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152
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|---|---|---|
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试3（附答案）**
一、用分数表示下面每个图里的阴影部分。（每空2分，共12分）
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（每空2分，共10分）
1、 是表示阴影部分的分数。 （ ）
2、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。 （ ）
3、＋ = （ ）
4、 如左图长方形的与正方形的一样大。 （ ）
5、有12个球，拿出，应该拿3个。 （ ）
三、填空题。（第1题12分，第2题16分，第3题24分，共52分）
1、
（1） 的个数点全部的。
（2）  的个数占全部的。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（3）与  的个数占全部的。
2、在○里填上"﹥""﹤"或"="。
1
3、直接写出得数。
＋ = － = － = ＋ =
＋ = ＋ = ＋ = － =
－ = 1－ = 1－ = 1－ =
四、解决问题。（第1题8分，其余每题9分，共26分）
1、一块月饼，小明吃了，小李吃了。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（1）他们一共吃了这个饼的几分之几？
（2）还剩下几分之几？
2、用阴影画出如下图形的，画出两种不同分法。
3、红金鱼3条，黄金鱼4条，其余的是黑金鱼。
请你提出有关分数的数学问题并解决。
（1） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
（2） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
（3） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
**第六单元测试卷的部分答案：**
一、
二、× √ × × √
三、1、（1） （2） （3）
2、﹥ ﹥ = = ﹥ ﹤ ﹥ ﹥
3、 1 0
四、1、（1） （2）
| 1 | |
**一年级数学期末考试试卷**
**（总分100分，60分钟完成）**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ---------- ----------
**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **总分** **等级**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ---------- ----------
----------- ------------ ---------------------------------------
**得 分** **评卷人** **一、口算。（10分）（每小题0.5分）**
----------- ------------ ---------------------------------------
**9＋8= 16－9= 30－20= 40＋30=**
**50＋6= 26－10= 28＋30= 35－5=**
**13－4= 7＋60= 53－30= 6－50=**
**9＋60= 14－8= 5＋7= 34－20=**
**6＋20= 80－50= 64－40= 40＋50=**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **二、填空。（26分）（1、2、3、5、8、10小题各2分，6、9小题各3分，4、7小题各4分）**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------------------------------
**1、接着五十八，写出后面连续的四个数： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 。**
**2、5元8角=（ ）角 26角=（ ）元（ ）角**
**3、① 一个数由6个一，5个十组成，这个数是（ ）**
**② 32里面包含（ ）个十，（ ）个一。**
**4、根据下面的图，在右边写出四个算式。**
**〇〇〇〇 〇〇〇 [ ]{.underline} [） ]{.underline}**
**〇〇〇〇 〇〇 [ ]{.underline} [）]{.underline}**
**5、看图写数。**
**（ ） （ ）**
**6、看图列算式。**
① ②
= **朵** **=** **个**
**7、在○里填上"＞""＜"或"＝"。**
**79○82 43○29**
**48＋9○48－9 56○56－8**
**8、找规律，再填空。**
**① □□○□□○□□○□（ ）（ ）。**
**② 3、1、2、3、1、2、3、1、2、3、（ ）、（ ）。**
**9、根据要求填空。**
--- --- ------- ---
**○**
☉ △ **☆** □
■ ◎
--- --- ------- ---
**10、按要求写出钟面上的时刻。**
----------- ------------ ---------------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **三、判断。（正确的在（ ）里打"√"，错误的在（ ）里打"×"。（5分）**
----------- ------------ ---------------------------------------------------------------------
**1、一个数个位上是8，十位上是3，这个数是83。（ ）**
**2、34读作：三十四。 （ ）**
**3、上、下楼梯时，要靠右行。 （ ）**
**4、最小的两位数是10。 （ ）**
**5、比20大得多，比100小的数是21。 （ ）**
----------- ------------ -----------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **四、计算。（29分）（1-20小题各1分，21-26小题各1.5分）**
----------- ------------ -----------------------------------------------------------
**27－10= 58－50 42＋8= 50－9=**
**6＋24= 35－5= 27＋30= 75－40=**
**30＋15= 56－8= 72－30= 34＋6=**
**75－7= 58－30= 40－8= 50＋30=**
**70－20= 9＋6= 14－6= 55＋7=**
**50－40＋6= 72＋8－30= 45＋9－30=**
**5＋30－20= 20＋46－6= 34－20＋40=**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **五、数一数，填一填，画一画，再按要求回答问题。（10分）**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------
把小朋友课余生活的人数填入下面的统计表中，并在右边的统计图上涂上色，再回答后面的问题。
**①小朋友的课余生活中，（ ）的人数最多，（ ）的人数最少。**
**②你能提出什么问题？写出来，再解答出来。**
----------- ------------ ---------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **六、解决问题。（20分）（1小题16分，2小题4分）**
----------- ------------ ---------------------------------------------------
> **1、开学前，妈妈带小红去买文具和新衣服，价格是这样的：**
20元 8元 30元 25元
**①买一件衣服和一条裤子一共需要多少钱？**
**②一个书包比一个铅笔盒贵多少钱？**
**③ 妈妈带了50元钱，买了一个书包，还剩多少钱？**
**④ 如果妈妈带60元钱，要能买上面三件东西，可买哪三件？列出算式算一算。**
> 2、**一年一班有52名同学，准备乘两辆车去公园，一辆车上已经坐了30名同学，另一辆车要坐多少人？**
| 1 | |
**2017年广西贵港市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．7的相反数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a^2^+a=3a^3^ B．2a^3^•（﹣a^2^）=2a^5^ C．4a^6^+2a^2^=2a^3^ D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=8a^2^
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列命题中假命题是（ ）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x^2^+x+1=0无实数根
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣1）^2^+1 B．y=（x+1）^2^+1 C．y=2（x﹣1）^2^+1 D．y=2（x+1）^2^+1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A\'B\'C，M是BC的中点，P是A\'B\'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN^2^+CM^2^=MN^2^；⑤若AB=2，则S~△OMN~的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．计算：﹣3﹣5=[ ]{.underline}．
14．中国的领水面积约为370 000km^2^，将数370 000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为[ ]{.underline}．
16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，连接AP\'，则sin∠PAP\'的值为[ ]{.underline}．
17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．（结果保留π）
18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．（1）计算：\|﹣3\|+（+π）^0^﹣（﹣）^﹣2^﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
\[来源:学§科§网\]
22．在开展"经典阅读"活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
+----------+--------+------+
| 阅读时间 | 频数 | 频率 |
| | | |
| （小时） | （人） | |
+----------+--------+------+
| 1≤x＜2 | 18 | 0.12 |
+----------+--------+------+
| 2≤x＜3 | a | m |
+----------+--------+------+
| 3≤x＜4 | 45 | 0.3 |
+----------+--------+------+
| 4≤x＜5 | 36 | n |
+----------+--------+------+
| 5≤x＜6 | 21 | 0.14 |
+----------+--------+------+
| 合计 | b | 1 |
+----------+--------+------+
（1）填空：a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}，m=[ ]{.underline}，n=[ ]{.underline}；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．
23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S~△BCD~：S~△ABD~=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
**2017年广西贵港市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．7的相反数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号，求解即可．
【解答】解：7的相反数是﹣7，
故选：B．
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．
故选：C．
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：B．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a^2^+a=3a^3^ B．2a^3^•（﹣a^2^）=2a^5^ C．4a^6^+2a^2^=2a^3^ D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=8a^2^
【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可．
【解答】解：A.3a^2^与a不是同类项，不能合并，所以A错误；
B.2a^3^•（﹣a^2^）=2×（﹣1）a^5^=﹣2a^5^，所以B错误；
C.4a^6^与2a^2^不是同类项，不能合并，所以C错误；
D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=9a^2^﹣a^2^=8a^2^，所以D正确，
故选D．
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，
4﹣2m＜﹣2，
所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；
②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，
4﹣2m＞﹣2，
点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
7．下列命题中假命题是（ ）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x^2^+x+1=0无实数根
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．
【解答】解：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x^2^+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．
【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
则P（能构成三角形）==，
故选B
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣1）^2^+1 B．y=（x+1）^2^+1 C．y=2（x﹣1）^2^+1 D．y=2（x+1）^2^+1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y=2x^2^﹣2，
由平移规律，得
y=2（x﹣1）^2^+1，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A\'B\'C，M是BC的中点，P是A\'B\'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN^2^+CM^2^=MN^2^；⑤若AB=2，则S~△OMN~的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM^2^+BN^2^=MN^2^，
∴AN^2^+CM^2^=MN^2^，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x^2^+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S~△OMN~的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．计算：﹣3﹣5=[ ﹣8 ]{.underline}．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣3﹣5=﹣8．
故答案为：﹣8．
14．中国的领水面积约为370 000km^2^，将数370 000用科学记数法表示为[ 3.7×10^5^ ]{.underline}．
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10^n^（1≤\|a\|＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：370 000=3.7×10^5^，
故答案为：3.7×10^5^．
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为[ 60° ]{.underline}．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，
∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，
又∵∠CFE：∠EFB=3：4，
∴∠CFE=∠CFB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=60°，
故答案为：60°．
16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，连接AP\'，则sin∠PAP\'的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵6^2^+8^2^=10^2^，
∴PP′^2^+AP^2^=P′A^2^，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．
17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}[π+2]{.underline}[ ]{.underline}．（结果保留π）
【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S~空白ADC~即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接O、AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S~扇形AOD~==π，
∴S~阴影~=S~扇形AOB~﹣S~扇形COE~﹣（S~扇形AOD~﹣S~△COD~）
=﹣﹣（π﹣×2×2）
=π﹣π﹣π+2
=π+2．
故答案为π+2．
18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是[ 2≤k≤9 ]{.underline}．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．
【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；
把y=﹣x+6代入y=得：﹣x+6=，
x^2^﹣6x+k=0，
△=（﹣6）^2^﹣4k=36﹣4k，
∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，
∴36﹣4k≥0，
k≤9，
即k的范围是2≤k≤9，
故答案为：2≤k≤9．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．（1）计算：\|﹣3\|+（+π）^0^﹣（﹣）^﹣2^﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；
（2）先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）^2^﹣2×=4﹣4﹣1=﹣1
（2）当a=﹣2+
原式=+
=
=
=7+5
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
【考点】N3：作图---复杂作图．
【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
【解答】解：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；
21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．
【解答】解：（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
则A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=得k=6，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）根据题意得2x﹣4=，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．
22．在开展"经典阅读"活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
+----------+--------+------+
| 阅读时间 | 频数 | 频率 |
| | | |
| （小时） | （人） | |
+----------+--------+------+
| 1≤x＜2 | 18 | 0.12 |
+----------+--------+------+
| 2≤x＜3 | a | m |
+----------+--------+------+
| 3≤x＜4 | 45 | 0.3 |
+----------+--------+------+
| 4≤x＜5 | 36 | n |
+----------+--------+------+
| 5≤x＜6 | 21 | 0.14 |
+----------+--------+------+
| 合计 | b | 1 |
+----------+--------+------+
（1）填空：a=[ 30 ]{.underline}，b=[ 150 ]{.underline}，m=[ 0.2 ]{.underline}，n=[ 0.24 ]{.underline}；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；
（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．
【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人），
∴n=36÷150=0.24，
∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2，
∴a=0.2×150=30；
故答案为：30，150，0.2，0.24；
（2）如图所示：
（3）3000×（0.12+0.2）=960（人）；
即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960人．
23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
则10﹣x=2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：a≥5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．
【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=，
∴AF=4，tan∠DAC==，
∴DF=2，
∴AD==2，
∴AE=，
在Rt△PAE中，tan∠1==，
∴PE=，
设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA^2^=OE^2^+AE^2^，
∴R^2^=（R﹣）^2^+（）^2^，
∴R=，
即⊙O的半径为．
25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S~△BCD~：S~△ABD~=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC^2^、BD^2^和CD^2^，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x^2^﹣4x+3）=a（x﹣2）^2^﹣a，
∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∴S~△ABD~=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C、D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，
∴E（，0），
∴BE=3﹣=
∴S~△BCD~=S~△BEC~+S~△BED~=××（3a+a）=3a，
∴S~△BCD~：S~△ABD~=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC^2^=3^2^+（3a）^2^=9+9a^2^，CD^2^=2^2^+（﹣a﹣3a）^2^=4+16a^2^，BD^2^=（3﹣2）^2^+a^2^=1+a^2^，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC^2^+BD^2^=CD^2^，即9+9a^2^+1+a^2^=4+16a^2^，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x^2^﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD^2^+BD^2^=BC^2^，即4+16a^2^+1+a^2^=9+9a^2^，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x^2^﹣2x+；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x^2^﹣4x+3或y=x^2^﹣2x+．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x^2^=（4﹣x）^2^+2^2^，推出x=，推出DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得=，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB==2，
∵AD=CD=2，
∴BD==2，
由翻折可知，BP=BA=2．
②如图1中，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD^2^=CD^2^+BC^2^，
∴x^2^=（4﹣x）^2^+2^2^，
∴x=，
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=，
在Rt△BDN中，DN==，
由△BDN∽△BAM，可得=，
∴=，\[来源:Z+xx+k.Com\]
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得=，
∴=，
∴AE=，
∴EC=AC﹣AE=4﹣=，
易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=．
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**2016-2017学年上学期一年级期中检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、算一算。(15分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
2+6= 7+3= 4-4=
8+2= 3+5= 6-3=
8-2= 1+3= 0+8=
2+2= 10-7+3= 4+5+1=
2+5-4= 9-5-4= 8-1+2=
二、找规律,填一填。(3分)
三、看图填一填。(3分)
一共有( )个图形,是第( )个,是第( )个。
四、比一比,分一分。(15分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1.在高的下面画""。(2分) 2.在最长的后面画""。(3分)  
3\. 在最重的小动物后面画"",在最轻的小动物后面画"○"。(6分)
4\. 把每组中不同类的圈出来。(4分)
五、在里填上"\>""\<"或"="。(16分)
7 9 3 1 10 8 4 4
6 3+3 1 4-1 6+3 6 5+2 3
六、按顺序填数。(10分)
-- --- -- --- -- --- -- --- --
1 3 5 7
-- --- -- --- -- --- -- --- --
--- --- -- --- -- --- -- -- --
9 8 6 4
--- --- -- --- -- --- -- -- --
七、看图列式。(18分)
 
   =     = 
 
1+  +  =  10 -  -  = 
 
6 -  +  =  5 +  -  = 
八、解决问题。(20分)
1.现在有几只小鸟?(5分)
   = 
2\. 原来草地上有7只小兔。(5分)
   = 
3\. 车上原来有7人。(5分)
>      = 
4\. 小房子里原来有10只鸽子。(5分)
     = 
**2016-2017学年上学期一年级期中检测卷**
**参考答案**
一、 8 10 0 10 8 3 6 4 8 4 6 10 3 0
9
二、6 8 10
三、6 2 5
四、1. 2. 从上到下( )( )()
3\. 从上到下 ○
4\. 第一行圈小鸟,第二行圈蝴蝶。
五、\< \> \> = = \< \> \>
六、
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
七、7+3=10或3+7=10 9-3=6 1+5+3=9
10-5-3=2 6-2+3=7 5+4-2=7
八、1. 5+3=8 2. 7-1=6 3. 7-2+2=7
4\. 10-3-2=5
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------长方体的表面积》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)长方体或正方体( )之和叫做它的表面积。
(2)一个长方体的长是3cm，宽是2cm，高是1cm，它的棱长之和是( )cm，表面积是( )c㎡。
(3)一个正方体的表面积是54平方分米，它的一个面的面积是( )平方分米，棱长是( )分米。
(4)一个长方体的棱长之和是64cm，它的长是8cm，宽是6cm，那么它的高是( )cm。
2．看图填空。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1) 12×6表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 个面的面积。
18×6表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
12×18×2表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。表面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(2\)
3×3表示\_\_\_\_个面的面积。
3×3×5表示\_\_\_\_\_\_\_个面的面积，也就是这个鱼缸的\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3．一个长方体的木质酒盒，长40cm，宽30cm，高1Ocm，制作这个酒盒(如下图)，至少用多少平方厘米的木板？
4．一个正方体礼品盒，棱长6cm，包装这个礼品盒至少用多少平方厘米的包装纸？
5．李师傅要用玻璃做一个长9分米，宽6分米，高3分米的鱼缸，至少要用多少平方分米的玻璃？ 渔缸有盖吗？
------- ------- ------- ---------- --------
长 宽 高 棱长总和 表面积
4厘米 2厘米 3厘米
5分米 5分米 5分米
5厘米 6厘米 84厘米
8分米 7分米 64分米
------- ------- ------- ---------- --------
6．按要求填表。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
7．一个火柴盒，长4.5cm，宽3.5cm，高1.8cm。如果把内盒的长、宽、高看作与外套的长、宽、高相等计算，内盒和外套所用硬纸的面积各是多少平方厘米？(粘贴处不计)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**参考答案**
1．(1)6个面的面积 (2)24 22 (3)9 3 (4)2
2．(1)上 右面的面积 前后两个面的面积 792c㎡ (2)1 5 表面积
3．40×30×2＝40×10×2＝30×10×2＝3800(c㎡)
4．6×6×6＝216(c㎡)
5．9×6＝6×3×2＝9×3×2＝144(d㎡)
6．略
7．内盒：4.5×3.5＝4.5×1.8×2＝3.5×1.8×2＝44.55(c㎡)
外套：4.5×3.5×2＝4.5×1.8×2＝47.7(c㎡)
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**《小小图书馆》同步练习**
> **一、用竖式计算。**
>
> **（1）139-116= （2）127-92= （3）409-128= **
>
> **（4）308-156 （5）517-243= （6）909-128**=
>
> (7)716-224= (8)372-143=
>
> 二、
>
>    
>
>    
1. **你估计 一下，买一台洗机衣和一台彩电需多少元？**
\[来源:学.科.网\]
2. **妈妈带了2000元，能买回一台冰箱吗？**
> **三、解决问题。**
>
> **1、红色自行车312元，黄色自行车489元，买这两辆自行车一共需要多少元？**
>
> **2、小红的妈妈带了900元，买两件衣服分别是557元和280元，妈妈还剩多少元？**
>
> **3、世界最高的鸟是鸵鸟，他的身高是275厘米；世界最高的哺乳动物是长颈鹿，他的身高是605厘米，长颈鹿比鸵鸟高多少厘米？**
>
> **4、小明和小刚同看一本书。**
>
> **小明说："这星期前3天我看了78页，后4天我看了余下的125页"\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> **小刚说："星期一和星期二我看了118页，星期一到星期三我看了200页"**
>
> 这本书共有多少页？星期三小刚看了多少页？
>
> **\[来源:学§科§网\]**
>
> **参考答案：**
>
> **一、用竖式计算。**
>
> **（1）139-116= 23 （2）127-92=35**
（3）409-128=281 （4）308-156=152\[来源:学科网\]\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
> （5）517-243=274 (6)909-128=781
>
> (7)716-224=492 (8)372-143=229\
> 二、
**（1）2154**
> **（2）能**
>
> **三、解决问题。**
>
> **1、801**
>
> **2、63**
>
> **3、330**
>
> **4、**
>
> **78+125=203**
>
> **200-118=82**
>
> 这本书共有203页，星期三小刚看了82页
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**2009年全国硕士研究生入学统一考试\
数学三试题**
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）函数的可去间断点的个数为
> (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
（2）当时，与是等价无穷小，则
> (A)，. （B），.
>
> (C)，. （D），.
（3）使不等式成立的的范围是
> (A). (B). (C). (D).
（4）设函数在区间上的图形为
则函数的图形为
\(A\) (B)
\(C\) (D)
（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，
> 若，则为
>
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（7）设事件与事件B互不相容，则
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为
> \(A\) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
**二、填空题：9\~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
（9） [ ]{.underline} .
（10）设，则 [ ]{.underline} .
（11）幂级数的收敛半径为 [ ]{.underline} .
（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 [ ]{.underline} 元.
（13）设,，若矩阵相似于，则 [ ]{.underline} .
(14)设，,...,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 [ ]{.underline} .
**三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分9分）
求二元函数的极值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分，其中.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.
（19）（本题满分10 分）
设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11 分）
设,.
（Ⅰ）求满足，的所有向量，.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型.
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度；
（Ⅱ）求条件概率.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.
**2009年全国硕士研究生入学统一考试**
**数学三试题解析**
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）函数的可去间断点的个数为
> (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
【答案】C.
【解析】
则当取任何整数时，均无意义
故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解
故可去间断点为3个，即
（2）当时，与是等价无穷小，则
> (A)，. （B），.
>
> (C)，. （D），.
【答案】A.
【解析】为等价无穷小，则
故排除(B)、(C).
另外存在，蕴含了故排除(D).
所以本题选(A).
（3）使不等式成立的的范围是
> (A). (B). (C). (D).
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
成立时的取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).
（4）设函数在区间上的图形为
则函数的图形为
\(A\) (B)
\(C\) (D)
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：
①时，，且单调递减.
②时，单调递增.
③时，为常函数.
④时，为线性函数，单调递增.
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】B.
【解析】根据，若
分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆
> 故答案为(B).
（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，
> 若，则为
>
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】A.
【解析】，即：
（7）设事件与事件B互不相容，则
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】D.
【解析】因为互不相容，所以
(A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.
(B)当不为0时，(B)不成立，故排除.
(C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除.
(D)，故(D)正确.
（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）
> \(A\) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
【答案】 B.
【解析】
独立
（1）若，则
（2）当，则
为间断点，故选(B).
**二、填空题：9\~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
（9） [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】.
（10）设，则 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】由，故
代入得，.
（11）幂级数的收敛半径为 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】由题意知，
所以，该幂级数的收敛半径为
（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 [ ]{.underline} 元.
【答案】8000.
【解析】所求即为
因为，所以
所以
将代入有.
（13）设,，若矩阵相似于，则 [ ]{.underline} .
【答案】2.
【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为
3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.
(14)设，,...,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由.
**三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分9分）
求二元函数的极值.
【解析】，，故.
.
则，，.
而
二元函数存在极小值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
【解析】令得
而
所以
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分，其中.
【解析】由得，
.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：
；在闭区间上连续，在开区间内可导，且.
根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即
（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得
......
又由于，对上式（\*式）两边取时的极限可得：
故存在，且.
（19）（本题满分10 分）
设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.
【解析】旋转体的体积为
曲边梯形的面积为：，则由题可知
两边对t求导可得
继续求导可得，化简可得
，解之得
在式中令，则，代入得.
所以该曲线方程为：.
（20）（本题满分11 分）
设,.
（Ⅰ）求满足，的所有向量，.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令，由解得，
求特解，令，得
故 ，其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令，由得
令，由得
求得特解
故 ，其中为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
故 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型.
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.
【解析】（Ⅰ）
.
（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则
1) 若，则 ， ，不符题意
2) 若 ，即，则，，符合
3) 若 ，即，则 ，，不符题意
> 综上所述，故
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度
（Ⅱ）求条件概率
【解析】
（Ⅰ）由得其边缘密度函数
故
即
（Ⅱ）
而
.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
①求.
②求二维随机变量的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
.
（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
+---+-----+-----+------+
| X | 0 | 1 | 2 |
| | | | |
| Y | | | |
+---+-----+-----+------+
| 0 | 1/4 | 1/6 | 1/36 |
+---+-----+-----+------+
| 1 | 1/3 | 1/9 | 0 |
+---+-----+-----+------+
| 2 | 1/9 | 0 | 0 |
+---+-----+-----+------+
| 1 | |
**2020-2021学年江苏省无锡市南长街教育集团数学六年级（上）期末数学试卷**
**一、计算（共32分）**
1．（5分）直接写出得数。
2 12＝ 1+5%＝ 16×75%＝
---------- ------ -- -------- ----------
0.2^3^＝ 0
2．（18分）计算下面各题，能简算的要简算。
6 25%4 （）×5
--- ------ ----------
（） \[（）\]
3．（9分）解方程。
--------------- ------ -----------
1+30%*x*＝3.6 7*x* *xx*＝120
--------------- ------ -----------
**二.填空。（20分，每空1分）**
4．（4分）3÷[ ]{.underline}12：[ ]{.underline}＝0.6＝[ ]{.underline}%。
5．（2分）在横线上填上"＞""＜"或"＝"。
> *a*[ ]{.underline}*a*（*a*≠0）
>
> 3[ ]{.underline}3×35%
6．（1分）红糖的与白糖的相等，已知白糖有36千克，红糖有[ ]{.underline}千克．
7．（2分）学校合唱队男生有12人，比女生少18人，男生人数是女生人数的[ ]{.underline}%，女生人数比男生人数多[ ]{.underline}%。
8．（2分）一个正方体的表面积和底面积的比是（[ ]{.underline}：[ ]{.underline}），比值是[ ]{.underline}．
9．（2分）200克水和20克蜂蜜调制成蜂蜜水，蜂蜜和水的质量比化简后是[ ]{.underline}。如果再加入20克水和20克蜂蜜后，调制的蜂蜜水会更甜吗？[ ]{.underline}（填写"会"或"不会"）。
10．（1分）王阿姨把6万元钱存入银行，定期三年，年利率是4.25%，到期后，她可以获得本息[ ]{.underline}元。
11．（1分）一种大豆千克可榨油千克．照这样计算，[ ]{.underline}千克的大豆可榨8千克的油．
12．（2分）少先队员收集植物标本和动物标本共60件，植物标本的件数是动物标本的。植物标本有[ ]{.underline}件，动物标本有[ ]{.underline}件。
13．（2分）有一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米。现在把它的长缩短了2厘米，那么长方体的表面积减少了[ ]{.underline}平方厘米，体积减少了[ ]{.underline}立方厘米。
14．（1分）如图，一个长6厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶。笑笑在准备喝牛奶时，一不小心，把牛奶弄洒了一些，也就是图中的空白部分，洒出[ ]{.underline}毫升牛奶。
**三.选择。（10分，每题2分）**
15．（2分）把一批书按2：3：4或按2：4：5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（ ）本．
A．90 B．100 C．99 D．110
16．（2分）六（1）班今天出勤48人，有1人病假，1人事假，六（1）班今天的出勤率是（ ）
A．4% B．48% C．96% D．98%
17．（2分）互为倒数的两个数，它们的和（ ）
A．等于1 B．比1小 C．比1大 D．无法确定
18．（2分）某产品说明书上标注包装尺寸为712×667×1888（*mm*），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（ ）
A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱
19．（2分）如图三角形中的空白部分和阴影部分的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：8
**四.动手操作。（8分）**
20．（2分）如图是四种型号的硬板纸，如果用下面的材料围成长方体的六个面（不含正方体），你选择哪几种？每种各几张？（请你在表中填出两种不同的围法。）
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
| 型号 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 注意：硬板纸不能折和剪 |
| | | | | | |
| 张数 | | | | | |
| | | | | | |
| 围法 | | | | | |
+======+=====================+=====================+=====================+=====================+========================+
| 一 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | |
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
| 二 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | |
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
21．（6分）图中每个方格边长1厘米。
> （1）一台播种机每小时播种公顷，小时播种[ ]{.underline}公顷。图①表示1公顷，请根据题意在图中用阴影表示出小时播种的公顷数。
>
> （2）在上面的方格纸上画一个周长是18厘米的长方形，宽是长的，然后把它分成一个梯形和一个三角形，使它们的面积比是3：2。
**五.解决实际问题。（30分，每题5分）**
22．（5分）华润超市元旦促销活动，所有水果一律七折，大米一律八折，妈妈买了一盒原价60元的猕猴桃，应付多少元？邻居王阿姨买了一袋大米，付了42.4元，这袋大米原来的售价多少元？
23．（5分）方方买了4支铅笔和6支签字笔，一共花了82.2元，已知每支签字笔的价格比每支铅笔贵1.2元，每支铅笔多少元？
24．（5分）甲、乙两车分别从相距240千米的两地同时出发，相对开出，小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，求乙车的速度。
25．（5分）4月23日是"世界阅读日"，据有关资料统计，世界上平均每人每年读书量最多的是犹太民族，我国人均阅读量比犹太人少92%，我国每年人均阅读量是4.8本，犹太人每年人均阅读量是多少本？
26．（5分）如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。
> （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？
>
> （2）这个领奖台的体积是多少？
27．（5分）联华超市有软、硬两种糖放在一起，其中软糖与硬糖的质量比是1：3，后来放入了10千克软糖，这时软糖的质量占糖总质量的。原来软糖有多少千克？
**2020-2021学年江苏省无锡市南长街教育集团数学六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、计算（共32分）**
1．[ ]{.underline}； 2．[ ]{.underline}； 3．[ ]{.underline}；
**二.填空。（20分，每空1分）**
4．[5]{.underline}； [20]{.underline}； [60]{.underline}； 5．[＜]{.underline}； [＞]{.underline}； 6．[16]{.underline}； 7．[40]{.underline}； [150]{.underline}； 8．[6]{.underline}； [1]{.underline}； [6]{.underline}； 9．[1：10]{.underline}； [会]{.underline}； 10．[67650]{.underline}； 11．[30]{.underline}； 12．[15]{.underline}； [45]{.underline}； 13．[28]{.underline}； [24]{.underline}； 14．[36]{.underline}；
**三.选择。（10分，每题2分）**
15．C； 16．C； 17．C； 18．D； 19．B；
**四.动手操作。（8分）**
20．[4]{.underline}； [2]{.underline}； [0]{.underline}； [0]{.underline}； [2]{.underline}； [0]{.underline}； [2]{.underline}； [2]{.underline}； 21．[]{.underline}；
**五.解决实际问题。（30分，每题5分）**
22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}； 27．[ ]{.underline}；
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**衡水金卷2018届全国高三大联考理数**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（ ）
A． B． C． D．
3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
4.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
5.已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数（，）的部分图像如图所示，其中．记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（ ）
A．为真 B．为假 C．为真 D．为真
11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12.已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则 [ ]{.underline} ．
14.已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
15.已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为 [ ]{.underline} ．
16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.已知函数，．
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积．
18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.
（1）试探究的值，使平面，并给予证明；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值．
19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
------ ------------------ -------------------- ------
经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计
男性 50 50 100
女性 60 40 100
合计 110 90 200
------ ------------------ -------------------- ------
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
-- ------- ------- ------- ------- -------
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
-- ------- ------- ------- ------- -------
20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形．
21.已知函数（，），其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性及极值；
（2）若不等式在内恒成立，求证：．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：．
**衡水金卷2018届全国高三大联考理数答案**
**一、选择题**
1-5: 6-10: 11、12：
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）原式可化为，
故其最小正周期，
令（），解得（），
即函数图象的对称轴方程为（）．
（2）由（1）知，
因为，所以，
又，
故，解得．
由正弦定理及，得，
故．
18.解：（1）当时，平面．
证明如下：连接交于点，连接．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）取的中点，连接，则．
∵平面平面，平面平面，且，
∴平面．
∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴．
由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
当时，有，∴可得．
∴，，．
设平面的一个法向量为，则有即
令，得，，即．
设与平面所成的角为，
则，
∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：（1）由列联表可知的观测值
，
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关．
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），
偶尔或不用网络外卖的有（人）．
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为．
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为．
由题意得，∴；．
20.解：（1）由已知，得，，
又，故解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴，
所以令直线的方程为，
设，，
联立方程得，
所以，．
此时．
同理，令直线的方程为，设，，
此时，，
此时．
故，所以四边形是平行四边形.
若是菱形，则，即，于是有.
又，
所以有，
整理得，即，
上述关于的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.
21.解：（1）由题意．
当，即时，，在内单调递增，没有极值．
当，即时，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故当,取得极小值，无极大值．
综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值．
（2）由（1），知当时，在内单调递增，
当时，成立，
当时，令为和中较小的数，
所以，且．
则，，
所以，与恒成立矛盾，应舍去．
当时，，
即，
所以．
令，则．
令，得；令，得，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，
故，
即当，即时，．
所以，
所以．
而，所以．
22.解：（1）易知曲线：，直线的直角坐标方程为．
所以圆心到直线的距离，
∴．
（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，
∴，有恒成立，
∴．
又，∴解得，
∴实数的取值范围为．
23.解：（1）依题意，得
于是得或或解得．
即不等式的解集为．
（2），
当且仅当时，取等号，
∴．
原不等式等价于，
∵，∴，
∴.
又∵，∴，
∴.
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第10课《立体平面展开》试题无答案**
一年级奥数上册：第十讲 立体平面展开 来源：www.bcjy123.com/tiku/
一年级奥数上册：第十讲 立体平面展开 习题
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**《拨一拨》同步练习**
**一、拨出二百九十八，并且一个一个数到三百零三，并且写出来。**
> **（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）**
>
> **二、拨出三千八百，一百一百地数，数到四千二百，并把它们写出来。**
>
> **（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。**
>
> 三、找出下面数的排列规律，在空格里填上合适的数。
>
> 
>
> 四、在"二百四十七"这个数的后面连续写出六个数。
>
> \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> 五、用三张数字卡片，可以排出（ ）个不同的三位数，把它们写出来是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。其中最大的数是\_\_\_\_\_\_\_，最小的数是\_\_\_\_\_\_。
>
> **六、写出下列各数。**
>
> **五百一十三：（ ）**
>
> **四百八十七：（ ）**
>
> **六千五百：（ ）**
>
> **九千四百三十六：（ ）**
>
> **七千七百三十：（ ）**
>
> 七、写一写。
>
> 
>
> 218 = 200 + [ ]{.underline} + [ ]{.underline}
>
> \_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 八、用0、2、4、6组成三位数（能写几个写几个）。
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> \[来源:学科网\]
>
> **参考答案：**
**一、298、299、300、301、302**
> **二、3800、3900、4000、4100、4200**
>
> 三、找出下面数的排列规律，在空格里填上合适的数。
----- ----- ----- ----- ----- -----
560 570 580 590 600 610
----- ----- ----- ----- ----- -----
四、248、249、250、251、252、253
> 五、\_258、528、852\_\_ \_852\_ \_258\_
**六、写出下列各数。\[来源:Z\*xx\*k.Com\]**
> **（513）**
>
> **（487）**
>
> **（6500）**
>
> **（9436 ）**
>
> **（7730）**
>
> 七、写一写。
218 = 200 + [10]{.underline} + [8]{.underline}
> \_\_1325\_\_\_=\_\_1000\_\_\_＋\_\_\_300\_\_\_＋\_\_\_20\_\_\_＋\_\_5\_\_\_\_
八、 2046、2064、2406、2460、2604、2640、2460、2640
> \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
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**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则（x~i~+y~i~）=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是[ ]{.underline}（填序号）
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ ]{.underline}．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1．
（Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
**请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：，解得﹣3＜m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．
【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴+=（4，m﹣2），
又∵（+）⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：a=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【考点】D2：分步乘法计数原理；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^=3种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C~4~^2^C~2~^2^=6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^C~2~^2^=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×2^2^+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos^2^（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．
10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•1^2^，从区间\[0，1】随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~，构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~n~，y~n~），对应的区域的面积为1^2^．
∴=
∴π=．
故选：C．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由条件MF~1~⊥MF~2~，sin∠MF~2~F~1~=，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF~1~丨=，丨MF~2~丨=，
∴sin∠MF~2~F~1~=，∴=，
可得：2b^4^=a^2^c^2^，即b^2^=ac，又c^2^=a^2^+b^2^，
可得e^2^﹣e﹣=0，
e＞1，解得e=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则（x~i~+y~i~）=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点，
（x~2~，y~2~）为交点，即有（﹣x~2~，2﹣y~2~）也为交点，
...
则有（x~i~+y~i~）=（x~1~+y~1~）+（x~2~+y~2~）+...+（x~m~+y~m~）
=\[（x~1~+y~1~）+（﹣x~1~+2﹣y~1~）+（x~2~+y~2~）+（﹣x~2~+2﹣y~2~）+...+（x~m~+y~m~）+（﹣x~m~+2﹣y~m~）\]
=m．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是[ ②③④ ]{.underline}（填序号）
【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ 1和3 ]{.underline}．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，"我与乙的卡片上相同的数字不是2"；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[ 1﹣ln2 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x~1~，kx~1~+b）、（x~2~，kx~2~+b）；
由导数的几何意义可得k==，得x~1~=x~2~+1
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子解得；
从而kx~1~+b=lnx~1~+2得出b=1﹣ln2．
【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1．
（Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和．
【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b~n~}的前1000项和．
【解答】解：（Ⅰ）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，7a~4~=28．
可得a~4~=4，则公差d=1．
a~n~=n，
b~n~=\[lgn\]，则b~1~=\[lg1\]=0，
b~11~=\[lg11\]=1，
b~101~=\[lg101\]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b~1~=b~2~=b~3~=...=b~9~=0，b~10~=b~11~=b~12~=...=b~99~=1．
b~100~=b~101~=b~102~=b~103~=...=b~999~=2，b~10，00~=3．
数列{b~n~}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．
【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．
（Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．
（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），
上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p~1~=1﹣0.30﹣0.15=0.55．
（Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p~2~=P（B\|A）===．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出\|cosθ\|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=，
∴，则EF∥AC，
又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH==1，则DH=D′H=3，
∴\|OD′\|^2^=\|OH\|^2^+\|D′H\|^2^，则D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，，
设平面ABD′的一个法向量为，
由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴．
同理可求得平面AD′C的一个法向量，
设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，
则\|cosθ\|=．
∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．
20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得\|AM\|，由垂直的条件可得\|AN\|，再由\|AM\|=\|AN\|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；
方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得\|AM\|，\|AN\|，再由2\|AM\|=\|AN\|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），
直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，
解得x=﹣2或x=﹣，则\|AM\|=•\|2﹣\|=•，
由AN⊥AM，可得\|AN\|=•=•，
由\|AM\|=\|AN\|，k＞0，可得•=•，
整理可得（k﹣1）（4k^2^+k+4）=0，由4k^2^+k+4=0无实根，可得k=1，
即有△AMN的面积为\|AM\|^2^=（•）^2^=；
方法二、由\|AM\|=\|AN\|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，
代入椭圆方程+=1，可得7x^2^+16x+4=0，
解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），
则△AMN的面积为××（﹣+2）=；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，
可得（3+tk^2^）x^2^+2tk^2^x+t^2^k^2^﹣3t=0，
解得x=﹣或x=﹣，
即有\|AM\|=•\|﹣\|=•，
\|AN\|═•=•，
由2\|AM\|=\|AN\|，可得2•=•，
整理得t=，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，
可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可
【解答】解：（1）证明：f（x）=
f\'（x）=e^x^（）=
∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f\'（x）≥0
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增
∴x＞0时，＞f（0）=﹣1
即（x﹣2）e^x^+x+2＞0
（2）g\'（x）=
==
a∈\[0，1）
由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得
，
只需•e^t^≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2\]
当x∈（0，t）时，g\'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g\'（x）＞0，g（x）单调增；
h（a）===
记k（t）=，在t∈（0，2\]时，k\'（t）=＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（，\]．
【点评】该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度较大．
**请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S~四边形BCGF~=2S~△BCG~，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=DG，CD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S~四边形BCGF~=2S~△BCG~=2××1×=．
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25，
∴x^2^+y^2^+12x+11=0，
∵ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ^2^+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，\|AB\|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan^2^α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，
解得：x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，
即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，
即a^2^b^2^+1+2ab＞a^2^+b^2^+2ab，
即（ab+1）^2^＞（a+b）^2^，
即\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
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**2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷**
**高三期末理数**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3.设函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，的值为
B．线性相关关系较强，的值为
C．线性相关关系较强，的值为
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5.下列结论中，正确的是
④命题的否定是.
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
6.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.阅读如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8.中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11.设数列满足，且对任意，函数满足，若，则数列的前项和等于（ ）
A． B．
C． D．
12.已知定义在上的函数对任意都满足，当时，，若函数至少有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.二项式的展开式的系数和为，则的值为\_\_\_\_\_\_.
14.设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是\_\_\_\_\_.
15.已知实数满足条件，若不等式恒成立，则实数的最大值是\_\_\_\_\_.
16.设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
18.（本小题满分12分）
同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为.
（1）求的概率；
（2）求点在函数的图象上的概率；
（3）将的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、上的点，且满足.
将沿折起到的位置，并使得平面平面.
（1）求证：；
（2）设为线段上的一点，试求直线与平面所成角的正切的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，抛物线上是否存在点与点不重合），使得过点作线段的垂线与抛物线交于点，直线分别交轴、轴于点、，且满足（表示的面积，表示的面积）？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）在（1）的条件下，若对恒成立，求实数的取值范围.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形内接于圆，是圆的直径，于点，.
（1）证明：是圆的切线；
（2）如果，，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）曲线上恰好存在三个不同的点到直线的距离相等，分别求这三个点的极坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，解不等式.
**月考卷**
一、选择题
1.C 【解析】，，，故选C.
2.D 【解析】∵，∴，∴，∴.
又∵，∴图中阴影部分表示的集合为.
5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确；由，可得或向量与垂直，所以②正确；③中命题是假命题，所以是假命题，所以③错误；特称命题的否定是全称命题，所以④正确.
6.B 【解析】∵，∴当时，取得最大值，此时，∴平面，
∴.
7.A 【解析】由题意得，，周期，故
.
8.B 【解析】设椭圆方程为，，则，.又由于，所以，即可得.
所以点在以为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点的公共点.
，消去，得，
.
由于过点，所以有一个根为，另一个根为，由韦达定理可得.
又因为，解得.
9.A 【解析】如下图所示，该几何体的直观图为四棱柱截取三棱锥和三棱锥.
由已知底面为直角梯形，底面，为的中点，所以该几何体的体积
.
10.A 【解析】因为为线段上靠近点的四等分点，所以，设，则
又因为，所以有，即.
\`11.C 【解析】,由，得，
故数列为等差数列，由，得，所以，
所以.
12.A 【解析】当时，作函数与函数的图象如下：
结合图象可知，，故；
当时，作函数与函数的图象如下：
结合图象可知，，故.
二、填空题
13.1或5 【解析】令，则有，即，得或.
14\. 【解析】设数列的公差为，依题意，即，
化简可得，∴.
15\. 【解析】由题意知可行域如图：
∵在可行域内恒成立，即，∴只需求的最大值即可，设，由图象知，则的斜率，的斜率，由图像可知，∵在时为增函数，∴当时，取得最大值，此时，，∴，∴的最大值为.
16\. 【解析】∵当时，，
当且仅当时等号成立，∴时，函数有最小值.
∵，∴.
当时，，则函数在区间上单调递减，∴时，函数有最大值，，则对，.
∵恒成立，且，∴，解得.
∴正数的取值范围是.
三、解答题
17.解：（1）因为成等比数列，所以，
由余弦定理可知，
又，所以.
且，解得.
于是.
（2）因为，所以，所以.
又或，所以或于是.
18.解：（1）所有的基本事件共有个，其中满足的基本事件有共个，故.
（2）记"点在函数的图象上"为事件，包含两个基本事件，
所以.
故点在函数的图象上的概率为.
（3）记"以为边能围成等腰三角形"为事件，共包括个基本事件.
所以.
的可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
--- --- --- --- ---
0 1 2 3
P
--- --- --- --- ---
或.
19.解：（1）因为等边△的边长为，且，所以，
在△中，，由余弦定理，得.
因为，所以.
折叠后有，因为平面平面，又平面平面，
平面，，所以平面，又平面，故.
（2）由（1）可知，平面，
如图，以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，作于点，连接、，
设，则，所以，
因为，
所以平面，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，所以，
①若，则.
②若，则，
令.
因为函数时单调递增，所以，即，
所以.故所求的最大值为.（此时点与重合）
20.解：（1）由抛物线的定义，得，∴，∴.
将点代入：，得，∴.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为，根据抛物线的对称性，现考虑点在第一象限，如图所示，
设直线的方程为，，则直线的方程为.
由，得，∴（舍去）或，点，
由，得，∴（舍去）或，点，
∵当时，，轴，不符合题意，
∴直线的方程为，即，∴.
∵，，
∴，即，∴，∴或.
又由抛物线的对称性，得点的坐标为或.
21.解：（1）.
∵函数在处的切线与直线平行，∴，
即，解得或（舍去），∴.
（2）函数的定义域为，
，
①当时，，∴当或时，；当时，，
∴函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
②当时，，，
∴函数在区间上单调递增.
③当时，，∴当或时，；当时，，
∴函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
（3）当时，，
由（2）知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴函数在区间上的最小值只能在或中取得.
∵，∴.
设，则在区间上单调递减，且，
∴，∴，
∴在区间上的最小值是.
若要满足对恒成立，只需恒成立，
即需恒成立，即，解得，
∴实数的取值范围是.
22.解：（1）连接，如图，
在中，于点，∴.
∵平分，∴.
∵，∴，∵，∴，
即是圆的切线.
（2）在和中，∵是圆的直径，∴，
由（1）得，又∵，∴，
∴.∴，
∵，∴，进一步求得.
23.解：（1）由题意得
∴曲线的普通方程为.
∵直线，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）∵圆心，半径为，圆心到直线的距离，
∴这三个点分别在平行于直线的两条直线上，设与圆相交于点，与圆相交于点，如图所示，
∴直线与直线的距离均为，∴，.
由得或，即.
由得，即.
∴这三个点的极坐标分别为.
24.解：（1）由题意得对任意恒成立，
即，又，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
（2）当时，不等式可化为，
当时，变形为，解得，此时不等式的解集为；
当时，变形为，解得，此时不等式的解集为；
当时，不等式解得，此时不等式的解集为，
综上，不等式的解集为.
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第5课《找几何图形的规律》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第五讲 找几何图形的规律 习题解答
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**2015年小学奥数应用题专题------年龄问题**
1．小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？
2．小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？
**3．**爸爸妈妈现在的年龄和是岁；五年后，爸爸比妈妈大岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？
4．今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？
5．6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁?
**6．**小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？
7．学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是这三个学生的年龄和；9年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又3年后，张老师年龄为刘备、关羽两个学生的年龄和；再3年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄．
8．父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？
9．小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？
**10．**一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？
**11．**甲、乙、丙三人平均年龄为岁，若将甲的岁数增加，乙的岁数扩大倍，丙的岁数缩小倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？
12．姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数和是40岁时，两人各应该多少岁？
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13．东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，东东3年后的年龄等于西西l年前的年龄，求东东、西西今年的年龄各是多少？
14．哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．哥哥今年多少岁？
**15．**今年彬彬的年龄是表弟年龄的4倍，20年后，彬彬的年龄比表弟的年龄的2倍少l2岁，今年彬彬、表弟各多少岁？
16．甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？
17．李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？
18．甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，问甲、乙现在各几岁？
19．一天，小慧和刘老师一起谈心，小慧问："老师，您今年有多少岁啊？"刘老师 回答说："你猜猜，当我像你这么大时，你才1岁；当你到我这么大时，我就34岁了．"那么刘老师今年的年龄是多少岁呢？
20．父子年龄之和是岁，再过年，父亲的年龄正好是儿子的倍，父子今年各多少岁？
21．父子年龄之和是岁，年前父亲的年龄正好是儿子的倍，问父子今年各多少岁？
22．李文今年岁，爸爸妈妈的年龄和是岁，问：多少年后他们仨的平均年龄是岁？
23．父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？
**24．**王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁．王老师今年岁，李老师今年多少岁?
25．哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．哥哥今年多少岁？
26．爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？
27．小华今年岁，他和爸爸、妈妈三人年龄之和为岁．若干年后，三人平均年龄是岁．到那时，小华的年龄是多少岁？
28．小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大岁，今年全家年龄的和是岁，年前这一家全家年龄的和是岁．今年三人各是多少岁？
29．全家四口人，父亲比母亲大岁，姐姐比弟弟大岁．四年前他们全家的年龄和为岁，而现在是岁．问：现在各人的年龄是多少？
**30．**有一家三口，爸爸比妈妈大岁，他们全家今年的年龄加起来正好是岁，而年前他们全家人年龄加起来刚好是岁．小孩子今年多少岁？
31．泡泡比毛毛小岁，再过年泡泡的年龄将是毛毛年龄的一半，他们今年的年龄总和是多少岁？
32．四个人年龄之和是岁，最小的一个岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？
33．五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？
34．已知祖孙三人，祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同，祖父和孙子年龄之和为岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的倍．求祖孙三人各多少岁?
35．甲对乙说："当我的岁数是你现在的岁数时，你才岁．"乙对甲说："当我的岁数是你现在的岁数时，你将岁．"那么，甲、乙现在多少岁？
36．小鲸鱼说："妈妈，我长到您现在这么大时，您就岁啦！"鲸鱼妈妈说："我像你这么大时，你只有岁．"求小鲸鱼和妈妈现在多少岁？
37．甲对乙说："我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半."乙对甲说："我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7."问：甲、乙二人现在各多少岁？
38．年前父亲的年龄是儿子的倍，年后父亲的年龄是儿子的倍，问现在父子的年龄各是多少？
39．年前父亲的年龄是儿子年龄的倍，年后父亲的年龄是儿子年龄的倍，今年父亲、儿子各多少岁？
40．今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？
41．年前爸爸的年龄是儿子的倍，年后父子二人年龄和是岁，父子二人今年分别多少岁？
42．现在哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的倍．而年前哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，则哥哥现在的年龄是多少岁？
**43．**年前爸爸的年龄是小玲的倍，年后爸爸的年龄是小玲的倍．问现在父女俩的年龄各是多少岁？
44．前年，父亲年龄是儿子年龄的倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的倍.父亲今年多少岁？
45．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍
46．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？
47．哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为岁．问：哥哥现在多少岁？
48．哥哥对弟弟说："当我在你现在的年龄时，你才岁"．弟弟又对哥哥说："当我长到你现在的年龄时，你已岁了"，问哥哥和弟弟现在各多少岁？
49．甲对乙说："我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．"乙对甲说："我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．"问：甲、乙二人现在各多少岁？
**50．**甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？
**51．**爸爸在过岁生日时，弟弟说："等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥哥那时的年龄之和等于那时爸爸的年龄"，那么哥哥今年多少岁？
52．今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍．当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和．请问：今年哥哥多少岁？
53．1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍。已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？
54．梁老师问陈老师有多少子女，她说："现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．"问陈老师有多少子女．
55．⑴今年，父亲年龄是女儿年龄的4倍，三年前父女年龄之和是49岁，问现在父亲、女儿各多少岁?
⑵妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍；多少年后妈妈的年龄是小红的2倍?
⑶陈老师今年34岁，她的学生小光、小亮、小聪的年龄分别是9、10、11岁．多少年后，这三个学生年龄的和才同陈老师的年龄相等?
56．三个人的年龄和是75岁，最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁，最小的人是12岁，问三个人的年龄各是多少？
57．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍．求祖孙三人各多少岁?
58．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍，又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍，求：祖父今年是多少岁？
59．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？
60．甲、乙、丙三人现在的年龄和是岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙岁，当乙的年龄是丙的年龄的一半时甲岁．现在甲、乙、丙各几岁？
61．当王力的年龄像李彤现在这么大时，刘强的年龄比王力和李彤他们现在的年龄之和小岁．当刘强像王力现在这么大时，王力的年龄是多少岁？
62．年前姐姐与妹妹的年龄比为，年后姐姐和妹妹的年龄比为，问姐姐和妹妹的年龄差为多少岁？
63．小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（1995年）多少岁？
64．小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（1995年）多少岁？
65．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄．
66．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄。这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄。影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说："我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄。"记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄。同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？
67．有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？
68．甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是岁，甲岁时，乙岁；今年甲岁，丙的年龄是丁的倍．问丁今年的年龄？
**69．**一位一百多岁的老寿星（2001年时），公元年时年龄为岁，此老寿星年是多少岁？
70．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？
71．甲乙丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？
72．甲、乙、丙三人现在的年龄和是岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙岁，当乙的年龄是丙的年龄的一半时甲岁．现在甲、乙、丙各几岁？
**参考答案**
**1．30岁**
**【解析】**这道题有两种解答方法：
方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大（岁）．
列式：
（岁）
方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便．
列式：（岁）
答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁．
**2．6岁**
**【解析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）.**
**3．爸爸39岁，妈妈33岁**
**【解析】**五年后，爸爸比妈妈大岁，即爸妈的年龄差是岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是岁．这样原问题就归结成"已知爸爸、妈妈的年龄和是岁，他们的年龄差是岁，求二人各是几岁"的和差问题．
爸爸的年龄：(岁)
妈妈的年龄：(岁)
4．15年
【解析】今年小宁比妈妈小（岁），那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小宁的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时是妈妈年龄的一半，因此再过（年）．
**5．51岁**
**【解析】6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄．**
**母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)，**
**母子6年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)，**
**母亲6年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)，**
**母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)．**
6．40岁
【解析】今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即"小航今年的年龄" ，小航今年的年龄：（岁）．小航父母今年的年龄和：（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：（岁）．
7．张老师36岁，刘备15岁，张飞12岁，关羽9岁
【解析】张老师刘备张飞关羽，张老师刘备张飞，比较一下这两个条件，很快得到关羽的年龄是9岁；同理可以得到张飞是（岁），刘备是（岁），张老师是（岁）．
8．48岁
【解析】三人现在的年龄和是84岁，12年后的年龄和是（岁），那时父亲（岁），父亲现在（岁）．
**9．31岁**
**【解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：**
**小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），**
**爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），**
**小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．**
**10．爸爸32岁，妈妈32岁，孩子8岁**
**【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8（岁），妈妈的年龄是：8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁.**
11．76岁
【解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。
甲增加岁后，三人总年龄是岁，并且这时丙是甲的倍，甲是乙的倍，丙是乙的倍，所以这时乙的年龄是(岁)，所以丙的年龄是(岁)
12．姐姐22岁，弟弟18岁
【解析】用线段图显示数量关系，可以看出这道题实际上就是和差问题.姐弟俩的年龄差总是（岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁，由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求出姐姐的年龄了.
弟弟的年龄：（岁），姐姐的年龄：（岁）．
13．东东10岁，西西14岁
【解析】东东3年后的年龄等于西西1年前的年龄，说明东东比西西小4岁； 东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，所以今年东东和西西的年龄和是(岁)，今年东东的年龄：(岁)，今年西西的年龄：(岁)．
**14．15岁**
**【解析】**兄弟二人现在的年龄和是27岁，两人的年龄差是（岁），哥哥现在（岁）．
15．彬彬16岁，表弟4岁
【解析】表弟今年年龄的(倍)对应的是：(年)，由此可以求出表弟今年的年龄，使问题得解．(岁)，(岁)．所以表弟今年4岁，彬彬今年16岁．
16．甲28岁，乙21岁
【解析】当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：(岁），所以现在甲年龄为：(岁），乙年龄为：(岁）．
17．李伟24岁，张磊11岁
【解析】由题中"李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等"这个条件我们可以知道李伟比张磊大：（岁）；又由题中"李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁"可以知道他们两人今年的年龄和是：（岁），再根据和差关系就可以解答了．李伟的年龄：（岁），张磊的年龄：（岁）．
18．甲9岁，乙3岁
【解析】甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，也就是甲在3年后的年龄比乙在3年后的年龄多6岁，即甲、乙两人年龄差为6岁．甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，即"甲的年龄+3"就是乙年龄的4倍，刚才已经得到甲、乙两人年龄之差为6岁，所以"甲的年龄+3"与乙年龄之差为，问题就转化为"差倍问题"了．乙年龄为：（岁），甲年龄为：（岁）．
19．23岁
【解析】小慧和刘老师的年龄差是一定的，设为1倍量，那么两人的年龄差是：（岁），所以，刘老师今年的年龄是：（岁）．
20．父亲39岁，儿子6岁
【解析】再过年，父子俩一共长了岁，那时他们的年龄之和是(岁)，由于父亲的年龄是儿子的倍，因而岁相当于儿子年龄的倍，可以先求出儿子年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄．
年后的年龄和为：(岁)
年后儿子的年龄：(岁)
儿子今年的年龄：(岁)，父亲今年的年龄：(岁)
21．父亲41岁，儿子19岁
【解析】由已知条件可以得出，年前父子年龄之和是(岁)，又知道年前父亲的年龄正好是儿子的倍，由此可得：
儿子：(岁)
父亲：(岁)
22．10年
【解析】经过若干年后，他们仨人的年龄和是(岁)，比现在三人的年龄和多：(岁)，所以，要经过(年)
**23．48岁**
**【解析】**三人现在的年龄和是84岁，12年后的年龄和是（岁），那时父亲（岁），父亲现在（岁）．
24．26岁
【解析】王老师比李老师大(岁)．故李老师今年的年龄为(岁)．
25．15岁
【解析】兄弟二人现在的年龄和是27岁，两人的年龄差是（岁），哥哥现在（岁）．
26．36岁
【解析】由"爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄"可以知道，现在爸爸比儿子大：（岁）爸爸与儿子的年龄差已知，此题可转化为：爸爸比儿子大27岁，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？这是一道典型的差倍题．
儿子的年龄是：（岁），爸爸的年龄是：（岁）．
27．15岁
【解析】三人平均年龄是岁时，三人年龄总和为岁，比小华岁时的年龄总和多了岁，每个人都长了岁，若干年后，小华的年龄为岁．
28．父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁
【解析】一家人的年龄和今年与年前比较增加了（岁），而如果按照三人计算年后应增加（岁），只能是小芬少了岁，即小芬年前出生，今年是岁，今年父亲是（岁），今年母亲是（岁）．
**29．父亲34岁，母亲31岁，姐姐5岁，弟弟3岁**
**【解析】**，我们知道四个人四年应该增长了岁，但实际上只增长了岁，是因为在四年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人四年增长了岁，，就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是岁，父母今年的年龄和是(岁)，根据和差问题，就可以得到父亲是：(岁)，母亲是(岁)．
30．3岁
【解析】**因为，所以孩子的年龄小于岁，也就是年前孩子还没有出生，小孩今年的年龄是：(岁)**
**31．**13岁
【解析】再过年毛毛年龄将是泡泡年龄的倍，所以那时泡泡年龄为岁，毛毛为岁，他们今年的年龄总和为岁．
32．35岁
【解析】最小的一个与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁．最小的一个与最大的人年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是，差是．这是一个典型的和差同题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是：(岁)．最小的岁，因此最大的年龄为：(岁)。
33．88岁
【解析】如果最小的比只小岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于岁，而最大的比大岁，这样平均年龄必超过岁；如果最小的比小岁，那么可能还有一人比小岁，但最大的比大岁，而，从而平均年龄仍超过岁；如果最小的比小岁，那么最大的比大岁，两人的平均年龄正好是岁，其他三人如果年龄是、、(或、、)，那么五人平均年龄正好是岁；如果最小的比小岁或小岁，类似前面的分析可知，这时平均年龄必小于岁．因此 ，最大的年龄一定是岁．
34．祖父69岁，父亲41岁，孙子13岁。
【解析】"祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同"这一条件较难理解，可作出示意图，从图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的倍．父亲的年龄为：(岁)，孙子的年龄为：(岁)，祖父的年龄为：(岁)．
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35．甲35岁，乙20岁。
【解析】根据题意画出示意图：
当乙岁时，甲的年龄等于乙现在的岁数，用线段表示，可知甲、乙二人年龄差等于线段；甲、乙现在的岁数差等于，当乙的岁数等于甲现在的岁数(线段表示)，甲将50岁(线段表示)，此时年龄差等于线段，因为年龄差是不变的量，所以,根据图，,所以甲乙二人的年龄差为：(岁)，乙现在的岁数是：(岁)，甲现在的岁数是：(岁)。
36．小鲸鱼11岁，鲸鱼妈妈21岁
【解析】由小鲸鱼说的话，再过它和妈妈的年龄差年，妈妈就岁，由鲸鱼妈妈说的话，在它们的年龄差年前，小鲸鱼只有岁，所以，由到31之间含有个年龄差，所以年龄差为：(岁)，小鲸鱼现在的年龄是：(岁)，鲸鱼妈妈现在的年龄是：(岁)
37．甲28岁，乙21岁
【解析】从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量.
甲对乙说"我在你这么大岁数的时候"，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半.
即 乙~今~年龄差甲~今~ (1)
乙对甲说"我到你这么大岁数的时候"，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7.
即  (2)
把甲乙的对话用下图表示为：
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由(1)得甲今乙今年龄差 (3)
由(2)得 甲今乙今年龄差 (4)
由(3)(4)年龄差(岁)
...
从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差.乙现在的年龄相当3个年龄差.
乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差.甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁.
解：①乙现在年龄：(岁)
②甲现在年龄：(岁)
38．父亲45岁，儿子15岁
【解析】10年前到年后，前后共经过：年，父子应各自比年前增加岁．假设此时父亲的年龄仍然是儿子的倍，父亲的年龄应增加(岁)，要比实际年龄多增加(岁)，而实际倍数相差倍，可以知道这岁就相当于年后儿子年龄的倍．因此，年后儿子的年龄是：(岁)，父亲的年龄是：(岁)，儿子现在的年龄是(岁)，父亲现在的年龄是：(岁)
39．父亲46岁，儿子16岁。
【解析】年前儿子的年龄看做""倍量，父亲的年龄为""倍量，那么年后，（岁），儿子的年龄为""倍量，父亲的年龄是""倍量，而此时儿子年龄的两倍为""倍量，也等于父亲的年龄，所以""倍量（岁），那么""倍量为（岁），所以今年儿子年龄为（岁），父亲年龄为（岁）。
40．父亲25岁，儿子5岁。
【解析】**今年父子的年龄差是儿子的5－1＝4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2－1＝1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4－1）＝5岁，父亲今年是5×5＝25岁．**
41．父亲49岁，儿子21岁。
【解析】年后父子二人年龄和是岁，那么年前父子二人年龄和是(岁)，所以年前儿子的年龄是：(岁)，爸爸的年龄是：(岁)，今年爸爸的年龄是：(岁)，儿子年龄是(岁)
**42．24岁**
**【解析】**由于年龄差不变，设九年前弟弟的年龄为份，则九年前哥哥与弟弟的年龄差为份，而现在的年龄差为倍量，所以对应的是份，所以现在弟弟年龄为份，所以年前弟弟的年龄为岁，则哥哥现在的年龄为岁．
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43．父亲42岁，女儿12岁
【解析】年后爸爸的年龄是小玲的倍，那么两人的年龄差等于小玲当时（年后）的年龄，所以，两人的年龄差等于小玲年前的年龄加岁．年前爸爸的年龄是小玲的倍，所以两人的年龄差等于小玲当时（年前）年龄的倍．由于年龄差是不变的，所以小玲年前的年龄的倍等于，小玲当时（年前）的年龄为：（岁），现在的年龄为：（岁），爸爸现在的年龄为：（岁）．
44．34岁
【解析】方法一：由题意知前年父亲和儿子的年龄比为，后年父亲和儿子的年龄比为，由于年龄差不变，前年年龄差为，后年年龄差为，所以年龄差为.前年父亲和儿子的年龄比为，后年父亲和儿子的年龄比为，设前年父亲和儿子的年龄分别为份，份，则后年父亲和儿子的年龄分别为份，份，因为前年到后年过去了年，恰好是份，所以父亲今年的年龄为（岁）
方法二：设前年儿子的年龄是岁，那么前年父子的年龄差为，那么后年儿子的年龄是岁，父子的年龄差为，年龄差不变，所以，解得，那么前年父亲的年龄是(岁)，今年是(岁)。
45．15年
【解析】设12年前女儿年龄为1份，父亲年龄为11份，则年龄差为10份，由于年龄差不变所以现在的年龄差也应当为10份，而现在年龄差却差2倍，所以1倍为5份，所以父亲现在年龄为15份，女儿年龄为5份，这样12年对应为4份，所以年龄差为10份对应30岁，于是今年女儿年龄为15（岁），父亲年龄为（岁）．
当父亲年龄是女儿年龄的2倍时，父女年龄差是女儿年龄的（倍）．
因此那时女儿年龄即为父女年龄差30岁，
所以再过（年），父亲年龄是女儿年龄的2倍．
46．12岁
【解析】如图所示，用实线段分别表示弟弟和哥哥现在的年龄，两条实线段的长度之差表示年龄差．由于他们的年龄差不变，所以可以在图上确定出当"哥哥的年龄是弟弟现在的年龄"时弟弟的年龄，和当"弟弟的年龄是哥哥现在的年龄"时哥哥的年龄，倍数关系一目了然．
{width="3.2395833333333335in" height="1.1354166666666667in"}
假设"当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍"时弟弟的年龄为份，则弟弟现在的年龄是份，哥哥现在的年龄是份，哥哥和弟弟的年龄差是份．那么"当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时"，哥哥的年龄是份，那么线段代表的年龄是：(岁)．所以弟弟现在的年龄是：(岁)
47．18岁
【解析】假设弟弟当年年龄是份，那么哥哥现在的年龄就是份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是份，那么兄弟现在的年龄和是份，一份就是，哥哥现在是(岁)．
48．哥哥17岁，弟弟12岁
【解析】7岁到22岁之间是3个年龄差，哥哥与弟弟的年龄差为5岁，因此弟弟现在年龄为12岁，哥哥现在年龄为17岁．
**49．甲28岁，乙21岁.**
**【解析】从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说"我在你这么大岁数的时候"，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1）；乙对甲说"我到你这么大岁数的时候"，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2）.**
**把甲乙的对话用下图表示为：**
**由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3）**
**由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4）**
**由（3）（4）年龄差＝7（岁）从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．所以，乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）.**
**50．甲28岁，乙21岁**
**【解析】**
**如图所示，每一段表示甲乙二人的年龄差，根据题意可以得到如上线段图，由当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：63÷（5+4）=7（岁），所以现在甲年龄为：7×4=28（岁），乙年龄为：7×3=21（岁）**
51．25岁
【解析】方法一：
设弟弟今年x岁，哥哥今年y岁，则哥哥与弟弟的年龄差为(yx)岁，弟弟长到哥哥年龄时，相当于长了（yx）岁，到那时弟弟年龄为y岁，哥哥年龄为y（yx）岁，爸爸年龄为50（yx）岁，根据题意列方程得yy（yx）50（yx）,解得*y*25,所以哥哥今年25岁．
方法二：
设a表示当弟弟和哥哥年龄一样时增加的岁数，其实就是哥哥比弟弟大的岁数．
设经过了a年，当弟弟和哥哥的年龄一样时，他们的年龄和就相当于两个哥哥实际的岁数再加上a岁．爸爸的岁数就是实际的岁数加上a岁，抵消a岁．也就是两个哥哥的年龄等于爸爸的年龄．爸爸的年龄是50岁，哥哥的年龄就是25岁．
52．24岁
【解析】今年弟弟的年龄为：（岁），
所以今年哥哥的年龄为（岁）．
53．35岁
【解析】将父母看成一个人，年龄每年增加2岁，兄弟看成一个人每年增加2岁，设父母1年前年龄和是7份，那么1年前兄弟二人的年龄就是1份，后来过了年，兄弟年龄是1份加10，4倍就是4份加40，父母年龄是7份加10，所以1份就是，所以1年前父母和是70，妈妈年龄，妈妈今年35岁。
54．3个.
【解析】**2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍．这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个．最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女．**
55．⑴ 爸爸44岁，女儿11岁.
⑵ 20年后.
⑶ 2年后.
【解析】⑴三年前父女之和是49岁，现在父女年龄和是岁
女儿：，爸爸：
⑵.今年妈妈比小红大(岁)
.当妈妈的年龄是小红的2倍时，妈妈年龄是(岁)
.多少年后妈妈的年龄是小红的2倍?(年)
⑶小光、小亮、小聪的年龄和比陈老师的年龄小(岁)
每过一年，陈老师增1岁，而三个学生共增(岁)，增长的岁数差为(岁)．几年后，老师年龄和她的三个学生年龄和相等呢?4÷2=2(年)
综合算式：(年)
56．12、18、45.
【解析】已知"最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁"，把"其它两个人的年龄和"看成一个数，还知道三个人年龄和是75岁，这便是转化成一个典型的和差问题，最大的人的年龄是：(岁)，其它两人的年龄和是：(岁)，已知最小的年龄是12岁，所以剩下的一人年龄为：(岁)．
57．祖父69岁，父亲41岁，孙子13岁
【解析】"祖父和父亲年龄差与父亲和孙子年龄的差相同"这一条件较难理解，可作出示意图
从图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍．
(1)父亲的年龄：
(岁)
(2)孙子的年龄：
(岁)
(3)祖父的年龄：
(岁)
验算：(祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子的差相同)
(明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍)
58．72岁
【解析】祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍，所以年龄差是小明年龄的5倍，从而是年年差是5的倍数，同理，由"几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍"，"又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍"，知道年龄差是4、3的倍数，所以，年龄差是的倍数.而60的倍数是：60，120，...，合理的选择是60，今年小明的年龄是(岁)，祖父的年龄是(岁).
59．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹12岁.
【解析】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁；
②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁．
根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
（法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系：
，这个二元一次方程组的解为．
如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁．
60．甲8岁，乙15岁，丙27岁.
【解析】假设甲、乙、丙现在的年龄分别为岁、岁、岁，根据题意有：
，解得．
故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁．
61．7岁.
【解析】由题意知，刘强的年龄加上李彤与王力的年龄差，等于王力与李彤的年龄和减去，即，化为．当刘强像王力这么大时，即刘强的年龄减少岁，此时王力的年龄是岁．
62．3岁
【解析】这样年龄差为份，从年前到年后是年，恰好对应份，所以姐姐和妹妹的年龄差为岁.
63．21岁
【解析】设小明出生那年是年，则，从而有．
若，则；若，则．所以必有，．小明今年是或（岁）．
64．21岁
【解析】设小明出生那年是年，则，从而有．
若，则；若，则．所以必有，．小明今年是或（岁）．
65．9岁
【解析】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是 ．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有．
小明的年龄是（岁）．
66．50岁.
【解析】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁.
同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）.
67．32岁
【解析】当甲31岁时，乙是丙年龄的2倍．设这是丙年龄是a岁，则乙年龄是岁，乙、丙年龄的差为．丙22岁时，乙的年龄为岁，正好等于甲、乙年龄之差，即，得，也就是说，甲与丙的年龄差是（岁）．因此，当甲60岁时，丙是（岁）．
**68．8岁**
**【解析】**由"甲岁时，乙岁"可以推知甲比乙大岁，因此当甲岁时，乙就是 岁．由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是岁，甲岁，乙岁，故丙和丁的年龄和就是(岁)．因为丙的年龄是丁的倍，剩下的问题是个和倍问题．以丁的年龄作为倍量，丙的年龄就是倍量，从而两个人的年龄和岁，就是倍量，因此倍量的大小即丁的年龄是：(岁)．
69．109岁
【解析】年，老寿星多岁，说明出生年份是年．在此后的某一年，他的年龄为岁，而那一年恰是公元年．平方大于而小于2001的数在与45之间，这就大大缩小了思考范围，再通过检验就可确定，进而确定老寿星的出生年份及年的岁数．
由于，，所以应在～之间．
而，，，，所以显然不等于、．
若，即年时岁，则出生于年，年岁；
若，即年时岁，出生于年，年岁．
可知比较合乎实际的答案是老寿星年岁．
70．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁
【解析】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁；
②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁．
根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
（法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系：
，这个二元一次方程组的解为．
如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁．
71．32岁
【解析】假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是，再根据甲丙的年龄差可以得到：，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是（岁），，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是（岁）．
**72．甲8岁，乙15岁，丙27岁**
**【解析】**假设甲、乙、丙现在的年龄分别为岁、岁、岁，根据题意有：
，解得．
故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁．
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> **《评选吉祥物》同步练习3**
>
> 一、数一数，按要求做题。
+--------+-----------------+
| > 小鸟 | > √ √ √ |
+--------+-----------------+
| > 兔子 | > √ √ √ √ √ |
+--------+-----------------+
| > 松鼠 | > √ √ √√ √ √ √ |
+--------+-----------------+
| > 鸭子 | > √ √ √√ √ √ |
+--------+-----------------+
> 1．将结果填入下表。
+--------------+--------------+--------------+-------------------------------------------+
| > 小鸟 | > 兔子 | > 松鼠 | > 鸭子 |
+--------------+--------------+--------------+-------------------------------------------+
| > （ ）只 | > （ ）只 | > （ ）只 | > （ ）只\[来源:学。科。网Z。X。X。K\] |
+--------------+--------------+--------------+-------------------------------------------+
> 2．根据统计的结果填空。
>
> （1）松鼠比兔子多（ ）只。
>
> （2）鸭子是（ ）的2倍。
>
> （3）一共有（ ）只小动物。
>
> 二、下面是某班同学最喜欢的动物卡片统计表。
>
> 把整理的结果填在统计表里。
>
> 三、下面是李威调查自己班级12位同学和年龄的身高情况，结果如下。
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 姓 名 | > 年 龄 | > 身 高 | > 姓 名 | > 年 龄 | > 身 高 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 方建宏 | > 8岁 | > 128厘米 | > 吴卫东 | > 8岁 | > 123厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 刘云飞 | > 8岁 | > 130厘米 | > 李佳思 | > 8岁 | > 129厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 李亚萍 | > 9岁 | > 135厘米 | > 陈思维 | > 10岁 | > 136厘米\[来源:学科网\] |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 王子峰 | > 8岁 | > 119厘米 | > 赵 娟 | > 9岁 | > 126厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 陈 影 | > 9岁 | > 132厘米 | > 成亦龙 | > 9岁 | > 131厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
| > 李 霞 | > 10岁 | > 137厘米 | > 王 秋 | > 8岁 | > 120厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+----------+--------------------------+
> 你能帮李威填写下面的统计表吗？
+--------+--------+-------+-------+--------+
| > 年龄 | > 合计 | > 8岁 | > 9岁 | > 10岁 |
+--------+--------+-------+-------+--------+
| > 人数 | > 12 | > | > | |
+--------+--------+-------+-------+--------+
+--------+--------+---------------+----------------------------------------+---------------+
| > 身高 | > 合计 | > 125厘米以下 | > 125厘米---130厘米\[来源:Z§xx§k.Com\] | > 130厘米以上 |
+--------+--------+---------------+----------------------------------------+---------------+
| > 人数 | > 12 | > | > | > |
+--------+--------+---------------+----------------------------------------+---------------+
> 请提出两个数学问题并解答。
\[来源:学科网\]
参考答案：
一．1. 3，5，7，6；
2.（1）2；（2）小鸟；（3）21。
2. 小熊猫，小猫，小猴。 10
3. \[来源:Z&xx&k.Com\]
第一表格：6，4，2；
第二表格：2，4，6；
问1：九岁比八岁少多少人？
答1：2人；
问2：130厘米以上的比125厘米以下的多多少人？
答2：4人。
| 1 | |
**2017年清华大学金秋营数学试题**
{width="5.768055555555556in" height="5.958932633420822in"}
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**理综试卷**
**参考答案**
**Ⅰ卷共21题，每题6分，共126分。**
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D
6．C 7．A 8．C 9．C 10．D
11．B 12．D 13．B 14．B 15．D
16．C 17．A 18．D 19．C 20．B
21．D
**Ⅱ卷共10题，共174分。**
22．（16分）
（1）4.120；
（2）0.986，2.58，5.99；
（3）B
23．（16分）
（1）设物块的质量为*m*，其开始下落处的位置距*BC*的竖直高度为*h*，到达*B*点时的速度为*v*，小车圆弧轨道半径为*R*。由机械能守恒定律，有
①
根据牛顿第二定律，有 ②
解得*h*=4*R* ③
即物块开始下落的位置距水平轨道*BC*的竖直高度是圆弧半径的4倍。
（2）设物块与*BC*间的滑动摩擦力的大小为F，物块滑到*C*点时与小车的共同速度为\
*v*′，物块在小车上由*B*运动到*C*的过程中小车对地面的位移大小为*s*。依题意，小车的质量为3*m*，*BC*长度为10*R*。由滑动摩擦定律，有
④
由动量守恒定律，有 ⑤
对物块、小车分别应用动能定理，有
⑥
⑦
解得 ⑧
24．（18分）
（1）设*ab*上产生的磁感电动势为*E*，回路中的电流为*I*，*ab*运动距离*s*所用时间为*t*，则有
①
②
③
④
由上述方程得 ⑤
（2）设电容器两极板间的电势差为*U*，则有*U*=*IR* ⑥
电容器所带电荷量*q*=*CU *⑦
解得 ⑧
25．（22分）
（1）设一个正离子的质量为*m*，电荷量为*q*，加速后的速度为*v*，根据动能定理，有
①
设离子推进器在△*t*时间内喷出质量为△*M*的正离子，并以其为研究对象，推进器对\
△*M*的作用力为*F*′，由动量定理，有
②
由牛顿第三定律知 *F*′＝*F* ③
设加速后离子束的横截面积为*S*，单位体积内的离子数为*n*，则有
④
⑤
由④、⑤可得
又 ⑥
解得 ⑦
（2）推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作用将严重阻碍正离子的继续喷出。电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。因此，必须在出口*D*处发射电子注入到正离子束，以中和正离子，使推进器获得持续推力。
26．（14分）
（1）N≡N
第4周期，第Ⅷ族
（2）① ③
（3）CH~4~ NH~3~
NH~3~+H~3~O^+^＝NH^+^~4~+H~2~O
（4）3SO~2~+2NO^-^~3~+3Ba^2+^+2H~2~O＝3BaSO~4~？+2NO+4H^+^
SO~2~
27．（19分）
（1）C~4~H~7~O~2~
（2）CH~3~CH~2~COOCH~3~ CH~3~COOCH~2~CH~3~
HCOOCH（CH~3~）~2~ HCOOCH~2~CH~2~CH~3~
（3）取代反应 消去反应
氧化反应
28．（19分）
（1）用导管将A的上口和B相连（或将A换成恒压滴液漏斗）
在G和H之间增加干燥装置
（2）MnO~2~+4H^+^+2Cl^-^＝Mn^2+^+Cl~2~↑+2H~2~O
2S+Cl~2~＝S~2~Cl~2~
（3）饱和食盐水（或水） 浓硫酸
（4）分液漏斗 蒸馏烧瓶 导气、冷凝
（5）产率降低
有固体产生（或其他正确描述）
（6）SCl~2~、Cl~2~、S（任写其中两种即可）
控制浓盐酸的滴速不要过快
29．（14分）
（1）90.00％
（2）SO~3~（g）+H~2~O（l）＝H~2~SO~4~（l）；△*H*＝-130.3 kJ/mol
（3）3.36×10^6^
15
3.43×10^7^
30．（14分）
（1）限制性内切酶和DNA连接酶
（2）具有标记基因；能在宿主细胞中复制并稳定保存
（3）卡那霉素
（4）放射性同位素（或荧光分子）标记的抗虫基因
（5）①非转基因植株
②3：1
③100
31．（22分）
Ⅰ．（12分）
（1）生物群落与无机环境
（2）化能自养细菌（或硝化细菌等）
有核膜包围的细胞核
（3）c
a和b
（4）微生物的分解
Ⅱ．（10分）
（1）不含氮源
（2）有
只有适宜浓度的生长素才能促进该植物枝条生根
（3）③不同稀释浓度的等量滤过液
甲组枝条不生根，乙组部分枝条生根
| 1 | |
> **《评选吉祥物》同步练习**
>
> **1、下表是二（2）班图书角的藏书情况。**
+--------+----------+----------+----------+----------+
| > 种类 | > 连环画 | > 故事书 | > 科技书 | > 其他书 |
+--------+----------+----------+----------+----------+
| > 数量 | > 20本 | > 35本 | > 45本 | > 40本 |
+--------+----------+----------+----------+----------+
> （1）哪种书最多？
>
> （2）图书角的藏书共有多少本？
>
> （3）图书角要买一批新书，你有什么建议？\[来源:学科网ZXXK\]
>
> **2、调查本班同学最喜欢哪一个季节，看下表。**
+--------+-------+-------+-------------------------+------+
| > 季节 | > 春 | > 夏 | > 秋\[来源:Z,xx,k.Com\] | > 冬 |
+--------+-------+-------+-------------------------+------+
| > 人数 | > 17 | > 12 | > 3 | > 6 |
+--------+-------+-------+-------------------------+------+
> （1）本班一共有（ ）人，喜欢（ ）季节的人数最多。
>
> （2）如果组织同学们去游玩，最好应安排在（ ）季节。
>
> （3）你还能提出其他数学问题并解答吗？
>
> **3、丁丁调查班里同学们最喜欢吃的水果，除了丁丁每位同学都选择了一张水果卡片。\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]**
>
> \[来源:学\_科\_网\]
>
> （1）数一数，填一填。
+--------+--------+--------+------+--------+--------+
| > 水果 | > 苹果 | > 橘子 | > 梨 | > 西瓜 | > 草莓 |
+--------+--------+--------+------+--------+--------+
| > 人数 | | | | | |
+--------+--------+--------+------+--------+--------+
> （2）喜欢（ ）的人数最多，喜欢（ ）的人数最少。
>
> （3）丁丁的班级一共有（ ）人。
>
> \[来源:Z\_xx\_k.Com\]
>
> 参考答案：
1.
> （1）科技书；
>
> （2）140本；
>
> （3）买连环画，因为连环画的数量较少，应该均衡图书数量。
2.
> （1）38，春；
>
> （2）春；
>
> （3）问：喜欢哪个季节的同学最少？答：秋季。
3.
> （1）5，9，3，1，4；
>
> （2）橘子，西瓜；
>
> （3）22。
| 1 | |
**湖北省襄阳市2020年中考数学真题**
**一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答**
1.的绝对值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个数的绝对值．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
2.如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：，
平分，
故选．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3.下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故原式错误；
B、，故原式错误；
C、，原式正确；
D、，故原式错误，
故选：C．
【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
4.下列说法正确的是（ ）
A. "买中奖率为的奖券10张，中奖"是必然事件
B. "汽车累积行驶，从未出现故障"是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说"明天的降水概率为"，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．
【详解】A. "买中奖率为的奖券10张，中奖"是随机事件，故不符合题意；
B. "汽车累积行驶，从未出现故障"是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说"明天的降水概率为"，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定．
5.如图所示的三视图表示的几何体是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
分析】
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．\
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视力还原几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．
6.不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为，即可选出答案．
【详解】解：，
解不等式①：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
解不等式②：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
故原不等式组的解集为．
故选A．
【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键．
7.如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
设小马有*x*匹，大马有*y*匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设小马有*x*匹，大马有*y*匹，由题意可得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，列出方程组．
9.已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，故A正确，
四边形是平行四边形，，
不能推出四边形是菱形，故错误，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故C正确，
四边形是平行四边形，，，
四边形是正方形．故D正确．
故选B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
10.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．
**二、填空题：本大题共6个小题，把答案填在答题卡的相应位置上**
11.函数中，自变量的取值范围是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】40°
【解析】
试题解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B==80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C==40°．
13.《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用概率公式即可求解．
【详解】解： 观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根和1根的的情况有3种，
所以P=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等可能事件的概率求解，对于等可能事件发生的概率＝所求情况数与总情况数之比．
14.汽车刹车后行驶的距离*s*与行驶时间*t*（秒）的函数关系是*s*＝15*t*﹣6*t*^2^，汽车从刹车到停下来所用时间是\_\_\_\_\_\_\_秒．
【答案】1.25
【解析】
【分析】
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】∵*s*＝15*t*﹣6*t*^2^＝﹣6（*t*﹣1.25）^2^+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.
15.在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_°．
【答案】120°或60°
【解析】
【分析】
根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=求出∠BOE=60°，即可求出答案.
【详解】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，
∴OB=AB，OC=AC，
∵OB=OC，
∴四边形OBAC是菱形，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵OB=OA，OE=,
∴cos∠BOE=，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOC=∠BAC=120°，
∴∠BFC=∠BOC=60°，
∴ 弦所对的圆周角为120°或60°，
故答案为：120°或60°.
【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.
16.如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点N，连接．若，，则矩形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据折叠的性质以及矩形的性质推导出，故，在中应用勾股定理，得到，即可求解．
【详解】解：由折叠可得：，，，
∴
∵，
且易得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而是得到*AB*和*BF*的比例关系直接求解矩形的面积．
**三、解答题：本大题共9个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内**
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为，求值为．
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式和多项式相乘运算法则求解即可.
【详解】解：原式
．
当时代入：
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及多项式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键
18.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）
【答案】点*E*与点*D*间的距离是358.4米．
【解析】
【分析】
由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，解得（米），
答：点*E*与点*D*间的距离是358.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．
19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【答案】现在每天用水量是8吨．
【解析】
【分析】
设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
【详解】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，
-=3
解得，x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
∴吨，
答：现在每天用水量是8吨．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进行检验．
20.3月14日是国际数学日，"数学是打开科学大门的钥匙．"为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞賽（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为\_\_\_\_\_\_\_\_\_人．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）76；78；（3）720．
【解析】
【分析】
（1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）样本估计总体，样本中不低于80分的占，进而估计1500名学生中不低于80分的人数．
【详解】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：
（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；
（3）1500×=720（人），
故答案为：720．
【点睛】考查扇统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．
（1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【解析】
【分析】
（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【详解】解：（1）把x=1,y=4代入得，
4=，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得
解得
∴y~2~=-2x+6
当y~1~＜y~2~时，从图象看得出：1\<x\<2
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，
∴OM=a，PM=,
∴S~△POM~=
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
22.如图，是⊙O的直径，E，C是上两点，且，连接，，过点C作交的延长线于点D．
（1）判定直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线DC与⊙O相切，理由见解析（2）-
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，则∠ACO＝∠DAC，于是可判断OC∥AD，则根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线；\
（2）连接OE、BC，作CH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到CH＝CD＝，求出△ACH的面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC的面积=△ACHD的面积，再利用S~阴影~=S~梯形OCDE~-S~扇形OCE~=S~△ACD~-S~扇形OCE~= S~△ACH~-S~扇形OCE~，即可得出答案．
【详解】证明：（1）直线DC与⊙O相切．\
理由如下：连接OC，如图，
\
∵\
∴∠EAC＝∠OAC
∵OA＝OC，\
∴∠ACO＝∠OAC，\
∴∠ACO＝∠DAC，\
∴OC∥AD，\
∵CD⊥AE，\
∴OC⊥CD，\
∴DC是⊙O的切线；\
（2）连接OC、OE、CB，过C作CH⊥AB于H，
∵CH⊥AB，CD⊥AE
∴∠ADC=∠AHC，
∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH=，AH=AD，
∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°
∴∠CAH=∠BCH，
又∵∠CHA=∠BHC，
∴△CAH∽△BCH
∴
∴
∴AH=3或1（舍去1）
∴BH= 1
∴S~△ACH~=
在Rt△CHB中，BH=1，HC=
∴∠BCH=30°=∠CAB
∴∠COB=∠EOC=60°
∴S~阴影~=S~梯形OCDE~-S~扇形OCE~=S~△ACD~-S~扇形OCE~= S~△ACH~-S~扇形OCE=~-=-
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、扇形的面积公式及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键，求阴影部分面积时要注意转化思想的应用．
23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．"一方有难，八方支援．"某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【答案】（1）；（2）甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；（3）千克．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式．
（2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量．
（3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值．
【详解】（1）当时，设y=kx，
将（50，1500）代入得1500=50k，
解得k=30，
所以；
当时，设y=k~1~x+b，
将（50，1500）、（70，1980）分别代入得
，
解得：，
所以；
综上；
（2）甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克
①40≤x≤50
w=30x+（100－x）×25
=5x+2500
∵k＞0
∴当x=40时，w有最小值为2700；
②50＜x≤60，
w=24x+300+（100－x）×25，
=﹣x+2800，
∵k＜0，
∴当x=60时w有最小值为2740，
∵2700＜2740，
∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；
（3）由题可设甲为 ，乙为；
当0≤≤50时，即0≤a≤125
则甲的进货价为30元/千克，
×（40－30）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥ ＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去，
当＞50时，即a＞125，
则甲的进货价为24元/千克，
×（40－24）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥＞125 ，
∴a的最小值为
答：a的最小值为，利润不低于1650元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题．
24.在中，，．点D在边上，且，交边于点F，连接．
（1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：\_\_\_\_\_\_\_\_\_．；
（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长．
【答案】（1）①证明见解析，② ；（2）为定值，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）①利用已知条件证明即可得到结论，②先证明利用相似三角形的性质再证明结合相似三角形的性质可得答案；
（2）由（1）中②的解题思路可得结论；
（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由表示 再证明利用相似三角形的性质建立方程求解，即可得到答案．
【详解】证明：（1）①
②推断：
理由如下：
（2）为定值，
理由如下：
由（1）得：
（3） ，
设 则
，
解得：
【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键．
25.如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；（2）四边形面积的最大值为8，点M的坐标为（2，2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）对直线，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B的坐标；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．设点M的横坐标为m，则MF的长可用含m的代数式表示，然后根据S~四边形ABCM~=S~△ABC~+S~△AMC~即可得出S~四边形ABCM~关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形面积的最大值及点M的坐标；
（3）当m＞0时，分旋转后点与点落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点与点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果．
【详解】解：（1）对直线，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴点A坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），
把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴是直线，C（4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0）；
∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示．
设M（m，），则F（m，），
∴，
∴S~四边形ABCM~=S~△ABC~+S~△AMC~
=
，
∵0＜m＜4，
∴当m=2时，四边形面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；
（3）若m＞0，当旋转后点落在抛物线上时，如图2，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m+2，m），
∴，解得：或（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图3，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m，m），
∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；
∴当m＞0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；
若m＜0，当旋转后点落在抛物线上时，如图4，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m，m），
∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图5，线段与抛物线只有一个公共点，
∵点的坐标是（m+2，m），
∴，解得： 或（舍去）；
∴当m＜0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；
综上，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）
文科综合能力测试
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
治沟造地是陕西省延安市对黄土高原的丘陵沟壑区，在传统打坝淤地的基础上，集耕地营造、坝系修复、生态建设和新农村发展为一体的"田水路林村"综合整治模式，实现了乡村生产、生活、生态协调发展（图1）。据此完成1\~3题。
图1
1．与传统的打坝淤地工程相比，治沟造地更加关注
A．增加耕地面积 B．防治水土流失 C．改善人居环境 D．提高作物产量
2．治沟造地对当地生产条件的改善主要体现在
A．优化农业结构 B．方便田间耕作 C．健全公共服务 D．提高耕地肥力
3．推测开展治沟造地的地方
①居住用地紧张 ②生态环境脆弱 ③坡耕地比例大 ④农业生产精耕细作
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
为获得冬季防风、夏季通风的效果，我国东北平原的某城市对一居住区进行了相应的建筑布局规划，规划建筑物为高层（7层以上）和多层（7层或以下）。图2示意在该居住区内规划的两个居住片区、道路、出入口及当地盛行风向。据此完成4\~6题。
图2
4．下列建筑布局中，适合居住片区II的是
①并列排布 ②横向错列排布 ③自由排布 ④纵向错列排布
A．① B．② C．③ D．④
5．相对居住片区II，居住片区I的建筑布局宜
①建筑密度大 ②建筑密度小 ③以高层建筑为主 ④以多层建筑为主
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．该居住区出入口的设计主要是为了避开
A．春季盛行风 B．夏季盛行风 C．秋季盛行风 D．冬季盛行风
利用大型挖泥船将海底岩石搅碎，并将碎石和泥沙一起吹填造地，成为在海中建设人工岛的主要方式。图3示意人工岛地下淡水分布。据此完成7\~8题。
图3
7．参照图3，在造岛物质满足水渗透的前提下，人工岛形成并保持相对稳定的地下淡水区的条件是
①降水充沛且季节分配均匀 ②降水充沛且季节集中 ③人工岛足够长 ④人工岛足够宽
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．人工岛的地下淡水一般不作为日常生产生活水源，主要因为其
A．取水难度大 B．开采周期长 C．水质较差 D．储量较少
岳桦林带是长白山海拔最高的森林带。岳桦林带气候寒冷，生长季短，只有其下部的岳桦才结实（种子）。岳桦结实的海拔上限称为岳桦结实线，岳桦林分布上限即长白山林线。监测表明，20世纪90年代以来，长白山北坡气候持续变暖，岳桦结实线基本稳定；林线的海拔快速提升了70\~80米，但近年趋于稳定。据此完成9\~11题。
9．目前，长白山北坡林线附近的岳桦多为
A．幼树 B．中龄结实树 C．老树 D．各树龄组混生
10．推测20世纪90年代以来，长白山北坡岳桦林带
A．冬季升温幅度小，生长季稳定 B．冬季升温幅度大，生长季延长
C．冬季升温幅度大，生长季稳定 D．冬季升温幅度小，生长季延长
11．在气候变暖背景下，长白山北坡林线近年却趋于稳定，原因可能是
A．降水稳定 B．水土流失量稳定 C．土壤肥力稳定 D．岳桦结实线稳定
12．新冠肺炎疫情发生以后，医用口罩、防护服、消毒液等防疫物资一度紧缺，不少大型制造企业开启了"跨界"生产之路，如某电器集团紧急成立医疗子公司，迅速调整生产计划，很快向市场提供医疗物资生产设备和医用口罩。企业短时间内紧急转产、快速投产，说明
①我国相关制造业有完整灵活的供应链
②市场需求对企业生产有重要导向作用
③企业具有转产防疫产品的前瞻性战略
④企业可以通过转产快速化解市场风险
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
13．为发挥农业保险对支农惠农、促进农业发展的作用，中央财政于2007年开始实施农业保险保费补贴政策。截至2019年底，农业保险累计支付赔款2400多亿元，服务农户数从0．5亿户次增至1．8亿户次，提供的风险保障从0．1万亿元增加到3．6万亿元。农业保险保费补贴政策发挥作用的路径是
①获得财政补贴，降低成本支出
②增加生产投入，促进产业发展
③购买农业保险，支付保险费用
④转移灾害风险，稳定收入预期
A．①→③→④→② B．①→③→②→④
C．③→①→④→② D．③→①→②→④
14．2015年10月，人民币跨境支付系统（CIPS）正式启动。CIPS是由中国人民银行组织开发，为境内外金融机构人民币跨境和离岸业务提供资金清算与结算服务的系统。截至2020年5月末，有96个国家和地区的969家银行接入该系统。CIPS的推广使用表明
①人民币实现跨境自由流动
②人民币国际化进程加速
③人民币在全球可自由兑換
④中国对外贸易结算风险降低
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
信息时代。数据在经济社会生活中的作用越来越重要。据此完成15～16题。
15．2019年10月，《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》首次将数据与劳动、资本、土地等并列，将其列为生产要素。数据被列为生产要素是因为
①数据广泛融入生产过程，具有独特创造力
②数据是最具流动性的基础性资源
②数据的所有权和使用权可以分离
④数据对提高生产效率的作用日益凸显
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
16．在新一轮政府机构改革中，浙江、福建等省成立大数据管理局，负责统筹数据资源建设管理，协调全省政务信息化、电子政务建设，推进信息化发展和大数据融合应用、大数据相关产业发展和行业管理。创新设立大数据管理局旨在
①推动经济转型升级发展 ②保障地方政府依法行政
③改革完善基层行政体制 ④优化地方政府职能配置
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
17．2019年10月26日，十三届全国人大常委会第十四次会议通过《关于国家监察委员会制定监察法规的决定》。根据这一决定，国家监察委员会为执行法律的规定、履行领导地方各级监察委员会职责，可根据宪法和法律，制定监察法规。该决定表明
①全国人大常委会在监察立法工作中发挥主导作用
②全国人大常委会可以授权国家监察委员会制定法规
③国家监察委员会是全国人大行使监督权的职能机构
④国家监察委员会拥有自主制定本部门法律的权力
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
18．国家主席习近平在2019年4月第二届"一带一路"国际合作高峰论坛开幕式上的主旨演讲中，用"万物得其本者生，百事得其道者成"来形容共建"一带一路"。下列选项与"本"和"道"含义不相符的是
A．经济全球化的历史潮流
B．全球治理体系变革的时代要求
C．各国人民过上更好日子的强烈愿望
D．发展中国家实现区域经济一体化的迫切需要
19．家庭联产承包责任制拉开了中国改革开放的序幕，农村改革带来的希望在心底里流淌、在劳动中萌发，文艺工作者的创作激情和灵感在希望的田野上点燃，歌曲《在希望的田野上》由此诞生。如今，这首唱响大江南北的歌已凝结成标示时代巨变的音乐符号，激励着亿万中华儿女奋发进取。这表明
①群众喜闻乐见是评价艺术价值的客观标准
②社会主义文艺要坚持讴歌人民、讴歌劳动
③激情与灵感是艺术创作的源泉与动力
④优秀的文艺作品既要回应时代要求又能引领时代方向
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
20．在数千年发展历程中，亚洲人民创造了辉煌的文化成果。《诗经》《论语》《塔木德》《千零一夜》《聚俱吠陀》《源氏物话》等名篇经典，楔形文字、地图、玻璃、阿拉伯数字、造纸术、印刷木等发明......既独树一帜、各领风骚，又和谐共生、交相辉映，记录了亚洲人民对美好生活的追求，都是人类文明的宝贵财富。从中得到的启示是
①文化的多样性来自于社会生产生活的丰富性
②历史积淀的厚度是衡量文化先进程度的尺度
③丰富多彩的优秀文化是人民群众创造力的集中体现
④文化作为一种精神力量规定了文明发展的进程和趋势
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
21．工业遗产的开发利用是城市转型发展亟待解决的问题。许多城市巧妙利用闲置的厂房和设备，精心打造文创产业园、时尚设计园、爱国主义教育基地等，厂房变成博物馆，仓库改成音乐厅，厂区转为影视基地......工业遗产的"华丽转身"表明
①事物间的联系是客观的，与人的意识无关
②把握联系的多样性是正确认识和有效利用事物的前提
③事物发展的关键在于把事物的内部联系转变为外部联系
④人们可以通过实践调整事物之间原有的联系，建立新的联系
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
22．2019年3月18日，习近平在学校思想政治理论课教师座谈会上强调，青少年阶段是人生的"拔节孕德期"。最需要精心引导和栽培；要给学生心灵埋下真善美的种子，引导学生扣好人生第一粒扣子。因为
①青年学生的价值观决定于其行为选择
②青年学生的价值观一旦形成就会稳定不变
③价值观教有是青年学生健康成长的必修课
④正确价值观是青年学生走好人生道路的重要向导
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
23．广西某山村有许多珍稀鸟类，但一直存在打鸟、捕鸟等现象。近年来，该村引导村民树立"绿水青山就是金山银山"的理念，建设观鸟基地，吸引天南海北的"鸟友"前来参观，以护鸟观鸟、旅游观光、休闲度假为特色的产业蓬勃发展，以前打鸟、捕鸟的村民成为爱鸟、护鸟的"土专家"和良好生态环境的自觉守护者。这表明
①社会意识的发展变化根源于生产生活的发展变化
②不与社会存在同步变化的社会意识是落后的社会意识
③社会意识能够转化为改变社会存在的物质力量
④社会意识能否推动社会发展取决于其是否反映社会存在
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
24．据《史记》记载，春秋时期，楚国国君熊通要求提升爵位等级，遭到周桓王拒绝。熊通怒称现在周边地区都归附了楚国，"而王不加位，我自尊耳""乃自立，为（楚）武王"。这表明当时周朝
A．礼乐制度不复存在 B．王位世袭制度消亡
C．宗法制度开始解体 D．分封制度受到挑战
25．图4为唐代著名画家阎立本的《步辇图》，描绘了唐太宗李世民接见吐蕃使臣的情景。该作品体现了
图4 步辇图
A．西域风情与中土文化的交汇 B．文人意趣与市井风情的杂糅
C．艺术审美与史料价值的统一 D．现实主义与浪漫主义的融合
26．北宋时，宋真宗派人到福建取得占城稻三万斛，令江淮两浙诸路种植，后扩大到北方诸路；宋仁宗时，大、小麦被推广到广南东路惠州等地。南宋时，"四川田土，无不种麦"。这说明宋代
A．土地利用效率提高 B．发明翻车提高了生产力
C．区域经济发展均衡 D．民众饮食结构根本改变
27．清代，纂修宗谱成为一种普遍的社会行为，每部宗谱均有族规、家训，其内容主要包括血缘伦理、持家立业、报效国家等。这表明，宗谱的纂修
A．反映了科举制度的导向作用
B．体现了儒家思想观念
C．维持了士族家庭的血统纯正
D．确立了四民社会结构
28．1876年，英国传教士在上海创办的《格致汇编》设有"互相问答"栏目，其中大多问题是从读者的兴趣、关注点出发的。各类问题所占比例如表1所示。
表1 《格致汇编》"互相问答"栏目各类问题所占比例
-------------------- ---------- ---------- ----------------
应用科学、各种技术 自然常识 基础科学 奇异和其他问题
42．5% 22．8% 17．5% 17．2%
-------------------- ---------- ---------- ----------------
据此可知，当时
A．中体西用思想的传播受到了抑制
B．中外交汇促进维新思想深入发展
C．西学传播适应了兴办实业的需求
D．崇尚科学成为了社会的主流思潮
29．20世纪20年代，中国度量衡的状况是，"同一秤也，有公秤、私秤、米秤、油秤之分别""同一天平也，有库平、漕平、湘平、关平之分别""同一尺也，有海关尺、营造尺、裁衣尺、鲁班尺及京放、海放之分别"。这一状况
A．提高了市场交易的成本 B．加剧了军阀林立的局面
C．造成国民经济结构失衡 D．阻断了商品的大量流通
30．1949年5月，中共中央发出指示："只强调和资本家斗争，而不强调联合愿意和我们合作的资本家......这是一种实际上立即消灭资产阶级的倾向""和党的方针政策是在根本上相违反的"。这指示有利于当时
A．在经济领域实行公私合营 B．接管城市后生产的恢复发展
C．确立国营经济的主导地位 D．对新民主主义政策进行调整
31．1983年，安徽某濒临倒闭的国营制药厂被8个年轻人承包，实行有奖有罚的经济责任制，9个月就盈利12万元。后来安徽省委、省政府从中得到启示，下发通知明确提出，小型国营企业也可以实行承包经营。由此可以看出
A．市场经济体制在全国逐步建立
B．政企职责不分弊端得到解决
C．经济所有制结构开始发生变化
D．企业的经营自主权逐渐扩大
32．雅典城邦通过抽签产生的公民陪审团规模很大，代表不同的公民阶层，负责解释法律、认定事实、审理案件等。而在罗马，通常由专业法官和法学家进行司法解释。由此可见，在雅典城邦的司法实践中
A．职业法官拥有审判权
B．负责司法解释的主体与罗马相同
C．公民直接行使司法权
D．公民陪审团维护所有人的法律权益
33．16世纪的思想家蒙田从教育要培养"完全的绅士"理念出发，强调要注重培养身心和谐发展的"完整的人"，即不仅体魄强健、知识渊博，而且具有良好的判断力和爱国、坚韧、勇敢、关心公益等优秀品质。蒙田的教育主张
A．体现了文艺复兴思想对人的认识
B．推动了资产阶级革命的高涨
C．反映了启蒙运动生而平等的理念
D．摆脱了宗教观念的长期束缚
34．有人描写19世纪六七十年代的巴黎：人们在巴黎内部建立了两座截然不同、彼此敌对的城市，一座是"奢靡之城"，另一座是"悲惨之城"，前者被后者包围。当时"悲惨之城"的形成，主要是因为
A．波旁王朝的苛政 B．资产阶级的贪婪
C．贸易中心的转移 D．教会统治的腐朽
35．1992年，墨西哥签订《北美自由贸易协定》以后，又制定了一系列负面清单，如规定外资占商业银行的投资比例不得高于普通股本的30%，外资不得经营内陆港口、海运及空港等。这些规定旨在
A．发展国家特色产业
B．改善对外贸易的机制和环境
C．保障国家经济安全
D．巩固区域经济集团化的成果
二、非选择题：共160分。第36\~42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第43\~47题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共135分。
36．阅读图文材料，完成下列要求。（22分）
葡萄喜光，耐旱。图5为某坡度较大的地方采用顺坡垄方式种植葡萄的景观。该地位于52°N附近，气候湿润。
图5
（1）当地采用顺坡垄种植葡萄，据此分析该地区的降水特点。（8分）
（2）指出该地种植葡萄宜选择的坡向，并分析与梯田相比，顺坡垄利用光照的优势。（8分）
（3）说明温带半干旱地区坡地耕作不宜采用顺坡垄的理由。（6分）
37．阅读图文材料，完成下列要求。（24分）
形成玄武岩的岩浆流动性好，喷出冷凝后，形成平坦的地形单元。如图6所示，某海拔500米左右的玄武岩台地上，有较多海拔700米左右的玄武岩平顶山，及少量海拔900米左右的玄武岩尖顶山。调查发现，构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩分别形成于不同喷发时期。
（1）指出玄武岩台地形成以来因流水侵蚀而发生的变化。（6分）
（2）根据侵蚀程度，指出构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩形成的先后次序，并说明判断理由。（12分）
（3）说明玄武岩台地上有平顶山、尖顶山分布的原因。（6分）
38．阅读材料，完成下列要求。（14分）
材料一
图7 2013\~2019年我国最终消费支出对GDP增长贡献率和居民恩格尔系数的变化
材料二
2019年11月，第二届中国国际进口博览会在上海举行，共有155个国家(地区)、26个国际组织、3893家企业参加，超过50万名境内外专业采购商到会洽谈采购，累计意向成交额711.3亿美元。进博会设置装备、食品、医药、健康、服务等展区，与大众品质生活的消费密切相关：从新抗癌药到智能化的医疗设备，从体现绿色概念的护肤品到高科技垃圾粉碎机，从可穿戴外骨骼机器人到有助于创建"养老型城市"的康养产品等，集中反映了当前消费的新热点、新趋势。
(1)解读材料一包含的经济信息。(4分)
(2)结合材料并运用经济知识，说明消费变化对我国生产将产生的重要影响。(10分)
39．阅读材料，完成下列要求。(12分)
《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》要求深化村民自治实践，"坚持自治为基，加强农村群众性自治组织建设，健全和创新村党组织领导的充满活力的村民自治机制"。
某地探索创新村民自治机制，形成"四会管村"模式。村党支部委员会根据村民自治有关规定，讨论决定旧村改造事项并提出要求。5个村民小组组长挨家挨户走访村民，汇集村民意见建议300多条，初步估算总投资上亿元。村民议事会经过反复商议，形成两套改造安置方案。第一套方案经费投入较多，涉及村头大树和祠堂的保留利用;第二套方案现代时尚，且相对省钱。两套方案并报村民代表大会投票表决， 第一套方案获得通过。在全体村民的积极支持配合下，村民委员会精心组织实施，不到两个半月，378户、10万平方米的旧房全部顺利拆迁完毕。
运用政治生活知识说明"四会管村"实现村民自治的工作机制及其意义。
40．阅读材料，完成下列要求。(26分)
在抗击新冠肺炎疫情过程中，国家卫生健康委组织专家对医疗救治工作不断进行分析、研判、总结，先后制修订和发布7版新冠肺炎诊疗方案，为保卫人民生命健康提供了重要保障。第1版方案较简单，主要包括病原学特点、病例特点、病例定义、鉴别诊断、病例发现与报告、治疗等方面内容。第3版方案细化了中医治疗方案等内容。第7版方案增加病理改变内容，增补和调整临床表现、诊断标准、治疗方法和出院标准等，并纳入无症状感染者可能具有感染性、康复者恢复期血浆治疗等新发现，形成了包括13个方面内容的比较完整的诊疗体系。
中医药是中国人民在几千年生产生活实践中创造的，是中华文化的瑰宝，在抗击新冠肺炎疫情中彰显了独特的价值和魅力。坚持中西医结合、中西药并用，发挥中医药治未病、辩证施治、多靶点干预的独特优势，全程参与深度介入疫情防控，形成了覆盖诊疗过程的中医诊疗规范和技术方案，在全国推广使用，有效降低了发病率、转重率、病亡率，提高了治愈率，加快了恢复期康复。中医药还走出国门助力全球抗疫，中方专家线上线下与日本、韩国、意大利、柬埔寨等国专家分享救治经验，将新冠肺炎中医药诊疗方案译成英文并发布在国家卫生健康委网站与世界各国共享。
(1)诊疗方案的变化反映了对新冠肺炎认识的发展，运用认识论原理加以分析。(12 分)
(2)结合材料并运用文化生活知识，说明弘扬中医药文化对于坚定文化自信的作用。(10分)
(3)请就如何发挥中医药在"健康中国"建设中的作用提两条建议。(4分)
41．阅读材料，完成下列要求。（25分）
材料一
20世纪50年代，中国与民主德国的关系良好，贸易和文化交往十分频繁。与此同时，中国与联邦德国之间处于对立状态。1955年，联邦德国与苏联建交后，中国逐步推动与联邦德国的民间往来。60年代，随着中苏关系日益紧张，中国与民主德国关系降到了冰点。70年代初，联邦德国调整"新东方政策"，决定改善与中国的关系。1972年10月，两国外长在北京签署建立外交关系的公报，决定互派大使。此后，两国的交流活动迅速升温。
------摘编自刘德斌主编《国际关系史》等
材料二
1993年，德国实施"新亚洲政策"，十分重视发展与中国的关系。德国企业认为在中国"差不多所有行业都有前景"，纷纷进军中国市场。1998年，德国总理施罗德将实现外交政策"正常化"作为重要目标，对外不依附于任何国家，谋求世界政治大国地位，并与中国共同"推动世界经济出现多元认同"。中国认为加强中德在多极化世界中的合作，有利于提高各自国际地位，扩大各自在国际上的活动余地，并促进世界和平、安全和稳定。2004年，中德在中欧全面战略伙伴关系框架内建立"具有全球责任的中德战略伙伴"关系，中德关系发展到了新的高度。
------摘编自吴友法《德国现当代史》等
（1）根据材料一并结合所学知识，概述20世纪50\~70年代中国与民主德国、联邦德国关系的变化及其原因。（10分）
（2）根据材料二并结合所学知识，简述中德建立战略伙伴关系的历史条件。（9分）
（3）根据材料并结合所学知识，简析20世纪70年代以来中德关系发展的历史启示。（6分）
42．阅读材料，完成下列要求。（12分）
材料
关于宋代历史，海内外学者著述颇丰，叙述各有侧重，如《儒家统治的时代：宋的转型》《中国思想与宗教的奔流：宋朝》《宋史：文治昌盛与武功弱势》等，这些书名反映了作者对时代特征的理解。
结合所学知识，就中国古代某一历史时期，自拟一个能够反映其时代特征的书名，并运用具体史实予以论证。(要求：论证充分，史实准确，表述清晰。)
（二）选考题：共25分。请考生从2道地理题、3道历史题中每科任选一题作答。并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按每科所答第一题评分；多答按每科所答第一题评分。
43．\[地理------选修3：旅游地理\]（10分）
景泰蓝制作是北京市地方传统技艺，已入选国家非物质文化遗产名录。近年来，北京市某企业依托其景泰蓝艺术博物馆、景泰蓝制作技艺互动体验中心以及工厂店，在夏秋季节每周五、周六17时至22时，举办"景泰蓝文化体验之夜"活动，吸引众多的市民与游客前来观光和互动。
简述举办"景泰蓝文化体验之夜"活动的旅游价值。
44．\[地理------选修6：环境保护\]（10分）
高原鼠兔多穴居于植被低矮的高山草甸地区，因啃食植物曾被看作是引起高山草向退化的有害动物而被大量灭杀。土壤全氮含量是衡量土壤肥力的重要指标。通常土壤肥力越高，植被生长越好，生态系统抗退化能力越强。图8示意青藏高原某典型区域高原鼠兔有效洞口（有鼠兔活动）密度与土壤全氮含量的关系。
图8
分析高原鼠兔密度对高山草甸退化的影响，并提出防控高原鼠兔的策略。
45．\[历史------选修1：历史上重大改革回眸\]（15分）
材料
表2 清末新政时期部分商务法规、章程内容
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 商会简明章程(1904年) | 商务繁富之区设立商务总会，商务发达稍次之地则设商务 |
| | |
| | 分会。 |
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| 商人通例(1904年) | 肯定商人的地位，规定享有的权利和应遵循的通行规则等。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 公司律(1904年) | 规定公司的创办程序、组织形式与经营方式，商办公司与 |
| | |
| | 官办公司、官商合办公司"享一体保护之利益"。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 奖给商勋章程(1906年) | 凡制造新式机器者，奖以三等至一等商勋，赏加四品至二 |
| | |
| | 品顶戴。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 华商办理农工商实业爵赏章程(1907年) | 凡集股创办企业的华商，根据资本额多少，可分别获一、 |
| | |
| | 二、三等子爵和三品卿、四品卿爵赏。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
------摘编自朱英《晚清经济政策与改革措施》等
（1）根据材料，概括清末新政在振兴商务方面采取的措施。（6分）
（2）根据材料并结合所学知识，简析材料中的法规、章程对传统商业的突破性意义。（9分）
46．\[历史------选修3：20世纪的战争与和平\]（15分）
材料
巴黎和会上，瓜分土耳其的中东阿拉伯领地时，法国坚持要占有包括黎巴嫩、巴勒斯坦、摩苏尔在内的大叙利亚。英国反对，认为大叙利亚的面积过大。即使法国放弃对巴勒斯坦和摩苏尔的要求后，英国仍不同意大叙利亚计划，逼得法国总理克里孟梭说，这样一来"留给劳合·乔治选择的只有枪或剑了"。
关于如何处置战败国德国的殖民地和土耳其的中东阿拉伯领地，各主要国家接受了美国总统威尔逊倡议的"十四点原则"中的委任统治主张。即实行委任统治是因为"其居民尚不能自立"，接受委任统治的国家也就是接受了为"此等人民之福利及发展"的"文明之神圣任务"。
------摘编自廑等主编《世界史》
（1）根据材料并结合所学知识，概括英法发生的争执及其实质。（7分）
（2）根据材料并结合所学知识，围绕英法争执，评价威尔逊的委任统治主张。（8分）
47．\[历史------选修4：中外历史人物评说\]（15分）
材料
苏绰（498\~546），武功（今陕西扶风）人。他"博览群书，尤善算术"，深受西魏执政者宇文泰信任，委以政事。西魏立国之初，疆域狭小，民族关系复杂，经济文化落后。为强国富民，苏绰建议减官员、置屯田，并创"朱出墨入，及计帐、户籍之法"，为后世财政、会计领域长期沿用。他又制定"六条诏书"，包括先治心、敦教化、尽地利、擢贤良、恤狱讼、均赋役等内容，宇文泰"甚重之，常置诸座右。又令百司习诵之。其牧守令长，非通六条及计帐者，不得居官"。通过"六条诏书"等改革，西魏成功凝聚起民心，由弱变强，为后来北周统一北方乃至隋统一全国奠定了基础。苏绰"性俭素，不治产业......常以天下为己任，博求贤俊，共弘治道，凡所荐达，皆至大官"。在"积思劳倦"十余年后，苏绰因病去世，宇文泰"痛惜之，哀动左右"。
------据《周书》
（1）根据材料，简析苏绰被宇文泰倚重的原因。（8分）
（2）根据材料并结合所学知识，概括"六条诏书"的历史意义。（7分）
参考答案
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C B A D B D A C D A
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
C D B B A D C B C D B D
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
C A B C A B D C A B C
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36.（1）顺坡垄不利于保水保土(灌溉不便)。因此，该地区降水应具有以下特点：降水频率高(经常降雨)，强度小(少暴雨或每次降雨量较小) ，降水量季节分配较均匀。
（2）葡萄喜光。种植葡萄宜选择向阳坡(或用方位表示的阳坡，如南坡)。该地纬度高，太阳低(正午太阳高度小)。与梯田相比，顺坡垄接受阳光照射的角度较大，植株和垄接受光照的面积较大。
（3）温带半干旱地区偶有暴雨，种植作物需要灌溉，而坡地顺坡垄不利于保水保士。
37.（1）台地被流水侵蚀、切割，起伏加大，面积变小。
（2）形成的先后次序：构成尖顶山的玄武岩、构成平顶山的玄武岩、构成台地的玄武岩。
理由：地貌侵蚀程度越严重，说明岩石暴露时间越长，形成时间越早。台地受侵蚀轻，构成台地的玄武岩形成时间最晚；平顶山保留台地的部分特征，构成平顶山的玄武岩形成时间较晚；尖顶山已经没有台地的特征，构成尖顶山的玄武岩形成时间最早。
（3）早中期喷出的岩浆冷凝成玄武岩台地后，大部分被侵蚀，残留的部分为山体。最新（晚）一期喷出的岩浆未能完全覆盖残留山体，冷凝成玄武岩台地，其上仍保留了原有山体。
38．（1）最终消费对GDP增长贡献率总体呈上升趋势，消费是我国经济增长的重要动力；居民恩格尔系数逐年下降，我国消费结构不断优化。
（2）消费的强勤势头，拉动经济增长，促进生产发展；消费结构的优化，带动生产与产业结构转型升级，促使产品质展提升；消费的新热点、新趋势，激发生产供给改革与技术创新，促进新产业新业态的出现和成长。
39．机制：党的领导、民主管理和依法办事有机结合；党支部领导统筹，村民议事会协商方案，村民代表大会民主决策，村民委员会组织实施。
意义：坚持村党支部的领导，有效汇集村民的意见建议，保障村民依法行使民主权利；提高民事民办、民事民管效能，提升村民自治能力。
40．（1）实践是认识的基础，对复杂事物的正确认识往往要经过从实践到认识、再从认识到实践的多次反复才能完成；真理是具体的、历史的，是一个不断发展的无限过程。诊疗方案的变化，反映了对新冠肺炎的认识以诊疗实践为基础，是一个从不深刻到比较深刻、从不全面到比较全面的不断完善的过程，是一个指导诊疗实践又不断接受诊疗实践检验的过程。
（2）中医药文化是中华文化的重要组成部分，是中华民族生命力创造力的生动体现，是中国人民在长期医疗实践中创造的宝贵精神财富。总结中医药在抗击疫情中的成功运用经验，弘扬中医药文化，能够繁荣发展中华文化，满足群众健康需求、保卫人民生命安全，丰富人类医学文化多样性、促进世界文明发展进步。
（3）普及中医药文化；推动中医药产业高质量发展；培养更多中医药人才。
41．（1）变化：中国与民主德国从交往密切到降温、冷淡，与联邦德国从对立到实现关系正常化。
原因：50年代，在冷战格局下，中国和民主德国同属社会主义阵营，联邦德国外交依附美国；中苏关系恶化，民主德国紧跟苏联；中国与美国关系逐步走向正常化，联邦德国调整对中国的政策。
（2）中国改革开放，经济发展迅速，市场潜力巨大，国际影响力显著提高，积极参与国际事务；德国统一，经济发达，对中国市场有巨大需求，寻求政治大国地位；两国都积极推动世界多极化。
（3）坚持发展经济，增强国家实力；坚持独立自主，以和平共处五项原则为处理国际关系的基本准则；求同存异，摒弃冷战思维；奉行多边外交，推动全球化。
42．略
43.通过延长旅游活动时间，充分挖掘旅游项目与旅游产品的经济价值，增加旅游业收入;带动交通、餐饮、购物等相关产业的发展，提供更多的就业岗位。丰富市民与游客的夜间文化生活；增强市民与游客对景泰蓝技艺的了解，有利于（非物质文化遗产）景泰蓝技艺的保护、传承与发展。
44.合适的高原鼠兔密度，能够维系土壤肥力，促进高山草甸生长，使之不易退化；密度过大时，大量啃食植被，土壤肥力下降，引起高山草甸退化；密度过小时，高原鼠兔对维持高山草甸的氮循环贡献小，土壤肥力较低，高山草甸易退化。把高原鼠兔数量（密度）控制在合适范围之内，而不是全面灭杀。
45．（1）广泛组织商会；制定商律，保护商人开办公司的各项权益；对商人授予商勋和爵位。
（2）否定了抑商政策，提高了商人的社会地位；动摇了传统义利观；突破了旧式商业组织的束缚。
46．（1）争执：法国提出大叙利亚计划，遭到英国反对；法国不惜以武力威胁。
实质：帝国主义国家争夺殖民地。
（2）被纳入国联盟约，暂时解决了英法争执；没有根本解决列强之间矛盾；暴露了美国意图领导世界的野心；并未改变殖民统治的实质。
47．（1）才能超群，尤善理财；政绩卓著；克己奉公；推荐人才。
（2）为官员建立了行为规范；促进了经济发展，推动了统一；凝聚起民心，促进和推动了民族融合。
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学（必修+选修Ⅱ）**
**本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷**
**考生注意：**
**1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．**
**2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．**
**3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
3．在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，且为正实数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．若直线通过点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学（必修选修Ⅰ）**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．**
**2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．**
**3．本卷共10小题，共90分．**
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
**（注意：在试题卷上作答无效）**
13．13．若满足约束条件则的最大值为 [ ]{.underline} ．
14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 [ ]{.underline} ．
15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 [ ]{.underline} ．
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 [ ]{.underline} ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
所在
--- --- ---
ξ 2 3
P
--- --- ---
21．（本小题满分12分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**文科基础**
**参考答案**
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 D A B B C C B A C D A A C D A
题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 D C B B A B C D B C D C D B A
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
答案 B C D A D B B D C C B B D A B
题号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
答案 C D B A C C D D B C D D C A C
题号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
答案 D B A D C B C A C C D C D B A
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注意：只是参考答案，非官方正式公布的标准答案，仅供参考。
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**2013年上海市春季高考数学试卷**
**一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．**
1．（3分）函数y=log~2~（x+2）的定义域是[ ]{.underline}．
2．（3分）方程2^x^=8的解是[ ]{.underline}．
3．（3分）抛物线y^2^=8x的准线方程是[ ]{.underline}．
4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是[ ]{.underline}．
5．（3分）已知向量，．若，则实数k=[ ]{.underline}．
6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是[ ]{.underline}．
7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是[ ]{.underline}．
8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=[ ]{.underline}．
9．（3分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，异面直线A~1~B与B~1~C所成角的大小为[ ]{.underline}．
10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S~n~=[ ]{.underline}．
12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2^2^×3^2^，所以36的所有正约数之和为（1+3+3^2^）+（2+2×3+2×3^2^）+（2^2^+2^2^×3+2^2^×3^2^）=（1+2+2^2^）（1+3+3^2^）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为[ ]{.underline}．
**二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．**
13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）设f^﹣1^（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ）
A．f^﹣1^（2）=2 B．f^﹣1^（2）=4 C．f^﹣1^（4）=2 D．f^﹣1^（4）=4
15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．ab＜b^2^ C．﹣ab＜﹣a^2^ D．
18．（3分）若复数z~1~，z~2~满足z~1~=，则z~1~，z~2~在复数平面上对应的点Z~1~，Z~2~（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
19．（3分）（1+x）^10^的二项展开式中的一项是（ ）
A．45x B．90x^2^ C．120x^3^ D．252x^4^
20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）
A．Z∪∁~U~N B．N∩∁~U~N C．∁~U~（∁~u~∅） D．∁~U~{0}
23．（3分）已知a，b，c∈R，"b^2^﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
**三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．**
25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AA~1~=6，异面直线BC~1~与AA~1~所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
27．（8分）已知数列{a~n~}的前n项和为S，数列{b~n~}满足b，求．
28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F~1~（﹣1，0）、F~2~（1，0），短轴的两个端点分别为B~1~，B~2~
（1）若△F~1~B~1~B~2~为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F~2~的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
29．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P~n~在x轴上，其横坐标为x~n~，且{x~n~} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P~n~AP~n+1~=θ~n~，n∈N^\*^．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θ~n~的最大值及相应n的值．
31．（18分）已知真命题："函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形"的充要条件为"函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数"．
（1）将函数g（x）=x^3^﹣3x^2^的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；
（3）已知命题："函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象"的充要条件为"存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数"．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
**2013年上海市春季高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．**
1．（3分）函数y=log~2~（x+2）的定义域是[ （﹣2，+∞） ]{.underline}．
【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可．
【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2，
所以函数的定义域为（﹣2，+∞）．
故答案为：（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题．
2．（3分）方程2^x^=8的解是[ 3 ]{.underline}．
【分析】由已知条件2^x^=8=2^3^，可得x=3，由此可得此方程的解．
【解答】解：由2^x^=8=2^3^，可得x=3，即此方程的解为3，
故答案为 3．
【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题．
3．（3分）抛物线y^2^=8x的准线方程是[ x=﹣2 ]{.underline}．
【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，即可得到抛物线的准线方程．
【解答】解：∵抛物线的方程为y^2^=8x
∴抛物线以原点为顶点，开口向右．
由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2
故答案为：x=﹣2
【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是[ 2π ]{.underline}．
【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是 ，运算可得结果．
【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是 ==2π，
故答案为 2π．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
5．（3分）已知向量，．若，则实数k=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．
【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x~1~y~2~﹣x~2~y~1~=0．
6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是[ 5 ]{.underline}．
【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．
【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）
故函数的最大值为5，
故答案为5．
【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．
7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用模长公式\|z\|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模．
【解答】解：∵复数2+3i，
∴2+3i的模 =．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题．
8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=[ 7 ]{.underline}．
【分析】根据余弦定理b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，代入题中的数据得b^2^=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．
【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，
∴根据余弦定理，得
b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49
解之得b=7（舍负）
故答案为：7
【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
9．（3分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，异面直线A~1~B与B~1~C所成角的大小为[ 60° ]{.underline}．
【分析】连接A~1~D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA~1~D即为异面直线A~1~B与B~1~C所成的角，连接BD后，解三角形BA~1~D即可得到异面直线A~1~B与B~1~C所成的角．
【解答】解：连接A~1~D，由正方体的几何特征可得：A~1~D∥B~1~C，
则∠BA~1~D即为异面直线A~1~B与B~1~C所成的角，
连接BD，易得：
BD=A~1~D=A~1~B
故∠BA~1~D=60°
故答案为：60°
【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA~1~D即为异面直线A~1~B与B~1~C所成的角，是解答本题的关键．
10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
【分析】先求对立事件"选出的3人中只有男同学或只有女同学"的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．
【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，
则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．
11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S~n~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设等差数列的前n项和S~n~=an^2^+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和S~n~的解析式．
【解答】解：设等差数列的前n项和S~n~=an^2^+bn，则由题意可得 ，解得 ，
故数列的前n项和S~n~=，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题．
12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2^2^×3^2^，所以36的所有正约数之和为（1+3+3^2^）+（2+2×3+2×3^2^）+（2^2^+2^2^×3+2^2^×3^2^）=（1+2+2^2^）（1+3+3^2^）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为[ 4836 ]{.underline}．
【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2^4^×5^3^，所以2000的所有正约数之和为（1+2+2^2^+2^3^+2^4^）（1+5+5^2^+5^3^），即可得出答案．
【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：
2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2^4^×5^3^，
所以2000的所有正约数之和为（1+2+2^2^+2^3^+2^4^）（1+5+5^2^+5^3^）=4836．
可求得2000的所有正约数之和为 4836．
故答案为：4836．
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
**二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．**
13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．
【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，
由题意得，=ad﹣bc．
故选：B．
【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．
14．（3分）设f^﹣1^（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ）
A．f^﹣1^（2）=2 B．f^﹣1^（2）=4 C．f^﹣1^（4）=2 D．f^﹣1^（4）=4
【分析】本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵f^﹣1^（x）为函数f（x）=的反函数，
∴f^﹣1^（x）=x^2^，（x≥0），
∴f^﹣1^（2）=4，f^﹣1^（4）=16，
故选：B．
【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．
15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，
所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2）
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．
16．（3分）函数f（x）=的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．
【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；
又f（x）的定义域为（0，+∞），
故排除选项D，
故选：A．
【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．
17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．ab＜b^2^ C．﹣ab＜﹣a^2^ D．
【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．
【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得 =﹣1，∴，故A不正确．
可得ab=2，b^2^=1，∴ab＞b^2^，故B不正确．
可得﹣ab=﹣2，﹣a^2^=﹣4，∴﹣ab＞﹣a^2^，故C不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．
18．（3分）若复数z~1~，z~2~满足z~1~=，则z~1~，z~2~在复数平面上对应的点Z~1~，Z~2~（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
【分析】由题意可得z~1~，z~2~的实部相等，虚部互为相反数，故z~1~，z~2~在复数平面上对应的点Z~1~，Z~2~关于x轴对称．
【解答】解：若复数z~1~，z~2~满足z~1~=，则z~1~，z~2~的实部相等，虚部互为相反数，故z~1~，z~2~在复数平面上对应的点Z~1~，Z~2~关于x轴对称，
故选：A．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．
19．（3分）（1+x）^10^的二项展开式中的一项是（ ）
A．45x B．90x^2^ C．120x^3^ D．252x^4^
【分析】根据（1+x）^10^的二项展开式的通项公式为 T~r+1~=•x^r^，即可得出结论．
【解答】解：（1+x）^10^的二项展开式的通项公式为 T~r+1~=•x^r^，故当r=3时，此项为120x^3^，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题．
20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论．
【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C．
由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件．
由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，）上是减函数，在（，π）上是增函数，故不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】设两个球的半径分别为r~1~、r~2~，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
【解答】解：设两个球的半径分别为r~1~、r~2~，根据球的表面积公式，
可得它们的表面积分别为S~1~=4，S~2~=4
∵两个球的表面积之比为1：4，
∴===，解之得=（舍负）
因此，这两个球的体积之比为==（）^3^=
即两个球的体积之比为1：8
故选：C．
【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．
22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）
A．Z∪∁~U~N B．N∩∁~U~N C．∁~U~（∁~u~∅） D．∁~U~{0}
【分析】根据题目中条件"全集U=R"，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．
【解答】解：∵全集U=R，
∴Z∪∁~U~N=R，N∩∁~U~N=∅，∁~U~（∁~u~∅）=∅，∁~U~{0}={x∈R\|x≠0}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．
23．（3分）已知a，b，c∈R，"b^2^﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充要条件的定义可知，只要看"b^2^﹣4ac＜0"与"函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方"能否相互推出即可．
【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
则a＞0且△=b^2^﹣4ac＜0．
但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax^2^+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b^2^﹣4ac＜0；
反之，"b^2^﹣4ac＜0"并不能得到"函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方"，如a＜0时．
从而，"b^2^﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax^2^+bx+c的图象恒在x轴上方"的既非充分又非必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．
24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，
设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；
因为=λ•，
所以y^2^=λ（x+a）（a﹣x），
即λx^2^+y^2^=λa^2^，当λ=1时，轨迹是圆．
当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；
当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．
当λ=0时，是直线的轨迹方程；
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选：D．
【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．
**三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．**
25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AA~1~=6，异面直线BC~1~与AA~1~所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
【分析】因为 CC~1~∥AA~1~．根据异面直线所成角的定义得∠BC~1~C为异面直线BC~1~与AA~1~所成的角，从而∠BC~1~C=．在Rt△BC~1~C中，求得BC，从而求出S~△ABC~，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积．
【解答】解：因为 CC~1~∥AA~1~．
所以∠BC~1~C为异面直线BC~1~与AA~1~所成的角，即∠BC~1~C=．
在Rt△BC~1~C中，BC=CC~1~tan∠BC~1~C=6×=2，
从而S~△ABC~==3，
因此该三棱柱的体积为V=S~△ABC~×AA~1~=3×6=18．
【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，
以，，求得BF=50﹣，
从而y=BF•FP=（50﹣）•x
=﹣
=﹣
≤500．
当且仅当x=20时，等号成立．
答：该健身房的最大占地面积为500平方米．
【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
27．（8分）已知数列{a~n~}的前n项和为S，数列{b~n~}满足b，求．
【分析】先由S~n~求出a~n~，进而得到b~n~，由b~n~的表达式可判断数列{b~n~}是无穷等比数列，从而可得答案．
【解答】解：当n≥2时，=﹣2n+2，
且a~1~=S~1~=0，所以a~n~=﹣2n+2．
因为=，所以数列{b~n~}是首项为1、公比为的无穷等比数列．
故==．
【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据S~n~与a~n~的关系求出a~n~．
28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F~1~（﹣1，0）、F~2~（1，0），短轴的两个端点分别为B~1~，B~2~
（1）若△F~1~B~1~B~2~为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F~2~的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
【分析】（1）由△F~1~B~1~B~2~为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a^2^=b^2^+c^2^可求a^2^，b^2^，则椭圆C的方程可求；
（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F~2~的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．
根据题意知，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）由2b=2，得b=1，所以a^2^=b^2^+c^2^=2，得椭圆C的方程为．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
由，得（2k^2^+1）x^2^﹣4k^2^x+2（k^2^﹣1）=0．
设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），则
，
因为，所以，即
=
=
=，解得，即k=．
故直线l的方程为或．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．
29．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程；
（2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q^′^的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q^′^在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标．
【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x~A~，y~A~），则，
因为F的坐标为（1，0），所以，
由，得（x﹣x~A~，y﹣y~A~）=﹣2（x~A~﹣1，y~A~）．
即，解得
代入y^2^=4x，得到动点P的轨迹方程为y^2^=8﹣4x．
（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q^′^（x，y），
则，解得．
若Q^′^在C上，将Q^′^的坐标代入y^2^=4x，得4t^2^+15t=0，即t=0或．
所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（）．
【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题．
30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P~n~在x轴上，其横坐标为x~n~，且{x~n~} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P~n~AP~n+1~=θ~n~，n∈N^\*^．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θ~n~的最大值及相应n的值．
【分析】（1）利用{x~n~} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；
（2）表示出tanθ~n~=tan（∠OAP~n+1~﹣∠OAP~n~），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x~n~=2^n﹣1^．
由，知，
而tanθ~3~=tan（∠OAP~4~﹣∠OAP~3~）==，
所以，解得t=4或t=8．
故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．
（2）由题意，点P~n~的坐标为（2^n﹣1^，0），tan∠OAP~n~=．
∴tanθ~n~=tan（∠OAP~n+1~﹣∠OAP~n~）==．
因为≥，所以tanθ~n~≤=，
当且仅当，即n=4时等号成立．
∵0＜θ~n~＜，y=tanx在（0，）上为增函数，
∴当n=4时，θ~n~最大，其最大值为．
【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．
31．（18分）已知真命题："函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形"的充要条件为"函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数"．
（1）将函数g（x）=x^3^﹣3x^2^的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；
（3）已知命题："函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象"的充要条件为"存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数"．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）^3^﹣3（x+1）^2^+2，整理得y=x^3^﹣3x，由于函数y=x^3^﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．
（2）设h（x）= 的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题："函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象"的充要条件是"函数y=f（x+a）是偶函数"．
【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）^3^﹣3（x+1）^2^+2，整理得y=x^3^﹣3x，
由于函数y=x^3^﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）．
（2）设h（x）= 的对称中心为P（a，b），
由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．
设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=﹣b，
即f（x）=．
由不等式的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．
此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．
任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，
所以函数h（x）= 图象对称中心的坐标是（2，1）．
（3）此命题是假命题．
举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，
但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．
修改后的真命题："函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象"的充要条件是"函数y=f（x+a）是偶函数"．
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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**高考数学必胜秘诀在哪？**
**――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结**
**十四、高考数学选择题的解题策略**
**数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。**
解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免"超时失分"现象的发生。
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个"选"字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。
**（一）数学选择题的解题方法**
**1、直接法**：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
**例1**、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ）
**解析**：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。
故选A。
**例2、**有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线*l*有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
**解析**：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。
**例3、**已知F~1~、F~2~是椭圆+=1的两焦点，经点F~2~的的直线交椭圆于点A、B，若\|AB\|=5，则\|AF~1~\|+\|BF~1~\|等于（ ）
A．11 B．10 C．9 D．16
**解析**：由椭圆的定义可得\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=8,\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a=8，两式相加后将\|AB\|=5=\|AF~2~\|+\|BF~2~\|代入，得\|AF~1~\|+\|BF~1~\|＝11，故选A。
**例4**、已知在\[0，1\]上是的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．\[2，+∞）
**解析**：∵a\>0,∴y~1~=2-ax是减函数，∵ 在\[0，1\]上是减函数。
∴a\>1，且2-a\>0，∴1\<a\<2，故选B。
**2、特例法**：**就是运用满足题设条件的某些特殊**数**值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、**特殊数列、**特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。**用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。
**（1）特殊值**
**例5**、若sinα\>tanα\>cotα()，则α∈（ ）
A．(，) B．（，0） C．（0，） D．（，）
**解析**：因，取α=－代入sinα\>tanα\>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。
**例6、**一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ）
A．－24 B．84 C．72 D．36
**解析**：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a~1~=48,a~2~=S~2~－S~1~=12，a~3~=a~1~+2d= －24，所以前3n项和为36，故选D。
**（2）特殊函数**
**例7**、如果奇函数f(x) 是\[3，7\]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间\[－7，－3\]上是（ ）
A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5
C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5
**解析**：构造特殊函数f(x)=x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间\[－7，－3\]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。
**例8、**定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
**解析**：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。
**（3）特殊数列**
**例9**、已知等差数列满足，则有 （ ）
A、 B、 C、 D、
**解析**：取满足题意的特殊数列，则，故选C。
**（4）特殊位置**
**例10**、过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
**解析**：考虑特殊位置PQ⊥OP时，，所以，故选C。
**例11**、向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( )
**解析**：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。
**（5）特殊点**
**例12、**设函数，则其**反函数**的**图像是 （ ）**
A、 B、 C、 D、
**解析**：由函数，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f^－1^(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f^－1^(x)的定义域为，故选C。
**（6）特殊方程**
**例13、**双曲线b^2^x^2^－a^2^y^2^=a^2^b^2^ (a\>b\>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于（ ）
A．e B．e^2^ C． D．
**解析**：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故选C。
**（7）特殊模型**
**例14、**如果实数x,y满足等式(x－2)^2^+y^2^=3，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
**解析**：题中可写成。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=，可将问题看成圆(x－2)^2^+y^2^=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。
**3、图解法**：就是**利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。**
**例15、**已知α、β都是第二象限角，且cosα\>cosβ，则（ ）
A．α\<β B．sinα\>sinβ
C．tanα\>tanβ D．cotα\<cotβ
**解析**：在第二象限角内通过余弦函数线cosα\>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。
**例16、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜＋3\|= （ ）**
**A． B． C． D．4**
** 解析**：如图，**＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3\|=｜｜＝，故选C。**
**例17**、已知{a~n~}是等差数列，a~1~=-9,S~3~=S~7~,那么使其前n项和S~n~最小的n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
**解析**：等差数列的前n项和S~n~=n^2^+(a~1~-)n可表示
为过原点的抛物线，又本题中a~1~=-9\<0, S~3~=S~7~,可表示如图，
由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛
物线的对称轴，所以n=5时S~n~最小，故选B。
**4、验证法**：就是**将选择支中给出的答案**或其特殊值，**代入题干逐一**去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。
**例18**、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0---9和字母A---F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ----
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ----
例如：用十六进制表示E+D=1B，则A×B= （ ）
A.6E B.72 C.5F D.BO
**解析**：采用代入检验法，A×B用十进制数表示为1×11=110,而
6E用十进制数表示为6×16＋14=110；72用十进制数表示为7×16＋2=114
5F用十进制数表示为5×16＋15=105；B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A。
**例19**、方程的解 ( )
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞）
**解析**：若，则，则；若，则，则；若，则，则；若,则，故选C。
**5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）**：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，**从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，**通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是"答案唯一"，**即四个选项中有且只有一个答案正确。**
**例20**、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．（0， C．\[，\] D．（，
**解析**：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx\>1，排除B,C,D，故应选A。
**例21**、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）
A．不会提高70% B．会高于70%，但不会高于90%
C．不会低于10% D．高于30%，但低于100%
**解析：**取*x*＝4，*y*＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取*x*＝30，*y* ＝ ·100%≈77.2%，排除A，**故选B。**
**例22**、给定四条曲线：①，②，③，④,其中与直线仅有一个交点的曲线是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
**解析**：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。
**6、分析法**：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
（1）特征分析法------根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
**例23**、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线
表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时
间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信
息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内
传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
**解析**：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。
**例24**、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬60^0^圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是 （ ）
A、 B、 C、 D、
**解析**：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。
**例25**、已知，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
**解析**：由于受条件sin^2^θ+cos^2^θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又\<θ\<π，\<\<,∴tan\>1，故选D。
（2）逻辑分析法------通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。
**例26、**设a,b是满足ab\<0的实数，那么 （ ）
A．\|a+b\|\>\|a－b\| B．\|a+b\|\<\|a－b\| C．\|a－b\|\<\|a\|－\|b\| D．\|a－b\|\<\|a\|+\|b\|
**解析**：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab\<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。
**例27**、的三边满足等式，则此三角形必是（）
A、以为斜边的直角三角形 B、以为斜边的直角三角形
C、等边三角形 D、其它三角形
**解析**：在题设条件中的等式是关于与的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有，即，从而C被淘汰，故选D。
**7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。**
**例28**、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于 （ ）
（A）4200元\~4400元 （B）4400元\~4460元
（C）4460元\~4800元 （D）4800元\~5000元
**解析**：08年农民工次性人均收入为：
又08年农民其它人均收入为1350+160=2150
故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B。
**说明**：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。
2、对于选择题一定要**小题小做，小题巧做，切忌小题大做。"**不择手段，多快好省**"是解选择题的基本宗旨。**
**（二）选择题的几种特色运算**
**1、借助结论------速算**
> **例29**、棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
**解析：**借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。
**2、借用选项------验算**
**例30**、若满足，则使得的值最小的是 （ ）
A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4）
**解析：**把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且的值最小，故选B。
**3、极限思想------不算**
**例31**、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面所成的二面角的平面角为，则的值是 （ ）
A、1 B、2 C、－1 D、
**解析：**当正四棱锥的高无限增大时，，则故选C。
**4、平几辅助------巧算**
**例32**、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 （ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
**解析：**选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A（1，2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。
**5、活用定义------活算**
**例33**、若椭圆经过原点，且焦点F~1~（1，0），F~2~（3，0），则其离心率为 （ ）
A、 B、 C、 D、
**解析：**利用椭圆的定义可得故离心率故选C。
**6、整体思想------设而不算**
**例34**、若，则的值为 （ ）
A、1 B、-1 C、0 D、2
**解析：**二项式中含有，似乎增加了计算量和难度，但如果设，，则待求式子。故选A。
**7、大胆取舍------估算**
**例35**、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 （ ）
A、 B、5 C、6 D、
**解析：**依题意可计算，而＝6，故选D。
**8、发现隐含------少算**
**例36**、交于A、B两点，且，则直线AB的方程为 （ ）
A、 B、
C、 D、
**解析：**解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是，它过定点（0，2），只有C项满足。故选C。
**9、利用常识------避免计算**
**例37**、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是 （ ）
A、8% B、20% C、32% D、80%
**解析：**生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。
**（三）选择题中的隐含信息之挖掘**
**1、挖掘"词眼"**
**例38**、过曲线上一点的切线方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
**错解：**，从而以A点为切点的切线的斜率为--9，即所求切线方程为故选C。
**剖析：**上述错误在于把"过点A的切线"当成了"在点A处的切线"，事实上当点A为切点时，所求的切线方程为，而当A点不是切点时，所求的切线方程为故选D。
**2、挖掘背景**
**例39**、已知，为常数，且，则函数必有一周期为 （ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
**分析：**由于，从而函数的一个背景为正切函数tanx，取，可得必有一周期为4。故选C。
**3、挖掘范围**
**例40**、设、是方程的两根，且，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
**错解：**易得，从而故选C。
**剖析：**事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知.从而，故故选A。
**4、挖掘伪装**
**例41**、若函数，满足对任意的、，当时，，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、
C、 D、
**分析：**"对任意的x~1~、x~2~，当时，"实质上就是"函数单调递减"的"伪装"，同时还隐含了"有意义"。事实上由于在时递减，从而由此得a的取值范围为。故选D。
**5、挖掘特殊化**
**例42**、不等式的解集是（ ）
A、 B、 C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}
**分析：**四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。
**6、挖掘修饰语**
**例43**、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ）
A、72种 B、36种 C、144种 D、108种
**分析：**去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为。故选A。
**7、挖掘思想**
**例44**、方程的正根个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
**分析：**本题学生很容易去分母得，然后解方程，不易实现目标。
事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。
**8、挖掘数据**
**例45**、定义函数，若存在常数C，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的均值为C。已知，则函数上的均值为（ ）
A、 B、 C、 D、10
**分析：**，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。
**（四）选择题解题的常见失误**
**1、审题不慎**
**例46**、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合中的元素的个数为 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、0或1或2
**误解：**因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以中的元素的个数为0或1或2。故选D。
**剖析：**本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。
**2、忽视隐含条件**
**例47**、若、分别是的等差中项和等比中项，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
**误解：**依题意有， ① ②
由①^2^-②×2得，，解得。故选C。
**剖析：**本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由，得，所以不合题意。故选A。
**3、概念不清**
**例48**、已知，且，则m的值为（ ）
A、2 B、1 C、0 D、不存在
**误解：**由，得，方程无解，m不存在。故选D。
**剖析：**本题的失误是由概念不清引起的，即，则，是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0时，显然有；若时，由前面的解法知m不存在。故选C。
**4、忽略特殊性**
**例49**、已知定点A（1，1）和直线，则到定点A的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是 （ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线
**误解：**由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。
**剖析：**本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线上。故选D。
**5、思维定势**
**例50**、如图1，在正方体AC~1~中盛满水，E、F、G分别为A~1~B~1~、BB~1~、BC~1~的中点。若三个小孔分别位于E、F、G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的 （ ）
A、 B、 C、 D、
**误解：**设平面EFG与平面CDD~1~C~1~交于MN，则平面EFMN左边的体积即为所求，由三棱柱B~1~EF---C~1~NM的体积为，故选B。
**剖析：**在图2中的三棱锥ABCD中，若三个小孔E、F、G分别位于所在棱的中点处，则在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图2的思维定势，即过三个小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所求。事实上，在图1中，取截面BEC~1~时，小孔F在此截面的上方，，故选A。
**6、转化不等价**
**例51**、函数的值域为 （ ）
A、 B、 C、 D、
**误解：**要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数，所以，故选A。
**剖析：**本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由，两边平方得，这样的转化不等价，应加上条件，即，进而解得，，故选D。
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**小学三年级下册数学奥****数知识点讲解第14课****《从数的二进制谈起》试题附答案**
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
\[来源:学§科§网\]
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\[来源:学。科。网\]
\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
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三年级奥数下册：第十四讲 从数的二进制谈起习题
三年级奥数下册：第十四讲 从数的二进制谈起习题解答 
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{width="0.4722222222222222in" height="0.2777777777777778in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
> 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则中元素的个数为
> A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数的虚部是
> A． B． C． D．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
> A． B．
>
> C． D．
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（*t*的单位：天）的Logistic模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则*t^\*^*约为
> A．60 B．63 C．66 D．69
5．设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：交于*D*，*E*两点，若，则*C*的焦点坐标为
> A． B． C． D．
6．已知向量***a***，***b***满足，，，则
> A． B． C． D．
7．在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则cos*B*=
> A． B． C． D．
8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
{width="1.8367661854768154in" height="1.5277777777777777in"}
> A． B． C． D．
9．已知2tan*θ*--tan(*θ*+)=7，则tan*θ*=
> A．--2 B．--1 C．1 D．2
10．若直线*l*与曲线*y*=和*x*^2^+*y*^2^=都相切，则*l*的方程为
> A．*y*=2*x*+1 B．*y*=2*x*+ C．*y*=*x*+1 D．*y*=*x*+
>
> 11．设双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为．*P*是*C*上一点，且*F*~1~*P*⊥*F*~2~*P*．若△*PF*~1~*F*~2~的面积为4，则*a*=
>
> A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知5^5^\<8^4^，13^4^\<8^5^．设*a*=log~5~3，*b*=log~8~5，*c*=log~13~8，则
> A．*a*\<*b*\<*c* B．*b*\<*a*\<*c* C．*b*\<*c*\<*a* D．*c*\<*a*\<*b*
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若*x*，*y*满足约束条件则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．的展开式中常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．关于函数*f*（*x*）=有如下四个命题：
> ①*f*（*x*）的图像关于*y*轴对称．
>
> ②*f*（*x*）的图像关于原点对称．
>
> ③*f*（*x*）的图像关于直线*x*=对称．
>
> ④*f*（*x*）的最小值为2．
>
> 其中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 设数列{*a~n~*}满足*a*~1~=3，．
>
> （1）计算*a*~2~，*a*~3~，猜想{*a~n~*}的通项公式并加以证明；
>
> （2）求数列{2*^n^a~n~*}的前*n*项和*S~n~*．
18．（12分）
> 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
>
> 锻炼人次
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | （200，400\] | （400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+===============+============+==============+==============+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+--------------+--------------+
> （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
>
> （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
>
> （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次\>400
-------------- ---------- -----------
空气质量好
空气质量不好
附：*K*^2^=， *P*（*K*^2^≥*k*） 0.050 0.010 0.001
--------------- ------------------- -------------------- ----
*k* 3.841 6.635 10.828 ．
19．（12分）
> 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
>
> （1）证明：点在平面内；
>
> （2）若，，，求二面角的正弦值．
{width="1.1979166666666667in" height="1.8541666666666667in"}
20．（12分）
> 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
>
> （1）求的方程；
>
> （2）若点在上，点在直线上，且*，，*求的面积．
21．（12分）
设函数，曲线在点(，*f*())处的切线与*y*轴垂直．
（1）求*b*．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数且*t*≠1），*C*与坐标轴交于*A*、*B*两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
设*a*，*b*，*c*∈**R**，，．
（1）证明：；
（2）用表示*a*，*b*，*c*的最大值，证明：≥．
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学试题参考**答案
**选择题答案**
一、**选择题**
1．C 2．D 3．B 4．C
5．B 6．D 7．A 8．C
9．D 10．D 11．A 12．A
**非选择题答案**
二、**填空题**
13．7 14．240 15． 16．②③
**三、解答题**
17．解：（1） 猜想 由已知可得
，
，
> ......
>
> .
>
> 因为，所以
>
> （2）由（1）得，所以
>
> . ①
>
> 从而
>
> .②
>
> 得
>
> ，
>
> 所以
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
-------------- ------ ------ ------ ------
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
> （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
>
> ．
>
> （3）根据所给数据，可得列联表：
人次≤400 人次\>400
-------------- ---------- -----------
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
> 根据列联表得
>
> ．
>
> 由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
>
> 19．解：设，，，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
{width="1.1354166666666667in" height="1.9166666666666667in"}
> （1）连结，则，，，，，，得．
>
> 因此，即四点共面，所以点在平面内．
>
> （2）由已知得，，，，，，，．
>
> 设为平面的法向量，则
>
> 即可取．
>
> 设为平面的法向量，则
>
> 同理可取．
>
> 因为，所以二面角的正弦值为．
20．解：（1）由题设可得，得，
> 所以的方程为.
>
> （2）设，根据对称性可设，由题意知，
>
> 由已知可得，直线*BP*的方程为，所以，，
>
> 因为，所以，将代入的方程，解得或.
>
> 由直线*BP*的方程得或8.
>
> 所以点的坐标分别为.
>
> ，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
>
> ，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
>
> 综上，的面积为.
21．解：（1）．
依题意得，即.
故．
（2）由（1）知，.
令，解得或.
与的情况为：
*x*
----- --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
\+ 0 -- 0 \+
{width="0.2089555993000875in" height="0.13878390201224847in"} {width="0.2148293963254593in" height="0.14583333333333334in"} {width="0.2089555993000875in" height="0.13878390201224847in"}
因为，所以当时，只有大于1的零点.
因为，所以当时，*f*（*x*）只有小于--1的零点．
由题设可知，
当时，只有两个零点和1.
当时，只有两个零点--1和.
当时，有三个等点*x*~1~，*x*~2~，*x*~3~，且，，．
综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.
22．解：
> （1）因为*t*≠1，由得，所以*C*与*y*轴的交点为（0，12）；
>
> 由得*t*=2，所以*C*与*x*轴的交点为．
>
> 故．
>
> （2）由（1）可知，直线*AB*的直角坐标方程为，将代入，
>
> 得直线*AB*的极坐标方程
>
> ．
23．解：
> （1）由题设可知，*a*，*b*均不为零，所以
.
> （2）不妨设max{*a*，*b*，*c*}=*a*，因为，所以*a*\>0，*b*\<0，*c*\<0.由，可得，故，所以.
{width="6.772222222222222in" height="8.927777777777777in"}
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**2020年十堰市初中毕业生学业水平考试**
**数学试题**
**一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）**
**下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．**
1.的倒数是（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的概念进行求解即可．
【详解】\
的倒数是4
故选：A
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟知两个数互为倒数，其积为1是解题的关键．
2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 四棱柱
【答案】B
【解析】
【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，
故选：B．
【点睛】本题考查三视图．
3.如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的混合运算法则即可求解．
【详解】A.不能计算，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D.，正确，
故选D．
【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
----------- ---- ------ ---- ------ ---- ------ ----
鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量双 1 2 5 11 7 3 1
----------- ---- ------ ---- ------ ---- ------ ----
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
6.已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的判定进行分析即可．
【详解】A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
7.某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．
【详解】由题知：
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
8.如图，点在上，，垂足为E．若，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接*OC*，根据圆周角定理求得，在中可得，可得*OC*的长度，故*CE*长度可求得，即可求解．
【详解】解：连接*OC*，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∵，垂足*E*，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键．
9.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【详解】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去
故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
10.如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，
菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴，
菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,,
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
**二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）**
11.已知，则\_\_\_\_\_\_．
【答案】7
【解析】
【分析】
由可得到，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．
12.如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，
的周长
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
13.某校即将举行30周年校庆，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为\_\_\_\_\_\_．
【答案】1800
【解析】
【分析】
根据条形统计图和扇形统计图可知赞成*C*方案的有44人，占样本的，可得出样本容量，即可得到赞成方案*B*的人数占比，用样本估计总体即可求解．
【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成*C*方案的有44人，占样本的，
∴样本容量为：（人），
∴赞成方案*B*的人数占比为：，
∴该校学生赞成方案*B*的人数为：（人），
故答案为：1800．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
14.对于实数，定义运算．若，则\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于*a*的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
15.如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．
【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S~1~，S~2~；两块空白分别为S~3~，S~4~，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S~1~+ S~2~=π-1，
∵BC为直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
故CD=DB=DA，
∴D点为 中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S~3~相等．
设AC=BC=x，
则，
其中 ，，
故：，
求解得：（舍去）
故答案：2．
【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．
16.如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为\_\_\_\_\_．
【答案】12
【解析】
【分析】
以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，\
∴∠ECB=∠DCA，\
∴△ECB≌△DCA（SAS），\
∴BE=AD，\
∵DE=CD=6，BD=8，\
∴8-6\<BE\<8+6，\
∴2\<BE\<14，\
∴2\<AD\<14．\
∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
**三、解答题（本题有9个小题，共72分）**
17.计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂分别计算出每一项，再计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】
利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成，再将*a*、*b*值代入化简后的分式中即可得出结论．
详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长为的梯子，当梯子底端离墙面时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：，）？
【答案】当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子．
【解析】
【分析】
分别求出当时和当时梯子底端与墙面的距离*AC*的长度，再进行判断即可．
【详解】解：当时，，解得；
当时，，解得；
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在之间，故当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键．
20.某校开展"爱国主义教育"诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．
（1）小文诵读《长征》的概率是\_\_\_\_\_；
（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ；
故答案为：；
（2）依题意画出树状图如下：
故P（小文和小明诵读同一种读本）=．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图．
21.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
22.如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，交半圆O于点E．
（1）求证：平分；
（2）若，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OC，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC∥AD，得到∠DAC=∠ACO，再由OC=OA得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC即可证明；
\(2\) 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由AE=2DE结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO和△ECO均为等边三角形即可求解．
【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示：
∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°，
∴∠D+∠OCD=180°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
又OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴ AC平分∠DAB．
\(2\) 四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，
又∠AEC+∠DEC=180°，
∴∠DEC=∠B，
又∠B+∠CAB=90°，
∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠CAB=∠DCE，
又∠CAB=∠CAE，
∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE=*x*，则AE=2*x*，AD=AE+DE=3*x*，
∴，∴，
∴，
在Rt△ACD中，，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴EA=AO=OE=EC=CO，
即EA=AO=OC=CE，
∴四边形EAOC为菱形．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键．
23.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示．
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为\_\_\_\_\_\_，x的取值范围为\_\_\_\_\_\_；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．
【答案】（1）；
（2）第6天时，该企业利润最大，为12800元.
（3）7天
【解析】
【分析】
（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义；
（2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；
（3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答．
【详解】（1）根据题意，得y与x的解析式为：（）
（2）设当天的当天的销售利润为w元，则根据题意，得\
当1≤x≤6时，\
w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000，\
∵800＞0，∴w随x的增大而增大，\
∴当x=6时，w~最大值~=800×6+8000=12800．\
当6＜x≤12时，
易得m与x的关系式：m=50x+500\
w=\[1200-（50x+500）\]×（2x+20）\
=-100x^2^+400x+14000=-100（x-2）^2^+14400．\
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，\
∴当x=7时，w有最大值，为11900元，
∵12800＞11900，\
∴当x=6时，w最大，且w~最大值~=12800元，\
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
（3）由（2）可得，
1≤x≤6时，
解得：x＜3.5
则第1-3天当天利润低于10800元，
当6＜x≤12时，
解得x＜-4（舍去）或x＞8
则第9-12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论．
24.如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F．
（1）猜想：线段与的数量关系为\_\_\_\_\_；
（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．
 
【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12
【解析】
【分析】
\(1\) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；
(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；
(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．
【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示
∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，
∴∠ADF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延长DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF.
故答案为：AF=EF；
(2)仍旧成立，理由如下：
延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示
设BD延长线DM交AE于M点，
∵，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延长DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF△EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF，
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF.
故答案为：AF=EF；
(3)如下图所示：
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠EBG,
∴∠BEA=∠EBG，
∴AECG，
∴∠AEG+∠G=180°，
∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，
∴四边形AEGC为矩形，
∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，
∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
又∵ED=AC=EG，且EB=EB，
∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，
∴∠BAC=30°，
∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：
．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．
25.已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；
（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
 
【答案】（1），；（2）；（3）存在，,
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．
【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，
，
解得，
，
当时，y=4，
（2）
令或x=3
设BC的解析式为
将点代入，得
，
解得，
设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，
将点E坐标代入中，得，
把x=m代入
即
解得m=2或m=-3
∵点E是BC上方抛物线上的点
∴m=-3舍去
∴点
（3）过点A作AN⊥HB，
∵点
∵点，点
设，把（-1，0）代入，得b=
设点
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR
且点S的坐标为
若
在和中，
或
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．
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**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县一年级（上）期末数学试卷**
**一、动脑筋想一想，试着填一填，相信自己最聪明。（18分）**
1．（4分）16的个位上是[ ]{.underline}，十位上是[ ]{.underline}。与16相邻的两个数分别是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}。
2．（2分）19里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一．
3．（2分）1个十和8个一合起来是[ ]{.underline}，2个十组成的数是[ ]{.underline}。
4．（2分）15比7多[ ]{.underline}，10比17少[ ]{.underline}。
5．（4分）在12、4、16、8、15、6中，一共有[ ]{.underline}个数，这些数中最大的是[ ]{.underline}，最小的是[ ]{.underline}，从左数第三个是[ ]{.underline}。
6．（4分）找规律填空。
---- ---- -- -- ----
18 16 10
---- ---- -- -- ----
**二、仔细观察，相信我能行。（共18分）**
7．（6分）写一写，画一画。
8．（4分）谁最重，画√；谁最轻，画〇。
9．（8分）看一看，填一填。
> ☆在的[ ]{.underline}面；◎在▲是[ ]{.underline}面；
>
> 在★的[ ]{.underline}面；◆在的[ ]{.underline}面。
**三、计算我最棒，认真又细心。（共22分）**
10．（8分）直接写得数。
9+4＝ 18﹣5＝ 13﹣10＝ 1+9+6＝
--------- --------- ---------- ----------
16﹣6＝ 12+3＝ 0+12＝ 3+6﹣4＝
11．（4分）画一画，填一填。
> △△△△△△△[ ]{.underline}
>
> 7+[ ]{.underline}＝11
12．（2分）画〇比☆多3个。
> ☆☆☆☆
>
> [ ]{.underline}
13．（8分）在〇填上"＞""＜"或"＝"。
----------- --------- ----------- ----------
15﹣3〇12 6+9〇14 16﹣6〇16 17+2〇17
----------- --------- ----------- ----------
**四、联系实际，做生活中的主人（共2小题，满分12分）**
14．（4分）请把不同类的圈起来。
15．（8分）看时间，连一连。
**五、动脑思考，解决问题。（共5小题，每小题8分，满分30分）**
16．（8分）圈一圈，算一算。
17．（5分）看图写算式。
18．（5分）篮子里还有几个苹果？
19．（6分）一共有几只？
20．（6分）校车原来有9人，现在车上有多少人？
**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇源县一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、动脑筋想一想，试着填一填，相信自己最聪明。（18分）**
1．【分析】搞清数字在什么数位上和这个数位的计数单位，它就表示有几个这样的计数单位。相邻两个自然数相差1，据此解答即可。
> 【解答】解：16的个位上是6，十位上是1。与16相邻的两个数分别是15和17。
>
> 故答案为：6，1，15，17。
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，解答本题关键是明确每个数位上的数字表示的意义。
2．【分析】根据数位顺序表中数位和它们对应的计数单位以及十进制的定义可以解决问题．
> 【解答】解：1在十位上，表示1个十；9在个位上，表示9个一；所以19里面有1个十和9个一．
>
> 故答案为：1；9．
>
> 【点评】此题考查了数的组成．
3．【分析】1个十是10，8个一是8，合起来是18；
> 2个十是10+10，共有20。
>
> 【解答】解：1个十和8个一合起来是18，2个十组成的数是20。
>
> 故答案为：18，20。
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，解答本题关键是明确每个数位上的数字表示的意义。
4．【分析】要求15比7多多少，用15减去7即可解答；
> 要求10比17少多少，用17减去10即可解答。
>
> 【解答】解：15﹣7＝8
>
> 17﹣10＝7
>
> 答：15比7多8，10比17少7。
>
> 故答案为：8，7。
>
> 【点评】要求一个数比另一个数多多少或一个数比另一个数少多少，求比一个数少几的数是多少，用减法计算。
5．【分析】一共有6个数，按大小排序，16＞15＞12＞8＞6＞4，这些数中最大的是16，最小的是4，根据题干，从左数第三个是16。
> 【解答】解：在12、4、16、8、15、6中，一共有6个数，这些数中最大的是16，最小的是4，从左数第三个是16。
>
> 故答案为：6，16，4，16。
>
> 【点评】此题考查了数数和判断数字大小的方法，要熟练掌握。
6．【分析】（1）根据所给数据发现，后一个数等于前一个数减2，据此解答。
> （2）根据图示，每组1个五星，月亮的个数每组增加1个，据此解答。
>
> 【解答】解：18﹣2＝16
>
> 16﹣2＝14
>
> 14﹣2＝12
>
> 12﹣2＝10
>
> 所以这组数是：
---- ---- ---- ---- ----
18 16 14 12 10
---- ---- ---- ---- ----
> 第一组1个五星，1个月亮；
>
> 第二组1个五星，2个月亮；
>
> 第三组1个五星，3个月亮。
>
> 如图：
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
**二、仔细观察，相信我能行。（共18分）**
7．【分析】图1是1个十和4个一，共有14；
> 图2是1个十个1个一，共有11；
>
> 图三应是1个十和3个一，画出即可。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，解答本题关键是明确数字的组成。
8．【分析】在天平上，哪端下沉，哪端的物体就重；南瓜比萝卜重；萝卜比茄子重；由此即可判断。
> 【解答】解：因为南瓜比萝卜重；萝卜比茄子重；所以南瓜最重，茄子最轻。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】这道题目解题的关键是要明确在天平上，哪端下沉，哪端的物体就重。
9．【分析】结合图示，很容易得到：☆在的左面；◎在▲是右面；在★的上面；◆在的下面。
> 【解答】解：☆在的左面；◎在▲是右面；在★的上面；◆在的下面。
>
> 故答案为：左；右；上；下。
>
> 【点评】考查上下、左右的位置关系。根据实际图示查看解决问题即可。
**三、计算我最棒，认真又细心。（共22分）**
10．【分析】根据整数加减法的运算法则进行计算即可。
> 【解答】解：
9+4＝13 18﹣5＝13 13﹣10＝3 1+9+6＝16
----------- ----------- ----------- -----------
16﹣6＝10 12+3＝15 0+12＝12 3+6﹣4＝5
> 【点评】本题主要考查整数加减法的运算，关键是培养学生的计算能力。
11．【分析】因为7和4相加为11，所以7+4＝11，再画4个三角形。
> 【解答】解：△△△△△△△△△△△
>
> 7+4＝11
>
> 故答案为：△△△△，4。
>
> 【点评】本题考查了7，6加几的进位加法，要按照要求画图。
12．【分析】根据图示课桌五角星有4个，画圆比五角星多3个，则画4+3＝7（个）。据此作图即可。
> 【解答】解：4+3＝7（个）
>
> 〇比☆多3个，如图：
>
> 〇〇〇〇〇〇〇
>
> 故答案为：〇〇〇〇〇〇〇。
>
> 【点评】本题主要考查图文应用题，关键考查学生的观察能力和应用意识。
13．【分析】15﹣3＝12；
> 6+9＝15，15＞14，所以6+9＞14；
>
> 16﹣6＝10，10＜16，所以16﹣6＜16；
>
> 17+2＝19，19＞17，所以17+2＞17。
>
> 【解答】解：
----------- --------- ----------- ----------
15﹣3＝12 6+9＞14 16﹣6＜16 17+2＞17
----------- --------- ----------- ----------
> 故答案为：＝，＞，＜，＞。
>
> 【点评】此题考查了整数大小的比较方法，要熟练掌握。
**四、联系实际，做生活中的主人（共2小题，满分12分）**
14．【分析】（1）除小汽车是玩具，其它都是餐具，据此作图。
> （2）除铅笔是文具，其它都是水果，据此作图。
>
> 【解答】解：如图：
>
> 【点评】本题主要考查物体的分类，关键分清物体的分类标准。
15．【分析】根据时间的识别，读法和写法可得：
> 【解答】解：
>
> 故答案为：
>
> 【点评】考查钟表与时刻。按照显示读数并按要求填写即可。
**五、动脑思考，解决问题。（共5小题，每小题8分，满分30分）**
16．【分析】根据整数加法运算的计算法则计算即可求解。
> 【解答】解：
>
> 【点评】考查了整数加法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
17．【分析】左边有8个，右边有5个，相加即可求解。
> 【解答】解：
>
> 【点评】考查了8加几的进位加法，注意个位相加满10向十位进1。
18．【分析】用一共苹果的个数减去左边苹果的个数，列出算式计算可求篮子里还有几个苹果。
> 【解答】解：
>
> 【点评】考查了20以内不退位减法，关键是读懂图意。
19．【分析】把树上的只数分别加上2次飞来的只数即可求解。
> 【解答】解：
>
> 【点评】考查了10以内的连加，关键是理解图意。
20．【分析】根据图示，用原来的人数减去下车的人数，再加上上车的人数，求现在的人数即可。
> 【解答】解：9﹣5+1＝5（个）
>
> 答：现在车上有5人。
>
> 如图：
>
> 【点评】解答此题，首先弄清图意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，列式解答。
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日期：2021/4/27 14:34:24；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题) 两部分. 第I卷1至2页. 第II卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
参考公式：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的表面积公式
*P* ( *A* + *B*) = *P* ( *A* ) + *P* ( *B* )
如果事件*A*、*B*相互独立，那么 其中*R*表示球的半径
*P* ( *A* · *B* ) = *P* ( *A* ) · *P* ( *B* ) 球的体积公式
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么
*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率 其中R表示球的半径
（*k*=0,1,2,...,*n*）
一、选择题
（1）设则=
（A） （B）
（C） （D）
（2）是第四象限角，
（A） （B）－ （C） （D）－
（3）已知向量***a***=（－5,6），***b***=（6,5），则***a***与***b***
（A）垂直 （B）不垂直也不平行
（C）平行且同向 （D）平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0),(4,0),则双曲线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（A）36种 （B）48种 （C）96种 （D）192种
（6）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是
（A）（0，2） （B）（－2，0） （C）（0，－2） （D）（2，0）
（7）如图，正四棱柱*ABCD*---*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AA*~1~=2*AB*，则异面直线*A*~1~*B*与*AD*~1~所成角的余弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则*a*=
（A）（B）2 （C）2 （D）4
（9）是定义在**R**上的函数，则"均为偶函数"是"为偶函数"的
（A）充要条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）既不充分也不必要的条件
（10）函数的一个单调区间是
（A） （B） （C） （D）
（11）曲线处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
（A） （B） （C） （D）
（12）抛物线的焦点为*F*，准线为*l*,经过*F*且斜率为的直线与抛物线在*x*轴上方的部分相交于点*A*，*AK*⊥*l*，垂足为*K*，则△*AKF*的面积是
（A）4 （B）3 （C）4 （D）8
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
> 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
>
> 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
3．本卷共10题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.
（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
> 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为 [ ]{.underline} .
（14）函数的图像与函数的图象关于直线对称，则 [ ]{.underline} .
（15）正四棱锥*S---ABCD*的底面边长和各侧棱长都为，点*S、A、B、C、D*都在同一个球面上，则该球的体积为 [ ]{.underline} .
（16）等比数列的前*n*项和为*S~n~*，已知*S*~1~，2*S*~2~，3*S*~1~成等差数列，则的公比为
> [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）
> 设锐角三角形*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，*a*=*2bS*in*A*.
（Ⅰ）求角*B*的大小；
（Ⅱ）若，求*b.*
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.
（19）（本小题满分12分）
四棱锥*S---ABCD*中，底面*ABCD*为平行四边形，侧面*SBC*⊥底面*ABCD*.已知∠*ABC*=45°，*AB*=2，*BC*=2，*SA=SB=*.
（Ⅰ）证明*SA*⊥*BC*；
（Ⅱ）求直线*SD*与平面*SBC*所成角的大小.
（20）（本小题满分12分）
设函数在*x=*1及*x=*2时取得极值.
（Ⅰ）求*a*、*b*的值；
（Ⅱ）若对于任意，都有成立，求 *c*的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,
.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前*n*项和*S~n~*.
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~，过*F*~1~的直线交椭圆于*B、D*两点，过*F*~2~的直线交椭圆于*A、C*两点，且*AC*⊥*BD*，垂足为*P*.
（Ⅰ）设*P*点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形*ABCD*的面积的最小值.
（在试题卷上作答无效）
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修+选修I）参考答案
一、选择题
（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B
（10）D （11）A （12）C
二、填空题
（13）0.25 （14）） （15） （16）
三、解答题
（17）解：
（I）由，根据正弦定理得
，
所以 ，
由△*ABC*为锐角的三角形得
（II）根据余弦定理，得
所以，.
（18）解：
（I）记*A*表示事件："3位顾客中至少1位采用一次性付款"，
则表示事件："3位顾客中无人采用一次性付款".
,
（II）记*B*表示事件："3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元"，
*B*~0~表示事件："购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款"，
*B*~1~表示事件："购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款".
则*B*=*B*~0~+*B*~1~，
=0.216+0.432
=0.648.
19．**解法一**：
（I）作*SO*⊥*BC*垂足为*O*，连结*AO*，由侧面*SBC*⊥底面*ABCD*，得*SO*⊥底面*ABCD*.
因为*SA*=*SB*，所以*AO*=*BO*.
又∠*ABC*=45°，故△*AOB*为等腰直角三角形，*AO*⊥*BO*，
由三垂线定理，得*SA*⊥*BC*.
（II）由（I）知*SA*⊥*BC*，依题设*AD*∥*BC*，
故*SA*⊥*AD*，由*AD*=*BC*=2，*SA*=
.
又*AO*=*AB*=，作*DE*⊥*BC*，垂足为*E*，则*DE*⊥平面*SBC*，连结*SE*.
∠*ESD*为直线*SD*与平面*SBC*所成的角，
.
所以，直线*SD*与平面*SBC*所成的角为
**解法二：**
（I）作*SO*⊥*BC*，垂足为*O*，连结*AO*，由侧面*SBC*⊥底面*ABCD*，得*SO*⊥平面*ABCD*.
因为*SA*=*SB*，所以*AO*=*BO*.
又∠*ABC*=，△*AOB*为等腰直角三角形，*AO*⊥*OB*.
如图，以*O*为坐标原点，*OA*为*x*轴正向，建立直角坐标系*O*---*xyz*，
因为*AO*=*BO*=*AB*=，*SO*=，
又*BC*=2，所以，
*A*（，0，0），*B*（0，，0），*C*（0，－，0），
*S*（0，0，1），=（，0，－1），
=（0，2，0），·=0，所以*SA*⊥*BC*.
（Ⅱ），
> 的夹角记为，与平面*SBC*所成的角记为，因为为平面*SBC*的法向量，所以互余，
>
> .
>
> 所以，直线*SD*与平面*SBC*所成的角为*ar*csin
（20）解：（Ⅰ）
因为函数取得极值，则有
.
即
解得 *A*=－3，*B*=4
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,
.
当；
当；
当
所以，当*x*=1时，取得极大值
则当时，的最大值为
因为对于任意的，有恒成立，
所以
解得 *C*\<－1或*C*\>9
因此*C*的取值范围为
（21）解：（Ⅰ）设的公差为*D*，{*B*~n~}的公比为*q*，则依题意有*q*\>0且
解得*D*=2，*q*=2.
所以， ，
（Ⅱ）
, ①
. ②
②－①得
（22）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距
由*AC*⊥*BD*知点P在以线段*F*~1~*F*~2~为直径的圆上，
故 ，
所以，
（Ⅱ）（i）当*BD*的斜率k存在且k≠0时，*BD*的方程为代入椭圆方程
，并化简得 .
设，则
.
因为*AC*与*BD*相交于点P，且*AC*的斜率为 ，
所以， .
四边形*ABCD*的面积
当*k*^2^=1时，上式取等号。
（ii）当*BD*的斜率*k*=0或斜率不存在时，四边形*ABCD*的面积*S*=4.
综上，四边形*ABCD*的面积的最小值为
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**2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析**
**一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)**
**(1)** 当时，与等价的无穷小量是
\(A\) . (B) . (C) . (D) . \[ **B** \]
【**分析**】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【**详解**】 当时，有；；
利用排除法知应选(B).
**(2)** 曲线，渐近线的条数为
\(A\) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. \[ **D** \]
【**分析**】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【**详解**】 因为，所以为垂直渐近线；
**又 ，**所以y=0为水平渐近线；
进一步，=，
=
=，
于是有斜渐近线：*y* = *x*. 故应选(D).
**(3)** 如图，连续函数*y*=*f*(*x*)在区间\[−3，−2\]，\[2，3\]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间\[−2，0\]，\[0，2\]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是
\(A\) . (B) .
\(C\) . (D) . \[ **C** \]
【**分析**】 本题考查定积分的几何意义，应注意*f*(*x*)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【**详解**】 根据定积分的几何意义，知*F*(2)为半径是1的半圆面积：，
*F*(3)是两个半圆面积之差：**=，**
因此应选(C).
**(4)** 设函数*f*(*x*)在*x*=0处连续，下列命题错误的是
\(A\) 若存在，则*f*(0)=0. (B) 若存在，则*f*(0)=0.
\(C\) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在
> \[ **D** \]
【**分析**】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【**详解**】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出*f*(0)=0.
若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在*x*=0处连续，且
=存在，但在*x*=0处不可导。
**(5)** 设函数*f* (*x*)在上具有二阶导数，且 令,
则下列结论正确的是
\(A\) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散.
\(C\) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. \[ **D** \]
【**分析**】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【**详解**】 设*f*(*x*)=, 则*f* (*x*)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设*f*(*x*)=, 则*f*(*x*)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则*f*(*x*)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).
**(6)** 设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点*M*和第IV象限内的点*N*，*T*为*L*上从点*M*到点*N*的一段弧，则下列小于零的是
\(A\) . (B) .
> \(C\) . (D) . \[ **B** \]
【**分析**】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。
【**详解**】 设*M* 、*N*点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
; ;
; .
故正确选项为(B).
\(7\) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是
\(A\) . (B) .
\(C\) . (D) . \[ **A** \]
【详解】用定义进行判定:令
，
得 .
因线性无关，所以
又 ，
故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
\(8\) 设矩阵, , 则*A*与*B*
\(A\) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
\(C\) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. \[ **B** \]
【详解】 由 得*A*的特征值为0, 3, 3, 而*B*的特征值为0, 1, 1,从而*A*与*B*不相似.
又*r*(*A*)=*r*(*B*)=2, 且*A*、*B*有相同的正惯性指数, 因此*A*与*B*合同. 故选(B) .
\(9\) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为*p*(0\<*p*\<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
\(A\) ． (B) .
\(C\) ． (D) ． \[ **C** \]
【详解】 "第4次射击恰好第2次命中"表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) .
\(10\) 设随机变量(*Ｘ*,*Ｙ*)服从二维正态分布，且*Ｘ*与*Ｙ*不相关，分别表示*Ｘ*，*Ｙ*的概率密度，则在*Ｙ*＝*y*的条件下，*Ｘ*的条件概率密度为
\(A\) ． (B) ． (C ) . (D) ． \[ **A** \]
【详解】 因(*Ｘ*,*Ｙ*)服从二维正态分布，且*Ｘ*与*Ｙ*不相关，故*Ｘ*与*Ｙ*相互独立，于是 =. 因此选(A) .
**二、填空题**：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)
**(11)** =
【**分析**】 先作变量代换，再分部积分。
【**详解**】
=
**(12)** 设*f*(*u*,*v*)为二元可微函数，，则=
【**详解**】 利用复合函数求偏导公式，有=
**(13)** 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数.
【**详解**】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为
设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为
**(14)** 设曲面，则=
【**详解**】 由于曲面关于平面*x*=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是
====
==
\(15\) 设矩阵, 则的秩为1.
【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故*r*()=1.
\(16\) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为．
【详解】 这是一个几何概型, 设*x*, *y*为所取的两个数, 则样本空间
, 记.
故 ，其中分别表示*A*与*Ω* 的面积.
**三、解答题**：(17－24小题，共86分. )
**(17) (本题满分11分)**
求函数在区域上的最大值和最小值。
【**分析**】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【**详解**】 因为 ，，解方程：
得开区域内的可能极值点为.
其对应函数值为
又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.
当，构造拉格朗日函数
解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为
比较函数值，知*f*(*x*, *y*)在区域D上的最大值为8，最小值为0.
**(18) (本题满分10分)**
计算曲面积分
其中为曲面的上侧。
【**分析**】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。
【**详解**】 补充曲面：，取下侧. 则
=
其中为与所围成的空间区域，*D*为平面区域.
由于区域*D*关于*x*轴对称，因此. 又
> =
其中.
**(19) (本题满分11分)**
> 设函数*f*(*x*), *g*(*x*)在\[*a*, *b*\]上连续，在(*a*, *b*)内具有二阶导数且存在相等的最大值，*f*(*a*)=*g*(*a*), *f*(*b*)=*g*(*b*), 证明：存在，使得
【**分析**】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用*F*(*a*)=*F*(*b*)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。
【**证明**】 构造辅助函数，由题设有*F*(*a*)=*F*(*b*)=0. 又*f*(*x*), *g*(*x*)在(*a*, *b*)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得
，
若，令, 则
若，因，从而存在
，使
在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得
.
再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有
， 即
**(20) (本题满分10分)**
设幂级数在内收敛，其和函数*y*(*x*)满足
\(I\) 证明：
\(II\) 求*y*(*x*)的表达式.
【**分析**】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。
【**详解**】 (I)记*y*(*x*)=, 则代入微分方程有
即
故有
即
\(II\) 由初始条件知， 于是根据递推关系式 有 故
*y*(*x*)= ==
\(21\) (本题满分11分)
设线性方程组
①
与方程
②
有公共解，求*a*的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.
【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
③
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵作初等行变换得:
.
于是1° 当*a*=1时，有=2\<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
，
此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ,
所以①与②的全部公共解为，*k*为任意常数.
2° 当*a* =2时，有=3，方程组③有唯一解, 此时
，故方程组③的解为: , 即①与②有唯一公共解: 为.
\(22\) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵*Ａ*的特征值 是*Ａ*的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.
\(I\) 验证是矩阵*Ｂ*的特征向量，并求*B*的全部特征值与特征向量．
\(II\) 求矩阵*Ｂ*．
【分析】 根据特征值的性质可立即得*B*的特征值, 然后由*B*也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量**.**
【详解】 (I) 由 得 ,
进一步 , ，
故
，
从而是矩阵*Ｂ*的属于特征值−2的特征向量.
> 因, 及*Ａ*的3个特征值 得
*B*的3个特征值为.
> 设为*B*的属于的两个线性无关的特征向量, 又
*Ａ*为对称矩阵，得*B*也是对称矩阵, 因此与正交, 即
所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
,
其基础解系为: , , 故可取=, =.
即*B*的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.
\(II\) 令=, 则 ，
得
=
=.
\(23\) (本题满分11分)
设二维随机变量(*X*, *Y*)的概率密度为
\(I\) 求；
> \(II\) 求*Z*＝*Ｘ*+*Ｙ*的概率密度.
【详解】 (I) .
( II) 先求*Z*的分布函数:
当*Z*\<0时, ;
当时,
；
当时,
；
当时, .
故*Z*＝*Ｘ*+*Ｙ*的概率密度为
=
\(24\) (数1, 3)(本题满分11分)
设总体*X*的概率密度为
其中参数(0\<\<1)未知, 是来自总体*X*的简单随机样本, 是样本均值
\(I\) 求参数的矩估计量；
\(II\) 判断是否为的无偏估计量,并说明理由.
【详解】 (I)
令 , 其中 ，
解方程得的矩估计量为: =.
\(II\) ,
而
，
故,
所以不是的无偏估计量.
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**2008年考研数学二试题分析、详解和评注**
**一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)**
**(1)设**，则的零点个数为【 】．
\(A\) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．
【**答案**】应选(D).
【**详解**】．
令，可得有三个零点．故应选(D).
**(2)**曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【 】．
\(A\) 曲边梯形的面积． (B) 梯形的面积．
\(C\) 曲边三角形面积． (D) 三角形面积．
【**答案**】 应选(C).
【**详解**】，
其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).
**(3)**在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【 】．
\(A\) . (B) .
\(C\) . (D) .
【**答案**】 应选(D).
【**详解**】由**，**可知其特征根为
，，故对应的特征值方程为
所以所求微分方程为．应选(D).
**(4)** 判定函数，间断点的情况【 】．
(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点．
> \(C\) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点.
【**答案**】 应选(A).
**(5)**设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【 】．
\(A\) 若收敛，则收敛 (B) 若单调，则收敛
\(C\) 若收敛，则收敛. (D) 若单调，则收敛.
【**答案**】 应选(B).
【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛．故应选(B).
**(6)**设函数连续，，，若，则【 】．
\(A\) (B) (C) (D)
【**答案**】 应选(A).
【详解】利用极坐标，得
，所以．故应选(A).
**(7)**设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则下列结论正确的是【 】．
\(A\) 不可逆，则不可逆. (B) 不可逆，则可逆.
\(C\) 可逆，则可逆. (D) 可逆，则不可逆.
【**答案**】应选(C).
【**详解**】，．
故，均可逆．故应选(C).
**(8)** 设，则在实数域上，与A合同矩阵为【 】．
> \(A\) . (B) . (C) . (D) .
【**答案**】 应选(D).
【**详解**】
则，记，则
则，正负惯性指数相同.故选D.
**二、填空题**：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
**(9)**已知函数连续，且，则
【**答案**】 应填．
**(10)**微分方程的通解是 [ ]{.underline} .
【**答案**】 应填．
**(11)**曲线在点的切线方程为 [ ]{.underline} .
【**答案**】 应填．
【**详解**】
**(12)**曲线的拐点坐标为 [ ]{.underline} .
【**答案**】 ．
【**详解**】
**(13)**设，则 [ ]{.underline} .
【**答案**】 ．
**(14)**设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】应填．
**三、解答题(15－23小题，共94分)**．
**(15)(本题满分9分)**
求极限．
【详解1】
＝
(或，或)
．
【详解2】
＝（或）
．
**(16)(本题满分10分)**
设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求．
【详解1】由得
，积分得．
由条件，得，即，
故 ．
方程组两端同时对求导得
．
所以，
从而
．
17（**本题满分9分**）计算．
【**详解1**】 由于，故是反常积分．
令，有，．
．
【**详解2**】
令，有，．
，
所以．
**(18)(本题满分11分)**
计算，其中．
【**详解**】将区域分成如图所示得两个子区域和．于是
．
**(19)(本题满分11分)**
设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．
【详解】根据题意，因为
旋转体体积，侧面积．
所以 ．
上式两边同时对求导得
．
解得 ，．
由，得．
所以 或 ．
**(20)(本题满分11分)**
(I) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；
(II) 若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．
【**证法1**】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即
，
于是有
．
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得
因此而的证．
**（II）**存在，使得．
由，知．
由，利用微分中值定理，存在，使得
．
由，利用微分中值定理，存在，使得
．
存在存在，使得
．
**（21）(本题满分11分)**
求函数在约束条件和下的最大值和最小值．
【**详解1**】作拉格朗日函数
．
令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6．
【**详解2**】由题意知，在条件下的最值．
令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6．
**(22) (本题满分12分)．**
设元线性方程组，其中
，，．
（I）证明行列式；
（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．
（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．
【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记
以下用数学归纳**法**证明．
当时，，结论成立．
当时，，结论成立．
假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得
故 ．
【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是
（I）【证法2】消元法．记
．
**（II）**【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为
> 所以，．
**（III）**【详解】 当时，方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为
，其中为任意常数．
**(23) (本题满分10分)**
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，
(I)证明线性无关；
(II)令，求．
【详解】(I)【证明】设有一组数，使得 ．
用左乘上式，得．
因为 , ，，
所以 ，
即．
由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此
，从而有．
故 线性无关．
（II）由题意，．而由（I）知，线性无关，从而可逆．故
．
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2017\~2018学年度上学期高三年级五调考试
数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟．
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)
1．设集合
A． B． C． D．
2．已知复数z满足(i是虚数单位)，则
A． B． C． D．
3．要得到函数的图像，只要将函数的图像
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．已知向量，则
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是
A．若 B．若
C．若 D．若
6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7．若
A． B．1 C．2 D．
8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q，则q的一个可能值为
A． B． C． D．
9．已知两点，若曲线上存在点P，使得，则正实数*a*的取值范围为
A．(0，3\] B．\[1，3\] C．\[2，3\] D．\[1，2\]
10．抛物线三点，F是它的焦点，若成等差数列，则
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
11．已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF~1~F~2~的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为
A．(1，2\] B．(1，2) C．(0，2\] D．(2，3\]
12．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且关于*x*的方程在区间(0，3\]上有两解，则实数*a*的取值范围是
A．(0，5\] B． C．(0，5) D．\[5，+∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设直线相交于A，B两点，且弦长为，则*a*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)
（一）必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零，且满足成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前*n*项和.\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
18．(本小题满分12分)已知函数上单调递增，在区间上单调递减．如图，在四边形OACB中，分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．
(1)证明：.
(2)若，求四边形OACB面积的最大值．
19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．
(1)求证：；
(2)若，求二面角D---PC---B的正弦值．\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
\[来源:Zxxk.Com\]
20\. (本小题满分12分)已知椭圆，椭圆C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上位于*x*轴上方的动点，且，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点．
(1)求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；
(2)T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求△TPA的面积的最大值．
\[来源:\]
21．(本小题满分12分)已知函数．
(1)若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若有两个极值点的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4---4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线*l*的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线C~1~与圆C的交点为O，P两点，与直线*l*的交点为Q，求线段PQ的长．
23．(本小题满分10分)选修4---5：不等式选讲
已知函数．
(1)若的解集为的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数*a*的取值范围．
\
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**2020-2021学年江西省赣州市定南县一年级（上）期末数学试卷**
**一、填一填。（每空1分，共32分。）**
1．（4分）看图写数。
2．（2分）19里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一．
3．（1分）1个十和5个一合起来是[ ]{.underline}．
4．（2分）有[ ]{.underline}个圆柱，[ ]{.underline}个球。
5．（2分）分针指向[ ]{.underline}，时针指向[ ]{.underline}，是8时。
6．（7分）按规律填数。
7．（4分）在〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
------- -------- ---------- ---------
13〇9 5+3〇8 10﹣4〇4 9+8〇16
------- -------- ---------- ---------
8．（4分）在〇里填上"+"或"﹣"。
----------- ---------- ---------- -----------
18〇5＝13 9〇2＝11 7〇3＝10 15〇5＝10
----------- ---------- ---------- -----------
9．（6分）填上合适的数。
[ ]{.underline}+6＝10 9+[ ]{.underline}＝15 15﹣[ ]{.underline}＝5
---------------------------- ---------------------------- ----------------------------
[ ]{.underline}+10＝12 17﹣[ ]{.underline}＝9 8+[ ]{.underline}＝16
**二、算一算（16+8＝24分）**
10．（16分）算一算。
8+3＝ 4+5＝ 7﹣3＝ 7+2＝
--------- --------- ---------- ---------
0+6＝ 9﹣0＝ 5+8＝ 7+8＝
14﹣4＝ 9+9＝ 11﹣10＝ 10﹣5＝
13+5＝ 18﹣7＝ 9+6＝ 8+4＝
11．（8分）
---------- ---------- ----------- ----------
3+5﹣7＝ 9﹣8+6＝ 14﹣4+6＝ 5+9﹣4＝
---------- ---------- ----------- ----------
**三、认一认。（每空1分，共6分）**
12．（6分）认一认。
**四、我会画，也会填。（6+6＝12分）**
13．（6分）我会画，也会填。
> ①画△，比多2个。
>
> [ ]{.underline}
>
> ②画〇比少6个。
>
> [ ]{.underline}
14．（6分）
> ①共有[ ]{.underline}个图形。
>
> ②正方体有[ ]{.underline}个，长方体有[ ]{.underline}个，圆柱有[ ]{.underline}个，球有[ ]{.underline}个。
>
> ③把左边5个圈起来。
**五、看图写算式（共2小题，满分6分）**
15．（3分）看图写算式。
16．（3分）看图写算式。
**六、解决问题。（每题5分，共20分）**
17．（5分）停车场停了7辆车。
18．（5分）学校图书馆里有19本《数学故事》。还有多少本？
19．（5分）原来有几个苹果？
20．（5分）一共有18个萝卜。
> 还剩多少个？
**2020-2021学年江西省赣州市定南县一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填一填。（每空1分，共32分。）**
1．（4分）看图写数。
> 【分析】图1，共有5个正方体；
>
> 图2，左边一捆小棍是10根，右侧还有3根，合起来是13根；
>
> 图3，十位上有1珠子，表示1个十，个位上有6个珠子，表示有6个1，所以这个数是16；
>
> 图4，十位上有两个珠子，表示2个十，个位上没有珠子，表示0，所以这个数是20。
>
> 【解答】解：图1，共有5个正方体；
>
> 图2，是13根小棍；
>
> 图3，这个数是16；
>
> 图4，这个数是20。
>
> 故答案为：
>
> 5，13，16，20。
>
> 【点评】这道题解题的关键是会正确的写数。
2．（2分）19里面有[ 1 ]{.underline}个十和[ 9 ]{.underline}个一．
> 【分析】根据数位顺序表中数位和它们对应的计数单位以及十进制的定义可以解决问题．
>
> 【解答】解：1在十位上，表示1个十；9在个位上，表示9个一；所以19里面有1个十和9个一．
>
> 故答案为：1；9．
>
> 【点评】此题考查了数的组成．
3．（1分）1个十和5个一合起来是[ 15 ]{.underline}．
> 【分析】这个数是一个两位数，最高位是十位，1个十也就是十位上是1，5个一也就是个位上是5，写这个数时从高位写起；这个数写作：15．解答即可．
>
> 【解答】解：1个十和5个一合起来是：15．
>
> 故答案为：15．
>
> 【点评】本题是考查整数的写法，关键是弄清每位上的数字．
4．（2分）有[ 3 ]{.underline}个圆柱，[ 2 ]{.underline}个球。
> 【分析】根据圆柱、球的特征，数一数，完成填空即可。
>
> 【解答】解：有3个圆柱，2个球。
>
> 故答案为：3；2。
>
> 【点评】本题主要考查位置的辨别，关键是根据几何图形的特点做题。
5．（2分）分针指向[ 12 ]{.underline}，时针指向[ 8 ]{.underline}，是8时。
> 【分析】本题涉及到钟表的时间问题。知道认识时钟，此题很容易解决。当时针不偏不倚地指向8时，分针不偏不倚地指向12时，代表的时间是8时。
>
> 【解答】解：当时钟显示8时，则时针不偏不倚地指向8时，分针不偏不倚地指向12时。
>
> 故答案为：12；8。
>
> 【点评】考查时间与钟面的知识，属于简单问题。
6．（7分）按规律填数。
> 【分析】（1）规律：依次加1；
>
> （2）规律：依次减2。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
7．（4分）在〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
------- -------- ---------- ---------
13〇9 5+3〇8 10﹣4〇4 9+8〇16
------- -------- ---------- ---------
> 【分析】先求出算式的值，再比较大小即可求解；
>
> 比较整数的大小，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大，那个数就大。
>
> 【解答】解：13＞9；
>
> 5+3＝8；
>
> 10﹣4＝6，6＞4，即10﹣4＞4；
>
> 9+8＝17，17＞16，即9+8＞16。
>
> 故答案为：＞，＝，＞，＞。
>
> 【点评】考查了整数的加法和减法，整数大小的比较，关键是求出算式的结果。
8．（4分）在〇里填上"+"或"﹣"。
----------- ---------- ---------- -----------
18〇5＝13 9〇2＝11 7〇3＝10 15〇5＝10
----------- ---------- ---------- -----------
> 【分析】根据20以内加减法的计算方法求解即可。
>
> 【解答】解：18﹣5＝13；9+2＝11；7+3＝10；15﹣5＝10。
>
> 故答案为：﹣，+，+，﹣。
>
> 【点评】解决本题关键是找清楚数的大小的变化，熟练掌握20以内的加减法。
9．（6分）填上合适的数。
[ 4 ]{.underline}+6＝10 9+[ 6 ]{.underline}＝15 15﹣[ 10 ]{.underline}＝5
---------------------------- ---------------------------- -----------------------------
[ 2 ]{.underline}+10＝12 17﹣[ 8 ]{.underline}＝9 8+[ 8 ]{.underline}＝16
> 【分析】根据整数加减法中各部分的关系，口算出结果，并完成填空。
>
> 【解答】解：
4+6＝10 9+6＝15 15﹣10＝5
---------- ---------- -----------
2+10＝12 17﹣8＝9 8+8＝16
> 故答案为：4，6，10，2，8，8。
>
> 【点评】本题主要考查20以内加减法的运算，关键根据加减法运算中各部分的关系做题。
**二、算一算（16+8＝24分）**
10．（16分）算一算。
8+3＝ 4+5＝ 7﹣3＝ 7+2＝
--------- --------- ---------- ---------
0+6＝ 9﹣0＝ 5+8＝ 7+8＝
14﹣4＝ 9+9＝ 11﹣10＝ 10﹣5＝
13+5＝ 18﹣7＝ 9+6＝ 8+4＝
> 【分析】根据20以内整数加减法的计算方法直接进行口算即可。
>
> 【解答】解：
8+3＝11 4+5＝9 7﹣3＝4 7+2＝9
----------- ----------- ----------- ----------
0+6＝6 9﹣0＝9 5+8＝13 7+8＝15
14﹣4＝10 9+9＝18 11﹣10＝1 10﹣5＝5
13+5＝18 18﹣7＝11 9+6＝15 8+4＝12
> 【点评】直接写得数时，要注意运算数据和运算符号细心计算即可。
11．（8分）
---------- ---------- ----------- ----------
3+5﹣7＝ 9﹣8+6＝ 14﹣4+6＝ 5+9﹣4＝
---------- ---------- ----------- ----------
> 【分析】根据整数加减法的运算法则计算即可。
>
> 【解答】解：
----------- ----------- ------------- ------------
3+5﹣7＝1 9﹣8+6＝7 14﹣4+6＝16 5+9﹣4＝10
----------- ----------- ------------- ------------
> 【点评】本题主要考查整数加减法的运算，关键老陈学生的计算能力。
**三、认一认。（每空1分，共6分）**
12．（6分）认一认。
> 【分析】当分针指向12时，时针指向几就是几时整；不是整时时，时针刚过几就是几时，分针指向多少分，就是几时多少分；时刻的简记方法是去掉时间单位，时、分之间用"："隔开；据此解答即可。
>
> 【解答】解：（1）分针指向12，时针指向9，是9时，9时可简记为9：00；
>
> （2）分针指向12，时针指向11，是11时，11时可简记为11：00；
>
> （3）分针指向12，时针指向7，是7时，7时可简记为7：00。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】此题主要考查钟面的认识，当分针指向12时，时针指向几就是几时整；不是整时时，时针刚过几就是几时，分针指向多少分，就是几时多少分；时刻的简记方法是去掉时间单位，时、分之间用"："隔开。
**四、我会画，也会填。（6+6＝12分）**
13．（6分）我会画，也会填。
> ①画△，比多2个。
>
> [ △△△△△△△△ ]{.underline}
>
> ②画〇比少6个。
>
> [ 〇〇 ]{.underline}
>
> 【分析】①有6个，画△比多2个，则△应该画6+2＝8（个）；
>
> ②有8个，画〇比少6个，则〇应该画8﹣6＝2（个）。
>
> 【解答】解：①6+2＝8（个）；所以画8个△，如图：△△△△△△△△；
>
> ②8﹣6＝2（个），所以画2个〇，如图：〇〇。
>
> 故答案为：①△△△△△△△△；②〇〇。
>
> 【点评】本题考查了比多少的问题，关键是数准比较图形的个数和确定要画出图形的个数。
14．（6分）
> ①共有[ 9 ]{.underline}个图形。
>
> ②正方体有[ 3 ]{.underline}个，长方体有[ 2 ]{.underline}个，圆柱有[ 3 ]{.underline}个，球有[ 1 ]{.underline}个。
>
> ③把左边5个圈起来。
>
> 【分析】①数一数，即可知一共有几个图形。
>
> ②根据长方体、正方体、圆柱、球的特征，数出各图形的个数。
>
> ③分清左右，圈出左边的5个图形。
>
> 【解答】解：①共有9个图形。
>
> ②正方体有3个，长方体有2个，圆柱有3个，球有1个。
>
> ③把左边5个圈起来，如图：
>
> 故答案为：9；3，2，3，1。
>
> 【点评】本题主要考查位置的辨别，关键是分清左右做题。
**五、看图写算式（共2小题，满分6分）**
15．（3分）看图写算式。
> 【分析】一共有9本书，外面有5本，求书包里面有几本，用9减去5即可求解。
>
> 【解答】解：9﹣5＝4（本）
>
> 答：书包里面有4本。
>
> 【点评】本题主要考查了简单的9以内数的减法的意义，关键是看懂图意，然后再进一步解答。
16．（3分）看图写算式。
> 【分析】筐子里有10个茄子，外面有4个茄子，要求一共有几个茄子，用10加上4即可。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查了20以内数的加法的计算方法，关键是看懂图意，然后再进一步解答。
**六、解决问题。（每题5分，共20分）**
17．（5分）停车场停了7辆车。
> 【分析】用原来的辆数加上又开来的辆数，求现在的辆数。
>
> 【解答】解：7+9＝16（辆）
>
> 答：现在有16辆。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清图意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式计算。
18．（5分）学校图书馆里有19本《数学故事》。还有多少本？
> 【分析】图书馆里有19本《数学故事》，借走了8本，要求还剩下几本，用19减去8即可求解。
>
> 【解答】解：19﹣8＝11（本）
>
> 答：还剩11本。
>
> 【点评】本题主要考查了整数减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
19．（5分）原来有几个苹果？
> 【分析】用吃了的个数加上剩下的个数，求原来的个数即可。
>
> 【解答】解：8+6＝14（个）
>
> 答：原来有14个苹果。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
20．（5分）一共有18个萝卜。
> 还剩多少个？
>
> 【分析】用总个数减去左边兔子吃的个数，减去右边兔子吃的个数，就是剩余个数。
>
> 【解答】解：18﹣3﹣4
>
> ＝15﹣4
>
> ＝11（个）
>
> 答：还剩11个。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式计算。
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日期：2021/4/26 16:56:53；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4.中三边上的高依次为，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
5.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等
式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7.已知等式，定义映射
，则（ ）
A． B． C． D．\[来源:Zxxk.Com\]
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，
俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）\[来源:\]
A．1 B． C． D．
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成
绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的
学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A． B． C． D．
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量的值的计算公式：
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．67
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.
如：，依次类推可得：\[来源:Zxxk.Com\]
，其中.设
，则的最小值为（ ）\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
 A． B． C． D．
12.已知，直线与函数的图像在处相切，设
，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
程序框图，输出的值是 [ ]{.underline} .
14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则
[ ]{.underline} .
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标
平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则
在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的
方程为 [ ]{.underline} .
16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，
，则的最小值为 [ ]{.underline} .
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，，
又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促
销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草
莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，
由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择
一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，
并计算其数学期望和方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线
的准线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以
为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）设为实数，函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）设函数当有两个极值点时，总有
，求实数的值（为的导函数）.
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线
分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为
参数）距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式.
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**小学数学小升初鸡兔同笼、牛吃草应用题闯关**
1．小明玩抛硬币游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝上就向前走15步，背面朝上就向后退10步，小明一共抛了10次，结果向前走了100步，硬币正面朝上多少次？背面朝上多少？
2．一只蜘蛛有8条腿，一只蜻蜓有6条腿2对翅膀，蝉有6条腿1对翅膀，现在有三种昆虫共18只，腿118条，翅膀20对，那么三种昆虫各有多少只？
3．某农民饲养了鸡和兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔脚多16只，问鸡和兔各多少只？
4．体育馆里正在进行乒乓球比赛，42位选手在15张乒乓球桌上进行比赛，正在单打和双打的乒乓桌各有几张？
5．学校棋类小组有象棋和跳棋共20副，恰好可供60个学生同时进行活动。象棋2人下一副，跳棋6人下一副。象棋和跳棋各有几副？
6．某慈善机构为福利院募捐组织了一场义演，学生票和成人票共售出1500张，筹款19500元。学生票每张10元，成人票每张15元，学生票和成人票各售出多少张？
7．弟弟买6角和8角的邮票共12枚，用去8.8元，这两种邮票弟弟各买了多少张？
8．一个剧团去外地演出，休息一天，就要付出60元的剧场租金，演出一天，扣去场租、杂项开支，平均可收入240元。现租用剧场30天，演出共收入4200元，这个剧团演出多少天？
9．小白兔晴天每天可拔24个萝卜，雨天每天可拔16个萝卜，这几天我共拔了168个萝卜，平均每天拔21个，同学们，请算一算，这几天有几天晴天？
10．小红用自己的零花钱给四川灾区捐款，她捐的信封里共有25张一元和五角的纸币，共值19元。信封里各有多少张一元和五角的纸币？
11．叶小小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？
12．搬运4000个玻璃瓶，规定搬一个得运费0.2元，但打碎一个要赔1.3元．如果运完后共得运费780.5元，搬运中打碎几个瓶子？
13．托运玻璃仪器250箱，合同规定每箱运费20元，若有损失，被损坏的箱不仅不给运费，还要每箱赔偿损失费100元，运输结算时要想获得运费，最多只能损坏多少箱？
14．在一个箱子中放有若干个红球和白球，如果摸出红球奖励15分，摸出白球倒扣8分。小明摸了17次，共得117分，他摸出红球的次数是多少？（用列表法解题）
15．王老师给班里买了甲、乙两种笔共50支作为奖品，甲种笔每支2元，乙种笔每支1.4元，共用去了78.4元，求买甲种笔用的钱数是乙种笔所用钱数的百分之几？
16．小丽买贺年卡和明信片共14张，花了40元。贺年卡每张2.5元，明信片每张3.5元。小丽买的贺年卡与明信片各有多少张？
17．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
18．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？
19．一片草地，每天都匀速长出青草，这片草地可供8头牛吃20天或15头牛吃15天，那么这片草地可供16头牛吃几天？
20．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完。现在要想在2小时内淘完，需要多少人？
21．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口。20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟后就没有人排队？
22．某商场八时三十分开门，但早有人来等候。从第一个顾客来到时起，每分钟来的顾客数一样多。如果开三个入口，八时三十九分就不再有人排队：如果开五个入口，八时三十五分就不再有人排队。那么，第一个顾客到达时是几点几分？
23．有一口井，用四部抽水机40分钟可以抽干，若用同样的抽水机6部，24分钟可以抽干，那么，同样用抽水机5部，多少时间可以抽干？
24．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少亿人？
25．有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
26．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水。如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完。如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？
27．两位男女实验者逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？
28．入冬及其它原因，某片草地的草每天自然减少且减少的速度相同。这片草地可供8头牛吃10天，或供26头牛吃4天。供16头牛吃，能吃几天？
29．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？
30．羊村有一批青草，若8只大羊和10只小羊一起吃，则可以吃12天，已知两只小羊每天吃的草量与一只大羊吃的草量相等。那么，这批青草可供多少只小羊和5只大羊吃8天？
31．沿着匀速成上升的自动扶梯，甲从上朝下走到底走了150级，乙从下朝上走到顶走了75级。如果甲每分钟走的扶梯级数是乙的3倍，那么这部自动扶梯有多少级？
32．米老鼠和唐老鸭共20只，每只米老鼠每天吃花生米12粒，每只唐老鸭每天吃花生20粒，如果在花生米中拌糖水，每只米老鼠和唐老鸭每天都要多吃5粒。6天中只有前两天吃的花生米中拌糖水，米老鼠和唐老鸭共吃花生米2072粒。米老鼠有多少只？
33．笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有9个头，从下面数，有28只脚，鸡、兔各有几只？
（A）假设法：
（B）用方程解答：
（C）列表法：
34．笼子里有鸡和兔若干，数头12个，数脚30只，问问笼里鸡、兔个几只？
35．鸡与兔子同笼，一共200只，鸡的脚数比兔子的脚数多40只，鸡兔各有多少只？
36．一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供10头牛吃20周，或供15头牛吃10周。那么可供25头牛吃几周？
**参考答案**
1．8次，2次
【解析】落下后正面朝上就向前走15步，背面朝上就向后退10步，那么硬币一次正面朝上与一次背面朝上走的步数就相差（10+15=25）步，弄清了这个关系解这道题就不难了。
解：假设10次全是正面朝上，那么向前走的步数就是：
15×10=150（步）
与实际相差的步数：150-100=50（步）
背面朝上的次数：50÷（10+15）=2（次）
正面朝上的次数：10-2=8（次）
答：硬币正面朝上8次，背面朝上2次。
点评：鸡兔同笼问题。假设法很常用，关键要理解：落下后正面朝上就向前走15步，背面朝上就向后退10步，那么硬币一次正面朝上与一次背面朝上走的步数就相差（10+15=25）步。
考点：鸡兔同笼。
2．蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只
【解析】蜻蜓和蝉都有6条腿，只有蜘蛛是8条腿。所以第一步可以考虑6腿昆虫和8腿昆虫，这样就只剩两类，假设18只全是6腿昆虫，则应该有18×6=108条腿，比实际少118-108=10条腿，因为每只蜘蛛比每只6腿昆虫多8-6=2条腿，所以蜘蛛有：10÷2=5（只）；
则6腿昆虫有18-5=13（只），由于蜘蛛没有翅膀，再假设13只全是蝉，应该有13×1=13对翅膀，比实际少20-13=7对，又因为每只蝉比每只蜻蜓少2-1=1对翅膀，所以蜻蜓有：7÷（2-1）=7（只），进而求出蝉的只数即可。
解：（1）假设18只动物全是6条腿的，那么蜘蛛的只数就是：
蜘蛛：（118-18×6）÷2
=（118-108）÷2
=10÷2
=5（只）
（2）6条腿的虫应有：18－5=13（只）。
假设剩下的13只全是蝉，那么蜻蜓的只数就是：
（20－1×13）÷（2－1）
=7÷1
=7（只）
则蝉的只数就是13－7=6（只）
答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。
3．鸡有18只，兔子有5只
【解析】假设鸡兔的脚数相同，则鸡的脚数应比兔的脚数多2×13=26只，这比实际多了26-16=10（只），因为我们把鸡当成了兔子，每只多算了4-2=2只脚，所以可以算出兔子的只数，列式为：10÷2=5（只），那么鸡就有：13+5=18（只）；据此解答。
解：假设鸡兔的脚数相同。
兔子：（2×13-16）÷（4-2）
=10÷2
=5（只）
鸡：13+5=18（只）
答：鸡有18只，兔子有5只。
点评：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。
4．单打的有9桌，双打的有6桌。
【解析】现假设所有桌上都是两个人，即15×2=30（人），而实际上却有42人，多出了42-30=12（人）；而每个双打桌比单打多出2个人，所以只有12÷2=6个双打桌，才能安下所有人。所以有6个双打桌，15-6=9个单打桌。
解：双打桌数：（42－15×2）÷（4－2）
=（42－30）÷2
=12÷2
=6（桌）
单打桌数：15－6=9（桌）
答：单打的有9桌，双打的有6桌。
5．象棋有15副，跳棋有5副
【解析】假设全是象棋，则有20×2=40人，这样就少了60-40=20（人），因为一副跳棋比一副象棋少算了6-2=4（人），即跳棋有20÷4=5（副）；进而求出象棋。
解：假设全是象棋，
跳棋：（60-20×2）÷（6-2）
=20÷4
=5（副）
象棋：20-5=15（副）
答：象棋有15副，跳棋有5副。
考点：鸡兔同笼。
6．学生票600张，成人票900张。
【解析】假设全是成人票，则需要筹款1500×15=22500元，这比已知的19500元多了22500-19500=3000（元），因为一张成人票比一张学生票多15-10=5（元），据此可得学生票是3000÷5=600（张），则成人票是1500-600=900（张）。
解：（1500×15-19500）÷（15-10）
=3000÷5
=600（张）
则成人票是：1500-600=900（张）
答：学生票600张，成人票900张。
7．8角的邮票有8张，6角的邮票有4张。
【解析】假设弟弟买的全是8角的邮票，则一共用去12×8=96（角）=9.6（元），比已知的8.8元多了9.6-8.8=0.8（元），因为1张8角的邮票比1张6角的邮票多0.2元，由此求出6角的邮票有：0.8÷0.2=4（张）。
解：8角=0.8元，6角=0.6元，
假设全是8角的邮票，则6角的邮票有：
（12×0.8-8.8）÷（0.8-0.6）
=0.8÷0.2
=4（张）
所以8角的邮票有：12-4=8（张）
答：8角的邮票有8张，6角的邮票有4张。
8．20天
【解析】根据题干可知，假设30天全部演出，则实际收入应该是240×30=7200（元），这就比已知的收入4200元多了7200-4200=3000（元），因为演出一天，可收入240元，休息一天，不仅不能得到240元，还要付出60元，所以可以看做是演出一天比休息一天可以多收入240+60=300（元），所以可求出休息了：3000÷300=10（天），则实际演出了30-10=20（天）。
解：假设演出30天，则休息了：
（240×300-4200）÷（240+60）
=3000÷300
=10（天）
则实际演出了：30-10=20（天）
答：这个剧团演出了20天。
9．5天
【解析】共拔了168个萝卜，平均每天拔21个，据此可以求出一共拔了168÷21=8（天），假设8天全是雨天，则一共拔萝卜16×8=128（个），这比已知的168个少了168-128=40（个），又因为晴天比雨天多拔24-16=8（个），所以可求出晴天有40÷8=5（天）。
解：168÷21=8（天）
（168－16×8）÷（24－16）
=40÷8
=5（天）
答：晴天有5天。
考点：鸡兔同笼。
10．信封里有13张一元和12张五角的纸币。
【解析】假设25张纸币都是一元的，那么应该有钱25元，而现在只有19元，多出了25-19=6（元），用一元的纸币换五角的，就少了0.5元，6元可以换五角6÷0.5=12（张），因此五角的是12张，一元的就是25-12=13（张）。
解：五角的张数：
（25-19）÷（1-0.5）
=6÷0.5
=12（张）
一元的张数：25-12=13（张）
答：信封里有13张一元和12张五角的纸币。
11．21道
【解析】答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，由此可得：答对一题比答错一题多得13分；
（1）假设小明全部答对，则应得100分，而比实际多了100-74=26（分），由此即可求出答错了26÷13=2（道）题，则答对了10-2=8（道）题；
（2）同样的道理，可以求出小华和小红答对的题数。
解：（1）假设小明全部答对，则小明做错的题目是：
（10×10－74）÷（10+3）
=26÷13
=2（道）
则小明答对了：10－2=8（道）
（2）假设小华全部答对，则小华做错的题目是：
（10×10-22）÷（10+3）
=78÷13
=6（道）
则小华答对了：10-6=4（道）
（3）假设小红全部答对，则小红做错的题目是：
（10×10-87）÷（10+3）
=13÷13
=1（道）
则小红答对了：10-1=9（道）
所以他们一共答对了：8+4+9=21（道）
答：他们一共答对了21道题。
12．13个
【解析】假设一只也没打碎，则需要运费：4000×0.2=800（元），结果实际少需要：800-780.5=19.5（元），但打碎一只，就要损失搬运费0.2元，还要赔偿1.3元，打碎一只实际损失0.2+1.3=1.5（元），即打碎一个玻璃瓶要从总钱数中扣除1.5元，一共扣的钱数也可以求出。
解：（4000×0.2-780.5）÷（1.3+0.2）
=19.5÷1.5
=13（个）
答：搬运中打碎13个瓶子。
13．41箱
【解析】假设运输结算时获得的运费为0元，如果一个也没损坏，将会获得运费：20×250=5000（元），两者相差了5000元，又因为每损坏一箱就会少得运费：100+20=120（元），因此根据这两个差可以求出损坏的箱数，列式为：5000÷120≈41.7（箱），所以最多只能损坏41箱。
解：假设运输结算时获得的运费为0元。
（20×250-0）÷（100+20）
=5000÷120
≈41.7（箱）
≈41箱
答：运输结算时要想获得运费，最多只能损坏41箱。
考点：鸡兔同笼。
14．11次
【解析】由题意得：红球次数×15-白球次数×8=117，所以红球的数量一定比白球的次数多，17÷2=8.5，所以可以从红球的次数是9次开始列表推导。
解：由题意列表得：
---------------- -------- -------- ---------
**红球（个）** **9** **10** **11**
**白球（个）** **8** **7** **6**
**总分（分）** **71** **94** **117**
---------------- -------- -------- ---------
答：他摸出红球的次数是11次。
考点：鸡兔同笼。
15．55.6%
【解析】根据假设全是买的甲种笔，则应该花掉50×2=100（元），这比已知的78.4元多出100-78.4=21.6（元），又因为一支甲种笔比乙种笔多2-1.4=0.6（元），则可得出乙种笔有21.6÷0.6=36（支），则甲种笔有50-36=14（支），据此根据单价×数量，求出两种笔花掉的钱数，再用甲种笔的钱数除以乙种笔的钱数即可解答。
解：假设全是买的甲种笔，则乙种笔有：
（50×2－78.6）÷（2－1.4）
=21.6÷0.6
=36（支）
50－36=14（支）
14×2÷（36×1.4）
=28÷50.4
≈55.6%
答：买甲种笔用的钱数是乙种笔所用钱数的55.6%。
16．9张贺年卡，5张明信片
【解析】假设都买明信片，则花14×3.5=49元，这样就多出49-40=9元，每张明信片的比每张贺年卡多花3.5-2.5=1（元），也就是有9÷1=9（张）贺年卡；进而得出买了14-9=5（张）明信片。
解：贺年卡：（3.5×14-40）÷（3.5-2.5）=9（张）
明信片：14-9=5（张）
答：他买了9张贺年卡，5张明信片。
17．5天
【解析】草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。即：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
解：设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20-15×10=50。
为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20-10）=10（天）生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10=5。
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的5头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10-5）×20=100。
那么：第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；
每天生长草量50÷10=5。
原有草量（10-5）×20=100或200-5×20=100。
25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20=5（天）。
答：可供25头牛吃5天。
点评：这类问题的基本数量关系是：
1、（牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）=草地每天新长草量。
2、牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
考点：牛吃草问题。
18．12天
【解析】根据题意，设每头牛每天吃"1"份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数。
解：设每头牛每天吃"1"份草。
每天新生草量为：
（23×9-27×6）÷（9-6）
=（207-162）÷3
=45÷3
=15（份）
原有草量为：27×6-15×6=72（份）
21头牛吃的天数：
72÷（21-15）
=72÷6
=12（天）
答：这片牧草可供21头牛吃12天。
19．10天
【解析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（15×15-20×8）÷（20-15）=13（份）；然后求出草地原有的草的份数15×15-13×15=30（份）；再让16头牛中的13头吃生长的草，剩下的16-13=3（头）牛吃草地原有的30份草，可吃：30÷3=10（天）。
解：假设每头牛每天吃青草1份。
青草的生长速度：
（15×15-20×8）÷（20-15）
=65÷5
=13（份）
草地原有的草的份数：
15×15-13×15
=225-195
=30（份）
每天生长的13份草可供13头牛去吃，那么剩下的16-13=3头牛吃30份草：
30÷（16-13）
=30÷3
=10（天）
答：这片草地可供16头牛吃10天。
20．17人
【解析】设每人每小时淘水1份，根据"如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完。"可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10-5×8）÷（10-5）=2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5-2×5=30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2=17（人）。
解：设每人每小时淘水1份。
（1×10－5×8）÷（10－5）
=10÷5
=2（份）
（30＋2×2）÷2
=34÷2
=17（人）
答：现在要想在2小时内淘完，需要17人。
21．10分钟
【解析】此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即400人；二是开门后每分钟来的人数是固定的。按开4个入场口的已知条件，可求出开门后每分钟来的人数。然后设开放6个入场口开门后x分钟后没有人排队，可按以下两种方式求出开门后x分钟总进场人数：一是根据每钟1个入场口进客人数可得开6个入场口x分钟的进场人数；二是根据开门后x每钟来的固定人数加开门前排队的400人，根据这个等量关系即可列出方程解答。
解：4个入场口20分钟进入的人数是：
10×4×20=800（人），
开门后20分钟来的人数是：800-400=400（人），
开门后每分钟来的人数是：400÷20=20（人），
设开6个入场口x分钟后没有人排队，由题意列方程得
10×6×x=400+20x，
40x=400，
x=10，
答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队。
考点：牛吃草问题。
22．8点12分
【解析】设每个入口每分钟来商场的人数为一份；先根据"如果开三个入口，八时三十九分就不再有人排队：如果开五个入口，八时三十五分就不再有人排队。"利用：份数差÷入口差求出每个入口每分钟增加的人数，列式为：（9×3-5×5）÷（5-3）=1（份）；然后再求出每个入口原有的人数即八时三十分前等候的人数，列式为9×3-1×9=18（份）；进而根据每分钟增加的人数为1份，用总共增加的总人数18份除以1，即可求出从第一个顾客来到时起，到八时三十分开门经过的时间，18÷1=18（分钟）；那么所以第一个顾客到达时是：8：30-18=8：12；
解：设每个入口每分钟来商场的人数为一份；
从八时三十分到八时三十九分经过了：9分钟；从八时三十分到八时三十五分经过了：5分钟；
每个入口每分钟增加的人数：（9×3-5×5）÷（5-3）=2÷2=1（份）；
每个入口原有等候的人数：9×3-1×9=27-9=18（份）；
从第一个顾客来到时起，到八时三十分开门经过的时间是：
18÷1=18（分钟）；
所以第一个顾客到达时是：
8：30-18=8：12；
答：第一个顾客到达时是8点12分。
23．30分钟
【解析】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（井每分钟涌出的水量）和不变的量（井里原有的水量）；由于每台抽水机的工作效率是一定的，所以可以用4部抽水机和6部抽水机的工作总量之差÷时间差（40-24）即为井每分钟涌出的水量，然后用四部抽水机40分钟的工作总量-40分钟涌出的水量就是井里原有的水量，进而可以求出同样用抽水机5部，多少时间可以抽干？
解：设每台抽水机每分钟的抽水量为1份。
井每分钟涌出的水量为：
（4×40-6×24）÷（40-24）
=16÷16
=1（份）
井里原有水量为：4×40-40×1=120（份）或6×24-24×1=120（份）；
井每分钟涌出的水即1份，要用1台抽水机去抽，剩下5-1=4（台）抽水机就要去抽原有的水：120÷（5－1）
=120÷4
=30（分钟）
答：同样用抽水机5部，30分钟可以抽干。
24．93.75亿人
【解析】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数-112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数。
解：设一亿人一年消耗的能源是1份。
那么一年新生的能源是：
（262.5×112.5-137.5×112.5）÷（262.5-112.5）
=112.5×（262.5-137.5）÷（262.5-112.5）
=14062.5÷150
=93.75（份）
要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）。
答：地球上最多能养活93.75亿人。
25．42头
【解析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；
因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260（份），所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84（份），所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24（份）；则每亩面积每天长24÷15=1.6（份）。所以，每亩原有草量60-30×1.6=12（份），第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4（份），原有草就有24×12=288（份），新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6（头）牛所以，一共需要38.4+3.6=42（头）牛来吃。
解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60
每亩45天的总草量为：28×45÷15=84
那么每亩每天的新生长草量为（84-60）÷（45-30）=1.6
每亩原有草量为：60-1.6×30=12
那么24亩原有草量为：12×24=288
24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072
24亩80天共有草量3072+288=3360
所以有3360÷80=42（头）
答：第三块地可供42头牛吃80天。
考点：牛吃草问题。
点评：熟练应用关系式："牛吃的草量－生长的草量=消耗原有草量"解题。
26．14个
【解析】排水问题对照"牛吃草问题"，蓄水池原注入的水量相当于"原有的草量"，打开出水管时新注入的水量相当于"新生长的草量"，每小时注入的水量相当于"每天新生长的草量"。
解：(1)每小时新注入的水量是：
（5×8-10×3）÷（10-5）
=（40-30）÷5
=10÷5
=2（个）
(2)排水前原有的水量是：
10×3-2×3
=30-6
=24（个）
（3）蓄水池2小时的总水量是：
24+2×2=28（个）
4.2小时把池内的水排完需要安排同样的出水管数是：28÷2=14（个）
答：要想2小时内把池内的水排完需要安排同样的14个出水管。
27．54级
【解析】2分钟=120秒，3分钟=180秒。 男孩走了2分钟到达另一端，走了（120÷20）×27=162（级）； 女孩走了3分钟到达另一端，走了（180÷20）×24=216（级）。 求出电动扶梯每分钟走的级数即可解答。
解：2分钟=120秒，3分钟=180秒。
电动扶梯每分钟走：
\[（180÷20）×24-（120÷20）×27\]÷（3-2）
=216-162
=54（级）
电动扶梯共有：
（120÷20）×27-54×2=54（级）
答：该扶梯共54级。
28．6天
【解析】设每头牛每天吃早1份，根据"8头牛吃10天，或供26头牛吃4天。"可以求出草每天生长的份数：（26×4-8×10）÷（10-4）=4（份）；再根据"8头牛吃10天，"可以求出草地原有的草的份数：（8+4）×10=120（份）；由于草每天减少4份，供16头牛吃就相当于有（16+4）20头牛吃120份，可以求出能吃的天数：120÷20=6（天）。
解：设每头牛每天吃草1份，则草每天减少：
（26÷4－8×10）÷（10－4）
=（104－80）÷6
=24÷6
=4（份）
由于草每天减少4份，就相当于每天增加了4头牛吃草，那么草地原有的草的份数：
（8+4）×10=12×10=120（份）
16头牛吃：120÷（16+4）=120÷20=6（天）
答：供16头牛吃，能吃6天。
29．15米
【解析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬； 20×5=100（分米）； 另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）。 黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。说明，每夜下滑：100-90=10（分米）。 那么井深就是：（10+20）×5=150（分米），150分米=15米，或：（15+10）×6=150（分米），150分米=15米。
解：（20×5－15×6+20）×5
=30×5
=150（分米）
150分米=15米
答：井深15米。
考点：牛吃草问题。
30．29只
【解析】根据题意，假设一只小羊每天吃1份草，那么大羊每天吃2份草；由若8只大羊和10只小羊一起吃，则可以吃12天，可得这批草共有（8×2+10）×12=312（份）；5只大羊8填可吃5×2×8=80（份），还剩下312-80=232（份），再除以8即可。
解：假设一只小羊每天吃1份草；
这批青草共有：（8×2+10）×12=312（份）；
5只大羊8天吃青草：5×2×8=80（份）；
可供小羊的只数是：（312-80）÷8=29（只）。
答：可供29只小羊和5只大羊吃8天。
31．120级
【解析】甲沿着向上的自动扶梯从上向下走到底，逆向行走，自动扶梯卷入的部分是浪费了的。甲所走的级数=自动扶梯静止时的级数+逆向行走的同时扶梯卷入的级数。乙沿着自动扶梯从底向上走到头，是顺向行走，自动扶梯帮她少走了卷入的那部分级数。乙走的级数=自动扶梯静止时的级数－同向行走的同时扶梯卷入的级数。甲单位时间内走的级数是乙的3倍，他们所走的时间是相同的。自动扶梯卷入的级数也是相同的。由于乙从下朝上走到顶走了75级，此时甲应走225级，即甲走3次的时间=乙走二次的时间，则上述两个等式可以简化为：甲3次所走的级数450=自动扶梯静止时的级数×3+卷入的级数，乙走的级数150=自动扶梯静止时的级数×2-卷入的级数。两式相加即可求出结果。
解：（150×3+75×2）÷（3+2）
=（450+150）÷5
=120（级）
答：这部自动扶梯有120级。
32．11只
【解析】先求出前两天多吃的拌糖水的花生米的粒数：5×2×20=200（粒），那么假设每天都按原来的吃，6天共吃2072-200=1872（粒），每天吃：1872÷6=312（粒），再假设全部是唐老鸭那么1天共吃：20×20=400（粒），比实际多吃了：400-312=88（粒），是因为把每只米老鼠当作唐老鸭每天多算了：20-12=8（粒），所以有米老鼠：88÷8=11（只）。
解：先假设每天都按原来的吃。每天共吃：
（2072－5×2×20）÷6
=1872÷6
=312（粒）
再假设全部是唐老鸭。
米老鼠有：（20×20-312）÷（20-12）
88÷8=11（只）
答：米老鼠有11只。
考点：鸡兔同笼。
点评：本题需要两次假设，关键是求出按原来的吃法，每天米老鼠和唐老鸭共吃多少粒。
33．鸡有4只，兔有5只
【解析】（1）解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个（4-2）只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以（ 4-2 ），就可求出兔的只数；
（2）也可以设兔有x只，则鸡就是9-x只，根据脚的只数之和28，列出方程解解答；
（3）采用列表法解答，若鸡有1只，则兔有9－1=8（只），所以脚有1×2+8×4=34（只），与已知不相符，若鸡2只，则兔9－2=7（只），则脚有2×2+7×4=32（只），与已知不相符，以此类推即可求出与已知脚的只数相符的答案。
解：方法一：假设9只全是鸡，则有脚9×2=18（只），比已知少了28－18=10（只），所以兔有10÷（4－2）=5（只），则鸡有：9－5=4（只）。
方法二：设兔有x只，则鸡就是9-x只，根据题意可得方程：
4x+2（9-x）=28，
4x+18-2x=28，
2x=10，
x=5，
则鸡有9-5=4（只）
方法三：列表法：
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
鸡 1 2 3 4 5 6 7 8
兔 8 7 6 5 4 3 2 1
脚 34 32 30 28 26 24 22 20
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答：鸡有4只，兔有5只。
34．鸡9只，兔子3只
【解析】本题可以用假设法来解答，也可以用列表法解，假设法用的多些。
方法一：假设全部是鸡，则有脚12×2=24（只），比实际少30－24=6（只），
兔子只数：6÷2=3（只）
鸡的只数：12－3=9（只）
方法二：假设全部是兔子，则有脚12×4=48（只），比实际多48－30=18（只），
鸡的只数：18÷2=9（只）
兔子只数：12－9=3（只）
答：笼子里有鸡9只，兔子3只。
总结：在鸡兔同笼问题时，通常使用假设法，即假定全部是鸡或兔子，算出假定情况下的脚数和实际情况下的脚数，然后计算脚数的差值，最后推断出鸡和兔子的只数。
35．鸡有140只，兔子60只
【解析】假设全部是鸡，共有脚400只，这个时候兔子的脚数就是0，鸡的脚数比兔的脚数多400只，实际上鸡的脚数比兔多40只，鸡的脚数与兔子的脚数差比题中多了400－40=360（只），是因为我们把兔子也看成了鸡，现在把兔子变化成鸡。每把一只兔子换成鸡，鸡的脚数增加2只，兔子脚数减少4只，鸡脚与兔子脚的差数就增加了6只，因而，把鸡换成的兔子有360÷6=60（只），鸡就有200－60=140（只）。
答案：假设全部是鸡，共有脚400只，鸡的脚数与兔子的脚数差比题中多了400－40=360（只），每把一只兔子换成鸡，鸡脚2只，兔子脚4只，鸡脚与兔子脚的差数就增加了6只，兔子有360÷6=60（只），鸡就有200－60=140（只）。
答：鸡有140只，兔子60只。
总结：鸡兔同笼的变形问题，仍然使用假设法来进行解决。根据假定的脚数之差与题目中脚数的差推断鸡与图的只数。
36．5周
【解析】根据基本公式进行解答。
把一头牛一周所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)10头牛20周所吃的牧草为：10×20=200 (这200包括牧场原有的草和20周新长的草)
(2)15头牛10周所吃的牧草为：15×10=150(这150包括牧场原有的草和10周新长的草)
(3)1周新长的草为：(200-150)÷(20-10)=5
(4)牧场上原有的草为：10×20-5×20=100
(5)每周新长的草不够250头牛吃，25头牛减去20头，剩下5头吃原牧场的草：100÷(25-5)=100÷20=5(周)
答：可共25头牛吃5周。
总结：牛吃草问题的通用解法是用算术方法逐步分析求解。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数)；(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)；(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
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{width="0.3333333333333333in" height="0.5in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则*A*∩*B*中元素的个数为
> A．2 B．3 C．4 D．5
2．若，则*z*=
> A．1--i B．1+i C．--i D．i
3．设一组样本数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的方差为0.01，则数据10*x*~1~，10*x*~2~，...，10*x~n~*的方差为
> A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的Logistic模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
> A．60 B．63 C．66 D．69
5．已知，则
> A． B． C． D．
6．在平面内，*A*，*B*是两个定点，*C*是动点，若，则点*C*的轨迹为
> A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
7．设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：交于*D*，*E*两点，若*OD*⊥*OE*，则*C*的焦点坐标为
> A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）
8．点到直线距离的最大值为
> A．1 B． C． D．2
9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
{width="2.3958333333333335in" height="1.9965277777777777in"}
> A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
10．设*a*=log~3~2，*b*=log~5~3，*c*=，则
> A．*a*\<*c*\<*b* B．*a*\<*b*\<*c* C．*b*\<*c*\<*a* D．*c*\<*a*\<*b*
11．在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则tan*B*=
> A． B．2 C．4 D．8
12．已知函数*f*(*x*)=sin*x*+，则
> A．*f*(*x*)的最小值为2 B．*f*(*x*)的图像关于*y*轴对称
>
> C．*f*(*x*)的图像关于直线对称 D．*f*(*x*)的图像关于直线对称
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若*x*，*y*满足约束条件 ,则*z*=3*x*+2*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．设双曲线*C*: (*a*\>0,*b*\>0)的一条渐近线为*y*=*x*，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．设函数．若，则*a*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 设等比数列{*a~n~*}满足，．
>
> （1）求{*a~n~*}的通项公式；
>
> （2）记为数列{log~3~*a~n~*}的前*n*项和．若，求*m*．
18．（12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+-----------+------------+------------+
| 锻炼人次 | \[0,200\] | (200,400\] | (400,600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+===============+===========+============+============+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+-----------+------------+------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+-----------+------------+------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+-----------+------------+------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+-----------+------------+------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次\>400
-------------- ---------- -----------
空气质量好
空气质量不好
> 附：，
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
----------------- --------------------
*k* 3.841 6.635 10.828
19．（12分）
> 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
>
> {width="1.52in" height="1.9025in"}
>
> *（1）当时，；*
>
> *（2）点在平面内*．
20．（12分）
> 已知函数．
>
> *（1）讨论的单调性；*
>
> *（2）若有三个零点，求的取值范围*．
21．（12分）
> 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
>
> *（1）求*的方程*；*
>
> *（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积*．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．\[选修4-4：坐标系与参数方程\] (10分)
> 在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为 (*t*为参数且*t*≠1)，*C*与坐标轴交于*A*，*B*两点.
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程.
23．\[选修4-5：不等式选讲\] (10分)
设*a，b，c*$\in$**R**， *a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学试题参考**答案
**选择题答案**
一、**选择题**
1．B 2．D 3．C 4．C
5．B 6．A 7．B 8．B
9．C 10．A 11．C 12．D
**非选择题答案**
二、**填空题**
13．7 14． 15．1 16．
**三、解答题**
17．解：（1）设的公比为，则.由已知得
> ，
>
> 解得.
>
> 所以的通项公式为.
>
> （2）由（1）知 故
>
> 由得，即.
>
> 解得（舍去），.
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
-------------- ------ ------ ------ ------
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
> （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
>
> ．
>
> （3）根据所给数据，可得列联表：
人次≤400 人次\>400
-------------- ---------- -----------
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
> 根据列联表得
>
> ．
>
> 由于，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：（1）如图，连结，．因为，所以四边形为正方形，故．
> 又因为平面，于是．所以平面．
>
> 由于平面，所以．
{width="1.51625in" height="1.9025in"}
> （2）如图，在棱上取点，使得，连结，，，
>
> 因为，，，所以，于是四边形为平行四边形，故．
>
> 因为，，，所以，，四边形为平行四边形，故．
>
> 于是．所以四点共面，即点在平面内．
20．解：（1）．
> 当*k*=0时，，故在单调递增；
>
> 当*k*\<0时，，故在单调递增．
>
> 当*k*\>0时，令，得．当时，；当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．
>
> （2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点．
>
> 当*k\>*0时，为的极大值点，为的极小值点．
>
> 此时，且，，．
>
> 根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得．因此*k*的取值范围为．
21．解：（1）由题设可得，得，
> 所以的方程为.
>
> （2）设，根据对称性可设，由题意知，
>
> 由已知可得，直线*BP*的方程为，所以，，
>
> 因为，所以，将代入的方程，解得或.
>
> 由直线*BP*的方程得或8.
>
> 所以点的坐标分别为.
>
> ，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
>
> ，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.
>
> 综上，的面积为.
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]
> 解：（1）因为*t*≠1，由得，所以*C*与*y*轴的交点为（0，12）；
>
> 由得*t*=2，所以*C*与*x*轴的交点为．
>
> 故．
>
> （2）由（1）可知，直线*AB*的直角坐标方程为，将代入，
>
> 得直线*AB*的极坐标方程．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]
> 解：（1）由题设可知，*a*，*b*，*c*均不为零，所以
.
> （2）不妨设max{*a*，*b*，*c*}=*a*，因为，所以*a*\>0，*b*\<0，*c*\<0.由，可得，故，所以.
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**2018年潍坊市初中学业水平考试**
**数学****试题**
**第I卷**（**选择题共36分**）
**一、选择题**（**本大题****共12小题,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是正确的，请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记0分**）
1．( )
A． B． C． D．
2．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米,数据0.000036用科学记数法表示正确的是( )
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图是( )
4．下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则的度数是( )
A． B． C． D．
6．如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用"三弧法",其作法是：
（1）作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；
（2）以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；
（3）连接
下列说法不正确的是( )
A． B．
C．点是的外心 D．
7．某篮球队10名队员的年龄结构如下表,已知该队队员年龄的中位数为21．5,则众数与方差分别为( )
A．22,3 B．22,4 C．21,3 D．21,4
8．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
9．已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )
A． B．
C． D．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若,则的值是( )
A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在
12．如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )
**第Ⅱ卷(非选择题共84分)**
**二、填空题(本大题共6小题,共18分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)**
13．因式分解: [ ]{.underline} ．
14．当 [ ]{.underline} 时,解分式方程会出现增根．
15．用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下． 把显示结果输人下侧的程序中,则输出的结果是 [ ]{.underline} ．
16．如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为 [ ]{.underline} ．
17．如图,点的坐标为,过点作不轴的垂线交直于点以原点为圆心,的长为半径断弧交轴正半轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点,以原点为圆心,以的长为半径画弧交轴正半轴于点；...按此作法进行下去,则的长是 [ ]{.underline} ．
18．如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正
东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} 小时即可到达 (结果保留根号)
**三、解答题(本大题共7小题,共66分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)**
19．如图,直线与反比例函数的图象相交于,两点,连接．
(1)求和的值；
(2)求的面积．
20．如图,点是正方形边上一点,连接,作于点,手点,连接．
(1)求证:；
(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．
21．为进一步提高全民"节约用水"意识,某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区户家庭的月用水量,绘制了下面不完整的统计图．
(1)求并补全条形统计图；
(2)求这户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
(3)从月用水量为和的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查,求选出的两户中月用水量为和恰好各有一户家庭的概率．
22．如图,为外接圆的直径,且．
(1)求证:与相切于点；
(2)若, ,求的长．
23．为落实"绿水青山就是金山银山"的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
24．如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．
(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．
①求四边形的面积；\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
②直线上有一动点,求周长的最小值．
(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．
25．如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点．将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点点关于直线的对称点为若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式．
**2018年潍坊市初中学业水平考试**
**数学试题(A)参考答案及评分标准**
**一、选择题(本大题共12小题,每小题选对得3分,共36分)**
BCDCC DDBBD AD
**二、填空题(本大题共6小题,每小题填对得3分,共18分)**
13． 14．2 15．7 16．
17． 18．
**三、解答题(本大题共7小题,共66分)**
19．解:(1)点在直线上,
,解得，
，
反比例函数的图象也经过点，
,解得；
(2)设直线分别与轴,轴相交于点,点，
当时,即,，
当时,，，
点在直线上，
．即，
．
20．(1)证明:，
，
，
在和中,\[来源:学科网\]
，，
．
(2)解:设,则,
四边形的面积为24,，
，
解得(舍),
，
在中，
，\[来源:学科网ZXXK\]
．
21．解:(1)由题意知:，
补全的条形图为：
(2)这20户家庭的月平均用水量为：
，
月用水量低于的家庭共有11户,
所以，
估计小莹所住小区月用水量低于的家庭户数为231．
(3)月用水量为的有两户家庭,分别用来表示；月用水量为的有三户家庭，分别用来表示,画树状图如下:
由树状图可以看出,有10种等可能的情况,其中满足条件的共有6种情况，
所以，
22．证明:(1)连接交于点,则,
，
，
,，
是的直径, ,
即，
,即,
，
与相切于点．
(2)，
，
，
，
，
在中,，
在中,，
，
，
在中,．
23．解:(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得
解得
所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．
(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得
，\[来源:学科网\]
因为，解得，
又因为,解得,所以．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；
案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；
方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．
,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,
当时，，
此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．
24．解:(1)①在中, ,直线垂直平分,
，
又,
，
，
，
，
，
，
根据平移的性质, ,连结，
．
②连结交直线于点,连结，
直线垂直平分,
，
，
在中,，
，
即，
周长的最小值为9．
(2)，
，
，
过点作,分别交于点,交于点,
当点在线段上时，
在中,
，
，
，
，
，
，
同理可得,当点在线段上时,．
综上可得,的长为或．
25．解:(1)由题意知，
，
解得，
所以,抛物线y的解析式为；
因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，
所以抛物线的解析式为，
即；
(2)抛物线的对称轴为,设,已知，
过点作轴于,则
，
，
，
当时，
即，
解得或；
当时,得，无解；
当时,得,解得;
综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,,.
(3)设,
则,
因为关于对称,
所以,
情况一:当点在直线的左侧时,\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
,
,
又因为以构成的三角形与全等,
当且时,,
可求得,即点与点重合
所以,
设的解析式,
则有
解得,
即的解析式为,
当且时,无解,
情况二:当点在直线右侧时,
,
,
同理可得
的解析式为,
综上所述, 的解析式为或.
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题号 **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
---------------------------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
答案 **A** **A** **C** **B** **B** **C** **A** **D** **B** **A** **C** **A**
13\. 14. 15. 16.
17.（本小题12分）
解：，,
又，，. 6分
由余弦定理得
（当且仅当时取到等号）
的面积的最大值为 12分
18\. 解：
因为，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关。6分
由题意可知的所以可能取值为100元,150元,200元，
的分布列为
。12分
19\. （本小题12分）
解：侧面，侧面，底面为矩形，
，又是正三角形，
，,
,,
, . 6分
过作于，连接，由可知，,又,
，,就是二面角的平面角。
在中，,
,
二面角的余弦值是 12分
（注：本题还有建系等其它解法，结论正确相应给分）
20\. （本小题12分）
解由题意可知，解得，
椭圆的方程为。 4分
假设存在定点使得为常数。
当直线不为轴时，设的方程为，
联立，消去得：，
设，则
当直线为轴时，不妨取,
综上，存在定点,使得为常数.12分
21（本小题12分）
解:,.当时，，当时，。在上单调递增，在上单调递减，
。 4分
由题意，对于任意 ，且恒成立，等价于对于任意 且恒成立。设，则当时，，即在上单调递减，
则对恒成立。，
设，则，
，，，
实数的取值范围是。 8分
，由可知，当时，，即
用换得，，
**22.（本小题满分10分）**
解：由及可知，
则，令，
曲线的一个参数方程是 5分
由可得，
即，的圆心到的距离，
。 10分
**23.（本小题满分10分）**
由可知，则，由柯西不等式可知：
，
当且仅当时等号成立，的取值范围是.10分
(采用三角换元等其它方法求范围相应给分)。
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**用等量代换求面积**
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
** 例1**两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
** 分析与解**：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米^2^）。
所以，阴影部分的面积是17厘米^2^。
** 例2**在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米^2^，求平行四边形ABCD的面积。
** 分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米^2^，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米^2^，所以平行四边形ABCD的面积等于**
** 10×8÷2+10=50（厘米^2^）。**
** 例3**在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米^2^。求ED的长。
** 分析与解**：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米^2^，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米^2^。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米^2^），
三角形ECB面积=36-18=18（厘米^2^），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
** 例4** 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
** 解法一：**连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
** 解法二：**连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
** 解法三：**延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
** 解法四：**延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
** 例5**左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
** 分析与解**：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米^2^）。
**练习21**
1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米^2^。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14）
4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米^2^，求ED的长。
6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米^2^，求CD的长。
影部分的面积和。
**练习21**
1.400厘米^2^。
解：扇形CEF与直角三角形ABC的面积相等，∠C=45°，所求圆的面
2.140厘米^2^。
提示：所求面积等于右图中阴影部分的面积，为
（20-5+20）×8÷2
=140（厘米^2^）。
3.24厘米^2^。
提示：扇形ABD的面积为π×4×4÷4=12.56（厘米^2^），
直角三角形ABC的面积为12.56+3.44=16（厘米^2^），BC=16÷4×2=8（厘米），
梯形ABCD面积为（4+8）×4÷2=24（厘米^2^）。
4.8。
提示：由三角形ADC与三角形EBC的面积相等，推知阴影部分与三角形BCF面积相等。
5.1厘米。
解：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）。
6.3厘米。
解：连结CB（见右图）。三角形DCB的面积为
4×4÷2-2=6（厘米^2^），
CD=6÷4×2=3（厘米）。
7.12厘米^2^。
解：连结DF（见右图）。因为AE=ED，所以△BED与△ABE面积相等，
 
解得S△ABF=12，即阴影部分的面积和为12厘米^2^。
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**2020-2021学年广东省佛山市南海区六年级（上）期末数学试卷**
**一、判断题。（对的请在括号里打"√"，错的打"×"，每题2分，共8分）**
1．（2分）一袋大米重15*kg*，增加它的后，再减少，还是15*kg*。[ ]{.underline}（判断对错）
2．（2分）大圆的圆周率大于小圆的圆周率．[ ]{.underline}．（判断对错）
3．（2分）六年级1班的男生人数比女生人数多，则女生人数比男生人数少．[ ]{.underline}（判断对错）
4．（2分）一杯果汁有升，也就是23%升。[ ]{.underline}（判断对错）
**二.选择题（每题2分，共8分）**
5．（2分）一根绳子剪成两段，第一段占，第二段长米，两段比较，（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法判断
6．（2分）如果把2：3的前项加上6，要使它的比值不变，后项应（ ）
A．乘2 B．乘3 C．加上6 D．加上9
7．（2分）研究所做种子发芽实验，80粒发芽，20粒没有发芽。求发芽率的正确算式是（ ）
A．80÷（80+20）×100% B．（80﹣20）÷80×100%
C．80÷（80﹣20）×100% D．（80+20）÷80×100%
8．（2分）一个半圆形的金鱼池，量得它的直径是10米，围着金鱼池一周加上栏杆，栏杆长（ ）
A．15.7米 B．20.7米 C．25.7米 D．31.4米
**三、填空题。（每空1分，共25分）**
9．（1分）一台手机的内存是256*GB*，用去了，还剩[ ]{.underline}*GB*。
10．（2分）甲数的等于乙数的（甲、乙两数都不为0），甲、乙两数的比是[ ]{.underline}，甲数比乙数少。
11．（2分）30*t*的60%是[ ]{.underline}*t*，30*km*比25*km*多[ ]{.underline}%。
12．（4分）3÷59：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}（小数）＝[ ]{.underline}%。
13．（3分）在〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
---- ---- ----
〇 〇 〇
---- ---- ----
14．（3分）张强在纸上用圆规画了一个圆，圆规两脚张开的距离是1*cm*。这个圆的直是[ ]{.underline}*cm*，周长是[ ]{.underline}*cm*，面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
15．（1分）一个金属圆环（如图）的外直径是20*cm*，环宽6*cm*，这个圆环的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
16．（4分）星期天，悦悦从家出发到购书中心看书。她向东偏南50°方向走800米到达购书中心，回家时，她应从购书中心向[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向走[ ]{.underline}米回到家。
17．（2分）水是生命的源泉，节约用水是每个社会公民应尽的义务。如果一个滴水的水龙头每分钟浪费20*mL*的水，每小时会浪费[ ]{.underline}*L*的水。如果学校里有10个滴水的水龙头被修好了，每天会节约[ ]{.underline}*L*的水。
18．（3分）看图找规律填空，求最外圈小正方形的个数。
> 照这样的规律接着画下去，第4个图形最外圈的小正方形个数是：[ ]{.underline}^2^﹣[ ]{.underline}^2^＝[ ]{.underline}。
**四、计算题。（共23分）**
19．（8分）直接写出得数。
4＝
-- ----------- -- ------
4﹣150%＝ ）＝
20．（9分）计算下列各题，能简算的要简算。
-- --------- ----
18×（） 12
-- --------- ----
21．（6分）解方程。
-- -----
*x*
-- -----
**五、操作题。（每题4分，共8分）**
22．（4分）画一个直径是3*cm*的圆，并用*O*、*r*、*d*标出圆心、半径、直径．
23．（4分）小红家在学校北偏西30°方向600米处；小东家在学校东偏南40°方向400米处。请你在图中标出小红家和小东家的位置。
**六、解决问题。（24、25题每题5分，其余每题6分，共28分）**
24．（5分）校园里有杨树25棵，柳树棵数是杨树的，又是槐树的。槐树有多少棵？
25．（5分）创建文明校园活动中，六（1）班共48人，分成两组清洁课室和校道。负责清洁课室的人数和负责清洁校道的人数的比是3：5。负责清洁课室和校道的各有多少人？
26．（6分）公园里有一个用瓷砖铺成的八卦图案（如图），铺白色瓷砖的面积是多少平方米？
27．（6分）张叔叔驾车沿广深高速从深圳到广州参加广交会，已行驶了60%，离广州还有54千米。从深圳到广州全程多少千米？
28．（6分）如图是李亮每天的作息时间安排。
> （1）李亮每天花多少时间做作业？
>
> （2）小学生每天的睡眠时间不少于10小时。李亮的睡眠时间充足吗？
**七、思考题。（4+6分，共10分）**
29．（4分）有一个两位数，十位上的数和个位上的数的比是3：2。个位上的数加3，就和十位上的数相等。这个两位数是[ ]{.underline}。
30．（6分）把一个长方形（长4*cm*、宽3*cm*、对角线长5*cm*），如图进行翻转，翻转一次到①，翻转两次到②，......*A*点翻转到*A*′时所走过路程有多远？
**2020-2021学年广东省佛山市南海区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、判断题。（对的请在括号里打"√"，错的打"&\#215;"，每题2分，共8分）**
1．【分析】把原来的大米质量看作单位"1"，则增加后的质量＝原来质量×（1），再把增加后的质量看作单位"1"，则减少后的质量＝增加后的质量×（1），把数代入计算即可。
> 【解答】解：15×（1）×（1）
>
> ＝15
>
> ＝20
>
> （千克）
>
> 15
>
> 答：一袋大米重15*kg*，增加它的后，再减少，是*kg*，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查四则混合运算的应用，关键是区别两个单位"1"的不同。
2．【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；圆周率用"π"表示，π是一个无限不循环小数；进而判断即可．
> 【解答】解：根据圆周率的含义可知：圆的圆周率大于小圆的圆周率说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查了圆周率的含义．
3．【分析】先把女生的人数看成单位"1"，那么男生的人数就是1，然后用除以男生的人数，就是女生比男生少几分之几．
> 【解答】解：（1）
>
> ；
>
> 女生人数比男生人数少，是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题先找出单位"1"，把其它量用单位"1"表示出来，然后根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解．
4．【分析】百分数是"表示一个数是另一个数百分之几的数。"它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量，所以，一杯水升，也就是23%升的表示方法是错误的。
> 【解答】解：根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，所以，一杯水升，也就是23%升的表示方法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】百分数不能表示具体的数量是百分数与分数的区别之一。
**二.选择题（每题2分，共8分）**
5．【分析】先算出第二段占全长的几分之几，再与第一段比较大小即可。
> 【解答】解：
>
> 所以第二段长。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题是一道易错题目，注意两个五分之二的区别。
6．【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；而2：3的前项是2，2+6＝8，即前项扩大4倍，要使比值不变，后项也要扩大4倍，即后项变为4×3＝12，所以前项加12﹣3＝9，据此解答即可。
> 【解答】解：（2+6）÷2×3﹣3
>
> ＝8÷2×3﹣3
>
> ＝4×3﹣3
>
> ＝12﹣3
>
> ＝9
>
> 所以后项应加上9。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查对比的性质内容的理解：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变；而不是加上或减去一个相同的数（0除外）。
7．【分析】发芽率是指发芽种子数占种子总数的百分之几，计算方法是发芽率100%，先求出发芽种子数，再代入公式求解。
> 【解答】解：80÷（80+20）×100%
>
> ＝80÷100×100%
>
> ＝80%
>
> 所以发芽率的正确算式是：80÷（80+20）×100%。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百，不要漏记乘100%。
8．【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：3.14×10÷2+10
>
> ＝15.7+10
>
> ＝25.7（米）
>
> 答：栏杆长25.7米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确半圆的周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。
**三、填空题。（每空1分，共25分）**
9．【分析】将内存总量看作单位"1"，用去了，剩下的就是总量的（1），根据分数的意义，用乘法计算。
> 【解答】解：256×（1）
>
> ＝256
>
> ＝128（*GB*）
>
> 答：还剩128*GB*。
>
> 故答案为：128。
>
> 【点评】本题主要考查了分数乘法的应用，较为简单。
10．【分析】本题可用假设的方法，假设甲数的等于1，分别求出甲数和乙数，问题就可以解答。
> 【解答】解：假设甲数乙数1
>
> 则甲数＝2；乙数＝5
>
> 甲、乙两数的比是2：5
>
> （5﹣2）÷5
>
> ＝3÷5
>
> 甲数比乙数少
>
> 故答案为：2：5；。
>
> 【点评】本题是一道较难的题目，领会假设方法的应用。
11．【分析】求30吨的60%是多少，是把30吨看成单位"1"，用30吨乘60%即可求解；
> 求35千米比25千米多百分之几，是把25千米看成单位"1"，先用30千米减去25千米，求出多的长度，再除以25千米，即可求出多百分之几。
>
> 【解答】解：30×60%＝18（吨）
>
> （30﹣25）÷25
>
> ＝5÷25
>
> ＝20%
>
> 答：30*t*的60%是18*t*，30*km*比25*km*多20%。
>
> 故答案为：18，20。
>
> 【点评】解答此类问题，首先找清单位"1"，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好的解答问题。
12．【分析】根据分数与除法的关系，3÷5，再根据分数的基本性质，分子、分母都乘2就是；根据比与除法的关系，3÷5＝3：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是9：15；3÷5＝0.6；把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%。
> 【解答】解：3÷59：15＝0.6＝60%。
>
> 故答案为：10，15，0.6，60。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
13．【分析】一个不为0的数，乘以一个真分数，积比这个数小；一个不为0的数，乘以一个不等于1的假分数，积比这个数大。
> 【解答】解：；；
>
> 故答案为：＞；＞；＜。
>
> 【点评】本题是一道考查分数比较大小的题目，是一道易错题。
14．【分析】根据直径与半径的关系，*d*＝2*r*，圆的周长公式：*C*＝2π*r*，面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：1×2＝2（厘米）
>
> 2×3.14×1＝6.28（厘米）
>
> 3.14×1^2^
>
> ＝3.14×1
>
> ＝3.14（平方厘米）
>
> 答：这个圆的直径是2厘米，周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米。
>
> 故答案为：2、6.28、3.14。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．【分析】根据环形面积公式：*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），把数据代入公式解答。
> 【解答】解：20÷2＝10（厘米）
>
> 10﹣6＝4（厘米）
>
> 3.14×（10^2﹣^4^2^）
>
> ＝3.14×（100﹣16）
>
> ＝3.14×84
>
> ＝263.76（平方厘米）
>
> 答：这个圆环的面积是263.76平方厘米。
>
> 故答案为：263.76。
>
> 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【分析】根据方向的相对性可知，东和西相对，南和北相对，所以应从购书中心向西偏北50°方向走800米回家。
> 【解答】解：回家时，她应从购书心向西偏北50°方向走800米回家。
>
> 故答案为：西，北，50，800。
>
> 【点评】本题考查了方向的相对性，注意：方向相反，角度不变。
17．【分析】用每分钟滴水的体积乘60，即求出这个水龙头1小时要浪费多少水；然后用这个水龙头1小时要浪费水的体积乘1天24小时，再乘10个水龙头，即可求出10个滴水的水龙头被修好了，每天会节约多少*L*的水。
> 【解答】解：1小时＝60分钟
>
> 20×60＝1200（*ml*）
>
> 1200*ml*＝1.2*L*
>
> 1.2×24×10
>
> ＝1.2×240
>
> ＝288（*L*）
>
> 答：每小时会浪费1.2*L*的水；每天会节约288*L*的水。
>
> 故答案为：1.2，288。
>
> 【点评】此题主要考查了乘法的意义的应用；注意毫升和升的进率是1000。
18．【分析】根据图示可知：第*n*个图形最外圈小正方形的个数是（2*n*+1）^2^﹣（2*n*﹣1）^2^＝8*n*。据此解答。
> 【解答】解：第1个图形最外圈的小正方形个数是：3^2^﹣1^2^＝8；
>
> 第2个图形最外圈的小正方形个数是：5^2^﹣3^2^＝16；
>
> 第3个图形最外圈的小正方形个数是：7^2^﹣5^2^＝24；
>
> 第4个图形最外圈的小正方形个数是：9^2^﹣7^2^＝32。
>
> 故答案为：9，7，32。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
**四、计算题。（共23分）**
19．【分析】根据分数和百分数加减乘除法的计算方法进行计算。
> 、，根据运算定律进行简算。
>
> 【解答】解：
4
-- -------------- -- --
4﹣150%＝2.5
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
20．【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算；
> （2）按照乘法分配律计算；
>
> （3）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）
>
> （2）18×（）
>
> ＝181818
>
> ＝2+6﹣3
>
> ＝5
>
> （3）12
>
> （）
>
> 1
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
21．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*＝24
>
> *x*24
>
> *x*＝64
>
> （2）*x*
>
> *x*＝10
>
> *x*10
>
> *x*＝25
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、操作题。（每题4分，共8分）**
22．【分析】把圆规两脚分开，两脚间距离是3÷2＝1.5（*cm*），把有针尖的一只脚固定在一点上，带有铅笔的那只脚绕点旋转一周。
> 【解答】解：。
>
> 【点评】本题主要考查了圆的画法，需要熟记圆心、半径、直径的定义。
23．【分析】图上距离1厘米表示实际距离200米，据此即可分别计算出它们之间的图上距离，进而依据它们之间的方向关系，即可在图上标出它们的位置。
> 【解答】解：600÷200＝3（厘米）
>
> 400÷200＝2（厘米）
>
> 画图如下：
>
> 【点评】此题主要考查线段比例尺的意义，以及依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。
**六、解决问题。（24、25题每题5分，其余每题6分，共28分）**
24．【分析】把杨树棵数看作单位"1"，则柳树棵数＝杨树棵数；再把槐树棵数看作单位"1"，则柳树棵数＝槐树棵数。根据"求一个数的几分之几是多少，用乘法计算"，"已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算"，解题即可。
> 【解答】解：25
>
> ＝15
>
> ＝10（棵）
>
> 答：槐树有10棵。
>
> 【点评】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找到单位"1"，利用数量关系做题。
25．【分析】负责清洁课室的人数和负责清洁校道的人数的比是3：5，可求出总份数是（3+5＝8），用总量÷总份数即可求出每份量是多少，再用每份量乘各自的份数即可求出。
> 【解答】解：48÷（3+5）
>
> ＝48÷8
>
> ＝6（人）
>
> 6×3＝18（人）
>
> 6×5＝30（人）
>
> 答：负责清洁课室有18人，清洁校道有30人。
>
> 【点评】本题的关键在于求出每份量是多少。
26．【分析】做一条过两个小圆圆心的直线，可以发现，白色部分的面积就是整个大圆面积的一半，据此计算即可。
> 【解答】解：如图分割：
>
> 可以发现，白色部分的面积是大圆面积的一半，
>
> 3.14×（10÷2）^2^÷2
>
> ＝3.14×5^2^÷2
>
> ＝3.14×25÷2
>
> ＝78.5÷2
>
> ＝39.25（平方米）
>
> 答：白粉瓷砖的面积是39.25平方米。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形，合理的割补是本题解题的关键。
27．【分析】把全程看成单位"1"，已行驶了60%，那么剩下的路程就是全程的（1﹣60%），它对应的数量是54千米，根据分数除法的意义，用54千米除以（1﹣60%）就是全程。
> 【解答】解：54÷（1﹣60%）
>
> ＝54÷40%
>
> ＝135（千米）
>
> 答：从深圳到广州全程135千米。
>
> 【点评】本题先找出单位"1"，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法求解。
28．【分析】（1）先根据扇形统计图中所有项目所占分率和为单位"1"，用减法计算做作业所用时间占一天时间中的百分比，再根据一个数乘百分数的意义，用乘法计算即可；
> （2）根据一个数乘百分数的意义，用乘法计算他的睡觉时间，再与10小时进行比较。
>
> 【解答】解：（1）24×（1﹣20%﹣4%﹣11.5%﹣42%﹣12.5%）
>
> ＝24×（80%﹣4%﹣11.5%﹣42%﹣12.5%）
>
> ＝24×（76%﹣11.5%﹣42%﹣12.5%）
>
> ＝24×（64.5%﹣42%﹣12.5%）
>
> ＝24×（22.5%﹣12.5%）
>
> ＝24×10%
>
> ＝2.4（小时）
>
> 答：李亮每天花2.4小时做作业。
>
> （2）24×42%＝10.08（小时）
>
> 10.08＞10
>
> 答：李亮的睡眠时间充足。
>
> 【点评】本题主要考查了从统计图中获取数据的能力，读懂扇形统计图是本题解题的关键。
**七、思考题。（4+6分，共10分）**
29．【分析】根据题意，把十位上的数看作3份的量，个位上的数字看作2份的量，十位上的数比个位上的数多3﹣2＝1份的量，因为个位上的数加3，就和十位上的数相等，因此，每份的量是3÷1＝3，从而求出个位上的数与十位上的数，解决问题。
> 【解答】解：十位上的数字：
>
> 3÷（3﹣2）×3
>
> ＝3÷1×3
>
> ＝9；
>
> 个位上的数字：
>
> 3÷（3﹣2）×2
>
> ＝3×2
>
> ＝6；
>
> 所以这个两位数是96。
>
> 故答案为：96
>
> 【点评】此题用份数来解答，先计算出每份的量是多少，再求出十位和个位上的数字，问题即可得解。
30．【分析】从*A*点翻转到*A*′时所走过路程是两段圆弧长，其中一段是半径为5厘米，一段是半径为4厘米，圆心角都是90°，根据圆周长计算公式"*C*＝2π*r*"分别求出这两段圆弧所在圆的周长乘，再把二者相加。
> 【解答】解：3.14×5×23.14×4×2
>
> ＝3.14×2（5+4）
>
> ＝3.14×29
>
> ＝14.13（厘米）
>
> 答：*A*点翻转到*A*′时所走过路程有14.13厘米。
>
> 【点评】解答此题的关键一是弄清由*A*点到*A*′所走的路线轨迹；二是圆周长的计算。
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日期：2021/4/27 11:19:06；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由于,因此应选D．
考点：复数的运算．
2．已知集合，若，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：二次不等式的解法和集合的运算．
3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法
抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．40
【答案】C
【解析】
试题分析：因,故,应选C.
考点：抽样方法及计算．
4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：从所给算法流程可以看出当时仍在运算,当时运算就结束了,所以应选C.
考点：算法流程图的识读和理解．
5．已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，
得到函数，则函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因,向右平移个单位后变为,再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到,应选D.
考点：三角函数的图象和性质．
6．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
考点：等比数列的前项和与函数的极值.
7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，
要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种  B．72种 C．78种 D．84种
【答案】A
【解析】
试题分析：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.
考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.
8．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线
与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：双曲线的几何性质．
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出的值.
9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所
示，则四面体的侧视图是（ ）
A． B． C． D．\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
【答案】D
【解析】
试题分析：侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形,由于被遮挡故应画虚线,所以应选D.
考点：三视图的识读和理解．
10．已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实
数的取值范围是（ ）
> A． B． C． D．
【答案】B
考点：导数在研究函数的零点中的运用．
11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，，
且平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设球心为,外接圆的圆心为,外接圆的半径为,则平面,由于平面,因此,在中,由余弦定理得,所以,即.由此可得,所以球的面积是,应选A.
考点：球的几何性质与表面积的计算．
【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形的外接圆的半径,再借助平面,球心与的外接圆的圆心的连线也垂直于所在的平面,从而确定球心与共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.
12．已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①
当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1
个零点．则正确的判断是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②
【答案】A
【解析】
试题分析：若.当,即时,,解得；当,即时,,当,解得适合；当,解得不适合.若,若,则,即,当合适,时不合适；若,则,即也即,当时适合；当不合适.因此当时有四个根；当只有一个根,应选A.
考点：函数的零点和分类整合思想．
【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量的分类讨论,建立了关于函数的方程,再通过对参数的分类讨论,求解出方程的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程,如何进行分类整合.
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13．已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足
，则\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
试题分析：设,由可得.因,故,,则
.
考点：抛物线的几何性质．
14．设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则
的值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
考点：导数的几何意义．
15．已知中，角、、的对边分别为、、，已知，
则的最小值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】\[来源:Z,xx,k.Com\]
试题分析：由得,即.因为,即,所以,即的最小值为.
考点：余弦定理和基本不等式的运用．
【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件与的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出的最小值.
16．若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，
则称是上的"完美函数"．已知，若函数是区间上的
"完美函数"，则整数的最小值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
考点：导函数的几何意义．
【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数的值.求解时依据题设条件先对函数和求导,建立不等式组,求参数的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数的值进行逐一检验,最终获得答案.
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且首项．
（1）求证：是等比数列；
（2）若为递增数列，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
（2）由（1）得，，所以．
当时，
．............8分
若为递增数列，则对恒成立．
当时，，
则对恒成立，
则；...............................................................................................................10分
又
所以的取值范围为
考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用．
18．（本小题满分12分）
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公
路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆
汽车所用时间的频率分布如下表：
-------------------- ---- ---- ---- ----
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
-------------------- ---- ---- ---- ----
假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频
率视为概率）．
（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路
径；\[来源:学§科§网\]
（2）若通过公路1、公路2的"一次性费用"分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费
用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，
若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，
生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获
得的毛利润更大．
【答案】(1) 汽车选择公路，汽车选择公路；(2)汽车为生产商获得毛利润更大．.
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；(2)借助题设条件运用数学期望的大小分析推证.
试题解析:
（1）频率分布表，如下：
-------------------- ----- ----- ----- -----
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2
通过公路2的频数 0.1 0.4 0.4 0.1
-------------------- ----- ----- ----- -----
设分别表示汽车在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；、分别表示汽车在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；
，
，
，
，
所以汽车选择公路1，汽车选择公路2．
（Ⅱ）设表示汽车选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则．
的分布列如下：
-- ----- ----- ----- -----
42 40 38 36
0.2 0.4 0.2 0.2
-- ----- ----- ----- -----
．
∴表示汽车选择公路1时的毛利润为（万元）．
设表示汽车选择公路2时的毛利润，．
则的分布列如下：
-- ------ ------ ------ ------
42.4 40.4 38.4 36.4
0.1 0.4 0.4 0.1
-- ------ ------ ------ ------
．
∵，∴汽车为生产商获得毛利润更大．
考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用．
19．（本小题满分12分）
如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、
分别于点、．
（1）求证：；
（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件建立空间直角坐标系推证；(2)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解.
试题解析:
（2），
设平面的法向量，则，可取，
又∵是平面的一个法向量，
由，以及可得，
即，解得（负值舍去），故．\[来源:Zxxk.Com\]
考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用．
【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.
20．（本小题满分12分）
如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半
径相交于．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）．
的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取
值范围．
【答案】(1) ；(2).
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立函数求解.
试题解析:
（1）连结，根据题意，，
则，
故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．2分
设其方程为，可知，则，3分
所以点的轨迹的方程为为．4分
（2）设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理有：
且...............................................................6分
∵构成等比数列，∴，
即：
由韦达定理代入化简得：．∵，∴......................................................8分
此时，即．又由、、三点不共线得
从而．
故
10分
又
则
为定值．12分
∴当且仅当时等号成立．
综上：．14分
考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（l）求函数的单调区间；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3）求证：．
【答案】(1) 若，函数的单调减区间为，若，的单调增区间为，单调减区间为；(2)最大值为，最小值为；(3)证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；(2)借助题设条件运用导数求解；(3)运用导数的知识及最大最小值进行推证.
（2）时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为；
而；，
，
所以，故函数在上的最小值为．
（3）由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在上的最大值为，即．
故有恒成立，所以，故，
即．
考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．
【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用.
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，，，
，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件构造等角,探寻相似三角形的条件推证；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理求解.
试题解析:
（1）因为，所以，因为与圆相切于点，所以，所以．
考点：圆的有关知识的及运用．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直
角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．
（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；
（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1) ，；(2) 或.
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件消参化直角坐标方程,再将极坐标化为直角坐标；(2)借助题设条件运用点到直线的距离公式建立不等式求解.
试题解析:
（1）由得
所以直线的普通方程为：，.....................................................................2分
由
又
所以，圆的标准方程为，..................................................................5分
考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大
值；
（2）已知正数满足，求的最小值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解.
试题解析:
（1）由绝对值的性质得，..................3分
所以的最小值为，从而，解得，
因此的最大值为．.............................................................................................5分
（2）由于，所以
．\[来源:Z&xx&k.Com\]
当且仅当，即时，等号成立．..........................................8分
∴的最小值为．...........................................................................10分
考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．
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**2017-2018学年江苏省南京市南京理工大学实验小学四年级（上）月考数学试卷**
**一．计算题（共3小题，满分38分）**
1．（8分）直接写出得数．
----------- ------------ ----------- ------------- ------------
51+32＝ 49﹣17＝ 69+37＝ 2000﹣600＝ 65+26＝
84﹣36＝ 90+43＝ 80﹣24＝ 700+200＝ 940﹣600＝
270﹣90＝ 720﹣440＝ 340+470＝ 32÷8＝
----------- ------------ ----------- ------------- ------------
2．（18分）竖式计算，并且要验算．
174÷29
793÷61
766÷36
3．（12分）脱式计算．
248÷2÷2
（34+14）×63
**二．填空题（共9小题，满分19分）**
4．（2分）商店开展促销活动10元钱可以买3双袜子，买9双袜子需要[ ]{.underline}元，50元能买[ ]{.underline}双袜子．
5．（2分）填上合适的单位名称．
大明早上起来晨练，绕着200[ ]{.underline}跑道跑了3圈，然后吃了1000[ ]{.underline}的早餐．7：00上学，走在路上，看到一辆载重5[ ]{.underline}的卡车．7：20到了学校，首先映入眼帘的是面积大约1500[ ]{.underline}的花园．学习后，他知道我国的长江是世界第三条大河，全长大约6300[ ]{.underline}．
6．（3分）2时15分＝[ ]{.underline}时
1.25升＝[ ]{.underline}毫升
8050立方分米＝[ ]{.underline}立方米
256公顷＝[ ]{.underline}平方千米．
7．（1分）每束花3元，65元可以买多少束花，还剩多少元？小刚列式为：65÷3＝21（束）...2（元）．验算时，他先算21×3，表示的是[ ]{.underline}．
8．（2分）被除数是214，除数是17，余数是10，商是[ ]{.underline}．
9．（2分）4千克水果平均放在5个手提袋里，每个手提袋装[ ]{.underline}克．
10．（4分）根据不同问题列出算式．
新光小学计划5天为希望工程捐款6000元，实际每天比计划多捐款180元，
（1）原计划每天捐款的钱数．[ ]{.underline}
（2）实际每天捐款的钱数．[ ]{.underline}
（3）5天比计划多捐款的钱数．[ ]{.underline}．
11．（1分）把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列，第30个小球是[ ]{.underline}色，在排列的60个小球中，白色的小球占[ ]{.underline}．
12．（2分）一个数除以9，商是最大的两位数，余数是8，这个数是[ ]{.underline}．
**三．操作题（共1小题，满分3分，每小题3分）**
13．（3分）画一画
**四．填空题（共4小题，满分4分，每小题1分）**
14．填上适当的体积或容积单位：
一个苹果占据的空间约为400[ ]{.underline}
一大瓶雪碧的容量是2.5[ ]{.underline}
29寸电视机大约占据0.75[ ]{.underline}的空间．
15．下面（ ）张照片是在房子的后边拍的．
A． B．
C． D．
16．77÷3＝25...2正确验算方法是（ ）
A．25×2+3 B．3×2+25 C．3×25+2
17．图中几何体从左面看能得到（ ）
A． B． C． D．
**五．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分）**
18．0÷17＝0×1．[ ]{.underline}（判断对错）
19．任何数除0都得0．[ ]{.underline}（判断对错）
20．小芳指着一棵大树说："它有12米高"．[ ]{.underline}（判断对错）
21．要使□824÷62的商是三位数，□里最小填6．[ ]{.underline}．（判断对错）
22．一个两位数除以8，商是7，余数是9，这个数是65．[ ]{.underline}（判断对错）
**六．应用题（共6小题，满分29分）**
23．（4分）美术小组有42人，书法小组有58人，合唱小组的人数是美术小组和书法小组人数和的2倍，[ ]{.underline}？
补充问题，并解答．
24．（6分）学校组织学生军训，六年级有40人参加，比五年级参加军训的人数的2倍少24人，五年级有多少名同学参加军训？
25．（4分）李叔叔骑自行车去超市，去时每分钟行156米，用了12分钟，回来时用了9分钟，李叔叔回来时每分钟多行多少米？
26．（4分）五（1）班18名男生的平均体重为36千克，12名女生的平均体重为34千克，那么这个班学生的平均体重为多少千克？
27．（9分）星期天，爸爸、妈妈都出差了，明明一个人在家．妈妈给他20元钱，让他自己料理一天的生活．附近可买的食物如下表：
<table><tbody><tr class="odd"><td>品 种</td><td><p>牛奶</p><p>/瓶</p></td><td><p>面包</p><p>/个</p></td><td><p>鸡蛋</p><p>/个</p></td><td><p>包子</p><p>/个</p></td><td><p>面条</p><p>/碗</p></td><td><p>米饭</p><p>/碗</p></td><td><p>西红柿</p><p>蛋汤/份</p></td><td><p>红烧鱼</p><p>/份</p></td><td><p>炒肉丝</p><p>/份</p></td><td><p>果汁</p><p>/份</p></td></tr><tr class="even"><td>单价/元</td><td>1.50</td><td>1.00</td><td>0.50</td><td>0.30</td><td>2.00</td><td>0.50</td><td>2.00</td><td>8.00</td><td>5.00</td><td>1.50</td></tr></tbody></table>
如果你是明明，打算怎样安排一天的饮食？（把你的方案填在下面的表中）
<table><tbody><tr class="odd"><td><p>早</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>中</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>晚</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
28．（2分）某校七年级（1）班为了在王强和李军同学中选班长，进行了一次"演讲"与"民主测评"活动，*A*，*B*，*C*，*D*，*E*五位老师为评委对王强，李军的"演讲"打分；该班50名同学分别对王强和李军按"好"，"较好"，"一般"三个等级进行民主测评．统计结果如下图，表．计分规则：
①"演讲"得分按"去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分"；
②"民主测评"分＝"好"票数×2分+"较好"票数×1分+"一般"票数×0分；
③综合分＝"演讲"得分×40%+"民主测评"得分×60%．
解答下列问题：
（1）演讲得分，王强得[ ]{.underline}分，李军得[ ]{.underline}分．
（2）民主测评得分，王强得[ ]{.underline}分，李军得[ ]{.underline}分．
（3）以综合得分高的当选班长，王强和李军谁能当班长？为什么？
------------------------ ----- ----- ----- ----- -----
演讲得分表（单位：分）
评委姓名 *A* *B* *C* *D* *E*
王强 90 92 94 97 82
李军 89 82 87 96 91
------------------------ ----- ----- ----- ----- -----
**2017-2018学年江苏省南京市南京理工大学实验小学四年级（上）月考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．计算题（共3小题，满分38分）**
1．（8分）直接写出得数．
----------- ------------ ----------- ------------- ------------
51+32＝ 49﹣17＝ 69+37＝ 2000﹣600＝ 65+26＝
84﹣36＝ 90+43＝ 80﹣24＝ 700+200＝ 940﹣600＝
270﹣90＝ 720﹣440＝ 340+470＝ 32÷8＝
----------- ------------ ----------- ------------- ------------
【分析】根据整数加减法以及除法的计算方法直接口算即可．
【解答】解：
-------------- --------------- -------------- ----------------- ---------------
51+32＝83 49﹣17＝32 69+37＝106 2000﹣600＝1400 65+26＝91
84﹣36＝48 90+43＝133 80﹣24＝56 700+200＝900 940﹣600＝340
270﹣90＝180 720﹣440＝280 340+470＝810 32÷8＝4
-------------- --------------- -------------- ----------------- ---------------
【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性．
2．（18分）竖式计算，并且要验算．
174÷29
793÷61
766÷36
【分析】本题根据整数除法的运算法则计算，然后根据乘除的互逆关系验算即可．
【解答】解：174÷29＝6
793÷61＝13
766÷36＝21...10
【点评】此题主要考查了整数乘法、整数除法的运算方法，以及乘除的互逆关系的应用，要熟练掌握．
3．（12分）脱式计算．
248÷2÷2
（34+14）×63
【分析】①从左往右依次计算除法；
②先算小括号的加法，再算乘法．
【解答】解：①248÷2÷2
＝124÷2
＝62
②（34+14）×63
＝48×63
＝3024
【点评】此题考查整数四则混合运算顺序，分析数据找到正确的计算方法．
**二．填空题（共9小题，满分19分）**
4．（2分）商店开展促销活动10元钱可以买3双袜子，买9双袜子需要[ 30 ]{.underline}元，50元能买[ 15 ]{.underline}双袜子．
【分析】求9双袜子需要的钱数，可以先用9双除以3双，求出9双里面有几个3双，也就是需要几个10元，再乘10即可；求50元能买几双袜子，可以先求出50元里面有几个10，也就是有几个3双，再乘3即可．
【解答】解：9÷3×10
＝3×10
＝30（元）；
50÷10×3
＝5×3
＝15（双）；
答：买9双需要30元，50元可以买15双．
故答案为：30，15．
【点评】解决本题也可以根据单价＝总价÷数量，先出一双袜子的钱数，再根据总价＝单价×数量，求出买9双需要多少元钱；由数量＝总价÷单价，求出50元可以买多少双袜子；据此解答即可．
5．（2分）填上合适的单位名称．
大明早上起来晨练，绕着200[ 米 ]{.underline}跑道跑了3圈，然后吃了1000[ 克 ]{.underline}的早餐．7：00上学，走在路上，看到一辆载重5[ 吨 ]{.underline}的卡车．7：20到了学校，首先映入眼帘的是面积大约1500[ 平方米 ]{.underline}的花园．学习后，他知道我国的长江是世界第三条大河，全长大约6300[ 千米 ]{.underline}．
【分析】根据生活经验，对长度、质量、面积单位和数据大小的认识，可知计量跑道长200用"米"做单位；早餐1000用克做单位；汽车载着5用吨做单位；花园面积1500用平方米做单位；长江长6300用"千米"做单位；据此得解．
【解答】解：大明早上起来晨练，绕着200 米跑道跑了3圈，然后吃了1000 克的早餐．7：00上学，走在路上，看到一辆载重5 吨的卡车．7：20到了学校，首先映入眼帘的是面积大约1500 平方米的花园．学习后，他知道我国的长江是世界第三条大河，全长大约6300 千米
故答案为：米，克，吨，平方米，千米．
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
6．（3分）2时15分＝[ 2.25 ]{.underline}时
1.25升＝[ 1250 ]{.underline}毫升
8050立方分米＝[ 8.05 ]{.underline}立方米
256公顷＝[ 2.56 ]{.underline}平方千米．
【分析】（1）把15分除以进率60化成0.25时再与2时相加．
（2）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．
（3）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．
（4）低级单位公顷化高级单位平方千米除以进率100．
【解答】解：（1）2时15分＝2.25时；（2）1.25升＝1250毫升；
（3）8050立方分米＝8.05立方米；
（4）256公顷＝2.56平方千米．
故答案为：2.25，1250，8.05，2.56．
【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率．
7．每束花3元，65元可以买多少束花，还剩多少元？小刚列式为：65÷3＝21（束）...2（元）．验算时，他先算21×3，表示的是[ 21束花的总价 ]{.underline}．
【分析】根据算式21×3中各个数据的意义以及乘法的意义，即可知道21×3表示的是什么意思．
【解答】解：因为21是花的束数（数量），3表示花的单价，所以21×3表示的是21束花的总价．
故答案为：21束花的总价．
【点评】本题考查有余数除法应用题，体现"单价×数量＝总价"这一关系式的灵活应用．
8．（2分）被除数是214，除数是17，余数是10，商是[ 12 ]{.underline}．
【分析】求商，根据：商＝（被除数﹣余数）÷除数，代入数据解答即可．
【解答】解：（214﹣10）÷17
＝204÷17
＝12
答：商是 12．
故答案为：12．
【点评】明确被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．
9．（2分）4千克水果平均放在5个手提袋里，每个手提袋装[ 800 ]{.underline}克．
【分析】依据除法的意义，用总重量除以手提袋的个数，就是每袋的重量．
【解答】解：4千克＝4000克，
4000÷5＝800（克），
答：每个手提袋装800克．
故答案为：800．
【点评】本题考查了整数的除法的应用．注意把总重量平均分成几份，就是用总重量除以几．
10．（4分）根据不同问题列出算式．
新光小学计划5天为希望工程捐款6000元，实际每天比计划多捐款180元，
（1）原计划每天捐款的钱数．[ 6000÷5 ]{.underline}
（2）实际每天捐款的钱数．[ 1200+180 ]{.underline}
（3）5天比计划多捐款的钱数．[ 180×5 ]{.underline}．
【分析】（1）根据除法的意义用计划捐款总钱数除以计划天数据此列式解答即可；
（2）根据加法意义用计划每天捐款钱数加上180元，据此解答即可；
（3）根据乘法的意义用实际每天比计划多捐款钱数乘以天数5，据此解答即可．
【解答】解：（1）6000÷5＝1200（元）
答：原计划每天捐款1200元．
（2）1200+180＝1380（元）
答：实际每天捐款1380元．
（3）180×5＝900（元）
答：5天比计划多捐款900元．
故答案为：6000÷5，1200+180，180×5．
【点评】解答这类问题一般从问题出发，一步步找到要求的问题与所需的条件，再由条件回到问题即可列式解决．
11．把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列，第30个小球是[ 红 ]{.underline}色，在排列的60个小球中，白色的小球占[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】小球是按红色、红色、白色、白色、白色、白色、白色的顺序循环排列的，每次循环中有7个球，30÷7＝4...2，可知第30个小球是红色．60÷7＝8...4，也就是循环了8次，在排列4个球，其中有两个白色的球，所以白色球的数量是8×5+2＝42（个）求出占总数的几分之几即可．
【解答】解：由题意可知小球是按红色、红色、白色、白色、白色、白色、白色的顺序循环排列的，
每次循环中有2+5＝7个球，因为30÷7＝4...2，所以第30个小球是红色．
因为60÷7＝8...4，所以白球的个数是8×5+2＝42（个），白色的小球占＝．
答：第30个小球是红色，白色的小球占；
故答案为：红，．
【点评】解此类题关键看看是怎么循环的，循环周期是什么，求第几个球的颜色，就用这个数除以周期，余几就是一周期中的第几个颜色的球．求一定数量的球中有多少某个颜色的球，要看看每次循环中有几个这种颜色的球，求出循环了几次，次数乘以个数求出数量，有余数，看看余几，到哪种颜色的球，有没有要求的颜色的球，如有加上这种颜色球的个数即可．
12．（2分）一个数除以9，商是最大的两位数，余数是8，这个数是[ 899 ]{.underline}．
【分析】求被除数，根据：被除数＝商×除数+余数，解答即可．
【解答】解：99×9+8
＝891+8
＝899
答：这个数是899；
故答案为：899．
【点评】求这个数实际是求被除数，明确被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．
**三．操作题（共1小题，满分3分，每小题3分）**
13．（3分）画一画
【分析】从前面能看到4个正方形，分两行，下行3个，上行1个，居中；从上面能看到4个正方形，分两行，下行3个，上行1个，右对齐；从左面能看到3个正方形，分两行，下行2个，上行1个，右对齐．
【解答】解：
【点评】此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
**四．填空题（共4小题，满分4分，每小题1分）**
14．填上适当的体积或容积单位：
一个苹果占据的空间约为400[ 立方厘米 ]{.underline}
一大瓶雪碧的容量是2.5[ 升 ]{.underline}
29寸电视机大约占据0.75[ 立方米 ]{.underline}的空间．
【分析】根据生活实际，一个苹果占据的空间约为400立方厘米；一大瓶雪碧的容量是2.5升；29寸电视机大约占据0.75立方米的空间．
【解答】解：一个苹果占据的空间约为400立方厘米；
一大瓶雪碧的容量是2.5升；
29寸电视机大约占据0.75立方米的空间；
故答案为：立方厘米，升，立方米．
【点评】本题考查是体积、容积单位的选取，单位选取要结合题目中所提供的数据，结合生活实际．解答此题的关键是知道常用体积、容积单位的实际大小．
15．下面（ ）张照片是在房子的后边拍的．
A． B．
C． D．
【分析】观察图形，很容易看出，第4个图形是从房子的后面看到的，因为没有门窗，与第1个图形是从房子的正面看到的炊烟方向正好相反；第2、3个图形是从侧面看到的，所以不符合要求．
【解答】解：
在房子的后边拍的是．
故选：*D*．
【点评】此题考查了从不同方向观察物体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力，抓住烟圈的特点即可判断．
16．77÷3＝25...2正确验算方法是（ ）
A．25×2+3 B．3×2+25 C．3×25+2
【分析】根据"被除数＝商×除数+余数"解答即可．
【解答】解：由分析可知，77÷3＝25...2，正确的验算的方法是3×25+2，
故选：*C*．
【点评】此题考查了有余数的除法的验算方法．
17．图中几何体从左面看能得到（ ）
A． B． C． D．
【分析】这个立体图形是由5个相同的小正方体组成的，从左面能看3个正方形，分两行，下行2个，上行1个右对齐；据此解答．
【解答】解：图中几何体从左面看能得到．
故选：*D*．
【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．
**五．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分）**
18．0÷17＝0×1．[ √ ]{.underline}（判断对错）
【分析】根据0在乘除法计算中的特性，分别计算出0÷17，0×1的结果，再比较即可判断．
【解答】解：0÷17＝0，
0×1＝0；
0＝0，即0÷17＝0×1；
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】本题考查了0在乘除法中的特性：0乘任何数都得0；0除以一个非0的数都得0．
19．任何数除0都得0．[ × ]{.underline}（判断对错）
【分析】"任何数除0都得0"即"0除以任何数都得0"，因为0不能作除数，所以这种说法错误，由此即可判断．
【解答】解：因为0不能作除数，
所以，任何数除0都得0是错误的．
故答案为：×．
【点评】在除法算式中，0不能作除数，然后再进一步解答．
20．小芳指着一棵大树说："它有12米高"．[ √ ]{.underline}（判断对错）
【分析】根据情景根据生活经验，对长度单位和数据大小的认识，可知计量一棵大树高用"米"做单位．
【解答】解：小芳指着一棵大树说："它有12米高"；说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
21．要使□824÷62的商是三位数，□里最小填6．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【分析】根据整数除法的运算法则可知，四位数除以两位数，如果被除数的前两位上数字大于或等于除数，则商是三位数，据此解答．
【解答】解：四位数除以两位数，如果被除数的前两位上数字大于或等于除数，则商是三位数，
所以□824÷62的商是三位数，□8大于或等于62，
所以要使□824÷62的商是三位数，□里最小填6，题干的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】在进行除法的运算时，我们可先根据除数与被除数的比较来判断商的位数情况．
22．一个两位数除以8，商是7，余数是9，这个数是65．[ √ ]{.underline}（判断对错）
【分析】求被除数，根据：被除数＝商×除数+余数，据此判断．
【解答】解：7×8+9
＝56+9
＝65
答：这个数是65．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】求这个数实际是求被除数，明确被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．
**六．应用题（共6小题，满分29分）**
23．（4分）美术小组有42人，书法小组有58人，合唱小组的人数是美术小组和书法小组人数和的2倍，[ 合唱小组有多少人 ]{.underline}？
补充问题，并解答．
【分析】根据题意，可以提出的问题是：合唱小组有多少人？首先根据加法的意义，用加法求出美术组和书法组一共有多少人，再根据乘法的意义，用乘法解答．
【解答】解：合唱小组有多少人？
（42+58）×2
＝100×2
＝200（人），
答：合唱小组有200人．
故答案为：合唱小组有多少人．
【点评】解答这类问题，首先弄清已知哪些条件，然后根据条件提出相应的问题并解答，属于简单的定向问题．
24．（6分）学校组织学生军训，六年级有40人参加，比五年级参加军训的人数的2倍少24人，五年级有多少名同学参加军训？
【分析】根据题干，可设五年级有*x*人参加集训，则根据等量关系："五年级参加集训人数的2倍﹣24＝六年级的人数"，由此解方程即可．
【解答】设五年级有*x*人参加集训，则根据题意可得方程：
2*x*﹣24＝40
2*x*＝64
*x*＝32
答：五年级有32名同学参加军训．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题．
25．（4分）李叔叔骑自行车去超市，去时每分钟行156米，用了12分钟，回来时用了9分钟，李叔叔回来时每分钟多行多少米？
【分析】因为来回的路程相等，用去时的时间乘去时的速度求出去超市的总路程，再根据速度＝路程÷时间，即可求出回来时的速度是多少，然后再相减即可．
【解答】解：156×12÷9
＝1872÷9
＝208（米）
208﹣156＝52（米）
答：李叔叔回来时每分钟多行52米．
【点评】解决本题关键是计算出总的路程，再根据速度＝路程÷时间计算．
26．（4分）五（1）班18名男生的平均体重为36千克，12名女生的平均体重为34千克，那么这个班学生的平均体重为多少千克？
【分析】先用男生的平均体重乘男生的人数，求出男生的总质量；再用女生的平均体重乘女生的人数，求出女生的总质量，再把男生和女生的总质量相加，求出全班的总质量，然后求出全班的总人数（男女生的人数和）即可求出这个班学生的平均体重为多少千克．
【解答】解：36×18+34×12
＝648+408
＝1056（千克）
1056÷（18+12）
＝1056÷30
＝35.2（千克）
答：这个班学生的平均体重为35.2千克．
【点评】本题考查了平均数中的数量关系：总数量＝平均数×总份数；平均数＝总数量÷总份数．
27．（9分）星期天，爸爸、妈妈都出差了，明明一个人在家．妈妈给他20元钱，让他自己料理一天的生活．附近可买的食物如下表：
<table><tbody><tr class="odd"><td>品 种</td><td><p>牛奶</p><p>/瓶</p></td><td><p>面包</p><p>/个</p></td><td><p>鸡蛋</p><p>/个</p></td><td><p>包子</p><p>/个</p></td><td><p>面条</p><p>/碗</p></td><td><p>米饭</p><p>/碗</p></td><td><p>西红柿</p><p>蛋汤/份</p></td><td><p>红烧鱼</p><p>/份</p></td><td><p>炒肉丝</p><p>/份</p></td><td><p>果汁</p><p>/份</p></td></tr><tr class="even"><td>单价/元</td><td>1.50</td><td>1.00</td><td>0.50</td><td>0.30</td><td>2.00</td><td>0.50</td><td>2.00</td><td>8.00</td><td>5.00</td><td>1.50</td></tr></tbody></table>
如果你是明明，打算怎样安排一天的饮食？（把你的方案填在下面的表中）
<table><tbody><tr class="odd"><td><p>早</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>中</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>晚</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td>小计/元</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
【分析】根据生活经验，早餐喝1瓶牛奶，吃1个面包；中餐吃一份西红柿蛋汤，一碗米饭；晚餐一份炒肉丝，一碗面条，由此填表即可．
【解答】解：
<table><tbody><tr class="odd"><td><p>早</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>中</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td><td><p>晚</p><p>餐</p></td><td>品种</td><td>数量</td><td>金额</td></tr><tr class="even"><td></td><td>牛奶</td><td>1</td><td>1.50</td><td></td><td>米饭</td><td>1</td><td>0.50</td><td></td><td>炒肉丝</td><td>1</td><td>5.00</td></tr><tr class="odd"><td></td><td>面包</td><td>1</td><td>1.00</td><td></td><td>西红柿蛋汤</td><td>1</td><td>2.00</td><td></td><td>面条</td><td>1</td><td>2.00</td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td>小计/元</td><td>2.50</td><td></td><td>小计/元</td><td>2.50</td><td></td><td>小计/元</td><td>7.00</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
2.5+2.5+7＝12（元），
12元＜20元，不超过总支出，是可以的．
【点评】此题考查了合理膳食，只要不超过一天的总支出即可．
28．（2分）某校七年级（1）班为了在王强和李军同学中选班长，进行了一次"演讲"与"民主测评"活动，*A*，*B*，*C*，*D*，*E*五位老师为评委对王强，李军的"演讲"打分；该班50名同学分别对王强和李军按"好"，"较好"，"一般"三个等级进行民主测评．统计结果如下图，表．计分规则：
①"演讲"得分按"去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分"；
②"民主测评"分＝"好"票数×2分+"较好"票数×1分+"一般"票数×0分；
③综合分＝"演讲"得分×40%+"民主测评"得分×60%．
解答下列问题：
（1）演讲得分，王强得[ 92 ]{.underline}分，李军得[ 89 ]{.underline}分．
（2）民主测评得分，王强得[ 87 ]{.underline}分，李军得[ 92 ]{.underline}分．
（3）以综合得分高的当选班长，王强和李军谁能当班长？为什么？
------------------------ ----- ----- ----- ----- -----
演讲得分表（单位：分）
评委姓名 *A* *B* *C* *D* *E*
王强 90 92 94 97 82
李军 89 82 87 96 91
------------------------ ----- ----- ----- ----- -----
【分析】（1）只要运用求平均数公式：总数÷个数＝平均数，即可求出；
（2）王强"好"票40张，"较好"票7张，"一般"票3张，李军"好"票44张，"较好"票4张，"一般"票2张，分别代入即可求得民主测评分；
（3）把（2）的结果代入即可求得综合得分．
【解答】解：（1）王强演讲得分＝（90+92+94）÷3＝92分，
李军演讲得分＝（89+87+91）÷3＝89分；
（2）民主测评，王强：40×2+7×1+3×0＝87分，
李军：44×2+4×1+2×0＝92分；
（3）综合得分，王强：92×40%+87×60%＝89分，
李军：89×40%+92×60%＝90.8分．
李军当选班长，因为李军的综合得分高．
故答案为：92，89，87，92．
【点评】此题把平均数、统计表和条形统计图结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．
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**2013年陕西省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁~R~M为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
2．（5分）已知向量 =（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣或 D．0
3．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．log~a~b•log~c~b=log~c~a B．log~a~b•log~c~a=log~c~b
C．log~a~bc=log~a~b•log~a~c D．log~a~（b+c）=log~a~b+log~a~c
4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
A．25 B．30 C．31 D．61
5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间\[20，25）上的为一等品，在区间\[15，20）和区间\[25，30）上的为二等品，在区间\[10，15）和\[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
6．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若z^2^≥0，则z是实数 B．若z^2^＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z^2^≥0 D．若z是纯虚数，则z^2^＜0
7．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x^2^+y^2^=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（ ）
A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[x+\]=\[x\] C．\[2x\]=2\[x\] D．\[x\]+\[x+\]=\[2x\]
**二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）双曲线的离心率为[ ]{.underline}．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为[ ]{.underline}．
13．（5分）观察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=2^2^×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=2^3^×1×3×5
...
照此规律，第n个等式可为[ ]{.underline}．
14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为[ ]{.underline}（m）．
**选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）**
15．（5分）（不等式选做题）
设a，b∈R，\|a﹣b\|＞2，则关于实数x的不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是[ ]{.underline}．
16．（几何证明选做题）
如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE=[ ]{.underline}．
17．（坐标系与参数方程选做题）
圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）**
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在\[0，\]上的最大值和最小值．
19．（12分）设S~n~表示数列{a~n~}的前n项和．
（Ⅰ） 若{a~n~}为等差数列，推导S~n~的计算公式；
（Ⅱ） 若a~1~=1，q≠0，且对所有正整数n，有S~n~=．判断{a~n~}是否为等比数列，并证明你的结论．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A~1~O⊥平面ABCD，AB=AA~1~=．
（Ⅰ） 证明：平面A~1~BD∥平面CD~1~B~1~；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的体积．
21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
------ ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
------ ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
---------- ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
---------- ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
22．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
23．（14分）已知函数f（x）=e^x^，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．
**2013年陕西省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁~R~M为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．
【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M=（﹣∞，1\]，
又全集为R，所以∁~R~M=（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．
2．（5分）已知向量 =（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣或 D．0
【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．
【解答】解：∵=（1，m），=（m，2），且，所以1•2=m•m，解得m=或m=．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是x~1~y~2~﹣x~2~y~1~=0，是基础题．
3．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．log~a~b•log~c~b=log~c~a B．log~a~b•log~c~a=log~c~b
C．log~a~bc=log~a~b•log~a~c D．log~a~（b+c）=log~a~b+log~a~c
【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log~a~（xy）=log~a~x+log~a~y（x、y＞0），判断选项即可．
【解答】解：对于A，log~a~b•log~c~b=log~c~a⇒，与换底公式矛盾，所以A不正确；
对于B，log~a~b•log~a~a=log~a~b，⇒，符合换底公式，所以正确；
对于C，log~a~bc=log~a~b•log~a~c，不满足对数运算公式log~a~（xy）=log~a~x+log~a~y（x、y＞0），所以不正确；
对于D，log~a~（b+c）=log~a~b+log~a~c，不满足log~a~（xy）=log~a~x+log~a~y（x、y＞0），所以不正确；
故选：B．
【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．
4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
A．25 B．30 C．31 D．61
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．
当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，
故选：C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间\[20，25）上的为一等品，在区间\[15，20）和区间\[25，30）上的为二等品，在区间\[10，15）和\[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．
【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间\[15，20）和\[25，30）上的概率为0.04×5+\[1﹣（0.02+0.04+
0.06+0.03）×5\]=0.45．
故选：D．
【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．
6．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若z^2^≥0，则z是实数 B．若z^2^＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z^2^≥0 D．若z是纯虚数，则z^2^＜0
【分析】设出复数z，求出z^2^，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．
【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z^2^=a^2^﹣b^2^+2abi，
对于A，z^2^≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；
对于B，z^2^＜0，则a=0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z^2^≥0是假命题．
对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z^2^＜0是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．
7．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】先根据曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．
【解答】解：画出可行域，如图所示
解得A（﹣2，2），设z=2x﹣y，
把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z~min~=2×（﹣2）﹣2=﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．
8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x^2^+y^2^=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【分析】由M在圆外，得到\|OM\|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵M（a，b）在圆x^2^+y^2^=1外，
∴a^2^+b^2^＞1，
∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，
则直线与圆的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．
【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin^2^A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=，
故三角形为直角三角形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（ ）
A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[x+\]=\[x\] C．\[2x\]=2\[x\] D．\[x\]+\[x+\]=\[2x\]
【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．
【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则\[﹣x\]=1，﹣\[x\]=2，所以A选项为假．
对B，设x=1.8，则\[x+\]=2，\[x\]=1，所以B选项为假．
对C，x=﹣1.4，则\[2x\]=\[﹣2.8\]=﹣3，2\[x\]=﹣4，所以C选项为假．
故D选项为真．
故选：D．
【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．
**二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）双曲线的离心率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．
【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，
所以双曲线的离心率为：e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为[ 3π ]{.underline}．
【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．
【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，
其表面积=．
故答案为：3π．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．
13．（5分）观察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=2^2^×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=2^3^×1×3×5
...
照此规律，第n个等式可为[ （n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2^n^•1•3•5...•（2n﹣1） ]{.underline}．
【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．
【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：
（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n），
每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，
由此可知第n个等式的右边为2^n^•1•3•5...（2n﹣1）．
所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2^n^•1•3•5...（2n﹣1）．
故答案为（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2^n^•1•3•5...（2n﹣1）．
【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．
14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为[ 20 ]{.underline}（m）．
【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=x+y且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．
【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，
⇒40=x+y≥2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m^2^．
故答案为：20．
【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=x+y是关键，属于中档题．
**选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）**
15．（5分）（不等式选做题）
设a，b∈R，\|a﹣b\|＞2，则关于实数x的不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是[ R ]{.underline}．
【分析】判断函数f（x）=\|x﹣a\|+\|x﹣b\|的值域为（\|a﹣b\|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．
【解答】解：函数f（x）=\|x﹣a\|+\|x﹣b\|的值域为（\|a﹣b\|，+∞），
因此，当∀x∈R时，f（x）≥\|a﹣b\|＞2，
所以不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是R．
故答案为：R．
【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．
16．（几何证明选做题）
如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．
【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，
且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，
⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2
⇒
⇒PE^2^=PA•PD=3×2=6，
∴PE=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．
17．（坐标系与参数方程选做题）
圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是[ （1，0） ]{.underline}．
【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．
【解答】解：由方程（t为参数）得y^2^=4x，它表示焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）**
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在\[0，\]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 通过x在\[0，\]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）
=sinxcosx
=sin（2x﹣）
最小正周期为：T==π．
（Ⅱ）当x∈\[0，\]时，2x﹣∈，
由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，
∴sin（2x﹣），
∴f（x）∈\[﹣，1\]，
所以函数f （x）在\[0，\]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．
19．（12分）设S~n~表示数列{a~n~}的前n项和．
（Ⅰ） 若{a~n~}为等差数列，推导S~n~的计算公式；
（Ⅱ） 若a~1~=1，q≠0，且对所有正整数n，有S~n~=．判断{a~n~}是否为等比数列，并证明你的结论．
【分析】（I）设等差数列的公差为d，则a~n~=a~1~+（n﹣1）d，可得a~1~+a~n~=a~2~+a~n﹣1~=...，利用"倒序相加"即可得出；
（II）利用a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~即可得出a~n+1~，进而得到a~n~，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．
【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则a~n~=a~1~+（n﹣1）d，可得a~1~+a~n~=a~2~+a~n﹣1~=...，
由S~n~=a~1~+a~2~+...+a~n~，
S~n~=a~n~+a~n﹣1~+...+a~1~．
两等式相加可得2S~n~=（a~1~+a~n~）+（a~2~+a~n﹣1~）+...+（a~n~+a~1~），
∴．
（II）∵a~1~=1，q≠0，且对所有正整数n，有S~n~=．
∴a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~==q^n^．
∴，可得（n∈N^\*^），
∴数列{a~n~}是以a~1~=1为首项，q≠1为公比的等比数列．
【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及"倒序相加"法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n项和的公式是解题的关键．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A~1~O⊥平面ABCD，AB=AA~1~=．
（Ⅰ） 证明：平面A~1~BD∥平面CD~1~B~1~；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的体积．
【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB~1~D~1~D为平行四边形，故有BD和B~1~D~1~平行且相等，可得 BD∥平面CB~1~D~1~．同理可证，A~1~B∥平面CB~1~D~1~．而BD和A~1~B是平面A~1~BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A~1~BD∥平面CD~1~B~1~ ．
（Ⅱ） 由题意可得A~1~O为三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的高，由勾股定理可得A~1~O= 的值，再根据三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的体积V=S~△ABD~•A~1~O，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A~1~O⊥平面ABCD，AB=AA~1~=，
由棱柱的性质可得BB~1~ 和DD~1~平行且相等，故四边形BB~1~D~1~D为平行四边形，故有BD和B~1~D~1~平行且相等．
而BD不在平面CB~1~D~1~内，而B~1~D~1~在平面CB~1~D~1~内，∴BD∥平面CB~1~D~1~．
同理可证，A~1~BCD~1~为平行四边形，A~1~B∥平面CB~1~D~1~．
而BD和A~1~B是平面A~1~BD内的两条相交直线，故有平面A~1~BD∥平面CD~1~B~1~ ．
（Ⅱ） 由题意可得A~1~O为三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的高．三角形A~1~AO中，由勾股定理可得A~1~O===1，
∴三棱柱ABD﹣A~1~B~1~D~1~的体积V=S~△ABD~•A~1~O=•A~1~O=×1=1．
【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．
21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
------ ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
------ ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
---------- ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
---------- ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；
（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．
【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：
---------- ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
---------- ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为．
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．
现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．
【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题．
22．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x~1~+x~2~，x~1~x~2~，结合2x~1~=x~2~得到关于k的方程，则直线m的斜率可求．
【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则
\|x﹣4\|=2，即（x﹣4）^2^=4\[（x﹣1）^2^+y^2^\]，
整理得．
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；
（Ⅱ）P（0，3），设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），由A是PB的中点，得2x~1~=0+x~2~，2y~1~=3+y~2~．
椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．
设直线m的方程为：y=kx+3．
联立，
整理得：（3+4k^2^）x^2^+24kx+24=0．
．
因为2x~1~=x~2~．
则，得，
所以．
即，解得．
所以，直线m的斜率．
【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．
23．（14分）已知函数f（x）=e^x^，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．
【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）令h（x）=f（x）﹣=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g^′^（t）==（t＞0）．令h（x）=e^x^﹣x﹣1（x＞0），利用导数研究其单调性即可．
【解答】（I）解：函数f（x）=e^x^的反函数为g（x）=lnx，
∵，∴g′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）﹣=，
则h′（x）=e^x^﹣x﹣1，
h^′′^（x）=e^x^﹣1，
当x＞0时，h^′′^（x）＞0，h′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′^（x）＜0，h′（x）单调递减，
故h′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x） 与曲线y=有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ） 设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e^a^
=，
令g（t）=（t＞0），
则g^′^（t）==（t＞0）．
令h（x）=e^x^﹣x﹣1（x＞0），
则h^′^（x）=e^x^﹣1＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，
因此g^′^（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．
∴＞f（）．
【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．
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**2015年湖南省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分**
1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）设A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5分）已知（﹣）^5^的展开式中含x的项的系数为30，则a=（ ）
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附"若X﹣N=（μ，a^2^），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．（5分）已知A，B，C在圆x^2^+y^2^=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x~1~）﹣g（x~2~）\|=2的x~1~、x~2~，有\|x~1~﹣x~2~\|~min~=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）（x﹣1）dx=[ ]{.underline}．
12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是[ ]{.underline}．
13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为[ ]{.underline}．
14．（5分）设S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，且3S~1~，2S~2~，S~3~成等差数列，则a~n~=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲**
16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．
**选修4-4：坐标系与方程**
17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求\|MA\|•\|MB\|的值．
**选修4-5：不等式选讲**
18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a^2^+a＜2与b^2^+b＜2不可能同时成立．
**七、标题**
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21．如图，已知四棱台ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA~1~=6，且AA~1~⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD~1~、BC上．
（1）若P是DD~1~的中点，证明：AB~1~⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB~1~A~1~，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
22．（13分）已知抛物线C~1~：x^2^=4y的焦点F也是椭圆C~2~：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C~1~与C~2~的公共弦长为2．
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C~1~相交于A、B两点，与C~2~相交于C、D两点，且与同向．
（1）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率；
（2）设C~1~在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e^ax^sinx（x∈\[0，+∞\]）．记x~n~为f（x）的从小到大的第n（n∈N^\*^）个极值点．证明：
（Ⅰ）数列{f（x~n~）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N^\*^，x~n~＜\|f（x~n~）\|恒成立．
**2015年湖南省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分**
1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．
【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
2．（5分）设A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．
【解答】解：A、B是两个集合，则"A∩B=A"可得"A⊆B"，
"A⊆B"，可得"A∩B=A"．
所以A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===
故选：B．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点．
5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣\[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）\]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；
x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
6．（5分）已知（﹣）^5^的展开式中含x的项的系数为30，则a=（ ）
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T~r+1~==；
展开式中含x的项的系数为30，
∴，
∴r=1，并且，解得a=﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附"若X﹣N=（μ，a^2^），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．
【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
8．（5分）已知A，B，C在圆x^2^+y^2^=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由题意，AC为直径，所以\|\|=\|2+\|．B为（﹣1，0）时，\|2+\|≤7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC为直径，所以\|\|=\|2+\|
所以B为（﹣1，0）时，\|2+\|≤7．
所以\|\|的最大值为7．
另解：设B（cosα，sinα），
\|2+\|=\|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）\|=\|（cosα﹣6，sinα）\|==，
当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．
故选：B．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x~1~）﹣g（x~2~）\|=2的x~1~、x~2~，有\|x~1~﹣x~2~\|~min~=，则φ=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x~1~，x~2~的值，然后判断选项即可．
【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x~1~）﹣g（x~2~）\|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有\|x~1~﹣x~2~\|~min~=，
不妨x~1~=，x~2~=，即g（x）在x~2~=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，
x~1~=，x~2~=，即g（x）在x~2~=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．
另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x~1~=2kπ+，k∈Z，2x~2~﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，
x~1~﹣x~2~=﹣φ+（k﹣m）π，
由\|x~1~﹣x~2~\|~min~=，可得﹣φ=，解得φ=，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
10．（5分） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．
【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V=×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
∴根据轴截面图得出：=，
解得；n=（1﹣），0＜x＜2，
∴长方体的体积Ω=2（1﹣）^2^x，Ω′=x^2^﹣4x+2，
∵，Ω′=x^2^﹣4x+2=0，x=，x=2，
∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，
Ω最大值=2（1﹣）^2^×=，
∴原工件材料的利用率为=×=，
故选：A．
【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．
**二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）（x﹣1）dx=[ 0 ]{.underline}．
【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．
【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）\|=0；
故答案为：0．
【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．
12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是[ 4 ]{.underline}．
【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是20，
用系统抽样方法从35人中抽取7人，
成绩在区间\[139，151\]上的运动员应抽取
7×=4（人）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．
13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m=﹣c，n=2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得e^2^==5，
解得e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．
14．（5分）设S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，且3S~1~，2S~2~，S~3~成等差数列，则a~n~=[ 3^n﹣1^ ]{.underline}．
【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．
【解答】解：设等比数列的公比为q，S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，且3S~1~，2S~2~，S~3~成等差数列，
可得4S~2~=S~3~+3S~1~，a~1~=1，
即4（1+q）=1+q+q^2^+3，q=3．
∴a~n~=3^n﹣1^．
故答案为：3^n﹣1^．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．
15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是[ {a\|a＜0或a＞1} ]{.underline}．
【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由x^3^=x^2^可得，x=0或x=1
①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意
②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意
③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意
④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点
综上可得，a＜0或a＞1
故答案为：{a\|a＜0或a＞1}
【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
**三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲**
16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．
【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°
（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．
【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点，
∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O，M，E，N四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴=
∴FE•FN=FM•FO．
【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
**选修4-4：坐标系与方程**
17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求\|MA\|•\|MB\|的值．
【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ^2^=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x^2^+y^2^=2x，即得它的直角坐标方程；
（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ^2^=2ρcosθ，∴x^2^+y^2^=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）^2^+y^2^=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则\|MT\|^2^=（5﹣1）^2^+3﹣1=18，
由切割线定理，可得\|MT\|^2^=\|MA\|•\|MB\|=18．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
**选修4-5：不等式选讲**
18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a^2^+a＜2与b^2^+b＜2不可能同时成立．
【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；
（ⅱ）运用反证法证明．假设a^2^+a＜2与b^2^+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．
【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b=+=，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2=2，
当且仅当a=b取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a^2^+a＜2与b^2^+b＜2可能同时成立．
由a^2^+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b^2^+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
a^2^+a＜2与b^2^+b＜2不可能同时成立．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．
**七、标题**
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）^2^+，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B﹣A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，
∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin^2^A
=﹣2（sinA﹣）^2^+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）^2^+≤
∴sinA+sinC的取值范围为（，\]
【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）记事件A~1~={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A~2~={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B~1~={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A~2~={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A~1~，A~2~相互独立，，互斥，B~1~，B~2~互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）记事件A~1~={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A~2~={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B~1~={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B~2~={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A~1~，A~2~相互独立，，互斥，B~1~，B~2~互斥，且B~1~=A~1~A~2~，B~2~=+，C=B~1~+B~2~，因为P（A~1~）=，P（A~2~）=，所以，P（B~1~）=P（A~1~）P（A~2~）==，P（B~2~）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B~1~+B~2~）=P（B~1~）+P（B~2~）=．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
故X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2 3
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
E（X）=3×=．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．
21．如图，已知四棱台ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA~1~=6，且AA~1~⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD~1~、BC上．
（1）若P是DD~1~的中点，证明：AB~1~⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB~1~A~1~，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．
【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA~1~所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y~1~，0），只需求即可；
（2）设P（0，y~2~，z~2~），根据P在棱DD~1~上，从而由即可得到z~2~=12﹣2y~2~，从而表示点P坐标为P（0，y~2~，12﹣2y~2~）．由PQ∥平面ABB~1~A~1~便知道与平面ABB~1~A~1~的法向量垂直，从而得出y~1~=y~2~，从而Q点坐标变成Q（6，y~2~，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y~2~，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．
【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA~1~三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A~1~（0，0，6），B~1~（3，0，6），D~1~（0，3，6）；
Q在棱BC上，设Q（6，y~1~，0），0≤y~1~≤6；
∴（1）证明：若P是DD~1~的中点，则P；
∴，；
∴；
∴；
∴AB~1~⊥PQ；
（2）设P（0，y~2~，z~2~），y~2~，z~2~∈\[0，6\]，P在棱DD~1~上；
∴，0≤λ≤1；
∴（0，y~2~﹣6，z~2~）=λ（0，﹣3，6）；
∴；
∴z~2~=12﹣2y~2~；
∴P（0，y~2~，12﹣2y~2~）；
∴；
平面ABB~1~A~1~的一个法向量为；
∵PQ∥平面ABB~1~A~1~；
∴=6（y~1~﹣y~2~）=0；
∴y~1~=y~2~；
∴Q（6，y~2~，0）；
设平面PQD的法向量为，则：
；
∴，取z=1，则；
又平面AQD的一个法向量为；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；
∴；
解得y~2~=4，或y~2~=8（舍去）；
∴P（0，4，4）；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；
∴V~四面体ADPQ~=V~三棱锥P﹣ADQ~=．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式．
22．（13分）已知抛物线C~1~：x^2^=4y的焦点F也是椭圆C~2~：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C~1~与C~2~的公共弦长为2．
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C~1~相交于A、B两点，与C~2~相交于C、D两点，且与同向．
（1）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率；
（2）设C~1~在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a^2^﹣b^2^=1，再根据C~1~与C~2~的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；
（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x~1~+x~2~）^2^﹣4x~1~x~2~=（x~3~+x~4~）^2^﹣4x~3~x~4~，设直线l的方程，分别与C~1~，C~2~构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；
（2）根据导数的几何意义得到C~1~在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C~1~：x^2^=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C~2~的一个焦点，
∴a^2^﹣b^2^=1，①，
又C~1~与C~2~的公共弦长为2，C~1~与C~2~的都关于y轴对称，且C~1~的方程为x^2^=4y，
由此易知C~1~与C~2~的公共点的坐标为（±，），
所以=1，②，
联立①②得a^2^=9，b^2^=8，
故C~2~的方程为+=1．
（Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~），
（1）因为与同向，且\|AC\|=\|BD\|，
所以=，
从而x~3~﹣x~1~=x~4~﹣x~2~，即x~1~﹣x~2~=x~3~﹣x~4~，于是
（x~1~+x~2~）^2^﹣4x~1~x~2~=（x~3~+x~4~）^2^﹣4x~3~x~4~，③
设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由，得x^2^﹣4kx﹣4=0，而x~1~，x~2~是这个方程的两根，
所以x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4，④
由，得（9+8k^2^）x^2^+16kx﹣64=0，而x~3~，x~4~是这个方程的两根，
所以x~3~+x~4~=，x~3~x~4~=﹣，⑤
将④⑤代入③，得16（k^2^+1）=+，
即16（k^2^+1）=，
所以（9+8k^2^）^2^=16×9，
解得k=±．
（2）由x^2^=4y得y′=x，
所以C~1~在点A处的切线方程为y﹣y~1~=x~1~（x﹣x~1~），
即y=x~1~x﹣x~1~^2^，
令y=0，得x=x~1~，
M（x~1~，0），
所以=（x~1~，﹣1），
而=（x~1~，y~1~﹣1），
于是•=x~1~^2^﹣y~1~+1=x~1~^2^+1＞0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．
23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e^ax^sinx（x∈\[0，+∞\]）．记x~n~为f（x）的从小到大的第n（n∈N^\*^）个极值点．证明：
（Ⅰ）数列{f（x~n~）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N^\*^，x~n~＜\|f（x~n~）\|恒成立．
【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N^\*^，x~n~＜\|f（x~n~）\|恒成立．即为nπ﹣φ＜e^a（nπ﹣φ）^恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e^ax^（asinx+cosx）=•e^ax^sin（x+φ），
tanφ=，0＜φ＜，
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N^\*^，
对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，
则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．
于是当x=nπ﹣φ，n∈N^\*^，f（x）取得极值，所以x~n~=nπ﹣φ，n∈N^\*^，
此时f（x~n~）=e^a（nπ﹣φ）^sin（nπ﹣φ）=（﹣1）^n+1^e^a（nπ﹣φ）^sinφ，
易知f（x~n~）≠0，而==﹣e^aπ^是常数，
故数列{f（x~n~）}是首项为f（x~1~）=e^a（π﹣φ）^sinφ，公比为﹣e^aπ^的等比数列；
（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N^\*^，x~n~＜\|f（x~n~）\|恒成立．
即为nπ﹣φ＜e^a（nπ﹣φ）^恒成立⇔＜，①
设g（t）=（t＞0），g′（t）=，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．
t=1时，g（t）取得最小值，且为e．
因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，
只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，
可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，
因此对n∈N^\*^，ax~n~=≠1，即有g（ax~n~）＞g（1）=e=，
故①亦恒成立．
综上可得，若a≥，则对一切n∈N^\*^，x~n~＜\|f（x~n~）\|恒成立．
【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．
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**北师大版小学六年级上册数学期中测试卷二（附答案）**
一、填一填。(每小题2分，共24分)
1．要画一个周长是25.12厘米的圆，圆规两脚尖应张开( )厘米，画出的圆的面积是( )平方厘米。
2．一根绳子长20米，用去15米，用去( )％，还剩( )％。
3．一个圆的直径是6分米，它的周长是( )分米，面积是( )平方分米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．1小时的20％是( )分；0.8吨的15％是( )千克。
5．甲数是5，比乙数少3。甲数比乙数少( )％，乙数比甲数多( )％。
6．边长是4厘米的正方形，剪成一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，剪去的边角料面积是正方形面积的( )％。
7．六(2)班的一次数学考试，全班有38人及格，2人不及格，这次数学考试的及格率是( )％。来源：www.bcjy123.com/tiku/
8．一项工程，独做甲队要5天完成，乙队要4天完成。甲队的工作效率是乙队的( )％，乙队的工作时间比甲队少( )％。
9．== 35％=( ) (填小数)。
10．质检部门抽检一批葡萄酒，250件酒中有15件不合格，这批葡萄酒的合格率是( )％。
11．圆的半径扩大到原来的3倍，周长扩大到原来的( )倍。面积扩大到原来的( )倍。
12．一件商品，打八折出售后比原价便宜18元，打折后的售价是( )元。
二、辨一辨。(对的打"√"，错的打"×")(每小题1分，共5分)
1．一个圆的周长是9.42米，剪成两个半圆后，每个半圆的周长是4.71米。 ( )
2．把20克糖溶化在100克水中，那么糖占糖水的20％。( )
3．30增加20％后与48减少25％后的结果相等。 ( )
4．青云街小学今天的学生出勤率为99％，它表示青云街小学共有学生100人，到校的有99人。 ( )
5．经过一点可以画无数个圆。 ( )
三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)(每小题1分，共5分)
1．10吨食用盐减少20％后再增加20％，结果是( )。
①10吨 ②10.4吨 ③9.6吨
2．一批水果，梨占40％，苹果占50％，梨子比苹果少( )。
①20％ ②10％ ③25％
3．6名运动员聚会，每两人之间都要握手一次，一共要握手( )次。
①6次 ②12次 ③15次
4．半径是6厘米的半圆，周长是( )厘米。
①30.84 ②24.84 ③18.84
5．如果ɑ×120％=b÷50％那么ɑ、b两个数的大小关系为( )
①ɑ﹥b ②b﹥ɑ ③无法判断来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、计算题。(共29分)
1．直接写出得数。(每小题0.5分，共6分)
19.1－63％= 50％＋0.6=
×= 90％÷36=
8÷= 3.14×1^2^=
3.14×0.1^2^= 0.5÷25％=
12×÷= 18×40％÷20％=来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.6×1.01－3.6= （－）×12=
2．计算下面各题。(每小题3分，共12分)
÷× ÷＋×来源：www.bcjy123.com/tiku/
(74％－21％)÷53 75％－(－25％)
3．解方程。(每小题2分，共4分)
10％x＋6=7.3 x－36％x=3.2
4．求下图中阴影部分的周长。(3分)
5．求下图中阴影部分的面积。(4分)
五、作图题。(共4分)
1．把图形A先向右平移6格，得到图形B。(2分)
2．以直线ɑ为对称轴作出图形B的对称图形C。(2分)
六、解决问题。(共28分)
1．有一个时钟，分针长8厘米，这根分针走一圈，针尖走过的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？(5分)
2．一块菜地，今年收白菜20吨，比去年增产25％，去年这块菜地收白菜多少吨？(5分)
3．一块长2米、宽1.2米的塑料布，把它剪成一个最大的圆做桌布，这块桌布的面积比原来长方形的面积少多少平方米？(5分)
4．高波家买了1000元国家建设债券，定期5年，如果年利率是6.34％，到期时一共可以取出多少元？(5分)
5．林玲家10月份的电费是100元，11月份的电费比10月份减少15％，10月份的电费比12月份少20％。(8分)
(1)11月份的电费多少元钱？
(2)12月份的电费多少元钱？
七、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．游泳池长50 m，扩建后长不变，宽增加到12 m，扩建后的游泳池面积比原来增加了百分之几？(3分)游泳池原面积为500m^2^。
B．一种柜子进价是200元，商家加价10％后出售，后来由于款式过时，又打九折出售。
(1)现在这种柜子的售价是多少元？(3分)
(2)现价比进价高了还是低了？相差多少元？(2分)
附加题。(5分)
有一桶油，第一次取出全桶油的20％，第二次比第一次少取出5千克，还剩下53千克。这桶油原来有多少千克？
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**参考答案**
一、1．4，50.24 2．75，25 3．18.84，28.26 4．12，120
5．37.5，60 6．12.56，21.5 7．95 8．80，20
9．100，14，0.35 10．94 11．3，9 12．72
二、1．× 2．× 3．√ 4．× 5．√
三、1．③ 2．① 3．③ 4．① 5．①
四、1．18.47，1.1，，0.025，20，3.14，0.0314，2，1，36，0.036，1
2．，，0.01，0.5625
3．13，5
4．28.56厘米
5．235.5平方厘米
五、略
六、1．50.24厘米，200.96平方厘米
2．16吨
3．1.2696平方米
4．1317元
5．(1)85元(2)125元
七、A．20％ B．(1)198元 (2)低了2元
附加题 (53－5)÷(1－20％－20％)=80(千克)
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**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县五年级（上）期末数学试卷**
**一、注意审题，细心计算。（31分）**
1．（5分）直接写出得数。
---------- ------------ --------- ------------ -----------
0.36÷3＝ 6.3÷0.07＝ 2.5÷5＝ 37.4÷100＝ 1.6÷0.8＝
---------- ------------ --------- ------------ -----------
2．（5分）把下面的带分数化成假分数，假分数化成整数或带分数。
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
3．（5分）把下面的分数化成最简分数。
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------
4．（4分）下面各组数，先通分，再比较大小。
> 和
>
> 和
5．（4分）竖式计算。
> 1.8÷0.25
>
> 36.72÷3.6
6．（8分）合理、灵活计算。
----------------- --------------- -------------- -----------------
7.6×4.3+7.6×5.7 36.5÷12.5÷0.8 9.9+2.73÷1.3 （5.6+6.3）÷0.7
----------------- --------------- -------------- -----------------
**二、用心思考，认真填写。（每小题2分，共30分）**
7．（2分）0.35公顷＝[ ]{.underline}平方米
> 680公顷＝[ ]{.underline}平方千米
8．（2分）把一根4米绳子平均分成5份，每份长[ ]{.underline}米，每份是全长的．
9．（2分）五个连续奇数的和是105，这五个奇数中，最大的数是[ ]{.underline}，最小是[ ]{.underline}。
10．（2分）一辆汽车0.4小时行驶20千米，平均每小时行驶[ ]{.underline}千米，行驶1千米需要[ ]{.underline}小时。
11．（2分）[ ]{.underline}÷10＝＝＝8÷[ ]{.underline}＝。
12．（2分）1里面有[ ]{.underline}个，5个是[ ]{.underline}。
13．（2分）6和10的最大公因数是[ ]{.underline}，最小公倍数是[ ]{.underline}。
14．（2分）的分数单位是[ ]{.underline}，再添上[ ]{.underline}个这样的单位就是最小的合数。
15．（2分）一个三角形，底是2.4分米，高是2分米，它的面积是[ ]{.underline}平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是[ ]{.underline}平方分米。
16．（2分）一次知识竞赛中共有40道题，小红做对了28道，用最简分数表示小红做错的题数占总题数的，做错的题数占做对题数的。
17．（4分）在横线里填上"＞"、"＜"或"＝"。
------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
18．（2分）盒子里有10个黑球和15个白球，任意摸出1个球，摸到[ ]{.underline}球的可能性大，摸到[ ]{.underline}球的可能性小。
19．（2分）一块长方形木板，长30厘米，宽20厘米，用这样的木板拼成一个正方形，正方形的边长至少是[ ]{.underline}厘米，至少需要[ ]{.underline}块这样的木板。
20．（2分）一个长方形的周长是40厘米，长和宽都是质数，这个长方形面积最大是[ ]{.underline}平方厘米，最小是[ ]{.underline}平方厘米。
21．（2分）鸡兔同笼，共有30个头，100只脚，鸡有[ ]{.underline}只，兔有[ ]{.underline}只。
**三、仔细推敲，认真判断。（对的打"√"，错的打"×"）（5分）**
22．（1分）把20克盐溶于100克水中，盐和盐水的比是1：6．[ ]{.underline}（判断对错）
23．（1分）分数单位是的最小假分数是。[ ]{.underline}（判断对错）
24．（1分）假分数一定比最简分数大。[ ]{.underline}（判断对错）
25．（1分）三角形的面积等于平行四边形面积的一半．[ ]{.underline}．（判断对错）
26．（1分）一个两位小数，取近似数约是5.8，这个数最大是5.79。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、反复比较，谨慎选择。（把正确答案的序号填在括号里）（6分）**
27．（1分）正方形的边长是奇数，它的周长一定是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．无法确定
28．（1分）0.47÷0.4，商1.1，余数是（ ）
A．3 B．0.3 C．0.03 D．0.003
29．（1分）分子与分母相差1的分数一定是（ ）
A．真分数 B．假分数 C．带分数 D．最简分数
30．（1分）甲数÷乙数＝8，（甲、乙都是自然数），则甲、乙两个数的最大公因数是（ ）
A．甲数 B．乙数
C．8 D．甲、乙两个数的积
31．（1分）比较图中阴影部分面积的大小。（ ）
> 
A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较
32．（1分）的分子增加6，要使分数的大小不变，分母应增加（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
**五、图形计算。（4+4＝8分）**
33．（4分）求如图图形的面积。（单位：厘米）
> 
34．（2分）求下面组合图形的面积。
> 
**六、解决问题（每小题4分；共20分）**
35．（4分）501班有学生40人，学校买来320本练习本，平均分给每一个同学，每个同学分到的练习本占总本数的几分之几？（结果化成最简分数）
36．（4分）服装厂做一种儿童服装，原来每套用布2.4米，改进裁剪方法后，每套节省用布0.4米，原来做240套服装的布，现在可以做多少套？
37．（4分）一块平行四边形菜地，底20米，高12米，如果每平方米收青菜7.5千克，这块菜地共收青菜多少千克？
38．（4分）学校开运动会，王老师把42个小气球和30面彩旗平均分给几个小组，正好分完，最多可以分给多少个小组？每个小组分到的小气球和彩旗各是多少？
39．（4分）有2元和5元的硬币共100枚，共305元，2元和5元的硬币各有多少枚？
**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、注意审题，细心计算。（31分）**
1．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
-------------- -------------- ------------ ----------------- ------------
0.36÷3＝0.12 6.3÷0.07＝90 2.5÷5＝0.5 37.4÷100＝0.374 1.6÷0.8＝2
-------------- -------------- ------------ ----------------- ------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
2．【分析】假分数化带分数或整数的方法是：用分子除以分母，商为整数部分，余数作分子，分母不变；带分数化假分数的方法是：用整数部分乘分母加分子作分子，分母不变。
> 【解答】解：3＝＝
>
> ＝
>
> ＝10
>
> ＝10
>
> ＝7
>
> 【点评】此题主要是考查假分数与带分数的互化，属于基础知识，要掌握。
3．【分析】把题中分数通过约分，即分子分母同除以分子分母的最大公因数，化成分子分母是互质数的分数，据此化成最简分数。
> 【解答】解：＝
>
> ＝＝
>
> ＝＝
>
> ＝＝
>
> ＝＝
>
> 【点评】本题主要考查约分和最简分数的意义，注意最简分数就是分子和分母是互质数的分数。
4．【分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分。据此将各组中的分数通分后化为同分母的分数比较大小即可。
> 【解答】解：；
>
> 因为
>
> 所以
>
> ；
>
> 因为
>
> 所以
>
> 【点评】比较异分母分数大小的时候，一般要先将异分母分数化成同分母分数后，再进行比较。
5．【分析】根据小数除法的笔算法则进行计算。
> 【解答】解：1.8÷0.25＝7.2
>
> 
>
> 36.72÷3.6＝10.2
>
> 
>
> 【点评】考查了小数的除法，注意笔算时小数点要对齐。
6．【分析】根据小数加减法和乘除法的法则进行计算即可。
> 【解答】解：7.6×4.3+7.6×5.7
>
> ＝7.6×（4.3+5.7）
>
> ＝7.6×10
>
> ＝76
>
> 36.5÷12.5÷0.8
>
> ＝36.5÷（12.5×0.8）
>
> ＝36.5÷10
>
> ＝3.65
>
> 9.9+2.73÷1.3
>
> ＝9.9+2.1
>
> ＝12
>
> （5.6+6.3）÷0.7
>
> ＝11.9÷0.7
>
> ＝17
>
> 【点评】本题考查了小数加减法和乘除法的运算，熟练是解决本题的关键。
**二、用心思考，认真填写。（每小题2分，共30分）**
7．【分析】（1）高级单位公顷化低级单位平方米乘进率10000；
> （2）低级单位公顷化高级单位平方千米除以进率100。
>
> 【解答】解：（1）0.35公顷＝3500平方米
>
> （2）680公顷＝6.8平方千米
>
> 故答案为：3500，6.8。
>
> 【点评】平方米与公顷间的进率是10000，公顷与平方千米间的进率是100。由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。
8．【分析】用绳子的全长除以平均分成的份数就是每份的长度；
> 把绳子的总长度看成单位"1"，平均分成5份，每份就是全长的．
>
> 【解答】解：4÷5＝（米）；
>
> 把全长平均分成5份，每份就是全长的．
>
> 故答案为：，．
>
> 【点评】本题重在区分每份的数量与每份是总数几分之几；每份的数量是具体的数量，用除法求解；每份的总数的几分之几，是把某个整体看成单位"1"，每份占单位"1"的几分之几，根据分数的意义求解．
9．【分析】先用"105÷5＝21"求出中间的奇数，因为相邻的两个奇数相差2，进而求出最大的数和最小的数，解答即可。
> 【解答】解：中间的奇数是：105÷5＝21
>
> 21+2+2＝25
>
> 21﹣2﹣2＝17
>
> 答：最大的数是25，最小是17。
>
> 故答案为：25，17。
>
> 【点评】解答此题的关键：先根据总数、平均数、数的个数三者之间的关系求出中间的奇数，进而根据相邻的两个奇数相差2，求出即可。
10．【分析】根据路程、速度、时间三者之间的关系，求平均每小时行驶多少千米，用路程除以时间，列式为：20÷0.4；求行驶1千米需要多少小时，用时间除以路程，列式为：0.4÷20；据此解答即可。
> 【解答】解：20÷0.4＝50（千米/时）
>
> 0.4÷20＝0.02（千米/小时）
>
> 答：平均每小时行驶50千米，行驶1千米需要0.02小时。
>
> 故答案为：50、0.02。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
11．【分析】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质。
> 分数与除法的关系：分数的分子相当于除法算式里的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。
>
> 【解答】解：＝＝＝4÷10；
>
> ＝＝＝8÷20；
>
> ＝＝；
>
> ＝＝。
>
> 故答案为：4；25，20，14。
>
> 【点评】这道题考查的是分数的基本性质以及分数与除法的关系，要熟练掌握。
12．【分析】根据分数的意义：把一个整体平均分成若干份，其中的1份是几分之一，几份就是几分之几，由此求解。
> 【解答】解：1＝，所以：1里面有8个，5个是。
>
> 故答案为：8，。
>
> 【点评】本题考查了分数的意义，以及分数单位的意义。
13．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可。
> 【解答】解：10＝2×5
>
> 6＝2×3
>
> 所以6和10的最大公因数是2，最小公倍数是：2×3×5＝30。
>
> 故答案为：2，30。
>
> 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。
14．【分析】（1）将单位"1"平均分成若干份，表示其中这样一份的数叫分数单位，所以的分数单位是，
> （2）最小的合数是4，4﹣＝，所以再添上12个这样的分数单位就是最小的合数。
>
> 【解答】解：根据分数单位的意义，的分数单位是，4﹣＝，所以再添上12个这样的分数单位就是最小的合数。
>
> 故答案为：，12。
>
> 【点评】一个分数的分母是几，其分数单位就是几分之一。
15．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，把数据代入公式即可求出这个三角形的面积，等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，关根据一个数的几倍是多少，用乘法解答。
> 【解答】解：2.4×2÷2＝2.4（平方分米）
>
> 2.4×2＝4.8（平方分米）
>
> 答：这个三角形的面积是2.4平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是4.8平方分米。
>
> 故答案为：2.4、4.8。
>
> 【点评】此题主要考查三角形、平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【分析】一次知识竞赛中共有40道题，小红做对了28道，则小明做错了（40﹣28）道，用小红做错的道数除以总道数，再化成最简分数；用做错的道数除以做对的道数，再化成最简分数。
> 【解答】解：40﹣28＝12（道）
>
> 12÷40＝
>
> 12÷28＝
>
> 答：小红做错的题数占总题数的，做错的题数占做对题数的。
>
> 故答案为：，。
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
17．【分析】比较两个分数的大小：假分数大于真分数；两个异分母的分数比较大小，先通分，再比较大小。
> 【解答】解：；；；3
>
> 故答案为：＞；＝；＜；＝。
>
> 【点评】本题考查两个分数比较大小的题目，是一道易错题，注意解题方法。
18．【分析】盒子里有10+15＝25个球，数量多的那种颜色的球摸到的可能性大，数量少的那种颜色的球摸到的可能性小；据此解答。
> 【解答】解：10＜15，
>
> 即白球的个数多，黑球的个数少。
>
> 所以任意摸出一个球，摸到白球的可能性比较大，摸到黑球的可能性较小。
>
> 故答案为：白，黑。
>
> 【点评】解答此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小。
19．【分析】要求至少需多少块，先求出30和20的最小公倍数是60，即边长为60厘米，能拼成正方形，所以横着放，一行放60÷30＝2块，一列为60÷20＝3块，相乘即可求解。
> 【解答】解：因为30＝3×10，20＝2×10，
>
> 所以30和20的最小公倍数是10×2×3＝60，边长为60厘米。
>
> （60÷30）×（60÷20）
>
> ＝2×3
>
> ＝6（块）
>
> 答：正方形的边长至少是60厘米，需要用这样的木板6块。
>
> 答案为：60，6。
>
> 【点评】此题解答的关键是先求出30和20的最小公倍数，然后结合题意，进行分析列出算式解答即可。
20．【分析】根据长方形的周长公式：*C*＝（*a*+*b*）×2，用周长除以2求出长与宽的和，长和宽都是质数，据此求出长、宽，再根据长方形的面积公式：*S*＝*ab*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：40÷2＝20（厘米）
>
> 20＝17+3＝13+7
>
> 13×7＝91（平方厘米）
>
> 17×3＝51（平方厘米）
>
> 答：这个长方形的面积最大是91平方厘米，最小是51平方厘米。
>
> 故答案为：91、51。
>
> 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【分析】假设30只全是鸡，则脚有：30×2＝60（只），比实际少100﹣60＝40（只），因为每只兔比每只鸡多4﹣2＝2只脚，所以兔有：40÷2＝20只，用30减去兔的只数就是鸡的只数．据此解答即可。
> 【解答】解：假设30只全是鸡，则兔有：
>
> （100﹣30×2）÷（4﹣2）
>
> ＝40÷2
>
> ＝20（只）
>
> 鸡有：30﹣20＝10（只）
>
> 答：鸡有10只，兔有20只。
>
> 故答案为：10，20。
>
> 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
**三、仔细推敲，认真判断。（对的打"√"，错的打"&\#215;"）（5分）**
22．【分析】20克盐完全溶解在100克水里，盐水为（20+100）克，进而根据题意，求出盐与盐水的比，进行判断即可．
> 【解答】解：20：（20+100），
>
> ＝20：120，
>
> ＝1：6；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了比的意义，应明确：盐+水＝盐水．
23．【分析】分数单位是的假分数，即分母是13的假分数。根据假分数的意义，分子大于或等于分母的分数是假分数，在所有假分数中，分子、分母相等的假分数最小。
> 【解答】解：分数单位是的最小假分数是。
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查的知识点：分数单位的意义、假分数的意义、分数的大小比较。
24．【分析】最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，可以举例证明。
> 【解答】解：是最简分数，假分数
>
> ＞
>
> 所以假分数一定比最简分数大，说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对假分数和最简分数意义的掌握情况。
25．【分析】缺少关键条件，三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．
> 【解答】解：因为三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．
>
> 故判断：×．
>
> 【点评】此题主要考查三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半．
26．【分析】要考虑5.8是一个两位数的近似数，有两种情况："四舍"得到的5.8最大是5.84，"五入"得到的5.8最小是5.75，由此解答问题即可。
> 【解答】解："四舍"得到的5.8最大是5.84，"五入"得到的5.8最小是5.75，故原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】取一个数的近似数，有两种情况："四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法
**四、反复比较，谨慎选择。（把正确答案的序号填在括号里）（6分）**
27．【分析】正方形的周长＝边长×4，据此可知无论正方形的边长是奇数还是偶数，它的周长都是4的倍数，也就一定是2的倍数，所以一定是偶数；据此还可以根据它的周长是4的倍数，断定这个数也一定是合数，因为除了1和它本身至少还有4这个因数．
> 【解答】解：因为正方形的周长＝边长×4
>
> 所以它的周长一定是偶数，也一定是合数．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题考查了奇数和偶数的初步认识，明确偶数、合数的意义是解决此题的关键．
28．【分析】根据"被除数＝商×除数+余数"得出"余数＝被除数﹣商×除数"解答即可．
> 【解答】解：0.47﹣1.1×0.4，
>
> ＝0.47﹣0.44，
>
> ＝0.03，
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】据在有余数的除法中，余数总比除数小，然后根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．
29．【分析】在分数中，分子大于或等于分母的分数为假分数，分子小于分母的分数为真分数．由此可知，分子与分母相差1的分数可能是真分数，也可能是假分数；在分数中，分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．由于分子与分母相差1，即这两个自然数是相邻的两个自然数，自然数中，相邻的两个自然数（零除外）一定互质，则分子与分母相差1的分数一定是最简分数．
> 【解答】解：根据真分数与假分数的意义可知，分子与分母相差1的分数可能是真分数，也可能是假分数；由于自然数中，相邻的两个自然数（零除外）一定互质，根据最简分数的意义可知，分子与分母相差1的分数一定是最简分数．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】明确自然数中，相邻的两个自然数（零除外）一定互质是完成本题的关键．
30．【分析】倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；由甲数÷乙数＝8，（甲、乙都是自然数），可知：甲数和乙数是倍数关系，乙数是较小数，甲数是较大数，据此解答。
> 【解答】解：甲数÷乙数＝8，（甲、乙都是自然数），可知：甲数和乙数是倍数关系，则甲、乙两数的最大公因数是乙数。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解答本题关键是能由甲数÷乙数＝8，可知甲数和乙数是倍数关系。
31．【分析】如图；，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，所以面积1＝面积2，面积3等于面积4，面积①＝面积②。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 因为面积1＝面积2，面积3等于面积4，
>
> 所以面积①＝面积②。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据等底等高的两个三角形的面积相等进行分析即可。
32．【分析】首先发现分子之间的变化，由3变为（3+6）＝9，扩大到原来的3倍，要使分数的大小相等，分母也应扩大到原来的3倍，由此通过计算就可以得出。
> 【解答】解：原分数分子是3，现在分数的分子是3+6＝9，扩大到原来的3倍，
>
> 原分数分母是8，要使前后分数相等，分母也应扩大到原来的3倍，变为24，即24＝8+16；
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题。
**五、图形计算。（4+4＝8分）**
33．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：10×12＝120（平方厘米）
>
> （4+7）×8÷2
>
> ＝11×8÷2
>
> ＝44（平方厘米）
>
> 答：平行四边形的面积是120平方厘米，梯形的面积是44平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形、梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
34．【分析】该组合图形面积＝长方形的面积+三角形的面积（底6*cm*，高1.6*cm*）。
> 【解答】解：6×4＝24（平方厘米）
>
> 6×1.6÷2＝4.8（平方厘米）
>
> 24+4.8＝28.8（平方厘米）
>
> 答：该组合图形的面积是28.8平方厘米。
>
> 【点评】组合图形的面积一般都是转化到已知的规则图形中利用公式计算，这里考查了长方形、三角形面积公式的灵活应用。
**六、解决问题（每小题4分；共20分）**
35．【分析】用学校买来的练习本的本数看作单位"1"，把它平均分成40份，每分到1份，每份是总本数的。
> 【解答】解：1÷40＝
>
> 答：每个同学分到的练习本占总本数的。
>
> 【点评】把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
36．【分析】先依据布的总长度＝每套用布长度×套数，求出布的总长度，再求出实际每套服装用布长度，最后根据套数＝总长度÷每套用布长度即可解答。
> 【解答】解：（2.4×240）÷（2.4﹣0.4）
>
> ＝576÷2
>
> ＝288（套）
>
> 答：现在可做288套。
>
> 【点评】求出布的总长度，以及实际每套服装用布长度，是解答本题的关键。
37．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，求出这块菜地的面积，然后用这块菜地的面积乘每平方米收青菜的质量即可。
> 【解答】解：20×12×7.5
>
> ＝240×7.5
>
> ＝1800（千克）
>
> 答：这块菜地共收青菜1800千克。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
38．【分析】求最多可以分给多少个小组，就是求42和30的最大公因数是多少，42和30里面有多少个最大公因数，就是分到小组的小气球和彩旗各是多少。
> 【解答】解：42和30的最大公因数是6，
>
> 42÷6＝7（个）
>
> 30÷6＝5（面）
>
> 答：最多可以分给6个小组，每个小组分到的小气球是7个，每个小组分到的彩旗是5面。
>
> 【点评】本题主要考查最大公因数的实际应用，解题的关键是求出42和30的最大公因数。
39．【分析】假设全是5元的人民币，则应该是5×100＝500元，这比已知的305元多出了500﹣305＝195元，因为1枚5元比1枚2元的人民币多5﹣2＝3元，由此即可得出2元的人民币有195÷3＝65枚，由此进一步解答即可。
> 【解答】解：（5×100﹣305）÷（5﹣2）
>
> ＝195÷3
>
> ＝65（枚）
>
> 100﹣65＝35（枚）
>
> 答：2元的人民币有65枚，5元的人民币有35枚。
>
> 【点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
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日期：2021/4/27 15:30:00；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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2020---2021学年度上学期期末检测
二年级数学参考答案
（说明：此答案仅供参考，如有异议，请根据实际自行讨论确定。）
一、1、2 2、10 3、厘米 米 厘米 米 分 分
4、三十六 七 七 5、7 7 30
6、五九四十五 5×9=45 9×5=45
7、3×3+2=11 3×4-1=11 8、6 75 35
9、2 4 10、16 64
11、24+27-26=25 26+25-27=24(答案不唯一)
**二**、**√ √ √ × √**
**三、**② ③ ② ③ ①
**四、1、72 30 15 72 33 36 56 78**
{width="0.2777777777777778in" height="0.2777777777777778in"}**2、24 90 17 81 6 30**
**五**、画图略
六、略
七、 1、5×3=15（元）
2、6×4=24（人） 25＞24 不能
3、35-26+18=27（只）
4、略
5、①3+5=8（朵） ②6×4＋5=29（朵）
③略，符合题意即可（只需提出问题、列出算式）。
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眉山市2018年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试
数 学 试 卷
注意事项：
1\. 本试卷分A卷和B卷两部分，A卷共100分，B卷共20分，满分120分，考试时间120分钟.
2\. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
3\. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
4\. 不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值.
5.凡作图题或辅助线均用签字笔画图.
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题共36分）
1．绝对值为1的实数共有
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
**答案：C**
> 2．据相关报道，开展精准扶贫工作以来，我国约有65000000人摆脱贫困，将65000000用科学记数法表示为
A．65×10^6^ B．0.65×10^8^ C．6.5×10^6^ D．6.5×10^7^
**答案：D**
3．下列计算正确的是
A．(*x*+*y*)^2^=*x*^2^+*y*^2^ B．(－*xy*^2^）^3^=－*x*^3^*y*^6^
C．*x*^6^÷*x*^3^=*x*^2^ D．=2
**答案：D**
4．下列立体图形中，主视图是三角形的是
**答案：B**
5．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是
A．45° B．60°
C．75° D．85°
**答案：C**
> 6．如图所示，*AB*是⊙*O*的直径，*PA*切⊙*O*于点*A*，线段*PO*交⊙*O*于点*C*，连结*BC*，若∠*P*=36°，则∠*B*等于
A．27° B．32° C．36° D．54°
**答案：A**
> 7．某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
**答案：B**
8．若*α*，*β*是一元二次方程3*x*^2^+2*x*－9=0的两根，则+的值是
A． B．－ C．－ D．
**答案：C**
9．下列命题为真命题的是
A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B．相似三角形面积之比等于相似比
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
**答案：A**
10．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是
A．8% B．9% C．10% D．11%
**答案：C**
11．已知关于*x*的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
**答案：A**
12．如图，在*ABCD*中，*CD*=2*AD*，*BE*⊥*AD*于点*E*，*F*为*DC*的中点，连结*EF*、*BF*，下列结论：①∠*ABC*=2∠*ABF*；②*EF*=*BF*；③*S*[~四边形*DEBC*~]{.smallcaps}=2S~△*EFB*~；④∠*CFE*=3∠*DEF*,其中正确结论的个数共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**答案：D**
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上
13．分解因式：*x*^3^-9*x*=[]{.underline}.
14．已知点*A*（*x*~1~，*y*~1~)、*B*(*x*~2~，*y*~2~)在直线*y=kx**+b*上，且直线经过第一、二、四象限，当*x*~1~＜x~2~时，y~1~与y~2~的大小关系为[]{.underline}.
15．已知关于*x*的分式方程－2=有一个正数解，则*k*的取值范围为 [ ]{.underline} .
16．如图，△*ABC*是等腰直角三角形，∠*ACB*=90°，*AC=BC*=2，把△*ABC*绕点*A*按顺时针方向旋转45°后得到△*AB′C′*，则线段*BC*在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 []{.underline}
17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点*A、B、C、D*都在这
些小正方形的顶点上，*AB、CD*相交于点*O*，则tan∠*AOD*= [** 2**]{.underline} .
18．如图，菱形*OABC*的一边*OA*在*x*轴的负半轴上，*O*是坐标原
点，*A*点坐标为（－10,0），对角线*AC*和*OB*相交于点*D*且
*AC·OB*=160.若反比例函数*y*= (*x*＜0）的图象经过点*D*，并与
*BC*的延长线交于点E,则S~△*OCE*~∶S~△*OAB*~= [** 1:5**]{.underline}
三、解答题：本大题共6个小题，共46分请把解答过程写在答题卡相应的位置上
19．(本小题满分6分）计算：（π-2)°+4cos30°－－（－）^－2^.
**解：**
20．(本小题满分6分）先化简，再求值：（－）÷，其中*x*满足*x*^2^－2*x*－2=0.
**解：**
\[来源:学科网ZXXK\]
21．(本小题满分8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△*ABC*的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△*ABC*向左平移4个单位长度后得到的△*A*~1~*B*~1~*C*~1~，并写出点*C*~1~的坐标；
（2）作出△*ABC*关于原点*O*对称的△*A*~2~*B*~2~*C*~2~，并写出点*C*~2~的坐标；\[来源:学科网ZXXK\]
> （3）已知△*ABC*关于直线*l*对称的△*A*~3~*B*~3~*C*~3~的顶点*A*~3~的坐标为（－4，－2），请直接写出直线*l*的函数解析式.
>
> **解：**
1. **如图所示，的坐标**\[来源:学科网\]
2. **如图所示，的坐标**
3. **的函数解析式：**
22．(本小题满分8分）知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用*C*表示）开展社会实践活动，车到达*A*地后，发现*C*地恰好在*A*地的正北方向，且距离*A*地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至*B*地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达*C*地，求*B、C*两地的距离.（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tan53°≈)
解：
过点B作BD⊥ AC，
由题∠BAD=60°，得∠ABD=30°，∠CBD=53°,
,
即tan53°
设
23．(本小题满分9分）为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图.
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)图表中m= [** 16**]{.underline} ，n= [** 20**]{.underline} ；
(2)若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为 [** 150**]{.underline} 人；
(3)该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率.
**解： 开始**
**A B C D**
**B C D A C D A B D A B C**
**则 P==**
24．(本小题满分9分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第*x*天生产的粽子数量为*y*只，*y*与*x*满足如下关系：
*y*=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？\[来源:学。科。网\]
> （2）如图，设第*x*天生产的每只粽子的成本是*p*元，*p*与*x*之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第*x*天创造的利润为*w*元，求*w*与*x*之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
解：（1）第10天
（2）当06时，
当6\<10时，
当10\<20时，\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
设与的函数关系式为
把（10, 2）、（20, 3）代入其中，得，
解，得
综上所述，
当06时，的最大值为
当6\<10时，的最大值为
当10\<20时，，的最大值为578元
综上所述，第13天的利润最大，最大利润是578元。
B卷（共20分）
四、解答题：本大题共2个小题，共20分请把解答过程写在答题卡相应的位置上
25．(本小题满分9分）如图①，在四边形*ABCD*中，*AC*⊥*BD*于点*E*，*AB=AC=BD*，点*M*为*BC*中点，*N*为线段*AM*上的点，且*MB=MN*.
（1）求证：*BN*平分∠*ABE*；
（2）若*BD*=1，连结*DN*，当四边形*DNBC*为平行四边形时，求线段*BC*的长；
（3）如图②，若点*F*为*AB*的中点，连结*FN、FM*，求证：△*MFN*∽△*BDC*.
**解：**
**（1）**
（2）
**（3）**
26．(本小题满分11分）如图①,已知抛物线*y*=*ax*^2^+*bx+c*的图像经过点*A*（0，3)、*B*（1，0），其对称轴为直线*l*：*x*=2，过点*A*作*AC*∥*x*轴交抛物线于点*C*，∠*AOB*的平分线交线段*AC*于点E，点*P*是抛物线上的一个动点，设其横坐标为*m*.
（1）求抛物线的解析式；
> （2）若动点*P*在直线*OE*下方的抛物线上，连结*PE、PO*，当*m*为何值时，四边形*AOPE*面积最大，并求出其最大值；
>
> （3）如图②，*F*是抛物线的对称轴*l*上的一点，在抛物线上是否存在点*P*使△*POF*成为以点*P*为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点*P*的坐标；若不存在，请说明理由.
>
> 解：（1）由题意得，
>
> 解得
>
> （2）
>
> 
\(3\)
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**一年级数学下册同步****练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第四节：拔萝卜**
**一、填空。**
1、一个数个位是5，十位是4，这个数是（ ）。
2、58里面有（ ）个十和（ ）个一。
3、和39相邻的数是（ ）和（ ）。
4、百位上的"1"比十位上的"1"大（ ）。\[来源:学\#科\#网\]
5、最大的两位数减去最大的一位数，差是（ ）。
二、连一连。
三、**提****出问题、解决问题。**
20个 36个 42个
请你提出问题，并列式解答。
1、 [ ]{.underline}  [ ]{.underline}  [ ]{.underline}
2、 [ ]{.underline}  [ ]{.underline}
3. [ ]{.underline}  [ ]{.underline}
[\[来源:学,科,网\]]{.underline}
四、下面各题的计算错在哪里？并把错误的改正过来。
3 8 6 4 3
\+ 3 1 + 2 5  + 2 5
6 7  8 5 2 8
**五、在**○**里填上"\>"、"\<"或"="。**
73-13○73+13 84-0○64+2  88○94-2
11-2○12 2+80○100 27○72
[\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]]{.underline}
答案\[来源:Z§xx§k.Com\]
**一、**
1、45
2、5 8
3、38 40
4、90
5、90
二、
三、\[来源:Zxxk.Com\]
1、 [ 苹果和桃子一共有多少？ 20+36=56个]{.underline}
2、 [ 苹果和香蕉一共有多少？ 20+42=62个]{.underline}
3、 [ 香]{.underline}[蕉比桃子多多少？ 42-36=6个]{.underline}
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白银市2017年初中毕业、高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项.**
---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
**题号** 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
**答案** B B C D D C A D A B
---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
2. **填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.**
11\. 12. ＞ 13. 0 14. [58]{.underline}
15\. *k*≤5且*k*≠1 16. 17. 18. 8（1分），6053（2分）
**三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．(注：解法合理、答案正确均可得分)**
19.（4分）
解：原式= 2分
= 3分
=． 4分
20.（4分）
解：解 ≤1得：*x*≤3， 1分
解1*x*＜2得：*x*＞1． 2分
则不等式组的解集是：1＜*x*≤3． 3分
∴该不等式组的最大整数解为． 4分
21.（6分）
解：如图，
5分
（注：作出一条线段的垂直平分线得2分，作出两条得4分，连接*EF*得1分．）
∴线段*EF*即为所求作． 6分
22．(6分) 解：过点*D*作*DE*⊥*AC*，垂足为*E*，设*BE*=*x*， 1分
在Rt△*DEB*中，，
∵∠*DBC*=65°，
∴． 2分
又∵∠*DAC*=45°，
∴*AE*=*DE*．
∴， 3分
∴解得， 4分
∴(米)． 5分
∴观景亭*D*到南滨河路*AC*的距离约为248米． 6分
23．(6分)
 解：（1）画树状图：
 3分
列表
--- ---- ---- ---- ----
6 7 8 9
3 9 10 11 12
4 10 11 12 13
5 11 12 13 14
--- ---- ---- ---- ----
3分
可见，两数和共有12种等可能性； 4分
（2） 由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴李燕获胜的概率为； 5分
> 刘凯获胜的概率为. 6分
**四、解答题（二)：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．(注：解法合理、答案正确均可得分)**
24．(7分) 解：（1）*m*=70, 1分
*n*=0.2； 2分
（2）频数分布直方图如图所示，
3分
（3） 80≤*x*＜90； 5分
（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩"优"等的约有：
3000×0.25=750（人）． 7分
25．(7分) 解：（1）∵点*P*在反比例函数的图象上，
∴把点*P*(，8)代入可得：*k*~2~=4，
∴反比例函数的表达式为， 1分
∴*Q* (4，1) ．
把*P* (，8)，*Q* (4，1)分别代入中，得
， 解得，
∴一次函数的表达式为； 3分
（2）*P*′(,8) 4分
（3）过点*P*′作*P*′*D*⊥*x*轴，垂足为*D.* 5分
∵*P*′(,8), ∴*OD*=，*P*′*D*=8，
∵点*A*在的图象上，
∴点*A*（，0），即*OA*=, ∴*DA*=5,
∴*P*′*A*= 6分
∴sin∠*P*′*AD*
∴sin∠*P*′*AO*． 7分
26．(8分) 解：（1）∵四边形*ABCD*是平行四边形，*O*是*BD*的中点，
∴A*B*∥*DC*，*OB*=*OD*， 1分
∴∠*OBE*=∠*ODF*，
又∵∠*BOE*=∠*DOF*，
∴△*BOE*≌△*DOF*（ASA）， 2分
∴*EO*=*FO*，
∴四边形*BEDF*是平行四边形； 4分
（2）当四边形*BEDF*是菱形时，设*BE*=*x*
则 *DE*=，，
在Rt△*ADE*中，，\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
∴，
∴，
6分
8分
27．(8分)解：（1）∵*A*的坐标为（0，6），*N*（0，2）
∴*AN*=4， 1分
∵∠*ABN*=30°，∠*ANB*=90°，
∴*AB*=2*AN*=8， 2分
∴由勾股定理可知：*NB*=，
∴*B*（，2） 3分
（2）连接*MC*，*NC* 4分
∵*AN*是⊙*M*的直径，
∴∠*ACN*=90°，
∴∠*NCB*=90°， 5分
在Rt△*NCB*中，*D*为*NB*的中点，\[来源:学科网
∴*CD*=*NB*=*ND*，
∴∠*CND*=∠*NCD*， 6分
∵*MC*=*MN*，
∴∠*MCN*=∠*MNC*．
∵∠*MNC*+∠*CND*=90°，
∴∠*MCN*+∠*NCD*=90°， 7分\[来源:学科网ZXK\]
即*MC*⊥*CD*．
∴直线*CD*是⊙*M*的切线． 8分
28．(10分)解：（1）将点*B*，点*C*的坐标分别代入，
得：， 1分
解得：，．
∴该二次函数的表达式为． 3分
（2）设点*N*的坐标为（*n*，0）（2＜*n*＜8），
则，．
∵*B*（-2，0）, *C*（8，0）,
∴*BC*=10.
令，解得：，\[来源:Zxxk.Com\]
∴点*A*（0，4），*OA*=4，
∵*MN*∥*AC*，
∴． 4分
∵*OA*=4，*BC*=10，
∴． 5分
∴． 6分
∴当*n*=3时，即*N*（3，0）时，△*AMN*的面积最大． 7分
（3）当*N*（3，0）时，*N*为*BC*边中点.
∴*M*为*AB*边中点，∴ 8分
∵，
，
∴ 9分
∴． 10分
| 1 | |
**北师大版小学数学总复习《空间与图形》检测试题四（附答案）**
一、小小探索家。(填一填)
1．( )没有端点，( )只有一个端点，( )有两个端点。
2．角的两边是( )。角的大小与角的两边( )的大小有关，与边的( )无关
3．由三条线段首尾顺次连接围成的图形叫做( )。
4．两腰相等的梯形叫做( )。
5．在同一平面内，不相交的两条直线叫( )。
二、慧眼识真伪。(对的打"√"，错的打"×") 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．射线总比直线短。( )
2．平角是一条直线。( )
3．平行四边形的面积等于三角形面积的2倍。( )
4．三角形的高越大，面积越大。( )
三、对号入座。(将正确答案的序号填在括号里)
1．能拼成长方形的两个梯形一定( )。
A．面积相等
B. 都是直角梯形
C．都是等腰梯形
2．圆柱侧面积的大小由( )决定的。
A．底面半径和高
B．底面周长
C．圆柱的高
3．圆锥的侧面展开后是一个( )。
A．长方形 B．正方形 C．扇形
四、动手画一画。
1．如图，过已知直线AB外一点C，画直线AB的垂线和平行线。
2．画一个120°和70°的角。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、如图：拿掉2根火柴，使它变成2个正方形，怎么拿？
**参考答案**
一、1．直线 射线 线段
2．射线 张开的角度 长短
3．三角形
4．等腰梯形
5．平行线
二、1．× 2．× 3．× 4．×
三、1．B 2．A 3．C
四、自己动手画一画。
五、自己动手做。
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**2017-2018学年3月开学测四年级**
**人教版 英语（A卷）**
班级：\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 姓名：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 学号：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
1. **根据句意和首字母补全单词。**
1\. There is h [ ]{.underline} snow in winter.
2\. It sometimes r [ ]{.underline} in summer. And today is a rainy day.
3\. We celebrate N [ ]{.underline} Day on October 1st.
4\. The girls are f [ ]{.underline} kites on the playground.
5\. She makes a s [ ]{.underline} in winter.
6\. She is i [ ]{.underline} in dancing.
【答案】1. heavy 2. rains 3. National 4. flying 5. snowman 6.interested
【解析】1. 在冬天会有大雪。
2\. 夏天有时会下雨，主语单数第三人称，谓语加s。
3\. 常识，10月1日国庆节。
4\. 那些女孩正在正在操场上放风筝，进行时态构成be+现在分词。
5\. make a snowman 堆雪人。
6\. 她对跳舞感兴趣。
**二、选出能表达该图片意义的单词或短语。**
+--------------------------------------------------+
| A fridge B bear C tiger D thin E foot |
| |
| F noodle G nurse H doctor I puppy J Chinese book |
+--------------------------------------------------+
    
1. ( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( )
    
6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( )
【答案】1. D；2. E；3.C ；4.I ；5.H ；6.A；7.J；8.B；9.G；10.F
【解析】A.冰箱；B.熊； C. 老虎；D.瘦弱的；E.脚；F.面条；G.护士；H.医生；I 小狗；J.语文书
**三、读句子，写出与划线单词属同一类的单词。**
1\~5. Hi, Lisa. Do you like [puppy]{.underline}?
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
6\~10. Do you like [book]{.underline}？
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
11\~15. His father is a [doctor]{.underline}.
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
【答案】1\~5 panda tiger bear bird cat
6\~10 storybook Chinese book English book maths book cartoon book
11\~15 nurse farmer driver cook teacher
【解析】1\~5 划线单词是动物名称，可以写出任意五个动物名称即可。
6\~10 划线单词是书籍名称，因此写出任意五种书籍名称即可。
11\~15 划线单词是职业名词，所以写出任意五个职业名词即可。
4. **单项选择。**
1.He [ ]{.underline} going to Beijing next week.
A.is B.are C.am
【答案】A
【解析】主语he是单数，谓语动词用is。句意：他打算下周去北京。
2.---What color is it？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A.Yes，it is B.It is red C.It is his
【答案】B
【解析】根据问句"它是什么颜色的"可知此处要选颜色。
3.---What is his name？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A.He is my friend B.His name is Tom C.Her name is Lucy
【答案】B
【解析】句意：他叫什么名字？题中"his"是男性。
4.He\_\_\_\_\_glasses.
A.is B.have C.has
【答案】C
【解析】句意：他戴眼镜。主语he是单数，谓语用第三人称单数形式。
5.---Where is she？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A.No，she isn't. B.She is from the USA. C.She is in the living room.
【答案】C
【解析】句意：她在哪里？回答时要回答人在某处。A：不，她不是。B：她来自美国。C：她在客厅。
6.---Is she in the study？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A.No，she is. B.Yes，she isn't C.No，she isn't.
【答案】C
【解析】含be的一般疑问句的回答方式：Yes，主语+be；No，主语+be not。
7.---How many students [ ]{.underline} in your class？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A.First B.Fifteen C.Fifth\[来源:Zxxk.Com\]
【答案】B
【解析】根据句意"你们班有多少学生"，答语需要用基数词，而AC都是序数词，故选B.
8.He is a\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A.puppy B.doctor C.classroom
【答案】B
【解析】根据句意"他是一个\...."，主语是"人"。A：小狗 B：医生 C：教室 故选B.
9. ---What would you like for dinner？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. Beef B. Story book C. Cook
【答案】A
【解析】句意：你中午想吃什么？A：牛肉；B：故事书；C：厨师。故选A.
10.---What´s your mother job？---\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A.She is a nurse. B.He is a doctor. C.Yes，she is.
【答案】A
【解析】句意：你妈妈的工作是什么？A：她是一个护士；B：他是一个医生；C：是的，她是。妈妈是女性。故选A.
**五、用所给词的适当形式填空。**
1. Tom's father is a doctor, my father is \_\_\_\_\_\_\_\_ (farm).
2. I would like some \_\_\_\_\_\_\_\_ (vegetable) .
3. She \_\_\_\_\_\_\_\_ (have) long hair.
4. Where are my \_\_\_\_\_\_\_ (storybook) ？
5. Would you like some \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ (soup) ？
6. She can \_\_\_\_\_\_\_\_\_ (find) them.
7. They are in the \_\_\_\_\_\_(live)room.
8. ---What´s her name? ---\_\_\_\_\_\_\_ (she)name is Lucy.
9. Please help \_\_\_\_\_\_\_（you）to have some noodles.
10. She \_\_\_\_\_\_\_ (go) to school at 8:00.
【答案】1.farmer 2.vegetables 3.has 4.storybooks 5.soup
6.find 7.living 8.Her 9.yourself 10.goes
【解析】1.农民farmer，我父亲是农民，用单数。
2.vegetable是可数名词。
3.主语she是单数，have要用第三人称单数形式。
4.本题中are是复数形式，所以storybook用复数。
5.soup汤，不可数名词。
6.can是情态动词，其后加动词原形。
7.在客厅in the living room.
8.她的，名词，her name.
9.help yourself请自便。
10.主语she是单数，go要使用第三人称单数形式。
**六、将问句和相应的答句连接起来。**
1.What's your father? A. Sure, here you are.
2.How many books do you have? B. Yes, she is.
3.May I have a look? C. I have three.
4.What would you like? D. He is a doctor.\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
5.Is she in the study? E. I'd like some beef.
【答案】1.D 2.C 3.A 4.E 5.B\[
【解析】1.句意：你父亲是做什么的？询问职业，故选D.
2.句意：你有多少本书？询问数量。故选C.
3.句意：我能看看吗？答语：当然可以了。故选A.
4.句意：你想要什么？答语：我想要\....，故选E.
5.句意：她在书房里吗？一般疑问句用yes或者No来回答，故选B.
**七、将下列单词归类。\[来源:学科网ZXXK\]**
beef , fish ,book ,kitchen, mother, sister, living room , bag , rice , study
1.family member(家庭成员):\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\[来源:Z,xx,k.Com\]
2.food (食品): \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3.school things (学习用品): \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_
4.room(房间):\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
【答案】1. mother，sister 2. beef，fish，rice 3. bag book
4\. kitchen，living room，study
【解析】beef牛肉，fish鱼，book书，kitchen厨房，mother妈妈，sister姐妹，living room客厅，bag包，rice米饭，study书房
**八、连词成句。**
1. be, don't, late, again(.)\
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
2. this, storybook, for, is, you(.)\
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
3. the, my, mother's, gloves, are(.) \
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
4. to, go, time, it's, to, bed(.)\
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
5. me, excuse, this, your, Chinese, is，book(，?)\
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\
【答案】1.Don't be late again.
2.This is storybook for you.
3.The gloves are my mother´s.
4.It´s time to go to bed.
5.Excuse me，is this your Chinese book？
【解析】1.祈使句中，否定时，don´t位于句首，be late迟到。
2.由题可知，本题是陈述句。This is sth for sb.某物是给某人的。
3.句意：这副手套是我妈妈的。
4.固定搭配It´s time to do sth：该是做某事的时候了，go to bed：去睡觉。
5.由题可知，本题是疑问句。Excuse me打扰一下。Chinese book语文书。is this\...这是\....吗？
**九、完形填空。**
Hello, my 1.\_\_\_\_ is Betty. I'm ten 2.\_\_\_\_\_ old. My father is a 3.\_\_\_\_\_. My mother is a 4.\_\_\_\_，too. My brother and I are 5.\_\_\_\_\_. I like rabbits, 6.\_\_\_ my brother likes 7.\_\_\_\_\_. I 8.\_\_\_\_ at six. I read the book in the 9.\_\_\_\_, then I go to school at seven. I 10\_\_\_\_\_ my family very much.\
（ ）1.A.mother B.sister C.dog D.name
（ ）2.A.month B.years C.year D.months
（ ）3.A.fifty B.doctor C.nurse D.English
（ ）4.A.Chinese B.farmer C.doctor D.teacher
（ ）5.A.teachers B.teacher C.students D.student
（ ）6.A.but B.and C.with D.or
（ ）7.A.rabbit B.rabbits C.monkeys D.monkey
（ ）8.A.come B.go C.go to bed D.get up
（ ）9.A.afternoon B.morning C.evening D.classroom
（ ）10.A.love B.leave C.hate D.play
【答案】1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A
【解析】1.句意：我的名字叫Betty.故选C.
2.句意：我10岁了。故选B
3.根据上下文可知，我父亲和母亲的职业一样，故选B.
4.由too可知，父亲与母亲的职业相同。故选C.
> 5.句意：我弟弟和我都是学生。故选C.
>
> 6.由rabbits可知，后一空的动物名词用复数。由句意可知，我与弟弟的喜欢动物不同。故选A。
>
> 7.我与弟弟的喜欢动物不同。故选C.
>
> 8.句意：我在六点起床。故选D.
>
> 9.句意：我在早晨读书。故选B.
>
> 10.句意：我很爱我的家庭。故选A.
**十、阅读短文，判断正误，正确的写"T"，错误的写"F"。**\
This is my family. My grandparents are farmers. My mother is a teacher. My father is a doctor. My aunt is a nurse. She has long hair. My brother and I are good students. This is my family. My family is happy.
( )1. My father is a doctor.
( )2. My grandmother is a farmer.
( )3.My grandfather is a driver.
( )4. My mother is a cook.
( )5.My aunt is a teacher.
【答案】1.T 2.T 3. F 4.F 5.F
【解析】1. 根据My father is a doctor.故答案为T.
2\. 根据My grandparents are farmers.故答案为T.
3\. 根据My grandparents are farmers. 故答案为F.
4\. 根据My mother is a teacher.故答案为F.
5\. 根据My aunt is a nurse.故答案为F.
**十一、描述一下你的书包里有什么，50词左右。**
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ \[来源:学\|科\|网\]]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
[ ]{.underline}
【答案】
What´s in your schoolbag？
I have a blue schoolbag，I like it very much.There are somethings in my schoolbag.There are some candies，they are so delicious.There is an English book，it is yellow and white.There are two storybooks，I like reading them.There are two pens，a pencil and an eraser.I love my schoolbag.
【解析】用there be句型写本篇作文。
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**北师大版小学三年级上册数学期中测试题（附答案）**
**一、填空：来源：www.bcjy123.com/tiku/**
1、任何数和0相乘都等于（ ），1乘任何数都得（ ）。
3、我们学过的质量单位有t、kg、g，请写出相应意思：（ ）（ ）（ ） 。 **来源：www.bcjy123.com/tiku/**
4、8500里面有（ ）个千，（ ）个百，也可以看做( )个百。
5、在计算234+234+234+234时，也可以用乘法表示为（ ）
6、在"○"里填上"\<""\>"或者"="
48÷4○84÷4 720÷8○720÷9 24×3○24×2
6000kg○6t 4500克○5千克 5t○5500kg
7、在（ ）里填出合适的数：**来源：www.bcjy123.com/tiku/**
（ t=2000kg 18t=( )kg ( )kg=6t
4千克=（ ）克 3吨=（ ）千克
**二、判断题**
1、250×4的积的末尾有2个零。 （ ）
2、1×2×3×4×5×6×0\>1＋2＋3＋4＋5+6+0 （ ）
3、40个三年级小朋友重大约1吨。 （ ）
4、一个硬币大约1千克。 （ ）
5、800－800÷2=0 （ ）
**三、计算大比拼**
**1、直接写得数**
12×3＝ 320×3＝ 25×4= 64+97=
> 50×7＝ 46÷2= 630÷9= 96÷3=
>
> 66÷6= 24×2＝ 90×0＝ 30÷5＝
200÷4＝ 18×4＝ 125×8＝ 256+34=
102-64= 2×32= 30g+120g= 5t+6t=
**2、竖式计算：**
705×3＝ 2900×6＝
129×5＝ 123×8＝
**3、脱式计算：**
（238＋164）×9 800-300÷6 361＋25×4
= = = = = =
25×4×8 495＋230×4 703－26×3
= = = = = =
四、小刘有红、黄2件上衣，红、黄、蓝三条裤子，有几种不同的搭配穿法？请写具体方法来。
**五、应用题：**
1、一条裤子28元，一件上衣的价钱是一条裤子的2倍。买这样一套衣服，需要多少钱？
2、那种球更便宜？三个蓝球99元，四个排球120元。
3、 小明每分钟能打62个字。一篇稿件共500个字，8分钟后小明能打完吗？还剩多少个字没打完？
4、一个书架有5层，每层可放图书28本，学校买了600本新书，5个书架够不够用？
**夺冠平台 ：**
国庆节学校按一红两绿两黄一蓝的顺序在操场挂气球，一共挂了68个气球，问第30个是什么颜色？绿色的气球一共挂了多少个？
**试题答案及命题说明**
**一、填空（每空1分，共20分）**
1、0，任何数 2、吨、千克、克 3、8、5、85 4、234×4
5 \<，\>，\>，=，\<，\< 6、2，18000，6000，4000，3000
**二、判断题（每小题1分，共5分）**
1、× 2、× 3、∨ 4、× 5、×
**三、计算大比拼（共46分）**
**1、（每小题0.5分，共10分）**
36，960，100，161， 350，23，70，32，11，48，
0，6，50，72，1000，290，38，64，150g,11t
**2、（每小题2分，共8分）**
2115 17400 645 984
**3、（每小题3分，共18分）**
3618 750 461 800 1415 625
** 四**、（7分）答：有6种不同的穿法；红------红，红------黄，红------蓝，
黄------红，黄------黄，黄------蓝。
**五、（22分）**
1、（5分）28×2+28=84（元）答：需要84元。
2、（6分）篮球99÷3=33（元） 排球120÷4=30（元）
答：排球更便宜。
3、（5分）62×8=496（个） 500-496=4（个）
答：8分钟小明不能打完，还剩4个字没打完。
4、（6分）28×5×5=700(本) 700本\>600本
答：5个书架够用。
**夺冠平台 ：**
30÷6=5（组） 答：第30个是蓝色。
68÷6=11（组）......2(个) 11×2+1=23（个）
答：绿色的气球一共挂了23个。
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**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**一、填一填．（每空2分，共30分）**
1．8000千克=[ ]{.underline}吨；
8千克=[ ]{.underline}克．
2．a×6=720，则a×60=[ ]{.underline}，a×600=[ ]{.underline}．
3．张叔叔在笔直的公路上开车，张叔叔和汽车的运动是[ ]{.underline}现象；当汽车行驶到拐弯处时，方向盘的运动是[ ]{.underline}现象．升旗仪式上，国旗的升降运动是[ ]{.underline}现象．
4．4000÷8的商的末尾有[ ]{.underline}个0．
5．要使□34÷7的商是三位数，□里最小应填[ ]{.underline}；要使它的商是两位数，□里最大应填[ ]{.underline}．
6．6平方米=[ ]{.underline}平方分米；
3000平方厘米=[ ]{.underline}平方分米．
7．长方形有[ ]{.underline}条对称轴，正方形有[ ]{.underline}条对称轴，圆有[ ]{.underline}条对称轴．
**二、选择正确答案的序号或字母填在括号里．（每题2分，共12分）**
8．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．把下面的纸展开后是图形（ ）
A． B． C． D．以上都不对
10．一卡车煤重5（ ）
A．千克 B．克 C．吨
11．面积相等的长方形，周长（ ）
A．相等 B．不相等 C．不一定相等
12．一块长方形玻璃的面积是24平方分米，宽是4分米，它的长是（ ）
A．8分米 B．6分米 C．6平方分米
13．在算式125÷5中，除数5不变，被除数增加（ ），商就增加1．
A．125 B．1 C．5
**三、计算（共24分）**
14．脱式计算
33×40﹣129
84×15+224
12×8×25
8×125﹣500．
15．列竖式计算
49×65=
35×14=
419÷7=
881÷3=
**四、看图填一填．（每空1分，共8分）**
16．数一数图①向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．图③向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
图②向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．图④向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
**五、解决问题（共26分）**
17．新华小学的同学计划植树270棵，平均分给6个年级的每个班，每个年级有5个班，一个班平均植树多少棵？
18．贝贝去游泳池游泳，她在泳道上游了3个来回，一共游了480米．这个游泳池的泳道有多长？
19．一个长方形的长是15厘米，宽是4厘米，这个长方形的周长和面积各是多少？
20．一个小正方形的边长是3厘米，一个大正方形的边长是小正方形边长的4倍，大正方形的面积是多少？
21．一根36米的绳子围成一个正方形，这个正方形的面积是多少？
22．玉华小学三年级各班人数统计如下：
------ ------ ------ ------ ------
班级 一班 二班 三班 四班
人数 52 53 53 58
------ ------ ------ ------ ------
他们分乘6辆车去动物园，平均每辆车做多少人？
23．小红每分钟可以打60个字．照这样计算，25分钟她可以打多少个字？
24．有一块长方形菜地，它较长的一条边靠着墙，长20米，用篱笆将这个菜地围起来要40米．这个菜地的面积是多少？
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填一填．（每空2分，共30分）**
1．8000千克=[ 8 ]{.underline}吨；
8千克=[ 8000 ]{.underline}克．
【考点】质量的单位换算．
【分析】把8000千克化成吨数，用8000除以进率1000；
把8千克化成克数，用8乘进率1000，即可得解．
【解答】解：8000千克=8吨；
8千克=8000克；
故答案为：8，8000．
2．a×6=720，则a×60=[ 7200 ]{.underline}，a×600=[ 72000 ]{.underline}．
【考点】积的变化规律．
【分析】根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也就扩大（或缩小）相同的倍数．
【解答】解：a×6=720，则a×60=a×（6×10）=720×10=7200
a×600=a×（6×100）=720×100=72000
故答案为：7200，72000．
3．张叔叔在笔直的公路上开车，张叔叔和汽车的运动是[ 平移 ]{.underline}现象；当汽车行驶到拐弯处时，方向盘的运动是[ 旋转 ]{.underline}现象．升旗仪式上，国旗的升降运动是[ 平移 ]{.underline}现象．
【考点】平移；旋转．
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；
旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心，所以，它并不一定是绕某个轴的；然后根据平移与旋转定义判断即可．
【解答】解：张叔叔在笔直的公路上开车，张叔叔和汽车的运动是 平移现象；当汽车行驶到拐弯处时，方向盘的运动是旋转现象．升旗仪式上，国旗的升降运动是 平移现象；
故答案为：平移，旋转，平移．
4．4000÷8的商的末尾有[ 2 ]{.underline}个0．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据除法的计算法则，把算式4000÷8计算出商来解答即可．
【解答】解：4000÷8=500
4000÷8的商的末尾有2个0；
故答案为：2．
5．要使□34÷7的商是三位数，□里最小应填[ 7、8、9 ]{.underline}；要使它的商是两位数，□里最大应填[ 1、2、3、4、5、6 ]{.underline}．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据整数除法的运算法则可知，三位数除以一位数，被除数百位上的数字等于7或大于7，商就是三位数，如果百位上的数字小于7，（一个数的最高位上不能是0，所以不能填0），商就是两位数，据此判断．
【解答】解：（1）百位上的数字大于7或等于7，商就是三位数，所以□里可以填7、8、9．
（2）百位上的数字小于7（最高位上不能是0），商就是两位数，所以□里可以填1、2、3、4、5、6．
故答案为：7、8、9；1、2、3、4、5、6．
6．6平方米=[ 600 ]{.underline}平方分米；
3000平方厘米=[ 30 ]{.underline}平方分米．
【考点】面积单位间的进率及单位换算．
【分析】（1）高级单位平方米化低级单位平方分米乘进率100．
（2）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100．
【解答】解：（1）6平方米=600平方分米；
（2）3000平方厘米=30平方分米．
故答案为：600，30．
7．长方形有[ 2 ]{.underline}条对称轴，正方形有[ 4 ]{.underline}条对称轴，圆有[ 无数 ]{.underline}条对称轴．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
【解答】解：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴．
故答案为：2，4，无数．
**二、选择正确答案的序号或字母填在括号里．（每题2分，共12分）**
8．下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形的辨识．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此即可解答．
【解答】解：、、是轴对称图形，不是轴对称图形；
故选：C．
9．把下面的纸展开后是图形（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【考点】简单图形的折叠问题．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：把展开后是图形；
故选：B．
10．一卡车煤重5（ ）
A．千克 B．克 C．吨
【考点】质量及质量的常用单位．
【分析】根据生活经验、对质量单位和数据大小的认识，可知计量一卡车煤重量，应用质量单位，结合数据可知：应用"吨"做单位；据此解答．
【解答】解：由分析可知：一卡车煤重5吨；
故选：C．
11．面积相等的长方形，周长（ ）
A．相等 B．不相等 C．不一定相等
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】长方形的面积=长×宽，长方形的周长=（长+宽）×2，若长方形的面积相等，则长和宽的值不一定相等，周长就不一定相等．
【解答】解：因为长方形的面积=长×宽，长方形的周长=（长+宽）×2，
若长方形的面积相等，则长和宽的值不一定相等，周长就不一定相等．
故选：C．
12．一块长方形玻璃的面积是24平方分米，宽是4分米，它的长是（ ）
A．8分米 B．6分米 C．6平方分米
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】这块玻璃是长方形的，它的面积是24平方分米，宽是4分米，根据长方形的面积=长×宽可知，长方形的长=面积÷宽，由此代入数据计算即可．
【解答】解：24÷4=6（分米）
答：它的长是6分米．
故选：B．
13．在算式125÷5中，除数5不变，被除数增加（ ），商就增加1．
A．125 B．1 C．5
【考点】整数的除法及应用．
【分析】由题意可知，除数5不变，商增加1，求被除数增加几，则被除数增加1×5=5；据此解答．
【解答】解：1×5=5
除数5不变，被除数增加5，商就增加1．
故选：C．
**三、计算（共24分）**
14．脱式计算
33×40﹣129
84×15+224
12×8×25
8×125﹣500．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】（1）先算乘法，再算减法；
（2）先算乘法，再算加法；
（3）按照从左到右的顺序计算；
（4）先算乘法，再算减法．
【解答】解：（1）33×40﹣129
=1320﹣129
=1191
（2）84×15+224
=1260+224
=1484
（3）12×8×25
=96×25
=2400
（4）8×125﹣500
=1000﹣500
=500
15．列竖式计算
49×65=
35×14=
419÷7=
881÷3=
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：49×65=3185
35×14=490
419÷7=59...6
881÷3=293...2
**四、看图填一填．（每空1分，共8分）**
16．数一数图①向[ 左 ]{.underline}平移了[ 7 ]{.underline}格．图③向[ 下 ]{.underline}平移了[ 6 ]{.underline}格．
图②向[ 右 ]{.underline}平移了[ 7 ]{.underline}格．图④向[ 上 ]{.underline}平移了[ 6 ]{.underline}格．
【考点】作平移后的图形．
【分析】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可．
【解答】解：①向 左平移了 7格．
图③向 下平移了 6格．
图②向 右平移了 7格．
图④向 上平移了 6格．
故答案为：左，7；下，6；右，7；上，6．
**五、解决问题（共26分）**
17．新华小学的同学计划植树270棵，平均分给6个年级的每个班，每个年级有5个班，一个班平均植树多少棵？
【考点】整数的除法及应用．
【分析】先用植树的总棵数除以6，求出每个年级植树的棵数，再用每个年级植树的棵数除以5，即可求出每个班植树的棵数．
【解答】解：279÷6÷5
=45÷5
=9（棵）
答：一个班平均植树9棵．
18．贝贝去游泳池游泳，她在泳道上游了3个来回，一共游了480米．这个游泳池的泳道有多长？
【考点】整数的除法及应用．
【分析】先用游泳的总长度除以3求出，求出每个来回的长度，每个来回是2的单趟，再用每个来回的长度除以2就是泳道的长度．
【解答】解：480÷3÷2
=160÷2
=80（米）
答：这个游泳池的泳道长80米．
19．一个长方形的长是15厘米，宽是4厘米，这个长方形的周长和面积各是多少？
【考点】长方形的周长；长方形、正方形的面积．
【分析】根据长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的面积=长×宽，把数据代入公式进行解答．
【解答】解：（15+4）×2=38（厘米）
15×4=60（平方厘米）
答：这个长方形的周长是38厘米，面积是60平方厘米．
20．一个小正方形的边长是3厘米，一个大正方形的边长是小正方形边长的4倍，大正方形的面积是多少？
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】由于一个大正方形的边长是小正方形边长的4倍，可知大正方形的边长是3×4=12（厘米），据此利用正方形的面积=边长×边长即可解答．
【解答】解：3×4=12（厘米）
12×12=144（平方厘米）
答：大正方形的面积是144平方厘米．
21．一根36米的绳子围成一个正方形，这个正方形的面积是多少？
【考点】正方形的周长；长方形、正方形的面积．
【分析】根据正方形的周长公式，可得正方形的边长=周长÷4，再利用正方形的面积=边长×边长计算即可解答问题．
【解答】解：36÷4=9（米）
9×9=81（平方米）
答：这个正方形的面积是81平方米．
22．玉华小学三年级各班人数统计如下：
------ ------ ------ ------ ------
班级 一班 二班 三班 四班
人数 52 53 53 58
------ ------ ------ ------ ------
他们分乘6辆车去动物园，平均每辆车做多少人？
【考点】简单的统计表．
【分析】首先根据整数加法的意义，求出3个班的总人数，然后根据"等分"除法的意义，用除法解答．
【解答】解：（52+53+53+58）÷6
=216÷6
=36（人），
答：平均每辆车做36人．
23．小红每分钟可以打60个字．照这样计算，25分钟她可以打多少个字？
【考点】简单的工程问题．
【分析】每分钟可以打60个字，求25分钟打字的数量，就是求25个60是多少，用60乘上25即可．
【解答】解：60×25=1500（个）
答：25分钟她可以打1500个字．
24．有一块长方形菜地，它较长的一条边靠着墙，长20米，用篱笆将这个菜地围起来要40米．这个菜地的面积是多少？
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】有一块长方形菜地，它较长的一条边靠着墙，长20米，用篱笆将这个菜地围起来要40米，则40米是这个长方形菜园一条长和2条宽的和，长方形的长是20米，据此可求出长方形的宽，再根据长方形的面积：S=ab可求出菜地的面积．
【解答】解：宽：（40﹣20）÷2
=20÷2
=10（米）
面积：20×10=200（平方米）
答：这个菜地的面积是200平方米．
**2016年8月27日**
| 1 | |
2020 --- 2021学年第一学期期末教学水平调研卷
一年级数学
----------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
**题 号** **一** **二** **三** **四** **五** **附加题** **总 分**
**得 分**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
1. 我会填空。(每空1分，共34分)
**1. 看图写一写，画一画。**
2. **我们是小小足球队员。**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **右图中一共有（ ）个小**
**足球运动员。**
2. **从左边数，排在第3的是（ ）号运动员，18号排在第（ ）。**
3. **从右边数，第5个是队长，他是（ ）号，把队长右边的**
**3个队员圈起来。**
3. **照样子，填一填。**
4. **16里面有（ ）个十和（ ）个一，2个十是（ ），十位上**
**是1，个位上是2，这个数是（ ），3个一和1个十合起来**
**是（ ），14前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。**
**5. 一个星期有（ ）天，星期一的前一天是星期（ ），星期二到星期四放假，放假（ ）天。**
**6. 在（ ）里填上合适的数。**
> **（ ）+4=14 5+（ ）=5 7+（ ）=13**
**7. 在○里填上"＞""＜"或"＝"。**
**12 9+2 4+8 12 10-7 2+7**
8. **钟面上有（ ）个数字，分针指向（ ），时针指向（ ），是**
**7时。当钟面上的两根针都指向12时，是（ ）时。**
9. **找规律填数。20，（ ），16，（ ），12。**
```{=html}
<!-- -->
```
2. 我会选择（把正确答案的序号填在括号里，每题2分，共10分)
```{=html}
<!-- -->
```
1. **1个一,2个十组成的数字是（ ）。**
**A．12 B．21 C．11**
2. **3+5=（ ）。**
**A．10-3 B．7+2 C．9-1**
3. **大于15小于19的数有（ ）个。**
```{=html}
<!-- -->
```
A. **3 B. 4 C. 5**
```{=html}
<!-- -->
```
4. **右图中再添（ ）个小正方体才能拼成一个大正方体。**
**A．2 B．1 C．3**
5. **原定于星期二开运动会，因为有雨推迟2天开，开运动会是星期（ ）。**
```{=html}
<!-- -->
```
A. **三 B. 四 C.五**
三、我会计算。（共18分）
**1. 口算。（12分）**
**10-6= 9+8= 10+3= 4+2+6=**
**6+5= 12+3= 15-5= 16-6+8=**
**8-3= 5+7= 6+9= 18-2-5=**
2. **在○里填"＋"或"－"。（6分）**
**12 2=10 7 7=14 17-10=1 6**
**5 8=13 9 3=6 4** **8=7+5**
四、我会动手操作。（共12分)
**1. 数一数，填一填。**
**（1）图中长方体有（ ）个，正方体**
**有（ ）个，它们一共有（ ）**
**个。**
2. **图中最容易滚动的是球，有（ ）**
**个；可以立起来，倒下去也能滚动的是圆柱，有（ ）个。再**
**添（ ）个球就和圆柱的个数同样多。**
**2. 看钟面写时间。**
五、我会解决问题。(26分)
**1. 王乐计划写15个生字，已经写了3个，还剩几个生字没写？**
□〇□=□**（个）**
**2.看图列式。（6分）**
1.  **（2）**
□〇□=□**（个）** □〇□=□**（粒）**
3.  **一共要做多少道题？**
□〇□=□（**道）**
4. **原来书架上有多少本书？**
 □〇□=□**（本）**
5. **幼儿园校车上原来有18个小朋友，到一个站点时下了8人，到**
**下一个站点又下了3个小朋友。现在车上还有几个小朋友？**
六、附加题（10分）
> **一只船上坐着一家人。数一数，有两个爸爸，有两个儿子，船上一共有几个人？**
| 1 | |
**2020年1月浙江省普通高校招生选考科目考试**
**化学试题**
**可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64 I 127 Ba 137**
**选择题部分**
**一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）**
1.有共价键的离子化合物是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
活泼金属和活泼非金属元素之间易形成离子键，非金属元素之间易形成共价键，含有离子键的化合物是离子化合物，离子化合物中可能含有共价键，据此分析解答。
【详解】A.中钠离子与过氧根之间为离子键，故为离子化合物，过氧根中氧原子之间为共价价，故A正确；
B.硫酸为只含共价键的共价化合物，故B错误；
C.二氯甲烷为只含共价键的共价化合物，故C错误；
D.碳化硅为只含共价键共价化合物，故D错误；
故答案为A。
2.萃取碘水中的碘并分液，需要用到的仪器是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【详解】萃取碘水中的碘并分液，需要用到的仪器是分液漏斗；
A.该仪器为分液漏斗，故A正确；
B.该仪器为容量瓶，故B错误；
C.该仪器为直形冷凝管，故C错误；
D.该仪器为漏斗，故D错误；
故答案为A。
3.下列属于有机物，又是电解质的是（ ）
A. 己烷 B. 乙酸 C. 葡萄糖 D. 纯碱
【答案】B
【解析】
【分析】
有机物是含碳化合物(一氧化碳、二氧化碳、碳酸盐、金属碳化物、氰化物除外)或碳氢化合物及其衍生物的总称；电解质是在熔融或水溶液中导电的化合物，据此分析。
【详解】A.己烷为有机物，但不是电解质，故A错误；
B.乙酸为有机物，其水溶液可以导电，是电解质，故B正确；
C.葡萄糖是有机物但不是电解质，故C错误；
D.纯碱电解质但不是有机物，故D错误；
故答案为B。
4.反应中，氧化产物是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】氧化还原反应中还原剂失电子化合价升高被氧化得到氧化产物，该反应中HCl中氯元素由-1价升为0价得到产物Cl~2~，即氧化产物为Cl~2~；
故答案为D。
5.下列物质的名称不正确的是
A. NaOH：烧碱 B. FeSO~4~：绿矾
C. ：甘油 D. ：3−甲基己烷
【答案】B
【解析】
【详解】A项、烧碱是氢氧化钠的俗称，化学式为NaOH，故A正确；
B项、绿矾是七水硫酸亚铁的俗称，化学式为FeSO~4~·7H~2~O，故B错误；
C项、甘油是丙三醇的俗称，结构简式为，故C正确；
D项、烷烃的主链有6个碳原子，侧链为甲基，系统命名法的名称为3−甲基己烷，故D正确；
故选B。
6.下列表示不正确的是
A. 羟基的电子式： B. 乙烯的结构简式：CH~2~CH~2~
C. 氯原子的结构示意图： D. NH~3~分子的球棍模型：
【答案】B
【解析】
【详解】A项、羟基中氧原子还有一个未成对的单电子，电子式为，故A正确；
B项、乙烯的官能团为碳碳双键，结构简式为CH~2~=CH~2~，故B错误；
C项、氯原子的核外有3个电子层，最外层有7个电子，原子的结构示意图为，故C正确；
D项、氨气为三角锥形的极性分子，球棍模型为，故D正确；
故选B。
【点睛】乙烯属于烯烃，官能团为碳碳双键，书写结构简式时官能团不能省写或略写是易错点。
7.下列说法不正确的是
A. ^16^~8~O和^18^~8~O互为同位素
B. 金刚石和石墨互为同素异形体
C. 和互为同系物
D. CH~3~COOCH~2~CH~3~和CH~3~CH~2~CH~2~COOH互为同分异构体
【答案】C
【解析】
【详解】^16^~8~O和^18^~8~O的质子数相同，中子数不同，互为同位素，故A正确；
B项、金刚石和石墨是碳元素形成的不同种单质，互为同素异形体，故B正确；
C项、同系物必须是结构相似，相差一个或若干个CH~2~原子团的同类物质，属于酚类，属于芳香醇，不是同类物质，不互为同系物，故C错误；
D项、CH~3~COOCH~2~CH~3~和CH~3~CH~2~CH~2~COOH的分子式都为C~4~H~8~O~2~，结构不同，互为同分异构体，故D正确；
故选C
【点睛】同系物必须是结构相似，相差一个或若干个CH~2~原子团的同类物质是解答关键，也是易错点。
8.下列说法不正确的是（ ）
A. 二氧化硅导电能力强，可用于制造光导纤维
B. 石灰石在高温下可用于消除燃煤烟气中的
C. 钠着火不能用泡沫灭火器灭火
D. 利用催化剂可减少汽车尾气中有害气体的排放
【答案】A
【解析】
【详解】A.二氧化硅为共价化合物不导电，故A错误；
B. 向燃煤中加入适量石灰石，高温时将SO~2~转化为CaSO~4~，同时生成二氧化碳，故B正确；
C. 钠与氧气反应生成过氧化钠，因过氧化钠与二氧化碳反应生成氧气，不能够用泡沫灭火器灭火，可以用沙土灭火，故C正确；
D. 在排气管中安装高效催化剂，将NO转化为N~2~，减少了空气污染，故D正确；
故答案为A。
9.下列说法不正确的是
A. \[Cu(NH~3~)~4~\]SO~4~可通过CuSO~4~溶液与过量氨水作用得到
B. 铁锈的主要成分可表示为Fe~2~O~3~·nH~2~O
C. 钙单质可以从TiCl~4~中置换出Ti
D. 可用H~2~还原MgO制备单质Mg
【答案】D
【解析】
【详解】A项、CuSO~4~溶液与少量氨水反应生成氢氧化铜沉淀，与过量氨水反应生成络合物\[Cu(NH~3~)~4~\]SO~4~，故A正确；
B项、铁在潮湿空气中发生吸氧腐蚀生成红棕色的铁锈，铁锈的主要成分可表示为Fe~2~O~3~·nH~2~O，故B正确；
C项、钙的化学性质活泼，在稀有气体的保护下，与熔融的四氯化钛反应可置换出Ti，故C正确；
D项、制备单质Mg应该用电解熔融MgCl~2~的方法，故D错误；
故选D。
【点睛】金属的活泼性不同，冶炼方法不同，K、Ca、Na、Mg、Al等金属可用电解熔融的化合物的方法冶炼，Zn、Fe、Sn、Pb、Cu可用热还原发生冶炼，Hg、Ag可用也分解法冶炼。
10.下列说法不正确的是（ ）
A. 天然气的主要成分甲烷是高效，较洁净的燃料
B. 石油的分馏、煤的气化和液化都是物理变化
C. 石油的裂化主要是为了得到更多的轻质油
D. 厨余垃圾中蕴藏着丰富的生物质能
【答案】B
【解析】
【详解】A.天然气的主要成分为甲烷，燃烧生成二氧化碳和水，是较清洁的燃料，故A正确；
B.煤的气化和液化均为化学变化，故B错误；
C.石油裂化使大分子转化为小分子，提高轻质燃料的产量，则石油裂化的主要目的是为了得到轻质油，故C正确；
D. 厨余垃圾中蕴藏着以生物质为载体的能量，故D正确；
故答案为B。
11.下列有关实验说法，不正确的是（ ）
A. 碱液不慎溅到手上，先用大量水冲洗，再用饱和硼酸溶液洗，最后用水冲洗
B. 和的混合物经溶解、过滤，洗涤、干燥，可分离出
C. 用容量瓶配制溶液，定容时若加水超过刻度线，立即用滴管吸出多余液体
D. 火柴头的浸泡液中滴加溶液，稀和溶液，可检验火柴头是否含有氯元素
【答案】C
【解析】
【详解】A. 若皮肤不慎沾上少量碱液，应先用大量水冲洗，再用2%醋酸溶液或饱和硼酸溶液洗，避免皮肤受损，故A正确；
B.二氧化锰不溶于水，氯化钾可溶于水，所以混合物经溶解、过滤，洗涤、干燥，可分离出，故B正确；
C.滴管吸出的液体中含有溶质，因此会导致所配溶液浓度偏小，正确操作应该是重新配制，故C错误；
D. 火柴头中含有KClO~3~，检验氯元素，应把ClO~3~^-^还原为4Cl^-^，酸性条件下，NO~2~^-^具有还原性，向少量的火柴头浸泡液中滴加AgNO~3~、稀HNO~3~和NaNO~2~，发生的离子反应为：ClO~3~^-^+3NO~2~^-^+Ag^+^═AgCl↓+3NO~3~^-^，出现白色沉淀，证明含有氯元素，故D正确；
故答案为C。
12.下列关于铝及其化合物说法，不正确的是（ ）
A. 明矾可用作净水剂和消毒剂 B. 利用铝热反应可冶炼高熔点金属
C. 铝可用作包装材料和建筑材料 D. 氢氧化铝可用作治疗胃酸过多的药物
【答案】A
【解析】
【详解】A.明矾溶于水可生成具有吸附性的氢氧化铝胶体，可以净水但不能消毒，故A错误；
B.铝热反应是金属铝和沸点较高的金属氧化物之间反应冶炼高熔点金属的过程，故B正确。
C.铝具有良好的延展性，铝箔可以做包装材料，铝合金硬度大密度小常用做建筑材料，故C正确；
D.胃酸主要成分为HCl，氢氧化铝具有弱碱性可中和过多胃酸，故D正确；
故答案为A。
13.不能正确表示下列变化的离子方程式是
A. BaCO~3~溶于盐酸：BaCO~3~＋2H^+^=Ba^2+^＋CO~2~↑＋H~2~O
B. FeCl~3~溶液腐蚀铜板：2Fe^3+^＋Cu=2Fe^2+^＋Cu^2+^
C. 苯酚钠溶液中通入少量CO~2~：2＋CO~2~＋H~2~O=2＋CO~3~^2---^
D. 醋酸钠水解：CH~3~COO^−^＋H~2~OCH~3~COOH＋OH^−^
【答案】C
【解析】
【详解】A项、碳酸钡与盐酸反应生成氯化钡、二氧化碳和水，碳酸钡为难溶性盐，不能拆写，反应的离子方程式为BaCO~3~＋2H^+^=Ba^2+^＋CO~2~↑＋H~2~O，故A正确；
B项、FeCl~3~溶液与铜反应生成氯化亚铁和氯化铜，反应的离子方程式为2Fe^3+^＋Cu=2Fe^2+^＋Cu^2+^，故B正确；
C项、苯酚的酸性比碳酸弱，苯酚钠溶液与二氧化碳反应生成苯酚和碳酸氢钠，反应的离子方程式为＋CO~2~＋H~2~O→＋HCO~3~^---^，故C错误；
D项、醋酸钠是强碱弱酸盐，在溶液中水解使溶液呈碱性，水解的离子方程式为CH~3~COO^−^＋H~2~OCH~3~COOH＋OH^−^，故D正确；
故选C。
【点睛】苯酚的酸性比碳酸弱，无论二氧化碳的量为多少，苯酚钠溶液与二氧化碳反应只能生成苯酚和碳酸氢钠是解答关键，有机方程式用→，不能用=是易错点。
14.下列说法不正确的是（ ）
A. 强酸、强碱、重金属盐等可使蛋白质变性
B. 用新制氢氧化铜悬浊液（必要时可加热）能鉴别甲酸、乙醇、乙醛
C. 乙酸乙酯中混有的乙酸，可加入足量的饱和溶液，经分液除去
D. 向苯和苯酚的混合液中加入浓溴水，充分反应后过滤，可除去苯中少量的苯酚
【答案】D
【解析】
【详解】A. 强酸、强碱、加热、重金属盐及某些有机物例如甲醛等可使蛋白质发生变性，变性为不可逆反应，故A正确；
B.甲酸为弱酸可与氢氧化铜发生中和反应，溶液显蓝色；乙醇无现象；乙醛和新制氢氧化铜悬浊液在加热条件下会生成砖红色沉淀，故B正确；
C.饱和的碳酸钠溶液可以与乙酸发生反应，且会与乙酸乙酯分层，故C正确；
D.溴易溶于苯，应向苯和苯酚的混合溶液中加入NaOH溶液，充分反应分液，以除去苯中少量苯酚，故D错误；
故答案为D。
15.下列关于的说法，正确的是（ ）
A. 该物质可由n个单体分子通过缩聚反应生成
B. 该物质完全燃烧，生成33.6 L（标准状况）的
C. 该物质在酸性条件下水解产物之一可作汽车发动机的抗冻剂
D. 该物质与足量溶液反应，最多可消耗
【答案】C
【解析】
【详解】A. 根据该高分子化合物的结构片段可知，该高分子是不饱和键打开相互连接，即通过加聚反应生成的，故A错误；
B.因为该物质为高分子化合物，无法确定该物质中含有C原子的物质的量，无法确定生成二氧化碳的量，故B错误；
C.该物质在酸性条件下水解产物中有乙二醇，可作为汽车发动机的抗冻剂，故C正确；
D.该物质链节中含有三个酯基水解均可产生羧基与氢氧化钠反应，但其中一个酯基水解后产生酚羟基，也可与氢氧化钠反应，故该物质与足量溶液反应，最多可消耗，故D错误；
故答案为C。
16.下列说法正确的是（ ）
A. 同一原子中，在离核较远的区域运动的电子能量较高
B. 原子核外电子排布，先排满K层再排L层，先排满M层再排N层
C. 同一周期中，随着核电荷数的增加，元素的原子半径逐渐增大
D. 同一周期中，Ⅱ A与Ⅲ A族元素原子的核电荷数都相差1
【答案】A
【解析】
【详解】A.电子能量越低，挣脱原子核束缚的能力弱，在距离原子核近的区域运动；电子能量高，挣脱原子核束缚的能力强，在距离原子核远的区域运动，故A正确；
B. M能层中d能级的能量高于N能层中s能级能量，填充完4s能级后才能填充3d能级，故B错误；
C.同一周期中，主族元素随着核电荷数的增加，元素的原子半径逐渐减小，故C错误；
D.第四周期中，Ⅱ A与Ⅲ A族元素原子的核电荷数相差11，故D错误；
故答案为A。
【点睛】本题考查元素周期表的结构及应用，把握元素在周期表的位置、元素的性质及元素周期律为解答的关键，注意整体把握周期表的结构。
17.下列说法不正确的是（ ）
A. 的溶液不一定呈碱性
B. 中和pH和体积均相等的氨水、溶液，所需的物质的量相同
C. 相同温度下，pH相等的盐酸、溶液中，相等
D. 氨水和盐酸反应后的溶液，若溶液呈中性，则
【答案】B
【解析】
【详解】A. 温度影响水的电离，则pH\>7的溶液不一定呈碱性；溶液酸碱性与溶液中氢离子、氢氧根离子浓度有关，当c(H^+^)\<c(OH^-^) 时溶液一定呈碱性，故A正确；
B.pH相同的氨水和溶液，氨水的浓度更大，所以中和pH和体积均相等的氨水、溶液，氨水所需的物质的量更大，故B错误；
C.pH相同说明两种溶液中c(H^+^)相同，相同温度下K~w~相同，K~w~= c(H^+^)·c(OH^-^)，溶液中氢离子浓度相同说明氢氧根浓度相同，故C正确；
D. 氨水和盐酸反应后的溶液中存在电荷守恒：c(OH^-^)+c(Cl^-^)=c(H^+^)+c(NH~4~^+^)，溶液呈中性则c(H^+^)=c(OH^-^)，所以，故D正确；
故答案为B。
18.在氯碱工业中，离子交换膜法电解饱和食盐水示意图如下，下列说法不正确的是（ ）
离子交换膜
A. 电极A为阳极，发生氧化反应生成氯气
B. 离子交换膜为阳离子交换膜
C. 饱和NaCl从a处进，NaOH溶液从d处出
D. OH^-^迁移的数量等于导线上通过电子的数量
【答案】D
【解析】
【分析】
氯碱工业中的总反应为2Cl^-^+2H~2~O 2OH^-^+H~2~↑+Cl~2~↑；电解池中阳极失电子发生氧化反应，氯碱工业中Cl~2~为氧化产物，所以电极A为阳极，电极B为阴极，据此作答。
【详解】A.根据分析可知电极A为阳极，发生氧化反应生成氯气，故A正确；
B.阳极发生的方程式为：2Cl^-^-2e^-^═Cl~2~↑，阴极：2H^+^+2e^-^═H~2~↑；为了防止生成的氯气与氢氧化钠发生反应，氢氧化钠要从b口流出，所以要防止OH^-^流向阳极即电极A，该离子交换膜为阳离子交换膜，故B正确；
C.根据B选项的分析可知饱和NaCl从a处进，NaOH溶液从d处出，故C正确；
D.根据总反应方程式可知当反应中转移4mol电子时，生成2mol OH^-^，故D错误；
故答案为D。
【点睛】本题考查电解池的工作原理知识，注意把握阴阳两极上参加反应的离子的判断，根据电极产物判断阴阳极是解题的关键。
19.在干燥的HCl气流中加热MgCl~2~·6H~2~O，能得到无水MgCl~2~。下列说法不正确的是
A. MgCl~2~·nH~2~O(s)=MgCl~2~·(n－1)H~2~O(s)＋H~2~O(g) ΔH＞0
B. MgCl~2~·2H~2~O(s)=Mg(OH)~2~(s)＋2HCl(g)，HCl气流可抑制反应进行
C. MgCl~2~·H~2~O(s)=Mg(OH)Cl(s)＋HCl(g)，升高温度，反应更易发生
D. MgCl~2~·4H~2~O(s)=MgCl~2~·2H~2~O(s)＋2H~2~O(g)，HCl气流可抑制反应进行
【答案】D
【解析】
【详解】A项、MgCl~2~·nH~2~O的失水反应是吸热反应，焓变ΔH＞0，故A正确；
B项、在HCl气流中，能使MgCl~2~·2H~2~O的水解平衡向逆反应方向移动，抑制反应进行，故B正确；
C项、MgCl~2~·H~2~O的水解反应是吸热反应，升高温度，水解平衡向正反应方向移动，促进反应进行，故C正确；
D项、MgCl~2~·4H~2~O的失水反应没有氯化氢生成，HCl气流对反应没有影响，故D错误；
故选D。
【点睛】MgCl~2~•6H~2~O加热时MgCl~2~能水解，在HCl气流中能抑制其水解，但对失水反应没有影响是解答易错点。
20.设\[aX＋bY\]为a个X微粒和b个Y微粒组成的一个微粒集合体，N~A~为阿伏加德罗常数的值。下列说法不正确的是
A. H~2~(g)＋O~2~(g)=H~2~O(l) ΔH＝－286 kJ·mol^−1^，则每1 mol \[H~2~(g)＋O~2~(g)\]生成1 mol \[H~2~O(l)\]放热286 kJ
B. Cr~2~O~7~^2-^＋ne^−^＋14H^+^=2Cr^3+^＋7H~2~O，则每生成1 mol Cr^3+^转移电子数为3N~A~
C. Al^3+^＋4OH^−^=\[Al(OH)~4~\]^−^，说明1 mol Al(OH)~3~电离出H^+^数为N~A~
D. 1 mol CO~2~与NaOH溶液完全反应，则n(CO~3~^2-^)＋n(HCO~3~^-^)＋n(H~2~CO~3~)＝1 mol
【答案】C
【解析】
【详解】A项、由热化学方程式可知，氢气在氧气中的燃烧为放热反应，1 mol \[H~2~(g)＋O~2~(g)\]生成1 mol \[H~2~O(l)\]放热286 kJ，故A正确；
B项、由铬元素化合价变化可知，生成2 mol Cr^3+^转移6mol电子，则生成1 mol Cr^3+^转移电子数为3N~A~，故B正确；
C项、氢氧化铝是两性氢氧化物，在溶液中发生酸式电离部分电离出氢离子，则1 mol Al(OH)~3~电离出H^+^数小于N~A~，故C错误；
D项、由碳原子个数守恒可知，1 mol CO~2~与NaOH溶液完全反应生成的盐溶液中，n(CO~3~^2-^)＋n(HCO~3~^-^)＋n(H~2~CO~3~)＝1 mol，故D正确；
故选C。
【点睛】氢氧化铝是两性氢氧化物，在溶液中发生酸式电离部分电离出氢离子是解答关键，也是易错点。
21.一定温度下，在2 L的恒容密闭容器中发生反应。反应过程中的部分数据如下表所示：
+-------+-----+-----+-----+
| n/mol | | | |
| | | | |
| t/min | | | |
+-------+-----+-----+-----+
| 0 | 2.0 | 2.4 | 0 |
+-------+-----+-----+-----+
| 5 | | | 0.9 |
+-------+-----+-----+-----+
| 10 | 1.6 | | |
+-------+-----+-----+-----+
| 15 | | 1.6 | |
+-------+-----+-----+-----+
下列说法正确的是（ ）
A. 0\~5 min用A表示的平均反应速率为
B. 该反应在10 min后才达到平衡
C. 平衡状态时，
D. 物质B的平衡转化率为20%
【答案】C
【解析】
【详解】A.v(C)= ，同一反应反应中反应速率之比等于计量数之比，3v(A)=v(C)，所以v(A)=，故A错误；
B.15min时，n(B)=1.6mol，消耗了2.4mol-1.6mol=0.8mol，根据方程式可知这段时间内消耗A的物质的量为0.4mol，所以15min时，n(A)=1.6mol，与10min时A的物质的量相同，说明10\~15min这段时间内平衡没有移动，但无法确定是10min时达到平衡，还是10min前已经达到平衡，故B错误；
C.根据B选项分析可知平衡时消耗的B为0.8mol，根据方程式可知生成C的物质的量为1.2mol，浓度为，故C正确；
D. 物质B的平衡转化率为，故D错误；
故答案为C。
22.在一定温度下，某反应达到了化学平衡，其反应过程对应能量变化如图。下列说法正确的是
A. E~a~为逆反应活化能，E为正反应活化能
B. 该反应为放热反应，ΔH＝E~a~^'^－E~a~
C. 所有活化分子的平均能量高于或等于所有分子的平均能量
D. 温度升高，逆反应速率加快幅度大于正反应加快幅度，使平衡逆移
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知，反应物的总能量大于生成物的总能量，该反应为放热反应。
【详解】A项、由图可知， E~a~为正反应活化能，E为逆反应活化能，故A错误；
B项、由图可知，反应物的总能量大于生成物的总能量，该反应为放热反应，反应热ΔH＝---（E~a~^'^－E~a~），故B错误；
C项、在相同温度下，分子的能量并不完全相同，有些分子的能量高于分子的平均能量，称为活化分子，则所有活化分子的平均能量高于所有分子的平均能量，故C错误；
D项、该反应为放热反应，逆反应速率加快幅度大于正反应加快幅度，使平衡向吸热的逆反应方向移动，故D正确；
故选D。
【点睛】活化分子发生有效碰撞，要求能量高、碰撞方向正确，发生有效碰撞的分子是活化分子，活化能是活化分子的平均能量与所有分子的平均能量之差是解答关键。
23.室温下，向盐酸中滴加溶液，溶液的pH随溶液体积的变化如图。已知。下列说法不正确的是（ ）
A. 与盐酸恰好完全反应时，
B. 选择变色范围在pH突变范围内的指示剂，可减小实验误差
C. 选择甲基红指示反应终点，误差比甲基橙的大
D. 时，
【答案】C
【解析】
【详解】A.与盐酸恰好完全反应时溶液中的溶质为NaCl，呈中性，室温下，故A正确；
B.选择变色范围在pH突变范围内的指示剂，可减小实验误差，B正确；
C.甲基橙的变色范围在pH突变范围外，误差更大，故C错误；
D.时，溶液中的溶质为氯化钠和氢氧化钠，且c(NaOH)==0.02mol/L，即溶液中c(OH^-^)=0.02mol，则c(H^+^)=5×10^-13^ mol/L，pH=-lgc(H^+^)=12.3，故D正确；
故答案为C。
24.100%硫酸吸收SO~3~可生成焦硫酸(分子式为H~2~S~2~O~7~或H~2~SO~4~·SO~3~)。下列说法不正确的是
A. 焦硫酸具有强氧化性
B. Na~2~S~2~O~7~水溶液呈中性
C. Na~2~S~2~O~7~可与碱性氧化物反应生成新盐
D. 100%硫酸吸收SO~3~生成焦硫酸的变化是化学变化
【答案】B
【解析】
【详解】A项、从组成上看，焦硫酸是由等物质的量的三氧化硫与纯硫酸化合而成的，则焦硫酸具有比浓硫酸更强的氧化性、吸水性和腐蚀性，故A正确；
B项、从组成上看，Na~2~S~2~O~7~可以形成Na~2~SO~4~·SO~3~，Na~2~SO~4~·SO~3~溶于水时，三氧化硫与水反应生成硫酸，水溶液显酸性，故B错误；
C项、从组成上看，Na~2~S~2~O~7~可以形成Na~2~SO~4~·SO~3~，三氧化硫可与碱性氧化物反应生成硫酸钠，故C正确；
D项、100%硫酸吸收SO~3~生成焦硫酸有新物质生成，属于化学变化，故D正确；
故选B。
【点睛】从组成上看，Na~2~S~2~O~7~可以形成Na~2~SO~4~·SO~3~，溶于水时，三氧化硫与水反应生成硫酸是解答难点和易错点。
25.某固体混合物X，含有、、和中的几种，进行如下实验：
①X与水作用有气泡冒出，得到有色沉淀Y和弱碱性溶液Z；
②沉淀Y与溶液作用，无变化。
下列说法不正确的是（ ）
A. 混合物X中必定含有，不含
B. 溶液Z中溶质主要是钠盐，且必含
C. 灼烧沉淀Y，可能得到黑色物质
D. 往溶液Z中加入Cu粉，若不溶解，说明X中不含
【答案】D
【解析】
【分析】
某固体混合物X，含有、、和中的几种，进行如下实验：
①X与水作用有气泡冒出，四种物质中能生成气体的只有，所以一定有，而几种物质中没有酸，可知推测因为发生双水解生成了二氧化碳，能与在溶液中双水解的有、和；得到有色沉淀Y，则Fe(OH)~3~、Cu(OH)~2~中至少有一种Al(OH)~3~不确定；弱碱性溶液Z，说明溶液中不存在铝离子、铁离子和铜离子；
②沉淀Y与溶液作用，无变化说沉淀中没有Al(OH)~3~，则X中一定没有，据此再结合选项分析。
【详解】A. 根据分析可知混合物X中必定含有，不含，故A正确；
B.溶液Z显弱碱性，所以大量存在的阳离子只能是钠离子，碳酸钠的水解分两步：CO~3~^2-^+H~2~O=HCO~3~^-^+OH^-^；HCO~3~^-^+ H~2~O =H~2~CO~3~+OH^-^；由于发生双水解反应产生了二氧化碳且溶液显碱性说明溶液中依然存在第二步水解，第一步水解有可能存在，即溶液中一定有碳酸氢根，所以溶液Z中溶质主要是钠盐，且必含，故B正确；
C.沉淀Y中可能含有氢氧化铜，故灼烧可以得到黑色固体，故C正确；
D.溶液Z显弱碱性，一定不存在，故D错误；
故答案为D。
**非选择题部分**
**二、非选择题（本大题共6小题，共50分）**
26.(1)比较给出能力的相对强弱：\_\_\_\_\_\_\_\_（填"\>""\<"或"="）；用一个化学方程式说明和结合能力的相对强弱\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)是离子化合物，各原子均满足8电子稳定结构。写出的电子式\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)在常压下，甲醇的沸点（65℃）比甲醛的沸点（-19℃）高。主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). \> (2). (3).  (4). 甲醇分子间存在氢键
【解析】
【详解】(1)水中羟基氢比乙醇中的羟基氢活泼，水给出氢离子的能力比乙醇要强；反应可以说明；
(2)Ca核外电子为：2、8、8、2，失去两个电子为Ca^2+^；C最外层4个电子,两个碳原子共用3电子对，一个碳周围就有7个电子，得到2电子达稳定结构，所以的电子式为；
(3)甲醇中含有羟基，可以形成分子间氢键，而甲醛是醛基不能形成氢键，只有分子间作用力，氢键的作用力大于分子间作用力，因此，需要更多的能量去破坏氢键使甲醇沸腾，故答案为：甲醇分子间存在氢键。
27.为测定样品的纯度，用硫酸溶解6.300 g样品，定容至250 mL。取25.00 mL溶液，用标准溶液滴定至终点。重复实验，数据如下：
------ --------------- -----------------
序号 滴定前读数/mL 滴定终点读数/mL
1 0.00 19.98
2 1.26 22.40
3 1.54 21.56
------ --------------- -----------------
已知：
假设杂质不参加反应。
该样品中的质量分数是\_\_\_\_\_\_\_\_%（保留小数点后一位）；
写出简要计算过程：\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 95.2 (2).
【解析】
【分析】
根据方程式找出MnO~4~^-^和之间的数量关系，然后进行计算求解；
【详解】第一次所用标准液为：19.98mL，第二次所用标准液为22.40-1.26=20.14mL，第三次所用标准液为：21.56-1.54=20.02mL，第二次数据偏差较大舍去，所以所用标准液的体积为;根据方程式可知反应中存在数量关系：3MnO~4~^-^\~5，所以25mL待测液中所含的物质的量为：，质量为，所以样品中质量分数为。
【点睛】计算过程中要注意滴定的待测液是从配制的250mL溶液中取出的25mL。
28.Ⅰ．由三种元素组成的化合物A，按如下流程进行实验。气体B为纯净物，溶液C焰色反应为砖红色，气体E能使湿润的红色石蕊试纸变蓝。
请回答：
(1)组成A的三种元素是\_\_\_\_\_\_\_\_，A的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)固体A与足量稀盐酸反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)气体E与甲醛在一定条件下可生成乌洛托品(学名：亚甲基四胺)，该反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_(乌洛托品可以用分子式表示)。
Ⅱ．某兴趣小组为探究H~2~S和Cl~2~O的性质，将两种气体同时通入水中，实验装置如图：
请回答：
\(1\) 三颈瓶中出现淡黄色沉淀，溶液呈强酸性，用一个化学方程式表示\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(2\) 若通入水中的Cl~2~O已过量，设计实验方案检验\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). Ca、H和N (2). Ca~2~HN (3). Ca~2~HN＋5HCl=2CaCl~2~＋H~2~↑＋NH~4~Cl (4). 4NH~3~＋6HCHO→(或C~6~H~12~N~4~)＋6H~2~O (5). 2H~2~S＋Cl~2~O=2S↓＋2HCl＋H~2~O (6). 用玻璃棒蘸取清液，点到KI−淀粉试纸上，如果变蓝(或变蓝后再褪色)，说明Cl~2~O过量
【解析】
【分析】
Ⅰ．由溶液C焰色反应为砖红色可知，溶液C中含有钙元素，由气体E能使湿润的红色石蕊试纸变蓝可知，气体E为氨气，则C中含有氯化铵，C为氯化钙和氯化铵的混合溶液，则固体A中含有钙元素和氮元素，由固体A与足量盐酸反应结合质量守恒定律可知，气体B为氢气，固体A中还含有氢元素，则固体A中含有Ca、N和H三种元素。
Ⅱ．由题意可知，H~2~S和Cl~2~O发生氧化还原反应生成硫、氯化氢和水，反应中H~2~S中硫元素化合价升高被氧化，Cl~2~O中氯元素化合价降低被还原。
【详解】Ⅰ．（1）由分析可知，组成A的三种元素是Ca、N和H，由钙原子个数守恒可知，固体A中钙的物质的量为=0.04mol，质量为0.04mol×40g/mol=1.6g，固体A与足量盐酸反应时，固体A中氢元素化合价升高被氧化，HCl中氢元素化合价降低被还原，由得失电子数目守恒和原子个数守恒可知，固体A中氢的物质的量为×2×=0.02mol，质量为0.02mol×1g/mol=0.02g，则固体A中氮的物质的量为=0.02mol，A中Ca、N和H的物质的量比为0.04mol: 0.02mol: 0.02mol=2:1:1，化学式为Ca~2~HN，故答案为：Ca、H和N ；Ca~2~HN；
（2）Ca~2~HN与足量盐酸反应时，Ca~2~HN中氢元素化合价升高被氧化，HCl中氢元素化合价降低被还原，反应生成氯化钙、氯化铵和氢气，反应的化学方程式为Ca~2~HN＋5HCl=2CaCl~2~＋H~2~↑＋NH~4~Cl，故答案为：Ca~2~HN＋5HCl=2CaCl~2~＋H~2~↑＋NH~4~Cl；
（3）氨气与甲醛反应生成和水，反应的化学方程式为4NH~3~＋6HCHO→(或C~6~H~12~N~4~)＋6H~2~O，故答案为4NH~3~＋6HCHO→(或C~6~H~12~N~4~)＋6H~2~O；
Ⅱ．（1）由三颈瓶中出现淡黄色沉淀，溶液呈强酸性可知，H~2~S和Cl~2~O发生氧化还原反应生成硫、氯化氢和水，反应的化学方程式为2H~2~S＋Cl~2~O=2S↓＋2HCl＋H~2~O，故答案为：2H~2~S＋Cl~2~O=2S↓＋2HCl＋H~2~O；
\(2\) Cl~2~O具有强氧化性，若通入水中的Cl~2~O已过量，过量的Cl~2~O能与碘化钾溶液反应生成单质碘，单质碘能使淀粉溶液变蓝色，则检验Cl~2~O已过量的实验方案为用玻璃棒蘸取清液，点到KI−淀粉试纸上，如果变蓝(或变蓝后再褪色)，说明Cl~2~O过量，故答案为：用玻璃棒蘸取清液，点到KI−淀粉试纸上，如果变蓝(或变蓝后再褪色)，说明Cl~2~O过量。
29.研究NO~x~之间的转化具有重要意义。
(1)已知：N~2~O~4~(g) 2NO~2~(g) ΔH＞0 将一定量N~2~O~4~气体充入恒容的密闭容器中，控制反应温度为T~1~。
①下列可以作为反应达到平衡的判据是\_\_\_\_\_\_\_\_。
A．气体的压强不变 B．v~正~(N~2~O~4~)＝2v~逆~(NO~2~) C．K不变 D．容器内气体的密度不变 E．容器内颜色不变
②t~1~时刻反应达到平衡，混合气体平衡总压强为p，N~2~O~4~气体的平衡转化率为75%，则反应N~2~O~4~(g) 2NO~2~(g)的平衡常数K~p~＝\_\_\_\_\_\_\_\_(对于气相反应，用某组分B的平衡压强p(B)代替物质的量浓度c(B)也可表示平衡常数，记作K~p~，如p(B)＝p·x(B)，p为平衡总压强，x(B)为平衡系统中B的物质的量分数)。
③反应温度T~1~时，c(N~2~O~4~)随t(时间)变化曲线如图，画出0～t~2~时段，c(NO~2~)随t变化曲线。保持其它条件不变，改变反应温度为T~2~(T~2~＞T~1~)，再次画出0～t~2~时段，c(NO~2~)随t变化趋势的曲线\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(2\) NO氧化反应：2NO(g)＋O~2~(g)=2NO~2~(g)分两步进行，其反应过程能量变化示意图如图。
Ⅰ 2NO(g)=N~2~O~2~(g) ΔH~1~
Ⅱ N~2~O~2~(g)＋O~2~(g)→2NO~2~(g) ΔH~2~
①决定NO氧化反应速率的步骤是\_\_\_\_\_\_\_\_(填"Ⅰ"或"Ⅱ")。
②在恒容的密闭容器中充入一定量的NO和O~2~气体，保持其它条件不变，控制反应温度分别为T~3~和T~4~(T~4~＞T~3~)，测得c(NO)随t(时间)的变化曲线如图。转化相同量的NO，在温度\_\_\_\_\_(填"T~3~"或"T~4~")下消耗的时间较长，试结合反应过程能量图分析其原因\_\_\_\_。
【答案】 (1). AE (2). p (3).  (4). Ⅱ (5). T~4~ (6). ΔH~1~＜0，温度升高，反应Ⅰ平衡逆移，c(N~2~O~2~)减小，浓度降低的影响大于温度对反应Ⅱ速率的影响
【解析】
【分析】
（1）①化学反应平衡的判断可从以下几方面考虑：体系中所有反应物和生成物的质量（或浓度）保持不变，正反应速率等于逆反应速率；
②建立三段式求解可得；
③由图确定t~1~时反应生成的NO~2~浓度；该反应为吸热反应，升高温度，平衡向正反应方向移动；
（2）①由图可知，反应Ⅰ的活化能小于反应Ⅱ的活化能，活化能越大，反应速率越慢；
②由图可知，转化相同量的NO，在温度T~4~下消耗的时间较长，原因是浓度降低的影响大于温度对反应Ⅱ速率的影响。
【详解】（1）①A、该反应是一个气体体积减小的反应，气体的压强不变说明各物质浓度保持不变，反应达到化学平衡状态，故正确；
B、v~正~(N~2~O~4~)＝2v~逆~(NO~2~)说明正逆反应速率不相等，反应没有达到化学平衡状态，故错误；
C、温度不变，化学平衡常数K不变，则K不变不能说明反应达到化学平衡状态，故错误；
D、由质量守恒定律可知，反应前后气体质量不变，恒容容器的体积不变，则密度始终不变，则密度不变不能说明反应达到化学平衡状态，故错误；
E、容器内颜色不变说明各物质浓度保持不变，反应达到化学平衡状态，故正确；
AE正确，故答案为：AE；
②设起始N~2~O~4~的物质的量为1mol，由题给数据建立如下三段式：
由三段式数据可知N~2~O~4~的平衡分压为×p=，NO~2~的平衡分压为×p=，则平衡常数K~p~＝=，故答案为：；
③由图可知，t~1~时反应消耗N~2~O~4~的浓度为（0.04---0.01）mol/L，由方程式可得反应生成NO~2~的浓度为0.03 mol/L×2=0.06 mol/L；该反应为吸热反应，升高温度，平衡向正反应方向移动，NO~2~的浓度增大，则0～t~2~时段，NO~2~的浓度c(NO~2~)随t变化趋势的曲线为，故答案为：；
（2）①由图可知，反应Ⅰ的活化能小于反应Ⅱ的活化能，活化能越大，反应速率越慢，则化学反应速率反应Ⅰ快于反应Ⅱ，化学反应取决于反应速率较慢的一步，则决定NO氧化反应速率的步骤是反应Ⅱ，故答案为：Ⅱ；
②由图可知，转化相同量的NO，在温度T~4~下消耗的时间较长，原因是反应Ⅰ为放热反应，温度升高，反应Ⅰ平衡逆移，c(N~2~O~2~)减小，浓度降低的影响大于温度对反应Ⅱ速率的影响，导致转化相同量的NO，在温度较高的T~4~下消耗的时间较长，故答案为：T~4~；反应Ⅰ为放热反应，温度升高，反应Ⅰ平衡逆移，c(N~2~O~2~)减小，浓度降低的影响大于温度对反应Ⅱ速率的影响；
30.碘化锂（）在能源、医药等领域有重要应用，某兴趣小组制备和，流程如下：
已知：在75\~80℃转变成，80\~120℃转变成，300℃以上转变成无水。
b.易溶于水，溶解度随温度升高而增大。
c.在空气中受热易被氧化。
请回答：
(1)步骤II，调，为避免引入新的杂质，适宜加入的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)步骤III，包括蒸发浓缩、冷却结晶、过滤、洗涤、干燥等多步操作。
下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
A.为得到较大的晶体颗粒，宜用冰水浴快速冷却结晶
B.为加快过滤速度，得到较干燥的晶体，可进行抽滤
C.宜用热水洗涤
D.可在80℃鼓风干燥
(3)步骤IV，脱水方案为：将所得置入坩埚中，300℃加热，得样品。用沉淀滴定法分别测定所得、样品纯度，测定过程如下：称取一定量样品，溶解，定容于容量瓶，将容量瓶中的溶液倒入烧杯，用移液管定量移取烧杯中的溶液加入锥形瓶，调，用滴定管中的标准溶液滴定至终点，根据消耗的标准溶液体积计算，得、的纯度分别为99.96%，95.38%。纯度偏低。
①上述测定过程提及的下列仪器，在使用前一定不能润洗的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
A.容量瓶 B.烧杯 C.锥形瓶 D.滴定管
②测定过程中使用到移液管，选出其正确操作并按序列出字母：
蒸馏水洗涤→待转移溶液润洗→\_\_\_\_\_\_\_\_→\_\_\_\_\_\_\_→\_\_\_\_\_\_\_→\_\_\_\_\_\_\_→洗净，放回管架。
a.移液管尖与锥形瓶内壁接触，边吹气边放液
b.放液完毕，停留数秒，取出移液管
c.移液管尖与锥形瓶内壁接触，松开食指放液设备
d.洗耳球吸溶液至移液管标线以上，食指堵住管口
e.放液完毕，抖动数下，取出移液管
f.放液至凹液面最低处与移液管标线相切，按紧管口
③纯度偏低，可能的主要杂质是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)步骤IV，采用改进的实验方案（装置如图），可以提高纯度。
①设备X的名称是\_\_\_\_\_\_\_\_。
②请说明采用该方案可以提高纯度的理由\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). (2). B (3). AC (4). d (5). f (6). c (7). b (8). (9). 抽气泵 (10). 抽除空气，避免被氧化，减压，有利脱水
【解析】
【分析】
(1)碱性氧化物或碱都可以与酸反应，起到调节pH的作用；
(2)根据提供的的性质进行分析；
(3)①润洗容量瓶会使浓度偏大；润洗锥形瓶消耗更多的待测液；
③在空气中加热易被氧化；
(4)①在空气中加热易被氧化，需要将空气抽出；
②该方案抽出空气且瓶内压强较低，据此分析。
【详解】(1)将酸性溶液调节成中，又不引入新的杂质，可选用调节pH值；
(2)A.用冰水浴快速冷却结晶得到的是较小颗粒的晶体，故A错误；
B.抽滤可以加快过滤速度，得到较干燥的晶体，故B正确；
C.易溶于水，溶解度随温度升高而增大，故C错误；
D.在75\~80℃转变成，80\~120℃转变成，故D错误
(3)①润洗容量瓶会使浓度偏大；润洗锥形瓶消耗更多的待测液，测定的待测液浓度偏大；
②移液管的正确使用步骤为蒸馏水洗涤→待转移溶液润洗→洗耳球吸溶液至移液管标线以上，食指堵住管口→放液至凹液面最低处与移液管标线相切，按紧管口→移液管尖与锥形瓶内壁接触，松开食指放液设备→放液完毕，停留数秒，取出移液管→洗净，放回管架；
③在空气中受热易被氧化生成；
(4)①设备X的作用是将仪器内的空气抽出，其名称为抽气泵；
②该方案抽出空气且瓶内压强较低，抽除空气，避免被氧化，减压，有利脱水；
【点睛】降温结晶时用冷水或冰水迅速冷却并剧烈搅动溶液时，可得到颗粒很小的晶体，将热溶液在常温条件下静置使之缓缓冷却，则可得到均匀而较大的晶体。
31.某研究小组以芳香族化合物A为起始原料，按下列路线合成高血压药物阿替洛尔。
已知：化合物H中除了苯环还有其它环
：
请回答：
(1)下列说法正确是\_\_\_\_\_\_\_\_。
A.化合物D能发生加成，取代，氧化反应，不发生还原反应
B.化合物E能与溶液发生显色反应
C.化合物1具有弱碱性
D.阿替洛尔的分子式是
(2)写出化合物E的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)写出的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)设计从A到B的合成路线（用流程图表示，无机试剂任选）\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)写出化合物C同时符合下列条件的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_。
①谱和IR谱检测表明：分子中共有4种氢原子，无氮氧键和碳氮双键；
②除了苯环外无其他环。
【答案】 (1). BC (2).  (3).  (4).  (5). 
【解析】
【分析】
C为，根据B到C的反应条件以及B的化学式可知B到C发生了还原反应，B的结构简式为，根据C的结构和D的化学式可知D的结构简式为，D到E为酯化反应，E为，根据题目提供信息结构E到F的反应条件可知F为，F+G生成H且H中除了苯环还有其他环，则H为，H+I生成阿替洛尔，反推出I为，据此分析作答。
【详解】(1)A.化合物D为，含有苯环可以加成，酚羟基可以被氧化，酚羟基和羧基均可发生酯化反应(属于取代反应)，催化加氢即为还原反应的一种，故A错误；
B.E为，含有酚羟基，能与溶液发生显色反应，故B正确；
C.化合物I为，含有氨基，可以结合氢离子，具有弱碱性，故C正确；
D.阿替洛尔的分子式是C~14~H~22~N~2~O~3~，故D错误。
(2)根据分析可知E的结构简式为；
(3)F为，H为，反应方程式为：；
(4)B的结构简式为，含有两个对位取代基，根据A的化学式和不饱和度可知A为对硝基甲苯，结构简式为，结合题目提供信息，其中X代表卤族原子，可知A到B的合成路线为；
(5)化合物C为，其同分异构体满足：谱和IR谱检测表明：分子中共有4种氢原子，则结构对称，无氮氧键和碳氮双键；除了苯环外无其他环；符合条件的有：。
【点睛】本题考查有机物的推断与合成，关键是对给予的反应信息的理解，结合转化中物质的结构、分子式与反应信息进行分析判断，(5)中同分异构体的书写为难点，题目涉及有机物的结构比较复杂，容易出错。
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------图形的放大和缩小》同步检测1（附答案）**
1．把下图放大，比一比谁画得像。
2．把下图分别缩小，比一比谁画得像。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．在方格纸上按要求将圆环放大。
4．按要求画一画，填一填。
(1)下图是一条可爱的小鱼水水，请你将表示小鱼水水轮廓的点的数对填在下面的括号里。
A(6，4)，B(4，1)，C(4，7)，D( ， )E( ， )，F( ， )，J( ， )，H( ， )，I( ， )。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)小鱼家庭中还有两条小鱼。组成它们轮廓的点如下表(请完成)：
--- ------- --------- ---------
水水 多多 盼盼
(x,y) (2x，y) (x，2y)
A (6,4)
B (4,1)
C (4,7)
D
E
F
J
H
I
--- ------- --------- ---------
5．根据上面第4题第(2)小题的表格,在下面方格纸中分别画出两只小鱼的轮廓。
**参考答案**
4．(1)D(4，4)，E(2，6)，F(2，2)，J(2，5)，H(2，3)，I(0，4)
(2)多多：A(12，4)，B(8，1)，C （8，7)，D（8，4)，E(4，6)，F(4，2)，
J(1，5)，H(4，3)，I(0，4)
盼盼：A(6，8)，B(4，2)，C(4，14)，D(4，8)，E(2，12)，F(2，4)，I(2，1 0)，H(2，6)，I(0，8)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2014年重庆市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=2，a~3~+a~5~=10，则a~7~=（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
4．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x^2^+x C．f（x）=2^x^﹣2^﹣x^ D．f（x）=2^x^+2^﹣x^
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A．10 B．17 C．19 D．36
6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有\|x\|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．4 D．
9．（5分）若log~4~（3a+4b）=log~2~，则a+b的最小值是（ ）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
10．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1\]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣，﹣2\]∪（0，\] B．（﹣，﹣2\]∪（0，\] C．（﹣，﹣2\]∪（0，\] D．（﹣，﹣2\]∪（0，\]
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．**
11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），\|\|=，则•=[ ]{.underline}．
13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x^2^+y^2^+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为[ ]{.underline}．
15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为[ ]{.underline}（用数字作答）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（13分）已知{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列，S~n~表示{a~n~}的前n项和．
（Ⅰ）求a~n~及S~n~；
（Ⅱ）设{b~n~}是首项为2的等比数列，公比为q满足q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0．求{b~n~}的通项公式及其前n项和T~n~．
17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在\[50，60）与\[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在\[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在\[60，70）中的概率．
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos^2^+sinBcos^2^=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．
19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．
21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上，DF~1~⊥F~1~F~2~，=2，△DF~1~F~2~的面积为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
**2014年重庆市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础．
2．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=2，a~3~+a~5~=10，则a~7~=（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
【分析】由题意可得a~4~=5，进而可得公差d=1，可得a~7~=a~1~+6d，代值计算即可．
【解答】解：∵在等差数列{a~n~}中a~1~=2，a~3~+a~5~=10，
∴2a~4~=a~3~+a~5~=10，解得a~4~=5，
∴公差d==1，
∴a~7~=a~1~+6d=2+6=8
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．
【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A．
【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．
4．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x^2^+x C．f（x）=2^x^﹣2^﹣x^ D．f（x）=2^x^+2^﹣x^
【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
B、f（x）=x^2^+x，其定义域为R，f（﹣x）=x^2^﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
C、f（x）=2^x^﹣2^﹣x^，其定义域为R，f（﹣x）=2^﹣x^﹣2^x^，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；
D、f（x）=2^x^+2^﹣x^，其定义域为R，f（﹣x）=2^﹣x^+2^x^，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A．10 B．17 C．19 D．36
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；
第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；
第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；
第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，
不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有\|x\|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q
【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有\|x\|≥0成立，即p为真命题，
当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，
则p∧￢q，为真命题，
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】根据（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）^2^=b^2^﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，
∴由双曲线的定义可得（2a）^2^=b^2^﹣3ab，
∴4a^2^+3ab﹣b^2^=0，
∴a=，
∴c==b，
∴e==．
故选：D．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．（5分）若log~4~（3a+4b）=log~2~，则a+b的最小值是（ ）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出
【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
∴a＞0．b＞0
∵log~4~（3a+4b）=log~2~，
∴log~4~（3a+4b）=log~4~（ab）
∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0
∴＞0，
∴a＞4，
则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1\]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣，﹣2\]∪（0，\] B．（﹣，﹣2\]∪（0，\] C．（﹣，﹣2\]∪（0，\] D．（﹣，﹣2\]∪（0，\]
【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），
分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，
当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时，
即m（x+1）^2^+3（x+1）﹣1=0，
当m=0时，x=，只有1解，
当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，
则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．**
11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=[ {3，5，13} ]{.underline}．
【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，
A、B公共元素为3、5、13，
则A∩B={3，5，13}，
故答案为：{3，5，13}．
【点评】本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式．
12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），\|\|=，则•=[ 10 ]{.underline}．
【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可
【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），
∴，
∴=2=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．
13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．
再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin\[2ω（x﹣）+φ）\]
=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，
∴2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈Z，
∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），
∴f（）=sin（+）=sin=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x^2^+y^2^+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为[ 0或6 ]{.underline}．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）^2^+（y﹣2）^2^=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，
∵AC⊥BC，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d==，
即\|a﹣3\|=3，
解得a=0或a=6，
故答案为：0或6．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}（用数字作答）．
【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y\|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）\|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y\|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，
则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x\|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S~△ABC~=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（13分）已知{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列，S~n~表示{a~n~}的前n项和．
（Ⅰ）求a~n~及S~n~；
（Ⅱ）设{b~n~}是首项为2的等比数列，公比为q满足q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0．求{b~n~}的通项公式及其前n项和T~n~．
【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；
（Ⅱ）求出a~4~和S~4~，代入q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a~4~=7，S~4~=16．
∵q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0，即q^2^﹣8q+16=0，
∴（q﹣4）^2^=0，即q=4．
又∵{b~n~}是首项为2的等比数列，
∴．
．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．
17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在\[50，60）与\[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在\[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在\[60，70）中的概率．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在\[50，60）和\[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足\[50，70）的基本事件，再找到在\[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在\[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在\[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在\[50，60）中的2人为A，B，成绩落在\[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在\[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在\[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P=．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos^2^+sinBcos^2^=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．
【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，
∴c=8﹣（a+b）=，
∴由余弦定理得：cosC===﹣；
（Ⅱ）由sinAcos^2^+sinBcos^2^=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=absinC=sinC，
∴ab=9②，
联立①②解得：a=b=3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，
∴f′（x）=﹣﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．
∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，
解得：a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，
f′（x）=﹣﹣=（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=﹣1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值﹣ln5．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．
【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；
（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，
故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，
∵AB=2，∠BAD=，
∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，
又∵BM=，∠OBM=，
∴在△OBM中，OM^2^=OB^2^+BM^2^﹣2OB•BM•cos∠OBM=，
即OB^2^=OM^2^+BM^2^，即OM⊥BM，
∴OM⊥BC，
又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴PO⊥BC，
又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM，
∴BC⊥平面POM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（）=，
设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，
故PA^2^=PO^2^+OA^2^=a^2^+3，
由△POM也为直角三角形得：
PM^2^=PO^2^+OM^2^=a^2^+，
连接AM，
在△ABM中，AM^2^=AB^2^+BM^2^﹣2AB•BM•cos∠ABM==，
由MP⊥AP可知：△APM为直角三角形，
则AM^2^=PA^2^+PM^2^，即a^2^+3+a^2^+=，
解得a=，即PO=，
此时四棱锥P﹣ABMO的底面积S=S~△AOB~+S~△BOM~=•AO•OB+•BM•OM=，
∴四棱锥P﹣ABMO的体积V=S•PO=
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档．
21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上，DF~1~⊥F~1~F~2~，=2，△DF~1~F~2~的面积为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），依题意，可求得c=1，易求得\|DF~1~\|==，\|DF~2~\|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|，由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得x~1~=﹣或x~1~=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中c^2^=a^2^﹣b^2^，
由=2，得\|DF~1~\|==c，
从而=\|DF~1~\|\|F~1~F~2~\|=c^2^=，故c=1．
从而\|DF~1~\|=，由DF~1~⊥F~1~F~2~，得=+=，
因此\|DF~2~\|=，
所以2a=\|DF~1~\|+\|DF~2~\|=2，故a=，b^2^=a^2^﹣c^2^=1，
因此，所求椭圆的标准方程为+y^2^=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，
y~1~＞0，y~2~＞0，F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，由圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|，
由（Ⅰ）知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），所以=（x~1~+1，y~1~），=（﹣x~1~﹣1，y~1~），再由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得﹣+=0，
由椭圆方程得1﹣=，即3+4x~1~=0，解得x~1~=﹣或x~1~=0．
当x~1~=0时，P~1~，P~2~重合，此时题设要求的圆不存在；
当x~1~=﹣时，过P~1~，P~2~，分别与F~1~P~1~，F~2~P~2~垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y~0~）
由F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，知CP~1~⊥F~1~P~1~，得•=﹣1，而\|y~1~\|=\|x~1~+1\|=，
故y~0~=，
故圆C的半径\|CP~1~\|==．
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x^2^+=．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．
| 1 | |
**图形的分割与拼接**
怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
** 例1**请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
** 分析与解**：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用"同底等高的三角形面积相等"这一性质来分割。
** 方法一：**将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。
** 方法二：**画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。
** 方法三：**找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。
** 方法四：**将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。
** 例2**将右图分割成五个大小相等的图形。
** 分析与解**：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。
** 例3**右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
** 分析与解**：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。
** 例4**将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。
** 分析与解**：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。
** 例5**有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。
** 分析与解**：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何
以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。
容易得到下图所示的分割与拼接的方法。
** 例6**用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。
** 分析与解**：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。
**练习19**
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。
4.将下图分成两块，然后拼成一个正方形。
5.将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，然后拼成一个24×25的长方形。
6.将一个正方形分成相等的4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
**练习19**
5.
6.
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法》单元测试3（附答案）**
1. 读一读、写一写。
4.50元 82.20元 51.28元 64.35元
\_\_\_\_元\_\_\_\_角 \_\_\_\_元\_\_\_\_角 \_\_\_\_元\_\_\_\_角\_\_\_\_分 \_\_\_\_元\_\_\_\_角\_\_\_\_分
二、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
7.5＋14.3○8.8＋12.4
5.5－3.4○1.8＋0.6
14×30○22×18
37×12○43×11
1450○56×24
三、连一连。
四、接力赛。
（8.5）＋6.7→（ ）－12.1→（ ）＋24.6→（ ）
（16 ）×40→（ ）－575→（ ）×28→（ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、竖式计算我最棒。
元角 元角
6.4 20.9 5 3 3 8
[× 3.9]{.underline} [－ 8.4]{.underline} [× 1 6]{.underline} [× 2 4]{.underline}
六、脱式计算。
1200－46×13 84×23－766
七、解决问题
1.妈妈买豆角和茄子各500克，一共要多少钱？
 
6.5元/500克 3.7元/500克
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.某高校的一批大学生光荣成为2010年上海世博会的志愿者。他们共分成12组，每组26人。这所学校有多少大学生成为上海世博会的志愿者？
参考答案
一、4 5 82 2 51 2 8 64 3 5
二、＞ ＜ ＞ ＜ ＞
三、
四、15.2 3.1 27.7
640 65 1820
五、10.3 12.5 848 912
六、602 1166
七、1. 6.5＋3.7＝10.2（元）
2\. 12×26＝312（人）
| 1 | |
**化学试题**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ag 108 I 127 Ba 137**
**一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)**
1.水溶液呈酸性的是( )
A. B. C. D.
2.固液分离操作中，需要用到的仪器是( )
A.  B.  C.  D. 
3.下列物质在熔融状态下不导电的是( )
A. B. C. D.
4.下列物质对应的组成不正确的是( )
A. 干冰： B. 熟石灰：
C. 胆矾： D. 小苏打：
5.下列表示不正确的是( )
A. 乙烯的结构式： B. 甲酸甲酯的结构简式：
C. 甲基丁烷的键线式： D. 甲基的电子式：
6.下列说法不正确的是( )
A. 天然气不可再生能源
B. 用水煤气可合成液态碳氢化合物和含氧有机物
C. 煤的液化属于物理变化
D. 火棉是含氮量高的硝化纤维
7.下列说法正确的是( )
A. 和是两种不同的元素 B. 单晶硅和石英互为同素异形体
C. 和互为同系物 D. H与在元素周期表中处于同一主族
8.下列说法不正确的是( )
A. 会破坏铝表面的氧化膜
B. 的热稳定性比强
C. 具有氧化性，其稀溶液可用于消毒
D. 钢铁在潮湿空气中生锈主要是发生了电化学腐蚀
9.下列说法不正确的是( )
A. 高压钠灯可用于道路照明
B. 可用来制造光导纤维
C. 工业上可采用高温冶炼黄铜矿的方法获得粗铜
D. 不溶于水，可用作医疗上检查肠胃的钡餐
10.反应中，氧化产物与还原产物的物质的量之比是( )
A. 1:2 B. 1:1 C. 2:1 D. 4:1
11.下列有关实验说法不正确的是( )
A. 萃取时，向盛有溴水的分液漏斗中加入，振荡、静置分层后，打开旋塞，先将水层放出
B. 做焰色反应前，铂丝用稀盐酸清洗并灼烧至火焰呈无色
C. 乙醇、苯等有机溶剂易被引燃，使用时须远离明火，用毕立即塞紧瓶塞
D. 可用溶液和稀区分、和
12.下列说法正确的是( )
A. 在空气中加热可得固体
B 加入到过量溶液中可得
C. 在沸腾炉中与反应主要生成
D. 溶液中加入少量粉末生成和
13.能正确表示下列反应的离子方程式是( )
A. 溶液与少量溶液反应：
B. 电解水溶液：
C. 乙酸乙酯与溶液共热：
D. 溶液中滴加稀氨水：
14.下列说法不正确的是( )
A. 相同条件下等质量的甲烷、汽油、氢气完全燃烧，放出的热量依次增加
B. 油脂在碱性条件下水解生成的高级脂肪酸盐是肥皂的主要成分
C. 根据纤维在火焰上燃烧产生的气味，可以鉴别蚕丝与棉花
D. 淀粉、纤维素、蛋白质都属于高分子化合物
15.有关的说法正确的是( )
A. 可以与氢气发生加成反应 B. 不会使溴水褪色
C. 只含二种官能团 D. 该物质与足量溶液反应，最多可消耗
16.X、Y、Z、M、Q五种短周期元素，原子序数依次增大。Y元素的最高正价为价，Y元素与Z、M元素相邻，且与M元素同主族；化合物的电子总数为18个；Q元素的原子最外层电子数比次外层少一个电子。下列说法不正确的是( )
A. 原子半径：
B. 最高价氧化物对应水化物的酸性：
C. 易溶于水，其水溶液呈碱性
D. X、Z和Q三种元素形成的化合物一定是共价化合物
17.下列说法不正确的是( )
A. 的盐酸中
B. 将溶液从常温加热至，溶液变小但仍保持中性
C. 常温下，溶液呈碱性，说明是弱电解质
D. 常温下，为3的醋酸溶液中加入醋酸钠固体，溶液增大
18.溶液与溶液发生反应：，达到平衡。下列说法不正确的是( )
A. 加入苯，振荡，平衡正向移动
B. 经苯2次萃取分离后，在水溶液中加入，溶液呈血红色，表明该化学反应存在限度
C. 加入固体，平衡逆向移动
D. 该反应的平衡常数
19.为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是( )
A. ，完全反应转移的电子数为
B. 用电解粗铜的方法精炼铜，当电路中通过的电子数为时，阳极应有转化为
C. 常温下，溶液中，水电离出的数为
D. 浓度为的溶液中，阴离子数为
20.一定条件下： 。在测定相对分子质量时，下列条件中，测定结果误差最小的是( )
A. 温度、压强 B. 温度、压强
C. 温度、压强 D. 温度、压强
21.电解高浓度(羧酸钠)的溶液，在阳极放电可得到(烷烃)。下列说法不正确的是( )
A. 电解总反应方程式：
B. 在阳极放电，发生氧化反应
C. 阴极的电极反应：
D. 电解、和混合溶液可得到乙烷、丙烷和丁烷
22.关于下列的判断正确的是( )
A. B. C. D.
23.常温下，用氨水滴定浓度均为的和的混合液，下列说法不正确的是( )
A. 在氨水滴定前，和的混合液中
B. 当滴入氨水时，
C. 当滴入氨水时，
D. 当溶液呈中性时，氨水滴入量大于，
24.是硅酸盐水泥的重要成分之一，其相关性质的说法不正确的是( )
A. 可发生反应：
B. 具有吸水性，需要密封保存
C. 能与，反应生成新盐
D. 与足量盐酸作用，所得固体产物主要为
25.黄色固体X，可能含有漂白粉、、、、之中的几种或全部。将X与足量的水作用，得到深棕色固体混合物Y和无色碱性溶液Z。下列结论合理的是( )
A. X中含，可能含有
B. X中含有漂白粉和
C. X中含有，Y中含有
D. 用酸化溶液Z，若有黄绿色气体放出，说明X中含有
**二、非选择题(本大题共6小题，共50分)**
26.(1)气态氢化物热稳定性大于的主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)是离子化合物，各原子均满足8电子稳定结构，的电子式是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)常温下，在水中的溶解度乙醇大于氯乙烷，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
27.溶液与锌粉在量热计中充分反应。测得反应前温度为，反应后最高温度为。
已知：反应前后，溶液的比热容均近似为、溶液的密度均近似为，忽略溶液体积、质量变化和金属吸收的热量。请计算：
(1)反应放出的热量\_\_\_\_\_J。
(2)反应的\_\_\_\_\_\_(列式计算)。
28.Ⅰ.化合物Ⅹ由四种短周期元素组成，加热X，可产生使湿润的红色石蕊试纸变蓝的气体Y，Y为纯净物；取，用含的盐酸完全溶解得溶液A，将溶液A分成和两等份，完成如下实验(白色沉淀C可溶于溶液)：
请回答：
(1)组成X的四种元素是N、H和\_\_\_\_\_\_\_(填元素符号)，X的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)溶液B通入过量得到白色沉淀C的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)写出一个化合反应(用化学方程式或离子方程式表示)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。要求同时满足：
①其中一种反应物的组成元素必须是X中除N、H外的两种元素；
②反应原理与""相同。
Ⅱ.某兴趣小组为验证浓硫酸的性质进行实验，如图。实验中观察到的现象有：锥形瓶内有白雾，烧杯中出现白色沉淀。请回答：
(1)将浓硫酸和浓盐酸混合可产生气体的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)烧杯中出现白色沉淀的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
29.研究氧化制对资源综合利用有重要意义。相关的主要化学反应有：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
已知：时，相关物质的相对能量(如图1)。
可根据相关物质的相对能量计算反应或变化的(随温度变化可忽略)。例如： 。
请回答：
(1)①根据相关物质的相对能量计算\_\_\_\_\_。
②下列描述正确的是\_\_\_\_\_
A 升高温度反应Ⅰ的平衡常数增大
B 加压有利于反应Ⅰ、Ⅱ的平衡正向移动
C 反应Ⅲ有助于乙烷脱氢，有利于乙烯生成
D 恒温恒压下通水蒸气，反应Ⅳ的平衡逆向移动
③有研究表明，在催化剂存在下，反应Ⅱ分两步进行，过程如下：，且第二步速率较慢(反应活化能为)。根据相关物质的相对能量，画出反应Ⅱ分两步进行的"能量-反应过程图"，起点从的能量，开始(如图2)\_\_\_\_\_
。
(2)①和按物质的量1:1投料，在和保持总压恒定的条件下，研究催化剂X对"氧化制"的影响，所得实验数据如下表：
--------- -------- -------- ------
催化剂 转化率 转化率 产率
催化剂X 19.0 37.6 3.3
--------- -------- -------- ------
结合具体反应分析，在催化剂X作用下，氧化的主要产物是\_\_\_\_\_\_，判断依据是\_\_\_\_\_\_\_。
②采用选择性膜技术(可选择性地让某气体通过而离开体系)可提高的选择性(生成的物质的量与消耗的物质的量之比)。在，乙烷平衡转化率为，保持温度和其他实验条件不变，采用选择性膜技术，乙烷转化率可提高到。结合具体反应说明乙烷转化率增大的原因是\_\_\_\_\_。
30.硫代硫酸钠在纺织业等领域有广泛应用。某兴趣小组用下图装置制备。
合成反应：
滴定反应：
已知：易溶于水，难溶于乙醇，开始失结晶水。
实验步骤：
Ⅰ.制备：装置A制备的经过单向阀通入装置C中的混合溶液，加热、搅拌，至溶液约为7时，停止通入气体，得产品混合溶液。
Ⅱ.产品分离提纯：产品混合溶液经蒸发浓缩、冷却结晶、过滤洗涤、干燥，得到产品。
Ⅲ.产品纯度测定：以淀粉作指示剂，用产品配制的溶液滴定碘标准溶液至滴定终点，计算含量。
请回答：
(1)步骤Ⅰ:单向阀的作用是\_\_\_\_\_\_；装置C中的反应混合溶液过高或过低将导致产率降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)步骤Ⅱ:下列说法正确的是\_\_\_\_\_。
A 快速蒸发溶液中水分，可得较大晶体颗粒
B 蒸发浓缩至溶液表面出现品晶膜时，停止加热
C 冷却结晶后的固液混合物中加入乙醇可提高产率
D 可选用冷的溶液作洗涤剂
(3)步骤Ⅲ
①滴定前，有关滴定管的正确操作为(选出正确操作并按序排列)：
检漏→蒸馏水洗涤→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→开始滴定。
A 烘干 B 装入滴定液至零刻度以上 C 调整滴定液液面至零刻度或零刻度以下D 用洗耳球吹出润洗液 E 排除气泡 F 用滴定液润洗2至3次 G 记录起始读数
②装标准碘溶液的碘量瓶(带瓶塞的锥形瓶)在滴定前应盖上瓶塞，目的是\_\_\_\_\_\_。
③滴定法测得产品中含量为，则产品中可能混有的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_。
31.某研究小组以邻硝基甲苯为起始原料，按下列路线合成利尿药美托拉宗。
已知：
R-COOH+  
请回答：
(1)下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
A 反应Ⅰ的试剂和条件是和光照 B 化合物C能发生水解反应
C 反应Ⅱ涉及到加成反应、取代反应 D 美托拉宗的分子式是
(2)写出化合物D的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)写出的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)设计以A和乙烯为原料合成C的路线(用流程图表示，无机试剂任选)\_\_\_\_。
(5)写出化合物A同时符合下列条件的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_。
谱和谱检测表明：①分子中共有4种氢原子，其中环上的有2种；②有碳氧双键，无氮氧键和。
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**2017\~2018学年度上学期高三年级九模考试**
**数学试卷**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 若全集为实数集，集合，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】由，得,即
∴，∴
故选：D
点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2\. 已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意可得：，
则，据此可得，的虚部为.
本题选择A选项.
3\. 命题"且"的否定形式是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 且
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题"∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n"的否定形式是：∃n~0~∈N，f（n~0~）∈N或f（n~0~）＞n~0~，故选C．
点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题"∀x∈M，p(x)"是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x~0~，使p(x~0~)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x~0~，使p(x~0~)成立即可，否则就是假命题.
4\. 阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）
A. 计算数列的前10项和
B. 计算数列的前9项和
C. 计算数列的前10项和
D. 计算数列的前9项和
【答案】B
【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0，i=1；
判断i＞9不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞9不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判断i＞9不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+2^2^，i=3+1=4；
...
判断i＞9不成立，执行S=1+2+2^2^+...+2^8^，i=9+1=10；
判断i＞9成立，输出S=1+2+2^2^+...+2^8^．
算法结束．
故选：B
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
5\. 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】，
设，
，两式相减，
中点的横坐标为1
则纵坐标为
将代入直线，解得
点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算。
6\. 已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 
【答案】D
【解析】∵数列{a~n~}为等差数列，满足，
其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，
∴a~1~+a~2017~=1，
∵数列{a~n~}是等差数列，
∴{a~n~}的=1，.
故答案为：D。
7\. "石头、剪刀、布"，又称"猜丁壳"，是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世家.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表"石头"，食指和中指伸出代表"剪刀"，五指伸开代表"布"．"石头"胜"剪刀"， "剪刀"胜"布"，而"布"又胜"石头"，若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行"五局三胜制"的"石头、剪刀、布"游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】根据"石头"胜"剪刀"，"剪刀"胜"布"，而"布"又胜"石头"，
可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，
∴小军和大年两位同学进行"五局三胜制"的"石头、剪刀、布"游戏比赛，
则小军和大年比赛至第四局小军胜出，由指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，
∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是：
.
故选：B.
8\. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个圆锥，且挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积，故选A.
9\. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在区间上单调递减
C. 若，则
D. 的最小正周期为
【答案】C
【解析】∵=，
故函数的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称，故A正确；
f（x）在区间上单调递增，故B正确；
函数\|f（x）\|的周期为，若\|f（x~1~）\|=\|f（x~2~）\|，则x~1~=x~2~+kπ（k∈Z），故C错误；
f（x）的周期为2π中，故D正确；
故选：C．
10\. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】A
【解析】设BC的中点为D，
∵，
∴=+，
即=，两端同时点乘，
∵•=λ（）=λ（）=λ（﹣）=0，
∴DP⊥BC，
∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心
故选：A
11\. 已知函数，，则的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】设x~1~∈{x\|f（x）=0}={x\|f（f（x））=0}，
∴f（x~1~）=f（f（x~1~））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x^2^+nx，
f（f（x））=（x^2^+nx）（x^2^+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x^2^+nx+n=0的根，
故△=n^2^﹣4n＜0，
解得：0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选：B．
点睛：本题解题关键的利用，隐含了f（0）=0，同时，f（f（x））=（x^2^+nx）（x^2^+nx+n）=0隐含了二者元素相同，且不为空集.
12\. 已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意可知，显然当直线斜率不存时，，
设直线斜率为k,此时存在两条直线满足，
设直线， 
，
设，由,得
⇒，
故选：C.
点睛：本题综合性较强，将直线与圆，与抛物线联立起来，利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程，再由根系关系将此方程转化为关于参数m的不等式，解出满足\|AC\|=\|BD\|的直线l只有三条的充要条件，再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料。如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7000元。那么可产生最大的利润是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元．
【答案】38000元
【解析】设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
由题意，得．
工厂的总利润z=12000x+7000y
由约束条件得可行域如图，
由，解得：，
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
故答案为：38000元．
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14\. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点：找到一个点，从点可以观察到点；并测得到一些数据：，，，，，，，则两点之间的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（其中取近似值）
【答案】
【解析】依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC==
在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC==3
在△ABC中，由余弦定理AB^2^=AC^2^+BC^2^﹣2AC•BCcos∠ACB=10
∴AB=．
故答案为：．
点睛：解决测量问题的注意事项
(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的"联袂"使用．
15\. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令，，所以g(x)在递增，递减，。
所以 ，填。
16\. 如图，在矩形中，，.四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的最小值为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：y=kx﹣2k+2，CC~2~=．学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...
直线CC~2~的方程为y=﹣x++6，∴C~1~（4+6k，0），∴CC~1~=6，
∴C~1~C~2~=CC~2~﹣CC~1~=6﹣．
∴=﹣1．
令\|k﹣2\|=t，∴k=t+2或2﹣t．
①k=t+2，=3（t++4）﹣1≥6+11，t=时，取等号；
②k=2﹣t，=3（t+﹣4）﹣1≥6﹣13，t=时，取等号；
综上所述，的最小值为6﹣13，
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17\. 已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2) 存在，且的集合为
【解析】试题分析：
（1）直接由题意列方程组求出数列的首项和公比，则数列的通项公式可求；
（2）求出数列的前项和，由，求得满足条件的的值，则的集合可求.
试题解析：
（1）设等比数列的公比为,则.
由题意得,即，解得.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
若存在*n*,使得，则，即.
当*n*为偶数时，，上式不成立；
当*n*为奇数时，，即,则.
综上，存在符合条件的正整数*n*,且*n*的集合为
点睛：本题考查了数列的综合问题，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用"巧用性质、整体考虑、减少运算量"的方法.本题的难点在于求和后，根据为奇数和偶数分类讨论.
18\. 已知正三棱柱中，分别为的中点，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.
【答案】(1)见解析(2) 二面角为直二面角
【解析】试题分析：（1）先证CF⊥平面A~1~EF，即可证明：平面A~1~CF⊥平面A~1~EF；
（2）如图，以F为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，求出，由定义则∠EFA~1~为二面角E﹣CF﹣A~1~的平面角，即可得出结论．
试题解析：
（1）因为正三棱柱，所以平面，
所以，
又是正三角形，为中点，
所以，又
故平面，又平面，
所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长
，由题意，则，
，，，，
，
设平面的法向量则
，令，
则
由（1）可知为平面的一个法向量
故，计算可得：
由（1）可知，，
由定义则为二面角的平面角，
此时由勾股定理：，，
，
满足，则此时二面角为直二面角
点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19\. 某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：
（1）求每台仪器能出厂的概率；
（2）求生存一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生存两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)  (2)  (3) 
【解析】试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得可取，，，，，，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.
试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，
所以每台仪器能出厂的概率．
（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．
（Ⅲ）可取，，，，，．
，，，，，．
的分布列为：
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
 3800 3500 3200 500 200 
      
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
．
20\. 如图，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连结并延长分别交于两点，连接；与的面积分别记为，设.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】(1) 曲线的方程为，曲线的方程为 (2) 
【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程。（Ⅱ ）设，，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得,故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果。
试题解析：
（Ⅰ）由抛物线定义可得，
∵点M在抛物线上，
∴，即 ①
又由，得 
将上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲线的方程为，曲线的方程为。
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，.
则，
设，，
则，
所以， ②
设直线的方程为 ，
由，解得，
所以，
由②可知，用代替，
可得，
由，解得，
所以，
用代替，可得
所以
，当且仅当时等号成立。
所以的取值范围为.
点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21\. （1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
【答案】(1) 在单调递增，(2) 的值域是
【解析】试题分析：（1）求出f（x）的定义域，对原函数求导，利用导函数恒大于等于0可得f（x）的单调性；
（2）求出由（1）知，单调递增，又由函数零点存在定理可得存在唯一，使得，则当时，，单调递减；当时，，，单调递增.求出函数最小值，再由最小值为关于a的增函数可得的值域.
试题解析：
（1）的定义域为
 ，
当且仅当时，，
所以在单调递增.
（2），
由（1）知，单调递增，
对任意，，，
因此，存在唯一，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
.
于是，由，知单调递增
所以，由，得.
因为单调递增，对任意，存在唯一的，，
使得，所以的值域是，
综上，当时，有最小值，的值域是.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线过，倾斜角为，以为极点，轴在平面直角坐标系中，直线，曲线（为参数），坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于点两点，求的最大值.
【答案】(1)   (2) ，
【解析】试题分析：(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C~1~的极坐标方程；曲线C~2~消去参数φ得曲线C~2~的普通方程为x^2^+（y﹣1）^2^=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C~2~的极坐标方程．
（2）设A（ρ~1~，α），B（ρ~2~，α），，则，由此能求出的最大值．
试题解析：
（1）∵，，
∴，
，∴，
∵，，
∴，
∴，∴
（2）曲线为，
设，，，，
则 ，
∴，.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若函数的最小值为2，求实数的值；
（2）若命题"存在，满足不等式"为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1) 或 (2) 
【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式求出的最小值，建立方程，求出实数的值；
（2）若命题"存在，满足"是假命题，则当时，恒成立.
试题解析：
（1）因为 ，
所以.
令，得或，
解得或.
（2）若命题"存在，满足"是假命题，
则当时，恒成立，
当时，，，
由，得，
即，即.
据题意，，则解得.
所以实数的取值范围是.
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**2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）**
1．已知全集U=R，集合A={x\|y=log~2~（﹣x^2^+2x）}，B={y\|y=1+}，那么A∩∁~U~B=（ ）
A．{x\|0＜x＜1} B．{x\|x＜0} C．{x\|x＞2} D．{x\|1＜x＜2}
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~m+1~•a~m﹣1~=2a~m~（m≥2），数列{a~n~}的前n项积为T~n~，若T~2m﹣1~=512，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知函数f（x）=sin^2^ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间\[0，\]上的值域为（ ）
A．\[0，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，1\] D．\[﹣，\]
5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．1
6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（ ）
A．120 cm^3^ B．80 cm^3^ C．100 cm^3^ D．60 cm^3^
9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2\|\|^2^+\|\|^2^=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．4π D．2π
11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F~1~、F~2~，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x~0~，y~0~ ） （x~0~＞0，y~0~＞0）满足=，则S﹣S=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈\[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x^3^+3x^2^+m．若∀s∈\[﹣4，2），∃t∈\[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣12\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，8\] D．（﹣∞，\]
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）**
13．设a=（sinx﹣1+2cos^2^）dx，则（a﹣）^6^•（x^2^+2）的展开式中常数项是[ ]{.underline}．
14．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，
③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a^2^），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，
④对于两个分类变量X与Y的随机变量K^2^的观测值k来说，k越小，判断"X与Y有关系"的把握程度越大．
以上命题中其中真命题的个数为[ ]{.underline}．
15．已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是[ ]{.underline}．
16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•e^x^+1（其中e为自然对数的底数）的解集为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，向量=（S~n~，1），=（2^n^﹣1，），满足条件∥，
（1）求数列{a~n~}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（）^x^，数列{b~n~}满足条件b~1~=1，f（b~n+1~）=．
①求数列{b~n~}的通项公式，
②设c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．
19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
-------- -------- -------- ------
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
-------- -------- -------- ------
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P（k^2^≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
K^2^=．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k~1~，k~2~，试问：k~1~ k~2~是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（1）求f（x）的单调区间，
（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值，
（3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x~0~，使得e^f（x0）^＜1﹣x~0~^2^成立？请说明理由．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．\[选修4一1：几何证明选讲\]**
22．（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
**\[选修4一4坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．
**\[选修4一5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣1\|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥\|a+1\|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
**2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）**
1．已知全集U=R，集合A={x\|y=log~2~（﹣x^2^+2x）}，B={y\|y=1+}，那么A∩∁~U~B=（ ）
A．{x\|0＜x＜1} B．{x\|x＜0} C．{x\|x＞2} D．{x\|1＜x＜2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据真数大于零得﹣x^2^+2x＞0，求出x的范围即求出集合A，再由求出集合B，根据补集和交集得运算求解．
【解答】解：由﹣x^2^+2x＞0得，0＜x＜2，
∴A={x\|y=log~2~（﹣x^2^+2x）}={x\|0＜x＜2}，
又，∴1+≥1，
则B={y\|y=1+}={y\|y≥1}，∴∁~U~B={y\|y＜1}，
则A∩∁~U~B={x\|0＜x＜1}，
故选：A．
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果
【解答】解：复数z满足z（1+i）=\|1+i\|，
可得z==1﹣i，
复数z对应的点为（1，﹣1），
在复平面内z的共轭复数=1+i对应的点为（1，1），在第一象限．
故选：A．
3．在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~m+1~•a~m﹣1~=2a~m~（m≥2），数列{a~n~}的前n项积为T~n~，若T~2m﹣1~=512，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由已知条件推导出a~m~=2，从而T~n~=2^n^，由T~2m﹣1~=512，得2^2m﹣1^=512=2^9^，由此能求出结果．
【解答】解：设数列{a~n~}公比为q
a~m﹣1~=，a~m+1~=a~m~•q，
∵a~m+1~•a~m﹣1~=2a~m~，∴，
∴，
解得a~m~=2，或a~m~=0（舍），
∵T~2m﹣1~=（a~m~）^2m﹣1^=512，∴2^2m﹣1^=512=2^9^，
∴2m﹣1=9，解得m=5．
故选：B．
4．已知函数f（x）=sin^2^ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间\[0，\]上的值域为（ ）
A．\[0，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，1\] D．\[﹣，\]
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）+，由周期公式可得ω=1，可得f（x）=sin（2x﹣）+，由x的范围，可得所求．
【解答】解：化简可得f（x）=sin^2^ωx+）+sinωxsin（ωx
=+sinωxcosωx=+sin2ωxcos2ωx
=sin（2ωx﹣）+，
∵函数的最小正周期为π，
∴=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x﹣）+，
∵x∈\[0，\]，
∴2x﹣∈\[，\]，
∴sin（2x﹣）∈\[，1\]，
∴f（x）=sin（2x﹣）+的值域为\[0，\]
故选：A
5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（ ）
A．2 B． C．﹣1 D．1
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，寻找规律，求出正确的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行情况，如下；
开始，s=2，k=1；1＜2013，是，s==﹣1，k=1+1=2，
2＜2013，是，s==，k=2+1=3，
3＜2013，是，s==2，
...
∴程序框图计算s的值是以3为周期的函数，
当k=2012+1=2013时，2013＜2013，否，输出s=，结束；
故选：B．
6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．
【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．
【解答】解：展开式的通项为
∴展开式的前三项系数分别为
∵前三项的系数成等差数列
∴解得n=8
所以展开式共有9项，
所以展开式的通项为=
当x的指数为整数时，为有理项
所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项
所以有理项不相邻的概率P=．
故选D
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】正弦定理．
【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：由cosA+sinA﹣=0，
整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，
即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2，
∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1，
∴A﹣B=0，A+B=，
即A=B=，C=，
利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则====．
故选B
8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（ ）
A．120 cm^3^ B．80 cm^3^ C．100 cm^3^ D．60 cm^3^
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．
【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm^3^；
故选C．
9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有\|\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^＞\|\|^2^+\|\|^2^，运用余弦定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=AD，
∵，，
由=5，
则（）=
=﹣•=5，
即﹣•（）=5，
则，
又BC=5，
则有\|\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^＞\|\|^2^+\|\|^2^，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形．
故选：B．
10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2\|\|^2^+\|\|^2^=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．4π D．2π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2\|\|^2^+\|\|^2^=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．
【解答】解：平行四边形ABCD中，
∵•=0，∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，
∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，
∴平面ABD⊥平面BDC
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，
∴AC^2^=AB^2^+BD^2^+CD^2^=2AB^2^+BD^2^，
∵2\|\|^2^+\|\|^2^=4，
∴AC^2^=4
∴外接球的半径为1，
故表面积是4π．
故选：C．
11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F~1~、F~2~，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x~0~，y~0~ ） （x~0~＞0，y~0~＞0）满足=，则S﹣S=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用 =，得出∠MF~1~P=∠MF~1~F~2~，进而求出直线PF~1~的方程为y=（x+3），与双曲线联立可得P（3，），由此即可求出S﹣S的值．
【解答】解：∵=，∴\|MF~1~\|•cos∠MF~1~P=\|MF~1~\|•cos∠MF~1~F~2~，∴∠MF~1~P=∠MF~1~F~2~．
∵F~1~ （﹣3，0）、F~2~（3，0），点M（2，1），∴\|MF~1~\|=，\|MF~2~\|=，\|F~1~F~2~\|=2c=6，
故由余弦定理可得 cos∠MF~1~F~2~==，∴cos∠PF~1~F~2~=2cos^2^∠MF~1~F~2~﹣1=，
∴sin∠PF~1~F~2~==，∴tan∠PF~1~F~2~==，
∴直线PF~1~的方程为y=（x+3）．
把它与双曲线联立可得P（3，），∴\|PF~1~\|=，
∴sin∠MF~1~F~2~=，∴S△PMF1==，
∵S==，
∴S﹣S=﹣=2．
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈\[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x^3^+3x^2^+m．若∀s∈\[﹣4，2），∃t∈\[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣12\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，8\] D．（﹣∞，\]
【考点】其他不等式的解法；特称命题．
【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈\[﹣4，﹣3\]，f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，
∀s∈\[﹣4，2），f（s）~最小~=﹣8，借助导数判断：∀t∈\[﹣4，﹣2），g（t）~最小~=g（﹣4）=m﹣16，
不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）~小~=﹣8≥g（t）~最小~=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．
【解答】解：∵当x∈\[0，2）时，f（x）=，
∴x∈\[0，2），f（0）=为最大值，
∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈\[﹣2，0\]，
∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，
∵x∈\[﹣4，﹣3\]，
∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，
∵∀s∈\[﹣4，2），
∴f（s）~最大~=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈\[﹣2，0\]，
∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，
∵x∈\[﹣4，﹣3\]，
∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，
∵∀s∈\[﹣4，2），
∴f（s）~最小~=﹣8，
∵函数g（x）=x^3^+3x^2^+m，
∴g′（x）=3x^2^+6x，
3x^2^+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，
3x^2^+6x＜0，﹣2＜x＜0，
3x^2^+6x=0，x=0，x=﹣2，
∴函数g（x）=x^3^+3x^2^+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．
在（﹣2，0）单调递减，
∴∃t∈\[﹣4，﹣2），g（t）~最小~=g（﹣4）=m﹣16，
∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，
∴﹣8≥m﹣16，
故实数满足：m≤8，
故选C．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）**
13．设a=（sinx﹣1+2cos^2^）dx，则（a﹣）^6^•（x^2^+2）的展开式中常数项是[ ﹣332 ]{.underline}．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得常数项的值．
【解答】解：设==（﹣cosx+sinx）=1+1=2，
则多项式（a﹣）^6^•（x^2^+2）=（2﹣）^6^•（x^2^+2）
=\[••+++...+\]（x^2^+2），
故展开式的常数项为﹣×2×1﹣×2=﹣12﹣320=﹣332，
故答案为：﹣332．
14．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，
③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a^2^），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，
④对于两个分类变量X与Y的随机变量K^2^的观测值k来说，k越小，判断"X与Y有关系"的把握程度越大．
以上命题中其中真命题的个数为[ 2 ]{.underline}．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断；
②利用相关性系数r的意义去判断；
③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断．
④根据随机变量k^2^的观测值k越大，"X与Y有关系"的把握程度越大，判断④是否为真命题．
【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，
②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；
③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a^2^），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81，
则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确．
④根据两个分类变量X与Y的随机变量k^2^的观测值k来说，k越大，判断"X与Y有关系"的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：2
15．已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是[ （0，4）∪（6，+∞） ]{.underline}．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m^2^=a^2^+b^2^=\|OP\|^2^，m的最值即为\|OP\|的最值，可得结论．
【解答】解：圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），
若∠APB=90°，则⊥，
∴•=（a+m）（a﹣m）+b^2^=0，
∴m^2^=a^2^+b^2^=\|OP\|^2^，
∴m的最大值即为\|OP\|的最大值，等于\|OC\|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，
∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．
故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．
16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•e^x^+1（其中e为自然对数的底数）的解集为[ （0，+∞） ]{.underline}．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】设g（x）=e^﹣x^f（x）﹣e^﹣x^，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•e^x^+1（其中e为自然对数的底数）的解集．
【解答】解：设g（x）=e^﹣x^f（x）﹣e^﹣x^，
则g′（x）=﹣e^﹣x^f（x）+e^﹣x^f′（x）+e^﹣x^=﹣e^﹣x^\[f（x）﹣f′（x）﹣1\]，
∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，
∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵f（x）＞2015•e^x^+1，∴g（x）＞2015，
∵g（0）=e^﹣0^f（0）﹣e^﹣0^=f（0）﹣1=2016﹣1=2015，
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞2015•e^x^+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，向量=（S~n~，1），=（2^n^﹣1，），满足条件∥，
（1）求数列{a~n~}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（）^x^，数列{b~n~}满足条件b~1~=1，f（b~n+1~）=．
①求数列{b~n~}的通项公式，
②设c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得S~n~=2^n+1^﹣2，再由当n＞1时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，n=1时，a~1~=S~1~，即可得到所求通项公式；
（2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式；
②求得C~n~==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
【解答】解：（1）由向量=（S~n~，1），=（2^n^﹣1，），∥，
可得S~n~=2^n^﹣1，即S~n~=2^n+1^﹣2，
当n＞1时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=（2^n+1^﹣2）﹣（2^n^﹣2）=2^n^，
当n=1时，a~1~=S~1~=2，满足上式．
则有数列{a~n~}的通项公式为a~n~=2^n^，n∈N^\*^；
（2）①f（x）=（）^x^，b~1~=1，f（b~n+1~）=．
可得（）==（），
即有b~n+1~=b~n~+1，可得{b~n~}为首项和公差均为1的等差数列，
即有b~n~=n；
②C~n~==，前n项和T~n~=1•+2•（）^2^+...+（n﹣1）•（）^n﹣1^+n•（）^n^，
T~n~=1•（）^2^+2•（）^3^+...+（n﹣1）•（）^n^+n•（）^n+1^，
相减可得， T~n~=+（）^2^+...+（）^n﹣1^+（）^n^﹣n•（）^n+1^
=﹣n•（）^n+1^，
化简可得，前n项和T~n~=2﹣．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD．
（2）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的一个法向量，由此利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值．
（3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1），利用向量法能求出sinθ的得最大值．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，
AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点，
∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
∴=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（﹣1，﹣2，0），
设平面SCD的一个法向量为=（x，y，z），
则，令z=1，得=（2，﹣1，1），
∵=0，∴，
∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．
解：（2）由题意平面SAB的一个法向量=（1，0，0），
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0，
则cosα===，
∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为．
（3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1），
∵平面SAB的一个法向量=（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ
∴sinθ=\|cos＜＞\|==\|\|
=
=．
当，即x=时，sinθ取得最大值（sinθ）~max~=．
19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
-------- -------- -------- ------
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
-------- -------- -------- ------
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P（k^2^≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
K^2^=．
【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．
【解答】解：（1）由表中数据得K^2^的观测值，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）
设事件A为"乙比甲先做完此道题"则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，
∴X可能取值为0，1，2，，，
X的分布列为：
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
X 0 1 2
P   
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
∴．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k~1~，k~2~，试问：k~1~ k~2~是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．
【解答】解：（1）由题意得e==，a^2^﹣b^2^=c^2^，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，
可得d═=b，解得a=4，b=2，c=2，
故椭圆C的方程为=1；
（2）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），
直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x^2^+4y^2^=48，
得（4+3m^2^）y^2^+18my﹣21=0，
∴y~1~+y~2~=﹣，y~1~y~2~=﹣，
由A，P，M三点共线可知， =，即y~M~=•；
同理可得y~N~=•．
所以k~1~k~2~==．
因为（x~1~+4）（x~2~+4）=（my~1~+7）（my~2~+7=m^2^y~1~y~2~+7m（y~1~+y~2~）+49，
所以k~1~k~2~===﹣．
即k~1~k~2~为定值﹣．
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（1）求f（x）的单调区间，
（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值，
（3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x~0~，使得e^f（x0）^＜1﹣x~0~^2^成立？请说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导f′（x），解关于导函数的不等式，从而判断函数的单调区间；
（2）化简可得xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，求导g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值；
（3）假设存在这样的x~0~满足题意，从而化简可得x~0~^2^+﹣1＜0，令h（x）=x^2^+﹣1，取x~0~=﹣lna，从而可得h~min~，根据函数的单调性求出x~0~的值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x，
∴f′（x）=﹣1=﹣，
∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）；
（2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），
∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），
∴lnx+1＞k（1﹣），
即xlnx+x﹣kx+3k＞0，
令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，
则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，
∵x＞1，
∴lnx＞0，
若k≤2，g′（x）＞0恒成立，
即g（x）在（1，+∞）上递增；
∴g（1）=1+2k≥0，
解得，k≥﹣；
故﹣≤k≤2，
故k的最大值为2；
若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞e^k﹣2^，
故g（x）在（1，e^k﹣2^）上单调递减，在（e^k﹣2^，+∞）上单调递增；
∴g~min~（x）=g（e^k﹣2^）=3k﹣e^k﹣2^，
令h（k）=3k﹣e^k﹣2^，h′（k）=3﹣e^k﹣2^，
∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；
∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e^2^＞0，h（5）=15﹣e^3^＜0；
∴k的最大取值为4，
综上所述，k的最大值为4．
（3）假设存在这样的x~0~满足题意，
∵e f（x0）＜1﹣x~0~^2^，
∴x~0~^2^+﹣1＜0，
令h（x）=x^2^+﹣1，
∵h′（x）=x（a﹣），
令h′（x）=x（a﹣）=0得e^x^=，
故x=﹣lna，取x~0~=﹣lna，
在0＜x＜x~0~时，h′（x）＜0，当x＞x~0~时，h′（x）＞0；
∴h~min~（x）=h（x~0~）=（﹣lna）^2^﹣alna+a﹣1，
在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）^2^﹣alna+a﹣1，
则p′（a）=（lna）^2^≥0，
故p（a）在（0，1）上是增函数，
故p（a）＜p（1）=0，
即当x~0~=﹣lna时符合题意．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．\[选修4一1：几何证明选讲\]**
22．（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=．
**\[选修4一4坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由\|PM\|，\|MN\|，\|PN\|成等比数列，得\|MN\|^2^=\|PM\|\|PN\|，变形后代入韦达定理可得a的方程．
【解答】解：（1）由ρsin^2^θ=2acosθ，得ρ^2^sin^2^θ=2aρcosθ，即y^2^=2ax，
由消掉t，得y=x﹣2，
所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y^2^=2ax，y=x﹣2；
（2）把直线l的参数方程代入y^2^=2ax，得t^2^﹣2（4+a）t+8（4+a）=0，
设点M，N分别对应参数t~1~，t~2~，则有t~1~+t~2~=2（4+a），t~1~t~2~=8（4+a），
因为\|MN\|^2^=\|PM\|\|PN\|，
所以（t~1~﹣t~2~）^2^=（t~1~+t~2~）^2^﹣4t~1~t~2~=t~1~t~2~，即8（4+a）^2^=5×8（4+a），
解得a=1．
**\[选修4一5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣1\|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥\|a+1\|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥\|a+1\|对任意的x∈R恒成立等价于\|a+1\|≤2，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）．...
当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；
当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；
当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．...
综上，所求不等式的解集为．...
（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，...
不等式f（x）≥\|a+1\|对任意的x∈R恒成立等价于\|a+1\|≤2，
即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a\|﹣3≤a≤1}．...
**2016年11月24日**
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**浙江省温州市2020年初中学业水平考试数学试题**
**一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、 错选，均不给分）**
1.数1，0，，﹣2中最大的是（ ）
A. 1 B. 0 C. D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
将各数按照从小到大顺序排列，找出最大的数即可．
【详解】排列得：-2＜＜0＜1，
则最大的数是1，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数大小比较，将各数正确的排列是解本题的关键．
2.原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示可得出答案．
【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000=．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚．
3.某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图的定义，其主视图，就是从前向后看得到的正投影，根据看到的图形一一判断即可．
【详解】A、是其主视图，故符合题意；
B、是其左视图，故不符合题意；
C、三种视图都不符合，故不符合题意；
D、其俯视图，故不符合题意.
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形就是主视图，熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．
4.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知计算的方法是解题关键．
5.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作*□*BCDE，则∠E的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠*C*的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵∠*A*＝40°，*AB*＝*AC*，
∴∠*ABC*=∠*C*=70°，
∵四边形*ABCD*是平行四边形，
∴∠*E*=∠*C*=70°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
6.山茶花是温州市的市花，品种多样，"金心大红"是其中的一种．某兴趣小组对30株"金心大红"的花径进行测量、记录，统计如下表．
这批"金心大红"花径的众数为（ ）
A. 6.5cm B. 6.6cm C. 6.7cm D. 6.8cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据众数的定义判断即可，众数为一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】解：花径6.7cm的有12株，出现次数最多，
因此这批"金心大红"花径的众数为6.7cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数的定义，了解众数为一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
7.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．
【详解】解：连接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等边三角形
∵BD是圆O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案为D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．
8.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米
C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
\
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，\
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
9.已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）
A. 14 B. 15
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
连接*EC*，*CH*，设*AB*交*CR*于点*J*，先证得△*ECP*∽△*HCQ*，可得，进而可求得*CQ*＝10，*AC*:*BC*＝1:2，由此可设*AC*＝*a*，则*BC*＝2*a*，利用*AC∥BQ*，*CQ∥AB*，可证得四边形*ABQC*为平行四边形，由此可得*AB*＝*CQ*＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得*CR*的长．
【详解】解：如图，连接*EC*，*CH*，设*AB*交*CR*于点*J*，
∵四边形*ACDE*，四边形*BCIH*都是正方形，
∴∠*ACE*＝∠*BCH*＝45°，
∵∠*ACB*＝90°，∠*BCI*＝90°，
∴∠*ACE*＋∠*ACB*＋∠*BCH*＝180°，∠*ACB*＋∠*BCI*＝180°，
∴点*E、C、H*在同一直线上，点*A、C、I*在同一直线上，
∵*DE∥AI∥BH*，
∴∠*CEP*＝∠*CHQ*，
∵∠*ECP*＝∠*QCH*，
∴△*ECP*∽△*HCQ*，
∴，
∵*PQ*＝15，
∴*PC*＝5，*CQ*＝10，
∵*EC*:*CH*＝1:2，
∴*AC*:*BC*＝1:2，
设*AC*＝*a*，则*BC*＝2*a*，
∵*PQ*⊥*CR*，*CR*⊥*AB*，
∴*CQ∥AB*，
∵*AC∥BQ*，*CQ∥AB*，
∴四边形*ABQC*为平行四边形，
∴*AB*＝*CQ*＝10，
∵，
∴，
∴（舍负）
∴，，
∵，
∴，
∵*JR*＝*AF*＝*AB*＝10，
∴*CR*＝*CJ*＋*JR*＝14，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
**二、填空题（本题有 6小题，每小题5分，共30分）**
11.分解因式：*x*^2^－25=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：因为x^2^﹣25=x^2^﹣5^2^，所以直接应用平方差公式即可：．
12.不等式组的解集为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
13.若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据弧长公式求解．
【详解】．\
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式．
14.某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有\_\_\_\_\_\_\_头．
【答案】140
【解析】
【分析】
根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg及以上的生猪数，本题得以解决．
【详解】由直方图可得，
质量在77.5kg及以上的生猪有：90+30+20=140（头），
故答案为：140．
【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.点P，Q，R在反比例函数（常数*k*＞0，*x*＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作*x*轴、*y*轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S~1~，S~2~，S~3~．若OE＝ED＝DC，S~1~＋S~3~＝27，则S~2~的值为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意知：矩形的面积
同理：矩形，矩形面积都为，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键．
16.如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸*l*上依次取点E，F，N，使AE⊥*l*，BF⊥*l*，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为\_\_\_\_\_\_\_米，BC为\_\_\_\_\_\_\_米．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
过点*C*作*CP*⊥*EF*于点*P*，过点*B*作直线*GH*∥*EF*交*AE*于点*G*，交*CP*于点*H*，如图，则△*ABG*、△*BCH*都是等腰直角三角形，四边形*BGEF、BHPF*是矩形，于是可根据等腰直角三角形的性质和勾股定理依次求出*AG、BG、AB*的长，设*FP=BH=CH=x*，则*MP=x*－2，*CP=x*+10，易证△*AEF*∽△*CPM*，然后根据相似三角形的性质即可得到关于*x*的方程，解方程即可求出*x*，再根据勾股定理即可求出*BC*的长．
【详解】解：过点*C*作*CP*⊥*EF*于点*P*，过点*B*作直线*GH*∥*EF*交*AE*于点*G*，交*CP*于点*H*，如图，则*GH*⊥*AE*，*GH*⊥*CP*，
∴四边形*BGEF、BHPF*是矩形，
∵∠*ANE*＝45°，∴∠*NAE*＝45°，
∴*AE=EN=EF*+*FM*+*MN*=15+2+8=25，
∵∠*ABG*＝45°，∴∠*GAB*＝45°，
∴*AG*=*BG*=*EF*=15，
∴，*GE=BF=PH*=10，
∵∠*ABG*＝45°，∠*ABC*＝90°，∴∠*CBH*＝45°，
∴∠*BCH*=45°，∴*BH=CH*，
设*FP=BH=CH=x*，则*MP=x*－2，*CP=x*+10，
∵∠1=∠2，∠*AEF*=∠*CPM*=90°，
∴△*AEF*∽△*CPM*，
∴，即，解得：*x*=20，
即*BH=CH*=20，
∴．
∴米，米．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
**三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）**
17.（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）原式分别根据算术平方根性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；
（2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）
=2-2+1+1
=2；
（2）
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键．
18.如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）13
【解析】
【分析】
根据题意可知，本题考察平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵
∴
△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点睛】本题考察平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
19.A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．
（1）要评价这两家酒店7\~12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量；
（2）已知A，B两家酒店7\~12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．
【答案】（1）平均数，；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平均数可以判断营业水平，根据数据求平均数即可
（2）根据平均数和方差综合分析即可
【详解】（1）选择两家酒店月营业额的平均数：
，
，
（2）A酒店营业额的平均数比B酒店的营业额的平均数大，且B酒店的营业额的方差小于A酒店，说明B酒店的营业额比较稳定，而从图像上看A酒店的营业额持续稳定增长，潜力大，说明A酒店经营状况好．
【点睛】此题考查平均数的求法和方差在数据统计中的应用．
20.如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.
（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点.
【详解】（1）由EF=GH=,可得图形如下图:
（2）如图所示,,.
所以,
得到: PQ＝MN.
【点睛】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.
21.已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求*a*，*b*的值；
（2）若(5，)，(*m*，)是抛物线上不同的两点，且，求*m*的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；
（2）将(5，)，(*m*，)代入解析式，联立即可求得m的值.
【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(*m*，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.
22.如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据∠*ADC*＝∠*G*得，进而可得，由此可得∠1＝∠2；
（2）连接*OD*、*FD*，先证*FC*＝*FD*，*FD*＝*CD*，进而可得*FC*＝*FD*＝*CD*＝10，*DE*＝*CD*＝5，再根据tan∠1＝可得*BE*＝2，设*OB*＝*OD*＝*x*，则*OE*＝5－*x*，根据勾股定理即可求得⊙*O*的半径．
【详解】（1）证明：∵∠*ADC*＝∠*G*，
∴，
∵*AB*为⊙*O*的直径，
∴
∴，
∴，
∴∠1＝∠2；
（2）解：连接*OD*、*FD*，
∵，，
∴点*C*、*D*关于直径*AB*对称，
∴*AB*垂直平分*CD*，
∴*FC*＝*FD*，*CE*＝*DE*＝*CD*，∠*DEB*＝90°，
∵点*C*关于*DG*的对称点为*F*，
∴*DG*垂直平分*FC*，
∴*FD*＝*CD*，
又∵*CF*＝10，
∴*FC*＝*FD*＝*CD*＝10，
∴*DE*＝*CD*＝5，
∵在Rt△*DEB*中，tan∠1＝
∴，
∴，
∴*BE*＝2，
设*OB*＝*OD*＝*x*，则*OE*＝5－*x*，
∵在Rt△*DOE*中，，
∴，
解得：
∴⊙*O*的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直径的性质、解直角三角形以及勾股定理，作出正确的辅助线以及根据轴对称性证得*FC*＝*FD*＝*CD*＝10是解决本题的关键．
23.某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出*a*件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出*a*件，然后将*b*件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含*a*的代数式表示*b*；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【答案】（1）300件；（2）①；②3900元；
【解析】
【分析】
（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；
（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.
【详解】（1）设3月份购进T恤x件，
由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，
∴4月份购进T恤300件；
（2）①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，
∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，
∴用含*a*的代数式表示b为：；
②乙店利润函数式为，
结合①可得，
因为，，
∴，∴=3900，
即最大利润为3900元.
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解．
24.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝*x*，PD＝*y*，已知，当Q为BF中点时，．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由；
（2）求DE，BF的长；
（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的*x*的值．
【答案】（1），理由见解析；（2） ；（3）①；②
【解析】
【分析】
（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）求出DE=12，MN=10，把代入，解得：x=6，得到NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=2，BM=4，即可得出结果；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得 ，,当DP=DF时 ，求出 ，得到BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则，即可求得 ；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则 ，根据勾股定理得 ,则 ， ；由图可知，PQ不可能过点B．
【详解】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：\
如图1所示：
\
∵∠A=∠C=90°，\
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，\
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∵∠ADE+∠AED=90°，\
∴∠AED=∠ABF，\
∴DE∥BF；
（2）令x=0，得y=12，\
∴DE=12，\
令y=0，得x=10，\
∴MN=10，
把代入，
解得：x=6，即NQ=6，\
∴QM=10-6=4，\
∵Q是BF中点，\
∴FQ=QB，\
∵BM=2FN，\
∴FN+6=4+2FN，\
解得：FN=2，\
∴BM=4，\
∴BF=FN+MN+MB=16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
\
∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，\
∴四边形DFME是平行四边形，\
∴DF=EM，\
∵AD=6，DE=12，∠A=90°，\
∴∠DEA=30°，\
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，\
∴∠ADE=60°，\
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，\
∴∠DFM=∠DEM=120°，\
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，\
∴∠MEB=∠FBE=30°，\
∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4，
，
∴EH=4+2=6，\
由勾股定理得： ，
∴ ，
当DP=DF时， ，
解得： ，
，
，
BQ＞BE；\
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
\
y=0，则x=10；\
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
\
∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，
，
CD=8+4=12，\
∵FQ∥DP，\
∴△CFQ∽△CDP，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
\
∵PE∥BQ，\
∴△APE∽△AQB，
∴ ，
根据勾股定理得： ,
∴ ，
，
解得： ；
由图可知，PQ不可能过点B；\
综上所述，当x=10或或时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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**2020-2021学年山东省济南市六年级（上）期末数学试卷（一）**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．（2分）今年的产量比去年多，今年的产量就相当于去年的（ ）
A． B． C． D．无法计算
2．（2分）小林在小强的\_\_\_，小强在小林的\_\_\_。（ ）
A．北偏东50°，南偏西50° B．南偏西50°，北偏东50°
C．西偏南50°，南偏西50°
3．（2分）*a*、*b*都大于0，如果*ab*，那么（ ）
A．*a*＜*b* B．*a*＞*b*
C．*a*＝*b* D．无法比较*a*与*b*的大小
4．（2分）五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个大长方形（如图），那么小长方形的长与宽的比是（ ）
A．6：5 B．2：3 C．3：2
5．（2分）把一个圆形纸片剪拼成一个近似的长方形（圆形纸片的半径用*r*表示），下列说法错误的是（ ）
A．长方形的面积是π*r*^2^ B．长方形的长是π*r*
C．长方形的宽是*r* D．长方形的周长是2π*r*
6．（2分）3千克鸡蛋卖出40%后，又卖出0.2千克，还剩（ ）千克。
A．2.4 B．1.4 C．1.6 D．1.2
7．（2分）在一个有48名学生的班级里选举班长，选举投票结果如表．下面图（ ）表示了这一结果．
张明 12
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小豆 24
杨杨 6
丽丽 6
A． B． C． D．
8．（2分）如图，用火柴棒搭房子，搭三间用了13根．照这样计算，搭504间用（ ）根火柴棒．
A．2013 B．2015 C．2017
**二、填空题（每空1分，共13分）**
9．（1分）一桶油有升，用去．用去了[ ]{.underline}升．
10．（2分）丽丽面向北站立，向右转40°，面对的方向是[ ]{.underline}；丁丁面向西站立，向左转60°，面对的方向是[ ]{.underline}。
11．（2分）的倒数是[ ]{.underline}，6与[ ]{.underline}互为倒数。
12．（2分）动物园里老虎数量是狮子数量的。狮子与老虎数量的比是[ ]{.underline}，老虎数量与老虎狮子总数的比是[ ]{.underline}。
13．（1分）一个长方形纸板的长是6*dm*，宽是4*dm*，在这个长方形纸板中剪下一个最大的圆，剩余部分的面积是[ ]{.underline}*dm*^2^。
14．（1分）一种电风扇原价300元，先后两次降价，第一次按原价的80%出售，第二次降价10%，这种电风扇现在的售价是[ ]{.underline}元。
15．（2分）如图，从统计图中可以看出，六年级（1）班最喜欢[ ]{.underline}的人最多。如果六年级（1）班最喜欢足球的有12人，那么最喜欢乒乓球的有[ ]{.underline}人。
16．（2分）找规律。
> ，△，，△△，，△△△，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}。
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．（2分）体育馆在公园东偏北70°方向，那么公园在体育馆的南偏西20°。[ ]{.underline}（判断对错）
18．（2分）一个三角形的三个内角的度数比是1：1：3，这是一个钝角三角形．[ ]{.underline}（判断对错）
19．（2分）某厂生产120个零件，全部合格，这批零件的合格率是120%．[ ]{.underline}（判断对错）
20．（2分）如图，第五个点阵中点的个数是17个．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、连线题（每小题6分，共30分）**
21．（6分）水果店有苹果200千克，梨比苹果少，香蕉比苹果多．
22．（6分）连一连。（以学校为观测点）
23．（6分）把互为倒数的两个数用线连一连．
24．（6分）连一连．
> 小军5分钟打字360个．小刚3分钟打字330个．
25．（6分）连一连。
**五、口算（共6分）**
26．（6分）直接写出得数。
----- -- ------- ----------
2.2 0.7＝ （）×6＝
----- -- ------- ----------
**六、解方程（共6分）**
27．（6分）解方程。
-- -- --
-- -- --
**七、求比值（共6分）**
28．（6分）求下列各比的比值。
-------- ---- --------- ----------
3.2：8 ： 0.125： 时：10分
-------- ---- --------- ----------
**八、图形计算（共6分）**
29．（6分）求阴影部分面积。（单位：*cm*）
**九、看图列式（共6分）**
30．（6分）看图列式计算。
**2020-2021学年山东省济南市六年级（上）期末数学试卷（一）**
**参考答案**
**一、选择题（每小题2分，共16分）**
1．C； 2．A； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．C；
**二、填空题（每空1分，共13分）**
9．[]{.underline}； 10．[北偏东40°]{.underline}； [西偏南60°]{.underline}； 11．[]{.underline}； []{.underline}； 12．[5：4]{.underline}； [4：9]{.underline}； 13．[11.44]{.underline}； 14．[216]{.underline}； 15．[羽毛球]{.underline}； [15]{.underline}； 16．； [△△△△]{.underline}；
**三、判断题（每小题2分，共8分）**
17．[√]{.underline}； 18．[√]{.underline}； 19．[×]{.underline}； 20．[√]{.underline}；
**四、连线题（每小题6分，共30分）**
21．[ ]{.underline}； 22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}；
**五、口算（共6分）**
26．[ ]{.underline}；
**六、解方程（共6分）**
27．[ ]{.underline}；
**七、求比值（共6分）**
28．[ ]{.underline}；
**八、图形计算（共6分）**
29．[ ]{.underline}；
**九、看图列式（共6分）**
30．[ ]{.underline}；
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日期：2021/4/27 11:13:37；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**南京市2020年初中学业水平考试数学**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1.计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2.3的平方根是（ ）
A. 9 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据平方根的概念即可求解．
【详解】∵\
∴3的平方根是．\
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
【答案】A
【解析】
【分析】
用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；\
用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B；\
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C；\
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D．
【详解】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，符合题意；
B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意；
C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意；
D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
5.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*=0（*a*≠0）的根的判别式△=*b*^2^-4*ac*：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
6.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
**第Ⅱ卷**
**二、填空题（将答案填在答题纸上）**
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可．
【详解】解：∵\|-1\|=1，1\<3，
∴这个负数可以是-1．
故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
8.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
9.纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学计数法表示是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】s．
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示形式进行表示即可．
【详解】∵，
∴=20×10^-9^s，
用科学记数法表示得s，
故答案为：s．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
10.计算的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
11.已知x、y满足方程组，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
先解方程组求解，从而可得答案．
【详解】解：
①得： ③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
12.方程的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：
经检验：是原方程的根．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.
13.将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；
【详解】∵一次函数的解析式为，
∴设与x轴、y轴交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，
∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
14.如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 过作于，
正六边形,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
15.如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】78
【解析】
【分析】
如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
详解】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，
∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，
故答案为：78．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
16.下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答**
17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18.解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x~1~=-1，x~2~=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
19.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由"全等三角形的对应边相等"可得AD =AE ，继而可得结论．
试题解析：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）,
∴AB-AD=AC-AE，
即：BD=CE.
20.已知反比例函数的图象经过点
（1）求的值
（2）完成下面的解答
解不等式组
解：解不等式①，得 [ ]{.underline} ．
根据函数的图象，得不等式②得解集 [ ]{.underline} ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 [ ]{.underline} ．
【答案】（1）2；（2），，见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可．
【详解】解：（1）因为点在反比例函数的图像上，
所以点的坐标满足，
即，解得；
（2），
解不等式①，得；
∵y=1时，x=2，
∴根据函数的图象，得不等式②得解集．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，以及不等式组的解法，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．
21.为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：
------ ------------ ------
组别 用电量分组 频数
1 50
2 100
3 34
4 11
5 1
6 1
7 2
8 1
------ ------------ ------
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 [ ]{.underline} 组内．
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．
【答案】（1）2；（2）7500
【解析】
【分析】
（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可解决问题；
（2）求出用电量低于的户数的百分比，根据总户数求出答案．.
【详解】解：（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数即第100和101个数，它们的平均数即为中位数，这两个数都落在第2组，
故答案为：2；
（2）（户）
因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于的大约有户.
【点睛】本题考查频数分布表，利用统计表获取信息的能力，以及利用样本估计总体，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．
22.甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率．
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 [ ．]{.underline}
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；
（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现结果如下：\
\
（1）共有9种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，
∴P~（A、B）~=；
（2）共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，\
∴P~（景点相同）~=．\
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，）
【答案】20km
【解析】
【分析】
过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足
在中，
在中，
在中，
（km）
因此，轮船航行的距离约为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第时， 小丽、小明离地的距离分别为、，与x之间的数表达式，与x之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 [ ]{.underline} ．
（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】（1）250；（2）当小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是
【解析】
【分析】
（1）由x=0时，根据-求得结果即可；
（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可．
【详解】解（1）当x=0时，=2250，=2000
∴-=2250-2000=250（m）
故答案为：250
（2）设小丽出发第时，两人相距，
则
即
其中
因此，当时
S有最小值，
也就是说，当小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
26.如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作*DE*∥*BC*，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
（2）如图，过点*D*、分别作*DE*∥*BC*，∥，
*DE*交*AC*于点E，交于点，
∵*DE*∥*BC*，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵*DE*∥*BC*，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
27.如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区圆形区域，位置如图④所示．
【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析
【解析】
【分析】
（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵点A、关于l对称，点C在l上
∴，
∴，
同理，
在中，有
∴；
（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）．
②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）．
【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线．
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> **河北省衡水中学2017届高三上学期第六次调研考试**
>
> **理数试题**
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> **第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小**{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}**题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知{width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"},则复数{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}（ ）
A. {width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"} B. {width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"} C. {width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"} D. {width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"}
【答案】A
【解析】{width="3.1979166666666665in" height="0.4375in"}{width="3.1979166666666665in" height="0.4375in"}，故选A.
2\. 已知命题{width="3.1145833333333335in" height="0.21875in"}{width="3.1145833333333335in" height="0.21875in"}，则{width="0.21875in" height="0.21875in"}{width="0.21875in" height="0.21875in"}是（ ）
A. {width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}{width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}
B. {width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}{width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}
C. {width="2.9583333333333335in" height="0.21875in"}{width="2.9583333333333335in" height="0.21875in"}
D. {width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}{width="2.9479166666666665in" height="0.21875in"}
【答案】B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定的关系可知，{width="0.1875in" height="0.21875in"}{width="0.1875in" height="0.21875in"}是{width="2.5833333333333335in" height="0.21875in"}{width="2.5833333333333335in" height="0.21875in"}，故选B.
3\. 已知{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}是奇函数，且{width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}，当{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.625in" height="0.21875in"}时，{width="1.3645833333333333in" height="0.21875in"}{width="1.3645833333333333in" height="0.21875in"}，则{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"} （ ）
A. {width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"} B. {width="0.9791666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.9791666666666666in" height="0.21875in"} C. {width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}{width="0.9791666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.9791666666666666in" height="0.21875in"} D. {width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}
【答案】D
【解析】因为{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}是奇函数，且{width="1.0208333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.0208333333333333in" height="0.21875in"}，所以{width="2.3125in" height="0.21875in"}{width="2.3125in" height="0.21875in"}，所以{width="2.8125in" height="0.4375in"}{width="2.8125in" height="0.4375in"} ，又当{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}时，{width="1.1979166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.1979166666666667in" height="0.21875in"}，所以{width="2.4479166666666665in" height="0.4375in"}{width="2.4479166666666665in" height="0.4375in"}，所以{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}，故选D.
4\. 直线{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}与圆{width="1.7083333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.7083333333333333in" height="0.21875in"}相交于{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}两点，若{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的取值范围是 （ ）
A. {width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"} B. {width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"} C. {width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"} D. {width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}
【答案】D
【解析】当{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}时，圆心{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"} 到直线{width="0.6875in" height="0.21875in"}{width="0.6875in" height="0.21875in"} 的距离为{width="2.6770833333333335in" height="0.4375in"}{width="2.6770833333333335in" height="0.4375in"}，故当{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}时，{width="1.0104166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.0104166666666667in" height="0.4375in"}，求得{width="0.5729166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.4375in"} ，故选：D．
5\. 如图，若{width="0.40625in" height="0.21875in"}{width="0.40625in" height="0.21875in"}时，则输出的结果为（ ）
{width="1.2604166666666667in" height="1.90625in"}
A. {width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"} B. {width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"} C. {width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"} D. {width="0.13541666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.4375in"}
【答案】C
【解析】模拟执行程序，可得{width="1.875in" height="0.4375in"}{width="1.875in" height="0.4375in"} ，满足条件{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"};{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"} ，满足条件{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"};{width="1.1979166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.1979166666666667in" height="0.4375in"} ，满足条件{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"} ;{width="1.5729166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.5729166666666667in" height="0.4375in"} ，不满足条件{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"} ，退出循环，输出{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的值．由于{width="4.395833333333333in" height="0.4375in"}{width="4.395833333333333in" height="0.4375in"} ．故选C.
6\. 已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}，则该几何体的侧视图可能是 （ ）
{width="0.6666666666666666in" height="0.8958333333333334in"}
A. {width="0.9270833333333334in" height="0.4895833333333333in"} B. {width="0.875in" height="0.46875in"} C. {width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"} D. {width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}
【答案】C
【解析】∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"} ， ∴该几何体的高为{width="0.8020833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.8020833333333334in" height="0.21875in"} ，底面正六边形平行两边之间的距离为{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"} ， ∴该几何体的侧视图可能是C， 故选C．
7\. 已知{width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.28125in" height="0.21875in"}为双曲线{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}的左，右顶点，点{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}在{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}上，{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}为等腰三角形，且顶角为120°，则{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}的离心率为 （ ）
A. {width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"} B. 2 C. {width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"} D. {width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}
【答案】A
【解析】设双曲线方程为
{width="1.8333333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.8333333333333333in" height="0.4375in"} ，
{width="2.03125in" height="1.9791666666666667in"}
如图所示，{width="1.8333333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.8333333333333333in" height="0.21875in"} ，过点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"} 作{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"} 轴，垂足为{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"} ，则{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"} ，在{width="0.65625in" height="0.21875in"}{width="0.65625in" height="0.21875in"} 中，{width="2.125in" height="0.21875in"}{width="2.125in" height="0.21875in"} ，即有{width="3.0208333333333335in" height="0.21875in"}{width="3.0208333333333335in" height="0.21875in"}，故点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"} 的坐标为{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}，代入双曲线方程得{width="0.8125in" height="0.4375in"}{width="0.8125in" height="0.4375in"}，即{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}为{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"} ，即{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"} ，则{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6979166666666666in" height="0.4375in"}，故选A．
点睛：本题主要考查双曲线的性质------离心率；首先根据题意画出图形，过点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"} 作{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"} 轴，得到{width="0.65625in" height="0.21875in"}{width="0.65625in" height="0.21875in"}，通过求解直角三角形得到{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}坐标，代入双曲线方程可得{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 与{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的关系，结合{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．
8\. 已知{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}满足约束条件{width="1.1458333333333333in" height="0.6458333333333334in"}{width="1.1458333333333333in" height="0.6458333333333334in"}，则{width="0.875in" height="0.21875in"}{width="0.875in" height="0.21875in"}的最小值为（ ）
A. -6 B. -3 C. -4 D. -2
【答案】C
【解析】由约束条件得到可行域如图：{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}变形为{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}，当此直线经过图中{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"} 时，在{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 轴的截距最大，{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}最小，所以{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"} 的最小值为{width="1.21875in" height="0.21875in"}{width="1.21875in" height="0.21875in"}；故选C.
{width="2.6458333333333335in" height="2.7083333333333335in"}
点睛：一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，首先，作直线{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}，并将其在可行区域内进行平移；当{width="0.375in" height="0.21875in"}{width="0.375in" height="0.21875in"}时，直线{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当{width="0.375in" height="0.21875in"}{width="0.375in" height="0.21875in"}时，直线{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.
9\. 已知向量{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}满足{width="2.3541666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.3541666666666665in" height="0.4375in"}，则{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}（ ）
A. {width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"} B. {width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"} C. {width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"} D. {width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.4375in"}
【答案】{width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}B
【解析】向量{width="0.21875in" height="0.21875in"}{width="0.21875in" height="0.21875in"}满足{width="2.0625in" height="0.21875in"}{width="2.0625in" height="0.21875in"}，可得{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}，即{width="1.4583333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.4583333333333333in" height="0.21875in"}，解得{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"} ．{width="2.9895833333333335in" height="0.21875in"}{width="2.9895833333333335in" height="0.21875in"}，所以{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}．故选：B．
10\. 若数列{width="0.3125in" height="0.21875in"}{width="0.3125in" height="0.21875in"}满足{width="0.46875in" height="0.21875in"}{width="0.46875in" height="0.21875in"}，且对于任意的{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}都有{width="1.3125in" height="0.21875in"}{width="1.3125in" height="0.21875in"}，则{width="1.3125in" height="0.4375in"}{width="1.3125in" height="0.4375in"}等于（ ）
A. {width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"} B. {width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"} C. {width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"} D. {width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.4375in"}
【答案】D
{width="6.8125in" height="1.6875in"}点睛：裂项相消在使用过程中{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.4375in"}型，通过拼凑法裂解成{width="1.7083333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.7083333333333333in" height="0.4375in"}；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如{width="1.0in" height="0.4375in"}{width="1.0in" height="0.4375in"}型，常见的有①{width="1.46875in" height="0.4375in"}{width="1.46875in" height="0.4375in"}；②对数运算{width="1.8854166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.8854166666666667in" height="0.4375in"}本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}和{width="1.1875in" height="0.21875in"}{width="1.1875in" height="0.21875in"}.
11\. 如图是函数{width="1.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.3958333333333333in" height="0.21875in"}的部分图象，则函数{width="1.3645833333333333in" height="0.21875in"}{width="1.3645833333333333in" height="0.21875in"}的零点所在的区间是（ ）
{width="1.3958333333333333in" height="1.0625in"}
A. {width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"} B. {width="0.3854166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.4375in"} C. {width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"} D. {width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}
【答案】B
【解析】由函数{width="1.21875in" height="0.21875in"}{width="1.21875in" height="0.21875in"} 的部分图象得{width="1.3229166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.3229166666666667in" height="0.21875in"}，即有{width="0.71875in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}，从而{width="0.84375in" height="0.21875in"}{width="0.84375in" height="0.21875in"}，而{width="1.28125in" height="0.21875in"}{width="1.28125in" height="0.21875in"}在定义域内单调递增，{width="1.4479166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.4479166666666667in" height="0.4375in"}，由函数{width="1.21875in" height="0.21875in"}{width="1.21875in" height="0.21875in"} 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，解得{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}，∴{width="2.0in" height="0.21875in"}{width="2.0in" height="0.21875in"}，∴函数{width="1.1875in" height="0.21875in"}{width="1.1875in" height="0.21875in"} 的零点所在{width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的区间是{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}；故选B．
12\. 已知函数{width="1.34375in" height="0.4375in"}{width="1.34375in" height="0.4375in"}，若关于{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的方程{width="2.0208333333333335in" height="0.21875in"}{width="2.0208333333333335in" height="0.21875in"}恰好有4个不相等的实数根，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}的取值范围为 （ ）
A. {width="0.65625in" height="0.4375in"}{width="0.65625in" height="0.4375in"} B. {width="0.5104166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.5104166666666666in" height="0.4375in"} C. {width="0.8020833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8020833333333334in" height="0.4375in"} D. {width="0.53125in" height="0.4375in"}{width="0.53125in" height="0.4375in"}
【答案】C
【解析】化简可得{width="1.28125in" height="0.4375in"}{width="1.28125in" height="0.4375in"} ，当{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"} 时，{width="3.71875in" height="0.4375in"}{width="3.71875in" height="0.4375in"} ，当{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"} 时，{width="0.59375in" height="0.21875in"}{width="0.59375in" height="0.21875in"} ，当{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"} 时，{width="0.59375in" height="0.21875in"}{width="0.59375in" height="0.21875in"} ，故当{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"} 时，函数{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} 有极大值{width="1.6875in" height="0.6458333333333334in"}{width="1.6875in" height="0.6458333333333334in"} ；当{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"} 时，{width="2.625in" height="0.4375in"}{width="2.625in" height="0.4375in"}为减函数，作出函数{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} 对应的图象如图：∴函数{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"} 上有一个最大值为{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"} ；{width="2.3229166666666665in" height="2.1875in"}
设{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"} ，当{width="0.4375in" height="0.4375in"}{width="0.4375in" height="0.4375in"}时，方程{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"} 有{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 个解，当{width="0.4375in" height="0.4375in"}{width="0.4375in" height="0.4375in"} 时，方程{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"} 有{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 个解，当{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"} 时，方程{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}有3个解，当{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} 时，方程{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}有1个解，当{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} 时，方程{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"} 有0个解，则方程{width="1.7708333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.7708333333333333in" height="0.21875in"} 等价为{width="1.3125in" height="0.21875in"}{width="1.3125in" height="0.21875in"} ，等价为方程{width="2.78125in" height="0.21875in"}{width="2.78125in" height="0.21875in"} 有两个不同的根{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} ，或{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"} ，当{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} 时，方程{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}有1个解，{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}要使关于{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的方程{width="1.7708333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.7708333333333333in" height="0.21875in"} 恰好有4个不相等的实数根，则{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.3645833333333333in" height="0.4375in"}，即{width="1.03125in" height="0.4375in"}{width="1.03125in" height="0.4375in"}，解得{width="1.03125in" height="0.4375in"}{width="1.03125in" height="0.4375in"}，则{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"} 的取值范围是{width="0.8125in" height="0.4375in"}{width="0.8125in" height="0.4375in"} ，故选C.\[来源:Zxxk.Com\]
点睛：确定函数的零点如果通过解方程{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}较困难得到零点时，通常将{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的零点转化为求方程{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}的根，再转化为两个新函数的交点问题，此时只要作出它们的图象，借助相关的知识建立与参数相关的不等式或等式即可使问题得到解决．
**第Ⅱ卷**
**二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上**
13\. 如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}与两直线{width="0.40625in" height="0.21875in"}{width="0.40625in" height="0.21875in"}及{width="0.40625in" height="0.21875in"}{width="0.40625in" height="0.21875in"}所围成的阴影部分的面积{width="0.13541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.21875in"}
①先产生两组{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}的增均匀随机数，{width="1.6979166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.6979166666666667in" height="0.21875in"}；
②产生{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}个点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，并统计满足条件{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}的点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}的个数{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}时，{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，则据此可估计{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（保留小数点后三位）
{width="1.0520833333333333in" height="1.2916666666666667in"}
【答案】1.328
【解析】根据题意：满足条件{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"} 的点{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"} 的概率是{width="0.23958333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.4375in"}矩形的面积为{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"} ，设阴影部分的面积为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，则有 {width="0.4895833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.4375in"}，∴{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.625in" height="0.21875in"} 故答案为：1.328
14\. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}积{width="1.375in" height="0.4375in"}{width="1.375in" height="0.4375in"}.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中"弦"指圆弧对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.4375in"}，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（实际面积-弧田面积）
【答案】{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}
{width="6.885416666666667in" height="1.9479166666666667in"}15. 已知{width="0.3125in" height="0.21875in"}{width="0.3125in" height="0.21875in"}满足{width="5.270833333333333in" height="0.4375in"}{width="5.270833333333333in" height="0.4375in"}，类比课本中推导等比数列前{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}项和公式的方法，可求得{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}
【解析】由{width="2.5833333333333335in" height="0.21875in"}{width="2.5833333333333335in" height="0.21875in"} ①；得{width="3.75in" height="0.21875in"}{width="3.75in" height="0.21875in"} ②；①+②得：{width="6.770833333333333in" height="0.8645833333333334in"}{width="6.770833333333333in" height="0.8645833333333334in"}．所以{width="2.2291666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.2291666666666665in" height="0.4375in"}．
点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}（其中数列{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}分别是等差数列和等比数列（公比{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.{width="2.2291666666666665in" height="0.21875in"}{width="2.2291666666666665in" height="0.21875in"}...①；2.等式{width="2.2291666666666665in" height="0.21875in"}{width="2.2291666666666665in" height="0.21875in"}两边同时乘以等比数列{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}的公比，得到{width="2.6458333333333335in" height="0.21875in"}{width="2.6458333333333335in" height="0.21875in"}...②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）
16\. 已知三棱锥{width="2.0520833333333335in" height="0.21875in"}{width="2.0520833333333335in" height="0.21875in"}平面{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}，其中{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}，{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.7291666666666666in" height="0.4375in"}，{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}四点均在球{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的表面上，则球{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}
【解析】∵{width="1.2604166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.2604166666666667in" height="0.21875in"} 平面{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} ，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.4895833333333333in" height="0.4375in"}，∴球的半径{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}；∴球的表面积是{width="1.15625in" height="0.4375in"}{width="1.15625in" height="0.4375in"}，故答案为：{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}.
点睛：本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成；本题在解答时，首先根据{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}且{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．
**三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 如图，在{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}中，{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}是边{width="0.21875in" height="0.21875in"}{width="0.21875in" height="0.21875in"}上一点．
{width="1.5833333333333333in" height="0.9791666666666666in"}
（1）求{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}中，{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}是边{width="0.21875in" height="0.21875in"}{width="0.21875in" height="0.21875in"}上一点；
（2）若{width="1.0208333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.0208333333333333in" height="0.21875in"}的面积为4，{width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"}为锐角，求{width="0.21875in" height="0.21875in"}{width="0.21875in" height="0.21875in"}的长．
【答案】（1）{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}；（2）4．
【解析】试题分析：
（1）由余弦定理得{width="1.84375in" height="0.4375in"}{width="1.84375in" height="0.4375in"}，由此能求出{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"} 的面积的最大值．（2）设{width="0.65625in" height="0.21875in"}{width="0.65625in" height="0.21875in"} ，由三角形面积得到{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.4375in"}，{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}，由余弦定理，得{width="0.46875in" height="0.21875in"}{width="0.46875in" height="0.21875in"} ，由正弦定理，得{width="0.59375in" height="0.4375in"}{width="0.59375in" height="0.4375in"} ，由此能求出{width="0.1875in" height="0.21875in"}{width="0.1875in" height="0.21875in"} 的长．
试题解析：
(1)∵在{width="0.375in" height="0.21875in"}{width="0.375in" height="0.21875in"}中，{width="1.3020833333333333in" height="0.21875in"}{width="1.3020833333333333in" height="0.21875in"}，
∴由余弦定理，得{width="2.9166666666666665in" height="0.21875in"}{width="2.9166666666666665in" height="0.21875in"}
{width="2.90625in" height="0.21875in"}{width="2.90625in" height="0.21875in"}，
∴{width="1.84375in" height="0.4375in"}{width="1.84375in" height="0.4375in"}，
当且仅当{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}时，取等号，
∴{width="2.2083333333333335in" height="0.4375in"}{width="2.2083333333333335in" height="0.4375in"},
∴{width="0.375in" height="0.21875in"}{width="0.375in" height="0.21875in"}的面积的最大值为{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}；
{width="5.197916666666667in" height="3.6458333333333335in"}
18\. 四棱锥{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}中，底面{width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"}为直角梯形，{width="1.5729166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.5729166666666667in" height="0.21875in"}，{width="1.2291666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.2291666666666667in" height="0.4375in"}，
{width="1.5104166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.5104166666666667in" height="0.21875in"}，且平面{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"}．
{width="1.1041666666666667in" height="1.1041666666666667in"}
（1）求证：{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}；
（2）在线段{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}上是否存在一点{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}，使二面角{width="0.875in" height="0.21875in"}{width="0.875in" height="0.21875in"}的大小为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"}，若存在，求出{width="0.1875in" height="0.4375in"}{width="0.1875in" height="0.4375in"}的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）{width="0.2604166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.2604166666666667in" height="0.4375in"}．
【解析】试题分析：（1）过{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}作{width="0.53125in" height="0.21875in"}{width="0.53125in" height="0.21875in"}，交{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}于{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}，连接{width="0.1875in" height="0.21875in"}{width="0.1875in" height="0.21875in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"} ，由勾股定理得出{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"} ，故而{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} 平面{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} ，于是{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"} ；（2）由于平面{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，平面{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}平面{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}， ∴{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}．因此以{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"} 为原点建立坐标系，设{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}，求出平面{width="0.3125in" height="0.21875in"}{width="0.3125in" height="0.21875in"} 的平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"} 的法向量{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"} ，令{width="1.4270833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.4270833333333333in" height="0.4375in"} 解出{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} ，从而得出的{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}值．
{width="4.09375in" height="3.6666666666666665in"}
(2)∵平面{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，平面{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}平面{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}， ∴{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}平{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}．
以{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}为原点，以{width="0.6875in" height="0.21875in"}{width="0.6875in" height="0.21875in"}所在直线分别为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}轴，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}轴，{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}轴，建立空间直角坐标系，如图所示，{width="1.2291666666666667in" height="1.3854166666666667in"}
则{width="1.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="1.4895833333333333in" height="0.21875in"}，假设存在点{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}，使得二面角{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7708333333333334in" height="0.21875in"}的大小为{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.4375in"}，
则{width="2.21875in" height="0.21875in"}{width="2.21875in" height="0.21875in"}．
设平面{width="0.3125in" height="0.21875in"}{width="0.3125in" height="0.21875in"}的一个法向量为{width="0.78125in" height="0.21875in"}{width="0.78125in" height="0.21875in"}，则{width="0.78125in" height="0.4375in"}{width="0.78125in" height="0.4375in"}，
∴{width="1.40625in" height="0.4375in"}{width="1.40625in" height="0.4375in"}，令{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}，得{width="0.8125in" height="0.4375in"}{width="0.8125in" height="0.4375in"}，
∵{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，
∴{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}为平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}的一个法向量．
∴{width="1.9270833333333333in" height="0.6458333333333334in"}{width="1.9270833333333333in" height="0.6458333333333334in"}，
解得{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}，∴{width="1.6041666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6041666666666667in" height="0.4375in"}．
点睛：利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为{width="0.84375in" height="0.21875in"}{width="0.84375in" height="0.21875in"}，设{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}分别为平面{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}的法向量，二面角{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}的大小为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，向量{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}的夹角为{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}，则有{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}（图1）或 {width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}（图2）其中{width="0.90625in" height="0.4375in"}{width="0.90625in" height="0.4375in"}.
{width="1.75in" height="1.4791666666666667in"} {width="1.875in" height="1.7708333333333333in"}
图1 图2
19\. 某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
组号 分组 频数 频率
-------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------ ------
第一组 {width="0.625in" height="0.21875in"} 5 0.05
第二组 {width="0.71875in" height="0.21875in"} 35 0.35
第三组 {width="0.71875in" height="0.21875in"} 30 0.30
第四组 {width="0.71875in" height="0.21875in"} 20 0.20
第五组 {width="0.71875in" height="0.21875in"}\[来源:\] 10 0.10
合计 100 1.00
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在{width="0.71875in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}中的学生数为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在{width="0.71875in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}中的概率；
②{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
【答案】（1）{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}；（2）{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}．
{width="6.875in" height="1.3958333333333333in"}试题解析：
(1)本次月考数学学科的平均分为
{width="2.6041666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.6041666666666665in" height="0.4375in"}；
(2)由表，知成绩落在{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.625in" height="0.21875in"}中的概率为{width="6.25e-2in" height="0.4375in"}{width="6.25e-2in" height="0.4375in"}，
①设{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}表示事件"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.625in" height="0.21875in"}中"．
则{width="2.1041666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.1041666666666665in" height="0.4375in"}，
所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.625in" height="0.21875in"}中的概率为{width="6.25e-2in" height="0.4375in"}{width="6.25e-2in" height="0.4375in"}；{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}
②{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}的可能取值为0，1，2，3
{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6666666666666667in" height="0.4375in"}，{width="2.0625in" height="0.4375in"}{width="2.0625in" height="0.4375in"}，{width="2.25in" height="0.4375in"}{width="2.25in" height="0.4375in"}
{width="1.4479166666666667in" height="0.4375in"}
{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}的分布列为
{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"} 0 1 2 3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="9.375e-2in" height="0.21875in"} {width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"} {width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"} {width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"} {width="8.333333333333333e-2in" height="0.4375in"}
{width="2.5in" height="0.4375in"}{width="2.5in" height="0.4375in"}，或{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}，则{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}．
20\. 已知抛物线{width="1.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="1.3958333333333333in" height="0.21875in"}的焦点为{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}，过抛物线上一点{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}作抛物线{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}的切线{width="6.25e-2in" height="0.21875in"}{width="6.25e-2in" height="0.21875in"}交{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}轴于点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}，交{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}轴于点{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}，当{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}时，{width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}．
（1）判断{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}的形状，并求抛物线{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}的方程；
（2）若{width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.28125in" height="0.21875in"}两点在抛物线{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}上，且满足{width="1.0104166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.0104166666666667in" height="0.4375in"}，其中点{width="0.5in" height="0.21875in"}{width="0.5in" height="0.21875in"}，若抛物线{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}上存在异于{width="0.3854166666666667in" height="0.4375in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.4375in"}的点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}，使得经过{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.4375in"}三点的圆和抛物线在点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}处有相同的切线，求点{width="0.125in" height="0.21875in"}{width="0.125in" height="0.21875in"}的坐标．
【答案】（1）{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}；（2）{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}．
{width="6.885416666666667in" height="2.5729166666666665in"}试题解析：(1)设{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}，
则切线{width="5.2083333333333336e-2in" height="0.21875in"}{width="5.2083333333333336e-2in" height="0.21875in"}的方程为{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}，且{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}，
所以{width="2.0729166666666665in" height="0.4375in"}{width="2.0729166666666665in" height="0.4375in"}，
{width="0.84375in" height="0.4375in"}{width="0.84375in" height="0.4375in"}，所以{width="0.75in" height="0.21875in"}{width="0.75in" height="0.21875in"}，
所以{width="0.375in" height="0.21875in"}{width="0.375in" height="0.21875in"}为等腰三角形，且{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}为{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}的中点，
所以{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}，因为{width="1.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.4166666666666667in" height="0.21875in"}，
所以{width="0.8020833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.8020833333333334in" height="0.21875in"}，所以{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}，得{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}，
所以{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}抛物线方程{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}为{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}；
(2)由已知，得{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}的坐标分别为{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，设{width="1.5729166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.5729166666666667in" height="0.21875in"}，
{width="0.1875in" height="0.21875in"}{width="0.1875in" height="0.21875in"}的中垂线方程为{width="0.71875in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}，①\[来源:ZXXK\]
{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}的中垂线方程为{width="1.1770833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.1770833333333333in" height="0.4375in"}，②
联立①②，解得圆心坐标为 ：{width="1.3854166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.3854166666666667in" height="0.4375in"}，
由{width="0.84375in" height="0.4375in"}{width="0.84375in" height="0.4375in"}，得{width="1.2291666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.2291666666666667in" height="0.21875in"}，\[来源:\]
因为{width="0.8854166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8854166666666666in" height="0.21875in"}，所以{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.5208333333333334in" height="0.21875in"}，
所以{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}点坐标为{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}．
21\. 设函数{width="2.4583333333333335in" height="0.4375in"}{width="2.4583333333333335in" height="0.4375in"}．
（1）当{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}时，函数{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}与{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6458333333333334in" height="0.21875in"}在{width="0.40625in" height="0.21875in"}{width="0.40625in" height="0.21875in"}处的切线互相垂直，求{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的值；
（2）若函数{width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}{width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}在定义域内不单调，求{width="0.4375in" height="0.21875in"}{width="0.4375in" height="0.21875in"}的取值范围；
（3）是否存在正实数{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}，使得{width="1.8645833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.8645833333333333in" height="0.4375in"}对任意正实数{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}恒成立？若存在，求出满足条件的实数{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"};（2）{width="0.65625in" height="0.21875in"}{width="0.65625in" height="0.21875in"}；（3）{width="0.40625in" height="0.4375in"}{width="0.40625in" height="0.4375in"}．
【解析】试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}时，{width="0.8645833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8645833333333334in" height="0.4375in"}，可知{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}处的切线斜率{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}，同理可求得{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}，然后再根据函数{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}与{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}处的切线互相垂直，得{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}，即可求出结果．
(2)易知函数{width="1.03125in" height="0.21875in"}{width="1.03125in" height="0.21875in"}的定义域为{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，可得{width="2.15625in" height="0.4375in"}{width="2.15625in" height="0.4375in"}，由题意，{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}在{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内有至少一个实根且曲线与x不相切，即{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}的最小值为负，由此可得{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}，进而得到{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}，由此即可求出结果. (3)令{width="1.84375in" height="0.4375in"}{width="1.84375in" height="0.4375in"}，可得{width="1.84375in" height="0.4375in"}{width="1.84375in" height="0.4375in"}，令{width="1.8020833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.8020833333333333in" height="0.4375in"}，则{width="1.875in" height="0.4375in"}{width="1.875in" height="0.4375in"}，所以{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内单调递减，且{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内必存在实根，不妨设{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，可得{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}，(\*)，则{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}内单调递增，在区间{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}内单调递减，
∴{width="1.0416666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.0416666666666667in" height="0.21875in"}，{width="2.6770833333333335in" height="0.21875in"}{width="2.6770833333333335in" height="0.21875in"}，将(\*)式代入上式，得{width="1.375in" height="0.4375in"}{width="1.375in" height="0.4375in"}．使得{width="1.6354166666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6354166666666667in" height="0.4375in"}对任意正实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}恒成立，即要求{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．
试题解析：
(1)当{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}时，{width="0.8645833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8645833333333334in" height="0.4375in"}，
∴{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}处的切线斜率{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}，
由{width="0.59375in" height="0.4375in"}{width="0.59375in" height="0.4375in"}，得{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}，∴{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}，∴{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}．
(2)易知函数{width="1.03125in" height="0.21875in"}{width="1.03125in" height="0.21875in"}的定义域为{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，
又{width="4.15625in" height="0.4375in"}{width="4.15625in" height="0.4375in"}，
由题意，得{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.3333333333333333in" height="0.4375in"}的最小值为负，
∴{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.21875in"}．(注：结合函数{width="1.875in" height="0.21875in"}{width="1.875in" height="0.21875in"}图象同样可以得到)，
∴{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}
∴{width="1.03125in" height="0.21875in"}{width="1.03125in" height="0.21875in"}，∴{width="0.65625in" height="0.21875in"}{width="0.65625in" height="0.21875in"}；
(3)令{width="4.072916666666667in" height="0.4375in"}{width="4.072916666666667in" height="0.4375in"}，其中{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}，
则{width="1.84375in" height="0.4375in"}{width="1.84375in" height="0.4375in"}，
则{width="1.8020833333333333in" height="0.4375in"}{width="1.8020833333333333in" height="0.4375in"}，
则{width="1.875in" height="0.4375in"}{width="1.875in" height="0.4375in"}，
∴{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内单调递减，且{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内必存在实根，不妨设{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，
即{width="2.2395833333333335in" height="0.4375in"}{width="2.2395833333333335in" height="0.4375in"}，可得{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"}，(\*)
则{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.21875in"}内单调递增，在区间{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}内单调递减，
∴{width="1.0416666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.0416666666666667in" height="0.21875in"}，{width="2.6770833333333335in" height="0.21875in"}{width="2.6770833333333335in" height="0.21875in"}，
将(\*)式代入上式，得{width="1.375in" height="0.4375in"}{width="1.375in" height="0.4375in"}．
根据题意{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}{width="1.6458333333333333in" height="0.4375in"}恒成立，
又∵{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.8541666666666666in" height="0.4375in"}，当且仅当{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}时，取等号，
∴{width="1.40625in" height="0.4375in"}{width="1.40625in" height="0.4375in"}，
∴{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}{width="0.3958333333333333in" height="0.4375in"}，代入(\*)式，得{width="0.6875in" height="0.4375in"}{width="0.6875in" height="0.4375in"}，
即{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}，又{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.21875in"}，
∴{width="0.40625in" height="0.4375in"}{width="0.40625in" height="0.4375in"}，∴存在满足条件的实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，且{width="0.40625in" height="0.4375in"}{width="0.40625in" height="0.4375in"}．
点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，利用{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}恒成立{width="1.0in" height="0.21875in"}{width="1.0in" height="0.21875in"}；{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}恒成立{width="1.0104166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.0104166666666667in" height="0.21875in"}，即可求出参数范围.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}有相同的长度单位，以原点为{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}极点，以{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}轴正半轴为极轴，曲线{width="0.15625in" height="0.21875in"}{width="0.15625in" height="0.21875in"}的极坐标方程为{width="0.71875in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}，曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的参数方程为{width="1.125in" height="0.4375in"}{width="1.125in" height="0.4375in"}（{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}{width="7.291666666666667e-2in" height="0.21875in"}为参数，{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}），射线{width="2.0104166666666665in" height="0.4375in"}{width="2.0104166666666665in" height="0.4375in"}与曲线{width="0.15625in" height="0.21875in"}{width="0.15625in" height="0.21875in"}交于（不包括极点{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}）三点{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}．
（1）求证：{width="1.6041666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.6041666666666667in" height="0.4375in"}；
（2）当{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}{width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}时，{width="0.28125in" height="0.21875in"}{width="0.28125in" height="0.21875in"}两点在曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}上，求{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}的值．
【答案】（1）见解析;（2）{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}．
【解析】试题分析：(1)依题意{width="0.84375in" height="0.21875in"}{width="0.84375in" height="0.21875in"}，{width="2.4791666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.4791666666666665in" height="0.4375in"}，利用三角恒等变换，可得{width="2.1354166666666665in" height="0.21875in"}{width="2.1354166666666665in" height="0.21875in"}，由此即可求出结果；(2)当{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}时，{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}两点的极坐标分别为{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}，再把它们化为直角坐标，{width="1.21875in" height="0.21875in"}{width="1.21875in" height="0.21875in"}，根据曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}是经过点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，且倾斜角为{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的直线，又因为经过点{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}的直线方程为{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}，由此即可求出结果.
试题解析：
(1)依题意{width="0.84375in" height="0.21875in"}{width="0.84375in" height="0.21875in"}，{width="2.4791666666666665in" height="0.4375in"}{width="2.4791666666666665in" height="0.4375in"}，\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
则{width="5.229166666666667in" height="0.4375in"}{width="5.229166666666667in" height="0.4375in"}
{width="1.34375in" height="0.21875in"}{width="1.34375in" height="0.21875in"}；
(2)当{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.4375in"}时，{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}两点的极坐标分别为{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}{width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}，化为直角坐标为{width="1.21875in" height="0.21875in"}{width="1.21875in" height="0.21875in"}，
曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.21875in"}是经过点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，且倾斜角为{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的直线，又因为经过点{width="0.25in" height="0.21875in"}{width="0.25in" height="0.21875in"}的直线方程为{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}{width="0.8958333333333334in" height="0.4375in"}，
所以{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}{width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}．
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数{width="1.8229166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.8229166666666667in" height="0.21875in"}．
（1）若{width="0.40625in" height="0.21875in"}{width="0.40625in" height="0.21875in"}，解不等式{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}；
（2）若存在实数{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}，使得不等式{width="1.71875in" height="0.21875in"}{width="1.71875in" height="0.21875in"}成立，求实数{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}{width="9.375e-2in" height="0.21875in"}的取值范围．
【答案】（1）{width="1.0in" height="0.4375in"}{width="1.0in" height="0.4375in"}；（2）{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}．
【解析】试题分析：（1）通过讨论{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的范围，得到关于{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的不等式组，解出取并集即可； （2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值；若存在实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，使得不等式{width="1.5in" height="0.21875in"}{width="1.5in" height="0.21875in"}成立，则{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}，由此即可解出实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"} 的取值范围．
试题解析：
(1)不等式{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}，化为{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}{width="1.3854166666666667in" height="0.21875in"}，
则{width="1.25in" height="0.4375in"}{width="1.25in" height="0.4375in"}或{width="1.25in" height="0.4375in"}{width="1.25in" height="0.4375in"}或{width="1.25in" height="0.4375in"}{width="1.25in" height="0.4375in"}，
解得{width="0.71875in" height="0.4375in"}{width="0.71875in" height="0.4375in"}，
∴不等式{width="0.5625in" height="0.21875in"}{width="0.5625in" height="0.21875in"}的解集为{width="1.0in" height="0.4375in"}{width="1.0in" height="0.4375in"}；
(2)不等式{width="1.5in" height="0.21875in"}{width="1.5in" height="0.21875in"}等价于{width="1.7291666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.7291666666666667in" height="0.21875in"}，
即{width="1.7291666666666667in" height="0.21875in"}{width="1.7291666666666667in" height="0.21875in"}，又{width="3.3541666666666665in" height="0.21875in"}{width="3.3541666666666665in" height="0.21875in"}，
若存在实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}，使得不等式{width="1.5in" height="0.21875in"}{width="1.5in" height="0.21875in"}成立，
则{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"}，解得{width="0.46875in" height="0.4375in"}{width="0.46875in" height="0.4375in"}，
∴实数{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.21875in"}的取值范围是{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.4375in"}．
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**2017年四川省宜宾市中考数学试卷**
**一、选择题（8题&\#215;3分=24分）**
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（ ）
A．55×10^6^ B．0.55×10^8^ C．5.5×10^6^ D．5.5×10^7^
3．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程4x^2^﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
6．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）
A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
7．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，抛物线y~1~=（x+1）^2^+1与y~2~=a（x﹣4）^2^﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y~1~＞y~2~
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**二、填空题（8题&\#215;3分=24分）**
9．分解因式：xy^2^﹣4x=[ ]{.underline}．
10．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是[ ]{.underline}．
11．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是[ ]{.underline}．
12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是[ ]{.underline}．
13．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是[ ]{.underline}．
14．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是[ ]{.underline}．
15．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是[ ]{.underline}．
16．规定：\[x\]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，\[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：\[2.3\]=2，（2.3）=3，\[2.3）=2．则下列说法正确的是[ ]{.underline}．（写出所有正确说法的序号）
①当x=1.7时，\[x\]+（x）+\[x）=6；
②当x=﹣2.1时，\[x\]+（x）+\[x）=﹣7；
③方程4\[x\]+3（x）+\[x）=11的解为1＜x＜1.5；
④当﹣1＜x＜1时，函数y=\[x\]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．
**三、解答题（本大题共8个题，共72分）**
17．（1）计算^0^﹣（）^﹣1^+\|﹣2\|
（2）化简（1﹣）÷（）．
18．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
19．端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为[ ]{.underline}．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．
20．用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
21．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
24．如图，抛物线y=﹣x^2^+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
**2017年四川省宜宾市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（8题&\#215;3分=24分）**
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【考点】22：算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵3^2^=9，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
2．据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（ ）
A．55×10^6^ B．0.55×10^8^ C．5.5×10^6^ D．5.5×10^7^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：55000000=5.5×10^7^，
故选：D．
3．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据常见几何体的主视图，可得答案．
【解答】解：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；
B、的主视图是正方形，故B不符合题意；
C、的主视图是圆，故C符合题意；
D、的主视图是三角形，故D不符合题意；
故选：C．
4．一元二次方程4x^2^﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程4x^2^﹣2x+=0中，△=（﹣2）^2^﹣4×4×（）=0，
∴一元二次方程4x^2^﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
5．如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先由三角形的外角性质求出∠CBE的度数，再根据平行线的性质得出∠E=∠CBE即可．
【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠CBE=∠A+∠C=59°，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠CBE=59°；
故选：B．
6．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）
A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；B、由种植4棵的人数最多，可得出结论B正确；C、由4+10=14，可得出每人植树量数列中第15、16个数为5，即结论C正确；D、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D错误．此题得解．
【解答】解：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
7．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x^2^+4^2^=（8﹣x）^2^，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C
8．如图，抛物线y~1~=（x+1）^2^+1与y~2~=a（x﹣4）^2^﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y~1~＞y~2~
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象；KW：等腰直角三角形．
【分析】把点A坐标代入y~2~，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线y~1~=（x+1）^2^+1与y~2~=a（x﹣4）^2^﹣3交于点A（1，3），
∴3=a（1﹣4）^2^﹣3，
解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，
∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）^2^+1，
解得：x~1~=1，x~2~=﹣3，
故B（﹣3，3），D（﹣1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD^2^+BD^2^=AB^2^，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）^2^+1=（x﹣4）^2^﹣3时，
解得：x~1~=1，x~2~=37，
∴当37＞x＞1时，y~1~＞y~2~，故④错误．
故选：B．
**二、填空题（8题&\#215;3分=24分）**
9．分解因式：xy^2^﹣4x=[ x（y+2）（y﹣2） ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=x（y^2^﹣4）=x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
10．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是[ （﹣3，1） ]{.underline}．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【解答】解：点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
11．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是[ 24 ]{.underline}．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：
∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，
∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24．
故答案为：24．
12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是[ 60° ]{.underline}．
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB=27°，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=45°+15°=60°，
故答案为：60°．
13．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是[ m＞﹣2 ]{.underline}．
【考点】C6：解一元一次不等式；97：二元一次方程组的解．
【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x和y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
【解答】解：，
①+②得2x+2y=2m+4，
则x+y=m+2，
根据题意得m+2＞0，
解得m＞﹣2．
故答案是：m＞﹣2．
14．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是[ 50（1﹣x）^2^=32 ]{.underline}．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
【解答】解：由题意可得，
50（1﹣x）^2^=32，
故答案为：50（1﹣x）^2^=32．
15．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是[ ]{.underline}[﹣1 ]{.underline}．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE^2^=EG•EB，可得2^2^=x（x+2），解方程即可．
【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE^2^=EG•EB，
∴2^2^=x（x+2），
解得x=﹣1+或﹣1﹣，
∴EG=﹣1，
故答案为﹣1．
16．规定：\[x\]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，\[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：\[2.3\]=2，（2.3）=3，\[2.3）=2．则下列说法正确的是[ ②③ ]{.underline}．（写出所有正确说法的序号）
①当x=1.7时，\[x\]+（x）+\[x）=6；
②当x=﹣2.1时，\[x\]+（x）+\[x）=﹣7；
③方程4\[x\]+3（x）+\[x）=11的解为1＜x＜1.5；
④当﹣1＜x＜1时，函数y=\[x\]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题；18：有理数大小比较；CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①当x=1.7时，
\[x\]+（x）+\[x）
=\[1.7\]+（1.7）+\[1.7）=1+2+2=5，故①错误；
②当x=﹣2.1时，
\[x\]+（x）+\[x）
=\[﹣2.1\]+（﹣2.1）+\[﹣2.1）
=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；
③当1＜x＜1.5时，
4\[x\]+3（x）+\[x）
=4×1+3×2+1
=4+6+1
=11，故③正确；
④∵﹣1＜x＜1时，
∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=\[x\]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，
当﹣0.5＜x＜0时，y=\[x\]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，
当x=0时，y=\[x\]+（x）+x=0+0+0=0，
当0＜x＜0.5时，y=\[x\]+（x）+x=0+1+x=x+1，
当0.5＜x＜1时，y=\[x\]+（x）+x=0+1+x=x+1，
∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，
∴当﹣1＜x＜1时，函数y=\[x\]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，
故答案为：②③．
**三、解答题（本大题共8个题，共72分）**
17．（1）计算^0^﹣（）^﹣1^+\|﹣2\|
（2）化简（1﹣）÷（）．
【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值分别求出每个部分的值，再代入求出即可；
（2）先算减法和分解因式，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=1﹣4+2
=﹣1；
（2）原式=÷
=•
=．
18．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
19．端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去兴文石海旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
（1）∵小明准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，
∴小明选择去蜀南竹海旅游的概率=，
故答案为：；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，
所以小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率=．
20．用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】工作效率：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋；工作量：A型机器人搬运700袋大米，B型机器人搬运500袋大米；工作时间就可以表示为：A型机器人所用时间=，B型机器人所用时间=，由所用时间相等，建立等量关系．
【解答】解：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，
依题意得： =，
解这个方程得：x=70
经检验x=70是方程的解，所以x﹣20=50．
答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．
21．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°==，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°==，
解得：x=50（+1），
答：河的宽度为50（+1）m．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S~△AOB~=S~△AOC~+S~△BOC~列式计算即可得解．
【解答】解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，
=m+8，
解得m=﹣6，
m+8=﹣6+8=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）设AB与x轴相交于点C，
令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，
所以，点C的坐标为（﹣2，0），
所以，OC=2，
S~△AOB~=S~△AOC~+S~△BOC~，
=×2×3+×2×1，
=3+1，
=4．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
【考点】ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由△CDB∽△CAD，可得==，推出CD^2^=CB•CA，可得（3）^2^=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3， ==，设BD=K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k^2^+4k^2^=5，求出k即可解决问题．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴==，
∴CD^2^=CB•CA，
∴（3）^2^=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3， ==，设BD=K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k^2^+4k^2^=5，
∴k=，
∴AD=．
24．如图，抛物线y=﹣x^2^+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x^2^+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x^2^+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x^2^+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x^2^+4x+5=﹣（x﹣2）^2^+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=\|x﹣2\|，
∴\|x﹣2\|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
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> **一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题****给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）\[来源:Zxxk.Com\]**
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，复数满足，则为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知命题：方程有两个实数根；命题：函数的最小值为．给
出下列命题：
①；②；③；④．
则其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
5.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
8.定义在上的函数满足，，则不等式（其中
为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9.若实数，，，满足，则的最小值
为（  ）
A． B． C． D．\[来源:Z。xx。k.Com\]
10.已知存在，使得，则的取值范
围为（ ）
A． B． C．  D．
11.设函数，若方程有个不同的根，则实数的
取值范围为（ ）
A． B． C．  D．\[来源:\]
12.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线
上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则
\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.已知函数在时有极值，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.定义在上的函数满足：，当时，，则不等式
的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
在中，，，分别为角，，所对的边，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
18.（本小题满分12分）
函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，，有，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，且公差大于，求的值．
20.（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求
的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；
（2）记在内的零点为，，若（）在内\[来源:\]
有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的切线，是切点，于，割线交圆于，两点．
（1）证明：，，，四点共圆；
（2）设，，求的大小．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，圆的极坐标方程为．\[来源:ZXXK\]
（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线向右平移个单位，所得直线与圆相切，求．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，．
（1）若当时，恒有，求的最大值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围．
| 1 | |
**北师大版二年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共21份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第九单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（一）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（二）
4\. 第三、四单元测评卷 15.分类测评卷（三）
5\. 第五单元测评卷 16.分类测评卷（四）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（一）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（二）
8\. 第六单元测评卷 19.期末测评卷（三）
9\. 第七单元测评卷 20.期末测评卷（四）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（五）
11.第八单元测评卷
附：参考答案
| 1 | |
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**一、填一填．**
1．一盒牛奶的售价是2.50元．读作[ ]{.underline}元．
2．一支笔十五点八元．写作[ ]{.underline}元．
3．估一估：
实验小学三年（1）班有学生 58人，约是[ ]{.underline}人．
51×39的结果大约在[ ]{.underline}和[ ]{.underline}之间．
4．25×80的积中有[ ]{.underline}个0；53×76的积是[ ]{.underline}位数，积的个位上的数字是[ ]{.underline}．
5．长方形有[ ]{.underline}对称轴．
6．7分=[ ]{.underline}元
[ ]{.underline}元=3元6角
18元3分=[ ]{.underline}元．
7．在〇里填上"＞"、"＜"或"="．
7.45〇7.54
3元8角5分〇3.85元
11×26〇11×62
29×18〇600
1200〇32×41
（45+55）×5〇45+55×5．
8．请在括号里填上"平移"或"旋转"．
**二、选一选．（将正确答案的序号填在括号里．）**
9．下面的各数中，读出两个"零"的数是（ ）
A．400.03 B．1320.0 C．7003.05
10．把0.13元、1.3元、1.03元按从小到大的顺序排列是（ ）
A．0.13元＞1.03元＞1.3元 B．0.13元＜1.03元＜1.3元
C．1.03元＜0.13元＜1.3元
11．如图的图案中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．两个数相乘，一个乘数乘2，另一个乘数除以2，积（ ）
A．就扩大2倍 B．就扩大2倍 C．不变
**三、算一算．**
13．
+----------------+-----------+---------+------------------------------------+----------------------------------------+
| 直接写出得数． | 5.9﹣3.6= | 7﹣3.2= | 5.4+3= | 40×12= |
| | | | | |
| 1.3+2.7= | | | | |
+----------------+-----------+---------+------------------------------------+----------------------------------------+
| 250÷5= | 15×80= | 28+76= | [ ]{.underline}+2.3=2.8 | 0.75﹣[ ]{.underline}=0.3． |
+----------------+-----------+---------+------------------------------------+----------------------------------------+
14．列竖式计算．
16.8+2.4
13.9﹣7.2
54×12．
15．用递等式计算．
27+43×60
（36+15）×18
136+64÷4．
**四、动手操作**
16．（1）画出图（一）的对称图形，再向右平移7格．
（2）把图（二）向左平移5格，又向上平移2格，再向右平移3格．
**五、解决问题．**
17．淘气上超市买文具用共去30.8元，其中买钢笔用去9.80元，蜡笔比钢笔贵4.5元，剩余的钱刚好买水彩笔．买水彩笔用去多少钱？
18．学校组织三年级同学春游
（1）早上8：30出发，下午2：00返回，春游一共用了[ ]{.underline}的时间．
（2）租一辆车需要90元，全年级一共租12辆车，需要多少元？
19．有26名游客到清源山玩，每张门票38元，带1000元够不够？
20．阅览室有13个书架，每个书架有5层，每层可以放65本书，阅览室的书架一共能放多少本书？
21．买5杯酸奶要25元，56个人每人一杯要付多少元？
22．一共有96瓶牛奶，每6瓶装一盒，每4盒装一箱．一共能装多少箱？
**选做题\[A\]**
23．小明买了一个书包和文具盒，一共用去了33.8元，一个文具盒10.5元，一个书包多少元？
**选做题\[B\]**
24．淘气在计算一道减法题时，将减数4.8看成48，得到的差是32，正确的差应该是多少？
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填一填．**
1．一盒牛奶的售价是2.50元．读作[ 二点五零 ]{.underline}元．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】根据小数的读法，整数部分是"0"的就读做"零"，整数部分不是"0"的按照整数的读法来读，小数点读作"点"，小数部分是几就依次读出来即可．
【解答】解：2.50元 读作：二点五零元．
故答案为：二点五零元．
2．一支笔十五点八元．写作[ 15.8 ]{.underline}元．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作"0"），小数点写在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数，据此写出．
【解答】解：十五点八 写作：15.8
故答案为：15.8．
3．估一估：
实验小学三年（1）班有学生 58人，约是[ 60 ]{.underline}人．
51×39的结果大约在[ 1950 ]{.underline}和[ 2040 ]{.underline}之间．
【考点】数的估算．
【分析】实验小学三年（1）班有学生 58人，约是 60人；
乘法的估算，一般要根据"四舍五入"法把因数看作是整十、整百、整千...的数来进行计算，然后按表内乘法的计算方法计算，再在乘积的末尾添上相应的0即可．
【解答】解：实验小学三年（1）班有学生 58人，约是 60人；
51×39的结果最小看作是50×39=1950，最大看作是51×40=2040，所以51×39的结果大约在 1950和 2040之间；
故答案为：60，1950，2040．
4．25×80的积中有[ 3 ]{.underline}个0；53×76的积是[ 四 ]{.underline}位数，积的个位上的数字是[ 8 ]{.underline}．
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据题意，先根据整数乘法的计算方法，求出25×80、53×76的乘积，然后再进一步解答．
【解答】解：25×80=2000，2000是四位数，末尾有3个0；
53×76=4028，4028是四位数，个位上的数字是8．
故答案为：3，四，8．
5．长方形有[ 2条 ]{.underline}对称轴．
【考点】确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；由此即可判断轴对称图形的对称轴的条数．
【解答】解：长方形有2条对称轴，分别是对边中点所在的直线；
答：长方形有2条对称轴．
故答案为：2条．
6．7分=[ 0.07 ]{.underline}元
[ 3.6 ]{.underline}元=3元6角
18元3分=[ 18.03 ]{.underline}元．
【考点】货币、人民币及其常用单位．
【分析】（1）把7分换算成元，用7除以进率100得0.07元；
（2）由复名数化单名数，先把6角除以进率10化成0.6元，再与3元相加得3.6元；
（3）由复名数化单名数，先把3分除以进率100得0.03元，再加上4元得4.03元．
【解答】解：（1）7分=0.07元；
（2）3.6元=3元6角；
（3）18元3分=18.03元．
故答案为：0.07，3.6，18.03．
7．在〇里填上"＞"、"＜"或"="．
7.45〇7.54
3元8角5分〇3.85元
11×26〇11×62
29×18〇600
1200〇32×41
（45+55）×5〇45+55×5．
【考点】小数大小的比较；整数大小的比较．
【分析】（1）根据小数大小比较的方法，可得7.45＜7.54．
（2）首先根据1元=10角，用8除以10，可得8角=0.8元；然后根据1元=100分，用5除以100，可得5分=0.05元，所以3元8角5分=3.85元．
（3）根据一个非零因数不变，另一个因数越大，则积越大，可得11×26＜11×62．
（4）首先根据整数乘法的运算方法，可得29×18=522，然后根据522＜600，可得29×18＜600．
（5）首先根据整数乘法的运算方法，可得32×41=1312，然后根据1200＜1312，可得1200＜32×41．
（6）根据乘法分配律，可得（45+55）×5=45×5+55×5，所以（45+55）×5＞45+55×5．
【解答】解：根据分析，可得
（1）7.45＜7.54
（2）3元8角5分=3.85元
（3）11×26＜11×62
（4）29×18＜600
（5）1200＜32×41
（6）（45+55）×5＞45+55×5
故答案为：＜、=、＜、＜、＜、＞．
8．请在括号里填上"平移"或"旋转"．
【考点】平移；旋转．
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；
旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．
然后根据平移与旋转定义解答即可．
【解答】解：
**二、选一选．（将正确答案的序号填在括号里．）**
9．下面的各数中，读出两个"零"的数是（ ）
A．400.03 B．1320.0 C．7003.05
【考点】整数的读法和写法．
【分析】读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读"零"），小数点读作"点"，小数部分通常顺次读出每一个数位上的数字，读出各数再作选择．
【解答】解：400.03读作：四百点零三，读一个零；
1320.0读作：一千三百二十点零，读一个零；
7003.05读作：七千零三点零五，读两个零．
故选：C．
10．把0.13元、1.3元、1.03元按从小到大的顺序排列是（ ）
A．0.13元＞1.03元＞1.3元 B．0.13元＜1.03元＜1.3元
C．1.03元＜0.13元＜1.3元
【考点】小数大小的比较．
【分析】小数大小的比较，先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大...，据此把0.13元、1.3元、1.03元按从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：根据小数比较大小的方法，可得
0.13元、1.3元、1.03元按从小到大的顺序排列是：
0.13元＜1.03元＜1.3元．
故选：B．
11．如图的图案中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形的辨识．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：第一个、第三个、第四个，共3个轴对称图形；
故乡：C．
12．两个数相乘，一个乘数乘2，另一个乘数除以2，积（ ）
A．就扩大2倍 B．就扩大2倍 C．不变
【考点】积的变化规律．
【分析】在乘法里，一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），另一个因数缩小或扩大相同的倍数，积不变；据此解答即可．
【解答】解：由积不变的规律可得，
两个数相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，则积不变．
故选：C．
**三、算一算．**
13．
+----------------+-----------+---------+-------------------------------+------------------------------------+
| 直接写出得数． | 5.9﹣3.6= | 7﹣3.2= | 5.4+3= | 40×12= |
| | | | | |
| 1.3+2.7= | | | | |
+----------------+-----------+---------+-------------------------------+------------------------------------+
| 250÷5= | 15×80= | 28+76= | [ 0.5 ]{.underline}+2.3=2.8 | 0.75﹣[ 0.45 ]{.underline}=0.3． |
+----------------+-----------+---------+-------------------------------+------------------------------------+
【考点】分数的加法和减法；加法和减法的关系；表内乘法；小数除法．
【分析】根据整数、小数、加、减、乘、除法的计算法则，直接进行口算即可．
【解答】解：
----------- -------------- ------------ ------------- ------------------
1.3+2.7=4 5.9﹣3.6=2.3 7﹣3.2=3.8 5.4+3=8.4 40×12=480
250÷5=50 15×80=1200 28+76=104 0.5+2.3=2.8 0.75﹣0.45=0.3．
----------- -------------- ------------ ------------- ------------------
故答案为：0.5、0.45．
14．列竖式计算．
16.8+2.4
13.9﹣7.2
54×12．
【考点】小数的加法和减法；整数的乘法及应用．
【分析】根据小数加减乘法运算的计算法则计算即可求解．注意要求列竖式计算．
【解答】解：16.8+2.4=19.2
13.9﹣7.2=6.7
54×12=648
15．用递等式计算．
27+43×60
（36+15）×18
136+64÷4．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】（1）先算乘法，再算加法；
（2）先算小括号里面的加法，再算乘法；
（3）先算除法，再算加法．
【解答】解：（1）27+43×60
=27+2580
=2607；
（2）（36+15）×18
=51×18
=918；
（3）136+64÷4
=136+16
=152．
**四、动手操作**
16．（1）画出图（一）的对称图形，再向右平移7格．
（2）把图（二）向左平移5格，又向上平移2格，再向右平移3格．
【考点】作平移后的图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的上边画出下图的关键对称点，依次连结即可；再根据平移的特征，把图（一）的对称图形的各顶点分别向右平移7格，依次连结即可得到向右平移7格后的图形．
（2）平移的特征，把图（二）的各顶点分别向左平移5格，依次连结即可得到向左平移5格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平移2格，再向右平移3格．
【解答】解：（1）画出图（一）的对称图形（红色），再向右平移7格（绿色）：
（2）把图（二）向左平移5格（黄色），又向上平移2格（橙色），再向右平移3格（蓝色）：
**五、解决问题．**
17．淘气上超市买文具用共去30.8元，其中买钢笔用去9.80元，蜡笔比钢笔贵4.5元，剩余的钱刚好买水彩笔．买水彩笔用去多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据"蜡笔比钢笔贵4.5元"，则蜡笔的钱数=钢笔的钱数+4.5元；总钱数30.8元减去钢笔的钱数减去蜡笔的钱数，即为水彩笔的钱数．
【解答】解：30.8﹣9.8﹣（9.8+4.5）
=30.8﹣9.8﹣14.3
=6.7（元）
答：买水彩笔用去6.7元．
18．学校组织三年级同学春游
（1）早上8：30出发，下午2：00返回，春游一共用了[ 5小时30分钟 ]{.underline}的时间．
（2）租一辆车需要90元，全年级一共租12辆车，需要多少元？
【考点】日期和时间的推算；整数的乘法及应用．
【分析】（1）早晨8：30是8时30分时，下午2时是14时，用14时减去8时30就是共用时间；
（20 租一辆车90元，租12辆一共需要多少元，根据单价×数量=总价，可以得出是求总价的题目，据此解答．
【解答】解：（1）2时+12时﹣8时30分=5小时30分钟
答：春游一共用了 5小时30分钟的时间．
（2）90×12=1080（元）
答：需要1080元．
故答案为：5小时30分钟．
19．有26名游客到清源山玩，每张门票38元，带1000元够不够？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】先用每张门票的钱数乘上人数，求出买票一共需要多少钱，再与1000元比较即可求解．
【解答】解：38×26=988（元）
988＜1000
答：带1000元买门票够．
20．阅览室有13个书架，每个书架有5层，每层可以放65本书，阅览室的书架一共能放多少本书？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】要求13个书架一共可以放多少本书，根据乘法的意义，先求每个书架可以放多少本，再乘13即可解答．
【解答】解：65×5×13
=325×13
=4225（本）
答：阅览室的书架一共能放4225本书．
21．买5杯酸奶要25元，56个人每人一杯要付多少元？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】5杯酸奶要25元，根据"总价÷数量=单价"，用25÷5可求得1杯酸奶的单价，再乘56即得56个人每人一杯要付多少元．
【解答】解：25÷5×56
=5×56
=280（元）
答：56个人每人一杯要付280元．
22．一共有96瓶牛奶，每6瓶装一盒，每4盒装一箱．一共能装多少箱？
【考点】整数的除法及应用．
【分析】先用总瓶数除以每盒装的数量计算出一共可以装成的盒数，再除以每箱需要装的盒数就是能装成的总箱数．
【解答】解：96÷6÷4
=16÷4
=4（箱）；
答：一共能装4箱．
**选做题\[A\]** 23．小明买了一个书包和文具盒，一共用去了33.8元，一个文具盒10.5元，一个书包多少元？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】用一个书包和文具盒的总钱数减去一个文具盒的钱数，即为一个书包的钱数．
【解答】解：33.8﹣10.5=23.3（元）
答：一个书包23.3元．
**选做题\[B\]**
24．淘气在计算一道减法题时，将减数4.8看成48，得到的差是32，正确的差应该是多少？
【考点】小数的加法和减法．
【分析】用32加48，求出被减数是多少，再减正确的减数4.8，就是正确的差．据此解答．
【解答】解：32+48﹣4.8
=80﹣4.8
=75.2
答：正确的差应该是75.2．
**2016年8月27日**
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**《算得对吗》同步练习**
> 一、用竖式计算，并验算。
>
> 48+135= 414-238=
>
> 245+678= 800-456=
>
> \[来源:学科网\]
>
> 二、森林医生。（对的画"√"，错的画"×"，并改正）
>
> （1）601
>
> -348 改正：
>
> 363
>
> （2）545
>
> +387 改正：\[来源:学科网\]
>
> 822
三、下面的计算对吗？
（1）125＋323＝488
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
（2）76＋102＝862
（3）431＋213＝844
> 四、学校图书馆有故事书406本，漫画书258本，科技书349本。
>
> （1）故事书比漫画书多多少本？
>
> （2）漫画书和科技书一共有多少本？
>
> \[来源:Z\|xx\|k.Com\]
>
> （3）你还能提出什么数学问题？并解答。
\[来源:Zxxk.Com\]
**参考答案：**
一：183；176；923；344。
二：（1）×，253；（2）×，932。
三：（1）×；（2）×；（3）×。
四：（1）答：故事书比漫画书406-258=148本；
（2）答：漫画书和科技书一共258+349=607本；
（3）答：科技书比漫画书多多少本？
科技书比漫画书多349-258=91本。
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）**
**数 学（文史类）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
> 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
>
> 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
>
> 球的体积公式
>
> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1、设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4} ，则C~U~（A∩B）=
（A）{2，3} （B） {1，4，5} （C）{4，5} （D）{1，5}
2、函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
3、 设平面向量，则=
（A）（7，3） （B）（7，7） （C）（1，7） （D）（1，3）
4、(tanx+cotx)cos^2^x=
（A）tanx （B）sinx （C）cosx （D）cotx
5、不等式的解集为
（A）（－1，2） （B）（－1，1） （C）（－2，1） （D）（－2，2）
6、将直线绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为
（A） （B） （C） （D）
7、△ABC的三个内角A、B、C的对边边长分别是 ，若 ，A=2B，则cosB=
（A） （B） （C） （D）
8、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为
（A） （B） （C） （D）
9、定义在R上的函数满足：则
（A）13 （B） 2 （C） （D）
10、设直线，过平面外一点A且与、都成30°角的直线有且只有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
11、已知双曲线的左右焦点分别为F~1~、F~2~ ，P为C的右支上一点，且，则△PF~1~F~2~ 的面积等于
（A）24 （B）36 （C）48 （D）96
12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为
（A） （B） （C） （D）
**第Ⅱ卷**（非选择题 共90分）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。**
13、的展开式中的系数是 [ ]{.underline} 。
14、已知直线，圆，则C上各点到的距离的最小值是 [。]{.underline}
15、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法有 [ ]{.underline} 种。
16、设数列中，，，则通项 = [ ]{.underline} 。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷**
一、选择题答题卡：
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ------
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
选项
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ------
二、填空题答题卡：
> ⒔ [ ]{.underline} 。⒕ [ ]{.underline} 。⒖ [ ]{.underline} 。⒗ [ ]{.underline} 。
**三.解答题 共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.**
------ --------
得分 评卷人
------ --------
17．（本小题满分12分）
求函数的最大值与最小值．
------ --------
得分 评卷人
------ --------
18．（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率为0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的.
(Ⅰ)求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(Ⅱ)求进入该商场的3位顾客中，至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率；
------ --------
得分 评卷人
------ --------
19．（本小题满分12分）
如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF，G、H分别是FA、FD的中点。
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.
------ --------
得分 评卷人
------ --------
20．（本小题满分12分）
设x=1和x=2是函数的两个极值点.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间.
------ --------
得分 评卷人
------ --------
21．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)证明：数列是一个等比数列。
(Ⅲ)求的通项公式。
------ --------
得分 评卷人
------ --------
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别是F~1~和F~2~ ，离心率，点F~2~到右准线的距离为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)设M、N是右准线上两动点，满足
证明：当取最小值时，.
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**数 学（文科）及详解详析**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中"座位号、姓名、科类"与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次实验中发生的概率是，那么
次独立重复实验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径
**第Ⅰ卷**
一．选择题：
１．设集合，则( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴
又∵ ∴ 故选B；
【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；
【突破】：画韦恩氏图，数形结合；
２．函数的反函数是( C )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵由反解得 ∴ 从而淘汰（Ｂ）、（Ｄ）
又∵原函数定义域为 ∴反函数值域为 故选C；
【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性；
【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰；
3．设平面向量，则( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴
故选C；
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
4．( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵
故选D；
【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；
【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意；
5．不等式的解集为( A )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵ ∴ 即， ，
∴ 故选A；
【点评】：此题重点考察绝对值不等式的解法；
【突破】：准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；
6．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；
【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法："左加右减"；
7．的三内角的对边边长分别为，若，则( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵中 ∴∴ 故选B；
【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；
【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。
８．设是球心的半径的中点，分别过作垂直于的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，
则：
∴ ∴这两个圆的面积比值为： 故选D
【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；
【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；
9．函数满足，若，则( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：∵且 ∴，，
，，，，
∴ ，∴ 故选C
【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；
【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；
10．设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有：( B )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
【解】：如图，当时，直线满足条件；
又由图形的对称性，知当时，
直线满足条件； 故选B
【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；
【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；
11．已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵双曲线中 ∴
∵ ∴
作边上的高，则 ∴
∴的面积为 故选C
【解2】：∵双曲线中 ∴
设， 则由得
又∵为的右支上一点 ∴ ∴
∴ 即
解得或（舍去）
∴
∴的面积为 故选B
【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；
【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求点坐标，有较大的运算量；
12．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【解】：如图在三棱柱中，设，
由条件有，作于点，
则
∴ ∴
∴ 故选B
【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；
【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；
**第Ⅱ卷**
二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．展开式中的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：∵展开式中项为
∴所求系数为 故填
【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；
【突破】：利用组合思想写出项，从而求出系数；
14．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；
∵的圆心为，半径为
点到直线的距离为
∴ 故上各点到的距离的最小值为
【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点到直线的距离距离公式。
15．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种。
【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法 故填；
【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；
【突破】：从参加 "某项"切入，选中的无区别，从而为组合问题；由"至少"从反面排除易于解决；
16．设数列中，，则通项 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【解】：∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
求函数的最大值与最小值。
【解】：
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值，当时取得最小值
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
18．（本小题满分12分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。
【解】：（Ⅰ）记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
（Ⅱ）记表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；
表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；
【点评】：此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率；
【突破】：分清相互独立事件的概率求法；对于"至少"常从反面入手常可起到简化的作用；
19．（本小题满分12分）
如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，，分别为的中点
（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；
（Ⅱ）四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设，证明：平面平面；
【解1】：（Ⅰ）由题意知，
所以
又，故
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由，是的中点知，，所以
由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上
所以四点共面。
（Ⅲ）连结，由，及知是正方形
故。由题设知两两垂直，故平面，
因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，
又，所以平面
由（Ⅰ）知，所以平面。
由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面
【解2】：由平面平面，，得平面，
以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则由题设得
所以
于是
又点不在直线上
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知，所以
又，故四点共面。
（Ⅲ）由得，所以
又，因此
即
又，所以平面
故由平面，得平面平面
【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；
【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。
20．（本小题满分12分）
设和是函数的两个极值点。
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的单调区间
【解】：（Ⅰ）因为
由假设知：
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当时，
当时，
因此的单调增区间是
的单调减区间是
【点评】：此题重点考察利用导数研究函数的极值点，单调性，最值问题；
【突破】：熟悉函数的求导公式，理解函数极值与导数、函数单调性与导数的关系；重视图象或示意图的辅助作用。
21．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明： 是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
【解】：（Ⅰ）因为，所以
由知
得 ①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知
所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）
【点评】：此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等；
【突破】：推移脚标两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时应重视首项是否可以被吸收是易错点，同时注意利用题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节为求解下一问指明方向。
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是上的两个动点，，
证明：当取最小值时，
【解】：因为，到的距离，所以由题设得
解得
由，得
（Ⅱ）由得，的方程为
故可设
由知知
得，所以
当且仅当时，上式取等号，此时
所以，
【点评】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用；
【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第五单元《加与减二------小小图书馆》同步检测1（附答案）**
一、
二、用竖式算一算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
27－9 = 60－8 =
三、看谁推得快。
四、一共有40颗糖。
五、
来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、小货车一次只能装50箱水果，一辆小货车能一次都运走这些梨和苹果吗？为什么？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、想一想，填一填。
八、在□里填上合适的数。
[－ 4]{.underline} [－]{.underline}
2 9 3 8
九、小巧、小军和小丁参加乒乓球比赛，比赛前，每两人要握1次手。现在小巧握了2次手，小军握了1次。你知道小丁握了几次手，是和谁握的吗？
**部分答案：**
一、56 52 54 53 55 51
二、18 52
三、90－2 = 88 90－4 = 86 90－6 = 84 90－0 = 90
90－1 = 89 90－8 = 82 90－3 = 87 90－7 = 83
四、40－2 = 38（颗）
五、36－8 = 28（张）
六、44＋8 = 52（箱），52 ﹥ 50，所以不能一次运走。
七、30 27
八、
提示：本小题的答案不唯一。
九、小丁握了1次手，是和小巧握的。
| 1 | |
> 一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立
的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
考点：必要不充分条件的判定.
2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，所以，即，故选A.
考点：复数概念及二项式定理的应用.
3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A．  B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，因为数列是等差数列，所以设数列的通项公式为，则，所以，因为是一个与无关的常数，所以或，所以可能是或，故选B.
考点：等差数列的通项公式.
4.中三边上的高依次为，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形  C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【答案】C
考点：余弦定理的应用.
5.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，
则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由，则当时，，即，所以函数为单调递增函数，由，即，所以，所以不等式的解集为，故选C.
考点：函数单调性的应用及导数的运算.
6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其
面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
考点：椭圆的定义的应用.
7.已知等式，定义映
射，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由
所以，
所以，故选C.
考点：二项式定理的应用.
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直\[来源:Zxxk.Com\]
角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取的中点，连接，将平移到，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线与所成角，在直角三角形中，即可求解角的正切值.
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某
次考试成绩（百分制）如下表所示：\[来源:\]
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的
学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A． B． C． D．
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量的值的计算公式：\[来源:\]
【答案】B
考点：独立性检验的应用.
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（  ）
A．64  B．65 C．66 D．67
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，底层可以个，然后在底层每个球之间放一个，第二层能放个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放个、个、个，一共可放置个，故选C.
考点：空间几何体的机构特征.
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位
分数之和.如：，依次类推可得：
，其中.设
，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：归纳推理.
【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到的值是解答的关键.
12.已知，直线与函数的图像在处相切，设
，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
【答案】D
【解析】
试题分析：由题，得，则，将切点代入切线方程可得，则，令，则在上有恒成立，所以在上递增，即在在上递增，则有，则在上递增，且，不等式恒成立，即有，解得或，所以实数有最大值，故选D.
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.
【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得的值，得出函数的解析式，再判断函数的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解的取值范围.
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如
图所示的程序框图，输出的值是 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：程序框图的计算与输出.
14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，
则 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，，设与交于点，则，即分有向线段所成的比为，所以，即，因为，所以，即点的坐标为.
考点：向量的运算.
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在
此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两
点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐
标系下的方程为 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：圆的一般方程.
【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出在直角坐标下的坐标为，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.
16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比
数列，，则的最小值为 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到的取值范围，再代入，利用导数研究其单调性确定最值即可.
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差
数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.\[来源:\]
【答案】（1）；（2）.
考点：等比数列通项公式及数列求和.
18．（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，
，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织
了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有
一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具
体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每
点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，
并计算其数学期望和方差.
【答案】（1）种；（2）分布列见解析，，.
【解析】
试题分析：（1）若种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖
考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在
抛物线的准线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以
为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）①或；②.
②当，由①，知的方程为
由消去，得
则
当且仅当，即时取等号
又，当时，直线的方程为
，
，
综上，，所以实数的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.
【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.
21.（本小题满分12分）设为实数，函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）设函数当有两个极值点时，总有\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
，求实数的值（为的导函数）.
【答案】（1）最大值是；（2）.
（2）由题意，知，则
根据题意，方程有两个不同的实根
，即，且
，由
其中，得
所以上式化为
又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.
①当，不等式恒成立，；
②当时，恒成立，
令函数
显然是内的减函数，当，
③时，恒成立，即
由②，当，，即
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为，对任意的恒成立.通过讨论①当时，②当时，③时的情况是解解答的难点.
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线
分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为
参数）距离的最小值.
【答案】（1）；（2）.
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为.
考点：绝对值不等式的求解.
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绝密★启用前
2008年全国统一考试（四川卷）理科综合能力测试
相对原子质量（原子量）：H1 C12 N14 O16 Al 127 Cl 35.5
第Ⅰ卷
本卷共8小题，每小题6分，共48分，单选
6．下列说法不正确的是
A．1mol 氧气中含有12.04×10^23^个氧原子，在标准状况下占有体积22.4L
B．1mol臭氧和1.5mol氧气含有相同的氧原子数
**[C]{.underline}**．等体积、浓度均为1mol/L的磷酸和盐酸，电离出的氢离子数之比为3∶1
D．等物质的量的干冰和葡萄糖中所含碳原子数之比为1∶6，氧原子数之比为1∶3
**6**．**C【解析】**1mol氧气含有6.02×10^23^个O~2~，氧原子数为12.04×10^23^，1mol氧气在标准状况下为22.4L，故A对。1mol臭氧(O~3~)与1.5mol氧气(O~2~)均含有3mol氧原子，B正确。磷酸是弱酸，在溶液中只能部分电离。而盐酸是强酸，能够完全电离，故等体积、等浓度的磷酸和盐酸溶液中H^＋^浓度比小于3：1。显然C错。设有1mol干冰(CO~2~)、1mol葡萄糖(C~6~H~12~O~6~)；根据分子式：碳原子数比为1：1×6=1：6，氧原子数比为1×2：1×6=1：3，D对。
7．下列关于热化学反应的描述中正确的是
A．HCl和NaOH反应的中和热Δ*H*＝－57.3kJ/mol，则H~2~SO~4~和Ca(OH)~2~反应的中和热
Δ*H*＝2×(－57.3)kJ/mol
**[B]{.underline}**．CO(g)的燃烧热是283.0kJ/mol，则2CO~2~(g) ＝2CO(g)＋O~2~(g)反应的
Δ*H*＝2×283.0kJ/mol
C．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应
D．1mol甲烷燃烧生成气态水和二氧化碳所放出的热量是甲烷的燃烧热
B【解析】中和热是指生成1molH~2~O时的反应热，与酸 、碱的元数无关，A错。燃烧热是指燃烧1mol纯物质生成最稳定的化合物所放出的热量；CO的燃烧热为283.0kJ/mol，则说明燃烧1molCO放出这些热量；其逆反应一定是吸热反应，故B对。加热是反应条件，吸热反应是反应类型，两者没有直接的关系。如煤的燃烧是放热反应，却需要加热，再如NH~4~Cl与Ba(OH)~2~的反应是吸热反应，但能在常温下迅速反应。C错。燃烧热指生成稳定的化合物，而D项中的气态水不是最稳定的化合物，应为液态水。故D错。
8．在密闭容器中进行如下反应：H~2~(g) ＋I~2~(g)2HI(g)，在温度*T*~1~和*T*~2~时，产物的量与反应时间的关系如下图所示．符合图示的正确判断是
A．*T*~1~＞*T*~2~，Δ*H*＞0 B．*T*~1~＞*T*~2~，Δ*H*＜0
C．*T*~1~＜*T*~2~，Δ*H*＞0 **[D]{.underline}**．*T*~1~＜*T*~2~，Δ*H*＜0
D【解析】根据T~2~曲线先达到平衡说明T~2~高于T~1~。而T~2~时HI的含量低于T~1~时的含量，说明该反应为放热反应。显然D正确。
9．下列叙述中正确的是
A．除零族元素外，短周期元素的最高化合价在数值上都等于该元素所属的族序数
B．除短周期外，其他周期均有18个元素
**[C]{.underline}**．副族元素中没有非金属元素
D．碱金属元素是指ⅠA族的所有元素
C【解析】F的最高价为0，但不等于族序数，A错。周期与元素种类数关系为：一周期2种元素；二、三周期均为8种元素；四、五周期均为18种元素；六周期为32种元素；七周期目前为26种元素。故B错。由元素周期表结构可看出副族元素中没有非金属元素，C对。ⅠA族中的H元素不属于碱金属元素，D错。
10．下列说法中正确的是
A．离子晶体中每个离子周围均吸引着6个带相反电荷的离子
B．金属导电的原因是在外电场作用下金属产生自由电子，电子定向移动
C．分子晶体的熔沸点很低，常温下都呈液态或气态
**[D]{.underline}**．原子晶体中的各相邻原子都以共价键相结合
D【解析】离子晶体中阴阳离子排列的方式不同，某个离子吸引带相反电荷的离子的个数也不同。如NaCl为6个；CsCl为8个。故A错。没有外加电场的条件下，金属晶体中就存在自由电子，这也是金属导电、导热的根本原因。B错。一般来说分子晶体有低熔点、低沸点的物理性质。但在常温下不一定均为液态或固态。如I~2~、P、S等在常温下为固态。C错。原子晶体就是原子间以共价键相结合形成空间网状结构的固体。
11．能正确表示下列反应的离子方程式是
**[A]{.underline}**．足量硫酸铝与纯碱反应：2Al^3＋^+3CO~3~^2－^+3H~2~O=2Al(OH)~3~↓+3CO~2~↑
B．硫酸铜与烧碱反应：
C．苯酚与碳酸钠反应：
D．碳酸钡与硫酸反应：
A【解析】Al~2~(SO~4~)~3~与Na~2~CO~3~是发生双水解反应，A正确。CuSO~4~可溶不应该写化学式，B错。苯酚的酸性小于H~2~CO~3~。故－OH与Na~2~CO~3~反应：－OH＋Na~2~CO~3~→－ONa＋NaHCO~3~。C错。BaCO~3~是难溶物，应写化学式。D错。
12．胡椒粉是植物挥发油的成分之一。它的结构式为HO------CH~2~CH＝CH~2~，下列叙述中不正确的是
A．1mol胡椒粉最多可与4mol氢气发生反应
**[B]{.underline}**．1mol胡椒粉最多可与4mol溴发生反应
C．胡椒粉可与甲醛发生反应，生成聚合物
D．胡椒粉在水中的溶解度小于苯酚在水中的溶解度
B【解析】由胡椒粉的结构可以得出：与H~2~发生加成反应时苯环能与3molH~2~发生加成，另有碳碳双键也能加成1molH~2~，总计4molH~2~，故A对。当与Br~2~发生加成时只有碳碳双键与反应消耗1molBr~2~。而在苯酚的结构中与羟基的邻位碳上的2个氢原子能与Br~2~发生取代反应，消耗2molBr~2~。总计3molBr~2~发生反应，B错。胡椒粉分子中有酚羟基，故能与甲醛发生缩聚反应生成高分子化合物。C对。羟基是亲水基团，烃基是憎水基团；胡椒粉分子结构中烃基比苯酚分子中烃基大，故胡椒粉在水中的溶解度小于苯酚在水中的溶解度。D对。
13．在*a*LAl~2~(SO~4~)~3~和(NH~4~)~2~SO~4~的混合物溶液中加入*b* molBaCl~2~，恰好使溶液中的离子完全沉淀；如加入足量强碱并加热可得到*c* molNH~3~气，则原溶液中的Al^3+^离子浓度(mol/L)为
A． B． **[C]{.underline}**． D．
C【解析】设Al~2~(SO~4~)~3~、(NH~4~)~2~SO~4~的物质的量分别为xmol、ymol该过程发生的反应有：
Al~2~(SO~4~)~3~＋3BaCl~2~===2AlCl~3~＋3BaSO~4~↓ (NH~4~)~2~SO~4~＋BaCl~2~===BaSO~4~↓＋2NH~4~Cl
x 3x y y 2y
NH~4~^＋^＋OH^－^NH~3~↑＋H~2~O
2y 2y
得关系式：①3x＋y=bmol ②2y=*c* mol。解得：x=mol y=c/2mol
故c(Al^3＋^)=2× \[b－(c/2)\]/3×a=(2b－c)/3amol/L，C正确。
第II卷（共四道大题）
26．（14分）某固体混合物可能含有MgCO~3~、Al~2~(SO~4~)~3~、Na~2~SO~4~、Ba(NO~3~)~2~、AgNO~3~和CuSO~4~。将该混合物进行如下实验，根据所给实验现象完成表格（对于能确定的物质在相应位置写化学式，暂不能确定的物质在相应位置填"无"）：
(1)将少许混合物放入水中得到无色溶液和白色沉淀。
---------------- ------------------ ------
肯定存在的物质 肯定不存在的物质 理由
---------------- ------------------ ------
（2）取溶液进行焰色反应，火焰呈黄色；
---------------- ------------------ ------
肯定存在的物质 肯定不存在的物质 理由
---------------- ------------------ ------
（3）取白色沉淀加入稀盐酸，沉淀完全溶解并放出气体。
---------------- ------------------ ------
肯定存在的物质 肯定不存在的物质 理由
---------------- ------------------ ------
（4）通过上述实验仍无法确定的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【**解析**】本题主要考查离子的检验和共存。
（1）混合物放入水中得到无色溶液，肯定无CuSO~4~，因为CuSO~4~溶液是蓝色的。因为BaCO~3~、BaSO~4~、MgCO~3~等都是不溶于水的白色沉淀，所以无法确定存在哪些物质。
（2）焰色反应呈黄色，说明存在钠盐，即混合物中肯定含有Na~2~SO~4~。不能确定哪种物质肯定不存在。
（3）在（2）中通过焰色反应，确定混合物中含有Na~2~SO~4~，则混合物中一定不含Ba(NO~3~)~2~溶液，否则和Na~2~SO~4~生成BaSO~4~，不溶于盐酸；另外混合物中也一定不含AgNO~3~溶液，否则加入盐酸生成白色AgCl沉淀。白色沉淀溶于盐酸，并放出气体，则一定为MgCO~3~。
（4）通过上述试验仍无法确定是否含有Al~2~(SO~4~)~3~。
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无 CuSO~4~ 溶液无色，而CuSO~4~溶液为蓝色
---- --------- -------------------------------
**【答案】**（l）
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Na~2~SO~4~ 无 钠的焰色反应呈黄色
------------ ---- --------------------
（2）
（3）
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MgCO~3~ Ba(NO~3~)~2~ AgNO~3~ MgCO~3~沉淀溶于盐酸，有气体放出；如有Ba(NO~3~)~2~，生成的BaSO~4~沉淀不溶于盐酸；如有AgNO~3~，生成的沉淀在盐酸中不消失。
--------- ---------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（4）Al~2~(SO~4~)~3~
27．（15分）D、E、X、Y、Z是周期表中的前20号元素，且原子序数逐渐增大。它们的最简氢化物分子的空间构型依次是正四面体、三角锥形、正四面体、角形（V形）、直线形。回答下列问题：
（1）Y的最高价氧化物的化学式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）上述5种元素中，能形成酸性最强的含氧酸的元素是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，写出该元素的任意3种含氧酸的化学式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）D和Y形成的化合物，其分子的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）D 和X形成的化合物，其化学键类型属\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，其晶体类型属\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（5）金属镁和E的单质在高温下反应得到的产物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，此产物与水反应生成两种碱，该反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（6）试比较D和X的最高价氧化物熔点的高低并说明理由：
\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline}
**【解析】**由于D、E、X、Y、Z是周期表中的前20号元素，且原子序数逐渐增大；并且它们的最简氢化物的空间构型为正四面体、三角锥形、正四面体、角形（V形）、直线形。所以W、X为C、Si，E为N元素；Y为S，Z是Cl。
（1）Y的最高价氧化物的化学式为SO~3~。⑵非金属性越强，其对于拟稿含氧酸的酸性越强，在C、N、Si、S、Cl五种元素中Cl元素的非金属最强，对应的最高价氧化物酸性最强。对应的三种含氧酸为HClO、HClO~3~、HClO~4~。
⑶D和Y形成的化合物为CS~2~，空间构型为直线型。
⑷D和X形成的化合物为Si~3~C~4~,通过共价键形成原子晶体。
⑸金属镁和E的单质N~2~在高温下得到Mg~3~N~2~，与水反应的方程式：Mg~3~N~2~十6H~2~O = 3Mg(OH)~2~↓＋2NH~3~↑。
⑹D和X的最高价氧化物分别为CO~2~和SiO~2~因为CO~2~是分子晶体，SiO~2~是原子晶体，故SiO~2~熔点高于CO~2~。
**【答案】**（1）SO~3~ （2）Cl，HClO HClO~2~ HClO~3~ HClO~4~（任写 3种酸）
（3）直线形 （4）共价键 原子晶体
（5）Mg~3~N~2~ Mg~3~N~2~十8H~2~O = 3Mg(OH)~2~↓＋2NH~3~·H~2~O(Mg~3~N~2~十6H~2~O = 3Mg(OH)~2~↓＋2NH~3~↑）
（6）D的最高价氧化物是CO~2~，X的最高价氧化物是SiO~2~，前者比后者的熔点低。因为前者为分子晶体，由分子间力结合，而后者为原子晶体，由共价键结合；共价键强度大于分子间力。
28．（15分）某课外小组利用H~2~还原黄色的WO~3~粉末测定W的相对原子质量，下图是测定装置的示意图，A中的试剂是盐酸。
请回答下列问题。
（1）仪器中装入的试剂：B\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 、C\_\_\_\_\_\_\_\_、D\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）连接好装置后应首先\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，其方法是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
> （3）"加热反应管E"和"从A瓶逐滴滴加液体"这两步操作应该先进行的是 \_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_。在这两步之间还应进行的操作是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）反应过程中G管逸出的气体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，其处理方法是
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_[\_ \_]{.underline}\_\_。
（5）从实验中测得了下列数据
①空E管的质量*a*
②E管和WO~3~的总质量*b*
③反应后E管和W粉的总质量*c*（冷却到室温称量）
④反应前F管及内盛物的总质量*d*
⑤反应后F管及内盛物的总质量*e*
由以上数据可以列出计算W的相对原子质量的两个不同计算式（除W外，其他涉及的元素的相对原子质量均为已知）：
计算式1：A~r~(W)＝\_\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_\_\_\_；计算式2：A~r~(W)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} \_\_。
**【解析】**⑴一般用盐酸和锌粒反应制取氢气，故B中放锌粒，C中用水吸收挥发出的HCl气体，D中用浓硫酸干燥H~2~。
⑵连接好装置后应先检验装置的气密性；具体方法是：将G弯管浸没在盛有水的烧杯中，温热烧瓶B，观察G管口，若有气泡逸出，说明装置的气密性良好。
⑶应先通入氢气，然后在加热反应管E，所以应该先向A瓶逐滴滴加液体，制取氢气；在加热反应管E 之前，还有检验氢气的纯度，只有氢气纯了，才能加热反应管E。
⑷F会将生成的水蒸气吸收，最后从G管逸出的气体是氢气，可以采用在G管出口处点燃的方法，除去多余的氢气。
⑸根据反应：WO~3~+3H~2~W+3H~2~O，列方程式得：
W+48 W 54
b-a c-a e-d
= 得：A~r~(W)＝；由= 得：A~r~(W)＝。
【答案】（1）锌粒 水 浓硫酸 （2）检查气密性 将G弯管浸没在盛有水的烧杯中，温热烧瓶B，观察G管口，若有气泡逸出，说明装置的气密性良好
（3）先从A瓶逐滴滴加液体 检验H~2~的纯度
（4）氢气 在G管出口处点燃
（5）
29．（16分）下图中A、B、C、D、E、F、G、H均为有机化合物。
回答下列问题：
（1）有机化合物 A的相对分子质量小于60，A能发生银镜反应，1molA在催化剂作用下能与3 mol H~2~反应生成B，则A的结构简式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，由A生成B的反应类型是 [ ]{.underline} ；
（2）B在浓硫酸中加热可生成C，C在催化剂作用下可聚合生成高分子化合物D，由C生成D的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_[\_\_ \_]{.underline}\_\_\_\_\_；
（3）①芳香化合物E的分子式是C~8~H~8~Cl~2~。E的苯环上的一溴取代物只有一种，则E的所有可能的结构简式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②E在NaOH溶液中可转变为F，F用高锰酸钾酸性溶液氧化生成G（C~8~H~6~O~4~）。1 mol G与足量的 NaHCO~3~溶液反应可放出 44.8 L CO~2~（标准状况），由此确定E的结构简式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（4）G和足量的B在浓硫酸催化下加热反应可生成H，则由G和B生成H的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，
该反应的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**【解析】**（1）A能发生银镜反应，说明A中含有---CHO；且1mol醛基可以和1molH2发生加成反应，但1mol A在催化剂作用下能与3 mol H~2~，并且分子量小于60，所以A为：HC≡C-CHO。由A生成B的反应为加成反应，也是还原反应。
（2）B为CH~3~CH~2~CH~2~OH，在浓硫酸作用下发生消去生成C为CH~3~CH=CH~2~，丙烯可以发生加聚反应生成D，方程式为：。
（3）①E的分子式是C~8~H~8~Cl~2~。E的苯环上的一溴取代物只有一种，则E的所有可能的结构简式
②E在NaOH溶液中可转变为F，F用高锰酸钾酸性溶液氧化生成G（C~8~H~6~O~4~）；并且1 mol G与足量的 NaHCO~3~溶液反应可放出 44.8 L CO~2~，说明F可以氧化为二元羧酸，则说明E中苯环上的两个基团在对位，所以E为：。
（4）G是对苯二甲酸（HOOC－－COOH），与（CH~3~CH~2~CH~2~OH）在浓硫酸作用下发生酯化反应，反应方程式为：HOOC－－COOH+2CH~3~CH~2~CH~2~OHH~3~CCH~2~CH~2~OOC－－COOCH~2~CH~2~CH~3~+2H~2~O，反应类型为：酯化反应 （或取代反应）。
【答案】
酯化反应 （或取代反应）
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数 学（文史类）**
**参考答案**
**一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．**
1．B 2．C 3．C 4．A 5．C
6．D 7．D 8．B 9．A 10．A
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．**
11．70
12．84
13．14
14．x+3y=0
15．
16．630
**三、解答题**
17．本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力。满分12分。
（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
，
所以
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
因此，
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：设"从甲盒内取出的2个球均为红球"为事件，"从乙盒内取出的2个球均为红球"为事件。由于事件相互独立，且
，，
故取出的4个球均为红球的概率是
（Ⅱ）解：设"从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球"为事件，"从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球"为事件。由于事件互斥，且
，
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
19．本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力。满分12分。
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故。
又，，从而平面。故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角。
在中，，故。
所以和平面所成的角的大小为。
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故。
由条件，，面。
又面，。
由，，可得。
是的中点，，
又，综上得平面。
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结。由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则。
因此是二面角的平面角。
由已知，可得．设，可得
，，，。
在中，，，则
。
在中，。
所以二面角的大小。
20．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：由题设，得
，
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为
所以，数列的前项和
（Ⅲ）证明：对任意的，
所以不等式，对任意皆成立
21．本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
（Ⅱ）解：
令，解得或
由于，以下分两种情况讨论
（1）若，当变化时，的正负如下表：
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为
要使①式恒成立，必须，即或
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立。
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分。
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入上式并化简得，即
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知
，故
由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即
（Ⅱ）圆上的任意点处的切线方程为
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组。
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是
，
若，则
．
所以，由，得．在区间内此方程的解为
当时，必有，同理求得在区间内的解为
另一方面，当时，可推出，从而
综上所述，使得所述命题成立。
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**2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（5分）设集合M={m∈Z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z\|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
3．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
5．（5分）若x∈（e^﹣1^，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln^3^x，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
7．（5分）设曲线y=ax^2^在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
8．（5分）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
9．（5分）的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
10．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（5分）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=[ ]{.underline}．
14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有[ ]{.underline}种（用数字作答）
15．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于[ ]{.underline}．
16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①[ ]{.underline}；
充要条件②[ ]{.underline}．
（写出你认为正确的两个充要条件）
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．
18．（12分）等差数列{a~n~}中，a~4~=10且a~3~，a~6~，a~10~成等比数列，求数列{a~n~}前20项的和S~20~．
19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
20．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB=4，点E在CC~1~上且C~1~E=3EC．
（Ⅰ）证明：A~1~C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
21．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈\[0，2\]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
22．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
**2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有
【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．
【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．
故选：C．
【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正
2．（5分）设集合M={m∈Z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z\|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】由题意知集合M={m∈z\|﹣3＜m＜2}，N={n∈z\|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N={﹣1，0，1}，
故选：B．
【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．
3．（5分）原点到直线x+2y﹣5=0的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有
【分析】用点到直线的距离公式直接求解．
【解答】解析：．
故选：D．
【点评】点到直线的距离公式是高考考点，是同学学习的重点，本题是基础题．
4．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）
A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．
5．（5分）若x∈（e^﹣1^，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln^3^x，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【分析】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．
【解答】解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，
故当x∈（e^﹣1^，1）时，a∈（﹣1，0），
于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．
又a﹣c=lnx﹣ln^3^x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．
综上所述，b＜a＜c．
故选：C．
【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．
6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选：D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
7．（5分）设曲线y=ax^2^在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【解答】解：y\'=2ax，
于是切线的斜率k=y\'\|~x=1~=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
8．（5分）正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求正四棱锥的高，再求正四棱锥的底面边长，然后求其体积．
【解答】解：高，又因底面正方形的对角线等于，
∴底面积为，∴体积
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，注意在底面积的计算时，要注意多思则少算．
9．（5分）的展开式中x的系数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】先利用平方差公式化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为1求得展开式中x的系数．
【解答】解：=（1﹣x）^4^
（1﹣x）^4^的展开式的通项为T~r+1~=C~4~^r^（﹣x）^r^=（﹣1）^r^C~4~^r^x^r^
令r=1得展开式中x的系数为﹣4
故选：A．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定想问题的工具．
10．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简，即可得到答案．
【解答】解：，所以最大值是
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的最值问题．三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题．
11．（5分）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题设条件可知2c=\|AB\|，所以，由双曲线的定义能够求出2a，从而导出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意2c=\|AB\|，所以，由双曲线的定义，有，
∴
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的有关性质和双曲线定义的应用．
12．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
【解答】解：设两圆的圆心分别为O~1~、O~2~，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO~1~EO~2~为矩形，
于是对角线O~1~O~2~=OE，而OE==，
∴O~1~O~2~=
故选：C．
【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=[ 2 ]{.underline}．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．
【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），
∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．
∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，
∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，
∴λ=2．
故答案为2
【点评】考查两向量共线的充要条件．
14．（5分）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有[ 420 ]{.underline}种（用数字作答）
【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论．
【分析】由题意分类：①男同学选1人，女同学中选2人，确定选法；②男同学选2人，女同学中选1人，确定选法；然后求和即可．
【解答】解：由题意共有两类不同选法，①男同学选1人，女同学中选2人，不同选法C~10~^1^C~6~^2^=150；
②男同学选2人，女同学中选1人，不同选法C~10~^2^C~6~^1^=270；
共有：C~10~^1^C~6~^2^+C~10~^2^C~6~^1^=150+270=420
故答案为：420
【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．
15．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于[ 2 ]{.underline}．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则，=4x~2~，两式相减可得：（y~1~+y~2~）（y~1~﹣y~2~）=4（x~1~﹣x~2~），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k~AB~，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得\|AB\|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：∵F是抛物线C：y^2^=4x的焦点，∴F（1，0）．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则，=4x~2~，
两式相减可得：（y~1~+y~2~）（y~1~﹣y~2~）=4（x~1~﹣x~2~），
∵线段AB的中点为M（2，2），∴y~1~+y~2~=2×2=4，
又=k~AB~，
4k~AB~=4，解得k~AB~=1，
∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，
联立，解得，，
∴\|AB\|==4．
点F到直线AB的距离d=，
∴S~△ABF~===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题、"点差法"、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①[ 三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体 ]{.underline}；
充要条件②[ 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分； ]{.underline}．
（写出你认为正确的两个充要条件）
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；21：阅读型．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．
【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，
则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．
类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，
则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC=sin（A+B）利用正弦的两角和公式求得答案．
（Ⅱ）先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）
∵在△ABC中，A+B+C=180°，sinC=sin（180﹣（A+B））=sin（A+B）
由，得，
由，得．
所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以△ABC的面积S=BC•AC•sinC=×5××=．
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．
18．（12分）等差数列{a~n~}中，a~4~=10且a~3~，a~6~，a~10~成等比数列，求数列{a~n~}前20项的和S~20~．
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】先设数列{a~n~}的公差为d，根据a~3~，a~6~，a~10~成等比数列可知a~3~a~10~=a~6~^2^，把d和a~4~代入求得d的值．再根据a~4~求得a~1~，最后把d和a~1~代入S~20~即可得到答案．
【解答】解：设数列{a~n~}的公差为d，则a~3~=a~4~﹣d=10﹣d，a~6~=a~4~+2d=10+2d，a~10~=a~4~+6d=10+6d．
由a~3~，a~6~，a~10~成等比数列得a~3~a~10~=a~6~^2^，
即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）^2^，
整理得10d^2^﹣10d=0，
解得d=0或d=1．
当d=0时，S~20~=20a~4~=200．
当d=1时，a~1~=a~4~﹣3d=10﹣3×1=7，
于是=20×7+190=330．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．
19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立，在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，用事件分别表示为A=A~1~•B~1~+A~2~•B~1~+A~2~•B~2~，且这三种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到结果．
（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到结果．
【解答】解：记A~1~，A~2~分别表示甲击中9环，10环，B~1~，B~2~分别表示乙击中8环，9环，
A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
C~1~，C~2~分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）甲、乙的射击相互独立
在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数包括三种情况，
用事件分别表示为A=A~1~•B~1~+A~2~•B~1~+A~2~•B~2~，且这三种情况是互斥的，
根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到
∴P（A）=P（A~1~•B~1~+A~2~•B~1~+A~2~•B~2~）=P（A~1~•B~1~）+P（A~2~•B~1~）+P（A~2~•B~2~）
=P（A~1~）•P（B~1~）+P（A~2~）•P（B~1~）+P（A~2~）•P（B~2~）
=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．
（Ⅱ）由题意知在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数表示三轮中恰有两轮或三轮甲击中环数多于乙击中的环数，这两种情况是互斥的，即B=C~1~+C~2~，
∵P（C~1~）=C~3~^2^\[P（A）\]^2^\[1﹣P（A）\]=3×0.2^2^×（1﹣0.2）=0.096，
P（C~2~）=\[P（A）\]^3^=0.2^3^=0.008，
∴P（B）=P（C~1~+C~2~）=P（C~1~）+P（C~2~）=0.096+0.008=0.104．
【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，包括应用互斥事件和相互独立事件的概率，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，这是可以作为一个解答题的题目，是一个典型的概率题．
20．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB=4，点E在CC~1~上且C~1~E=3EC．
（Ⅰ）证明：A~1~C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；15：综合题；35：转化思想．
【分析】法一：（Ⅰ）要证A~1~C⊥平面BED，只需证明A~1~C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A~1~H，说明∠A~1~HG是二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A~1~C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA~1~E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A~1~﹣DE﹣B的大小．
【解答】解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A~1~C．（3分）
在平面A~1~CA内，连接EF交A~1~C于点G，
由于，
故Rt△A~1~AC∽Rt△FCE，∠AA~1~C=∠CFE，∠CFE与∠FCA~1~互余．
于是A~1~C⊥EF．A~1~C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A~1~C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A~1~H．由三垂线定理知A~1~H⊥DE，
故∠A~1~HG是二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角．（8分）
，，．，．
又，．．
所以二面角A~1~﹣DE﹣B的大小为．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D﹣xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A~1~（2，0，4）．
，．（3分）
（Ⅰ）因为，，
故A~1~C⊥BD，A~1~C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A~1~C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA~1~E的法向量，则，．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9分）等于二面角A~1~﹣DE﹣B的平面角，
所以二面角A~1~﹣DE﹣B的大小为．（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
21．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈\[0，2\]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）导函数在x=2处为零求a，是必要不充分条件故要注意检验
（Ⅱ）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范围也是必要不充分条件注意检验
【解答】解：
（Ⅰ）f\'（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f\'（2）=0，即6（2a﹣2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax^3^﹣3x^2^+3ax^2^﹣6x=ax^2^（x+3）﹣3x（x+2）．
当g（x）在区间\[0，2\]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a﹣24．
故得．
反之，当时，对任意x∈\[0，2\]，==≤0，
而g（0）=0，故g（x）在区间\[0，2\]上的最大值为g（0）．
综上，a的取值范围为．
【点评】当函数连续且可导，极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．
22．（12分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，进而求得x~2~的表达式，进而根据求得x~0~的表达式，由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，进而求得x~0~的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知\|BO\|和\|AO\|的值，设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），其中x~1~＜x~2~，
且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，
故．①
由知x~0~﹣x~1~=6（x~2~﹣x~0~），得；
由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，得．
所以，
化简得24k^2^﹣25k+6=0，
解得或．
（Ⅱ）由题设，\|BO\|=1，\|AO\|=2．由（Ⅰ）知，E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），
不妨设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，由①得x~2~＞0，根据E与F关于原点对称可知y~2~=﹣y~1~＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S~△OBE~+S~△OBF~+S~△OAE~+S~△OAF~
=•（﹣y~1~）
=
=x~2~+2y~2~
===，
当x~2~=2y~2~时，上式取等号．所以S的最大值为．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．
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2020年深圳市中考数学试卷
**一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）**
1. 2020的相反数是( )
A.2020 B. C.-2020 D.
【考点】相反数
【答案】C
【解析】由相反数的定义可得选C。
2. 下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )
   
A. B. C. D.
【考点】轴对称和中心对称
【答案】B
【解析】A图既不是轴对称也不是中心对称；C图为轴对称，但不是中心对称；D图为中心对称，但不是轴对称，故选B。
3. 2020年6月30日，深圳市总工会启动"百万职工消费扶贫采购节"活动，预计撬动扶贫消费额约
150 000 000元。将150 000 000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【考点】科学计数法
【答案】D
【解析】用科学计数法表示小数点需向左移动8位，故选D。
4. 下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是( )
   
A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.正方体
【考点】三视图
【答案】D
【解析】分析以上立方体的三视图，可知三视图都相同的为D项。
5. 某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳。考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247,253,247,255,263.这五次成绩的**平均数**和**中位数**分别是（）( )
A.253，253 B.255，253 C.253，247 D.255，247
【考点】数据的描述
【答案】A
【解析】求平均数可用基准数法，设基准数为250，则新数列为-4，3，-3，5，13，新数列的平均数为3，则原数列的平均数为253；对数据从小到大进行排列，可知中位数为253，故选A。
6. 下列运算正确的是( )
A. B.
 C. D.
【考点】整式的运算
【答案】B
【解析】A项结果应为3a，C项结果应为，D项结果应为。
7. 一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
【考点】平行线的性质
【答案】D
【解析】令直角三角形中与30°互余的角为，则，由两直线平行，同旁内角互补得：，故选D。
8. 如图，已知*AB*=*AC*，*BC*=6，山尺规作图痕迹可求出*BD*=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】等腰三角形的三线合一
【答案】B
【解析】由作图痕迹可知AD为的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B。
9. 以下说法正确的是( )
A.平行四边形的对边相等 B.圆周角等于圆心角的一半
C.分式方程的解为*x*=2 D.三角形的一个外角等于两个内角的和
【考点】命题的真假
【答案】A
【解析】B没有强调同弧，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；C项*x*=2为增根，原分式方程无解；D项没有指明两个内角为不想邻的内角，故错误。正确的命题为A。
10. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的*P*、*Q*两点分别测定对岸一棵树*T*的位置，*T*在*P*的正北方向，且*T*在*Q*的北偏西70°方向，则河宽（*PT*的长）可以表示为（） ( )
A.200*tan*70°米 B.米
C.200*sin*70°米 D.米
【考点】直角三角形的边角关系
【答案】B
【解析】由题意知，则，变形可得选B。
11. 二次函数*y*=*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. B.4*ac*-*b*^2^\<0
C.3*a*+*c*\>0 D.*ax*^2^+*bx*+*c*=*n*+1无实数根
【考点】二次函数综合
【答案】B
【解析】由图可知二次函数对称轴为*x*=-1，则根据对称性可得函数与*x*轴的另一交点坐标为(1，0)，代入
解析式*y*=*ax*^2^+*bx*+*c可得b=2a，c=-3a，其中a\<0。b\<0，c\>0，3a+c=0，abc\>0；二次函数与x轴有两个交点，，故B项错误；D项可理解为二次函数与直线y=n+1无交点，显然成立。综上，此题选B。*
12. 如图，矩形纸片*ABCD*中，*AB*=6，*BC*=12.将纸片折叠，使点*B*落在边*AD*的延长线上的点*G*处，折痕为*EF*，点*E*、*F*分别在边*AD*和边*BC*上。连接*BG*，交*CD*于点*K*,*FG*交*CD*于点*H*。给出以下结论：
1. *EF*⊥*BG；*②*GE=GF；*③△*GDK*和△*GKH*的面积相等；④当点*F与点C重合*时，∠*DEF*=75°
其中**正确**的结论共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】几何综合
【答案】C
【解析】由折叠易证四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；KG平分，,,∴,,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴，，故④正确。综合，正确的为①②④，选C。
**二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）**
13. 分解因式：*m*^3^-*m*=[ ]{.underline}.
【考点】因式分解
【答案】
【解析】
14. 口袋内装有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是[ ]{.underline}.
【考点】等可能性事件概率
【答案】
【解析】摸到编号为偶数的球的情况有3种：编号为2，4，6，∴概率为。
15. 如图，在平面直角坐标系中，*ABCO*为平行四边形，*O*（0，0），*A*（3，1），*B*（1，2），反比例函数的图象经过*OABC*的顶点C，则*k*=[ .]{.underline}
【考点】反比例函数k值
【答案】-2
【解析】如图，向坐标轴作垂线，易证△CDO≌△BFA，CD=BF=1,DO=FA=2,∴C点坐标为(-2，1)，故k=-2
16. 如图，已知四边形*ABCD*，*AC*与*BD相*交于点*O*，∠*ABC*=∠*DAC*=90°，，，则=[ .]{.underline}
【考点】三角形形似
【答案】
【解析】过B点作BE//AD交AC于点E，则BE⊥AD，△ADO∽△EBO，
∴,由可得CE=2BE=4AE，
∴
**三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分）**
17. 计算：
【考点】实数的计算
【答案】2
【解析】
解：
18. 先化简，再求值：，其中*a*=2.
【考点】代数式的化简求值
【答案】
【解析】
解：
当a=2时，
19. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛。某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调査了*m*名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
根据以上信息，解答下列问题：
（1）*m*=[ ]{.underline}，n=[ ]{.underline}.
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，"软件"所对应圆心角的度数是[ .]{.underline}
（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计"总线"专业的毕业生有[ ]{.underline}名
【考点】数据统计
【答案】（1）50，10（2）见解析（3）70^0^（4）180
【解析】由统计图可知，，n=10。硬件专业的毕业生为人，则统计图为
软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为。若该公司新聘600名毕业生，"总线"专业的毕业生为名。
20. 如图，*AB*为⊙*O*的直径，点*C*在⊙*O*上，*AD*与过点*C*的切线互相垂直，垂足为*D*.连接*BC*并延长，交*AD*的延长线于点*E*
（1）求证：*AE*=*AB*
（2）若*AB*=10，*BC*=6，求*CD*的长
【考点】圆的证明与计算
【解析】
解：（1）证：连接*OC*
∵*CD*与相切于*C*点
∴*OC*⊥*CD*
又∵*CD*⊥*AE*
∴*OC*//*AE*
∴
∵*OC*=*OB*
∴
∴
∴*AE*=*AB*
（2）连接*AC*
∵*AB*为的直径
∴
∴
∵*AB*=*AE*，*AC*⊥*BE*
∴*EC*=*BC*=6
∵,
∴△*EDC*∽△*ECA*
∴
∴
21. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【考点】方程（组）与不等式
【解析】
解：（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为*x*,*y*元，则根据题意可得：
解此方程组得：
答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元
（2）设第二批购进肉粽*t*个，第二批粽子得利润为*W*，则
∵*k*=2\>0
∴*W*随*t*的增大而增大。
由题意，解得
∴当*t*=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润
答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元。
22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点*E*，*A*，*D*在同一条直线上），
> 发现*BE*=*DG*且*BE*⊥*DG*。
>
> 小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形*AEFG*绕点*A*按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到*BE*=*DG*吗？如果能，请给出证明．如
若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形*AEFG*和菱形*ABCD*，将菱形*AEFG*绕点*A*按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠*EAG*与∠*BAD*的大小满足怎样的关系时，背景中的结论*BE*=*DG*仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形*AEFG*和矩形*ABCD*，且，*AE*=4，*AB*=8，将矩形*AEFG*绕点*A*按顺时针方向旋转（如图3），连接*DE*，*BG*。小组发现：在旋转过程中， *BG*^2^+*DE*^2^是定值，请求出这个定值
【考点】手拉手，相似，勾股
【解析】
解：（1）证明：∵四边形*ABCD*为正方形
> ∴*AB*=*AD*，
>
> ∵四边形*AEFG*为正方形
>
> ∴*AE*=*AG*，
>
> ∴
>
> 在△*EAB*和△*GAD*中有：
>
> ∴△*EAB*≌△*GAD*
>
> ∴*BE*=*DG*
(2)当∠*EAG*=∠*BAD*时，*BE*=*DG*成立。
证明：∵四边形*ABCD*菱形
> ∴*AB*=*AD*
>
> ∵四边形*AEFG*为正方形
>
> ∴*AE*=*AG*
>
> ∵∠*EAG*=∠*BAD*
>
> ∴\
> ∴\
> 在△*EAB*和△*GAD*中有：
>
> ∴△*EAB*≌△*GAD*
>
> ∴*BE*=*DG*
(3)连接*EB*，*BD*,设*BE*和*GD*相交于点*H*
∵四边形*AEFG*和*ABCD*为矩形
∴
∴
∵
∴△*EAB*∽△*GAD*
∴
∴\
∴,\
∴
,
∴
23. 如图1，抛物线*y*=*ax*^2^+*bx*+3（*a*≠0）与*x*轴交于*A*（-3，0）和*B*（1，0），与*y*轴交于点*C*，顶点为*D*
（1）求解抛物线解析式
（2）连接*AD*，*CD*，*BC*，将△*OBC*沿着*x*轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到,点*O*、*B*、*C*的对应点分别为点，，，设平移时间为*t*秒，当点与点*A*重合时停止移动。记△与四边形*AOCD*的重叠部分的面积为*S*，请**直接写出***S*与时间*t*的函数解析式;
（3）如图2，过抛物线上**任意**一点*M*（*m*，*n*）向直线*l*:作垂线，垂足为*E*，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点*F*，使得*ME*-*MF*=？若存在，请求*F*点的坐标；若不存在，请说明理由。
【考点】二次函数，变量之间的关系，存在性问题
【解析】
解：（1）将*A*（-3，0）和*B*（1，0）代入抛物线解析式*y*=*ax*^2^+*bx*+3中，可得：
∴抛物线解析式为*y*=-*x*^2^-2*x*+3
（2）①如图所示，当0\<*t*\<1时，
由抛物线解析式得顶点*D*坐标为(-1，4)，则直线*AD*的解析式为
*y*=2*x*+6,当在*AD*上时，坐标为
②当时，完全在四边形*AOCD*内，
③当时，如图所示，过*G*点作*GH*⊥,设*HG*=*x*，
∵
∴
∵
∴
∴
而
∴
∴
∴
综上：
（3）假设存在，设*F*点坐标为(-1，*t*)
∵点*M*（*m*，*n*）在抛物线上
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴，
∴
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(****秋)**
**第3单元 第三节：数豆子**
一、按从小到大的顺序，把下面各数排列起来。
33 46 64 98 89 70 19
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
二、填空。
62，72，68，26，46，27，42，69。
个位是2的数\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，十位是6的数\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
三、判断题。（对的画√，错的画×）
1、和39相邻的数是40和41。（ ）
2、36后面第五个数是40。（ ）
3、个位是1，十位是6，这个数是16。（ ）
4、30里面有30个一。（ ）
5、最大的两位数是91。（ ）
6、最小的两位数是11。（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
四、写数。
1、2个2个地数，从32写到50。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
2、5个5个地数，从5写到50。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
3、10个10个地数，从10写到100。
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
五、写出下面每个数的相邻数。
1、（ ）28（ ） 2、（ ）60（ ）
3、（ ）93（ ） 4、（ ）59（ ）\[来源:学+科+网\]
5、（ ）41（ ） 6、（ ）99（ ）
六、填空。
（1）1个十和5个一组成（ ）。 2个十是（ ）
（2）17是由（ ）个十和（ ）个一组成的。
（3）从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）。
（4）写出下面各数。
十三（ ） 十七（ ） 九（  ） 二十（ ）
（5）一个两位数的十位上的数字是1，个位上的数字是4，这个数是（ ）。
（6）一个两位数的十位上的数字是1，个位上的数字是7，这个数是（ ）。
（7）16前面的一个数是（ ），后面的一个数是（ ）。
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
答案\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
一、
（ 19 ）（ 33 ）（ 46 ）（ 64 ）（ 70 ）（ 89 ）（ 98 ）
二、
个位是2的数[62，72，42，]{.underline}，十位是6的数[69，68，62]{.underline}。
三、
1、× 2、× 3、× 4、√ 5、× 6、×
四、
1、32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
2、5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
3、10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
五、
1、（ 27 ）28（ 29 ）  2、（ 59 ）60（ 61 ）
3、（ 92 ）93（ 94 ） 4、（ 58 ）59（ 60 ）
5、（ 40 ）41（ 42 ） 6、（ 98 ）99（ 100 ）
六、填空。
（1）15 20
（2）1 7
（3）个 十
（4）十三（ 13 ） 十七（ 17 ） 九（ 9 ） 二十（ 20 ）
（5）14\[来源:Z,xx,k.Com\]
（6）17
（7）15 17
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题十（附答案）**
一、小小探索家。(填空)
1．甲数除以乙数的商是5，甲数与乙数的比是( )，甲数与甲、乙两数之和的比是( )。
2．7.2:0.8化简成最简整数比是( ):( )，比值是( )。
3．给2:5的前项加上4，要使比值不变，后项应加上( )。
4．总产量一定，亩产量和亩数成( )。
5．正方形的边长和周长成( )。
6．甲数的等于乙数的，甲数是乙数的( )。
二、小法官,巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．任何两个比都可以组成比例。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．两种相关联的量，不成正比例就成反比例。( )
3.总产量一定，单产量和数量成反比例。( )
4.如果A×=B×，那么A:B=9:16。( )
三、把能组成比例的两个比连起来。
0.75:0.06 20:
8:1 2.5:
10: 150:25来源：www.bcjy123.com/tiku/
0.9:1.5 3:14
0.3:1.4 4.8:8
四、根据条件列比例，解比例。
1．等号左边的比是18:30，等号右边的比是x:35。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．比的两个外项是50和x，两个内项是8和5。
五、问题银行。(用比例知识解答)
1．用方砖铺地，铺6平方米用216块，用这种砖铺地8平方米，需用方砖多少块？
2．某服装厂要给青海玉树地震灾区加工一批服装，计划5天生产900件服装。照这样计算，要生产5400件服装，需要多少天？
3．有一个正方体，每个面分别写上"数"、"学"、"奥"、"林"、"匹"、"克"这六个汉字，三个人从不同角度观察的结果如下图所示。问这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？
六、在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？(两个队之间比赛一次称为1场)
**参考答案**
一、1．5:1 5:6 2.9:1 9 3.10 4.反比例 5.正比例 6．
二、1．× 2．× 3．√4．×
三、
四、1．x= 21 2．x= 0.8 列比例略
五、1．288块 2．30天 3．数---匹 学---林 克---奥
六、6场
| 1 | |
**2019年湖北省孝感市中考数学试卷**
**一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•孝感）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39
2．（3分）（2019•孝感）如图，直线*l*~1~∥*l*~2~，直线*l*~3~与*l*~1~，*l*~2~分别交于点*A*，*C*，*BC*⊥*l*~3~交*l*~1~于点*B*，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
> 
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．（3分）（2019•孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•孝感）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
5．（3分）（2019•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．*x*^7^÷*x*^5^＝*x*^2^ B．（*xy*^2^）^2^＝*xy*^4^
C．*x*^2^•*x*^5^＝*x*^10^ D．（+）（﹣）＝*b*﹣*a*
6．（3分）（2019•孝感）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为"杠杆原理"，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200*N*和0.5*m*，则动力*F*（单位：*N*）关于动力臂*l*（单位：*m*）的函数解析式正确的是（ ）
A．*F*＝ B．*F*＝ C．*F*＝ D．*F*＝
7．（3分）（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
8．（3分）（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点*P*（2，3）绕原点*O*顺时针旋转90°得到点*P*\'，则*P*\'的坐标为（ ）
> 
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
9．（3分）（2019•孝感）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4*min*内只进水不出水，容器内存水8*L*；在随后的8*min*内既进水又出水，容器内存水12*L*；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量*y*（单位：*L*）与时间*x*（单位：*min*）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•孝感）如图，正方形*ABCD*中，点*E*、*F*分别在边*CD*，*AD*上，*BE*与*CF*交于点*G*．若*BC*＝4，*DE*＝*AF*＝1，则*GF*的长为（ ）
> 
A． B． C． D．
**二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）**
11．（3分）（2019•孝感）中国"神威•太湖之光"计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•孝感）方程＝的解为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•孝感）如图，在*P*处利用测角仪测得某建筑物*AB*的顶端*B*点的仰角为60°，点*C*的仰角为45°，点*P*到建筑物的距离为*PD*＝20米，则*BC*＝[ ]{.underline}米．
> 
14．（3分）（2019•孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内"垃圾分类"的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（*A*．小于5天；*B*.5天；*C*.6天；*D*.7天），则扇形统计图*B*部分所对应的圆心角的度数是[ ]{.underline}．
> 
15．（3分）（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了"割圆术"，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积*S*~1~来近似估计⊙*O*的面积*S*，设⊙*O*的半径为1，则*S*﹣*S*~1~＝[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•孝感）如图，双曲线*y*＝（*x*＞0）经过矩形*OABC*的顶点*B*，双曲线*y*＝（*x*＞0）交*AB*，*BC*于点*E*、*F*，且与矩形的对角线*OB*交于点*D*，连接*EF*．若*OD*：*OB*＝2：3，则△*BEF*的面积为[ ]{.underline}．
> 
**三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）**
17．（6分）（2019•孝感）计算：\|﹣1\|﹣2sin60°+（）^﹣1^+．
18．（8分）（2019•孝感）如图，已知∠*C*＝∠*D*＝90°，*BC*与*AD*交于点*E*，*AC*＝*BD*，求证：*AE*＝*BE*．
> 
19．（7分）（2019•孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
> （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是[ ]{.underline}．
>
> （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点*M*的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点*M*的纵坐标．如图，已知四边形*ABCD*的四个顶点的坐标分别为*A*（﹣2，0），*B*（0，﹣2），*C*（1，0），*D*（0，1），请用画树状图或列表法，求点*M*落在四边形*ABCD*所围成的部分内（含边界）的概率．
>
> 
20．（8分）（2019•孝感）如图，Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
> ①以点*C*为圆心，以*CB*为半径画弧，交*AB*于点*G*；分别以点*G*、*B*为圆心，以大于*GB*的长为半径画弧，两弧交点*K*，作射线*CK*；
>
> ②以点*B*为圆心，以适当的长为半径画弧，交*BC*于点*M*，交*AB*的延长线于点*N*；分别以点*M*、*N*为圆心，以大于*MN*的长为半径画弧，两弧交于点*P*，作直线*BP*交*AC*的延长线于点*D*，交射线*CK*于点*E*．
>
> 
>
> 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
>
> （1）线段*CD*与*CE*的大小关系是[ ]{.underline}；
>
> （2）过点*D*作*DF*⊥*AB*交*AB*的延长线于点*F*，若*AC*＝12，*BC*＝5，求tan∠*DBF*的值．
21．（10分）（2019•孝感）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2（*a*﹣1）*x*+*a*^2^﹣*a*﹣2＝0有两个不相等的实数根*x*~1~，*x*~2~．
> （1）若*a*为正整数，求*a*的值；
>
> （2）若*x*~1~，*x*~2~满足*x*~1~^2^+*x*~2~^2^﹣*x*~1~*x*~2~＝16，求*a*的值．
22．（10分）（2019•孝感）为加快"智慧校园"建设，某市准备为试点学校采购一批*A*、*B*两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套*B*型一体机的价格比每套*A*型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套*A*型一体机和200套*B*型一体机．
> （1）求今年每套*A*型、*B*型一体机的价格各是多少万元？
>
> （2）该市明年计划采购*A*型、*B*型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套*A*型一体机的价格比今年上涨25%，每套*B*型一体机的价格不变，若购买*B*型一体机的总费用不低于购买*A*型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
23．（10分）（2019•孝感）如图，点*I*是△*ABC*的内心，*BI*的延长线与△*ABC*的外接圆⊙*O*交于点*D*，与*AC*交于点*E*，延长*CD*、*BA*相交于点*F*，∠*ADF*的平分线交*AF*于点*G*．
> （1）求证：*DG*∥*CA*；
>
> （2）求证：*AD*＝*ID*；
>
> （3）若*DE*＝4，*BE*＝5，求*BI*的长．
>
> 
24．（13分）（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系*xOy*中，已知抛物线*y*＝*ax*^2^﹣2*ax*﹣8*a*与*x*轴相交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），与*y*轴交于点*C*（0，﹣4）．
> （1）点*A*的坐标为[ ]{.underline}，点*B*的坐标为[ ]{.underline}，线段*AC*的长为[ ]{.underline}，抛物线的解析式为[ ]{.underline}．
>
> （2）点*P*是线段*BC*下方抛物线上的一个动点．
>
> ①如果在*x*轴上存在点*Q*，使得以点*B*、*C*、*P*、*Q*为顶点的四边形是平行四边形．求点*Q*的坐标．
>
> ②如图2，过点*P*作*PE*∥*CA*交线段*BC*于点*E*，过点*P*作直线*x*＝*t*交*BC*于点*F*，交*x*轴于点*G*，记*PE*＝*f*，求*f*关于*t*的函数解析式；当*t*取*m*和4﹣*m*（0＜*m*＜2）时，试比较*f*的对应函数值*f*~1~和*f*~2~的大小．
>
> 
**2019年湖北省孝感市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•孝感）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39
> 【考点】有理数的加法．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
>
> 【解答】解：﹣19+20＝1．
>
> 故选：*C*．
2．（3分）（2019•孝感）如图，直线*l*~1~∥*l*~2~，直线*l*~3~与*l*~1~，*l*~2~分别交于点*A*，*C*，*BC*⊥*l*~3~交*l*~1~于点*B*，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
> 
A．10° B．20° C．30° D．40°
> 【考点】垂线；平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
>
> 【解答】解：∵*l*~1~∥*l*~2~，
>
> ∴∠1＝∠*CAB*＝70°，
>
> ∵*BC*⊥*l*~3~交*l*~1~于点*B*，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
>
> 【解答】解：*A*、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
>
> *B*、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
>
> *C*、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
>
> *D*、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
>
> 故选：*D*．
4．（3分）（2019•孝感）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
> 【考点】命题与定理；全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件．菁优网版权所有
>
> 【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可．
>
> 【解答】解：*A*．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项*A*不合题意；
>
> *B*．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项*B*不合题意；
>
> *C*．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项*C*符合题意；
>
> *D*．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项*D*不合题意．
>
> 故选：*C*．
5．（3分）（2019•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．*x*^7^÷*x*^5^＝*x*^2^ B．（*xy*^2^）^2^＝*xy*^4^
C．*x*^2^•*x*^5^＝*x*^10^ D．（+）（﹣）＝*b*﹣*a*
> 【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据同底数幂的除法法则判断*A*；根据积的乘方法则判断*B*；根据同底数幂的乘法法则判断*C*；根据平方差公式以及二次根式的性质判断*D*．
>
> 【解答】解：*A*、*x*^7^÷*x*^5^＝*x*^2^，故本选项正确；
>
> *B*、（*xy*^2^）^2^＝*x*^2^*y*^4^，故本选项错误；
>
> *C*、*x*^2^•*x*^5^＝*x*^7^，故本选项错误；
>
> *D*、（+）（﹣）＝*a*﹣*b*，故本选项错误；
>
> 故选：*A*．
6．（3分）（2019•孝感）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为"杠杆原理"，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200*N*和0.5*m*，则动力*F*（单位：*N*）关于动力臂*l*（单位：*m*）的函数解析式正确的是（ ）
A．*F*＝ B．*F*＝ C．*F*＝ D．*F*＝
> 【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
>
> 【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200*N*和0.5*m*，
>
> ∴动力*F*（单位：*N*）关于动力臂*l*（单位：*m*）的函数解析式为：1200×0.5＝*Fl*，
>
> 则*F*＝．
>
> 故选：*B*．
7．（3分）（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
> 【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
>
> 【分析】解方程组求出*x*、*y*的值，再把所求式子化简后代入即可．
>
> 【解答】解：，
>
> ②﹣①×2得，2*y*＝7，解得，
>
> 把代入①得，+*y*＝1，解得，
>
> ∴＝．
>
> 故选：*C*．
8．（3分）（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点*P*（2，3）绕原点*O*顺时针旋转90°得到点*P*\'，则*P*\'的坐标为（ ）
> 
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
> 【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
>
> 【分析】作*PQ*⊥*y*轴于*Q*，如图，把点*P*（2，3）绕原点*O*顺时针旋转90°得到点*P*\'看作把△*OPQ*绕原点*O*顺时针旋转90°得到△*OP*\'*Q*′，利用旋转的性质得到∠*P*′*Q*′*O*＝90°，∠*QOQ*′＝90°，*P*′*Q*′＝*PQ*＝2，*OQ*′＝*OQ*＝3，从而可确定*P*′点的坐标．
>
> 【解答】解：作*PQ*⊥*y*轴于*Q*，如图，
>
> ∵*P*（2，3），
>
> ∴*PQ*＝2，*OQ*＝3，
>
> 
>
> ∵点*P*（2，3）绕原点*O*顺时针旋转90°得到点*P*\'相当于把△*OPQ*绕原点*O*顺时针旋转90°得到△*OP*\'*Q*′，
>
> ∴∠*P*′*Q*′*O*＝90°，∠*QOQ*′＝90°，*P*′*Q*′＝*PQ*＝2，*OQ*′＝*OQ*＝3，
>
> ∴点*P*′的坐标为（3，﹣2）．
>
> 故选：*D*．
9．（3分）（2019•孝感）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4*min*内只进水不出水，容器内存水8*L*；在随后的8*min*内既进水又出水，容器内存水12*L*；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量*y*（单位：*L*）与时间*x*（单位：*min*）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】函数的图象．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可．
>
> 【解答】解：∵从某时刻开始4*min*内只进水不出水，容器内存水8*L*；
>
> ∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
>
> ∵随后的8*min*内既进水又出水，容器内存水12*L*，
>
> ∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
>
> ∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
>
> ∴水量逐渐减少为0，
>
> 综上，*A*选项符合，
>
> 故选：*A*．
10．（3分）（2019•孝感）如图，正方形*ABCD*中，点*E*、*F*分别在边*CD*，*AD*上，*BE*与*CF*交于点*G*．若*BC*＝4，*DE*＝*AF*＝1，则*GF*的长为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【考点】全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】证明△*BCE*≌△*CDF*（*SAS*），得∠*CBE*＝∠*DCF*，所以∠*CGE*＝90°，根据等角的余弦可得*CG*的长，可得结论．
>
> 【解答】解：正方形*ABCD*中，∵*BC*＝4，
>
> ∴*BC*＝*CD*＝*AD*＝4，∠*BCE*＝∠*CDF*＝90°，
>
> ∵*AF*＝*DE*＝1，
>
> ∴*DF*＝*CE*＝3，
>
> ∴*BE*＝*CF*＝5，
>
> 在△*BCE*和△*CDF*中，
>
> ，
>
> ∴△*BCE*≌△*CDF*（*SAS*），
>
> ∴∠*CBE*＝∠*DCF*，
>
> ∵∠*CBE*+∠*CEB*＝∠*ECG*+∠*CEB*＝90°＝∠*CGE*，
>
> cos∠*CBE*＝cos∠*ECG*＝，
>
> ∴，*CG*＝，
>
> ∴*GF*＝*CF*﹣*CG*＝5﹣＝，
>
> 故选：*A*．
**二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）**
11．（3分）（2019•孝感）中国"神威•太湖之光"计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为[ 1.25×10^9^ ]{.underline}．
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，*n*是正数；当原数的绝对值小于1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×10^9^．
>
> 故答案为：1.25×10^9^．
12．（3分）（2019•孝感）方程＝的解为[ *x*＝1 ]{.underline}．
> 【考点】解分式方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】观察可得方程最简公分母为2*x*（*x*+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
>
> 【解答】解：两边同时乘2*x*（*x*+3），得
>
> *x*+3＝4*x*，
>
> 解得*x*＝1．
>
> 经检验*x*＝1是原分式方程的根．
13．（3分）（2019•孝感）如图，在*P*处利用测角仪测得某建筑物*AB*的顶端*B*点的仰角为60°，点*C*的仰角为45°，点*P*到建筑物的距离为*PD*＝20米，则*BC*＝[ （20]{.underline}[﹣20） ]{.underline}米．
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正切的定义求出*BD*，根据等腰直角三角形的性质求出*CD*，结合图形计算，得到答案．
>
> 【解答】解：在Rt△*PBD*中，tan∠*BPD*＝，
>
> 则*BD*＝*PD*•tan∠*BPD*＝20，
>
> 在Rt△*PBD*中，∠*CPD*＝45°，
>
> ∴*CD*＝*PD*＝20，
>
> ∴*BC*＝*BD*﹣*CD*＝20﹣20，
>
> 故答案为：（20﹣20）．
14．（3分）（2019•孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内"垃圾分类"的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（*A*．小于5天；*B*.5天；*C*.6天；*D*.7天），则扇形统计图*B*部分所对应的圆心角的度数是[ 108° ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有
>
> 【分析】先由*A*类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出*B*类别人数，继而用360°乘以*B*类别人数占总人数的比例即可得．
>
> 【解答】解：∵被调查的总人数为9÷15%＝60（人），
>
> ∴*B*类别人数为60﹣（9+21+12）＝18（人），
>
> 则扇形统计图*B*部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
>
> 故答案为：108°．
15．（3分）（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了"割圆术"，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积*S*~1~来近似估计⊙*O*的面积*S*，设⊙*O*的半径为1，则*S*﹣*S*~1~＝[ 0.14 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】数学常识；正多边形和圆．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据圆的面积公式得到⊙*O*的面积*S*＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积*S*~1~＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
>
> 【解答】解：∵⊙*O*的半径为1，
>
> ∴⊙*O*的面积*S*＝3.14，
>
> ∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
>
> ∴圆的内接正十二边形的面积*S*~1~＝12××1×1×sin30°＝3，
>
> ∴则*S*﹣*S*~1~＝0.14，
>
> 故答案为：0.14．
16．（3分）（2019•孝感）如图，双曲线*y*＝（*x*＞0）经过矩形*OABC*的顶点*B*，双曲线*y*＝（*x*＞0）交*AB*，*BC*于点*E*、*F*，且与矩形的对角线*OB*交于点*D*，连接*EF*．若*OD*：*OB*＝2：3，则△*BEF*的面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】设*D*（2*m*，2*n*），根据题意*A*（3*m*，0），*C*（0，3*n*），*B*（3*m*，3*n*），即可得出9＝3*m*•3*n*，*k*＝2*m*•2*n*＝4*mn*，解得*mn*＝1，由*E*（3*m*，*n*），*F*（*m*，3*n*），求得*BE*、*BF*，然后根据三角形面积公式得到*S*~△*BEF*~＝*BE*•*BF*＝*mn*＝．
>
> 【解答】解：设*D*（2*m*，2*n*），
>
> ∵*OD*：*OB*＝2：3，
>
> ∴*A*（3*m*，0），*C*（0，3*n*），
>
> ∴*B*（3*m*，3*n*），
>
> ∵双曲线*y*＝（*x*＞0）经过矩形*OABC*的顶点*B*，
>
> ∴9＝3*m*•3*n*，
>
> ∴*mn*＝1，
>
> ∵双曲线*y*＝（*x*＞0）经过点*D*，
>
> ∴*k*＝4*mn*
>
> ∴双曲线*y*＝（*x*＞0），
>
> ∴*E*（3*m*，*n*），*F*（*m*，3*n*），
>
> ∴*BE*＝3*n*﹣*n*＝*n*，*BF*＝3*m*﹣*m*＝*m*，
>
> ∴*S*~△*BEF*~＝*BE*•*BF*＝*mn*＝
>
> 故答案为．
**三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）**
17．（6分）（2019•孝感）计算：\|﹣1\|﹣2sin60°+（）^﹣1^+．
> 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．
>
> 【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+6﹣3＝2．
18．（8分）（2019•孝感）如图，已知∠*C*＝∠*D*＝90°，*BC*与*AD*交于点*E*，*AC*＝*BD*，求证：*AE*＝*BE*．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由*HL*证明Rt△*ACB*≌Rt△*BDA*得出∠*ABC*＝∠*BAD*，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
>
> 【解答】证明：∵∠*C*＝∠*D*＝90°，
>
> ∴△*ACB*和△*BDA*是直角三角形，
>
> 在Rt△*ACB*和Rt△*BDA*中，，
>
> ∴Rt△*ACB*≌Rt△*BDA*（*HL*），
>
> ∴∠*ABC*＝∠*BAD*，
>
> ∴*AE*＝*BE*．
19．（7分）（2019•孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
> （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
>
> （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点*M*的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点*M*的纵坐标．如图，已知四边形*ABCD*的四个顶点的坐标分别为*A*（﹣2，0），*B*（0，﹣2），*C*（1，0），*D*（0，1），请用画树状图或列表法，求点*M*落在四边形*ABCD*所围成的部分内（含边界）的概率．
>
> 
>
> 【考点】概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
>
> （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
>
> 【解答】解：（1）在﹣2，﹣1，0，1中正数有1个，
>
> ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是，
>
> 故答案为：．
>
> （2）列表如下：
----- -------------- -------------- ------------ ------------
﹣2 ﹣1 0 1
﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣1，﹣2） （0，﹣2） （1，﹣2）
﹣1 （﹣2，﹣1） （﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1）
0 （﹣2，0） （﹣1，0） （0，0） （1，0）
1 （﹣2，1） （﹣1，1） （0，1） （1，1）
----- -------------- -------------- ------------ ------------
> 由表知，共有16种等可能结果，其中点*M*落在四边形*ABCD*所围成的部分内（含边界）的有：
>
> （﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，
>
> 所以点*M*落在四边形*ABCD*所围成的部分内（含边界）的概率为．
20．（8分）（2019•孝感）如图，Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
> ①以点*C*为圆心，以*CB*为半径画弧，交*AB*于点*G*；分别以点*G*、*B*为圆心，以大于*GB*的长为半径画弧，两弧交点*K*，作射线*CK*；
>
> ②以点*B*为圆心，以适当的长为半径画弧，交*BC*于点*M*，交*AB*的延长线于点*N*；分别以点*M*、*N*为圆心，以大于*MN*的长为半径画弧，两弧交于点*P*，作直线*BP*交*AC*的延长线于点*D*，交射线*CK*于点*E*．
>
> 
>
> 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
>
> （1）线段*CD*与*CE*的大小关系是[ *CD*＝*CE* ]{.underline}；
>
> （2）过点*D*作*DF*⊥*AB*交*AB*的延长线于点*F*，若*AC*＝12，*BC*＝5，求tan∠*DBF*的值．
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图---复杂作图；解直角三角形．菁
>
> 【分析】（1）由作图知*CE*⊥*AB*，*BD*平分∠*CBF*，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠*CEB*+∠3＝∠2+∠*CDE*＝90°知∠*CEB*＝∠*CDE*，从而得出答案；
>
> （2）证△*BCD*≌△*BFD*得*CD*＝*DF*，从而设*CD*＝*DF*＝*x*，求出*AB*＝＝13，知sin∠*DAF*＝＝，即＝，解之求得*x*＝，结合*BC*＝*BF*＝5可得答案．
>
> 【解答】解：（1）*CD*＝*CE*，
>
> 由作图知*CE*⊥*AB*，*BD*平分∠*CBF*，
>
> 
>
> ∴∠1＝∠2＝∠3，
>
> ∵∠*CEB*+∠3＝∠2+∠*CDE*＝90°，
>
> ∴∠*CEB*＝∠*CDE*，
>
> ∴*CD*＝*CE*，
>
> 故答案为：*CD*＝*CE*；
>
> （2）∵*BD*平分∠*CBF*，*BC*⊥*CD*，*BF*⊥*DF*，
>
> ∴*BC*＝*BF*，∠*CBD*＝∠*FBD*，
>
> 在△*BCD*和△*BFD*中，
>
> ∵，
>
> ∴△*BCD*≌△*BFD*（*AAS*），
>
> ∴*CD*＝*DF*，
>
> 设*CD*＝*DF*＝*x*，
>
> 在Rt△*ACB*中，*AB*＝＝13，
>
> ∴sin∠*DAF*＝＝，即＝，
>
> 解得*x*＝，
>
> ∵*BC*＝*BF*＝5，
>
> ∴tan∠*DBF*＝＝×＝．
21．（10分）（2019•孝感）已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2（*a*﹣1）*x*+*a*^2^﹣*a*﹣2＝0有两个不相等的实数根*x*~1~，*x*~2~．
> （1）若*a*为正整数，求*a*的值；
>
> （2）若*x*~1~，*x*~2~满足*x*~1~^2^+*x*~2~^2^﹣*x*~1~*x*~2~＝16，求*a*的值．
>
> 【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2（*a*﹣1）*x*+*a*^2^﹣*a*﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝\[﹣2（*a*﹣1）\]^2^﹣4（*a*^2^﹣*a*﹣2）＞0，于是得到结论；
>
> （2）根据*x*~1~+*x*~2~＝2（*a*﹣1），*x*~1~*x*~2~＝*a*^2^﹣*a*﹣2，代入*x*~1~^2^+*x*~2~^2^﹣*x*~1~*x*~2~＝16，解方程即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣2（*a*﹣1）*x*+*a*^2^﹣*a*﹣2＝0有两个不相等的实数根，
>
> ∴△＝\[﹣2（*a*﹣1）\]^2^﹣4（*a*^2^﹣*a*﹣2）＞0，
>
> 解得：*a*＜3，
>
> ∵*a*为正整数，
>
> ∴*a*＝1，2；
>
> （2）∵*x*~1~+*x*~2~＝2（*a*﹣1），*x*~1~*x*~2~＝*a*^2^﹣*a*﹣2，
>
> ∵*x*~1~^2^+*x*~2~^2^﹣*x*~1~*x*~2~＝16，
>
> ∴（*x*~1~+*x*~2~）^2^﹣*x*~1~*x*~2~＝16，
>
> ∴\[﹣2（*a*﹣1）\]^2^﹣3（*a*^2^﹣*a*﹣2）＝16，
>
> 解得：*a*~1~＝﹣1，*a*~2~＝6，
>
> ∵*a*＜3，
>
> ∴*a*＝﹣1．
22．（10分）（2019•孝感）为加快"智慧校园"建设，某市准备为试点学校采购一批*A*、*B*两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套*B*型一体机的价格比每套*A*型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套*A*型一体机和200套*B*型一体机．
> （1）求今年每套*A*型、*B*型一体机的价格各是多少万元？
>
> （2）该市明年计划采购*A*型、*B*型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套*A*型一体机的价格比今年上涨25%，每套*B*型一体机的价格不变，若购买*B*型一体机的总费用不低于购买*A*型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
>
> 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）直接利用今年每套*B*型一体机的价格比每套*A*型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套*A*型一体机和200套*B*型一体机，分别得出方程求出答案；
>
> （2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
>
> 【解答】解：（1）设今年每套*A*型一体机的价格为*x*万元，每套*B*型一体机的价格为*y*万元，
>
> 由题意可得：，
>
> 解得：，
>
> 答：今年每套*A*型的价格各是1.2万元、*B*型一体机的价格是1.8万元；
>
> （2）设该市明年购买*A*型一体机*m*套，则购买*B*型一体机（1100﹣*m*）套，
>
> 由题意可得：1.8（1100﹣*m*）≥1.2（1+25%）*m*，
>
> 解得：*m*≤600，
>
> 设明年需投入*W*万元，
>
> *W*＝1.2×（1+25%）*m*+1.8（1100﹣*m*）
>
> ＝﹣0.3*m*+1980，
>
> ∵﹣0.3＜0，
>
> ∴*W*随*m*的增大而减小，
>
> ∵*m*≤600，
>
> ∴当*m*＝600时，*W*有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，
>
> 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
23．（10分）（2019•孝感）如图，点*I*是△*ABC*的内心，*BI*的延长线与△*ABC*的外接圆⊙*O*交于点*D*，与*AC*交于点*E*，延长*CD*、*BA*相交于点*F*，∠*ADF*的平分线交*AF*于点*G*．
> （1）求证：*DG*∥*CA*；
>
> （2）求证：*AD*＝*ID*；
>
> （3）若*DE*＝4，*BE*＝5，求*BI*的长．
>
> 
>
> 【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．
>
> 【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠*ADF*＝∠*ABC*，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断*DG*∥*AC*；
>
> （2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠*DAI*得到*DA*＝*DI*；
>
> （3）证明△*DAE*∽△*DBA*，利用相似比得到*AD*＝6，则*DI*＝6，然后计算*BD*﹣*DI*即可．
>
> 【解答】（1）证明：∵点*I*是△*ABC*的内心，
>
> ∴∠2＝∠7，
>
> ∵*DG*平分∠*ADF*，
>
> ∴∠1＝∠*ADF*，
>
> ∵∠*ADF*＝∠*ABC*，
>
> ∴∠1＝∠2，
>
> ∵∠3＝∠2，
>
> ∴∠1＝∠3，
>
> ∴*DG*∥*AC*；
>
> （2）证明：∵点*I*是△*ABC*的内心，
>
> ∴∠5＝∠6，
>
> ∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
>
> 即∠4＝∠*DAI*，
>
> ∴*DA*＝*DI*；
>
> （3）解：∵∠3＝∠7，∠*ADE*＝∠*BAD*，
>
> ∴△*DAE*∽△*DBA*，
>
> ∴*AD*：*DB*＝*DE*：*DA*，即*AD*：9＝4：*AD*，
>
> ∴*AD*＝6，
>
> ∴*DI*＝6，
>
> ∴*BI*＝*BD*﹣*DI*＝9﹣6＝3．
>
> 
24．（13分）（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系*xOy*中，已知抛物线*y*＝*ax*^2^﹣2*ax*﹣8*a*与*x*轴相交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），与*y*轴交于点*C*（0，﹣4）．
> （1）点*A*的坐标为[ （﹣2，0） ]{.underline}，点*B*的坐标为[ （4，0） ]{.underline}，线段*AC*的长为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}，抛物线的解析式为[ *y*＝]{.underline}[*x*^2^﹣*x*﹣4 ]{.underline}．
>
> （2）点*P*是线段*BC*下方抛物线上的一个动点．
>
> ①如果在*x*轴上存在点*Q*，使得以点*B*、*C*、*P*、*Q*为顶点的四边形是平行四边形．求点*Q*的坐标．
>
> ②如图2，过点*P*作*PE*∥*CA*交线段*BC*于点*E*，过点*P*作直线*x*＝*t*交*BC*于点*F*，交*x*轴于点*G*，记*PE*＝*f*，求*f*关于*t*的函数解析式；当*t*取*m*和4﹣*m*（0＜*m*＜2）时，试比较*f*的对应函数值*f*~1~和*f*~2~的大小．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由题意得：﹣8*a*＝﹣4，故*a*＝，即可求解；
>
> （2）分*BC*是平行四边形的一条边时、*BC*是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可．
>
> （3）证明△*EPH*∽△*CAO*，∴，即：，则*EP*＝*PH*，即可求解．
>
> 【解答】解：（1）由题意得：﹣8*a*＝﹣4，故*a*＝，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝*x*^2^﹣*x*﹣4，
>
> 令*y*＝0，则*x*＝4或﹣2，即点*A*、*B*的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），
>
> 则*AC*＝2，
>
> 故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、*y*＝*x*^2^﹣*x*﹣4；
>
> （2）①当*BC*是平行四边形的一条边时，
>
> 
>
> 如图所示，点*C*向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点*B*，
>
> 设：点*P*（*n*，*n*^2^﹣*n*﹣4），点*Q*（*m*，0），
>
> 则点*P*向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点*Q*，
>
> 即：*n*+4＝*m*，*n*^2^﹣*n*﹣4+4＝0，
>
> 解得：*m*＝4或6（舍去4），
>
> 即点*Q*（6，0）；
>
> ②当*BC*是平行四边形的对角线时，
>
> 设点*P*（*m*，*n*）、点*Q*（*s*，0），其中*n*＝*m*^2^﹣*m*﹣4，
>
> 由中心公式可得：*m*+*s*＝﹣2，*n*+0＝4，
>
> 解得：*s*＝2或4（舍去4），
>
> 故点*Q*（2，0）；
>
> 故点*Q*的坐标为（2，0）或（6，0）；
>
> （3）如图2，过点*P*作*PH*∥*x*轴交*BC*于点*H*，
>
> 
>
> ∵*GP*∥*y*轴，∴∠*HEP*＝∠*ACB*，
>
> ∵*PH*∥*x*轴，∴∠*PHO*＝∠*AOC*，
>
> ∴△*EPH*∽△*CAO*，∴，即：，
>
> 则*EP*＝*PH*，
>
> 设点*P*（*t*，*y~P~*），点*H*（*x~H~*，*y~P~*），
>
> 则*t*^2^﹣*t*﹣4＝*x~H~*﹣4，
>
> 则*x~H~*＝*t*^2^﹣*t*，
>
> *f*＝*PH*＝\[*t*﹣（*t*^2^﹣*t*）\]＝﹣（*t*^2^﹣4*t*），
>
> 当*t*＝*m*时，*f*~1~＝（*m*^2^﹣4*m*），
>
> 当*t*＝4﹣*m*时，*f*~2~＝﹣（*m*^2^﹣2*m*），
>
> 则*f*~1~﹣*f*~2~＝﹣*m*（*m*﹣），
>
> 则0＜*m*＜2，∴*f*~1~﹣*f*~2~＞0，
>
> *f*~1~＞*f*~2~．
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日期：2019/7/10 9:58:47；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**衡水金卷2018届全国高三大联考理数**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则（ ）
A.  B. 
C.  D. 
2\. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则 （ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
学\|科\|网\...学\|科\|网\...
A.  B.  C.  D. 
5\. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 已知数列为等比数列，且，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（ ）
A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为真
11\. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14\. 已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15\. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16\. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知函数，.
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.
18\. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.
（1）试探究的值，使平面，并给予证明；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.
19\. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
------ ------------------ -------------------- ------
经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计
男性 50 50 100
女性 60 40 100
合计 110 90 200
------ ------------------ -------------------- ------
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
20\. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.
21\. 已知函数（，），其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性及极值；
（2）若不等式在内恒成立，求证：.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.
23\. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：.
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------四边形分类》同步检测1（附答案）**
一、指出下面各个图形的名称。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、填空题。
1、（ ）组对边分别（ ）的四边形叫平行四边形。
2、（ ）组对边平行的四边形叫梯形。
3、正方形是特殊的（ ），长方形、正方形是特殊的（ ）。
4、平行四边形容易（ ），三角形具有（ ）。
5、两个完全一样的三角形可以拼成一个（ ）。
三、找家。
四、画一画。
1、平行四边形 2、正方形 3、三角形 4、梯形
五、剪一剪。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、用1张梯形纸一刀剪出一个平行四边形和一个三角形。
2、用1张平行四边形纸一刀剪出一个梯形和一个三角形。
3、用1张长方形纸一刀剪出三个梯形。
六、右图中有多少个梯形？
七、在梯形里画一条线段，把它分割成一个三角形和一个平行四边形，有几种方法？画一画。
八、从一块长方形的木板了锯掉一块宽为20厘米的长方形木条，所剩木板为一个正方形，周长为180厘米，求原来长方形木板的周长和锯下的长方形木条的周长。
**答案：**
二、1、两 平行
2、只有一
3、长方形 平行四边形
4、变形 稳定性
5、平行四边形
三、平行四边开：①③⑥
梯形：②⑦⑩
三角形：④⑧
其他：⑤⑨
六、9个
八、原来长方形周长：
（180÷4＋20＋180÷4）×2 = 220（厘米）
锯下的木条周长：（20＋180÷4）×2 = 130（厘米）
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**2017年广西百色市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）**
1．化简：\|﹣15\|等于（ ）
A．15 B．﹣15 C．±15 D．
2．多边形的外角和等于（ ）
A．180° B．360° C．720° D．（n﹣2）•180°
3．在以下一列数3，3，5，6，7，8中，中位数是（ ）
A．3 B．5 C．5.5 D．6
4．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）^3^=﹣27x^3^ B．（x^﹣2^）^2^=x^4^ C．x^2^÷x^﹣2^=x^2^ D．x^﹣1^•x^﹣2^=x^2^
5．如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
6．5月14﹣15日"一带一路"论坛峰会在北京隆重召开，促进了我国与世界各国的互联互通互惠，"一带一路"地区覆盖总人数约为44亿人，44亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×10^8^ B．4.4×10^9^ C．4×10^9^ D．44×10^8^
7．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．③①② D．①③②
8．观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，...，则第11个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121
9．九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的圆心角度数是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
10．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的"和谐号"动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300
11．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
12．关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．若分式有意义，则x的取值范围为[ ]{.underline}．
14．一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是[ ]{.underline}．
15．下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有[ ]{.underline}（填序号）
16．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为[ ]{.underline}．
17．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是[ ]{.underline}．
18．阅读理解：用"十字相乘法"分解因式2x^2^﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算："交叉相乘之和"；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5
（3）发现第③个"交叉相乘之和"的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x^2^﹣3x+2x﹣3=2x^2^﹣x﹣3，则2x^2^﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x^2^+5x﹣12=[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分）**
19．计算： +（）^﹣1^﹣（3﹣π）^0^﹣\|1﹣4cos30°\|
20．已知a=b+2018，求代数式•÷的值．
21．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．
（1）求这个反比函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
22．矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG=FH．
23．甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）：
+--------+----+---+---+----+---+
| 运动员 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| | | | | | |
| 环数 | | | | | |
| | | | | | |
| 次数 | | | | | |
+--------+----+---+---+----+---+
| 甲 | 10 | 8 | 9 | 10 | 8 |
+--------+----+---+---+----+---+
| 乙 | 10 | 9 | 9 | a | b |
+--------+----+---+---+----+---+
某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是
S~甲~^2^= \[（10﹣9）^2^+（8﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（10﹣9）^2^+（8﹣9）^2^\]=0.8，请作答：
（1）在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；
（2）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a+b=[ ]{.underline}；
（3）在（2）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a、b的所有可能取值，并说明理由．
24．某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟，若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
25．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
26．以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）设y=MP^2^+OP^2^，求y关于a的函数关系式；
（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．
**2017年广西百色市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）**
1．化简：\|﹣15\|等于（ ）
A．15 B．﹣15 C．±15 D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值的定义即可解题．
【解答】解：∵负数的绝对值是它的相反数，
∴\|﹣15\|等于15，
故选A．
2．多边形的外角和等于（ ）
A．180° B．360° C．720° D．（n﹣2）•180°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和，可得答案．
【解答】解：多边形的外角和是360°，
故选：B．
3．在以下一列数3，3，5，6，7，8中，中位数是（ ）
A．3 B．5 C．5.5 D．6
【考点】W4：中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：3，3，5，6，7，8，
第3个与第4个数据分别是5，6，所以这组数据的中位数是（5+6）÷2=5.5．
故选C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）^3^=﹣27x^3^ B．（x^﹣2^）^2^=x^4^ C．x^2^÷x^﹣2^=x^2^ D．x^﹣1^•x^﹣2^=x^2^
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A符合题意；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B不符合题意；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C不符合题意；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D不符合题意；
故选：A．
5．如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
【考点】IJ：角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义即可求解．
【解答】解：∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．
故选：C．
6．5月14﹣15日"一带一路"论坛峰会在北京隆重召开，促进了我国与世界各国的互联互通互惠，"一带一路"地区覆盖总人数约为44亿人，44亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×10^8^ B．4.4×10^9^ C．4×10^9^ D．44×10^8^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：44亿这个数用科学记数法表示为4.4×10^9^，
故选：B．
7．如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．③①② D．①③②
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是一个矩形，
故选：D．
8．观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，...，则第11个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可．
【解答】解：0=﹣（1﹣1）^2^，1=（2﹣1）^2^，﹣4=﹣（3﹣1）^2^，9=（4﹣1）^2^，﹣16=﹣（5﹣1）^2^，
∴第11个数是﹣（11﹣1）^2^=﹣100，
故选B．
9．九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第一小组对应的圆心角度数是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．120°
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】根据条形统计图可以得到第一小组在五个小组中所占的比重，然后再乘以360°，即可解答本题．
【解答】解：由题意可得，
第一小组对应的圆心角度数是：×360°=72°，
故选C．
10．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的"和谐号"动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD•tan∠ABD=200（米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200（米）．
则平均速度是=20（+1）米/秒．
故选A．
11．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
【考点】MB：直线与圆的位置关系；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB=OC=2．即b=2；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．
12．关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．
【解答】解：，
解①得x≤a，
解②得x＞﹣a．
则不等式组的解集是﹣a＜x≤a．
∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2．
a的最小值是2．
故选B．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．若分式有意义，则x的取值范围为[ x≠2 ]{.underline}．
【考点】62：分式有意义的条件．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
14．一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】X4：概率公式．
【分析】根据一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，
∴随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是．
故答案是．
15．下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有[ ② ]{.underline}（填序号）
【考点】O1：命题与定理．
【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：①对顶角相等是真命题；
②同旁内角互补是假命题；
③全等三角形的对应角相等是真命题；
④两直线平行，同位角相等是真命题；
故假命题有②，
故答案为：②．
16．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为[ （1，3） ]{.underline}．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
17．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是[ y=﹣]{.underline}[x^2^+]{.underline}[x+3 ]{.underline}．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x^2^+x+3，
故答案为y=﹣x^2^+x+3．
18．阅读理解：用"十字相乘法"分解因式2x^2^﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算："交叉相乘之和"；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5
（3）发现第③个"交叉相乘之和"的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x^2^﹣3x+2x﹣3=2x^2^﹣x﹣3，则2x^2^﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x^2^+5x﹣12=[ （x+3）（3x﹣4） ]{.underline}．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】根据"十字相乘法"分解因式得出3x^2^+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．
【解答】解：3x^2^+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
**三、解答题（本大题共8小题，共66分）**
19．计算： +（）^﹣1^﹣（3﹣π）^0^﹣\|1﹣4cos30°\|
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2+2﹣1﹣2+1=2．
20．已知a=b+2018，求代数式•÷的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先化简代数式，然后将a=b+2018代入即可求出答案．
【解答】解：原式=××（a﹣b）（a+b）
=2（a﹣b）
∵a=b+2018，
∴原式=2×2018=4036
21．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．
（1）求这个反比函数的解析式；
（2）求△ACD的面积．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）将B点坐标代入函数解析式，得
=2，
解得k=6，
反比例函数的解析式为y=；
（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得
C（﹣3，﹣2）．
由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，
得A（3，0），D（﹣3，0）．
S~△ACD~=AD•CD= \[3﹣（﹣3）\]×\|﹣2\|=6．
22．矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG=FH．
【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．
【解答】解：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=AD，CF=BC，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF，
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，
∵AB∥CD，
∴∠EDG=∠FBH，
在△DEG和△BFH中
，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH．
23．甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）：
+--------+----+---+---+----+---+
| 运动员 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| | | | | | |
| 环数 | | | | | |
| | | | | | |
| 次数 | | | | | |
+--------+----+---+---+----+---+
| 甲 | 10 | 8 | 9 | 10 | 8 |
+--------+----+---+---+----+---+
| 乙 | 10 | 9 | 9 | a | b |
+--------+----+---+---+----+---+
某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是
S~甲~^2^= \[（10﹣9）^2^+（8﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（10﹣9）^2^+（8﹣9）^2^\]=0.8，请作答：
（1）在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；
（2）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a+b=[ 17 ]{.underline}；
（3）在（2）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a、b的所有可能取值，并说明理由．
【考点】VD：折线统计图；W2：加权平均数；W7：方差．
【分析】（1）根据表中数据描点、连线即可得；
（2）根据平均数的定义列出算式，整理即可得；
（3）由a+b=17得b=17﹣a，将其代入到S~甲~^2^＜S~乙~^2^，即 \[（10﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（a﹣9）^2^+（b﹣9）^2^\]＜0.8，得到a^2^﹣17a+71＜0，求出a的范围，根据a、b均为整数即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由题意知， =9，
∴a+b=17，
故答案为：17；
（3）∵甲比乙的成绩较稳定，
∴S~甲~^2^＜S~乙~^2^，即 \[（10﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（9﹣9）^2^+（a﹣9）^2^+（b﹣9）^2^\]＜0.8，
∵a+b=17，
∴b=17﹣a，
代入上式整理可得：a^2^﹣17a+71＜0，
解得：＜a＜，
∵a、b均为整数，
∴a=8时，b=9；a=9时，b=8．
24．某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟，若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据"两类节目的总数为20个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个"列方程组求解可得；
（2）设参与的小品类节目有a个，根据"三类节目的总时间+交接用时＜150"列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，
根据题意，得：，
解得：，
答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；
（2）设参与的小品类节目有a个，
根据题意，得：12×5+8×6+8a+15＜150，
解得：a＜，
由于a为整数，
∴a=3，
答：参与的小品类节目最多能有3个．
25．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
【分析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵=，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴=，
∵AE==4，
∴AM=4×=．
26．以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）设y=MP^2^+OP^2^，求y关于a的函数关系式；
（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）先确定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性质得出OC=4，OD=2，最后用待定系数法即可确定出直线BC解析式；
（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；
（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，﹣2），
∴OA=4，OB=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=4，OD=OB=2，
∴C（4，0），D（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx﹣2，
∴4k﹣2=0，
∴k=，
∴直线BC的解析式为y=x﹣2；
（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），
∴直线CD的解析式为y=﹣x+2，
由（1）知，直线BC的解析式为y=x﹣2，
当点P在边BC上时，
设P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0），
∵M（0，4），
∴y=MP^2^+OP^2^=（2a+4）^2^+（a﹣4）^2^+（2a+4）^2^+a^2^=2（2a+4）^2^+（a﹣4）^2^+a^2^=10a^2^+24a+48
当点P在边CD上时，
∵点P的纵坐标为a，
∴P（4﹣2a，a）（0≤a≤2），
∵M（0，4），
∴y=MP^2^+OP^2^=（4﹣2a）^2^+（a﹣4）^2^+（4﹣2a）^2^+a^2^=10a^2^﹣40a+48，
（3）①当点P在边BC上时，即：0≤a≤2，
由（2）知，P（2a+4，a），
∵M（0，4），
∴OP^2^=（2a+4）^2^+a^2^=5a^2^+16a+16，PM^2^=（2a+4）^2^+（a﹣4）^2^=5a^2^﹣8a+32，OM^2^=16，
∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，
∴OP^2^+OM^2^=PM^2^，
∴5a^2^+16a+16+16=5a^2^﹣8a+32，
∴a=0（舍）
②当点P在边CD上时，即：0≤a≤2时，
由（2）知，P（4﹣2a，a），
∵M（0，4），
∴OP^2^=（4﹣2a）^2^+a^2^=5a^2^﹣16a+16，PM^2^=（4﹣2a）^2^+（a﹣4）^2^=5a^2^﹣24a+32，OM^2^=16，
∵△POM是直角三角形，
Ⅰ、当∠POM=90°时，
∴OP^2^+OM^2^=PM^2^，
∴5a^2^﹣16a+16+16=5a^2^﹣24a+32，
∴a=0，
∴P（4，0），
Ⅱ、当∠MPO=90°时，OP^2^+PM^2^=5a^2^﹣16a+16+5a^2^﹣24a+32=10a^2^﹣40a+48=OM^2^=16，
∴a=2+（舍）或a=2﹣，
∴P（，2﹣），
即：当△OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．
| 1 | |
**北师大版五年级（下）期末数学试卷（3）**
**一、看谁算得又快又准．8分**
1．
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 直接写得数 | 6﹣= | ÷= | +×= |
| | | | |
| ×4= | | | |
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| ×= | ÷= | ×= | 10﹣×= |
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**二、计算12分**
2．计算
××
×﹣×
××=
﹣×+=
**三、计算下面各题，怎样简便就怎样算．8分**
3．计算下面各题，怎样简便就怎样算
7﹣×+
﹣×+
\[×（﹣）\]÷
\[（﹣）÷﹣\]×．
**四、．8分**
4．解方程
7x﹣=
x﹣x=﹣
x+x﹣x=
x+x=364．
**四、判断对错．10分**
5．没有比100%更大的百分数了．[ ]{.underline}（判断对错）
6．某产品的合格率是110%．[ ]{.underline}（判断对错）
7．1千克的和7千克的12.5%一样重．[ ]{.underline}（判断对错）
8．0.5小时就是50%小时．[ ]{.underline}（判断对错）
9．如果两个数的乘积是1，那么这两个数互为倒数．[ ]{.underline}．（判断对错）
**五、填空题．13分**
10．甲数是乙数的，甲数和乙数的比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}．
11．的倒数是[ ]{.underline}．
12．一个数的是15，这个数是[ ]{.underline}．
13．[ ]{.underline}的是42．
14．一个数的是36的，这个数是[ ]{.underline}．
15．把3千克糖，平均分给5个同学，每个同学分到这些糖的[ ]{.underline}．
16．填一填．
-------- ---------------------------- ---------------------------- -------------------------------------- ---------------------------- --------------------------------------
分数 [ ]{.underline} [ ]{.underline}  [ ]{.underline} 
小数 0.73 [ ]{.underline} [ ]{.underline} 0.69 [ ]{.underline}
百分数 [ ]{.underline} 44% [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
-------- ---------------------------- ---------------------------- -------------------------------------- ---------------------------- --------------------------------------
17．把下列各数按从小到大的顺序重新排列．
0.32、46%、1.25、、110%
[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}．
**六、列式计算．6分**
18．列式计算
（1）与的和，乘与的差，积是多少？
（2）54个与17的的和，除以2，结果是多少？
**七、解答下列各题．35分**
19．超市运来白箩卜240千克，运来的红箩卜比白箩卜少．超市运来红箩卜多少千克？
20．某校有男生300人，戴近视镜的占．男生戴近视镜的人数是女生戴近视镜人数的．女生有多少人戴近视镜？
21．果园里苹果树的棵树比桃树的棵数少．
（1）已知桃树有100棵，苹果树有多少棵？
（2）已知苹果树有100棵，桃树有多少棵？
22．妈妈把一个生日蛋糕平均切成8份，小明吃了其中的3份，剩下的蛋糕占整个生日蛋糕的百分之几？
23．一个长方体木箱，长1.5米，宽0.8米，高0.6米．做这个木箱至少要用多少平方米木板？
24．一个无盖的正方体鱼缸，棱长5分米，制作这个鱼缸需要多大面积的玻璃？
**北师大版五年级（下）期末数学试卷（3）**
**参考答案与试题解析**
**一、看谁算得又快又准．8分**
1．
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 直接写得数 | 6﹣= | ÷= | +×= |
| | | | |
| ×4= | | | |
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| ×= | ÷= | ×= | 10﹣×= |
+--------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】根据乘法交换律简算；分数乘法根据分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母进行求解；分数除法根据除以一个数等于乘这个数的倒数求解．
【解答】解：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
×4= 6﹣=5 ÷=2 +×=
×= ÷=1 ×= 10﹣×=9
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**二、计算12分**
2．计算
××
×﹣×
××=
﹣×+=
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】（1）（3）按从左到右的顺序计算即可．
（2）先算乘法，最后乘减法．
（4）先算乘法，再算减法与加法．
【解答】解：（1）××
=×
=
（2）×﹣×
=﹣
=
（3）××
=×
=
（4）﹣×+
=﹣+
=0+
=
**三、计算下面各题，怎样简便就怎样算．8分**
3．计算下面各题，怎样简便就怎样算
7﹣×+
﹣×+
\[×（﹣）\]÷
\[（﹣）÷﹣\]×．
【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】（1）（2）首先计算二级运算，然后计算一级运算，求出算式的值是多少即可．
（3）（4）首先计算小括号里面的算式，然后计算中括号里面的算式，最后计算中括号外面的算式即可．
【解答】解：（1）7﹣×+
=7﹣+
=6+
=7
（2）﹣×+
=﹣+
=+
=1
（3）\[×（﹣）\]÷
=\[×\]÷
=÷
=
（4）\[（﹣）÷﹣\]×
=\[÷﹣\]×
=\[3﹣\]×
=×
=2
**四、．8分**
4．解方程
7x﹣=
x﹣x=﹣
x+x﹣x=
x+x=364．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时加上，然后两边同时除以7即可．
（2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以即可．
（3）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以即可．
（4）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以即可．
【解答】解：（1）7x﹣=
7x﹣=
7x=2
7x÷7=2÷7
x=
（2）x﹣x=﹣
x=
x=
x=5
（3）x+x﹣x=
x=
x=
x=
（4）x+x=364
x=364
x=364
x=624
**四、判断对错．10分**
5．没有比100%更大的百分数了．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】百分数：表示一个数是另一个数的百分之几，是两个数之间的关系，所以百分数的分子可以是整数、小数，可以大于100、等于100、也可以小于100；据此判断．
【解答】解：由分析可知：百分数可能是200%，
故题干的说法是错误的．
故答案为：×．
6．某产品的合格率是110%．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】合格率=合格产品数÷全部产品数×100%，由于合格产品数不可能多于全部，所以合格率不可能超过100%，据此解答即可．
【解答】解：产品的合格率=合格产品数÷产品总数×100%，即使所有的产品都合格，合格率最高只能为100%，
所以一种产品的合格率是110%是错误的．
故答案为：×．
7．1千克的和7千克的12.5%一样重．[ √ ]{.underline}（判断对错）
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】要判断对或错，应进行计算，然后比较；根据求一个数的几分之几是多少，用乘法分别计算，进而得出结论．
【解答】解：1×=0.875（千克）
7×12.5%=0.875（千克）
答：1千克的和7千克的12.5%一样重．
故题干的说法是正确的．
故答案为：√．
8．0.5小时就是50%小时．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【分析】百分数是"表示一个数是另一个数百分之几的数．"它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．
【解答】解：根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，
所以0.5小时就是50%小时的说法错误．
故答案为：×．
9．如果两个数的乘积是1，那么这两个数互为倒数．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】倒数的认识．
【分析】依据倒数的意义：乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：由倒数的含义可知：如果两个数的乘积是1，那么这两个数互为倒数；
所以题干说法正确．
故答案为：√．
**五、填空题．13分**
10．甲数是乙数的，甲数和乙数的比是[ 3 ]{.underline}：[ 5 ]{.underline}．
【考点】比的意义．
【分析】根据"甲数是乙数的"，把乙数看成单位"1"，是5份数，那么甲数就是3份数，进而写出甲数和乙数的比．
【解答】解：把乙数看成5份数，甲数就是3份数
甲数：乙数=3份：5份=3：5
故答案为：3，5．
11．的倒数是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】倒数的认识．
【分析】求一个分数的倒数只要把分子和分母交换位置即可．
【解答】解：的倒数是．
故答案为：．
12．一个数的是15，这个数是[ 105 ]{.underline}．
【考点】分数除法．
【分析】把这个数看成单位"1"，它的是15，根据分数除法的意义，用15除以即可求出这个数．
【解答】解：15÷=105
答：这个数是105．
故答案为：105．
13．[ 48 ]{.underline}的是42．
【考点】分数除法．
【分析】把要求的数看成单位"1"，它的对应的数量是42，根据分数除法的意义，用42除以即可求出这个数．
【解答】解：42÷=48
答：48的是42．
故答案为：48．
14．一个数的是36的，这个数是[ 24 ]{.underline}．
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】先把36看成单位"1"，用36乘求出36的，再把这个数看成单位"1"，它的对应的数量是36×，再根据分数除法的意义进行求解即可．
【解答】解：36×÷
=18÷
=24
答：这个数是24．
故答案为：24．
15．把3千克糖，平均分给5个同学，每个同学分到这些糖的[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】求每个同学分得这些糖的几分之几，平均分的是单位"1"，表示把单位"1"平均分成5份，求的是每一份占的分率．
【解答】解：1÷5=
答：每个同学分到这些糖的．
故答案为：．
16．填一填．
-------- ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------
分数 [ ]{.underline}[ ]{.underline} [ ]{.underline}[ ]{.underline}  [ ]{.underline}[ ]{.underline} 
小数 0.73 [ 0.44 ]{.underline} [ 0.375 ]{.underline} 0.69 [ 0.9 ]{.underline}
百分数 [ 73% ]{.underline} 44% [ 37.5% ]{.underline} [ 69% ]{.underline} [ 90% ]{.underline}
-------- ----------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化．
【分析】把0.73的小数点向右移动两位添上百分号就是73%，把73%改写成分数就是；
把44%的小数点向左移动两位去掉百分号就是0.44，把44%改写成分母是100的分数，再化简就是；
=3÷8=0.375，把0.375的小数点向右移动两位添上百分号就是37.5%；
把0.69的小数点向右移动两位添上百分号就是69%，把69%改写成分母是100的分数就是；
=9÷10=0.9，把0.9的小数点向右移动两位添上百分号就是90%．
【解答】解：根据小数、分数、百分数之间的关系及转化填表如下：
-------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
分数     
小数 0.73 0.44 0.375 0.69 0.9
百分数 73% 44% 37.5% 69% 90%
-------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
17．把下列各数按从小到大的顺序重新排列．
0.32、46%、1.25、、110%
[ 0.32 ]{.underline}＜[ 0.46 ]{.underline}＜[ ]{.underline}[ ]{.underline}＜[ 110% ]{.underline}＜[ 1.25 ]{.underline}．
【考点】分数大小的比较；小数大小的比较；小数与分数的互化．
【分析】首先根据分数化成小数的方法，把分数化成小数，把百分数化成小数，再根据小数大小比较的方法进行比较即可．
【解答】解：46%=0.46
=0.8
110%=1.1
0.32＜0.46＜＜110%＜1.25
故答案为：0.32，0.46，，110%，1.25．
**六、列式计算．6分**
18．列式计算
（1）与的和，乘与的差，积是多少？
（2）54个与17的的和，除以2，结果是多少？
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】（1）首先用加上，求出它们的和是多少；然后用减去，求出它们的差是多少；最后用所得的和乘所得的差，求出积是多少即可．
（2）首先用乘54，求出54个是多少；再用17乘，求出17的是多少；然后把所得的积相加，求出它们的和是多少；最后用所得的和除以2，求出结果是多少即可．
【解答】解：（1）（+）×（﹣）
=×
=
答：积是．
（2）（×54+17×）÷2
=（9+）÷2
=9÷2
=4
答：结果是4．
**七、解答下列各题．35分**
19．超市运来白箩卜240千克，运来的红箩卜比白箩卜少．超市运来红箩卜多少千克？
【考点】分数乘法应用题．
【分析】将白萝卜数量当作单位"1"，根据分数减法的意义，红萝卜数量是白萝卜的1﹣，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则运来的红萝卜有240×（1﹣）千克．
【解答】解：240×（1﹣）
=240×
=60（千克）
答：运来红萝卜60千克．
20．某校有男生300人，戴近视镜的占．男生戴近视镜的人数是女生戴近视镜人数的．女生有多少人戴近视镜？
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】用男生人数乘以，得出男生戴近视镜的人数，再把女生戴近视镜人数看作单位"1"，用男生戴近视镜的人数除以占女生戴近视人数的分率，即可得女生有多少人戴近视镜．
【解答】解：300×÷
=50÷
=60（人），
答：女生有60人戴近视镜．
21．果园里苹果树的棵树比桃树的棵数少．
（1）已知桃树有100棵，苹果树有多少棵？
（2）已知苹果树有100棵，桃树有多少棵？
【考点】分数除法应用题；分数乘法应用题．
【分析】（1）把桃树的棵数看作单位"1"，苹果树的棵树比桃树的棵数少，则是桃树的棵数的1﹣，用桃树的棵数乘以它占得分率，即可得苹果树有多少棵；
（2）把桃树的棵数看作单位"1"，苹果树的棵树比桃树的棵数少，则是桃树的棵数的1﹣，用苹果树的棵数除以它占得分率，即可得桃树有多少棵．
【解答】解：（1）100×（1﹣）
=100×
=80（棵），
答：苹果树有80棵．
（2）100÷（1﹣）
=100÷
=125（棵），
答：桃树有125棵．
22．妈妈把一个生日蛋糕平均切成8份，小明吃了其中的3份，剩下的蛋糕占整个生日蛋糕的百分之几？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】先用总份数减去已经吃的份数，求出还剩下的份数，再用还剩下的份数除以8份即可求出剩下的蛋糕占整个生日蛋糕的百分之几．
【解答】解：（8﹣3）÷8
=5÷8
=62.5%
答：剩下的蛋糕占整个生日蛋糕的62.5%．
23．一个长方体木箱，长1.5米，宽0.8米，高0.6米．做这个木箱至少要用多少平方米木板？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】求做这个木箱至少要用多少平方米木板，就是求木箱的表面积；依据长方体的表面积公式：S+（ab+ah+bh）×2，即可得解．
【解答】解：（1.5×0.8+1.5×0.6+0.8×0.6）×2
=（1.2+0.9+0.48）×2
=2.58×2
=5.16（平方米）
答：做这个木箱至少要用5.16平方米木板．
24．一个无盖的正方体鱼缸，棱长5分米，制作这个鱼缸需要多大面积的玻璃？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】由于鱼缸无盖，所以只求5个面的总面积，根据正方形的面积公式：s=a^2^，把数据代入公式解答．
【解答】解：5×5×5=125（平方分米），
答：制作这个鱼缸需要125平方分米的玻璃．
**2016年8月27日**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数 学（文史类）**
**本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**第Ⅰ卷**
注意事项：
**1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。**
**2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效。**
**3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。**
**参考公式：**
·如果事件互斥，那么 球的表面积公式
·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
**一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14
3．""是"直线平行于直线"的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
10．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
**第Ⅱ卷**
注意事项：
**1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。**
**2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。**
**3．本卷共12小题，共100分。**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．**
11．从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
------ --- --- --- ---- --- ---
分组
频数 1 2 3 10 3 1
------ --- --- --- ---- --- ---
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 [ ]{.underline} ％．
12．的二项展开式中常数项是 [ ]{.underline} （用数字作答）．
13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 [ ]{.underline} ．
14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是[ ]{.underline}．
15．在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则 [ ]{.underline} ．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有[ ]{.underline}种（用数字作答）
**三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
在中，已知AC=2，BC=3，
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求的值。
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取2个球。
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P---ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A---PD---C的大小。
20．（本小题满分12分）
在数列中，，，
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立。
21．（本小题满分14分）
设函数（），其中
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a\>3时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于Q~1~，Q~2~两点，则。
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**因数**
1、420的因数个数(写出具体过程)
2、210的因数个数(写出具体过程)
3、520里面有多少个奇数因数？
4、32里面有多少个偶数因数？
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**2016～2017学年度上学期高三年级一调考试**
**数学试卷（理科）**
> **一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，复数满足，则为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知命题：方程有两个实数根；命题：函数的最小值为．给
出下列命题：
①；②；③；④．
则其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
5.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
8.定义在上的函数满足，，则不等式（其中
为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9.若实数，，，满足，则的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
10.已知存在，使得，则的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
11.设函数，若方程有个不同的根，则实数的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线
上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则
\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.已知函数在时有极值，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.定义在上的函数满足：，当时，，则不等式
的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
在中，，，分别为角，，所对的边，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
18.（本小题满分12分）
函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，，有，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，且公差大于，求的值．\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
20.（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求
的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；
（2）记在内的零点为，，若（）在内
有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．\[来源:学\#科\#网\]
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做****的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的切线，是切点，于，割线交圆于，两点．
（1）证明：，，，四点共圆；
（2）设，，求的大小．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，圆的极坐标方程为．\[来源:学科网ZXXK\]
（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线向右平移个单位，所得直线与圆相切，求．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，．
（1）若当时，恒有，求的最大值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围．\[来源:学科网ZXXK\]
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**宁夏2020年中考数学试题**
**一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）**
1.下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.
【详解】解：A. ，所以A错误；
B. ，所以B错误；
C. ，所以C错误；
D. ，所以D正确；
故答案选D.
【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0.
2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是3，众数是2 B. 众数是1，平均数是2
C. 中位数是2，众数是2 D. 中位数是3，平均数是2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．
【详解】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，\
中位数为2；\
平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；\
众数为2；
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；\
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，\
所以能构成三角形的概率是，\
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
4.如图摆放一副学生用直角三角板，，与相交于点*G*，当时，的度数是（ ）
A. 135° B. 120° C. 115° D. 105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点*G*作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】解：过点*G*作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
5.如图，菱形的边长为13，对角线，点*E*、*F*分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点*G*，则（ ）
A. 13 B. 10 C. 12 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
6.如图，等腰直角三角形中，，以点*C*为圆心画弧与斜边相切于点*D*，交于点*E*，交于点*F*，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接CD，并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】连接CD，如图，
∵AB是圆C的切线，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=AB，
∵，AC=BC，
∴AB=2，
∴CD=1，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7.如图，函数与函数的图象相交于点．若，则*x*的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象可知函数与函数的图象相交于点*M*、*N*，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的*x*的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的*x*的取值范围为或，
故本题答案为：或．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
8.如图2是图1长方体三视图，若用*S*表示面积，，则（ ）
 
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．
【详解】∵，
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键．
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
9.分解因式：3a^2^﹣6a+3=\_\_\_\_．
【答案】3（a﹣1）^2^．
【解析】
【详解】解：原式=3（a^2^﹣2a+1）=3（a﹣1）^2^．
故答案：3（a﹣1）^2^．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
10.若二次函数的图象与*x*轴有两个交点，则*k*的取值范围是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与*x*轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数的图象与*x*轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
11.有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】列表得：
--- ---- ---- ----
4 5 6
4 9 10
5 9 11
6 10 11
--- ---- ---- ----
共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，\
所以概率为．
故答案为：．
【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个"圆材埋壁"的问题："今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？"意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是\_\_\_\_\_\_寸．
【答案】26
【解析】
【分析】
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
【详解】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
中，根据勾股定理可得：
解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.
13.如图，直线与*x*轴、*y*轴分别交于*A*、*B*两点，把绕点*B*逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是\_\_\_\_\_．
【答案】（4，）
【解析】
【分析】
首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A~1~的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．
【详解】解：在中，令x=0得，y=4，
令y=0，得，解得x=，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB ≌△A~1~O~1~B，∠ABA~1~=90°，
∴∠ABO=∠A~1~BO~1~，∠BO~1~A~1~=∠AOB=90°，OA=O~1~A~1~=，OB=O~1~B=4，
∴∠OBO~1~=90°，
∴O~1~B∥x轴，
∴点A~1~的纵坐标为OB-OA的长，即为4=；
横坐标为O~1~B=OB=4，
故点A~1~的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
14.如图，在中，，分别以点*A*、*B*为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点*M*、*N*，作直线交点*D*；以点*B*为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点*E*、*F*，再分别以点*E*、*F*为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点*P*，作射线，此时射线恰好经过点*D*，则\_\_\_\_\_度．
【答案】32
【解析】
【分析】
由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案.
【详解】解：设阅读过《西游记》的人数是，阅读过《水浒传》的人数是，（均为整数）
依题意可得：
且均为整数
可得：，
最大可以取6；
故答案为6.
【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求的最大值，则可通过题中不等关系得出是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.
16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为*a*，较长直角边为*b*．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为\_\_\_\_．
 
【答案】27
【解析】
【分析】
根据题意得出a^2^+b^2^=15，（b-a）^2^=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）^2^，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）^2^即可．
【详解】解：由题意可得在图1中：a^2^+b^2^=15，（b-a）^2^=3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）^2^，
∵（b-a）^2^=3
a^2^-2ab+b^2^=3，
∴15-2ab=3
2ab=12，
∴（a+b）^2^=a^2^+2ab+b^2^=15+12=27，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
**三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）**
17.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
（1）画出关于*x*轴成轴对称的；
（2）画出以点*O*为位似中心，位似比为1∶2的．
【答案】（1）如图所示为所求；见解析； （2）如图所示为所求；见解析．
【解析】
【分析】
（１）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
（２）在同侧和对侧分别找到2OA=OA~2~，2OB=OB~2~，2OC=OC~2~所对应的A~2~，B~2~，C~2~的坐标，连接即可．
【详解】（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
则关于*x*轴成轴对称的的坐标为A~1~（1，-3），B~1~（4，-1），C~1~（1，-1），
连接A~1~C~1~，A~1~B~1~，B~1~C~1~
得到．
如图所示为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，和在同一侧
则A~2~（2，6），B~2~（8，2），C~2~（2，2），
连接各点，得．
第二种，在的对侧
A~2~（－2，－6），B~2~（－8，－2），C~2~（－2，－2），
连接各点，得．
综上所述：如图所示为所求；
【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
18.解不等式组：
【答案】不等式组的解集是．
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．
详解】解:
由①得：
由②得：
所以，不等式组的解集是．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【详解】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
20.在"抗击疫情"期间，某学校工会号召广大教师积极开展了"献爱心捐款"活动，学校拟用这笔捐款购买*A*、*B*两种防疫物品．如果购买*A*种物品60件，*B*种物品45件，共需1140元；如果购买*A*种物品45件，*B*种物品30件，共需840元．
（1）求*A*、*B*两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买*A*、*B*两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么*A*种防疫物品最多购买多少件？
【答案】（1）购买*A*、*B*两种防疫物品每件分别为16元和4元；（2）最多购买*A*种防疫物品383件．
【解析】
【分析】
（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据"拟用这笔捐款购买*A*、*B*两种防疫物品．如果购买*A*种物品60件，*B*种物品45件，共需1140元；如果购买*A*种物品45件，*B*种物品30件，共需840元"，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；\
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（600-a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【详解】（1）设购买*A*、*B*两种防疫物品每件分别为*x*元和*y*元，根据题意，得：
解得：
答：购买*A*、*B*两种防疫物品每件分别为16元和4元．
（2）设购买*A*种防疫物品*a*件，根据题意，得：
解得，，因为*a*取最大正整数，所以
答：最多购买*A*种防疫物品383件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．
21\.
如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
求证：．
【答案】，证明略．
【解析】
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
．
22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：
----------- --- --- --- --- ----
日用水量/
频数 0 4 2 4 10
----------- --- --- --- --- ----
使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：
----------- --- --- --- ---
日用水量/
频数 2 6 8 4
----------- --- --- --- ---
（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）
【答案】（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为；使用了节水龙头20天的日平均用水量为；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水．
【解析】
【分析】
（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可；
（2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果．
【详解】（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：
使用了节水龙头20天的日平均用水量为：
（2）
答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水．
【点睛】考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
**四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）**
23.如图，在中，，点*D*为上一点，以为直径的交于点*E*，连接，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，求．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）证明：连接，证明，即可得=90°，即可证明是的切线；
（2）解：连接，先证明，得出，根据∠A=30°，∠B=90°，可得，可得，由此可得，即可得出．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
24."低碳生活，绿色出行"是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．
（1）小丽与小明出发\_\_\_\_\_\_\_相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点*C*的坐标，并解释点*C*的实际意义．
【答案】（1）30；（2）①小丽步行的速度为，小明步行的速度为；②点，点*C*表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．
【解析】
【分析】
（1）直接从图像获取信息即可；
（2）①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图像和题意列出方程组，求解即可；
②设点*C*的坐标为，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．
【详解】（1）由图像可得小丽与小明出发30相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，
则，
解得：，
答：小丽步行的速度为，小明步行的速度为；
②设点*C*的坐标为，
则可得方程，
解得，
，
∴点，
点*C*表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题关键．
25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
---------------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --------
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ......
脚长（毫米） ......
---------------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- --------
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
--------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------
序号*n* 1 2 3 4 5 6 ......
鞋号 22 23 24 25 26 27 ......
脚长 ......
脚长 160 165 170 175 180 185 ......
--------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------
定义：对于任意正整数*m*、*n*，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号*n*之间的关系式，与序号*n*之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【答案】（1），；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；（3）应购买44号的鞋．
【解析】
【分析】
（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有a~n~的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【详解】（1）
（2）由与解得：
把代入得
所以
则得：，即
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是．
（3）根据可知能被5整除
而
所以
将代入中得
故应购买44号的鞋．
【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
26.如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点*C*与点*E*重合时移动终止），移动过程中始终保持点*B*、*F*、*C*、*E*在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点*P*、*M*，与交于点*Q*，其中，设三角板移动时间为*x*秒．
 
（1）在移动过程中，试用含*x*的代数式表示的面积；
（2）计算*x*等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形ABC求得，设，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据""列出函数关系式，通过配方求解即可．
【详解】（1）解：因为中∴
∵ ∴
∴为等边三角形
过点*M*作，垂足为点*N*．
在中，
∴
根据题意可知
∴
∴
∴
而
∴
（2）由（1）知
∴
所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**北京文数全解全析**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
**第Ⅰ卷**（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
**一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，**
**选出符合题目要求的一项．**
[1](http://www.zxsx.com/)．若集合，，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】**D**
【解析】
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】**A**
【解析】利用中间值0和1来比较:
3．"双曲线的方程为"是"双曲线的准线方程为"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】**A**
【解析】"双曲线的方程为"是"双曲线的准线方程为"
"" "",如反例: .
4．已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】**C**
【解析】由正弦定理得:
5．函数的反函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】**B**
【解析】
所以反函数为
6．若实数满足则的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】**A**
【解析】本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个
顶点分别为,验证知在点时取得最小值0.
7．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【答案】 **C**
【解析】由,
所以
8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大
致是（ ）
【答案】**B**
【解析】取的中点E, 的中点F,连EF,则在平面内平行移动且
> 当P移动到的中心时，MN有唯一的最大值，排除答案A、C；当P点移动时，由于总保持所以x与y的关系是线性的(例如: 取当时,
>
> 同理,当时,有 )
>
> 排除答案D,故选B.
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学（文史类）（北京卷）**
**第Ⅱ卷**（共110分）
**注意事项：**
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．**
9．若角的终边经过点，则的值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
10．不等式的解集是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
11．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
12．的展开式中常数项为 [ ]{.underline} ；各项系数之和为 [ ]{.underline} ．（用数字作答）
【答案】10 32
【解析】由得故展开式中常数项为
取即得各项系数之和为
13．如图，函数的图象是折线段，其中
的坐标分别为，则 [ ]{.underline} ；
函数在处的导数 [ ]{.underline} ．
【答案】**2 -2**
【解析】
14．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 [ ]{.underline} ．
【答案】②
【解析】函数为偶函数，则
**在区间**上, 函数为增函数，
**三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，所以，所以．
因此，即的取值范围为．
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，．
，．
，平面．
平面，．
（Ⅱ），，
．
又，．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．二面角的大小为．
解法二：
（Ⅰ），，．
又，．，平面．
平面，．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．，
，．
取中点，连结．
，，，．
是二面角的平面角．
，，，
．二面角的大小为．
17．（本小题共13分）
已知函数，且是奇函数．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，，即．
又所以．
所以解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．
当时，由得．变化时，的变化情况如下表：
-- -- --- -- --- --
0 0
-- -- --- -- --- --
所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
18．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
18．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
19．（本小题共14分）
已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．
设两点坐标分别为．
由 得．
所以．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．
所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．
因为在椭圆上，
所以．
设两点坐标分别为，
则，，
所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．
所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为．
20．（本小题共13分）
数列满足，（），是常数．
（Ⅰ）当时，求及的值；
（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．
解：（Ⅰ）由于，且．
所以当时，得，故．
从而．
（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，
得，，．
若存在，使为等差数列，则，即，
解得．于是，．
这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即
且，这时总存在，满足：当时，；
当时，．所以由及可知，若为偶数，
则，从而当时，；若为奇数，则，
从而当时．因此"存在，当时总有"
的充分必要条件是：为偶数，
记，则满足．
故的取值范围是．
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
理科综合能力测试物理部分
14.放射性同位素针232经*αβ*衰变会生成氧，其衰变方程为*ThRn*+*xα+yβ*，其中
A.*x*=1,*y*=3 B.*x*=2,y=3
C.*x*=3,*y*＝1 D.*x*=3,*y*=2
15.某同学设计了一个转向灯电路（题15图），其中L为指示灯，L~1~、L~2~分别为左、右转向灯，S为单刀双掷开关，E为电源.当S置于位置1时，以下判断正确的是
A. L的功率小于额定功率
B. L~1~亮，其功率等于额定功率
C. L~2~亮，其功率等于额定功率
D. 含L支路的总功率较另一支路的大
16.地面附近有一正在上升的空气团，它与外界的热交热忽略不计.已知大气压强随高度增加而降低，则该气团在此上升过程中（不计气团内分子间的势能）
A.体积减小，温度降低 B.体积减小，温度不变
C.体积增大，温度降低 D.体积增大，温度不变
17.下列与能量有关的说法正确的是
A. 卫星绕地球做圆周运动的半径越大，动能越大
B. 从同种金属逸出的光电子的最大初动能随照射光波长的减小而增大
C. 做平抛运动的物体在任意相等时间内动能的增量相同
D. 在静电场中，电场线越密的地方正电荷的电势能一定越高
18.如题18图，粗糙水平桌面上有一质量为*m*的铜质矩形线圈.当一竖直放置的条形磁铁从线圈中线AB正上方等高快速经过时，若线圈始终不动，则关于线圈受到的支持力*F*~N~及在水平方向运动趋势的正确判断是
A. *F*~N~先小于*mg*后大于*mg*,运动趋势向左
B. *F*~N~先大于*mg*后小于*mg*,运动趋势向左
C. *F*~N~先大于*mg后大于mg*,运动趋势向右
D. *F*~N~先大于*mg*后小于*mg*,运动趋势向右
19.题19图是一个圆柱体棱镜的截面图，图中E、F、G、H将半径OM分成5等份，虚线EE~1~、FF~1~、GG~1~、HH~1~平行于半径ON,ON边可吸收到达其上的所有光线.已知该棱镜的折射率*n*=,若平行光束垂直入射并覆盖OM,则光线
A. 不能从圆孤射出
B. 只能从圆孤射出
C. 能从圆孤射出
D. 能从圆孤射出
20.某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成（题20图）.在一次地震中，震源地地震仪下方，观察到两振子相差5s开始振动，则
A. P先开始振动，震源距地震仪约36km
B. P先开始振动，震源距地震仪约25km
C. H先开始振动，震源距地震仪约36km
D. H先开始振动，震源距地震仪约25km
21.题21图1是某同学设计的电容式速度传感器原理图，其中上板为固定极板，下板为待测物体，在两极板间电压恒定的条件下，极板上所带电量*Q*将随待测物体的上下运动而变化，若*Q*随时间t的变化关系为*Q*=（*a*、*b*为大于零的常数），其图象如题21图2所示，那么题21图3、图4中反映极板间场强大小*E*和物体速率*v*随*t*变化的图线可能是
A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④
第二部分（非选择题共174分）
22.（请在答题卡上作答）（17分）
（1）某实验小组拟用如题22图1所示装置研究滑块的运动.实验器材有滑块、钩码、纸带、米尺、带滑轮的木板，以及由漏斗和细线组成的单摆等.实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时单摆垂直于纸带运动方向摆动，漏斗漏出的有色液体在纸带带下留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置.
①在题22图2中，从 [ ]{.underline} 纸带可看出滑块的加速度和速度方向一致.
②用该方法测量滑块加速度的误差主要来源有： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} （写出2个即可）.
（2）某研究性学习小组设计了题22图3所示的电路，用来研究稀盐水溶液的电阻率与浓度的关系.图中E为直流电源，K为开关，K~1~为单刀双掷开关，V为电压表，A为多量程电流表，R为滑动变阻器，R~x~为待测稀盐水溶液液柱.
①实验时，闭合K之前将R的滑片P置于 [ ]{.underline} （填"C"或"D"）端；当用电流表外接法测量R~x~的阻值时，K~1~应置于位置 [ ]{.underline} （填"1"或"2"）.
②在一定条件下，用电流表内、外接法得到R~x~的电阻率随浓度变化的两条曲线如题22图4所示（不计由于通电导致的化学变化）.实验中R~x~的通电面积为20 cm^2^，长度为20 cm，用内接法测量R~x~的阻值是3500Ω，则其电阻率为 [ ]{.underline} Ω·m，由图中对应曲线 [ ]{.underline}
（填"1"或"2"）可得此时溶液浓度约为 [ ]{.underline} %（结果保留2位有效数字）.
23.（16分）滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力*F*~x~垂直于板面，大小为kv^2^，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角*θ*=37°时（题23图），滑板做匀速直线运动，相应的*k*=54 kg/m，入和滑板的总质量为108 kg,试求（重力加速度g取10 m/s^2^,sin 37°取，忽略空气阻力）：
（1）水平牵引力的大小；
（2）滑板的速率；
（3）水平牵引力的功率.
24.（19分）题24图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料------ER流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止,ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）:
(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)滑块向下运动过程中加速度的大小；
(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小.
25.（20分）题25题为一种质谱仪工作原理示意图.在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点.CM垂直磁场左边界于M，且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v~0~.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：
（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；
（2）离子沿与CM成*θ*角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
（3）线段CM的长度.
答案：
14.D 15.A 16.C 17.B 18.D
19.B 20.A 21.C
22.（1）
① [* B *]{.underline}
②[摆长测量、漏斗重心变化、液体痕迹偏粗、阻力变化......]{.underline}
（2）
① [* D*]{.underline} [1]{.underline}
② [35]{.underline} [1]{.underline}
23.解：
（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示
由共点力平衡条件可得
①
②
由①、②联立，得
*F* =810N
\(2\)
得m/s
(3)水平牵引力的功率
*P*=*Fv*
*=*4050 W
24.解：
（1）设物体下落末速度为*v*~0~，由机械能守恒定律
得
设碰后共同速度为*v*~1~，由动量守恒定律
2*mv*~1~=*mv*~0~
得
碰撞过程中系统损失的机械能力
(2)设加速度大小为*a*,有
得
（3）设弹簧弹力为*F~N~*，ER流体对滑块的阻力为*F*~ER~
受力分析如图所示
*F~S~*=*kx*
*x=d+mg/k*
25.解：
（1）
设沿*CM*方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为*R*
由
R=d
===
得*B*＝
磁场方向垂直纸面向外
（2）
设沿CN运动的离子速度大小为*v*，在磁场中的轨道半径为*R*′，运动时间为*t*
由*v*cos*θ*=*v*~0~
得*v*＝
*R′*==
方法一：设弧长为*s*
> *t*=
>
> *s=*2(*θ*+*α*)×*R′*
>
> *t*=
方法二：
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期*T*＝
*t*=*Ｔ*×=
\(3\)
方法一：
*CM*=*MN*cot*θ*
=
*Ｒ*′=
以上3式联立求解得*CM*=*d*cot*α*
方法二：
设圆心为*A*，过*A*做*AB*垂直*NO*，
可以证明*NM*＝*BO*
∵*NM*=*CM*tan*θ*
又∵*BO*=*AB*cot*α*
=*R*′sin*θ*cot*α*
=
∴*CM*=*d*cot*α*
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第11课《巧填算符1》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第十一讲 巧填算符（一）习题解答
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科综合能力测试
第Ⅰ卷（必做，共100分）
图1是世界某地区图。读图回答1\~2题
1.图中阴影部分表示该地工某种农产品的主要产区，该农产品为
A.茶叶 B.玉米 C.稻米 D.天然橡胶
2.下列产业部门中，目前最适宜由中国向图中甲国转移的是
A.汽车制造 B.精钢锻造 C.软件开发 D.家具制造
表1是中美两国的两个苹果产区与北半球苹果生长最适宜区的气候条件和生产成本的相关资料。据表回答3～4题。 表1:
+----------------+-----------------+----------------+----------------+---------------+-----------+
| | 年平均气温（℃） | 年降水量（mm） | 1月平均气温(℃) | 夏季平均气温℃ | 生产成本 |
| | | | | | |
| | | | | | (元/千克) |
+----------------+-----------------+----------------+----------------+---------------+-----------+
| 中国某产区 | 8\~12 | 490\~660 | -1\~-8 | 19\~23 | 0.64 |
+----------------+-----------------+----------------+----------------+---------------+-----------+
| 美国某产区 | 15\~17 | 470\~520 | 6\~8 | 18\~21 | 2.05 |
+----------------+-----------------+----------------+----------------+---------------+-----------+
| 北半球最适宜区 | 8\~12 | 560\~750 | ＞-14 | 19\~23 | 1.20 |
+----------------+-----------------+----------------+----------------+---------------+-----------+
3.表中的美国产区最可能位于
A.30°N\~40°N西海岸 B. 30°N～40°N东海岸
C.密西西比河三角洲 D.五大湖区
4.表中的中国产区与美国产区相比，具有的优势是
①年平均气温、年降水量条件更适宜
②气温年较差大，有利于苹果糖分的积累
③夏季光照条件较好
④劳动力成本较低
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
图2是我国某地区略图，读图回答5\~6题。
5.图中四座山地的垂直自然带谐中均有
A.山地常绿阔叶林带 B.山地针叶林带
C.山地荒漠带 D.山地冰雪带
6.图中景观图片为黄土塬(黄土高原地区面积广阔、地面平坦的黄土高地)。黄土塬上水循环过程不同于黄土高原其它地貌类型区，其最弱的环节是
A.降水 B.下渗 C.蒸发 D.地表径流
7．下列日期中，北京的昼长与2008年奥运会开幕日那天(8月8日)北京的昼长最接近的是
A.奥运圣火火种在希腊雅典采集的那天(3月25日)
B.奥运圣火登上珠穆朗玛峰峰顶的那天(5月8日)
C.奥运圣火传递至协办城市青岛的那天(7月24日)
D.奥运圣火在国家体育场缓缓熄灭的那天(8月24日)
唐宋时期，我国古代政治制度进一步发展，经济趋于繁荣。回答8\~9题。
8.唐朝中央政府具有较高的行政效率，主要原因在于
A.增设机构，独立施政 B.分工明确，相互协调
C.一职多官，互相牵制 D.简化机构，总揽于上
9.图3为北宋末年东京(今开封)示意图，其中设置了两处错误，它们是
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
10.明清时期的山水画和29世纪中国的英国风景画，通常都以自然风景为主要描绘内容。下列表述正确的是
A.中西文化交流使两国的绘画风格相互交融
B.相似的社会环境使两国绘画主题趋于一致
C.明清山水画是商品经济发展在艺术上的反映
D.英国风景画的出现是工业革命影响的结果
11.民主革命时期的标语宣传了党的政策，播撒了革命火种。图4的宣传标语应出现于
A.国民革命时期 B.土地革命时期
C.抗日战争时期 D.解放战争时期
12.文艺复兴时期，人文主义者从古典文化中汲取精神力量，铸成了反对神学桎梏的武器。以下最契合人文主义核心内涵的古希腊名言是
A.求知是人类的本性
B.心灵美比形体美更珍贵
C.人的出类拨萃为城邦增加的荣耀可以超过神
D.健康和聪明是人生的两大幸福
13.某西方大国曾采取以下措施处理经济问题，把40%的国有企业出售给私人，削减住房、医疗、失业等各种社会福利开支，减少税收，提高利率。这是为了
A.促进工业革命后经济的发展
B.克服20世纪30年代的经济危机
C.解决二战后初期的经济困难
D.缓解20世纪70年代的经济滞胀
14.如果撰写一篇关于20世纪70年代国际关系的论文，下列选题正确的是
A.论国际关系的多变化趋势
B.由亚洲欧洲------冷战重心的转移
C.由紧张到缓和------中苏关系新走向
D.论欧盟崛起与美国霸主地位的动摇
15.政府给农民一定的家电购置补贴，会影响农民对家电的市场需求量。下列曲线图(横轴为需求量，纵轴为价格，d~1~为补贴前市场需求曲线，d~2~为补贴后市场需求曲线)能正确反映这一信息的是
16.2003-2007年，我国国内生产总值、货物进出口总额年均增长分别为10.6％、28.5％。这说明我国
①出口成为经济增长的第一动力
> ②国内发展与对外开放协同推进
>
> ③经济发展的对外关联程度提高
>
> ④进出口结构得到了进一步优化
>
> A. ①② B. ①③ C.②③ D.②④
17.按照《中华人民共和国政府信息公开条例》的要求，行政机关应将主动公开的政府信息，通过政府公报、政府网站、新闻发布会以及报刊、广播、电视等方式公开。这有利于
①增强政府工作的透明度 ②维护和实现公民的知情权 ③扩大政府公共服务职能
> ④发挥社会舆论的监督作用
>
> A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D.②③④
18.党的十七大提出推动社会主义文化大发展大繁荣的重大任务，是基于
①中国共产党是中国特色社会主义事业的领导核心
②文化在综合国力竞争中的地位和作用越来越突出
③中国共产党承担着组织和管理文化建设的职能
④社会主义文化是社会主义市场经济的基础
A. ①② B.②③ C. ①③ D.②④
19.某校通过举办"青春风采"校园文化艺术节，营造了浓厚的文化氛围，陶冶了学生的情操。这体现的文化生活道理是
A.文化对人的影响来自特定的文化环境
B.文化建设是思想道德建设的中心环节
C.文化决定人的交往行为和交往方式
D.文化是人类全部精神活动及其产品
为世界奉献一届有特色、高水平的奥运会，是中国人民对世界的庄严承诺，也激发了中
华儿女的爱国热情。把庄严承诺和爱国热情化为奉献奥运、建设祖国的实际行动，是全中国
人民的共同心声。回答20～21题。
20.材料中"全中国人民的共同心声"表明
A.庄严承诺是爱国主义的重要标志 B.投身实践是实现人生价值的根本途径
C.社会意识对社会发展起推动作用 D.奉献社会的目的是为了彰显自我价值
21.北京奥运会不仅是一场体育盛会，也是一场世界文化盛会。假如你是一位奥运志愿者，在服务过程中应当
①遵循各国文化一律平等的原则
> ②做各国文化的弘扬者、建设者
>
> ③尊重各国文化之间的差异
>
> ④做中外文化交流的友好使者
>
> A. ①②③ B. ①②④ C.②③④ D. ①③④
22.《红岩》的作者，在一次次查阅有关档案、走访烈士的战友、搜集先烈们感人事迹的基础上，成功塑造了江姐等典型人物形象。这启示我们要
①坚持调查研究的工作方法 ②正确发挥主观能动性 ③坚持主观与客观相统一 ④重视做好量的积累
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
随着科技水平的提高，人类对地球形状的认识经历了"天圆地方"、"圆球体"、"扁球体"
和"不规则扁球体"的漫长过程。回答23～25题。
23.人类对地球形状的认识过程，体现的哲理是
A.创新是对既有理论的突破和抛弃
B.认识在实践中多次反复而无限发展
C.意识随着客观世界的变化而变化
D.对同一确定对象会有多个真理性认识
24.地圆说的流行是新航路开辟的重要条件之一。图5是新航路开辟不久一位德国人绘制的世界地图。它反映出
A.世界各国的封闭状态被打破
B.资本主义世界经济体系形成
C.人们对世界尚缺乏全面了解
D.中国与西方的贸易日渐频繁
25.目前对地球形状的精确研究主要是基于
A.遥感技术和地理信息系统
B.全球定位系统和地理信息系统
C.遥感技术和全球定位系统
D.数字地球
**第I卷答案**
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D A C B D B B D D
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C D A C C B A A B
21 22 23 24 25
D D B C A
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**第Ⅱ卷（必做110分+选做30分，共140分）**
必做部分
26.（26分）人口、资源、环境与经济协调发展是科学发展观的必然要求。充分发挥地区优势，加强区域联系，协调人地关系，是实现区域可持续发展的重要保证。
图6表示的是我国某地区及该地区某时近地面天气形势。表2是图6中A、B、C三省
和东北三省以及全国两个年份的粮食总产量、粮食播种面积和粮食单产变化资料。读图、表
回答下列问题。
1. 判断此时图中甲城市的风向，并指出锋面系统过境后该地的天气状况。（6分）
2. 图中A,B,C三省均为我国著名的粮食生产基地，与东北三省相比，其粮食生产自然条件的优势是什么？A,B,C三省、东北三省粮食总产量占全国粮食总产量的比重各有何变化？据表说明A,B,C三省产生这种变化的主要原因。（10分）
3. 图中乙、丙两城市之间已有内河航道连接，为何还有建沿江高速公路？（3分）
4. 针对图中A省湖区某种生态环境问题，有关专家指出了"治湖必须治江，治江必须治山"的治理思路。该生态环境问题是什么？结合地理环境的基本规律，谈谈你对这一思路的理解。（6分）
（1）西南风。
气温、湿度降低，气压升高；天气转晴。
（2）水热资源丰富。
A,B,C三省比重下降；东北三省所占比重上升。
A,B,C三省粮食播种面积下降； A,B,C三省（与全国或东北三省相比）粮食单产增长幅度教小
（3）与航运相比，高速公路更为快捷；为满足社会经济发展对交通运输不断增长
（4）泥沙淤积造成的潮泊萎缩及引起的洪涝频繁问题。
（依据地球环境的整体性说明）该问题主要与人潮河流泥沙增多密切相关;人潮河流泥沙增多，又主要与上游山区因滥垦乱伐导致水土流失有关，因此湖、江、山应当综合治理。
27.（25分）家庭是文明社会的基本细胞。阅读材料，回答问题。
材料一 身修而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平。
－\[西汉\]《礼记》
> 材料二 梁启超认为，旧中国在家庭伦理方面发展了高度的个人道德观，但......在公共
道德和公民操行方面......是不够的。这样，他否定了儒教中国的狭隘忠诚和以家庭为中心的自私观念，而主张集体的民主和建立一个强大的国家。
－\[美\]费正清《伟大的中国革命》
材料三 通过把工作转移到家庭之外，工厂也从不同的方向吸引父亲、母亲、孩子远离家庭，从而改变了传统的家庭生活模式。
－\[美\]杰里·本特利《新全球史》
材料四 这一运动的收获是空前的......这种社会细胞－家庭改革，对于提高人民的政治热情，挖掘潜力建设我们的祖国，是会起着重大推动作用。
－《华北区贯彻婚姻法运动总结》（1953年）
（1）中国古代强调"家齐而后国治"，这种观念的经济和思想基础是什么？（4分）
（2）根据材料二，说明当时中国社会的家庭伦理观有什么变化。（2分）结合时代背景分析变化的原因（6分）
（3）据材料三、四，说明推动家庭变革的基本因素有哪些。（4分）结合所学知识，分析材料四中改革后中国家庭伦理关系有什么新变化。（4分）
（4）"父母在，不远游"的观念曾对中国传统家庭生活产生过重要影响。在现代社会中，你如何看待这一观念？（5分）
（1）家庭为单位的小农经济（或自然经济）; 儒家的伦理道理（或儒家思想）
（如果回答儒家伦理道德具体内容－忠孝及两者关系的可酌情给分，回答中国传统思想或宗法制度的不给分）。
（2）变化：在注重个人道德观的同时，更注重公共道德和公民操行的培养。
原因：民族资本主义的发展;西学东渐，民主思想的传播;民族危机的加深。
（3）社会经济的发展（或社会化大生产）;（ 分）国家的政治变革（或政府政策推动）。
（如果笼统回答政治因素、经济因素，最多给 分）
> （4）这一传统观点有其积极意义，应重视传统观念的现实价值; 不应固守传统，这一观念在当今的淡化是一种社会进步。
28.（25分）山东省深入贯彻落实科学发展观，围绕建设"大而强、富而美"社会主义新山东的发展目标，真抓实干，取得显著成就。阅读材料，回答问题。
(1)揭示图7反映的经济信息。（3分）并简要说明能够促进这些信息所示变化的财政措施。（6分）
(2)山东文化底蕴深厚。请运用文化生活知识，说明应如何充分利用山东传统文化资源优势，加快实现由文化资源大省向文化强省的跨越。（7分）
（3）推进社会主义民主法制建设，需要全省人民的共同参与。某校高一（3）班学生以"山东省基层群众自治状况"为课题，组成了研究性学习小组。该小组搜集到以下资料：从2007年9月到2008年2月，山东省81055个建制村中，已有80490个村通过投票选举完成村民委员会换届，选民参选率高达94.6％。
该小组针对所搜集资料中蕴含的政治生活道理展开了热烈讨论。假如你是小组成员，请全面简述自己的观点。（9分）
(1)经济信息：2007年山东省对高新技术、环境管理等行业投资大幅上升，对电力、冶金等行业投资明显减弱，小火电等落后生产能力被淘汰，投资结构不断优化，节能减排取得较大成绩。
若答出"坚持可持续发展"、"促进经济又好又快发展"等方之有理的答案，可给分。
措施：①对不同行业采取不同的税收政策，引导资源在不同行业间合理流动。
②通过调控不同行业的财政支出，增强发展的协调性。
③加大科研投入，促进技术创新，为节能减排、结构优化提供技术支持。
（若笼统回答"调整财政收支方向、结构"或从财政收支其他方面作答，言之有理，可酌情给分）
(2)①利用传统文化资源，建设文化强省，必须牢牢把握社会主义先进文化的前进方向（或"坚持马克思主义的指导地位"等）。②继承山东传统文化，"取其精华，去其糟粕"，批判继承，古为今用。③立足山东改革开放的实践，创新文化内容和形式，创作人民群众喜爱的文化精品；同时博采众长，吸收、借鉴其他优秀文化成果；进一步促进山东文化产业发展。④人民群众是文化创造的主体，应充分发挥人民群众建设文化强省的积极性。
（若答出"不断融入时代精神"、"发展教育、科学和文化事业，培育文化人才"等言之有理的答案，可酌情给分，但本小题最高不超过分）
(3)①我国国家性质决定了一切权力属于人民，基层群众自治是人民当家作主的真实体现，是公民有序参与政治生活的重要形式。②村民选举村委会干部是村民自治的基础，是村民参与民主管理的主要途径。较高的参选率说明村民的民主意识和政治素养逐步提高。③坚持和完善基层群众自治制度，是社会主义民主最为广泛而深刻的实践，也是发展社会主义民主的基础性工作。
若答出"基层群众自治制度是中国特色的政治制度"、"社会主义政治文明不断发展"等言之有理的答案，可酌情给分。
29.（35分）从1840年被迫打开国门，到十一届三中全会后实行改革开放，中国的现代化经历了漫长而艰辛的历程，中国社会发生了天翻地覆的变化。阅读材料，回答问题。
材料一 （1893年有人写信给张之洞说）方今机器之利，粤人知其益者，十之八九；两江间浙，十之二三；河洛以北，万不得一。名卿巨公，以为是者半，以为非者亦半。
――《汉冶萍公司》
材料二 在通商以后的上海，随着大量新事物的涌入，出现了一些新词语，如洋行、洋布、洋油、洋铁、洋火、洋车等。它们日益流行，成为人们生活中的常用语。
――据李长莉《晚清上海的新知识空间》
(1) 材料一反映了中国近代工业发展中的哪些现象？（４分）"机器之利"显而易见，为什么"名卿巨公"还"以为非者亦半"？（３分）
(2) 材料二中大量带"洋"字的词语，后来在百姓日常用语中逐渐消失，其原因是什么？（４分）
```{=html}
<!-- -->
```
(1) 现象：近代工业地区发展不平衡（或南北发展不平衡，或南方先进于北方）；人们对近代工业的认识不一（答出具体认识的可酌情给分）。
> 原因：思想守旧，对西方近代文明存在的抵触；担心近代工业发展会威胁专制统治。
(2) 政治上：新民主主义革命胜利.（ 分）中国取得了民族独立，摆脱了帝国主义的奴役；经济上：新中国成立后，特别是改革开放后，中国经济迅速发展。
材料三 经济的发展推动了我国城市化进程。图8表示的是改革开放以来全国及国内三大经济地带城市化水平的变化情况，图9是我国1980年和2004年城市等级规模金字塔示意图。
(3) 读图8、9，分析改革开放以来我国城市化进程的主要特点。（8分）
(3)城市化水平不断上升，近年来上升速度加快；
(4)在西部地带城市化进程中，有人提出了应优先发展大城市的观点，你认为是否合理，请说明理由。（3分）
(4)答案一：合理。理由：大城市的服务范围广，功能强；对区域经济和社会发展的辐射和带动作用强。
> 答案二：不合理。理由：西部地区自然条件较为恶劣，生态环境脆弱；人口分散，交通不便，经济发展水平较低。
>
> 
>
> 材料四 改革开放使中国人民走上了富裕安康的广阔道路。图10是某市民在不同年份春节家庭消费的主要走出项目。
>
> 
>
> (5)春节消费体现了不同年代生活消费的主要特征。根据图10，概括改革开放以来该市民在家庭消费方面发生的主要变化，(2分)并从经济制度和经济体制角度分析变化的原因。（４分）
>
> 材料五 历经30年的改革开放，当代中国同世界的关系发生了历史性变化，中国发展离不开世界，世界繁荣稳定也离不开中国。发展中国特色社会主义，必须大胆吸收、借鉴人类创造的一切文明成果，并同各国人民携手，共同分享发展机遇，共同应对各种挑战。
>
> (6)结合材料五，运用唯物辩证法知识，说明正确处理中国同世界的关系必须遵循的方法论原则。（7分）
>
> （5）变化：生存资料消费逐渐降低，发展资料和享受资料消费逐渐增加，消费结构改善，消费水平提高。
>
> 若答出"改革开放以来，居民消费支出不断增加，生活水平不断提高"可酌情给分。
>
> 原因：①以公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度和以按劳分配为主体、多种分配方式并存的分配制度，与社会主义初级阶段的生产力发展要求相适应，促进了生产力发展，从而为人们生活水平的提高奠定了基础。
②社会主义市场经济体制的建立与完善，既发挥了市场经济的长处，为提高人们生活水平创造了条件，又发挥了社会主义制度的优越性，为实现共同富裕的根本目标提供了保障。
（6）①必须遵循联系的方法论原则，中国的前途命运同世界的前途命运紧密相联，改革开放是决定当代中国命运的关键抉择。②必须遵循发展的方法论原则，既要把握中国和世界前进的总趋势，又要正视发展的世界的对立统一关系，在参与国际竞争中实现互利共赢。④必须遵循辩证否定的方法论原则，以辩证法的革命批判精神，大胆吸取、借鉴人类一切文明成果。
\[选做部分\]
30.（10分）\[地理-旅游地理\]
罗布泊地区位于新疆塔里木盆地东部，以其神秘色彩令人神往。图11是罗布泊地区旅游资源分布示意图。读图回答下列问题。
1. 指出该地区旅游资源开发的优势及主要不利条件。（6分）
2. 从自然环境特点考虑，到该地区旅游应注意哪些方面的安全问题？（4分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 优势：旅游资源特色鲜明（独特性强）、科考价值高。
2. 饮用水和食物短缺，防风沙，防晒防暑，保暖； 防迷路。
> 31.（10分）\[地理---自然灾害与防治\]
涝渍灾害是我国主要自然灾害之一。图12是我国涝渍灾害主要分布地区示意图。读图回答下列问题。
1. 说明图示涝渍灾害空间分布形成的原因。（6分）
2. 如何有效预防涝渍灾害？（4分）
> （1）主要位于平面地区，地抛低洼，受季风气候影响，暴雨集中；人口稠密；经济较发达，受灾较重。
（2）加强监测、预报、预警。建立完善的排涝系统。
32．（10分）\[地理-环境保护\]
能源是人类社会发展的重要物质基础。图13是我国2006年一次能源消费结构图（一次能源指在自然界现成存在，不改变其形态就可直接取用的能源）。读图回答下列问题：
> （1）在图示能源消费结构下，能源利用过程中产生的主要大气环境问题有哪些？（6分）
>
> （2）水能是目前广泛使用的可再生能源，说明在其开发利用过程中应注重的环境问题。（4分）
>
> （1）总是浮颗粒物增多导致空气质量下降；CO~2~增加增强温室效应；SO~2~等酸性气体增多导致酸雨蔓延。
>
> （只答大气污染的得分）
>
> （2）生态系统破坏（生物多样性减少）；水质变化（水污染）；对质环境的不良影响（泥沙、淤积、地震、滑坡等）。
33.（10分）\[历史---历史上重大改革回眸\]
阅读材料，回答问题。
公元前6世纪初，雅典城郊有个叫克里埃尼图新的青年，他出身平民，家庭贫困，不具备担任官职的财产资格。后来，克里埃尼图斯开办手工作坊，生产葡萄酒并销往市场。5年后，他的年总收入达到了280麦斗，跻身于第三等级。
（1）按梭伦立法，跻身第三等级的克里埃尼图斯能享受什么政治权利？（2分）如果生活在秦国，依据商鞅之法，他可以通过哪些途径提高自己的社会政治地位？（4分）
(2)梭论改革和商鞅变法都在不同程度上剥夺了贵族特权。两者有何不同？(4分)
(1)担任低级官职（或除执政官外的各级职官的选举和任职资格）。
立军功：努力耕织。
(2)梭论：崇尚中庸（调和），手段温和。
商鞅：不畏权贵 严刑峻法
34.(10分)〔历史一近代社会的民主思想与实践〕
阅读材料，回答问题。
(1) 南京临时政府内部对是否接受"清室优待条件"有不同意见。请谈谈你的看法并说明理由。（4分）
(2)（概括说明）"修正清室优待条件"比"清室优待条件"有哪些进步。(6分)
(1)本题可从"接受"和"不接受"两者中任选一观点作答，但只表明态度不给分，请说明理由
答案一：应该接受。应从南京临时政府面临的严峻形势。"清室优待条件"的进步作用两个方面加以分析。
答案二：不应接受。应从南京临时政府的革命性"清室优待条件"反封建的不同底性两个方面加以分析。
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学**
**本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．**
**答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**祝各位考生考试顺利！**
**第I卷**
**注意事项：**
**1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．**
**2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．**
**参考公式：**
**如果事件与事件互斥，那么．**
**如果事件与事件相互独立，那么．**
**球的表面积公式，其中表示球的半径．**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.
故选：C
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
2.设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
3.函数的图象大致为（ ）
A  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定直径落在区间之间的零件频率，然后计算其个数即可.
【详解】由题意可得，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.
5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
6.设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
8.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.
9.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
 
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．**
**2．本卷共11小题，共105分．**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．**
10.是虚数单位，复数\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
11.在的展开式中，的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】10
【解析】
分析】
根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
12.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据弦长公式，再由点到直线的距离公式可求出，即可求得．
【详解】因为圆心到直线的距离，由可得
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查弦长公式和点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
14.已知，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，"1"的合理变换是解题的关键，属于基础题.
15.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若是线段上的动点，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
**三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16.在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
19.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后结合通项公式即可求得数列的通项公式；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得前*n*项和，然后利用作差法比较大小即可；
(Ⅲ)分类讨论*n*为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2*n*项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为*q*.
由，，可得*d*=1.
从而的通项公式为.
由，
又*q*≠0，可得，解得*q*=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当*n*为奇数时，，
当*n*为偶数时，，
对任意的正整数*n*，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2*n*项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
20.已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
(Ⅱ)首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ) (i) 当*k*=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
\(ii\) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当*x*变化时，的变化情况如下表：
-- ---------- -------- ----------
单调递减 极小值 单调递增
-- ---------- -------- ----------
所以，函数*g*(*x*)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
*g*(*x*)的极小值为*g*(1)=1，无极大值.
(Ⅱ)证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当*x*\>1时，，
由此可得在单调递增，所以当*t*\>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(I)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
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**2008年全国普通高等学校招生统一考试**
**上海数学试卷（文史类）**
**考生注意：**
**1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．**
**2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将**
**答案直接写在试卷上．**
**一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，**
**每个空格填对得4分，否则一律得零分．**
[1](http://www.mathschina.com)．不等式的解集是[ ]{.underline}．
【答案】
【解析】由.
2．若集合，满足，则实数*a*= [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】由.
[3](http://www.mathschina.com)．若复数*z*满足 (*i*是虚数单位)，则*z*= [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】由.
4．若函数的反函数为，则 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】令则且
[5](http://www.mathschina.com)．若向量，满足且与的夹角为，则[ ]{.underline}．
【答案】
【解析】
6．若直线经过抛物线的焦点，则实数[ ]{.underline}．
【答案】-1
【解析】直线经过抛物线的焦点则
[7](http://www.mathschina.com)．若是实系数方程的一个虚根，且，则 [ ]{.underline} ．
【答案】4
【解析】设,则方程的另一个根为,且，
由韦达定理直线
所以
8．在平面直角坐标系中，从五个点：中
任取三个，这三点能构成三角形的概率是[ ]{.underline}（结果用分数表示）．
【答案】
【解析】由已知得
所以五点中任选三点能构成三角形的概率为
[9](http://www.mathschina.com)．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，
则该函数的解析式 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】是偶函数，则其图象关于
y轴对称, 且值域为，
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，*a*，*b*，12，13.7，18.3，20，
且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则*a*、*b*的取值分别[ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】中位数为10.5根据均值不等式知，只需时，
总体方差最小.
[11](http://www.mathschina.com)．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果
是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标
是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】作图知取到最大值时，点在线段BC上,
故当时, 取到最大值.
**二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．**
12．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，
则等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】**D**
【解析】 由椭圆的第一定义知
[13](http://www.mathschina.com)．给定空间中的直线*l*及平面．条件"直线*l*与平面内两条相交直线都垂直"
是"直线*l*与平面垂直"的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
【答案】**C**
【解析】"直线*l*与平面内两条相交直线都垂直""直线*l*与平面垂直".
14．若[数列](http://www.mathschina.com)是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为*a*，
> 则的值是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
【答案】B
【解析】由.
[15](http://www.mathschina.com)．如图，在平面直角坐标系中，是一个与*x*轴的正半轴、*y*轴的正半轴分别相切于点*C*、*D*的定圆所围成的区域（含边界），*A*、*B*、*C*、*D*是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称*P*优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于*Q*，那么所有这样的点*Q*组成的集合是劣弧（ D ）
Ａ． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意知，若*P*优于,则*P*在的左上方,
当Q在上时, 左上的点不在圆上,
不存在其它优于Q的点,
*Q*组成的集合是劣弧.
**三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．**
16．(本题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体中，*E*是*BC*~1~的中点．求直线*DE*与平面*ABCD*所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
16\. 【解】过*E*作*EF⊥BC*，交*BC*于*F*，连接*DF.*
∵ *EF*⊥平面*ABCD*，
∴ ∠*ED*F是直线*DE*与平面*ABCD*所成的角. ...............4分
由题意，得*EF*=
∵ ................................8分
∵ *EF*⊥*DF*， ∴ .................10分
故直线*DE*与平面*ABCD*所成角的大小是....12分
[17](http://www.mathschina.com)．（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形*AOC*．小区的两个出入口设置在点*A*及点*C*处，小区里
有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．
17\. 【解法一】设该扇形的半径为*r*米. 由题意，得
*CD*=500（米），*DA*=300（米），∠CDO=.................................4分
在中，...............6分
即.........................9分
解得（米）. ....................................................13分
【解法二】连接*AC*，作*OH⊥AC*，交*A*C于*H*.......................2分
由题意，得*CD*=500（米），*AD*=300（米），.............4分
∴* AC*=700（米） ................................6分
....................9分
在直角
∴ （米）. ...........................13分
18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数*f*(*x*)=sin2*x*，*g*(*x*)=cos，直线
与函数的图象分别交于*M*、*N*两点．
（1）当时，求｜*MN*｜的值；
（2）求｜*MN*｜在时的最大值．
18、【解】（1）................2分
....................................5分
（2）......\...8分
..................................11分
∵ ............13分
∴ ｜*MN*｜的最大值为. ...............15分
[19](http://www.mathschina.com)．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数*m*的取值范围．
19、【解】（1）. ................2分
由条件可知，解得 ............6分
∵ ..............8分
（2）当 ...............10分
即
> ..................13分
>
> 故m的取值范围是 ................16分
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
已知双曲线．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．
记．求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
20、【解】（1）所求渐近线方程为 ...............\...3分
（2）设P的坐标为，则Q的坐标为， ................4分
...............7分
的取值范围是 ...............9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线的斜率 ...............11分
由计算可得，当
当 ...............15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是
....16分
[21](http://www.mathschina.com)．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，
第3小题满分8分．
已知数列：，，，（是正整数），与数列
：，，，，（是正整数）．
记．
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．
求的值，并指出哪4项为100．
21、【解】（1）
....................2分
∵ ....................4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
1. 当n=1时，等式成立....6分
2. 假设n=k时等式成立，即
> 那么当时，
>
> .........8分
>
> 等式也成立.
>
> 根据①和②可以断定：当.....................\...10分
【解】（3）
.............................13分
∵ 4m+1是奇数，均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. .............................15分
此时，为100. ..............................18分
| 1 | |
**2020年安徽省初中学业水平考试**
**数学试题卷**
**考生须知：**
**1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．**
**2．答题前，考生先将自己的"姓名"、"考号"、"考场"、"座位号"在答题卡上填写清楚，将"条形码"准确粘贴在条形码区域内．**
**3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效．**
**4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．**
**5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．**
**一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．**
1.下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵\|-3\|=3，\|-1\|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题考查的是乘方符号的处理，考查同底数幂的除法运算，掌握以上知识是解题的关键．
3.下列四个几何体中，主视图为三角形的是
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
试题分析：主视图是从物体正面看，所得到的图形．
A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
C、圆柱的主视图是长方形，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意.
故选A．
考点: 简单几何体的三视图．
4.安徽省计划到2022年建成亩高标准农田，其中用科学记数法表示为（ ）
A. 0547 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法对数值进行表示即可．
【详解】解：54700000=5.47×10^7^，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
5.下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
6.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，
A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；
B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；
C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意；
D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键．
7.已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
8.如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
9.已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B. 若四边形是平行四边形．则
C. 若．则弦平分半径
D. 若弦平分半径．则半径平分弦
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
详解】A．∵半径平分弦，
∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，
假命题；
B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC,
∴四边形是菱形，
∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60º,
∴∠ABC=120º,
真命题；
C．∵，
∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径，
假命题；
D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是
假命题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
10.如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为*y=x··=*,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
*y=*(4*－x*)*··=*,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)**
11.计算：=\_\_\_\_\_\_.
【答案】2
【解析】
分析】
根据算术平方根的性质即可求解.
【详解】=3-1=2.
故填：2.
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的性质.
12.分解因式：=\_\_\_\_\_\_．
【答案】*a*（*b*+1）（*b*﹣1）．
【解析】
【详解】解：原式==*a*（*b*+1）（*b*﹣1），
故答案为*a*（*b*+1）（*b*﹣1）．
13.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解： 矩形，在上，
把代入：
把代入：
由题意得：
解得：（舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
14.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点处．请完成下列探究：
的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
当四边形是平行四边形时的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). 30 (2).
【解析】
【分析】
（1）根据折叠得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，进而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折叠，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；
（2）根据题意得到DC∥AP，从而证明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，结合（1）中结论，设QR=a，则AP=2a，由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知，∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，
∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°，
由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，
∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，
故答案为：30；
（2）若四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP，
∴∠CQP=∠APQ，
由折叠可知：∠CQP=∠PQR，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR=PR，
同理可得：QR=AR，即R为AP的中点，
由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，
设QR=a，则AP=2a，
∴QP=，
∴AB=AQ=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质．
**三、解答题**
15.解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】
根据解不等式的方法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
16.如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段 (点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）先找出A，B两点关于MN对称的点A~1~，B~1~，然后连接A~1~B~1~即可；
（2）根据旋转的定义作图可得线段B~1~A~2~．
【详解】（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作．
【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．
**四、解答题**
17.观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
写出你猜想的第个等式： [ ]{.underline} (用含的等式表示)，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：∵左边==右边，
∴等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
18.如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)．
(参考数据： )
【答案】75米
【解析】
【分析】
设山高*CD*=*x*米，先在Rt△*BCD*中利用三角函数用含*x*的代数式表示出*BD*，再在Rt△*ABD*中，利用三角函数用含*x*的代数式表示出*AD*，然后可得关于*x*的方程，解方程即得结果．
【详解】解：设山高*CD*=*x*米，则在Rt△*BCD*中，，即，
∴，
在Rt△*ABD*中，，即，
∴，
∵*AD*－*CD*=15，
∴1.2*x*－*x*=15，解得：*x*=75．
∴山高*CD*=75米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
**五、解答题**
19.某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】；
【解析】
【分析】
根据增长率的含义可得答案；
由题意列方程求解即可得到比值．
【详解】解：年线下销售额为元，
故答案为：．
由题意得：
2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
【点睛】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键．
20.如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所任圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
【答案】证明见解析；证明见解析．
【解析】
【分析】
利用证明利用直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】证明：
为直径，
．
证明：
为半圆的切线，
平分．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
**六、解答题**
21.某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行"你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）"问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 [ ]{.underline} ，扇形统计图中""对应扇形的圆心角的大小为 [ ]{.underline} ；
依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；
现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任"食品安全监督员"，求甲被选到的概率．
【答案】（1）60，108°；（2）336；（3）
【解析】
【分析】
（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；
（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人），
最喜欢C套餐人数=240-60-84-24=72（人），
扇形统计图中""对应扇形的圆心角为：360°×=108°，
故答案为：60，108°；
（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%，
估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）；
（3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，
其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种，
故所求概率P==．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键．
**七、解答题**
22.在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】
【分析】
（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）^2^+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h^2^+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）^2^+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h^2^+h+1，
∵-h^2^+h+1=-（h-）^2^+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
**八、解答题**
23.如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；
（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；
（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90º，
∴∠E+∠ABD=90º，
∴∠EGB=90º，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90º，
∴∠DAG+∠DAH=90º，
∴∠EAG=90º，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
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**一、选择题：本题共16小题，共44分。第1\~10小题，每小题2分；第11\~16小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 今年五一假期，人文考古游持续成为热点。很多珍贵文物都记载着中华文明的灿烂成就，具有深邃的文化寓意和极高的学术价值。下列国宝级文物主要由合金材料制成的是
------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
选项 A B C D
文物    
名称 铸客大铜鼎 河姆渡出土陶灶 兽首玛瑙杯 角形玉杯
------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------ ------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
2\. 广东有众多国家级非物质文化遗产，如广东剪纸、粤绣、潮汕工夫茶艺和香云纱染整技艺等。下列说法不正确的是
A. 广东剪纸的裁剪过程不涉及化学变化
B. 冲泡工夫茶时茶香四溢，体现了分子是运动的
C. 制作粤绣所用的植物纤维布含有天然高分子化合物
D. 染整技艺中去除丝胶所用的纯碱水溶液属于纯净物
3\. "天问一号"着陆火星，"嫦娥五号"采回月壤。腾飞中国离不开化学，长征系列运载火箭使用的燃料有液氢和煤油等化学品。下列有关说法正确的是
A. 煤油是可再生能源
B. 燃烧过程中热能转化为化学能
C. 火星陨石中的质量数为20
D. 月壤中的与地球上的互为同位素
4\. 化学创造美好生活。下列生产活动中，没有运用相应化学原理的是
------ ------------------------------ ------------------------------
选项 生产活动 化学原理
A 用聚乙烯塑料制作食品保鲜膜 聚乙烯燃烧生成和
B 利用海水制取溴和镁单质 可被氧化、可被还原
C 利用氢氟酸刻蚀石英制作艺术品 氢氟酸可与反应
D 公园的钢铁护栏涂刷多彩防锈漆 钢铁与潮湿空气隔绝可防止腐蚀
------ ------------------------------ ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
5\. 昆虫信息素是昆虫之间传递信号的化学物质。人工合成信息素可用于诱捕害虫、测报虫情等。一种信息素的分子结构简式如图所示，关于该化合物说法不正确的是
A. 属于烷烃 B. 可发生水解反应
C. 可发生加聚反应 D. 具有一定的挥发性
6\. 劳动成就梦想。下列劳动项目与所述的化学知识没有关联的是
------ ------------------------------------------------------------------- ----------------------
选项 劳动项目 化学知识
A 社区服务：用84消毒液对图书馆桌椅消毒 含氯消毒剂具有氧化性
B 学农活动：用厨余垃圾制肥料 厨余垃圾含、、等元素
C 家务劳动：用白醋清洗水壶中水垢 乙酸可由乙醇氧化制备
D 自主探究：以油脂为原料制肥皂 油脂可发生皂化反应
------ ------------------------------------------------------------------- ----------------------
A. A B. B C. C D. D
7\. 测定浓硫酸试剂中含量的主要操作包括：①量取一定量的浓硫酸，稀释；②转移定容得待测液；③移取待测液，用的溶液滴定。上述操作中，不需要用到的仪器为
A.  B. \
C. \
D. 
8\. 鸟嘌呤()是一种有机弱碱，可与盐酸反应生成盐酸盐(用表示)。已知水溶液呈酸性，下列叙述正确的是
A. 水溶液的
B. 水溶液加水稀释，升高
C. 在水中的电离方程式为：
D. 水溶液中：
9\. 火星大气中含有大量，一种有参加反应的新型全固态电池有望为火星探测器供电。该电池以金属钠为负极，碳纳米管为正极，放电时
A. 负极上发生还原反应 B. 正极上得电子
C. 阳离子由正极移向负极 D. 将电能转化为化学能
10\. 部分含铁物质的分类与相应化合价关系如图所示。下列推断不合理的是
A. 可与反应生成
B. 既可被氧化，也可被还原
C. 可将加入浓碱液中制得的胶体
D. 可存在的循环转化关系
11\. 设为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 含有键的数目为
B. 的盐酸含有阴离子总数为
C. 与混合后的分子数目为
D. 与足量反应生成分子数目为
12\. 化学是以实验为基础的科学。下列实验操作或做法正确且能达到目的的是
------ ---------------------------------- --------------------------
选项 操作或做法 目的
A 将铜丝插入浓硝酸中 制备
B 将密闭烧瓶中的降温 探究温度对平衡移动的影响
C 将溴水滴入溶液中，加入乙醇并振荡 萃取溶液中生成的碘
D 实验结束，将剩余固体放回原试剂瓶 节约试剂
------ ---------------------------------- --------------------------
A. A B. B C. C D. D
13\. 一种麻醉剂的分子结构式如图所示。其中，的原子核只有1个质子；元素、、原子序数依次增大，且均位于的下一周期；元素的原子比原子多8个电子。下列说法不正确的是
A. 是一种强酸
B. 非金属性：
C. 原子半径：
D. 中，的化合价为+2价
14\. 反应经历两步：①；②。反应体系中、、的浓度c随时间t的变化曲线如图所示。下列说法不正确的是
A. a为随t的变化曲线
B. 时，
C. 时，的消耗速率大于生成速率
D. 后，
15\. 宏观辨识与微观探析是化学学科核心素养之一。下列物质性质实验对应的反应方程式书写正确的是
A. 放入水中：
B. 通过灼热铁粉：
C. 铜丝插入热的浓硫酸中：
D. 通入酸性溶液中：
16\. 钴()的合金材料广泛应用于航空航天、机械制造等领域。如图为水溶液中电解制备金属钴的装置示意图。下列说法正确的是
A. 工作时，Ⅰ室和Ⅱ室溶液的均增大
B. 生成，Ⅰ室溶液质量理论上减少
C. 移除两交换膜后，石墨电极上发生的反应不变
D. 电解总反应：
**二、非选择题：共56分。第17\~19题为必考题，考生都必须作答。第20\~21题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共42分。**
17\. 含氯物质在生产生活中有重要作用。1774年，舍勒在研究软锰矿(主要成分是)的过程中，将它与浓盐酸混合加热，产生了一种黄绿色气体。1810年，戴维确认这是一种新元素组成的单质，并命名为chlorine(中文命名"氯气")。
(1)实验室沿用舍勒的方法制取的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)实验室制取干燥时，净化与收集所需装置的接口连接顺序为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)某氯水久置后不能使品红溶液褪色，可推测氯水中\_\_\_\_\_\_\_已分解。检验此久置氯水中存在的操作及现象是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)某合作学习小组进行以下实验探究。
①实验任务。通过测定溶液电导率，探究温度对溶解度的影响。
②查阅资料。电导率是表征电解质溶液导电能力的物理量。温度一定时，强电解质稀溶液的电导率随溶液中离子浓度的增大而增大；离子浓度一定时，稀溶液电导率随温度的升高而增大。25℃时，。
③提出猜想
猜想a：较高温度的饱和溶液的电导率较大。
猜想b：在水中的溶解度。
④设计实验、验证猜想。取试样Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ(不同温度下配制的饱和溶液)，在设定的测试温度下，进行表中实验1\~3，记录数据。
---------- ------------------ ------------ ---------
实验序号 试样 测试温度/℃ 电导率/
1 Ⅰ：25℃的饱和溶液 25
2 Ⅱ：35℃的饱和溶液 35
3 Ⅲ：45℃的饱和溶液 45
---------- ------------------ ------------ ---------
⑤数据分析、交流讨论。25℃的饱和溶液中，\_\_\_\_\_\_\_。
实验结果为。小组同学认为，此结果可以证明③中的猜想成立，但不足以证明猜想成立。结合②中信息，猜想不足以成立的理由有\_\_\_\_\_\_\_。
⑥优化实验。小组同学为进一步验证猜想，在实验1\~3的基础上完善方案，进行实验4和5。请在答题卡上完成表中内容。
---------- ---------------- ---------------- ---------
实验序号 试样 测试温度/℃ 电导率/
4 Ⅰ \_\_\_\_\_\_\_
5 \_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_
---------- ---------------- ---------------- ---------
⑦实验总结。根据实验1\~5的结果，并结合②中信息，小组同学认为猜想也成立。猜想成立的判断依据是\_\_\_\_\_\_\_。
18\. 对废催化剂进行回收可有效利用金属资源。某废催化剂主要含铝()、钼()、镍()等元素的氧化物，一种回收利用工艺的部分流程如下：
已知：25℃时，的，；；；该工艺中，时，溶液中元素以的形态存在。
(1)"焙烧"中，有生成，其中元素的化合价为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"沉铝"中，生成的沉淀为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"沉钼"中，为7.0。
①生成的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
②若条件控制不当，也会沉淀。为避免中混入沉淀，溶液中\_\_\_\_\_\_\_(列出算式)时，应停止加入溶液。
(4)①滤液Ⅲ中，主要存在的钠盐有和，为\_\_\_\_\_\_\_。
②往滤液Ⅲ中添加适量固体后，通入足量\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)气体，再通入足量，可析出。
(5)高纯(砷化铝)可用于芯片制造。芯片制造中的一种刻蚀过程如图所示，图中所示致密保护膜为一种氧化物，可阻止刻蚀液与下层(砷化镓)反应。
①该氧化物为\_\_\_\_\_\_\_。
②已知：和同族，和同族。在与上层的反应中，元素的化合价变为+5价，则该反应的氧化剂与还原剂物质的量之比为\_\_\_\_\_\_\_。
19\. 我国力争于2030年前做到碳达峰，2060年前实现碳中和。CH~4~与CO~2~重整是CO~2~利用的研究热点之一。该重整反应体系主要涉及以下反应：
a)CH~4~(g)+CO~2~(g)2CO(g)+2H~2~(g) ∆*H*~1~
b)CO~2~(g)+H~2~(g)CO(g)+H~2~O(g) ∆*H*~2~
c)CH~4~(g)C(s)+2H~2~(g) ∆*H*~3~
d)2CO(g)CO~2~(g)+C(s) ∆*H*~4~
e)CO(g)+H~2~(g)H~2~O(g)+C(s) ∆*H*~5~
(1)根据盖斯定律，反应a的∆*H*~1~=\_\_\_\_\_\_\_(写出一个代数式即可)。
(2)上述反应体系在一定条件下建立平衡后，下列说法正确的有\_\_\_\_\_\_\_。
A. 增大CO~2~与CH~4~的浓度，反应a、b、c的正反应速率都增加
B. 移去部分C(s)，反应c、d、e的平衡均向右移动
C. 加入反应a的催化剂，可提高CH~4~的平衡转化率
D. 降低反应温度，反应a\~e的正、逆反应速率都减小
(3)一定条件下，CH~4~分解形成碳的反应历程如图所示。该历程分\_\_\_\_\_\_\_步进行，其中，第\_\_\_\_\_\_\_步的正反应活化能最大。
(4)设*K*为相对压力平衡常数，其表达式写法：在浓度平衡常数表达式中，用相对分压代替浓度。气体的相对分压等于其分压（单位为kPa）除以*p*~0~（*p*~0~=100kPa）。反应a、c、e的ln *K*随（温度的倒数）的变化如图所示。
①反应a、c、e中，属于吸热反应的有\_\_\_\_\_\_\_(填字母)。
②反应c的相对压力平衡常数表达式为*K*=\_\_\_\_\_\_\_。
③在图中A点对应温度下、原料组成为*n*(CO~2~):*n*(CH~4~)=1:1、初始总压为100kPa的恒容密闭容器中进行反应，体系达到平衡时H~2~的分压为40kPa。计算CH~4~的平衡转化率，写出计算过程\_\_\_\_\_\_\_。
(5)CO~2~用途广泛，写出基于其物理性质的一种用途：\_\_\_\_\_\_\_。
**【化学---选修3：物质结构与性质】**
20\. 很多含巯基（-SH）的有机化合物是重金属元素汞的解毒剂。例如，解毒剂化合物I可与氧化汞生成化合物Ⅱ。
（1）基态硫原子价电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）H~2~S、CH~4~、H~2~O的沸点由高到低顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）汞的原子序数为80，位于元素周期表第\_\_\_\_\_\_周期第ⅡB族。
（4）化合物Ⅲ也是一种汞解毒剂。化合物Ⅳ是一种强酸。下列说法正确的有\_\_\_\_\_\_\_\_。
A. 在I中S原子采取sp^3^杂化 B. 在Ⅱ中S元素的电负性最大
C. 在Ⅲ中C-C-C键角是180° D. 在Ⅲ中存在离子键与共价键
E. 在Ⅳ中硫氧键的键能均相等
（5）汞解毒剂的水溶性好，有利于体内 重金属元素汞的解毒。化合物I与化合物Ⅲ相比，水溶性较好的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（6）理论计算预测，由汞（Hg）、锗（Ge）、锑（Sb）形成的一种新物质X为潜在的拓扑绝缘体材料。X的晶体可视为Ge晶体（晶胞如图9a所示）中部分Ge原子被Hg和Sb取代后形成。
①图9b为Ge晶胞中部分Ge原子被Hg和Sb取代后形成的一种单元结构，它不是晶胞单元，理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②图9c为X的晶胞，X的晶体中与Hg距离最近的Sb的数目为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该晶胞中粒子个数比Hg：Ge：Sb = \_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③设X的最简式的式量为*M*~r~，则X晶体的密度为\_\_\_\_\_\_\_\_g/cm^3^（列出算式）。
**【化学---选修5：有机化学基础】**
21\. 天然产物Ⅴ具有抗疟活性，某研究小组以化合物Ⅰ为原料合成Ⅴ及其衍生物Ⅵ的路线如下(部分反应条件省略，Ph表示-C~6~H~5~)：
已知：
(1)化合物Ⅰ中含氧官能团有\_\_\_\_\_\_\_(写名称)。
(2)反应①的方程式可表示为：I+II=III+Z，化合物Z的分子式为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)化合物IV能发生银镜反应，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)反应②③④中属于还原反应的有\_\_\_\_\_\_\_，属于加成反应的有\_\_\_\_\_\_\_。
(5)化合物Ⅵ的芳香族同分异构体中，同时满足如下条件的有\_\_\_\_\_\_\_种，写出其中任意一种的结构简式：\_\_\_\_\_\_\_。
条件：a.能与NaHCO~3~反应；b. 最多能与2倍物质的量的NaOH反应；c. 能与3倍物质的量的Na发生放出H~2~的反应；d.核磁共振氢谱确定分子中有6个化学环境相同的氢原子；e.不含手性碳原子(手性碳原子是指连有4个不同的原子或原子团的饱和碳原子)。
(6)根据上述信息，写出以苯酚一种同系物及HOCH~2~CH~2~Cl为原料合成的路线\_\_\_\_\_\_\_(不需注明反应条件)。
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**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
7．（5分）（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A~1~、A~2~，点P在C上且直线PA~2~斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA~1~斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）若函数f（x）=x^2^+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=[ ]{.underline}．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有[ ]{.underline}种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知S~3~=a~2~^2^，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，求{a~n~}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a~n~}的通项a~n~=1+．
**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5分）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=log~2~（1+）（x＞0）的反函数f^﹣1^（x）=（ ）
A． B． C．2^x^﹣1（x∈R） D．2^x^﹣1（x＞0）
【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log~2~（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2^y^，x=，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log~2~（1+）的反函数：y=，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{a~n~}满足3a~n+1~+a~n~=0，a~2~=﹣，则{a~n~}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3^﹣10^） B． C．3（1﹣3^﹣10^） D．3（1+3^﹣10^）
【分析】由已知可知，数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a~1~，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3a~n+1~+a~n~=0
∴
∴数列{a~n~}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a~1~=4
由等比数列的求和公式可得，S~10~==3（1﹣3^﹣10^）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5分）（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x^2^的系数，第二个因式y^2^的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）^3^的展开式的通项为T~r+1~=C~3~^r^x^r^
令r=2得到展开式中x^2^的系数是C~3~^2^=3，
（1+y）^4^的展开式的通项为T~r+1~=C~4~^r^y^r^
令r=2得到展开式中y^2^的系数是C~4~^2^=6，
（1+x）^3^（1+y）^4^的展开式中x^2^y^2^的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A~1~、A~2~，点P在C上且直线PA~2~斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA~1~斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由椭圆C：可知其左顶点A~1~（﹣2，0），右顶点A~2~（2，0）．设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A~1~（﹣2，0），右顶点A~2~（2，0）．
设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠±2），则，得．
∵=，=，
∴==，
∵，
∴，解得．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x^2^+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞）
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，
故≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，
令h（x）=﹣2x，
则h′（x）=﹣﹣2，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，则CD与平面BDC~1~所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，CD与平面BDC~1~所成角为θ，
则sinθ=\|\|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA~1~=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C~1~（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC~1~的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC~1~所成角为θ，则sinθ=\|\|=，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y^2^=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k^2^x^2^﹣（4k^2^+8）x+4k^2^=0，△＞0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．
∴x~1~+x~2~=4+，x~1~x~2~=4．
∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=﹣16，
又=0，
∴=（x~1~+2，y~1~﹣2）•（x~2~+2，y~2~﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin^2^x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，
f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，
f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos^2^xsinx=2sinx（1﹣sin^2^x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t^2^），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1﹣t^2^）的导数g\'（t）=2﹣6t^2^=2（1+t）（1﹣t）
∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g\'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣，）时g\'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，
结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．
由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣
则cotα==2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有[ 480 ]{.underline}种．（用数字作答）
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，
所以共有：=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[ \[]{.underline}[，4\] ]{.underline}．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：\[，4\]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于[ 16π ]{.underline}．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC=，CK=
在△OCK中，OC^2^=OK^2^+CK^2^，即
∴r^2^=4
∴球O的表面积等于4πr^2^=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（10分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~．已知S~3~=a~2~^2^，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，求{a~n~}的通项式．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a~2~，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a~2~=0或a~2~=3
由题意可得，
∴
若a~2~=0，则可得d^2^=﹣2d^2^即d=0不符合题意
若a~2~=3，则可得（6﹣d）^2^=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴a~n~=3或a~n~=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）^2^﹣b^2^=ac，
∴a^2^+c^2^﹣b^2^=﹣ac，
∴cosB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3
∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【分析】（I）令A~1~表示第2局结果为甲获胜，A~2~表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A~1~表示第2局结果为甲获胜．A~2~表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A~1~•A~2~，P（A）=P（A~1~•A~2~）=P（A~1~）P（A~2~）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A~3~表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B~1~表示第1局结果为乙获胜，B~2~表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B~3~表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B~1~B~2~）=P（B~1~）P（B~2~）P（）=．
P（X=2）=P（B~3~）=P（）P（B~3~）=．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F~2~的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF~1~\|=\|BF~1~\|，证明：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），将其与双曲线C的方程联立，得出x~1~+x~2~=，，再利用\|AF~1~\|=\|BF~1~\|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b^2^=8a^2^
所以C的方程为8x^2^﹣y^2^=8a^2^
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a^2^=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F~1~（﹣3，0），F~2~（3，0），C的方程为8x^2^﹣y^2^=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），\|k\|＜2代入①并化简得（k^2^﹣8）x^2^﹣6k^2^x+9k^2^+8=0
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则x~1~≤﹣1，x~2~≥1，x~1~+x~2~=，，于是
\|AF~1~\|==﹣（3x~1~+1），
\|BF~1~\|==3x~2~+1，
\|AF~1~\|=\|BF~1~\|得﹣（3x~1~+1）=3x~2~+1，即
故=，解得，从而=﹣
由于\|AF~2~\|==1﹣3x~1~，
\|BF~2~\|==3x~2~﹣1，
故\|AB\|=\|AF~2~\|﹣\|BF~2~\|=2﹣3（x~1~+x~2~）=4，\|AF~2~\|\|BF~2~\|=3（x~1~+x~2~）﹣9x~1~x~2~﹣1=16
因而\|AF~2~\|\|BF~2~\|=\|AB\|^2^，所以\|AF~2~\|、\|AB\|、\|BF~2~\|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a~n~}的通项a~n~=1+．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）==，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为
（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x=，则
于是a~2n~﹣a~n~+=++...++
=
=
=
=＞=ln2n﹣lnn=ln2
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
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