} \\theta_{j}) \\partial^{\\theta_j} = \\sum_{j=1}^{d} (\\partial_{\\xi^i} \\theta^{j}) \\partial_{\\theta^j} \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem po skorzystaniu z (\\[transf bazy dualnej eta w theta\\])-(\\[transf bazy dualnej theta w eta\\]) oraz warunku (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]), mo¿na dualne metryki (\\[ukl wsp ze wzgledu na theta\\]) oraz (\\[ukl wsp ze wzgledu na eta\\]) zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{g ij we wspol przez eta i theta}\ng^{\\xi}_{ij} = \\frac{\\partial \\theta_{j}}{\\partial \\xi^{i}} \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; g_{\\theta}^{ij} = \\frac{\\partial \\xi^{i}}{\\partial \\theta_{j}} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza równie¿, ¿e macierze informacyjne, $I_{F}(\\Xi) = (g^{\\xi}_{ij})$ w bazie $\\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $I_{F}(\\Theta) = (g_{\\theta}^{ij})$ w bazie[^28] dualnej $\\Theta \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, s¹ wzglêdem siebie odwrotne: $$\\begin{aligned}\n\\label{macierze informacyjne dualne}\nI_{F}(\\Xi) = I_{F}^{-1}(\\Theta) \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\nRozwa¿my z kolei funkcjê $\\psi:{\\cal S} \\rightarrow \\mathbb{R}$ oraz nastêpuj¹ce cz¹stkowe równanie ró¿niczkowe: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn dla psi i eta}\n\\partial_{\\xi^i} \\psi = \\theta_{i} \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm tzn.} \\;\\;\\;\\;\\; ", "d\\psi = \\sum_{i=1}^{d} \\theta_{i} \\, d \\xi^{i} \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; . ", "\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na (\\[g ij we wspol przez eta i theta\\]) równanie (\\[row rozn dla psi i eta\\]) daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn 2 rzedu dla psi i eta}\n\\partial_{\\xi^i} \\partial_{\\xi^j} \\psi =g^{\\xi}_{ij} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na dodatni¹ okreœlonoœæ metryki $g^{\\xi}_{ij}$, równanie to oznacza, ¿e druga pochodna $\\psi$ tworzy równie¿ [*dodatnio okreœlon¹*]{} macierz. ", "Zatem $\\psi$ jest [*œciœle wypuk³¹*]{} funkcj¹ wspó³rzêdnych $\\xi^{1},\\xi^{2},...,\\xi^{d}$, dla ka¿dego $P \\in {\\cal S}$.\\\nPodobnie, rozwa¿aj¹c funkcjê $\\phi:{\\cal S} \\rightarrow \\mathbb{R}$ oraz cz¹stkowe równanie ró¿niczkowe: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn dla phi i theta}\n\\partial^{\\theta_i} \\phi = \\xi^{i} \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm tzn.} \\;\\;\\;\\;\\; ", "d\\phi = \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\, d \\theta_{i} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na (\\[g ij we wspol przez eta i theta\\]) równanie (\\[row rozn dla phi i theta\\]) daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn 2 rzedu dla phi i theta}\n\\partial^{\\theta_i} \\partial^{\\theta_j} \\phi =g_{\\theta}^{ij} \\; , \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ w zwi¹zku z czym dodatnia okreœlonoœæ dualnej metryki $g_{\\theta}^{ij}$ oznacza, ¿e druga pochodna $\\phi$ tworzy dodatnio okreœlon¹ macierz. ", "Zatem $\\phi$ jest [*œciœle wypuk³¹*]{} funkcj¹ wspó³rzêdnych $\\theta^{1},\\theta^{2},...,\\theta^{d}$, dla ka¿dego $P \\in {\\cal S}$.\\\n\\\n[**Transformacja Legendre’a**]{}: Powiedzmy, ¿e $\\psi$ jest pewnym rozwi¹zaniem równania (\\[row rozn 2 rzedu dla psi i eta\\]). ", "Wtedy po skorzystaniu z (\\[g ij we wspol przez eta i theta\\]) oraz (\\[row rozn dla psi i eta\\]), widaæ, ¿e od $\\psi \\equiv \\psi(\\Xi)$ do $\\phi \\equiv \\phi(\\Theta)$ mo¿na przejœæ przez [*transformacjê Legendre’a*]{}[^29] : $$\\begin{aligned}\n\\label{transformacja Legendrea psi w phi}\n\\phi(\\Theta) = \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\theta_{i} - \\psi(\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Podobnie, powiedzmy, ¿e $\\phi$ jest pewnym rozwi¹zaniem równania (\\[row rozn 2 rzedu dla phi i theta\\]). ", "Wtedy poprzez transformacjê Legendre’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{transformacja Legendrea phi w psi}\n\\psi(\\Xi) = \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\theta_{i} - \\phi(\\Theta) \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ mo¿na przejœæ od funkcji $\\phi$ do $\\psi$.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: W ogólnoœci transformacje pomiêdzy uk³adami wspó³rzêdnych $\\Xi=(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $\\Theta=(\\theta_{j})_{j=1}^{d}$, które maj¹ postaæ (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) i (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) nazywamy transformacjami Legendre’a[^30].\\\n\\\n[**Okreœlenie potencja³ów**]{}: Funkcje $\\psi$ oraz $\\phi$ spe³niaj¹ce odpowiednio warunki (\\[row rozn dla psi i eta\\]) oraz (\\[row rozn dla phi i theta\\]), pomiêdzy którymi mo¿na przejœæ transformacj¹ Legendre’a (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) lub (\\[transformacja Legendrea phi w psi\\]), nazywamy [*potencja³ami*]{} uk³adów wspó³rzêdnych (odpowiednio $\\Xi$ oraz $\\Theta$).\\\n\\\nPoni¿ej podamy twierdzenie podsumowuj¹ce powy¿sze rozwa¿ania.\\\n\\\n[**Twierdzenie**]{} [*o dualnych uk³adach wspó³rzêdnych*]{}: Niech $\\Xi=(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ jest $\\nabla$-afinicznym uk³adem wspó³rzêdnych na dualnie p³askiej przestrzeni $({\\cal S}, g, \\nabla, \\nabla^{*})$. Wtedy, ze wzglêdu na metrykê $g$, istnieje dualny do $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ uk³ad wspó³rzêdnych $\\Theta=(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, który jest $\\nabla^{*}$-afinicznym uk³adem wspó³rzêdnych. ", "Oba te uk³ady wspó³rzêdnych s¹ zwi¹zane transformacj¹ Legendre’a zadan¹ przy potencja³ach $\\psi(\\Xi)$ oraz $\\phi(\\Theta)$ poprzez zwi¹zki (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) lub (\\[transformacja Legendrea phi w psi\\]). ", "Ponadto wspó³rzêdne metryki w tych uk³adach wspó³rzêdnych s¹ zadane jako drugie pochodne potencja³ów, jak w (\\[row rozn 2 rzedu dla psi i eta\\]) oraz (\\[row rozn 2 rzedu dla phi i theta\\]).\\\n\\\n[**Wspó³czynniki koneksji dla uk³adów dualnych**]{}: Na koniec podajmy wyprowadzone z u¿yciem zwi¹zku (\\[war dualnosci we wspolczynnikach\\]) oraz (\\[row rozn 2 rzedu dla psi i eta\\]) postacie wspó³czynników koneksji afinicznej $\\Gamma^{\\xi\\, *}_{ij,\\,l}$ [@Amari; @Nagaoka; @book] (por. (", "\\[pochodna kowariantna i wspolczynniki koneksji\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kow i wspolczynniki koneksji dualne *}\n\\Gamma^{\\xi\\, *}_{ij,\\, l}:= \\langle \\nabla_{\\partial_{\\xi^i}}^{*} \\partial_{\\xi^j}, \\, \\partial_{\\xi^l}\\rangle = \\partial_{\\xi^i} \\partial_{\\xi^j} \\partial_{\\xi^l} \\psi(\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\; i,j,l = 1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; \\end{aligned}$$ oraz z u¿yciem (\\[war dualnosci we wspolczynnikach\\]) oraz (\\[row rozn 2 rzedu dla phi i theta\\]), wspó³czynniki koneksji afinicznej $\\Gamma_{\\theta}^{ij,\\, l}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kow i wspolczynniki koneksji dualne}\n\\Gamma_{\\theta}^{ij,\\, l}:= \\langle \\nabla_{\\partial^{\\theta_i}} \\partial^{\\theta_j}, \\, \\partial^{\\theta_l}\\rangle = \\partial^{\\theta_i} \\partial^{\\theta_j} \\partial^{\\theta_l} \\phi(\\Theta) \\; , \\;\\;\\;\\; i,j,l = 1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ przy czym, poniewa¿ uk³ady wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ s¹ afiniczne, zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna kow i wspolczynniki koneksji dualne zwykle}\n\\Gamma^{\\xi}_{ij,\\, l} = \\Gamma_{\\theta}^{* \\, ij,\\, l} = 0 , \\;\\;\\;\\; i,j,l = 1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\n\n### Geometryczne sformu³owanie teorii estymacji dla EFI {#Geometryczne sformulowanie teorii estymacji}\n\nDok³adne sformu³owanie metody ekstremalnej fizycznej informacji (EFI) jest treœci¹ kolejnych rozdzia³ów skryptu. ", "Poni¿ej podajemy jedynie jej wstêpn¹ charakterystykê z punktu widzenia geometrii ró¿niczkowej na ${\\cal S}$.\\\nTeoria estymacji w metodzie EFI mo¿e byæ okreœlona geometrycznie w sposób nastêpuj¹cy. ", "Za³ó¿my, ¿e z pewnych powodów teoretyczny rozk³ad $P$ na ${\\cal B}$ le¿y na pewnej podprzestrzeni ([*warstwie*]{}) ${\\cal S}_{w} \\subseteq {\\cal S}$. Warstwa ${\\cal S}_{w}$ oraz wymiar ${\\cal B}$ nie s¹ z góry okreœlone. ", "Zak³adamy równie¿, ¿e wszystkie rozwa¿ane rozk³ady, ³¹cznie z empirycznym, le¿¹ w przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, która (w przeciwieñstwie do estymacji w statystyce klasycznej [@Amari; @Nagaoka; @book; @Streater]) [*nie ma znanej postaci metryki*]{} Fishera-Rao. ", "Na podstawie danych, które da³y rozk³ad empiryczny $P_{Obs}$, szukamy punktu nale¿¹cego do ${\\cal S}_{w}$, który spe³nia zasady informacyjne i jest szukanym [*oszacowaniem*]{} $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ rozk³adu teoretycznego $P$.\\\n\\\n[**Uwaga o estymacji w statystyce klasycznej**]{}: W statystyce klasycznej wyznaczamy krzyw¹ geodezyjn¹ biegn¹c¹ przez punkt empiryczny $P_{Obs}$ i szukane oszacowanie $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ stanu uk³adu le¿¹cego na ${\\cal S}_{w}$. Poniewa¿ za wyj¹tkiem przypadku $\\alpha=0$ okazuje siê, ¿e $\\alpha$-koneksja nie jest metryczna (tzn. ", "nie jest wyprowadzona jedynie z metryki, w naszym przypadku metryki Fishera-Rao), zatem odleg³oœæ $P_{Obs}$ od $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ nie jest na ogó³ najmniejsza z mo¿liwych [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Geodezyjna ta przecina ${\\cal S}_{w}$ w pewnym punkcie nale¿¹cym do ${\\cal S}$, który jest szukanym [*oszacowaniem*]{} $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ stanu uk³adu. ", "Jak wspomnieliœmy, w statystyce klasycznej istnieje jedno u³atwiaj¹ce estymacjê za³o¿enie. ", "Otó¿ znana jest ogólna postaæ modelu statystycznego ${\\cal S}$, zatem znana jest i metryka Fishera-Rao na ${\\cal S}$.\\\n\\\n[**Uwaga o estymacji w EFI**]{}: W przeciwieñstwie do tego estymacja w metodzie EFI nie mo¿e za³o¿yæ z góry znajomoœci postaci metryki $g$ Fishera-Rao. ", "Metoda EFI musi wyestymowaæ $g$ i [*estymacja ta jest dynamiczna*]{}, poprzez konstrukcjê odpowiednich [*zasad informacyjnych*]{}.\\\n[**Zasada wariacyjna**]{}: Jedna z tych zasad powinna zapewniæ, ¿e po wyestymowaniu metryki Fishera-Rao, znalezione oszacowanie $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ metody EFI bêdzie równie¿ le¿eæ na geodezyjnej ³¹cz¹cej je z $P_{Obs}$. St¹d pojawia siê koniecznoœæ wprowadzenia [*wariacyjnej zasady informacyjnej*]{}.\\\n[**Zasada strukturalna**]{}: Druga tzw. [*", "strukturalna zasada informacyjna*]{} zapewni, ¿e szukane oszacowanie bêdzie le¿eæ w klasie rozwi¹zañ [*analitycznych*]{} w parametrze $\\Xi\\,$, w znaczeniu równowa¿noœci metrycznej otrzymanego modelu z modelem analitycznym.\\\nZatem zasada wariacyjna i strukturalna wyznaczaj¹ samospójnie punkt $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ i tym samym wskazuj¹ podprzestrzeñ statystyczn¹ ${\\cal S}_{w}$ . ", "Jednak koneksja afiniczna, dla której uk³ad wspó³rzêdnych wzd³u¿ krzywej geodezynej ³¹cz¹cej $P_{Obs}$ z $P_{\\hat{\\,\\Xi}}$ jest p³aski, nie jest $\\alpha$-koneksj¹ Amariego.\\\nSformu³owaniem i zastosowaniem zasad informacyjnych w estymacji metod¹ EFI zajmiemy siê w kolejnych rozdzia³ach.", "\n\n### Uwaga o rozwiniêciu rozk³adu w szereg Taylora {#Uwaga o rozwinieciu funkcji w szereg Taylora}\n\nW ca³ej treœci skryptu zak³adamy, ¿e rozk³ad prawdopodobieñstwa $P(\\Xi)$ (lub jego logarytm $\\ln P(\\Xi)$), jest wystarczaj¹co g³adki, tzn. ", "posiada [*rozwiniêcie w szereg Taylora*]{} wystarczaj¹co wysokiego rzêdu, w ka¿dym punkcie (pod)przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Zatem albo jest spe³niony warunek analitycznoœci rozk³adu we wszystkich sk³adowych estymowanego parametru $\\Xi$, albo przynajmniej rozk³ad prawdopodobieñstwa okreœlony w otoczeniu punktu $P \\in {\\cal S}$ posiada d¿et $J_{P}^{r}({\\cal S},\\text{R})$ wystarczaj¹co wysokiego, choæ skoñczonego rzêdu $r$, np. ", "wyrazy do drugiego (lub innego okreœlonego, wy¿szego) rzêdu rozwiniêcia w szeregu Taylora, podczas gdy wy¿sze ni¿ $r$ rzêdy rozwiniêcia znikaj¹ [@Murray_differential; @geometry; @and; @statistics]. ", "Do rozwa¿añ na temat rzêdu d¿etów powrócimy w Rozdziale (\\[equations of motion\\]).\\\n\\\n[**Przestrzeñ wektorowa d¿etów**]{}: Istotn¹ spraw¹ jest fakt, ¿e zbiór wszystkich $r$-d¿etów funkcji w punkcie $P \\in {\\cal S}$ tworzy skoñczenie wymiarow¹ przestrzeñ wektorow¹, natomiast ich suma $J^{r}({\\cal S},\\text{R}) = \\bigcup_{P \\in {\\cal S}} J_{P}^{r}({\\cal S},\\text{R})$ jest [*wi¹zk¹ wektorow¹, czyli wi¹zk¹ w³óknist¹[^31], której w³ókno jest przestrzeni¹ wektorow¹ nad przestrzeni¹ bazow¹ ${\\cal S}$*]{}.\\\nMo¿na pokazaæ, ¿e równie¿ $J_{P}^{\\infty}({\\cal S},\\text{R})$ jest przestrzeni¹ wektorow¹. Zatem d¿ety nale¿¹ce do $J_{P}^{\\infty}({\\cal S},\\text{R})$ mo¿na dodawaæ i mno¿yæ przez liczbê. ", "Tworz¹ one te¿ algebrê co oznacza, ¿e mo¿na je mno¿yæ. ", "Wa¿noœæ przestrzeni $J_{P}^{\\infty}({\\cal S},\\text{R})$ ujawnia siê przy okreœleniu rozwiniêcia funkcji w szereg Taylora.\\\n[**Klasy równowa¿noœci d¿etów**]{}: O funkcjach mówimy, ¿e s¹ w tej samej klasie równowa¿noœci d¿etów, gdy maj¹ takie samo rozwiniêcie Taylora.\\\n\\\n[**Pojêcie odwzorowania Taylora na ${\\cal S}$**]{}: Niech $T_{P}^{*}$ jest przestrzeni¹ wektorow¹ dualn¹ do przestrzeni stycznej $T_{P}$ na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, oraz niech $S^{k}(T^{*}_{P})$ jest przestrzeni¹ wektorow¹ wszystkich [*symetrycznych[^32] wieloliniowych odwzorowañ*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{odwzorowanie S k}\n\\underbrace{T_{P} \\times \\cdots \\times T_{P}}_{k-razy} \\rightarrow \\text{R} \\; .\\end{aligned}$$ [*Rozwiniêcie w szereg Taylora*]{} $T$ pewnej funkcji (np. ", "$P(\\Xi)$ lub $\\ln P(\\Xi)$) na ${\\cal S}$ okreœla wtedy odwzorowanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{odwzorowanie Taylora}\nT: J_{P}^{\\infty}({\\cal S},\\text{R}) \\rightarrow S(T^{*}_{P}) \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; S(T^{*}_{P}) \\equiv \\bigoplus_{k \\geq 0} S^{k}(T^{*}_{P}) \\; ,\\end{aligned}$$ nazywane [*odwzorowaniem Taylora*]{}. ", "Szeregi Taylora spe³niaj¹ istotn¹ rolê w analizie statystycznej [@Murray_differential; @geometry; @and; @statistics], o czym przekonamy siê przy wyprowadzeniu podstawowego narzêdzia estymacji metody EFI, a mianowicie strukturalnej zasady informacyjnej (por. ", "Rozdzia³ \\[structural principle\\]).", "\n\nTwierdzenie Rao-Cramera i DORC {#r-c}\n------------------------------\n\nEstymatory MNW maj¹ asymptotycznie optymalne w³asnoœci, tzn. ", "s¹ nieobci¹¿one, zgodne, efektywne i dostateczne [@Nowak]. ", "Poni¿szy rozdzia³ poœwiêcimy efektywnoœci nieobci¹¿onych estymatorów parametru dla dowolnej wielkoœci próby $N$.\\\n\\\n[**Estymator efektywny**]{}: Wartoœæ dolnego ograniczenia na wariancjê estymatora, czyli wariancjê estymatora efektywnego, podaje poni¿sze twierdzenie Rao-Cramera. ", "Jego sednem jest stwierdzenie, ¿e osi¹gniêcie przez estymator dolnej granicy wariancji podanej w twierdzeniu oznacza, ¿e w klasie estymatorów nieobci¹¿onych, które spe³niaj¹ warunek regularnoœci (tzn. ", "maj¹ funkcjê rozk³adu prawdopodobieñstwa nie posiadaj¹c¹ punktów nieci¹g³oœci zale¿nych od estymowanego parametru $\\Theta$), nie znajdziemy estymatora z mniejsz¹ wariancj¹.\\\n[*Estymator efektywny ma wiêc najmniejsz¹ z mo¿liwych wariancji, jak¹ mo¿emy uzyskaæ w procesie estymacji parametru.* ]{}", "\n\n### Skalarne Twierdzenie Rao-Cramera {#r-c-skalarne}\n\n**Twierdzenie Rao-Cramera (TRC). ", "Przypadek skalarny**: Niech $F(\\widetilde{Y})$ bêdzie nieobci¹¿onym estymatorem funkcji skalarnego parametru $g\\left(\\theta\\right)$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{E funkcji par skalarnego}\nE_{\\theta}F\\left({\\widetilde{Y}}\\right)=g\\left(\\theta\\right)\\end{aligned}$$ oraz niech $I_{F}(\\theta)$ bêdzie informacj¹ Fishera dla parametru $\\theta$ wyznaczon¹ na podstawie próby $\\widetilde{Y}$. Zak³adaj¹c warunki regularnoœci, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{tw R-C dla funkcji par skalarnego}\n{\\sigma^{2}}_{\\theta}F\\left({\\widetilde{Y}}\\right)\\ge\n\\frac{{\\left[{g'\\left(\\theta\\right)}\\right]^{2}}}{I_{F}\\left(\\theta\\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ co jest tez¹ twierdzenia Rao-Cramera. ", "W szczególnym przypadku, gdy $g(\\theta)=\\theta$, wtedy z (\\[tw R-C dla funkcji par skalarnego\\]) otrzymujemy nastêpuj¹c¹ postaæ nierównoœci Rao-Cramera: $$\\begin{aligned}\n\\label{tw R-C dla par skalarnego}\n{\\sigma^{2}}_{\\theta} F\\left({\\widetilde{Y}}\\right) \\ge \\frac{{1}}{I_{F}\\left(\\theta\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Wielkoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{dolne ogr R-C dla funkcji par skalar}\n\\frac{\\left[{g'\\left(\\theta\\right)}\\right]^{2}}{I_{F}\\left(\\theta\\right)} \\;\\;\\; {\\rm lub} \\;\\;\\; \\frac{1}{I_{F}\\left(\\theta\\right)} \\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; g(\\theta) = \\theta \\;\\end{aligned}$$ nazywana jest dolnym ograniczeniem Rao-Cramera (DORC)[^33]. ", "Przypomnijmy, ¿e poniewa¿ statystyka $F(\\widetilde{Y})$ jest estymatorem parametru $\\theta$, wiêc wartoœci jakie przyjmuje nie zale¿¹ od tego parametru.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: W przypadku, gdy rozk³ad zmiennej $Y$ traktowany jako funkcja estymowanego parametru $\\theta$ ma dla pewnych wartoœci tego parametru punkty nieci¹g³oœci, wtedy wariancja estymatora parametru $\\theta$ wystêpuj¹ca po lewej stronie (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]) mo¿e okazaæ siê mniejsza ni¿ wartoœæ po stronie prawej. ", "Sytuacji nieci¹g³oœci rozk³adu w parametrze nie bêdziemy jednak rozwa¿ali. ", "Przeciwnie, [*zak³adamy, ¿e rozk³ad $P(\\Theta)$, i jej logarytm $\\ln P(\\Theta)$, jest wystarczaj¹co g³adki*]{}, tzn. ", "posiada [*rozwiniêcie w szereg Taylora*]{} wystarczaj¹co wysokiego rzêdu, w ka¿dym punkcie (pod)przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, jak o tym wspomnieliœmy w Rozdziale \\[Uwaga o rozwinieciu funkcji w szereg Taylora\\].", "\n\n#### Dowód TRC (wersja dowodu dla przypadku skalarnego)\n\n[*Wspó³czynnik korelacji liniowej Pearsona*]{} dla dwóch zmiennych losowych $S(\\widetilde{Y})$ i $F(\\widetilde{Y})$ zdefiniowany jest nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{wsp kor Piersona dla S F}\n\\rho_{\\theta}\\left({S,F}\\right)=\\frac{{{\\mathop{\\rm cov}}_{\\theta} \\left({S,F}\\right)}}{{\\sqrt{{\\mathop{\\sigma_{\\theta}^{2}}}\\left(S\\right)}\\sqrt{{\\mathop{\\sigma_{\\theta}^{2}}}\\left(F\\right)}}} \\; .\\end{aligned}$$ Z klasycznej analizy statystycznej wiemy, ¿e $\\rho_{\\theta}\\left({S,F}\\right)\\in\\left[{-1,1}\\right]$, st¹d z (\\[wsp kor Piersona dla S F\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{nier dla F S i covSF}\n{\\sigma_{\\theta}^{2}}\\left(F\\right) \\ge \\frac{{\\left|{{\\mathop{\\rm cov}}_{\\theta}\\left({S,F}\\right)}\\right|^{2}}}{{{\\mathop{\\sigma_{\\theta}^{2}}}\\left(S\\right)}} \\; .\\end{aligned}$$ Równoœæ wystêpuje je¿eli wspó³czynnik korelacji liniowej Pearsona jest równy 1, co zachodzi, gdy zmienne $S$ i $F$ s¹ idealnie skorelowane.\\\n\\\nNiech teraz zmienna losowa $S$ bêdzie statystyk¹ wynikow¹ $S(\\theta) \\equiv S(\\widetilde{Y}|\\theta)$.\\\nPoka¿my, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac g'}\ng'(\\theta) = {\\rm cov}_{\\theta} \\left(S(\\theta),F\\right) \\; . ", "\\end{aligned}$$ Istotnie, poniewa¿ $E_{\\theta}\\left(S(\\theta)\\right) = 0$, (\\[znikanie ES\\]), zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{dow covSF = g'theta}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! & & ", "\n{\\rm cov}_{\\theta} \\left(S(\\theta),F(\\widetilde{Y})\\right) = E_{\\theta}\\left(S(\\theta) F(\\widetilde{Y})\\right) = \\int_{\\cal B} dy \\, P(y|\\theta) S(\\theta) F(y) = \\int_{\\cal B} dy P(y|\\theta) \\frac{\\frac{\\partial}{\\partial \\theta} P(y|\\theta)}{P(y|\\theta)} F(y) \\nonumber \\;\\;\\; \\\\ \n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! &", "=& \\int_{\\cal B} dy \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} P(y|\\theta) F(y) \n= \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} \\int_{\\cal B} dy \\, P(y|\\theta) F(y) = \\frac{\\partial}{\\partial \\theta} E_{\\theta}F(\\widetilde{Y}) = g'(\\theta) \\; . ", "\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ Skoro wiêc zgodnie z (\\[var S oraz IF\\]) zachodzi, $\\sigma_{\\theta}^{2}S(\\theta)=I_{F}(\\theta)$, wiêc wstawiaj¹c (\\[dow covSF = g’theta\\]) do (\\[nier dla F S i covSF\\]) otrzymujemy (\\[tw R-C dla funkcji par skalarnego\\]), co koñczy dowód TRC.", "\n\n#### Przyk³ad skalarny DORC dla rozk³adu normalnego {#DORC dla rozkl norm}\n\nInteresuje nas [*przypadek estymacji skalarnego parametru*]{} $\\theta=\\mu$ w próbie prostej $\\widetilde{Y}$, przy czym zak³adamy, ¿e $g(\\mu) = \\mu$. Rozwa¿my œredni¹ arytmetyczn¹ $\\bar{Y}=\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N} Y_{n}$ (z realizacj¹ $\\bar{\\bf y}=\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N} {\\bf y}_{n}$), która, zak³adaj¹c jedynie identyczne rozk³ady zmiennych $Y_{i}$ próby, jest dla dowolnego rozk³adu $p({\\bf y})$ zmiennej $Y$, nieobci¹¿onym estymatorem wartoœci oczekiwanej $\\mu \\equiv E_{\\mu}(Y) = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} p({\\bf y})\\, {\\bf y}$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{E dla sredniej}\nE_{\\mu}\\left(\\bar{Y}\\right) = \\int_{\\cal B} dy \\, \\bar{{\\bf y}} \\, P(y|\\mu) = E_{\\mu}(Y) = \\mu \\; .\\end{aligned}$$ Ponadto dla próby prostej, z bezpoœredniego rachunku otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{war dla sredniej y}\n{\\mathop{\\sigma_{\\mu}^{2}}}\\left({\\bar{Y}}\\right) = \\int_{\\cal B} dy \\,P(y|\\mu)\\, (\\bar{{\\bf y}}-E(\\bar{Y}))^{2} = \\frac{{\\sigma^{2}}}{N} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\sigma^2$ jest wariancj¹ ${\\sigma_{\\mu}^{2}}(Y)$ zmiennej $Y$.\\\n\\\nNiech teraz zmienna pierwotna $Y$ ma rozk³ad normalny $N(\\mu, \\sigma^2)$. Ze zwi¹zków (\\[log wiaryg rozklad norm jeden par\\]) oraz (\\[rown wiaryg skal\\])-(\\[srednia arytmet z MNW\\]) wiemy, ¿e œrednia $\\bar{Y}$ jest estymatorem MNW parametru $\\mu = E(Y)$, zatem przyjmijmy $F\\left(\\widetilde{Y}\\right) = \\hat{\\mu} = \\bar{Y}$. Z (\\[war dla sredniej y\\]) widzimy wiêc, ¿e dla zmiennych o rozk³adzie normalnym zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{war F dla normalnego}\n\\sigma_{\\mu}^{2}\\left(F\\right) = \\sigma_{\\mu}^{2}\\left(\\bar{Y}\\right) = \\frac{\\sigma^{2}}{N} \\,\\; .\\end{aligned}$$\\\nW przypadku [*rozk³adu normalnego*]{} warunek (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]) ³atwo sprawdziæ bezpoœrednim rachunkiem. ", "Istotnie, korzystaj¹c z (\\[f wynikowa\\_1 wym N\\_1 par\\]) oraz (\\[I oczekiwana dla N\\_parametr mu\\]), otrzymujemy (por. (", "\\[I oczekiwana dla N\\_parametr mu\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{sprawdzenie RC dla N}\n{\\mathop{\\sigma_{\\mu}^{2}}}S\\left(\\mu\\right)={\\mathop{\\sigma_{\\mu}^{2}}}\\left({\\frac{N}{{\\sigma^{2}}}\\left({\\bar{Y} - \\mu}\\right)}\\right)=\\left({\\frac{N}{{\\sigma^{2}}}}\\right)^{2}\\frac{{\\sigma^{2}}}{N}=\\frac{N}{{\\sigma^{2}}} = I_{F}(\\mu) \\; .\\end{aligned}$$ Z (\\[war F dla normalnego\\]) oraz (\\[sprawdzenie RC dla N\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{DORC dla rozkl norm wzor}\n{\\sigma_{\\mu}^{2}}({\\hat{\\mu}}) = \\frac{1}{I_F(\\mu)} \\; ,\\end{aligned}$$ co stanowi DORC (\\[dolne ogr R-C dla funkcji par skalar\\]) dla nierównoœci Rao-Cramera (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]). ", "Warunek ten otrzymaliœmy ju¿ poprzednio dla rozk³adu normalnego (por. (", "\\[RC dla 1 N z 1 par oczekiwana IF\\])). ", "Spe³nienie go oznacza, ¿e œrednia arytmetyczna $\\bar{Y}$ jest efektywnym[^34] estymatorem wartoœci oczekiwanej zmiennej losowej opisanej rozk³adem normalnym $N(\\mu, \\sigma^2)$.\\\n\\\n[**Uwaga o rozk³adach eksponentialnych**]{}: Rozk³ad normalny jest szczególnym przypadkiem szerszej klasy rozk³adów, które spe³niaj¹ warunek DORC. ", "Rozk³ady te s¹ tzw. ", "rozk³adami eksponentialnymi (\\[exponential family\\]) wprowadzonymi w Rozdziale \\[alfa koneksja\\]. ", "Powy¿ej, w przypadku rozk³adu normalnego, sprawdziliœmy ten fakt bezpoœrednim rachunkiem zak³adaj¹c wpierw typ rozk³adu zmiennej $Y$, a potem sprawdzaj¹c, ¿e estymator $\\hat{\\mu}$ parametru $\\mu = E_{\\mu}(Y)$ osi¹ga DORC.\\\n\n### Wieloparametrowe Twierdzenie Rao-Cramera {#r-c-wieloparametrowe}\n\nGdy dokonujemy równoczesnej estymacji $d>1$ parametrów, wtedy funkcja wynikowa $S(\\Theta)$ jest $d$-wymiarowym wektorem kolumnowym (\\[funkcja wynikowa\\]), natomiast obserwowana IF w punkcie ${\\hat{\\Theta}}$, czyli $\\texttt{i\\!F}({\\hat{\\Theta}})$, oraz wartoœæ oczekiwana z $\\texttt{i\\!F}(\\Theta)$, czyli $I_{F}$ (por.(\\[infoczekiwana\\])), s¹ $d\\times d$ wymiarowymi macierzami.\\\n\\\n[**Analogia inflacji wariancji**]{}: Poni¿ej poka¿emy, ¿e w³¹czenie do analizy dodatkowych parametrów ma (na ogó³) wp³yw na wartoœæ IF dla interesuj¹cego nas, wyró¿nionego parametru. ", "Sytuacja ta jest analogiczna do problemu inflacji wariancji estymatora parametru w analizie czêstotliwoœciowej [@Kleinbaum]. ", "Poni¿ej przedstawiona zostanie odnosz¹ca siê do tego problemu wieloparametrowa wersja twierdzenia o dolnym ograniczeniu w nierównoœci Rao-Cramera (DORC).\\\n\\\n[**Uwaga o wersjach TRC**]{}: Poni¿ej podamy dwie równowa¿ne wersje [@Amari; @Nagaoka; @book] wieloparametrowego Twierdzenia Rao-Cramera (TRC). ", "Pierwsza z nich oka¿e siê byæ bardzo u¿yteczna przy wprowadzeniu w Rozdziale \\[Pojecie kanalu informacyjnego\\] relacji pomiêdzy tzw. ", "informacj¹ Stam’a a pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu. ", "W Rozdziale \\[Estymacja w modelach fizycznych na DORC\\] przekonamy siê, ¿e wersja druga TRC jest u¿yteczna w sprawdzeniu czy wieloparametrowa estymacja przebiega na DORC.", "\n\n#### Pierwsza wersja wieloparametrowego TRC {#Pierwsza wersja wieloparametrowego TRC}\n\n**Wieloparametrowe Twierdzenie RC (wersja pierwsza)**: Niech $F(\\widetilde{Y})$ bêdzie funkcj¹ [*skalarn¹*]{} z wartoœci¹ oczekiwan¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{ET dla DORC wielopar}\nE_{\\Theta}F\\left({\\widetilde{Y}}\\right)=g\\left(\\Theta \\right) \\in \\mathbf{R} \\; \\end{aligned}$$ oraz $I_{F}(\\Theta)$ niech bêdzie oczekiwan¹ informacj¹ Fishera (\\[infoczekiwana\\]) dla $\\Theta \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ wyznaczon¹ na przestrzeni próby ${\\cal B}$. Zachodzi wtedy nierównoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rc wielop}\n{\\sigma^{2}}_{\\!\\Theta} \\left(F(\\widetilde{Y}) \\right) \\ge {\\bf a}^{T} I_{F}^{-1} \\left(\\Theta \\right) {\\bf a} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F}^{-1}$ jest macierz¹ odwrotn¹ do macierzy informacyjnej Fishera $I_{F}$, natomiast $$\\begin{aligned}\n\\label{alfa} \n{\\bf a} = \\frac{\\partial g\\left(\\Theta \\right)}{\\partial \\Theta} \\,\n\\; \\end{aligned}$$ jest $d$-wymiarowym wektorem.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Warunek (\\[ET dla DORC wielopar\\]) oznacza, ¿e skalarna funkcja $F({\\widetilde{Y}})$ jest nieobci¹¿onym estymatorem skalarnej funkcji $g\\left(\\Theta \\right)$ wektorowego parametru $\\Theta$.\n\n#### Przyk³ad wektorowego DORC {#Przyklad wektorowego DORC}\n\nJako ilustracjê powy¿szego wieloparametrowego Twierdzenia RC przedstawimy przyk³ad, przyjmuj¹c szczególn¹ postaæ skalarnej funkcji $g(\\Theta)$, o której zak³adamy, ¿e jest liniow¹ funkcj¹ sk³adowych $\\theta_{i}$ wektora parametrów [@Pawitan]: $$\\begin{aligned}\n\\label{uwad}\ng\\left(\\Theta \\right) = {\\bf a}^{T} \\Theta = \\sum_{i=1}^{d} a_{i} \\, \\theta_{i} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\bf a}$ jest pewnym znanym wektorem o sta³ych sk³adowych $a_{i}$, które nie zale¿¹ od sk³adowych wektora $\\Theta$. Za³ó¿my chwilowo, ¿e ${\\bf a}^{T}=\\left({1,0,\\ldots,0}\\right)$, tzn. ", "jedynie $a_{1} \\neq 0$. Wtedy z (\\[uwad\\]) otrzymujemy $g\\left(\\Theta \\right)=\\theta_{1}$, natomiast (\\[rc wielop\\]) w Twierdzeniu RC, ${\\sigma^{2}}_{\\! ", "\\Theta} \\left(F \\right) \\ge {\\bf a}^{T} I_{F}^{-1} \\left(\\Theta \\right) {\\bf a}$, przyjmuje dla rozwa¿anego nieobci¹¿onego estymatora $F$ parametru $\\theta_{1}$, tzn. ", "$E_{\\Theta}(F({\\widetilde{Y}})) = \\theta_{1}$, postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{RG dla a1}\n{\\sigma_{\\Theta}^{2}}\\left(F\\right) \\ge \\left[{ I_{F}^{-1}\\left( \\Theta \\right)}\\right]_{11} =: I_{F}^{11}\\left(\\Theta \\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F}^{11}{(\\Theta)}$ oznacza element (1,1) macierzy $I_{F}^{-1}\\left(\\Theta\\right)$. Prawa strona nierównoœci (\\[RG dla a1\\]) podaje dolne ograniczenie wariancji estymatora $F$, pod warunkiem, ¿e $\\theta_{1}$ jest wyró¿nionym parametrem a wartoœci pozosta³ych parametrów [*nie s¹ znane*]{}. ", "Oznaczmy wewnêtrzn¹ strukturê $d \\times d\\,$-wymiarowych macierzy $ I_{F}(\\Theta)$ oraz $I_{F}(\\Theta)^{-1}$ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\nI_{F} \\left(\\Theta \\right) = \\left({\\begin{array}{cc}\n{I_{F 11}} & {I_{F 12}}\\\\\n{I_{F 21}} & {I_{F 22}}\\end{array}}\\right)\\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\nI_{F}^{-1}\\left(\\Theta \\right)=\\left({\\begin{array}{cc}\n{I_{F}^{11}} & {I_{F}^{12}}\\\\\n{I_{F}^{21}} & {I_{F}^{22}}\\end{array}}\\right)\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F 11}$ oraz $I_{F}^{11} = \\left[{ I_{F}^{-1}\\left( \\Theta \\right)}\\right]_{11}$ (zgodnie z oznaczeniem wprowadzonym w (\\[RG dla a1\\])) s¹ liczbami, $I_{F 22}$, $I_{F}^{22}$ s¹ $(d-1) \\times (d-1)$-wymiarowymi macierzami, natomiast $(I_{F 12})_{1 \\times (d-1)}$, $(I_{F 21})_{(d-1) \\times 1}$, $(I_{F}^{12})_{1 \\times (d-1)}$, $(I_{F}^{21})_{(d-1) \\times 1}$ odpowiednimi wierszowymi b¹dŸ kolumnowymi wektorami o wymiarze $(d-1)$.\\\n\\\n[**Rozwa¿my parametr $\\theta_{1}$**]{}. ", "Jego informacja Fishera (patrz poni¿ej [**Uwaga o nazwie**]{}) jest równa $I_{F 11}=I_{F 11}\\left(\\theta_{1} \\right)$. [*Nie oznacza to jednak*]{}, ¿e $\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F\\right)$ oraz $I_{F 11}$ s¹ z sob¹ automatycznie powi¹zane nierównoœci¹ $\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F\\right) \\ge 1/I_{F 11}$, która jest treœci¹ Twierdzenia RC (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]). ", "Udowodniliœmy j¹ bowiem tylko dla przypadku parametru skalarnego, tzn. ", "gdy tylko jeden parametr jest estymowany, a reszta parametrów jest znana.\\\nOkreœlmy relacjê pomiêdzy $(I_{F 11})^{-1}$ oraz $I_{F}^{11}$. Oczywiœcie zachodzi: $$\\begin{aligned}\nI_{F}\\left( \\Theta \\right) \\cdot I_{F}^{-1} \\left( \\Theta \\right) = \\left({\\begin{array}{cc}\n{I_{F 11}} & {I_{F 12}}\\\\\n{I_{F 21}} & {I_{F 22}}\\end{array}}\\right)\\left({\\begin{array}{cc}\n{I_{F}^{11}} & {I_{F}^{12}}\\\\\n{I_{F}^{21}} & {I_{F}^{22}}\\end{array}}\\right)=\\left({\\begin{array}{cc}\n1 & 0 \\\\\n0 & \\textbf{1} \\end{array}}\\right) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\textbf{1}$ jest $(d-1) \\times (d-1)$-wymiarow¹ macierz¹ jednostkow¹.\\\nZ powy¿szego mamy: $$\\begin{aligned}\n&(I_{F 11})_{1\\times 1}& \\!\\!\\!\\! (", "I_{F}^{11})_{1\\times 1} + (I_{F 12})_{1\\times (d-1)} (I_{F}^{21})_{(d-1) \\times 1} = 1 \\nonumber \\\\ &\\Rightarrow& \\;\\;\\;\\; \\left( {I_{F}^{11}}\\right)^{-1} = I_{F 11} + I_{F 12} I_{F}^{21} \\left({I_{F}^{11}} \\right)^{-1} \\; ,\\end{aligned}$$ $$\\begin{aligned}\n&(I_{F 21})_{(d-1) \\times 1}& \\!\\!\\!\\! (", "I_{F}^{11})_{1\\times 1} + (I_{F 22})_{(d-1)\\times(d-1)} \\; (I_{F}^{21})_{(d-1) \\times 1} = (0)_{(d-1)\\times 1} \\nonumber \\\\\n&\\Rightarrow& \\;\\;\\;\\; I_{F}^{21} = -\\left({I_{F 22}}\\right)^{-1} I_{F 21} I_{F}^{11}\\end{aligned}$$ sk¹d otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie macierzowa dla I}\n\\left({I_{F}^{11}}\\right)^{-1} = \nI_{F 11}-I_{F 12}\\left({I_{F 22}}\\right)^{-1}I_{F 21} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ $I_{F 22}$ jest macierz¹ informacyjn¹ (dla parametrów $\\theta_{2},\\theta_{3},...,\\theta_{d}$), jest wiêc ona zgodnie z rozwa¿aniami przedstawionymi poni¿ej (\\[iF polokreslona\\]), symetryczna i nieujemnie okreœlona. ", "Symetryczna i nieujemnie okreœlona jest zatem $(I_{F 22})^{-1}$. Poniewa¿ z symetrii macierzy $I_{F}$ wynika $I_{F 12}=(I_{F 21})^{T}$, zatem ostatecznie forma kwadratowa $I_{F 12} \\left({I_{F 22}} \\right)^{-1} I_{F 21} \\geq 0$, st¹d z (\\[rownanie macierzowa dla I\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{porownanie I11 z I11do-1}\n(I^{F 11})^{-1} \\le I_{F 11} \\;\\; \\Rightarrow \\;\\; I^{F 11} \\geq \\frac{1}{I_{F 11}} \\; ,\\end{aligned}$$ co zgodnie z (\\[RG dla a1\\]) oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{porownanie sigma I11 z I11do-1}\n\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F\\right) \\geq I_{F}^{11} \\geq \\frac{1}{ I_{F 11}} \\; .\\end{aligned}$$ [**Wniosek**]{}: Zatem widzimy, ¿e $I_{F}^{11}$ daje [*silniejsze ograniczenie*]{} ni¿ $(I_{F 11})^{-1}$. Tzn. ", "w przypadku estymacji wieloparametrowej nale¿y zastosowaæ zwi¹zek $\\sigma^{2}\\left(F\\right) \\geq I_{F}^{11}$, (\\[RG dla a1\\]), gdy¿ to w³aœnie on jest w³aœciwy na podstawie wieloparametrowego Twierdzenia RC. ", "Zastosowanie $\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F\\right) \\geq 1/I_{F 11}$, tak jak byœmy mieli do czynienia z przypadkiem skalarnym, mo¿e b³êdnie zani¿yæ wartoœæ dolnego ograniczenia na $\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F\\right)$.\\\n\\\n[**Uwaga o nazwie $I_{F 11}$**]{}: W “statycznie” ukierunkowanej analizie statystycznej wielkoœæ $(I_{F}^{11})^{-1}$ jest interpretowana jako informacja Fishera dla $\\theta_{1}$ – [**jednak w treœci skryptu odst¹pimy od tej nazwy**]{}. ", "Okazuje siê, ¿e w analizie ukierunkowanej na estymacjê “dynamiczn¹”, tzn. ", "generuj¹c¹ równania ró¿niczkowe dla rozk³adów, bardziej u¿yteczne jest nazwaæ $I_{F}^{11}$ po prostu [*dolnym ograniczeniem RC na wariancjê estymatora parametru*]{} $\\theta_{1}$ w sytuacji gdy pozosta³e parametry s¹ nieznane (tzn. ", "trzeba je estymowaæ z próby równoczeœnie z $\\theta_{1}$). [*", "Natomiast $I_{F 11}$ bêdziemy nazywali, zgodnie z tym jak to uczyniliœmy, informacj¹ Fishera parametru $\\theta_{1}$*]{} i to niezale¿nie od tego czy inne parametry s¹ równoczeœnie estymowane, czy te¿ nie.\\\n\\\n[**Podsumowanie na temat zani¿enia DORC**]{}: Nale¿y pamiêtaæ, ¿e estymuj¹c parametr $\\theta_{1}$ nale¿y byæ œwiadomym faktu wystêpowania równoczesnej estymacji innych parametrów, gdy¿ wstawienie wartoœci $I_{F 11}$ do nierównoœci RC mo¿e w przypadku estymacji wieloparametrowej doprowadziæ do zani¿enia wartoœci dolnego ograniczenia wariancji tego parametru.\\\n\\\n[**Przypadek “pseudo-skalarny”**]{}: Istnieje jednak pewien wyj¹tek spowodowany dok³adnym zerowaniem siê $I_{F 12}$ dla dowolnego $N$. Wtedy z (\\[rownanie macierzowa dla I\\]) wynika, ¿e wzrost wariancji estymatora parametru zwi¹zany z dodaniem nowych parametrów o nieznanych wartoœciach by³by równy zeru. ", "Tak te¿ by³o w rozwa¿anym wczeœniej przyk³adzie rozk³adu normalnego $N\\left({\\mu,\\sigma}\\right)$ (porównaj (\\[oczekiw iF r normalnego 2 par\\]) z (\\[I oczekiwana dla N\\_parametr mu\\])).\\\nPodobnie, taki szczególny przypadek zachodzi, gdy wieloparametrowym rozk³adem prawdopodobieñstwa jest wiarygodnoœæ $N$-wymiarowej próby $P(\\theta_1,\\theta_2,,...,\\theta_{N}) = \\prod_{n=1}^{N} p_{\\theta_{n}}$, gdzie ka¿dy estymowany parametr $\\theta_n$ okreœla tylko jeden punktowy rozk³ad $p_{\\theta_{n}}$. Wtedy macierz informacyjna Fishera $I_{F}$ jest diagonalna i zachodzi $I_{F nn}=(I_{F}^{nn})^{-1}$, a w miejsce (\\[porownanie sigma I11 z I11do-1\\]) otrzymujemy dla ka¿dego parametru $\\theta_{n}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{I11 rowna sie I11do-1 przypadek diagonalny}\n\\sigma_{\\Theta}^{2}\\left(F_{n}\\right) \\geq I_{F}^{nn} = \\frac{1}{ I_{F nn}} \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\;, \\;\\;\\;\\; {\\rm gdy} \\;\\;\\; I_{F} \\; \\; {\\rm diagonalne} \\; ,\\end{aligned}$$ jako szczególny przypadek nierównoœci RC, gdzie $F_{n}$ jest estymatorem $\\hat{\\theta}_{n}$ parametru $\\theta_{n}$.\n\n#### Druga wersja wieloparametrowego TRC {#Druga wersja wieloparametrowego TRC}\n\nNiech $\\hat{\\Theta} \\equiv \\hat{\\Theta}(\\widetilde{Y}) = (\\hat{\\theta}_{i}(\\widetilde{Y}))_{i=1}^{d}$ jest nieobci¹¿onym estymatorem parametru $\\Theta~=~(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, co oznacza, ¿e zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{wektorowy nieobciazany estymator}\n\\Theta = E_{\\Theta}\\left[ \\hat{\\Theta}(\\widetilde{Y}) \\right] \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall \\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ [**(Oczekiwan¹) macierz¹ kowariancji**]{}[^35] $V_{\\Theta}[ \\hat{\\Theta} ]$ nieobci¹¿onego estymatora $\\hat{\\Theta}$ w bazie $\\Theta$ nazywamy $d \\times d$ - wymiarow¹ macierz o elementach: $$\\begin{aligned}\n\\label{oczekiwana macierz kowariancji}\nV_{\\Theta \\, ij} [ \\hat{\\Theta} ] := E_{\\Theta}\\left[ (\\hat{\\theta}_{i}(\\widetilde{Y}) - \\theta_{i})\\; (\\hat{\\theta}_{j}(\\widetilde{Y}) - \\theta_{j}) \\right] \\; , \\;\\;\\;\\;\\; i,j = 1,2,...,d, \\;\\;\\;\\;\\; \\forall \\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Zachodzi nastêpuj¹ce twierdzenie.\\\n\\\n[**Wieloparametrowe Twierdzenie RC (wersja druga)**]{}: Macierz kowariancji $V_{\\Theta}[ \\hat{\\Theta} ]$ nieobci¹¿onego estymatora $\\hat{\\Theta}$ spe³nia nierównoœæ [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n\\label{twierdzenie RC wersja 2}\nV_{\\Theta}[ \\hat{\\Theta} ] \\geq I_{F}^{-1}(\\Theta) \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall \\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e macierz $V_{\\Theta}[ \\hat{\\Theta} ] - I_{F}^{-1}(\\Theta)$ jest dodatnio pó³okreœlona.\\\n\\\n[**Estymator efektywny**]{}: Nieobci¹¿ony estymator $\\hat{\\Theta}$ spe³niaj¹cy równoœæ w nierównoœci (\\[twierdzenie RC wersja 2\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{DORC wersja 2 TRC}\nV_{\\Theta}[ \\hat{\\Theta} ] = I_{F}^{-1}(\\Theta) \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall \\, P_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ nazywamy estymatorem [*efektywnym*]{} parametru $\\Theta$.\n\nEntropia informacyjna Shannona i entropia wzglêdna {#shan}\n--------------------------------------------------\n\nW rozdziale tym omówimy pojêcie, które podaje [*globaln¹ charakterystykê*]{} pojedynczego rozk³adu prawdopodobieñstwa, tzn. ", "entropiê Shannona. ", "Dok³adniejsze omówienie w³asnoœci entropii Shannona mo¿na znaleŸæ w [@Bengtsson_Zyczkowski]. ", "Z treœci poni¿szych przyk³adów wynika jaki jest rozmiar próby $N$.\\\n\\\n[**Entropia Shannona**]{}: Niech $P(\\omega)$ bêdzie rozk³adem prawdopodobieñstwa[^36] okreœlonym na przestrzeni zdarzeñ $\\Omega$, gdzie $\\omega$ jest puntem w $\\Omega$. Jeœli przestrzeñ zdarzeñ $\\Omega$ jest dyskretna, to [*informacyjna entropia Shannona*]{} jest zdefiniowana nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{shannon dla omega}\nS_{H}\\left(P\\right) = - k \\sum\\limits_{\\omega \\in \\,\\Omega} {P (\\omega) \\ln P (\\omega)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $k$ jest liczb¹ dodatni¹[^37], któr¹ przyjmiemy dalej jako równ¹ 1.\\\n\\\n[**Rozk³ad prawdopodobieñstwa jako element sympleksu rozk³adów**]{}: Niech $\\Omega$ jest rozpiêta przez skoñczon¹ liczbê $\\aleph$ elementów bêd¹cych mo¿liwymi wynikami doœwiadczenia, w rezultacie którego otrzymujemy wartoœci ${\\bf y}_{i}$, $i=1,2,...,\\aleph$, zmiennej losowej $Y$. Rozk³ad prawdopodobieñstwa $P$ jest wtedy reprezentowany przez wektor $\\vec{p} = (p_{i})_{i=1}^{\\aleph}\\,$, nale¿¹cy do [*sympleksu rozk³adów prawdopodobieñstwa*]{} [@Bengtsson_Zyczkowski], [*tzn. ", "jego $\\aleph$ sk³adowych spe³nia warunki*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad prawdopod}\np_{i} \\ge 0 \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; \\sum \\limits_{i=1}^{\\aleph} p_{i} = 1 \\; .\\end{aligned}$$ [*m-Sympleks rozk³adów prawdopodobieñstwa, czyli zbiór*]{} $\\Delta^{m}=\\{\\left(p_{1},p_{2},...,p_{m},p_{m+1} \\right)$ $\\in \\mathbf{R}^{m+1} ;$ $p_{j} \\ge 0, \\; j=1,...,m+1$ gdzie $m+1 \\leq \\aleph$, dla $\\sum_{j=1}^{m+1}{p_{j}} \\le 1 \\}$ [*jest zbiorem wypuk³ym*]{}, tzn. ", "ka¿dy punkt $\\vec{p}_{m} \\in \\Delta^{m}$ mo¿na przedstawiæ jako $\\vec{p}_{m} = \\sum_{i=1}^{m+1} \\lambda_{i} p_{i}$, gdzie $\\sum_{i=1}^{m+1} \\lambda_{i} = 1 \\,$.\\\n\\\nEntropia Shannona (\\[shannon dla omega\\]) rozk³adu (\\[rozklad prawdopod\\]) ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{shannon}\nS_{H}\\left(P\\right) = - \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph}{p_{i}\\ln p_{i}} \\; .\\end{aligned}$$ Zapis $S_{H}(P)$, gdzie w argumencie pominiêto oznaczenie zmiennej losowej $Y$ podkreœla, ¿e [*jedyn¹ rozwa¿an¹ przez nas cech¹ zmiennej losowej jest jej rozk³ad prawdopodobieñstwa*]{} $P$.\n\n### Interpretacja entropii Shannona\n\nMaksymalna mo¿liwa wartoœæ entropii Shannona[^38] wynosi $\\ln \\aleph$ i jest osi¹gniêta, gdy wszystkie wyniki s¹ równo prawdopodobne ($p_{i}=1/\\aleph$), tzn. ", "gdy stan uk³adu jest maksymalnie zmieszany.\\\n\\\n[**Uk³ad w stanie czystym**]{}: Gdy jeden z wyników jest pewny, wtedy tylko jedna, odpowiadaj¹ca mu wspó³rzêdna wektora $\\vec{p}$ jest równa jeden, a pozosta³e s¹ równe 0. ", "Mówimy wtedy, ¿e uk³ad znajduje siê w stanie czystym, a odpowiadaj¹ca mu wartoœæ entropii Shannona jest minimalna i równa zero.\\\n\\\n[**Entropia jako miara niepewnoœci wyniku eksperymentu**]{}: Z powy¿szych przyk³adów mo¿na wnioskowaæ, ¿e entropiê Shannona mo¿na interpretowaæ jako [*miarê niepewnoœci otrzymania wyniku eksperymentu*]{} bêd¹cego realizacj¹ rozk³adu prawdopodobieñstwa $P$ lub inaczej, jako wielkoœæ informacji koniecznej [*do okreœlenia*]{} wyniku, który mo¿e siê pojawiæ w rezultacie przeprowadzenia eksperymentu na uk³adzie.\\\nPodstawowe w³asnoœci entropii Shanonna mo¿na znaleŸæ w [@Bengtsson_Zyczkowski].\\\n\n### Przypadek ci¹g³ego rozk³adu prawdopodobieñstwa {#Przypadek ci¹glego rozkladu prawdopodobienstwa}\n\nPrzejœcie z dyskretnego do ci¹g³ego rozk³adu prawdopodobieñstwa polega na zast¹pieniu sumowania w (\\[shannon\\]) ca³kowaniem po ca³ym zakresie zmiennoœci zmiennej losowej $Y$. W ten sposób otrzymujemy Boltzmanowsk¹ postaæ entropii Shannona: $$\\begin{aligned}\n\\label{eboltmana}\nS_{H}(P) = - \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty}{d{\\bf y}\\, P\\left({\\bf y}\\right) \\ln P\\left({\\bf y}\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Jednak¿e dla pewnych funkcji rozk³adu $P({\\bf y})$, ca³ka (\\[eboltmana\\]) mo¿e nie byæ okreœlona.\\\n\\\n[**Czysty stan klasyczny**]{}: Jako ilustracjê powy¿szego stwierdzenia rozwa¿my sytuacjê [@Bengtsson_Zyczkowski], gdy rozk³ad $P({\\bf y})$ przyjmuje w przedziale $[0,t]$ wartoœæ $t^{-1}$ i zero wszêdzie poza tym przedzia³em. ", "Wtedy jego entropia $S_{H}(P)$ jest równa $\\ln t$ i dla $t \\rightarrow 0$ d¹¿y do [*minus nieskoñczonoœci*]{}. ", "Procedura ta odpowiada przejœciu do punktowego, [*czystego stanu klasycznego*]{} opisanego dystrybucj¹ delta Diraca, dla której $S_{H}(P) = - \\infty$.\\\nZatem przyjmuj¹c poziom zerowy entropii jako punkt odniesienia, dok³adne okreœlenie stanu opisanego delt¹ Diraca (której fizycznie móg³by odpowiadaæ nieskoñczony skok w gêstoœci rozk³adu substancji cz¹stki) wymaga dostarczenia nieskoñczonej iloœci informacji o uk³adzie. ", "Do sprawy powrócimy w jednym z kolejnych rozdzia³ów.\\\n\\\n[**Problem transformacyjny $S_{H}(P)$**]{}: Definicja (\\[eboltmana\\]) ma pewien formalny minus, zwi¹zany z brakiem porz¹dnych w³asnoœci transformacyjnych entropii Shannona. ", "Omówimy go poni¿ej.\\\n\\\nZe wzglêdu na unormowanie prawdopodobieñstwa do jednoœci, gêstoœæ rozk³adu prawdopodobieñstwa przekszta³ca siê przy transformacji uk³adu wspó³rzêdnych tak jak odwrotnoœæ objêtoœci.\\\n\\\n\\\n[**Przyk³ad zmiennej jednowymiarowej**]{}: Z unormowania $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} d{\\bf y}\\, P\\left( {\\bf y} \\right) = 1$ wynika, ¿e $P({\\bf y})$ musi transformowaæ siê tak, jak $1/{\\bf y}$.\\\nRozwa¿my transformacjê uk³adu wspó³rzêdnych ${\\bf y} \\rightarrow {\\bf y}'$. Ró¿niczka zmiennej $Y$ transformuje siê wtedy zgodnie z $\\,d{\\bf y}' = J(\\frac{{\\bf y}}{{\\bf y}'}) d{\\bf y}$, gdzie $J$ jest jacobianem transformacji, natomiast rozk³ad prawdopodobieñstwa transformuje siê nastêpuj¹co: $\\,P'({\\bf y}') = \\,$ $J^{-1}(\\frac{{\\bf y}}{{\\bf y}'})P({\\bf y})$. Zatem tak jak to powinno byæ, unormowanie rozk³adu w transformacji pozostaje niezmiennicze, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{niezmienniczosc unormowania}\n\\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} d{\\bf y}\\, P\\left({\\bf y}\\right) = \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} d{\\bf y}'\\, P'\\left({\\bf y}'\\right) = 1 \\; . ", "\\end{aligned}$$ Rozwa¿my teraz entropiê Shannona uk³adu okreœlon¹ dla rozk³adu ci¹g³ego jak w (\\[eboltmana\\]), $S_{H}(P)$ $=-\\int{d{\\bf y}\\, P\\left({\\bf y}\\right) \\ln P\\left({\\bf y}\\right)}$. Jak to zauwa¿yliœmy powy¿ej, entropia uk³adu jest miar¹ nieuporz¹dkowania w uk³adzie, b¹dŸ informacji potrzebnej do okreœlenia wyniku eksperymentu. ", "Zatem równie¿ i ona powinna byæ niezmiennicza przy rozwa¿anej transformacji. ", "Niestety, chocia¿ miara probabilistyczna pozostaje niezmiennicza, to poniewa¿ $\\ln P\\left({\\bf y}\\right) \\neq \\ln P'\\left({\\bf y}'\\right)$ zatem $S_{H}(P) \\neq S_{H}(P')$.\\\n\\\nTak wiêc [*logarytm z gêstoœci rozk³adu prawdopodobieñstwa nie jest niezmienniczy przy transformacji uk³adu wspó³rzêdnych*]{} i w konsekwencji otrzymujemy nastêpuj¹cy wniosek, s³uszny równie¿ w przypadku rozk³adu prawdopodobieñstwa wielowymiarowej zmiennej losowej $Y$.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Entropia Shannona (\\[eboltmana\\]) nie jest niezmiennicza przy transformacji uk³adu wspó³rzêdnych przestrzeni bazowej ${\\cal B}$.\\\n\\\nZ drugiej strony, ze wzglêdu na wyj¹tkowe poœród innych entropii w³asnoœci entropii Shannona dla rozk³adu dyskretnego [@Bengtsson_Zyczkowski], zrezygnowanie z jej ci¹g³ej granicy (\\[eboltmana\\]) mog³oby siê okazaæ decyzj¹ chybion¹. Równie¿ jej zwi¹zek z informacj¹ Fishera omówiony dalej, przekonuje o istotnoœci pojêcia entropii Shannona w jej formie ci¹g³ej.\\\n[**Entropia wzglêdna jako rozwi¹zanie problemu transformacji**]{}: Proste rozwi¹zanie zaistnia³ego problemu polega na zaobserwowaniu, ¿e poniewa¿ iloraz dwóch gêstoœci $P({\\bf y})$ oraz $P_{ref}({\\bf y})$ transformuje siê jak skalar, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{iloraz rozkladow w transformacji}\n\\frac{P'({\\bf y}')}{P_{ref}'({\\bf y}')} = \\frac{J^{-1}(\\frac{{\\bf y}}{{\\bf y}'}) P({\\bf y})}{J^{-1}(\\frac{{\\bf y}}{{\\bf y}'}) P_{ref}({\\bf y})} = \\frac{P({\\bf y})}{P_{ref}({\\bf y})} \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $P_{ref}({\\bf y})$ wystêpuje jako pewien rozk³ad referencyjny, zatem wielkoœæ nazywana [*entropi¹ wzglêdn¹*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{entropia wzgledna roz ciagle}\nS_{H}(P|P_{ref}) \\equiv \\int\\limits _{-\\infty}^{+\\infty}{d{\\bf y}\\, P\\left({\\bf y}\\right) \\ln \\frac{{P\\left({\\bf y}\\right)}}{{P_{ref}\\left({\\bf y}\\right)}}} \\; ,\\end{aligned}$$ [*posiada ju¿ w³asnoœæ niezmienniczoœci*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{entropia wzgledna roz ciagle niezm}\nS_{H}(P'|P'_{ref}) = S_{H}(P|P_{ref}) \\; \\end{aligned}$$ [*przy transformacji uk³adu wspó³rzêdnych*]{}.\\\n\\\n\\\n[**Entropia wzglêdna jako wartoœæ oczekiwana**]{}: Zwrócmy uwagê, ¿e entropia wzglêdna jest wartoœci¹ oczekiwan¹ logarytmu dwóch rozk³adów, $P({\\bf y})$ oraz $P_{ref}({\\bf y})$, zmiennej $Y$: $$\\begin{aligned}\n\\label{entropia wzgledna jako wartosc oczekiwana ilorazu}\nS_{H}(P|P_{ref}) = E_{P}\\left( \\ln \\frac{{P\\left(Y\\right)}}{{P_{ref}\\left(Y\\right)}} \\right)\\; ,\\end{aligned}$$ wyznaczon¹ przy za³o¿eniu, ¿e zmienna losowa $Y$ ma rozk³ad $P$.\\\n\\\n[**Entropia wzglêdna a analiza doboru modelu**]{}: W ten sposób problem logarytmu ilorazu funkcji wiarygodnoœci (czy w szczególnoœci dewiancji) wykorzystywanego w analizie braku dopasowania modelu (por. ", "Rozdzia³y \\[Wnioskowanie w MNW\\]-\\[regresja klasyczna\\]), powróci³ w postaci koniecznoœci wprowadzenia entropii wzglêdnej. ", "Istotnie, wiemy, ¿e pojêcie logarytmu ilorazu rozk³adów okaza³o siê ju¿ u¿yteczne w porównywaniu modeli statystycznych i wyborze modelu bardziej “wiarygodnego”. ", "Wybór modelu powinien byæ niezmienniczy ze wzglêdu na transformacjê uk³adu wspó³rzêdnych przestrzeni bazowej ${\\cal B}$. Logarytm ilorazu rozk³adów posiada ¿¹dan¹ w³asnoœæ. ", "Jego wartoœci¹ oczekiwan¹, która jest entropi¹ wzglêdn¹, zajmiemy siê w Rozdziale (\\[wzg\\]). ", "Przez wzgl¹d na zwi¹zek IF z entropi¹ wzglêdn¹ dla rozk³adów ró¿ni¹cych siê infinitezymalnie ma³o, jej pojêcie bêdzie nam towarzyszy³o do koñca skryptu.\\\n\\\n[**Nazwy entropii wzglêdnej**]{}: Entropiê wzglêdn¹ (\\[entropia wzgledna roz ciagle\\]) nazywana siê równie¿ entropi¹ Kullbacka-Leiblera (KL) lub dywergencj¹ informacji.", "\n\n### Entropia wzglêdna jako miara odleg³oœci {#wzg}\n\nRozwa¿my eksperyment, którego wyniki s¹ generowane z pewnego okreœlonego, chocia¿ nieznanego rozk³adu prawdopodobieñstwa $P_{ref}$ nale¿¹cego do obszaru ${\\cal O}$. Obszar ${\\cal O}$ jest nie posiadaj¹cym izolowanych punktów zbiorem rozk³adów prawdopodobieñstwa, który jest przestrzeni¹ metryczn¹ zupe³n¹. Oznacza to, ¿e na ${\\cal O}$ mo¿na okreœliæ odleg³oœæ oraz ka¿dy ci¹g Cauchy’ego ma granicê nale¿¹c¹ do ${\\cal O}$.\\\n\\\n[**Twierdzenie Sanova**]{} [@Sanov]: Jeœli mamy $N$ - wymiarow¹ próbkê niezale¿nych pomiarów pochodz¹cych z rozk³adu prawdopodobieñstwa $P_{ref}$ pewnej zmiennej losowej, to prawdopodobieñstwo $Pr$, ¿e empiryczny rozk³ad (czêstoœci) $\\hat{{\\cal P}}$ wpadnie w obszar ${\\cal O}$, spe³nia asymptotycznie zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{Sanov dokladnie}\n\\lim_{N \\rightarrow \\infty } \\frac{1}{N} \\ln Pr \\left\\{ \\hat{{\\cal P}} \\in {\\cal O} \\right\\} = - \\beta \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\beta = \\inf_{P_{\\cal O} \\in \\, {\\cal O}} S_{H} \\left( P_{\\cal O}|P_{ref} \\right) \\; , \\end{aligned}$$ który w przybli¿eniu mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Sanov}\nPr(\\hat{{\\cal P}} \\in {\\cal O}) \\sim e^{- N S_{H} \\left( {P_{\\cal O}|P_{ref}} \\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $P_{\\cal O}$ jest rozk³adem nale¿¹cym do ${\\cal O}$ ró¿nym od $P_{ref}$ z najmniejsz¹ wartoœci¹ entropii wzglêdnej $S_{H} \\left( P_{\\cal O}|P_{ref} \\right)$. Rozk³ad $P_{\\cal O}$ uznajemy za rozk³ad wyestymowany na podstawie empirycznego rozk³adu czêstoœci $\\hat{{\\cal P}}$ otrzymanego w obserwacji.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Zauwa¿my, ¿e Twierdzenie Sanova jest rodzajem prawa wielkich liczb, zgodnie z którym dla wielkoœci próby $N$ d¹¿¹cej do nieskoñczonoœci, [*prawdopodobieñstwo zaobserwowania rozk³adu czêstoœci $\\hat{{\\cal P}}$ nale¿acego do ${\\cal O}$ ró¿nego od prawdziwego rozk³adu*]{} $P_{ref}$ (tzn. ", "tego który generowa³ wyniki eksperymentu), [*d¹¿y do zera*]{}.\\\nFakt ten wyra¿a w³aœnie relacja (\\[Sanov\\]), a poniewa¿ $S_{H} \\left(P_{\\cal O}|P_{ref} \\right)$ jest w jej wyk³adniku, zatem [*entropia wzglêdna okreœla tempo w jakim prawdopodobieñstwo $Pr(\\hat{{\\cal P}})$ d¹¿y do zera wraz ze wzrostem $N$*]{}.\\\n[**Entropia wzglêdna dla rozk³adów dyskretnych**]{}: Jeœli $P_{ref} \\equiv (p^{i})_{i=1}^{\\aleph}$ jest dyskretnym rozk³adem prawdopodobieñstwa o $\\aleph$ mo¿liwych wynikach, wtedy rozk³ad $P_{\\cal O} \\equiv (p^{i}_{\\cal O})_{i=1}^{\\aleph} \\in {\\cal O}$ jest te¿ dyskretnym rozk³adem o $\\aleph$ wynikach, a entropia wzglêdna $S_{H} \\left( P_{\\cal O}|P_{ref} \\right)$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{entropia wzgl dyskret}\nS_{H} \\left( {P_{\\cal O}|P_{ref}} \\right) = \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph}{p_{\\cal O}^{i}\\ln\\frac{{p_{\\cal O}^{\\, i}}}{{p^{\\, i}}}} \\; . ", "\\end{aligned}$$\\\nDla rozk³adów ci¹g³ych entropia wzglêdna zosta³a okreœlona w (\\[entropia wzgledna roz ciagle\\]). ", "Przekonamy siê, ¿e entropia wzglêdna jest miar¹ okreœlaj¹c¹ jak bardzo dwa rozk³ady ró¿ni¹ siê od siebie.\\\n\\\n[**Przyk³ad**]{}: W celu ilustracji twierdzenie Sanova za³ó¿my, ¿e przeprowadzamy doœwiadczenie rzutu niesymetryczn¹ monet¹ z wynikami orze³, reszka, zatem $\\aleph=2$. Rozk³ad teoretyczny $P_{ref}$ jest wiêc zero-jedynkowy. [*", "Natomiast w wyniku pobrania $N$-elementowej próbki dokonujemy jego estymacji na podstawie rozk³adu empirycznego $\\hat{{\\cal P}}$ czêstoœci pojawienia siê wyników*]{} orze³ lub reszka. ", "Zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{zerojeden oraz empir}\nP_{ref} \\equiv (p^{i})_{i=1}^{\\aleph=2} = (p, 1-p) \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; \\hat{{\\cal P}} \\equiv (\\hat{p}^{\\,i})_{i=1}^{\\aleph=2} = \\left( \\frac{m}{N}, \\,1 - \\frac{m}{N} \\right) \\; . ", "\\end{aligned}$$ Twierdzenie Bernoulliego mówi, ¿e prawdopodobieñstwo pojawienia siê wyniku orze³ z czêstoœci¹ $m/N$ w $N$-losowaniach wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{bernoul}\nPr(\\hat{{\\cal P}}) \\equiv Pr\\left({\\frac{m}{N}}\\right) = \\left(\\begin{array}{l}\nN\\\\\nm\\end{array}\\right) p^{m}\\left({1-p}\\right)^{N-m} \\; .\\end{aligned}$$ Bior¹c logarytm naturalny obu stron (\\[bernoul\\]), nastêpnie stosuj¹c s³uszne dla du¿ego $n$ przybli¿enie Stirlinga, $\\ln n!\\approx n\\ln n-n$, dla ka¿dej silni w wyra¿eniu $\\left(\\begin{array}{l}\nN\\\\\nm\\end{array}\\right)$, i w koñcu bior¹c eksponentê obu stron, mo¿na otrzymaæ [@Bengtsson_Zyczkowski]: $$\\begin{aligned}\n\\label{pew}\nPr(\\hat{{\\cal P}}) \\approx e^{-N S_{H}\\left( \\hat{{\\cal P}}|P_{ref} \\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{bernoul_entropia wzgl}\nS_{H}\\left( \\hat{{\\cal P}}|P_{ref} \\right) &=& \\left[{\\frac{m}{N}\\left({\\ln\\frac{m}{N} - \\ln p}\\right) + \\left({1-\\frac{m}{N}}\\right)\\left({\\ln\\left({1-\\frac{m}{N}}\\right)- \\ln\\left({1-p}\\right)}\\right)}\\right] \\nonumber \\\\\n&=& \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph=2}{\\hat{p}^{\\,i}\\ln\\frac{{\\hat{p}^{\\,i}}}{{p^{\\, i}}}} \\; .\\end{aligned}$$ W ostatnej równoœci skorzystano z (\\[zerojeden oraz empir\\]) otrzymuj¹c entropiê wzglêdn¹ (\\[entropia wzgl dyskret\\]) dla przypadku liczby wyników $\\aleph=2$.\\\n\\\n[**Podsumowanie**]{}: W powy¿szym przyk³adzie entropia wzglêdna $S_{H}\\left( \\hat{{\\cal P}}|P_{ref} \\right)$ pojawi³a siê jako pojêcie wtórne, wynikaj¹ce z wyznaczenia prawdopodobieñstwa otrzymania w eksperymencie empirycznego rozk³adu czêstoœci $\\hat{{\\cal P}} \\in {\\cal O}$ jako oszacowania rozk³adu $P_{ref}$. Fakt ten oznacza, ¿e [*entropia wzglêdna*]{} nie jest tworem sztucznym, wprowadzonym do teorii jedynie dla wygody jako “jakaœ” miara odleg³oœci pomiêdzy rozk³adami, lecz, ¿e [*jest w³aœciw¹ dla przestrzeni statystycznej rozk³adów miar¹ probabilistyczn¹ tej odleg³oœci*]{}, tzn. “", "dywergencj¹ informacji” pomiêdzy rozk³adami. ", "Oka¿e siê te¿, ¿e spoœród innych miar odleg³oœci jest ona wyró¿niona poprzez jej zwiazek ze znan¹ ju¿ nam informacj¹ Fishera.\\\n\\\nW koñcu podamy twierdzenie o dodatnioœci entropii wzglêdnej, które jeszcze bardziej przybli¿y nas do zrozumienia entropii jako miary odleg³oœci pomiêdzy rozk³adami, rozwijanego w treœci nastêpnego rozdzia³u.\\\n\\\n[**Twierdzenie (Nierównoœæ informacyjna)**]{}: Jeœli $P({\\bf y})$ oraz $P_{ref}({\\bf y})$ s¹ dwoma rozk³adami gêstoœci prawdopodobieñstwa, wtedy entropia wzglêdna spe³nia nastêpuj¹c¹ nierównoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{nierownosc informacyjna}\nS_{H}\\left(P({\\bf y})|P_{ref}({\\bf y}) \\right) \\geq 0 \\; , \\end{aligned}$$ i nierównoœæ ta jest ostra za wyj¹tkiem przypadku, gdy $P({\\bf y}) = P_{ref}({\\bf y})$ [@Pawitan].", "\n\nGeometria przestrzeni rozk³adów prawdopodobieñstwa i metryka Rao-Fishera {#geometria i metryka Fishera-Rao}\n------------------------------------------------------------------------\n\nPojêcie metryki Fishera wprowadziliœmy ju¿ w Rozdziale \\[alfa koneksja\\]. ", "Do ujêcia tam przedstawionego dojdziemy jeszcze raz, wychodz¹c od pojêcia entropii wzglêdnej.\\\n\\\nRozwa¿my dwa rozk³ady prawdopodobieñstwa: $P=(p^{i})_{i=1}^{\\aleph}$ oraz $P'=P+dP = (p'^{i}=p^{i}+dp^{i})_{i=1}^{\\aleph}$, ró¿ni¹ce siê [*infinitezymalnie ma³o*]{}, przy czym $p_{i}\\neq 0$ dla ka¿dego $i$. Rozk³ady $P$ oraz $P'$ spe³niaj¹ warunek unormowania $\\sum_{i=1}^{\\aleph} p^{i} = 1$ oraz $\\sum_{i=1}^{\\aleph} p^{i} + dp^{i} = 1$, sk¹d: $$\\begin{aligned}\n\\label{suma dp zero}\n\\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph} dp^{i} = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ $dp^{i}/p^{i}$ jest wielkoœci¹ infinitezymalnie ma³¹, zatem z rozwiniêcia: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiniêcie} \n\\ln ( 1 + \\frac{dp^{i}}{p^{i}} ) = \\frac{dp^{i}}{p^{i}} - 1/2 (\\frac{dp^{i}}{p^{i}})^{2} + ... \\end{aligned}$$ otrzymujemy, ¿e entropia KL rozk³adów $P$ oraz $P'$ wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{S dla P oraz P+dP}\nS_{H} \\left( P|P+dP \\right) = \\sum_{i=1}^{\\aleph} p^{i} \\ln \\frac{p^{i}}{p^{i}+dp^{i}} = - \\sum_{i=1}^{\\aleph} p^{i} \\ln \\frac{p^{i}+dp^{i}}{p^{i}} \\approx \\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{\\aleph} \\frac{dp^{i} dp^{i}}{p^{i}} \\; .\\end{aligned}$$ Ostatnia postaæ $S_{H} \\left( P|P+dP \\right)$ sugeruje, ¿e entropia KL okreœla w naturalny sposób na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ infinitezymalny kwadrat odleg³oœci pomiêdzy rozwa¿anymi rozk³adami, co onacza³oby równie¿ [*lokalne*]{} okreœlenie na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ pewnej metryki. ", "Do jej zwi¹zku z metryk¹ Rao-Fisher’a wprowadzon¹ w Rozdziale \\[alfa koneksja\\] powrócimy póŸniej.\\\n\\\n[**Infinitezymalny interwa³ w ${\\cal S}$**]{}: Niech $d\\vec{p}=\\left(dp^{1},....,dp^{\\aleph}\\right)$ jest infinitezymalnym wektorem w przestrzeni rozk³adów prawdopodobieñstwa, spe³niaj¹cym warunek (\\[suma dp zero\\]). ", "Wprowadzaj¹c na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ aparat matematyczny geometrii ró¿niczkowej [@Amari; @Nagaoka; @book], zapiszmy kwadrat ró¿niczkowego interwa³u w tej przestrzeni nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{ds2 poprzez P} d s^{2} = \\sum_{i,\\, j =1}^{\\aleph} g_{i j} \\, \ndp^{i}\\,dp^{j} \\; .\\end{aligned}$$ W celu uzgodnienia (\\[S dla P oraz P+dP\\]) z (\\[ds2 poprzez P\\]) wprowadŸmy na ${\\cal S}$ metrykê: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera z KL}\ng_{i j} = \\frac{\\delta_{ij}}{p^{i}} \\; .\\end{aligned}$$ Zwi¹zek (\\[ds2 poprzez P\\]) oznacza, ¿e [*liczba mo¿liwych wyników $\\aleph$ okreœla wymiar przestrzeni*]{} ${\\cal S}$ oraz, ¿e entropia wzglêdna KL definuje dla infinitezymalnie bliskich rozk³adów symetryczn¹ metrykê na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, pozwalaj¹c¹ mierzyæ odleg³oœæ pomiêdzy tymi rozk³adami. ", "Zastêpuj¹c prawdopodobieñstwa $p^{i}$ czêstoœciami, metryka ta staje siê statystyk¹ zwi¹zana z obserwowan¹ informacyjn¹ Fishera wprowadzon¹ poprzednio.\\\n\\\nPowy¿ej stan uk³adu okreœlony by³ w reprezentacji rozk³adu prawdopodobieñstwa zmiennej losowej, tzn. ", "okreœlony by³ przez podanie rozk³adu prawdopodobieñstwa. ", "Dwóm infinitezymalnie blisko le¿¹cym stanom opowiada³y rozk³ady $P$ oraz $P'$.\\\n\\\n[**Reprezentacja amplitudowa ${\\cal S}$**]{}: Gdy interesuj¹ nas czysto geometryczne w³asnoœci metryki Fishera, wtedy wygodne jest u¿ycie innej reprezentacji do opisu stanu uk³adu, okreœlonej nastêpuj¹co. ", "Niech $Q \\equiv (q^{i})_{i=1}^{\\aleph}$ oraz $Q' \\equiv (q'^{i})_{i=1}^{\\aleph} = (q^{i} + d q^{i})_{i=1}^{\\aleph}$ opisuj¹ te same co poprzednio, dwa infinitezymalnie blisko le¿¹ce stany uk³adu tyle, ¿e zarz¹dajmy, aby infinitezymalny kwadrat interwa³u pomiêdzy nimi (\\[ds2 poprzez P\\]) by³ równy: $$\\begin{aligned}\n\\label{ds2 przy amplitudzie}\nd s^{2} = 4 \\sum_{i=1}^{\\aleph} dq^{i}\\,dq^{i} \\; .\\end{aligned}$$ Porównuj¹c formu³ê (\\[ds2 przy amplitudzie\\]) z (\\[ds2 poprzez P\\]) zauwa¿amy, ¿e zgadzaj¹ siê one z sob¹ o ile $Q = (q^{i})_{1}^{{\\aleph}}$ oraz $P =\n(p^{i})_{1}^{{\\aleph}}$ s¹ powi¹zane zwi¹zkiem: $$\\begin{aligned}\n\\label{poch amplituda a poch rozklad}\nd q^{i} = \\frac{d p^{i}}{2 \\sqrt{p^{i}}} \\;\\;\\; i = 1, ..., {\\aleph} \\; ,\\end{aligned}$$ co zachodzi wtedy gdy $$\\begin{aligned}\n\\label{amplituda a rozklad}\nq^{i} = \\sqrt{p^{i}} \\;\\;\\; i = 1, ..., {\\aleph} \\; .\\end{aligned}$$ Wielkoœci $\\; q^{i}$ nazywamy [*amplitudami uk³adu*]{}[^39]. ", "Definuj¹ one na ${\\cal S}$ nowe wspó³rzêdne, dla których $q^{i} \\ge 0$ dla ka¿dego $i$.\\\n\\\n[**${\\cal S}$ z geometri¹ jednostkowej sfery**]{}: Otrzymana w bazie $q^{i}$ geometria ${\\cal S}$ jest geometri¹ jednostkowej sfery, tzn. ", "ze wzglêdu na unormowanie rozk³adu prawdopodobieñstwa do jednoœci, amplitudy spe³niaj¹ nastêpuj¹cy warunek unormowania na promieniu jednostkowym: $$\\begin{aligned}\n\\label{unormowanie amplitud}\n\\;\\;\\sum_{i=1}^{\\aleph} p^{i} =\n\\sum_{i=1}^{\\aleph} q^{i}\\,q^{i} = 1 \\; .\\end{aligned}$$ Na sferze tej mo¿emy okreœliæ odleg³oœæ geodezyjn¹ $D_{Bhatt}$, tzw. ", "odleg³oœæ Bhattacharyya’ pomiêdzy dwoma rozk³adami prawdopodobieñstwa $P$ oraz $P'$, jako d³ugoœæ k¹tow¹ liczon¹ wzd³u¿ ko³a wielkiego pomiêdzy dwoma wektorami $Q$ oraz $Q'$ o sk³adowych bêd¹cych amplitudami $q^{i}=\\sqrt{p^{i}}$ oraz $q^{'i}=\\sqrt{p^{'i}}$.\\\n\\\n[**Odleg³oœci Bhattacharyya**]{}: Kwadrat infinitezymalnego interwa³u (\\[ds2 przy amplitudzie\\]) jest przyk³adem odleg³oœci Bhattacharyya, któr¹ ogólnie okreœlamy nastepuj¹co: Jeœli $P=(p^{i})$ oraz $P'=(p'^{i})$ s¹ rozk³adami prawdopodobieñstwa, wtedy odleg³oœæ Bhattacharyya pomiêdzy $Q$ oraz $Q'$ jest iloczynem wewnêtrznym okreœlonym na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{odleglosc Bhattacharyya}\n\\cos D_{Bhatt} = \\sum_{i=1}^{\\aleph} q^{i}\\,q'^{i} = \\sum_{i=1}^{\\aleph} \\sqrt{p^{i}\\,p'^{i}}\n\\equiv B(p,p') \\; .\\end{aligned}$$ [*Statystyczna odleg³oœci¹ Bhattacharyya wygl¹da wiêc jak iloczyn wewnêtrzny mechaniki kwantowej*]{}. ", "W kolejnych rozdzia³ach przekonamy siê, ¿e nie jest to b³êdne skojarzenie.\\\n\\\n[**Hessian entropii Shannona**]{}: Zauwa¿my, ¿e metryka $g_{ij}$ jest Hessianem (tzn. ", "macierz¹ drugich pochodnych) entropii Shannona: $$\\begin{aligned}\n\\label{hesian z S}\ng_{ij} = - \\partial_{i}\\partial_{j}S_{H}\\left(p\\right) = \\frac{\\partial}{\\partial p^{i}}\\frac{\\partial}{\\partial p^{j}}\\sum\\limits _{k=1}^{\\aleph}{p^{k}\\ln p^{k}} = \\frac{\\delta^{ij}}{p^{j}}\\,\n\\geq 0 \\, ,\\end{aligned}$$ zgodnie z (\\[metryka Rao-Fishera z KL\\]). ", "Powy¿szy zwi¹zek oznacza, ¿e fakt wklês³oœci entropii Shannona [@Bengtsson_Zyczkowski] daje dodatni¹ okreœlonoœæ metryki $g_{ij}$ na ${\\cal S}$.\\\n\\\n[**Metryka indukowana z $g_{ij}$**]{}: Uzasadnijmy fakt nazwania czasami metryki $g_{ij}$, (\\[metryka Rao-Fishera z KL\\]), metryk¹ Rao-Fishera.\\\n\\\nZa³ó¿my, ¿e interesuje nas pewna podprzestrzeñ przestrzeni rozk³adów prawdopodobieñstwa ${\\cal S}$. WprowadŸmy na niej uk³ad wspó³rzêdnych $\\theta^{a}$. Korzystaj¹c z (\\[metryka Rao-Fishera z KL\\]) widaæ, ¿e [*metryka $g_{ij} = \\frac{\\delta^{ij}}{p^{j}}$ indukuje w tej podprzestrzeni ${\\cal S}$ metrykê*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera w ukladzie wsp}\n\\!\\!\\! ", "g_{ab} &=& \\sum\\limits _{i,j=1}^{\\aleph} {\\frac{{\\partial p^{i}}}{{\\partial\\theta^{a}}} \\frac{{\\partial p^{j}}}{{\\partial\\theta^{b}}}} \\, g_{ij} \n= \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph}{\\frac{{\\partial_{a}p^{i} \\partial_{b} p^{i}}}{{p^{i}}}} = \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph} p^{i} \\, \\partial_{a} \\ln p^{i} \\partial_{b} \\ln p^{i} \\nonumber \\\\\n&\\equiv& E \\left( \\partial_{a} \\ell_{\\Theta} \\, \\partial_{b} \\ell_{\\Theta} \\right) = E_{\\Theta} \\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right) = I_{F} \\left(\\Theta \\right) \\; .\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z zapisu $\\ell_{\\Theta} \\equiv l\\left(y|\\Theta \\right) = \\ln P\\left(\\Theta\\right) = (\\ln p^{i}\\left(\\Theta\\right))_{i=1}^{\\aleph}$ oraz $\\partial_{a} \\equiv{\\partial }/{\\partial\\theta^{a}}$, (\\[oznaczenie ln P\\]).\\\n\\\nW Rozdziale \\[alfa koneksja\\] we wzorze (\\[Fisher inf matrix\\]) zdefiniowaliœmy metrykê Rao-Fishera jako $g_{ab} = E_{\\vartheta}(\\partial_{a} \\ell_{\\Theta} \\, \\partial_{b} \\ell_{\\Theta})$. Tak wiêc ostateczne otrzymaliœmy zgodnoœæ nazwania metryki (\\[metryka Rao-Fishera z KL\\]) metryk¹ Rao-Fishera. [*", "Metryka $g_{ij}$ jest jednak wielkoœci¹ obserwowan¹ a nie oczekiwan¹, tak jak metryka Rao-Fishera $g_{ab}$*]{}.\\\n\\\n[**Metryka Roa-Fishera zapisana w amplitudach**]{}: Korzystaj¹c ze zwi¹zku $q^{i} = \\sqrt{p^{i}}$, (\\[amplituda a rozklad\\]), pomiêdzy prawdopodobieñstwami i amplitudami, metrykê Rao-Fishera (\\[metryka Rao-Fishera w ukladzie wsp\\]) w reprezentacji amplitudowej mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera w ukladzie wsp - amplitudy}\ng_{ab} = 4 \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph} \\frac{\\partial q^{i}}{\\partial \\theta^{a}} \\frac{\\partial q^{i}}{\\partial \\theta^{b}} \\; .\\end{aligned}$$\n\n[**Przejœcie do zmiennej ci¹g³ej**]{}: Gdy liczba parametrów $\\theta^{a}$ (wiêc i wektorów bazowych $\\vec{\\theta}^{a}$) rozpinaj¹cych osie uk³adu wspó³rzêdnych rozwa¿anej podprzestrzeni statystycznej jest skoñczona, wtedy mo¿na dokonaæ nastêpuj¹cego uogólnienia metryki na przypadek ci¹g³ego rozk³adu prawdopodobieñstwa $P(y)$ zmiennej losowej $Y$: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera w ukl wsp dla r ciaglego}\ng_{ab} = \\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}}\\frac{{\\partial_{a} P\\;\\partial_{b} P}}{P} = \\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}\\; P\\; \\partial_{a} \\ell_{\\Theta} \\, \\partial_{b} \\ell_{\\Theta}} \\equiv E \\left( \\partial_{a} \\ell_{\\Theta} \\, \\partial_{b} \\ell_{\\Theta} \\right) = E_{\\Theta} \\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right) = I_{F} \\left(\\Theta \\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie, poniewa¿ przestrzeñ zdarzeñ ci¹g³ego rozk³adu prawdopodobieñstwa jest nieskoñczenie wymiarowa, w miejsce sumowania po $i=1,...,\\aleph$ pojawi³o siê ca³kowanie po wartoœciach ${\\bf y} \\in {\\cal Y}$ zmiennej losowej $Y$. Otrzymana postaæ metryki jest jawnie niezmiennicza ze wzglêdu na zmianê uk³adu wspó³rzêdnych ${\\bf y} \\rightarrow {\\bf y}'$ w przestrzeni bazowej ${\\cal Y}$.\\\nNa koniec, dokonuj¹c reparametryzacji i przechodz¹c do amplitud $q({\\bf y}|\\Theta) = {\\sqrt P({\\bf y}|\\Theta)}\\, $, mo¿na metrykê (\\[metryka Rao-Fishera w ukl wsp dla r ciaglego\\]) dla przypadku rozk³adu ci¹g³ego zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera w ukl wsp dla r ciaglego - amplitudy}\ng_{ab} = 4 \\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}} \\, \\partial_{a} q({\\bf y}|\\Theta) \\;\\partial_{b} q({\\bf y}|\\Theta)\n \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie jawnie zaznaczono zale¿noœæ amplitudy rozk³adu od parametru $\\Theta$.\\\n\\\n[**Przypadek funkcji wiarygodnoœci**]{}: Powy¿sza analiza dotyczy³a przypadku próby $N=1$ - wymiarowej. ", "Gdyby rozk³adem prawdopodobieñstwa $P$ by³a funkcja wiarygodnoœci próby, wtedy w miejscu zmiennej losowej $Y$ pojawi³aby siê próba $\\widetilde{Y} \\equiv( Y_{n})_{n=1}^{N}$, a w miejscu przestrzeni ${\\cal Y}$, przestrzeñ próby ${\\cal B}$. Poza tym, rozwa¿ania w obecnym rozdziale pozosta³yby takie same [@Amari; @Nagaoka; @book].\\\n\\\nOmówin¹ sytuacjê odleg³oœci na przestrzeni statystycznej przedstawia graficznie poni¿szy rysunek dla liczby parametrów $d=2$.\\\n{height=\"9.5cm\"}\\\n\n[**Przyk³ad**]{}: Wyznaczyæ kwadrat infinitezymalnego interwa³u dla dwóch stanów posiadaj¹cych rozk³ad normalny $N(\\mu, \\sigma)$. Rozk³ad normalny ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad 2-wym norm przyklad}\nP\\left({\\bf y},\\mu,\\sigma\\right)=\\frac{1}{{\\sqrt{2\\pi}\\sigma}}e^{-\\frac{{\\left({{\\bf y} - \\mu}\\right)^{2}}}{{2\\sigma^{2}}}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie wektor parametrów $\\Theta \\equiv (\\theta^{a})_{a=1}^{2} = (\\mu, \\sigma)^{T}$. Macierz informacyjna Fishera dla rozk³adu normalnego $N(\\mu, \\sigma)$ ma wyznaczon¹ poprzednio postaæ (\\[oczekiw iF r normalnego 2 par\\]). ", "Zatem metryka Rao-Fishera na 2-wymiarowej przestrzeni normalnych rozk³adów prawdopodobieñstwa z uk³adem wspó³rzêdnych $\\mu, \\sigma$ ma (dla próby $N=1$), postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{oczekiw iF r normalnego 2 par dla N=1}\n(g_{ab}) = I_{F} \\left(\\Theta \\right) = E_{\\Theta} \\texttt{i\\!F}\\left(\\Theta \\right) = \\left({\\begin{array}{cc}\n{\\frac{1}{{ \\sigma^{2}}}} & 0\\\\\n0 & {\\frac{2}{{ \\sigma^{2}}}} \\end{array}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ tzn. ", "sk³adowe metryki (\\[metryka Rao-Fishera w ukl wsp dla r ciaglego\\]) s¹ równe: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka w przykladzie}\ng_{\\mu\\mu} = \\frac{1}{{\\sigma^{2}}} \\; , \\;\\;\\; \ng_{\\mu\\sigma} = g_{\\sigma \\mu} = 0 \\; , \\;\\;\\; \ng_{\\sigma\\sigma} = \n\\frac{2}{{\\sigma^{2}}} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem otrzymany kwadrat infinitezymalnego interwa³u na 2-wymiarowej (pod)przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ wynosi [@Bengtsson_Zyczkowski]: $$\\begin{aligned}\n\\label{ds2 dla r norm}\nds^{2} = g_{\\mu\\mu} d\\mu^{2} + g_{\\mu\\sigma}d\\mu d\\sigma + g_{\\sigma\\sigma}d\\sigma^{2} = \\frac{1}{{\\sigma^{2}}}\\left({d\\mu^{2} + 2d\\sigma^{2}}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Odpowiada on metrce Poincarégo ze sta³¹ ujemn¹ krzywizn¹. W koñcu, z postaci rozk³adu (\\[rozklad 2-wym norm przyklad\\]) otrzymujemy równie¿ bazê w przestrzeni stycznej do ${\\cal S}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{baza w przestrzeni stycz r norm}\n\\partial_{\\mu} \\ln P \\left({\\bf y}|(\\mu,\\sigma)\\right) = \\frac{{\\bf y} - \\mu}{\\sigma^{2}} \\; ,\\;\\;\\;\\; \n\\partial_{\\sigma} \\ln P\\left({\\bf y}|(\\mu,\\sigma)\\right) = \\frac{\\left({\\bf y} - \\mu \\right)^{2}}{\\sigma^{3}}-\\frac{1}{\\sigma} \\; .\\end{aligned}$$ [**Wniosek z przyk³adu**]{}: [*Na osi $\\mu$, na której $\\sigma =0$ le¿¹ punkty odpowiadaj¹ce klasycznym stanom czystym i s¹ one zgodnie z (\\[ds2 dla r norm\\]) nieskoñczenie daleko odleg³e od dowolnego punktu we wnêtrzu górnej pó³p³aszczyzny*]{} $\\sigma > 0$. W konsekwencji oznacza to, ¿e wynik pewny, któremu odpowiada rozk³ad klasyczny z $\\sigma=0$, jest ³atwy do odró¿nienia od ka¿dego innego.", "\n\nInformacja Fishera\n------------------\n\n### Informacja Fishera jako entropia {#Informacja Fishera jako entropia}\n\nW powy¿szych rozwa¿aniach informacja Fishera $I_{F}$ pojawi³a siê poprzez nierównoœæ Rao-Cramera (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]), jako wielkoœæ okreœlaj¹ca graniczn¹ dobroæ procedury estymacyjnej parametru rozk³adu, tzn. ", "o ile estymator efektywny istnieje, to informacja Fishera okreœla minimaln¹ wartoœæ jego wariancji. ", "Poniewa¿ im informacja Fishera mniejsza, tym to graniczne oszacowanie parametru gorsze, zatem jest ona równie¿ miar¹ stopnia nieuporz¹dkowania uk³adu okreœlonego rozk³adem prawdopodobieñstwa. ", "Takie zrozumienie informacji Fishera odnosi siê do typu analizowanego rozk³adu prawdopodobieñstwa i jako miara nieuporz¹dkowania rozk³adu oznacza brak przewidywalnoœci procedury estymacyjnej (spróbuj pomyœleæ o sensie oszacowania wartoœci oczekiwanej rozk³adu jednorodnego).\\\nPoni¿ej uzasadnimy stwierdzenie, ¿e informacja Fishera okazuje siê byæ proporcjonalna do entropii Kullbacka-Leiblera rozk³adów ró¿ni¹cych siê infinitezymalnie ma³o [*w parametrze*]{} rozk³adu [@Frieden].\\\n\\\nSzukany zwi¹zek informacji Fishera z entropi¹ Kullbacka-Leiblera poka¿emy w trzech krokach. ", "Rozwa¿my $N$-wymiarow¹ próbê $Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{N}$, gdzie ka¿da ze zmiennych losowych $Y_{n}$ jest okreœlona na przestrzeni ${\\cal Y}$ i posiada rozk³ad prawdopodobieñstwa $p\\left({\\bf y}_{n}|\\theta \\right)$. Przyjmijmy, dla uproszczenia rozwa¿añ, ¿e $\\Theta = \\theta$ jest parametrem skalarnym.\\\n\\\n[**(1)**]{} Funkcja wiarygodnoœci $P(y\\,|\\theta)$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{fun wiaryg jeden par}\nP\\left({y|\\theta}\\right) = \\prod\\limits_{n=1}^{N} {p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $y\\equiv({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$ jest realizacj¹ próby.\\\nZauwa¿my, ¿e informacjê Fishera parametru $\\theta$ okreœlon¹ w (\\[infoczekiwana\\]) i (\\[I jako krzywizna dla P\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{inf I jeden parametr - 2 pochodna}\nI_{F} = -\\int_{\\cal B}{dy\\, P\\left({y|\\theta}\\right)\\frac{{\\partial^{2}\\ln P \\left({y|\\theta}\\right)}}{{\\partial\\theta^{2}}}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\cal B}$ jest przestrzeni¹ próby, a $dy \\equiv d^{N}{\\bf y} = d{\\bf y}_{1} d{\\bf y}_{2} ... d{\\bf y}_{N}$, mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej}\nI_{F} = \\int_{\\cal B}{dy\\, P(y\\,|\\theta)}\\left({\\frac{{\\partial \\ln P(y\\,|\\theta)}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$\\\nIstotnie, postaæ (\\[inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej\\]) otrzymujemy z (\\[inf I jeden parametr - 2 pochodna\\]) po skorzystaniu z: $$\\begin{aligned}\n\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\left({\\frac{{\\partial\\ln P}}{{\\partial\\theta}}}\\right)=\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}\\left({\\frac{1}{P}\\frac{{\\partial P}}{{\\partial\\theta}}}\\right)=-\\frac{1}{{P^{2}}}\\left({\\frac{{\\partial P}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}+\\frac{1}{P}\\left({\\frac{{\\partial^{2}P}}{{\\partial\\theta^{2}}}}\\right) \\; \\end{aligned}$$ oraz warunku reguralnoœci pozwalaj¹cego na wy³¹czenie ró¿niczkowania po parametrze przed ca³kê (por. ", "Rozdzia³ \\[E i var funkcji wynikowej\\]): $$\\begin{aligned}\n\\int_{\\cal B}{dy\\left({\\frac{{\\partial^{2}P}}{{\\partial\\theta^{2}}}}\\right)} = \\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial\\theta^{2}}}\\int_{\\cal B}{dy\\, P} = \\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial\\theta^{2}}} 1 = 0 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**(2) Zadanie**]{}: Pokazaæ, ¿e zachodzi nastêpuj¹cy [*rozk³ad informacji Fishera*]{} parametru $\\theta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{I dla pn jeden parametr}\nI_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{I_{F n}} \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; I_{F n} = {\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}\\left({\\frac{{\\partial\\ln p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}}} \\; ,\\end{aligned}$$ na sk³adowe informacje $I_{F n}$, zale¿ne jedynie od rozk³adów punktowych $p_{n}({\\bf y}|\\theta)$.\\\n\\\n[**Rozwi¹zanie**]{}: Po skorzystaniu z (\\[fun wiaryg jeden par\\]) zauwa¿amy, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{poch lnP}\n\\ln P\\left({y;\\theta}\\right) = \\sum_{n=1}^{N}{\\ln p_{n}} \\;, \\;\\;\\; {\\rm zatem} \\;\\;\\;\\;\\; \\frac{{\\partial\\ln P}}{{\\partial\\theta}}=\\sum_{n=1}^{N}{\\frac{1}{{p_{n}}}}\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}} \\; \\end{aligned}$$ i podnosz¹c ostatnie wyra¿enie do kwadratu otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{kwadrat poch lnP}\n\\left({\\frac{{\\partial\\ln P}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2} = \\sum_{{\\scriptstyle {{n,m=1}\\hfill\\atop {\\scriptstyle m\\ne n\\hfill}}}}^{N}{\\frac{1}{{p_{m}}}\\frac{1}{{p_{n}}}}\\frac{{\\partial p_{m}}}{{\\partial\\theta}}\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}} + \\sum_{n=1}^{N}{\\frac{1}{{p_{n}^{2}}}}\\left({\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Wstawiaj¹c (\\[fun wiaryg jeden par\\]) oraz (\\[kwadrat poch lnP\\]) do (\\[inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{I przed skorzstaniem z rozkl brzegowych}\nI_{F} = \\int_{\\cal B}{dy\\prod_{k=1}^{N}{p_{k}}} {\\sum_{{\\scriptstyle {{n,m=1}\\hfill\\atop {\\scriptstyle m\\ne n\\hfill}}}}^{N}{\\frac{1}{{p_{m}}}\\frac{1}{{p_{n}}}}\\frac{{\\partial p_{m}}}{{\\partial\\theta}}\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}} + \\int_{\\cal B}{dy\\prod_{k=1}^{N}{p_{k}}} \\sum_{n=1}^{N}{\\frac{1}{{p_{n}^{2}}}}\\left({\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}} \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na warunek normalizacji rozk³adów brzegowych: $$\\begin{aligned}\n\\label{normalizacja rozkladow brzegowych}\n\\int_{\\cal Y} d{\\bf y}_{n} \\, p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ w (\\[I przed skorzstaniem z rozkl brzegowych\\]) z iloczynu $\\prod_{k=1}^{N}{p_{k}}$ pozostaje w pierwszym sk³adniku jedynie $p_{m}p_{n}$ (dla $k\\neq m$ oraz $k\\neq n$), natomiast w drugim sk³adniku pozostaje jedynie $p_{n}$ (dla $k\\neq n$), tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{upr}\nI_{F} = \\sum_{{\\scriptstyle {{n,m=1} \\hfill \\atop {\\scriptstyle m\\ne n\\hfill}}}}^{N}{\\int_{\\cal Y} {\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{m}d{\\bf y}_{n}\\frac{{\\partial p_{m}}}{{\\partial\\theta}}\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}}} + \\sum_{n=1}^{N}{\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}\\frac{1}{{p_{n}}}\\left({\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}}} \\; .\\end{aligned}$$ W koñcu, ze wzglêdu na: $$\\begin{aligned}\n\\label{poch normalizacji}\n\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}} = \\frac{\\partial}{{\\partial\\theta}}\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}p_{n}}=\\frac{\\partial}{{\\partial\\theta}} 1 = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ pierwszy sk³adnik w (\\[upr\\]) zeruje siê i pozostaje jedynie drugi, zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I koncowa w pn}\nI_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}\\frac{1}{{p_{n}}}\\left({\\frac{{\\partial p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}}} = \\sum_{n=1}^{N} \\int_{\\cal Y} d{\\bf y}_{n}p_{n}\\left({\\frac{{\\partial\\ln p_{n}}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Ostatecznie otrzymujemy wiêc szukany rozk³ad informacji Fishera (\\[I dla pn jeden parametr\\]): $$\\begin{aligned}\nI_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{I_{F n}} \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; I_{F n} = {\\int_{\\cal Y}{d{\\bf y}_{n}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}\\left({\\frac{{\\partial\\ln p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}}} \\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$\\\n\\\n[**(3) Zadanie**]{}: ZnaleŸæ zwi¹zek informacji Fishera z entropi¹ Kullbacka-Leiblera rozk³adów $P \\left({y|\\theta}\\right)$ oraz $P\\left({y|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)$ ró¿ni¹cych siê infinitezymalnie ma³o w parametrze $\\theta$.\\\n\\\n\\\n[**Rozwi¹zanie**]{}: Zast¹pmy ca³kê w (\\[I dla pn jeden parametr\\]) dla $I_{F n}$ sum¹ Riemanna: $$\\begin{aligned}\n\\label{dys}\nI_{F n} &=& {\\sum\\limits _{k}{\\Delta {\\bf y}_{nk}\\frac{1}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}}\\left[{\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta+\\Delta\\theta}\\right) - p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}}{{\\Delta\\theta}}}\\right]^{2}}} \\nonumber \\\\\n&=& \n\\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\Delta {\\bf y}_{n} \\sum\\limits _{k}{\\, p_{n} \\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)\\left[{\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}} - 1}\\right]^{2}} \\; .\\end{aligned}$$ Powy¿sza zamiana ca³kowania na sumê jest wprowadzona dla wygody i jest œcis³ym przejœciem w granicy $\\Delta {\\bf y}_{nk} \n{\\scriptstyle {\\;\\; \\longrightarrow \\hfill \\atop {\\scriptstyle k \\rightarrow \\infty \\hfill}}} 0$. W drugiej równoœci w (\\[dys\\]) przyjêto równe przyrosty $\\Delta {\\bf y}_{nk} = \\Delta {\\bf y}_{n}$ dla ka¿dego $k$, co w tej granicy nie zmienia wyniku. ", "Natomiast przejœcie dla pochodnej po $\\theta$ pod ca³k¹ $I_{F n}$ w (\\[I dla pn jeden parametr\\]) dokonane w (\\[dys\\]) jest s³uszne w granicy $\\Delta\\theta \\rightarrow 0$.\\\n\\\nW granicy $\\Delta\\theta \\to 0$ ka¿de z powy¿szych wyra¿eñ ${{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}\\mathord{\\left/{\\vphantom{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}}$ d¹¿y do 1. ", "Wtedy ka¿da z wielkoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{delta}\n\\delta_{\\Delta \\theta}^{n} \\equiv \\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\, \\theta + \\Delta \\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}| \\theta}\\right)}} - 1 \\end{aligned}$$ staje siê ma³a i rozwijaj¹c funkcjê logarytmu do wyrazu drugiego rzêdu: $$\\begin{aligned}\n{\\ln \\left({1 + \\delta_{\\Delta \\theta}^{n}}\\right) \\approx \\delta_{\\Delta \\theta}^{n} - {{(\\delta_{\\Delta \\theta}^{n})^{2}} \\mathord{\\left/{\\vphantom{{(\\delta_{\\Delta \\theta}^{n})^{2}}2}} \\right. ", "\\kern -\\nulldelimiterspace}2}} \\; ,\\end{aligned}$$ otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{nu2}\n{(\\delta_{\\Delta \\theta}^{n})^{2} \\approx 2 \\left[{\\delta_{\\Delta \\theta}^{n} - \\ln \\left({1 + \\delta_{\\Delta \\theta}^{n}}\\right)}\\right]} \\; .\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[delta\\]) oraz (\\[nu2\\]) wyra¿enie (\\[dys\\]) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{I trzy skladniki}\nI_{F n} &=& -2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\Delta {\\bf y}_{n} \\left[ \\sum\\limits _{k}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\, \\theta}\\right) \\; \\ln\\left({\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\, \n\\theta + \\Delta \\theta} \\right)}}{{p\\left({{\\bf y}_{k}|\\theta}\\right)}}}\\right)} \\right. ", "\\nonumber \\\\\n&-& \\left. ", " \\sum\\limits_{k} {p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)} + \\sum\\limits_{k}{p_{n} \\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta} \\right)} \\right] \\; , \\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; \\Delta \\theta \\rightarrow 0 \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na warunek normalizacji zachodzi $\\sum\\limits_{k} {p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)} = \\sum\\limits_{k}{p_{n} \\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta} \\right)} = 1$, zatem dwie ostatnie sumy po $k$ w nawiasie kwadratowym znosz¹ siê wzajemnie i (\\[I trzy skladniki\\]) redukuje siê do postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{I porownanie z Sn}\nI_{Fn} &=& -2\\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\sum\\limits_{k} \\Delta {\\bf y}_{n} \\, {p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right) \\ln\\left({\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\, \\theta + \\Delta \\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{nk}|\\theta}\\right)}}}\\right)} \\nonumber \\\\\n&=& - 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\int_{\\cal Y} d{\\bf y}_{n}\\; p_{n} \\left({\\bf y}_{n}|\\theta\\right) \\ln\\left({\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}}\\right) \\nonumber \\\\\n&=& 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} S_{H}\\left[p_{n} \\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)| p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)\\right] \\; , \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; \\Delta \\theta \\rightarrow 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie w ostatnim przejœciu skorzystaliœmy z (\\[entropia wzgledna roz ciagle\\]). ", "Postaæ $I_{F n}$ w drugiej lini w (\\[I porownanie z Sn\\]) mo¿na równie¿, wykorzystuj¹c unormowanie rozk³adów $p_{m}( {{\\bf y}_{m}|\\theta})$, zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{I porownanie z S druga linia}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "I_{F n} = - 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\!\\!", "\n\\prod_{{\\scriptstyle {{m=1} \\hfill \\atop {\\scriptstyle m \\ne n\\hfill}}}}^{N} \\!\\! ", "\\int_{\\cal Y} \\!\\! {", "d{\\bf y}_{m} {p_{m}( {{\\bf y}_{m}|\\theta} )}} \n \\!\\! ", "\\int_{\\cal Y} \\!\\! ", "d{\\bf y}_{n}\\; p_{n} \\left({\\bf y}_{n}|\\theta\\right) \\ln \\! ", "\\left({\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}} \\right) , \\;\\, {\\rm dla} \\;\\, \\Delta \\theta \\rightarrow 0 , \\;\\;\\;\\;\\,\\end{aligned}$$ sk¹d po skorzystaniu z $I_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{I_{F n}} $, (\\[I dla pn jeden parametr\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{I porownanie z S}\n\\!\\!\\!\\!\\! ", "I_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{I_{F n}} &=& - 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \\sum_{n=1}^{N}\n\\prod_{{\\scriptstyle {{m=1} \\hfill \\atop {\\scriptstyle m \\ne n\\hfill}}}}^{N} \\int_{\\cal Y} {d{\\bf y}_{m} {p_{m}\\left({{\\bf y}_{m}|\\theta}\\right)}} \n \\int_{\\cal Y} d{\\bf y}_{n}\\; p_{n} \\left({\\bf y}_{n}|\\theta\\right) \\ln\\left({\\frac{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}}{{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}}\\right) \\nonumber \\\\\n&=& - 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} \n\\int_{\\cal B} {dy \\prod_{m=1}^{N} {p_{m}\\left({{\\bf y}_{m}|\\theta}\\right)}} \n \\ln \\left({\\frac{\\prod_{n=1}^{N}{p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta\\theta}\\right)}}{{\\prod_{n=1}^{N} p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)}}}\\right) \\nonumber \\\\\n&=& 2 \\left({\\Delta\\theta}\\right)^{-2} S_{H}\\left[P \\left({y|\\theta}\\right)| P\\left({y|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)\\right] \\; , \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; \\Delta \\theta \\rightarrow 0 \\; .\\end{aligned}$$ Tak wiêc (\\[I porownanie z S\\]) daje wsparcie dla intuicji wspomnianej na pocz¹tku obecnego Rozdzia³u, która mówi, ¿e skoro entropia jest miar¹ nieuporz¹dkowania uk³adu to informacja Fishera jest równie¿ miar¹ jego nieuporz¹dkowania.\\\n\\\n[**Uwaga o lokalnoœci zwi¹zku IF z KL**]{}: O w³asnoœciach globalnych rozk³adu wypowiada siê entropia Shannona, natomiast wniosek wynikaj¹cy z (\\[I porownanie z S\\]) ma sens tylko dla entropii wzglêdnej. ", "Zatem zwi¹zek ten mo¿e byæ co najwy¿ej sygna³em, ¿e niektóre w³asnoœci uk³adu zwi¹zane z entropi¹ Shannona mog¹ byæ ujête w jêzyku informacji Fishera. ", "Na niektóre sytuacje, w których ma to miejsce zwrócimy uwagê w przysz³oœci.\\\n\\\n[**Rozk³ad entropii KL dla rozk³adów punktowych**]{}:\\\nZe wzglêdu na $I_{F} = \\sum_{n=1}^{N}{I_{F n}} $, (\\[I dla pn jeden parametr\\]), z porównania (\\[I porownanie z S\\]) z (\\[I porownanie z Sn\\]) wynika dodatkowo, ¿e entropia wzglêdna rozk³adów $P \\left({y|\\theta}\\right)$ oraz $P\\left({y|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)$ jest sum¹ entropii wzglêdnych odpowiadaj¹cych im rozk³adów punktowych $p_{n} \\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)$ oraz $p_{n}({{\\bf y}_{n}| \\theta + \\Delta \\theta})$: $$\\begin{aligned}\n\\label{S jako suma Sn delta th inf} \n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "S_{H}\\left[P \\left({y|\\theta}\\right)| P\\left({y|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)\\right] = \\sum_{n=1}^{N} S_{H}\\left[p_{n} \\left({{\\bf y}_{n}|\\theta}\\right)| \\, p_{n}\\left({{\\bf y}_{n}|\\theta + \\Delta \\theta}\\right)\\right] \n\\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla \\;\\; dowolnego} \\;\\;\\; \\Delta \\theta \n\\; . ", "\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ Poniewa¿ warunek $\\Delta \\theta \\rightarrow 0$ nie by³ wykorzystywany w otrzymaniu (\\[S jako suma Sn delta th inf\\]) z porównania (\\[I porownanie z Sn\\]) oraz (\\[I porownanie z S\\]), zatem zwi¹zek ten jest s³uszny dla dowolnego $\\Delta \\theta$. Natomiast nale¿y pamiêtaæ, ¿e rozk³ady punktowe w definicji funkcji wiarygodnoœci s¹ [*nieskorelowane*]{} dla ró¿nych $n$, dlatego te¿ zwi¹zek (\\[S jako suma Sn delta th inf\\]) jest s³uszny tylko w tym przypadku.\\\n\nPojêcie kana³u informacyjnego {#Pojecie kanalu informacyjnego}\n-----------------------------\n\nNiech pierwotna zmienna losowa $Y$ przyjmuje wartoœci wektorowe ${\\bf y} \\in {\\cal Y}$. Wektor ${\\bf y}$ mo¿e byæ np. ", "wektorem po³o¿enia. ", "Zatem, aby wprowadzony opis by³ wystarczaj¹co ogólny, wartoœci ${\\bf y} \\equiv ({\\bf y}^{\\nu})$ mog¹ posiadaæ np. ", "indeks wektorowy $\\nu$. Wartoœci te s¹ realizowane zgodnie z ³¹cznym rozk³adem $p({\\bf y}|\\Theta)$ w³aœciwym dla badanego uk³adu.\\\nRozwa¿my $N$-wymiarow¹ próbê. ", "Oznaczmy przez $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N} = ({\\bf y}_{1}, ..., {\\bf y}_{N})$ dane bêd¹ce realizacjami próby $\\widetilde{Y} = (Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{N})$ dla pierwotnej zmiennej $Y$, gdzie ${\\bf y}_{n} \\equiv ({\\bf y}_{n}^{\\nu})$ oznacza $n$-t¹ wektorow¹ obserwacjê w próbce ($n=1,2,...,N$). ", "Rozk³ad ³¹czny próby jest okreœlony przez $P\\left(y|\\Theta\\right)$.\\\n\\\n[**Dodatkowy indeks parametru**]{}: Podobnie, równie¿ parametry rozk³adu mog¹ mieæ dodatkowy indeks. ", "Niech indeks $\\alpha$ okreœla pewn¹ dodatkow¹ wspó³rzêdn¹ wektorow¹ parametru ${\\theta}_{i}$, gdzie jak w poprzednich rozdzia³ach $i=1,2,...,d$. Zatem wektor parametrów ma teraz postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{parametr wektorowy}\n\\Theta = \\left({{\\theta}_{1},{\\theta}_{2},...,{\\theta}_{d}}\\right) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; {\\theta}_{i}=\\left({\\theta_{i}^{\\alpha}} \\right) \\; , \\;\\;\\;\\; \\alpha = 1,2,... \\; .\\end{aligned}$$ Wariancja estymatora $\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha}$ parametru $\\theta_{i}^{\\alpha}$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariancja estymatora theta i alfa}\n{\\sigma^{2}} \\,( \\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha}) = \\int_{\\cal B} dy \\, P\\left(y|\\Theta\\right) \\left(\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha}\\left(y\\right)-\\theta_{i}^{\\alpha}\\right)^{2} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha}\\left({y}\\right)$ jest estymatorem parametru $\\theta_{i}^{\\alpha}\\,$, a ca³kowanie przebiega po ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$, tzn. ", "po wszystkich mo¿liwych realizacjach $y$.\\\nWed³ug Rozdzia³u \\[Przyklad wektorowego DORC\\], dla ka¿dego wyró¿nionego parametru $\\theta_{i}^{\\alpha}$ wariancja ${\\sigma^{2}} \\, (\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha})$ jego estymatora (\\[wariancja estymatora theta i alfa\\]) jest zwi¹zana z informacj¹ Fishera $I_{F i \\alpha}$ parametru $\\theta_{i}^{\\alpha}$ poprzez nierównoœæ (\\[porownanie sigma I11 z I11do-1\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{krzy3}\n{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha}) \\ge {I_{F}^{i \\alpha}} \\ge \\frac{1}{I_{F i \\alpha}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F}^{i \\alpha} \\equiv I_{F}^{i\\alpha, \\,i\\alpha}$ jest dolnym ograniczeniem RC dla parametru ${\\theta}_{i}^{\\alpha}$ w przypadku wieloparametrowym, natomiast: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc jeden kanal inform Fishera}\nI_{F i \\alpha} \\equiv I_{F i\\alpha, \\,i\\alpha} \\; \\end{aligned}$$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ w [*pojedynczym kanale informacyjnym*]{} $(i, \\alpha)$ czyli [*informacj¹ Fishera dla parametru*]{} ${\\theta}_{i}^{\\alpha}$. Zgodnie z (\\[inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej\\]) jest ona równa[^40]: $$\\begin{aligned}\n\\label{krzy4}\nI_{F i \\alpha} \\equiv I_{F} \\left(\\theta_{i \\alpha} \\right) = \\int_{\\cal B} {dy \\, P\\left(y|\\Theta\\right)} \\left({\\frac{{\\partial \\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}}{{\\partial \\theta_{i}^{\\alpha}}}}\\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Informacja Stama**]{}: Wielkoœæ $\\frac{1}{{\\sigma^{2}} \\, (\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha})}$ odnosi siê do pojedynczego kana³u $\\left(i, \\alpha\\right)$. Sumuj¹c j¹ po indeksach $\\alpha$ oraz $i$ otrzymujemy tzw. ", "informacjê Stama $I_{S}$ [@Stam]: $$\\begin{aligned}\n\\label{informacja Stama}\n0 \\leq I_{S} \\equiv \\sum\\limits_{i} {\\sum\\limits_{\\alpha} \\frac{1}{{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha})}} \\; ,\\end{aligned}$$ która jest skalarn¹ miar¹ jakoœci jednoczesnej estymacji we wszystkich kana³ach informacyjnych. [*", "Informacja Stama jest z definicji zawsze wielkoœci¹ nieujemn¹.*]{}\\\n\\\n[**Pojemnoœæ informacyjna $I$**]{}: W koñcu, sumuj¹c lew¹ i praw¹ stronê (\\[krzy3\\]) po indeksach $\\alpha$ oraz $i$ otrzymujemy nastêpuj¹c¹ nierównoœæ dla $I_{S}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{informacja Stama vs pojemnosc informacyjna}\n0 \\leq I_{S} \\equiv \\sum\\limits_{i} \\sum\\limits_{\\alpha} \\frac{1}{{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{i}^{\\alpha})} \\le \\sum\\limits_{i} {\\sum\\limits_{\\alpha}{I_{F i \\alpha}}} =: I \\equiv C \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $C$, oznaczana dalej jako $I$, nazywana jest [*pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu*]{}. ", "Zgodnie z (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna\\]) i (\\[krzy4\\]) jest ona równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc C}\nI = \\sum\\limits_{i}{\\sum\\limits _{\\alpha}{I_{F i \\alpha}}}=\\sum\\limits_{i}{\\int_{\\cal B} {dy \\; P\\left(y|\\Theta\\right) \\sum\\limits _{\\alpha}{\\left(\\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{i}^{\\alpha}}\\right)^{2}}}} \\; .\\end{aligned}$$ Jak siê oka¿e, pojemnoœæ informacyja $I$ jest najwa¿niejszym pojêciem statystyki le¿¹cym u podstaw np. ", "cz³onów kinetycznych ró¿nych modeli teorii pola. ", "Jest ona uogólnieniem pojêcia informacji Fishera dla przypadku pojedynczego, skalarnego parametru na przypadek wieloparametrowy.", "\n\n### Pojemnoœæ informacyjna dla zmiennej losowej po³o¿enia {#Poj inform zmiennej los poloz}\n\nZawêŸmy obszar analizy do szczególnego przypadku, gdy interesuj¹cym nas oczekiwanym parametrem jest wartoœæ oczekiwana zmiennej po³o¿enia uk³adu $Y$: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc oczekiwana EY}\n\\theta \\equiv E(Y)= (\\theta^{\\nu}) \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\;\\; \\theta^{\\nu} = \\int_{\\cal Y} d {\\bf y}\\, p({\\bf y})\\, {\\bf y}^{\\nu} \\; .\\end{aligned}$$ Wtedy $N$-wymiarowa próbka $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N} = ({\\bf y}_{1}, ..., {\\bf y}_{N})$ jest realizacj¹ próby $\\widetilde{Y}$ dla [*po³o¿eñ uk³adu*]{}, a wartoœæ oczekiwana $\\theta_{n}$ po³o¿enia uk³adu w $n$-tym punkcie (tzn. ", "pomiarze) próby wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc oczekiwana EYn}\n\\theta_{n} \\equiv E(Y_{n}) = (\\theta_{n}^{\\nu}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\theta_{n}^{\\nu} = \\int_{\\cal B} dy \\, P(y|\\Theta) \\, {\\bf y}_{n}^{\\nu} \\; .\\end{aligned}$$ [**Liczba oczekiwanych parametrów**]{}: Gdy, jak to ma miejsce w rozwa¿anym przypadku, jedynym parametrem rozk³adu, który nas interesuje jest wartoœæ oczekiwana po³o¿enia $\\theta_{n} \\equiv (\\theta_{n}^{\\nu})$, gdzie $n =1,2,...,N$ jest indeksem próby, wtedy parametr wektorowy $\\Theta=(\\theta_{n})_{n=1}^{N}$. Zatem liczba parametrów $\\theta_{n}$ pokry³a siê z wymiarem próby $N$, a indeksy parametru $\\theta_{i}^{\\alpha}$ s¹ nastêpuj¹ce: $i \\equiv n$, gdzie $n=1,2,...,N$, oraz $\\alpha \\equiv \\nu$, gdzie $\\nu$ jest indeksem wektorowym wspó³rzêdnej ${\\bf y}_{n}^{\\nu}$. Oznacza to, ¿e wymiar parametru $\\Theta$ jest taki sam jak wymiar przestrzeni próby ${\\cal B}$.\\\n\\\n[**Wspó³rzêdne kowariantne i kontrawariantne**]{}: Rozwa¿ania obecnego Rozdzia³u jak i innych czêœci skryptu s¹ zwi¹zane z analiz¹ przeprowadzan¹ w czasoprzestrzeni Minowskiego. ", "Dlatego koniecznym okazuje siê rozró¿nienie pomiêdzy wspó³rzêdnymi kowariantnymi ${\\bf y}_{n \\nu}$ i kontrawariantnymi ${\\bf y}_{n}^{\\, \\mu}$. Zwi¹zek pomiêdzy nimi, tak dla wartoœci losowego wektora po³o¿enia jak i dla odpowiednich wartoœci oczekiwanych, jest nastêpuj¹cy: $$\\begin{aligned}\n\\label{wsp theta kontra i kowariantne}\n{\\bf y}_{n \\nu} = \\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta_{\\nu \\mu} \\, {\\bf y}_{n}^{\\, \\mu} \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; \\theta_{n \\nu} = \\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta_{\\nu \\mu} \\, \\theta_{n}^{\\, \\mu} \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $(\\eta_{\\nu \\mu})$ jest tensorem metrycznym przestrzeni ${\\cal Y}$. W przypadku wektorowego indeksu Minkowskiego $\\nu = 0,1,2,3,...$ przyjmujemy nastêpuj¹c¹ postaæ tensora metrycznego: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka M}\n\\eta_{\\nu\\mu}=\\left({\\begin{array}{ccccc}\n{1} & 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n0 & {-1} & 0 & 0 & 0\\\\\n0 & 0 & {-1} & 0 & 0\\\\\n0 & 0 & 0 & {-1} & 0\\\\\n0 & 0 & 0 & 0 & \\ddots\n\\end{array}}\\right)\\end{aligned}$$ lub w skrócie $(\\eta_{\\nu \\mu}) = diag(1,-1,-1,-1,...)$. Symbol “diag” oznacza macierz diagonaln¹ z niezerowymi elementami na przek¹tnej g³ównej oraz zerami poza ni¹. Natomiast dla Euklidesowego indeksu wektorowego $\\nu = 1,2,3,...\\,$, tensor metryczny ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka E}\n(\\eta_{\\nu \\mu}) = diag(1,1,1,...) \\;\\, .\\end{aligned}$$ [**Za³o¿enie o niezale¿noœci $p_{n}$ od $\\theta_{m}$ dla $m \\neq n$**]{}: W rozwa¿aniach niniejszego skryptu zmienne $Y_{n}$ próby $\\widetilde{Y}$ s¹ niezale¿ne (tzn. ", "zak³adamy, ¿e pomiary dla $m \\neq n$ s¹ w próbie niezale¿ne). ", "Oznacza to równie¿, ¿e wartoœæ oczekiwana po³o¿enia $\\theta_{m} = \\int dy \\, P(y|\\Theta) \\, {\\bf y}_{m} $, nie ma wp³ywu na rozk³ad $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$ dla indeksu próby $m \\neq n$. Wtedy dane s¹ generowane zgodnie z punktowymi rozk³adami spe³niaj¹cymi warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklady punktowe polozenia}\np_{n}({\\bf y}_{n}|\\Theta) = p_{n}({\\bf y}_{n}|{\\theta}_{n}) \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; n=1,...,N \\; ,\\end{aligned}$$ a wiarygodnoœæ próby jest iloczynem: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja wiaryg param wektorowy}\nP\\left(y|\\Theta\\right) = \\prod_{n=1}^{N} p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) \\; . ", "\\end{aligned}$$ [**Pojemnoœæ informacyjna kana³u**]{}: Dla parametru po³o¿enia (czaso)przestrzennego, pojemnoœæ kana³u informacyjnego $I$ dla uk³adu, zdefiniowana ogólnie w (\\[pojemnosc C\\]), przyjmuje postaæ[^41]: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc informacyjna Minkowskiego}\nI = \\sum\\limits_{n=1}^{N}{I_{F n}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc C dla polozenia}\nI_{F n} &\\equiv& I_{F n} \\left(\\theta_{n} \\right) = \\int_{\\cal B} {dy \\, P\\left(y|\\Theta\\right)} \\, \\left( \\, \\nabla_{\\theta_{n}} \\ln P\\left(y|\\Theta\\right) \\cdot \\nabla_{\\theta_{n}} \\ln P\\left(y|\\Theta\\right) \\, \\right) \\nonumber \\\\\n& = & \n{\\int_{\\cal B}{dy \\; P\\left(y|\\Theta\\right) \\sum\\limits_{\\nu, \\, \\mu = (0),1,2,...} \\eta^{\\nu \\mu} {\\left(\\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{n}^{\\nu}} \\; \\frac{\\partial \\ln P \\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{n}^{\\mu}} \\right)}}}\n\\; .\\end{aligned}$$ Tensor $(\\eta^{\\nu \\mu}) = diag(1,-1,-1,-1)$ jest tensorem dualnym do $(\\eta_{\\nu \\mu})$, tzn. ", "$\\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta_{\\nu \\mu} \\eta^{\\gamma \\mu}$ $= \\delta_{\\nu}^{\\gamma}$, przy czym $\\delta_{\\nu}^{\\gamma}$ jest delt¹ Kroneckera, a $\\nabla_{\\theta_{n}} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_{n}} = \\! ", "\\sum_{\\nu} \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_{n}^{\\nu}} \\, d {\\bf y}_{n}^{\\nu} \\, $. ", "W zwi¹zku (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) “$\\cdot$” oznacza iloczyn wewnêtrzny zdefiniowany przez tensor metryczny $(\\eta^{\\nu \\mu})$.\\\n\\\n[**Uwaga o niefaktoryzowalnoœci czasoprzestrzennych indeksów po³o¿enia**]{}: $\\;\\;$ W pomiarze wybranej $\\nu$-tej wspó³rzêdnej po³o¿enia nie mo¿na wykluczyæ odchyleñ (fluktuacji) wartoœci wspó³rzêdnych do niej ortogonalnych. ", "Oznacza to, ¿e wartoœæ oczekiwana $\\nu$-tej wspó³rzêdnej po³o¿enia nie jest w (\\[wartosc oczekiwana EY\\]) liczona z jakiegoœ rozk³adu typu $p({\\bf y}^{\\nu})$, lecz musi byæ liczona z ³¹cznego rozk³adu $p({\\bf y})$ dla wszystkich wspó³rzêdnych ${\\bf y}^{\\nu}$. W konsekwencji, w przypadku zmiennych po³o¿enia przestrzennego i ich parametrów naturalnych okreœlonych w (\\[wartosc oczekiwana EY\\]), ca³kowanie w (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) nie mo¿e zostaæ sfaktoryzowane ze wzglêdu na wspó³rzêdn¹ wektorow¹ $\\nu$.\\\nZgodnie z powy¿sz¹ uwag¹, wariancja estymatora $\\hat{\\theta}_{n} \\left({y}\\right)$ parametru $\\theta_{n}$ powinna przyj¹æ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariancja estymatora theta i alfa}\n\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; {\\sigma^{2}} \\,( \\hat{\\theta}_{n}) &=& \\int_{\\cal B} dy \\, P\\left(y|\\Theta\\right) \\left(\\hat{\\theta}_{n} \\left(y\\right) - \\theta_{n} \\right) \\cdot \\left(\\hat{\\theta}_{n} \\left(y\\right)-\\theta_{n} \\right) \\\\\n&=& \\int_{\\cal B} dy \\, P\\left(y|\\Theta\\right) \\sum\\limits_{\\nu, \\, \\mu = (0),1,2,...} \\eta_{\\nu \\mu} \\left(\\hat{\\theta}_{n}^{\\nu} \\left(y\\right) - \\theta_{n}^{\\nu} \\right) \\, \\left(\\hat{\\theta}_{n}^{\\mu} \\left(y\\right) - \\theta_{n}^{\\mu} \\right) \n\\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$ Rozwa¿ania przedstawione na koñcu Rozdzia³u \\[Przyklad wektorowego DORC\\] oznaczaj¹, ¿e ze wzglêdu na (\\[rozklady punktowe polozenia\\]), dla ka¿dego wyró¿nionego parametru $\\theta_{n}\\,$ wariancja ${\\sigma^{2}} \\, (\\hat{\\theta}_{n})$ jego estymatora (\\[wariancja estymatora theta i alfa\\]) w jego kanale informacyjnym jest zwi¹zana z informacj¹ Fishera $I_{F n} = I_{F n}(\\theta_{n})$ parametru $\\theta_{n}$ poprzez nierównoœæ (\\[I11 rowna sie I11do-1 przypadek diagonalny\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{Rao Cram uogolnienie}\n\\frac{1}{{\\sigma^{2}}\\,\\left(\\hat{\\theta}_{n} \\right)} \\leq \\frac{1}{I_{F}^{n}} \\leq I_{F n} \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; ,\\end{aligned}$$ bêd¹c¹ uogólnieniem nierównoœci informacyjnej Rao-Cramera (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]), gdzie $I^{n}_{F}$ jest DORC dla parameteru ${\\theta}_{n}$.\\\n\\\n[**Uwaga o zmiennych Fisher’owskich**]{}: Faktu [*zale¿noœci statystycznej*]{} zmiennych po³o¿enia przestrzennego dla ró¿nych indeksów ${\\nu}$ nie nale¿y myliæ z posiadan¹ przez nie [*niezale¿noœci¹ analityczn¹*]{}, która oznacza, ¿e zmienne $Y$ s¹ tzw. ", "zmiennymi Fisher’owskimi, dla których: $$\\begin{aligned}\n\\label{zmienne Fisherowskie}\n\\frac{\\partial {\\bf y}^{\\nu}}{\\partial {\\bf y}^{\\mu}} = \\delta^{\\nu}_{\\mu} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Zwi¹zek pomiêdzy informacj¹ Stama i pojemnoœci¹ $I$**]{}: Wielkoœæ $\\frac{1}{{\\sigma^{2}} \\, (\\hat{\\theta}_{n})}$ odnosi siê do estymacji w $n$-tym kanale informacyjnym. ", "Sumuj¹c po indeksie $n$ otrzymujemy [*informacjê Stama*]{} $I_{S}$ [@Stam; @Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{informacja Stama Minkowskiego}\n0 \\leq I_{S} \\equiv \\sum\\limits_{n=1}^{N} \\frac{1}{{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{n})} =: \\sum\\limits_{n=1}^{N} I_{S n} \\;\\, .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ $\\theta_{n} = (\\theta_{n}^{\\nu})$ jest parametrem wektorowym, zatem $I_{S n} = \\frac{1}{{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{n})}$ jest informacj¹ Stama czasoprzestrzennych kana³ów dla $n$-tego pomiaru w próbie[^42].\\\nW koñcu, sumuj¹c lew¹ i praw¹ stronê w (\\[Rao Cram uogolnienie\\]) wzglêdem indeksu $n$ i bior¹c pod uwagê (\\[informacja Stama\\]), zauwa¿amy, ¿e $I_{S}$ spe³nia nierównoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{informacja Stama vs pojemnosc informacyjna Minkowskiego}\n0 \\leq I_{S} \\equiv \\sum\\limits_{n=1}^{N} I_{S n} \\le \\sum\\limits_{n=1}^{N} {I_{F n}} = I \n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I$ jest pojemnoœci¹ kana³u informacyjnego (\\[pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]). ", "Nierównoœæ (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]) jest minimalnym uogólnieniem “jednokana³owej” nierównoœci Rao-Cram[é]{}r’a (\\[Rao Cram uogolnienie\\]), potrzebnym z punktu widzenia przeprowadzanego pomiaru.\\\n\\\nZ punktu widzenia modelowania fizycznego, pojemnoœæ kana³u informacyjnego $I$ jest najwa¿niejszym pojêciem statystycznym, le¿¹cym u podstaw cz³onów kinematycznych [@Frieden] ró¿nych modeli teorii pola. ", "Zgodnie z (\\[informacja Stama\\]) okaza³o siê, ¿e zarówno dla metryki Euklidesowej (\\[metryka E\\]) jak i metryki Minkowskiego (\\[metryka M\\]), estymacja jest wykonywana dla dodatniej informacji $I_{S}$. Zatem z (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna\\]) wynika, ¿e $I$ jest równie¿ nieujemna. ", "W Rozdziale \\[Informacja Fouriera\\] wed³ug (\\[I by Fourier to m\\]) oka¿e siê, ¿e $I$ jest nieujemnie zdefiniowana dla teorii pola dla cz¹stek, które maj¹ nieujemny kwadrat masy [@dziekuje; @za; @neutron]. ", "Chocia¿ w ka¿dym szczególnym modelu teorii pola z przestrzeni¹ Minkowskiego fakt ten powinien zostaæ sprawdzony, to z punktu widzenia teorii estymacji jest jasne, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyczynowosc}\n{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{n}) \\geq 0 \\; .\\end{aligned}$$ Sytuacja ta ma zawsze miejsce dla [*procesów przyczynowych*]{}.\\\n\\\n\\\n[**Uwaga o indeksie próby i kanale pomiarowym**]{}: Indeks próby $n$ jest najmniejszym indeksem kana³u informacyjnego, w którym dokonywany jest pomiar. ", "Tzn. ", "gdyby indeks próby mo¿na by³o dodatkowo “zaindeksowaæ”, np. ", "indeksem czasoprzestrzennym, wyznaczaj¹c podkana³y, to i tak nie mo¿na by dokonaæ pomiaru tylko w jednym z tak wyznaczonych podkana³ów (nie dokonuj¹c go równoczeœnie w pozosta³ych podkana³ach posiadaj¹cych indeks próby $n$). [*", "Kana³ niepodzielny z punktu wiedzenia eksperymentu nazwijmy kana³em pomiarowym*]{}.\\\n\\\n[**Uwaga o analizie we fragmencie kana³u pomiarowego**]{}: W przypadku ograniczenia analizy do fragmentu kana³u pomiarowego nale¿y siê upewniæ, czy pozosta³a w analizie czêœæ informacji Stama ma wartoœæ dodatni¹. Np. ", "w przypadku zaniedbania czasowo zaindeksowanej czêœci czasoprzestrzennego kana³u pomiarowego, otrzymana nierównoœæ Stama dla sk³adowych przestrzennych ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{nierownosc informacja Stama dla podkanalow przestrzennych}\n\\!\\!\\! ", "0 \\leq I_{S} \\! &", "=& \\! ", "\\sum_{n=1}^{N} I_{S n} \\nonumber \\\\\n& & \\leq \\sum_{n=1}^{N} {\\int{d\\vec{y} \\, P\\left(\\vec{y}|\\vec{\\Theta}\\right) \\sum \\limits_{i=1}^{3}{\\frac{\\partial\\ln P\\left(\\vec{y}|\\vec{\\Theta}\\right)}{\\partial\\theta_{n i}} \\; \\frac{\\partial\\ln P\\left(\\vec{y}|\\vec{\\Theta}\\right)}{\\partial\\theta_{n i}}}}} =: \\sum_{n=1}^{N} I_{F n} = I\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie znak wektora oznacza, ¿e analiza zarówno w przestrzeni próby jak i przestrzeni parametrów zosta³a obciêta do czêœci przestrzennej zmiennych losowych i parametrów.\\\n\\\n[**Uwaga o symetrii**]{}: Z punktu widzenia pomiaru, b³¹d estymacji sk³adowych wchodz¹cych jednoczeœnie w wyznaczenie [*d³ugoœci*]{} czterowektora w $n$-tym kanale, jest niezale¿ny od uk³adu wspó³rzêdnych w przestrzeni Minkowskiego. ", "Dlatego wielkoœæ $I_{S n} = 1/{\\sigma^{2}}\\,(\\hat{\\theta}_{n})$ okreœlona poprzez (\\[informacja Stama Minkowskiego\\]) oraz (\\[wariancja estymatora theta i alfa\\]) jest dla tensora metrycznego (\\[metryka M\\]) niezmiennicza ze wzglêdu na transformacjê Lorentz’a (pchniêcia i obroty). ", "W przypadku tensora metrycznego (\\[metryka E\\]) jest ona niezmiennicza ze wzglêdu na transformacje Galileusza.\\\nJeœli chodzi o pojemnoœæ informacyjn¹ $I$, to w przypadku niezale¿noœci pomiarów w próbie, jest ona równie¿ niezmiennicza ze wzglêdu na transformacjê Lorentz’a w przestrzeni z metryk¹ Minkowskiego (czy transformacjê Galileusza w przestrzeni Euklidesowej), o ile niezmiennicze jest ka¿de $I_{n}$.[^43] Warunki niezmienniczoœci $I_{Sn}$ oraz $I$ schodz¹ siê, gdy w nierównoœci Rao-Cramera (\\[Rao Cram uogolnienie\\]) osi¹gana jest równoœæ.\\\nNierównoœæ Rao-Cramera okazuje siê niezmiennicza ze wzglêdu na podstawowe transformacje [@Frieden; @PPSV]. ", "Istotnie, zgodnie z powy¿szymi rozwa¿aniami, w³aœciwym pomiarem niezale¿nym od przyjêtego uk³adu wspó³rzêdnych jest pomiar kwadratu d³ugoœci $\\sum_{\\nu=0}^{3} {\\bf y}_{\\nu} {\\bf y}^{\\nu}$, a nie pojedynczej wspó³rzêdnej ${\\bf y}^{\\nu}$. Wiêcej na temat niezmienniczoœci DORC ze wzglêdu na przesuniêcie, odbicie przestrzenne, obroty i transformacjê affiniczn¹ oraz transformacje unitarne mo¿na znaleŸæ w [@PPSV].\\\n\\\n[**Kryterium minimalizacji $I$ ze wzglêdu na $N$**]{}: Na koniec zauwa¿my, ¿e sumowanie w (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) przebiega od $n=1$ do $n=N$. Ka¿dy $n$-ty wyraz w sumie wnosi analityczny wk³ad jako stopieñ swobody dla $I$. O ile dodane stopnie swobody nie wp³ywaj¹ na ju¿ istniej¹ce, to poniewa¿ ka¿dy, ca³y wyraz w sumie po $n$ jest nieujemny, to informacja $I$ ma tendencje do wzrostu wraz ze wzrostem $N$. Kryterium minimalizacji $I$ ze wzglêdu na $N$ pos³u¿y³o Friedenowi i Sofferowi jako dodatkowy warunek przy konstrukcji np. ", "równañ ruchu. ", "Nie znaczy to, ¿e modele z wiêkszym $N$ zosta³y automatycznie wykluczone, tylko ¿e im wiêksze jest $N$ tym wiêcej stopni swobody wchodzi do opisu obserwowanego zjawiska i opisywane zjawisko jest bardziej z³o¿one. ", "Zagadnienie to omówimy w przyk³adach, w dalszej czêœci skryptu.", "\n\nPomiar uk³adu w podejœciu Friedena-Soffera {#Podstawowe zalozenie Friedena-Soffera}\n------------------------------------------\n\nJak w Rozdziale \\[Poj inform zmiennej los poloz\\], rozwa¿my zmienn¹ losow¹ $Y$ po³o¿enia uk³adu, przyjmuj¹c¹ wartoœæ ${\\bf y}$, która jest punktem zbioru ${\\cal Y}$. Mo¿e to byæ punkt czasoprzestrzenny przestrzeni Minkowskiego, co ma miejsce w rozwa¿aniach zwi¹zanych z opisem uk³adu np. ", "w mechanice falowej. ", "Wartoœci ${\\bf y} \\equiv ({\\bf y}^{\\nu})_{\\nu=0}^{3} \\in {\\cal Y} \\equiv \\mathbb{R}^{4}$ s¹ realizowane zgodnie z rozk³adem $p({\\bf y})$ w³aœciwym dla uk³adu[^44].\\\n\\\n[**Podstawowe za³o¿enie fizyczne podejœcia Friedena-Soffera**]{}: Niech dane $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N} = ({\\bf y}_{1}, ..., {\\bf y}_{N})$ s¹ realizacjami próby dla po³o¿eñ uk³adu, gdzie ${\\bf y}_{n} \\equiv ({\\bf y}_{n}^{\\nu})_{\\nu=0}^{3}$. [*Zgodnie z za³o¿eniem zaproponowanym przez Frieden’a i Soffer’a*]{} [@Frieden][*, ich zebranie nastêpuje przez sam uk³ad w zgodzie z rozk³adami gêstoœci prawdopodobieñstwa, $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$, gdzie $n=1,...,N$*]{}.\\\n\\\nTreœæ powy¿szego za³o¿enia fizycznego mo¿na wypowiedzieæ nastêpuj¹co: [*Uk³ad próbkuje dostêpn¹ mu czasoprzestrzeñ, “zbieraj¹c dane i dokonuj¹c analizy statystycznej”, zgodnie z zasadami informacyjnymi*]{} (wprowadzonymi w Rozdziale \\[Zasady informacyjne\\]).\\\n\\\n[**Przestrzenie statystyczne próby ${\\cal S}$, punktowa ${\\cal S}_{4}$ oraz ${\\cal S}_{N \\times 4} \\;$**]{}: Niech rozwa¿ana przestrzeñ jest czasoprzestrzeni¹ Minkowskiego. ", "Wtedy ka¿dy z rozk³adów $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$ jest punktem modelu statystycznego ${\\cal S}_{4} = \\{p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})\\}$ parametryzowanego przez naturalny parametr, tzn. ", "przez wartoœæ oczekiwan¹ $\\theta_{n} \\equiv (\\theta_{n}^{\\nu})_{\\nu=0}^{3} = E(Y_{n})$, jak w (\\[wartosc oczekiwana EYn\\]). ", "Zbiór wartoœci $d = 4 \\times N$ - wymiarowego parametru $\\Theta=(\\theta_{n})_{n=1}^{N}$ tworzy wspó³rzêdne dla ³¹cznego rozk³adu $P(y\\,|\\Theta)$, bêd¹cego punktem na $d=4 \\times N$-wymiarowej rozmaitoœci, która jest (pod)przestrzeni¹ statystyczn¹ ${\\cal S} \\subset \\Sigma({\\cal B})$ [@Amari; @Nagaoka; @book] (por. (", "\\[model statystyczny S\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{model statystyczny S z Theta}\n{\\cal S} = \\{P_{\\Theta} \\equiv P(y\\,|\\Theta), \\Theta \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N} \\in {V}_{\\Theta} \\subset \\Re^{d} \\} \\; , \\end{aligned}$$ okreœlon¹ na przestrzeni próby ${\\cal B}$. Jak wiemy z Rozdzia³u \\[alfa koneksja\\], rozmaitoœæ ${\\cal S}$ jest rodzin¹ rozk³adów prawdopodobieñstwa parametryzowan¹ przez rzeczywist¹, nie losow¹ zmienn¹ wektorow¹ $\\Theta \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N} \\in {V}_{\\Theta}$, która w rozwa¿anym przypadku parametru po³o¿enia, tworzy $N \\times 4$-wymiarowy lokalny uk³ad wspó³rzêdnych. ", "Zatem, poniewa¿ próba $\\widetilde{Y}$ jest $N \\times 4$-wymiarow¹ zmienn¹ losow¹, wiêc wymiary przestrzeni próby ${\\cal B}$ i wektorowego parametru $\\Theta \\equiv (\\theta_{n}^{\\nu})_{n=1}^{N}$ s¹ takie same[^45].\\\nW przysz³oœci oka¿e siê, ¿e z powodu zwi¹zku (\\[rozklady punktowe polozenia\\]) analiza na przestrzeni statystycznej okreœlonej przez (\\[model statystyczny S z Theta\\]) z parametrami $(\\theta_{n}^{\\nu})_{n=1}^{N}$ tworz¹cymi $N \\times 4$-wymiarowy lokalny uk³ad wspó³rzêdnych, efektywnie redukuje siê do analizy na ${\\cal S}_{N \\times 4} \\equiv \\{\\bigoplus_{n=1}^{N} p_{n}(y\\,|\\theta_{n}) \\}$. Jednak¿e, poniewa¿ wartoœci parametru $\\theta_{n}$ mog¹ siê zmieniaæ od jednego punktu $n$ próby do innego punktu $n'$, zatem nie mo¿e byæ ona w ogólnoœci sprowadzona do analizy na ${\\cal S}$ poprzez samo przeskalowanie metryki Riemanna oraz (dualnej) koneksji na ${\\cal S}_{4}$ przez czynnik $N$, jak to ma miejsce we wnioskowaniu pojawiaj¹cym siê w statystyce klasycznej [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "W przysz³oœci liczbê $N$ parametrów $\\theta_{n}$, bêd¹c¹ wymiarem próby $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$, bêdziemy nazywali rang¹ pola.\\\n\\\n[**Uwaga o podmiocie**]{}: Jednak pamiêtajmy, ¿e estymacji dokonuje tylko cz³owiek, zatem na metodê EFI nale¿y patrzeæ tylko jak na [*pewien model analizy statystycznej*]{}.\\\n\\\nInteresuj¹ca nas statystyczna procedura estymacyjna dotyczy wnioskowania o $p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n})$ na podstawie danych $y$ z wykorzystaniem funkcji wiarygodnoœci $P(y|\\Theta)$. Za³ó¿my, ¿e dane zbierane przez uk³ad $y = \\left({\\bf y}_1,{\\bf y}_2,...,{\\bf y}_N\\right)$ s¹ uzyskane niezale¿nie tak, ¿e ³¹czny rozk³ad prawdopodobieñstwa dla próby faktoryzuje siê na rozk³ady brzegowe: $$\\begin{aligned}\nP(\\Theta) \\equiv P\\left(y|\\Theta \\right) = \\prod\\limits_{n=1}^N {p_n \\left({\\bf y}_n|\\Theta \\right)} = \\prod\\limits_{n=1}^N {p_n\\left(y_n| \\theta_n \\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie w ostatniej równoœci skorzystano z za³o¿enia, ¿e parametr $\\theta_{m}$ dla $m \\neq n$ nie ma wp³ywu na rozk³ad zmiennej $Y_n$.\\\n\\\n[**Wstêpne okreœlenie postaci kinematycznej $I$**]{}: Centralna czêœæ pracy Frieden’a i Soffer’a jest zwi¹zana z przejœciem od pojemnoœci informacyjnej $I$ zadanej równaniem (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) oraz (\\[pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc C dla polozenia - powtorka wzoru}\nI = \\sum\\limits_{n=1}^{N} I_{n} = \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\int_{\\cal B}{dy \\; P\\left(y|\\Theta\\right)\\sum\\limits _{\\nu=0}^{3}{\\left(\\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{n \\nu}} \\; \\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{n}^{\\nu}} \\right)}}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $d y:= d^{4}{\\bf y}_{1}...d^{4}{\\bf y}_{N}\\,$ oraz $d^{4}{\\bf y}_{n}=d {\\bf y}_{n}^{0} d {\\bf y}_{n}^{1} d {\\bf y}_{n}^{2} d {\\bf y}_{n}^{3} \\,$, do tzw. ", "postaci kinematycznej wykorzystywanej w teorii pola oraz fizyce statystycznej.\\\n\\\nRachunek analogiczny jaki doprowadzi³ z (\\[inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej\\]) do (\\[I dla pn jeden parametr\\]) wygl¹da teraz w skrócie nastêpuj¹co. ", "Przekszta³æmy pochodn¹ $\\ln P$ w (\\[pojemnosc C dla polozenia - powtorka wzoru\\]) do postaci: $$\\begin{aligned}\n\\frac{\\partial \\ln P \\left(y|\\Theta \\right)}{\\partial \\theta_{n\\nu}} = \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_{n\\nu}}\\sum\\limits_{n=1}^N {\\ln p_{n} \\left({\\bf y}_n|\\theta_n \\right)} = \\sum\\limits_{n=1}^N {\\frac{1}{p_n \\left({\\bf y}_n|\\theta_n \\right)} \\frac{\\partial{p_n \\left({\\bf y}_n|\\theta_n \\right)} }{\\partial \\theta_{n\\nu}}} \\; .\\end{aligned}$$ Pamiêtaj¹c o unormowaniu ka¿dego z rozk³adów brzegowych, $\\int_{\\cal Y} d^{4}{\\bf y_{n}} $ $ p_n \\left({\\bf y}_n|\\theta_n \\right) = 1$, otrzymujemy postaæ pojemnoœci informacyjnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I bez log p po theta}\nI = \\sum_{n=1}^N {\\int_{\\cal Y} d^{4}{\\bf y}_n \\frac{1}{{p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n \\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; ,\\end{aligned}$$ bêd¹c¹ uogólnieniem (\\[I dla pn jeden parametr\\]).\\\n\\\nW koñcu przejdŸmy do amplitud $q_{n}\\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)$ okreœlonych jak w (\\[amplituda a rozklad\\]): $$\\begin{aligned}\np_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right) = q_{n}^{2}\\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right) \\; .\\end{aligned}$$ Proste rachunki daj¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{potrz}\nI = 4 \\sum\\limits_{n=1}^N \\int_{\\cal Y} {d^{4}{\\bf y}_{n} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial q_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n \\nu} }}} {\\frac{{\\partial q_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; , \\end{aligned}$$ czyli prawie kluczow¹ postaæ pojemnoœci informacyjnej dla rachunku metody EFI Friedena-Soffera. ", "Jedyne co trzeba jeszcze zrobiæ, to przejœæ od przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ z baz¹ $(\\theta_{n})_{n=1}^{N}$ dla reprezentacji amplitud danych pomiarowych ${\\bf y}_{n} \\in {\\cal Y}$, do przestrzeni amplitud przesuniêæ ${\\bf x}_{n} := {\\bf y}_{n} - \\theta_{n}$ okreœlonych na przestrzeni bazowej ${\\cal X}$. Poœwiêcimy temu zagadnienu Rozdzia³ \\[The kinematical form of the Fisher information\\].", "\n\n### Przyk³ad: Estymacja w fizycznych modelach eksponentialnych {#Estymacja w modelach fizycznych na DORC}\n\nW Rozdziale \\[Dualne uklady wspolrzednych\\] wprowadzone zosta³o pojêcie dualnych affinicznych uk³adów wspó³rzêdnych na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$. Obecny rozdzia³ poœwiêcony jest zastosowaniu modeli eksponentialnych (\\[exponential family\\]) i szczególnej roli [*parametrów dualnych*]{} zwi¹zanych z koneksj¹ $\\nabla^{(-1)}$. Rodzina modeli eksponentialnych wykorzystywana jest w teorii estymacji szeregu zagadnieñ fizycznych. ", "Jej najbardziej znan¹ realizacj¹ jest estymacja metod¹ maksymalnej entropii, sformu³owana w poni¿szym twierdzeniu dla wymiaru próby $N=1$.\\\n\\\nNiech: $$\\begin{aligned}\n\\label{entropia w dowodzie o maks entropii}\nS_{H}(p) = - \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} p({\\bf y}|\\Xi) \\ln p({\\bf y}|\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; \\end{aligned}$$ jest entropi¹ Shannona stanu uk³adu zadanego rozk³adem $p({\\bf y}|\\Xi)$ z parametrami $\\Xi$, a $F_{i}(Y)$, $i=1,2,...,d$, uk³adem niezale¿nych zmiennych losowych o okreœlonych wartoœciach oczekiwanych: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosi oczekiwane eta model eksponentialny}\n\\theta_{i} = \\theta_{i}(\\Xi) = E_{\\Xi}\\left[ F_{i}(Y) \\right] = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} p({\\bf y}|\\Xi) F_{i}({\\bf y}) \\; , \\;\\;\\;\\; i = 1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Z (\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]) widaæ, ¿e $F_{i}(Y)$ s¹ [*nieobci¹¿onymi estymatorami parametrów*]{} $\\theta_{i}$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{Fi jako estymatory wartosi oczekiwane eta model eksponentialny}\n\\hat{\\theta}_{i} = F_{i}(Y) \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\; .\\end{aligned}$$ [**Twierdzenie o stanie z maksymaln¹ entropi¹ (TME)**]{}. ", "Istnieje jednoznacznie okreœlony unormowany stan uk³adu posiadaj¹cy [*maksymaln¹ entropiê*]{}, zadany nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{model eksponentialny dla stanu maks entropii}\np_{\\Xi} \\equiv p({\\bf y}|\\Xi) = Z^{-1} \\exp \\left( \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right) \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; \\end{aligned}$$ w bazie kanonicznej $\\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ modelu eksponentialnego (\\[exponential family\\]), gdzie sta³a normalizacyjna $Z$ jest tzw. [*", "funkcj¹ partycji*]{} (podzia³u) [@Jurek; @Dajka; @kwantowe; @metody; @opisu]: $$\\begin{aligned}\n\\label{model eksponentialny funkcja podzialu}\nZ \\equiv Z(\\Xi) = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\exp \\left( \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right) \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Dowód**]{}: Zgodnie z [*twierdzeniem Lagrange’a*]{} wiemy, ¿e maksimum warunkowe dla funkcji $S_{H}(p)$, przy dodatkowym warunku normalizacyjnym: $$\\begin{aligned}\n\\label{normalizacja dla rozkl eksp}\n\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\,p({\\bf y}|\\Xi) = 1 \\; \\end{aligned}$$ oraz $d$ warunkach zwi¹zanych z zadaniem wartoœci oczekiwanych (\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]), jest równowa¿ne wyznaczeniu bezwarunkowego ekstremum funkcji: $$\\begin{aligned}\n\\label{funkcja S warunkowa z norm i d war}\nS_{war}(p)\\! &", "=& \\! ", "\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} s_{war}(p) := S_{H}(p) - \\xi^{0} \\left (1 - \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\,p({\\bf y}|\\Xi) \\right) - \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\left( \\theta_{i} - \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, p({\\bf y}|\\Xi) F_{i}({\\bf y}) \\right) \\nonumber \\\\\n&=& \\! ", "\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, p({\\bf y}|\\Xi) \\left( - \\ln p({\\bf y}|\\Xi) + \\xi^{0} + \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right) - \\xi^{0} - \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\theta_{i} \\; ,\\end{aligned}$$ ze wzglêdu na wariacjê $p({\\bf y}|\\Xi)$, gdzie $\\xi^{0}$ oraz $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ s¹ czynnikami Lagrange’a. ", "Poniewa¿ $S_{H}(p)$ jest œcisle wklês³a [@Bengtsson_Zyczkowski], zatem otrzymujemy [*maksimum, które jest wyznaczone jednoznacznie*]{}.\\\n\\\nWarunek ekstremizacji funkcjona³u[^46] $S_{war}(p)$ ze wzglêdu na $p({\\bf y}|\\Xi)$, tzn. ", "$\\delta_{(p)} S_{war} = 0$, prowadzi do równania Eulera-Lagrange’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{EL eq dla entropii}\n\\frac{\\partial }{\\partial {\\bf y}} \\left({\\frac{{\\partial s_{war}}}{{\\partial \\left( \\frac{\\partial p({\\bf y}|\\Xi)}{\\partial {\\bf y}} \\right) }}}\\right) = \\frac{{\\partial s_{war}}}{{\\partial p({\\bf y}|\\Xi)}} \\;\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie zgodnie z (\\[funkcja S warunkowa z norm i d war\\]) postaæ funkcji podca³kowej $s_{war}$ wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac s_war}\ns_{war} = p({\\bf y}|\\Xi) \\left( - \\ln p({\\bf y}|\\Xi) + \\xi^{0} + \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right) \\; .\\end{aligned}$$ Podstawiaj¹c $s_{war}$ do (\\[EL eq dla entropii\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariacja S warunkowanego}\n- \\ln p({\\bf y}|\\Xi) + \\xi^{0} + \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) - 1 = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Równanie (\\[wariacja S warunkowanego\\]) daje szukan¹ postaæ rozk³adu $p({\\bf y}|\\Xi)$ maksymalizuj¹cego entropiê $S_{H}(p)$: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiazanie dla stanu maks entropii}\np({\\bf y}|\\Xi) = A \\, \\exp \\left( \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right) \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; A = 1/\\exp(1 - \\xi^{0}) = const. \\;\\; , ", "\\end{aligned}$$ który jak to widaæ z (\\[exponential family\\]) jest typu eksponentialnego z parametrami kanonicznymi $\\xi^{i}$, $i=1,2,...,d$ oraz $C({\\bf y}) = 0$. Ponadto z warunku normalizacji (\\[normalizacja dla rozkl eksp\\]) otrzymujemy $A = Z^{-1}$, gdzie $Z$ jest funkcj¹ partycji (\\[model eksponentialny funkcja podzialu\\]). ", "c.n.d.\\\n\\\n[**Parametry dualne**]{}. ", "Po rozpoznaniu, ¿e model maksymalizuj¹cy entropiê stanu uk³adu jest modelem eksponentialnym (\\[model eksponentialny dla stanu maks entropii\\]) w parametryzacji kanonicznej $\\Xi$, mo¿emy (\\[model eksponentialny dla stanu maks entropii\\]) zapisaæ w postaci (\\[exponential family\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{exponential family dla maks entrop}\np_{\\Xi} \\equiv p({\\bf y}| \\Xi) = \\exp \\left[\n\\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) - \\psi(\\Xi) \\right] \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{Z dla exponential family dla maks entrop}\nZ(\\Xi) = \\exp \\left[\\psi(\\Xi) \\right] \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ zgodnie z (\\[psi dla exponential family\\]), $\\psi(\\Xi) = \\ln \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\exp \\left[ \n\\sum_{i=1}^{d}\n\\xi^{i} F_{i}({\\bf y}) \\right] $, zatem z (\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]) oraz wykorzystuj¹c (\\[exponential family dla maks entrop\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{eta dla rozkl eksponentialnego entropia}\n\\theta_{i} = \\partial_{\\xi^i} \\psi(\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z oznaczenia $\\partial_{\\xi^i} \\equiv \\partial/\\partial \\xi^{i}$.\\\nKorzystaj¹c z $\\partial_{\\xi^j} \\partial_{\\xi^i} \\ln p({\\bf y}|\\Xi) = - \\partial_{\\xi^j} \\partial_{\\xi^i} \\psi(\\Xi)$, (\\[partial l dla psi dla exponential family\\]), oraz $g^{\\xi}_{ij} = - E_{\\Xi}(\\partial_{\\xi^i} \\partial_{\\xi^j} \\ln p({\\bf y}|\\Xi))$, (\\[Fisher inf matrix plus reg condition\\]), otrzymujemy równie¿: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn 2 rzedu dla psi i eta dla eksponential}\ng^{\\xi}_{ij} = \\partial_{\\xi^i} \\partial_{\\xi^j} \\psi(\\Xi) \\; , \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\; i,j=1,2,...,d \\;\\;\\;\\;\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Dualne uk³ady modelu maksymalizuj¹cego entropiê**]{}: Z (\\[Gamma 1 dla exponential family\\]) wiemy, ¿e uk³ad wspó³rzêdnych $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ jest $\\alpha = 1$ - afinicznym uk³adem wspó³rzêdnych modelu eksponentialnego. ", "Zatem z (\\[eta dla rozkl eksponentialnego entropia\\]) oraz (\\[row rozn 2 rzedu dla psi i eta dla eksponential\\]) wynika, ¿e $(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ [*jest $\\alpha = (- 1)$ - afinicznym uk³adem wspó³rzêdnych modelu eksponentialnego dualnym do*]{} $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$.\\\nParametry $\\theta_{i}$, $i=1,2,...,d$, nazywamy z przyczyn podanych powy¿ej [*parametrami dualnymi*]{} do $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ lub [*parametrami oczekiwanymi*]{} modelu statystycznego ${\\cal S}$.\\\n\\\n[**Estymacja na DORC**]{}: Korzystaj¹c z definicji (\\[Fisher inf matrix\\]) metryki Rao-Fishera, z postaci (\\[exponential family dla maks entrop\\]) rozk³adu eksponentialnego oraz z (\\[eta dla rozkl eksponentialnego entropia\\]), otrzymujemy postaæ macierzy informacyjnej $I_{F}$ w parametryzacji kanonicznej $\\Xi$: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher inf matrix eksonent dla max entrop dla Theta}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "I_{F\\, ij}(\\Xi) \\equiv g^{\\xi}_{ij} &=& E_{\\Xi}\\left[ \\partial_{\\xi^i} \\ln p(Y| \\Xi) \\; \\partial_{\\xi^j} \\ln p(Y| \\Xi) \\right] \\nonumber \\\\\n&=& E_{\\Xi}\\left[ (F_{i}(Y) - \\theta_{i}) (F_{j}(Y) - \\theta_{j}) \\right] \\; , \\;\\;\\; i,j = 1,2,...,d \\; , \\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; . \\;\\;\\;\\;\\;\\; ", "\\end{aligned}$$ Niech $\\hat{\\Theta} \\equiv ({\\hat{\\theta}}_{i})_{i=1}^{d}$ s¹ estymatorami parametrów $\\Theta \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ bazy dualnej do $\\Xi$. Poniewa¿ z (\\[Fi jako estymatory wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]) mamy $\\hat{\\theta}_{i} = F_{i}(Y)$, $i=1,2,...,d$, zatem po prawej stronie (\\[Fisher inf matrix eksonent dla max entrop dla Theta\\]) stoj¹ elementy macierzy kowariancji $V_{\\Xi}(\\hat{\\Theta})$ estymatorów $\\hat{\\Theta}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{macierz kowar estymatorow Eta eksonent dla max entrop}\nV_{\\Xi \\, ij}(\\hat{\\Theta}) = E_{\\Xi}\\left[ (\\hat{\\theta}_{i} - \\theta_{i}) (\\hat{\\theta}_{j} - \\theta_{j}) \\right] \\; , \\;\\;\\;\\; i,j = 1,2,...,d \\; , \\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Równoœæ (\\[Fisher inf matrix eksonent dla max entrop dla Theta\\]) mo¿na wiêc zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownosc Fisher Theta inf i macierzy kowariancji maks entrop}\nV_{\\Xi}(\\hat{\\Theta}) = I_{F}(\\Xi)\n \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ macierze informacyjne w bazach dualnych s¹ wzglêdem siebie odwrotne, tzn. ", "$I_{F}(\\Xi) = I_{F}^{-1}(\\Theta)$, (\\[macierze informacyjne dualne\\]), oraz macierz kowariancji okreœlonych zmiennych losowych (w tym przypadku $\\hat{\\Theta}$) nie zale¿y od bazy w ${\\cal S}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{macierz kowariancji V dla Theta w roznych bazach}\nV_{\\Theta}(\\hat{\\Theta}) = V_{\\Xi}(\\hat{\\Theta})\n \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ wiêc z (\\[rownosc Fisher Theta inf i macierzy kowariancji maks entrop\\]) otrzymujemy nastêpuj¹cy zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownosc odwrot Fisher Eta inf i m kowariancji maks entrop}\nV_{\\Theta}(\\hat{\\Theta}) = I_{F}^{-1}(\\Theta)\n \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, p_{\\Theta} \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Wniosek**]{}: Ze wzglêdu na Twierdzenie Rao-Cramera (\\[twierdzenie RC wersja 2\\]) powy¿szy warunek oznacza, ¿e estymacja parametrów dualnych jest dla modeli eksponentialnych, spe³niaj¹cych warunek maksymalnej entropii dokonywana na DORC.\\\n\\\n\\\n[**Przyk³ad dualnego uk³adu wspó³rzêdnych. ", "Rozk³ad normalny**]{}: Z Rozdzia³u \\[alfa koneksja\\], wzór (\\[rozklad normalny parametry kanoniczne\\]), wiemy, ¿e rozk³ad normalny jest typem modelu eksponentialnego z $C({\\bf y}) = 0$. Oznacza to, ¿e mo¿e siê on pojawiæ jako rezultat estymacji spe³niaj¹cej za³o¿enia TME. ", "Korzystaj¹c z postaci rozk³adu normalnego oraz z (\\[wartosi oczekiwane eta model eksponentialny\\]) i (\\[rozklad normalny parametry kanoniczne\\]) otrzymujemy dualne parametry tego modelu: $$\\begin{aligned}\n\\label{parametry dualne modelu normalnego}\n\\theta_{1} &\\equiv& \\theta_{1}(\\xi^{1},\\xi^{2}) = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} p({\\bf y}|\\Xi) {\\bf y} = - \\frac{\\xi^{1}}{2 \\xi^{2}} = \\mu \\; , \\nonumber \\\\\n\\theta_{2} &\\equiv& \\theta_{2}(\\xi^{1},\\xi^{2}) = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} p({\\bf y}|\\Xi) {\\bf y}^{2} = \\frac{(\\xi^{1})^{2} - 2 \\xi^{2} }{4 (\\xi^{2})^{2}} = \\mu^{2} + \\sigma^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Ponadto estymatory $\\hat{\\theta}_{1} = F_{1}(Y) = Y$ oraz $\\hat{\\theta}_{1} = F_{1}(Y) = Y^{2}$ s¹ niezale¿ne. ", "SprawdŸmy, ¿e zachodzi warunek konieczny ich niezale¿noœci, a mianowicie brak korelacji: $$\\begin{aligned}\n\\label{niezaleznosc estymatorow F modelu normalnego}\n& & E_{\\Xi}\\left[ (\\hat{\\theta}_{1} - \\theta_{1}) \\, (\\hat{\\theta}_{2} - \\theta_{2}) \\right] = \\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, p({\\bf y}|\\Xi) \\, (F_{1}({\\bf y}) - \\theta_{1}) \\, (F_{2}({\\bf y}) - \\theta_{2}) \\nonumber \\\\\n& & = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi \\, \\sigma^2}}\n\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, e^{\\frac{({\\bf y} - \\mu)^{2}}{2 \\, \\sigma^2}} \\left( {\\bf y} - \\mu \\right) \\, [ {\\bf y}^{2} - (\\mu^{2} + \\sigma^{2}) ] \\\\\n& & = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi \\, \\sigma^2}} \\left(\n\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, e^{\\frac{({\\bf y} - \\mu)^{2}}{2 \\, \\sigma^2}}\\; ({\\bf y} - \\mu) \\, [ {\\bf y}^{2} - \\mu^{2} ] \n - \\sigma^{2} \n\\int_{\\cal Y} d{\\bf y} \\, e^{\\frac{({\\bf y} - \\mu)^{2}}{2 \\, \\sigma^2}} \\; ({\\bf y} - \\mu) \\right) = 0 \\nonumber\n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie w drugiej linii skorzystano z postaci (\\[rozklad norm theta sigma2\\]) rozk³adu normalnego, a w ostatniej z zerowania siê obu ca³ek z osobna.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Z powy¿szych ogólnych rozwa¿añ wnioskujemy wiêc, ¿e estymacja z wieloparametrowym rozk³adem normalnym spe³nia DORC. ", "Poprzednio w Rozdziale \\[iF oraz I\\_definicje\\], w wyniku bezpoœredniego rachunku dla jednoparametrowej estymacji wartoœci oczekiwanej $\\mu$, otrzymaliœmy w (\\[RC dla 1 N z 1 par oczekiwana IF\\]) ten sam wynik.\\\nJednak¿e dla rozk³adu normalnego, w którym chcielibyœmy dokonaæ jednoczesnej estymacji parametrów $\\mu$ oraz $\\sigma^{2}$, pojawi³by siê problem z zastosowaniem TRC wynikaj¹cy z faktu, ¿e dla skoñczonego wymiaru próby $N$ estymator $\\hat{\\sigma^{2}}$ jest obci¹¿ony. ", "Obecnie wiemy, ¿e parametrami oczekiwanymi, którymi nale¿y siê pos³u¿yæ aby zastosowaæ TR i przekonaæ siê, ¿e model normalny spe³nia DORC s¹ $\\mu$ oraz suma $\\mu^{2} + \\sigma^{2}$ (zamiast $\\sigma^{2}$). ", "Chocia¿ powy¿szy rachunek zosta³ przeprowadzony dla $N=1$, jednak wniosek dla dowolnego $N$ nie ulega zmianie.\\\n\\\n[**Przyk³ad dualnego uk³adu wspó³rzêdnych. ", "Rozk³ad standardowy eksponentialny**]{}: TME ma swoj¹ reprezentacjê w fizyce statystycznej. ", "Otó¿ stan w równowadze termicznej, który maksymalizuje termodynamiczn¹ entropiê Boltzmanna $S_{B}(p) := k_{B} \\,S_{H}(p)$, gdzie $k_{B}$ jest dodatni¹ sta³¹ Boltzmanna, posiada przy warunku $E_{\\xi}[E] = \\bar{\\epsilon}$ na³o¿onym na wartoœæ oczekiwan¹ (zmiennej losowej) energii $E$ cz¹stki gazu, rozk³ad Boltzmanna: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad Boltzmanna z max entropii}\np(\\epsilon|\\xi) = \\frac{1}{Z} \\, e^{- \\frac{2 \\, \\epsilon}{3 \\,k_{B} T}}\n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\epsilon$ jest realizacj¹ $E$, a $T$ jest (entropijn¹) temperatur¹ (por. ", "Dodatek \\[Wyprowadzenie drugiej zasady termodynamiki\\]). ", "Rozk³ad (\\[rozklad Boltzmanna z max entropii\\]) jest standardowym rozk³adem eksponentialnym z $C(\\epsilon) = 0$, (\\[rozklad eksponentialny parametry kanoniczne\\]), dla wymiaru próby $N=1$. Zgodnie z oznaczeniami wprowadzonymi w (\\[rozklad eksponentialny parametry kanoniczne\\]), jeden parametr kanoniczny $\\xi$, jedna funkcja $\\hat{\\theta}_{\\epsilon} = F(E)$ bêd¹ca estymatorem parametru oczekiwanego $\\theta_{\\epsilon}$ oraz potencja³ $\\psi(\\xi)$ uk³adu wspó³rzêdnych, maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad eksponentialny parametry kanoniczne 2} \nF(E)= E \\; , \\;\\; \\xi = - \\frac{2}{3 k_{B} T} \\; , \\;\\; \\theta_{\\epsilon} = \\bar{\\epsilon} \\; , \\;\\; \\psi(\\xi) = \\ln ( -\\frac{1}{\\xi}) = \\ln Z \\; . ", "\\end{aligned}$$\\\nDo rozk³adu Boltzmanna powrócimy w Rozdziale \\[rozdz.energia\\], gdzie wyprowadzimy go odwo³uj¹c siê do wspomnianych w Rozdziale \\[Geometryczne sformulowanie teorii estymacji\\] zasad informacyjnych.", "\n\n[**Kolejne przyk³ady zastosowania estymacji eksponentialnej z baz¹ dualn¹ $\\Theta$**]{}: Estymacja tego typu znajduje swoje zastosowanie wtedy, gdy mikrostan uk³adu jest po krótkim okresie czasu zast¹piony makrostanem, co oznacza estymacjê stanu uk³adu poprzez pewien oszacowuj¹cy stan otrzymany metod¹ maksymalnej entropii na rozmaitoœci modelu eksponentialnego (np. ", "dla wolno zmieniaj¹cych siê) zmiennych makroskopowych [@Streater]. ", "Przyk³adami realizacji tej procedury estymacyjnej s¹:\\\n\\\n[**- Metoda analizy nieliniowej dynamiki**]{} Kossakowskiego i Ingardena, którzy zrealizowali powy¿sz¹ procedurê, dokonuj¹c ci¹g³ego rzutowania mikrostanu uk³adu na ³atwiejsze w opisie makrostany uk³adu, le¿¹ce na rozmaitoœci stanów eksponentialnych. ", "Z zaproponowanej analizy statystycznej wynik³a mo¿liwoœæ realizacji nieliniowej dynamiki uk³adu, opisanej jako konsekwencja optymalnej [*estymacji*]{} [**stanu uk³adu**]{}, pojawiaj¹cego siê po up³ywie ka¿dego kolejnego odstêpu czasu (w którym dynamika uk³adu przebiega³a w sposób liniowy), [**stanem**]{} [*le¿¹cym na rozmaitoœci eksponentialnej*]{} [@Streater].\\\n\\\n[**- Model Onsagera**]{} realizuj¹cy tego typu estymacjê w badaniu zjawiska przep³ywów energii lub masy, w sytuacji, gdy s¹ one liniowymi funkcjami bodŸców (pe³ni¹cych rolê parametrów) wywo³uj¹cych taki przep³yw. ", "Teoria Onsagera ma zastosowanie do zjawisk maj¹cych charakter [*procesów quasistatystycznych*]{}. ", "Zatem stosuje siê ona do sytuacji, gdy materia³, w którym zachodzi zjawisko jest w lokalnej równowadze, tzn. ", "zwi¹zki zachodz¹ce lokalnie i w tej samej chwili czasu pomiêdzy w³asnoœciami cieplnymi i mechanicznymi materia³u s¹ takie same, jak dla jednorodnego uk³adu znajduj¹cego siê w równowadze termodynamicznej. ", "W ramach jego teorii sformu³owano zasady wariacyjne dla opisu liniowej termodynamiki procesów nieodwracalnych.\\\n\\\n[**Podsumowanie**]{}: Z powy¿szej analizy wynika, ¿e metoda maksymalnej entropii dla nieobci¹¿onych estymatorów $\\hat{\\theta}_{i} = F_{i}(Y)$, $i=1,2,...d$, wykorzystuje $\\alpha = (-1)$ – p³ask¹ bazê $\\Theta$ dualn¹ do $\\alpha = (+1)$ – p³askiej bazy kanonicznej $\\Xi$ rozk³adu eksponentialnego z $C({\\bf y}) = 0$. Ze wzglêdu na p³askoœæ modelu [*eksponentialnego*]{} w bazie kanonicznej $\\Xi$, (\\[Gamma 1 dla exponential family\\]), macierz informacyjna $I_{F}$ w bazie dualnej $\\Theta$ jest odwrotna do $I_{F}$ w bazie $\\Xi$, sk¹d w (\\[rownosc odwrot Fisher Eta inf i m kowariancji maks entrop\\]) przekonaliœmy siê, ¿e estymacja w bazie koneksji affinicznej $\\nabla^{(-1)}$ przebiega na DORC. ", "Oznacza to, ¿e równie¿ dla wektorowego parametru oczekiwanego $\\Theta$ jego estymacja jest [*efektywna*]{} w klasie entropijnych modeli eksponentialnych.\\\nJednak id¹c dalej, dok³adniejsza ni¿ to wynika z TRC, [*modelowa estymacja*]{}, tzn. ", "zwi¹zana z konstrukcj¹ nieobci¹¿onych estymatorów parametrów, nie jest mo¿liwa.\\\n\\\n[**O tym co w kolejnej czêœci skryptu**]{}: W kolejnej czêœci skryptu zajmiemy siê estymacj¹ zwi¹zan¹ z zasadami informacyjnymi na³o¿onymi na tzw. [*", "fizyczn¹ informacjê uk³adu*]{}.", "\n\nZasady informacyjne {#Zasady informacyjne}\n===================\n\nEstymacja w statystyce klasycznej a estymacja fizyczna. ", "Postawienie problemu {#physical estim}\n----------------------------------------------------------------------------\n\nW dotychczasowej analizie przedstawiona zosta³a MNW w statystyce. ", "Polega ona na estymacji parametrów pewnego zadanego rozk³adu. ", "Na przyk³ad w analizie regresji na podstawie pewnej wczeœniejszej wiedzy na temat zachowania siê zmiennej objaœnianej, zakresu wartoœci jakie mo¿e przyjmowaæ oraz jej charakteru (ci¹g³a czy dyskretna) postulujemy warunkowy rozk³ad i model regresji, a nastêpnie konstruujemy funkcjê wiarygodnoœci, któr¹ maksymalizuj¹c otrzymujemy estymatory parametrów strukturalnych modelu. ", "Opracowanie skutecznego algorytmu znajdowania estymatorów MNW oraz ich odchyleñ standardowych jest centralnym problemem np. ", "w rutynowych aplikacjach s³u¿¹cych do analizy uogólnionych regresyjnych modeli liniowych. ", "W analizie tej najwa¿niejszym wykorzystywanym algorytmem jest ogólny algorytm metody iteracyjnie wa¿onych najmniejszych kwadratów, a jedn¹ z jego g³ównych analitycznych procedur jest procedura Newton-Raphson’a [@Pawitan; @Mroz].\\\nNiech parametr wektorowy $\\Theta \\equiv (\\theta_{n})_{n=1}^{N}$ jest zbiorem wartoœci oczekiwanych zmiennej losowej po³o¿enia uk³adu w $N$ pomiarach, jak to przyjêliœmy w Rozdziale \\[Pojecie kanalu informacyjnego\\]. ", "Przypomnijmy wiêc, ¿e MNW jest wtedy skoncentrowana na uk³adzie $N$ równañ wiarygodnoœci (\\[rown wiaryg\\]): $$\\begin{aligned}\nS(\\Theta)\\mid_{\\Theta=\\hat{\\Theta}}\\;\\equiv\\frac{\\partial}{\\partial\\Theta} \\ln P(\\Theta)\\mid_{\\Theta=\\hat{\\Theta}}=0\\;, \\nonumber\\end{aligned}$$ których rozwi¹zanie daje $N$ elementowy zbiór $\\hat{\\Theta}\\equiv(\\hat{\\theta}_{n})_{n=1}^{N}$ estymatorów parametrów. ", "Tzn. ", "uk³ad równañ wiarygodnoœci tworzy $N$ warunków na estymatory parametrów, które maksymalizuj¹ wiarygodnoœæ próbki.\\\nEstymacja w fizyce musi siê rozpocz¹æ na wczeœniejszym etapie. ", "Wychodz¹c od zasad informacyjnych, którym poœwiêcony bêdzie kolejny rozdzia³, estymujemy odpowiednie dla opisywanego zagadnienia fizycznego równania ruchu, których rozwi¹zanie daje odpowiedni rozk³ad wraz z parametrami. ", "Tak wiêc zastosowanie zasad informacyjnych na³o¿onych na funkcjê wiarygodnoœci zamiast MNW stanowi o podstawowej ró¿nicy pomiêdzy analiz¹ statystyczn¹ wykorzystywan¹ w konstrukcji modeli fizycznych, a statystyk¹ klasyczn¹. Oczywiœcie oznacza to, ¿e informacja Fishera zdefiniowana poprzednio na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ musi zostaæ zwi¹zana z bazow¹ przestrzeni¹ ${\\cal Y}$ przestrzeni próby, tak aby mo¿na j¹ wykorzystaæ do konstrukcji równañ ruchu.", "\n\n### Strukturalna zasada informacyjna. ", "Metoda EFI {#structural principle}\n\nPoni¿sze rozwa¿ania prezentuj¹ analizê, le¿¹c¹ u podstaw strukturalnej zasady informacyjnej [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Ta zaœ le¿y u podstaw metody estymacji statystycznej EFI zaproponowanej przez Friedena i Soffera [@Frieden].\\\nNiech $V_{\\Theta}$ jest przestrzeni¹ parametru $\\Theta$, tzn. ", "$\\Theta \\in V_{\\Theta}$. Wtedy logarytm funkcji wiarygodnoœci $\\ln P: V_{\\Theta} \\rightarrow \\text{R}$ jest funkcj¹ okreœlon¹ na przestrzeni $V_{\\Theta}$ o wartoœciach w zbiorze liczb rzeczywistych $\\text{R}$. Niech $\\tilde{\\Theta} \\equiv (\\tilde{\\theta}_{n})_{n=1}^{N} \\in V_{\\Theta}$ jest inn¹ wartoœci¹ parametru lub wartoœci¹ estymatora $\\hat{\\Theta}$ parametru $\\Theta$. Rozwiñmy w punkcie $\\tilde{\\Theta}$ funkcjê $\\ln P(\\tilde{\\Theta})$ w szereg Taylora wokó³ prawdziwej wartoœci $\\Theta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiniecie w szereg Taylora}\n\\ln\\frac{P(\\tilde{\\Theta})}{P(\\Theta)} = \\sum_{n=1}^{N}\\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n}) + \\frac{1}{2} \\!\\!\\sum_{n,n'=1}^{N} \\!\\frac{\\partial^{2} \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n'}\\partial\\theta_{n}} \\, (\\tilde{\\theta}_{n}- \\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'}) + R_{3} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie u¿yto oznaczenia $\\frac{\\partial P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}} \\equiv \\frac{\\partial P(\\widetilde{\\Theta})}{\\partial \\tilde{\\theta}_{n}}\\mid_{\\widetilde{\\Theta} = \\Theta}$, oraz podobnie dla wy¿szych rzêdów rozwiniêcia, a $R_{3}$ jest reszt¹ rozwiniêcia trzeciego rzêdu.\\\n\\\n[**Znaczenie zasady obserwowanej**]{}: Wszystkie cz³ony w (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) s¹ statystykami na przestrzeni próby ${\\cal B}$, wiêc tak jak i uk³ad równañ wiarygodnoœci, równanie (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) jest okreœlone na poziomie obserwowanym. ", "Jest ono ¿¹daniem analitycznoœci (logarytmu) funkcji wiarygodnoœci na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, co stanowi punkt wyjœcia dla konstrukcji obserwowanej, ró¿niczkowej, strukturalnej zasady informacyjnej (\\[micro form of information eq\\]), s³usznej niezale¿nie od wyprowadzonej w (\\[expected form of information eq\\]) postaci ca³kowej. ", "Postaæ obserwowana wraz z zasad¹ wariacyjn¹ (\\[var K\\]) jest, obok postaci oczekiwanej (\\[expected form of information eq\\]), podstaw¹ estymacji EFI równañ ruchu teorii pola, lub równañ generuj¹cych rozk³ad.\\\n\\\nZdefiniujmy obserwowan¹ strukturê uk³adu $\\texttt{t\\!F}$ w nastêpuj¹cy sposób: $$\\begin{aligned}\n\\label{structure T}\n\\texttt{t\\!F} \\equiv \\ln \\frac{P(\\tilde{\\Theta})}{P(\\Theta)} - R_{3} \\; .\\end{aligned}$$ Na poziomie obserwowanym (nazywanym czasami mikroskopowym) mo¿emy rozwiniêcie Taylora (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{micro structure eq}\n\\Delta_{LHS} \\equiv \\sum_{n=1}^{N}2\\, \\frac{\\partial \\ln P}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n} - \\theta_{n}) - \\sum_{n=1}^{N}2\\, \\frac{\\texttt{t\\!F}}{N} \\, = \\!\\! ", "\\sum_{n,n'=1}^{N} \\texttt{i\\!F}_{nn'} \\,(\\tilde{\\theta}_{n} - \\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'}) \\equiv \\Delta_{RHS} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\texttt{i\\!F}$ jest znan¹ ju¿ z (\\[I jako krzywizna dla P\\])-(\\[I obserwowana\\]) obserwowan¹ macierz¹ informacyjn¹ Fishera: $$\\begin{aligned}\n\\label{observed IF}\n\\texttt{i\\!F} \\equiv \\left(-\\frac{\\partial^{2} \\ln P(\\Theta)}{\\partial \\theta_{n'} \\partial\\theta_{n}}\\right) = \\left(-\\frac{\\partial^{2} \\ln P(\\tilde{\\Theta})}{\\partial \\tilde{\\theta}_{n'} \\partial \\tilde{\\theta}_{n}}\\right)_{|_{\\widetilde{\\Theta} = \\Theta}} \\, ,\\end{aligned}$$ która jako macierz odwrotna do macierzy kowariancji, jest symetryczna i dodatnio okreœlona[^47] (Rozdzia³ \\[E i var funkcji wynikowej\\]). ", "Oznacza to, ¿e istnieje ortogonalna macierz $U$ taka, ¿e $\\Delta_{RHS}$ wystêpuj¹ce w (\\[micro structure eq\\]), a zatem równie¿ $\\Delta_{LHS}$, mo¿e byæ zapisane w tzw. ", "postaci normalnej [@kompendium; @matematyki]: $$\\begin{aligned}\n\\label{normal form}\n\\Delta_{LHS} = \\sum_{n=1}^{N}m_{n}\\tilde{\\upsilon}_{n}^{2} = \\sum_{n,n'=1}^{N} \\texttt{i\\!F}_{nn'} \\,(\\tilde{\\theta}_{n} - \\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'} - \\theta_{n'}) \\equiv \\Delta_{RHS} \n \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\tilde{\\upsilon}_{n}$ s¹ pewnymi funkcjami $\\tilde{\\theta}_{n}$, a $m_{n}$ s¹ elementami dodatnio okreœlonej macierzy $\\texttt{m\\!F}$ (otrzymanymi dla $\\Delta_{LHS}$), która z powodu równoœci (\\[normal form\\]) musi byæ równa macierzy diagonalnej otrzymanej dla $\\Delta_{RHS}$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{form of M}\n\\texttt{m\\!F} = D^{T} U^{T}\\, \\texttt{i\\!F} \\, U \\, D \\;\\; . ", "\\end{aligned}$$ Macierz $D$ jest diagonaln¹ macierz¹ skaluj¹c¹ o elementach $d_{n}\\equiv\\sqrt{\\frac{m_{n}}{\\lambda_{n}}}$, gdzie $\\lambda_{n}$ s¹ wartoœciami w³asnymi macierzy $\\texttt{i\\!F}$.\\\n\\\nZwi¹zek (\\[form of M\\]) mo¿na zapisaæ w postaci wa¿nego strukturalnego równania macierzowego bêd¹cego bezpoœredni¹ konsekwencj¹ analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ oraz postaci normalnej formy kwadratowej (\\[normal form\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{micro form of information eq macierzowe}\n\\texttt{q\\!F} + \\texttt{i\\!F} = 0 \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{micro form of qF}\n\\texttt{q\\!F} = -U \\, (D^{T})^{-1} \\, \\texttt{m\\!F} \\, D^{-1} \\, U^{T} \\, ,\\end{aligned}$$ nazwijmy [*obserwowan¹ macierz¹ struktury*]{}.\\\n\\\n[**Dwa proste przypadki $\\texttt{q\\!F}$**]{}: Istniej¹ dwa szczególne przypadki, które prowadz¹ do prostych realizacji fizycznych.\\\nPierwszy z nich zwi¹zany jest z za³o¿eniem, ¿e rozk³ad jest [*reguralny*]{} [@Pawitan]. ", "Wtedy, zak³adaj¹c dodatkowo, ¿e dla wszystkich $n=1,...,N$ zachodzi $\\frac{\\partial lnP}{\\partial\\theta_{n}}=0$, z równania (\\[micro structure eq\\]) widzimy, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{M for logL zero}\n\\texttt{m\\!F} = (2\\,\\delta_{nn'})\\;,\\;\\;\\;\\tilde{\\upsilon}_{n} = \\sqrt{\\frac{\\texttt{t\\!F}}{N}} \\; \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; \nd_{n}=\\sqrt{2/\\lambda_{n}} \\; .\\end{aligned}$$ Natomiast drugi przypadek zwi¹zany jest z za³o¿eniem, ¿e $\\texttt{t\\!F}=0$ i wtedy z (\\[micro structure eq\\]) otrzymuje siê postaæ “równania master” (porównaj dalej (\\[L master oczekiwana\\])). ", "W przypadku tym: $$\\begin{aligned}\n\\label{M for T zero}\n\\texttt{m\\!F} = diag\\left(2\\,\\frac{\\partial \\ln P}{\\partial\\theta_{n}}\\right) \\, ,\\;\\;\\tilde{\\upsilon}_{n} = \\sqrt{\\tilde{\\theta}_{n} - \\theta_{n}} \\, , \\;\\;\\texttt{t\\!F} = 0 \\; \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; d_{n}=\\sqrt{2\\,\\frac{\\partial lnP}{\\partial\\theta_{n}}/\\lambda_{n}} \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e nie istnieje z³o¿ona struktura uk³adu.\\\n\\\n[**Obserwowana strukturalna zasada informacyjna**]{}: Sumuj¹c wszystkie elementy zarówno obserwowanej macierzy informacyjnej Fishera $\\texttt{i\\!F}$ jak i obserwowanej macierzy struktury $\\texttt{q\\!F}$, równanie macierzowe (\\[micro form of information eq macierzowe\\]) prowadzi do [*obserwowanej strukturalnej zasady informacyjnej*]{} Frieden’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{micro form of information eq}\n\\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{i\\!F})_{nn'} + \\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{q\\!F})_{nn'} = 0 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Znaczenie analitycznoœci $P$ oraz postaci $\\texttt{i\\!F}$**]{} dla EFI: Analitycznoœæ funkcji wiarygodnoœci na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, wyra¿ona istnieniem rozwiniêcia w szereg Taylora (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) oraz symetrycznoœæ i dodatnia okreœlonoœæ obserwowanej macierzy informacyjnej Fishera (\\[observed IF\\]) s¹ zasadniczymi warunkami, które czyni¹ analizê Friedena-Soffera w ogóle mo¿liw¹. Okazuje siê jednak, ¿e w ogólnoœci, dla otrzymania równañ EFI nale¿y odwo³aæ siê dodatkowo do wprowadzonej poni¿ej ca³kowej zasady strukturalnej.\\\n\\\n[**Ca³kowa strukturalna zasada informacyjna**]{}: Ca³kuj¹c obie strony równania (\\[micro form of information eq\\]) po ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$ (lub na jej podprzestrzeni) z miar¹ $d y\\, P(\\Theta)$, gdzie jak zwykle stosujemy oznaczenie $dy \\equiv d^{N}{\\bf y}$, otrzymujemy ca³kow¹ postaæ [*informacyjnej zasady strukturalnej*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{expected form of information eq}\nQ + I = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I$ jest uogólnieniem pojemnoœci informacyjnej Fishera (\\[pojemnosc C\\]) (por. (", "\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{iF and I}\nI = \\int_{\\cal B} d y\\, P(\\Theta) \\; \\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{i\\!F})_{nn'} \\; , \\end{aligned}$$ natomiast $Q$ jest informacj¹ strukturaln¹ ($SI$): $$\\begin{aligned}\n\\label{qF and Q}\nQ = \\int_{\\cal B} d y\\, P(\\Theta) \\; \\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{q\\!F})_{nn'} \\; .\\end{aligned}$$ Pierwotnie, w innej, informatycznej formie i interpretacji, zasada (\\[expected form of information eq\\]) zosta³a zapostulowana w [@Frieden]. ", "Powy¿sza, fizyczna postaæ zasady strukturalnej (\\[expected form of information eq\\]) zosta³a zapostulowana w [@Dziekuje; @informacja_1], a nastêpnie wyprowadzona, jak to przedstawiono powy¿ej w [@Dziekuje; @informacja_2].\\\n\\\nObserwowana zasada informacyjna (\\[micro form of information eq\\]) jest równaniem strukturalnym wspó³czesnych modeli fizycznych wyprowadzanych metod¹ EFI. ", "Natomiast u¿ytecznoœæ oczekiwanej strukturalnej zasady informacyjnej (\\[expected form of information eq\\]) oka¿e siê byæ jasna przy, po pierwsze okreœleniu zmodyfikowanej obserwowanej zasady strukturalnej, po drugie, przy definicji ca³kowitej fizycznej informacji (\\[physical K\\]) oraz po trzecie, przy sformu³owaniu informacyjnej zasady wariacyjnej (\\[var K\\]). ", "Oczekiwana zasada strukturalna jako taka, tzn. ", "w postaci ca³kowej (\\[expected form of information eq\\]), nie jest rozwi¹zywana jednoczeœnie z zasad¹ wariacyjn¹, co jest czasami jej przypisywane.\\\n\n#### Ca³ka rozwiniêcia Taylora {#postac calkowa Taylora}\n\nSca³kujmy (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) na na ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$ (lub na jej podprzestrzeni) z miar¹ $d y\\, P(\\Theta)$. W wyniku otrzymujemy pewn¹ ca³kow¹ formê strukturalnego równania estymacji modeli: $$\\begin{aligned}\n\\label{Freiden like equation}\n& & \\!\\!\\!\\int_{\\cal B}\\!\\! ", "d y P(\\Theta) \\left(\\ln\\frac{P(\\tilde{\\Theta})}{P(\\Theta)}- R_{3} - \\sum_{n=1}^{N}\\frac{\\partial \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n}) \\right) \\nonumber \\\\\n & & \\!\\! ", "= \\frac{1}{2}\\!\\int_{\\cal B}\\!\\! ", "d y\\, P(\\Theta) \\!\\!\\sum_{n,n'=1}^{N} \\!\\frac{\\partial^{2} \\ln P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n'}\\partial\\theta_{n}} \\, (\\tilde{\\theta}_{n}- \\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'}) \\; .\\end{aligned}$$ Wyra¿enie po lewej stronie (\\[Freiden like equation\\]) ma postaæ zmodyfikowanej entropii wzglêdnej.\\\nNastêpnie, definuj¹c $\\widetilde{{\\cal Q}}$ jako: $$\\begin{aligned}\n\\label{structure Q}\n\\widetilde{{\\cal Q}} = \\int_{\\cal B}\\, d y\\, P(\\Theta)\\,\\left(\\texttt{t\\!F} - \\sum_{n=1}^{N}\\frac{\\partial \\ln P}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})\\right) \\, \\end{aligned}$$ otrzymujemy równanie bêd¹ce ca³kow¹ form¹ strukturalnej zasady informacyjnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{structure eq}\n- \\widetilde{{\\cal Q}} = \\widetilde{I} \\equiv \\! ", "\\frac{1}{2} \\! ", "\\int_{\\cal B}\\!\\! ", "d y \\, P(\\Theta) \\!\\! ", "\\sum_{n,n'=1}^{N} \\! ", "\\left( - \\frac{\\partial^{2} \\ln P}{\\partial\\theta_{n'} \\partial\\theta_{n}} \\right) (\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}- \\theta_{n'}) \\; . ", " \\end{aligned}$$\\\n[**Uwaga**]{}: Równanie (\\[structure eq\\]) jest wtórne wobec bardziej fundamentalnego równania strukturalnego (\\[micro form of information eq\\]) s³usznego na poziomie obserwowanym, tzn. ", "pod ca³k¹. Chocia¿ równanie (\\[structure eq\\]) nie jest bezpoœrednio wykorzystywane w metodzie EFI, to jest ono stosowane do badania w³asnoœci nieobci¹¿onych estymatorów $\\tilde{\\Theta}$ parametrów $\\Theta$ [@Murray_differential; @geometry; @and; @statistics]. ", "Zagadnienie to wykracza poza zakres skryptu.", "\n\n#### $I$ oraz $Q$ dla parami niezale¿nych zmiennych po³o¿eniowych próby {#zmienne Yn niezalezne}\n\nRozwa¿my jeszcze postaæ $SI$ wyra¿on¹ w amplitudach w szczególnym przypadku zmiennych $Y_{n}$ parami niezale¿nych. ", "W takim przypadku amplituda $q_{n}$ nie zale¿y od ${\\bf y}_{n}$ dla $n' \\neq n$, czyli ma postaæ $q_{n}({\\bf y}_{n})$, natomiast $(\\texttt{i\\!F})$ jest diagonalna, tzn. ", "ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{iF diagonalne}\n(\\texttt{i\\!F})_{nn'} = \\delta_{nn'} \\texttt{i\\!F}_{nn} \\equiv \\texttt{i\\!F}_{n} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\delta_{nn'}$ jest delt¹ Kroneckera. ", "W takim razie, zgodnie z (\\[form of M\\]) oraz (\\[micro form of qF\\]) obserwowana macierz strukturalna jest diagonalna i jej ogólna postaæ jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{qF diagonalne}\n(\\texttt{q\\!F})_{nn'} = \\delta_{nn'} \\; \\texttt{q\\!F}_{nn}\\left( q_{n}({\\bf y}_{n}), q_{n}^{(r)}({\\bf y}_{n}) \\right) \\equiv \\texttt{q\\!F}_{n}\\left( q_{n}({\\bf y}_{n}) \\right)\\; ,\\end{aligned}$$ tzn. ", "nie zale¿y od amplitud $q_{n'}({\\bf y}_{n'})$ i jej pochodnych dla $n' \\neq n$. Powy¿ej $q_{n}^{(r)}({\\bf y}_{n})$ oznaczaj¹ pochodne rzêdu $r=1,2,... \\,$. Zobaczymy, ¿e dla teorii pola w $\\texttt{q\\!F}_{n}$ pojawi¹ siê pochodne co najwy¿ej pierwszego rzêdu. ", "Fakt ten wynika st¹d, ¿e swobodne pola rangi $N$, z którymi bêdziemy mieli do czynienia, bêd¹ spe³nia³y równanie Kleina-Gordona.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Oznaczenie $\\texttt{q\\!F}_{n}$, jak równie¿ jawne zaznaczenie w argumencie obserwowanej $SI$ tylko amplitudy $q_{n}({\\bf y}_{n})$, bêd¹ stosowane w dalszej czêœci skryptu.\\\n\\\nWykorzystuj¹c (\\[iF diagonalne\\]) oraz (\\[qF diagonalne\\]), pojemnoœæ informacyjna (\\[iF and I\\]) przyjmuje w rozwa¿anym przypadku postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{I dla niezaleznych Yn}\nI = \\int_{\\cal B} d y\\, \\textit{i} = \\int_{\\cal B} d y\\, P(\\Theta) \\; \\sum_{n=1}^{N} \\texttt{i\\!F}_{n} \\; , \\end{aligned}$$ natomiast informacja strukturalna (\\[qF and Q\\]) jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q dla niezaleznych Yn}\nQ = \\int_{\\cal B} d y\\, \\textit{q} = \\int_{\\cal B} d y\\, P(\\Theta) \\; \\sum_{n=1}^{N} \\texttt{q\\!F}_{n}( q_{n}({\\bf y}_{n})) \\; .\\end{aligned}$$ Powy¿ej $\\textit{i}$ jest [*gêstoœci¹ pojemnoœci informacyjnej*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc i dla niezaleznych Yn}\n\\textit{i} := P(\\Theta) \\; \\sum_{n=1}^{N} \\texttt{i\\!F}_{n} \\; ,\\end{aligned}$$ natomiast $\\textit{q}$ jest [*gêstoœci¹ informacji strukturalnej*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc q dla niezaleznych Yn}\n\\textit{q} := P(\\Theta) \\; \\sum_{n=1}^{N} \\texttt{q\\!F}_{n}( q_{n}({\\bf y}_{n})) \\; .\\end{aligned}$$ [**Obserwowana zasada strukturalna zapisana w gêstoœciach**]{}: Zarówno $\\textit{i}$ jak i $\\textit{q}$ s¹ okreœlone na poziomie obserwowanym. ", "Zatem korzystaj¹c z (\\[iF diagonalne\\]) oraz (\\[qF diagonalne\\]), mo¿emy [*obserwowan¹*]{} informacyjn¹ zasadê strukturaln¹ (\\[micro form of information eq\\]) zapisaæ w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{obserwowana zas strukt z P}\n\\textit{i} + \\textit{q} = 0\\; .\\end{aligned}$$ Zasada ta, a raczej jej zmodyfikowana wersja, jest obok wariacyjnej zasady informacyjnej, wykorzystywana w celu otrzymania równañ ruchu (b¹dŸ równañ generuj¹cych rozk³ad) metody EFI. ", "Zarówno zmodyfikowana obserwowana zasada strukturalna jak i zasada wariacyjna s¹ okreœlone poni¿ej.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: W treœci skryptu gêstoœæ pojemnoœci informacyjnej $\\textit{i}$ jest zawsze zwi¹zana z postaci¹ (\\[observed IF\\]) obserwowanej informacji Fishera $\\texttt{i\\!F}$.\\\n\\\nNa koniec zauwa¿my, ¿e ze wzglêdu na unormowanie rozk³adów brzegowych $\\int d^{4}{\\bf y}_{n} \\, p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) =1$, postaæ $Q$ podan¹ w (\\[Q dla niezaleznych Yn\\]) mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q dla niezaleznych Yn w d4y}\nQ = \\sum_{n=1}^{N} \\int d^{4}{\\bf y}_{n} \\, p_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) \\, \\texttt{q\\!F}_{n}\\,( q_{n}({\\bf y}_{n})) \\; .\\end{aligned}$$ Wa¿na kinematyczna postaæ $I$ zostanie wprowadzona w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\], natomiast postacie $Q$ bêd¹ pojawia³y siê w toku rozwi¹zywania konkretnych fizycznych problemów.", "\n\nPrzep³yw informacji {#information transfer}\n-------------------\n\nInformacja Fishera $I_{F}$ jest infinitezymalnym typem entropii Kulback-Leibler’a (Rozdzia³ \\[Informacja Fishera jako entropia\\]) wzór (\\[I porownanie z S\\]). ", "W statystycznej estymacji KL s³u¿y jako narzêdzie analizy wyboru modelu [@Brockwell_Machura; @Zajac], o czym mo¿emy siê przekonaæ, zauwa¿aj¹c, ¿e jest ona zwi¹zana z wartoœci¹ oczekiwan¹ statystki ilorazu wiarygodnoœci (\\[statystyka ilorazu wiaryg\\]), wprowadzonej w Rozdziale \\[Analiza regresji Poissona\\], w³aœnie w celu porównywania wiarygodnoœci modeli. ", "Chocia¿by z tego powodu, pojawia siê przypuszczenie, ¿e pojemnoœæ informacyjna $I$ mog³aby, po na³o¿eniu, jak siê okazuje strukturalnej i wariacyjnej zasady informacyjnej [@Frieden; @Dziekuje; @informacja_1], staæ siê podstaw¹ równañ ruchu (lub równañ generuj¹cych rozk³ad) uk³adu fizycznego. ", "Równania te mia³yby byæ najlepsze z punktu widzenia zasad informacyjnych, co jest sednem metody EFI Friedena-Soffera.\\\n\\\nZgodnie z Rozdzia³em \\[Podstawowe zalozenie Friedena-Soffera\\], g³ówna statystyczna myœl stoj¹ca za metod¹ EFI jest nastêpuj¹ca: próbkowanie czasoprzestrzeni nastêpuje przez sam uk³ad nawet wtedy, gdy on sam nie jest poddany rzeczywistemu pomiarowi. ", "Sprawê nale¿a³oby rozumieæ tak, ¿e uk³ad dokonuje próbkowania czasoprzestrzeni u¿ywaj¹c charakterystycznego, swojego w³asnego pola (i zwi¹zanej z nim amplitudy) rangi $N$, która jest wymiarem próby, próbkuj¹c swoimi kinematycznymi “Fisherowskimi” stopniami swobody przestrzeñ po³o¿eñ jemu dostêpn¹. Przejœcie od postaci statystycznej pojemnoœci informacyjnej (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) do jej reprezentacji kinematycznej zostanie omówione poni¿ej w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\].\\\n\\\nRozwa¿my nastêpuj¹cy, informacyjny schemat uk³adu. ", "Zanim nast¹pi pomiar, którego dokonuje sam uk³ad, ma on pojemnoœæ informacyjn¹ $I$ zawart¹ w swoich kinematycznych stopniach swobody oraz informacjê strukturaln¹ $Q$ uk³adu zawart¹ w swoich strukturalnych stopniach swobody, jak to przedstawiono symbolicznie na poni¿szym Rysunku.\\\n\n\\[przeplyw informacji w ukladzie\\] ![", "Panel: (a) Uk³ad przed pomiarem : $Q$ jest $SI$ uk³adu zawart¹ w strukturalnych stopniach swobody, a $I$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu zawart¹ w kinematycznych stopniach swobody. (", "b) Uk³ad po pomiarze: $Q'$ jest $SI$, a $I'$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu po pomiarze. ", "Poniewa¿ transfer informacji ($TI$) w pomiarze przebiega z $J\\geq0$ zatem $\\delta Q=Q'-Q\\leq0$ oraz $\\delta I=I'-I\\geq0$. W pomiarze idealnym $\\delta I=-\\delta Q$.](FigQI.eps \"fig:\"){width=\"47.00000%\" height=\"2cm\"} ![", "Panel: (a) Uk³ad przed pomiarem : $Q$ jest $SI$ uk³adu zawart¹ w strukturalnych stopniach swobody, a $I$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu zawart¹ w kinematycznych stopniach swobody. (", "b) Uk³ad po pomiarze: $Q'$ jest $SI$, a $I'$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ uk³adu po pomiarze. ", "Poniewa¿ transfer informacji ($TI$) w pomiarze przebiega z $J\\geq0$ zatem $\\delta Q=Q'-Q\\leq0$ oraz $\\delta I=I'-I\\geq0$. W pomiarze idealnym $\\delta I=-\\delta Q$.](FigQJI \"fig:\"){width=\"47.00000%\" height=\"2.1cm\"}\n\n\\\n“W chwili w³¹czenia” pomiaru, podczas którego transfer informacji ($TI$) przebiega zgodnie z nastêpuj¹cymi zasadami (Rysunek 3.1): $$\\begin{aligned}\n\\label{delta Q and I}\nJ \\geq 0 \\; , \\;\\;\\; {\\rm zatem}\\;\\;\\; \\delta I=I' - I \\geq 0 \\; ,\\; \\; \\delta Q = Q' - Q \\leq 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I'$, $Q'$ s¹ odpowiednio $IF$ oraz $SI$ uk³adu po pomiarze, natomiast $J$ jest dokonanym transferem informacji ($TI$).\\\nPostulujemy, ¿e w pomiarze $TI$ “w punkcie $\\emph{q}$” jest idealny, co oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{delta Q and I w idealnym pomiarze}\nQ = Q' + J = Q + \\delta Q + J \\, , \\;\\; {\\rm zatem} \\;\\;\\; \\delta Q = - J \\; . ", "\\end{aligned}$$ Oznacza to, ¿e “w punkcie $\\emph{q}$” przekazana jest ca³a zmiana $SI$.\\\n\\\nZ drugiej strony “w punkcie $\\emph{i}$” zasada zwi¹zana z $TI$ jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{TI w punkcie i}\nI' \\leq I + J \\; \\;\\; {\\rm zatem} \\;\\;\\; 0 \\leq \\delta I = I' - I \\leq J \\; .\\end{aligned}$$ Dlatego $$\\begin{aligned}\n\\label{J > 0 i zwiazek delta dla I oraz Q}\n{\\rm poniewa\\dot{z}} \\;\\;\\;\\; J \\geq 0 \\; , \\;\\;\\; {\\rm zatem} \\;\\;\\; |\\delta I| \\leq |\\delta Q| \\; , \\end{aligned}$$ co jest rozs¹dnym resultatem, gdy¿ w pomiarze mo¿e nast¹piæ utrata informacji. ", "Gdyby “w punkcie $\\emph{i}$” $TI$ by³ idealny, wtedy ca³y pomiar by³by idealny, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{caly pomiar idealny}\n\\delta Q = -\\delta I \\;\\; \\Leftrightarrow \\;\\;\\; {\\rm pomiar \\;\\; idealny} \\; .\\end{aligned}$$\\\nW [@Dziekuje; @informacja_1; @Mroziakiewicz] zosta³o zapostulowane istnienie nieujemnej addytywnej ca³kowitej (totalnej) fizycznej informacji ($TFI$): $$\\begin{aligned}\n\\label{physical K}\nK = I + Q \\geq 0 \\; .\\end{aligned}$$ Wybór intuicyjnego warunku $K \\geq 0$ [@Mroziakiewicz] jest zwi¹zany ze [*strukturaln¹ zasad¹ informacyjn¹*]{} zapisan¹ w postaci obserwowanej: $$\\begin{aligned}\n\\label{condition from K obserwowana} \\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{i\\!F})_{nn'} + \\kappa \\!\\! ", "\\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{q\\!F})_{nn'} = 0 \\; \\end{aligned}$$ lub oczekiwanej: $$\\begin{aligned}\n\\label{condition from K} \nI + \\kappa \\, Q = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Dla szczególnego przypadku $\\kappa = 1$, w Rozdziale \\[structural principle\\] zosta³a wyprowadzona [@Dziekuje; @informacja_2] postaæ obserwowana zasady strukturalnej (\\[micro form of information eq\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{ideal condition from K obserwowana}\n\\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{i\\!F})_{nn'} + \\sum_{n,n'=1}^{N}(\\texttt{q\\!F})_{nn'} = 0 \\;\\;\\; {\\rm dla}\\;\\;\\; \\kappa = 1 \\; , \\end{aligned}$$ oraz jej oczekiwany odpowiednik (\\[expected form of information eq\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{ideal condition from K}\nI + Q = 0 \\;\\;\\; {\\rm dla}\\;\\;\\; \\kappa = 1 \\; .\\end{aligned}$$ Wspó³czynnik $\\kappa$ zosta³ nazwany w [@Frieden] wspó³czynnikiem efektywnoœci. ", "W praktyce przyjmuje on dwie mo¿liwe wartoœci [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc kappa}\n\\kappa = 1 \\;\\; \\vee \\;\\; \\frac{1}{2} \\; .\\end{aligned}$$ Jego znaczenie zostanie omówione w Rozdziale \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\]. ", "W przypadku okreœlonym w (\\[ideal condition from K\\]), otrzymujemy ca³kowit¹ fizyczn¹ informacjê $K$ równ¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{ideal K}\nK = I + Q = 0 \\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; \\kappa = 1 \\; . ", "\\end{aligned}$$ W koñcu zauwa¿my, ¿e w zgodzie z zapostulowanym zachowaniem siê uk³adu w pomiarze, otrzymaliœmy z warunków (\\[delta Q and I w idealnym pomiarze\\]) i (\\[TI w punkcie i\\]) nierównoœæ $\\delta I\\leq J = - \\delta Q$, z czego wynika, ¿e: $$\\begin{aligned}\nK' = I' + Q' \\leq (I + J) + (Q - J) = I + Q = K \\; \\Rightarrow \\;\\;\\; K' \\leq K \\; .\\end{aligned}$$ Dla pomiaru idealnego (\\[caly pomiar idealny\\]) otrzymaliœmy $\\delta I=-\\delta Q$ sk¹d $K'=K$, co oznacza, ¿e informacja fizyczna $TFI$ pozostaje w tym przypadku niezmieniona. ", "Jeœli pomiar idealny by³by wykonany na poziomie próbkowania czasoprzestrzeni przez sam uk³ad, wtedy warunek ten móg³by prowadziæ do wariacyjnej zasady informacyjnej (\\[var K\\]), tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{zasada wariacyjna}\n\\delta I = - \\delta Q \\;\\; \\Rightarrow \\;\\; \\delta(I + Q) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Chocia¿ rozumowanie powy¿sze wydaje siê byæ rozs¹dne, jednak œciœle mówi¹c s³usznoœæ przyjêcia zasad informacyjnych, strukturalnej oraz wariacyjnej, powinno wynikaæ z dwóch rzeczy. ", "Po pierwsze z ich wyprowadzenia, a po drugie z ich u¿ytecznoœci. ", "Wyprowadzenie zasady strukturalnej (dla $\\kappa=1$) zosta³o pokazane w Rozdziale \\[structural principle\\].\\\nNatomiast powy¿sze wnioskowanie, które doprowadzi³o do warunku (\\[zasada wariacyjna\\]) oraz sama implikacja wewn¹trz niego, mo¿e s³u¿yæ jedynie jako przes³anka s³usznoœci zasady wariacyjnej. ", "W Rozdziale \\[Geometryczne sformulowanie teorii estymacji\\] stwierdziliœmy, ¿e jej s³usznoœæ wynika z ¿¹dania aby rozk³ad empiryczny oraz rozk³ad wyestymowany metod¹ EFI, le¿a³y na wspólnej geodezyjnej w przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$.\\\nCo do u¿ytecznoœci zasady wariacyjnej w metodzie EFI, to jest ona oczywista, bowiem prowadzi ona do owocnego w zastosowaniach równania Eulera-Lagrange’a.\\\n\\\n[**Analityczny przypadek uk³adu równañ informacyjnych metody EFI**]{}: [*Obserwowana zasada strukturalna*]{} zapisana w gêstoœciach (\\[obserwowana zas strukt z P\\]), ale uwzglêdniaj¹ca postaæ obserwowanej zasady strukturalnej z $\\kappa$ (\\[condition from K obserwowana\\]), jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{obserwowana zas strukt z P i z kappa}\n\\textit{i} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0\\; .\\end{aligned}$$ Drug¹ zasad¹ informacyjn¹ jest [*zasada wariacyjna*]{} (skalarna). ", "Ma ona postaæ [@Dziekuje; @informacja_1]: $$\\begin{aligned}\n\\label{var K}\n\\delta K = \\delta(I + Q) = 0 \\; \\, \\Rightarrow \\; \\, K = I + Q \\;\\;{\\rm jest\\; ekstremalne} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Warunek geometrycznej struktury na ${\\cal S}$**]{}: Kolejnym warunkiem narzuconym na rozwi¹zania metody EFI, a oczywistym od pocz¹tku analizy, jest warunek normalizacji i reguralnoœci rozk³adu prawdopodobieñstwa. ", "Warunek ten oznacza mo¿liwoœæ przejœcia, podanego w (\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\]) i (\\[Fisher inf matrix\\]), od pierwotnej postaci obserwowanej informacji Fishera (\\[observed IF\\]) do postaci potrzebnej dla zdefiniowania przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ jako przestrzeni metrycznej z metryk¹ Rao-Fishera (\\[Fisher inf matrix plus reg condition\\]) i $\\alpha$-koneksj¹ (\\[affine coefficients\\]) (por. ", "Rozdzia³ \\[alfa koneksja\\]). ", "Obie postacie obserwowanej informacji Fishera, pierwsza $\\texttt{i\\!F}$, (\\[observed IF\\]), która jest pierwotn¹ form¹ z punktu widzenia analitycznoœci funkcji wiarygodnoœci oraz druga, [*metryczna*]{} $\\widetilde{\\texttt{i\\!F}}$, (\\[observed IF Amari\\]), która jest istotna dla geometrycznej analizy modelu, s¹ równowa¿ne tylko na poziomie oczekiwanym, tzn. ", "pod ca³k¹ (por. ", "Rozdzia³ \\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\]). ", "Powy¿sze rozwa¿ania zostan¹ zilustrowane przyk³adami zawartymi w dalszej czêœci skryptu.\\\n\\\n[**Podstawowy uk³ad równañ informacyjnych EFI i zmodyfikowane równanie strukturalne**]{}: Aby wyjaœniæ powy¿szy problem na wstêpnym, symbolicznym poziomie, wprowadŸmy zmodyfikowane równanie strukturalne, uwzglêdniaj¹ce równie¿ wspó³czynnik $\\kappa$ wystêpuj¹cy w (\\[obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]). ", "Niech $\\widetilde{\\texttt{i\\!F}}$ jest kwadratow¹ postaci¹ obserwowanej informacji Fishera (\\[observed IF Amari\\]) tak, ¿e odpowiadaj¹ca jej gêstoœæ pojemnoœci informacyjnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc i Amarii}\n\\widetilde{\\textit{i}} := P(\\Theta) \\sum_{n,n'=1}^{N} \\widetilde{\\texttt{i\\!F}}_{n n'} \\; ,\\end{aligned}$$ daje na poziomie oczekiwanym pojemnoœæ informacyjn¹ $I = \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, \\widetilde{\\textit{i}}$ $= \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, \\textit{i}\\,$.\\\nWprowadŸmy zamiast (\\[obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) [*zmodyfikowan¹ obserwowan¹ zasadê strukturaln¹*]{} zapisan¹ w nastêpuj¹cy sposób: $$\\begin{aligned}\n\\label{zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa}\n\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0 \\; , \\;\\;\\; {\\rm przy \\; czym} \\;\\;\\; I = \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, \\widetilde{\\textit{i}} = \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, (\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} ) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $ \\widetilde{\\mathbf{C}}$ jest pochodn¹ zupe³n¹, która wynika z ca³kowania przez czêœci ca³ki $I = \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, \\widetilde{\\textit{i}}$. Poniewa¿ $I = \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, \\widetilde{\\textit{i}}\\,$ zatem informacyjna zasada wariacyjna ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{var K rozpisana}\n\\delta(I + Q) = \\delta \\! ", "\\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, ( \\widetilde{\\textit{i}} + \\textit{q} ) = 0 \\; . ", "\\end{aligned}$$ Rozwi¹zanie równañ (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz (\\[var K rozpisana\\]) jest równowa¿ne rozwi¹zaniu równañ (\\[obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz (\\[var K\\]) co najmniej pod ca³k¹, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt}\n\\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, ( \\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} ) = 0 \\; \\;\\; \\Leftrightarrow \\;\\;\\; \\int_{\\cal B} \\! ", "dy \\, ( \\textit{i} + \\kappa \\, \\textit{q} ) = 0 \\; . ", "\\end{aligned}$$ Powy¿sz¹ symboliczn¹ konstrukcjê (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) zaprezentujemy na przyk³adach w dalszej czêœci skryptu (Rozdzia³ \\[Przyklady\\]). ", "Jej zrozumienie jest nastêpuj¹ce: Modele “nie do koñca równowa¿ne” pod wzglêdem analitycznym s¹, z dok³adnoœci¹ do wyca³kowania $I$ przez czêœci, równowa¿ne pod wzglêdem metrycznym. ", "To znaczy, istnieje pewien zwi¹zek pomiêdzy ich ró¿niczkowalnoœci¹, a mianowicie wszystkie one s¹ metrycznie (a wiêc na poziomie ca³kowym) równowa¿ne modelowi analitycznemu, tzn. ", "posiadaj¹cemu rozwiniêcie w szereg Taylora.\\\n\\\n[**Podsumowanie**]{}. ", "Nale¿y podkreœliæ, ¿e równanie ca³kowe (\\[ideal K\\]) oraz zasada wariacyjna (\\[var K\\]) [*nie*]{} tworz¹ pary równañ metody EFI rozwi¹zywanych samospójnie.\\\nNatomiast obie zasady, obserwowana zmodyfikowana zasada strukturalna (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz zasada wariacyjna (\\[var K rozpisana\\]) s¹ podstaw¹ metody estymacyjnej EFI. ", "Tworz¹ one uk³ad dwóch równañ ró¿niczkowych dla wprowadzonych w Rozdziale \\[geometria i metryka Fishera-Rao\\] amplitud uk³adu (\\[amplituda a rozklad\\]). ", "Uk³ad ten mo¿e byæ zgodny, daj¹c samospójne rozwi¹zanie dla amplitud [@Frieden] i prowadz¹c przy $\\kappa=1$ lub $1/2$ do dobrze znanych modeli teorii pola (Rozdzia³ \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\]) lub modeli fizyki statystycznej (Rozdzia³ \\[Przyklady\\]). ", "Ponadto, strukturalna (wewnêtrzna) zasada informacyjna (\\[condition from K\\]) [@Dziekuje; @informacja_1] jest operacyjnie równowa¿na zapostulowanej przez Frieden’a [@Frieden], wiêc jako wyprowadzona powinna mieæ przynajmniej tak¹ sam¹ moc przewidywania jak i ona. ", "Wiele z podstawowych modeli zosta³o ju¿ wyliczonych [@Frieden], jednak ich ponowne przeliczenie [@Mroziakiewicz] przy powy¿ej podanej interpretacji informacji fizycznej $K$ mo¿e daæ lepsze zrozumienie samej metody EFI i jej zwi¹zku z istniej¹cym ju¿ modelowaniem zjawisk w fizyce oraz jej ograniczeñ.\\\n\\\n[**Zasada ekwipartycji entropii wzglêdnej**]{}: W koñcu, w strukturalnej zasadzie informacyjnej ciekawe jest równie¿ to, ¿e stanowi ona warunek zerowego podzia³u dla $TFI$, który jest dawno poszukiwanym warunkiem zasady ekwipartycji entropii (w tym przypadku infinitezymalnej entropii wzglêdnej).\\\n\\\n[**Uwaga o podejœciu Friedena**]{}: Wspomnieliœmy o tym, ¿e pomys³ metody EFI pochodzi od Friedena. ", "Jednak mówi¹c w skrócie, Frieden i Soffer [@Frieden] podeszli inaczej do informacji strukturalnej. ", "W [@Frieden] wprowadzono tzw. ", "informacjê zwi¹zan¹ J, która ma interpretacjê informacji zawartej w uk³adzie przed pomiarem. ", "Chocia¿, aksjomaty Frieden’a s¹ równowa¿ne powy¿szym warunkom (\\[condition from K\\]) oraz (\\[var K\\]), o ile ${\\rm J} = -Q$, to jednak¿e ró¿nica pomiêdzy podejœciami jest widoczna. ", "A mianowicie, o ile w podejœciu Friedena-Soffera uk³ad doœwiadcza transferu informacji ${\\rm J} \\rightarrow I$, maj¹c w ka¿dej chwili czasu tylko jeden z tych typów informacji, o tyle w naszym podejœciu system jest charakteryzowany jednoczeœnie przez $I$ oraz $Q$ w ka¿dej chwili czasu.\\\n\\\n[**Uwaga o podobieñstwie EFI i teorii Jaynes’a**]{}: Metoda EFI zaproponowana przez Friedena i Soffera [@Frieden] jest konsekwencj¹ postulatu podobnego do zasady Jaynes’a[^48]. ", "Mianowicie podobieñstwo obu teorii le¿y w tym, ¿e poprzez zasadê wariacyjn¹ wi¹¿¹ one strukturalne (Boltzmann’owskie) stopnie swobody z kinematycznymi (Shannona) stopniami swobody[^49].\\\nWed³ug podejœcia Jaynes’a, maksymalizacja entropii Shannona wzglêdem prawdopodobieñstw mikro-stanu uk³adu, posiadaj¹cego znane w³asnoœci, np. ", "ustalon¹ energiê, umo¿liwia identyfikacjê termodynamicznej entropii Boltzmanna jako zmaksymalizowanej entropii Shannona, a nastêpnie na konstrukcjê funkcji stanu, np. ", "energii swobodnej.", "\n\nKinetyczna postaæ informacji Fishera {#The kinematical form of the Fisher information}\n------------------------------------\n\nCentralna czêœæ pracy Frieden’a i Soffer’a zwi¹zana jest z transformacj¹ postaci pojemnoœci informacyjnej $I$ zadanej równaniem (\\[pojemnosc C dla polozenia\\]) oraz (\\[pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]) do tzw. ", "postaci kinematycznej wykorzystywanej w teorii pola oraz fizyce statystycznej. ", "W obecnym rozdziale zaprezentujemy podstawowe za³o¿enia, które doprowadzi³y do konstrukcji kinematycznego cz³onu (ca³ki) dzia³ania dla czterowymiarowych modeli teorii pola. ", "Przejœcie to ma nastêpuj¹c¹ postaæ [@Frieden].\\\n\\\nZgodnie z podstawowym za³o¿eniem Friedena-Soffera, $N$-wymiarowa próbka ${\\bf y}_{n} \\equiv ({\\bf y}_{n}^{\\nu})$ jest pobierana przez uk³ad posiadaj¹cy rozk³ad $p_{n}({\\bf y}_{n})$, gdzie obok indeksu próby $n=1,2,...,N$ wprowadzono indeks (czaso)przestrzenny $\\nu = (0),1,2,3$. Zgodnie z Rozdzia³em \\[geometria i metryka Fishera-Rao\\], wzór (\\[amplituda a rozklad\\]), metryka Fishera na (pod)rozmaitoœci ${\\cal S}$ prowadzi w naturalny sposób do pojêcia rzeczywistej amplitudy $q({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) \\equiv \\sqrt{p({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}})$ pola uk³adu. ", "Od razu skorzystano te¿ z zapisu, który sugeruje niezale¿noœæ rozk³adu dla $Y_{n}$ od $\\theta_{m}$, gdy $m \\neq n$.\\\n\\\nJak przedstawiliœmy w Rozdziale \\[Podstawowe zalozenie Friedena-Soffera\\] pojemnoœæ informacyjna (\\[pojemnosc C dla polozenia - powtorka wzoru\\]) mo¿e zostaæ zapisana jako (\\[potrz\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher_information with q dla przejscia}\nI \\equiv I(\\Theta) = 4 \\sum\\limits_{n=1}^N \\int_{\\cal Y} {d^{4}{\\bf y}_{n} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial q_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n \\nu} }}} {\\frac{{\\partial q_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; .\\end{aligned}$$\\\n\\\n[**Addytywny rozk³ad po³o¿eñ i regu³a ³añcuchowa**]{}: Niech ${\\bf x}_{n} \\equiv({\\bf x}^{\\nu}_{n})$ s¹ przesuniêciami (np. ", "addytywnymi fluktuacjami) danych ${\\bf y}_{n} \\equiv ({\\bf y}_{n}^{\\nu})$ od ich wartoœci oczekiwanych $\\theta^{\\nu}_{n}$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{parameters separation}\n{\\bf y}_{n}^{\\nu} = \\theta^{\\nu}_{n} + {\\bf x}^{\\nu}_{n} \\; .", "\n$$ Przesuniêcia ${\\bf x}^{\\nu}_{n}$ s¹ zmiennymi Fisher’owskimi, spe³niaj¹c warunek $\\frac{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}{\\partial {\\bf x}^{\\mu}} = \\delta^{\\nu}_{\\mu}$, (\\[zmienne Fisherowskie\\]).\\\n\\\nOdwo³uj¹c siê do “regu³y ³añcuchowej” dla pochodnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{chain rule}\n\\frac{\\partial}{\\partial {\\bf \\theta_{n}^{\\nu}}} = \\frac{\\partial ({\\bf y_{n}^{\\nu}} -\n\\theta_{n}^{\\nu})}{\\partial \\theta_{n}^{\\nu}} \\, \\frac{\\partial}{\\partial ({\\bf\ny_{n}^{\\nu}} - \\theta_{n}^{\\nu})} = - \\; \\frac{\\partial}{\\partial\n({\\bf y_{n}^{\\nu}} - \\theta_{n}^{\\nu})} = - \\; \\frac{\\partial}{\\partial {\\bf x_{n}^{\\nu}}} \\; \\end{aligned}$$ oraz uwzglêdniaj¹c $d^{4}{\\bf x}_{n}=d^{4}{\\bf y}_{n}$, co wynika z tego, ¿e parametry $\\theta_{n}$ s¹ sta³ymi, mo¿emy przejœæ od postaci statystycznej (\\[Fisher\\_information with q dla przejscia\\]) do [*postaci kinematycznej $IF$*]{} : $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher_information-kinetic form}\nI = 4 \\sum_{n=1}^{N} \\int_{{\\cal X}_{n}} \\!\\! ", "d^{4}{\\bf x}_{n} \\sum_{\\nu} \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x}_{n})}{\\partial {\\bf x}_{n \\nu}}\n\\frac{\\partial q_{n}({\\bf x}_{n})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}_{n}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $d^{4}{\\bf x}_{n}=d {\\bf x}_{n}^{0} d {\\bf x}_{n}^{1} d {\\bf x}_{n}^{2} d {\\bf x}_{n}^{3} $. ", "W (\\[Fisher\\_information-kinetic form\\]) wprowadzono oznaczenie: $$\\begin{aligned}\n\\label{zapis dla qn w xn}\nq_{n}({\\bf x}_{n}) \\equiv q_{n}({\\bf x}_{n}+\\theta_{n}|\\theta_{n}) = q_{n}({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) \\; ,\\end{aligned}$$ [*pozostawiaj¹c ca³¹ informacjê o $\\theta_{n}$ w indeksie $n$ amplitudy $q_{n}({\\bf x}_{n})$*]{}.\\\n\\\n[**Kinematyczna postaæ IF dla $q_{n}$**]{}: Zak³adaj¹c, ¿e zakres zmiennoœci wszystkich ${\\bf x}_{n}^{\\nu}$ jest dla ka¿dego $n$ taki sam, mo¿emy pomin¹æ indeks $n$ przy tej zmiennej (ale nie przy amplitudzie $q_{n}$), otrzymuj¹c postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fisher_information-kinetic form bez n}\nI = 4 \\sum_{n=1}^{N} \\int_{\\cal X} \\!\\! ", "d^{4}{\\bf x} \\sum_{\\nu} \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}\n\\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} \\; ,\\end{aligned}$$ któr¹ wykorzystamy przy wyprowadzeniu równañ generuj¹cych fizyki statystycznej [@Frieden], ale która zosta³a równie¿ wykorzystana do wyprowadzenia elektrodynamiki Maxwella metod¹ EFI [@Frieden].\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: [*Wymiar próby $N$ jest rang¹ pola uk³adu zdefiniowanego jako zbiór amplitud $\\left(q_{n}({\\bf x}_{n})\\right)_{n=1}^{N}$*]{}.\\\n\\\nW Rozdziale \\[structural principle\\] pokazaliœmy, ¿e strukturalna zasada informacyjna $I + Q =0$ jest artefaktem istnienia rozwiniêcia $\\ln P(\\tilde{\\Theta})$ w szereg Taylora[^50] wokó³ prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$. Obecnie znamy ju¿ ogóln¹ postaæ kinematyczn¹ $I$ czêœci pomiarowej zasady strukturalnej. ", "W metodzie EFI, jej czêœæ strukturalna $Q$ ma postaæ zale¿n¹ od np. ", "fizycznych wiêzów na³o¿onych na uk³ad. ", "Zagadnieniem tym zajmiemy siê w kolejnych Rozdzia³ach \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\] oraz \\[Przyklady\\].\\\n\\\n[**Amplitudy zespolone**]{}: Kolejnym za³o¿eniem jest konstrukcja [*sk³adowych funkcji falowej*]{} sk³adanych z amplitud[^51] w nastêpuj¹cy sposób [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{amplitudapsi dla roznych xn}\n\\psi_{n}({\\bf x}_{2n-1},{\\bf x}_{2n}) \\equiv \\frac{1}{{\\sqrt{N}}}\\left( q_{2n-1}({\\bf x}_{2n-1}) + i \\, q_{2n}({\\bf x}_{2n}) \\right)\\; , \\quad\\quad n=1,...,{N/2} \\; .\\end{aligned}$$ Powy¿sza postaæ jest uogólnieniem konstrukcji Friedena, który tworz¹c funkcjê falow¹ uk³adu z³o¿y³ $n$-t¹ [*sk³adow¹ funkcji falowej*]{} z amplitud w nastêpuj¹cy sposób [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{amplitudapsi}\n\\psi_{n}({\\bf x}) \\equiv \\frac{1}{{\\sqrt{N}}}\\left( q_{2n-1}({\\bf x}) + i \\, q_{2n}({\\bf x}) \\right)\\; , \\quad\\quad n=1,...,{N/2} \\; .\\end{aligned}$$ Dok³adniej mówi¹c, aby pos³u¿enie siê funkcj¹ falow¹ (\\[amplitudapsi\\]) mia³o sens, musi przynajmniej pod ca³k¹ zachodziæ równowa¿noœæ zmiennych: $$\\begin{aligned}\n\\label{x n rownowaznosc}\n{\\bf x}_{n} \\equiv {\\bf x} \\;\\;\\; {\\rm dla \\;\\; wszystkich} \\;\\;\\; n =1,2,...,N \\; .\\end{aligned}$$ Za³o¿enie to ca³kiem wystarcza przy liczeniu wartoœci oczekiwanych oraz prawdopodobieñstw.\\\nPrzy za³o¿eniu postaci (\\[amplitudapsi\\]) dla $n$-tej sk³adowej[^52], postaæ [*funkcji falowej*]{}  Friedena jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{psi zespolona}\n\\psi({\\bf x}) \\equiv (\\psi_{n}\\left({\\bf x})\\right)_{n=1}^{N/2} \\; .\\end{aligned}$$ Zbiór $N/2$ sk³adowych funkcji falowych $\\psi_{n}$ nazwijmy [*funkcj¹ falow¹ uk³adu rangi $N$*]{}.\\\nZauwa¿my, ¿e zachodz¹ nastêpuj¹ce równoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{analizaq dla q}\n\\!\\sum\\limits _{n=1}^{N}{q_{n}^{2}}= \\left({q_{1}^{2}+q_{3}^{2}+...+q_{N-1}^{2}}\\right)+\\left({q_{2}^{2}+q_{4}^{2}+...+q_{N}^{2}}\\right) = \\sum\\limits_{n=1}^{{N/2}}{\\left({q_{2n-1}}\\right)^{2}+\\left({q_{2n}}\\right)^{2}} \\; \\end{aligned}$$ i analogicznie: $$\\begin{aligned}\n\\label{analizaq}\n\\sum\\limits_{n=1}^{N} \\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}_{n \\nu}} \\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}_{n}^{\\nu}} = \\sum\\limits_{n=1}^{N/2} \\left(\\frac{\\partial q_{2n-1}}{\\partial {\\bf x}_{n \\nu}} \\frac{\\partial q_{2n-1}}{\\partial {\\bf x}_{n}^{\\nu}} + \\frac{\\partial q_{2n}}{\\partial {\\bf x}_{n \\nu}} \\frac{\\partial q_{2n}}{\\partial {\\bf x}_{n}^{\\nu}} \\right) \\; .\\end{aligned}$$ [*Zak³adaj¹c dla wszystkich poni¿szych rozwa¿añ s³usznoœæ (\\[x n rownowaznosc\\]), przynajmniej pod ca³k¹, oraz postaæ funkcji falowych (\\[amplitudapsi\\])*]{}, dokonajmy nastêpuj¹cego ci¹gu przekszta³ceñ dla (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{krok zamiany I dla q na psi}\nI &=& 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \n\\sum\\limits_{\\nu} \\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} = \n4 \\sum\\limits_{n=1}^{N/2} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum\\limits_{\\nu} \\left[ \\frac{\\partial q_{2n-1}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{2n-1}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} + \\frac{\\partial q_{2n}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{2n}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} \n\\right] \\nonumber \\\\ \n&=& 4 N \\sum\\limits_{n=1}^{{N/2}} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\n\\sum\\limits_{\\nu} \\frac{1}{{\\sqrt{N}}} \\frac{\\partial\\left({q_{2n-1} - i q_{2n}} \\right)}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{1}{\\sqrt{N}} \\frac{\\partial\\left({q_{2n-1} + iq_{2n}}\\right)}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie w ostatnim przejœciu skorzystano z przekszta³cenia typu: $$\\begin{aligned}\n\\label{q2 na q q}\nq_{2n-1}^{k} \\,q_{2n-1}^{k} + q_{2n}^{k}\\, q_{2n}^{k} = (q_{2n-1}^{k} - i \\,q_{2n}^{k})( q_{2n-1}^{k} + i \\,q_{2n}^{k}) \\; , \\end{aligned}$$ z indeksem $k$ oznaczaj¹cym pochodn¹ rzêdu $k=0,1,...\\,$.\\\n\\\n[**Kinematyczna postaæ IF dla $\\psi$**]{}: Odwo³uj¹c si¹ do definicji (\\[amplitudapsi\\]) funkcji falowej, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{inf F z psi}\nI = 4 N \\sum\\limits_{n=1}^{{N/2}} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \n\\sum\\limits_{\\nu}{\\frac{\\partial \\psi_{n}^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}}{\\frac{\\partial \\psi_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}} \\; .\\end{aligned}$$ Pojemnoœc informacyjna (\\[inf F z psi\\]) ma typow¹ postaæ np. ", "dla relatywistycznej mechaniki falowej, odpowiadaj¹c¹ czêœci kinetycznej ca³ki dzia³ania. ", "Dlatego w³aœnie oczekiwan¹ informacjê Fishera nazwa³ Frieden [*informacj¹ kinetyczn¹*]{}. ", "W [@Frieden] u¿yto jej do wyprowadzenia równañ Kleina-Gordona oraz Diraca metod¹ EFI [@Frieden].\\\n\\\n[**Rozk³adu prawdopodobieñstwa przesuniêcia w uk³adzie**]{}: Korzystaj¹c z twierdzenia o prawdopodobieñstwie ca³kowitym, [*gêstoœæ*]{} rozk³adu prawdopodobieñstwa przesuniêcia (lub fluktuacji) w uk³adzie mo¿e byæ zapisana nastêpuj¹co [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{p jako suma po qn2 przez N}\np\\left({\\bf x}\\right) &=& \\sum_{n=1}^{N} p\\left({\\bf x}|{\\theta}_{n} \\right) r\\left({\\theta}_{n}\\right) = \\sum_{n=1}^{N} {p_{n}\\left( {\\bf x}_{n}|{\\theta}_{n}\\right) r\\left({\\theta}_{n}\\right)} = \\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} q_{n}^{2} \\left({\\bf x}_{n}|{\\theta}_{n}\\right) \\nonumber \\\\\n&=& \\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} q_{n}^{2} \\left({\\bf x}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z za³o¿enia, ¿e $n$-ta wartoœæ oczekiwana ${\\theta}_{n}$ nie ma dla $m \\neq n$ wp³ywu na rozk³ad przesuniêcia ${\\bf x}_{m}$ oraz jak zwykle z postaci amplitudy $q_{n}^{2} = p_{n}$. Prawdopodobieñstwo $p_{n}$ jest prawdopodobieñstwem pojawienia siê wartoœci ${\\bf x}_{n}$ zmiennej losowej przesuniêcia (lub fluktuacji) z rozk³adu generowanego z parametrem ${\\theta}_{n}$, tzn. ", "ma ono interpretacjê prawdopodobieñstwa warunkowego $p_{n}\\left({\\bf x}_{n}|{\\theta}_{n}\\right)$. Funkcjê $r\\left({\\theta}_{n}\\right) = \\frac{1}{N}$ mo¿na nazwaæ funkcj¹ “niewiedzy”, gdy¿ jej postaæ jest odzwierciedleniem ca³kowitego braku wiedzy odnoœnie tego, która z $N$ mo¿liwych wartoœci ${\\theta}_{n}$ pojawi siê w konkretnym $n$-tym z $N$ eksperymentów próby.\\\n[**Postaæ rozk³adu dla $\\psi$**]{}: W koñcu, korzystaj¹c z (\\[amplitudapsi\\]), (\\[analizaq\\]), (\\[q2 na q q\\]) oraz (\\[p jako suma po qn2 przez N\\]) widaæ, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{prawdpsi}\np\\left({\\bf x}\\right) = \\sum_{n=1}^{N/2} {\\psi_{n}^{*}\\left({\\bf x}\\right) \\psi_{n}}\\left({\\bf x}\\right) \\; \\end{aligned}$$ jest gêstoœci¹ rozk³adu prawdopodobieñstwa przesuniêcia (lub fluktuacji) ${\\bf x}$ w uk³adzie opisanym funkcj¹ falow¹ (\\[psi zespolona\\]).\\\n\\\n[**Uwaga o ró¿nicy z podejœciem Friedena**]{}: W ca³ym powy¿szym wyprowadzeniu nie u¿yliœmy podstawowego za³o¿enia Friedena-Soffera o [*niezmienniczoœci rozk³adu ze wzglêdu na przesuniêcie*]{}, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{shift inv property}\np_{n} ({\\bf x}_{n}) = p_{x_{n}} ({\\bf x}_{n}|\\theta_{n}) = p_{n} ({\\bf y}_{n}|\\theta_{n}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; {\\bf x}_{n}^{\\nu} \\equiv {\\bf y}_{n}^{\\nu} - \\theta_{n}^{\\nu} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\bf y}_{n} \\equiv ({\\bf y}_{n}^{\\nu})$, ${\\bf x}_{n} \\equiv ({\\bf x}_{n}^{\\nu})$ oraz $\\theta_{n} \\equiv (\\theta_{n}^{\\nu})$. Za³o¿enie to nie jest potrzebne przy wyprowadzeniu postaci (\\[Fisher\\_information-kinetic form\\]) pojemnoœci informacyjnej.\\\n[**Uwaga**]{}: Co wiêcej, [*informacja o $\\theta_{n}$ musi pozostaæ w rozk³adzie $p_{n}$ oraz jego amplitudzie $q_{n}$. Wczeœniej umówiliœmy siê, ¿e indeks $n$ zawiera t¹ informacjê*]{}. ", "Po umiejscowieniu informacji o $\\theta_{n}$ w indeksie $n$ mo¿na, w razie potrzeby wynikaj¹cej np. ", "z fizyki zjawiska, za¿¹daæ dodatkowo niezmienniczoœci ze wzglêdu na przesuniêcie.", "\n\n### Postaæ kinematyczna pojemnoœci zapisana w prawdopodobieñstwie {#Postac kinematyczna pojemnosci zapisana w prawdopodobienstwie}\n\nPoni¿ej podamy postaæ kinematyczn¹ pojemnoœci zapisan¹ w (punktowych) prawdopodobieñstwach próby. ", "Postaæ ta jest bardziej pierwotna ni¿ (\\[Fisher\\_information with q dla przejscia\\]), chocia¿ w treœci skryptu wykorzystywana jedynie w Dodatku.\\\n\\\nPuntem wyjœcia jest pojemnoœæ (\\[postac I bez log p po theta\\]): $$\\begin{aligned}\nI \\equiv I(\\Theta) = \\sum_{n=1}^N {\\int_{\\cal Y} d^{4}{\\bf y}_n \\frac{1}{{p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n \\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf y}_n|\\theta_{n} \\right)}}{{\\partial \\theta_{n}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z przejœcia do addytywnych przesuniêæ ${\\bf x}_{n} \\equiv({\\bf x}^{\\nu}_{n})$ ,(\\[parameters separation\\]), oraz z “regu³y ³añcuchowej” (\\[chain rule\\]) dla pochodnej, otrzymujemy (podobnie do (\\[Fisher\\_information-kinetic form\\])) nastêpuj¹c¹ [*kinematyczn¹ postaæ pojemnoœci informacyjnej*]{}, wyra¿on¹ w prawdopodobieñstwach: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I dla p po x}\nI = \\sum_{n=1}^N {\\int_{{\\cal X}_{n}} d^{4}{\\bf x}_{n} \\frac{1}{{p_{n} \\left( {\\bf x}_{n} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x}_{n} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{n \\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x}_{n} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{n}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; , \\end{aligned}$$ gdzie, podobnie jak poprzednio dla amplitud, pozostawiliœmy ca³¹ informacjê o [*$\\theta_{n}$ w indeksie $n$ rozk³adu $p_{n}({\\bf x}_{n})$*]{}.\\\n\\\n[**Postaæ kinematyczna $I$ zapisana w prawdopodobieñstwie**]{}: W koñcu, zak³adaj¹c, ¿e zakres zmiennoœci wszystkich ${\\bf x}_{n}^{\\nu}$ jest dla ka¿dego $n$ taki sam, pomijamy indeks $n$ przy tej zmiennej (ale nie przy rozk³adzie $p_{n}$), otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I dla p po x bez n}\nI = \\sum_{n=1}^N {\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\frac{1}{{p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{\\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; . ", "\\end{aligned}$$ Postaæ t¹ wykorzystamy w Dodatku jako pierwotn¹ przy wyprowadzeniu elektrodynamiki Maxwella, granicy s³abego pola w teorii grawitacji oraz twierdzenia $I$ fizyki statystycznej.", "\n\nRównania master {#master eq}\n---------------\n\nPodejdŸmy nieco inaczej ni¿ w Rozdziale \\[structural principle\\] do problemu estymacji. ", "Rozwiñmy $P(\\tilde{\\Theta})$ w szereg Taylora wokó³ prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$ i wyca³kujmy po ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$, otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw w szereg T dla P}\n & & \\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\int_{\\cal B}\\!\\! ", "d y \\!\\left(P(\\tilde{\\Theta})-P(\\Theta)\\right) = \\! ", "\\int_{\\cal B} \\! ", "d y \\!\\left(\\sum_{n=1}^{N}\\!\\frac{\\partial P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})\\right.\\nonumber \\\\\n & + & \\left.\\frac{1}{2}\\sum_{n,n'=1}^{N} \\frac{\\partial^{2}P(\\Theta)}\n{\\partial\\theta_{n'}\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'})+\\cdots\\right) \\; ,\n \\end{aligned}$$ gdzie u¿yto oznaczenia $\\frac{\\partial P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}} \\equiv \\frac{\\partial P(\\widetilde{\\Theta})}{\\partial \\tilde{\\theta}_{n}}\\mid_{\\widetilde{\\Theta} = \\Theta}$ oraz podobnie dla wy¿szych rzêdów rozwiniêcia. ", "Poniewa¿ ca³kowanie zostaje wykonane po ca³ej przestrzeni próby ${\\cal B}$, zatem bior¹c pod uwagê warunek normalizacji $\\int_{\\cal B} d y \\, P(\\Theta) = \\int_{\\cal B} d y \\, P(\\tilde{\\Theta})=1$ widzimy, ¿e lewa strona równania (\\[rozw w szereg T dla P\\]) jest równa zero. ", "Pomijaj¹c cz³ony wy¿szego rzêdu[^53], otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{L expand macroscop bez P P}\n\\int_{\\cal B} \\! ", "d y \\!\\left(\\sum_{n=1}^{N}\\!\\frac{\\partial P(\\Theta)}{\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n}) \n + \\frac{1}{2}\\sum_{n,n'=1}^{N} \\frac{\\partial^{2}P(\\Theta)}\n{\\partial\\theta_{n'}\\partial\\theta_{n}}(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'}) \\right) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Dla estymatorów $\\tilde{\\Theta}$ lokalnie nieobci¹¿onych [@Amari; @Nagaoka; @book] równanie (\\[L expand macroscop bez P P\\]) przyjmuje dla konkretnych $n$ oraz $n'$ nastêpuj¹c¹ postaæ [**równania master**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{L master oczekiwana}\n\\int_{\\cal B} \\! ", "d y \\; \\frac{\\partial^{2}P(\\Theta)}\n{\\partial\\theta_{n'}\\partial\\theta_{n}}\\,(\\tilde{\\theta}_{n}-\\theta_{n})(\\tilde{\\theta}_{n'}-\\theta_{n'}) = 0 \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; n, n' =1,2,...,N \\; .\\end{aligned}$$ Gdy parametr $\\theta_{n}^{\\nu}$ ma index Minkowskiego $\\nu$, wtedy mo¿na pokazaæ, ¿e wykorzystuj¹c $P=\\prod_{n=1}^{N}p_{n}({\\bf y}_{n})$ w (\\[L master oczekiwana\\]) otrzymujemy, po przejœciu do zmiennych Fisherowskich (porównaj (\\[zmienne Fisherowskie\\])), równanie maj¹ce w granicy $\\tilde{\\theta}_{n} \\rightarrow \\theta_{n}$ nastêpuj¹c¹ postaæ [**obserwowan¹ równania master**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{conservation flow eq}\n\\frac{\\partial p_{n}({\\bf y}_{n})}{\\partial t_{n}} + \\sum_{i=1}^{3}\\frac{\\partial\\, p_{n}({\\bf y}_{n})}{\\partial {\\bf y}_{n}^{i}}\\, v_{n}^{i}=0\\;,\\;\\;\\; \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; v_{n}^{i} = \\lim_{\\tilde{\\theta}_{n} \\rightarrow \\theta_{n}} \\hat{v}_{n}^{i}\\equiv\\frac{\\tilde{\\theta}_{n}^{i} - \\theta_{n}^{i}}{\\tilde{\\theta}_{n}^{0} - \\theta_{n}^{0}} \\; , \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; , \\;\\;\\;\\end{aligned}$$ bêd¹cego typem [**równania ci¹g³oœci strumienia**]{}, gdzie $t_{n}\\equiv {\\bf y}_{n}^{0}$. W (\\[conservation flow eq\\]) $\\, \\theta_{n}^{i}$ oraz $\\theta_{n}^{0}$ s¹ odpowiednio wartoœciami oczekiwanymi po³o¿enia oraz czasu uk³adu.", "\n\nPodsumowanie rozwa¿añ {#Podsumowanie rozwazan}\n---------------------\n\nPodstawowym przes³aniem wyniesionym z metody estymacyjnej Friedena-Soffera jest to, ¿e $TFI$ jest poprzednikiem Lagrangianu uk³adu [@Frieden]. ", "Temat ten rozwiniemy w kolejnym rozdziale. ", "Pewnym minusem teorii Friedena-Soffera mog³a wydawaæ siê koniecznoœæ zapostulowania nowych zasad informacyjnych. ", "Co prawda z puntu widzenia fenomenologii skutecznoœæ tych zasad w wyprowadzeniu du¿ej liczby modeli u¿ytecznych do opisu zjawisk wydaje siê byæ ca³kiem satysfakcjonuj¹ca, jednak wyprowadzenie tych zasad przesunê³oby teoriê do obszaru bardziej podstawowego. ", "Pozwoli³oby to zarówno na podanie jej przysz³ych ograniczeñ fenomenologicznych jak i jej mo¿liwych teoretycznych uogólnieñ.\\\nW tym kontekstcie, t¹ w³aœnie rolê spe³nia wyprowadzenie strukturalnej zasady informacyjnej jako konsekwencji analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci w otoczeniu prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$ oraz wskazanie geometrycznego znaczenia informacyjnej zasady wariacyjnej, która le¿u u podstaw zasady ekstremizacji dzia³ania fizycznego. ", "W obecnym rozdziale zwrócono uwagê, ¿e u podstaw informacyjnego zrozumienia zasady wariacyjnej mo¿e le¿eæ idea idealnego pomiaru [@Dziekuje; @informacja_2], przy której wariacja pojemnoœci informacyjnej $I$ jest równa (z wyj¹tkiem znaku) wariacji informacji strukturalnej $Q$.\\\nW powy¿szym rozdziale wyprowadzono te¿ równanie master (\\[L master oczekiwana\\]) dla funkcji wiarygodnoœci, które prowadzi do równania ci¹g³oœci strumienia dla punktowego rozk³adu w próbie (\\[conservation flow eq\\]). ", "Ciekawe jest to, ¿e równanie master pojawia siê z rozwiniêcia funkcji wiarygodnoœci w szereg Taylora wokó³ prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$. Si³¹ rzeczy (por. (", "\\[rozw w szereg T dla P\\])) nie pojawia siê wiêc w nich (logarytmiczna) czêœæ nieliniowa struktury uk³adu. ", "Ta ga³aŸ uogólnienia MNW w klasycznej statystycznej estymacji le¿y bli¿ej teorii procesów stochastycznych [@Sobczyk_Luczka] ni¿ EFI.\\\n\\\nWyprowadzaj¹c w Rozdziale \\[structural principle\\] strukturaln¹ zasadê informacyjn¹ [@Dziekuje; @informacja_2] wykazano, ¿e metoda Friedena-Soffera jest pewn¹ modyfikacj¹ MNW, pozwalaj¹c¹, jak siê oka¿e, na nieparametryczn¹ estymacjê równañ ruchu teorii pola lub równañ generuj¹cych rozk³ad fizyki statystycznej [@Frieden]. ", "Wiele z tych równañ otrzymano ju¿ w [@Frieden] zgodnie z informatycznym zrozumieniem Friedena-Soffera wspomnianym na koñcu Rozdzia³u \\[information transfer\\]. ", "W [@Mroziakiewicz] wyprowadzenia te zosta³y sprawdzone dla przyjêtej w obecnym skrypcie fizycznej postaci zasad informacyjnych [@Dziekuje; @informacja_1].\\\nJednak¿e dopiero wyprowadzenie strukturalnej zasady informacyjnej pozwala na faktoryzacjê z obserwowanej $SI$ czêœci, bêd¹cej miar¹ probabilistyczn¹ i w zwi¹zku z tym na prawid³owe umieszczenie rozk³adów spe³niaj¹cych równania ró¿niczkowe metody EFI w odpowiednich podprzestrzeniach przestrzeni statystycznej. ", "Dlatego omówieniu b¹dŸ przeliczeniu niektórych rozwi¹zañ EFI z uwzglêdnieniem tego faktu poœwiêcimy dwa nastêpne rozdzia³y.\\\nNale¿y jednak podkreœliæ, ¿e Frieden, Soffer i ich wspó³pracownicy Plastino i Plastino, podali metodê rozwi¹zania uk³adu (ró¿niczkowych) zasad informacyjnych dla problemu EFI, która jest bardzo skuteczna, gdy¿ poza warunkami brzegowymi i ewentualnymi równaniami ci¹g³oœci nie jest ograniczona przez ¿adn¹ konkretn¹ postaæ rozk³adu. ", "Metodê t¹ wykorzystamy w dalszym ci¹gu analizy.", "\n\nKryteria informacyjne w teorii pola {#Kryteria informacyjne w teorii pola}\n===================================\n\n[*G³ówne estymacyjne przes³anie metody*]{} EFI. ", "Jak stwierdziliœmy poprzednio, poniewa¿ podstawowa myœl stoj¹ca za metod¹ EFI jest nastêpuj¹ca: Skoro $IF$ jest infinitezymalnym typem entropii wzglêdnej Kulback-Leibler’a, która s³u¿y do statystycznego wyboru pomiêdzy zaproponowanymi [*rêcznie*]{} modelami, zatem po dodatkowym [*rêcznym*]{}, aczkolwiek uzasadnionym, na³o¿eniu ró¿niczkowych zasad strukturalnych na uk³ad, staje siê ona metod¹ estymuj¹c¹ równania ruchu i ich wyboru drog¹ wymogu spe³nienia zasad[^54] informacyjnych. ", "B¹dŸ, jeœli ktoœ woli, metoda EFI jest metod¹ estymuj¹c¹ rok³ady, które s¹ rozwi¹zaniami tych równañ. ", "Jest wiêc to metoda estymacji nieparametrycznej. ", "Wspomniane równania to np. ", "równania ruchu teorii pola b¹dŸ równania generuj¹ce rozk³ady fizyki statystycznej.", "\n\nInformacja Fishera i klasyfikacja modeli {#Informacja Fishera i klasyfikacja modeli}\n-----------------------------------------\n\nObecny rozdzia³ poœwiêcony jest g³ównie przedstawieniu wstêpnej klasyfikacji modeli fizycznych ze wzglêdu na skoñczonoœæ (b¹dŸ nieskoñczonoœæ) pojemnoœci informacyjnej $I$. Ponadto, poni¿sze rozwa¿ania dla modeli ze skoñczonym $I$ dotycz¹ wy³¹cznie modeli metody EFI. ", "Kolejna, bardziej szczegó³owa klasyfikacja pozwala sklasyfikowaæ modele ze wzglêdu na wielkoœæ próby $N$.\\\nJak poka¿emy mechanika klasyczna posiada nieskoñczon¹ pojemnoœæ informacyjn¹ $I$. Œciœle mówi¹c, mechanika klasyczna jest teori¹ z symplektyczn¹ struktur¹ rozmaitoœci i nie posiada struktury statystycznej. ", "Czasami jednak s³yszy siê stwierdzenie, ¿e jest ona stochastyczn¹ granic¹ mechaniki kwantowej. ", "Ale i na odwrót, wed³ug von Neumann’a [@Neumann] teoria kwantowa jest niespójna z istnieniem zespo³ów nie posiadaj¹cych rozmycia (rozproszenia). ", "W zwi¹zku z tym, doœæ powszechnie uwa¿a siê, ¿e wystêpowanie odstêpstw od klasycznego zachowania siê uk³adów mo¿na uchwyciæ jedynie na poziomie statystycznym [@Peres].\\\nPoni¿ej udowodnimy twierdzenie klasycznej statystyki mówi¹ce o niemo¿liwoœci wyprowadzenia mechaniki falowej[^55] metody EFI z mechaniki klasycznej. ", "W tym celu wykorzystamy statystyczne pojêcie pojemnoœci informacyjnej, które jest narzêdziem dla dwóch sprzê¿onych z sob¹ zagadnieñ, a mianowicie powy¿ej wspomnianego statystyczego dowodu o niewyprowadzalnoœci mechaniki kwantowej z klasycznej i zwi¹zanego z nim problemu konsystencji samospójnego formalizmu. ", "Ostatni fakt wykorzystywany jest w takich ga³êziach badañ fizycznych jak nadprzewodnictwo [@superconductivity], fizyka atomowa i cz¹stek elementarmych [@bib; @B-K-1] oraz astrofizyka [@Bednarek].", "\n\n### Podzia³ modeli ze wzglêdu na $N$ oraz kategorie $I$ {#rozdzielnosci mech fal i klas}\n\nJak dot¹d nie odnieœliœmy siê do wartoœci $N$ wymiaru próby. ", "Pierwsza klasyfikacja zwi¹zana z $N$ jest ogólna. ", "Tzn. ", "poka¿emy, ¿e modele nale¿¹ do dwóch ró¿nych, ogólnych kategorii z ró¿n¹ wartoœci¹ $N$. Pierwsza z nich posiada skoñczon¹ wartoœæ $N$ i jest zwi¹zana ze skoñczon¹ wartoœci¹ $I$. Obejmuje ona modele mechaniki falowej i klasycznych teorii pola, gdy¿ jedno skoñczenie wymiarowe, polowe rozwi¹zanie równañ ruchu okreœla ewolucjê uk³adu wraz z pe³nym okreœleniem jego struktury w przestrzeni i czasie. ", "Natomiast mechanika klasyczna nale¿y do drugiej kategorii z nieskoñczonym $N$, gdy¿ rozwi¹zanie równania ruchu nie okreœla struktury cz¹stki, która musi byæ niezale¿nie od tego równania okreœlona poprzez zdefiniowanie, w ka¿dym punkcie toru cz¹stki, jej punktowej struktury (np. ", "poprzez dystrybucjê $\\delta$-Diraca). ", "Mechanika klasyczna okazuje siê posiadaæ nieskoñczon¹ wartoœæ $I$.\n\n#### Dowód podzia³u na dwie kategorie $I$ {#kategorie I - dowod}\n\nZobrazujmy powy¿sze s³owa nastêpuj¹c¹ analiz¹. Dla uproszczenia rozwa¿my uk³ad jednowymiarowy w po³o¿eniu[^56]. ", "Za³ó¿my wpierw, ¿e uk³ad jest opisany przez nieosobliw¹ dystrybucjê. ", "Wtedy dla $N\\rightarrow\\infty$ pojemnoœæ informacyjna $I$, (\\[I dla pn jeden parametr\\]), rozbiega siê do nieskoñczonoœci. ", "Taka sama sytuacja zachodzi jednak dla ka¿dej [*osobliwej*]{} dystrybucji jak np. ", "dystrybucja $\\delta$-Diraca. ", "SprawdŸmy, ¿e tak jest istotnie. ", "Rozwa¿my punktow¹ cz¹stkê swobodn¹, dla uproszczenia w spoczynku, w po³o¿eniu $\\theta$, oraz $\\delta$-Diracowski ci¹g funkcji, np. ", "ci¹g funkcji Gaussa: $$\\begin{aligned}\n\\label{ciag Gaussa}\n\\left\\{\\delta_{k}(y_{n}|\\theta) = \\frac{k}{\\sqrt{\\pi}}\\, \\exp(-k^{2}(y_{n}-\\theta)^{2})\\right\\} \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; k = 1,2,3,... \\;\\; .\\end{aligned}$$ Wtedy, poniewa¿ dla okreœlonego indeksu $k$ ci¹gu (\\[ciag Gaussa\\]), pojemnoœæ informacyjna (\\[I dla pn jeden parametr\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc I dla ciag Gaussa}\nI_{k} = \\sum_{n=1}^{N} {\\int{dy_{n} {\\delta_{k}(y_{n}|\\theta)}\\left({\\frac{{\\partial \\ln \\delta_{k}(y_{n}|\\theta)}}{{\\partial\\theta}}}\\right)^{2}}} \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; k = 1,2,3,... \\;\\; \\end{aligned}$$ jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc pojemnosci I_k dla ciag Gaussa}\nI_{k} = \\frac{N}{\\sigma_{k}^{2}} \\; , \\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; k = 1,2,3,... \\;\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\sigma_{k}^{2}=\\frac{1}{2k^{2}}$ opisuje wariancjê po³o¿enia cz¹stki dla $k$-tego elementu ci¹gu (\\[ciag Gaussa\\]), wiêc widzimy, ¿e $I_{k}$ rozbiega siê do nieskoñczonoœci dla $N \\rightarrow \\infty\\,$ i nawet jeszcze mocniej, gdy dodatkowo $k \\rightarrow \\infty$.\\\nPosumowuj¹c, dla $N \\rightarrow \\infty$ pojemnoœæ informacyjna $I$ nie istnieje, obojêtnie z jak¹ dystrybucj¹ mielibyœmy do czynienia.\\\nIstniej¹ wiêc [*dwie, powy¿ej wymienione, rozdzielne kategorie modeli odnosz¹ce siê do wymiaru $N$ próby*]{}. ", "Tzn. ", "dla jednych, takich jak mechanika falowa i teorie pola, $N$ oraz $I$ s¹ skoñczone, podczas gdy mechanika klasyczna tworzy osobn¹ klasê z nieskoñczonym $N$ oraz $I$. To koñczy dowód [@Dziekuje; @informacja_1] o niewyprowadzalnoœci modeli falowych i teorio-polowych z mechaniki klasycznej.\\\n\\\nPowy¿szy dowód nie obejmuje mo¿liwoœci wyprowadzenia mechaniki falowej (czy te¿ teorii kwantowych) z klasycznej teorii pola b¹dŸ samospójnej teorii pola [@bib; @B-K-1; @Dziekuje_Jacek_nova_2; @Dziekuje_Jacek_nova_1].\\\n[**Uwaga**]{}: Oznacza to, ¿e mechanika klasyczna nie ma skoñczonego statystycznego pochodzenia[^57], chyba, ¿e tak jak w (\\[ciag Gaussa\\]) wprowadzi siê nieskoñczon¹ liczbê statystycznych parametrów, co jednak poci¹ga za sob¹ nieskoñczonoœæ pojemnoœci informacyjnej $I$.\n\n### Podzia³ modeli ze skoñczonym $I$ na podklasy z ró¿nym $N$ {#podzial modeli ze wzgledu na N}\n\nJak ju¿ wspomninaliœmy, Frieden i Soffer [@Frieden] wyprowadzili modele falowe pos³uguj¹c siê pojêciem pojemnoœci informacyjnej $I$ oraz zasadami informacyjnymi estymacyjnej metody EFI. ", "Rozwiniemy ten temat w dalszej czêœci obecnego rozdzia³u. ", "Na razie zauwa¿my, ¿e stosuj¹c zasadniczo[^58] jednoczeœnie obie zasady informacyjne, strukturaln¹ $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), oraz wariacyjn¹ $\\delta(I + Q) = 0$, (\\[var K rozpisana\\]), oraz uwzglêdniaj¹c odpowiednie fizyczne wiêzy (wyra¿one narzuceniem na uk³ad np. ", "równania ci¹g³oœci, symetrii oraz warunków brzegowych), otrzymujemy zró¿nicowanie ze wzglêdu na $N$ modeli posiadaj¹cych skoñczone wartoœci $N$ oraz $I$. I tak równanie Kleina-Gordona oraz równanie Schr[ö]{}dingera jako jego nierelatywistyczna granica (por. ", "Dodatek \\[Rownanie Schrodingera\\]) posiadaj¹ rangê pola $N=2$, równanie Diraca posiada $N=8$, równania Maxwell’a posiadaj¹ $N=4$, a teoria grawitacji, zasadniczo bardziej w ujêciu Logunova [@Denisov-Logunov] ni¿ ogólnej teorii wzglêdnoœci, posiada $N=10$ (Dodatek \\[general relativity case\\]).", "\n\n### Konkluzje i konsekwencje podzia³u modeli na kategorie $I$ {#konkluzje o dwoch kategoriach I}\n\nPowy¿ej otrzymaliœmy rezultat mówi¹cy, ¿e wszystkie modele opisane strukturaln¹ zasad¹ informacyjn¹ nale¿¹ do kategorii skoñczonej wartoœci pojemnoœci informacyjnej $I$ oraz, ¿e mechanika klasyczna nale¿y do kategorii nieskoñczonego $I$. Zatem w ramach zagadnieñ rozwa¿anych w skrypcie, granica nie le¿y pomiêdzy tym co micro a makro, ale przebiega pomiêdzy teoriami, które maj¹ pochodzenie statystyczne oraz tymi, które maj¹ pochodzenie klasyczno-mechaniczne. ", "Albo lepiej, pomiêdzy tym co ma pochodzenie falowe lub szerzej, teorio-polowe, oraz tym co ma pochodzenie œciœle punktowe.\\\nPoniewa¿ w konstrukcji modeli klasycznej teorii pola oraz mechaniki falowej, u¿yty jest ten sam statystyczny formalizm informacji Fishera, dlatego jest ona równie¿ w³aœciwym narzêdziem w konstrukcji samospójnych teorii pola [@bib; @B-K-1], ³¹cz¹c modele mechaniki falowej i klasycznej teorii pola w jeden, logicznie spójny aparat matematyczny.\\\nJak wiemy, aby otrzymaæ jak¹kolwiek teoriê pola, metoda EFI u¿ywa dwóch nowych zasad, wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]), która minimalizuje ca³kowit¹ fizyczn¹ informacjê uk³adu oraz obserwowanej (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) i oczekiwanej (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]) zasady strukturalnej, która t¹ informacjê zeruje. ", "Frieden i Soffer [@Frieden] zwrócili uwagê, ¿e pojêcie informacji poprzedza pojêcie fizycznego dzia³ania, a wprowadzony formalizm mo¿na s³usznie nazwaæ podejœciem Friedena do równañ ruchu. ", "Sporo te¿ na tej drodze konstrukcji modeli fizycznych ju¿ zrobiono. ", "Jednak¿e liczne zagadnienia, ze wzglêdu na odmienne ni¿ w [@Frieden] zrozumienie zasady strukturalnej (patrz [@Dziekuje; @informacja_1; @Mroziakiewicz; @Dziekuje; @informacja_2] oraz obecny skrypt), wymagaj¹ ponownego zinterpretowania i zrozumienia. ", "Ci¹gle na ogólne opracowanie czeka wprowadzenie do formalizmu informacyjnych poprzedników Ÿróde³ oraz lepsze zrozumienie fizyki le¿¹cej u podstaw znaczenia wymiaru próby $N$. Poni¿sze rozwa¿ania s³u¿¹ usystematyzowaniu istniej¹cego ju¿ statystycznego aparatu pojêciowego informacji kinetycznej i strukturalnej metody EFI oraz lepszemu opisowi zwi¹zku informacji fizycznej z ca³k¹ dzia³ania.", "\n\nRównania ró¿niczkowe metody EFI {#equations of motion}\n--------------------------------\n\nKolejna czêœæ obecnego rozdzia³u poœwiêcona jest omówieniu rozwi¹zañ zasad informacyjnych metod¹ EFI dla modeli mechaniki falowej i teorii pola [@Dziekuje; @za; @models; @building]. ", "Punktem wyjœcia jest pojemnoœæ informacyjna $I$ w jej kinematycznych postaciach (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]): $$\\begin{aligned}\nI = 4 \\sum_{n=1}^{N} \\int_{\\cal X} \\!\\! ", "d^{4}{\\bf x} \\sum_{\\nu=0}^{3} \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}\n\\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} \\; \\nonumber\\end{aligned}$$ b¹dŸ (\\[inf F z psi\\]): $$\\begin{aligned}\nI = 4 N \\sum\\limits_{n=1}^{{N/2}} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \n\\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\frac{\\partial\\psi_{n}^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}}{\\frac{\\partial \\psi_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}} \\; , \\nonumber\\end{aligned}$$ wyprowadzonych w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\], gdzie ${\\bf x}^{\\nu}_{n}$ s¹ zgodnie z (\\[parameters separation\\]) przesuniêciami wartoœci pomiarowych po³o¿enia zebranymi przez uk³ad od ich wartoœci oczekiwanych. ", "Wyprowadzenie (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) oraz (\\[inf F z psi\\]) zosta³o zaprezentowane w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\] i nie zak³ada ono (w przeciwieñstwie do orginalnego wyprowadzenia Friedena-Soffera) koniecznoœci istnienia niezmienniczoœci przesuniêcia rozk³adów prawdopodobieñstwa. ", "Pewne informacje na temat niezmienniczoœci Lorentzowskiej pojemnoœci informacyjnej $I$ zosta³y podane w Rozdziale \\[Poj inform zmiennej los poloz\\].\\\nUogólnienia powy¿szych kinematycznych postaci na przypadek wystêpowania w uk³adzie pól cechowania omówimy w dalszej czêœci rozdzia³u.", "\n\n### Ogólna postaæ funkcji gêstoœci TFI oraz obserwowane zasady informacyjne {#ogolna postac TFI i zasad obserwowanych}\n\nWyprowadzenie strukturalnej zasady informacyjnej zosta³o przedstawione w Rozdziale \\[structural principle\\]. ", "Odwo³uje siê ono do pe³nych danych pomiarowych $({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$, ale jego postaæ dla przesuniêæ $({\\bf x}_{n})_{n=1}^{N}$ jest dok³adnie taka sama [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Tak wiêc, poni¿ej stosowane zasady informacyjne, strukturalna oraz wariacyjna, bêd¹ odwo³ywa³y siê do miary probabilistycznej $ d{\\bf x} \\, p_{n}(\\bf x)$ okreœlonej na przestrzeni przesuniêæ ${\\bf x} \\in {\\cal X}$ jako przestrzeni bazowej, gdzie ${\\cal X}$ jest czasoprzestrzeni¹ Minkowskiego $R^{4}$.\\\n\\\nPrzyst¹pmy do przedstawienia konstrukcji mechaniki falowej i teorii pola zgodnie z metod¹ EFI. ", "Wed³ug równania (\\[physical K\\]) TPI zosta³a okreœlona jako $K=Q+I$. Poniewa¿ przesuniêcie ${\\bf x}_{n}$ nie zale¿y od parametru $\\theta_{m}$ dla $m\\neq n$ oraz zakres ca³kowania dla wszystkich ${\\bf x}_{n}$ jest taki sam, dlatego $I$ redukuje siê do diagonalnych postaci (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) b¹dŸ (\\[inf F z psi\\]), a $Q$ do postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q diag z q2}\nQ = \\sum_{n=1}^{N}\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\, q_{n}^{2}({\\bf x})\\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x})) \\; ,\\end{aligned}$$ zgodnie z oznaczeniem w (\\[Q dla niezaleznych Yn w d4y\\]), b¹dŸ w przypadku pola $\\psi({\\bf x})$, (\\[psi zespolona\\]), do ogólnej (jak zwykle rzeczywistej) postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q diag z psi2}\nQ \\equiv Q_{\\psi} = \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n,n'=1}^{N/2} \\, \\psi_{n}^{*}({\\bf x}) \\psi_{n'}({\\bf x}) \\, \\texttt{q\\!F}_{nn'}^{\\psi}(\\psi({\\bf x}), \\psi^{*}({\\bf x}), \\psi^{(l)}({\\bf x}), \\psi^{*(l)}({\\bf x})) \\; ,\\end{aligned}$$ przy czym ca³a funkcja podca³kowa jest wielomianem pól $\\psi({\\bf x})$ oraz $\\psi^{*}({\\bf x})$, stopnia nie mniejszego ni¿ 2, oraz ich pochodnych rzêdu $l = 1,2,...\\;$ (por. (", "\\[qF diagonalne\\])), natomiast $\\texttt{q\\!F}^{\\psi}_{nn'}$ jest pewn¹ obserwowan¹ (w ogólnoœci zespolon¹) informacj¹ strukturaln¹ uk³adu. ", "Konkretn¹, jak sie okazuje prost¹ postaæ $Q$ dla przypadku pól skalarnych Kleina-Gordona oraz pola Diraca omówimy poni¿ej.\\\n\\\n[**Gêstoœæ TFI**]{}: Korzystaj¹c z (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]), (\\[Q diag z q2\\]) oraz (\\[physical K\\]), mo¿emy zapisaæ TFI w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{TPI diag}\n\\mathbb{S} \\equiv K = \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\, k\\;,\\end{aligned}$$ gdzie dla pola opisanego amplitudami $q_{n}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{k form}\nk = 4\\sum_{n=1}^{N}\\left[\\;\\sum_{\\nu=0}^{3}\\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} \\, + \\, \\frac{1}{4}\\, q_{n}^{2}({\\bf x})\\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))\\right] \\; .\\end{aligned}$$ natomiast dla pola opisanego amplitudami $\\psi_{n}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{k form dla psi}\nk &=& 4 N \\sum_{n, n'=1}^{N/2}\\left[\\;\\sum_{\\nu=0}^{3} \\delta_{nn'}{\\frac{\\partial\\psi_{n}^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}}{\\frac{\\partial \\psi_{n'}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}} \\, \\right. ", "\\nonumber \\\\\n&+& \\left. \\, ", "\\frac{1}{4}\\, \\, \\psi_{n}^{*}({\\bf x}) \\psi_{n'}({\\bf x}) \\, \\texttt{q\\!F}_{nn'}^{\\psi}(\\psi({\\bf x}), \\psi^{*}({\\bf x}), \\psi^{(l)}({\\bf x}), \\psi^{*(l)}({\\bf x})) \\right] \\; .\\end{aligned}$$ Równowa¿noœæ w (\\[TPI diag\\]) sugeruje, ¿e $K$ [*pe³ni funkcjê statystycznego poprzednika*]{} ([*ca³ki*]{}) [*dzia³ania*]{} $\\mathbb{S}$, natomiast $k$, bêd¹ce [*funkcj¹ gêstoœci*]{} TFI, jest statystycznym poprzednikiem [*gêstoœci Lagrangianu*]{} ${\\cal L}$. Sprawie tej poœwiêcimy jeden z poni¿szych rozdzia³ów.\\\n\\\n[**Uwaga o sformu³owaniu Lagrange’a i rz¹d d¿etów funkcji wiarygodnoœci**]{}: W dalszej czêœci skryptu za³o¿ymy, ¿e obserwowana informacja strukturalna nie zawiera pochodnych pól rzêdu wy¿szego ni¿ $l=1$. Za³o¿enie to ma charakter fizyczny. ", "Oznacza ono, ¿e jeœli wspó³rzêdne uogólnione (u nas amplitudy) oraz prêdkoœci uogólnione (u nas pochodne amplitud) uk³adu s¹ zadane w pewnej chwili czasu, to ewolucja uk³adu jest ca³kowicie okreœlona, o ile równania ruchu s¹ 2-giego rzêdu. ", "Odpowiada to sformu³owaniu Lagrange’a wykorzystywanemu w badaniu dynamicznych i termodynamicznych w³asnoœci uk³adów.\\\nFakt ten z punktu widzenia statystycznego oznacza, ¿e interesuj¹ nas tylko takie (pod)przestrzenie statystyczne, dla których wszystkie mo¿liwe logarytmy funkcji wiarygodnoœci posiadaj¹ $r$-jety $J_{p}^{\\,r}({\\cal S},\\text{R})$ w otoczeniu $U_{p}$ punktu $p \\equiv P(\\Theta)$ $\\in$ ${\\cal S}$ rzêdu $r \\leq 2$ (por. ", "Rozdzia³ \\[r-c\\]). ", "Jest to istotne z punktu widzenia obserwowanej IF (\\[observed IF\\]) zdefiniowanej pierwotnie poprzez drugie pochodne logarytmu funkcji wiarygodnoœci po parametrach, co z kolei uwo¿liwia konstrukcjê strukturalnej zasady informacyjnej (Rozdzia³ \\[structural principle\\]), która jest równaniem metody EFI.\\\nJednoczeœnie oczekiwana IF (\\[iF and I\\]) wchodzi w nierównoœæ Rao-Cramera, której pewn¹ postaci¹ jest, po dokonaniu w informacji Fishera transformacji Fouriera do przestrzeni pêdowej, zasada nieoznaczonoœci Heisenberga (Dodatek \\[Zasada nieoznaczonosci Heisenberga\\]). ", "Zatem fakt wystêpowania w funkcji Lagrange’a kwadratu pierwszych pochodnych by³by (z tego punktu widzenia) artefaktem koniecznoœci wykonania przez uk³ad estymacji jego czasoprzestrzennych po³o¿eñ, która to estymacja posiada dolne ogranicze Rao-Cramera na dok³adnoœæ jednoczesnej estymacji po³o¿enia oraz prêdkoœci.\\\n\\\n\\\n[**Warunek sta³oœci metryki Rao-Fishera**]{}: Odpowiedzmy jeszcze na pytanie, co z punktu widzenia [*statystycznego*]{} oznacza niewystêpowanie w rozwiniêciu $\\ln P(\\tilde{\\Theta})$ w szereg Taylora (\\[Freiden like equation\\]) wyrazów rzêdu wy¿szego ni¿ drugi (tzn. ", "brak jetów o rzêdzie $r>2$). ", "Sytuacja ta ma miejsce, gdy obserwowana informacja Fishera $\\texttt{i\\!F}$, (\\[observed IF\\]), nie zale¿y od parametru $\\Theta \\in V_{\\Theta}$, gdzie $V_{\\Theta}$ jest przestrzeni¹ parametru $\\Theta$. Wtedy bowiem jej pochodne po parametrze $\\Theta=(\\theta_{n})$ s¹ w równe zero dla ka¿dego punktu $p'=P(\\Theta')$ w otoczeniu $U_{p}$. Zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{observed IF wynika nie jet}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\frac{\\partial }{\\partial \\Theta'} \\texttt{i\\!F}\\left|_{p'\\in \\,U_{p}} \\right. ", "= \\frac{\\partial }{\\partial \\Theta'} \\left(-\\frac{\\partial^{2} \\ln P(\\Theta')}{\\partial \\Theta'^{\\,2}}\\right)\\left|_{p'\\in \\,U_{p}} \\right. ", "= 0 \\; \\Rightarrow \\; j_{p'}^{\\,r}({\\cal S},\\text{R}) - j_{p'}^{\\,2}({\\cal S},\\text{R})=0 \\; {\\rm dla} \\; r>2 \\,, \\end{aligned}$$ gdzie $j_{p}^{\\,r}({\\cal S},\\text{R})$ jest dowolnym elementem przestrzeni jetów $J_{p}^{\\,r}({\\cal S},\\text{R})$. Lewa strona powy¿szej implikacji oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{observed IF stala}\n(\\texttt{i\\!F})_{nn'}\\left|_{p'\\in \\,U_{p}} \\right. ", "= const. \\;\\;\\; {", "\\rm na } \\;\\;\\; U_{p} \\; ,\\end{aligned}$$ tzn. ", "obserwowana informacja Fishera $\\texttt{i\\!F}$ nie zale¿y w $U_{p}$ od parametru $\\Theta$, z czego wynika [*niezale¿noœæ oczekiwanej*]{} IF, [*czyli metryki Rao-Fishera*]{}, [*od parametru*]{} $\\Theta$ w $U_{p}$.\\\nTakie zachowanie siê metryki Rao-Fishera ma nastêpuj¹c¹ ciekaw¹ konsekwencjê. ", "Otó¿ w Rozdziale \\[Informacja strukturalna EPR\\] oka¿e siê, ¿e fakt [*sta³oœci metryki Rao-Fishera*]{} (\\[metryka Rao-Fishera dla EPR\\]) jest odpowiedzialny za otrzymanie w ramach metody EFI znanych formu³ mechaniki kwantowej (\\[wynikEPR\\]), opisuj¹cych spl¹tanie w problemie EPR-Bohm’a.", "\n\n#### Postaæ obserwowana zasad informacyjnych {#obserw zasady inform}\n\nNa³ó¿my na uk³ad informacyjn¹ obserwowan¹ zasadê strukturaln¹ $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), oraz informacyjn¹ zasadê wariacyjn¹ $\\delta(I + Q)=0$, (\\[var K rozpisana\\]).\\\n\\\n[**Przypadek z amplitud¹ $q$**]{}: Ze zmodyfikowanej obserwowanej zasady strukturalnej (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), bior¹c pod uwagê wczeœniejsze przejœcia pomiêdzy (\\[IF 2 poch na kwadrat pierwszej\\]), (\\[pojemnosc C dla polozenia - powtorka wzoru\\]), (\\[potrz\\]) oraz (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]), wynika warunek zerowy: $$\\begin{aligned}\n\\label{eq zero}\n\\sum_{\\nu=0}^{3}\\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} + \\,\\frac{\\kappa}{4}\\, q_{n}^{2}({\\bf x})\\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))=0 \\; , \\;\\;\\; n =1,2,...,N \\; .\\end{aligned}$$ Natomiast z zasady wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]) wynika uk³ad równañ Eulera-Lagrange’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{EL eq}\n\\sum_{\\nu=0}^{3} \\frac{\\partial }{\\partial {\\bf x^{\\nu}}} \\left({\\frac{{\\partial k}}{{\\partial ( \\frac{\\partial q_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} ) }}}\\right) = \\frac{{\\partial k}}{{\\partial q_{n}({\\bf x})}} \\; , \\;\\;\\; n =1,2,...,N \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $k$ zosta³o podane w (\\[k form\\]).\\\n\\\n[**Przypadek z amplitud¹ $\\psi$**]{}: Odpowiednia dla pola $\\psi$ obserwowana, zmodyfikowana postaæ zasady strukturalnej (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), która bierze pod uwagê (\\[inf F z psi\\]), jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{strukt row dla psi}\n&&\\sum_{\\nu=0}^{3} {\\frac{\\partial\\psi_{n}^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}}}{\\frac{\\partial \\psi_{n}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}} \\\\\n&+& \\frac{\\kappa}{4}\\, \\sum_{n'=1}^{N/2} \\, \\psi_{n}^{*}({\\bf x}) \\psi_{n'}({\\bf x}) \\, \\texttt{q\\!F}_{nn'}^{\\psi}(\\psi({\\bf x}),\\psi({\\bf x}), \\frac{\\partial \\psi({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}}, \\frac{\\partial \\psi^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}} ) = 0 \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; n=1,2,...,N/2 \\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$ Natomiast uk³ad równañ Eulera-Lagrang’a wynikaj¹cy z zasady wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]) jest nastêpuj¹cy: $$\\begin{aligned}\n\\label{EL eq dla psi}\n\\sum_{\\nu=0}^{3} \\frac{\\partial }{\\partial {\\bf x^{\\nu}}} \\left({\\frac{{\\partial k}}{{\\partial ( \\frac{ \\partial \\psi_{n}^{*}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} ) }}}\\right) = \\frac{{\\partial k}}{{\\partial \\psi_{n}^{*}({\\bf x})}} \\; , \\;\\;\\; n =1,2,...,N/2 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $k$ zosta³o podane w (\\[k form dla psi\\]).\\\nZauwa¿my, ¿e powy¿sza postaæ $k$, (\\[k form dla psi\\]), jest na tyle ogólna, ¿e aby zobaczyæ dzia³anie metody EFI wynikaj¹ce z równañ (\\[strukt row dla psi\\]) i (\\[EL eq dla psi\\]), nale¿y podaæ konkretn¹ postaæ $k$, dla ka¿dego zagadnienia z polem typu $\\psi$ z osobna.\\\nNatomiast, jak siê przekonamy, równania (\\[eq zero\\]) oraz (\\[EL eq\\]) z amplitudami $q_{n}$ s¹ ju¿ zapisane w postaci bliskiej ich bezpoœredniego u¿ycia i otrzymania jawnej postaci $\\texttt{q\\!F}_{n}$ oraz rozwi¹zañ metody EFI, czyli odpowiednich fizycznych równañ ruchu (b¹dŸ równañ generuj¹cych, por. ", "Rozdzia³ \\[Przyklady\\]) dla amplitud $q_{n}({\\bf x})$.\\\n\\\nLet us summarize this Section. ", "Postacie kinetyczne (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) oraz (\\[inf F z psi\\]), oparte o informacjê Fishera (\\[observed IF Amari\\]), s¹ wykorzystywane do konstrukcji równañ ruchu (lub równañ generuj¹cych rozk³ad) modeli fizycznych. ", "Wystêpuj¹ one w (\\[eq zero\\])-(\\[EL eq dla psi\\]). ", "Natomiast pierwotna postaæ pojemnoœci $I$ ma swój pocz¹tek w (\\[I dla niezaleznych Yn\\]) oraz w (\\[observed IF\\]) i (\\[iF diagonalne\\]). ", "Zgodnie z (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]), postacie te s¹ równowa¿ne na poziomie oczekiwanym.\\\nPrzy samospójnym rozwi¹zywaniu strukturalnej i wariacyjnej zasady informacyjnej metody EFI, wykorzystywana jest postaæ obserwowana zasady strukturalnej (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), wynikaj¹ca z ¿¹dania analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci oraz metrycznoœci przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ (por. ", "Rozdzia³ \\[structural principle\\]). ", "Natomiast oczekiwana strukturalna zasada informacyjna (\\[expected form of information eq\\]) jest narzêdziem pomocniczym w definicji ca³kowitej fizycznej informacji $K$, (\\[physical K\\]), oraz informacyjnej zasady wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]).\\\n\\\nPoni¿ej przekonamy siê, ¿e wszystkie modelowe ró¿nice le¿¹ po stronie $\\texttt{q\\!F}_{n}$, której postaæ zale¿y od konkretnego fizycznego scenariusza, w³¹czaj¹c w to symetrie oraz warunki brzegowe.\\\nPo raz pierwszy równania (\\[eq zero\\]) oraz (\\[EL eq\\]) otrzymali Frieden i Soffer [@Frieden]. ", "Jednak powy¿sza ich forma uwzglêdnia inn¹ interpretacjê $Q$ (jako obecnej stale podczas ewolucji uk³adu) oraz faktoryzacjê probabilistycznego czynnika $q_{n}^{2}({\\bf x})$ zawartego obligatoryjnie w mierze ca³kowej[^59].", "\n\nTFI oraz specyficzne formy $Q$ w teorii pola {#structural inf}\n--------------------------------------------\n\nPoni¿ej zebrano i rozwiniêto wyniki EFI otrzymane poprzednio w [@Frieden]. ", "Jednak¿e zapisano je, szczególnie dla $Q$, w otwartej formie z punktu widzenia analizy porównawczej modeli [@Dziekuje; @za; @models; @building]. ", "Metoda EFI prowadzi do takiego sformu³owania metody teorii pola, która jest zgodna z dzisiejszym opisem mechaniki falowej dla szerokiej klasy struktur.\\\nJednak¿e, czasami metoda EFI wraz z ca³ym towarzysz¹cym jej statystycznym aparatem pojêciowym mo¿e doprowadziæ do korekty istniej¹cej analizy. ", "Z sytuacj¹ tak¹ mo¿emy mieæ do czynienia np. ", "w przypadku sformu³owania zasady nieoznaczonoœci Heisenberga dla pola [*œwietlnego*]{}. ", "Otó¿ w œwietle nowych eksperymentów, w wyniku których otrzymano [*za w¹ski impuls œwietlny w czêstotliwoœci*]{} [@Roychoudhuri], standardowa Fourierowska podstawa zasady nieoznaczonoœci jest ostatnio kwestionowana. ", "Wyt³umaczenie istoty nierównoœci Heisenberga w oparciu o nierównoœæ Rao-Cramera wraz z rozró¿nieniem pomiêdzy estymacj¹ parametru w przypadku skalarnym [@Frieden] (por. ", "Dodatek \\[Zasada nieoznaczonosci Heisenberga\\]) i wektorowym, dla którego zachodzi ci¹g nierównoœci (\\[porownanie sigma I11 z I11do-1\\]), mo¿e okazaæ siê kluczem do zrozumienia pytañ, narastaj¹cych na skutek nowych eksperymentów ze œwiat³em.\\\n\\\nW metodzie EFI, informacja strukturalna $Q$ musi zostaæ wyprowadzona z u¿yciem zasady strukturalnej, wariacyjnej i czasami pewnych dodatkowych warunków symetrii, bior¹cych pod uwagê specyficzny fizyczny scenariusz teorii. ", "Szeroki opis metod stosowanych przy rozwi¹zywaniu równañ (\\[EL eq\\]) oraz (\\[eq zero\\]) mo¿na znaleŸæ w [@Frieden].\\\nJednak poni¿sze rozwa¿ania powinny okazaæ siê pomocne w zrozumieniu metody, szczególnie dla uk³adu zasad informacyjnych (\\[strukt row dla psi\\]) oraz (\\[EL eq dla psi\\]) dla pola $\\psi$. Poni¿ej zostanie pokazane jak mo¿liwe rozwi¹zania zasad informacyjnych, strukturalnej i wariacyjnej, przewiduje pojawienia siê trzech typów pól: $N$-skalarów [@Dziekuje; @za; @models; @building], fermionów oraz bozonów [@Frieden].\\\n\n### Informacja Fouriera {#Informacja Fouriera}\n\nRozwa¿my cz¹stkê jako uk³ad opisany polem rangi $N$ poprzez zbiór zespolonych funkcji falowych $\\psi_{n}({\\bf x})$, $n=1,2,...,N/2$, okreœlonych w czasoprzestrzeni ${\\cal X}$ po³o¿eñ ${\\bf x} \\equiv ({\\bf x}^{\\mu})_{\\mu=0}^{\\, 3} = (c t,\\, {\\bf x}^{1},{\\bf x}^{2},{\\bf x}^{3})$, zgodnie z konstrukcj¹ (\\[amplitudapsi\\]) oraz (\\[x n rownowaznosc\\]) z Rozdzia³u \\[The kinematical form of the Fisher information\\]. ", "Ich transformaty Fouriera $\\phi_{n}({\\bf p})$ w sprzê¿onej do przestrzeni przesuniêæ ${\\cal X}$, energetyczno-pêdowej przestrzeni ${\\cal P}$ czteropêdów ${\\bf p} \\equiv (\\wp^{\\mu})_{\\mu=0}^{\\,3} = (\\frac{E}{c},\\, \\wp^{1},\\wp^{2},\\wp^{3})$, maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fourier transf}\n\\phi_{n}({\\bf p}) = \\frac{1}{(2\\pi\\hbar)^{2}} \\int_{\\cal X} d^{4} {\\bf x} \\; \\psi_{n}({\\bf x}) \\, e^{i\\,(\\,\\sum_{\\nu=0}^{3}{\\bf x}^{\\nu} \\wp_{\\nu})/\\hbar} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\sum_{\\nu=0}^{3} {\\bf x}^{\\nu} \\wp_{\\nu} = E t - \\sum_{l=1}^{3} {\\bf x}^{l} \\wp^{l}$, a $\\hbar$ jest sta³¹ Plancka.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Transformacja Fouriera jest [*unitarn¹ transformacj¹ zachowuj¹c¹ miarê*]{} na przestrzeni $L^{2}$ funkcji ca³kowalnych z kwadratem, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{miara zachowana}\n\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\,\\psi_{n}^{*}({\\bf x})\\,\\psi_{m}({\\bf x}) = \\int_{\\cal P} d^{4}{\\bf p}\\,\\phi_{n}^{*}({\\bf p})\\,\\phi_{m}({\\bf p}) \\; ,\\end{aligned}$$ zatem wykorzystuj¹c warunek normalizacji prawdopodobieñstwa (\\[prawdpsi\\]) otrzymujemy[^60]: $$\\begin{aligned}\n\\label{norm condition}\n\\sum_{n=1}^{N/2} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\,|\\psi_{n}({\\bf x})|^{2} = \\sum_{n=1}^{N/2}\\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p}\\,|\\phi_{n}({\\bf p})|^{2} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $|\\psi_{n}({\\bf x})|^{2} \\equiv \\psi_{n}^{*}({\\bf x})\\,\\psi_{n}({\\bf x})$ oraz $|\\phi_{n}({\\bf p})|^{2} \\equiv \\phi_{n}^{*}({\\bf p})\\,\\phi_{n}({\\bf p})$. Korzystaj¹c z (\\[Fourier transf\\]) mo¿emy zapisaæ $I$ podane wzorem (\\[inf F z psi\\]) w nastêpuj¹cy sposób: $$\\begin{aligned}\n\\label{I by Fourier tr}\nI\\left[\\psi({\\bf x})\\right] = I\\left[\\phi({\\bf p})\\right] = \\frac{4N}{\\hbar^{2}} \\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p} \\sum_{n=1}^{N/2} |\\phi_{n}({\\bf p})|^{2}\\,(\\frac{E^{2}}{c^{2}} - \\vec{\\wp}^{\\,2}\\,) \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\vec{\\wp}^{\\,2} = \\sum_{k=1}^{3}\\wp_{k} \\wp^{k}\\,$.\\\n\\\n[**Okreœlenie kwadratu masy cz¹stki**]{}: Poniewa¿ $I$ jest z definicji sum¹ po wartoœciach oczekiwanych (por. (", "\\[krzy4\\]) i (\\[pojemnosc C\\])), dlatego kwadrat [*masy*]{} cz¹stki zdefiniowany jako [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{m E p}\nm^{2} := \\frac{1}{c^{2}} \\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p} \\sum_{n=1}^{N/2} |\\phi_{n}({\\bf p})|^{2} \\,(\\frac{E^{2}}{c^{2}}-\\vec{\\wp}^{\\,2}\\,) \\;\\end{aligned}$$ jest sta³¹ niezale¿nie od statystycznych fluktuacji energii $E$ oraz pêdu $\\vec{\\wp}$, tzn. ", "przynajmniej wtedy, gdy ca³kowanie jest wykonane (czyli jako œrednia). ", "Tak wiêc, dla cz¹stki swobodnej mo¿emy (\\[I by Fourier tr\\]) zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{I by Fourier to m}\nI\\left[\\psi({\\bf x})\\right] = I\\left[\\phi({\\bf p})\\right] = 4N(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2} = const. \\;\\; ", ".\\end{aligned}$$ [**Informacja Fouriera z $\\psi$**]{}: Powy¿szy warunek oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{free field eq all 1}\nK_{F} \\equiv I\\left[\\psi({\\bf x}^{\\mu})\\right] - I\\left[\\phi(p^{\\mu})\\right]=0 \\; , \\end{aligned}$$ co korzystaj¹c ze sta³oœci $4N(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}$ oraz (\\[norm condition\\]) mo¿na zapisaæ jako warunek spe³niony przez pole swobodne rangi $N$: $$\\begin{aligned}\n\\label{free field eq all 2}\nK_{F} = 4 \\, N \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2} \\left[\\;\\sum_{\\nu=0}^{3}\\left( \\frac{\\partial\\psi_{n}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\right)^{\\!\\!*}\\; \\frac{\\partial\\psi_{n}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}-(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}\\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n}\\right] = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Wielkoœæ $K_{F}$ definiuje tzw. [*", "informacjê Fouriera*]{} ($F$), a $k_{F}$ jej gêstoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc kF inf Fouriera}\nk_{F} = 4 \\, N \\sum_{n=1}^{N/2} \\left[\\;\\sum_{\\nu=0}^{3}\\left( \\frac{\\partial\\psi_{n}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\right)^{\\!\\!*}\\; \\frac{\\partial\\psi_{n}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}}-(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}\\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n}\\right] \\; .\\end{aligned}$$\\\nPomijaj¹c fakt, ¿e z powy¿szych rachunków $m^2$ wy³ania siê jako œrednia, równanie (\\[free field eq all 1\\]), a zatem (\\[free field eq all 2\\]), jest odbiciem twierdzenia Parseval’s (\\[tw Parsevala\\]) i jako takie jest ono zdaniem tautologicznym. ", "Fakt ten oznacza, ¿e transformacja Fouriera odzwierciedla jedynie zmianê bazy w przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$. Dlatego te¿, sam z siebie, warunek (\\[free field eq all 2\\]) nie nak³ada ¿adnego dodatkowego wiêzu na uk³ad, [*chyba, ¿e $4N(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}$ jest zadana jako informacja strukturala $Q$ uk³adu*]{}. ", "Tylko wtedy (\\[free field eq all 2\\]) staje siê informacyjn¹ zasad¹ strukturaln¹ dla uk³adu definuj¹cego szczególny typ pola omawianego w Rozdziale \\[Klein-Gordon scalars\\].", "\n\n#### Informacja Fouriera dla amplitudy rzeczywistej {#Informacja Fouriera dla amplitudy rzeczywistej}\n\nRozwa¿my z kolei cz¹stkê, jako uk³ad opisany polem rangi $N$ okreœlonym poprzez zbiór rzeczywistych amplitud $q_{n}({\\bf x})$, $n=1,2,...,N$, na czasoprzestrzeni przesuniêæ ${\\bf x} \\equiv ({\\bf x}^{\\mu})_{\\mu=0}^{\\, 3} \\in {\\cal X}$ i posiadaj¹c¹ pojemnoœæ kana³u informacyjnego jak w (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]). ", "Zespolone transformaty Fouriera $\\tilde{q}_{n}({\\bf p})$ rzeczywistych funkcji $q_{n}({\\bf x})$, gdzie ${\\bf p} \\equiv (\\wp^{\\mu})_{\\mu=0}^{\\,3} \\in {\\cal P}$ jest czteropêdem, maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{Fourier transf dla q}\n\\tilde{q}_{n}({\\bf p}) = \\frac{1}{(2\\pi\\hbar)^{2}} \\int_{\\cal X} d^{4} {\\bf x} \\; q_{n}({\\bf x}) \\, e^{i\\,(\\,\\sum_{\\nu=0}^{3} {\\bf x}^{\\nu} \\wp_{\\nu})/\\hbar} \\; .\\end{aligned}$$ Podobnie jak w (\\[miara zachowana\\]), transformacja Fouriera spe³nia zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{miara zachowana dla q}\n\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\,q_{n}^{*}({\\bf x})\\,q_{m}({\\bf x}) = \\int_{\\cal P} d^{4}{\\bf p}\\,\\tilde{q}_{n}^{\\,*}({\\bf p})\\,\\tilde{q}_{m}({\\bf p}) \\; .\\end{aligned}$$ Wykorzystuj¹c warunek unormowania prawdopodobieñstwa: $$\\begin{aligned}\n\\label{norm condition dla q}\n\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N} \\int d^{4}{\\bf x} \\, q_{n}^{2}({\\bf x}) = 1 \\; , \\end{aligned}$$ otrzymujemy, jako konsekwencjê twierdzenia Parseval’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{norm condition dla q i tw Parseval}\n\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\, q_{n}^{2}({\\bf x}) = \\frac{1}{N} \\sum_{n=1}^{N} \\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p}\\,| \\tilde{q}_{n}({\\bf p})|^{2} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $|q_{n}({\\bf x})|^{2} \\equiv q_{n}^{2}({\\bf x})$ i $| \\tilde{q}_{n}({\\bf p})|^{2} \\equiv \\tilde{q}_{n}^{*}({\\bf p})\\,\\tilde{q}_{n}({\\bf p})$.\\\n\\\n[**Informacja Fouriera dla $q$**]{}: Podobne rachunki jak wykonane poprzednio dla zespolonego pola rangi $N$, prowadz¹ w przypadku pola okreœlonego poprzez zbiór $N$ rzeczywistych amplitud $q_{n}({\\bf x})$ i dla pojemnoœci informacyjnej kana³u $I$, (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]), do nastêpuj¹cej jego postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{I by Fourier tr dla q}\nI\\left[q({\\bf x})\\right] = I\\left[\\tilde{q}({\\bf p})\\right] = \\frac{4}{\\hbar^{2}} \\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p} \\sum_{n=1}^{N} |\\tilde{q}_{n}({\\bf p})|^{2}\\,(\\frac{E^{2}}{c^{2}} - \\vec{\\wp}^{\\,2}\\,) \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\vec{\\wp}^{\\,2} = \\sum_{k=1}^{3}\\wp_{k} \\wp^{k}\\,$.\\\n\\\n[**Okreœlenie kwadratu masy cz¹stki**]{}: Zatem podobnie jak dla pola zespolonego, równie¿ dla pola rzeczywistego, kwadrat masy cz¹stki zdefiniowany nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{m E p dla q} \nm^{2} := \\frac{1}{N\\, c^{2}} \\int_{\\cal P} d^{4} {\\bf p} \\sum_{n=1}^{N} |\\tilde{q}_{n}({\\bf p})|^{2} \\,(\\frac{E^{2}}{c^{2}}-\\vec{\\wp}^{\\,2}\\,) \\;\\end{aligned}$$ jest sta³¹, która nie zale¿y od statystycznych fluktuacji energii $E$ oraz pêdu $\\vec{\\wp}$. Tak wiêc i dla cz¹stki opisanej polem rzeczywistym rangi $N$, mo¿emy (porównaj (\\[I by Fourier to m\\])) zapisaæ (\\[I by Fourier tr dla q\\]) w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{I by Fourier to m dla q}\nI\\left[q({\\bf x})\\right] = I\\left[\\tilde{q}({\\bf p})\\right] = 4 N \\, (\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2} = const. \\;\\; ,", "\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e warunek (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna\\]), $I \\geq 0$, poci¹ga za sob¹ w zgodzie z (\\[I by Fourier to m dla q\\]) warunek $m^{2} \\geq 0$, mówi¹cy o nieobecnoœæ tachionów w teorii [@dziekuje; @za; @neutron], a wynikaj¹cy z jej przyczynowoœci, zgodnie z (\\[przyczynowosc\\]) oraz (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]).\\\nZauwa¿my, ¿e w zgodzie z (\\[m E p dla q\\]), zerowanie siê masy cz¹stki by³oby niemo¿liwe dla czasoprzestrzeni z metryk¹ Euklidesow¹ (\\[metryka E\\]).\\\n\\\n[**Informacja Fouriera dla pola typu $q$**]{}: Zwi¹zek (\\[I by Fourier to m dla q\\]) pozwala na zapisanie informacji Fouriera, w przypadku rzeczywistego swobodnego pola rangi $N$, w nastêpuj¹cej postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{free field eq all 2 real amplitudes}\nK_{F} = 4\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\sum_{n=1}^{N} \\left[\\;\\sum_{\\nu=0}^{3}\\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}_{\\nu}} \\frac{\\partial q_{n}}{\\partial {\\bf x}^{\\nu}} - \\,(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}q_{n}^{\\,2}\\right]=0 \\; .\\end{aligned}$$ Wnioski p³yn¹ce z zastosowania powy¿szej postaci informacji Fouriera w przypadku pola bezmasowego, mo¿na znaleŸæ w Dodatku \\[Maxwell field\\].", "\n\n### Skalary Kleina-Gordona {#Klein-Gordon scalars}\n\nRozwa¿my pole skalarne, którego TFI oznaczmy jako $K_{S}$. Równanie ruchu Kleina-Gordona dla swobodnego pola skalarnego rangi $N$ wynika z wariacyjnej zasady informacyjnej (\\[var K rozpisana\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{wariacyjna zas dla pola skalarnego}\n\\delta_{(\\psi^{*})}K_{S} = 0 \\; ,\n$$ gdzie na $k=k_{S}$, okreœlone ogólnie zwi¹zkiem (\\[k form dla psi\\]), na³o¿ony jest dodatkowy warunek, wynikaj¹cy z nastêpuj¹cej postaci informacji strukturalnej $Q$: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q for N scalar}\nQ \\left[\\phi({\\bf p})\\right] = Q_{S} = \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\, \\textit{q}_{S} \\equiv - \\, 4\\, N(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Dla swobodnego skalarnego pola Kleina-Gordona, TFI jest równa jego informacji Fouriera (\\[free field eq all 2\\]), tzn. ", "$K=K_{S}=K_{F}$. Powy¿ej $\\textit{q}_{S}$ jest gêstoœci¹ informacji strukturalnej dla pola skalarnego: $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc inf strukt dla pola skalarnego}\n\\textit{q}_{S} = - 4 \\, N (\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2} \\sum_{n=1}^{N/2} \\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem z wariacyjnej zasady informacyjnej $\\delta_{(\\psi^{*})}K_{S} = 0$ wynika $N/2$ równañ Eulera-Lagrange’a (\\[EL eq dla psi\\]), które dla gêstoœci TFI równej $k = k_{S} = k_{F}$, (\\[gestosc kF inf Fouriera\\]), prowadz¹ do $N/2$ równañ Kleina-Gordona[^61]. ", "Ich wyprowadzenie mo¿na znaleŸæ w [@Frieden; @Mroziakiewicz].\\\nUzasadnienie faktu, ¿e pole $(\\psi_{n})$ z gêstoœci¹ informacji strukturalnej $\\textit{q}_{S}$ zadan¹ przez (\\[gestosc inf strukt dla pola skalarnego\\]) jest polem skalarnym, wymaga rozwa¿añ zwi¹zanych z badaniem reprezentacji transformacji izometrii pojemnoœci kana³u informacyjnego $I$, co odk³adamy do Rozdzia³u \\[Dirac field\\].\\\n\\\n[**Niezmienniczoœæ Fouriera zasady strukturalnej**]{}: Poniewa¿ dla (\\[Q for N scalar\\]) warunek (\\[free field eq all 2\\]) stanowi oczekiwan¹ strukturaln¹ zasadê informacyjn¹ $I + Q = 0$, (\\[expected form of information eq\\]), zatem dla swobodnego pola skalarnego transformacja Fouriera jest transformacj¹ unitarn¹, ze wzglêdu na któr¹ warunek (\\[free field eq all 2\\]) pozostaje niezmienniczy.\\\n\\\n[**Masa uk³adu a Fourierowskie spl¹tanie**]{}: Powy¿szy fakt oznacza, ¿e transformacja Fouriera tworzy rodzaj samospl¹tania pomiêdzy reprezentacj¹ po³o¿eniow¹ a pêdow¹ realizowanych wartoœci zmiennych uk³adu wystêpuj¹cych w $I$ [@Frieden], a wyprowadzenie oczekiwanej zasady strukturalnej $I+Q = 0$, (por. (", "\\[expected form of information eq\\])), jako konsekwencji analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci [@Dziekuje; @informacja_2], wyjaœnia je jako spl¹tanie pêdowych stopni swobody uk³adu spowodowane jego mas¹ (\\[m E p\\]).\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Podkreœlmy, ¿e w przypadku swobodnego pola skalarnego, oczekiwana zasada structuralna, $I + Q = 0$, jest jedynie odbiciem warunku (\\[Q for N scalar\\]). ", "Jest on warunkiem brzegowym i nie jest on rozwi¹zywany samo-spójnie wraz z wariacyjn¹ zasad¹ informacyjn¹ (\\[wariacyjna zas dla pola skalarnego\\]).\\\n\\\n[**Typy pól skalarnych**]{}: Podajmy wynikaj¹ce z powy¿szej analizy metody EFI dwa typy pól skalarnych:\\\n\\\n[*Zwyk³e (na³adowane) pole skalarne*]{}: Pole skalarne maj¹ce rangê $N=2$ ma tylko jedn¹ sk³adow¹ zespolon¹, tzn. ", "$\\psi\\equiv(\\psi_{n})=\\psi_{1}$ [@Frieden]. ", "W przypadku tym informacja strukturalna (\\[Q for N scalar\\]) jest równa $Q_{S} = - 8(\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}$. Na³adowane pole skalarne Higgsa $H^{+}$ [@ASSzZZ] mog³oby teoretycznie byæ jego przyk³adem.\\\n\\\n[*$N$-skalary*]{}: W przypadku $n>1$ sk³adowe $\\psi_{n}$ podlegaj¹ ewolucji opisanej przez $n=N/2$ nie sprzê¿onych równañ Kleina-Gordona z dwoma dodatkowymi wiêzami. ", "Pierwszy z nich oznacza, ¿e wszystkie pola $\\psi_{n}$ maj¹ tak¹ sam¹ masê $m$, a drugim jest warunek normalizacji (\\[norm condition\\]). ", "Informacja strukturalna $Q$ takiego uk³adu jest okreœlona przez ogóln¹ postaæ (\\[Q for N scalar\\]) dla pola skalarnego rangi $N$. Owe skalarne pola Kleina-Gordona rangi $N$ nazwijmy [*$N$-skalarami*]{} [@Dziekuje; @za; @models; @building]. ", "S¹ one teoretycznie realizowane w ramach tzw. ", "$\\sigma$-modeli teorii pola [@sigma-field; @theory; @Dziekuje; @za; @models; @building].\\\n\\\nW kolejnym rozdziale omówimy postaæ TFI oraz $Q$ dla równania Diraca. ", "Podstawowe fakty metody EFI dla pól cechowania w elektrodynamice Maxwella [@Frieden] omówione s¹ w Dodatku \\[Maxwell field\\]. ", "Równie¿ w Dodatku \\[general relativity case\\] zamieszczona jest postaæ $Q$ w teorii grawitacji [@Frieden]. ", "W opracowaniu jest postaæ $Q$ dla pól nieabelowych [@Dziekuje; @za; @models; @building].", "\n\n### TFI równania Kleina-Gordona dla pól rangi $N$ {#TPI of the Klein-Gordon equation}\n\nRozdzia³ ten poœwiêcony jest konstrukcji równania Diraca metod¹ EFI, z uwzglêdnieniem pól cechowania[^62]. ", "Szczególn¹ uwagê zwrócono na problem kwadratury TFI pola Kleina-Gordona [@Frieden; @Dziekuje; @za; @models; @building].", "\n\n#### Wstêpna foliacja ${\\cal S}$ oraz pochodna kowariantna. ", "Ogólny zarys problemu {#foliation of S}\n\n[**Wybór przestrzeni bazowej cz³onu kinetycznego**]{}: Wyjœciowa struktura modelu EFI opiera³a siê o analizê wartoœci oczekiwanej informacji fizycznej $K = I + Q$ na przestrzeni bazowej próby ${\\cal B} = {\\cal Y}_{1} \\times {\\cal Y}_{1} \\times ... \\times {\\cal Y}_{N}$. Niezale¿ne zmienne losowe $Y_{n}$, $n=1,2,...,N\\,$, przyjmowa³y wartoœci ${\\bf y}_{n} \\in {\\cal Y}_{n}$. Po przejœciu od pe³nych danych $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N} \\in {\\cal B}$ do niezale¿nych zmiennych losowych przesuniêæ $X_{n} = Y_{n} - \\theta_{n}$, $n=1,2,...,N\\,$, oraz uto¿samieniu zbiorów wartoœci tych zmiennych losowych, tzn. ", "przyjêciu, ¿e ${\\cal X}_{n=1} \\equiv {\\cal X}$, $n=1,2,...,N\\,$, zosta³y skonstruowane kinematyczne postacie pojemnoœci informacyjnej (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) oraz (\\[inf F z psi\\]). [*", "Zatem przestrzeni¹ bazow¹ cz³onów kinetycznych jest zbiór przesuniêæ*]{} ${\\cal X}$.\\\n\\\n[**Estymacja na w³óknach**]{}: Zatem model EFI, z którego wy³oni siê model teorii pola jest budowany na [*przestrzeni bazowej*]{} ${\\cal X}$, bêd¹cej w rozwa¿anych przez nas przypadkach czasoprzestrzeni¹ Minkowskiego ${\\cal X} \\equiv R^{4}$. Pojawi³a siê ona jako konsekwencja transformacji modelu statystycznego ${\\cal S}$ z okreœlonego w przestrzeni parametru $V_{\\Theta} \\equiv R^{4}$ do przestrzeni przesuniêæ ${\\cal X}$. Jednak¿e jednoczeœnie, tak przed jak i po jego przedefiniowaniu, model statystyczny pozostaje zdefiniowany ponad przestrzeni¹ bazow¹ ${\\cal B}$, która jest oryginaln¹ przestrzeni¹ próby. ", "Nastêpnie, w celu uczynienia kinematycznej postaci pojemnoœci informacyjnej $I$ niezmiennicz¹ ze wzglêdu na lokalne transformacje cechowania, musimy, poprzez zdefiniowanie pochodnej kowariantnej na przestrzeni bazowej ${\\cal X}$, zapisaæ $I$ w postaci wspó³zmienniczej. ", "Z kolei, zdefiniowanie tej pochodnej kowariantnej oznacza koniecznoœæ podania uk³adu wspó³rzêdnych na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, co wynika z tego, ¿e pola cechowania s¹ (jak siê oka¿e) amplitudami typu $q_{n}$ (por. ", "Dodatek \\[Maxwell field\\]).\\\nZatem wprowadzenie uk³adu wspó³rzêdnych na ${\\cal S}$ nie jest zadaniem trywialnym [@Amari; @Nagaoka; @book]. ", "Sytuacja ta wynika z koniecznoœci wykonania analizy EFI dla pól rangi $N$, które z góry przekszta³caj¹ siê zgodnie z transformacjami, których parametry mog¹ zale¿eæ lokalnie od po³o¿enia w przestrzeni bazowej ${\\cal X}$. Zatem na ${\\cal X}$ okreœlana jest [*strukturalna grupa symetrii*]{} $G$ wspomnianej powy¿ej transformacji, która w teorii pola jest grup¹ Liego pola cechowania. ", "Konstruuje siê wiêc g³ówn¹ wi¹zkê w³óknist¹ $E({\\cal X},G)\\,$, a fizyczn¹ estymacjê przeprowadza siê na w³óknach[^63].\\\nZauwa¿my, ¿e skoro kwadrat pola cechowania jest elementem ${\\cal S}$, wiêc dla okreœlonej algebry grupy cechowania, wybór cechowania dokonuje czêœciowej foliacji[^64] przestrzeni ${\\cal S}$ na pierwsze warstwy. ", "Dopiero w tym momencie, zasady informacyjne umo¿liwiaj¹ dokonanie wyboru kolejnych foliacji przestrzeni ${\\cal S}$ na warstwy zwi¹zane z wszystkimi szczególnymi reprezentacjami grupy $G$ [@Dziekuje; @za; @models; @building], których wymiar jest œciœle zwi¹zany z rang¹ pól $N$ [@Frieden].\\\n\\\n[**Sens powy¿szego rozwa¿ania**]{} ujmijmy tak: Ca³a procedura EFI musi nie tylko od pocz¹tku wybraæ typ amplitudy (tzn. ", "$q_{n}$ lub $\\psi_{n}$), okreœliæ zasady informacyjne i warunki brzegowe, ale musi byæ wykonana od pocz¹tku we w³aœciwym uk³adzie wspó³rzêdnych, który uwzglêdnia istnienie strukturalnej grupy symetrii $G$ oraz zwi¹zanych z ni¹ pól cechowania. ", "Pole cechowania umo¿liwia bowiem wybór podprzestrzeni $T_{{\\cal P}}H$ przestrzeni stycznej $T_{{\\cal P}}E$ wi¹zki g³ównej $E\\equiv E({\\cal X},G)$ w ka¿dym jej punkcie ${\\cal P}$, tak, ¿e $T_{{\\cal P}}E=T_{{\\cal P}}G\\otimes T_{{\\cal P}}H$, przy czym baza na $T_{{\\cal P}}H$ mo¿e byæ zdefiniowana jako liniowa kombinacja czterowymiarowej bazy: $$\\begin{aligned}\n\\label{baza kowariantna}\n(\\partial_{\\mu}) \\equiv \\left(\\frac{\\partial}{\\partial {\\bf x}^{\\mu}} \\right) \\equiv \\left( \\frac{\\partial}{\\partial (c\\,t)} \\,, \\, \\frac{\\partial}{\\partial {\\bf x}^{1}}, \\frac{\\partial}{\\partial {\\bf x}^{2}}, \\frac{\\partial}{\\partial {\\bf x}^{3}} \\right) \\equiv \\left( \\frac{\\partial}{\\partial (c\\,t)} \\,, \\, \\vec{\\nabla} \\right) \\end{aligned}$$ oraz generatorów $D_{G}$ infinitezymalnych transformacji grupy $G$.\\\n\\\n[**Przyk³ad**]{}: W przypadku pól cechowania $A_{\\mu}$ grupy $G=U(1)$ pochodna kowariantna ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{poch kowariantna na H}\nD_{\\mu}\\equiv(D_{0}, D_{l})=\\partial_{\\mu} - i \\, \\frac{e}{c\\,\\hbar} \\, A_{\\mu} \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie $e$ jest ³adunkiem elektronu. ", "Zatem, wprowadzaj¹c pochodn¹ kowariantn¹ do zasad informacyjnych i stosuj¹c metodê EFI, otrzymujemy równania ruchu, które rozwi¹zuj¹c daj¹ bazê na znalezionych (pod)rozmaitoœciach przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$.\\\n\\\nJest wiele sposobów, na które wspó³zmiennicza postaæ pojemnoœci informacyjnej $I$ mo¿e byæ odczytana. ", "Poni¿ej skoncentrujemy siê na dwóch z nich, jednej dla pól skalarnych rangi $N$ (tzn. ", "$N$-skalarów) oraz drugiej, dla pól fermionowych rangi $N$.\n\n#### Równanie ruchu Diraca dla pola swobodnego rangi $N$. {#Dirac field}\n\nZgodnie z powy¿szymi rozwa¿aniami, wspó³zmiennicza forma (\\[inf F z psi\\]) pojemnoœci informacyjnej z pochodn¹ kowariantn¹ $D_{\\mu}$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{I every psi N field}\nI = 4 \\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2} \\sum_{\\mu=0}^{3} (D_{\\mu}\\psi_{n})^{*}D^{\\mu}\\psi_{n} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem jedyna TFI (\\[physical K\\]) dostêpna w metodzie EFI dla równania Kleina-Gordona i ka¿dego pola typu $\\psi$ rangi $N$ (skalarnego czy fermionowego) ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{TPI every field}\nK = K_{KG} = \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\; k_{KG} \\equiv 4 \\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2} \\sum_{\\mu=0}^{3} (D_{\\mu}\\psi_{n})^{*}D^{\\mu}\\psi_{n} + Q \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $k_{KG}$ jest gêstoœci¹ TFI dla równania Kleina-Gordona (por. (", "\\[k form dla psi\\])).\\\n\\\nPodobnie, wykorzystuj¹c (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) w miejsce (\\[inf F z psi\\]) moglibyœmy zapisaæ $K_{KG}$ dla pola bosonowego, do czego powrócimy jednak póŸniej.\\\nS¹ dwie drogi, którymi analiza oparta o TFI zadan¹ przez (\\[TPI every field\\]) mo¿e pod¹¿aæ [@Frieden; @Dziekuje; @za; @models; @building]. ", "Pierwsza zwi¹zana jest z $N$-skalarami a druga z polami Diraca.", "\n\n#### TFI Kleina-Gordona {#tfi-kleina-gordona .unnumbered}\n\nWtedy, gdy rozwa¿amy pole $N$-skalara, to jak wiemy $Q$ jest równe $Q_{S}$ zadanemu przez (\\[Q for N scalar\\]). ", "Fakt ten oznacza, ¿e TFI dla równania ruchu $N$-skalara, sprowadza siê do postaci Kleina-Gordona, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{TPI for N-scalar}\nK = K_{S} = K_{KG} \\;\\;\\;\\;{\\rm dla}\\;\\;\\;\\; Q = Q_{S} \\; , \\end{aligned}$$ a wariacyjna zasada informacyjna: $$\\begin{aligned}\n\\label{var IP for N-scalar}\n\\delta_{(\\psi^{*})}K_{S} \\equiv \\delta_{(\\psi^{*})}(I + Q_{S}) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ zadana przez (\\[var K\\]), a w konsekwencji przez (\\[EL eq dla psi\\]), prowadzi do równania Kleina-Gordona dla pola skalarnego [@Frieden; @Mroziakiewicz] (patrz (\\[row KL dla swobodnego\\])).", "\n\n#### TFI Diraca {#tfi-diraca .unnumbered}\n\nJak wiemy, dla pola Diraca, równanie Kleina-Gordona jest otrzymane drog¹ kwadratury równania Diraca [@Fecko-fizyka; @matematyczna]. ", "Zatem, mog³oby siê wydawaæ, ¿e metoda informacyjna nie wybiera sama z siebie w³aœciwej postaci TFI dla pola fermionowego. ", "Sytuacja ma siê jednak zgo³a inaczej. ", "Przedstawimy j¹ poni¿ej [@Dziekuje; @za; @models; @building].\\\n\\\n[**Transformacje izometrii $I$**]{}: Zapiszmy (\\[I every psi N field\\]) pól $\\psi$, zarówno dla $N$-skalara jak i pola fermionowego rangi $N$, w nastêpuj¹cej postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{I with g}\nI = 4 N \\sum_{n=1}^{N/2} \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\,\\sum_{\\mu,\\,\\nu=0}^{3} (D_{\\mu}\\,\\psi_{n}^{*}({\\bf x}))\\, \\eta^{\\mu\\nu}\\,(D_{\\nu}\\,\\psi_{n}({\\bf x})) \\; ,\\end{aligned}$$ która to postaæ pozwala zauwa¿yæ, ¿e jest ona niezmiennicza ze wzglêdu na transformacje izometrii dzia³aj¹ce w $N/2$ - wymiarowej, zespolonej przestrzeni $\\mathcal{C}^{N/2}$ pól $\\psi\\equiv(\\psi_{n}({\\bf x}))$ rangi $N$.\\\n\\\n[**Dwa typy izometrii $I$**]{}:\\\n[**Przypadek skalarów**]{}: W przypadku $N$-skalarów $\\psi$ tworz¹cych podprzestrzeñ w $\\mathcal{C}^{N/2}$ izometrie te s¹ transformacjami identycznoœciowymi, pozostawiaj¹c pola $\\psi$ niezmienionymi.\\\n[**Przypadek pól Diraca**]{}: Natomiast dla pól fermionowych rangi $N$ okreœlonych na przestrzeni bazowej ${\\cal X}$ Minkowskiego, transformacje izometrii tworz¹ grupê Clifforda $Pin(1,3)$, bêd¹c¹ podzbiorem algebry Clifforda $C(1,3)$). ", "Elementy grupy Clifforda $Pin(1,3)$ dzia³aj¹ w podprzetrzeni $\\mathcal{C}^{N/2}$ spinorów $\\psi$.\\\n\\\n[**Macierze Diraca**]{}: Okazuje siê, ¿e macierze Diraca $\\gamma^{\\mu}$, $\\mu=0,1,2,3\\,$, (por. (", "\\[kowariantna postac r Diraca\\])-(\\[m Pauliego\\])), tworz¹ spinorow¹ reprezentacjê ortogonalnej bazy w $C(1,3)$ i spe³niaj¹ to¿samoœci: $$\\begin{aligned}\n\\label{antykomutator dla m Diraca}\n\\eta^{\\mu\\nu} = 1/2 \\, \\{\\gamma^{\\mu},\\gamma^{\\nu}\\} \\; , \\;\\;\\; \\mu, \\nu = 0,1,2,3 \\; ,\\end{aligned}$$ które s¹ podstawowym zwi¹zkiem dla iloczynu Clifforda. ", "W przypadku spinorów rangi $N=8$, baza w $Pin(1,3)$ jest $2^{N/2}=16$ wymiarowa [@Fecko-fizyka; @matematyczna].\\\n\\\n[**Faktoryzacja $K_{KG}$**]{}: Dla trywialnego przypadku $N$-skalarów, postaæ (\\[TPI every field\\]) jest form¹ podstawow¹. Jednak w przypadku spinorów rangi $N$, po skorzystaniu z (\\[antykomutator dla m Diraca\\]) w (\\[I with g\\]), mo¿na dokonaæ rozk³adu fizycznej informacji $K_{KG}$, (\\[TPI every field\\]), na sk³adowe. ", "Postaæ jawnego rozk³adu $K_{KG}$ na sk³adowe i ich faktoryzacjê, gdzie ka¿dy z otrzymanych czynników jest elementem grupy Clifforda $Pin(1,3)$, poda³ Frieden [@Frieden].\\\n\\\nG³ówny rezultat rozk³adu fizycznej informacji $K_{KG}$, z uwzglêdnieniem pól cechowania w pochodnej kowariantnej $D_{\\mu}$, który czyni zadoœæ “ograniczeniu” Kleina-Gordona (co oznacza, ¿e wymno¿enie czynników i dodanie ich da³oby na powrót (\\[TPI every field\\])), ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{TPI Dirac field}\nK = K_{D}\\equiv4\\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2}\\sum_{\\mu=0}^{3}(D_{\\mu}\\psi_{n})^{*}D^{\\mu}\\psi_{n} + Q \\, , \\end{aligned}$$ gdzie informacja strukturalna $Q$ jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q in Dirac} \n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "Q = Q_{D} = \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\, \\textit{q}_{D} \\equiv -\\,4\\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2}\\left[v_{1n}\\, v_{2n} + (\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}\\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n}\\right]\n+ (pozosta{\\ell}e\\; cz{\\ell}ony) \\; , \\;\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ gdzie $\\textit{q}_{D}$ jest zgodnie z (\\[gestosc q dla niezaleznych Yn\\]) gêstoœci¹ informacji strukturalnej, a $\\frac{N}{2}=4$ wymiarowe wektory kolumnowe $v_{i} = (v_{i1},v_{i2},v_{i3},v_{i4})^{T}$, $i=1,2$, maj¹ sk³adowe: $$\\begin{aligned}\nv_{1n} = \\sum_{n'=1}^{4} \\left(i\\, {\\mathbf 1} \\, D_{0}-\\beta\\frac{m\\, c}{\\hbar} + \\sum_{l=1}^{3} i\\, \\alpha^{l}\\, D_{l}\\right)_{n n'} \\!\\! ", "\\psi_{n'}\\;\\label{free field eq 1} \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; n=1,2,3,4 \\; \\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{free field eq 2}\nv_{2n} = \\sum_{n'=1}^{4} \\left(-i\\, {\\mathbf 1}\\, D_{0}+\\beta^{*}\\frac{m\\, c}{\\hbar}+\\sum_{l=1}^{3} i\\, \\alpha^{l *}\\, D_{l}\\right)_{n n'} \\!\\! ", "\\psi_{n'}^{*} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; n=1,2,3,4 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie macierze $\\alpha^{l}$, $l=1,2,3$, oraz $\\beta$ s¹ macierzami Diraca (\\[m Diraca alfa beta\\])[^65], a ${\\mathbf 1}$ jest $4\\times4$ - wymiarow¹ macierz¹ jednostkow¹.\\\n\\\n[**Zasady informacyjne dla równania Diraca**]{}: W koñcu, informacyjna zasada strukturalna (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) dla $\\kappa=1$ i gêstoœci informacji strukturalnej $\\textit{q}_{D}$ okreœlonej zgodnie z (\\[Q in Dirac\\]) oraz zasada wariacyjna (\\[var K rozpisana\\]) maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{IPs for Dirac}\n\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\textit{q}_{D} = 0 \\; \\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; \\kappa=1 \\;\\; \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\delta_{(\\psi^{*})} K_{D} = \\delta_{(\\psi^{*})} (I + Q_{D}) = 0 \\; . ", "\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ Powy¿sze zasady daj¹ na poziomie obserwowanym warunki (\\[strukt row dla psi\\]) oraz (\\[EL eq dla psi\\]) metody EFI, czyli uk³ad dwóch równañ ró¿niczkowych, które s¹ rozwi¹zywane samospójnie. ", "W wyniku otrzymujemy równanie Diraca: $$\\begin{aligned}\n\\label{Dirac eq}\nv_{1} = \\left(i\\, D_{0}-\\beta\\frac{m\\, c}{\\hbar} + \\sum_{l=1}^{3}\\alpha^{l}\\, i\\, D_{l}\\right)\\,\\psi\\;\n = 0 \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \n\\psi = \\left({\\begin{array}{c}\n\\psi_{1} \\\\\n\\psi_{2} \\\\\n\\psi_{3} \\\\\n\\psi_{4} \n\\end{array}}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ [**Generacja masy**]{}: Zwróæmy uwagê, ¿e w trakcie powy¿szego rozk³adu $K_{KG}$ z cz³onu kinetycznego $I$, (\\[I with g\\]), generowane s¹ wszystkie sk³adniki informacji strukturalnej $Q$, (\\[Q in Dirac\\]). ", "W trakcie tej procedury cz³on masowy generowany jest poprzez sprzê¿enie Fourierowskie (\\[Fourier transf\\]) pomiêdzy reprezentacj¹ po³o¿eniow¹ i pêdow¹ oraz uœrednienie dokonane w reprezentacji energetyczno-pêdowej, tak jak to mia³o miejsce dla (\\[m E p\\]). ", "Zatem równie¿ masa pola Diracowskiego jest przejawem istnienia Fourierowskiego samospl¹tania pomiêdzy reprezentacj¹ po³o¿eniow¹ a pêdow¹, a ca³a procedura jest odbiciem:\\\n[**i)**]{} za³o¿enia analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci,\\\n[**ii)**]{} podzia³u na czêœæ Fisherowsk¹ $I$ oraz (pocz¹tkowo nieznan¹) czêœæ strukturaln¹ $Q$ z wysumowaniem po kana³ach informacyjnych i uœrednieniem po przestrzeni próby ${\\cal B}$ opisanym powy¿ej (\\[expected form of information eq\\]),\\\n[**iii)**]{} przejœcia z pojemnoœci¹ informacyjn¹ $I$ do Friedenowskiej postaci kinematycznej z ca³kowaniem po zakresie przesuniêæ ${\\cal X}$ amplitud rozk³adu uk³adu, opisanym w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\],\\\n[**iv)**]{} tautologicznego wygenerowania, zgodnie z zasad¹ Macha, informacji strukturalnej $Q$ z informacji Fishera $I$, z uwzglêdnieniem niezmienniczoœci $I$ ze wzglêdu na transformacjê amplitud bêd¹c¹ jej izometri¹ oraz transformacjê Fouriera pomiêdzy reprezentacj¹ po³o¿eniow¹ i pêdow¹.\\\n\\\nPrzedstawiony schemat generacji masy nie obejmuje wyznaczenia jej wartoœci. ", "Mówi on raczej o tym czego jej pojawienie siê jest wyrazem.\\\n\\\n[**Warunek zerowania siê $pozosta{\\ell}ych \\; cz\\ell on\\acute{o}w$**]{}: W równaniach (\\[free field eq 1\\]) oraz (\\[free field eq 2\\]) macierz jednostkowa ${\\mathbf 1}$, która stoi przy $D_{0}$ oraz $\\frac{N}{2}\\times \\frac{N}{2} = 4\\times4$ wymiarowe macierze Diraca $\\beta$, $\\alpha_{l}$, s¹ jednymi z elementów grupy Clifforda $Pin(1,3)$. Jak wspomnieliœmy, Frieden [@Frieden] przeprowadzi³ opisan¹ decompozycjê $K_{KG}$, (\\[TPI every field\\]), do postaci $K_{D}$ podanej w (\\[TPI Dirac field\\]). ", "Równoczeœnie pokaza³, ¿e wyra¿enie oznaczone w (\\[Q in Dirac\\]) jako “$pozosta{\\ell}e \\; cz\\ell ony$” zeruje siê przy za³o¿eniu, ¿e [*macierze $\\beta$ i $\\alpha_{l}$ spe³niaj¹ relacje algebry Clifforda*]{}.\\\n\\\n[**Podsumowanie**]{}: Zauwa¿yliœmy, ¿e pojemnoœæ informacyjna $I$ w TFI jest zadana przez (\\[I with g\\]) zarówno dla pól $N$-skalarów jak i pól fermionowych rangi $N$. Kluczow¹ spraw¹ jest, ¿e dla ka¿dego równania ruchu, okreœlona jest tylko jemu charakterystyczna postaæ $\\textit{q}$. Zauwa¿yliœmy, ¿e dla $N$-skalarów, jedynym cz³onem, który tworzy ca³kowit¹ fizyczn¹ informacyjnê jest $K_{KG}$ w postaci (\\[TPI every field\\]) bez ¿adnego ukrytego rozk³adu i faktoryzacji, pochodz¹cych z nie-Fourierowskiego spl¹tania. ", "W przypadku równania Diraca, informacja fizyczna Kleina-Gordona $K_{KG}$, (\\[TPI every field\\]), równie¿ wchodzi w ca³kowit¹ informacjê fizyczn¹ Diraca $K_{D}$, ale tylko jako jej szczególna czêœæ (jak to mo¿na równie¿ zauwa¿yæ z porównania (\\[TPI Dirac field\\]), (\\[Q in Dirac\\]) oraz (\\[TPI every field\\]) i (\\[Q for N scalar\\])), spl¹tana Fourierowsko w $K_{F}$ (\\[free field eq all 2\\]). ", "Fakt ten jest blisko zwi¹zany z efektem EPR-Bohm’a [@Khrennikov] opisanym w Rozdziale \\[Pojemnosc informacyjna zagadnienia EPR\\].\\\n\\\n\\\n[**Postaæ $Q$ dla równania Diraca**]{}: Tak wiêc, w zgodzie z (\\[Q in Dirac\\]), szczegó³owa postaæ $Q$ dla równania ruchu Diraca okaza³a siê byæ inna ni¿ dla $N$-skalarów i mo¿na j¹ zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q for psi field}\nQ = Q_{D} \\equiv \\mathbb{S}_{q} - \\,4\\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2}\\left[ (\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}\\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n}\\right]\n \\, , \\end{aligned}$$ gdzie $\\mathbb{S}_{q}$ jest charakterystyczn¹ czêœci¹ Diracowsk¹ dzia³ania dla kwadratury równania Diraca, wyznaczon¹ dla pola Diraca o randze $N=8$ przy wziêciu pod uwagê wszystkich symetrii uk³adu.\\\n\\\n[**Ca³ka dzia³ania kwadratury równania Diraca**]{}: Poniewa¿ jednak ca³ka dzia³ania (por. ", "Rozdzia³ \\[dzialanie v.s. zasady informacyjne\\]) dla kwadratury specyficznej czêœci Diracowskiej zachowuje siê nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{Sq for psi field}\n\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\mathbb{S}_{q} = - \\,4\\, N\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2}\\left(v_{1n}\\, v_{2n}\\right) + (pozosta{\\ell}e\\; cz{\\ell}ony) = 0 \\, ,\\end{aligned}$$ tzn. ", "spe³nia warunek zerowy, zatem $K\\equiv K_{D}$ redukuje siê i (w kwadraturze) okreœla postaæ $K_{KG}$ dla (\\[TPI every field\\])[^66]: $$\\begin{aligned}\n\\label{TPI every field jawna postac}\nK = K_{KG} \\equiv 4 \\, N \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{n=1}^{N/2} \\left[ \\sum_{\\mu=0}^{3} (D_{\\mu}\\psi_{n})^{*}D^{\\mu}\\psi_{n} - (\\frac{m\\, c}{\\hbar})^{2}\\psi_{n}^{*}\\,\\psi_{n}\\right]\n \\; .\\end{aligned}$$ [**Uwaga o fundamentalnej ró¿nicy pola skalarnego i pola Diraca**]{}: Wa¿n¹ spraw¹ jest zauwa¿enie, ¿e chocia¿ postaæ $I$ dla $N$-skalarów oraz pól fermionowych rangi $N$ wygl¹da “powierzchniowo” tak samo, to jednak uk³ady te ró¿ni¹ siê istotnie. ", "W samej bowiem rzeczy, podczas gdy [*$N$-skalar jest rozwi¹zaniem rówania ruchu, które wynika jedynie z wariacyjnej zasady informacyjnej*]{} (\\[var IP for N-scalar\\]), to [*pole fermionowe jest samospójnym rozwi¹zaniem zasad informacyjnych, zarówno wariacyjnej jak i strukturalnej*]{}, podanych w (\\[IPs for Dirac\\]).", "\n\n### Koñcowe uwagi o wk³adzie $Q$ w zasadê strukturaln¹ {#few comments on Q}\n\nWynik Rozdzia³u \\[structural principle\\] [@Dziekuje; @informacja_2] zwi¹zany z wyprowadzeniem strukturalnej zasady informacyjnej jest ogólny, o ile tylko, w celu zagwarantowania s³usznoœci rozwiniêcia w szereg Taylora, funkcja log-wiarygodnoœci $\\ln P(\\Theta)$ jest analityczn¹ funkcj¹ wektorowego parametru po³o¿enia $\\Theta$ w zbiorze jego wartoœci $V_{\\Theta}$. Z kolei, w Rozdziale \\[information transfer\\] zauwa¿yli¿my, ¿e model rozwi¹zany przez metodê EFI jest modelem metrycznym z metryk¹ Rao-Fisher’a oraz, ¿e na poziomie ca³kowym, model metryczny jest równowa¿ny modelowi analitycznemu.\\\nDla uk³adów, które nie posiadaj¹ dodatkowych wiêzów ró¿niczkowych, wszystkie po³o¿eniowe stopnie swobody s¹ zwi¹zane jedynie poprzez analizê modelu metrycznego, wynikaj¹c¹ z równañ (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\])-(\\[var K rozpisana\\]) oraz wspomnian¹ zasadê Macha, generuj¹c¹ cz³on strukturalny z Fisherowskiego cz³onu kinematycznego, co prowadzi do czynnika efektywnoœci $\\kappa = 1$. Równania Kleina-Gordona oraz Diraca omawiane w Rozdzia³ach \\[Klein-Gordon scalars\\] oraz \\[TPI of the Klein-Gordon equation\\] s¹ modelami tego typu.\\\nJeœli na uk³ad na³o¿ony jest dodatkowy warunek, który nie wynika ani ze strukturalnej zasady informacyjnej (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\textit{q} = 0$ z $\\kappa =1$, ani z zasady wariacyjej (\\[var K rozpisana\\]), wtedy wzrasta zwi¹zek strukturalny pomiêdzy po³o¿eniowymi stopniami swobody co powoduje, ¿e $\\kappa$ wi¹¿¹ca w równaniu (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) gêstoœæ informacji strukturalnej $\\textit{q}$ z gêstoœci¹ pojemnoœci informacyjnej $\\widetilde{\\textit{i'}}\\,$, musi maleæ poni¿ej wartoœci 1. ", "W³asnoœæ ta wynika z wklês³oœci pojemnoœci informacyjnej $I$ przy mieszaniu uk³adów [@Frieden], które pojawiaja siê np. ", "na skutek wprowadzenia dodatkowego ró¿niczkowego wiêzu. ", "Na przyk³ad, omawiany w Dodatku \\[Maxwell field\\] warunek Lorentza dla pola cechowania Maxwella, który jest równaniem typu równania ci¹g³oœci strumienia, pojawia siê nie jako konsekwencja równañ ruchu badanego pola, ale jako ograniczenie szukane na drodze niezale¿nej statystycznej estymacji. ", "Najprawdopodobniej ten dodatkowy warunek[^67] pojawia siê jako rezultat rozwiniêcia w szereg Taylora “go³ej” funkcji wiarygodnoœci $P(\\Theta)$ [@Dziekuje; @informacja_2], podobnie jak wyprowadzone w Rozdziale \\[master eq\\] równanie master (co sygnalizowa³oby spójnoœæ ca³ej statystycznej metody estymacyjnej[^68] ). ", "Zatem warunek Lorentza na³o¿ony na uk³ad redukuje jego symetriê, co poci¹ga za sob¹ pojawienie siê zasady strukturalnej $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), z czynnikiem efektywnoœci $\\kappa$ mniejszym ni¿ 1. ", "W przypadku równañ Maxwella omówionych w Dodatku \\[Maxwell field\\], zwrócimy uwagê [@Dziekuje; @za; @models; @building], ¿e wartoœæ $\\kappa =1/2$ pojawia siê automatycznie w metodzie EFI na skutek samospójnego rozwi¹zania równania strukturalnego, wariacyjnego i na³o¿onego warunku Lorentza.", "\n\n### Zasada najmniejszego dzia³ania v.s. zasady informacyjne {#dzialanie v.s. zasady informacyjne}\n\nPowy¿sze rozwa¿ania Rozdzia³u \\[structural inf\\] s¹ czêœciowo poœwiêcone omówieniu dodatkowego wyniku zastosowania metody EFI, tzn. ", "ustaleniu ró¿nych postaci informacji strukturalnej $Q$. Zauwa¿ono, ¿e przy umiarkowanie rozbudowanym aparacie metody EFI, nastêpuje nie tylko wyprowadzenie, tzn. ", "estymacja, jej wynikowego równania ruchu (lub równania generuj¹cego rozk³ad), ale jakby przy okazji, pojawienie siê postaci obserwowanej informacji strukturalnej $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$.\\\n\\\n[**Konstrukcja ca³ki dzia³ania**]{}: Z powy¿szego faktu wynika okreœlenie zwi¹zku pomiêdzy ca³k¹ dzia³ania wraz z zasad¹ najmniejszego dzia³ania, a ca³kowit¹ informacj¹ fizyczn¹ wraz z zasadami informacyjnymi. ", "Okazuje siê bowiem, ¿e po wstawieniu $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ z powrotem do $K$ otrzymujemy ca³kê dzia³ania $\\mathbb{S}$ modelu [@Dziekuje; @za; @models; @building]: $$\\begin{aligned}\n\\label{S and K connection}\n\\mathbb{S}(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x})) = \nK(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}),\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))) \\, .\\end{aligned}$$\\\nSens równoœci (\\[S and K connection\\]) okreœla poni¿sza konstrukcja $\\mathbb{S}(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}))$. Wpierw rozwi¹zujemy zasady informacyjne, strukturaln¹ i wariacyjn¹, znajduj¹c obserwowan¹ informacjê strukturaln¹ $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$. Nastêpnie mo¿emy otrzymaæ równanie ruchu na dwa sposoby:\\\n\\\n[**(a) Pierwszy sposób analizy**]{}: W metodzie EFI wstawiamy otrzymane $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ od razu do równañ [*Eulera-Lagrange’a wynikaj¹cych z wariacyjnej zasady informacyjnej*]{} z gêstoœci¹ informacji fizycznej $k(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}),$ $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x})))$.\\\n\\\n[**(b) Drugi sposób analizy**]{}: W drodze do ca³ki dzia³ania teorii pola wstawiamy otrzymane $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ do $K(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}),$ $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x})))$ i stosuj¹c zasadê najmniejszego dzia³ania dla tak skonstruowanego $\\mathbb{S}(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}))$, [*otrzymujemy równania Eulera-Lagrange’a teorii pola*]{}.\\\n\\\n[**Rezultat**]{}: Otrzymane w konsekwencji analizy typu (a) lub (b) równanie ruchu, b¹dŸ równanie generuj¹ce rozk³ad[^69], jest w obu podejœciach takie samo[^70].\\\n\\\n[**Struktura statystyczna teorii**]{}: Jednak¿e, z powodu definicji $\\mathbb{S}$ danej przez [*lew¹ stronê*]{} równania (\\[S and K connection\\]), pojawia siê pytanie, czy metoda EFI, która wykorzystuje $K$ dane przez [*praw¹ stronê*]{} równania (\\[S and K connection\\]), daje jakieœ dodatkowe informacje w porównaniu do zasady najmniejszego dzia³ania dla $\\mathbb{S}$. Potwierdzaj¹ca odpowiedŸ jest nastêpuj¹ca. ", "Wed³ug Rozdzia³u \\[structural inf\\] metoda EFI dokonuje (zazwyczaj) rozk³adu $K$ na podstawowe bloki podaj¹c otwarcie wszystkie fizyczne i statystyczne pojêcia, i narzêdzia analizy. ", "Równoœæ (\\[S and K connection\\]), która jest jedynie definicj¹ $\\mathbb{S}$, wyra¿a bowiem jednoczeœnie fakt, ¿e $K$ ma bardziej z³o¿on¹ strukturê ni¿ $\\mathbb{S}$.\\\nPowy¿sze stwierdzenie oznacza, ¿e $\\mathbb{S}$ oraz zasada najmniejszego dzia³ania nios¹ zarówno mniejsz¹ [*fizyczn¹*]{} informacjê ni¿ oryginalne zasady informacyjne (uzupe³nione fizycznymi wiêzami modelu), jak i ni¿sz¹ informacjê o pojêciach [*statystycznych*]{} .\\\n[**Zmniejszenie informacji statystycznej**]{}: Po otrzymaniu rozwi¹zania równañ informacyjnych i “œci¹gniêciu” wyniku do $\\mathbb{S}$, znikaj¹ z $\\mathbb{S}$ nie tylko pojêcia informacji Fishera oraz automatycznie pojemnoœci informacyjnej, lecz i pojêcie ca³kowitej wewnêtrznej dok³adnoœci modelu, tzn. ", "informacji Stama.\\\n\\\n[**Zmniejszenie informacji fizycznej**]{}: W koñcu, jeœli rzeczywistoœæ (w znaczeniu matematycznych podstaw modelowych) le¿¹ca poza modelami teorii pola by³aby statystyczna, wtedy odrzucaj¹c ich oryginalny zwi¹zek z analiz¹ na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ oraz estymacyjn¹ metod¹ EFI, która wybiera fizycznie w³aœciw¹ (pod)przestrzeñ ${\\cal S}$, tracimy równie¿ oryginalne narzêdzia tej analizy s³u¿¹ce do konstrukcji dzia³ania $\\mathbb{S}$. Zamiast tego zadowalamy siê zgadywaniem jego postaci jedynie na podstawie fizycznych warunków wstêpnych, zastanawiaj¹c siê np. ", "jak szczególnym jest pojêcie amplitudy oraz jak wyj¹tkowa jest zasada nieoznaczonoœci Heisenberga.\\\n\\\n[**Przyk³ad**]{}: Obok uwagi na wstêpie Rozdzia³u \\[structural inf\\], ostatnie eksperymenty ze œwiat³em wydaj¹ siê mówiæ, ¿e Fourierowskie czêstoœci nie s¹ widoczne w optycznej lokalizacji najmniejszych jego impulsów. ", "W takiej sytuacji zasada Heisenberga $\\delta\\nu\\delta t\\geq 1/2$ mog³aby nie reprezentowaæ sob¹ ¿adnej granicznej fizycznej rzeczywistoœci, gdzie $\\delta\\nu$ oraz $\\delta t$ s¹ poprzez transformacjê Fouriera zwi¹zanymi z sob¹ szerokoœciami po³ówkowymi impulsu w czêstoœci oraz w czasie. ", "Gdyby eksperymenty te potwierdzi³y siê, wtedy zasada Heisenberga straci³aby swoje oparcie w transformacji Fouriera dla zmiennych komplementarnych [@Roychoudhuri]. ", "Natomiast jest mo¿liwe, ¿e znalaz³aby ona wtedy swoje oparcie w nierównoœci Rao-Cramera, która podaje dolne ograniczenie na wariancjê estymatora parametru w przypadku pomiaru jednokana³owego [@Frieden] (por. ", "Dodatek \\[Zasada nieoznaczonosci Heisenberga\\]).", "\n\nPrzyk³ady z fizyki statystycznej i ekonofizyki oraz efekt EPR-Bohm’a {#Przyklady}\n====================================================================\n\nOgólne statystyczne podstawy estymacji MNW zosta³y przedstawione w Rozdzia³ach \\[MNW\\]-\\[Entropia wzgledna i IF\\]. ", "Natomiast w Rozdzia³ach \\[Zasady informacyjne\\] oraz \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\] skryptu przedstawiono metodê EFI jako szczególny typ estymacyjnej procedury statystycznej, opracowanej w ramach teorii pomiaru. ", "Metoda EFI pokazuje w jaki sposób wychodz¹c z pojêcia funkcji wiarygodnoœci oraz pojemnoœci informacyjnej $I$ (por. ", "Rozdzia³ \\[The kinematical form of the Fisher information\\]) otrzymaæ wiêzy strukturalne wynikaj¹ce z analitycznej informacyjnej zasady strukturalnej, która wraz z wariacyjn¹ zasad¹ informacyjn¹ oraz równaniem ci¹g³oœci (lub ogólniej, równaniem typu master por. ", "Rozdzia³ \\[Geometryczne sformulowanie teorii estymacji\\])), prowadzi do równañ ró¿niczkowych teorii [@Frieden]. ", "W trakcie procedury otrzymujemy informacjê strukturaln¹ $Q$ opisywanego uk³adu, która wraz z pojemnoœci¹ informacyjn¹ $I$ tworzy informacjê fizyczn¹ uk³adu $K$, bêd¹c¹ statystycznym poprzednikiem ca³ki dzia³ania (por. ", "Rozdzia³ \\[dzialanie v.s. zasady informacyjne\\]).\\\nWyprowadzenia równañ ruchu lub równañ generuj¹cych rozk³ad zasadzaj¹ siê na potraktowaniu wszystkich warunków na³o¿onych na uk³ad jako zwi¹zków na odchylenia (fluktuacje) wartoœci pomiarowych od wartoœci oczekiwanych. ", "Przy tym, analizowane dane pojawiaj¹ siê jako efekt pomiaru dokonanego przez uk³ad (por. ", "Rozdzia³ \\[Podstawowe zalozenie Friedena-Soffera\\]).\\\nObecny Rozdzia³ dzieli siê na dwie czêœci, pierwsz¹ maj¹c¹ zastosowanie termodynamiczne oraz drug¹, opisuj¹c¹ zjawisko EPR-Bohm’a. ", "Za wyj¹tkiem krótkiej analizy rozwi¹zañ metody EFI dla równañ transportu Boltzmann’a, obie czêœci ³¹czy wymiar próby $N=1$.\n\nWyprowadzenie klasycznej fizyki statystycznej z informacji Fishera {#fizykastatystyczna}\n------------------------------------------------------------------\n\nCelem obecnego rozdzia³u jest wyprowadzenie metod¹ EFI podstawowych rozk³adów klasycznej fizyki statystycznej. ", "Otrzymamy wiêc równania generuj¹ce, z których wyprowadzone zostan¹: rozk³ad Boltzmanna dla energii, a nastêpnie rozk³ad Maxwella-Boltzmanna dla pêdu. ", "Jako przyk³ad zastosowania analizy w ekonofizyce, podamy przyk³ad produkcyjnoœci bran¿ w modelu Aoki-Yoshikawy. ", "Przedstawione rachunki id¹ œladem analizy Friedena, Soffera, Plastino i Plastino [@Frieden], jednak zostan¹ one wykonane w oparciu o wprowadzon¹ w Rozdziale \\[structural principle\\] strukturaln¹ zasadê informacyjn¹ [@Dziekuje; @informacja_2]. ", "Ró¿nicê interpretacyjn¹ pomiêdzy obu podejœciami podano w Rozdziale \\[information transfer\\].\\\nDodatkowo wyprowadzony zostanie warunek informacyjny na górne ograniczenie tempa wzrostu entropii Shannona [@Frieden].", "\n\n### Fizyczne sformu³owanie zagadnienia {#Fizyczne sformulowanie zagadnienia dla predkosci}\n\nRozwa¿my gaz sk³adaj¹cy siê z $M$ identycznych cz¹steczek o masie $m$ zamkniêty w zbiorniku. ", "Temperatura gazu ma sta³¹ wartoœæ $T$. Ruch cz¹steczek jest losowy i oddzia³uj¹ one ze sob¹ poprzez si³y potencjalne, zderzaj¹c siê ze sob¹ i œciankami naczynia, przy czym zak³adamy, ¿e s¹ to zderzenia sprê¿yste. ", "Œrednia prêdkoœæ ka¿dej cz¹steczki jest równa zero.\\\nOznaczmy przez $\\theta_{\\wp} = \\left(\\theta_{\\epsilon}, \\vec{\\theta}_{\\wp}\\right)$ czterowektor wartoœci oczekiwanej energii oraz pêdu cz¹steczki, gdzie indeks $\\wp$ oznacza pêd. ", "We wspó³rzêdnych kartezjañskich $\\vec{\\theta}_{\\wp}=\\left(\\theta_{\\wp_1},\\theta_{\\wp_2}, \\theta_{\\wp_3}\\right)$. Podobnie jak w (\\[parameters separation\\]) wprowadzamy zmienn¹ losow¹ $Y = \\left( Y_{\\epsilon} \\equiv \\frac{E}{c}, \\;\\vec{Y}_{\\wp}\\right) $, przyjmuj¹c¹ waroœci ${\\bf y}=\\left({\\bf y}_{\\epsilon}\\equiv \\epsilon/c\\,,\\;\\vec{\\bf y}_{\\wp}\\right)$, której sk³adowe spe³niaj¹ zwi¹zki: $$\\begin{aligned}\n\\label{E}\n{\\bf y}_{\\epsilon} \\equiv \\frac{\\epsilon}{c} = \\theta_{\\epsilon} + {\\bf x}_{\\epsilon} \\; , \\;\\;\\;\\; \\frac{\\epsilon_{0}}{c} \\le {\\bf y}_{\\epsilon} \\le \\infty \\end{aligned}$$ $$\\begin{aligned}\n\\label{y_p}\n\\vec{\\bf y}_{\\wp}=\\vec{\\theta}_{\\wp} + \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\; , \\;\\;\\;\\; \\vec{\\bf y}_{\\wp} = \\left({\\bf y}_{\\wp_1},{\\bf y}_{\\wp_2},{\\bf y}_{\\wp_3}\\right)\\; , \\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{xp to p}\n\\vec{\\bf x}_{\\wp} = \\vec{\\wp} \\; \\end{aligned}$$ oznacza fluktuacjê pêdu, natomiast $c$ oznacza prêdkoœæ œwiat³a. ", "Zmienne i parametry energetyczne $ {\\bf y}_{\\epsilon}$, $\\,{\\bf x}_{\\epsilon}$ oraz $\\theta_{\\epsilon}$ zosta³y wyra¿one w jednostce wspó³rzêdnych pêdowych $energia/c$. Parametry $\\theta_{\\epsilon}$ oraz $\\vec{\\theta}_{\\wp}$ s¹ odpowiednimi wartoœciami oczekiwanymi energii (z dok³adnoœci¹ do 1/c) oraz pêdu, a ${\\bf x}_{\\epsilon}$ oraz $\\vec{\\bf x}_{\\wp}$ fluktuacjami wzglêdem wartoœci oczekiwanych.\\\n\\\nZnajdziemy rozk³ad prawdopodobieñstwa dla fluktuacji energii $X_{\\epsilon}$ przyjmuj¹cej wartoœci ${\\bf x}_{\\epsilon}$ oraz fluktualcji pêdu $\\vec{X}_{\\wp}$ przyjmuj¹cej wartoœci $\\vec{\\wp}$ dla jednej, dowolnej cz¹steczki gazu w dowolnej chwili czasu $t$. Poniewa¿ wartoœæ $t$ nie musi byæ du¿a, zatem rozwa¿amy gaz, który nie koniecznie jest w stanie równowagi. ", "Bêdziemy wiêc szukaæ postaci nierównowagowego rozk³adu prawdopodobieñstwa, odpowiadaj¹cego tak postawionemu problemowi.\\\n\\\n[**Uwaga o czterowektorze energii-pêdu**]{}: Jednak po pierwsze, wspó³rzêdne czterowektora fluktuacji energii-pêdu $\\left(X_{\\epsilon}, \\vec{X}_{\\wp} \\right)$ nie s¹ statystycznie niezale¿ne, tzn. ", "nie s¹ niezale¿nymi stopniami swobody uk³adu. ", "Po drugie, jak siê oka¿e, spe³niaj¹ one zasadê dyspersyjn¹ typu (\\[m E p\\]), wiêc nie tworz¹ uk³adu zmiennych Fishera (porównaj (\\[zmienne Fisherowskie\\])). ", "Zatem ogólny problem wymaga³by estymacji odpowiednich równañ generuj¹cych dla skomplikowanego czasoprzestrzennego zagadnienia, tzn. ", "nale¿a³oby wyznaczyæ ³¹czny rozk³ad prawdopodobieñstwa wspó³rzêdnych $\\left(X_{\\epsilon}, \\vec{X}_{\\wp} \\right)$, co wykracza poza zakres skryptu. ", "Niemniej np. ", "w przypadku relatywistycznych zjawisk astrofizycznych, taka estymacja mo¿e okazaæ siê niezbêdna.\\\nW skrypcie ograniczymy siê jedynie do wyznaczenia brzegowych rozk³adów prawdopodobieñstwa dla $X_{\\epsilon}$ (i w konsekwencji dla $E$) oraz dla $\\vec{X}_{\\wp}$, co w nierelatywistycznej granicy jest uzasadnione.\\\n\n### Informacja kinetyczna i strukturalna oraz sformu³owanie zasad informacyjnych {#zasady inf dla energii i predkosci}\n\nTak wiêc, statystycznie jedna cz¹steczka podlega ³¹cznemu rozk³adowi prawdopodobieñstwa $p\\left({\\bf x}_{\\epsilon},\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right)$, przy czym wspó³rzêdne czterowektora pêdu nie s¹ niezale¿ne. ", "Uproszczona analiza skoncentruje siê na rozk³adach brzegowych, których analiza ze wzglêdu na wspomniany brak niezale¿noœci nie odtwarza analizy ³¹cznej, chocia¿ jest s³uszna w przybli¿eniu nierelatywistycznym.\\\nWyznaczymy wiêc [*brzegowe amplitudy prawdopodobieñstwa*]{} $q\\left({\\bf x}_{\\epsilon}\\right)$ oraz $q\\left(\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right)$: $$\\begin{aligned}\nq_{n}\\left({\\bf x}_{\\epsilon}\\right),\\quad n=1,...,N_{\\epsilon} \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; q_{n}\\left(\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right), \\;\\;\\;\\; n=1,...,N_{\\wp} \\; ,\\end{aligned}$$ a nastêpnie powrócimy do brzegowych rozk³adów prawdopodobieñstwa $p\\left({\\bf x}_{\\epsilon}\\right)$ oraz $p\\left(\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right)$. W koñcu po wyznaczeniu $p\\left({\\bf x}_{\\epsilon}\\right)$ skorzystamy z (\\[E\\]), aby otrzymaæ wymagany rozk³ad $p\\left(\\epsilon\\right)$. Podobnie, korzystaj¹c z (\\[y\\_p\\]) otrzymamy po wyznaczeniu $p\\left(\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right)$ rozk³ad prêdkoœci $p\\left(\\vec{\\bf y}_{\\wp}\\right)$, przy czym te dwa ostatnie s¹ równe w naszych rozwa¿aniach, ze wzglêdu na œredni¹ wartoœæ prêdkoœci cz¹steczki $\\vec{\\theta}_{\\wp} = 0$.\\\n\\\n[**Pojemnoœæ informacyjna dla parametrów czterowektor energii-pêdu**]{}: Chocia¿ $\\left({\\bf x}_{\\epsilon}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}\\right)$ nie jest czterowektorem we wspomnianym ujêciu Fishera, to jest on czterowektorem w sensie Lorentza. ", "Korzystamy wiêc z metryki czasoprzestrzeni Minkowskiego w postaci $(\\eta_{\\nu \\mu}) = diag(1,-1,-1,-1)$ zgodnie z (\\[metryka M\\]).\\\nW ogólnym przypadku rozk³adu ³¹cznego oraz próbkowania czterowektora energii i pêdu, pojemnoœæ informacyjna ma dla parametru wektorowego $\\Theta = \\left((\\theta_{\\nu n})_{\\nu=0}^{3}\\right)_{n=1}^{N}$ postaæ (\\[pojemnosc C dla polozenia - powtorka wzoru\\])[^71]: $$\\begin{aligned}\n\\label{I dla lacznego E p}\nI = \\sum\\limits_{n=1}^{N} \\int_{\\cal B} dy \\; P\\left(y|\\Theta\\right) \\left[ {\\left(\\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{\\epsilon \\, n}} \\right)^{2}} - \\sum\\limits_{k=1}^{3} {\\left(\\frac{\\partial\\ln P\\left(y|\\Theta\\right)}{\\partial\\theta_{\\wp_{k} n}} \\right)^{2}} \\right] \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $y=({\\bf y})_{n=1}^{N}$ jest $N$-wymiarow¹ prób¹, a ${\\cal B}$ przestrzeni¹ próby. ", "Zatem pojemnoœci informacyjne $I\\left(\\Theta_\\epsilon\\right)$ oraz $I\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right)$ dla rozk³adów brzegowych fluktuacji energii oraz pêdu maj¹ postaæ[^72]: $$\\begin{aligned}\n\\label{min}\nI\\left(\\Theta_{\\epsilon}\\right) = 4 \\int_{{\\cal X}_{\\epsilon}}{d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\sum\\limits_{n=1}^{N_{{\\epsilon}}}{\\left({\\frac{{dq_{n}\\left({{\\bf x}_{{\\epsilon}}}\\right)}}\n{{d{\\bf x}_{{\\epsilon}}}}}\\right)^{2}}}\\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{minp}\nI\\left( \\Theta_{\\vec{\\wp}} \\right) = - 4 \\int_{{\\cal X}_{\\wp}} d \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\sum\\limits_{n=1}^{N_{\\wp}} \\sum\\limits_{k=1}^{3}\n\\left( \\frac{ dq_{n} \\left( \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\right) }{ dx_{\\wp_{k}}} \\right)^{2}\n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie minus w (\\[I dla lacznego E p\\]) i w konsekwencji w (\\[minp\\]), wynika zgodnie z Rozdzia³em \\[Poj inform zmiennej los poloz\\] z uwzglêdnienia metryki Minkowskiego (\\[metryka M\\]), natomiast ${\\cal X}_{\\epsilon}$ oraz ${\\cal X}_{\\wp}$ s¹ zbiorami wartoœci odpowiednio zmiennych $X_{\\epsilon}$ oraz $X_{\\wp}$. Z poni¿szych rachunków przekonamy siê, ¿e nieuwzglêdnienie metryki Minkowskiego (gdy $\\eta_{00} =1$ to $\\eta_{kk} =-1$ dla $k=1,2,3$), doprowadzi³oby w konsekwencji w termodynamicznych rozwa¿aniach do b³êdnego rozk³adu prêdkoœci[^73].\\\n\\\n[**Zasady informacyjne**]{}: Zasady informacyjne, strukturalna (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz wariacyjna (\\[var K rozpisana\\]) maj¹ poni¿sz¹ postaæ. ", "Dla energii: $$\\begin{aligned}\n\\label{epiE}\n\\widetilde{\\textit{i'}}(\\Theta_{\\epsilon}) + \\widetilde{\\mathbf{C}}_{\\epsilon} + \\kappa \\, \\textit{q}(\\Theta_{\\epsilon}) = 0 \\; , \\;\\;\\; \\delta_{(q_{n})}\\left(I(\\Theta_{\\epsilon}) + Q(\\Theta_{\\epsilon})\\right) = 0 \\; , \\end{aligned}$$ oraz dla pêdu: $$\\begin{aligned}\n\\label{epip}\n\\widetilde{\\textit{i'}}(\\Theta_{\\vec{\\wp}}) + \\widetilde{\\mathbf{C}}_{\\vec{\\wp}} + \\kappa \\, \\textit{q}(\\Theta_{\\vec{\\wp}}) = 0 \\; , \\;\\;\\; \\delta_{(q_{n})}\\left(I(\\Theta_{\\vec{\\wp}}) + Q(\\Theta_{\\vec{\\wp}})\\right) = 0 \\; . ", "\\end{aligned}$$ Gêstoœci pojemnoœci informacyjnych, $\\widetilde{\\textit{i'}}(\\Theta_{\\epsilon})$ oraz $\\widetilde{\\textit{i'}}(\\Theta_{\\vec{\\wp}})$, s¹ okreœlone zgodnie z (\\[gestosc i Amarii\\]) i (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), a gêstoœci informacji strukturalnych, $\\textit{q}(\\Theta_{\\epsilon})$ oraz $\\textit{q}(\\Theta_{\\vec{\\wp}})$, s¹ okreœlone zgodnie z (\\[gestosc q dla niezaleznych Yn\\]), natomiast $Q(\\Theta_{\\epsilon})$ oraz $Q(\\Theta_{\\vec{\\wp}})$ s¹ odpowiednimi informacjami strukturalnymi.\\\nW pierwszej kolejnoœci rozwa¿ymy problemem (\\[epiE\\]) dla $p({\\epsilon})$.\\\n\\\n[**Przypomnienie roli zasad informacyjnych**]{}: W rachunkach metody EFI prowadz¹cych do równania generuj¹cego rozk³ad, obok zasady wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]) wykorzystywana jest postaæ (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) zmodyfikowanej obserwowanej zasady strukturalnej. ", "Warto pamiêtaæ, ¿e zasada (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) wynika z ¿¹dania istnienia rozwiniêcia Taylora logarytmu funkcji wiarygodnoœci wokó³ prawdziwej wartoœci parametru (por. ", "Rozdzia³ \\[structural principle\\]) oraz z metrycznoœci przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$. Natomiast oczekiwana strukturalna zasada informacyjna (\\[expected form of information eq\\]) jest narzêdziem pomocniczym w definicji ca³kowitej fizycznej informacji $K$, (\\[physical K\\]), oraz informacyjnej zasady wariacyjnej (\\[var K rozpisana\\]).", "\n\n### Rozk³ad Boltzmanna dla energii {#rozdz.energia}\n\nPoni¿ej podamy rozwi¹zanie zasad informacyjnych (\\[epiE\\]), strukturalnej oraz wariacyjnej, otrzymuj¹c w pierwszym kroku analizy równanie generuj¹ce amplitudy dla rozk³adu Boltzmanna.\\\n\\\nZa³ó¿my wstêpnie, ¿e wartoœæ fluktuacji energii ${\\bf x}_{{\\epsilon}}$ zmienia siê w pewnym zakresie $\\left\\langle {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}, {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}\\right\\rangle$: $$\\begin{aligned}\n\\label{zakres}\n{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max} \\;\\; .\\end{aligned}$$ W ten sposób wpierw uchwycimy ogóln¹ zale¿noœæ amplitudy rozk³adu od ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}$, a nastêpnie dokonamy przejœcia granicznego, przechodz¹c z górn¹ granic¹ fluktuacji energii ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}$ do nieskoñczonoœci.\\\n\\\n[**Pojemnoœæ informacyjna**]{} ma postaæ (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{informacjaE}\nI\\left(\\Theta_{{\\epsilon}}\\right) = 4 \\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} {d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\sum\\limits _{n=1}^{N}{q_{n}^{'2}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}} \\right)}} \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\; q_{n}^{'}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) \\equiv \\frac{dq_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)}{d{\\bf x}_{{\\epsilon}}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie rozk³ady prawdopodobieñstwa $p_{n}$ dla fluktuacji energii s¹ powi¹zane z amplitudami $q_{n}$ zale¿noœci¹ (\\[amplituda a rozklad\\]): $$\\begin{aligned}\np_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) = q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\; .\\end{aligned}$$ [**Informacja strukturalna**]{} zgodnie z (\\[Q dla niezaleznych Yn w d4y\\]) jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q diag dla E}\nQ(\\Theta_{{\\epsilon}}) = \\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, \\textit{q}(\\Theta_{{\\epsilon}}) = \\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, \\sum\\limits _{n=1}^{N} q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})) \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Informacyjna zasada wariacyjna**]{} w (\\[epiE\\]) dla pojemnoœci informacyjnej $I$, (\\[informacjaE\\]), oraz informacji strukturalnej $Q$, (\\[Q diag dla E\\]), ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{gggg}\n\\delta_{(q_{n})} K = \\delta_{(q_{n})} (I(\\Theta_{{\\epsilon}}) + Q(\\Theta_{{\\epsilon}})) = \\delta_{(q_{n})} \\left(\\;\\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} {d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, k} \\right) = 0 \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $k$ jest równe: $$\\begin{aligned}\n\\label{k dla Boltzmanna}\nk = 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\left(q_{n}^{'2} + \\frac{1}{4}q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})) \\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ zgodnie z ogóln¹ postaci¹ gêstoœci obserwowanej informacji fizycznej (\\[k form\\]) dla amplitud $q_{n}$.\\\n\\\n[**Rozwi¹zaniem problemu wariacyjnego**]{} (\\[gggg\\]) wzgêdem $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$ jest [*równanie Eulera-Lagrange’a*]{} (\\[EL eq\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{euler}\n\\frac{d}{{d{\\bf x}_{{\\epsilon}}}}\\left({\\frac{{\\partial k}}{{\\partial q_{n}^{'}({\\bf x}_{{\\epsilon}})}}}\\right) = \\frac{{\\partial k}}{{\\partial q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})}} \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\; n = 1, 2,..., N \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ’prim’ oznacza pochodn¹ po ${\\bf x}_{{\\epsilon}}$, tzn. ", "$q_{n}^{'}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\equiv d q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})/d{\\bf x}_{{\\epsilon}}$.\\\n\\\nZatem dla rozwa¿anego problemu, równanie (\\[euler\\]) dla $k$ jak w (\\[k dla Boltzmanna\\]), przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie wariacyjne E}\n2 \\, q_{n}^{''}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) = \\frac{{\\partial (\\frac{1}{4}q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})))}}{{\\partial q_{n}}} = \\frac{{d (\\frac{1}{4} q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})))}}{{dq_{n}}} \\; .", "\n\\label{rozweulera}\\end{aligned}$$ [**Zmodyfikowana obserwowana zasada strukturalna**]{}: Po wyca³kowaniu (\\[informacjaE\\]) przez czêœci, pojemnoœæ $I$ wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I po calk czesci}\nI(\\Theta_{{\\epsilon}}) = - 4 \\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} {d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\sum\\limits _{n=1}^{N}{q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\, q_{n}^{''}({\\bf x}_{{\\epsilon}})}} + C \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{postac IC z pradem}\nC \\equiv 4 \\int\\limits_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}} d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, \\left( q_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) q^{'}_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) \\right)^{'} = 4 \\sum \\limits_{n=1}^{N}{C_{n}} \\; \\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{Cn}\nC_{n} = {q_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}\\right)q_{n}^{'}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}\\right)-q_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}\\right)q_{n}^{'}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem widzimy, ¿e [*zmodyfikowana obserwowana zasada strukturalna*]{} w (\\[epiE\\]) jest ze wzglêdu na (\\[postac I po calk czesci\\])-(\\[postac IC z pradem\\]) oraz (\\[Q diag dla E\\]), nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{obserwowana zas strukt dla Boltzmann suma n}\n\\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\left( - {q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) q_{n}^{''}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) + \\tilde{C}_{n} + \\kappa \\frac{1}{4}q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}))}\\right)} = 0 \\; , \\;\\;\\;\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{Cn tilde}\n\\tilde{C}_{n} = C_{n}/({\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max} - {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}) \\; . ", "\\end{aligned}$$ Zatem na poziomie obserwowanym, dla ka¿dego $n=1,2,...,N$, otrzymujemy zasadê strukturaln¹ w postaci[^74]: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie strukt E}\n- q_{n}({\\bf x}_{\\epsilon}) q_{n}^{''}({\\bf x}_{\\epsilon}) + \\tilde{C}_{n} + \\kappa \\frac{1}{4}q_{n}^{2}({\\bf x}_{\\epsilon}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{\\epsilon})) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[rownanie wariacyjne E\\]) w (\\[rownanie strukt E\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn z q oraz qF}\n\\frac{1}{2} q_{n} \\frac{{d (q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})))}}{{dq_{n}}} = \\kappa q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})) + 4 \\,\\tilde{C}_{n} \\; .\\end{aligned}$$ Poni¿ej, dla uproszczenia zapisu pominiemy przy rozwi¹zywaniu równania (\\[row rozn z q oraz qF\\]) oznaczenie argumentu ${\\bf x}_{{\\epsilon}}$ w amplitudzie $q_{n}$. Zapiszmy (\\[row rozn z q oraz qF\\]) w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozn z q oraz qF do wycalkowania}\n2\\frac{{dq_{n}}}{{q_{n}}}=\\frac{{d\\left[\\frac{1}{4}q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}) \\right]}}{{\\kappa \\, \\left[\\frac{1}{4} \\, q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n})\\right] + \\tilde{C}_{n}}} \\; .\\end{aligned}$$ Rozwi¹zuj¹c powy¿sze równanie ró¿niczkowe otrzymujemy kolejno: $$2\\ln q_{n} + \\alpha_{n}^{'} = \\frac{1}{\\kappa} \\ln \\left({ \\frac{\\kappa }{4} \\, q_{n}^{2} \\, \\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}) + \\, \\tilde{C}_{n}}\\right)$$ i po przekszta³ceniu: $$2\\kappa\\ln\\alpha_{n}^{''} q_{n} = \\ln \\left({ \\frac{\\kappa}{4}q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}) + \\, \\tilde{C}_{n}}\\right) \\; ,$$ gdzie $\\alpha_{n}^{'}$ jest w ogólnoœci zespolon¹ sta³¹ ca³kowania oraz sta³a $ \\alpha_{n}^{''} = \\exp(\\alpha_{n}^{'}/2)$, sk¹d: $$\\begin{aligned}\n\\label{wyn-j}\nq_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}) = \\frac{4}{\\kappa}\\left({\\alpha_{n}^{2}q_{n}^{2\\kappa} - \\, \\tilde{C}_{n}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie (w ogólnoœci zespolona) sta³a $\\alpha_{n}^{2}=\\alpha_{n}^{'' \\, 2\\kappa}$. Zatem w rezultacie otrzymaliœmy obserwowan¹ informacjê strukturaln¹, $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}))$, jako znan¹ funkcjê amplitudy $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$.\\\n\\\n[**Równanie generuj¹ce z $\\kappa$**]{}: W koñcu, korzystaj¹c z (\\[rownanie wariacyjne E\\]) oraz z (\\[wyn-j\\]), otrzymujemy równanie ró¿niczkowe dla $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$: $$\\begin{aligned}\n\\label{row generujace ampl dla E}\nq_{n}^{''}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) = \\alpha_{n}^{2} q_{n}^{2\\kappa-1}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\, .\\end{aligned}$$ [**Podsumowanie**]{}: Wariacyjna oraz strukturalna obserwowana zasada informacyjna zosta³y zapisane w postaci uk³adu równañ (\\[rownanie wariacyjne E\\]) oraz (\\[rownanie strukt E\\]), który rozwi¹zuj¹c, da³ w rezultacie szukan¹ postaæ (\\[row generujace ampl dla E\\]) [*równania generuj¹cego*]{} amplitudê $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$. Znalezienie postaci tego równania by³o poœrednim celem metody EFI.\\\n\\\n[**Warunek analitycznoœci i metrycznoœci**]{}: Z postaci (\\[row generujace ampl dla E\\]) widaæ, ¿e skoro amplituda $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$ jest funkcj¹ rzeczywist¹, zatem sta³a $\\alpha_{n}^{2}$ musi byæ rzeczywista. ", "Rozwi¹zanie równania (\\[row generujace ampl dla E\\]) znajdziemy wtedy, gdy wspó³czynnik efektywnoœci wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{kappa1}\n\\kappa = 1 \\;\\; ,\\end{aligned}$$ czyli dla przypadku, gdy zasada strukturalna dla uk³adu jest konsekwencj¹ analitycznoœci logarytmu funkcji wiarygodnoœci (\\[rozwiniecie w szereg Taylora\\]) oraz metrycznoœci przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$.\\\nW przypadku $\\kappa = 1 $ obserwowana informacja strukturalna (\\[wyn-j\\]) przyjmuje prost¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac mikro Q dla E}\nq_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})) = 4 ( {\\alpha_{n}^{2}q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) - \\tilde{C}_{n}} ) \\; ,\\end{aligned}$$ a ca³kowa postaæ $SI$ jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac calkowa Q dla E}\nQ(\\Theta_{{\\epsilon}}) = 4 \\int{d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\sum\\limits_{n=1}^{N}{\\alpha_{n}^{2}q_{n}^{2}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)} - 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N}{C_{n}}} \\; ,\\end{aligned}$$ co po skorzystaniu z unormowania kwadratu amplitudy: $$\\begin{aligned}\n\\label{unormowanie q2}\n\\int{d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, q_{n}^{2}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)} = \\int{d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, p_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac Q dla E po war normalizacji qn}\nQ(\\Theta_{{\\epsilon}}) = 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} ( \\alpha_{n}^{2} - C_{n} ) = 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} \\alpha_{n}^{2} - C \\; .\\end{aligned}$$ W ostatnim przejœciu w (\\[postac Q dla E po war normalizacji qn\\]) skorzystano z postaci sta³ej $C \\equiv 4 \\sum \\limits_{n=1}^{N}{C_{n}}$ wprowadzonej w (\\[postac I po calk czesci\\]).\\\n\\\n[**Równanie generuj¹ce**]{}: Dla rozwa¿anego przypadku $\\kappa =1$, równanie generuj¹ce (\\[row generujace ampl dla E\\]) ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{falowe kappa 1}\nq_{n}^{''}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) = \\alpha_{n}^{2}q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Sprawdzenie rachunków**]{}: Wstawiaj¹c (\\[falowe kappa 1\\]) do (\\[postac I po calk czesci\\]), otrzymujemy nastêpuj¹c¹ postaæ pojemnoœci informacyjnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{I wraz z Ic dla E}\nI(\\Theta_{{\\epsilon}}) = - 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\alpha_{n}^{2}} + C \\; ,\\end{aligned}$$ co wraz z (\\[postac Q dla E po war normalizacji qn\\]) oznacza sprawdzenie poprawnoœci rachunku, poprzez spe³nienie przez otrzymane rozwi¹zanie oczekiwanego strukturalnego warunku $I+Q =0$, zgodnie z (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]).\\\n\\\n[**Rozwi¹zanie równania generuj¹cego**]{}: Kolejnym etapem analizy jest rozwi¹zanie równania generuj¹cego (\\[falowe kappa 1\\]).\\\nNajogólniejsza postaæ amplitudy $q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})$ bêd¹cej rozwi¹zaniem równania (\\[falowe kappa 1\\]) jest przy warunku ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max} $, jak w (\\[zakres\\]), nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw2q}\nq_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) = B_{n} \\exp \\left(\\alpha_{n} {\\bf x}_{{\\epsilon}} \\right) + D_{n}\\exp\\left(-\\alpha_{n} {\\bf x}_{{\\epsilon}} \\right) \\, , \\;\\;\\;\\; {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le x\\le {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max} \\, , \\;\\;\\; B_{n},D_{n} = const. ", "\\end{aligned}$$ Poniewa¿ sta³a $\\alpha_{n}^{2}$ jest rzeczywista, zatem wprowadzaj¹c now¹ rzeczywist¹ sta³¹ $\\beta_{n}$, mo¿na $\\alpha_{n}$ przedstawiæ jako $\\alpha_{n}=\\beta_{n}$ i wtedy rozwi¹zanie (\\[rozw2q\\]) ma charakter czysto eksponencjalny: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw ekspo dla E}\nq_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})=B_{n}\\exp\\left(\\beta_{n}{\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)+D_{n}\\exp\\left(-\\beta_{n}{\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ b¹dŸ jako $\\alpha_{n}=i\\beta_{n}$, i wtedy rozwi¹zanie (\\[rozw2q\\]) ma charakter czysto trygonometryczny: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw trygonometryczne dla E}\nq_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})=B_{n}\\exp\\left(i\\beta_{n}{\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)+D_{n}\\exp\\left(-i\\beta_{n}{\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ [**Warunek normalizacji dla amplitud**]{}: Tak okreœlone funkcje musz¹ byæ dopuszczalne jako amplitudy prawdopodobieñstwa, zatem musz¹ spe³niaæ [*warunek normalizacji*]{} dla gêstoœci prawdopodobieñstwa (\\[unormowanie q2\\]).\\\nZa³ó¿my, ¿e wartoœæ fluktuacji energii ${\\bf x}_{{\\epsilon}}$ nie jest ograniczona od góry, co zrealizujemy jako d¹¿enie ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max}$ do nieskoñczonoœci. ", "Jednak kwadrat funkcji trygonometrycznej nie mo¿e byæ unormowany do jednoœci dla ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{max} \\rightarrow\\infty$, zatem funkcja trygonometryczna (\\[rozw trygonometryczne dla E\\]) nie jest dopuszczalnym rozwi¹zaniem.\\\n[**Pozostaje wiêc rozwi¹zanie eksponencjalne**]{} (\\[rozw ekspo dla E\\]). ", "Poniewa¿ jednak warunek unormowania (\\[unormowanie q2\\]) ma byæ zadany na przedziale otwartym ${\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le {\\bf x}_{\\epsilon} < \\infty$, zatem czêœæ rozwi¹zania z dodatni¹ eksponent¹ musi byæ odrzucona ze wzglêdu na jej rozbie¿noœæ do nieskoñczonoœci. ", "Sk¹d otrzymujemy ¿¹danie, ¿e dla $\\beta_{n} \\ge 0$ sta³a $B_{n}=0$.\\\n\\\nPodsumowuj¹c, szukana postaæ amplitudy jest wiêc nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{qn rozwiazanie dla E}\nq_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) = {D_{n}\\exp\\left({-\\beta_{n} \\, {\\bf x}_{{\\epsilon}}}\\right)}\\; , \\quad \\beta_{n}\\in\\mathbf{R}_{+} \\; , \\quad {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}} < \\infty \\; .\\end{aligned}$$ Z powy¿szego i z warunku normalizacji (\\[unormowanie q2\\]) $\\int_{{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}^{\\infty}{d{\\bf x}_{{\\epsilon}} \\, q_{n}^{2}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)} = 1$, wyznaczamy sta³¹ $D_{n}$, otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\nD_{n} = \\sqrt{2\\beta_{n}}\\exp\\left({\\beta_{n} \\, {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}}\\right)\\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Ostateczna postaæ amplitudy**]{}: Rozwi¹zanie to zosta³o otrzymane dla przypadku $\\beta_{n} = \\alpha_{n} \\in \\mathbf{R}_{+}$, zatem ostateczn¹ postaci¹ (\\[rozw2q\\]) jest: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw cosinus dla ampl dla E}\nq_{n}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right)=\\sqrt{2\\alpha_{n}}\\exp\\left[{\\alpha_{n}\\left({{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}-{\\bf x}_{{\\epsilon}}}\\right)}\\right] \\; ,\\quad \\alpha_{n} \\in \\mathbf{R}_{+} \\; .\\end{aligned}$$ Zauwa¿my, ¿e $\\alpha_{n}$ jest w jednostkach $\\left[c/energia\\right]$.\\\n\\\n[**Koñcowa postaæ pojemnoœci informacyjnej**]{}: W koñcu mo¿emy wyznaczyæ pojemnoœæ informacyjn¹. Wstawiaj¹c (\\[rozw cosinus dla ampl dla E\\]) do (\\[informacjaE\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{I dla E z war > 0}\nI(\\Theta_{{\\epsilon}}) = 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\alpha_{n}^{2}} > 0 \\; , \\quad \\alpha_{n} \\in \\mathbf{R}_{+} \\; ,\\end{aligned}$$ co po porównaniu z (\\[I wraz z Ic dla E\\]) daje wartoœæ sta³ej $C$ równ¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc stalej I_C}\nC = 8 \\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\alpha_{n}^{2}} \\, .\\end{aligned}$$ [**Uwaga o stabilnoœci rozwi¹zania**]{}: Warunek dodatnioœci pojemnoœci informacyjnej otrzymany w (\\[I dla E z war &gt; 0\\]), dla pojemnoœci informacyjnej zwi¹zanej z dodatni¹ czêœci¹ sygnatury metryki Minkowskiego, jest istotnym wynikiem z punktu widzenia teorii pomiaru. ", "W rozwa¿anym przyk³adzie analizy estymacyjnej wartoœci oczekiwanej energii cz¹stki gazu, zosta³ on otrzymany na gruncie samospójnego rozwi¹zania równañ ró¿niczkowych [@Arnold] informacyjnej obserwowanej zasady strukturalnej oraz zasady wariacyjnej. ", "Niespe³nienie tego warunku oznacza niestabilnoœæ badanego uk³adu.\\\n\\\nZ kolei, wstawiaj¹c otrzyman¹ wartoœæ sta³ej $C$ do (\\[postac Q dla E po war normalizacji qn\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q dla E z war < 0}\nQ(\\Theta_{{\\epsilon}}) = - 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\alpha_{n}^{2}} <0 \\; .\\end{aligned}$$ Natomiast sam problem wariacyjny (\\[gggg\\]), który mo¿na wyraziæ po skorzystaniu z postaci $Q(\\Theta_{{\\epsilon}})$ w (\\[postac Q dla E po war normalizacji qn\\]) w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{sam problem wariacyjny}\n\\delta_{(q_{n})}\\left(I(\\Theta_{{\\epsilon}}) + 4 \\sum\\limits_{n=1}^{N} \\alpha_{n}^{2} - C \\right) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ jest ze swojej natury nieczu³y na wartoœæ sta³ej $C$.\\\n\\\n[**Uwaga o randze amplitudy $N$**]{}: Istotnym zagadnieniem metody EFI jest wielkoœæ próby $N$ pobranej przez uk³ad, tzn. ", "ranga $N$ amplitudy. ", "Do sprawy liczby amplitud $q_{n}$ wchodz¹cych w opis uk³adu podejdziemy w najprostszy z mo¿liwych sposobów, sugeruj¹c stosowanie dwóch prostych i niewykluczaj¹cych siê kryteriów:\\\n[**(1)**]{} [**Kryterium minimalizacji $I$ ze wzglêdu na rangê amplitudy $N$**]{} [@Frieden]. ", "Tzn. ", "przy zachowaniu warunku $I>0$, (\\[informacja Stama vs pojemnosc informacyjna Minkowskiego\\]), ranga $N$ mo¿e na tyle spaœæ, ¿eby istnia³o jeszcze samospójne rozwi¹zanie równañ cz¹stkowych strukturalnej i wariacyjnej zasady informacyjnej.\\\nKryterium to nie oznacza nie realizowania rozwi¹zañ z wiêksz¹ ni¿ minimalna liczb¹ $N$.\\\n[**(2) Kryterium obserwacyjne wyboru rangi amplitudy**]{} wi¹¿e siê z wyborem takiej wartoœci $N$, dla której otrzymane rozwi¹zanie ma realizacjê obserwowan¹ w eksperymencie. ", "We wspó³czesnych teoriach fizyki statystycznej oraz teoriach pola, realizowane s¹ rozwi¹zania z niskimi wartoœciami rangi. ", "Fakt ten zauwa¿yliœmy ju¿ w Rozdziale \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\] dla modeli teorii pola.\\\n\\\nRozwa¿any w bie¿¹cym rozdziale przyk³ad rozk³adu energii pozwala na ilustracjê kryterium (1). ", "W kolejnym z rozdzia³ów znajdziemy rozwi¹zanie EFI dla rozk³adu prêdkoœci cz¹steczki gazu, stosuj¹c równie¿ kryterium (1). ", "Obok stacjonarnego rozwi¹zania Maxwella-Boltzmanna z $N=1$, wska¿emy na fizyczn¹ interpretacjê rozwi¹zañ z $N>1$.\\\n\\\n[**Zastosowanie kryterium (1) dla rozk³adu energii**]{}: Zauwa¿my, ¿e poniewa¿ wszystkie $\\alpha_{n}$ w (\\[I dla E z war &gt; 0\\]) s¹ rzeczywiste, zatem, przy [*za³o¿eniu*]{} braku wp³ywu nowych stopni swobody na poprzednie, pojemnoœæ informacyjna $I$ wzrasta wraz ze wzrostem $N$. Zgodnie z kryterium (1), przyjmijmy dla rozwa¿anego przypadku rozk³adu fluktuacji energii, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{minimalne N 1 dla rozkladu E}\nN=1 \\; .\\end{aligned}$$ Jedyny wspó³czynnik $\\alpha_{1}$ oznaczmy teraz $\\alpha$, natomiast parametr $\\Theta_{{\\epsilon}} = (\\theta_{{\\epsilon}1}) \\equiv \\theta_{{\\epsilon}}$.\\\nZatem z (\\[rozw cosinus dla ampl dla E\\]) mamy amplitudê: $$\\begin{aligned}\n\\label{qn dla N=1}\nq\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) = \\sqrt{2\\alpha}\\exp\\left[{\\alpha\\left({{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} - {\\bf x}_{{\\epsilon}}}\\right)}\\right] \\; ,\\end{aligned}$$ której odpowiada rozk³ad gêstoœci prawdopodobieñstwa fluktuacji energii ${\\bf x}_{{\\epsilon}}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pn dla N=1}\np\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) = q^{2}\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) = 2\\alpha\\exp\\left[{2\\alpha\\left({{\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} - {\\bf x}_{{\\epsilon}}}\\right)}\\right] \\; , \\quad \\alpha \\in \\mathbf{R}_{+} \\; .\\end{aligned}$$ [**Rozk³ad gêstoœci prawdopodobieñstwa energii ${\\epsilon}$ cz¹steczki**]{} jest koñcowym punktem analizy obecnego rozdzia³u. ", "Poniewa¿ zgodnie z (\\[E\\]) mamy: $$\\begin{aligned}\n\\label{zakres E}\n{\\bf y}_{{\\epsilon}} \\equiv \\frac{{\\epsilon}}{c} = \\theta_{{\\epsilon}} + {\\bf x}_{{\\epsilon}} \\; , \\;\\;\\;\\; \\frac{{\\epsilon}_{0}}{c} \\le {\\bf y}_{{\\epsilon}} < \\infty \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\;\\; {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\leq {\\bf x}_{{\\epsilon}} < \\infty \\; , \\end{aligned}$$ gdzie ${\\epsilon}_{0}/c = \\theta_{{\\epsilon}} + {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min}$. Zatem $d{\\epsilon}/d{\\bf x}_{{\\epsilon}}=c$, sk¹d rozk³ad dla zmiennej ${\\epsilon}$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad p od E}\np\\left({\\epsilon}\\right) = p\\left({\\bf x}_{{\\epsilon}}\\right) \\frac{1}{|d{\\epsilon}/d{\\bf x}_{{\\epsilon}}|} = 2 \\frac{\\alpha}{c} \\exp \\left[{-2\\alpha\\left({{\\epsilon}-{\\epsilon}_{0}}\\right)/c}\\right] \\; , \\quad {\\epsilon}_{0} \\le {\\epsilon} <\\infty \\; .\\end{aligned}$$\\\nPozosta³o jeszcze okreœlenie sta³ej $\\alpha$. Poniewa¿ wartoœæ oczekiwana energii wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{srednia E}\n\\langle {E} \\rangle \\equiv c\\, \\theta_{\\epsilon} = \\int\\limits_{{\\epsilon}_{0}}^{+\\infty}{d{\\epsilon} \\, p\\left({\\epsilon}\\right) {\\epsilon}} \\; ,\\end{aligned}$$ wiêc wstawiaj¹c (\\[rozklad p od E\\]) do (\\[srednia E\\]) otrzymuje siê: $$\\begin{aligned}\n\\label{stala alfa}\n2 \\alpha = c \\left(\\langle E \\rangle - {\\epsilon}_{0}\\right)^{-1} \\; .\\end{aligned}$$ Zwróæmy uwagê, ¿e z (\\[srednia E\\]) wynika po pierwsze, ¿e $E$ jest estymatotem wartoœci oczekiwanej $\\langle {E} \\rangle$ energii cz¹stki: $$\\begin{aligned}\n\\label{estymator sredniej E}\n\\widehat{\\langle E \\rangle} = E \\; ,\\end{aligned}$$ a po drugie, ¿e jest on nieobci¹¿ony.\\\n\\\n[**Szukany rozk³ad gêstoœci prawdopodobieñstwa energii cz¹stki**]{} ma zatem postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad koncowy E}\np\\left( {\\epsilon} \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\n(\\left\\langle E \\right\\rangle -{\\epsilon}_{0})^{-1} \\; \\exp\\left[- \\left({{\\epsilon}-{\\epsilon}_{0}}\\right)/(\\left\\langle E \\right\\rangle - {\\epsilon}_{0})\\right] \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; {\\epsilon} \\ge {\\epsilon}_{0} \\\\\n\\quad \\quad 0 \\;\\; \\quad \\quad \\quad \\quad\\quad \\quad\\quad \\quad \\;\\; \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\, {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; {\\epsilon} < {\\epsilon}_{0}\\end{array} \\right. \\; ,", "\\end{aligned}$$ gdzie w drugiej linii po prawej stronie zaznaczono fakt nie wystêpowania cz¹stek z energi¹ mniejsz¹ ni¿ ${\\epsilon}_{0}$. Rozk³ad (\\[rozklad koncowy E\\]) jest koñcowym rezultatem metody EFI. ", "Jego postaæ daje zasadniczo [rozk³ad Boltzmanna]{} dla energii cz¹steczki w gazie.\\\n\\\n[**Rozk³ad Boltzmanna dla energii cz¹steczki**]{}: Aby domkn¹æ temat od strony fizycznej zauwa¿my, ¿e energia ca³kowita cz¹steczki wynosi ${\\epsilon} = {\\epsilon}_{kin} + V$, gdzie ${\\epsilon}_{kin}$ jest energi¹ kinetyczn¹ cz¹steczki a $V$ jej energi¹ potencjaln¹. Do potencja³u $V$ mo¿emy dodaæ pewn¹ sta³¹ np. ", "${\\epsilon}_{0}$, nie zmieniaj¹c przy tym fizycznego opisu zjawiska, zatem po przesuniêciu ${\\epsilon}$ o ${\\epsilon}_{0}$ otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{E bez E0}\n{\\epsilon}_{0} = 0 \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\;\\; {\\epsilon} \\ge 0 \\; .\\end{aligned}$$ Z kolei, dla cz¹stki gazu poruszaj¹cej siê bez obrotu, [*twierdzenie o ekwipartycji energii*]{} mówi, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{ekwipart}\n\\left\\langle E \\right\\rangle = \\frac{3kT}{2} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $T$ jest tempetatur¹ bezwzglêdn¹ gazu. ", "Wstawiaj¹c (\\[E bez E0\\]) wraz z (\\[ekwipart\\]) do (\\[rozklad koncowy E\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad Boltzmanna z kT}\np\\left({\\epsilon}\\right) = (3kT/2)^{-1} e^{-2{\\epsilon}/3kT} \\; ,\\quad\\quad {\\epsilon} \\ge 0 \\; ,\\end{aligned}$$ czyli w³aœciw¹ postaæ rozk³adu Boltzmnna dla energii cz¹steczki w gazie o temperaturze $T$.\\\n\\\n[**Informacja Fishera dla $\\theta_{\\epsilon}$ i DORC dla estymatora $\\left\\langle E \\right\\rangle$**]{}: W przypadku $N=1$ oraz skalarnego parametru $\\theta_{\\epsilon}$, pojemnoœæ informacyjna (\\[I dla E z war &gt; 0\\]) jest równa informacji Fishera $I_{F}$ dla tego parametru. ", "Gdy dolne ograniczenie na energiê cz¹stki wynosi $\\epsilon_{0} = 0$, otrzymujemy po skorzystaniu z (\\[stala alfa\\]) oraz (\\[Q dla E z war &lt; 0\\]) nastêpuj¹cy zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{IF I oraz Q dla E oraz N=1}\nI_{F} (\\theta_{\\epsilon}) = I(\\theta_{\\epsilon}) = - Q(\\theta_{\\epsilon})= 4 \\alpha^{2} = \\frac{c^{2}}{\\left\\langle E \\right\\rangle^{2}} > 0 \\; .\\end{aligned}$$ Z Rozdzia³u \\[Estymacja w modelach fizycznych na DORC\\] wiemy, ¿e estymacja powy¿szego parametru oczekiwanego $\\theta_{\\epsilon}$, dualnego do $2 \\alpha$, dla standardowego rozk³adu eksponentialnego, a takim jest rozk³ad Boltzmanna, spe³nia DORC w Twierdzeniu Rao-Cramera. ", "Zatem wariancja estymatora tego parametru wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariancja estymatora theta dla E}\n\\sigma^{2}(\\hat{\\theta}_{\\epsilon}) = \\frac{1}{I_{F} (\\theta_{{\\epsilon}})} = \\frac{\\left\\langle E \\right\\rangle^{2}}{c^{2}} \\; ,\\end{aligned}$$ sk¹d otrzymujemy wariancjê estymatora (\\[estymator sredniej E\\]) œredniej energii cz¹stki, równ¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariancja estymatora sredniej E}\n\\sigma^{2}\\left(\\widehat{\\left\\langle E \\right\\rangle}\\right) = \\left\\langle E \\right\\rangle^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Na tym koñczymy analizê metody EFI dla rozk³adu Boltzmanna.\\\n\\\n[**Uwaga o równowadze statystycznej w metodzie**]{} EFI: Bior¹c pod uwagê ograniczenia narzucone na normalizacjê (\\[unormowanie q2\\]) i skoñczonoœæ wartoœci oczekiwanej (\\[srednia E\\]) rozk³adu, metoda EFI wyznacza rozk³ad przy narzuceniu zasad informacyjnych. ", "Poprzez obserwowan¹ zasadê strukturaln¹ dokonuje ona, dla g³adkiej funkcji wiarygodnoœci, separacji cz³onu estymacyjnego dla parametru $\\theta_{\\epsilon}$ zwi¹zanego z gêstoœci¹ pojemnoœci $\\textit{i}$, której ca³ka $I$ jest œladem po metryce Rao-Fishera przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, od cz³onu strukturalnego $\\textit{q}$. Jest to wyrazem zasady Macha. ", "Natomiast poprzez zasadê wariacyjn¹, metoda EFI dokonuje stabilizacji rozwi¹zania, wybieraj¹c najmniejsz¹ odleg³oœæ (liczon¹ wzd³u¿ geodezyjnej w przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$) wyestymowanego stanu uk³adu od stanu zaobserwowanego. ", "Geometria ${\\cal S}$ zale¿y od pojemnoœci kana³u informacyjnego $I$ wyliczonej z uwzglêdnieniem jej zale¿noœci od informacji strukturalnej $Q$.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: W zwi¹zku z powy¿szym oraz poprzednio podanym kryterium (1) doboru rangi amplitudy $N$ poprzez minimalizacjê $I$, pojawia siê nastêpuj¹ce, ogólne spojrzenie na estymacyjny charakter metody EFI.\\\n[**Estymacja metod¹ EFI**]{} oznacza wybór równañ generuj¹cych rozk³ad (lub równañ ruchu) na skutek dzia³ania dwóch czynników. ", "Pierwszy z nich wymaga, po pierwsze wzrostu informacji o uk³adzie zawartej w gêstoœci pojemnoœci informacyjnej $\\widetilde{\\textit{i'}}\\,$ okreœlonej w (\\[gestosc i Amarii\\]) oraz (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), ale tylko na tyle na ile wymaga tego, zawarta w zasadzie strukturalnej $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), struktura uk³adu opisana gêstoœci¹ informacji strukturalnej $\\textit{q}$, (\\[gestosc q dla niezaleznych Yn\\]), przy, po drugie jednoczesnej minimalizacji ca³kowitej fizycznej informacji $K = I + Q$, (\\[physical K\\]). ", "Oszacowanie poszukiwanego równania nastêpuje wiêc na skutek ¿¹dania samospójnoœci rozwi¹zania dwóch ró¿niczkowych zasad informacyjnych, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz (\\[var K rozpisana\\]).\\\nNatomiast oczekiwana zasada strukturalna $I + \\kappa Q =0$, (\\[condition from K\\]), jest w myœl zwi¹zku (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]) drugim, metrycznym czynnikiem, domykaj¹cym powy¿sz¹ ró¿niczkow¹ analizê statystyczn¹ doboru modelu. ", "Dzieli ona modele statystyczne na dwie grupy: modele metryczne, równowa¿ne zgodnie z (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]) modelowi analitycznemu z metryk¹ Rao-Fishera oraz modele, które nie spe³niaj¹ zasady (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]), czyli nierównowa¿ne modelowi z metryk¹ Rao-Fishera.\\\n\\\n[**Zwi¹zek EFI oraz ME dla standardowego rozk³adu eksponentialnego**]{}: Poprzednio otrzymaliœmy rozk³ad Boltzmanna (\\[rozklad Boltzmanna z max entropii\\]) jako szczególny przypadek rozwi¹zania zasady maksymalnej entropii (ME), realizowany w sytuacji warunku normalizacji oraz istnienia jedego parametru obserwowanego, którym jest œrednia wartoœæ energii cz¹stki. ", "Szczególna postaæ standardowego rozk³adu eksponentialnego oraz te same warunki brzegowe s¹ przyczyn¹ otrzymania tego samego rozwi¹zania w metodzie EFI oraz ME. ", "W ogólnoœci metoda EFI wykracza poza ca³¹ klasê modeli eksponentialnych metody ME.", "\n\n### Model Aoki-Yoshikawy dla produkcyjnoœci bran¿ {#Model Aoki-Yoshikawy - ekonofizyka}\n\nModel Aoki i Yoshikawy (AYM) zosta³ opracowany w celu opisu produkcyjnoœci bran¿ kraju [@Aoki-Yoshikawy; @Garibaldi-Scalas]. ", "Rozwa¿my $g$ ekonomicznych sektorów. ", "Sektor $i$-ty jest scharakteryzowany przez [*czynnik wielkoœci produkcji*]{} $n_{i}$, tzn. ", "liczebnoœæ, oraz [*zmienn¹ poziomu produkcyjnoœci*]{} $A$, tzn. ", "wydajnoœæ jednostkow¹, przyjmuj¹c¹ wartoœci $a_{i}$.\\\nNiech liczebnoœæ $n_{i}$ bêdzie liczb¹ [*aktywnych*]{} pracowników w $i$-tym sektorze, co oznacza, ¿e praca (robocizna) jest jedynym czynnikiem produkcyjnym. ", "Zmienn¹ losow¹ w AYM jest poziom produkcyjnoœci $A$, której rozk³ad jest okreœlony poprzez parê $(a_{i}, n_{i})$, $i=1,2...,g$.\\\n\\\n[**Unormowanie jako pierwszy warunek modelu**]{}: Za³ó¿my, ¿e [*ca³kowity zasób czynnika wielkoœci produkcji*]{}, tzn. ", "liczba dostêpnych pracowników, jest w ekonomii zadany jako wielkoœæ egzogeniczna, czyli nie kontrolowana od wewn¹trz lecz zadana z zewnatrz. ", "Niech jego wielkoœæ jest równa $n$, co traktujemy jako [*pierwsze ograniczenie*]{} w modelu, tak, ¿e zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{calkowita produkcji}\n\\sum_{i=1}^{g} n_{i} = n \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Sektory**]{}. ", "Uporz¹dkujmy wielkoœæ produkcyjnoœci $a_{i}$ w sektorach od najmniejszej do najwiêkszej: $$\\begin{aligned}\n\\label{ciag produkcyjnosci}\na_{1} < a_{2} < ... < a_{g} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ $a_{i}$ jest poziomem produkcyjnoœci $i$-tego sektora, zatem uzysk (wartoœæ produkcji) w $i$-tym sektorze wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{produkcji w i tym sektorze} \nz_{i} = a_{i} \\, n_{i} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem ca³kowity uzysk $z$ w ekonomii kraju wynosi: $$\\begin{aligned}\n\\label{calkowity uzysk z}\nz = \\sum_{i=1}^{g} z_{i} = \\sum_{i=1}^{g} a_{i} \\, n_{i} \\; .\\end{aligned}$$ [**Drugi warunek modelu**]{}: Wiekoœæ $z$ jest interpretowana jako [*produkt krajowy brutto*]{} (PKB).\\\nZa³o¿eniem AYM dla wartoœci PKB jest ustalenie wartoœci $z$ poprzez egzogenicznie zadany agregatowy popyt $D$ (demand), tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{popyt}\nz = D \\; .\\end{aligned}$$ Zatem [*drugie ograniczenie*]{} w modelu ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{calkowity uzysk}\n\\sum_{i=1}^{g} a_{i} \\, n_{i} = D \\; .\\end{aligned}$$ [**Celem metody EFI dla modelu AYM**]{} jest, po pierwsze wyznaczenie równania generuj¹cego, a po drugie, teoretycznego rozk³adu liczebnoœci dla zmiennej poziomu produkcyjnoœci $A$, tzn. ", "okreœlenie wektora obsadzeñ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad n}\n{\\bf n} = (n_{1} , n_{2} , ... , n_{g}) \\; .\\end{aligned}$$ [**Porównanie analizy dla AYM oraz rozk³adu Boltzmanna**]{}: Rozwa¿ane zagadnienie jest odpowiednikiem poprzedniego zagadnienia zwi¹zanego z okreœleniem rozk³adu prawdopodobieñstwa energii cz¹stki gazu. ", "Mo¿na je okreœliæ jako zagadnienie rozmieszczenia $n$ cz¹stek gazu na $g$ poziomach energetycznych ${\\epsilon}_{i}$ w warunkach równowagi statystycznej, w taki sposób, ¿e zachowane s¹, liczba cz¹stek: $$\\begin{aligned}\n\\label{calkowita liczba czastek}\n\\sum_{i=1}^{g} n_{i} = n \\; \\end{aligned}$$ oraz ca³kowita energia gazu ${\\cal E}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{calkowita energia E}\n\\sum_{i=1}^{g} {\\epsilon}_{i} \\, n_{i} = {\\cal E} \\; \\;\\;\\; {\\rm lub} \\;\\;\\;\\; \\left\\langle E \\right\\rangle = \\sum_{i=1}^{g} \\frac{n_{i}}{n} \\,{\\epsilon}_{i} = \\frac{{\\cal E}}{n} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem poziom produkcyjnoœci $a_{i}$ jest analogiem poziomu energetycznego ${\\epsilon}_{i}$, natomiast ograniczenie, które da³ w AYM popyt $D$ jest analogiem ograniczenia pochodz¹cego od wartoœci ca³kowitej energii ${\\cal E}$ gazu.\\\n\\\nDokonajmy nastêpuj¹cego przyporz¹dkowania pomiêdzy wielkoœciami opisuj¹cymi rozk³ad energii cz¹stki gazu oraz rozk³ad poziomu produkcyjnoœci. ", "Po lewej stronie przyporz¹dkowania “$\\leftrightarrow$” jest wielkoœæ dla energii cz¹stki, po prawej dla produkcyjnoœci pracownika. ", "Strza³ki $\\rightarrow$ w nawiasach oznaczaj¹ [*przejœcie od ci¹g³ego do dyskretnego*]{} rozk³adu zmiennej (lub na odwrót).\\\n\\\nZatem, zmiennej energii cz¹stki $E$ odpowiada poziom produkcyjnoœci pracownika $A$: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie A E}\nE = ({\\epsilon} \\rightarrow {\\epsilon}_{i}) \\leftrightarrow A = (a_{i} \\rightarrow a) \\; .\\end{aligned}$$ Rozk³adowi prawdopodobieñstwa zmiennej energii cz¹stki $p(\\epsilon)$ odpowiada rozk³ad poziomów produkcyjnoœci pracownika $p(a)$: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie Pa Pe}\n\\left( p (\\epsilon) \\rightarrow p_{\\epsilon_{i}}=\\frac{n_{i}}{n} \\right) \\leftrightarrow \\left( p_{i}=\\frac{n_{i}}{n} \\rightarrow p (a)\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Normalizacje rozk³adów s¹ sobie przyporz¹dkowane nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie Na Ne} \n\\left(\\int_{{\\cal Y}_{{\\epsilon}}} d\\epsilon \\, p(\\epsilon) = 1 \\rightarrow\n\\sum_{i=1}^{g} p_{\\epsilon_{i}} = 1\n\\right) \\leftrightarrow \\left( \\sum_{i=1}^{g} p_{i} = 1 \\rightarrow \\int_{{\\cal Y}_{a}} da \\, p(a) =1 \\right) \\; .\\end{aligned}$$ Wartoœci oczekiwanej energii cz¹stki odpowiada wartoœæ oczekiwana wartoœæ produkcyjnoœci pracownika: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie SRa SRe}\n\\theta_{\\epsilon} \\equiv \\left\\langle E \\right\\rangle = \\left( \\int_{{\\cal Y}_{{\\epsilon}}} d{\\epsilon} \\, p({\\epsilon}) \\,\\epsilon \\rightarrow\n\\sum_{i=1}^{g} \\frac{n_{i}}{n} \\,{\\epsilon}_{i} \\right) \\leftrightarrow \\left( \\sum_{i=1}^{g} p_{i} \\, a_{i} \\rightarrow \\int_{{\\cal Y}_{a}} da \\; p(a) \\,a \\right) = \\left\\langle A \\right\\rangle \\equiv \\theta_{A} \\, ,\\end{aligned}$$ przy czym w AYM wartoœæ oczekiwana produkcyjnoœci jest zadana jako: $$\\begin{aligned}\n\\label{wartosc oczekiwana produkcyjnosci}\n\\left\\langle A \\right\\rangle = D/n \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Okreœlenie zmiennej addytywnych fluktuacji**]{}: Aby analiza w AYM mog³a przebiegaæ dok³adnie tak samo jak dla rozk³adu Boltzmanna, musimy dokonaæ jeszcze jednego przejœcia po stronie produkcyjnoœci, a mianowicie przejœæ od poziomu produkcyjnoœci $A$ do jej fluktuacji $X_{a}$ od wartoœci oczekiwanej $\\left\\langle A \\right\\rangle$, tzn. ", "dokonaæ addytywnego rozk³adu: $Y_{a} \\equiv A = \\left\\langle A \\right\\rangle + X_{a}$.\\\n\\\nOdpowiedni analog pomiêdzy fluktuacjami energii i produkcyjnoœci ma wiêc nastêpuj¹c¹ postaæ: Dla energii cz¹stki zachodzi (\\[E\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie xe}\n{\\bf y}_{\\epsilon} = \\frac{\\epsilon}{c} = \\theta_{\\epsilon} + {\\bf x}_{\\epsilon} \\; , \\;\\; \\frac{\\epsilon_{0}}{c} \\le {\\bf y}_{\\epsilon} \\le \\infty \\; , \\;\\;\\; {\\bf x}_{{\\epsilon}}^{min} \\le {\\bf x}_{{\\epsilon}} < \\infty \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z za³o¿enia o nieograniczonoœci od góry fluktuacji energii (por. (", "\\[qn rozwiazanie dla E\\]) wraz z dyskusj¹ zawart¹ powy¿ej), natomiast dla produkcyjnoœci pracownika zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{przyporzadkowanie xa}\n{\\bf y}_{a} \\equiv a = \\theta_{A} + {\\bf x}_{a} \\; , \\;\\;\\;\\; a_{0} \\le {\\bf y}_{a} \\le \\infty \\; , \\;\\;\\; {\\bf x}_{a}^{min} = a_{0} -\\theta_{A} \\le {\\bf x}_{a} < \\infty\\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Równanie generuj¹ce amplitudê produkcyjnoœci**]{}: Mo¿emy teraz przenieœæ powy¿sz¹ analizê EFI dla rozk³adu Boltzmanna na grunt modelu AYM. ", "Zatem wychodz¹c z zasady wariacyjnej (\\[gggg\\]) oraz strukturalnej (\\[obserwowana zas strukt dla Boltzmann suma n\\]) i odpowiednich analogów pojemnoœci informacyjnej $(\\ref{informacjaE})$ oraz informacji strukturalnej (\\[Q diag dla E\\]), otrzymujemy zgodnie z analiz¹ Rozdzia³u \\[rozdz.energia\\] równanie generuj¹ce rozk³ad produkcyjnoœci (\\[falowe kappa 1\\]), które dla wielkoœci próby $N=1$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{produkcyjnosc row generujace}\n\\frac{d^{2}q({\\bf x}_{a})}{d\\,{\\bf x}_{a}^2} = \\alpha^{2} q({\\bf x}_{a}) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $q({\\bf x}_{a})$ jest amplitud¹ rozk³adu fluktuacji produkcyjoœci, a $\\alpha$ rzeczywist¹ sta³¹.\\\n\\\nRachunki analogiczne do przeprowadzonych pomiêdzy (\\[falowe kappa 1\\]) a (\\[rozklad koncowy E\\]), z warunkiem normalizacji (\\[przyporzadkowanie Na Ne\\]), które poprzednio doprowadzi³y do amplitudy (\\[qn dla N=1\\]) rangi $N=1$, daj¹ nastepuj¹ce rozwi¹zanie równania (\\[produkcyjnosc row generujace\\]) na amplitudê fluktuacji produkcyjnoœci $X_{a}$ w zakresie (\\[przyporzadkowanie xa\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{qn dla N=1 dla produkcyjnosci}\nq\\left({\\bf x}_{a}\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{ D/n }}\\exp \\left[ - \\,{\\frac{{(D/n) - a_{0} + {\\bf x}_{a} }}{2 \\, D/n } }\\right] \\; \\;\\;\\;{\\rm dla} \\;\\;\\;\\; {\\bf x}_{a}^{min} = a_{0} -\\theta_{A} \\le {\\bf x}_{a} < \\infty\\; \\end{aligned}$$ oraz w analogii do (\\[rozklad koncowy E\\]), rozk³ad gêstoœci produkcyjnoœci $A$: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad koncowy A}\np\\left( a \\right) = \\left\\{ \\begin{array}{l}\n\\frac{1}{(D/n) - a_{0}} \\; \\exp\\left( - \\, \\frac{a - a_{0}}{(D/n) - a_{0}} \\right) \\;\\;\\; \\;\\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; a \\ge a_{0} \\\\\n\\quad \\quad 0 \\;\\, \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\; {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; a < a_{0} \\end{array} \\right. \\; ,", "\\end{aligned}$$ gdzie w drugiej linii po prawej stronie zaznaczono fakt nie wystêpowania produkcyjnoœci mniejszej ni¿ $a_{0}$. Rozk³ad (\\[rozklad koncowy A\\]) jest koñcowym rezultatem metody EFI dla modelu AYM produkcyjnoœci.\\\n\\\n[**Porównanie wyników metody AYM oraz EFI**]{}: Aby postaæ rozk³adu (\\[rozklad koncowy A\\]) odda³a w pe³ni wynik Aoki i Yoshikawy[^75], [**nale¿y powróciæ do dyskretyzacji wartoœci**]{} $a \\rightarrow a_{i}$ zmiennej $A$.\\\nRozwi¹zali oni powy¿szy problem stosuj¹c metodê mno¿ników Lagrange’a z warunkami ograniczaj¹cymi (\\[calkowita produkcji\\]) oraz (\\[calkowity uzysk\\]). ", "Nastêpnie za³o¿yli [@Aoki-Yoshikawy], ¿e wartoœci produkcyjnoœci s¹ dyskretne, tworz¹c ci¹g arytmetyczny: $$\\begin{aligned}\n\\label{ciag a i}\na_{i} = i \\; a_{0} \\; \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; i=1,2,...,g \\;,\\end{aligned}$$ gdzie $a_{0}$ jest najmniejsz¹ produkcyjnoœci¹.\\\n\\\n[**Wzglêdny popyt agregatowy $r$**]{}: W koñcu, przy za³o¿eniach, po pierwsze, ¿e liczba dostêpnych sektorów produkcyjnoœci jest bardzo du¿a, tzn. ", "$g >> 1$ oraz po drugie, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{defin r}\nr \\equiv \\frac{D/n}{a_{0}} \\; ,\\end{aligned}$$ tzn. [*", "agregatowy popyt przypadaj¹cy na jednego pracownika $D/n$ odniesiony do najmniejszej produkcyjnoœæ*]{} $a_{0}$, jest bardzo du¿y, Aoki i Yoshikawy otrzymali wynik [@Aoki-Yoshikawy; @Garibaldi-Scalas]: $$\\begin{aligned}\n\\label{wynik AY na p}\nP(i|{\\bf n}^{*}) = \\frac{n_{i}^{*}}{n} \\approx \\frac{1}{r-1} \\left( \\frac{r-1}{r} \\right)^{i}\\approx (\\frac{1}{r} + \\frac{1}{r^2}) \\; e^{ - \\frac{i}{r} } \\; , \\;\\;\\; i=1,2,... \\; , \\;\\;\\; r >> 1 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $n_{i}^{*}$, $i=1,2,...,g$, s¹ wspó³rzêdnymi $n_{i}$ wektora obsadzeñ (\\[rozklad n\\]), przy których prawdopodobieñstwo pojawienia siê tego wektora obsadzeñ jest maksymalne.\\\n\\\n[**Wynik analizy metod¹ AYM**]{}: Rezultat (\\[wynik AY na p\\]) podaje [*prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrany pracownik jest w $i$-tym sektorze produkcyjnoœci, o ile gospodarka znajduje siê w stanie okreœlonym wektorem obsadzeñ*]{} ${\\bf n}^{*} = (n_{1}^{*},n_{2}^{*},...,n_{g}^{*})$.\\\n\\\n[**Przejœcie do rozk³adu dyskretnego dla wyniku EFI**]{}: Aby porównaæ wynik (\\[wynik AY na p\\]) otrzymany w AYM z wynikiem (\\[rozklad koncowy A\\]) otrzymanym w metodzie EFI, przejdŸmy w (\\[rozklad koncowy A\\]) do rozk³adu dyskretnego. ", "W tym celu musimy wyca³kowaæ wynik EFI w przedziale $(a_{i},a_{i+1})$, przy czym od razu za³o¿ymy, ¿e zachodzi $a_{i} = i \\; a_{0}$, (\\[ciag a i\\]). ", "W rezultacie otrzymujemy[^76]: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad koncowy A dysktretny}\nP\\left( i \\right) = \\int_{i a_{0}}^{(i+1) a_{0}} \\! ", "da \\; p\\left( a \\right) = \\left( 1 - e^{-1/(r - 1 )} \\right) e^{- (i - 1)/(r-1) }\n \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; i=1,2,... \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Porównanie modeli dla $a_{0}=0$**]{}. ", "Niech $\\delta a$ jest sta³¹ szerokoœci¹ sektorów produkcyjnoœci. ", "Wtedy, w przypadku gdy $a_{0}=0$, wzór (\\[rozklad koncowy E\\]) metody EFI prowadzi w miejsce (\\[rozklad koncowy A dysktretny\\]) do rozk³adu: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad koncowy A dysktretny a0 = 0}\nP\\left( i \\right) = \\int_{(i-1) \\delta a}^{i \\delta a} \\! ", "da \\; p\\left( a \\right) = \\left( -1 + e^{1/\\,\\tilde{r}} \\, \\right) e^{- i/\\,\\tilde{r} }\n\\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,... \\; \\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\; a_{0}=0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie zamiast (\\[defin r\\]) wprowadziliœmy: $$\\begin{aligned}\n\\label{defin r tilda}\n\\tilde{r} \\equiv \\frac{D/n}{\\delta a} \\; ,\\end{aligned}$$ jako [*agregatowy popyt przypadaj¹cy na jednego pracownika $D/n$ odniesiony do szerokoœci sektora produkcyjnoœæ*]{} $\\delta a$. W granicy $\\tilde{r} >> 1$ z (\\[rozklad koncowy A dysktretny a0 = 0\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad koncowy A dysktretny a0 = 0 oraz r duze}\nP\\left( i \\right) \\approx \\left( \\frac{1}{\\tilde{r}} + \\frac{1}{2 \\;\\tilde{r}^2} \\right) \\, e^{- i/\\,\\tilde{r} } \\; , \\;\\;\\;\\; i=1,2,... \\; , \\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\; a_{0}=0 \\; , \\;\\;\\; \\tilde{r} >> 1 \\; .\\end{aligned}$$\\\n\\\n\\\n[**Wniosek z porównania wyników metody AYM oraz EFI**]{}: W granicy du¿ych $\\tilde{r}$ oba wyniki siê schodz¹. Jednak¿e granicê najmniejszej produkcyjnoœci $a_{0}$ metoda EFI ujmuje inaczej ni¿ AYM. ", "To znaczy, formu³a EFI (\\[rozklad koncowy A dysktretny a0 = 0 oraz r duze\\]) daje dla $a_{0}=0$ inn¹ kwadratow¹ poprawkê w $\\tilde{r}$ ni¿ rezultat (\\[wynik AY na p\\]) modelu AYM dla $r=\\tilde{r}$ oraz $a_{0} \\rightarrow 0$.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Ponadto wynik (\\[rozklad koncowy A dysktretny a0 = 0\\]) jest dok³adny, natomiast w AYM dyskretyzacja poziomu produktywnoœci jest tylko wybiegiem technicznym, gdy¿ zmienna ta jest z natury ci¹g³a, do czego i tak w koñcu odwo³uje siê metoda AYM przy wyznaczaniu mno¿ników Lagrange’a, przechodz¹c z powodów rachunkowych w (\\[calkowita produkcji\\]) oraz (\\[calkowity uzysk\\]) z $g$ do nieskoñczonoœci.\\\n\\\n[: [*Analiza Aoki i Yoshikawy dla produkcyjnoœci.*]{} ", "Podajmy sposób wyprowadzenia rozk³adu wektora obsadzeñ w AYM metod¹ czynników Lagrange’a [@Garibaldi-Scalas]. ", "WprowadŸmy wektor ${\\bf H}^{(n)}$ [*indywidualnych*]{} przypisañ, posiadaj¹cy tyle sk³adowych ilu jest pracowników w ca³ej gospodarce kraju: $$\\begin{aligned}\n\\label{wektor idywidualnych przypisan}\n{\\bf H}^{(n)} \\equiv ( H_{1}, H_{2},..., H_{n} ) = {\\bf h} \\equiv ( h_{1}, h_{2},..., h_{n} ) \\; .\\end{aligned}$$ Ka¿da ze wspó³rzêdnych $H_{i}$, $i=1,2,...,n$, mo¿e przyjmowaæ wartoœci $h_{i} = s$, gdzie $s \\in \\left\\{ 1,2,...,g \\right\\}$, co oznacza, ¿e $i$-ty pracownik jest aktywny w $s$-tym sektorze gospodarki. ", "Zatem wektor ${\\bf h}$ podaje jedn¹ konfiguracjê indywidualnych przypisañ. ", "Jeœli ustalimy wektor obsadzeñ ${\\bf n}$, (\\[rozklad n\\]), to liczba $W$ ró¿nych ${\\bf h}$ (indywidualnych konfiguracji przypisañ), realizuj¹cych ten sam ustalony wektor obsadzeñ ${\\bf n}$, wynosi [@podrecznik; @z; @kombinatoryki]: $$\\begin{aligned}\n\\label{liczba konfiguracji W dla wekt obsadzen}\nW({\\bf H}|{\\bf n}) = \\frac{n!}{\\prod_{i=1}^{g} n_{i}!} \\; ", ".\\end{aligned}$$ Boltzman zauwa¿y³, ¿e gdy uk³ad znajduje siê w równowadze statystycznej to, prawdopodobieñstwo $\\pi({\\bf n})$, ¿e znajduje siê on w stanie o okreœlonym wektorze obsadzeñ ${\\bf n}$ (tzn. ¿", "e pojawi³ siê taki w³aœnie wektor obsadzeñ), jest proporcjonalne do liczby jego mo¿liwych realizacji, tzn. ", "do $W({\\bf H}|{\\bf n})$. Zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{prawdopodobienstwo pojawieniem sie wektora n}\n\\pi({\\bf n}) = W({\\bf H}|{\\bf n}) \\;P({\\bf H}|{\\bf n}) = \\frac{n!}{\\prod_{i=1}^{g} n_{i}!} ", "\\;\\prod_{i=1}^{g} p^{n_{i}} =\n\\frac{n!}{\\prod_{i=1}^{g} n_{i}!} ", "\\;p^{n} = {\\cal K} \\, \\frac{n!}{\\prod_{i=1}^{g} n_{i}!} ", " \n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\cal K}$ jest w³aœciw¹ normalizacyjn¹ sta³¹, a $p$ jest [*prawdopodobieñstwem*]{} zajêcia przez $i$-tego pracownika okreœlonego $s$-tego sektora obsadzeñ, [*które zosta³o przyjête jako takie samo dla wszystkich indywidualnych konfiguracji tych obsadzeñ*]{}. ", "W celu rozwi¹zania postawionego problemu maksymalizacji prawdopodobieñstwa $\\pi({\\bf n})$ z warunkami (\\[calkowita produkcji\\]) oraz (\\[calkowity uzysk\\]), rozwi¹zujemy poni¿szy uk³ad $g$ równañ: $$\\begin{aligned}\n\\label{MNW z warunkami}\n\\frac{\\partial }{\\partial n_{i}} \\left[ \\ln \\pi({\\bf n}) + \\nu \\left( \\sum_{i=1}^{g}n_{i} -n \\right) - \\beta \\left( \\sum_{i=1}^{g} a_{i}n_{i} - D \\right) \\right] = 0\\; ,\\end{aligned}$$ otrzymuj¹c jako rozwi¹zanie wektor obsadzeñ ${\\bf n}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{n*}\nn_{i} = n_{i}^{*} = e^{\\nu} \\, e^{-\\beta a_{i}} \\; , \\;\\;\\; i=1,2,...,g \\; .\\end{aligned}$$ Sta³e $\\nu$ oraz $\\beta$ otrzymujemy wykorzystuj¹c (\\[n\\*\\]) w (\\[calkowita produkcji\\]) oraz (\\[calkowity uzysk\\]).\\\nUwaga: Aby zapisaæ $\\prod_{i=1}^{g} n_{i}!$ w formie nadaj¹cej siê do minimalizacji, korzystamy z przybli¿enia Stirling’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{wzor Stirlinga}\n\\ln \\left[ \\prod_{i=1}^{g} n_{i}! ", "\\right] \\approx \\sum_{i=1}^{g} n_{i} (\\ln n_{i} -1) \\; ,\\end{aligned}$$ s³usznego dla du¿ego uk³adu z $n>>1$ oraz $n_{i}>>1$, $i=1,2,...,g$.\\\n\\\n[**Uk³ad w równowadze statystycznej**]{}: Przedstawiona w tym przypisie metoda znajdowania [*rozk³adu w równowadze statystycznej*]{} zak³ada spe³nienie hipotezy wyra¿onej równaniem (\\[prawdopodobienstwo pojawieniem sie wektora n\\]) i mówi¹cej, ¿e [*wszystkie stany opisane wektorem indywidualnych przypisañ ${\\bf H}^{(n)}\\,$, a spe³niaj¹ce warunki (\\[calkowita produkcji\\]) oraz (\\[calkowity uzysk\\]) s¹ równie prawdopodobne*]{}. ", "Rozk³ad opisany wektorem ${\\bf n}^{*}$ jest w tym ujêciu sednem definicji rozk³adu, bêd¹cego w równowadze statystycznej. ]{}", "\n\n### Rozk³ad Maxwella-Boltzmanna dla prêdkoœci\n\nPoni¿ej wyznaczymy rozk³adu prêdkoœci cz¹steczki w gazie. ", "Wychodz¹c z informacji Fishera (\\[minp\\]) dla pêdu oraz pos³uguj¹c siê wariacyjn¹ i strukturaln¹ zasad¹ informacyjn¹ (\\[epip\\]) otrzymamy równanie generuj¹ce i znajdziemy jego rozwi¹zania, tzn. ", "postaæ amplitud dla rozk³adu prêdkoœci.\\\n\\\n[**Wartoœæ wspó³czynnika efektywnoœci**]{}: Ze wzglêdu na spójnoœæ rozwa¿añ dla czterowektora pêdu, przyjêcie wspó³czynnika $\\kappa=1$ w rozwa¿aniach dla energii skutkuje przyjêciem $\\kappa=1$ w analizie dla rozk³adu pêdu.\\\n\\\n[**Pojemnoœæ informacyjna parametru**]{} $\\Theta_{\\vec{\\wp}}$ zosta³a podana w (\\[minp\\]): $$\\begin{aligned}\nI\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right) = -\n4 \\int_{{\\cal X}_{\\wp}} {\\! ", "d\\vec{\\bf x}_{\\wp}\n\\sum\\limits _{n=1}^{N}{ {\\sum\\limits_{k=1}^{3}{\\left(\\! {", "\\frac{{\\partial q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial x_{\\wp_{k}}}}}\\right)^{2} \\! }}}} ", " \\, , \\;\\;\\; \\nonumber\\end{aligned}$$ gdzie znaczenie znaku “minus” w definicji pojemnoœci informacyjnej dla czêœci pêdowej zosta³o omówione w Rozdziale \\[zasady inf dla energii i predkosci\\].\\\n\\\n[**Informacja strukturalna i zale¿noœæ $\\texttt{q\\!F}_{n}$ od amplitudy oraz prêdkoœci**]{}: $Q$ dla parametru $\\Theta_{\\vec{\\wp}}$ ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{inform strukt dla B-M}\nQ\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right) = \n\\int_{{\\cal X}_{\\wp}} {\\! ", "d\\vec{\\bf x}_{\\wp}\n\\sum\\limits _{n=1}^{N} \n q_{n}^{2}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) } \\, . ", "\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ Wprowadzenie do obserwowanej informacji strukturalnej $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}),\\vec{\\bf x}_{\\wp})$ jej jawnej zale¿noœci nie tylko od amplitud $q_{n}$, ale równie¿ od pêdu $\\vec{\\bf x}_{\\wp}$, pozwala na rozwa¿enie szerszego zakresu zagadnieñ ni¿ to mia³o miejsce dla przypadku rozk³adu energii, mianowicie pozwala na rozwa¿enie rozwi¹zañ [*nierównowagowych*]{}.\\\n\\\n[**Obserwowana, strukturalna zasada informacyjna**]{}: Podobnie jak to uczyniliœmy w (\\[postac I po calk czesci\\]) dla energii, tak i teraz dla pojemnoœci informacyjnej $I\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right)$, (\\[minp\\]), dokonamy ca³kowania przez czêœci. ", "Zak³adaj¹c dodatkowo, ¿e amplitudy dla prêdkoœci $q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$ znikaj¹ w $\\pm$ nieskoñczonoœci, [**oczekiwana strukturalna zasada informacyjna**]{} $\\,\\widetilde{\\textit{i'}}(\\Theta_{\\vec{\\wp}}) + \\widetilde{\\mathbf{C}}_{\\vec{\\wp}} + \\kappa \\, \\textit{q}(\\Theta_{\\vec{\\wp}}) = 0$ w (\\[epip\\]) przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{strukt zas dla pedu calkow czesci}\n\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\widetilde{\\textit{i'}}\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right) + \\textit{q}\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right) = 4 \n\\sum\\limits _{n=1}^{N} \\left[ q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})\\sum_{k=1}^{3}{\\frac{{\\partial^{2} q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial x_{\\wp_{k}}^{2}}}} \\! ", "+ \\frac{1}{4}\\;\n q_{n}^{2}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\right] = 0 \\, , \\;\\;\\,\\end{aligned}$$ gdzie fakt, ¿e $\\widetilde{\\mathbf{C}}_{\\vec{\\wp}} = 0$, nie wnosz¹c tym samym wk³adu w powy¿sz¹ zasadê strukturaln¹, wynika ze znikania amplitud w nieskoñczonoœci.\\\n\\\n[**Wariacyjna zasada informacyjna**]{} w (\\[epip\\]) przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{wariacyjna zas dla pedu}\n\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\delta_{(q_{n})} \\! ", "\\left(I\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right) + Q\\left(\\Theta_{\\vec{\\wp}}\\right)\\right) = 4 \\!\\! ", "\\int_{{\\cal X}_{\\wp}}{\\!\\! ", "d\\vec{\\bf x}_{\\wp}\\sum\\limits _{n=1}^{N}{\\left[ - {\\sum\\limits_{k=1}^{3}{ \\!\\left( \\!{\\frac{{\\partial q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial x_{\\wp_{k}}}}}\\right)^{2} + \\! ", "\\frac{1}{4} \n q_{n}^{2}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) }}\\right]}} = 0 \\, . \\;\\;\\, ", "\\end{aligned}$$\\\n[**Równania Eulera-Lagrange’a**]{}: Rozwi¹zaniem $N$-funkcyjnego problemu wariacyjnego (\\[wariacyjna zas dla pedu\\]) jest uk³ad równañ Eulera-Lagrange’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{row E-L dla pedu}\n\\sum\\limits _{m=1}^{3}{\\frac{\\partial}{{\\partial x_{\\wp_{m}}}}\\left({\\frac{{\\partial \\, k \\,(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) }}{{\\partial \\left(\\frac{{\\partial\\, q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial x_{\\wp_{m}}}} \\right) }}}\\right)}=\\frac{{\\partial k(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}},\\quad\\quad n=1, 2,..., N \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{gestosc k dla pedu}\nk \\,(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) = 4 {\\left[ - {\\sum\\limits_{k=1}^{3}{ \\!\\left( \\!{\\frac{{\\partial q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})}}{{\\partial x_{\\wp_{k}}}}}\\right)^{2} + \\! ", "\\frac{1}{4} \n q_{n}^{2}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) }}\\right]} \\; \\end{aligned}$$ jest gêstoœci¹ informacji fizycznej (\\[k form\\]) zdefiniowan¹ w Rozdziale \\[equations of motion\\].\\\n\\\n[**Nieujemnoœæ $k$**]{}: Zauwa¿my, ¿e z (\\[gestosc k dla pedu\\]) i z ¿¹dania nieujemnoœci informacji fizycznej $k$ na poziomie obserwowanym, wynika: $$\\begin{aligned}\n\\label{qF dodatnia dla rozkl pedu}\n\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}), \\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\geq 0 \\; , \\end{aligned}$$ tzn. [*", "nieujemnoœæ obserwowanej informacji strukturalnej w analizie estymacyjnej wartoœci oczekiwanej pêdu cz¹steczki gazu.*]{}\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Poni¿ej, ze wzglêdu na uproszczenie zapisu, pominiemy zaznaczenie fluktuacji pêdu $\\vec{\\bf x}_{\\wp}$ w argumencie amplitudy $q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$.\\\n\\\n[**Uk³ad równañ ró¿niczkowych**]{}: Dla ka¿dego $n=1,2,...,N$, zasada strukturalna (\\[strukt zas dla pedu calkow czesci\\]) jest na poziomie obserwowanym nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{uppro}\nq_{n}\\sum_{m=1}^{3}{\\frac{{\\partial^{2}q_{n}}}{{\\partial x_{\\wp_{m}}^{2}}}} + \\frac{1}{4} q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}) \n = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Natomiast ka¿de z $N$ równañ Eulera-Lagrange’a (\\[row E-L dla pedu\\]) ma postaæ nastêpuj¹cego równania ró¿niczkowego: $$\\begin{aligned}\n\\label{roznp}\n\\sum\\limits_{m=1}^{3}{\\frac{{\\partial^{2}q_{n}}}{{\\partial x_{\\wp_{m}}^{2}}}} = - \\frac{1}{2}\\frac{{\\partial (\n\\frac{1}{4} q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}) \n) }}{{\\partial q_{n}}} \\; .\\end{aligned}$$ Równanie strukturalne (\\[uppro\\]) wraz z równaniem Eulera-Lagrange’a (\\[roznp\\]) pos³u¿y do wyprowadzenia równania generuj¹cego rozk³ad Maxwella-Boltzamnna.\\\n\\\n[**Wyprowadzenie równania generuj¹cego**]{}: Równania (\\[uppro\\]) oraz (\\[roznp\\]) pozwalaj¹ wyeliminowaæ wystêpuj¹c¹ w nich sumê, daj¹c równanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{row rozniczkowe na qF dla p}\n\\frac{1}{2}\\frac{{\\partial (\\frac{1}{4} q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}))}}{{\\partial q_{n}}} = \\frac{{\\frac{1}{4} q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}) }}{{q_{n}}} \\; ,\\end{aligned}$$ które po obustronnym sca³kowaniu prowadzi do rozwi¹zania: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw dla qF}\n\\frac{1}{4} \\, q_{n}^{2} \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}) = q_{n}^{2} \\, f_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ lub $$\\begin{aligned}\n\\label{rozw dla samego qF}\n\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp}) = 4 \\, f_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) \\geq 0\\; .\\end{aligned}$$ Funkcja $f_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$ nie zale¿y od amplitudy $q_{n}$ i pojawi³a siê w wyniku ca³kowania równania (\\[row rozniczkowe na qF dla p\\]) jako pewna sta³a ca³kowania w znaczeniu jej niezale¿noœci od amplitudy $q_{n}$. Zaznaczona nieujemnoœæ funkcji $f_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right)$ w jej dziedzinie wynika z nieujemnoœci $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}, \\vec{\\bf x}_{\\wp})$ otrzymanej w (\\[qF dodatnia dla rozkl pedu\\]).\\\n\\\n[**Równanie generuj¹ce**]{}: Wykorzystuj¹c (\\[rozw dla qF\\]) w (\\[uppro\\]) eliminujemy obserwowan¹ informacjê strukturaln¹, otrzymuj¹c [*równanie generuj¹ce*]{} dla amplitudy rozk³adu (fluktuacji) prêdkoœci $\\vec{\\bf x}_{\\wp}$ cz¹steczki w gazie: $$\\begin{aligned}\n\\label{rpw generujace dla q pedu}\n\\nabla^{2} q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) = - q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) \\, f_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\nabla^{2} \\equiv \\sum_{m=1}^{3} {\\partial^{2}}/{\\partial x_{\\wp_{m}}^{2}}$ jest operatorem Laplace’a ze wzglêdu na wspó³rzêdne pêdowe $x_{\\wp_{m}}$.\\\n\\\nRównanie (\\[rpw generujace dla q pedu\\]), podobnie jak (\\[falowe kappa 1\\]), pojawi³o siê jako rozwi¹zanie strukturalnej i wariacyjnej zasady informacyjnej.\\\nRozwi¹zanie $q_{n}$ równania (\\[rpw generujace dla q pedu\\]) jest [*samospójnym*]{} rozwi¹zaniem sprzê¿onego uk³adu równañ ró¿niczkowych (\\[uppro\\]) i (\\[roznp\\]), utworzonych przez parê zasad informacyjnych.\\\n\\\n[**Rozwi¹zanie równania generuj¹cego**]{}: Poni¿ej rozwi¹¿emy równanie generuj¹ce (\\[rpw generujace dla q pedu\\]), czyni¹c kilka fizycznych za³o¿eñ odnoœnie postaci funkcji $f_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$. Jej postaæ wp³ywa na postaæ otrzymanych amplitud $q_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$, a zatem równie¿ na rozk³ad $p(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$.\\\n\\\n[**Fizyczne za³o¿enia o postaci $f_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$**]{}: Za³ó¿my, ¿e ka¿da gêstoœæ rozk³adu prawdopodobieñstwa $p_{n}(\\vec{x})$ jest tak¹ sam¹ funkcj¹ parzyst¹ ka¿dej wspó³rzêdnej $x_{\\wp_{i}}$ (fluktuacji) pêdu $\\vec{\\bf x}_{\\wp}$. W konsekwencji [*uk³ad jest izotropowy*]{}, tzn. ", "rozk³ad prawdopodobieñstwa dla pêdu nie zale¿y od kierunku w bazowej przestrzeni po³o¿eñ.\\\nNastêpnie zak³adamy [*nierelatywistyczne przybli¿enie*]{}, co oznacza, ¿e prêdkoœci cz¹steczek s¹ du¿o mniejsze od prêdkoœci œwiat³a $c$, czyli fluktuacja pêdu cz¹steczki $x_{\\wp_{i}}$ jest równie¿ ma³a w porównaniu z $mc$.\\\nZ powy¿szych za³o¿eñ wynika ogólna postaæ funkcji $f_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp})$. Otó¿ jej rozwiniêcie w szereg potêgowy ma tylko sk³adowe parzyste modu³u fluktuacji pêdu $|\\vec{\\bf x}_{\\wp}|$, a poniewa¿ wartoœæ $|\\vec{\\bf x}_{\\wp}|$ jest ma³a, zatem szereg ten obetniemy na drugim wyrazie: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac funkcji ABp}\nf_{n}(\\vec{\\bf x}_{\\wp}) = A_{n} + B \\, |\\vec{\\bf x}_{\\wp}|^{2} \\; ,\\quad \\quad A_{n}, B = const. ", "\\end{aligned}$$ [**Równanie generuj¹ce z $f_{n}$**]{}: Podstawiaj¹c (\\[postac funkcji ABp\\]) do (\\[rpw generujace dla q pedu\\]), otrzymujemy nastêpuj¹c¹ postaæ równania generuj¹cego: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie gener z f kwadrat}\n\\nabla^{2}q_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right)+\\left(A_{n} + B |\\vec{\\bf x}_{\\wp}|^{2}\\right)q_{n}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) = 0 \\; \\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; n=1,2,...,N \\; .\\end{aligned}$$ PrzejdŸmy do nowego indeksu: $$\\begin{aligned}\n\\label{index n'}\nn^{'}:= n-1 \\; = \\; 0, 1,..., N-1 \\; .\\end{aligned}$$ Wtedy w miejsce (\\[rownanie gener z f kwadrat\\]) otrzymujemy równanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie gener z f kwadrat z n'}\n\\nabla^{2} q_{n'} \\left( \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\right) + \\left(A_{n'} + B |\\vec{\\bf x}_{\\wp}|^{2} \\right) q_{n'} \\left( \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\right) = 0 \\; \\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; n' = 1 , 2,..., N-1 \\; , \\end{aligned}$$ które po dokonaniu separacji zmiennych kartezjañskich i faktoryzacji amplitudy: $$\\begin{aligned}\n\\label{separacja}\nq_{n'}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) = q_{n'_{1}}\\left(x_{{\\wp}_{1}}\\right) q_{n'_{2}}\\left(x_{{\\wp}_{2}}\\right) q_{n'_{3}}\\left(x_{{\\wp}_{3}}\\right) \\; ,\n$$ przechodzi w równowa¿ny mu uk³ad trzech równañ ró¿niczkowych: $$\\begin{aligned}\n\\label{row gen po faktoryzacji dla p}\nq_{n'_{i}}^{''}\\left({x_{\\wp_i}}\\right)+\\left({A_{n'_{i}} + B \\, x_{\\wp_i}^{2}}\\right)q_{n'_{i}}\\left({x_{\\wp_i}}\\right) = 0 \\; , \\quad i=1,2,3, \\;\\;\\;\n\\sum\\limits _{i=1}^{3}{A_{n'_{i}}} \\equiv A_{n'} \\; .\\end{aligned}$$ Gdy sta³e równania (\\[row gen po faktoryzacji dla p\\]) maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{stale row gener dla ni'}\nA_{n_{i}^{'}}=\\frac{n_{i}^{'} + 1/2}{a_{0}^{2}} \\, , \\;\\;\\; B = -\\frac{1}{{4a_{0}^{4}}} \\, , \\;\\;\\; a_{0}=const. \\, , ", " \\;\\;\\; n_{i}^{'}=0,1,... \\; ,\\end{aligned}$$ wtedy ma ono rozwi¹zanie.\\\n\\\n[**Postaæ rozwi¹zania**]{}: Poniewa¿ ka¿de z równañ (\\[row gen po faktoryzacji dla p\\]) jest [**równaniem Helmholtz’a**]{}, zatem jego rozwi¹zaniami s¹ paraboliczno-cylindryczne funkcje [@Ab; @kamke]: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiazanie dla q z ni' dla pedu}\nq_{n_{i}^{'}}\\left({x_{\\wp_{i}}}\\right) = e^{-x_{\\wp_{i}}^{2}/\\left(4 a_{0}^{2} \\right)} \\; 2^{- n_{i}^{'}/2} \\; H_{n_{i}^{'}} \\left( \\frac{x_{\\wp_{i}}}{a_{0} \\sqrt{2}} \\right) \\, , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; n_{i}^{'}=0,1,... \\; , \\;\\;\\; i=1,2,3 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $H_{n_{i}^{'}}$ s¹ wielomianami Hermite’a: $$\\begin{aligned}\n\\label{wiel Hermite}\nH_{j}\\left( t \\right) = j! ", " \\sum\\limits_{m=0}^{\\left[j/2\\right]} \\left({-1}\\right)^{m} \\, \\frac{\\left( 2 \\,t \\right)^{j-2m}}{m!\\left( j-2m \\right)! } \\; , \\;\\;\\; ", "j = 0,1,... \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\left[j/2\\right]$ oznacza liczbê ca³kowit¹ nie przekraczaj¹c¹ $j/2$.\\\n\\\n[**Amplitudy fluktuacji pêdu**]{}: Wstawiaj¹c (\\[rozwiazanie dla q z ni’ dla pedu\\]) do (\\[separacja\\]) otrzymujemy szukan¹ postaæ amplitudy fluktuacji pêdu: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiazanie dla q z n' dla pedu}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "q_{n^{'}}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) & = & e^{ - |\\vec{\\bf x}_{\\wp}|^{2}/\\left(4 a_{0}^{2} \\right)} \\; 2^{- n^{'}/2}\n\\; \\cdot \\nonumber \\\\\n& & \\nonumber \\\\\n& \\cdot & \\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\sum\\limits _{{\\scriptstyle {\\quad ijk\\hfill\\atop {\\scriptstyle i+j+k=n^{'}\\hfill}}}}{\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "a_{n_{ijk}^{'}}} \\; H_{i}\\left(\\frac{x_{\\wp_{1}}}{a_{0}\\sqrt{2}}\\right)H_{j}\\left(\\frac{x_{\\wp_{2}}}{a_{0}\\sqrt{2}}\\right)H_{k}\\left(\\frac{x_{\\wp_{3}}}{a_{0}\\sqrt{2}}\\right) \\, , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; a_{n_{ijk}^{'}} = const. \\; , ", " \\;\\;\\end{aligned}$$ przy czym: $$\\begin{aligned}\n\\label{zwiazek n z ni'}\n\\sum\\limits _{i=1}^{3}{n_{i}^{'} = n^{'}} = 0, 1,..., N-1 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Rozk³ad fluktuacji pêdu**]{}: Funkcja rozk³adu prawdopodobieñstwa ma wiêc zgodnie z (\\[p jako suma po qn2 przez N\\]) postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozwiazanie dla prawdop z n' dla pedu}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\np\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) &=& \\frac{1}{N}\\sum_{n'=0}^{N-1}{q_{n'}^{2}}\\left({\\vec{\\bf x}_{\\wp}}\\right) = p_{0} \\, e^{- \\left| \\vec{\\bf x}_{\\wp} \\right|^{2}/ \\left({2a_{0}^{2}}\\right)} \\;\\; \\cdot \\nonumber \\\\\n&\\cdot& \\left\\{ 1+\\sum_{n^{'}=1}^{N-1}{2^{-n^{'}}\\left[\\sum\\limits _{{\\scriptstyle {\\quad ijk\\hfill\\atop {\\scriptstyle i+j+k=n^{'}\\hfill}}}}{b_{n_{ijk}^{'}}\nH_{i}\\left(\\frac{x_{\\wp_{1}}}{a_{0} \\sqrt{2}}\\right)\nH_{j}\\left(\\frac{x_{\\wp_{2}}}{a_{0} \\sqrt{2}}\\right)\nH_{k}\\left(\\frac{x_{\\wp_{3}}}{a_{0} \\sqrt{2}}\\right)}\\right]^{2}}\\right\\} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $p_{0}=a_{0_{000}}^{2}/N$, a liczba 1 w nawiasie klamrowym pochodzi z $n^{'}=0$ w sumie w pierwszej równoœci, natomiast nowe sta³e $b_{n_{ijk}^{'}}$ s¹ proporcjonalne do sta³ych $a_{n_{ijk}^{'}}$.\\\nPo raz pierwszy takie wyprowadzenie postaci funkcji rozk³adu gêstoœci prawdopodobieñstwa dla fluktuacji pêdu zosta³o podane w [@Frieden].\\\n\\\n[**Rozwi¹zania równowagowe i nierównowagowe**]{}: Wartoœæ $N=1$, dla której (\\[rozwiazanie dla prawdop z n’ dla pedu\\]) jest rozk³adem Gaussa, daje równowagowy [*rozk³ad Maxwella-Boltzmanna dla (fluktuacji) pêdu cz¹steczki gazu*]{}. ", "Pozosta³e rozwi¹zania dla $N\\ge2$ daj¹ rozwi¹zania nierównowagowe [@Frieden]. ", "Jednak i one s¹ stacjonarne ze wzglêdu na fakt bycia samospójnymi rozwi¹zaniami uk³adu sprzê¿onych równañ ró¿niczkowych zasady strukturalnej (\\[uppro\\]) i wariacyjnej (\\[roznp\\]).\\\nWczeœniej, rozk³ady (\\[rozwiazanie dla prawdop z n’ dla pedu\\]) z $N\\ge2$ zosta³y odkryte przez Rumer’a i Ryskin’a [@Rumer; @and; @Ryskin-1980] jako rozwi¹zania równania transportu Boltzmann’a.\\\n\\\n[**Interferencja rozwi¹zañ**]{}: Zwróæmy uwagê, ¿e rozwi¹zanie (\\[rozwiazanie dla prawdop z n’ dla pedu\\]) implikuje interferencjê pomiêdzy wyra¿eniami iloczynowymi wystêpuj¹cymi w amplitudach (\\[rozwiazanie dla q z n’ dla pedu\\]). ", "Interferencja pojawi³a siê wiêc jako cecha charakterystyczna dla rozwi¹zywanego równania ró¿niczkowego oraz wprowadzenia amplitud do opisu uk³adu, a nie jako cecha charakterystyczna wy³¹cznie mechaniki kwantowej.\\\n\\\n[**Rozk³ad Maxwella-Boltzmanna dla prêdkoœci z $N=1$**]{}: Za³o¿yliœmy na wstêpie, ¿e zbiornik zawieraj¹cy cz¹steczki gazu jest w spoczynku, w pewnym inercjalnym uk³adzie wspó³rzêdnych. ", "Zatem œrednia prêdkoœæ cz¹steczki wynosi zero, tzn. ", "$\\vec{\\theta}_{\\wp} = 0$ i z (\\[y\\_p\\]) otrzymujemy $\\vec{\\bf y}_{\\wp} = \\vec{\\bf x}_{\\wp} = \\vec{\\wp}$.\\\n\\\nTak wiec, dla $N=1$ rozk³ad gêstoœci prawdopodobieñstwa pêdu (\\[rozwiazanie dla prawdop z n’ dla pedu\\]) przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{row}\np \\left( \\vec{\\wp} \\right) = p_{0} \\; e^{- |\\vec{\\wp}\\,|^{2}/(2a_{0}^{2})} = p_{0}\\; e^{- \\wp_{1}^{2}/(2a_{0}^{2})} e^{- \\wp_{2}^{2}/(2a_{0}^{2})} e^{- \\wp_{3}^{2}/(2a_{0}^{2})} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\vec{\\wp} = (\\wp_{1}, \\wp_{2}, \\wp_{3})$ oraz $-\\infty<\\wp_{i}<\\infty$, $i=1,2,3$. Wyznaczmy wartoœæ sta³ej $a_{0}$ dla przypadku zerowej energii potencjalnej. ", "Z warunku normalizacji $\\int d \\vec{\\wp} \\, p\\left(\\vec{\\wp} \\right)=1\\,$ wyznaczamy, ¿e sta³a $p_{0}$ w (\\[row\\]) wynosi: $$\\begin{aligned}\np_{0}=\\frac{1}{{\\left({2\\pi}\\right)^{{3\\mathord{\\left/{\\vphantom{32}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}2}}a_{0}^{3}}}\\label{p0} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ wtedy $\\left\\langle E\\right\\rangle = \\left\\langle \\vec{\\wp}^{\\,2}\\right\\rangle/(2m)\\,$, a z twierdzenia o ekwipartycji energii wiemy, ¿e $\\left\\langle E\\right\\rangle = 3kT/2$, zatem $$\\begin{aligned}\n\\label{wartoczekp}\n\\left\\langle {\\vec{\\wp}^{\\,2}}\\right\\rangle = 3 \\, m \\, k T .\\end{aligned}$$ Maj¹c wartoœæ $p_{0}$, wyznaczmy wartoœæ oczekiwan¹: $$\\begin{aligned}\n\\left\\langle {\\vec{\\wp}^{2}}\\right\\rangle =\\int{d\\vec{\\wp} \\, p\\left({\\vec{\\wp}}\\right)\\vec{\\wp}^{2}} \\, \\end{aligned}$$ i przyrównajmy j¹ do (\\[wartoczekp\\]). ", "W rezultacie otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{a0}\n{a_{0}^{2}=mc^{2}kT} \\; . ", " \\end{aligned}$$ [**Rozk³adu wartoœci pêdu**]{}: Kolejnym krokiem jest wyznaczenie rozk³adu prawdopodobieñstwa wartoœci pêdu $\\wp = |\\vec{\\wp}\\,|$. Przechodz¹c od wspó³rzêdnych kartezjañskich pêdu $\\left(\\wp_{1},\\wp_{2},\\wp_{3}\\right)$ do wspó³rzêdnych sferycznych $\\left(\\wp,\\theta,\\phi\\right)$, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{pj}\np\\left({\\wp,\\theta,\\phi}\\right)=\\left|J \\,\\right|p\\left({\\wp_{1},\\wp_{2},\\wp_{3}}\\right) \\; , \\;\\;\\; \nJ = \\wp^{2}\\sin\\theta \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $J$ jest jakobianem przejœcia. ", "Wstawiaj¹c teraz (\\[p0\\]) wraz z (\\[a0\\]) do (\\[row\\]) otrzymujemy rozk³ad $p\\left({\\wp_{1},\\wp_{2},\\wp_{3}}\\right)$ ze znanymi ju¿ sta³ymi $a_{0}$ oraz $p_{0}$. Wynik ten wstawiaj¹c do (\\[pj\\]) i wyca³kowuj¹c po zmiennych $\\theta$ oraz $\\phi$, otrzymujemy szukany rozk³ad gêstoœci prawdopodobieñstwa dla wartoœci pêdu: $$\\begin{aligned}\n\\label{maxbol}\np\\left(\\wp\\right)=\\sqrt{{2\\mathord{\\left/{\\vphantom{2\\pi}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}\\pi}}\\left({mkT}\\right)^{{{-3}\\mathord{\\left/{\\vphantom{{-3}2}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}2}}\\wp^{2}e^{{{-\\wp^{2}}\\mathord{\\left/{\\vphantom{{-\\wp^{2}}{2mkT}}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}{2mkT}}} \\, .\\end{aligned}$$ [**Prawo Maxwella-Boltzmanna**]{}: Rozk³ad (\\[maxbol\\]) wyra¿a tzw. ", "prawo Maxwella-Boltzmanna, a podstawiaj¹c $\\wp =m v$ w (\\[maxbol\\]), w miejsce wartoœci pêdu, otrzymujemy rozk³ad Maxwella-Boltzmanna dla wartoœci prêdkoœci $v$ cz¹steczki gazu.", "\n\n### Informacja Fishera jako ograniczenie dla wzrostu entropii\n\nRozwa¿my uk³ad zawieraj¹cy *jedn¹* lub *wiêcej* cz¹stek poruszaj¹cych siê w sposób losowy, w pewnym zamkniêtym obszarze. ", "Niech rozwa¿any obszar bêdzie izolowany, tzn. ¿", "adna cz¹stka ani z obszaru nie ucieka ani do niego nie przechodzi. ", "Brzeg ($\\vec{B}$) obszaru jest zadany wektorem wodz¹cym $\\vec{b} \\in \\vec{B}$. W pewnej chwili uk³ad dokonuje pomiaru jego czterowektora po³o¿enia $t, \\vec{y}$, zgodnie z rozk³adem gêstoœci prawdopodobieñstwa $p(\\vec{y}, t)$[^77].\\\n\\\nNiech $(y^{1},y^{2},y^{3})$ s¹ wspó³rzêdnymi kartezjañskimi wektora $\\vec{y}$ [**po³o¿enia przestrzennego**]{}, a $r=|\\vec{y}|$ jego d³ugoœci¹. Poniewa¿ za³o¿yliœmy, ¿e cz¹stka znajduje siê gdzieœ wewn¹trz obszaru wiêc: $$\\begin{aligned}\n\\label{pt brzegowe = 1}\np\\left(t \\right) = \\int d \\vec{y} \\, p\\,(\\vec{y}, t) = 1 \\; .\\end{aligned}$$ Oznaczmy przez $S_{H}\\left(t\\right)$ entropiê Shannona uk³adu (\\[eboltmana\\]) w chwili czasu $t$: $$\\begin{aligned}\nS_{H}\\left(t\\right) = - \\int d\\vec{y}\\; p(\\vec{y}, t) \n\\ln p(\\vec{y}, t) \\; .", "\n\\label{st}\\end{aligned}$$ [**Drug¹ zasada termodynamiki**]{}: Mo¿na pokazaæ (por. ", "Dodatek \\[Wyprowadzenie drugiej zasady termodynamiki\\]), ¿e entropia Shannona spe³nia drug¹ zasadê termodynamiki: $$\\begin{aligned}\n\\frac{{dS_{H}\\left(t\\right)}}{{dt}} \\ge 0 \\; ,\n\\label{2zasterm}\\end{aligned}$$ która okreœla [*doln¹ granicê tempa zmiany entropii*]{}. ", "Poni¿sze rozwa¿ania poœwiêcone s¹ znalezieniu ograniczenia na jego górn¹ granicê.\\\n\\\n[**Równanie ci¹g³oœci strumienia**]{}: Poniewa¿ ¿adna cz¹stka nie opuszcza ani nie wp³ywa do obszaru, zatem spe³nione jest równanie ci¹g³oœci strumienia prawdopodobieñstwa: $$\\begin{aligned}\n\\label{ciaglosc}\n\\frac{\\partial p(\\vec{y}, t)}{\\partial t} + \\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{P}\\left({\\vec{y},t}\\right)=0 \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $\\vec{P}\\left({\\vec{y},t}\\right)$ jest [*pr¹dem prawdopodobieñstwa*]{}, którego konkretna postaæ zale¿y od rozwa¿anego uk³adu.\\\n\\\n[**Warunki brzegowe**]{}: Z kolei okreœlmy warunki brzegowe spe³niane przez gêstoœæ prawdopodobieñstwa i jego pr¹d. ", "Bêd¹ nam one przydatne dla rozwi¹zania postawionego sobie zadania.\\\nPoniewa¿ ¿adne cz¹stki nie przechodz¹ przez granicê obszaru, zatem $\\vec{P}$ spe³nia warunek brzegowy Dirichleta: $$\\begin{aligned}\n\\label{warbrzegP}\n\\vec{P} \\left( {\\vec{y},t} \\right) \\left|\\begin{array}{l}\n\\!\\!\\!_{{\\vec{y} \\in {\\vec{B}}}}\\end{array} \\right. ", "= 0 \\; .\\end{aligned}$$ Za³ó¿my dodatkowo, ¿e jeœli brzeg obszaru znajduje siê w nieskoñczonoœci, to: $$\\begin{aligned}\n\\label{Pr0}\n\\mathop{\\lim}\\limits _{\\vec{y}\\to\\infty}\\vec{P}\\left({\\vec{y},t}\\right) \\to 0 \\; , \\;\\;\\;\\; {\\rm szybciej \\;\\; ni\\dot{z}} \\;\\;\\;\\; 1/r^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ obszar jest odizolowany, zatem prawdopodobieñstwo, ¿e cz¹stka znajduje siê na jego granicy znika, co oznacza, ¿e $p(\\vec{y}, t)$ równie¿ spe³nia warunek brzegowy Dirichleta: $$\\begin{aligned}\n\\label{warbrzegp}\np(\\vec{y}, t)\\left|\\begin{array}{l}\n\\!\\!\\!_{{\\vec{y} \\in \\vec{B}}}\\end{array}\\right. ", "= 0 \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na normalizacjê: $$\\begin{aligned}\n\\int{d\\vec{y}\\; p(\\vec{y}, t)} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ zak³adamy, ¿e w przypadku brzegu nieskoñczenie oddalonego, $p(\\vec{y}, t)$ spe³nia warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{pr0}\n\\mathop{\\lim}\\limits _{\\vec{y}\\to\\infty}p\\left({\\vec{y}\\left|\\; t\\right.}\\right)\\to 0 \\; , \n\\;\\;\\;\\; {\\rm szybciej \\;\\; ni\\dot{z}} \\;\\;\\;\\; 1/r^{3} \\;\\; .\\end{aligned}$$ W koñcu dla domkniêcia potrzebnych warunków brzegowych przyjmujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{zeroPp}\n\\vec{P}\\ln p\\left|\\begin{array}{l}\n\\!\\!\\!_{{\\vec{y} \\in \\vec{B}}}\\end{array}\\right. ", "= 0 \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Wyprowadzenie ograniczenia na tempo wzrostu entropii**]{}: Przyst¹pmy teraz do sedna rachunków. ", "Ró¿niczkowanie (\\[st\\]) po $\\frac{\\partial }{\\partial t}$ daje: $$\\begin{aligned}\n\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t} = - \\frac{\\partial}{{\\partial t}}\\int{d\\vec{y}\\; p\\ln p} = - \\int{d\\vec{y}\\; \\frac{\\partial p}{\\partial t}\\ln p} - \\int{ d\\vec{y}\\; p \\frac{1}{p} \\frac{\\partial p}{\\partial t}} \\; .", "\n\\label{dr}\\end{aligned}$$ Druga ca³ka po prawej stronie daje po skorzystaniu z warunku unormowania: $$\\begin{aligned}\n\\frac{\\partial}{{\\partial t}}\\int{d\\vec{y}\\; p} = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Oznaczmy przez $\\left(P^{1},P^{2},P^{3}\\right)$ kartezjañskie sk³adowe pr¹du $\\vec{P}$. Podstawiaj¹c (\\[ciaglosc\\]) do pierwszej ca³ki po prawej stronie w (\\[dr\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{pierwsza}\n\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t} = \\int{d\\vec{y}\\; \\vec{\\nabla} \\cdot\\vec{P}\\ln p}=\\int{\\int{\\int{dy^{3} \\,dy^{2}\\,dy^{1} \\left[{\\frac{\\partial}{{\\partial y^{1}}}P^{1} + \\frac{\\partial}{{\\partial y^{2}}}P^{2} + \\frac{\\partial}{{\\partial y^{3}}}P^{3}}\\right]\\ln p}}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\nabla_{i} = \\frac{\\partial}{\\partial y^{i}} \\,$.\\\n\\\n[**Ca³kuj¹c przez czêœci**]{} wewnêtrzne ca³ki $\\int{dy^{i} \\frac{\\partial}{\\partial y^{i}} P^{i} }$ w (\\[pierwsza\\]) dla trzech sk³adników $i=1,2,3$, otrzymujemy dla ka¿dego z nich: $$\\begin{aligned}\n\\int{dy^{i} (\\frac{\\partial}{{\\partial y^{i}}} P^{i}) \\ln p} = P^{i} \\ln p \\left|\\begin{array}{l}\n\\!\\!\\!_{{\\vec{y} \\in \\vec{B}}} \\end{array}\\right. - ", "\\int{dy^{i}\\frac{{P^{i}}}{p} \\frac{\\partial p}{\\partial y^{i}} } = - \\int{dy^{i} P^{i} \\frac{\\partial p}{\\partial y^{i}} \\frac{1}{p} } \\; , \\;\\;\\; i = 1,2,3 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z (\\[zeroPp\\]). ", "Zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{dS po dt iloczyn}\n\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t} = - \\int{dy^{3}dy^{2}dy^{1} \\left( P^{1} \\frac{\\partial p}{\\partial y^{1}} + P^{2} \\frac{\\partial p}{\\partial y^{2}} + P^{3} \\frac{\\partial p}{\\partial y^{3}}\\right) \\frac{1}{p} } = - \\int{d\\vec{y} \\left( \\vec{P} \\cdot \\vec{\\nabla} p \\right) \\frac{1}{p} } \\; .\\end{aligned}$$ Z powy¿szego, po prostych przekszta³ceniach mamy: $$\\begin{aligned}\n\\label{kwadrat dS po dt}\n\\left(\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t}\\right)^{2} = \\left[ \\int d\\vec{y} \\left(\\frac{\\vec{P}}{\\sqrt{p}}\\right) \\cdot \\left(\\frac{\\sqrt{p}\\, \\vec{\\nabla} p}{p} \\right) \\right]^{2} = \\left[ \\, \\sum_{i=1}^{3} \\int d\\vec{y} \\left(\\frac{P^{i}}{\\sqrt{p}}\\right) \\; \\left(\\frac{\\sqrt{p}\\; \\nabla_{i} p}{p} \\right) \\right]^{2} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Z nierównoœci Schwartza**]{} otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{nierownosc Schwartza}\n\\left[ \\, \\sum_{i=1}^{3} \\int d\\vec{y} \\left(\\frac{P^{i}}{\\sqrt{p}}\\right) \\; \\left(\\frac{\\sqrt{p}\\; \\partial_{i} p}{p} \\right) \\right]^{2} \\leq\n\\left[ \\sum_{i=1}^{3} \\int d\\vec{y} \\left(\\frac{P^{i}}{\\sqrt{p}}\\right)^{2} \\right] \\left[ \\sum_{i=1}^{3} \\int d\\vec{y} \\left(\\frac{\\sqrt{p}\\; \\nabla_{i} p}{p} \\right)^{2} \\right]\n\\; .\\end{aligned}$$ [**Ogólna postaæ ograniczenia na tempo wzrostu entropii**]{}: Ostatecznie z (\\[kwadrat dS po dt\\]) i (\\[nierownosc Schwartza\\]) oraz po zastêpieniu sumowañ po $i$ znakiem iloczynów skalarnych, dostajemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{st2}\n\\left(\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t}\\right)^{2} \\le \\int{d\\vec{y}\\;\\frac{{\\vec{P}\\cdot\\vec{P}}}{p}}\\int{d\\vec{y}\\;\\frac{{\\vec{\\nabla} p\\cdot\\vec{\\nabla} p}}{p}} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Przejœcie do postaci z pojemnoœci¹ informacyjn¹**]{}: Poniewa¿ gradiant $\\vec{\\nabla} \\equiv (\\frac{\\partial }{\\partial y^{1}}, \\frac{\\partial }{\\partial y^{2}}, \\frac{\\partial }{\\partial y^{3}})$ zawiera ró¿niczkowanie po wartoœciach pomiarowych $y^{i}$, a nie fluktuacjach $x^{i}$, jak to jest w kinematycznej postaci pojemnoœci informacyjnej Friedena-Soffera, zatem musimy uczyniæ dodatkowe za³o¿enie.\\\n[**Za³o¿enie niezmienniczoœci rozk³adu ze wzglêdu na przesuniêcie**]{}: PrzejdŸmy do addytywnych przesuniêæ, $\\vec{x} = \\vec{y} - \\vec{\\theta}$. Poniewa¿ $\\vec{x} = (x^{i})_{i=1}^{3}$ oraz $\\vec{y} = (y^{i})_{i=1}^{3}$ ró¿ni¹ siê o sta³¹ wartoœæ oczekiwan¹ po³o¿enia $\\vec{\\theta}=(\\theta^{i})_{i=1}^{3}$, zatem [*zak³adaj¹c dodatkowo , ¿e rozk³ad $p$ jest niezmienniczy ze wzglêdu na przesuniêcie*]{} $\\vec{\\theta}$, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{niezm na przes}\n\\frac{\\partial p }{\\partial y^{i}} = \\frac{\\partial p}{\\partial x^{i}} \\; , \\;\\;\\; i=1,2,3 \\; .\\end{aligned}$$ Przy powy¿szym za³o¿eniu, zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{poj info od t}\n\\int{d\\vec{y}\\;\\frac{{\\vec{\\nabla} p(\\vec{y}, t)\\cdot\\vec{\\nabla} p(\\vec{y}, t)}}{p(\\vec{y}, t)}} = \\int{d\\vec{x}\\;\\frac{{\\vec{\\nabla} p(\\vec{x}, t)\\cdot\\vec{\\nabla} p(\\vec{x}, t)}}{p(\\vec{x}, t)}} \\; \\end{aligned}$$ i okazuje siê, ¿e druga ca³ka po prawej stronie nierównoœci w (\\[st2\\]) jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ trzech kana³ów przestrzennych dla $N=1$ w chwili czasu $t$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojI}\nI \\equiv I \\left(t\\right)=\\int{d\\vec{x}\\;\\frac{\\nabla p\\left(\\vec{x},t \\right) \\cdot \\nabla p\\left(\\vec{x},t \\right)}{p\\left(\\vec{x},t \\right)}} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Ograniczenie na tempo wzrostu $S_{H}$ uk³adu z niezmienniczoœci¹ przesuniêcia**]{}: Korzystaj¹c z powy¿szej postaci pojemnoœci informacyjnej, mo¿emy zapisaæ (\\[st2\\]) nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{ograniczenieS}\n\\left(\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t}\\right)^{2} \\le I(t) \\int{d\\vec{x}\\;\\frac{{\\vec{P}\\cdot\\vec{P}}}{p}} \\; , \\;\\;\\; {\\rm lub} \\;\\;\\; \\left(\\frac{\\partial S_{H}}{\\partial t}\\right) \\le \\sqrt{I(t)} \\;\\; \\sqrt{\\int{d\\vec{x}\\;\\frac{{\\vec{P}\\cdot\\vec{P}}}{p}}} \\; ,\\end{aligned}$$\\\nPokazaliœmy zatem, ¿e [*przy za³o¿eniu niezmienniczoœci rozk³adu za wzglêdu na przesuniêcie*]{}, tempo wzrostu entropii jest obustronnie ograniczone. ", "Ograniczenie dolne (\\[2zasterm\\]) wyra¿a zasadê niemalenia entropii Shannona w czasie. ", "Jej termodynamicznym odpowiednikiem jest twierdzenie H Boltzmanna.\\\n\\\n[**Wniosek**]{}: Nierównoœæ (\\[ograniczenieS\\]) oznacza, ¿e [*ograniczenie górne tempa wzrostu entropii jest proporcjonalne do pierwiastka z pojemnoœci informacyjnej*]{} (\\[pojI\\]) [*dla pomiaru po³o¿enia $\\vec{y}$*]{}. ", "Jest to jednen z nowych wyników teorii pomiaru otrzymany przez Friedena, Soffera, Plastino i Plastino [@Frieden]. ", "Jego termodynamiczne konsekwencje czekaj¹ na weryfikacjê.\\\n\\\nW [@Frieden] podano przyk³ady zastosowania tego twierdzenia dla strumienia cz¹stek klasycznych, strumienia w elektrodynamice klasycznej i strumienia cz¹stek ze spinem 1/2. ", "Poni¿ej zostanie podany wynik analizy dla tego ostatniego przypadku.", "\n\n#### Wynik dla strumienia cz¹stek ze spinem 1/2\n\nW Rozdziale \\[Dirac field\\] pokazaliœmy, ¿e metoda EFI daje dla relatywistycznej cz¹stki o spinie po³ówkowym równanie ruchu Diraca (\\[Dirac eq\\]). ", "Pod nieobecnoœæ pola elektromagnetycznego wynikaj¹ce z niego równanie ci¹g³oœci ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownciaglpsi}\n\\frac{\\partial}{{\\partial t}}p\\left({\\vec{y}, t}\\right) + \\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{P}\\left({\\vec{y}, t}\\right) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie gêstoœæ prawdopodobieñstwa $p$ oraz gêstoœæ pr¹du prawdopodobieñstwa s¹ równe odpowiednio: $$\\begin{aligned}\n\\label{psi}\np\\left({\\vec{y}, t}\\right)=\\psi^{\\dagger}\\psi,\\quad\\psi\\equiv\\psi\\left({\\vec{y}, t}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{psi+}\n\\vec{P}\\left({\\vec{y}, t}\\right) = c \\, \\psi^{\\dagger} \\, \\vec{\\alpha} \\,\\psi \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\vec{\\alpha} \\equiv \\left(\\alpha^{1},{\\alpha^{2}},{\\alpha^{3}}\\right)$ s¹ macierzami Diraca (\\[m Diraca alfa beta\\]), natomiast $\\psi^{\\dagger} = (\\psi_{1},\\psi_{2},\\psi_{3},\\psi_{4})^{*}$ jest polem sprzê¿onym hermitowsko do bispinora Diraca $\\psi$ (Rozdzia³ \\[Dirac field\\]).\\\n\\\n[**Ograniczenie na tempo wzrostu entropii**]{}: W [@Frieden] pokazano, ¿e tempo wzrostu entropii (\\[ograniczenieS\\]) ma w tym przypadku postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{nierownosc S I c}\n{\\frac{{\\partial S_{H}}}{{\\partial t}}}\\le c\\sqrt{I(t)} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Wniosek**]{}: Nierównoœæ ta oznacza, ¿e dla uk³adu, który posiada niezmienniczoœæ przesuniêcia, wzrost entropii Shannona rozk³adu w jednostce czasu (czyli tempo spadku informacji) jest ograniczony przez skoñczon¹ prêdkoœæ œwiat³a jak równie¿ przez pojemnoœæ informacyjn¹, jak¹ posiada uk³ad (np. ", "swobodny elektron) o swoich wspó³rzêdnych czasoprzestrzennych.\\\nInny sposób interpretacji (\\[nierownosc S I c\\]) polega na zauwa¿eniu, ¿e dostarcza ona definicji prêdkoœci œwiat³a $c$ jako górnego ograniczenia stosunku tempa zmiany entropii do pierwiastka informacji Fishera, która jest przecie¿ na wskroœ statystycznym pojêciem informacyjnym.", "\n\nZastosowanie wprowadzonego formalizmu do analizy paradoksu EPR {#paradoks EPR}\n--------------------------------------------------------------\n\nPrzedstawiona w tym rozdziale analiza paradoksu EPR pochodzi od Friedena [@Frieden]. ", "Zamieszczamy j¹ ze wzglêdu na to, ¿e efekt ten jest doœæ powszechnie uto¿samiany z w³asnoœci¹ teorii kwantowych, ale równie¿ z powodu uporz¹dkowania warunków brzegowych zagadnienia zawartego w pracy orginalnej [@Frieden], a przedstawionego w pracy [@Mroziakiewicz] oraz wnioskowania uzgodnionego z przedstawion¹ w skrypcie fizyczn¹ interpretacj¹ informacji fizycznej $K$ [@Dziekuje; @informacja_1; @Dziekuje; @informacja_2].\\\n\\\n[**Opis eksperymentu EPR-Bohm’a**]{}: Rozpocznijmy od omówienia eksperymentu EPR-Bohm’a. ", "Rozwa¿my Ÿród³o moleku³ o spinie zero, które rozpadaj¹ siê na parê identycznych cz¹stek o spinie $1/2$ lec¹cych w przeciwnych kierunkach. ", "Taka, pocz¹tkowa dla rozwa¿añ eksperymentu EPR-Bohm’a, konfiguracja dwucz¹stkowej moleku³y mo¿e byæ efektywnie przygotowana jako stan koñcowy w rozpraszaniu $e^{-}e^{-} \\to e^{-}e^{-}$, gdzie spiny pocz¹tkowych elektronów procesu s¹ ustawione przeciwnie (równolegle i antyrównolegle wzglêdem osi $z$), a ich pocz¹tkowe pêdy wzd³u¿ osi $y$ wynosz¹ $\\vec{p}\\,$ oraz $-\\vec{p}$ [@Manoukian]. ", "Istnieje niezerowa amplituda, ¿e dwie rozproszone cz¹stki (tu wyprodukowane elektrony), poruszaj¹ siê z pêdami wzd³u¿ osi $x$, jak na Rysunku \\[fig:5\\].", "\n\n![", "Eksperyment EPR-Bohma. ", "Zaznaczono elektrony rejestrowane w urz¹dzeniach Sterna-Gerlacha; opis w tekœcie Rozdzia³u. ", "W lewym górnym rogu rysunku zaznaczono k¹t $\\vartheta$ pomiêdzy kierunkami $\\vec{a}$ oraz $\\vec{b}$ urz¹dzeñ Sterna-Gerlacha. []{", "data-label=\"fig:5\"}](Epr2.eps){width=\"70mm\" height=\"35mm\"}\n\n\\\nW eksperymencie EPR-Bohm’a dokonywany jest pomiar spinu rozproszonych cz¹stek, spinu cz¹stki 1 wzd³u¿ wektora jednostkowego $\\vec{a}$, tworz¹cego z osi¹ $z$ k¹t $\\chi_{1}$ oraz spinu cz¹stki 2 wzd³u¿ wektora jednostkowego $\\vec{b}$, tworz¹cego z osi¹ $z$ k¹t $\\chi_{2}$. Niech analizator ,,$a$”, bêd¹cy urz¹dzeniem typu Sterna-Gerlacha, mierzy rzut $S_{a}$ spinu $\\vec{S}_{1}$ cz¹stki 1 na kierunek $\\vec{a}$ i podobnie analizator ,,$b$” mierzy rzut $S_{b}$ spinu $\\vec{S}_{2}$ cz¹stki 2 na kierunek $\\vec{b}$. K¹t pomiêdzy p³aszczyznami wektorów $\\vec{a}$ oraz $\\vec{b}$, zawieraj¹cymi oœ $x$, wynosi $\\vartheta = \\chi_{1}-\\chi_{2}$, $0\\le \\vartheta < 2\\pi$.\\\nPoni¿ej wyprowadzimy warunki brzegowe dla metody EFI, uwa¿aj¹c aby nie odwo³ywaæ siê do widzenia rzeczywistoœci przez pryzmat mechaniki kwantowej [^78].", "\n\n### Warunki brzegowe {#Warunki brzegowe}\n\nW celu rozwi¹zania równañ ró¿niczkowych EFI konieczne jest ustalenie warunków brzegowych na prawdopodobieñstwa. ", "Wynikaj¹ one z przes³anek fenomenologicnych, zasad zachowania i symetrii przestrzennej badanego uk³adu.\\\n\\\n[**Za³o¿enie**]{} [*o istnieniu dok³adnie dwóch mo¿liwych rzutów spinu cz¹stki ze spinem $\\hbar/2$ na dowolny wybrany kierunek w przestrzeni*]{}: Niech “$+$” oznacza obserwowan¹ wartoœæ rzutu spinu $S_{a}=+\\hbar/2$ natomiast “$-$” oznacza $S_{a} = - \\hbar/2$.\\\n\\\n[**Uwaga o fenomenologii rejestracji spinu cz¹stki**]{}: Jest to jedyne miejsce, w którym uciekamy siê do opisu fenomenologicznego, odwo³uj¹c siê do nieklasycznej fizyki zjawiska, mianowicie zak³adamy, ¿e rzutowanie spinu cz¹stki na okreœlony kierunek przestrzenny jest skwantowane zgodnie z wymiarem reprezentacji grupy obrotów (fakt istnienia takich reprezentacji wynika z rozwa¿añ entropijnych [@Frieden]).\\\nJednak nie oznacza to, ¿e nie istnieje model teoriopolowy, który by takie kwantowanie rzutowania opisywa³. Musia³by on jedynie zak³adaæ, ¿e po pierwsze spinowe stopnie swobody (z ci¹g³ym rozk³adem jego kierunku przed pomiarem) nie maj¹ (prostego) charakteru czasoprzestrzennego [@dziekuje; @za; @neutron], a po drugie, ¿e bezw³adnoœæ cz¹stki zwi¹zana ze spinowymi stopniami swobody jest bardzo ma³a w porównaniu z si³¹ sprzê¿enia tych spinowych stopni swobody z otoczeniem (np. ", "aparatur¹ traktowan¹ jako rezerwuar), którego moment pêdu ignorujemy. ", "Wtedy przejœcie cz¹stki ze spinem przez jak¹kolwiek aparaturê pomiarow¹ typu Sterna-Gerlacha porz¹dkowa³oby jej spin w sposób dyskretny. ", "Oczywiœcie zmiana momentu pêdu aparatury ju¿ nas “nie interesuje”.\\\n\\\n[**£¹czn¹ przestrzeñ zdarzeñ**]{} $\\Omega_{ab}$ stanów spinowych pary cz¹stek 1 i 2 przyjmujemy jako nastêpuj¹c¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{4 zdarzenia EPR}\nS_{a}S_{b} \\equiv S_{ab} \\in \\Omega_{ab} = \\left\\{ S_{++},S_{--},S_{+-},S_{-+} \\right\\} \\equiv \\left\\{(++),(--),(+-),(-+)\\right\\} \\; .\\end{aligned}$$ Za³ó¿my, ¿e mo¿emy zdefiniowaæ cztery ³¹czne warunkowe prawdopodobieñstwa[^79] $P\\left(S_{ab}|\\vartheta \\right)$: $$\\begin{aligned}\n\\label{spinprawdop}\nP\\left(++|\\vartheta\\right) \\; , \\;\\; P\\left(--|\\vartheta\\right) \\; , \\;\\; P\\left(+-|\\vartheta\\right) \\; , \\;\\; P\\left(-+|\\vartheta\\right) \\; .", "\n$$ [**Warunek normalizacji prawdopodobieñstwa**]{} $P\\left(S_{a}S_{b}|\\vartheta\\right)$ w eksperymencie EPR-Bohm’a mo¿na, ze wzglêdu na wykluczanie siê ró¿nych zdarzeñ $S_{ab}$, (\\[4 zdarzenia EPR\\]), zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{normalizacja P daje wsp w qab}\nP\\left(\\bigcup\\limits _{ab}{S_{a}S_{b}|\\vartheta}\\right)} = \\sum\\limits_{ab}{P\\left(S_{a}S_{b}|\\vartheta\\right) = 1 \\; \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla \\;\\; ka\\dot{z}dego} \\;\\; \\vartheta \\in \\langle 0, 2\\pi)\\; .\\end{aligned}$$ W analizie estymacyjnej postulujemy, ¿e prawdopodobieñstwo $P\\left(S_{ab}\\left|\\vartheta \\right.\\right)\\left|\\begin{array}{l}\n_{\\!\\!\\! ", "\\vartheta = \\hat{\\vartheta}}\n\\end{array}\\right.$ jest funkcj¹ estymatora $\\hat{\\vartheta}$ parametru $\\vartheta$.\\\n\\\n[**Metoda estymacji**]{}: Korzystaj¹c z proporcjonalnoœci prawdopodobieñstw(\\[spinprawdop\\]) do obserwowanej liczebnoœci zdarzeñ w detektorze, oszacowuje siê wartoœæ k¹ta $\\vartheta$. Jednak, aby to uczyniæ, trzeba mieæ model analitycznych formu³ na prawdopodobieñstwa (\\[spinprawdop\\]). ", "Poni¿ej wyprowadzimy je metod¹ EFI.\\\n\\\n[**Sformu³owanie warunków brzegowych**]{}.\\\n\\\n(1) Poniewa¿ zdarzenia (\\[4 zdarzenia EPR\\]) wykluczaj¹ siê wzajemnie i rozpinaj¹ ca³¹ przestrzeñ zdarzeñ, wiêc pierwszym warunkiem brzegowym jest [**warunek normalizacji**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{normalizacja prawd dla EPR}\n\\sum_{ab}{P\\left(S_{ab}\\right)} = P\\left(S_{++}\\right)+P\\left(S_{+-}\\right)+P\\left(S_{-+}\\right)+P\\left(S_{--}\\right) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ spe³niony niezale¿nie od wartoœci k¹ta $\\vartheta$.\\\n\\\nDla ka¿dego zdarzenia $ab$ prawdopodobieñstwa $P\\left(S_{ab}\\right)$ oraz $P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right)$ s¹ ze sob¹ zwi¹zane nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{srednia z PSab theta}\nP\\left(S_{ab}\\right) = \\int\\limits_{0}^{2\\pi} {P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right) r\\left(\\vartheta\\right) d\\vartheta} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie uœrednienie nast¹pi³o z tzw. [*", "funkcj¹ niewiedzy*]{} $r(\\vartheta)$. Ze wzglêdu na warunki unormowania (\\[normalizacja P daje wsp w qab\\]) oraz (\\[normalizacja prawd dla EPR\\]) otrzymujemy jej mo¿liw¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{prawdkat}\nr(\\vartheta)=\\frac{1}{2\\pi} \\; ,\\quad\\quad0\\le \\vartheta < 2 \\pi \\; ,\\end{aligned}$$ która oznacza, ¿e w zakresie aparaturowej zmiennoœci ustawienia wartoœci k¹ta $\\vartheta \\in \\left\\langle 0, 2 \\pi \\right)$, z powodu naszej niewiedzy, jest mo¿liwa w równym stopniu ka¿da jego wartoœæ.\\\n\\\n[**Uwaga o wartoœci k¹ta $\\vartheta$**]{}: Wartoœæ $\\vartheta$ jest zwi¹zana z ustawieniem aparatury pomiarowej Sterna-Gerlacha ,,$a$” i ,,$b$”, i trudno j¹ (na serio) traktowaæ jako wielkoœæ posiadaj¹c¹ rozproszenie. ", "Zasadnicza $\\vartheta$ jest parametrem charakterystycznym dla przeprowadzonego eksperymentu. ", "Niemniej przez niektórych $r(\\vartheta)$ jest widziane jako ,,prawdopodobieñstwo” znane a priori, co oznacza, ¿e wyprowadzon¹ w ten sposób mechanikê kwantow¹ nale¿a³oby traktowaæ jako statystyczn¹ teoriê Bayesowsk¹ [@stany; @koherentne].\\\n\\\n(2) Kolejne warunki wynikaj¹ z [**symetrii uk³adu i zasady zachowania ca³kowitego spinu**]{} przy czym w eksperymencie [*wzglêdny orbitalny moment pêdu wynosi zero*]{}.\\\n\\\nRozwa¿my prosty przypadek $\\vartheta=0$, gdy obie p³aszczyzny, w których ustawione s¹ urz¹dzenia Sterna-Gerlacha s¹ tak samo zorientowane. ", "Z warunku zachowania ca³kowitego spinu wynika: $$\\begin{aligned}\n\\label{vartheta zero}\nP\\left(++|0\\right)=P\\left(--|0\\right)=0 \\; ,\\quad \\vartheta=0\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e w tym ustawieniu aparatury nigdy nie zobaczymy obu spinów jednoczeœnie skierowanych w górê czy w dó³. Analogicznie, jeœli k¹t $\\vartheta=\\pi$, to warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{vartheta pi}\nP\\left(+-|\\pi\\right)=P\\left(-+|\\pi\\right)=0,\\quad \\vartheta = \\pi \\; \\end{aligned}$$ oznacza, ¿e w tym przypadku nigdy nie zobaczymy spinów ustawionych jeden w górê drugi w dó³. W konsekwencji z zasady zachowania ca³kowitego spinu otrzymujemy, ¿e jeœli $\\vartheta=0$ lub $\\vartheta=\\pi$, to zawsze obserwacja jednego spinu daje nam ca³kowit¹ wiedzê o drugim. ", "W tym przypadku stany spinów wyraŸnie nie s¹ niezale¿ne, s¹ stanami skorelowanymi. ", "Wniosek ten jest intuicyjnie zawarty w sposobie ich przygotowania.\\\n\\\nNastêpnie, poniewa¿ $P\\left(S_{b}|\\vartheta\\right)$ jest prawdopodobieñstwem brzegowym wyst¹pienia okreœlonej wartoœci rzutu spinu cz¹stki 2, zatem nie zale¿y ono od $S_{a}$, czyli od orientacji rzutu spinu cz¹stki 1, wiêc nie zale¿y równie¿ od k¹ta $\\vartheta$ pomiêdzy wektorami $\\vec{a}$ oraz $\\vec{b}$. Mamy wiêc: $$\\begin{aligned}\n\\label{Sb}\nP\\left(S_{b}|\\vartheta\\right) = C = const. ", "\\end{aligned}$$ St¹d $$\\begin{aligned}\n\\label{warunek poczatkowy dla Sb}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "P\\left(S_{b}\\right) = \\int\\limits_{0}^{2\\pi} {P\\left(S_{b}|\\vartheta\\right) r\\left(\\vartheta\\right) d\\vartheta} = C \\int\\limits_{0}^{2\\pi} {r\\left(\\vartheta\\right) d\\vartheta} = C \\quad \\;\\; {\\rm dla} \\;\\;\\; S_{b} = +,- \\;\\, , \\end{aligned}$$ gdzie $r(\\vartheta)$ jest okreœlone w (\\[prawdkat\\]).\\\n\\\nZ warunku unormowania prawdopodobieñstwa zdarzenia pewnego, mamy $$\\begin{aligned}\n\\label{cpol}\nP\\left(S_{b}=+\\right)+P\\left(S_{b} = - \\right) = C + C = 2C = 1 \\;\\;\\; {\\rm czyli} \\;\\;\\; C = \\frac{1}{2} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem z (\n\n\\[Sb\\]) otrzymujemy, ¿e[^80] : $$\\begin{aligned}\n\\label{pol}\nP\\left(S_{b}|\\vartheta\\right) = \\frac{1}{2} \\; ,\\end{aligned}$$ natomiast z (\\[warunek poczatkowy dla Sb\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{Sb wycalkowane}\nP\\left(S_{b}\\right) = \\frac{1}{2} \\; .\\end{aligned}$$\\\nInn¹ wa¿n¹ w³asnoœci¹ symetrii przestrzennej eksperymentu jest brak preferencji wystêpowania spinu skierowanego w górê czy w dó³, tzn: $$\\begin{aligned}\n\\label{symetriaEPR}\nP\\left(S_{+-}|\\vartheta\\right)=P\\left(S_{- +}|\\vartheta\\right)\\quad {\\rm oraz} \\quad P\\left(S_{++}|\\vartheta\\right)=P\\left(S_{--}|\\vartheta\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e jeœli obserwowalibyœmy eksperyment dla uk³adu odwróconego wzglêdem osi $x$ o k¹t $\\pi$, to statystyczny wynik by³by dok³adnie taki sam. ", "Z (\\[symetriaEPR\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{++ = - -}\nP\\left(S_{++}\\right)=\\int{P\\left(S_{++}|\\vartheta\\right)r\\left(\\vartheta\\right)d\\vartheta}=\\int{P\\left(S_{--}|\\vartheta\\right)r\\left(\\vartheta\\right)d\\vartheta}=P\\left(S_{--}\\right)\\end{aligned}$$ oraz w sposób analogiczny: $$\\begin{aligned}\nP\\left(S_{+-}\\right)=P\\left(S_{-+}\\right)\\label{22} \\; .\\end{aligned}$$ Dodatkowo otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{doda}\nP\\left(S_{+-}\\right) &=& \\int{P\\left(S_{+-}|\\vartheta\\right) r\\left(\\vartheta\\right)d\\vartheta} = \\int{P\\left(S_{+-}|\\vartheta+\\pi\\right) r\\left(\\vartheta+\\pi\\right)d\\vartheta} \\nonumber \\\\\n& = & \\int{P\\left(S_{++}|\\vartheta\\right) r\\left(\\vartheta+\\pi\\right)\nd\\vartheta} = P\\left(S_{++}\\right) \\; , \\end{aligned}$$ gdzie w drugiej równoœci skorzystano ze zwyk³ej zamiany zmiennych $\\vartheta \\to \\vartheta + \\pi$, w trzeciej równoœci z tego, ¿e $P\\left(S_{+-}|\\vartheta+\\pi\\right) = P\\left(S_{++}|\\vartheta\\right)$, a w ostatniej z $r(\\vartheta)=1/{(2\\pi)} = r(\\vartheta+\\pi)$.\\\n\\\nJako konsekwencja (\\[++ = - -\\])-(\\[doda\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\nP\\left(S_{-+}\\right) = P\\left(S_{--}\\right) \\; .", "\n\\label{doda2}\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na (\\[++ = - -\\])-(\\[doda2\\]) oraz (\\[normalizacja prawd dla EPR\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\nP\\left(S_{ab}\\right) = \\frac{1}{4} \\; .", "\n\\label{laczneEPR}\\end{aligned}$$ W koñcu wzór Bayes’a na [*prawdopodobieñstwo warunkowe*]{} daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{warunkSab}\nP\\left(S_{a}|S_{b}\\right)=\\frac{P\\left(S_{ab}\\right)}{P\\left(S_{b}\\right)} = \\frac{1/4}{1/2} = \\frac{1}{2}\\quad {\\rm dla\\; ka\\dot{z}dego }\\;\\; S_{a}, S_{b} \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Koñcowe uwagi o warunkach brzegowych**]{}: Zauwa¿my, ¿e jak dot¹d w wyprowadzeniu zale¿noœci (\\[vartheta zero\\]) do (\\[warunkSab\\]) nie skorzystano z EFI. ", "S¹ to bowiem warunki brzegowe dla równañ metody EFI. ", "Zale¿noœci te wynika³y z pocz¹tkowej obserwacji istnienia dla cz¹stki o spinie po³ówkowym dok³adnie dwóch mo¿liwych rzutów spinu na dowolny kierunek (por. ", "Uwaga na pocz¹tku rozdzia³u), zasady zachowania ca³kowitego momentu pêdu oraz z symetrii uk³adu. ", "Przy wyborze rozwi¹zania równania generuj¹cego rozk³ad, skorzystamy jeszcze z warunku geometrycznej symetrii uk³adu przy obrocie o k¹t $\\vartheta = 2 \\pi$.\\\n\n### Pojemnoœæ informacyjna dla zagadnienia EPR-Bohm’a {#Pojemnosc informacyjna zagadnienia EPR}\n\nPoni¿ej wyprowadzimy wyra¿enia dla prawdopodobieñstw (\\[spinprawdop\\]) jako wynik estymacji rozk³adów metod¹ EFI.\\\n\\\n[**Wielkoœæ mierzona przez obserwatora**]{}: Obserwator zewnêtrzny mierzy jedynie wartoœæ rzutu spinu jednej cz¹stki *powiedzmy, ¿e cz¹stki* 1, to znaczy $S_{a}$, natomiast nie mierzy wartoœci rzutu spinu drugiej cz¹stki $S_{b}$, jest ona traktowana jako wielkoœæ nieznana, ale ustalona. ", "Równie¿ wartoœæ $S_{b}$ nie jest estymowana z obserwacji $S_{a}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie przestrzeni po³o¿eñ dla EFI**]{}: Podobnie jak poprzednio uk³ad sam próbkuje swoimi Fisherowskimi kinetycznymi stopniami swobody dostêpn¹ mu przestrzeñ po³o¿eñ. ", "Tym razem jest to jednowymiarowa przestrzeñ k¹ta $\\vartheta$.\\\nNa podstawie danych pomiarowych wartoœci rzutu spinu $S_{a}$, estymujemy metod¹ EFI k¹t $\\vartheta$ pomiêdzy dwoma p³aszczyznami zaznaczonymi na rysunku \\[fig:5\\]. ", "K¹t ten jest wiêc traktowany jako nieznany parametr i jest estymowany z obserwacji $S_{a}$.\\\n\\\n[**Okreœlenie funkcji wiarygodnoœci i przestrzeni próby**]{}: Poniewa¿ dokonujemy pomiaru $S_{a}$, a $S_{b}$ oraz $\\vartheta$ s¹ nieznanymi, ale ustalonymi wielkoœciami, zatem funkcjê wiarygodnoœci dla powy¿ej postawionego problemu zapiszemy nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{finkcja wiaryg dla vartheta}\nP\\left(S_{a}|S_{b}, \\vartheta\\right) \\; \\rightarrow \\;\\;\\;\\; {\\rm funkcja \\;\\; wiarygodno\\acute{s}ci \\;\\; pr\\acute{o}by \\;\\; dla} \\;\\; \\vartheta \\, .\\end{aligned}$$ Jej postaci szukamy, wykorzystuj¹c metodê EFI. ", "Jednak postaæ informacji Fishera, która by³aby miar¹ precyzji estymacji k¹ta $\\vartheta$ opartej o pomiar $S_{a}$, wynikaæ bêdzie z jej pierwotnej postaci (\\[postac I koncowa w pn\\]) dla wymiaru próby $N=1$.\\\n\\\nSkoro wiêc $\\vartheta$ jest estymowanym parametrem, zatem pe³ni on teraz tak¹ rolê jak parametrem $\\theta$ w wzorze (\\[postac I koncowa w pn\\]), w którym, obok podstawienia $\\theta\\to \\vartheta$, nale¿y dokonaæ nastêpuj¹cych podstawieñ: $$\\begin{aligned}\n\\label{N oraz wartosci y w funkcji wiaryg dla EPR}\nn = N = 1 \\; \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; \\int{dy^{1}} \\to \\sum\\limits_{a} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie przestrzeni¹ (jednowymiarowej) próby jest zbiór $\\left\\{-1,+1\\right\\}$ wartoœci zmiennej losowej $S_{a}$.\\\n\\\n[**Amplitudy prawdopodobieñstwa**]{} $q_{ab}$ s¹ zdefiniowane jak zwykle nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{inffishEPR2}\nP\\left(S_{a}\\left|{S_{b},\\vartheta}\\right.\\right) = q_{ab}^{2}\\left(\\vartheta\\right) \\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Oczekiwana IF parametru $\\vartheta$. Pojemnoœæ informacyjna kana³u $(\\vartheta, S_{b})$**]{} jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "I_{b} &= & \\sum\\limits_{a=-}^{+}{\\frac{1}{P\\left(S_{a}\\left|{S_{b}, \\vartheta} \\right.\\right)}\\left(\\frac{\\partial P \\left(S_{a}\\left|{S_{b}, \\vartheta}\\right.\\right)}{\\partial \\vartheta}\\right)^{2}} = \\sum\\limits_{a=-}^{+}{\\frac{1}{q_{ab}^{2}} \\left(\\frac{\\partial q_{ab}^{2}}{\\partial \\vartheta}\\right)^{2}} = \\sum\\limits_{a=-}^{+}{\\frac{1}{q_{ab}^{2}}\\left(2q_{ab}\\frac{\\partial q_{ab}}{\\partial \\vartheta}\\right)^{2}} \\;\\;\\;\\; \\nonumber \\\\\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", " &=& 4\\sum\\limits_{a=-}^{+}{\\left(\\frac{\\partial q_{ab}}{\\partial \\vartheta}\\right)^{2}} \\; \\;\\;\\;\\;\\end{aligned}$$ i podsumowuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{inffishEPR}\nI_{b} \\equiv I\\left({S_{b},\\vartheta}\\right) = 4 \\sum\\limits_{a=-}^{+}{q_{ab}^{'2}\\left(\\vartheta\\right)} \\; ,\\quad S_{b} = \\left({+,-}\\right) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; q_{ab}^{'} \\equiv \\frac{dq_{ab}}{d\\vartheta} \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie sumowanie po $a$ odpowiada ca³kowaniu w informacji Fishera po przestrzeni bazowej.\\\nZwrócmy uwagê, ¿e $\\vartheta$ w powy¿szej formule na $I_{b} \\equiv I\\left({S_{b},\\vartheta}\\right)$ jest wyznaczone dla konkretnej wartoœci $\\vartheta$ i konkretnej wartoœci $S_{b}$ rzutu spinu cz¹stki 2. ", "Zatem jest to pojemnoœæ informacyjna jednego kana³u $(\\vartheta, S_{b})$ czyli [*informacja Fishera parametru*]{} $\\vartheta$ w tym kanale: $$\\begin{aligned}\n\\label{IF dla vartheta w EPR}\nI_{F}(\\vartheta) = I_{b} \\, . ", "\\end{aligned}$$ Powróæmy do warunków (\\[N oraz wartosci y w funkcji wiaryg dla EPR\\]). ", "Pierwszy z nich oznacza, ¿e ranga amplitudy pola jest równa $N=1$, drugi oznacza, ¿e [*przestrzeñ bazowa to teraz dwupunktowy zbiór wartoœci rzutu spinu cz¹stki*]{} 1 [*na kierunek ’$a$’.*]{} ", "W poni¿szych uwagach odniesiemy siê do tych elementów analizy.\\\n\\\n[**Uwaga o sumowaniu po $a$ w przestrzeni próby**]{}: Jako, ¿e $\\vartheta$ jest parametrem, a pomiary w próbie s¹ zwi¹zane z obserwacjami $S_{a}$, zatem zapis w (\\[inffishEPR\\]) wymaga pewnego wyjaœnienia. ", "Wyra¿enie (\\[inffishEPR\\]) reprezentuje dwa równania dla dwóch mo¿liwych wartoœci $S_{b}$. Poniewa¿ zmienn¹ w pomiarze jest rzut spinu cz¹stki 1, zatem sumowanie przebiega po dwóch mo¿liwych wartoœciach spinu $S_{a}=+,-.$ Tak wiêc, zapis $I\\left({S_{b},\\vartheta}\\right)$ wskazuje na [*informacjê zawart¹ w przestrzeni próby zmiennej*]{} $S_{a}$ dla cz¹stki $1$ na temat nieznanego k¹ta $\\vartheta$ w obecnoœci pewnej nieznanej, lecz ustalonej wartoœci rzutu spinu $S_{b}$ cz¹stki $2$.\\\n\\\n[**Ca³kowita pojemnoœæ informacyjna $I_{1_{a}}$ dla parametru $\\vartheta$**]{}: Poniewa¿ k¹t $\\vartheta$ jest parametrem, którego wartoœæ mo¿e siê zmieniaæ w sposób ci¹g³y w przedziale $\\langle0,2\\pi)$, st¹d zgodnie z (\\[inffishEPR\\]) mamy nieskoñczon¹ liczbê kana³ów informacji Fishera zwi¹zanych z wartoœciami $\\vartheta$. Dla ka¿dego z tej nieskoñczonej liczby kana³ów s¹ jeszcze dwa kana³y informacyjne zwi¹zane z mo¿liwymi wartoœciami dla $S_{b}$. Aby poradziæ sobie z tak¹ sytuacj¹ metoda EFI wykorzystuje pojedyncz¹, skalarn¹ informacjê (oznaczmy j¹ $I_{1_a}$), nazywan¹ pojemnoœci¹ informacyjn¹, wprowadzon¹ w Rozdziale \\[Pojecie kanalu informacyjnego\\]. ", "Wielkoœæ t¹ konstruujemy dokonuj¹c sumowania informacji po wszystkich mo¿liwych kana³ach. ", "Zatem, suma przebiegaæ bêdzie po wszystkich wartoœciach k¹ta $\\vartheta_{k}$ przy nieznanym rzucie spinu $S_{b}$ cz¹stki 2.\\\nTak wiêc, po pierwsze, pojemnoœæ informacyjna $I_{n k}$ dla jednego kana³u, wprowadzona po raz pierwszy w (\\[krzy4\\]), przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnosc jednego kanalu w EPR}\nI_{b k} = I \\left(S_{b},\\vartheta_{k}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Po drugie, w wyniku sumowania po wszystkich mo¿liwych wartoœciach k¹ta $\\vartheta_{k}$ oraz rzutach spinu $S_{b}$ cz¹stki 2, otrzymujemy [*ca³kowit¹ pojemnoœæ informacyjn¹ dla parametru*]{} $\\vartheta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pojemnoscEPR}\n& & I_{1_{a}} \\equiv \\sum\\limits_{b=-}^{+} \\sum\\limits_{k}{I\\left({S_{b},\\vartheta_{k}}\\right)} \\rightarrow \\nonumber \\\\ \n& & \\rightarrow I_{1_{a}} = \\sum\\limits_{b=-}^{+}{\\int\\limits_{0}^{2\\pi} d\\vartheta\\;I\\left({S_{b},\\vartheta}\\right)} = 4 \\sum\\limits_{b=-}^{+}\\sum\\limits_{a=-}^{+} {\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta}\\; q_{ab}^{'2}\\left(\\vartheta\\right)} \\equiv 4\\sum\\limits _{ab}{\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta}\\; q_{ab}^{'2}\\left(\\vartheta\\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie ca³kowanie pojawia siê z powodu zast¹pienia sumy dla dyskretnego indeksu $k$ ca³kowaniem po ci¹g³ym zbiorze wartoœci parametru $\\vartheta$. Oznacza to, ¿e po zrozumieniu czym jest pojedynczy $k$ - ty kana³ zwi¹zany z $\\vartheta$, wykonujemy w celu otrzymania ca³kowitej pojemnoœci informacyjnej ca³kowanie, które przebiega zgodnie z (\\[prawdkat\\]) od $0$ do $2\\pi$. W ostatniej linii wykorzystano (\\[inffishEPR\\]).\\\nSumowanie w (\\[pojemnoscEPR\\]) po $ab$ przebiega po wszystkich mo¿liwych kombinacjach ³¹cznej przestrzeni stanów $S_{ab}$ okreœlonej w (\\[4 zdarzenia EPR\\]). ", "Indeks ’$1_a$’ w $I_{1_a}$ oznacza, ¿e jest to pojemnoœæ informacyjna jednej cz¹stki, przy czym wyró¿niliœmy cz¹stkê 1, dla której pomiar dokonywany jest w analizatorze $a$. [**Pojemnoœæ informacyjna $I_{1_a}$ wchodzi do estymacyjnej procedury**]{} EFI.\\\n\\\n[**Uwaga o randze $N=1$**]{}. ", "Zachodzi pytanie: Jeœli oka¿e siê, ¿e tradycyjne formu³y mechaniki kwantowej dla eksperymentu EPR-Bohm’a pojawi¹ siê dla powy¿ej okreœlonej estymacji z $N=1$ (a tak siê istotnie stanie), to czy¿by pomiar odzia³ywania cz¹stki z aparatur¹ Sterna-Gerlach’a mia³ mieæ termodynamiczny charakter oddzia³ywania ma³ego uk³adu z termostatem, w zrozumieniu podanym na samym pocz¹tku Rozdzia³u \\[Warunki brzegowe\\]? ", "W koñcu, jak wiemy z poprzednich rozdzia³ów, rozwi¹zania z $N=1$ odnosz¹ siê do zjawisk termodynamicznych.", "\n\n### Informacja strukturalna. ", "Amplituda prawdopodobieñstwa {#Informacja strukturalna EPR}\n\nBior¹c pod uwagê ogóln¹ postaæ informacji strukturalnej (\\[Q dla niezaleznych Yn w d4y\\]) oraz uwagi Rozdzia³u \\[Pojemnosc informacyjna zagadnienia EPR\\] odnoœnie konstrukcji postaci $I_{1_a}$, (\\[pojemnoscEPR\\]), zauwa¿amy, ¿e [*informacja strukturalna*]{} $Q_{1_a}$ dla obserwowanej cz¹stki ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{strukturalnaEPR}\nQ_{1_a} \\equiv \\sum\\limits_{ab}{\\int\\limits_{0}^{2\\pi}{d\\vartheta}\\; q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\, \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab})} \\; .\\end{aligned}$$ Poni¿sza analiza zwi¹zana z wyprowadzeniem amplitud $q_{ab}$ jest podobna do analizy dla rozk³adu Boltzmanna w Rozdziale \\[fizykastatystyczna\\].\\\n\\\n[**Wariacyjna zasada informacyjna**]{}: Dla pojemnoœci informacyjnej $I$, (\\[pojemnoscEPR\\]), oraz informacji strukturalnej $Q$, (\\[strukturalnaEPR\\]) wariacyjna zasada informacyjna ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{zskalarnaEPR}\n\\delta_{(q_{ab})} K \\equiv \\delta_{(q_{ab})}\\left( I_{1_a} + Q_{1_a}\\right) = \\delta_{(q_{ab})} \\left(\\;\\int\\limits _{0}^{2\\pi} {d\\vartheta \\, k} \\right) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie zgodnie z ogóln¹ postaci¹ (\\[k form\\]), gêstoœæ ca³kowitej informacji fizycznej $k$ dla amplitud $q_{ab}$ jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{k EPR}\nk = 4 \\sum\\limits_{ab}{\\left(q_{ab}^{'2} + \\frac{1}{4} q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab})\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Rozwi¹zaniem problemu [*wariacyjnego*]{} (\\[zskalarnaEPR\\]) wzglêdem $q_{ab}$ jest [*równanie Eulera-Lagrange’a*]{} (\\[EL eq\\]) (por. (", "\\[euler\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{row E-L dla EPR}\n\\frac{d}{d\\vartheta}\\left(\\frac{\\partial k}{\\partial q_{ab}^{'}(\\vartheta)}\\right)=\\frac{\\partial k}{\\partial q_{ab}} \\; .\\end{aligned}$$ Z równania (\\[row E-L dla EPR\\]) dla $k$ jak w (\\[k EPR\\]) otrzymujemy, dla ka¿dego dwucz¹stkowego ³¹cznego stanu spinowego $S_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozweularaEPR}\nq_{ab}^{''}=\\frac{1}{2}\\frac{{d (\\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}))}}{{dq_{ab}}} \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ $q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab})$ jest jawnie jedynie funkcj¹ $q_{ab}$, wiêc ró¿niczka zupe³na zast¹pi³a pochodn¹ cz¹stkow¹ po $q_{ab}$ wystêpuj¹c¹ w (\\[row E-L dla EPR\\]).\\\n\\\n[**Zmodyfikowana obserwowana zasada strukturalna**]{}: Po wyca³kowaniu (\\[pojemnoscEPR\\]) przez czêœci, pojemnoœæ $I$ wynosi (por. (", "\\[postac I po calk czesci\\]), (\\[Cn\\]), (\\[Cn tilde\\])): $$\\begin{aligned}\n\\label{IEPR}\nI_{1_a} = 4\\sum\\limits _{ab}{\\int\\limits_{0}^{2\\pi} {d\\vartheta\\left({\\tilde{C}_{ab}-q_{ab}q_{ab}^{''}}\\right)}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{stalaCEPR}\n\\tilde{C}_{ab} = \\frac{1}{{2\\pi}}\\left({q_{ab}\\left({2\\pi}\\right)q_{ab}^{'} \\left({2\\pi}\\right)-q_{ab}\\left(0\\right)q_{ab}^{'}\\left(0\\right)}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Z powodu braku dodatkowych wiêzów $\\kappa =1$, zatem [*zmodyfikowana obserwowana zasada strukturalna*]{} $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}}_{EPR} + \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), jest ze wzglêdu na (\\[IEPR\\]) oraz (\\[strukturalnaEPR\\]), nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{u}\n4\\sum\\limits_{ab} \\left(- q_{ab}q_{ab}^{''} + \\tilde{C}_{ab} + \\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}) \\right) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Poni¿ej przekonamy siê, ¿e $\\widetilde{\\mathbf{C}}_{EPR} = 4 \\sum \\tilde{C}_{ab} = 0$.\\\n\\\nDla ka¿dego dwucz¹stkowego ³¹cznego stanu spinowego $S_{ab}$, obserwowana zasada strukturalna (\\[u\\]) ma wiêc postaæ (por. ", "\\[rownanie strukt E\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{mikroEPR}\n - q_{ab}q_{ab}^{''} + \\tilde{C}_{ab} + \\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Wraz z równaniem Eulera-Lagrange’a (\\[rozweularaEPR\\]), równanie (\\[mikroEPR\\]) pos³u¿y do wyprowadzenia równania generuj¹cego rozk³ad.\\\n\\\n[**Wyprowadzenia równania generuj¹cego**]{}: Wykorzystuj¹c w (\\[mikroEPR\\]) zwi¹zek (\\[rozweularaEPR\\]), otrzymujemy (por. (", "\\[row rozn z q oraz qF\\])) dla ka¿dego dwucz¹stkowego ³¹cznego stanu spinowego $S_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\frac{1}{2}q_{ab}\\frac{{d(\\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}))}}{{dq_{ab}}} = \\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}) + \\tilde{C}_{ab} \\; .\\end{aligned}$$ Zapiszmy powy¿sze równanie w wygodniejszej formie: $$\\begin{aligned}\n\\frac{{2dq_{ab}}}{{q_{ab}}}=\\frac{{d \\left(\\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab})\\right)}}{{\\frac{1}{4} q_{ab}^{2} \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}) + \\tilde{C}_{ab}}} \\; ,\\end{aligned}$$ z której po obustronnym wyca³kowaniu otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{jEPR}\n\\frac{1}{4} q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\texttt{q\\!F}_{ab}(q_{ab}) = \\frac{{q_{ab}^{2}(\\vartheta)}}{{A_{ab}^{2}}} - \\tilde{C}_{ab} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $A_{ab}^{2}$ jest w ogólnoœci zespolon¹ sta³¹.\\\n\\\n[**Równanie generuj¹ce**]{}: Podstawiaj¹c (\\[jEPR\\]) do (\\[rozweularaEPR\\]) otrzymujemy szukane ró¿niczkowe równanie generuj¹ce dla amplitud $q_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{row generujace dla amplitud w EPR}\nq_{ab}^{''}(\\vartheta) = \\frac{{q_{ab}(\\vartheta)}}{{A_{ab}^{2}}} \\; ,\\end{aligned}$$ bêd¹ce konsekwencj¹ obu zasad informacyjnych, strukturalnej i wariacyjnej.\\\n\\\n[**Rozwi¹zanie równania generuj¹cego**]{}: Poniewa¿ amplituda $q_{ab}$ jest rzeczywista, wiêc $A_{ab}^{2}$ te¿ musi byæ rzeczywiste. ", "Podobnie jak w rozdziale \\[rozdz.energia\\], poniewa¿ sta³a $A_{ab}^{2}$ jest rzeczywista, wiêc mo¿na j¹ przedstawiæ za pomoc¹ innej rzeczywistej sta³ej $a_{ab}$ jako $A_{ab}=a_{ab}$ lub $A_{ab} = i \\, a_{ab}$. Zatem istniej¹ dwie klasy rozwi¹zañ równania (\\[row generujace dla amplitud w EPR\\]).\\\n\\\nDla $A_{ab} = a_{ab}$, rozwi¹zanie (\\[row generujace dla amplitud w EPR\\]) ma charakter czysto [*eksponencjalny*]{}: $$\\begin{aligned}\nq_{ab}(\\vartheta) = B_{ab}^{''}\\exp\\left(-\\frac{\\vartheta}{a_{ab}}\\right) + C_{ab}^{''}\\exp\\left(\\frac{\\vartheta}{a_{ab}}\\right) \\; ,\\quad A_{ab}=a_{ab} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie sta³e $B_{ab}^{''}$ oraz $C_{ab}^{''}$ s¹ rzeczywiste.\\\n\\\nNatomiast dla $A_{ab} = i\\, a_{ab}$, rozwi¹zanie (\\[row generujace dla amplitud w EPR\\]) ma charakter [*trygonometryczny*]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{qabEPR}\nq_{ab}(\\vartheta) = B_{ab}^{'}\\sin\\left(\\frac{\\vartheta}{a_{ab}}\\right) + C_{ab}^{'}\\cos\\left(\\frac{\\vartheta}{a_{ab}}\\right)\\; ,\\quad A_{ab} = i \\, a_{ab} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $a_{ab}$, $B_{ab}^{'}$, $C_{ab}^{'}$ s¹ rzeczywistymi sta³ymi.\\\n\\\n[**Warunek niezmienniczoœci przy obrocie o $2 \\pi$**]{}: W rozwa¿anym obecnie przypadku[^81] wartoœci $\\vartheta$ s¹ k¹tem z ograniczonego zbioru $\\langle0, 2\\pi)$. Zatem z geometrycznej symetrii uk³adu przy obrocie o k¹t $2\\pi$ wynika, ¿e rozk³ad $P\\left(S_{a}|S_{b},\\vartheta\\right)$ jest równie¿ funkcj¹ okresow¹ zmiennej $\\vartheta$. Ze wzglêdu na (\\[inffishEPR2\\]) warunek ten oznacza, ¿e funkcja $q_{ab}(\\vartheta)$ powinna byæ okresowa, *zatem wybieramy rozwi¹zanie o charakterze* [**trygonometrycznym**]{}, przy czym Funkcje sin oraz cos w (\\[qabEPR\\]) s¹ funkcjami bazowymi tworz¹cymi amplitudê prawdopodobieñstwa $q_{ab}(\\vartheta)$.\\\n\\\n[**Funkcje bazowe**]{} na przestrzeni amplitud powinny byæ ortogonalne. ", "Z postaci $q_{a}$ w (\\[qabEPR\\]) wynika, ¿e funkcjami bazowymi s¹ funkcje ’sin’ oraz ’cos’. ", "Poniewa¿ $q_{a}$ jest okreœlone na przestrzeni parametru $\\vartheta \\in \\left\\langle 0, 2 \\pi\\right)$, zatem [*warunek ortogonalnoœci funkcji bazowych*]{} na tej przestrzeni: $$\\begin{aligned}\n\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\sin\\left({\\vartheta\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\vartheta{a_{ab}}}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}{a_{ab}}}\\right)}\\cos\\left({\\vartheta\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\vartheta{a_{ab}}}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}{a_{ab}}}\\right)=0\\label{ortogonalEPR}\\end{aligned}$$ daje po wyca³kowaniu postaæ sta³ych $a_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{warAEPR}\na_{ab}=\\frac{2}{{n_{ab}}} \\; ,\\quad\\quad {\\rm gdzie} \\;\\;\\; n_{ab} = 1,2,... \\;\\; .\\end{aligned}$$\\\n[**Warunek minimalizacji pojemnoœci $I$**]{}: Warunek (\\[warAEPR\\]) jest warunkiem na dopuszczalne wartoœci $a_{ab} = -i A_{ab}$ (por. (", "\\[qabEPR\\])), ale jak widaæ nie wskazuje on na ¿adn¹ z nich jednoznacznie. ", "Mo¿e to nast¹piæ, gdy ustalimy wartoœæ $n_{ab}$, co uczynimy ograniczaj¹c rozwa¿ania do zapostulowanego w Rozdziale \\[Poj inform zmiennej los poloz\\] warunku minimalizacji informacji kinetycznej $I \\rightarrow min$.\\\n\\\nZacznijmy od wyznaczenia sta³ej $\\tilde{C}_{ab}$, (\\[stalaCEPR\\]). ", "Po wstawieniu do (\\[stalaCEPR\\]) amplitudy (\\[qabEPR\\]) z (\\[warAEPR\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac stalej Cab}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "\\tilde{C}_{ab} \\!\\! &", "=& \\!\\! ", "\\frac{n_{ab}}{4 \\pi} \\, \\sin (\\pi \\, n_{ab}) \\\\\n&\\cdot& \\!\\! ", "\\left((B_{ab}^{'}-C_{ab}^{'})\n(B_{ab}^{'}+C_{ab}^{'}) \\cos (\\pi \\, n_{ab}) - 2 B_{ab}^{'} C_{ab}^{'} \\sin (\\pi \\, n_{ab}) \\right) = 0 \\, \n, \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \nn_{ab} = 1,2,... \\;\\; , \\;\\; \\nonumber\\end{aligned}$$ sk¹d po skorzystaniu z $I_{1_a} = 4\\sum\\limits{\\int {d\\vartheta({\\tilde{C}_{ab}-q_{ab}q_{ab}^{''}})}}$, (\\[IEPR\\]), oraz równania generuj¹cego (\\[row generujace dla amplitud w EPR\\]) pozwalaj¹cego wyeliminowaæ $q_{ab}^{''}$, otrzymujemy u¿yteczn¹ postaæ pojemnoœci informacyjnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac Iab w Aab i qab}\nI_{1_{a}} = - 4\\sum\\limits _{ab}{\\frac{1}{{A_{ab}^{2}}}\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; q_{ab}^{2}(\\vartheta)}} \\; .\\end{aligned}$$ Nale¿y jeszcze wyznaczyæ ca³kê w (\\[postac Iab w Aab i qab\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{piEPR}\n\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; q_{ab}^{2}\\left(\\vartheta\\right)} \\!\\! &", "\\equiv& \\!\\!", "\n\\int\\limits_{0}^{2\\pi} {d\\vartheta\\; P \\left({S_{a}\\left|{S_{b}, \\vartheta} \\right.} ", "\\right)} \n= \\int\\limits_{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\frac{P\\left(S_{a},S_{b},\\vartheta\\right)}{p\\left(\\vartheta,S_{b}\\right)}} = \\int\\limits_{0}^{2\\pi} {d\\vartheta \\frac{{p\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right)P\\left({S_{b}}\\right)}}{{p\\left({\\vartheta,S_{b}}\\right)}}} \\nonumber \\\\\n&=& \\int{d\\vartheta\\frac{{p\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right)\\frac{1}{2}}}{{p\\left({S_{b}\\left|\\vartheta\\right.}\\right)r\\left(\\vartheta\\right)}}}=\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\frac{{p\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right)\\frac{1}{2}}}{{\\frac{1}{2}\\frac{1}{{2\\pi}}}}} \\nonumber \\\\ &=& 2\\pi\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; p\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right)} \n= 2\\pi P \\left({S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right)=2\\pi\\frac{1}{2} = \\pi \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie w pierwszej linii i) wpierw skorzystano z definicji amplitudy, $q_{ab}^{2}\\left(\\vartheta\\right) = P\\left(S_{a}\\left|{S_{b},\\vartheta}\\right.\\right)$, (\\[inffishEPR2\\]), ii) nastêpnie z definicji prawdopodobieñstwa warunkowego, iii) znowu z definicji prawdopodobieñstwa warunkowego: $$\\begin{aligned}\n\\label{p od vartheta Sa warunek Sb}\np\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right) = \\frac{P\\left(S_{a},S_{b},\\vartheta\\right)}{ P\\left({S_{b}}\\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ nastêpnie w drugiej linii z $p\\left(\\vartheta, S_{b} \\right) = p\\left(S_{b}\\left|\\vartheta \\right. ", "\\right) r(\\vartheta)\\,$ (por. ", "Uwaga poni¿ej (\\[prawdkat\\])) oraz z wyra¿eñ (\\[prawdkat\\]), (\\[pol\\]) oraz w trzeciej linii z: $$\\begin{aligned}\n\\label{calka z p od vartheta Sa warunek Sb}\nP(S_{a}|S_{b}) = \\int_{0}^{2 \\pi} d \\vartheta \\, p\\left({\\vartheta,S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ a na koniec z (\\[warunkSab\\]).\\\nWykorzystuj¹c (\\[postac Iab w Aab i qab\\]), (\\[piEPR\\]) oraz $A_{ab} = i \\, a_{ab}$ i (\\[warAEPR\\]), mo¿emy wyraziæ informacjê $I_{1_a}$ poprzez sta³e $n_{ab}$, otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n\\label{I1piEPR}\n\\!\\!\\! ", "I_{1_a} = -Q_{1_a} = - 4\\sum\\limits _{ab}{\\frac{1}{{A_{ab}^{2}}}\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; q_{ab}^{2}}} = 4\\pi\\sum\\limits_{ab}{\\frac{1}{{a_{ab}^{2}}}} = \\pi\\sum\\limits_{ab}{n_{ab}^{2}} \\; , \\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\; n_{ab} = 1,2,... \\;\\, , \\;\\;\\end{aligned}$$ przy czym drug¹ z powy¿szych równoœci, a zatem i pierwsz¹, otrzymano korzystaj¹c z postaci informacji strukturalnej (\\[strukturalnaEPR\\]), (\\[jEPR\\]) oraz z (\\[postac stalej Cab\\]). ", "Zwi¹zek $Q_{1_a} = - I_{1_a}$ jest wyrazem ogólnego warunku (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]) spe³nienia przez metodê EFI oczekiwanej zasady strukturalnej (\\[ideal condition from K\\]).\\\n\\\nZ powy¿szego zwi¹zku wynika, ¿e warunek minimalizacji $I_{1_a}$ bêdzie spe³niony dla: $$\\begin{aligned}\n\\label{n_ab minimal I}\nn_{ab}=1 \\; , \\;\\;\\;\\; I_{1_a} \\rightarrow min \\;\\; , \\end{aligned}$$ dla dowolnych $S_{a}$ oraz $S_{b}$. Warunek $n_{ab}=1$ zgodnie z (\\[warAEPR\\]) odpowiada nastêpuj¹cej wartoœci $a_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{ss}\na_{ab} = 2 \\quad\\quad {\\rm dla\\;\\; dowolnych} \\;\\;\\; S_{a}\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\; S_{b} \\; .\\end{aligned}$$ Sumowanie w (\\[I1piEPR\\]) przebiega po wszystkich $S_{a}$ i $S_{b}$, zatem dla $n_{ab} = 1$, otrzymujemy wartoœæ minimaln¹ $I_{1_a}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{I EPR minimalna}\nI_{1_a \\,(min)} = \\pi \\sum\\limits_{a=-}^{+} \\sum\\limits_{b=-}^{+} {n_{ab}^{2}} = 4 \\pi \\; , \\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\; n_{ab} = 1 \\; . ", "\\end{aligned}$$ Tak wiêc otrzymaliœmy minimaln¹ wartoœæ pojemnoœci informacyjnej dla parametru $\\vartheta$.\n\n[**Wyznaczenie sta³ych w amplitudzie**]{}: W wyra¿eniu (\\[qabEPR\\]), które dla $a_{ab} = 2$ przyjmuje postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{qab dla a=2}\nq_{ab}(\\vartheta) = B_{ab}^{'}\\sin\\left(\\frac{\\vartheta}{2}\\right) + C_{ab}^{'}\\cos\\left(\\frac{\\vartheta}{2}\\right) \\; , \\end{aligned}$$ wystêpuj¹ jeszcze sta³e $B_{ab}^{'}$ oraz $C_{ab}^{'}$, które równie¿ musimy wyznaczyæ. ", "Wyznaczymy je korzystaj¹c z wczeœniej ustalonych w (\\[vartheta zero\\]), wartoœci ³¹cznego prawdopodobieñstwa warunkowego $P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right)$ dla $\\vartheta=0$.\\\nWyraŸmy wpierw $P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right)$ poprzez amplitudê $q_{ab}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{PqEPR}\nP\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right) \\equiv P\\left(S_{a}S_{b}|\\vartheta\\right) = \\frac{P\\left(S_{a}S_{b},\\vartheta\\right)}{r(\\vartheta)} = P\\left(S_{a}|S_{b},\\vartheta\\right)\\frac{P\\left(S_{b} \\, , \\vartheta\\right)}{r(\\vartheta)}\\nonumber \\\\\n=P\\left(S_{a}|S_{b},\\vartheta\\right)P\\left(S_{b}|\\vartheta\\right)=q_{ab}^{2}(\\vartheta)P\\left(S_{b}|\\vartheta\\right)=\\frac{1}{2}\\, q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z (\\[pol\\]). ", "Z równania (\\[PqEPR\\]) wynika, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{q Sab zero}\nq_{ab}(\\vartheta) = 0 \\; \\;\\; {\\rm je\\acute{s}li} \\;\\;\\; P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[q Sab zero\\]) oraz $P\\left(++|0\\right)=P\\left(--|0\\right)=0$, (\\[vartheta zero\\]), i wstawiaj¹c (\\[qab dla a=2\\]) dla $\\vartheta=0$ do (\\[PqEPR\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{ce}\nC_{++}^{'}=C_{--}^{'}=0 \\; .\\end{aligned}$$ Ponadto, korzystaj¹c z symetrii geometrycznej eksperymentu, $P\\left(S_{+-}|\\vartheta\\right)=P\\left(S_{- +}|\\vartheta\\right)$ oraz $P\\left(S_{++}|\\vartheta\\right)$ $=P\\left(S_{--}|\\vartheta\\right)$, zapisanej w (\\[symetriaEPR\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{wspol B prim dla q w EPR}\nB_{++}^{'} = B_{--}^{'} \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; B_{+-}^{'} = B_{-+}^{'} \\; ,\\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{C+- rowne C+- EPR}\nC_{+-}^{'} = C_{-+}^{'} \\; .\\end{aligned}$$ [**Analiza z wykorzystaniem metryki Rao-Fishera**]{}: Poni¿ej przekonamy siê, ¿e wyznaczenie pozosta³ych sta³ych $B_{ab}^{'}$ oraz $C_{ab}^{'}$ wymaga dodatkowego za³o¿enia, odnosz¹cego siê do postaci metryki Rao-Fishera na przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, szukanego statystycznego modelu.\\\nSzukanym rozk³adem prawdopodobieñstwa w eksperymencie EPR-Bohm’a jest dyskretny rozk³ad (\\[spinprawdop\\]) okreœlony na przestrzeni zdarzeñ $S_{a}S_{b} \\equiv S_{ab} \\in \\Omega_{ab}$, (\\[4 zdarzenia EPR\\]), i unormowany zgodnie z (\\[normalizacja P daje wsp w qab\\]) do jednoœci. ", "Zatem zbiór mo¿liwych wyników to: $$\\begin{aligned}\n\\label{wyniki lacznego pomiaru Sa i Sb}\ni \\equiv ab = (++),(--),(+-),(-+) \\;\\; .\\end{aligned}$$ Aplitudy prawdopodobieñstwa zwi¹zane z rozk³adem (\\[spinprawdop\\]) maj¹ zgodnie z (\\[PqEPR\\]) postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad na przestrzeni statystycznej EPR}\n\\tilde{q}_{i} \\equiv \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\, q_{ab}(\\vartheta) = \\sqrt{P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right)} \\; .\\end{aligned}$$ Zgodnie z (\\[qab dla a=2\\]) amplitudy $q_{ab}(\\vartheta)$ maj¹ nastêpuj¹ce pochodne: $$\\begin{aligned}\n\\label{pochodna qab dla EPR}\n\\frac{\\partial q_{ab}}{\\partial \\vartheta} = \\frac{1}{2}\\left(B_{ab}^{'}\\cos\\left(\\frac{\\vartheta}{2}\\right) - C_{ab}^{'}\\sin\\left(\\frac{\\vartheta}{2}\\right) \\right)\\; .\\end{aligned}$$ Dla $\\aleph=4$ wyników (\\[wyniki lacznego pomiaru Sa i Sb\\]), z ogólnego zwi¹zku (\\[metryka Rao-Fishera w ukladzie wsp - amplitudy\\]) okreœlaj¹cego metrykê Rao-Fishera $g_{ab} = 4 \\sum_{i=1}^{\\aleph} \\frac{\\partial q^{i}}{\\partial \\theta^{a}} \\frac{\\partial q^{i}}{\\partial \\theta^{b}} \\, $, otrzymujemy po skorzystaniu z (\\[rozklad na przestrzeni statystycznej EPR\\]) oraz (\\[pochodna qab dla EPR\\]) nastêpuj¹c¹ postaæ metryki $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}$ indukowanej z rozk³adu (\\[spinprawdop\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka Rao-Fishera dla EPR}\ng_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta) &=& 4 \\sum_{i=1}^{\\aleph=4} \\frac{\\partial \\tilde{q}_{i}}{\\partial \\vartheta} \\frac{\\partial \\tilde{q}_{i}}{\\partial \\vartheta} = 4 \\sum\\limits_{ab} \\frac{\\partial (\\frac{1}{\\sqrt{2}} q_{ab})}{\\partial \\vartheta} \\frac{\\partial (\\frac{1}{\\sqrt{2}} q_{ab})}{\\partial \\vartheta} \\nonumber \\\\ &=& \\frac{1}{2} \\sum_{ab} \\left( (B_{ab}^{'})^{2} + \\left((C_{ab}^{'})^{2} - (B_{ab}^{'})^{2}\\right) \\sin^{2} (\\frac{\\vartheta}{2}) - B_{ab}^{'} \\, C_{ab}^{'}\\sin(\\vartheta) \\right) \\; \\end{aligned}$$ na jednowymiarowej przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$ parametryzowanej w bazie $\\vartheta$.\\\n\\\nPo skorzystaniu z (\\[wspol B prim dla q w EPR\\]), postaæ metryki $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta)$, (\\[metryka Rao-Fishera dla EPR\\]), prowadzi dla $\\vartheta=0$ do warunku: $$\\begin{aligned}\n\\label{g dla vartheta = 0}\ng_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta=0) = \\frac{1}{2} \\sum_{ab} (B_{ab}^{'})^{2} = (B_{++}^{'})^{2} + (B_{+-}^{'})^{2} \\; \\;\\;\\; {\\rm dla } \\;\\; \\vartheta=0 \\; ,\\end{aligned}$$ natomiast dla $\\vartheta = \\pi$ do warunku: $$\\begin{aligned}\n\\label{g dla vartheta = pi}\ng_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta=\\pi) = \\frac{1}{2} \\sum_{ab} (C_{ab}^{'})^{2} = (C_{+-}^{'})^{2} \n\\;\\;\\;\\; {\\rm dla } \\;\\; \\vartheta = \\pi \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano równie¿ z (\\[ce\\]).\\\n\\\n[**Centralne za³o¿enie statystyczne dla eksperymentu EPR-Bohm’a**]{}: Za³ó¿my, ¿e [*w eksperymencie* ]{} EPR-Bohm’a [*metryka Rao-Fishera $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}$ na ${\\cal S}$ jest niezale¿na od wartoœci parametru*]{} $\\vartheta$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{Centralne zal stat dla EPR}\ng_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta) = g_{\\vartheta \\, \\vartheta} = const. \\; . ", "\\end{aligned}$$ W szczególnym przypadku warunek (\\[Centralne zal stat dla EPR\\]) oznacza, ¿e $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta=0) = g_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta=\\pi)$, co uwzglêdniaj¹c w zale¿noœciach (\\[g dla vartheta = 0\\]) oraz (\\[g dla vartheta = pi\\]) daje: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownanie dla B i C}\n(B_{++}^{'})^{2} + \\, (B_{+-}^{'})^{2} = (C_{+-}^{'})^{2} \\geq 0 \n\\; .\\end{aligned}$$ Warunek ten oznacza, ¿e $C_{+-}^{'} \\neq 0 \\, $, gdy¿ w przeciwnym wypadku, tzn. ", "dla $C_{+-}^{'}=0$, z warunku (\\[rownanie dla B i C\\]) oraz z (\\[ce\\]) otrzymalibyœmy zerowanie siê wszystkich wspó³czynników $B_{ab}^{'}$ oraz $C_{ab}^{'}$, co odpowiada³oby trywialnemu przypadkowi braku rozwi¹zania dla zagadnienia EPR. ", "Zatem otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{C+- niezerowe EPR}\nC \\equiv C_{+-}^{'} = C_{-+}^{'} \\neq 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie równoœci wspó³czynników wynika z (\\[C+- rowne C+- EPR\\]).\\\n\\\nW koñcu niezale¿noœæ $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}$ od wartoœci $\\vartheta$, (\\[Centralne zal stat dla EPR\\]), daje po skorzystaniu z postaci $g_{\\vartheta \\, \\vartheta}$, (\\[metryka Rao-Fishera dla EPR\\]), oraz z warunków (\\[ce\\]), (\\[wspol B prim dla q w EPR\\]) i (\\[C+- rowne C+- EPR\\]), warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{warunek z g dla dowolnego vartheta 1}\n\\sum_{ab} \\left( (C_{ab}^{'})^{2} - (B_{ab}^{'})^{2} \\right) \n= 2 \\,( \\,(C_{+-}^{'})^{2} - (B_{++}^{'})^{2} - \\,(B_{+-}^{'})^{2} ) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ czyli warunek pokrywaj¹cy siê z (\\[rownanie dla B i C\\]) oraz: $$\\begin{aligned}\n\\label{warunek z g dla dowolnego vartheta 2}\n\\sum_{ab} B_{ab}^{'} \\,C_{ab}^{'} = 2 (B_{+-}^{'} \\,C_{+-}^{'}) = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Warunek (\\[warunek z g dla dowolnego vartheta 2\\]) wraz z (\\[C+- niezerowe EPR\\]) oznacza: $$\\begin{aligned}\n\\label{zerowanie B+-}\nB_{+-}^{'} = B_{-+}^{'} = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano równie¿ z (\\[wspol B prim dla q w EPR\\]). ", "Po uwzglêdnieniu (\\[zerowanie B+-\\]) w (\\[warunek z g dla dowolnego vartheta 1\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{rownosc B2 i C2}\n(B_{++}^{'})^{2} = (C_{+-}^{'})^{2} \\; .\\end{aligned}$$ W koñcu zauwa¿my, ¿e ze wzglêdu na (\\[zerowanie B+-\\]) oraz (\\[C+- niezerowe EPR\\]), warunek istnienia nietrywialnego rozwi¹zania oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{nie zerowanie B++}\nB \\equiv B_{++}^{'} = B_{--}^{'} \\neq 0,\\end{aligned}$$ gdzie ponownie w równoœci skorzystano z (\\[wspol B prim dla q w EPR\\]).\\\nPodstawiaj¹c otrzymane wyniki dla wspó³czynników $B_{ab}^{'}$ oraz $C_{ab}^{'}$ do (\\[qab dla a=2\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{wynikqEPR}\nq_{++}(\\vartheta) = q_{--}(\\vartheta)=B\\sin\\left(\\vartheta/2\\right) \\; , \\;\\;\nq_{-+}(\\vartheta) = q_{+-}(\\vartheta)=C\\cos\\left(\\vartheta/2\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Jak widaæ, równoœæ wspó³czynników w zwi¹zkach (\\[C+- niezerowe EPR\\]) oraz (\\[nie zerowanie B++\\]) jest odbiciem równoœci odpowiednich amplitud, wynikaj¹cej z symetrii odbicia przestrzennego (\\[symetriaEPR\\]) oraz wzoru (\\[PqEPR\\]).\\\n\\\nMusimy jeszcze wyznaczyæ sta³e $B$ oraz $C$. ", "Z powodu warunku normalizacji prawdopodobieñstwa $P\\left(S_{a}S_{b}|\\vartheta\\right)$, (\\[normalizacja P daje wsp w qab\\]), otrzymujemy ze wzglêdu na (\\[PqEPR\\]) równanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{qkwa}\n\\frac{1}{2}\\left(q_{++}^{2}(\\vartheta)+q_{--}^{2}(\\vartheta)+q_{-+}^{2}(\\vartheta)+q_{+-}^{2}(\\vartheta)\\right) = 1 \\; .\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[wynikqEPR\\]) i (\\[qkwa\\]) mamy: $$\\begin{aligned}\nB^{2}\\sin^{2}\\left(\\vartheta/2\\right)+C^{2}\\cos^{2}\\left(\\vartheta/2\\right)=\\left(B^{2}-C^{2}\\right)\\sin^{2}\\left(\\vartheta/2\\right)+C^{2} = 1 \\; .\\end{aligned}$$ [**Koñcowa postaæ amplitud**]{}: Porównuj¹c wspó³czynniki stoj¹ce przy odpowiednich funkcjach zmiennej $\\vartheta$ po lewej i prawej stronie drugiej równoœci powy¿szego wyra¿enia, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac B oraz C}\nB^{2} = C^{2} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ co po wstawieniu do (\\[wynikqEPR\\]) daje ostatecznie rozwi¹zanie równania generuj¹cego (\\[row generujace dla amplitud w EPR\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{qEPR}\nq_{++}(\\vartheta) = q_{--}(\\vartheta) = \\pm \\sin\\left(\\vartheta/2\\right) \\; , \\quad \\;\\; q_{-+}(\\vartheta) = q_{+-}(\\vartheta) = \\pm \\cos\\left(\\vartheta/2\\right) \\; .\\end{aligned}$$ [**Wynik na prawdopodobieñstwo w eksperymencie EPR-Bohm’a**]{}: Podstawienie amplitudy (\\[qEPR\\]) do $P\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right) = \\frac{1}{2} \\, q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\,$, (\\[PqEPR\\]), daje wynik na ³¹czne prawdopodobieñstwo otrzymania okreœlonej kombinacji rzutów spinów przy zadanej wartoœci k¹ta $\\vartheta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{wynikEPR}\nP\\left(++|\\vartheta\\right) = P\\left(--|\\vartheta\\right)=\\frac{1}{2}\\sin^{2}\\left(\\vartheta/2\\right) , \\;\\; P\\left(+-|\\vartheta\\right) = P\\left(-+|\\vartheta\\right)=\\frac{1}{2}\\cos^{2}\\left(\\vartheta/2\\right) ,\\end{aligned}$$ [*który jest przewidywaniem mechaniki kwantowej*]{} [@Manoukian].\\\n\\\nNa koniec, podstawiaj¹c wartoœci otrzymanych wspó³czynników $B_{ab}^{'}$ oraz $C_{ab}^{'}$ do (\\[metryka Rao-Fishera dla EPR\\]), otrzymujemy wartoœæ sta³ej $g_{\\vartheta \\vartheta}$ dla jedynej sk³adowej metryki Rao-Fishera w (\\[Centralne zal stat dla EPR\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{metryka w EPR}\ng_{\\vartheta \\, \\vartheta}(\\vartheta) = g_{\\vartheta \\, \\vartheta} = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ która zgodnie (\\[stalosc il wewn dla Euklidesowego ukl wsp\\]) jest metryk¹ samo-dualnego (Euklidesowego) uk³adu wspó³rzêdnych $\\vartheta$ na jednowymiarowej przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$.\\\n\\\n[**Ró¿nica pomiêdzy przedstawionym wyprowadzeniem a analiz¹ w [@Frieden]**]{}: Wynik (\\[wynikEPR\\]) w ramach medody EFI, zosta³ oryginalnie wyprowadzony w [@Frieden], jednak¿e powy¿szy sposób wyprowadzenia ró¿ni siê w dwóch miejscach. ", "Po pierwsze, warunki brzegowe zosta³y ujêtne w sposób bardziej przejrzysty [@Mroziakiewicz], a po drugie w [@Frieden] odwo³ano siê do w³asnoœci ortogonalnoœci wprowadzonych tam kwantowych amplitud, o czym wspomnimy na koñcu rozdzia³u, a czego w powy¿szym wyprowadzeniu unikniêto, wprowadzaj¹c w to miejsce [*warunek niezale¿noœci metryki Rao-Fishera od wartoœci parametru $\\vartheta$*]{}.\\\n\\\n[**Wnioski**]{}: W (\\[laczneEPR\\]) wyznaczono ³¹czne prawdopodobieñstwo $P\\left({S_{ab}}\\right)=\\frac{1}{4}$. Z drugiej strony w (\\[Sb wycalkowane\\]) otrzymano $P(S_{b})=1/2$ (i analogicznie $P(S_{a})=1/2$), z czego wynika, ¿e: $$\\begin{aligned}\n\\label{niezalezne}\nP\\left({S_{ab}}\\right)=P\\left({S_{a}}\\right)P\\left({S_{b}}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ który to warunek oznacza niezale¿noœæ spinowych zmiennych $S_{a}$ oraz $S_{b}$.\\\n\\\nNatomiast z (\\[wynikEPR\\]) widaæ, ¿e efekt korelacji spinu zmienia siê bardzo mocno wraz z wartoœci¹ k¹ta $\\vartheta$ i w samej rzeczy porównanie (\\[wynikEPR\\]) z (\\[pol dla Sa\\]) i (\\[pol\\]) daje warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{nierownosc P z brzegowymi dla zaleznosci od kata w EPR}\nP\\left(S_{ab}|\\vartheta\\right)\\neq P\\left(S_{a}|\\vartheta\\right)P\\left(S_{b}|\\vartheta\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Relacje (\\[niezalezne\\]) oraz (\\[nierownosc P z brzegowymi dla zaleznosci od kata w EPR\\]) nie s¹ jednak w sprzecznoœci. ", "Istotnie, poniewa¿ prawdopodobieñstwa $P\\left({S_{ab}}\\right)$, $P\\left({S_{a}}\\right)$ oraz $P\\left({S_{b}}\\right)$ s¹ wyznaczone na skutek uœrednieñ po wszystkich wartoœciach k¹ta $\\vartheta$, zatem mo¿na by³o oczekiwaæ, ¿e po dokonaniu tych uœrednieñ korelacja zmniejszy siê. ", "Zauwa¿my, ¿e w (\\[niezalezne\\]) nie ma zale¿noœci od $\\vartheta$, co wynika z tego, ¿e prawdopodobieñstwo $P\\left({S_{ab}}\\right)$ z definicji okreœla równoczesne pojawienie siê kombinacji rzutów spinów $S_{ab}$ niezale¿nie od informacji o zmiennej k¹towej $\\vartheta$. Podobnie, $P\\left({S_{a}}\\right)$ oraz $P\\left({S_{b}}\\right)$ okreœlaj¹ prawdopodobieñstwa odpowiadaj¹cych im zdarzeñ w sytuacji pozbycia siê informacji o k¹cie $\\vartheta$.\\\nRównanie (\\[niezalezne\\]) mówi wiêc, ¿e w sytuacji uœrednienia po k¹cie $\\vartheta$, czyli wtedy gdy zmienna ta jest pod kontrol¹, zmienne $S_{a}$ oraz $S_{b}$ rzutów spinów s¹ niezale¿ne, wiêc s¹ równie¿ ca³kowicie nieskorelowane.\\\nNatomiast wynik (\\[nierownosc P z brzegowymi dla zaleznosci od kata w EPR\\]) dla eksperymentu EPR-Bohm’a zachodzi wtedy, gdy dokonujemy estymacji k¹ta $\\vartheta$ metod¹ EFI, czyli w sytuacji oczywistego braku uœrednienia po $\\vartheta$.\\\n\\\n[**Porównanie stwierdzeñ o uœrednieniu**]{}: Powy¿szy wynik ma interesuj¹c¹ fizyczn¹ interpretacjê. ", "Mianowicie twierdzenie Ehrenfesta mówi, ¿e œrednie wartoœci kwantowych operatorów s¹ równe ich klasycznym odpowiednikom. ", "W jego œwietle wyra¿enie (\\[niezalezne\\]) mówi, ¿e w przypadku uœrednienia po k¹cie $\\vartheta$ stany spl¹tane EPR-Bohm’a, na powrót ulegaj¹ klasycznej separacji. ", "W analizie statystycznej mówimy, ¿e po wyeliminowaniu wp³ywu zmiennej trzeciej, któr¹ jest k¹t $\\vartheta$, okaza³o siê, ¿e zmienne rzutów spinów $S_{a}$ i $S_{b}$ s¹ nieskorelowane.\\\n\\\n[**Uwaga o wyprowadzeniu Friedena [@Frieden]**]{}: Warunek niezale¿noœci wyprowadzenia formu³ (\\[wynikqEPR\\]) od mechaniki kwantowej mo¿na by nieco os³abiæ, tzn. ", "na tyle, aby statystycznoœæ teorii by³a dalej widoczna. ", "Frieden uczyni³ to, jak nastêpuje [@Frieden]:\\\nPoka¿my, ¿e $q_{ab}(\\vartheta)$ jest proporcjonalna do “[*kwantowej*]{}” [*amplitudy*]{} $\\psi_{ab}(\\vartheta)$, parametryzowanej parametrem $\\vartheta$ dla stanów (\\[4 zdarzenia EPR\\]). ", "Niech $P\\left(S_{ab},\\vartheta\\right)$ jest prawdopodobieñstwem pojawienia siê konfiguracji $(a,b)$ rzutu spinów, [*podczas gdy*]{} parametr wynosi $\\vartheta$. Nie jest to prawdopodobieñstwo ³¹czne zajœcia zdarzenia: “pojawi³a siê konfiguracji $(a,b)$ rzutu spinów oraz k¹t $\\vartheta$”, gdy¿ ten ostatni nie jest zmienn¹ losow¹.\\\n\\\nFunkcjê $\\psi_{ab}(\\vartheta)$ okreœlimy tak, ¿e kwadrat jej modu³u spe³nia zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{k}\n|\\psi_{ab}(\\vartheta)|^{2} \\equiv |\\psi_{ab}\\left({\\vartheta\\left|{S_{ab}} \\right.}\\right)|^{2} \n\\equiv p\\left({\\vartheta\\left|{S_{ab}}\\right.}\\right) = \\frac{P\\left(S_{ab},\\vartheta\\right)}{P\\left(S_{ab}\\right)} \\; ,\\end{aligned}$$ tzn. [**", "jest prawdopodobieñstwem, ¿e skoro pojawi³aby siê ³¹czna konfiguracja spinów $S_{ab}$, to wartoœæ k¹ta wynosi**]{} $\\vartheta$.\\\nProblem polega na tym, ¿e $q_{ab}(\\vartheta)$ opisuje losowe zachowanie zmiennej spinowej $S_{a}$, a nie $\\vartheta$, co oznacza, ¿e $q_{ab}(\\vartheta)$ jest amplitud¹ typu $\\psi_{\\vartheta}({ab})$, a nie $\\psi_{ab}({\\vartheta})$.\\\nAby pokazaæ, ¿e $q_{ab}(\\vartheta)$ jest proporcjonalna do $\\psi_{ab}(\\vartheta)$, skorzystajmy z (\\[k\\]), a nastêpnie z twierdzenia Bayesa oraz definicji prawdopodobieñstwa warunkowego: $$\\begin{aligned}\n\\label{d}\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", "|\\psi_{ab}(\\vartheta)|^{2} & = & \\frac{P\\left(S_{ab},\\vartheta\\right)}{P\\left(S_{ab}\\right)} = \\frac{P(S_{ab}\\left|{\\vartheta}\\right.) ", "r(\\vartheta)}{P(S_{ab}\\left|{S_{b}}\\right.)P\\left(S_{b}\\right)} = \\frac{P(S_{ab}\\left|{\\vartheta}\\right.) ", "r(\\vartheta)}{P(S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.)P\\left(S_{b}\\right)} = \\frac{{P(S_{a}\\left|{S_{b},\\vartheta}\\right.)P\\left({S_{b}}\\right)r(\\vartheta)}}{{P(S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.)P\\left({S_{b}}\\right)}} \\;\\;\\; \\nonumber \\\\\n\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\! ", " &=& \\frac{{q_{ab}^{2}\\left(\\vartheta\\right) r(\\vartheta)}}{{P(S_{a}\\left|{S_{b}}\\right.) }} \\; . \\;\\;\\; ", "\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[prawdkat\\]), (\\[warunkSab\\]) oraz (\\[inffishEPR2\\]), otrzymujemy wiêc z (\\[d\\]), ¿e $$\\begin{aligned}\n|\\psi_{ab}(\\vartheta)|^{2} = \\frac{1}{\\pi}\\, q_{ab}^{2}(\\vartheta) \\; ,\n\\label{proporcEPR}\\end{aligned}$$ sk¹d $$\\begin{aligned}\n\\psi_{ab}(\\vartheta) = \\frac{e^{i\\alpha}}{\\pi}\\, q_{ab}(\\vartheta) \\; , \\quad \\alpha \\in \\mathbf{R} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem, $\\psi_{ab}(\\vartheta) \\propto q_{ab}(\\vartheta)$, co oznacza, ¿e[^82], skoro pojawi³a siê ³¹czna konfiguracja spinów $S_{ab}$, to amplituda prawdopodobieñstwa $\\psi_{ab}(\\vartheta)$, ¿e wartoœæ k¹ta wynosi $\\vartheta$, jest proporcjonalna do amplitudy prawdopodobieñstwa $q_{ab}(\\vartheta)$ zaobserwowania rzutu spinu $S_{a}$ cz¹stki 1 pod warunkiem, ¿e rzut spinu cz¹stki 2 wynosi³by $S_{b}$, a k¹t $\\vartheta$. Zdanie to jest wyrazem spl¹tania, które pojawi³o siê w kwanto-mechaniczno opisie eksperymentu EPR-Bohm’a.\\\n\\\nW koncu, ze wzglêdu na (\\[proporcEPR\\]), amplitudy $q_{ab}(\\vartheta)$ s¹ proporcjonalne do amplitud $\\psi_{ab}(\\vartheta)$. Zatem Frieden zarz¹da³ [**ortogonalnoœci amplitud kwantowych**]{} $\\psi_{++}$ i $\\psi_{+-}$, sk¹d automatycznie wyniknê³a ortogonalnoœæ amplitud $q_{++}$ oraz $q_{+-}$: $$\\begin{aligned}\n\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; q_{++}q_{+-}}=\\int\\limits _{0}^{2\\pi}{d\\vartheta\\; B_{++}^{'}\\sin\\left({\\vartheta\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\vartheta2}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}2}\\right)\\left[{B_{+-}^{'}\\sin\\left({\\vartheta\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\vartheta2}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}2}\\right)+C_{+-}^{'}\\cos\\left({\\vartheta\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\vartheta2}}\\right.\\kern -\\nulldelimiterspace}2}\\right)}\\right]} = 0 \\; ,\n\\label{ortogEPR}\\end{aligned}$$ co pozwoli³o na wyprowadzenie zerowania siê $B_{+-}^{'}$ oraz $B_{-+}^{'}$, (\\[zerowanie B+-\\]), a dalej (postêpuj¹c ju¿ jak powy¿ej) otrzymanie formu³ (\\[wynikEPR\\]).", "\n\n### Niepewnoœæ wyznaczenia k¹ta {#Niepewnosc wyznaczenia kata}\n\nIstnieje jeszcze jedna sprawa dotycz¹ca analizy estymacyjnej, opisanej powy¿szymi rachunkami, która wymaga podkreœlenia.\\\n\\\n[**Rozk³ad eksperymentalny**]{}: Otó¿ w rzeczywistym pomiarze badacz otrzymuje wartoœci rzutu spinu $S_{a}$ z okreœlonymi czêstoœciami, które s¹ oszacowaniami rozk³adu prawdopodobieñstwa (\\[wynikEPR\\]), co z kolei pozwala na punktowe oszacowanie k¹ta $\\vartheta$.\\\nAnaliza statystyczna metody EFI, która doprowadzi³a do (\\[wynikEPR\\]) jest, zgodnie z postulatem EFI, spraw¹ uk³adu dokonuj¹cego próbkowania przestrzeni pomiarowej po³o¿eñ i estymacji oczekiwanych parametrów[^83]. [*", "Jednak jako metoda statystyczna i ona podlega pod ograniczenie Rao-Cramera dok³adnoœci oszacowania estymowanego parametru, którym w tym przypadku jest $\\vartheta$*]{}. ", "Sytuacja ta ma nastêpuj¹ce konsekwencje.\\\n\\\n[**Wewnêtrzny b³¹d estymacji metody EFI parametru $\\vartheta$**]{}: Zauwa¿my, ¿e nierównoœæ Rao-Cramera ma postaæ, $\\sigma^{2}_{\\theta} \\, F \\ge 1/I_{F}\\left(\\vartheta\\right) \\,$, (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]), gdzie tym razem estymator $F \\equiv \\hat{\\vartheta}$. Z nierównoœci tej otrzymujemy warunek na wariancjê estymatora $\\hat{\\vartheta}$ k¹ta $\\vartheta$: $$\\begin{aligned}\n\\label{R-C dla IF dla EPR}\n\\mathop{\\sigma^{2}}\\left(\\hat{\\vartheta}\\right)\\ge\\frac{1}{I_{F}(\\vartheta)} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F}(\\vartheta) = I_{b}$ jest informacj¹ Fishera (\\[IF dla vartheta w EPR\\]), a nie pojemnoœci¹ informacyjn¹ $I_{1_a}$, (\\[pojemnoscEPR\\]), czy w konsekwencji jej wartoœci¹ minimaln¹ (\\[I EPR minimalna\\]). ", "Bez analizowania postaci estymatora $\\hat{\\vartheta}$, nierównoœæ Rao-Cramera (\\[R-C dla IF dla EPR\\]) okreœla DORC dla jego wariancji, o ile tylko estymator ten jest nieobci¹¿ony.\\\n\\\nWiemy te¿, ¿e poniewa¿ pojemnoœæ informacyjna jest sum¹ po kana³ach z odpowiadaj¹cych im informacji Fishera, wiêc: $$\\begin{aligned}\n\\label{relacja pojemnosci i IF dla EPR}\nI_{1_a} \\ge I_{F}(\\vartheta) \\; .", "\n\\label{okok}\\end{aligned}$$ Z (\\[relacja pojemnosci i IF dla EPR\\]) oraz z (\\[R-C dla IF dla EPR\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{I oraz IF oraz var dla EPR}\n\\frac{1}{I_{1_a}}\\le\\frac{1}{I_{F}(\\vartheta)} \\le \\mathop{\\sigma^{2}}\\left(\\hat{\\vartheta}\\right) \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ pojemnoœæ kana³u $I_{1_a}$ wed³ug (\\[I EPR minimalna\\]) wynosi: $$\\begin{aligned}\nI_{1_a} = 4 \\pi \\; ,\\end{aligned}$$ wiêc podstawiaj¹c t¹ wartoœæ do nierównoœci (\\[I oraz IF oraz var dla EPR\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{Rao-Cramer w EPR}\n\\mathop{\\sigma^{2}}\\left(\\hat{\\vartheta}\\right)\\ge\\frac{1}{4\\pi} \\approx 0.08 \\; {\\rm rad}^{\\,2} \\; .\\end{aligned}$$ [**Wniosek**]{}: Nierównoœæ (\\[Rao-Cramer w EPR\\]) stwierdza, ¿e obserwacja jednej wartoœci rzutu spinu *przy kompletnej nieznajomoœci k¹ta* $\\vartheta$ (st¹d (\\[prawdkat\\])) daje o nim ma³¹, lecz skoñczon¹ informacjê. ", "B³¹d jego estymacji $\\sqrt{0,08}\\; rad=0,28\\; rad$ jest doœæ du¿y, co jest zwi¹zane z p³ask¹ funkcj¹ “niewiedzy” $r(\\vartheta)$ okreœlon¹ w (\\[prawdkat\\]).", "\n\n#### Wp³yw zaszumienia pomiaru {#zaszumienie pomiaru}\n\nAnaliza EFI w obliczu pomiaru i p³yn¹cego z tego faktu zaszumienia danych wewnêtrznych EFI nie jest przedmiotem tego skryptu. ", "Zainteresowany czytelnik znajdzie omówienie tego tematu w [@Frieden; @Mroziakiewicz]. ", "Poni¿ej zamieszczam wniosek z analizy Mroziakiewicz [@Mroziakiewicz] dotycz¹cy tego problemu dla powy¿szej analizy eksperymentu EPR-Bohm’a.\\\n\\\nW pomiarze stanu uk³adu przez zewnêtrznego obserwatora, otrzymujemy dane zaszumione przez uk³ad pomiarowy. ", "Tzn. ", "dane pomiarowe rzutu spinu (oznaczmy je $\\bar{S}_{a}$) s¹ generowane przez prawdziwe wartoœci wielkoœci $S_{a},S_{b},\\vartheta$ w obecnoœci szumu aparatury pomiarowej. ", "Szum ten powstaje co prawda w urz¹dzeniach Sterna-Gerlacha $a$ oraz $b$, ale ze wzglêdu na za³o¿enie podane na samym pocz¹tku Rozdzia³u \\[Warunki brzegowe\\], z innych przyczyn ni¿ (przyjête jako równe zeru) fluktuacje rzutu spinu.\\\n\\\n[**IF uwzglêdniaj¹ca zaszumienie**]{}: Uzyskana przy tych danych informacja Fishera $I_{zasz}$ o parametrze $\\vartheta$, uwzglêdniaj¹ca [*zaszumienie*]{} pomiarowe, jest generowana przez informacjê Fishera $I_{F}(\\vartheta) = I_{b}$ (\\[IF dla vartheta w EPR\\]). ", "W tym sensie [*informacja Fishera $I_{F}(\\vartheta)$, (\\[IF dla vartheta w EPR\\]), procedury estymacyjnej EFI jest czêœci¹ informacji, która przejawia siê w pomiarze*]{}. ", "Zatem obok nierównoœci (\\[okok\\]) zachodzi równie¿: $$\\begin{aligned}\nI_{F}(\\vartheta) \\ge I_{zasz}(\\vartheta) \\; .\\end{aligned}$$ Ze wzglêdu na to, ¿e $I_{zasz}(\\vartheta)$ wchodzi w (\\[I oraz IF oraz var dla EPR\\]) w miejsce $I_{F}(\\vartheta)$, warunek ten oznacza pogorszenie jakoœci estymacji w porównaniu z (\\[Rao-Cramer w EPR\\]).", "\n\n### Informacja $Q$ jako miara spl¹tania\n\nTak jak we wszystkich problemach estymacyjnych rozwi¹zanych metod¹ EFI, tak i w eksperymencie EPR-Bohm’a wykorzystano przy estymacji k¹ta $\\vartheta$, obserwowan¹ zmodyfikowan¹ informacyjn¹ zasadê strukturaln¹ $\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0$, (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]), która ze wzglêdu na $\\kappa=1$ w eksperymencie EPR-Bohm’a[^84], daje na poziomie oczekiwanym zwi¹zek $Q_{1_a} = - I_{1_a}$, (\\[I1piEPR\\]), zgodnie z ogólnym warunkiem (\\[rownowaznosc strukt i zmodyfikowanego strukt\\]) metody EFI.\\\n\\\n[**Dostêpnoœæ pomiarowa $I_{1_a}$**]{}: Poniewa¿ nie mierzony by³ stan cz¹stki $2$, tzn. ", "rzut spinu $S_{b}$ w czasie naszej analizy móg³ przyj¹æ wartoœæ $+$ lub $-$, zatem pojemnoœæ informacyjna $I_{1_a}$ jest informacj¹ o k¹cie $\\vartheta$, zawart¹ w obserwacji rzutu spinu cz¹stki $1$ dokonanej przez uk³ad i zgodnej z dok³adnoœci¹ do szumu z obserwacj¹ dokonan¹ przez zewnêtrznego obserwatora[^85].\\\n\\\n[**Nieobserwowalna wewnêtrza struktura uk³adu odbita w $Q_{1_a}$**]{}: Natomiast informacja strukturalna $Q_{1_a}$ (\\[strukturalnaEPR\\]) dla cz¹stki $1$, jako pozosta³a czêœæ informacji fizycznej $K$, jest informacj¹ zawart¹ w nieobserwowanej wewnêtrznej strukturze informacyjnej ca³ego uk³adu. ", "Sugeruje to istnienie ³¹cznej, [*nieseparowalnej*]{} informacji strukturalnej dla cz¹stek $1$ i $2$. Zatem informacja o ³¹cznej strukturze uk³adu, to nie to samo co suma informacji o jego sk³adowych.\\\n\\\n[**Spl¹tanie stanów cz¹stek**]{}: Ze wzglêdu na $Q_{1_a} = - I_{1_a}$, przestrzeñ danych odbita w $I_{1_a}$, tzn. ", "obserwacje czêstoœci rzutu spinu cz¹stki $1$, jest na poziomie informacji, zwi¹zana z wewnêtrz¹ przestrzeni¹ konfiguracyjn¹ uk³adu odbit¹ w $Q_{1_a}$. Co prawda, ze wzglêdu na brak bezpoœredniego wgl¹du w relacje wewn¹trz uk³adu, mo¿emy jedynie ze skoñczon¹ dok³adnoœci¹ (Rozdzia³ \\[Niepewnosc wyznaczenia kata\\]) wnioskowaæ o k¹cie $\\vartheta$, jednak sam fakt mo¿liwoœci takiego wnioskowania okreœla sytuacjê nazywan¹ [*spl¹taniem stanów*]{} obu cz¹stek.\\\n\\\n[**Wniosek ogólny**]{}: Wynik ten prowadzi do stwierdzenia, ¿e strukturalna (wewnêtrzna) zasada informacyjna $I = - \\kappa Q$, stosowana dla ka¿dego rozwa¿anego problemu EFI, opisuje[^86] spl¹tanie przestrzeni danych obserwowanych[^87] z nieobserwowan¹ konfiguracj¹ uk³adu cz¹stek[^88]. ", "Postuluje to wykorzystywanie EFI jako formalizmu do predykcji wyst¹pienia stanów spl¹tanych i to nie tylko w przypadku problemu EPR-Bohm’a. ", "Tak wiêc, informacja strukturala $Q$ jest informacj¹ o ,,spl¹taniu” widocznym w korelacji danych przestrzeni pomiarowej z przestrzeni¹ konfiguracyjn¹ uk³adu.\\\n\\\nNa koniec wspomnijmy, ¿e inne traktowanie informacji fizycznej $K$ w [@Frieden] ni¿ w obecnym skrypcie, sprawia, ¿e wnioski tam otrzymane s¹ inne[^89].", "\n\nZakoñczenie\n===========\n\nCelem skryptu by³a prezentacja uogólnienia MNW oraz zastosowania IF w jej czêœci wnioskowania statystycznego dotycz¹cego estymacji niepartametrycznej metod¹ EFI, zaproponowan¹ przez Friedena i Soffera do opisu zjawisk fizycznych i ekonofizycznych. ", "Podstawy takiej analizy statystycznego opisu zjawisk zosta³y wprowadzonych w latach 20 ubieg³ego wieku przez Fishera.\\\nPocz¹tkowo Fisher wprowadzi³ MNW poszerzon¹ o pojêcie IF w celu rozwi¹zania problemu estymacji punktowej i przedzia³owej parametru rozk³adu zmiennej losowej w sytuacji ma³ej próby. ", "Jego statystystyczna metoda doboru modeli, konstruowana niezale¿nie od ówczeœnie rozwijanych teorii fizycznych, okaza³a siê jednak siêgaæ o wiele dalej, w obszar estymacji równañ fizycznych teorii pola, przy czym okaza³o siê, ¿e wielkoœæ (ma³ej) próby jest w tej estymacji cech¹ charakterystyczn¹ modeli. ", "Celowi temu poœwiêcona jest g³ówna czêœæ niniejszego skryptu.\\\n\\\nJesteœmy w punkcie, w którym mo¿na ju¿ daæ pewne wstêpne podsumowanie metody EFI jako procedury statystycznej budowania modeli. ", "Jest wiêc EFI metod¹ statystycznej estymacji równañ ruchu teorii pola lub równañ generuj¹cych rozk³ady fizyki statystycznej. ", "Gdy szukane równanie ruchu, wyestymowane metod¹ EFI poprzez rozwi¹zanie jej równañ (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) oraz (\\[var K rozpisana\\]), zosta³o otrzymane, wtedy mo¿e byæ dalej prowadzone poszukiwanie rozk³adu prawdopodobieñstwa na analitycznych warstwach przestrzeni statystycznej ${\\cal S}$, tzn. ", "na (pod)rozmaitoœci w ${\\cal S}$ z metryk¹ Rao-Fishera.\\\nMo¿e siê zdarzyæ, ¿e ³¹czny rozk³ad prawdopodobieñstwa jest analizowany przez EFI na ca³ej po³o¿eniowo-pêdowej przestrzeni fazowej uk³adu[^90] i to dla wiêcej ni¿ jednego pola. ", "Ma to np. ", "miejsce, gdy obok pola Diraca, obecne jest równie¿ pole cechowania (Rozdzia³ \\[foliation of S\\]). ", "Wtedy na warstwie rozk³adu fermionowego, w jego pochodnych kowariantnych, pole cechowania[^91] musi byæ samospójnie wziête pod uwagê.\\\nSedno metody EFI jest zawarte w ogólnej postaci informacji fizycznej $K$ zadanej przez równania (\\[TPI diag\\]) oraz (\\[k form\\]) (lub (\\[k form dla psi\\])). ", "Jest ona funkcj¹ zarówno obserwowanej informacji strukturalnej $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ jak i amplitud $q_{n}({\\bf x})$ (lub $\\psi_{n}({\\bf x})$) rozk³adów, wraz z ich pochodnymi. ", "Przy tak ogólnym zrozumieniu $K$, ró¿norodnoœæ równañ EFI jest konsekwencj¹ ró¿nych warunków wstêpnych dyktowanych przez fizykê. ", "Mog¹ siê one wyra¿aæ np. ", "poprzez równania ci¹g³oœci, które same s¹ wynikiem estymacji statystycznej [@Dziekuje; @informacja_2] (Rozdzia³ \\[master eq\\]), pewne symetrie charakterystyczne dla zjawiska (Rozdzia³ \\[Poj inform zmiennej los poloz\\]) oraz warunki normalizacyjne. ", "Wstêpne za³o¿enia fizyczne mog¹, poza ewentualnoœci¹ na³o¿enia dodatkowych równañ ci¹g³oœci, wskazywaæ równie¿ na zastosowanie jedynie wariacyjnej zasady informacyjnej, jak to ma miejsce w przypadku równania Kleina-Gordona dla pola skalarnego (Rozdzia³ \\[Klein-Gordon scalars\\]), b¹dŸ na obie zasady i ich samospójne rozwi¹zanie, jak to mia³o miejsce w pozosta³ych przypadkach.\\\n\\\nPodsumowuj¹c, przeszliœmy w skrypcie przez trzy etapy statystycznej rozbudowy zastosowania MNW oraz IF. ", "Na pierwszym, wstêpnym etapie, przedstawiono zastosowanie MNW oraz IF w analizie doboru modeli (Rozdzia³ \\[MNW\\]) oraz omówiono podstawy podejœcia geometrii ró¿niczkowej do konstrukcji przestrzeni statystycznej, obrazuj¹c poznany aparat statystyczny przyk³adami estymacji modeli eksponentialnych. ", "Na drugim etapie, wprowadzono pojêcie entropii wzglêdnej i pojemnoœci informacyjnej oraz wprowadzono strukturaln¹ i wariacyjn¹ zasadê informacyjn¹ (Rozdzia³ \\[Entropia wzgledna i IF\\]-\\[Zasady informacyjne\\]) metody EFI, a w trzecim przedstawiono wykorzystanie tych pojêæ do wyprowadzenia podstawowych równañ modeli fizycznych (Rozdzia³y \\[Kryteria informacyjne w teorii pola\\]-\\[Przyklady\\], Dodatek \\[Maxwell field\\]-\\[general relativity case\\]), w³¹czaj¹c w to przyk³ad ekonofizycznego opisu zjawiska (Rozdzia³ \\[Model Aoki-Yoshikawy - ekonofizyka\\]).", "\n\nDodatki\n=======\n\nDodatek: Zasada nieoznaczonoœci Heisenberga {#Zasada nieoznaczonosci Heisenberga}\n-------------------------------------------\n\nPoni¿sze wyprowadzenie zasady nieoznaczonoœci Heisenberga zosta³o przedstawione w [@Frieden; @Mania]. ", "Zasada Heisenberga stwierdza, ¿e w okreœlonej chwili czasu *t* nie mo¿na z dowoln¹ dok³adnoœci¹ wyznaczyæ jednoczeœnie po³o¿enia ${\\bf y}$ i pêdu ${\\bf y}_{p}$ cz¹stki, tzn. ¿", "e po³o¿enie i pêd cz¹stki s¹ [*rozmyte*]{}, co mo¿emy zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.1}\n\\sigma_{\\theta}^{2} \\cdot \\sigma _{p}^{2} \\ge \\left(\\frac{\\hbar}{2} \\right)^{2} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\sigma_{\\theta}^{2} $ i $\\sigma_{p}^{2} $ s¹ wariancjami po³o¿enia i pêdu cz¹stki wzglêdem ich wartoœci oczekiwanych $\\theta$ oraz $\\theta_{p}$.\n\n#### Wyprowadzenie nierównoœci (\\[U1.1\\]) dla pola rangi $N=2$ {#wyprowadzenie-nierównoœci-u1.1-dla-pola-rangi-n2 .unnumbered}\n\nZa³ó¿my, ¿e dokonujemy estymacji tylko w jednym przestrzennym kanale informacyjnym przy za³o¿eniu, ¿e pozosta³e czasoprzestrzenne parametry rozk³adu s¹ znane. ", "Powy¿sza relacja mo¿e byæ wyprowadzona przy odwo³aniu siê do w³asnoœci informacji Fishera. ", "Wartoœci po³o¿enia ${\\bf y}$ zmiennej $Y$ s¹ [*rozmyte*]{} (b¹dŸ fluktuuj¹) wokó³ jej wartoœci oczekiwanej $\\theta$, sk¹d wartoœci ${\\bf x} \\in {\\cal X}$ zmiennej odchyleñ $X$ spe³niaj¹ (jak zwykle w skrypcie), zwi¹zek: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.0}\n{\\bf x} = {\\bf y} - \\theta \\; .", "\n$$ Za³ó¿my, ¿e jest spe³niona nierównoœæ Rao-Cramera (\\[tw R-C dla par skalarnego\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.2}\n\\sigma_{\\theta}^{2} \\cdot I_{F}(\\theta) \\ge 1 \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; \\sigma_{\\theta}^{2} \\equiv E\\left((\\hat{\\theta }(Y)-\\theta )^{2}\\right) \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $I_{F}(\\theta) $ jest informacj¹ Fishera parametru $\\theta$ dla [*pojedynczego pomiaru*]{} (z powodu odwo³ania siê do skalarnej wersji twierdzenia Rao-Cramera), która po skorzystaniu z postaci kinematycznej (\\[Fisher\\_information-kinetic form bez n\\]) w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\], ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.3}\nI_{F} = 4 \\int_{\\cal X} d{\\bf x}\\left(\\frac{\\partial q({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}} \\right)^{2} \\, .\\end{aligned}$$ Rozwa¿my zespolon¹ amplitudê $\\psi$, (\\[amplitudapsi\\]), dla pola rangi $N=2$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pole psi rangi 2}\n\\psi ({\\bf x}) = \\psi_{1}({\\bf x}) = \\frac{1}{{\\sqrt{2}}} \\left( q_{1}({\\bf x}) + i \\, q_{2}({\\bf x}) \\right) \\; , \\end{aligned}$$ która ma jako czêœæ rzeczywist¹ i urojon¹ dwie rzeczywiste amplitudy $q_{i}$, $i=1,2$. Za³o¿ymy, ¿e $N=2$ - wymiarowa próba dla zmiennej odchyleñ $X$ jest prosta, sk¹d amplitudy $q_{i}({\\bf x})$, $i=1,2$, s¹ takie same i równe $q({\\bf x})$: $$\\begin{aligned}\n\\label{prosta proba}\nq_{1}({\\bf x}) = q_{2}({\\bf x}) = q({\\bf x}) \\; .\\end{aligned}$$ Zespolon¹ funkcjê $\\psi \\left({\\bf x}\\right)$ mo¿na zapisaæ poprzez jej transformatê Fouriera, przechodz¹c z reprezentacji po³o¿eniowej ${\\bf x}$ do pêdowej ${\\bf p}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.4}\n\\psi \\left({\\bf x}\\right) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi \\hbar} } \\int d{\\bf p} \\; \\phi({\\bf p}) \\, \\exp \\left(i \\,{\\bf p}\\, {\\bf x} \\right) \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie ${\\bf p}$ jest rozmyciem (fluktuacj¹) pêdu ${\\bf y}_{p}$ wokó³ jego wartoœci oczekiwanej $\\theta_{p}\\,$, tzn.: ", "$$\\begin{aligned}\n\\label{rozmycie pedu}\n\\;\\;\\;\\; {\\bf p} = {\\bf y}_{p} - \\theta_{p} \\; ,\\end{aligned}$$ a pêd cz¹stki jest mierzony w tej samej chwili co jego po³o¿enie.\\\nDla amplitudy $N=2$ pojemnoœæ informacyjna $I$, (\\[inf F z psi\\]), ma postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.5}\nI = 8 \\int d{\\bf x} \\frac{d\\psi^{\\,*}({\\bf x})}{d{\\bf x}} \\frac{d\\psi ({\\bf x})}{d{\\bf x}} = 8 \\int d{\\bf x}\\left|\\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right|^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Przedstawiaj¹c $\\psi$ w postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.6}\n\\psi({\\bf x}) =\\left|\\psi({\\bf x}) \\right|\\exp \\left(i S({\\bf x})\\right) \\; \\end{aligned}$$ i wykonuj¹c ró¿niczkowanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.7}\n\\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} =\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\;e^{iS\\left({\\bf x}\\right)} +i\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|\\; e^{i S\\left({\\bf x}\\right)} \\; \\frac{d S\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\; ,\\end{aligned}$$ mo¿emy (\\[U1.5\\]) przekszta³ciæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.8}\n\\begin{array}{l} {I = 8\\int d{\\bf x}\\left|\\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right|^{2} =8\\int d{\\bf x}\\frac{d\\psi ^{*} \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} =} \\\\ \n{\\quad = 8 \\int d{\\bf x}\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} e^{-iS\\left({\\bf x}\\right)} -i\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|e^{-iS\\left({\\bf x}\\right)} \\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} e^{iS\\left({\\bf x}\\right)} +i\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|e^{iS\\left({\\bf x}\\right)} \\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right) =} \\\\ \n{\\quad =8\\int d{\\bf x}\\left[\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\right)^{2} +i\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|e^{iS\\left({\\bf x}\\right)} \\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} -i\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|e^{iS\\left({\\bf x}\\right)} \\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} +\\right. ", " } \\\\ \n{\\quad \\left. ", "+\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|^{2} \\left(\\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)^{2} \\right]=8\\int d{\\bf x}\\left[\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\right)^{2} +\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|^{2} \\left(\\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)^{2} \\right] } \\; . ", "\\end{array}\\end{aligned}$$ Zajmijmy siê teraz pierwszym sk³adnikiem pod ostatnia ca³k¹ w (\\[U1.8\\]). ", "Poniewa¿ norma amplitudy $\\psi$ jest równa: $$\\begin{aligned}\n\\label{norma psi}\n|\\psi| = \\sqrt{\\frac{1}{2} \\,( q_{1}^{2} + q_{2}^{2} )} \\; ,\\end{aligned}$$ zatem: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.9}\n\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\right)^{2} = \\frac{1}{2} \\left(\\frac{d}{d{\\bf x}} \\sqrt{q_{1}^{2} + q_{2}^{2} } \\,\\right)^{2} =\\left|q_{1} = q_{2} = q\\right|=\\left(\\frac{dq}{d{\\bf x}} \\right)^{2} \\; .\\end{aligned}$$ Podstawiaj¹c powy¿szy wynik do ca³ki (\\[U1.8\\]) i korzystaj¹c z (\\[U1.3\\]), otrzymamy nastêpuj¹c¹ równoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.10}\nI &=& 8\\int d{\\bf x} \\left|\\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right|^{2} = 8\\int d{\\bf x}\\left[\\left(\\frac{d\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|}{d{\\bf x}} \\right)^{2} +\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|^{2} \\left(\\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)^{2} \\right] \n \\nonumber \\\\ \n& =& 8\\int d{\\bf x}\\left(\\frac{dq}{d{\\bf x}} \\right)^{2} +8\\int d{\\bf x}\\left|\\psi \\left({\\bf x}\\right)\\right|^{2} \\left(\\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)^{2} = 2I_{F} + 8 \\, E\\left[ \\left(\\frac{dS\\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right)^{2} \\right] \n\\; .\\end{aligned}$$ Z (\\[U1.10\\]) oraz (\\[U1.5\\]) wynika wiêc nastêpuj¹ca nierównoœæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.11}\n2 I_{F} \\le I \\;\\;\\; {\\rm lub} \\;\\;\\; I_{F} \\le 4\\int d{\\bf x}\\left|\\frac{d\\psi \\left({\\bf x}\\right)}{d{\\bf x}} \\right|^{2} \\;\n\\; .\\end{aligned}$$ Wykorzystuj¹c transformatê Fouriera (\\[U1.4\\]), otrzymujemy z (\\[U1.11\\]) po przejœciu do reprezentacji pêdowej: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.12}\nI_{F} \\le \\frac{4}{\\hbar^{2} } \\int d{\\bf p}\\, \\left|\\phi \\left({\\bf p}\\right)\\right|^{2} \\, {\\bf p}^{2}\n\\; .\\end{aligned}$$ gdzie $\\left|\\phi \\left({\\bf p}\\right)\\right|^{2} $ jest brzegow¹ gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa $P({\\bf p})$ odchyleñ pêdu.\\\nZatem ca³ka po prawej stronie (\\[U1.12\\]) jest wartoœci¹ oczekiwan¹ $E({\\bf p}^{2})$ dla ${\\bf p}^{2}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.13}\nI_{F} \\le \\frac{4}{\\hbar^{2} } \\, E\\left( {\\bf p}^{2} \\right) = \\left(\\frac{2}{\\hbar} \\right)^{2} \\,E\\left[ ({\\bf y}_{p} - \\theta_{p})^{2} \\right] \\equiv \\left(\\frac{2}{\\hbar} \\right)^{2} \\sigma_{p}^{2} \n\\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\sigma_{p}^{2} $ jest wariancj¹ pêdu cz¹stki, a pierwsza równoœæ wynika z tego, ¿e ${\\bf p}$ jest odchyleniem (fluktuacj¹) pêdu ${\\bf y}_{p}$ od jego wartoœci oczekiwanej $\\theta_{p}\\,$, (\\[rozmycie pedu\\]). ", "Podstawiaj¹c powy¿szy wynik do nierównoœci Rao-Cramera, $\\sigma_{\\theta}^{2} \\cdot I_{F}(\\theta) \\ge 1$, (\\[U1.2\\]), otrzymujemy (\\[U1.1\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{U1.14}\n\\sigma_{\\theta}^{2} \\cdot \\sigma _{p}^{2} \\ge \\left({\\raise0.7ex\\hbox{$ \\hbar $}\\!\\mathord{\\left/{\\vphantom{\\hbar 2}}\\right.\\kern-\\nulldelimiterspace}\\!\\lower0.7ex\\hbox{$ 2 $}} \\right)^{2} \\; . ", " \\end{aligned}$$ c.n.d.", "\n\nDodatek: Równanie Schrödingera {#Rownanie Schrodingera}\n------------------------------\n\nRównania Schrödingera wyprowadzimy jako nierelatywistyczn¹ granicê równania Kleina-Gordona. ", "Wyprowadzenie go jako nierelatywistycznej granicy równania Diraca by³oby merytorycznie bardziej uzasadnione [@Sakurai; @2], jednak celem poni¿szego wyprowadzenia jest zwrócenie uwagi na relatywistyczne pochodzenie spinu elektronu.\\\n\\\nRozpoczniemy od separacji zmiennych czasowych i przestrzennych wystêpuj¹cych w równaniu (\\[row KL dla swobodnego\\]) dla pola rangi $N=2$, zapisuj¹c po lewej stronie wszystkie wyrazy zawieraj¹ce pochodn¹ czasow¹, a po prawej pochodn¹ po wspó³rzêdnych przestrzennych: $$\\begin{aligned}\n\\label{klseparacja}\n& &\\left({\\hbar^{2}\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial t^{2}}} + 2\\,i\\,\\hbar \\,e\\,\\phi\\frac{\\partial}{{\\partial t}} + i \\,\\hbar \\,e\\,\\frac{{\\partial\\phi}}{{\\partial t}} - e^{2}\\phi^{2}}\\right) \\psi \\nonumber \\\\\n& & = \\left({ c^{2}\\hbar^{2} \\vec{\\nabla}^{2} - 2\\,i\\,e\\,c\\, \\hbar\\left({\\vec{A} \\cdot \\vec{\\nabla}}\\right) - i\\,e\\,c \\,\\hbar \\left({\\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{A}}\\right) - e^{2}{\\vec{A}}^{2} - m^{2}c^{4}} \\right) \\psi \\, ,\\end{aligned}$$ gdzie skorzystano z wyra¿enia $$\\begin{aligned}\n{\\vec{\\nabla}\\cdot\\left({\\vec{A}\\psi}\\right)=\\psi\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{A}+\\vec{A}\\cdot\\vec{\\nabla}\\psi} \\; .\\end{aligned}$$ Nastêpnie skorzystajmy z nierelatywistycznej reprezentacji funkcji falowej [@Sakurai; @2]: $$\\begin{aligned}\n\\label{nonrelat}\n\\psi\\left({{\\bf x},t}\\right) = \\tilde{\\psi}\\left({{\\bf x},t}\\right)e^{-imc^{2}t/\\hbar} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie wydzieliliœmy z $\\psi$ wyraz zawieraj¹cy energiê spoczynkow¹ $mc^{2}$, otrzymuj¹c now¹ funkcjê falow¹ $\\tilde{\\psi}$. Kolejnym krokiem jest zastosowanie (\\[nonrelat\\]) w (\\[klseparacja\\]). ", "Ró¿niczkuj¹c (\\[nonrelat\\]) po czasie otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{1roz}\n\\frac{\\partial}{{\\partial t}} \\psi = \\left({\\frac{\\partial}{{\\partial t}}\\tilde{\\psi}-\\frac{{imc^{2}}}{\\hbar}\\tilde{\\psi}}\\right) e^{{{-imc^{2}t}/\\hbar}} \\;\\; ,\\end{aligned}$$ a po kolejnym ró¿niczkowaniu: $$\\begin{aligned}\n\\label{2roz}\n\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial t^{2}}}\\psi = \\left({\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial t^{2}}}\\tilde{\\psi} - 2\\frac{{imc^{2}}}{\\hbar}\\frac{\\partial}{{\\partial t}}\\tilde{\\psi} - \\frac{{m^{2}c^{4}}}{{\\hbar^{2}}}\\tilde{\\psi}}\\right) e^{{{-imc^{2}t}/\\hbar}} \\;\\; .\\end{aligned}$$ Stosuj¹c nierelatywistyczne ($n.r$) przybli¿enie: $$\\begin{aligned}\n\\label{enr}\n\\frac{E_{n.r}}{mc^{2}} << 1 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $E_{n.r}$ jest okreœlone poprzez poni¿sze zagadnienie w³asne: $$\\begin{aligned}\n- \\hbar^{2} \\frac{\\partial^{2}}{\\partial t^{2}}\\, \\tilde{\\psi} = E_{n.r}^{2} \\, \\tilde{\\psi} \\; ,\\end{aligned}$$ mo¿emy pomin¹æ pierwszy wyraz po prawej stronie (\\[2roz\\]).\\\nOdwo³ajmy siê do przybli¿enia sta³ego, s³abego potencja³u, dla którego zachodzi: $$\\begin{aligned}\n\\label{ephi}\ne \\phi << mc^{2} \\; ,\\end{aligned}$$ oraz $$\\begin{aligned}\n\\label{stacphi}\n\\frac{\\partial\\phi}{\\partial t} = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Nastêpnie, wstawiaj¹c (\\[1roz\\]) oraz (\\[2roz\\]) do (\\[klseparacja\\]), i wykorzystuj¹c (\\[enr\\]), (\\[ephi\\]) oraz (\\[stacphi\\]), otrzymujemy po przemno¿eniu przez $-1/{2mc^{2}}$ i [*oznaczeniu*]{} $\\tilde{\\psi}$ jako $\\psi$, równanie: $$\\begin{aligned}\n\\label{juz}\n{i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\psi-e\\phi\\psi = -\\frac{\\hbar^{2}}{2m}\\vec{\\nabla}^{2}\\psi+\\frac{ie\\hbar}{mc}\\vec{A}\\cdot\\vec{\\nabla}\\psi+\\frac{ie\\hbar}{2mc}\\left(\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{A}\\right)\\psi + \\frac{e^{2}{\\vec{A}}^{2}}{2mc^{2}}\\,\\psi} \\; .\\end{aligned}$$ Jest to równanie Schödingera dla nierelatywistycznej funkcji falowej $\\psi$ z potencja³em elektromagnetycznym $\\vec{A}$ oraz $\\phi$.\\\nW przypadku zerowania siê czêœci wektorowej potencja³u $\\vec{A}$ i dla niezerowego potencja³u skalarnego $\\phi$, równanie to przyjmuje znan¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n\\label{schrodinger}\ni\\hbar\\frac{\\partial}{{\\partial t}}\\psi = -\\frac{{\\hbar^{2}}}{{2m}}\\vec{\\nabla}^{2}\\psi + e \\,\\phi \\, \\psi \\; .\\end{aligned}$$\\\n\\\n[**Pytanie**]{}: [*Powiedz dlaczego powy¿sze wyprowadzenie równania Schödingera z równania Kleina-Gordona, œwiadczy o relatywistycznym charakterze spinu elektronu?*]{}", "\n\nDodatek: Rezultaty EFI dla elektrodynamiki Maxwella oraz teorii grawitacji\n--------------------------------------------------------------------------\n\n### Dodatek: Pole cechowania Maxwella {#Maxwell field}\n\nPoni¿ej zaprezentujemy rezultat metody EFI otrzymany w zapisie Friedena-Soffera dla wyprowadzenia równañ Maxwella ($M$). ", "Punktem wyjœcia jest pojemnoœæ informacyjna (\\[postac I dla p po x bez n\\]): $$\\begin{aligned}\nI = \\sum_{n=1}^N {\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\frac{1}{{p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{\\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{n} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; .\\nonumber\\end{aligned}$$ Rozwa¿my równania ruchu Maxwella dla pola rangi $N=4$ z amplitud¹ rzeczywist¹ $q_{n}$, $n=1,2,3,4$. Zak³adamy, ¿e pola cechowania s¹ proporcjonalne do tych rzeczywistych amplitud [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{amplitudy dla Maxwella}\nq_{\\nu}({\\bf x})=a\\, A_{\\nu}({\\bf x}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\nu \\equiv n-1 = 0,1,2,3 \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $a$ jest pewn¹ sta³¹.\\\nWykorzystuj¹c metrykê Minkowskiego $(\\eta^{\\nu\\mu})$, definujemy amplitudy $q^{\\nu}({\\bf x})$ [*dualne*]{} do $q_{\\nu}({\\bf x})$: $$\\begin{aligned}\n\\label{amplitudy dla Maxwella dual}\nq^{\\nu}({\\bf x}) \\equiv \\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta^{\\nu \\mu} q_{\\mu}({\\bf x}) = a\\, \\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta^{\\nu \\mu} A_{\\mu}({\\bf x}) \\equiv a\\,A^{\\nu}({\\bf x}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\nu \\equiv n-1 = 0,1,2,3 \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie wprowadzono dualne pola cechowania $A^{\\mu}({\\bf x})$: $$\\begin{aligned}\n\\label{pola cech dualne dla Maxwella}\nA^{\\nu}({\\bf x}) \\equiv \\sum_{\\mu=0}^{3} \\eta^{\\nu \\mu} A_{\\mu}({\\bf x}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\nu = 0,1,2,3 \\; .\\end{aligned}$$ Amplitudy $q_{\\nu}({\\bf x})$ s¹ zwi¹zane z punktowymi rozk³adami prawdopodobieñstwa $p_{n} \\left({\\bf x} \\right)$ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n\\label{rozklad p n dla Maxwella}\np_{n} \\left({\\bf x} \\right) \\equiv p_{q_{\\nu}} \\left( {\\bf x} \\right) = q_{\\nu}({\\bf x}) q_{\\nu}({\\bf x}) = a^{2} A_{\\nu}({\\bf x}) A_{\\nu}({\\bf x}) \\; , \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\nu \\equiv n-1 = 0,1,2,3 \\; .\\end{aligned}$$ Widzimy wiêc, ¿e w metodzie EFI dla elektrodynamiki Maxwella, indeks próby $n$ staje siê indeksem czasoprzestrzennym. ", "Zatem postaæ pojemnoœci informacyjnej musi uwzglêdniaæ fakt dodatkowej estymacji w kana³ach czasoprzestrzennych, przyjmuj¹c zgodnie z ogólnymi zaleceniami Rozdzia³u \\[Poj inform zmiennej los poloz\\], postaæ wspó³zmiennicz¹: $$\\begin{aligned}\n\\label{postac I dla p po x suma po Mink Maxwell}\nI &=& \\sum_{\\mu=0}^{3} {\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\, \\eta^{\\mu\\mu}\\frac{1}{{p_{q_{\\mu}} \\left( {\\bf x} \\right)}} \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial p_{q_{\\mu}} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{\\nu} }}} {\\frac{{\\partial p_{q_{\\mu}} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\nonumber \\\\ \n&=& 4 \\sum_{\\mu=0}^{3} {\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\, \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial q_{\\mu} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{\\nu} }}} {\\frac{{\\partial q^{\\mu} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}^{ \\nu} }}} \\right) } } \\; .\\end{aligned}$$ Dalej postêpujemy jak w [@Frieden]. ", "Stosujemy obie zasady informacyjne, strukturaln¹ (\\[zmodyfikowana obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) z $\\kappa=1/2$ oraz wariacyjn¹ (\\[var K rozpisana\\]): $$\\begin{aligned}\n\\label{IPs for Maxwell}\n\\widetilde{\\textit{i'}} + \\widetilde{\\mathbf{C}} + \\kappa \\, \\textit{q} = 0 \\;, \\;\\;\\; {\\rm gdzie} \\;\\;\\; \\kappa=1/2 \\; \\;\\;\\;\\; {\\rm oraz } \\;\\;\\;\\; \\delta_{(q)}(I + Q) = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ które rozwi¹zujemy samospójnie, wraz z na³o¿onym dodatkowo warunkiem Lorentza: $$\\begin{aligned}\n\\label{warunek Lorentza}\n\\partial_{\\mu} A^{\\mu}=0 \\; .\\end{aligned}$$ Zgodnie z (\\[postac I dla p po x suma po Mink Maxwell\\]) oraz (\\[amplitudy dla Maxwella dual\\]) pojemnoœæ informacyjna $I$ jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{IF for Maxwell}\nI = 4\\, a^{2} \\sum_{\\mu=0}^{3} \\int_{\\cal X} \\! ", "d^{4}{\\bf x}\\, \\sum\\limits_{\\nu=0}^{3} {\\left( {\\frac{{\\partial A_{\\mu} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}_{\\nu} }}} {\\frac{{\\partial A^{\\mu} \\left( {\\bf x} \\right)}}{{\\partial {\\bf x}^{ \\nu} }}} \\right) } \\, .\\end{aligned}$$ W³aœciwa postaæ informacji strukturalnej $Q\\equiv Q_{M}$ dla równañ ruchu Maxwella, zosta³a wyprowadzona w [@Frieden].\\\n\\\n[*Warunki fizyczne*]{}: W celu otrzymania zarówno $Q_{M}$, jak i wartoœci $\\kappa$, musz¹ byæ przyjête pewne fizyczne za³o¿enia [@Frieden]. [*", "Po pierwsze*]{} jest to warunek Lorentza, [*po drugie*]{}, pewna wstêpna postaæ $Q_{M}$. [*Po trzecie*]{}, wymagane jest równie¿ za³o¿enie o braku dodatkowych Ÿróde³ pola elektromagnetycznego w przestrzeni wolnej od czterowektora pr¹du $j^{\\,\\mu}=(c\\rho,\\vec{j}\\,)$.\\\n\\\nDrugi z tych warunków, zapisany zgodnie z notacj¹ zawart¹ w (\\[k form\\]), wyra¿a siê ¿¹daniem nastêpuj¹cej faktoryzacji obserwowanej informacji strukturalnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{qF M}\n \\,a^{2}\\, A_{\\nu}\\,A^{\\nu}\\,\\texttt{q\\!F}_{\\nu}(A_{\\nu}(x)) = \\frac{a}{\\kappa}\\, A^{\\nu}\\, F_{\\nu}(j_{\\nu}) \\; ,\\end{aligned}$$ która jest nastêpnie wykorzystana w (\\[IPs for Maxwell\\]). ", "Je¿eli funkcja $F_{\\nu}(j_{\\nu})$ spe³nia za³o¿enie o zale¿noœci jedynie od czterowektora pr¹du $j_{\\,\\nu}$ [@Frieden], wtedy z zasad informacyjnych metody EFI, (\\[IPs for Maxwell\\]), wynika zarówno wartoœæ wspó³czynnika efektywnoœci $\\kappa=1/2$, jak i równanie ci¹g³oœci strumienia $\\partial^{\\nu}j_{\\nu}=0$ [@Dziekuje; @za; @models; @building]. ", "W efekcie informacja strukturalna dla równania Maxwella jest równa [@Frieden]: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q in electrodyn}\nQ = Q_{M} \\equiv\\,- \\frac{64\\pi}{c}\\, a\\,\\sum_{\\mu=0}^{3}\\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\, j_{\\mu}\\, A^{\\mu} \\; . ", "\\end{aligned}$$ W koñcu, dla pojemnoœci informacyjnej $I$ jak w (\\[IF for Maxwell\\]) i informacji strukturalnej $Q$ jak w (\\[Q in electrodyn\\]) oraz dla $a=2$, metoda EFI daje wektorowe równanie falowe w cechowaniu Lorentza: $$\\begin{aligned}\n\\label{wave eq for A}\n\\Box A^{\\mu} = (4\\pi/c)j^{\\mu} \\; ,\\end{aligned}$$ co w konsekwencji prowadzi do znanej postaci równañ Maxwella dla pola magnetycznego i elektrycznego [@Jackson; @Frieden].\\\n\\\nPodkreœlmy, ¿e proporcjonalnoœæ $q_{\\nu}({\\bf x}) = a A_{\\nu}({\\bf x})$ oraz warunek normalizacji: $$\\begin{aligned}\n\\label{A normalization}\n(1/4)\\sum_{\\nu=0}^{3}\\int_{\\cal X} d^{4} {\\bf x} \\, q_{\\nu}^{2}({\\bf x})=\\sum_{\\nu=0}^{3}\\int_{\\cal X} d^{4} {\\bf x} \\, A_{\\nu}^{2}({\\bf x}) = 1 \\; ,\\end{aligned}$$ stawiaj¹ pytanie o znaczenie lokalizacji fotonu oraz istnienie jego funkcji falowej, które s¹ ostatnio mocno dyskutowane w literaturze dotycz¹cej optyki. ", "Dyskusja zawarta w [@Roychoudhuri] wspiera g³ównie pogl¹d, który stawia równania Maxwella na tych samych podstawach co równanie Diraca w sformu³owaniu pierwszej kwantyzacji. ", "Fakt ten by³ wczeœniej zauwa¿ony w pracy Sakurai [@Sakurai; @2]. ", "Przyjmuj¹c interpretacjê funkcji falowej fotonu jako maj¹c¹ te same podstawy co wystêpuj¹ca w (\\[free field eq all 2\\]) funkcja falowa cz¹stek materialnych z mas¹ $m=0\\,$, z trzeciego z powy¿szych [*fizycznych warunków*]{} mo¿na by zrezygnowaæ [@Frieden].\\\n\\\nZauwa¿my, ¿e normalizacja[^92] (\\[A normalization\\]) czteropotencja³u $A_{\\nu}$ uzgadnia wartoœæ sta³ej proporcjonalnoœci[^93] $a=2$ z wartoœci¹ $N=4$ dla pola œwietlnego.\\\n\\\nNormalizacja (\\[A normalization\\]), na³o¿ona jako warunek na rozwi¹zanie równania (\\[wave eq for A\\]), jest spójna z narzuceniem warunku pocz¹tkowego Cauchy’ego we wspó³rzêdnej czasowej (por. ", "dyskusja w [@Frieden]). ", "Gdy jednoczeœnie we wspó³rzêdnych przestrzennych narzucony jest warunek Dirichlet’a (lub Neumann’a), wtedy te mieszane czasowo-przestrzenne warunki brzegowe nie s¹ wspó³zmiennicze, co skutkuje tym, ¿e rozwi¹zanie równania (\\[wave eq for A\\]) nie jest wspó³zmiennicze.\\\nJednak¿e tylko z mieszanymi warunkami brzegowymi rozwi¹zanie to jest jednoznaczne [@Morse-Feshbach; @Frieden], co dla metody EFI jest warunkiem koniecznym, gdy¿ jest ona metod¹ estymacji statystycznej. ", "Fakt ten stoi w opozycji do przypadku, gdy warunek Dirichlet’a (lub Neumann’a) jest na³o¿ony wspó³zmienniczo zarówno we wspó³rzêdnych przestrzennych jak i wspó³rzêdnej czasowej, gdy¿ co prawda otrzymane rozwi¹zanie jest wtedy wspó³zmiennicze, jednak nie jest ono jednoznaczne.\\\n\\\nW Rozdziale \\[Klein-Gordon scalars\\] powiedzieliœmy, ¿e transformacja Fouriera tworzy rodzaj samospl¹tania pomiêdzy dwoma reprezentacjami, po³o¿eniow¹ i pêdow¹, dla realizowanych wartoœci zmiennych uk³adu wystêpuj¹cych w $I$ [@Frieden]. ", "Strukturalna zasada informacyjna wyjaœnia to spl¹tanie, zachodz¹ce pomiêdzy pêdowymi stopniami swobody, jako spowodowane mas¹ uk³adu zgodn¹ z (\\[m E p\\]) lub (\\[m E p dla q\\]).\\\nRozwa¿my bezmasow¹ cz¹stkê, np. ", "foton. ", "Jeœli w zgodzie z powy¿szymi rozwa¿aniami dla pola Maxwella, relacja (\\[free field eq all 2 real amplitudes\\]) okreœlaj¹ca informacjê Fouriera mia³aby byæ spe³niona dla cz¹stki o masie $m=0\\,$ oraz dla amplitud interpretowanych zgodzie z (\\[amplitudy dla Maxwella\\]) i (\\[A normalization\\]) jako charakteryzuj¹cych foton, wtedy równie¿ ze strony eksperymentu nale¿a³oby siê spodziewaæ zarówno weryfikacji kwestii zwi¹zanej z natur¹ funkcji falowej fotonu [@Roychoudhuri] jak i sygnatur¹ metryki czasoprzestrzeni. ", "W samej rzeczy, w metryce czasoprzestrzeni Minkowskiego (\\[metryka M\\]), zgodnie z (\\[m E p dla q\\]) jedyn¹ mo¿liwoœci¹, aby cz¹stka by³a bezmasowa, jest zachodzenie warunku $E^{2}/c^{2}-\\vec{\\wp}^{\\,2} = 0$ dla wszystkich jej monochromatycznych, Fourierowskich mod, o ile tylko mody te mia³yby posiadaæ fizyczn¹ interpretacjê dla cz¹stki bezmasowej. ", "Warunek ten oznacza³by jednak, ¿e mody Fourierowskie nie by³yby ze sob¹ spl¹tane [@Dziekuje; @za; @channel] (w przeciwieñstwie do tego co zachodzi dla cz¹stki masowej) i w zasadzie powinna istnieæ mo¿liwoœæ dokonania detekcji ka¿dego indywidualnego moda rozk³adu Fouriera. ", "Zatem, jeœli czêstoœæ indywidualnego moda Fouriera impulsu œwietlnego nie zosta³aby zarejestrowana, to mog³oby to oznaczaæ, ¿e nie jest on obiektem fizycznym. ", "Fakt ten móg³by doprowadziæ do problemów dla kwantowej interpretacji fotonu, okreœlonego jako fizyczna realizacja konkretnego Fourierowskiego moda. ", "Problem ten zosta³ ostatnio zauwa¿ony w zwi¹zku z przeprowadzonymi eksperymentami optycznymi [@Roychoudhuri], z których wynika, ¿e Fourierowski rozk³ad czêstoœci impulsu œwietlnego nie reprezentuje rzeczywistych optycznych czêstoœci, co sugeruje, ¿e byæ mo¿e rzeczywisty foton jest “ziarnem elektromagnetycznej substancji” nie posiadaj¹cym Fourierowskiego przedstawienia. [", "@Roychoudhuri; @Dziekuje_Jacek_nova_2].", "\n\n### Dodatek: Metoda EFI dla teorii grawitacji {#general relativity case}\n\nPoni¿ej przedstawimy jedynie g³ówne wyniki zwi¹zane z konstrukcj¹ EFI dla teorii grawitacji. ", "Wychodz¹c z ogólnej postaci pojemnoœci (\\[postac I dla p po x bez n\\]) i postêpuj¹c analogicznie jak powy¿ej dla pola Maxwella przy definicji amplitud dualnych, otrzymujemy amplitudow¹ postaæ dla pojemnoœci informacyjnej metody EFI. ", "Nastêpnie postêpujemy ju¿ jak w [@Frieden], gdzie zosta³o podane wyprowadzenie s³abej (tzn. ", "falowej) granicy równañ ruchu Einsteina, dla przypadku pól z rang¹ $N=10$, a amplitudy $q_{n}({\\bf x}) \\equiv q_{\\nu\\mu}({\\bf x})$ w liczbie dziesiêæ, s¹ rzeczywiste i symetryczne w indeksach $\\nu,\\mu=0,1,2,3$. Zatem, pojemnoœci informacyjna jest nastêpuj¹ca: $$\\begin{aligned}\n\\label{I in gen rel}\nI = 4 \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x} \\sum_{\\nu,\\mu=0}^{3} \\sum_{\\gamma=0}^{3} \\frac{\\partial q_{\\nu\\mu}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}_{\\gamma}}\\frac{\\partial q^{\\nu\\mu}({\\bf x})}{\\partial {\\bf x}^{\\gamma}} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie amplitudy dualne maj¹ postaæ $q^{\\delta \\tau}({\\bf x}) =\\sum_{\\nu,\\mu=0}^{3} \\eta^{\\delta \\nu} \\eta^{\\tau \\mu} q_{\\nu\\mu}({\\bf x})$. Rozwi¹zuj¹c samospójne równania ró¿niczkowe obu zasad informacyjnych, strukturalnej i wariacyjnej, wraz z na³o¿onym warunkiem Lorentza, $\\sum_{\\nu=0}^{3}\\partial_{\\nu} q^{\\nu\\mu}({\\bf x})=0$, który redukuje wspó³czynnik efektywnoœci do wartoœci $\\kappa=1/2$, otrzymujemy nastêpuj¹c¹ postaæ informacji strukturalnej: $$\\begin{aligned}\n\\label{Q in gen rel}\nQ = - \\,8 \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\,\\frac{1}{L^{4}}\\sum_{\\nu\\,\\mu=0}^{3} \\bar{h}_{\\nu\\mu}\\left[\\frac{16\\,\\pi\\, G}{c^{4}} \\, T^{\\nu\\mu} - 2\\,\\Lambda\\,\\eta^{\\nu\\mu}\\right] \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $$\\begin{aligned}\n\\label{h and q in gen rel}\n\\bar{h}_{\\nu\\mu}({\\bf x})\\equiv L^{2}q_{\\nu\\mu}({\\bf x}) \\; ,\\end{aligned}$$ natomiast $\\eta_{\\nu\\mu}$ jest metryk¹ Minkowskiego, $G$ jest sta³¹ grawitacyjn¹, $T_{\\nu\\mu}$ jest tensorem energii-pêdu, $\\Lambda$ jest tzw. ", "sta³¹ kosmologiczn¹, a sta³a $L$ jest charakterystyczn¹ skal¹, na której amplitudy $\\bar{h}_{\\nu\\mu}$ s¹ uœrednione.\\\nRozwi¹zanie metody EFI pojawia siê w postaci równania falowego dla amplitud $\\bar{h}_{\\nu\\mu}$: $$\\begin{aligned}\n\\label{h equation in gravit}\n\\Box \\bar{h}_{\\nu\\mu}=\\frac{16\\,\\pi\\, G}{c^{4}}T_{\\nu\\mu}-2\\,\\Lambda\\,\\eta_{\\nu\\mu} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie $\\Box \\equiv \\sum_{\\nu=0}^{3} \\partial^{\\nu}\\partial_{\\nu} = \\sum_{\\mu, \\,\\nu=0}^{3} \\eta^{\\mu \\nu} \\partial_{\\mu}\\partial_{\\nu}$ jest operatorem d’Alemberta. ", "Równania (\\[h equation in gravit\\]) maj¹ postaæ w³aœciw¹ dla równañ ruchu w granicy s³abego pola, w ogólnej teorii wzglêdnoœci. ", "Rezultatem EFI jest równie¿ równanie ci¹g³oœci strumienia, $\\sum_{\\nu=0}^{3}\\partial^{\\nu} T_{\\nu\\mu}({\\bf x})=0$, dla tensora $T_{\\nu\\mu}$.\\\nPozostaje pytanie o rozwi¹zanie dla dowolnie silnego pola. ", "Jedna z odpowiedzi jest nastêpuj¹ca. ", "Poniewa¿ $\\Box\\bar{h}_{\\nu\\mu}$ jest jednoznaczn¹ liniow¹ aproksymacj¹ tensora rangi drugiej $2 R_{\\nu\\mu} - g_{\\mu\\nu}R$, gdzie $R_{\\nu\\mu}$ jest tensorem Ricci’ego [@Misner-Thorne-Wheeler], $g_{\\nu\\mu}$ jest tensorem metrycznym, a $R = \\sum_{\\nu=0}^{3} R^{\\nu}_{\\,\\nu}$, zatem mo¿na by uznaæ, ¿e równanie Einsteina wy³ania siê jako jedyne mo¿liwe, w tym sensie, ¿e jego linearyzacj¹ jest równanie falowe s³abego pola (\\[h equation in gravit\\]) otrzymane w EFI [@Frieden].\\\nJednak¿e postaæ rozwi¹zania (\\[h equation in gravit\\]) metody EFI mog³aby równie¿ sugerowaæ inn¹ selekcjê przysz³ego modelu grawitacji. ", "Otó¿ w ca³ym formalizmie EFI amplitudy s¹ podstaw¹ do definicji pola, a nie metryki czasoprzestrzeni. ", "Zatem bardziej naturalnym wydaje siê zinterpretowanie $\\bar{h}_{\\nu\\mu}$ jako pola grawitacyjnego[^94]. ", "Tak wiêc równanie (\\[h equation in gravit\\]) metody EFI dla grawitacji le¿y bli¿ej innej teorii grawitacji, nazywanej “szczególn¹ teori¹ wzglêdnoœci grawitacji”, która prowadzi do efektywnej teorii grawitacji typu Logunov’a [@Denisov-Logunov], co poprzez widoczny zwi¹zek z teoriami cechowania czyni j¹ “bogatsz¹” ni¿ sam¹ ogóln¹ teoriê wzglêdnoœci. ", "Problem statystycznego porównania obu teorii grawitacji jest kwesti¹ przysz³ych prac.", "\n\nDodatek: Informacyjny odpowiednik drugiej zasady termodynamiki:\\\nTwierdzenie $I$ {#Wyprowadzenie drugiej zasady termodynamiki}\n----------------------------------------------------------------\n\nNiech próba bêdzie $N=1$-wymiarowa. ", "Podobnie jak przechodzi siê z (\\[I dla pn jeden parametr\\]) do (\\[dys\\]) w celu otrzymania dyskretnej postaci informacji Fishera[^95], tak mo¿na te¿ pokazaæ, ¿e mo¿na przejœæ do jej nastêpuj¹cej dyskretnej postaci: $$\\begin{aligned}\n\\label{zwiazek I oraz S}\nI_{F} = \\Delta x\\sum_{k}{\\frac{1}{p\\left(x_{k}\\right)}\\left[\\frac{p\\left(x_{k}+ \\Delta x \\right) - p\\left(x_{k}\\right)}{\\Delta x_{k}}\\right]^{2}} \\; .\\end{aligned}$$ Postêpuj¹c w sposób analogiczny jak w przypadku wyprowadzenia (\\[I porownanie z Sn\\]) z (\\[dys\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n\\label{iewf}\nI_{F} = -\\frac{2}{{\\left({\\Delta x}\\right)^{2}}} \\; S_{H}\\left({p\\left(x\\right)| p\\left({x+\\Delta x}\\right)}\\right) \\ .\\end{aligned}$$ Niech zmiana rozk³adu prawdopodobieñstwa z $p \\equiv p(x)$ w chwili $t$ do $p_{\\Delta x} \\equiv p\\left({x+\\Delta x}\\right)$ nastêpuje na skutek infinitezymalnej zmiany czasu o $dt$. Jeœli wiêc dla rozk³adów $p$ oraz $p_{\\Delta x}$ entropia wzglêdna spe³nia warunek: $$\\begin{aligned}\n\\label{wzrost S wzglednego z czasem}\n\\frac{ d S_{H} \\left({p\\,| p_{\\Delta x}}\\right)(t) }{dt} \\ge 0 \\; ,\\end{aligned}$$ wtedy ze wzglêdu na (\\[iewf\\]) informacja Fishera spe³nia [**warunek**]{}: $$\\begin{aligned}\n\\label{twierdzenie I}\n\\frac{{dI_{F} \\left(t\\right)}}{{dt}} \\le 0\\end{aligned}$$ [**nazywny $I$-twierdzeniem**]{}. ", "Oznacza on, ¿e informacja Fishera $I_{F}$ dla parametru $\\theta$ maleje monotonicznie z czasem.\\\n\\\n[**Uwaga**]{}: Dowód (\\[wzrost S wzglednego z czasem\\]) oraz faktu, ¿e relacja ta istotnie prowadzi do drugiej zasady termodynamiki w rozumienia twierdzenia $H$, czyli dowód, który trzeba przeprowadziæ dla entropii Shannona, mo¿na znaleŸæ w pracach na temat dynamiki uk³adów otwartych [@uklady; @otwarte] .\\\n\\\nWprowadzenie twierdzenia $I$ jako maj¹cego zwi¹zek z twierdzeniem $H$ jest jak widaæ nieprzypadkowe. ", "Ale równie¿ nieprzypadkowe jest podobieñstwo dzia³aj¹ce w drug¹ stronê. ", "A mianowicie, pojemnoœæ informacja jest zwi¹zana z rang¹ pola $N$, co by³o widoczne w ca³ej treœci skryptu. ", "W istniej¹cej literaturze mo¿na znaleŸæ wyprowadzenia pokazuj¹ce, ¿e istnieje entropijny odpowiednik zasady nieoznaczonoœci Heisenberga, oraz zwi¹zek informacji Shannona z wymiarem reprezentacji grupy obrotów dla pól fermionowych rangi $N$.\n\n### Dodatek: Temperatura Fishera {#Temperatura Fishera}\n\nJako kolejn¹ ilustracjê nieprzypadkowego podobieñstwa rachunków informacyjnych i entropijnych rozwa¿my definicjê temperatury Fishera dla parametru $\\theta$. Otó¿, informacja Fishera parametru $\\theta$ pozwala na zdefiniowanie [*temperatury Fishera*]{} $T_{\\theta}$ zwi¹zanej z estymacj¹ tego parametru: $$\\begin{aligned}\n\\label{temperatura I}\n\\frac{1}{T_{\\theta}} \\equiv - k_{\\theta} \\frac{\\partial I_{F}}{\\partial \\theta} \\; .\\end{aligned}$$ Tak okreœlona temperatura $T_{\\theta}$ jest miar¹ czu³oœci informacji Fishera na zmianê parametru $\\theta$, podobnie jak temperatura Boltzmanna $T$ (dla której zachodzi $\\frac{1}{T} \\equiv \\frac{\\partial H_{B}}{\\partial E} $) jest miar¹ czu³oœci entropii Boltzmanna $H_{B}$ na zmianê energii $E$ uk³adu. ", "Temperatura Fishera znalaz³a swoje zastosowanie miêdzy innymi w badaniu rynków finansowych [@temperature; @1; @temperature; @ostatnia].", "\n\nR.A. Fisher, Phil. ", "Trans. ", "R. Soc. ", "Lond.[**222**]{}, 309 (1922). ", "R.A. Fisher, *Statistical methods and scientific inference*, 2 nd edn. (", "London, Oliver and Boyd, 1959).", "\n\nC.R. Rao, Bulletin of the Calcutta Mathem. ", "Soc. [**", "37**]{}, pp.81-91 (1945). *", "Information and accuracy attainable in the estimation of statistical parameters*.", "\n\nB. Efron, The Annals of Statistics [**3**]{}, pp.1189-1242 (1975). *", "Defining the curvature of statistical problem (with application to second order efficiency) (with discussion*.", "\n\nA.P. Dawid, The Annals of Statistics [**3**]{}, pp.1231-1234 (1975). *", "Discussion to Efron’s paper*. ", "A.P. Dawid, The Annals of Statistics [**5**]{}, pp.1249 (1977). *", "Further comments on a paper by Bradley Efron*.", "\n\nS. Amari, POST RAAG Report [**106**]{} (1980). *", "Teory of information spaces-a geometrical foundation of statistics*. ", "S. Amari, The Annals of Statistics [**10**]{}, pp.357-385 (1982). *", "Differential geometry of curved exponential families-curvature and information loss.*", "\n\nS. Amari, H. Nagaoka, *Methods of information geometry, transletions of Mathematical monographs*, Vol.191, Oxford Univ. ", "Press, (2000).\\\nA. Fujiwara and H. Nagaoka, *Quantum Fisher metric and estimation for pure state models*, Phys.", " Lett.", " A **201**, 119-124, (1995). ", "A. Fujiwara and H. Nagaoka, *An estimation theoretical characterization of coherent states*, J. Math.", " Phys.", " **40**, 4227-4239, (1999). ", "K. Matsumoto, *A geometrical approach to quantum estimation theory*, PhD thesis, Univ. ", "of Tokyo, (1998).", "\n\nA. Fujiwara and H. Nagaoka, Phys. ", "Lett. ", "A [**201**]{}, pp.119-124 (1995). *", "Quantum Fisher metric and estimation for pure state models*. ", "A. Fujiwara and H. Nagaoka, Journal of Mathem. ", "Phys. [**", "40**]{}, pp. ", "4227-4239 (1999).\\\n*An estimation theoretical characterization of coherent states*. ", "K. Matsumoto, Technical Report METR 96-09, Dept. ", "of Math. ", "Eng. ", "and Inform. ", "Phys, Univ. ", "of Tokyo, (1996). *", "A new approach to the Cramer-Raotype bound of the pure state model*. ", "K. Matsumoto, PhD thesis, Univ. ", "of Tokyo, (1998). *", "A geometrical approach to quantum estimation theory*.", "\n\nB.R. Frieden, Found.", "Phys.**16**, No.9, *A probability law for the fundamental constants*, 883-903 (1986). ", "B.R. Frieden, Phys.", "Rev.A**41**, *Fisher information, disorder, and the equilibrium distributions of physics*, 4265-4276 (1990). ", "B.R. Frieden, B.H. Soffer, Phys.", "Rev.E**52**, *Lagrangians of physics and the game of Fisher-information transfer*, 2274-2286 (1995). ", "B.R. Frieden, Phys.", "Rev.A**66**, *Relations between parameters of a decoherent system and Fisher information*, 022107, (2002). ", "B.R. Frieden, A. Plastino, A.R. Plastino and B.H. Soffer, *Schr[ö]{}dinger link between nonequilibrium thermodynamics and Fisher information*, Phys.", "Rev.E**66**, 046128 (2002). ", "B.R. Frieden, A. Plastino, A.R. Plastino and B.H. Soffer, *Non-equilibrium thermodynamics and Fisher information: An illustrative example*, *Phys.", "Lett.", "A* **304**, (2002), pp.73-78.\\\nB.R. Frieden, Science from Fisher information: A unification, (Cambridge University Press, 2004).", "\n\nJ. Syska, *The Fisher information and quantum models-classical field theory, classical statistics similarity*, Phys.", " Stat.", " Sol.(b), **244**, No.7, 2531-2537 (2007)/DOI 10.1002/pssb.200674646.", "\n\nE.W. Piotrowski, J. S[ł]{}adkowski, J. Syska, S. Zaj[a]{}c, *The method of the likelihood and the Fisher information in the construction of physical models*, Phys.", " Stat.", " Sol.(b), [**246**]{}, No.5, 1033-1037, (2009)/DOI 10.1002/pssb.200881566, arXiv:physics/0811.3554.", "\n\nR. Nowak, *Statystyka dla fizyków*, PWN, Warszawa 2002.", "\n\nJ. Jakubowski, R. Sztencel, *Wstêp do teorii prawdopodobieñstwa*, wydanie 2, Script, Warszawa, (2001).", "\n\nY. Pawitan, *In all likelihood: Statistical modelling and inference using likelihood*, (Oxford Univ. ", "Press, 2001).", "\n\nD.G. Kleinbaum, L.L. Kupper, K.E. Muller, A. Nizam, *Applied Regression Analysis and Other Multivariable Method*, Duxbury Press, (1998).", "\n\nD. Mroziakiewicz, *Analiza regresji Poissona z estymatorami metody najwiêkszej wiarygodnoœci z wykorzystaniem programu statystycznego SAS*, Praca licencjacka, Inst. ", "Fizyki, Univ. ", "Œl¹ski (Rybnik), Polska, (2006).", "\n\nD. Mroziakiewicz, *Metoda najwiêkszej wiarygodnoœci i informacja Fishera w fizyce i statystyce*, Praca mgr., (*", "The maximum likelihood method and Fisher information in physics and statistics*), unpublished, Uniwersytet Œl¹ski, Inst. ", "Fizyki, (2008); M. Czerwik, *Wykorzystanie programu SAS jako narzêdzia do analizy wspó³zale¿noœci zmiennych metod¹ regresji*, Praca licencjacka, Uniwersytet Œl¹ski, Inst. ", "Fizyki, Jastrzêbie Zdrój, (2004).", "\n\nM. Biesiada, *Statystyka w ujêciu Bayesowskim*, Skrypt dla studentów ekonofizyki, Uniwersytet Œl¹ski, Instytut Fizyki, (2011).\\\nJ-P. Gazeau, *Coherent states in quantum physics*, Wiley-VCH, (2009).", "\n\nS. Mania, *Informacja Fishera. ", "Wyprowadzenie równania Kleina-Gordona*, Praca licencjacka, Uniwersytet Œl¹ski, Inst. ", "Fizyki, Jastrzêbie Zdrój, (2007).", "\n\nI. Bengtsson, K. [¯]{}yczkowski, *Geometry of quantum states*, Cambridge Univ. ", "Press, (2006).", "\n\nR.F. Streater, *Statistical dynamics. ", "A stochastic approach to nonequilibrium thermodynamics*, 2nd ed., ", "Imperial College Press, (2009).", "\n\nA. Ohara and T. Kitamori, *Geometric structures of stable state feedback systems*, IEEE Transactions on Automatic Control, [**38(10)**]{}, pp.1579-1583, (1993). ", "A. Ohara and S. Amari, *Differential geometric structures of stable state feedback systems with dual connections*, Kybernetica, [**30(4)**]{}, pp.369-386, (1994). ", "A. Ohara, N. Suda, and S. Amari, *Dualistic differential geometry of positive definite matrices and its applications*. ", "Linear Algebra and its Applications, [**247**]{}, pp.31-53, (1996).", "\n\nP.J. Brockwell, R.A. Davis , *Time Series: Theory and Methods*, 2nd edition, Springer, (2009).\\\n£.", " Machura, *Analiza szeregów czasowych*, Skrypt dla studentów ekonofizyki, Uniwersytet Œl¹ski, Instytut Fizyki, (2011).", "\n\nM.K. Murray, J.W. Rice, *Differential geometry and statistics*, Chapman and Hall/CRC, (1993).", "\n\nM. Nakahara, *Geometry, topology and physics*, 2nd edition, IOP Publishing Ltd, (2003).", "\n\nA.P. Dembo and O. Zeitouni, *Large deviations techniques and applications*, 2nd ed. ", "Springer, New York, (1998).", "\n\nA.J. Stam, *Some mathematical properties of quantities of information*, Ph.D. dissertation. ", "Technical University of Delf, (1959). ", "A. J. Stam, *Some inequalities satisfied by the quantities of information of Fisher and Shannon*, Inform. ", "and Control [**2**]{}, 101–112 (1959).", "\n\nF. Pennini, A. Plastino, B.H. Soffer, C. Vignat, *Physical symmetries and Fisher’s information measure*, Phys.", "Lett.", " A**373**, pp.817-820, (2009).", "\n\nJ.J. Sakurai, *Advanced quantum mechanics*, p.169, Addison-Wesley Publishing Company, (1967).", "\n\nJ. Syska, *Kaluza-Klein Type Model for the Structure of the Neutral Particle-like Solutions*, International Journal of Theoretical Physics, Volume 49, Issue 9, p.2131-2157, DOI:10.1007/s10773-010-0400-8, Open Access, (2010).", "\n\nJ. Dajka, *Kwantowe metody opisu dynamiki instrumentów finansowych*, Skrypt dla studentów ekonofizyki, Uniwersytet Œl¹ski, Instytut Fizyki, (2010).", "\n\nI.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, G. Musiol, H. M[ü]{}hlig, *Nowoczesne kompendium matematyki*, 305-306 Wydawnictwo PWN, 305-306, (2004).", "\n\nS. Zaj[a]{}c, *Modelowanie szeregów czasowych za pomoc¹ procesów ARMA i ARIMA, (aplikacje w systemie SAS)*, Praca licencjacka, Inst. ", "Fizyki, Univ. ", "Œl¹ski (Rybnik), Polska, (2005).", "\n\nK. Sobczyk, *Stochastyczne równania ró¿niczkowe. (", "Teoria i zastosowania)*, Wydawnictwo NT, (1996).\\\nJ. [Ł]{}uczka, *Procesy i zjawiska losowe*, Skrypt dla studentów ekonofizyki, Uniwersytet Œl¹ski, Instytut Fizyki, (2010).", "\n\nJ. von Neumann, *Mathematische Grundlagen der Quantenmechanic*, (Springer, Berlin), 171 (1932); transl. ", "by E.T. Beyer, Mathematical foundations of quantum mechanics, Princeton Univ. ", "Press, Princeton, 324 (1955).", "\n\nA. Peres, *Quantum Theory: Concepts and Methods*, Kluwer Academic Publishers, (1995).", "\n\nM.R. Esfandiary, H.J. Fink, Phys.", "Lett.", "A**54**, 383 (1975). ", "V.A. Schweigert, F.M. Peeters et.al., ", "Phys.", "Rev.Lett.**79**, 4653 (1997); Phys.", "Rev.Lett.**83**, 2409 (1999); Phys.", "Rev.B**59**, 6039 (1999); Phys.", "Rev.B**62**, 9663 (2000). ", "J.J. Palacios, Phys.", "Rev.B**57**, 10873 (1998); Phys.", "Rev.Lett.**83**, 2409 (1999); Phys.", "Rev.Lett.**84**, 1796 (2000). ", "G.F. Zharkov, V.G. Zharkov and A.Yu. ", "Zvetov, Phys.", "Rev.B**61**, 12293 (2000). ", "G.F. Zharkov, Phys.", "Rev.B**63**, 214502 (2001); Phys.", "Rev.B**63**, 224513 (2001).", "\n\nA.O. Barut, J.F. Van Huele, Phys.", "Rev.A**32**, 3187 (1985). ", "A.O. Barut and N. Ünal, J.Math.", "Physics**27**, 3055 (1986). ", "A.O. Barut, J.P. Dowling, Phys.", "Rev.A**36**, 649 (1987). ", "A.O. Barut and N. Ünal, Physica **142 A**, 467, 488 (1987). ", "A.O. Barut, Phys.", "Scr.**T21**, 18 (1988). ", "A.O. Barut, Y.I. Salamin, Phys.", "Rev.A**37**, 2284 (1988).\\\n$\\;$ J. Syska, Self-consistent classical fields in gauge field theories, PhD thesis, (University of Silesia, 1995/99), (unpublished); $\\;$ Trends in Boson Research, e.d. ", "A.V. Ling, (Nova Science Publishers), 163-181 (2006); Frontiers in field theory, ed. ", "O. Kovras, (Nova Science Publishers), 125-154 (2005).", "\n\nI. Bednarek, R. Ma[ñ]{}ka, J.Phys.", "G **31**, 1, (2005).", "\n\nJ. Syska, *Boson ground state fields in the classical counterpart of the electroweak theory with non-zero charge densities*, in *Frontiers in field theory*, ed. ", "O. Kovras, (Nova Science Publishers), (Nowy Jork 2005), chapter 6, 125-154 and in *Focus on Boson Research*, (Nova Publishers), 233-258, (2006).", "\n\nJ. Syska, *Remarks on self-consistent models of a particle*, in *Trends in Boson Research*, ed. ", "A.V. Ling, (Nova Science Publishers), 163-181, (2006).", "\n\nV.I. Denisov and A.A. Logunov, *The Theory of Space-Time and Gravitation*, in *Gravitation and Elementary Particle Physics*, Physics Series, ed. ", "A.A. Logunov, (MIR Publishers, Moscow), 14-130, (1983). ", "A.A. Logunov, *The Theory of Gravity*, arXiv:gr-qc/0210005v2, (2002).", "\n\nJ. Syska, R. Szafron, *Informational criteria for the field theory models building*, in preparation.", "\n\nEdited by Ch.", " Roychoudhuri, A.F. Kracklauer, K. Creath, *The nature of light. ", "What is a photon?*, (", "CRC Press, Taylor&Francis Group), (2008).", "\n\nF.del Aguila, J. Syska, R. Szafron, S. Zaj¹c, M. Zra³ek, *The dynamics of the neutrino flavour transition with the general effective interaction*, in preparation.", "\n\nR. Ticciati, *Quantum field theory for mathematicians*, (Cambridge University Press), (1999).", "\n\nM. Fecko, *Differential geometry and Lie groups for physicists*, (Cambridge University Press), (2006).", "\n\nA. Khrennikov, *Bell-Boole Inequality: Nonlocality or Probabilistic Incompatibility of Random Variables?*, ", "Entropy [**10**]{}, pp.19-32, (2008).", "\n\nW.I. Arnold, *Teoria równañ ró¿niczkowych*, PWN, Warszawa, (1983).", "\n\nM. Aoki, H. Yoshikawa, *Reconstructing macroeconomics. ", "A perspective from statistical physics and combinatorial stochastic processes*, (Cambridge University Press), (2007).", "\n\nU. Garibaldi, E. Scalas, *Finitary Probabilistic Methods in Econophysics*, Cambridge Univ. ", "Press, 1st ed., (", "2010).", "\n\nJ. Flachsmeyer, *Kombinatoryka*, PWN, (1977).", "\n\nM. Abramowitz, I. A. Stegun. *", "Handbook of Mathematical Functions* Washington, DC.: ", "National Bureau of Standards, 1965.", "\n\nE. Kamke, *Sprawocznik po obyknowiennym differiencialnym urawnieniam*, red. ", "C.W. Fomin, Izdatielstwo inostrannoj litieratury, Moskwa, 1951.", "\n\nI.B. Rumer and M.Sh.", " Ryvkin, *Thermodynamics, Statistical Physics and Kinetics*, Moscow: Mir Publishers, p.526, (1980).", "\n\nE.B. Manoukian, *Quantum Theory A Wide Spectrum*, Springer, (2006).", "\n\nJ.S. Bell, *Speakable and unspeakable in quantum mechanics*, Cambridge Univ. ", "Press: Cambridge, UK, (1987).", "\n\nL. Accardi, *The probabilistic roots of the quantum mechanical paradoxes*, Proc. ", "Conf. ", "The wave–particle dualism. ", "A tribute to Louis de Broglie on his 90th Birthday, Reidel Publ. ", "Company: Dordrecht, Netherlands, pp. ", "47–55, (1970). ", "A. Fine, *Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities*, Phys. ", "Rev. Lett. [**", "48**]{}, pp.291–295, (1982). ", "I. Pitowsky, *Resolution of the Einstein-Podolsky-Rosen and Bell Paradoxes*, Phys. ", "Rev. Lett. [**", "48**]{}, pp.1299-1302, 1982. ", "I. Pitowsky, *Deterministic Model of Spin and Statistics*, Phys. ", "Rev. D [**27**]{}, pp.2316-2326, (1983). ", "P. Rastall, *The Bell inequalities*, Found. ", "Phys. [**", "13**]{}, 555-575, (1983). ", "K. Hess, W. Philipp, *A possible loophole in the theorem of Bell*, Proc. ", "Natl. ", "Acad. ", "Sci. [**", "98**]{}, 14224, (2001). ", "K. Hess, W. Philipp, *Exclusion of time in the theorem of Bell*. ", "Europhys. ", "Lett. [**", "57**]{}, 775, (2002). ", "A. Khrennikov, *Statistical measure of ensemble nonreproducibility and correction to Bell’s inequality*, Il Nuovo Cimento B, [**115**]{}, pp.179–184, (1999). ", "A. Khrennikov, *Non-Kolmogorov probability models and modified Bell’s inequality*, J. Math. ", "Phys. [**", "41**]{}, pp.1768–1777, (2000). ", "A. Khrennikov, *A perturbation of CHSH inequality induced by fluctuations of ensemble distributions*, J. Math. ", "Phys. [**", "41**]{}, pp.5934–5944, (2000).", "\n\nJ. D. Jackson, *Elektrodynamika klasyczna*, PWN, Warszawa, (1982).", "\n\nU. Leonhardt, *Essential quantum optics. ", "From quantum measurements to black holes*, (Cambridge Univ.", "Press.), (", "2010).", "\n\nP.M. Morse and H. Feshbach, *Methods of Theoretical Physics*, (New York: McGraw-Hill), (1953).", "\n\nJ. S[ł]{}adkowski, J. Syska, *The information channel capacity in the field theory estimation*, sent to Phys.", "Lett.", "A, (2012).", "\n\nC.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, *Gravitation*, New York: Freeman, (1973).", "\n\nA. Wehrl, Rev. Mod. ", "Phys. [**", "50**]{}, 221, (1978); R. Alicki and K. Lendi, *Quantum Dynamical Semigroups and Applications*, Lect. ", "Notes Phys. [**", "717**]{}, (Springer, Berlin Heidelberg), (2007), DOI 10.1007/b11976790.", "\n\nE.W.  Piotrowski, J. S³adkowski, *The thermodynamics of portfolios*, Acta Physica Polonica B, Vol.[**32**]{}, No.2, (2001); H. Kleinert, X.J. Chen, *Boltzmann distribution and market temperature*, arXiv:physics/0609209v2, (2007).", "\n\nRené Brand, *An econophysical investigation: Using the Boltzmann-distribution to determine market temperature as applied to the JSE All Share Index*, Stellenbosch University, (16 March 2009).", "\n\n[^1]: jacek.syska@us.edu.pl\n\n[^2]: Wspó³finansowanie projektu “Uniwersytet partnerem gospodarki opartej na wiedzy” w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego. ", "Kapita³ Ludzki Narodowa Strategia Spójnoœci.", "\n\n[^3]: [**Miara produktowa**]{}: Niech bêdzie danych $N$ przestrzeni probabilistycznych $\\left\\{\\Omega_{1}, {\\cal F}_{1}, P_{1}\\right\\}$, ... , $\\left\\{\\Omega_{N}, {\\cal F}_{N}, P_{N}\\right\\}$, gdzie $\\Omega_{n}$, ${\\cal F}_{n}$, $P_{n}$ s¹, dla ka¿dego $n=1,2,...,N$, odpowiednio $n$-t¹ przestrzeni¹ zdarzeñ, $\\sigma$ - cia³em na $\\Omega_{n}$ oraz miar¹ probabilistyczn¹. WprowadŸmy na produkcie $\\Omega = \\Omega_{1}\\times ... \\times \\Omega_{N}$ tzw. ", "$\\sigma$ - cia³o produktowe ${\\cal F}\\equiv {\\cal F}_{1} \\otimes ... \\otimes{\\cal F}_{N}$ bêd¹ce najmniejszym $\\sigma$ - cia³em zawieraj¹cym zbiory postaci $A_{1}\\times ... \\times A_{N}$ gdzie $A_{1} \\in {\\cal F}_{1}$, ... , $A_{N} \\in {\\cal F}_{N}$.\\\n Na produkcie $\\Omega$ mo¿na zdefiniowaæ miarê produktow¹ $P$ tak¹, ¿e: $$\\begin{aligned}\n \\label{Miara produktowa} \n P(A_{1} \\times A_{2} \\times... \\times A_{N}) = P_{1}(A_{1}) \\, P_{2}(A_{2}) \\, ... \\, P_{N}(A_{N}) \\; .\\end{aligned}$$ [**Zmienne niezale¿ne**]{}: Zmienne losowe $Y_{1}, ... , Y_{N}$ o wartoœciach w $\\mathbb{R}$ okreœlone odpowiednio na $\\left\\{\\Omega_{1}, {\\cal F}_{1}, P_{1}\\right\\}$, ... , $\\left\\{\\Omega_{N}, {\\cal F}_{N}, P_{N}\\right\\}$ nazywamy [*niezale¿nymi*]{}, gdy dla ka¿dego ci¹gu zbiorów borelowskich $B_{1}, ... , B_{N}$ zachodzi równoœæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{Miara produktowa zmienne losowe} \n P(Y_{1} \\in B_{1}, \\, Y_{2} \\in B_{2}, ... \\, Y_{N} \\in B_{N}) = P_{1}(Y_{1} \\in B_{1}) \\, P_{2}(Y_{2} \\in B_{2}) \\, ... \\, P_{N}(Y_{N} \\in B_{N}) \\; .\\end{aligned}$$ Poniewa¿ po prawej stronie (\\[Miara produktowa zmienne losowe\\]) stoj¹ zdarzenia losowe $Y_{n}^{-1}(B_{n})$, gdzie $B_{n}$ nale¿y do $\\sigma$ - cia³a $\\mathbb{B(R)}$, zatem stwierdzenie (\\[Miara produktowa zmienne losowe\\]) oznacza, ¿e [*zmienne losowe s¹ niezale¿ne wtedy i tylko wtedy, gdy $\\sigma$ - cia³a ${\\cal F}_{n}$ generowane przez zmienne losowe $Y_{n}$, $n=1,2,...,N$, s¹ niezale¿ne*]{} [@Jakubowski-Sztencel].", "\n\n[^4]: W przypadku analizy jednej zmiennej losowej $Y$, rozk³ady te obok niezale¿noœci spe³niaj¹ dodatkowo warunek: $$\\begin{aligned}\n \\label{rozklady pn} \n p_{n} \\left({{\\bf y}_{n}|\\theta_{n}}\\right) = p \\left({{\\bf y}|\\theta} \\right) \\; ,\\end{aligned}$$ co oznacza, ¿e próba jest [*prosta*]{}.", "\n\n[^5]: Natomiast rozk³ad estymatora oszacowywanego parametru, zale¿y od tego parametru.", "\n\n[^6]: [**Postaæ estymatora parametru skalarnego $\\theta$ rozk³adu $N\\left({\\theta,\\sigma^{2}}\\right)$**]{}: Korzystaj¹c z równania wiarygodnoœci (\\[rown wiaryg\\]) dla przypadku skalarnego parametru $\\theta$, otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n \\label{rown wiaryg skal}\n S\\left(\\theta\\right)_{|_{\\theta = \\hat{\\theta}}} \\equiv\\frac{\\partial}{\\partial\\theta} \\ln P(y\\,|\\theta)_{|_{\\theta = \\hat{\\theta}}} = 0 \\; , \\end{aligned}$$ sk¹d dla log-funkcji wiarygodnoœci (\\[log wiaryg rozklad norm jeden par\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n \\label{srednia arytmet z MNW}\n \\hat{\\theta} = \\bar{{\\bf y}} = \\frac{1}{{N}}\\sum\\limits_{n=1}^{N} {\\bf y}_{n} \\; .\\end{aligned}$$ Zatem estymatorem parametru $\\theta$ jest œrednia arytmetyczna: $$\\begin{aligned}\n \\label{srednia arytmet estymator z MNW}\n \\hat{\\theta} = \\overline{Y} = \\frac{1}{{N}}\\sum\\limits_{n=1}^{N} Y_{n} \\; .\\end{aligned}$$ Estymator i jego realizowan¹ wartoœæ bêdziemy oznaczali tak samo, tzn. ", "$\\hat{\\theta}$ dla przypadku skalarnego i $\\hat{\\Theta}$ dla wektorowego.", "\n\n[^7]: SSE w literaturze angielskiej.", "\n\n[^8]: Czynnik $r\\left(x_{n}, \\beta \\right)$ nazywany dalej funkcj¹ regresji, chocia¿ w³aœciwie nazwa ta odnosi siê do ca³ej $E\\left(Y_{n} \\right)$.\n\n[^9]: Nale¿y jednak pamiêtaæ, ¿e zwrotu “najmniejszych kwadratów” nie nale¿y tu braæ dos³ownie, gdy¿ metoda najmniejszych kwadratów ma sens jedynie wtedy, gdy rozk³ad zmiennej $Y$ jest normalny (por. ", "Rozdzia³ \\[regresja klasyczna\\]).", "\n\n[^10]: Obserwowana macierz (wariancji-) kowariancji $\\hat{V}(\\hat{\\beta })$ estymatorów $\\hat{\\beta }$ MNW jest zdefiniowana jako odwrotnoœæ macierzy obserwowanej informacji Fishera (\\[I obserwowana\\]) [@Pawitan]: $$\\begin{aligned}\n \\label{macierz kowariancji estymatorów}\n \\hat{V}(\\hat{\\beta }) := \\texttt{i\\!F}^{-1}(\\hat{\\beta}) \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^11]: W przyjêtym przedstawieniu danych jak dla diagramu punktowego, $N$ jest ogólnie liczb¹ punktów pomiarowych (równ¹ liczbie wariantów czy komórek). ", "Tylko dla modelu podstawowego jest $N$ równie¿ liczb¹ parametrów.", "\n\n[^12]: Zauwa¿my, ¿e statystyka (\\[dewinacja jak chi\\]) mo¿e mieæ myl¹co du¿¹ wartoœæ gdy wielkoœci $\\hat{Y}_{n} $ s¹ bardzo ma³e.", "\n\n[^13]: W pe³nym zapisie indeksów, ze wzglêdu na to, ¿e jeden punktowy parametr $\\theta_{n} = (\\vartheta_{1n},\\vartheta_{2n},...,\\vartheta_{kn})^{T} \\equiv ((\\vartheta_{s})_{s=1}^{k})_{n}$ mo¿e byæ parametrem wektorowym, co ma miejsce gdy $k>1$, zapis (\\[forma kw dla P\\]) oznacza: $$\\begin{aligned}\n \\label{forma kw dla P wszystkie parametry}\n \\sum_{n, \\,n'=1}^{N} \\; \\sum_{s, s'=1}^{k} \\frac{\\partial^{2} \\ln P}{\\partial \\vartheta_{sn} \\partial \\vartheta_{s'n'}} {\\left|_{\\Theta = \\hat{\\Theta}} \\right.} \\, ", "\\Delta\\vartheta_{sn} \\, \\Delta\\vartheta_{s'n'} \\; .\\end{aligned}$$ Wkrótce i tak ograniczymy siê do sytuacji gdy $k=1$, tzn. ", "$\\theta_{n} = \\vartheta_{1n}=\\vartheta_{n}$.\n\n[^14]: Bêdziemy powszechnie stosowali skrócony zapis typu: $\\,\\Theta^{2} \\equiv \\Theta \\Theta^{T} = (\\theta_{i} \\theta_{j})_{d \\times d}$ oraz $\\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\Theta^{2}} \\equiv \\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\Theta \\,\\partial \\Theta^{T}} = (\\frac{\\partial^{2}}{\\partial \\theta_{i} \\partial \\theta_{j}})_{d \\times d}$.\n\n[^15]: Poniewa¿ dla próby prostej wszystkie $Y_{n}$, $n=1,2,...,N$, maja taki sam rozk³ad jak $Y$ oraz dla $n \\neq n'$ zachodzi ${\\rm cov}(Y_{n},Y_{n'}) = 0$, zatem: $\\, \n \\sigma^{2}({\\bar{Y}}) = \\sigma^{2}(\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^{N} Y_{n}) $ $= \\frac{1}{N^{2}}\\sigma^{2}(\\sum_{n=1}^{N} Y_{n}) = \\frac{1}{N^{2}}\\sum_{n=1}^{N} \\sigma^{2}(Y_{n}) = \\frac{1}{N^{2}} N \\,\\sigma^{2}(Y) = \\frac{\\sigma^{2}}{N}\\, $.", "\n\n[^16]: Poniewa¿ funkcja wynikowa $S(\\Theta) \\equiv S(\\widetilde{Y}|\\Theta) = \\frac{\\partial P(\\widetilde{Y}|\\Theta)}{\\partial \\Theta}$ jest $d$-wymiarowym kolumnowym wektorem losowym (\\[funkcja wynikowa\\]) z wartoœci¹ oczekiwan¹ równ¹ zero, zatem ${\\rm Cov}_{\\Theta}\\left[ \\,S \\left( \\widetilde{Y}|\\Theta \\right) \\right]$ jest $d\\times d$-wymiarow¹ macierz¹ kowariancji (wspó³rzêdnych) wektora $S(\\widetilde{Y}|\\Theta)$. W skrypcie bêdziemy stosowali oznaczenie ${\\sigma^{2}}_{\\!\\! ", "\\Theta} \\,S \\left( \\Theta \\right) \\equiv {\\rm Cov}_{ \\Theta}\\left[ \\,S \\left( \\widetilde{Y}|\\Theta \\right) \\right]$.\n\n[^17]: Dla dowolnego wektora ${\\bf a} = \\left(a_{1},...,a_{d} \\right)^{T} \\in \\mathbf{R}^{d}$ oraz macierzy kowariancji $C = E \\left(\\left(Z-E(Z) \\right) \\left(Z-E(Z) \\right)^{T}\\ \\right)$, gdzie $Z$ jest $d$-wymiarowym wektorem losowym, zachodzi ${\\bf a}^{T} E\\left[\\left(Z-E(Z) \\right)\\left(Z - E(Z) \\right)^{T} \\right] {\\bf a} = {\\bf a}^{T} E \\left(W W^{T} \\right) {\\bf a}$ $ = E \\left[({\\bf a}^{T} W )({\\bf a}^{T} W )^{T}\\right] ={\\mathop{\\sigma^{2}}}\\left({\\bf a}^{T} W \\right)\\ge0$, gdzie $W=Z-E(Z)\\;$ i $E(W)=0$, tzn. ", "macierz $C$ jest nieujemnie okreœlona.", "\n\n[^18]: Niech ${\\cal S}$ jest zbiorem punktów, na którym okreœlony jest uk³ad wspó³rzêdnych $\\phi_{\\Xi}: {\\cal S} \\rightarrow \\mathbb{R}^{d}$. [**W skrypcie interesuj¹ nas tylko globalne uk³ady wspó³rzêdnych**]{}. ", "Wtedy $\\phi_{\\Xi}$ odwzorowuje ka¿dy punkt $P \\in {\\cal S}$ w zbiór $d$ liczb rzeczywistych $\\phi_{\\Xi}(P) \\equiv (\\xi^{1}(P), \\xi^{2}(P),...,\\xi^{d}(P))^{T} = ( \\xi^{1}, \\xi^{2},...,\\xi^{d})^{T} \\equiv \\Xi$.\\\n \\\n Niech istnieje zbiór uk³adów wspó³rzêdnych (czyli atlas) ${\\cal A}$ spe³niaj¹cy nastêpuj¹ce warunki:\\\n 1) Ka¿dy element $\\phi_{\\Xi} = \\left[(\\xi^{i})_{i=1}^{d}\\right] \\in {\\cal A}$, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem $\\phi_{\\Xi}: {\\cal S} \\rightarrow \\mathbb{R}^{d}$ z ${\\cal S}$ w pewien otwarty podzbiór w $\\mathbb{R}^{d}$.\\\n 2) Dla ka¿dego $\\phi_{\\Xi} \\in {\\cal A}$ oraz wzajemnie jednoznacznego odwzorowania $\\phi_{\\Xi'}$ z ${\\cal S}$ w $\\mathbb{R}^{d}$, zachodzi\\\n równowa¿noœæ: $(\\phi_{\\Xi'} = (\\xi^{'\\,i})_{i=1}^{d} \\in {\\cal A})$ $\\Leftrightarrow$ $(\\phi_{\\Xi'} \\circ \\phi_{\\Xi}^{-1}$ jest dyfeomorfizmem rzêdu $C^{\\infty})$. $$\\begin{aligned}\n \\label{uklad wspolrzednych na S}\n Zbi\\acute{o}r \\; {\\cal S} \\; z \\; tak \\; okre\\acute{s}lonym \\; atlasem \\; {\\cal A} \\; to \\; (C^{\\infty} \\; r\\acute{o}\\dot{z}niczkowalna) \\; rozmaito\\acute{s}\\acute{c} \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^19]: [**Okreœlenie przestrzeni Riemannowskiej**]{}: Niech ${\\cal S}$ jest rozmaitoœci¹ i za³ó¿my, ¿e dla ka¿dego punktu $P_{\\Xi} \\in {\\cal S}$ w jej przestrzeni stycznej $T_{P} \\equiv T_{P}({\\cal S})$ jest okreœlony iloczyn wewnêtrzny $\\left\\langle , \\right\\rangle_{P}$ taki, ¿e $\\left\\langle V, W \\right\\rangle_{P} \\in \\mathbb{R}$ oraz posiadaj¹cy dla dowolnych wektorów $V,W \\in T_{P}$ nastêpuj¹ce w³asnoœci: $$\\begin{aligned}\n \\label{metryka Riemanna} \n & & (\\forall \\,a,b \\in \\mathbb{R}) \\;\\;\\;\\; \\left\\langle a V + b W, Z \\right\\rangle_{P} = a \\left\\langle V, Z \\right\\rangle_{P} + b \\left\\langle W, Z \\right\\rangle_{P} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\quad {\\rm liniowo\\acute{s}\\acute{c}} \\; \\\\\n & &\\left\\langle V, W \\right\\rangle_{P} = \\left\\langle W, V \\right\\rangle_{P} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad \\quad\\quad\n {\\rm symetryczno\\acute{s}\\acute{c}} \\; \\\\\n & & {\\rm Je\\acute{s}li} \\;\\;\\;\\; V \\neq 0 \\, , \\;\\;\\; {\\rm wtedy} \\;\\;\\; \\left\\langle V, V \\right\\rangle_{P} > 0 \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\;\\;\\quad \\quad\\quad {\\rm dodatnia \\;okre\\acute{s}lono\\acute{s}\\acute{c}} \\; .\\end{aligned}$$ Pierwsze dwie w³asnoœci oznaczaj¹, ¿e $\\left\\langle , \\right\\rangle_{P}$ jest form¹ dwuliniow¹. Odwzorowanie $g:{\\cal S} \\ni P \\rightarrow \\left\\langle , \\right\\rangle_{P} $ jest na ${\\cal S}$ polem wektorowym (kowariantnym) rangi 2. ", "Nazywamy je [*metryk¹ Riemanna na ${\\cal S}$, a przestrzeñ ${\\cal S}$, z tak okreœlon¹ metryk¹ $g$, nazywamy przestrzeni¹ Riemannowsk¹*]{} $({\\cal S}, \\, g)$.\\\n Gdy dla ka¿dego $P \\in {\\cal S}$ wspó³rzêdne $V^{i}$, $i=1,2,...,d$ dowolnego wektora $V \\in T_{P}$ s¹ $C^{\\infty}$ (tzn. ", "s¹ analityczne) wzglêdem pewnego uk³adu wspó³rzêdnych $\\Xi$, wtedy metryka Riemanna jest $C^{\\infty}$. W skrypcie rozwa¿amy tylko przypadek $C^{\\infty}$.\\\n Maj¹c metrykê $g$ mo¿emy zdefiniowaæ d³ugoœæ wektora stycznego $V$ przez ni¹ indukowan¹: $$\\begin{aligned}\n \\label{dlugosc z metryki Riemanna} \n \\left\\| V \\right\\| = \\sqrt{\\left\\langle V, V \\right\\rangle_{P}} = \\sqrt{\\sum_{i,j=1}^{d} g_{ij}(\\Xi) V^{i} V^{j}} \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^20]: Niech $\\Delta=(\\delta^{i})_{i=1}^{d}$ jest innym ni¿ $\\Xi=(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ uk³adem wspó³rzêdnych (inn¹ parametryzacj¹) i niech $\\tilde{\\partial}_{j} \\equiv \\frac{\\partial}{\\partial \\delta^{j}} = \\sum_{i=1}^{d} \\frac{\\partial \\xi^{i}}{\\partial \\delta^{j}}\\, \\partial_{i} $. ", "Mo¿na pokazaæ, ¿e wspó³czynniki koneksji w uk³adach wspó³rzêdnych $\\Delta$ oraz $\\Xi$ s¹ zwi¹zane ze sob¹ nastêpuj¹co [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n \\label{nowy wspolczynnik koneksji}\n \\tilde{\\Gamma}^{t}_{rs} = \\sum_{i, j, \\,l=1}^{d} \\left(\\Gamma^{l}_{ij} \\frac{\\partial \\xi^{i} }{\\partial \\delta^{r}} \\frac{\\partial \\xi^{j} }{\\partial \\delta^{s}} + \\frac{\\partial^{2} \\xi^{\\,l}}{\\partial \\delta^{r} \\partial \\delta^{s}} \\right) \\frac{\\partial \\delta^{t}}{\\partial \\xi^{l}}\n \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; t,r,s=1,2,...,d \\; .\\end{aligned}$$ Drugi sk³adnik w (\\[nowy wspolczynnik koneksji\\]) zale¿y tylko od postaci transformacji wspó³rzêdnych i jest niezale¿ny od koneksji. ", "Zatem, za wyj¹tkiem transformacji liniowej, dla której drugi sk³adnik znika, wspó³czynniki koneksji nie transformuj¹ siê przy przejœciu do nowego uk³adu wspó³rzêdnych jak wielkoœæ tensorowa. ", "Gdyby wiêc w uk³adzie wspó³rzêdnych $\\Xi=(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ wszystkie $\\Gamma^{l}_{ij} = 0$, to (za wyj¹tkiem transformacji liniowej) w nowym uk³adzie wspó³rzêdnych $\\Delta=(\\delta^{i})_{i=1}^{d}$ nie wszystkie wspó³czynniki $\\tilde{\\Gamma}^{t}_{rs}$ by³yby równie¿ równe zero.\\\n Jednak¿e postaæ koneksji afinicznej $\\Pi$ jest w nowej parametryzacji taka sama jak (\\[Pi poprzez partial oraz d theta\\]), tzn. ", "jest ona wspó³zmiennicza, co oznacza, ¿e: $$\\begin{aligned}\n \\label{Pi poprzez partial oraz d xi}\n \\Pi_{P P'}((\\tilde{\\partial}_{j})_{P}) = (\\tilde{\\partial}_j)_{P'} - \\sum_{i,\\,l=1}^{d} d\\delta^{i}(\\tilde{\\Gamma}_{ij}^{l})_{P} (\\tilde{\\partial}_l)_{P'} \\; , \\;\\;\\;{\\rm gdzie} \\;\\;\\;\\; j=1,2,...,d \\;\\;\\; {\\rm oraz} \\;\\;\\; d\\delta^{i} = \\delta^{i}(P) - \\delta^{i}(P') \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^21]: W ogólnoœci, znikanie koneksji jest warunkiem wystarczaj¹cym lecz niekoniecznym [*afinicznej p³askoœci, która w bardziej fundamentalnym okreœleniu ma miejsce, gdy tensor krzywizny (Riemanna) $R$ zeruje siê na ca³ej rozmaitoœci $\\cal S$*]{}, tzn. ", "zeruj¹ siê wszystkie jego sk³adowe. ", "Sk³adowe tensora krzywizny $R$ w bazie $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ maj¹ nastêpuj¹c¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{tensor krzywizny R}\n R^{l}_{ijk} \\equiv R^{l}_{ijk}(\\Gamma) = \\partial_{i} \\Gamma^{l}_{jk} - \\partial_{j} \\Gamma^{l}_{ik} + \\sum_{s=1}^{d} \\Gamma^{l}_{is} \\Gamma^{s}_{jk} - \\sum_{s=1}^{d} \\Gamma^{l}_{js} \\Gamma^{s}_{ik} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} .\\end{aligned}$$ Gdy na rozmaitoœci $\\cal S$ istnieje globalny uk³adu wspó³rzêdnych, wtedy dla koneksji, która jest symetryczna (tak jak np. ", "$\\alpha$-koneksja), znikanie tensora krzywizny poci¹ga istnienie uk³adu wspó³rzêdnych, w którym znika koneksja i oba okreœlenia afinicznej p³askoœci pokrywaj¹ siê.\\\n\n[^22]: Zlogarytmowane modele eksponentialne $\\{ \\ln p_{\\Xi}, \\; \\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d} \\in {V}_{\\Xi} \\subset \\mathbb{R}^{d}\\}$ s¹ przestrzeniami afinicznymi. ", "Dlatego z punktu widzenia ich geometrycznej charakterystyki odgrywaj¹ tak¹ rolê jak proste i powierzchnie w $3$-wymiarowej geometrii Euklidesowej.", "\n\n[^23]: Funkcja $\\psi(\\Xi)$ okazuje siê byæ tzw. ", "potencja³em transformacji Legendre’a pomiêdzy affinicznymi uk³adami wspó³rzêdnych modeli eksponentialnych (por. ", "Rozdzia³y \\[Potencjaly ukladow wspolrzednych\\] oraz \\[Estymacja w modelach fizycznych na DORC\\]).", "\n\n[^24]: [**Koneksja metryczna**]{}: Poprzez metrykê Riemannowsk¹ $g$, której przyk³adem jest metryka Fishera-Rao, (por. ", "Rozdzia³ \\[alfa koneksja\\]), mo¿na okreœliæ koneksjê $\\gamma_{P P'} \\rightarrow \\Pi_{\\gamma_{P P'}}$, która jest metryczna na ${\\cal S}$. Z [*koneksj¹ metryczn¹*]{} mamy do czynienia gdy: $$\\begin{aligned}\n \\label{koneksja metryczna}\n g_{P'}(\\Pi_{\\gamma_{P P'}} V, \\; \\Pi_{\\gamma_{P P'}} W) = g_{P}(V,\\, W)\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\;{\\rm i} \\;P'_{\\Xi} \\in {\\cal S}\\; , \\end{aligned}$$ tzn. ", "gdy [*iloczyn wewnêtrzny jest niezmienniczy ze wzglêdu na przesuniêcie równoleg³e*]{} dla wszystkich wektorów stycznych $V$ oraz $W$ i wszystkich œcie¿ek $\\gamma$ z $P$ do $P'$.\\\n Koneksjê metryczn¹ nazywamy [*koneksj¹ Levi-Civita*]{} (lub Riemannowsk¹), jeœli jest ona zarówno metryczna jak i symetryczna. ", "Dla zadanego $g$ koneksja taka jest okreœlona jednoznacznie jako: $$\\begin{aligned}\n \\label{koneksja Levi-Civita}\n \\Gamma_{ij,\\,k} = \\frac{1}{2} \\left( \\partial_{i}g_{jk} + \\partial_{j}g_{ki} - \\partial_{k}g_{ij} \\right)\\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ gdzie jej [*symetria*]{} oznacza spe³nienie warunku (\\[koneksja symetryczna\\]). ", "Koneksja (\\[koneksja Levi-Civita\\]) spe³nia warunek (\\[0 - koneksja\\]).\\\n \\\n Geodezyjne koneksji Levi-Civita s¹ krzywymi o najmniejszej (mierzonej przez metrykê $g$) d³ugoœci, tzn. ", "jej d³ugoœæ pomiêdzy punktem $P$ a $P'$ okreœlona nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n \\label{dlugosc wzdluz gamma}\n \\left\\| \\gamma \\right\\| = \\int_{P}^{P'} \\left\\| \\frac{d \\gamma}{dt} \\right\\| dt = \\int_{P}^{P'} \\sqrt{ \\sum_{i,j=1}^{d} g_{ij} \\frac{d \\gamma^{i}}{dt} \\frac{d \\gamma^{j}}{dt}} \\;dt \\; ,\\end{aligned}$$ jest najmniejsza, gdzie $\\gamma^{i}(t)$ jest $i$-t¹ wspó³rzêdn¹ punktu na krzywej $\\gamma(t)$, tzn. ", "$\\gamma^{i}(t) := \\xi^{i}(\\gamma(t))$.\n\n[^25]: Wystarczy zapisaæ (\\[def dualnych nabla\\]) dla wektorów bazowych $(\\partial_{i})_{i=1}^{d}$, otrzymuj¹c: $$\\begin{aligned}\n \\label{def dualnych w bazach nabla}\n \\partial_{r}\\left\\langle \\partial_{i}, \\partial_{j} \\right\\rangle = \\left\\langle \\nabla_{\\partial_{r}} \\partial_{i}, \\partial_{j} \\right\\rangle + \\left\\langle \\partial_{i}, \\nabla^{*}_{\\partial_{r}} \\partial_{j} \\right\\rangle\\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P_{\\Xi} \\in {\\cal S} \\; , \\end{aligned}$$ sk¹d wykorzystuj¹c (\\[pochodna kowariantna i wspolczynniki koneksji\\]) dla koneksji $\\nabla$ oraz $\\nabla^{*}$, otrzymujemy (\\[war dualnosci we wspolczynnikach\\]).", "\n\n[^26]: Mówimy wtedy, ¿e koneksja na ${\\cal S}$ jest ca³kowalna. ", "Gdy przestrzeñ ${\\cal S}$ jest jedno-spójna, to warunek ten oznacza znikanie tensora krzywizny Riemanna na ${\\cal S}$.\n\n[^27]: Niech $\\Xi = (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ bêdzie uk³adem wspó³rzêdnych afinicznych. ", "Wtedy, zgodnie z (\\[nowy wspolczynnik koneksji\\]) wspó³czynniki koneksji w uk³adzie wspó³rzêdnych $\\Theta=(\\theta^{i})_{i=1}^{d}$ s¹ równe: $$\\begin{aligned}\n \\label{gdy Gamma zero w afin uk wsp}\n \\tilde{\\Gamma}^{t}_{rs} = \\sum_{i, j, \\,l=1}^{d} \\left( \\frac{\\partial^{2} \\xi^{\\,l}}{\\partial \\theta^{r} \\partial \\theta^{s}} \\right) \\frac{\\partial \\theta^{t}}{\\partial \\xi^{l}}\n \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; t,r,s=1,2,...,d \\; . ", "\\nonumber\\end{aligned}$$ Za¿¹dajmy aby nowy uk³ad wspó³rzêdnych $\\Theta$ by³ równie¿ afiniczny. ", "Koniecznym i wystarczaj¹cym warunkiem spe³nienia tego ¿¹dania jest zerowanie siê wszystkich drugich pochodnych $ \\frac{\\partial^{2} \\xi^{\\,l}}{\\partial \\theta^{r} \\partial \\theta^{s}} = 0\\,$, gdzie $l,r,s=1,2,...,d$. Warunek ten oznacza, ¿e pomiêdzy wspó³rzêdnymi $(\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $(\\theta^{i})_{i=1}^{d}$ istnieje [*afiniczna transformacja*]{}: $$\\begin{aligned}\n \\label{transformacja affiniczna}\n \\xi^{\\,l} \\longrightarrow \\theta^{\\,l} = \\sum_{k=1}^{d} A^{l}_{\\; k} \\, \\xi^{k} + V^{l} \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\; l = 1,2,...,d \\; \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} , \\nonumber\\end{aligned}$$ gdzie $A = (A^{l}_{\\; k}) = (\\partial \\theta^{l}/\\partial \\xi^{k}) \\in GL(d)$ jest niezale¿n¹ od wspó³rzêdnych $d \\times d$ - wymiarow¹ nieosobliw¹ macierz¹ ogólnej grupy liniowych transformacji, natomiast jest $V = \\sum_{l=1}^{d} V^{l} \\partial_{\\xi^l}$ jest sta³ym $d$-wymiarowym wektorem.\\\n Metryka $g$ jest tensorem kowariantnym rangi 2, jest to wiêc forma dwu-liniowa, zatem iloczyn wewnêtrzny wektorów uk³adów dualnych $\\partial/\\partial \\xi^{s}$ oraz $\\partial/\\partial \\theta^{r}$, mo¿na zapisaæ nastêpuj¹co: $$\\begin{aligned}\n \\label{dzialanie tensora metrycznego}\n \\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\; \\partial/\\partial \\theta^{r} \\right\\rangle \n &=& \\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\, \\sum_{l=1}^{d} \\frac{\\partial \\xi^{l}}{\\partial \\theta^{r}} \\frac{\\partial}{\\partial \\xi^{l}} \\right\\rangle = \\sum_{l=1}^{d} \\frac{\\partial \\xi^{l}}{\\partial \\theta^{r}} \\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\; \\partial/\\partial \\xi^{l} \\right\\rangle \\nonumber \\\\\n &=& \\sum_{l=1}^{d} (A^{-1})^{l}_{\\;\\,r} \\, g^{\\xi}_{sl} = \\delta_{sr} \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; s, r = 1,2,...,d \\; , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\, , \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\end{aligned}$$ gdzie $g^{\\xi}_{sl} = \\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\; \\partial/\\partial \\xi^{l} \\right\\rangle$, a ostatnia równoœæ w (\\[dzialanie tensora metrycznego\\]) wynika z ¿¹dania sta³oœci iloczynu wewnêtrznego $\\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\; \\partial/\\partial \\theta^{r} \\right\\rangle $ na ${\\cal S}$ dla uk³adów dualnie p³askich zgodnie z (\\[uklad afiniczny dla koneksji\\]) oraz z nieosobliwoœci transformacji afinicznej, tak ¿e uk³ad wspó³rzêdnych $\\Theta$ ma tyle samo stopni swobody co uk³ad $\\Xi$. Zatem otrzymaliœmy warunek (\\[stalosc il wewn partial i dual partial\\]) dla uk³adów dualnie p³askich.\\\n Przechodz¹c zgodnie z (\\[ukl wsp theta kontrawariantne\\]) od wspó³rzêdnych kontrawariantnych $\\theta^{r}$ do kowariantnych, $\\theta_{r}$, $r=1,2,..,d$, widaæ, ¿e powy¿szy zwi¹zek (\\[dzialanie tensora metrycznego\\]) dla wektorów bazowych uk³adów dualnych mo¿na zapisaæ w postaci $\\, \\left\\langle \\partial/\\partial \\xi^{s} , \\; \\partial/\\partial \\theta_{r} \\right\\rangle = \\delta_{s}^{r}$ podanej w [@Amari; @Nagaoka; @book].\\\n [**Uwaga**]{}: Przestrzeñ wektorów dualnych $(\\partial/\\partial \\theta^{r})_{r=1}^{d}$ uk³adu, który jest afiniczny wzglêdem koneksji $\\nabla^{*}$ jest izomorficzna z przestrzeni¹ 1-form $({\\rm d} \\theta^{r})_{r=1}^{d}$ sprzê¿on¹ liniowo do uk³adu przestrzeni wektorów $(\\partial/\\partial \\theta^{r})_{r=1}^{d}$. Dla 1-form sprzê¿onych do wektorów bazowych z definicji zachodzi ${\\rm d} \\theta^{r} (\\partial/\\partial \\theta^{s}) = \\delta^{r}_{s}$, $\\,s,r =1,2,...,d$. \\[1-form ${\\rm d} \\theta^{r}$, $r =1,2,...,d$, nie nale¿y myliæ z przyrostami typu (\\[rozniczka theta dla theta\\]) czy jak w (\\[Pi poprzez partial oraz d xi\\])\\].", "\n\n[^28]: W zale¿noœci od kontekstu i aby nie komplikowaæ zapisu, przez $\\Theta$ bêdziemy rozumieli parametr wektorowy we wspó³rzêdnych kowariantnych $(\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ b¹dŸ kontrawariantnych $(\\theta^{i})_{i=1}^{d}$. Analogicznie post¹pimy dla $\\Xi$.\n\n[^29]: SprawdŸmy zgodnoœæ (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) z warunkami (\\[row rozn dla psi i eta\\]) oraz (\\[row rozn dla phi i theta\\]). ", "Z (\\[transformacja Legendrea psi w phi\\]) otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n \\label{d phi w theta eta i d psi}\n d \\phi = \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} d\\theta_{i} + \\sum_{i=1}^{d} d\\xi^{i} \\theta_{i} - d\\psi \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; .\\end{aligned}$$ Korzystaj¹c z (\\[row rozn dla psi i eta\\]) otrzymujemy $d \\phi = \\sum_{i=1}^{d} d\\xi^{i} \\theta_{i}$ jak w (\\[row rozn dla phi i theta\\]).", "\n\n[^30]: Jeœli $\\psi$ oraz $\\phi$ s¹ wypuk³ymi funkcjami na wypuk³ych przestrzeniach parametrów $V_{\\Xi}$ oraz $V_{\\Theta}$, gdzie parametry wektorowe maj¹ postaæ $\\Xi \\equiv (\\xi^{i})_{i=1}^{d}$ oraz $\\Theta \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$, to transformacje Legendre’a mo¿na sformu³owaæ w sposób bardziej ogólny [@Amari; @Nagaoka; @book]: $$\\begin{aligned}\n \\label{transformacja Legendrea psi w phi ogolna}\n \\phi(\\Theta) = max_{(\\Xi \\in V_{\\Xi})} \\left\\{ \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\theta_{i} - \\psi(\\Xi) \\right\\} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; \\end{aligned}$$ dla $\\psi(\\Xi)$ bêd¹cego rozwi¹zaniem równania (\\[row rozn 2 rzedu dla psi i eta\\]). ", "Podobnie, powiedzmy, ¿e $\\phi(\\Theta)$ jest pewnym rozwi¹zaiem równania (\\[row rozn 2 rzedu dla phi i theta\\]). ", "Wtedy poprzez transformacjê Legendre’a: $$\\begin{aligned}\n \\label{transformacja Legendrea phi w psi ogolna}\n \\psi(\\Xi) = max_{(\\Theta \\in V_{\\Theta})} \\left\\{ \\sum_{i=1}^{d} \\xi^{i} \\theta_{i} - \\phi(\\Theta) \\right\\} \\; , \\;\\;\\;\\;\\; \\forall\\, P \\in {\\cal S} \\; ,\\end{aligned}$$ otrzymujemy potencja³ $\\psi(\\Xi)$.\n\n[^31]: [**Okreœlenie wi¹zki w³óknistej**]{}: (Ró¿niczkowalna) wi¹zka w³óknista $(E, \\pi, {\\cal M}, F, G)$ nad ${\\cal M}$ sk³ada siê z nastêpuj¹cych siedmiu elementów [@Nakahara]:\\\n 1. ", "Ró¿niczkowalnej rozmaitoœci $E$ nazywanej [*przestrzeni¹ totaln¹*]{}.\\\n 2. ", "Ró¿niczkowalnej rozmaitoœci ${\\cal M}$ nazywanej [*przestrzeni¹ bazow¹*]{}.\\\n 3. ", "Ró¿niczkowalnej rozmaitoœci $F$ nazywanej [*(typowym) w³óknem*]{}.\\\n 4. ", "Odwzorowania suriektywnego $\\pi: E \\rightarrow {\\cal M}$ nazywanego [*rzutowaniem*]{}, którego odwrotny obraz $\\pi^{-1}(p) = F_{p} \\cong F$ nazywamy w³óknem w $p$ gdzie $p \\in {\\cal M}$.\\\n 5. ", "Grupy Liego $G$ nazywanej [*grup¹ strukturaln¹*]{}, która dzia³a lewostronnie na $F$.\\\n 6. ", "Zbioru otwartych pokryæ $\\{ U_{i} \\}$ rozmaitoœci ${\\cal M}$ z dyfeomorfizmem $\\phi_{i}: U_{i} \\times F \\rightarrow \\pi^{-1}(U_{i})$ takim, ¿e $\\pi \\circ \\phi_{i}(p, \\,f) = p\\,$, gdzie $f \\in F$. Poniewa¿ $\\phi_{i}^{-1}$ odwzorowuje $\\pi^{-1}(U_{i})$ [*na*]{} [*iloczyn prosty*]{} $\\,U_{i} \\times F$ dlatego odwzorowanie $\\phi_{i}$ jest nazywane [*lokaln¹ trywializacj¹*]{} .\\\n 7. ", "WprowadŸmy oznaczenie $\\phi_{i,p}(f) \\equiv \\phi_{i}(p, \\, f)$. Odwzorowanie $\\phi_{i,p}: F \\rightarrow F_{p}$ jest dyfeomorfizmem. ", "Rz¹damy aby na $U_{i} \\bigcap U_{j}\\neq \\emptyset$ odwzorowanie $t_{ij} \\equiv \\phi_{i,p}^{-1} \\circ \\phi_{j,p}: F \\rightarrow F$ by³o elementem grupy $G$. Wtedy $\\phi_{i}$ oraz $\\phi_{j}$ s¹ zwi¹zane poprzez g³adkie odwzorowanie $t_{ij}: U_{i} \\bigcap U_{j} \\rightarrow G$ w nastêpuj¹cy sposób: $\\phi_{j}(p, \\, f) = \\phi_{i}(p, \\, t_{ij}(p) f)$.\\\n Odwzorowania $t_{ij}$ s¹ nazwane [*funkcjami przejœcia*]{}.\\\n [**Oznaczenie**]{}: Czasami na oznaczenie wi¹zki w³óknistej $(E, \\pi, {\\cal M}, F, G)$ u¿ywa siê skróconego zapisu $E \\stackrel{\\pi}{\\rightarrow} {\\cal M}$ lub nawet tylko $E$.\\\n \\\n [**Przyk³ad**]{}: W powy¿szych rozwa¿aniach przestrzeni¹ bazow¹ ${\\cal M}$ jest przestrzeñ statystyczna ${\\cal S}$. Gdy $T_{P}$ jest przestrzeni¹ styczn¹ do ${\\cal S}$ w $P$ a $T_{P}^{*}$ jest przestrzeni¹ wektorow¹ dualn¹ do $T_{P}$, wtedy typowe w³ókno $F_{P}$ mo¿e byæ np. ", "przestrzeni¹ tensorow¹: $$\\begin{aligned}\n \\label{tensor q r} \\left[T_{P}\\right]^{q}_{r} \\equiv \\underbrace{T_{P} \\otimes \\cdots \\otimes T_{P}}_{q-razy} \\otimes \\underbrace{T^{*}_{P} \\otimes \\cdots \\otimes T^{*}_{P}}_{r-razy} \\; , \\end{aligned}$$ gdzie $q$ jest indeksem stopnia kontrawariantnego iloczynu tensorowego $T_{P}$ a $r$ indeksem stopnia kowariantnego iloczynu tensorowego $T_{P}^{*}$. Informacja Fishera jest szczególnym przyk³adem tensora $\\left[T_{P}\\right]^{0}_{2}$ na ${\\cal S}$. Gdy typowe w³ókno $F$ jest przestrzeni¹ tensorow¹ a przestrzeñ wektorowa $T_{P}$ jest $d$ - wymiarowa, to grupa strukturalna $G$ jest w ogólnoœci ogóln¹ grup¹ liniowych transformacji $GL(d)$.\n\n[^32]: Odwzorowanie nazywamy symetrycznym jeœli jest symetryczne ze wzglêdu na permutacjê zmiennych.", "\n\n[^33]: W jêz. ", "angielskim [*Cram$\\acute{e}$r-Rao lower bound*]{} (CRLB).", "\n\n[^34]: Tzn. ", "poœród estymatorów nieobci¹¿onych parametru $\\mu = E_{\\mu}(Y)$ i regularnych, posiada najmniejsz¹ z mo¿liwych wariancji.", "\n\n[^35]: Czyli tzw. ", "macierz¹ oczekiwanego b³êdu kwadratowego.", "\n\n[^36]: [**Przestrzeñ stanów modelu**]{}: Mówimy, ¿e na przestrzeni zdarzeñ $\\Omega$ zosta³a okreœlona funkcja $\\omega \\rightarrow P(\\omega)$ spe³niaj¹ca warunki, $P(\\omega) \\ge 0$ oraz $ \\sum \\limits_{\\omega}P(\\omega) = 1$, nazywana wtedy miar¹ probabilistyczn¹. [*Zbiór wszystkich miar probabilistycznych okreœlonych na $\\Omega$ tworzy przestrzeñ stanów modelu*]{}.", "\n\n[^37]: W przypadku statystycznej entropii fizycznej $\\aleph$ mo¿e byæ np. [*", "liczb¹ konfiguracji okreœlonej liczy moleku³ przy zadanej energii ca³kowitej uk³adu*]{}. ", "Wtedy $k$ jest uto¿samiane ze sta³¹ Boltzmann’a $k_{B}$. Dla uk³adu okreœlonego w przestrzeni ci¹g³ej $\\mathbb{R}^{3}$ liczba konfiguracji jest nieskoñczona. ", "Gdyby ograniczyæ siê do skoñczonej podprzestrzeni i podzieliæ j¹ na komórki o skoñczonej wielkoœci, i podobnie uczyniæ w przestrzeni pêdowej, to liczba mo¿liwych konfiguracji uk³adu by³aby skoñczona a jego entropia mog³aby byæ policzona. ", "Jednak¿e poprawny rachunek entropii wymaga wtedy uto¿samienia konfiguracji powiedzmy $n$ cz¹stek ró¿ni¹cych siê jedynie ich permutacj¹, w ramach jednej klasy równowa¿noœci. ", "Na fakt, ¿e w³aœciwa przestrzeñ próby ma w tym przypadku nie $\\aleph$ lecz $\\aleph/n!$ punktów zwróci³ uwagê Gibbs, a otrzyman¹ przestrzeñ próby nazywa siê przestrzeni¹ próby Gibbsa. ", "Np. ", "dla 1 $cm^{3}$ cieczy w zwyk³ych warunkach $n \\approx 10^{23}$. Problem ten nie bêdzie rozwa¿any dalej w niniejszym skrypcie.", "\n\n[^38]: Ze wzglêdu na warunek $\\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph} p_{i} = 1$ maksymalizujemy funkcjê $S_{H\\,war}\\left(P\\right) = S_{H}\\left(P\\right) - \\lambda \\left( 1 - \\sum\\limits_{i=1}^{\\aleph} p_{i} \\right) \\, $, licz¹c pochodn¹ po $p_{j}$, $j=1,2,...,\\aleph\\,$, gdzie $\\lambda$ jest czynnikiem Lagrange’a.", "\n\n[^39]: Fisher korzysta³ z amplitud prawdopodobieñstwa niezale¿nie od ich pojawienia siê w mechanice kwantowej.", "\n\n[^40]: Porównaj przejœcie od (\\[inf I jeden parametr - 2 pochodna\\]) do (\\[inf I jeden parametr - kwadrat 1 pochodnej\\]).", "\n\n[^41]: Lokalne w³asnoœci funkcji wiarygodnoœci $P(y|\\Theta)$ opisuje obserwowana macierz informacji Fishera: $$\\begin{aligned}\n \\label{observed IF empirical statistics} \\texttt{i\\!F} = \\left(-\n \\frac{\\partial^{2} ln P(\\Theta)}{\\partial \\theta_{n'}^{\\nu}\n \\partial \\theta_{n}^{\\mu}}\\right) \\, ,\\end{aligned}$$ która pozostaje symetryczna i dodatnio okreœlona. ", "Jak wiemy (por. ", "Rozdzia³ \\[alfa koneksja\\]) jej wartoœæ oczekiwana na ${\\cal B}$ zadaje geometryczn¹ strukturê nazywan¹ metryk¹ Rao-Fishera na przestrzeni statystycznej $S$ [@Amari; @Nagaoka; @book].", "\n\n[^42]: Uwzglêdnienie metryki Minkowskiego w definicji informacji Stama mo¿na zrozumiæ równie¿ jako konsekwencjê ogólnego wskazania przy liczeniu œredniej kwadratowej wielkoœci mierzalnej w dowolnej metryce Euklidesowej. ", "W sytuacji gdy obok indeksów przestrzennych $x_{i}$, $i=1,2,3$, wystêpuje indeks czasowy $t$, nale¿y w rachunkach w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Euklidesowej uwzglêdniæ we wspó³rzêdnych przestrzennych jednostkê urojon¹ $i$, [*³¹cznie z uwzglêdnieniem tego faktu w prawie propagacji b³êdów*]{}. ", "W zwi¹zku z tym w oryginalnej analizie EFI Friedena-Soffera, zmienna losowa czterowektora po³o¿enia oraz jej wartoœæ oczekiwana maj¹ odpowiednio postaæ $(Y_{0} = \\,c\\,T, i\\, \\vec{Y})$ oraz $(\\theta_{0} = \\,c \\,E_{\\Theta}(T), \\,\\vec{\\theta} = i \\, E(\\vec{Y}))$, co nie zmienia rezultatów analizy zawartej w skrypcie, odnosz¹cej siê do równañ mechaniki falowej oraz termodynamiki. ", "Nie zmienia to równie¿ rezultatów analizy relatywisycznej mechaniki kwantowej [@Sakurai; @2]. ", "Jednak¿e opis wykorzystuj¹cy metrykê Minkowskiego wydaje siê autorowi skryptu korzystniejszy z punktu widzenia zrozumienia konstrukcji niepodzielnego ekperymantalnie kana³u informacyjnego (por. ", "Uwaga o indeksie próby).", "\n\n[^43]: Pojemnoœæ informacyjna: $$\\begin{aligned}\n \\label{one channel Fisher_information - I z iF}\n I_{n} = \\int_{\\cal B} d y \\, P(y|\\Theta) \\, \\sum_{\\nu=0}^{3} \\texttt{i\\!F}_{n n \\nu}^{\\;\\;\\;\\;\\, \\nu} \\; \\end{aligned}$$ jest niezmiennicza ze wzglêdu na g³adkie odwracalne odwzorowania $Y \\rightarrow X$, gdzie $X$ jest now¹ zmienn¹ [@Streater]. ", "Jest ona równie¿ niezmiennicza ze wzglêdu na odbicia przestrzenne i czasowe.", "\n\n[^44]: Przy wyprowadzaniu równañ generuj¹cych rozk³ad w fizyce statystycznej ${\\bf y}$ mo¿e byæ np. ", "wartoœci¹ energii $\\epsilon$ uk³adu [@Frieden] i wtedy ${\\bf y} \\equiv \\epsilon \\in {\\cal Y} \\equiv \\mathbb{R}$.\n\n[^45]: Jednak¿e przypomnijmy, ¿e w ogólnym przypadku estymacji, wymiar wektora parametrów $\\Theta \\equiv (\\theta_{i})_{i=1}^{d}$ oraz wektora próby $y \\equiv ({\\bf y}_{n})_{n=1}^{N}$ mo¿e byæ inny.", "\n\n[^46]: Funkcjona³, w tym przypadku $S_{war}(p)$, jest liczb¹, której wartoœæ zale¿y od funkcji $p({\\bf y}|\\Xi)$.\n\n[^47]: Co oznacza, ¿e zak³adamy, ¿e funkcja $\\ln P$ jest wypuk³a w otoczeniu prawdziwej wartoœci parametru $\\Theta$.\n\n[^48]: E. Jaynes, Information Theory and Statistical Mechanics, *Phys.", "Rev.* **106**, 620–630 (1957). ", "E. Jaynes, Information Theory and Statistical Mechanics. ", "II, *Phys.", "Rev.* **108**, 171–190 (1957).", "\n\n[^49]: Metod tych nie nale¿y jednak uto¿samiaæ. ", "Nale¿y pamiêtaæ, ¿e macierz informacyjna Fishera, wykorzystywana w EFI, oraz entropia Shannona, wykorzystywana w podejœciu Jaynes’a, s¹ ró¿nymi pojêciami. ", "Macierz informacyjna Fishera jest Hessianem (\\[hesian z S\\]) entropii Shannona.", "\n\n[^50]: W [@Dziekuje; @informacja_2] by³a u¿yta miara $d^{N}{\\bf x} \\, P(\\Theta)$ zamiast $d^{N}{\\bf y} \\,\n P(\\Theta)$. Nie zmienia to jednak dowodu strukturalnej zasady informacyjnej, lecz poszerza jego zastosowanie na sytuacje, które [*nie posiadaj¹ niezmienniczoœci przesuniêcia*]{}, za³o¿enia nie wykorzystywano w dowodzie.", "\n\n[^51]: Amplitudy $q_{n}$ s¹ w przypadku rozk³adów ci¹g³ych zwi¹zane z $p_{n}$, które s¹ [*gêstoœciami*]{} prawdopodobieñstw.", "\n\n[^52]: O ile nie bêdzie to prowadzi³o do nieporozumieñ, bêdziemy pominijali s³owo “sk³adowa”.", "\n\n[^53]: Co jest s³uszne nawet na poziomie gêstoœci o ile tylko $P(\\tilde{\\Theta})$ $\\in$ ${\\cal S}$ nie posiada w $\\Theta$ wy¿szych d¿etów ni¿ drugiego rzêdu.", "\n\n[^54]: W tym punkcie, dzia³a EFI w stosunku do estymowanego równania ruchu jak MNW w stosunku do estymowanego parametru dla rozk³adu znanego typu.", "\n\n[^55]: Wspólnotê mechaniki falowej z kwantow¹ ograniczymy do typów równañ ró¿niczkowych zagadnienia Sturm’a-Liouville’a oraz zasady nieoznaczonoœci Heisenberga. ", "Dowód przeprowadzony w ramach mechaniki falowej w obszarze wspólnym dla obu teorii falowych, uznajemy co najwy¿ej jako przes³ankê jego s³usznoœci w mechanice kwantowej.", "\n\n[^56]: Wielowymiarowoœæ czasoprzestrzenna mo¿e, w kontekœcie obecnych rozwa¿añ, zmieniæ co najwy¿ej znak pojemnoœci informacyjnej.", "\n\n[^57]: Frieden co prawda wyprowadzi³ równie¿ mechanikê klasyczn¹ z mechaniki falowej, ale jedynie jako graniczny przypadek $\\hbar \\rightarrow 0$, a wartoœæ $N$ w tym wyprowadzeniu jest nieistotna [@Frieden].", "\n\n[^58]: Wyj¹tkiem jest równanie Kleina-Gordona, w wyprowadzeniu którego odwo³ujemy siê jedynie do zasady wariacyjnej, natomiast struktura uk³adu jest narzucona z góry (por. (", "\\[Q for N scalar\\]).)", "\n\n[^59]: Równie¿ wyprowadzenie zasady strukturalnej (\\[eq zero\\]) czyni j¹ mniej fundamentaln¹ ni¿ w sformu³owaniu Friedena-Soffera [@Frieden], a tym co staje siê fundamentalne jest funkcja wiarygodnoœci $P(\\Theta)$ próbki, czyli ³¹czna gêstoœæ prawdopodobieñstwa jej (niewidocznej dla badacza) realizacji.", "\n\n[^60]: Równoœæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{tw Parsevala}\n \\int_{\\cal X} d^{4}{\\bf x}\\,\\psi_{n}^{*}({\\bf x})\\,\\psi_{n}({\\bf x}) = \\int_{\\cal P} d^{4}{\\bf p}\\,\\phi_{n}^{*}({\\bf p})\\,\\phi_{n}({\\bf p}) \\; ,\\end{aligned}$$ jest treœci¹ twierdzenia Parseval’a.", "\n\n[^61]: Patrz równanie (\\[row KL dla swobodnego\\]) w przypisie.", "\n\n[^62]: Zgodnie z uwag¹ uczynion¹ powy¿ej, skrót rezultatów metody EFI dla samych pól cechowania w elektrodynamice Maxwella znajduje siê w Dodatku \\[Maxwell field\\].", "\n\n[^63]: [**Uwaga o g³ównej wi¹zce (w³óknistej)**]{}: Mówi¹c zwiêŸle, g³ówna wi¹zka to taka wi¹zka w³óknista (okreœlona w Rozdziale \\[Uwaga o rozwinieciu funkcji w szereg Taylora\\]), której w³ókno jest strukturaln¹ grup¹ symetrii $G$.\\\n Podsumujmy jednak ca³¹ dotychczasow¹ informacjê na temat g³ównej wi¹zki w³óknistej precyzyjnie: Maj¹c rozmaitoœæ ${\\cal X}$ oraz grupê Liego $G$, g³ówna wi¹zka w³óknista $E({\\cal X},G)\\,$ jest rozmaitoœci¹ tak¹, ¿e:\\\n 1. ", "Grupa $G$ dzia³a na $E$ w sposób ró¿niczkowalny i bez punktów sta³ych.\\\n 2. ", "Przestrzeñ bazowa ${\\cal X}=E/G$, tzn. ", "${\\cal X}$ jest przestrzeni¹ ilorazow¹ $E$ wzglêdem $G$, oraz istnieje ró¿niczkowalne odwzorowanie (nazywane rzutowaniem) $\\pi: E \\rightarrow {\\cal X}$.\\\n 3. ", "Dla ka¿dej mapy $\\{ U_{i} \\}$ w atlasie dla ${\\cal X}$, istnieje ró¿niczkowalne i odwracalne odwzorowanie $\\phi_{j}: \\pi^{-1}(U_{j}) \\rightarrow U_{j} \\times G $ zadane przez $E \\rightarrow (\\pi({\\cal P}), f({\\cal P}))$ w ka¿dym punkcie ${\\cal P} \\in E$, gdzie $f: \\pi^{-1}(U_{j}) \\rightarrow G$ spe³nia warunek $f(g \\,{\\cal P}) = g \\, f({\\cal P})$, dla ka¿dego $g \\in G$.\\\n Obraz $\\pi^{-1}$, czyli $U_{j} \\times G$, jest nazywany w³óknem. ", "Zatem ka¿de w³ókno niesie z sob¹ kopiê grupy strukturalnej $G$.\n\n[^64]: Jako, ¿e baza dla pozosta³ych pól nie jest jeszcze wybrana.", "\n\n[^65]: Macierze Diraca $\\gamma^{\\mu}$, $\\mu=0,1,2,3\\,$, wystêpuj¹ce w tzw. ", "kowariantnej formie równania Diraca: $$\\begin{aligned}\n \\label{kowariantna postac r Diraca}\n (i \\, \\gamma^{\\mu} D_{\\mu} - m) \\psi = 0 \\; ,\\end{aligned}$$ wyra¿aj¹ siê poprzez macierze Diraca $\\beta$ oraz $\\alpha^{l}$, $l=1,2,3$, w sposób nastêpuj¹cy: $\\gamma^{0} = \\beta$ oraz $\\gamma^{l} = \\beta \\alpha^{l}\\,$, ($\\gamma_{\\mu} = \\sum_{\\nu=0}^{3} \\eta_{\\mu \\nu} \\gamma^{\\nu}$). ", "Macierze Diraca $\\vec{\\alpha} \\equiv \\left(\\alpha^{1},{\\alpha^{2}},{\\alpha^{3}}\\right)$ oraz $\\beta$ maj¹ postaæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{m Diraca alfa beta}\n {\\alpha^{l}}=\\left({\\begin{array}{cc}\n 0 & {\\sigma^{l}}\\\\\n {\\sigma^{l}} & 0\\end{array}}\\right)\\!,\\;\\; l=1,2,3, \\quad\\quad \\beta = \\left({\\begin{array}{cc}\n \\! {", "\\mathbf 1}\\! & ", "\\!0\\!\\\\\n \\!0\\! & ", "\\!{-{\\mathbf 1}}\\!\\end{array}}\\right)\\end{aligned}$$ gdzie $\\sigma^{l}=\\sigma_{l}$, $\\left(l=1,2,3\\right)$ s¹ macierzami Pauliego, a ${\\mathbf 1}$ jest macierz¹ jednostkow¹: $$\\begin{aligned}\n \\label{m Pauliego}\n \\sigma^{1}=\\left({\\begin{array}{cc}\n \\!0 & 1\\!\\\\\n \\!1 & 0\\!\\end{array}}\\right)\\!\\!,\\;\\; \\sigma^{2}=\\left({\\begin{array}{cc}\n \\!0\\! & ", "\\!{-i}\\!\\\\\n \\!{i}\\! & ", "\\!0\\!\\end{array}}\\right)\\!\\!,\\;\\;\n \\sigma^{3}=\\left({\\begin{array}{cc}\n \\!1\\! & ", "\\!0\\!\\\\\n \\!0\\! & ", "\\!{-1}\\!\\end{array}}\\right)\\!\\!,\\;\\; \n {\\mathbf 1} = \\left({\\begin{array}{cc}\n \\!1 & 0\\!\\\\\n \\!0 & 1\\!\\end{array}}\\right) \\;\\; .\\end{aligned}$$\n\n[^66]: Równanie Kleina-Gordona otrzymane z wariacji informacji (\\[TPI every field jawna postac\\]) ma postaæ ($\\vec{\\nabla}=(\\partial/\\partial x^{l})\\,, \\;l=1,2,3$): $$\\begin{aligned}\n \\label{row KL dla dowolnego N}\n - c^{2} \\hbar^{2} \\; ( \\vec{\\nabla} - \\frac{ie\\vec{A}}{c\\hbar} ) \\cdot ( \\vec{\\nabla} - \\frac{ie\\vec{A}}{c\\hbar} ) \\; \\psi_{n} + \\hbar^{2} (\\frac{\\partial}{\\partial t} + \\frac{ie\\phi}{\\hbar} )^{2} \\; \\psi_{n} + m^{2} \\, c^{4} \\, \\psi_{n} = 0 \\; .\\end{aligned}$$ Dla pola swobodnego czteropotencja³ cechowania $A_{\\mu} = (\\phi, -\\vec{A})$ jest równy zeru i wtedy otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n \\label{row KL dla swobodnego}\n -c^{2}\\hbar^{2}\\, \\nabla^{2} \\psi_{n} + \\hbar^{2}\\frac{{\\partial^{2}}}{{\\partial t^{2}}} \\, \\psi_{n} + m^{2}c^{4} \\, \\psi_{n} = 0 \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^67]: Jednak to przypuszczenie nale¿y udowodniæ.", "\n\n[^68]: Z drugiej strony, same równania master le¿¹ w innej czêœci klasycznej statystycznej estymacji, tzn. ", "w obszarze dzia³ania teorii procesów stochastycznych [@Sobczyk_Luczka].", "\n\n[^69]: W przypadku wyprowadzenia równania Boltzmanna w Rozdziale \\[rozdz.energia\\], po rozwi¹zaniu uk³adu równañ strukturalnego (\\[rownanie strukt E\\]) i wariacyjnego (\\[rownanie wariacyjne E\\]), otrzymuje siê postaæ (\\[postac mikro Q dla E\\]) na $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$. Jest to postaæ, która po wstawieniu do równania wariacyjnego (\\[rownanie wariacyjne E\\]) daje równanie generuj¹ce (\\[falowe kappa 1\\]) amplitudê $q_{n}({\\bf x})$. Zasada wariacyjna (\\[gggg\\]) (gdzie $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ wyznaczone w (\\[postac mikro Q dla E\\]) wystêpuje w $k$, (\\[k dla Boltzmanna\\])), da³aby równie¿ równanie generuj¹ce (\\[falowe kappa 1\\]).", "\n\n Równoœæ (\\[S and K connection\\]) nale¿y wiêc rozumieæ nastêpuj¹co. ", "Znaj¹c $\\mathbb{S}(q_{n}({\\bf x}),\\partial q_{n}({\\bf x}))$, które wystêpuje po lewej stronie równania (\\[S and K connection\\]) jako $K$ ze wstawion¹, samospójnie wyznaczon¹ postaci¹ $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$ i wariuj¹c je dopiero wtedy ze wzglêdu na $q_{n}({\\bf x})$, otrzymujemy to samo równanie generuj¹ce co rozwi¹zanie obu zasad strukturalnej i wariacyjnej jednoczeœnie.", "\n\n[^70]: Natomiast w ogólnoœci, nie mo¿na przyrównaæ samej zasady wariacyjnej metody EFI daj¹cej równanie Eulera-Lagrange’a (dla amplitudy $q_{n}({\\bf x})$), w którym mo¿e byæ uwik³ana obserwowana informacja strukturalna $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$, do zasady najmniejszego dzia³ania $\\mathbb{S}$, która daje koñcow¹ postaæ równania Eulera-Lagrange’a dla $q_{n}({\\bf x})$ bez ¿adnego, bezpoœredniego œladu postaci $\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}))$.\n\n[^71]: W zgodzie z ogóln¹ w³asnoœci¹ kontrakcji indeksu Minkowskiego dla czterowektora $x~\\equiv~(x_{\\nu})_{\\nu=0}^{3}$ $=~(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$: $$\\sum_{\\nu \\mu = 0}^{3} \\eta_{\\nu\\mu}\\frac{df}{dx_{\\nu}}\\frac{df}{dx_{\\mu}}=\\left(\\frac{df}{dx_{0}}\\right)^{2}-\\sum_{k=1}^{3} \\left(\\frac{df}{dx_{k}}\\right)^{2} \\; .$$ W [@Frieden] metryka ma postaæ Euklidesow¹, a zmienne maj¹ urojon¹ wspó³rzêdn¹ przestrzenn¹ $\\left(x_{0}, i \\vec{x} \\right)$, por. ", "Rozdzia³ \\[Poj inform zmiennej los poloz\\].", "\n\n[^72]: Jak w Rozdziale \\[The kinematical form of the Fisher information\\], indeks $n$ przy wspó³rzêdnej pominiêto, korzystaj¹c z za³o¿enia, ¿e rozproszenie zmiennej nie zale¿y od punktu pomiarowego próby.", "\n\n[^73]: OdpowiedŸ na pytanie, czy rozwa¿ania termodynamiczne s¹ przyczyn¹ metryki Minkowskiego niezbêdnej w relatywistycznej teorii pola, wykracza poza obszar skryptu. ", "Niemniej autor skryptu uwa¿a, ¿e tak siê istotnie sprawy maj¹, tzn. ¿", "e przestrzeñ Euklidesowa z transformacj¹ Galileusza s¹ pierwotne wobec przestrzeni Minkowskiego z transformacj¹ Lorentza. ", "St¹d podejœcie efektywnej teorii pola Logunova [@Denisov-Logunov] do teorii grawitacji jest bli¿sze teorii pomiaru fizycznego Friedena-Soffera (któr¹ jest EFI). ", "Nieco wiêcej na ten temat mo¿na znaleŸæ w Dodatku \\[general relativity case\\].", "\n\n[^74]: Gdyby nie wyca³kowaæ w (\\[postac I po calk czesci\\]) $I$ przez czêœci, wtedy z (\\[obserwowana zas strukt z P i z kappa\\]) i po skorzystaniu z postaci kinematycznej pojemnoœci, zasada strukturalna na poziomie obserwowanym mia³aby postaæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{mikroskowowa dla E}\n q_{n}^{' \\,2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) + \\frac{\\kappa}{4} q_{n}^{2}({\\bf x}_{{\\epsilon}}) \\,\\texttt{q\\!F}_{n}(q_{n}({\\bf x}_{{\\epsilon}})) = 0 \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^75]: Omówienie metody Aoki i Yoshikawy zamieszczono na koñcu obecnego rozdzia³u.", "\n\n[^76]: Przyjmuj¹c, ¿e $r>>1$, otrzymujemy, w podanych granicach, nastêpuj¹cy rozk³ad prawdopodobieñstwa produkcyjnoœci pracownika: $$\\begin{aligned}\n \\label{rozklad koncowy A dysktretny przybl}\n P\\left( i \\right) \\approx (\\frac{1}{r} + \\frac{1}{2 r^2}) \\, \\left(e^{- \\frac{i}{r}} \\; + \\; \\frac{1}{r} \\right)\n \\;\\;\\;\\;\\; {\\rm dla} \\quad \\;\\;\\; i= 1,2,...\\; \\;\\;\\;{ \\rm oraz} \\;\\;\\; a_{0} > 0 \\; , \\;\\;\\; r >> 1 \\, .\\end{aligned}$$\n\n[^77]: Jeœli uk³ad opisany jest funkcj¹ falow¹ $\\psi(\\vec{y}, t)$, wtedy $p(\\vec{y}, t) = |\\psi(\\vec{y}, t)|^{2}$.\n\n[^78]: Lecz bior¹c pod uwagê ogólne stwierdzenie, ¿e jeœli $P_{12}$ jest ³¹cznym rozk³adem prawdopodobieñstwa pewnych dwóch zmiennych losowych “1” oraz “2”, a ${P_{1}}$ oraz ${P_{2}}$ ich rozk³adami brzegowymi, to jeœli w ogólnoœci nie s¹ one wzglêdem siebie niezale¿ne (tzn. ", "³¹czne prawdopodobieñstwo nie jest iloczynem brzegowych), wtedy: $$\\begin{aligned}\n \\label{subaddytywnosc informacji}\n I_{F}\\left({P_{12}}\\right) \\ge I_{F} \\left({P_{1}}\\right) + I_{F} \\left({P_{2}}\\right)\\equiv \\tilde{C} \\, \\end{aligned}$$ gdzie $\\tilde{C}$ jest pojemnoœci¹ informacyjn¹ z³o¿onego uk³adu. ", "Relacja (\\[subaddytywnosc informacji\\]) oznacza, ¿e jeœli wystêpuj¹ jakiekolwiek korelacje miêdzy zmiennymi to, jeœli znamy wynik doœwiadczenia dla pierwszej zmiennej to maleje iloœæ informacji koniecznej do okreœlenia wyniku doœwiadczenia dla drugiej z nich, tzn. ", "istnienie korelacji w uk³adzie zwiêksza informacjê Fishera $I_{F}$ o parametrach charakteryzuj¹cych rozk³ad uk³adu.", "\n\n[^79]: W przypadku braku wspólnej przestrzeni zdarzeñ $\\Omega_{AB}$ dla zmiennych losowych powiedzmy $A$ oraz $B$, nie mo¿na by zdefiniowaæ ³¹cznego rozk³adu prawdopodobieñstwa $P(A,B)$ dla tych dwóch zmiennych, pomimo istnienia ich rozk³adów brzegowych $P(A)$ oraz $P(B)$, co oznacza, ¿e nie da³o by siê dokonaæ ich ³¹cznego pomiaru. ", "Równie¿ na ogó³, pomimo istnienia ³¹cznego rozk³adu brzegowego $P(A,B)$ dla zmiennych $A$ oraz $B$, oraz rozk³adu brzegowego $P(B,C)$ dla zmiennych $B$ oraz $C$, nie istnieje rozk³ad ³¹czny $P(A,B,C)$ dla zmiennych $A$, $B$ i $C$. ", "Zwróæmy uwagê na fakt, ¿e w dowodzie nierównoœci Bella [@Bell; @Khrennikov] przyjmuje siê za oczywisty fakt istnienia ³¹cznego rozk³adu $P(A,B,C)$. Mo¿liwoœæ taka istnieje zawsze, gdy wspólna przestrzeñ zdarzeñ $\\Omega_{ABC}$ tych trzech zmiennych losowych istnieje i jest iloczynem kartezjañskim $\\Omega_A \\times \\Omega_B \\times \\Omega_C$. Z drugiej strony, nierównoœci Bell’a s¹ znane w klasycznej teorii prawdopodobieñstwa od czasów Boole’a jako test, który w przypadku ich niespe³nienia œwiadczy o niemo¿liwoœci konstrukcji ³¹cznego rozk³adu prawdopodobieñstwa. ", "Rozumowanie to mo¿na rozszerzyæ na dowoln¹ liczbê zmiennych losowych [@Khrennikov; @Accardi].\\\n W pe³nym opisie rzeczywistego eksperymentu EPR-Bohm’a, a nie tylko w eksperymencie typu “gedanken”, powinny wystêpowaæ obok dwóch zmiennych losowych rzutów spinów mierzonych w analizatorach “a” oraz “b”, równie¿ dwie zmienne losowe k¹towe mierzone dla tych cz¹stek w chwili ich produkcji.", "\n\n[^80]: Podobnie dla $S_{a}$, wychodz¹c z $P\\left(S_{a}|\\vartheta\\right) = C' = const. ", "$ i postêpuj¹c analogicznie jak przy przejœciu od (\\[Sb\\]) do (\\[cpol\\]), otrzymujemy: $$\\begin{aligned}\n \\label{pol dla Sa}\n P\\left(S_{a}|\\vartheta\\right) = \\frac{1}{2} \\; .\\end{aligned}$$\n\n[^81]: Przypomnijmy sobie analizê przeprowadzon¹ w rozdziale (\\[rozdz.energia\\]) dla rozk³adu energii cz¹steczki gazu. ", "Wtedy ze wzglêdu na nieograniczony zakres argumentu amplitudy, wybraliœmy rozwi¹zanie o charakterze eksponencjalnym.", "\n\n[^82]: W mechanice kwantowej powiedzielibyœmy, ¿e $\\psi_{ab}(\\vartheta)$ oznacza amplitudê prawdopodobieñstwa zdarzenia, ¿e wartoœæ k¹ta wynosi $\\vartheta$, o ile pojawi³aby siê ³¹czna konfiguracja spinów $S_{ab}$.\n\n[^83]: Jest tak w ca³ej analizie EFI nie uwzglêdniaj¹cej wp³ywu urz¹dzenia pomiarowego.", "\n\n[^84]: Dodatkowo dla eksperymentu EPR-Bohm’a $\\widetilde{\\mathbf{C}} \\equiv \\widetilde{\\mathbf{C}}_{EPR}=0$, zgodnie z (\\[postac stalej Cab\\]).", "\n\n[^85]: Zaszumienie z aparatury Sterna-Gerlacha, o którym wspomniano powy¿ej, dla uproszczenia pomijamy.", "\n\n[^86]: W przypadku braku separowalnoœci I oraz Q na sumy odpowiednio pojemnoœci informacyjnych oraz informacji strukturalnych, w³aœciwych dla poduk³adów.", "\n\n[^87]: Na przyk³ad, czêstoœci rejestracji okreœlonych rzutów spinu $S_{a}$ w eksperymencie EPR-Bohm’a.", "\n\n[^88]: Na przyk³ad, k¹tem $\\vartheta$ w eksperymencie EPR-Bohm’a.", "\n\n[^89]: Wnioski w pracy [@Frieden] s¹ nastêpuj¹ce: Przekaz \\[zwi¹zanej\\] informacji J do [*cz¹stki obserwowanej*]{} wzbudza wartoœæ spinu $S_{a}$ do poziomu danej w próbce, zgodnie z koñcowym prawem (\\[wynikEPR\\]). ", "Oznacza to, ¿e przekaz informacji sprawia, ¿e cz¹stka [*spe³nia*]{} koñcowe prawo (\\[wynikEPR\\]) \\[opisuj¹ce zachowanie siê\\] spinu. ", "Przyczyn¹ jest jakiœ nieznany mechanizm oddzia³ywania, byæ mo¿e pewna “bogata i z³o¿ona struktura, która mo¿e odpowiadaæ na informacjê i kierowaæ zgodnie z tym, swoim w³asnym ruchem” . ", "W ten sposób, przekaz \\[zwi¹zanej\\] informacji J wi¹¿e z sob¹ stany spinowe nieobserwowanej i obserwowanej cz¹stki. ", "A zatem J (zgodnie z wymogiem) “nadaje postaæ” w³asnoœciom spinu [*nie*]{}obserwowanej cz¹stki.", "\n\n[^90]: Gdyby na przyk³ad chcieæ wyznaczyæ metod¹ EFI ³¹czny rozk³ad energii i pêdu cz¹stki gazu.", "\n\n[^91]: Dla brzegowego rozk³adu pola cechowania wyznaczonego z ³¹cznego rozk³adu wszystkich pól.", "\n\n[^92]: Normalizacja czteropotencja³u $A_{\\nu}$ zadana przez (\\[A normalization\\]) do jednoœci mog³aby nie zachodziæ [@Leonhardt]. ", "Warunkiem koniecznym dla $q_{\\nu}({\\bf x})$ jest, aby niezbêdne œrednie mog³y byæ wyliczone. ", "Porównaj tekst poni¿ej (\\[observed IF\\]).", "\n\n[^93]: Otrzymanej wczeœniej jako wynik uzgodnienia rezultatu metody EFI z równaniami Maxwella.", "\n\n[^94]: A nie tzw. ", "metryki s³abego pola pochodz¹cej od liniowej czêœci zaburzenia metryki. ", "Metryka s³abego pola ma postaæ: $\\bar{h}_{\\nu\\mu} = h_{\\nu\\mu} - \\frac{1}{2} \\eta_{\\mu \\nu} h$, gdzie $h=\\sum_{\\mu, \\nu =0}^{3} \\eta^{\\mu \\nu} h_{\\mu \\nu}$ oraz $h_{\\mu\\nu} = g_{\\mu\\nu} - \\eta_{\\mu \\nu}$, dla $|h_{\\mu\\nu}| << 1$.\n\n[^95]: Pojemnoœæ informacyjna (\\[postac I dla p po x bez n\\]) dla $N=1$ i skalarnego parametru $\\theta$ wynosi: $$\\begin{aligned}\n \\label{I kinetyczny_dodatek}\n I_{F} = \\int dx \\frac{1}{p_{\\theta}(x)} \\left(\\frac{\\partial p_{\\theta}(x)}{\\partial x}\\right)^{2} \\; ,\\end{aligned}$$ i jest to informacja Fishera parametru $\\theta$, gdzie informacjê o parametrze $\\theta$ pozostawiono w indeksie rozk³adu. ", "Interesuj¹cy zwi¹zek informacji Fishera z entropi¹ Kullbacka-Leiblera pojawia siê na skutek zmiany rozk³adu zmiennej losowej spowodowanego nie zmian¹ parametru rozk³adu, ale zmian¹ wartoœci $x$ na $x + \\Delta x$. Zast¹pmy wiêc (\\[I kinetyczny\\_dodatek\\]) sum¹ Riemanna (\\[zwiazek I oraz S\\]) i wprowadŸmy wielkoœæ: $$\\begin{aligned}\n \\label{delta_dodatek}\n \\delta_{\\Delta x} \\equiv \\frac{p_{\\theta}\\left({x_{k} + \\Delta x}\\right)}{p_{\\theta}(x_{k})} - 1 \\; .\\end{aligned}$$ Postêpuj¹c dalej podobnie jak przy przejœciu od (\\[delta\\]) do (\\[I porownanie z Sn\\]) (tyle, ¿e teraz rozk³ady ró¿ni¹ siê z powodu zmiany wartoœci fluktuacji $x$), otrzymujemy (\\[iewf\\]).", "\n" ]

{ "pile_set_name": "ArXiv" }

[ 0.012422360248447204, 0.015267175572519083, 0, 0.019138755980861243, 0.008298755186721992, 0, 0.00684931506849315, 0, 0.006060606060606061, 0.008771929824561403, 0.011235955056179775, 0, 0, 0, 0.006756756756756757, 0.02262443438914027, 0.010810810810810811, 0, 0.014035087719298246, 0.025380710659898477, 0.020833333333333332, 0.013986013986013986, 0.012396694214876033, 0.018796992481203006, 0.012903225806451613, 0.004524886877828055, 0.019138755980861243, 0.018072289156626505, 0.047619047619047616, 0.02826086956521739, 0.016853932584269662, 0.011111111111111112, 0, 0.015772870662460567, 0.013297872340425532, 0, 0.013333333333333334, 0.01362088535754824, 0, 0.008264462809917356, 0.00980392156862745, 0.06666666666666667, 0.023529411764705882, 0.035, 0.019230769230769232, 0.011976047904191617, 0.011764705882352941, 0.012987012987012988, 0.017142857142857144, 0.01507537688442211, 0.013513513513513514, 0.016304347826086956, 0.024096385542168676, 0.01092896174863388, 0.015317286652078774, 0, 0.01848998459167951, 0.030303030303030304, 0.013157894736842105, 0.0211864406779661, 0, 0.010282776349614395, 0.010416666666666666, 0.005376344086021506, 0.012875536480686695, 0.019762845849802372, 0.009345794392523364, 0, 0.017857142857142856, 0.020618556701030927, 0.019801980198019802, 0.012012012012012012, 0.018518518518518517, 0.018518518518518517, 0.010958904109589041, 0.006666666666666667, 0.004305705059203444, 0.01775147928994083, 0.09090909090909091, 0.008620689655172414, 0.008119925046845722, 0.00390625, 0.07142857142857142, 0.013020833333333334, 0.009146341463414634, 0.004807692307692308, 0.01279317697228145, 0.015037593984962405, 0, 0.01079414032382421, 0, 0.015730337078651686, 0.012244897959183673, 0.009861932938856016, 0.004629629629629629, 0.01282051282051282, 0.0045045045045045045, 0.013192612137203167, 0, 0.016666666666666666, 0.0072992700729927005, 0.013392857142857142, 0, 0.008517887563884156, 0.009234828496042216, 0.011494252873563218, 0, 0.0024875621890547263, 0.025, 0.011278195488721804, 0.013215859030837005, 0.01730103806228374, 0.03529411764705882, 0.020134228187919462, 0.009569377990430622, 0.011695906432748537, 0.0048449612403100775, 0.006711409395973154, 0.00906344410876133, 0.0111731843575419, 0.012091898428053204, 0.020833333333333332, 0.015384615384615385, 0.004849660523763337, 0.013054830287206266, 0.012269938650306749, 0.003355704697986577, 0.004246284501061571, 0.0072992700729927005, 0.014634146341463415, 0.005747126436781609, 0, 0, 0.010263929618768328, 0.007561436672967864, 0, 0.014652014652014652, 0.004694835680751174, 0.009523809523809525, 0.01904761904761905, 0.01694915254237288, 0.015228426395939087, 0.014652014652014652, 0, 0.02459016393442623, 0.01818181818181818, 0.01066447908121411, 0.0057306590257879654, 0.0297029702970297, 0, 0.004807692307692308, 0.015873015873015872, 0.010101010101010102, 0.041666666666666664, 0.007692307692307693, 0.008571428571428572, 0.007352941176470588, 0.006160164271047228, 0.008928571428571428, 0.010526315789473684, 0.014792899408284023, 0, 0.05, 0.019801980198019802, 0.005494505494505495, 0.007633587786259542, 0.01098901098901099, 0.013993541442411194, 0, 0.009009009009009009, 0, 0.006329113924050633, 0, 0.011627906976744186, 0, 0, 0.007001166861143524, 0.015873015873015872, 0.023809523809523808, 0.012362637362637362, 0.004405286343612335, 0.00847457627118644, 0, 0.006060606060606061, 0, 0.0058823529411764705, 0.012738853503184714, 0.023076923076923078, 0.006993006993006993, 0.013422818791946308, 0.02857142857142857, 0.021739130434782608, 0, 0, 0, 0.014331210191082803, 0.023622047244094488, 0.029411764705882353, 0.014925373134328358, 0.009615384615384616, 0.015748031496062992, 0.01910828025477707, 0.009259259259259259, 0.014778325123152709, 0.013605442176870748, 0, 0, 0.03076923076923077, 0.018604651162790697, 0.011764705882352941, 0.006711409395973154, 0.021359223300970873, 0.028169014084507043, 0.00390625, 0.016233766233766232, 0, 0.012857142857142857, 0.005, 0.010416666666666666, 0.011848341232227487, 0.017241379310344827, 0, 0.024640657084188913, 0.006493506493506494, 0.010452961672473868, 0.009761388286334056, 0.00585480093676815, 0.012048192771084338, 0.046511627906976744, 0.018633540372670808, 0.017094017094017096, 0.014204545454545454, 0.010452961672473868, 0.0073937153419593345, 0.015873015873015872, 0.006237006237006237, 0.006825938566552901, 0, 0.007401315789473684, 0.007688083470620538, 0.006024096385542169, 0.021108179419525065, 0.015822784810126583, 0.00644468313641246, 0.011494252873563218, 0, 0.029411764705882353, 0.00949367088607595, 0, 0, 0.01073345259391771, 0.009259259259259259, 0, 0.009900990099009901, 0, 0.04, 0.006825938566552901, 0, 0, 0.007692307692307693, 0, 0.0036363636363636364, 0.005319148936170213, 0.05128205128205128, 0.007462686567164179, 0, 0, 0.028735632183908046, 0.014950166112956811, 0.017094017094017096, 0.010582010582010581, 0.009174311926605505, 0.013513513513513514, 0.021897810218978103, 0, 0.0028169014084507044, 0.01006036217303823, 0.007692307692307693, 0.02, 0.009569377990430622, 0, 0.015151515151515152, 0, 0.02631578947368421, 0.006993006993006993, 0.03529411764705882, 0.010603588907014683, 0.014634146341463415, 0.010101010101010102, 0.01680672268907563, 0.010752688172043012, 0.009708737864077669, 0.016129032258064516, 0.011527377521613832, 0.012769353551476457, 0.007874015748031496, 0.01092896174863388, 0.006482982171799027, 0.02702702702702703, 0.007821666014861166, 0, 0.04081632653061224, 0.016042780748663103, 0.004405286343612335, 0, 0.0050933786078098476, 0.025806451612903226, 0.015625, 0.006108202443280977, 0.006711409395973154, 0.009497964721845319, 0.0064516129032258064, 0.007462686567164179, 0, 0.007587253414264037, 0, 0, 0.005847953216374269, 0.015444015444015444, 0.009708737864077669, 0, 0.004048582995951417, 0.00847457627118644, 0.01282051282051282, 0.008174386920980926, 0.009242144177449169, 0.017777777777777778, 0.010101010101010102, 0.01576182136602452, 0.02631578947368421, 0.009259259259259259, 0.01373283395755306, 0, 0.014950166112956811, 0.01282051282051282, 0, 0.03461538461538462, 0.01910299003322259, 0.02830188679245283, 0.012535255405828893, 0.013605442176870748, 0.007722007722007722, 0.012770137524557957, 0.022988505747126436, 0.011111111111111112, 0, 0, 0.015873015873015872, 0.01885369532428356, 0.1111111111111111, 0.017793594306049824, 0.012401693889897156, 0.0035587188612099642, 0.020202020202020204, 0.010050251256281407, 0.007928118393234672, 0.006756756756756757, 0.018518518518518517, 0.034482758620689655, 0.012953367875647668, 0.015584415584415584, 0, 0.008547008547008548, 0.003875968992248062, 0.025157232704402517, 0, 0.006622516556291391, 0.014134275618374558, 0.00881057268722467, 0, 0.02103960396039604, 0, 0.0021598272138228943, 0.015170670037926675, 0.010038610038610039, 0.009785353535353536, 0, 0, 0.010657193605683837, 0.003236245954692557, 0.0076045627376425855, 0.009302325581395349, 0, 0.01364522417153996, 0.011363636363636364, 0.02359882005899705, 0.010169491525423728, 0.01288659793814433, 0.0170316301703163, 0.038834951456310676, 0.012526096033402923, 0.026525198938992044, 0.01559792027729636, 0.022988505747126436, 0.011695906432748537, 0.010714285714285714, 0.008968609865470852, 0.016632016632016633, 0.016801075268817203, 0.025380710659898477, 0.03167420814479638, 0.03345724907063197, 0.009025270758122744, 0.03553299492385787, 0.019867549668874173, 0.02197802197802198, 0.018315018315018316, 0.014736842105263158, 0.0026666666666666666, 0.01048951048951049, 0.0125, 0.031055900621118012, 0.029508196721311476, 0.03535353535353535, 0.0072254335260115606, 0.01818181818181818, 0.011734028683181226, 0.0125, 0.027131782945736434, 0.02857142857142857, 0.015037593984962405, 0.01694915254237288, 0.014285714285714285, 0.014925373134328358, 0.01694915254237288, 0.033707865168539325, 0.014388489208633094, 0.009191176470588236, 0.009302325581395349, 0.010245901639344262, 0, 0, 0.0182648401826484, 0.010743801652892562, 0.0058823529411764705, 0.006493506493506494, 0.013333333333333334, 0.011363636363636364, 0.004846526655896607, 0.011647254575707155, 0.008333333333333333, 0.010558069381598794, 0.028169014084507043, 0, 0.012232415902140673, 0.05, 0.030612244897959183, 0.006993006993006993, 0.024, 0.029900332225913623, 0.015037593984962405, 0, 0.0058823529411764705, 0.012147984538928768, 0.013071895424836602, 0.005988023952095809, 0.0037105751391465678, 0.00536480686695279, 0.0027100271002710027, 0.014084507042253521, 0.010279001468428781, 0.010067114093959731, 0.00794912559618442, 0.008053691275167786, 0.014285714285714285, 0.00881057268722467, 0, 0.008658008658008658, 0, 0.0091324200913242, 0.012082670906200318, 0, 0, 0.008426966292134831, 0.008639308855291577, 0.010568031704095112, 0.0136986301369863, 0.009628610729023384, 0.009009009009009009, 0.0070921985815602835, 0.004366812227074236, 0.010440835266821345, 0.005025125628140704, 0.008823529411764706, 0.025974025974025976, 0.008340283569641367, 0.012145748987854251, 0, 0.018633540372670808, 0.011560693641618497, 0.021505376344086023, 0.006172839506172839, 0.016613076098606645, 0.008027522935779817, 0.02631578947368421, 0.0029850746268656717, 0.005434782608695652, 0.012605042016806723, 0.008961518186610437, 0.022222222222222223, 0.014511873350923483, 0.023255813953488372, 0.008432888264230498, 0.01567398119122257, 0.01904761904761905, 0.00390625, 0, 0.010452961672473868, 0.009414225941422594, 0.026200873362445413, 0, 0.012861736334405145, 0.018292682926829267, 0.008645533141210375, 0.01636904761904762, 0.015281757402101241, 0.007933194154488519, 0.013015184381778741, 0.006472491909385114, 0.004454342984409799, 0.009162303664921465, 0.005952380952380952, 0.01, 0.026041666666666668, 0.017391304347826087, 0.005913978494623656, 0.008289374529012811, 0.007132667617689016, 0.007733952049497293, 0.005940594059405941, 0.009823182711198428, 0.0076103500761035, 0.041666666666666664, 0.005673758865248227, 0.020833333333333332, 0.0196078431372549, 0.024096385542168676, 0, 0, 0, 0.016666666666666666, 0.008356545961002786, 0.005805515239477504, 0.019867549668874173, 0.00625, 0.0035211267605633804, 0.015714285714285715, 0.05, 0.008771929824561403, 0.018633540372670808, 0, 0.005813953488372093, 0.011714589989350373, 0.009708737864077669, 0.009771986970684038, 0.0050335570469798654, 0.014522821576763486, 0, 0, 0.005813953488372093, 0.010018214936247723, 0.010273972602739725, 0, 0.014446227929373997, 0.014940239043824702, 0.004807692307692308, 0.024096385542168676, 0.013774104683195593, 0.010998307952622674, 0.007213706041478809, 0.008426966292134831, 0.012486992715920915, 0.01834862385321101, 0.016778523489932886, 0.024390243902439025, 0.010245901639344262, 0, 0.016666666666666666, 0.013215859030837005, 0.006578947368421052, 0.007905138339920948, 0.05555555555555555, 0.16666666666666666, 0.0066844919786096255, 0.0176678445229682, 0.015220700152207, 0.010460251046025104, 0.07142857142857142, 0.009389671361502348, 0, 0.0215311004784689, 0, 0.01662049861495845, 0.015706806282722512, 0.008064516129032258, 0.00949367088607595, 0.013266998341625208, 0.008928571428571428, 0.008241758241758242, 0.008298755186721992, 0.006060606060606061, 0.007481296758104738, 0.011009174311926606, 0.008121827411167513, 0.013513513513513514, 0.008048289738430584, 0.014102564102564103, 0.16666666666666666, 0.008064516129032258, 0.003246753246753247, 0, 0.012733446519524618, 0.006024096385542169, 0, 0.012807881773399015, 0.011428571428571429, 0.013029315960912053, 0.01138353765323993, 0.012974051896207584, 0.018315018315018316, 0.007042253521126761, 0.011884550084889643, 0.018789144050104383, 0.0196078431372549, 0.006369426751592357, 0.010869565217391304, 0.014519056261343012, 0.017543859649122806, 0.009900990099009901, 0.018691588785046728, 0.013513513513513514, 0.014925373134328358, 0.006493506493506494, 0.01206896551724138, 0.01020408163265306, 0.009174311926605505, 0.00980392156862745, 0.007425742574257425, 0, 0.004310344827586207, 0, 0, 0.01092896174863388, 0.016129032258064516, 0.005333333333333333, 0.016129032258064516, 0.011111111111111112, 0.020179372197309416, 0.007692307692307693, 0, 0.0056179775280898875, 0.01818181818181818, 0.008658008658008658, 0, 0.01282051282051282, 0.023255813953488372, 0.011026878015161957, 0.00872093023255814, 0.01297016861219196, 0.004087193460490463, 0.01775147928994083, 0.003389830508474576, 0.01020408163265306, 0.008982035928143712, 0.012280701754385965, 0.009504752376188095, 0.02231237322515213, 0.02368421052631579, 0.005509641873278237, 0.0425531914893617, 0.011787819253438114, 0.00510204081632653, 0, 0.008, 0, 0.05555555555555555, 0, 0, 0.006493506493506494, 0.0196078431372549, 0.022988505747126436, 0, 0.004651162790697674, 0.005917159763313609, 0.02030456852791878, 0.017676767676767676, 0.007722007722007722, 0.01226158038147139, 0.026030368763557483, 0.011210762331838564, 0.022123893805309734, 0.01675977653631285, 0.023890784982935155, 0.02425876010781671, 0.015789473684210527, 0.006269592476489028, 0, 0, 0.004608294930875576, 0, 0, 0.009324009324009324, 0.008726003490401396, 0.011627906976744186, 0.011272141706924315, 0.01079136690647482, 0.024793388429752067, 0, 0.003669724770642202, 0.005434782608695652, 0.00974025974025974, 0, 0.020066889632107024, 0.015945330296127564, 0.019851116625310174, 0.00975609756097561, 0.034482758620689655, 0.005571030640668524, 0, 0.043478260869565216, 0.020050125313283207, 0.004987531172069825, 0.0196078431372549, 0.010526315789473684, 0.02040816326530612, 0.009900990099009901, 0.015873015873015872, 0.006756756756756757, 0, 0.017543859649122806, 0.0205761316872428, 0, 0.0072992700729927005, 0.018518518518518517, 0.0213903743315508, 0.01098901098901099, 0.0111731843575419, 0, 0.0273972602739726, 0.013071895424836602, 0.015151515151515152, 0.026515151515151516, 0.017045454545454544, 0.010101010101010102, 0.03333333333333333, 0.021505376344086023, 0.03867403314917127, 0.01284796573875803, 0.0060790273556231, 0, 0, 0.011695906432748537, 0, 0.011560693641618497, 0.014778325123152709, 0.009673518742442563, 0.007751937984496124, 0, 0.006166495375128468, 0.003676470588235294, 0.005934718100890208, 0.012300123001230012, 0.014705882352941176, 0, 0.00907137741704464, 0, 0.011111111111111112, 0.013805004314063849, 0.009718172983479106, 0.007204610951008645, 0.010101010101010102, 0, 0.01293103448275862, 0.003389830508474576, 0.006666666666666667, 0.005208333333333333, 0.014705882352941176, 0.00823045267489712, 0, 0, 0.0053475935828877, 0.01824817518248175, 0.01652892561983471, 0.008680555555555556, 0.00946372239747634, 0.018604651162790697, 0, 0.008849557522123894, 0, 0.008492569002123142, 0.010101010101010102, 0.012048192771084338, 0.018691588785046728, 0.01956521739130435, 0.018867924528301886, 0.012875536480686695, 0.02188183807439825, 0.02127659574468085, 0, 0.012371134020618556, 0.0196078431372549, 0, 0, 0.036585365853658534, 0.015037593984962405, 0.006389776357827476, 0, 0.027586206896551724, 0.015723270440251572, 0.006472491909385114, 0.015384615384615385, 0.006535947712418301, 0.02, 0, 0.017676767676767676, 0.017921146953405017, 0, 0.012195121951219513, 0.028985507246376812, 0.016260162601626018, 0.024390243902439025, 0.034482758620689655, 0.030303030303030304, 0.015267175572519083, 0.008409785932721712, 0, 0.011267605633802818, 0, 0.021220159151193633, 0.015503875968992248, 0.017064846416382253, 0.0071301247771836, 0.01555023923444976, 0.015873015873015872, 0, 0.028, 0.01282051282051282, 0.021897810218978103, 0.0053475935828877, 0.0057553956834532375, 0.011940298507462687, 0.01060070671378092, 0.004329004329004329, 0.016304347826086956, 0.0175, 0.010535557506584723, 0.007194244604316547, 0.013793103448275862, 0.07407407407407407, 0.010652463382157125, 0.008333333333333333, 0.009237875288683603, 0.05263157894736842, 0.008710801393728223, 0.015358361774744027, 0.034482758620689655, 0.007281553398058253, 0, 0, 0.007751937984496124, 0, 0.02127659574468085, 0.0136986301369863, 0.017421602787456445, 0.011126564673157162, 0.013863216266173753, 0.011235955056179775, 0.016597510373443983, 0.0196078431372549, 0.014598540145985401, 0.013245033112582781, 0.027777777777777776, 0.014678899082568808, 0.01818181818181818, 0.010752688172043012, 0.041379310344827586, 0.016891891891891893, 0, 0.011363636363636364, 0.009302325581395349, 0.01775147928994083, 0.019271948608137045, 0.020060180541624874, 0.0106951871657754, 0.0050041701417848205, 0.005305039787798408, 0, 0.008771929824561403, 0.005361930294906166, 0.008264462809917356, 0.018461538461538463, 0.011560693641618497, 0.009153318077803204, 0.006491164803461955, 0.015215553677092139, 0.0170316301703163, 0.014787430683918669, 0.008152173913043478, 0.015151515151515152, 0.024193548387096774, 0.022727272727272728, 0.013404825737265416, 0.007352941176470588, 0.025, 0, 0.04938271604938271, 0.023809523809523808, 0.009345794392523364, 0.045454545454545456, 0.00510204081632653, 0.05042016806722689, 0.03225806451612903, 0.015313935681470138, 0.014634146341463415, 0.015691868758915834, 0.011111111111111112, 0.013215859030837005, 0.04316546762589928, 0.015665796344647518, 0.012084592145015106, 0.029055690072639227, 0.012345679012345678, 0.014692378328741965, 0.015479876160990712, 0.011627906976744186, 0.01312910284463895, 0.02881844380403458, 0, 0.011560693641618497, 0.019230769230769232, 0.014736842105263158, 0.02824858757062147, 0.00819672131147541, 0.02631578947368421, 0.007894736842105263, 0.010101010101010102, 0.017241379310344827, 0.011467889908256881, 0.009523809523809525, 0.01088646967340591, 0.01079136690647482, 0.0161892901618929, 0.014084507042253521, 0.007434944237918215, 0.0038910505836575876, 0.014611872146118721, 0.012433392539964476, 0.012311901504787962, 0.00510204081632653, 0.009512485136741973, 0.02247191011235955, 0.00625, 0.006201550387596899, 0.006309148264984227, 0.015110631408526714, 0.008333333333333333, 0.017857142857142856, 0.013651877133105802, 0.015822784810126583, 0.016181229773462782, 0.020689655172413793, 0.004291845493562232, 0.012345679012345678, 0.01699029126213592, 0.011528822055137845, 0.01098901098901099, 0.008141112618724558, 0.011705685618729096, 0.00625, 0.010452961672473868, 0.024539877300613498, 0.028846153846153848, 0.020833333333333332, 0.007434944237918215, 0.00904977375565611, 0.017241379310344827, 0.015267175572519083, 0.008928571428571428, 0.009174311926605505, 0.01486988847583643, 0.011235955056179775, 0.016216216216216217, 0.007633587786259542, 0.013333333333333334, 0.026785714285714284, 0.02880658436213992, 0.018779342723004695, 0.0053475935828877, 0.009389671361502348, 0.01293103448275862, 0.01053740779768177, 0.011703511053315995, 0.009375, 0.021739130434782608, 0.012738853503184714, 0.007575757575757576, 0.006802721088435374, 0, 0.009448818897637795, 0.009715994020926755, 0.007125890736342043, 0.012491325468424705, 0.0018214936247723133, 0.01098901098901099, 0.014705882352941176, 0.011764705882352941, 0.006618531889290012, 0.016483516483516484, 0.008454106280193236, 0.008860759493670886, 0.011153601019757807, 0.0034602076124567475, 0.0032679738562091504, 0.007380073800738007, 0.00772573635924674, 0.008032128514056224, 0.005973715651135006, 0, 0.01824817518248175, 0, 0.017892644135188866, 0.008130081300813009, 0.005025125628140704, 0.024390243902439025, 0.007462686567164179, 0.004981884057971014, 0.01932367149758454, 0.002506265664160401, 0.0078125, 0.0128, 0.007575757575757576, 0.005847953216374269, 0.013812154696132596, 0.02100840336134454, 0.01859504132231405, 0.013574660633484163, 0.014675052410901468, 0.015895953757225433, 0.025, 0.012195121951219513, 0.013888888888888888, 0, 0, 0.03125, 0.014150943396226415, 0.008, 0.014184397163120567, 0.004545454545454545, 0.017391304347826087, 0.015228426395939087, 0.018292682926829267, 0.015625, 0.007633587786259542, 0.010333489901362142, 0.008389261744966443, 0.024291497975708502, 0.012770682953914493, 0.014925373134328358, 0.014354066985645933, 0.017094017094017096, 0.011168384879725086, 0.026845637583892617, 0.007246376811594203, 0.015789473684210527, 0.015384615384615385, 0.0038314176245210726, 0.01848249027237354, 0.0071633237822349575, 0.02727272727272727, 0.009708737864077669, 0, 0.016853932584269662, 0.004901960784313725, 0.009345794392523364, 0, 0, 0, 0.006944444444444444, 0.006543075245365322, 0.008695652173913044, 0.016129032258064516, 0, 0.010309278350515464, 0.006756756756756757, 0.012987012987012988, 0, 0.0044444444444444444, 0.0136986301369863, 0.010638297872340425, 0.010126582278481013, 0.00392156862745098, 0.008869179600886918, 0, 0, 0, 0, 0.007352941176470588, 0.009501187648456057, 0.0036968576709796672, 0.006930693069306931, 0.00535475234270415, 0.013188073394495414, 0.009735744089012517, 0.014814814814814815, 0.014367816091954023, 0.015544041450777202, 0.010101010101010102, 0.01694915254237288, 0.005249343832020997, 0.010398613518197574, 0.01282051282051282, 0.011475409836065573, 0.012437810945273632, 0, 0.01437699680511182, 0.009696969696969697, 0.012345679012345678, 0.0038461538461538464, 0.004048582995951417, 0.01694915254237288, 0.016129032258064516, 0.02127659574468085, 0.014925373134328358, 0.013020833333333334, 0, 0.0037313432835820895, 0.0030165912518853697, 0.006097560975609756, 0.013445378151260505, 0.008305647840531562, 0.016129032258064516, 0.003367003367003367, 0.004541326067211626, 0.004739336492890996, 0.007838179519595449, 0, 0.006896551724137931, 0.043859649122807015, 0.012875536480686695, 0.014705882352941176, 0.015151515151515152, 0.010094212651413189, 0.008746355685131196, 0.02608695652173913, 0.02127659574468085, 0, 0.02313624678663239, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0182648401826484, 0, 0.010325655281969817, 0.02857142857142857, 0.0072992700729927005, 0.008955223880597015, 0.011128775834658187, 0.0049382716049382715, 0.008027522935779817, 0.012482662968099861, 0.010752688172043012, 0.007246376811594203, 0.005471956224350205, 0.012048192771084338, 0, 0, 0.009295120061967466, 0.0070052539404553416, 0.01675977653631285, 0.00851063829787234, 0.018867924528301886, 0.0064516129032258064, 0.020618556701030927, 0.013636363636363636, 0.012295081967213115, 0.004405286343612335, 0.008103727714748784, 0.010018214936247723, 0.008658008658008658, 0.004261363636363636, 0.009174311926605505, 0.022988505747126436, 0.005208333333333333, 0.007352941176470588, 0.009548611111111112, 0.011111111111111112, 0.006524317912218268, 0, 0.012345679012345678, 0, 0, 0.007827788649706457, 0.015873015873015872, 0.010628875110717449, 0.013761467889908258, 0.011210762331838564, 0.0077907623817473565, 0, 0.0012315270935960591, 0.013333333333333334, 0.006993006993006993, 0.0064516129032258064, 0.047619047619047616, 0.125, 0.03125, 0.009324009324009324, 0.08333333333333333, 0.023255813953488372, 0.006545454545454545, 0.03333333333333333, 0.011406844106463879, 0.008928571428571428, 0.009345794392523364, 0.008298755186721992, 0.0013850415512465374, 0.012064343163538873, 0.012727898176814585, 0.03731343283582089, 0.008146639511201629, 0.01680672268907563, 0.009433962264150943, 0.016230838593327322, 0.010550113036925395, 0.010385756676557863, 0.007168458781362007, 0.014705882352941176, 0, 0.018404907975460124, 0.005747126436781609, 0, 0.008547008547008548, 0.00872093023255814, 0.011804384485666104, 0, 0, 0, 0.009433962264150943, 0.0058729311265349705, 0.00894187779433681, 0.02976190476190476, 0.010443864229765013, 0.01282051282051282, 0.01927437641723356, 0.0064516129032258064, 0.01092896174863388, 0.023255813953488372, 0.024, 0, 0.005952380952380952, 0.004032258064516129, 0.011695906432748537, 0.011940298507462687, 0.011235955056179775, 0.004909983633387889, 0.006309148264984227, 0.009370816599732263, 0.02142857142857143, 0.00641025641025641, 0.014545454545454545, 0.01, 0.009836065573770493, 0.015544041450777202, 0, 0.021212121212121213, 0.004273504273504274, 0, 0, 0.023972602739726026, 0, 0.007751937984496124, 0, 0.016129032258064516, 0.010309278350515464, 0.006734006734006734, 0.009025270758122744, 0.020161290322580645, 0.011428571428571429, 0.006191950464396285, 0.04395604395604396, 0.0070921985815602835, 0.009254218835057159, 0.004694835680751174, 0, 0, 0.009900990099009901, 0.0037641154328732747, 0.005449591280653951, 0, 0.027472527472527472, 0.011385199240986717, 0.007163927517909819, 0.015151515151515152, 0.010005002501250625, 0.007329842931937173, 0.02012578616352201, 0.007905138339920948, 0.0061633281972265025, 0.017241379310344827, 0.008695652173913044, 0.018867924528301886, 0.028735632183908046, 0.03076923076923077, 0.007987220447284345, 0.041666666666666664, 0.008492569002123142, 0.0038684719535783366, 0.009523809523809525, 0.14285714285714285, 0.01949317738791423, 0.017094017094017096, 0.02197802197802198, 0.006289308176100629, 0.02027027027027027, 0.01876675603217158, 0.02564102564102564, 0.011834319526627219, 0.008583690987124463, 0.021739130434782608, 0.009485094850948509, 0.007547169811320755, 0.0078125, 0.01990049751243781, 0.02702702702702703, 0.014729950900163666, 0.0196078431372549, 0, 0.014285714285714285, 0, 0.008658008658008658, 0.010662604722010662, 0.013725490196078431, 0, 0.009259259259259259, 0.008595988538681949, 0.02962962962962963, 0.047619047619047616, 0, 0.125, 0, 0.013888888888888888, 0.03225806451612903, 0.022222222222222223, 0, 0, 0, 0.02857142857142857, 0, 0.027777777777777776, 0.03333333333333333, 0.046153846153846156, 0, 0.04, 0, 0.04477611940298507, 0, 0.01639344262295082, 0.018018018018018018, 0, 0, 0.0297029702970297, 0, 0, 0.022988505747126436, 0, 0.027777777777777776, 0.16666666666666666, 0, 0.01639344262295082, 0.06382978723404255, 0, 0, 0, 0.02040816326530612, 0, 0, 0, 0.08333333333333333, 0, 0.014492753623188406, 0.0625, 0, 0, 0.045454545454545456, 0, 0.05263157894736842, 0.009174311926605505, 0.0625, 0.009900990099009901, 0.05263157894736842, 0.009345794392523364, 0.02027027027027027, 0, 0.02054794520547945, 0.2, 0.0234375, 0.01694915254237288, 0, 0, 0.024242424242424242, 0, 0, 0.05263157894736842, 0.038461538461538464, 0.019417475728155338, 0, 0.021739130434782608, 0.023952095808383235, 0.07142857142857142, 0.0625, 0.008849557522123894, 0.01652892561983471, 0.023391812865497075, 0.030303030303030304, 0.020100502512562814, 0.030303030303030304, 0.03529411764705882, 0.030303030303030304, 0.012345679012345678, 0, 0, 0, 0.03225806451612903, 0.006134969325153374, 0.024539877300613498, 0.01680672268907563, 0, 0.02, 0.025423728813559324, 0.042105263157894736, 0.011235955056179775, 0.023255813953488372, 0, 0, 0.02631578947368421, 0.02830188679245283, 0, 0.017857142857142856, 0.2, 0, 0.010526315789473684, 0.008849557522123894, 0.026845637583892617, 0.02112676056338028, 0.022222222222222223, 0.07142857142857142, 0.0625, 0, 0.01744186046511628, 0.018867924528301886, 0.038461538461538464, 0, 0.022988505747126436, 0.02857142857142857, 0.2, 0, 0.05263157894736842, 0, 0, 0.02857142857142857, 0.03225806451612903, 0, 0.05, 0, 0.02857142857142857, 0, 0.05405405405405406, 0, 0.037037037037037035, 0.05263157894736842, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.03225806451612903, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02030456852791878, 0.03529411764705882, 0.03773584905660377, 0.05555555555555555, 0, 0.018404907975460124, 0.034722222222222224, 0.030612244897959183, 0.037037037037037035, 0, 0.017857142857142856, 0.014492753623188406, 0.00980392156862745, 0, 0.015384615384615385, 0, 0.04878048780487805, 0.03048780487804878, 0.021052631578947368, 0.009615384615384616, 0.009174311926605505, 0, 0.014705882352941176, 0, 0.008547008547008548, 0, 0.058823529411764705, 0, 0.0425531914893617, 0.0625, 0, 0.02857142857142857, 0.01282051282051282, 0.015873015873015872, 0.045454545454545456, 0.010101010101010102, 0.014492753623188406, 0.02531645569620253, 0, 0, 0.16666666666666666, 0, 0.046153846153846156, 0, 0, 0.024691358024691357, 0.07142857142857142, 0, 0.024096385542168676, 0.07142857142857142, 0, 0.015384615384615385, 0, 0.045454545454545456, 0, 0, 0.0136986301369863, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.1111111111111111, 0, 0.012658227848101266, 0.03260869565217391, 0, 0, 0.009009009009009009, 0, 0, 0.029411764705882353, 0.023255813953488372, 0.01694915254237288, 0, 0, 0.020833333333333332, 0.018018018018018018, 0.2, 0, 0.012048192771084338, 0.045454545454545456, 0, 0.0297029702970297, 0, 0.014084507042253521, 0.017316017316017316, 0.0051813471502590676, 0.018518518518518517, 0, 0.008830022075055188, 0.019463087248322148, 0.0033112582781456954, 0.011363636363636364, 0.007231404958677686, 0, 0.02631578947368421, 0.019943019943019943, 0, 0.007736943907156673, 0, 0.015267175572519083, 0.011627906976744186, 0.016, 0.011349306431273645, 0.006185567010309278, 0.00463678516228748, 0, 0.013953488372093023, 0.01800720288115246, 0.024475524475524476, 0.006858710562414266, 0.011661807580174927, 0.005235602094240838, 0.009685230024213076, 0.016923076923076923, 0.027777777777777776, 0.005703422053231939, 0.009009009009009009, 0, 0, 0, 0.010309278350515464, 0.01652892561983471, 0.007389162561576354, 0.012903225806451613, 0.010666666666666666, 0.016042780748663103, 0.014319809069212411, 0.0014684287812041115, 0.015151515151515152, 0.019704433497536946, 0.011737089201877934, 0, 0.012968705948689032, 0.017412935323383085, 0.012345679012345678, 0.016591251885369532, 0.017857142857142856, 0.0137524557956778, 0, 0.011904761904761904, 0, 0.020512820512820513, 0, 0.007772020725388601, 0.022727272727272728, 0.013605442176870748, 0.008838383838383838, 0, 0.017543859649122806, 0, 0.016666666666666666, 0, 0.024390243902439025, 0.005434782608695652, 0, 0, 0.012658227848101266, 0.012605042016806723, 0.017341040462427744, 0.01092896174863388, 0, 0.008, 0.006578947368421052, 0.008928571428571428, 0, 0.005405405405405406, 0.0625, 0.0273224043715847, 0.009009009009009009, 0.0033444816053511705, 0.021052631578947368, 0.02127659574468085, 0.010309278350515464, 0, 0.011299435028248588, 0.013157894736842105, 0.0196078431372549, 0.012861736334405145, 0.006578947368421052, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01935483870967742, 0.012658227848101266, 0.02416918429003021, 0, 0, 0.006289308176100629, 0.02027027027027027, 0.006134969325153374, 0.005952380952380952, 0.022727272727272728, 0.009569377990430622, 0.017142857142857144, 0, 0.00980392156862745, 0.007633587786259542, 0.046875, 0.018072289156626505, 0.008620689655172414, 0.012658227848101266, 0.02564102564102564, 0.024844720496894408, 0.01805869074492099, 0.015267175572519083, 0, 0.015665796344647518, 0.005952380952380952, 0, 0, 0.008310249307479225, 0.04, 0.011627906976744186, 0, 0.005958291956305859, 0.01834862385321101, 0.028169014084507043, 0.013657056145675266, 0.0410958904109589, 0.01038961038961039, 0.013172338090010977, 0, 0.009708737864077669, 0.011834319526627219, 0.014492753623188406, 0.02459016393442623, 0.031055900621118012, 0.01282051282051282, 0.01289134438305709, 0.017857142857142856, 0.003194888178913738, 0.007547169811320755, 0.017391304347826087, 0.01483679525222552, 0.030303030303030304, 0.014134275618374558, 0.023255813953488372, 0.022727272727272728, 0.012658227848101266, 0.017241379310344827, 0.022950819672131147, 0.020689655172413793, 0.009523809523809525, 0, 0.009615384615384616, 0.029850746268656716, 0.013888888888888888, 0.007518796992481203, 0.021621621621621623, 0, 0, 0.01020408163265306, 0.020618556701030927, 0.022727272727272728, 0.010752688172043012, 0, 0.010416666666666666, 0, 0, 0.006259780907668232, 0.0029940119760479044, 0 ]

[ "Q:\n\nRuby curb on Windows: I installed 0.7.12, bundler complains not being able to install 0.7.10\n\nI got this error when calling \"bundle update\":\n\nInstalling curb (0.7.10) with native\n extensions\n C:/Ruby192/lib/ruby/site_ruby/1.9.1/rubygems/installer.rb:529:in\n `rescue in block in build_extensions':\n ERROR: Failed to build gem native\n extension.", "\n (Gem::Installer::ExtensionBuildError)\n C:/Ruby192/bin/ruby.exe extconf.rb checking for\n\ncurl-config... no checking for main()\n in -lcurl... no\n * extconf.rb failed * Could not create Makefile due to some reason,\n probably lack of necessary libraries\n and/or headers. ", " Check the mkmf.log\n file for more details. ", " You may need\n configuration options.", "\nProvided configuration options:\n --with-opt-dir --without-opt-dir\n --with-opt-include\n --without-opt-include=${opt-dir}/include\n --with-opt-lib\n --without-opt-lib=${opt-dir}/lib\n --with-make-prog --without-make-prog\n --srcdir=. --curdir\n --ruby=C:/Ruby192/bin/ruby\n --with-curl-dir --without-curl-dir\n --with-curl-include\n --without-curl-include=${curl-dir}/include\n --with-curl-lib\n --without-curl-lib=${curl-dir}/lib\n --with-curllib --without-curllib\n extconf.rb:23:in `': Can't\n find libcurl or curl/curl.h\n (RuntimeError)\nTry passing --with-curl-dir or\n --with-curl-lib and --with-curl-include options to extconf.", "\n\nThen installed the latest curb version (0.7.12) by myself using DevKit and I can see it on \"gem list\". ", "However, the bundler still throws the same error trying to install curb 0.7.10 (older version), even though I haven't mentioned \"curb\" anywhere in my Gemfile.", "\nWhere is the problem and how do I solve it?", "\nWindows 7, Ruby 1.92, Rails 3\n\nA:\n\nFound the solution. ", "Just \"bundle update curb\".", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0.005681818181818182, 0.0035971223021582736, 0, 0, 0.0029498525073746312, 0, 0.006329113924050633, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Many new customer accounts opened by banks include one or more debit or credit cards associated with the account. ", "New customer accounts are typically opened at branch locations whereas new cards are often issued by a centralized card services provider that is not physically near the bank branch. ", "The card services provider fulfills the card request by printing and encoding the card, then mailing it to the branch or to the customer. ", "The customer must then activate the card. ", "This process involves delay and expense that is undesirable and may introduce unnecessary security risks." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Which finger? ", "Early effects of attentional selection within the hand are absent when the hand is viewed.", "\nThe sight of a hand can bias the distribution of spatial attention, and recently it has been shown that viewing both hands simultaneously can facilitate spatial selection between tactile events at the hands when these are far apart. ", "Here we directly compared the electrophysiological correlates of within-hand and between-hands tactile-spatial selection to investigate whether within-hand selection is similarly facilitated by viewing the fingers. ", "Using somatosensory event-related potentials, we have shown that effects of selection between adjacent fingers of the same hand at early somatosensory components P45 and N80 were absent when the fingers were viewed. ", "Thus, we found a detrimental effect of vision on tactile-spatial within-body part (i.e. hand) selection. ", "In contrast, effects of tactile-spatial selection between hands placed next to each other, which were first found at the P100 component, were unaffected by vision of the hands. ", "Our findings suggest that (i) within-hand and between-hands selection can operate at different stages of processing, and (ii) the effects of vision on within-hand and between-hands attentional selection may reflect fundamentally different mechanisms." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0, 0, 0, 0, 0.004629629629629629, 0, 0, 0 ]

[ "LEXINGTON, Ky (March 11, 2010)Three years ago, in response to the plight of abused and neglected horses across the state, the Kentucky Horse Park created the John Henry Memorial Equine Adoption Fair to provide assistance to organizations involved in rescuing them.", "\n\nThe John Henry Memorial Equine Adoption Fair is named in memory of the park’s beloved former resident, the legendary racehorse John Henry, and will be held in partnership with the Kentucky Horse Council.", "The adoption fair will feature adoptable horses from several Kentucky-based equine rescue organizations, in an effort to assist these organizations in finding good homes for their rescued horses.", "\n\n“Horses are the sole reason the KentuckyHorsePark exists and they have provided a living for thousands of park employees for 32 years,” stated John Nicholson, executive director of the park.", "“We try to return the favor by improving the lives of some horses who haven’t been as fortunate as the ones who live and compete at our park.", "\n\n“We believe that it is very important to make a statement to the world about the priority Kentucky gives to equine welfare. ", "This summer the nations will come to Kentucky for the Alltech FEI World Equestrian Games.", "When they look at how we treat our horses, we want them to see a model that will inspire an increased level of equine care in other countries.", "Our adoption fair is one piece of that inspiring story.”", "\n\nThe John Henry Memorial Equine Adoption Fair, Saturday, April 17, 11:15am to 5:00pm is open to the public. ", "Horses may be inspected by potential adopters beginning at 10:30am and throughout the day.", "There will also be a few dogs and cats available for adoption.", "\n\nNicholson continued, “Our adoption fair may be a rather humble event, but it makes a difference in the lives of the unwanted horses who are adopted as a result.", "Our goal is to assist an even larger number of horses this year.”", "\n\nIn conjunction with the adoption fair, a Happy Hour for Horses will take place in participating restaurants and bars in Central Kentucky on April 16 and 17.Proceeds will benefit the Save Our Horses fund (SOHO), administered by the Kentucky Horse Council. ", "The SOHO fund provides financial support for food and veterinary care when an agency or county cares for a horse that has been confiscated due to its poor condition. ", "In addition, the fund provides an Equine Abuse Investigation Class to train local officials on how to successfully identify horses that need help, and how to ensure prosecution when it is warranted.", "\n\nAs an added attraction, a celebrity pony named Molly, famous as one of the country’s few successful equine amputees, will make appearances throughout the day.", "Molly was rescued during Hurricane Katrina and adopted by Kaye Harris, who operates an equine shelter in Louisiana.", "Molly’s story has inspired people around the world, and she will be at the adoption fair to demonstrate the importance of equine rescue and adoption.", "\n\nNicholson concluded, “The Kentucky Horse Council and these equine adoption organizations are out there on the front lines every day, battling to save the animals who have made Kentucky the Horse Capital of the World.", "We want to come alongside them in their life-saving mission and make it a little easier for them to continue their work on behalf of horses.", "\n\nThe KentuckyHorsePark is a working horse farm/theme park and equine competition facility dedicated to man’s relationship with the horse.", "The park is an agency of the Kentucky Tourism, Arts and Heritage Cabinet that hosted nearly 870,000 visitors and campers, as well as 15,000 competition horses in more than 100 special events and horse shows in 2009.The park is home to the NationalHorseCenter which comprises more than 30 national and regional equine organizations.", "Located at Exit 120, Interstate 75, just north of Lexington, the KentuckyHorsePark is the place to get close to horses.", "Open daily March 15 to Oct 31, and Wednesday through Sunday, Nov 1 to March 14." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.011363636363636364, 0.00975609756097561, 0, 0.010416666666666666, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006172839506172839, 0, 0.0038910505836575876, 0.006024096385542169, 0.005050505050505051, 0.00625, 0.008695652173913044, 0, 0.009174311926605505, 0, 0.007246376811594203, 0.0030211480362537764, 0, 0 ]

[ "Q:\n\nHow can I exclude an element from the focus outline for it's parent element\n\nI'm attempting to modify the outline of a <div> element when it receives focus via tabbing through the form. ", "The <div> element is used as a button and contains a click event. ", "The <div> element contains two children an <svg> and <span>. ", "The <span> is used for a tooltip.", "\n\nAnd the markup is like this:\n\n.iconButton {\r\n display: flex;\r\n align-items: center;\r\n justify-content: center;\r\n background: #0E9AEF;\r\n height: 50px;\r\n width: 50px;\r\n cursor: pointer;\r\n border-radius: 5px;\r\n user-select: none;\r\n}\r\n\r\n.iconButton svg {\r\n width: 100%;\r\n height: 70%;\r\n fill: white;\r\n}\r\n\r\n.iconButton polygon {\r\n fill: white;\r\n}\r\n\r\n.labelButton {\r\n display: flex;\r\n align-items: center;\r\n cursor: pointer;\r\n}\r\n\r\n.labelButton .iconButton {\r\n height: 30px;\r\n width: 30px;\r\n margin-right: 10px;\r\n}\r\n\r\n.labelButton .iconButton svg {\r\n height: 80%;\r\n width: 60%;\r\n}\r\n\r\n.iconButton {\r\n position: relative;\r\n display: flex;\r\n}\r\n\r\n.iconButton .toolTipText {\r\n visibility: hidden;\r\n background-color: #08090A;\r\n color: #fff;\r\n text-align: center;\r\n white-space: nowrap;\r\n border-radius: 6px;\r\n padding: 5px 12px;\r\n position: absolute;\r\n z-index: 1;\r\n bottom: 120%;\r\n left: 50%;\r\n transform: translateX(-50%);\r\n font-size: 11px;\r\n font-weight: normal;\r\n width: auto;\r\n}\r\n\r\n.iconButton .toolTipText::after {\r\n content: \"\";\r\n position: absolute;\r\n top: 100%;\r\n left: 50%;\r\n margin-left: -5px;\r\n border-width: 5px;\r\n border-style: solid;\r\n border-color: #08090A transparent transparent transparent;\r\n}\r\n\r\n.iconButton:hover .toolTipText {\r\n visibility: visible;\r\n}\n<div class=\"iconButton\" id=\"saveButton\" tabindex=\"14\">\r\n <svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" id=\"Layer_1\" style=\"enable-background:new 0 0 612 792;\" version=\"1.1\" viewBox=\"0 0 612 792\" xml:space=\"preserve\">\r\n <style type=\"text/css\">\r\n .st0 {\r\n clip-path: url(#SVGID_2_);\r\n fill: #FFFFFF;\r\n }\r\n </style>\r\n <g>\r\n <g>\r\n <defs>\r\n <rect height=\"512\" id=\"SVGID_1_\" width=\"512\" x=\"50\" y=\"140\"></rect>\r\n </defs>\r\n <clipPath id=\"SVGID_2_\">\r\n <use style=\"overflow:visible;\" xlink:href=\"#SVGID_1_\"></use>\r\n </clipPath>\r\n <path class=\"st0\" d=\"M562,619V254l0,0c-0.1-2.9-1.2-6.1-4.1-9L457.4,144.5c0,0-5.3-4.9-11.7-4.5l0,0H83c0,0-33,0-33,33v446 c0,0,0,33,33,33h446C529,652,562,652,562,619L562,619z M453,303c0,22-22,22-22,22H181c-22,0-22-22-22-22V198c0-22,22-22,22-22h250 c22,0,22,22,22,22V303L453,303z M526,594c0,22-22,22-22,22H108c-22,0-22-22-22-22V394c0-22,22-22,22-22h396c22,0,22,22,22,22V594 L526,594z M435,296v-91c0,0,0-15-15-15h-49c0,0-15,0-15,15v91c0,0,0,15,15,15h49C420,311,435,311,435,296L435,296z\"></path>\r\n </g>\r\n </g>\r\n </svg>\r\n <span class=\"toolTipText\">Save</span>\r\n</div>\n\nI've tried to define the following in the css\n.iconButton .toolTipText:focus {\n outline: none;\n}\n\nAnd various other permutations attempting to exclude the span from the outline that gets created surrounding the button. ", "No variations of this have worked thus far.", "\nEDIT - Final Solution\nThanks to @Creaforge for the guidance we came up with the following resolution. ", "It should be noted that in the snippet editor / viewer the outline is outside the button... but in Chrome it is properly surrounding the button.", "\nenter image description here\n\n.iconButton {\r\n display: flex;\r\n align-items: center;\r\n justify-content: center;\r\n background: #0E9AEF;\r\n height: 50px;\r\n width: 50px;\r\n cursor: pointer;\r\n border-radius: 5px;\r\n user-select: none;\r\n position: relative;\r\n outline: none;\r\n}\r\n\r\n .iconButton:focus svg {\r\n outline: auto;\r\n }\r\n\r\n .iconButton svg {\r\n width: 100%;\r\n height: 100%;\r\n padding: 15% 0;\r\n fill: white;\r\n }\r\n\r\n .iconButton polygon {\r\n fill: white;\r\n }\r\n\r\n .iconButton .toolTipText {\r\n visibility: hidden;\r\n background-color: #08090A;\r\n color: #fff;\r\n text-align: center;\r\n white-space: nowrap;\r\n border-radius: 6px;\r\n padding: 5px 12px;\r\n position: absolute;\r\n z-index: 1;\r\n bottom: 120%;\r\n left: 50%;\r\n transform: translateX(-50%);\r\n font-size: 11px;\r\n font-weight: normal;\r\n width: auto;\r\n }\r\n\r\n .iconButton .toolTipText::after {\r\n content: \"\";\r\n position: absolute;\r\n top: 100%;\r\n left: 50%;\r\n margin-left: -5px;\r\n border-width: 5px;\r\n border-style: solid;\r\n border-color: #08090A transparent transparent transparent;\r\n }\r\n\r\n .iconButton:hover .toolTipText {\r\n visibility: visible;\r\n }\n<div class=\"iconButton\" id=\"saveButton\" tabindex=\"14\">\r\n <svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" id=\"Layer_1\" style=\"enable-background:new 0 0 612 792;\" version=\"1.1\" viewBox=\"0 0 612 792\" xml:space=\"preserve\">\r\n <style type=\"text/css\">\r\n .st0 {\r\n clip-path: url(#SVGID_2_);\r\n fill: #FFFFFF;\r\n }\r\n </style>\r\n <g>\r\n <g>\r\n <defs>\r\n <rect height=\"512\" id=\"SVGID_1_\" width=\"512\" x=\"50\" y=\"140\"></rect>\r\n </defs>\r\n <clipPath id=\"SVGID_2_\">\r\n <use style=\"overflow:visible;\" xlink:href=\"#SVGID_1_\"></use>\r\n </clipPath>\r\n <path class=\"st0\" d=\"M562,619V254l0,0c-0.1-2.9-1.2-6.1-4.1-9L457.4,144.5c0,0-5.3-4.9-11.7-4.5l0,0H83c0,0-33,0-33,33v446 c0,0,0,33,33,33h446C529,652,562,652,562,619L562,619z M453,303c0,22-22,22-22,22H181c-22,0-22-22-22-22V198c0-22,22-22,22-22h250 c22,0,22,22,22,22V303L453,303z M526,594c0,22-22,22-22,22H108c-22,0-22-22-22-22V394c0-22,22-22,22-22h396c22,0,22,22,22,22V594 L526,594z M435,296v-91c0,0,0-15-15-15h-49c0,0-15,0-15,15v91c0,0,0,15,15,15h49C420,311,435,311,435,296L435,296z\"></path>\r\n </g>\r\n </g>\r\n </svg>\r\n <span class=\"toolTipText\">Save</span>\r\n</div>\n\nA:\n\nWell, you can.", "\nFirst you need to disable the outline from your parent element.", "\nThen when the parent is focused, show the outline on the child, like so :\n.parent {\n outline: none;\n}\n\n.parent:focus .children{\n outline: auto; /* Or whatever outline style you need */\n}\n\nHere is your updated markup :\n\n.iconButton {\r\n display: flex;\r\n align-items: center;\r\n justify-content: center;\r\n background: #0E9AEF;\r\n height: 50px;\r\n width: 50px;\r\n cursor: pointer;\r\n border-radius: 5px;\r\n user-select: none;\r\n position: relative;\r\n outline: none;\r\n}\r\n\r\n.iconButton:focus svg{\r\n outline: auto;\r\n}\r\n\r\n.iconButton svg {\r\n width: 100%;\r\n height: 70%;\r\n padding:15% 0;\r\n fill: white;\r\n}\r\n\r\n.iconButton polygon {\r\n fill: white;\r\n}\r\n\r\n.labelButton .iconButton {\r\n height: 30px;\r\n width: 30px;\r\n margin-right: 10px;\r\n}\r\n\r\n.labelButton .iconButton svg {\r\n height: 80%;\r\n width: 60%;\r\n}\r\n\r\n\r\n.iconButton .toolTipText {\r\n visibility: hidden;\r\n background-color: #08090A;\r\n color: #fff;\r\n text-align: center;\r\n white-space: nowrap;\r\n border-radius: 6px;\r\n padding: 5px 12px;\r\n position: absolute;\r\n z-index: 1;\r\n bottom: 120%;\r\n left: 50%;\r\n transform: translateX(-50%);\r\n font-size: 11px;\r\n font-weight: normal;\r\n width: auto;\r\n}\r\n\r\n.iconButton .toolTipText::after {\r\n content: \"\";\r\n position: absolute;\r\n top: 100%;\r\n left: 50%;\r\n margin-left: -5px;\r\n border-width: 5px;\r\n border-style: solid;\r\n border-color: #08090A transparent transparent transparent;\r\n}\r\n\r\n.iconButton:hover .toolTipText {\r\n visibility: visible;\r\n}\n<div class=\"iconButton\" id=\"saveButton\" tabindex=\"14\">\r\n<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" id=\"Layer_1\" style=\"enable-background:new 0 0 612 792;\" version=\"1.1\" viewBox=\"0 0 612 792\" xml:space=\"preserve\">\r\n <style type=\"text/css\">\r\n .st0 {\r\n clip-path: url(#SVGID_2_);\r\n fill: #FFFFFF;\r\n }\r\n </style>\r\n <g>\r\n <g>\r\n <defs>\r\n <rect height=\"512\" id=\"SVGID_1_\" width=\"512\" x=\"50\" y=\"140\"></rect>\r\n </defs>\r\n <clipPath id=\"SVGID_2_\">\r\n <use style=\"overflow:visible;\" xlink:href=\"#SVGID_1_\"></use>\r\n </clipPath>\r\n <path class=\"st0\" d=\"M562,619V254l0,0c-0.1-2.9-1.2-6.1-4.1-9L457.4,144.5c0,0-5.3-4.9-11.7-4.5l0,0H83c0,0-33,0-33,33v446 c0,0,0,33,33,33h446C529,652,562,652,562,619L562,619z M453,303c0,22-22,22-22,22H181c-22,0-22-22-22-22V198c0-22,22-22,22-22h250 c22,0,22,22,22,22V303L453,303z M526,594c0,22-22,22-22,22H108c-22,0-22-22-22-22V394c0-22,22-22,22-22h396c22,0,22,22,22,22V594 L526,594z M435,296v-91c0,0,0-15-15-15h-49c0,0-15,0-15,15v91c0,0,0,15,15,15h49C420,311,435,311,435,296L435,296z\"></path>\r\n </g>\r\n </g>\r\n </svg>\r\n<span class=\"toolTipText\">Save</span>\r\n</div>\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0, 0.0036153289949385392, 0, 0.009708737864077669, 0, 0.004201680672268907, 0, 0.0034749034749034747 ]

[ "A novel assay to assess the effectiveness of antiangiogenic drugs in human breast cancer.", "\nMany cytotoxic drugs maintain antiangiogenic properties, but there are no human, tumor-based assays to evaluate their antiangiogenic potential. ", "We used a fibrin-thrombin clot-based angiogenesis model to evaluate the angiogenic response of human breast cancer to various cytotoxic agents commonly used in its treatment. ", "Fragments of freshly harvested human breast tumors were embedded in fibrin-thrombin clots and treated with five drugs: adriamycin, taxol, 5-fluorouracil (5-FU), methotrexate, and vincristine. ", "Each treatment group included a mean of 28 fragments (range 16-60). ", "A total of four tumors were tested. ", "Tumor fragments were tested with a single dose of each reagent. ", "Angiogenic initiation, angiogenic growth, and overall angiogenic effect were determined for each treatment group using a previously validated scale. ", "All four breast cancer specimens tested developed an angiogenic response, sprouting neovessels in vitro in a time-dependent fashion (r = 0.84, P = 0.0007). ", "Taxol statistically inhibited angiogenesis in all four specimens with decreases in the mean angiogenic initiation, angiogenic growth, and overall effect that were 69%, 81%, and 94% of control values, respectively. ", "Vincristine and 5-FU inhibited the mean overall angiogenic effect by 89% and 82% compared with control, respectively. ", "Adriamycin inhibited overall effect 49%. ", "Methotrexate was less effective. ", "Freshly harvested breast cancer specimens develop an angiogenic response in a fibrin-thrombin clot-based angiogenesis model and respond to treatment with antineoplastic/antiangiogenic drugs. ", "The antiangiogenic potential of commonly used breast cancer drugs varied among individual tumors. ", "Data obtained from this model is unique and might potentially be used to further enhance the efficacy of cytotoxic regimens and individualize patient therapy." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004672897196261682, 0, 0.024390243902439025, 0, 0, 0, 0 ]

[ "The Innocent Years\n\nThe Innocent Years is the tenth studio album by American country music singer Kathy Mattea. ", "It was released on May 16, 2000 via Mercury Records Nashville. ", "The album includes the singles \"The Trouble with Angels\" and \"BFD\". ", " Mattea produced the entire album with Ben Wisch except for \"I Have Always Loved You\", which she produced with Keith Stegall. ", "The album itself charted at No.", " 35 on Top Country Albums.", "\n\nCritical reception\nEli Messinger of Country Standard Time wrote that \"Though the smooth sound and heart-on-her-sleeve lyrics may not be for the country roots fan (nor the cynically-minded, for that matter), Mattea's superb voice and mature readings are clearly the work of an accomplished artist chasing her musical muse.\"", "\n\nTrack listing\n\"The Innocent Years\" (Mattea, Jon Vezner, Sally Barris) - 3:56\n\"Trouble with Angels\" (Terry Wilson) - 4:35\n\"Why Can't We\" (Danny Orton, Russell Smith) - 4:13\n\"Prove That by Me\" (Jack Routh, Randy Sharp) - 4:57\n\"Callin' My Name\" (Mattea, Vezner, Barris) - 4:06\n\"Out of the Blue\" (Carolyn Dawn Johnson, Charlie Black) - 3:16\n\"I Have Always Loved You\" (Dan Hill, Tommy Lee James) - 4:29\n\"(Love Is) My Last Word\" (Monty Powell, Shannon Brown) - 3:56\n\"Trust Me\" (Vezner, Steve Wariner) - 4:54\n\"That's the Deal\" (Hugh Prestwood) - 3:55\n\"The Innocent Years (Reprise)\" (Mattea, Vezner, Barris) - 0:43\n\"BFD\" (Craig Carothers, Don Henry) - 3:13\n\nReferences\n\nCategory:2000 albums\nCategory:Kathy Mattea albums\nCategory:Mercury Records albums" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.008928571428571428, 0.015873015873015872, 0.014705882352941176, 0.015873015873015872, 0.03225806451612903, 0.038461538461538464, 0.006172839506172839, 0.03758389261744966 ]

[ "Middle East\n\nMubarak is no more, relegated to \"the dustbin of history\". ", "He was blown\naway by one of the greatest mass movements in history. ", "The 18-day\nvolcano was crowned by a colossal mobilisation of six million Egyptians\non the streets. ", "Mubarak was forced to flee.", "\n\nHe completely miscalculated when he appeared to defy the clamour for his\nremoval in his infamous TV broadcast on the night of Thursday 10\nFebruary. ", "His defiance came as a surprise, not just to the masses but to\nhis cronies in the military and the US state department who saw that he\nwas finished. ", "The US defence secretary Robert Gates, in close\ncollaboration with the Egyptian army tops, dictated to the dictator that\nhe should delay no longer in departing to Sharm el Sheikh.", "\n\nFailure to leave threatened a mass insurrection which would have put in\njeopardy the whole basis of the regime. ", "Like a colossal restrained\nGoliath, mass anger was such that the movement began to march out of\nTahrir Square in the direction of the presidential Palace, crowds began\nto surround the parliament, the TV stations and other power points of\nthe regime. ", "Such a movement threatened incalculable consequences for the\npossessing classes.", "\n\nMost ominous for the generals, the power behind Mubarak’s throne, was\nthat their very base, the army, particularly soldiers in the square, had\nbegun to be affected by the ‘virus of revolution’. ", "Army officers, the\njunior ranks, began to march in solidarity with the revolution. ", "The\nstate machine, in other words, threatened to break in their hands. ", "Also\nof great significance – particularly for the future of the revolution –\nwas the mass entry of the working class onto the scene.", "\n\nAll the suppressed and stoked-up anger of the exploited masses flooded\nto the surface with demands for big wage increases, independent trade\nunions, etc. ", "Up to now, what we have witnessed in Egypt – despite the\nmassive movements – is a powerful element of political revolution. ", "This\nhas removed the crowning expression – the dictator – of the regime. ", "But\nwe have not yet had a \"second revolution\", a social movement by the\nworking class in particular, which would remove the power of rotten\nlandlordism and capitalism. ", "This is the only way to successfully\nconclude the Egyptian revolution.", "\n\nWishful thinking is the most deadly mistake in politics, particularly in\nperiods of high tension, in a revolution. ", "While there was great joy that\nthe dictator had been removed, the social issues which fuelled the\nrevolution remain unresolved. ", "The fundamental basis of the regime –\nparticularly its monopoly of state power – remains intact. ", "The generals,\njust days after Mubarak’s departure, gave a glimpse of their mailed fist.", "\n\nThe Egyptian masses would make a profound mistake to place any trust in\nthose new ‘democrats’, particularly in the state machine – the army\ngenerals, their cronies, big business and the landlords – who furnish\nthe basis of the regime. ", "At best, these forces hanker after a\n‘controlled’ democracy, something less even than the Erdogan regime in\nTurkey. ", "The army has, in effect, carried through a ‘soft coup’ following\nMubarak’s demise. ", "Elections are promised in six months but only after\nthe military has ‘approved’ the new constitution. ", "No trust or faith\nshould be placed in the army tops. ", "The independent power of the masses\nmust be built to exert the necessary pressure.", "\n\nUnder the guise of a return to ‘normal’ a clean up of Tahrir Square took\nplace. ", "This was an open attempt to prevent the right of free assembly –\nas if things can return to normal when the lava from this volcano has\nnot yet cooled. ", "Political prisoners and detainees should be immediately\nreleased.", "\n\nIt must not be forgotten either that the army – particularly the tops\nlike Field Marshal Tantawi – is bound hand and foot, as an integral\npart, to rotten Egyptian landlordism and capitalism. ", "Like their\ncounterparts in the military in Pakistan, the army tops themselves own\nhuge swathes of formerly state-owned industries which were privatised by\nMubarak in the past two decades.", "\n\nThey have a material interest in the maintenance of the present regime.", "\nMany of them undoubtedly hanker for a return of the Mubarak regime with\npower ultimately vested in their hands or their representatives in a\nBonaparte ‘presidency’. ", "They own private army golf ranges, clubs and\nhuge gated estates which are a totally different world to the festering\nslums of the mass of the Egyptian working class and poor.", "\n\nThe only guarantee of a consolidation of real democracy lies through the\nmaintenance of the splendid mass movement and the pressure which this\ncan exert in building a new Egypt. ", "Firstly, there is the vital issue of\nindependent trade unions through which the masses can express their\nviews and pressure for change. ", "It is not an accident that the army is\nalready attempting to limit and frustrate the building of trade unions.", "\nThe state trade unions at the top are made up of lackeys of Mubarak;\nthey must be removed and representatives of the workers elected to these\npositions.", "\n\nBut this is not enough. ", "Democratic committees of action in the workplace\n– already there in embryo in the occupations that have taken place in\nrecent days in a number of factories – must be urgently built. ", "These\nmust be linked to the neighbourhoods – particularly to the poor,\nworking-class neighbourhoods – in an attempt to create a real parliament\nof the masses from below. ", "In all real revolutions the mass of workers\nand poor farmers – the real driving force in any mass upheaval – strive\nto build an independent means of expression and action.", "\n\nOf course, the mass of the population has been without rights for\ndecades – 60 years in the case of the Egyptian masses – so the\nattainment of democracy will be seen as a vital step forward in changing\ntheir lives. ", "Therefore, the Egyptian masses must inscribe on their\nbanner the fight for a real democratic parliament, a constituent\nassembly, which can draw up not just rules for elections but the\nprogramme to change the conditions of the Egyptian masses. ", "The\nparliament can only be convened – if it is really to represent the\nmajority of the population – by mass revolutionary struggle with the\nprogramme to change every aspect of the lives of the Egyptian masses.", "\nThe representatives of the workers and poor farmers should form the\nmajority in this parliament or constituent assembly.", "\n\nThe masses should be vigilant not to allow latter-day converts to\ndemocracy – the ‘liberal’ capitalists like Mohamed ElBaradei, etc – to\nelbow them aside. ", "The working class should build mass committees which\ncould form the basis for and oversee democratic elections. ", "No president,\nbut power vested in a single parliamentary body! ", "A second chamber is\ninvariably used by the capitalists to frustrate the democratic popular\nwill. ", "A president is a putative dictator even in the most established\n‘democratic’ parliaments, with powers to push aside the democratic will.", "\nThe Egyptian revolution was above all a youth and workers’ revolution.", "\nTherefore the right to vote at 16 should be implemented as well as\nseries of measures benefiting women.", "\n\nThe revolution is not over – it has only just begun. ", "The Google worker –\nWael Ghonim – who played a big part in mobilising people for the 25\nJanuary demos and then was arrested by the army, symbolised the stage of\nthis revolution – its strengths and weaknesses – as soon as he was\nreleased from prison. ", "When confronted with the fact that 300 Egyptian\nyouth and workers had been killed by the police and hired thugs of\nMubarak he broke down in tears. ", "This in turn was a big factor in\nmobilising new layers of the working class onto the street.", "\nNevertheless, Ghonim expressed the heartfelt sentiments of Egyptians\nwhen he declared the day after Mubarak exited: \"Egypt will be heaven in\nten years.\"", "\n\nAnd he is right, but only if the sources of inequality and suffering of\nthe Egyptian masses – landlordism and capitalism – are eradicated. ", "The\ncountry, on the basis of Mubarak’s 30 years, is full of crony\ncapitalists – which go together with an impoverished society – who\nenriched themselves with billions of looted state property. ", "But an\nindication of how far Egypt lags behind is reflected in the level of\nliteracy, which is no more than 66% and where “a good education for the\nmajority remains a dream”. ", "Moreover, Egypt has an annual gross domestic\nproduct per capita of just $2,270, whereas the figure for the US is\n$35,000. ", "Therefore, the Egyptian masses must also create their own power\nto eliminate the obstacles to realising their dreams. ", "This will be a\nsocialist planned economy for Egypt linked to a socialist confederation\nof the Middle East." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.013888888888888888, 0, 0, 0.037037037037037035, 0, 0, 0.00558659217877095, 0, 0, 0, 0.00510204081632653, 0.012048192771084338, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.011494252873563218, 0, 0.008620689655172414, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0051813471502590676, 0.0053475935828877, 0, 0.006024096385542169, 0, 0, 0, 0, 0.006535947712418301, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006369426751592357, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.008, 0.006802721088435374, 0, 0.006535947712418301, 0, 0.0051813471502590676, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Cannabis Cultivation Software\n\nAutomate more of your business, and keep track of every phase of your cannabis grow operations.", "\n\nGrow Traceability\n\nThe robust Product Data Management capabilities of ROAR cannabis cultivation software allows you to keep track of your live inventory, so you can trace every seed mother and clone through each growth phase.", "\n\nCapture Lab Results\n\nAttributes of lab tests like THC content and CBD can be automatically captured, either by scanning directly to ROAR’s cannabis cultivation software or through API integration between ROAR and your lab.", "\n\nTrack Nutrients and Energy\n\nApplications of nutrients and consumption of energy can be traced in ROAR’s cannabis cultivation software as your plants grow. ", "Any interaction of your staff with your plants can be recorded and associated to a plant, room, location or other grouping.", "\n\nMake Projections\n\nLeverage the power of your historical data that’s captured on a strain-by-strain basis and utilized in reports. ", "Make easier, more informed yield and potency projections.", "\n\nFollow Plant Movements\n\nMaterial Management capabilities in ROAR’s cannabis cultivation software allows you to easily track your plants as they are moved between rooms for the different phases of growth.", "\n\nRelieve Compliance Headaches\n\nDon’t risk another day. ", "ROAR’s automation seamlessly keeps you in compliance with the cannabis industry’s traceability and regulatory requirements.", "\n\nKeep track of your biological assets through every step in your grow operation, from propagation to harvest, with ROAR’s cultivation management solution. ", "Every action of your staff including application of nutrients, room movement and cloning back to seed mother can be automatically traced. ", "Our solutions also provide barcode and RFID scanning capabilities.", "\n\nTo view the power of our cannabis cultivation software, complete the form below.", "\n\nRequest a Demo of ROAR\n\nName*\n\nFirstLast\n\nEmail*\n\nPhone\n\nWebsite\n\nWhich ROAR solutions you are interested in learning more about?", "\n\nROAR Executive Suite: Full Cannabis ERP\n\nROAR Cultivation Software\n\nROAR Processor Software\n\nROAR Labs Software\n\nROAR Dispensary & POS\n\nROAR Delivery Software\n\nROAR Distribution Software\n\nROAR Ancillary Software\n\nGet Freedom in the Cloud with ROAR\n\nAs a cloud solution, ROAR Cannabis Software can be used on any device with a web browser. ", "Use computers and devices you already have and log in securely. ", "ROAR delivers reliable 99.99% uptime, giving you high-level on-demand performance and real-time access from anywhere.", "\n\nROAR’s flexible web APIs allow you to seamlessly integrate with states for fast and easy compliance reporting. ", "You can also integrate with other software and most hardware, from barcode scanners and label printers to digital scales and other devices, so that data flows securely and directly into or out of your system.", "\n\nROAR’s secure cloud infrastructure provides you with an affordable solution for profitable growth.", "\n\nCannabis Software Support & Services\n\nGuardian Data Systems cannabis support team helps companies with software implementation and data migration, business operations, and compliance. ", "Click here to learn more." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0.00881057268722467, 0.022321428571428572, 0.006369426751592357, 0, 0, 0, 0.004878048780487805, 0, 0.008130081300813009, 0.00641025641025641, 0, 0.015151515151515152, 0, 0.007633587786259542, 0.008797653958944282, 0, 0.008547008547008548, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Q:\n\nBuilding Data Lake from scratch\n\nI am trying to build a \"Data Lake\" from scratch. ", "I understand how a data lake works and the purpose of it; it's all over the internet. ", "But when the question arises how to build one from scratch there is no source. ", "I want to understand if:\n\nData warehouse + Hadoop = Data Lake\n\nI know how to run Hadoop and bring in data into Hadoop. ", "\nI want to build a sample on premise data lake to demo my manager. ", "Any help is appreciated. ", "\n\nA:\n\nYou'd have to have structured and unstructured data to make a Hadoop cluster into a data lake.", "\nSo, you'd have to have some ETL pipeline taking the unstructured data and converting it to structured data. ", " Product reviews or something similar would provide your unstructured data. ", " Converting this to something usable by Hive (as an example) would give you your structured data.", "\nI would look at https://opendata.stackexchange.com/ for getting your data and google Hadoop ETL for ideas on how to cleanse the data. ", " It's up to you how you want to write your pipeline (Spark or MapReduce).", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0.01680672268907563, 0, 0, 0.01, 0.009174311926605505, 0, 0, 0.007407407407407408, 0.0136986301369863, 0 ]

[ "100Share.com Lyrics Base\n\nQuick Specs\n\nVersion:\n\n1.61\n\nTotal Downloads:\n\n14,463\n\nDate Added:\n\nJul. 08, 2005\n\nPrice:\n\nFree\n\nFile Size:\n\n4.81MB\n\nDownloads Last Week:\n\n1\n\nPlatform:\n\nWindows\n\nEditors' Note:Clicking on the Download Now (Visit Site) button above will open a connection to a third-party site. ", "Download.com cannot completely ensure the security of the software hosted on third-party sites.", "\n\nEditors' Review\n\nIt's happened to everybody: you've got a song in your head, but you can't remember exactly what the singer's saying. ", "This application provides a search tool for a huge database of song lyrics, potentially saving some time searching online. ", "However, it does have some confusing quirks. ", "Albums are sorted by title, rather than chronologically in a band's career. ", "Many of the albums, even of famous bands, are incomplete. ", "If it doesn't find a match, the program goes to Google and displays a search page, which of course prompts a question: why not simply go to Google in the first place? ", "The application sometimes provides links to MP3 versions of the songs available online, which may be appreciated by many users. ", "All in all, people who often find themselves looking up lyrics may find this a useful shortcut, although we expect the average music listener to be served just as well by Google.", "\n\nSponsored Products\n\nPublisher's Description\n\n+\n\nFrom 100Share.com:\n100Share.com Lyrics Base consists of more than 120,000 songs in about 10,000 albums--now it's easy for you to get your favorite lyrics through this free utility. ", "This software lists all the artist by A-Z order, and shows all the albums of each artist in a vivid structure, so you can get the lyrics of your favorite songs quickly. ", "You can save, edit or print the lyrics you view, and even get its MP3 file from Internet directly. ", "Other features include local search support and an Internet search assistant for lyrics and MP3 files.", "\n\nE-mail This Review\n\nThank You, !", "\n\nReport Offensive Content\n\nIf you believe this comment is offensive or violates the CNET's Site Terms of Use, you can report it below (this will not automatically remove the comment). ", "Once reported, our staff will be notified and the comment will be reviewed." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.0033003300330033004, 0.010526315789473684, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0056179775280898875, 0.004329004329004329, 0, 0, 0, 0.029411764705882353, 0.005405405405405406, 0 ]

[ "![](", "londmedphysj69035-0029){#sp1 .293}\n\n![](", "londmedphysj69035-0030){#sp2 .294}\n" ]

{ "pile_set_name": "PubMed Central" }

[ 0, 0.025, 0 ]

[ "Early endosome localization and activity of RasGEF1b, a toll-like receptor-inducible Ras guanine-nucleotide exchange factor.", "\nGuanine-nucleotide exchange factors (GEFs) stimulate the intrinsic GDP/GTP exchange activity of Ras and promote the formation of active Ras-GTP, which in turn controls diverse signalling networks important for the regulation of cell proliferation, survival, differentiation, vesicular trafficking, and gene expression. ", "RasGEF1b is a GEF, whose expression is induced in macrophages on stimulation with toll-like receptor (TLR) agonists. ", "Here, we showed that in vitro RasGEF1b expression by macrophages is mostly induced by TLR3 (poly I:C) and TLR4 (lipopolysaccharyde) through the MyD88-independent pathway. ", "In vivo infection with the protozoan parasites Trypanosoma cruzi and Plasmodium chabaudi induced RasGEF1b in an MyD88-, TRIF-, and IFN-gamma-dependent manner. ", "Ectopically expressed RasGEF1b was found, mostly, in the heavy membrane fraction of HEK 293T, and by confocal microscopy, it was found to be located at early endosomes. ", "Computational modelling of the RasGEF1b-Ras interaction revealed that RasGEF1b interacts with the binding domain site of Ras, a critical region for interacting with GEFs involved in the activation of Ras-Raf-MEK-ERK pathway. ", "More important, RasGEF1b was found to be closely associated with Ras in live cells and to trigger Ras activity. ", "Altogether, these results indicate that on TLR activation, RasGEF1b may trigger Ras-like proteins and regulate specific biological activities described for this subtype of GTPases." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0.008064516129032258, 0.003125, 0.008547008547008548, 0.005847953216374269, 0.012578616352201259, 0.005917159763313609, 0.0044444444444444444, 0.008928571428571428, 0 ]

[ "For another take on the matter, here’s Sam Stein in the Huffington Post: Donald Trump Has A Theory On Nukes. ", "His Team Has Several Others. ", "Much like Philip above, reporting on this story inspired Sam to tweet a mini hypothetical dialogue between trump and his oft-beleaguered staff: “TRUMP: More nukes AIDE: He meant less nukes TRUMP: No, really, more nukes AIDE: We won’t have more nukes.” ", "He added, “Trump may believe in strategic ambiguity. ", "In this case, it could bring us closer to nuclear war.”", "\n\nIn case you’re not totally freaked out already, this tweet from Max Fisher should do the trick: “One reason the nuclear arms race ended: it almost sparked global annihilation in 1983, spooking the US and USSR.”", "\n\nIn another tweet that’s making the rounds among journalists, Daniel Dale wrote, “Donald Trump angered the Iraq and Afghanistan Veterans of America by sending Omarosa to meet with them,” alongside a screengrab of this piece from the LA Times.", "\n\nRadio's Diane Rehm, A Mainstay Of Civil Discourse, Signs Off, according to NPR’sDavid Folkenflik. ", "Phil Latzman writes, “Anyone who has ever hosted a public radio talk show has taken something from @drshow. ", "Thanks for the lessons!” ", "Eric Deggans adds, “Diane Rehm ends a 4-decade career in public radio today; David Folkenflik has a great interview with her.” ", "And Mike Martinez tweeted simply: “#ThanksDiane - legend.”", "\n\nDon’t forget - if you change your job in journalism or move to a different news organization, be sure to email us (hello [at] muckrack [dot] com) so we can reflect your new title. ", "News job changes only, please! ", "Thanks!", "\n\nFollow\nMuck\nRack on Twitter and check in through the day to find out what's\ninteresting the journalism community." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.01834862385321101, 0, 0.011904761904761904, 0, 0, 0.0047169811320754715, 0.01646090534979424, 0.03, 0.018518518518518517, 0, 0.023622047244094488, 0.034482758620689655, 0, 0, 0, 0 ]

[ "The IMPACT model is an aggregate model which integrates data from a variety of sources including publications and routine data sources. ", "Table S3 in the Supporting Information details risk factor, population and mortality data incorporated in each of the models. ", "Additional detail has now been included after Table S3 which outlines the specific data archive or website where the data used in the modelling can be accessed. ", "Tables S5-S8 detail the: (i) age and gender stratified relative risks/beta coefficients used in the modelling and (ii) associated references for the publications used to obtain the relative risks/beta coefficients.", "\n\nIntroduction {#sec005}\n============\n\nCoronary Heart Disease (CHD) mortality rates have more than halved in Northern Ireland, \\[[@pone.0138044.ref001]\\] Republic of Ireland \\[[@pone.0138044.ref002]\\] and Scotland \\[[@pone.0138044.ref003]\\] as in other European countries over the last four decades. ", "However, CHD remains a leading cause of death and disability and countries in the British Isles report unacceptable levels of premature CHD mortality compared to other Northern and Western European countries. ", "\\[[@pone.0138044.ref004]\\]\n\nHowever, other countries have been more successful at reducing smoking prevalence to less than 15%, (Australia) \\[[@pone.0138044.ref005]\\] decreasing dietary salt intake (by 3g-5g) (Japan) \\[[@pone.0138044.ref006]\\] and saturated fats (Finland), \\[[@pone.0138044.ref007]\\] and increasing physical activity (Poland). ", "\\[[@pone.0138044.ref008]\\]\n\nThe objective of this study was therefore to evaluate the impact of a number of cardiovascular risk factor changes on future levels of CHD mortality to 2030 in three countries in the British Isles which have separate policy making frameworks.", "\n\nThe IMPACT model quantifies observed decreases in CHD mortality which can be attributed to (i) risk factor changes in the population and (ii) advances in evidence based medical and surgical treatments. ", "IMPACT models for Northern Ireland (1987--2007) and the Republic of Ireland (1985--2006) were validated to assess their performance in predicting observed mortality in 2010.", "\n\nIn this paper we extended established IMPACT models developed in Northern Ireland, Republic of Ireland and Scotland to examine the effect of a number of improved population level risk factor scenarios on projected CHD Mortality in 2030.", "\n\nMethods {#sec006}\n=======\n\nThe IMPACT model {#sec007}\n----------------\n\nOriginal IMPACT models for Northern Ireland (NI) (1987--2007) and the Republic of Ireland (RoI) (1985--2006) were validated using the most recent year of the original model analysis, as a base year (i.e. 2006 or 2007), to predict age and gender stratified CHD deaths in 2010. ", "The projected number of deaths was compared to the observed or actual number of CHD deaths in 2010 (ICD-10 codes I20-I25). \"", "Table A in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}. ", "Updated IMPACT models for each country were extended from a baseline year of 2010 to predict the number of deaths in the year 2030. ", "We then estimated the impact on future CHD mortality of reductions in smoking prevalence, reductions in prevalence of physical inactivity, reductions in systolic blood pressure due to a fall in salt intake in the population and reduction in total cholesterol level due to replacing diet energy from saturated fats by polyunsaturated fats or mono unsaturated fats.", "\n\nData sources {#sec008}\n------------\n\nData were sourced for each country stratified by gender and by 10-year age group for persons aged 25--84 years \"Tables B and C in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}). ", "For the baseline year of the prediction model (2010) representative national surveys were used to source risk factor data for each country. ", "Mortality data for 2010, population estimates for 2010 and population projections for 2030 were obtained from official statistics agencies, the Northern Ireland Statistics & Research Agency, Central Statistics Office and National Records of Scotland, Scottish Government for NI, ROI and Scotland respectively. ", "To estimate population change in CHD mortality, regression beta coefficients to quantify the impact of smoking and physical inactivity were sourced from larger cohort studies. ", "\\[[@pone.0138044.ref009],[@pone.0138044.ref010]\\] Regression coefficients from meta-analyses of cohort studies were used to quantify the mortality effects of population reductions in salt intake \\[[@pone.0138044.ref011]\\] and on the effect of replacing dietary saturated fat intake by either polyunsaturated fats or monounsaturated fats. ", "\\[[@pone.0138044.ref012]\\]\n\nEstimating future CHD mortality to 2030 {#sec009}\n---------------------------------------\n\nFuture CHD mortality in 2030 was estimated using two approaches. ", "Firstly, 'lower mortality' values for 2030 were determined by fitting age and gender specific negative exponential decay models where future mortality decays at a rate directly proportional to historical CHD mortality. ", "Our models used observed CHD mortality rates from 1995--2010 to determine the rate of decay. ", "An iterative nonlinear least squares model: y = a\\*exp (-b\\*year) was fitted to predict future CHD mortality from 2010 through 2030 where a is the CHD mortality rate and b is the constant decay rate \"Figure A in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}. ", "Secondly, 'no mortality change' 2030 CHD mortality values were estimated using an indirect standardisation approach by multiplying individual country age and gender specific mortality rates for 2010 by the projected population for each 10-year age group in the year 2030.", "\n\nEstimating future CHD mortality with enhanced risk factor reductions {#sec010}\n--------------------------------------------------------------------\n\n### (a) Reductions in smoking and physical inactivity {#sec011}\n\nUsing regression coefficients from the literature a population attributable risk fraction (PARF) approach was used to determine the number of deaths prevented or postponed (DPPs) in 2030 resulting from alternative improved future smoking and physical activity levels. ", "\\[[@pone.0138044.ref013],[@pone.0138044.ref014]\\] The PARF was calculated conventionally for 2010 and 2030 as (P x (RR-1)) / (1+P x (RR-1)) where P is the prevalence of the risk factor and RR is the relative risk for CHD mortality associated with the individual risk factor \"Example A in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"} The number of deaths prevented was calculated as the number of deaths in 2030 multiplied by the decrease in PARF between 2010 and 2030.", "\n\n### (b) Reductions in cholesterol and systolic blood pressure {#sec012}\n\nThe effect of saturated fat intake on serum cholesterol levels were estimated using the Clarke equations \\[[@pone.0138044.ref012]\\] to translate a change in saturated fat intake into a change in total cholesterol levels, assuming iso-caloric replacement with polyunsaturated and mono-saturated fats (assuming that each 1% absolute reduction in energy from saturated fat was replaced by 0.1% energy from mono- and 0.9 energy from poly-unsaturated fats). ", "The differential effect of salt reduction in the diet to 2030 on systolic blood pressure in hypertensive and normotensive persons was taken from a large meta-analysis. ", "\\[[@pone.0138044.ref011]\\] Conventional IMPACT methodology was then used to translate the change in systolic blood pressure levels into mortality reductions \"Table D in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}. ", "The updated IMPACT model is shown in [Fig 1](#pone.0138044.g001){ref-type=\"fig\"}.", "\n\n{#pone.0138044.g001}\n\nFor all risk factor scenarios under consideration, separate calculations for projected CHD deaths in 2030 were undertaken based on two contrasting mortality scenarios, a) a lower mortality assumption and b) conservatively assuming 'no mortality change' (not shown).", "\n\nCumulative benefit of multiple risk factor changes {#sec013}\n--------------------------------------------------\n\nAs CHD deaths are usually caused by multiple risk factors acting together, mortality benefits from risk factor reductions occurring simultaneously were estimated using the cumulative risk-reduction approach. ", "\\[[@pone.0138044.ref013]\\] This assumes a less than additive effect of multiple risk factor changes occurring simultaneously.", "\n\nEstimating reductions in CHD deaths in 2030 {#sec014}\n-------------------------------------------\n\nBoth ideal (scenario 1) and modest (scenario 2) risk factor improvements were modelled. ", "The ideal scenarios, although more challenging, are feasible as they have been achieved in other countries. ", "\\[[@pone.0138044.ref007]--[@pone.0138044.ref010]\\]\n\nScenario 1 --'Ideal' improvements in risk factors by 2030 {#sec015}\n---------------------------------------------------------\n\ni. absolute smoking prevalence to reduce by 15%,\n\nii. ", "absolute physical inactivity rates to reduce by 15%,\n\niii. ", "relative decreases in dietary salt intake of up to 30% and\n\niv. ", "decreases in dietary saturated fat intake of up to 6% (absolute decreases in percentage energy intake from saturated fats, replaced by unsaturated fats).", "\n\nScenario 2- 'Modest' improvements in risk factors by 2030 {#sec016}\n---------------------------------------------------------\n\ni. absolute smoking prevalence to reduce by 5%\n\nii. ", "absolute physical inactivity rates to reduce by 5%\n\niii. ", "relative decreases in dietary salt intake of up to 10% and\n\niv. ", "decreases in dietary saturated fat of up to 2% (absolute decreases in percentage energy intake from saturated fats, replaced by unsaturated fats).", "\n\nExtrapolation of estimates to British Isles Population {#sec017}\n------------------------------------------------------\n\nEstimated reductions in future CHD deaths for all countries in the British Isles to 2030 were simply calculated for the combined reduction of the four risk factors under consideration. ", "Scottish projections were extrapolated to estimate deaths prevented for the populations of England and Wales.", "\n\nSensitivity analyses {#sec018}\n--------------------\n\nUncertainty in modelling estimates was quantified by running an iterative Monte Carlo simulation using R software (R Core Team (2014). ", "R: A language and environment for statistical computing. ", "R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ", "URL [http://www.R-project.org/](http://www.r-project.org/)). ", "The model was repeated 10,000 times, using random numbers drawn from specific distributions as model input values. ", "We calculated the uncertainty intervals based on 10,000 draws taking the 95% uncertainty intervals as the 2.5th and 97.5th percentiles. ", "Input variables taken from external sources (e.g. beta coefficients and relative risk reductions) were randomly drawn from specified distributions. ", "The distributions used for the main input parameters are detailed in \"Table L in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}.", "\n\nEthics Statement {#sec019}\n----------------\n\nOur study is a secondary data analyses of routinely available mortality, population and Health Survey data. ", "It thus only uses anonymised data, and additional ethical approval was therefore not required.", "\n\nResults {#sec020}\n=======\n\nA validation exercise using risk factor and treatment values for the final year of original IMPACT models for NI & RoI to predict CHD deaths in 2010 showed high levels of agreement for NI (91%) & RoI (106%) between the predicted and actual number of CHD deaths \"Table B in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}.", "\n\n[Table 1](#pone.0138044.t001){ref-type=\"table\"} details baseline (2010) and future (2030) risk factor weighted average values (25--84 years) used in the models for each country. [", "Table 2](#pone.0138044.t002){ref-type=\"table\"} reports modelled estimates of potentially preventable CHD deaths (expressed as a percentage of total expected deaths in 2030) pertaining to each future risk factor scenario. ", "For a 'lower CHD mortality in 2030' assumption, estimates of the number of CHD deaths that could potentially result from achievable 'modest' (scenario 1) and more optimistic 'ideal' (scenario 2) future risk factor scenarios are shown in [Fig 2](#pone.0138044.g002){ref-type=\"fig\"}. ", "Separate modelling estimates based on assuming a no CHD mortality change to 2030 were also quantified \"in Table J and Figure B in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}.", "\n\n{#pone.0138044.g002}\n\n10.1371/journal.pone.0138044.t001\n\n###### Weighted average of risk factor levels used for 2010 baseline and for 2030 projections for adults aged 25--84 years.", "\n\n![](", "pone.0138044.t001){#pone.0138044.t001g}\n\n NI ROI Scotland \n --------------------------------------------------------------------- ------- ------- ---------- ------- ------- ------- ------- ------- -------\n **Smoking (%)** 24.1 17.7 8.7 28.0 20.4 10.7 25.4 19.5 9.8\n **Physical Inactivity(%)[\\*\\*\\*](#t001fn003){ref-type=\"table-fn\"}** 42.3 39.4 29.4 41.2 37.8 27.8 62.9 59.7 49.7\n **Total Cholesterol (mmol/l)** 5.2 5.0 4.7 5.2 5.0 4.7 5.3 5.2 4.9\n **SBP (mmHG)** 127.8 129.0 127.7 127.0 129.0 127.7 129.1 129.3 128.0\n\n\\*Scenario 1 modest scenarios\n\n\\*\\* Scenario 2 Ideal Scenarios\n\n\\*\\*\\* At least 150 minutes moderate activity per week or 60 minutes vigorous activity per week (or a combination of the two)\n\n10.1371/journal.pone.0138044.t002\n\n###### Predicted decreases in deaths expressed as a percentage of [total]{.ul} expected CHD deaths in 2030 --Ideal & Modest Future Risk Factor Scenarios.", "\n\n![](", "pone.0138044.t002){#pone.0138044.t002g}\n\n Predicted percentage[\\*](#t002fn001){ref-type=\"table-fn\"} DPPAssumed lower mortality in 2030 \n ------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------ -------------------\n **Ideal Scenarios** \n **Smoking -15%** 5.8 (1.5--11.0) 6.2 (-1.0--15.2) 7.2 (1.6--14.2)\n **Salt -30%** 5.3 (3.1--8.1) 5.6 (1.6--10.3) 5.2 (2.4--8.8)\n **Sat/ Unsat fats -6%** 8.6 (5.2--12.6) 7.8 (1.4--15.0) 9 (4.4--15.5)\n **Phy Inactivity -15%** 3.6 (0.3--6.7) 3.6 (-0.5--8.0) 3.1 (0.3--5.5)\n **Modest Scenarios** \n **Smoking -5%** 2.5 (0.6--4.7) 2.3 (-0.3--5.5) 2.6 (0.6--5.0)\n **Salt -10%** 1.9 (1.1--3.0) 2.0 (0.5--3.8) 1.9 (0.9--3.3)\n **Sat/ Unsat fats -2%** 3.3 (2.0--4.9) 3.0 (0.5--5.7) 3.5 (1.7--5.6)\n **Phy Inactivity -5%** 1.2 (-0.5--3.3) 1.3 (-0.5--3.3) 1.1 (0.1--2.1)\n **Expected Deaths** 646 (439--860) 1773 (682--2936) 2562 (1324--3916)\n\n\\*Expressed as a percentage of expected deaths in 2030\n\nScenario 1 --Ideal improvements in risk factors by 2030 {#sec021}\n-------------------------------------------------------\n\nBased on the lower mortality assumption, a total of 150 (23.3%), 410 (23.2%) & 625(24.4%) deaths could potentially be avoided in NI, RoI and Scotland respectively if ambitious risk factor improvements across the four risk factor scenarios were achieved (See [Fig 1](#pone.0138044.g001){ref-type=\"fig\"}). ", "In relative terms, there was greater potential of risk factor improvements to reduce deaths in women (between 25.1% and 25.7%) compared to men (between 22.3% and 23.8%) \"Table J in [S1 Appendix\"](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}. ", "Lowering saturated fat level intake by 6% in absolute terms would result in 55 (8.6%), 140 (7.8%) & 230 (9.0%) fewer CHD deaths in NI, RoI and Scotland respectively (the percentages here are based on overall deaths potentially avoided in each country, [Table 2](#pone.0138044.t002){ref-type=\"table\"}). ", "A substantial but feasible reduction in smoking prevalence of 15% would result in 40 (5.8%) 110 (6.2%) & 185 (7.2%) fewer deaths in NI, RoI & Scotland. ", "There were marked gender differences regarding reduction in deaths due to smoking with greater potential relative reductions in women (6.9%-8%) compared to men (5.4%-6.7%). ", "Reducing salt levels in relative terms by 30% would reduce CHD deaths by 5.2--5.6% (35, 100 & 135 fewer deaths in NI, RoI & Scotland). ", "A slightly higher proportion of deaths could be prevented from reduced salt intake in women (5.7%-5.9%) compared to men (4.9%-5.4%). ", "An absolute improvement in physical activity levels in each country of 15% could potentially prevent 3.1--3.6% of CHD deaths in 2030 (25, 65 & 80 fewer deaths in NI, RoI & Scotland), with no gender differences.", "\n\nScenario 2---Modest improvements in risk factors by 2030 {#sec022}\n--------------------------------------------------------\n\nBased on a lower mortality assumption, modest changes across the four risk factor scenarios could result in a total of 60, 150 and 230 fewer deaths in 2030 in NI, RoI and Scotland respectively. ", "The biggest gains would come from a 2% absolute reduction in saturated fat intake levels in decreases in deaths of 3.0--3.5% (approximately 20, 55 & 90 fewer deaths in NI, RoI and Scotland respectively). ", "A 5% absolute decline in smoking by 2030 would translate into 15, 40 and 65 fewer CHD deaths (in percentage terms 2.3--2.6%). ", "As regards salt intake, relative decreases of 10% might decrease CHD deaths by 1.9--2.0% (approximately 10, 35 and 50 deaths in NI, RoI and Scotland respectively). ", "Approximately 10, 20 and 30 fewer deaths in NI, ROI and Scotland respectively (approximate decrease of 1.1--1.3%) could be attributed to a 5% absolute decrease in physical inactivity levels. ", "For all countries, there were more marked relative decreases in deaths in women overall and in particular declines in mortality attributed to reductions in smoking levels and salt intake (Table I in [S1 Appendix](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}).", "\n\nModelling results based on 'no mortality change' scenarios resulted in marginally higher estimates of DPPs when expressed as a percentage of total expected deaths (Table J in [S1 Appendix](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}.", "\n\nExtrapolation of models estimates to British Isles population projections for 2030 {#sec023}\n----------------------------------------------------------------------------------\n\nBased on the lower mortality assumption, the Scottish population of 3.9 million (25--84 years) translated into 230 or 625 total CHD deaths prevented resulting from the 'Modest' and 'Ideal' future risk factor scenarios respectively. ", "Simple extrapolation of deaths potentially prevented from these Scottish estimates to the populations of England and Wales (25--84 years) of 42.4 million suggests that 2480 & 6745 fewer CHD deaths could be expected in the British Isles in 2030 (Table K in [S1 Appendix](#pone.0138044.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}).", "\n\nDiscussion {#sec024}\n==========\n\nOur modelling estimates using data from NI, RoI and Scotland suggest that reducing four selected risk factors could substantially decrease CHD mortality by 2030, by somewhere between 9% ('modest' scenarios) and 24% ('ideal' scenarios).", "\n\nIn the year 2030 over 6,800 CHD deaths could be avoided in the British Isles by optimal improvements in average population dietary salt and saturated fat intake, reductions in unacceptable high levels of smoking prevalence and increases in physical activity levels. ", "Alternatively, if modest and very feasible improvements in the same risk factors were achieved as in other countries, approximately 2500 CHD deaths could be avoided in the British Isles. ", "There is greater potential to reduce blood pressure levels in older women. ", "Our results also reflect the vast potential to reduce heart disease deaths in both men and in particular women. (", "aged over 65) resulting from increased post-menopausal risks of CHD.", "\n\nPrevious studies using IMPACT methodology have consistently shown a similar contribution to decreasing CHD mortality trends attributed to reduction in population risk factor levels compared to treatments. ", "\\[[@pone.0138044.ref001],[@pone.0138044.ref002],[@pone.0138044.ref014]\\] Decreases in blood pressure, total cholesterol and smoking explained more than 60% of the decrease in CHD mortality in NI (1987--2007) \\[[@pone.0138044.ref001]\\] in ROI (1985--2006) \\[[@pone.0138044.ref002]\\] and contributed to 50% of the CHD mortality decline in an earlier study carried out in Scotland (1975--1984). ", "\\[[@pone.0138044.ref003]\\]\n\nDespite marked smoking declines in NI, ROI & Scotland over the last number of decades and repeated evidence of reductions in CHD mortality due to declines in smoking prevalence, current smoking levels in the 'celtic fringe' countries remain unacceptably high at approximately 25%. ", "\\[[@pone.0138044.ref015]\\]\n\nA large proportion of the blood pressure and cholesterol improvements in the UK over the last 20--30 years can be attributed to changes in diet. ", "\\[[@pone.0138044.ref016],[@pone.0138044.ref017]\\] A recent UK wide 'family food survey' (2007--2009) found higher levels of saturated fat & salt intake and lower fruit and vegetable consumption in both NI and Scotland compared to England & Wales. ", "\\[[@pone.0138044.ref018]\\] ROI has previously reported better uptake of at least one daily portion of fruit and vegetable intake per day compared to NI. ", "\\[[@pone.0138044.ref015]\\]\n\nAlthough physical inactivity data from NI, RoI and Scotland were derived from the International Physical Activity (IPAQ) questionnaire, \\[[@pone.0138044.ref019]\\] markedly higher levels of physical inactivity were reported in Scotland compared to NI & RoI. Higher inactivity in Scotland can be explained by differing interpretations of the IPAQ questionnaire being employed as the Scottish activity figures used are based on previous UK recommendations of performing at least moderate activity lasting 30 minutes per day ≥ 5 days per week whereas NI & RoI data are aligned with current UK recommendations of meeting at least 150 minutes of moderate intensity activities per week. ", "A recent study from the Republic of Ireland reported improving physical activity levels in the Republic of Ireland between 1985 and 2006. ", "\\[[@pone.0138044.ref002]\\] As devolved administrations of the United Kingdom (UK), NI and Scotland have responsibility for much of public health policy, although UK wide policy and law still dictate taxation, advertising and consumer protection issues such as health warnings on tobacco products. ", "A renewed commitment to primary prevention and risk factor reduction is central to overarching public health policies and CHD focused strategies in each country. ", "\\[[@pone.0138044.ref020]--[@pone.0138044.ref022]\\] Similar population based prevention approaches for smoking have been adopted in all three countries with continued taxation on tobacco products and implementation of smoking bans in enclosed public places (March 2004 in RoI, March 2006 in Scotland and April 2007 in NI). ", "However, there is substantial room for improvement as recent survey data suggest that smoking rates are still much higher in British Isles countries compared to other Northern European countries. ", "It is anticipated that NI & Scotland will eventually follow proposals in ROI to introduce standardised plain packaging of cigarettes. ", "This ground breaking initiative had an immediate positive impact in Australia. ", "\\[[@pone.0138044.ref023]\\]\n\nOver the last few decades the UK has had some success in reducing average salt and saturated levels by setting voluntary targets and by improving nutritional labelling indicating the level of saturated fats, salt and sugars on pre-packaged foods. ", "However, average salt intakes in the UK and Ireland are substantially higher than the recommended intake of 6 grams per day. ", "\\[[@pone.0138044.ref024]\\] Bigger decreases in CHD mortality would be achieved by mandatory reformulation of processed foods and by introducing subsidies for growing healthier foods. ", "\\[[@pone.0138044.ref025]\\] As well as making a huge difference to population health, the implementation of population based mandatory standards for lower levels of salt and saturated fats in processed foods is cost effective. ", "\\[[@pone.0138044.ref026]\\] The potential of introducing effective food policies is highlighted by recent studies which quantified the number of CVD deaths that could be avoided in NI and Scotland and in ROI by population level changes in diet. ", "\\[[@pone.0138044.ref027]\\]\n\nThe overriding goal of current physical activity strategies in NI, RoI and in Scotland remains to increase active travel. ", "Recent UK wide co-operation to set targets of further incorporating physical activity into daily life and to standardize physical activity definitions is encouraging. ", "However, more radical approaches to promote active travel such as financial incentives (selective taxes or subsidies) need to be explored for a sustained population shift from sedentary living to more cycling and walking to be realized. ", "\\[[@pone.0138044.ref028]\\]\n\nStrengths and Limitations {#sec025}\n-------------------------\n\nOur study has several strengths including incorporating high quality recent risk factor trend data from high quality national surveys and we cumulative adjusted for multiple risk factor changing simultaneously. ", "As ever with modelling studies there are some limitations. ", "Projections of mortality to 2030 are likely to be speculative and uncertain. ", "However, different approaches to projecting mortality was considered and probabilistic sensitivity analysis performed to ensure robustness of findings. ", "Direct physical activity comparisons between countries are difficult due to self reported physical activity data being prone to bias. ", "\\[[@pone.0138044.ref029]\\] However, improved UK-wide physical activity guidelines were published in 2011. ", "Our projections model only estimate future CHD deaths although concurrent reductions in future non fatal CHD events would also be achieved based on the future risk factors scenarios modelled.", "\n\nAs part of our ongoing work we will specifically model potential reductions in CHD mortality resulting from reductions in obesity, or diabetes when there is sufficient evidence of effective population level interventions to reverse recent substantial increases in these important risk factors. ", "Although, population level interventions to reduce obesity and diabetes by 2030 were not included in the current study, the rising levels of these risk factors in our population were taken into account as part of the baseline risk, which was used to project future absolute levels of CHD mortality.", "\n\nWe did not model the effect of improvements in therapies which could also occur and might reduce mortality further. ", "Therefore, the model assumes no change in therapies uptake or effectiveness over time. ", "We did not distinguish between risk factor reduction in 'healthy subjects' and persons with recognised heart disease, but at a population level this will have little impact on our estimates.", "\n\nThe current mortality projection method did not take into account competing risks for mortality. ", "However, the model probably underestimates potential gains, as risk factors changes such as smoking would reduce the incidence of related cancers and stroke.", "\n\nIt was assumed that modelled estimates of one individual country in the UK could be extrapolated to the overall UK population and this poses the risk of accentuating any bias in modelling estimates. ", "However, all countries in the British Isles have similar age profiles and cardiovascular risk factors are comparable in all countries. ", "Validation and sensitivity analyses carried out mitigate concerns with comparability with data across all British Isles countries.", "\n\nA notable strength is the model validation highlighting the high predictive ability of original models (\\>90%) in projecting mortality to 2010. ", "As CHD mortality rates can change abruptly over a short period of time, two contrasting future mortality scenarios were modelled. ", "However, marked cardiovascular mortality decreases can occur rapidly following risk factor changes in the population and our modelled estimates should not be taken as precise projections but as useful indicators of future CHD mortality which might be expected based on different future risk factor scenarios. ", "\\[[@pone.0138044.ref030]\\]\n\nConclusions {#sec026}\n-----------\n\nCHD mortality improvements have been a major success story over recent decades. ", "Yet without further policy action, the future burden and cost of treating CHD could increase exponentially. ", "And CHD is largely preventable. ", "However, radical policies will be needed to further improve diet and reduce smoking in order to minimise the future burden of CHD.", "\n\nSupporting Information {#sec027}\n======================\n\n###### \n\nTable A. Validation of IMPACT models, 2010. ", "Fig A. NI CHD Mortality Projections to 2030 for males aged 55--64 using a 'lower mortality assumption'. ", "Table B. Data sources used in projecting CHD mortality---definitions and data sources for NI, RoI & Scotland. ", "Table C Gender Specific risk factor levels in NI, RoI and Scotland in 2010 by Agegroup. ", "Example A. Estimation of DPPs from risk factor change using PARF method. ", "Table D Beta coefficients for blood pressure change in population. ", "Table E. Beta coefficients for total cholesterol change in population. ", "Table F. Relative risk of mortality from Ischaemic Heart Disease for current smokers relative to non-smokers. ", "Table G. Relative risk of Ischaemic Heart Disease from physical (in)activity levels from WHO GBD Study. ", "Table H Predicted decreases in deaths expressed as a percentage of total expected CHD deaths in 2030 --Ideal & Modest Future Risk factor Scenarios. ", "Table I. Predicted decreases in deaths by gender expressed as a percentage of total expected CHD deaths in 2030 --Ideal & Modest Future Risk factor Scenarios (Assumed lower mortality). ", "Table J. Predicted decreases in deaths by gender expressed as a percentage of total expected CHD deaths in 2030 --Ideal & Modest Future Risk factor Scenarios (No mortality change). ", "Fig B. Predicted decreases in Deaths in 2030 based on 'No mortality change' between 2010 and 2030 for (A) IDEAL scenarios & (B) MODEST Scenarios. ", "Table K. Extrapolation of modelled estimates to the British Isles population for 2030. ", "Table L. Distributions used for main input parameters in the model.", "\n\n(DOCX)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\n[^1]: **Competing Interests:**The authors declare that no competing interests exist.", "\n\n[^2]: Conceived and designed the experiments: JC SC. ", "Analyzed the data: JH ZK KB JWH CD PB MG-C M\\'OF SC JC. ", "Wrote the paper: JH ZK KB JWH FK AHL CD PB MG-C M\\'OF SC JC.", "\n" ]

{ "pile_set_name": "PubMed Central" }

[ 0, 0.007936507936507936, 0.006211180124223602, 0.004672897196261682, 0.013333333333333334, 0.009569377990430622, 0.011627906976744186, 0.007407407407407408, 0.004901960784313725, 0, 0.004201680672268907, 0.005714285714285714, 0.016129032258064516, 0.012195121951219513, 0, 0.0027548209366391185, 0.004149377593360996, 0, 0.01935483870967742, 0.005681818181818182, 0.008875739644970414, 0.016304347826086956, 0.0045662100456621, 0.010752688172043012, 0.01060070671378092, 0.0036900369003690036, 0.002066115702479339, 0.010141987829614604, 0.003787878787878788, 0, 0.008333333333333333, 0, 0, 0.0030120481927710845, 0.0030959752321981426, 0.008, 0.005291005291005291, 0, 0.008547008547008548, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.003246753246753247, 0, 0, 0, 0, 0.03278688524590164, 0, 0, 0, 0.006622516556291391, 0.0064516129032258064, 0, 0.013440860215053764, 0, 0.004524886877828055, 0.010638297872340425, 0.01, 0, 0.005235602094240838, 0, 0.003897116134060795, 0, 0.002764612954186414, 0.003968253968253968, 0.009933774834437087, 0.006578947368421052, 0, 0.014814814814814815, 0, 0.009523809523809525, 0.003115264797507788, 0.004901960784313725, 0.007936507936507936, 0.018292682926829267, 0.010471204188481676, 0.0037174721189591076, 0.0040650406504065045, 0.004866180048661801, 0.009202453987730062, 0.011111111111111112, 0.0037313432835820895, 0.0053475935828877, 0, 0, 0.014705882352941176, 0.004830917874396135, 0.017857142857142856, 0.012944983818770227, 0.005780346820809248, 0.012145748987854251, 0.013071895424836602, 0.009887005649717515, 0, 0.006734006734006734, 0.006172839506172839, 0.009316770186335404, 0, 0.007462686567164179, 0, 0.0036363636363636364, 0, 0.01092896174863388, 0.004424778761061947, 0.00819672131147541, 0.02, 0, 0, 0.006622516556291391, 0, 0, 0, 0, 0.009433962264150943, 0.010471204188481676, 0.0033783783783783786, 0.003355704697986577, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.007692307692307693, 0.003236245954692557, 0.02097902097902098, 0.009259259259259259, 0.03125, 0.007692307692307693, 0, 0.009615384615384616, 0.02727272727272727, 0.045454545454545456, 0, 0, 0.014084507042253521, 0.00909090909090909, 0, 0.02027027027027027, 0.010810810810810811, 0.0055248618784530384, 0.0136986301369863, 0.011494252873563218, 0.014925373134328358, 0, 0, 0.01818181818181818, 0.03571428571428571, 0.05, 0 ]

[ "MONTGOMERY, AL—Conveying her concerns that the additional obstacles presented by parenthood would be too much to bear, 12-year-old abuse survivor Abigail Dunn was reportedly worried Wednesday that she wouldn’t be able to handle being a mom on top of everything else she had going on. “", "I have several book reports and a big algebra test coming up in the next few weeks, and I had even been thinking about trying out for my school’s chorus, but giving birth and caring for an infant is going to really cut into my studying time,” said the seventh-grader, who acknowledged that the intense feelings of shame and fear associated with trauma had already placed her significantly behind her peers and added that there would likely be even greater challenges to raising the offspring of the man who attacked her. “", "This year has been hard in a lot of ways. ", "We had to move to a new neighborhood, and my family life has been very, very bad, especially recently. ", "My relationship with my stepdad is pretty much a nightmare. ", "I wish I were responsible enough to look after a baby, but I’m just so scared that I won’t be. ", "I’m really sorry.” ", "At press time, Dunn had expressed hope that her unborn child would be friends with the babies of all her fellow pregnant classmates.", "\n\nAdvertisement" ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.0035087719298245615, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.007575757575757576, 0 ]

[ "1. ", "Field of the Invention\nThis invention relates generally to the field of computer generated video displays, and relates more particularly to the generation of a color display on a terminal or personal computer while using the existing computer software designed for a monochrome display.", "\n2. ", "Description of the Prior Art\nA data terminal or personal computer coupled to a host processor may include a monochrome cathode ray tube for displaying text. ", "Individual characters, words, lines or areas of the displayed text may be highlighted in several ways through the use of attribute characters. ", "Attribute characters may be used to have certain characters or words displayed with special visual attributes such as low intensity. ", "Therefore, an attribute character with a low intensity bit is read out of a video random access memory (RAM) on the same access that the text character is read out of the RAM.", "\nSimilarly, other attribute bits are used to underline characters or words, show the characters or words in inverse video, have certain characters or words blink or have certain characters or words not be displayed. ", "If the host computer is coupled to a data terminal or personal computer having a color CRT display, it is desirable to display the attribute features as well as the text in selected colors. ", "Since the host computer is programmed to display in the monochrome mode, the host computer must be reprogrammed to display color. ", "Also, the host computer processes many applications programs, converting each monochrome applications program to display in color is time consuming and therefore expensive.", "\nThe selection of color for text, status and error information was previously designed into a Honeywell PC 7800 Emulator." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.011428571428571429, 0, 0, 0, 0, 0.008264462809917356 ]

[ "Thousands of Americans sent to debtors’ prisons monthly\n\nOnce upon a time in Western Europe, circa the 19th century, debtors’ prisons were a common phenomenon. ", "And they were exactly what they sound like: Prisons for people who were unable to pay their debts. ", "People who were destitute or simply had fallen on hard times and were unable to repay court-ordered judgments were “sentenced” to these prisons. ", "They remained there until they were able to either work off what they owed or secure funding from another source.", "\n\nNow, in 21st century America, debtors’ prisons are making a comeback.", "\n\nAccording to a new report from Human Rights Watch called Profiting from Probation, more than 1,000 courts around the country “delegate tremendous coercive power to companies that are often subject to little meaningful oversight or regulation.”", "\n\nFurther, a summary of the report states:\n\n“In many cases, the only reason people are put on probation is because they need time to pay off fines and court costs linked to minor crimes. ", "In some of these cases, probation companies act more like abusive debt collectors than probation officers, charging the debtors for their services.”", "\n\nOften, the group says, the poorest Americans wind up having to pay the most in fees over time, in what amounts to a discriminatory penalty. ", "When they fail to pay, companies then can, and do, ensure that they are arrested.", "\n\nSo, while such incarceration is not actually called “debtors’ prison,” the result is the same.", "\n\nIn particular, notes the ACLU, which is taking up the cause of ending such incarcerations:\n\n“Human Rights Watch tells the story of Thomas Barrett in Georgia. ", "Unemployed and living off food stamps, Barrett was out on probation and ordered to pay a $200 fine for stealing a $2 can of beer from a convenience store. ", "On top of that, Sentinel Offender Services, LLC, the company administering Barrett’s probation, charged him $360 per month in supervision and monitoring fees despite the fact that Barrett’s only source of income was money earned by selling his blood plasma.”", "\n\nBarrett was forced to skip meals in order to pay Sentinel. ", "Nevertheless, he still fell behind in payments and at one point wound up owing the company $1,000 in fees — or five times more than the $200 fine that a court had imposed.", "\n\nIn a bid to collect the debt, Sentinel then petitioned a court to revoke Barrett’s probation, which it did. ", "He was then jailed.", "\n\n….”Imprisoning someone because she cannot afford to pay court-imposed fines or fees violates the 14th Amendment,” says the ACLU.", "\n\nAnd Barrett is just one of thousands of cases, the legal assistance group says.", "\n\nWhat’s more, the trend towards more, not fewer, such cases has been growing….", "\n\nAuthor: David McElroy\n\nDavid Allen McElroy has served as a journalist and a chaplain to hospitals and nursing homes. ", "He continues writing on the world-wide web and has much archived in the forum at BreakingAllTheRules.com. ", "He has a B.A. in Bible from Fresno Pacific College. ", "David stands for Truth, Justice, & Liberty in Christ's Love!", "\nView all posts by David McElroy" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0125, 0.0064516129032258064, 0.015503875968992248, 0.03278688524590164, 0, 0.01818181818181818, 0, 0.007692307692307693, 0.012345679012345678, 0, 0.008403361344537815, 0.009433962264150943, 0.019230769230769232, 0.03333333333333333, 0.03125 ]

[ "Lost Grove Lake Nearly Finished After 25 Years\n\nAfter decades of work – the Lost Grove Lake project in Northeast Scott County is nearly finished. ", "The crown jewel of the project: a 75 foot dam that measures more than 1,200 feet long. ", "Today it’s getting its final grooming.", "\n\n“It is essentially near completion at this point. ", "They’re within hours or days of essentially having that project done,” says Chad Dolan of the Iowa Department of Natural Resources.", "\n\nWith an excavation company is putting the final touches on the dam it’ll take another two to three years for the lake to fill up.", "\n\nRight now though the western most tip of the lake is complete. ", "Fishermen like Tony and Jackie Reynolds are already taking advantage of Scott County’s newest fishing hole.", "\n\n“There’s not much around. ", "A few farm ponds but they’re few and far between,” says Tony Reynolds.", "\n\nSoon Lost Grove Creek will flood hundreds of acres of prairie, creating one of the biggest lakes between here and Iowa City.", "\n\n“East Central Iowa was devoid of a lake, a large recreational lake,” says Dolan.", "\n\nThe state began this project 25 years ago, and it’s been an on again, off again venture constantly fighting for funds, leaving area outdoors men wondering if this would be the big one that got away.", "\n\nBut now that the end is in sight, anticipation is growing with hopes that Lost Grove Lake will be worth the wait.", "\n\n“It takes a long time to create something of this capacity and this size, so we’re very excited to be at the point we’re at and to be getting ready to move forward,” says Clare Kerofsky of the group Partners of Scott County Watersheds.", "\n\nAll told the Lost Grove Lake Project will cost $11.5 million dollars. ", "The depending on water levels the Iowa DNR may begin stocking the lake with bluegills as early as this fall, with other game fish to follow next spring.", "\n\nWhen its full the lake will cover more than 350 acres and sit among 1,700 acres of wildlife management property." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0, 0, 0, 0.015267175572519083, 0, 0, 0.018691588785046728, 0, 0.014285714285714285, 0.007936507936507936, 0.012195121951219513, 0, 0, 0.004219409282700422, 0.013888888888888888, 0.006578947368421052, 0 ]

[ "Manev\n\nManev () is a Bulgarian masculine surname, its feminine counterpart is Maneva. ", "It may refer to\n\nEmanuil Manev (born 1992), Bulgarian football player\nEvdokiya Maneva (born 1945), Bulgarian politician\nGeorgi Manev (1884–1965), Bulgarian physicist\nIvan Manev (born 1950), Bulgarian sprint canoer\nKole Manev (born 1941), Macedonian painter and film director\nMilka Maneva (born 1985), Bulgarian weightlifter\nSlavka Maneva (1934–), Macedonian writer and poet\nTzvetana Maneva (born 1944), Bulgarian actress\nYulian Manev (born 1966), Bulgarian football player\n\nCategory:Bulgarian-language surnames" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.011627906976744186, 0.029411764705882353 ]

[ "好奇心原文链接：[乐天百货拟撤出内地市场，以及，Swatch 集团退出巴塞尔钟表展 | 浮华日报_时尚_好奇心日报-刘璐天](https://www.qdaily.com/articles/55735.html)\nWebArchive归档链接：[乐天百货拟撤出内地市场，以及，Swatch 集团退出巴塞尔钟表展 | 浮华日报_时尚_好奇心日报-刘璐天](http://web.archive.org/web/20181004144855/http://www.qdaily.com:80/articles/55735.html)\n" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0.0149812734082397, 0.014705882352941176 ]

[ "TJ, LJ, MJ, XJ, and ZJ Front Upper Control Arm Bracket Gusset\n\nPart Number:\n\nPrice\n\nOur TJ, LJ, MJ, XJ, and ZJ, front upper control arm bracket gusset is designed to reinforce the factory upper control arm bracket on your front Dana 30 or Dana 44. ", "The thin factory bracket has been known to bend even with only light off road use, this plate will weld inside the front of the existing upper control arm mount and to the axle tube. ", "You will receive one bare 1/4\" steel reinforcement plate that will need to be welded to your axle.", "\n\nOur TJ, LJ, MJ, XJ, and ZJ, front upper control arm bracket gusset is designed to reinforce the factory upper control arm bracket on your front Dana 30 or Dana 44. ", "The thin factory bracket has been known to bend even with only light off road use, this plate will weld inside the front of the existing upper control arm mount and to the axle tube. ", "You will receive one bare 1/4\" steel reinforcement plate that will need to be welded to your axle." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.028225806451612902, 0, 0, 0.024096385542168676, 0, 0 ]

[ "This project involves the use of subzero temperatures to elucidate mechanisms of enzyme catalysis, in particular to obtain information concerning the dynamic processes occurring during catalysis. ", "By initiating the reaction at a very low temperature (e.g., -100 degrees) in a fluid aqueous organic solvent system and utilizing techniques such as absorption, fluorescence and circular dichroism spectroscopy to monitor environment-sensitive groups in the enzyme and substrate it is possible to detect, accumulate and characterize intermediates in enzyme-catalyzed reactions. ", "Intermediates formed in the reactions of lysozyme, beta-galactosidase and fire-fly luciferase with specific substrates will be studied in this manner. ", "Conditions necessary to obtain enzyme-substrate intermediates, in crystalline form trapped at subzero temperatures, and suitable for x-ray crystallographic studies will be determined for a number of enzyme-substrate-cryosolvent systems." ]

{ "pile_set_name": "NIH ExPorter" }

[ 0, 0, 0, 0 ]

[ "Q:\n\nPHP/MYSQL query help needed\n\nThis should be straightforward.", "\nI have three tables (relevant columns shown).", "\nusers : ID,USERNAME,PWD\nshops: ID,MANAGER_ID (referencing a USER_ID),NETWORK_ID\nnetworks : ID,ADMIN_ID (referencing a USER_ID)\nAll I need to do, is upon login, check USERNAME and PWD against the ID and to be able to tell if the user that just logged on, is simply in shops table as a manager, or a network admin, or both.", "\nCan this be done with one single SELECT with PHP ?", "\nThanks !", "\n\nA:\n\nSELECT\n users.id AS user_id,\n shops.id AS shop_id,\n networks.id AS network_id\n\nFROM users\n\nLEFT OUTER JOIN shops\nON shops.manager_id = users.id\n\nLEFT OUTER JOIN networks\nON networks.manager_id = users.id\n\nWHERE users.username = ?", "\n AND users.pwd = ?", "\n\nLIMIT 1\n\nWhen this query returns, shop_id will be non-null if the user is referenced from the shops table, and the same goes for network_id.", "\nNote that if the user is referenced from the shops or networks table more than once, this query will only produce one row; I assume from your question that you don't care which shop/network the user is associated with, you only want to check for such an association.", "\nAlternatively, this query would work too:\nSELECT\n users.id AS user_id,\n\n EXISTS (SELECT shops.id\n FROM shops\n WHERE shops.manager_id = users.id)\n AS has_shop,\n\n EXISTS (SELECT networks.id\n FROM networks\n WHERE networks.admin_id = users.id)\n AS has_network\n\nFROM users\n\nWHERE users.username = ?", "\n AND users.pwd = ?", "\n\nOne of the queries might be faster than the other depending on what indexes you have set up on the tables, as well as your MySQL version. ", " Consider running them both through EXPLAIN if performance is an issue.", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0.015625, 0, 0.01529051987767584, 0.0196078431372549, 0, 0.00819672131147541, 0, 0.007042253521126761, 0, 0.002770083102493075, 0, 0, 0.014084507042253521, 0 ]

[ "''Cli-fi in the news, cli-fi you can use.'' --", "\n''The Cli-Fi Report'' is a portal for all things cli-fi, from blogs to videos to Wikipedia to Twitter to news links and Facebook Groups. ", "See the portal, the largest Cli-Fi portal on the Internet at cli-fi.net. ", "EMAIL: danbloom@gmail.com\n\nMonday, December 21, 2009\n\nIt blows my mind that Ross Douhat could be so stupid to think that some god would take on flesh and become human! ", "Only a child with a child's depth of thought could think such crap. ", "But an adult? ", "It boggles the mind. ", "Ross, grow up! ", "America, grow up with him! ", "Oi.", "\n\nThis is an agonized position, and if there’s no escape upward — or no God to take on flesh and come among us, as the Christmas ''story'' ALLEGEDLY has it — a deeply tragic one. -- ", "ROSS DOUHAT in the NY Times today, on James Cameron's AVATAR movie." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0.014492753623188406, 0.0273972602739726, 0.011904761904761904, 0, 0, 0, 0.06666666666666667, 0, 0, 0.005494505494505495, 0.04477611940298507 ]

[ "The Institute of Education Sciences (IES) of the United States Department of Education provides access to restricted-use data of ECLS-B cohort (License No. ", "12080032). ", "Interested readers and researchers can request the data online (<http://nces.ed.gov/statprog/instruct.asp>) or contact IES Data Security Office directly. ", "Following is their contact. ", "IES Data Security Office, U.S. Department of Education, 1990 K Street, NW, Room 9060, Washington, DC 20006; (202) 502-7307, E-mail: <IESData.Security@ed.gov>, Phone: 1-202-502-7307.", "\n\nIntroduction {#sec005}\n============\n\nBody size at birth is well known to be a risk factor for perinatal morbidity and mortality, as well as poor neurodevelopment \\[[@pone.0160677.ref001],[@pone.0160677.ref002]\\]. ", "A newborn shorter or lighter than expected for a certain gestational age, i.e. 2 standard deviation (SD) below the average or below the 3^rd^ or 10^th^ percentile of newborn reference of the same sex and gestational age is often called small for gestational age (SGA). ", "About 10% -16% of children in high-income countries \\[[@pone.0160677.ref003]\\] and 27% of children in low- and middle-income countries \\[[@pone.0160677.ref004]\\] are born small-for-gestational-age (SGA), due to various genetic and environmental causes. ", "Some key prenatal risk factors for SGA include maternal pre-pregnancy underweight, short stature, smoking during pregnancy, alcohol use during pregnancy, inadequate gestational weight gain (GWG), hypertensive conditions, and multiple births \\[[@pone.0160677.ref005]\\].", "\n\nOn average, children born SGA are more likely to have worse neurodevelopment than children born appropriate-for-gestational-age (AGA) \\[[@pone.0160677.ref006]\\]. ", "However, there is a great deal of heterogeneity in these adverse long-term outcomes among SGA newborns. ", "It remains unclear why substantial variations in long-term neurodevelopmental outcomes exist within small-for-gestational-age (SGA) children. ", "Neurodevelopmental disadvantages related to SGA are likely due to structural and/or functional impairment in brain development \\[[@pone.0160677.ref007]\\]. ", "Research suggests that different risk factors of SGA may influence fetal brain development through different biological mechanisms. ", "For example, SGA fetus with maternal smoking during pregnancy may have interferes directly by stimulation of neurotransmitters or indirectly by inducing brain hypoxia \\[[@pone.0160677.ref008],[@pone.0160677.ref009]\\]; SGA fetus with maternal pre-pregnancy underweight or inadequate GWG may have insufficient supply of nutrition to brain during pregnancy \\[[@pone.0160677.ref010],[@pone.0160677.ref011]\\]; SGA fetus with multiple birth often restricted by crowded space and nutrition supply \\[[@pone.0160677.ref012],[@pone.0160677.ref013]\\]. ", "In addition, some prenatal risk factors leading to SGA are likely to co-occur, which may cause \"double hits\" to the fetal brain and causes more severe impairments than each factor separately. ", "Therefore, it's reasonable to hypothesize different etiologies of SGA can help to understand these substantial variations. ", "This hypothesis is supported by our previous research in which only SGA subgroups with maternal smoking during pregnancy have elevated risk of hypercholesterolemia in adults, while SGA subgroups without maternal smoking have similar risk as AGA children \\[[@pone.0160677.ref014]\\]. ", "The death risk of a SGA fetus is higher if the mother is ≥175 cm tall, normotensive, nulliparous, or non-smoking \\[[@pone.0160677.ref015]\\].", "\n\nIn addition, the extent of neurodevelopmental impairment may vary considerably across SGA etiological subgroups, possibly due to the variation in Apgar score (an indicator for some SGA-related complications such as birth asphyxia and cerebral palsy \\[[@pone.0160677.ref016]\\]). ", "This variable is associated with the incidence and severity of late neurodevelopmental impairment, possibly through reduction in brain weight and cell number \\[[@pone.0160677.ref017]\\]. ", "Alternatively, the variation in neurological impairment across SGA subgroups may be due to the direct effects of some prenatal risk factors on the developing fetal brain. ", "As shown in **[Fig 1](#pone.0160677.g001){ref-type=\"fig\"}**, we hypothesized that etiological subgroups of SGA have different neurodevelopment measured by cognitive and motor outcomes, through the direct effects of SGA-related prenatal risk factors or mediation by Apgar score (indirect effects).", "\n\n{#pone.0160677.g001}\n\nEarly screening and intervention may alter SGA children's disadvantaged neurodevelopmental paths and thus improve their later outcomes \\[[@pone.0160677.ref018]--[@pone.0160677.ref020]\\]. ", "Dividing SGA children into etiological subgroups, can not only help to distinguish the perinatal etiology for SGA, but also identify high-risk subgroups of SGA that have poorer neurodevelopmental outcomes in later life and thus need early intervention. ", "Therefore, in this study we aimed to 1) examine the differences in neurodevelopmental outcomes at 5 y across etiological subgroups of SGA based on 7 key prenatal risk factors including maternal pre-pregnancy underweight, short stature, smoking during pregnancy, alcohol use during pregnancy, inadequate gestational weight gain (GWG), hypertensive conditions, and multiple births; 2) examine the differences in neurodevelopmental outcomes at 5 y across etiological subgroups of SGA based on co-occurrence of significant risk factors selected in Aim 1; 3) examine the extent to which Apgar score would mediate the associations between SGA etiological subgroups and neurodevelopmental outcomes.", "\n\nMaterials and Methods {#sec006}\n=====================\n\nData and sample {#sec007}\n---------------\n\nWe used existing data from the Early Childhood Longitudinal Study-Birth cohort (ECLS-B, 2001--2007, N = 10 700), a U.S. national longitudinal birth cohort with child assessments at birth, 9 months (m), 2 years (y), 4 y (preschool), 5 y (kindergarten 2006), and 6 y (kindergarten 2007) \\[[@pone.0160677.ref021],[@pone.0160677.ref022]\\]. ", "This analysis included ECLS-B children born SGA (N = 1050) and AGA (N = 4250) with complete data on birth weight and gestational age, the 7 key prenatal risk factors for SGA, neurodevelopmental outcomes at 5 y, and potential confounders (**[Table 1](#pone.0160677.t001){ref-type=\"table\"}**). **[", "Fig 2](#pone.0160677.g002){ref-type=\"fig\"}** shows the sample flow. ", "All reported numbers about sample size are rounded to nearest 50 according to the confidentiality policy of U.S. Department of Education. ", "This secondary data analysis was approved by the Social and Behavioral Sciences Institutional Review Board, State University of New York at Buffalo.", "\n\n{#pone.0160677.g002}\n\n10.1371/journal.pone.0160677.t001\n\n###### Characteristics of analytic and excluded SGA and AGA samples (N = 9450).", "\n\n![](", "pone.0160677.t001){#pone.0160677.t001g}\n\n   Analytic SGA and AGA sample (N = 5300) Excluded SGA and AGA sample (N = 4150)[^a^](#t001fn003){ref-type=\"table-fn\"}   \n ------------------------------------------------ ---------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ------------- -------------------- -------------\n **HOUSEHOLD** \n Family socioeconomic status 0.0 (0.9) -0.2 (0.8) **\\<0.001**\n **MOTHER** \n Age at pregnancy 27.8 (6.4) 27.0 (6.4) **\\<0.001**\n Race \n     Non-Hispanic white 2500 (47.4) 1950 (47.6) \n     Non-Hispanic black 950 (18.0) 750 (17.5) \n     Hispanics 800 (14.7) 750 (18.1) **\\<0.001**\n     Asian/Pacific Islander 800 (14.9) 550 (13.7) \n     American Indian 250 (5.0) 150 (3.1) \n Education level \n     Below high school 900 (16.6) 950 (22.5) \n     High school or equivalent 1550 (29.2) 1350 (33.0) **\\<0.001**\n     College 2200 (42.2) 1500 (35.7) \n     Graduate or above 650 (12.1) 350 (8.8) \n Married 3650 (68.7) 2600 (62.2) **\\<0.001**\n Vaginal delivery 3500 (66.5) 2750 (66.5) 0.956\n Diabetes during pregnancy 200 (3.4) 150 (3.5) 0.751\n Pre-pregnancy underweight (BMI\\<18.5 kg/m^2^) 350 (6.4) 350 (8.0) **0.004**\n Pre-pregnancy short stature (height\\<157.5 cm) 1450 (27.2) 1150 (28.1) 0.310\n Smoking status during pregnancy \n     Never 4150 (78.1) 3100 (74.2) **\\<0.001**\n     Quitted 450 (9.1) 450 (10.3) \n   Moderate smoking (1--9 cigs/day) 350 (6.3) 350 (8.0) \n     Heavy smoking (10+ cigs/day) 350 (6.6) 300 (7.5) \n Alcohol use during pregnancy 200 (3.5) 150 (3.2) 0.417\n Inadequate GWG 1750 (33.0) 1400 (33.3) 0.747\n Hypertensive conditions 400 (7.5) 300 (6.9) 0.256\n Multiple Births 1050 (19.7) 600 (14.4) **\\<0.001**\n     Without ovulation stimulation 800 (15.4) 500 (12.4) \n     With ovulation stimulation 250 (4.3) 100 (2.4) \n **CHILD** \n Male sex 2650 (49.7) 2200 (52.7) **0.004**\n Gestational age, weeks 37.5 (3.6) 37.1 (4.1) **\\<0.001**\n Preterm birth 1250 (26.4) 1200 (29.1) **0.004**\n Birth weight, gram 2875.3 (798.4) **2801.3 (876.0)** **\\<0.001**\n Birth-weight-for-gestational-age percentile 37.3 (26.4) 37.5 (27.0) 0.764\n\nSD, standard deviation; BMI, body mass index; GWG, gestational weight gain.", "\n\nSignificant results are bolded\n\n^a^ Chi-square test for categorical variables and *t*-test for continuous variables.", "\n\n^tb^ The sum of categories of some characteristics may be less than 100% due to missing data.", "\n\nMeasures of exposures {#sec008}\n---------------------\n\nIn this study, the exposures were SGA etiological subgroups based on each or co-occurrence of maternal pre-pregnancy underweight, short stature, smoking and alcohol use during pregnancy, inadequate GWG, hypertensive conditions, and multiple births. ", "We considered these 7 factors because they are well-established prenatal risk factors for SGA and could explain large proportion of SGA \\[[@pone.0160677.ref005]\\]. ", "Also, they are potentially modifiable by nutritional, behavioral, and medical interventions.", "\n\n### SGA and AGA {#sec009}\n\nBirth weight in grams, last menstrual period (LMP), and delivery date were extracted from birth certificates of live births in 2001 provided by the State Vital Registration and Statistics Executives \\[[@pone.0160677.ref023]\\]. ", "Birth weight in birth certificate has been shown valid and reliable (e.g. correlation with birth weight on birth record, 0.96) \\[[@pone.0160677.ref024]\\]. ", "Gestational age in weeks was calculated as the interval between LMP and delivery date. ", "Gestational age from birth certificate has been shown fairly valid (e.g. correlation with gestational age on birth record, 0.68) \\[[@pone.0160677.ref024]\\]. ", "SGA was defined as birth weight below 10^th^ percentile for the same sex and gestational age within a national reference population of U.S. newborns \\[[@pone.0160677.ref025]\\]. ", "AGA was defined as birth weight between 10^th^-90^th^ percentiles. ", "For the purpose of this analysis, we excluded children with birth weight above 90^th^ percentile (large-for-gestational-age, LGA).", "\n\n### Pre-pregnancy underweight and short stature {#sec010}\n\nMother reported her height and pre-pregnancy weight in the 9-m postpartum interview. ", "Pre-pregnancy body mass index (BMI) was calculated as weight (kg)/height (m) ^2^. Pre-pregnancy underweight was defined as pre-pregnancy BMI\\<18.5kg/m^2^ \\[[@pone.0160677.ref026]\\]. ", "Short stature was defined as maternal height ≤157.5cm \\[[@pone.0160677.ref027]\\].", "\n\n### Smoking and alcohol use during pregnancy {#sec011}\n\nWe extracted information on maternal smoking (\\# of cigarettes/day) and alcohol use (yes vs. no) during pregnancy from birth certificates. ", "Although these two socially unfavorable behaviors were subject to under-report in birth certificate, it was acceptable to use them for exploratory studies like ECLS-B \\[[@pone.0160677.ref028]\\]. ", "If the information on smoking (16.1%) and alcohol use (14.9%) was unavailable in birth certificate, we supplemented it with retrospective self-report in the 9-m postpartum interview. ", "Besides binary variable (yes/no), we also classified maternal smoking into 4 categories: never smoking, quitted smoking (smoking before pregnancy, but not during pregnancy), moderate smoking (1--9 cigarettes/day during pregnancy) and heavy smoking (≥10 cigarettes/day during pregnancy).", "\n\n### Inadequate GWG {#sec012}\n\nThe information on total GWG was obtained from birth certificates (77.9%) and also from maternal self-reports at 9-m postpartum interview (22.1%) if birth certificate data was unavailable. ", "Inadequate GWG for singletons was defined total GWG less than 12.5 kg for underweight (pre-pregnancy BMI\\<18.5 kg/m^2^), 11.5 kg for normal weight (BMI, 18.5--24.9 kg/m^2^), 7 kg for overweight (BMI, 25--29.9 kg/m^2^), and 5 kg for obese women (BMI ≥30 kg/m^2^), respectively. ", "For multiple births, inadequate GWG was defined total GWG less than 17 kg for underweight and normal weight, 14 kg for overweight, and 11 kg for obese women, respectively \\[[@pone.0160677.ref026]\\].", "\n\n### Hypertensive conditions {#sec013}\n\nThe information on diagnoses of hypertensive conditions (i.e., chronic hypertension, gestational hypertension, preeclampsia, and eclampsia) was extracted from birth certificates.", "\n\n### Multiple births {#sec014}\n\nThe information on singleton and multiple births (e.g., twins and triplets) was extracted from birth certificates. ", "Ovulation stimulation is one of the most important reasons for recent rapid increase in rate of multiple births \\[[@pone.0160677.ref029]\\]. ", "Thus we further divided multiple births into those with or without ovulation stimulation based on maternal retrospective recall at 9-m postpartum interview.", "\n\nMeasures of outcomes {#sec015}\n--------------------\n\nOur key neurodevelopmental outcome measures included reading, math, gross and fine motor scores at 5 y assessed by certified fieldworkers (**[Table 2](#pone.0160677.t002){ref-type=\"table\"}**). ", "Neurodevelopmental status assessed around the age for kindergarten has been shown to be strongly related to later school success up to high school \\[[@pone.0160677.ref030]\\]. ", "Although longer-term follow-up was preferred, we decided not to use 6-y outcome data, as the 6-y ECLS-B sample was rather small (\\<20% of full sample) and highly selective \\[[@pone.0160677.ref022]\\].", "\n\n10.1371/journal.pone.0160677.t002\n\n###### Comparison of 5-y neurodevelopmental outcomes between children born SGA and AGA (N = 5300).", "\n\n![](", "pone.0160677.t002){#pone.0160677.t002g}\n\n Mean (SD) *P*-value in t-test Adjusted mean difference (95% CI), SGA-AGA[^a^](#t002fn004){ref-type=\"table-fn\"} \n ------------------------ --------------- --------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- ------------- --------------------------\n **Cognitive outcomes** \n Reading 40.25 (15.50) 38.19 (15.04) 40.76 (15.58) **\\<0.001** **-1.05 (-1.93, -0.16)**\n Math 41.21 (10.72) 39.49 (10.71) 41.64 (10.68) **\\<0.001** **-0.84 (-1.45, -0.22)**\n **Motor outcomes** \n Gross motor 4.70 (1.69) 4.50 (1.76) 4.76 (1.68) **\\<0.001** **-0.22 (-0.34, -0.10)**\n Fine motor 3.18 (1.48) 2.92 (1.59) 3.25 (1.45) **\\<0.001** **-0.22 (-0.32, -0.12)**\n\nSGA, small-for-gestational-age; AGA, appropriate-for-gestational-age; SD, standard deviation; CI, confidence interval.", "\n\nGross motor score range, 0--7; Fine motor score range, 0--5.", "\n\nSignificant results are bolded.", "\n\n^a^ Adjusted for family socioeconomic status; maternal age at pregnancy, race/ethnicity, educational level, marital status, method of delivery, and diabetes during pregnancy; and child's sex.", "\n\n### Reading and math {#sec016}\n\nThe assessment battery of reading and math in ECLS-B kindergarten wave was a combination of some items fielded as part of the ECLS-B preschool wave and some items used with kindergartners in another cohort, the Early Childhood Longitudinal Study, Kindergarten Class of 1998--99 (ECLS-K) battery. ", "Specifically, the 5-y reading assessment was based on the child's performance on certain language-based items (receptive language/ Peabody Picture Vocabulary Test items) and the literacy items (e.g., conventions of print, letter recognition, understanding of letter-sound relationships, phonological awareness, sight word recognition, understanding words in the context of simple sentences). ", "The 5-y math assessment included number sense, properties, operations, measurement, geometry and spatial sense, data analysis, statistics, probability, patterns, algebra, and functions. ", "For reading and math, overall scale scores based on the full set of assessment items were calculated using item response theory (IRT) procedures \\[[@pone.0160677.ref021]\\]. ", "IRT methods make it possible to calculate scores for a given domain that can be compared regardless of which version of the test battery a child received through adaptive testing. ", "The mean±SD of IRT scale scores for reading and math were 38.60±14.84, 40.40±10.56, respectively. ", "The mean±SE of IRT Theta ability estimates for reading and math were 0.33±0.34, 0.38±0.34, respectively. ", "No floor or ceiling effects were found and reliability coefficients of IRT-based score were 0.92 for both the reading and math assessments in the kindergarten 2006 wave of ECLS-B \\[[@pone.0160677.ref021],[@pone.0160677.ref022]\\]. ", "No specific external validation for reading and math items was conducted in ECLS-B kindergarten 2006 sample, as these items had already validated in ECLS-B preschool wave and also ECLS-K kindergarten wave. ", "For example, the ECLS-B preschool field test item pools were validated by concurrent administration of one of the six School Readiness subtests (i.e., colors, letters, numbers/counting, sizes, comparisons, and shapes) of the Bracken Basic Concept Scale-Revised \\[[@pone.0160677.ref031]\\]. ", "The correlation of the Bracken Letters subtest with early reading of ECLS-B preschoolers was 0.82, while the correlation of the Bracken Numbers subtest mathematics field test ability estimate of ECLS-B preschoolers was 0.75.", "\n\n### Gross and fine motor {#sec017}\n\nThe gross and fine motor skills were direct assessed using a battery mainly modified from the preschool and/or kindergarten versions of the Early Screening Inventory-Revised (ESI-R) \\[[@pone.0160677.ref021]\\], a reliable and valid instrument to evaluate a child's ability to perform developmentally appropriate tasks \\[[@pone.0160677.ref032],[@pone.0160677.ref033]\\]. ", "Gross motor skills were assessed by certified field workers using 7 physical tasks including balancing (left and right feet), hopping (left and right feet), skipping, walking backwards, and bean bag catching, which were standardized in the Child Assessment Booklet. ", "For the bean bag catching task, if the child caught the bag all the five times, we rated the task as \"pass\", otherwise as \"fail\". ", "For the other 6 tasks, fieldworkers rated each of them as either pass or fail. ", "We calculated the total number of passed physical tasks as the gross motor score (range, 0--7). ", "Fine motor skill tests included \"build a gate\" test with blocks and copying 4 forms (square, triangle, asterisk and circle-square) \\[[@pone.0160677.ref021]\\]. \"", "Build a gate\" task was scored by fieldworker, and the drawing tasks were scored by specially trained coders centrally at RTI International. ", "All items were scored as a \"pass\" (1 point) or \"fail\" (0 point) using standardized scoring rules from the ESI-R, kindergarten version. ", "We calculated the total number of passed items and used it as the fine motor score (range, 0--5). ", "The coding of fine motor items was rather reliable, as both inter-rater and standard-comparison agreements were above 85% \\[[@pone.0160677.ref021]\\].", "\n\nNote that child intelligence quotient (IQ) assessment was unavailable in ECLS-B due to the study priority on the learning-related skills (i.e., reading and math) that were more directly related to school readiness, intent to measure cognitive dimensions that were comparable across different assessment waves at different ages (2 y, 4 y, 5 y, and 6 y), as well as several important constraints including short assessment time (\\<45 minutes), less controlled home settings, and less professional field examiners with only basic knowledge of child development \\[[@pone.0160677.ref021]\\].", "\n\nMeasures of mediators {#sec018}\n---------------------\n\nWe considered 5- minute Apgar score as a perinatal mediator related to poor neurodevelopment of some SGA etiological subgroups. ", "Although 5- minute Apgar score is not designed to predict long term health and development, it can be a valuable indicator for some important fetal complications such as birth asphyxia and cerebral palsy \\[[@pone.0160677.ref016]\\].", "\n\nMeasures of confounders {#sec019}\n-----------------------\n\nThe confounders in this analysis included family socioeconomic status (SES); maternal age at pregnancy, race/ethnicity, education level, marital status, method of delivery, and diabetes during pregnancy; and the child's sex. ", "Family SES score was derived from 5 available components including parents' education, parents' occupation, and household income \\[[@pone.0160677.ref023]\\].", "\n\nStatistical analysis {#sec020}\n--------------------\n\nIn this study, we divided SGA children into etiological subgroup because it can better control for other prenatal risk factors than regular statistical methods such as multivariable regression modeling and thus offer clear separation of different etiologies of SGA. ", "Although the subgroup approach is subject to lower statistical power due to reduced sample size, it fits our study purposes well.", "\n\n### Aim 1---single factor {#sec021}\n\nWe fitted multivariable linear regression models to compare neurodevelopmental outcomes between the etiological SGA subgroup with a specific risk factor and the SGA subgroup without the corresponding risk factor (SGA internal reference), adjusting for confounders (**[Table 3](#pone.0160677.t003){ref-type=\"table\"}**). ", "All regression models were fitted with generalized estimating equations to control for the correlation between multiple siblings (twins or triplets), by specifying exchangeable covariance matrix among siblings.", "\n\n10.1371/journal.pone.0160677.t003\n\n###### Neurodevelopmental outcomes at 5 y of SGA etiological subgroups by single prenatal risk factor (N = 1050).", "\n\n![](", "pone.0160677.t003){#pone.0160677.t003g}\n\n      Adjusted mean difference in 5-y outcomes (95% CI)[^a^](#t003fn011){ref-type=\"table-fn\"} \n ---------------------------------------------- ------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ -------------------------- ----------------------- ---------------------\n **By maternal pre-pregnancy underweight** \n     SGA without underweight 950 (92.7) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with underweight 100 (7.3) -0.35 (-3.55, 2.84) 0.55 (-1.68, 2.79) -0.12 (-0.48, 0.24) 0.17 (-0.14, 0.48)\n **By maternal short stature** \n     SGA without short stature 700 (66.4) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with short stature 350 (33.6) 0.10 (-1.74, 1.94) 0.31 (-0.98, 1.59) **0.34 (0.11, 0.58)** 0.07 (-0.14, 0.27)\n **By maternal smoking during pregnancy** \n     SGA without smoking 750 (71.7) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with quitted smoking 100 (8.1) -0.44 (-3.78, 2.91) -0.85 (-3.24, 1.54) 0.15 (-0.30, 0.59) -0.04 (-0.45, 0.37)\n     SGA with moderate smoking 100 (9.6) -0.49 (-3.14, 2.16) 0.08 (-1.90, 2.06) 0.17 (-0.22, 0.55) 0.06 (-0.26, 0.38)\n     SGA with heavy smoking 100 (10.6) -1.47 (-4.65, 1.70) -1.64 (-3.89, 0.61) -0.21 (-0.63, 0.21) -0.07 (-0.40, 0.27)\n **By maternal alcohol use during pregnancy** \n     SGA without alcohol use 1000 (95.2) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with alcohol use 50 (4.8) -1.19 (-5.01, 2.64) 0.33 (-2.33, 2.99) 0.26 (-0.19, 0.71) 0.11 (-0.35, 0.58)\n **By maternal GWG** \n     SGA with normal GWG 600 (57.6) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with inadequate GWG 450 (42.4) **-2.26 (-3.98, -0.55)** **-1.54 (-2.74, -0.35)** -0.04 (-0.26, 0.18) -0.19 (-0.38, 0.00)\n **By maternal hypertensive conditions** \n     SGA without hypertensive conditions 950 (88.1) Reference Reference Reference Reference\n     SGA with hypertensive conditions 100 (11.9) 0.29 (-2.37, 2.96) 0.28 (-1.52, 2.08) -0.20 (-0.55, 0.15) -0.10 (-0.39, 0.20)\n **By multiple births** \n     Singleton SGA 650 (65.6) Reference Reference Reference Reference\n     Multiple-birth SGA 350 (34.4) **-4.08 (-6.10, -2.06)** **-2.22 (-3.61, -0.84)** 0.20 (-0.07, 0.47) -0.11 (-0.35, 0.13)\n         Without ovulation stimulation 250 (26.8) **-4.50 (-6.64, -2.36)** **-2.91 (-4.37, -1.44)** 0.21 (-0.07, 0.50) -0.12 (-0.37, 0.14)\n         With ovulation stimulation 100 (7.6) -2.33 (-6.24, 1.57) 0.63 (-1.86, 3.12) 0.13 (-0.37, 0.64) -0.09 (-0.47, 0.30)\n\nSGA, small-for-gestational-age; AGA, appropriate-for-gestational-age; GWG, gestational weight gain; CI, confidence interval.", "\n\nGross motor score range, 0--7; Fine motor score range, 0--5.", "\n\nSignificant results are bolded.", "\n\nDefinitions of prenatal risk factors:\n\nPre-pregnancy underweight: BMI\\<18.5kg/m^2^;\n\nMaternal short stature: height ≤157.5cm;\n\nSmoking: never smoking, quitted smoking (smoking before pregnancy, but not during pregnancy), moderate smoking (1--9 cigarettes/day during pregnancy) and heavy smoking (≥10 cigarettes/day during pregnancy)\n\nInadequate GWG: for singletons, total GWG less than 12.5 kg for underweight (pre-pregnancy BMI\\<18.5 kg/m2), 11.5 kg for normal weight (BMI, 18.5--24.9 kg/m2), 7 kg for overweight (BMI, 25--29.9 kg/m2), and 5 kg for obese women (BMI ≥30 kg/m2), respectively. ", "For multiple births, total GWG less than 17 kg for underweight and normal weight, 14 kg for overweight, and 11 kg for obese women, respectively.", "\n\nHypertensive conditions: chronic hypertension, gestational hypertension, preeclampsia, and eclampsia\n\nMultiple births: twins and triplets.", "\n\n^a^ Adjusted for family socioeconomic status; maternal age at pregnancy, race/ethnicity, educational level, marital status, method of delivery, and diabetes during pregnancy; and child's sex.", "\n\n### Aim 2- co-occurring factors {#sec022}\n\nRestricted by sample size, we only considered the co-occurrence of 3 relatively common risk factors (i.e., smoking during pregnancy, inadequate GWG, and multiple births) that were associated or marginally associated with neurodevelopmental outcomes in *Aim 1 --single factor* analysis (**[Table 4](#pone.0160677.t004){ref-type=\"table\"}**).", "\n\n10.1371/journal.pone.0160677.t004\n\n###### 5-y neurodevelopmental outcomes of SGA subgroups by co-occurrence of maternal smoking, inadequate GWG, and multiple births (N = 1050).", "\n\n![](", "pone.0160677.t004){#pone.0160677.t004g}\n\n   Smoking Inadequate GWG Multiple births N (%) Adjusted mean difference in 5-y outcome (95% CI)[^a^](#t004fn007){ref-type=\"table-fn\"} \n --------------- --------- ---------------- ----------------- ------------ ---------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------- --------------------- --------------------------\n None \\- \\- \\- 300 (29.5) reference reference reference reference\n Single factor \\+ \\- \\- 100 (9.1) 0.01 (-3.07, 3.09) 0.12 (-2.10, 2.34) 0.31 (-0.10, 0.73) 0.18 (-0.17, 0.52)\n \\- \\+ \\- 200 (21.2) -1.37 (-3.73, 0.99) -1.27 (-2.94, 0.39) 0.09 (-0.21, 0.38) -0.16 (-0.43, 0.10)\n \\- \\- \\+ 150 (16.0) **-3.78 (-6.69, -0.88)** **-2.15 (-4.08, -0.21)** 0.38 (0.03, 0.73) -0.02 (-0.34, 0.30)\n Two factors \\+ \\+ \\- \\<50 (5.7) **-4.81 (-8.50, -1.12)** **-2.95 (-5.51, -0.38)** -0.12 (-0.61, 0.36) -0.27 (-0.67, 0.13)\n \\+ \\- \\+ \\<50 (2.9) -5.12 (-11.39, 1.15) **-4.00 (-7.92, -0.07)** -0.13 (-0.93, 0.66) **-0.68 (-1.28, -0.08)**\n \\- \\+ \\+ 150 (12.9) **-6.32 (-9.25, -3.39)** **-3.27 (-5.31, -1.22)** 0.28 (-0.13, 0.68) -0.31 (-0.65, 0.03)\n Three factors \\+ \\+ \\+ \\<50 (2.6) -4.45 (-10.03, 1.12) -3.63 (-7.79, 0.54) -0.18 (-1.08, 0.73) 0.27 (-0.35, 0.90)\n\nGWG, gestational weight gain; CI, confidence interval.", "\n\nGross motor score range, 0--7; Fine motor score range, 0--5.", "\n\nSignificant results are bolded.", "\n\nDefinitions of prenatal risk factors:\n\nInadequate GWG: for singletons, total GWG less than 12.5 kg for underweight (pre-pregnancy BMI\\<18.5 kg/m2), 11.5 kg for normal weight (BMI, 18.5--24.9 kg/m2), 7 kg for overweight (BMI, 25--29.9 kg/m2), and 5 kg for obese women (BMI ≥30 kg/m2), respectively. ", "For multiple births, total GWG less than 17 kg for underweight and normal weight, 14 kg for overweight, and 11 kg for obese women, respectively.", "\n\nMultiple births: twins and triplets.", "\n\n^a^ Adjusted for family socioeconomic status; maternal age at pregnancy, race/ethnicity, educational level, marital status, method of delivery, and diabetes during pregnancy; and child's sex.", "\n\n### Aim 3 --Mediation {#sec023}\n\nBased on the causal step method for medication analysis \\[[@pone.0160677.ref034]\\], we fitted 4 models with the same neurodevelopment outcome variable: the basic model (model 1) included SGA subgroups by the 3 co-occurring factors mentioned above and potential confounders, models 2 included the variables in model 1 and 5-minute Apgar score (**[S1 Table](#pone.0160677.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}**).", "\n\n### Supplemental analyses {#sec024}\n\nWe also ran several supplemental analyses to assess the robustness of our findings or to gain deeper insights on some research questions. ", "First, in Aim 1, we compared neurodevelopmental outcomes between the etiological SGA subgroup with a specific risk factor to AGA without the corresponding risk factor (normal reference), which could help to assess the departure from normal neurodevelopment of healthy children (**[S2 Table](#pone.0160677.s002){ref-type=\"supplementary-material\"}**). ", "Second, we calculated Pearson correlations across reading, math, gross and fine motor scores at 5 y, which could help to assess their internal reliability (**[S3 Table](#pone.0160677.s003){ref-type=\"supplementary-material\"})**. ", "Third, in Aim 2, we used the 4-category measure of maternal smoking to compare the 5-y neurodevelopmental outcomes across singleton SGA subgroups by co-occurrence of maternal smoking and inadequate GWG, which could provide insight on potential dose-response relationship **([S4 Table](#pone.0160677.s004){ref-type=\"supplementary-material\"})**. ", "Fourth, in order to explore the potential reasons for the differences in neurodevelopmental outcomes between multiple-birth SGA subgroups with and without ovulation stimulation, we compared their socio-demographics and parenting characteristics (**[S5 Table](#pone.0160677.s005){ref-type=\"supplementary-material\"})**.", "\n\nResults {#sec025}\n=======\n\nSample characteristics {#sec026}\n----------------------\n\nCompared with those in the excluded sample, mothers in the analytic sample were more educated, had higher family SES score, were more likely to have multiple births, and were less likely to smoke during pregnancy and be underweight; children in the analytic sample were less likely to be born preterm (**[Table 1](#pone.0160677.t001){ref-type=\"table\"}**).", "\n\nNeurodevelopmental outcomes of SGA {#sec027}\n----------------------------------\n\nChildren born SGA had lower mean reading (confounders-adjusted mean difference, -1.05 \\[95% confidence interval or CI, -1.93, -0.16\\]), math (-0.84 \\[-1.45, -0.22\\]), gross (-0.22 \\[-0.34, -0.10\\]) and fine (-0.22 \\[-0.32, -0.12\\]) motor scores than children born AGA (**[Table 2](#pone.0160677.t002){ref-type=\"table\"}**).", "\n\nNeurodevelopmental outcomes of SGA etiological subgroups by single factor (Aim 1) {#sec028}\n---------------------------------------------------------------------------------\n\nCompared to the SGA subgroup with normal GWG, the SGA subgroup with inadequate GWG had lower mean reading (-2.26 \\[-3.98, -0.55\\]), math (-1.54 \\[-2.74, -0.35\\]) and fine motor (-0.19 \\[-0.38, 0.00\\]) scores (**[Table 3](#pone.0160677.t003){ref-type=\"table\"}**). ", "Compared with the singleton SGA subgroup, the multiple-birth SGA subgroup had lower mean reading (-4.08 \\[-6.10, -2.06\\]) and math (-2.22 \\[-3.61, -0.84\\]) scores; these cognitive disadvantages were observed only among those without ovulation stimulation (reading, -4.50 \\[-6.64, -2.36\\]; math, -2.91 \\[-4.37, -1.44\\]) but not among those with ovulation stimulation (reading, -2.33 \\[-6.24, 1.57\\]; math, 0.63 \\[-1.86, 3.12\\]).", "\n\nNeurodevelopmental outcomes of SGA etiological subgroups by co-occurring factors (Aim 2) {#sec029}\n----------------------------------------------------------------------------------------\n\nWe further stratified SGA by the co-occurrence of smoking during pregnancy, inadequate GWG, and multiple births, as they were associated or marginally associated with neurodevelopmental outcomes in single factor analysis shown above. ", "Compared with the reference SGA subgroup without smoking, inadequate GWG, or multiple births, the multiple-birth SGA subgroup without smoking and inadequate GWG had lower mean reading (-3.78 \\[-6.69, -0.88\\]) and math (-2.15 \\[-4.08, -0.21\\]) score at 5 y (**[Table 4](#pone.0160677.t004){ref-type=\"table\"}**). ", "The singleton SGA subgroup with both, but not single, of maternal smoking and inadequate GWG had lower mean reading (-4.81 \\[-8.50, -1.12\\]) and math (-2.95 \\[-5.51, -0.38\\]) scores. ", "The SGA subgroup with co-occurrence of maternal smoking and multiple births had lower mean math (-4.00 \\[-7.92, -0.07\\]) and fine motor (-0.68 \\[-1.28, -0.08\\]) scores. ", "The SGA subgroup with co-occurrence of maternal inadequate GWG and multiple births (12.9%) had lower mean reading (-6.32 \\[-9.25, -3.39\\]) and math (-3.27 \\[-5.31, -1.22\\]) scores.", "\n\nIn addition, among singleton SGA children, the co-occurrence of inadequate GWG and moderate smoking during pregnancy (vs. absence of these 2 risk factors) was associated with lower mean reading score (-4.55 \\[-8.06, -1.03\\]), while the co-occurrence of inadequate GWG and heavy smoking during pregnancy was associated with lower mean math score (-3.47 \\[-6.71, -0.22\\]) (**[S4 Table](#pone.0160677.s004){ref-type=\"supplementary-material\"}**).", "\n\nMediation analysis (Aim 3) {#sec030}\n--------------------------\n\nThere was no significant difference in Apgar score across SGA subgroups by co-occurrence of maternal smoking, inadequate GWG, and multiple births (**[S1 Table](#pone.0160677.s001){ref-type=\"supplementary-material\"}**). ", "Therefore, Apgar score did not mediate the associations between SGA etiological subgroups and neurodevelopmental outcomes.", "\n\nDiscussion {#sec031}\n==========\n\nWithin a large US prospective birth cohort, we used the etiological subgroup approach to examine the differences in neurodevelopmental outcomes at 5 y across subgroups of SGA based on each and co-occurrence of several important prenatal risk factors. ", "We also examined the extent to which Apgar score could mediate the associations between SGA etiological subgroups and neurodevelopmental outcomes. ", "Our results suggested that 1) the SGA subgroup with co-occurrence of maternal smoking and inadequate GWG was particularly disadvantaged in reading and math skills at 5 y; 2) the multiple-birth SGA subgroup without ovulation stimulation was at an increased risk of developmental delay in reading at 5 y; 3) these cognitive disadvantages could not be explained by low Apgar score at birth. ", "Our novel findings supported the importance of considering prenatal factors in the understanding of heterogeneity in neurodevelopmental outcomes among SGA children. ", "It is necessary to screen SGA children based on their potential etiology and identify SGA subgroups at the greatest neurodevelopmental risk for referrals to early intervention.", "\n\nConsistent with the literature \\[[@pone.0160677.ref006]\\], we observed that on average children born SGA had worse cognitive and motor outcomes at 5 y than children born AGA, even after adjusting for a series of socio-demographic and pregnancy confounders. ", "SGA is associated with comprised brain development and differentiation due to reduced oxygen and/or nutrient delivery \\[[@pone.0160677.ref007]\\].", "\n\nOne of our most important findings was that the singleton SGA subgroup with co-occurrence of maternal smoking during pregnancy and inadequate GWG had worse reading and math outcomes up to 5 y. This cognitive disadvantage seemed not be explained by low Apgar score. ", "Prenatal exposure to tobacco metabolites may alter and damage fetal brain development reflected by small head circumference, lower cortical grey matter and total parenchymal volumes in the offspring \\[[@pone.0160677.ref035]\\], and thus increase risk of cognition delay, poor language skills, and behavioral problems in later life \\[[@pone.0160677.ref028]\\]. ", "GWG is a proxy for maternal nutritional status or energy balance during pregnancy and placental function \\[[@pone.0160677.ref010]\\]. ", "Malnutrition during pregnancy has been linked to fetal brain dysfunctions with widely distributed brain pathology \\[[@pone.0160677.ref036]\\]. ", "Smoking pregnant women are at risk of inadequate GWG, possibly due to dietary restrictions related to the anorexic effects of tobacco \\[[@pone.0160677.ref037]\\]. ", "The effects of co-occurrence of maternal smoking and inadequate GWG on the developing brain remain largely understudied. ", "Based on the existing evidence on their separate effects, we propose several possible explanations for our novel finding: 1) the co-occurrence of maternal smoking and inadequate GWG acts as \"double hits\" to the fetal brain and causes more severe impairments than each factor separately. ", "For example, for a pregnant women with inadequate GWG due to low caloric intake, smoking may further interfere with the efficiency of calorie utilization \\[[@pone.0160677.ref038],[@pone.0160677.ref039]\\]; 2) fetal malnutrition due to maternal inadequate GWG may increase vulnerability of fetal brain to smoking-related hypoxia-ischemia and toxic tobacco products such as nicotine and carbon monoxide, and then lead to worse cognitive development; 3) although we adjusted for maternal education and other socio-demographics in this analysis, there must be some residual confounding by genetics \\[[@pone.0160677.ref040]\\], poor parenting and disadvantaged family environmental factors that put the child at high risk of cognitive delay.", "\n\nOur second novel finding was that the multiple-birth SGA subgroup without ovulation stimulation was at an increased risk of developmental delay in reading. ", "This finding is consistent with the literature on neurodevelopmental disadvantages related to multiple births \\[[@pone.0160677.ref041]\\]. ", "It is hypothesized that multiple births are often restricted by crowded space and nutrition supply, and more likely to experience some severe fetal complications such as asphyxia and cerebral palsy; thus, have high risk of brain damage \\[[@pone.0160677.ref042]\\]. ", "However, in our mediation analysis, the mean difference in reading score between singleton and multiple-birth SGA subgroups seemed not be explained by Apgar score. ", "Alternatively, the disadvantaged postnatal environments such as twins' competition for parental time and attention may help to explain this \\[[@pone.0160677.ref043]\\]. ", "Interestingly, we did not observe adverse neurodevelopmental outcomes in the multiple-birth SGA subgroup with ovulation stimulation. ", "As expected, our supplemental analysis showed that mothers of multiple-birth SGA subgroup with ovulation stimulation had more positive parenting at 2 and 4 y than those of multiple-birth SGA subgroup without ovulation stimulation (**[S5 Table](#pone.0160677.s005){ref-type=\"supplementary-material\"}**). ", "Positive parenting may well offset the potential disadvantages related to multiple births. ", "Finally, we could not rule out the possibility that mother of multiple-birth SGA subgroup with ovulation stimulation might have involved genetic screening or selection of healthier embryos, which could be associated with the better neurodevelopmental outcomes.", "\n\nWe noticed that SGA children with co-occurrence of maternal smoking, inadequate GWG, and multiple births did not have statistically significantly worse neurodevelopmental outcomes than those without any of these 3 risk factors. ", "This finding was different from our hypothesis (this subgroup being the worst). ", "Particular caution is needed to interpret this finding, given the very small sample size of this SGA subgroup (2.6% within SGA). ", "It might be related to survival bias of live babies, i.e., SGA newborns who survive in harsh intrauterine environment tend to be healthier than other babies who otherwise die before birth such as miscarriage.", "\n\nWe found SGA children as a whole group had poorer gross and fine motor development than AGA children, which was consistent with findings of some previous studies \\[[@pone.0160677.ref044]\\] but not with others \\[[@pone.0160677.ref045]\\]. ", "However, we did not observe any substantial difference in motor development across SGA etiological subgroups. ", "This null finding suggests that SGA per se predicts poor motor development in childhood, which does not depend on the potential cause(s) of SGA.", "\n\nLimitations {#sec032}\n-----------\n\nFirst, the attrition rate at 5-y visit was considerably high (\\~33%) in the ECLS-B sample. ", "Our analytic sample was somewhat different from the excluded sample especially in maternal education, which could introduce selection bias. ", "Second, the low prevalence of alcohol use limited statistical power to compare neurodevelopment across SGA subgroups by these factors. ", "Also, we could not examine SGA subgroup due to some genetic factors such as maternal low birth weight as this information was unavailable in ECLS-B. Third, the relatively low reliability and validity of some non-medical measures on birth certificates needed to be taken in account when interpreting our findings \\[[@pone.0160677.ref046]\\]. ", "For example, self-reported maternal smoking and alcohol use during pregnancy on birth certificates were subject to recall bias especially under-report since they are social undesirable behaviors \\[[@pone.0160677.ref047]\\]. ", "Some pregnant women might not recall their pre-pregnancy weight accurately \\[[@pone.0160677.ref048]\\]. ", "Fourth, we were unable to control for parental neurodevelopmental status such as IQ. ", "But maternal education could, at least partially, reflect the level of maternal IQ. ", "We could not explore other SGA-related perinatal complications as potential mediators due to insufficient power (e.g., meconium aspiration) or unavailable information (e.g., hypoglycemia and polycythemia).", "\n\nConclusion {#sec033}\n==========\n\nIn summary, we found that multiple-birth SGA subgroup or singleton SGA subgroup with co-occurrence of smoking and inadequate GWG were particularly disadvantaged in cognitive development up to 5 y. From a clinical perspective, the effect size of these disadvantages appeared moderate (Cohen's d\\<0.4) at individual level, however, a downward shift in mean neurodevelopmental level might result in many children with neurodevelopmental disabilities at population level \\[[@pone.0160677.ref049]\\]. ", "If our novel findings can be replicated in other cohorts, further intervention research should assess if quitting smoking or avoiding inadequate GWG among smoking pregnant women could improve offspring's neurodevelopmental outcomes. ", "Also, we are concerned about the recent rapid increase in the prevalence of multiple births, as it seems to convey some cognitive disadvantages in the offspring.", "\n\nSupporting Information {#sec034}\n======================\n\n###### Differences in Apgar score across SGA subgroups by co-occurrence of maternal smoking, inadequate GWG, and multiple births (N = 1050).", "\n\n(DOCX)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\n###### Neurodevelopmental outcomes at 5 y of SGA vs AGA subgroups by single prenatal risk factor (N = 5300).", "\n\n(DOC)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\n###### Pearson correlations between neurodevelopmental outcomes at 5 y (N = 5300).", "\n\n(DOC)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\n###### 5-y neurodevelopmental outcomes of singleton SGA subgroups by co-occurrence of maternal smoking and inadequate GWG (N = 700).", "\n\n(DOCX)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\n###### Comparisons of socio-demographics and parenting characteristics between singleton, multiple-birth SGA subgroups with and without ovulation stimulation (N = 1050).", "\n\n(DOCX)\n\n###### \n\nClick here for additional data file.", "\n\nThe authors appreciate the staff in the Institute of Education Sciences (IES) of the United States Department of Education for providing access to restricted-use data of ECLS-B cohort (License No. ", "12080032) and reviewing the manuscript. ", "Special thanks are also given to the parents, children, and schools for their participation in ECLS-B cohort.", "\n\nAGA\n\n: appropriate-for-gestational-age\n\nBMI\n\n: body mass index\n\nCI\n\n: confidence interval\n\nGWG\n\n: gestational weight gain\n\nSGA\n\n: small-for-gestational-age\n\nECLS-B\n\n: Early Childhood Longitudinal Study-Birth Cohort\n\nLMP\n\n: last menstrual period\n\n[^1]: **Competing Interests:**The authors have declared that no competing interests exist.", "\n\n[^2]: **Conceptualization:** XL, RDE, LHE, EDS, CX, XW.**Data curation:** XL, XW.**Formal analysis:** XL, XW.**Funding acquisition:** XW, XL.**Investigation:** XL, XW.**Methodology:** XL, RDE, LHE, EDS, CX, XW.**Project administration:** XW.**Resources:** XW.**Software:** XW.**Supervision:** XW.**Visualization:** XL.**Writing - original draft:** XL, XW.**Writing - review & editing:** XL, RDE, LHE, EDS, CX, XW.", "\n" ]

{ "pile_set_name": "PubMed Central" }

[ 0.019230769230769232, 0, 0.012987012987012988, 0, 0.03867403314917127, 0.009302325581395349, 0, 0.007905138339920948, 0.007462686567164179, 0.012195121951219513, 0, 0, 0.0064516129032258064, 0.007575757575757576, 0.011090573012939002, 0, 0, 0.0070921985815602835, 0.007142857142857143, 0.0035714285714285713, 0.005376344086021506, 0, 0.0033783783783783786, 0, 0.006269592476489028, 0, 0.005788712011577424, 0.006880733944954129, 0.003389830508474576, 0, 0.007246376811594203, 0.013513513513513514, 0, 0.005263157894736842, 0, 0.0005978000956480153, 0, 0, 0, 0.006097560975609756, 0, 0.01171875, 0.012903225806451613, 0.011494252873563218, 0.006369426751592357, 0.005649717514124294, 0.029850746268656716, 0.015384615384615385, 0, 0.01098901098901099, 0.012345679012345678, 0, 0.005128205128205128, 0, 0, 0.004524886877828055, 0.01444043321299639, 0.005050505050505051, 0, 0, 0.007142857142857143, 0, 0, 0.005714285714285714, 0.005025125628140704, 0.007407407407407408, 0, 0.004413619167717529, 0, 0, 0, 0.006060606060606061, 0.002551020408163265, 0, 0.011560693641618497, 0.005555555555555556, 0.02040816326530612, 0, 0.013043478260869565, 0.0048543689320388345, 0.006920415224913495, 0, 0.012315270935960592, 0.0037593984962406013, 0, 0, 0, 0.00625, 0.007142857142857143, 0.007407407407407408, 0, 0.006711409395973154, 0.0017035775127768314, 0.005405405405405406, 0.004329004329004329, 0, 0.00641025641025641, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005152069137443909, 0, 0, 0.008403361344537815, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004137360364087712, 0, 0, 0.013333333333333334, 0, 0, 0, 0.004454342984409799, 0, 0.002857142857142857, 0, 0, 0, 0.0022675736961451248, 0.009876543209876543, 0.0022727272727272726, 0.00702576112412178, 0, 0.00964630225080386, 0.00546448087431694, 0.011834319526627219, 0.005555555555555556, 0, 0.0034965034965034965, 0.00819672131147541, 0.0034965034965034965, 0.006802721088435374, 0.005154639175257732, 0, 0, 0.007722007722007722, 0.006896551724137931, 0.003745318352059925, 0.008379888268156424, 0.015037593984962405, 0.007042253521126761, 0.006172839506172839, 0, 0, 0.004087193460490463, 0, 0.007246376811594203, 0.003787878787878788, 0.006097560975609756, 0.005952380952380952, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004807692307692308, 0.012552301255230125, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0058823529411764705, 0.004484304932735426, 0.009708737864077669, 0, 0, 0, 0.0037735849056603774, 0, 0, 0, 0, 0.00909090909090909, 0.018518518518518517, 0, 0.018518518518518517, 0, 0, 0, 0, 0.01507537688442211, 0, 0, 0.002840909090909091, 0.04819277108433735, 0 ]

[ "Tight racing is nothing new when it comes to the NASCAR Whelen Modified Tour at New Hampshire Motor Speedway. ", "And Saturday's F.W. Webb 100 certainly fit the bill, as Todd Szegedy used a pass in Turn 3 on the final lap to steal the win from Donny Lia and take the checkered flag for his first win of the season.", "\n\nSzegedy used an aggressive dive to the inside to move past Lia, a two-time NHMS winner, who had led the race over the final eight laps before Szegedy's gamble.", "\n\n\"That last lap, Donnie threw a pretty good block on me. ", "I sent it in and drove it as hard as I could. ", "I tried not to hit him, but I knew we were gonna hit,\" said Szegedy. \"", "People know that isn't the way I race, but I really wanted the win. ", "I don't like knocking guys out of the way to get the win; I have had at happen to me, but this is modified racing and that is what you gotta do.\"", "\n\nThe victory was the third of his career at the Magic Mile for the native of Ridgefield, Conn. Szegedy started the race in fourth, behind pole-sitter Ryan Newman and Lia, who fell to third. ", "Bobby Santos and Patrick Emerling round out the top-five.", "\n\nThe win ended a 28-race winless drought for Szegedy, whose last win came on Sept. 17, 2011 at Lime Rock Park.", "\n\n\"It's been a long time, so this feels good,\" said Szegedy.", "\n\nNewman, who is on the pole for Sunday's SYLVANIA 300 NASCAR Sprint Cup Series race, stayed up front all afternoon, through the 50-lap mandatory break and right up until the final lap, but couldn't find a way to stick his nose into the fight.", "\n\n\"I had a bird's eye view of Todd and Donny going for it in Turn 3,\" said Newman, a four-time mod winner at the Magic Mile. \"", "I wish they had done that in Turn 1, that would have given me a better chance.\"", "\n\nLia was less than pleased with Szegedy's aggressive approach, but was able to take solace in his sixth-career podium finish at NHMS.", "\n\n\"Thought we would drag race to the finish, but he drove up there and he knocked me into the marbles and I was a sitting duck,\" said Lia. \"", "It was still a good day, I'm proud of that.\"", "\n\nPoints leader Ryan Preece finished 12th, only the third time all season he placed outside the top 10.", "\n\nFor more details and ticket information on events at New Hampshire Motor Speedway, or to purchase tickets to the SYLVANIA 300 NASCAR Sprint Cup Series race on Sunday, please stop by our Ticket Office, visit the speedway website at www.nhms.com, or call our Ticket Hotline at (603) 783-4931." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.00909090909090909, 0.01, 0.012422360248447204, 0.017241379310344827, 0, 0.014285714285714285, 0, 0, 0.020942408376963352, 0.03508771929824561, 0.009009009009009009, 0.016666666666666666, 0.00411522633744856, 0.015873015873015872, 0, 0.022388059701492536, 0.007142857142857143, 0, 0.009708737864077669, 0.0136986301369863 ]

[ "Static Application Security Testing (SAST) is an analysis technique for analyzing program code to detect potential problems within the source code. ", "That is, SAST performs such analysis without actually executing (running) the source code. ", "Potential problems with the code can include, for example, potentially insecure dataflows that can endanger either the security of safety of the program. ", "However, static analysis tools (e.g., SAST tools) often over approximate the number of potential insecurities in a program, thus, resulting in many reported findings that are neither security nor safety relevant (e.g., false positives). ", "In general, this leads to the need for complex and dynamic security policies as well as a significant increase in the costs for manual system audits." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "The conversion of oxygenates to olefins (OTO) is currently the subject of intense research because it has the potential for replacing the long-standing steam cracking technology that is today the industry-standard for producing world scale quantities of ethylene and propylene. ", "The very large volumes involved suggest that substantial economic incentives exist for alternate technologies that can deliver high throughputs of light olefins in a cost efficient manner. ", "Whereas steam cracking relies on non-selective thermal reactions of naphtha range hydrocarbons at very high temperatures, OTO exploits catalytic and micro-architectural properties of acidic molecular sieves under milder temperature conditions to produce high yields of ethylene and propylene from methanol.", "\nCurrent understanding of the OTO reactions suggests a complex sequence in which three major steps can be identified: (1) an induction period leading to the formation of an active carbon pool (alkyl-aromatics), (2) alkylation-dealkylation reactions of these active intermediates leading to products, and (3) a gradual build-up of condensed ring aromatics. ", "OTO is therefore an inherently transient chemical transformation in which the catalyst is in a continuous state of change. ", "The ability of the catalyst to maintain high olefin yields for prolonged periods of time relies on a delicate balance between the relative rates at which the above processes take place. ", "The formation of coke-like molecules is of singular importance because their accumulation interferes with the desired reaction sequence in a number of ways. ", "In particular, coke renders the carbon pool inactive, lowers the rates of diffusion of reactants and products, increases the potential for undesired secondary reactions and limits catalyst life.", "\nOver the last two decades, many catalytic materials have been identified as being useful for carrying out the OTO reactions. ", "Crystalline molecular sieves are the preferred catalysts today because they simultaneously address the acidity and morphological requirements for the reactions. ", "Some of the most useful molecular sieves for oxygenate converting reactions are the aluminophosphates and metalloaluminophosphates, such as the silicoaluminophosphates (SAPO's). ", "There are a wide variety of SAPO molecular sieves known in the art, of these the more important examples include SAPO-5, SAPO-11, SAPO-18, SAPO-34, SAPO-35, SAPO-41, and SAPO-56. ", "For the OTO process, SAPO molecular sieves having the CHA framework and especially SAPO-34 are particularly important catalysts.", "\nThe CHA framework type has a double six-ring structure in an ABC stacking arrangement. ", "The pore openings of the structure are defined by eight member rings that have a diameter of about 4.0 Å, and cylindrical cages within the structure of approximately 10×6.7 Å (“Atlas of Zeolite Framework Types”, 2001, 5 th Edition, p. 96). ", "Other SAPO molecular sieves of the CHA framework type include SAPO-44, SAPO-47 and ZYT-6.", "\nThe synthesis of SAPO molecular sieves is a complicated process. ", "There are a number of variables that need to be controlled in order to optimize the synthesis in terms of purity, yield and quality of the SAPO molecular sieve produced. ", "A particularly important variable is the choice of synthesis template, which usually determines which SAPO framework type is obtained from the synthesis. ", "U.S. Pat. ", "No. ", "4,310,440 teaches that “not all templating agents suitably employed in the preparation of certain species . . . ", "are suitable for the preparation of all members of the generic class.” ", "It is also well known that the same template may induce the formation of different framework types.", "\nIn U.S. Pat. ", "No. ", "4,440,871, the synthesis of a wide variety of SAPO materials of various framework types are described with a number of specific examples. ", "Also disclosed are a large number of possible organic templates, with some specific examples. ", "In the specific examples a number of CHA framework type materials are described. ", "The preparation of SAPO-34 is reported, using tetraethylammonium hydroxide (TEAOH), or isopropylamine, or mixtures of TEAOH and dipropylamine (DPA) as templates. ", "Also disclosed in this patent is a specific example that utilizes cyclohexylamine in the preparation of SAPO44. ", "Although other template materials are described in this patent there are no other templates indicated as being suitable for preparing SAPO's of the CHA framework type. ", "Certain aminoalcohols are mentioned, including triethanolamine, N-methyldiethanolamine, N-methylethanolamine, N,N-dimethylethanolamine and N,N-diethylethanolamine, as possible templates for SAPO molecular sieves. ", "Of these materials, N,N-diethylethanolamine is shown to produce SAPO-5, which is of the AFI framework type. ", "For the other aminoalcohols no indication is provided as to which SAPO or which framework type may be obtained through their use.", "\nSince the synthesis of SAPO-34 was reported in U.S. Pat. ", "No. ", "4,440,871, tetraethylammonium hydroxide (TEAOH) either alone, or in combination with dipropylamine (DPA), has been the preferred template for preparing SAPO-34. ", "In fact, TEAOH is currently the only quaternary ammonium template known for use in the synthesis of SAPO-34 and other CHA framework type silicoaluminophosphates. ", "However, there are problems associated with the use of TEAOH and DPA. ", "When used alone, TEAOH affords a limited range of synthesis parameters. ", "For example, under certain conditions TEAOH will also template the synthesis of SAPO-18 which has the AEI framework type. ", "TEAOH is thus relatively intolerant to synthesis condition variations. ", "TEAOH is sometimes combined with DPA. ", "However, DPA has a low boiling point (110° C.) resulting in the need for production facilities that can handle high pressures. ", "In certain countries, the use of DPA requires special regulatory authorizations due to its toxicity. ", "Also, DPA is an aggressive template and is often implicated in re-dissolution of the silicoaluminophosphate molecular sieve during its synthesis, resulting in poor quality crystalline product due to surface pitting of the crystals. ", "Finally, it has proved difficult up to now to make pure phase CHA silicoaluminophosphate molecular sieves with a low silica to alumina ratio.", "\nIn U.S. Pat. ", "No. ", "4,440,871, it was reported that SAPO44 was obtained “as the major phase” using cyclohexylamine as a template. ", "In U.S. Pat. ", "No. ", "6,162,415, relatively pure CHA SAPO-44 was obtained using the same template but with control of the ratio of template to aluminum source and the ratio of phosphorus source to aluminum source. ", "In EP 0 993 867, it was reported that the use of methylbutylamine resulted in SAPO-47 and the use of cyclohexylamine resulted in impure SAPO-44. ", "Methylbutylamine has an even lower boiling point, at 91° C., than DPA.", "\nIn the art various attempts have been made to improve the synthesis of AlPO4 and SAPO molecular sieves. ", "One particular desideratum has been lowering the silicon content of the molecular sieve without introducing impurity phases, since it is known that low silicon content has the effect of reducing propane formation and decreasing catalyst deactivation See, for example, Wilson et al., ", "Microporous and Mesoporous Materials, 29, 117-126, 1999. ", "One approach to lowering silicon content has been the addition of a source of fluoride ions to the synthesis mixture.", "\nThus in U.S. Pat. ", "No. ", "5,096,684, morpholine and tetraethylammonium hydroxide were found to template the production of SAPO-34 when in the presence of HF. ", "According to this reference, the use of HF in combination with the organic template results in silicoaluminophosphates which have improved thermal and hydrolytic stability. ", "In a Ph.D. thesis (E. H. Halvorsen, University of Oslo, 1996), it was reported that low silica SAPO-34, designated as UiO-S4, was produced using TEAOH template in combination with HF.", "\nHowever, fluoride based syntheses have the inherent disadvantages that the use of HF presents health and safety problems and requires special processing facilities. ", "There is, therefore, a need for alternative processes for producing pure phase, low silicon, CHA type silicoaluminophosphate molecular sieves and especially for processes which can operate in the absence of fluoride.", "\nU.S. Published Patent Application No. ", "2003/0232006, published Dec. 18, 2003, discloses a method of synthesizing pure phase CHA framework type silicoaluminophosphate molecular sieves having relatively low silicon content using synthesis templates that contain at least one dimethylamino moiety, selected from one or more of N,N-dimethylethanolamine, N,N-dimethylpropanolamine, N,N-dimethylbutanolamine, N,N-dimethylheptanolamine, N,N-dimethylhexanolamine, N,N-dimethylethylenediamine, N,N-dimethylbutylenediamine, N,N-dimethylheptylenediamine, N,N-dimethylhexylenediamine 1-dimethylamino-2-propanol, N,N-dimethylethylamine, N,N-dimethylpropylamine, N,N-dimethylpentylamine, N,N-dimethylhexylamine and N,N-dimethylheptylamine. ", "The synthesis is conducted in the absence of fluoride.", "\nU.S. Published Patent Application No. ", "2004/0253163, published Dec. 16, 2004, discloses the synthesis of silicoaluminophosphate molecular sieves having the CHA framework type employing a template having the formula:R1R2N—R3 wherein R1 and R2 are independently selected from the group consisting of alkyl groups having from 1 to 3 carbon atoms and hydroxyalkyl groups having from 1 to 3 carbon atoms and R3 is selected from the group consisting of 4- to 8-membered cycloalkyl groups, optionally substituted by 1 to 3 alkyl groups having from 1 to 3 carbon atoms; and 4- to 8-membered heterocyclic groups having from 1 to 3 heteroatoms, said heterocyclic groups being optionally substituted by 1 to 3 alkyl groups having from 1 to 3 carbon atoms and the heteroatoms in said heterocyclic groups being selected from the group consisting of O, N, and S. Preferably, the template is selected from N,N-dimethyl-cyclohexylamine, N,N-dimethyl-methyl-cyclohexylamine, N,N-dimethyl-cyclopentylamine, N,N-dimethyl-methyl-cyclopentylamine, N,N-dimethyl-cycloheptylamine, N,N-dimethyl-methylcycloheptylamine, and most preferably is N ,N-dimethyl-cyclohexylamine. ", "The synthesis can be effected with or without the presence of fluoride ions and can produce CHA framework type silicoaluminophosphates with a low Si/Al ratio." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0.0032679738562091504, 0, 0, 0, 0, 0.005154639175257732, 0, 0, 0.0056179775280898875, 0.0111731843575419, 0.015625, 0.022727272727272728, 0, 0.011235955056179775, 0, 0, 0.006493506493506494, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.012345679012345678, 0.018518518518518517, 0.008928571428571428, 0.011904761904761904, 0.009389671361502348, 0.018518518518518517, 0.007751937984496124, 0, 0, 0.012422360248447204, 0.012345679012345678, 0.02857142857142857, 0.013888888888888888, 0.01639344262295082, 0.014084507042253521, 0.05263157894736842, 0.007874015748031496, 0.009900990099009901, 0.004310344827586207, 0.0070921985815602835, 0, 0, 0.00909090909090909, 0, 0, 0.005208333333333333, 0, 0.014285714285714285, 0.009523809523809525, 0.0035335689045936395, 0.017543859649122806, 0, 0, 0, 0, 0, 0.03278688524590164, 0, 0.004629629629629629, 0, 0.010189228529839884, 0, 0, 0.005405405405405406, 0.006329113924050633 ]

[ "All posts tagged ‘secret of the wings’\n\nLet’s just kick this off by saying: Diana Prince and Leia Organa aside, I am not too keen on the prospect of bringing the whole princess thing into my house. ", "But I am down with the Disney Fairies. ", "Why? ", "Because they’re all friends, they have specific jobs that they’re good at, and they have to work together to make the seasons, or the world tumbles into chaos. ", "To me, they’re similar to the X-Men, in that each one of them has a very specific power, or “talent,” that they use in very particular ways. ", "Plus, Tinker Bell is spunky, curious, makes mistakes, and learns from them.", "\n\nVivi is three now, and so we were new to the first three Tinker Bell movies. ", "Which is like being new to reading Game of Thrones. ", "You just plow through them, and don’t have the agonizing wait of several years in between installments. ", "Ah! ", "The benefits of being a late adopter! ", "But then you catch up, and suddenly you’re forced into an agonizing wait for the next one to come out.", "\n\nThe DVD came out this week. ", "October 23rd, if you’re looking at my white board, or any of my other calendars that I marked, YES MARKED. ", "But as denizens of Los Angeles, we are lucky to have the El Capitan – the Disney movie theater, which does spectacular events surrounding Disney films, and makes going to the movies an incredible experience. ", "To wit: They ran Secret of the Wingsfor two weeks in early September, and before each showing of the film, Tinker Bell and Periwinkle (the new fairy) came out on stage and danced a little number – and then they MADE IT SNOW IN THE THEATRE. (", "Pro Tip: Cover your popcorn.)", "\n\nKris Bordessa is loving the fact that her son is enmeshed in costume making. ", "His Halloween appearance as Bane is progressing nicely, with the mask complete and the vest in the works. (", "He has, however, not begun lifting weights.) ", "The fact that her son needs merely occasional guidance from her instead of full-on design frees Kris up to do things like make kim chee and chase the chickens out of her garden.", "\n\nThis weekend Dakster Sullivan will be attending a future trooper party (aka, baby shower) for one of her friends. ", "He’s super excited to become a dad and she couldn’t be happier for him and his wife. ", "The only question left is, what should the little one’s first costume be?", "\n\nChaos Mandy is looking forward to starting her celebration of Halloween early. ", "She will be going treat or tricking with her daughter and their church on Sunday. ", "Both she and her daughter will be dressed as the fairest princess of them all, Snow White.", "\n\nLaura talked about fracking on Huff Po Live, along with a Shell Oil exec and a climate change denier. ", "She admitted in print that she tends to host strangely amusing parties. ", "And now she’s planning another game of Logic Shrink event before the election, because a living room packed with happily yelling players stirs her reasonable soul. ", "Just another eccentric week.", "\n\nKelly Knox is happy to be in her home state of Texas this week. ", "She’ll be venturing to the Austin Comic Con this weekend, where she plans to get a glimpse of Patrick Stewart and the rest of the cast of Star Trek: The Next Generation up close and personal. ", "This may result in fainting due to sheer awesomeness, but Kelly hopes to stay conscious.", "\n\nJudy Berna spent the week celebrating her youngest child’s 12th birthday, trying not to let it make her feel old. ", "Since her house is also occupied by three other children between the ages of 16 and 20, she’s having trouble letting the littlest guy grow up. ", "The distraction of a great GeekDad review of her new book helped a lot. ", "She’s also very excited about the post she did announcing a revolutionary new design in prosthetic legs, created by her very own prosthetist.", "\n\nRebecca Angel is recovering from last weekend with four concerts (various kids performing in). ", "And now getting ready for the next two weekends of Halloween parties and events. ", "Remember to join in the Munchkin Halloween fun!", "\n\nKristen Rutherford is spending quite a bit of time in the Winter Woods this week with her daughter, what with Secret of the Wings finally out on Blu-ray. ", "She just wants to let everyone know that if you wear toddler size wings for too long, you can lose some feeling in your upper arms. ", "But she is committed to playing Periwinkle to her daughter’s Tinker Bell when they dance around the kitchen. ", "Look for her review of the film this week!" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.010101010101010102, 0.02564102564102564, 0, 0, 0, 0.013333333333333334, 0.012658227848101266, 0.019230769230769232, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.009615384615384616, 0.004149377593360996, 0, 0.012658227848101266, 0.009345794392523364, 0, 0.011299435028248588, 0.008620689655172414, 0, 0, 0, 0, 0.011111111111111112, 0.028846153846153848, 0, 0.006097560975609756, 0, 0.015151515151515152, 0.005208333333333333, 0.011363636363636364, 0.008620689655172414, 0, 0, 0, 0.010309278350515464, 0, 0, 0.01282051282051282, 0, 0.009174311926605505, 0 ]

[ "CNN's John Avlon looks at how frequently President Trump spoke about the migrant caravan before midterms in contrast with his recent silence on the subject." ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.019230769230769232 ]

[ "The loudspeakers in every journalist’s hotel room burst into life with a “ding-dong” presaging the announcement of a news conference, or perhaps a bus trip to the scene of an airstrike or a school where children erupt with chants of support for Libyan leader Moammar Gaddafi.", "\n\nThe summons come with little notice, so many reporters spend their time drinking coffee in the hotel’s cavernous, marbled lobby to avoid missing an event. ", "Every now and then the unmistakable voice of Gaddafi unnervingly pierces the air, yelling that the rebels fighting in the east are rats and that he will hunt them down.", "\n\nBut it’s only the cellphone of a government minder — the rambling, ranting speech delivered by Gaddafi at the beginning of the uprising has become a popular ringtone among his supporters here.", "\n\nAnd so the days pass in the Big Brother world of the Rixos Hotel in Tripoli, where foreign journalists are obliged by the government to stay in conditions that can best be described as luxury imprisonment. ", "There are whirlpool bathtubs in every room, a sumptuous spa and guards armed with Kalashnikovs posted at the gate.", "\n\nTheir job, it is clear, is to keep journalists in, not intruders out.", "\n\nIn the initial stages of the conflict, when 130 members of the foreign press corps were first “invited” by the Gaddafi regime to Tripoli in a rare moment of openness, there was at least a degree of pretense that reporters were free to do their jobs.", "\n\nAlthough those who strayed into sensitive areas or toward a battle zone would likely be detained, often for hours, trips into central Tripoli were tolerated. ", "From there it was possible to slip into other neighborhoods, meet ordinary Libyans and take the pulse of the city.", "\n\nBut since an unexplained gun battle near the hotel in the early hours of Friday, all unaccompanied forays out have been banned. ", "Even trips to the grocery store across the street, for chocolate bars or shampoo, now must be supervised by a Libyan “companion,” the government’s euphemistic term for the minders assigned to watch the journalists.", "\n\nGovernment officials say the restrictions are for the journalists’ protection. “", "Weapons are everywhere because we are arming the people. ", "They believe the international media is part of the conspiracy against us,” chief government spokesman Moussa Ibrahim explained at a recent briefing. “", "This is risky for you.”", "\n\nYet most Libyans encountered by chance on the streets are friendly and welcoming, and the only real sense of threat comes from within the confines of the government-sanctioned bubble. ", "On two occasions, angry Gaddafi supporters have burst into the hotel to noisily denounce the Western journalists, chanting “correspondent, correspondent.” ", "It was a sinister twist on “zenga zenga,” or “alley by alley,” the rallying cry taken from the Gaddafi speech in which he pledged to hunt down his opponents.", "\n\nMidnight phone calls\n\nEvery few days, reality-show-style, journalists awake to discover that their ranks have been depleted by a deportation. ", "On Sunday, it was Damien McElroy of London’s Daily Telegraph, who received a midnight telephone call telling him a car would be ready in the morning to take him to the Tunisian border. “", "You know what you’ve done,” the caller said before hanging up.", "\n\nMcElroy was the fourth journalist ordered out in less than three weeks for offenses never quite spelled out. ", "Others have been warned that they are on a list of future deportees.", "\n\n“People think you are really nasty,” one government official cautioned a journalist with an American news organization. ", "The menace crackles almost as loudly as the gunfire that echoes beyond the hotel in the dead of night.", "\n\nYet even within this gilded cage it is possible to glean important insights into the workings and mindset of the Gaddafi regime — and at least some of the reasons it is facing an uprising from citizens who in recent years have gained glimpses of an alternative world through the Internet and satellite television.", "\n\n“Their efforts to run the press are similar to the way they run the country,” McElroy said. “", "It gives us the sense of how the state is and what things are like for ordinary Libyans.”", "\n\nParallel realities\n\nBus trips are stage-managed affairs that always begin with a supposedly spontaneous demonstration by Gaddafi supporters who just happen to be on hand whenever journalists turn up. ", "Yet out of earshot of the government, ordinary Libyans frequently sidle up to reporters and express dissenting views, a reminder that this is still a city brimming with suppressed discontent six weeks after the uprising here was crushed.", "\n\nNews briefings are exercises in parallel realities. ", "One speaker began by reprimanding journalists for not showing enough respect for Gaddafi. “", "Brother Leader Moammar Gaddafi does not belong only to Libyans, he belongs to all mankind including yourselves,” an army spokesman, Col. ", "Milad Hussein, sternly told a stunned roomful of reporters.", "\n\nGovernment officials announce a cease-fire, then another, and then reproach reporters for failing to report that the Libyan army is observing a cease-fire. ", "Yet even as the government trumpets its cease-fires, TV networks report the latest fighting on the front lines. ", "Officials seem genuinely outraged that reporters are questioning their claims of multiple civilian casualties in NATO bombing raids even though they have presented no evidence that there are widespread casualties.", "\n\nMost Libyans find themselves in a bubble, too. ", "The Internet has been cut off for the past month, and satellite TV has been jammed. ", "Some Libyans have found a way around that, but for many the only source of information is state TV, which broadcasts an endless diet of martial music, marching soldiers and ecstatic crowds extolling Gaddafi’s virtues.", "\n\nThat was why the outburst of Iman al-Obaidi, the woman dragged screaming from the hotel after she tried to tell her story of rape at the hands of Gaddafi militiamen, was so revelatory. ", "In an instant, she crystallized the harsh realities of the Libya the government goes to such lengths to prevent journalists from seeing.", "\n\nThe government had repeatedly promised that a few female correspondents would be allowed to interview Obaidi. ", "But Sunday, they were told the interview would not take place after all.", "\n\nA woman identified by government officials as Obaidi’s lawyer told a reporter Obaidi no longer wished to talk to journalists because her goal was “to get her rights, and that is happening now.” ", "In the world of Libyan doublespeak, there’s no knowing what that might mean." ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.0036363636363636364, 0, 0.005952380952380952, 0.005154639175257732, 0.004807692307692308, 0.008771929824561403, 0, 0.00796812749003984, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006622516556291391, 0, 0, 0.0064516129032258064, 0.006369426751592357, 0, 0.010752688172043012, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0031746031746031746, 0.010526315789473684, 0, 0.0049504950495049506, 0, 0, 0.01098901098901099, 0.014598540145985401, 0.01694915254237288, 0, 0, 0.004694835680751174, 0, 0, 0.004608294930875576, 0.0106951871657754, 0, 0.008928571428571428, 0, 0.01020408163265306, 0 ]

[ "1. ", "Introduction {#s0005}\n===============\n\nJuvenile myoclonic epilepsy (JME) is one of the most common generalized epilepsy syndromes affecting youth, representing 10% of all epilepsy cases, and 25--30% of genetic generalized epilepsies \\[[@bb0005]\\]. ", "Its mean age of onset is 15 years, with most individuals diagnosed between ages 12 and 18, although onset has been reported between ages 5 and 24 \\[[@bb0010]\\].", "\n\nTypically, JME commonly presents with a triad of absence seizures, generalized tonic--clonic seizures, and myoclonic jerks, often with sleep deprivation or upon awakening. ", "Given the different initial JME presentations, it may be confused with absence epilepsy or other forms of genetic generalized epilepsy \\[[@bb0005],[@bb0015]\\]. ", "Additionally, myoclonic jerks can be mistaken for presentations of other types of myoclonic epilepsy, many of which are progressive and not as easily controlled with anti-seizure medications \\[[@bb0005],[@bb0015]\\]. ", "To help distinguish JME from other types of epilepsy, it is important to consider the different seizure manifestations, age of onset, and comorbidities. ", "For instance, even when the typical triad is seen, an age of onset younger than 12 and a history of developmental delay are less likely to be consistent with JME \\[[@bb0015]\\].", "\n\n2. ", "Case report {#s0010}\n==============\n\nA 9-year-old boy with a known diagnosis of autism spectrum disorder since age 3 was brought by his father to the Emergency Department (ED) after being found on the floor, unresponsive in a pool of saliva with jaw clenched and eyes rolled back for approximately 20 min. ", "Routine scalp EEG was normal. ", "He was presumed to have had a generalized seizure and was initiated on levetiracetam with a total daily dose of 12 mg/kg per day (200 mg twice daily) and was reported seizure-free for over three years on that dose. ", "At age 12, his mother brought him back to the ED after a clearly observed convulsion. ", "Repeat EEG revealed generalized 4-Hz high-amplitude spike--wave and polyspike--wave discharges. ", "A 3-tesla MRI of the brain was normal. ", "Subsequently, the patient was switched to lamotrigine and titrated to a total daily dose of 5 mg/kg per day (150 mg twice daily). ", "Although he had mild irritability on lamotrigine, he remained seizure-free for another three years. ", "After a third seizure at age 16, he was brought back to the ED, and a subsequent routine EEG was normal.", "\n\nThe patient then underwent continuous video-EEG recordings at Albany Medical Center in Albany, NY, for a total EEG recording time of 51 h, without changes to lamotrigine dosage. ", "This study revealed intermittent 5-Hz high-amplitude generalized spike--wave and polyspike--wave discharges ([Fig. ", "1](#f0005){ref-type=\"fig\"}), similar to what was seen on his second routine EEG at age 12. ", "Two electroclinical seizures were also captured. ", "The first seizure involved unilateral upper extremity myoclonus for 1--2 s, time-locked with 5-Hz generalized polyspike--wave discharges. ", "The second seizure, occurring within 2 min of the first one, involved bilateral upper extremity myoclonus followed by right head version, bilateral arm tonic extension, ictal cry, and then clonic movements. ", "This was associated with generalized rhythmic delta slowing that evolved into a train of 5-Hz generalized spike-wave activity as part of typical EEG features during tonic-clonic activity.", "Fig. ", "1Interictal 5-Hz generalized polyspike-wave discharges seen during this patient\\'s continuous video EEG recording.", "Fig. ", "1\n\nBased on the continuous video-EEG results, 500-mg extended-release valproate was added to his anti-seizure medication regimen. ", "The extended-release lamotrigine dosage was decreased to 200 mg once daily given its increased bioavailability when co-administered with valproate. ", "One year after these medication changes were made, the patient remained seizure-free.", "\n\nGiven the history of autism spectrum disorder with epilepsy, whole exome sequencing (WES) was performed through the Investigation of Genetic Exome Research (TIGER) study at the University of Washington. ", "This revealed a substitution of thymine for cytosine in the long arm of chromosome 15. ", "This resulted in a nonsense mutation that led to early termination of CHD2 protein translocation. ", "Comparison with his parents\\' WES results revealed that this was a de novo mutation. ", "This mutation was suspected to be associated with the patient\\'s seizures because other mutations typically seen with JME were not detected with WES.", "\n\n3. ", "Discussion {#s0015}\n=============\n\nThe patient\\'s epilepsy initially appeared to meet criteria for juvenile myoclonic epilepsy (JME), given the predominance of myoclonic jerks, high-frequency generalized spike-wave and polyspike-wave activity on EEG, and a recorded myoclonic--tonic--clonic seizure during long-term video-EEG monitoring. ", "However, additional atypical findings called this diagnosis into question. ", "First, the patient presented with his first seizure at age 9, and had previously experienced brief episodes of unresponsiveness that may have been undiagnosed absence seizures as early as age 6. ", "Although JME cases have been reported at this young age, they are uncommon \\[[@bb0010],[@bb0015]\\]. ", "Additionally, JME has not been shown to be associated with CHD2 mutations to our knowledge. ", "Instead, JME is mostly associated in mutations in genes for the gamma-aminobutyric acid type A receptor alpha 1 subunit (GABRA1) on chromosome 5, which can affect the GABA~A~ receptor structure; the EF-hand domain containing protein 1 (EFHC1/ Myoclonin1) on chromosome 6, which can impair calcium movement across cell membranes; and the chloride channel protein 2 (CLCN2) on chromosome 3, which can interfere with formation of chloride channels \\[[@bb0020]\\]. ", "New mutation associations with JME continue to be discovered, most recently involving bromodomain-containing protein 2 (BRD2) on chromosome 6, which affect nuclear protein transcription, and connexin-36 (Cx-36) on chromosome 15, which affect formation of interneuronal channels \\[[@bb0020]\\]. ", "The CHD2 mutations, on the other hand, have established associations with Lennox--Gastaut, Dravet, and Jeavons syndromes, although this patient\\'s electrographic findings did not meet criteria for these \\[[@bb0025],[@bb0030]\\].", "\n\n4. ", "Conclusion {#s0020}\n=============\n\nThis JME mimic represents a unique genetic epilepsy that may share a common clinical and electrical phenotype with JME. ", "However, the early age of seizure onset and the existing diagnosis of autism spectrum disorder made the diagnosis of JME questionable. ", "The novel genetic basis for this child\\'s epilepsy may have been the determinant for his resistance to medications that are commonly effective in treating JME as monotherapy. ", "While JME is a fairly well-established syndrome to neurologists and epileptologists, its electroclinical features are not exclusive and alternative diagnoses must be considered, especially when atypical historical features are present, to ensure appropriate therapy and prognosis is provided to the patient.", "\n" ]

{ "pile_set_name": "PubMed Central" }

[ 0, 0.004032258064516129, 0.00625, 0.005747126436781609, 0.01875, 0.009259259259259259, 0, 0.005681818181818182, 0, 0.006535947712418301, 0.03333333333333333, 0, 0.011627906976744186, 0, 0, 0, 0, 0.019230769230769232, 0.016666666666666666, 0.008695652173913044, 0.01098901098901099, 0, 0, 0, 0.0053475935828877, 0, 0.008771929824561403, 0, 0, 0, 0, 0.014634146341463415, 0, 0, 0.023529411764705882, 0.013422818791946308, 0, 0.0029585798816568047, 0, 0, 0.02, 0.010869565217391304, 0.013043478260869565, 0.006825938566552901, 0.01762114537444934, 0, 0.012903225806451613, 0, 0, 0.003257328990228013, 0 ]

[ "Q:\n\nA client who ignored me for a year decided to contact me again. ", "How do I ask for outstanding payment?", "\n\nI used to have a client who pays me $3000 every year to maintain her small office's computer, network, email and static website. ", "There was no written agreement for this since she was recommended to me by a mutual friend. ", "The payment was usually credited to my account towards end of the year or first week of the year.", "\nAbout a year ago, I tried calling her to remind her of the pending payment. ", "She ignored my call, email and Whatsapp message. ", "There was no formal written or verbal from her stating that she no longer require any of my service. ", "I stopped contacting her since and neither did I render any service. ", "She of course, did not contact me as well.", "\nToday she texted me via mobile asking for password to a certain application. ", "How do I remind her outstanding payment that was due a year ago without sounding like I am extorting her for it. ", "I still have in possession, passwords, media and documentation which I intend to handover to her once she release the outstanding payment.", "\n\nA:\n\nThis one's easy. ", "Say\n\"Before we proceed, I am going to need you to pay the outstanding fees for the work I did on xx/xx - xx/xx (date).\"", "\nYou may also write up an invoice / bill if you don't have one already. ", "\nDon't be rude. ", "\nIf there is no record of agreement (written or verbal), you probably can't get them legally, but if they don't at least agree to pay you what you are owed, you should end your relationship with them. ", "Simple as that. ", "\nAlways be kind and understanding, but never let yourself get stiffed.", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "1. ", "Field of the Invention\nThis invention relates to a display apparatus, and more particularly to a display apparatus of the type which is built in a helmet and provides visual observation of display information from a display unit while the helmet is worn by a user.", "\n2. ", "Description of the Prior Art\nDisplay apparatuses in the prior art have been incorporated in helmets for a pilots of vehicle such as an aircraft or a helicopter for displaying various types of information including the velocity of the vehicle.", "\nAn example of such a conventional display apparatus is shown in FIG. ", "43. ", "Referring to FIG. ", "43, a tubular cathode ray tube (CRT) 101 for displaying various display information thereon is installed in a helmet (not shown). ", "A reflecting mirror 102 is disposed adjacent an output end of the CRT 101 and reflects image light from the CRT 101 toward a lens 103 so that such image light is focused by the lens 103. ", "A reflecting plate 104 is disposed on an output or light outgoing side of the lens 103 and reflects display light from the CRT 101 toward a visual point position (i.e., an eye of an observer wearing the helmet) so that display information transmitted from the CRT 101 by way of the reflecting mirror 102 and lens 103 may be visually observed by the observer.", "\nThe display apparatus, however, is considerably dangerous for the observer in that a high voltage is required to operate the CRT 101.", "\nSuch a display apparatus as shown in FIG. ", "44 is also conventionally known. ", "The display apparatus of FIG. ", "44 is a modified version of the display apparatus shown in FIG. ", "43 in that the reflecting mirror 102 and the reflecting plate 104 of the display apparatus shown in FIG. ", "43 are eliminated, and instead a shield 106 of the helmet 105 is used as a reflecting element to reflect display light from the CRT 101 toward an eye E of an observer wearing the helmet 105. ", "In the display apparatus of FIG. ", "44, a display image of the CRT 101 is enlarged by the lens 103 and reflected by the shield 106 so that a virtual image I of the display image can be visually observed from the visual point position E while the helmet 105 is worn by an observer. ", "However, with the display apparatus, since the visual point position is near the shield, a display image is observed with only one eye. ", "Accordingly, this display apparatus is has disadvantage, in addition to such possible danger arising from employment of a CRT as described above, in that an observer will be weary after use for a long period of time and the visual observability is not good.", "\nAnother display apparatus which eliminates the defect arising from disposition of a CRT in a helmet is also known and shown in FIG. ", "45. ", "Referring to FIG. ", "45, the display apparatus includes a CRT 101 and a lens 103 which, however, are provided separately from a helmet 105 in which information is to be displayed. ", "In particular, display information from the lens 103 is transmitted to the helmet 105 by way of an optical cable 107 which has an end thereof remote from the lens 103 introduced into the inside of a shield 106 of the helmet 105. ", "Thus, an image of the display information is formed on an inner face of the shield 106 and visually observed by an observer.", "\nWith this display apparatus, however, since the optical cable 107 employed is comparatively low in flexibility, the optical cable 107 becomes an obstruction to the observer when the observer wears the helmet 105.", "\nSuch a display apparatus as shown in FIG. ", "46 has also been proposed which eliminates the drawbacks described above that arise from the fact that a visual point position is near a shield of a helmet as in the display apparatus shown in FIG. ", "44. ", "Such a display apparatus is disclosed, for example, in Japanese Patent Laid-Open No. ", "44984/1989 and is constructed such that a user will wear a unit 110 in which two CRTs (not shown) are accommodated and display images of the CRTs are introduced into a helmet 105 from the unit 110 by way of a pair of optical cables 107. ", "The display images of the CRTs may be projected to two locations of a shield 106 of the helmet 105. ", "With the display apparatus, a user can combine and visually observe, with both eyes, display images reflected at the two locations of the shield 106.", "\nWith this display apparatus, however, since two CRTs are employed as display devices and the unit 110 in which the CRTs are accommodated is provided outside the helmet 105, there are drawbacks that the entire apparatus is large and that the unit 110 may become a hindrance to the user.", "\nA further conventional display apparatus as shown in FIG. ", "47 eliminates the drawbacks of the conventional display apparatus described above. ", "Referring to FIG. ", "47, the display apparatus includes a light emitting diode (LED) display 108 disposed on an inner face of the upper portion of a helmet 105. ", "Display information of the LED display 108 is projected to an inner face of a shield 106 of a helmet 105 by way of a prism 109 so that it may be visually observed by an observer.", "\nWith this conventional display apparatus, however, since the display unit is located at an upper portion or alternatively at a left or right side portion of the helmet, the center of gravity of the helmet is at a comparatively high location. ", "Consequently, an observer who wears the helmet may have an uneasy feeling, since the helmet itself is not balanced during use. ", "Further, since a combiner of the helmet is required separately from the shield in order to obtain a desirable reflecting direction of display light and is located in the proximity of an eye of the observer, it may possibly present some risk to the observer.", "\nFurther, while display information is displayed with considerable safety since the LED display 108 is employed as a display device instead of a CRT, the display apparatus shown in FIG. ", "47 is disadvantageous in that the brightness of display information is comparatively low. ", "Particularly, when the illuminance of external light is high such as in the daytime or in a counterlight condition, display information cannot be visually observed well.", "\nBesides, with the conventional display apparatus shown in FIG. ", "47, a power source for driving the display device is required. ", "If power is supplied directly to the display device of the helmet, for example, from a battery carried on a vehicle by way of a power supply cable, then such a power supply cable will become an obstruction to the driver of the vehicle. ", "However, if an electric cell is instead installed in the helmet, then such an electric cell must be replaced at a suitable time, which is cumbersome. ", "If a battery which can be re-charged is installed in the helmet, then such an exchanging of the battery is unnecessary. ", "However, the helmet cannot be used while the battery is being charged." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0.014285714285714285, 0, 0.05555555555555555, 0, 0, 0.002793296089385475, 0, 0.023255813953488372, 0, 0.03333333333333333, 0.015625, 0.009523809523809525, 0, 0.030303030303030304, 0, 0, 0, 0.007518796992481203, 0, 0.05555555555555555, 0, 0, 0, 0, 0.023255813953488372, 0.005050505050505051, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01694915254237288, 0, 0.05555555555555555, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005376344086021506, 0, 0, 0.015625, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Amygdalotomy\n\nAmygdalotomy is a form of psychosurgery which involves the surgical removal or destruction of the amygdala, or parts of the amygdala. ", "It is usually a last-resort treatment for severe aggressive behavioral disorders and similar behaviors including hyperexcitability, violent outbursts, and self-mutilation. ", "The practice of medical amygdalotomy typically involves the administration of general anesthesia and is achieved through the application of cranial stereotactic surgery to target regions of the amygdala for surgical destruction. ", "While some studies have found stereotactic amygdalotomy in humans to be an effective treatment for severe cases of intractable aggressive behavior that has not responded to standard treatment methods, other studies remain inconclusive. ", "In most cases of amygdalotomy in humans, there is no substantial evidence of impairment in overall cognitive function, including intelligence and working memory, however, deficits in specific areas of memory have been noted pertaining to the recognition and emotional interpretation of facial stimuli. ", " This is because there are specialized cells in the amygdala which attend to facial stimuli.", "\n\nBackground\nThe amygdala is considered to be an important underlying structure in the fight-or-flight response, playing a mediating role in aggression in both humans and animals. ", " Clinical studies have revealed that the stimulation of the amygdala produces rageful behavior and or accentuates in animals. ", "Research has also revealed that lesions of the amygdala in both humans and animals produces a calming effect on aggressive behavior. ", "Based on these findings, amygdalotomy was developed as a neurosurgical procedure to ameliorate aggression by reducing arousal levels in the amygdala.", "\n\nMedical use \nSince the early 1900s there has been an accumulation of experimental evidence to demonstrate the role of the limbic system, specifically the amygdala complex in mediating emotional expressions of fear and anger. ", "Early primate studies have revealed that chemical and electrical stimulation of the amygdala region accentuates aggressive behavior. ", "Conversely, destruction of the amygdala nucleus results in a taming effect of normal anger and fearing responses in primate behavior. ", "Similarly, clinical studies in humans have revealed the close etiological role of temporal lobe structures, particularly the limbic system and the amygdala in mediating fear and rageful behavior. ", "These findings have been instrumental in the development of clinical amygdalotomy as a form of neurosurgery to produce placating effects on abnormal aggressive behaviors. ", "Procedural amygdalotomy is used as a last recourse treatment for severe intractable aggression when other options including pharmacological treatments have been exhausted. ", "The psychopathology of patients with severe aggressive behavior in clinical cases of amygdalotomy over the past 20th century vary, including epileptics with violent convulsions, psychotics with violent outbursts, individuals with unmanageable conduct disorder, and patients with self-mutilative tendencies. ", "The clinical practice of amygdalotomy in humans is commonly implemented under the stereotactic frame, with varying techniques used to destroy the amygdala, ranging from radiofrequency, mechanical destruction and the injection of oil, wax, and alcohol. ", "The preferred target zone of the amygdala also varies from basal and lateral nuclei, to the medial region, the cortico-medial group of nuclei and the bed of the stria terminalis. ", "The size of the lesion differs from one-third to one-half, to three-quarters, to the entire amygdalar region. ", "In spite of these methodological differences, most published accounts of human amygdalotomy have indicated beneficial outcomes in reducing the intensity and frequency of aggressive behaviors.", "\n\nHistorical evolution\n\nAnimal studies \nAmongst some of the earliest studies conducted on the removal of the amygdala were animal and primate studies. ", "In the early 1890s, Friedrich Goltz conducted experiments on temporal lobectomy in dogs including the removal of the amygdala and found that dogs post-surgery experienced a taming effects on aggressive behaviors. ", "Deep brain stimulation studies in animals revealed that the temporal lobe is involved in mediating expressions of rage and aggression. ", "A more detailed analysis of specific regions of the temporal lobe in animals revealed that the limbic system, specifically the amygdala complex, is involved in mediating fear and aggression. ", "Some of the earliest primate studies on amygdalotomy were carried out on rhesus monkeys by Kluver and Bucy in the late 1930s. ", "Data collected from these studies revealed that bilateral destruction of the amygdala resulted in a reduction in the intensity and frequency of fear and aggression behaviors.", "\n\nClinical trials \n\nThe human counterpart of the role of the amygdala was then observed in the 20th century at the height of psychosurgery. ", "Professor Hirotaro Narabayashi and his colleagues were the first researchers to carry out stereotactic amygdalotomy for the treatment of abnormal aggression and hyperexcitability in a series of 60 patients with psychological disturbances. ", "The procedure was performed under a stereotactic frame devised by Professor Narabayashi and involved the administration 0.6-0.8ml mixture of oil-wax to destroy the lateral groups of the amygdala nucleus, localized via pneumoencephalography. ", "The clinical results revealed a marked reduction in emotional disturbances amongst 85% of the cases. ", "Following Narabayashi's study, there have been over 1000 cases of amygdalotomy reported in clinical trials as a last-resort treatment for severe intractable aggressive disorders. ", "Around the same time, Hatai Chitanondh utilized a slightly different technique of stereotactic amygdalotomy using using an injection of an olive oil mixture to induce lesions to mechanically block signals in the amygdala. ", "The results revealed an improvement in social adaptability of all seven patients. ", "In the late 1960s and 1970s, Balasubramaniam and Ramamurthi investigated the largest clinical patient series to undergo stereotactic amygdalotomy for aggression behaviours. ", "The procedure was performed via high-frequency current generating electrodes inserted stereotactically to induce several small thermal lesions, creating a total lesion volume of 1800mm, a size that is larger than the amygdala. ", "The improvement in maladaptive behavior in patients, including hyperexcitability, rebellious behavior, and destructive behavior, ranged from moderate to high. ", "The development of MRI technology in the recent 20th century has enabled a more accurate and efficient process of amygdalotomy, with easier localization of amygdala regions during neuro-navigation as well as the use of advanced radiofrequency generating electrode to induce surgical lesions. ", "Despite these recent advances in technology, there has been a decline in clinical cases of amygdalotomy for treatment of maladaptive behavior, with growing skepticism in the medical community of the cost-benefits of the procedure and partly due to a greater reliance on pharmacological treatments\n\nClinical effectiveness of Amygdalotomy\n\nShort-term results \nThere has been a general consensus amongst many researchers on the general effectiveness of amygdalotomy in reducing aggression amongst patients with psychosis, violent epilepsy and self-mutilative behavior. ", "A diverse study on stereotactic amygdalotomy used to treat 25 patients primarily for aggressive behavior and violent epilepsy, found that behavioral abnormalities were completely eliminated in 2 of the 20 patients, with a significant improvement in another 9 of the 20 patients with aggressive behavior manifests. ", "Convulsions were also eliminated in 4 of the 21 patients, whilst 12 of the patients experienced a significant decrease in the number of epileptic convulsions. ", "Patient rehabilitation was also effective with 2 of the 12 patients committed to mental institutions being discharged, whilst 5 of 8 patients awaiting institutionalization were no longer being considered. ", "A multi-disciplinary project carried out on amygdalotomy amongst epileptics with violent outbursts found that amygdalotomy showed promising results, with a decline in violent, aggressive and anti-social behavior as well as a reduction amongst patients and an improvemnt in the occupational functioning of some of the patients. ", "The researchers, however, concluded that the results cannot be generalized to non-epileptics. ", "Other studies conducted on patients with conduct disorder, personality disorder, self-mutilation and schizophrenics with violent hallucinations found that these maladaptive behaviors also improved across these groups of patients. ", "Using reliable and objective methods of evaluation, Heimburger and colleagues found that in patients who did not respond to non-surgical thearapy, amygdalotomy was effective, with both conditions of uncontrolled conduct disorder and seizures seeming improved after surgery. ", "Stereotaxic amygdalotomy conducted on 12 patients with schizophrenia and frequent self-mutilations found that, in 11 of the patients the 12 patients, amygdalotomy resulted in elimination and or marked reduction of aggressive episodes. ", "In two of patients with frequent self-mutilative episodes and reactive psychotic hallucinations, however these symptoms disappeared only after an additional basofrontal tractotomy had been performed.", "\n\nLong-term results \nThere is a dearth of long-term studies on the follow-up effects of clinical amygdalotomy in humans. ", "Amongst the few follow-up studies, includes a research study which compared the results of clinical amygdalotomy in 58 patients pre and post-surgery over an average of 6 years using objecrtive analysis such as psychiatric interviews, neurpsychological tests and EEG analysis and found no indication of worsening of symptoms. ", "Additionally the researchers found some evidence for the retention of positive outcomes in one-third of the patients, which were not limited to improvements in rageful behaviour but also included a decrease in the overall frequency of seizures. ", "Another follow-up study by Professor Narabayashi and colleagues observed the clinical effects of amygdalotomy in 40 cases from 3 to 5 years and found 27 of the cases had continued a satisfactory improvement in calming and taming effects on what was previously uncontrollable aggression including destructive and violent beahviour.", "\n\nRisks and side-effects \nIn most cases of amygdalotomy in humans, there is no substantial evidence of impairment in overall cognitive function, including intelligence and working memory. ", "However, deficits in specific areas of memory have been noted, particularly areas of memory pertaining to the recognition and emotional interpretation of facial stimuli. ", " These findings of face recognition impairment after amygdalotomy are of particular importance due to the neurophysiological data collected on the importance of cells in the amygdala that specifically attend to facial stimuli in both humans and primates. ", "A detailed case study of a patient who had undergone a bilateral amygdalotomy found incidences where the patient showed poor learning of new faces and impaired recognition of familiar faces, particularly troubles with naming faces. ", "Additionally the patient also revealed further deficits in the emotional processing of facial stimuli, demonstrating difficulty in identifying and matching a range of facial expressions. ", "Another study of 15 patients showed no reduction in general intelligence, but there was a similar pattern of changes in attention and memory involving facial stimuli. ", "This link between the amygdala and social disturbances pertaining to the processing of facial stimuli has been investigated as a possible side-effect of amygdalotomy in some patients\n\nReferences \n\nCategory:Neurosurgery\nCategory:Physical psychiatric treatments" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004694835680751174, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0041841004184100415, 0.004149377593360996, 0, 0.00558659217877095, 0.004484304932735426, 0, 0.011560693641618497, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.003076923076923077, 0, 0.0030211480362537764, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Gallery\n\nListing Agent\n\nListed By\n\nRequest more information\n\nThank you for the email, we'll get back to you shortly\n\nName (required)Email Address (required)Questions/Comments\n\nDescription\n\nProfessional office complex, built up of two adjoining tax parcels, located in an established neighborhood oriented commercial district. ", "The complex offers three seperate buildings, designed for multi-tenant office occupancy, all containing 8,820 SF. ", "Building A which fronts the west side of Northwest 13th Street has been fully remodeled and is currently occupied by Early Learning with a lease in place until December 31st, 2021. ", "Building B and C currently have month to month tenants in place, as well as vacancies. ", "Each office suite differs in size from 650 SF to 8,820 SF, allowing for a variation of tenants.", "The northern residential lot is currently being used for overflow dirt parking and has a small mail station that services the complex." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.003067484662576687, 0, 0.011049723756906077, 0, 0, 0 ]

[ "UNITED STATES ARMY COURT OF CRIMINAL APPEALS\n Before\n HAIGHT, PENLAND, and WOLFE\n Appellate Military Judges\n\n UNITED STATES, Appellee\n v.\n Specialist RONNIE M. ROGERS\n United States Army, Appellant\n\n ARMY 20131074\n\n Headquarters, Fort Campbell\n Tyesha L. Smith, Military Judge\n Lieutenant Colonel Sebastian A. Edwards, Staff Judge Advocate\n\n\nFor Appellant: Lieutenant Colonel Charles D. Lozano, JA; Major M. Patrick Gordon,\nJA; Captain Ryan T. Yoder, JA (on brief).", "\n\nFor Appellee: Major A.G. Courie, III, JA; Major Daniel D. Derner, JA; Captain\nTimothy C. Donahue, JA (on brief).", "\n\n\n 18 December 2015\n\n ----------------------------------\n MEMORANDUM OPINION\n ----------------------------------\n\nHAIGHT, Senior Judge:\n\n A military judge sitting as a general court-martial convicted appellant,\npursuant to his pleas, of two specifications of failure to obey a lawful general\nregulation, wrongful use of marijuana, wrongful use of methiopropamine, wrongful\nintroduction of methiopropamine, one specification of wrongful communication of a\nthreat, and one specification of wrongful communication of a threat to harm a person\nor property by means of an explosive, in violation of Articles 92, 112a, 134,\nUniform Code of Military Justice, 10 U.S.C. §§ 892, 912a, and 934 (2012)\n[hereinafter UCMJ]. ", "The military judge sentenced appellant to a bad-conduct\ndischarge, confinement for 35 months, forfeiture of all pay and allowances, and\nreduction to the grade of E-1. ", "The convening authority, consistent with a pretrial\nagreement, approved only 18 months of confinement but otherwise approved the\nadjudged sentence.", "\n\n This case is before us for review under Article 66, UCMJ. ", "Appellate defense\ncounsel raises two assignments of error, both of which merit discussion and relief.", "\n\fROGERS—ARMY 20131074\n\nAppellant personally submitted matters pursuant to United States v. Grostefon, 12\nM.J. 431 (C.M.A. 1982), none of which merits discussion or relief.", "\n\n LAW AND DISCUSSION\n\n 1. ", "Chemical Analogues\n\n Appellant was charged with, pleaded guilty to, and convicted of wrongfully\nusing methiopropamine, a Schedule II controlled substance, as well as introducing\nmethiopropamine, “a Schedule II controlled substance onto an installation used by\nthe armed forces, to wit: Fort Campbell, Kentucky.” ", "Appellant now asserts crimes\ninvolving chemical analogues, such as methiopropamine, should not be charged\nunder Article 112a, UCMJ. ", "The government concedes the military judge committed\n“error by accepting appellant’s guilty plea to a violation of Article 112a, UCMJ for\nuse and introduction of methiopropamine onto Fort Campbell.” ", "We agree and accept\nthe government’s concession.", "\n\n Methiopropamine is not a Schedule II controlled substance; it is a\nmethamphetamine analogue. ", "During the providence inquiry, its status as a\ncontrolled drug analogue was discussed and agreed upon by all parties. ", "We find no\nsupport that analogue drugs are covered by Article 112a. ", "See United States v.\nReichenbach, 29 M.J. 128 (C.M.A. 1989). ", "Accordingly, we will set aside the\nfindings of guilty to Specifications 2 and 3 of Charge II and dismiss those same\nspecifications. ", "We expressly decline to follow the government’s proposal to affirm\na conviction of the “lesser-included offense” of wrongful possession of\nmethiopropamine “under clause 3 of Article 134, UCMJ.” ", "See United States v.\nJones, 68 M.J. 465 (C.A.A.F. 2010); United States v. Medina, 66 M.J. 21 (C.A.A.F.\n2008).", "\n\n 2. ", "Communicating a Threat\n\n Upon execution of a commander’s search authorization, drugs and drug\nparaphernalia were found in appellant’s barracks room. ", "Also discovered were boxes\nof 45 caliber ammunition, an ordnance explosive disposal bomb suit, a breach kit,\nand copies of The Anarchist Cookbook, Mein Kampf, and The Communist Manifesto.", "\nCriminal Investigation Command (CID) called appellant in to discuss what was\nfound in his room. ", "After a proper rights advisement and waiver, appellant made\nstatements to CID. ", "It is these statements that form the basis for the two threat\nspecifications.", "\n\n Appellant was charged with, pleaded guilty to, and convicted of\ncommunicating to “Special Agent [ZPC] a threat to torture and kill Sergeant [LC] if\nhe pushed him too far” as well as communicating “certain information to Special\nAgent [ZPC], to wit: ‘I buried two [improvised explosive devices] in the Hohenfels\n\n\n\n 2\n\fROGERS—ARMY 20131074\n\nTraining Area.’” ", "Appellant now asserts that the military judge abused her discretion\nin accepting his guilty pleas to these threat offenses.", "\n\n a. Threat to Kill Sergeant LC\n\n First, appellant claims he never stated the alleged words, “I will kill Sergeant\n[LC] if he pushes me too far,” or words to that effect, during his CID interview.", "\nDuring the providence inquiry, appellant explained he had harbored thoughts of\nviolence in the past, prior to his CID interview, stating:\n\n I fell out of the [formation] run . . . . [", "Sergeant LC]\n proceeded to initiate a smoke fest on me. ", "A smoke fest is\n non-stop [physical training] for as long as he wanted. ", "I\n am used to smoke fests, unfortunately with him, it was to\n the point, even when other [noncommissioned officers]\n were there laughing, they started walking away because\n they knew it was wrong. ", "It continued on until he finally\n got in my face and told me if I wanted to quit, just quit. ", "I\n stopped what I was doing after an initial period and I told\n him “I quit.” ", "He asked me what I was talking about.", "\n “You told me if I wanted to quit, tell you I quit.” ", "So, I\n stood there, and he had me face around and face the wall\n for long enough. ", "The day after, they had a meeting with\n me and a bunch of the other NCOs. ", "After more or less he\n got done smoking me, at the time, I wanted to kill\n [Sergeant LC], Your Honor.", "\n\nThe above statement made by appellant during the providence inquiry clearly\nindicates that he, at one point in the past, may have wanted to kill Sergeant (SGT)\nLC. ", "However, this explanation does not support the notions that appellant either\nvoiced his homicidal desire to anybody when he harbored it or that any plan to carry\nout that intent persisted up until the time of his CID interview. ", "Notwithstanding,\nduring the providence inquiry, appellant agreed that he told Agent ZPC that SGT LC\n“pissed me off and I wanted to kill him.” ", "Appellant further agreed that the agent\ncould have “surmised” from that statement during the interview that appellant “still\nplanned on killing” SGT LC.", "\n\n In direct contrast to the providence inquiry, the video recording of the CID\ninterview, admitted into evidence and attached to the stipulation of fact, reveals that\nappellant never said he was going to kill or torture SGT LC. ", "Nor did appellant, at\nthe time of his statement to Agent ZPC, express a present or future intent to kill SGT\nLC. ", "This plain inconsistency between the providence inquiry and the video\nrecording, admitted as part of the stipulation of fact, was never addressed or\nresolved. ", "The government now concedes that appellant did not make the alleged\n\n\n\n 3\n\fROGERS—ARMY 20131074\n\nthreat against SGT LC during his interview with CID and agrees that Specification 1\nof Charge III should be dismissed. ", "We agree, accept the government’s concession,\nand will set aside the finding of guilty to this threat offense.", "\n\n b. Bomb Threat\n\n Second, appellant claims there is a substantial basis in law and fact to\nquestion his guilty plea to the bomb threat as he never expressed during his CID\ninterview a present determination or intent to kill, injure, or intimidate anybody or\ndamage or destroy any property, presently or in the future.", "\n\n During the providence inquiry, appellant explained his alleged bomb threat, as\ncommunicated to CID, in the following manner:\n\n ACC: Myself and two friends experimented with making\n different pyro elements, mainly incendiary, like [napalm]\n and so on, and making bombs, blowing stuff up on our\n free time, while being Soldiers in Hohenfels. ", "We actually\n made up to a number of different explosives and we\n detonated a few of them. ", "These two, we did not. ", "When\n we more or less figured, we were not going to detonate\n them, we dismantled them as best as we could then buried\n them in the Hohenfels Training Area, Your Honor.", "\n\n MJ: So what exactly did you state to Special Agent\n [ZPC]?", "\n\n ....\n\n ACC: “I buried two IEDs in the Hohenfels Training\n Area,” Your Honor. ", "To me though, at the time, whenever\n I said that, the explosives were -- aside from being\n dismantled, they were inactive, Your Honor, is how I was\n taking it to him.", "\n\n ....\n\n MJ: Did you believe that the language that you used or\n communicated amounted to a threat?", "\n\n ACC: At the time, I didn’t believe it would amount to a\n threat. ", "He was asking me questions; I was answering as\n truthfully as I could, Your Honor. ", "But now, seeing it, it\n would be a threat, Your Honor.", "\n\n\n\n 4\n\fROGERS—ARMY 20131074\n\n\n ....\n\n MJ: It is reasonable for him to conclude that those IEDs\n presented a continuing threat; would you agree with that?", "\n\n ACC: I would agree with that, Your Honor. ", "Except with,\n if there’s no primer on them, they cannot go off, Your\n Honor, and being that it’s been 8 months ago, they would\n have decayed to the point beyond anything, Your Honor.", "\n\n Throughout appellant’s interview with CID, he makes it abundantly clear that\nhe “does not care if innocent people are hurt or die.” ", "In response to appellant’s\nassignment of error, the government contends that we should equate appellant’s\nreprehensible apathy for the potentially tragic results if the abandoned and buried\nIEDs accidentally went off some time in the future with an expressed intent to do\nharm. ", "Although we find appellant’s voiced sentiments to be spectacularly craven,\nwe cannot legally equate his lack of concern with the requisite intent.", "\n\n Our legal analysis of a threat takes into account “both the words used and the\nsurrounding circumstances.” ", "United States v. Brown, 65 M.J. 227, 232 (C.A.A.F.\n2007). ", "After viewing the video recording of the CID interview, it is clear that\nappellant, as he himself admitted, possesses deeply troubling, demented, and dark\naspects to his personality. ", "However, it is equally clear that during his interview\nwith CID, appellant was admitting those aspects and confessing to past misconduct –\nhe was not communicating a threat to do harm in the future. ", "Although admitting to\nprofound behavioral instability and a disconcerting lack of empathy, he never\nexpressed a present intent to do harm by means of the buried explosives, presently or\nin the future. ", "Accordingly, we will set aside the finding of guilty to the bomb threat\noffense.", "\n\n CONCLUSION\n\n The findings of guilty to Specifications 2 and 3 of Charge II are set aside and\nthose specifications are DISMISSED. ", "The findings of guilty to Specifications 1 and\n3 of Charge III are set aside and those specifications and that charge are\nDISMISSED. ", "The remaining findings of guilty are AFFIRMED.", "\n\n The sentence is set aside. ", "In accordance with Rule for Courts-Martial 810, a\nrehearing is authorized. ", "All rights, privileges, and property, of which appellant has\nbeen deprived by virtue of that portion of the findings and sentence set aside by our\ndecision, are ordered restored. ", "See UCMJ arts. ", "58b(c) and 75(a).", "\n\n Judge PENLAND and Judge WOLFE concur.", "\n\n\n\n 5\n\fROGERS—ARMY 20131074\n\n\n\n\n FOR\n FOR THE\n THE COURT:\n COURT:\n\n\n\n\n MALCOLM H. SQUIRES, JR.", "\n MALCOLM H. SQUIRES, JR.", "\n Clerk of Court\n Clerk of Court\n\n\n\n\n 6\n\f" ]

{ "pile_set_name": "FreeLaw" }

[ 0.015727391874180863, 0.06140350877192982, 0.0011976047904191617, 0.005988023952095809, 0, 0.015151515151515152, 0, 0.011627906976744186, 0, 0.0031446540880503146, 0.007575757575757576, 0.005025125628140704, 0, 0, 0, 0, 0.01639344262295082, 0, 0.005154639175257732, 0, 0, 0, 0.0053475935828877, 0.010309278350515464, 0.012658227848101266, 0, 0.0024691358024691358, 0, 0.013043478260869565, 0.00510204081632653, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0043859649122807015, 0.007042253521126761, 0, 0.00425531914893617, 0.008849557522123894, 0, 0.011627906976744186, 0, 0.002785515320334262, 0.005076142131979695, 0, 0, 0, 0, 0.008620689655172414, 0, 0, 0.010869565217391304, 0, 0, 0.004310344827586207, 0.03508771929824561, 0, 0.007142857142857143, 0, 0, 0, 0, 0.00546448087431694, 0.005025125628140704, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.013333333333333334, 0, 0.06666666666666667, 0, 0.022222222222222223, 0.011627906976744186, 0.0425531914893617, 0.009174311926605505 ]

[ "Users sometimes accidentally lose data in a file they are working on. ", "Some losses occur because users change their mind about an edit they made, such as deciding they want to keep a paragraph that they deleted the previous day. ", "Other losses occur because users inadvertently delete a portion of a file, such as by not realizing they hit the delete key while certain words were selected. ", "Such accidental data loss is problematic for users, and unfortunately is oftentimes irreversible by the time the user realizes the data has been lost." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0 ]

[ "//===----------------------------------------------------------------------===//\n//\n// The LLVM Compiler Infrastructure\n//\n// This file is dual licensed under the MIT and the University of Illinois Open\n// Source Licenses. ", "See LICENSE.TXT for details.", "\n//\n//===----------------------------------------------------------------------===//\n\n// <memory>\n\n// unique_ptr\n\n// unique_ptr(nullptr_t);\n\n#include <memory>\n#include <cassert>\n\n// default unique_ptr ctor should only require default Deleter ctor\nclass Deleter\n{\n int state_;\n\n Deleter(Deleter&);\n Deleter& operator=(Deleter&);\n\npublic:\n Deleter() : state_(5) {}\n\n int state() const {return state_;}\n\n void operator()(void*) {}\n};\n\nint main()\n{\n {\n std::unique_ptr<int[]> p(nullptr);\n assert(p.get() == 0);\n }\n {\n std::unique_ptr<int[], Deleter> p(nullptr);\n assert(p.get() == 0);\n assert(p.get_deleter().state() == 5);\n }\n}\n" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0.00823045267489712, 0, 0.0014925373134328358 ]

[ "Boddin\n\nBoddin is a village and a former municipality in the Rostock district, in Mecklenburg-Vorpommern, Germany. ", "Since May 2019, it is part of the municipality Walkendorf.", "\n\nReferences\n\nCategory:Grand Duchy of Mecklenburg-Schwerin\nCategory:Bezirk Neubrandenburg\nCategory:Former municipalities in Mecklenburg-Vorpommern" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.017241379310344827, 0.017241379310344827, 0.00684931506849315 ]

[ ".09.", "\n-1766289.91\nWhat is the distance between -224608048 and -0.04?", "\n224608047.96\nSum -0.062187 and -1489808.", "\n-1489808.062187\nWhat is 4 + 13716921?", "\n13716925\nWhat is the difference between -0.011 and 5048594?", "\n5048594.011\nWhat is -763.18 less than 4?", "\n767.18\nWhat is 9 less than 69324699?", "\n69324690\nCalculate 1855.734385 - 2.", "\n1853.734385\nWhat is 139263 + -157.08?", "\n139105.92\nWhat is the distance between -39648626 and 158?", "\n39648784\nPut together -26166335.4 and -1.", "\n-26166336.4\nWhat is -9 take away -1841032?", "\n1841023\n-0.2 + -20676561467\n-20676561467.2\nWhat is 1 minus -0.21207654?", "\n1.21207654\nCalculate -579 + -0.03978766.", "\n-579.03978766\n29552.3 + 219\n29771.3\nWhat is -4 take away -173.3291924?", "\n169.3291924\nWhat is the distance between -5 and -98.40615?", "\n93.40615\nWhat is 753663 + -0.469?", "\n753662.531\nSubtract -87 from 65.3752.", "\n152.3752\nSubtract 10283 from -43.5878.", "\n-10326.5878\nPut together -100377 and 167.", "\n-100210\nWork out -1 - 1639311.87.", "\n-1639312.87\nSum 1.4798 and -502.03.", "\n-500.5502\nCalculate -325645602 - -0.107.", "\n-325645601.893\nWork out 6279.7 + -0.172.", "\n6279.528\nWhat is -0.017 minus -3440063?", "\n3440062.983\nWhat is 1034528 minus 0.8?", "\n1034527.2\nWhat is -356 minus 0.03862542?", "\n-356.03862542\nWhat is 2878.8 minus 0.7233?", "\n2878.0767\n-0.3 - -7.42729\n7.12729\nWhat is 1540834.27 - -3?", "\n1540837.27\nPut together -0.170572706 and 0.2.", "\n0.029427294\nWhat is 190527.799 minus -3?", "\n190530.799\nWhat is -2 take away -7910871536?", "\n7910871534\nSubtract 0.1 from -13213014258.", "\n-13213014258.1\nAdd 877 and -0.105357.", "\n876.894643\n-9.6+99817188\n99817178.4\nWhat is the distance between -1931 and 378.3?", "\n2309.3\nWhat is 12359 less than -6149?", "\n-18508\nSum -836 and -529356.", "\n-530192\nWhat is -243950.9 - -1.0403?", "\n-243949.8597\n600110+24\n600134\nWork out 9 + -1387116.8.", "\n-1387107.8\nWhat is -1.2 plus 12.416344?", "\n11.216344\nWork out 282224 + 0.1513.", "\n282224.1513\n4.6 - -3850576.16\n3850580.76\nWhat is -0.0101272623 take away -22?", "\n21.9898727377\nSubtract 0.1 from -6198579.", "\n-6198579.1\nWhat is -19687 plus -57.6?", "\n-19744.6\nTotal of -3 and -3513101.", "\n-3513104\n-2.72879 - -1250.2\n1247.47121\n-0.0277012 + -866.32\n-866.3477012\nCalculate -25349186 - 0.4.", "\n-25349186.4\nAdd 1.36 and -247.335716.", "\n-245.975716\nWhat is -0.4519207 minus 0.4?", "\n-0.8519207\nAdd 755964412 and -71.", "\n755964341\nAdd -63 and -0.25169084.", "\n-63.25169084\nAdd 20 and -347860.", "\n-347840\nWhat is -416.4 take away -0.1811?", "\n-416.2189\nTotal of 74 and 10985.", "\n11059\nWhat is the distance between -0.106340001 and 0.08?", "\n0.186340001\nWhat is the difference between -176.8498189 and -5?", "\n171.8498189\nTotal of 5.4 and -6112772.", "\n-6112766.6\nWhat is -36556.74288 take away 0.5?", "\n-36557.24288\nWork out 3467918266 - -0.2.", "\n3467918266.2\nAdd together 20296 and 33061.", "\n53357\nWhat is -0.1445 plus 40088280?", "\n40088279.8555\nWhat is -0.126153 + 277?", "\n276.873847\nWhat is the difference between -67.571 and -494?", "\n426.429\nCalculate -58750359 + 2.", "\n-58750357\nSum 1.56134074 and 5.", "\n6.56134074\nWhat is 0.3117 minus -2119?", "\n2119.3117\nWhat is 4 less than -180.91653?", "\n-184.91653\nTotal of 5551433674 and 1.", "\n5551433675\n-67 - 0.020898\n-67.020898\nSum -379.01246 and -47.", "\n-426.01246\n-8+-23414227\n-23414235\nWork out -4 - 17.53075134.", "\n-21.53075134\nSubtract 39 from 529.73544.", "\n490.73544\nWhat is -1018 - 1.734773?", "\n-1019.734773\nCalculate -0.3 + -7417075833.", "\n-7417075833.3\nAdd 0.2 and 23464904.", "\n23464904.2\nCalculate -1.1 + 217787.", "\n217785.9\nAdd together -908896428 and 9.", "\n-908896419\n-242337356 - -0.01\n-242337355.99\n0.1 - 0.247456428\n-0.147456428\nWhat is -1.4514 plus -32?", "\n-33.4514\nCalculate -887237854 + 0.", "\n-887237854\nWork out 550.9 + 0.113.", "\n551.013\nWhat is 921609675 minus 5?", "\n921609670\nSum -702077 and -59.", "\n-702136\nWork out 3245 + 14.0037.", "\n3259.0037\nWhat is 58 less than 125060.4?", "\n125002.4\nWhat is the distance between -0.00598327 and -0.25?", "\n0.24401673\nWhat is 1406 - 2662317?", "\n-2660911\nWhat is the difference between 493117111 and -7?", "\n493117118\nWhat is -0.06 less than 2002.016?", "\n2002.076\nWork out -445.87 + 1445.", "\n999.13\nWhat is 320940205 plus -16?", "\n320940189\nWhat is the distance between 738627 and -133?", "\n738760\n-2521998 + -6064\n-2528062\nWhat is -0.01 less than -493423168?", "\n-493423167.99\nWhat is 0.2804 take away -1810.168?", "\n1810.4484\nPut together -90194 and -0.1496.", "\n-90194.1496\nWhat is -0.1 - 199222?", "\n-199222.1\nWhat is -3179671 - -0.0014?", "\n-3179670.9986\nWork out -20798989 + -0.063.", "\n-20798989.063\n0.045802407779 + -0.2\n-0.154197592221\n22.100306 - 0.04\n22.060306\nAdd together 1.9 and -5134780.", "\n-5134778.1\nSubtract 0.05256 from 2860.", "\n2859.94744\nWhat is 2523012 - 6.79?", "\n2523005.21\n32.73547 + 15.9\n48.63547\nAdd -73.538 and -577.", "\n-650.538\nCalculate 0.00070384 - 2.3.", "\n-2.29929616\nTotal of 4 and 0.076784874.", "\n4.076784874\n2.32347 - 21823\n-21820.67653\nAdd 30.11 and -28.", "\n2.11\nWhat is -4 plus 0.0171838?", "\n-3.9828162\nWhat is 7 plus 1029436?", "\n1029443\nSubtract -12439 from -462.6.", "\n11976.4\n166+-141254.43\n-141088.43\nWhat is 29330953 + 1?", "\n29330954\nCalculate 435.89 - 2242.", "\n-1806.11\nSubtract 590669 from -0.035.", "\n-590669.035\nWork out -0.05 + -20.37713.", "\n-20.42713\nWhat is the difference between 3.671 and 0.778878?", "\n2.892122\nSubtract 4.869 from -0.655.", "\n-5.524\nWork out -4599 - 11.515.", "\n-4610.515\nTotal of -9366698 and -6118.", "\n-9372816\nWhat is -0.5 take away -39868.71?", "\n39868.21\nAdd -69681.17 and -3.7.", "\n-69684.87\nPut together -26 and -213082.", "\n-213108\nWhat is 342 take away 7454?", "\n-7112\n0.12294 - 6535\n-6534.87706\nWhat is 0.7 take away 15124732?", "\n-15124731.3\nWhat is -0.4 - 56517221?", "\n-56517221.4\nSum 84587 and -3656.", "\n80931\nWhat is 86.9 less than -7.894105?", "\n-94.794105\nWhat is 513694130 less than 0.8?", "\n-513694129.2\nCalculate 150093 - -37920.", "\n188013\nWhat is the distance between 0.2 and -1662598789?", "\n1662598789.2\nCalculate 31740 - 40962.", "\n-9222\nSum 15 and 166197177.", "\n166197192\nWhat is -1 + 0.042934559?", "\n-0.957065441\nAdd together 38 and 1359367.", "\n1359405\n-0.0580977535 - 3\n-3.0580977535\nAdd together -5 and -917428952.9.", "\n-917428957.9\n-333 - -6071303\n6070970\nCalculate 561 - 12089205.", "\n-12088644\nWhat is 1 + 1146309.73?", "\n1146310.73\n-29915805+-7\n-29915812\nPut together -21.4 and 11308.", "\n11286.6\nAdd together -0.595 and -705683.1.", "\n-705683.695\nSum -1.8490572 and -1483.", "\n-1484.8490572\nWhat is the distance between -266168902 and -0.14?", "\n266168901.86\nSubtract 103199418 from 0.01.", "\n-103199417.99\nWhat is -4946 + 77604.4?", "\n72658.4\nWhat is 2327685 take away 0.472?", "\n2327684.528\nWhat is -0.4 take away -11722270?", "\n11722269.6\nAdd 221883 and 0.98.", "\n221883.98\nWhat is 1607 less than -2.04722?", "\n-1609.04722\nWhat is -0.6344 minus -1.81752?", "\n1.18312\nPut together 8.293954 and 422.", "\n430.293954\nWhat is 2 take away -174300.34?", "\n174302.34\nPut together 2107877114 and 0.4.", "\n2107877114.4\nWhat is -16 - -630.78059?", "\n614.78059\nSum 0 and -9976619.", "\n-9976619\nWhat is the difference between 0.29802 and -0.0001?", "\n0.29812\nWhat is -5 take away 5074.896852?", "\n-5079.896852\nAdd together 9 and -404123187.", "\n-404123178\nTotal of 7.6 and 477582734.", "\n477582741.6\nWhat is -71422 plus -14?", "\n-71436\nAdd together 6236468 and 1911.", "\n6238379\nWhat is 0.4 less than -0.090309776798?", "\n-0.490309776798\nPut together 124642.2 and 4868.", "\n129510.2\nWhat is the difference between -672 and -994.8?", "\n322.8\nTotal of -0.17 and -1768675672.", "\n-1768675672.17\nWhat is -32.7137864 plus 0.3?", "\n-32.4137864\nPut together -669 and -239546.", "\n-240215\nTotal of -68220 and -0.8.", "\n-68220.8\nCalculate -287.379 - -1085.9.", "\n798.521\nCalculate -84.2 - -7.664.", "\n-76.536\nCalculate -655.346 + -21.", "\n-676.346\nSum -7261 and 23077.", "\n15816\n-0.5 - -0.43332669\n-0.06667331\nWhat is -961992036 + -1?", "\n-961992037\nCalculate 3.8357694 - -354.", "\n357.8357694\nTotal of -4.1085 and -1223.", "\n-1227.1085\nSum -2967.212 and -16.99.", "\n-2984.202\nWhat is 133136059 + 7?", "\n133136066\nWhat is -4 less than 12026171626?", "\n12026171630\nWhat is 38 less than -43254?", "\n-43292\nSum -28131 and 70435.", "\n42304\nWork out -3.62 + 311.2.", "\n307.58\nWhat is -15384512 - -0.1?", "\n-15384511.9\nWhat is -0.07391 take away 11.8592?", "\n-11.93311\nWhat is 3816489 less than 2.9?", "\n-3816486.1\nSum 97 and 451702.", "\n451799\nTotal of -0.164677 and 0.42.", "\n0.255323\n-234528 + -51\n-234579\nWhat is 0.06 plus -836276?", "\n-836275.94\nCalculate -255.07512 - -1.", "\n-254.07512\nWhat is -167220173 minus 0.3?", "\n-167220173.3\nWhat is 0.107 take away -30364415?", "\n30364415.107\nWork out 0.0375873667 - 0.5.", "\n-0.4624126333\nSubtract 457665358 from -0.25.", "\n-457665358.25\nAdd 906.38786 and -14.", "\n892.38786\nCalculate 24872 + 6321.", "\n31193\nAdd 2632.858 and -11.634.", "\n2621.224\n-736.5395+16\n-720.5395\nWhat is 0" ]

{ "pile_set_name": "DM Mathematics" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0.024390243902439025, 0, 0.027777777777777776, 0, 0, 0.023809523809523808, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.029411764705882353, 0.027777777777777776, 0.024390243902439025, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.022222222222222223, 0.023255813953488372, 0.02631578947368421, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.047619047619047616, 0, 0, 0.02, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.030303030303030304, 0, 0, 0, 0.02127659574468085, 0.04878048780487805, 0.023255813953488372, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.03278688524590164, 0, 0.024390243902439025, 0, 0, 0, 0, 0, 0.019801980198019802, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02857142857142857, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02857142857142857, 0, 0, 0, 0.06666666666666667, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02631578947368421, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.030303030303030304, 0, 0, 0.05, 0, 0.05263157894736842, 0, 0.027777777777777776, 0, 0.013513513513513514, 0.015873015873015872, 0, 0, 0, 0, 0.015384615384615385, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.022727272727272728, 0, 0, 0.023255813953488372, 0.02564102564102564, 0, 0, 0.023809523809523808, 0.022727272727272728, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.03333333333333333, 0, 0, 0.025, 0, 0, 0.022727272727272728, 0.024390243902439025, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02702702702702703, 0, 0, 0 ]

[ "Q:\n\nJava For each loop every instance from class\n\nI start with OOP\nAnd i have following problem:\nI made a new class\nThen I made ainstance from this class\nNow, for every instance I want to do something\nI tried it with a for each loop but it doesn't work...\nThere are some syntax problems\nThis is the class:\npackage main;\n\npublic class command\n{\n String call;\n String execute;\n}\n\nAnd this from the Main class:\n private static void load() {\n command greeting = new command();\n\n greeting.call = \"hello\";\n greeting.execute = \"Hello Sir\";\n\n for (command c: command) {\n System.out.println(\"Another command...\");\n }\n\n }\n\nI don't know how to make the loop or is there another way to do it?", "\n\nA:\n\nYou can create a static list inside class command that the instances get added to in the constructor(s). ", " Then you'll always have references to whatever instances are created.", "\nHere's an example:\nimport java.util.", "List;\nimport java.util.", "ArrayList;\npublic class command\n{\n\n String call;\n String execute;\n\n public static List<command> commands = new ArrayList<>();\n\n public command() {\n commands.add(this);\n }\n\n public command(String call, String execute)\n {\n this.call = call;\n this.execute = execute;\n commands.add(this);\n }\n\n public String toString() \n { \n return \"call: \" + call + \" | execute: \" + execute;\n } \n\n}\n\nDriver class:\npublic class driver\n{\n public static void main(String[] args)\n {\n for(int i = 1; i <=10; i++)\n {\n command c = new command(\"call\" + i, \"execute\" + i);\n }\n\n for(command cmd: command.commands)\n {\n System.out.println(cmd);\n }\n }\n} \n\nOutput:\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0.003870967741935484 ]

[ "Game Four and Game Five of the 2004 American League Championship Series between the Boston Red Sox and New York Yankees will be featured in a new episode of MLB Network Countdown: Games of the Decade, 2000-2009 tonight, December 29 at 9:00 p.m. ET." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.012096774193548387 ]

[ "Field\nThe present technique relates to the field of data processing systems. ", "More particularly, it relates to data processing systems in which a comparison is required between a number of adjacent bits having a common value within an input number and a runlength specified by a (N+1)-bit variable number.", "\nDescription\nIt is known to provide data processing systems with circuitry to perform operations such as a count of leading zeros within a binary number. ", "Such a count of leading zeros once determined may then be subject to a comparison operation against a variable number to determine whether or not the runlength of the leading zeros does or does not exceed the variable number. ", "This is a two-stage operation." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Category: Apples\n\nWhen I wrote The Apple Orchard, there were edits. ", "I wanted to give the origin story of the apple, but this was cut from the final book because by the time I’d finished it, The Apple Orchard was the story of my own personal journey of discovery through the English apple year, and this just stuck out in the narrative as something that didn’t belong. ", "It was an important chapter in a book about apples, just not the book about apples that mine had become. ", "I’ve been saving it for a while but as we’re at the start of blossom time, one of the most wonderful times in the apple year, I thought I’d celebrate by publishing this story here as a long read. ", "The Apple Orchard has just been released in paperback and should be available now in all good bookshops, as well as here if you don’t know any good bookshops. ", "I’m going to be talking about the magic and mythology of the apple at Herefordshire’s Big Apple Blossomtime celebrations on Monday 1st May.\n\nThe Heavenly\nMountains\n\nLet’s play a quick game of word association. ", "I’ll say a word, and I want you to say the first word that comes into your head in response.", "\n\nOkay, here goes:\n\nKazakhstan.", "\n\nDid you think Borat? ", "If you’re reading this in the second decade of the\ntwenty-first century, I bet you did. ", "Sacha Baron-Cohen’s fictitious Kazakhjournalist is world-famous. ", "Now let’s try it again, but you need to come up with a different word.", "\n\nKazakhstan.", "\n\nAnything? ", "Anything at all?", "\n\nWeird isn’t it? ", "Kazakhstan is the world’s ninth-biggest country, at 2.7 million square kilometres, it’s fractionally smaller than Argentina, almost as big as India, and nearly twice as big as the entire European Union. ", "Yet all we know about it is a made-up comedy character. ", "At the start of his book InSearch of Kazakhstan: The Land That Disappeared, Christopher Robbins challenges a fan of Borat, arguing that no one would dare portray such a negative racial stereotype of Jews, African-Americans or the Welsh. “", "Well of course not,” replied the puzzled fan, “That’s why he invented a country!”", "\n\nRobbins goes on to illustrate how Kazakhstan suffers from our ignorance about ‘The ‘Stans,’ that mysterious and chaotic collection of states below Russia:\n\nWas that the country where the president boiled his enemies alive? ", "No, that was thereputation of the Uzbek president south of the border. ", "Was it the place where\nthe president had golden statues made of himself and placed on revolving platforms to lead the sun? ", "No again, that was next door in Turkmenistan. ", "It was an anarchic, narco-state wasn’t it, embroiled in a permanent civil war? ", "No, that was the fate of poor, blighted Tajikistan.", "\n\nIn fairness, our ignorance is hardly surprising. ", "The Russian Tsars closed the country to outsiders during theirexpansion eastwards, and then it was swallowed by the Soviet Union. ", "It was an incredible trick: the ninth largest country in the world simply disappeared. ", "And it’s re-emergence since the collapse of the USSR has had a profound impact on our understanding of the apple.", "\n\nThe first westerner to discover the great apple forests of Kazakhstan was Carl Friedrich von Ledebour, a\nGerman-Estonian botanist and professor of science at Tartu University in\nEstonia, who also founded its school of botany. ", "The nineteenth century was a\ntime of scientific classification, of epic, years-long journeys to discover and\ncatalogue as many different species of everything as we could. ", "Darwin’s\njourneys aboard the Beagle may be the most famous of these voyages, because the\ndiversity he saw inspired his theory of natural selection, but he was only one\nof many undertaking similar expeditions. ", "Von Ledebour took a particular\ninterest in the flora of the Russian Empire, and became the first person to\ncatalogue it comprehensively. ", "Within this study, he identified for the first\ntime a species he called Pyrus sieversii,\nbetter known to us know as Malus\nSieversii, the wild apple of Central Asia. ", "He discovered these apples in\nthe Tien Shan, or Heavenly Mountains, tucked in the south-western corner of\nKazakhstan.", "\n\nIn 1854 the Russians built a fort\ncalled Verniy (‘loyal’ in Russian) in the foothills of the Tien Shan Mountains,\nto protect this far-flung corner of their empire. ", "The fort grew, taking in\nRussian peasants and Kazakh nomads who had been driven from their traditional\nlands, and by the early 20th century it was a thriving city. ", "In 1921\nthe residents voted to change the name of their city to Alma-Ata, which means\n‘Father of Apples’, and in 1929 the city became the capital of Kazakhstan.", "\n\nThat same year, Alma-Ata received a\ndistinguished visitor. ", "Nikolai Ivanovich Vavilov was a botanist,\ngeneticist, agronomist and geographer, a brilliant scientist, hailed by some\nwho knew him as a genius. ", "Having grown up in a poor rural village that was perpetually\nhit by crop failures and food rationing, he was obsessed by food security and\nthe prevention of famine both at home in Russia and around the world. ", "He\nbelieved that the best way to understand plants and the potential for their\ncultivation was to establish their original source in the world, and developed\nan over-simplistic but not entirely inaccurate theory that the likely origin of\na species of plant was the place where today it shows the greatest genetic\ndiversity. ", "Effectively, such places were nature’s laboratories, where different\npermutations were worked through until the best ones were developed. ", "Vavilov\ntravelled the world collecting thousands of seeds, and established the world’s\nlargest seed bank in Leningrad.", "\n\nIn 1929 he was travelling by mule\ntrain across Uzbekistan and Kyrgyzstan, attempting to reach western China via a\nmountain pass. ‘", "The path turned out to be more difficult than we expected, and,\nin fact, we lost two of the horses,’ he wrote later. ‘", "But somehow we reached\nthe northern slopes of the range where we found a road leading directly to\nAlma-Ata.’", "\n\nWhat he found there astounded him.", "\nIn Five Continents, the book that set\nout his theory of plant origins, he wrote:\n\nThickets of\nwild apples stretch out through an extensive area around the city and along the\nslopes of the mountains, here and there forming a real forest. ", "In contrast to\nthe small, wild apples of the Caucasus, the wild apples of Kazakhstan are\nrepresented mainly by large-fruited varieties, not differing much from cultivated\nspecies. ", "It was the first of September and the time when the apple ripen. ", "We\ncould see with our own eyes that here we were in a remarkable centre of origin\nof apples, where cultivated forms did not rank noticeably above wild ones and\nwhere it was difficult to distinguish wild apples from those cultivated. ", "Some\nof the forms in this forest were so good in respect to quality and dimensions\nthat they could be directly grown in a garden…\n\nThe slopes of the Tien Shan were,\nhe believed, a ‘living laboratory where one can see the evolutionary process\nunfolding before one’s eyes.’", "\n\nFive\nContinents was the most important book on plant origins ever published up\nto that point. ", "It had the potential to radically improve our understanding and\ncultivation of important pants. ", "But that didn’t happen. ", "Instead, the world\nforgot all about Vavilov and his sensational discoveries, just as it forgot\nabout Kazakhstan.", "\n\nVavilov’s problem was that he\nbelieved science should be kept separate from politics. ", "That may sound perfectly\nreasonable, but Joseph Stalin, who came to power in 1924, disagreed. ", "Around the\nsame time, Vavilov befriended an ambitious young scientist called Trofim\nLysenko. ", "Eleven years younger than Vavilov, Lysenko was a peasant by background\nwho had gained his degree from a correspondence course. ", "When he met Isai\nPrezent, a political ideologue, their fusion of politics and science began to\nfind favour within the Soviet hierarchy.", "\n\nBy this point, the science of plant\ngenetics was well understood. ", "Gregor Mendel’s work in the mid- to late\nnineteenth century had established the basic principle of genetic inheritance.", "\nControversial at the time, it was rediscovered and elaborated upon in the 1900s\nby a number of scientists, including British biologist William Bateson, with\nwhom Vavilov had spent time studying plant immunity.", "\n\nBateson was the first person to use\nthe term ‘genetics’ to describe the study of heredity, and was the main\nchampion of Mendel’s ideas once they had been rediscovered. ", "So it came as a\nshock when Lysenko, who Vavilov had once regarded as his protégé, rejected the\nentire basis of Mendelian genetics. ", "Lysenko falsely claimed to have invented\nthe process of ‘vernalisation’, where wheat varieties normally sown in winter\ncould be made to behave like those sown in spring. ", "In reality the procedure had\nbeen familiar to farmers since the early 1800s, but Lysenko made grossly\nexaggerated claims about its efficiency. ", "He also claimed that by changing the\nconditions a plant was experiencing, you didn’t just change its behaviour; you\nwere creating a new species of plant, one which would pass on its new\ncharacteristics to its offspring. ", "In this way, grain that could only grow in\nwarm climates could be made to grow in cold climates too, and the Soviet food\nsupply could be guaranteed.", "\n\nAll this was rubbish of course. ", "It\nwas little more than a rehash of Lamarckism, the idea that an organism can pass\non characteristics that it acquired during its lifetime to its offspring, which\nhad been destroyed by Darwinism. ", "But in Soviet Russia, it was heralded as a new\n‘Soviet genetics’, and Lysenko became the most influential scientists in the\nUSSR. ", "Until the 1930s Russia had been a world leader in the advancement of\ngenetics. ", "Now Lysenko dismissed mainstream genetics as ‘harmful nonsense.’", "\nStalin began working on a five-year plan to enforce the collectivisation of all\nfarms, applying Lysenko’s principles. ", "Lysenko began praising his master in\nspeeches as ‘The Great Gardener.’", "\n\nVavilov shook his head in\ndisbelief, asking, “Is this some kind of religion?” ", "If religion and science are\nrelated in the ways they seek to understand and explain the world, this was a\ncult masked as science. ", "With no scientific proof, it was all about faith. ", "It\nappealed to Stalin’s sense that the Soviet machine could improve everything,\neven breeding undesirable traits out of people. ", "By 1940 Lysenko had\nsuccessfully eradicated any mention of the great 19th century\ngeneticists from school textbooks.", "\n\nWhen the collectivisation\nexperiment inevitably failed, cognitive dissonance ruled the day. ", "The problem\ncouldn’t possibly be Comrade Lysenko’s crackpot theories – someone must have\nsabotaged the great experiment. ", "Between 1934 and 1940, eighteen of Vavilov’s\ncolleagues were arrested, and almost every serious agricultural publishing\noutlet was closed. ", "Vavilov’s remaining colleagues, worried for their safety,\nbegan to disown him. ", "His research was cut and he was barred from travelling.", "\n\nFinally, in 1940 Vavilov himself\nwas arrested and charged with being an anti-Soviet spy who had sabotaged crop\nproduction. ", "After days of 13-hour interrogations, he cracked and confessed to\ntrumped-up charges of wasting state funds, deliberately creating a shortage of\nseeds and disrupting the rotation of crops. ", "He was even accused of ‘damaging\nthe landing grounds in the Leningrad military region by sowing the airport with\nweeds.’", "\n\nVavilov was sentenced to death,\nwhich was later commuted to twenty years imprisonment. ", "He died in a hard labour\ncamp in 1943.", "\n\nBy that time Leningrad had been\nunder siege for two years by the Nazis. ", "Stalin had rescued the art from the\nHermitage ‘for the future enjoyment of all people,’ but he ignored Vavilov’s\nseed collection at the Institute of Applied Botany and New Crops. ", "Vavilov’s\nremaining colleagues preserved large parts of the seed collection by hiding it\nin the cellars, keeping it intact, refusing to eat the seeds even though nine\nof them starved to death by the time the siege was lifted in 1944. ", "Their\nincredible bravery was for nothing: after the war the collection fell into\nLysenko’s hands, who allowed it to be ruined by the cross-breeding and\noutbreeding of different strains.", "\n\nThrough the middle of the twentieth\ncentury, advances in our understanding of plant genetics allowed food\nproduction to soar around the world. ", "When followers of Thomas Malthus predicted\nthat a rising population would result in global starvation by the 1970s, this\ndidn’t happen because the yields from fields and orchards rose faster than the\npopulation did. ", "In the USSR, until Lysenko’s demise in 1954, agriculture went\nbackwards. ", "By the time of his death the Soviet Union was fifty years behind the\nrest of the world in agricultural practice – surely a factor in its eventual\ndemise.", "\n\n*\n\nIn 1929, when Nikolai Vavilov made\nit into Alma-Ata after losing two of his horses, the residents tried to help\nhim by supplying more. ", "As it happened, Vavilov declined their offer because a\ncolleague was on the way with motorised transport. ", "But for Aimak Dzangaliev, a\nfifteen year-old boy charged with looking after Vavilov’s fresh horses, the brief\nencounter with Vavilov would change his life – and perhaps the future of the\napple.", "\n\nDzangaliev was amazed that an\neminent scientist from Leningrad would come all the way to Alma-Aty to look at its\napples. ", "Seeing them through Vavilov’s eyes inspired Dzangaliev to study them\nhimself. ", "After going to study with Vavilov in Leningrad, he returned to\nAlma-Aty to continue the work Vavilov had started. ", "He spent the next sixty\nyears with his wife, Tatiana Salova, cataloguing and researching Kazakhstan’s\nfauna. ", "They discovered that of 6000 species, at least 157 were either direct\nprecursors or close wild relatives of domesticated crops. ", "They found that 90\nper cent of all cultivated fruits in the world’s temperate zones had wild\nrelatives or ancestors historically found in Kazakhstan’s forests, in their\neyes confirming Vavilov’s by now forgotten theory that this was the birthplace\nof the apple. ", "They catalogued more than 56 native forms of apples, 26 of which\nlooked like purely wild ecotypes, with another 30 being natural or\nsemi-domesticated hybrids.", "\n\nThere was just one problem for\nDzangaliev: his beloved forests were disappearing. ", "Since 1960 between 70 and 80\nper cent of Alma-Aty’s wild forests have been lost to luxury apartments and\nhotels, holiday chalets and summer cabins.", "\n\nWhen the Soviet Empire collapsed,\nDzangaliev, now in his eighties, contacted plant scientists in the United\nStates and begged them to come and help save his apples. ", "Phillip Forsline, a\nhorticulturalist at the Plant Genetic Resources Unit in Geneva, New York, led a\nnumber of expeditions in the 1990s and was amazed by what he saw.", "\n\nApples don’t grow in apple tree\nforests. ", "They grow here and there, wherever the seeds fall. ", "That’s why an\norchard looks so stunning: it’s something you don’t see in nature, the product\nof human co-dependence with nature to produce something neither can on their\nown. ", "Unless, that is, you’re in the Tien Shan mountains. ", "Dzangaliev welcomed\nForsline with a firm handshake and an astonishing passion and energy for a man\nin his eighties. (", "He credited his health and longevity to a constant diet of\nwild apples, eating at least one every day.) ", "He led Forsline into Tien Shan’s\napple trees forests, and showed him dense clusters of trees that were 300 years\nold, fifty feet tall with trunks as wide as oaks, still producing healthy crops\nof apples. ", "The variety of those apples was astonishing: dun russet and shiny\nsmooth, marble-sized and melon-sized, reds, greens, pinks, purples, yellows and\ngold. ", "Some of the wild varieties had grown as big as domesticated apples in the\nwest. ", "From the samples they took, Forsline and his team estimated that the\napples in the rest of the world together contained no more than 20 per cent of\nthe genetic diversity on show in the Kazakh forests. ", "Somewhere in that gene\npool may lie resistance to blight, scab, or pests which can be bred into our\nfavourite apple varieties, or even possibilities for the apple that we haven’t\nyet thought to explore. ", "At a time when ever-fewer commercial varieties are\ncultivated widely, becoming less resistant to disease thanks to their\nintensively monocultural breeding, the birthplace of the apple may well contain\nits future.", "\n\nIn the early twenty-first century,\na series of researchers used molecular genetic markers capable of\ndistinguishing between species to establish that what Vavilov had deduced from\nobservation was correct: the domesticated apples cultivated across the Western\nworld had so much in common genetically with the wild apples of the Tien Shan\nmountains that they were without doubt descended from there.", "\n\nBut why here? ", "How can one spot produce\nso much genetic diversity? ", "Barrie Juniper, a plant scientist from the\nUniversity of Oxford and the first person to confirm Vavilov’s hypothesis on\nthe origins of the apple, has a pretty good idea. ", "Around ten million years ago,\nearthquakes and shifting tectonic plates began to create the mountain ranges of\nInner and Central Asia. ", "At this time, an early form of the apple became trapped\non the rising land. ", "The Tien Shan never glaciated during the Ice Ages, and was fed\nby a constant supply of water from the snow pack above. ", "Glaciers on one side\nand emerging deserts on the other cut the region off from Europe and the rest\nof Asia, but in this lost, fertile valley, plants and animals interacted and\ncross-bred. ", "As well as apples, the Tien Shan region is also remarkable for its\ndiversity and concentration of walnuts, peaches and a whole array of fruit and\nnut varieties.", "\n\nI never got to make the journey to\nKazakhstan mysslf, but I consoled myself by reading the many accounts written\nby scientists who have been. ", "Every one of them is filled with awe and wonder at\nthese forests, even in their diminished state. ", "It’s hardly surprising – in fact\nprobably inevitable – that when he first saw the apple forests, Phillip\nForsline declared that they had found ‘the real Garden of Eden located in the\nKazakh mountains.’", "\n\nI’m enormously proud, and more than a little nervous, that this morning BBC Radio 4 will be broadcasting the first episode of the serialisation of my new book, The Apple Orchard.", "\n\nMy last narrative book, Shakespeare’s Local, was also Book of the Week, so I guess lightning can strike twice. ", "It’s an enormous honour to be chosen. ", "Shakespeare’s Local was read out by Tony ‘Baldrick’ Robinson, who made my words sound about 100 times funnier and more interesting than they read on the page. ", "To follow that up, the producers decided they would like The Apple Orchard to be read by… me.", "\n\nI can talk on radio just fine, but reading out something scripted is an entirely different skill, one I learned quickly in a studio in Glasgow three weeks ago. ", "You can hear the results at 9.45am each day this week, Monday to Thursday.", "\n\nThere are many different strands to The Apple Orchard. ", "Most people who know me keep referring to it as my ‘cider book’, and I have to stop myself referring to it in that way still. ", "There’s a lot of cider drunk in the book, and cider production is addressed in detail towards the end, but it’s mainly about the cycle of the apple year, the history and nature of apple cultivation, and the symbolism and significance of this fruit in our lives, what it tells us about systems of belief and how we make sense of the world.", "\n\nThat’s an awful lot to fit into four fifteen minute broadcasts, so the abridger at Radio 4 had to choose one thread to follow. ", "He chose to focus on the cycle of the apple year and what needs to be done in the orchard at various times. ", "So this week, you can hear about the origins of the apple and how it came to England, how I learn to prune and graft apple trees, and the joy of apple harvest. ", "I think of it as a ‘remix’ of the book, with different elements shuffled around to create something new, simpler and leaner.", "\n\nThis seemingly ordinary fruit is in fact one of the most potent symbols in our lives. ", "It was a life-changing joy to unravel its story.", "\n\nIf you’re not near a radio at 9.45am, you can catch up on iPlayer by following the link in the screen grab above. ", "The Apple Orchard will be available for about 30 days.", "\n\nI‘ve been asked a lot if all this means I don’t write about beer any more. ", "I can assure you that I do. ", "I’m doing the final edits to my new beer book this week, which will be available spring 2017. ", "After I’ve finished that, I’ll be blogging all the stuff about beer I didn’t have time to address while I was working on these books. ", "I’m also writing regularly for the Morning Advertiser, Original Gravity and Ferment magazines.", "\n\nAutumn is a season of two halves. ", "Both are definitely autumn, but one is summer’s older sibling, looking back fondly, while the other is winter’s harbinger. ", "The change comes almost overnight some time late in October, just before the clocks go back. ", "By this time we’ve all been remarking for several weeks that the nights are drawing in and it’s getting a bit chilly, but then, around the 21st – which is, coincidentally (or not) now celebrated as Apple Day – the season finally shifts its weight to the other foot.", "\n\nBefore the change it’s all about crisp blue skies with a chill at the edge, the leaves turning and sweaters coming out of the wardrobe. ", "After, it’s mud, rain, bare branches and those recently beautiful golds and yellows and browns clogging the drains and flying in your face. ", "In short, Autumn Part One is a time to be outside. ", "Part Two is the bit where you rediscover the joys of open fires, home baking and soup.", "\n\nEvery year, it’s a panicked rush to make sure I enjoy Autumn Part One as much as I can. ", "It’s a very busy time of year with festivals, events and trade shows, and from early September to mid-October I’m invariably living out of suitcase most of the time. ", "So when Thatcher’s Cider invited me down to Somerset for a walk in their orchards – with no other agenda than simply catching up with each other – I jumped at the chance.", "\n\nThatcher’s has grown at an incredible rate in the last few years. ", "Many locals still remember when it was a small cider farm, but now it’s a national brand. ", "Thatcher’s Gold is pretty much a mainstream cider now, dismissed by purists but superior to the likes of Magner’s, from which it seems to be soaking up a lot business. ", "It doesn’t appeal to me personally, but there are other ciders within the Thatcher’s range that do, particularly the crisp, satisfying oak aged Vintage. ", "The new special vintage blends of apple varieties, such as Tremletts and Falstaff, are also really interesting.", "\n\nBut for me, the most exciting thing Thatchers has done recently is to create a periodic table of the apples they use.", "\n\nI can’t really post a big enough picture of it here to do it justice, though you should hopefully be able to enlarge it.", "\n\nApart from it being ridiculously clear and informative, and fascinating if you’re an apple nerd like me, this is what the whole cider industry needs to be looking at. ", "Good cider is made from apples. ", "Obvious I know, but bad cider is made from cheap, imported apple concentrate of indeterminate origin.", "\n\nDifferent apples have different characteristics, just like different grapes or hops. ", "Wine became popular in the UK when people began to discover their favourite grape varieties. ", "Craft beer exploded when people started to learn about different hops. ", "It really doesn’t take a genius to see apple varieties as the key building block for a stable, established premium quality cider market.", "\n\nMartin Thatcher is genuinely fascinated by apples, after having spent his whole life around them. ", "Walking around the massively expanded cider production facility at Myrtle Farm in the village of Sandford, he points to the house where he was born. “", "I’ve moved house six times in my life,” he says, “And I think they’re all within about 600 yards of each other.”", "\n\nBetween these houses there are over 500 acres of orchards.", "\n\nMartin is currently experimenting with the effects of terroir. ", "He’s planting stands of the same apple varieties in different types of soil and monitoring the results, and is convinced the fruit will show significant differences.", "\n\nYou can see where this hunch comes from down in the Exhibition Orchard.", "\n\nHere there are 458 different cider apple varieties. ", "When the Long Ashton Research Station’s Pomology and Plant Breeding programme was disbanded in 1981, Martin’s father John took cuttings from as many different trees as he could and grafted them onto rootstock in his own orchard. ", "It’s just as well he did: the Long Ashton orchards were bulldozed soon afterwards, and a library of old cider varieties could have been lost for ever.", "\n\nWalking around the Exhibition Orchard in a brief but wonderful interval of clear blue skies, I’m compelled to take photos like some kind of apple ticker. ", "My cider comrade Bill Bradshaw always says that when he was commissioned for a photography project about apples and cider making, he found he couldn’t stop afterwards. ", "I now see why. ", "He’s a professional photographer. ", "I’m a bloke who can just about work out how to point a smartphone in the right direction. ", "But the apple demands to be captured and recorded. ", "It’s the centre of still-life art. ", "The artists who create Pomonas – the visual guides to apple varieties – obsess over capturing their beauty far more than they need to for simple identification purposes.", "\n\nAt various points, Martin stops and points to groups of trees bursting with life and fruit, and to others next to them, small and wizened, like the last kids to get picked when a school games lesson splits into two football teams. “", "These were planted at the same time, in the same soil, and given exactly the same watering, pruning and spraying regime,” says Martin. “", "Look at the difference.”", "\n\nIf you’re a grower, that’s fascinating. ", "But if you’re a lucky tourist in the orchard at harvest time, you have eyes only for those that have decided this particular soil type, this precise elevation and position, is just right, and have shown their gratitude in the best way they know.", "\n\nWhen I wrote World’s Best Cider in 2013 with Bill, that book required the short, sharp, snappy sections typical of the guide book: 60 words on a cider here, 500 words on that cider maker there, 1000 words on the history, and so on. ", "My books are normally long-form narrative, and I found much of my best writing was on the cutting room floor, so to speak, because it didn’t really belong in the cider book.", "\n\nMore importantly, the best stuff – or rather, the stuff that interested me the most at any rate – wasn’t about cider at all, but about apples, the people who grow them, the places they’re grown, and especially the history and mythology around them. ", "Once we finished researching the cider book, I found myself missing orchards, and desperate to find a way to spend more time in them.", "\n\nSo I decided to write about apples themselves. ", "Not just cider apples, but eating apples and dessert apples too.", "\n\nI wanted to trace the history of what we believe to be a quintessentially English fruit through both our real and imagined past. ", "Because I quickly realised that the apple is the the most symbolically laden of any fruit – indeed of any food. ", "Across many different mythologies and religions, in popular culture and phraseology, the apple dominates. ", "And it does so out of all proportion to its actual importance to our diet. ", "Sure, we eat a lot of apples, but if symbolic importance was proportionate to dietary importance, the Beatles would have released their records on the Wheat label, and New York would be affectionately known as The Big Loaf.", "\n\nI lost the whole summer of 2014 to the seemingly simple question of whether the Forbidden Fruit in the Bible was an apple or not. ", "Genesis never specifies what the fruit was, but the Western World has believed it to be an apple since the Middle Ages.", "\n\nPieter Paul Rubens’ depiction of Eden and the Forbidden Fruit\n\nAnd yet when Michelangelo painted the roof of the Sistine Chapel, he clearly depicted it as a fig.", "\n\nMichelangelo’s Forbidden… er, Fig\n\nThis could have been a whole book in itself – I read many on the subject. ", "And they brought me, via the Middle East, South America, The Himalayas, the North Pole, the Happy Isles and the Moon, back round to the birth of modern horticulture.", "\n\nI decided to follow the apple through the course of a year. ", "It has its big showtimes at blossom in May and harvest in October, but as with anything in horticulture and agriculture, apple growing is a year-round activity.", "\n\nI learned how to graft and prune fruit trees. ", "I picked apples in an orchard on the slopes of Glastonbury Tor, beneath which King Arthur sleeps, immortal thanks to the magical apples of Avalon.", "\n\nI also discovered, on my very first orchard visit with Bill, that I’ve developed a very serious allergy to eating apples. ", "Thankfully whatever is causing the problem is left behind in the solid, or ‘pomace,’ when apples are pressed, because I can drink cider, and also, happily I discovered I can drink fresh apple juice. ", "There are 4000 named varieties of apple cultivated in Britain, and a tasting of single variety juices revealed to me the astonishing array of flavours they possess.", "\n\nThe book ranges from myth to genetic modification, from wassail to the economics of the modern apple growing industry through meditations on soil. ", "It’s a personal journey though the subject rather than an exhaustive history, but that’s what my new editor at Penguin felt the book needed to be. ", "We cut a lot of stuff out about mythology and history and how this supposedly English fruit was originally born in Kazakhstan, because the book would have been rambling and unfocused and 500 pages long if we’d left it in. ", "But my journey through orchards still gives chance to touch on all these points.", "\n\nI’m delighted to be recording an edition of BBC Radio 4’s Food Programme about the book next week, which is provisionally slated for broadcast on Sunday 9th October. (", "More details to follow when confirmed.) ", "And I’m doubly delighted that BBC Radio 4 have also picked up The Apple Orchard as Book of the Week, to be read out every morning w/c 5th December.", "\n\nI’m nervous about this, my first book that has no link at all to beer or pubs (although cider is made and consumed in the later chapters). ", "I hope that even if you’ve never really thought that much about apples – as I hadn’t until I first entered an orchard with a notebook in my hand – you’ll find this fascinating and diverting. ", "The apple is a complicated, mysterious treasure hiding in plain sight and trying to look boring, and its history shines a different light on the history of humanity, and what we believe in.", "\n\nThe photos in this blog were taken by me primarily as aides memoire while I was writing. ", "the book is not illustrated.", "\n\n* The first of the three books I very stupidly signed up to write simultaneously was The Pub: A Cultural Institution, which was published in mid-August 2016. ", "The third and final book is my journey through the nature of beer – an exploration of hops, barley, yeast and water. ", "I submitted a complete first draft of this to my publisher two weeks ago. ", "This is the one through Unbound, which uses rewards-based crowdfunding to cover publication costs before publishing books in the usual manner. ", "The book is due out in May/June 2017, but subscribers will get their copes as soon as it’s back from the printers, which will probably be a couple of months earlier. ", "Even though the book is fully funded, if you want to get a copy of it before publication as well as other rewards, you can still subscribe here.", "\n\nGood marketing practice is not that difficult. ", "It just seems that it’s so much easier to screw it up.", "\n\nWhenever I’ve been in a meeting room where marketers are discussing social media, everyone agrees unanimously that the difference between it and straightforward advertising is that it’s a two-way street. ", "Twitter and Facebook are platforms for conversations. ", "In strategic meetings, at conferences and in marketing textbooks everywhere, everyone says they understand this.", "\n\nAnd yet in practice, it’s so very different.", "\n\nToday, this tweet appeared on my timeline.", "\n\nIt made me quite annoyed. ", "While I’m sure there is the equivalent of the juice from eight apples in a pint of Strongbow, by omission it very clearly implies that this is all there is. ", "It suggests that the apples are squeezed, the juice is fermented, and that’s basically it.", "\n\nBut this is completely untrue. ", "Strongbow is approximately 37% apple juice . ", "If that’s the wrong figure, I’ll happily correct it if anyone from Bulmers – now part of Heineken – cares to tell me the correct figure. ", "But they won’t, because they don’t want you to know. ", "Anyway, I’ve been told on good authority that it’s 37%.", "\n\nThat juice has been reconstituted from concentrate, much of which is shipped in from abroad. ", "Bulmers does use a lot of apples from Herefordshire as they claim, but there are not enough apples in Herefordshire to cater for the huge volumes it makes.", "\n\nStrongbow then has more water added to bring the alcohol strength down from its natural 7-8% ABV, and lots of sugar, additives and flavourings to stop it tasting so watery.", "\n\nSo the tweet above is misleading, if not downright dishonest.", "\n\nYou can get away with that in advertising (though I will also be complaining to the Advertising Standards Authority about this tweet) but you can’t get away with it in the conversation that is social media.", "\n\nYou might be able to make out the first response above: “that’s bollocks and you know it!”", "\n\n“You’d probably find it easier to press them [apples] rather than squeeze.”", "\n\nThis reminds me of the claim in another tweet from the brand which claims Strongbow is ‘brewed in Herefordshire’. ", "I’m not sure how Strongbow is made, but I do know that cider is not ‘brewed’. ", "Brewing is the heating/boiling of water with infused ingredients, such as tea leaves or hops. ", "Cider is ‘made’ – at least in the method that Strongbow claims to follow here – and no brewing takes place. ", "You’d really expect the UK’s biggest cider brand to know a little bit about how cider is made.", "\n\nYou could argue that people who drink Strongbow don’t really care about this, and there are enough ‘so what?’ ", "comments on the thread to suggest you would have a point.", "\n\nBut either way, what is Strongbow’s response to this? ", "How does the brand react to having its claims challenged in a conversational medium?", "\n\nIt completely ignores them.", "\n\nThe above statements, which are potentially very damaging to the brand, remain completely unanswered. ", "As does every other comment on the thread. ", "The above pic was first posted on 9th August, and Strongbow UK have not responded to a single comment.", "\n\nYou could argue that with regard to their critics, they simply stopped digging – but I still believe it’s foolish to leave these criticisms up there, unanswered. ", "But elsewhere in the thread there are real fans of the brand who get the same silent treatment: several people ask semi-seriously if a pint of Strongbow counts towards their five a day. ", "One fan asks if he can blag some beer mats or other swag for his pub shed. ", "Another asks if the tall glass featured in the shot is available to buy.", "\n\nCurious, I went through a few other tweets, and its the same story every time: a mix of stinging criticism and genuine questions from passionate fans, ignored. ", "Having looked at five or six threads, I can’t find a single follow-up comment from the brand.", "\n\nWhat a genius way to do marketing!", "\n\nJoin a conversational medium and use it as free advertising space. ", "Make outrageous claims that you couldn’t get away with on TV. ", "Then allow your critics to take potshots at you on your own timeline, leaving them there for everyone to see, making you look stupid and dishonest, and also piss off your most loyal fans by ignoring them as well.", "\n\nNo wonder this brand with a marketing budget running into millions has got fewer than 10,000 Twitter followers. ", "They’re actually lucky they don’t have more people to watch online brand marketing commit painful suicide.", "\n\nBoys and girls of Strongbow, I’m afraid you really haven’t earned it with this sad, sorry show." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.014705882352941176, 0.0033333333333333335, 0, 0, 0.006289308176100629, 0.004761904761904762, 0, 0, 0.043478260869565216, 0, 0.015384615384615385, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0049261083743842365, 0, 0.008403361344537815, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.013157894736842105, 0, 0.009569377990430622, 0.0072992700729927005, 0, 0, 0.006024096385542169, 0.006097560975609756, 0.00625, 0.01639344262295082, 0.006896551724137931, 0, 0, 0, 0, 0.007575757575757576, 0, 0, 0, 0.004201680672268907, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.010638297872340425, 0.010752688172043012, 0.007874015748031496, 0.007407407407407408, 0, 0.008403361344537815, 0.009523809523809525, 0.011764705882352941, 0.007633587786259542, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01680672268907563, 0, 0, 0, 0, 0.0078125, 0, 0, 0, 0.007194244604316547, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.013513513513513514, 0.01675977653631285, 0, 0, 0, 0.004629629629629629, 0, 0, 0.014285714285714285, 0.009433962264150943, 0.015544041450777202, 0.008130081300813009, 0.02564102564102564, 0.017543859649122806, 0.009174311926605505, 0, 0.003816793893129771, 0, 0, 0, 0, 0.012121212121212121, 0, 0, 0, 0, 0.008547008547008548, 0, 0.004901960784313725, 0.006578947368421052, 0, 0.004975124378109453, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01764705882352941, 0, 0, 0, 0, 0.00625, 0, 0, 0.009950248756218905, 0.011111111111111112, 0.008849557522123894, 0, 0.012578616352201259, 0.010752688172043012, 0, 0.013513513513513514, 0.017543859649122806, 0, 0, 0.007751937984496124, 0, 0, 0, 0, 0, 0.017241379310344827, 0.018518518518518517, 0.012987012987012988, 0, 0, 0, 0.010638297872340425, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0058823529411764705, 0.014705882352941176, 0, 0.005952380952380952, 0.006535947712418301, 0, 0.008403361344537815, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01, 0.013333333333333334, 0, 0, 0.015384615384615385, 0, 0.0136986301369863, 0, 0.013100436681222707, 0, 0.00641025641025641, 0.005952380952380952, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004273504273504274, 0.007352941176470588, 0, 0, 0, 0.004273504273504274, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004484304932735426, 0.007575757575757576, 0, 0.012269938650306749, 0.018018018018018018, 0.006060606060606061, 0, 0, 0, 0.02054794520547945, 0.008064516129032258, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005917159763313609, 0, 0.013605442176870748, 0, 0, 0, 0, 0, 0.00625, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0072992700729927005, 0, 0, 0, 0.012903225806451613, 0, 0, 0.004807692307692308, 0, 0, 0.008620689655172414, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Design of a coaxial window for high power CW magnetron\n\nAbstract\n\nFor a coaxial window of 2450 MHz, 60 kW magnetron, there are mainly two main requirements. ", "One of the requirements is its low reflection coefficient at 2450 MHz operating frequency, the other is its handling capacity of more than 60 kW CW power. ", "This paper is to establish initial design methods using the transmission line theory for such a coaxial window, then analyzing the voltage breakdown and the overheating problem." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0.0064516129032258064, 0 ]

[ "Margaret Leiteritz\n\nMargaret Leiteritz (1907–1976) was a German painter who studied at the Bauhaus in Dessau from 1928 to 1931.", "\n\nIn the 1960s and early 1970s, Leiteritz produced her 'painted diagrams', which drew heavily from the scientific articles and books in her care (she was a professional librarian before becoming a painter). ", "\n\nMany of her works were strongly influenced by chemical engineering, and especially the field's graphs which depicted physical properties of substances. ", "Leiteritz's paintings typically reworked a mundane graph using large expanses of colour and a bold abstract theme, into a dynamic painting. ", "Other works are reminiscent of a Bunsen burner flame or a DNA gel.", "\n\nOne of her most famous paintings, \"Crossing at the Left Border\" (1966; oil on linen), appeared on the cover of the catalogue for an art exhibition in Chicago in 1969. ", "This painting is known to have been inspired by a specific graph appearing in an otherwise unremarkable paper of the American Institute of Chemical Engineering Journal.", "\n\nHer work has much in common with that of Paul Klee.", "\n\nReferences\n\nCategory:20th-century German painters\nCategory:20th-century women artists\nCategory:German women painters\nCategory:Bauhaus alumni\nCategory:1907 births\nCategory:1976 deaths" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.015748031496062992, 0.004830917874396135, 0, 0.007142857142857143, 0.015151515151515152, 0, 0.005952380952380952, 0.018867924528301886, 0 ]

[ "Q:\n\nskia decoder->decode returned false when download image and display in imageview\n\ni have a php page which return image from php page in json format\n $result = mysql_query(\"SELECT image FROM image_table WHERE email_id = '$email'\");\n\nif (!", "empty($result)) {\n if (mysql_num_rows($result) > 0) {\n\n $result = mysql_fetch_array($result);\n\n $user = array();\n $user[\"image\"] = base64_encode($result[\"image\"]);\n $response[\"success\"] = 1;\n $response[\"image_table\"] = array();\n\n array_push($response[\"image_table\"], $user);\n echo json_encode($response);\n } else {\n $response[\"success\"] = 0;\n $response[\"message\"] = \"No Image found\";\n echo json_encode($response);\n }\n\nwhich return me something like\n {\"success\":1,\"image_table\":[{\"image\":\"iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGQAAABkCAIAAAD\\/gAIDAAAAA3NCSVQFBgUzC42AAAAgAElEQVR4nDS70Y8c2XXm+WXUiewTyYhi3GIGO4Nkkgx2J1tZraLMsptyU6sWRMGtdQte2dLsGB4NsLPQww4wuy8LP\n\nwhen i use this in my class imageview dosent show my image....and asynctask activity continuesly running......\n class LoadImage extends AsyncTask<String, String, String> {\n @Override\n protected void onPreExecute() {\n super.onPreExecute();\n pDialog = new ProgressDialog(MainActivityMap.this);\n pDialog.setMessage(\"Loading Image. ", "Please wait...\");\n pDialog.setIndeterminate(false);\n pDialog.setCancelable(false);\n pDialog.show();\n }\n protected String doInBackground(String... args) {\n List<NameValuePair> params = new ArrayList<NameValuePair>();\n params.add(new BasicNameValuePair(\"username\", email));\n json= jsonParser.makeHttpRequest(url_img_address, \"GET\", params);\n\n Log.d(\"Image: \", json.toString());\n\n try {\n int success = json.getInt(TAG_SUCCESS);\n\n if (success == 1) {\n address = json.getJSONArray(TAG_IMAGE_TABLE);\n for (int i = 0; i < address.length(); i++) {\n JSONObject c = address.getJSONObject(i);\n image = c.getString(TAG_IMAGE);\n InputStream stream = new ByteArrayInputStream(Base64.decode(image.getBytes(), Base64.DEFAULT));\n bmp=BitmapFactory.decodeStream(stream); \n\n } \n } else {\n\n }\n } catch (JSONException e) {\n e.printStackTrace();\n }\n\n return null;\n }\n\nprotected void onPostExecute(String file_url) {\n pDialog.dismiss();\n ivProperty.setImageBitmap(bmp);\n\n }\n\n}\n\nwhen i use this in my asuncktask....i have one more logcat result ..i.e\n03-31 18:16:03.358: D/skia(2622): --- decoder->decode returned false\n\nwhat is the issue and how to solve it......thx in advance\n\nA:\n\nTry this,\nString strPicture;\nfor (int i = 0; i < address.length(); i++) {\n JSONObject c = address.getJSONObject(i);\n strPicture= c.getString(TAG_IMAGE);\n byte bytePic[] = null;\n try {\n bytePic = Base64.decode(strPicture, Base64.DEFAULT);\n } catch (Exception e) {\n e.printStackTrace();\n }\n\n if (bytePic !", "= null) {\n ByteArrayInputStream imageStream = new ByteArrayInputStream(\n bytePic);\n Bitmap theImage = BitmapFactory.decodeStream(imageStream);\n imageStream.reset();\n imageView.setImageBitmap(theImage); //Setting image to the image view\n }\n}\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0.004625346901017576, 0.002672367717797969, 0 ]

[ "Q:\n\nRegex help to find a text is not linked in xml\n\nI Need Some Regular expression help in c# finding non linked chapters\nin this bellow example chapter 7 is linked but chapter 6 and chapter II are not linked i want to find those who not linked (some other cases listed in code). ", "\nxml example:\n...\n<p class=\"text_noindent\"><a id=\"page_47\"/>Much of this will\nbe explained further in the <a xref=\"ch007\">chapter 7</a>context of the charity fashion\nshow described in Chapter 6. ", "Chapters II</p>\n...\n\nmy code to find this is\nRegex.", "Matches(chk.", "Replace(\"(\", \"\").Replace(\")\", \"\"), \"[^<>/\\\"]\\\\s*(figure|table|fig.|tab.|chapters|chapter|chap.|cap.|part|figures|tables|chapters|figs.|tabs.)\\\\s[0-9]+[^a-zA-Z0-9]\", RegexOptions.", "IgnoreCase);\nRegex.", "Matches(chk.", "Replace(\"(\", \"\").Replace(\")\", \"\"), \"[^<>/\\\"]\\\\s*(figure|table|fig.|tab.|chapters|chapter|chap.|cap.|part|figures|tables|chapters|figs.|tabs.)\\\\s(XC|XL|L?X{0,3})(IX|IV|V?I{0,3})[^a-zA-Z0-9]\", RegexOptions.", "IgnoreCase);\n\nbut its select options like \nscape 1,\nstab \nstable\n...\netc word also can any one suggest me best solution\n also\n\nA:\n\nA better option to select whole words is to surround the pattern with \\b, like this\n\\b(chap|chapter|etc)\\s+[0-9]+\\b\n\nthis will also exclude punctation etc., ", "so you not need to exclude [^<>\"].", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0, 0.011235955056179775, 0.05263157894736842, 0, 0.004901960784313725, 0.0034602076124567475, 0, 0 ]

[ "734 F.2d 63\n39 Fed.", "R.Serv.2d 181\nASSOCIATION FOR REDUCTION OF VIOLENCE, et al., ", "Plaintiffs, Appellants,v.Frank A. HALL, et al., ", "Defendants, Appellees.", "\nNo. ", "83-1515.", "\nUnited States Court of Appeals,First Circuit.", "\nArgued Jan. 5, 1984.Decided May 9, 1984.", "\n\nRonald A. Witmer, Boston, Mass., with whom Robert W. Thuotte, and Hale and Dorr, Boston, Mass., were on brief, for appellants.", "\nMichael C. Donahue, Sp. ", "Asst. ", "Atty. ", "Gen., Boston, Mass., with whom Sheridan, Garrahan & Lander, Framingham, Mass., Lee Carl Bromberg, Sp. ", "Asst. ", "Atty. ", "Gen., and Bromberg, Sunstein & McGregor, Boston, Mass., were on brief, for appellees.", "\nBefore COFFIN, ALDRICH and BOWNES, Circuit Judges.", "\nBOWNES, Circuit Judge.", "\n\n\n1\nThis is an appeal from a grant of partial summary judgment on a complaint under 42 U.S.C. Sec. ", "1983 alleging that two state prison inmates were transferred to out-of-state federal prisons in retaliation for the exercise of rights protected under the first amendment. ", " Appellants Frank Grace and Albert Blake, along with three other individuals, were inmates at MCI Walpole and members of the Association for the Reduction of Violence (ARV) in December, 1978, when they filed the original complaint in this case in the United States District Court for the District of Massachusetts. ", " The original complaint sought monetary, injunctive and declaratory relief against defendants, officials of the Massachusetts Department of Correction, in connection with an extended lockup of the maximum security block at Walpole in November and December of 1978.", "\n\n\n2\nOn February 16, 1980, Grace was transferred from Walpole and eventually reassigned to the federal prison in Terre Haute, Indiana. ", " On September 12, 1980, Blake was likewise transferred from Walpole and eventually reassigned to the federal prison in Leavenworth, Kansas. ", " An amended complaint was filed on December 3, 1980, naming additional Department of Correction officials as defendants and alleging that the transfers of Grace and Blake were made in retaliation for the exercise of first amendment rights. ", " The amended complaint sought a preliminary injunction to compel the return of Grace and Blake to Walpole. ", " From February 10 to 13, the district court held hearings on the preliminary injunction motion, in the course of which the plaintiffs called Michael Fair, Deputy Commissioner of the Department of Correction since July, 1980, as a witness. ", " Fair testified that Grace and Blake had been transferred on the basis of confidential reports and recommendations from subordinate prison staff and officials, for reasons other than retaliation. ", " The court found on February 17, 1981, that the plaintiffs had failed to make the showing required for a preliminary injunction, and stated:\n\n\n3\nThe evidence which was received at this hearing--and particularly the testimony of Michael V. Fair, which I accept--presents a picture of action taken by the authorities in this case that has nothing to do with retaliation. ", " It involves the receipt of information at a time of great tension at Walpole, information which might require, not simply justify, a transfer of these particular individuals. ", " The status of these two men as leaders of segments of the population at Walpole, and the information received by the authorities as to their alleged activities at a time of peril (the involvement of one in the distribution of drugs, the involvement of the other in acts of violence, and the involvement of both in an act of disobedience) militate against a motive of retaliation. ", " They point in the direction of a necessary conclusion (regardless of the truth or falsity of the information, so long as it was accepted as true) that the transfers were essential in carrying out the duties of the Corrections Department officials, to preserve the safety of inmates and other persons inside M.C.I. Walpole, and to maintain security which was then threatened.", "\n\n\n4\nOn March 11, 1981, plaintiffs filed a request for the production of documents, including broad categories of prison files relating to the status of Grace and Blake and their activities while at Walpole, the reasons for their transfers, and the general atmosphere and conditions at Walpole at the time of the transfers. ", " Plaintiffs' discovery motion was initially granted on May 18, 1981; but the court subsequently granted defendants' motion for reconsideration, and conducted an examination in camera of certain prison files alleged to be privileged and thus not subject to discovery. ", " In a Memorandum and Order dated February 19, 1982, the court divided the documents in question into two categories, List A and List B. It found that the List A documents were \"unrelated to the subject matter of this lawsuit and need not be turned over to the plaintiffs.\" ", " As to the List B documents, it found as follows:\n\n\n5\n[They] do mention either Blake or Grace and some of them arguably relate to the subject matters of this lawsuit. ", " I find, however, that the need for secrecy to protect confidential sources of information and to preserve the integrity and confidentiality of prison investigative processes and of the records and personal files of the institution, See Kerr v. U.S.D.C., 426 U.S. 394, 405 [96 S.Ct. ", "2119, 2125, 48 L.Ed.2d 725] (1975), overwhelms whatever relevance these materials may have to the subject matters of this action. ", " I rule, therefore, that the [List B] documents must not be turned over to the plaintiffs[.]", "\n\n\n6\nOn January 10, 1983, the court heard argument on defendants' motion for summary judgment. ", " In its Memorandum and Order of March 8, 1983, it granted the motion with respect to the retaliatory transfer claim based on a review of the \"entire record\":\n\n\n7\nIn addition to the pleadings, affidavits, answers to interrogatories, and the numerous depositions on file, I have reviewed the transcripts of the three-day preliminary injunction hearing. ", " Finally, I have again reviewed the documents which were the subject of the memorandum and order of February 19, 1982, denying plaintiffs' motion for production. ", " (Emphasis added.)", "\n\n\n8\nThe court adopted the excerpt already quoted from its February 17, 1981 statement of reasons for denying the preliminary injunction--omitting the express references to Michael Fair's testimony and the contents of the prison files subsequently determined to be privileged in the February 19, 1982 ruling--and concluded:\n\n\n9\nDespite the extensive discovery engaged in since then, the plaintiffs have been unable to produce a scintilla of evidence, or even a promise of any evidence, that would form the basis of a permissive inference that their transfers were retaliatory and would not have taken place \"but for\" the exercise of their constitutionally protected rights.", "\n\n\n10\nThe present appeal is taken from the district court's March 8, 1983, 558 F.Supp. ", "661, grant of partial summary judgment, and is accordingly limited to the retaliatory transfer claim. ", " Appellants assert that the district court erred in two respects: they contend, first, that the prison files viewed in camera are not privileged and should have been produced, or that if they were privileged the court should not have considered them in ruling on the summary judgment motion; and second, that the court was wrong in holding on the merits that there was no genuine issue of fact as to retaliation.", "\n\n\n11\nAt the outset, we assume, without deciding, that the district court did not abuse its discretion in ruling that the documents it viewed in camera were privileged. ", " The court apparently relied on three types of privilege more or less securely established in federal case law and thus applicable under Federal Rule of Evidence 501:1 (a) the so-called informer's privilege, which protects the identity of people who inform law enforcement officers of violations of law, see Roviaro v. United States, 353 U.S. 53, 59, 77 S.Ct. ", "623, 627, 1 L.Ed.2d 639 (1957); (b) a privilege for \"documents that would tend to reveal law enforcement investigative techniques or sources,\" Black v. Sheraton Corp. of America, 564 F.2d 531, 545 (D.C.Cir.1977); see also Jabara v. Kelley, 75 F.R.D. 475, 481 (E.D.Mich.1977); Kinoy v. Mitchell, 67 F.R.D. 1, 11 (S.D.N.Y.1975); Note, Discovery of Government Documents and the Official Information Privilege, 76 Colum.", "L.Rev. ", "142, 157-62 (1976); cf. ", "Proposed Fed.", "R.Evid. ", "509(a)(2)(B), 56 F.R.D. 183, 251 (1972) (not adopted); and (c) a privilege for intragovernmental memoranda containing opinions or recommendations of policy-making rather than purely factual import, see Jabara, 75 F.R.D. at 481; Kinoy, 67 F.R.D. at 11; Kaiser Aluminum & Chemical Corp. v. United States, 157 F.Supp. ", "939, 944-47, 141 Ct.", "Cl. ", "38 (1958); Note, 76 Colum.", "L.Rev. ", "at 162-65 (noting that \"[p]rison files represent a specific branch of the interagency memoranda category and have often been accorded special protection by the courts\"); cf. ", "Proposed Fed.", "R.Evid. ", "509(a)(2)(A).", "\n\n\n12\nAll three privileges in issue here are essentially similar in their underlying rationales and principles of application. ", " They are qualified rather than absolute, and a trial court is thus obliged to balance conflicting interests on a case-by-case basis in ruling on particular claims of privilege. ", " See Roviaro, 353 U.S. at 62, 77 S.Ct. ", "at 628; Jabara, 75 F.R.D. at 481; Kinoy, 67 F.R.D. at 11. ", " When particular documents have been determined to be covered by a qualified privilege, a party seeking discovery of those documents must make a threshold showing of need, amounting to more than \"mere speculation,\" Socialist Workers Party v. Attorney General, 565 F.2d 19, 23 (2d Cir.1977), cert. ", "denied, 436 U.S. 962, 98 S.Ct. ", "3082, 57 L.Ed.2d 1129 (1978); United States v. Alvarez, 472 F.2d 111, 113 (9th Cir.1973), cert. ", "denied, 412 U.S. 921, 93 S.Ct. ", "2742, 37 L.Ed.2d 148 (1973). ", " Once this burden is met, an in camera review of the documents in question (like that conducted by the district court in the present case) \"is a relatively costless and eminently worthwhile method to insure that the balance between [one party's] claims of irrelevance and privilege and [the other's] asserted need for the documents is correctly struck.\" ", " Kerr v. United States District Court, 426 U.S. 394, 405, 96 S.Ct. ", "2119, 2125, 48 L.Ed.2d 725 (1977).", "\n\n\n13\nThe interest of the party seeking disclosure tends to be strongest when the information in question is highly relevant, helpful, and unavailable from other sources. ", " See United States v. Estrella, 567 F.2d 1151, 1153 (1st Cir.1977); United States v. Leggett & Platt, Inc., 542 F.2d 655, 659 (6th Cir.1976), cert. ", "denied, 430 U.S. 945, 97 S.Ct. ", "1579, 51 L.Ed.2d 792 (1977). ", " Indeed, a showing that the information \"is relevant and helpful to the defense of [a criminal defendant] or is essential to a fair determination of a cause,\" may be sufficient to overcome an assertion of privilege. ", " Roviaro, 353 U.S. at 60-61, 77 S.Ct. ", "at 627-28. ", " The scope of a privilege is limited by its underlying purpose, and should not be applied where that purpose would not be served. ", " See id. at 60, 77 S.Ct. ", "at 627. ", " Thus, where it is possible for a court to make the innocuous portions of documents containing privileged information available, by excising the privileged sections, see Merrin Jewelry Co. v. St. Paul Fire & Marine Ins. ", "Co., 49 F.R.D. 54, 57-58 (S.D.N.Y.1970), by editing or summarizing the documents, or by permitting discovery subject to a protective order, see Kinoy, 67 F.R.D. at 11, this may be an adequate accommodation of the moving party's interest in disclosure.", "\n\n\n14\nOn the other hand, the interest of the party asserting a privilege tends to be strongest when the information in question falls squarely within the definition of privilege, and its disclosure would undermine the public interest in free, candid and uninhibited exchange of information or jeopardize the physical security of an individual or governmental institution. ", " In the specific context of prison files, the Supreme Court has noted the \"potential seriousness\" of the government's interest, based on\n\n\n15\nthe notion that turning over the requested documents would result in substantial injury to the State's prison-parole system by unnecessarily chilling the free and uninhibited exchange of ideas between staff members within the system, by causing the unwarranted disclosure and consequent drying up of confidential sources, and in general by unjustifiably compromising the confidentiality of the system's records and personnel files.", "\n\n\n16\nKerr, 426 U.S. at 405, 96 S.Ct. ", "at 2125 (footnotes omitted). ", " See also Williams v. Missouri Bd. ", "of Probation & Parole, 661 F.2d 697, 700 (8th Cir.1981), cert. ", "denied, 455 U.S. 993, 102 S.Ct. ", "1621, 71 L.Ed.2d 855 (1982) (\"we recognize the state's strong and legitimate interest in preserving the confidentiality of sources of information necessary for parole release decisions and in maintaining security and discipline within its institutions\") (footnote omitted).", "\n\n\n17\nAssuming, as we do, that the district court in the present case acted within its discretion, see Estrella, 567 F.2d at 1153, in ruling that the prison files in List A and List B were not discoverable under Federal Rule of Civil Procedure 26(b)(1) due to irrelevance and privilege respectively, we are faced with the issue of the evidentiary basis for the court's summary judgment ruling. ", " In ruling on a motion for summary judgment under Federal Rule of Civil Procedure 56, a trial court may consider a wide variety of materials:\n\n\n18\n[I]n addition to pleadings, depositions, admissions on file, answers of a party to interrogatories, and affidavits, which Rule 56(c) specifically enumerates, a court may consider oral testimony and any other or additional materials that would be admissible in evidence or otherwise usable at trial.", "\n\n\n19\nMaterial that does not come within the above broad category should not be considered.", "\n\n\n20\n6 Moore's Federal Practice, p 56.11[1.-8] at 56-205 to 207 (1983) (footnotes omitted, emphasis added). ", " Here, however, the district court apparently relied on documents which it had previously determined to be privileged and as to which it had denied plaintiffs' discovery motion. ", " Although the circumstances are less egregious than in Bane v. Spencer, 393 F.2d 108 (1st Cir.1968), cert. ", "denied, 400 U.S. 866, 91 S.Ct. ", "108, 27 L.Ed.2d 105 (1970), where the defendant obtained summary judgment based on an affidavit incorporating impounded and nonproducible medical reports, id. at 109, we think that our holding in Bane clearly requires that the grant of summary judgment here be vacated and remanded. ", " See id. at 110; cf. ", "Jabara, 75 F.R.D. at 489 (making \"abundantly clear\" that in camera inspection conducted solely to determine discoverability and not \"for the purpose of making any ex parte determination on the merits\"). ", " As the court in Kinoy noted:\n\n\n21\nOur system of justice does not encompass ex parte determinations on the merits of cases in civil litigation. ", " [If] the documents are privileged, [then] the litigation must continue as best it can without them ....\n\n\n22\n67 F.R.D. at 15. ", " See also Application of Eisenberg, 654 F.2d 1107, 1112 (5th Cir.1981).2\n\n\n23\nWe conclude that a remand is necessary. ", " If the defendants renew their motion for summary judgment, the district court will have to rule on the motion without relying on any privileged materials. ", " Therefore, in light of the foregoing discussion, the district court should begin by making a fresh determination of privilege based on an in camera examination of the documents as to which privilege is claimed. ", " It is possible, of course, that a party claiming privilege may also seek to use privileged information to present its case or a party's claim of privilege may conflict with another party's claim of access to vital material. ", " In such a situation the district court, having taken the competing interests into account in its initial determination of privilege, still has available at least two methods of avoiding the impasse which might otherwise arise. ", " It may edit or sanitize the documents in question so that they can be disclosed without undue harm to the underlying interests of the party claiming privilege or, if this is not feasible, the court may develop its own summary of the privileged material and release the summary to the parties for use in lieu of the original. ", " The district court's actions in editing, sanitizing, or summarizing material would, of course, be reviewable along with its ruling on privilege. ", " Nothing in the record before us suggests that such an accommodation cannot be reached here.", "\n\n\n24\nVacated and remanded.", "\n\n\n\n1\n Fed.", "R.Evid. ", "501 provides in pertinent part:\nExcept as otherwise required by the Constitution of the United States or provided by Act of Congress or in rules prescribed by the Supreme Court pursuant to statutory authority, the privilege of a witness, person, government, State, or political subdivision thereof shall be governed by the principles of the common law as they may be interpreted by the courts of the United States in the light of reason and experience.", "\n\n\n2\n Although we do not reach the merits of the summary judgment ruling, we note that the burden of showing the absence of genuine issues of material fact lies with the party moving for summary judgment, regardless of how the burden of proof would be allocated at trial. ", " See 6 Moore's Federal Practice, p 56.15 at 56-480 to 481; Adickes v. S.H. Kress & Co., 398 U.S. 144, 157-60, 90 S.Ct. ", "1598, 1608-09, 26 L.Ed.2d 142 (1970); Bromley-Heath Modernization Comm. ", "v. Boston Housing Authority, 459 F.2d 1067, 1071-72 (1st Cir.1972). ", " Appellees, seizing on dicta in McDonald v. Hall, 610 F.2d 16, 18-19 (1st Cir.1979), argue that the burden on the moving party is diminished in the prison context generally. ", " Fed.", "R.Civ.", "P. 56(c), however, does not permit varying procedural requirements according to the kind of case being heard, and we cannot read McDonald as doing so\n\n\n" ]

{ "pile_set_name": "FreeLaw" }

[ 0.05263157894736842, 0, 0.041666666666666664, 0, 0, 0, 0.043478260869565216, 0, 0.015625, 0.04, 0, 0, 0.029411764705882353, 0, 0, 0.011764705882352941, 0.0784313725490196, 0.08695652173913043, 0, 0, 0.012698412698412698, 0.007575757575757576, 0.007407407407407408, 0.007142857142857143, 0.008333333333333333, 0.009345794392523364, 0.008368200836820083, 0.00510204081632653, 0.0027100271002710027, 0.005681818181818182, 0, 0.005333333333333333, 0.006172839506172839, 0, 0.0072992700729927005, 0.005917159763313609, 0.0035335689045936395, 0, 0, 0, 0, 0, 0.05, 0.0014858841010401188, 0, 0, 0, 0, 0.002770083102493075, 0.007142857142857143, 0, 0, 0.07692307692307693, 0.125, 0.006289308176100629, 0, 0, 0, 0, 0, 0.07692307692307693, 0.125, 0, 0, 0, 0, 0.016666666666666666, 0.003367003367003367, 0, 0.010309278350515464, 0, 0, 0, 0.014492753623188406, 0, 0, 0.013245033112582781, 0, 0, 0, 0.025, 0, 0, 0, 0, 0.00909090909090909, 0.00398406374501992, 0, 0.0034904013961605585, 0, 0, 0.05405405405405406, 0.015873015873015872, 0, 0, 0.0025380710659898475, 0.0044943820224719105, 0, 0.009174311926605505, 0, 0.009345794392523364, 0, 0.0035335689045936395, 0, 0, 0.006944444444444444, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.125, 0.00663716814159292, 0.003676470588235294, 0.016666666666666666, 0.0136986301369863, 0.029411764705882353, 0.005747126436781609, 0.2, 0, 0.013157894736842105 ]

[ "Vikulovsky\n\nVikulovsky (masculine), Vikulovskaya (feminine), or Vikulovskoye (neuter) may refer to:\nVikulovsky District, a district of Tyumen Oblast, Russia\nVikulovskoye, a rural locality (a village) in Nizhny Novgorod Oblast, Russia" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.012875536480686695 ]

[ "Trading can be simple when you follow your basic rules\n\nIn a of previous article I wrote about understanding cryptocurrencies and what to look for when investing as well as understanding buy/sell walls on exchanges. ", "This still leaves the question, what should I look for when choosing a coin to day trade?", "\n\nNow I need to pause things here and say, I am not a qualified financial advisor. ", "The information below is purely my lessons, observations and experience in the crypto world that I want to pass on. ", "If you decide to invest in cryptocurrency, only invest what you are willing to lose. ", "Do your own research and learn from as many people as you can to gain a well rounded understanding of cryptocurrency trading.", "\n\nYou must have a hard backbone to weather the volatility of this market. ", "I’ve lost thousands of dollars in hours, but by holding and staying strong it comes back up.", "\n\nDue to this volatility of the crypto world you can make profits off almost any coin on the market if you have enough experience. ", "But even I don’t have that amount of experience required. ", "As such I’ll be tackling the idea of trading coins with a lower risk involved and how to ensure you can always make some profits.", "\n\nPurpose\n\nThe first thing to do, which I also mention in my previous articles is to figure out what your goal or purpose is for day trading? ", "Is it to make 5% profits every month and have little risk, or is it to double your money each month and laugh in the face of risk? ", "Or maybe it is to build up a good base to start spreading your portfolio into other coins? ", "Regardless of the reason, it is important to identify it and remember it. ", "This will give you direction and a sound base for your decision making. ", "Without it you will find yourself floating in the vast ocean of price movements, being knocked to and fro by every rise and dip. ", "You need an anchor point and this will be your purpose.", "\n\nOnce you have made clear your goals in day trading, I would also suggest you figure out how fast you want to get there (if you haven’t already). ", "This will help in determining your risk profile. ", "If you want to\n\ndouble your money in one week (Probably a little unrealistic) then you can throw risk out the window and go crazy with your trades… might not be overly profitable, but if you want a slow and steady profit increase then you can relax and settle in for a low risk coin with low risk trades.", "\n\nThe next few steps Can come in any order but I will give the reasons I have for suggesting the order below.", "\n\nExchange\n\nOne of the first things to look for after deciding on your purpose, even before you have selected your coin, is to decide on an exchange you want to use. ", "There would be 3 main aspects that you want to consider when choosing an exchange.", "\n\nFirstly, ensure it has a wide variety of popular coins and has high trading volume. ", "This ensures there will be sufficient activity on the exchange for trading purposes. ", "A typically well established exchange should be trading at least $200M at a very minimum. ", "Ideally you would be looking at one which has $0.5–1+M trading volume every 24 hours. ", "I currently do my trading with Binance which has traded $1.9M in the last 24 hours and has almost 250 different trading pairs.", "\n\nThe second thing to look at with an exchange is the trading fees. ", "Sometimes exchanges will have different fees with different criteria for the same exchange. ", "For example, with Binance they have a 0.1% fee for trades if you pay with the local coin being traded; but if you pay with Binance Coins then they will half the fees for the first year, resulting in only 0.05% fees per trade. ", "Other exchanges will often vary the fees depending on if you are a ‘maker’ or ‘taker’. ", "A ‘maker’ is someone who puts in a trade request that is not fulfilled straightaway, hence they are ‘making’ part of the buy/sell orders. ", "A ‘taker’ is someone who is putting in a trade request that is fulfilling someone else’s trade order, hence you are ‘taking’ away one of the buy/sell orders. ", "Often the fees are higher for ‘takers’ compared to ‘makers’. ", "When looking at fees of 01%, 0.25%, 0.5% etc you may think this is miniscule and doesn’t really matter. ", "I can’t emphasize enough that it does matter if you plan on doing long term trading. ", "If you are a profitable trader starting with $100 and make 2.5% profit a day and we compound this over 1 year of trading, then having to pay 0.5% fees per day assuming you do one trade a day will reduce your profit by hundreds of thousands of dollars. ", "This sounds crazy but you do the math and it comes out the same. ", "Figure out how often you will be doing trades, i.e. daily, bi-daily, weekly etc. ", "and work out which strategy on which exchange will reduce your fees to a level you are comfortable with.", "\n\nThe third thing to look at is how easy it is to withdraw funds from this particular exchange. ", "Check fees, criteria, verification, limits etc. ", "Once you have made profits you will want to be able to withdraw them without having problems or paying large amounts of it in fees.", "\n\nThe Coin\n\nThe next thing I would suggest you look at is the price of the coin and trading volume. ", "These aspects are good to look at separately as well as together. ", "The price can be related to your risk profile. ", "I say this very loosely, but is a small indicator. ", "Generally speaking, if a coin is very cheap then there could be more risk involved for two reasons. ", "Firstly, the low price could be an indication of low community trust or poor project management/communication. ", "This creates low demand and thus lowers the value of the coin. ", "The second reason is that if a coin is valued at $0.02 and it drops by only 1c then your investment will be cut in half just like that.", "\n\nI’m not saying don’t invest in cheap coins, but just be aware that there are more risks involved. ", "On the flip side, there are more profits involved. ", "After all, if you buy at $0.01, you only need a 1c increase to double your money.", "\n\nIn regards to the trading volume of a coin, the concept is similar to that of an exchange. ", "You want something that everyone is buying/selling as it shows a degree of community confidence, as well as liquidity — the ability to realize your profits quickly or move them into money you can use.", "\n\nOne aspect NOT to get fooled with is by seeing a coin with a high trading volume, but then you see it is really expensive and think it is not liquid. ", "For example, a coin has a trading volume of $1,000,000, but you see it costs $1,000 per coin. ", "This means only 1000 coins are traded over the 24hr period. ", "Compare this to a coin with the same trading volume but a coin cost of $1 meaning 1,000,000 coins are trading every day. ", "This should not affect your decision primarily because the amount you will be trading stays the same in $ value, not in the number of coins. ", "Your $100 in the expensive coin, is still only worth $100 in the cheap coin. ", "I’m currently trading KNC/ETH which has a trading volume of $1.7M and a price of $3.75\n\nOnce you have a handful of coins narrowed down now based upon the above criteria (of course make sure the coin is traded on your selected exchange in the trading pair you want) then it is time to start looking at things in a bit more detail. ", "This is where you look at the project itself, the age of the coin, the team behind it, the community engagement etc. ", "This helps you understand the longevity of the coin and if the coin’s overall value is likely to increase. ", "Looking at what is called the ‘Roadmap’ of a coin normally will identify key dates along a timeline in which project updates or releases will occur. ", "This can be good times to just hold rather than trade as these can bump the price up a bit. ", "But remember every sudden price increase is always due for a ‘correction’ I will go into this a bit more in a later article.", "\n\nPatterns\n\nNow that we have a coin selected, we can start watching the trading patterns. ", "I would suggest you look at this for a few weeks to get an idea of how it reacts to certain times of the day and week, and how it reacts to news etc. ", "This will help you maximize your trades and limit the sudden losses from bad trades which are predictable.", "\n\nAn example of things you can look for in trading charts. ", "This is an old pattern for ETH/USDT This shows how SIA has a similar price pattern to ETH (shown in background)\n\nFor example, With the KNC/ETH pair, there is often positive activity at 9am and 7pm AEST and often Sunday/Monday has poor activity. ", "Also when there are large announcements made by KNC on twitter, it takes about 15–20 minutes before the market reacts. ", "I won’t provide evidence of this because there is too much to go into in this article, but this should give you an idea of the sort of patterns you are looking for. ", "If the coin is relatively new, then there will be less obvious patterns compared to an older coin.", "\n\nConclusion\n\nAs you start to day trade, read the news, look at articles online, subscribe to the coin’s newsletter, register on twitter, get involved in forums. ", "Do everything you can to get information first to benefit from the market swings.", "\n\nMy last pearl of wisdom is this. ", "Don’t try and get the absolute best profit and each rise and dip. ", "The best traders will always take what profits they can and small but steady add up very quickly.", "\n\nIn Part Two I go into more depth about how to read charts, trends to look for and trading strategies. ", "But the first thing to do is to get started, even with a few dollars, just get started." ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.007936507936507936, 0, 0, 0.004424778761061947, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.012345679012345678, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02040816326530612, 0.008403361344537815, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Archive for January, 2014\n\nRubenstein / Justman Management Consultants (RJMC) is pleased to announce the successful implementation of Workday for Human Capital Management (HCM) and Payroll. ", "With the help of our implementation and payroll partner OneSource Virtual our client, a middle market Alternative Energy Company located in San Diego with operations in Europe and Asia, is now live in […]\n\nQUOTES FROM SATISFIED CLIENTS\n\nI was truly pleased with RJMC’s professionalism and sound advice. ", "I also put a great deal of value in the fact that RJMC is strictly an advisory practice and not a VAR, thus having no built-in biases with respect to the system selection process." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.021052631578947368, 0.006600660066006601, 0.0111731843575419 ]

[ "Q:\n\nSort paragraph numbers\n\nI have a simple table with paragraph numeration:\n> table <- data.frame(id=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9), paragraph=c(\"1.1.1.1\",\"1\",\"2\",\"1.1\",\"100\",\"1.2\",\"10\",\"1.1.1\",\"1.1.2\"))\n> print(table)\n\nid paragraph\n1 1.1.1.1\n2 1\n3 2\n4 1.1\n5 100\n6 1.2\n7 10\n8 1.1.1\n9 1.1.2\n10 1.10\n\nI would like to sort it by this way:\nid paragraph\n2 1\n4 1.1\n8 1.1.1\n1 1.1.1.1\n9 1.1.2\n6 1.2\n10 1.10\n3 2\n7 10\n5 100\n\nThe issue for me (I could probably split them by . ", "to the data.frame and then apply multiple column ordering), is that I don't know how many dots could be in the output – the amount could vary from time to time.", "\n\nA:\n\nHere's one option:\nsp <- strsplit(as.character(table$paragraph), \"\\\\.\")\nro <- sapply(sp, function(x) sum(as.numeric(x) * 100^(max(lengths(sp)) + 0:(1 - length(x)))))\ntable[order(ro), ]\n# id paragraph\n# 2 2 1\n# 4 4 1.1\n# 8 8 1.1.1\n# 1 1 1.1.1.1\n# 9 9 1.1.2\n# 6 6 1.2\n# 10 10 1.10\n# 3 3 2\n# 7 7 10\n# 5 5 100\n\nAs, clearly, the levels structure cannot be ignored, with sp I first split the paragraph numbers. ", "Then, as to translate paragraph numbers into integers by preserving the order, for each paragraph number I multiply the number of the section by 100^n (for a particular n), of the subsection by 100^(n-1), and so on (using 100 should suffice in practice but you could also use larger numbers), so that their sum is the desired integer, and ro is a vector of them.", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0.0020491803278688526, 0, 0 ]

[ "I'm Still in Love with You (Roy Orbison album)\n\nI'm Still in Love With You is the nineteenth album by Roy Orbison, recorded for Mercury Records and according to the official Roy Orbison discography by Marcel Riesco , it was released in September 1975.", "\n\nHistory\nAfter an eight-year stint with MGM Records, he left MGM in 1973, and signed with Mercury a year later. ", "This album had three singles.", "\nThis album was only released in the USA.", "\n\nTrack listing\nSide One\n\"Pledging My Love\" - (Don Robey, Ferdinand \"Fats\" Washington)\n\"Spanish Nights\" - (Roy Orbison, Joe Melson)\n\"Rainbow Love\" - (Don Gibson)\n\"It's Lonely\" - (Orbison, Joe Melson)\n\"Heartache (new lyrics)\" - (Orbison, Bill Dees)\n\nSide Two\n\"Crying Time\" - (Buck Owens)\n\"Still\" - (Dorian Burton, Howard Plummer)\n\"Hung Up On You\" - (Orbison, Joe Melson)\n\"Circle\" - (Larry Gatlin)\n\"Sweet Mama Blue\" - (Orbison, Joe Melson)\n\"All I Need Is Time\" - (George W. Reneau)\n\nProduced by Jerry Kennedy\nExecutive Producer: Roy Orbison\nArranged by Bill Justis\n\n2002 Re-release\nIn 2002, the album was re-released in the UK in CD format by Spectrum Music with a different track order.", "\n\n\"Pledging My Love\"\n\"Rainbow Love\"\n\"Heartache\"\n\"Still\"\n\"Circle\"\n\"All I Need Is Time\"\n\"Spanish Nights\"\n\"It's Lonely\"\n\"Crying Time\"\n\"Hung Up On You\"\n\"Sweet Mama Blue\"\n\nReferences\n\nCategory:Roy Orbison albums\nCategory:1976 albums\nCategory:albums arranged by Bill Justis\nCategory:Mercury Records albums" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.0199203187250996, 0.02654867256637168, 0, 0, 0.0297029702970297, 0.013377926421404682 ]

[ "Q:\n\nMass Find and Replace Issue - Microsoft Word 2013\n\nI am trying to create a macro in order to do a mass find and replace across multiple word documents. ", "I have found this one on the net and altered it to also apply for graphics however I keep getting a run time error (5174) saying that the file could not be found (even though it is definitely in the folder).", "\nI believe the issue is this: support.microsoft.com/en-us/kb/212664 but am having a bit of trouble implementing it into my Macro as simply adding \".docx\" after every single Fname doesn't seem to work.", "\nI have limited experience with Macros so apologies if this is a novice question. ", "\nAny help would be greatly appreciated.", "\nThanks.", "\nSub ReplaceText()\nDim Directory As String\nDim FType As String\nDim FName As String\n\nDirectory = \"C:\\Users\\pieria\\Desktop\\TempPics\"\nFType = \"*.docx\"\n\nChDir Directory\nFName = Dir(FType)\n' for each file you find, run this loop\nDo While FName <> \"\"\n' open the file\nDocuments.", "Open FileName:=FName '<--Error is supposedly here \n\n' search and replace the company name\nSelection.", "Find.", "ClearFormatting\nSelection.", "Find.", "Replacement.", "ClearFormatting\nWith Selection.", "Find\n .Text = \"CompanyA\"\n .MatchCase = True\n .Replacement.", "Text = \"CompanyB\"\nEnd With\nSelection.", "Find.", "Execute Replace:=wdReplaceAll\n\n' save and close the current document\nActiveDocument.", "Close wdSaveChanges\n\n' look for next matching file\nFName = Dir\nLoop \nEnd Sub\n\nA:\n\nI expect the current instance not being aware of the ChDir you did. ", "You better specify the full path when opening the file:\n ' open the file\n Documents.", "Open FileName:= Directory & \"\\\" & FName \n\nI concatenate the string in Directory and FName with the & operator.", "\nSo if Directory contains C:\\Users\\pieria\\Desktop\\TempPics and FName contains First.docx with & you create a new string C:\\Users\\pieria\\Desktop\\TempPics\\First.docx\nNotice the \\ I added between the directory name and the filename...\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0.00641025641025641, 0, 0.005, 0.012195121951219513, 0, 0, 0.007380073800738007, 0, 0, 0.038461538461538464, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.008583690987124463 ]

[ "Rabies and its prevention.", "\nThe increase in world-wide travel means that physicians everywhere require an understanding of rabies and its prevention, to advise intending travellers, or to follow-up on treatment begun overseas. ", "In this article, we discuss measures to prevent rabies." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0, 0, 0 ]

[ "Sort by: Languages English French Spanish Italian German Swedish Portuguese Dutch Norwegian Regions North America/UK/Australia Western Europe Central/Eastern Europe Central/South America Asia Africa Features HD (best quality) Audio Phone Party Chat Gold Show Submit\n\nClara_Mylers High Definition Video\n\nAudio Party Chat 24 f YT My top porn searches are watching guys jerk off and cum on girl\n\nAlexandraBabe… High Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f GB\n\nMelissaJohn… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 59 f US I miss you so much, all my vids at least 50% off now! ;-)...", "\n\nMarina_Taylor High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f US\n\nSexyEyes69me High Definition Video\n\nAudio Gold Show 42 f US Former Penthouse Model & XXX Star, Buzz My Interactive Toy!", "\n\nAmberAlena High Definition Video\n\nAudio Party Chat 24 f US AmberAlena. ", "Porn Model with N cups/2400ccs of big-titted fun!", "\n\nMarissaDD High Definition Video\n\nAudio Party Chat 22 f US Big natural Perky tits, Tight Hairy Pussy & A sexy Ass! ", "Cum See!", "\n\nSabrinaDeep Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 33 f ES Queen of bukkake and gangbangs, as seen on Howard Stern.", "\n\nTheLacieJames High Definition Video\n\nAudio Gold Show 29 f US I'm a sassy fetish loving \"girl next door\" who loves to have fun\n\nZinniaRose High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f US\n\nCat_Ballou Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 33 f US Czech Cherokee German and Irish! ", "Cutie with a booty ... ;-)\n\nSimoneSimmons High Definition Video\n\nAudio Gold Show 24 f ES naughty latin girl, waiting for meet a hot guy, be my hot guy\n\nMarussia_Luxu… High Definition Video\n\nAudio Party Chat 29 f RO I will give you a taste of the finer side of lust with me\n\nAlissonFoxw… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 22 f ES Lady in the streets & freak in the sheets! ", "You dare with me?", "\n\nMeowSophie High Definition Video\n\nAudio Party Chat 18 f RU Hello guys! ", "Welcome to my show. ", "Let's be friends and hot lovers\n\nMiaColeman High Definition Video\n\nAudio Party Chat 24 f ES I am the woman of your fantasies, know me and you won't go!", "\n\nTeraPatrick High Definition Video\n\nAudio Party Chat 40 f IT The one and ONLY! ", "Yes It's me Tera Patrick! ", "Iconic Pornstar xxx\n\nxMissJaynex Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 29 f US\n\nMelisssaBens Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 32 f UA You can't know what I want, even I don't know it... ...\n\nNatalieWattson High Definition Video\n\nAudio Party Chat 21 f CO i am here to satisfy you, new like wb model! ", "lets have fun now!", "\n\nlenonie Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 47 f GB Im a Fun Naughty UK Girl&im always horny so cum have fun with me\n\nAutumnsAsianD… High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f US Asian Adult Model/Amateur Pornstar - SAY HI & TAKE A LOAD OFF!", "\n\nBrooke_Candy High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f LV Open minded, willing to try new horny things all the time!", "\n\nniacruz High Definition Video\n\nAudio Party Chat 19 f CO Love Spank My Ass While You Make Me, Take Clothes Off...\n\nThe_SnowWhite High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f SK I swear to you I won't stop until your legs are shaking!", "\n\nMsBlondySQUI… High Definition Video\n\nAudio Party Chat 28 f RU Hot girl ready to make you weak with my dirty talk and hot moves\n\nWantedDi High Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f MD I am a sexy, lustful girl waiting for You to spend time together\n\nLillyJames4u High Definition Video\n\nAudio Party Chat 35 f US Sexy hot dirty talking role playing c2c fun right here lets play\n\nGwenStepha… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 24 f ES Fucking hot A$$ and big boobs will amaze you!I'm a fantasy 4real\n\nLovelyAlexiaa High Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f RO A real queen who can make all your dreams come true\n\nTexasHoney Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f US * TEXAS GIRL * PHONE * SOUND * ROLEPLAY * $1.99 PRIVATE CHAT *\n\nFarmgirlTx High Definition Video\n\nAudio Live Now 50 f US\n\nRichardaLove High Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f RO Lets spend some time together and u will not regret...\n\nPetiteJ35591 High Definition Video\n\nAudio Gold Show 29 f AU From sweet and submissive to dirty cum slut the choice is yours!", "\n\nLadyLuce23 Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 26 f GR Tiny tight Luce is your little girl and wants you to play w/her.", "\n\nEmmaaaa Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f GB Best chanel you can find on here!Dreams come true!Lets enjoy!", "\n\nJadeGrant High Definition Video\n\nAudio Live Now 18 f ES I have an angel face but a demon mind, come and find out!", "\n\nhotbbw75 Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 43 f US One of a kind bbw that is here to make you cum hard.", "\n\nGypsy_xx Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 22 f US I am back! ", "Ready to satisfy your every need. ", "Let's explore <3\n\nTazDevil69 Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 44 f US I get right to it! ", "No BS you tell me what you like I will listen\n\nIzzy_Licious Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 51 f US 6 Year Anniversary was 3/4. ", "Hit me up, I'm curious\n\nAlisaDiamond High Definition Video\n\nAudio Gold Show 19 f LV Hey guys! ", "Let's be friends and hot lovers. ", "Join my show\n\nHot_Niagara High Definition Video\n\nAudio Party Chat 18 f LV Hey gyus! ", "Let's be friends. ", "Jump in my waterfall of love\n\nSaraBearXOXO High Definition Video\n\nAudio Party Chat 24 f CA Why do blondes wear underwear?To keep their ankles warm! ...", "\n\nLillyy_cutiee High Definition Video\n\nAudio Party Chat 21 f GB Life is sexy, so I am enjoying it whenever I can :)\n\nYourSexyMILA High Definition Video\n\nAudio Party Chat 26 f UA Im honest girl with big smile) enjoy time with me) ...\n\nSelenneNoir High Definition Video\n\nAudio Party Chat 26 f RO My dance pole is ready, let me arouse you!Let's do it!", "\n\nJessStarXX Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Live Now 31 f GB Erotic and Sensual, Hot and Sexy, Best Girl Around!", "\n\nChassidy_L… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 37 f US VIBE WITH ME! ", "Just your friendly Dirty Slut who loves sex!", "\n\nLucianaMart… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 18 f ES I am an exciwarm ting woman capable of having pleasure.", "\n\nBratLollipop Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 22 f RU Love bring the joy by letting you feel me. ", "Buzz toy works always\n\nEmmaSkyeXO High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f US Sweet and sexy 24 year old who just wants to cum for you ;)\n\nShellsyHill Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 18 f PR I am a young woman, warm, exciting, able to enjoy.", "\n\nChristinaCa… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 28 f NL Cute Bratty BBW trying to break the World Record of Orgasms\n\nSYERRAH Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 19 f RO\n\nAleciaX High Definition Video\n\nAudio Party Chat 28 f RO Erotic and seductive woman ready to drive you wild\n\nPeeping_Piper High Definition Video\n\nAudio Party Chat 28 f US Curvaceous lover wanting to drain your balls and wallets.", "\n\nBlondieStarX Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 29 f US Hot European Blonde! ", "Available for PVT or EXCL chat! ", "Welcome! ", "xx\n\nAdrianna_4u High Definition Video\n\nAudio Party Chat 57 f US Class in..Session. ", "Naughty Students sit in the Front of My Class\n\nMissCubbins High Definition Video\n\nAudio Party Chat 29 f US Submissive Girl looking to show off and please you! ...", "\n\nJulieClark High Definition Video\n\nAudio Party Chat 39 f US Lets explore your true self, I will be your guide ... ...\n\nKittenchuX High Definition Video\n\nAudio Party Chat 27 f US Big booty cutie! ", "Ready to explore your fetish and have fun.", "\n\nArianaArin Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 29 f US I can make your deepest fantasies come true. ", "Let's play!", "\n\nLadyLady26 Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f DE Wild, sexy and funny squirter here! ", "Lets play together!", "\n\nGiorgiaWhite High Definition Video\n\nAudio Party Chat 30 f IT I'm here to be spoiled and spoil u. You know what u need to do.", "\n\nBriLuvLady Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 49 f US Sexy Cougar Masturbates Live for Everyone to see me.", "\n\nSexyPinaColada High Definition Video\n\nAudio Gold Show 20 f LV Hey guys! ", "Welcome to my show and let's be hot lovers\n\nmistressmid… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 55 f US After Mistress plays with you, You will never forget her !", "\n\nxxxcupcakexxx High Definition Video\n\nAudio Party Chat 19 f US VIRTUAL SIDECHICK! ", "ANAL DP & FLEXXY! ", "TWERK VIBE! ", "HOMEWRECKER\n\nEvaMillersx Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Live Now 19 f ES I am not only a charm but also a good food for the soul.", "\n\nKimberly_S… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Party Chat 45 f ES I am a fun woman I love new experiences join me you will not re\n\ninnocenceeX High Definition Video\n\nAudio Party Chat 22 f US I am just a young innocent girl looking for fun come join\n\nSOPHYIEx High Definition Video\n\nAudio Party Chat 23 f RO I'm a friendly, cute, funny girl and im looking for a great time\n\nLikeKate High Definition Video\n\nAudio Live Now 20 f LV sweet, with deep eyes&angelic face, love teaseU, drive you wild\n\nHazelEyedGing… High Definition Video\n\nAudio Party Chat 23 f US GOLD VIBE is in! ", "BBW natural redhead with a huge ass looking fun\n\nValentinaRio High Definition Video\n\nAudio Party Chat 26 f GB I am a fun sensual woman waiting for you to cum inside!", "\n\nleiree High Definition Video\n\nAudio Party Chat 25 f CO\n\nVermilionT… Confidential Phone Service\n\nHigh Definition Video\n\nAudio Live Now 29 f GB Hairy dildo hoarder lurking in her lair! ", "Cum see my new braces;)\n\nGracieLoveBab… High Definition Video\n\nAudio Live Now 23 f GB" ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.00825082508250825, 0.005434782608695652, 0, 0, 0.017241379310344827, 0, 0.0136986301369863, 0.003236245954692557, 0.012315270935960592, 0, 0.0136986301369863, 0, 0.006622516556291391, 0, 0.038461538461538464, 0.005494505494505495, 0, 0.010830324909747292, 0, 0, 0.00545950864422202, 0.006535947712418301, 0, 0, 0, 0.01020408163265306, 0, 0, 0.006097560975609756, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0028735632183908046, 0.007246376811594203, 0.009615384615384616, 0, 0.0136986301369863, 0, 0, 0.008620689655172414, 0.008928571428571428, 0.0625, 0, 0, 0.006172839506172839, 0, 0, 0.007462686567164179, 0, 0.008, 0, 0, 0.0070921985815602835, 0.013513513513513514, 0.005235602094240838, 0, 0.05555555555555555, 0, 0.012903225806451613, 0.006700167504187605, 0.012121212121212121, 0.010810810810810811, 0 ]

[ "Carolina Jaramillo\n\nChristian Carolina Jaramillo Quintero (born 19 March 1994) is a Mexican professional football Midfielder who currently plays for UANL of the Liga MX Femenil.", "\n\nShe played for the Mexico national team in a 2017 friendly against Costa Rica.", "\n\nHonours\n\nClub\nUANL\nLiga MX Femenil: Clausura 2018\nLiga MX Femenil: Clausura 2019\n\nReferences\n\nCategory:1994 births\nCategory:Living people\nCategory:Mexican women's footballers\nCategory:Footballers from Baja California\nCategory:Mexican footballers\nCategory:Liga MX Femenil players\nCategory:Tigres UANL (Women) footballers\nCategory:Mexico women's international footballers\nCategory:Women's association football midfielders" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.022598870056497175, 0, 0 ]

[ "The subject matter of the present invention is a simple chemical process for the rapid racemization of optically active N-acylamino acids which are in aqueous solution.", "\nThe preparation of L-amino acids corresponding in configuration to the naturally occurring amino acids from synthetic amino acid racemates can be accomplished by selectively deacylating the N-acyl-L isomers by the action of N-acyl-L-amino acid amidohydrolases (called \"acylases\" for brevity). ", "The aqueous cleavage solutions contain, after the separation of the target product, i.e., the L-amino acid, the enzymatically uncleaved L-acyl-D form. ", "This has to be racemized so that it can be returned to the enzymatic cleavage process and again yield L-amino acids after the asymmetrical hydrolysis of the N-acyl-L content. ", "In this manner it becomes possible to transform all of the racemic amino acid to the desired L form.", "\nThe known methods for the racemization of optically active N-acyl amino acids have serious disadvantages. ", "The racemization of optically active N-acyl amino acids in the melt is accompanied by decomposition by high temperatures and long action times. ", "Also, the process would be applicable to the dilute aqueous solutions resulting from the enzymatic cleavage of the N-acyl-L form, only after the difficult separation and refinement of the N-acyl-D compound, if it were possible to avoid thermal decomposition. ", "The racemization of optically active N-acyl amino acids in special organic solvents requires the concentration of the amino acid solution, acidification with mineral acid, extraction with the solvent, and heating in the solvent to more than 160.degree. ", "C., and then the removal of the solvents, and therefore it is too complicated and expensive. ", "The racemization of N-acetyl amino acids in aqueous solutions with acetic anhydride requires long reaction times and large amounts of anhydride and caustic soda solution." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "McDowell, who attends Wiregrass Ranch High School in Zephyrhills, Fla., is a 3-star recruit rated the No. ", "144 cornerback in his class by the 247Sports composite rankings. ", "In addition to Minnesota, he has offers from Cincinnati, Iowa State, Purdue, North Carolina State and more than a dozen others.", "\n\nEven before McDowell’s commitment, Minnesota’s 2018 recruiting class ranked No. ", "20 in the nation and No. ", "6 in the Big Ten. ", "It moved up one spot in the national rankings following the commitment. ", "McDowell becomes the fourth cornerback in the class, joining fellow 3-star prospects Tyrik Henderson, Benjamin Sapp III and Terell Smith.", "\n\nHere are some highlights from McDowell’s junior season at Wiregrass Ranch, courtesy of Hudl." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.018867924528301886, 0, 0.007874015748031496, 0.012195121951219513, 0, 0, 0, 0.021897810218978103, 0.031914893617021274 ]

[ "\n433 N.E.2d 55 (1982)\nRonald FRESON and Peggy Freson, and John E. Hopkins and Corabel Hopkins, and Harrison Building & Loan Association, Defendants-Appellants,\nv.\nMillard COMBS and Fanny Combs, Plaintiffs-Appellees.", "\nNo. ", "1-980A258.", "\nCourt of Appeals of Indiana, First District.", "\nMarch 30, 1982.", "\nRehearing Denied May 11, 1982.", "\n*57 Bobby Jay Small, Indianapolis, Daniel W. Meehan, William F. Pfister, Lawrenceburg, for defendants-appellants.", "\nDouglas C. Holland, Lawrenceburg, for plaintiffs-appellees.", "\nNEAL, Judge.", "\n\nSTATEMENT OF THE CASE\nDefendants-appellants Ronald Freson and Peggy Freson, and John E. Hopkins and Corabel Hopkins, and Harrison Building & Loan Association (Fresons and Hopkins) appeal the judgment entered in the Dearborn Circuit Court upon a jury verdict in favor of plaintiffs-appellees Millard Combs and Fanny Combs (Combs) in an action to quiet title and for damages.", "\nWe affirm in part; reverse in part and remand.", "\n\nSTATEMENT OF THE FACTS\nCombs filed their complaint on November 20, 1978, alleging that they were the rightful owners of property which Fresons unlawfully *58 occupied and improved and improved by constructing a house thereon. ", "They further alleged that Hopkins had deeded and sold a portion of Combs' property to Fresons and presently were making an adverse claim to another portion of Combs' property.[1] Fresons and Hopkins asserted in their amended answer the Occupying Claimant law set forth under Ind. Code 34-1-49-1 et seq. ", "which would require Fresons to pay Combs the fair market value of the occupied property upon a judgment for Combs.", "\nAlthough the complaint was fashioned as a quiet title action, the case was tried pursuant to the Occupying Claimant law. ", "Trial was held on February 19 and 20, 1980, and the jury returned a verdict in favor of Combs, valuing the parcel of land occupied by Fresons at $2,000. ", "The trial court specifically found that Combs are the owners of real estate occupied and claimed by Fresons and Hopkins.", "\nOn February 27, 1980, Combs filed a post-trial motion stating that it was never their intention to eject Fresons from their home and they only desired that Fresons pay for the value of the land they occupied.", "\n\nISSUES\nFresons present four issues for review as follows:\nI. Whether the trial court erred in denying Defendants pre-trial motion for summary judgment pursuant to Rule 56;\nII. ", "Whether the trial court abused its discretion by refusing to take judicial notice of the pleadings and judgment in the prior cause between the parties;\nIII. ", "Whether the value assessed for the land was excessive based upon the evidence presented; and\nIV. ", "Whether the trial court erred in denying Appellant's motion for judgment on the evidence at the close of all the evidence.", "\n\nDISCUSSION AND DECISION\n\nIssue I. Denial of Summary Judgment\nDefendants Fresons and Hopkins filed their motion to dismiss Combs' complaint on December 28, 1978, for the reason that it failed to state a claim upon which relief could be granted. ", "On May 24, 1979, Fresons and Hopkins filed \"a Motion for Summary Judgment under Trial Rule 12(B)(8)\" which requested the trial court to consider \"the depositions of the plaintiffs and other such matters outside the pleadings as may be presented and to treat the previous motion to dismiss as one for summary judgment as provided by T.R. 56.\" ", "Neither the motion to dismiss nor the motion for summary judgment was verified and supported by affidavits, transcript, or other evidentiary material as contemplated by Ind.Rules of Procedure, Trial Rule 56, except a reference to Combs' depositions. ", "However, the depositions make only a passing reference to the previous suit. ", "An attached transcript as the rule contemplates first appears in Fresons' motion to correct errors. ", "The trial court apparently held a hearing on Fresons' motion for summary judgment although the record does not reflect it, and on September 21, 1978, he denied the motion to dismiss and/or the summary judgment without stating reasons.", "\nOn appeal, Fresons and Hopkins argue that prior to this quiet title action, they had sued Millard Combs in the same court in Cause No. ", "20451. ", "In the prior suit, upon the stipulation of the parties, the trial court found that Fresons and Hopkins were the owners of the land presently in dispute and that Millard Combs had trespassed upon it. ", "They claim the prior, unappealed judgment precludes Combs from raising the issue of ownership in this suit. ", "Whatever may be the merits of this assertion we need not reach, because Fresons and Hopkins have failed to properly raise and preserve for review this issue in their motions to dismiss and for summary judgment.", "\n*59 Ind. Rules of Procedure, Trial Rule 12(B)(8) provides that if materials outside the pleadings are presented and not excluded by the court, a motion to dismiss shall be treated as a motion for summary judgment under T.R. 56. ", "T.R. 56(C) requires that:\n\"The judgment sought shall be rendered forthwith if the pleadings, depositions, answers to interrogatories, and admissions on file, together with the affidavits and testimony, if any, show that there is no genuine issue as to any material fact and that the moving party is entitled to a judgment as a matter of law.\"", "\nT.R. 56(E) requires the supporting and opposing affidavits to be made on the personal knowledge of the affiant and set forth facts as would be admissible in evidence. ", "Sworn or certified copies of all papers referred to shall be attached.", "\nFailure to support a motion for summary judgment based upon the defense of res judicata by a certified transcript of the prior judgment is fatal, even though the attorney for the defendant files an affidavit to that effect. ", "Lukacs v. Kluessner, (1972) 154 Ind. App. ", "452, 290 N.E.2d 125.", "\nMaterials adduced in support of a motion under this rule must be in the form intended or the court will not consider the same. ", "The unsworn commentary of an attorney does not comply with the rule and will not be considered. ", "Swartzell v. Herrin, (1969) 144 Ind. App. ", "611, 248 N.E.2d 38. ", "Likewise, a brief filed in support of a motion does not comply with the rule and will not be considered. ", "Schill v. Choate, (1969) 144 Ind. App. ", "543, 247 N.E.2d 688. ", "An unsworn statement or uncertified exhibit does not qualify. ", "Pomerenke v. National Life and Accident Insurance Co., (1968) 143 Ind. App. ", "472, 241 N.E.2d 390; 3 W. Harvey, Indiana Practice § 56.5, at 556 (1970).", "\nIt is only when a motion for summary judgment is supported by an affidavit made on personal knowledge setting forth facts admissible into evidence and affirmatively showing that the affiant is competent to testify to matters stated therein that an adverse party must respond by affidavits setting forth specific facts showing that there is a genuine issue for trial; absent furnishing of sufficient affidavits by the moving party, summary judgment in his favor is not appropriate and failure of the opposing party to respond does not entitle the moving party to a summary judgment. ", "Renn v. Davidson's Southport Lumber Co., Inc., (1973) 157 Ind. App. ", "446, 300 N.E.2d 682.", "\nIn the case at bar, there was no proper affidavit before the court. ", "The motions to dismiss and for summary judgment did not set out facts or even direct the court to the affirmative defense of res judicata. ", "No memoranda were filed, and no evidentiary material was presented. ", "At this juncture the trial court was not asked, and could not, if asked, take judicial notice of its own records in a prior, separate case, even though the parties and the subject matter were related. ", "Such record, however, can be a proper matter for evidence. ", "Fletcher Savings and Trust Company et al. ", "v. American State Bank of Lawrenceburg, (1925) 196 Ind. 118, 147 N.E. 524; Treesh v. DeVeny, (1945) 116 Ind. App. ", "305, 64 N.E.2d 41. ", "The only place in the record where the subject matter of res judicata appears is the unverified answer filed by Fresons and Hopkins, and an exhibit attached to their motion to correct errors. ", "Such proof is insufficient, and the trial court did not err in denying the summary judgment.", "\n\nIssue II. ", "Judicial notice\nFresons and Hopkins contend that the trial court erred in refusing to take judicial notice of the prior suit under Cause No. ", "20451. ", "Their argument is flawed in at least three particulars. ", "First, a trial court may not take judicial notice of its own records in another case previously before the court even on a related subject and related parties. ", "Fletcher Savings and Trust Company, supra; Treesh, supra; 31 C.J.S. Evidence § 50(3).", "\nSecond, the trial court in the pretrial order informed the parties that it would take judicial notice of the proceedings in Cause No. ", "20451. ", "However, on February 8, *60 1980, eleven days before the commencement of the trial, the court informed the parties by letter that it considered the ownership of the land was not decided in the previous case, which only established an easement. ", "The trial court also said that \"as a matter of law, I find res judicata does not apply.\" ", "No order book entry was made to that effect. ", "At trial, Fresons and Hopkins made no effort to enter into the record by evidence, or by a request for judicial notice, the record of the proceedings in Cause No. ", "20451. ", "After both sides had rested, Fresons and Hopkins requested the court to take judicial notice of Cause No. ", "20451 and its proceedings, which the trial court refused to do.", "\nWe treat the February 8, 1980, letter of the trial court to the parties, at most, as an order in limine. ", "Even though a motion in limine is granted a party must make an offer to prove at trial, or any error predicated upon the granting of the motion is waived. ", "State v. Church of Nazarene of Logansport, (1978) 268 Ind. 523, 377 N.E.2d 607. ", "We see no distinction between the application of the above rule requiring an offer to prove, and a denial of a request to take judicial notice. ", "In order to preserve error upon the denial of a request to take judicial notice of a fact, the requesting party must renew his request at trial. ", "And, in order for the trial court to take judicial notice of a prior case, one must tender a certified copy of that judgment. ", "Lukacs, supra. ", "Judicial notice is merely the cognizance of certain facts which jurors and judges may properly take into account and act upon without proof. ", "Judicial notice is a branch of the law of evidence. ", "It is merely a short cut, a doing away with the formal necessity of evidence. ", "31 C.J.S. Evidence § 50(1). ", "As such, documents or exhibits that a party desires to be judicially noticed must be offered and brought to the attention of the trier (in this case the jury). ", "To preserve error an offer must be made. ", "If a request for judicial notice of documents is granted, the document must be admitted into evidence and then exhibited or read to the jury. ", "Here, nothing of the kind was done, and no offer to prove was made. ", "The records of Cause No. ", "20451 were not received into evidence, and did not become a part of the record until filing of the motion to correct errors, and by then it was too late.", "\nThird, evidence must be proffered during the course of the trial. ", "Here, the request for judicial notice was not made until both sides rested. ", "It is a matter of discretion whether the trial court will permit a party to give additional evidence or testimony after he has rested, after both parties have rested their case in chief, or after the close of all of the evidence. ", "28 I.L.E. Trusts § 55. ", "Diligence must be shown. ", "Freeman v. Freeman, (1973) 159 Ind. App. ", "98, 304 N.E.2d 865. ", "See also, Utopia Coach Corporation v. Weatherwax, (1978) Ind. App., ", "379 N.E.2d 518.", "\nFor the above reasons we perceive no error in the trial court's ruling.", "\n\nIssue III. ", "Excessive value\nFresons and Hopkins claim that damages beyond the scope of the evidence were awarded Combs. ", "The jury assessed the value of the.995 acre parcel of land[2] occupied by Fresons, exclusive of improvements, at $2,000. ", "Fresons argue the evidence only established that this parcel was worth around $1,500.", "\nWhen we consider a claim of excessive damages, we will not disturb the award unless it is beyond the purview of the evidence, or unless passion or prejudice motivated the award or improper evidence was considered. ", "Indiana Motorcycle Association v. Hudson, (1980) Ind. App., ", "399 N.E.2d 775; Friendship Farms Camps, Inc. v. Parson, (1977) 172 Ind. App. ", "73, 359 N.E.2d 280.", "\nThe Fresons introduced evidence at trial which indicated the land they occupied was worth around $1,500. ", "As Fresons point out in their brief, no other evidence was *61 presented, either by them or Combs, on the question of the value of the land. ", "We agree and therefore reduce the damages awarded to Combs from $2,000 to $1,500, which amount is within the scope of the evidence.", "\n\nIssue IV. ", "Judgment on the evidence\nFresons and Hopkins moved for judgment on the evidence at the close of Combs' evidence and at the close of all the evidence. ", "They contend the trial court erred in failing to grant the motion. ", "In Hendrickson & Sons Motor Co. v. Osha, (1975) 165 Ind. App. ", "185, 207-8, 331 N.E.2d 743, Judge Lybrook articulated the rules governing this motion:\n\"Motions for judgment on the evidence (directed verdict) are governed by Ind. Rules of Procedure, Trial Rule 50. ", "Pursuant to that rule, a defendant's motion for judgment on the evidence made at the close of the plaintiff's evidence or at the close of all the evidence should be granted only in the absence of evidence or reasonable inference on at least one essential element of the plaintiff's claim, Miller v. Griesel (1974), 261 Ind. 604, 308 N.E.2d 701; Mamula v. Ford Motor Co. (1971), 150 Ind. App. ", "179, 275 N.E.2d 849. ", "The evidence must be without conflict and susceptible of but one inference, that being in favor of the moving party. ", "In examining the evidence, the trial judge must draw all fair and rational inferences in favor of the party opposing the motion and give that party every favorable intendment of the evidence. ", "Jordanich v. Gerstbauer (1972), 153 Ind. App. ", "416, 287 N.E.2d 784. ", "The court may not substitute its judgment for that of the jury on questions of fact nor grant the motion because the evidence decidedly preponderates in favor of the moving party. ", "Smith v. Chesapeake and Ohio Railroad Co. (1974), 160 Ind. App. ", "256, 311 N.E.2d 462; Galbreath v. City of Logansport (1972), 151 Ind. App. ", "291, 279 N.E.2d 578.", "\nAppellate review of rulings on motions for judgment on the evidence is subject to the same standards which govern the trial court in ruling on the motion. ", "Our task therefore is to determine whether there was any evidence justifying submission to the jury of Osha's claim against Hendrickson. ", "See, Myers v. Maris (1975), 164 Ind. App. ", "34, 326 N.E.2d 577; Smith v. Chesapeake and Ohio Railroad Co., supra.\"", "\nFresons and Hopkins allege the evidence is susceptible to only one reasonable interpretation giving them title to the disputed property. ", "However, in accordance with our standard of review quoted above, we must determine whether there was any evidence justifying submission to the jury of Combs' claim against Fresons and Hopkins.", "\nCombs' complaint contained an allegation that they were the rightful owners of the property in question, and their deed was recorded in the Dearborn County Recorder's Office. ", "Also, it included a particular description of the real estate claimed. ", "In a suit to quiet title, plaintiff is bound to prove that he was the owner of land in controversy at the commencement of the action. ", "Brady v. Gregory, (1912) 49 Ind. App. ", "355, 97 N.E. 452. ", "Also, a plaintiff seeking to quiet title must recover upon the strength of his own title. ", "Ross v. Legler, (1964) 245 Ind. 655, 199 N.E.2d 346. ", "Furthermore, in an action to quiet title, where plaintiff specifically describes title on which he relies, recovery must be on title as laid. ", "Ault v. Miller, (1932) 203 Ind. 487, 181 N.E. 35.", "\nThe evidence establishes that Combs have claimed ownership of the land in question and have diligently paid taxes on that land since 1950. ", "At the time Fresons surveyed the disputed land in 1976, Combs immediately pulled up the survey stakes, claiming the property as their own land. ", "The county surveyor's survey supported Combs' claim as to the placement of the boundary line in relation to the monuments described in Combs' deed. ", "The Combs used the land in question. ", "Under our standards of review, we cannot say the evidence was without conflict and susceptible of but one inference, that being in favor of the Fresons. ", "For this reason, Fresons' *62 and Hopkins' motions for judgment on the evidence were properly overruled.", "\nFor the reasons stated above, the decision of the trial court is affirmed in part, and reversed and remanded in part for reduction in damages consistent with this opinion.", "\nAffirmed in part; reversed in part and remanded.", "\nRATLIFF, P.J., and ROBERTSON, J., concur.", "\nNOTES\n[1] On October 8, 1976, Fresons and Hopkins had filed a complaint against Millard Combs alone seeking to enjoin him from obstructing an easement.", "\n[2] The jury found that Fresons and Hopkins had not acquired any portion of Combs' land by adverse possession. ", "In addition to the .995 acre parcel, the trial court found that Combs owned approximately one and one-half acres which Hopkins had been claiming as their land.", "\n" ]

{ "pile_set_name": "FreeLaw" }

[ 0.03255813953488372, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02631578947368421, 0.016666666666666666, 0, 0.024, 0, 0.0043859649122807015, 0.0165016501650165, 0.008771929824561403, 0, 0, 0.008333333333333333, 0, 0.0056179775280898875, 0, 0, 0.00819672131147541, 0.008130081300813009, 0.0029239766081871343, 0.004, 0, 0.01, 0.004273504273504274, 0.022058823529411766, 0, 0.010050251256281407, 0, 0.004761904761904762, 0, 0, 0.005952380952380952, 0, 0, 0.023809523809523808, 0, 0, 0, 0.023809523809523808, 0, 0, 0.02564102564102564, 0, 0, 0.02631578947368421, 0.0136986301369863, 0, 0.04411764705882353, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.023809523809523808, 0.02631578947368421, 0, 0.010416666666666666, 0, 0, 0.014184397163120567, 0, 0, 0, 0.03529411764705882, 0.007407407407407408, 0, 0, 0, 0, 0.012269938650306749, 0, 0.018867924528301886, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006896551724137931, 0, 0.06666666666666667, 0, 0, 0, 0.03571428571428571, 0, 0, 0, 0, 0.04, 0, 0, 0, 0, 0, 0.04, 0.024390243902439025, 0, 0.029411764705882353, 0, 0, 0, 0.009259259259259259, 0, 0, 0, 0.03333333333333333, 0.03896103896103896, 0, 0, 0, 0, 0, 0.013333333333333334, 0, 0.04838709677419355, 0.005, 0.01020408163265306, 0, 0, 0, 0.021739130434782608, 0, 0, 0.03125, 0.02666666666666667, 0, 0, 0.014598540145985401, 0.07142857142857142, 0.02857142857142857, 0.007246376811594203, 0.010416666666666666, 0, 0, 0, 0.02631578947368421, 0.05555555555555555, 0, 0.018867924528301886, 0, 0.02040816326530612, 0, 0, 0.013513513513513514, 0.02702702702702703, 0.006535947712418301, 0.009615384615384616, 0, 0, 0.07142857142857142, 0.013071895424836602, 0.017699115044247787, 0.012578616352201259, 0 ]

[ "Q:\n\nhow to use Math.round() in java for getting =ROUND(A8/1000,2)* 1000 (excel formula) output\n\nI have a value 7075.5 I need to get the output as 7080. ", "I need to apply the below Excel formula to get this output.", "\n=ROUND(A8/1000, 2) * 1000\n\nhow to accomplish this formula/requirement using java?", "\n I tried few but I am far away from the expected output. ", "\npublic class Split {\n public static void main(String[] args) {\n double e = 7075.9;\n System.out.println(\"Rounding 7075.5=\"+Math.round(e*1000)/1000); \n }\n}\n\ncan anybody please help to get this done in Java? ", "please refer the excel formula given above.", "\n\nA:\n\nWhy are you dividing by 1000 when you only want to round off the last digit?", "\nYou can use\nSystem.out.println(\"Rounding 7075.5=\"+Math.round(e/10)*10);\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0.012195121951219513, 0, 0.008849557522123894, 0, 0, 0 ]

[ "Many modern buildings have central vacuum cleaning systems. ", "These systems have a vacuum unit incorporating a suction motor and impeller to create a vacuum in piping through the building. ", "A user of the system connects a flexible hose to the piping. ", "The hose has a handle for the operator to grasp. ", "The handle is further connected to one or more cleaning accessories.", "\nThe motor is housed in a motor housing that typically forms part of a central vacuum unit, often referred to as a “central vacuum power unit”. ", "The vacuum unit also has a receptacle portion for receiving dust and other particles picked up through the cleaning accessories and transported by airflow generated by the vacuum unit through the hose and piping.", "\nThe vacuum unit is usually placed in a central location that is easily accessible for emptying the receptacle. ", "The motor is typically powered by line voltage that is controlled by a motor control circuit in the motor housing.", "\nLow voltage wires typically run beside, or form part of, the piping and hose between the canister and the handle. ", "This permits the operator to control the motor by sending low voltage signals from the handle to the motor control circuit. ", "In order to receive the low voltage signals, an opening is provided in the motor housing through which the low voltage wires can be connected to the motor control circuit.", "\nImprovements to, or alternatives for, components in central vacuum cleaner systems, and methods related thereto, are desirable." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Menu\n\nWildacre\n\nWhat is it about someone else’s garden that can make even ordinary plants look extra special and precious? ", "Once a month or so during the summer, Blithewold offers a great treat called an Intimate Garden Tour and this past week we were invited for a slow meander inside Wildacre on Ocean Drive in Newport. ", "Wildacre […]" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.008130081300813009, 0.005050505050505051, 0 ]

[ "A man, later identified as 35-year-old Michael C. Jones, was found suffering from a head wound on Eastchester Avenue on Tuesday. ", "He was transported to a local hospital and later died from his injuries.", "\n\nAccording to Thomas, the preliminary reports indicate that Jones was in an altercation, where he fell or was pushed, possibly striking his head on a curb. ", "He said police are currently investigating the incident as a potential hate crime.", "\n\nThomas said that he and the police are working with the FBI to investigate.", "\n\n“Our hearts go out to the family and loved ones of this individual,” he stated. “", "Those that seek to attack people to install fear in communities due to race, religion, or sexual orientation are cowards and will face justice. ", "Mount Vernon is a city of inclusion and despicable acts of intimidation will not be tolerated.", "\n\n“I have directed the Mount Vernon Police Department to collaborate with the Federal Bureau of Investigation, the New York State Police’s Hate Crimes Unit, and our other partners in law enforcement to investigate this heinous act.”", "\n\n“We will continue to work with the community to find those that are responsible for, or contributed to, this young man’s passing,” acting Police Commissioner Shawn Harris added. “", "Mount Vernon has become significantly safer, with crime dropping 22 percent from 2012 levels; however this loss appears to be a deeply personal conflict that may be a hate crime.”" ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.007751937984496124, 0, 0.012738853503184714, 0, 0.025974025974025976, 0, 0, 0, 0.008620689655172414, 0.011049723756906077, 0 ]

[ "List of 22nd-century lunar eclipses\n\nSee also: List of lunar eclipses, List of 21st-century lunar eclipses, and List of 23rd-century lunar eclipses\n\nList of lunar eclipses between 2101 and 2200\n\nReferences \nThis list was compiled with data calculated by Fred Espenak of NASA's GSFC.", "\n\n22\nLunar eclipses\nLunar eclipses" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.014184397163120567, 0 ]

[ "Q:\n\nR data frame row name shows matrix instead of numeric value\n\nI have the following to create a data frame. ", " My problem is that the data frame row names display as [1,],[2,],[3,],[4,], etc instead of just 1,2,3,4,etc (see below for outputs). ", " Why and how can I fix this to just have my row names show as usual (incremented number).", "\nCode:\n\ndf <- data.frame(id=c(\"id\"),nobs=c(\"nobs\"))\ndf <- cbind(id,nobs)\ndf\n\nid and nobs are two vectors with 5 numeric values each...\nCurrent output:\n id nobs\n[1,] 2 3653\n[2,] 4 3653\n[3,] 8 1462\n[4,] 10 1097\n[5,] 12 732\n\nDesired output:\n id nobs\n1 2 3653\n2 4 3653\n3 8 1462\n4 10 1097\n5 12 732\n\nA:\n\nYour second command completely overwrites the first. ", "What you want is\ndf <- data.frame(id=id, nobs=nobs)\n\nSince your inputs to cbind are vectors (I presume), then by default it returns a matrix. ", "\nAdditionally you could force it as a data frame via\ndf <- data.frame(cbind(id, nobs))\n\nbut that is overkill.", "\n\nA:\n\nNote: I don't suggest that you should use either of these methods. ", "If you want a data.frame, you can create it directly as Paul has showed (or you yourself have done). ", "This is just to illustrate why this happens. ", "Although sometimes when using sapply for example, the output would be a matrix and you might want to bind 2 such matrices and have them as a data.frame.", "\nFrom the help page for cbind (?", "cbind): \n\nThe functions cbind and rbind are S3 generic, with methods for data frames. ", "The data frame method will be used if at least one argument is a data frame and the rest are vectors or matrices.", "\nData frame methods\nThe cbind data frame method is just a wrapper for data.frame(..., check.names = FALSE). ", "This means that it will split matrix columns in data frame arguments, and convert character columns to factors unless stringsAsFactors = FALSE is specified.", "\n\nSo, if you pass two vectors, the wrapper for data.frame won't be called. ", "Hence, you obtain a matrix. ", "\n\nWhat can you do?", "\n 1) you could create and pass at least one data.frame argument to cbind\n 2) wrap the cbind argument with a as.data.frame(.).", "\n\nx <- 1:5\ny <- 6:10\n> cbind(data.frame(x), y)\n x y\n1 1 6\n2 2 7\n3 3 8\n4 4 9\n5 5 10\n\n> as.data.frame(cbind(x,y))\n x y\n1 1 6\n2 2 7\n3 3 8\n4 4 9\n5 5 10\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "433 F.3d 946\nMadison HOBLEY, Plaintiff-Appellee,v.Jon BURGE, Robert Dwyer, City of Chicago, et al., ", "Defendants.", "Appeal of: Jones Day.", "\nNo. ", "05-1367.", "\nUnited States Court of Appeals, Seventh Circuit.", "\nArgued September 21, 2005.", "\nDecided January 9, 2006.", "\n\nJon Loevy (argued), Kurt Feuer, Loevy & Loevy, Chicago, IL, for Plaintiff-Appellee.", "\nJames G. Sotos, Hervas, Sotos, Condon & Bersani, Itasca, IL, Mara S. Georges, Office of the Corporation Counsel, Appeals Division, Chicago, IL, for Defendants.", "\nPaul W. Schroeder (argued), Jones Day, Chicago, IL, for Jones Day.", "\nBefore COFFEY, EVANS, and WILLIAMS, Circuit Judges.", "\nTERENCE T. EVANS, Circuit Judge.", "\n\n\n1\nThis appeal stems from a suit by Madison Hobley against the City of Chicago, former Chicago Police Lt. ", "Jon Burge, and other individual defendants. ", "Hobley served 16 years on death row before he was pardoned in 2003. ", "In his § 1983 suit he alleges that Burge and several subordinates tortured and framed him for an arson crime he did not commit. ", "Burge was fired from the police force in 1993 for allegedly torturing a confession from a murder suspect. ", "The question we decide in this interlocutory appeal is whether Hobley may gain discovery of certain documents created and maintained by the law firm Jones Day when it represented the City in the police board proceedings that led to Burge's dismissal.", "\n\n\n2\nThe seeds for this dispute were sown several months before Hobley filed his suit. ", "In December 2002, a lawyer in the City Corporation Counsel's office notified Jones Day attorney June Ghezzi that a special prosecutor was investigating allegations of torture by Chicago police officers and that a grand jury had subpoenaed documents from the police board proceedings against Burge. ", "Jones Day identified 57 boxes of documents and sent all but 5 of them to Hinshaw & Culbertson, the firm representing the City at that time. ", "Ghezzi informed a Hinshaw attorney that Jones Day was retaining five boxes of documents it considered privileged under the attorney work-product doctrine.", "\n\n\n3\nAn attorney asserting privilege must timely support that claim with a \"privilege log\" which describes the nature of each document being withheld. ", "Ghezzi told the Hinshaw attorney to let her know when a privilege log was needed and to inform her before any of the 52 boxes of nonprivileged materials were produced to anyone. ", "She would hear nothing further for more than a year. ", "The five boxes of claimed work-product documents at the center of this dispute have never left Jones Day's custody.", "\n\n\n4\nHobley filed this suit, alleging a deprivation of his constitutional rights under 42 U.S.C. § 1983, in May of 2003. ", "Once it got going, the record indicates a history of discovery blunders and resistance on the City's side, prompting several court orders, periodic tongue-lashings from the magistrate judge,1 and at least one set of sanctions against a Hinshaw attorney. ", "In December 2003, the City waived any claims to either attorney-client or work-product privilege. ", "In January 2004, the City produced to Hobley the 52 boxes of police board documents that originally had been assembled for the grand jury investigation. ", "Although the City's attorneys knew Jones Day was still holding five boxes under a claim of privilege, they made no mention of these to Hobley's attorneys, who understandably assumed they were getting all of the \"police board documents\" they requested, not just some of them.2 Up to this point, no one from the City had told Jones Day about Hobley's lawsuit.", "\n\n\n5\nOn February 23, 2004, a Hinshaw attorney, Steven Puiszis, called Jones Day's Ghezzi and asked her to prepare a privilege log for the five boxes of documents the firm set aside more than a year earlier. ", "Puiszis later testified that he needed the log to help clear up a different discovery headache — the City's inadvertent production to Hobley of privileged documents unrelated to the police board material — and that he gave Ghezzi no warning that Jones Day's work product was about to take center stage in the vexed saga of this litigation. ", "Representatives from Hinshaw and Jones Day exchanged several other communications during the next several weeks. ", "It remains a point of vigorous dispute whether Jones Day learned enough information during this time to figure out that the withheld police board documents were in play and that it was in danger of losing its privilege claim if it didn't bring the work-product materials to Hobley's attention. ", "Hobley argues that Jones Day knew or should have known about his suit by late February or early March 2004. ", "Jones Day insists it had no knowledge of the specifics of Hobley's litigation or that the documents it was holding might have been implicated in discovery requests and court orders that had been going on for months.", "\n\n\n6\nMeanwhile, in the course of briefing yet a different discovery wrinkle, the City disclosed for the first time on March 11, 2004, that its former counsel was holding some police board documents under a claim of privilege. ", "In an order on April 20, 2004, the magistrate judge said the City should have realized those five boxes were encompassed by earlier discovery requests and ordered that they be produced pronto.", "\n\n\n7\nThis order got Jones Day's attention. ", "Its attorneys filed appearances and a privilege log and asked the judge to reconsider her order. ", "Instead, the judge held an evidentiary hearing focused on what Jones Day had learned about the Hobley litigation during the preceding months and whether it had moved properly to protect its privilege claim. ", "Dismissing as \"not credible\" the firm's assertion that it was unaware of the Hobley proceedings until it received a copy of the April 20, 2004, order, and clearly exasperated by all the discovery folderol on the City's side, the magistrate judge found, on Jones Day's request for reconsideration, that the firm had withheld the documents without a proper notice of privilege. ", "Hobley v. Burge, 226 F.R.D. 312, 322 (N.D.Ill.2005). ", "She imposed a sanction of waiver and ordered that the five boxes be produced to Hobley's attorneys. ", "Id. at 323. ", "The district court, finding that the order was not clearly erroneous, affirmed.", "\n\n\n8\nWe review discovery sanctions for abuse of discretion. ", "Maynard v. Nygren, 332 F.3d 462, 467 (7th Cir.2003). ", "A district court by definition abuses its discretion when it makes an error of law, and while factual findings are usually reviewed for clear error, findings which are bound up with the application of an inapposite legal standard are subject to closer review. ", "Id.\n\n\n9\nThe purpose of the qualified privilege for attorney work product, which is codified in Federal Rule of Civil Procedure 26(b)(3), is to establish a zone of privacy in which lawyers can analyze and prepare their client's case free from scrutiny or interference by an adversary. ", "In re Special Sept. 1978 Grand Jury II, 640 F.2d 49, 62 (7th Cir.1980); see also Hickman v. Taylor, 329 U.S. 495, 510-11, 67 S.Ct. ", "385, 91 L.Ed. ", "451 (1947). ", "It also prevents a litigant from \"taking a free ride on the research and thinking of his opponent's lawyer.\" ", "United States v. Frederick, 182 F.3d 496, 500 (7th Cir.1999). ", "A majority of courts have held (and Hobley does not dispute) that the privilege endures after termination of the proceedings for which the documents were created, especially if the old and new matters are related. ", "See In re Grand Jury Proceedings, 43 F.3d 966, 971 (5th Cir.1994); In re Murphy, 560 F.2d 326, 333-34 and 334 n. 13 (8th Cir.1977).", "\n\n\n10\nIt is well-established that the work-product privilege may be invoked by either the client or the attorney. ", "In re Special Sept. 1978 Grand Jury II, 640 F.2d at 62; In re Sealed Case, 29 F.3d 715, 718 (D.C.Cir.1994). ", "An attorney has an independent interest in privacy, even when the client has waived its own claim, as long as invoking the privilege would not harm the client's interests. ", "Restatement (Third) of the Law Governing Lawyers § 90 cmt. ", "c (2000). ", "Although the City has abandoned its own privilege claims, Jones Day's claim is not inconsistent with the City's interests in this litigation.", "\n\n\n11\nTo begin with the obvious, Jones Day is not a party to Hobley's suit, nor is it representing the City. ", "When documents are sought from a nonparty, the usual method of compelling production is via a subpoena under Fed.", "R.Civ.", "P. 45. ", "See Fed.", "R.Civ.", "P. 34(c); 9A Charles A. Wright, et al., ", "Federal Practice and Procedure § 2456 (\"The subpoena duces tecum is the only way to compel a nonparty to produce documents or other materials.\") ", "This includes work product held by a nonparty attorney. ", "See Hickman, 329 U.S. at 504, 67 S.Ct. ", "385; Fed.", "R.Civ.", "P. 45(d)(2). ", "Thus, after the City revealed that five boxes of documents were still in the hands of its former counsel, one might have expected Hobley's attorneys to serve Jones Day with a Rule 45 subpoena.", "\n\n\n12\nUnder that scenario, though, Hobley likely would have had to litigate document-by-document. ", "The work-product privilege may be overcome \"only upon a showing that the party seeking discovery has substantial need of the materials in the preparation of the party's case and that the party is unable without undue hardship to obtain the substantial equivalent of the materials by other means.\" ", "Fed.", "R.Civ.", "P. 26(b)(3). ", "And so instead, Hobley's attorneys evidently decided to go after the whole cache in one swoop by arguing that Jones Day had slept on its rights.", "\n\n\n13\nThe magistrate judge based her sanction order on Fed.", "R.Civ.", "P. 34, which governs requests for documents \"in the possession, custody or control\" of one's opponent. ", "Fed.", "R.Civ.", "P. 34(a). ", "Yet, by its terms, Rule 34 applies only to parties. ", "It is the City, not Jones Day, that is the responsive party in this suit. ", "And even if Jones Day were the City's current counsel, Rule 34 would not be the correct discovery tool for gaining access to work product held by an attorney. ", "Hickman, 329 U.S. at 504, 67 S.Ct. ", "385 (explaining that Rule 34 \"is limited to parties to the proceeding, thereby excluding their counsel or agents\"); 8 Wright, et al., ", "Federal Practice and Procedure § 2208 (Rule 34 creates a discovery device only against parties and does not run against a party's counsel or nonparty witnesses).", "\n\n\n14\nThe judge reasoned that the five boxes held by Jones Day were encompassed by requests Hobley had served on the City months before the omitted documents came to light. ", "Although the firm had possession and custody of the work product, the judge believed that, as the former client, the City had \"control\" for purposes of Rule 34. ", "226 F.R.D. at 320-21.", "\n\n\n15\nThe problem, though, is that the City never sought to exercise control over the documents by asking Jones Day to part with or make them available to Hobley.3 Moreover, since it was not representing the City in this litigation, Jones Day was not looped into requests or orders that encompassed documents it was holding. ", "We don't see how Jones Day can be accused of behaving dilatorily toward discovery requests it never received.", "\n\n\n16\nLeaving aside the City's head-in-the-sand posture, Hobley argues that Jones Day was obligated to come forward with its documents once it became \"subjectively aware\" of his lawsuit. ", "The magistrate judge fixed that date at \"no later than February 23, 2004,\" when Hinshaw attorney Puiszis asked Jones Day's Ghezzi to start preparing a privilege log. ", "226 F.R.D. at 321.", "\n\n\n17\nWe fail to see, though, how that conversation could be equated with an event like a discovery request or subpoena, which would have signaled to Jones Day that its documents were now implicated in civil litigation and the clock was running on its privilege claim. ", "Although Hobley was raining down motions to compel on the City, the record shows that Puiszis did not explain to Ghezzi how his need for the privilege log related to any role the work-product material had in the Hobley litigation (Ghezzi may reasonably have assumed it was needed for the special prosecutor's investigation) and that Puiszis provided no deadline.4 Nor did he inform her that the City had already turned over the nonprivileged police board documents.", "\n\n\n18\nSimilarly, we cannot endorse the judge's view that Jones Day was subject to a sort of inquiry notice and should have learned about Hobley's suit from the court docket or local legal periodicals. ", "She faulted Jones Day for taking \"no action to learn of any deadlines or orders in this case, nor to learn the status of any motions relating to the police board documents.\" ", "226 F.R.D. at 321-22. ", "But as Jones Day was a nonparty and was not representing anyone, we are at a loss to understand why it should have been expected to monitor the proceedings.", "\n\n\n19\nThe issue is not \"What did Jones Day know and when did they know it?\" ", "Regardless of whether the firm was \"subjectively aware\" of Hobley's suit, there is no authority for the proposition that a nonparty has an affirmative duty to learn about and inject itself into litigation simply because it possesses information one of the parties might find useful. ", "Withholding documents without a proper notice of privilege is, to be sure, a violation of the Federal Rules — if the culprit is a party, see Fed. ", "R. Civ P. 26(b)(5) and Advisory Committee Note to 1993 Amendments, or a nonparty who has received a subpoena, see Fed.", "R.Civ.", "P. 45(d)(2) and Advisory Committee Note to 1991 Amendments. ", "While we might understand an argument for sanctions against an attorney who has stonewalled, withheld information from the client without notice, or deliberately impeded the client's ability to fulfill discovery obligations, none of that was the case here.", "\n\n\n20\nClaims of work-product privilege are not, of course, self-executing. ", "The judge raised the concern that if Jones Day could deem its documents off-limits from discovery, yet also simply sit by while the Hobley litigation dragged along, the work-product claim \"would be untestable because the existence of the documents would not be disclosed (which is what almost happened in this case).\" ", "226 F.R.D. at 321. ", "While this is a legitimate concern, it again conflates the duties of a party and a nonparty. ", "Had the documents never come to light, it would have been because the City had improperly failed to disclose their existence. ", "A party's former counsel is required to respond appropriately to subpoenas, orders, and other requests it actually receives. ", "But it is not responsible for insuring against the former client's discovery missteps.", "\n\n\n21\nWhile Jones Day's independent claim to privilege may have negated the City's control over the work-product documents, that did not absolve the City of its duty to respond fully and candidly to discovery requests. ", "See 8 Wright, et al., ", "Federal Practice & Procedure § 2213 (a responding party should indicate if requested documents are not in its possession, custody, or control). ", "Attorneys for the City were perfectly aware that five boxes of privileged material had been culled from the police board documents Hobley requested, and it seems clear the City had a duty to disclose their existence earlier than it did. ", "Yet, the City appears content to stand by and let Jones Day take the rap for the City's failure to keep both its adversary and its former counsel properly informed about matters that affected their legal rights.", "\n\n\n22\nWe conclude that the district court erred in subjecting Jones Day to the discovery obligations of a party under Rule 34(b) and by transferring blame for the City's errors to its former counsel. ", "As a matter of law, Jones Day did not accrue an obligation to assert its privilege claim until it received the court order of April 20, 2004. ", "Since the firm responded appropriately, it has not waived its claim.", "\n\n\n23\nThe order of the court below is VACATED. ", "Should Hobley choose to subpoena the Jones Day documents, the firm's privilege claims may be tested under the normal procedures for attorney work product. ", "Each party shall bear its own costs.", "\n\n\n\nNotes:\n\n\n1\n The case bounced back and forth between Magistrate Judge Geraldine Brown and District Judge Marvin E. Aspen. ", "We have, for the sake of simplicity, bypassed some of the to and fro\n\n\n2\n The City has said it believed the five omitted boxes of work product were covered by a stay then in effect on \"Monell\" discovery — that is, discovery going to city policy — and that the City thus was not required to tell Hobley about them at the time the 52 boxes of documents were produced. ", "The judge rejected this argument.", "\n\n\n3\n Because Jones Day has an independent interest in privacy, we believe its privilege claim would have negated the City's \"control\" of the documents for purposes of this litigation. ", "Jones Day, however, makes a more ambitious argument: that the five boxes of work product are the firm'sexclusive property and that the City, as the former client, would have no entitlement to them for any purpose. ", "Since there is no dispute in this matter between Jones Day and the City, we need not decide the scope of a law firm's work-product rights against a current or former client.", "\nJones Day finds support for its position from an opinion of the Illinois State Bar Association, see ISBA Adv. ", "Op. ", "No. ", "94-13 (1995) (documents \"clearly intended only for internal use\" within a law firm may always be withheld from a client), and a few lower court decisions, see, e.g., Fed. ", "Land Bank of Jackson v. Fed. ", "Intermediate Credit Bank, 127 F.R.D. 473, 480 (S.D.Miss.1989) (notes, research, and other materials developed by attorney for use in providing services to the client are the attorney's property). ", "However, other courts and authorities have upheld strong client rights toward most documents in an attorney's possession. ", "See, e.g., Sage Realty Corp. v. Proskauer Rose Goetz & Mendelsohn, 91 N.Y.2d 30, 37, 666 N.Y.S.2d 985, 689 N.E.2d 879 (1997) (\"[The] obligation of forthrightness of an attorney toward a client is not furthered by the attorney's ability to cull from the client's file documents generated through fully compensated representation, which the attorney unilaterally decides the client has no right to see.\"); ", "Clark v. Milam, 847 F.Supp. ", "424, 427 (S.D.W.Va.1994) (attorney may not invoke work-product immunity against his own client); Restatement (Third) of the Law Governing Lawyers § 46(2) (2000) (\"On request, a lawyer must allow a client or former client to inspect and copy any document possessed by the lawyer relating to the representation, unless substantial grounds exist to refuse.\").", "\nFor present purposes, we simply underscore the established principle that a lawyer may independently seek to keep privileged documents out of litigation when doing so does not conflict with the client's interests. ", "See id. § 90 cmt. ", "c.\n\n\n4\n At the evidentiary hearing, the following exchange took place between the judge and attorney Puiszis:\nTHE COURT: . . . ", "Nobody made any effort to go back to Jones, Day and say, we've got this lawsuit, we've got this document request, we've got some of your documents but maybe there is something else out there, here is a copy of the document request?", "\nTHE WITNESS: There was no communication to that effect from anyone from Hinshaw to anyone from Jones, Day, your Honor, that's correct.", "\n\n\n" ]

{ "pile_set_name": "FreeLaw" }

[ 0.03, 0, 0, 0, 0, 0.04081632653061224, 0, 0, 0.03529411764705882, 0.04375, 0.014925373134328358, 0.057692307692307696, 0.06060606060606061, 0.018518518518518517, 0.022727272727272728, 0.014705882352941176, 0.0078125, 0.009433962264150943, 0.008, 0.011494252873563218, 0.010067114093959731, 0.007142857142857143, 0.006493506493506494, 0, 0.0056179775280898875, 0, 0, 0, 0.003937007874015748, 0, 0.006535947712418301, 0.0056022408963585435, 0.00966183574879227, 0.0029411764705882353, 0, 0.003401360544217687, 0.009259259259259259, 0.004651162790697674, 0, 0, 0, 0, 0.004830917874396135, 0.0026595744680851063, 0.03773584905660377, 0.01, 0, 0, 0, 0.018867924528301886, 0, 0, 0.022900763358778626, 0, 0, 0, 0.016129032258064516, 0.004672897196261682, 0.007633587786259542, 0, 0.009259259259259259, 0, 0.01694915254237288, 0, 0, 0.009174311926605505, 0.008849557522123894, 0, 0, 0.125, 0, 0.025, 0.006896551724137931, 0, 0, 0.1111111111111111, 0, 0, 0.005208333333333333, 0.01020408163265306, 0, 0.25, 0, 0, 0.006944444444444444, 0.01694915254237288, 0, 0, 0.25, 0, 0, 0, 0, 0, 0.02857142857142857, 0, 0.006211180124223602, 0.005780346820809248, 0, 0, 0, 0, 0.0053475935828877, 0.012048192771084338, 0, 0, 0.010752688172043012, 0.004975124378109453, 0, 0, 0, 0, 0.0035335689045936395, 0.00684931506849315, 0.025423728813559324, 0, 0.016666666666666666, 0, 0, 0.0031446540880503146, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.006944444444444444, 0.004219409282700422, 0, 0, 0, 0, 0.02127659574468085, 0.0064516129032258064, 0, 0.024, 0.00273224043715847, 0, 0, 0, 0, 0.018018018018018018, 0, 0, 0.005847953216374269, 0.06896551724137931, 0.00510204081632653, 0, 0.0049504950495049506, 0.07142857142857142, 0.0056179775280898875, 0, 0, 0.007874015748031496, 0.004329004329004329, 0.007407407407407408, 0 ]

[ "Loubia bil Dersa\n\nApril 30, 2010thecoffeebreak\n\nLoubia is traditional Algerian dish made of green beans and spicy tomato sauce. ", "Spices that are usually used are cumin, paprika, garlic and chilli powder although some cooks add also coriander, cayenne pepper or cinnamon. ", "Loubia is served as a side dish or can be eaten with just bread.", "\n\nMethod: In a large saucepan bring water to a boil; season with salt and add green beans. ", "Simmer for about 30 minutes, drain. ", "In a large pan heat up oil then add garlic and all spices, sauté for a half minute. ", "Add can of tomatoes and bring to a boil then add green beans and simmer for 5-10 minutes. ", "Season with salt if necessary." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.015625, 0.007042253521126761, 0.015625, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Recombinant DNA technology refers generally to techniques of integrating genetic information from a donor source into vectors for subsequent processing, such as through introduction into a host, whereby the transferred genetic information is copied and/or expressed in the new environment. ", "Commonly, the genetic information exists in the form of complementary DNA (cDNA) derived from messenger RNA (mRNA) coding for a desired protein product. ", "The carrier is frequently a plasmid having the capacity to incorporate cDNA for later replication in a host and, in some cases, actually to control expression of the cDNA and thereby direct synthesis of the encoded product in the host.", "\nFor some time, it has been known that the mammalian immune response is based on a series of complex cellular interactions, called the “immune network”. ", "Recent research has provided new insights into the inner workings of this network. ", "While it remains clear that much of the immune response does, in fact, revolve around the network-like interactions of lymphocytes, macrophages, granulocytes, and other cells, immunologists now generally hold the opinion that soluble proteins, known as lymphokines, cytokines, or monokines, play critical roles in controlling these cellular interactions. ", "Thus, there is considerable interest in the isolation, characterization, and mechanisms of action of cell modulatory factors, an understanding of which will lead to significant advancements in the diagnosis and therapy of numerous medical abnormalities, e.g., immune system disorders.", "\nLymphokines apparently mediate cellular activities in a variety of ways. ", "They have been shown to support the proliferation, growth, and/or differentiation of pluripotent hematopoietic stem cells into vast numbers of progenitors comprising diverse cellular lineages which make up a complex immune system. ", "Proper and balanced interactions between the cellular components are necessary for a healthy immune response. ", "The different cellular lineages often respond in a different manner when lymphokines are administered in conjunction with other agents.", "\nCell lineages especially important to the immune response include two classes of lymphocytes: B-cells, which can produce and secrete immunoglobulins (proteins with the capability of recognizing and binding to foreign matter to effect its removal), and T-cells of various subsets that secrete lymphokines and induce or suppress the B-cells and various other cells (including other T-cells) making up the immune network. ", "These lymphocytes interact with many other cell types.", "\nAnother important cell lineage is the mast cell (which has not been positively identified in all mammalian species), which is a granule-containing connective tissue cell located proximal to capillaries throughout the body. ", "These cells are found in especially high concentrations in the lungs, skin, and gastrointestinal and genitourinary tracts. ", "Mast cells play a central role in allergy-related disorders, particularly anaphylaxis as follows: when selected antigens crosslink one class of immunoglobulins bound to receptors on the mast cell surface, the mast cell degranulates and releases mediators, e.g., histamine, serotonin, heparin, and prostaglandins, which cause allergic reactions, e.g., anaphylaxis.", "\nResearch to better understand and treat various immune disorders has been hampered by the general inability to maintain cells of the immune system in vitro. ", "Immunologists have discovered that culturing many of these cells can be accomplished through the use of T-cell and other cell supernatants, which contain various growth factors, including many of the lymphokines.", "\nThe interleukin-1 family of proteins includes the IL-1α, the IL-1β, the IL-1RA, and recently the IL-1γ (also designated Interferon-Gamma Inducing Factor, IGIF). ", "This related family of genes has been implicated in a broad range of biological functions. ", "See Dinarello (1994) FASEB J. 8:1314-1325; Dinarello (1991) Blood 77:1627-1652; and Okamura, et al. (", "1995) Nature 378:88-91.", "\nIn addition, various growth and regulatory factors exist which modulate morphogenetic development. ", "This includes, e.g., the Toll ligands, which signal through binding to receptors which share structural, and mechanistic, features characteristic of the IL-1 receptors. ", "See, e.g., Lemaitre, et al. (", "1996) Cell 86:973-983; and Belvin and Anderson (1996) Ann. ", "Rev. Cell & Develop. ", "Biol. ", "12:393-416.", "\nFrom the foregoing, it is evident that the discovery and development of new soluble proteins, including ones similar to lymphokines, should contribute to new therapies for a wide range of degenerative or abnormal conditions which directly or indirectly involve development, differentiation, or function, e.g., of the immune system and/or hematopoietic cells. ", "In particular, the discovery and understanding of novel lymphokine-like molecules which enhance or potentiate the beneficial activities of other lymphokines would be highly advantageous. ", "The present invention provides new interleukin-1 like compositions and related compounds, and methods for their use." ]

{ "pile_set_name": "USPTO Backgrounds" }

[ 0, 0.006535947712418301, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.037037037037037035, 0, 0.009900990099009901, 0, 0, 0.005917159763313609, 0, 0.03389830508474576, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Gummi (software)\n\nGummi is a LaTeX editor. ", "It is a GTK+ application which runs on Linux and Windows systems.", "\n\nFeatures \nGummi has many useful features needed to edit LaTeX source code, such as: \nLive preview: The pdf is shown without the need to compile it manually\nSnippets: LaTeX snippets can be configured\nGraphical insertion of tables and images\nTemplates and wizards for new document creation\nProject management\nBibliography management\nSyncTeX integration\n\nHowever, it lacks some features available in other editors:\nCompare (available in WinEdt, Vim-LaTeX (LaTeX-suite), TeXmacs...).", "\nGraphical insertion of mathematical symbols (available in Gnome LaTeX, TeXnicCenter, Kile, ...).", "\nDocument structure summary (available in Gnome LaTeX, Kile, ...).", "\n\nInstallation \nGummi is available in the official repositories of various Linux distributions, such as Arch Linux, Debian, Fedora, Gentoo, and Ubuntu.", "\n\nSee also\n\n List of text editors\n Comparison of text editors\n Comparison of TeX editors\n\nReferences\n\nExternal links\n\n \n\nCategory:TeX SourceForge projects\nCategory:Free TeX editors\nCategory:Linux TeX software\nCategory:TeX editors that use GTK\nCategory:TeX editors" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.06976744186046512, 0, 0.010395010395010396, 0.010309278350515464, 0.015151515151515152, 0.013157894736842105, 0.0076045627376425855 ]

[ "Order Food Delivery from Your Favorite Restaurants\n\nTaiwanese Food Delivery in Riverside\n\nTaiwanese Food Delivery by Zip Code\n\nHungry for Taiwanese delivery in Riverside? ", "Eat24.com is the best way to find Taiwanese restaurants that deliver to you. ", "Just enter your address in the search box above and find delivery menus, browse reviews and find exclusive online coupons from your local restaurants. ", "24/7 and completely FREE! ", "Whether looking for breakfast, lunch, dinner or a late night snack, Eat24 has it all." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0.011695906432748537, 0.012987012987012988, 0, 0.038461538461538464, 0.011764705882352941 ]

[ "Q:\n\nIs there a way to render a BasicDBObject into Map with MongoDB/Java?", "\n\nIs there a way to render a BasicDBObject into Map<String,String> with MongoDB/Java?", "\npublic Map<String,String> getObjectByKeyValue(String dbname, String collname, String key, String value) {\n\n Map<String,String> result = new HashMap<String, String>();\n\n DB db = mongo.getDB(dbname);\n DBCollection coll = db.getCollection(collname);\n\n BasicDBObject query = new BasicDBObject();\n query.put(key, value);\n DBCursor cur = coll.find(query);\n while (cur.hasNext()){\n DBObject obj = (DBObject) cur.next(); // Correct, or use BasicDBObject?", "\n // How to get each pair stored in the object be pushed into a Map<String,String> ?", "\n }\n return result;\n}\n\nA:\n\nYou can call toMap() function on BasicBSONObject which returns LinkedHashMap<String,Object>\n\n" ]

{ "pile_set_name": "StackExchange" }

[ 0, 0, 0.002105263157894737, 0, 0.007936507936507936 ]

[ "Getting around the Bay Area will again be a challenge this weekend with the closure of the San Mateo Bridge and the shutdown of BART service between the Coliseum and Fruitvale stations.", "\n\nCaltrans and the CHP will close the bridge in both directions at 10 p.m. Friday, with lane closures beginning as early as 7 p.m. It will reopen at 5 a.m. on Monday. ", "The closure will be repeated over the Memorial Day weekend." ]

{ "pile_set_name": "OpenWebText2" }

[ 0.016216216216216217, 0.005988023952095809, 0 ]

[ "Leeds city centre\n\nLeeds city centre is the central business district of Leeds, West Yorkshire. ", "England. ", "While the city centre has no formal definition, it is roughly bounded by the Inner Ring Road to the north and the River Aire to the south and can be divided into four quarters.", "\n\nCentral districts\n\nArena Quarter\n\nArena Quarter is a mixed city centre development with residential, retail and office developments best known for housing Leeds Arena.", "\n\nIts location is directly north of Merrion Street. ", "The inner ring road borders the district on both the east and north boundary, with Woodhouse Lane acting as the district's western boundary. ", "It is mainly made up of residential properties and developments, including Sky Plaza and Opal 3. ", "Other major institutions are located within the Quarter, including the Yorkshire Bank HQ and also the Merrion Centre. ", "Hume House is the tallest building in Yorkshire.", "\n\nThe Calls\n\nThe Calls is close to the River Aire. ", "It is directly south of the Victorian District and to the west of Crown Point Road. ", "The area's decline began in the early 20th century when industry moved away from the centre out towards Hunslet, Holbeck, Armley and Kirkstall. ", " From 1985 to 1995 Leeds Corporation carried out a major regeneration with a careful conversion of listed building warehouses and new build in sympathetic style for a mixed-use area.", "\n\nMany of the area's old industrial buildings have now been converted into modern flats and commercial buildings. ", "The lower end of The Calls has a number of LGBT community-friendly businesses and bars.", "\n\nCivic Quarter\n\nThe Civic Quarter is the area roughly north of The Headrow and is home to a number of Victorian buildings. ", "Prominent landmarks include the Leeds Magistrates' and Crown Courts, the City Library and City Gallery, and Leeds Town Hall, which was completed in 1858 and opened by Queen Victoria. ", "Queen Square is also found here. ", "The city's largest hospital, the Leeds General Infirmary, has been operating here since 1869.", "\n\nBehind Leeds Town Hall are Millennium Square and Leeds Civic Hall. ", "Millennium Square was a flagship project to mark the year 2000 and hosts regular concerts, with past performers including the Kaiser Chiefs, Bridewell Taxis, HARD-Fi, Fall Out Boy and Embrace. ", "Leeds Civic Hall was opened in 1933 by King George V and is home to the Lord Mayor's Room and the council chambers. ", "Many barristers' chambers and solicitors' offices are found here because of the close proximity to the courts. ", "Also nearby are Leeds Metropolitan University, the University of Leeds, Leeds College of Art and the Park Lane and Technology campuses of Leeds City College.", "\n\nCultural Quarter\n\nThe Cultural Quarter is in the east of the city centre. ", "Landmarks here include the BBC building, which moved from Woodhouse Lane just north of the city centre in August 2004, the West Yorkshire Playhouse, which opened in March 1990, Leeds College of Music, which moved to its current location in 1997, and Northern Ballet which moved to the area in 2010.", "\n\nThe Cultural Quarter is also where the Royal Armouries Museum (opened in 1996 when the collection was transferred north from its previous location, the Tower of London) can be found, although it is more in the south of the city centre than it is the east. ", "The building, designed by architect Derek Walker, was built at a cost of £42.5 million and completed in two years, and has since become one of the city's major tourist attractions.", "\n\nLeeds Dock also lies on the fringes of the Cultural Quarter.", "\n\nFinancial Quarter\n\nThe Financial Quarter is bounded by Park Row to the East, Leeds Inner Ring Road to the west, The Headrow to the north and Wellington Street to the south. ", "It is centred on the Georgian Park Square, one of the green spaces in Leeds city centre. ", "The City Centre Loop passes through the quarter, using City Square, Quebec Street, King Street and East Parade. ", "Leeds Law School is at Cloth Hall Court. ", "Major names can be found in the financial quarter such as Aviva and The Bank of England.", "\n\nThe district has grown out towards the west of the city. ", "The Wellington Place development and the wider Wellington Gardens area of the city contain a number of international corporations. ", "Wellington Place is currently under construction.", "\n\nHolbeck Urban Village\n\nHistorically, Holbeck Urban Village was Holbeck's closest area to the centre of Leeds. ", "Due to the expansion of the city, it is now considered part of the city centre and was rezoned as Holbeck Urban Village, following the completion of a number of developments. ", "is the name given by local government and planning agencies to a mixed-use urban renewal area south of Leeds railway station.", "\n\nBridgewater Place and also Granary Wharf are within Holbeck Urban Village. ", "The new HS2 station will border this area of Leeds, which is why much of the area is considered prime location for development.", "\n\nVictorian District\n\nThe Victorian District, also known as the Shopping Quarter, extends south from the Headrow and includes Leeds' major shopping locations. ", "It is considered the retail core of Leeds, containing Corn Exchange, Leeds Kirkgate Market, Trinity Leeds and also both Victoria Gate and Victoria Quarter. ", "The naming of the district is due to the number of Victorian buildings in the district, but also the historical Briggate, which is one of the oldest shopping streets in Leeds. ", "Two main shopping locations also carry the \"Victoria\" name in the district, Victoria Quarter and also Victoria Gate. ", "Victoria Quarter is one of the oldest buildings in central Leeds and houses one of the UK's only Harvey Nichols stores.", "\n\nDevelopment of the area has seen two new additional indoor malls, Victoria Gate and Trinity Leeds. ", "\nOpened 21 March 2013, Trinity Leeds shopping centre had a surge of 130,000 people enter its doors on the first day of opening. ", "Costing £350m, and creating 3,000 jobs, this was a major development for Leeds. ", "It was the only major retail development to open in the UK in 2013. ", "It covers 1,000,000 sq ft (92,900 sq m) with key anchor stores being Topman and M&S. Other stores in the centre include Apple, River Island, Next, Hollister, H&M, Primark, Everyman, Conran Restaurants and Mango. ", "It has a capacity for 120 shops and numerous pop-up shops.", "\n\nVictoria Gate's construction was completed in 2016 and won numerous awards as one of the best malls in the world. ", "It houses the city centre's John Lewis department store, along with many other flagship stores of premium brands. ", "Older parts of the Victorian District include department stores in Leeds which have historically included Lewis's, which became Allders in 1996 and latterly closed in 2005, Schofields which was taken over by House of Fraser in 1988 and closed in 1996, the Co-op which closed in the mid 1990s, Littlewoods which closed in the late 1990s and is now occupied by Zara and H&M, C&A which closed in 2001 and is currently occupied by Next Clearance (until demolition for construction of the Trinity Quarter) and Marshall & Snelgrove which became part of Debenhams and closed in the 1970s and lies of the site of Lloyds TSB on Park Row have disappeared but currently department stores include Debenhams (historically known as Matthias Robinson), Harvey Nichols (which when opened in 1996 became the first branch outside London), Marks and Spencer, BHS and House of Fraser (formerly a Woolworths, it temporarily became premises for Schofields and latterly became Rackhams before becoming House of Fraser in 1996).", "\n\nMost streets in the District are connected to Briggate, one of the main shopping streets, home to several national and international food chains, like McDonald's, Burger King and Nando's, and international shopping chains, including Zara. ", "Off Briggate are several of Leeds' famous shopping arcades, such as Thornton's Arcade and the Victoria Quarter. ", "Briggate was fully pedestrianised in 1996 and connected the two previously pedestrian areas either side of it. ", "Other shopping attractions include the Corn Exchange, Leeds Kirkgate Market, Granary Wharfe, Leeds Shopping Plaza, Headrow Shopping Centre, The Light, the St John's Centre,and Crown Point Retail park which lies half a mile away from the retail core.", "\n\nMajor Corporations\nWithin the Financial Quarter\nThe Bank of England\nAviva\nZurich Financial Services\nLeeds Building Society\nLloyds TSB\n\nElsewhere in the city centre\nKPMG\nDirect Line\nYorkshire Bank\n\nOutside of the city centre, First Direct have their headquarters at Stourton, while HBOS have major offices in Lovell Park.", "\n\nLeeds Lights \n\nEach Christmas the streets of Leeds city centre are decorated with a variety of Christmas lights. ", "The widely publicised switch-on' ceremony is in early November, when a celebrity flicks the switch to illuminate the decorations at Victoria Gardens and usually attracts tens-of-thousands of people to the turning on ceremony. ", "When Leeds Lights were first established in 1983, the switch on was held on the 4th Thursday of November, however it has since been brought forward. ", "The illuminations are renowned as being the largest display in the United Kingdom, spanning over 13 miles of city centre streets and using over 2 million low energy light bulbs.", "\n\nLeeds is notable for designing, manufacturing and maintaining its own Christmas Light motifs. ", "Its workshop began as a place to provide people with disabilities some employment opportunities. ", "Its workshop has had several locations, beginning in a temporary location near Chapeltown Road, then to the old disused Whitbread Brewery site at Kirkstall and from 1993 to the present Seacroft location. ", "Leeds City Council was the only local authority to do this for some years but now a small number have followed Leeds Lights example in preparing their own displays where as most other councils buy in their lights and services. ", "The lights are repaired and pressure cleaned annually at the Leeds Lights workshop in Seacroft throughout the year. ", "80,000 coloured lamps are stored at the workshop, and 2000m of coloured rope light are used. ", "A team of 14 works all year round producing the display. ", "From October–January, a team of 9 works to erect the lights ready for the switch on in early November, before removing the lights after Christmas.", "\n\nCommercial advertising has been permitted on some of the lights, such as The Headrow's champagne bottle lights.", "\n\nCelebrities who turned on the Leeds Christmas lights:\n\n2018 – Josh Warrington\n2017 – Danny McGuire and Rob Burrow\n2016 – Claire Morris\n2015 – Alex Peel \n2014 – Sam Bailey and G4\n2013 – Gabriella Cilmi and The Vamps\n2012 – Jonathan Brownlee\n2011 – Matt Cardle\n2010 – McFly, Shayne Ward (Miley Cyrus)\n2009 – Pixie Lott (late replacement for Alexandra Burke), Mini Viva, Girls Can't Catch with guest appearances from Lorraine Kelly and members of LUFC and Leeds Rhinos.", "\n2008 – Leon Jackson, Alesha Dixon, Simon Webbe and Same Difference.", "\n2007 – Shayne Ward, Dick and Dom, Chico.", "\n2006 – McFly (Gaynor Faye and Jane Tomlinson also appeared)\n2005 – Rachel Stevens and the Lovebites with Nicki Chapman presenting.", "\n2004 – Chris Moyles and Girls Aloud\n2003 – Phill Jupitus\n2002 – Ainsley Harriott\n2001 – Vinnie Jones and Lucas Radebe\n2000 – Mark Lamarr, Dave Benson-Phillips, Harry Kewell, Sheree Murphy and Billie Piper\n1998 – Mel B and Les Dennis\n1997 – Rolf Harris and Rod Hull & Emu\n1996 – Dale Winton\n1995 – Little and Large, Right Said Fred and PJ and Duncan\n1994 – Paul Daniels\n1993 – Noel Edmonds & Mr Blobby\n1992 – Sonia\n1989 – Melanie Hill\n1986 – Native American Joe Sierra\n1983 – Russ Abbot\n\nTransport\n\nRail\n\nLeeds city centre is served by Leeds railway station. ", " The station is one of 17 in Great Britain to be managed by Network Rail. ", "It is the busiest English station outside London, and the UK's second busiest station outside London after Glasgow Central. ", "The station serves national, regional and suburban railway services.", "\n\nAir\nThe city centre is served by Leeds Bradford International Airport. ", " This is situated in Yeadon approximately seven miles North West of the city centre. ", " The city centre is linked to the airport by the 757 Metro bus service. ", "The airport serves major European destinations as well as many further afield.", "\n\nRoad\nTraffic passing past Leeds city centre is diverted away from the main areas by the Leeds Inner Ring Road, an urban motorway passing the East, North and West of the city centre. ", " Much of the Inner Ring Road is in tunnels so not visible to passing pedestrians. ", "All major routes into Leeds head towards the city centre. ", "The city centre is served by the M621 motorway.", "\n\nBuses\nThe most notable bus service within central Leeds is the LeedsCityBus service operated by First Leeds and funded by Metro. ", "This service runs every few minutes in a clockwise direction around the city centre. ", "It serves major transport interchanges and both universities as well as the main shopping and financial districts. ", "There have been calls for a second FreeCityBus to serve emerging business, leisure and residential districts in the southern part of central Leeds.", "\n\nLeeds city centre has its main bus station in the east of the city. ", " However, as a rule only buses heading out of the City of Leeds and National Express services use it. ", "Local First Leeds buses use stops on the city streets, or a number of smaller bus stations, referred to as bus points, at Bond Street, Infirmary Street, Leeds railway station and the Corn Exchange.", "\n\nLocation grid\n\nReferences\n\nFurther reading\nBurt S. and Grady K. (2002 – 2nd edition) The Illustrated History of Leeds, Breedon Books, Derby\nFraser D. (ed.) (", "1980) A History of Modern Leeds, Manchester University Press, Manchester\nUnsworth R. and Stillwell J. (eds.) (", "2004) Twenty-First Century Leeds: Geographies of a Regional City, Leeds University Press, Leeds; Sixteen Chapters about the Contemporary City; 160 maps, many photos\nWrathmell S. (2005), Leeds, Pevsner Architectural Guides, Yale University Press, London\n\nExternal links\n\n'Leeds Initiative' Leeds Initiative city partnership.", "\nLeeds City Council\n'Leeds, Live it, Love it' Official city website, for visitors, business, students and residents.", "\nLeeds Local History Wiki Add your memories of Leeds.", "\n\nCategory:Places in Leeds\nCategory:Central business districts in the United Kingdom" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0, 0, 0.005681818181818182, 0, 0, 0.0070921985815602835, 0, 0.00847457627118644, 0.020833333333333332, 0, 0, 0.013888888888888888, 0.005494505494505495, 0, 0.011494252873563218, 0.008064516129032258, 0.02185792349726776, 0, 0.010752688172043012, 0.014492753623188406, 0.015544041450777202, 0.008620689655172414, 0, 0.03184713375796178, 0, 0.010067114093959731, 0.007751937984496124, 0.005555555555555556, 0.016129032258064516, 0.017142857142857144, 0, 0.008928571428571428, 0.04878048780487805, 0.022727272727272728, 0, 0, 0.02040816326530612, 0.008928571428571428, 0, 0, 0, 0, 0.006289308176100629, 0.02564102564102564, 0, 0.017094017094017096, 0.01680672268907563, 0.019801980198019802, 0.0078125, 0, 0, 0.02358490566037736, 0, 0, 0.008771929824561403, 0.0199203187250996, 0.016597510373443983, 0.026785714285714284, 0, 0.01606425702811245, 0.009316770186335404, 0, 0, 0.006711409395973154, 0, 0.010416666666666666, 0, 0.014705882352941176, 0.004405286343612335, 0, 0, 0, 0, 0.008849557522123894, 0.03632478632478633, 0.04411764705882353, 0.04878048780487805, 0.030534351145038167, 0.03935599284436494, 0.013513513513513514, 0.008064516129032258, 0, 0.0136986301369863, 0, 0, 0, 0, 0, 0.017241379310344827, 0.02127659574468085, 0.007633587786259542, 0, 0, 0, 0, 0.00980392156862745, 0.005076142131979695, 0.018867924528301886, 0.01818181818181818, 0.018575851393188854, 0.008620689655172414, 0, 0 ]

[ "The Clinical Core provides the Projects with data from epidemiological, neuropsychological, medical and physical measures. ", "The Core is responsible for obtaining informed consent for participation in the EAS and for participation in the brain donation program. ", "The Core's primary function is characterization of EAS subjects through baseline and annual follow-up clinical and neuropsychological evaluations, including the assignment of cognitive and dementia diagnoses. ", "All subjects undergo an in-person Clinical Core evaluation at baseline and subsequent 12-month intervals. ", "The Core also conducts Consensus Case Conferences to assign clinical cognitive outcomes for each subject at each Wave (annual evaluation). ", "Clinical outcomes assigned include: 1) Diagnosis of DSM-IV 'Dementia'versus 'No Dementia';2) for subjects with dementia, subtypes are diagnoses using standard criteria;and 3) Intermediate States of Cognitive Impairment (amnestic Mild Cognitive Impairment, non-amnestic Mild Cognitive Impairment). ", "The Clinical Core cooperates with the Administrative Core to collect follow-up medical and neuropsychological information for study subjects no longer able to return for in-person evaluations. ", "Data from the Clinical Core are used to determine subject eligibility for participation in Projects. ", "Finally, the Clinical Core collects, distributes, and banks biological specimens for current and future assays. ", "RELEVANCE (See instructions): The Clinical Core collects epidemiological, neuropsychological and neurological data to service research projects. ", "These data are used to assign diagnoses, to develop other outcome variables, correlate with neuropathologic findings and experimental neuropsychological procedures and locomotor outcomes. ", "The Clinical Core ascertains all the confounders and effect modifiers of dementia risk." ]

{ "pile_set_name": "NIH ExPorter" }

[ 0, 0.0072992700729927005, 0.004784688995215311, 0, 0.02158273381294964, 0, 0, 0.009900990099009901, 0, 0, 0, 0 ]

[ "\"Okay, children, let's take our seats.\" \"", "Did you take attendance, Mr. Slave?\" \"", "All donesy-wonsey.\" \"", "Okay, let's all take out our math homework and go over the problems.\" \"", "Math homework, math homework, where did I file that?\" \"", "Oh, and by the way, children, there's a walkout scheduled today to protest the war in Iraq.\" \"", "So, if you're against the war, run along outside, and if you're for the war, stay here and we'll do math problems.\" \"", "We got out of school!\" \"", "No more school today!\" \" ", "What should we do?\" \" ", "Let's go see a movie!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war, m'kay!\" \"", "No war, m'kay!\" \"", "Oh, here you go, boys!\" \"", "These will help you protest!\" \"", "It's good to see that you care about peace, boys, m'kay.\" \"", "No war, m'kay!\" \"", "Excuse me, boys!\" \"", "Tom Statzl, HBC News.\" \"", "Can you tell me why you kids marched out of school today?\" \" ", "War?\" \" ", "Right, what about the war?\" \"", "It's gay.\" \"", "And what aspect of it do you think is most gay?\" \"\"", "No blood for oil. \"\" \"", "Yeah. \"", "War is not my voice. \"\" \"", "Hey, all you un-American bastards!\" \"", "If you don't like America, why don't you get out?\" \"", "Don't you call us un-American!\" \"", "This country was founded on the right to protest, m'kay!\" \"", "If the Founding Fathers saw you burning your flag and calling the President a Nazi, they'd roll over in their graves!\" \"", "The Founding Fathers would agree with our right to protest!\" \"", "The Founding Fathers would kick all your asses!\" \"", "Boys, what do you think the Founding Fathers would say?\" \"", "The foggy who?\" \"", "Well, I hope you little commies are pretty pleased with yourselves.\" \"", "Going out there and protesting America and then saying on national television that you don't even know who the Founding Fathers are!\" \"", "You kids don't know squat about America, do you?\" \"", "Well, not really, no.\" \"", "Well, that's just jingles.\" \"", "Because I'm assigning all you little flag burners a full report on 1776 and the Founding Fathers!\" \"", "Shut up!\" \"", "I want you all in your study groups of four, and if you can't give an outstanding report on what the Founding Fathers would have to say about all this protesting, then it's F's for you!\" \"", "I can't do it.\" \"", "This is way too much material for a nine-year-old.\" \"", "Oh, no, you don't, Cartman!\" \"", "Every time we get put in a study group, you sit on ass while the rest of us do all the work!\" \"", "But you guys are such better studiers than me.\" \"", "I know you can pull it off.\" \"", "You're gonna read this stuff and study like the rest of us!\" \"", "Shut up and study!\" \"", "1776, when our Founding Fathers created America.\" \"", "I wonder what it used to be like in those days.\" \"", "In those days...\" \"In those days...\" \"In those days...\" \"What are you doing?\" \"", "I'm trying to have a flashback.\" \"", "You know, if I have a flashback, then I can see what 1776 was like first-hand.\" \"", "No, you just have to study.\" \"", "No, no, no, I've seen this work before.\" \"", "Just give me a second.\" \"", "Okay, okay.\" \"", "How about this?\" \"", "Say, guys, 1776 was so long ago.\" \"", "I wonder what life would have been like back then.\" \"", "Back then...\" \"Back then...\" \"Back then...\" \"Wait, wait, I know, I know.\" \"", "You know, guys, I don't even care about 1776.\" \"", "It was so long ago that I don't think it has anything to do with me.\" \"", "With me...\" \"Anything to do with me...\" \"With me...\" \"That isn't going to work, dumb ass!\" \"", "Kids, let's keep it down for study groups or else Mr. Garrison is going to punish me.\" \"", "Just face it, Cartman, you're going to have to study!\" \"", "There.\" \"", "All finished!\" \"", "From now on, this is the pro-war side of town and that's the unpatriotic side.\" \"", "How about we call this the rational side of town and that the redneck side?\" \"", "You just keep all your flag burning and your hippie rock protest songs on your side of the town!\" \"", "Hey, wait a minute.\" \"", "Your side of town has the post office.\" \"", "Well, your side has the grocery store.\" \"", "Well, you could come to our side of town to use the post office if we can go to your side to use the grocery store.\" \"", "Can we cross the line to take our kids to school?\" \"", "Well, naturally, you can cross the line for that, just like we can cross the line for hardware supplies, gas and pharmaceutical needs.\" \"", "Hey, everybody, this is never gonna work.\" \"", "Don't you see?\" \"", "All this dividing up the town, it's just ridiculous.\" \"", "What we really should be doing is just beating the hell out of each other like we were.\" \"", "He's right.\" \"", "Boy, do I feel like a fool.\" \"", "Cartman, what the hell are you doing?\" \"", "You're supposed to be studying!\" \"", "That's what I'm doing.\" \"", "I'm about to find out all about\" \" what happened back in 1776.\" \" ", "How?\" \"", "All I have to do is be thinking about American history when I walk through this doorway.\" \"", "I'll trip the rope, causing the rock to fall on my head, and then I will have a flashback to the times of our Founding Fathers!\" \"", "Cartman, you are hereby declared a full-fledged retard.\" \"", "Make fun of me all you want, Kyle, but I will have the last laugh.\" \"", "Gentlemen, if you will clear the doorway, please?\" \"", "Oh, gee, I wonder what it used to be like in the year 1776?\" \"", "Cartman?\" \" ", "Benjamin Franklin?\" \" ", "No, turd pants, it's Kyle!\" \"", "Kyle, get out of my flashback, you goddamn Jew.\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Okay, people, what are we rabbling about now?\" \"", "Mayor, our peace rally has always been set for this Saturday, and now these pro-war bastards are suddenly trying to say they get the town square!\" \"", "That's bullcrap, Mayor!\" \"", "Our rally to support the war was set up months ago!\" \"", "There was no war months ago!\" \"", "Hey, if you don't like America, then you can get out.\" \"", "Look, nobody wants to hear a bunch of twangy country music, pro-war propaganda!\" \"", "Nobody wants to hear a bunch of rock protest songs!\" \"", "Up yours, rednecks!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Quiet, people!\" \"", "The town square is public space.\" \"", "That means if neither group will nicely and maturely move the day of its rally,\" \"I'll just have to give the town square to both groups.\" \"", "All right, that's fine, because our war support songs will be 1,000 times better!\" \"", "You think so?\" \"", "Bring the shizzle.\" \"", "We'll trizzle the shizzle all over the hizzle.\" \"", "Yeah?\" \"", "See you Saturday, mckizzer shanizzernilla shnazz beyaznatch kazizza.\" \" ", "Cartman?\" \" ", "Cartman?\" \"", "You better be studying, God damn it.\" \" ", "Stan, Kyle, Kenny, you're just in time.\" \" ", "Oh, no.\" \"", "Oh, yes!\" \"", "I am just about to flash back to the days of our Founding Fathers.\" \"", "Cartman, you're supposed to be studying!\" \"", "What the hell is all this?\" \"", "I have programmed TiVo to record over 50 hours of the History Channel.\" \"", "When TiVo is full, both TiVo and I will be dropped into the water, combining our electro-whatever fields, and sending me into a flashback of history.\" \"", "Cartman, I think that's a really bad idea.\" \"", "Or a really sweet one.\" \"", "Your TiVo is full.\" \"", "Here it goes!\" \"", "Cartman?\" \"", "Cartman?\" \"", "Oh, crap.\" \"", "Awesome!\" \"", "Oy, there, young lad!\" \"", "Are you all right?\" \"", "Yeah, yeah, can you tell me what year it is?\" \"", "This year?\" \"", "Why it's 1776, it is.\" \"", "Oh, yes!\" \"", "I did it!\" \"", "I did it!\" \"", "Would you like a ride into town?\" \"", "I'm on my way to Master Thomas Jefferson's house to get a very important document, I am.\" \"", "Kicks fucking ass, dude!\" \"", "Never seen you around here, friend.\" \"", "Might you be from up north?\" \"", "No, I'm not from here at all.\" \"", "I'm having a flashback!\" \"", "A flashback?\" \"", "Why, what is that?\" \"", "Well, you know, it's a...\" \"Awesome!\" \"", "Look at me, I'm back in time in 1776\" \"With gas-light corners cobblestone streets and humble houses made of bricks\" \"What a special magic time and it's all alive for me\" \"I'm so glad Stan and Kyle aren't here I hate those guys seriously\" \"Seriously hate those guys Hate Stan and Kyle\" \"Is he going to be all right, Doctor?\" \"", "Your son tried to kill himself in a ritualistic fashion I've never seen before.\" \"", "His chances of surviving are very slim.\" \"", "I'm so sorry.\" \"", "Oh, baby, baby, you can't die!\" \"", "Yeah, we have a report to do, asshole!\" \" ", "Get up!\" \"", "Get up!\" \" ", "Easy, Kyle.\" \"", "But it's not fair!\" \"", "We have to do a full report on the Founding Fathers and Cartman got out of helping us, again!\" \"", "I guess we're just gonna have to do it with the three of us.\" \"", "Come on, guys.\" \"", "I know you're in a very dark place now, sweetie, but you must come toward the light.\" \"", "Come toward the light.\" \"", "Here we are then, the current residence of Master Thomas Jefferson!\" \"", "Super neat-o!\" \"", "I'm afraid you'll have to wait here.\" \"", "But I need to talk to the Founding Fathers to do my report.\" \"", "Sorry, only the official messenger boy is allowed to talk to Mr. Jefferson.\" \"", "Okay, I guess I understand.\" \"", "I don't want to wait for our lives to be over\" \"I don't wanna wait for our lives to be over\" \"Hello, I am Thomas Jefferson.\" \"", "And I am the official messenger boy, I am!\" \"", "Very well, take this document to the Continental Congress.\" \"", "Wow, the Declaration of Independence Day.\" \"", "Some favour going to war with England, and others want to avoid war at all costs.\" \"", "It's a bitch, ain't it?\" \"", "Perhaps this document will make the reasons for war obvious to all.\" \"", "Good luck, young messenger.\" \"", "Now make haste!\" \"", "Okay, so Thomas Jefferson wrote the Declaration of Independence, then the Continental Congress...\" \" No war!\" \"", "No war!\" \"", "No war!\" \" ", "Oh, Jesus.\" \"", "Boys, would you mind clearing the living room?\" \"", "We have to practice our big war protest song.\" \"", "Dad, we have to study!\" \"", "Mr. Garrison is making us do a presentation on what the Founding Fathers would say about the war.\" \"", "Hey, that's a terrific idea!\" \"", "Yeah!\" \"", "We could have the boys do their presentation as part of our peace rally on Saturday!\" \"", "Oh, no.\" \"", "No, no, no, no.\" \" ", "Support our troops!\" \" ", "Support our troops!\" \"", "See?\" \"", "I told you they had your son!\" \"", "Kenny!\" \"", "What are you doing over here with all these un-American traitors?\" \"", "The boys are going to give a presentation at our rally about how the Founding Fathers would agree with our right to protest!\" \"", "What?\" \"", "No!\" \"", "Actually, we hadn't really come to a decision...\" \"Look, my son is a patriot and loves his country!\" \"", "Come on, Kenny!\" \"", "Now!\" \"", "Yeah!\" \"", "Support our troops!\" \"", "Support our troops!\" \"", "Kenny, no.\" \"", "Now we lost two in our study group!\" \"", "God damn it!\" \"", "Can you believe those hick sons of bitches?\" \"", "Manipulating their kids into being on their side!\" \"", "Disgraceful!\" \"", "Stan and Kyle, it's up to you to show all those warmongers that the Founding Fathers agree with us.\" \"", "Yeah!\" \"", "That's right.\" \"", "Let's get back to work!\" \"", "Do you think kids in every town have to deal with this crap?\" \"", "Enter, young messenger!\" \"", "I am John Hancock, President of the Congress.\" \"", "Wow!\" \"", "Mr. John Adams?\" \"", "Aye.\" \"", "Will you do the honours of reading the document to Congress, please?\" \"\"", "When, in the course of human events, it becomes necessary for one people...\" \"\"We mutually pledge to each other,\" \"\"our lives, our fortunes and our sacred honour.\" \"\"", "P.S. Every Thursday should be free ice cream day. \"\" \"", "Excuse me, but does this declaration actually suggest that we should go to war with England?\" \"", "We have no choice, Mr. Dickinson!\" \"", "All right, everyone!\" \"", "Thank you all for coming out to protest the war, m'kay.\" \"", "Don't kid yourselves!\" \"", "These people have come out to support our troops, right?\" \"", "And now, Randy Marsh is going to sing a protest song he wrote about the war.\" \"", "Oh, no, you don't!\" \"", "We're doing our pro-war song first!\" \"", "Yeah!\" \"", "The last thing these people want is another bleeding heart rock protest song!\" \"", "People, I told you, you have to share the stage!\" \"", "Nobody wants to hear another pro-war country song!\" \"", "Well, excuse me if...\" \"I'm a little bit country\" \"Well, I'm a little bit rock 'n' roll\" \"I'm a little for supporting our troops\" \"And I'm a little for bringing them home\" \"I believe freedom isn't free\" \"No, but war shouldn't be our goal\" \"We must defend our country\" \"If it means war, then we say no\" \"Did you forget them towers in New York?\" \"", "Did you forget how it made you feel to see them towers come down?\" \"", "Were you like me?\" \"", "Did you think it weren't real?\" \"", "I like to rock but I don't want to rock Iraq!\" \"", "The only kind of rocking America should do is the kind that we can all dance to\" \"We've got GPS, ICBMs and good ol' fashion lead\" \"We're gonna show Saddam what America means\" \"That son of a bitch'll be dead\" \"Why are we fighting this war?\" \"", "There's a man in the office we didn't vote for!\" \"", "They didn't give me a choice War is not my voice, yeah!\" \"", "We must go to war!\" \"", "But what about the violence, the lives lost?\" \"", "If we found a country, it should be founded on peace and diplomacy!\" \"", "England will only understand one thing, force.\" \"", "I must state again for the record that\" \"South Carolina, North Carolina, Pennsylvania, Maryland and Georgia are against war.\" \"", "Yeah, because you don't care about the fate of the Colonies like we do.\" \"", "You're all unpatriotic!\" \"", "And if you don't like the Colonies, then you can get out.\" \"", "Don't you call us unpatriotic.\" \"", "We are protesting this war because we care so deeply for the fate of our Colonies!\" \"", "You are all unpatriotic for leading the Colonies into a war that half of them don't want!\" \"", "How very, very relevant.\" \"", "Tom, I'm standing in the town square where the war rally has been going on for an incredible 87 hours.\" \"", "The crowd still appears to be split right down the middle.\" \"", "Half support country music and the other half rock 'n' roll.\" \"", "Let's listen in.\" \"", "And now we'd like to bring out a couple of very special South Park students, who did a report on what the Founding Fathers would have to say about the war.\" \"", "For you people who still think war is the answer, perhaps you can listen to the voices of the children.\" \"", "We didn't do it.\" \" ", "What?\" \" ", "We didn't do our homework.\" \"", "Boys!\" \"", "You were supposed to come out here and tell everyone about the Founding Fathers.\" \"", "Well, first we lost one study partner when Cartman put himself in the hospital and then they took Kenny away and then Kyle forgot to set his clock ahead for daylight-savings, and we couldn't find anything in the history books about Iraq...\" \"That's because the Founding Fathers would have supported the war!\" \"", "The Founding Fathers would have protested like us!\" \"", "Support!\" \"", "Protest!\" \"", "Country!\" \"", "Rock 'n' roll!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "We cannot found a country based on war!\" \"", "We cannot found a country that is afraid to fight!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \" ", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \"", "Rabble!\" \" ", "Benjamin Franklin.\" \" ", "It's Mr. Franklin.\" \"", "Benjamin Franklin, Franklin, Franklin, Benjamin Franklin.\" \"", "Mr. Franklin, where do you stand on the war issue?\" \"", "I believe that if we are to form a new country, we cannot be a country that appears war-hungry and violent to the rest of the world.\" \"", "However, we also cannot be a country that appears weak and unwilling to fight to the rest of the world.\" \"", "So what if we form a country that appears to want both?\" \"", "Yes.\" \"", "Yes, of course!\" \"", "We go to war and protest going to war at the same time.\" \"", "Right.\" \"", "If the people of our new country are allowed to do whatever they wish, then some will support the war and some will protest it.\" \"", "And that means that as a nation we could go to war with whomever we wished, but at the same time act like we didn't want to.\" \"", "If we allow the people to protest what the government does then the country will be forever blameless!\" \"", "It's like having your cake and eating it, too.\" \"", "Think of it, an entire nation founded on saying one thing and doing another.\" \"", "And we will call that country the United States of America.\" \"", "Wow, I get it now!\" \"", "I get it!\" \"", "Here it goes.\" \"", "I wish I could go back to my time.\" \"", "To my time...\" \"To my time...\" \"Wow!\" \"", "Everyone!\" \"", "Stop!\" \"", "Please!\" \"", "The child, the child from the hospital!\" \"", "If you all don't mind, I would like to do my report now.\" \"", "I know what the Founding Fathers would say.\" \" ", "He does?\" \" ", "He does?\" \"", "I learned something today.\" \"", "This country was founded by some of the smartest thinkers the world has ever seen, and they knew one thing, that a truly great country can go to war and at the same time act like it doesn't want to.\" \"", "You people who are for the war, you need the protestors because they make the country look like it's made of sane, caring individuals.\" \"", "And you people who are anti-war, you need these flag wavers because if our whole country was made up of nothing but soft, pussy protestors, we'd get taken down in a second.\" \"", "That's why the Founding Fathers decided we should have both.\" \"", "It's called having your cake and eating it, too.\" \"", "He's right.\" \"", "The strength of this country is the ability to do one thing and say another.\" \"", "Yeah, if it weren't for all you guys protesting, everyone around the world would hate the American people instead of just the President.\" \"", "And if it weren't for you people flexing your arms,\" \"America could easily get taken over by terrorists or China.\" \"", "I guess we owe you an apology.\" \"", "I guess we owe you one.\" \"", "Cartman?\" \"", "Cartman saved the day?\" \"", "It can't be.\" \"", "The Founding Fathers want you all to know that we can disagree all we want, as long as we agree that America kicks ass.\" \"", "Hey, I'm a little bit country\" \"And I'm a little bit rock 'n' roll\" \"I'll be the muscle of America\" \"And me, I'll be the caring soul\" \"And when you put us together you get a nation with one goal\" \"To thrive and prosper with a little country and rock 'n' roll\" \"Come on up here, everybody!\" \"", "We're a little bit country And we're a little bit rock 'n' roll\" \"We can be a nation that believes in war\" \"And still tells the world that we don't\" \"Let the flag for hypocrisy fly high from every pole\" \"Cause we're a little bit country and we're a little bit rock 'n' roll\" \"Well, good night, everybody.\" \"", "It sure has been great bringing you 100 episodes.\" \"", "We wanna thank our guests, the pro-war people and the anti-war people.\" \" ", "What the hell are they doing now?\" \" ", "I don't know.\" \"", "For the war, against the war Who cares?\" \"", "One hundred episodes\" \"I hate this town.\" \"", "I really, really do.\"" ]

{ "pile_set_name": "OpenSubtitles" }

[ 0, 0.02631578947368421, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.08333333333333333, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.03333333333333333, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.011363636363636364, 0.017857142857142856, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.025, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.017241379310344827, 0.014492753623188406, 0, 0, 0.08333333333333333, 0.045454545454545456, 0.034482758620689655, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.013888888888888888, 0.08333333333333333, 0.09090909090909091, 0, 0.023255813953488372, 0, 0, 0, 0.023255813953488372, 0, 0.0136986301369863, 0.013157894736842105, 0.022222222222222223, 0, 0.047619047619047616, 0, 0.09090909090909091, 0.09090909090909091, 0, 0.09090909090909091, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01098901098901099, 0, 0, 0, 0.03125, 0, 0, 0, 0, 0.012307692307692308, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.07142857142857142, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.014285714285714285, 0, 0, 0, 0.01282051282051282, 0, 0.007936507936507936, 0, 0.01639344262295082, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.009009009009009009, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.05555555555555555, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.0196078431372549, 0, 0, 0, 0, 0, 0.041666666666666664, 0, 0.05555555555555555, 0, 0.013888888888888888, 0, 0, 0, 0.027777777777777776, 0, 0, 0, 0, 0.012658227848101266, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.008298755186721992, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.009523809523809525, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.00967741935483871, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.045454545454545456, 0.047619047619047616, 0.06666666666666667, 0.018867924528301886, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.09090909090909091, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "mancession\n\nNickname given for the number of men unemployed during the 2008-2009 recession. ", "The number of men unemployed was higher than the number of women, due to a large layoff in both the manufacturing and construction industries where men have a stronghold compared to women." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0 ]

[ "Clinical benefit from erythropoietin.", "\nAdvances continue in erythropoietin biology, and additional data reviewed here have recently become available on complex feedback mechanisms describing the interrelations of hypoxia and its effects on anemia and tumor behavior (eg, apoptosis, angiogenesis). ", "In addition to biology, other clinically relevant data in oncology are included and an attempt is made to identify patients who are most likely to benefit from treatment. ", "The latter aspects will better define the profile of the target patient, probably prevent overtreatment, and improve cost-benefit ratios. ", "Interesting data on radiotherapy results improved by increasing tissue hemoglobin have been published but will need further confirmation." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Air Algérie Flight 6289\n\nAir Algérie Flight 6289 (AH6289), was a domestic passenger flight which crashed on 6 March 2003, at the Aguenar – Hadj Bey Akhamok Airport in Algeria, killing all but one of the 103 people on board.", "\n\nWitnesses recalled that one of its engines exploded and caught fire just seconds after takeoff. ", "The landing gear was still extended when this happened. ", "It then rose sharply and stalled. ", "The final report concluded that the cause of the crash was due to engine failure on take-off. ", "\n\nThe accident was the deadliest plane crash to occur on Algerian soil, until being surpassed by the Algerian Air Force Il-76 crash in 2018. ", "It was also Air Algérie's deadliest plane crash, until it was surpassed 11 years later by Air Algérie Flight 5017, a McDonnel Douglas MD-83 which crashed in Mali killing all 116 people on board.", "\n\nBackground \n\nFlight 6289 had been scheduled to land at Noumérat – Moufdi Zakaria Airport. ", "The aircraft was a Boeing 737-2T4, named Monts du Daia, and was equipped with two Pratt & Whitney JT8D-17A engines. ", "The aircraft entered service on 9 December 1983, and flew for more than 40,000 hours before the crash. ", "The unnamed male captain, aged 48, allegedly had 10,760 hours and 10 minutes of flight experience, including 1,087 hours and 46 minutes on the Boeing 737-200 as captain. ", "Meanwhile, the unnamed female first officer, aged 44, allegedly had 5,219 hours and 10 minutes of flight experience, including 1,292 hours and 42 minutes on the Boeing 737-200.", "\n\nThe first officer was the pilot flying (PF), while the captain was the pilot not flying (PNF). ", "Both switched roles the moment the engine failure occurred.", "\n\nTimeline \nAt about 14:08 UTC, Air Traffic Control cleared the plane to taxi to Runway 02 and the plane left the gate.", "\n\nAt 14:12, Air Traffic Control cleared the plane to line up and take off on Runway 02.", "\n\nAt 14:13, the plane took off, and the captain requested landing gear retraction. ", "The request was immediately followed by a loud thumping noise recorded on the aircraft's Cockpit Voice Recorder (CVR), apparently caused by the rupture of the left engine. ", "The plane veered left, and the first officer let out a chain of exclamations.", "\n\nAt 14:15, the captain told the first officer that he was taking over control of the aircraft and insisted she let go of the controls so that he could control the plane. ", "The first officer then handed the controls over to the captain and offered to retract the landing gear. ", "The captain did not respond. ", "The first officer alerted air traffic control about the situation, saying \"we have a small problem.\" ", "The stick-shaker then activated and de-activated twice. ", "The Ground proximity warning system then sounded a \"don't sink\" alarm and was followed by the stick-shaker activating a third time and continued operating until the (CVR) stopped recording. ", "The GPWS then sounded a second \"don't sink\" alarm and the CVR stopped recording, along with the Flight Data Recorder (FDR). ", "The aircraft was still airborne when the recordings ended. ", "Without the landing gear being retracted, additional drag was apparently created and the plane began to lose speed at a high rate. ", " Eventually, the plane stalled and crashed. ", "Upon impact, fuel was spilled and ignited, causing the aircraft to burst into flames. ", "It then skidded along the ground, striking the airport's perimeter fence, and crossing a road, before coming to a stop. ", "Air traffic control immediately declared an emergency.", "\n\nAftermath\n96 of the 97 passengers and all of the six crew members perished, a total of 102 people. ", "The sole survivor of the accident was 28-year-old Youcef Djillali, an Algerian soldier. ", "He was seated in the last row with his seat belt unfastened (as indicated in his statement), and was ejected from the plane upon impact, escaping from the accident. ", "Djillali was found in a coma with multiple injuries. ", "However, he regained consciousness the next day. ", "Doctors said that his injuries were not life-threatening.", "\n\nInvestigation \n\nThe flight instruments and flight recorders were investigated in the BEA laboratory in Paris, France. ", "The aircraft's engines were sent to Belgium for investigation. ", "Investigators determined that the left engine's HP (high pressure) turbine had ruptured, damaging the LP (low pressure) turbine in the process. ", "This caused a drop in power to the engine, though it did not shut down completely according to the flight recorders.", "\n\nConclusion\nThe final report was published with the following:\n\nSee also\n\n Centurion Air Cargo Flight 164\n List of accidents and incidents involving commercial aircraft\n List of sole survivors of airline accidents or incidents\n LOT Polish Airlines Flight 7\n LOT Polish Airlines Flight 5055\n United Airlines Flight 232\n\nReferences\n\nExternal links\n \nAlgerian Ministry of Transport\nOfficial Accident Report – HTML version (Archive)\nOfficial Accident Report – PDF version (Archive)\nOfficial Accident Report info page (Archive) – The French version is the original version\nFull official report (Archive)\n\nCategory:Airliner accidents and incidents caused by mechanical failure\nCategory:Aviation accidents and incidents in 2003\nCategory:Aviation accidents and incidents in Algeria\nCategory:2003 in Algeria\nCategory:Accidents and incidents involving the Boeing 737 Original\nCategory:Air Algérie accidents and incidents\nCategory:March 2003 events in Africa" ]

{ "pile_set_name": "Wikipedia (en)" }

[ 0.008968609865470852, 0, 0, 0, 0, 0.0070921985815602835, 0.010309278350515464, 0.010869565217391304, 0.02586206896551724, 0, 0.0058823529411764705, 0.005681818181818182, 0, 0, 0.025210084033613446, 0.011494252873563218, 0, 0.011627906976744186, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005263157894736842, 0.024193548387096774, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.011363636363636364, 0, 0, 0, 0, 0.008333333333333333, 0, 0, 0, 0.008421052631578947 ]

[ "\nBen Horowitz: Capital market climate change - quant\nhttp://finance.fortune.cnn.com/2013/07/15/capital-market-climate-change/\n======\npg\nWe haven't seen a decrease in the valuations/valuation caps at which YC\ncompanies have raised money after Demo Day.", "\n\nValuations are high by historical standards, which means at some point they'll\nprobably fall, but we're not seeing evidence of a fall yet.", "\n\nIt does seem to be getting harder to raise later rounds. ", "But I think that is a\nsecular change, not a market fluctuation. ", "VCs seem to be shifting toward a\nstrategy of spraying money at early stage startups, and then ruthlessly\nculling them at the next stage. ", "This may well be the optimal strategy, but\nit's tough on the late bloomers.", "\n\n~~~\nfraserharris\nThere is another aspect to this that is not getting much mention: many more\nstartups are reaching profitability without VC, but still don't have metrics\nto justify going for a home run. ", "Ergo, the \"ruthless culling\" is not resulting\nin the bloodbath that some predicted. ", "In general, great for startup founders &\ngreat for (the remaining) active VCs.", "\n\npg - do you have any stats around how many more recent YC co's are profitable\n& have not secured/pursued Series A?", "\n\n~~~\npg\nThat's a complicated question, because the nature of series A rounds has\nchanged in the last couple years. ", "A lot of so-called series A rounds now are\nde facto series B rounds, huge \"seed\" rounds having taken the place of series\nAs (at least financially).", "\n\nA bunch of the companies we've funded are profitable and haven't raised a\nseries A round _yet_ , but it looks like there is only one that is way past\nthe (now much later) series A stage and yet didn't raise a series A: Weebly.", "\n\n~~~\n2pasc\nDidn't Weebly raise a Series A with Sequoia? ", "They list them as a portfolio\nCompany at least!", "\n[http://www.sequoiacap.com/us/home/weebly/info](http://www.sequoiacap.com/us/home/weebly/info)\n\n~~~\ndrusenko\nwe skipped what would traditionally be called a series A and series B and went\nstraight to a growth-staged round with Sequoia\n\n~~~\nearbitscom\nI learned of Weebly when someone complained on HN about your email\ncommunications. ", "I immediately signed up and (with very few technical bones in\nmy body) built a totally bad ass website for a friend of mine in 2 hours.", "\nThere's a very good reason for your success. ", "Incredible product.", "\n\n------\ngfodor\nTwo things to nitpick on a macro perspective, both things I would have not\nexpected the article to go into anyway.", "\n\nFirst, corporate earnings are at all time highs. ", "Looking at P/E ratios as a\nmeasure of if we are in a \"normal\" sentiment environment is kind of a bad\nidea, since the P/E ratio captures two cycles at once: the sentiment cycle\n(higher P for less E), and the earnings cycle (higher E overall). ", "At P/E of 15\nwhen the earnings cycle is at it's peak (as it is now) may still be reflecting\nextremely high (read: irrational) relative sentiment towards equities, even\nthough the ratio itself sits only slightly above average. ", "And, in fact, there\nare many indicators that point to the fact that the public is more bullish on\nstocks now than they have been since before the 2008 crisis, even though the\nP/E ratio is only 15-16.", "\n\nSecond, the consensus right now is forming that we may have finally turned the\ncorner in the 30-year bond bull market, and interest rates are on the rise\nagain. ", "If this is true, it represents an important change for asset managers,\nand will trickle all the way down to private equity and startup funding. ", "As\nrates rise, particularly if they rise not just due to inflation but due to\ntightening monetary policy, investors will need to deploy less capital to\nreach for yield to places such as private equity, so you can expect deal terms\nto get more \"investor friendly.\" (", "I am not sure if we are actually at the\nbeginning of a bond bear market, but many people believe so.)", "\n\n~~~\nRockyMcNuts\nisn't sentiment a lagging indicator of earnings?", "\n\nso sentiment shouldn't really have peaked unless earnings already did too?", "\n\nwonder if anyone else has seen this, and when he wrote that, if it was during\nthe Fed scare correction that seems to have been succeeded by the Fed relief\nrally.", "\n\n[http://stockcharts.com/h-sc/ui?s=%24spx&id=p33407302522&def=...](http://stockcharts.com/h-sc/ui?s=%24spx&id=p33407302522&def=Y&listNum=1#)\n\n~~~\ngfodor\nArguably the downwards pressure on bond yields due to fed policy has inflated\nasset values enough to dislodge sentiment from valuations. ", "Many people are\nrotating money into stocks since they can't think of any better place to get a\nreturn, and the bull market is enticing them to overweight.", "\n\n~~~\npmarca\nHow are all your hedge funds doing?", "\n\n~~~\ngfodor\n[http://www.youtube.com/watch?v=NHWjlCaIrQo](http://www.youtube.com/watch?v=NHWjlCaIrQo)\n\n------\nmathattack\nThe conclusion is sound - \"Today is different in funding than yesterday\"\nSimilar to other posters, I nitpick how he got there.", "\n\nNothing in efficient market theory suggests constant PE ratios over time.", "\nNothing in efficient market theory suggests that your stock will be higher if\nyou double your bookings. (", "If the initial price assumed 3x bookings, you'll\ntank even if the market is the same) PE ratios revert over long time horizons\n(many years) but even what is considered earnings changes over time.", "\n\nThat said, his conclusion is true. ", "If you raise money in great times, you may\nneed to take a hit in bad times. ", "Better not to overpromise.", "\n\n~~~\njacques_chester\nThe Efficient Market Hypothesis is actually a family of hypotheses. ", "Folk\nusually pick the strong EMH because it's easiest to transform into a strawman\nand beat about the head and neck.", "\n\nOne of the bloggers I host gave a very good explanation of what the EMH is and\nwhat it actually implies: [http://skepticlawyer.com.au/2013/05/29/bubble-\ntrouble-all-in...](http://skepticlawyer.com.au/2013/05/29/bubble-trouble-all-\ninformation-is-not-equal/)\n\nHaving particular bearing on the Horowitz post is this remark:\n\n \n \n Commentary often seems to presume that EMH,\n or notions of market rationality generally, \n provide some implicit or explicit guarantee \n that current prices will be sustained, which\n is false. ", "No guarantee against asset price\n volatility follows from either.", "\n\n~~~\nmathattack\nExactly! ", "Even the strongest form assumes many shocks.", "\n\n------\ncmbaus\nIt is in Andreessen Horowitz's best interest to get valuations for Series A\nfunding down.", "\n\n~~~\ndavemc500hats\n... and similarly, it's in YC's best interest for valuations (of YC co's) at\nSeries A to go up ;)\n\n------\nminimax\n_In fact, if you are like most companies, your managers probably implied to\nyour employees that your stock price would only rise as long as you were\nprivate. ", "They might have said something ridiculous like: \"Based on the current\nprice of the preferred stock, your offer is already worth $5 million.\" ", "As if\nthe price could never go down. ", "As if the common stock were actually the same\nas preferred stock. ", "Silly them._", "\n\nIs this something that actually happens or is he being hyperbolic? ", "I thought\nthere might be some legal issues around making claims like that.", "\n\n~~~\npmarca\nThat happens exactly as Ben described it, including at some very well known\nstartups.", "\n\nIt's a ticking time bomb not just in terms of employee morale but also 409A\n(tax law).", "\n\n------\ninthewoods\nA simple rule I've found - if an investment manager is doing an interview,\nhe's generally talking his book in one way or another.", "\n\n------\ngbadman\nI think that making claims on the changing capital market climate based on\nhistorical P/E ratios may be measuring the wrong thing. ", "A declining trend in\nP/E ratios may suggest a decline in valuations but it also may suggest a\nchange in capital structure. ", "Or it may suggest a combination of the two.", "\n\nIt would be interesting to look at the trend for EBITDA multiples over time\ninstead: [https://cloudup.com/cHNL3Wcy5yH](https://cloudup.com/cHNL3Wcy5yH)\n[1]. ", "In this view, you can see that TEV/EBITDA ratios are very similar today\nto what they were in 1995 even though they took a very circuitous route to get\nthere.", "\n\n1: S&P Capital IQ (exported just now)\n\n------\njoshuaellinger\nI don't think the data says what he think it says.", "\n\nSure, it is not 1999 or even 2002. ", "I don't think anyone thinks it is.", "\n\nFocus on the last 4 years. ", "It looks pretty flat with a blip in 2010.", "\n\n3/31/2009: 14.5 3/31/2010: 18.8 3/31/2011: 15.4 3/30/2012: 15.5\n\nOf course, Ben could be (and probably is) right but the P/E ratio does not\nlook like evidence to me.", "\n\n------\nchiph\n_You just need one to say yes and she will erase all 20 no 's._\n\nThat works as long as the potential investors aren't comparing notes: \"I heard\nMoneybag Ventures only offered you $180 million valuation...\"\n\n~~~\njusben1369\nI think the points simpler. ", "20 people have told you a flat out no. ", "One person\nsays \"yes\" That's all you need.", "\n\n------\nryanobjc\nI find that CEOs are often the last to realize or admit the reality of\nsuckitude a company is under.", "\n\nI mean if you did your job right as CEO, you are the dumbest person there. ", "You\nspend all your time being upbeat and optimistic in public (maybe horribly\ndepressed in private?). ", "Your engineers and managers, who are experts in\ndivining information out of the smallest bits of data (single line bugs\nanyone?) ", "are much smarter than you realize.", "\n\nI have rarely seen a CEO that I completely respect. ", "They just don't have the\nability to aggregately integrate every detail in the company and tend to lead\nthings to a crash and burn as a result.", "\n\n~~~\nkaib\nExtrapolating from your use of \"they\" and the implied \"us\" I'm guessing that\nyou haven't worked in the role of a CEO yourself. ", "Taking that responsibility\nfor a few years might not increase your respect for individuals but it will\nincrease your respect for the difficulty of the job.", "\n\n~~~\nryanobjc\nI think my problem doesn't have to do with how hard the job is or not, but\nwith the quality and honesty of the communications.", "\n\nA lot of the startup CEOs I have seen tend to have a \"this is my company\" sort\nof feeling. ", "But by expressing that feeling to their employees, they crowd\ntheir employee's feelings in this regard. ", "Everyone who works for a startup\nwants to feel like they OWN the company. ", "That's why you join one. ", "For that\nfeeling of ownership.", "\n\nBut when a CEO talks with these \"sole ownership\" feelings, people GET it. ", "Also\nif a CEO uses evasive or trivializing language or behavior about the state of\nthe company, people's internal sense of dissonance causes a rift of trust AT\nTHE WORST POSSIBLE TIME.", "\n\nI have seen this pattern play out a few times as the \"non CEO\" position. ", "Yeah\nit's a hard job, but if you didn't want the challenge of a lifetime, why take\nthe job?", "\n\n" ]

{ "pile_set_name": "HackerNews" }

[ 0.01195219123505976, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004878048780487805, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.017543859649122806, 0, 0.011940298507462687, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.012269938650306749, 0.006872852233676976, 0, 0, 0.008097165991902834, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.008865248226950355, 0, 0, 0, 0.009523809523809525, 0.003424657534246575, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.01020408163265306, 0, 0, 0, 0, 0, 0.012578616352201259, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005988023952095809, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "<?", "php\n\nnamespace {{ namespace }}\\Tests\\Controller{{ entity_namespace ? '\\\\' ", "~ entity_namespace : '' }};\n\n{% block use_statements %}\nuse Symfony\\Bundle\\FrameworkBundle\\Test\\WebTestCase;\n{% endblock use_statements %}\n\n{% block class_definition %}\nclass {{ entity_class }}ControllerTest extends WebTestCase\n{% endblock class_definition %}\n{\n{% block class_body %}\n /*\n\n{%- if 'new' in actions %}\n {%- include 'crud/tests/others/full_scenario.php.twig' -%}\n{%- else %}\n {%- include 'crud/tests/others/short_scenario.php.twig' -%}\n{%- endif %}\n\n */\n{% endblock class_body %}\n}\n" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0, 0, 0.001968503937007874 ]

[ "The Adolescent Health Care Broker-Adolescents Interpreting for Family Members and Themselves in Health Care.", "\nParents with limited English proficiency might rely on their adolescent children to interpret health information. ", "We call this adolescent healthcare brokering. ", "Using a mixed-methods, transformative research approach rooted in grounded theory, we sought to answer these questions: (a) \"What is happening? ", "What are people doing?\" ", "and (b) \"What do these stories indicate? ", "What might they suggest about social justice?\" ", "High school students from a community in which 53.4% speak another language at home were invited to participate in a survey and focus groups. ", "Of 238 survey participants, 57.5% (n = 137) indicated they assisted with healthcare tasks. ", "When doing so, 81.7% (n = 112) translated. ", "Common tasks were reading prescriptions and talking to doctors. ", "While some participants cited negative emotions associated with brokering, the net emotion was positive. ", "Focus groups (n = 11) revealed that tasks varied broadly in complexity and type, emotional experiences were dichotomous, and access to interpreting services and other supports was inconsistent. ", "This research adopts an advocacy lens and uses a mixed-methods, transformative research approach rooted in grounded theory to describe and call attention to a social justice phenomenon we call adolescent healthcare brokering. ", "We define adolescent healthcare brokering as young people acting as linguistic interpreters in healthcare situations for themselves and for family members with limited English proficiency (LEP). ", "In such situations, language acts as a barrier to health literacy and access to healthcare [17]. ", "Despite this known barrier, there is a gap in the research regarding how to successfully address this situation (McKee, Paasche-Orlow, Journal of health communication 17(3):7-12, 2012)." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0.009259259259259259, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.005128205128205128, 0, 0.010810810810810811 ]

[ "Tag Archives: fifty\n\nTo look stunning and younger is want all people, notably ladies dream to look youthful largely. ", "It is actually no problem how previous you’re you’d want to look young and good. ", "There are quite a few of magnificence tricks that can take into account the years from you. ", "These magnificence tips forces you to look younger and you may begin feeling young additionally. ", "Utilizing are couple of tips that may assist to keep up your pores and skin healthful and you’ll probably look beautiful, younger and excellent at all ages. ", "Working with LHSA has been everything I wanted it to be and extra. ", "I have realized invaluable skills working with an extremely attention-grabbing collection, and I’ve met many beautiful people from variety of working backgrounds, all of whom have been extremely generous with their time. ", "Conserving in addition to cataloguing has considerably altered my perspective. ", "When I have a look at data now, I will not only concentrate on their informational worth, I shall additionally take into account what measures I can take to ensure their bodily preservation, and use my abilities the place attainable to realize that.", "\n\nRC Health Companies has opened its latest location in Plano, Tx. ", "Now citizens of the Dallas Metro space can take all their AHA programs even easier than earlier than. ", "RC Health Providers is the biggest AHA coaching middle in Texas and providers over 2,000 students monthly all through its 7 locations. ", "Journal of Environmental and Public Health has recently been accepted for coverage in the Emerging Sources Citation Index , which is the New Edition of the Internet of Science that was launched in November 2015. ", "Because of this any articles published within the journal might be listed within the Net of Science on the time of publication.", "\n\nSchool health education or health training instructor preparation emphasis prepares pre-service trainer candidates to be licensed to show K-12 (main) or 6-12 (minor) health schooling in public schools. ", "Last week’s announcement from the Obama administration that it might not now define a single uniform set of important health benefits” to be supplied by all insurers undoubtedly took most health care policy observers abruptly. ", "Get with this system Pubbies…or get out. ", "Of politics that’s…politics is not purported to be the place you meet your small business connections and run the show for their benefit and your own.", "\n\nMy uncle Dave was 60 years previous when he began training for a half marathon race. ", "He trained 6 days per week together along with his buddy. ", "After six months of training, Uncle Dave successfully completed the half marathon. ", "He was the oldest one on the competition, but he was not the slowest. ", "His success impressed him to coach to run the total marathon. ", "These benefits are deducted from the Lifetime Quantity of Coverage (LAC). ", "The remaining LAC or premiums paid, whichever is decrease, will probably be returned to you upon reaching the age of a hundred or to your beneficiaries in case of untimely loss of life.", "\n\nIt’s true that new media has made an incredible influence on the dissemination of data, ability to impact behaviors, and capacity to offer access to interventions. ", "Computer systems may be linked with networking software program to enhance communication, info change, and collaboration (McGonigle & Mastrian, 2009). ", "Virtual social networks present instruments corresponding to blogs, forums, and wikis to advertise communication and connection amongst professionals and patients (U.S. Division of Health and Human Companies, n.d.).", "\n\nThroughout the programme evaluation methods are designed to allow you to develop your potential and allow a detailed working relationship between the … Read More ...\n\nConsuming healthy does not need to be expensive. ", "There are literally thousands of ways to eat healthy if you find yourself on a price range. ", "On the other finish of the spectrum, more liberal administrations like those in California, Washington, and Maryland are already well into the detailed planning phases and are prone to be unaffected by the draft laws—particularly given the extent of flexibility that they allow—whereas Massachusetts’ present Connector already meets virtually all the necessities (unsurprisingly, since it served as the primary mannequin). ", "Solely a only a few wavering states could also be comforted by HHS’s willingness to compromise and will now make the leap, slightly than being pressured to accept an change implemented by the federal government, because the ACA requires for states unwilling or unable to create their own fashions.", "\n\nThe International Society for Quality in Health Care are a world organisation, who aim toInspire, promote and assist continuous improvement within the security and quality of health care worldwide. ", "Each full sized pools and swim spas supply convenience. ", "They can allow you to squeeze severe coaching right into a busy schedule. ", "There isn’t any journey, no equipment to carry and no queuing in crowded gyms.", "\n\nThe excellent web site Hawaii and Pacific Aquaculture provides several pages of data and the constructive outlook for this business within the twenty first century. ", "The foods raised are bought on the islands and exported to the mainland USA and around the world for a sustainable food resource. ", "These are essentially the most basic terms. ", "Understanding these will enable you break your insurance down a little simpler. ", "Sadly, insurance is not always this easy.", "\n\nThe French health care system is social insurance model of finance which suggests the extra you earn the extra you pay. ", "This does not imply that the … Read More ..." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.014925373134328358, 0.00980392156862745, 0.007407407407407408, 0.009433962264150943, 0.007874015748031496, 0, 0.004405286343612335, 0.024390243902439025, 0, 0.011494252873563218, 0, 0.012048192771084338, 0, 0, 0.013513513513513514, 0, 0, 0.006622516556291391, 0.004651162790697674, 0, 0, 0, 0.006734006734006734, 0.005, 0, 0, 0, 0.005988023952095809, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Global\n\nTwo Ukrainians are known to be among the victims, three from Serbia and one from Poland. ", "The attacker reportedly stabbed the tourists in the face, neck and feet. ", "It gave no further details and did not provide the nationalities of the tourists. ", "No group has claimed responsibility for the attack but the Islamic State militant group (ISIS) has an affiliate in the country's Sinai Peninsula region.", "\n\nFormer US president Jimmy Carter was released from a hospital in Canada today after being treated for dehydration while working on a charity construction project, the Carter Center said. ", "Carter, who served as president from 1977 to 1981, was in Edmonton earlier this week helping Habitat, which builds affordable housing for low-income earners.", "\n\nNo further details were immediately available. ", "Pasco Fire Rescue, Emergency Management, Duke Energy, Pasco building inspector and Pasco County public information officer are responding to the scene. ", "The Tampa Bay Times reported the opening swelled up a boat and prompted the evacuation of eight nearby homes. ", "The US Geological Survey says states where the most damage from sinkholes usually happens are Alabama, Florida, Kentucky, Missouri, Pennsylvania and Tennessee.", "\n\nWith such a low priced 4G feature phone , the impact of the Reliance Jio will be felt not only in the telecom industry but also among feature phone manufacturers. ", "Hence, we can surely expect to see the Snapdragon 205 processor powering Jio's feature phone . ", "As far as the connectivity options are concerned, the device will support GPS, Bluetooth 4.1, Wi-Fi Support, micro & nano SIM slots , microSD card and USB tethering; sadly it doesn't support Wi-Fi hotspot.", "\n\nPresident Trump and administration officials have grown increasingly irritated that China has not done more to rein in North Korea's nuclear and missiles programs, despite public pressure from the U.S. But it is especially anxious about the collapse of the regime with which it shares a border, and fears both an influx of millions of North Korean refugees and the possibility of a unified Korea with US troops again at the Yalu River.", "\n\nCollins was fatally stabbed in what has been described as a completely unprovoked attack. ", "While Alsobrooks said there is insufficient evidence that Collins was killed because of his race, her office will continue to investigate the motive.", "\n\nWhat were the key numbers behind McGeady's Championship season under Grayson? ", "These signings mark a strategy of relatively low-risk deals that are grounded in sound logic, and in a freakish way that has me just as excited as chasing the flashy players of years gone by.", "\n\nSenate Republicans unveiled their newest health care bill Thursday. ", "What is the intent of this version? ", "South Dakota Republicans John Thune and Mike Rounds both said the revamped measure has a better chance of passing through their chamber.", "\n\nPolice are seeking Cook's vehicle, a 2009 MINI Cooper Clubman station wagon that i s cream colored and has a black top and black stripes on the hood. \"", "We don't have a readily apparent cause of death and, in this area, we don't have any missing persons reports that we have been able to match up to this\".", "\n\nAs you can imagine, the spoilers out there as we approach Game of Thrones' return this Sunday are sadly in the same vein, since for the most part, this season has been kept under wraps by a devoted cast and crew. ", "Let's hope that \" Game of Thrones \" doesn't feel the need to reinforce it. ", "As Season 6 concluded, Daenerys had amassed a fleet of ships, disparate armies and a collection of rival families to square off against Queen Cersei Lannister .", "\n\nBut in the wake of Donald Trump Jr.'s admission to taking and sitting in on a meeting built around gaining significant political opposition research on Democrat Hillary Clinton previous year from the Russian government, one Republican lawmaker is suggesting the president remove his family from political matters.", "\n\nThe nationwide plan, named America's Pledge , may be the beginning of concrete, organized action taken in response to President Trump's announcement to withdraw the United States from the Paris accord, the landmark worldwide agreement to fight climate change .", "\n\nIt has underperformed by 20.70% the S&P500. ", "Arizona State Retirement System increased its stake in Intercontinental Exchange In (ICE) by 402.73% based on its latest 2016Q4 regulatory filing with the SEC. ", "Wood maintained it with \"Outperform\" rating and $286 target in Friday, April 8 report. ", "They issued a \"sector perform\" rating and a $60.00 price objective on the stock.", "\n\nConservative opinion magazine The Weekly Standard was the first to report the news Thursday, citing four unnamed sources. ", "Iranian Foreign Ministry Spokesman Bahram Qasemi had said before that no meeting is planned between Zarif and Tillerson, unlike the last couple of years when Zarif was in regular contact with the former top USA diplomat, John Kerry, on the 2015 nuclear deal.", "\n\nHe called out the \"nearly 40%\" increase in trade in the first three months of the year on Twitter last week. ", "Imports from North Korea meanwhile fell 13.2 percent to $880 million. ", "Huang said the price fluctuation of commodities could also potentially boost the trade figure as measured by value. ", "The sanctions are meant to apply meaningful pressure on a government which is all but single-handedly propping up a regime that threatens South Korea, Japan, and the United States with nuclear ...\n\nWith Republican efforts to repeal and replace Obamacare stalled on Capitol Hill, local health and elected officials say there are credible, bi-partisan ideas that could fix the Affordable Care Act . ", "Leaders must shine a light on the discussion, work with Democrats , governors, insurers, medical professionals, hospitals. ", "Ted Cruz of Texas - to split the insurance market into plans that comply with Obamacare and cheaper ones that don't - will get a good evaluation from budget analysts and ...\n\nStates can reserve 85% seats for their students and leave the 15% quota for students from across the country ranking high on the NEET merit list. ", "The government had held that 4.4 lakh students from State board who were forced to take NEET exam that had questions from CBSE syllabus were at a disadvantage as compared to 4,220 CBSE students.", "\n\nThey said the service would be played on speakers outside the church for people who were not able to fit inside. ", "Thousands of people lined the streets and applauded as the funeral procession passed, with Bradley's coffin travelling in a horse-drawn carriage draped in Sunderland colours.", "\n\nLondon-based label ERDEM has become the latest fashion label to collaborate with retail giant H&M for an exclusive collection. ", "It's here. ", "H&M's brand new designer collaboration is here, and when we say you're going to lose your s*** when you hear who it's with, we mean it.", "\n\nThe outlook warns about excessive heat on Friday as well, with heat index values between 100 and 105 degrees possible. ", "South, southeast wind 5 to 7 miles per hour. ", "South, southwest wind around 9 miles per hour. ", "The National Weather Service indicated it was 69 degrees as of 5:54 a.m.at the Wilkes-Barre/Scranton International Airport, and heavy rain was reported.", "\n\nWilliams said this program is in place primarily to protect victims of domestic violence and law enforcement officials, particularly undercover officers, and not everyone is eligible for it. ", "Motives matter. ", "And if the goal of a letter sent to state elections officials by President Donald Trump's newly minted advisory commission on election integrity was meant to sow discord and unease among voters, mission accomplished.", "\n\nThe actor is drooling people over his all new ecstatic avatar after \" Kaalakaandi \" and team has dropped the teaser of the film on Thursday. ", "The trailer begins with Saif coming up to a transgender and acting completely insane before apologising, saying, \"I'm sorry I don't know why I did that\".", "\n\nElaborating on AAP's reasons for supporting Kumar's candidacy, Singh said, \"Arvind Kejriwal received a phone call on Meira Kumar's behalf seeking support for her in the elections\". ", "AAP leaders have also made it clear that it would not support BJP at any cost but BJP claims that some of the AAP MLAs, who are upset with Kejriwal, could cross vote in support of Kovind.", "\n\nThe punishment for this offence is up to three years in jail, besides a fine of about $7,755 (INR 5 Lakhs). ", "The photo went viral on social media sites in no time. ", "An FIR has been lodged against Tanmay Bhat for his \"inappropriate\" tweet on PM Modi, reported ANI . ", "A post that was meant to be amusing became controversial and landed the comedy group AIB in trouble.", "\n\nMore significantly, Acharya said he was convinced that Zeliang had the majority to take over as chief minister. ", "The Governor has requested the Nagaland CM to positively prove his majority on the floor of the NLA on or before July 15, a late night release from the PRO to the Governor informed.", "\n\nSouth Korea's central bank held its benchmark interest rate unchanged at 1.25 per cent yesterday while raising its growth forecast as exports and plans for fiscal stimulus add to optimism for the economy. ", "The U.S. dollar was traded at an average of 1,130.04 won in June, up 0.4 percent from May. The dollar-denominated deposits declined by US$5.39 billion (6.12 trillion won), or 9 percent, to US$54.19 billion (61.53 trillion won) compared to the previous month.", "\n\nOfficials are advising at-risk residents to make arrangements for today due to the heat advisory in NY and surrounding areas. ", "We'll see a lot of the same weather for the next 3 days. ", "We'll have to be on the lookout for some stronger storm cells, containing strong winds and hail. ", "All rain should end across New Jersey by 5 a.m. Saturday .", "\n\nThe entire interview will air Thursday morning on Brazos Valley This Morning. \"", "If you are looking for an example of a campaign coordinating with foreign country or a foreign source, look no further than the DNC which actually coordinated opposition research with the Ukrainian embassy\", she said.", "\n\nThe police had planned to interrogate Dileep and his manager Appunni, who is reportedly absconding. ", "He was brought to the court under heavy police protection. ", "The court accepted its contention and extended his custody for one more day. ", "Also, the court will give its verdict on Dileep's bail plea by Saturday.", "\n\nMany Republicans have criticized their own party for their ineffectiveness after running on a platform that included the repeal of the ACA. ", "Senate Majority Leader Mitch McConnell can only afford to lose two Republican votes and already two senators, Rand Paul of Kentucky and Susan Collins of ME, are firmly against it, but for different reasons .", "\n\nLiu Xiaobo reportedly used his last few breaths to tell her to \" live on well \". ", "Domestic media outlets, all controlled by the ruling Communist Party, mostly ignored the news, with a photo of a beaming President Xi Jinping meeting his Canadian counterpart dominating the front page of the party mouthpiece People's Daily.", "\n\nTottenham stand firm at their £50 million asking price, and City will have to pay that since Spurs know they're desperate for a right-back after losing Dani Alves and having already released Pablo Zabaleta and Bacary Sagna . ", "But a deal for Dani Alves fell through when he made a decision to join PSG instead. ", "Going forward, Trippier is arguably a better player than Walker due to the quality of his final ball and impressively, he matched his teammates tally of five assists in the ...\n\nBonucci's agent, Alessandro Lucci, has already confirmed talks over an exit have begun, telling Sportitalia: 'We're working on a sale'. ", "The problem is that Milan are now only offering €30 million. ", "The 30-year-old has been heavily linked with a move to Chelsea , Manchester City and Real Madrid with Antonio Conte , Pep Guardiola and Zinedine Zidane all believed to be long-term admirers of the Italian global.", "\n\nThe United States on Tuesday postponed for three months a decision on whether to permanently lift sanctions on Sudan over its human rights record and other issues. ", "The U.S. State Department on Wednesday stated, in a press release, that the decision will allow more time to implement the peace deal between Washington and Khartoum .", "\n\nThis is the second time lions have escaped from the main tourist attraction site in the Mpumalanga province. ", "She said that while it was not ideal to put down the lions, in this instance the decision was based on an assessment of the situation.", "\n\nScotiabank reiterated a \"buy\" rating and set a $12.00 price objective on shares of Halcon Resources Corporation in a research note on Friday, April 7th. ", "During the last month, the stock has changed -3.98% and performed -29.19% over the last 6 months. ", "The disclosure for this purchase can be found here.", "\n\nHollywood stars Katie Holmes and Cuba Gooding Jr are the stars of Air New Zealand's latest in-flight safety video. ", "The clip attracted global attention and kicked off a competition among airlines trying to outdo each other by creating the most interesting safety video.", "\n\nColes claim they have been working towards banning the single-use shopping bags for months and will phase the plastic shopping bags out over the next 12 months, as will Woolworths. ", "Less than two hours later, Coles announced it, too, would be phasing out single-use plastic bags over the next 12 months. ", "The fresh food people have finally made the fearless choice to ban plastic bags in Australia.", "\n\nCorpus Christi Police Senior Officer Olden confirmed the incident to KRISTV. ", "According to police, some bank customers thought it was a joke until one person made a decision to call authorities. \"", "Please call my boss\", one note read. ", "Corpus Christi police officer Richard Olden summed up the weird incident: You'll never see this again in your life that somebody's stuck in the ATM machine .", "\n\nThey were rescued by the Indian Air Force chopper, which crashed killing four. ", "The incident, the enormity of which has shocked the people of the state, took place in the afternoon, reportedly burying alive the victims when eight dwellings in Laptap village of the district's Sagalee sub-division came under the landslide.", "\n\nWhile the Iraqi government celebrated as its Prime Minister officially declared victory over ISIS in Mosul on Monday, many humanitarian groups expressed concern that much still remains to be done in addressing the human rights violations and displacement that occurred.", "\n\nIndian forces are continuously committing unprovoked ceasefire violations at the Line of Control (LoC) and the Working Boundary to divert attention of the global community from the core issue of Kashmir. ", "The Kashmir Martyrs day programmes in the occupied valley were followed by anti-India and pro-freedom rallies across the held state especially in the Muslim-majority areas of the strife-ridden held valley, says a report reaching here Thursday from across the line of control.", "\n\nIn that time, Israeli forces have killed more than 254 Palestinians, majority said by Israel to be attackers. ", "No Friday prayers are expected to be held at Temple Mount later in the day. ", "Others were shot dead in protests and clashes, while some were killed in Israeli air strikes on the Gaza Strip. ", "It is the holiest site to Jews and the third holiest in Islam.", "Since September 2015, Palestinian attackers have killed 43 Israelis, two visiting Americans and a British tourist.", "\n\nGovernment may not ignore the scope of the partial travel ban as it sees fit\". ", "Judge Derrick K. Watson said grandparents and other close relatives - such as in-laws, aunts and uncles - traveling from the six affected countries, all of them predominantly Muslim, are exempt from the ban, for now.", "\n\nTheir first challenge starts Friday, when Chandimal will lead the side for the one-off Test against Zimbabwe . \"", "After losing to Zimbabwe in the ODI series, we have to go up\". ", "Zimbabwe won the toss and chose to bat first on a Khettarama track expected to be full of runs on the first day. \"", "This tour has been very special for us." ]

{ "pile_set_name": "Pile-CC" }

[ 0, 0, 0, 0.006578947368421052, 0.010582010582010581, 0.012738853503184714, 0, 0.006578947368421052, 0.00909090909090909, 0, 0, 0.021052631578947368, 0.01951219512195122, 0.002288329519450801, 0.010869565217391304, 0.013422818791946308, 0.025, 0, 0.014285714285714285, 0, 0.014705882352941176, 0.013071895424836602, 0, 0, 0, 0.0125, 0.006349206349206349, 0.003816793893129771, 0.021739130434782608, 0.0125, 0, 0, 0.008064516129032258, 0.01937984496124031, 0, 0, 0.008620689655172414, 0.0025188916876574307, 0, 0.003115264797507788, 0.010309278350515464, 0, 0.005747126436781609, 0.015503875968992248, 0, 0.007407407407407408, 0, 0, 0, 0.013157894736842105, 0.0051813471502590676, 0, 0.004629629629629629, 0.006993006993006993, 0.006535947712418301, 0.02185792349726776, 0.0213903743315508, 0.00909090909090909, 0, 0.02, 0.01, 0.008771929824561403, 0.0055248618784530384, 0.004830917874396135, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.004608294930875576, 0.0196078431372549, 0, 0, 0.013888888888888888, 0.007042253521126761, 0.01932367149758454, 0.012048192771084338, 0.0125, 0.01762114537444934, 0.011904761904761904, 0.009554140127388535, 0, 0.018867924528301886, 0, 0.005988023952095809, 0.009009009009009009, 0, 0.0064516129032258064, 0, 0, 0.02564102564102564, 0, 0.00546448087431694, 0.00819672131147541, 0, 0.02531645569620253, 0, 0, 0.012738853503184714, 0.012345679012345678, 0.004132231404958678, 0.0036900369003690036, 0.009708737864077669, 0.0036363636363636364, 0, 0, 0, 0.016129032258064516, 0, 0, 0.004629629629629629, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Methodological approach: American College of Chest Physicians guidelines for the prevention and management of postoperative atrial fibrillation after cardiac surgery.", "\nAtrial fibrillation remains a common and challenging problem following cardiac surgery. ", "The American College of Chest Physicians, through the Health and Science Policy Committee, established a panel to develop a set of clinical practice guidelines for the management or prophylaxis of atrial fibrillation or flutter in patients undergoing coronary artery bypass surgery. ", "The panel based its guidelines on a systematic review of the literature that included a computerized search of PubMed and CENTRAL, the Cochrane Collaboration database, as well as a search of selected journals and references in key articles. ", "Studies were eligible for review if they were controlled trials. ", "Paired reviewers assessed the quality of each eligible study and extracted relevant data. ", "The resulting data were assembled into evidence tables organized by key management questions. ", "The panel derived recommendations that were based on this review of evidence and were formulated according to the ACCP protocol for grading evidence and strength of recommendations." ]

{ "pile_set_name": "PubMed Abstracts" }

[ 0.006024096385542169, 0, 0.007067137809187279, 0.004149377593360996, 0, 0, 0, 0.0055248618784530384 ]

[ "#!", "/bin/bash\nFN=\"mu19ksubbcdf_2.18.0.tar.gz\"\nURLS=(\n \"https://bioconductor.org/packages/3.11/data/annotation/src/contrib/mu19ksubbcdf_2.18.0.tar.gz\"\n \"https://bioarchive.galaxyproject.org/mu19ksubbcdf_2.18.0.tar.gz\"\n \"https://depot.galaxyproject.org/software/bioconductor-mu19ksubbcdf/bioconductor-mu19ksubbcdf_2.18.0_src_all.tar.gz\"\n \"https://depot.galaxyproject.org/software/bioconductor-mu19ksubbcdf/bioconductor-mu19ksubbcdf_2.18.0_src_all.tar.gz\"\n)\nMD5=\"35e5ebcb4cb51950a85c1e3622bb39f0\"\n\n# Use a staging area in the conda dir rather than temp dirs, both to avoid\n# permission issues as well as to have things downloaded in a predictable\n# manner.", "\nSTAGING=$PREFIX/share/$PKG_NAME-$PKG_VERSION-$PKG_BUILDNUM\nmkdir -p $STAGING\nTARBALL=$STAGING/$FN\n\nSUCCESS=0\nfor URL in ${URLS[@]}; do\n curl $URL > $TARBALL\n [[ $? ", "== 0 ]] || continue\n\n # Platform-specific md5sum checks.", "\n if [[ $(uname -s) == \"Linux\" ]]; then\n if md5sum -c <<<\"$MD5 $TARBALL\"; then\n SUCCESS=1\n break\n fi\n else if [[ $(uname -s) == \"Darwin\" ]]; then\n if [[ $(md5 $TARBALL | cut -f4 -d \" \") == \"$MD5\" ]]; then\n SUCCESS=1\n break\n fi\n fi\nfi\ndone\n\nif [[ $SUCCESS !", "= 1 ]]; then\n echo \"ERROR: post-link.sh was unable to download any of the following URLs with the md5sum $MD5:\"\n printf '%s\\n' \"${URLS[@]}\"\n exit 1\nfi\n\n# Install and clean up\nR CMD INSTALL --library=$PREFIX/lib/R/library $TARBALL\nrm $TARBALL\nrmdir $STAGING\n" ]

{ "pile_set_name": "Github" }

[ 0, 0.006125574272588055, 0, 0, 0.003424657534246575, 0 ]