Datasets:

rafalposwiata

/

open-coursebooks-pl

like 2

[ "Jedną z możliwych metod stabilizacji równań Stokesa jest metoda DG (Discontinuous Galerkin). W metodzie tej funkcje bazowe używane do aproksymacji i testowania rozwiązania \"rozcinane\" są nożyczkami na granicy poszczególnych elementów. Tak więc jeśli chcemy używać wielomianów B-spline, możemy je dalej używać, ale nad każdym elementem zostaną one rozcięte na lokalne kawałki. W rozdziale tym opieramy się na sformułowaniu DG równań Stokesa na podstawie książki [1] Używamy sformułowania wyprowadzonego w poprzednim rozdziale \\( a({\\bf u},{\\bf v}) + b(p,{\\bf v }) = f({\\bf v}) \\quad \\forall {\\bf v} \\) \\( b(q,{\\bf u } ) = 0 \\quad \\forall q \\) \\( a({\\bf u}, {\\bf v}) =\\int_{\\Omega} \\nabla {\\bf u} : \\nabla {\\bf v }dxdy = \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_1}{\\partial y}\\frac{\\partial v_1}{\\partial y}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial x}\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}dxdy + \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u_2}{\\partial y }\\frac{\\partial v_2}{\\partial y }dxdy \\) \\( b(p, {\\bf v}) = \\int_{\\Omega} p div {\\bf v} dxdy= \\int_{\\Omega}p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x} dxdy+ \\int_{\\Omega} p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } dxdy \\) \\( f({\\bf v} )= \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial x}\\frac{\\partial v_1(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\int_{\\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial y}\\frac{\\partial v_2(x,y)}{\\partial y} dxdy +\\int_{\\partial \\Omega} \\frac{\\partial h(x,y)}{\\partial n } v_1(x,y) dS \\) W przypadku sformułowania dla metody DG konieczne jest wprowadzenie dodatkowych członów opisujących skoki funkcji bazowych \\( [\\psi(x)]=\\psi|_{T_1}(x)-\\psi|_{T_2}(x) \\) gdzie \\( T_1 \\) i \\( T_2 \\) oznacza dwa sąsiednie elementy, i obliczamy tutaj różnce z wartości \"pociętej\" funkcji B-spline oznaczonej \\( \\psi \\) na elemencie z jednej strony i z drugiej strony. Dodatkowo wprowadza się średnią z wartości rozciętych funkcji bazowych na krawędziach dwóch sąsiednich elementów \\( \\{\\psi\\} = \\frac{\\psi|_{T_1}(x)+\\psi|_{T_2}(x)}{2} \\). Nasz funkcjonał \\( a({\\bf u },{\\bf v }) \\) należy zmodyfikować dla metody DG w następujący sposób \\( a_{DG}({\\bf u }, {\\bf v }) = \\sum_{K \\in \\Omega_h } \\int_K \\left( \\frac{\\partial u_1 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_1 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } \\right) \\) \\( + \\sum_{F\\in F_h} \\int_F \\frac{\\eta}{h_F} \\left( [\\frac{\\partial u_1}{\\partial x} ] [\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}] + [\\frac{\\partial u_1}{\\partial y}] [\\frac{\\partial v_1}{\\partial y }] + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial x} ] [\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}] + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial y}] [\\frac{\\partial v_2}{\\partial y }]\\right) \\) \\( -\\sum_{F\\in F_h} \\int_F \\left( \\{\\frac{\\partial u_1}{\\partial n_1} \\} [\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}] + \\{ \\frac{\\partial u_1}{\\partial n_2} \\} [\\frac{\\partial v_1}{\\partial y } ] + \\{\\frac{\\partial u_2}{\\partial n_1} \\} [\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}] + \\{ \\frac{\\partial u_2}{\\partial n_2} \\} [\\frac{\\partial v_2}{\\partial y } ]\\right) \\) \\( - \\sum_{F\\in F_h} \\int_F \\left( [\\frac{\\partial u_1}{\\partial x} ] \\{ \\frac{\\partial v_1}{\\partial n_1} \\} + [\\frac{\\partial u_1}{\\partial y} ] \\{\\frac{\\partial v_1}{\\partial n_2 } \\} + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial x} ] \\{ \\frac{\\partial v_2}{\\partial n_1} \\} + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial y} ] \\{\\frac{\\partial v_2}{\\partial n_2 } \\} \\right) \\) W powyższych wzorach, całki liczone są element po elemencie. Tak więc \\( \\Omega_h \\) oznacza zbiór wszystkich elementów z patcha na którym rozpięte są nasze funkcje B-spline, \\( K \\in \\Omega_h \\) oznacza pojedynczy element wybrany z rodziny elementów (tak więc sumujemy nasze całki elementowe po wszystkich elementach z patcha), \\( F_h \\) oznacza zbiór wszystkich krawędzi pomiędzy elementami patcha, \\( F\\in F_h \\) oznacza pojedynczą krawędź wybraną z tej rodziny (tak więc sumujemy nasze całki krawędziowe po wszystkich krawędziach z patcha), \\( h_F \\) oznacza dugość krawędzi \\( F \\), natomiast \\( \\eta \\) oznacza parametr którego wartość należy dobrać eksperymentalnie. Niestety wadą tej metody stabilizacji jest fakt, iż musimy uruchomić kilka obliczeń i znaleźć taką wartość parametru \\( \\eta \\) dla której symulacja da poprawne wyniki. Zazwyczaj eksperymentuje się z wielkościami różniącymi się o rząd wielkości np. 0.1, 1, 10, 100, 1000, 10000 etc. Symbol \\( {\\bf n }=(n_1,n_2) \\) oznacza wersor prostopadły do krawędzi \\( F \\). W naszym przypadku kiedy rozważamy funkcje bazowe B-spline rozpięte na regularnym patchu elementów w 2D, przyjmujemy \\( {\\bf n }=(1,0) \\) lub \\( {\\bf n }=(0,1) \\). Z kolei nasz funkcjonał \\( b(p ,{\\bf v }) \\) należy zmodyfikować dla metody DG w następujący sposób \\( b_{DG}(p, {\\bf v})= - \\sum_{K\\in \\Omega_h } \\int_K \\left ( p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x}+ p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } \\right) \\) \\( + \\sum_{F \\in F_h } \\int_F\\left( [v_1] n_1 p+ [v_2] n_2 p \\right) \\) Znaczenie symboli w całkach jest podobne jak w przypadku funkcjonału \\( a({\\bf u },{\\bf v }) \\). Nasz stabilizowany problem Stokes'a wygląda teraz następująco: \\( a_{DG}({\\bf u},{\\bf v}) + b_{DG}(p,{\\bf v }) = f({\\bf v }) \\quad \\forall {\\bf v} \\) \\( b_{DG}(q,{\\bf u } ) + {\\color{red} {S_{DG}(p,q) }}= 0 \\quad \\forall q \\) Zgodnie z książką Daniele Antoni Di Pietro, Alexandre Ern, Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin Methods, w celu ustabilizowania równań Stokesa należy dodać tutaj człon \\( {\\color{red}{S_{DG}(p,q)}} = \\sum_{F\\in F_h^{internal} } h_F \\int_F [p][q] \\) w której \\( F_h^{internal} \\) oznacza wszystkie krawędzie wewnętrzne, tak więc sumujemy tutaj całki policzone po wszystkich krawędziach znajdujących się wewnątrz patcha elementów (omijamy krawędzie położone na brzegu). Podobnie jak poprzednio, \\( h_F \\) oznacza długość krawędzi. W celu rozwiązania równań Stokesa stabilizowanych za pomocą metody DG, generujemy w podobny sposób układ równań, uwzględniając powyższe modyfikacje. Możliwe jest również rozważanie różnych modyfikacji. Założymy następujące fakty o funkcjach aproksymujących i testujących. Załóżmy że funkcje testujące będą kawałkami ciągłe, w sensie że nad poszczególnymi przedziałami wektora węzłów w analizie izogeometrycznej, lub nad poszczególnymi elementami skończonymi w sensie klasycznej metody elementów skończonych będą ciągłe, ale pomiędzy elemetami lub pomiędzy przedziałami wektora węzłów będą nieciągłe. Mamy więc \"połamane\" wielomiany testujące. Załóżmy też że funkcje aprokszmaczjne są ciągłe. Wówczas wszystkie człony zawierające skoki i średnie z funkcji aproksymujące znikną, w szczególności dostaniemy zmodyfikowane wyrażenia \\( a_{DG}({\\bf u }, {\\bf v }) = \\sum_{K \\in \\Omega_h } \\int_K \\left( \\frac{\\partial u_1 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_1 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } \\right) \\) \\( -\\sum_{F\\in F_h} \\int_F \\left( \\{\\frac{\\partial u_1}{\\partial n_1} \\} [\\frac{\\partial v_1}{\\partial x}] + \\{ \\frac{\\partial u_1}{\\partial n_2} \\} [\\frac{\\partial v_1}{\\partial y } ] + \\{\\frac{\\partial u_2}{\\partial n_1} \\} [\\frac{\\partial v_2}{\\partial x}] + \\{ \\frac{\\partial u_2}{\\partial n_2} \\} [\\frac{\\partial v_2}{\\partial y } ]\\right) \\) \\( b_{DG}(p, {\\bf v})= - \\sum_{K\\in \\Omega_h } \\int_K \\left ( p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x}+ p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } \\right) \\) \\( + \\sum_{F \\in F_h } \\int_F\\left( [v_1] n_1 p+ [v_2] n_2 p \\right) \\) \\( {\\color{red}{S_{DG}(p,q)}} = 0 \\) Założymy następujące fakty o funkcjach aproksymujących i testujących. Załóżmy że funkcje aproksymujące będą kawałkami ciągłe, w sensie że nad poszczególnymi przedziałami wektora węzłów w analizie izogeometrycznej, lub nad poszczególnymi elementami skończonymi w sensie klasycznej metody elementów skończonych będą ciągłe, ale pomiędzy elemetami lub pomiędzy przedziałami wektora węzłów będą nieciągłe. Mamy więc \"połamane\" wielomiany aproksymacyjne. Załóżmy też że funkcje testujące są ciągłe. Wówczas mamy \\( a_{DG}({\\bf u }, {\\bf v }) = \\sum_{K \\in \\Omega_h } \\int_K \\left( \\frac{\\partial u_1 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_1 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial x } \\frac{\\partial v_1}{\\partial x } + \\frac{\\partial u_2 }{\\partial y } \\frac{\\partial v_1 }{\\partial y } \\right) \\) \\( - \\sum_{F\\in F_h} \\int_F \\left( [\\frac{\\partial u_1}{\\partial x} ] \\{ \\frac{\\partial v_1}{\\partial n_1} \\} + [\\frac{\\partial u_1}{\\partial y} ] \\{\\frac{\\partial v_1}{\\partial n_2 } \\} + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial x} ] \\{ \\frac{\\partial v_2}{\\partial n_1} \\} + [\\frac{\\partial u_2}{\\partial y} ] \\{\\frac{\\partial v_2}{\\partial n_2 } \\} \\right) \\) \\( b_{DG}(p, {\\bf v})= - \\sum_{K\\in \\Omega_h } \\int_K \\left ( p \\frac{\\partial v_1}{\\partial x}+ p \\frac{\\partial v_2}{\\partial y } \\right) \\) \\( {\\color{red}{S_{DG}(p,q)}} = 0 \\) Jeśli do sformułowania DG wsadzimy ciągłe przestrzenie aproksymacyjne i testujące, dostaniemy wówczas takie samo oryginalne sformułowanie Stokesa bez stabilizacji. Różne warianty przestrzeni aproksymacyjnych i testujących mogą być pomocne podczas testowania różnych form stabilizacji oraz do samego debugowania kodu generującego macierz metody DG." ]

[]

[ "Poniżej przedstawiam kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG), dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona. Przypomnijmy najpierw problem adwekcji-dyfuzji, problem modelowy Erikksona-Johnsona (opisany na przykład w dokumencie [1]), zdefiniowany na obszarze kwadratowym \\( \\Omega = [0,1]^2 \\) w następujący sposób: Szukamy funkcji \\( u \\) takiej że \\( a(u,v)=l(v) \\forall v \\) gdzie \\( a(u,v) =\\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x} \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\) \\( l(v) = \\int_{\\partial \\Omega } f(x,y) v dxdy \\) \\( f(x,y)=sin(\\pi y)(1-x) \\) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, natomiast \\( \\beta = (1,0) \\) reprezentuje wiatr wiejący z lewej strony na prawą, natomiast \\( \\epsilon = 10^{-2} \\) oznacza współczynnik dyfuzji. Wielkość \\( Pe=1/ \\epsilon = 100 \\) nazywa sie liczbą Pekleta, i definiuje ona wrażliwość problemu adwekcji-dyfuzji.", "Kod można uruchomić w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 5.", "W linii 848 podawany jest współczynnik dyfuzji \\( \\epsilon = 10 ^{-2} \\). Jego odwrotnośc to tak zwana wartość Pekleta (Peclet number) \\( Pe=\\frac{1}{\\epsilon} \\). W liniach 849 i 850 zaszyte są stałe metody SUPG. Następnie tworzony jest wektor węzłów (zawsze liczby naturalne liczone od zera) \\( knot\\_x = [0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 1 \\quad 2 \\quad 2 \\quad 2] \\) dla przestrzeni aproksymacyjnej, oraz wektor odpowiadających im punktów wzdłuź osi x, z przedziału od 0 do 1, \\( points\\_x = [0 \\quad 0.5 \\quad 1] \\) w których umieszczana będzie baza funkcji B-spline służaca do aproksymacji rozwiązania problemu Erikksona-Johnsona. Wektory węzłów dla przestrzeni aproksymującej i punkty na których rozpinamy wektory węzłów, definiujemy osobno dla osi x oraz dla osi y. Kod może zostać uruchomiony w darmowym środowisku Octave. Kod uuchamia się otwierając go w Octave oraz wpisując komendę \\( advection\\_supg\\_adapt \\) Po chwili obliczeń kod otwiera dodatkowe okienko i rysuje w nim rozwiązanie numeryczne oraz dokładne. Kod oblicza błąd reziduum \\( Residual norm: L2 0.015808, H1 0.100417 \\) iKod oblicza również normę L2 i H1 z rozwiązania \\( Error: L2 31.41 procent, H1 38.74 procent \\) i porównuje do normy L2 i H1 z rozwiazania dokładnego. \\( Best possible: L2 2.06 procent, H1 28.73 procent \\) Widać że w celu poprawienia dokładności rozwiązania, konieczne jest zagęszczanie siatki." ]

[]

[ "Poniżej przedstawiam kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą minimalizacji reziduum, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona. Przypomnijmy najpierw problem adwekcji-dyfuzji, problem modelowy Erikksona-Johnsona (opisany na przykład w dokumencie [1] zdefiniowany na obszarze kwadratowym \\( \\Omega = [0,1]^2 \\) w następujący sposób: Szukamy funkcji \\( u \\) takiej że \\( a(u,v)=l(v) \\forall v \\) gdzie \\( a(u,v) =\\int_{\\Omega} \\beta_x(x,y) \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x } dxdy + \\int_{\\Omega} \\beta_y(x,y) \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } dxdy \\\\ +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y) }{\\partial x} \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial x } dxdy +\\epsilon \\int_{\\Omega} \\frac{\\partial u(x,y)}{\\partial y } \\frac{\\partial v(x,y)}{\\partial y } dxdy \\) \\( l(v) = \\int_{\\partial \\Omega } f(x,y) v dxdy \\) \\( f(x,y)=sin(\\pi y)(1-x) \\)jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, natomiast \\( \\beta = (1,0) \\) reprezentuje wiatr wiejący z lewej strony na prawą, natomiast \\( \\epsilon = 10^{-2} \\) oznacza współczynnik dyfuzji. Wielkość \\( Pe=1/ \\epsilon = 100 \\) nazywa sie liczbą Pekleta, i definiuje ona wrażliwość problemu adwekcji-dyfuzji. Kod można uruchomić w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 5A.", "W linii 830 podawany jest współczynnik dyfuzji \\( \\epsilon = 10 ^{-2} \\). Jego odwrotnośc to tak zwana wartość Pecleta \\( Pe=\\frac{1}{\\epsilon} \\). Następnie tworzony jest wektor węzłów (zawsze liczby naturalne liczone od zera) \\( knot\\_trial\\_x = [0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 1 \\quad 2 \\quad 2 \\quad 2] \\) dla przestrzeni aproksymacyjnej, oraz wektor odpowiadających im punktów wzdłuź osi x, z przedziału od 0 do 1, \\( points\\_x = [0 \\quad 0.5 \\quad 1] \\) w których umieszczana będzie baza funkcji B-spline służaca do aproksymacji rozwiązania problemu Erikksona-Johnsona. Podobnie definiujemy wektor węzłów dla przestrzeni testującej \\( knot\\_test\\_x = [0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 0 \\quad 1 \\quad 2 \\quad 2 \\quad 2 \\quad 2] \\). Zgodnie z ideą metody minimalizacji reziduum, funkcji testujących musi być więcej niż funkcji aproksymujących. W naszym przykładzie używamy funkcji B-spline stopnia kwadratowego o ciągłości C1 dla przestrzeni aproksymacyjnej (trial) oraz funkcji B-spline stopnia trzeciego o ciągłości C1 dla przestrzeni testującej (test). Wektory węzłów dla przestrzeni aproksymującej oraz testującej, i punkty na których rozpinamy wektory węzłów, definiujemy osobno dla osi x oraz dla osi y. Kod może zostać uruchomiony w darmowym środowisku Octave. Kod uuchamia się otwierając go w Octave oraz wpisując komendę \\( advection\\_igrm\\_adapt \\) Po chwili obliczeń kod otwiera dodatkowe okienko i rysuje w nim rozwiązanie numeryczne oraz dokładne. W drugim oknie kod rysuje reziduum, obliczane dodatkowo przez metodę minimalizacji reziduum, Jest ono miarą lokalnego błędu rozwiązania. Kod oblicza błąd reziduum \\( Residual norm: L2 0.015808, H1 0.100417 \\) iKod oblicza również normę L2 i H1 z rozwiązania \\( Error: L2 45.90 procent, H1 61.85 procent \\) i porównuje do normy L2 i H1 z rozwiazania dokładnego. \\( Best possible: L2 2.02 procent, H1 14.20 procent \\) Widać że w celu poprawienia dokładności rozwiązania, konieczne jest zwiększenie siatki.", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Celem obliczeń za pomocą metody elementów skończonych jest przeprowadzenie symulacji wybranego zjawiska fizycznego na zadanym obszarze. Ponadto, zadanie projekcji, takie jak to przedstawione w modułach wprowadzających w podręczniku, ma zastosowania w grafice komputerowej.", "Każda z tych symulacji wymaga wygenerowania siatki obliczeniowej pokrywającej określony obszar elementami skończonymi. Klasyczne generatory siatek obliczeniowych generują najczęściej siatki zbudowane z elementów trójkątnych w dwóch wymiarach, oraz siatki zbudowane z elementów czworościennych w trzech wymiarach. Stosuje się również siatki zbudowane z elementów prostokątnych w dwóch wymiarach oraz sześciennych w trzech wymiarach, oraz dodatkowo elementy pryzmatyczne i piramidy. Teoretycznie możliwe jest również tworzenie elementów skończonych zbudowanych z dowolnych wieloboków w dwóch wymiarach lub wielościanów w trzech wymiarach. Siatki obliczeniowe zbudowane z dowolnych elementów powinny posiadać określone właściwości.", "Jedną z często używanych metod generacji siatki obliczeniowej zbudowanej z elementów trójkątnych jest triangulacja Delauneya. Bazując na idei Delauneya aktualnie wciąż rozwija się całą szkołę generacji i adaptacji siatek obliczeniowych [1] [2]. Siatka obliczeniowa zbudowana za pomocą triangulacji Delauneya zbudowana jest z elementrów trójkątnych w dwóch wymiarach. Na każdym elemencie trójkątnym możemy rozpiąć okrąg (ponieważ możliwe jest rozpięcie okręgu na dowolyuch trzech punktach. Triangulacja Delauneya w dwóch wymiarach posiada następującą własność, okręgi opisane na trójątach triangulacji Delauneya nie zawierają punktów wierzchołków innych trójkątów.", "Możliwe jest również skonstruowanie triangulacji Delauneya w trzech wymiarach. Wówczas siatka obliczeniowa zbudowana jest z elementów czworościennych. Na wierzchołkach elementu czworościennego możemy rozpiąć kulę (do rozpięcia kuli potrzebujemy bowiem czterech punktów). Triangulacja Delauneya w trzech wymiarach posiada z koleji następującą własność, kule opisane na czworościanach Delauneya nie będą zawierały punktów wierzchołków innych czworościanów." ]

[]

[ "W przypadku siatek trójkątnych lub czworościennych możliwe jest zagęszczanie siatek w celu zwiększenia dokładności aproksymacji funkcji rozpiętych na tych siatkach. Algorytm zagęszczania siatek nazywa się algorytmem adaptacji. Musi on zostać skonstruowany w taki sposób, żeby nie zepsuć właściwości oryginalnej siatki, na przykład żeby elementy nie stawały się coraz bardziej \"wydłużone\" w wyniku adaptacji, co powodowało by zaburzenie proporcji między krawędziami siatki i możliwość wygenerowania długich cienkich elementów dla których policzenie całki dawało by bardzo małe liczby, rzędu 0.000001 lub mniej co z koleji powodowało by błedy numeryczne faktoryzacji układu równań metody elementów skończonych. Algorytm adaptacji siatek trójkątnych zachowujący proporcje elementów zaproponowany został przez Marie Rivare [1]. Jest on opisany w pseudokodzie, oraz zilustrowany na rysunku" ]

[]

[ "Celem algorytmu h adaptacji jest zwiększenie dokładności aproksymacji na siatkach obliczeniowych poprzez połamanie wybranych elementów na mniejsze. Algorytm h adaptacji możliwy jest do zaimplementowania dopiero wtedy kiedy skonstruujemy takie funkcje bazowe, które będzie można rozpinać na elementach skończonych różnego rozmiaru. W przypadku siatek niestrukturalnych, zbudowanych z elementów trójkątnych, możliwe jest zastosowanie algorytmu Rivary opisanego w innym rozdziale. W przypadku siatek strukturalnych, zbudowanych z elementów prostokątnych, na których rozpięto funkcje bazowe zgodnie z zadanymi wektorami węzłów, h adaptacja jest możliwa wtedy jeśli pomiędzy wszystkimi łamanymi elementami wsadzimy \\( C^0 \\) separatory. W rozdziale \"Aproksymacja z wiszącymi węzłami\" opisany został sposób łączenia ze sobą funkcji bazowych rozpiętych na sąsiadujących połamanych elementach różnego rozmiaru. Algorytm h-adaptacji może zostać zaimplementowany w formie algorytmu a priori lub a posteriori, oraz stosując adaptacje izotropowe lub anizotropowe. Algorytm adaptacyjny może używać jednej siatki obliczeniowej, tak zwanej siatki rzadkiej, lub dwóch siatek obliczeniowych rzadkiej i gęstej. W naszej klasyfikacji przez algorytm adaptacyjny a priori, rozumiemy algorytm który podejmuje decyzję przed skonstruowaniem i rozwiązaniem problemu na siatce gęstej, po rozwiązaniu problemu na aktualnej siatce rzadkiej. Z tego względu określenie \"a priori\" niejako \"z góry\" rozumiemy tutaj bez dodatkowych obliczeń związanych na przykład z rozwiązywaniem problemu na dodatkowej siatce gęstej. Przez algorytm adaptacyjny a posteriori rozumiemy algorytm który podejmuje decyzje o adaptacje po wykonaniu pewnych dodatkowych obliczeń (nie tylko rozwiązaniu problemu na siatce rzadkiej) na przykład po wygenerowaniu siatki gęstej i rozwiązywaniu problemu na siatce gęstej.", "Jak powiedział kiedyś prof. Zienkiewicz, jeden z twórców metody elementów skończonych, wystarczającą dokładność w wielu zagadnieniach inżynierskich dostaniemy stosując wielomiany kwadratowe i h-adaptację. Zakładamy więc że siatka początkowa to posklejane grupy elementów opisanych wektorami węzłów [0 0 0 1 1 1] i [0 0 0 1 1 1]. Algorytm h-adaptacji anioztropowej a priori w ogólnej postaci zapisać można w sposób następujący:", "Poprzez błąd w przykładowym zadaniu projekcji bitampy, rozumiemy tutaj błąd w normie \\( H^1 \\) reprezentujący różnicę pomiędzy aproksymacją ciągłą np. odlewu terenu którego wysokość w różnych punktacj opisana jest za pomocą odcieni pikseli bitmapy. Jeśli konieczne jest połamanie danego elementu (wykonanie h-adaptacji dla tego elementu), mamy do wyboru trzy scenariusze. Pierwsza możliwość to połamanie elementu na cztery mniejsze elementy. Druga możliwość to połamanie elementu na dwa nowe elementy w kierunku osi \\( x \\). Trzecia możliwość to połamanie danego elementu na dwa mniejsze elementy w kierunku osi \\( y \\). W algorytmie adaptacyjnym zazwyczaj nie wykonuje się adaptacji na wszystkich elementach siatki, ale jedynie na tych elementach na których błąd jest większy niż 33 procent błedu maksymalnego (liczonego po wszystkich elementach). Jest to oczywiście arbitrarnie przyjęta wartość, dobrana na podstawie doświadczeń numerycznych przez prof. Leszka Demkowicza. W zaproponowanej wersji algorytmu próbujemy najpierw wykonać adaptacje w obydwu kierunkach (połamać element w obydwu kierunkach), a następnie (jeśli nie jest to wskazane) próbujemy połamać element w jednym z dwóch kierunków. Jest to oczywiście pzykładowa wersja algorytmu, możliwe są różne modyfikacje. Najbardziej zaawansowaną wersją algorytmu adaptacyjnego jest algorytm hp adaptacji opisany w innym module. Generowanie nowych funkcji bazowych polega na generowaniu nowych lokalnych wektorów węzłów dla połamanych elementów. Na przykład, jeśli mamy element opisany wektorem węzłów [0 0 0 1 1 1] w kierunku osi \\( x \\) oraz wektorem węzłów [0 0 0 1 1 1] w kierunku osi \\( y \\), i połamiemy ten element na cztery nowe elementy, wówczas mamy wektor węzłów [0 0 0 0.5 0.5 1 1 1] w kierunku osi \\( x \\) oraz wektor węzłów [0 0 0 0.5 0.5 1 1 1] w kierunku osi \\( y \\). Jeśli połamiemy ten element na dwa nowe elementy w kierunku osi \\( x \\), wówczas mamy wektor węzłów [0 0 0 0.5 0.5 1 1 1] w kierunku osi \\( x \\) oraz wektor węzłów [0 0 0 0 1 1 1] w kierunku osi \\( y \\). Jeśli połamiemy ten element na dwa nowe elementy w kierunku osi \\( y \\), wówczas mamy wektor węzłów [0 0 0 1 1 1] w kierunku osi \\( x \\) oraz wektor węzłów [0 0 0 0.5 0.5 1 1 1] w kierunku osi \\( y \\). Scalając ze sobą wiele patchów (grup elementów) na których rozpięte są różne wielomiany B-spline, uzyskamy siatkę obliczeniową na której możliwe będą lokalne modyfikacje stopnia funkcji B-spline, na przykład stosując opisany algorytm p-adaptacji. Sposób scalania funkcji bazowych uzyskanych na dużych i małych połamanych elementach został opisany w rozdziale \"Aproksymacja z wiszącymi węzłami\". Algorytm automatycznej h-adaptacji aposteriori:", "Mamy więc trzy możliwości adaptacji pojedynczego elementu:", "W jaki sposób podejmowana jest decyzja o wyborze rodzaju adaptacji pojedynczego elementu? Decyzja podejmowana jest zgodnie z następującym algorytmem.", "Innymi słowy, wybieramy taki rodzaj adaptacji dla elementu, który pozwala uzyskać największy spadek błędu najmniejszym kosztem. Wielkość ta reprezentowana jest przez prędkość spadku błędu, która rośnie wraz ze spadkiem błędu, ale maleje wraz z poniesionym kosztem (z liczbą funkcji dodaną do elemetu, ponieważ koszt obliczenia na danym elemencie zależy od liczby niewiadomych, które są współczynnikami funkcji bazowych)." ]

[]

[ "Celem algorytmu p adaptacji jest zwiększenie dokładności aproksymacji na siatkach obliczeniowych poprzez zwiększenie stopnia wielomianów rozpiętych na siatce obliczeniowej. Algorytm p adaptacji możliwy jest do zaimplementowania dopiero wtedy kiedy skonstruujemy takie funkcje bazowe rozpięte na elementach skończonych, dla których możliwe jest podnoszenie stopnia wielomianów. W przypadku tradycyjnych funkcji B-spline, opisywanych szerzej w tym podręczniku, możliwe jest jedynie globalne podniesienie stopnia funkcji B-spline na lokalnym patchu elementów skończonych. Innymi słowy, załóżmy że mamy wektor węzłów opisujący bazę B-spline'ów drugiego stopnia o ciągłości C1 w kierunku osi \\( x \\) [0 0 0 1 2 3 4 4 4], oraz identyczny wektor węzłów opisujący bazę B-spline'ów drugiego stopnia w kierunku osi \\( y \\) [0 0 0 1 2 3 4 4 4]. Wektory te rozpinają dwie jednowymiarowe bazy funkcji B-spline w kierunku poszczególnych osi \\( B^x_{1;2}(x),...,B^x_{6;2}(x); B^y_{1;2}(y),...,B^y_{6;2}(y) \\) które poprzez iloczyn tensorowy definiują bazę dwuwymiarowych funkcji bazowych \\( \\{ B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y)\\}i=1,...,6;j=1,...,6 \\) Możliwe są następujące p adaptacje:", "Możemy oczywiście podnosić stopnie funkcji bazowych w jednym lub w drugim kierunku o dowolny stopień (o ile nasz program komputerowy potrafi wygenerować B-spline wyższego stopnia bez problemu). W przypadku funkcji B-spline nie ma możliwości mieszania stopni wielomianów bez umieszczania \\( C^0 \\) separatorów pomiędzy funkcjami B-spline. Możliwe jest natomiast mieszanie patchów (grup elementów) przedzielonych separatorami, na których wielomiany B-spline mają różną ciągłość. Na przykład załóżmy że mamy wektor węzłów opisujący bazę B-spline'ów drugiego stopnia o ciągłości C1 na 2 elementach w kierunku osi \\( x \\) oraz wektor węzłów opisujący bazę B-spline'ów trzeciego stopnia o ciągłości C2 na kolejnych 2 elementach w kierunku osi \\( x \\) czyli [0 0 0 1 2 2 2] [2 2 2 2 3 4 4 4 4]. Wektory te rozpinają razem bazę \\( B^x_{1;2}(x),...,B^x_{6;2}(x); B^y_{1;2}(y),...,B^y_{6;2}(y) \\) Wektory te możemy \"złożyć\" z bazą B-spline'ów drugiego stopnia w kierunku osi \\( y \\) [0 0 0 1 2 3 4 4 4], czyli \\( B^x_{1;2}(x),...,B^x_{6;2}(x); B^y_{1;2}(y),...,B^y_{6;2}(y) \\). Wektory te rozpinają bazę funkcji B-spline w kierunku osi \\( x \\) w następujący sposób \\( B^x_{1;2}(x),B^x_{2;2}(x),B^x_{3;2}(x),B^x_{4;2}(x),B^x_{5;3}(x),B^x_{6;3}(x),B^x_{7;3}(x),B^x_{8;3}(x),B^x_{9;3}(x) \\). Poprzez iloczyn tensorowy otrzymujemy bazę dwuwymiarowych funkcji bazowych \\( \\{ B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y)\\}i=1,...,4;j=1,...,6 \\} \\cup \\{ B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y)\\}i=5,...,9;j=1,...,6 \\} \\) Zauważmy że grupy elementów sklejone w ten sposób nie dają ciągłej aproksymacji w punkcie 2. Z lewej strony mamy jeden wielomian osiągający maksymalną wartość 1 w punkcie 2, z prawej strony mamy drugi inny wielomian osiągający maksymalną wartość 1 w punkcie 2. Para wektorów węzłów [0 0 0 1 2 2 2] [2 2 2 2 3 4 4 4 4] jest równoważna wektorowi [0 0 0 1 2 2 2 2 3 4 4 4 4]. Oczywiście algorytm interpretujący taki wektor węzłów musi zauważyć że począwszy od węzła 2 który powtórzony został 4 razy, zwiększa nam się stopień wielomianów o 1. Dodatkowo, ostatni wielomian w pierszej podgrupie elementów (wielomian \\( B^x_{4;2}(x) \\) należało by scalić z pierwszym wielomianem w drugiej podgrupie elementów \\( B^x_{5;3}(x) \\). Scalenie takie jest możliwe ponieważ pierwsze i ostatnie człony B-spline'ów są identycznymi wielomianami niezależnie od ich stopnia. Uzyskamy wtedy wielomian drugiego stopnia \\( B^x_{4;2}(x) \\) który rozpościera się na ostatni element w pierwszej podgrupie i na pierwszy element w drugiej podgrupie. Nasze bazy wyglądają więc teraz tak \\( B^x_{1;2}(x),B^x_{2;2}(x),B^x_{3;2}(x),B^x_{4;2}(x),B^x_{5;3}(x),B^x_{6;3}(x),B^x_{7;3}(x),B^x_{8;3}(x) \\). \\( B^x_{1;2}(x),...,B^x_{6;2}(x); B^y_{1;2}(y),...,B^y_{6;2}(y) \\) \\( \\{ B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y)\\}i=1,...,4;j=1,...,6 \\} \\cup \\{ B^x_{i;2}(x)B^y_{j;2}(y)\\}i=5,...,8;j=1,...,6 \\} \\)", "Jeśli dany element wymaga modyfikcji stopnia wielomianów w celu polepszenia jakości aproksymacji, możliwy jest jeden z trzech opisanych scenariuszy, podniesenie stopnia funkcji bazowych w kierunku osi \\( x \\), podniesienie stopnia funkcji bazowych w kierunku osi \\( y \\), lub podniesnie stopnia w obydwu kierunkach. W algorytmie adaptacyjnym zazwyczaj nie wykonuje się adaptacji na wszystkich elementach siatki, ale jedynie na tych elementach na których błąd jest większy niż 33 procent błedu maksymalnego (liczonego po wszystkich elementach). Jest to oczywiście arbitralnie przyjęta wartość. W zaproponowanej wersji algorytmu próbujemy najpierw wykonać adaptację w obydwu kierunkach (podnieść stopień wielomianu o 1 w obydwu kierunkach), a następnie (jeśli nie jest to wskazane) próbujemy podnieść stopień wielomianów w jednym z dwóch kierunków. Jest to oczywiście pzykładowa wersja algorytmu, możliwe są różne modyfikacje. Najbardziej zaawansowaną wersją algorytmu adaptacyjnego jest algorytm hp adaptacji opisany w innym module. Scalając ze sobą wiele patchów (grup elementów) na których rozpięte są różne wielomiany B-spline, uzyskamy siatkę obliczeniową na której możliwe będą lokalne modyfikacje stopnia funkcji B-spline, na przykład stosując opisany algorytm p-adaptacji. Gdy patch elementowy składa się z jednego elementu, funkcje bazowe rozpięte na tym elemencie odpowiadają klasycznemu algorytmowi p-adaptacji pracującemu na wielomianach Lagrange'a. Dzieje się tak dlatego, iż wektory węzłów w których każdy element oddzielony jest \\( C^0 \\) separatem, tak jak ma to miejsce w klasycznych wielomianach Lagrange'a. Obie bazy generują wówczas identyczną przestrzeń wielomianów. Matematyczne właściwości algorytmu p-adaptacji opisał po raz pierwszy prof. Ivo Babuśka z Uniwersytetu Teksańskiego w Austin [1]." ]

[]

[ "Algorytm automatycznej hp adaptacji został po raz pierwszy szczegółowo opisany w książkach prof. Leszka Demkowicza, matematyka polskiego pochodzenia, pracującego na Uniwersytecie Teksańskim w Austin. Analizę właściwości matematycznych algorytmu hp-adaptacji dokonał prof. Ivo Babuška, amerykanin czeskiego pochodzenia, również pracujący na Uniwersytecie Teksańskim w Austin [1] [2] [3] [4].", "Algorytm hp-adaptacji zilustrowany jest na rysunkach Rys. 1 - Rys. 5. Konwencja przyjęta podczas rysowania siatek obliczeniowych jest następująca. Kolory na rysunkach Rys. 1, Rys. 3 i Rys. 5 oznaczają stopnie wielomianów rozpiętych na krawędziach i wnętrzach elementów. Na każdej krawędzi ustalony jest jeden stopień wielomianu, natomiast na każdym wnętrzu elementu ustalone są stopień w kierunku poziomym oraz stopień w kierunku pionowym. Na przykład, na rysunku Rys. 1 wszystkie wielomiany na wszystkich krawędziach mają stopień 2, oraz wszystkie wielomiany na wnętrzach wszystkich elementów mają stopień 2 w kierunku pionowym i poziomym. Na rysunku Rys. 3 wszystkie wielomiany na wszystkich krawędziach mają stopień 3, oraz wszystkie wielomiany na wnętrzach wszystkich elementów mają stopień 3 w kierunku pionowym i poziomym. Z koleji na rysunku Rys. 5 przeglądając elementy wierszami od lewej do prawej strony, w pierwszym wierszu na pierwszym elemencie wszystkie wielomiany na krawędziach mają stopień 2, z wyjątkiem wielomianu na dolnej krawędzi elementu, który ma stopień 1. Na pierwszym elemencie wielomiany we wnętrzu mają stopień 2 w kierunku pionowym i poziomym. Na drugim elemencie, na krawędziach lewej, górnej i dolnej, wielomiany mają stopień 2, natomiast we wnętrzu stopień 3 w kierunku pionowym i stopień 2 w kierunku poziomym. Na trzecim i czwartym elemencie wszystkie wielomiany na krawędziach mają stopień 3. Podobnie wielomiany we wnętrzach w kierunkach pionowym i poziomym. W drugim wierszu elementów, pierwszy element (czyli piąty globalnie) posiada wielomiany stopnia 3 na lewej i prawej krawędzi, wielomian stopnia 1 na górnej i dolnej krawędzi. We wnętrzu element ten posiada wielomiany stopnia 1 w kierunku poziomym i wielomiany stopnia 3 w kierunku pionowym. Drugi element w drugim wierszu posiada stopień wielomianu 2 w kierunku poziomym oraz stopień wielomianu 3 w kierunku pionowym. Na trzecim i czwartym elemncie wszystkie wielomiany na wszystkich krawędziach mają stopień 3, oraz wszystkie wielomiany na wnętrzach wszystkich elementów mają stopień 3 w kierunku pionowym i poziomym. Pozostałe elementy w trzecim i czwartym wierszu mają wielomiany rozłożone symetrycznie w stosunku do wielomianów w pierwszym i drugim wierszu na pierwszym i drugim elemencie. W jaki sposób dokonywany jest wybór optymalnego sposobu adaptacji pojedynczego elementu? Zauważmy że w przypadku algorytmu hp adaptacji mamy wiele możliwości modyfikacji pojedynczego elementu:", "Ponadto dla każdego połamanego elementu możliwa jest modyfikacja stopnia wielomianów we wnętrzu elementu", "Stopnie na krawędziach zmodyfikowanych elementów ustalane są na podstawie reguły minimum. Innymi słowy stopień wielomianu na krawędzi dzielonej przez dwa sąsiadujące elementy ustalany jest jako minimum stopni we wnętrzu elementów w odpowiednim kierunku. Dla krawędzi pionowej otoczonej przez dwa elementy \\( (p^1_h,p^2_v) \\) oraz \\( (p^2_h,p^2_v) \\) ustalamy stopień \\( p=\\textrm{min} \\{ p^1_v,p^2,v\\} \\). Dla krawędzi poziomej otoczonej przez dwa elementy \\( (p^1_h,p^2_v) \\) oraz \\( (p^2_h,p^2_v) \\) ustalamy stopień \\( p=\\textrm{min} \\{ p^1_h,p^2,h\\} \\). Mamy więc bardzo dużo możliwości adaptacji pojedynczego elementu (szacując na podstawie wymienionych możliwych rodzajów adaptacji mamy 4 (modyfikacje stopnia elementu bez łamania elementu) + 4*4 (połamanie elementu na dwa elementy w kierunku poziomym i po cztery możliwości modyfikacji stopnia każdego elementu) + 4*4 (połamanie elementu na dwa elementy w kierunku pionowym i po cztery możliwości modyfikacji stopnia każdego elementu) + 4*4*4*4 (połamanie elementu na cztery elementy i po cztery możliwości modyfikacji stopnia każdego elementu). W sumie 4+4*4+4*4+4*4*4*4=292 możliwości. W jaki sposób podejmowana jest decyzja o wyborze rodzaju adaptacji pojedynczego elementu? Decyzja podejmowana jest zgodnie z następującym algorytmem.", "Innymi słowy, wybieramy taki rodzaj adaptacji dla elementu, który pozwala uzyskać największy spadek błędu najmniejszym kosztem. Wielkość ta reprezentowana jest przez prędkość spadku błędu, która rośnie wraz ze spadkiem błędu, ale maleje wraz z poniesionym kosztym (z liczbą funkcji dodaną do elemetu, ponieważ koszt obliczenia na danym elemencie zależy od liczby niewiadomych, które są współczynnikami funkcji bazowych). Algorytm ten zilustrowany jest na rysunku Rys. 6", "Dla przykładowego problemu transportu ciepła na obszarze w kształcie litery L możliwe jest uzyskanie siatki hp adaptacyjnej która pozwala na rozwiązanie problemu z błędem względnym 0.0001. Siatka taka przedstawiona jest na rysunkach Rys. 7 - Rys. 13", "Algorytm automatycznej hp adaptacji jest więc bardzo skomplikowany i trudny do zaimplementowania. Dlaczego więc wart jest on naszego zainteresowania? Rozważmy możliwe różne algorytmy adaptacyjne dla przykładowego problemu transportu ciepła na obszarze w kształcie litery L, czyli", "Jeśli narysujemy wykres zbieżności tych algorytmów w taki sposób, że na osi poziomej umieścimy rozmiar siatki rozumiany jako liczbę funkcji bazowych na całej siatce, co odpowiada liczbie niewiadomych współczynników tych funkcji bazowych czyli rozmiarowi macierzy układu równań do rozwiązania, a na osi pionowej błąd wzgłędny liczony w normie H1 pomiędzy rozwiązaniem na siatce rzadkiej i siatce gęstej \\( \\|u_{h,p}-u_{h/2,p+1}\\|_{H^1}=\\frac{\\int_{\\Omega} (u_{h,p}-u_{h/2,p+1})^2+(\\frac{\\partial (u_{h,p}-u_{h/2,p+1}}{\\partial x})^2+(\\frac{\\partial (u_{h,p}-u_{h/2,p+1}}{\\partial x})^2 }{\\int_{\\Omega} (u_{h/2,p+1})^2+(\\frac{\\partial (u_{h/2,p+1}}{\\partial x})^2+(\\frac{\\partial (u_{h/2,p+1}}{\\partial x})^2 } \\) wówczas okaże się że jedynie algorytm automatycznej hp adaptacji posiada cechę zbieżności eksponencjalnej. Jest on zdecydowanie najszybszy, i potrafi rozwiązać zadany problem obliczeniowy z dokładnością niemożliwą do uzyskania przez inne algorytmy adaptacyjne.", "W praktyce większość problemów inżynieryjnych wymaga dokładności z zakresu 5 procent i wielomianów kwadratowych. Są jednak takie zadania obliczeniowe, gdzie wysoka dokładność rozwiązania jest niezbędna. Przykładem takich zadań obliczeniowych są na przykład symulacje przepływów wokół skrzydeł samolotów, które wymagają bardzo bardzo dużej dokładności w warstwie przyściennej na skrzydłach samolotu, lub symulacje propagacji fal elektromagnetzcznych w warstwach górotworu, w celu identyfikacji złóż ropy naftowej, które wymagają bardzo dużej dokładności w okolicy anteny odbiorczej." ]

[]

[ "Problem aproksymacji na siatce z wiszącymi węzłami został dokładnie przedstawiony w pracy [1]. Rozważmy teraz przypadek siatki, w której mamy jeden duży element \\( [0,2]\\times[1,3] \\) oraz dwa małe elementy \\( [0,1]\\times[0,1] \\) oraz \\( [0,1]\\times[1,2] \\). Najprostszy sposób skonstruowania funkcji bazowych na takich elementach to liniowe funkcje B-spline (które defakto odpowiadają liniowym wielomianom Lagrange'a). Uzyskujemy je poprzez rozpięcie wektorów węzłów [0 0 1 1 2 2] w kierunu osi \\( x \\) oraz [0 0 1 1] w kierunku osi \\( y \\)y, dla dwóch małych elementów oraz [0 0 2 2] w kierunku osi \\( x \\) oraz [1 1 3 3] w kierunku osi \\( y \\). Zauważmy że nasze wektory węzłów [0 0 1 1 2 2] oraz [0 0 1 1] rozpinają następujące funkcje bazowe \\( B^x_{1;1}(x),B^x_{2;1}(x), B^x_{3;1}(x); B^y_{1;1}(y),...,B^y_{1;2}(y) \\) na małych elementach, co poprzez ich przemnożenie (skonstruowanie iloczynu tensorowego) daje dwuwymiarowe funkcje bazowe \\( B^x_{1;1}(x)B^y_{1;1}(y), B^x_{1,1}(x)B^y_{1;2}(y), B^x_{2;1}(x)B^y_{1;1}(y), B^x_{2,1}(x)B^y_{1;2}(y) \\) na pierwszym małym elemencie, oraz \\( B^x_{2;1}(x)B^y_{1;1}(y), B^x_{2,1}(x)B^y_{1;2}(y), B^x_{3;1}(x)B^y_{1;1}(y), B^x_{3,1}(x)B^y_{1;2}(y) \\) na drugim małym elemencie. Ponadto, na dużym elemencie nasze wektory węzłów [0 0 2 2] i [1 1 3 3] rozpinają funkcje bazowe \\( B^x_{4;1}(x),B^x_{5;1}(x);B^y_{3;1}(y),...,B^y_{4;2}(y) \\). Iloczyn tensorowy tych jednowymiarowych funkcji bazowych daje następujące dwuwymiarowe funkcje bazowe \\( B^x_{4;1}(x)B^y_{3;1}(y), B^x_{4,1}(x)B^y_{4;2}(y), B^x_{5;1}(x)B^y_{3;1}(y), B^x_{5,1}(x)B^y_{4;2}(y) \\). Oznaczmy przez \\( B_1^{small1} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{1;1}(x)B^y_{2;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na pierwszym małym elemencie Rys. 1, oraz przez \\( B_1^{small2} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{2;1}(x)B^y_{2;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na drugim małym elemencie Rys. 1. Oznaczmy również przez \\( B_1^{big} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{4;1}(x)B^y_{3;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na dużym elemencie Rys. 1. Oznaczmy przez \\( B_2^{small1} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{2;1}(x)B^y_{2;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na pierwszym elemencie Rys. 2, oraz przez \\( B_2^{small2} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{3;1}(x)B^y_{2;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na drugim elemencie Rys. 2. Oznaczmy również przez \\( B_2^{big} \\) zawężenie funkcji bazowej \\( B^x_{5;1}(x)B^y_{3;1}(y) \\) do wspólnej krawędzi na dużym elemencie Rys. 2.", "Powstaje wówczas następujący problem. Jeśli chcemy aproksymować jakąś funkcję ciągłą (na przykład pole skalarne temperatury) nad taką siatką obliczeniową, nasza aproksymacja powinna być ciągła. W przypadku grup elementów jednorodnego rozmiaru, funkcje bazowe B-spline rozpinają się w sposób naturalny na wielu elementach, i aproksymacja na granicach elementów jest naturalnie ciągła. W przypadku elementów podzielonych na mniejsze elementy, które dzielą krawędzie z większym elementem, tak jak ma to miejsce w naszym przypadku, mamy szereg lokalnych funkcji na dużym i małych elementach, które nie dość że nie są ze sobą posklejane poprzez krawędź, to jeszcze jest ich różna liczba z jednej i z drugiej strony, i mają one inne wykresy nad współdzieloną krawędzią. Wierzchołek pomiędzy dwoma małymi elementami na wspólnej krawędzi, znajdujący się na środku dużego elementu nazywa się wiszącym węzłem (ang. hanging node) lub związanym węzłem (ang. constrained node). Jest tak dlatego, że funkcje bazowe które są nad nim rozpięte na małych elementach, muszą zostać użyte do dostosowania aproksymacji dla dużej funkcji bazowej na dużym elemencie. W jaki sposób wykonujemy takie \"dostosowanie\"? W naszym przypadku używamy lokalnych funkcji bazowych na małych elementach do zamapowania odpowiadających im dużych funkcji bazowych na dużych elementach. W naszym przypadku, wystarczy zamapować funkcje \\( B_1^{big}(x,y) \\) poprzez kombinację liniową funkcji \\( B_1^{small1}(x,y),B_1^{small2}(x,y),B_2^{small1}(x,y),B_2^{small2}(x,y) \\). Innymi słowy musimy znaleźć takie współczynniki \\( b_1^{small1},b_1^{small2},b_2^{small1},b_2^{small2} \\) żeby \\( B_1^big(x,y) =b_1^{small1}B_1^{small1}(x,y)+b_1^{small2}B_1^{small2}(x,y)+b_2^{small1}B_2^{small1}(x,y)+b_2^{small2}B_2^{small2}(x,y) \\), dla \\( x\\in(0,2)y=1 \\) czyli rozpiętych na wspólnej krawędzi.Proces ten zilustrowany jest na Rys. 3. Widać tutaj że kombinacja ta to \\( B_1^big(x,y) =1.0*B_1^{small1}(x,y)+0.5*B_1^{small2}(x,y)+0.5*B_2^{small1}(x,y) \\), czyli 1.0, 0.5, 0.5, 0.0. Ponadto musimy zamapować funkcje \\( B_2^{big}(x,y) \\) poprzez kombinację liniową funkcji \\( B_1^{small1}(x,y),B_1^{small2}(x,y),B_2^{small1}(x,y),B_2^{small2}(x,y) \\). Innymi słowy musimy znaleźć takie współczynniki \\( c_1^{small1},c_1^{small2},c_2^{small1},c_2^{small2} \\) żeby \\( B_2^big(x,y) =c_1^{small1}B_1^{small1}(x,y)+c_1^{small2}B_1^{small2}(x,y)+c_2^{small1}B_2^{small1}(x,y)+c_2^{small2}B_2^{small2}(x,y) \\), dla \\( x\\in(0,2)y=1 \\) czyli rozpiętych na wspólnej krawędzi. Proces ten zilustrowany jest na Rys. 4. Widać tutaj że kombinacja ta to \\( B_2^big(x,y) =0.5*B_1^{small2}(x,y)+0.5*B_2^{small1}(x,y)+1.0*B_2^{small2}(x,y)+ \\), czyli 0.0, 0.5, 0.5, 1.0." ]

[]

[ "Siatki adaptacyjne zbudowane z elementów prostokątnych o różnej wielkości również umożliwiają przeprowadzanie obliczeń za pomocą analizy izogeometrycznej. Po pierwsze, jeśli grupy elementów różnego rozmiaru zostaną przedzielone za pomocą \\( C^0 \\) separatorów, wówczas na każdym bloku elementów możemy wygenerować wektory węzłów opisujące funkcje bazowe, i scalić je tak jak opisano to w rozdziale Aproksymacja na siatkach z wiszącymi węzłami. Innym szeroko stosowanym podejściem jest stosowanie funkcji bazowych T-spline. Zostały one wynalezione w 2003 roku przez Thomasa Sederberga i innych autorów [1]. Doczekały się one nawet patentu w USA [2]. Funkcje T-spline stosuje się w analizie izogeometrycznej [3]. Są one modyfikacją funkcji B-spline która pozwala na rozpinanie ich na siatkach adaptacyjnych. Każda funkcja B-spline rozpina się na szeregu segmentów w kierunku poziomym i pionowym, które określają grupę elementów na których jest ona rozpięta (na których przyjmuje niezerowe wartości). Punkt w którym przyjmuje ona wartość maksymalną, znajduje się albo na środku elementu (w przypadku funkcji B-spline parzystego rzędu) lub na wierzchołku znajdującym się na granicy elementów (w przypadku funkcji B-spline nieparzystego rzędu). Możemy więc myśleć o funkcjach B-spline jako o funkcjach związanych ze środkami elementów lub wierzchołkami siatki (w zależności od stopnia funkcji B-spline). Funkcja B-spline rzędu \\( p \\) rozpina się na \\( 2p-1 \\) elementach. Na przyklad dla funkcji B-spline rzędu drugiego mamy \\( 2*2-1=3 \\) elementy, czyli 1 element na którym znajduje się środek (maksimum funkcji) oraz 1 element z lewej strony i 1 element z prawej strony. Gdyby narysować linię poziomą od środka funkcji B-spline w lewą i prawą, i znaleźć przecięcia tej linii z krawędziami elementów, wówczas dla B-spline'a drugiego stopnia musimy znaleźć 2 przecięcia z lewej i 2 przecięcia z prawej strony, i dostaniemy wszystkie segmentyy rozpięte na elementach na których rozpina się nasz B-spline. Ideą funkcji T-spline jest uogólnienie tej ideii na siatki adaptowalne. Rozważmy dla ustalenia uwagi parzysty stopień funkcji T-spline. Jeśli mamy siatkę adaptowaną, z elementami o różnym rozmiarze, wówczas możemy związać każdą funkcje T-spline ze środkiem jakiegoś elementu. Następnie wzdłuż linii w kierunku pionowym i poziomym znajdujemy przecięcia z krawędziami elementów. Dla T-spline'a drugiego stopnia musimy znaleźć 2 przecięcia w każdą stronę. W ten sposób dostajemy 3 segmenty w kierunku pionowym i poziomym, na których rozpinamy funkcje T-spline zgodnie ze wzorem na funkcje B-spline. Bierzemy po prostu 4 punkty i wsadzamy do wzoru na funkcje B-spline. Proces określania segmentów pionowych i poziomych dla funkcji T-spline zilustrowany jest na Rys. 1.", "Taki sposób definicji funkcji T-spline na siatce adaptowanej w kierunku punktu, tak jak przedstawiono to na Rys. 1 posiada jedną wadę. Zauważmy, że jeśli będziemy chcieli zastosować nasze funkcje T-spline do aproksymacji, będziemy musiei zbudować macierz w której wiersze i kolumny reprezentują poszczególne funkcje T-spline, natomiast wyrazy tej macierzy oznaczają całki z iloczynów tych funkcji i ich wartości. Całki te są niezerowe jeśli odpowiadające im funkcje T-spline przecinają się. Dla przykładowego zestawu funkcji T-spline wygenerowana macierz (na przykład dla problemu projekcji bitmapy lub dla problemu transportu ciepła) wygląda tak jak przestawiono to na Rys. 1. Widać że macierz ta jest stosunkowo gęsta. W celu zredukowania obszarów na których określone są funkcje T-spline, wprowadza się rozszerzenia przedłużające krawędzie na których wiszą węzły w siatce adaptacyjnej (po angielsku te przedłużenia nazywa się \"T-junction extensions\"). Jest to zilustrowane na Rys. 2. Po zmodyfikowaniu siatki, przez dodanie tych dodatkowych krawędzi, mówi się że siatka jest teraz \"odpowiednia do analizy\" (po angielsku \"analysis suitable\"). Idea algorytmu modyfikacji siatki pod funkcje T-spline opisana jest szczegółowo w pracy [4].", "Po zmodyfikowaniu siatki, generujemy nowe funkcje T-spline, patrz Rys. 3.", "Nowo wygenerowane funkcje T-splines generują siatkę obliczeniową która jest większa ale żadsza, tak jak przedstawiono to na Rys. 4." ]

[]

[ "W module tym przedstawiamy kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy, stosując adaptacyjną metodę elementów skończonych. W szczególności kod ten posiada implementacje algorytmu h-adaptacji w MATLABie. Wykonanie kodu możliwe jest również w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 6.", "W celu uruchomienia kodów, zapisujemy je w katalogu roboczym Octave. Ustawiamy zmienne ze ścieżką do pliku wejściowego w formacie tif \\( filename = 'C://Users/Maciej/Dropbox/bitmapa.tif' \\) następnie podajemy ilość elementów siatki w kierunku osi x i y, oraz stopnie funkcji B-spline w tych kierunkach \\( elementsx=4 \\), \\( elementsy=4 \\) oznaczają rozmiar początkowej siatki. Wpisujemy maksymalny błąd przybliżenia \\( maxerror=0.5 \\), maksymalną liczbę iteracji adaptacji \\( maxlevel=4 \\) oraz wskazujemy czy krawędzie siatki mają zostać narysowane \\( edges=1 \\). Następnie uruchamiamy pierwszą procedure \\( bitmap\\_h(filename,elementsx,elementsy,maxerror,maxlevel,edges) \\). Kod po wykonaniu sekwencji adaptacji rysuje bitmapę w otwartym okienku.", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "W przypadku problemów niestacjonarnych poszukiwane rozwiązanie zależy zarówno od czasu jak i przestrzeni. W ogólnej postaci silnej, w której problem obliczeniowy opisany jest równaniem różniczkowym cząstkowym \\( \\frac{\\partial u\\left(x,y;t\\right)}{\\partial t}-{\\cal L }\\left(u\\left(x,y;t\\right)\\right)=f(x,y;t) \\) pojawia się teraz pochodna względem czasu \\( \\frac{\\partial u\\left(x,y;t\\right)}{\\partial t } \\) reprezentująca zmiany w czasie poszukiwanego pola skalarnego \\( \\Omega\\times [0,t] \\ni \\left(x,t\\right)\\rightarrow u\\left(x,y;t\\right)\\in R \\) Znaczenie poszukiwanego pola zależy od rodzaju rozwiązywanego problemu. Rodzaj rozwiązywanego problemu \"zakodowany\" jest w operatorze \\( {\\cal L }\\left(u\\left(x,y;t\\right)\\right) \\), opisującym modelowane zjawisko fizyczne za pomocą operatorów różniczkowych. Podobnie jak podczas rozwiązywania problemów stacjonarnych (nie zmieniających się czasie) konieczne jest podanie warunków brzegowych (czyli podanie informacji o tym co dzieje się na brzegu symulowanego obszaru). Dodatkowo, w przypadku symulacji problemów niestacjonarnych, konieczne jest podanie warunku początkowego (czyli podanie informacji o tym jaki stan miało modelowane zjawisko na początku symulacji) \\( u(x,y;0)=u_0(x,y) \\) W równaniu występuje również prawa strona \\( f(x,y;t) \\) opisująca \"siłę\" dostarczającą energii (pędu, masy, etc. w zależności od modelowanego zjawiska) do układu. Istnieją dwie metodologie rozwiązywania zadań niestacjonarnych. W pierwszej najpierw dokonuje się dyskretyzacji względem czasu, a potem względem przestrzeni. W drugiej, najpierw dokonuje się dyskretyzacji w przestrzeni, a potem po czasie (metoda ta nazywa się metodą linii - method of lines). W naszych rozważaniach użyjemy pierwszej metody. W celu rozwiązania problemu niestacjonarnego, wprowadzamy kroki czasowe \\( t_0=0 < t_1 < t_2 < \\cdots t_{k-1} < t < t_{k+1}< \\cdots < t_N \\) oraz stany modelowanego zjawiska w poszczególnych krokach czasowych, reprezentowane przez pole skalarne \\( u(t) \\) \\( u_0=u(t_0), u_1=u(t_1), u_2=u(t_2), \\cdots, u_{k-1}=u(t_{k-1}), u_k=u(t_k), u_{k+1}=u(t_{k+1}), \\cdots, u_N=u(t_N) \\) Pochodną po czasie przybliżamy za pomocą metody różnic skończonych \\( \\frac{\\partial u}{\\partial t} \\approx \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt } \\) Dostajemy więc równanie \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(u) = f \\) Powstaje teraz pytanie, w jakiej chwili czasowej wziąć stan modelowanego zjawiska, reprezentowany przez pole skalarne \\( u(t) \\). Mamy kilka możliwości:", "Pierwszy sposób daje nam metodę explicite, zwaną również metodą Eulera (forward Euler). \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(u_t) = f \\) Drugi sposób daje nam metodę implicite, zwaną również wstecznym Eulerem (backward Euler). \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(u_{t+1 }) = f \\) Trzeci sposób daje nam metodę implicite, w zależności od sposobu zdefiniowania kombinacji liniowej, będzie to metoda Cranka-Nicolson, lub metoda alpha. \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(\\alpha u_{t} + (1-\\alpha) u_{t+1}) = f \\)", "Metody explicite pozwalają zawsze na szybkie rozwiązanie w czasie liniowym, jednak można w nich stosować jedynie małe kroki czasowe (w przeciwnym wypadku symulacja zacznie zachowywać się niestabilnie). Metody implicite pozwalają na stosowanie większych kroków czasowych (jeśli są bezwzględnie stabilne, sprawdzenie czego wymaga zaawansowanej wiedzy matematycznej). Metody implicite zazwyczaj wymagają drogich solwerów. W podręczniku tym pokazuje jak uzyskać solwery o czasie liniowym do metod implicite. Metody te wywodzą się od całej rodziny metod zwanych metodami Rungego-Kutty [1]" ]

[]

[ "Zauważmy, że zastosowane metody Eulera sprowadza się do wykonania sekwencji izogeometrycznych L2 projekcji, podobnie jak w przypadku obliczania projekcji bitmapy. Tym razem jednak naszą \"bitmapą\" jest stan ukłądu w poprzedniej chwili, plus zmiany wywołane przez \"fizykę\" modelowanego zjawiska w czasie kroku czasowego, plus zmiany wywołane siłą działającą na nasz system w czasie kroku czasowego. Sposób traktowania równania niestacjonarnego jako sekwencje izogeometrycznych projekcji został opisany w pracy \"IGA-ADS: Isogeometric analysis FEM using ADS solver\" [1]. Żeby opracować solwer wykorzystujący metodę Eulera w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, musimy przetransformować sformułowanie silne w sformułowanie słabe. Przemnażamy więc nasze równanie przez funkcje testujące \\( (u_{t+1},w) = (u_t + dt * \\mathcal{L}(u_t)+ dt* f_t,w) \\) Do aproksymacji stanu naszego systemu w danej chwili czasowej użyjemy kombinacji liniowej funkcji B-spline. W tym celu wybieramy bazę dwuwymiarowych funkcji B-spline, określając wektory węzłów w kierunku osi układu współrzędnych. Dla ustalenia uwagi możemy wybrać dwuwymiarową bazę funkcji B-spline drugiego stopnia \\( \\{B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2}(y)\\}_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} \\) Będą one stosowane do aproksymacja symulowanego pola skalarnego w aktualnej chwili czasowej \\( u(x,y;t+1)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\) Podobnie do testowania użyjemy funkcji bazowych B-spline: \\( \\{ B^x_k(x)B^y_l(y) \\}_{k=1,...,N_x;l=1,...,N_y } \\) Nasze równanie wygląda teraz identycznie jak problem dwuwymiarowek izgeometrycznej L2 projekcji \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\quad \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\) Nasza prawa strona nie jest jednak bitmapą, ale projekcją sumy trzech elementów:", "W metodzie explicite macierz układu to macierz masowa \\( \\{ M_x \\otimes M_y \\}_{i,j,k,l}= \\int B^x_i(x)B^x_k(x)B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) = {\\bf M}_{i,j,k,l } \\) która posiada strukturę produktu Kroneckera i może ona zostać sfaktoryzowana w czasie liniowym przez solwer zmiennokierunkowy. Wadą metody explicite jest fakt, iż pojedynczy krok czasowy nie może być za długi, inaczej metoda będzie niestabilna. Objawiać się to będzie eksplozją symulacji numerycznej. Wynika to z tak zwanego warunku Courant'a–Friedrichs'a–Lewy'ego (CFL condition). W ogólnym przypadku mówi on że symulacja numeryczna w której modelujemy pole skalarne \\( u(x,t) \\) jest stabilna jeśli \\( C= \\frac{u * dt}{ h} < C_{max } \\) gdzie \\( u = max u(x,t) \\) oznacza maksymalną wartość symulowanego pola, \\( dt \\) oznacza długość kroku czasowego \\( h \\) oznacza rozmiar elementu siatki (co w przypadku analizy izogeometrycznej wynika z wartości punkt w wektorze węzłów), oraz \\( C_{max} \\) jest pewną stałą wynikającą z rozwiązywanego problemu. Praktyczne znaczenie tego warunku jest następujące. Jeśli będziemy zwiększać liczbę elementów siatki (zwiększać liczbę punktów w wektorze węzłów) wówczas \\( h \\) będzie się zmniejszać i żeby nasza symulacja nie \"eksplodowała\" musimy zmniejszać krok czasowy. Jest to duże ograniczenie, ponieważ oznacza to że zwiększanie dokładności w przestrzeni wymusza zmniejszanie rozmiarów kroków czasowych, co oznacza większy koszt symulacji. Pewnym rozwiązaniem tego problemu jest stosowanie symulacji implicite ze schematami umożliwiającymi stosowanie solwerów zmiennokierunkowych." ]

[]

[ "Żeby sformułować problem niestacjonarny, należy zdefiniować operator lewej strony oraz funkcję prawej strony \\( {\\cal L }\\left(u\\left(x,y;t\\right)\\right) = {\\cal F }(x,y,z) \\) Przykładowe operatory różniczkowe \\( {\\cal L }\\left(u\\left(x,y;t\\right)\\right) \\) w sformułowaniach niestacjonarnych opisują różne modelowane zjawiska fizyczne. Dodatkowo skomentujemy znaczenie fizyczne warunków brzegowych i początkowych. Wymieniamy tutaj przykłady operatorów liniowych i nieliniowych." ]

[]

[ "W metodzie Eulera stosowanej do rozwiązywania problemów niestacjonarnych, operator różniczkowy opisujący \"fizykę\" symulowanego zjawiska obliczany jest w poprzedniej chwili czasowej \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}({u_t}) = {f_{t+1}} \\) Tak więc wszystkie człony równania obliczane są na podstawie stanu w chwili poprzedniej, i wykonywana jest jedynie korekta stanu w chwili aktualnej: \\( u_{t+1} = u_t + dt * \\mathcal{L}(u_t)+ dt* f_{t+1} \\) Wybieramy tak zwane funkcje testujące \\( w \\) i przemnażamy nasze równanie \\( \\left(u_{t+1},w\\right) =\\left( u_t + dt * \\mathcal{L}(u_t)+ dt* f_{t+1},w\\right) \\) Symbol \\( \\left(u,w\\right) \\) oznacza tutaj iloczyn skalarny w przestrzeni \\( L^2 \\) czyli całkowanie (natomiast w następnym wzorze nawias oznacza \"zwyczajny\" nawias) \\( \\int_{\\Omega} ( u_{t+1} w ) dxdy =\\int_{\\Omega} ( u_t + dt * \\mathcal{L}(u_t)+ dt* f_{t+1}) w dxdy \\) Zauważmy że nasz problem ma podobną strukurę jak problem projekcji bitmapy \\( \\left(u_{t+1}(x,y),w(x,y)\\right) =\\left( BITMAPA(x,y),w(x,y)\\right) \\) i tak naprawdę możemy użyć tego samego kodu, który zamiast czytać piksele bitmapy, będzie próbkował prawą stronę \"piksel po pikselu\". Jak wygląda więc dokładnie nasze równanie i prawa strona? Do aproksymacji stanu naszego systemu w danej chwili czasowej użyjemy kombinacji liniowej funkcji B-spline. W tym celu wybieramy bazę dwuwymiarowych funkcji B-spline, określając wektory węzłów w kierunku osi układu współrzędnych, na przykład dwuwymiarową bazę funkcji B-spline drugiego stopnia \\( \\{B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2}(y)\\}_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u_{i,j } \\) Będą one stosowane do aproksymacji symulowanego pola skalarnego aktualnej chwili czasowej \\( u(x,y;t+1)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j} B^x_i(x)B^y_j(y) \\) i w poprzedniej chwili czasowej \\( u(x,y;t)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^t_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\) Podobnie do testowania użyjemy funkcji bazowych B-spline: \\( w(x,y) \\in \\{ B^x_k(x)B^y_l(y) \\}_{k=1,...,N_x;l=1,...,N_y} w^{k,l } \\) Zakładając że operator różniczkowy \\( {\\cal L } \\) opisujący \"fizykę\" jest liniowy, nasze równanie wygląda teraz następująco: \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))= \\) \\( = \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))+ \\) \\( +dt * \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } \\mathcal{L}(B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))+dt*(f_{t+1}(x,y),B^x_k(x)B^y_l(y)) \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Nie ustalamy tutaj konkretnego problemu, wyprowadzenia zaprezentowane tutaj dotyczą dowolnego problemu fizycznego który da się zasymulować opisaną metodą. Na przykład dla problemu transportu ciepła mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))= \\) \\( = \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y))+ \\). \\( +dt *\\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y}u^{t}_{i,j }\\left(\\left(\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x^2}+dt*\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y^2 }\\right),B^x_k(x)B^y_l(y)\\right)+ \\) \\( +(f_{t+1}(x,y),B^x_k(x)B^y_l(y)) \\quad \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\) czyli pamiętając że symbol \\( \\left(u,w\\right) \\) oznacza tutaj iloczyn skalarny w przestrzeni \\( L^2 \\) czyli całkowanie, mamy (w następnym wzorze nawias oznacza \"zwyczajny\" nawias) \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\int_{\\Omega} B^x_i(x)B^y_j(y) B^x_k(x)B^y_l(y) dxdy = \\) \\( = {\\color{blue} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } \\int_{\\Omega} B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) dxdy}+ \\) \\( +dt *{\\color{red} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y}u^{t}_{i,j } \\int_{\\Omega } \\left( \\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))} {\\partial x^2 }+\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y)) }{\\partial y^2 } \\right) B^x_k(x)B^y_l(y) dxdy}+ \\) \\( +dt*\\int_{\\Omega}(f_{t+1}(x,y)B^x_k(x)B^y_l(y))dxdy \\quad \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\) Wracając do analogii z bitmapą, mamy \\( \\int_{\\Omega} u_{t+1}(x,y) w(x,y) dxdy =\\int_{\\Omega} BITMAPA(x,y)w(x,y) dxdy \\) czyli nasza \"funkcja bitmapy\" dana jest \\( BITMAPA(x,y)={\\color{blue} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) } + \\) \\( +{\\color{red} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } dt \\left( \\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y^2 } \\right) } +dt*f_{t+1}(x,y) \\) i tak naprawdę możemy użyć tego samego kodu, który zamiast czytać piksele bitmapy, będzie próbkował powyższą prawą stronę \"piksel po pikselu\". Zazwczaj po prawej stronie możemy odcałkować przez części czerwony człon (zakładając że dziedzina jest na tyle duża że całka po brzegu może zostać zignorowana, ponieważ modelowane pole lub jej pochodne są tam zerowe) \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\int_{\\Omega} B^x_i(x)B^y_j(y) B^x_k(x)B^y_l(y) dxdy = \\) \\( ={\\color{blue} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t}_{i,j } \\int_{\\Omega} B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) dxdy}+ \\) \\( -dt *{\\color{red} \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y}u^{t}_{i,j } \\int_{\\Omega }\\left( \\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x}+\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y } \\right) \\left( \\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial x}+\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial y } \\right) dxdy}+ \\) \\( +dt*\\int_{\\Omega}(f_{t+1}(x,y)B^x_k(x)B^y_l(y))dxdy \\quad \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\)", "Zauważmy że człony (czerwony i niebieski) w których obliczamy wartości rozwiązania z chwili poprzedniej, oznaczają próbkowanie sumy wszystkich B-spline'ów przemnożonych przez współczynniki obliczone w poprzednim kroku czasowym. Całkowanie takie przeprowadza się zgodnie z rozdziałem \"Sformułowanie wariacyjne a całkowanie numeryczne\". W szczególności zauważmy, że całki te rozbić można na sumę całek po poszczególnych elementach siatki, i na danym elemencie siatki określonych jest jedynie \\( (p+1)^2 \\) funkcji bazowych B-spline, gdzie \\( p \\) oznacza stopień funkcji B-spine.", "Symulacje metodą explicite mają ograniczenie na rozmiar kroku czasowego. Zwiększanie dokładności przestrzennej (zwiększanie rozmiaru siatki metody elementów skończonych do rozwiązania problemu projekcji prawej strony na lewą stronę) wymaga zmniejszania rozmiaru kroku czasowego, w przeciwnym wypadku symulacja zacznie zachowywać się niestabilnie (mówiąc potocznie symulacja \"eksploduje\"). Jest to wyrażone przez warunek Courant'a-Friedrichsa-Lewiego (CFL). \\( \\frac{u dt}{dx} < C_{max } \\) gdzie \\( u \\) oznacza maksymalną wartość symulowanego zjawiska (tradycyjnie oznacza maksymalną prędkość dzięki temu warunek ma postać bezwymiarową co dotyczy tylko zadań z dominującą konwekcją i stałym lub zmiennym w czasie polem prędkości), \\( dt \\) oznacza długość kroku czasowego, \\( dx \\) oznacza rozmiar elementu (średnicę elementu). Warunek CFL został oryginalnie zaproponowany dla metody różnic skończonych, jednakże działa on również dla metody elementów skończonych. Stała \\( C_{max } \\) nie może zostać przekroczona przez iloraz \\( \\frac{u dt}{dx} \\).", "Jeśli tak się stanie (na przykład krok czasowy będzie za duży) wówczas symulacja zacznie zachowywać się niestabilnie (mówiąc potocznie \"eksploduje\") [1]", "Poniżej załączam przykłady dwóch symulacji propagacji fal dla materiału spręzystego policzone metodą explicite. W pierwszym przypadku warunek CFL nie jest spełniony, w drugim przypadku jest spełniony. Zostały one policzone kodem IGA-ADS [2]" ]

[]

[ "W metodzie implicite zwanej \"backward Euler\", służącej do rozwiązywania problemów niestacjonarnych, operator różniczkowy opisujący \"fizykę\" modelowanego zjawiska obliczany jest w \"aktualnej\" chwili czasowej. \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}({u_{t+1}}) = {f_{t+1}} \\) Tak więc w każdym kroku czasowym konieczne jest rozwiązanie równania na stan następny \\( u_{t+1} \\). Prześledźmy działanie metody backward Euler w przypadku stosowania izogeometrycznej metody elementów skończonych. Żeby opracować solwer wykorzystujący metodę implicite w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, musimy przetransformować sformułowanie silne w sformułowanie słabe. Przemnażamy więc nasze równanie przez funkcje testujące \\( (u_{t+1},w) - (dt * \\mathcal{L}(u_{t+1}),w) = (u_t+dt* f_{t+1},w) \\) Do aproksymacji stanu naszego systemu w danej chwili czasowej użyjemy kombinacji liniowej funkcji B-spline. W tym celu wybieramy bazę dwuwymiarowych funkcji B-spline, określając wektory węzłów w kierunku osi układu współrzędnych, na przykład dwuwymiarową bazę funkcji B-spline drugiego stopnia \\( \\{B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2}(y)\\}_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u_{i,j } \\) Będą one stosowane do aproksymacji symulowanego pola skalarnego aktualnej chwili czasowej \\( u(x,y;t)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^t_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\) Podobnie do testowania użyjemy funkcji bazowych B-spline: \\( w(x,y) \\in \\{ B^x_k(x)B^y_l(y) \\}_{k=1,...,N_x;l=1,...,N_y} w^{k,l } \\) Zakładając że operator różniczkowy \\( {\\cal L } \\) opisujący \"fizykę\" jest liniowy, nasze równanie wygląda teraz następująco: \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt * \\mathcal{L}(B^x_i(x)B^y_j(y)),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Nie ustalamy tutaj konkretnego problemu, wyprowadzenia zaprezentowane tutaj dotyczą dowolnego problemu fizycznego który da się zasymulować opisaną metodą. Na przykład dla problemu transportu ciepła mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt *\\left(\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y^2 }\\right),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki sformułowaniu słabemu możemy scałkować przez części \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt *(\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial x}) -dt* (\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki strukturze produktu tensorowego funkcji B-spline oraz dzięki temu że pochodna w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x daje 0 (ponieważ funkcje te są stałe w kierunku osi y) i podobnie dla pochodnej w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt *(\\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y),\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_l(y)) -dt* (B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y},B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Zauważmy że nasz układ równań do rozwiązania to \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt* S_x \\otimes M_y -dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t) \\) gdzie \\( \\{ M_x \\otimes M_y \\}_{i,j,k,l}= \\int B^x_i(x)B^x_k(x)B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) = {\\bf M}_{i,j,k,l } \\) to macierz masowa będąca iloczynem Kroneckera dwóch jednowymiarowych macierzy masowych, \\( \\{ S_x \\otimes M_y\\}_{i,j,k,l} = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y)\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x }B^y_l(y) \\) to iloczyn Kronecker jednowymiarowej macierzy sztywności i jednowymiarowej macierzy masowej, oraz \\( \\{ M_x \\otimes S_y \\}_{i,j,k,l} = \\int B^x_i(x) B^x_k(x) \\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y} \\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } = \\int B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y}B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } \\) to iloczyn Kroneckera jednowymiarowej macierzy masowej i jednowymiarowej macierzy sztywności. Każdą z tych macierzy potrafimy sfaktoryzować w czasie liniowym stosując algorytm solwera zmienno-kierunkowego. Jednakże faktoryzacja ich sumy w czasie liniowym nie jest już możliwa. Jest to możliwe dopiero gdy wprowadzimy schemat kroków czasowych który umożliwia rozdzielenie macierzy na podmacierze w podkrokach czasowych tak aby koszt faktoryzacji pozostawał liniowy. Schemat Peaceman'a-Rachford'a pozwala na rozdzielenie kroku czasowego na dwa podkroki \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt* S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt* S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) gdzie możemy scalić macierze lewej strony w jedną macierz o strukturze produktu Kroneckera, która może zostać sfaktoryzowana w czasie liniowym za pomocą algorytmu solwera zmienno-kierunkowego \\( \\left(M_x-dt* S_x \\right)\\otimes M_y u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( M_x \\otimes \\left( M_y-dt* S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt* S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) Funkcja prawej strony reprezentuje tutaj zmiany wywołane przez siłę działającą na system w czasie kroku czasowego. Jest ona sumą dwóch elementów:" ]

[]

[ "Wprowadzamy kroki czasowe \\( t_0=0 < t_1 < t_2 < \\cdots t_{k-1} < t < t_{k+1}< \\cdots < t_N \\) oraz stany modelowanego zjawiska w poszczególnych krokach czasowych, reprezentowane przez pole skalarne \\( u(t) \\) \\( u_0=u(t_0), u_1=u(t_1), u_2=u(t_2), \\cdots, u_{k-1}=u(t_{k-1}), u_k=u(t_k), u_{k+1}=u(t_{k+1}), \\cdots, u_N=u(t_N) \\) Pochodną po czasie przybliżamy za pomocą metody różnic skończonych \\( \\frac{\\partial u}{\\partial t} \\approx \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt } \\) Dostajemy więc równanie \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(u) = f \\) Metoda implicite zwaną metodą Cranka-Nicolson (wynalezioną przez Panią Phyllis Nicolson, brytyjską matematyczkę i Johna Cranka, amerykańskiego matematyka i fizyka w roku 1947) (zwracamy uwagę iż Phyllis Nicolson była kobietą, i nazwa \"metoda Cranka-Nicolsona\" używana czasami w języku polskim nie jest poprawna) działa w sposób następujący [1]. W metodzie tej nasz operator różniczkowy stosujemy do średniej wartości stanu poprzedniego i następnego: \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(\\frac{1}{2}(u_t+u_{t+1})) = {f_{t+1}} \\). Jeśli operator różniczkowy jest liniowy, możemy wtedy rozdzialić go na dwa człony \\( u_{t+1} -dt \\frac{1}{2}\\mathcal{L}(u_{t+1}) = u_t+dt{f_{t+1}}+ dt\\frac{1}{2}\\mathcal{L}(u_t) \\) zostawiając po lewej stronie naszą \"niewiadomą\" \\( u_{t+1} \\). Następnie stosujemy solwer izogeometrycznej metody elementów skończonych. Żeby opracować solwer wykorzystujący metodę implicite w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, musimy przetransformować sformułowanie silne w sformułowanie słabe. Przemnażamy więc nasze równanie przez funkcje testujące \\( (u_{t+1},w) -dt \\frac{1}{2}(\\mathcal{L}(u_{t+1}),w) = (u_t,w)+dt({f_{t+1}},w)+ dt\\frac{1}{2}(\\mathcal{L}(u_t),w) \\) Do aproksymacji stanu naszego systemu w danej chwili czasowej użyjemy kombinacji liniowej funkcji B-spline. W tym celu wybieramy bazę dwuwymiarowych funkcji B-spline, określając wektory węzłów w kierunku osi układu współrzędnych. Na przykład możemy wybrać dwuwymiarową bazę funkcji B-spline drugiego stopnia \\( \\{B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2}(y)\\}_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u_{i,j } \\) Będą one stosowane do aproksymacja symulowanego pola skalarnego w aktualnej chwili czasowej \\( u(x,y;t+1)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\) Podobnie do testowania użyjemy funkcji bazowych B-spline: \\( w(x,y) \\in \\{ B^x_k(x)B^y_l(y) \\}_{k=1,...,N_x;l=1,...,N_y} w^{k,l } \\) Zakładając że operator różniczkowy opisujący \"fizykę\" jest liniowy, czyli \\( {\\cal L}(\\alpha u+\\beta w)=\\alpha {\\cal L}(u)+\\beta {\\cal L}(w) \\) nasze równanie wygląda teraz następująco: \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt \\frac{1}{2} \\mathcal{L}(B^x_i(x)B^y_j(y)),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Na przykład dla problemu transportu ciepła mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt \\frac{1}{2} \\left(\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y^2 }\\right),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki sformułowaniu słabemu możemy scałkować przez części \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt \\frac{1}{2}(\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial x}) -dt* (\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki strukturze produktu tensorowego funkcji B-spline oraz dzięki temu że pochodna w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x daje 0 (ponieważ funkcje te są stałe w kierunku osi y) i podobnie dla pochodnej w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt \\frac{1}{2}(\\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y),\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_l(y)) -dt* (B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y},B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Zauważmy że nasz układ równań do rozwiązania to \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\frac{1}{2} S_x \\otimes M_y -dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t) \\) gdzie \\( \\{ M_x \\otimes M_y \\}_{i,j,k,l}= \\int B^x_i(x)B^x_k(x)B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) = {\\bf M}_{i,j,k,l } \\) to macierz masowa będąca iloczynem Kroneckera dwóch jednowymiarowych macierzy masowych, \\( \\{ S_x \\otimes M_y\\}_{i,j,k,l} = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y)\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x }B^y_l(y) \\) to iloczyn Kronecker jednowymiarowej macierzy sztywności i jednowymiarowej macierzy masowej, oraz \\( \\{ M_x \\otimes S_y \\}_{i,j,k,l} = \\int B^x_i(x) B^x_k(x) \\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y} \\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } = \\int B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y}B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } \\) to iloczyn Kroneckera jednowymiarowej macierzy masowej i jednowymiarowej macierzy sztywności. Każdą z tych macierzy potrafimy sfaktoryzować w czasie liniowym stosując algorytm solwera zmienno-kierunkowego. Jednakże faktoryzacja ich sumy w czasie liniowym nie jest już możliwa. Jest to możliwe dopiero gdy wprowadzimy schemat kroków czasowych który umożliwia rozdzielenie macierzy na podmacierze w podkrokach czasowych tak aby koszt faktoryzacji pozostawał liniowy. Schemat Peaceman'a-Reachford'a pozwala na rozdzielenie kroku czasowego na dwa podkroki \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\frac{1}{2} S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt \\frac{1}{2} M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\frac{1}{2} M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt \\frac{1}{2} S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) gdzie możemy scalić macierze lewej strony w jedną macierz o strukturze produktu Kroneckera, która może zostać sfaktoryzowana w czasie liniowym za pomocą algorytmu solwera zmienno-kierunkowego \\( \\left(M_x-dt \\frac{1}{2} S_x \\right)\\otimes M_y u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt \\frac{1}{2} M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( M_x \\otimes \\left( M_y-dt \\frac{1}{2} S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt \\frac{1}{2} S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) Przyglądnijmy się na koniec jak wygląda operator prawej strony Funkcja prawej strony reprezentuje tutaj zmiany wywołane przez siłę działającą na system w czasie kroku czasowego, plus dodatkowo zmiany wywołane przez fizykę zjawiska w poprzednim kroku czasowym \\( (u_{t+1},w) -dt \\frac{1}{2}(\\mathcal{L}(u_{t+1}),w) = (u_t,B^x_k(x)B^y_l(y))+dt({f_{t+1}},B^x_k(x)B^y_l(y))+ dt\\frac{1}{2}(\\mathcal{L}(u_t),B^x_k(x)B^y_l(y)) \\) W szczególności nasza prawa strona nie jest jednak bitmapą, ale projekcją sumy trzech elementów:" ]

[]

[ "W metodzie implicite zwanej schematem alfa, służącej do rozwiązywania problemów niestacjonarnych, nasz operator różniczkowy opisujący \"fizykę\" symulowanego zjawiska, stosujemy do kombinacji liniowej wartości stanu poprzedniego i następnego: \\( \\frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \\mathcal{L}(\\alpha u_t+(1-\\alpha)u_{t+1})) = {f_{t+1}} \\). Jeśli operator różniczkowy jest liniowy, możemy wtedy rozdzialić go na dwa człony \\( u_{t+1} -dt \\alpha \\mathcal{L}(u_{t+1}) = u_t+dt{f_{t+1}}+ dt(1-\\alpha)\\mathcal{L}(u_t) \\) zostawiając po lewej stronie naszą \"niewiadomą\" \\( u_{t+1} \\). Zauważmy że dla wartości alfa=1 schemat ten jest schematem implicte Eulera (tak zwany backward Euler), dla wartości alfa=0 jest on schematem explicite (tak zwany schemat Eulera) a dla wartości alfa=1/2 jest on schematem Cranka-Nicolson (który też jest schemate implicite). Schemat Eulera został po raz pierwszy opisany w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera. Schemat Cranka-Nicolson został wynaleziony w 1947 roku przez Phyllis Nicolson, brytyjską matematyczkę i Johna Cranka, amerykańskiego matematyka i fizyka [1], [2] . Następnie stosujemy solwer izogeometrycznej metody elementów skończonych. Żeby opracować solwer wykorzystujący metodę implicite w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych, musimy przetransformować sformułowanie silne w sformułowanie słabe. Przemnażamy więc nasze równanie przez funkcje testujące \\( (u_{t+1},w) -dt \\alpha(\\mathcal{L}(u_{t+1}),w) = (u_t,w)+dt({f_{t+1}},w)+ dt(1-\\alpha)(\\mathcal{L}(u_t),w) \\) Do aproksymacji stanu naszego systemu w danej chwili czasowej użyjemy kombinacji liniowej funkcji B-spline. W tym celu wybieramy bazę dwuwymiarowych funkcji B-spline, określając wektory węzłów w kierunku osi układu współrzędnych. Dla ustalenia uwagi możemy wybrać dwuwymiarową bazę funkcji B-spline drugiego stopnia \\( \\{B^x_{i,2}(x)B^y_{j,2}(y)\\}_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u_{i,j } \\) Będą one stosowane do aproksymacja symulowanego pola skalarnego aktualnej chwili czasowej \\( u(x,y;t+1)\\approx \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } B^x_i(x)B^y_j(y) \\) Podobnie do testowania użyjemy funkcji bazowych B-spline: \\( w(x,y) \\in \\{ B^x_k(x)B^y_l(y) \\}_{k=1,...,N_x;l=1,...,N_y} w^{k,l } \\) Zakładając że operator różniczkowy opisujący \"fizykę\" jest liniowy, nasze równanie wygląda teraz następująco: \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt \\alpha \\mathcal{L}(B^x_i(x)B^y_j(y)),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Na przykład dla problemu transportu ciepła mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ (B^x_i(x)B^y_j(y)-dt \\alpha \\left(\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y^2 }\\right),B^x_k(x)B^y_l(y))=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki sformułowaniu słabemu możemy scałkować przez części \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt \\alpha(\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial x},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial x}) -dt* (\\frac{\\partial (B^x_i(x)B^y_j(y))}{\\partial y},\\frac{\\partial (B^x_k(x)B^y_l(y))}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Dzięki strukturze produktu tensorowego funkcji B-spline oraz dzięki temu że pochodna w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x daje 0 (ponieważ funkcje te są stałe w kierunku osi y) i podobnie dla pochodnej w kierunku y z funkcji B-spline w kierunku osi x mamy \\( \\sum_{i=1,...,N_x;j=1,...,N_y} u^{t+1}_{i,j } \\\\ \\left( (B^x_i(x)B^y_j(y),B^x_k(x)B^y_l(y)) - dt \\alpha (\\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y),\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_l(y)) -dt* (B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y},B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y }) \\right)=RHS \\\\ \\forall k=1,...,N_x; l=1,...,N_y \\). Zauważmy że nasz układ równań do rozwiązania to \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\alpha S_x \\otimes M_y -dt* M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t) \\) gdzie \\( \\{ M_x \\otimes M_y \\}_{i,j,k,l}= \\int B^x_i(x)B^x_k(x)B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int B^x_i(x)B^y_j(y)B^x_k(x)B^y_l(y) = {\\bf M}_{i,j,k,l } \\) to macierz masowa będąca iloczynem Kroneckera dwóch jednowymiarowych macierzy masowych, \\( \\{ S_x \\otimes M_y\\}_{i,j,k,l} = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x}B^y_j(y)B^y_l(y) = \\int \\frac{\\partial B^x_i(x)}{\\partial x}B^y_j(y)\\frac{\\partial B^x_k(x)}{\\partial x }B^y_l(y) \\) to iloczyn Kronecker jednowymiarowej macierzy sztywności i jednowymiarowej macierzy masowej, oraz \\( \\{ M_x \\otimes S_y \\}_{i,j,k,l} = \\int B^x_i(x) B^x_k(x) \\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y} \\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } = \\int B^x_i(x)\\frac{\\partial B^y_j(y)}{\\partial y}B^x_k(x)\\frac{\\partial B^y_l(y)}{\\partial y } \\) to iloczyn Kroneckera jednowymiarowej macierzy masowej i jednowymiarowej macierzy sztywności. Każdą z tych macierzy potrafimy sfaktoryzować w czasie liniowym stosując algorytm solwera zmienno-kierunkowego. Jednakże faktoryzacja ich sumy w czasie liniowym nie jest już możliwa. Jest to możliwe dopiero gdy wprowadzimy schemat kroków czasowych który umożliwia rozdzielenie macierzy na podmacierze w podkrokach czasowych tak aby koszt faktoryzacji pozostawał liniowy. Schemat Peaceman'a-Reachford'a pozwala na rozdzielenie kroku czasowego na dwa podkroki \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\alpha S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt (1-\\alpha) M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( \\left(M_x \\otimes M_y-dt \\alpha M_x \\otimes S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt (1-\\alpha) S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) gdzie możemy scalić macierze lewej strony w jedną macierz o strukturze produktu Kroneckera, która może zostać sfaktoryzowana w czasie liniowym za pomocą algorytmu solwera zmienno-kierunkowego \\( \\left(M_x-dt \\alpha S_x \\right)\\otimes M_y u^{t+1/2} = F(t+1/2)+\\left(dt (1-\\alpha) M_x \\otimes S_y\\right) u^{t} \\) \\( M_x \\otimes \\left( M_y-dt \\alpha S_y\\right) u^{t+1} = F(t+1/2)+\\left(dt (1-\\alpha) S_x \\otimes M_y\\right) u^{t+1/2 } \\) Przyglądnijmy się na koniec jak wygląda operator prawej strony Funkcja prawej strony reprezentuje tutaj zmiany wywołane przez siłe działającą na system w czasie kroku czasowego, plus dodatkowo zmiany wywołane przez fizykę zjawiska w poprzednim kroku czasowym \\( (u_{t+1},w) -dt (1-\\alpha)(\\mathcal{L}(u_{t+1}),w) = (u_t,B^x_k(x)B^y_l(y))+dt({f_{t+1}},B^x_k(x)B^y_l(y))+ dt(1-\\alpha)(\\mathcal{L}(u_t),B^x_k(x)B^y_l(y)) \\) W szczególności nasza prawa strona nie jest jednak bitmapą, ale projekcją sumy trzech elementów:" ]

[]

[ "Przykładowym problemem niestacjonarnym liniowym jest zagadnienie symulacji propagacji zanieczyszczeń [1] W problemie tym obliczamy pole skalarne koncentracji zanieczyszczeń \\( {\\cal R}^3 \\ni (x,y,z)\\times [0,T] \\rightarrow c(x,y,z;t) \\in {\\cal R } \\) takiego że \\( \\frac{\\partial c}{\\partial t } + u \\cdot \\nabla c - \\nabla \\cdot (K \\nabla c) = e \\) co po rozpisaniu daje nam \\( \\frac{\\partial c}{\\partial t} + u_x\\frac{\\partial c}{\\partial x}+u_y\\frac{\\partial c}{\\partial y}+u_z\\frac{\\partial c}{\\partial z} - \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left( K_x \\frac{\\partial c}{\\partial x}\\right) -\\frac{\\partial}{\\partial y} \\left( K_y \\frac{\\partial c}{\\partial y }\\right) -\\frac{\\partial}{\\partial z}\\left( K_z \\frac{\\partial c}{\\partial z } \\right) \\) W powyższym wzorze pierwszy człon \\( \\frac{\\partial c}{\\partial t } \\) to zmiany pola koncentracji zanieczyszczeń w czasie, drugi człon \\( u_x\\frac{\\partial c}{\\partial x}+u_y\\frac{\\partial c}{\\partial y } +u_z\\frac{\\partial c}{\\partial z } \\) to człon adwekcji (zwany też konwekcją) który oznacza transport zanieczyszczeń przez wiatr, reprezentowany przez zadane pole wektrowe \\( {\\cal R}^3 \\ni (x,y,z)\\times [0,T] \\rightarrow (u_x(x,y,z;t,,u_y(x,y,z;t);u_z(x,y,z;t))) \\in {\\cal R }^3 \\), trzeci człon \\( - \\frac{\\partial}{\\partial x} \\left( K_x \\frac{\\partial c}{\\partial x} \\right)-\\frac{\\partial}{\\partial y} \\left( K_y \\frac{\\partial c}{\\partial y }\\right) -\\frac{\\partial}{\\partial z} \\left( K_z \\frac{\\partial c}{\\partial z } \\right) \\) oznacza dyfuzję czyli samoistny transport cząstek zanieczyszczeń na zasadzie zjawiska dyfuzji. Wszystkie człony operatora różniczkowego opisującego proces propagacji zaniczyszczeń są liniowe, czyli \\( {\\cal L}(c_1+c_2)={\\cal L}(c_1)+{\\cal L }(c_2) \\). Dzięki temu możemy zbudować układ równań liniowych i zastosować solwery i algorytmy opisane w podręczniku. Prawa strona oznacza źródła emisji, i jest ona dodatnia w miejscach w których znajduje się źródło zanieczyszczeń (na przykład komin). Współczynniki dyfuzji \\( (K_x,K_y,K_z) \\) oznaczają prędkość dyfuzji w kierunkach x,y i z. W celu rozwiązania problemu konwekcji-dyfuzji musimy jeszcze określić co dzieje się na brzegu obszaru. Możemy na przykład przyjąć prędkość napływu zanieczyszczeń na brzegu obszaru \\( \\frac {\\partial c} {\\partial x}n_x+ \\frac{\\partial c}{\\partial y }n_y+\\frac{\\partial c}{\\partial z }n_z=g \\) gdzie \\( (n_x,n_y,n_z) \\) to wektor jednostkowy prostopadły do brzegu. Musimy również podać warunek początkowy (początkową koncentracje zanieczyszczeń) \\( c(x,0)=0 \\). Na końcu podajemy dwie przykładowe symulacje, pierwszą prezentującą napływ zanieczyszczeń z zachodu na dolinę Krakowską dla obszaru otrzymanego poprzez wygenerowanie siatki czworościennej na podstawie danych topograficznych z bazy NASA oraz drugą symulację prezentującą rozwiewanie dymu z komina poprzez wiatr o zmiennym kierunku. Zostały one policzone kodami opisanymi w artykułach z bibliografii [2]:" ]

[]

[ "Poniżej przedstawiam kod MATLABa wykonujący symulacje dla schematu alfa dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła.", "Wykonanie kodu możliwe jest również w darmowym środowisku Octave.", "Pobierz kod lub zob. Załącznik 7.", "W linii 621 podajemy rozmiar kroku czasowego \\( dt=0.01 \\), w linii 622 podajemy parametr \\( alpha=0.5 \\), pamiętając że alpha=0 to metoda explicite Euler, alpha=1 to metoda implicite Euler, alpha=0.5 to metoda Crancka-Nicolson. W linii 623 podajemy liczbę kroków czasowych \\( K = 20; \\) Kod można uruchomić w darmowym środowisku Octave. Kod uuchamia się otwierając go w Octave oraz wpisując komendę \\( heat\\_time \\) Podczas działania kod wypisuje kolejne kroki czasowe Iter 1, t = 0.010000 Iter 2, t = 0.020000 Iter 3, t = 0.030000 ... W każdej chwili czasowej w katalogu bieżącym kod generuje plik out_*.png, np. out_0.png out_1.png out_2.png ... zawierające rozwiązania z poszczególnych kroków czasowych." ]

[]

[ "Przykładowy problem niestacjonarny opisany w tym module to problem przepływu nieliniowego w ośrodku niejednorodnym [1].", "Przykładowe symulacje, pierwszą, w której na środku obszaru złóża umieszczono pompę pompującą która wypełnia cały obszar cieczą pod ciśnieniem, oraz drugą symulacje, w której trzy pompy ssące odsysają ciecz z ropą wpompowaną wcześniej do złoża, przedstawiono na filmach. Zostały one policzone kodem opisanym w artykułach z bibliografii opisanej w pozycji [2]." ]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Przestrzenie funkcyjne nad obszarem jednowymiarowym", "content": "\nDla \\( \\Omega = \\left(x_l, x_r\\right) \\subset {\\cal R} \\)\n \\( L^2(\\Omega) = \\{ v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} v(x)^2 dx < \\infty \\} \\)\nwraz z normą \\( \\|u\\|_{L^2(\\Omega)}^2 = \\int_{\\Omega} u(x)^2 dx \\)\ni iloczynem skalarnym \\( \\left(u,v\\right) L^2(\\Omega) =\\int_{\\Omega} u(x)v(x) dx \\)\n \\( H^1(\\Omega) = \\{v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} v(x)^2+\\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \\infty \\} \\)\ngdzie pochodna \\( \\frac{dv(x)}{dx} \\) rozumiana jest w słabym sensie, to znaczy definiujemy ją poprzez wzór na całkowanie przez częsci \\( \\int_{\\Omega} u\\frac{dv(x)}{dx} dx = - \\int_{\\Omega} \\frac{du(x)}{dx} v dx \\) dla wszystkich \"smukłych\" funkcji \\( u \\in C^\\infty_0(\\Omega) = \\{v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} v(x)^2+\\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \\infty \\} \\) nieskończenie wiele razy różniczkowalnych określonych na domkniętych poprzedziałach \\( (a,b) \\subset \\Omega \\).\nW przestrzeni \\( H^1(\\Omega) \\) definiujemy normę \\( \\|u\\|_{H^1(\\Omega)}^2 = \\int_{\\Omega} u(x)^2+\\frac{du(x)}{dx}^2 dx \\) i iloczyn skalarnym \\( \\left(u,v\\right)_{H^1(\\Omega)} =\\int_{\\Omega} u(x)v(x)+\\frac{du(x)}{dx}\\frac{dv(x)}{dx} dx \\)\n \\( H^1_0(\\Omega) = \\{v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} v(x)^2+\\frac{dv(x)}{dx}^2 dx < \\infty; v(0)=0 \\} \\)\nwraz z normą \\( \\|u\\|_{H_0^1(\\Omega)}^2 = \\int_{\\Omega} \\frac{du(x)}{dx}^2 dx \\)\ni iloczynem skalarnym \\( \\left(u,v\\right) H_0^1(\\Omega) =\\int_{\\Omega} \\frac{du(x)}{dx}\\frac{dv(x)}{dx} dx \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Przestrzenie funkcyjne na dwuwymiarowym obszarem", "content": "\nDla \\( \\Omega \\subset {\\cal R}^2 \\)\n \\( L^2(\\Omega) = \\{ v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} v(x_1,x_2)^2 dx_1dx_2 < \\infty \\} \\)\nwraz z normą \\( \\|u\\|^2_{L^2(\\Omega)} = \\int_{\\Omega} v(x_1,x_2)^2 dx_1dx_2 \\)\ni iloczynem skalarnym \\( \\left(u,v\\right)_{L^2(\\Omega)} = \\int_{\\Omega} u(x_1,x_2)v(x_1,x_2) dx_1dx_2 \\)\n \\( H^1(\\Omega) = \\{v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} (v(x_1,x_2)^2+\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}^2 )dx_1dx_2 < \\infty \\} \\) gdzie pochodne\n \\( \\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_i},i=1,2 \\) rozumiemy w sensie słabym\n \\( \\int_\\Omega u(x_1,x_2) \\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_i} dx_1 dx_2= - \\int_\\Omega \\frac{du(x_1,x_2)}{dx_i} v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 \\). Innymi słowy są one definiowane za pomocą całkowania przez części z funkcjami gładkimi \\( u \\in C^\\infty_0(\\Omega) \\) nieskończenie wiele razy różniczkowalnymi określonymi na obszarze zwartym zawartym w \\( \\Omega \\).\nW przestrzeni\n \\( H^1(\\Omega) \\) definiujemy normę \\( \\|u\\|^2_{H^1(\\Omega)} = \\int_{\\Omega} \\left( u(x_1,x_2)^2+\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}^2\\right) dx_1dx_2 \\)\ni iloczyn skalarny \\( \\left(u,v\\right)_{H^1(\\Omega)} = \\int_{\\Omega} \\left( u(x_1,x_2)v(x_1,x_2) +\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}+\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}\\right)dx_1dx_2 \\).\n \\( H^1_0(\\Omega) = \\{v:\\Omega \\rightarrow {\\cal R} : \\int_{\\Omega} (v(x_1,x_2)^2+\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}^2) dx_1dx_2 < \\infty, tr v(x_1,x_2)=0 \\} \\)\nwraz z normą \\( \\|u\\|^2_{H^1_0(\\Omega)} = \\int_{\\Omega} \\left( \\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}^2+\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}^2\\right) dx_1dx_2 \\)\ni iloczynem skalarnym \\( \\left(u,v\\right)H^1_0(\\Omega) = \\int_{\\Omega} \\left( \\frac{du(x_1,x_2)}{dx_1}\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_1}+\\frac{du(x_1,x_2)}{dx_2}\\frac{dv(x_1,x_2)}{dx_2}\\right)dx_1dx_2 \\)\ngdzie operator śladu oznacza określanie wartości funkcji na brzegu, co w przypadku funkcji będących elementami przestrzeni Sobolewa wymaga wprowadzania klas równoważności funkcji równych co do wartości całki.\n\n" } ]

[ "W rozdziale tym podajemy ścisłe matematyczne definicje związane z klasyczną metodą elementów skończonych. W szczególności, definicje elementu skończonego zostały podane przez Ciarleta w 1978 roku, oraz w kontekście adaptacyjnej metody elementów skończonych przez Demkowicza w 2007 roku [1] [2].", "Poniżej podajemy obydwie te definicje. Definicja Ciarleta używa pojęcia stopni swobody, natomiast definicja Demkowicza używa pojęcia funkcji kształtu i operatora interpolacji przez projekcję. Pokażemy następnie zależności pomiędzy tymi dwoma definicjami, z których wynika iż są one równoważne. Element skończony zdefiniujemy najpierw w jedym wymiarze, dla referencyjnego (często zwanego również wzorcowym) elementu skończonego zdefiniowanego na przedziale \\( \\hat{K}=[0,1] \\subset {\\cal R} \\), a następnie uogólnimy tą definicję na dowolny element zdefiniowany na dowolnym przedziale \\( K=[ x_l,x_r ] \\subset {\\cal R} \\).", "Elementów referencyjnych używa się do całkowania sformułowań słabych. Elementy referencyjne mają regularny kształt. Element referencyjny odwzorowywany jest na dany element, a jego geometria opisana jest odwzorowaniem mapy z elementu referencyjnego na dany element. W całkach jakobian tego odwzorowania reprezentuje skalowanie pola (objętości) elementu referencyjnego na dany element." ]

[ { "name": "Definicja 1: Jednowymiarowy referencyjny element skończony (na podstawie Demkowicz 2007) ", "content": "Jednowymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę\n \\( \\left( \\hat{K}, X\\left(\\hat{K}\\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( \\hat{K}=[0,1] \\subset {\\cal R} \\)\nWybór węzłów: \\( \\hat{a}_1, \\hat{a}_2 \\) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz \\( \\hat{a}_3 \\) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( \\hat{K}\\right)=span \\{ \\hat{\\chi}_j \\in {\\cal P}^p\\left(\\hat{K}\\right),j=1,...,p+1 \\} \\) gdzie \\( {\\cal P}^p\\left(\\hat{K}\\right) \\) to wielomiany stopnia \\( p \\) określone na przedziale \\( \\hat{K} =(0,1) \\) oraz \\( \\hat{\\chi}_1(\\xi)=1-\\xi \\), \\( \\hat{\\chi}_2(\\xi)=\\xi \\), \\( \\hat{\\chi}_3(\\xi)=(1-\\xi)\\xi \\), \\( \\hat{\\chi}_l(\\xi)=(1-\\xi)\\xi(2\\xi-1)^{l-3} \\quad l=4,...,p+1 \\).\nDefinicja operatora interpolacji przez operator projekcji \\( \\Pi_p:H^1\\left( \\hat{K} \\right) \\rightarrow X\\left( \\hat{K}\\right) \\). Dla danej funkcji \\( u \\in H^1\\left(\\hat{K} \\right) \\), jej interpolant bazujący na projekcji to \\( \\Pi_pu\\in X\\left( \\hat{K}\\right) \\) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:\n \\( \\Pi_p u(\\hat{a}_1)=u(\\hat{a}_1) \\)\n \\( \\Pi_p u(\\hat{a}_2)=u(\\hat{a}_2) \\)\n \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(0,1)}\\rightarrow min \\)\ngdzie \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(0,1)} = \\int_0^1 \\left( \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\right)^2 d\\xi \\) to norma w przestrzeni Sobolewa \\( H^1_0(0,1) \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Jednowymiarowy referencyjny element skończony (na podstawie Ciarlet 1978) ", "content": "Jednowymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę\n \\( \\left( \\hat{K}, V^*\\left(\\hat{K}\\right), X\\left(\\hat{K}\\right) \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( \\hat{K}=\\left(0,1\\right) \\in {\\cal R} \\)\nWybór węzłów: \\( \\hat{a}_1, \\hat{a}_2 \\) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz \\( \\hat{a}_3 \\) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu\nDefinicja przestrzeni stopni swobody \\( V^* \\left( \\hat{K}\\right) = span \\{ \\psi_i \\}_{i=1,...,p+1} \\) jako przestrzeni dualnej do \\( V\\left( \\hat{K} \\right) \\).Kojarzymy stopnie swobody z węzłami elementu oraz z wnętrzem elementu \\( \\psi_1 : V\\left(\\hat{K}\\right) \\ni f \\rightarrow f(\\hat{a}_1)\\in R \\), \\( \\psi_2 : V\\left(\\hat{K}\\right) \\ni f \\rightarrow f(\\hat{a}_2)\\in R \\), \\( \\psi_3 : V\\left(\\hat{K}\\right) \\ni f \\rightarrow 3 \\int_{\\hat{a}_3} f'(\\xi) (1-2\\xi)d\\xi \\in R \\). Możliwe jest rozszerzenie tej definicji na dalsze stopnie swobody (tutaj podajemy definicję dla \\( p=2 \\).\nKonstrukcja przestrzeni aproksymacyjnej \\( X\\left(\\hat{K}\\right) \\subset V\\left(\\hat{K}\\right) \\). Przestrzeń aproksymacyjna jest rozpięta przez bazę wielomianów będącą bazą dualną do bazy stopni swobody\n \\( \\psi_i\\left(\\chi_j\\right) = \\delta_{ij} \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Jednowymiarowy element skończony (definicja przez funkcje kształtu i operator interpolacji przez projekcję) ", "content": "Jednowymiarowym elementem skończonym nazywamy trójkę\n \\( \\left( K, X\\left(K \\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( K=[ x_l,x_r] \\subset {\\cal R}, x_l,x_r \\in {\\cal R} \\)\nWybór węzłów: \\( a_1, a_2 \\) węzły związane z wierzchołkami \\( x_l,x_r \\) elementu, oraz \\( a_3 \\) węzeł związany z wnętrzem \\( K=[ x_l,x_r] {\\cal R} \\) elementu\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( K\\right)=\\{ \\chi = \\hat{\\chi} \\cdot x_K^{-1}, \\hat{\\chi} \\in X\\left(\\hat{K}\\right) \\} \\) gdzie \\( x_K:\\hat{K} \\rightarrow K \\) to odwzorowanie z elementu wzrocowego \\( K=[0,1] \\) na element \\( K=[x_l,x_r] \\) dane \\( \\hat{K} \\ni \\xi \\rightarrow x_K\\left(\\xi\\right)=x_l+(x_r-x_l)=x\\in K \\)\nDefinicja operatora interpolacji bazującego na operatorze projekcji \\( \\Pi_p:H^1\\left( \\hat{K} \\right) \\rightarrow X\\left( \\hat{K}\\right) \\) zdefiniowanego analogicznie do Definicji 1.\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Sformułowanie silne dla jednowymiarowe problemu eliptycznego", "content": " Dla obszaru \\( \\Omega=(0,l) \\subset {\\cal R} \\) szukamy pola skalarnego \\( \\Omega \\ni x \\rightarrow u(x) \\in {\\cal R} \\) będącego funkcją gładką \\( u \\in C^0 \\) taką że \\( -\\left(a(x)u'(x)\\right)'+b(x)u'(x)+c(x)u(x)=f(x) \\textrm{ dla } x\\in (0,l) \\) wraz z warunkiem brzegowym Dirichleta\n \\( u(0)=u_0 \\) i warunkiem brzegowym Robina \\( a(l)u'(l)+\\beta_l u(l)=\\gamma_l \\) gdzie \\( u_0,\\beta_l,\\gamma_l \\in{\\cal R} \\), \\( \\Omega \\ni x \\rightarrow a(x),b(x),c(x), f(x) \\in {\\cal R} \\) zadane funkcje \\( a \\in C^1, b,c,f \\in C^0 \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Rozszerzenie warunku brzegowego Dirichleta dla jednowymiarowego problemu eliptycznego", "content": " Wprowadzamy funkcję \\( \\tilde{u}(x) = (1-\\frac{x}{l})u_0 \\) taką że \\( \\tilde{u}(0)=u_0 \\).\n" }, { "name": "Definicja 3: Sformułowanie słabe dla jednowymiarowego problemu eliptycznego", "content": " Dla obszaru \\( \\Omega=(0,l) \\subset {\\cal R} \\) dla którego brzeg podzielony jest na fragment brzegu Dirichleta w \\( x=0 \\) i fragment brzegu Robina w \\( x=l \\), szukamy pola skalarnego \\( u \\in V \\) takiego że \\( B(u,v)=L(v)-B(\\hat{u},v) \\quad \\forall v\\in V \\) gdzie \\( B(u,v)=\\int_0^l \\left( a(x) u'(x) v'(x) +b(x)u'(x)v(x)+c(x)u(x)v(x)\\right)dx + \\beta u(l)v(l) \\) oraz \\( L(v)=\\int_0^l f(x) v(x)dx + \\gamma v(l) \\) oraz \\( \\tilde{u} \\) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, oraz \\( V=\\{u\\in H^1(\\Omega): u(0)=0 \\} \\).\n" } ]

[ "Siatka referencyjna używana jest do szacownia błędu względnego na siatce obliczeniowej. Często kiedy opisuje się siatkę obliczeniową w kontekście siatki referencyjnej, nazywa się ją siatką rzadka, a siatkę referencyjną siatką gęstą, powstaje ona bowiem poprzez połamanie elementów na mniejsze elementy i zwiększenie stopnia aproksymacji wielomianowej o jeden." ]

[ { "name": "Definicja 1: Jednowymiarowa siatka obliczeniowa", "content": " Siatka obliczeniowa to skończona rodzina \\( T_{hp} \\) elementów skończonych \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) takich że \\( \\cup_{K \\in T_{hp} } = \\Omega \\), \\( \\textrm{meas} K_i \\cap K_j = K_i \\textrm{ dla } i=j; 0 \\textrm{ dla } i \\neq j \\)\n" }, { "name": "Definicja 2: Jednowymiarowa siatka referencyjna", "content": "\nDla danej siatki obliczeniowej \\( \\{ T_{hp }= \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) siatka referencyjna to rodzina \\( T_{\\frac{h}{2}p+1} \\) elementów skończonych\n \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left( K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K { } \\) takich że\n \\( \\forall K \\in T_{ \\frac{h}{2}p+1} \\exists K_1,K_2 \\in {\\cal P}(T_{hp },K) \\) takie że\n \\( K=K_1 \\cup K_2, \\textrm{meas}K_1\\cap K_2=0 \\),\n \\( X(K_1),X(K_2) \\in {\\cal P}(T_{hp },X(K)), dim X(K)=dimX(K_1)+1=dimX(K_2)+1 \\) gdzie \\( {\\cal P } (T_{hp},K ) \\) i \\( {\\cal P }(T_{hp},X(K)) \\) oznaczają projekcje na pierwszy i drugi komponent \\( \\left( K, X\\left( K \\right), \\Pi_p \\right) \\). Wzór wymiaru przestrzeni funkcji kształtu na nowych dwóch elementach wynika z dodania jednej nowej funkcji kształtu, stosownie poprzez zwiększenie stopnia wielomianu o 1 we wnętrzu elementu.\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Przestrzeń aproksymacyjna nad jednowymiarową siatką obliczeniową", "content": "\nPrzestrzeń aproksymacyjna nad jednowymiarową siatką obliczeniową \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) to\n \\( V_{hp }= \\{ v \\in C(\\Omega): \\forall K \\in {\\cal P }( T_{hp},K): {\\cal P }( v,K) \\in X(K) \\} \\)\ngdzie \\( {\\cal P }( T_{hp},K) \\) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągnięty z trójki reprezentującej jednowymiarową siatkę obliczeniową, \\( {\\cal P }( v,K) \\) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Odwzorowania definiujące składanie lokalnych funkcji kształtu na globalne funkcje bazowe nad siatką obliczeniową", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) oznacza jednowymiarową siatkę obliczeniową.\nNiech \\( \\{ e_i^{hp} \\}_i \\) oznacza bazę przestrzeni \\( V_{hp }= span\\{ e_i^{hp} \\} \\).\nNiech \\( \\chi^K_k \\in X \\left( K\\right) \\) oznacza funkcje kształtu nad elementem \\( K \\).\nWówczas \\( \\forall K \\in {\\cal P }( T_{hp},K), \\forall i, \\exists k : {\\cal P}(e_i^{hp},K) = \\chi^K_k \\).\nIstnieje odwzorowanie odwrotne \\( {\\cal I}^2 \\ni (k,K)\\rightarrow i(k,K)\\in {\\cal I} \\) które przypisuje numer\n \\( i(k,K) \\) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \\( k \\)-tą funkcją kształtu nad elementem \\( K \\).\nW przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.\n\n" }, { "name": "Definicja 5: Przestrzeń aproksymacyjna nad jednowymiarową siatką referencyjną", "content": "\nPrzestrzeń aproksymacyjna nad jednowymiarową siatką obliczeniową \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) to\n \\( V_{\\frac{h}{2}p+1 }= \\{ v \\in C(\\Omega): \\forall K \\in {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K): {\\cal P }( v,K) \\in X(K) \\} \\)\ngdzie \\( {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K) \\) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągnięty z trójki reprezentującej jednowymiarową siatkę obliczeniową, \\( {\\cal P }( v,K) \\) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.\n\n" }, { "name": "Definicja 6: Odwzorowania definiujące składanie lokalnych funkcji kształtu na globalne funkcje bazowe nad siatką referencyjną", "content": "\nNiech \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) oznacza jednowymiarową siatkę referencyjną.\nNiech \\( \\{ e_i^{\\frac{h}{2}p+1} \\}_i \\) oznacza bazę przestrzeni \\( V_{\\frac{h}{2}p+1 }= span\\{ e_i^{\\frac{h}{2}p+1} \\} \\).\nNiech \\( \\chi^K_k \\in X \\left( K\\right) \\) oznacza funkcje kształtu nad elementem \\( K \\).\nWówczas \\( \\forall K \\in {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K), \\forall i, \\exists k : {\\cal P}(e_i^{\\frac{h}{2}p+1},K) = \\chi^K_k \\).\nIstnieje odwzorowanie odwrotne \\( {\\cal I}^2 \\ni (k,K)\\rightarrow i(k,K)\\in {\\cal I} \\) które przypisuje numer\n \\( i(k,K) \\) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \\( k \\)-tą funkcją kształtu nad elementem \\( K \\).\nW przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.\n\n" }, { "name": "Definicja 7: Problem metody elementów skończonych nad jednowymiarową siatką obliczeniową", "content": "\nDla danej siatki obliczeniowej \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) znaleźć współczynniki \\( \\{ u^{hp}_i \\}_{i=1,...,N^{hp}} \\) rozwiązania przybliżonego \\( V \\supset V_{hp } \\ni u_{hp }=\\sum_{i=1,...,N^{hp } } u_i^{hp } e_i^{hp } \\) takie że \\( \\sum_{i=m,...,N^{hp } } u_m^{hp } B(e_m^{hp},e_n^{hp})=L(e_n^{hp}), n=1,...,N^{hp} \\) gdzie \\( B(e_m^{hp},e_n^{hp})=\\int_0^l \\left( a(x) \\frac{de_m^{hp}(x)}{dx} \\frac{de_n^{hp}(x)}{dx} +b(x)\\frac{de_m^{hp}(x)}{dx}e_n^{hp}(x)+c(x)e_m^{hp}(x)e_n^{hp}(x)\\right)dx + \\beta e_m^{hp}(l)e_n^{hp}(l) \\) oraz \\( L(e_n^{hp})=\\int_0^l f(x) e_n^{hp}(x)dx + \\gamma e_n^{hp}(l) \\). Baza \\( \\{ e^{hp}_i \\}_{i=1,...,N^{hp}} \\) przestrzeni aproksymacyjnej \\( V_{hp} \\) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \\( X\\left(K\\right) = {\\cal P}(T_{hp},X(K)) \\) dla poszczególnych elemetów z siatki \\( T_{hp} \\) w globalne funkcje bazowe.\n\n" }, { "name": "Definicja 8: Problem metody elementów skończonych nad jednowymiarową siatką referencyjną", "content": "\nDla danej siatki obliczeniowej \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) znaleźć współczynniki \\( \\{ u^{\\frac{h}{2}p+1}_i \\}_{i=1,...,n^{\\frac{h}{2}p+1}} \\) rozwiązania przybliżonego \\( V \\supset V_{\\frac{h}{2}p+1 } \\ni u_{\\frac{h}{2}p+1 }=\\sum_{i=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1 } } u_i^{\\frac{h}{2}p+1 } e_i^{\\frac{h}{2}p+1 } \\) takie że \\( \\sum_{m=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1 } } u_m^{\\frac{h}{2}p+1 } B(e_m^{\\frac{h}{2}p+1},e_n^{\\frac{h}{2}p+1})=L(e_n^{\\frac{h}{2}p+1}), n=1,...,N^{hp} \\) gdzie \\( B(e_m^{\\frac{h}{2}p+1},e_n^{\\frac{h}{2}p+1})=\\int_0^l \\left( a(x) \\frac{de_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x)}{dx} \\frac{de_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x)}{dx} +b(x)\\frac{de_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x)}{dx}e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x)+c(x)e_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x)e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x)\\right)dx +\\\\+ \\beta e_m^{\\frac{h}{2}p+1}(l)e_n^{hp}(l) \\) oraz \\( L(e_n^{\\frac{h}{2}p+1})=\\int_0^l f(x) e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x)dx + \\gamma e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(l) \\).\nBaza \\( \\{ e^{\\frac{h}{2}p+1}_i \\}_{i=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1}} \\) przestrzeni aproksymacyjnej \\( V_{hp} \\) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \\( X\\left(K\\right) = {\\cal P}(T_{\\frac{h}{2}p+1},X(K)) \\) dla poszczególnych elemetów z siatki \\( T_{\\frac{h}{2}p+1} \\) w globalne funkcje bazowe.\n\n" } ]

[]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Dwuwymiarowy referencyjny element skończony", "content": "Dwuwymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę\n \\( \\left( \\hat{K}, X\\left(\\hat{K}\\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( \\hat{K}=[0,1]^2 \\subset {\\cal R}^2 \\)\nWybór węzłów: \\( \\hat{a}_1, \\hat{a}_2, \\hat{a}_3, \\hat{a}_4, \\) węzły związane z wierzchołkami elementu (0,0), (1,0), (1,1) i (0,1), \\( \\hat{a}_5, \\hat{a}_6, \\hat{a}_7, \\hat{a}_8 \\) węzły związane z krawędziami elementu, oraz \\( \\hat{a}_9 \\) węzeł związany z wnętrzem elementu.\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( \\hat{K}\\right)=span \\{ \\hat{\\phi}_j(\\xi_1,\\xi_2) \\in {\\cal Q}^{(p_h,p_v)}\\left(\\hat{K}\\right),j=1,...,(p_h+1)(p_v+1) \\} \\) gdzie \\( {\\cal Q}^{(p_h,p_v)}\\left(\\hat{K}\\right) \\) to wielomiany stopnia \\( p_h \\) względem zmiennej \\( \\xi_1 \\) oraz stopnia \\( p_v \\) względem zmiennej \\( \\xi_2 \\), określone na \\( \\hat{K}=[0,1]^2 \\). Dla funkcji kształtu skojarzonych z węzłami krawędziowymi elementów, wprowadzamy stopnie wielomianów \\( p_1,p_3\\leq p_h; p_2,p_4 \\leq p_v \\). Definiujemy wierzchołkowe funkcje kształtu \\( \\hat{\\phi}_1(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_3(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_4(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2) \\), następnie definiujemy krawędziowe funkcje kształtu, \\( \\hat{\\phi}_{5,j}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{2+j}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2), j=1,...,p_1-1 \\), \\( \\hat{\\phi}_{6,j}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{2+j}(\\xi_2), j=1,...,p_2-1 \\), \\( \\hat{\\phi}_{7,j}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{2+j}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2), j=1,...,p_3-1 \\), \\( \\hat{\\phi}_{8,j}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{2+j}(\\xi_2), j=1,...,p_4-1 \\), dodatkowo definiujemy funkcje kształtu związaną z wnętrzem elementu \\( \\hat{\\phi}_{9,i,j}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{2+i}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{2+j}(\\xi_2), i=1,...,p_h-1;j=1,...,p_v-1 \\).\nDefinicja operatora interpolacji bazującego na operatorze projekcji \\( \\Pi_p:H^1\\left( \\hat{K} \\right) \\rightarrow X\\left( \\hat{K}\\right) \\). Dla danej funkcji \\( u \\in H^1\\left(\\hat{K} \\right) \\), jej interpolant bazujący na projekcji to \\( \\Pi_pu\\in X\\left( \\hat{K}\\right) \\) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:\n \\( \\Pi_p u(0,0)=u(0,0) \\)\n \\( \\Pi_p u(1,0)=u(1,0) \\)\n \\( \\Pi_p u(0,1)=u(0,1) \\)\n \\( \\Pi_p u(1,1)=u(1,1) \\)\n \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(\\hat{K})}\\rightarrow min \\)\ngdzie \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(\\hat{K})} = \\int_{\\hat{K}} \\left( \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\right)^2 d\\xi_1d\\xi_2 \\) to norma w przestrzeni Sobolewa \\( H^1_0(\\hat{K}) \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Dwuwymiarowy element skończony", "content": "Dwuwymiarowym elementem skończonym nazywamy czwórkę\n \\( \\left( K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( K \\subset {\\cal R}^2 \\)\nWybór węzłów: \\( a_1, a_2, a_3, a_4, \\) węzły związane z wierzchołkami elementu, \\( a_5, a_6, a_7, a_8 \\) węzły związane z krawędziami elementu, oraz \\( a_9 \\) węzeł związany z wnętrzem elementu.\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( K\\right)=\\{ \\phi(x_1,x_2) = \\hat{\\phi} \\cdot x_K^{-1}(x_1,x_2), \\hat{\\phi} \\in X\\left(\\hat{K}\\right) \\} \\) gdzie \\( x_K:\\hat{K} \\rightarrow K \\) to odwzorowanie z elementu wzrocowego \\( \\hat{K}=[0,1]^2 \\) na element \\( K\\subset {\\cal R}^2 \\) dane \\( \\hat{K} \\ni (\\xi_1,\\xi_2) \\rightarrow x_K\\left(\\xi_1,\\xi_2 \\right)=(x_1,x_2)\\in K \\)\nDefinicja operatora interpolacji bazującego na operatorze projekcji \\( \\Pi_p:H^1\\left( K \\right) \\rightarrow X\\left( K \\right) \\). Dla danej funkcji \\( u \\in H^1\\left(K \\right) \\), jej interpolant bazujący na projekcji to \\( \\Pi_pu\\in X\\left( K\\right) \\) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:\n \\( \\Pi_p u(a_1)=u(a_1) \\)\n \\( \\Pi_p u(a_2)=u(a_2) \\)\n \\( \\Pi_p u(a_3)=u(a_3) \\)\n \\( \\Pi_p u(a_4)=u(a_4) \\)\n \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(K)}\\rightarrow min \\)\ngdzie \\( \\| \\Pi_p u -u \\|_{H^1_0(K)} = \\int_{K} \\left( \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\right)^2 dx_1dx_2 \\) to norma w przestrzeni Sobolewa \\( H^1_0(K) \\).\n\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Sformułowanie silne dwuwymiarowego problemu brzegowego eliptycznego", "content": "Znaleźć \\( {\\cal R}^2 \\supset \\Omega \\ni (x_1,x_2) \\rightarrow u(x_1,x_2) \\in {\\cal R} \\) takie że\n \\( -\\sum_{i=1,2} \\frac{\\partial}{\\partial x_i} \\left( \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial u(x_1,x_2)}{\\partial x_j} \\right) +\\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2)\\frac{\\partial u(x_1,x_2)}{\\partial x_j} + c(x_1,x_2) u(x_1,x_2) =f(x_1,x_2) \\)\n \\( u(x_1,x_2)= u_D(x_1,x_2) \\textrm{ dla } (x_1,x_2) \\in \\Gamma_D \\)\n \\( \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial u(x_1,x_2)}{\\partial x_j} n_i=g(x_1,x_2) \\textrm{ dla } (x_1,x_2) \\in \\Gamma_N \\)\n \\( \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial u(x_1,x_2)}{\\partial x_j} n_i + \\beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2)=g(x_1,x_2) \\textrm{ dla } (x_1,x_2) \\in \\Gamma_R \\) gdzie\n \\( a{ij}, b_j, c,f : {\\cal R}^2 \\supset \\Omega \\ni (x_1,x_2) \\rightarrow a_{ij}(x_1,x_2),b_j(x_1,x_2),c(x_1,x_2),f(x_1,x_2) \\in {\\cal R} \\)\nto dane funkcje oraz\n \\( u_D : {\\cal R}^2 \\supset \\Gamma_D \\ni (x_1,x_2) \\rightarrow u_D(x_1,x_2) \\in {\\cal R} \\)\n \\( g : {\\cal R}^2 \\supset \\Gamma_N \\cup \\Gamma_R \\ni (x_1,x_2) \\rightarrow g(x_1,x_2) \\in {\\cal R} \\)\n \\( \\beta : {\\cal R}^2 \\supset \\Gamma_R \\ni (x_1,x_2) \\rightarrow \\beta(x_1,x_2) \\in {\\cal R} \\)\nto dane funkcje, oraz brzeg obszaru podzielony jest na fragment na którym określono warunek brzegowy Dirichleta, Neumanna i Robina\n \\( \\partial \\Omega = \\Gamma_D \\cup \\Gamma_N \\cup \\Gamma_R \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Sformułowanie słabe dwuwymiarowego problemu brzegowego eliptycznego", "content": "Znaleźć \\( u \\in V \\) takie że\n \\( B(u,v)=L(v)-B(\\hat{u},v) \\quad \\forall v \\in V \\) gdzie\n \\( B(u,v)= \\int_{\\Omega} \\left( \\sum_{i=1,2} \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial u(x_1,x_2) }{\\partial x_j } \\frac{\\partial v(x_1,x_2) }{\\partial x_j } + \\\\+\\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \\frac{\\partial u(x_1,x_2) }{\\partial x_j } v(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )u(x_1,x_2) \\right) dx_1 dx_2 + \\)\n \\( +\\int_{\\Gamma_R} \\beta(x_1,x_2) u(x_1,x_2) v(x_1,x_2) ds \\)\n \\( L(v)= \\int_{\\Omega} f(x_1,x_2)v(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \\int_{\\Gamma_R} g(x_1,x_2) v(x_1,x_2) ds \\)\ngdzie \\( \\hat{u}_D \\) to rozszerzenie warunku brzegowego Dirichleta \\( tr \\left( \\hat{u} \\right) = u_D \\) na cały obszar \\( \\Omega \\) oraz\n \\( V = \\{ v \\in L^2(\\Omega):\\int_{\\Omega} \\| v \\|^2 +\\| \\nabla v \\|^2 dx_1 dx_2 < \\infty, tr(v)=0 \\textrm{ on } \\Gamma_D \\} \\).\n\n" } ]

[ "Siatka referencyjna używana jest do szacownia błędu względnego na siatce obliczeniowej. Często kiedy opisuje się siatkę obliczeniową w kontekście siatki referencyjnej, nazywa się ją siatką rzadką, a siatkę referencyjną siatką gęstą, powstaje ona bowiem poprzez połamanie elementów na mniejsze elementy i zwiększenie stopnia aproksymacji wielomianowej o jeden." ]

[ { "name": "Definicja 1: Dwuwymiarowa siatka obliczeniowa", "content": " Siatka obliczeniowa to skończenie wymiarowa rodzina \\( T_{hp} \\) elementów skończonych \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\), takich że\n \\( \\cup_{K \\in T_{hp}} = \\Omega \\), \\( \\textrm{ meas} K_i \\cap K_j = K_i \\textrm{ dla } i=j; 0 \\textrm{ dla } i \\neq j \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Dwuwymiarowa siatka referencyjna", "content": " Dla danej siatki obliczeniowej \\( T_{hp}= \\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) siatka referencyjna to rodzina \\( T_{\\frac{h}{2}p+1} \\) elementów skończonych \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\), takich że\n \\( \\forall K \\in T_{\\frac{h}{2}p+1} \\exists K_1,K_2,K_3,K_4 \\in {\\cal P}(T_{hp},K) \\), takie że\n \\( K=K_1\\cup K_2 \\cup K_3 \\cup K_4, \\textrm{meas}K_i \\cap K_j=K_i \\textrm{ dla } i=j; 0 \\textrm{ dla } i \\neq j \\),\n \\( X(K_1),X(K_2),X(K_3),X(K_4) \\in {\\cal P}(T_{hp},X(K)), dim X(K)=\\\\ dim(K_1)+7=dim(K_2)+7=dim(K_3)+7=dim(K_4)+7 \\), gdzie\n \\( {\\cal P}(T_{hp},K) \\) i \\( {\\cal P}(T_{hp},X(K)) \\) oznaczają projekcje na pierwszy i drugi komponent \\( \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\).\nWzór wymiaru przestrzeni funkcji kształtu na nowych czterech elementach wynika z dodania siedmiu nowych funkcji kształtu, stosownie poprzez zwiększenie stopnia wielomianów o 1 we wnętrzu elementu w kierunku poziomym i pionowym (co daje w sumie trzy dodatkowe wielomiany - jeden ze stopniem zwiększonym w kierunku pionowym, drugi ze stopniem zwiększonym w kierunku poziomym, i trzeci ze stopniami zwiększonymi w obydwu kierunkach oraz 4 nowe funkcje kształtu uzyskane poprzez dodanie nowych wielomianów na krawędziach elementów, ze stopniem wielomianów zwiększonych o 1).\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową", "content": "\nPrzestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) to\n \\( V_{hp }= \\{ v \\in C(\\Omega): \\forall K \\in {\\cal P }( T_{hp},K): {\\cal P }( v,K) \\in X(K) \\} \\),\ngdzie \\( {\\cal P }( T_{hp},K) \\) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową, \\( {\\cal P }( v,K) \\) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Odwzorowania definiujące składanie lokalnych funkcji kształtu na globalne funkcje bazowe nad siatką obliczeniową", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) oznacza dwuwymiarową siatkę obliczeniową.\nNiech \\( \\{ e_i^{hp} \\}_i \\) oznacza bazę przestrzeni \\( V_{hp }= span\\{ e_i^{hp} \\} \\).\nNiech \\( \\chi^K_k \\in X \\left( K\\right) \\) oznacza funkcje kształtu nad elementem \\( K \\).\nWówczas \\( \\forall K \\in {\\cal P }( T_{hp},K), \\forall i, \\exists k : {\\cal P}(e_i^{hp},K) = \\chi^K_k \\).\nIstnieje odwzorowanie odwrotne \\( {\\cal I}^2 \\ni (k,K)\\rightarrow i(k,K)\\in {\\cal I} \\), które przypisuje numer\n \\( i(k,K) \\) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \\( k \\)-tą funkcją kształtu nad elementem \\( K \\).\nW przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.\n\n" }, { "name": "Definicja 5: Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką referencyjną", "content": "\nPrzestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) to\n \\( V_{\\frac{h}{2}p+1 }= \\{ v \\in C(\\Omega): \\forall K \\in {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K): {\\cal P }( v,K) \\in X(K) \\} \\),\ngdzie \\( {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K) \\) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową, \\( {\\cal P }( v,K) \\) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.\n\n" }, { "name": "Definicja 6: Odwzorowania definiujące składanie lokalnych funkcji kształtu na globalne funkcje bazowe nad siatką referencyjną", "content": "\nNiech \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) oznacza dwuwymiarową siatkę referencyjną.\nNiech \\( \\{ e_i^{\\frac{h}{2}p+1} \\}_i \\) oznacza bazę przestrzeni \\( V_{\\frac{h}{2}p+1 }= span\\{ e_i^{\\frac{h}{2}p+1} \\} \\).\nNiech \\( \\chi^K_k \\in X \\left( K\\right) \\) oznacza funkcje kształtu nad elementem \\( K \\).\nWówczas \\( \\forall K \\in {\\cal P }( T_{\\frac{h}{2}p+1},K), \\forall i, \\exists k : {\\cal P}(e_i^{\\frac{h}{2}p+1},K) = \\chi^K_k \\).\nIstnieje odwzorowanie odwrotne \\( {\\cal I}^2 \\ni (k,K)\\rightarrow i(k,K)\\in {\\cal I} \\), które przypisuje numer\n \\( i(k,K) \\) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \\( k \\)-tą funkcją kształtu nad elementem \\( K \\).\nW przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.\n\n" }, { "name": "Definicja 7: Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką referencyjną", "content": "\nPrzestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową referencyjną siatką obliczeniową \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\), to \\( V_{\\frac{h}{2}p+1}=span \\{ e_j^{\\frac{h}{2}p+1} : \\forall K \\in {\\cal P}(T_{\\frac{h }{2}p+1},K), \\forall \\phi_j \\in X(K), \\exists ! e_i^{\\frac{h}{2}p+1} :{\\cal P }( e_i^{\\frac{h}{2}p+1 },K)=\\psi_k \\} \\), gdzie \\( e_i^{\\frac{h}{2}p+1} \\) to globalna funkcja bazowa (element bazy przestrzeni \\( V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) ) oraz \\( \\psi_k \\) to lokalna funkcja kształtu nad elementem \\( K \\),\n \\( {\\cal I}^2 \\ni (k,K)\\rightarrow i(k,K)\\in {\\cal I} \\) to odwzorowanie przypisujące numer \\( i(k,K) \\) globalnej funkcji bazowej związanej z lokalną \\( k \\)-tą funkcją kształtu nad elementem \\( K \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 8: Problem metody elementów skończonych nad dwuwymiarową siatką obliczeniową", "content": "\nDla danej siatki obliczeniowej \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) znaleźć współczynniki \\( \\{ u^{hp}_i \\}_{i=1,...,N^{hp}} \\) rozwiązania przybliżonego \\( V \\supset V_{hp } \\ni u_{hp }=\\sum_{i=1,...,N^{hp } } u_i^{hp } e_i^{hp } \\), takie że \\( \\sum_{m=1,...,N^{hp } } u_m^{hp } B(e_m^{hp},e_n^{hp})=L(e_n^{hp}) n=1,...,N^{hp} \\), gdzie\n \\( B(e_m^{hp},e_n^{hp})= \\int_{\\Omega} \\left( \\sum_{i=1,2} \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\\partial x_j } \\frac{\\partial e_n^{hp}(x_1,x_2) }{\\partial x_j }\\right. \\\\ \\left. + \\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \\frac{\\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\\partial x_j } e_n^{hp}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{hp}(x_1,x_2) \\right) dx_1 dx_2 + \\)\n \\( +\\int_{\\Gamma_R} \\beta(x_1,x_2) e_m^{hp}(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds \\)\n \\( L(e_n^{hp})= \\int_{\\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{hp}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \\int_{\\Gamma_R} g(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds \\).\nBaza \\( \\{ e^{hp}_i \\}_{i=1,...,N^{hp}} \\) przestrzeni aproksymacyjnej \\( V_{hp} \\) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \\( X\\left(K\\right) = {\\cal P}(T_{hp},X(K)) \\) dla poszczególnych elemetów z siatki \\( T_{hp} \\) w globalne funkcje bazowe.\n\n" }, { "name": "Definicja 9: Problem metody elementów skończonych nad dwuwymiarową siatką referencyjną", "content": "\nDla danej siatki obliczeniowej \\( T_{\\frac{h}{2}p+1}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) znaleźć współczynniki \\( \\{ u^{\\frac{h}{2}p+1}_i \\}_{i=1,...,n^{\\frac{h}{2}p+1}} \\) rozwiązania przybliżonego \\( V \\supset V_{\\frac{h}{2}p+1 } \\ni u_{\\frac{h}{2}p+1 }=\\sum_{i=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1 } } u_i^{\\frac{h}{2}p+1 } e_i^{\\frac{h}{2}p+1 } \\), takie że \\( \\sum_{m=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1 } } u_m^{\\frac{h}{2}p+1 } B(e_m^{\\frac{h}{2}p+1},e_n^{\\frac{h}{2}p+1})=L(e_n^{\\frac{h}{2}p+1}) n=1,...,N^{hp} \\)\n \\( B(e_m^{\\frac{h}{2}p+1},e_n^{\\frac{h}{2}p+1})= \\int_{\\Omega} \\left( \\sum_{i=1,2} \\sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \\frac{\\partial e_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\\partial x_j } \\frac{\\partial e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\\partial x_j }\\right. \\\\ \\left. + \\sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \\frac{\\partial e_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\\partial x_j } e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) \\right) dx_1 dx_2 + \\)\n \\( +\\int_{\\Gamma_R} \\beta(x_1,x_2) e_m^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds \\)\n \\( L(e_n^{\\frac{h}{2}p+1})= \\int_{\\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \\int_{\\Gamma_R} g(x_1,x_2) e_n^{\\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds \\).\nBaza \\( \\{ e^{\\frac{h}{2}p+1}_i \\}_{i=1,...,N^{\\frac{h}{2}p+1}} \\) przestrzeni aproksymacyjnej \\( V_{hp} \\) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \\( X\\left(K\\right) = {\\cal P}(T_{\\frac{h}{2}p+1},X(K)) \\) dla poszczególnych elemetów z siatki \\( T_{\\frac{h}{2}p+1} \\) w globalne funkcje bazowe.\n\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w jednym wymiarze", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) będzie siatką obliczeniową.\nNiech \\( V_{hp} \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\subset V \\) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.\nNiech \\( V_w \\) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią \\( V_{hp} \\subset V_w \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\).\nNiech \\( K\\in T_{hp} \\) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.\nNiech \\( u_{hp} \\in V_{hp}, u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą \\( w \\in V_w \\) na elemencie \\( K \\) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej \\( u_{\\frac{h}{2}p+1}\\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) nazywamy \\( w \\) uzyskane poprzez następującą procedurę\n\nInterpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu \\( w(a_i)=u_{\\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2 \\)\nProjekcja na węzłach wewnętrznych \\( \\| w' - u_{\\frac{h}{2}p+1}' \\|_{L^2(a_3)} \\rightarrow min \\) gdzie \\( \\| \\cdot \\|_{L^2(a_3)} \\) oznacza normę nad wnętrzem elementu\n" }, { "name": "Definicja 2: Funkcja interpolująca uzyskana poprzez projekcję w dwóch wymiarach", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) będzie siatką obliczeniową.\nNiech \\( V_{hp} \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\subset V \\) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.\nNiech \\( V_w \\) będzie przestrzenią aproksymacyjną pośrednią \\( V_{hp} \\subset V_w \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\).\nNiech \\( K\\in T_{hp} \\) będzie elementem skończonym na siatce obliczeniowej.\nNiech \\( u_{hp} \\in V_{hp}, u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej. Funkcją interpolującą \\( w \\in V_w \\) na elemencie \\( K \\) uzyskaną poprzez projekcję z rozwiązania na siatce referencyjnej \\( u_{\\frac{h}{2}p+1}\\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) nazywamy \\( w \\) uzyskane poprzez następującą procedurę\n\nInterpolacja w węzłąch wierzchołkowych elementu \\( w(a_i)=u_{\\frac{h}{2}p+1}(a_i), i=1,2,3,4 \\)\nProjekcja na węzłach krawędziowych \\( \\| \\nabla w \\cdot e - \\nabla u_{\\frac{h}{2}p+1} \\cdot e \\|_{L^2(a_j)} \\rightarrow min, j=5,6,7,8 \\) gdzie \\( \\nabla w \\cdot e \\) oznacza pochodną kierunkową w kierunku równoległym do krawędzi, oraz \\( \\| \\cdot \\|_{L^2(a_j)} \\) oznacza normę nad krawędzią elementu\nProjekcja na węzłach wewnętrznych \\( \\| \\nabla w - \\nabla u_{\\frac{h}{2}p+1} \\|_{L^2(a_9)} \\rightarrow min \\) gdzie \\( \\| \\cdot \\|_{L^2(a_j)} \\) oznacza normę nad wnętrzem elementu\n" }, { "name": "Definicja 3: Optymalna rozszerzona przestrzeń aproksymacyjna", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) będzie siatką obliczeniową.\nNiech \\( V_{hp} \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\subset V \\) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.\nNiech \\( u_{hp} \\in V_{hp}, u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.\nPrzestrzeń aproksymacyjną \\( V_{opt} \\) nazywamy optymalną rozszerzoną przestrzenią aproksymacyjną nad siatką obliczeniową, jeśli na każdym elemencie \\( K \\) funkcja interpolująca \\( w_{opt} \\) uzyskana poprzez projękcję rozwiązania na siatce referencyjnej \\( u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) spełnia następujące minimum\n \\( \\frac{| u_{\\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\\frac{h}{2}p+1} - w_{opt} |_{H^1(K)} } {\\Delta nrdof (V_{hp},V_{opt},K) } = max_{V_{hp} \\subset V_w \\subset V_{\\frac{h}{2}}p+1} \\frac{| u_{\\frac{h}{2}p+1} - u_{hp} |_{H^1(K)}-| u_{\\frac{h}{2}p+1} - w |_{H^1(K)} } {\\Delta nrdof (V_{hp},V_w,K) } \\)\ngdzie \\( \\| \\cdot \\|_{H^1(K)} \\) oznacza normę \\( H^1 \\) nad wnętrzem elementu, \\( w \\) to funkcja interpolująca uzyskana przez projekcję, \\( u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) na \\( V_w \\) na elemencie \\( K \\), oraz \\( \\Delta nrdof (V_{hp},V_w,K) \\) oznacza liczbę niewiadomych koniecznych do dodania do przestrzeni aproksymacyjnej na siatce obiczeniowej w celu rozszerzenia jej do przestrzeni \\( V_w \\) nad elementem \\( K \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Błąd względny na siatce obliczeniowej", "content": "\nNiech \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) będzie siatką obliczeniową.\nNiech \\( V_{hp} \\subset V_{\\frac{h}{2}p+1} \\subset V \\) będą przestrzeniami aproksymacyjnymi na siatce obliczeniowej i odpowiadającej jej siatce referencyjnej.\nNiech \\( u_{hp} \\in V_{hp}, u_{\\frac{h}{2}p+1} \\in V_{\\frac{h}{2}p+1} \\) będą rozwiązaniami na siatce obliczeniowej i referencyjnej.\nBłędem względnym rozwiązania na siatce obliczeniowej dany jest wzorem\n \\( err\\_rel (u_{hp}) = \\frac{ \\|u_{\\frac{h}{2}p+1}-u_{hp}\\|_{H^1(\\Omega)} }{ \\|u_{\\frac{h}{2}p+1}\\|_{H^1(\\Omega)} } \\)\n\n" } ]

[ "Poniższe trzy lematy mają następujące zastosowania. Lemat Laxa-Milgrama oraz bardziej ogólny Warunek infimum-supremum służą do sprawdzania czy dane sformułowanie słabe posiada jednoznaczne rozwiązanie. Lemat Cea z kolei pozwala na oszacowanie błędu rozwiązania i tempa zbieżności dla metody elementów skończonych.", "Dla bardziej skomplikowanych przypadków form sformułowania słabego \\( B(u,v)=L(v)-B(\\hat{u},v) \\quad \\forall v \\in V \\) zamiast Lematu Laxa-Milgrama stosuje się Lemat Babuśki równoważny Lematowi Brezzi [1].", "Znaczenie Lematu Cea jest następujące. W idealnym przypadku, odległość rozwiązania problemu metody elementów skończonych \\( u_{hp} \\in V_{hp} \\) na siatce obliczeniowej \\( T_{hp }=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) od rozwiązania problemu słabego \\( u \\in V \\) byłaby to minimalna odległość rozwiązania \\( u \\in V \\) problemu wariacyjnego od wszystkich elementów przestrzeni \\( V_h \\), w której szukamy rozwiązania problemu metody elementów skończonych. Byłoby tak, gdyby stała \\( \\frac{M}{\\alpha} =1 \\). Jest ona jednak \\( \\frac{M}{\\alpha} \\geq 1 \\). Oznacza to, że błąd, który popełniamy rozwiązując problem metodą elementów skończonych, obarczony jest po pierwsze błędem wynikającym z konstrukcji siatki obliczeniowej \\( T_{hp}=\\{ \\left(K, X\\left(K\\right), \\Pi_p \\right) \\}_K \\) (adaptacja siatki obliczeniowej zwiększa rozmiar przestrzeni \\( V_{hp} \\) i przybliża nasze rozwiązanie przybliżone \\( u_{hp} \\in V_{hp} \\) do rozwiązania idealnego \\( u \\in V \\)). Pozostały błąd wynika ze stosunku stałych \\( M \\) ciągłości i \\( {\\alpha} \\) koercywności funkcjonału dwuliniowego \\( B:V\\times V \\rightarrow {\\cal R} \\). Błąd ten można wyeliminować stosując metody stabilizacji opisane w stosownych modułach podręcznika." ]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Jednowymiarowy izogeometryczny element skończony stopnia drugiego", "content": "Jednowymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę\n \\( \\left( \\hat{K}, X\\left(\\hat{K}\\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( \\hat{K}=[0,1] \\subset {\\cal R} \\)\nWybór węzłów: \\( \\hat{a}_1, \\hat{a}_2 \\) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu oraz \\( \\hat{a}_3 \\) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( \\hat{K}\\right)=span \\{ \\hat{\\chi}_j \\in {\\cal P}^p\\left(\\hat{K}\\right),j=1,...,3 \\} \\) gdzie \\( {\\cal P}^p\\left(\\hat{K}\\right) \\) to wielomiany stopnia \\( p \\) określone na przedziale \\( \\hat{K} =(0,1) \\) oraz \\( \\hat{\\chi}_1(\\xi)=\\frac{1}{2}(1-\\xi)^2 \\), \\( \\hat{\\chi}_2(\\xi)=\\frac{1}{2}\\xi^2 \\), \\( \\hat{\\chi}_3(\\xi)=-\\xi^2+x+\\frac{1}{2} \\).\nDefinicja operatora interpolacji przez projekcję \\( \\Pi_p:H^1\\left( \\hat{K} \\right) \\rightarrow X\\left( \\hat{K}\\right) \\). Dla danej funkcji \\( u \\in H^1\\left(\\hat{K} \\right) \\), jej interpolant bazujący na projekcji to \\( \\Pi_pu\\in X\\left( \\hat{K}\\right) \\) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:\n \\( \\Pi_p u(\\hat{a}_1)=u(\\hat{a}_1) \\)\n \\( \\Pi_p u(\\hat{a}_2)=u(\\hat{a}_2) \\)\n \\( \\| \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\|_{H^1(0,1)}\\rightarrow min \\)\ngdzie \\( \\| \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\|_{H^1(0,1)} = \\int_0^1 \\left( \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\right)^2 d\\xi \\) to norma w przestrzeni Sobolewa \\( H^1(0,1) \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Dwuwymiarowy izogeometryczny element skończony stopnia drugiego", "content": "Dwuwymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę\n \\( \\left( \\hat{K}, X\\left(\\hat{K}\\right), \\Pi_p \\right) \\)\nzdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków\n\nGeometria: \\( \\hat{K}=[0,1]^2 \\subset {\\cal R}^2 \\)\nWybór węzłów: \\( \\hat{a}_1, \\hat{a}_2, \\hat{a}_3, \\hat{a}_4, \\) węzły związane z wierzchołkami elementu (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), \\( \\hat{a}_5, \\hat{a}_6, \\hat{a}_7, \\hat{a}_8 \\) węzły związane z krawędziami elementu, oraz \\( \\hat{a}_9 \\) węzeł związany z wnętrzem elementu.\nDefinicja funkcji kształtu elementu \\( X \\left( \\hat{K}\\right)=span \\{ \\hat{\\chi}_j \\in {\\cal S}^{(2,2)}\\left(\\hat{K}\\right),j=1,...,9 \\} \\) gdzie \\( {\\cal S}^{(2,2)}\\left(\\hat{K}\\right) \\) to wielomiany stopnia drugiego względem zmiennej \\( \\xi_1 \\) oraz względem zmiennej \\( \\xi_2 \\), określone na \\( \\hat{K}=[0,1]^2 \\). Definiujemy funkcje kształtu \\( \\hat{\\phi}_1(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_2(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_3(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_3(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_{5,2}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_1(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_{6,2}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_2(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_{7}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_2(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_{8}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_1(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_2) \\), \\( \\hat{\\phi}_{9}(\\xi_1,\\xi_2)=\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_1)\\hat{\\chi}_{3}(\\xi_2) \\).\nDefinicja operatora interpolacji bazującego na projekcji \\( \\Pi_p:H^1\\left( \\hat{K} \\right) \\rightarrow X\\left( \\hat{K}\\right) \\). Dla danej funkcji \\( u \\in H^1\\left(\\hat{K} \\right) \\), jej interpolant bazujący na projekcji to \\( \\Pi_pu\\in X\\left( \\hat{K}\\right) \\) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:\n \\( \\Pi_p u(0,0)=u(0,0) \\)\n \\( \\Pi_p u(1,0)=u(1,0) \\)\n \\( \\Pi_p u(0,1)=u(0,1) \\)\n \\( \\Pi_p u(1,1)=u(1,1) \\)\n \\( \\| \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\|_{H^1(\\hat{K})}\\rightarrow min \\)\ngdzie \\( \\| \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\|_{H^1(\\hat{K})} = \\int_{\\hat{K}} \\left( \\left( \\Pi_p u \\right)' -u' \\right)^2 d\\xi_1d\\xi_2 \\) to seminorma w przestrzeni Sobolewa \\( H^1(\\hat{K}) \\).\n\n" } ]

[ "Wśród aktualnych (na koniec roku 2019) trendów dotyczących dalszego rozwoju metody elementów skończonych wyróżnić można:", "Metoda elementów skończonych jest narzędziem do wykonywania symulacji. Jak wiele narzędzi, może zostać wykorzystana w rozmaity sposób. Jest narzędziem potężnym, potrafiącym modelować rzeczywistość i zmieniać świat, w którym żyjemy. Pamiętajmy zawsze o etycznych przesłaniach wynikających z naszych wyborów i celów do których dążymy, szczególnie jeśli mamy w ręku tak potężne narzędzia." ]

[]

[ "Dwa kody MATLABa obliczające izogeometryczną L2 projekcję bitmapy (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu projekcji bitmapy )", "KOD 1", "KOD 2", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod w MATLABie obliczający i rysujący funkcje bazowe B-spline na podstawie zadanego wektora węzłów (zob. rozdział Implementacja w MATLABie generacji funkcji bazowych na podstawie wektora węzłów )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod MATLABa obliczający problem transportu ciepła na obszarze w kształcie litery L (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu transportu ciepła )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy przy zastosowaniu izogeometrycznej metody elementów skończonych (zob. rozdział Implementacja w MATLABie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego dla problemu projekcji bitmapy )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod w Zadaniu 1: Projekcja terenu (zob. rozdział Implementacja w MATLABie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego dla problemu projekcji bitmapy )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji ze stabilizacją metodą SUPG )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod MATLABa obliczający problem adwekcji-dyfuzji metodą elementów skończonych ze stabilizacją metodą minimalizacji reziduum, dla modelowego problemu Erikksona-Johnsona (zob. rozdział Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji za stabilizacją metodą minimalizacji reziduum )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod w MATLABie obliczający L2 projekcję bitmapy z zastosowaniem adaptacyjnej metody elementów skończonych (zob. rozdział Implementacja w MATLABie adaptacyjnego algorytmu projekcji bitmapy )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Kod MATLABa wykonujący symulacje dla schematu alfa dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła (zob. rozdział Implementacja w MATLABie schematu alpha dla problemu transportu ciepła )", "Autorzy kodów w MATLABie: Marcin Łoś i Maciej Woźniak." ]

[]

[ "Geometrycznie liczbę zespoloną \\( z=(x,y) \\) interpretujemy jako wektor zaczepiony w punkcie \\( (0,0) \\) o końcu w punkcie \\( (x,y) \\).", "W tej interpretacji w naturalny sposób zobrazujemy dodawanie liczb zespolonych jako dodawanie wektorów:", "Zbiór liczb zespolonych możemy również interpretować jako zbiór punktów na płaszczyźnie.", "W tej interpretacji naturalnym staje się określenie równości liczb zespolonych. Otóż dwie liczby zespolone \\( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \\) oraz \\( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \\)) są równe, jeżeli \\( x_{1}=x_{2} \\) oraz \\( y_{1}=y_{2} \\). Zbiór wszystkich liczb zespolonych na płaszczyźnie (wektorów lub punktów) nazywamy płaszczyzną zespoloną (lub płaszczyzną Gaussa).", "W zbiorze liczb zespolonych rozważmy podzbiór \\( \\{ (x,0): x\\in\\mathbb{R} \\} \\) składający się z liczb zespolonych leżących na osi odciętych OX. Zauważmy, że liczby tej postaci mają następujące własności:", "Dzięki temu możemy utożsamić zbiór liczb zespolonych postaci \\( \\{(x,0): x\\in\\mathbb{R}\\} \\) ze zbiorem liczb rzeczywistych i parę \\( (x,0) \\) zapisywać po prostu jako \\( x \\). Oś \\( OX \\) będziemy wówczas nazywać osią rzeczywistą. Wyróżnijmy teraz jednostkę na osi \\( OY \\), tj. liczbę zespoloną postaci \\( (0,1) \\).", "Zauważmy, że", "Powyższy fakt, niemożliwy dla liczb rzeczywistych, tłumaczy nazwę \"jednostka urojona\". Oś \\( OY \\), której wersorem jest jednostka urojona, będziemy nazywać osią urojoną.", "Niech \\( z=(x,y) \\) będzie liczbą zespoloną. Współrzędna \\( x \\) liczby \\( z \\) jest określona względem osi rzeczywistej \\( OX \\), dlatego mówimy, że jest to część rzeczywista liczby z. Z kolei współrzędna \\( y \\) liczby \\( z \\) jest określona względem osi urojonej \\( OY \\) i dlatego nosi nazwę części urojonej liczby z. Dla liczby zespolonej \\( z=(x,y) \\) wprowadzamy oznaczenia", "od łacińskiego słowa realis( \\( z \\)) oznaczającego część rzeczywistą liczby \\( z \\) oraz", "od łacińskiego imaginarius( \\( z \\)) oznaczającego część urojoną liczby \\( z \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Zbiór liczb zespolonych", "content": "\nZbiór \\( \\mathbb{C}= \\left\\{ (x,y) : x,y\\in\\mathbb{R} \\right\\} \\) z działaniami \\( + \\) i \\( \\cdot \\) określonymi jako\n\n \\( (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}), \\)\n \\( (x_{1},y_{1})\\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}\\cdot x_{2}-y_{1}\\cdot y_{2},x_{1}\\cdot y_{2}+x_{2}\\cdot y_{1}). \\)\nnazywamy zbiorem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi.\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": "Liczbę \\( i=(0,1) \\) nazywamy jednostką urojoną.\n" } ]

[ "Niech \\( z=x+iy \\) będzie liczbą zespoloną w postaci algebraicznej. Przypomnijmy, że liczbę \\( x \\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby \\( z \\) i oznaczamy sybolem \\( \\mathfrak{Re}z \\), zaś liczbę \\( y \\) nazywamy częścią urojoną liczby \\( z \\) i oznaczamy symbolem \\( \\mathfrak{Im}z \\).", "Niech \\( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \\) oraz \\( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \\) będą liczbami zespolonymi. Liczby \\( z_{1} \\) i \\( z_{2} \\), jako uporządkowane pary punktów, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy \\( x_{1}=x_{2} \\) oraz \\( y_{1}=y_{2} \\). Stąd, zapisując liczby \\( z_{1} \\) i \\( z_{2} \\) w postaci algebraicznej jako \\( z_{1}=x_{1}+iy_{1} \\) oraz \\( z_{2}=x_{2}+iy_{2} \\) otrzymujemy, że \\( z_{1}=z_{2} \\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\( \\mathfrak{Re}z_{1}=\\mathfrak{Re}z_{2} \\) oraz \\( \\mathfrak{Im}z_{1}=\\mathfrak{Im}z_{2} \\).", "Postać kanoniczna liczby zespolonej umożliwia dodawanie i mnożenie liczb zespolonych tak samo jak wielomianów, tzn. podobny do podobnego (dla dodawania) i każdy z każdym (dla mnożenia), w przypadku mnożenia pamiętając o warunku \\( i^{2}=-1 \\). Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną \\( z=x+iy \\) mnożymy dzielną i dzielnik przez \\( x-iy \\), otrzymując w mianowniku liczbę rzeczywistą." ]

[ { "name": "Definicja 1: Postać algebraiczna liczby zespolonej", "content": "\nNiech \\( z=(x,y) \\), gdzie \\( x,y\\in\\mathbb{R} \\) będzie dowolną liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę \\( z \\) możemy zapisać następująco:\n\n \\( z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)\\cdot (0,1). \\)\nWówczas oznaczając \\( x=(x,0) \\), \\( y=(y,0) \\) oraz \\( i=(0,1) \\) otrzymujemy postać algebraiczną (Hamiltona, kanoniczną) liczby zespolonej \\( z \\)\n\n \\( z=x+iy. \\)\n" }, { "name": "Definicja 2: Sprzężenie liczby zespolonej", "content": "Niech \\( z=x+iy \\), gdzie \\( x,y\\in\\mathbb{R} \\). Sprzężeniem liczby \\( z \\) nazywamy liczbę \\( \\bar{z} \\) daną wzorem\n \\( \\bar{z}=x-iy. \\)\n" } ]

[ "Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej \\( z \\) jest symbol \\( r=|z| \\).", "Geometrycznie moduł liczby zespolonej \\( z \\) to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.", "Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie \\( z_{0}=x_{0}+iy_{0} \\) oraz \\( z=x+iy \\) będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas \\( z-z_{0}=(x-x_{0})+i(y-y_{0}) \\) oraz \\( \\mathfrak{Re}z=x-x_{0} \\), \\( \\mathfrak{Im}z=y-y_{0} \\). Mamy", "Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu \\( (x,y) \\) od punktu \\( (x_{0},y_{0}) \\). Zatem dla dowolych liczb zespolonych \\( z,z_{0}\\in\\mathbb{C} \\) moduł ich różnicy \\( |z-z_{0}| \\) oznacza odległość \\( z \\) od \\( z_{0} \\) na płaszczyźnie zespolonej.", "Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej \\( z=\\mathbf{0} \\) jest dowolna liczba rzeczywista \\( \\varphi\\in\\mathbb{R} \\), zaś argumentem głównym dla \\( z=\\mathbf{0} \\) jest \\( \\varphi=0 \\). Argument liczby \\( z \\) oznaczamy symbolem \\( \\mathrm{arg}z \\), zaś argument główny symbolem \\( \\mathrm{Arg}z \\). Mamy zatem", "Geometrycznie argument liczby zespolonej \\( z \\) to kąt skierowany, jaki tworzy wektor \\( \\vec{\\mathbf{0}z} \\) z dodatnią półosią osi rzeczywistej \\( \\mathfrak{Re}z \\).", "Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej \\( z=x+iy \\), podanie jej modułu \\( r=|z| \\) i argumentu \\( \\varphi=\\mathrm{Arg}z \\) jest opisem położenia liczby \\( z \\) względem bieguna w punkcie \\( \\mathbf{0} \\) oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Moduł liczby zespolonej", "content": "Niech \\( z=x+iy \\), gdzie \\( x,y\\in\\mathbb{R} \\), będzie dowolną liczbą zespoloną. Modułem liczby \\( z \\) nazywamy liczbę rzeczywistą \\( |z| \\) daną wzorem\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( |z|=\\sqrt{x^{2}+y^{2}}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Argument liczby zespolonej", "content": "Niech \\( z=x+iy \\), gdzie \\( x,y\\in\\mathbb{R} \\), będzie liczbą zespoloną różną od zera. Argumentem liczby \\( z \\) nazywamy każdą liczbę rzeczywistą \\( \\varphi \\), spełniającą warunki:\n\n\t\t\t\t\t(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{cases} \\cos \\varphi&=&\\frac{x}{|z|},\\\\ \\sin \\varphi&=&\\frac{y}{|z|}. \\end{cases} . \\)\n\nArgumentem głównym liczby \\( z \\) nazywamy ten argument, który należy do przedziału \\( \\lbrack 0,2\\pi) \\)." }, { "name": "Definicja 3: Biegunowy układ współrzędnych", "content": "\nDla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości \\( r \\) tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego \\( \\varphi \\) pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącym tego punktu)." } ]

[ "Niech \\( z=x+iy \\) będzie dowolną, różną od \\( \\mathbf{0} \\) liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę \\( z \\) możemy zapisać w postaci", "Łatwo również zauważyć, że liczba \\( \\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\) określa moduł \\( r=|z| \\), zaś wielkości \\( \\frac{x}{\\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\) i \\( \\frac{y}{\\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\) stanowią odpowiednio \\( \\cos \\varphi \\) i \\( \\sin \\varphi \\), gdzie \\( \\varphi=\\mathrm{arg}z \\).", "Zatem dowolną liczbę zespoloną \\( z \\) (również \\( z=\\mathbf{0} \\)) można zapisać w postaci", "Z określenia postaci trygonometrycznej liczby zespolonej łatwo wynika, że aby tę postać uzyskać wystarczy obliczyć moduł oraz jeden z argumentów danej liczby zespolonej.", "Warto podkreślić, że przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że dla danej liczby zespolonej, zbiór jej argumentów jest nieskończony. W szczególności w powyższym przykładzie moglibyśmy napisać \\( z=\\sqrt{2}\\left(\\cos(- \\frac{3}{4}\\pi)+i\\sin (-\\frac{3}{4}\\pi)\\right) \\) gdyż, jak łatwo sprawdzić, również kąt \\( \\left(-\\frac{3}{4}\\pi\\right) \\) spełnia układ ( 1 ).", "A zatem, przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się mnoży, a argumenty dodaje.", "Zatem przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się dzieli, a argumenty odejmuje." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Powyższe przedstawienie liczby \\( z \\) nazywamy jej postacią trygonometryczną .\n" } ]

[ "Wprost z definicji wynika, że \\( |e^{i\\varphi}|=1 \\) oraz \\( \\mathrm{arg}(e^{i\\varphi})=\\varphi+2k\\pi \\) dla \\( k\\in\\mathbb{Z} \\).", "Warto zapamiętać, że podobnie jak w przypadku postaci trygonometrycznej, zapis liczby zespolonej w postaci wykładniczej nie jest jednoznaczny. Wynika to z faktu, że dowolna liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów.", "Przy pomocy liczby \\( e^{i\\varphi}=\\cos \\varphi+i\\sin \\varphi \\) wyrażamy cosinus i sinus kąta \\( \\varphi \\). Mamy mianowicie", "Warto wspomnieć w tym miejscu o jeszcze jednym wzorze, również nazywanym wzorem Eulera lub tożsamością Eulera. Przedstawiając mianowicie liczbę \\( -1 \\) w postaci wykładniczej, tj. jako \\( -1=e^{i\\pi} \\), otrzymujemy wzór łączący pięć najważniejszych stałych matematycznych:", "Przez wielu, wzór ten uważany jest za najpiękniejszy wzór matematyczny." ]

[ { "name": "Definicja 1: Symbol \\( e^{i\\varphi} \\)", "content": " Niech \\( \\varphi\\in\\mathbb{R} \\). Symbolem \\( e^{i\\varphi} \\)oznaczamy liczbę zespoloną \\( \\cos\\varphi+i\\sin\\varphi \\). Mamy zatem\n \\( e^{i\\varphi}=\\cos\\varphi+i\\sin\\varphi . \\)\n" }, { "name": "Definicja 2: Postać wykładnicza liczby zespolonej", "content": "Każdą liczbę zespoloną \\( z \\) można zapisać w postaci\n \\( z=re^{i\\varphi}, \\)\ngdzie \\( r \\) oznacza moduł, zaś \\( \\varphi\\in\\mathbb{R} \\) jest argumentem liczby \\( z \\).\nPostać \\( z=re^{i\\varphi} \\) nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.\n\n" } ]

[ "Podkreślmy, że symbol \\( \\sqrt[n]{r} \\) występujący w powyższym wzorze oznacza \"zwykły\" pierwiastek arytmetyczny stopnia \\( n \\) z liczby rzeczywistej \\( r \\), jest zatem określony jednoznacznie.", "Warto zapamiętać, że w interpretacji geometrycznej wszystkie pierwiastki zespolone stopnia \\( n \\) z liczby \\( z=r(\\cos\\varphi+\\mathrm{i}\\sin\\varphi) \\) leżą na okręgu o środku w punkcie \\( (0,0) \\) i promieniu \\( \\sqrt[n]{r} \\), w punktach będących wierzchołkami \\( n \\)-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Warto także zaznaczyć, że zbiór pierwiastków z liczby zespolonej \\( z \\) nie zależy od wyboru argumentu tej liczby.", "Bywa, że łatwo jest odgadnąć jeden z pierwiastków z danej liczby zespolonej. Przykładowo liczba \\( w_{0}=1 \\) jest jednym z pierwiastków (dowolnego stopnia) z liczby \\( z=1 \\). W takiej sytuacji do obliczenia pozostałych pierwiastków wygodnie jest zastosować następujące twierdzenie:" ]

[ { "name": "Definicja 1: Pierwiastek z liczby zespolonej", "content": "Niech \\( n \\) będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia \\( n \\) z liczby zespolonej \\( z \\) nazywamy każdą liczbę zespoloną \\( w \\) spełniającą warunek\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( w^{n}=z \\)\n\n\t\t\t\t\t\nSymbolem \\( \\sqrt[n]{z} \\) oznaczamy zbiór pierwiastków \\( n \\)-tego stopnia z liczby zespolonej \\( z \\). " } ]

[ "Pojęcie pierwiastka stopnia \\( n \\) z liczby zespolonej \\( z \\) różni się istotnie od pojęcia pierwiastka stopnia \\( n \\) z liczby rzeczywistej. Zatem prawa potęg analogiczne jak w zbiorze liczb rzeczywistych, w dziedzinie zespolonej dotyczą tylko wykładników całkowitych, ale nie wymiernych." ]

[]

[ "Rozpoczniemy od interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci algebraicznej.", "Bardzo ważna jest umiejętność interpretacji geometrycznej równań i nierówności z modułem i argumentem liczby zespolonej." ]

[]

[ "Macierz o \\( m \\) wierszach i \\( n \\) kolumnach nazywamy macierzą wymiaru \\( m \\times n \\).", "Macierz wymiaru \\( m\\times n \\) utworzoną z elementów \\( a_{ij} \\) oznaczamy również symbolem \\( A=(a_{ij})_{m\\times n} \\). W przypadku, gdy wymiar macierzy jasno wynika z kontekstu, stosujemy zapis \\( A=(a_{ij}) \\). Macierz, której wszystkie elementy są równe \\( 0 \\) nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem \\( \\mathbb{O}. \\)", "Zbiór macierzy wymiaru \\( m\\times n \\) o elementach ze zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem \\( \\mathbb{R}^{m\\times n} \\), natomiast dla oznaczenia zbioru macierzy o elementach ze zbioru liczb zespolonych stosujemy zapis \\( \\mathbb{C}^{m\\times n} \\).", "Wprost z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy tylko macierze takich samych wymiarów.", "Zgodnie z definicją iloczyn macierzy \\( A\\cdot B \\) jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy \\( A \\) jest równa liczbie wierszy macierzy \\( B \\). Otrzymana macierz \\( A\\cdot B \\) ma tyle wierszy, co macierz \\( A \\) i tyle kolumn, co macierz \\( B \\). Mnożąc macierze trzeba pamiętać, że działanie to nie jest przemienne.", "Do mnożenia macierzy wygodnie jest stosować następujący schemat, zwany schematem Falka, polegający na odpowiednim ułożeniu mnożonych macierzy. Mnożąc mianowicie macierz \\( A \\) przez macierz \\( B \\) zapisujemy obie macierze w tabeli następująco", "przy czym symbolem \\( C \\) oznaczamy, jak w definicji, iloczyn \\( A\\cdot B \\). Następnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy \\( A \\) przez kolejne elementy pierwszej kolumny macierzy \\( B \\), otrzymane iloczyny sumujemy i zapisujemy wynik w lewym górnym rogu pola oznaczonego jako \\( C, \\) tj. w miejscu elementu \\( c_{11} \\). Podobnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy \\( A \\) przez kolejne elementy drugiej kolumny macierzy \\( B \\), sumujemy otrzymane iloczyny i zapisujemy wynik w miejscu elementu \\( c_{12} \\) itd." ]

[ { "name": "Definicja 1: Macierz", "content": "Macierzą rzeczywistą (zespoloną) o \\( m \\) wierszach i \\( n \\) kolumnach oraz elementach \\( a _ {ij} \\), gdzie \\( 1 \\leq i \\leq m \\), \\( 1\\leq j \\leq n \\) nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych (zespolonych)\n\n\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( A= \\left(\\begin{array}{cccc}a_ {11} & a_ {12} & \\ldots & a_ {1n} \\\\ a_ {21} & a_ {22} & \\ldots & a_ {2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_ {m1} & a_ {m2} & \\ldots & a_ {mn} \\end{array}\\right). \\)\n\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Suma i różnica macierzy", "content": " Niech \\( A=(a_{ij})_{m\\times n} \\) i \\( B=(b_{ij})_{m\\times n} \\) będą macierzami wymiaru \\( m\\times n \\).\n Sumą macierzy \\( A \\) i \\( B \\) (ozn. \\( (A+B) \\) nazywamy macierz \\( C=(c_{ij})_{m\\times n} \\) taką, że każdy element macierzy \\( C \\) jest sumą odpowiednich elementów macierzy \\( A \\) i \\( B \\) tj. dla każdej pary \\( (ij) \\), gdzie \\( 1\\leq i\\leq m \\), \\( 1\\leq j \\leq n \\) zachodzi równość \\( c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. \\)\n Różnicą macierzy \\( A \\) i \\( B \\) (ozn. \\( A-B \\)) nazywamy macierz \\( C=(c_{ij})_{m\\times n} \\) taką, że każdy element macierzy \\( C \\) jest różnicą odpowiednich elementów macierzy \\( A \\) i \\( B \\) tj. dla każdej pary \\( (ij) \\), gdzie \\( 1\\leq i\\leq m \\), \\( 1\\leq j \\leq n \\) zachodzi równość \\( c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. \\)\n" }, { "name": "Definicja 3: Mnożenie macierzy przez liczbę", "content": " Niech \\( \\alpha \\) będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną i niech \\( A=(a_{ij})_{m\\times n} \\). Iloczynem macierzy \\( A \\) i liczby \\( \\alpha \\), oznaczanym symbolem \\( \\alpha A \\), nazywamy macierz wymiaru \\( m\\times n \\), której elementy są równe \\( \\alpha \\cdot a_{ij} \\).\n" }, { "name": "Definicja 4: Iloczyn macierzy przez macierz", "content": " Rozważmy macierz \\( A=(a_{ij}) \\) wymiaru \\( m\\times k \\) oraz macierz \\( B=(b_{ij}) \\) wymiaru \\( k\\times n \\).\nIloczynem macierzy \\( A \\) i \\( B \\) (ozn. \\( A\\cdot B \\)) nazywamy macierz \\( C=(c_{ij}) \\) wymiaru \\( {m\\times n} \\), której element \\( c_{ij} \\) jest określony wzorem\n\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( c_{ij}=\\sum_{s=1}^{k}a_{is}b_{sj}, \\)\n\ndla \\( i=1,\\ldots, m \\), \\( j=1,\\ldots, n. \\)\n\n" } ]

[ "Macierz jednostkową stopnia \\( n \\) oznaczamy symbolem \\( I_{n} \\). Czasami, jeżeli nie ma wątpliwości co do wymiaru danej macierzy jednostkowej, pomijamy dolny indeks pisząc po prostu \\( I \\).", "Z definicji wynika, że macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej poprzez zapisanie kolejno poszczególnych wierszy macierzy \\( A \\) jako kolejne kolumny macierzy \\( A^{T} \\).", "Z definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe. Z kolei macierz kwadratowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są liczbami wzajemnie przeciwnymi, zaś elementy na głównej przekątnej są równe \\( 0 \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Macierz zerowa", "content": "Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową. Macierz zerową oznaczamy symbolem \\( \\mathbb{O} \\).\n" }, { "name": "Definicja 2: Macierz kwadratowa, główna przekątna", "content": "\n Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to mówimy, że dana macierz jest kwadratowa. Jeżeli liczba wierszy i kolumn macierzy jest równa \\( n \\), to wówczas mówimy, że macierz jest stopnia \\( n \\).\n Główną przekątną macierzy kwadratowej \\( A=(a_{ij}) \\) stopnia \\( n \\) nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów \\( \\{a_{11},a_{22},\\ldots,a_{nn} \\} \\).\n" }, { "name": "Definicja 3: Macierz trójkątna górna, macierz trójkątna dolna", "content": "\n Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.\nMacierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero.\n" }, { "name": "Definicja 4: Macierz diagonalna", "content": "Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero. " }, { "name": "Definicja 5: Macierz jednostkowa", "content": "Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe \\( 1 \\). " }, { "name": "Definicja 6: Macierz transponowana", "content": " Jeżeli \\( A=(a_{ij}) \\) jest macierzą wymiaru \\( m\\times n \\) to macierzą transponowaną do \\( A \\) lub transpozycją \\( A \\) nazywamy macierz \\( A^{T}=(a_{ij}^{T}) \\) wymiaru \\( n\\times m \\), której elementy wyrażają się wzorem \\( a_{ij}^{T}=a_{ji} \\)." }, { "name": "Definicja 7: Macierz symetryczna i macierz antysymetryczna", "content": "\n Macierz kwadratową \\( A \\) nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi warunek \\( A=A^{T} \\).\n Macierz kwadratową \\( A \\) nazywamy antysymetryczną, jeżeli \\( A^{T}=-A \\).\n" } ]

[ "Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis:", "Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylko dla macierzy kwadratowych.", "W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 2 można zastosować prostszą metodę mnożenia .", "W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 3 można zastosować prostszą metodę tzw.", "Powyższy przykład ilustruje następujące", "Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa." ]

[ { "name": "Definicja 1: Definicja wyznacznika", "content": "Z każdą macierzą kwadratową \\( A \\) związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy \\( A \\) , oznaczana symbolem \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\mathrm{det}A \\)\n\n\t\t\t\t\t. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób:\n jeżeli macierz \\( A=(a_{11}) \\) jest stopnia \\( 1 \\), to \\( \\mathrm{det}A=a_{11}; \\) jeżeli macierz \\( A=(a_{ij}) \\) jest stopnia \\( n \\), gdzie \\( n> 1 \\), to\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\mathrm{det}A=\\mathrm{det}\\left( \\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\\ldots&a_{1n}\\\\ a_{21}&a_{22}&\\ldots&a_{2n}\\\\ \\ldots&\\ldots&\\ddots&\\ldots\\\\ a_{n1}&a_{n2}&\\ldots&a_{nn} \\end{array} \\right)=\\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\\mathrm{det}A_{i1}, \\)\n\n\t\t\t\t\t\ngdzie \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( A_{i1} \\)\n\n\t\t\t\t\t oznacza podmacierz stopnia \\( n-1 \\) otrzymaną z macierzy \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( A \\)\n\n\t\t\t\t\t poprzez skreślenie \\( i \\)-tego wiersza oraz pierwszej kolumny.\n" } ]

[ "Obliczając wyznaczniki macierzy stopni \\( 2 \\) i \\( 3 \\) możemy, tak jak w przypadku wyznaczników wszystkich innych stopni, zastosować rozwinięcie Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza lub kolumny macierzy, jednak w przypadku tych dwóch szczególnych stopni istnieją prostsze metody obliczania wyznaczników.", "Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \\( 2 \\) stosujemy regułę:", "Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \\( 3 \\) stosuje się tzw. metodę Sarrusa, która polega na dopisaniu pod macierzą pierwszego i drugiego wiersza, a następnie obliczeniu sum iloczynów elementów wzdłuż linii kropkowanych i odjęciu sum iloczynów elementów wzdłuż linii ciągłych:", "Trzeba przy tym zapamiętać, że metodę Sarrusa stosujemy tylko do obliczania wyznaczników macierzy stopnia \\( 3 \\).", "Alternatywną wersją metody Sarrusa jest dopisanie do macierzy, której wyznacznik należy wyliczyć, zamiast pierwszego i drugiego wiersza, pierwszej i drugiej kolumny danej macierzy. Dalej metoda postępowania jest analogiczna." ]

[]

[ "Warto zwrócić uwagę, że zgodnie z powyższym twierdzeniem, wyznacznik macierzy jest równy rozwinięciu Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza bądź kolumny macierzy, podczas gdy definicja indukcyjna nakazuje wykonać rozwinięcie względem konkretnej (w tym przypadku pierwszej) kolumny macierzy.", "Niejednokrotnie przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest daną macierz przekształcić, stosując operacje nie mające wpływu na jej wyznacznik (zob.: twierdzenie Własności wyznacznika macierzy )." ]

[ { "name": "Definicja 1: Dopełnienie algebraiczne", "content": "Niech \\( A=(a_{ij}) \\) będzie macierzą kwadratową stopnia \\( n \\), gdzie \\( n\\geq 2 \\). Niech \\( A_{ij} \\) będzie podmacierzą stopnia \\( n-1 \\) powstałą z macierzy \\( A \\) poprzez skreślenie \\( i \\)-tego wiersza i \\( j \\)-tej kolumny. Liczbę\n \\( D_{ij}=(-1)^{i+j}\\mathrm{det}A_{ij} \\)\n\n\nnazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu \\( a_{ij} \\) macierzy \\( A \\)." } ]

[ "Warto zapamiętać, że macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowej, jednakże nie każda macierz kwadratowa ma swoją macierz odwrotną.", "Wprost z definicji wynika również, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej stopnia \\( n \\) także jest macierzą kwadratową stopnia \\( n \\).", "Podamy teraz ogólny wzór na postać macierzy odwrotnej. W tym celu, w pierwszej kolejności sformułujemy pojęcia dopełnienia algebraicznego elementu macierzy oraz macierzy dopełnień algebraicznych." ]

[ { "name": "Definicja 1: Macierz odwrotna", "content": " Niech \\( A \\) będzie macierzą kwadratową stopnia \\( n \\). Jeżeli istnieje macierz \\( A^{-1} \\) taka, że spełnione są warunki\n\n\n \\( A\\cdot A^{-1}=A^{-1}\\cdot A=I_{n}, \\)\nto mówimy, że macierz \\( A \\) jest odwracalna, a macierz \\( A^{-1} \\) nazywamy macierzą odwrotną do \\( A \\) (lub odwrotnością \\( A \\) ).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Macierz osobliwa i nieosobliwa", "content": "Macierz kwadratową \\( A \\) taką, że \\( \\mathrm{det}A\\neq 0 \\) nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku \\( A \\) nazywamy macierzą osobliwą.\n" }, { "name": "Definicja 3: Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy", "content": " Niech \\( A=(a_{ij}) \\) będzie macierzą stopnia \\( n \\), gdzie \\( n\\geq 2 \\). Niech \\( A_{ij} \\) będzie podmacierzą powstałą z \\( A \\) poprzez skreślenie \\( i \\)-tego wiersza i \\( j \\)-tej kolumny. Liczbę\n \\( D_{ij}=(-1)^{i+j}\\mathrm{det}A_{ij} \\)\nnazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu \\( a_{ij} \\) macierzy \\( A \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Macierz dopełnień algebraicznych", "content": " Macierz\n \\( A^{D}=\\left( \\begin{array}{cccc} D_{11}&D_{12}&\\ldots&D_{1n}\\\\ D_{21}&D_{22}&\\ldots&D_{2n}\\\\ \\ldots&\\ldots&\\ldots&\\ldots\\\\ D_{n1}&D_{n2}&\\ldots&D_{nn} \\end{array} \\right), \\)\ngdzie \\( D_{ij} \\) oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów \\( a_{ij} \\) macierzy \\( A \\), nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy \\( A \\).\n\n" } ]

[ "Warto zauważyć, że dowolna macierz kwadratowa stopnia \\( n \\) ma dokładnie jeden minor stopnia \\( n \\). Jest nim mianowicie jej wyznacznik.", "Rząd macierzy \\( A \\) oznaczamy symbolem \\( \\mathrm{rz}(A) \\) lub \\( \\mathrm{rank}(A) \\). Warto zanotować, że dla dowolnej niezerowej macierzy \\( A \\) zachodzi \\( \\mathrm{rz}(A)\\geq 1 \\). Wynika to z faktu, że każdy niezerowy element macierzy \\( A \\) jest jednocześnie jej minorem stopnia \\( 1 \\). Z kolei dla macierzy zerowej dowolnego wymiaru przyjmujemy, że jej rząd jest równy zero.", "Wykonując przekształcenia elementarne macierzy będziemy używać pewnych specjalnych oznaczeń. Mianowicie zapis", "będzie oznaczać, że po przekształceniu w miejsce wiersza \\( w_{i} \\) wpiszemy wiersz \\( w_{i+1} \\) pomnożony przez \\( \\alpha \\). Analogicznie, zapis", "będzie oznaczał, że w miejsce kolumny \\( k_{j} \\) wpiszemy \\( \\alpha\\cdot k_{l}+\\beta\\cdot k_{m} \\). Przykładowe przekształcenie może wyglądać następująco:" ]

[ { "name": "Definicja 1: Minor macierzy", "content": " Niech \\( A \\) będzie dowolną macierzą wymiaru \\( m\\times n \\) i niech \\( k \\) będzie liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb \\( m,n \\). Minorem stopnia \\( k \\) macierzy \\( A \\) nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych \\( k \\) wierszy i \\( k \\) kolumn.\n" }, { "name": "Definicja 2: Rząd macierzy", "content": "Rzędem dowolnej macierzy \\( A \\) nazywamy taką liczbę naturalną \\( r \\), że z macierzy \\( A \\) można wybrać przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia \\( r \\), natomiast wszystkie minory stopni większych od \\( r \\), jeśli takie istnieją, są równe zero.\n" }, { "name": "Definicja 3: Przekształcenia elementarne", "content": " Niech \\( A \\) będzie dowolną macierzą. Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje na macierzy \\( A \\):\n Przestawienie dwóch wierszy (kolumn);\n Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną od zera;\n Dodanie do wiersza (kolumny) innych wierszy (kolumn) pomnożonych przez dowolne stałe.\n" }, { "name": "Definicja 4: Macierz schodkowa", "content": " Macierzą schodkową (lub uogólnioną macierzą trójkątną) nazywamy taką macierz, w której pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach tj. jeżeli \\( a_{ij}\\neq 0 \\) i dla każdego \\( k < j \\) \\( a_{ik}=0 \\), to \\( a_{(i+1)s}=0 \\) dla \\( s\\leq j \\).\n" } ]

[ "Warunek (c) twierdzenia 1 pozwala wnioskować, że pierwiastki wielomianu \\( \\varphi_{A} \\) to wartości własne macierzy \\( A \\). Każda macierz kwadratowa wymiaru \\( n\\times n \\) posiada zatem \\( n \\) wartości własnych (liczonych z krotnościami). Oznaczając te wartości własne jako \\( \\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n, \\) wielomian charakterystyczny \\( \\varphi_{A} \\) przyjmuje postać", "w której, co wynika z twierdzenia 1 , \\( a_n=(-1)^n \\) oraz \\( a_0=\\det(A) \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Wartości i wektory własne macierzy kwadratowych", "content": "Liczbę zespoloną \\( \\lambda \\) nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej \\( A \\), jeżeli istnieje niezerowy wektor \\( v \\) taki, że\n\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( Av=\\lambda v. \\)\n\nKażdy niezerowy wektor \\( v \\) spełniający równanie ( 1 ) nazywamy wektorem własnym macierzy \\( A \\) odpowiadającym wartości własnej \\( \\lambda \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Wielomian charakterystyczny macierzy", "content": "Jeżeli macierz \\( A \\) jest macierzą kwadratową wymiaru \\( n\\times n \\), to funkcja\n\n\n \\( \\varphi_{A} \\left( \\lambda\\right) =\\det\\left( A-\\lambda I\\right) \\)\njest wielomianem stopnia \\( n \\); jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy \\( A \\).\n\n" } ]

[]

[]

[ "Niech \\( A\\in\\mathbb{C}^{n\\times n} \\) będzie macierzą trójkątną górną:", "Wówczas", "Oznacza to, że pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy trójkątnej (to samo rozumowanie można powtórzyć dla dowolnej macierzy trójkątnej dolnej) są elementy stojące na jej głównej przekątnej. Wynika stąd następujący wniosek." ]

[]

[ "Jeżeli \\( A \\) jest macierzą rzeczywistą, to \\( A=\\overline{A} \\), gdzie \\( \\overline{A} \\) oznacza macierz, której elementy są sprzężeniami zespolonymi elementów macierzy \\( A \\). Równość ta pozwala wnioskować, że warunek definiujący wartości i wektory własne", "jest, w przypadku macierzy rzeczywistej, równoważny warunkowi", "To oznacza, że jeżeli liczba zespolona \\( \\lambda \\) jest wartością własną macierzy rzeczywistej \\( A \\), to liczba \\( \\overline{\\lambda} \\) również jest jej wartością własną. Ponadto, jeżeli \\( v \\) jest wektorem własnym macierzy \\( A \\) odpowiadającym wartości własnej \\( \\lambda, \\) to wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \\( \\overline{\\lambda} \\) jest wektor \\( \\overline{v} \\), tj. wektor którego współrzędne są sprzężeniami zespolonymi współrzędnych wektora \\( v \\)." ]

[]

[ "Niech \\( A\\in\\mathbb{C}^{n\\times n} \\) będzie macierzą hermitowską. Przypuśćmy, że \\( \\lambda \\) jest wartością własną macierzy \\( A, \\) zaś \\( v\\neq0 \\) odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym, tj. \\( Av=\\lambda v \\). Wówczas, na podstawie definicji macierzy hermitowskiej oraz twierdzenia Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy, otrzymujemy kolejno", "Na podstawie warunku ( 2 ) wnioskujemy, że \\( v^{\\ast}v \\neq0 \\) (gdyż \\( v\\neq 0 \\)). Stąd oraz z uzyskanej równości ( \\( \\lambda-\\overline{\\lambda})v^{\\ast}v=0 \\) wynika, że \\( \\lambda=\\overline{\\lambda} \\). To oznacza, że wartość własna \\( \\lambda \\) jest liczbą rzeczywistą." ]

[ { "name": "Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy", "content": "Sprzężeniem hermitowskim macierzy \\( A=[a_{ij}]\\in\\mathbb{C}^{m\\times n} \\) nazywamy macierz \\( A^{\\ast}=[a^{\\ast}_{ij}]\\in\\mathbb{C}^{n\\times m} \\), której elementy spełniają warunek:\n \\( a^{\\ast}_{ij}=\\overline{a_{ji}}, \\)\ndla \\( i=1,\\ldots,n; j=1,\\ldots,m \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Macierz hermitowska", "content": "\nMacierz \\( A\\in\\mathbb{C}^{n\\times n} \\) nazywamy macierzą hermitowską, jeżeli\n\n \\( A^{\\ast}=A. \\)\nRzeczywistą macierz hermitowską, tj. macierz spełniającą warunek\n\n \\( A^T=A, \\)\nnazywamy macierzą symetryczną.\n\n" } ]

[ "Z układem równań liniowych ( 1 ) można powiązać macierz wymiaru \\( m\\times n \\)", "nazywaną macierzą współczynników układu równań ( 1 ), oraz dwie macierze kolumnowe (które, dla ułatwienia, nazywać będziemy wektorami):", "wektor \\( x \\) nazywany wektorem niewiadomych, wektor \\( b \\) to tzw. wektor prawej strony. Przy przyjętych oznaczeniach, układ równań ( 1 ) możemy zapisać w postaci macierzowej:", "W przypadku, gdy liczba równań układu ( 1 ) jest równa liczbie niewiadomych, macierz układu jest macierzą kwadratową. Jeżeli dodatkowo jest to macierz nieosobliwa (czyli kwadratowa o wyznaczniku różnym od zera), wówczas układ równań ( 1 ) nazywamy układem Cramera. Rozwiązanie równania macierzowego ( 2 ) - a więc i układu ( 1 ) - można wówczas wyznaczyć wykorzystując odwrotność macierzy układu.", "Metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na twierdzeniu Rozwiązanie układu Cramera i zilustrowana w przykładzie Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnej wymaga znajomości (lub wyznaczenia) macierzy odwrotnej układu. To praktycznie dyskwalifikuje tę metodę, gdyż w przypadku ogólnym nie istnieje algorytm dobrze radzący sobie z zadaniem odwracania macierzy. Stąd potrzeba metody rozwiązywania układów równań liniowych nie wymagającej znajomości macierzy odwrotnej. Jedna z takich metod oparta jest na tzw. wzorach Cramera.", "Przedstawiona w przykładzie Wzory Cramera metoda rozwiązywania układu równań liniowych oparta na wzorach Cramera nie wykorzystuje macierzy odwrotnej układu. W przypadku układów \\( n \\) równań liniowych o \\( n \\) niewiadomych wymaga ona obliczenia \\( n+1 \\) wyznaczników macierzy stopnia \\( n \\). Wybranie niewłaściwej metody obliczania tych wyznaczników (np. w oparciu o rozwinięcie Laplace'a) spowoduje, że ze względu na olbrzymią liczbę operacji niezbędnych do przeprowadzenia w celu uzyskania wyniku, i ta metoda okaże się być bezużyteczna.", "Rozważmy układ równań liniowych postaci ( 1 ). Niech \\( U \\) będzie macierzą o wymiarze \\( m\\times\\left( n+1\\right) \\) powstałą z macierzy \\( A \\) wymiaru \\( m\\times n \\) układu ( 1 ) przez dołączenie do macierzy \\( A \\) dodatkowej kolumny - wektora prawej strony \\( b \\), tj.", "Tak utworzoną macierz \\( U \\) nazywamy macierzą uzupełnioną układu ( 1 ).", "Z twierdzenia Kroneckera-Capelliego wynika, że dla każdego układu równań liniowych zachodzi jedna z trzech możliwości:" ]

[ { "name": "Definicja 1: Układ równań liniowych", "content": "Układ równań postaci\n\n\t\t\t\t\t(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\left\\{ \\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\\\\vdots\\\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}\\end{array}\\right. \\)\n\nnazywamy układem \\( m \\) równań liniowych o \\( n \\) niewiadomych \\( x_{1},\\ldots,x_{n} \\). Liczby rzeczywiste (lub zespolone) \\( a_{ij} \\) oraz \\( b_{i} \\) nazywamy współczynnikami układu.\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Układ równań jednorodny", "content": "Układ równań liniowych ( 1 ), dla którego \\( b_{i}=0 \\), dla \\( i=1,\\ldots,m \\), nazywamy układem jednorodnym.\nUkład równań, który nie jest układem jednorodnym nazywamy układem niejednorodnym.\n\n" } ]

[ "Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego metodą eliminacji Gaussa. Metoda ta, niezwykle efektywna pod względem numerycznym (nie istnieje algorytm rozwiązywania układów równań wymagający istotnie mniejszej liczby działań niż metoda eliminacji Gaussa), polega na sprowadzeniu macierzy uzupełnionej, odpowiadającej rozwiązywanemu układowi równań, do uogólnionej postaci trójkątnej (nazywanej również postacią schodkową). Aby osiągnąć ten efekt, na macierzy uzupełnionej wykonujemy dwa rodzaje operacji:", "Operacje te nie wpływają na rozwiązania układu, nie zmieniają też rzędu macierzy. Do uzyskanej po zastosowaniu tych operacji macierzy stosujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego.", "Warto przypomnieć w tym miejscu, że pierwsza z wymienionych powyżej operacji nie zmienia wartości wyznacznika macierzy, druga może zmienić jedynie jego znak. W efekcie, metoda eliminacji Gaussa może być z powodzeniem stosowana zarówno do obliczania rzędu i wyznacznika macierzy, jak i do wyznaczania macierzy odwrotnej.", "Ideę metody eliminacji Gaussa wyjaśnimy na kilku przykładach.", "Niech \\( A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n} \\) będzie zadaną macierzą nieosobliwą (warunek ten gwarantuje istnienie macierzy \\( A^{-1} \\) ) oraz niech \\( X_i \\) oznacza \\( i \\)-tą kolumnę poszukiwanej macierzy \\( A^{-1} \\), tj. \\( A^{-1}=(X_1,\\ldots, X_n) \\). Łatwo sprawdzić, że przy przyjętych oznaczeniach", "Dzięki tej prostej obserwacji równanie \\( A\\cdot X=I \\), którego jedynym rozwiązaniem jest \\( X=A^{-1} \\), możemy zapisać w postaci \\( n \\) układów równań liniowych:", "których rozwiązaniami są kolejne kolumny macierzy \\( A^{-1} \\). Do rozwiązania każdego z tych układów równań możemy zastosować algorytm eliminacji Gaussa.", "Zaproponowaną metodę wyznaczania macierzy odwrotnej, która w literaturze funkcjonuje również jako metoda Gaussa-Jordana, przedstawimy na prostym przykładzie." ]

[]

[ "Dwa różne punkty \\( A( x_{A},y_{A},z_{A}) \\), \\( B(x_{B},y_{B},z_{B}) \\in \\mathbb{R}^{3} \\) wyznaczają dwa wektory:", "tj. wektor o początku w punkcie \\( A \\) i końcu w punkcie \\( B \\) oraz", "tj. wektor o początku w punkcie \\( B \\) i końcu w punkcie \\( A \\). Wektor \\( \\overrightarrow{BA} \\) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora \\( \\overrightarrow{AB} \\) (zob. Rys. 1 ). Zgodnie z definicją wprowadzonych poniżej działań na wektorach, suma dowolnego wektora oraz wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy  \\( \\overrightarrow{0}=(0,0,0) \\), tj.", "Z tego powodu wektor przeciwny do wektora \\( \\overrightarrow{AB} \\) będziemy również oznaczać jako \\( - \\overrightarrow{AB} \\), tj.", "Warunek trzeci twierdzenia Własności długości wektora nazywany jest warunkiem trójkąta. Nazwę tę można uzasadnić w następujący sposób: długość każdego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych jego boków (zob. Rys. 3 ), tzn. jeżeli wektory \\( \\overrightarrow{u}, \\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{w} \\) tworzą trójkąt, to:", "Ta sama informacja zawarta jest w warunku (zob. Rys. 4 )", "który równoważny jest warunkowi trzeciemu twierdzenia Własności długości wektora." ]

[ { "name": "Definicja 1: Działania na wektorach", "content": "Niech \\( \\overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \\in \\mathbb{R}^{3} \\) oraz \\( \\overrightarrow{w}=(w_{x},w_{y},w_{z}) \\in \\mathbb{R}^{3} \\) będą dwoma wektorami oraz niech \\( \\alpha \\in\\mathbb{R} \\). Możemy wówczas zdefiniować wektor\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\overrightarrow{v}+\\overrightarrow{w}=(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y},v_{z}+w_{z}) \\)\n\nnazywany sumą wektorów \\( \\overrightarrow{v} \\) i \\( \\overrightarrow{w} \\) oraz wektor\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\alpha \\cdot \\overrightarrow{v}=( \\alpha v_{x},\\alpha v_{y},\\alpha v_{z}) \\)\n\n\t\t\t\t\t\nnazywany iloczynem wektora \\( \\overrightarrow{v} \\) przez skalar \\( \\alpha \\)." }, { "name": "Definicja 2: Długość wektora", "content": "Z dowolnym wektorem \\( \\overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \\in \\mathbb{R}^{3} \\) możemy stowarzyszyć liczbę nieujemną \\( \\left\\Vert \\overrightarrow{v}\\right\\Vert \\) określoną wzorem\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\left\\Vert \\overrightarrow{v}\\right\\Vert =\\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}%}; \\)\n\n\t\t\t\t\t\nliczbę tę nazywamy długością wektora \\( \\overrightarrow{v} \\)." } ]

[ "Miara kąta skierowanego może być zarówno dodatnia jaki i ujemna (pomijamy tu sytuację w której ramię początkowe pokrywa się z ramieniem końcowym tworząc kąt o mierze zero). Jest ona ujemna, gdy kierunek obrotu ramienia początkowego w kierunku ramienia końcowego jest zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara (zob. Rys. 2a), w przeciwnym przypadku przyjmuje ona wartości dodatnie (zob. Rys. 2b).", "Kąt wyznaczony przez wektory \\( \\overrightarrow{v} \\) oraz \\( \\overrightarrow{w} \\) to taki kąt, którego ramionami są półproste o wspólnym początku, o kierunkach i zwrotach zgodnych z kierunkami i zwrotami odpowiednio wektora \\( \\overrightarrow{v} \\) oraz wektora \\( \\overrightarrow{w} \\). Dwa wektory wyznaczają dwa kąty o miarach łukowych równych odpowiednio \\( \\alpha \\) oraz \\( 2\\pi-\\alpha \\) (zob. Rys. 3 ). Zazwyczaj przyjmuje się, że przez kąt jaki tworzą dwa wektory rozumie się kąt wypukły, tj. ten o mniejszej mierze lub kąt półpełny w przypadku, gdy kąty te są równe. Miarę kąta (wypukłego) utworzonego przez wektory \\( \\overrightarrow{v} \\) i \\( \\overrightarrow{w} \\) oznaczać będziemy symbolem \\( \\measuredangle ( \\overrightarrow {v},\\overrightarrow{w} ) \\).", "Łącząc ze sobą wzory ( 1 ) oraz ( 2 ) otrzymujemy przepis na miarę kąta między dwoma niezerowymi wektorami." ]

[ { "name": "Definicja 1: Iloczyn skalarny", "content": "Iloczynem skalarnym wektorów \\( \\overrightarrow{u}=(u_{x},u_{y},u_{z}) \\) oraz \\( \\overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \\) nazywamy liczbę (skalar) \\( \\overrightarrow{u}\\circ\\overrightarrow{v} \\) określoną wzorem\n\n\t\t\t\t\t(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\overrightarrow{u}\\circ\\overrightarrow{v}:=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}. \\)\n\n\nPrzykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorówDla wektorów \\( \\overrightarrow{u}=(1,2,-1) \\) oraz \\( \\overrightarrow{v}=(0,3,1) \\) mamy:\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{array}{l}\\overrightarrow{u}\\circ\\overrightarrow{u}=1\\cdot 1+ 2\\cdot 2 + (-1)\\cdot (-1) = 6,\\\\ \\overrightarrow{v}\\circ\\overrightarrow{v}=0\\cdot 0+ 3\\cdot 3 + 1\\cdot 1 = 10,\\\\ \\overrightarrow{u}\\circ\\overrightarrow{v}=1\\cdot 0+ 2\\cdot 3 + (-1)\\cdot 1= 5.\\end{array} \\)\n\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Kąt, ramiona kąta, wierzchołek kąta", "content": "Rozważmy dwie półproste o wspólnym początku \\( O \\) zawarte w pewnej płaszczyźnie. Półproste te dzielą płaszczyznę na dwa wzajemnie dopełniające się obszary, obie półproste są ich wspólnym brzegiem (zob. Rys. 1 ). Każdy z tych obszarów (wraz z półprostymi) nazywamy kątem, półproste nazywamy ramionami kąta, ich wspólny początek \\( O \\) nazywamy wierzchołkiem kąta." }, { "name": "Definicja 3: Kąt skierowany", "content": "Po ustaleniu kolejności półprostych tworzących kąt otrzymamy kąt skierowany - pierwszą z tych półprostych nazwiemy ramieniem początkowym, drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego." }, { "name": "Definicja 4: Ortogonalność", "content": "Niech \\( \\overrightarrow{v},\\overrightarrow{w}%\\in\\mathbb{R}^{3} \\). Jeżeli \\( \\overrightarrow{v}\\circ\\overrightarrow{w}=0, \\) to piszemy \\( \\overrightarrow{v}\\bot \\overrightarrow{w} \\) i mówimy, że wektory \\( \\overrightarrow{v} \\) i \\( \\overrightarrow{w} \\) są ortogonalne." } ]

[ "Wzór ( 1 ) można wyrazić równoważnie w łatwej do zapamiętania postaci symbolicznego wyznacznika", "gdzie \\( \\overrightarrow{i}=\\left( 1,0,0\\right) \\), \\( \\overrightarrow{j}=\\left(0,1,0\\right) \\), \\( \\overrightarrow{k}=\\left( 0,0,1\\right) \\).", "Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek.", "Kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni \\( \\mathbb{R}^{3} \\) nazywamy trzy ustalone wzajemnie prostopadłe proste przecinające się w jednym punkcie nazywanym początkiem układu współrzędnych. Zwyczajowo proste te oznacza się \\( Ox \\), \\( Oy \\) oraz \\( Oz \\) i nazywa się osiami układu współrzędnych \\( Oxyz \\). Jako początek układu współrzędnych \\( Oxyz \\) zwykle przyjmuje się punkt \\( (0,0,0) \\).", "W układzie współrzędnych \\( Oxyz \\) można wprowadzić dwie orientacje: orientację dodatnią (układ prawoskrętny) oraz ujemną (układ lewoskrętny). Orientacja układu zależy od wzajemnego położenia osi układu \\( Ox \\), \\( Oy \\) oraz \\( Oz \\). Jeżeli wyprostowany kciuk prawej ręki umieścimy w ten sposób, aby wskazywał dodatnią część osi \\( Oz \\), a zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi \\( Ox \\) do osi \\( Oy \\) (odpowiednio: od osi \\( Oy \\) do osi \\( Ox \\) to wówczas mamy do czynienia z układem prawoskrętnym (lewoskrętnym).", "Iloczyn wektorowy dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów \\( \\overrightarrow{u} \\) oraz \\( \\overrightarrow{v} \\) ma tę własność, że uporządkowana (istotna kolejność) trójka wektorów \\( \\overrightarrow{u}, \\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v} \\) ma orientację dodatnią, tzn. jeżeli ułożymy prawą dłoń w ten sposób, aby zgięte palce wskazywały kierunek obrotu od wektora \\( \\overrightarrow{u} \\) do wektora \\( \\overrightarrow{v} \\), to wyprostowany kciuk wskaże kierunek oraz zwrot wektora \\( \\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v} \\) (zob. Rys. 3 )." ]

[ { "name": "Definicja 1: Iloczyn wektorowy", "content": "\nIloczynem wektorowym wektorów \\( \\overrightarrow{v}=\\left( v_{x},v_{y},v_{z}\\right)\\in\\mathbb{R}^{3} \\) oraz \\( \\overrightarrow{w}=\\left(w_{x},w_{y},w_{z}\\right)\\in\\mathbb{R}^{3} \\) nazywamy wektor \\( \\overrightarrow{v}\\times\\overrightarrow{w} \\) określony wzorem\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\overrightarrow{v}\\times\\overrightarrow{w}:=\\left( v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y},v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z},v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}\\right). \\)\n\n" } ]

[ "Łatwo sprawdzić, że iloczyn mieszany wektorów jest wyznacznikiem macierzy, której wiersze są współrzędnymi tych wektorów, tj. dla \\( \\overrightarrow{u}=\\left( u_{x},u_{y},u_{z}\\right) \\) , \\( \\overrightarrow{v}=\\left( v_{x},v_{y},v_{z}\\right) \\) oraz \\( \\overrightarrow{w}=\\left( w_{x},w_{y},w_{z}\\right) \\) :" ]

[ { "name": "Definicja 1: Iloczyn mieszany", "content": "\nIloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów \\( \\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v},\\overrightarrow{w} \\) nazywamy liczbę \\( \\left( \\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v},\\overrightarrow{w}\\right) \\) określoną wzorem\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\left( \\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v},\\overrightarrow{w}\\right):=\\left( \\overrightarrow {u}\\times\\overrightarrow{v}\\right) \\circ\\overrightarrow{w}\\text{.} \\)\n\n" } ]

[ "Równanie", "Jest to tzw. równanie parametryczne prostej.", "Równanie", "nazywane równaniem kierunkowym prostej, opisuje prostą \\( l \\) przechodzącą przez punkt \\( P\\left(x_{0},y_{0},z_{0}\\right) \\) i równoległą do wektora \\( \\overrightarrow{v}=\\left( v_{x},v_{y},v_{z}\\right) \\) o niezerowych współrzędnych (zob. Rys. 2a).", "Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny", "Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta", "równanie ( 3 ) to jej równanie krawędziowe (zob. Rys. 2b)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Wektor kierunkowy prostej", "content": "Wektor \\( \\overrightarrow{v} \\) jest równoległy do prostej \\( l \\), jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów \\( A \\) i \\( B \\) wektory \\( \\overrightarrow{AB} \\) oraz \\( \\overrightarrow{v} \\) są równoległe.\n\n\nKażdy wektor równoległy do prostej nazywamy jej wektorem kierunkowym (zob. Rys. 1 )." } ]

[ "Równanie płaszczyzny \\( \\pi \\) przechodzącej przez punkt \\( P\\left(x_{0},y_{0},z_{0}\\right) \\) oraz prostopadłej do niezerowego wektora \\( \\overrightarrow{n}=\\left( A,B,C\\right) \\) ma postać", "Jest to tzw. równanie normalne płaszczyzny.", "Każde trzy niewspółliniowe (nieleżące na jednej prostej) punkty \\( P_{i}\\left( x_{i},y_{i},z_{i}\\right) \\), gdzie \\( i=1,2,3 \\), wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę \\( \\pi \\), która je zawiera. Równanie tej płaszczyzny ma postać:", "Jest to tzw. wyznacznikowe równanie płaszczyzny.", "Równanie", "w którym \\( a,b,c \\) są liczbami różnymi od zera, nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny \\( \\pi \\).", "Płaszczyzna opisana równaniem ( 3 ) przecina osie \\( Ox,Oy \\) oraz \\( Oz \\) układu współrzędnych \\( Oxyz \\) w punktach równych odpowiednio \\( P_{x}\\left( a,0,0\\right) \\), \\( P_{y}\\left( 0,b,0\\right) \\), \\( P_{z}\\left(0,0,c\\right) \\).", "Równanie płaszczyzny \\( \\pi \\) przechodzącej przez punkt \\( P\\left(x_{0},y_{0},z_{0}\\right) \\) i równoległej do dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów \\( \\overrightarrow{v}=\\left( v_{x},v_{y},v_{z}\\right) \\) oraz \\( \\overrightarrow{w}=\\left( w_{x},w_{y},w_{z}\\right) \\) ma postać:", "Jest to tzw. równanie parametryczne płaszczyzny." ]

[ { "name": "Definicja 1: Wektor normalny płaszczyzny", "content": "Wektor \\( \\overrightarrow{n} \\) jest prostopadły do płaszczyzny \\( \\pi \\), jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów \\( A \\) i \\( B \\) wektory \\( \\overrightarrow{AB} \\) oraz \\( \\overrightarrow{n} \\) są prostopadłe.\n\n\nKażdy niezerowy wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny (zob. Rys. 1 )." } ]

[ "Kąt między dwiema prostymi to kąt ostry (lub prosty, gdy proste są prostopadłe) utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Kąt między dwiema płaszczyznami (zob. Rys. 6a) to kąt ostry (lub prosty, gdy płaszczyzny są prostopadłe) utworzony przez wektory normalne tych płaszczyzn (zob. Rys. 6b).", "Kąt między prostą i płaszczyzną (zob. Rys. 7a), to kąt o mierze \\( \\frac{\\pi}{2}-\\alpha, \\) gdzie \\( \\alpha \\) to miara kąta ostrego (lub prostego, gdy prosta i płaszczyzna są równoległe) jaki tworzą wektor kierunkowy prostej oraz wektor normalny płaszczyzny (zob. Rys. 7b).", "Odległość punktu \\( P\\left( x_{0},y_{0},z_{0}\\right) \\) od płaszczyzny \\( \\pi:Ax+By+Cz+D=0 \\) wyraża się wzorem (zob. Rys. 8a)", "Rozważmy punkt \\( P \\) oraz prostą \\( l \\) przechodzącą przez punkt \\( P_{0} \\) i równoległą do wektora \\( \\overrightarrow{v} \\). Przypuśćmy, że punkt \\( P \\) nie leży na prostej \\( l \\). Wówczas, wektory \\( \\overrightarrow{P_0P} \\) oraz \\( \\overrightarrow{v} \\) tworzą równoległobok (zob. Rys. 8b). Pole tego równoległoboku, równe iloczynowi długości podstawy \\( \\left\\Vert \\overrightarrow{v}\\right\\Vert \\) i wysokości \\( h \\), możemy obliczyć również wykorzystując stosowną własność iloczynu wektorowego:", "Poszukiwana odległość \\( d(P,l) \\) punktu \\( P \\) od prostej \\( l \\), równa wysokości \\( h \\) równoległoboku rozpiętego przez wektory \\( \\overrightarrow{v} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_0P} \\), wyraża się więc wzorem:", "Niech \\( \\pi \\) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym \\( \\overrightarrow{n} \\), a \\( l \\) prostą o wektorze kierunkowym \\( \\overrightarrow{v} \\). Aby odległość prostej \\( l \\) od płaszczyzny \\( \\pi \\) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory \\( \\overrightarrow{n} \\) i \\( \\overrightarrow{v} \\) muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).", "Rozważmy dwie płaszczyzny równoległe \\( \\pi_1 \\) oraz \\( \\pi_2 \\) o wspólnym wektorze normalnym \\( \\overrightarrow{n}=(A,B,C) \\), tj.:", "Niech \\( l_{1} \\) (odpowiednio \\( l_{2} \\)) będzie prostą przechodzącą przez punkt \\( P_{1} \\) (odpowiednio \\( P_{2} \\) ) równoległą do wektora \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\) (odpowiednio \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\)).", "Przypuśćmy, że proste \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj. \\( \\overrightarrow{v_1} =\\overrightarrow{v_2} \\). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej \\( l_2 \\), wybrać dowolny punkt \\( P_2 \\), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej \\( l_1 \\) od punktu \\( P_2 \\). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), wyraża się wzorem:", "Poszukiwana odległość \\( d(l_1,l_2) \\) pomiędzy prostymi skośnymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), równa wysokość \\( h \\) równoległościanu rozpiętego przez wektory \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\), \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_{2}P_{1}} \\), wyraża się więc wzorem:", "Kąt między dwiema prostymi to kąt ostry (lub prosty, gdy proste są prostopadłe) utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Kąt między dwiema płaszczyznami (zob. Rys. 6a) to kąt ostry (lub prosty, gdy płaszczyzny są prostopadłe) utworzony przez wektory normalne tych płaszczyzn (zob. Rys. 6b).", "Kąt między prostą i płaszczyzną (zob. Rys. 7a), to kąt o mierze \\( \\frac{\\pi}{2}-\\alpha, \\) gdzie \\( \\alpha \\) to miara kąta ostrego (lub prostego, gdy prosta i płaszczyzna są równoległe) jaki tworzą wektor kierunkowy prostej oraz wektor normalny płaszczyzny (zob. Rys. 7b).", "Odległość punktu \\( P\\left( x_{0},y_{0},z_{0}\\right) \\) od płaszczyzny \\( \\pi:Ax+By+Cz+D=0 \\) wyraża się wzorem (zob. Rys. 8a)", "Rozważmy punkt \\( P \\) oraz prostą \\( l \\) przechodzącą przez punkt \\( P_{0} \\) i równoległą do wektora \\( \\overrightarrow{v} \\) . Przypuśćmy, że punkt \\( P \\) nie leży na prostej \\( l \\). Wówczas, wektory \\( \\overrightarrow{P_0P} \\) oraz \\( \\overrightarrow{v} \\) tworzą równoległobok (zob. Rys. 8b). Pole tego równoległoboku, równe iloczynowi długości podstawy \\( \\left\\Vert \\overrightarrow{v}\\right\\Vert \\) i wysokości \\( h \\), możemy obliczyć również wykorzystując stosowną własność iloczynu wektorowego: \\( h\\cdot \\left\\Vert \\overrightarrow{v}\\right\\Vert=\\left\\Vert \\overrightarrow{P_{0}P}\\times \\overrightarrow{v}\\right\\Vert. \\) Poszukiwana odległość \\( d(P,l) \\) punktu \\( P \\) od prostej \\( l \\) , równa wysokości \\( h \\) równoległoboku rozpiętego przez wektory \\( \\overrightarrow{v} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_0P} \\) , wyraża się więc wzorem:", "Niech \\( \\pi \\) będzie płaszczyzną o wektorze normalnym \\( \\overrightarrow{n} \\), a \\( l \\) prostą o wektorze kierunkowym \\( \\overrightarrow{v} \\) . Aby odległość prostej \\( l \\) od płaszczyzny \\( \\pi \\) była niezerowa (tj. aby prosta nie przecinała płaszczyzny) wektory \\( \\overrightarrow{n} \\) i \\( \\overrightarrow{v} \\) muszą być prostopadłe. W takiej sytuacji, odległość prostej od płaszczyzny jest równa odległości dowolnego punkty prostej od płaszczyzny. Aby wyznaczyć tę odległość, wybieramy dowolny punkt prostej, następnie stosujemy wzór ( 4 ).", "Rozważmy dwie płaszczyzny równoległe \\( \\pi_1 \\) oraz \\( \\pi_2 \\) o wspólnym wektorze normalnym \\( \\overrightarrow{n}=(A,B,C) \\), tj.:", "Niech \\( l_{1} \\) (odpowiednio \\( l_{2} \\)) będzie prostą przechodzącą przez punkt \\( P_{1} \\) (odpowiednio \\( P_{2} \\)) równoległą do wektora \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\) (odpowiednio \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\)).", "Przypuśćmy, że proste \\( l_1 \\)oraz \\( l_2 \\) są równoległe. Możemy wówczas przyjąć (nie tracąc ogólności), że proste te mają wspólny wektor kierunkowy, tj. \\( \\overrightarrow{v_1} =\\overrightarrow{v_2} \\). W celu wyznaczenia odległości pomiędzy prostymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), wystarczy na jednej z tych prostych, powiedzmy na prostej \\( l_2 \\), wybrać dowolny punkt \\( P_2 \\), następnie, korzystając ze wzoru ( 5 ) na odległość punktu od prostej, wyznaczyć odległość prostej \\( l_1 \\) od punktu \\( P_2 \\). Otrzymana wartość, równa odległości między równoległymi prostymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), wyraża się wzorem:", "Przypuśćmy, że proste \\( l_{1} \\) i \\( l_{2} \\) nie są równoległe. Oznacza to, że wektory kierunkowe tych prostych, równe odpowiednio \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\) oraz \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\), spełniają warunek", "Z wektorów \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\), \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_{2}P_{1}} \\) możemy zatem utworzyć równoległościan (zob. Rys. 10 ), którego objętość, równa iloczynowi pola podstawy \\( \\left\\Vert\\overrightarrow{v_{1}}\\times\\overrightarrow{v_{2}}\\right\\Vert \\) i wysokości \\( h \\), można również wyrazić przy pomocy Iloczyn mieszany-Zastosowanie iloczynu mieszanego trójki wektorów \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\), \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_{2}P_{1}} \\)", "Poszukiwana odległość \\( d(l_1,l_2) \\) pomiędzy prostymi skośnymi \\( l_1 \\) oraz \\( l_2 \\), równa wysokość \\( h \\) równoległościanu rozpiętego przez wektory \\( \\overrightarrow{v_{1}} \\), \\( \\overrightarrow{v_{2}} \\) oraz \\( \\overrightarrow{P_{2}P_{1}} \\), wyraża się więc wzorem:" ]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja pierwotna", "content": "Rozważmy przedział \\( I \\) zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( \\( I\\subset \\mathbb{R} \\) ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym punkcie przedziału \\( I \\) nazywamy funkcją pierwotną funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) , jeżeli w każdym punkcie \\( x\\in I \\) zachodzi \\( F ^{\\prime} (x) = f(x) \\) (tj. gdy w każdym punkcie z przedziału \\( I \\) pochodna funkcji \\( F \\) równa się wartości funkcji \\( f \\) )." }, { "name": "Definicja 2: Całka nieoznaczona", "content": "Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji \\( f \\) w przedziale \\( I \\) i oznaczamy ją symbolem \\( \\int f(x)\\, dx \\). Zatem \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int f(x)\\, dx = F(x) + c \\Leftrightarrow F ^{\\prime} (x) = f(x) \\, . \\)\n\n" } ]

[ "W kolejnych przykładach oprócz twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie będziemy wykorzystywać wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy oraz twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki." ]

[]

[ "W dalszej części przedstawimy zastosowanie powyższego twierdzenia. Oprócz niego wykorzystamy inne twierdzenia, tj. wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy, twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie .", "W poniższej uwadze podsumowano dotychczasowe przykłady." ]

[]

[ "Zauważmy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą (tj. \\( st.P(x) \\geq st.Q(x) \\)) można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów z resztą. Kilka przykładów pozwoli nam się zapoznać z technikami przekształcania funkcji wymiernej niewłaściwej na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej." ]

[ { "name": "Definicja 1: Funkcja wymierna", "content": "\nFunkcję \\( W(x)=\\frac{ P(x) }{ Q(x) } \\) nazywamy funkcją wymierną , jeśli \\( P(x) \\) i \\( Q(x) \\) są wielomianami dowolnego stopnia.\n\nJeśli stopień wielomianu \\( P(x) \\) jest mniejszy niż stopień wielomianu \\( Q(x), \\) to funkcję \\( W(x) \\) nazywamy funkcją wymierną właściwą (ułamkiem wymiernym) .\n\n" } ]

[ "Jeżeli w ułamku wymiernym rozłożymy wielomian występujący w mianowniku tego ułamka na czynniki, to w rozkładzie pojawią się jedynie czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach. W związku z tym podamy następujące definicje tak zwanych ułamków prostych jedynie dwóch rodzajów. W ułamku prostym pierwszego rodzaju, w mianowniku jest czynnik liniowy w pewnej potędze, a w liczniku stała. Natomiast w ułamku prostym drugiego rodzaju, w mianowniku jest nierozkładalna na iloczyn funkcja kwadratowa w pewnej potędze, a w liczniku czynnik liniowy." ]

[ { "name": "Definicja 1: Ułamek prosty", "content": "\nFunkcję postaci \\( f(x)=\\frac{ A }{ (x-a)^k } \\) , gdzie \\( a,A \\in \\mathbb{ R } \\) i \\( k \\in \\mathbb{ N }\\backslash \\{ 0\\} \\) nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju .\nFunkcję \\( f(x)=\\frac{ Bx+C }{ (x^2+bx+c)^l } \\), gdzie \\( b,c,B,C \\in \\mathbb{ R } \\), \\( l \\in \\mathbb{ N }\\backslash \\{ 0\\} \\) oraz wielomian \\( x^2+bx+c \\) jest wielomianem nieposiadającym pierwiastków, tzn. \\( \\Delta =b^2-4c<0 \\) nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju .\n\n" } ]

[]

[]

[ "Procedura obliczania całki z funkcji wymiernej:" ]

[ { "name": "Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej", "content": "Jeżeli \\( P(x), Q(x) \\) są to dowolne wielomiany ( \\( Q(x) \\neq 0 \\)), to całkę \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int \\frac{ P(x) }{ Q(x) }dx \\)\n\n\t\t\t\t\t nazywamy całką z funkcji wymiernej." } ]

[ "Zauważmy, że głównym celem podstawień trygonometrycznych jest zamiana całki z funkcji trygonometrycznych na całkę z funkcji wymiernej. To, w jaki sposób należy korzystać z podstawień trygonometrycznych, przybliżą nam poniższe przykłady." ]

[]

[]

[]

[ "Głównym celem podstawienia w całce z pierwiastkiem z funkcji homograficznej jest to, aby zamiast rozwiązywać całkę z funkcji niewymiernej mieć do rozwiązywania całkę z funkcji wymiernej. Poniższe przykłady przybliżą nam w jaki sposób należy postępować w obliczaniu całki, w której występuje pierwiastek z funkcji liniowej albo homograficznej." ]

[]

[]

[]

[ "Aby obliczyć wszystkie niewiadome (współczynniki), stosujemy metodę Lagrange'a według następującego algorytmu:" ]

[]

[]

[]

[ "Niech \\( f:[a,b] \\to \\mathbb{R} \\) będzie funkcją ograniczoną. Dla każdej liczby naturalnej \\( n \\) wybierzmy pewne elementy \\( x_0, \\ldots, x_n \\) należące do przedziału \\( [a,b] \\), które spełniają następujące zależności:", "Zbiór \\( \\Delta_n=\\{x_0,x_1,\\ldots,x_n\\} \\) nazywamy \\( n \\)-tym podziałem przedziału \\( [a,b] \\) odpowiadającym ustalonej liczbie \\( n \\). Dla \\( n \\)-tego podziału przedziału \\( [a,b] \\) oznaczmy przez \\( \\Delta x_k \\) długość dowolnego podprzedziału \\( [x_{k-1},x_k] \\), tzn.", "gdzie \\( k \\in \\{1,2,\\ldots,n\\} \\). Liczbę \\( \\Delta x_k \\) nazywamy średnicą podprzedziału \\( [x_{k-1},x_k] \\). Niech \\( \\delta_n \\) będzie największą ze średnic wszystkich podprzedziałów \\( [x_{k-1},x_k] \\) występujących w \\( n \\)-tym podziale przedziału \\( [a,b] \\), czyli", "Następnie dla każdego \\( k \\in \\{1,2,\\ldots,n\\} \\) wybierzmy pewien element \\( \\xi_k \\in [x_{k-1},x_k] \\) zwany punktem pośrednim podziału \\( \\Delta_n \\).", "Oznacza to de facto, że gdy \\( n \\) rośnie, to uzyskane podprzedziały (czyli części, na które dzielimy przedział \\( [a,b] \\)) są coraz mniejsze.", "Przejdźmy do definicji całki oznaczonej Riemanna funkcji ograniczonej.", "W powyższej całce liczbę \\( a \\) nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę \\( b \\) górną granicą całkowania, natomiast \\( f \\) funkcją podcałkową. Jeżeli \\( a \\) i \\( b \\) są takimi liczbami rzeczywistymi, że \\( a \\lt b \\), to przyjmujemy, że", "Ponadto dla liczby rzeczywistej \\( a \\) przyjmujemy, że", "Przyjrzyjmy się, w jaki sposób można obliczyć całkę oznaczoną Riemanna korzystając z jej definicji.", "Wykażemy teraz, że nie każda funkcja ograniczona jest całkowalna." ]

[ { "name": "Definicja 1: n-ta suma całkowa Riemanna", "content": " Niech\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( S_n=\\sum\\limits_{k=1}^n f(\\xi_k)\\Delta x_k. \\)\n\nPowyższą sumę \\( S_n \\) nazywamy \\( n \\)-tą sumą całkową Riemanna funkcji \\( f \\) w przedziale \\( [a,b] \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Normalny ciąg podziałów przedziału", "content": "\nMówimy, że ciąg \\( (\\Delta_n)_{n=1}^{\\infty} \\) podziałów przedziału \\( [a,b] \\) jest normalny, jeżeli \\( \\lim\\limits_{n \\to \\infty}\\delta_n=0 \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Całka oznaczona Riemanna", "content": "\nJeżeli dla każdego normalnego ciągu \\( (\\Delta_n)_{n=1}^{\\infty} \\) podziałów przedziału \\( [a,b] \\) ciąg \\( (S_n)_{n=1}^{\\infty} \\) \\( n \\)-tych sum całkowych Riemanna jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich \\( \\xi_k \\) ( \\( k=1,\\ldots,n \\)), to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji \\( f \\) na przedziale \\( [a,b] \\) i oznaczamy symbolem \\( \\int_a^b f(x) dx \\), tzn.\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( I=\\int\\limits_a^b f(x) dx := \\lim\\limits_{n \\to \\infty} S_n. \\)\n\n" } ]

[ "Przedstawimy teraz kilka podstawowych własności całki oznaczonej wynikających bezpośrednio z jej definicji.", "Dzięki temu rezultatowi, w pewnych szczególnych sytuacjach jesteśmy w stanie porównać wartości rozpatrywanych całek, nawet jeżeli bezpośrednie wyliczenie całek jest trudne lub wręcz niemożliwe.", "DOWÓD Zauważmy, że \\( -|f(x)| \\leq f(x) \\leq |f(x)| \\) dla każdego \\( x \\in [a,b] \\). Całkując powyższe nierówności w granicach od \\( a \\) do \\( b \\), otrzymujemy", "co z własności modułu implikuje żądaną nierówność. CND.", "Konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek." ]

[]

[ "DOWÓD Na wstępie zauważmy, że dzięki ciągłości funkcji \\( f \\) na mocy twierdzenia Weierstrassa wartości", "są skończone. Wtedy dla dowolnego \\( x \\in [a,b] \\) mamy \\( m \\leq f(x) \\leq M \\). Całkując te nierówności w granicach od \\( a \\) do \\( b \\), otrzymujemy", "a zatem po przekształceniach", "Ponieważ funkcja ciągła w przedziale \\( [a,b] \\) posiada własność Darboux, to dla każdej wartości \\( y \\in [m,M] \\) istnieje taki argument \\( x \\in [a,b] \\), że \\( y=f(x) \\). W szczególności dla zdefiniowanego powyżej elementu \\( y_0 \\) można znaleźć taki argument \\( c \\in [a,b] \\), że \\( y_0=f(c) \\), co oznacza, że", "CND." ]

[]

[ "DOWÓD Zauważmy, że twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania w oczywisty sposób jest prawdziwe dla funkcji \\( f \\) tożsamościowo równej zero, gdyż wtedy funkcja \\( F \\) jest również tożsamościowo równa zero. Rozpatrzmy przypadek, gdy \\( f \\) osiąga wartość niezerową w pewnym punkcie przedziału \\( [a,b] \\). Ustalmy \\( x_0 \\in [a,b] \\). Wówczas dla \\( x \\in [a,b] \\) otrzymujemy", "Korzystając z nierówności dla całek, możemy oszacować od góry ostatni z wyrazów, jak następuje:", "gdzie \\( M \\gt 0 \\) jest maksymalną wartością funkcji \\( |f| \\) w przedziale \\( [a,b]. \\) Wartość ta jest osiągana na mocy twierdzenia Weierstrassa, gdyż \\( f \\), a w konsekwencji \\( |f| \\), jest funkcją ciągłą w domkniętym przedziale ograniczonym. Ustalmy dowolną liczbę \\( \\varepsilon \\gt 0. \\) Przyjmując \\( \\delta=\\frac{\\varepsilon}{M} \\), dla każdego \\( x \\) z dziedziny funkcji \\( F \\) takiego, że \\( |x-x_0| \\lt \\delta \\), wnioskujemy, że", "Wykazaliśmy w ten sposób, że", "a więc funkcja \\( F \\) jest ciągła w punkcie \\( x_0 \\). Przejdźmy do dowodu drugiej części twierdzenia. Rozważmy przypadek, gdy \\( x_0 \\in (a,b) \\). (Jeżeli \\( x_0=a \\) lub \\( x_0=b \\), to dalsza część dowodu przebiega analogicznie.) Korzystając z definicji pochodnej oraz przepisu funkcji \\( F \\), otrzymujemy", "Powołując się na twierdzenie , wnioskujemy, że dla każdego \\( x \\) leżącego między \\( x_0 \\) a \\( b \\) istnieje punkt \\( c \\in (x_0, x) \\) taki, że", "Kontynuując obliczenia, dostajemy", "Wykazaliśmy w ten sposób, że pochodna prawostronna funkcji \\( F \\) w punkcie \\( x_0 \\) jest równa \\( f(x_0) \\). W analogiczny sposób wykazujemy, że pochodna lewostronna funkcji \\( F \\) w punkcie \\( x_0 \\) również wynosi \\( f(x_0) \\). To implikuje, że \\( F^{\\prime}(x_0)=f(x_0) \\). CND." ]

[]

[ "Podamy drugie podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, zwane twierdzeniem Newtona-Leibniza, które pozwala powiązać całkę oznaczoną funkcji ciągłej z całką nieoznaczoną.", "DOWÓD", "Skoro funkcja \\( f \\) jest ciągła, to na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania funkcja \\( F \\) jest różniczkowalna i zachodzi równość \\( F^{\\prime}(x)=f(x) \\) we wszystkich punktach \\( x \\in (a,b) \\). Oznacza to, że \\( F \\) jest funkcją pierwotną funkcji \\( f \\). Ponieważ każde dwie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się o stałą, to dla pewnej liczby rzeczywistej \\( C \\) oraz dowolnego \\( x \\in [a,b] \\) zachodzi równość", "Z definicji funkcji \\( F \\) wynika, że", "a skoro \\( F(a)=\\int\\limits_a^a f(t) dt=0 \\), to możemy kontynuować obliczenia, zapisując", "gdzie ostatnia równość wynika z ( 2 ). Połączenie ( 3 ) z ( 4 ) implikuje żądany wzór i kończy dowód twierdzenia. CND.", "Różnicę wartości funkcji pierwotnej na końcach przedziału występującą we wzorze ( 1 ) zapisujemy również w następujący sposób:" ]

[]

[ "Podamy teraz niezwykle ważny wzór służący do obliczania całek oznaczonych, który uzasadnimy przy pomocy twierdzenia Newtona-Leibniza.", "DOWÓD", "Skoro \\( (fg)^{\\prime}=fg^{\\prime} + f^{\\prime}g \\), to", "Stosując do funkcji podcałkowej \\( fg^{\\prime}+f^{\\prime}g \\) w przedziale \\( [a,b] \\) twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy", "co dowodzi, że zachodzi ( 1 ). CND.", "Zastosujmy powyższe twierdzenie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych." ]

[]

[ "Podamy twierdzenie, które podobnie jak , stanowi bardzo użyteczne narzędzie do obliczania całek oznaczonych.", "DOWÓD Skoro funkcja \\( f \\) jest ciągła, to posiada funkcję pierwotną \\( g \\), a zatem \\( f=g^{\\prime} \\). W konsekwencji", "tak więc", "Zauważmy, że w powyższych obliczeniach dwukrotnie użyliśmy twierdzenie Newtona-Leibniza, za pierwszym razem stosując je do funkcji podcałkowej \\( (g \\circ \\varphi)^{\\prime} \\) oraz jej funkcji pierwotnej \\( g \\circ \\varphi \\), a dalej do funkcji podcałkowej \\( f \\) oraz jej funkcji pierwotnej \\( g \\). Ponadto przedostatnia równość została uzyskana dzięki założeniu, że \\( \\varphi(\\alpha)=a \\) i \\( \\varphi(\\beta)=b \\). CND.", "Zastosujmy twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.", "Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie możemy sformułować natępujące wnioski.", "DOWÓD", "Dokonując w pierwszej z całek występujących w powyższej sumie podstawienia \\( t=-x \\) i stosownej zmiany granic całkowania", "otrzymujemy", "Ostatnia równość wynika z faktu, że \\( f \\) jest funkcją parzystą oraz zamiany symbolu zmiennej całkowania z \\( t \\) na \\( x \\). CND.", "Rozumując analogicznie jak powyżej, możemy otrzymać kolejny rezultat.", "Powyższe wnioski mają dość duże znaczenie w praktycznych obliczeniach, gdyż niejednokrotnie prościej jest znaleźć wartość funkcji pierwotnej w zerze niż w \\( -a \\). W szczególności powyższy wniosek pozwala natychmiast podać wartość liczbową niektórych całek bez konieczności przeprowadzania złożonych rachunków." ]

[]

[ "Przypomnijmy, że pojęcie całki oznaczonej Riemanna zostało przez nas zdefiniowane dla funkcji ograniczonej, określonej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Ze względu na praktyczne zastosowania istnieje potrzeba rozszerzenia tego pojęcia na przypadek funkcji działającej na przedziale nieograniczonym lub funkcji nieograniczonej. Na początek zdefiniujmy całkę niewłaściwą funkcji określonej na przedziale postaci \\( [a,+\\infty) \\), następnie \\( (-\\infty,b] \\), a dalej na całym zbiorze liczb rzeczywistych.", "Należy podkreślić, że jeżeli całka \\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx \\) jest zbieżna, to można wykazać, że jej wartość nie zależy od wyboru punktu \\( a \\in \\mathbb{R} \\) w powyższej definicji.", "Sformułujmy teraz definicję całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej określonej na przedziale ograniczonym.", "W analogiczny sposób definiujemy całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju w przypadku, gdy funkcja \\( (f:(a,b] \\to \\mathbb{R}) \\) jest całkowalna w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \\( [\\alpha, b] \\), przy czym \\( (a < \\alpha < b) \\), oraz jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu \\( (a) \\). Wówczas przyjmujemy, że", "W tej sytuacji analogicznie jak wyżej definiuje się pojęcia zbieżności i rozbieżności całki niewłaściwej.", "Obliczmy teraz całkę podobną do tej z przykładu 2, w którym przedział całkowania był nieograniczony. Po wykonaniu poniższych obliczeń warto porównać wyniki uzyskane w obu przykładach." ]

[ { "name": "Definicja 1: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w przedziale \\( [a,+\\infty) \\) lub \\( (-\\infty,b] \\)", "content": " Niech \\( f:[a,+\\infty) \\to \\mathbb{R} \\) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \\( [a,\\beta] \\), gdzie \\( a < \\beta \\). Całką niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji \\( f \\) nazywamy granicę\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{\\beta \\to +\\infty} \\int\\limits_a^{\\beta} f(x)dx \\)\n\n\t\t\t\t\t i oznaczamy ją symbolem \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int\\limits_a^{+\\infty} f(x)dx \\)\n\n\t\t\t\t\t.\nJeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa \\( \\int_a^{+\\infty} f(x)dx \\) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa \\( \\int_a^{+\\infty} f(x)dx \\) jest rozbieżna.\n\nRysunek 1: Interpretacja geometryczna całki niewłaściwej Riemanna I rodzaju w przedziale \\( [a, +\\infty) \\)\n\n\nW analogiczny sposób definuje się całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju \\( \\int_{-\\infty}^b f(x)dx \\) funkcji \\( f \\) określonej na przedziale \\( (-\\infty,b] \\), jak również pojęcia jej zbieżności i rozbieżności. Przyjmujemy wówczas, że\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int\\limits_{-\\infty}^b f(x)dx:=\\lim\\limits_{\\alpha \\to -\\infty} \\int\\limits_{\\alpha}^b f(x)dx. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w zbiorze liczb rzeczywistych", "content": "\nNiech \\( f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R} \\) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym \\( [\\alpha,\\beta] \\) zawartym w \\( \\mathbb{R} \\). Całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji \\( f \\) w \\( \\mathbb{R} \\) definujemy jako\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int\\limits_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx := \\int\\limits_{-\\infty}^{a} f(x)dx + \\int\\limits_{a}^{+\\infty} f(x)dx, \\)\n\ngdzie \\( a \\) jest dowolnie wybranym punktem z \\( \\mathbb{R} \\). Jeżeli obie całki w powyższej sumie są zbieżne, to mówimy, że całka \\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx \\) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka \\( \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx \\) jest rozbieżna.\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale \\( [a,b) \\) lub \\( (a,b] \\)", "content": "\nNiech \\( (f:[a,b) \\to \\mathbb{R}) \\) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \\( [a,\\beta] \\), przy czym \\( ( a < \\beta < b) \\). Załóżmy, że funkcja \\( (f) \\) jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu \\( (b) \\). Całką niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji \\( (f) \\) nazywamy granicę\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{\\beta \\to b^-} \\int\\limits_a^{\\beta} f(x)dx \\)\n\ni oznaczamy ją symbolem\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int\\limits_a^b f(x)dx. \\)\n\nJeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa \\( \\int_a^b f(x)dx \\) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa \\( \\int_a^b f(x)dx \\) jest rozbieżna.\n\n" }, { "name": "Definicja 4: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale \\( (a,b) \\)", "content": "\nNiech \\( (f:(a,b) \\to \\mathbb{R}) \\) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \\( [\\alpha,\\beta] \\) , przy czym \\( (a < \\alpha < \\beta < b) \\). Załóżmy, że funkcja \\( (f) \\) jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu \\( (a) \\) oraz w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu \\( (b) \\). Całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji \\( (f) \\) w \\( (a,b) \\) definiujemy jako\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\int\\limits_{a}^{b} f(x)dx = \\int\\limits_{a}^{c} f(x)dx + \\int\\limits_{c}^{b} f(x)dx, \\)\n\n\ngdzie \\( (c) \\) jest dowolnie wybranym punktem z \\( ( (a, b) ) \\). Jeżeli obie całki po prawej stronie powyższej równości są zbieżne, to mówimy, że całka \\( (\\int_{a}^{b} f(x)dx) \\) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka niewłaściwa \\( (\\int_{a}^{b} f(x)dx) \\) jest rozbieżna.\n\n" } ]

[ "Przedstawimy kryteria zbieżności całek niewłaściwych.", "Przyjrzyjmy się przykładowym zastosowaniom tego kryterium, w którym dopuszczamy również możliwość, że \\( b=+\\infty \\).", "Zauważmy, że dla \\( K \\in (0, +\\infty) \\) całki \\( \\int_a^b f(x) dx \\) oraz \\( \\int_a^b g(x) dx \\) są jednocześnie zbieżne bądź rozbieżne.", "W kryterium porównawczym II, podobnie jak w kryterium porównawczym I, dopuszczamy możliwość, że \\( b=+\\infty \\).", "Powyższe kryteria zbieżności całek niewłaściwych można analogicznie sformułować dla funkcji ciągłych \\( f:(a,b] \\to \\mathbb{R} \\) oraz \\( g:(a,b] \\to \\mathbb{R} \\), które są nieograniczone w prawostronnym sąsiedztwie punktu \\( a \\). Warto dodać, że dopuszczamy tu możliwość, że \\( a=-\\infty \\)." ]

[]

[ "Z definicji całki oznaczonej Riemanna wynika, że jeżeli \\( f:[a,b] \\to \\mathbb{R} \\) jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale \\( [a, b] \\), to całka \\( \\int_a^b f(x) dx \\) jest równa polu \\( P \\) figury ograniczonej przez wykres funkcji \\( f \\), oś \\( OX \\) oraz proste \\( x=a \\) i \\( x=b \\). Tak zadaną figurę, którą możemy opisać jako zbiór", "nazywamy trapezem krzywoliniowym. Jeżeli \\( f(x) \\le 0 \\) dla \\( x \\in [a, b] \\), to \\( P = -\\int_a^b f(x) dx. \\) W rezultacie dla dowolnej funkcji ciągłej \\( f:[a,b] \\to \\mathbb{R} \\) prawdziwy jest następujący związek:", "Aby obliczyć pole figury płaskiej przy pomocy całki oznaczonej, w pewnych sytuacjach warto jest całkować względem zmiennej \\( y \\) zamiast zmiennej \\( x \\). Pozwala to uniknąć dzielenia danego obszaru na mniejsze obszary oraz niepotrzebnego obliczania kilku całek.", "Omówimy teraz sposób wyznaczania pola figury ograniczonej przez krzywą zadaną parametrycznie. Najpierw jednak podajmy definicję takiej krzywej.", "DOWÓD W pierwszym kroku dowodu wykażemy, że przy przyjętych założeniach możemy wyrazić krzywą \\( \\Gamma \\) jako wykres funkcji ciągłej zmiennej \\( x \\) na przedziale \\( [a,b] \\). Istotnie, ponieważ funkcja \\( \\varphi \\) jest rosnąca w przedziale \\( [\\alpha, \\beta], \\) to", "a ponadto funkcja ta jest odwracalna. To z kolei implikuje, że \\( t = \\varphi^{-1} (x) \\) dla \\( x \\in [a,b] \\) (gdzie \\( \\varphi^{-1} \\) oznacza funkcję odwrotną do \\( \\varphi \\)), co po podstawieniu do równania \\( y=\\psi(t) \\) daje", "Dalej, skoro funkcja \\( \\psi \\) jest nieujemna, to w konsekwencji funkcja \\( y \\) zależna od zmiennej \\( x \\) przyjmuje wartości nieujemne. Dzięki temu pole rozpatrywanego obszaru możemy obliczyć, stosując wzór", "Aby obliczyć ostatnią całkę, zastosujmy twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla \\( t= \\varphi^{-1}(x) \\), pamiętając przy tym o stosownej zmianie granic całkowania. Z równania \\( x=\\varphi(t) \\), gdzie \\( t \\in [\\alpha, \\beta], \\) dostajemy \\( dx=\\varphi^{\\prime}(t)dt \\). W rezultacie", "CND.", "Jak wiadomo, położenie punktu na płaszczyźnie można określić dzięki wprowadzeniu na płaszczyźnie kartezjańskiego prostokątnego układu współrzędnych. Wówczas położenie punktu \\( P \\) jest jednoznacznie określone poprzez podanie pary \\( (x_P,y_P) \\), gdzie \\( x_P \\) jest współrzędną tego punktu względem osi \\( OX \\), zaś \\( y_P \\) względem osi \\( OY \\).", "Jednakże położenie punktu \\( P \\) na płaszczyźnie można też określić w inny sposób - dzięki wprowadzeniu tzw. biegunowego (polarnego) układu współrzędnych. Jest ono jednoznacznie określone poprzed podanie odległości od pewnego wyróżnionego na płaszczyźnie punktu zwanego biegunem oraz poprzez podanie kąta \\( \\varphi \\) pomiędzy półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez punkt \\( P \\) a inną wyróżnioną półosią o początku w biegunie, zwaną półosią biegunową. (Kąty skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są dodatnie, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara są ujemne).", "Jeżeli umieścimy biegun w punkcie \\( (0,0) \\), czyli w początku układu kartezjańskiego, zaś jako półoś biegunową przyjmiemy półoś dodatnią osi \\( OX \\), to wówczas związki między obydwoma układami wyrażą się w następujący sposób:", "W rezultacie", "Omówimy teraz, w jaki sposób można obliczyć pole figury ograniczonej, której fragment brzegu jest zadany za pomocą współrzędnych biegunowych.", "Zauważmy, że krzywą zadaną biegunowo można przedstawić w następujący sposób w postaci parametrycznej (w zależności od parametru \\( \\phi \\)):", "Niech \\( O=(0,0), \\) \\( A=(r(\\alpha), \\alpha), \\) \\( B=(r(\\beta), \\beta) \\) oraz załóżmy, że \\( 0 \\lt \\beta - \\alpha \\lt 2\\pi. \\) Wtedy promienie wodzące o amplitudach \\( \\alpha \\) i \\( \\beta \\), czyli odcinki \\( \\overline{OA} \\) i \\( \\overline{OB} \\), oraz łuk krzywej \\( \\Gamma \\) wyznaczają obszar zilustowany na poniższym rysunku.", "Taki obszar nazywamy trapezem krzywoliniowym w sensie biegunowego układu współrzędnych. Jego pole możemy obliczyć korzystając z następującego twierdzenia.", "DOWÓD Dla każdego \\( n \\in \\mathbb{N} \\) podzielmy przedział \\( [\\alpha, \\beta] \\) na \\( n \\) podprzedziałów \\( [\\phi_{k-1}, \\phi_{k}] \\) \\( ( k=1,\\ldots,n ) \\) tak dobierając punkty \\( \\phi_k, \\) aby zachodziła zależność", "W ten sposób otrzymujemy \\( n \\) trójkątów krzywoliniowych zawartych między łukiem krzywej \\( \\Gamma \\) oraz promieniami wodzącymi o amplitudach \\( \\phi_{k-1} \\) i \\( \\phi_{k}. \\) Oznaczmy przez \\( \\Delta \\phi_k \\) długość odcinka \\( [\\phi_{k-1}, \\phi_{k}], \\) tzn.", "gdzie \\( k \\in \\{1,\\ldots,n\\}. \\) Niech \\( \\delta_n \\) będzie największą ze średnic wszystkich przedziałów \\( [\\phi_{k-1}, \\phi_{k}], \\) czyli", "Następnie dla każdego \\( k \\in \\{1,\\ldots,n\\} \\) wybierzmy kąt pośredni \\( \\xi_k \\in [\\phi_{k-1}, \\phi_{k}]. \\) Przy małych wartościach \\( \\Delta \\phi_k \\) pole \\( k \\)-tego trójkąta jest w przybliżeniu równe polu \\( P_k \\) wycinka kołowego o promieniu \\( r(\\xi_k) \\) i kącie środkowym \\( \\Delta \\phi_k, \\) wyrażającego się wzorem", "gdzie \\( \\Delta \\phi_k \\) jest miarą łukową tego kąta środkowego. Oznaczmy przez \\( P_n \\) sumę pól wszystkich tych wycinków. Wówczas", "Przechodząc do granicy (jak w konstrukcji całki oznaczonej Riemanna), otrzymujemy", "CND.", "Zastosujmy powyższy wzór do obliczenia pola figury ograniczonej przez krzywą zadaną biegunowo." ]

[ { "name": "Definicja 1: Krzywa zadana parametrycznie", "content": "\nMówimy, że \\( \\Gamma \\) jest krzywą zadaną parametrycznie, jeżeli istnieją takie funkcje ciągłe \\( \\varphi: [\\alpha,\\beta] \\to \\mathbb{R} \\) oraz \\( \\psi: [\\alpha,\\beta] \\to \\mathbb{R} \\), że\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\Gamma=\\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2: x =\\varphi(t), y=\\psi(t) \\text{ dla } t \\in [\\alpha,\\beta]\\}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Krzywa zadana biegunowo", "content": "\nMówimy, że \\( \\Gamma \\) jest krzywą zadaną biegunowo , jeżeli istnieje nieujemna funkcja ciągła \\( r: [\\alpha,\\beta] \\to \\mathbb{R} \\) taka, że\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\Gamma=\\{ (r,\\phi) \\in \\mathbb{R}^2: r = r(\\phi), \\phi \\in [\\alpha, \\beta] \\}. \\)\n\n" } ]

[ "DOWÓD Na początku zauważmy, że dla każdego \\( n \\in \\mathbb{N} \\) długość łamanej \\( \\Gamma_n \\) jest równa", "Ponieważ funkcje \\( \\varphi \\) i \\( \\psi \\) są klasy \\( C^1 \\) na przedziale \\( [\\alpha, \\beta] \\), więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów \\( [t_{k-1}, t_k] \\) ( \\( k=1, \\ldots,n \\)) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty \\( \\xi_k \\) i \\( \\xi^*_k \\) należące do przedziału \\( (t_{k-1}, t_k) \\), że", "Stąd po przekształceniach otrzymujemy", "gdzie \\( \\Delta_k \\) oznacza długość przedziału \\( (t_{k-1}, t_k) \\). Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na \\( d_n \\), dostajemy", "Teraz przechodząc z \\( d_n \\) do granicy przy \\( n\\to\\infty \\) (i oczywiście pamiętając, że \\( \\lim\\limits_{n \\to \\infty} \\delta_n = 0 \\)), otrzymujemy", "CND.", "Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej \\( x \\).", "DOWÓD Przyjmijmy, że", "Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy", "CND.", "Dla krzywej \\( \\Gamma \\) zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.", "DOWÓD Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych:", "gdzie \\( \\phi \\in [\\alpha, \\beta] \\), a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( 1 ).", "Ponieważ pochodne funkcji \\( \\varphi \\) i \\( \\psi \\) są postaci", "dla \\( \\phi \\in [\\alpha, \\beta] \\), to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać", "W konsekwencji", "CND." ]

[ { "name": "Definicja 1: Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie", "content": "\nRozważmy krzywą \\( \\Gamma \\) zadaną parametrycznie w następujących sposób:\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\Gamma=\\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2: x =\\varphi(t), \\, y=\\psi(t), \\, t \\in [\\alpha, \\beta]\\}, \\)\n\ngdzie \\( \\varphi \\) i \\( \\psi \\) są funkcjami ciągłymi w przedziale \\( [\\alpha, \\beta] \\). Zdefiniujmy długość \\( d \\) łuku krzywej \\( \\Gamma \\). Podzielmy przedział \\( [\\alpha, \\beta] \\) na \\( n \\) podprzedziałów wybierając punkty podziału \\( t_k \\) ( \\( k=0,\\dots,n \\)) tak, aby zachodziła zależność\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\alpha =t_0\\lt t_1\\lt\\ldots\\lt t_n=\\beta. \\)\n\nNiech \\( \\Delta_k = t_k - t_{k-1} \\) oraz \\( \\delta_n = \\max \\{ \\Delta_k : k=1,\\ldots,n\\} \\). Zauważmy, że punkty \\( P_k=(\\varphi(t_k),\\psi(t_k)) \\in \\Gamma \\)\n( \\( k=1,\\dots,n \\)) wyznaczają łamaną \\( \\Gamma_n \\), która przybliża krzywą \\( \\Gamma \\) w przedziale \\( [\\alpha, \\beta] \\).\n\nRysunek 1: Krzywa zadana parametrycznie wraz z oznaczonymi na niej punktami odpowiadającymi punktom podziału przedziału \\( [\\alpha, \\beta] \\)\n\n\nDługość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( d_n=\\sum\\limits_{k=1}^n |P_{k-1}P_{k}|, \\)\n\ngdzie \\( |P_{k-1}P_{k}| \\) jest długością odcinka łączącego punkty \\( P_{k-1} \\) i \\( P_k \\) \\( (k=1,\\dots,n) \\). Jeżeli istnieje granica\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lim\\limits_{n \\to \\infty}d_n \\)\n\ni jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału \\( [\\alpha, \\beta] \\) (czyli takich jego podziałów, że \\( \\lim\\limits_{n \\to \\infty} \\delta_n = 0 \\)), to mówimy, że krzywa \\( \\Gamma \\) jest krzywą prostowalną w przedziale \\( [\\alpha, \\beta] \\). Granicę tę nazywamy długością łuku krzywej \\( \\Gamma \\) w przedziale \\( [\\alpha, \\beta]. \\)\n\n" } ]

[ "Niech \\( \\Gamma \\) będzie krzywą zadaną parametrycznie:" ]

[]

[ "Zadajmy krzywą \\( \\Gamma \\) w postaci parametrycznej \\( x=\\varphi(t) \\), \\( y=\\psi(t) \\), \\( t \\in [\\alpha, \\beta ] \\), przy czym załóżmy, że funkcje \\( \\varphi \\) i \\( \\psi \\) mają ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodatkowo, że funkcja \\( \\varphi^{\\prime} \\) jest stałego znaku, a funkcja \\( \\psi \\) jest nieujemna. Wówczas zachodzi następujące twierdzenie." ]

[]

[ "Podamy teraz niektóre z zastosowań całek oznaczonych w fizyce. Załóżmy, że pewien punkt \\( A \\) porusza się w momencie \\( t_0 \\) z prędkością chwilową opisaną równaniem \\( v_0=v(t_0) \\). Zmienną prędkość punktu \\( A \\) w całym czasie poruszania się tego punktu określa więc pewna funkcja \\( v(t) \\).", "Podamy teraz wzory na obliczanie momentów statycznych i momentów bezwładności oraz środka ciężkości trapezu krzywoliniowego \\( T \\):", "Załóżmy, że trapez \\( T \\) jest figurą jednorodną (masa jest rozłożona na nim równomiernie), której gęstość powierzchniowa \\( \\rho \\) (tj. masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała." ]

[]

[ "Idea ciągu, w różnej formie, towarzyszy każdemu z nas w dniu codziennym. Kolejka do lekarza, układ haseł w encyklopedii, czy cyfry tworzące numer konta bankowego, to wszystko są przykłady ciągów. Widzimy jednak różnicę między ciągiem będącym np. alfabetyczną listą studentów w grupie, a ciągiem, który jest spisem dat w kalendarzu. Jeden z nich jest z konieczności ciągiem skończonym, tzn. posiadającym skończoną liczbę wyrazów, a drugi wydaje się ciągnąć w nieskończoność.", "Z matematycznego punktu widzenia układ liczb lub innych obiektów (niekoniecznie matematycznych) tworzy ciąg, jeżeli każdemu elementowi przypiszemy jednoznacznie odpowiadające mu miejsce w ciągu, czyli liczbę naturalną. Najbardziej oczywistym przykładem ciągu liczbowego są liczby naturalne, ponieważ wartość liczby jednocześnie podaje numer miejsca, na którym ona stoi w ciągu.", "Komentarz Zgodnie z definicją ciągu możemy podawać ciąg jako funkcję, czyli podać wzór \\( n \\)-tego wyrazu ciągu np. w przykładzie Idea tworzenia ciągu liczbowego wzór na \\( n \\)-ty wyraz to \\( a_n=3n \\), a w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe a) \\( a_n=\\frac{1}{3^{n-1} } \\). Zaletą takiego określenia ciągu jest to, że możemy natychmiast wyliczyć dowolny wyraz ciągu podstawiając do wzoru odpowiednie \\( n \\in \\mathbb{N} \\). Inną z możliwości jest opisanie metody jak należy szukać kolejnych wyrazów ciągu, np. w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe b) szukamy kolejnych figur geometrycznych zgodnie z opisem, a następnie wyliczamy ich pola. Możemy również podać procedurę jak tworzyć kolejne wyrazy ciągu za pomocą wyrazów poprzednich, tzw. procedurę rekurencyjną, należy pamiętać jednak o podaniu wartości odpowiedniej ilości wyrazów początkowych tak, aby procedura mogła wystartować, np. w przykładzie Nieskończone ciągi liczbowe c) procedurę można opisać następująco", "Wadą tej metody określania ciągu jest to, że musimy znać wyrazy poprzednie ciągu, aby wyliczyć wyraz kolejny, co oczywiście jest w praktyce niewygodne, gdy chcemy obliczyć wyraz dla dużego \\( n \\). Kolejną często spotykana metodą zadania ciągu jest podanie kilku jego początkowych wyrazów, tak, aby można było zauważyć schemat tworzenia wyrazów następnych, np. przykład Nieskończone ciągi liczbowe a), w którym widać, że każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego przez przemnożenie go przez \\( \\frac{1}{3} \\). Przy tej metodzie wadą jest to, że należy podać odpowiednio dużo wyrazów początkowych, żeby można było zauważyć schemat, a następnie sprawdzić, czy jest poprawny.", "Zgodnie z definicją ciągu, może on być przedstawiony graficznie w postaci wykresu, gdzie na osi odciętych zaznaczamy kolejne liczby naturalne i w układzie współrzędnych zaznaczamy punkty \\( (n,a_n) \\). Widzimy więc, że wykres ciągu składa się z izolowanych punktów w układzie współrzędnych.", "Wadą takiej graficznej interpretacji ciągu jest to, że zawsze możemy zobaczyć tylko kilka początkowych wyrazów ciągu, czyli w sytuacji, gdy interesować nas będzie zachowanie się ciągu dla bardzo dalekich wyrazów, taka interpretacja jest bezużyteczna. Wygodniej będzie przedstawiać ciąg tylko na osi rzędnych, czyli zrzutować prostopadle punkty reprezentujące wyrazy ciągu na tę oś. Zauważmy, że ten drugi sposób pozwala na umieszczenie na Rys. 1 większej ilości wyrazów ciągu." ]

[ { "name": "Definicja 1: Ciąg liczbowy", "content": " Ciągiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję \\( a: M \\rightarrow \\mathbb{R} \\), która elementom podzbioru \\( M \\) zbioru liczb naturalnych \\( \\mathbb{N} \\) ( \\( M \\subset \\mathbb{N} \\) ) przyporządkowuje liczby rzeczywiste. " }, { "name": "Definicja 2: Ciąg skończony", "content": " Jeżeli dziedzina \\( M \\) ciągu \\( a \\) jest zbiorem skończonym (np. \\( M=\\{1,2,…,n\\} \\) ), to mówimy, że \\( a \\) jest ciągiem skończonym ( \\( n \\)-wyrazowym). " }, { "name": "Definicja 3: Ciąg nieskończony", "content": "Jeżeli dziedzina \\( M \\) ciągu \\( a \\) jest zbiorem nieskończonym (np. \\( M=\\mathbb{N} \\) lub \\( M= \\)zbór liczb parzystych), to mówimy, że \\( a \\) jest ciągiem nieskończonym." }, { "name": "Definicja 4: Metody określania ciągu", "content": " Podstawowymi metodami określania ciągu są:\n podanie wzoru na \\( n \\)-ty wyraz ciągu, np. \\( a_n =\\frac{1-\\sqrt[3]{n^2+1}}{\\log_3{(n+3)}} , a_n=\\frac{6n-8}{4+\\sqrt{\\arcsin(n^{-2})}} \\)\n podanie wzoru rekurencyjnego, np. \\( \\left\\{\\begin{array}{c} a_1=3\\\\ a_{n+1}=6 – 2a_n +\\sqrt{1+a_n } \\end{array}\\right. , \\hspace{1em} \\left\\{\\begin{array}{c} a_1=1\\\\ a_2=2\\\\ a_{n+2}=\\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \\end{array}\\right. \\)\n opisanie sposobu tworzenia kolejnych wyrazów, np. \\( a_n \\) jest kolejnym wyrazem rozwinięcia dziesiętnego liczby \\( \\sqrt{5} \\) podanie kilku wyrazów początkowych ciągu, aby wiadomo było, według jakiej zasady należy tworzyć wyrazy następne, np.: \\( (a_n )=(\\frac{1}{2},\\frac{2}{3}, \\frac{3}{4}, \\frac{4}{5},…). \\)\n" }, { "name": "Definicja 5: Interpretacja geometryczna ciągu", "content": " Graficznie ciąg możemy przedstawiać w postaci wykresu funkcji o argumentach naturalnych, otrzymując pełny wykres ciągu lub w postaci rzutu tego wykresu na oś wartości, otrzymując uproszczony wykres ciągu. " } ]