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Page 0 1 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal 1รจre faรงon : ๐={๐;๐;๐๐;๐๐;๐๐} ; on dit que E est รฉcrit en extension 2รจme faรงon : ๐={๐งโโ/ ๐<๐<๐๐} ; on dit que E est รฉcrit en comprรฉhension Dรฉfinition : Il existe deux maniรจres diffรฉrentes pour dรฉfinir un ensemble E 1) En extension : on donne la liste de tous ses รฉlรฉments 2) En comprรฉhension : on donne une propriรฉtรฉ p(x) qui caractรฉrise ses รฉlรฉments ; on รฉcrit alors : ๐ฌ={๐/๐(๐)} Exemples : 1) Soit l'ensemble des diviseurs de 6 En extension : ๐ฌ={๐;๐;๐;๐;-๐;-๐;-๐;-๐} En comprรฉhension : ๐ฌ={๐
โโค/ ๐
๐
๐๐๐๐๐ ๐} 2) Soit H l'ensemble des entiers naturels dont le carrรฉ est infรฉrieur ou รฉgale 37 En extension : ๐ฏ={๐;๐;๐;๐;๐;๐;๐} En comprรฉhension : ๐ฏ={๐โโ/ ๐๐โค๐๐} 3) Soit P l'ensemble des entiers naturels pair En extension : ๐ท={๐;๐;๐;๐;๐;............. } En comprรฉhension : ๐ท={๐๐/ ๐โโ} ou bien ๐ท={๐โโ / โ๐โโ;๐=๐๐} Exercice 1 1) Ecrire en extension les ensembles suiva nts : ๐ฌ={๐โโค / |๐+๐|โค๐} ๐ญ={(๐;๐)โโ๐/(๐+๐)(๐-๐)=๐๐} A) Gรฉnรฉralitรฉs sur les ensembles 1)Dรฉfinition et notation Dรฉfinition un ensemble E est une collection d'objets mathรฉmatique. les objets que l'ensemble contient sont appelรฉ s les รฉlรฉment s de E Si x est un รฉlรฉment de E ; on รฉcrit : ๐ฑโ๐ Si x n'st pas un รฉlรฉment de E ; on รฉcrit : ๐ฑโ๐ Notations : 1) L'ensemble qui ne contient aucun รฉlรฉment est appelรฉ l'ensemble vide ; il est notรฉ โ
2) Un ensemble qui contient un seul รฉlรฉment x s'appelle un singl eton ; il est notรฉ {๐} 3) Un ensemble qui contient deux รฉlรฉment x et y s'appelle une paire ; il est notรฉ {๐;๐} 4) Un diagramme de VENN est un courbe fermรฉe qui entoure les รฉlรฉment d'un ensemble ;il sert ร schรฉmatiser cet ensemble Exemple : Soit l'ensemble E ๐={๐;๐;๐} 2)Dรฉtermination d'un ensemble Activitรฉ Soit E l'ensemble des entiers naturels compris strictement entre 7 et 13 Ecrire E avec deux faรงons diffรฉrentes | Cours-Ensemble_-ff_-1-bac-_SM_221003_061201.pdf |
Page 0 2 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhil i. jimdofree. com Prof : fayssal 4)Egalitรฉ de deux ensembles-double inclusion Dรฉfinition : Soient A et B deux ensembles On dit que A et B sont รฉgaux si et seulement si ๐จโ๐ฉ et ๐ฉโ๐จ ; et on รฉcrit ๐จ=๐ฉ Remarque : ๐จ=๐ฉโ(๐จโ๐ฉ et ๐ฉโ๐จ) ๐จ=๐ฉโ(๐ฑโ๐จโ๐โ๐ฉ) Exercice 3 1) On considรจre les ensembles E et F telles que : ๐ฌ={๐โโ / |๐-๐ ๐|โค๐} et ๐ญ=[๐;๐] Montrer que ๐ฌ=๐ญ 2) On considรจre les ensembles A et B telles que ๐={๐
๐+๐๐
๐/๐โโค }et ๐={-๐๐
๐+๐๐
๐/๐โโค } Montrer que ๐จ=๐ฉ (Double inclusion) 5)Ensemble des parties d'un ensemble Activitรฉ : Soit l'ensemble ๐ฌ={๐;๐;๐} Donner toutes les parties de E Dรฉfinition Toutes les parties de E constituent un ensemble s'appelle ensemble des parties de l'ensemble E Il est notรฉ par ๐(๐ฌ), donc : ๐(๐ฌ)={๐ฟ/๐ฟโ๐ฌ} Remarque : โข Les รฉlรฉments de ๐(๐ฌ) sont des ensembles โข ๐จโ๐(๐ฌ)โ(๐จโ๐ฌ) โข โ
โ๐(๐ฌ) et ๐ฌโ๐(๐ฌ) โข ๐โ๐ฌโ({๐}โ๐(๐ฌ)). ; {โ
}โ๐(๐ฌ) ๐ฎ={๐โโ๐๐ ๐+๐โ โโ} 2) Ecrire en comprรฉhension les ensembles suiv ants โ l'ensemble des nombre s rationnels ๐ฎ={๐;๐;๐;๐;๐๐;..........} 3)Inclusion-double inclusion Dรฉfinition : Soient A et B deux ensembles On dit que A est inclus dans B s si chaque รฉlรฉment de A est aussi un รฉlรฉment de B ; on note : ๐จโ๐ฉ Remarque : โข ๐จโ๐ฉโ(๐ฑโ๐จโ๐โ๐ฉ) โข ๐จโ๐ฉโ(โ๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ) โข Pour toute ensemble A on a : โ
โ๐จ et ๐จโ๐จ โข (๐จโ๐ช ๐๐ ๐ชโ๐ฉ)โ(๐จโ๐ฉ) Exemples : 1) On considรจre l'ensemble : ๐ฌ={๐;๐;๐;๐;๐;๐} on a : {๐;๐}โ๐ฌ ; {๐;๐;๐}โ๐ฌ et {๐;๐}โ๐ฉ 2) [-๐;๐]โโ ; ]๐;+โ[โโ et โโโ Exercice 2 1) On pose ๐จ={๐โโ / |๐-๐|<๐}et ๐ฉ=]๐;๐[ Montrer que : ๐จ โ๐ฉ 2) Soit : ๐={๐โ๐ฐ๐น /โ๐โ[๐ ๐ ;๐] ;๐+๐๐-๐=๐ } et ๐ญ=[๐;๐] ; Montrer que ๐โ๐ญ | Cours-Ensemble_-ff_-1-bac-_SM_221003_061201.pdf |
Page 0 3 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elbout khili. jimdofree. com Prof : fayssal B)Opรฉrations sur les ensembles : 1)Intersection de deux ensemble Dรฉfinition :A et B des ensembles d'un ensemble E l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des รฉlรฉments de E qui sont ร la fois dans A et dan s B et on le note par : ๐จโฉ๐ ; โข ๐จโฉ๐={๐โ๐ฌ/๐โ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ} โข ๐โ(๐จโฉ๐)โ๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ โข ๐โ(๐จโฉ๐)โ(๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ) Exemples : 1) Soit l'ensemble : ๐จ={๐;๐;๐;๐;๐;๐;๐} et ๐ฉ={๐;๐;๐. ๐๐} alors : ๐จโฉ๐={๐. ๐. ๐} 2) ]๐;๐[ โฉ ]-๐;๐]=]๐;๐] et โ+โฉโ-={๐} Proposi tions :A ;B et C parties d'un ensemble E 1) ๐จโฉ๐=๐โฉ๐ 2) ๐จโฉ๐=๐ et ๐จโฉโ
=โ
3) ๐จโฉ๐=๐ et ๐จโฉ๐ฬ
=โ
4) (๐จโฉ๐)โ๐จ et (๐จโฉ๐)โ๐ฉ 5) ๐จโฉ(๐โฉ๐)=(๐จโฉ๐)โฉ๐=๐จโฉ๐โฉ๐ 6) ๐จโฉ๐=๐จโ(๐โ๐ฉ) Preuve de 5) et 6) Exercice 6 On pose ๐จ={๐
๐+๐๐๐
๐/๐โโค } et ๐ฉ={๐
๐+๐๐๐
๐/๐โโค } Montrer que ๐จโ๐ฉ=โ
Exercice 4 1) Ecrire en extension ๐(๐จ) dans les cas suivants ๐={๐} ; ๐={๐;๐} 2) Soient E et F deux ensembles Montrer que : Montrer que : ๐ฌโ๐ญโ๐(๐ฌ)โ๐(๐ญ) 6)Complรฉmentaire d'un ensemble Dรฉfinition : Soit A une partie d'un ensemble E l'ensembles des รฉlรฉments de E qui n'appartiennent pas ร l'ensemble A forme un ensemble appelรฉ le complรฉmentaire de A dans E notรฉ par : ๐๐ฌ๐จ ou ๐ฬ
โข ๐โ๐๐ฌ๐จโ๐โ๐ ๐๐ญ ๐โ ๐จ โข ๐โ๐ฬ
โ ๐โ๐ ๐๐ญ ๐โ ๐จ Exemples : 1) Soit l'ensemble :๐ฌ={๐;๐;๐;๐;๐;๐;๐} et ๐จ={๐;๐;๐} alors : ๐๐ฌ๐จ={๐;๐;๐;๐} 2) ๐โ{๐}=โโ ; ๐โโ+=โ-โ et ๐โคโโ=โค-; ๐โ[-๐;๐]=]-โ;-๐[ โ ]๐;+โ[ Exercice 5 On considรจre l'ensembl e ๐จ={๐โโ/ ๐๐-๐๐>๐} Dรฉcrire en extension l'ensemble : ๐โ๐จ Proposition : Soient A et B deux parties d'un ensemble E 1) ๐๐ฌ๐=โ
. ; ๐๐ฌโ
= ๐ et ๐๐ฌ๐ฬ
= ๐ 2) ๐จโ๐ฉโ๐ฉฬ
โ๐ฬ
Preuve de 2) : | Cours-Ensemble_-ff_-1-bac-_SM_221003_061201.pdf |
Page 0 4 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal Proposition 3 : ( Loi de MORGAN E) Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E โข ๐โฉ๐ ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
=๐ฬ
โ๐ฬ
โข ๐โ๐ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
=๐ฬ
โฉ๐ฬ
Preuve : Exercice 7 On considรจre les deux ensembles su ivants : ๐จ={๐โโ|๐-๐| โ โค๐} ๐ฉ={๐โโ/ ๐ ๐+๐โค๐} 1) Dรฉterminer en extension ๐จ et ๐ฉ. 2)En dรฉduire que : ๐จฬ
; ๐ฉฬ
; ๐จโฉ๐ฉ et ๐จฬ
โช๐ฉฬ
Exercice 8 Soit ๐จ ;๐ฉ et ๐ช trois parties d'un ensemble ๐ฌ. Montrer que : 1) (๐จโช(๐จโฉ๐ฉ))โฉ๐ฉ=๐จโฉ๐ฉ 2) ๐จโฉ(๐จฬ
โช๐ฉ)=๐จโฉ๐ฉ 3) [(๐จโ๐ฉฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
)โ((๐จโ๐ชฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
ฬ
)]โ๐จ=๐ฌ 3)Diffรฉrence d e deux ensembles Dรฉfinition A et B deux ensembles d'un ensemble E La diffรฉrence de deux ensembles A et B dans cette ordre est l'ensemble des รฉlรฉments de A et qui ne sont pas dans B et on le note par : ๐จ\๐ Remarques : 1) ๐จ\๐={๐โ๐ฌ/๐โ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ} 2) ๐โ(๐จ\๐)โ(๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ ) 3) ๐จ\๐ se lit A mois B ou A privรฉ de B Exemples : 1) Soit l'ensemble : ๐จ={๐;๐;๐;๐;๐} et ๐ฉ={๐;๐;๐;๐} donc ๐จ\๐={๐;๐} ๐๐ ๐ฉ\๐={๐} 2)Rรฉunion de deux ensembl e Dรฉfinition :A et B des ensembles d'un ensemble E la rรฉunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des รฉlรฉments de E qui sont dans A ou dans B et on le note par : ๐จโ๐ ; โข ๐จโ๐={๐โ๐ฌ/๐โ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ} โข ๐โ(๐จโ๐)โ๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ โข ๐โ(๐จโ๐)โ๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ Exemples : 1) Soit l'ensemble : ๐จ={๐;๐;๐} et ๐ฉ={๐;๐;๐} alors : ๐จโ๐={๐;๐;๐;๐;๐} 2) ]๐;๐[ โ ]-๐;๐]=]-๐;๐] et โ+โโ-=โ Propositions 1 : Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E 1) ๐จโ๐=๐โ๐ 2) ๐จโ๐=๐ et ๐จโโ
=๐จ 3) ๐จโ๐=๐ et ๐จโ๐ฬ
=๐ฌ 4) ๐จโ(๐จโ๐) et ๐ฉโ(๐จโ๐) 5) ๐จโ(๐โ๐)=(๐จโ๐)โ๐=๐จโ๐โ๐ 6) ๐จโ๐=๐จโ(๐โ๐จ) Preuve de de 6) : โข Les propositions 1) ;2) ;3) ;4) ;5) sont faciles โข Dรฉmontrons 6) Proposition 2 : ( la distributivitรฉ) Soient A ;B et C des parties d'un ensem ble E โข ๐จโฉ(๐โ๐)=(๐โฉ๐)โ(๐โฉ๐) โข ๐จโ(๐โฉ๐)=(๐โ๐)โฉ(๐โ๐) Preuve : | Cours-Ensemble_-ff_-1-bac-_SM_221003_061201.pdf |
Page 0 5 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal Exercice 11 Soient A ; B ; C des parties d'un ensemble E 1) Montrer que : ๐จโณ๐ฉ=(๐จโ๐ฉ)\(๐โฉ๐) 2) Montrer que ๐จฬ
โณ๐ฉฬ
=๐จโณ๐ฉ 3) Montrer que : (๐จโณ๐ฉ=๐จโณ๐ช)โ(๐ฉ=๐ช) 5) Produit cartรฉsien de deux ensembles Dรฉfinition : Soit A et B deux ensembles d'un ensemble E Le produit cartรฉsien de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples (x ;y) tels que ๐โ๐จ et ๐โ๐ฉ: et il est notรฉ par : ๐จร๐ ๐จร๐={(๐;๐)/๐โ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ} ๐ฉร๐={(๐;๐)/๐โ๐ฉ ๐๐ ๐โ๐จ} Remarque : โข (๐;๐)โ๐จร๐โ( ๐ฑโ๐จ ๐๐ ๐โ๐ฉ ) โข Si ๐จ=๐ฉ le produit cartรฉsien est notรฉ ๐จ๐ โข ๐จร๐โ ๐ร๐ en gรฉnรฉral Exemples : 1) Soit l'ensemble : ๐จ={๐;๐} et๐ฉ={๐;๐;๐} ๐จร๐={(๐;๐);(๐;๐);(๐;๐);(๐;๐);(๐;๐);(๐;๐)} 2) โ๐={(๐;๐)/๐โโ ๐๐ ๐โโ} 3) โ๐={(๐;๐;๐)/๐โโ ๐๐ ๐โโ ๐๐ ๐โโ} (๐;-๐;๐)โโ๐ ; (๐;-๐)โโ๐ Exercice 12 Soit l es ensemble s :๐จ={๐;๐;๐} et ๐ฉ={๐;๐} Ecrire en extension ๐จร๐ et ๐ฉร๐ Exercice 13 Soient A ; B ; C et D des parties d'un ensemble E 1) Montrer qu e : (๐จโ๐ฉ)ร๐ช=(๐จร๐ช) โ(๐ฉร๐ช) 2) Montrer que : (๐จโ๐ฉ ๐๐ ๐ชโ๐ซ)โ๐จร๐ชโ๐ฉร๐ซ 2) ]๐;๐[ \ ]-๐;๐]=]๐;๐] 3) ]-๐;๐]\]๐;๐[=]-๐;๐] Proposition s : Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E 1) Si ๐โ๐ฉ alors ๐จ\๐=โ
et B \๐=๐๐๐จ 2) ๐จ\๐=๐จโฉ๐ฉฬ
3) ๐จ=(๐จ\๐)โ(๐จโฉ๐) Preuve de 2) et 3) : Exercice 9 1) Montrer que : ๐จโ(๐ฉ\๐ช)=(๐จโ๐ฉ)\(๐จโ๐ช) 2) Montrer que :[ ๐จโ๐ฉ=๐จโ๐ช ๐๐ (๐ฉ\๐จ)=(๐ช\๐จ) ]โ๐ฉ=๐ช 4)Diffรฉrence symรฉtrique de deux ensemble : Dรฉfinition : Soit A et B deux ensembles d'un ensemble E La diffรฉrence symรฉtrique de deux ensembles A et l'ensemble notรฉ par : ๐จโณ๐ tel que :๐จโณ๐=(๐จ\๐)โ(๐ฉ\๐) Remarque : โข ๐จโณ๐={๐โ๐ฌ/๐โ๐จ\๐ ๐๐ ๐โ๐ฉ\๐} โข ๐โ(๐จโณ๐)โ๐ฑโ(๐จ\๐) ๐๐ (๐โ๐ฉ\๐) Exemples : Soit l'ensemble : ๐จ={๐;๐;๐;๐;๐;๐} et ๐ฉ={๐;๐;๐;๐;๐;๐;๐} donc ๐จ\๐={๐;๐} ๐๐ ๐ฉ\๐={๐;๐;๐} ๐จโณ๐=(๐จ\๐)โ(๐ฉ\๐)={๐;๐;๐;๐;๐} Exercice 10 : On considรจre les deux e nsembles suivants ๐จ={๐โโค|๐|โ <๐ ๐} ; ๐ฉ={๐โโ/ ๐๐-๐ ๐โค๐} 1) Dรฉterminer en extension ๐จ et ๐ฉ. 2) En dรฉduire : ๐จโฉ๐ฉ ;๐จโช๐ฉ ; ๐จโ๐ฉ; Bโ๐จ ; ๐จโ๐ฉ | Cours-Ensemble_-ff_-1-bac-_SM_221003_061201.pdf |
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